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Universidade Federal da ParaıbaCentro de Ciencias Exatas e da Natureza

Programa de Pos–Graduacao em MatematicaMestrado em Matematica

Produto tensorial entre espacos deBanach e aplicacoes

Adelson Carlos Madruga

Joao Pessoa – PBFevereiro de 2018

http://lattes.cnpq.br/1565118209507899

Universidade Federal da ParaıbaCentro de Ciencias Exatas e da Natureza

Programa de Pos–Graduacao em MatematicaMestrado em Matematica


por

Adelson Carlos Madruga

sob a orientacao do

Prof. Dr. Jamilson Ramos Campos

Joao Pessoa – PBFevereiro de 2018



Catalogacao na publicacaoSecao de Catalogacao e Classificacao

M183p Madruga, Adelson Carlos.Produto tensorial entre espacos de Banach e aplicacoes

/ Adelson Carlos Madruga. - Joao Pessoa, 2018.95 f.

Orientacao: Jamilson Ramos Campos.Dissertacao (Mestrado) - UFPB/CCEN.

1. Matematica. 2. Espacos de Banach. 3. Ideais deoperadores. 4. Multi-ideais de operadores. I. Campos,Jamilson Ramos. II. Tıtulo.

UFPB/BC


por

Adelson Carlos Madruga 1

Dissertacao apresentada ao Corpo Docente do Programa de Pos–Graduacao em Ma-tematica da Universidade Federal da Paraıba como requisito parcial para a obtencao dotıtulo de Mestre em Matematica.

Area de Concentracao: Analise

Aprovada em 26 de Fevereiro de 2018.

Banca Examinadora:

1O autor foi bolsista da(o) CAPES/CNPq durante a elaboracao desta dissertacao.

Aos meus pais, Luzia e An-

tonio, por se doarem inte-

gralmente, proporcionando-

me uma base solida para

que cada etapa dessa cami-

nhada fosse conquistada.

Agradecimentos

Agradeco, primeiramente, a DEUS, por permanecer sempre ao meu lado, dando-me

coragem e disposicao para alcancar essa tao sonhada e importante conquista.

Aos meus pais, Luzia Felix e Antonio Madruga, que nao mediram esforcos para a

realizacao desse sonho e cuja presenca sempre me serviu de esteio, sustentacao e da certeza

de que nunca caminharei sozinho. Essa conquista e nossa!

Aos meus irmaos, Francineide Madruga e Jaelson Madruga, por se fazerem sempre

presentes mesmo quando me encontrava distante, apoiando-me nos momentos de dificul-

dades.

Ao meu sobrinho, Conrado Madruga, que embora ainda nao saiba o significado dessa

conquista, transmite-me paz e tranquilidade com sua presenca.

Aos meus avos, tios, primos e cunhado pelo incentivo constante e, principalmente,

pelos momentos de descontracao e lazer.

Aos amigos pela torcida infalıvel em todas as etapas dessa trajetoria.

Aos colegas do mestrado, Bosoerg, Douglas, Fagner, Rafael e Sergio, pelos conheci-

mentos compartilhados, apoio e amizade, tornando, assim, a caminhada mais suportavel.

Ao meu orientador, Jamilson Campos, que com maestria e dedicacao conduziu a

orientacao desse trabalho, sempre contribuindo com seu inigualavel conhecimento e ex-

periencia. Obrigado pela confianca, paciencia, disponibilidade e incentivo.

Aos meus professores da licenciatura, Agnes Liliane, Cibelle Castro, Claudilene Costa,

Fabrıcio Lima, Givaldo Lima, Jamilson Campos, Jussara Paiva e Marcos Andre, pelo

incentivo e ajuda em todos os momentos que deles precisei.

Ao corpo docente do PGMat/UFPB, em especial, a Miriam Pereira, Flank David e

Ricardo Burity pelas contribuicoes dadas a minha formacao durante o transcorrer de suas

disciplinas.

Aos professores Mariana Maia e Joedson dos Santos, membros da banca examinadora,

por aceitarem o nosso convite e pelas valiosas contribuicoes dada a essa pesquisa.

A professora Rogeria Gaudencio pela disponibilidade em me supervisionar durante o

estagio docencia e pelas contribuicoes que foram de grande importancia ao meu cresci-

mento profissional. Muito obrigado!

As secretarias do PGMat/UFPB, Alaıce Duarte e Roseli Agapito, por sempre se mos-

trarem solıcitas quando delas precisei.

Enfim, mas nao menos importante, a CAPES e ao CNPq pelo apoio financeiro.

Resumo

O presente trabalho tem como objetivo principal estudar o produto tensorial entre espacos

de Banach. Para isso, inicialmente, apresentaremos alguns resultados de Analise Funcio-

nal e de espacos de sequencias a valores vetoriais que serao necessarios ao desenvolvimento

dos conteudos posteriores. Em seguida, faremos um estudo algebrico do produto tensorial

de espacos vetoriais, destacando sua construcao e suas propriedades. No vies topologico,

estudaremos as normas projetiva e injetiva, suas propriedades e o dual do produto ten-

sorial projetivo. Por fim, veremos duas aplicacoes do produto tensorial entre espacos de

Banach, a saber, uma com respeito ao metodo de composicao, que gera multi-ideais a

partir de ideais de operadores lineares, e a outra relacionada a uma caracterizacao para

os operadores absolutamente somantes.

Palavras-chave: Produto tensorial, espacos de Banach, ideais de operadores, multi-

ideais, operadores absolutamente somantes.

Abstract

This work has as the main purpose to study the tensor product between Banach spaces.

For this, initially, we will present some results of Functional Analysis and of vector-valued

sequence spaces that will be necessary to the development of the later contents. Next,

we will make an algebraic study of the tensor product of vector spaces, highlighting its

construction and its properties. In the topological bias, we will study the projective and

injective norms, their properties and the dual of the projective tensor product. Finally, we

will see two applications of the tensor product between Banach spaces, namely one with

respect to the composition method, which generates multi-ideals from the linear operator

ideals, and other related to a characterization for the absolutely summing operators.

Keywords: Tensor Product, Banach spaces, operator ideals, multi-ideals, absolutely

summing operators.

Sumario

Introducao 1

1 Preliminares 3

1.1 Resultados Classicos de Analise Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Dualidade e Adjunto de um operador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3 Completamento de um espaco normado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4 Espacos de sequencias a valores vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2 Produto Tensorial 30

2.1 Produto tensorial de espacos vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2 Produto tensorial e linearizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.3 Tensores como formas bilineares e como aplicacoes lineares . . . . . . . . . 43

2.4 Dualidade tensorial e dualidade de traco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.5 Alguns exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.5.1 Funcoes de valores vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.5.2 Funcoes de duas variaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3 Produto tensorial projetivo e injetivo 52

3.1 A norma projetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2 O espaco dual de X⊗πY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.3 A norma injetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4 Aplicacoes 75

4.1 Multi-ideais de composicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.2 Operadores absolutamente p-somantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Referencias Bibliograficas 84

ix

Notacoes

A seguir, listamos algumas notacoes utilizadas neste trabalho.

• N denota o conjunto {1, 2, 3, . . .};

• R denota o conjunto dos numeros reais;

• C denota o conjunto dos numeros complexos;

• K denota o corpo R ou C;

• L(E,F ) denota o conjunto de todos os operadores lineares de E em F ;

• L(E,F ) denota o conjunto de todos os operadores lineares contınuos de E em F ;

• K(E,F ) denota o conjunto de todos os operadores lineares compactos de E em F ;

• BE denota a bola unitaria fechada no espaco E;

• BE denota a bola unitaria aberta no espaco E;

• X# denota o dual algebrico do espaco X;

• E ′ denota o dual topologico do espaco E;

• dim(E) denota a dimensao do espaco E;

• Im(f) denota a imagem da aplicacao f ;

• ker(T ) denota o nucleo do operador linear T ;

• E 1↪→ F denota que E ⊆ F e ‖x‖F ≤ ‖x‖E, para todo x ∈ E;

• E 1= F denota que E e isometricamente isomorfo a F ;

• (xj)nj=1 denota a sequencia (x1, x2, . . . , xn, 0, 0, . . .);

• int(A) denota o interior do conjunto A;

x

• idE denota a aplicacao identidade em E;

• en denota a sequencia (0, . . . , 0, 1, 0, . . .) cujos termos sao todos nulos com excecao

do n-esimo;

• [A] ou span {A} denota o espaco vetorial gerado pelo subconjunto A de um espaco

vetorial E;

• T ′ : F ′ −→ E ′ denota o operador adjunto de T ∈ L(E,F );

• T# : F# −→ E# denota o operador adjunto de T ∈ L(E,F );

• B(X × Y, Z) denota o conjunto de todas as aplicacoes bilineares de X × Y em Z;

• B(X × Y ) denota o conjunto de todas as formas bilineares de X × Y em K;

• X ⊗ Y denota o produto tensorial dos espacos vetoriais X e Y ;

• x⊗ y denota o tensor elementar em X ⊗ Y ;

• co(S) denota a envoltoria convexa de S;

• co(S) denota o fecho da envoltoria convexa de S;

• π(·) denota a norma projetiva definida em X ⊗ Y ;

• ε(·) denota a norma injetiva definida em X ⊗ Y ;

• X ⊗π Y denota o produto tensorial munido da norma projetiva;

• X ⊗ε Y denota o produto tensorial munido da norma injetiva;

• X⊗πY denota o completamento do espaco normado X ⊗ε Y , chamado de produto

tensorial projetivo;

• X⊗εY denota o completamento do espaco normado X ⊗ε Y , chamado de produto

tensorial injetivo;

• I denota o ideal de operadores.

xi

Introducao

O carater algebrico das aplicacoes multilineares possibilita que resultados da Algebra

sejam bem incorporados na Analise Funcional, permitindo assim a criacao de ferramentas

capazes de auxiliar na resolucao de problemas que envolvem esse tipo de aplicacao. Dentre

essas ferramentas, destacamos o produto tensorial de espacos vetoriais que, por exemplo,

lineariza essas aplicacoes.

O produto tensorial foi introduzido na Analise Funcional por meio de um estudo de-

senvolvido por Murray e Von Neumann [12] no final da decada de 1930. Anos depois,

mais especificamente em 1943, Schatten em [18] e [19] fez o primeiro estudo das classes

de normas sobre os produtos tensoriais entre espacos de Banach. Entretanto, as varias

possibilidades do uso dos produtos tensoriais na Teoria dos Espacos de Banach so ficou evi-

dente e ganhou forca com o artigo de Grothendieck [8], Resume de la theorie metrique des

produits tensoriels topologiques, publicado em 1956 no Brasil. Nesse inestimavel trabalho,

entre muitas coisas, Grothendieck define e estuda a classe dos operadores absolutamente

somantes. Embora atualmente, os estudos sobre esse tipo de classe, em sua grande mai-

oria, facam uso de caracterizacoes por desigualdades ou por operadores induzidos, nos

estudos de Grothendieck eles foram, inicialmente, postos em termos de produto tensorial.

Como havia alguma relutancia de pensar em termos de produto tensorial na Analise

Funcional, os resultados apresentados no Resume foram, de certa forma, considerados de

difıcil compreensao. Anos depois, por volta de 1960, varios pesquisadores como Lindens-

trauss, Pelczynski e Pietsch e seus colaboradores reescreveram as ideias de Grothendieck

sobre a teoria dos operadores absolutamente somantes de forma mais compreensıvel e

sistematizaram a teoria de ideais de operadores, de certo modo, sem o uso de produtos

tensoriais. Anos depois, o estudo de ideais de operadores com uso de produtos tensori-

ais aparece novamente, dentre muitos trabalhos, no estudo de Pietsch [15], publicado em

1983, e no livro de Pisier [16] e no de Defant e Floret [5].

Iniciado por volta dos anos 1970, o trabalho desenvolvido por Pisier na Teoria dos

Espacos de Banach foi o que finalmente chamou a atencao para a abordagem do produto

tensorial na Analise Funcional. Sua obra [16] foi fundamental para solucionar seis dos

problemas deixados por Grothendieck no Resume. Alem disso, Pisier deixa claro que

1

pensar em termos de ideais de operadores e em termos de produtos tensoriais e de fato

bastante util.

Atualmente, pesquisadores como, por exemplo, P. Rueda e G. Botelho vem utilizando

o produto tensorial entre espacos de Banach como uma importante ferramenta na Analise

Funcional. Entre seus trabalhos, destacamos o artigo [1], desenvolvido com a colaboracao

de D. Pellegrino, que deixa evidente, entre outras contribuicoes, a utilidade do produto

tensorial projetivo no metodo de composicao, que gera multi-ideais a partir de ideais de

operadores lineares, e o artigo [3], que aborda a propriedade Schur em produtos tensoriais

projetivos e injetivos.

O objetivo principal deste trabalho e estudar o produto tensorial entre espacos vetoriais

(e de Banach), mostrando sua construcao, algumas de suas propriedades e duas aplicacoes

na Analise Funcional. Para isso, estruturamos a dissertacao em quatro capıtulos da forma

que descrevemos abaixo.

O Capıtulo 1 traz uma breve explanacao de resultados preliminares necessarios para o

desenvolvimento da teoria ao longo do trabalho. Nele, apresentamos resultados classicos

de Analise Funcional e, entre muitas coisas, tecemos algumas consideracoes sobre os

espacos de sequencias a valores vetoriais.

No Capıtulo 2, abordamos a teoria do produto tensorial de espacos vetoriais. Nosso

interesse, nesse capıtulo, se concentra no estudo algebrico dessa teoria, observando sua

construcao e suas propriedades.

No Capıtulo 3, estudamos duas maneiras de normar o produto tensorial de espacos

vetoriais (em particular, de Banach). Trabalhamos a norma projetiva, mostramos que o

produto tensorial projetivo lineariza as aplicacoes bilineares contınuas e determinamos o

espaco dual do produto tensorial projetivo. Alem disso, apresentamos um estudo sobre a

norma injetiva.

No ultimo capıtulo, o Capıtulo 4, apresentamos duas aplicacoes dos produtos tensoriais

entre espacos de Banach: a primeira aplicacao relaciona o produto tensorial ao metodo

de composicao, metodo usado para gerar multi-ideais a partir de ideais de operadores

lineares; a segunda apresenta uma caracterizacao para os operadores absolutamente p-

somantes em funcao da continuidade de operadores entre espacos produtos tensoriais.

Um fato digno de nota: muitos resultados classicos de Analise Real e de Algebra

Linear serao utilizados indistintamente ao longo da dissertacao sem nenhuma mencao ou

indicacoes de referencias.

2

Capıtulo 1

Preliminares

Neste capıtulo, faremos uma breve apresentacao de alguns resultados de Analise Fun-

cional e dos espacos de sequencias a valores vetoriais que serao necessarios para o de-

senvolvimento da teoria dos proximos capıtulos. Salientamos que algumas demonstracoes

serao omitidas, por se tratarem de resultados classicos, e para elas apontaremos as devidas

referencias.

1.1 Resultados Classicos de Analise Funcional

Na presente secao, iremos expor algumas definicoes e resultados classicos de Analise

Funcional, como os importantes teoremas do Grafico Fechado e os de Hahn-Banach. Em

sua construcao, utilizamos como referencias principais os livros [2], [4] e [11]. Iniciamos o

texto definindo uma norma sobre um espaco vetorial:

Definicao 1.1. Uma norma num espaco vetorial E e uma aplicacao

‖·‖E : E −→ [0,∞)

x 7−→ ‖x‖E

que satisfaz as seguintes propriedades:

(i) ‖x‖E ≥ 0, para todo x ∈ E e ‖x‖E = 0 se, e somente se, x = 0.

(ii) ‖λx‖E = |λ| · ‖x‖E, para todos λ ∈ K e x ∈ E.

(iii) ‖x+ y‖E ≤ ‖x‖E + ‖y‖E, para todos x, y ∈ E (desigualdade triangular).

Quando um espaco vetorial for munido de uma norma sera chamado de espaco vetorial

normado ou simplesmente espaco normado e denotado pelo par (E, ‖·‖E).

3

1. Preliminares

Definicao 1.2. Um espaco normado E e chamado de espaco de Banach se ele for completo

na metrica

d(x, y) = ‖x− y‖ , para todo x, y ∈ E,

induzida pela norma.

Definicao 1.3. Sejam E1, . . . , En espacos normados. As seguintes expressoes definem

normas sobre o espaco produto cartesianos E1 × · · · × En :

‖(x1, . . . , xn)‖1 = ‖x1‖+ . . .+ ‖xn‖ ,

‖(x1, . . . , xn)‖2 =(‖x1‖2 + . . .+ ‖xn‖2) 1

2 , e

‖(x1, . . . , xn)‖∞ = max {‖x1‖ , . . . , ‖xn‖} .

Definicao 1.4. Duas normas ‖·‖ e ‖·‖0 em um espaco vetorial E sao equivalentes se

existem constantes a, b > 0 tais que, para todo x ∈ E, tem-se

a ‖x‖0 ≤ ‖x‖ ≤ b ‖x‖0 .

O proximo resultado se trata de um exercıcio corriqueiro em Analise Funcional e por

isso omitiremos sua demonstracao.

Proposicao 1.5. Sejam E1, . . . , En espacos normados.

(a) As aplicacoes ‖·‖1, ‖·‖2 e ‖·‖∞ definem normas equivalentes no produto cartesiano

E1 × · · · × En.

(b) E1 × · · · × En munido de uma das normas do item (a) e Banach se, e somente se,

E1, . . . , En sao espacos de Banach.

Veremos, na proposicao a seguir, a importancia dos subespacos fechados de um espaco

de Banach.

Proposicao 1.6. Sejam E um espaco de Banach e F um subespaco vetorial de E. Entao,

F e um espaco de Banach se, e somente se, F e fechado em E.

Demonstracao: Sejam F um espaco de Banach e (xn)∞n=1 uma sequencia em F tal que

xn −→ x ∈ E. Entao, para todo ε > 0 existe n0 = n0(ε) ∈ N tal que n > n0 implica em

‖xn − x‖ <ε

2. Assim

‖xm − xn‖ = ‖xm − x+ x− xn‖

≤ ‖xm − x‖+ ‖x− xn‖ <ε

2+ε

2= ε,

4

1. Preliminares

para todos m,n > n0. Portanto (xn)∞n=1 e uma sequencia de Cauchy em F e existe y ∈ Ftal que xn → y. Pela unicidade do limite, x = y ∈ F , provando que F e fechado em E.

Reciprocamente, suponha que F e fechado em E e seja (xn)∞n=1 uma sequencia de

Cauchy em F . Entao, (xn)∞n=1 e de Cauchy em E e portanto existe x ∈ E tal que xn → x.

Como F e fechado, temos que x ∈ F , provando assim que F e um espaco de Banach. �

Nosso objetivo agora e mostrar que qualquer espaco vetorial normado de dimensao

finita e um espaco de Banach. Para isso precisaremos do seguinte lema:

Lema 1.7. Sejam E um espaco normado e B = {x1, . . . , xn} um conjunto de vetores

linearmente independentes de E. Entao existe uma constante c > 0, que depende do

conjunto B, tal que

‖a1x1 + · · ·+ anxn‖ ≥ c(|a1|+ · · ·+ |an|),

para quaisquer escalares a1, . . . , an.

Demonstracao: Veja [2, Lema 1.1.5]. �

Teorema 1.8. Todo espaco normado de dimensao finita e um espaco de Banach. Conse-

quentemente, todo subespaco de dimensao finita de um espaco normado E e fechado em

E.

Demonstracao: Sejam E um espaco normado de dimensao n, {β1, . . . , βn} uma base

normalizada de E e (xk)∞k=1 uma sequencia de Cauchy em E. Entao para cada k ∈ N

existem unicos escalares ak1, . . . , akn tais que xk = ak1β1 + · · ·+ aknβn. Dado ε > 0, podemos

tomar um n0 ∈ N tal que ‖xk − xm‖ < c · ε sempre que k,m ≥ n0, onde c e a constante

do Lema 1.7 para o conjunto {β1, . . . , βn}. Segue entao que

n∑j=1

∣∣akj − amj ∣∣ ≤ 1

c

∥∥∥∥∥n∑j=1

(akj − amj )βj

∥∥∥∥∥ =1

c‖xk − xm‖ < ε,

sempre que k,m ≥ n0. Daı, para cada j = 1, . . . , n, a sequencia de escalares (akj )∞k=1 e

de Cauchy, portanto convergente. Digamos bj = limkakj , j = 1, . . . , n. Nesse caso, temos

limk

∑nj=1

∣∣akj − bj∣∣ = 0. Definindo x = b1β1 + · · ·+ bnβn, temos x ∈ E e

limk‖xk − x‖ = lim

k

∥∥∥∥∥n∑j=1

(akj − bj)βj

∥∥∥∥∥ ≤ limk

n∑j=1

∣∣akj − bj∣∣ = 0,

provando que xk −→ x. Portanto E e um espaco Banach. A segunda afirmacao segue da

primeira e da Proposicao 1.6. �

5

1. Preliminares

Definiremos agora alguns espacos de sequencias de escalares que serao utilizados em

resultados posteriores. Denotaremos por c0, c00, `p e `∞, respectivamente, o espaco das

sequencias que convergem para zero, das sequencias eventualmente nulas, das sequencias

p-somaveis e das sequencias limitadas. Em sımbolo temos

c0 :={

(aj)∞j=1 : aj ∈ K para todo j ∈ N e aj −→ 0

},

c00 :={

(aj)∞j=1 ∈ c0 : existe j0 ∈ N tal que aj = 0, para todo j ≥ j0

},

`p :=

{(aj)

∞j=1 : aj ∈ K para todo j ∈ N e

∞∑j=1

|aj|p <∞

},

`∞ :=

{(aj)

∞j=1 : aj ∈ K para todo j ∈ N e sup

j∈N|aj| <∞

}.

As desigualdades de Holder e de Minkowski para sequencias sao necessarias para mos-

trar que o espaco `p e um espaco normado. As duas proximas proposicoes mostram essas

desigualdades e as respectivas demonstracoes podem ser encontradas em [11, Example

1.2-3].

Proposicao 1.9 (Desigualdade de Holder para sequencias). Sejam n ∈ N e p, q > 1

tais que 1p

+ 1q

= 1. Entao

n∑j=1

|ajbj| ≤

(n∑j=1

|aj|p) 1

p

·

(n∑j=1

|bj|q) 1

q

,

para quaisquer escalares a1, . . . , an, b1, . . . , bn.

Proposicao 1.10 (Desigualdade de Minkowski para sequencias). Seja p ≥ 1.

Entao para quaisquer n ∈ N e escalares a1, . . . , an, b1, . . . , bn, temos

(n∑j=1

|aj + bj|p) 1

p

≤

(n∑j=1

|aj|p) 1

p

+

(n∑j=1

|bj|p) 1

p

Os dois teoremas seguintes mostram que os espacos de sequencias `p e `∞ sao Banach.

Teorema 1.11. Se 1 ≤ p <∞, entao `p e um espaco de Banach com a norma

∥∥(aj)∞j=1

∥∥p

=

(∞∑j=1

|aj|p) 1

p

.

Demonstracao: Veja [11, Example 1.5-4]. �

6

1. Preliminares

Teorema 1.12. O espaco das sequencias limitadas `∞ e Banach com a norma

∥∥(aj)∞j=1

∥∥∞ = sup

j∈N|aj|

Demonstracao: Veja [11, Example 1.5-2]. �

Como toda sequencia convergente e limitada temos que c0 e um subespaco de `∞. O

fato de c0 ser um espaco de Banach [2, Exemplo 1.1.7] segue da Proposicao 1.6 que c0 e

um subespaco fechado de `∞. O espaco c00 e um subespaco nao-fechado de c0 e portanto

nao e Banach [2, Exemplo 1.1.7].

Agora, iremos apresentar alguns resultados relacionados aos operadores lineares contınuos.

Iniciaremos definindo esse tipo operador.

Definicao 1.13. Sejam E e F espacos normados sobre um corpo K. Uma aplicacao

T : E −→ F e dita um operador linear contınuo se e linear e contınua simultaneamente,

isto e,

(i) T (λx+ y) = λT (x) + T (y), para todo λ ∈ K e quaisquer x, y ∈ E;

(ii) Se para todos x0 ∈ E e ε > 0 existe δ > 0 tal que ‖T (x)− T (x0)‖ < ε, sempre que

x ∈ E e ‖x− x0‖ < δ.

Alem disso, se T : E −→ F for um operador linear contınuo bijetor cujo operador

inverso T−1 : F −→ E for contınuo, dizemos que T e um isomorfismo topologico, ou

simplesmente isomorfismo, e que E e F sao topologicamente isomorfos, ou simplesmente

isomorfos.

Denotaremos o conjunto de todos os operadores lineares contınuos de E em F por

L(E,F ). Se F for o corpo dos escalares K, escrevemos E ′ em vez de L(E,K) e o chama-

remos de dual topologico de E, ou simplesmente dual de E, e seus elementos chamaremos

de funcionais lineares contınuos. Sendo T : E −→ F um operador linear, dizemos que T

e uma isometria linear se ‖T (x)‖F = ‖x‖E, para todo x ∈ E.

O proximo teorema traz algumas caracterizacoes que sao bastante uteis para mostrar

a continuidade de um operador linear.

Teorema 1.14. Sejam E, F espacos normados e T : E → F um operador linear. Sao

equivalentes:

(a) T e Lipschitziano.

(b) T e uniformemente contınuo.

(c) T e contınuo.

7

1. Preliminares

(d) T e contınuo em algum ponto de E.

(e) T e contınuo na origem.

(f) sup‖x‖≤1

‖T (x)‖ <∞.

(g) Existe c > 0 tal que ‖T (x)‖F ≤ c‖x‖E, para todo x ∈ E.

Demonstracao: Da teoria dos espacos metricos, sabemos que as implicacoes (a) ⇒ (b)

⇒ (c) ⇒ (d) sao sempre validas e nao dependem da linearidade de T .

(d)⇒(e) Digamos que T e contınuo no ponto x0 ∈ E. Entao, para todo ε > 0 existe

δ = δ(ε) > 0 tal que ‖T (x)− T (x0)‖ < ε, sempre que ‖x− x0‖ < δ. Seja x ∈ E tal que

‖x‖ < δ. Entao, ‖x‖ = ‖x+ x0 − x0‖ < δ implica em

‖T (x)− T (0)‖ = ‖T (x)− 0‖ = ‖T (x) + T (x0)− T (x0)‖

= ‖T (x+ x0)− T (x0)‖ < ε,

donde T e contınuo na origem.

(e)⇒(f) Sendo T contınuo na origem, existe δ > 0 tal que ‖T (x)‖ < 1, sempre que

‖x‖ < δ. Daı, ‖x‖ ≤ 1 implica em

∥∥∥∥δ2x∥∥∥∥ < δ que por sua vez implica em

δ

2‖T (x)‖ =

∥∥∥∥T (δ2x)∥∥∥∥ < 1,

para todo x ∈ E tal que ‖x‖ ≤ 1. Logo,

sup‖x‖≤1

‖T (x)‖ ≤ 2

δ<∞.

(f)⇒(g) Se x = 0 a desigualdade e trivialmente satisfeita para qualquer c > 0. Seja

x ∈ E \ {0}. Entao,

‖T (x)‖‖x‖

=

∥∥∥∥T ( x

‖x‖

)∥∥∥∥ ≤ sup‖y‖≤1

‖T (y)‖ =: c <∞.

Portanto, ‖T (x)‖ ≤ c ‖x‖ para todo x ∈ E.

