Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1
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8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1
1/42
UNIVERSIDADE
DE SAO PAULO
ESCOLA DE ENGENH RI DE
SAO
CARLOS
i
t f
m
l l i i l l l l \ J I l l l JJ
0 ~ 6 3 ~ 2 0 0
. . . 11-711,18
0 634
t fm
o )
b )
-
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1
2/42
UNIVERSIDADE DE SÃO PAU LO
Reitor:
Roberto Leal
Lobo
e
Silva
Filho
Vice Reitor:
Ruv Laurenti
Obra produzida
na Escola
de Engenharia
de
São
Carlos
EESC
Composição
e Edição:
CETEPE
Centro
de
Tecnologia
Educacional para
Engenharia
da
EESC
Impressão:
Serviço Grâfico da
EESC
ª edição 1995
UNIVERSIDADE
DE SÃO PAULO
ESCOLA
OE
ENGENHARIA DE S O CARLOS
PROCESSOS
GER IS
DA
' .
HIPEREST TIC
CL SSIC
JOÃO CARLOS
ANTUNES DE
O E
SOUZA
HELENA M. C. CARMO ANTUNES
-
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1
3/42
TOOOS 5
DIAEITOS RESERV DOS Nos
termos da
Lei
que resguarda
os
Direitos Autorais, é proibida
a
reprodução total
ou
parcial
deste
trabalho,
de
qualquer fornia ou
por
qualquer iaeio -
eletrônico
ou
mecânico, inclusive através de
processos Kerográficos,
de
fotocó
pia e de gravação -
sell
per•lssão,
por
escrito, do(s) autor(es) .
Catalogação na
Fonte
- Se r
viço de Bibl
i
oteca da
EESC - USP
S729p
SOUZA João
Carlos Antunes de OI
iveira
e
Processos
gerais
da hiperes tát ica
clãs
sica/Joâo
Carlos Antunes
de
OI i
ve
i ra
Souza, Helena Maria Cunha do Carmo
Antu
nes.
São
Carlos:
Escola de Eng
enharia
de
São
Carlos, Serviço Gráfico,
1992.
346p.
ISBN 85 -
85205
-02
- 4
1. Estruturas - Estát ica 1. Ti tulo.
C
- 624 .1 715
PREFÁ IO
Er. te l i v r o
como
o já publicado Processo
de
Cross e os em f a se de preparação Técnicas Computacionais
na Es t á t i c a
das Est ruturas
e I n t rodução à
I so s t á t i
c
a
pre tende t e r um
ca rá t e r didát
i co, apresentando
os tópicos
t r a t ados
se m cornpl cações
desnecessár ias ,
mas
senrlo
en t r e t an t o , c onscientemente prol ixo como muitas v e r.es o
processo
de ensino
ne
c e s s i t a s e r .
Os
proce
s sos
aqui
t ra tados
são
ge r a i s
t an to no
aspecto d apl icabi l idode
a
qua lque r
t i po
de
e s t r u t u r a s quanto no de poderem
s e r
encarados
como
va r i ações duais de
woa
mesma
idé ia ;
correspondem a a lguns d os
temas
abordados
na
d i sc ip l ina
Es t á t i c a das Est ruturas na Escola de Engenharia de São
ca r lo s ,
a
par co
m
processos
de us o r es t r i to , como os de
Cross de Propagação,
an t
ecedendo t odo o desen vo lv imento
m a t r i ~ a l vi sando a programação em computador.
São Carlos março de 1992
Os Autores
-
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1
4/42
r
N D 1
e
E
1. 1
NT
ROOUÇÃO · · · • · · · · · · · • · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
l
1 . OBJETIVOS l.ERA IS
• • . . . . . . • . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . 1
1 2 . ESTRUTLJRllS LI NF ARF S . . . . . . . . . 2
I .3 .
O MÉTODO
CLÁSS
TCO
2
1 li ~ [ J l F . H P n ~ ; 1 ç i i o IW F
FE
o ~ : 7
2 O PR
NCfP
O DOS
TR
ARALHOS RTLJA1S F SUAS
API
1
CACõFS
9
2 . 1 . CONSTDERAÇÕFS
GF
RAIS
• • • • • •
••
9
2 . 2. o PRINC1
PIO
Dor; THABALHOS VIR fl l l \ IS . . . . . . . . . . . J
2 . 1 . POSSIBILIDADES DE J\PLICAÇÃO DO
PRTNCiPTO
DOS
TRABALllOS V IR Tlll\ I S . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 l
2.1 .1 .
Cálculo
de
deslocamentos em
e s t ru tu ra s
i s o s t á t i c a s
. .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
. . . .
22
2 . 1 . 2 .
Seleção de
uma equação de
e qu i l í b r i
o
numa
e s t r u t u r a i s o s t á t
i
ca
. . . . . . . . . . . . .
27
2 .1 l
o t eorema
da
r ec ip roc idade
d o s
t rabalh o s
ou
Teorema de
Bet t i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2 .3
.
4 .
O
t eo rema da r ec ip roc idade dos des loca
mC ntos
ou
Teorema de
Max
wr l
1 . . . . . . . . . . 34
3. C LCULO DE
DESLOC MENTOS EM
ESTRUTUR S ISOST T IC S
US
UA i S
37
3 . 1 .
CO
NSIDERAÇÕE
S GERAIS
. • . • . . . • . . . . .
• • •
. . . . . • . . . 3 7
3 . 2 . DESLOCAMENTOS
EM TRELIÇAS
PLANAS IDEAIS • . . • . .
38
3 . J .
3 . 2 . 1 . A t r e l i ç a plana
id e a l . . .
. .
. . . . .
38
J .2 .2 .
Exemplo
l
J . 2 .3
.
Exemplo
2
DESLOCAMENTOS EM
USUAIS
E
ST
RU
TURAS
PLANAS FL
ETIDAS
J . J .1 . Es t r u t u r a s p lanas
f l e t i da s
usuais .
. .
l . J . 2 . Exe mp l o l In t eg ração a na l í t i c a . . . . . .
40
4 9
55
55
63
-
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1
5/42
3
3
3
Exemplo 2
-
In tegração
numér ica .
......
3 3 4 Exemplo
3
In tegração
u t i l iz a n d o t a b e l a s
3
4 DESLOCAMENTOS
M
OUTROS
TIPOS DE ESTRUTURA
. ..
3
4 .1. o u t r o s Tipos
us ua i s
de es t ru tu ra
3 4 2
Exemplo
1
- Pór t i c o a t i r a n t a d o .
.......
3 4 3
Exemplo 2 Viga com
vínculos
e l ás t i co s
3 4 4 Exemplo 1 Gre lha
.
- -
-
.
-
4 O
PRO ESSO
DOS ESFORÇOS • · · • • · • · · • • • • · · · • • • • · • • • • · ·
4 1
CONSIDERAÇÕES GERAIS
............•..
•
.........
4 2 O PROCESSO OOS ESFORÇOS APLICADO
A
VIGAS .....
4 2 1
Detalhes c a r a c t e r í s t i c o s das
v i ga s
• . .
4 2 2 Exemplo
1
.•.•.........................
4 2 2 1
Resolve r
a
viga submetida ao
carregamento
dado . . . . . . . . . . .
4 2 2 2
Resolve r
a
viga
submetida a
uma
66
72
84
84
84
87
90
95
95
101
101
103
104
va r i a ç ã o de
t empera tura
...••.
114
4 2 2 1 Resolver a v i ga submetida are
calques de apoio.............
121
4 2 J Exemplo
2 •.........
...••.. • • ....... .. 128
4 3
O PROCESSO DOS ESFORÇOS APLICADO A PóRTICOS
PLANOS
4 3 1 Detalhes carac t e r í s t i co s
dos
p ó r t i c o s
planos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .......•....
4 .
3
2 Exemplo 1 ..•....................•.....
4 3 2 1
Resolver o pór t i co submetido ao
carregamento dado
•.•.........
4 3 2 2 Resolve r o pór t i co para e f e i t o
de reca lque de apoio ........
4 1 2 3 Resolver o p ó r t i c o pa r a e fe i t o
de var iação de t empera tura ...
4 . 3 . 3 .
Exemplo
2
•.•................
.
.........
4 4
O PROCESSO DOS ESFORÇOS APLICADO A GREI J{AS ...
134
134
136
138
142
144
149
1
57
4 4 1 .
Deta lhe
s carac t e r í s t i co s das qre lhas .. 157
4 4 2
xemplo
1 . .... . .
.. .
. -
· · · · · · ·
4 4
3
xemplo 2 . . . . ..... - - · · · · · · · · · · · · · · · · ·
4 .
4 4 Cálculo de gre lhas
desprezando a r ig idez
à t o r ç ã o
das
bar
ras
.. .
.
.. .
. .... .
·· ·
· · ·
4 4
5
Exemplo 3 ......... . .... .... .. .... .
4
5
O PROCF.SSO
DOS
F.SFORÇOS APLTCADO
AOS ARC OS . . .
161
165
169
176
181
4 5 1
o
que
c a r a c t e r iza
um arco
. . . .....
181
4 .
;,>.
J
i pos
u ;11;i i s
de
a r-co ;
.
• .
4
5 . 3 .
Exemplo de def in
.i
ção de eixos de a r cos
4 5 4
Fo rmu lár io s pa ra a r
co
s h i perestáL ic os
usua i s .. . .
........ ....
- · · · · · · · · · · · ·
4 5 4 1 Convenções
.. .
. .. . .. .. . .... . . .
4 5 4 . 2 Arco b i a r t i c u l a d o s i mé t r i c o . .
4 5 4 3
.
Arco
a t i ran tado
s i mé t r i c o
. .
4 5 4 4
.
