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3 de Maio de 2004 1 SISTEMAS DE PROCESSAMENTO DIGITAL Departamento de Informática 2003-2004 Manuel A. E. Baptista Ernesto R. Afonso Instituto Superior Politécnico de Viseu Escola Superior de Tecnologia de Viseu Curso de Engenharia de Sistemas e Informática Manuel A. E. Baptista, Eng.º Processamento Digital de Sinal Aula 12 4.º Ano – 2.º Semestre
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Instituto Superior Politécnico de ViseuEscola Superior de Tecnologia de ViseuCurso de Engenharia de Sistemas e Informática
Manuel A. E. Baptista, Eng.º
Processamento Digital de SinalAula 124.º Ano – 2.º Semestre
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Programa:
1. Introdução ao Processamento Digital de Sinal
2. Representação e Análise de Sinais
3. Estruturas e Projecto de Filtros FIR e IIR
4. Processamento de Imagem
5. Processadores Digitais de Sinal
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Bibliografia:Processamento Digital de Sinal:•Sanjit K. Mitra, “Digital Signal Processing – A computer based approach”, McGraw Hill, 1998 Cota: 621.391 MIT DIG•Roman Kuc, “Introduction to Digital Signal Processing”, McGraw Hill, 1988.Cota: 621.391 KUC INT•Johnny R. Johnson, “Introduction to Digital Signal Processing”, Prentice-Hall, 1989.Cota: 621.391 JOH INTG. Proakis, G. Manolakis, “Digital Signal Processing – Principles, Algorithms Applications”, 3ª Ed, P-Hall, 1996.Cota: 621.391 PRO DIG•James V. Candy, “Signal Processing – The modern Approach”, McGraw-Hill, 1988Cota: 621.391 CAN SIG•Mark J. T., Russel M., “Introduction to DSP – A computer Laboratory Textbook”, John Wiley & Sons, 1992.Cota: 621.391 SMI INT•James H. McClellan e outros, “Computer-Based Exercises - Signal Proc. Using Matlab 5”, Prentice-Hall, 1998.Cota: 621.391 MCC COM
Processamento Digital de Imagem:•Rafael C. Gonzalez & Richard E. Woods, “Digital Image Processing ”, Prentice Hall, 2ª Ed., 2002.Cota: 681.5 GON DIG. •I. Pittas H. McClellan e outros, “Digital Image Processing Algorithms and Applications”, John Wiley & Sons, 2000. Cota: 621.391 PIT. •William K. Pratt, “Digital image processing”, John Wiley, 2ª Ed, 1991. Cota: 681.5 PRA DIG •Bernd Jãhne, “Digital image processing : concepts, algorithms, and scientific applications”, Springer, 1997. Cota: 681.5 JAH
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Avaliação:A avaliação é composta pela componente teórica e componente prática
ponderadas da seguinte forma:
Classificação Final = 80% * Frequência ou exame + 20% * Prática
O acesso ao exame não está condicionado embora não tenha função de melhoria, ou seja, se o aluno entregar a prova de exame, será essa a classificação a utilizar no cálculo da média final independentemente da nota da prova de frequência obtida.
A avaliação prática é constituída por trabalhos laboratoriais a executar em MATLAB
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Filtros FIR e IIR
• Projecto de Filtros FIR– Windowed Impulse Response– Formas de Janelas– Projecto através de Optimização Iterativa
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Projecto de Filtros FIR - Windowed Impulse Response
• Filtros FIR– Sem pólos (apenas zeros)– sem precedências no projecto de filtros analógicos
• Aproximações– windowing ideal impulse response– projecto iterativo (ajuda computacional)
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Projecto de Filtros FIR - Windowed Impulse Response -Least Integral-Squared Error• Dada a FT Hd(ejω) desejada, qual é a melhor ht[n]
finita que a aproxima?
• Pode-se tentar minimizar o Integral Squared Error (ISE) das respostas em frequência:
Melhor em que aspecto?
