Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1c

8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1c

1/15

UNIVERSIDADE

DE SAO PAULO

ESCOLA DE ENGENH RI DE

SAO

CARLOS

i

t f

m

l l i i l l l l \ J I l l l JJ

0 ~ 6 3 ~ 2 0 0

. . . 11-711,18

0 634

t fm

o )

b )


2/15

UNIVERSIDADE DE SÃO PAU LO

Reitor:

Roberto Leal

Lobo

e

Silva

Filho

Vice Reitor:

Ruv Laurenti

Obra produzida

na Escola

de Engenharia

de

São

Carlos

EESC

Composição

e Edição:

CETEPE

Centro

de

Tecnologia

Educacional para

Engenharia

da

EESC

Impressão:

Serviço Grâfico da

EESC

ª edição 1995

UNIVERSIDADE

DE SÃO PAULO

ESCOLA

OE

ENGENHARIA DE S O CARLOS

PROCESSOS

GER IS

DA

' .

HIPEREST TIC

CL SSIC

JOÃO CARLOS

ANTUNES DE

O E

SOUZA

HELENA M. C. CARMO ANTUNES


3/15

TOOOS 5

DIAEITOS RESERV DOS Nos

termos da

Lei

que resguarda

os

Direitos Autorais, é proibida

a

reprodução total

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de

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ou

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processos Kerográficos,

de

fotocó

pia e de gravação -

sell

per•lssão,

por

escrito, do(s) autor(es) .

Catalogação na

Fonte

- Se r

viço de Bibl

i

oteca da

EESC - USP

S729p

SOUZA João

Carlos Antunes de OI

iveira

e

Processos

gerais

da hiperes tát ica

clãs

sica/Joâo

Carlos Antunes

de

OI i

ve

i ra

Souza, Helena Maria Cunha do Carmo

Antu

nes.

São

Carlos:

Escola de Eng

enharia

de

São

Carlos, Serviço Gráfico,

1992.

346p.

ISBN 85 -

85205

-02

- 4

1. Estruturas - Estát ica 1. Ti tulo.

C

- 624 .1 715

PREFÁ IO

Er. te l i v r o

como

o já publicado Processo

de

Cross e os em f a se de preparação Técnicas Computacionais

na Es t á t i c a

das Est ruturas

e I n t rodução à

I so s t á t i

c

a

pre tende t e r um

ca rá t e r didát

i co, apresentando

os tópicos

t r a t ados

se m cornpl cações

desnecessár ias ,

mas

senrlo

en t r e t an t o , c onscientemente prol ixo como muitas v e r.es o

processo

de ensino

ne

c e s s i t a s e r .

Os

proce

s sos

aqui

t ra tados

são

ge r a i s

t an to no

aspecto d apl icabi l idode

a

qua lque r

t i po

de

e s t r u t u r a s quanto no de poderem

s e r

encarados

como

va r i ações duais de

woa

mesma

idé ia ;

correspondem a a lguns d os

temas

abordados

na

d i sc ip l ina

Es t á t i c a das Est ruturas na Escola de Engenharia de São

ca r lo s ,

a

par co

m

processos

de us o r es t r i to , como os de

Cross de Propagação,

an t

ecedendo t odo o desen vo lv imento

m a t r i ~ a l vi sando a programação em computador.

São Carlos março de 1992

Os Autores


4/15

r

N D 1

e

E

1. 1

NT

ROOUÇÃO · · · • · · · · · · · • · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

l

1 . OBJETIVOS l.ERA IS

• • . . . . . . • . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . 1

1 2 . ESTRUTLJRllS LI NF ARF S . . . . . . . . . 2

I .3 .

O MÉTODO

CLÁSS

TCO

2

1 li ~ [ J l F . H P n ~ ; 1 ç i i o IW F

FE

o ~ : 7

2 O PR

NCfP

O DOS

TR

ARALHOS RTLJA1S F SUAS

API

1

CACõFS

9

2 . 1 . CONSTDERAÇÕFS

GF

RAIS

• • • • • •

••

9

2 . 2. o PRINC1

PIO

Dor; THABALHOS VIR fl l l \ IS . . . . . . . . . . . J

2 . 1 . POSSIBILIDADES DE J\PLICAÇÃO DO

PRTNCiPTO

DOS

TRABALllOS V IR Tlll\ I S . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 l

2.1 .1 .

