PROF. 2o ANO MATEMÁTICA PADRÃO VOL. I · contrará uma síntese com as principais informações...

PROF. 2o ANOMATEMÁTICA PADRÃO VOL. I

Direção Executiva:Fabio Benites

Gestão Editorial:Maria Izadora Zarro

Diagramação, Ilustração de capa e Projeto Gráfico:Alan Gilles MendesAlex FrançaDominique CoutinhoErlon Pedro PereiraEstevão CavalcantePaulo Henrique de Leão

Estagiários:Amanda SilvaFabio Rodrigues Gustavo MacedoLucas Araújo

Irium Editora LtdaRua Desembargador Izidro, no114 - Tijuca - RJCEP: 20521-160Fone: (21) 2560-1349www.irium.com.br

É proibida a reprodução total ou parcial, por qual-quer meio ou processo, inclusive quanto às caracte-rísticas gráficas e/ou editoriais. A violação de direitos autorais constitui crime (Código Penal, art. 184 e §§, e Lei nº 6.895, de 17/12/1980), sujeitando-se a busca e apreensão e indenizações diversas (Lei nº 9.610/98).

Biologia: Filosofia:Física:Geografia: História: Leitura e Produção:

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Cid Medeiros Thiago Azeredo Guilherme BragaKarina PaimRenata Galdino

Apresentação:Olá, querido aluno.O material da Irium Educação foi elaborado por professores competentes e comprometidos com

uma proposta de educação exigente e plural.Neste livro, você encontrará uma teoria na medida certa, focada nas informações mais importantes

hoje em dia, e muitos exercícios para fortalecer sua aprendizagem e preparação para os desafios futuros.Vamos conhecer um pouco mais sobre este livro?Todo capítulo inicia com uma capa, onde você encontrará uma imagem ilustrativa e os objetivos

de aprendizagem. Estes resumem o que queremos que você aprenda. Quando chegar no final do capítulo, se você quiser saber se aprendeu o que é realmente importante, volte na capa e verifique se alcançou cada um dos objetivos propostos.

Antes de entrarmos na teoria, em cada capítulo, você encontrará uma contextualização. Ela funcio-na para mostrar para você porque o assunto é importante e como você poderá usar esse conhecimento no seu dia a dia.

No meio do caderno, quando estiver estudando, você encontrará inserções com informações rele-vantes e que “conversam” com portais da Irium Educação. É o caso do box Como pode cair no ENEM?, que trazem temas conectados ao assunto do capítulo e propõem questões do ENEM ou com o estilo da prova. Você poderá resolver os exercícios no seu caderno ou acessar o portal comopodecairnoenem.com.br. Lá você também encontrará todas essas questões resolvidas em vídeo.

Outra inserção interessante, que visa oferecer mais conhecimento relevante, é o 4News. Nessa se-ção, será possível acessar notícias recentes que conectam o tema do capítulo com uma informação importante para a sua formação e para os diversos vestibulares. Na apostila, essas informações estão resumidas, mas poderá acessar esse conteúdo, produzido pela nossa equipe de professores, na ínte-gra, através do portal 4newsmagazine.com.br ou utilizando o QR code inserido no box.

Uma das principais marcas dos livros da Irium Educação são os exercícios, que primam pela quan-tidade e qualidade. Para ajudar os alunos a tirarem suas dúvidas, existem inúmeras questões com soluções gravadas em vídeo. Elas aparecem com uma câmera e um código. Para acessar a solução, utilize o código no campo de busca no espaço destinado (videoteca) no nosso site irium.com.br/videoteca ou até mesmo no Youtube.

Para finalizar, que tal encontrar um conteúdo ideal para aquelas revisões na véspera de provas e concursos? Essa é a proposta da seção Resumindo, na última página de cada capítulo. Aqui, você en-contrará uma síntese com as principais informações do capítulo, como as fórmulas mais importantes, que você não pode esquecer.

A equipe da Irium Educação acredita em uma formação exigente, completa e divertida. Esperamos que este livro possa proporcionar isso a você.

#vamboraaprender

“A Educação é a arma mais poderosa que você pode usar para mudar o mundo.”

(Nelson Mandela)

Fabio BenitesDiretor-geral

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ORIENTADOR METODOLÓGICO: ESTATÍSTICA

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ORIENTADOR METODOLÓGICO

EstatísticaObjetivos:• Compreender a tabela de frequência e o his-

tograma; • Reconhecer os tipos de gráficos (barras, se-

tores e linhas); • Diferenciar as medidas de tendência central

e de dispersão; • Identificar as medidas de tendência central

ou de dispersão em um conjunto de dados ex-

pressos em uma tabela de frequências com da-dos agrupados ou em gráficos;

• Resolver problemas envolvendo as medidas de tendência central e de dispersão e de exercí-cios com análise de gráficos;

• Como não recebi o módulo de Estatística, resolvi escrever de acordo com o que é mais co-brado nessa matéria.

Praticando1) Solução. Organizando os dados numa tabela, temos:

Média: 11200.103L103kg

= 11200L/kg

LKG Quantidade (kg) Total

Milho 1000 100 100.103 L

Trigo 1500 100 150. 103 L

Arroz 2500 100 250. 103 L

Carne de porco 5000 100 500. 103 L

Carne de boi 17000 600 10200. 103 L

Total 103kg 11200.103 L

Gabarito: B

2) Solução. Calculando a média por dados agrupados, considerando os percentuais em relação a 300 veículos, temos:

v = (20).(5) + (30).(15) + (40).(30) + (50).(40) + (60).(6) + (70).(3) + (80).(1)

5 + 15 + 30 + 40 + 6 + 3 + 1

v = 100 + 450 + 1200 + 2000 + 360 + 210 + 80

100 =

4400100 = 44km/h

Gabarito: B

3) Solução: De acordo com o gráfico isto ocorreu próximo do final de 2002.

Gabarito: B

4) Solução. As informações dos gráficos os pares ordenados dos pontos continuam os mesmos. Logo não há outra diferença além da escala utilizada em cada um.

Gabarito: D

5) Solução: Será a sequência em que os valores tiverem mais distantes da média, ou seja, mais dis-persos, e isto acontece na letra A

Gabarito: A

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6) Solução. Observando a tabela os resultados ímpares foram 1 (7 vezes); 3 (8 vezes) e 5 (9 vezes). Logo, a frequência em relação ao total é:

7 + 8 + 97 + 9 + 8 + 7 + 9 + 10 = 24

50 = 1225

Gabarito: C

7) Solução. a) A média (aritmética) é o quociente entre o produto das variáveis pela freqüência em que ocorreram e o total de dados:

x = (500000).10 + (1000000).5 + (1500000).1 + (2000000).10 + (5000000).4 + (10500000).1

31

x = 6200000031

= R$ 2000000,00

A mediana é o elemento que ocupa a posição que divide os valores ordenados em subconjuntos de mesma quantidade. Como há 31 dados. A Mediana ocupará a 31 + 1

2 = 16a posição. Somando as

frequências verificamos que Md = R$1.500.000,00.

b) A variância para dados agrupados é: ∑i = 1

n

ƒi. (x – xi)2

∑i = 1

n

ƒi

. Representamos os salários em milhões, temos:

10 (2 – 0,5)2 + 5 (2 – 1)2 + 1. (2 – 1,5)2 + 10.(2 – 2)2 + 4. (2 – 5)2 + 1. (2 – 10,5)2

31 = V

Adicionando mais dois trabalhadores com 2 milhões, a nova média será

x = 62000000 + 4000000

31 = R$2000000,00. A nova variância V’ será:

[10. (2 – 0,5)2 + 5. (2 – 1)2 + 1. (2 – 1,5)2 + 10. (2 – 2)2 + 4. (2 – 5)2 + 1. (2 – 10,5)2] + 2. (2 – 2)2

33

8) Solução: Sendo X → soma dos pesos das 19 pessoas, temos que:M = X/19 = 70 → X = 70.19 = 1330. Ao entrar mais uma pessoa de 82kg, a soma dos pesos das 20 pessoas passa a ser: 1330 + 82 = 1412. Portanto a nova média será:M = 1412/20 = 70,6kg.

