Processamento Digital de Sinais - ENG420 · Processamento de Sinais e a representa˘c~ao,...

Processamento Digital de Sinais - ENG420

Prof. Dr. Fabrıcio Simoes

IFBA

22 de julho de 2016

Prof. Dr. Fabrıcio Simoes (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG420 22 de julho de 2016 1 / 42

Parte I

Conceitos Basicos


Conceitos Basicos

Sinal : Funcao (ou uma grandeza fısica) de uma ou mais variaveis quetransporta algum tipo de informacao.

Exemplos

Sinal de voz, de vıdeo, de um sensor, sinal de recepcao e de transmissao,sinal dos sensores de pressao, de temperatura, sinais medicos, entre outros.

Processamento de Sinais e a disciplina que estuda como os sinais serelacionam e, principalmente, como manipular os sinais de forma a seobter um resultado desejado (Nalon, 2014).

Processamento de Sinais e a representacao, transformacao e amanipulacao de sinais e da informacao que os sinais contem(Oppenheim, 2012)


Sinais Discretos

Os sinais discretos (ou sinais de tempo discreto) sao representadosmatematicamente como uma sequencia de numeros. (Oppenheim, 2012).Exemplo : x [n] = {. . . , x [−2], x [−1], x [0], x [1], x [2], . . .}

Essa sequencia pode ser obtida a partir da amostragem de um sinalanalogico, conforme

x [n] = x(nT ) = x(t)|t=nT

C/D

Conversãox(t) x[n] = x(nT )

Tempo de Amostragem (T)

X(ω) Xd(ω)


Conversao Analogico-Digital

Etapas: Amostragem (Sample and Hold), Quantizacao e Codificacao.

1 0 1 1 0 1 1 1

TT t

Sample and

Hold (S/H)

x(t) xo(t) Quantizacao / bits

Codificacao

x(t) xo(t)

t t

bits

Sample and Hold

Cada amostra = palavra digital;

Sequencia digital : 1011 0111;

Representacao Matematica: Sinal discreto x(T ) x(2T ).


Quantizacao e Codificacao.

O valor das amostras de sinal na saıda do circuito Sample and Holdsao aproximadas para um conjunto finito de L valores, chamados denıveis de quantizacao.

1,36 V

1,45 V

−0,85 V

−0,91 V

4 amostras do sinal xo(t)

Quantização

1,4 V

−0,9 V

−0,8 V

sinal quantizado

(Aproximação)

L Nıveis de Quantizacao : {...; 1,4V; -0,9V; -0,8V; ...}.Codigo Binario : {(10), (11) e (01) }


Conversores A/D - Comerciais

Relacao sinal-ruıdo de quantizacao

SNRq =L2q2/4

q2/12= 3L2,

considerando a potencia de pico do sinal analogico.

Padroes Comerciais:

Padrao Comercial Freq. de Amostragem Nbits Nıveis de Quantiz.

CD 44100 Hz 16 65536

Voz 8000 Hz 8 256

Arduino 9600 Hz 10 1024

DSP Texas C6416 96000 Hz 16 65536


Parte II

Transformada de Fourier DTFT


A ideia da Transformada

Transformar : Mudar o domınio da variavel.

f (x) G(y)

T [.]

T−1[.]

Transformada Direta

Transformada Inversa

Laplace, Fourier, Z, Wavelet, ...


Mas, vamos comecar com a Serie de Fourier

Considere o sinal periodico abaixo com perıodo Nx(nT )

n

N amostras

1

A sua Serie de Fourier e dada por

x(nT ) =N−1∑

m=0

cmdejmωonT

E os coeficientes cmd dados por

cmd =1

N

N−1∑

n=0

x(nT )e−jmωonT

Como a serie de Fourier pode ser aplicada a sinais nao-periodicos ?


Efeito do Aumento do Valor de N

Considerando o aumento do perıodo N, qual o efeito sobre o sinal ?

x(nT )

n

N amostras

1


Efeito do Aumento do Valor de N

Considerando o aumento do perıodo N, qual o efeito sobre o sinal ?

x(nT )

n

N = ∞

1

Fazendo N →∞, o sinal x(nT ) torna-se nao periodico.


Qual o Efeito sobre a Serie de Fourier ?