Cálculo

de

deslocamentos em

e s t ru tu ra s

i s o s t á t i c a s

. .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

22

2 . 1 . 2 .

Seleção de

uma equação de

e qu i l í b r i

o

numa

e s t r u t u r a i s o s t á t

i

ca

. . . . . . . . . . . . .

27

2 .1 l

o t eorema

da

r ec ip roc idade

d o s

t rabalh o s

ou

Teorema de

Bet t i

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2 .3

.

4 .

O

t eo rema da r ec ip roc idade dos des loca

mC ntos

ou

Teorema de

Max

wr l

1 . . . . . . . . . . 34

3. C LCULO DE

DESLOC MENTOS EM

ESTRUTUR S ISOST T IC S

US

UA i S

37

3 . 1 .

CO

NSIDERAÇÕE

S GERAIS

. • . • . . . • . . . . .

• • •

. . . . . • . . . 3 7

3 . 2 . DESLOCAMENTOS

EM TRELIÇAS

PLANAS IDEAIS • . . • . .

38

3 . J .

3 . 2 . 1 . A t r e l i ç a plana

id e a l . . .

. .

. . . . .

38

J .2 .2 .

Exemplo

l

J . 2 .3

.

Exemplo

2

DESLOCAMENTOS EM

USUAIS

E

ST

RU

TURAS

PLANAS FL

ETIDAS

J . J .1 . Es t r u t u r a s p lanas

f l e t i da s

usuais .

. .

l . J . 2 . Exe mp l o l In t eg ração a na l í t i c a . . . . . .

40

4 9

55

55

63


5/15

3

3

3

Exemplo 2

-

In tegração

numér ica .

......

3 3 4 Exemplo

3

In tegração

u t i l iz a n d o t a b e l a s

3

4 DESLOCAMENTOS

M

OUTROS

TIPOS DE ESTRUTURA

. ..

3

4 .1. o u t r o s Tipos

us ua i s

de es t ru tu ra

3 4 2

Exemplo

1

- Pór t i c o a t i r a n t a d o .

.......

3 4 3

Exemplo 2 Viga com

vínculos

e l ás t i co s

3 4 4 Exemplo 1 Gre lha

.

- -

-

.

-

4 O

PRO ESSO

DOS ESFORÇOS • · · • • · • · · • • • • · · · • • • • · • • • • · ·

4 1

CONSIDERAÇÕES GERAIS

............•..

•

.........

4 2 O PROCESSO OOS ESFORÇOS APLICADO

A

VIGAS .....

4 2 1

Detalhes c a r a c t e r í s t i c o s das

v i ga s

• . .

4 2 2 Exemplo

1

.•.•.........................

4 2 2 1

Resolve r

a

viga submetida ao

carregamento

dado . . . . . . . . . . .

4 2 2 2

Resolve r

a

viga

submetida a

uma

66

72

84

84

84

87

90

95

95

101

101

103

104

va r i a ç ã o de

t empera tura

...••.

114

4 2 2 1 Resolver a v i ga submetida are

calques de apoio.............

121

4 2 J Exemplo

2 •.........

...••.. • • ....... .. 128

4 3

O PROCESSO DOS ESFORÇOS APLICADO A PóRTICOS

PLANOS

4 3 1 Detalhes carac t e r í s t i co s

dos

p ó r t i c o s

planos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. .......•....

4 .

3

2 Exemplo 1 ..•....................•.....

4 3 2 1

Resolver o pór t i co submetido ao

carregamento dado

•.•.........

4 3 2 2 Resolve r o pór t i co para e f e i t o

de reca lque de apoio ........

4 1 2 3 Resolver o p ó r t i c o pa r a e fe i t o

de var iação de t empera tura ...

4 . 3 . 3 .

Exemplo

2

•.•................

.

.........

4 4

O PROCESSO DOS ESFORÇOS APLICADO A GREI J{AS ...

134

134

136

138

142

144

149

1

57

4 4 1 .

Deta lhe

s carac t e r í s t i co s das qre lhas .. 157

4 4 2

xemplo

1 . .... . .

.. .

. -

· · · · · · ·

4 4

3

xemplo 2 . . . . ..... - - · · · · · · · · · · · · · · · · ·

4 .

4 4 Cálculo de gre lhas

desprezando a r ig idez

à t o r ç ã o

das

bar

ras

.. .

.

.. .

. .... .

·· ·

· · ·

4 4

5

Exemplo 3 ......... . .... .... .. .... .

4

5

O PROCF.SSO

DOS

F.SFORÇOS APLTCADO

AOS ARC OS . . .

161

165

169

176

181

4 5 1

o

que

c a r a c t e r iza

um arco

. . . .....

181

4 .

;,>.

J

i pos

u ;11;i i s

de

a r-co ;

.

• .

4

5 . 3 .

Exemplo de def in

.i

ção de eixos de a r cos

4 5 4

Fo rmu lár io s pa ra a r

co

s h i perestáL ic os

usua i s .. . .

........ ....

- · · · · · · · · · · · ·

4 5 4 1 Convenções

.. .

. .. . .. .. . .... . . .

4 5 4 . 2 Arco b i a r t i c u l a d o s i mé t r i c o . .

4 5 4 3

.

Arco

a t i ran tado

s i mé t r i c o

. .

4 5 4 4

.

Arco biengas tado s i mé t r i c o

4 5 5

Caso

s usuais

de

in te g

r ação

em

a rcos

4

5

6 .

Exemplo

1

-

In tegração an a l í t i ca

.....

4 5 7 . Exemplo 2

- In tegração numérica

4 5 8 Exemplo 3

-

Variação imposta de

EI ....

4

5

9 .

Exemplo 4

-

Arco pr ismát ico

por

t rechos

4 5 10 Exemplo 5

-

Adaptação para

pór t i cos

s i mé t r i c o s

4 5 11 0bservações adic iona i s . ..... . .. . . .

4 6 O PROCESSO DOS ESFORÇOS

APLI

CADO ÀS l REI. IÇAS

PLANAS IDEAIS

. ........ .............

.....

.

4 6

. 1 .

Detalhes

ca

r a c t e r í s t i cos

da

t r e l i ç a

plana idea l ..

. . . .

..

.

.

.....

. .. .

.

..

4 .

6 2

Exemplo

l .

.. .

. .

.. ..

. .

.. .

.....

. · · · · · ·

4 7 O PROCESSO

OS

ESFORÇOS APLICADO A ESTRUTURAS

MISTAS

.........

. .

.. .

.....•

...........

.

.....

4 7

l.

Est ru turas mistas usuais . . .. . . ...... . .

4 . 7 . 2 Exemplo l - Viga sobre

apoios

e lá s t i co s

4

7 3

.

Exemplo

2 -

Pór t ico t r e l i ç a d o .. .

. .

··

1 87

188

188

1 90

1 95

199

20

8

209

215

223

229

234

240

246

246

2

48

255

255

255

260


6/15

5. O PROCESSO DOS

DESLOC MENTOS

• • • • · · • • • • • • • • • • · · · · · ·

267

5 1

CONSIDERAÇÕES

GERAIS

5 .

2 .

EXEMPLO DE

APLICAÇÃO

5 . J

EXEMPLO DE

APLICAÇÃO

5 . 4 .

EXEMPLO

DE

APLICAÇÃO

5 .

5 .

EXEMPLO DE

API.ICAÇÃO

.............. .

............

A

VIGAS

. ..................

A

PóRTICOS

.

..............

A

TRELIÇAS

PIANAS

IDEAIS

A

GRELHAS

. .

-

.......

'

267

273

277

284

289

6. O

PROCESSO

M 1STO • . . . . • . . . • • . . . . . . • . • • . . . • . • . • . . . . . 297

6 . 1 . r;oNSIDERAÇÕES GERAIS

•• • •••

297

6 . 2 . EXEMPLO DE

PÓRTICO

PLANO 302

7.

Sltvf>LIFICACOES

DEVID S A SIMETRIA·· · · · · · · · · · · · · · · ·

7 . 1 . CONSIDERAÇÕES GERAIS

• •

7 . 2 .