(g)⇒(a) Sejam x, y ∈ E. Temos

‖T (x)− T (y)‖ = ‖T (x− y)‖ ≤ c ‖x− y‖

e portanto T e Lipschitziano. �

8

1. Preliminares

A condicao (f) do Teorema 1.14 nos mostra como normar o espaco L(E,F ) dos ope-

radores lineares contınuo de E em F :

Proposicao 1.15. Sejam E e F espacos normados.

(a) A expressao

‖T‖ = supx∈BE

‖T (x)‖

define uma norma no espaco L(E,F ).

(b) ‖T (x)‖ ≤ ‖T‖ · ‖x‖, para todos T ∈ L(E,F ) e x ∈ E.

(c) Se F for Banach, entao L(E,F ) tambem e Banach.

Demonstracao: Veja [2, Proposicao 2.1.4]. �

Apresentamos agora uma classe especial de operadores lineares contınuos.

Definicao 1.16. Um operador linear contınuo T : E −→ F e dito ser de posto finito se

a imagem de T e um subespaco de dimensao finita de F . Denotaremos por F(E,F ) o

conjunto dos operadores lineares contınuos de posto finito de E em F .

O operador ϕ ⊗ y : E −→ F definido por ϕ ⊗ y(x) := ϕ(x)y, com ϕ ∈ E ′ e y ∈ F , e

um exemplo de operador linear contınuo de posto finito. De fato, dados a, b ∈ E e λ ∈ K,

temos

ϕ⊗ y(a+ λb) = ϕ(a+ λb)y = ϕ(a)y + λϕ(b)y = ϕ⊗ y(a) + λϕ⊗ y(b),

donde ϕ⊗ y e linear. A continuidade de ϕ⊗ y segue de

‖ϕ⊗ y(x)‖ = ‖ϕ(x)y‖ ≤ ‖ϕ‖ ‖y‖ ‖x‖ ,

para todo x ∈ E. Alem disso, ‖ϕ⊗ y‖ = supx∈BE ‖ϕ(x)y‖ = ‖ϕ‖ ‖y‖ . Como ϕ⊗ y(E) ⊆[y], temos que ϕ⊗ y e um operador linear contınuo de posto finito.

Os operadores lineares contınuos de posto finito possuem a seguinte caracterizacao:

Proposicao 1.17. Seja T : E −→ F um operador linear contınuo. Sao equivalentes:

(a) T e de posto finito.

(b) Existem n ∈ N, ϕ1, . . . , ϕn ∈ E ′ e y1, . . . , yn ∈ F tais que T = ϕi⊗ yi + · · ·+ϕn⊗ yn.

9

1. Preliminares

Demonstracao: (a) ⇒ (b) Suponha que a imagem de T tenha dimensao finita, isto e,

dim(T (E)) = n ∈ N. Escolha uma base {y1, . . . , yn} para T (E). Desse modo, para todo

x ∈ E existem unicos α1, . . . αn ∈ K tais que

T (x) =n∑i=1

αiyi. (1.1)

Para cada i = 1, . . . , n, defina ϕi : E −→ K pondo ϕi(x) = αi. Note que a linearidade de

ϕi segue da unicidade de cada elemento de T (E) como combinacao linear de vetores da

base e da linearidade de T . Nao e difıcil mostrar que a funcao ‖·‖s : T (E)→ [0,∞), dada

por ‖T (x)‖s :=∑n

i=1 |ϕi(x)|, define uma norma em T (E). Como, por hipotese, T (E) tem

dimensao finita, a norma de F restrita a T (E) e a norma ‖·‖s sao equivalentes, logo existe

k > 0 tal que

|ϕi(x)| = |αi| ≤ |α1|+ · · ·+ |αn| = ‖T (x)‖s ≤ k ‖T (x)‖ ≤ k ‖T‖ ‖x‖ ,

para todos x ∈ E, i = 1, . . . , n. Portanto, ϕi ∈ E ′, para todo i = 1, . . . , n. De (1.1) segue

que T =∑n

i=1 ϕi ⊗ yi.(b) ⇒ (a) Se T =

∑ni=1 ϕi ⊗ yi, entao T ∈ L(E,F ) e T (E) ⊆ [y1, . . . , yn], portanto

T ∈ F(E,F ). �

Apresentaremos a seguir um conjunto de teoremas que fazem parte dos principais

resultados dessa secao. Sao eles: o Teorema de Banach-Steinhaus, o Teorema da Aplicacao

Aberta, o Teorema do Grafico Fechado e os Teoremas de Hahn-Banach.

Sob a hipotese de que o domınio e espaco de Banach, o Teorema de Banach-Steinhaus

mostra que uma famılia de operadores lineares contınuos e uniformemente limitada sempre

que for pontualmente limitada. Para sua demonstracao necessitaremos do Teorema de

Baire que enunciaremos a seguir e cuja demonstracao pode ser vista em [4, Theorem 2.1].

Teorema 1.18 (Teorema de Baire). Sejam (M,d) um espaco metrico completo e

(Fn)∞n=1 uma sequencia de subconjuntos fechados de M tais que M =∞⋃n=1

Fn. Entao,

existe n0 ∈ N tal que Fn0 tem interior nao vazio.

Teorema 1.19 (Banach-Steinhaus). Sejam E um espaco de Banach, F um espaco

normado e (Ti)i∈I uma famılia de operadores em L(E,F ) satisfazendo a seguinte condicao:

para cada x ∈ E existe cx <∞ tal que

supi∈I‖Ti(x)‖ < cx.

Entao, supi∈I ‖Ti‖ <∞.

10

1. Preliminares

Demonstracao: Seja (Ti)i∈I uma famılia de operadores em L(E,F ). Para cada n ∈ Nconsidere o conjunto

A(n, Ti) = {x ∈ E : ‖Ti(x)‖ ≤ n}

e a aplicacao contınua ‖·‖ ◦ Ti : E → R. Como A(n, Ti) = (‖·‖ ◦ Ti)−1([0, n]), segue que

A(n, Ti) e fechado para todos n ∈ N e i ∈ I. Dessa forma,

An :=

{x ∈ E : sup

i∈I‖Ti(x)‖ ≤ n

}=⋂i∈I

A(n, Ti)

e fechado para todo n ∈ N, pois a intersecao de conjuntos fechados e sempre um fechado.

Afirmamos que E =∞⋃n=1

An. De fato,∞⋃n=1

An ⊆ E por definicao. Para a inclusao contraria,

dado x ∈ E existem cx <∞ e n1(x) ∈ N tais que

supi∈I‖Ti(x)‖ < cx ≤ n1,

donde x ∈⋃∞n=1 An. Pelo Teorema 1.18, tem-se int(An0) 6= ∅, para algum n0 ∈ N. Sejam

a ∈ int (An0) e r > 0 tais que a bola fechada de centro a e raio r esteja contida no aberto

int (An0), isto e,

{x ∈ E : ‖x− a‖ ≤ r} ⊆ int (An0).

Considerando agora y ∈ E tal que ‖y‖ ≤ 1, observe que, se x = a+ ry, entao ‖x− a‖ =

‖ry‖ ≤ r e portanto x ∈ An0 . Daı,

‖Ti(x− a)‖ = ‖Ti(x)− Ti(a)‖ ≤ ‖Ti(x)‖+ ‖Ti(a)‖ ≤ n0 + n0 ≤ 2n0,

para todo i ∈ I. Logo, ‖Ti(ry)‖ = ‖Ti(x− a)‖ ≤ 2n0 e ‖Ti(y)‖ ≤ 2n0

rpara todo i ∈ I e

todo y ∈ E com ‖y‖ ≤ 1. Tomando o supremo sobre y ∈ BE obtemos

‖Ti‖ = sup‖y‖≤1

‖Ti(y)‖ ≤ 2n0

r,

para todo i ∈ I. Por fim, tomando o supremo sobre os ındices i ∈ I temos

supi∈I‖Ti‖ ≤

2n0

r<∞.

�

11

1. Preliminares

Vejamos uma consequencia do teorema apresentado anteriormente.

Corolario 1.20. Sejam E um espaco de Banach, F um espaco normado e (Tn)∞n=1 uma

sequencia em L(E,F ) tal que (Tn(x))∞n=1 e convergente em F para todo x em E. Se

definirmos

T : E −→ F

x 7−→ T (x) = limn→∞

Tn(x),

entao T e um operador linear contınuo.

Demonstracao: A linearidade de T segue imediatamente das propriedades dos limites

e da linearidade de cada Tn. Por hipotese, a sequencia (Tn(x))∞n=1 e convergente para todo

x ∈ E, logo e limitada. Daı, supn∈N ‖Tn(x)‖ <∞, para todo x ∈ E. Pelo Teorema 1.19,

existe c > 0 tal que supn∈N‖Tn‖ ≤ c. Alem disso,

‖Tn(x)‖ ≤ ‖Tn‖ ‖x‖ ≤ c ‖x‖ ,

para todos x ∈ E e n ∈ N. Fazendo n → ∞ concluımos que ‖T (x)‖ ≤ c ‖x‖ para todo

x ∈ E e, portanto, T e contınua. �

Definicao 1.21. Sejam E, F e G espacos vetoriais. Uma aplicacao A : E × F −→ G e

dita bilinear se for linear em cada variavel, isto e,

(i) A(λx1 + x2, y) = λA(x1, y) + A(x2, y), para todo x1, x2 ∈ E, y ∈ F e λ ∈ K e

(ii) A(x, λy1 + y2) = λA(x, y1) + A(x, y2), para todo x ∈ E, y1, y2 ∈ F e λ ∈ K.

Denotaremos por B(X × Y, Z) o espaco vetorial das aplicacoes bilineares de X × Yem Z. Se Z = K denotaremos o espaco das formas bilineares por B(X × Y ). A proxima

proposicao estabelece algumas caracterizacoes para a continuidade de uma aplicacao bili-

near. A demonstracao desse resultado e semelhante ao da Proposicao 1.14 e por isso sera

omitida.

Proposicao 1.22. Sejam E, F , G espacos normados e A : E × F −→ G uma aplicacao

bilinear. Entao para qualquer uma das normas em E×F da Proposicao 1.5, as seguintes

afirmacoes sao equivalentes:

(a) A e contınua.

(b) A e contınua na origem.

(c) sup {‖A(x, y)‖ : x ∈ BE, y ∈ BF} <∞.

12

1. Preliminares

(d) Existe C ≥ 0 tal que ‖A(x, y)‖ ≤ C ‖x‖ · ‖y‖ para todos x ∈ E e y ∈ F .

Seja T : E → F uma aplicacao. Dizemos que T e uma aplicacao aberta se T (A) e

aberto em F para todo conjunto A aberto em E. Nosso proximo resultado mostra que se

E e F sao espacos de Banach, entao todo operador linear contınuo e sobrejetor definidos

entre esses espacos e uma aplicacao aberta. Para a demonstracao consulte [2, Teorema

2.4.2].

Teorema 1.23 (Teorema da Aplicacao Aberta). Sejam E, F espacos de Banach e

T : E → F um operador linear, contınuo e sobrejetor. Entao, T e uma aplicacao aberta.

Em particular, todo operador linear, contınuo e bijetor entre espacos de Banach e um

isomorfismo.

Sejam E e F espacos normados. O grafico de um operador linear T : E → F e o

conjunto

G(T ) := {(x, T (x)) : x ∈ E} ⊆ E × F.

Note que da linearidade de T segue que G(T ) e um subespaco vetorial de E×F . Veremos

que se E e F forem espacos de Banach, a continuidade de T e equivalente ao fato de G(T )

ser fechado em E × F .

Teorema 1.24 (Teorema do Grafico Fechado). Sejam E, F espacos de Banach e

T : E → F um operador linear. Entao, T e contınuo se, e somente se, G(T ) e fechado

em E × F .

Demonstracao: Suponha T contınuo e considere a funcao

f : E × F −→ R

(x, y) 7−→ ‖T (x)− y‖

uma funcao. Provaremos que f e contınua. Dado (xn, yn)∞n=1 uma sequencia em E × Ftal que (xn, yn) → (x, y), da continuidade de T temos que T (xk) → T (x) em F . Daı,

T (xn) − yn → T (x) − y. Como a funcao ‖·‖ e contınua segue que ‖T (xn)− yn‖ →‖T (x)− y‖. Portanto, f e contınua. Temos entao que G(T ) = f−1({0}) e fechado em

E × F .

Reciprocamente, considere que G(T ) e fechado. Sabemos que o produto cartesiano

E × F de espacos de Banach tambem e um espaco de Banach com a norma ‖·‖1. Segue

da Proposicao 1.6 que G(T ) tambem e um espaco de Banach com a norma ‖·‖1.

Afirmacao: A aplicacao π : G(T ) → E, dada por π(x, T (x)) = x, e linear, contınua e

bijetora.

13

1. Preliminares

Primeiro, provaremos a linearidade. Sejam λ ∈ K e (x, T (x)), (y, T (y)) ∈ G(T ). Temos

π((x, T (x)) + λ(y, T (y))) = π(x+ λy, T (x) + λT (y)) = π(x+ λy, T (x+ λy))

= x+ λy = π(x, T (x)) + λπ(y, T (y)),

donde π e linear. Da relacao x ∈ E 7→ T (x) ∈ F, segue que π(G(T )) = E, isto e,

π e sobrejetiva. Se π(x, T (x)) = 0, temos x = 0 e assim T (x) = 0. Isso implica que

ker(π) = {0} e portanto π e injetiva. Temos tambem que π e contınua, pois

‖π(x, T (x))‖ = ‖x‖ ≤ ‖x‖+ ‖T (x)‖ = ‖(x, T (x))‖1 ,

Para todo x ∈ E.

Pelo Teorema da Aplicacao Aberta, π−1 tambem e contınua e assim, existe c > 0 tal

que ‖π−1(x)‖1 = ‖(x, T (x))‖1 ≤ c ‖x‖, para todo x ∈ E. Daı,

‖T (x)‖ ≤ ‖T (x)‖+ ‖x‖ = ‖(x, T (x))‖1 ≤ c ‖x‖ ,

para todo x ∈ E e portanto T e contınuo. �

O Teorema de Hahn-Banach e de grande importancia na Analise Funcional e em outras

areas da Matematica, seja por suas aplicacoes ou por seus corolarios. Apresentaremos a

seguir o Teorema de Hahn-Banach que e valido para espacos vetoriais reais e complexos

e sua demonstracao pode ser vista em [2, Teorema 3.1.2].

Teorema 1.25 (Hahn-Banach). Sejam E um espaco vetorial sobre K e p : E → R uma

funcao que satisfaz

p(ax) = |a| p(x), para todo a ∈ K e todo x ∈ E, e

p(x+ y) ≤ p(x) + p(y), para quaisquer x, y ∈ E.

Se G ⊆ E e um subespaco vetorial e ϕ : G→ K e um funcional linear tal que |ϕ(x)| ≤ p(x),

para todo x ∈ G, entao existe um funcional linear ϕ : E → K que estende ϕ a E e que

satisfaz |ϕ(x)| ≤ p(x), para todo x ∈ E.

Apresentaremos agora tres corolarios do Teorema de Hahn-Banach que tambem re-

cebem esta nomenclatura. Os dois ultimos serao usados com maior frequencia ao longo

deste trabalho.

14

1. Preliminares

Corolario 1.26. Sejam G um subespaco de um espaco normado E e ϕ : G → K um

funcional linear contınuo. Entao, existe um funcional linear contınuo ϕ : E → K cuja

restricao a G coincide com ϕ e tal que ‖ϕ‖ = ‖ϕ‖.

Demonstracao: Consideremos a funcao p : E → R dada por p(x) = ‖ϕ‖ ‖x‖. Para todo

a ∈ K e todos x, y ∈ E, temos

p(ax) = ‖ϕ‖ ‖ax‖ = |a| ‖ϕ‖ ‖x‖ = |a| p(x)

e

p(x+ y) = ‖ϕ‖ ‖x+ y‖ ≤ ‖ϕ‖ (‖x‖+ ‖y‖)

= ‖ϕ‖ ‖x‖+ ‖ϕ‖ ‖y‖ = p(x) + p(y).

Como |ϕ(x)| ≤ ‖ϕ‖ ‖x‖ = p(x) para todo x ∈ G, pelo Teorema de Hahn-Banach existe

um funcional linear ϕ : E → K cuja restricao a G coincide com ϕ e que satisfaz |ϕ(x)| ≤p(x) = ‖ϕ‖ ‖x‖ para todo x ∈ E. Logo, ϕ e contınuo e ‖ϕ‖ ≤ ‖ϕ‖. Por outro lado,

‖ϕ‖ = supx∈BG

|ϕ(x)| = supx∈BG

|ϕ(x)|

≤ supx∈BE

|ϕ(x)| = ‖ϕ‖ .

Portanto, ‖ϕ‖ = ‖ϕ‖. �

Corolario 1.27. Seja E um espaco normado. Para todo x0 ∈ E, x0 6= 0, existe um

funcional linear ϕ ∈ E ′ tal que ‖ϕ‖ = 1 e ϕ(x0) = ‖x0‖.

Demonstracao: Sejam G = [x0] o espaco gerado por x0 e ϕ : G→ K o funcional linear

contınuo dado por ϕ(λx0) = λ ‖x0‖. Entao, pelo Corolario 1.26 existe ϕ : E → K funcional

linear contınuo tal que ϕ coincide com ϕ em G e ‖ϕ‖ = ‖ϕ‖ . Portanto, ϕ(x0) = ϕ(x0) =

‖x0‖ e

‖ϕ‖ = ‖ϕ‖ = sup‖λx0‖≤1

|ϕ(λx0)|

= sup‖λx0‖≤1

|λ| ‖x0‖ = sup‖λx0‖≤1

‖λx0‖ = 1.

�

Corolario 1.28. Sejam E um espaco normado, E 6= {0} e x ∈ E. Entao

‖x‖ = supϕ∈BE′

|ϕ(x)| = max {|ϕ(x)| : ϕ ∈ E ′ e ‖ϕ‖ = 1}.

15

1. Preliminares

Demonstracao: Dado x ∈ E, vale |ϕ(x)| ≤ ‖ϕ‖ ‖x‖ para todo ϕ ∈ E ′. Daı,

sup‖ϕ‖≤1

|ϕ(x)| ≤ sup‖ϕ‖≤1

(‖ϕ‖ ‖x‖) = ‖x‖ .

Pelo Corolario 1.27 existe ψ ∈ E ′ tal que ‖ψ‖ = 1 e ψ(x) = ‖x‖ . Logo,

‖x‖ = ψ(x) ≤ sup‖ϕ‖≤1

|ϕ(x)|

e com isso ganhamos a primeira igualdade. A segunda igualdade segue de

max {|ϕ(x)| : ϕ ∈ E ′ e ‖ϕ‖ = 1} ≤ sup‖ϕ‖=1

|ϕ(x)| ≤ sup‖ϕ‖≤1

|ϕ(x)|

e de

sup‖ϕ‖≤1

|ϕ(x)| = ‖x‖ = ψ(x) ≤ max {|ϕ(x)| : ϕ ∈ E ′ e ‖ϕ‖ = 1} .

�

Conceituaremos agora o que e uma projecao e um subespaco complementado. Antes

de definir esse ultimo, apresentaremos uma proposicao que estabelece uma equivalencia

necessaria a sua definicao.

Definicao 1.29. Um operador linear contınuo P : E −→ E, onde E e um espaco de

Banach, e chamado uma projecao se P 2 := P ◦ P = P .

Proposicao 1.30. Sejam E um espaco de Banach e F um subespaco de E. As seguintes

afirmacoes sao equivalentes:

(a) Existe uma projecao P : E −→ E tal que P (E) = F . Neste caso dizemos que P e

uma projecao de E sobre F .

(b) F e fechado e existe um subespaco fechado G ⊆ E tal que E = F +G e F ∩G = {0},isto e, E = F ⊕G.

Neste caso, temos que F = {x ∈ E : P (x) = x} e G = Ker(P ).

Demonstracao: (a) ⇒ (b) Seja x ∈ F . Tomando y ∈ E tal que P (y) = x temos que

x = P (y) = P (P (y)) = P (x). Se x = P (x), entao x ∈ Im(P ) = F . Considerando o

operador identidade de E, idE : E −→ E, temos

F = {x ∈ E : P (x) = x} = {x ∈ E : (P − idE)(x) = 0} = (P − idE)−1({0}),

16

1. Preliminares

o que mostra que F e fechado.

Agora, tomando G = ker(P ), nao e difıcil mostrar que G e um subespaco fechado de

E. Temos que (x − P (x)) ∈ G, P (x) ∈ F e x = (x − P (x)) + P (x), para todo x ∈ E.

Ainda, se x ∈ G∩F , temos x = P (x) pois x ∈ F e P (x) = 0 pois x ∈ G. Portanto x = 0.

(b) ⇒ (a) Por hipotese, para cada x ∈ E, existem unicos x1 ∈ F e x2 ∈ G tais que x =

x1 + x2. E imediato que o operador P : E −→ E dado por P (x) = x1 esta bem definido,

e linear, P 2 = P , Im(P ) = F , ker(P ) = G e F = {x ∈ E : P (x) = x}. Provaremos agora

que P e contınuo. Seja (xn)∞n=1 uma sequencia em E tal que xn −→ x e P (xn) −→ y.

Para cada n, escreva xn = yn + zn com yn ∈ F e zn ∈ G. Entao

zn = xn − yn = xn − P (xn) −→ x− y.

Como G e fechado, x−y ∈ G e portanto P (x) = P (y). Por outro lado, yn = P (xn) −→ y.

Como F e fechado por hipotese, y ∈ F . Dessa forma, y = P (y) = P (x). Pelo Teorema

do Grafico Fechado temos que o operador linear P e contınuo. �

Definicao 1.31. Sejam E um espaco de Banach e F um subespaco de E. Dizemos que

F e complementado em E se satisfaz as condicoes equivalentes da Proposicao 1.30.

Definiremos agora quando um operador T entre espacos normados e compacto.

Definicao 1.32. Um operador linear T : E −→ F entre espacos normados e dito compacto

se T (BE) e compacto em F .

Denotaremos por K(E,F ) o conjunto dos operadores compactos de E em F .

Proposicao 1.33. Sejam E e F espacos normados. Entao K(E,F ) e subespaco vetorial

de L(E,F ). Alem disso, se F for espaco de Banach entao K(E,F ) e fechado em L(E,F ).

Demonstracao: Veja [2, Proposicao 7.2.5]. �

Ainda falando de alguns conceitos e resultados basicos de Analise Funcional, falaremos

brevemente sobre series em espacos de Banach.

Definicao 1.34. Sejam E um espaco de Banach e (xn)∞n=1 uma sequencia em E. Dizemos

que (xn)∞n=1 e somavel quando a serie∑∞

n=1 xn e convergente, absolutamente somavel

quando a serie∑∞

n=1 ‖xn‖ e convergente e que (xn)∞n=1 e incondicionalmente somavel

quando a serie∑∞

n=1 xσ(n) converge para toda permutacao σ : N→ N.

Proposicao 1.35. Seja E um espaco de Banach. A famılia (xi)i∈I de elementos de E e

somavel se, e somente se, o conjunto I0 = {i ∈ I : xi 6= 0} e finito e∑

i∈I0 xi = x, ou o

conjunto I0 e enumeravel e limN−→∞∑N

k=0 xσ(k) = x para toda bijecao σ : N −→ I0.

17

1. Preliminares

Demonstracao: Veja [9, Proposition A.4.2 (2)]. �

Desse modo, se (xi)i∈I e uma famılia absolutamente somavel, entao existe um subcon-

junto enumeravel I0 de I tal que xi = 0 se i /∈ I0.

Proposicao 1.36. Um espaco normado E e Banach se, e somente se, toda sequencia

absolutamente somavel e incondicionalmente somavel.

Demonstracao: Sejam E um espaco de Banach, (xn)∞n=1 uma sequencia absolutamente

somavel em E e σ : N→ N uma permutacao. Para cada n ∈ N, defina yn := ‖xn‖. Entao,

a sequencia de numeros reais (yn)∞n=1 e absolutamente somavel em R, logo incondicional-

mente somavel. Assim sendo,∑∞

n=1

∥∥xσ(n)

∥∥ =∑∞

n=1 yσ(n) <∞. Pelo Criterio de Cauchy

para series, para todo ε > 0 existe n0 = n0(ε) ∈ N tal que∥∥∥∥∥n∑k=1

xσ(k) −m∑k=1

xσ(k)

∥∥∥∥∥ =

∥∥∥∥∥n∑

k=m+1

xσ(k)

∥∥∥∥∥ ≤n∑

k=m+1

∥∥xσ(k)

∥∥≤

∞∑k=n0

∥∥xσ(k)

∥∥ < ε,

para todos n ≥ m > n0. Consequentemente, a sequencia (∑k

n=1 xσ(n))∞k=1 das somas

parciais da serie∑∞

n=1 xσ(n) e de Cauchy em E, logo existe x ∈ E tal que

∞∑n=1

xσ(n) = limk

k∑n=1

xσ(n) = x.

Reciprocamente, seja (xn)∞n=1 uma sequencia de Cauchy em E. Entao, para cada k ∈ Ne ε =

1

2k> 0, existe n0 = n0(k) ∈ N tal que ‖xn − xm‖ <

1

2k, para todos n,m > n0.

Considere n1 := n0(12) + 1 e, para k > 1, nk := max{n0( 1

2k), nk−1} + 1. Assim, obtemos

uma sequencia de ındices n1 < n2 < n3 < · · · tais que∥∥xnk+1

− xnk∥∥ < 1

2k. Pelo Criterio

de Comparacao, a convergencia da serie

∞∑k=1

1

2k= 1 implica em

∞∑k=1

∥∥xnk+1− xnk

∥∥ <∞.Por hipotese, temos que toda serie absolutamente somavel e incondicionalmente somavel.

Em particular,∑∞

k=1(xnk+1− xnk) = a, para algum a ∈ E. Assim,

limkxnk+1

= limk

(xn1 +

k∑j=1

(xnj+1− xnj)

)

= xn1 + limk

k∑j=1

(xnj+1− xnj) = xn1 + a,

18

1. Preliminares

isto e, (xn)∞n=1 e uma sequencia de Cauchy que possui subsequencia convergente para

xn1 + a. Entao, xn → xn1 + a ∈ E e portanto E e Banach. �

1.2 Dualidade e Adjunto de um operador

Nesta secao, discorreremos sobre os duais dos espacos `p e c0 e apresentaremos a nocao

de operador adjunto.

Proposicao 1.37. Seja 1 ≤ p ≤ ∞. Os espacos `p∗ e (`p)′ sao isomorfos isometricamente

por meio da relacao de dualidade

b = (bj)∞j=1 ∈ `p∗

ψ7−→ ϕb ∈ (`p)′, ϕb((aj)

∞j=1) =

∞∑j=1

ajbj, para todo (aj)∞j=1 ∈ `p. (1.2)

Demonstracao: Mostraremos que ϕb esta bem definida, e linear e contınua. De fato,

pela desigualdade de Holder temos

∞∑j=1

|ajbj| ≤

(∞∑j=1

|aj|p) 1

p

·

(∞∑j=1

|bj|p∗

) 1p∗

=∥∥(aj)

∞j=1

∥∥p

∥∥(bj)∞j=1

∥∥p∗<∞,

logo∑∞

j=1 ajbj e absolutamente convergente e portanto convergente, mostrando assim a

boa definicao da ϕb. Considere agora (aj)∞j=1, (cj)

∞j=1 ∈ `p e λ ∈ K. Daı,

ϕb((aj)∞j=1 + λ(cj)

∞j=1) = ϕb((aj + λcj)

∞j=1) =

∞∑j=1

(aj + λcj)bj

=∞∑j=1

(ajbj + λcjbj) =∞∑j=1

ajbj + λ

∞∑j=1

cjbj

= ϕb((aj)∞j=1) + λϕb((cj)

∞j=1),

portanto ϕb e linear. Alem disso, calculamos

∣∣∣∣∣k∑j=1

ajbj

∣∣∣∣∣ ≤k∑j=1

|ajbj| ≤

(k∑j=1

|aj|p) 1

p

·

(k∑j=1

|bj|p∗

) 1p∗

e fazendo k −→∞ temos

|ϕb(a)| =

∣∣∣∣∣∞∑j=1

ajbj

∣∣∣∣∣ ≤∞∑j=1

|ajbj|

19

1. Preliminares

≤

(∞∑j=1

|aj|p) 1

p

·

(∞∑j=1

|bj|p∗

) 1p∗

(1.3)

= ‖a‖p ‖b‖p∗ .

