Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1b

8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1b

1/20

UNIVERSIDADE

DE SAO PAULO

ESCOLA DE ENGENH RI DE

SAO

CARLOS

i

t f

m

l l i i l l l l \ J I l l l JJ

0 ~ 6 3 ~ 2 0 0

. . . 11-711,18

0 634

t fm

o )

b )


2/20

UNIVERSIDADE DE SÃO PAU LO

Reitor:

Roberto Leal

Lobo

e

Silva

Filho

Vice Reitor:

Ruv Laurenti

Obra produzida

na Escola

de Engenharia

de

São

Carlos

EESC

Composição

e Edição:

CETEPE

Centro

de

Tecnologia

Educacional para

Engenharia

da

EESC

Impressão:

Serviço Grâfico da

EESC

ª edição 1995

UNIVERSIDADE

DE SÃO PAULO

ESCOLA

OE

ENGENHARIA DE S O CARLOS

PROCESSOS

GER IS

DA

' .

HIPEREST TIC

CL SSIC

JOÃO CARLOS

ANTUNES DE

O E

SOUZA

HELENA M. C. CARMO ANTUNES


3/20

TOOOS 5

DIAEITOS RESERV DOS Nos

termos da

Lei

que resguarda

os

Direitos Autorais, é proibida

a

reprodução total

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de

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de

fotocó

pia e de gravação -

sell

per•lssão,

por

escrito, do(s) autor(es) .

Catalogação na

Fonte

- Se r

viço de Bibl

i

oteca da

EESC - USP

S729p

SOUZA João

Carlos Antunes de OI

iveira

e

Processos

gerais

da hiperes tát ica

clãs

sica/Joâo

Carlos Antunes

de

OI i

ve

i ra

Souza, Helena Maria Cunha do Carmo

Antu

nes.

São

Carlos:

Escola de Eng

enharia

de

São

Carlos, Serviço Gráfico,

1992.

346p.

ISBN 85 -

85205

-02

- 4

1. Estruturas - Estát ica 1. Ti tulo.

C

- 624 .1 715

PREFÁ IO

Er. te l i v r o

como

o já publicado Processo

de

Cross e os em f a se de preparação Técnicas Computacionais

na Es t á t i c a

das Est ruturas

e I n t rodução à

I so s t á t i

c

a

pre tende t e r um

ca rá t e r didát

i co, apresentando

os tópicos

t r a t ados

se m cornpl cações

desnecessár ias ,

mas

senrlo

en t r e t an t o , c onscientemente prol ixo como muitas v e r.es o

processo

de ensino

ne

c e s s i t a s e r .

Os

proce

s sos

aqui

t ra tados

são

ge r a i s

t an to no

aspecto d apl icabi l idode

a

qua lque r

t i po

de

e s t r u t u r a s quanto no de poderem

s e r

encarados

como

va r i ações duais de

woa

mesma

idé ia ;

correspondem a a lguns d os

temas

abordados

na

d i sc ip l ina

Es t á t i c a das Est ruturas na Escola de Engenharia de São

ca r lo s ,

a

par co

m

processos

de us o r es t r i to , como os de

Cross de Propagação,

an t

ecedendo t odo o desen vo lv imento

m a t r i ~ a l vi sando a programação em computador.

São Carlos março de 1992

Os Autores


4/20

r

N D 1

e

E

1. 1

NT

ROOUÇÃO · · · • · · · · · · · • · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

l

1 . OBJETIVOS l.ERA IS

• • . . . . . . • . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . 1

1 2 . ESTRUTLJRllS LI NF ARF S . . . . . . . . . 2

I .3 .

O MÉTODO

CLÁSS

TCO

2

1 li ~ [ J l F . H P n ~ ; 1 ç i i o IW F

FE

o ~ : 7

2 O PR

NCfP

O DOS

TR

ARALHOS RTLJA1S F SUAS

API

1

CACõFS

9

2 . 1 . CONSTDERAÇÕFS

GF

RAIS

• • • • • •

••

9

2 . 2. o PRINC1

PIO

Dor; THABALHOS VIR fl l l \ IS . . . . . . . . . . . J

2 . 1 . POSSIBILIDADES DE J\PLICAÇÃO DO

PRTNCiPTO

DOS

TRABALllOS V IR Tlll\ I S . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 l

2.1 .1 .

Cálculo

de

deslocamentos em

e s t ru tu ra s

i s o s t á t i c a s

. .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

22

2 . 1 . 2 .

Seleção de

uma equação de

e qu i l í b r i

o

numa

e s t r u t u r a i s o s t á t

i

ca

. . . . . . . . . . . . .

27

2 .1 l

o t eorema

da

r ec ip roc idade

d o s

t rabalh o s

ou

Teorema de

Bet t i

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2 .3

.

4 .

O

t eo rema da r ec ip roc idade dos des loca

mC ntos

ou

Teorema de

Max

wr l

1 . . . . . . . . . . 34

3. C LCULO DE

DESLOC MENTOS EM

ESTRUTUR S ISOST T IC S

US

UA i S

37

3 . 1 .

CO

NSIDERAÇÕE

S GERAIS

. • . • . . . • . . . . .

• • •

. . . . . • . . . 3 7

3 . 2 . DESLOCAMENTOS

EM TRELIÇAS

PLANAS IDEAIS • . . • . .

38

3 . J .