Gabarito: E

9) Solução. Os dados já estão ordenados e agrupados.

– Média: x = 1.4 + 2.1 + 4.2 + 5.2 + 6.1

4 + 1 + 2 + 2 + 1 =

4 + 2 + 8 + 10 + 6

10 = 30

10 = 3

- Mediana: Há 10 valores (par): Md = a10

2 + a10

2+ 1

2 =

a5 + a6

2 = 2 + 4

2 = 62 = 3

- Moda: maior frequência: 1.

Gabarito: B

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10) Solução: Moda = 2 (valor com maior frequência); Mediana = 2 (elemento que ocupa a posição central.

Gabarito: C

Aprofundando

11) Solução. O valor de 270 corresponde a 15% do total. Calculando, temos:

0,15. Total = 270 ⇒ Total = 2700,15 = 27000

15 = 1800 respostas.

Logo, a + b = 900 e c + d = 900. Como c = d, te-mos: c = d = 450.

Gabarito: D

12) Solução: Somando-se o total de medalhas de ouro conquistado por Estados Unidos, Rússia e China (40 + 32 + 28), temos um total de 100 me-dalhas, o que corresponde a um terço do total de medalhas (300).

Gabarito: B

13) Solução: Analisando o gráfico nas últimas 5 Olimpíadas, observa-se que o número de homens praticamente não se alterou (6434; 6983; 6659; 7075; 6416), enquanto o número de mulheres participantes teve um expressivo salto (1498; 2438; 2705; 3549 e 3905).

Gabarito : E

14) Solução: De acordo com o gráfico, nas 3 primeiras horas, a concentração aumentou.

Gabarito: D

15) Solução. Como, ao ingerir o medicamento, a concentração da substância A no organismo irá aumentar, a partir de um determinado momento, a função deve ter um comportamento crescente. Porém, é dito que após a substância alcançar o objetivo no organismo, sua quantidade volta ao normal. Daí, temos que, após alcançar um ponto má-ximo, a função passa a ter um comportamento decrescente, voltando para a quantidade inicial da substância. Logo, o gráfico que melhor representa esse comportamento é o da opção D.

Gabarito: D

16) Solução: De acordo com o gráfico, o lucro será positivo (R – C > 0) para quantidades entre 10 e 30.

Gabarito: D

17) Solução. Se a variância é nula, o desvio pa-drão também é nulo, pois vale a raiz quadrada da variância.

Gabarito: D

18) Solução: Para h/H = 1/4, temos: 120L/h ≤ Vb ≤ 210L/hPara h/H = 1/6, temos: 80L/h ≤ Vb ≤ 140L/h

Média aritmética: (1/4+1/6)/2 = (3/12+2/12)/2 = 5/24 ≅ 1/5

Vamos fazer uma interpolação, calculando as médias aritméticas para

h/H = 1/5: (120L/h +80L/h)/2 ≤ Vb ≤ (210L/h +140L/h)/2

Portanto:

100L/h ≤ Vb ≤ 175L/h

Gabarito: D

19) Solução: Média = (0x20 + 1x25 + 2x35 + 3x15 + 4x5)/100 = 160/100 = 1,60Mediana = 2 (elemento central da distribuição).

Gabarito: B

20) Solução: Como são dez valores a mediana será calculada pela média aritmética dos termos que ocupam a 5ª e a 6ª posição. Os valores da quan-tidade de empregos formais ordenados de forma crescente são 181419, 181796, 204804, 209425, 212952, 246875, 266415, 298041, 299415, 305068. Os valores que ocupam as 5ª e 6ª posições são 212952 e 246875; a mediana será a parte inteira da média entre esses dois valores, que é 229913.

Gabarito: B

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21) Solução: Sendo a média (X) igual a:5.0 + 3.1 + 4.2 + 3.3 + 2.4 + 2.5 + 1.7/ (5 + 3 + 4 + 3 + 2 + 2 + 2 + 1) = 45/20 = 2,25 e a mediana (Y) = 2, que é

a media aritmética dos dois elementos centrais da distribuição e a moda(Z) igual a 0, pois 0 foi o valor de maior frequência. Temos Z<Y<X.

Gabarito: E.

22) Solução:As médias de Marco e Paulo são iguais, mas o desvio padrão de Marco é menor, o que significa que

suas notas nas provas estão mais próximas da média do que as notas de Paulo. Portanto, as notas obtidas por Marco no concurso são mais regulares, logo Marco foi melhor classificado.

Gabarito: B

23) Solução:

60 x 20 + 120 x 8 + 30 x 1260 + 120 + 30

= 2520210

= 12.

Gabarito: C

24) Solução:Sendo 8; 5; 7; 9; 11; 13; 4; 9; 10; 7; 6; 6; 6; 6; 6; 6; 8; 5 os dados apresentados pelo gráfico da questão, colocando-

-os em ordem obtém-se a distribuição dos gols marcados pelos artilheiros das copas do Mundo (4; 5; 5; 6; 6; 6; 6; 6; 6; 7; 7; 8; 8; 9; 9; 10; 11; 13) e pegando os dois elementos centrais desse ROL e fazendo uma média aritmética simples, obtém-se a mediana que é (6 + 7) . 2 = 6,5.

Gabarito: B

25) Solução:A variância é igual ao quadrado do desvio padrão. Como a unidade pedida é em (sacas/ha) 2, o desvio pa-

drão deve ser encontrado em sacas/ha. Como cada saca tem 60kg, o desvio padrão é de Assim, a variância corresponde a 0,52 = 0,25 (sacas/ha)2.

Gabarito: E

26) Solução:A média dos três últimos anos é calculada através da soma destes três valores dividida por três

para cada empresa. No caso da empresa Alfinetes V, a média é de 200 mil reais, uma vez que os três valores são iguais; Balas W, Chocolates X, Pizzaria Y, 230 mil reais e Tecelagem Z, Como são escolhidas as duas empresas com maior média, Chocolates X e Pizzaria Y.

Gabarito: D

27) Solução:

3 x 36 + 35 + 2 x 34 + 33 7

≅ 34,9

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28) Solução. Calculando cada média, temos:

1º critério: x = (18 + 16) + (17 + 13) + (14 + 1) + (19 + 14) + (16 + 12)

10 = 34 + 30 + 15 + 33 + 28

10 = 140

10 = 14

2º critério: x = (18 + 16) + (17 + 13) + (14) + (14) + (16 + 12)

10 =

140 – 20

10 = 120

8 = 15 Um ponto maior.

Gabarito: B

29) Solução:

(5 + 6 + 2 + 5)/4 = 18/4 = 4,5. Logo: 10 - 4,5 = 5,5.

Gabarito: C

30) Solução:

(6 x 4 + 7 x 5 + 8 x 5 + 6 x 3 + 6 x 3 + 9 x 5) / (4 + 5 + 5 + 3 + 3 + 5) = 180/25 = 7,2

Gabarito: D

31) Solução:Calcula-se o lucro médio de cada empresa através da divisão entre o lucro pelo tempo, escolhendo-se o maior resultado ao final. A empresa F possui um lucro médio anual de 24/3 = 8; a empresa G, 24/2 = 12; a empresa H, 25/2,5 = 10; a empresa M, 15/1,5 = 10; a empresa G, 9/1,5=6. Todos os valores foram calculados em milhões de reais. O maior lucro médio foi o da empresa G.

