Prof a. Raquel Giulian Prof. Leonardo Albuquerque ... · 3ª semana: Lei de Gauss (fluxo elétrico,...

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1 Prof a . Raquel Giulian Prof. Leonardo Albuquerque Heidemann Porto Alegre, 2018 2

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Page 1: Prof a. Raquel Giulian Prof. Leonardo Albuquerque ... · 3ª semana: Lei de Gauss (fluxo elétrico, campo elétrico ... Aula de problemas e PROVA II 10º e 11ª semanas: Campo Magnético

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Profa Raquel Giulian

Prof Leonardo Albuquerque Heidemann

Porto Alegre 2018

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Sumaacuterio

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Sumaacuterio

Introduccedilatildeo 5 Notaccedilatildeo Vetorial 6 Conteuacutedo Programaacutetico 7 Problemas Selecionados 10

(A) Carga eleacutetrica 11

(B) Campo eleacutetrico 13

(C) Lei de Gauss 16

(D) Potencial eleacutetrico 18

(E) Capacitacircncia 20

(F) Corrente e resistecircncia 22

(G) Campo magneacutetico 25

(H) Lei de Faraday 32

(I) Indutacircncia 34

(J) Corrente Alternada 37

Sumaacuterio

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Manual de Laboratoacuterio 40

O processo de medida no laboratoacuterio de Fiacutesica 41

Lab 1 ndash Instrumentos de medida e incertezas 53

Circuito RC ndash armazenando energia para utilizar

no momento certo 56

Lab 2 ndash Circuito RC ndash seacuterie 63

Medindo campos magneacuteticos 67

Lab 3 ndash Projeto 72

Medindo grandezas que variam rapidamente com o tempo 77

Compreendendo a conta de energia eleacutetrica 81

Lab 4 ndash Circuito RLC ndash seacuterie 88

Respostas 95

Bibliografia 99

Introduccedilatildeo

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Introduccedilatildeo

Este livro eacute uma ferramenta de apoio agraves aulas de FIacuteSICA GERAL ndash ELETROMAGNETISMO do Instituto de Fiacutesica - UFRGS A primeira parte traz uma seleccedilatildeo de exerciacutecios e problemas que podem ser utilizados para melhor compreensatildeo dos conteuacutedos vistos em aula Os exerciacutecios sugeridos aqui devem servir apenas como um guia satildeo exemplos do niacutevel de dificuldade que pode ser exigido nas avaliaccedilotildees durante o curso O aluno que sentir dificuldade em resolver os exerciacutecios aqui sugeridos deve procurar apoio em outros materiais didaacuteticos que trazem um nuacutemero muito maior de exerciacutecios com variados graus de dificuldade

A segunda parte consiste num MANUAL DE LABORATOacuteRIO um conjunto de atividades que seratildeo realizados nas aulas experimentais O meacutetodo de avaliaccedilatildeo das atividades experimentais deve ser discutido com o professor

Este material estaacute em constante desenvolvimento e foi elaborado a com significativa contribuiccedilatildeo dos professores de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo da UFRGS em especial os professores Cristiano Krug Gabriel Vieira Soares Livio Amaral e Luiz Fernando Ziebell Muitas alteraccedilotildees foram feitas em relaccedilatildeo agraves ediccedilotildees anteriores para melhor atender agraves necessidades da disciplina Os exerciacutecios e problemas satildeo adaptaccedilotildees dos exerciacutecios sugeridos em livros de Fiacutesica Geral

Sugestotildees satildeo bem vindas e podem ser enviadas para os autores atraveacutes do e-mail raquelgiulianifufrgsbr

Notaccedilatildeo Vetorial

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Notaccedilatildeo Vetorial

A notaccedilatildeo vetorial eacute ferramenta fundamental para o estudo do eletromagnetismo Neste livreto vetores estatildeo escritos no seguinte formato

= lang minus rang 13

que eacute equivalente a = minus + (13) ou ainda a = minus + (13) Quando o vetor tiver apenas uma componente

natildeo nula por exemplo na direccedilatildeo (ou ) entatildeo o vetor em questatildeo deve ser escrito da seguinte forma

= lang0 0 rang 13

Essa disciplina eacute ministrada por diversos professores cada um com suas preferecircncias quanto agrave notaccedilatildeo vetorial entre outros fatores Vocecirc como aluno tem o direito de escolher a notaccedilatildeo que lhe for mais conveniente desde que mantidas a coerecircncia e a exatidatildeo A notaccedilatildeo utilizada neste livreto natildeo eacute necessariamente a mesma do que a utilizada nas aulas e avaliaccedilotildees Converse com seu professor para qualquer esclarecimento

Conteuacutedo Programaacutetico

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Conteuacutedo Programaacutetico

O conteuacutedo seraacute dividido em quatro aacutereas Ao final de cada aacuterea seraacute realizada uma prova que pode abranger todo o conteuacutedo visto ateacute entatildeo

1ordf semana Carga eleacutetrica (condutores isolantes carga induzida e forccedila eleacutetrica) Campo eleacutetrico (lei de Coulomb dipolo eleacutetrico)

2ordf semana Campo eleacutetrico (momento de dipolo eleacutetrico energia potencial eleacutetrica distribuiccedilotildees discretas e contiacutenuas de carga distribuiccedilotildees contiacutenuas de carga)

3ordf semana Lei de Gauss (fluxo eleacutetrico campo eleacutetrico proacuteximo a objetos simeacutetricos carregados cargas em condutores) PROVA I