3 . 2 . 1 . A t r e l i ç a plana

id e a l . . .

. .

. . . . .

38

J .2 .2 .

Exemplo

l

J . 2 .3

.

Exemplo

2

DESLOCAMENTOS EM

USUAIS

E

ST

RU

TURAS

PLANAS FL

ETIDAS

J . J .1 . Es t r u t u r a s p lanas

f l e t i da s

usuais .

. .

l . J . 2 . Exe mp l o l In t eg ração a na l í t i c a . . . . . .

40

4 9

55

55

63


5/20

3

3

3

Exemplo 2

-

In tegração

numér ica .

......

3 3 4 Exemplo

3

In tegração

u t i l iz a n d o t a b e l a s

3

4 DESLOCAMENTOS

M

OUTROS

TIPOS DE ESTRUTURA

. ..

3

4 .1. o u t r o s Tipos

us ua i s

de es t ru tu ra

3 4 2

Exemplo

1

- Pór t i c o a t i r a n t a d o .

.......

3 4 3

Exemplo 2 Viga com

vínculos

e l ás t i co s

3 4 4 Exemplo 1 Gre lha

.

- -

-

.

-

4 O

PRO ESSO

DOS ESFORÇOS • · · • • · • · · • • • • · · · • • • • · • • • • · ·

4 1

CONSIDERAÇÕES GERAIS

............•..

•

.........

4 2 O PROCESSO OOS ESFORÇOS APLICADO

A

VIGAS .....

4 2 1

Detalhes c a r a c t e r í s t i c o s das

v i ga s

• . .

4 2 2 Exemplo

1

.•.•.........................

4 2 2 1

Resolve r

a

viga submetida ao

carregamento

dado . . . . . . . . . . .

4 2 2 2

Resolve r

a

viga

submetida a

uma

66

72

84

84

84

87

90

95

95

101

101

103

104

va r i a ç ã o de

t empera tura

...••.

114

4 2 2 1 Resolver a v i ga submetida are

calques de apoio.............

121

4 2 J Exemplo

2 •.........

...••.. • • ....... .. 128

4 3

O PROCESSO DOS ESFORÇOS APLICADO A PóRTICOS

PLANOS

4 3 1 Detalhes carac t e r í s t i co s

dos

p ó r t i c o s

planos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. .......•....

4 .

3

2 Exemplo 1 ..•....................•.....

4 3 2 1

Resolver o pór t i co submetido ao

carregamento dado

•.•.........

4 3 2 2 Resolve r o pór t i co para e f e i t o

de reca lque de apoio ........

4 1 2 3 Resolver o p ó r t i c o pa r a e fe i t o

de var iação de t empera tura ...

4 . 3 . 3 .

Exemplo

2

•.•................

.

.........

4 4

O PROCESSO DOS ESFORÇOS APLICADO A GREI J{AS ...

134

134

136

138

142

144

149

1

57

4 4 1 .

Deta lhe

s carac t e r í s t i co s das qre lhas .. 157

4 4 2

xemplo

1 . .... . .

.. .

. -

· · · · · · ·

4 4

3

xemplo 2 . . . . ..... - - · · · · · · · · · · · · · · · · ·

4 .

4 4 Cálculo de gre lhas

desprezando a r ig idez

à t o r ç ã o

das

bar

ras

.. .

.

.. .

. .... .

·· ·

· · ·

4 4

5

Exemplo 3 ......... . .... .... .. .... .

4

5

O PROCF.SSO

DOS

F.SFORÇOS APLTCADO

AOS ARC OS . . .

161

165

169

176

181

4 5 1

o

que

c a r a c t e r iza

um arco

. . . .....

181

4 .

;,>.

J

i pos

u ;11;i i s

de

a r-co ;

.

• .

4

5 . 3 .

Exemplo de def in

.i

ção de eixos de a r cos

4 5 4

Fo rmu lár io s pa ra a r

co

s h i perestáL ic os

usua i s .. . .

........ ....

- · · · · · · · · · · · ·

4 5 4 1 Convenções

.. .

. .. . .. .. . .... . . .

4 5 4 . 2 Arco b i a r t i c u l a d o s i mé t r i c o . .

4 5 4 3

.

Arco

a t i ran tado

s i mé t r i c o

. .

4 5 4 4

.

Arco biengas tado s i mé t r i c o

4 5 5

Caso

s usuais

de

in te g

r ação

em

a rcos

4

5

6 .

Exemplo

1

-

In tegração an a l í t i ca

.....

4 5 7 . Exemplo 2

- In tegração numérica

4 5 8 Exemplo 3

-

Variação imposta de

EI ....

4

5

9 .

Exemplo 4

-

Arco pr ismát ico

por

t rechos

4 5 10 Exemplo 5

-

Adaptação para

pór t i cos

s i mé t r i c o s

4 5 11 0bservações adic iona i s . ..... . .. . . .

4 6 O PROCESSO DOS ESFORÇOS

APLI

CADO ÀS l REI. IÇAS

PLANAS IDEAIS

. ........ .............

.....

.

4 6

. 1 .

Detalhes

ca

r a c t e r í s t i cos

da

t r e l i ç a

plana idea l ..

. . . .

..

.

.

.....

. .. .

.

..

4 .

6 2

Exemplo

l .

.. .

. .

.. ..

. .

.. .

.....

. · · · · · ·

4 7 O PROCESSO

OS

ESFORÇOS APLICADO A ESTRUTURAS

MISTAS

.........

