Processamento Digital de Sinais Aula01 Simas Ufba

8/12/2019 Processamento Digital de Sinais Aula01 Simas Ufba

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Introdu caoClassica cao dosSinaisAnalogico Digital

Sinais noTempoDiscreto

SinaisAleatorios

ProcessamentoDigital deSinais

ConversaoAnal ogicoDigital

Disciplina: Processamento Digital de SinaisAula 01 - Introdu cao aos Sinais e Sistemas

Digitais

Prof. Eduardo Simas([email protected])

Programa de P os-Gradua cao em Engenharia EletricaUniversidade Federal da Bahia


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SinaisAleatorios



Conte udo

1 IntroducaoClassicacao dos SinaisAnalogico Digital

2 Sinais no Tempo Discreto

3 Sinais Aleatorios

4 Processamento Digital de Sinais

5 Conversao Analogico Digital


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Introducao

Deni cao : O que e um sinal ?1 - Um sinal e a representacao de um fen omeno variavel que

pode ser medido. (M. Weeks);

2 - Um sinal e uma funcao de uma variavel independente como o

tempo, a pressao, a posi cao, a temperatura, etc. (S. Mitra);Exemplos de sinais:

- s (t ) = N i =1 AN sin(N t + N );

- A fala de uma pessoa (sinal acustico variavel com o tempo),que pode ser convertido num sinal eletrico usando um microfone(transdutor);

- Uma imagem digital em preto e branco (sinal com amplitudevariavel com a posicao do ponto, ou pixel , medido; aamplitude e proporcional ao tom de cinza);


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Introducao

Exemplos de sinais:

Fala(variavel no tempo)

Imagem(variavel com a posi cao)


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ProcessamentoDigital de

Sinais


Classica cao dos Sinais


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Sinais



Os sinais podem ser classicados quanto a sua natureza em:

Determinsticos - quando sua forma de onda ou equacaomatematica sao conhecidos para qualquer valorda variavel independente.

Aleatorios - quando existe algum fenomeno de naturezaaleat oria (ex: rudo aditivo, variacoes no meio detransmissao, etc), que nao permite que o sinal

seja completamente determinado. Neste caso hasempre uma incerteza associada ao valoresperado do sinal.


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Sinais



Os sinais sao classicados tambem de acordo com ascaractersticas da variavel independente (em geral o tempo) edos seus valores medidos:

- Tempo contnuo ou tempo discreto ;

- Amplitude contnua ou amplitude discreta .

Deste modo, existem quatro classicacoes possveis para umsinal (ver Figura a seguir):

a) Amplitude e tempo contnuos (sinal anal ogico);

b) Amplitude contnua e tempo discreto (sinal amostrado);

c) Amplitude discreta e tempo contnuo (sinal quantizado);

d) Amplitude e tempo discretos (sinal digital);

Em geral e utilizada a nota cao x (t ) para um sinal no tempo

contnuo e x (nT ), x [n] ou x (n) para um sinal no tempodiscreto.


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Sinais


Exemplos de sinais


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Sinais



Em alguns casos praticos, para a adequada descri cao dofenomeno fsico de interesse e necessario o conhecimentosimultaneo de diversos sinais (Ex: Vdeo digital, sistemas de

instrumenta cao com m ultiplos sensores).

Neste caso, os sinais podem ser agrupados de forma vetorial (oumatricial), dando origem aos sinais multidimensionais .

Assim, os sinais podem ser classicados em:- Monodimensionais

- Multidimensionais


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Sinais


Analogico Digital


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Sinais


Analogico Digital

O termo anal ogico esta relacionado a palavra analogo, pois osinal que ele representa tenta representar de modo el oprocesso fsico correspondente.

Para a obten cao de um sinal digital a partir de suarepresenta cao anal ogica e preciso realizar um processo conhecido

como conversao anal ogico-digital(embora existam sinaisnaturalmente discretos no tempo, i.e. a temperatura diaria, ovalor de uma acao no fechamento da bolsa de valores, etc).

Considerando que:

- Grande parte dos fenomenos e sinais existentesnaturalmente sao analogicos.


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Sinais


Analogico Digital




Considerando que:


- A conversao analogico-digital sempre introduz erros dequantiza cao ao sinal digitalizado.


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Sinais


Analogico Digital




Considerando que:



Entao, porque o processamento digital e tao difundidoatualmente ?


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Sinais


Analogico Digital




Considerando que:



Entao, porque o processamento digital e tao difundidoatualmente ?