Arco biengas tado s i mé t r i c o
4 5 5
Caso
s usuais
de
in te g
r ação
em
a rcos
4
5
6 .
Exemplo
1
-
In tegração an a l í t i ca
.....
4 5 7 . Exemplo 2
- In tegração numérica
4 5 8 Exemplo 3
-
Variação imposta de
EI ....
4
5
9 .
Exemplo 4
-
Arco pr ismát ico
por
t rechos
4 5 10 Exemplo 5
-
Adaptação para
pór t i cos
s i mé t r i c o s
4 5 11 0bservações adic iona i s . ..... . .. . . .
4 6 O PROCESSO DOS ESFORÇOS
APLI
CADO ÀS l REI. IÇAS
PLANAS IDEAIS
. ........ .............
.....
.
4 6
. 1 .
Detalhes
ca
r a c t e r í s t i cos
da
t r e l i ç a
plana idea l ..
. . . .
..
.
.
.....
. .. .
.
..
4 .
6 2
Exemplo
l .
.. .
. .
.. ..
. .
.. .
.....
. · · · · · ·
4 7 O PROCESSO
OS
ESFORÇOS APLICADO A ESTRUTURAS
MISTAS
.........
. .
.. .
.....•
...........
.
.....
4 7
l.
Est ru turas mistas usuais . . .. . . ...... . .
4 . 7 . 2 Exemplo l - Viga sobre
apoios
e lá s t i co s
4
7 3
.
Exemplo
2 -
Pór t ico t r e l i ç a d o .. .
. .
··
1 87
188
188
1 90
1 95
199
20
8
209
215
223
229
234
240
246
246
2
48
255
255
255
260
-
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1
6/42
5. O PROCESSO DOS
DESLOC MENTOS
• • • • · · • • • • • • • • • • · · · · · ·
267
5 1
CONSIDERAÇÕES
GERAIS
5 .
2 .
EXEMPLO DE
APLICAÇÃO
5 . J
EXEMPLO DE
APLICAÇÃO
5 . 4 .
EXEMPLO
DE
APLICAÇÃO
5 .
5 .
EXEMPLO DE
API.ICAÇÃO
.............. .
............
A
VIGAS
. ..................
A
PóRTICOS
.
..............
A
TRELIÇAS
PIANAS
IDEAIS
A
GRELHAS
. .
-
.......
'
267
273
277
284
289
6. O
PROCESSO
M 1STO • . . . . • . . . • • . . . . . . • . • • . . . • . • . • . . . . . 297
6 . 1 . r;oNSIDERAÇÕES GERAIS
•• • •••
297
6 . 2 . EXEMPLO DE
PÓRTICO
PLANO 302
7.
Sltvf>LIFICACOES
DEVID S A SIMETRIA·· · · · · · · · · · · · · · · ·
7 . 1 . CONSIDERAÇÕES GERAIS
• •
7 . 2 .
REDUÇÃO DA
ESTRUTURA • • . • .
7 . 3 . EXEMPLO
1 -
PÓRTICO
PLANO SIMÉTRICO
• • • • • •
.
7 . 4 . EXEMPLO
2 - GRELHA
COM
DOIS EIXOS
DE SIMETRIA.
7 . 5 . EXEMPLO
3 - VIGA VIERENDELL
8.
BIBLIOGR FI
· · · • • · • • · · · · . • . . . . . • . . • . . • • • • •
• • • • • •
309
309
312
318
324
333
339
PROCESSOS GER IS D HIPEREST TIC
CLÁSSIC
C PITULO 1
INTRODUCÃO
1 .
l . OH ,J E
'
I VOS G
ERAJS
Esta
publ icação pretende
t e r
um cará t e r d idát ico
de
in t rodução à h ip eres t á t i ca c l áss i ca
de
es t ru tu ras l i n eares
discut indo
hipóteses
de cá lculo
, c
omportamento
df
es t ru tu ras
e
s impl i f i cações
gera i s
para
es t ru tu ras
usua i s u t i l i zando
process os
de c á l c u l o muito
simples
mas
apl icá ve i s a
qua lquer
t i p o
de
es t ru tu ra l inear .
Os
pro
c
essos
aqui
t r a t ados
,
que poderiam
se r
c
olocad
os
c omo um ún i c o pr oc
esso
gera l
de
solução
de
uma es t ru tu ra a
par t i r
de
out ra su p
o
s t a conhe
c
ida incluem
o
processo dos
esforços
o
dos deslocamentos
o
mist
o . o
pro
c
e ss
o do s
esforços tem um cará t e r apropr iado para
uma in t rodução
à
h ip eres tú t i ca
permi t indo
em sua
ci.plicação mais s imples
reso lver es t ru tu ras h ip eres t á t i cas
reca indo no
c á l c ulo
e lementa r de
es t ru tu ras
i sos tá t i cas .
O p ro
cesso dos
desl oc a me nt os , dua l do an t e r io r ,
tem como maior
v antagem a
sua s i mplic idade o que o
torna
ideal
para
uma
pos te r ior
automatiza
ç
ão
c
omputacional
;
resolve
es t ru tu ras
h i p e r e s t á t i
c
as reca indo
no c
á l
c ul o
de
s t r u t u r ~ s
com
maio
r
grau
de
hiperestat ícidade
mas mais
simples , e ventualmente
a té tabeláveis . O processo misto
tem
apenas o cará t e r
demons t ra t ivo de
uma genera l i z
ação de
idéias , sendo
vantajoso apenas em a lguns c
asos
p ar t i cu l a res .
Todos os inúmeros processos p ar t i
c
ulare
s ,
apl i cáve i s só
1
-
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1
7/42
8
C PfTULO li
O PRINCIPIO
DOS
TR B LHOS VIRTU IS E SU S PLIC CõES
2.1 . CONSIIJEHAÇÕES GERAIS
O Pr inc ípio
dos Trabalhos Virtua is
ou Teorema
dos
Trabalhos Virtua is doravante apel idado
de P.T.V .
é
o
único
teorema da
energ ia
realmente essencial
ao
desenvolvimento
de
toda
a
es tá t ica
c
l á s s i
c a ;
diversos outros teoremas que
venham, por questão de s ín t e se
a
se r u t i l i z a dos serã
o
demonstrados
a
p a r t i r
dele .
As
condições
de equ
i l i b r io
podem
se r
demonstradas
a
p a r t i r do P.
T. V. ou o
P.
T . V. pode se r
demonstrado,
agora
como teorema
não
como
princ ip io
a p a r t i r
das condições de
equil íbr io ; optar-se -á
por
es ta úl t ima versão,
por
mera
questão de
se
t e r em gera l
uma
previa
ass imilação ,
em
cará te r
mais
in tu i t iv o
das
r e lações
de e qu i l í b r io
.
A
u t i l i da de essencia l do
P.
T.
V.
será
a
de
permit i r
in te ressantes transformações
de problemas eminentemente
geométricos
em
problemas
es tá t ico s
e
vice-versa
fornecendo
alternativas extremamente
simples
e e f i c i e n t e s em diversas
si tuações
.
2.2 . O PRINCÍPIO DOS TR B LHOS VIRTUAIS
Seja
defin ida
uma
e s t ru tu ra
l in ear qualquer e es te jam
defin idas suas
vinculações , i s to
é suas
l igações
in te rnas
e
vínculos
externos .
Seja um es tado de forç
as
a) sobre
essa
e s t r u ~ u r a
com
-
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1
8/42
CAPíTU O
CÁLCU O DE
OESLOCAtvENTOS
EM
S T R U
ISOSTATICAS
USUAIS
3.1. CONSIDERAÇÕES
GERAIS
Conforme
di scut ido no capi tu lo I I , i tem 2.3 .1 , dado um
es tad o de
hipóteses
deslocamentos
b ) , r ea l
mas
sa t i s fazendo
as
do
Método
deformações dub,
dvb e
coapr imento ds s i tuado
Cláss ico , conhecido a p a r t i r das
d ~ b de um elemento
in f in i te s ima l
de
numa posição genér ica I, provocadas
por
uma
causa f í s i ca
qualquer , é p o ss ív e l u t i l i z a r o
P.T.V.
para ca lcu la r
qualquer t i p o
de
deslocamento
dos
pontos da
e s t r u tu r a .
Para i s so
c r i a -
s e
ua es tado de fo r ças
(a) , com
forças
ex te rn as
convenientes e cri ter iosamente
esco lh id as
de forma
que,
se
s e
impuser
o
es tado
de
deslocamentos
b)
ao
es tad o
de forças ( a ) ,
seu
t r aba lho , o t rabalho
ex te rn o
, s e j a
exatamente i gua l ao deslocamento que se que r medir . Se a
e s t r u tu r a for
i s o s t á t i ca ,
t e r - s e - á waa única dis t r ibu ição de
es forços
in te
:rnos , tendo-se, em
.§.,
N , V• e M .
Do
P.
T. V. ,
então, t e r -se-á :
T
••l
T
l n l
ou:
T
J
N
du
J
V
dv
M
d.b
(3 .1)
•
b
•
b
•
•
l
e •
r
ealr
••tr
O que
se
pretende, em
todo
o t r anscor re r des te
capi tu lo
I I I ,
é
d e t a l h a r a aplicação da expressão (3 .1) , tan to para o
37
-
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1
9/42
9
CAPITU O
V
O PROCESSO DOS ESFORÇOS
4.1 .
CONSIDERAÇÕES GERAIS
o processo dos esforços é certamente o processo mais
simples
para r e so lve r
es t ru tu r as h ip eres tá t icas
rompendo
a
indeterminação
dos esforços in te rnos
e
es t ru tu r a
das reações nesse
h ip eres tá t ica as
ip o
de es t ru tu r as .
