Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap I

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  • 8/19/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap I

    1/9

    UNIVERSIDADE

    DE SAO PAULO

    ESCOLA DE ENGENH RI DE

    SAO

    CARLOS

    i

    t f

    m

    l l i i l l l l \ J I l l l JJ

    0 ~ 6 3 ~ 2 0 0

    . . . 11-711,18

    0 634

    t fm

    o )

    b )

  • 8/19/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap I

    2/9

    UNIVERSIDADE DE SÃO PAU LO

    Reitor:

    Roberto Leal

    Lobo

    e

    Silva

    Filho

    Vice Reitor:

    Ruv Laurenti

    Obra produzida

    na Escola

    de Engenharia

    de

    São

    Carlos

    EESC

    Composição

    e Edição:

    CETEPE

    Centro

    de

    Tecnologia

    Educacional para

    Engenharia

    da

    EESC

    Impressão:

    Serviço Grâfico da

    EESC

    ª edição 1995

    UNIVERSIDADE

    DE SÃO PAULO

    ESCOLA

    OE

    ENGENHARIA DE S O CARLOS

    PROCESSOS

    GER IS

    DA

    ' .

    HIPEREST TIC

    CL SSIC

    JOÃO CARLOS

    ANTUNES DE

    O E

    SOUZA

    HELENA M. C. CARMO ANTUNES

  • 8/19/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap I

    3/9

    TOOOS 5

    DIAEITOS RESERV DOS Nos

    termos da

    Lei

    que resguarda

    os

    Direitos Autorais, é proibida

    a

    reprodução total

    ou

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    deste

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    por

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    eletrônico

    ou

    mecânico, inclusive através de

    processos Kerográficos,

    de

    fotocó

    pia e de gravação -

    sell

    per•lssão,

    por

    escrito, do(s) autor(es) .

    Catalogação na

    Fonte

    - Se r

    viço de Bibl

    i

    oteca da

    EESC - USP

    S729p

    SOUZA João

    Carlos Antunes de OI

    iveira

    e

    Processos

    gerais

    da hiperes tát ica

    clãs

    sica/Joâo

    Carlos Antunes

    de

    OI i

    ve

    i ra

    Souza, Helena Maria Cunha do Carmo

    Antu

    nes.

    São

    Carlos:

    Escola de Eng

    enharia

    de

    São

    Carlos, Serviço Gráfico,

    1992.

    346p.

    ISBN 85 -

    85205

    -02

    - 4

    1. Estruturas - Estát ica 1. Ti tulo.

    C

     

    - 624 .1 715

    PREFÁ IO

    Er. te l i v r o  

    como

    o já publicado Processo

    de

    Cross e os em f a se de preparação   Técnicas Computacionais

    na Es t á t i c a

    das Est ruturas

    e I n t rodução à

    I so s t á t i

    c

    a

    pre tende t e r um

    ca rá t e r didát

    i co, apresentando

    os tópicos

    t r a t ados

    se m cornpl cações

    desnecessár ias ,

    mas

    senrlo  

    en t r e t an t o , c onscientemente prol ixo como muitas v e r.es o

    processo

    de ensino

    ne

    c e s s i t a s e r .

    Os

    proce

    s sos

    aqui

    t ra tados

    são

    ge r a i s

    t an to no

    aspecto d apl icabi l idode

    a

    qua lque r

    t i po

    de

    e s t r u t u r a s quanto no de poderem

    s e r

    encarados

    como

    va r i ações duais de

    woa

    mesma

    idé ia ;

    correspondem a a lguns d os

    temas

    abordados

    na

    d i sc ip l ina

    Es t á t i c a das Est ruturas na Escola de Engenharia de São

    ca r lo s ,

    a

    par co

    m

    processos

    de us o r es t r i to , como os de

    Cross de Propagação,

    an t

    ecedendo t odo o desen vo lv imento

    m a t r i ~ a l vi sando a programação em computador.

    São Carlos   março de 1992

    Os Autores

  • 8/19/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap I

    4/9

    r

    N D 1

    e

    E

    1. 1

    NT

    ROOUÇÃO · · · • · · · · · · · • · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

    l

    1 . OBJETIVOS l.ERA IS

    • • . . . . . . • . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . 1

    1 2 . ESTRUTLJRllS LI NF ARF S . . . . . . . . . 2

    I .3 .