Gabarito: B

32) Solução:

M = (20 + 32 + 31 + x) / 4 = 27; x = 27 x 4 – 83 = 25.

Gabarito: D

33) Solução:

A mediana de um conjunto de valores é o valor do termo central do rol de valores. No caso, são 200 hotéis, sendo assim o termo central é 200 + 12 = 100,5, ou seja, terá que ser calculada a média dos valores da diária do 100º e 101º valor da distribuição (valores colocados em ordem crescente ou decrescente). Através do gráfico de setores apresentado percebe-se que o 100 valor é 300 reais e que o 101 de 400 reais, pois 25% do menor valor (A) somado com 25% do valor seguinte (B) totalizam os 50% correspondente a metade dos valores. Sendo assim, a mediana é (300 + 400)/2 = 350 reais.

Gabarito: B

34) Solução:

Média = (3 x 13 + 2 x 14 + 4 x 15 + 1 x 16) /10 = 143/10 = 14,3;Mediana = (14 + 15) / 2 = 14,5;Moda = 15.

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35) Solução:

Média = (3 x 0,5 + 5 x 1,5 + 4 x 2,5 + 6 x 3,5 + 2 x 4,5)/20 = 49/20 = 2,45;Mediana = 2,5Moda = 3,5

36) Solução:M = X/10, onde X – a soma de todos os 10 núme-ros; logo: X = 10 x M;Nova média = (X + a + b)/12 = (10M + a + b)/12.

Gabarito: B

37) Solução:Mh = X/H = 78 → x = 78H (soma dos valores

masculinos)Mf = Y/M = 83 → y = 83M (soma dos valores femi-

ninos) ; N = (78H + 83M)/(H + M) = 80, logo: 3M – 2H = 0, logo: H = 1,5M, ou seja, a quantidade de mulhe-res representa 40% do total

Gabarito: C

38) Solução:

Mediana = 50 (elemento central da distribuição em ordem crescente).Gabarito: B

39) Solução:

Mh = X/H = 25 → x = 25H (soma das idades dos homens)Mf = Y/M = 83 → y = 20M (soma das idades das mulheres)N = (25H + 20M)/(H + M) = 22; 3H – 2M = 0 e H + M = 40, logo: H = 16 e M = 24.

Gabarito: B

40) Solução:

Média = (382 + 523 + 508)/3 = 1413/3 = 471.

Gabarito: D

41) Solução: Mulheres representam 51% e tem média de

idade de 38 anos. Os homens representam 49% e tem média de idade de 36.

Façamos uma média aritmética ponderada onde as porcentagens são os pesos.

Mp = (51% x Mm + 49% x Mh) / 100%

Mp = (51 x Mm + 49 x Mh) / 100

Mp = (51 x 38 + 49 x 36) / 100

Mp = (1938 + 1764) / 100

Mp = 3702 / 100

Mp = 37,02

Logo, a média da população será 37,02.

Gabarito: A

Desafiando42) Solução:

A mediana deve ser o valor que ocupa o lugar central quando os salarios de todos os funcioná-rios são listados em forma crescente. Caso o nú-mero de funcionários seja par não teremos um valor central, mas dois termos centrais e neste caso a mediana será a média aritmética destes valores.

Como R$ 2.800 não é valor de salário, deve-mos fazer com tenhamos um número par de fun-cionários e que os salários centrais sejam R$ 2.000,00 e R$ 3.600,00. Há 10 funcionários que ganham R$2.000,00, logo os valores centrais serão o 10o e 11o termos da listagem, o que ocorre havendo 20 valores salarias.

Devemos reduzir o número de funcionários de 30 para 20, isso pode ser feito demitindo-se 10 funcionários com salário de R$ 3.600,00.

Gabarito: D

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ORIENTADOR METODOLÓGICO: MATRIZES

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ORIENTADOR METODOLÓGICO

MatrizesObjetivos:• Compreender a construção, lei de formação

e classificação de uma matriz;• Realizar operações com matrizes;• Estudar as matrizes quadradas, com o cál-

culo do determinante e a obtenção da matriz in-versa;

• Compreender a classificação e os métodos de resolução de sistemas lineares;

• Resolver problemas envolvendo matrizes, de-terminantes e sistemas lineares.

Praticando1) Solução: De acordo com as informações do enunciado da questão, temos:a11 = 11+1 = 1; a12 = 2; a21 = 1; a22 = 22+1 = 8;a31 = 1; a32 = 2, logo: M =

1 21 81 2

Gabarito: A

2) ) Solução:

At = a b–1 c

= –a 1–b –c

, logo: a = 0, b = 1 e c = 0.

Gabarito: D

3) Solução: De acordo com as informações do enunciado e da lei de formação dos elementos, temos que: a11 = 2 x 1 – 3 x 1 = -1; a22 = 2 x 2 – 3 x 2 = -2 e a33 = 2 x 3 – 3 x 3 = -3, logo: a11 + a22 + a33 = -1 – 2 – 3 = - 6.

Gabarito: E

4) Solução:A5x7 x B7x5 = AB5x5 , ou seja, teremos uma matriz

quadrada com 5 linhas e 5 colunas, logo, com 25 elementos.

B7x5 x A5x7 = BA7x7 , ou seja, teremos uma matriz quadrada com 7 linhas e 7 colunas, logo, com 49 elementos.

Gabarito: D

5) Solução:A3x2 , logo: At

2x3. Como: B2x1 x C1x3 = D2x3.Então: At 2x3 + D2x3 = E2x3

Gabarito: D6) Solução: Sendo: X =

a bc d

e B.A = –1 2–1 4

(verifique).

Temos que: 1 0–1 1

. a bc d

= –1 2–1 4

, logo:

a = -1; b = 2; c = -2; d = 6, então:

x = –1 2–2 6

Gabarito: C

7) Solução:a) Det = 3 x 8 – (-1x5) = 24 + 5 = 29b) Det = (-6 +1 + 0) – (-5 + 2 + 0) = - 5 + 3 = -2.

8) Solução:a11 = 1; a12 = 0; a13 = - 1;a21 = 3; a22 = 2; a23 = 1;a31 = 5; a32 = 4; a33 = 3;

logo: A = 1 0 –13 2 15 4 3

, então: Det A = (6 + 0 – 12)

– (- 10 + 4 + 0) = - 6 + 6 = 0

9) Solução:

a11 ( 1=1) então a11 = 3.1 + 1 = 4 a12 (1 < 2) então a12 = 2 a21 (2 >1) então a21 = 3.2 + 1 = 7 a22 (2=2) então a22 = 3.2 + 2 = 8

Assim, nossa matriz fica

A= a11 a12a21 a22

A= 4 27 8

E o Determinante fica

det (At) = det (A) = (8 x 4) - (2 x 7) = 18

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10) Solução:

A x A-1 = I, ou seja: 1 2 –1 0

x a b c d

= 1 0 0 1

,

logo: a + 2c = 1–a = 0b + 2d = 0–b = 1

Resolvendo este sistema de equações, encon-tramos: a = 0; c = 1/2; b = - 1 e

d = 1/2, então: A-1 = 0 –1 1/2 1/2

, logo: A + A-1 =

1 1–1/2 1/2

Gabarito: C

11) Solução:

A x B = I, ou seja: x 1 5 3

x 3 –1 y 2

= 1 0 0 1

,

logo: 3x + y = 1–x + 2 = 015 + 3y = 0–5 + 6 = 1

Resolvendo as equações acima, encontramos: x = 2 e y = – 5, então: x + y =

2 + (-5) = – 3

Gabarito: C

12) Solução:

M x M-1 = I, ou seja: 1 –1 0 2

x a b c d

= 1 0 0 1

,

logo: a – c = 12c = 0b – d = 02d = 1

Resolvendo o sistema de equações acima, temos: c = 0; a = 1; d = 1/2 e b = 1/2. Logo: a + b + c + d = 1 + 0 + 1/2+ 1/2 = 2.