Numa
condições
de
eq u i l íb r io
não
são su f ic ien tes
para determinar
esses esforços in te rnos
e
reações ; existem i n f in i t a s
poss ib i l i da de s de se t e r
eq u i l íb r io donde a
necess idade
de
se ge ra r
equações
a d ic iona i s provenientes de
hipóteses
a d ic iona i s para r e so lve r
o
problema; essas equações
adic iona is se c a ra c t e r i z a rã o no caso da es tá t i ca
c l á s s i c a
como condições
de
compat ib i l idade ou condições de
coerência
de
des locamentos donde a ênfase que se
deu
no c a p í tu lo
an te r io r
ao cá lculo de des locamentos .
O
processo
dos
esforços se
carac te r iza
essencia lmente
por
se
procurar
determinar esforços
em número igual
ao
grau
de indeterminação es tá t i ca ou grau de h ip eres ta t ic id ad e ;
conhecidos esses esforços a rb i t rados como incógni tas
h ip eres tá t icas com as condições de eq u i l íb r io
se
determinam
os diagramas de
esforços
in te rnos
e
as reações .
95
-
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1
10/42
Existem dive rsas pos s ib i l idades de se formular esse
processo dos esforços , part indo de diversos teoremas da
energ ia , explorando
mais
di retamente o P.T.V. na geração das
condições adic iona i s de
compat ib i l idade,
ou
então
explorando
ao máximo a
superposição
de
efe i tos com
o uso ind i re to do
P.T.V.
no
cá lcu lo de
deslocamentos. Dada a clareza e a
simpl icidade dessa ú l t ima versão, sem
que
haja qualquer
perda
de
general idade
no
t ratamento
de
problemas da
es t á t i ca
c láss ica , opta r - se -á
por
ela no
decor re r des te
capí tu lo ;
mais
ainda, aqui serão
re so lv idas es t ru turas h ipe res tá t icas
recaindo no cá lcu lo de es t ru turas i sos tá t i cas , conhecidas e
solucionáveis só com as condições de e q u i l í b r i o ;
nada
impedi r ia ent re tan to que se resolvesse
es t ru turas
h ipe res tá t icas recaindo no cálculo
de
out ras es t ru turas
h ipe res tá t icas mais simples , de
cá lcu lo supos to
conhecido,
onde já t ivessem ent rado, além das condições de
equi l íb r io ,
também
algumas
condições de compat ib i l idade.
Se j a o
caso então
de se re so lve r uma es t ru tura com grau
de
hipe res ta t ic idade
n,
submetida, num problema
r ) ,
rea l , a
uma
so l ic i tação
externa qualquer . Ret i rando-se n
vínculos ,
de t a l forma que a es t ru tura r e su l te i sos tá t i ca , o problema
r ) não se a l t e r a desde
que
se subst i tuam es ses vínculos
pelos
n
esforços
correspondentes
F , F , • • . , F ,
• • •
, F .
1 2 J n
Esses esforços
são
de
i n í c io desconhecidos, incógni tos , mas
qualquer
que se ja o seu va lor
haverá
e q u i l í b r i o j á
que
se
manteve a
es t ru tura
como
i sos tá t i ca .
O problema
r ) ,
rea l ,
pode
ser
pensado
agora como um
conjunto
de so l ic i tações numa es t ru tura
i sos tá t i ca ;
esse
conjunto i n c l u i r i a ,
além da so l ic i tação externa,
também cadâ
um dos F
J
Valendo
a
superpos ição
de efe i tos , esse
problema
r ea l
r)
pode
s e r
expandido numa soma de problemas
sobre
a mesma
e s t r u tu r a i sos tá t i ca ,
cada
um dos quais
correspondendo
a uma
dessas so l ic i tações ; assim, a so l ic i tação externa es t a r i a
96
computada sobre a es t ru tura i sos tá t ica ,
chamada
de es t ru tura
básica, num problema chamado (o) ; a
esse
problema
deveriam
ser
superpostos problemas
correspondentes
a
aplicação
de
cada um
dos
F , separadamente; valendo a
J •
F
superposição
de
e fe i tos , entretanto, o valor numérico
de
J
pode
ser
colocado em
evidência, e se r ia superposto
um
problema j ) , correspondente a uma carga uni tá r ia na
direção
e sent ido
de
F
1
,
mult ipl icado pelo
valor
numérico de
F, .
Assim
0
problema
real
hiperes tát ico r) pode
ser
colocado
como uma combinação
l i nea r de problemas
formalmente:
i sos tá t icos ;
que,
r )
o ) +
F (1) + + F j ) + + F
0
(n)
1
J
4 . 1 )
o
que
se pretende dizer com a expressão formal (4 .1)
é
para qualquer
e fe i to
E
(carga, deslocamento,
esforço
interno,
deformação, e tc
) tem-se
que:
E
E
r
o
F E
1 1
C
onhecidos E , E , • • • , E , • • • , E ,
4 .
2)
por se
t ratarem
o t J n
de e fe i tos
de
causas determinadas em
estruturas
isos tá t icas ,
o problema
é
só o
de
determinar os F
1
•
a
equação 4 . 2) ,
observe-se
que se
t e rá uma
equação
envolvendo
os F toda
vez
que se
conhecer
alguma coisa do
J
problema
real r ) ;
ora ,
sabe-se do
problema
real
r )
que
os
vínculos
re t i rados
existem, ou
tudo deve
se passar como se
exist i ssem,
i s to
é ,
os deslocamentos na
di reção
dos
vínculos
re t i rados
são
definidos ,
nulos
ou
não,
mas def in idos.
Chamando de o deslocamento na
di reção
e sent ido de
Jk
k) ,
essas
condições de deslocamento
FJ no problema
presc r i to , ou de
compatibi l idade,
ou
de
coerência
de
deslocamentos ,
poderão se r escr i t as ,
levando
em
conta a
4.2) ,
como:
97
-
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1
11/42
c c
+
F
c
+
•• •
. +
F 5
+
...
+
F 5
1 r 10
1
11
J
1
J
n
1
n
c
c
+
F
c
+
. .
+
F c
+
+ F
c (4 . 3 )
J r
Jo
1
J l
J J J
n
J n
.
.
.
c
c
+
F
c
+
. . .
+
F 5
+
...
+
F
c
n r
no 1 n l
J
n J
n
nn
c presc r i tos e
os c , p/k
=
O;
1 ; • • •
; n,
Jr Jk
Sendo os
deslocamentos
s is tema
l i nea r
ca lcu la r os F •
em
es t ru turas i sos tá t icas , a solução do
4 • 3 ) .
de
n equações a n incógnitas
, penni e
J
Tendo os F
1
, o
poderia se r
pensado
problema (
r )
, que, como se di s se ,
como
i sos tá t ico ,
es ta rá plenamente
reso lv ido .
Convém observar
ainda
que no
cá lcu lo
dos
deslocamentos
c Jk do es tado de
deslocamentos
( k ) , correspondente ao
problema
(k) ,
o
problema
( j )
é
exatamente
o
es tado
de
forças
conveniente
para ca lcu la r
esse deslocamento
na direção
e
sentido
de F
1
, com o P.T.V ••
Convém observar tambéa
que
os esforços F
J
correspondem a
qualquer
t i po
de
vínculo, externo ou
in terno;
o único
requi s i to
básico é que,
para preservar
as condições
de
equi l íb r io ,
ao serem
re t i rados esses
vínculos a
es t ru tura
deva r e su l ta r i sos tá t ica .
Seja o caso, por exemplo, de r eso lv er a viga com grau
de hiperes tat ic idade igual a 2, da f ig.
4.1 .
Fig 4.1 -
Exemplo
98
Escolhendo como in có g n i tas
hipe res tá t icas
os es fo rço s
correspondentes as reações nos dois apoios i n t e rnos , i s t o
é ,
re t i rando os dois v ínculos correspondentes a esses
apoios
e
subs t i tu indo-os pelos esforços correspondentes , t e r - s e - i a ,
para re so lve r
o
problema (r)
correspondente a
viga da f ig .
4.1,
o
esquema
de
solução da
f ig . 4.2 :
r l
Ili
~ p
r)
0)
ll
Fig 4 . 2 -
Esquema
de saluçilo
para
o
exemplo
Com
esse
esquema de solução,
formalmente se co locou:
(r)
99
-
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1
12/42
Co condições de coerência de
deslocamentos t ea -se :
o
o
ou então:
{
o
=
1 0
o
2 0
F
1 1 1
F
2 1 2
F
1 2 1
F
2 2 2
Calculados os Jlt e reso lv ido o s is tema de equações
t ea -se F
1
e F
2
; tendo F
1
e F
2
a solução do probleaa
r )
rea l ,
consis te
apenas
em
reso lver
o problema i sos tá t ico da
f ig . 4 .
3 .
Fi9 3
Problema
real isostdtico
Essa i dé ia é ap l icáv e l a qualquer
t ipo
de
es t ru tura ,
fazendo-se
n ecessá r ias
apenas algumas cons iderações sobre a
determinação e s t á t i c a de casos par t i cu la res de es t ru tura e
sobre
t écn icas de cá lcu lo
de deslocamentos;
nos
i t ens
subsequentes
além
dessas considerações
se
procuraril
d i s c u t i r cada t i po de es t ru tura e sua função cada t i p o de
so l i c i t ação
capaz de provocar esforços
in te rn o s
e as
d iv er sas p o ss ib i l id ad es
de solução; além dos carregamentos
externos, como se verá, inúmeros outros t i pos de so l i c i t ação
poderão provocar esforços
in te rn o s ,
o que não acontece com
100
as es t ru turas i sos tá t icas ; recalques variação de
tempratura
r e t r ação
do
mater ia l ,
defei tos de
fabr icação ,
e tc . • . afetarão muito mais
as
es t ru turas h ipe res t á t i cas que
as i sos tá t icas , onde esses fenômenos só
provocam
a
deformação l iv re da
es t ru tura .