. .

.. .

.....•

...........

.

.....

4 7

l.

Est ru turas mistas usuais . . .. . . ...... . .

4 . 7 . 2 Exemplo l - Viga sobre

apoios

e lá s t i co s

4

7 3

.

Exemplo

2 -

Pór t ico t r e l i ç a d o .. .

. .

··

1 87

188

188

1 90

1 95

199

20

8

209

215

223

229

234

240

246

246

2

48

255

255

255

260


6/20

5. O PROCESSO DOS

DESLOC MENTOS

• • • • · · • • • • • • • • • • · · · · · ·

267

5 1

CONSIDERAÇÕES

GERAIS

5 .

2 .

EXEMPLO DE

APLICAÇÃO

5 . J

EXEMPLO DE

APLICAÇÃO

5 . 4 .

EXEMPLO

DE

APLICAÇÃO

5 .

5 .

EXEMPLO DE

API.ICAÇÃO

.............. .

............

A

VIGAS

. ..................

A

PóRTICOS

.

..............

A

TRELIÇAS

PIANAS

IDEAIS

A

GRELHAS

. .

-

.......

'

267

273

277

284

289

6. O

PROCESSO

M 1STO • . . . . • . . . • • . . . . . . • . • • . . . • . • . • . . . . . 297

6 . 1 . r;oNSIDERAÇÕES GERAIS

•• • •••

297

6 . 2 . EXEMPLO DE

PÓRTICO

PLANO 302

7.

Sltvf>LIFICACOES

DEVID S A SIMETRIA·· · · · · · · · · · · · · · · ·

7 . 1 . CONSIDERAÇÕES GERAIS

• •

7 . 2 .

REDUÇÃO DA

ESTRUTURA • • . • .

7 . 3 . EXEMPLO

1 -

PÓRTICO

PLANO SIMÉTRICO

• • • • • •

.

7 . 4 . EXEMPLO

2 - GRELHA

COM

DOIS EIXOS

DE SIMETRIA.

7 . 5 . EXEMPLO

3 - VIGA VIERENDELL

8.

BIBLIOGR FI

· · · • • · • • · · · · . • . . . . . • . . • . . • • • • •

• • • • • •

309

309

312

318

324

333

339

PROCESSOS GER IS D HIPEREST TIC

CLÁSSIC

C PITULO 1

INTRODUCÃO

1 .

l . OH ,J E

'

I VOS G

ERAJS

Esta

publ icação pretende

t e r

um cará t e r d idát ico

de

in t rodução à h ip eres t á t i ca c l áss i ca

de

es t ru tu ras l i n eares

discut indo

hipóteses

de cá lculo

, c

omportamento

df

es t ru tu ras

e

s impl i f i cações

gera i s

para

es t ru tu ras

usua i s u t i l i zando

process os

de c á l c u l o muito

simples

mas

apl icá ve i s a

qua lquer

t i p o

de

es t ru tu ra l inear .

Os

pro

c

essos

aqui

t r a t ados

,

que poderiam

se r

c

olocad

os

c omo um ún i c o pr oc

esso

gera l

de

solução

de

uma es t ru tu ra a

par t i r

de

out ra su p

o

s t a conhe

c

ida incluem

o

processo dos

esforços

o

dos deslocamentos

o

mist

o . o

pro

c

e ss

o do s

esforços tem um cará t e r apropr iado para

uma in t rodução

à

h ip eres tú t i ca

permi t indo

em sua

ci.plicação mais s imples

reso lver es t ru tu ras h ip eres t á t i cas

reca indo no

c á l c ulo

e lementa r de

es t ru tu ras

i sos tá t i cas .

O p ro

cesso dos

desl oc a me nt os , dua l do an t e r io r ,

tem como maior

v antagem a

sua s i mplic idade o que o

torna

ideal

para

uma

pos te r ior

automatiza

ç

ão

c

omputacional

;

resolve

es t ru tu ras

h i p e r e s t á t i

c

as reca indo

no c

á l

c ul o

de

s t r u t u r ~ s

com

maio

r

grau

de

hiperestat ícidade

mas mais

simples , e ventualmente

a té tabeláveis . O processo misto

tem

apenas o cará t e r

demons t ra t ivo de

uma genera l i z

ação de

idéias , sendo

vantajoso apenas em a lguns c

asos

p ar t i cu l a res .

Todos os inúmeros processos p ar t i

c

ulare

s ,

apl i cáve i s só

1


7/20

8

C PfTULO li

O PRINCIPIO

DOS

TR B LHOS VIRTU IS E SU S PLIC CõES

2.1 . CONSIIJEHAÇÕES GERAIS

O Pr inc ípio

dos Trabalhos Virtua is

ou Teorema

dos

Trabalhos Virtua is doravante apel idado

de P.T.V .

é

o

único

teorema da

energ ia

realmente essencial

ao

desenvolvimento

de

toda

a

es tá t ica

c

l á s s i

c a ;

diversos outros teoremas que

venham, por questão de s ín t e se

a

se r u t i l i z a dos serã

o

demonstrados

a

p a r t i r

dele .

As

condições

de equ

i l i b r io

podem

se r

demonstradas

a

p a r t i r do P.

T. V. ou o

P.