REDUÇÃO DA

ESTRUTURA • • . • .

7 . 3 . EXEMPLO

1 -

PÓRTICO

PLANO SIMÉTRICO

• • • • • •

.

7 . 4 . EXEMPLO

2 - GRELHA

COM

DOIS EIXOS

DE SIMETRIA.

7 . 5 . EXEMPLO

3 - VIGA VIERENDELL

8.

BIBLIOGR FI

· · · • • · • • · · · · . • . . . . . • . . • . . • • • • •

• • • • • •

309

309

312

318

324

333

339

PROCESSOS GER IS D HIPEREST TIC

CLÁSSIC

C PITULO 1

INTRODUCÃO

1 .

l . OH ,J E

'

I VOS G

ERAJS

Esta

publ icação pretende

t e r

um cará t e r d idát ico

de

in t rodução à h ip eres t á t i ca c l áss i ca

de

es t ru tu ras l i n eares

discut indo

hipóteses

de cá lculo

, c

omportamento

df

es t ru tu ras

e

s impl i f i cações

gera i s

para

es t ru tu ras

usua i s u t i l i zando

process os

de c á l c u l o muito

simples

mas

apl icá ve i s a

qua lquer

t i p o

de

es t ru tu ra l inear .

Os

pro

c

essos

aqui

t r a t ados

,

que poderiam

se r

c

olocad

os

c omo um ún i c o pr oc

esso

gera l

de

solução

de

uma es t ru tu ra a

par t i r

de

out ra su p

o

s t a conhe

c

ida incluem

o

processo dos

esforços

o

dos deslocamentos

o

mist

o . o

pro

c

e ss

o do s

esforços tem um cará t e r apropr iado para

uma in t rodução

à

h ip eres tú t i ca

permi t indo

em sua

ci.plicação mais s imples

reso lver es t ru tu ras h ip eres t á t i cas

reca indo no

c á l c ulo

e lementa r de

es t ru tu ras

i sos tá t i cas .

O p ro

cesso dos

desl oc a me nt os , dua l do an t e r io r ,

tem como maior

v antagem a

sua s i mplic idade o que o

torna

ideal

para

uma

pos te r ior

automatiza

ç

ão

c

omputacional

;

resolve

es t ru tu ras

h i p e r e s t á t i

c

as reca indo

no c

á l

c ul o

de

s t r u t u r ~ s

com

maio

r

grau

de

hiperestat ícidade

mas mais

simples , e ventualmente

a té tabeláveis . O processo misto

tem

apenas o cará t e r

demons t ra t ivo de

uma genera l i z

ação de

idéias , sendo

vantajoso apenas em a lguns c

asos

p ar t i cu l a res .

Todos os inúmeros processos p ar t i

c

ulare

s ,

apl i cáve i s só

1


7/15

8

C PfTULO li

O PRINCIPIO

DOS

TR B LHOS VIRTU IS E SU S PLIC CõES

2.1 . CONSIIJEHAÇÕES GERAIS

O Pr inc ípio

dos Trabalhos Virtua is

ou Teorema

dos

Trabalhos Virtua is doravante apel idado

de P.T.V .

é

o

único

teorema da

energ ia

realmente essencial

ao

desenvolvimento

de

toda

a

es tá t ica

c

l á s s i

c a ;

diversos outros teoremas que

venham, por questão de s ín t e se

a

se r u t i l i z a dos serã

o

demonstrados

a

p a r t i r

dele .

As

condições

de equ

i l i b r io

podem

se r

demonstradas

a

p a r t i r do P.

T. V. ou o

P.

T . V. pode se r

demonstrado,

agora

como teorema

não

como

princ ip io

a p a r t i r

das condições de

equil íbr io ; optar-se -á

por

es ta úl t ima versão,

por

mera

questão de

se

t e r em gera l

uma

previa

ass imilação ,

em

cará te r

mais

in tu i t iv o

das

r e lações

de e qu i l í b r io

.

A

u t i l i da de essencia l do

P.

T.

V.

será

a

de

permit i r

in te ressantes transformações

de problemas eminentemente

geométricos

em

problemas

es tá t ico s

e

vice-versa

fornecendo

alternativas extremamente

simples

e e f i c i e n t e s em diversas

si tuações

.