4.2 . O
PROCESSO DOS
ESFORÇOS
PLIC DO
A VIGAS
4.2 .1 . Detalhes
ca rac te r í s t icos
das vigas
Uma viga é d ef in id a como uma es t ru tura plana s imét r ica
em relação a um
plano
com eixo
aproximadamente
r e t i l íneo ,
cargas normais ao eixo , no plano e vínculos
que
não
introduzam
so l i c i t açôes ax ia i s .
Do ponto de vis ta da determinação geométrica da posição
das
d iv er sas chapas
i n t e r l igadas que
co n s t i tu i r iam
uma
viga,
cada
chapa n ecess i ta
de dois vínculos
normais
ao eixo e no
plano
para
f ixa r
sua
posição .
Do
ponto de v i s t a da determinação e s t á t i c a
dos esforços
in ternos
e
reações
na mesma chapa dispõe-se
apenas
de
duas
equações
de equi l íb r io
relevantes ,
com as quais se
determinariam os esforços
nas
barras que
vinculam
as chapas .
A f ig .
4.
4 contém um apanhado de vinculações
em
suas
representações usuais
e o
seu
s ig n i f icad o
em
termos de
barras v inculares equivalentes .
Assim uma viga cons t i tu ída por g
chapas
i n t e r l igadas
por
R barras v inculares ,
poderia se r c las s i f i cada em
termos
de
determinação
geométr ica
dependendo da
relação de Q
para
Q
da
seguin te
forma:
b
<
2c
b
2c
b
> 2c
viga
geometr icamente indeterminada
viga geometr icamente determinada
viga
geometr icamente
superdeterminada
101
-
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1
13/42
ENGASTAMENTO
1
l l
APOIO
FIXO
j
·
MÓVEL
Jt
1
POIO
'
ARTICULAÇÃO
---,__
CONTINU 1OAOE
u
Fi9 4 4
Vinculações equivalentes em
vi9as
Similarmente
se poder ia fazer também a class i f icação do
ponto de
v i s t a
da determinação
es tá t i ca :
b
<
2c
b 2c
b > 2c
viga
hipos t á t i ca
viga
i s o s t á t i ca
viga hiperes tá t ica
o in teresse
na es t á t i ca
c láss ica se r es t r inge
apenas
aos
casos em que b 2c. Se b =
2c
a es t ru tu ra é
geometricamente
determinada e i sos tá t ica : se b
> 2c, sobra•
vínculos : o
número
de
vínculos
que sobram é chamado
grau de
hipe res t a t i c idade
ou grau de
super-de te rminação
geométr ica .
Essa contagem de vínculos não é sempre conclus iva por
depender do
posicionamento
dos vínculos :
além
di sso , convém
observar
que se
uma es t ru tu ra
fo r
geometricamente
determinada
e la
se rá i s o s t á t i ca para qua lquer carregamento;
en t r e tan to , mesmo geometricamente indeterminada
e la
poderá
ser i sos tá t i ca ,
óu
mesmo hiperes tá t ica , para par t icu lares
102
carregamentos.
Seja , como exemplo, o caso de
hipe res t a t i c idade h da
viga
da f ig
equiva len tes estão detalhadas na f ig .
o
1
determinar o grau de
4 .5 .a . As vinculações
4 .
5
. b .
:: ..
1a1
7
1b1
1
Fig
4 5
E emplo de
cálculo
do 9rau de hiperestat ic idade
Da
f ig .
4 .5 .b ,
tem-se:
c
2
b
2c
4
n
b = 6
onde b é o número de
barras vinculares necessár io
para
a
n
determinação geométrica ou
es tá t i ca .
Sobram por tanto
dois
vínculos e então:
h 2
ou, o grau da hiperesta t ic idade
da viga
é igual a 2
4 .2 .2 .
Exemplo
1
s e j a a viga em
p e r f i l único
de aço da
f ig .
4.6, que se
pre tende resolver de diversas maneiras computa ndo
os
efe i tos
de diversas
causas .
103
-
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1
14/42
l
lt
m
r r1 r1 11 11 ITTTI
Á1
+ lOm
:A2
-+
E= 2
100
lf
cm
2
a=
i6
5
ºc-
1 .
lOm
lOm
I
=37000
4
h
=
46cm
F i9 . 4 .6 - Exemplo
l -
Estrutura e carregamento
4 .2 .2 .1 . Resolver a viga submetida ao carregamento
dado
Para r e so lve r
a
viga da f ig . 4 .6
submetida
ao
carregamento
esquematizado nessa mes•a f igura ex is t i r iam
i n f in i t a s
poss ib i l idades dependendo dos vínculos a s e r e •
re t i rados;uma la .
solução,
que ser ia
quase
uma tendência
natura l ser ia
obt ida
re t irando os vínculos correspondentes
aos apoios in te rnos ; uma 2a. solução, en t re tan to também
simples,
ser ia obt ida
re t irando os
vínculos que
t r ans• i tem
momento na viga
sobre
os apoios internos; essa úl t ima
solução
t e r á diversas vantagens
sobre
a primeira .
l a . SOWÇÃO
a
Esquema de
solução
Esse esquema, obt ido r e t i r ando
os
vínculos
carrespondentes
aos
apoios internos consta da f ig . 4.7.
104
ou:
1 1 1r 1r 1 1 1 1rm
ITIIllf 1 i 1 l lD
101
~ ~ ~ - - - - - - - - - - ~ , -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7 ? ~ 1 i . Ili
A
121
Fig . 4 7 -
Esquema
para a
i .
solução
Com esse esquema de solução formalmente se tem:
r)
=
o )
+ F 1) + F 2)
l 2
b Condições de
coerência
de
deslocamentos
o
o
+ F + F
1 0
1 11 2
1 2
o
+
F
+
F
2 0
l
2 1
2
2 2
o
105
-
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1
15/42
c
Cálculo de deslocamentos
Para ca l cu l a r o deslocamento c na direção e sent ido
Jk
de
FJ
no
problema k )
tem-se:
estado
de deslocamentos problema k )
es tado de forças ~ p r o b l e m j )
Do
P . T . V. :
J
M.,
M
1
EI °
ds
•lr
Sendo EI
cons tan te
para
a
es t ru tu ra
e
prevendo
uma
par t i ção para
v iab i l i zar
o uso
da T BEL 1 :
Elc5 J li
o
M M
ds
J ..
Os
esforços
M
1
e
Mk
constam
da
f ig .
4 .8 .
para j 1 :
2 e k
,667
,667
Fi9 4 8 - Momentos f le to res nos
diversos problemas
106
o 1 : 2,
Com
o uso
convenien te da
T BEL 1:
Eic5
t o
1 1
10. - 3- . 6 , 667 .83 ,33
+
1 0 . -3 - .6 ,6 6 7 .1 2 ,5 0
+
+
10. [6 ,667 2 .83 ,33+66,67)
+
3,333 83 ,33+2.66 ,67) ]
+
+
l o . -} - .1 2 ,5 0 6 ,6 6 7 +3 ,3 3 3 )
+
lo . - -} - .3 ,333 .66 ,67
7083,3
Eic5
2 0
1 1
1 0 . -3 - .3 ,3 3 3 .8 3 ,3 3 + 10. - 3- . 3 , 333 .12 ,50 +
+
1 0 . - i - [3 ,333 2 .83 ,33+66,67)
+
6,667 83 ,33+2.66 ,67) ]
+
+
10. .12 ,so 6 ,667+3,333)
+
10.- -} - .6 ,667 .66 ,67
6666,7
Eic5
1 1
10 . --}- .6,667
2
+ 10. - i - 6 , 667
2
+6,667.3 ,333+
444,4
107
-
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1
16/42
E H
22
EH
1 1
444 ,4
por
s ime t r ia )
EH
1 2
1 0 . - j - . 3 , 3 3 3 . 6 , 6 6 7
+
1 0 . ~ . [ 3 , 3 3 3 2 . 6 , 6 6 7 +
+3,333)
+ 6,667 6 ,667+2.3 ,333) ] +
10.
~ . 6 6 6 7 . 3 3 3 3
388,9
EH
21
EI6
1 2
388,9
pelo teorema de Maxwell)
d)
Solução
do s is tema de
equações
Mult ipl icando todas as equações
por EI a
solução
não
se
a l t e r a :
então:
l
083,3
+
444,4
F
1
+
388,9
F
2
6666 ,7
+
388,9
F
1
+
444,4
F
2
donde:
F
1
F
2
-12 ,000
t f
- 4 , 500 t
108
o
o
e) Kontagem de
r e su l tados
Depois de calculados F
1
e F
2
é
i n t e re ssan te r e s s a l t a r
que o problema
r ) é
i sos tá t ico , bastando
r e so lve r
a
viga
da
f ig . 4 .9 .a ,
determinando
reações ,
esforços , deslocamentos
ou
o
que
se quiser ; na f ig . 4.9.b
es t á esqúematizado apenas o·
diagrama
de momentos f le to res .
l t f m
o r11T trrrrrID
lo
b l
Fia 4 9 Montoaem de resultodos d i solução
2a. SOLUÇÃO
a) Esquema de solução
Esse esquema,
obt ido re t i rando os
vínculos que
transmitem
momentos f le to res
na
viga,
sobre
os apoios
internos, cons ta da f ig . 4.10 .
om esse
esquema de
solução
formalmente
se
tem:
109
-
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1
17/42
EI6
22
EI6 444,4
por
s ime t r i a )
EI 6
1 2
1 0 . - } - . 3 , 3 3 3 . 6 , 6 6 7
+
1 0 . ~ . [ 3 , 3 3 3 2 . 6 , 6 6 7 +
+3,333)
+
6 , 6 6 7 6 , 6 6 7 + 2 . 3 , 3 3 3 ) ]
+
10.