T . V. pode se r

demonstrado,

agora

como teorema

não

como

princ ip io

a p a r t i r

das condições de

equil íbr io ; optar-se -á

por

es ta úl t ima versão,

por

mera

questão de

se

t e r em gera l

uma

previa

ass imilação ,

em

cará te r

mais

in tu i t iv o

das

r e lações

de e qu i l í b r io

.

A

u t i l i da de essencia l do

P.

T.

V.

será

a

de

permit i r

in te ressantes transformações

de problemas eminentemente

geométricos

em

problemas

es tá t ico s

e

vice-versa

fornecendo

alternativas extremamente

simples

e e f i c i e n t e s em diversas

si tuações

.

2.2 . O PRINCÍPIO DOS TR B LHOS VIRTUAIS

Seja

defin ida

uma

e s t ru tu ra

l in ear qualquer e es te jam

defin idas suas

vinculações , i s to

é suas

l igações

in te rnas

e

vínculos

externos .

Seja um es tado de forç

as

a) sobre

essa

e s t r u ~ u r a

com


8/20

CAPíTU O

CÁLCU O DE

OESLOCAtvENTOS

EM

S T R U

ISOSTATICAS

USUAIS

3.1. CONSIDERAÇÕES

GERAIS

Conforme

di scut ido no capi tu lo I I , i tem 2.3 .1 , dado um

es tad o de

hipóteses

deslocamentos

b ) , r ea l

mas

sa t i s fazendo

as

do

Método

deformações dub,

dvb e

coapr imento ds s i tuado

Cláss ico , conhecido a p a r t i r das

d ~ b de um elemento

in f in i te s ima l

de

numa posição genér ica I, provocadas

por

uma

causa f í s i ca

qualquer , é p o ss ív e l u t i l i z a r o

P.T.V.

para ca lcu la r

qualquer t i p o

de

deslocamento

dos

pontos da

e s t r u tu r a .

Para i s so

c r i a -

s e

ua es tado de fo r ças

(a) , com

forças

ex te rn as

convenientes e cri ter iosamente

esco lh id as

de forma

que,

se

s e

impuser

o

es tado

de

deslocamentos

b)

ao

es tad o

de forças ( a ) ,

seu

t r aba lho , o t rabalho

ex te rn o

, s e j a

exatamente i gua l ao deslocamento que se que r medir . Se a

e s t r u tu r a for

i s o s t á t i ca ,

t e r - s e - á waa única dis t r ibu ição de

es forços

in te

:rnos , tendo-se, em

.§.,

N , V• e M .

Do

P.

T. V. ,

então, t e r -se-á :

T

••l

T

l n l

ou:

T

J

N

du

J

V

dv

M

d.b

(3 .1)

•

b

•

b

•

•

l

e •

r

ealr

••tr

O que

se

pretende, em

todo

o t r anscor re r des te

capi tu lo

I I I ,

é

d e t a l h a r a aplicação da expressão (3 .1) , tan to para o

37


9/20

9

CAPITU O

V

O PROCESSO DOS ESFORÇOS

4.1 .

CONSIDERAÇÕES GERAIS

o processo dos esforços é certamente o processo mais

simples

para r e so lve r

es t ru tu r as h ip eres tá t icas

rompendo

a

indeterminação

dos esforços in te rnos

e

es t ru tu r a

das reações nesse

h ip eres tá t ica as

ip o

de es t ru tu r as .

Numa

condições

de

eq u i l íb r io

não

são su f ic ien tes

para determinar

esses esforços in te rnos

e

reações ; existem i n f in i t a s

poss ib i l i da de s de se t e r

eq u i l íb r io donde a

necess idade

de

se ge ra r

equações

a d ic iona i s provenientes de

hipóteses

a d ic iona i s para r e so lve r

o

problema; essas equações

adic iona is se c a ra c t e r i z a rã o no caso da es tá t i ca

c l á s s i c a

como condições

de

compat ib i l idade ou condições de

coerência

de

des locamentos donde a ênfase que se

deu

no c a p í tu lo

an te r io r

ao cá lculo de des locamentos .

O

processo

dos

esforços se

carac te r iza

essencia lmente

por

se

procurar

determinar esforços

em número igual

ao

grau

de indeterminação es tá t i ca ou grau de h ip eres ta t ic id ad e ;

conhecidos esses esforços a rb i t rados como incógni tas

h ip eres tá t icas com as condições de eq u i l íb r io

se

determinam

os diagramas de

esforços

in te rnos

e

as reações .

95


10/20

c) Procurar

minimizar a in te r fe rênc ia de uma

incógni ta

nas ou t ras i s t o é

procurar

obte r predominância

dos e lementos a sobre os a para i - j .

11 . 1J

Com essa

minimização, obtida

ev i ta -se problemas

de

imprecisão na

com a 2a.

solução ,

solução

do

s is tema de

equações.

Assim,

só para

argumentar,

supondo

que

os

deslocamentos t ivessem s ido calculados com uma precisão

de

±

0 1 \

devida por

exemplo

ao arredondamento

de

pa rce l a s i sso

poder ia

a c a r r e t a r e r ros na solução do s is tema e

que

seriam

d i feren tes

para

cada uma das

soluções: assim,

na

l a .

SOWÇÃO

i s so acar re ta r ia

um

erro possível de

±

3 5 \

.

para F

1

e ±

7 0 \ para F

2

:

já na

2a. SOWÇÃO esse erro

se r i a

d e ±

0 5 \ para

F

2

e ± 0 9 \

para

F

2

•

d) Procurar obter es t ru tu ras básicas

s imples ,

evi tando

que

se tenha diagramas de

es f or ços

internos

muito

compl icados .