2.2 . O PRINCÍPIO DOS TR B LHOS VIRTUAIS

Seja

defin ida

uma

e s t ru tu ra

l in ear qualquer e es te jam

defin idas suas

vinculações , i s to

é suas

l igações

in te rnas

e

vínculos

externos .

Seja um es tado de forç

as

a) sobre

essa

e s t r u ~ u r a

com


8/15

CAPíTU O

CÁLCU O DE

OESLOCAtvENTOS

EM

S T R U

ISOSTATICAS

USUAIS

3.1. CONSIDERAÇÕES

GERAIS

Conforme

di scut ido no capi tu lo I I , i tem 2.3 .1 , dado um

es tad o de

hipóteses

deslocamentos

b ) , r ea l

mas

sa t i s fazendo

as

do

Método

deformações dub,

dvb e

coapr imento ds s i tuado

Cláss ico , conhecido a p a r t i r das

d ~ b de um elemento

in f in i te s ima l

de

numa posição genér ica I, provocadas

por

uma

causa f í s i ca

qualquer , é p o ss ív e l u t i l i z a r o

P.T.V.

para ca lcu la r

qualquer t i p o

de

deslocamento

dos

pontos da

e s t r u tu r a .

Para i s so

c r i a -

s e

ua es tado de fo r ças

(a) , com

forças

ex te rn as

convenientes e cri ter iosamente

esco lh id as

de forma

que,

se

s e

impuser

o

es tado

de

deslocamentos

b)

ao

es tad o

de forças ( a ) ,

seu

t r aba lho , o t rabalho

ex te rn o

, s e j a

exatamente i gua l ao deslocamento que se que r medir . Se a

e s t r u tu r a for

i s o s t á t i ca ,

t e r - s e - á waa única dis t r ibu ição de

es forços

in te

:rnos , tendo-se, em

.§.,

N , V• e M .

Do

P.

T. V. ,

então, t e r -se-á :

T

••l

T

l n l

ou:

T

J

N

du

J

V

dv

M

d.b

(3 .1)

•

b

•

b

•

•

l

e •

r

ealr

••tr

O que

se

pretende, em

todo

o t r anscor re r des te

capi tu lo

I I I ,

é

d e t a l h a r a aplicação da expressão (3 .1) , tan to para o

37


9/15

9

CAPITU O

V

O PROCESSO DOS ESFORÇOS

4.1 .

CONSIDERAÇÕES GERAIS

o processo dos esforços é certamente o processo mais

simples

para r e so lve r

es t ru tu r as h ip eres tá t icas

rompendo

a

indeterminação

dos esforços in te rnos

e

es t ru tu r a

das reações nesse

h ip eres tá t ica as

ip o

de es t ru tu r as .

Numa

condições

de

eq u i l íb r io

não

são su f ic ien tes

para determinar

esses esforços in te rnos

e

reações ; existem i n f in i t a s

poss ib i l i da de s de se t e r

eq u i l íb r io donde a

necess idade

de

se ge ra r

equações

a d ic iona i s provenientes de

hipóteses

a d ic iona i s para r e so lve r

o

problema; essas equações

adic iona is se c a ra c t e r i z a rã o no caso da es tá t i ca

c l á s s i c a

como condições

de

compat ib i l idade ou condições de

coerência

de

des locamentos donde a ênfase que se

deu

no c a p í tu lo

an te r io r

ao cá lculo de des locamentos .

O

processo

dos

esforços se

carac te r iza

essencia lmente

por

se

procurar

determinar esforços

em número igual

ao

grau

de indeterminação es tá t i ca ou grau de h ip eres ta t ic id ad e ;

conhecidos esses esforços a rb i t rados como incógni tas

h ip eres tá t icas com as condições de eq u i l íb r io

se

determinam

os diagramas de

esforços

in te rnos

e

as reações .

95


10/15

4.3 .