4ordf semana Potencial eleacutetrico (potencial diferenccedila de potencial diferenccedila de energia potencial superfiacutecie equipotencial potencial proacuteximo a objetos carregados)

5ordf semana Laboratoacuterio 1 Capacitacircncia (capacitor de placas paralelas diferenccedila de potencial num capacitor capacitores ciliacutendricos e esfeacutericos capacitores em seacuterie e em paralelo capacitores com dieleacutetricos energia armazenada num capacitor)

6ordm semana Carga e descarga de capacitores Corrente e

resistecircncia (conservaccedilatildeo de carga corrente convencional e corrente de eleacutetrons densidade de corrente velocidade de deriva resistores resistividade e resistecircncia lei de Ohm)

Conteuacutedo Programaacutetico

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7ordf semana Circuitos (baterias forccedila eletromotriz resistores em seacuterie e paralelo circuitos com baterias e resistores potecircncia em circuitos efeito Joule) Laboratoacuterio 2

8ordm semana Circuito RC (corrente num circuito com capacitor carregando eou descarregando)

9ordm semana Aula de problemas e PROVA II

10ordm e 11ordf semanas Campo Magneacutetico (lei de Biot-Savart campo magneacutetico produzido por corrente campo magneacutetico da Terra espira de corrente momento de dipolo magneacutetico dipolo magneacutetico lei de Gauss do magnetismo forccedila eletromagneacutetica forccedila magneacutetica num fio com corrente torque energia potencial magneacutetica) Laboratoacuterio 3

12ordf semana Lei de Ampegravere Efeito Hall Propriedades

Magneacuteticas da Mateacuteria (diamagnetismo paramagnetismo ferromagnetismo)

13ordf semana Laboratoacuterio 4 Aula de problemas e PROVA III

14ordf semana Lei de Faraday-Lenz (forccedila eletromotriz induzida fluxo magneacutetico variaacutevel no tempo transformadores corrente induzida)

15ordf semana Equaccedilotildees de Maxwell (corrente de deslocamento) Indutacircncia (indutores solenoide toroide) Laboratoacuterio 5

16ordf semana Corrente alternada (circuito RL e LC densidade de energia conservaccedilatildeo de energia)

17ordf semana Corrente alternada (circuito RLC ressonacircncia circuito resistivo capacitivo e indutivo circuito RLC forccedilado impedacircncia fator de potecircncia constante de fase diagrama de fasores) Laboratoacuterio 6

Conteuacutedo Programaacutetico

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18ordf semana Aula de problemas e PROVA IV

19ordf semana Divulgaccedilatildeo dos resultados

20ordf semana RECUPERACcedilAtildeO OU EXAME

Problemas Selecionados

Problemas Selecionados

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(A) Carga Eleacutetrica

A1 ndash Se vocecirc grudar um pedaccedilo de fita adesiva na mesa e desgrudaacute-lo puxando rapidamente uma das pontas a fita ficaraacute carregada eletricamente Supondo que a fita adesiva tenha 20 de comprimento e 1 de largura e que ao fazer isso vocecirc consiga arrancar 1 eleacutetron de cada aacutetomo da superfiacutecie da fita qual seraacute a carga eleacutetrica total da fita (por simplicidade considere o raio atocircmico = 1 Å)

A2 ndash Repetindo o mesmo procedimento com outro pedaccedilo idecircntico de fita adesiva e aproximando os dois pedaccedilos a uma distacircncia de 5 qual seraacute a forccedila eleacutetrica entre eles

A3 ndash Quatro partiacuteculas carregadas estatildeo dispostas no plano XY sendo = langminus3 0 0rang $ = lang 0 0rang amp = lang0 2 0rang e = lang0 minus2 0rang as distacircncias das cargas ateacute a origem A carga da partiacutecula 2 eacute ($ = 80 times 10-C a carga das partiacuteculas 3 e 4 eacute (amp = ( = minus1 6 times 10-C Qual deve ser a distacircncia para que seja nula a forccedila resultante sobre a partiacutecula 1

A4 ndash O dado mostrado na figura ao lado possui lado = 15 Qual a forccedila (vetor) exercida sobre a partiacutecula indicada pela seta devido agrave presenccedila das demais cargas Use notaccedilatildeo vetorial para indicar sua resposta (Dica defina a origem dos eixos cartesianos no veacutertice que estaacute escondido com o eixo z para cima Calcule as componentes da forccedila nas

direccedilotildees e separadamente soacute entatildeo some as componentes que estatildeo na mesma direccedilatildeo)

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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A5 ndash Trecircs partiacuteculas carregadas estatildeo dispostas num plano XY a

partiacutecula 1 na posiccedilatildeo 0- = lang0 15 0rang a partiacutecula 2 na posiccedilatildeo 0$ = lang0 minus15 0rang e a partiacutecula 3 na posiccedilatildeo 0amp = lang 0 0rang com liberdade para se mover no eixo (- = ($ = 32 times 10-C (amp = minus64 times 10-C pode variar de 0 a 5 Qual o valor de para que a forccedila exercida sobre a partiacutecula 3 (pelas demais cargas) seja (a) miacutenima e (b) maacutexima Quais satildeo os valores (c) miacutenimo e (d) maacuteximo do moacutedulo da forccedila

A6 ndash A figura ao lado mostra duas esferas condutoras de mesma massa e mesma carga ( suspensas por fios isolantes de comprimento 2 Mostre que para 2 ≫ as esferas estaratildeo em equiliacutebrio quando a distacircncia entre elas for igual a