Os coeficientes cmd estao associados a frequencia mωo . Por isso, considerea equacao

cmd =1

N

N−1∑

n=0

x(nT )e−jmωonT

Multiplicando ambos os lados da equacao por N, temos

Ncmd =

(N−1)/2∑

n=−(N−1)/2

x(nT )e−jmωonT

Definindo Ncmd como a funcao Xd(mωo), obtem-se

Xd(mωo) =

(N−1)/2∑

n=−(N−1)/2

x(nT )e−jmωonT (1)


Obtendo a Transformada Direta de Fourier

Sabendo que

ωo =2π

NT,

quando N →∞ e ωo → dω, a equacao

Xd(mωo) =

(N−1)/2∑

n=−(N−1)/2

x(nT )e−jmωonT

torna-se a Transformada Direta de Fourier

Xd(ω) =∞∑

n=−∞x(nT )e−jωnT


Transformada de Fourier: Exercıcio

Determine a Transformada de Fourier do sinal x(nT ) = anTu(nT ),0 < a < 1.

Grafico de |Xd(ω)|.

-3 -2 -1 0 1 2 3

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Frequencia

Esp

ectr

o


Comportamento da Funcao Xd(ω)

Periodicidade

Xd(ω) = Xd

(ω ± k

2π

T

)

-5 0 5

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Frequencia

Espectr

o


Obtendo a Transformada Inversa de Fourier

A seguir, considere a equacao de sıntese do sinal x(nT ) a partir doscoeficientes cmd

x(nT ) =N−1∑

m=0

cmdejmωonT , (2)

em que cmd = Xd (mωo)N , ou seja:

x(nT ) =1

N

N−1∑

m=0

Xd(mωo)e jmωonT

e como N = 2πωoT

, a equacao e reescrita como

x(nT ) =T

2π

N−1∑

m=0

Xd(mωo)e jmωonTωo .


Obtendo a Transformada Inversa de Fourier

Quando N →∞, ωo → dω. Portanto,

x(nT ) = limN→∞

T

2π

N−1∑

m=0

Xd(mωo)e jmωonTωo =T

2π

∫ ∞

0Xd(ω)e jωnTdω

Mas, como Xd(ω) se repete a cada 2π/T , entao x(nT ) e calculado nointervalo de Nyquist, obtendo a Transformada Inversa de Fourier

x(nT ) =T

2π

∫ 2π/T

0Xd(ω)e jωnTdω

ou

x(nT ) =T

2π

∫ π/T

−π/TXd(ω)e jωnTdω


Qual o significado de Xd(ω) ?

A Transformada Inversa e obtida a partir de

x(nT ) = limN→∞

T

2π

N−1∑

m=0

Xd(mωo)e jmωonTωo .

Qual a unidade de Xd(mωo) ? Ou equivalentemente de Xd(ω) ?

x(nT ) = limN→∞

[T

2πXd(0)ωo +

T

2πXd(ωo)e jωonTωo + . . . .

]

Xd(ω) e uma densidade. Uma concentracao de tensao (V/rad/s) ou decorrente(A/rad/s) ao longo da frequencia.


Propriedades da Transformada de Fourier

Linearidade

ax(nT ) + by(nT )F↔ aXd(ω) + bYd(ω)

Deslocamento no Tempo e na Frequencia

x((n ± no)T )F↔ e±jωnoTXd(ω)

y(nT ) = x(nT )e±jωonT F↔ Yd(ω) = Xd(ω ∓ ωo)



Reflexao no Tempo

x(nT )F↔ Xd(ω)

x(−nT )F↔ X ∗d (ω)

Teorema da Convolucao

x(nT )⊗ h(nT )F↔ Xd(ω)Hd(ω)



Produto no Tempo

x(nT )y(nT )F↔(Xd(ω)⊗ Yd(ω)

2π/T

)

Teorema de Parseval

Ex =∞∑

n=−∞|x(nT )|2 =

T

2π

∫ π/T

−π/T|Xd(ω)|2dω


Propriedade e Criterio de Convergencia da Trasformada deFourier

Periodicidade

Xd(ω) = Xd

(ω ± k

2π

T

)

Convergencia da Transformada de Fourier∞∑

n=−∞|x(nT )| <∞


Exercıcios

1 Determine a Transformada de Fourier dos sinais abaixo:

1 x [n] = δ[n − no ]