Tomando o sup em (1.3) com ‖a‖p = 1, temos ‖ϕb‖ ≤ ‖b‖p∗ . Portanto, ϕb e contınua.

A boa definicao, a linearidade e continuidade da ψ seguem imediatamente da ϕb.

Seja a = (aj)∞j=1 ∈ `p. Entao, a se escreve de forma unica como a =

∑∞j=1 ajej,

onde ej e a base de Schauder de `p. Dado ϕb ∈ (`p)′, pela continuidade de ϕb temos

ϕb(a) =∑∞

j=1 ajϕb(ej). De fato, se para cada k ∈ N denotarmos ck =∑k

j=1 ajej, por

linearidade

ϕb(ck) = ϕb

(k∑j=1

ajej

)=

k∑j=1

ϕb(ajej) =k∑j=1

ajϕb(ej),

de modo que

ϕb(a) = ϕb( limk→∞

ck) = limk→∞

ϕb(ck) = limk→∞

k∑j=1

ajϕ(ej) =∞∑j=1

ajϕb(ej),

onde ϕb(ej) = bj. Vejamos que ψ e sobrejetora. Se a = (aj)∞j=1 ∈ `p, entao

ψ(a) = ψ

(∞∑j=1

ajej

)=∞∑j=1

ψ(ajej) =∞∑j=1

ajψ(ej) =∞∑j=1

ajbj = ϕb(a),

o que prova a sobrejetividade da ψ e, desse modo, podemos definir a sua inversa.

Afirmacao: A aplicacao inversa ϕb ∈ (`p)′ ψ

−1

7−→ (ϕb(ej))∞j=1 ∈ `p∗ esta bem definida e e

contınua.

De fato, seja ak = (ckj )∞j=1, onde

ckj =

|bj |p

∗

bj, se j ≤ k e bj 6= 0

0, se j > k ou bj = 0.

Desse modo, temos ϕb(ak) =∑∞

j=1 ckj bj =

∑∞j=1 |bj|

p∗ e assim

|ϕb(ak)| ≤ ‖ϕb‖ ‖ak‖ = ‖ϕb‖

(k∑j=1

∣∣ckj ∣∣p) 1

p

= ‖ϕb‖

(k∑j=1

∣∣∣∣∣ |bj|p∗

bj

∣∣∣∣∣p) 1

p

20

1. Preliminares

= ‖ϕb‖

(k∑j=1

|bj|(p∗−1)p

) 1p

= ‖ϕb‖

(k∑j=1

|bj|p∗

) 1p

.

Daı

k∑j=1

|bj|p∗

= ϕb(ak) = |ϕb(ak)| ≤ ‖ϕb‖

(k∑j=1

|bj|p∗

) 1p

.

Dividindo pelo ultimo fator e usando 1− 1p

= 1p∗

, temos

(k∑j=1

|bj|p∗

)1− 1p

=

(k∑j=1

|bj|p∗

) 1p∗

≤ ‖ϕb‖

e tomando k −→∞, obtemos

‖b‖p∗ =

(∞∑j=1

|bj|p∗

) 1p∗

≤ ‖ϕb‖ .

Logo, (bj)∞j=1 ∈ `p∗ e portanto ψ−1 esta bem definida e e contınua, o que completa a

demonstracao. �

A relacao de dualidade apresentada na Proposicao 1.37 tambem descreve o dual de c0

que apresentaremos na proxima proposicao e a sua demonstracao pode ser vista em [2,

Proposicao 4.2.3]:

Proposicao 1.38. Os espacos `1 e (c0)′ sao isomorfos isometricamente por meio da relacao

de dualidade

b = (bj)∞j=1 ∈ `1

ψ7−→ ϕb ∈ (c0)′, ϕb((aj)∞j=1) =

∞∑j=1

ajbj, para todo (aj)∞j=1 ∈ c0. (1.4)

Vimos que para todo espaco normado E podemos considerar seu dual E ′, que e um

espaco de Banach. Podemos tambem considerar o dual de E ′, que chamamos de bidual

e denotamos por E ′′. O proximo resultado mostra que todo espaco normado pode ser

encontrado no seu bidual e sua demonstracao se encontra em [2, Proposicao 4.3.1].

Proposicao 1.39. Seja E um espaco vetorial normado. Entao, para todos x ∈ E e

21

1. Preliminares

ϕ ∈ E ′, o operador linear

JE : E −→ E ′′

x 7−→ JE(x)(ϕ) = ϕ(x)

e uma isometria linear, chamado de mergulho canonico de E em E ′′.

Observacao 1.40. Quando E for apenas um espaco vetorial e estivermos tratando do

dual algebrico, utilizaremos a mesma notacao, JE, para denotar o mergulho canonico de

E.

Definicao 1.41. Sejam E, F espacos vetoriais normados e T ∈ L(E,F ) um operador

linear contınuo. O operador T ′ : F ′ −→ E ′ definido por

T ′(ϕ)(x) = ϕ(T (x)), para todos x ∈ E e ϕ ∈ F ′

e chamado adjunto de T.

No caso em que os espacos vetoriais E e F nao sejam necessariamente normados e

estivermos considerando seus respectivos duais algebricos, E# e F# , isto e, sem topologia,

utilizaremos a notacao T# em vez de T ′ para o adjunto de T .

Proposicao 1.42. Sejam E, F espacos vetoriais normados e T ∈ L(E,F ). Entao T ′ e um

operador linear contınuo de F ′ em E ′ e ‖T‖ = ‖T ′‖. Alem disso, se T e um isomorfismo

(isometrico), entao T ′ e um isomorfismo (isometrico).

Demonstracao: Primeiro, veremos que o operador T ′ esta bem definido, ou seja, que

T ′(ϕ) ∈ E ′ para todo ϕ ∈ F ′. De fato, dados x, y ∈ E e λ ∈ K, temos

T ′(ϕ)(x+ λy) = ϕ(T (x+ λy)) = ϕ(T (x)) + λϕ(T (y))

= T ′(ϕ)(x) + λT ′(ϕ)(y)

e

‖T ′(ϕ)(x)‖ = ‖ϕ(T (x))‖ ≤ ‖ϕ‖ ‖T‖ ‖x‖ , (1.5)

donde T ′(ϕ) ∈ E ′. Mostraremos agora que T ′ e linear. Sejam ϕ, ψ ∈ F ′ e λ ∈ K. Entao

T ′(ϕ+ λψ)(x) = (ϕ+ λψ)(T (x)) = ϕ(T (x)) + λψ(T (x))

= T ′(ϕ)(x) + λT ′(ψ)(x),

22

1. Preliminares

para todo x ∈ E. Logo, T ′(ϕ+ λψ) = T ′(ϕ) + λT ′(ψ) e portanto T ′ e linear. Tomando o

supremo sobre x ∈ BE em (1.5), obtemos

‖T ′(ϕ)‖ ≤ ‖ϕ‖ ‖T‖ , (1.6)

para todo ϕ ∈ F ′. Assim, T ′ ∈ L(F ′, E ′). Tomando o supremo sobre ϕ ∈ BF ′ em (1.6),

concluımos que ‖T ′‖ ≤ ‖T‖. A desigualdade contraria segue de

‖T (x)‖ = supϕ∈BF ′

|ϕ(T (x))| = supϕ∈BF ′

|T ′(ϕ)(x)|

≤ ‖x‖ supϕ∈BF ′

‖T ′(ϕ)‖ = ‖x‖ ‖T ′‖ .

Portanto, ‖T‖ = ‖T ′‖. Agora, suponhamos que T seja um isomorfismo isometrico. Entao

T−1 : F → E e, alem de linear, contınuo. Para cada ϕ ∈ E ′, consideremos ξ ∈ F ′ dado

por ξ(z) = ϕ(T−1(z)). Como

T ′(ξ)(x) = ξ(T (x)) = ϕ(T−1(T (x))) = ϕ(x),

para todo x ∈ E, obtemos T ′(ξ) = ϕ e por isso T ′ e sobrejetor. Seja ψ ∈ ker(T ′). Entao

ψ(T (x)) = T ′(ψ)(x) = 0, (1.7)

para todo x ∈ E. Como T e sobrejetor, temos de (1.7) que ψ(y) = 0, para todo y ∈ F ,

donde T ′ e injetor. Para garantir que T ′ e um isomorfismo, resta mostrar que (T ′)−1

e contınuo, ja que a inversa de um operador linear e sempre linear. Mas isso decorre

imediatamente do fato (de facil demonstracao) de que (T ′)−1 = (T−1)′. Para concluir,

mostremos que ‖T ′(ϕ)‖ = ‖ϕ‖, para todo ϕ ∈ F ′. Como T e um isomorfismo isometrico,

x ∈ BE se, e somente se, T (x) ∈ BF . Daı,

‖T ′(ϕ)‖ = supx∈BE

|T ′(ϕ)(x)| = supx∈BE

|ϕ(T (x))|

= supT (x)∈BF

|ϕ(T (x))| = supz∈BF

|ϕ(z)| = ‖ϕ‖ .

�

1.3 Completamento de um espaco normado

E sabido que nem sempre um espaco normado e completo e por isso um questionamento

natural seria: e possıvel completa-lo? Nesta secao, veremos que a resposta para essa

23

1. Preliminares

questao e afirmativa. Alem disso, iremos expor alguns resultados relacionados a esse

completamento.

Definicao 1.43. Seja E um espaco vetorial normado. Chamaremos de completamento

de E o par (E, ξ), onde E um espaco de Banach e ξ : E −→ E uma imersao isometrica

(aplicacao linear injetiva e, claro, contınua) cuja imagem ξ(E) e densa em E, isto e,

ξ(E) = E.

O teorema a seguir mostra a existencia e unicidade do completamento de um espaco

normado. A demonstracao desse resultado, bastante tecnica, pode ser encontrado em [11,

Theorem 2.3-2].

Teorema 1.44. Seja E um espaco normado. Entao existe um espaco de Banach E e

uma isometria ξ de E em um subespaco W de E que e denso em E. O espaco E e unico,

a menos de isometrias.

Um resultado muito util sobre a bola unitaria fechada do completamento de um espaco

normado e apresentado a seguir e sua demonstracao pode ser vista em [20, Proposicao

3.11].

Proposicao 1.45. Sejam E um espaco normado e (E, ξ) o seu completamento. Entao

BE = Bξ(E).

O espaco normado E pode ser identificado como um subespaco denso do seu completa-

mento E com a seguinte identificacao x ∈ E ←→ ξ(x) ∈ E. A menos dessa identificacao,

podemos escrever E = ξ(E). Assim, pela Proposicao 1.45 temos que

BEE

= BE. (1.8)

Lema 1.46. Sejam E um espaco vetorial normado, (E, ξ) o seu completamento e A ⊆ E.

Entao ξ(AE

)E

= ξ(A)E

.

Demonstracao: Mostraremos primeiro que ξ(AE

)E

⊆ ξ(A)E

. Seja z ∈ ξ(AE)E

, entao

existe uma sequencia (zn) em AE

tal que ξ(zn) −→ z. Fixando n ∈ N, como zn ∈ AE

,

existe uma sequencia (xk) em A tal que xk −→ zn. Teremos da continuidade de ξ que

ξ(xk) −→ ξ(zn) e concluımos que ξ(zn) ∈ ξ(A)E

, para todo n ∈ N. Daı temos z ∈

ξ(A)EE

= ξ(A)E

. Provaremos agora a inclusao contraria. Dado y ∈ ξ(A)E

, podemos

tomar uma sequencia (yn) em A tal que ξ(yn) −→ y. Como A ⊆ AE

, temos que (yn)

estara em AE

. Portanto, y ∈ ξ(AE)E

. �

Agora, sejam (E, ξ) o completamento do espaco normado E e A ⊆ E. Usando a

identificacao (1.8) e o Lema 1.46, obtemos (AE

)E

= (A)E

.

24

1. Preliminares

1.4 Espacos de sequencias a valores vetoriais

O objetivo dessa secao e estudar os espacos de sequencias a valores vetoriais `∞(E),

`p(E), `wp (E), `up(E) e co(E), onde E e um espaco normado. Veremos quais as condicoes

para que esses espacos sejam Banach e uma relacao de inclusao entre eles. Nesse texto

foram utilizadas as referencias [5], [6] e [13].

Seja E um espaco vetorial normado. Denotamos por `∞(E) o conjunto de todas as

sequencias limitadas em E, isto e, sequencias (xn)∞n=1 ∈ EN de tal modo que existe uma

constante M ≥ 0 tal que ‖xn‖ ≤M , para todo n ∈ N. Simbolicamente,

`∞(E) ={

(xn)∞n=1 ∈ EN : (xn)∞n=1 e limitada em E}.

E simples mostrar que `∞(E) e um especo vetorial com as operacoes usuais de sequencias

e que a funcao ‖·‖∞ : `∞(E)→ [0,∞) dada por

‖(xn)∞n=1‖∞ := supn‖xn‖E,

esta bem definida e caracteriza uma norma em `∞(E).

Veremos a seguir em que condicao o espaco (`∞(E), ‖·‖∞) e um espaco de Banach e a

demonstracao para esse resultado pode ser vista em [13, Proposicao 2.1.4].

Proposicao 1.47. (`∞(E), ‖·‖∞) e um espaco de Banach se, e somente se, E e um espaco

de Banach.

Definicao 1.48. Seja E um espaco normado. O conjunto das sequencias que convergem

para zero em E sera denotado por c0(E) e em sımbolos temos

c0(E) :={

(xj)∞j=1 : xj ∈ E, para todo j ∈ N e ‖xj‖E −→ 0

}.

Nao e difıcil mostrar que c0(E) e um subespaco de `∞(E) e o proximo resultado garante

que c0(E) e um espaco de Banach com a norma de herdada de `∞(E). A demonstracao

deste fato pode ser encontrada em [13, Teorema 2.2.4 (a)].

Proposicao 1.49. Seja E um espaco de Banach. Entao c0(E) e um subespaco fechado

de `∞(E). Consequentemente, (c0(E), ‖·‖∞) e um espaco de Banach.

Definicao 1.50. Sejam E um espaco vetorial normado e 1 ≤ p <∞. Dizemos que uma

sequencia (xn)∞n=1 em E e fortemente p-somavel se∑∞

n=1 ‖xn‖p <∞.

Denotamos por `p(E) o conjunto de todas as sequencias fortemente p-somaveis em E.

25

1. Preliminares

Em sımbolo temos

`p(E) :=

{(xn)∞n=1 ∈ EN :

∞∑n=1

‖xn‖p <∞

}.

Com as operacoes usuais de sequencias, `p(E) e um espaco vetorial. Alem disso, utilizando

a Desigualdade de Minkowski 1.10, nao e difıcil mostrar que a funcao

‖·‖p : `p(E) −→ [0,∞)

(xn)∞n=1 7−→ ‖(xn)∞n=1‖p =

(∞∑n=1

‖xn‖p) 1

p

,

define uma norma em `p(E).

Proposicao 1.51. Seja E um espaco normado. Entao (`p(E), ‖·‖p) e um espaco de

Banach se, e somente se, E e um espaco de Banach.

Demonstracao: Como `p(E) contem uma copia isometrica de E pela aplicacao x ∈E 7→ (x, 0, 0, · · · ) ∈ `p(E), que possui imagem fechada (e um exercıcio simples mostrar

isso), entao se `p(E) e um espaco de Banach, E tambem o e.

Reciprocamente, seja (xk)∞k=1 uma sequencia de Cauchy em `p(E). Entao, para todo

ε > 0 existe k0(ε) = k0 ∈ N tal que∥∥xk − xr∥∥

p<ε

2, para todos k, r > k0. Em particular,

∥∥xkj − xrj∥∥p ≤ ∞∑n=1

∥∥xkn − xrn∥∥p =∥∥xk − xr∥∥p

p<(ε

2

)p, (1.9)

para todo j ∈ N e para todos k, r > k0. Desse modo, para cada j ∈ N, a sequencia (xkj )∞k=1

e de Cauchy em E. Definamos y := (yj)∞j=1, onde yj = lim

k→∞xkj .

Afirmacao: y ∈ `p(E) e xk → y.

De fato, temos que (1.9) implica em

m∑n=1

∥∥xkn − xrn∥∥p < (ε2)p ,para todo m ∈ N e para todos k, r > k0. Fazendo r →∞, temos

m∑n=1

∥∥xkn − yn∥∥p ≤ (ε2)p ,

26

1. Preliminares

para todo m ∈ N e todo k > k0. Agora, fazendo m→∞ segue que

∞∑n=1

∥∥xkn − yn∥∥p =∥∥xk − y∥∥p ≤ (ε

2

)p,

para todo k > k0. Consequentemente, xk → y. Tomando k = k0 + 1, temos que

xk0+1 − y = (xk0+1n − yn)∞n=1 ∈ `p(E). Portanto, y = xk0+1 − (xk0+1 − y) ∈ `p(E). �

Definicao 1.52. Uma sequencia (xj)∞j=1 em E e dita ser fracamente p-somavel quando

∞∑j=1

|ϕ(xj)|p <∞, sempre que ϕ ∈ E ′.

O conjunto de todas as sequencias fracamente p-somaveis em E sera denotado por

`wp (E). Em sımbolo,

`wp (E) :=

{(xn)∞n=1 ∈ EN :

∞∑n=1

|ϕ(xn)|p <∞,∀ ϕ ∈ E ′}.

Observe que de (1.10) temos (xj)∞j=1 ∈ `wp (E) se, e somente se, (ϕ(xj))

∞j=1 ∈ `p, para todo

ϕ ∈ E ′. Alem disso, nao e difıcil mostrar que `wp (E) e um espaco vetorial com as operacoes

usuais de sequencias.

Definimos a seguinte funcao sobre o espaco `wp (E):

‖·‖p,w : `wp (E) −→ [0,∞)

(xj)∞j=1 7−→

∥∥(xj)∞j=1

∥∥p,w

:= supϕ∈BE′

(∞∑j=1

|ϕ(xj)|p) 1

p

.

Com um argumento de grafico fechado, nao e difıcil provar que a funcao ‖·‖p,w esta

bem definida e define uma norma sobre `wp (E) (as propriedades de norma sao facilmente

verificadas).

Mais ainda, utilizando a mesma tecnica usada na demonstracao da Proposicao 1.51 e

com a ajuda do Teorema de Hahn-Banach, temos a seguinte proposicao:

Proposicao 1.53. (`wp (E), ‖·‖p,w) e um espaco de Banach se, e somente se, E um espaco

de Banach.

Definicao 1.54. Uma sequencia (xj)∞j=1 em E e dita ser incondicionalmente p-somavel

quando

limn

∥∥(xj)∞j=n

∥∥p,w

= 0.

27

1. Preliminares

Denotamos o espaco das sequencias incondicionalmente p-somaveis por

ùp(E) :={

(xj)∞j=1 ∈ `wp (E) : lim

n

∥∥(xj)∞j=n

∥∥p,w

= 0}. (1.10)

O termos incondicionalmente p-somavel e justificado pelo seguinte resultado, cuja

demonstracao pode se encontrada em [5, Proposition 8.3].

Proposicao 1.55. Um sequencia (xj)∞j=1 em E e incondicionalmente somavel se, e so-

mente se, (xj)∞j=1 ∈ ù1(E).

Mostraremos a seguir que o espaco ùp(E) e um espaco de Banach com a norma induzida

por `wp (E).

Proposicao 1.56. Seja E um espaco de Banach. Entao ùp(E) e um subespaco fechado

de `wp (E) com a norma ‖·‖p,w.

Demonstracao: A verificacao de que ùp(E) e um subespaco vetorial de `wp (E) e ime-

diata. Mostraremos que ùp(E) e fechado em `wp (E). Sejam (xk)∞k=1 uma sequencia de

Cauchy em ùp(E) e x ∈ `wp (E) tais que xk → x em `wp (E). Observe que, para cada k ∈ N,

xk = (xkn)∞n=1 ∈ ùp(E). Logo,

liml→∞

∥∥(xkn)∞n=l

∥∥w,p

= 0,

para todo k ∈ N. Em outras palavras, para todo ε > 0 existe l0 = l0(ε, k) ∈ N tal que

∥∥(xkn)∞n=l

∥∥w,p

<ε

2, (1.11)

para todo l > l0. Por outro lado, xk → x em `wp (E) implica que existe k0 = k0(ε) ∈ N tal

que

ε

2>∥∥xk − x∥∥

w,p=∥∥(xkn − xn)∞n=1

∥∥w,p

= supϕ∈BE′

(∞∑n=1

∣∣ϕ(xkn − xn)∣∣p) 1

p

≥ supϕ∈BE′

(∞∑n=l

∣∣ϕ(xkn − xn)∣∣p) 1

p

=∥∥(xkn)∞n=l − (xn)∞n=l

∥∥w,p

,

(1.12)

para todo k > k0 e todo l ∈ N. De (1.11) e (1.12), para l > l0(ε, k0) e k = k0 + 1, temos

‖(xn)∞n=l‖w,p =∥∥(xn)∞n=l − (xkn)∞n=l + (xkn)∞n=l

∥∥w,p

≤∥∥(xn)∞n=l − (xkn)∞n=l

∥∥w,p

+∥∥(xkn)∞n=l

∥∥w,p

<ε

2+ε

2= ε,

isto e, liml→∞‖(xn)∞n=l‖w,p = 0. Logo x ∈ ùp(E). �

Definicao 1.57. Seja E um espaco vetorial normado. Um subconjunto A ⊆ E e fraca-

mente limitado se para todo funcional ϕ ∈ E ′, ϕ(A) e limitado em K.

28

1. Preliminares

As definicoes de conjunto limitado e fracamente limitado sao equivalentes como mostra

o lema a seguir, cuja demonstracao pode ser vista em [13, Lema 2.4.9].

Lema 1.58. Sejam E um espaco vetorial normado e A um subconjunto de E. Entao, A

e limitado se, e somente se, A e fracamente limitado.

Proposicao 1.59. Sejam 1 ≤ p <∞ e E um espaco de Banach. Entao

`p(E)1↪→ ùp(E)

1↪→ `wp (E)

1↪→ `∞(E).

Demonstracao: Seja (xj)∞j=1 ∈ `p(E). Entao,

∥∥(xj)∞j=1

∥∥w,p

= supϕ∈BE′

(∞∑j=1

|ϕ(xj)|p) 1

p

≤ supϕ∈BE′

(∞∑j=1

‖ϕ‖p ‖xj‖p) 1

p

= supϕ∈BE′

‖ϕ‖( ∞∑j=1

‖xj‖p) 1

p

=∥∥(xj)

∞j=1

∥∥p

supϕ∈BE′

‖ϕ‖ =∥∥(xj)

∞j=1

∥∥p.

Por fim, se (xj)∞j=1 ∈ `p(E) entao

∑∞j=1 ‖xj‖

p <∞ e assim

limn

∥∥(xj)∞j=n

∥∥w,p≤ lim

n

∥∥(xj)∞j=n

∥∥p

= 0.

Portanto `p(E)1↪→ ùp(E).

A inclusao ùp(E)1↪→ `wp (E) segue imediatamente da Proposicao 1.56.

Agora, seja (xj)∞j=1 ∈ `wp (E). Entao,

∞∑j=1

|ϕ(xj)|p <∞,

para todo ϕ ∈ E ′. Logo, o conjunto {xj : j ∈ N} dos termos da sequencia (xj)∞j=1 e

fracamente limitado e, pelo Lema 1.58, e limitado. Assim, existe M ≥ 0 tal que ‖xj‖ ≤M ,

para todo j ∈ N, e entao (xj)∞j=1 ∈ `∞(E). Alem disso,

‖xk‖ = supϕ∈BE′

|ϕ(xk)| ≤ supϕ∈BE′

(∞∑j=1

|ϕ(xj)|p) 1

p

=∥∥(xj)

∞j=1

∥∥w,p,

para todo k ∈ N. Tomando o supremo sobre k ∈ N, obtemos∥∥(xj)

∞j=1

∥∥∞ ≤

∥∥(xj)∞j=1

∥∥w,p

,

donde `wp (E)1↪→ `∞(E). �

29

Capıtulo 2

Produto Tensorial

Neste capıtulo, apresentaremos o produto tensorial do ponto de vista algebrico. Inicial-

mente, definiremos os tensores elementares como funcionais lineares e o produto tensorial

como um subespaco gerado por esses funcionais. Mostraremos as suas principais propri-

edades, em especial, que o produto tensorial pode ser identificado como um espaco de

linearizacao para aplicacoes bilineares. Alem disso, apresentaremos duas outras formas

de ver os tensores: como formas bilineares e como aplicacoes lineares. Restringindo nosso

estudo aos espacos vetoriais de dimensao finita, veremos que os produtos tensoriais for-

necerao meios de compreender a dualidade de espacos de aplicacoes lineares e de formas

bilineares. Por fim, veremos alguns exemplos. Para o desenvolvimento desse capıtulo

utilizamos como referencias principais o livro [17] e a dissertacao [20].

2.1 Produto tensorial de espacos vetoriais

Nesta secao, estudaremos a construcao do produto tensorial entre espacos vetoriais e

algumas de suas propriedades. Construiremos o produto tensorial dos espacos vetoriais

X e Y , X ⊗ Y , como um subespaco de funcionais lineares sobre B(X × Y ) da seguinte

maneira: dados x ∈ X, y ∈ Y , denotaremos por x⊗ y o funcional dado pela avaliacao de

uma forma bilinear A no ponto (x, y) ∈ X × Y , isto e,

x⊗ y : B(X × Y ) −→ K

A 7−→ (x⊗ y)(A) = A(x, y).

O funcional x⊗ y e chamado tensor elementar. Temos ainda que o tensor x⊗ y e linear.

De fato, dados A, C ∈ B(X × Y ) e λ ∈ K, teremos

(x⊗ y)(A+ λC) = (A+ λC)(x, y) = A(x, y) + (λC)(x, y)

30

2. Produto Tensorial

= A(x, y) + λC(x, y) = (x⊗ y)(A) + λ(x⊗ y)(C).

Definicao 2.1. O subespaco do dual algebrico B(X ×Y )# gerado pelos elementos x⊗ y,

com x ∈ X e y ∈ Y , sera chamado de produto tensorial de X por Y , denotado por X⊗Y ,

e chamaremos os elementos de X ⊗ Y de tensores.