No caso da

2a.

SOWÇÃO no diagrama de M

0

, em cada

tramo só estar iam envolvidas

as

cargas

sobre esse

t ramo:

já

na

l a .

SOLUÇÃO a carga em qualquer

tramo

afe ta r ia todos os

out ros .

4 .2 .2 .2 .

Resolver

a

viga

submetida a uma var iação de

tempera tura

Numa

e s t ru t u r a

i so s t á t i c a as var iações de tempera tura

só acarre tam deformações da es t ru tu ra sem gerar esforços

i n t e rnos o que

se

pode cons t a t a r

facilmente

com as

condições

de

equ i l íb r io

em

si tuação

de

carga

externa

nula:

já

nas h iperes tá t i cas

as vinculações

adic ionais

impediriam

esse

deslocamento l i v r e

gerando-se então

esforços

internos

e

reações

d i feren tes de zero.

Seja

o caso , no

exemplo,

de se

cons ide r a r

o e f e i t o de

uma var iação de tempera tura de â t 100°c para toda a face

s

superior

da

viga, e â t

1

= 2oºc

para toda a face i n f e r io r

assumindo, para

que

as seções planas

permaneçam planas ,

em

concordância com as h ipóteses

do método c láss ico

que ao

longo

da

a l tura haja var iação l inear

de

tempera tura .

a) Esquema

de

solução

Adotando

como

incógnitas

h iperes tá t i cas

os

momentos

f le tores

na viga sobre os apoios , conforme 2a. SOLUÇÃO do

i tem 4 .2 .2 .1 pode-se montar o

esquema

de solução da f ig .

4 .13 .

li

Is

li

5

li

t

Ir

l

.A.

llt i

.4

Liii

4

Liii

à .

I l i

li Is

)Rf

llt

5

):R

li s

Ir

1

A

l l t ;

l l t

Lili

A

Fl-

Fl

Fz ..._ . Fz

Ili

li

t

5

li

5

at

5

0 )

Á .

:R:

Jt

A

Lili

Lili

Lili

...... .. .

+

Fl

., \:-

- - ) - ~ > + - - - - - - - < : k

l

1

( ll

(

2

Fig 4

13

- Esquema para var i

ação

de t empera t u ra

com esse esquema de

solução ,

também:

115

formalmente

se

tem,


11/20

b) Condições de coerência de deslocamentos

No

problema r) também

não haverá deslocamento, no caso

gi ro r e la t ivo , na

direção de cada

vínculo

re t i rado; assim:

{

o

1 r

o

2 r

ou:

{

F

F

o

1 r

1

o

1

1 1

2 1 2

F

F

o

2 r

2 0

1

21 2

22

c) Cálculo de deslocamentos

Os

deslocamentos envolvidos nos problemas 1)

e

2) j á

foram

calcu lados

no i t em

4.2 .2 .1 , 2a.

SOLUÇÃO;

lá se

obteve, em unidades coerentes co• t , e m:

EI6

11

EI6

12

EI6

22

6,667

1,667

Res ta r ia

então ca lcu la r os

estado de deslocamentos

estado de forças

116

; para i sso:

º

problema

O)

problema

j)

As

deformações

de

um elemento

de comprimento

ds

em

qualquer

posição

da

viga no problema

O )

podem-ser

ca lcu lad as

com o

auxí l io

da

f ig . 4.14. Supondo que os

momentos

sejam p o s i t iv o s

se

provocarem t r ação embaixo, as

deformações serão pos i t ivas se provocarem extensão

embaixo, i s t o

é ,

se à t i à ts .

ds

n

1

Í

1

1 du

0

C.G

· · -

·

h/L

1

ds

Clll l[ds

Fig

4

4

Deformações provocados pelo

variação

de temperatura

Com

i sso

se

obtém:

du

o

Impondo

o

estado de

deslocamentos

O) ao estado de

forças j )

t em-se,

do

P.T.V.:

'

J

M

+

1

o

s

t.

J

N du

1

~ s t

sendo

N

1

_

o

para

a

viga, subst i tu indo t em-se:

117


12/20

< 5

o

J

t r

Sendo

a , h, At

1

e At.

cons tan tes ,

tem-se:

o

A t - At >J M

ds

n 1 s J

vlg

onde

a

i n t egra l

remanescente

é

ass im i l áv e l

a uma

á r ea ,

coa

s i n a l , do diagrama de M obt ido para j

=

l 2 na f i g .

4 .11

J

do i t em 4 .2 .2 .1 . Então, por

s ime t r ia :

< 5

10

10 - s l

o. 46 20-100) ~ 2 0 . 1

-0,01739

Para t e r todos os deslocamentos au l t i p l i cados

por

EI:

E H

10

E H

20

-2100 .37000 .10-• .o ,01739

-135 ,1

Observe-se que,

diferen temente

do

caso de

ca r gas , agora

é

importan te

o va lor e fe t ivo dos

EI:

quanto

mais

r íg ida f or

a

e s t r u t u r a , maiores se rão o s es fo rço s provocados pe la

var iação de temperatura.

d) Solução do

sis tema

de equações

Mult ip l icando-se

subs t i tu indo ,

tem-se:

{

135,1

+

6,667

-135 ,1

+

1,667

donde:

F

F

F

F

2

16 ,21

tm

1

f

as equações

+

1 ,667

F o

1

2

+

6,667 F

o

1

2

118

por

EI e

Tendo F e F o

1 2

e s t r u t u r a i s o s t á t i c a

problema

da f ig .