2 Sabendo que F [x(nT ) = k] = k 2πT δ(ω), determine a Transformada de

Fourier dex(nT ) = ke jmωonT

3 x(nT ) = cos(ωonT )

4 x(nT ) = [anTu(nT )] cos(ωonT )


Transformada de Fourier de um Sinal Periodico

Considere a Serie de Fourier

x(nT ) =N−1∑

m=0

cmdejmωonT

Aplicando Transformada de Fourier sobre x(nT )

Xd(ω) = F[N−1∑

m=0

cmdejmωonT

]=

N−1∑

m=0

cmdF[e jmωonT

],

Obtem-se :

Xd(ω) =2π

T

N−1∑

m=0

cmdδ(ω −mωo),

no qual

cmd =1

N

N−1∑

n=0

x(nT )e−jmωonT


Exercıcio

Qual a Transformada de Fourier do sinal abaixo ?

x(nT )

n4 8-4-8

1

. . .. . .


Parte III

Amostragem


Amostragem de Sinais Contınuo no Tempo

1 Uma sequencia de amostras e obtida a partir de sinais contınuos notempo de acordo com a relacao

x [n] = x(nT ) = x(t)|t=nT ,

no qual T e o tempo de amostragem e ωa = 2π/T , frequencia deamostragem.

2 Representacao Ideal do Conversor Contınuo-Discreto.

C/D

Conversãox(t) x[n] = x(nT )


X(ω) Xd(ω)


Sinal xs(t)

Sinal xs(t) - representacao no tempo contınuo de um sinal discreto.

Figura: Oppenheim. Discrete Time Signal Processing.


Qual a relacao entre X (ω) e Xd(ω) ?

Inicialmente, considere o sinal xs(t)

xs(t) = x(t)r(t) = x(t)∞∑

n=−∞δ(t − nT )

xs(t) =∞∑

n=−∞x(t)δ(t − nT )

Representacao Contınuo do Sinal x(nT ).

xs(t) =∞∑

n=−∞x(nT )δ(t − nT )

De acordo com a equacao, xs(t) e uma representacao contınua notempo do sinal discreto x(nT ).


Relacao entre Xs(ω) e Xd(ω) ?

Aplicando a Transformada de Fourier para sinais contınuos sobrexs(t), obtem-se

Xs(ω) = F [xs(t)] = F[ ∞∑


]




Xs(ω) = F [xs(t)] = F[ ∞∑


]

Xs(ω) =∞∑

n=−∞x(nT )F [δ(t − nT )]




Xs(ω) = F [xs(t)] = F[ ∞∑


]

Xs(ω) =∞∑

n=−∞x(nT )F [δ(t − nT )]

Xs(ω) =∞∑

n=−∞x(nT )e−jωnT = Fd [x(nT )]




Xs(ω) = F [xs(t)] = F[ ∞∑


]

Xs(ω) =∞∑

n=−∞x(nT )F [δ(t − nT )]

Xs(ω) =∞∑

n=−∞x(nT )e−jωnT = Fd [x(nT )]

O termo em vermelho da equacao anterior corresponde aTransformada de Fourier do sinal x(nT ), ou seja

Xs(ω) = Xd(ω)


Relacao entre X (ω) e Xd(ω)

Mas, qual a relacao entre X (ω) e Xs(ω) ?

Considere xs(t) = x(t)r(t) e aplique Transformada de Fourier.

Xs(ω) = F [x(t)r(t)] = Xd(ω)





Xs(ω) = F [x(t)r(t)] = Xd(ω)

Xd(ω) =X (ω) ~ R(ω)

2π,R(ω) =

2π

T

∞∑

k=−∞δ(ω − kωa).





Xs(ω) = F [x(t)r(t)] = Xd(ω)

Xd(ω) =X (ω) ~ R(ω)

2π,R(ω) =

2π

T

∞∑

k=−∞δ(ω − kωa).