φ = 12π Hd e jω( )− Ht e jω( )2
dω−π
π∫= DTFT{ht[n]}
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Projecto de Filtros FIR - Windowed Impulse Response -Least Integral-Squared Error
• A resposta impulsional ideal é hd[n] = IDTFT{Hd(ejω)}, (normalmente com extensão inifinita)
• Por Parseval, ISE
• Mas: ht[n] só existe para n = -M..M ,
φ = hd n[ ]− ht n[ ]2
n=−∞
∞
∑
⇒ φ = hd n[ ]− ht n[ ]2
n=−M
M
∑ + hd n[ ]2
n<M , n>M∑
Minimizada fazendoht[n] = hd[n], -M ≤ n ≤ M
Não alterada por ht[n]
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Projecto de Filtros FIR - Windowed Impulse Response -Least Integral-Squared Error• Assim, a aproximação do erro médio quadrático
mínimo no ponto 2M+1 do FIR é a IDFT truncada:
• Tornando-o causal atrasando em M pontos→ h't[n] = 0 for n < 0
[ ] ( )outros
j j nd
tH e e d M n M
h nπ ω ω
π πω
−
− ≤ ≤=
∫12
0
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Projecto de Filtros FIR - Windowed Impulse Response -Aproximação a Filtros Ideais
• Um Filtro Passa-Baixoideal tem:
e:
ω−π πωc−ωc
HLP e jω( )=1 ω < ωc
0 ωc < ω < π
hLP n[ ]= sinωcnπn
(duplamente infinito)
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Projecto de Filtros FIR - Windowed Impulse Response -Aproximação a Filtros Ideais• Assim, a aproximação causal com o mínimo ISE,
a um Filtro Passa Baixo Ideal é
[ ]( )
( )outros
sinˆ
c
LP
n Mn M
h n n Mω
π −
≤ ≤= −
0 2
0
2M+1 pontos
Deslocamento causal
0 5 10 15 20 25-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
h LP[n
]
n
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Projecto de Filtros FIR - Windowed Impulse Response –Cálculo da Resposta em Frequência (FR)• Um FPB ideal LPF tem uma FR puramente real FR
i.e.θ(ω) = 0, H(ejω) = |H(ejω)|
→ Pode-se construir uma FR aproximadamente constante, combinando respostas ideais, e.g. FPA:
ω−π πωc−ωc
ω
ω1
1
1
δ[n]–
hLP[n]=
hHP[n]
i.e. H(ejω) = 1
HLP(ejω) = 1 for |ω| < ωc
= δ[n] - (sinωcn)/πnNão
func
iona
seas
fase
sfo
rem
zero
!
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Projecto de Filtros FIR - Windowed Impulse Response -Fenómeno de Gibbs• Os filtros ideais truncados apresentam Gibbs’ Ears:
0 0.2 0.4 0.6 0.8 ω/π-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Ht(e
jω)
129 point
25point
Gibbs ‘ears’Aumentando o comprimento do filtro→ ears mais estreitas(reduz ISE)mas a amplitude é igual
→ não é óptimo pelo critério minimax
(11% overshoot)
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Projecto de Filtros FIR - Windowed Impulse Response -De onde vem o Gibbs?• A Truncagem de hd[n] para 2M+1 pontos significa
a multiplicação por uma janela rectangular:
• A Multiplicação no domínio do tempo é a convolução no domínio da frequência:
ht n[ ]= hd n[ ]⋅ wR n[ ]
wR n[ ]=1 −M ≤ n ≤ M0 otherwise
wR[n]
g[n] ⋅ h[n] 12π
G(e jθ )H (e j(ω−θ ) )dθ−π
π∫
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Projecto de Filtros FIR - Windowed Impulse Response -De onde vem o Gibbs?• Assim, a FR da resposta truncada
é a convolução da FR ideal com a FR da janela rectangular:
ωπ−π
ωπ−π
ωπ−π
∗ =
Hd(ejω) DTFT{wR[n]}sinc periódica...
Ht(ejω)
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Projecto de Filtros FIR - Windowed Impulse Response -De onde vem o Gibbs?• Janela Rectangular:
• A Largura do Lóbulo Principal(∝ 1/L) determina aBanda de Transição
• A altura do Lóbulo Lateraldetermina o ripple
[ ]caso contrarioR
M n Mw n
− ≤ ≤=
10
WR e jω( )= e− jωn
n=−M
M
∑
=sin 2M +1[ ]ω
2( )sin ω
2
“sinc periódica”
⇒
-π -0.5π 0 0.5π π0
WR(ejω)
ω
±2π2M + 1
Mainlobe
Sidelobes
Não varia com o comprimento
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Projecto de Filtros FIR - Formas de Janelas – Filtros
• Resposta Ideal (infinita) do Janelamento→ filtro FIR :
• A janela Rectangular tem o melhor erro ISE• As outras janelas variam em termos do(s):
– Lóbulo Principal → largura da banda de transição– Lóbulos Laterais → tamanho do ripple junto à transição
• Variedade de janelas ‘clássicas…
ht n[ ]= hd n[ ]⋅ w n[ ]
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. . cos( ). cos( )
nM
nM
ππ
+
+
+
+2 1
22 1
0 42 0 46 20 08 2
Projecto de Filtros FIR - Formas de Janelas – Filtros FIR
• Rectangular:
• Hann:
• Hamming:
• Blackman:
[ ]w n M n M= − ≤ ≤1
. . cos( )nMπ ++ 2 10 5 0 5 2
. . cos( )nMπ ++ 2 10 54 0 46 2
Largura duplado lóbulo principal
1.º Lóbulo lateral reduzido
Largura triplado lóbulo principal
grandeslóbulos laterais!