    O MÉTODO

    CLÁSS

    TCO

    2

    1 li ~ [ J l F . H P n ~ ; 1 ç i i o IW F

    FE

    o ~ : 7

    2 O PR

    NCfP

    O DOS

    TR

    ARALHOS RTLJA1S F SUAS

    API

    1

    CACõFS

    9

    2 . 1 . CONSTDERAÇÕFS

    GF

    RAIS

    • • • • • •

    ••

    9

    2 . 2. o PRINC1

    PIO

    Dor; THABALHOS VIR fl l l \ IS . . . . . . . . . . . J

    2 . 1 . POSSIBILIDADES DE J\PLICAÇÃO DO

    PRTNCiPTO

    DOS

    TRABALllOS V IR Tlll\ I S . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 l

    2.1 .1 .

    Cálculo

    de

    deslocamentos em

    e s t ru tu ra s

    i s o s t á t i c a s

    . .

    . . . . . . . . . . . . . . . . .

    . . . .

    . . . .

    22

    2 . 1 . 2 .

    Seleção de

    uma equação de

    e qu i l í b r i

    o

    numa

    e s t r u t u r a i s o s t á t

    i

    ca

    . . . . . . . . . . . . .

    27

    2 .1  l

    o t eorema

    da

    r ec ip roc idade

    d o s

    t rabalh o s

    ou

    Teorema de

    Bet t i

    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    2 .3

    .

    4 .

    O

    t eo rema da r ec ip roc idade dos des loca

    mC ntos

    ou

    Teorema de

    Max

    wr l

    1 . . . . . . . . . . 34

    3. C LCULO DE

    DESLOC MENTOS EM

    ESTRUTUR S ISOST T IC S

    US

    UA i S

    37

    3 . 1 .

    CO

    NSIDERAÇÕE

    S GERAIS

    . • . • . . . • . . . . .

    • • •

    . . . . . • . . . 3 7

    3 . 2 . DESLOCAMENTOS

    EM TRELIÇAS

    PLANAS IDEAIS • . . • . .

    38

    3 . J .

    3 . 2 . 1 . A t r e l i ç a plana

    id e a l . . .

    . .

    . . . . .

    38

    J .2 .2 .

    Exemplo

    l

    J . 2 .3

    .

    Exemplo

    2

    DESLOCAMENTOS EM

    USUAIS

    E

    ST

    RU

    TURAS

    PLANAS FL

    ETIDAS

    J . J .1 . Es t r u t u r a s p lanas

    f l e t i da s

    usuais .

     

    . .

    l . J . 2 . Exe mp l o l In t eg ração a na l í t i c a . . . . . .

    40

    4 9

    55

    55

    63

  • 8/19/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap I

    5/9

    3

    3

    3

    Exemplo 2

    -

    In tegração

    numér ica .

    ......

    3 3 4 Exemplo

    3

    In tegração

    u t i l iz a n d o t a b e l a s

    3

    4 DESLOCAMENTOS

    M

    OUTROS

    TIPOS DE ESTRUTURA

    . ..

    3

    4 .1. o u t r o s Tipos

    us ua i s

    de es t ru tu ra

    3 4 2

    Exemplo

    1

    - Pór t i c o a t i r a n t a d o .

    .......

    3 4 3

    Exemplo 2 Viga com

    vínculos

    e l ás t i co s

    3 4 4 Exemplo 1 Gre lha

    .

    - -

     

    -

    .

    -

     

    4 O

    PRO ESSO

    DOS ESFORÇOS • · · • • · • · · • • • • · · · • • • • · • • • • · ·

    4 1

    CONSIDERAÇÕES GERAIS

    ............•..

    .........

    4 2 O PROCESSO OOS ESFORÇOS APLICADO

    A

    VIGAS .....

    4 2 1

    Detalhes c a r a c t e r í s t i c o s das

    v i ga s

    • . .

    4 2 2 Exemplo

    1

    .•.•.........................

    4 2 2 1

    Resolve r

    a

    viga submetida ao

    carregamento

    dado . . . . . . . . . . .