Resolvendo a convolucao, obtem-se

Xd(ω) =1

T

∞∑

k=−∞X (ω − kωa)


Representacao Grafica entre Xd(ω) e X (ω)

1 Para compreender o comportamento da equacao

Xd(ω) =1

T

∞∑

k=−∞X (ω − kωa),

considere um sinal x(t) cuja Transformada de Fourier e mostradaabaixo

ω

X(ω)

1

ωmax−ωmax


Relacao entre as Frequencias de Amostragem (ωa) eMaxima do Sinal (ωmax)

1 Para ωa > 2ωmax .

ω

Xd(ω)

ωmax−ωmax

1/T1/T

1/T

ωa−ωa

−π/T π/T

Intervalo de Nyquist

......

2 Criterio de Analise: Preservacao do espectro original de x(t).


Relacao entre as Frequencias de Amostragem (ωa) eMaxima do Sinal (ωmax)

Para ωa < 2ωmax .

��

��

��

��

ω

Xd(ω)

ωmax−ωmax

1/T1/T

1/T

ωa−ωa

......

aliasing

Devido ao aliasing, o espectro de frequencia original do sinal nao epreservado.


Teorema da Amostragem

Um sinal contınuo x(t) limitado em banda somente pode serrecuperado a partir de suas amostras se a frequencia de amostragemωa for no mınimo igual ao dobro da frequencia maxima ωmax .

ωa ≥ 2ωmax


Filtro Anti-Alias

Se o sinal contınuo x(t) nao for limitado em banda e necessario usarum filtro Anti-Alias;

Filtro Anti-Alias e usado para limitar a largura de banda do sinalcontınuo x(t) e assegurar o cumprimento do teorema da Amostragem.

C/Dx(t) x(nT ) = x[n]x(t)Filtro

Anti-Alias

ωc1ω

|Hanti(ω)|T

Hanti(ω) =

1 se |ω| < ωc1 ≤ π/T ;0 se |ω| ≥ ωc1.


Recuperacao do Sinal: Conversor D/C Ideal

D/C

Conversão

xr(t)x(nT ) = x[n]

Conversor

Sequencia / Trem

de Impulso

Estagio 1 Estagio 2

Hr(jω)xs(t) xs(t) = ∑∞

n=−∞ x(nT )δ(t− nT )

xr(t) = hr(t) ∗ xs(t)

xr(t)x[n] = x(nT )


Conversor Discreto / Contınuo Ideal

T


Conversor D/C : Analise no Domınio da Frequencia

Influencia da resposta em frequencia do filtro de recuperacao

ωa − ωmax

ω

Xd(ω) = Xs(ω)

ωmax−ωmax

1/T1/T

1/T

ωa−ωa

−π/T π/T

Hr(ω)

T

ωc−ωc

......

Equacoes da resposta em frequencia do filtro Hr (ω) e do sinalrecuperado Xr (ω).

Hr (ω) =

{T se |ω| ≤ ωc ;0 se |ω| > ωc .

Xr (ω) = Hr (ω)Xs(ω)


Processamento Discreto de Sinais Contınuos

D/C

ConversãoConversão

C/D

yr(t)

y[n] = y(nT )x[n] = x(nT )

x(t)

T T

Hd(ω)

Sistema Discreto

X(ω) Yr(ω)

Xd(ω) Yd(ω)

Hr(ω)

Qual a relacao entre X (ω) e Yr (ω) ?

Analisando a partir da saıda yr (t).

Yr (ω) = Hr (ω)Yd(ω)


Processamento Discreto de Sinais Contınuos

O sistema discreto tem resposta em frequencia Hd(ω), ou seja

Yr (ω) = Hr (ω)Hd(ω)Xd(ω)

Xd(ω) depende de X (ω) conforme a equacao

Xd(ω) =1

T

∞∑

k=−∞X (ω − kωa)

Considerando o filtro ideal Hr (ω) = T p/ |ω| ≤ ωc . A equacaoanterior e reescrita como

Yr (ω) = Hd(ω)X (ω)

Os sinais contınuos x(t) e y(t) sao modificados pelo sistema Hd(ω).


Exemplo

Determine a frequencia de amostragem ωa;

Esboce Yr (ω) sem o sistema Hd(ω);

Esboce Yr (ω) com o sistema Hd(ω).

D/C

ConversãoConversão

C/D

yr(t)

y[n] = y(nT )x[n] = x(nT )

x(t)

T T

Hd(ω)

Sistema Discreto

X(f ) Yr(f )

Xd(f ) Yd(f )

Hr(ω)

2000-2000 ω

1X(ω)

1000-1000 ω

1

Hd(ω)


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