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Sinais


Porque usar o Processamento Digital?

Os circuitos digitais sao mais tolerantes a variacoes noscomponentes eletr onicos;

O sinal digital e mais imune ao rudo aditivo na transmissao(mais simples de minimizar o erro em cada bit0 ou 1);

A crescente disponibilidade de dispositivos para oprocessamento digital (computadores pessoais, equipamentosmoveis, hardware dedicado, etc);

A crescente disponibilidade de sinais digitais (internet, colecoespessoais de audio, imagem e vdeo, etc);

= > Desvantagens :- Sao necessarias duas etapas adicionais para o

processamento de um sinal analogico (conv. AD e DA).

- Os circuitos de processamento digital, em geral, consumemmais energia que os analogicos, pois utilizam sempredispositivos eletronicos ativos na sua construcao.


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SinaisConversaoAnal ogicoDigital

Sinais e Sistemas no Tempo Discreto


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Sinais no Tempo Discreto

Um sinal no tempo discreto pode ser representado por umasequencia de n umeros que pode ter dura cao innita oudura cao nita .

Exemplos:

- {x 1[n]} = {. . . , 2.3, 3.0, 0.7, 1.1, 1.9, . . .} (duracao innita);

- x 2[n] = [0.7, 1.0, 2.1, 1.8, 1.3] (duracao nita).

Numa sequencia nita x [n] = 0 para N 1 n N 2 .

Lembrando que, os valores de x [n] podem representar amostrasde um sinal analogico x (t ) tomadas em intervalos de tempo T (perodo de amostragem).

Neste caso: x [n] = x (nT ).


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Exemplo de um sinal no tempo discreto

As amostras do sinal analogico sao tomadas a intervalos detempo regulares T (perodo de amostragem).

A frequencia de amostragem e denida como: f = 1T

.


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Sinais Elementares

Alguns sinais elementares sao extremamente uteis nodesenvolvimento da teoria do PDS (embora nem sempre sejamrealizaveis na pratica).

Entre eles temos:

a- Impulso unitario: [n] = 1, n = 00, n = 0

b- Impulso unitario deslocado: [n m] = 1, n = m0, n = m

c- Degrau unitario: u [n] = 1, n 0

0, n < 0d- Funcao cosseno: x [n] = cos[n]

e- Funcao exponencial: x [n] = e an

f- Funcao rampa unitaria: r [n] = n, n 00, n < 0


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Sinais Elementares


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Energia e Potencia de Sinais

Energia:

E x =

n = |x [n]|2

Potencia media de um sinal nao-peri odico num intervalo nito:

P x = limK

12K + 1

K

n = K

|x [n]|2

Potencia media de um sinal periodico (de perodo N):

P x = 1N

N 1

n =0

|x [n]|2


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Sistemas no Tempo Discreto

Um sistema no tempo discreto realiza um mapeamento de umsinal de entrada x [n] para uma sada y [n]:

y [n] = H{ x [n]}

sendo H{.} o operador que representa o sistema no tempodiscreto.


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Propriedades de Sistemas no Tempo Discreto

Linearidade : H{ax 1 [n] + bx 2 [n]} = aH{ x 1[n]} + b H{ x 2[n]}.

Invariancia no tempo :

y [n] = H{ x [n]} y [n n0] = H{ x [n n0 ]}.

Causalidade : a sada y [n0 ] depende apenas das entradas x [n]para n n0 .

Fun cao de Resposta ao Impulso : um sistema linear einvariante no tempo (SLIT) e completamente caracterizado porsua funcao de resposta ao impulso: h[n] = H{ [n]}.


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Propriedades de Sistemas no Tempo Discreto

Soma de Convolucao : para um SLIT a resposta y [n] a umaentrada x [n] pode ser calculada a partir de:

y [n] =

k =

x [k ]h[n k ] =

l =

x [n l ]h[l ] = x [n]h[n].

De modo compacto podemos representar a convolucao usando:y [n] = x [n]h[n] = h[n]x [n].

Estabilidade : um sistema e dito BIBO-estavel (BIBO -Bounded Input Bounded Output , ou seja, entrada limitada sada limitada) se e somente se:

k =

|h[k ]| <


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Equa coes de diferen cas

Os sistemas no tempo discreto podem ser descritos porequacoes de diferencas (que sao a contrapartida discreta dasequacoes diferenciais).