= 4 ($2256789- ampfrasl

A7 ndash A forccedila gravitacional entre duas massas pontuais eacute muito similar matematicamente agrave forccedila eletrostaacutetica entre duas cargas pontuais A intensidade dessas forccedilas no entanto eacute extremamente diferente Para ilustrar isso considere a seguinte situaccedilatildeo Em algum lugar do espaccedilo existem duas esferas idecircnticas de poeira 50 de diacircmetro e densidade 25 8amp separadas por uma distacircncia = Se os gratildeos satildeo eletricamente neutros e estatildeo inicialmente em repouso eles iratildeo colidir devido agrave atraccedilatildeo gravitacional Agora suponha que ambos estatildeo eletricamente carregados cada um tendo um nuacutemero gt de eleacutetrons extra Encontre o menor valor de gt que iraacute evitar a colisatildeo (Considere = 667 times 10-- amp8-$)

Problemas Selecionados

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(B) Campo Eleacutetrico

B1 ndash Um iacuteon de Fe3+ estaacute localizado a 400 gt de um iacuteon de Cl- como mostra a figura ao lado (a) Qual a magnitude direccedilatildeo e sentido do campo

eleacutetrico A na posiccedilatildeo A (b) E na posiccedilatildeo B (c) Se um eleacutetron estiver na posiccedilatildeo A qual seraacute a magnitude e direccedilatildeo da forccedila sobre o eleacutetron

B2 ndash Um quadrupolo eleacutetrico eacute formado por um conjunto de dois dipolos como mostra a figura ao lado Mostre que para ≫ = a magnitude do

campo A num ponto ao longo do eixo dos quadrupolos eacute dado por

A = 6(=$4567

B3 ndash Uma barra muito longa com densidade de carga B estaacute disposta conforme a figura ao lado (Alguns autores chamam esse tipo de barra de semi-infinita pois o ponto P estaacute proacuteximo a uma das extremidades da barra enquanto a outra extremidade estaacute muito distante) Mostre

que o campo eleacutetrico A no ponto P faz um acircngulo de 45deg com a barra independente da distacircncia Y (isto eacute as componentes x e y do campo tem a mesma magnitude)

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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B4 ndash Calcule o campo A proacuteximo a uma barra carregada com carga total Q e comprimento As cargas estatildeo distribuiacutedas de forma uniforme ao longo da barra = 015 C = 8 gtD e E = 5

B5 ndash A figura ao lado mostra um anel incompleto de raio F carregado com carga total C Qual a forccedila (vetor) exercida sobre um eleacutetron que por ventura esteja localizado no ponto 0

B6 ndash Um dipolo cujo momento dipolar eacute G = lang37 50 0rang D

encontra-se numa regiatildeo onde o campo A = lang3000 0 0rang H Dfrasl Qual a energia potencial do dipolo Qual o torque que age sobre o dipolo Qual eacute o trabalho que um agente externo deve realizar para girar o dipolo ateacute que seu momento dipolar seja G = langminus50 37 0rang D

B7 ndash Calcule a magnitude direccedilatildeo

e sentido do campo A no centro de um anel de raio F carregado sendo que a distribuiccedilatildeo de cargas no anel varia como B(I) = B7 gt I

Problemas Selecionados

15

B8 ndash Duas barras isolantes de 15 de comprimento encontram-se em um acircngulo reto Uma barra possui 30 D e a outra possui minus30 D de carga uniformemente distribuiacuteda ao longo do comprimento conforme a figura ao lado Determine o campo eleacutetrico (vetor) no ponto P que estaacute a = = 750 do centro de cada barra

B9 ndash Duas barras curvas isolantes com cargas opostas de igual magnitude ( formam um ciacuterculo de raio F no plano xy conforme a figura As cargas estatildeo uniformemente distribuiacutedas na barra (a) Qual o campo eleacutetrico (vetor) no ponto P (b) Qual a resposta do item (a) se ( = 20 GD e F = 10

B10 ndash Considere um cilindro de comprimento 2 e raio J oco carregado com carga total C Vocecirc estaacute interessado em saber qual eacute

o campo eleacutetrico A ao longo do eixo do cilindro numa de suas extremidades Para isso utilize dois caminhos distintos (a) considerando que o cilindro eacute formado por uma infinidade de barras de espessura infinitesimal todas com comprimento 2 dispostas num ciacuterculo de raio J e (b) considerando que o cilindro eacute formado por uma infinidade de aneacuteis de raio J cujos eixos estatildeo alinhados e juntos formam um cilindro de comprimento 2

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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(C) Lei de Gauss

C1 ndash Uma faacutebrica de bolinhas de gude foi atingida por um raio durante uma tempestade O preacutedio foi protegido por um paacutera-raios mas algumas descargas atingiram os equipamentos que fabricavam as bolinhas Resultado eacute que a bolinha que estava na maacutequina ao cair o raio recebeu uma descarga eleacutetrica e as cargas ficaram armazenadas

no interior da bolinha de forma que a densidade de carga K() = K7 -LM

(a) Qual o campo A na superfiacutecie da bolinha que tem raio = 2 (b) E no interior da bolinha 1 abaixo da superfiacutecie (c) Qual o

campo A a 5 da superfiacutecie da bolinha

C2 ndash A figura ao lado mostra uma bolinha com massa 0004 8 e carga 8 times 10N D suspensa por um fio nas proximidades de uma grande placa condutora carregada sendo que a densidade de carga da placa eacuteminus2 times 10 D $frasl Encontre um valor para o acircngulo O