~ . 6 6 6 7 . 3 3 3 3
388,9
EI 6
2 1
EI6
1 2
388,9
pelo
teorema
de
Maxwell)
d)
Solução do
s is tema de
equações
Mult ipl icando todas
as
equações por EI a solução
não se
a l t e r a ;
então :
083 ,3 + 444,4 F
1
+ 388,9 F
2
6666,7 + 388 , 9 F
1
+ 444,4 F
2
donde:
F
1
F
2
-12 ,000
t f
- 4 , 5 0 0 t
108
o
o
e) Kontagem de re su l t ados
Depois de ca lcu lados F
1
e F
2
é in teressan te r e s s a l t a r
que o
problema
r )
é i sos t á t i co ,
bastando re so lve r a
viga da
f ig .
4 .9 . a ,
determinando
reações ,
esforços,
deslocamentos ou
o que se
quiser ;
na
f ig . 4 .9 .b
es t á esquemat izado apenas º
diagrama de momentos f l e t o r e s .
l
t
f m
o-IJTJI -irrrn:m
lo l
lbl
Fig 4 9
Montagem
de
resultados
do i soluçao
2a.
SOLUÇÃO
a )
Esquema
de
solução
Esse esquema,
obt ido
re t i r ando
os v íncu los
que
t ransmitem
momentos f l e t o r e s
na
viga, sobre
os
apoios
in ternos ,
cons ta da f ig .
4.10 .
om esse
esquema
de solução formalmente se tem:
109
-
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1
18/42
IT I In f
IJ I
l
I
l l
,A,.
A A
k
p Ili
U l l ~ ~
Ã
A ~ Í i F 2 ' ~
ITIJ
lÍilllITITD
4
:R: :: ::
.A..
'""'
+
Fl
J:R(( ::: :
.A.
77 7 ?
'
+
F2
:R:
')J/7'
Ã
' " '"
Fig
4 10 - Esquema
poro
o 2
l solução
b)
Condições de coerênc ia de
deslocamentos
c i
{
.
c i 1
r
2 r
o
o
ou:
c i +
F
c i +
F c i
o
1 o 1 1 1 2 1 2
c i
+
F
c +
F
c i
2 0
1
2 1
2 2 2
o
110
Ir
J
( r J
0)
11)
(
2)
e)
Cálculo
de deslocamentos
Para
ca lcu la r o
deslocamento c i
na
direção
e sentido
k
de F
1
no
t ratando
problema
k) , cont inua-se a t e r , mesmo em se
agora
de ro tações
l i nea r :
estado de
deslocamentos
estado
de
forças
DoP.T .V . :
1.c'i
J k
J
e s t r
M
k
M I
ds
re l a t ivas
e
não
problema k)
problema
j )
Sendo EI constante para a
es t ru tu r a :
E H
J k
o
M M
ds
J
k
deslocamento
Os esforços
M
e Mk,
constam da f ig . 4.11.
para j
1 ; 2 e k
O;
1 ;
2
K
,,
o
,.
o
;1f
- ' ' :e:._
1
F
ig
4
11
- Mo mentos
f let
o r
es
nos
diver so
s
problemas
111
M2
1ad
i
m)
-
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1
19/42
com o
uso conveniente da TABELA 1:
E õ
1 0
Ei õ
20
Eiõ
11
E H
22
Ei õ
12
1 1
1 0 . ~ 3 - . 1 . 1 2 , 5
10 . -3- .1 .12 ,5
1
10 . - 3 - .1 .12 , 5
41,67
10 .
_ _3 .12
10
1 12
· 3 ·
6,667
E H
1 1
6,667
(por
s ime t r ia )
1,667
83,33
Eiõ
21
Ei õ
12
1,667
pelo
teorema de Maxwell)
d) Solução
do s is tema
de
equações
Mult ipl icando todas as
equações
por
EI a
solução
não se
a l t e ra ;
então:
{
3,33
6,667
F
1,667 F
o
1
2
41,67
1,667
F
6,667
F
o
1
2
donde:
F
=
- 11,67
t m
1
f
112
e) Montagem
de r e su l tados
Tendo F
1
e F
2
o problema agora é apenas de re so lve r a
es t ru tu ra i sos tá t ica
da
f ig . 4.12.a . Na f i g .
4.12 .b cons ta ,
como exemplo, o diagrama de M
.
1
tf
m
[l
l
1-
fl_J]
-
J lLITIJ
4 ) R t ) J t > - + ; - - ~ A
11,67
t1 m ~ l l 6 7 1 1 m 3 3 t ~
3,33
tf m
lo)
1b
-
-
. 12,50
12 ,50 Mrl t1m)
F ig
4 .12 - Montagem de resul tados da solução
Comparando
importância de
hiperes tá t icas ;
as
duas
soluções
é poss íve l
v e r i f i ca r a
se esco lhe r .
c r i t e r iosamente
as incógni ta s
aprovei tando o caso específ ico da viga
do
exemplo,
alguns
conselhos poderiam
ser
i n t e re ssan te s :
a Se
simétr icas;
a
es t ru tu ra
for
oportunamente
simétr ica ,
se verá
s is temat icamente
essa
s ime t r i a ,
mas
esco lhe r
como
mesmo
sempre
se
aproveitam cá lcu los que se repetem.
incógni ta s
aprovei tar
sem
i s so
b) Escolher
és t ru tu ras
básicas
próximas da rea l ,
evi tando que, como na la . SOLUÇÃO sejam
manuseados
es f or ços
de uma
ordem
de grandeza muito grande
para
obte r r e su l tados
muito pequenos. I s so acaba
acarre tando
a
necessidade
de se
t r aba lha r
com
um número relat ivamente grande de
algarismos
s ign i f ica t ivos para ev i t a r
ampliação
de e r ros
nos
resul tados.
113
-
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1
20/42
c) Procurar
minimizar a in te r fe rênc ia de uma
incógni ta
nas ou t ras i s t o é
procurar
obte r predominância
dos e lementos a sobre os a para i - j .
11 . 1J
Com essa
minimização, obtida
ev i ta -se problemas
de
imprecisão na
com a 2a.
solução ,
solução
do
s is tema de
equações.
Assim,
só para
argumentar,
supondo
que
os
deslocamentos t ivessem s ido calculados com uma precisão
de
±
0 1 \ devida por exemplo ao arredondamento
de pa rce l a s i sso
poder ia
a c a r r e t a r e r ros na solução do s is tema e
que
seriam
d i feren tes
para
cada uma das
soluções: assim,
na
l a .
SOWÇÃO
i s so acar re ta r ia
um
erro possível de
±
3 5 \
.
para F
1
e ±
7 0 \ para F
2
:
já na
2a. SOWÇÃO esse erro
se r i a
d e ±
0 5 \ para
F
2
e ± 0 9 \
para
F
2
•
d) Procurar obter es t ru tu ras básicas
s imples ,
evi tando
que
se tenha diagramas de
es f or ços
internos
muito
compl icados .
No caso da
2a.
SOWÇÃO no diagrama de M
0
, em cada
tramo só
estar iam
envolvidas
as cargas
sobre
esse
t ramo:
já
na
l a .
SOLUÇÃO a carga em qualquer
tramo
afe ta r ia todos os
out ros .
4 .2 .2 .2 .
Resolver
a
viga
submetida a uma var iação de
tempera tura
Numa
e s t ru t u r a
i so s t á t i c a as var iações de tempera tura
só acarre tam deformações da es t ru tu ra sem gerar esforços
i n t e rnos o que
se
pode cons t a t a r
facilmente
com as
condições
de
equ i l íb r io
em
si tuação
de
carga
externa
nula:
já
nas h iperes tá t i cas
as vinculações
adic ionais
impediriam
esse
deslocamento l i v r e
gerando-se então
esforços
internos
e
reações
d i feren tes de zero.
Seja
o caso , no
exemplo,
de se
cons ide r a r
o e f e i t o de
uma var iação de tempera tura de â t 100°c para toda a face
s
superior
da
viga, e â t
1
= 2oºc
para toda a face i n f e r io r
assumindo, para
que
as seções planas
permaneçam planas ,
em
concordância com as h ipóteses
do método c láss ico
que ao
longo
da
a l tura haja var iação l inear
de
tempera tura .
a) Esquema
de
solução
Adotando
como
incógnitas
h iperes tá t i cas
os
momentos
f le tores
na viga sobre os apoios , conforme 2a. SOLUÇÃO do
i tem 4 .2 .2 .1 pode-se montar o
esquema
de solução da f ig .
4 .13 .
li
Is
li
5
li
t
Ir
l
.A.
llt i
.4
Liii
4
Liii
à .
I l i
li Is
)Rf
llt
5
):R
li s
Ir
1
A
l l t ;
l l t
Lili
A
Fl-
Fl
Fz ..._ . Fz
Ili
li
t
5
li
5
at
5
0 )
Á .
:R:
Jt
A
Lili
Lili
Lili
...... .. .
+
Fl
., \:-
- - ) - ~ > + - - - - - - - < : k
l
1
( ll
(
2
Fig 4
13
- Esquema para var i
ação
de t empera t u ra
com esse esquema de
solução ,
também:
115
formalmente
se
tem,
-
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1
21/42
b) Condições de coerência de deslocamentos
No
problema r) também
não haverá deslocamento, no caso
gi ro r e la t ivo , na
direção de cada
vínculo
re t i rado; assim:
{
o
1 r
o
2 r
ou:
{
F
F
o
1 r
1
o
1
1 1
2 1 2
F
F
o
2 r
2 0
1
21 2
22
c) Cálculo de deslocamentos
Os
deslocamentos envolvidos nos problemas 1)
e
2) j á
foram
calcu lados
no i t em
4.2 .2 .1 , 2a.