Para um sistema linear generico podemos escrever:

N

i =0

a i y [n i ] M

l =0

b l x [n l ] = 0

Exemplos de sistemas descritos por equacao de diferencas:

1- y [n] = x [n] + x [n 1]/ 2 + x [n 2]/ 42- y [n] = x [n] + n

3- y [n] = 3x [n] + x [n + 1]

4- y [n] = x 2[n] + x [n + 2]


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Exerccio de Fixacao

Classique os sistemas descritos no slide anterior quanto a:linearidade, invariancia no tempo e causalidade.

1- y [n] = x [n] + x [n 1]/ 2 + x [n 2]/ 4

2- y [n] = x [n] + n

3- y [n] = 3x [n] + x [n + 1]

4- y [n] = x 2

[n] + x [n + 2]

d


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Exerccio de Fixacao - Resposta

Classique os sistemas descritos no slide anterior quanto a:linearidade, invariancia no tempo e causalidade.

1- y [n] = x [n] + x [n 1]/ 2 + x [n 2]/ 4: linear, causal einvariante no tempo.

2- y [n] = x [n] + n: linear, causal e variante no tempo.

3- y [n] = 3x [n] + x [n + 1] linear, nao-causal e invariante notempo.

4- y [n] = x 2[n] + nx [n + 2] nao-linear, nao-causal e varianteno tempo.


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Si i Al i


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Sinais Aleatorios

Em muitos casos praticos os sinais de interesse nao saocompletamente conhecidos, pois apresentam caractersticasaleat orias.

Para o estudo apropriado desse tipo de sinal e necessario autilizacao de conceitos da estatstica como:

- Variavel aleat oria;

- Processo aleat orio (ou estocastico);

V i l Al t i


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Variavel Aleat oria

Uma variavel aleat oria X () e uma fun cao cujo domnio e oconjunto de resultados S e X () R .

Para todo conjunto A S existe um conjunto imagem T R denido por X .

A variavel aleatoria induz a uma medida da probabilidade noeixo real:

- P (X = x ) = P { : X () = x };

- P (X x ) = P { : X () x };

- P (x 1 < X x 2) = P { : x 1 < X () x 2};

- Entao pode-se concluir que:P (X = ) = P (X = ) = 0.

V i l Al t i E l


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Variavel Aleat oria - Exemplos

Valores de energia medidos num detector de partculas paradiferentes objetos de interesse:

0 20 40 60 800

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

P r o

b a b i l i d a d e

( % )

Energia (GeV)

E10E15i

Partculas eletromagneticas(eletrons e fotons)

0 20 40 60 800

2

4

6

8

10

12

14

P r o

b a b i l i d a d e

( % )

Energia (GeV)

E10E15i

Partculas hadr onicas(protons, neutrons, etc)

Processo Estocastico


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Processo Estocastico

Assim como as variaveis aleatorias mapeiam os resultados deum experimento no eixo real, os processos estocasticos (PE)mapeiam os resultados de um experimento num conjuntoamostral de sinais temporais x (t ).

A notacao utilizada para denir um processo aleat orio e X (t , ),

sendo que:- a variavel t representa o tempo;

- a variavel representa o resultado do evento aleatorio E ;

- para um resultado especco i de E existe uma funcao

temporal x i (t ) associada (chamada de fun cao amostral ourealizacao do PE);

- para um valor especco de tempo t = t 0 , X (t 0 , )representa uma colecao de valores numericos obtidos dasdiversas funcoes temporais avaliadas em t = t 0 , ou seja,

X (t 0 , ) e uma variavel aleat oria.

Exemplo de processo estocastico


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Exemplo de processo estocastico

= > As tecnicas de analise e processamento de sinais aleat orios saoestudadas na disciplina Processamento Estatstico de Sinais(ENGA83) , que sera oferecida no pr oximo perodo (2013.1).


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Processamento Digital de Sinais



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Deni cao : O processamento digital de sinais e adisciplina que estuda as regras que governam os sinais quesao fun coes de variaveis discretas, assim como os sistemasusados para processa-los (Diniz, da Silva e Lima Netto).

Os sistemas de processamento digital de sinais podem serimplementados em diferentes plataformas como:- Computadores (atraves de ambientes especializadas como

Matlab e Scilab ou utilizando alguma linguagem deprogramacao);

- Processadores digitais de sinais (as rotinas deprocessamento sao embarcadas na memoria doprocessador);

- Dispositivos de hardware digital (usando componentesdiscretos ou dispositivos programaveis como FPGA).


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Conversao Anal ogico Digital

Conversao Analogico Digital


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Conforme discutido anteriormente, em diversos problemaspraticos sistemas de processamento digital sao utilizados parasinais que sao originalmente analogicos.