O PROCESSO DOS ESFORÇOS APLICADO A PÓRTICOS PL NOS

4.3 .1 . Detalhes

ca rac te r í s t icos

dos pór t icos planos

Um pór t ico plano

é

definido

como uma

es t ru tura

plana ,

s imét r ica em relação

a

seu plano,

com

cargas nesse plano

e

vinculações que não

introduzam

so l i c i t ações fora

do

plano.

Do

ponto de

vis ta

da

determinação geométrica das

diversas

chapas que

co n s t i tu i r iam

um

pór t ico

plano,

cada

chapa-aberta n ecess i ta de t r ê s barras v inculares no plano

e

sem

passar pelo mesmo ponto, para f ixa r sua posição

nesse

plano.

Do ponto

de

vis ta da

determinação

es tá t ica

dos

esforços

in ternos

e reações na mesma

chapa-aberta , d ispõe-se apenas

de t r ê s

equações

de equi l íb r io relevantes

com

as quais se

determinam os esforços

nas

barras

que

vinculam

a chapa.

A

f ig .

4. 6 contem

um

apanhado de vinculações em

sua

representação usual

e o

seu

s ignif icado

em

termos de

barras

vinculares equivalentes .

Assim,

um

pórt ico

plano co n s t i tu íd o por ç chapas

ab er tas i n t e r l igadas por . ; _ barras v inculares poderia

ser

c las s i f i cado

em

termos de determinação geométrica,

dependendo da relação

de para

ç da seguin te forma:

b <

3C

b 3C

b > 3c

pórt ico plano

geometricamente

indeterminado

pórt ico

plano geometricamente

determinado

p ó r t ico plano geometricamente

superdeterminado

Similarmente se poderia fazer

a

c las s i f i cação

do

ponto

de v i s t a da determinação es tá t ica :

b < 3C

b 3c

b > 3C

pórt ico plano hipostát ico

p ó r t ico plano

i sos tá t ico

p ó r t ico

plano hipe res t á t i co

34

Apoio

l xo

Apoio móvel

Art

icu loção de 2 chapas

Art icu lação

de 3

chapas

Cont i nu i dode

/

Fig

4 .

26 Vinculações equivalentes em pórticos

planos

Conforme

já comentado no

item

4.2 .1 ao se t r a t a r

com

v ig as es sa

contagem de vínculos não é conclus iva .

Chamando

de b o núméro de

barras

ábsolutamente

n

necessár io para

a

determinação es tá t ica

chamar-se-á,

no

caso

de

b > 3c,

grau de

hiperes tat ic idade h ao

número

de

vínculos que

excede

b = 3c.

n

Seja

como

exemplo,

o

caso de

determinar o grau

de

hiperes tat ic idade h do

pórt ico da

f ig .

4. 27.

Nessa f igura

es tão anotados jun to

às vinculações

os

números

de barras

135


11/15

vinculares

correspondentes , e

também as

barras

vinculares

necessárias

.para

se abr i r

quadros anteriormente

fechados.

/ \V

131

161

1

21

13

1.. i .

121 111

'

Fi9 127 Exemplo de cálculo do 9rau de hiperestaticidade

Da f ig . 4.27:

c 3

b

3c

9

n

b =

17

Sobram,

portanto o i to

vínculos

e

então:

h 8

ou, o grau de

hipe res t a t i c idade

do pór t i co é igual a 8.

4.3 .2 . Exemplo 1

se ja

o pór t i co de

aço da f ig . 4.

28, que

se pretende

re so lve r computando os

efe i tos

de diversas

causas.

136

Í l lf /m

2

5j

3 j

l

em

3

j

E

on

E • 2100

tf

/cm

2

j •

10000

cm

4

a •

Õ

5 0

c·

1

Fi9. l .28

Eumplo l -Es trutura • carre9omento

Antes

de

p a r t i cu l a r i za r

as s o l i c i t a ç õ e s

duas

coi sas

poder iam

ser

ana l i s adas :

a)

Determinação do grau

de

hipe res ta t ic idade

imediato , no caso:

e = 1 b = 3c

n

3 .. b

5 .. sobram 2

b) Escolha das i ncógni t a s hipe res tá t icas

h

2

Em se t ra t ando com pór t i cos

planos

nem sempre é t ão

evidente a decisão sobre quais vínculos ser ia melhor

r e t i r a r ; valer ia a pena, ent re tan to ponderar

algumas

soluções poss íve is ;

na

f ig . 4.29 são mostradas

algumas

poss ib i l idades

in te re ssan te s para o

pór t ico

do

exemplo.