C3 ndash Uma casca ciliacutendrica isolante e muito longa tem raio interno e externo e densidade volumeacutetrica de carga K Um fio tambeacutem muito longo tem densidade linear de carga B e estaacute alinhado com o eixo central da casca Qual o campo eleacutetrico na regiatildeo entre e

Problemas Selecionados

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C4 ndash Uma carga C positiva estaacute no centro de um conjunto de calotas concecircntricas como mostra a figura abaixo O raio das calotas estaacute indicado na figura A mais externa eacute condutora e estaacute carregada com carga C negativa e a calota intermediaacuteria eacute isolante e possui carga liacutequida ( positiva distribuiacuteda de forma uniforme por

todo seu volume Calcule o campo A resultante em cada uma das 5 regiotildees indicadas na figura Indique a localizaccedilatildeo aproximada das cargas induzidas eou em excesso em cada regiatildeo e indique a direccedilatildeo e sentido dos campos eleacutetricos

C5 ndash Uma casca esfeacuterica com densidade volumeacutetrica de carga K = 20 gtDamp tem raio interno = 10 e raio externo = 2 conforme a figura Determine o moacutedulo do campo eleacutetrico para os seguintes raios a partir do centro (a) = 2frasl (b) = 15 (c) = 2

C6 ndash Usando a Lei de Gauss determine o campo eleacutetrico proacuteximo a uma placa muito grande com densidade superficial de carga P

C7 ndash Usando a Lei de Gauss determine o campo eleacutetrico proacuteximo a uma barra muito longa com densidade linear de carga B

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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(D) Potencial Eleacutetrico

D1 ndash A figura ao lado mostra um anel incompleto formado por trecircs segmentos de arco com densidade linear de carga constantesB- B$ e Bamp A menor delas tem carga total (- e comprimento de arco 54 As demais estatildeo indicadas na figura Qual o potencial eleacutetrico no centro do anel Qual deve ser a relaccedilatildeo entre as cargas para que o potencial eleacutetrico no centro do anel seja igual a zero

D2 ndash A figura ao lado mostra um dipolo eleacutetrico de momento dipolar |G| = R( Mostre que para ≫ R o potencial eleacutetrico no ponto P eacute dado por

S = 145T7G UO$

Dica quando ≫ R eacute razoaacutevel considerar que V cong $ e minus V cong R UO

D3 ndash Sobre uma mesa de bilhar estatildeo dispostas trecircs bolinhas Uma com carga +C outra com carga ndash C e uma terceira com carga +2C conforme mostra a figura ao lado (a) Qual o potencial no ponto P (b) Se uma quarta bolinha for colocada no centro do quadrado qual deve ser a carga da bolinha para que o potencial no ponto P seja nulo

Problemas Selecionados

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D4 ndash Uma esfera oca isolante de raio F e carga C eacute colocada nas proximidades de uma placa muito grande cuja densidade superficial de carga eacute P (uniforme) A distacircncia entre a placa e a superfiacutecie da esfera eacute = Qual a diferenccedila de potencial entre o centro da esfera e a placa Dica calcule a ddp devido a cada objeto separadamente e some os resultados A diferenccedila de potencial entre dois pontos pode ser determinada a partir do campo eleacutetrico

D5 ndash Uma esfera isolante maciccedila possui densidade de carga K() = K7$ onde ρ0 eacute uma constante (a) Qual a diferenccedila de potencial entre os pontos b e c Se a densidade de carga fosse uniforme qual seria a diferenccedila de potencial entre os pontos b e c

D6 ndash Um fio tem densidade linear de carga B uniforme e foi dobrado no formato conforme mostra a figura abaixo Qual o potencial eleacutetrico no ponto P

D7 ndash Considere duas cascas esfeacutericas finas concecircntricas condutoras A casca interna tem raio = 15 e carga 10 gtD A casca externa tem raio = 30 e carga minus15 gtD Forneccedila expressotildees para o campo eleacutetrico e o potencial eleacutetrico para as diferentes regiotildees (a) lt 15 (b) 15 lt lt 30 (c) gt 30 Em todos os casos considere S = 0 em = infin

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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(E) Capacitacircncia

E1 ndash Sabendo que cada um dos capacitores no circuito ao lado tem capacitacircncia D = 10 e a diferenccedila de potencial na bateria eacute ΔS = 10 S qual eacute a carga do capacitor 1 E do capacitor 2

E2 ndash Encontre uma expressatildeo para a capacitacircncia dos capacitores abaixo sabendo que a distacircncia entre as placas eacute = a aacuterea das placas eacute 10 = o espaccedilo entre as placas estaacute preenchido por dois ou mais materiais de constantes dieleacutetricas distintas conforme mostra a figura abaixo Analisando cada capacitor separadamente eacute possiacutevel obter a mesma capacitacircncia com uma associaccedilatildeo de capacitores simples (preenchidos por um uacutenico material) Explique

E3 ndash Uma diferenccedila de potencial de 100 S eacute aplicada ao circuito ao lado onde D- = 10 D$ = 5 e Damp = 4 Se o capacitor 3 eacute substituiacutedo por um fio condutor qual eacute o aumento na carga do capacitor 1 Qual eacute o aumento na diferenccedila de potencial entre as placas do capacitor 1

(a) (b) (c)

Problemas Selecionados

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E4 ndash No circuito ao lado a diferenccedila de potencial fornecida pela bateria eacute de 20 S Qual a capacitacircncia equivalente do circuito Qual a carga armazenada por essa capacitacircncia equivalente Qual a carga e ddp para os capacitores 1 2 e 3