    4 2 2 2

    Resolve r

    a

    viga

    submetida a

    uma

    66

    72

    84

    84

    84

    87

    90

    95

    95

    101

    101

    103

    104

    va r i a ç ã o de

    t empera tura

    ...••.

    114

    4 2 2 1 Resolver a v i ga submetida are

    calques de apoio.............

    121

    4 2 J Exemplo

    2 •.........

    ...••.. • • ....... .. 128

    4 3

    O PROCESSO DOS ESFORÇOS APLICADO A PóRTICOS

    PLANOS

    4 3 1 Detalhes carac t e r í s t i co s

    dos

    p ó r t i c o s

    planos

    . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    . .......•....

    4 .

    3

    2 Exemplo 1 ..•....................•.....

    4 3 2 1

    Resolver o pór t i co submetido ao

    carregamento dado

    •.•.........

    4  3   2 2 Resolve r o pór t i co para e f e i t o

    de reca lque de apoio ........

    4 1 2 3 Resolver o p ó r t i c o pa r a e fe i t o

    de var iação de t empera tura ...

    4 . 3 . 3 .

    Exemplo

    2

    •.•................

    .

    .........

    4 4

    O PROCESSO DOS ESFORÇOS APLICADO A GREI J{AS ...

    134

    134

    136

    138

    142

    144

    149

    1

    57

    4 4 1 .

    Deta lhe

    s carac t e r í s t i co s das qre lhas .. 157

    4   4 2

    xemplo

    1 . .... .   .

    .. .

    . -

     

    · · · · · · ·

    4 4

    3

    xemplo 2 . . . . ..... - -   · · · · · · · · · · · · · · · · ·

    4 .

    4 4 Cálculo de gre lhas

    desprezando a r ig idez

    à t o r ç ã o

    das

    bar

    ras

    .. .

    .

    .. .

    . .... .

    ·· ·

    · · ·

    4 4

    5

    Exemplo 3 ......... . ....   .... .. ....   .

    4

    5

    O PROCF.SSO

    DOS

    F.SFORÇOS APLTCADO

    AOS ARC OS . . .

    161

    165

    169

    176

    181

    4 5 1

    o

    que

    c a r a c t e r iza

    um arco

    . . . .....

    181

    4 .

    ;,>.

    J

    i pos

    u ;11;i i s

    de

    a r-co ;

    .

     

    • .  

    4

    5 . 3 .

    Exemplo de def in

    .i

    ção de eixos de a r cos

    4 5 4

    Fo rmu lár io s pa ra a r

    co

    s h i perestáL ic os

    usua i s .. . .

    ........   ....

    - · · · · · · · · · · · ·

    4 5  4 1 Convenções

    .. .

    . .. . .. .. . .... . . .

    4 5 4 . 2 Arco b i a r t i c u l a d o s i mé t r i c o . .

    4 5 4 3

    .

    Arco

    a t i ran tado

    s i mé t r i c o

    . .  

    4 5 4 4

    .

    Arco biengas tado s i mé t r i c o

    4 5 5

    Caso

    s usuais

    de

    in te g

    r ação

    em

    a rcos

    4

    5

    6 .

    Exemplo

    1

    -

    In tegração an a l í t i ca

    .....

    4 5 7 . Exemplo 2

    - In tegração numérica

    4 5 8 Exemplo 3

    -

    Variação imposta de

    EI ....

    4

    5

    9 .

    Exemplo 4

    -

    Arco pr ismát ico

    por

    t rechos

    4 5 10 Exemplo 5

    -

    Adaptação para

    pór t i cos

    s i mé t r i c o s

    4 5  11 0bservações adic iona i s .   ..... . .. . . .

    4  6 O PROCESSO DOS ESFORÇOS

    APLI

    CADO ÀS l REI. IÇAS

    PLANAS IDEAIS

    . ........   .............

    .....

      .

    4 6

    . 1 .

    Detalhes

    ca

    r a c t e r í s t i cos

    da

    t r e l i ç a

    plana idea l ..

    . . . .

    ..

    .

     

    .

    .....

    . .. .

     

    .

    ..

    4 .

    6 2

    Exemplo

    l .