Gabarito: E

13) Solução:Sendo x, a quantidade de filhos do Jorge e y, a

quantidade de ingressos, temos:

4x + 5 = y6x – 5 = y

Resolvendo este sistema de equações, obte-mos: x = 5 e y = 25.

Logo: Jorge ganhou 25 ingressos.

Gabarito: B

14) Solução:

2x + 3y = 52x + 3ay = 7

Resolvendo o sistema, ou seja, subtraindo a equação de baixo pela equação de cima, temos: 3y (a – 1) = 2. Como o sistema é determinado, então: a – 1 ≠ 0, logo: a ≠ 1.

Gabarito: E

15) Solução:

x + my + z = 0mx + y – z = 4x – z = 2

Resolvendo o sistema acima, temos: somando as duas primeiras equações, temos que: x (m + 1) + y (m + 1) = 4, ou seja: m + 1 ≠ 0, logo: m ≠ -1. Além disso, da terceira equação, temos que x = z + 2. Substituindo este valor nas duas primeiras equa-ções, teremos:

my + 2z = –2z (m – 1) + y = 4 – 2m , resolvendo este siste-

ma, concluímos que: 4 – 2m ≠ 0, logo: m ≠ 2.

Gabarito: D.

Aprofundando

16) solução:

X11 = 1 + 1 = 2; X12 = 1;X21 = 1;X22 = 2 + 2 = 4; logo: a soma dos elementos será igual a 2 + 1 + 1 + 4 = 8.

Gabarito: E

17) Solução: Uma matriz é um conjunto retangular de números, símbolos ou expressões, organizados em linhas e colunas. Cada um dos itens de uma matriz é chamado de elemento.

De acordo com o enunciado, temos a tabela:

EM2M

AT05


9

Material 1 Material 2 Material 3Roupa tipo 1 5 0 2Roupa tipo 2 0 1 3Roupa tipo 3 4 2 1

a) O número de unidades de material j = 3 na confecção de uma roupa tipo i = 2 é o elemento a23 da matriz A, ou melhor, é o elemento da segunda linha com a terceira coluna a23 = 3 unidades. b) O valor procurado é 5a11 + 4a21 + 2a31 = 5 × 5 + 4 × 0 + 2 × 4 = 25 + 0 + 8 = 33 unidades.

18) a) Solução. A matriz representa quantos cho-pes foram pagos pelo elemento da linha para o elemento da coluna. O total bebido no fim de se-mana foi:

DIAS DE CONSUMOAMIGOS SÁBADO DOMINGO TOTAL

ANTÔNIO 4 + 3 5 + 0 + 2 14BERNADO 1 + 2 + 1 5 + 3 + 1 13CLÁUDIO 4 + 0 + 5 3 + 0 + 3 15

Logo, Cláudio bebeu mais chope.b) Utilizando uma seta (→) como a relação “pagou para” , temos:

I) Sábado: A → C = 4

C → A = 3

II) Domingo: A → C = 3

C → A = 2

Conclusão: Em cada dia Antônio pagou um chope a mais. Logo, Cláudio ficou devendo 2 chopes a Antônio.

19) Solução. De acordo com as informações do problema, temos:a) I) B1 + B2 = b12; B1 + B3 = b13; B2 + B3 = b23

II) Os valores das diagonais valem somas de valores de uma mesma barraca.

Como os valores pedidos referem-se a B1 e B2, montamos o sistema.

B1 + B2 = 1800 → x (–1)B1 + B3 = 3000 ⇒

–B1 – B2 = –1800B1 + B3 = 3000 ⇒ B3 – B2 = 3000 – 1800 = 1200

A diferença mostra que B3 arrecadou 1200 re-ais a mais que a barraca B2.b) 2B1 + 2B2 + 2B3 = 1800 + 3000 + 2000 = 6800 (÷ 2), temos que:

B1 + B2 + B3 = 3400.

20) RESOLUÇÃO:

A matriz A = 3 5 44 3 5

2 X 3 representa a tabela 1, a

matriz B = 10 128 84 6

3 X 2 representa a tabela 2 e a matriz

C = B . A representa a quantidade de fechaduras usadas em cada modelo.

C = 10 128 84 6

. 3 5 44 3 5

= 78 86 10056 64 7236 38 46

Assim,

Fechaduras por ModeloTipo Básico Luxo Requinte

Dourada 78 86 100Prateada 56 64 72

Bronzeada 36 38 46

No modelo requinte, foram usadas 100 + 72 + 46 = 218 fechaduras.

Resposta: D

21) a) A maior temperatura da matriz é 40,5 — esse valor está registrado na 2ª linha e 4ª coluna. Sendo assim, podemos dizer que 40,5 correspon-de ao elemento matricial a24. Logo, o instante i é 2, en-quanto o dia j é 4. Podemos concluir que a maior temperatura do paciente ocorreu no 4° dia e no 2° instante.

As temperaturas do terceiro dia estão descri-tas na terceira coluna. Para calcular a média, de-vemos somá-las e dividir a soma por 3:

M = 38,6 + 37,2 + 36,13

M = 111,93

EM2M

AT05


10

M = 37,3A média das temperaturas do terceiro dia é 37,3° C.

22) Solução. Desenvolvendo a equação matricial, temos:

I) 0,8p0 + k = p1

0,2p0 + 0,9m0 = m10,1m0 + 0,95g0 = g1

⇒ (0,8 + 0,2) p0 + (0,9 + 0,1) m0 + 0,95g0 + k = p1 + m1 + g1

II) (p1 + m1 + g1 = p0 + m0 + g0) ⇒ p0 + m0 + 0,95g0 + k = p1 + m1 + g1 ⇒ 0,95g0 + k = g0 ⇒

⇒ k = g0 – 0,95g0 = 0,05g0 → 5% de g0

Gabarito: A

23) Solução. De acordo com o procedimento indicado, temos:

I) 01

= 01

S1

S2

⇒ 01

= 0.S1 + 1.S2

1.S1 + 0.S2

⇒ 01

= S2

S1

⇒ S1 = 1S2 = 0

II) 10

= 01

10

S3

S4

⇒ 10

= 0.S3 + 1.S4

1.S3 + 0.S4

⇒ 10

= S4

S3

⇒ S3 = 0S4 = 1

Logo, S1 S2 S3 S4 = 1001

Gabarito: C

24) Solução. Não é necessário calcular todos os elementos da matriz produto. O elemento pedido é resultado da operação entre a linha 2 da matriz A e a coluna 3 da matriz B.

C23 = (3) . (2) + (1) . (2) + (4) . (1) = 6 + 2 + 4 = 12

Gabarito: D

25) Solução.

A =

2 –3 1 yx 2

⇒ At = 2 1 x–3 y 2

At . B = o ⇒ 2 1 x–3 y 2

2 x 3

1 21

3 x 1 ⇒ 2.1 + 1.2 + x.1–3.1 + y.2 + 2.1

2 x 1 ⇒ x + 4 2y – 1

2 x 1 = 0 0

2 x 1

x + 4 = 0 ⇒ x = – 42y – 1 = 0 ⇒ 2y = 1 ⇒ y = 12

Verificando as opções temos:a) x + y = - 4 +1/2= - 3,5 b) x . y = ( - 4) .1/2 = - 2 c) x/y = - 4/(1/2) = - 4.2 = - 8

10

EM2M

AT05


11

d) x . y2 = ( - 4) .(1/2)2 = ( - 4) .1/4 = - 1 e) y/x = (1/2)/ - 4 = (1/2) / (- ¼) = -1/ 8

Logo, a opção correta é a letra D.