E5 ndash Na figura ao lado a ddp da bateria eacute 10 S D- = 10 D$ = Damp = 2D- A chave eacute movida para a esquerda e somente depois que o capacitor 1 atingiu o equiliacutebrio a chave eacute movida para a direita Quando o equiliacutebrio eacute novamente atingido qual eacute a carga do capacitor 1

E6 ndash Um capacitor de placas paralelas com aacuterea J e espaccedilamento = eacute preenchido com vidro (6 = 267) Conectado a uma bateria o capacitor acumula carga C (a) Qual a energia armazenada no capacitor (b) Mantendo a bateria conectada a separaccedilatildeo entre as placas eacute aumentada para 2= (veja a figura) Qual a energia armazenada nessa nova situaccedilatildeo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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(F) Corrente e Resistecircncia

F1 ndash A figura ao lado mostra parte de um fio de cobre com diacircmetros =- = 4F e =$ = 8F por onde passa uma corrente uniforme = 4 e a diferenccedila de potencial ao longo desse comprimento eacute20 S O

nuacutemero de portadores de carga por unidade de volume eacute 849 times 10$N amp Qual eacute a velocidade de deriva dos eleacutetrons de conduccedilatildeo na porccedilatildeo do fio com diacircmetro =$

F2 ndash No circuito ao lado qual a magnitude e direccedilatildeo das correntes nos resistores F- F$ e Famp Para isso considere que ℇ- = 6 S ℇ$ = 12 SF- = 100 Ω F$ = 200 Ω Famp = 300 Ω O ciruito estaacute aterrado e nesse ponto S = 0 Qual eacute o potencial eleacutetrico no ponto A

F3 ndash Calcule a potecircncia total dissipada em cada circuito Considere que todas as resistecircncias satildeo iguais e as baterias satildeo ideais Expresse suas respostas em termos de ℇ e F

F4 ndash Se dois fios de mesmo comprimento um de cobre e outro de alumiacutenio apresentam a mesma resistecircncia qual deve ser a razatildeo entre seus raios

Problemas Selecionados

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F5 ndash No circuito ao lado a potecircncia dissipada no resistor R eacute 20 a Qual o valor de R Qual a ddp entre os pontos A e B

F6 ndash A corrente medida por um amperiacutemetro A no circuito ao lado eacute a mesma quando ambas as chaves estatildeo abertas ou fechadas Qual o valor da resistecircncia R

F7 ndash Determine o valor da corrente que passa por cada um dos resistores a potecircncia fornecida por cada uma das fontes de tensatildeo e a potecircncia dissipada por cada um dos resistores Faccedila o balanccedilo energeacutetico do circuito

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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F8 ndash No circuito ao lado a chave S permanece fechada por um longo tempo e a corrente no circuito atinge um valor constante Considere D- = 3 D$ = 6 F- = 4Ω e F$ = 7Ω A potecircncia dissipada em F$ eacute 24a (a) Determine as cargas em D- e D$ (b) Abrindo a chave S e aguardando um longo tempo qual a mudanccedila observada na carga do capacitor 2

F9 ndash Num circuito RC seacuterie como o da figura ao lado D = 1 F = 2 times 10bΩ e ℇ = 10S Dez segundos depois que a chave foi fechada determine (a) a carga no capacitor (b) a corrente no resistor (c) a taxa com que a energia eacute armazenada no capacitor (d) a taxa com que a bateria fornece energia para o circuito

F10 ndash Um capacitor eacute carregado atraveacutes de um resistor como mostra a figura no problema anterior Mostre que metade da energia fornecida pela bateria aparece como energia interna no resistor e a outra metade como energia eleacutetrica no capacitor

F11 ndash Um capacitor duas fontes ideais dois resistores e uma chave S satildeo mostrados no circuito da figura ao lado Suponha D = 12 ℇ- = 15 S ℇ$ = 30 S F- = 05 Ω e F$ = 08 Ω (a) Se a chave S permanece aberta por um longo tempo qual a carga no capacitor (b) Qual a carga no capacitor se a chave S permanece fechada por um longo tempo

Problemas Selecionados

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F12 ndash No circuito ao lado a bateria fornece 10 S o capacitor eacute de 1 e os resistores tecircm as resistecircncias indicadas na figura O circuito estaacute ligado haacute um longo tempo (a) Qual a ddp entre os terminais do capacitor (b) Se a bateria for desconectada quanto tempo levaraacute para que essa ddp atinja um deacutecimo do valor inicial

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(G) Campo Magneacutetico

G1 ndash Um proacuteton atravessa uma regiatildeo de campo magneacutetico uniforme = lang10 20 30rang 13 No tempo c- o proacuteton tem uma velocidade d = langde df 2rang e a forccedila magneacutetica sobre o proacuteton eacute g = lang4 times 10-h minus2 times 10-h 0rang H Nesse instante qual o valor de de e df

G2 ndash Um proacuteton viaja atraveacutes de uma regiatildeo de campo eleacutetrico e

magneacutetico uniformes onde = langminus25 0 0rang 13 Num certo instante a velocidade do proacuteton eacute d = lang0 2000 0rang Qual a forccedila resultante que age sobre o proacuteton se o campo eleacutetrico for

(a) A = lang0 0 4rang S (b) A = lang0 0 minus4rang S ou

(c) A = lang4 0 0rang S

G3 ndash Uma espira retangular de lados e estaacute numa regiatildeo de campo

magneacutetico perpendicular ao plano da espira e eacute percorrida por uma corrente i constante conforme mostra a figura ao lado Determine o torque sobre a espira

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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G4 ndash Dois trilhos de metal separados por uma distacircncia = = 256 estatildeo ligados a uma bateria No momento em que uma barra de metal de massa = 241 8 eacute colocada sobre os trilhos (c = 0) ela fecha o circuito e por ela passa uma corrente i = 913 J O conjunto estaacute numa regiatildeo onde existe um campo magneacutetico uniforme = 563 13 Qual a velocidade da barra 611 depois Em que direccedilatildeo ela se move

G5 ndash A figura ao lado mostra um cilindro de madeira de massa = 250 8 e comprimento 2 =10 onde foi enrolado um fio formando uma espira de 10 voltas O cilindro eacute posicionado de forma que o eixo da espira estaacute perpendicular ao plano inclinado (paralelo agrave normal do plano

inclinado) Nessa regiatildeo haacute um campo magneacutetico = lang0 05 0rang 13 Qual deve ser o valor miacutenimo da corrente na espira capaz de manter o cilindro em sua posiccedilatildeo evitando que ele role para baixo

G6 ndash A figura ao lado mostra um iacutematilde e um anel condutor de raio por onde passa uma corrente i Se o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde faz um acircngulo O com a vertical na posiccedilatildeo onde estaacute o anel qual eacute a magnitude e a direccedilatildeo da forccedila resultante sobre o anel

Problemas Selecionados

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G7 ndash Uma barra de metal com densidade de massa B (massa por unidade de comprimento) apresenta uma corrente i (saindo da paacutegina) A barra estaacute suspensa por dois fios num campo magneacutetico uniforme vertical como mostra a figura ao lado No equiliacutebrio os fios

fazem um acircngulo O com a vertical Qual a magnitude do campo magneacutetico

G8 ndash Um proacuteton com energia cineacutetica de 6 jS se move no plano da paacutegina e entra numa regiatildeo de campo magneacutetico = 1 13 direcionado para dentro da paacutegina como mostra a figura ao lado

O proacuteton entra na regiatildeo de campo com o vetor velocidade fazendo um acircngulo O- = 35deg com a borda da regiatildeo Qual eacute a distacircncia entre o ponto de entrada e saiacuteda ( na figura) Qual o valor de O$

G9 ndash Considere um eleacutetron orbitando um proacuteton numa trajetoacuteria circular de raio F = 529 times 10-- devido agrave atraccedilatildeo Coulombiana Considere o sistema como se fosse um anel por onde passa uma corrente Qual seraacute o torque resultante quando o sistema for colocado numa regiatildeo de campo magneacutetico = 04 13 perpendicular ao momento magneacutetico do anel

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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G10 ndash Um fio por onde passa uma corrente i foi moldado num formato semicircular de raio F e uma reta de comprimento 2F como mostra a figura ao lado Nessa mesma regiatildeo haacute um campo magneacutetico que aponta na direccedilatildeo + (representado pelos pontos azuis na figura ao lado) Mostre que a

forccedila resultante sobre o fio eacute zero

G11 ndash Um condutor ciliacutendrico longo de raio conteacutem duas cavidades cada uma com diacircmetro ao longo de todo o comprimento do fio Uma visatildeo da seccedilatildeo transversal do fio eacute mostrada na figura ao lado Uma corrente i uniforme (considerando a porccedilatildeo soacutelida do material) passa atraveacutes do fio e aponta para fora da paacutegina Determine a magnitude e direccedilatildeo do campo

magneacutetico em funccedilatildeo de 7 i e no ponto P

G12 ndash Dois fios muito longos por onde passa corrente i de mesma magnitude estatildeo moldados conforme a figura ao lado

Mostre que o campo magneacutetico no centro do ciacuterculo de raio R eacute o mesmo que o

campo a uma distacircncia R abaixo de um fio reto muito longo por onde passa uma corrente i

Problemas Selecionados

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G13 ndash Encontre uma expressatildeo para determinar a magnitude do campo magneacutetico no ponto P da figura ao lado Dica considere a origem dos eixos cartesianos no ponto P

G14 ndash A figura ao lado mostra a seccedilatildeo transversal de um condutor oco de raio externo e interno por onde passa uma corrente uniforme i Demonstre que a magnitude do campo magneacutetico () para uma distacircncia lt lt eacute dada por

= 7i25($ minus $) $ minus $

G15 ndash A figura ao lado mostra um cabo coaxial de raios e Correntes opostas de igual magnitude estatildeo distribuiacutedas nos dois condutores Derive uma expressatildeo para calcular o campo magneacutetico () na regiatildeo (a) lt (b) lt lt (c) lt lt e (d) gt

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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G16 ndash Um fio condutor por onde passa uma corrente i foi torcido para formar um loop de raio R (no plano da paacutegina) como mostra a figura abaixo Qual a direccedilatildeo do campo magneacutetico no

centro do loop Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico no centro do loop

G17 ndash Uma corrente i passa por um fio condutor ciliacutendrico de raio R como mostra a figura ao lado A densidade de corrente l natildeo eacute uniforme atraveacutes da seccedilatildeo transversal do fio mas obedece agrave funccedilatildeo l = onde eacute uma constante Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico (a) a uma distacircncia - lt F e (b) a uma distacircncia $ gt F(em relaccedilatildeo ao centro do condutor)