    .. .

    . .

     

    .. ..

    . .

    .. .

    .....

    . · · · · · ·

    4 7 O PROCESSO

    OS

    ESFORÇOS APLICADO A ESTRUTURAS

    MISTAS

    .........

    . .

    .. .

    .....•

    ...........

    .

    .....

    4 7

    l.

    Est ru turas mistas usuais . . .. . . ...... . .

    4 . 7 . 2 Exemplo l - Viga sobre

    apoios

    e lá s t i co s

    4

    7 3

    .

    Exemplo

    2 -

    Pór t ico t r e l i ç a d o .. .

    . .

    ··

    1 87

    188

    188

    1 90

    1 95

    199

    20

    8

    209

    215

    223

    229

    234

    240

    246

    246

    2

    48

    255

    255

    255

    260

  • 8/19/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap I

    6/9

    5. O PROCESSO DOS

    DESLOC MENTOS

    • • • • · · • • • • • • • • • • · · · · · ·

    267

    5 1

    CONSIDERAÇÕES

    GERAIS

    5 .

    2 .

    EXEMPLO DE

    APLICAÇÃO

    5 . J

    EXEMPLO DE

    APLICAÇÃO

    5 . 4 .

    EXEMPLO

    DE

    APLICAÇÃO

    5 .

    5 .

    EXEMPLO DE

    API.ICAÇÃO

    .............. .

    ............

    A

    VIGAS

    . ..................

    A

    PóRTICOS

    .

    ..............

    A

    TRELIÇAS

    PIANAS

    IDEAIS

    A

    GRELHAS

    . .

    -

    .......

    '

    267

    273

    277

    284

    289

    6. O

    PROCESSO

    M 1STO • . . . . • . . . • • . . . . . . • . • • . . . • . • . • . . . . . 297

    6 . 1 . r;oNSIDERAÇÕES GERAIS

    •• • •••

    297

    6 . 2 . EXEMPLO DE

    PÓRTICO

    PLANO 302

    7.

    Sltvf>LIFICACOES

    DEVID S A SIMETRIA·· · · · · · · · · · · · · · · ·

    7 . 1 . CONSIDERAÇÕES GERAIS

    • •

    7 . 2 .

    REDUÇÃO DA

    ESTRUTURA • • .   • .  

    7 . 3 . EXEMPLO

    1 -

    PÓRTICO

    PLANO SIMÉTRICO

    • • • • • •

    .

     

    7 . 4 . EXEMPLO

    2 - GRELHA

    COM

    DOIS EIXOS

    DE SIMETRIA.

    7 . 5 . EXEMPLO

    3 - VIGA VIERENDELL

    8.

    BIBLIOGR FI

    · · · • • · • • · · · · . • . . . . . • . . • . . • • • • •

    • • • • • •

    309

    309

    312

    318

    324

    333

    339

    PROCESSOS GER IS D HIPEREST TIC

    CLÁSSIC

    C PITULO 1

    INTRODUCÃO

    1 .

    l . OH ,J E

    '

    I VOS G

    ERAJS

    Esta

    publ icação pretende

    t e r

    um cará t e r d idát ico

    de

    in t rodução à h ip eres t á t i ca c l áss i ca

    de

    es t ru tu ras l i n eares

    discut indo

    hipóteses

    de cá lculo

    , c

    omportamento

    df

    es t ru tu ras

    e

    s impl i f i cações

    gera i s

    para

    es t ru tu ras

    usua i s u t i l i zando

    process os

    de c á l c u l o muito

    simples

    mas

    apl icá ve i s a

    qua lquer

    t i p o

    de

    es t ru tu ra l inear .

    Os

    pro

    c

    essos

    aqui

    t r a t ados

    ,

    que poderiam

    se r

    c

    olocad

    os

    c omo um ún i c o pr oc

    esso

    gera l

    de

    solução

    de

    uma es t ru tu ra a

    par t i r

    de

    out ra su p

    o

    s t a conhe

    c

    ida incluem

    o

    processo dos

    esforços

    o

    dos deslocamentos

    o

    mist

    o . o

    pro

    c

    e ss

    o do s

    esforços tem um cará t e r apropr iado para

    uma in t rodução

    à

    h ip eres tú t i ca

    permi t indo

    em sua

    ci.plicação mais s imples

    reso lver es t ru tu ras h ip eres t á t i cas

    reca indo no

    c á l c ulo

    e lementa r de

    es t ru tu ras

    i sos tá t i cas .