Em sımbolos, temos

X ⊗ Y = span {x⊗ y : x ∈ X, y ∈ Y }

=

{n∑i=1

λixi ⊗ yi : n ∈ N, λi ∈ K, xi ∈ X, yi ∈ Y, i = 1, . . . n

},

e, portanto, um tensor tıpico em X ⊗ Y tem a forma

u =n∑i=1

λixi ⊗ yi, (2.1)

com λi ∈ K, xi ∈ X, yi ∈ Y . Salientamos que essa forma de representacao do tensor u

nao e unica. Essa nao unicidade sera explorada mais adiante.

Se u =∑n

i=1 λixi ⊗ yi ∈ X ⊗ Y e A ∈ B(X × Y ), entao a acao de u em A e dada por

u(A) =n∑i=1

λiA(xi, yi). (2.2)

E importante ressaltar que o valor da expressao (2.2) nao depende da representacao es-

colhida para u.

Veremos a partir de agora algumas propriedades elementares dos produtos tensoriais.

Proposicao 2.2. Sejam X, Y espacos vetoriais e K um corpo. Entao

(i) (x1 + x2)⊗ y = x1 ⊗ y + x2 ⊗ y, para todos x1, x2 ∈ X e y ∈ Y .

(ii) x⊗ (y1 + y2) = x⊗ y1 + x⊗ y2, para todos x ∈ X e y1, y2 ∈ Y .

(iii) λ(x⊗ y) = (λx)⊗ y = x⊗ (λy), para todos x ∈ X, y ∈ Y e λ ∈ K.

(iv) 0⊗ y = x⊗ 0 = 0, para todos x ∈ X e y ∈ Y .

Demonstracao: Seja A : X × Y −→ K uma forma bilinear.

(i) Sejam x1, x2 ∈ X e y ∈ Y . Temos

((x1 + x2)⊗ y)(A) = A(x1 + x2, y) = A(x1, y) + A(x2, y)

= (x1 ⊗ y)(A) + (x2 ⊗ y)(A),

31


donde segue a igualdade desejada.

(ii) Demonstracao analoga a de (i).

(iii) Sejam x ∈ X, y ∈ Y e λ ∈ K. Temos que (λ(x⊗y))(A) = λ((x⊗y)(A)) = λA(x, y) =

A(λx, y) = A(x, λy). Isso implica que (λ(x ⊗ y))(A) = ((λx) ⊗ y)(A) = (x ⊗ (λy))(A),

donde segue o resultado.

(iv) Basta tomar λ = 0 no item (iii). �

Ressaltamos que a representacao do tensor u ∈ X⊗Y dada em (2.1) pode ser rescrita

usando o item (iii) da Proposicao 2.2, na forma

u =n∑i=1

zi ⊗ yi,

onde zi = λixi. Assim, sem perda de generalidade, utilizaremos indistintamente qualquer

uma das representacoes.

A proxima proposicao mostra como conjuntos linearmente independentes e bases po-

dem ser transferidos dos espacos vetoriais para o produto tensorial.

Proposicao 2.3. Sejam X e Y espacos vetoriais.

(a) Sejam W e Z subconjuntos linearmente independentes de X e Y respectivamente.

Entao {x⊗ y : x ∈ W, y ∈ Z} e um subconjunto linearmente independente de X⊗Y .

(b) Sejam {wi : i ∈ I} e {zj : j ∈ J} bases para X, Y respectivamente. Entao o conjunto

{wi ⊗ zj : (i, j) ∈ I × J} e uma base para X ⊗ Y .

Demonstracao: (a) Sejam n ∈ N, u =∑n

i=1 λixi ⊗ yi ∈ X ⊗ Y tal que xi ∈ W e

yi ∈ Z. Suponha que u = 0 e considere A : W × Z −→ K uma forma bilinear definida

por A(x, y) = ϕ(x)ψ(y), onde ϕ ∈ X#, ψ ∈ Y # funcionais lineares nao-nulos. Temos que

u(A) = 0, pois u e um funcional linear que nao se anulam. Daı, temos

u(A) =n∑i=1

λiA(xi, yi) =n∑i=1

λiϕ(xi)ψ(yi) = ψ

(n∑i=1

λiϕ(xi)yi

)= 0,

para todo ψ ∈ Y #. Segue que∑n

i=1 λiϕ(xi)yi = 0 e assim, como Z e linearmente in-

dependente, temos λi = 0, i = 1, . . . , n. O resultado segue entao de (iv) da Proposicao

2.2.

(b) Como, por hipotese, os conjuntos {wi : i ∈ I} e {zj : j ∈ J} sao linearmente indepen-

dentes, entao pelo item (a) o conjunto {wi ⊗ zj : (i, j) ∈ I × J} e linearmente indepen-

dente e, como sabemos, gera X ⊗ Y . �

32


Observacao 2.4. Se X e Y sao espacos vetoriais de dimensao finita segue da Proposicao

2.3 que dim(X ⊗ Y ) = dim(X)dim(Y ). Alem disso, se Y = K temos que dim(X ⊗K) =

dim(X)dim(K) = dim(X) e, independente das consideracoes dimensionais, X⊗K e K⊗Xsao isomorfos a X.

Seja u ∈ X⊗Y um tensor nao-nulo qualquer. Entao existe um n ∈ N estritamente pe-

queno de tal forma que existe uma representacao de u contendo n termos; seja∑n

i=1 xi⊗yital representacao. Mostraremos que os conjuntos {x1, . . . , xn} e {y1, . . . , yn} sao linear-

mente independentes. De fato, suponha, por absurdo, que x1 seja uma combinacao linear

de x2, . . . , xn, isto e, x1 =∑n

i=2 λixi, com λi ∈ K. Temos

u =n∑i=1

xi ⊗ yi = x1 ⊗ y1 +n∑i=2

xi ⊗ yi

=n∑i=2

λixi ⊗ y1 +n∑i=2

xi ⊗ yi

= λ2x2 ⊗ y1 + · · ·+ λnxn ⊗ y1 + x2 ⊗ y2 + · · ·+ xn ⊗ yn= λ2(x2 ⊗ (y1 + y2)) + · · ·+ λn(xn ⊗ (y1 + yn))

=n∑i=2

λixi ⊗ (y1 + yi) =n∑i=2

wi ⊗ zi,

onde wi = λixi e zi = y1 + yi. Disso segue que o termo x1 ⊗ y1 pode ser absorvido pelos

outros, dando uma representacao de u com n − 1 termos, o que gera uma contradicao.

Chamaremos o numero n de posto de u. Claro que os tensores com posto n = 1 sao os ja

definidos tensores elementares.

Como podemos identificar se dois tensores sao iguais? Ou em outras palavras, como

e possıvel determinar se∑n

i=1 xi ⊗ yi e uma representacao do tensor nulo? A princıpio,

poderıamos determinar isso pela avaliacao∑n

i=1 A(xi, yi) para cada forma bilinear A ∈B(X × Y ). Entretanto, existem formas mais faceis, como mostra a seguinte proposicao:

Proposicao 2.5. Sejam u =∑n

i=1 xi ⊗ yi ∈ X ⊗ Y e n ∈ N. Sao equivalentes:

(i) u = 0;

(ii)∑n

i=1 ϕ(xi)ψ(yi) = 0, para todos ϕ ∈ X#, ψ ∈ Y #;

(iii)∑n

i=1 ϕ(xi)yi = 0, para todo ϕ ∈ X#;

(iv)∑n

i=1 ψ(yi)xi = 0, para todo ψ ∈ Y #.

Demonstracao: As implicacoes (i)⇒ (ii)⇒ (iii) seguem diretamente com uso da mesma

tecnica usada na demonstracao do item (a) da Proposicao 2.3. Mostraremos que (iii) ⇒(iv) ⇒ (i).

33


(iii) ⇒ (iv) Seja ψ ∈ Y #. Se∑n

i=1 ϕ(xi)yi = 0, para todo ϕ ∈ X#, entao temos que

ψ(∑n

i=1 ϕ(xi)yi) = 0 e pela linearidade do ψ,∑n

i=1 ϕ(xi)ψ(yi) = 0. Agora usando a

linearidade do ϕ, temos que ϕ(∑n

i=1 xiψ(yi)) = 0. Como essa ultima igualdade e verdade

para todo ϕ ∈ X#, segue que∑n

i=1 ψ(yi)xi = 0. O resultado segue da arbitrariedade

permitida na escolha do ψ.

(iv) ⇒ (i) Sejam A : X × Y −→ K uma forma bilinear, E = [x1, · · · , xn], F = [y1, · · · ,yn] subespacos de X e Y respectivamente e T : E × F −→ K a restricao de A em E × F .

Escolhendo bases para os subespacos de dimensao finita E, F e expandindo T em relacao

a essas bases, produzimos uma representacao para T da forma

T (x, y) =m∑j=1

θj(x)ωj(y), (2.3)

ondem ∈ N, θj ∈ E# e ωj ∈ F# [10, Corollary s/n page 362]. Podemos estender o domınio

de θj e ωj para X e Y respectivamente da seguinte maneira: escolhendo complementos

algebricos G, H para E, F respectivamente de tal modo que X = E ⊕ G e Y = F ⊕H.

Entao, se x = x1 + x2 ∈ X com x1 ∈ E e x2 ∈ G, definimos θj(x) = θj(x1). Definimos os

funcionais ωj da mesma forma. Agora, podemos considerar T como uma forma bilinear

em X × Y usando a representacao dada em (2.3). Dessa forma, A e T podem ser formas

bilineares diferentes em X × Y , mas que coincidem em E × F . Assim, usando (iv), para

todo A ∈ B(X × Y ) temos

u(A) =n∑i=1

A(xi, yi) =n∑i=1

T (xi, yi) =n∑i=1

m∑j=1

θj(xi)ωj(yi)

=n∑i=1

m∑j=1

θj(ωj(yi)xi) =m∑j=1

θj

(n∑i=1

ωj(yi)xi

)= 0,

e portanto u = 0. �

A proposicao anterior estabelece meios eficazes de reconhecermos quando dois tensores

sao iguais e iremos utiliza-la constantemente durante esse trabalho. Entretanto, veremos,

a seguir, que nem sempre e necessario tomar todos os funcionais no dual algebrico para

provar que dois tensores sao os mesmos. Para isso precisaremos da seguinte definicao:

Definicao 2.6. Um subconjunto S de um espaco dual X# e dito separador de pontos

se ele contem funcionais lineares suficientes para distinguir os pontos de X, isto e, se

ϕ(x) = 0 para todo ϕ ∈ S, entao x = 0. Equivalentemente, se x 6= y isso implica que

ϕ(x) 6= ϕ(y), para todo ϕ ∈ S.

34


Observacao 2.7. (a) A partir da definicao acima, fica evidente que ao aplicar a Pro-

posicao 2.5 nao e necessario tomar os funcionais em todo o espacos dual, mas apenas

a subconjuntos separadores de pontos.

(b) Um caso importante do uso do item (a) ocorre quando os espacos componentes no

produto tensorial sao espacos duais: para mostrar que∑n

i=1 ϕi⊗ψi = 0 em X#⊗Y #

e suficiente ter∑n

i=1 ϕi(x)ψi(y) = 0, para todos x ∈ X e y ∈ Y . De fato, considere

que∑n

i=1 ϕi ⊗ ψi = 0. Usando a Proposicao 2.5, temos que∑n

i=1 θ(ϕi)ω(ψi) = 0,

para todos θ ∈ X## e ω ∈ Y ##. Sendo JX : X −→ X## e JY : Y −→ Y ##

mergulhos canonicos, como os conjuntos JX(X) e JY (Y ) sao separadores de pontos

de X# e Y # respectivamente (veja [2, Exercıcio 4.5.11], para espacos normados),

temos

0 =n∑i=1

JE(x)(ϕi)JE(y)(ψi) =n∑i=1

ϕi(x)ψi(y),

para todos x ∈ X e y ∈ Y .

Agora, iremos analisar a interacao entre os produtos tensoriais e algumas construcoes

dos espacos vetoriais geralmente utilizadas. Sejam E e F subespacos dos espacos vetoriais

X e Y respectivamente. Entao E⊗F pode ser considerado com um subespaco do produto

tensorial X ⊗ Y de forma natural. Se u =∑n

i=1 xi ⊗ yi ∈ E ⊗ F , podemos pensar em u

como um elemento de X ⊗ Y dado por

u(A) =n∑i=1

A(xi, yi),

onde A ∈ B(X × Y ). Isso nos da uma aplicacao linear injetiva de E ⊗ F em X ⊗ Y . De

fato, considere a aplicacao inclusao I : E ⊗ F −→ X ⊗ Y . Suponha que∑n

i=1 xi ⊗ yi = 0

em X ⊗ Y . Pela demonstracao da Proposicao 2.5, para cada forma bilinear T em E ×F ,

existe uma forma bilinear A ∈ B(X × Y ) tal que∑n

i=1 T (xi, yi) =∑n

i=1A(xi, yi). Isso

implica que∑n

i=1 T (xi, yi) = 0. Daı, segue que∑n

i=1 xi ⊗ yi = 0 em E ⊗ F e, portanto, I

e injetiva.

Mostraremos agora que o produto tensorial respeita a soma direta.

Proposicao 2.8. Sejam X, Y espacos vetoriais e F , G subespacos de Y tais que Y =

F ⊕G. Entao X ⊗ Y = (X ⊗ F )⊕ (X ⊗G).

Demonstracao: Seja u =∑n

i=1 xi ⊗ yi ∈ X ⊗ Y . Como, por hipotese, Y = F ⊕ G,

35


existem fi ∈ F e gi ∈ G tais que yi = fi + gi. Entao

u =n∑i=1

xi ⊗ yi =n∑i=1

xi ⊗ (fi + gi)

=n∑i=1

(xi ⊗ fi + xi ⊗ gi)

=n∑i=1

xi ⊗ fi +n∑i=1

xi ⊗ gi = u1 + u2.

Portanto, X ⊗ Y e expresso na formas X ⊗ F + X ⊗ G. Agora, iremos mostrar que

(X ⊗ F ) ∩ (X ⊗ G) = {0}. Seja u ∈ (X ⊗ F ) ∩ (X ⊗ G), de modo que tenhamos duas

representacoes de u:

u =n∑i=1

vi ⊗ yi =m∑j=1

wj ⊗ zj, (2.4)

com yi ∈ F e zj ∈ G. Considere agora a forma bilinear A ∈ B(X × Y ) definida por

A(x, y) = ϕ(x)ψ(y). Pela igualdade (2.4), temos u(A) =∑n

i=1 ϕ(vi)ψ(yi) =∑m

j=1 ϕ(wj)ψ(zj).

Disso segue que

0 =n∑i=1

ϕ(vi)ψ(yi)−m∑j=1

ϕ(wj)ψ(zj)

= ψ

(n∑i=1

ϕ(vi)yi

)− ψ

(m∑j=1

ϕ(wj)zj

)

= ψ

(n∑i=1

ϕ(vi)yi −m∑j=1

ϕ(wj)zj

).

Logo∑n

i=1 ϕ(vi)yi −∑m

j=1 ϕ(wj)zj = 0 e portanto∑n

i=1 ϕ(vi)yi =∑m

j=1 ϕ(wj)zj. Mas

F ∩G = {0}, entao∑n

i=1 ϕ(vi)yi = 0, para todos ϕ ∈ X#. Segue que u = 0. �

Dessa proposicao, e sob as mesmas hipoteses, segue que o espaco quociente (X ⊗Y )/(X⊗F ) pode ser identificado como X⊗(Y/F ). De fato, sejam X, Y espacos vetoriais

e F , G subespacos de Y de forma que Y = F ⊕G. Entao

X ⊗ YX ⊗ F

' (X ⊗ F )⊕ (X ⊗G)

(X ⊗ F )' X ⊗G ' X ⊗ Y

F.

De forma analoga, se H e W sao subespacos de X tais que X = H ⊕W , entao

X ⊗ YH ⊗ Y

' X

H⊗ Y.

36


2.2 Produto tensorial e linearizacao

Um dos objetivos principais do produto tensorial e linearizar as aplicacoes bilineares.

Nesta secao, veremos como isso funciona e que, em certo sentido, a menos de isomor-

fismos, o produto tensorial e o unico espaco vetorial em que as aplicacoes bilineares sao

linearizadas.

Seja A : X × Y −→ K uma forma bilinear. Recordamos que cada tensor u ∈ X ⊗ Yatua como um funcional linear no espaco das formas bilineares e, portanto, podemos

definir uma aplicacao

A : X⊗Y −→ K

u 7−→ A(u) = u(A).

Note que A esta bem definida e e facilmente vista como um funcional linear em X ⊗ Y .

De fato, sejam u, v ∈ X ⊗ Y e λ ∈ K. Pela linearidade de u e v temos

A(u+ λv) = (u+ λv)(A) = u(A) + (λv)(A) = u(A) + λv(A) = A(u) + λA(v).

Alem disso, tem-se A(∑n

i=1 xi ⊗ yi) =∑n

i=1 A(xi ⊗ yi) =∑n

i=1 A(xi, yi).

Seja θ : X × Y −→ X ⊗ Y , definida por θ(x, y) = x⊗ y, uma aplicacao. Note que θ e

bilinear, pois dados x1, x2 ∈ X, y ∈ Y e λ ∈ K, temos

θ(λx1 + x2, y) = (λx1 + x2)⊗ y = λ(x1 ⊗ y) + x2 ⊗ y = λθ(x1, y) + θ(x2, y)

e, analogamente, θ(x, λy1 + y2) = λθ(x, y1) + θ(x, y2), para todos x ∈ X, y1, y2 ∈ Y e

λ ∈ K. Agora, observe que a composicao da aplicacao bilinear θ e o funcional linear A

que aplica X ⊗ Y em K, nos da a forma bilinear A. De fato,

(A ◦ θ)(x, y) = A(θ(x, y)) = A(x⊗ y) = (x⊗ y)(A) = A(x, y).

Por outro lado, se ψ : X ⊗ Y −→ K e um funcional linear tal que a composicao do

ψ com a aplicacao bilinear θ tem por resultado a forma bilinear A em X × Y , isto e,

37


ψ ◦ θ = A = A ◦ θ, entao ψ = A. De fato, dado u =∑n

i=1 xi ⊗ yi ∈ X ⊗ Y , temos

ψ(u) = ψ

(n∑i=1

xi ⊗ yi

)=

n∑i=1

ψ(xi ⊗ yi)

=n∑i=1

ψ(θ(xi, yi)) =n∑i=1

(ψ ◦ θ)(xi, yi)

=n∑i=1

(A ◦ θ)(xi, yi) =n∑i=1

A(θ(xi, yi))

=n∑i=1

A(xi ⊗ yi)) = A

(n∑i=1

xi ⊗ yi

)= A(u),

(2.5)

o que garante a unicidade do funcional linear A. Assim, as formas bilineares em X × Yestao em correspondencia um-para-um com os funcionais lineares em X⊗Y . Em resumo,

B(X × Y ) = (X ⊗ Y )#.

Observacao 2.9. Observe que o calculo da unicidade (2.5) nos mostra que para conhecer

como um funcional aplicado num tensor se comporta, basta conhecer seu comportamento

nos tensores elementares. Dessa forma, a partir de agora, quando formos provar que um

funcional definido num produto tensorial e linear, iremos considerar apenas os tensores

elementares.

Podemos aplicar a mesma ideia as aplicacoes bilineares. Se A : X × Y −→ Z e uma

aplicacao bilinear, definimos uma aplicacao A : X ⊗ Y −→ Z por

A

(n∑i=1

xi ⊗ yi

)=

n∑i=1

A(xi, yi).

Em virtude da Observacao 2.9, vamos mostrar que A e uma aplicacao linear por meio

apenas de tensores elementares. Entao, seja u = x ⊗ y ∈ X ⊗ Y . Note que se u = 0

tem-se A(u) = 0, pois para cada ϕ ∈ Z# a composicao ϕ ◦ A e um funcional bilinear em

X × Y e, portanto,

ϕ(A(x, y)) = (ϕ ◦ A)(x, y) = (x⊗ y)(ϕ ◦ A) = 0,

o que implica em A(x, y) = 0. Alem disso, se u, v ∈ X ⊗ Y , onde u = x⊗ y e v = w ⊗ z,

e λ ∈ K, entao

A(u+ λv) = A(x⊗ y + (λw)⊗ z) = A(x, y) + A(λw, z)

38


= A(x, y) + λA(w, z) = A(u) + λA(v)

e portanto A e linear. A unicidade da aplicacao A segue de calculo analogo ao da unicidade

(2.5) no caso do funcional linear. A situacao e ilustrada no diagrama abaixo:

X × Y

θ��

A // Z

X ⊗ Y A

>>

A aplicacao especial θ : X × Y −→ X ⊗ Y age como uma aplicacao bilinear universal:

todo o argumento que construımos acima nos mostra que qualquer aplicacao bilinear

definida em X × Y se fatora por θ via uma aplicacao linear definida no produto tensorial

X ⊗ Y .

Em resumo, temos que o produto tensorial e o espaco vetorial que lineariza as aplicacoes

bilineares. Alem disso, o proximo teorema mostrara que as aplicacoes bilineares podem ser

identificadas como aplicacoes lineares definidas no produto tensorial de espacos vetoriais.

Teorema 2.10. Sejam X, Y e Z espacos vetoriais sobre o corpo K. Para cada aplicacao

bilinear A : X × Y −→ Z existe uma unica aplicacao linear A : X ⊗ Y −→ Z tal que

A(x, y) = A(x⊗ y), para todos x ∈ X, y ∈ Y . Alem disso, a correspondencia A←→ A e

um isomorfismo entre os espacos vetoriais B(X × Y, Z) e L(X ⊗ Y, Z).

Demonstracao: A boa definicao, a linearidade e a unicidade da aplicacao A ja foi

demonstrada anteriormente. Mostraremos apenas que a correspondencia A ←→ A e um

isomorfismo. Considere o operador

Φ: B(X × Y,Z) −→ L(X ⊗ Y, Z)

A 7−→ A.

Vamos mostrar inicialmente que Φ e linear e, pela Observacao 2.9, usaremos para isso

tensores elementares. Sejam x⊗ y ∈ X ⊗ Y e λ ∈ K. Temos

˜(A+ λB)(x⊗ y) = (A+ λB)(x, y)

= A(x, y) + (λB)(x, y)

= A(x, y) + λB(x, y)

= A(x⊗ y) + λB(x⊗ y).

Logo,

Φ(A+ λB) = ˜(A+ λB) = A+ λB = Φ(A) + λΦ(B)

39


e portanto Φ e linear. Agora, seja A ∈ ker(Φ), isto e, Φ(A) = 0. Temos que A = Φ(A) = 0

e portanto A(x ⊗ y) = A(x, y) = 0, para quaisquer x ∈ X e y ∈ Y . Segue que A = 0 e

assim Φ e injetor. Por fim, iremos mostrar a sobrejetividade do Φ. Seja T ∈ L(X⊗Y, Z).

Defina a aplicacao

A : X × Y −→ Z

(x, y) 7−→ A(x, y) = T (x⊗ y).

Note que A e bilinear, isto e, A ∈ B(X × Y, Z). De fato, pela linearidade de T , tem-se

A(λx1 + x2, y) = T ((λx1 + x2)⊗ y) = T ((λx1)⊗ y + x2 ⊗ y)

= T ((λx1)⊗ y) + T (x2 ⊗ y) = λT (x1 ⊗ y) + T (x2 ⊗ y)

= λA(x1, y) + A(x2, y),

para todos x1, x2 ∈ X, y ∈ Y e λ ∈ K. De modo analogo, temos

A(x, λy1 + y2) = λA(x, y1) + A(x, y2),

para todos x ∈ X, y1, y2 ∈ Y e λ ∈ K. Como A e bilinear, vimos inicialmente que existe

uma unica aplicacao A ∈ L(X ⊗ Y, Z) tal que A = A ◦ θ. Por outro lado, A = T ◦ θ. De

fato, dados x ∈ X e y ∈ Y , (T ◦ θ)(x, y) = T (x ⊗ y) = A(x, y). Da unicidade de A e

da igualdade A = A ◦ θ segue que T = A e portanto Φ(A) = A = T , provando assim a

sobrejetividade da Φ. �

Como corolario imediato do teorema anterior, segue o importante fato, que discutimos

previamente no inıcio dessa secao, que da conta do dual do espaco produto tensorial.

Corolario 2.11. O dual do produto tensorial de espacos vetoriais X e Y e dado por

(X ⊗ Y )# = B(X × Y ).

O proximo resultado nos mostra que, a menos de um isomorfismo, o produto tensorial

e o unico espaco vetorial onde e possıvel a linearizacao de aplicacoes bilineares.

Teorema 2.12. (Unicidade do produto tensorial) Sejam X e Y espacos vetoriais.

Suponha que existam um espaco vetorial W e uma aplicacao bilinear B : X × Y −→W com a seguinte propriedade: para todo espaco vetorial Z e cada aplicacao bilinear

A : X × Y −→ Z, existe uma unica aplicacao linear L : W −→ Z tal que A = L ◦ B.

Entao existe um isomorfismo J : X ⊗ Y −→ W tal que J(x ⊗ y) = B(x, y), para todo

x ∈ X, y ∈ Y .

40


Demonstracao: Mostraremos que a aplicacao B de X ⊗ Y em W e um isomorfismo e

fazendo-se B = J , segue o resultado.

Por hipotese, temos que a aplicacao B : X×Y −→ W e bilinear. Assim, pelo Teorema

2.10, existe uma unica aplicacao B ∈ L(X ⊗ Y,W ) tal que B = B ◦ θ, isto e, B(x, y) =

B(θ(x, y)) = B(x ⊗ y), para todos x ∈ X, y ∈ Y . Como a aplicacao B e linear, basta

mostrarmos que B e bijetiva.

Tomando Z = X⊗Y , A = θ : X×Y −→ X⊗Y e aplicando a propriedade que e dada

a W e B por hipotese, temos que existe uma unica aplicacao linear L : W −→ X ⊗ Y tal

que θ = L ◦ B. Entao L(B(x, y)) = (L ◦ B)(x, y) = θ(x, y) = x ⊗ y, para todos x ∈ X,

y ∈ Y . Agora, suponha que x⊗ y ∈ ker(B), isto e, B(x⊗ y) = 0. Daı,

x⊗ y = L(B(x, y)) = L(B(x⊗ y)) = L(0) = 0

e portanto B e injetiva. Iremos provar agora que B e sobrejetiva, mas antes disso, e

necessario provarmos que o conjunto {B(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y } gera W . Suponha, por

absurdo, que isso nao ocorra. Entao existe w ∈ W tal que w /∈ span{B(X × Y )} e

podemos supor w 6= 0. E facil ver que a aplicacao identidade em W , IW : W −→ W ,

satisfaz a condicao B = IW ◦ B. Tomando Z = W no enunciado do teorema e fazendo

temos A = B e L = IW segue que IW e a unica aplicacao linear tal que B = IW ◦B. Se β

e uma base para span{B(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y }, entao β ∪ {w} e um conjunto linearmente

independente. Assim, com o auxılio do Lema de Zorn, podemos considerar uma base γ

de W contendo β ∪ {w}. Seja t : W −→ W uma aplicacao linear definida primeiramente

no vetores da base γ por

t(x) =

x, se x ∈ β

0, se x /∈ β

e entao estendendo-a por linearidade a todos os vetores de W . Em particular, t(w) = 0 e

note que t 6= IW , pois t(w) = 0 6= w = IW (w). Dados x ∈ X, y ∈ Y , tem-se

(t ◦B)(x, y) = t(B(x, y)) = IW (B(x, y)) = B(x, y),

mostrando que t ◦ B = B, o que contraria a unicidade de IW . Portanto, {B(x, y) : x ∈X, y ∈ Y } gera W . Assim, para todo w ∈ W , existem um k ∈ N, λi ∈ K e vetores xi ∈ X,

yi ∈ Y , com i = 1, . . . , k tais que

w =k∑i=1

λiB(xi, yi) =k∑i=1

B(λixi, yi).