G18 ndash Um fio condutor muito longo por onde passa uma corrente i- estaacute parcialmente envolto por um loop por onde passa uma corrente i$ (figura ao lado) O loop fio foi moldado num formato semiciliacutendrico de raio R e o comprimento L O fio condutor passa pelo eixo do loop Calcule a forccedila magneacutetica exercida sobre o loop

G19 ndash Considere um solenoide de comprimento 2 e raio F contendo H voltas de um fio por onde passa uma corrente i (a) Determine uma expressatildeo para

o campo magneacutetico num ponto ao longo do eixo do solenoide do lado de fora do solenoide como funccedilatildeo da distacircncia ateacute uma das pontas (considere = 0 no centro do solenoide e = a distacircncia do centro ateacute o ponto onde estaacute sendo calculado o campo ) (b) Mostre que para

Problemas Selecionados

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valores muito grandes de 2 e = = 0 se aproxima de = 7i H 2frasl para posiccedilotildees ao longo do eixo no interior do solenoide distante das bordas

G20 ndash A figura ao lado mostra um fio moldado para formar duas seccedilotildees retas e um quarto de ciacuterculo por onde passa corrente i Determine o campo magneacutetico (vetor) no ponto P

G21 ndash Um fio ciliacutendrico espesso de raio eacute percorrido por uma corrente i Determine uma expressatildeo para o

campo magneacutetico dentro e fora do fio considerando que (a) a corrente estaacute distribuiacuteda uniformemente sobre a superfiacutecie externa do fio (b) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio com densidade de corrente l constante (c) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio de forma que a densidade de corrente l eacute proporcional agrave distacircncia ateacute o eixo do fio

G22 ndash Considere dois solenoides coaxiais cada um conduzindo uma corrente i em direccedilotildees opostas O solenoide interno de raio possui gt- voltas por unidade de comprimento o

solenoide externo possui raio e gt$ voltas por unidade de

comprimento Determine (a) no interior do conjunto (b) entre eles e (c) fora deles

G23 ndash Um fio condutor longo e reto de raio F conduz uma corrente natildeo uniforme cuja densidade de corrente eacute l = l7 Ffrasl onde l7 eacute uma constante A corrente total eacute i (a) Determine uma expressatildeo para i

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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em funccedilatildeo de l7 e F (b) Determine uma expressatildeo para o campo magneacutetico no interior do fio para uma distacircncia

G24 ndash A figura ao lado mostra um toroide que consiste num solenoide fechado em forma de anel (a) Considerando a simetria explique qual deve ser o formato do campo magneacutetico no interior desse toroide (b) Considere o toroide compacto (a separaccedilatildeo entre cada volta do fio eacute pequena) com N voltas conduzindo uma corrente i Usando a lei de Ampeacutere determine a magnitude do campo magneacutetico num ponto interno ao toroide a uma distacircncia do eixo principal (ver figura ao lado) (c) O campo magneacutetico no interior do toroide eacute um campo uniforme Explique

-------------------------------------------------------------------------------------------

(H) Lei de Faraday

H1 ndash A figura ao lado mostra dois aneis cujos eixos estatildeo alinhados separados por uma distacircncia x O anel maior tem raio F o anel menor tem raio Os aneis estatildeo separados por uma distacircncia ≫ F e por isso o campo magneacutetico devido agrave corrente no anel de raio F eacute praticamente uniforme no anel menor Considere que a distacircncia estaacute aumentando a uma taxa constante = =cfrasl = d (a) Determine uma expressatildeo para o fluxo de campo magneacutetico atraveacutes do anel menor como funccedilatildeo de Encontre uma expressatildeo para (b) a fem induzida e (c) a direccedilatildeo da corrente no anel menor

Problemas Selecionados

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H2 ndash (a) Calcule o fluxo magneacutetico atraveacutes do retacircngulo mostrado na figura ao lado em funccedilatildeo de = i (b) Avalie o resultado encontrado para = 5 = 10 = = 2 e i = 20 J

H3 ndash Uma espira plana e circular de raio =75 estaacute em repouso numa regiatildeo de campo magneacutetico uniforme A espira estaacute orientada de tal forma que o campo magneacutetico aponta para cima

e faz um acircngulo de 30deg com a normal da espira O campo varia com

o tempo de acordo com (c) = 14(77nho) 13 (a) Determine a fem induzida na espira em funccedilatildeo do tempo (b) Para que valor de c a fem induzida eacute igual a um deacutecimo do seu valor inicial Determine o sentido da corrente induzida na espira se observada por cima da espira

H4 ndash Um retacircngulo que mede 30 times 40 estaacute localizado no interior de um campo magneacutetico uniforme de 125 13 com o campo perpendicular ao plano da bobina A bobina se move perpendicular ao campo com velocidade constante d =2 inclusive atingindo a regiatildeo

onde o campo termina abruptamente como mostra a figura ao lado Determine a fem induzida nessa bobina quando ela estaacute (a) inteiramente no interior do campo (b) parcialmente no interior do campo e (c) inteiramente fora do campo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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H5 ndash O fio na figura ao lado conduz

uma corrente i(c) = i7po onde gt 0 Determine o sentido da corrente induzida na bobina (horaacuterio ou anti-horaacuterio) para c gt 0