    O p ro

    cesso dos

    desl oc a me nt os , dua l do an t e r io r ,

    tem como maior

    v antagem a

    sua s i mplic idade o que o

    torna

    ideal

    para

    uma

    pos te r ior

    automatiza

    ç

    ão

    c

    omputacional

    ;

    resolve

    es t ru tu ras

    h i p e r e s t á t i

    c

    as reca indo

    no c

    á l

    c ul o

    de

    s t r u t u r ~ s

    com

    maio

    r

    grau

    de

    hiperestat ícidade

    mas mais

    simples , e ventualmente

    a té tabeláveis . O processo misto

    tem

    apenas o cará t e r

    demons t ra t ivo de

    uma genera l i z

    ação de

    idéias , sendo

    vantajoso apenas em a lguns c

    asos

    p ar t i cu l a res .

    Todos os inúmeros processos p ar t i

    c

    ulare

    s ,

    apl i cáve i s só

    1

  • 8/19/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap I

    7/9

    a alguns t ipos

    de e s t r u t u r a s

    como

    v igas con t ínuas

    pór t i cos

    planos gre lhas

    e t c

    serão deixados à

    par te

    des t a

    publ icação:

    também a conveniente adaptação dos processos

    ge r a i s aqui t ra tados

    para

    sua apl icação em computador, serão

    deixados para uma fase pos t e r i o r menos f í s i c a

    mais

    matemática, de

    mera

    t eo r i zação

    matr ic ia l e

    programação.

    1.2 . ESTRUTURAS LINEARES

    Uma

    e s t ru tu ra l ine a r

    em contraposição à s

    e s t ru tu ra s

    de

    s upe r f í c i e

    e

    às de volume,

    é aquela em

    que seus

    elementos

    têm uma

    das

    dimensões preponderante em

    r e l ação

    à s de • a i s .

    Dada a r e l a t iva s impl ic idade de anál i se execução, é um dos

    t i pos

    mais

    comuns de e s t r u t u r a s c iv i s em conc re to aço ou

    qualquer

    ou t ro m a te r i a l ;

    sua

    a ná l i s e

    com

    h ipó t e se s a s mais

    d ive r sa s sobre

    o

    comportamento do

    mater ia l

    pode

    s e r

    cons ide rada

    básica para o es tudo in terpre tação

    de

    r e su l t ados de qualquer dos outros t ipos de e s t ru tu ra .

    1 . 3 . O MÉTO O CUi.SSICO

    Para

    resolver

    e s t r u t u r a s

    l i ne a r e s

    ex i s t em d ive r sa s

    maneiras

    viávei s

    para diversos

    comportamental

    ou

    de segurança

    s i tuação

    c la ramen te

    conce i tuadas

    reproduzam es sa

    s i tuação e

    sejam

    m ate r i a l

    e

    de

    e s t ru tu ra

    u t i l i z a dos .

    t i pos

    de

    a ná l i s e

    apropr iadas para cada

    por hipóteses que

    adequadas ao

    t i po

    de

    Uma

    dessa s

    poss ibi l idades a mais

    simples

    de

    t odas

    c ons t i t u i o chamado Método C lás s i co ou

    Teor ia L inea r da

    Elas t i c idade

    em l a . Ordem. Esse método tem hipóteses

    calcadas na s i tuação

    usua l

    em

    obras

    c i v i s

    de

    se t e r

    des locamentos mui to pequenos da e s t r u t u r a e de

    a t é

    um c e r t o

    níve l

    de

    so l i c i t a ç ã o

    os diversos

    mater ia i s

    usua i s terem

    r e spos t a

    e l á s t i c a e sem fenómenos s ign i f i c a t ivos de ruptura .