Para isso e necessario realizar a conversao analogico-digital(AD) do sinal de interesse.

Um conversor analogico digital (ADC - Analog to Digital

Converter ) e composto pelas etapas: amostragem, quantiza caoe codicacao.

Conversao Analogico Digital


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Esquemas das convers oes (a) AD e (b) DA.

Amostragem


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Amostragem

Atraves da amostragem e possvel obter um sinal no tempodiscreto x [n] a partir de um sinal no tempo contnuo x (t ), demodo que: x [n] = x (nT ).

O processo consiste em multiplicar o sinal analogico por umtrem de impulsos defasados por um intervalo de tempo T :

x (nT ) = x (t )

n = (t nT )

Considerando a denicao da transformada de Fourier (TF):

F ( j ) =

f (t )e j t dt

E sabendo que a TF do produto de duas funcoes e proporcionala convolucao de suas transformadas de Fourier:

x (t ) = a(t )b (t ) X ( j ) = A( j )B (( j ))

Amostragem


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g

Considerando a funcao trem de impulsos:

p (t ) =

n = (t nT )

Entao pode-se provar que:

P ( j ) = 2T

k =

( 2T

k )

sendo s = 2T

a frequencia de amostragem (em rad/s).

Observando as guras do slide a seguir, verica-se que epossvel obter x (t ) = x a (t ) de x (nT ) = x i (t ) desde que:

- seja realizada uma ltragem passa baixas no sinal x (nT );- nao haja sobreposi cao entre as c opias adjacentes de

X a ( j ) existentes em X i ( j ) (aliasing ).

Amostragem


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g

Limite de Nyquist


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yq

Para nao haver sobreposi cao epreciso garantir que:

s > 2c

onde c e a maximacomponente de frequenciaexistente no sinal a ser

discretizado.

= 2c e conhecida como afrequencia de Nyquist de x (t ).

Filtro Anti-Aliasing


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g

Quando o sinal de interesse (a ser discretizado):- nao e de banda limitada ou pelo menos tem c > s / 2;- e composto por um sinal de banda limitada (c < s / 2),

porem ha rudo aditivo de banda larga,

e necessario utilizar um ltro passa-baixas anal ogico (Filtro

Anti-Aliasing ) antes do processo de amostragem para evitar asobreposicao dos espectros.

Quantizacao e Codicacao


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Ao nal da conversao AD a sada e, normalmente, um c odigobinario.

Cada palavra do codigo representa o valor quantizado de umaamostra temporal de x [n].

O comprimento (ou numero de bits) da palavra binaria estaassociado com a resolucao do conversor AD.

A resolucao e determinada pelo numero de nveis discretos quepodem ser atingidos apos a conversao (ou seja, o numero denveis de quantiza cao).

Usando a codicacao binaria natural, com N bits e possvelobter QL = 2 N nveis de quantiza cao.

Quantizacao


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Diagrama do processo de quantizacao:

Quantizacao


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O maximo erro de quantiza cao QE max e denido como:

QE max = x 2(QL)

= x 2(2N )

= x (2N +1 )

sendo x a faixa de excursao do sinal analogico x (t ).

Nos conversores AD o processo de quantizacao em geral eimplementado utilizando comparadores anal ogicos (ajustadospara cada nvel de quantiza cao).

Codica cao


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Na codicacao, o nvel de quantiza cao associado a uma dada

amostra e convertido numa palavra binaria.

Existem diversas formas de codicacao, sendo uma das maissimples a codicacao natural.

Na codica cao natural , o nvel de quantizacao (QL) k eassociado a palavra binaria que representa o numero inteiro k .Considerando uma codicacao a 4 bits (2 4 = 16 nveis):

QL Rep. Binaria QL Rep. Binaria00 0000 08 100001 0001 09 100102 0010 10 101003 0011 11 101104 0100 12 110005 0101 13 110106 0110 14 1110

07 0111 15 1111

Bibliograa Consultada


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Na elaboracao destes slides foram utilizadas as fontes a seguir:

- DINIZ, P. S. R., da SILVA, E. A. B. e LIMA NETTO, S.Processamento Digital de Sinais. Bookman, 2004.

- MITRA, S., Digital Signal Processing, Bookman, 2005.

- WEEKS, M. Processamento Digital de Sinais, LTC, 2011.

- ANTONIOU, A., Digital Signal Processing, McGraw-Hill,2006.

Algumas guras foram retiradas na ntegras das referenciasacima.

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