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Projecto de Filtros FIR – Formas de Janelas – Filtros FIR• Comparação na escala em dB:
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 πω
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0 Blackman
Hamming
Hann
Rectangular|W(e
jω)|
/ dB
2π2M+1
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Projecto de Filtros FIR - Formas de Janelas – Janelas ajustáveis
• Têm tradeoffs discretos ao nível do lóbulo principal... • Janela de Kaiser = paramétrica, tradeoff continuo:
• Empiricamente, para mínimo SB aten. de α dB:
w n[ ]=I0 β 1 − ( n
M )2( )I0 (β)
−M ≤ n ≤ MFunção de Besselde ordem zero
modificada
.
. ( . ). ( )
. ( )
α α
αβ α
αα
− < −= ≤ ≤
+ − <
0 4
0 11 8 7 500 58 21 21 50
0 08 210 21
N = α − 82.3∆ω
Ordemnecessária
largurade transição
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Projecto de Filtros FIR - Formas de Janelas – Exemplo dum filtro janelado
• Desenhe um filtro FIR passa-baixo de 25 pontos com freq. de corte de 600 Hz (SR = 8 kHz)
• Sem req. específicos sobre o ripple de transição → compromisso: usa-se a janela de Hamming
• Conversão da frequência para rad/amostra:
ω2π
8 kHzπ
4 kHz0.15 π600 Hz
H(ejω)
ωc = 6008000 × 2π = 0.15π
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Projecto de Filtros FIR - Formas de Janelas – Exemplo dum filtro janelado1. Obtem-se a resposta impulsional do filtro ideal:
2. Usa-se a janela: Hamming em N = 25 → M = 12 (N = 2M+1)
3. Aplica-se a janela:
ωc = 0.15π ⇒ hd n[ ]= sin0.15πnπn
⇒ w n[ ]= 0.54 + 0.46cos 2π n25( ) −12 ≤ n ≤12
h n[ ]= hd n[ ]⋅ w n[ ]= sin0.15πn
πn 0.54 + 0.46 cos 2πn25( ) −12 ≤ n ≤12
-20 -10 0 10 n
h[n]
0
0.05
0.1
0.15
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Projecto de Filtros FIR - Optimização Iterativa
• Pode-se derivar os coeficientes do filtro através de optimização iterativa:
• Gradiente descendente / optimização não linear
Coefs do Filtroh[n]
Aproximação docritério
→ erro ε
Derivadas de estimação
∂ε/∂h[n]
Actualização do filtro para reduzir ε
respostadesejada
H(ejω)
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Projecto de Filtros FIR - Optimização Iterativa - Error Criteria
ε = W ω( )⋅ D e jω( )− H e jω( )[ ]ω ∈ R∫pdω
região demedição do
erro pesodo erro
respostadesejada
respostaactual
expoente:2 → least sq’s∞ → minimax
ω1 ω2 ω3 ω4ω
ω
H(ejω)
W(ω)R
D(ejω)
ωε(ω) = W(ω)·[D(ejω) – H(ejω)]
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Projecto de Filtros FIR - Optimização Iterativa - Filtros FIRMinimax
• Desenho Iterativo de filtros FIR com:– Equiripple (Critério minimax)
– Fase linear → Resposta Impulsional simétrica h[n] = (–)h[-n]
• Note-se, que os filtros FIR simétricos têm FRpuramente real
i.e. combinação de co-senos de freq. múltiplas de ω
n
H e jω( )= e− jωM ˜ H ω( )˜ H ω( )= a k[ ]cos kω( )k=0
M∑a[0] = h[M]a[k] = 2h[M - k]
M
(type I)
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Projecto de Filtros FIR - Optimização Iterativa - Filtros FIRMinimax• Agora, cos(kω) pode ser expresso como um
polinómio em cos(ω)k e com potências mais baixas– e.g. cos(2ω) = 2(cosω)2 - 1
• Assim, podem determinar α’s tal que
Polinómio de ordem M em cosωOs α[k]s estão relacionados simplesmente com os a[k]s
˜ H ω( )= α k[ ] cosω( )kk=0
M∑polinómio de
ordem Mem cosω
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Projecto de Filtros FIR - Optimização Iterativa - Filtros FIRMinimax
• Um polinómio de ordem M tem pelo menos M - 1 máximos e mínimos:
has at most M-1 min/max (ripples)
˜ H ω( )= α k[ ] cosω( )kk=0
M∑ polinómio de ordem M em cosω
-1 -0.5 0 0.5 1
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 πω = 0ω = π