26) Temos matriz A:

Agora montamos as funções:

14 + x2 = 1

y2 + xz = 0

y2 + z2 = 1

Isolando x2 na primeira equação:

14 + x2 = 1

x2 = 1 – 14

x2 = 34

Isolando z na segunda equação:

y2 + xz = 0

xz = – y2

z = – y

2x

Somando x² com y²:

(x2 + y2) = 34 + 3

4

(x2 + y2) = 32

Gabarito: E

27) Para que possamos multiplicar a matriz L(1 x 6) por M, M deve possuir 6 linhas.

Matriz M:

|0 0 0 0 0 1||0 0 0 0 1 0||0 0 0 1 0 0||0 0 1 0 0 0||0 1 0 0 0 0||1 0 0 0 0 0|Portanto L.M = X(1x6)

X(1x6) = (1 0 0 1 0 1).

Gabarito: B

28) a11 = 1a12 = 1a21 = - 1a22 = 1; logo: A =

1 1–1 1

. Então temos que achar

uma matriz A-1, tal que AxA-1 = 1 00 1

logo:

A-1 = 12 –1

212 1

2

.

29) Solução:Sendo a matriz "X" a matriz dos preços das frutas. Tem-se:

M(3x3) . X(3x1) = N(3x1)

Como o determinante de M é não-nulo, este apresenta matriz inversa. Logo;

X(3x1) =M(3x3)(-1). N(3x1)

Gabarito: D

30) Solução: De acordo com as informações do problema, temos:– 11

2 a + 55

2 = 0, logo: 11 x a = 55 → a = 5.

Gabarito: E

31) Solução. O produto A.X calcula a quantidade de Calorias,

Vitamina C e Cálcio consumidos. Igualando esse produto a C, calculamos os valores de a, m e p. O produto B.X calcula o gasto em cada supermer-cado. Organizando essas informações, seja V a matriz que indica o gasto. Temos:

Gabarito:

A.X = C ⇒ (4–1 .A) X = A-1 .C ⇒ I.X = A-1 .C ⇒ X = A-1 .CV = B.X ⇒ V = B.A-1 .C

32) Solução: Calculando o determinante desta matriz, obtemos:(sen(x).cos(x) + sen(x)) – (sen(x).cos(x) + cos2 (x)) = sen(x).(1 – cos2(x)) = sen(x),sen2(x) = sen3(x).

Gabarito: D33) Solução. A matriz identidade de ordem 2 é

1 0 0 1

. Sendo M a matriz indicada e efetuando as opera-ções, temos:

I) M – hl = –3 0 4 5 – k

1 0 0 1 =

–3 0 4 5 –

k 0 0 k = –3 –k 0

4 –0 5 – k

EM2M

AT05


12

II) det –3 –k 04 –0 5 – k = 0 ⇒ (– 3 – k) . (5 – k) – (4) . (0) = ⇒ (– 3 – k) . (5 – k) = 0 ⇒

– 3 – k = 0 ⇒ k = – 3

5 – k = 0 ⇒ k = 5 Gabarito: C

34) Solução:Multiplicando – se as duas raízes, obtemos:

10 + x – 2

5x – y –3x – 4 , e somando seus elementos, obtemos a equação: 2x + 4 = 10 (utilizando a informação do problema). Logo: x = 3. E calculando o determinante de cada matriz e utilizando a informação da letra b, obtemos a equação: (- x – 2) + (20 + 3y) = 18, ou seja, ( - 3 – 2 ) + (20 + 3y) = 18 → 3y = 3 → y = 1.

Portanto, temos: x = 3 e y = 1.

35) Solução: Calculando o determinante, encontramos a equação: 2.cos2 a – ( - 2.sen2 a) = 2. (cos2 a + sen2 a) = 2.1 = 2.

Gabarito: D

36) Solução:Sendo A, a quantidade de acertos e E a quantidade de erros, temos as seguintes equações:

A + E = 2010. A – 5.E = 50

, resolvendo este sistema, obtemos: A = 150/15 = 10, logo: E = 10 (verifique).

Gabarito: C

37) Solução: Sendo: C → Carlos; B → Bidu; A → Andréia, temos:

C + B = 87C + A = 127A + B = 66

, e subtraindo as duas primeiras equações, temos que: A – B = 40. Somando esta nova

equação com a terceira, obtemos: 2.A = 106, logo: A = 53. Com isso, descobrimos os pesos de B e C, sendo B = 13 e C = 74.

Gabarito: E

38) Solução:Sendo: Luis = L e Maria = M, teremos as seguintes equações: L+M = 104M = 3L+12Substituindo M na primeiraL + 3L + 12 = 1044L = 104 - 124L = 92L = 92/4L = 23Gabarito: A.

39) Solução: Sendo:A = quantidade de cédulas de 1 B = quantidade de cédulas de 5 C = quantidade de cédulas de 10 Obtemos as seguintes equações:

EM2M

AT05


13

A+B+C = 92

A=C

B=?

Como A=C, temos que A + B + A = 92, B = 92 - 2A

A + 5B + 10C = 500

Como A = C e B = 92 - 2A, temos que :

A + 5 (92 - 2A) + 10A = 500

A - 10A + 10 A = 500 - 460

A = 40

B = 92 - 2A B = 92 - 80 B = 12

Resposta: 12 cédulas de 5 reais

Gabarito: A

40) Solução. Considerando p, g e m o número, respectivamente, de patos, galinhas e marrecos com-prados, temos:

p + g + m = 50 → x (– 5)12p + 5g + 15m = 440

⇒ – 5p – 5g – 5m = – 25012p + 5g + 15m = 440 ⇒ 7p + 10m = 190 ⇒ m = 190 – 7p

10 .

Repare que m é um número inteiro e positivo. Logo, (190 – 7p) deve ser múltiplo de 10. Então, p deve ser múltiplo de 10. Substituindo valores e observando que p > m, temos:

p = 10 ⇒ m = 190 – 7(10)10

= 190 – 7010

= 12010

= 12 → p < m (não!)

p = 20 ⇒ m = 190 – 7(10)10

= 190 – 14010

= 5010

= 5 → p < m (ok!)

p = 30 ⇒ m = 190 – 7(30)10

= 190 – 21010

= –2010

< 0 → (não!)

Gabarito: B

41) Solução:Você sabe que ele andou pelo perímetro todo do muro interno e externo e mais a ponte, então

você vai passar o muro interno para as medidas de lado A e B e a ponte tem tamanho L que é igual em todos os lados entre os muros, logo a conta vai ficar:

EM2M

AT05


14

1 volta no muro externo + ponte + 1 volta no muro interno = 5320 [ (L + A + L) + ( L + B + L) + (L + A + L) + (L + B + L) ] + L + [ A + B + A + B ] = 5320 2x(A + 2L) + 2x(B + 2L) + L + 2A + 2B = 5320

Fazendo o mesmo para agora 2 voltas no muro externo: 2x[ (L + A + L) + ( L + B + L) + (L + A + L) + (L + B + L) ] + L + [ A + B + A + B ] = 8120 4x(A + 2L) + 4x(B + 2L) + L + 2A + 2B = 8120

Agrupando todos os termos vai chegar no sistema: 4A + 4B + 9L = 5320 6A + 6B + 17L = 8120

Como você quer descobrir o L e não A e B, você pode agrupá-los como se fosse uma varíavel e assim não vai precisar calculá-los:

4(A+B) + 9L = 5320 6(A+B) + 17L = 8120

4 W + 9L = 5320 6 W + 17L = 8120

Agora basta isolar a variável L e calcular, chegando a L = 40.