Fl

Fl

F2

a l

tF2

1b1 1c1

Fi9 I

29

Pouibilidadea

d•

soluçao

no

Exemplo

l

137


12/15

Com

a poss ibi l idade da f ig . 4.29.a r eca i - se numa

es t ru tura básica

em balanço ,

mui to simples

de resolver ,

mas

que, além de poder

acarre tar

diagramas complexos

se

as

cargas forem

mais

complexas, tem o sé r io inconveniente

de

se

manusear esforços

internos

de

uma ordem

de grandeza muito

maior que

a

que se espera para

os

esforços

f ina is .

A

da

f ig .

4.29 .b reca i

numa es t ru tura

bia r t i cu lada ,

também simples

de

re so lve r , com

diagramas

que poderiam

se r

mais complexos

se as

cargas

fossem mais complexas,

mas

não t e r i a

o

inconveniente da ante r io r ; já a

da

f ig .

4.29 .c

r e s t r inge um

pouco mais

a

i n f luênc ia

da complexidade

das

cargas a

nível

de seu

e fe i t o em

cada bar ra , apesar de

os

procedimentos no

t r a t o da es t ru tura i sos tá t ica

serem

l igei ramente

mais

complicados.

Entre es ta s duas, opta r - s e -á pela

ú l t ima .

4.3.2.1.

Resolver

o

pór t i co submetido ao carregamento dado

a)

Esquema

de

solução

Consta da f ig . 4.30.

UTTO ll i U

t l l l J

O Tl f I I I ID

= +

r l

r l

0)

1 1

( l i

2 )

F i9

. 4 .3 -

Esquema poro e fe i to do corre9omento

138

ou:

Com i s so se

tem, formalmente:

b)

Condições de

coerência

de

deslocamentos

o

o

6 F 6 F 6

1 o 1 1 1 2

12

6 F 6 F 6

20 1

21

c) Cálculo

de

deslocamentos

Para

ca lcu la r 6 tem-se:

Jk

estado

de deslocamentos

estado de forças

Do

P .T .V . :

M

1

6

M

k

ds

[

J k

J

EI E T

e e

1

str

l

E

I 6

[

J

MM

ds '

com

e

e

Jk

J k

1

o

o

o

problema (k )

problema

( j )

1

E

I

MM

e e

J k

E T

1 1

o

E I

e e

l

1

E T 1

1 1

ds

Os

momentos f le to re s M

0

, M

1

e M

2

, e os

comprimentos

139


13/15

f i c t í c i os t:

correspondentes a

E=

E e I j,

cons t a • da

f i g .

4.31 .

l

o

(t1

m)

Ml

odim

1

l

M

odim

1

°

°

1,600

1

1m1

8

;

f i9 . 4

31

- Momentos f letores e co•pr imentos f i c t íc ios

Com o uso

conveniente da TABELA

1:

E I c5

e e

10

E I c5

e e

20

6,667

E I

c5

e t

E I

c5

e

22

1,922

E I c5

e e

1 2

-0 ,567

1

1 , 600 · - 3 - .

l

. 8 , 0

1

1 , 0 0 0 . - r . I . 6 , 0

1,267

1 1

1,600.-

3

- . 1 . 8 , 0 +

1 , 0 0 0 . ~ . 6 , 0 2 . I + 0 , 4 0 0 )

1 2 2

1,600 . - 3- . 1 + 1 , 6 6 7 . 1

2 ,200

1 2 1 2 1 2

1,600 . - 3- . 1 + 1,667 . - 3- .1 + 2 ,5 0 0 . - ) . l

E I c5

e e 2 1

1

1 , 6 0 0 . ~ . l . l

140

1

1,667 . 2-1.l

d)

Solução

do

s is tema

de equações

Multiplicando

por E I

tem-se :

as

equações,

e

subst i tuindo,

{

1,267 + 2,200 F

1

-

0,567 F

2

6,667 - 0,567

FI

+

1,922

F2

donde:

-1 ,591

-3 ,938

e) Montagem

de

resul tados

o

o

Para

quaisquer efe i tos ,

tendo

F

1

e F

2

,

o

problema agora

é resolver

a es t ru tu ra

i sos t á t i ca

da f ig . 4.32.a : na

f ig .

