Processamento Digital de Sinais Aula04 Simas Ufba

8/12/2019 Processamento Digital de Sinais Aula04 Simas Ufba

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AnaliseTempo-

Frequencia

EduardoSimas

Introducao

Analise deFourier deTempo Curto

AnaliseusandoTransformadaWavelet

TransformadaWaveletDiscreta

Aplicacoes daDWT

Conclusoes

Disciplina: Processamento Digital de Sinais

Aula 04 - Analise Tempo-Frequencia e Wavelets

Prof. Eduardo Simas([email protected])

Programa de Pos-Graduacao em Engenharia EletricaUniversidade Federal da Bahia


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Introducao




Aplicacoes daDWT

Conclusoes

Conteudo

1 Introducao

2 Analise de Fourier de Tempo Curto

3 Analise usando Transformada Wavelet

4 Transformada Wavelet Discreta

5 Aplicacoes da DWT

6 Conclusoes


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Aplicacoes daDWT

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Introducao

Em muitos casos praticos as caractersticas do sinal variam como tempo.

Por exemplo, numa musica e possvel perceber a mudanca noscomponentes de frequencia (graves - baixas frequencias eagudos - altas frequencias) ao longo de sua execucao.

Outros exemplos de sinais variantes no tempo:- Sinais do sistema eletrico;- Sinais de instrumentacao biomedica (eletrocardiograma,

eletroencefalograma, etc);- Audio em geral (voz, musica, sinais acusticos de maquinas

eletricas, etc);- Vdeo.- ...

Nestes casos, e importante realizar o processamento dos sinaisde modo que seja possvel explorar, ao mesmo tempo, osdomnios do tempo e da frequencia.


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Conclusoes

Resolucao nos Domnios do Tempo e da Frequencia

Na analise tempo-frequencia ha sempre um compromisso entre asresolucoes obtidas em cada domnio.

Para obtermos uma boa resolucao no domnio da frequencia e precisode uma maior janela de tempo e, consequentemente para curtasjanelas de tempo nao e possvel obter boa resolucao na frequencia.

Essa limitacao e mostrada na figura abaixo em termos da caixa deHeisenberg ou atomo tempo-frequencia.


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Resolucao nos Domnios do Tempo e da Frequencia

Percebe-se entao que, e preciso manipular adequadamente atransformacao tempo-frequencia de modo que os requisitos deresolucao sejam atendidos em ambos os domnios.

Existem duas formas mais comuns de realizar a analise

tempo-frequencia (que serao apresentadas a seguir):A analise de Fourier de Tempo Curto (ou Janelada)A analise de Wavelet

A principal diferenca entre elas e que na primeira a resolucao

tempo-frequencia e mantida constante em toda a analise dosinal e na segunda e possvel realizar o que e definida como umaanalise multi-resolucao.

Ou seja, a transformada Wavelet permite variar a resolucao datransformacao tempo-frequencia no decorrer da analise do sinal.


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Analise de Fourier de Tempo Curto


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Analise de Fourier de Tempo Curto

Na analise de Fourier de Tempo Curto (do ingles Short-Time

Fourier Analysis) o sinal temporal e sub-dividido em janelas decurta duracao e a transformada de Fourier e calculada para cada

janela.

As janelas temporais podem ser definidas com ou sem

superposicao entre as janelas adjacentes.

As funcoes janela mais utilizadas sao as semelhantes as vistasanteriormente para o projeto de filtros FIR:

- Retangular;- Triangular;

- Hamming;- Hanning;- ...

Lembrando que janelas de cortes abruptos (ex. retangular)

geram oscilacoes de Gibbs nos componentes de frequenciaestimados.


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Transformada de Fourier de Tempo Curto

A Transformada de Fourier de Tempo Curto (STFT -Short-Time Fourier Transform) e entao definida, no domniodiscreto como:

X(m, ) =

x[n]f[n

m]ejn

sendo f[n] uma funcao janela de comprimento limitado L. Ouseja: f[n] = 0, se|n|


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Transformada de Fourier de Tempo Curto

Para a apropriada visualizacao dos resultados da STFT pode-seutilizar:

- Graficos 3D: onde os eixos x e y estao associados aotempo e a frequencia, e o eixo z a amplitude doscomponentes.

- Graficos 2D: nos quais os eixos x e y estao associados aotempo e a frequencia, e a amplitude e indicada por umcodigo de cores. Esta visualizacao e normalmente chamada

de Espectrograma.