Gabarito: B

42) Solução:Multiplicando a primeira equação por 2 e a segunda por 3, e somando as duas, obtemos a seguinte

equação: 5x +13y = 70. Somando a segunda a equação com a terceira, obtemos a equação: x + y = 6. Resolvendo o sistema

de equações: 5x + 13y = 70x + y = 6

, obtemos: x = 1 e y = 5. Com isso, substituindo esses valores em

qualquer uma das três equações do sistema, obtemos z = - 6. Logo:X + y + z = 1 + 5 – 6 = 0

Gabarito: A

43) Solução:Mesa A = ocupada por 4 pessoas Mesa B = ocupada por 2 pessoas.

Total de fregueses: 4A + 2B = 38 Total de mesas: A + B = 12 Arma-se o sistema a partir dessas 2 equações.

4A + 2B = 38 A + B = 12 x(-2)

EM2M

AT05


15

4A + 2B = 38 -2A - 2B = -24

soma-se essas duas equações encontrando: 2A = 14 A = 7

Se A + B = 12, então: 7 + B = 12 B = 5

Resposta: 5 mesas são ocupadas por 2 pesso-as.

Gabarito: B

44) Solução:Se é dito que para cada maçã havia tangeri-

nas, significa que se houver maçã haverá tange-rinas, ou seja, o número de tangerinas é o dobro do número de maçãs;

t = 2.mEsta é a primeira equação do nosso sistema.

Se é o número de dúzias de tangerinas, é o nú-mero de dúzias de maçãs e é o número de dúzias de pêras, a soma destes números dará a quanti-dade total de dúzias:

t + m + p = 90Esta é a segunda equação do sistema.

Se t é a quantidade de dúzias de tangerinas, ao multiplicarmos por 12 este valor 4 teremos a quantidade de tangerinas. Se dividirmos a quan-tidade de tangerinas por teremos a quantidade de lotes de tangerinas. O mesmo raciocínio para os outros e teremos:

12t6

lotes de tangerinas

12t6

lotes de maçãs

12t4

lotes de peras

Portanto, a quantidade de lotes é12t6

+ 12t6

+ 12t4

Se multiplicarmos esta quantidade total de lotes pelo preço de cada lote, teremos o valor conse-guido na venda:

12t6 + 12t

6 + 12t4

. 0,50 = 105.

Esta é a terceira equação do nosso sistema.

Com estas três novas equações, se você resolver, terá como resposta m = 20, t = 40 e p = 30.

45) Solução:Sendo: x = 1, teremos o sistema:

cy + y = –1c + y = –1

, logo: cy + y = c + y → cy = c → c.(y – 1) = 0.

Como c ≠ 0, então: y – 1 = 0 → y = 1. Subs-tituindo este valor em qualquer equação acima, encontramos: C = -2.

Gabarito: B

Desafiando

46) Solução:a) O exercício pede para que calculemos a soma da diagonal principal da matriz A. Como não temos valor exato de "n" teremos de lidar com duas possibilidades:

• "n" ser par:-1 + 1 = 0-1 + 1 -1 + 1 = 0

O resultado sempre será 0.• "n" ser ímpar:(-1) + 1 + (-1) = -1(-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) = -1

O resultado sempre será -1.

b) A quarta linha da Matriz A sabemos que será da forma (1 1 1 1...) portanto não precisamos nos preocupar com ela sendo o "1" fator neutro na multiplicação.

A segunda Coluna da Matriz B será (2 4 8 16...):Portanto temos uma PG. No caso o exercício

nos dá o SOMATÓRIO dos elementos desta colu-na da PG. Precisaremos então para determinar o número de linhas descobrir qual o posiciona-mento deste último termo na PG.

EM2M

AT05


16

Sn = a1.(qn – 1)/(q – 1), logo:, teremos que: 4094 = 2.(2n – 1)/(2 – 1) → 2n + 1 – 2 = 4094 → 2n + 1 = 4096 → 2n + 1 = 212,

logo: n + 1 = 12 → n = 11

47) Solução:a) A2 = A x A =

1 10 1

x 1 10 1

= 1 20 1

e

A3 = A2 x A = 1 20 1

x 1 10 1

= 1 30 1

b) Como: An = 1 n0 1

, temos que: Ak2 – A5k + A6 =

1 k2 – 5k + 60 1

= 1 00 1

, logo:

k2 – 5k + 6 = 0, ou seja, k = 2 ou k = 3.

48) Solução:

Sendo A = –5 –33 2

→ A–1 = –2 –33 5

e At =

–5 –3–3 2

I = 1 00 1

→ I2 = –2 –33 5

+ –5 3–3 2

– 1 00 1

,

logo:

A–1 + At – I2 = –2 –33 5

+ –5 3–3 2

– 1 00 1

=

–8 00 6

.

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 2017

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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO

2º ANO – 2016 / 2017

MATEMÁTICA I1o BIMESTRE

EM2MAT01: Estatística: como organizar e interpretar dados matemáticos?• Reconhecerostiposdegráficos(barras,setoreselinhas);• Compreenderatabeladefrequênciaeohistograma;• Diferenciarasmedidasde tendênciacentralededispersãoassimcomo identificarasmedidasde

tendênciacentraloudedispersãoemumconjuntodedadosexpressosemumatabeladefrequênciascomdadosagrupadosouemgráficos;

• Resolverproblemasenvolvendoasmedidasdetendênciacentralededispersãoedeexercícioscomanálisedegráficos.

2o BIMESTRE

EM2MAT02: Análise Combinatória: aprendendo a fazer diversos tipos de contagem• Assimilaraimportânciadoprocessodetomadadedecisõeseprincípiosmultiplicativos;• Apresentaraoperaçãofatorialeoseufuncionamento;• IntroduziroPrincípioFundamentaldaContagemcomobaseparaaAnáliseCombinatória;• Estabelecerosconceitosdepermutação,arranjoecombinação,bemcomosuasrestrições;• Aplicarasferramentasdesenvolvidasemproblemascontextualizadoseatuais.

3o BIMESTRE

EM2MAT03: Probabilidade: como calcular a probabilidade de eventos?• EstruturarasnoçõesdeEspaçoAmostral,EventoeProbabilidade;• Resolverproblemasiniciaisdeprobabilidade;• Reconheceradependênciaouindependênciadeeventos;• Percebercomoelasafetamocálculodeprobabilidadescondicionais;• Utilizarconectivos“e”e“ou”paratratardeprobabilidadescommaisdeumevento.

4o BIMESTRE

EM2MAT04: Sequências: estudando progressões aritméticas e geométricas• Reconhecerpadrõesnaformaçãodesequênciasnuméricas;• Definirconceitos,propriedadeserelaçõesdeumaProgressãoAritmética;• Definirconceitos,propriedadeserelaçõesdeumaProgressãoGeométrica;• AssimilarasrecorrentesformasdediferenciarumaPAdeumaPG;• Resolverproblemasdesequênciasnuméricasaplicandotaisconceitos.

2

MATEMÁTICA II

1o BIMESTRE

EM2MAT05: Matrizes: como estudar matrizes, determinantes e sistemas lineares?• Compreenderosignificadodeumamatriz;• Realizaroperaçõesenvolvendomatrizes;• Calculardeterminantesdematrizesquadradaseassimilarasdiversaspropriedadesassociadasàs

matrizes;• Utilizarconceitosdematrizesparadeterminarconjuntos-soluçãodesistemaslineares.

2o BIMESTRE

EM2MAT06: Geometria Espacial: como estudar poliedros, prismas e pirâmides?• Compreenderadefiniçãodepoliedro,suaclassificaçãoeaaplicaçãodarelaçãodeEuler;• Reconhecerprismasecalcularsuasáreasdabase,lateraletotalevolume,inclusivedeparalelepípedo

ecubo.• Reconhecerpirâmidesecalcularsuasáreasdabase,lateraletotalevolume,inclusivedotetraedro

regular.• Resolverproblemasenvolvendopoliedros,prismasepirâmides.