41


Fazendo zi = λixi, com i = 1, . . . , k, temos

w =k∑i=1

B(zi, yi) = B

(k∑i=1

zi ⊗ yi

),

onde∑k

i=1 zi ⊗ yi ∈ X ⊗ Y . Portanto, B e sobrejetiva e, consequentemente, um isomor-

fismo. �

A seguir, definiremos a aplicacao produto tensorial entre dois operadores lineares e

provaremos algumas de suas propriedades. Antes disso, definiremos a transposta de um

tensor u.

Definicao 2.13. Seja u =∑n

i=1 xi⊗yi um tensor em X⊗Y . A transposta de u e o tensor

dado por ut = (∑n

i=1 xi ⊗ yi)t :=∑n

i=1 yi ⊗ xi ∈ Y ⊗X.

Note que u 7−→ ut e uma aplicacao linear bem definida. De fato, basta observar que

essa aplicacao e simplesmente a linearizacao da aplicacao bilinear A : X × Y −→ Y ⊗X.

Alem disso, e uma questao simples mostrar que a transposta produz um isomorfismo

de X ⊗ Y em Y ⊗ X. Usaremos a mesma ideia para definirmos o produto tensorial de

aplicacoes lineares.

Definicao 2.14. Sejam S : X −→ E e T : Y −→ F aplicacoes lineares. Definimos a

aplicacao (linear) S ⊗ T : X ⊗ Y −→ E ⊗ F , chamada produto tensorial das aplicacoes

lineares S e T, como a linearizacao da aplicacao bilinear A : X × Y −→ E ⊗ F dada por

A(x, y) = S(x)⊗T (y). Assim, temos S⊗T (x⊗y) = S(x)⊗T (y), para todo (x, y) ∈ X×Y .

Veremos a seguir que a aplicacao produto tensorial S⊗T herda algumas propriedades

dos seus componentes.

Proposicao 2.15. Sejam S : X −→ E, T : Y −→ F aplicacoes lineares e S⊗T : X⊗Y −→E ⊗ F a aplicacao produto tensorial de S e T . Se S e T sao injetivas (respectivamente,

sobrejetivas), entao S ⊗ T e injetiva (respectivamente, sobrejetiva).

Demonstracao: Seja x⊗y ∈ ker(S⊗T ). Entao (S⊗T )(x⊗y) = 0, isto e, S(x)⊗T (y) =

0, onde S(x) ∈ E e T (y) ∈ F . Dado ψ ∈ F#, pela Proposicao 2.5 temos S(x)ψ(T (y)) = 0

e pela linearidade de S

S(xψ(T (y))) = S(x)ψ(T (y)) = 0,

Como, por hipotese, S e injetiva, isso implica que xψ(T (x)) = 0, para todo ψ ∈ F#.

Entao, para cada ϕ ∈ X#, temos que ϕ(xψ(T (y))) = ϕ(x)ψ(T (y)) = 0 e da linearidade e

injetividade de T segue que ψ(ϕ(x)y) = 0. Isso implica em ϕ(x)y = 0, para todo ϕ ∈ X#

e da Proposicao 2.5 segue que x⊗ y = 0. Logo, S ⊗ T e injetiva.

42


Agora, seja e ⊗ f ∈ E ⊗ F e suponha que S e T sejam sobrejetivas. Entao existem

x ∈ X, y ∈ Y tais que S(x) = e e T (y) = f . Daı, temos

e⊗ f = S(x)⊗ T (y) = S ⊗ T (x⊗ y),

com x⊗ y ∈ X ⊗ Y . Portanto, S ⊗ T e sobrejetiva. �

2.3 Tensores como formas bilineares e como

aplicacoes lineares

Inicialmente, definimos o produto tensorial X ⊗ Y como um espaco de funcionais

lineares sobre o espaco B(X × Y ). Nesta secao, descreveremos duas outras abordagens

para os produtos tensoriais. Veremos que os tensores podem ser vistos como formas

bilineares e como aplicacoes lineares.

Para cada x ∈ X e y ∈ Y associamos a forma bilinear

Bx,y : X# × Y # −→ K

(φ, ψ) 7−→ Bx,y(φ, ψ) = φ(x)ψ(y).

Daı, a aplicacao A : X × Y −→ B(X# × Y #), dada por A(x, y) = Bx,y e facilmente vista

como uma aplicacao bilinear. De fato, dados φ ∈ X# e ψ ∈ Y #, temos que

A(λx1 + x2, y)(φ, ψ) = Bλx1+x2,y(φ, ψ) = φ(λx1 + x2)ψ(y)

= [λφ(x1) + φ(x2)]ψ(y) = λφ(x1)ψ(y) + φ(x2)ψ(y)

= λBx1,y(φ, ψ) +Bx2,y(φ, ψ) = (λA(x1, y) + A(x2, y))(φ, ψ),

para todos x1, x2 ∈ X, y ∈ Y e λ ∈ K. A linearidade na segunda coordenada segue de

modo analogo. Portanto, pelo Teorema 2.10, existe uma unica aplicacao linear A : X ⊗Y −→ B(X# × Y #) que aplica x⊗ y em Bx,y. Para vermos que a aplicacao A e injetiva,

suponha que∑n

i=1 Bxi,yi = 0. Entao∑n

i=1 ϕ(xi)ψ(yi) = 0, para todos ϕ ∈ X#, ψ ∈ Y #

e a Proposicao 2.5 assegura que∑n

i=1 xi ⊗ yi = 0 em X ⊗ Y . Dessa forma, podemos

enxergar canonicamente a inclusao

X ⊗ Y ⊂ B(X# × Y #)

por meio da aplicacao que associa cada tensor x⊗ y a forma bilinear Bx,y.

Quando os espacos em questao sao duais (espacos X com a propriedade de que X## =

43


X) temos

X# ⊗ Y # ⊂ B(X## × Y ##)⇒ X# ⊗ Y # ⊂ B(X × Y ), (2.6)

onde o tensor∑n

i=1 ϕi ⊗ ψi e identificado com a forma bilinear que aplica (x, y) em∑ni=1 ϕi(x)ψi(y). Dessa forma, devido a essa imersao canonica, poderemos considerar os

tensores como formas bilineares quando assim for necessario. Se for preciso distinguir o

tensor u da forma bilinear associada a ele, denotaremos a forma bilinear por Bu.

Os tensores tambem podem ser visualizados como aplicacoes lineares. Cada tensor

u =∑n

i=1 xi ⊗ yi gera duas aplicacoes lineares que as escrevemos como:

Lu : X# −→ Y

ϕ 7−→ Lu(ϕ) =n∑i=1

ϕ(xi)yi

e

Ru : Y # −→ X

ψ 7−→ Ru(ψ) =n∑i=1

xiψ(yi).

Note que a Proposicao 2.5 garante que as aplicacoes lineares u 7−→ Lu e u 7−→ Ru sao

injetivas. Daı temos mais duas identificacoes

X ⊗ Y ⊂ L(X#, Y ) e X ⊗ Y ⊂ L(Y #, X).

Finalmente, quando os espacos X e Y sao duais temos, respectivamente,

X# ⊗ Y ⊂ L(X, Y ) e X ⊗ Y # ⊂ L(Y,X). (2.7)

Os elementos de L(X, Y ) que correspondem a tensores de X# ⊗ Y sob a identificacao

ϕ ⊗ y : X −→ Y , dada por ϕ ⊗ y(x) = ϕ(x)y, sao as aplicacoes lineares de posto finito,

isto e, aplicacoes cuja imagem e um subespaco de dimensao finita em Y . Este fato justifica

a notacao do operador de posto finito definido em Analise Funcional.

Seja u =∑n

i=1 ϕi ⊗ xi ∈ L(X,X) um operador de posto finito e u# : X# −→ X#,

dado por u#(ψ)(x) = ψ(u(x)), o adjunto de u. Veremos, na proxima proposicao, que o

operador adjunto u# coincide com a transposta de u.

Proposicao 2.16. Se u : X −→ X e de posto finito e∑n

i=1 ϕi ⊗ xj e uma representacao

de u, entao∑n

i=1 xi ⊗ ϕi e uma representacao de u#. Em outras palavras, encarando u

como tensor, temos u# = ut.

44


Demonstracao: Sejam ψ ∈ X# e x ∈ X quaisquer. Temos

u#(ψ)(x) = ψ(u(x)) = ψ

(n∑i=1

ϕi(x)xi

)

=n∑i=1

ϕi(x)ψ(xi) =n∑i=1

JX(xi)(ψ)ϕi(x)

(∗)=

n∑i=1

xi(ψ)ϕi(x) =

(n∑i=1

xi(ψ)ϕi

)(x) =

(n∑i=1

xi ⊗ ϕi

)(ψ)(x),

onde em (∗) estamos identificando xi ∈ X com JX(xi) ∈ X##. Portanto u# = ut,

considerando ut ∈ X## ⊗X# pela aplicacao JX . �

Considere agora a forma bilinear A : X# × X −→ K, que leva (ϕ, x) em ϕ(x). Pelo

Teorema 2.10, existe uma unica aplicacao linear A : X# ⊗X −→ K que lineariza A. Tal

aplicacao, como sabemos, age da forma

A : X# ⊗X −→ K (2.8)n∑i=1

ϕi ⊗ xi 7−→n∑i=1

ϕi(xi).

Na verdade, esse processo descrito acima generaliza o conceito de traco de uma matriz

para espacos (e operadores) de dimensao infinita.

Definicao 2.17. Seja A : X# ×X −→ K uma forma bilinear dada por A(ϕ, x) = ϕ(x).

A linearizacao de A dada em (2.8) e chamada de traco em X e denotaremos por tr ou trX

quando for necessario especificar o espaco X em questao.

Na proxima proposicao, apresentaremos algumas das propriedades mais uteis do traco

de um espaco vetorial. Em especial, veremos que se uma aplicacao linear definida em um

espaco vetorial de dimensao finita e representada por uma matriz, entao o traco coincide

com a definicao usual do traco de uma matriz quadrada.

Proposicao 2.18. Sejam X e Y espacos vetoriais.

(a) Seja U : X −→ X uma aplicacao linear de posto finito. A transposta, U#, tambem

tem posto finito e trXU = trX#U#.

(b) Sejam S : X −→ Y e T : Y −→ X aplicacoes lineares onde pelo menos uma e de

posto finito. Entao ST e TS tem posto finito e trY ST = trXTS.

(c) Suponha que X tenha dimensao finita e seja V : X −→ X uma aplicacao linear. Se

V e representada por uma matriz A em relacao a alguma base para X, entao trXV

e a soma das entradas diagonais de A.

45


Demonstracao: (a) Seja∑n

i=1 ϕi ⊗ xi uma representacao de U . Pela Proposicao 2.16

temos que U# tem posto finito e

U# =

(n∑i=1

ϕi ⊗ xi

)t

=n∑i=1

xi ⊗ ϕi,

portanto,

trX#U# = trX#

(n∑i=1

xi ⊗ ϕi

)=

n∑i=1

ϕi(xi) = trX

(n∑i=1

ϕi ⊗ xi

)= trXU.

(b) Suponha S de posto finito, isto e, S =∑n

i=1 ϕi ⊗ yi. Entao

T (S(x)) = T

(n∑i=1

ϕi(x)yi

)=

n∑i=1

ϕi(x)T (yi)

e portanto TS =∑n

i=1 ϕi ⊗ T (yi) e de posto finito. Analogamente,

S(T (y)) =n∑i=1

ϕi(T (y))yi =n∑i=1

T#(ϕi)(y)yi

e isso implica em ST =∑n

i=1 T#(ϕi)⊗ yi. Alem disso, temos

trXTS =n∑i=1

ϕi(T (yi)) =n∑i=1

T#(ϕi)(yi) = trY ST.

(c) Seja {e1, . . . , en} uma base para X com funcionais coordenados {ϕ1, . . . , ϕn} de tal

modo que cada x ∈ X tenha a expansao x =∑n

i=1 ϕi(x)ei. Se A = (aij) e uma matriz de

V relativamente a essa base, entao temos

V (x) = V

(n∑i=1

ϕi(x)ei

)=

n∑i=1

ϕi(x)V (ei)

=n∑i=1

ϕi(x)n∑j=1

aijej =n∑i=1

n∑j=1

ϕi(x)aijej.

Portanto V =∑n

i,j=1 ϕi ⊗ aijej e entao

trV = tr

(n∑

i,j=1

ϕi ⊗ aijej

)=

n∑i,j=1

ϕi(aijej) =n∑

i,j=1

aijϕi(ej) =n∑i=1

aii.

�

46


2.4 Dualidade tensorial e dualidade de traco

Na presente secao, iremos analisar novamente a teoria da dualidade que desenvolvemos

para os produtos tensoriais. Lembre-se que o dual do espaco produto tensorial X ⊗ Y e

o espaco B(X × Y ) (Corolario 2.11), das formas bilineares em X × Y e que o produto

tensorial X#⊗ Y # pode ser visto imerso canonicamente no espaco B(X × Y ) (ver (2.6)),

no caso de espacos duais.

Considerando os espacos vetoriais X e Y com dimensao finita, segue da Observacao

2.4 que dim(X# ⊗ Y #) = dim(X#)dim(Y #) = dim(X)dim(Y ) = dim(X × Y ). Portanto

B(X × Y ) = X# ⊗ Y # e entao

(X ⊗ Y )# = X# ⊗ Y #,

com a seguinte relacao de dualidade entre os espacos X ⊗ Y e X# ⊗ Y #

Φ: X# ⊗ Y # −→ (X ⊗ Y )#

ϕ⊗ ψ 7−→ Γ: X ⊗ Y −→ K

x⊗ y 7−→ Γ(x⊗ y) = ϕ⊗ ψ(x⊗ y) = ϕ(x)ψ(y),

isto e, com a relacao de dualidade dada por

ϕ⊗ ψ(x⊗ y) = ϕ(x)ψ(y).

Neste caso, cada um dos produtos tensoriais X ⊗ Y e X#⊗ Y # e o dual do outro, a qual

chamaremos de dualidade tensorial.

E interessante observar esta dualidade usando espacos de aplicacoes lineares em vez

de produtos tensoriais. Continuando com a suposicao de dimensao finita, considere o

espaco L(X, Y ) das aplicacoes lineares de X em Y . Podemos identificar este espaco

com o produto tensorial X# ⊗ Y cujo dual e X ⊗ Y # (lembre de (2.7)) o qual pode ser

interpretado como L(Y,X). Assim, temos

(L(X, Y ))# = L(Y,X).

Agora, vamos examinar como a dualidade funciona entre esses espacos. Suponha S ∈L(X, Y ) e T ∈ L(Y,X). Usando as identificacoes descritas acima, S e T correspondem a

tensores u =∑n

i=1 ϕi ⊗ yi ∈ X# ⊗ Y e v =∑m

j=1 xj ⊗ ψj ∈ X ⊗ Y #, respectivamente.

47


Entao temos que T (S) = 〈S, T 〉 = 〈u, v〉 = trY ST . De fato, aplicando S em T temos

T (S) =m∑j=1

xj ⊗ ψj

(n∑i=1

ϕi ⊗ yi

)

=m∑j=1

xj ⊗ ψj(ϕ1 ⊗ y1 + · · ·+ ϕn ⊗ yn)

=m∑j=1

xj ⊗ ψj(ϕ1 ⊗ y1) + · · ·+m∑j=1

xj ⊗ ψj(ϕn ⊗ yn)

= x1 ⊗ ψ1(ϕ1 ⊗ y1) + · · ·+ xm ⊗ ψm(ϕ1 ⊗ y1) + · · ·+

x1 ⊗ ψ1(ϕn ⊗ yn) + · · ·+ xm ⊗ ψm(ϕn ⊗ yn)

= ϕ1(x1)ψ1(y1) + · · ·+ ϕ1(xm)ψ1(yn) + · · ·+

ϕ1(xm)ψm(y1) + · · ·+ ϕn(xm)ψm(yn)

=n∑i=1

ϕi(x1)ψ1(yi) + · · ·+n∑i=1

ϕi(xm)ψm(yi)

=n∑i=1

(ϕi(x1)ψ1(yi) + · · ·+ ϕi(xm)ψm(yi))

=n∑i=1

m∑j=1

ϕi(xj)ψj(yi).

Alem disso,

S(T (y)) =n∑i=1

ϕi(T (y))yi =n∑i=1

ϕi

(m∑j=1

xjψj(y)

)yi =

n∑i=1

m∑j=1

ψj(y)ϕi(xj)yi,

isto e,

ST =n∑i=1

m∑j=1

ψj ⊗ ϕi(xj)yi.

Logo,

trY ST =n∑i=1

m∑j=1

ψj(ϕi(xj)yi) =n∑i=1

m∑j=1

ϕi(xj)ψj(yi)

e, observando os resultados das contas que acabamos de fazer, a dualidade entre os espacos

L(X, Y ) e L(Y,X) e dada por

〈S, T 〉 = trY ST = trXTS.

A essa relacao chamaremos de dualidade de traco. Salientamos que a dualidade tensorial

e a dualidade de traco sao simplesmente formas diferentes de olhar o mesmo objeto e

somos livres para trabalhar com o formalismo que melhor se adequar ao contexto.

48


Se descartarmos a suposicao de que X e Y sao de dimensoes finitas, entao, em nossa

descricao de dualidade do tensor, devemos reverter a nossa identificacao original do espaco

dual de X ⊗ Y como o espaco das formas bilineares B(X × Y ). Esse ultimo espaco, em

geral, sera estritamente maior do que X# ⊗ Y #. Na linguagem de dualidade de traco,

devemos substituir o espaco L(X, Y ) pelo menor espaco de aplicacoes lineares de posto

finito, que denotaremos por FL(X, Y ). Assim, em geral, temos

FL(X, Y )# = (X# ⊗ Y )# = X## ⊗ Y # = L(Y,X##),

com a dualidade dada por 〈S, T 〉 = trY ST = trX##TS, como no caso de dimensao finita.

2.5 Alguns exemplos

Nesta secao descreveremos alguns exemplos (de certa forma ate, aplicacoes) do produto

tensorial entre espacos vetoriais. Nosso primeiro exemplo descreve um processo pelo qual

um espaco vetorial de funcoes escalares pode ser convertido em um espaco de funcoes

vetoriais.

2.5.1 Funcoes de valores vetoriais

Seja F (S) o espaco vetorial de todas as funcoes de um conjunto S no corpo dos

escalares K munido das operacoes usuais de adicao e multiplicacao por escalares. Agora,

sejam X um espaco vetorial e F (S,X) o espaco vetorial de todas a funcoes de S em X.

Para cada f ∈ F (S) e x ∈ X podemos definir uma funcao de S em X por

f · x : S −→ X

s 7−→ f(s)x.

Considere agora a aplicacao bilinear

A : F (S)×X −→ F (S,X)

(f, x) 7−→ f · x.

Linearizando esta aplicacao, obtemos a aplicacao linear

A : F (S)⊗X −→ F (S,X)n∑i=1

fi ⊗ xi 7−→n∑i=1

fi · xi.(2.9)

49


Mostraremos agora que a aplicacao linear (2.9) e injetiva. De fato, suponha que a funcao∑ni=1 fixi = 0. Entao temos que

∑ni=1 fi(s)xi = 0, para todo s ∈ S. Como os funcionais

ϕ : F (S) −→ K, f 7−→ f(s), formam um subconjunto separador de pontos do espaco dual

de F (S) (nao e difıcil mostrar isso), entao pela Observacao 2.7 tem-se∑n

i=1 fi ⊗ xi = 0

em F (S)⊗X. Assim, segue que A e uma imersao de F (S)⊗X em F (S,X).

Tomando o produto tensorial F (S)⊗X temos o efeito de juntar valores vetoriais para

as funcoes de F (S). A luz dessa identificacao, podemos dispensar a notacao apresentada

acima, de modo que o tensor∑n

i=1 fi ⊗ xi tambem pode ser tomado para representar a

funcao s 7−→∑n

i=1 fi(s)xi.

As mesmas ideias podem ser aplicadas a subespacos de F (S). Por exemplo, sejam

P (K) o espaco vetorial de funcoes polinomiais em K e P (K, X) um espaco de funcoes

polinomiais em K com valores no espaco vetorial X. Cada elemento P ∈ P (K, X) tem

a forma P (s) =∑n

k=0 skxk, onde xk ∈ X. Sejam pk as funcoes monomiais pk(s) = sk.

Entao o polinomio P e dado pelo tensor∑n

k=0 pk ⊗ xk. Por outro lado, e facil ver que

cada elemento do produto tensorial P (K)⊗X produz uma funcao polinomial de K em X.

Assim, temos uma representacao do espaco P (K, X) como o produto tensorial P (K)⊗X.

Agora, vejamos um outro exemplo ainda nesse escopo. Como sequencias sao funcoes,

seja c00 um espaco vetorial de todas as sequencias de escalares que sao eventualmente

nulas. Assim, um elemento de c00 tem a forma ω = (s1, . . . , sn, 0, 0, . . .). Entao os

elementos do produto tensorial c00⊗X podem ser considerados com sequencias em X que

sao eventualmente nulas, como nos mostra o diagrama a seguir.

c00 ×X = c00(N)×X

θ��

A // c00(N, X) = c00(X)

c00 ⊗X = c00(N)⊗X A

66

Desse modo, se x ∈ c00(X) entao x = (x1, . . . , xn, 0, 0, . . .) =∑n

i=1 ei ⊗ xi, onde ei e a

sequencia de escalares que tem 1 no n-esima termo e zero nos demais. Assim, identificamos

c00(X) = c00 ⊗X.

2.5.2 Funcoes de duas variaveis

Ja vimos que o produto tensorial de espacos duais pode ser imerso no espaco das

formas bilineares B(X × Y ) (ver (2.6)). Podemos generalizar esse processo de forma que

o produto tensorial entre dois espacos de funcoes possa ser interpretado como um espaco

de funcoes de duas variaveis.

Sejam S e T dois conjuntos, F (S) e F (T ) espacos vetoriais de funcoes escalares sobre

50


S e T , respectivamente, e A : F (S) × F (T ) −→ F (S × T ) uma forma bilinear dada

por A(f, g)(s, t) = f(s)g(t). Entao, pelo Teorema 2.10, existe uma linearizacao para A,

A : F (S) ⊗ F (T ) −→ F (S × T ), que associa o tensor∑n

i=1 fi ⊗ gi a funcao (s, t) 7−→∑ni=1 fi(s)gi(t). Note que a linearizacao A e injetiva. De fato, suponha que

∑ni=1 figi =

0. Entao temos∑n

i=1 fi(s)gi(t) = 0, para todo s ∈ S, t ∈ T . Como os funcionais

ϕ : F (S) −→ K, dado por f 7−→ f(s), e ψ : F (T ) −→ K, dado por g 7−→ g(t), formam

subconjuntos separadores de pontos dos espacos duais de F (S) e F (T ), respectivamente,

entao pela Observacao 2.7 segue que∑n

i=1 fi ⊗ gi = 0 em F (S)⊗ F (T ). Portanto, temos

uma imersao de F (S)⊗ F (T ) em F (S × T ).

Em alguns casos, um espaco de funcoes de duas variaveis pode ser interpretado exa-

tamente como um produto tensorial de espacos de funcoes de uma variavel. Por exem-

plo, seja P (K × K) um espaco de funcoes polinomiais de duas variaveis. Considere a

forma bilinear A : P (K) × P (K) −→ P (K × K) dada por A(ps, qt) = ps(a)qt(b), onde

ps(a) = as e qt(b) = bt sao funcoes monomiais. Pelo Teorema 2.10, existe uma linea-

rizacao A : P (K) ⊗ P (K) −→ P (K × K) que e injetiva e associa o tensor∑n

k=0 ps ⊗ qt a

funcao (a, b) 7−→∑n

k=0 ps(a)qt(b). Mostraremos agora que A e sobrejetiva. De fato, seja∑nk=0 a

sbt ∈ P (K×K), entao existem (a, b) ∈ K×K tal que ps(a) = as e qt(b) = bt. Logo,

n∑k=0

ps ⊗ qt(a, b) =n∑k=0

ps(a)qt(b) =n∑k=0

asbt

e assim A e sobrejetora, donde concluımos que

P (K×K) = P (K)⊗ P (K).

51

Capıtulo 3

Produto tensorial projetivo e injetivo

Neste capıtulo, estudaremos duas maneiras de normar o produto tensorial entre espacos

de Banach. Inicialmente, abordaremos a norma projetiva, veremos que, assim como o

produto tensorial algebrico lineariza as aplicacoes bilineares, o produto tensorial proje-

tivo lineariza as aplicacoes bilineares contınuas. Em seguida, dissertaremos sobre o dual

do produto tensorial projetivo e estudaremos a norma injetiva. Os livros [5], [17] e o

trabalho [20] compoem as principais referencias utilizadas nesse estudo.

3.1 A norma projetiva

O objetivo desta secao e estudar como podemos introduzir uma norma no produto

tensorial entre espacos de Banach. Inicialmente, definiremos a norma projetiva e prova-

remos que ela e uma norma no produto tensorial. Em seguida, veremos algumas de suas

propriedades.

Sejam X e Y espacos de Banach. Como esperamos continuidade dos tensores, consi-

derando o espaco (X ⊗ Y, ‖·‖), munido com uma norma ‖ · ‖, e natural esperarmos que

dado um tensor elementar x⊗ y ∈ X ⊗ Y a desigualdade

‖x⊗ y‖ ≤ ‖x‖ ‖y‖ (3.1)

seja satisfeita. Agora, considere u ∈ X ⊗ Y um tensor qualquer. Se∑n

i=1 xi ⊗ yi e uma

representacao de u, entao decorre da desigualdade triangular que a norma satisfaz

‖u‖ ≤n∑i=1

‖xi‖ ‖yi‖ . (3.2)

Como a desigualdade (3.2) deve ser valida para qualquer representacao de u, tomando o

52

3. Produto tensorial projetivo e injetivo

ınfimo sobre todas representacoes, segue que

‖u‖ ≤ inf

{n∑i=1

‖xi‖ ‖yi‖

}. (3.3)

O fato do zero ser uma cota inferior para o conjunto {∑n

i=1 ‖xi‖ ‖yi‖} faz com que o

ınfimo tomado acima esteja bem definido. Como utilizamos a desigualdade triangular em

(3.2), o lado direito da desigualdade (3.3) se torna o maior candidato possıvel para uma

norma natural em X ⊗ Y .

Definicao 3.1. Sejam X, Y espacos vetoriais normados sobre o corpo K. Para cada

tensor u ∈ X ⊗ Y , definimos a norma projetiva de u como

π(u) := inf

{n∑i=1

‖xi‖ ‖yi‖ : u =n∑i=1

xi ⊗ yi

}, (3.4)

onde substituiremos a notacao ‖·‖ por π(·).

Note que π satisfaz (3.1) e (3.2). Quando for necessario especificar os espacos com-

ponentes no produto tensorial, denotaremos a norma projetiva por πX,Y ou π(u;X ⊗ Y ).

Mais a frente, mostraremos que dada uma outra norma ‖·‖ em X⊗Y teremos ‖u‖ ≤ π(u).

Veremos agora que π e uma norma no produto tensorial.

Proposicao 3.2. Sejam X e Y espacos de Banach. Entao π e uma norma em X ⊗ Y e

π(x⊗ y) = ‖x‖ ‖y‖ para todos x ∈ X e y ∈ Y .

