PRODUTOS NOTÁVEIS

• Os conceitos sobre os produtos notáveis merecem muita atenção, pois seu uso facilita cálculos,

reduz o tempo de resolução e agiliza o aprendizado.

• O conhecimento dessa ferramenta não implica dizer que não necessitamos saber o desenvolvimento

do cálculo proposto, apenas que temos mais caminhos convergentes à solução final.

• Utilizamos o termo notável para apontar sua importância, sua notabilidade e sua carência de

atenção.

PRODUTOS NOTÁVEIS

• Ao lidarmos com operações algébricas, perceberemos que alguns polinômios aparecem

frequentemente e, ainda, exibem certa regularidade. Esses são os Produtos Notáveis.

• Aqui estudaremos o quadrado da soma de dois termos, o quadrado da diferença de dois

termos, o produto da soma pela diferença de dois temos, o cubo da soma de dois termos e, por

fim, o cubo da diferença de dois termos. vamos à explanação de cada um deles

PRODUTOS NOTÁVEIS

• 1. O quadrado da soma de dois termos

• Verifiquem a representação e utilização da propriedade da potenciação em seu

desenvolvimento.

(A + B)2 = (A + B) . (A + B)

• Onde A é o primeiro termo e B é o segundo.

PRODUTOS NOTÁVEIS

• Ao desenvolvermos esse produto, utilizando a propriedade distributiva da multiplicação,

teremos:

• O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o

produto do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

PRODUTOS NOTÁVEIS

• Exemplos:

PRODUTOS NOTÁVEIS

• 2. O quadrado da diferença de dois termos seguindo o critério do item anterior, temos:

(A - B)2 = (A - B) . (A - B)

• Onde a é o primeiro termo e b é o segundo.

PRODUTOS NOTÁVEIS

• Ao desenvolvermos esse produto, utilizando a propriedade distributiva da multiplicação,

teremos:

• O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas

vezes o produto do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

PRODUTOS NOTÁVEIS

• Exemplos:

PRODUTOS NOTÁVEIS

3. O produto da soma pela diferença de dois termos

• Se tivermos o produto da soma pela diferença de dois termos, poderemos transformá-lo numa diferença

de quadrados.

• o produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o

quadrado do segundo termo.

PRODUTOS NOTÁVEIS

• Exemplos

• (4C + 3D).(4C – 3D) = (4C)2 – (3D)2 = 16C2 – 9D2

• (X/2 + Y).(X/2 – Y) = (X/2)2 – Y2 = X2/4 – Y2

• (M + N).(M – N) = M2 – N2

PRODUTOS NOTÁVEIS

•QUESTÃO 1

•Desenvolva os seguintes produtos notáveis:

•A) (X + Y)2

•B) (2A + B)2

•C) (X – 5Y)2

•D) (3 – A3)2

PRODUTOS NOTÁVEIS •Resposta questão 1

•Podemos resolver esses produtos notáveis através da seguinte ideia:

“O primeiro termo elevado ao quadrado mais (ou menos) o dobro do primeiro

termo multiplicado pelo segundo termo mais o segundo termo elevado ao

quadrado.”

•A) (X + Y)2 = X2 + 2.X.Y + Y2

•B) (2A + B)2 = (2A)2 + 2.2A.B + B2 = 4A2 + 4AB + B2

•C) (X – 5Y)2 = X2 – 2.X.5Y + (5Y)2 = X2 – 10XY + 25Y2

•D) (3 – A3)2 = 32 – 2.3.A3 + (A3)2 = 9 – 6A3 + A6

PRODUTOS NOTÁVEIS

•QUESTÃO 2

•Sabe-se que X² + Y² = 20 E X Y = 3, qual é o valor de (X + Y)²?