3o BIMESTRE

EM2MAT07: Geometria Espacial: estudando cilindros, cones e sólidos de revolução• Definiroqueéumcone,mostrandoseusprincipaiselementos,planificações,ededuzindooscálculos

deáreasevolume;• Resolverproblemasenvolvendosólidosderevolução,emespecialcilindrosecones;• Definiroqueéumcilindro,apresentandoseusprincipaiselementos,planificações,eoscálculosde

áreasevolume;• Construircilindrosapartirdarevoluçãodefigurasplanas.

4o BIMESTRE

EM2MAT08: Geometria Espacial: quais as principais características de esferas e troncos?

• Compreenderaseçãonaesferaearelaçãoentreadistânciadocentroaoplanodeinterseção,oraiodeinterseçãoeraiodeesfera;

• Diferenciaraspartesdaesfera(calota,fusoecunha);• Identificaráreasevolumesdaesferaedetroncosdesólidos,comopirâmidesecones;• Trabalharcomainscriçãoecircunscriçãodesólidos;• Resolverproblemasenvolvendoesferas,troncos,inscriçãoecircunscriçãodesólidos.


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ORIENTADOR METODOLÓGICO PADRÃO

ENSINO MÉDIO 2017/2018

O material didático da Irium Educação foi reformulado para o biênio 2017/2018 com o intuito de estar atualizado com as demandas educacionais dos principais concursos do país e alinhado com os pilares educacionais elementares defendidos pela editora.

Além de conter um projeto pedagógico de vanguarda, o projeto gráfico é totalmente inovador. O design de cada página foi projetado para ser agradável para a leitura e atrativo visualmente, favorecendo a aprendizagem. Há uma identidade visual para cada disciplina e as seções são marcadas com foco artístico e acadêmico.

Veja algumas páginas:

2

Didaticamente, há um projeto traçado que envolve fundamentos pedagógicos de vanguarda. Além disso, o material impresso dialoga com sites e aplicativos, e vídeos dispostos na videoteca do irium.com.br.

Confira os fundamentos pedagógicos do material e suas justificativas:

Fundamento 01:Apresentar um conteúdo com ementa e nível de acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs), refletidos pelos principais concursos do país do referido segmento.

Descrição: O conteúdo de cada série segue as orientações dos PCNs e conteúdo programático do exame nacional do Ensino Médio (ENEM). Existem duas linhas de material. O pacote Otimizado aborda todo o conteúdo dividido em três anos, enquanto o Padrão encerra todo o conteúdo nos dois primeiros anos, e o terceiro ano funciona como um pré-vestibular abordando toda a ementa do ENEM e dos principais vestibulares do Brasil.

Fundamento 02:Alinhar desde o princípio os objetivos pedagógicos de cada caderno (capítulo).

Descrição: Ainda na capa de cada caderno (capítulo), professores e alunos encontrarão os objetivos a serem alcançados naquela unidade. Dessa forma, pretende-se que docentes e discentes comecem “com o objetivo em mente”, ou seja, que tenham clareza desde o início dos objetivos.

Como funciona na prática? Logo na capa do caderno, sugerimos que o professor apresente os objetivos pedagógicos do caderno, ou seja, o que o aluno deve assimilar e quais competências ele deve desenvolver, quando o caderno estiver com a teoria lecionada e os exercícios realizados.

Na capa do caderno de Hidrostática, ao lado, ao ler os objetivos da unidade, junto com os alunos, o professor deixa claro que visa ensinar, para compreensão dos alunos, compreender os conceitos de pressão, massa específica e densidade de um corpo, assim como o teorema de Stevin, de Arquimedes e o princípio de Pascal.


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Fundamento 03:Transcender o conteúdo tradicional, a partir do diálogo entre este e outros saberes, não previstos na Base Nacional Comum, mas considerados relevantes para a formação do jovem, segundo a visão da Irium Educação.

Descrição: Além do conteúdo tradicional, o material do Ensino Médio é focado em novos saberes essenciais para a formação dos jovens hoje em dia. Saberes como Economia, Noções de Nutrição, Geopolítica e Meio Ambiente são apresentados de forma dialógica com os conteúdos tradicionais. De forma prática, em cada caderno há pelo menos uma inserção transdisciplinar em formato de observação. Essas inserções surgem no material impresso em uma versão reduzida e o artigo na íntegra pode ser acessado no site do projeto 4newsmagazine.com.br.

Como funciona na prática? As inserções são apresentadas em um quadro específico e o conteúdo é exposto pela bandeira interdisciplinar 4NEWS MAGAZINE. Esta é uma revista de atualidades que possui uma linguagem própria da adolescência, o que gera identificação com os alunos. Com isso, terão a oportunidade de ler, entender e debater temas importantes do Brasil e do mundo de uma forma mais interessante para a faixa etária que se encontram. Para os professores, fica a sugestão de utilizar esses artigos transdisciplinares para apresentar como o conteúdo presente “dialoga” com outros, estendendo a aprendizagem e mostrando outras áreas do conhecimento com as quais alguns alunos, com certeza, irão se identificar. Esse fundamento do material didático é uma grande oportunidade para fazer conexões entre os saberes, valorizando cada um e ainda mais a sinergia entre eles. Além do artigo presente na apostila, os educadores podem incentivar os discentes a acessar o conteúdo completo, no site, possibilitando a navegação por outros artigos e, consequentemente, o acesso a mais informações de qualidade. Veja no recorte abaixo, como a notícia sobre a influência da igreja católica na geopolítica mundial foi utilizada para dialogar com o caderno de História do 3º ano “Formação do Brasil colonial”, enriquecendo ainda mais o conhecimento cultural do aluno.

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Fundamento 04:Sugerir contextos para apresentação dos conteúdos a fim de tornar o aprendizado mais prático e concreto para o aluno.

Descrição: Um desafio para os educadores é não cair no “conteudismo” puro, distante da aplicabilidade desses e da realidade dos alunos. Para isso não acontecer, o material traz sugestões de contextualizações para o início do conteúdo, além de outras exemplificações práticas ao longo da apresentação da teoria.

Como funciona na prática? Na segunda página de cada caderno, há uma charge, uma tirinha, uma citação, um meme ou outra representação que o professor pode usar como “gancho” para iniciar a sua aula de forma contextualizada, trazendo mais significado para o aprendizado desde o início da aula. Repare que o texto abaixo (à esquerda) propõe uma reflexão sobre o porquê alguns corpos flutuam e outros não. Essa provocação cabe perfeitamente para o início da exposição, considerando que se pretende explicar o conceito de hidrostática, ou seja, ciência que estuda os líquidos em equilíbrio estático. No outro exemplo (à direita), o autor inseriu uma imagem para criticar a concentração fundiária no Brasil.


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Fundamento 05:Promover uma linguagem mais dialógica e sedutora para o aluno, a fim de sensibilizá-lo para a importância do conteúdo, facilitando o processo de aprendizagem.

Descrição: A forma como as informações são apresentadas é essencial para criar simpatia ou rejeição por parte dos alunos. Pensando nisso, reformulamos a linguagem do material, especialmente no início de cada caderno, na primeira impressão, para que ela fosse mais atrativa para os jovens. Assim, o texto “conversa” com o leitor, favorecendo a apresentação do conteúdo e evitando rejeições devido a forma como ele é apresentado.

Como funciona na prática? Os textos do material não possuem linguagem coloquial, eles são técnicos. Porém, não são puramente técnicos no sentido tradicional. Eles buscam uma aproximação do educando, como se o autor estivesse “conversando” com o leitor. Esse tipo de construção favorece a compreensão, e os professores podem usar isso em exercícios como: reescreva determinado texto com suas palavras, deixando claro o que você entendeu. Nos textos tradicionais, normalmente, os alunos têm dificuldade de entenderem sozinhos. Veja os textos abaixo como são convidativos.