Demonstracao: Primeiro, mostraremos que π e uma norma em X⊗Y . Seja u ∈ X⊗Yum tensor. Suponha que π(u) = 0. Entao pela definicao de π, para todo ε > 0, existe

uma representacao∑n

i=1 xi⊗ yi de u tal que∑n

i=1 ‖xi‖ ‖yi‖ < ε. Daı, para todos ϕ ∈ X ′,ψ ∈ Y ′ temos∣∣∣∣∣

n∑i=1

ϕ(xi)ψ(yi)

∣∣∣∣∣ ≤n∑i=1

|ϕ(xi)| |ψ(yi)| ≤n∑i=1

‖ϕ‖ ‖ψ‖ ‖xi‖ ‖yi‖ ≤ ‖ϕ‖ ‖ψ‖ ε

e portanto ∣∣∣∣∣n∑i=1

ϕ(xi)ψ(yi)

∣∣∣∣∣ ≤ ‖ϕ‖ ‖ψ‖ ε.Desde que o valor da soma

∑ni=1 ϕ(xi)ψ(yi) e independente da representacao de u, segue

que∑n

i=1 ϕ(xi)ψ(yi) = 0 e como os espacos duais X ′ e Y ′ sao subconjuntos, respecti-

vamente, dos duais algebricos X# e Y # que separam pontos, entao, pelo item (a) da

Observacao 2.7, segue que u = 0. Ainda, e claro que se u = 0 temos π(u) = 0.

53


Mostraremos agora que π(λu) = |λ|π(u). Quando λ = 0 nao ha o que mostrar. Entao

suponha λ 6= 0. Se∑n

i=1 xi ⊗ yi e uma representacao de u entao λu =∑n

i=1(λxi) ⊗ yi.Daı, temos

π(λu) ≤n∑i=1

‖λxi‖ ‖yi‖ = |λ|n∑i=1

‖xi‖ ‖yi‖ .

Como isso e valido para toda representacao de u, segue que π(λu) ≤ |λ|π(u). De modo

analogo, temos π(u) = π(λ−1λu) ≤ |λ|−1 π(λu), donde |λ|π(u) ≤ π(λu). Portanto,

π(λu) = |λ|π(u).

Agora, provaremos que π satisfaz a desigualdade triangular. Sejam u, v ∈ X ⊗ Y

e ε > 0. Decorre da definicao de π que existem representacoes u =∑n

i=1 xi ⊗ yi e

v =∑m

j=1wj ⊗ zj tai que

n∑i=1

‖xi‖ ‖yi‖ ≤ π(u) + ε em∑j=1

‖wj‖ ‖zj‖ ≤ π(v) + ε.

Entao∑n

i=1 xi ⊗ yi +∑m

j=1wj ⊗ zj e uma representacao para u+ v e portanto

π(u+ v) ≤n∑i=1

‖xi‖ ‖yi‖+m∑j=1

‖wi‖ ‖zi‖ ≤ π(u) + π(v) + 2ε. (3.5)

Como (3.5) e valido para todo ε > 0, temos

π(u+ v) ≤ π(u) + π(v).

Finalmente, provaremos que π(x ⊗ y) = ‖x‖ ‖y‖. Seja x ⊗ y ∈ X ⊗ Y um tensor

elementar. Por um lado, e claro que π(x ⊗ y) ≤ ‖x‖ ‖y‖. Escolha ϕ ∈ BX′ e ψ ∈ BY ′

tais que ϕ(x) = ‖x‖ e ψ(y) = ‖y‖. Considere a forma bilinear contınua A : X ×Y −→ K,

dada por A(x, y) = ϕ(x)ψ(y). Pelo Teorema 2.10 existe uma unica linearizacao para A,

A : X ⊗ Y −→ K, dada por∑n

i=1 xi ⊗ yi 7−→∑n

i=1 ϕ(xi)ψ(yi). Temos

∣∣∣A(u)∣∣∣ =

∣∣∣∣∣A(

n∑i=1

xi ⊗ yi

)∣∣∣∣∣ ≤n∑i=1

∣∣∣A(xi ⊗ yi)∣∣∣

=n∑i=1

|ϕ(xi)ψ(yi)| =n∑i=1

|ϕ(xi)| |ψ(yi)|

≤ ‖ϕ‖ ‖ψ‖n∑i=1

‖xi‖ ‖yi‖ ≤n∑i=1

‖xi‖ ‖yi‖ ,

o que implica que∣∣∣A(u)

∣∣∣ ≤ π(u) para todo u ∈ X ⊗ Y e para toda representacao de u.

54


Assim, A e um funcional linear contınuo no espaco normado (X ⊗ Y, π(·)) de norma no

maximo 1. Portanto,

‖x‖ ‖y‖ = ϕ(x)ψ(y) = A(x⊗ y) ≤∣∣∣A(x⊗ y)

∣∣∣ ≤ π(x⊗ y),

o que completa a demonstracao. �

Denotaremos por X ⊗π Y o produto tensorial X ⊗ Y munido da norma projetiva π.

O resultado seguinte da conta de que em dimensao finita a norma projetiva faz do

produto tensorial um espaco completo.

Proposicao 3.3. Sejam X, Y espacos vetoriais de dimensao finita. Entao X ⊗ Y e um

espaco vetorial de dimensao finita. Alem disso, se X, Y forem espacos normados, entao

X ⊗π Y e completo.

Demonstracao: Sejam dim(X) = n e dim(Y ) = m, com n, m ∈ N. Portanto,

dim(B(X × Y )) = n ·m e consequentemente dim(B(X × Y ))# = n ·m. Como X ⊗ Y =

B(X × Y )# segue que X ⊗ Y tem dimensao finita. Agora, considerando que X e Y sao

normados, segue que X ⊗π Y e normado e tem dimensao finita, logo e completo. �

Observacao 3.4. Se X e Y sao espacos vetoriais de dimensao infinita, entao o produto

tensorial X ⊗π Y nao e um espaco completo em geral. Veja, por exemplo, [17, Exercise

2.5]. Assim, denotaremos por X⊗πY o completamento de X ⊗π Y . O espaco de Banach

X⊗πY sera chamado produto tensorial projetivo dos espacos normados X e Y .

Vimos na demonstracao da Proposicao 3.2 que, para reconhecer quando um tensor

u em X ⊗ Y e nulo, e suficiente mostrar que∑n

i=1 ϕ(xi)ψ(yi) = 0, para todos ϕ ∈ X ′,ψ ∈ Y ′ e qualquer representacao de u. A identificacao do tensor nulo no produto tensorial

X⊗πY e um tanto mais delicada e seu estudo pode ser visto no Capıtulo 4 do livro [17].

Nao abordaremos esse estudo em nosso trabalho.

Se A e B sao subconjuntos de X, Y respectivamente, definimos o subconjunto A⊗B ⊂X ⊗ Y por

A⊗B := {x⊗ y : x ∈ A e y ∈ B} . (3.6)

Usaremos essa notacao com moderacao, pois, embora seja conveniente, podera causar

ambiguidade. Note que nao necessariamente A ⊗ B e um espaco vetorial e que todos os

seus elementos sao tensores elementares.

Definicao 3.5. Seja X um espaco vetorial e S ⊂ X um subconjunto. A intersecao de

todos os subconjuntos convexos de X contendo S e chamada de envoltoria convexa de S

e e denotada por co(S).

55


A envoltoria convexa de S, co(S), pode ser caracterizada pelo conjunto abaixo ([20,

Proposicao 3.8]):

co(S) =

{n∑i=1

λixi : n ∈ N, xi ∈ S, λi ≥ 0,n∑i=1

λi = 1, i = 1, . . . , n

}

e, quando 0 ∈ S, por ([20, Corolario 3.9])

co(S) =

{n∑i=1

λixi : n ∈ N, xi ∈ S, λi ≥ 0,n∑i=1

λi ≤ 1, i = 1, . . . , n

}.

Quando X for um espaco vetorial normado, poderemos considerar o fecho da envoltoria

convexa e o denotaremos por co(S).

Proposicao 3.6. Sejam X, Y espacos normados sobre o corpo K. A bola unitaria fechada

de X⊗πY e o fecho da envoltoria convexa do conjunto BX ⊗BY .

Demosntracao: Seja BX⊗πY a bola unitaria fechada de X⊗πY . Como BX⊗πY =

BX⊗πYX⊗πY

e suficiente provar para o espaco X⊗π Y , isto e, basta mostrar que BX⊗πY =

coX⊗πY (BX ⊗BY ), pois

BX⊗πY = BX⊗πYX⊗πY

= coX⊗πY (BX ⊗BY )X⊗πY

= coX⊗πY (BX ⊗BY ).

Suponha u ∈ BX⊗πY . Entao, pela definicao de π, existe uma representacao de u da

forma∑n

i=1 xi ⊗ yi, onde xi e yi sao nao-nulos e∑n

i=1 ‖xi‖ ‖yi‖ < 1. Seja wi = ‖xi‖−1xi,

zi = ‖yi‖−1yi e λi = ‖xi‖ ‖yi‖. Entao,

u =n∑i=1

xi ⊗ yi

=n∑i=1

(‖xi‖ ‖xi‖−1xi)⊗ (‖yi‖ ‖yi‖−1yi)

=n∑i=1

‖xi‖ ‖yi‖ (‖xi‖−1xi)⊗ (‖yi‖−1yi)

=n∑i=1

λiwi ⊗ zi,

com wi ∈ BX , zi ∈ BY , λi ≥ 0 e∑n

i=1 λi < 1. Assim, u ∈ co(BX ⊗ BY ) e entao

BX⊗πY ⊆ co(BX ⊗ BY ), o que implica em BX⊗πY = BX⊗πYX⊗πY

⊆ coX⊗πY (BX ⊗ BY ).

Por outro lado, temos que BX ⊗ BY ⊂ BX⊗πY . De fato, dado u ∈ BX ⊗ BY , temos

u = x⊗ y, com x ∈ BX e y ∈ BY (lembre que BX ⊗ BY e definido como em (3.6)). Daı,

π(u) = ‖x‖ ‖y‖ ≤ 1 e assim u ∈ BX⊗πY . Segue que co(BX ⊗ BY ) ⊆ BX⊗πY , pois BX⊗πY

56


e um conjunto convexo que contem BX ⊗BY . Disso tem-se

coX⊗πY (BX ⊗BY ) ⊆ BX⊗πYX⊗πY

= BX⊗πY .

�

Consideraremos agora o produto tensorial dos operadores lineares contınuos. Veremos

que, na norma projetiva, o produto tensorial de operadores lineares contınuos tambem e

um operador linear contınuo.

Proposicao 3.7. Sejam X, Y , W , Z espacos vetoriais normados e S : X −→ W ,

T : Y −→ Z operadores lineares contınuos. Entao existe um unico operador linear

contınuo S ⊗π T : X⊗πY −→ W ⊗πZ tal que S ⊗π T (x ⊗ y) = S(x) ⊗ T (y), para to-

dos x ∈ X, y ∈ Y . Alem disso, ‖S ⊗π T‖ = ‖S‖ ‖T‖.

Demonstracao: Sejam S ∈ L(X,W ) e T ∈ L(Y, Z). Vimos no Capıtulo 2 que existe

uma unica aplicacao linear S⊗T : X⊗Y −→ W ⊗Z tal que S⊗T (x⊗y) = S(x)⊗T (y),

para todos x ∈ X, y ∈ Y . Sejam u ∈ X ⊗ Y e∑n

i=1 xi ⊗ yi uma representacao de u.

Entao

π(S ⊗ T (u)) = π

(n∑i=1

S(xi)⊗ T (yi)

)

≤n∑i=1

‖S(xi)‖ ‖T (yi)‖

≤ ‖S‖ ‖T‖n∑i=1

‖xi‖ ‖yi‖

e tomando o ınfimo sobre todas as representacoes de u, temos π(S⊗T (u)) ≤ ‖S‖ ‖T‖ π(u).

Assim, S⊗πT : X⊗πY −→ W⊗πZ e um operador linear contınuo para a norma projetiva

e ‖S ⊗π T‖ ≤ ‖S‖ ‖T‖. Por outro lado,

‖S‖ ‖T‖ = supx∈BX

‖S(x)‖ supy∈BY

‖T (y)‖ = supx∈BX , y∈BY

‖S(x)‖ ‖T (y)‖

= supx∈BX , y∈BY

π(S(x)⊗ T (y)) = supx∈BX , y∈BY

π(S ⊗ T (x⊗ y))

≤ sup {π(S ⊗ T (x⊗ y)) : u ∈ X ⊗ Y, com π(u) ≤ 1}

= ‖S ⊗ T‖

e portanto ‖S ⊗ T‖ = ‖S‖ ‖T‖. Tomando a unica extensao contınua do operador S ⊗ Taos completamentos de X ⊗π Y e W ⊗π Z, segue o resultado. �

57


Veremos agora que o produto tensorial projetivo nao respeita subespacos, isto e, se

W e um subespaco do espaco de Banach X, de tal forma que W ⊗ Y seja um subespaco

algebrico de X ⊗ Y , entao a norma induzida em W ⊗ Y por X ⊗π Y nao e, geralmente,

a norma projetiva πW,Y (·). De fato, considere a definicao da norma π(u;W ⊗ Y ) onde

u ∈ W ⊗ Y . O ınfimo que define essa norma e assumido sobre o conjunto de todas as

representacoes de u em W ⊗ Y . Se ampliarmos esse espaco W para X, o conjunto das

representacoes de u se torna maior e portanto teremos{n∑i=1

‖xi‖ ‖yi‖ : u =n∑i=1

xi ⊗ yi ∈ W ⊗ Y

}⊆

{n∑i=1

‖xi‖ ‖yi‖ : u =n∑i=1

xi ⊗ yi ∈ X ⊗ Y

}

o que implica em

π(u;X ⊗ Y ) ≤ π(u;W ⊗ Y ).

Embora a norma projetiva nao respeite subespacos de modo geral, veremos que isso

nao acontece para espacos complementados.

Proposicao 3.8. Sejam E e F subespacos complementados de X e Y respectivamente.

Entao

(a) E ⊗ F e complementado em X ⊗π Y .

(b) A norma em E ⊗F induzida pela norma projetiva de X ⊗π Y e equivalente a norma

projetiva πE,F .

(c) Se E e F sao complementados pelas projecoes da norma unitaria, entao E⊗π F e um

subespaco de X ⊗π Y que e tambem complementado por uma projecao de norma

unitaria.

Demonstracao: (a) Sejam P e Q projecoes de X e Y sobre E e F , respectivamente.

Entao podemos considerar o operador linear contınuo P ⊗Q : X ⊗π Y −→ X ⊗π Y dada

por P ⊗ Q(x ⊗ y) = P (x) ⊗ Q(y), para todo x ∈ X, y ∈ Y . Vamos provar que P ⊗ Q e

uma projecao e P ⊗Q(X ⊗π Y ) = E ⊗ F . Se x⊗ y ∈ X ⊗π Y , entao

(P ⊗Q)2(x⊗ y) = (P ⊗Q)(P ⊗Q(x⊗ y)) = P ⊗Q(P (x)⊗Q(y))

= P (P (x))⊗Q(Q(y)) = P 2(x)⊗Q2(y) = P (x)⊗Q(y)

= P ⊗Q(x⊗ y).

Considere agora e ⊗ f ∈ E ⊗ F . Entao, por hipotese, existem x ∈ X e y ∈ Y tais que

58


P (x) = e e Q(y) = f . Daı, temos

P ⊗Q(x⊗ y) = P (x)⊗Q(y) = e⊗ f

e portanto P ⊗Q(X ⊗π Y ) = E ⊗ F .

(b) Seja u ∈ E ⊗ F . Ja vimos que πX,Y ≤ πE,F . Agora, considere∑n

i=1 xi ⊗ yi uma

representacao de u em X ⊗ Y . Entao, u = P ⊗ Q(u) e∑n

i=1 P (xi) ⊗ Q(yi) e uma

representacao de u em E ⊗ F . Assim,

πE,F (u) ≤n∑i=1

‖P (xi)‖ ‖Q(yi)‖ ≤ ‖P‖ ‖Q‖n∑i=1

‖xi‖ ‖yi‖ . (3.7)

Como (3.7) e valida para toda representacao de u em X ⊗ Y , segue que

πX,Y (u) ≤ πE,F (u) ≤ ‖P‖ ‖Q‖ πX,Y (u).

(c) Se E e F sao complementados por projecoes de normas unitarias, entao ‖P‖ = ‖Q‖ = 1

e portanto πX,Y (u) ≤ πE,F (u) ≤ πX,Y (u) o que implica em πX,Y (u) = πE,F (u), para todo

u ∈ E⊗F . Logo, E⊗πF e um subespaco de X⊗πY . Alem disso, ‖P ⊗Q‖ = ‖P‖ ‖Q‖ = 1

e portanto P ⊗Q e uma projecao de norma unitaria em E ⊗ F . �

Observacao 3.9. Tomando o completamento dos produtos tensoriais E⊗F e X ⊗Y , os

resultados da Proposicao 3.8 tambem sao validos para os produtos tensoriais projetivos

completos.

Veremos adiante o porque da escolha do nome projetivo para a norma π. Antes disso,

definiremos o operador quociente, mostraremos que o produto tensorial de operadores quo-

cientes tambem e um operador quociente e uma consequencia desse resultado justificara

a nomenclatura da norma π.

Definicao 3.10. Seja Q ∈ L(Z, Y ). Dizemos que Q : Z −→ Y e um operador quociente

se Q e sobrejetor e ‖y‖ = inf {‖z‖ : z ∈ Z, Q(z) = y}, ou equivalentemente, Q aplica a

bola aberta unitaria de Z na bola aberta unitaria de Y .

Isso significa simplesmente que Y e isometricamente isomorfo ao espaco quociente

Z/ kerQ.

Proposicao 3.11. Sejam Q ∈ L(W,X), R ∈ L(Z, Y ) operadores quocientes. Entao

Q⊗π R : W ⊗πZ −→ X⊗πY e um operador quociente.

Demonstracao: E suficiente mostrarmos que Q ⊗ R : W ⊗π Z −→ X ⊗π Y e um ope-

rador quociente, pois obteremos que o resultado e valido para Q ⊗π R por extensao ao

59


completamento como na demonstracao da Proposicao 3.7. Para ver que Q ⊗ R e sobre-

jetor, considere∑n

i=1 xi ⊗ yi ∈ X ⊗π Y . Entao, pela sobrejetividade de Q e R, existem

wi ∈ W e zi ∈ Z tais que Q(wi) = xi e R(zi) = yi, para todo i = 1, · · · , n. Daı,

Q⊗R

(n∑i=1

wi ⊗ zi

)=

n∑i=1

Q(wi)⊗R(zi) =n∑i=1

xi ⊗ yi,

portanto Q⊗ R e sobrejetor. Agora, seja u ∈ X ⊗π Y . Como Q⊗ R e sobrejetor, existe

v ∈ W ⊗π Z tal que Q⊗R(v) = u e entao para qualquer representacao∑n

i=1wi⊗ zi de v

temos

π(u) = π(Q⊗R(v)) ≤ ‖Q‖ ‖R‖n∑i=1

‖wi‖ ‖zi‖ .

Tomando o ınfimo sobre todas as representacoes de v, segue que

π(u) ≤ ‖Q‖ ‖R‖ π(v)

e como ‖Q‖ = ‖R‖ = 1 teremos π(u) ≤ π(v).

Dado ε > 0 escolha uma representacao∑n

i=1 xi ⊗ yi de u tal que∑n

i=1 ‖xi‖ ‖yi‖ ≤π(u) + ε. Agora, para cada i = 1, · · · , n, escolha wi ∈ W e zi ∈ Z tais que Q(wi) = xi,

R(zi) = yi, ‖wi‖ ≤ (1 + ε) ‖xi‖ e ‖zi‖ ≤ (1 + ε) ‖yi‖. Veremos que de fato as escolhas

acima sao possıveis. Inicialmente, note que xi(1+ε)‖xi‖ ∈ BX . Pela definicao de operador

quociente, existe qi ∈ BW tal que Q(qi) = xi(1+ε)‖xi‖ . Daı, Q((1+ε) ‖xi‖ qi) = xi. Tomando

wi = (1 + ε) ‖xi‖ qi, temos Q(wi) = xi e ‖wi‖ = (1 + ε) ‖xi‖ ‖qi‖ ≤ (1 + ε) ‖xi‖. De forma

analoga, obtemos que R(zi) = yi e ‖zi‖ ≤ (1 + ε) ‖yi‖. Entao

Q⊗R

(n∑i=1

wi ⊗ zi

)=

n∑i=1

Q(wi)⊗R(zi) =n∑i=1

xi ⊗ yi = u

e alem disso

π

(n∑i=1

wi ⊗ zi

)≤

n∑i=1

‖wi‖ ‖zi‖

≤n∑i=1

(1 + ε) ‖xi‖ (1 + ε) ‖yi‖ (3.8)

= (1 + ε)2

n∑i=1

‖xi‖ ‖yi‖

≤ (1 + ε)2(π(u) + ε).

60


Como (3.8) e valida para todo ε > 0, temos

π(u) = inf{π(v) : v ∈ W ⊗π Z, Q⊗R(v) = u},

o que completa a demonstracao. �

Definicao 3.12. Sejam X e Y espacos normados. Dizemos que Y e um quociente de X

se existe um subespaco fechado W ⊆ X tal que Y = X/W .

Corolario 3.13. Sejam X1, X2, Y1 e Y2 espacos normados. Se Yi e um quociente de Xi

para todo i = 1, 2, entao Y1 ⊗π Y2 e um quociente de X1 ⊗π X2.

Demonstracao: Desde que, por hipotese, Yi e um quociente de Xi para todo i = 1, 2,

existem subespacos fechados Wi ⊆ Xi tais que Yi = Xi/Wi, i = 1, 2. Seja πi : Xi −→Xi/Wi = Yi as projecoes canonicas (que sao operadores quocientes). Da Proposicao

3.11, segue que π1 ⊗ π2 : X1 ⊗π X2 −→ Y1 ⊗π Y2 e um operador quociente. Portanto,

Y1 ⊗π Y2 = X1 ⊗π X2/ ker(π1 ⊗ π2), isto e, Y1 ⊗π Y2 e um quociente de X1 ⊗π X2. �

Vimos que a norma π respeita quocientes e, na demonstracao do corolario, ficou evi-

dente que os espacos quocientes estao associados as projecoes canonicas. Daı segue a

justificativa do nome projetiva para a norma π.

Geralmente, a norma projetiva, π(u), de um tensor u pode ser bastante difıcil de

calcular, pois, pela definicao, e necessario examinar todas as representacoes possıveis de

u, e, claramente, isso nao e um metodo pratico. No exemplo a seguir mostraremos que

isto nem sempre e tao difıcil. Alem disso, o exemplo mostrara um importante isomorfismo

topologico entre um espaco de sequencias conhecido e um espaco produto tensorial.

Exemplo 3.14. O produto tensorial projetivo `1⊗πX.

Seja X um espaco de Banach. No Capıtulo 1, vimos que os elementos de `1 ⊗ X

podem ser vistos como sequencias de valores em X. Sob essa mesma identificacao, para

cada a = (an)∞n=1 em `1 e x ∈ X, o tensor elementar a⊗ x corresponde para a sequencia

(anx)∞n=1 em X. Agora, note que a sequencia (anx)∞n=1 e absolutamente somante, pois

∞∑n=1

‖anx‖ = ‖x‖

(∞∑n=1

|an|

).

Em outras palavras, a ⊗ x pertence ao espaco de Banach `1(X) de todas as sequencias

(xn)∞n=1 absolutamente somantes em x, onde a norma e dada por

‖(xn)∞n=1‖1 =∞∑n=1

‖xn‖ .

61


Assim, existe uma aplicacao linear J : `1⊗X −→ `1(X) satisfazendo J(a⊗x) = (anx)∞n=1.

Agora, se∑m

i=1 ai⊗xi e uma representacao de u ∈ `1⊗X, onde ai = (ain)∞n=1, i = 1, . . . ,m,

entao

‖J(u)‖1 =

∥∥∥∥∥(

m∑i=1

ainxi

)∞n=1

∥∥∥∥∥1

=∞∑n=1

∥∥∥∥∥m∑i=1

ainxi

∥∥∥∥∥≤

∞∑n=1

m∑i=1

‖ainxi‖ =m∑i=1

(∞∑n=1

|ain|

)‖xi‖ (3.9)

=m∑i=1

‖ai‖1 ‖xi‖ ,

e desde que (3.9) e valida para toda representacao de u, tomando o ınfimo sobre todas es-

sas representacoes, segue que ‖J(u)‖1 ≤ π(u). Agora, fixe uma representacao∑m

i=1 ai⊗xide u. Entao J(u) = (un)∞n=1, onde un =

∑mi=1 ainxi.

Afirmacao: A serie∑∞

n=1 en⊗ un converge para u em `1⊗π X, onde {en} sao os vetores

canonicos em `1.

De fato, seja Pk a projecao de `1 nas primeiras k coordenadas, de modo que Pk(a) =∑kn=1 anen. Daı, temos Pk(a) −→ a quando k −→∞ e entao

π

(u−

k∑n=1

en ⊗ un

)= π

(m∑i=1

ai ⊗ xi −k∑

n=1

en ⊗

(m∑i=1

ainxi

))

= π

(m∑i=1

ai ⊗ xi −k∑

n=1

m∑i=1

en ⊗ ainxi

)

= π

(m∑i=1

(ai ⊗ xi −

k∑n=1

ainen ⊗ xi

))

= π

(m∑i=1

(ai ⊗ xi − Pk(ai)⊗ xi)

)

= π

(m∑i=1

(ai − Pk(ai))⊗ xi

)

≤m∑i=1

‖ai − Pk(ai)‖ ‖xi‖ ,

segue que π(u−

∑kn=1 en ⊗ un

)−→ 0 quando k −→ ∞, provando assim a afirmacao.

Agora, temos

π(u) = π

(∞∑n=1

en ⊗ un

)≤

∞∑n=1

‖un‖ = ‖J(u)‖1 ,

62


portanto a aplicacao linear J : `1 ⊗π X −→ `1(X) e uma isometria. Como `1(X) e com-

pleto, entao J estende para um unico operador isometrico do produto tensorial projetivo

completo J : `1⊗πX −→ `1(X).

Os argumentos que foram dados para o espaco `1 no Exemplo 3.14 se aplica de forma

equivalente para o espaco `1(I), onde I e um conjunto de indexacao arbitraria, nos forne-

cendo uma identificacao

`1(I)⊗πX = `1(I,X), (3.10)

onde `1(I,X) e o espaco de Banach de famılias absolutamente somaveis em X indexada

por I, com a norma

‖(xi)i‖ =∑i∈I

‖xi‖ .

Para provar isso, precisamos apenas lembrar que se (xi)i e uma famılia absolutamente

somavel, entao existe um subconjunto enumeravel, I0, de I tal que xi = 0 se i /∈ I0

(Proposicao 1.35).

A identificacao (3.10) permite algumas conclusoes interessantes. Lembre-se que, em

geral, o produto tensorial projetivo nao respeita subespacos, isto e, se W e um subespaco

de X, entao, nao necessariamente, W ⊗πY e um subespaco de X⊗πY . A proxima pro-

posicao nos diz que a situacao e diferente se um dos espacos componentes for o `1(I) e

sua demonstracao (que foge aos objetivos do trabalho) pode ser vista em [17, Proposition

2.7].

Proposicao 3.15. Sejam X um espaco de Banach e Y um subespaco fechado de X.

