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PROCESSOS ESTOCÁSTICOS

Definições, Principais Tipos, Aplicações em Confiabilidade de

Sistemas

CLARKE, A. B., DISNEY, R. L. Probabilidade e Processos

Estocásticos, Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora,

1979.

CAMARGO, C. C. de, Confiabilidade Aplicada à Sistemas de

Potência, Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora,

Santa Catarina: FEESC, 1981.

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PROCESSO ESTOCÁSTICO

“Fenômeno que varia em algum grau, de forma imprevisível,

à medida que o tempo passa”.

Variação do tráfego em um cruzamento;

Variação diária no tamanho do estoque de uma empresa;

Variação minuto a minuto do índice IBOVESPA;

Variação no estado de um sistema de potência;

Variação no número de chamadas feitas a uma central

telefônica.

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Imprevisibilidade?

A observação de uma seqüência de tempo inteira do

processo, em ocasiões diferentes, sob condições

presumivelmente diferentes:

Seqüências resultantes diferentes.

Comportamento de um sistema para uma seqüência ou

intervalo de tempo inteiro:

O resultado será uma função (ou seqüência de valores) e

não apenas um número.

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Parâmetros do Processo

Para analisar o processo estocástico é preciso especificar o

período de tempo T envolvido: quando ele será observado.

Se T é contínuo, T = {t : 0 ≤ t < ∞):

Trata-se de um Processo Estocástico de Parâmetros

Contínuos: Poisson.

Se T é discreto, T = {0, 1, 2, ...}:

Trata-se de um Processo Estocástico de Parâmetros

Discretos: Séries Temporais em geral.

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Realizações do Processo

A cada ponto t do conjunto T observa-se uma medida ou

variável aleatória Xt.

Se o ponto amostral for indicado por s:

Xt (s) para t T.

Tal função de t é chamada de processo estocástico ou

aleatório.

Uma única função Xt, que corresponde a um único ponto

amostral s é chamada de realização do processo

estocástico.

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Estados do Processo

O conjunto de valores que Xt pode assumir é chamada de

Espaço de Estados, e os valores específicos de Xt em dado

momento são os Estados do Processo.

Se Xt representa alguma contagem: Espaço de Estados

poderia ser uma seqüência finita ou infinita de inteiros.

Processo de Estado Discreto ou Cadeia Aleatória.

Se Xt representa uma medida: Espaço de Estados poderia

ser um intervalo de números reais.

Processo de Estado Contínuo.

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Parâmetros x Estados

Processo de Parâmetros Discretos e Estados Discretos

Estoque de peças em uma loja ao fim da semana.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39

Semana

Qu

an

tid

ad

e

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Parâmetros x Estados

Processo de Parâmetros Discretos e Estados Contínuos

Médias amostrais dos diâmetros de pistões.X-bar: 74,001 (74,001); Sigma: ,00979 (,00979); n: 5,

5 10 15 20 25

73,988

74,001

74,014

9

Parâmetros x Estados

Processo de Parâmetros Contínuos e Estados Discretos

No. de chamadas recebidas por um call-center em 6 horas

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

0 1 2 3 4 5 6

Tempo

Ch

am

ad

as

10

Parâmetros x Estados

Processo de Parâmetros Contínuos e Estados Contínuos

Eletroencefalograma

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Análise de um Processo Estocástico

Para um valor t, Xt será uma variável aleatória que descreve o

estado do processo no tempo t.

Dada qualquer coleção finita t1, t2, ..., tn de tempos, então Xt1,

Xt2, ..., Xtn constituem um conjunto de n variáveis aleatórias com

distribuição conjunta.

A estrutura de probabilidades do processo Xt é totalmente

determinada desde que:

Distribuição conjunta de cada conjunto de variáveis aleatórias

é determinada.

Função de densidade de cada conjunto de variáveis aleatórias

é determinada.

