Procura Se Pela Função: Alguém viu?

Procura-se pela Função:Alguém viu?

Wanderley Moura RezendeDepartamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática – UFF

Andréa Vieira TheesEspecialização em Matemática para Professores do Ensino Fundamental e Médio- UFF

2ª JorMat FEBF - FFP

Origem

Objetivo Permitir que os participantes reflitam sobre como está

acontecendo o ensino das funções reais na educação básica.

Projeto de Pesquisa intitulado Uma Proposta de Emersão das Idéias Fundamentais do Cálculo no Ensino Básico de Matemática, de autoria do Profº Wanderley Rezende.

A Oficina - Introdução

“O conceito de função se estabelece como uma ferramenta da matemática que ajuda o homem a entender os processos de fluência e de interdependência que são intrínsecos às coisas e aos seres do nosso Universo.”

Caraça (1942)

O caminho natural para o estudo das funções reais seria caracterizá-las conforme a maneira que variam.Será que este caminho é seguido na educação básica?

Livro didático - Botelho (2005) e Souza Sá (2005): Predominância da representação algébrica

injetividade/sobrejetividade, crescimento/decrescimento x quanto e como cresce/decresce

zeros da função x pontos críticos da função

Gráfico - “plotado” através de uma tabela de valores “notáveis”

Correspondência estática entre os valores das variáveis “x” e “y”

Ausência de tópicos que analisem o comportamento da variabilidade e de exercícios de modelagem

1G – Dante

DEFI NI ÇÃO

FUNÇÃOLI NEAR

GRÁFI CO NOPLANO

CARTESI ANO

CRESCI MENTO EDECRESCI MENTO

POSI ÇÃO RELATI VAENTRE DUAS RETAS

I NEQUAÇÕES

ZERO DAFUNÇÃO

PROPORCI ONALI DADE

TAXA DEVARI AÇÃO

TABELA DEVALORES

EQUAÇÃO DO1° GRAU

ESTUDO DOSI NAL

ÁLGEBRA

GEOMETRIA

CÁLCULO

2G - Dante

Equação do 2° grau

Imagem da Função

COORDENADAS DO Vértice

Valores Máximo e Mínimo

Inequações

Abertura da parábola

INCLINAÇÃO DA RETA TANGENTE

Tabela de valores

Taxa de variação

Gráfico no Plano

Cartesiano

Definição

Concavidade

EIXO DE SIMETRIA

SINAL DA FUNÇÃO

ÁLGEBRA

GEOMETRIA

CÁLCULO

Qual a importância do estudo da variações de funções reais na educação básica?

Problemas em geral não trazem fórmulas em seus enunciados. As quantidades são variáveis - tempo, lucro, temperatura, peso,

população, demanda, preço, ... Não existem grandes vantagens em saber apenas que “o preço da

gasolina vai subir” ou que “as taxas de juros no varejo caíram”. O exercício da cidadania envolve também o conhecimento sobre

como e o quanto variam as grandezas presentes em problemas da nossa vida cotidiana.

Completar o ensino básico tendo ferramentas para interpretar o mundo que o cerca, numa sociedade cada vez mais complexa.

A contribuição da História da Matemática

Conceito de função // conceito de variável

O uso de símbolos na matemática: álgebra desenvolvida na Grécia por Diofanto (200/214-

284/298); álgebra hindu.

Desenvolvimento da cinemática na Idade Média pelos filósofos escolásticos

Nicolau de Oresme / Richard Suiseth (Calculator)

Representação duplamente significativa: por um lado mostra duas grandezas relacionadas entre si,

variando ao mesmo tempo, e por outro lado ilustra esta variação através de um gráfico.

O conceito de função se estabelece, implicitamente, por meio da curva (uma reta) ...

A “matematização” do conceito de função

Galileu e a função quadrática

Galileo Galilei1564-1642

© Instituto e Museo di Storia della Scienza

(...) o espaço percorrido por um corpo em queda

livre é diretamente proporcional ao

quadrado do tempo levado para percorrer

este espaço.

If you need the player click here:

© 2006 Institute and Museum of the History of Sciencefonte: http://brunelleschi.imss.fi.it/museum/emulti.asp?player=wmv&codice=500045&banda=h

t s s s)

0 1

1 3

2 5

3 7

4 9

5

“Se subdividirmos o intervalo de tempo em partes iguais, a distância percorrida, em cada um destes, estará na razão 1, 3, 5, 7, ...”

Fonte: Instituto e Museu da História da Ciênciahttp://brunelleschi.imss.fi.it/museum/emulti.asp?player=wmv&codice=500045&banda=h

t s s s)

0 1 2

1 3 2

2 5 2

3 7 2

4 9 2

5



t s s s)

0 0 1 2

1 3 2

2 5 2

3 7 2

4 9 2

5



t s s s)

0 0 1 2

1 1 3 2

2 5 2

3 7 2

4 9 2

5



t s s s)

0 0 1 2

1 1 3 2

2 4 5 2

3 7 2

4 9 2

5



t s s s)

0 0 1 2

1 1 3 2

2 4 5 2

3 9 7 2

4 9 2

5



t s s s)

0 0 1 2

1 1 3 2

2 4 5 2

3 9 7 2

4 16 9 2

5



t s s s)

0 0 1 2

1 1 3 2

2 4 5 2

3 9 7 2

4 16 9 2

5 25



“(...) o espaço percorrido pelo corpo é diretamente proporcional ao quadrado do tempo usado para percorrer este espaço.”

RESOLVER AS 3 PRIMEIRAS ATIVIDADES

Contribuição das novas tecnlogias

Planilha

Geogebra

1) A tabela abaixo mostra a variação de posição de um trem em movimento uniforme que passava no quilômetro 40 de uma ferrovia quando o movimento começou a ser observado (t = 0). Depois de quanto tempo após o início da viagem, o trem passou pelo quilômetro 120 da ferrovia?

Tempo (horas)

0 1 2 3 4

Espaço (km)

40 70 100 130 160

Atividades

dt = 1

t S(t) ΔS Δ2S0 401 702 1003 1304 160

dt = 1

t S(t) ΔS Δ2S0 401 70 302 100 30 03 130 30 04 160 30 0

s é uma função afim do tipos(t) = at +b

Substituindo, temos:40 = s(0) = a.0 + b = b → b = 4070 = s(1) = a.1 + b → a = 70 – b = 70 – 40 = 30

Logo, s(t) = 30t + 40

Como estamos procuramos s(120), basta substituir:120 = 30.t + 40 → t = 8/3

Ou seja, o trem passou pelo quilômetro 120 da ferrovia depois de 2h e 40min.

2) Um estudante anotou a posição de um móvel em movimento uniformemente variável ao longo do tempo e obteve a seguinte tabela:

Tempo (s)

0 10 20 30 40 50

Posição (cm)

17 45 81 125 177 237

Calcular a posição do móvel nos instantes 5 s e 35 s.

dt = 10

t s(t) Δs Δ2s0 17

10 4520 8130 12540 17750 237

dt = 10

t s(t) Δs Δ2s0 17

10 45 2820 81 3630 125 4440 177 5250 237 60

dt = 10

t s(t) Δs Δ2s0 17

10 45 2820 81 36 830 125 44 840 177 52 850 237 60 8

s é uma função quadrática do tipo s(t) = at2 +bt + c

811720400

451710100

172040020.20.)20(81

171010010.10.)10(45

170.0.)0(17

2

2

2

ba

ba

bacbas

bacbas

cccbas

Substituindo, temos:

Resolvendo o sistema, temos:

5

12811720

25

1400

25

1

200

8

917200

811720400

903420200

bba

a

ba

ba

Logo, 175

12

5)(

2

ttts

Como queremos a posição do móvel nos instantes 5s e 35s, basta achar s(5) e s(35):

Ou seja, a posição do móvel no instante 5s era 30 cm e no instante 35s era150 cm.

150178449175

35.12

5

35)35(

3017121175

5.12

5

5)5(

2

2

s

s

3) Uma escala N de temperatura foi feita com base nas temperaturas máxima e mínima em Nova Iguaçu. A correspondência com a escala Celsius é a seguinte:

º C º N

18º 0º

43º 100º

Em que temperatura a água ferve na escala N?

dt = 25

t t(c) Δt Δ2t18 043 100 100

t é uma função afim do tipot(c) = ac +b

Como estamos procuramos t(c) quando c = 100º C, basta substituir:


7241002510043

018

43.100

18.0

.)(

baaba

ba

ba

ba

bcact

Logo, 724)( cct

3287240072100.4)( ct

Ou seja, na escala N, a água ferve a 328º.

4) Uma pessoa possui um gravador de vídeo dotado de um contador que registra o número de voltas dadas pelo carretel da direita. A fita, de seis horas de duração, está parcialmente gravada. O contador indica 1750 ao final do trecho gravado e 1900 ao final da fita. Medindo o tempo de gravação correspondente às primeiras 100, 200, 300 e 400 voltas, foram encontrados os dados ao lado:

Quanto tempo de gravação resta na fita?

Volta (n)

Tempo (t)

100 555

200 1176

300 1863

400 2616

dn = 100

n t(n) Δt Δ2t100 555200 1176300 1863400 2616

dn = 100

n t(n) Δt Δ2t100 555200 1176 621300 1863 687400 2616 753

dn = 100

n t(n) Δt Δ2t100 555200 1176 621300 1863 687 66400 2616 753 66

t é uma função quadrática do tipo t(n) = an2 +bn + c

186330090000

117620040000

55510010000

1863300.300.)300(

1176200.200.)200(

555100.100.)100(

2

2

2

cba

cba

cba

cbat

cbat

cbat


Resolvendo o sistema, temos:

65410040000

62110030000

130820080000

62110030000

18631001000055530090000

11761001000055520040000

: temos,(III) e (II) em dosubstituin ,

10010000555 ),(

186330090000

117620040000

55510010000

ba

ba

ba

ba

baba

baba

Logo

bacquetemosIde

IIIcba

IIcba

Icba

0100

522.100

10000

33.10000555

100

52299621100621100

10000

3330000.