é

a

penas

o de

r e so lve r

a

4.15 . a ; é essenc ia l não

esquecer ,

caso

se que i r a ca lcu la r

deslocamentos, que,

além

das deformações provocadas

pelos

es fo rço s in te r nos , t em-se

também as provocadas

por

v ar i ação

de temperatura.

Na f ig .

4.15 .b es t á esquematizado o diagrama

de

M .

.

4-1


13/20

lo l

.li..

(bl

M

0

mi

-2,50

F ig 4 6 -

Es tado

de

forças

o 1

Do

P . T . V . :

V

J

st r

A

deformação

no

caso

inc lu i , além da provocada

pelo

momento f l e to r ,

também

a provocada pela var iação de

tempera tura , i s t o é :

M

i ds

+

(A t

1

-A t

5

)ds

Com i s so :

J

M (At -At

)ds

.. h

1 s

tr

s t r

ou

então,

para

o

caso:

o e

t

r

Com

o aux í l io das

f ig .

4.15 e

4.16,

e o uso conveniente

120

da T BEL

1:

1 1

~ V = .10 .2 .16 21.2 ,50

+

2100.37000.10-

4

1 0 -

5

1

+

o 46 20-100)2-10.2 ,50

ou:

V

0,02608

- 0,02173

0,00435 m

ou:

V

0,435 cm

4 . 2 . 2 . 3 .

Resolver

a

viga

submetida

a recalques

de apoio

Numa es t ru tu ra i sos t á t i ca , recalques

de

apoio

implicam

apenas em deslocamentos da es t ru tu ra , sem deformação;

j á

nas

es t ru tu ras h iperes tá t icas os

vínculos

adicionais impedem

esse

deslocamento

reações.

l i v re ,

gerando

esforços

internos e

Seja o caso de, no

exemplo,

determinar o e f e i t o de um

recalque de 3 cm,

para

baixo, do

apoio

2 e 1 cm, para

baixo,

do apoio 3. Como a solução pode ser um pouco di feren te ,

dependendo de

as incógnitas hiperes tá t icas

t erem ou não

a

direção

do

recalque,

se ana l i sa rá

o

problema

com as mesmas

duas

soluções

adotadas no

i tem 4 . 2 .

2 .1 .

121


14/20

l a .

SOWÇÃO

(Recalques na direção das incógnitas)

a)

Esquema

de so lução

Esse

esquema, obtido pela re t i rada dos apoios

in te rn o s

2

e

3,

cons ta

da

f ig .

4.17

e

tem

como

ca rac te r í s t ica

pr inc ipa l que os recalques

aparecem

no problema ( r ) .

0 , 0 3 m

; t 4 0 , 0 l m

1 1

,.,,,,.,,

I l i

f t::

d O , O l m

A

Ir

1

1

Fl

Il i

1 1

'

+

Fl

40

J1

li

A

+

F2

A

J1

à

121

'

Fi 9

. 4.17 -

Esquema

para

a l solução

com recalques

Formalmente

o

problema pode se r

posto como:

( r )

o)

+

F

1

1)

+

F

2

( 2)

122

b)

Condição

de coerência

de deslocamentos

o,03 m

0,01

m

ou

então ,

não havendo

qualquer so l i c i t ação no problema (O):

{

5

F

+

F 0,03 m

lr 1

2 12

c5

F

c5

+

F

ci

0,01 m

2r

1

21

2

?.?.

c)

Cálcu lo

de

deslocamentos

Os deslocamentos

dos problemas (1)

e

(2)

já foram

calculados na l a . SOLUÇÃO do i tem 4 .2 .2 .1 e valem:

Eic5

11

EIO

12

EIO

22

EIO

21

444,4

388 ,9

Para t e r todos os

deslocamentos

mult ipl icados pelo

mesmo EI:

EH

lr

EIO

2r

- 4

2100 .37000 .10 .

0,03

- 4

2100 .37000 .10 . 0,01

233,1

77,7

Observe-se

que,

também

nesse

caso ,

i n t e res sa

o

v a lo r

e fe t ivo de EI;

quanto

mais r íg ida for

a es t ru tura , maiores

serão os e fe i tos dos mesmos recalques .

123


15/20

d) Solução do s is tema

de equações

Multiplicando

as

equações

por

tem-se:

EI e

su b s t i tu in d o

{

233,1

77,7

donde:

444,4

F

1

388,9

F

2

388,9 F

1

+

444,4

F

2

1,584 t

-1,211 t

a)

Montagem dos resu ltados

com F

1

e F

2

calculados,

o

proble•a

r_

é

i sos tá t ico ;

para quaisquer e fe i tos , e le

corresponde

a

viga da

f ig .

4.18 .a.

A f ig. 4.18 .b corresponde

ao diagrama de

Kr.