PRODUTOS NOTÁVEIS •Resposta Questão 2_ utilizando o princípio do quadrado da soma, temos que:

• (X + Y)² = X² + 2.X.Y + Y²

•Podemos reescrever essa igualdade da seguinte forma:

(x + y)² = x² + y² + 2.x.y

•Sabemos que X² + Y² = 20 E XY = 3, substituindo esses valores na igualdade acima,

temos:

• (X + Y)² = 20 + 2.3

(X + Y)² = 20 + 6

(X + Y)² = 26

•Portanto, (X + Y)² = 26.

PRODUTOS NOTÁVEIS

•QUESTÃO 3

•Escreva as expressões a seguir de forma reduzida:

•a) (3M + N)² + 2N²

•b) (2A + 2B)² – A.(A – 2B)

PRODUTOS NOTÁVEIS

•RESPOSTA QUESTÃO 3

•A) (3M + N)² + 2N² desenvolvendo o produto notável, temos:

•(3M + N)² + 2N²

(3M)² + 2.3M.N + N² + 2N²

9M² + 6MN + N² + 2N²

9M² + 6MN + 3N²

•Portanto, (3M + N)² + 2N² = 9M² + 6MN + 3N²

PRODUTOS NOTÁVEIS

•b) (2A + 2B)² – A.(A – 2B)

Desenvolvendo o produto notável e aplicando a propriedade distributiva,

temos:

•(2A + 2B)² – A.(A – 2B)

(2A)² + 2.2A.2B + (2B)² – A² + 2AB

4A² + 8AB + 4B² – A² + 2AB

3A² + 10AB + 4B²

Portanto, (2A + 2B)² – A.(A – 2B) = 3A² + 10AB + 4B²

PRODUTOS NOTÁVEIS

•QUESTÃO 4

•(FUVEST – SP - ADAPTADO) SE , CALCULE .

PRODUTOS NOTÁVEIS Resposta Questão 4_ Aplicando a propriedade do quadrado da soma, temos:

b² = x² + 2.x. 1 + 1²

x x²

b² = x² + 2 + 1

x²

b² – 2 = x² + 1

x²

Portanto:

x² + 1 = b² – 2

x²

PRODUTOS NOTÁVEIS

•4. O CUBO DA SOMA DE DOIS TERMOS

•CONSIDEREMOS O CASO A SEGUIR:

•(A + B)3 = (A + B).(A + B)2 → POTÊNCIA DE MESMA BASE.

•(A + B).(A2 + 2AB + B2) → (A + B)2

PRODUTOS NOTÁVEIS

•Aplicando a propriedade distributiva como nos casos anteriores, teremos:

(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3

•O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, mais três

vezes o produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo, mais três vezes

o produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo, mais o cubo do

segundo termo.

PRODUTOS NOTÁVEIS

•EXEMPLOS:

• (2X + 2Y)3 = (2X)3 + 3.(2X)2.(2Y) + 3.(2X).(2Y)2 + (2Y)3 = 8X3 + 24X2Y + 24XY2 + 8Y3

•(W + 3Z)3 = W3 + 3.(W2).(3Z) + 3.W.(3Z)2 + (3Z)3 = W3 + 9W2Z + 27WZ2 + 27Z3

•(M + N)3 = M3 + 3M2N + 3MN2 + N3

PRODUTOS NOTÁVEIS

•5. O CUBO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS

•ACOMPANHEM O CASO SEGUINTE:

(A – B)3 = (A - B).(A – B)2 → POTÊNCIA DE MESMA BASE.

(A – B).(A2 – 2AB + B2) → (A - B)2

PRODUTOS NOTÁVEIS •APLICANDO A PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA COMO NOS CASOS ANTERIORES,

TEREMOS:

(A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3

•O CUBO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS É IGUAL AO CUBO DO PRIMEIRO

TERMO, MENOS TRÊS VEZES O PRODUTO DO QUADRADO DO PRIMEIRO TERMO

PELO SEGUNDO, MAIS TRÊS VEZES O PRODUTO DO PRIMEIRO TERMO PELO

QUADRADO DO SEGUNDO, MENOS O CUBO DO SEGUNDO TERMO.