4.32.b

consta o

diagrama de

obtido pela

superposição:

M M FM FM

r o 1 1 2 2

f

tr /m

U I

TLILJ

M

que também poder ia

2,400

o 1

Mr

(

t1 ml

\.

3,653

b 1

Fig 4 32 -

Montogem

de

resul

todos poro ele i to do carregamento

141

ser


14/15

4 .3 .2 .2 . Resolver

o pór t ico

para e f e i t o de reca lque

de

apoio

Considere-se,por exemplo, um reca lque ver t i ca l de

1

cm,

para baixo, do apoio : a direção

do recalque

nada tem a v er

com a das incógnitas hipe res t á t i cas :

a) Esquema de solução

Consta

da f ig .

4.33.

F2

F2

-

=

Ir 1

Ir

1

COI

•

0

03m

to ,03m

0,03m

121

f 9 4

33 Esquema de

wlui ;õo

poro efei to de recalque de

apoio

Com

i sso:

r) = O)+

F l) F 2 )

1 2

b) Condições de

co erên c i a

de deslocamentos

o

o

142

ou:

c +Fc5 +Fc5

o

1

o

1 1 1

?.

1

?.

c +Fc5

+Fc5

o

2 o 1 ?. 1 ?.

22

c)

Cálculo de deslocamentos

Os

deslocamentos

associados aos problemas

1)

e 2) já

foram

calculados e valem, em unidades coerentes com t

1

e m:

E I

c

2,200

e e

ti

E I

c

1,922

e e 22

E I c E I c - 0 , 567

e e

12

e e 21

Os

associados ao problema O) podem

se r

obtidos da f ig .

4.33, por geometr ia de

deslocamentos l inea r izados ,

e

correspondem à diminuição dos ângulos re tos em 1 e

2:

c c5

1 o

?. O

0,03

8,00

0,00375

Para t e r todos os deslocamentos multipl icados por E I

e e

lembrando

que E

E e I

= j:

e

E I

c

e e 10

-E I c

e e

20

2100.10000.10-

4

. 0 ,00375

7,875

d)

Solução

do s i s t em a de

equações

Mult ipl icando

as equações por E I e subs t i tu indo:

e e

143


15/15

{

7,875

+

2,200

F

0,567

F o

1 2

-7 ,875

0,567

F

+

1,922 F

o

1 2

donde:

{

-2 ,731

t m

1

f

F

3,292

t m

2

f

e) Montagem de resul tados

Tendo F

1

e F

2

, para quaisquer re su l t ados que se

queira bas ta ana l i sa r o probleaa

i sos tá t i co

da f ig . 4.34.a:

observe-se que, para

efe i to

de cá lcu lo de deslocamentos,

tem-se

que

computar também

os

deslocamentos impostos

à

es t ru tura

i sos tá t i ca

básica.

Na f ig . 4.34.b

es tá

esquematizado o diagrama de

Mr,

devido ao recalque.

3 292

o

1

1b1

Fig

. 4 .

34

-

Montagem

de

resul tados

4. 3. 2.

3.

Resolver o

pór t i co

para e fe i t o de variação de

temperatura

Nos

pórticos, diferentemente

do

caso

das vigas , não

só

144

a diferença

de tempera tura de

uma

face

para

outra

das barras

provoca

f lexão;

também

a var iação

uniforme

é

capaz disso; de

qualquer

forma o encaminhamento da

solução

é o mesmo.

Seja , no exemplo, o

caso

de se computar os

efe i tos

de

um aquecimento uniforme

de

t .t = 60°C.

ou:

a) Esquema de

solução

Consta da f ig .

4.35.

t t

àt

r)

1

1

r)

12

1

l

à t

à t

0 )

Fi g .

4 .35 - Esquema c te

so luçõo

poro variação

c te temperatura

om i s so

se tem, também:

b) Condições

de

coerência

de deslocamentos

o

o

145

+

Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1c

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