J

,58 1

lf

t

,211

lf

(ai

~

Mr

llt•I

-

6,52

Fi g . 4.18 -

Monto9em

de resul

todos da

solui;ão com recalques

2a. SOWÇÃO

(sem reca lques na direção das incógnitas

124

a) Esquema de

solução

Esse esquema, obt ido pe la re t i rada dos vínculos que

t ransmitem momentos

f l e tores

na viga

sobre

os apoios , cons ta

da

f ig . 4.19: sua ca rac te r í s t ica

essen c ia l

é que os

reca lques constam

do

problema (o)

;

esse t ipo

de solução

é

mais geral que

o

ante r ior .

A

- 4 - ~ ~ ~ ~ 1 ~ : : : : ~ ( ~ ~ ~ ~ : : : : ~ ~ ~ ~ - - - . 2 . . .

~ , 7? 7 7'

. '7?7

Fz

Fig. 1

.

19-Esquemo

poro o

zllsolui ;õo

com

recalques

Formalmente, tem-se então:

125

Ir l

Ir l

1 1

li

121


16/20

b) condições

de

coerência de

deslocamentos

od

i

a

ex is tên c ia

dos

Essas condições devem repr uz r

· d · t é na-o

haverão

ro tações re l a t ivas

vínculos r e t i r a os , is o ,

nas ar t icu laçõ es c r iad as :

o

o

ou:

{

s

s

F S

F.S

o

1 r

10

1

2 12

F

F

S

o

2 r

20

1

21

2 22

c)

cálculo de

deslocamentos

os deslocamentos associados

aos

problemas

1)

foram ca lculados na

2a. SOLUÇÃO

do

i t e • 4 .2 .2 .1 :

EU

11

EU

12

EU

22

6,667

1,667

e

2)

j á

os associados

ao problema O) são obt idos d i re tamente ,

com

geometria de

deslocamentos l in ear izad o s ,

da própr ia

f ig .

4.19; assim:

0,03

0,021

10

10

0,02

0,01

1

10

-0,005

0,001

126

Para t e r

todos os deslocamentos

mult ip l icados por EI:

EU

10

EU

2

-4

-2100 .

37000

. 10 .

0,005

- 4

2100 . 37000 . 10 . 0,001

d)

Solução do

s i s tema de equações

-38,85

7,77

Mult ipl icando as equações por

EI e

substi tu indo:

{

-38,85 6,667 F

1

1,667 F

2

7,77 + 1,667

F

1

+ 6,667

F

2

donde:

{

6,52

t m

1

f

F

-2 ,79

t m

2 f

e)

Montagem de resu ltados

o

o

Com F

1

e F

2

ca lculados o problema é i sos t á t i co ;

para

quaisquer

e fe i tos

basta ca lcu la r

a

es t ru tura

i sos tá t ica

da

f ig . 4.20 .a.

É

in te r es san te

observar ,

para e f e i t o

de cá lcu lo

de deslocamentos, que se deve computar também os reca lques

.

impostos

a es t ru tura

i sos tá t i ca

no problema O). o diagrama

de momentos f l e tores consta

da

f ig .

4.20.b

e

é o mesmo da

f ig .

4.18.b.

127


17/20

1

o)

1

b)

F i9 . 4 .

20

Mor>tooem

de

resultados

do 2 solução

com

recalques

4 .2 .3 . Exemplo

2

Determinar

o

diagrama de momentos

f

l e to res para

a

viga

e

carregamento da

f ig .

4.21.

13 t t /m í 2 , l lt lm

F

J

liirr11rrrrn'

111

r

l

JJJill

5 i 4

°

2 j A 4 i

j 8m l 2mj 6m

J

6m }m

F ÍQ 4 21

Exemplo

2

a)

Determinação do

grau de hiperes ta t ic idade

As

vinculações

equivalentes en t r e as chapas

es t ão

deta lhadas

na

f ig .

4.22.

11

1 l

4

22 Vinculações equivalentes poro

o

Exemplo

2

128

Da f ig . 4. 2 2:

c

2 b

2c

4

b

6

sobram

2

vínculos ..

h

2

n

b)

Esquema

de

solução

Consta da f ig .

4 . 23.

Ir

l

Ir

l

0)

1

l l

12)

Fi 9 . 4

23 Esquema de solução poro

o

Exemplo

2

Com

esse esquema,

formalmente

se tem:

r )

O) F 1 ) F 2 )

1 2

e)

Condições

de coerência de deslocamentos

129


18/20

{

s o

1 r

s o

2r

ou:

{

s

s

+ F S

+ F .S

o

1 r

1 o

1 11 2 12

s

s

+ F

S

+

F .S

o

2r

2 0

1

21

2 22

d) Cálculo de

deslocamentos

Para

ca lcu la r

o deslocamento

.S

Jk, na

d i re ção

e sen t ido

de

F no

problema (k)

com

o

P.T.V. t em-se:

J

estado

de deslocamentos

problema (k)

estado de forças

problema

( j )

DoP.T .V . :

s

J

k

J

M

k

M

EI

ds

estr

Sendo EI cons t an te por t r e cho :

s

Jk

ou então:

1

T

e e

E I S

e e

j

k

l

J

1

o

o

E I

e e

MM I

ds

J k 1 1

M M d s

J

k 1

130

com:

l

1

Os

diagramas

de M

e Mk, para k = O;

l ;

2 e j = l; 2,

em

como os

comprimentos

f i c t í c i o s

:

correspondentes

a

Ec

E , I =

j

constam

da

f i g .