Entao `1(I)⊗πY e um subespaco de `1(I)⊗πX.

A proxima aplicacao e uma representacao util dos elementos de um produto tensorial

projetivo completo X⊗πY , que complementa bem a representacao dos elementos do pro-

duto tensorial algebrico X⊗Y . Lembremos que todo espaco de Banach e um quociente de

`1(I) para um conjunto de ındices I escolhido adequadamente (veja [7, Exercise 5.30])1.

Proposicao 3.16. Sejam X e Y espacos de Banach, u ∈ X⊗πY e ε > 0. Entao exis-

tem sequencias limitadas (xn)∞n=1 e (yn)∞n=1 em X e Y , respectivamente, tais que a serie

1E bem comum encontrar a demonstracao desse fato para espacos separaveis e varios autores comentamque a demonstracao para o caso geral e muito semelhante. Infelizmente, nao encontramos nenhumademonstracao explıcita e por questoes de escopo do nosso trabalho (e tempo) nao fizemos esforcos parademonstra-la.

63


∑∞n=1 xn ⊗ yn converge para u e

∞∑n=1

‖xn‖ ‖yn‖ < π(u) + ε.

Demonstracao: Sejam J um conjunto de ındices, Q : `1(J) −→ X um operador quo-

ciente e IY : Y −→ Y o operador identidade em Y . Como IY e um operador quociente,

pela Proposicao 3.11 o operador produto tensorial Q ⊗π IY : `1(J)⊗πY −→ X⊗πY e

um operador quociente e entao, para cada u ∈ X⊗πY , existe v ∈ `1(J)⊗πY tal que

Q ⊗π IY (v) = u e π(v) ≤ π(u) + ε. Como `1(J)⊗πY = `1(J, Y ), podemos identificar v

como uma famılia absolutamente somante (vj)j∈J ∈ Y . Agora, existe um subconjunto

enumeravel J0 = {jn : n ∈ N} de J tal que vj = 0, se j /∈ J0, e assim v pode ser escrito

como∑∞

n=1 ejn ⊗ vjn, com π(v) =∑∞

n=1 ‖vjn‖. Considere xn = Q(ejn) e yn = vjn. Como

‖xn‖ = inf {‖ejn‖ : ejn ∈ `1(J), Q(ejn) = xn} = 1

e (vjn)j∈J ∈ `1(J), com n ∈ N, segue que as sequencias (xn)∞n=1 e (yn)∞n=1 sao limitadas.

Entao temos

u = Q⊗π IY (v) = Q⊗π IY

(∞∑n=1

ejn ⊗ vjn

)=∞∑n=1

Q(ejn)⊗ IY (vjn) =∞∑n=1

xn ⊗ yn

e

∞∑n=1

‖xn‖ ‖yn‖ =∞∑n=1

‖yn‖ =∞∑n=1

‖vjn‖ = π(v) ≤ π(u) + ε.

�

Da proposicao anterior, resulta que

π(u) = inf

{∞∑n=1

‖xn‖ ‖yn‖ :∞∑n=1

‖xn‖ ‖yn‖ <∞, u =∞∑n=1

xn ⊗ yn

}, (3.11)

o ınfimo de todas as representacoes de u ∈ X⊗πY como descrito no enunciado da Pro-

posicao 3.1.

Existem variacoes menores da formula (3.11) que sao uteis. Por exemplo, podemos

reescrever o tensor u ∈ X⊗πY na forma∑∞

n=1 λnxn ⊗ yn onde ‖xn‖ = ‖yn‖ = 1, para

todo n ∈ N, ou mesmo como∑∞

n=1 λnxn⊗ yn, onde xn −→ 0 e yn −→ 0. Daı, temos mais

64


duas formulas correspondentes para a norma projetiva

π(u) = inf

{∞∑n=1

|λn| : u =∞∑n=1

λnxn ⊗ yn,∞∑n=1

|λn| <∞, ‖xn‖ = ‖yn‖ = 1

}

e

π(u) = inf

{∞∑n=1

|λn| ‖xn‖ ‖yn‖ : u =∞∑n=1

λnxn ⊗ yn,∞∑n=1

|λn| <∞, xn, yn −→ 0

}.

3.2 O espaco dual de X⊗πY

No Capıtulo 2, vimos que o produto tensorial X⊗Y lineariza aplicacoes bilineares em

X × Y . Nesta secao, estudaremos como o produto tensorial projetivo X⊗πY lineariza as

aplicacoes bilineares contınuas e determinaremos o seu espaco dual.

Sabemos que uma aplicacao bilinear B : X×Y −→ Z, entre os espacos normados X, Y

e Z, e contınua se existe uma constante c > 0 tal que ‖B(x, y)‖ ≤ c ‖x‖ ‖y‖, para todo

x ∈ X, y ∈ Y . Denotamos por B(X × Y, Z) o espaco das aplicacoes bilineares contınuas

de X × Y em Z, onde a norma e dada por

‖B‖ = sup {‖B(x, y)‖ : x ∈ BX , y ∈ BY } .

Quando Z = K, denotamos esse espaco por B(X × Y ), espaco das formas bilineares

contınuas.

Teorema 3.17. Seja B ∈ B(X × Y, Z) uma aplicacao bilinear contınua. Entao existe

um unico operador linear contınuo B : X⊗πY −→ Z, satisfazendo B(x ⊗ y) = B(x, y),

para todos x ∈ X, y ∈ Y . Alem disso, a correspondencia B ←→ B e um isomorfismo

isometrico entre os espacos B(X × Y, Z) e L(X⊗πY, Z).

Demonstracao: Como B e uma aplicacao bilinear, pelo Teorema 2.10, existe uma unica

aplicacao linear B : X⊗Y −→ Z tal que B(x⊗y) = B(x, y), para todos x ∈ X, y ∈ Y e a

correspondencia B ←→ B e um isomorfismo entre os espacos B(X×Y, Z) e L(X⊗πY, Z).

Mostraremos que B e contınua para a norma projetiva e que a correspondencia B ←→ B

e um isomorfismo isometrico entre B(X × Y, Z) e L(X⊗πY, Z).

Seja u =∑n

i=1 xi ⊗ yi ∈ X ⊗ Y . Temos

∥∥∥B(u)∥∥∥ =

∥∥∥∥∥B(

n∑i=1

xi ⊗ yi

)∥∥∥∥∥ =

∥∥∥∥∥n∑i=1

B(xi ⊗ yi)

∥∥∥∥∥=

∥∥∥∥∥n∑i=1

B(xi, yi)

∥∥∥∥∥ ≤n∑i=1

‖B(xi, yi)‖ (3.12)

65


≤ ‖B‖n∑i=1

‖xi‖ ‖yi‖ .

Como (3.12) e valido para toda representacao de u, segue que∥∥∥B(u)

∥∥∥ ≤ ‖B‖ π(u) e assim

B e contınua com∥∥∥B∥∥∥ ≤ ‖B‖. Por outro lado,

‖B(x, y)‖ =∥∥∥B(x⊗ y)

∥∥∥ ≤ ∥∥∥B∥∥∥ ‖x‖ ‖y‖ .Entao, ‖B‖ ≤

∥∥∥B∥∥∥ e portanto ‖B‖ =∥∥∥B∥∥∥.

O operador linear contınuo B : X⊗πY −→ Z tem uma unica extensao para o operador

linear contınuo B : X⊗πY −→ Z com a mesma norma. Agora, considere a aplicacao

Φ: B(X × Y, Z) −→ L(X⊗πY, Z)

B 7−→ B.

A linearidade e continuidade da Φ seguem das definicoes e do que ja fizemos acima. Vamos

mostrar que Φ e sobrejetora. Seja L ∈ L(X ⊗π Y, Z) e B : X × Y −→ Z uma aplicacao

bilinear (de imediata verificacao) contınua dada por B(x, y) = L(x⊗ y). Da continuidade

do operador L segue que

‖B(x, y)‖ = ‖L(x⊗ y)‖ ≤ ‖L‖ ‖x‖ ‖y‖ ,

donde B e contınua. Pela unicidade do Teorema 2.10, temos B = L e portanto Φ e

sobrejetora. O Teorema 2.10 tambem nos da a injetividade e, consequentemente, Φ e um

isomorfismo isometrico. �

Assim, temos a seguinte identificacao canonica

B(X × Y, Z) = L(X⊗πY, Z).

Se Z for o corpo dos escalares, temos uma identificacao canonica do espaco dual do

produto tensorial projetivo com o espaco das formas bilineares contınuas

B(X × Y ) = L(X⊗πY,K) = (X⊗πY )′. (3.13)

Com a identificacao (3.13), a acao de uma forma bilinear contınua B como um funcional

66


linear contınuo em X⊗πY e dada por

B

(n∑i=1

xi ⊗ yi

)=

n∑i=1

B(xi, yi).

Essa dualidade produz uma nova formula para a norma projetiva:

π(u) = sup {|B(u)| : B ∈ B(X × Y ), ‖B‖ ≤ 1} . (3.14)

A teoria da dualidade que desenvolvemos entre os produtos tensoriais projetivos e

os espacos de formas bilineares contınuas pode ser formulada em termos de espacos de

operadores lineares contınuos.

A cada forma bilinear contınua B ∈ B(X × Y ) existe um operador linear contınuo

associado LB ∈ L(X, Y ′) definido por LB(x)(y) = B(x, y). Vamos mostrar que a aplicacao

B 7−→ LB e um isomorfismo isometrico entre os espacos B(X × Y ) e L(X, Y ′). De fato,

considere o operador

Φ: B(X × Y ) −→ L(X, Y ′)

B 7−→ LB

e sejam B1, B2 ∈ B(X, Y ) e λ ∈ K. Entao

LB1+λB2(x)(y) = (B1 + λB2)(x, y) = B1(x, y) + (λB2)(x, y)

= B1(x, y) + λB2(x, y) = LB1(x)(y) + λLB2(x)(y)

e assim tem-se

Φ(B1 + λB2) = LB1+λB2 = LB1 + λLB2 = Φ(B1) + λΦ(B2)

e portanto Φ e linear. Tomando x ∈ X, y ∈ Y , provaremos que a aplicacao Φ e uma

isometria. Note que pela continuidade de LB temos

|B(x, y)| = |LB(x)(y)| ≤ |LB(x)| ‖y‖ ≤ ‖LB‖ ‖x‖ ‖y‖ .

Logo ‖B‖ ≤ ‖LB‖. Por outro lado, pela continuidade da B temos

|LB(x)(y)| = |B(x, y)| ≤ ‖B‖ ‖x‖ ‖y‖

o que implica em ‖LB‖ ≤ ‖B‖ e portanto ‖B‖ = ‖LB‖. Daı ‖Φ(B)‖ = ‖LB‖ = ‖B‖.Alem disso, e claro que Φ e sobrejetora (basta tomar para cada S ∈ L(X;Y ′) a forma

67


bilinear contınua B(x, y) := S(x)(y)). Assim, temos a identificacao:

(X⊗πY )′ = B(X × Y ) = L(X, Y ′), (3.15)

atraves da qual a acao de um operador linear contınuo S : X −→ Y ′ como um funcional

linear em X⊗πY e dada por

S

(n∑i=1

xi ⊗ yi

)=

n∑i=1

S(xi)(yi).

Consideremos agora o operador linear contınuo RB ∈ L(Y,X ′) associado a B ∈ B(X×Y )

e definido por RB(y)(x) = B(x, y). De modo analogo, temos outra identificacao

(X⊗πY )′ = L(Y,X ′), (3.16)

onde a acao de T ∈ L(Y,X ′) em X⊗πY e dada por

T

(n∑i=1

xi ⊗ yi

)=

n∑i=1

T (yi)(xi).

Essas identificacoes, (3.15) e (3.16), produzem mais duas variacoes na formula de duali-

dade para a norma projetiva de um elemento de X⊗πY :

π(u) = sup {|S(u)| : S ∈ L(X, Y ′), ‖S‖ ≤ 1}

= sup {|T (u)| : T ∈ L(Y,X ′), ‖T‖ ≤ 1} .

3.3 A norma injetiva

Nesta secao, iremos apresentar uma nova abordagem para definir uma norma no pro-

duto tensorial de espacos normados. Estudaremos a norma injetiva, suas propriedades e

veremos dois exemplos de produtos tensoriais injetivos.

Vimos, no Capıtulo 2, que os elementos do produto tensorial podem ser vistos como

formas bilineares sobre o produto X# ⊗ Y # de duais algebricos. Sendo∑n

i=1 xi ⊗ yi

qualquer representacao do tensor u ∈ X ⊗ Y , a forma bilinear associada e dada por

Bu(ϕ, ψ) =n∑i=1

ϕ(xi)ψ(yi).

Mais ainda, a restricao de Bu ao produto X ′ × Y ′ dos espacos duais e contınua. De fato,

68


sejam (ϕ, ψ) ∈ X ′ × Y ′ e∑n

i=1 xi ⊗ yi uma representacao qualquer de u ∈ X ⊗ Y . Entao

‖Bu(ϕ, ψ)‖ =

∣∣∣∣∣n∑i=1

ϕ(xi)ψ(yi)

∣∣∣∣∣ ≤n∑i=1

|ϕ(xi)ψ(yi)|

=n∑i=1

|ϕ(xi)| |ψ(yi)| ≤ ‖ϕ‖ ‖ψ‖n∑i=1

‖xi‖ ‖yi‖ .

Portanto, temos uma imersao topologica canonica de X ⊗ Y em B(X ′ × Y ′). Definimos

a norma injetiva em X ⊗ Y como a norma induzida por essa imersao. Denotaremos a

norma injetiva de u ∈ X ⊗ Y por ε(u), ou por εX,Y (u), ou ε(u;X ⊗ Y ), se for necessario

especificar os espacos componentes no produto tensorial. Assim, temos

ε(u) = sup

{∣∣∣∣∣n∑i=1

ϕ(xi)ψ(yi)

∣∣∣∣∣ : ϕ ∈ BX′ , ψ ∈ BY ′

}= ‖Bu‖, (3.17)

onde∑n

i=1 xi ⊗ yi e uma representacao qualquer de u. Note que a boa definicao e as

propriedades da norma injetiva ε(·) seguem da norma ‖·‖ em B(X ′ × Y ′).Como visto na Secao 2.3, tambem podemos visualizar os elementos do produto ten-

sorial X ⊗ Y como operadores de X ′ em Y ou de Y ′ em X. Assim, os operadores

lineares contınuos Lu : X ′ −→ Y e Ru : Y ′ −→ X dados, respectivamente, por Lu(ϕ) =∑ni=1 ϕ(xi)yi e Ru(ψ) =

∑ni=1 xiψ(yi), associados ao tensor u, tem a mesma norma que a

forma bilinear Bu (calculo imediato). Os mesmos argumentos que utilizamos para mostrar

que Bu e contınua, nos mostra que Lu e Ru sao contınuos. Isso nos da mais duas formulas

para a norma injetiva:

ε(u) = sup

{∥∥∥∥∥n∑i=1

ϕ(xi)yi

∥∥∥∥∥ : ϕ ∈ BX′

}(3.18)

= sup

{∥∥∥∥∥n∑i=1

xiψ(yi)

∥∥∥∥∥ : ψ ∈ BY ′

}.

A menos que exista perigo de ambiguidade, utilizaremos a partir de agora o mesmo

sımbolo para o tensor u e a forma bilinear Bu, ou qualquer um dos operadores associados

a u, como apresentados anteriormente.

Observacao 3.18. As bolas unitarias fechadas BX′ e BY ′ podem ser substituıdas por

conjuntos normantes em qualquer umas das formulas (3.17) e (3.18): um subconjunto

A de BX′ e considerado um conjunto normante se tivermos ‖x‖ = sup {|ϕ(x)| : ϕ ∈ A},para todo x ∈ X. Por exemplo, a imagem pelo operador JX da bola unitaria fechada de

X e um conjunto de normante no bidual X ′′ e portanto, se u =∑n

i=1 ϕi ⊗ ψi ∈ X ′ ⊗ Y ′,

69


tem-se

ε(u) = sup

{∣∣∣∣∣n∑i=1

ϕi(x)ψi(y)

∣∣∣∣∣ : x ∈ BX , y ∈ BY

}, (3.19)

com variacao semelhante em (3.18).

Denotaremos por X ⊗ε Y o produto tensorial X ⊗ Y com a norma injetiva. O com-

pletamento, denotado por X⊗εY , e chamado o produto tensorial injetivo de X e Y.

Diferentemente do produto tensorial projetivo, nao temos uma representacao geral

do produto tensorial completo X⊗εY . No entanto, como X ⊗ε Y e um subespaco de

B(X ′ × Y ′), o seu completamento X⊗εY e simplesmente o seu fecho em B(X ′ × Y ′), ou

equivalentemente, em L(X ′, Y ) ou em L(Y ′, X). No caso especial em que um dos espacos

componentes e dual, por exemplo X, tem-se que X ′⊗εY e um subespaco de L(X, Y ). Os

operadores de X em Y que surgem dessa maneira, com limites na norma do operador de

sequencias de operadores de posto finito, sao conhecidos com operadores aproximados.

Resumimos algumas imersoes uteis do produto tensorial injetivo em espacos de formas

bilineares ou operadores lineares contınuos, algumas delas considerando espacos duais:

X⊗εY ⊂ B(X ′ × Y ′), L(X ′, Y ), ou L(Y ′, X)

X ′⊗εY ⊂ B(X × Y ′), L(Y ′, X ′), ou L(X, Y ) (3.20)

X ′⊗εY ′ ⊂ B(X × Y ), L(X, Y ′), ou L(Y,X ′).

Veremos na proxima proposicao algumas das propriedades elementares da norma in-

jetiva.

Proposicao 3.19. Sejam X e Y espacos de Banach.

(a) ε(u) ≤ π(u), para todo u ∈ X ⊗ Y .

(b) ε(x⊗ y) = ‖x‖ ‖y‖, para todos x ∈ Y , y ∈ Y .

(c) Se ϕ ∈ X ′, ψ ∈ Y ′, entao ϕ⊗ψ e um funcional linear contınuo em X⊗εY e ‖ϕ⊗ ψ‖ =

‖ϕ‖ ‖ψ‖.

Demonstracao: (a) Seja∑n

i=1 xi⊗yi uma representacao qualquer do tensor u ∈ X⊗Y .

Para todo ϕ ∈ X ′, temos∥∥∥∥∥n∑i=1

ϕ(xi)yi

∥∥∥∥∥ ≤n∑i=1

‖ϕ(xi)yi‖ =n∑i=1

|ϕ(xi)| ‖yi‖ ≤ ‖ϕ‖n∑i=1

‖xi‖ ‖yi‖

e portanto ε(u) ≤ π(u).

70


(b) Seja x⊗ y ∈ X ⊗ Y um tensor elementar. Entao

ε(x⊗ y) = supϕ∈BX′

‖ϕ(x)y‖ = supϕ∈BX′

|ϕ(x)| ‖y‖ = ‖x‖ ‖y‖ .

(c) Sejam ϕ ∈ X ′ e ψ ∈ Y ′ funcionais lineares. Entao existe uma unica aplicacao linear

ϕ⊗ ψ : X ⊗ Y −→ K tal que ϕ⊗ ψ(x⊗ y) = ϕ(x)ψ(y), para todos x ∈ X, y ∈ Y . Daı,

|ϕ⊗ ψ(u)| =

∣∣∣∣∣n∑i=1

ϕ(xi)ψ(yi)

∣∣∣∣∣= ‖ϕ‖ ‖ψ‖

∣∣∣∣∣n∑i=1

ϕ

‖ϕ‖(xi)

ψ

‖ψ‖(yi)

∣∣∣∣∣≤ ‖ϕ‖ ‖ψ‖ sup

ϕ′∈BX′ , ψ′∈BY ′

∣∣∣∣∣n∑i=1

ϕ′(xi)ψ′(yi)

∣∣∣∣∣= ‖ϕ‖ ‖ψ‖ εX,Y (u)

e segue que ‖ϕ⊗ ψ‖ ≤ ‖ϕ‖ ‖ψ‖ e que ϕ⊗ ψ e contınuo. Por outro lado, temos

‖ϕ‖ ‖ψ‖ = supx∈BX

|ϕ(x)| supy∈BY

|ψ(y)|

= supx∈BX , y∈BY

|ϕ(x)ψ(y)|

≤ supε(x⊗y)≤1

|ϕ(x)ψ(y)|

= ‖ϕ⊗ ψ‖

e assim ‖ϕ⊗ ψ‖ = ‖ϕ‖ ‖ψ‖. �

Proposicao 3.20. O produto tensorial injetivo respeita os subespacos, de modo que, se

X e um subespaco fechado de W e Y e um subespaco fechado de Z, entao X⊗εY e um

subespaco fechado de W ⊗εZ.

Demonstracao: Seja∑n

i=1 xi⊗yi uma representacao de u ∈ X⊗Y . Usando o Teorema

de Hanh-Banach, para todo ϕ ∈ X ′, temos∥∥∥∥∥n∑i=1

ϕ(xi)yi

∥∥∥∥∥Y

=

∥∥∥∥∥n∑i=1

ϕ(xi)yi

∥∥∥∥∥Z

= supψ∈BZ′

∣∣∣∣∣ψ(

n∑i=1

ϕ(xi)yi

)∣∣∣∣∣= sup

ψ∈BZ′

∣∣∣∣∣n∑i=1

ϕ(xi)ψ(yi)

∣∣∣∣∣ = supψ∈BZ′

∣∣∣∣∣n∑i=1

ϕ(xiψ(yi))

∣∣∣∣∣= sup

ψ∈BZ′

∣∣∣∣∣ϕ(

n∑i=1

ψ(yi)xi

)∣∣∣∣∣ .71


Portanto,

εX,Y (u) = supϕ∈BX′

∥∥∥∥∥n∑i=1

ϕ(xi)yi

∥∥∥∥∥ = supϕ∈BX′

supψ∈BZ′

∣∣∣∣∣ϕ(

n∑i=1

ψ(yi)xi

)∣∣∣∣∣= sup

ψ∈BZ′supϕ∈BX′

∣∣∣∣∣ϕ(

n∑i=1

ψ(yi)xi

)∣∣∣∣∣ = supψ∈BZ′

∥∥∥∥∥n∑i=1

ψ(yi)xi

∥∥∥∥∥X

= supψ∈BZ′

∥∥∥∥∥n∑i=1

ψ(yi)xi

∥∥∥∥∥W

= εW,Z(u).

�

Observacao 3.21. Geralmente, o produto tensorial injetivo nao respeita quociente; se X

e um espaco quociente de W , entao X⊗εY nao e, necessariamente, um espaco quociente

de W ⊗εY (veja, por exemplo, [5, Proposition 4.3 (3)]).

Assim como na norma projetiva, veremos que, na norma injetiva, o produto tensorial

entre operadores lineares contınuos tambem e um operador linear contınuo.

Proposicao 3.22. Sejam S ∈ L(X,W ) e T ∈ L(Y, Z) operadores lineares contınuos.

Entao existe um unico operador linear contınuo S⊗ε T : X⊗εY −→ W ⊗εZ tal que (S⊗εT )(x⊗ y) = S(x)⊗ T (y), para todo x ∈ X, y ∈ Y . Alem disso, ‖S ⊗ε T‖ = ‖S‖ ‖T‖.

Demonstracao: Sejam S : X −→ W e T : Y −→ Z operadores lineares contınuos.

Entao, ja sabemos, existe um unico operador linear S ⊗ T : X ⊗ Y −→ W ⊗ Z tal que

(S⊗T )(x⊗y) = S(x)⊗T (y), para todo x ∈ X, y ∈ Y . Se∑n

i=1 xi⊗yi e uma representacao

do tensor u ∈ X ⊗ Y , entao

εW,Z(S ⊗ T (u)) = sup

{∣∣∣∣∣n∑i=1

ϕ(S(xi))ψ(T (yi))

∣∣∣∣∣ : ϕ ∈ BW ′ , ψ ∈ BZ′

}

= sup

{∣∣∣∣∣n∑i=1

S ′(ϕ)(xi)T′(ψ)(yi)

∣∣∣∣∣ : ϕ ∈ BW ′ , ψ ∈ BZ′

}

= ‖S ′‖ ‖T ′‖ sup

{∣∣∣∣∣n∑i=1

S ′(ϕ)

‖S ′‖(xi)

T ′(ψ)

‖T ′‖(yi)

∣∣∣∣∣ : ϕ ∈ BW ′ , ψ ∈ BZ′

}

≤ ‖S ′‖ ‖T ′‖ sup

{∣∣∣∣∣n∑i=1

γ(xi)σ(yi)

∣∣∣∣∣ : γ ∈ BX′ , σ ∈ BY ′

}= ‖S ′‖ ‖T ′‖ εX,Y (u) = ‖S‖ ‖T‖ εX,Y (u).

Portanto, S ⊗ T e contınuo para a norma injetiva e ‖S ⊗ T‖ ≤ ‖S‖ ‖T‖. Por outro lado,

para qualquer ε > 0, podemos escolher x ∈ BX e y ∈ BY tais que ‖S(x)‖ ≥ (1− ε) ‖S‖ e

72


‖T (y)‖ ≥ (1− ε) ‖T‖. Entao ε(x⊗ y) = ‖x‖ ‖y‖ ≤ 1 e

ε(S ⊗ T (x⊗ y)) = ε(S(x)⊗ T (y))

= ‖S(x)‖ ‖T (y)‖

≥ (1− ε) ‖S‖ (1− ε) ‖T‖

= (1− ε)2 ‖S‖ ‖T‖ .

Como ε > 0 e arbitrario, segue que ‖S ⊗ T‖ ≥ ‖S‖ ‖T‖ e portanto ‖S ⊗ T‖ = ‖S‖ ‖T‖.Agora, o operador S⊗T tem uma unica extensao, que definimos por S⊗εT , com a mesma

norma ao produto tensorial completo, o que encerra a demonstracao. �

A seguir, veremos dois exemplos do produto tensorial injetivo: o primeiro em relacao

ao espaco c0(X) e o segundo em relacao ao espaco `u1(X).

Exemplo 3.23. O produto tensorial injetivo c0⊗εX.

Neste exemplo, vamos mostrar que o produto tensorial injetivo c0⊗εX pode ser iden-

tificado com o espaco (de Banach) c0(X), das sequencias em X que convergem para zero,

munido da norma ‖(xk)∞k=1‖∞ = supk∈N ‖xk‖.Considere a aplicacao canonica J : c0⊗X −→ c0(X) que leva o tensor u =

∑ni=1 ai⊗xi

na sequencia de valor vetorial em X, J(u) = (∑n

i=1 aikxi)∞k=1, onde ai = (aik)

∞k=1 ∈ c0.