PRODUTOS NOTÁVEIS

•EXEMPLOS

•(2 – Y)3 = 23 – 3.(22).Y + 3.2.Y2 – Y3 = 8 – 12Y + 6Y2 – Y3 OU Y3– 6Y2 + 12Y – 8

•(2W – Z)3 = (2W)3 – 3.(2W)2.Z + 3.(2W).Z2 – Z3 = 8W3 – 12W2Z + 6WZ2 – Z3

•(C – D)3 = C3 – 3C2D + 3CD2 – D3

FATORAÇÃO

•FATORAR UM NÚMERO SIGNIFICA ESCREVÊ-LO COMO UMA MULTIPLICAÇÃO DE

DOIS OU MAIS NÚMEROS.

•A FATORAÇÃO É UM RECURSO QUE UTILIZAMOS NA SIMPLIFICAÇÃO DE SENTENÇAS

MATEMÁTICAS.

•QUANDO FOR O CASO, PODEMOS UTILIZÁ-LA NA SIMPLIFICAÇÃO DE UMA FRAÇÃO

OU DE UMA EQUAÇÃO, POR EXEMPLO.

FATORAÇÃO • OS TIPOS DE FATORAÇÃO QUE VEREMOS ESTÃO RELACIONADOS AOS PRODUTOS

NOTÁVEIS.

• AOS ESTUDÁ-LOS VIMOS QUE O PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE DOIS

TERMOS NOS LEVA À DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS,

•ENTÃO PODEMOS UTILIZAR DE FORMA INVERSA ESTE CONHECIMENTO NA

FATORAÇÃO DA DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS.

FATORAÇÃO

DIFERENÇA DE QUADRADOS

•CONSIDERE O POLINÔMIO X² – Y². ESSA DIFERENÇA DE QUADRADOS É O RESULTADO

DE (X + Y).(X – Y).

•PORTANTO, X² – Y² = (X + Y).(X – Y).

•POR ISSO, TODA DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS PODE SER FATORADA COMO

ACIMA.

FATORAÇÃO

•EXEMPLO :

FATORE X² – 25.

COMO 25 = 5²,

X² – 25 = X² – 5² = (X + 5)(X – 5).

FATORAÇÃO

•VEJAMOS ESTE EXEMPLO NA SEQUÊNCIA

25Y² - 9Z²

•VISTO QUE A2 - B2 = (A + B)(A - B), PODEMOS REALIZAR A FATORAÇÃO COMO A

SEGUIR:

25Y² - 9Z² = (5Y)² - (3Z)² = (5Y + 3Z).(5Y – 3Z)

FATORAÇÃO

•TAL FATORAÇÃO FOI REALIZADA SE ENCONTRANDO O VALOR DE A E B, QUE SÃO

RESPECTIVAMENTE A RAIZ QUADRADA DO PRIMEIRO E DO SEGUNDO TERMO E

ENTÃO OS SUBSTITUINDO EM (A + B)(A - B).

•LOGO: 25Y² - 9Z² = (5Y + 3Z)(5Y – 3Z)

FATORAÇÃO

•1) 81X² – 64

•B) Y² – 36

•C) 9X² – 16

FATORAÇÃO

FATOR COMUM

•A FORMA MAIS BÁSICA DE FATORAÇÃO É A COLOCAÇÃO DE FATORES COMUNS

EM EVIDÊNCIA.

•VAMOS FATORAR A EXPRESSÃO AX + BX + CX

AX + BX + CX = X . (A + B + C)

O X É FATOR COMUM E FOI COLOCADO EM EVIDÊNCIA.

FATORAÇÃO

EXEMPLO : FATORE AS EXPESSÕES

1) 6X³ + 8X². O FATOR COMUM É 2X². ASSIM, COLOCANDO 2X² EM EVIDÊNCIA,

TEMOS:

6X³ + 8X²= 2X²(3X + 4).

