Produto Vetorial

Diferente do Produto Escalar, o Produto Vetorial de dois vetores

resulta em um vetor ortogonal aos outros dois e

só é definido no espaço tridimensional.

Definição:

Se 1, 2, 3 1, 2, 3 e vu u u u v v v forem vetores no espaço tridimensional

então o produto vetorial u v é o vetor definido por:

1 2 3

1 2 3

i j k

u v u u u

v v v

Propriedades algébricas do Produto Vetorial

Sejam u, v e w vetores em 3 e “a” um escalar:

a) u v v u

b) u v w u v u w

c) u v w u w v w

d) a u v au v u av

e) 0 0 0u u

f) 0u u

Obs.: Para os vetores unitários, temos algumas relações importantes:

a) ____i j

b) ____j i

c) ____j k

d) ____k j

e) ____k i

f) ____i k Esquema

i j

k

Propriedades geométricas do Produto Vetorial

Sejam u e v vetores em 3 , então:

a) 0)( vuu

)( vu

é ortogonal a u

.

b) 0)( vuv

)( vu

é ortogonal a v

.

Ou seja )( vu

é simultaneamente ortogonal a u

e v

.

Área do paralelogramo

Sejam u e v vetores não-nulos de 3 , e seja o ângulo entre esses vetores

quando estiverem posicionados de tal forma que os seus pontos iniciais

coincidam.

A área A do paralelogramo que tem

u e v como lados adjacentes é:

|| vuA

Além disso,

senvuvu .||.||||

1) Calcule e u v v u sendo 5 4 3 u i j k e v i k .

2) Por que para qualquer vetor v de 3 o produto vetorial com ele

mesmo é o vetor nulo?

3) Mostre que u v é ortogonal a u e a v

sendo 5 4 3u i j k e v i k .

4) Dados os vetores 1, 1,1u e (2, 3,4)v , calcule:

a) a área do paralelogramo determinado por e u v .

b) a altura do paralelogramo relativo à base definida pelo vetor u .

5) Seja um triângulo eqüilátero ABC de lado 10cm. Calcule AB AC .

6) Dados os vetores 2,1, 1u e (1, 1, )v a , calcular

o valor de “a” para que a área do paralelogramo determinado

por u e v seja igual a 62 .

7) Sejam os vetores 1, 1, 4u e (3,2, 2)v .

Determinar um vetor que seja:

a) ortogonal a u e v.

b) ortogonal a u e v e unitário.

c) ortogonal a u e v e tenha módulo 4.

Resumão

• Representação

• Como se calcula

• Resultado

– Vetor ortogonal

• Definição Geométrica

• Aplicações

– Área do paralelogramo