O espectrograma pode ser considerado como uma vistasuperior do grafico 3D.


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AnaliseTempo-Frequencia

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Visualizacao 3D da STFT - Exemplo 1


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Visualizacao 3D da STFT - Exemplo 2

As cores podem ser associadas a intensidade ou a energia associada

aos componentes de frequencia.

E l d Vi li 2D d STFT


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Exemplo de Visualizacao 2D da STFT(Espectrograma)

No incio o sinal nao tem informacao em qualquer frequencia; Logo a seguir (p/ T< 2) aparecemcomponentes de baixa frequencia; ParaT> 2 comecam aparecer componentes de frequencia maisalta; Quando 6 < T< 8 a energia esta concentrada em algumas faixas de frequencia; Em T> 10percebe-se que ha energia em quase toda a faixa de frequencias analisada (provavelmenterepresentando contaminacao por rudo branco).


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Outras Transformadas Janeladas

O conceito do janelamento do sinal temporal para a realizacaode uma analise tempo-frequencia tambem pode ser estendidopara outras transformadas como a Transformada Discreta daCossenos.

Essa abordagem da origem a modified discrete cosine transform(MDCT), que utiliza janelas adjacentes com sobreposicao de50% e atualmente e aplicada em diversos algoritmos de

compactacao de audio como: MP3, AC-3, Vorbis, WMA,ATRAC, Cook e AAC.


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Transformada

WaveletDiscreta

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Conclusoes

Limitacoes da STFT

Conforme mencionado anteriormente, a analise tempo-frequencia

usando janelas e transformadas com funcoes de base invariantes(senos e/ou cossenos) apresenta uma limitacao inerente que e aresolucao fixa.

Ou seja ha um compromisso entre as resolucoes possveis de seremobtidas nos dois domnios (nao se pode ter uma excelente resolucaotanto no tempo como na frequencia).

Isso pode se tornar um problema a depender da aplicacao. Um modode contornar essa limitacao e utilizar transformadas com funcoes debase variaveis, como as Wavelets.


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Exemplos utilizando o Matlab

Para realizar analise de Fourier em janelas, o Matlab dispoe derotinas nativas como o spectrogram.

Neste exemplo iremos utilizar exemplos de arquivos de audio(musicas) e visualizar a mudanca nos componentes de frequencia a

medida que as musicas se desenvolvem no tempo.

Foram utilizadas as musicas a seguir (disponveis para download

juntamente com esse modulo de slides no arquivo

ExMusicasPDSaula04.mat):

- y1: Musica Carinhoso, executada pela OBMJ (Orquestra

Brasileira de Musica Jamaicana);

y2[-]: Musica I Could Have Died for You, executada pelosRed Hot Chili Peppers.

As musicas podem ser importadas com o comando load.


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Exemplos utilizando o Matlab

Para desenhar o espectrograma foi utilizado o comando a seguir:

figure;spectrogram(y1(1:T*fs),T*fs/100,[],Nfft,fs);, e

A sintaxe do comando garante que:- O sinal y1 seja considerado no intervalo de 0 a T segundos;

- Sejam utilizadas janelas de Hamming com sobreposicao de

50 % e duracao T/100;- A FFT e realizada com Nfft pontos.

Neste exemplo utilizou-se para ambos os sinais y1 e y2: T=120 eNfft=2048.

Recomenda-se repetir o exemplo variando-se os parametros acimapara verificar sua influencia na apropriada visualizacao dasinformacoes de interesse no sinal.

Para executar os arquivos em formato de audio utilizem os comandoswavplay(que executa diretamente do Matlab, mas so funciona com

SO Windows) ou wavwrite (gera um arquivo .wav para serexecutado atraves de um programa apropriado).


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Espectrograma do sinal y1


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Espectrograma do sinal y2


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Analise usando Transformada Wavelet


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Para analisar estruturas de sinais com escalas diferenciadas emambos os domnios e necessario utilizar atomos tempo-frequenciacom diferentes suportes temporais.

A transformada wavelet decompoe um sinal em versoes escalonadas etransladadas das funcoes wavelet.

Uma wavelet e definida como uma funcao L2(R) com media zero:

(t)dt= 0,

normalizada

= 1 e centrada em torno de t= 0.