Mostraremos que J(u) e um elemento de c0(X). De fato,∥∥∥∥∥n∑i=1

aikxi

∥∥∥∥∥ ≤n∑i=1

‖aikxi‖ =n∑i=1

|aik| ‖xi‖ ≤ max1≤i≤n

|aik|n∑i=1

‖xi‖ −→ 0,

quando k −→ ∞. Alem disso, nao e difıcil verificar que a aplicacao J e linear. Agora,

vamos calcular a norma de J(u). Usando a dualidade entre c0 e `1 e o Teorema de

Hanh-Banach, temos

‖J(u)‖∞ = supk∈N

∥∥∥∥∥n∑i=1

aikxi

∥∥∥∥∥ = supk∈N

supϕ∈BX′

∣∣∣∣∣ϕ(

n∑i=1

aikxi

)∣∣∣∣∣= sup

k∈Nsupϕ∈BX′

∣∣∣∣∣n∑i=1

aikϕ(xi)

∣∣∣∣∣ = supϕ∈BX′

supk∈N

∣∣∣∣∣n∑i=1

aikϕ(xi)

∣∣∣∣∣= sup

ϕ∈BX′sup

b=(bk)∞k=1∈B`1

∣∣∣∣∣∞∑k=1

bk

n∑i=1

aikϕ(xi)

∣∣∣∣∣= sup

ϕ∈BX′supb∈B`1

∣∣∣∣∣∞∑k=1

n∑i=1

bkaikϕ(xi)

∣∣∣∣∣= sup

b∈B`1supϕ∈BX′

∣∣∣∣∣n∑i=1

b(ai)ϕ(xi)

∣∣∣∣∣ = ε(u),

73


onde na ultima igualdade estamos usando (3.17). Segue que J e uma isometria de c0⊗εXem c0(X) e, portanto, contınua. Assim, J se estende a uma isometria de c0⊗εX em c0(X).

Como J(c0 ⊗X) e denso em c0(X) (todo (bj)∞j=1 ∈ c0(X) e aproximado pela imagem por

J da sequencia uk =∑k

j=1 ej ⊗ bj), segue que J e um isomorfismo isometrico.

Exemplo 3.24. O produto tensorial injetivo `1⊗εX.

Mostraremos nesse exemplo que ù1(X) e isometricamente isomorfo ao produto tensorial

injetivo `1⊗εX. Iniciaremos com a aplicacao canonica J : `1 ⊗ X −→ ù1(X), que aplica

o tensor u =∑n

i=1 ai ⊗ xi, com ai = (aik)∞k=1, na sequencia J(u) = (

∑ni=1 aikxi)

∞k=1. Note

que a boa definicao e a linearidade de J parte do Exemplo 3.14. Calculando a norma de

J(u), temos

‖J(u)‖1,w = supϕ∈BX′

∞∑k=1

∣∣∣∣∣ϕ(

n∑i=1

aikxi

)∣∣∣∣∣= sup

ϕ∈BX′

∞∑k=1

∣∣∣∣∣n∑i=1

aikϕ(xi)

∣∣∣∣∣= sup

ϕ∈BX′sup

b=(bk)∞k=1∈B`∞

∣∣∣∣∣∞∑k=1

bk

(n∑i=1

aikϕ(xi)

)∣∣∣∣∣= sup

ϕ∈BX′supb∈B`∞

∣∣∣∣∣∞∑k=1

n∑i=1

bkaikϕ(xi)

∣∣∣∣∣= sup

ϕ∈BX′supb∈B`∞

∣∣∣∣∣n∑i=1

b(ai)ϕ(xi)

∣∣∣∣∣ = ε(u).

Portanto, J e uma isometria e se estende isometricamente a uma aplicacao entre `1⊗εX e

ù1(X). Como as sequencias finitas sao densas em ù1(X) e como J(`1 ⊗X) contem todas

essas sequencias, segue que J e um isomorfismo isometrico.

74

Capıtulo 4

Aplicacoes

O proposito deste capıtulo e apresentar duas aplicacoes do produto tensorial entre

espacos de Banach. A primeira aplicacao tem relacao com a teoria de ideais e multi-ideais

de operadores, mais especificamente com o metodo de composicao que gera multi-ideais a

partir de ideais de operadores lineares. A segunda aplicacao apresenta uma caracterizacao

dos operadores absolutamente somantes a partir da continuidade de um operador definido

entre espacos produto tensorial.

As principais referencias a teoria usada no capıtulo estao distribuıdas, por conveniencia,

ao longo do corpo do texto. Gostarıamos de deixar claro que, de acordo com nossos ob-

jetivos, nao faremos um estudo detalhado da teoria de ideais e nem sobre operadores

absolutamente somantes. Tambem nao apresentaremos exemplos ou representantes dos

objetos envolvidos. Apenas vamos usar a teoria como background, tomando por foco

principal, de fato, as nossas aplicacoes do produto tensorial a essa teoria.

4.1 Multi-ideais de composicao

Inicialmente, apresentaremos algumas definicoes da teoria dos ideais de operadores

lineares, da teoria de multi-ideais de operadores e tambem o metodo de composicao que

gera multi-ideais a partir de ideais de operadores lineares. Nesta secao, utilizamos como

principais referencias os trabalhos [1], [5], [14] e [20].

Definicao 4.1. Um ideal de operadores I e uma subclasse da classe L de todos os opera-

dores lineares contınuos entre espacos de Banach tal que, para todos espacos de Banach

E e F , suas componentes I(E,F ) := L(E,F ) ∩ I satisfazem as seguintes propriedades:

(i) I(E,F ) e um subespaco vetorial de L(E,F ) que contem os operadores lineares de

posto finito.

75

4. Aplicacoes

(ii) A propriedade de ideal: se T1 ∈ L(F0, F ), T2 ∈ I(E0, F0) e T3 ∈ L(E,E0), entao a

composicao T1 ◦ T2 ◦ T3 pertence a I(E,F ).

Embora ja tenhamos trabalhado com aplicacoes bilineares, isto e 2-lineares, vamos

definir formalmente o conceito de aplicacao n-linear.

Definicao 4.2. Sejam E1, . . . , En e F espacos vetoriais sobre o corpo dos escalares K com

n ∈ N. Uma aplicacao A : E1 × · · · × En −→ F e dita n-linear ou multilinear se e linear

em cada uma de suas variaveis, isto e,

A(x1, . . . , λxi + x′i, . . . , xn) = λA(x1, . . . , xi, . . . , xn) + A(x1, . . . , x′i, . . . , xn),

para todos xi, x′i ∈ Ei, com i = 1, . . . , n e λ ∈ K.

Os resultados que envolvem as aplicacoes bilineares que estudamos ate o presente

momento (continuidade, caracterizacoes, etc) sao evidentemente validos, com as esperadas

adaptacoes, para as aplicacoes multilineares em geral, sejam eles resultados de Analise

Funcional ou relativos ao produto tensorial de espacos vetoriais. Dois exemplos do que

estamos falando:

• Uma aplicacao n-linear T : E1 × · · · × En → F e contınua se, e somente se, existe uma

constante c > 0 tal que

‖T (x1, . . . , xn)‖ ≤ cn∏i=1

‖xi‖,

para todos xi ∈ Ei, i = 1, . . . , n.

• Sejam E1, . . . , En espacos vetoriais. Definimos o produto tensorial E1⊗· · ·⊗En, de forma

semelhante ao produto tensorial de dois espacos, como um subespaco de funcionais lineares

sobre B(E1 × · · · × En) da seguinte maneira: dados xi ∈ Ei, i = 1, . . . , n, denotaremos

por x1 ⊗ · · · ⊗ xn o funcional dado pela avaliacao de uma forma n-linear A no ponto

(x1, . . . , xn) ∈ E1 × · · · × En, isto e,

x1 ⊗ · · · ⊗ xn : B(E1 × · · · × En) −→ K

A 7−→ (x1 ⊗ · · · ⊗ xn)(A) = A(x1, . . . , xn).

Antes de definirmos multi-ideais de operadores, precisamos definir a classe dos opera-

dores de tipo finito.

Definicao 4.3. Seja A ∈ L(E1, . . . , En;F ). Dizemos que A e de tipo finito se existem

k ∈ N, ϕij ∈ E ′i e bj ∈ F , com j = 1, . . . , k e i = 1, . . . , n, tais que

A(x1, . . . , xn) =k∑j=1

ϕ1j(x1) · · ·ϕnj (xn)bj,

76

4. Aplicacoes

para todo (x1, . . . , xn) ∈ E1 × · · · × En.

O subespaco vetorial de L(E1, . . . , En;F ) formados pelos operadores de tipo finito sera

denotado por Lf (E1, . . . , En;F ).

Definicao 4.4. Um ideal de aplicacoes multilineares ou multi-ideal e uma subclasse Mda classe de todas as aplicacoes multilineares contınuas entre espacos de Banach sobre

K tal que, para todos n ∈ N e espacos de Banach E1, . . . , En e F , suas componentes

M(E1, . . . , En;F ) := L(E1, . . . , En;F ) ∩M satisfazem:

(i) M(E1, . . . , En;F ) e um subespaco vetorial de L(E1, . . . , En;F ) que contem as aplicacoes

n-lineares contınuas de tipo finito.

(ii) A propriedade de ideal: se A ∈ M(E1, . . . , En;F ), Tj ∈ L(Gj;Ej) com j = 1, . . . , n

e t ∈ L(F ;H), entao t ◦ A ◦ (T1, . . . , Tn) ∈M(G1, . . . , Gn;H).

A definicao que apresentaremos a seguir trata de um procedimento, chamado ideais

de composicao, para gerar multi-ideais a partir de ideais de operadores lineares.

Definicao 4.5. Seja I um ideal de operadores. Uma aplicacao n-linear contınua A ∈L(E1, · · · , En;F ) pertence a I ◦ L, nesse caso escrevemos A ∈ I ◦ L(E1, · · · , En;F ), se

existe um espaco de Banach G, uma aplicacao n-linear contınua B ∈ L(E1, · · · , En;G) e

um operador linear T ∈ I(G;F ) tais que A = T ◦B.

De fato, observando-se o conjunto I ◦L, conclui-se que o procedimento acima gera um

multi-ideal. E o que afirma a proposicao a seguir, cuja demonstracao pode ser encontrada

em [20, Proposicao 4.24].

Proposicao 4.6. Seja I um ideal de operadores lineares. Entao I ◦ L e um multi-ideal.

Agora apresentamos, de fato, a nossa aplicacao. Dada uma aplicacao n-linear contınua

A, nem sempre e uma tarefa facil verificar pela definicao se ela pertence ou nao ao multi-

ideal I ◦ L. Essa tarefa envolve apresentar uma fatoracao para A, o que pode ser penoso

de se obter. O proximo resultado mostra um metodo capaz de verificar de forma indireta,

e geralmente mais simples, se uma aplicacao multilinear A pertence ou nao ao multi-ideal

I ◦ L, fazendo o uso do produto tensorial projetivo.

Proposicao 4.7. ([1, Proposition 3.2 (a)]). Sejam I um ideal de operadores lineares,

A ∈ L(E1, · · · , En;F ) uma aplicacao n-linear contınua e AL a linearizacao de A com

respeito ao produto tensorial projetivo. Sao equivalentes:

(a) A ∈ I ◦ L(E1, . . . , En;F ).

77

4. Aplicacoes

(b) AL ∈ I(E1⊗π · · · ⊗πEn;F ).

Demonstracao: (a) ⇒ (b) Por hipotese, temos que A ∈ I ◦ L(E1, . . . , En;F ). Entao

existem um espaco de Banach G, uma aplicacao B ∈ L(E1, . . . , En;G) e um operador

T ∈ I(G;F ) tais que A = T ◦ B. Considerando a linearizacao de B, denotada por BL,

note que, para todos x1 ∈ E1, . . . , xn ∈ En, temos

(T ◦BL)(x1 ⊗ · · · ⊗ xn) = T (BL(x1 ⊗ · · · ⊗ xn))

= T (B(x1, . . . , xn))

= A(x1, . . . , xn)

= AL(x1 ⊗ · · · ⊗ xn).

Como (T ◦BL) e AL sao lineares, entao (T ◦BL)(u) = AL(u) para todo u ∈ E1⊗π · · ·⊗πEn.

Levando em consideracao que (T◦BL) e AL sao operadores lineares contınuos, da unicidade

da extensao ao fecho, segue que estes operadores coincidem tambem em E1⊗π · · · ⊗πEn.

Como T ∈ I, a propriedade de ideal nos da AL ∈ I(E1⊗π · · · ⊗πEn;F ).

(b)⇒ (a) Seja θ : E1×· · ·×En −→ E1⊗π · · · ⊗πEn a aplicacao n-linear (contınua) universal

associada ao produto tensorial. Temos que AL ∈ I(E1⊗π · · · ⊗πEn;F ) por hipotese e que

A = AL ◦ θ. Portanto, A ∈ I ◦ L(E1, . . . , En;F ). �

4.2 Operadores absolutamente p-somantes

O objetivo desta secao e apresentar uma caracterizacao, utilizando produtos tensoriais,

para os operadores absolutamente p-somantes. Inicialmente, faremos uma breve aborda-

gem de conceitos e resultados necessarios a demonstracao do nosso resultado principal.

Alguns dos resultados preliminares serao apenas enunciados e para sua demonstracao e

aprofundamento indicaremos as devidas referencias. Os livros [5] e [6] foram as principais

bibliografias utilizadas na construcao desse texto.

Comecemos apresentando a classe dos operadores absolutamente somantes e alguns

resultados relacionados que serao necessarios ao nosso intento.

Sejam E, F espacos de Banach e T ∈ L(E,F ) um operador linear contınuo. Dizemos

que T e um operador absolutamente p-somante (para 1 ≤ p ≤ ∞) se existe uma constante

c ≥ 0 tal que, para toda sequencia finita (xj)nj=1 em E, tem-se

∥∥(T (xj))nj=1

∥∥p

=

(n∑j=1

‖T (xj)‖p) 1

p

≤ c∥∥(xj)

nj=1

∥∥p,w

= c supϕ∈BE′

(n∑j=1

|ϕ(xj)|p) 1

p

. (4.1)

Denotaremos por Πp(E,F ) a classe de todos os operadores absolutamente p-somantes de

78

4. Aplicacoes

E em F e definiremos πp(T ) pelo ınfimo das constantes c que satisfazem a desigualdade

(4.1). Em sımbolos, temos

πp(T ) = inf {c ≥ 0: (4.1) e valida, para todos x1, . . . , xn ∈ E e n ∈ N} .

Nao e difıcil verificar que πp(·) define uma norma para T ∈ Πp(E,F ) e que a desigual-

dade (4.1) da definicao dos operadores absolutamente p-somantes tambem e valida para

sequencias infinitas: T e um operador absolutamente p-somante se existe uma constante

c ≥ 0 tal que, se (xj)∞j=1 ∈ `wp (E), entao

(∞∑j=1

‖T (xj)‖p) 1

p

≤ c supϕ∈BE′

(∞∑j=1

|ϕ(xj)|p) 1

p

.

Agora, se T : E −→ F e um operador linear contınuo entre os espacos de Banach E

e F , a correspondencia (xn)∞n=1 7−→ (T (xn))∞n=1 induz os operadores lineares contınuos

T : `wp (E) −→ `wp (F ) e T : `p(E) −→ `p(F ). Na proposicao a seguir, veremos que no

caso dos operadores absolutamente somantes essa correspondencia tambem produz um

operador linear contınuo de `wp (E) em `p(E). A demonstracao desse resultado pode ser

encontrada em [6, Proposition 2.1].

Proposicao 4.8. Seja T ∈ L(E,F ) um operador linear contınuo. T e um operador

absolutamente p-somante se, e somente se, o operador induzido T : `wp (E) → `p(F ) esta

bem definido, e linear e contınuo.

Vale salientar que o fato de ùp(E)1↪→ `wp (E), alem de sua definicao, torna possıvel

uma outra caracterizacao aos operadores absolutamente p-somantes: T e um operador

absolutamente p-somante se, e somente se, o operador induzido T : ùp(E) → `p(F ) esta

bem definido, e linear e contınuo (ver [5, Chapter I, Section 11.1]).

Como visto acima, existem diversos tipos de caracterizacoes para operadores absoluta-

mente somantes, cada uma delas, certamente, util em determinados contextos e aplicacoes.

Em nossa aplicacao, veremos que os operadores absolutamente p-somantes tambem po-

dem ser caracterizados pela continuidade de um operador definido sobre espacos produto

tensorial.

Antes disso, precisamos apresentar uma nova norma conveniente ao produto tensorial

`p⊗E, sendo E um espaco de Banach, e estudar uma identificacao de ùp(E) com o espaco

`p⊗εE.

Seja E um espaco de Banach e considere a aplicacao J : `p ⊗ E −→ `p(E) dada por

J (∑n

i=1 ai ⊗ xi) =∑n

i=1(aikxi)∞k=1, onde ai = (aik)

∞k=1, para todo i = 1, . . . , n. De modo

analogo ao Exemplo 3.14, prova-se que a aplicacao J esta bem definida, e linear e injetiva.

79

4. Aplicacoes

Assim, a definicao

∆p(u) = ∆p

(n∑i=1

ai ⊗ xi

):=

∥∥∥∥∥(

n∑i=1

aikxi

)∞k=1

∥∥∥∥∥p

, (4.2)

para todo 1 ≤ p <∞ e todo u =∑n

i=1 ai⊗xi ∈ `p⊗E, sugere uma norma para o produto

tensorial `p ⊗ E. Observe que (4.2) satisfaz as condicoes de norma, pois coincide com

a norma ‖·‖p em `p(E). Note tambem que o ultimo termo da expressao (4.2) pode ser

reescrita como ‖∑n

i=1(aikxi)∞k=1‖p. De fato,

n∑i=1

(aikxi)∞k=1 =

n∑i=1

(ai1xi, ai2xi, . . .)

= (a11x1, a12x1, . . .) + (a21x2, a22x2, . . .) + . . .+ (an1xn, an2xn, . . .)

= ((a11x1 + a21x2 + . . .+ an1xn), (a12x1 + a22x2 + . . .+ an2xn), . . .)

=

(n∑i=1

aikxi

)∞k=1

.

Denotaremos por `p⊗∆p E o produto tensorial `p⊗E munido da norma ∆p(·) e o seu

completamento por `p⊗∆pE.

Proposicao 4.9. Seja E um espaco de Banach. Entao

(a) ∆1(u) = π(u) para todo u ∈ `1 ⊗ E.

(b) ε(u) ≤ ∆p(u) ≤ π(u) para todo u ∈ `p ⊗ E.

Demonstracao: O item (a) segue do Exemplo 3.14.

(b) Seja u =∑n

i=1 ai ⊗ xi ∈ `p ⊗ E. Pela definicao da norma ∆p(·) temos

∆p

(n∑i=1

ai ⊗ xi

)=

∥∥∥∥∥n∑i=1

(aikxi)∞k=1

∥∥∥∥∥p

≤n∑i=1

‖(aikxi)∞k=1‖p

=n∑i=1

(∞∑k=1

‖aikxi‖p) 1

p

=n∑i=1

(∞∑k=1

|aik|p ‖xi‖p) 1

p

(4.3)

=n∑i=1

‖xi‖

(∞∑k=1

|aik|p) 1

p

=n∑i=1

‖xi‖ ‖(aik)∞k=1‖p .

Como (4.3) e valida para qualquer representacao de u ∈ `p ⊗ E, entao ∆p(·) ≤ π(·).Agora, tome b = (bk)

∞k=1 ∈ B`p′

e ϕ ∈ BE′ . Daı, dado o tensor u =∑n

i=1 ai⊗xi ∈ `p⊗E,

80

4. Aplicacoes

temos ∣∣∣∣∣n∑i=1

b((aik)∞k=1)ϕ(xi)

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣n∑i=1

∞∑k=1

bkaikϕ(xi)

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∞∑k=1

n∑i=1

bkaikϕ(xi)

∣∣∣∣∣≤

∞∑k=1

∣∣∣∣∣n∑i=1

bkaikϕ(xi)

∣∣∣∣∣ =∞∑k=1

∣∣∣∣∣ϕ(

n∑i=1

bkaikxi

)∣∣∣∣∣≤

∞∑k=1

‖ϕ‖

∥∥∥∥∥n∑i=1

bkaikxi

∥∥∥∥∥ = ‖ϕ‖∞∑k=1

∥∥∥∥∥n∑i=1

bkaikxi

∥∥∥∥∥ (4.4)

= ‖ϕ‖∞∑k=1

∥∥∥∥∥bk(

n∑i=1

aikxi

)∥∥∥∥∥≤ ‖ϕ‖

(∞∑k=1

|bk|p′

) 1p′

·

(∞∑k=1

∥∥∥∥∥n∑i=1

aikxi

∥∥∥∥∥p) 1

p

= ‖ϕ‖ ‖(bk)∞k=1‖p′

∥∥∥∥∥n∑i=1

(aikxi)∞k=1

∥∥∥∥∥p

.

Tomando o supremo em (4.4) com b ∈ B`p′e ϕ ∈ BE′ , segue que

ε

(n∑i=1

aik ⊗ xi

)= sup

b∈B`p′ , ϕ∈BE′

∣∣∣∣∣n∑i=1

b((aik)∞k=1)ϕ(xi)

∣∣∣∣∣ ≤ ∆p

(n∑i=1

aik ⊗ xi

).

Portanto, ε(u) ≤ ∆p(u) ≤ π(u) para todo u ∈ `p ⊗ E. �

No Capıtulo 3, vimos que o espaco `u1(E) e isometricamente isomorfo ao produto

tensorial injetivo `1⊗εE. Agora, mostraremos que esse isomorfismo isometrico pode ser

generalizado para 1 < p < ∞. Para a demonstracao desse resultado precisaremos de

algumas caracterizacoes do dual de um espaco de Banach com a propriedade de apro-

ximacao. Primeiro, vejamos a definicao de um espaco de Banach com a propriedade de

aproximacao:

Definicao 4.10. Um espaco de Banach E tem a propriedade de aproximacao se para

todo compacto K ⊂ E e ε > 0, existe um operador de posto finito T : E −→ E tal que

‖x− T (x)‖ ≤ ε, para todo x ∈ K.

Definicao 4.11. Um operador T ∈ L(E,F ) e chamado aproximavel se existem T1, T2, . . . ∈F(E,F ) com limn ‖T − Tn‖ = 0.

Segue nas duas proposicoes seguintes, caracterizacoes de um espaco cujo dual possui

propriedade de aproximacao. As demonstracoes, que fogem ao escopo de nosso trabalho,

podem ser vistas, respectivamente, em [17, Proposition 4.12 (b)] e em [5, Proposition 5.3

(2)].

81

4. Aplicacoes

Proposicao 4.12. Seja E um espacos de Banach. O dual E ′ de E tem a propriedade de

aproximacao se, e somente se, para todo espaco de Banach F , todo operador compacto

de E em F e aproximavel.

Proposicao 4.13. Sejam E, F espacos de Banach. O dual E ′ de E tem a propriedade

de aproximacao se, e somente se, E ′⊗εF = K(E,F ), para todo F .

Agora, seja x = (xj)∞j=1 ∈ `wp (E) e considere o seguinte operador

Tx : E ′ −→ `p

ϕ 7−→ Tx(ϕ) := (ϕ(xj))∞j=1.

Note que a boa definicao de Tx segue da definicao de `wp (E). Alem disso, nao e difıcil

provar que Tx e linear e, aplicando o Teorema do Grafico Fechado, que e contınuo. Daı,

temos

‖Tx‖ = supϕ∈BE′

∥∥(ϕ(xj))∞j=1

∥∥`p

= supϕ∈BE′

(∞∑j=1

|ϕ(xj)|p) 1

p

=∥∥(xj)

∞j=1

∥∥p,w

.

Tambem sao fatos que o operador Tx pode ser identificado como o tensor∑∞

n=1 en ⊗ xn,

onde en ∈ `p (ver [5, Chapter I, 8.1]), e segue que, na verdade, `wp (E)1= L(`p∗ ;E).

Proposicao 4.14. Seja E um espaco de Banach. Entao a relacao K(`p∗ , E) = ùp(E) =

`p⊗εE ocorre isometricamente.

Demonstracao: Considere o operador S :=∑∞

n=1 en⊗ xn. Como `p′ tem a propriedade

de aproximacao, pela Proposicao 4.12, S e aproximavel. Com isso, a relacao entre S e a

norma ‖(xn)∞n=1‖p,w nos diz que S e compacto se∥∥(xj)

∞j=N

∥∥p,w−→ 0, quando N → ∞,

e entao ùp(E) ↪→ K(`p∗ , E). Alem disso, pela Proposicao 4.13, temos que K(`p∗ , E) =

`p⊗εE. Portanto,

`p ⊗ε E ↪→ ùp(E) ↪→ K(`p∗ , E) = `p⊗εE,

onde a primeira inclusao segue do que acabamos de comentar antes da proposicao e do

fato de S ser aproximavel. Como ùp(E) e K(`p∗ , E) sao espacos de Banach e `p⊗εE e o

completamento de `p ⊗ε E segue que K(`p∗ , E) = ùp(E) = `p⊗εE. �

A proposicao anterior estabelece uma nova caracterizacao para a norma ε(·) no produto

tensorial injetivo `p⊗εE. Como `p⊗εE1= ùp(E), para u =

∑nj=1 aj ⊗ xj ∈ `p⊗εE, temos

ε(u) := ε

(n∑i=1

ai ⊗ xi

):=

∥∥∥∥∥n∑i=1

(aikxi)∞k=1

∥∥∥∥∥p,w

. (4.5)

82

4. Aplicacoes

Agora, estamos em condicoes de apresentar nossa ultima aplicacao:

Teorema 4.15. Sejam E e F espacos de Banach. Para cada operador linear contınuo

T ∈ L(E,F ) e 1 ≤ p <∞ as seguintes afirmacoes sao equivalentes:

(a) T ∈ Πp(E,F ).

(b) id`p ⊗ T : `p ⊗ε E −→ `p ⊗∆p F e contınuo.

(c) Existe um c ≥ 0 tal que, para todo n ∈ N, tem-se

∥∥id`p ⊗ T : `np ⊗ε E −→ `np ⊗∆p F∥∥ ≤ c.

Demonstracao: (a) ⇒ (b) Sejam id`p o operador identidade em `p e T ∈ L(E,F ).

Ja sabemos que o operador produto tensorial id`p ⊗ T : `p ⊗ E −→ `p ⊗ F , dado por

id`p ⊗ T (∑n

i=1 ai ⊗ xi) =∑n

i=1 ai ⊗ T (xi), para todos ai ∈ `p e xi ∈ E, esta bem definido

e e linear. Como, por hipotese, T ∈ Πp(E,F ), entao existe um c ≥ 0 tal que, para toda

sequencia finita (xj)nj=1 em E, tem-se

(n∑j=1

‖T (xj)‖p) 1

p

≤ c supϕ∈BE′

(n∑j=1

|ϕ(xj)|p) 1

p

. (4.6)

Usando as identificacoes (4.2) e (4.5) das normas ∆p(·) e ε(·), respectivamente, de (4.6)

temos

∆p

(n∑j=1

ej ⊗ T (xj)

)≤ c · ε

(n∑j=1

ej ⊗ xj

), (4.7)

para todo∑n

i=1 ei ⊗ xi ∈ `p ⊗ε E. Portanto, id`p ⊗ T e contınuo.

(b) ⇒ (c) Segue da desigualdade (4.7).

(c) ⇒ (a) Seja u =∑n

i=1 ei ⊗ xi ∈ `np ⊗ε E − {0} e v =

∑ni=1 ei ⊗ xi

ε (∑n

i=1 ei ⊗ xi)∈ B`np⊗εE. Temos

∆p(id`p ⊗ T (v)) = ∆p

(id`p ⊗ T

( ∑ni=1 ei ⊗ xi

ε (∑n

i=1 ei ⊗ xi)

))=

∆p (∑n

i=1 ei ⊗ T (xi))

ε (∑n

i=1 ei ⊗ xi)≤ c.

Daı, ∆p (∑n

i=1 ei ⊗ T (xi)) ≤ c · ε (∑n

i=1 ei ⊗ xi), e portanto, pelas identificacoes (4.2) e

(4.5) temos que T ∈ Πp(E,F ). �

83

Referencias Bibliograficas

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mappings and homogeneous polynomials, Publications of the Research Institute for

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