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
cosω
cosω
ω
1
2
3
4
˜ H ω( )
⇒ ˜ H ω( )
polinómio de ordem 5
em cosω
1
2
3
4
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• Ingrediente chave para Parks-McClellan:é a única, a melhor, aprox. pesada minimax de
ordem 2M. para D(ejω)– tem pelo menos M+2 freq. “extremas”
ao longo do subconjunto Rde ω
– o módulo do erro é igual a cada extremo:
– O pico do erro alterna em sinal:
Projecto de Filtros FIR - Optimização Iterativa - Teorema da Alternância
˜ H ω( )
˜ H ω( )ω0 < ω1 < ... < ωM < ωM +1
ε ω i( ) = ε ∀i
ε ω i( )= −ε ωi+1( )
⇔
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Projecto de Filtros FIR - Optimização Iterativa – Teorema da Alternância• Assim, para a resposta em frequência:
0 ωp ωc π
ω2 ω3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ω1ω0 ω4 ω5 ω6
-ε
0
ε
ε
ω
D(ejω) desired frq.resp.
H(ejω) response mag.
ε(ω) error
W(ω)scaled error
bound
band-edge extrema
local min/max extrema
– Se ε(ω) alcança o módulo do pico de erro ε em algum conjunto de frequências extremas ωi
– E o sinal do pico de erro alterna– E temos pelo menos M+2
destes– Então minimax óptima
(10th order filter, M = 5)
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Projecto de Filtros FIR - Optimização Iterativa - Teorema da Alternância• Pelo Teorema da Alternância,
M+2 extremos de alternância sinais ⇒ filtro minimax óptimo
• Mas tem no máximo M-1 extremos⇒ precisa de pelo menos mais 3 a partir dos limites
das bandas• 2 bandas fornecem 4 limites das bandas
⇒ pode passar bem com a “perda” de apenas uma• As regras de Alternância dão-nos os limites das
bandas de transição, assim tem-se 1 ou 2 limites exteriores
˜ H ω( )
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Projecto de Filtros FIR - Optimização Iterativa - Teorema da Alternância
– Para M = 5 (Ordem 10):– 8 extremos (M+3,
4 limites de banda) - bestial!
– 7 extremos (M+2, 3 limites de banda)- OK!
– 6 extremos (M+1, apenas 2 limites da banda de transição)→ Não Óptimo
0 0.2 0.4 0.6 0.8 πω
ω
H1(ω)~
H2(ω)~
H3(ω)~
ω
π
π
0
0.5
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8
0
0.5
1
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0
0.5
1
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EMAS
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AMEN
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l A. E
. Bap
tista
Erne
sto
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fons
o
Projecto de Filtros FIR - Optimização Iterativa - Parks-McClellan Algorithm• Recapitulando:
– FIR CAD limitaçõesD(ejω), W(ω) → ε(ω)
– FIR de Fase Zero H(ω) = Σkαkcoskω → M-1 min/max
– Teorema da Alternânciaóptimo → ≥M+2 picos de erros, alternâncias de sinal
• Mas, como determiná-lo?
~
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Projecto de Filtros FIR - Optimização Iterativa – Algoritmo de Parks-McClellan ~ ~• Alternância → [H(ω)-D(ω)]/W(ω) deve ser = ±ε em
M+2 frequências (desconhecidas) {ωi}...• Actualização Iterativa de h[n] com
Algoritmo de troca de Remez :– estima/prevê M+2 extremos {ωi}– resolve para α[n], ε ( → h[n] )– determina-se o min/max actual em ε(ω) → novo {ωi}– repete-se até |ε(ωi)| ser constante
• Converge rapidamente!
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Projecto de Filtros FIR - Optimização Iterativa - Algoritmo de Parks-McClellan• No Matlab,
>> h=remez(10, [0 0.4 0.6 1],[1 1 0 0],
[1 2]);
Ordem do filtro (2M)Limites das bandas ÷ π
módulo desejadonos limites das bandas
Peso dos errospor banda
-5 0 5-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0 0.5 1
0
0.5
1
-1 0 1 2
-1
-0.5
0
0.5
1h[n] H(ω)
n ω
~
z-plane