Um dicionario de atomos tempo-frequencia e obtido doescalonamento por se da translacao por ude :

D= u,s(t) = 1

s

t us

uR,sR+


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Transformada

WaveletDiscreta

Aplicacoes daDWT

Conclusoes


A transformada Wavelet do sinal f

no tempou

e escalas

edefinida por:

Wf(u, s) =

f(t) 1

s

t us

dt

Exemplo de uma funcao wavelet tipo spline cubico (a) e suarespectiva transformada de Fourier (b):


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Transformada

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Analise Multiresolucao usando Wavelet

Um atomo tempo-frequencia wavelet corresponde a uma caixade Heisenberg centrada em (u, /s) de comprimento st notempo e /sna frequencia.

A area do retangulo permanece constante, mas a resolucao notempo e na frequencia dependem do fator de escala s.


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Frequencia

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A Famlia de Wavelets Daubechies

As wavelets tipo Dalbechies foram propostas por IngridDaubechies. Sao funcoes wavelet ortogonais muito utilizadasem analises atraves da Transformada Discreta de Wavelet, poissao funcoes limitadas no tempo.


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A Famlia de Wavelets Daubechies

As funcoes Wavelet podem tambem serem definidas em mais deuma dimensao, como por exemplo a Daubechies 20 2-d:

Com funcoes wavelet limitadas no tempo (definidas por seriesde suporte temporal finito) e possvel realizar o processamento

discreto atraves da DWT (Discrete Wavelet Transform).


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Transformada Wavelet Discreta

T f d W l Di


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Transformada

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Para operar em sistemas digitais a transformada Wavelet precisa ser

executada de modo discreto. Um modo eficiente para realizar a DWT(Discrete Wavelet Transform) e atraves de filtragens sucessivas dosinal discreto x[n].

Considerando dois filtros digitais (filtros espelhados em quadratura)com sequencias de resposta a impulso finitas g[n] (passa-baixas) e

h[n] (passa-altas), o sinal de interesse x[n] e entao decomposto em:

yLow[n] =

k=

x[k]g[2n k] e yHigh[n] =

k=

x[k]h[2n k]

Graficamente temos:

Percebe-se que apos a filtragem, os sinais sao sub-amostrados por um

fator de 2.

T f d W l t Di t


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Transformada

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A sub-amostragem e viavel pois apos os filtros temos:

- em yLow[n] apenas a primeira metade dos componentes defrequencia do sinal x[n] e

- em yHigh[n] apenas a segunda metade dos componentes de

frequencia do sinal x[n].

Assim, e possvel reduzir a frequencia de amostragem (por um fatorigual a 2) e ainda assim manter valido o teorema de Nyquist.

Os coeficientes dos filtros g[n] e [h[n] estao relacionados com as

funcoes Wavelet utilizadas na decomposicao.

Conforme definicao, a DWT com um unico nvel de decomposicao ecapaz de dividir em duas faixas de frequencia o sinal original e gerardois sinais temporais concentrando essas informacoes

T f d W l t Di t


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Transformada

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Se for necessario explorar outras faixas de frequencia pode-se realizarsucessivas decomposicoes:

O espectro de frequencias fica entao mapeado conforme mostrado aseguir:

T f d W l t Di t


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Transformada

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Uma nomenclatura normalmente adotada para a analise via DWTconsidera que:

- yLow[n] =g1[n] sao os coeficientes de aproximacao doprimeiro nvel de decomposicao do sinal x[n] e

- yHigh[n] =h1[n] sao os coeficientes de detalhe do primeiro

nvel de decomposicao do sinal x[n].

Considerando um nvel de decomposicao generico k, temos:

- gk[n] os coeficientes de aproximacao do nvel k;- hk[n] os coeficientes de detalhe do nvel k.

Devido a subamostragem, gk[n] e hk[n] tem uma reducao de 2k no

numero de amostras em comparacao ao sinal original x[n].

= Um aspecto interessante da DWT e que os sinais gk[n] e hk[n]preservam a informacao no domnio do tempo referente a faixas de

frequencia especficas.

Wavelet Packet Decomposition


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Transformada

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Conforme visto anteriormente, a estrutura de decomposicao definida

na DWT normalmente envolve apenas a operacao sequencial sobre oscoeficientes de aproximacao, o que proporciona uma crescenteresolucao em baixas frequencias.