4.24.

e

10,40

10,40

1,05

[OI

IJ]J DOS:ZS:

1

l

0,333

1

1

rb-«t:lJJJlll f µ I ~

l

4,0

l

1,5 - l

M2 lodim . l

1,6

1

(

, ,

f lm l

Fi g

. 4 .

24

-

Momentos f l e tores

e comprimentos

f ic t íc ios

Com a

conveniente

ut i l i zação da

TABELA 1:

E I

.S

e e 1

1 1

- l 6 . ~ . 1 . 1 0 4 0

+ . 1 . 1 0 4 0

2 ,7733

131


19/20

E I l

e

e

20

1 , 6 . + . o , J J 3 . 1 0 , 4 o

-

I , 6 . + . o , 3 3 3 . 1 0 , 4 0 +

+

4

,

0

. .10 ,40 2 .0 ,333-1)

+

4,o .- i - - .10 ,40 -o ,333+1)

+

1

l 5 . ~ . 1 . 4 2 0 + 1,5.

10,6083

E I ô

0,5333

e

1 2 1 2

2 )

E I

l = 1 , 6 . -

3

.

O ,

3 3 3 + 4 ,

O •

3

-.

O ,

3 3 3 -O

,

3 3 3 . 1+1 +

r 22

1 2

+ 1 ,50 . -3 - .1

E I

l

e < 12

1,5963

E I

ô

e 2

1

- 1 6 . ~ . 1 . 0 3 3 3

e)

so lução do sis tema de

equações

-0 ,0888

Mult ip l icando as

equações por

E I

e subs t i tu indo:

o

{

2,7733 + 0,5333

F

1

10,6083 0,0888 F

1

+ 1,5963 F

2

o

0888

F

2

o

donde:

132

-6 ,37

trm

-7 ,00 trm

f ) Montagem

de

r e su l tados

Com F

1

F

2

conhecidos

o

f i g 4.

25.

a . o diagrama de

pode ser obt ido

da f ig .

problema é i s o s t á t i c o , conforme

M

que consta da f ig .

4.25.b,

4 .25 . a com as condições

de

equi l íb r io ,

ou

por

superposição

de

efe i tos ,

fazendo:

r

M

FM

+ F M

o 1 1 2 2

M

2 111/m

.11 ,3

lf /m

J

[L t t1 +

i JJJ 1 1 1 1 : r r r 1 ~ 1 *n

x

)Z

4

6 37

1

1

m

7 00 t

m 7 00

t1m

1o

. 8,07

7,00

1

bl

Fi9 . 4 25 - Montagem

de

resul lodos do Exemplo 2

133


20/20

4.3 .

O PROCESSO DOS ESFORÇOS APLICADO A PÓRTICOS PL NOS

4.3 .1 . Detalhes

ca rac te r í s t icos

dos pór t icos planos

Um pór t ico plano

é

definido

como uma

es t ru tura

plana ,

s imét r ica em relação

a

seu plano,

com

cargas nesse plano

e

vinculações que não

introduzam

so l i c i t ações fora

do

plano.

Do

ponto de

vis ta

da

determinação geométrica das

diversas

chapas que

co n s t i tu i r iam

um

pór t ico

plano,

cada

chapa-aberta n ecess i ta de t r ê s barras v inculares no plano

e

sem

passar pelo mesmo ponto, para f ixa r sua posição

nesse

plano.

Do ponto

de

vis ta da

determinação

es tá t ica

dos

esforços

in ternos

e reações na mesma

chapa-aberta , d ispõe-se apenas

de t r ê s

equações

de equi l íb r io relevantes

com

as quais se

determinam os esforços

nas

barras

que

vinculam

a chapa.

A

f ig .

4. 6 contem

um

apanhado de vinculações em

sua

representação

usual e o

seu s ignif icado

em

termos

de

barras

vinculares equivalentes .

Assim,

um

pórt ico

plano co n s t i tu íd o por ç chapas

ab er tas i n t e r l igadas por . ; _ barras v inculares poderia

ser

c las s i f i cado

em

termos de determinação geométrica,

dependendo da relação

de para

ç da seguin te forma:

b <

3C

b 3C

b > 3c

pórt ico plano

geometricamente

indeterminado

pórt ico

plano geometricamente

determinado

p ó r t ico plano geometricamente

superdeterminado

Similarmente

se

poderia

fazer

a

c las s i f i cação

do

ponto

de v i s t a da determinação es tá t ica :

b < 3C

b 3c

b > 3C

pórt ico plano hipostát ico

p ó r t ico plano

i sos tá t ico

p ó r t ico

plano hipe res t á t i co

34

Apoio

l xo

Apoio móvel

Art

icu loção de 2 chapas

Art icu lação

de 3

chapas

Cont i nu i dode

/

Fig

4 .

26 Vinculações equivalentes em pórticos

planos

Conforme

já comentado no

item

4.2 .1 ao se t r a t a r

com

v ig as es sa

contagem de vínculos não é conclus iva .

Chamando

de b o núméro de

barras

ábsolutamente

n

necessár io

para

a

determinação es tá t ica

chamar-se-á,

no

caso

de

b > 3c,

grau de

hiperes tat ic idade h ao

número

de

vínculos que

excede

b = 3c.

n

Seja

como

exemplo,

o

caso de

determinar o grau

de

hiperes tat ic idade h do

pórt ico da

f ig .

4. 27.

Nessa f igura

es tão anotados jun to

às vinculações

os

números

de barras

135

Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1b

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