2) 14XY – 21XZ =7X(2Y – 3Z)

3) 5X² - 10X = 5X ( X – 2)

4) 8AX³ - 4A²X² = 4AX²(2X – A)

FATORAÇÃO AGRUPAMENTO

•NO TIPO DE FATORAÇÃO POR AGRUPAMENTO NÃO TEMOS UM FATOR QUE É

COMUM A TODOS OS TERMOS, NO ENTANTO TEMOS FATORES QUE SÃO

COMUNS A ALGUNS TERMOS E OUTROS FATORES QUE SÃO COMUNS A OUTROS

TERMOS.

AX + BX + AY + BY = (A + B)(X + Y)

FATORAÇÃO

•VEJAMOS O EXEMPLO ABAIXO:

4X + 6X+ 4Y+ 6Y

•NOTE QUE O FATOR X É COMUM AOS DOIS PRIMEIROS TERMOS, ASSIM COMO O

FATOR Y É COMUM AOS DOIS ÚLTIMOS TERMOS, ENTÃO PODEMOS COLOCÁ-LOS EM

EVIDÊNCIA:

4X + 6X+4Y +6Y= X(4+6) + Y(4+6)

FATORAÇÃO •VEJA QUE AINDA TEMOS O FATOR (4 + 6) EM COMUM E QUE TAMBÉM PODE SER COLOCADO

EM EVIDÊNCIA:

X(4+6) + Y(4+6)= (4+6).(X+Y)

•ASSIM SENDO:

4X+6X+4Y+6Y= (4+6).(X+Y)

•OBVIAMENTE, COMO MOSTRADO ABAIXO, PODEMOS CONTINUAR OS CÁLCULOS

SOMANDO 4 COM 6, MAS O FOCO AQUI É A FATORAÇÃO EM SI:

( 4 + 6).( X+ Y) = 10( X+ Y)

FATORAÇÃO

• EXEMPLO

FATORE: 5AX + BX + 5AY + BY

X.( 5A + B) + Y (5A + B)

(X + Y) (5A + B)

FATORAÇÃO

•EXEMPLO:

X² + 3X + AX + 3A

X(X + 3) + A ( X + 3)

(X + 3) . ( X + A)

FATORAÇÃO

•EXEMPLO :

A) VAMOS FATORAR X² – AY + XY – AX.

X² – AY + XY – AX = X²+ XY – AY – AX

= X(X + Y) – A(Y + X) = (X + Y)(X – A)

FATORAÇÃO

TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO

•O POLINÔMIO X² +2XY + Y² É UM TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO.

•É UM TRINÔMIO PORQUE TEM TRÊS MONÔMIOS; E É UM QUADRADO PERFEITO

PORQUE ELE É O QUADRADO DE (X + Y), OU SEJA, É O RESULTADO DE (X + Y)².

FATORAÇÃO

•OUTRO TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO É X² – 2XY + Y²,

QUE É O RESULTADO DE (X – Y)².

•ASSIM, TEMOS MAIS DOIS POLINÔMIOS QUE SABEMOS FATORAR:

X² + 2XY + Y² = (X + Y)² X² – 2XY + Y² = (X – Y)²

FATORAÇÃO

•A) X² + 4X + 4 = R:(X + 2)²

•B) X² - 4X + 4 = R:(X -2)²

•C) A²+ 2A + 1 = R: (A + 1)²

•D) A² - 2A + 1 = R: (A – 1)²

FATORAÇÃO

•EXEMPLO :

• A) FATORE X² + 12X + 36.

•NESTE CASO X² E 36 SÃO QUADRADOS E SUAS BASES SÃO X E 6

E, ALÉM DISSO, 12X = 2.X.6.

ASSIM, X2 + 12X + 36 = (X + 6)2.

FATORAÇÃO

•B) 9X² – 12X + 25 É UM QUADRADO PERFEITO?

•ORA, 9X² = (3X)² E 25 = 5².

MAS, 2.(3X).5 = 30X.

LOGO, 9X² – 12X + 25 NÃO É UM TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO.