Processamento Digital de Sinais

Sistemas Lineares 

Prof. Dr. Carlos Alberto Ynoguti

Sinais e Sistemas

Sinal: descrição de como um parâmetro varia com outro.Exemplo: tensão variando com o tempo em um circuito elétrico, brilho variando com a distância em uma imagem.

Sistema: qualquer processo que produz um sinal de saída em resposta a um sinal de entrada. Os sistemas podem ser contínuos ou discretos, dependendo do tipo de sinal que lidam.

Algumas convenções

Sinais contínuos usam parênteses: x(t), X(f)

Sinais discretos usam colchetes: x[n], X[f]

t :  tempo contínuo

n :  tempo discreto (nT, T:período de amostragem)

letras minúsculas: domínio do tempo

letras maiúsculas: domínio da frequência

Condições para a linearidade

Condições necessárias para que um sistema seja considerado linear:Homogeneidade

Aditividade

Adicionalmente, os sistemas lineares possuem as seguintes propriedades:

Linearidade estática

Fidelidade senoidal 

As propriedades abaixo são geralmente encontradas em sistemas lineares, mas podem ser encontradas em qualquer sistema:

Memória

Invariância no tempo

Homogeneidade

Sistema

Sistema

x [n ] y [n ]

kx [n ] ky [n ]

Se

Então

Aditividade

Sistema

Sistema

x1[n] y1[n ]

x1[n ]x2[n ] y1[n ]y2[n ]

Se

então

Sistema

x2[n ] y2[n ]

e se

Linearidade estática

Define a relação entre entrada e saída de um sistema quando temos um nível DC na entrada.

Para sistemas lineares, esta relação é uma reta.

Exemplos:

v

i R1

R2

R1 < R2

sistema linear

v

i

Diodosistema não linear

Fidelidade senoidal

Se a entrada de um sistema linear é uma senóide, a saída também uma senóide, com a mesma frequência do sinal de entrada.

As senóides são as únicas formas de onda com esta propriedade.

Um sistema linear pode mudar a amplitude e a fase de uma senóide de entrada, mas nunca a sua frequência.

SistemaLinear

Memória

Nos sistemas sem memória, a saída depende apenas do valor atual da entrada.

Exemplos: resistores.

Nos sistemas com memória, a saída depende não só da entrada, mas também do estado do sistema (saídas anteriores).

Exemplos: capacitores e indutores.

Existem sistemas lineares sem memória (por exemplo amplificadores) e com memória (por exemplo atrasadores).

Invariância no Tempo

A invariância no tempo não é condição necessária à linearidade, mas a maioria dos sistemas lineares apresenta esta propriedade.

Sistema

Sistema

x [n ] y [n ]

x [n−s ] y [n−s ]

Se

então

Comutatividade

Os sistemas lineares apresentam a propriedade de comutatividade.

Se

então

SistemaA

x [n ] y [n ]Sistema

B

SistemaB

x [n ] y [n ]Sistema

A

Superposição: o fundamento do PDS

O sinal a ser processado é decomposto em componentes simples,

Cada componente é processada separadamente,

Os resultados são agrupados para compor a saída do sistema.

Esta abordagem é extremamente poderosa, pois permite quebrar um problema extremamente complicado em vários problemas de simples resolução.

A superposição só pode ser aplicada a sistemas lineares, razão pela qual este tipo de sistema é tão importante.

Análise e Síntese

+

+

decomposição

síntese

Síntese: combinação de sinais através de adição e escalonamento.

Análise: decomposição de sinais como a soma de dois ou mais sinais.

Síntese e Decomposição

Existem inifinitas formas de decompor um sinal, mas apenas uma síntese possível de vários sinais.

Exemplo:

Síntese: 15+25=40

Decomposição: 40 = 39+1

            = 38+2

            = ­30,5+60+10,5

Um exemplo prático: filtragem

Sistema

Sistema

Sistema

Sistema

x [n ] y [n ]

x2[n ]

x3[n]

x5[n ]

y2[n ]

y3[n ]

y5[n ]

Conclusão

Objetivo: substituir um problema complicado por vários problemas simples.

Se a decomposição não simplificar a situação de alguma forma, então não haverá ganho.

Decomposições mais utilizadas: 

Impulsos  senóides (análise de Fourier)

Wavelets  degrau

par/ímpar  entrelacada

Decomposição por degraus

Quebra um sinal de N amostras em N componentes

Cada componente é um degrau: as primeiras amostras são nulas, e as demais assumem algum valor constante e não nulo.

A decomposição por degraus caracteriza os sinais pela diferença entre amostras adjacentes.

Caracteriza o modo como os sistemas respondem a mudanças no sinal de entrada

Exemplo: x[n]={1,2,4,3}x[n] = 1u[n] + 1u[n­1] + 2u[n­2]­1u[n­3]­3u[n­4]

Decomposição entrelaçada

Quebra o sinal em dois: Sinal com as amostras de índice ímpar

Sinal com as amostras de índice par

Base para o algoritmo da Fast Fourier Transform (FFT).

Exemplo: x[n] = {3,2,1,5,4,3,6,7,9}

xímpar[n] = {3,1,4,6,9}

xpar[n] = {2,5,3,7}