12

Análise de um Processo Estocástico

Consiste em determinar as

distribuições conjuntas e usá-las

para prever comportamento futuro,

dado o comportamento passado.

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Seqüências Independentes

Seqüências de variáveis aleatórias independentes com

distribuições idênticas como resultante de repetições

independentes da mesma experiência aleatória, onde a cada

realização um valor ou medida é associado.

Exemplo: equipamento eletrônico tem um capacitor que é

reposto toda vez que ele falha.

Tempo de vida X: X1, X2,...

Cada valor será positivo: processo de Renovação

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Processos de Nascimento e Morte

Modelam as alterações em uma “população”.

Estado do processo no instante t (Xt) representa o tamanho

da população no instante t.

Exemplos: pacotes presentes em uma rede local, fila com

servidor único.

Assume-se que “nascimentos” e/ou “mortes” múltiplos

ocorrem ao mesmo tempo com probabilidade zero.

As transições ocorrem apenas entre estados vizinhos.

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Processos de Nascimento e Morte

K - 1 K K + 1

1 nascimento

1 morte

1 nascimento

1 morte

16

Processos de Nascimento e Morte

k: taxa de mortes quando a população é k.

k: taxa de nascimentos quando a população é k.

0=0: não há mortes quando a população é zero.

0≥ 0: podem ocorrer nascimentos quando a população é zero.

k Pk = k-1 Pk-1

0k

k 0,1P

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Processo de Poisson

Processo de nascimento puro pois a taxa de nascimento é

constante: .

Pk(t) = [(t) k e - t]/k! Para k≥0 e t≥0.

Probabilidade de haver k nascimentos no intervalo (0,t).

Número médio de nascimentos no intervalo (0,t) = t.

Processo de Parâmetros Contínuos e Estados Discretos.

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Processo de Poisson

Evento: “nenhuma chegada nos primeiros t minutos”

Equivalente à “primeira chegada após o tempo t”.

Seja t uma variável aleatória que represente o tempo de 0

até a 1ª chegada:

P(T > t) = e- t P(T ≤ t) = 1 - e- t = F(T)

f(T) = F(T)/t = e- t

T tem distribuição exponencial: E(T)=1/ V(T)=1/2

tt0

o e!0

e)t()t(P

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Processos de Markov

Processos “sem memória”: probabilidade de Xt assumir um

valor futuro depende apenas do estado atual (desconsidera

estados passados).

P(Xn=xn| X1=x1,X2=x2,...,Xn-1=xn-1) = P(Xn=xn|Xn-1=xn-1)

para n = 0, 1, 2, ...

Seja Xt um processo de Markov, i e j estados, e t tempos:

Pij = P[X( + t) = j | X() = i] ≥ 0 e t ≥ 0

Se Pij independe do tempo então o processo de Markov é dito

ESTACIONÁRIO ou homogêneo.

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Processos de Markov

Parâmetros Estados

Discretos Contínuos

Discretos Cadeias de Markov

com tempo discreto

Processos de Markov

com tempo discreto

Contínuos Cadeias de Markov

com tempo contínuo

Processos de Markov

com tempo contínuo

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Cadeias de Markov

Processo de Markov de parâmetros contínuos e estados

discretos.

Propriedades:

O sistema observado pode ser descrito como estando em um

estado de um conjunto de estados Si, discretos e exaustivos

e mutuamente exclusivos;

Trocas de estado são possíveis em qualquer intervalo de

tempo;

A probabilidade de mais do que uma troca durante um

intervalo infinitesimal de tempo é desprezível.

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Matriz de transição

O conjunto P(Xn|Xn-1) para n = 1, 2, ... constitui as

probabilidades de transição de um passo: probabilidades

iniciais.

Matriz N+1 por N+1 de elementos pij que satisfaz:

pij ≥ 0 ij = 0, 1, 2, ..., N pij = 1 para j=1,...,n e i.

NN1N0N

N11110

N00100

ij

p...pp

............

p...pp

p...pp

pP