SOLUÇÃO;
lá se
obteve, em unidades coerentes co• t , e m:
EI6
11
EI6
12
EI6
22
6,667
1,667
Res ta r ia
então ca lcu la r os
estado de deslocamentos
estado de forças
116
; para i sso:
º
problema
O)
problema
j)
As
deformações
de
um elemento
de comprimento
ds
em
qualquer
posição
da
viga no problema
O )
podem-ser
ca lcu lad as
com o
auxí l io
da
f ig . 4.14. Supondo que os
momentos
sejam p o s i t iv o s
se
provocarem t r ação embaixo, as
deformações serão pos i t ivas se provocarem extensão
embaixo, i s t o
é ,
se à t i à ts .
ds
n
1
Í
1
1 du
0
C.G
· · -
·
h/L
1
ds
Clll l[ds
Fig
4
4
Deformações provocados pelo
variação
de
temperatura
Com
i sso
se
obtém:
du
o
Impondo
o
estado de
deslocamentos
O) ao estado de
forças j )
t em-se,
do
P.T.V.:
'
J
M
+
1
o
s
t.
J
N du
1
~ s t
sendo
N
1
_
o
para
a
viga, subst i tu indo t em-se:
117
-
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1
22/42
< 5
o
J
t r
Sendo
a , h, At
1
e At.
cons tan tes ,
tem-se:
o
A t - At >J M
ds
n 1 s J
vlg
onde
a
i n t egra l
remanescente
é ass im i l áv e l a uma
á r ea ,
coa
s i n a l , do diagrama de M obt ido para j
=
l 2 na f i g .
4 .11
J
do i t em 4 .2 .2 .1 . Então, por
s ime t r ia :
< 5
10
10 - s l
o. 46 20-100) ~ 2 0 . 1
-0,01739
Para t e r todos os deslocamentos au l t i p l i cados
por
EI:
E H
10
E H
20
-2100 .37000 .10-• .o ,01739
-135 ,1
Observe-se que,
diferen temente
do
caso de
ca r gas , agora
é
importan te
o va lor e fe t ivo dos
EI:
quanto
mais
r íg ida f or
a
e s t r u t u r a , maiores se rão o s es fo rço s provocados pe la
var iação de temperatura.
d) Solução do
sis tema
de equações
Mult ip l icando-se
subs t i tu indo ,
tem-se:
{
135,1
+
6,667
-135 ,1
+
1,667
donde:
F
F
F
F
2
16 ,21
tm
1
f
as equações
+
1 ,667
F o
1 2
+
6,667 F
o
1
2
118
por
EI e
Tendo F e F o
1 2
e s t r u t u r a i s o s t á t i c a
problema
da f ig .
é
a
penas
o de
r e so lve r
a
4.15 . a ; é essenc ia l não
esquecer ,
caso
se que i r a ca lcu la r
deslocamentos, que,
além
das deformações provocadas
pelos
es fo rço s in te r nos , t em-se
também as provocadas
por
v ar i ação
de temperatura.
Na f ig .
4.15 .b es t á esquematizado o diagrama
de
M .
.
4-1
-
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1
23/42
lo l
.li..
(bl
M
0
mi
-2,50
F ig 4 6 -
Es tado
de
forças
o 1
Do
P . T . V . :
V
J
st r
A
deformação
no
caso
inc lu i , além da provocada
pelo
momento f l e to r ,
também
a provocada pela var iação de
tempera tura , i s t o é :
M
i ds
+
(A t
1
-A t
5
)ds
Com i s so :
J
M (At -At
)ds
.. h
1 s
tr
s t r
ou
então,
para
o
caso:
o e
t
r
Com
o aux í l io das
f ig .
4.15 e
4.16,
e o uso conveniente
120
da T BEL
1:
1 1
~ V = .10 .2 .16 21.2 ,50
+
2100.37000.10-
4
1 0 -
5
1
+
o 46 20-100)2-10.2 ,50
ou:
V
0,02608
- 0,02173
0,00435 m
ou:
V
0,435 cm
4 . 2 . 2 . 3 .
Resolver
a
viga
submetida
a
recalques
de apoio
Numa es t ru tu ra i sos t á t i ca , recalques
de
apoio
implicam
apenas em deslocamentos da es t ru tu ra , sem deformação;
j á
nas
es t ru tu ras h iperes tá t icas os
vínculos
adicionais impedem
esse
deslocamento
reações.
l i v re ,
gerando
esforços
internos e
Seja o caso de, no
exemplo,
determinar o e f e i t o de um
recalque de 3 cm,
para
baixo, do
apoio
2 e 1 cm, para
baixo,
do apoio 3. Como a solução pode ser um pouco di feren te ,
dependendo de
as incógnitas hiperes tá t icas
t erem ou não
a
direção
do
recalque,
se ana l i sa rá
o
problema
com as mesmas
duas
soluções
adotadas no
i tem 4 . 2 .
2 .1 .
121
-
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1
24/42
l a .
SOWÇÃO
(Recalques na direção das incógnitas)
a)
Esquema
de so lução
Esse
esquema, obtido pela re t i rada dos apoios
in te rn o s
2
e
3,
cons ta
da
f ig .
4.17
e
tem
como
ca rac te r í s t ica
pr inc ipa l que os recalques
aparecem
no problema ( r ) .
0 , 0 3 m
; t 4 0 , 0 l m
1 1
,.,,,,.,,
I l i
f t::
d O , O l m
A
Ir
1
1
Fl
Il i
1 1
'
+
Fl
40
J1
li
A
+
F2
A
J1
à
121
'
Fi 9
. 4.17 -
Esquema
para
a l solução
com recalques
Formalmente
o
problema pode se r
posto como:
( r )
o)
+
F
1
1)
+
F
2
( 2)
122
b)
Condição
de coerência
de deslocamentos
o,03 m
0,01
m
ou
então ,
não havendo
qualquer so l i c i t ação no problema (O):
{
5
F
+
F 0,03 m
lr 1
2 12
c5
F
c5
+
F
ci
0,01 m
2r
1
21
2
?.?.
c)
Cálcu lo
de
deslocamentos
Os deslocamentos
dos problemas (1)
e
(2)
já foram
calculados na l a . SOLUÇÃO do i tem 4 .2 .2 .1 e valem:
Eic5
11
EIO
12
EIO
22
EIO
21
444,4
388 ,9
Para t e r todos os
deslocamentos
mult ipl icados pelo
mesmo EI:
EH
lr
EIO
2r
- 4
2100 .37000 .10 .
0,03
- 4
2100 .37000 .10 . 0,01
233,1
77,7
Observe-se
que,
também
nesse
caso ,
i n t e res sa
o
v a lo r
e fe t ivo de EI;
quanto
mais r íg ida for
a es t ru tura , maiores
serão os e fe i tos dos mesmos recalques .
123
-
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1
25/42
d) Solução do s is tema
de equações
Multiplicando
as
equações
por
tem-se:
EI e
su b s t i tu in d o
{
233,1
77,7
donde:
444,4
F
1
388,9
F
2
388,9 F
1
+
444,4
F
2
1,584 t
-1,211 t
a)
Montagem dos resu ltados
com F
1
e F
2
calculados,
o
proble•a
r_
é
i sos tá t ico ;
para quaisquer e fe i tos , e le
corresponde
a
viga da
f ig .
4.18 .a.
A f ig. 4.18 .b corresponde
ao diagrama de
Kr.
J
,58 1
lf
t
,211
lf
(ai
~
Mr
llt•I
-
6,52
Fi g . 4.18 -
Monto9em
de resul
todos da
solui;ão com recalques
2a. SOWÇÃO
(sem reca lques na direção das incógnitas
124
a) Esquema de
solução
Esse esquema, obt ido pe la re t i rada dos vínculos que
t ransmitem momentos
f l e tores
na viga
sobre
os apoios , cons ta
da
f ig . 4.19: sua ca rac te r í s t ica
essen c ia l
é que os
reca lques constam
do
problema (o)
;
esse t ipo
de solução
é
mais geral que
o
ante r ior .
A
- 4 - ~ ~ ~ ~ 1 ~ : : : : ~ ( ~ ~ ~ ~ : : : : ~ ~ ~ ~ - - - . 2 . . .
~ , 7? 7 7'
. '7?7
Fz
Fig. 1. 19-Esquemo poro o zllsolui ;õo com recalques
Formalmente, tem-se então:
125
Ir l
Ir l
1 1
li
121
-
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1
26/42
b) condições
de
coerência de
deslocamentos
od
i
a
ex is tên c ia
dos
Essas condições devem repr uz r
· d · t é na-o
haverão
ro tações re l a t ivas
vínculos r e t i r a os , is o ,
nas ar t icu laçõ es c r iad as :
o
o
ou:
{
s
s
F S
F.S
o
1 r
10
1
2 12
F
F
S
o
2 r
20
1
21
2 22
c)
cálculo de
deslocamentos
os deslocamentos associados
aos
problemas
1)
foram ca lculados na
2a. SOLUÇÃO
do
i t e • 4 .2 .2 .1 :
EU
11
EU
12
EU
22
6,667
1,667
e
2)
j á
os associados
ao problema O) são obt idos d i re tamente ,
com
geometria de
deslocamentos l in ear izad o s ,
da própr ia
f ig .
4.19; assim:
0,03
0,021
10
10
0,02
0,01
1
10
-0,005
0,001
126
Para t e r
todos os deslocamentos
mult ip l icados por EI:
EU
10
EU
2
-4
-2100 .
37000
. 10 .