    2

    Com

    es sa s

    hipóteses

    r azoáve i s do ponto de

    v i s t a

    de

    ap l i cação tem-se

    como consequência

    a proporcional idade

    e n t r e

    causas

    e e f e i t o s

    em qua lque r

    nível ; i s so

    impl icar ia

    na

    val idade

    da

    supe rpos ição

    de

    e fe i to s

    extremamente

    explorada

    nesta

    publicação e

    c a ra c t e r í s t i c a mais marcante do

    Método

    Cláss ico.

    As

    h ipó t e se s

    qe r a i s

    do Método

    Cláss ico

    são :

    a

    Vali

    dad(

    da Lei de

    Hooke

    que

    que

    se r á

    é a

    O m ate r i a l é

    supos to

    e l á s t i c o l inear ; as tensões ou

    t: são d i re amente proporcionais às deformações espec i f i cas

    e o u ~ co nforme f i g . 1 . 1 . a . Assim:

    o

    = E

    1 . 1

    G

    onde E é o módulo de

    i d a d e

    e G o módulo de

    e l a s t i c

    idadP

    t r a ns ve r s a l .

    J

    J

    J

    e

    1

    o

    l

    1b )

    e

    J

    f

    i Q 1 1 - O • O Q f O O l O ~ tens-ão

    con

    l ro

    Dentre o s

    m ate r i a i s

    usuai s

    o

    o

    doc e tem um

    compo

    r tamento t í p i

    c o do esquematizado na f i g . 1 . 1 . b ; a l e i de

    Hooke se r i a uma

    mu i

    to

    boa

    aproximação

    desde que as t en

    s

    õe

    s

    3

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    8/9

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    l°c

    -------

    A

    J

    lÔ O

    __

    J_

    ~

    1

    a I

    b 1

    Fi9

    l.3 - Equilíbrio em

    dua1

    tiluaçl>e•

    o

    .momento

    f l e t o r em A,

    por

    exemplo, se rá calculado com

    uma

    condição de

    eq u i l i b r i o

    r e la t iva

    à posição indeformada;

    assim:

    Q l 1 .

    2)

    Ent re tanto ,

    como a es t ru tu ra se deforma,

    o ponto ç t e r á

    um

    deslocamento horizontal

    que

    depende de Q,

    i s t o é

    =

    Q ) , e o mesmo esforço in te rno

    M .

    pode se r ca lculado,

    re fer indo à f ig . 1 .3 .b , c o m o ~

    MA = Q{l+6 Q)] 1 . 3)

    Nas es t ru tu ras usuais 5 Q) é mui o pequeno , mantido,

    por

    questões

    de

    confor to

    e

    ef i c i ên c i a

    de

    i n s t a l açõ es , en t r e

    a lgo como

    o,05 a O , l t de l podendo se r

    considerado

    desprez íve l , com

    o que o

    MA de

    1 . 3a) é o mesmo

    MA de

    l . 3 b ) .

    Com e s s a hipót ese , os esforços i n t e rno s s ão sempre

    proporc iona i s às cargas .

    6

    1 . 4 .

    A l Ç Â O DE EFEITOS

    A proporcional idade

    entre

    um

    e f e i t

    o e uma causa ç_ ,

    decorrente das

    hipóteses a) ,

    b )

    e

    d)

    do mé t odo c l á s s i c o ,

    implica diretamen te

    na val

    i

    dade d a

    superposição

    de e f e i

    to s ,

    is to é , pa r a di ve

    rsas

    causa s , c

    1

    , .. . e tem-se:

    e c

    1

    1 . • . 1 e

     .

    )

    Sendo

    k

    uma c

    onstante:

    e c)

    k.c

    tem-se

    c om

    i s s

    o :

    +

    e

    +

    • . .

    +

    c )

    2 n

    k +

    1

    + k c +

    +

    k c e   c

    1

    ) + e   c ) i

    .   e c )

    n

    o que co mp ro

    va

    a 1.4) .

    1 . 4 )

    1 . 5)

    A superposição de efe i t o s é uma c a r a c t e r í s t ic a

    marcante

    do

    mé t

    odo c l á

    s s i

    co ; e m o

    u t r

    os métodos ,

    co

    m

    out ras

    hipóteses ,

    não

    h a ve ndo pro porc i o nal i

    dade

    entre c ausas e e f e i to s , n

    ão

    se rá vá l i do esse fe n ômeno .

    7