10000

333310000

cc

bbbaa

Logo, nnnt 22,50033,0)( 2

Vamos encontrar agora o f(x) quando o contador marca o final do trecho gravado, ou seja:

25,241.19135.925,106.101750.22,51750.0033,0)1750( 2 t

O tempo de gravação que ainda resta na fita é a diferença entre o tempo total da fita (6h = 6h.60min = 360min = 360min.60s = 21.600s) e o tempo de gravação (19.241,25s):

21.600s - 19.241,25s = 2.358,75s ou seja, 39min e 31s

5) Um ônibus de 48 lugares foi alugado para uma excursão. O preço por passageiro é de R$ 30,00 reais acrescido de uma taxa de 1 real por lugar vazio no ônibus. Determinar uma função que relacione o número de lugares vazios com a rentabilidade do dono do Ônibus.

dn = 1

n P(n) ΔP Δ2P1 772 152 753 225 73 -24 296 71 -2

P é uma função quadrática do tipo P(n) = an2 +bn + cSubstituindo, temos:

22539

15224

77

2253.3.)3(

1522.2.)2(

771.1.)1(

2

2

2

cba

cba

cba

cbaP

cbaP

cbaP

Resolvendo o sistema, temos: 0,78 ,1 cba

Logo, nnnP 78)( 2

6) (UERJ-2002) O movimento uniformemente acelerado de um objeto pode ser representado pela seguinte progressão aritmética:

7 11 15 19 23 27...

Estes números representam os deslocamentos, em metros, realizados pelo objeto, a cada segundo. Determine a função horária que descreve a posição deste objeto. (adaptado)

dt = 1

t S(t) ΔS Δ2S0 01 7 72 18 11 43 33 15 44 52 19 45 75 23 46 102 27 4

S é uma função quadrática do tipo S(n) = an2 +bn + cSubstituindo, temos:

3339

1824

7

333.3.)3(

182.2.)2(

71.1.)1(

2

2

2

cba

cba

cba

cbaS

cbaS

cbaS

Resolvendo o sistema, temos: 0,5 ,2 cba

Logo, tttS 52)( 2

Considerações finais Qual o motivo desta omissão?

Qual a dificuldade em se tratar, no ensino médio, de assuntos como “variabilidade” ou “taxa de variação”?

Precisamos recuperar os “escolásticos”... Caracterizar as funções conforme “o modo” que variam.

Incentivar os alunos na busca por padrões e regularidades no estudo da variação das funções (novas tecnologias)

Utilizar processos de modelagem (modelação matemática) como instrumento didático.

Reorientar as articulações do conteúdo programático: PA / PG / Seqüências / Funções reais

Possibilitar, na atividade pedagógica, grande variedade de representações do conceito de função.

Referências BOTELHO, L.M.L. (2005) Funções Polinomiais na Educação Básica: Uma

Proposta. Monografia de Pós-gradução. UFF, Niterói.

BOYER, C. B. História da Matemática. (1991) 2a edição. Edgard Blücher, São Paulo, tradução de Elza Gomide de título original, Edgard Blucher, S. Paulo, 1974.

BOYER, C. B. (1949) The History of the Calculus and its Conceptual Development. Dover Publications Inc., New York.

CABRAL, T. C. B. (1998) Contribuições da Psicanálise à Educação Matemática: A Lógica da Intervenção nos Processos de Aprendizagem. Tese de Doutorado. USP, São Paulo.

CARAÇA, B. de J. (1989) Conceitos Fundamentais da Matemática. 9a edição. Livraria Sá da Costa Editora, Lisboa.

LIMA, E.L., CARVALHO, P.C.P., WAGNER, E. & MORGADO, A.C. (2001) A Matemática do Ensino Médio. Coleção do Professor de Matemática. v. 1. Sociedade Brasileira de Matemática, Rio de Janeiro

KLINE, M. (1990) Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, v.1. Oxford University Press, de Oxford, Inglaterra..

REZENDE, W. M. (2003a) O Ensino de Cálculo: Dificuldades de Natureza Epistemológica. Tese de Doutorado. USP, São Paulo.

REZENDE, W. M. (2003b) Uma Proposta Didática de Emersão das Idéias Fundamentais do Cálculo no Ensino Básico. Projeto de Pesquisa. UFF, Niterói.

RÜTHING, D. (1984) Some Definitions of The Concept of Function from Joh. Bernoulli to N. Bourbaki. The Mathematical Intelligencer, v. 6, (4), 72-77.

SIERPINSKA, A. (1987) Humanities Students and Epistemological Obstacles Related to Limits. Educational Studies in Mathematics, 18.

SOUZA SÁ, S. L. de (2005) Um Mapeamento do Ensino de Funções Exponenciais e Logarítmicas no Ensino Básico. Monografia de Pós-gradução. UFF, Niterói.

Procura Se Pela Função: Alguém viu?

Technology

Transcript of Procura Se Pela Função: Alguém viu?