0,005
- 4
2100 . 37000 . 10 . 0,001
d)
Solução do
s i s tema de equações
-38,85
7,77
Mult ipl icando as equações por
EI e
substi tu indo:
{
-38,85 6,667 F
1
1,667 F
2
7,77 + 1,667
F
1
+ 6,667
F
2
donde:
{
6,52
t m
1
f
F
-2 ,79
t m
2 f
e)
Montagem de resu ltados
o
o
Com F
1
e F
2
ca lculados o problema é i sos t á t i co ;
para
quaisquer
e fe i tos
basta ca lcu la r
a
es t ru tura
i sos tá t ica
da
f ig . 4.20 .a.
É
in te r es san te
observar ,
para e f e i t o
de cá lcu lo
de deslocamentos, que se deve computar também os reca lques
.
impostos
a es t ru tura
i sos tá t i ca
no problema O). o diagrama
de momentos f l e tores consta
da
f ig .
4.20.b
e
é o mesmo da
f ig .
4.18.b.
127
-
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1
27/42
1
o)
1
b)
F i9 . 4 .
20
Mor>tooem
de
resultados
do 2 solução
com
recalques
4 .2 .3 . Exemplo
2
Determinar
o
diagrama de momentos
f
l e to res para
a
viga
e
carregamento da
f ig .
4.21.
13 t t /m í 2 , l lt lm
F
J
liirr11rrrrn'
111
r
l
JJJill
5 i 4
°
2 j A 4 i
j 8m l 2mj 6m
J
6m }m
F ÍQ 4 21
Exemplo
2
a)
Determinação do
grau de hiperes ta t ic idade
As
vinculações
equivalentes en t r e as chapas
es t ão
deta lhadas
na
f ig .
4.22.
11
1 l
4
22 Vinculações equivalentes poro
o
Exemplo
2
128
Da f ig . 4. 2 2:
c
2 b
2c
4
b
6
sobram
2
vínculos ..
h
2
n
b)
Esquema
de
solução
Consta da f ig .
4 . 23.
Ir
l
Ir
l
0)
1
l l
12)
Fi 9 . 4
23 Esquema de solução poro
o
Exemplo
2
Com
esse esquema,
formalmente
se tem:
r )
O) F 1 ) F 2 )
1 2
e)
Condições
de coerência de deslocamentos
129
-
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1
28/42
{
s o
1 r
s o
2r
ou:
{
s
s
+ F S
+ F .S
o
1 r
1 o
1 11 2 12
s
s
+ F
S
+
F .S
o
2r
2 0
1
21
2 22
d) Cálculo de
deslocamentos
Para
ca lcu la r
o deslocamento
.S
Jk, na
d i re ção
e sen t ido
de
F no
problema (k)
com
o
P.T.V. t em-se:
J
estado
de deslocamentos
problema (k)
estado de forças
problema
( j )
DoP.T .V . :
s
J
k
J
M
k
M
EI
ds
estr
Sendo EI cons t an te por t r e cho :
s
Jk
ou então:
1
T
e e
E I S
e e
j
k
l
J
1
o
o
E I
e e
MM I
ds
J k 1 1
M M d s
J
k 1
130
com:
l
1
Os
diagramas
de M
e Mk, para k = O;
l ;
2 e j = l; 2,
em
como os
comprimentos
f i c t í c i o s
:
correspondentes
a
Ec
E , I =
j
constam
da
f i g .
4.24.
e
10,40
10,40
1,05
[OI
IJ]J DOS:ZS:
1
l
0,333
1
1
rb-«t:lJJJlll f µ I ~
l
4,0
l
1,5 - l
M2 lodim . l
1,6
1
(
, ,
f lm l
Fi g
. 4 .
24
-
Momentos f l e tores
e comprimentos
f ic t íc ios
Com a
conveniente
ut i l i zação da
TABELA 1:
E I
.S
e e 1
1 1
- l 6 . ~ . 1 . 1 0 4 0
+ . 1 . 1 0 4 0
2 ,7733
131
-
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1
29/42
E I l
e
e
20
1 , 6 . + . o , J J 3 . 1 0 , 4 o
-
I , 6 . + . o , 3 3 3 . 1 0 , 4 0 +
+
4
,
0
. .10 ,40 2 .0 ,333-1)
+
4,o .- i - - .10 ,40 -o ,333+1)
+
1
l 5 . ~ . 1 . 4 2 0 + 1,5.
10,6083
E I ô
0,5333
e
1 2 1 2
2 )
E I
l = 1 , 6 . -
3
.
O ,
3 3 3 + 4 ,
O •
3
-.
O ,
3 3 3 -O
,
3 3 3 . 1+1 +
r 22
1 2
+ 1 ,50 . -3 - .1
E I
l
e < 12
1,5963
E I
ô
e 2
1
- 1 6 . ~ . 1 . 0 3 3 3
e)
so lução do sis tema de
equações
-0 ,0888
Mult ip l icando as
equações por
E I
e subs t i tu indo:
o
{
2,7733 + 0,5333
F
1
10,6083 0,0888 F
1
+ 1,5963 F
2
o
0888
F
2
o
donde:
132
-6 ,37
trm
-7 ,00 trm
f ) Montagem
de
r e su l tados
Com F
1
F
2
conhecidos
o
f i g 4.
25.
a . o diagrama de
pode ser obt ido
da f ig .
problema é i s o s t á t i c o , conforme
M
que consta da f ig .
4.25.b,
4 .25 . a com as condições
de
equi l íb r io ,
ou
por
superposição
de
efe i tos ,
fazendo:
r
M
FM
+ F M
o 1 1 2 2
M
2 111/m
.11 ,3
lf /m J
[L t t1 +
i JJJ 1 1 1 1 : r r r 1 ~ 1 *n
x
)Z
4
6 37
1
1
m
7 00 t
m 7 00
t1m
1o
. 8,07
7,00
1
bl
Fi9
. 4
25
-
Montagem
de
resul lodos
do
Exemplo
2
133
-
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1
30/42
4.3 .
O PROCESSO DOS ESFORÇOS APLICADO A PÓRTICOS PL NOS
4.3 .1 . Detalhes
ca rac te r í s t icos
dos pór t icos planos
Um pór t ico plano
é
definido
como uma
es t ru tura
plana ,
s imét r ica em relação
a
seu plano,
com
cargas nesse plano
e
vinculações que não
introduzam
so l i c i t ações fora
do
plano.
Do
ponto de
vis ta
da
determinação geométrica das
diversas
chapas que
co n s t i tu i r iam
um
pór t ico
plano,
cada
chapa-aberta n ecess i ta de t r ê s barras v inculares no plano
e
sem
passar pelo mesmo ponto, para f ixa r sua posição
nesse
plano.
Do ponto
de
vis ta da
determinação
es tá t ica
dos
esforços
in ternos
e reações na mesma
chapa-aberta , d ispõe-se apenas
de t r ê s
equações
de equi l íb r io relevantes
com
as quais se
determinam os esforços
nas
barras
que
vinculam
a chapa.
A
f ig .
4. 6 contem
um
apanhado de vinculações em
sua
representação
usual e o
seu s ignif icado
em
termos
de
barras
vinculares equivalentes .
Assim,
um
pórt ico
plano co n s t i tu íd o por ç chapas
ab er tas i n t e r l igadas por . ; _ barras v inculares poderia
ser
c las s i f i cado
em
termos de determinação geométrica,
dependendo da relação
de para
ç da seguin te forma:
b <
3C
b 3C
b > 3c
pórt ico plano
geometricamente
indeterminado
pórt ico
plano geometricamente
determinado
p ó r t ico plano geometricamente
superdeterminado
Similarmente
se
poderia
fazer
a
c las s i f i cação
do
ponto
de v i s t a da determinação es tá t ica :
b < 3C
b 3c
b > 3C
pórt ico plano hipostát ico
p ó r t ico plano
i sos tá t ico
p ó r t ico
plano hipe res t á t i co
34
Apoio
l xo
Apoio móvel
Art
icu loção de 2 chapas
Art icu lação
de 3
chapas
Cont i nu i dode
/
Fig
4 .
26 Vinculações equivalentes em pórticos
planos
Conforme
já comentado no
item
4.2 .1 ao se t r a t a r
com
v ig as es sa
contagem de vínculos não é conclus iva .
Chamando
de b o núméro de
barras
ábsolutamente
n
necessár io
para
a
determinação
es tá t ica
chamar-se-á,
no
caso
de
b > 3c,
grau de
hiperes tat ic idade h ao
número
de
vínculos que
excede
b = 3c.
n
Seja
como
exemplo,
o
caso de
determinar o grau
de
hiperes tat ic idade h do
pórt ico da
f ig .
4. 27.
Nessa f igura
es tão anotados jun to
às vinculações
os
números
de barras
135
-
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1
31/42
vinculares
correspondentes , e
também as
barras
vinculares
necessárias
.para
se abr i r
quadros anteriormente
fechados.
/ \V
131
161
1
21
13
1.. i .
121 111
'
Fi9 127 Exemplo de cálculo do 9rau de hiperestaticidade
Da f ig . 4.27:
c 3
b
3c
9
n
b =
17
Sobram,
portanto o i to
vínculos
e
então:
h 8
ou, o grau de
hipe res t a t i c idade
do pór t i co é igual a 8.
4.3 .2 . Exemplo 1
se ja
o pór t i co de
aço da f ig . 4.
28, que
se pretende
re so lve r computando os
efe i tos
de diversas
causas.