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Fundamento 06:Articular conteúdo e exercícios de forma planejada, a fim de tirar o melhor proveito desses últimos, funcionando como validação dos conceitos básicos trabalhados ou espelhando a realidade dos mais diversos concursos.

Descrição: Há três seções de exercícios “tradicionais”. Os Praticando possuem o aspecto de validação da aprendizagem, os Aprofundando refletem a clássica abordagem dos concursos e os Desafiando (somente na versão Padrão) são os mais difíceis, até mesmo para os principais concursos do país. Existem também, em todas as seções, questões resolvidas em vídeo. Elas estão sinalizadas com um ícone de uma câmera, que indica que há solução gravada, e podem ser localizadas pelo código justaposto. Através desse código, o aluno-usuário deverá acessar a área da Videoteca, localizada em irium.com.br.

Como funciona na prática? Os exercícios Praticando, por serem validações da aprendizagem, permeiam a teoria, ou seja, teoria 1 → praticando 1 → teoria 2 → praticando 2 → ... Os Aprofundando servem como mini simulados de concursos e são recomendados “para casa” para serem corrigidos na aula seguinte. Os Desafiando, por serem os mais difíceis, podem valer pontos extras em atividades a parte.

Fundamento 07:Incentivar o aluno a estender sua aprendizagem além da sala de aula, seja com links para sites e aplicativos ou através de atividades complementares de pesquisa e reflexão.

Descrição: O material possui também atividades não ortodoxas. As questões “tradicionais” são testes para verificar se o aluno consegue reproduzir aquilo que deveria ser aprendido. Na seção Pesquisando, o material propõe exercícios novos, que incentivam a pesquisa on-line e off-line, reflexões sobre escolhas e comportamentos e servem também, para possibilitar a atuação dos responsáveis na educação formal do filho, pois podem ajudá-los nas pesquisas e reflexões sugeridas pela atividade. Para o terceiro ano, não há a sugestão da atividade Pesquisando, mas uma seção denominada Competências e Habilidades onde são informadas e trabalhadas as cento e vinte habilidades da matriz de referência do ENEM.


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Como funciona na prática? A seção Pesquisando é constituída de exercícios “fora da caixinha”, isto é, aqueles que exigem pesquisas e/ou reflexões. Há algumas utilizações pedagógicas interessantes para essa seção. Exemplos: 1) O professor poderia pedir um caderno separado para registro desses exercícios. Ao final ele teria um verdadeiro portfólio da produção dos alunos ao longo de determinado tempo; 2) Os pais poderiam ser convidados a participar da educação formal do filho, ajudando-o ou simplesmente perguntando sobre os temas abordados nesses exercícios, pois são mais fáceis para esse intuito do que os exercícios tradicionais; 3) O aluno poderia exercitar sua oratória apresentando atividades propostas nessa seção; 4) Alguns Pesquisando podem ser usados como temas para debates em sala, desenvolvendo as habilidades de ouvir e compreender o outro, além, obviamente, da capacidade de argumentação.

A seção Competências e Habilidades, presente no material do terceiro ano, informa qual(is) habilidade(s) está(ão) relacionada(s) àquele conteúdo, qualificando o educando nesse conteúdo.

Fundamento 08:Oferecer informações sintetizadas, a fim de atender momentos de revisão do conteúdo.

Descrição: No final de todo caderno, apresentamos uma seção denominada Resumindo, onde é apresentada uma síntese do conteúdo do caderno. O intuito é possibilitar que o aluno tenha um resumo bem construído para uma revisão rápida, quando necessária.

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CONTEÚDO PROGRAMÁTICOENSINO MÉDIO 2017

2o anoMATEMÁTICA I

1o bimestre:

Aula 01Tópico EM2MAT01: Estatística: como organizar e interpretar dados matemáticos?

Objetivos Compreender a tabela de frequência e o histograma; • Reconhecer os tipos de gráficos (barras, setores e linhas).Subtópicos Introdução à Estatística; O estudo das tabelas; A análise gráfica.Exercícios xPara casa Praticando 1 ao 5.


Objetivos Diferenciar as medidas de tendência central e de dispersão assim como identificar as medidas de tendência central ou de dispersão em um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências com dados agrupados ou em gráficos;Subtópicos Medidas de tendência central.Exercícios xPara casa Resenha de Medidas de dispersão.


Objetivos Diferenciar as medidas de tendência central e de dispersão assim como identificar as medidas de tendência central ou de dispersão em um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências com dados agrupados ou em gráficos;Subtópicos Medidas de dispersão.Exercícios xPara casa Praticando 6 ao 10.


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Objetivos Resolver problemas envolvendo as medidas de tendência central e de dispersão e de exercícios com análise de gráficos.Subtópicos RevisãoExercícios Aprofundando.Para casa Aprofundando.




Objetivos • Resolver problemas envolvendo as medidas de tendência central e de dispersão e de exercícios com análise de gráficos.Subtópicos RevisãoExercícios Aprofundando.Para casa Aprofundando.




Objetivos Resolver problemas envolvendo as medidas de tendência central e de dispersão e de exercícios com análise de gráficos.Subtópicos RevisãoExercícios Aprofundando.Para casa Desafiando.

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Objetivos Resolver problemas envolvendo as medidas de tendência central e de dispersão e de exercícios com análise de gráficos.Subtópicos RevisãoExercícios Desafiando.Para casa Revisão bimestral.

Aula 10Tópico Revisão

Objetivos Revisão para as provas bimestrais.Subtópicos XExercícios Coletânea dos exercícios do bimestre.Para casa X

MATEMÁTICA II

1o bimestre:

Aula 01Tópico EM2MAT05: Matrizes: como estudar matrizes, determinantes e sistemas lineares?

Objetivos Compreender a construção e lei de formação de uma matriz.Subtópicos Matrizes: definição e classificação; Operações com matrizes.Exercícios xPara casa Praticando 1 ao 6.


Objetivos Realizar operações com matrizes.Subtópicos Matrizes: definicão e classificação; Operações com matrizes.Exercícios Praticando 1 ao 6.Para casa Resenha de Determinante.


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Objetivos Calcular determinantes de matrizes quadradas e assimilar as diversas propriedades associadas às matrizes;Subtópicos Determinante.Exercícios xPara casa Praticando 7 ao 9.


Objetivos Calcular determinantes de matrizes quadradas e assimilar as diversas propriedades associadas às matrizes;Subtópicos Determinante.Exercícios Praticando 7 ao 9.Para casa Resenha de Matriz inversa.


Objetivos Utilizar conceitos de matrizes para determinar conjuntos-solução de sistemas lineares.Subtópicos Matriz inversa.Exercícios Praticando 10 ao 12.Para casa Resenha de sistemas lineares.


Objetivos Utilizar conceitos de matrizes para determinar conjuntos-solução de sistemas lineares.Subtópicos Sistemas lineares.Exercícios xPara casa Praticando 13 ao 15.

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Objetivos Utilizar conceitos de matrizes para determinar conjuntos-solução de sistemas lineares.Subtópicos Sistemas lineares.Exercícios Praticando 13 ao 15.Para casa Aprofundando.


Objetivos Resolver problemas envolvendo matrizes, determinantes e sistemas lineares.Subtópicos xExercícios Aprofundando.Para casa Aprofundando.


Objetivos Resolver problemas envolvendo matrizes, determinantes e sistemas lineares.Subtópicos RevisãoExercícios Aprofundando.Para casa Desafiando; Revisão bimestral.

Aula 10Tópico Revisão

Objetivos Revisão para as provas bimestrais.Subtópicos xExercícios Coletânea dos exercícios do bimestre.Para casa x

PROF. 2o ANO MATEMÁTICA PADRÃO VOL. I · contrará uma síntese com as principais informações...

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