Se for necessario explorar mais detalhadamente tambem outrasregioes do espectro, pode-se modificar a estrutura da DWTtradicional, dando origem ao que se chama Wavelet PacketDecomposition(ou WPD):



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Com a WPD o espectro de frequencias pode ser mapeado demodo regular:

Exemplo DWT


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Tempo-Frequencia

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Exemplo - DWT

Considerando um sinal acustico de curta duracao como:

0 0.05 0.1 0.151

0.5

0

0.5

1

Time (s)

Amplitude(V)

a

b

c

E realizando-se uma decomposicao do tipo DWT:

X[k] d [k]1

h [k]1

d [k]2

h [k]2

...

...

d [k]m

h [k]m

2 2 2

Exemplo DWT


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Exemplo - DWT

Apos 5 nveis sequenciais de decomposicao chega-se a:

0 500 1000 1500 2000 2500 30000

0.05

0.1

Signal

0 500 1000 15000

0.05

0.1

d1

0 100 200 300 400 500 600 7000

0.050.1

d2

0 50 100 150 200 250 300 3500

0.05

0.1

d3

0 50 100 1500

0.05

0.1

d4

0 20 40 60 800

0.05

0.1

Number of points

d5

A cada nvel o sinal e sub-amostrado por um fator de 2 e representaas informacoes de frequencias mais baixas.


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Aplicacoes da Transformada Wavelet Discreta

Aplicacoes da DWT


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Aplicacoes da DWT

Entre as principais aplicacoes da DWT (e da WPD) pode-semencionar:

- Extracao de Caractersticas

- Remocao de Rudo

- Compressao de Sinais

No exemplo mostrado no Slide 31, a DWT foi utilizada paraextrair caractersticas do sinal acustico.

Naquela aplicacao, os coeficientes de aproximacao de ordem 5foram utilizados para inferir informacoes acusticas a respeito dacondicao de operacao de um transformador auto-regulado(OLTC - On-Load Tap Changer).

Wavelet Denoising


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Analise de

Fourier deTempo Curto


Transformada

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Wavelet Denoising

O processo de filtragem de rudo utilizando wavelets (conhecidocomo Wavelet Denoising), pode ser resumido pelo diagrama aseguir:

A etapa patamar se refere a eliminacao dos coeficientes dedetalhe dk[n] que sejam inferiores a um valor limitepre-estabelecido:

dk[n] = 0, dk[n]

m

dk[n], dk[n]> m

= Escolha de m:- quanto menor m, menor a intensidade da filtragem;

- com valores muito elevados de m pode-se acabar

eliminando o sinal de interesse.

Wavelet Denoising - Exemplo


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Analise de



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Wavelet Denoising Exemplo

Sinais original, ruidoso e filtrado com Wavelet Denoising:

Compressao da informacao com Wavelets


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Compressao da informacao com Wavelets

De modo analogo ao realizado no processo de remocao de rudo,a compressao da informacao usando Wavelets pode ser realizadaa partir da eliminacao de um conjunto de coeficientes pouco

representativos da informacao de interesse.

O sinal compactado (com menor numero de coeficientes) podeser utilizado para reconstruir a informacao atraves datransformacao wavelet inversa.

Para compactacao podem ser utilizados esquemas DWT ouWPD.


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Analise de



Transformada

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Conclusoes

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Analise de



Transformada

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Conclusoes

Para analisar adequadamente sinais com caractersticas variantes notempo e preciso fazer uso de extensoes dos metodos tradicionais.

O processamento deve ser capaz de descrever o sinal durante todo operodo de analise.

Para esse objetivo pode-se utilizar a analise tempo-frequencia.

Observamos que a analise tempo-frequencia pode ser executadausando a STFT (transformada de Fourier de tempo curto) ou atransformada Wavelet.

Nas analises tempo-frequencia ha uma relacao de compromisso entreas resolucoes possveis nos domnios do tempo e da frequencia.

A analise via STFT apresenta resolucao tempo-frequencia fixa,enquanto a analise wavelet permite uma analise multi-resolucao.

Bibliografia Consultada


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Transformada

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g

Na elaboracao destes slides foram utilizadas as fontes a seguir:

- MALLAT, S. Wavelet Tour of Signal Processing, TheSparse Way, Academic Press, 2008.

- DINIZ, P. S. R., da SILVA, E. A. B. e LIMA NETTO, S.

Processamento Digital de Sinais. Bookman, 2004.

- MITRA, S., Digital Signal Processing, Bookman, 2005.

- WEEKS, M. Processamento Digital de Sinais, LTC, 2011.

- ANTONIOU, A., Digital Signal Processing, McGraw-Hill,2006.

Algumas figuras foram retiradas na ntegra das referenciasacima.

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