136
Í l lf /m
2
5j
3 j
l
em
3
j
E
on
E • 2100
tf
/cm
2
j •
10000
cm
4
a •
Õ
5 0
c·
1
Fi9. l .28
Eumplo l -Es trutura • carre9omento
Antes
de
p a r t i cu l a r i za r
as s o l i c i t a ç õ e s
duas
coi sas
poder iam
ser
ana l i s adas :
a)
Determinação do grau
de
hipe res ta t ic idade
imediato , no caso:
e = 1 b = 3c
n
3 .. b
5 .. sobram 2
b) Escolha das i ncógni t a s hipe res tá t icas
h
2
Em se t ra t ando com pór t i cos
planos
nem sempre é t ão
evidente a decisão sobre quais vínculos ser ia melhor
r e t i r a r ; valer ia a pena, ent re tan to ponderar
algumas
soluções poss íve is ;
na
f ig . 4.29 são mostradas
algumas
poss ib i l idades
in te re ssan te s para o
pór t ico
do
exemplo.
Fl
Fl
F2
a l
tF2
1b1 1c1
Fi9 I
29
Pouibilidadea
d•
soluçao
no
Exemplo
l
137
-
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1
32/42
Com
a poss ibi l idade da f ig . 4.29.a r eca i - se numa
es t ru tura básica
em balanço ,
mui to simples
de resolver ,
mas
que, além de poder
acarre tar
diagramas complexos
se
as
cargas forem
mais
complexas, tem o sé r io inconveniente
de
se
manusear esforços
internos
de
uma ordem
de grandeza muito
maior que
a
que se espera para
os
esforços
f ina is .
A
da
f ig .
4.29 .b reca i
numa es t ru tura
bia r t i cu lada ,
também simples
de re so lve r , com diagramas
que poderiam
se r
mais
complexos
se as
cargas
fossem mais complexas,
mas
não t e r i a
o
inconveniente da ante r io r ; já a
da
f ig .
4.29 .c
r e s t r inge um
pouco mais
a
i n f luênc ia
da complexidade
das
cargas a
nível
de seu
e fe i t o em
cada bar ra , apesar de
os
procedimentos no
t r a t o da es t ru tura i sos tá t ica
serem
l igei ramente
mais
complicados.
Entre es ta s duas, opta r - s e -á pela
ú l t ima .
4.3.2.1.
Resolver
o
pór t i co submetido ao carregamento dado
a)
Esquema
de
solução
Consta da f ig . 4.30.
UTTO ll i U
t l l l J
O Tl f I I I ID
= +
r l
r l
0)
1 1
( l i
2 )
F i9
. 4 .3 -
Esquema poro e fe i to do corre9omento
138
ou:
Com i s so se
tem, formalmente:
b)
Condições de
coerência
de
deslocamentos
o
o
6 F 6 F 6
1 o 1 1 1 2
12
6 F 6 F 6
20 1
21
c) Cálculo
de
deslocamentos
Para
ca lcu la r 6
tem-se:
Jk
estado
de deslocamentos
estado de forças
Do
P .T .V . :
M
1
6
M
k
ds
[
J k
J
EI E T
e e
1
str
l
E
I 6
[
J
MM
ds '
com
e
e
Jk
J k
1
o
o
o
problema (k )
problema
( j )
1
E
I
MM
e e
J k
E T
1 1
o
E I
e e
l
1
E T 1
1 1
ds
Os
momentos f le to re s M
0
, M
1
e M
2
, e os
comprimentos
139
-
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1
33/42
f i c t í c i os t:
correspondentes a
E=
E e I j,
cons t a • da
f i g .
4.31 .
l
o
(t1 m)
Ml
odim 1
l
M
odim 1
°
°
1,600
1
1m1
8
;
f i9 . 4
31
- Momentos f letores e co•pr imentos f i c t íc ios
Com o uso
conveniente da TABELA
1:
E I c5
e e
10
E I c5
e e
20
6,667
E I
c5
e t
E I
c5
e
22
1,922
E I c5
e e
1 2
-0 ,567
1
1 , 600 · - 3 - .
l
. 8 , 0
1
1 , 0 0 0 . - r . I . 6 , 0
1,267
1 1
1,600.-
3
- . 1 . 8 , 0 +
1 , 0 0 0 . ~ . 6 , 0 2 . I + 0 , 4 0 0 )
1 2 2
1,600 . - 3- . 1 + 1 , 6 6 7 . 1
2 ,200
1 2 1 2 1 2
1,600 . - 3- . 1 + 1,667 . - 3- .1 + 2 ,5 0 0 . - ) . l
E I c5
e e 2 1
1
1 , 6 0 0 . ~ . l . l
140
1
1,667 . 2-1.l
d)
Solução
do
s is tema
de equações
Multiplicando
por E I
tem-se :
as
equações,
e
subst i tuindo,
{
1,267 + 2,200 F
1
-
0,567 F
2
6,667 - 0,567 FI + 1,922 F2
donde:
-1 ,591
-3 ,938
e) Montagem
de
resul tados
o
o
Para
quaisquer efe i tos ,
tendo
F
1
e F
2
,
o
problema agora
é resolver
a es t ru tu ra
i sos t á t i ca
da f ig . 4.32.a : na
f ig .
4.32.b
consta o
diagrama de
obtido pela
superposição:
M M FM FM
r o 1 1 2 2
f
tr /m
U I
TLILJ
M
que também poder ia
2,400
o 1
Mr
(
t1 ml
\.
3,653
b 1
Fig 4 32 -
Montogem
de
resul
todos poro ele i to do carregamento
141
ser
-
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1
34/42
4 .3 .2 .2 . Resolver
o pór t ico
para e f e i t o de reca lque
de
apoio
Considere-se,por exemplo, um reca lque ver t i ca l de
1
cm,
para baixo, do apoio : a direção
do recalque
nada tem a v er
com a das incógnitas hipe res t á t i cas :
a) Esquema de solução
Consta da
f ig .
4.33.
F2
F2
-
=
Ir 1
Ir
1
COI
•
0
03m
to ,03m
0,03m
121
f 9 4
33 Esquema de
wlui ;õo
poro efei to de recalque de
apoio
Com
i sso:
r) = O)+
F l) F 2 )
1 2
b) Condições de co erên c i a de
deslocamentos
o
o
142
ou:
c +Fc5 +Fc5
o
1
o
1 1 1
?.
1
?.
c +Fc5
+Fc5
o
2 o 1 ?. 1 ?.
22
c)
Cálculo de deslocamentos
Os
deslocamentos
associados aos problemas
1)
e 2) já
foram
calculados e valem, em unidades coerentes com t
1
e m:
E I
c
2,200
e e
ti
E I
c
1,922
e e 22
E I c E I c - 0 , 567
e e
12
e e 21
Os
associados ao problema O) podem
se r
obtidos da f ig .
4.33, por geometr ia de
deslocamentos l inea r izados ,
e
correspondem à diminuição dos ângulos re tos em 1 e
2:
c c5
1 o
?. O
0,03
8,00
0,00375
Para t e r todos os deslocamentos multipl icados por E I
e e
lembrando
que E
E e I
= j:
e
E I
c
e e 10
-E I c
e e
20
2100.10000.10-
4
. 0 ,00375
7,875
d)
Solução
do s i s t em a de
equações
Mult ipl icando
as equações por E I e subs t i tu indo:
e e
143
-
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1
35/42
{
7,875
+
2,200
F
0,567
F o
1 2
-7 ,875
0,567
F
+
1,922 F
o
1 2
donde:
{
-2 ,731
t m
1
f
F
3,292 t m
2 f
e) Montagem de resul tados
Tendo F
1
e F
2
, para quaisquer re su l t ados que se
queira bas ta ana l i sa r o probleaa
i sos tá t i co
da f ig . 4.34.a:
observe-se que, para
efe i to
de cá lcu lo de deslocamentos,
tem-se
que
computar também
os
deslocamentos impostos
à
es t ru tura
i sos tá t i ca
básica.
Na f ig . 4.34.b
es tá
esquematizado o diagrama de
Mr,
devido ao recalque.
3 292
o
1
1b1
Fig . 4 .34 -
Montagem
de resul tados
4. 3. 2.
3.
Resolver o
pór t i co
para e fe i t o de variação de
temperatura
Nos
pórticos, diferentemente
do
caso
das vigas , não
só
144
a diferença
de tempera tura de
uma
face
para
outra
das barras
provoca
f lexão;
também
a var iação
uniforme
é
capaz disso; de
qualquer
forma o encaminhamento da
solução
é o mesmo.
Seja , no exemplo, o
caso
de se computar os
efe i tos
de
um aquecimento uniforme
de
t .t = 60°C.
ou:
a) Esquema de
solução
Consta da f ig .
4.35.
t t
àt
r)
1
1
r)
12
1
l
à t
à t
0 )
Fi g .
4 .35 - Esquema c te
so luçõo
poro variação
c te temperatura
om i s so
se tem, também:
b) Condições
de
coerência
de deslocamentos
o
o
145
+
-
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1
36/42
ô
+Fô +Fô
o
10 1
11
2 12
ô +Fô +Fô
20 1 21 2 22
o
c)
Cálculo
de deslocamentos
Os
dos
problemas 1)
e
2)
j á
foram
calculados
no
item
4 .3 .2 .2 e valem, em unidades
coerentes
com
t f
e m:
E I ô
e e 11
2,200
E I 6
e e 22
1,922
E I
6
(_ e 12
E I ô
e
t.·
21
-0 ,567
Resta,
então,
calcu lar os
ô , do problema O).
º
No es tado
de
deslocamentos
correspondente
ao problema
O ) ,
sendo
uniforme a var iação
de
temperatura ao
longo da
a l tu ra das
bar ra s ,
tem-se, num
elemento de barra de
comprimento ds, uma única
deformação:
du a . t i t .ds
o
o
es tado
de forças convenierrte é o própr io
problema
(
j , só
que
agora interessam os esforços ax ia i