H6 ndash A figura ao lado mostra uma espira circular de raio contendo uma resistecircncia e um capacitor ligados em seacuterie imerso numa regiatildeo onde um campo magneacutetico uniforme (no espaccedilo) entrando no plano na paacutegina decresce no tempo a uma taxa constante = =cfrasl = minus sendo uma constante positiva (a) Qual a carga no capacitor quando ele estaacute completamente carregado (b) Qual das placas do capacitor estaacute em potencial mais elevado (c) Qual a origem da forccedila que causa a separaccedilatildeo de cargas

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(I) Indutacircncia

I1 ndash No circuito ao lado ℰ = 100 SF- = 10 Ω F$ = 20 Ω Famp = 30 Ω e 2 = 2 H Ao fechar a chave S quais os valores de i- e i$ Considere positivo o sentido das correntes indicadas na figura Muito tempo

depois quais satildeo os valores de i- e i$ A chave eacute entatildeo aberta Nesse instante quais satildeo os valores de i- e i$ E muito tempo depois quais satildeo os valores de i- e i$

Problemas Selecionados

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I2 ndash Num circuito LC em seacuterie a carga inicial do capacitor eacute C e ele estaacute sendo descarregado Quando a carga no capacitor eacute igual a C 2frasl qual eacute o fluxo magneacutetico que atravessa cada uma das N espiras do indutor (como funccedilatildeo de C H 2 e D)

I3 ndash Uma bobina possui N voltas e estaacute envolvendo um solenoide longo de raio r com n espiras por unidade de comprimento (figura ao lado) (a) Mostre que a indutacircncia muacutetua do sistema eacute dada por j = 75F$gtH (b) Explique por que M natildeo depende do formato tamanho ou possiacutevel falta de proximidade das espiras na bobina

I4 ndash A fem autoinduzida num solenoide de indutacircncia L varia no tempo conforme ℇ(c) = ℇ7so Levando em consideraccedilatildeo que a carga eacute finita (ou seja i = 0 quando c = infin) determine a carga total que passa pelo solenoide (que atravessa um determinado ponto no fio que compotildee o solenoide)

I5 ndash Um fio condutor foi enrolado num papelatildeo formando um toroide com N espiras (voltas) raio menor r e maior R A seccedilatildeo transversal do toroide eacute mostrada na figura ao lado Se F ≫ o campo magneacutetico no interior do toroide eacute essencialmente o mesmo que o campo no interior de um solenoide muito longo que tenha sido

moldado no formato de um ciacuterculo de raio R Modelando o campo como se fosse o campo uniforme de um solenoide longo mostre que a indutacircncia desse toroide eacute

aproximadamente 2 asymp -$ 7H$ LMu

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I6 ndash Um indutor consiste em duas cascas ciliacutendricas concecircntricas como mostra a figura A casca interna tem raio e a externa tem raio ambas com comprimento ℎ A casca interna transporta uma corrente i para fora e a externa para dentro do plano da paacutegina com igual magnitude Calcule na regiatildeo lt lt (a) a densidade de energia magneacutetica (b) a indutacircncia

I7 ndash Mostre que i(c) = i7o wx eacute a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial iF + 2 yzyo = 0 onde i7 eacute a corrente em c = 0 e = 2 Ffrasl

I8 ndash Um fio condutor de raio R transporta uma corrente uniforme A corrente total no fio eacute i Mostre que a energia magneacutetica por unidade de comprimento dentro do fio eacute dada por 7i$ 165frasl

I9 ndash Um cabo coaxial eacute formado por dois cilindros condutores de paredes finas com raios - e $ As correntes nos dois cilindros satildeo iguais em magnitude mas com sentidos opostos (a) Use a lei de Ampeacutere para determinar o campo magneacutetico como funccedilatildeo da distacircncia ao eixo do cabo nas regiotildees (0 lt lt -) ( - lt lt $ ) e ( gt $) (b) Mostre que a densidade de energia magneacutetica na regiatildeo entre os cilindros eacute dada por

| = 12 745 i$(5$)-

(c) Mostre que a energia magneacutetica total num volume de cabo com comprimento ~ eacute dada por

Problemas Selecionados

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= i$~ ln LML

(d) Mostre que a autoindutacircncia por unidade de comprimento do cabo eacute dada por

2~ = 725 ln $-

-------------------------------------------------------------------------------------------

(J) Corrente Alternada

J1 ndash A tensatildeo de uma fonte de corrente alternada eacute dada por ∆d = 120gt(30 5c) onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A fonte eacute conectada a um indutor de 05 Determine (a) a frequecircncia da fonte (b) a voltagem rms no indutor (c) a reatacircncia indutiva do circuito (d) a corrente rms no indutor e (e) a corrente maacutexima no indutor

J2 ndash Uma fonte de tensatildeo alternada fornece uma tensatildeo ∆d = 98gt(80 5c) a um capacitor onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A corrente maacutexima no circuito eacute 05 J Determine (a) a tensatildeo rms da fonte (b) a frequecircncia da fonte e (c) o valor da capacitacircncia

J3 ndash Um circuito AC eacute composto por um resistor de 250 Ω um indutor de 15 um capacitor de 35 e uma fonte de tensatildeo alternada com amplitude de 45 S operando com frequecircncia angular = 360 = frasl (a) Qual eacute o fator de potecircncia do circuito (b) Determine a potecircncia meacutedia aparente (S) fornecida ao circuito (c) Qual eacute a potecircncia meacutedia ativa (P) dissipada no resistor Qual eacute a potecircncia meacutedia reativa (Q) que fica armazenada no circuito

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J4 ndash Cinco voltiacutemetros com impedacircncia muito grande ajustados para ler valores rms estatildeo conectados conforme a figura ao lado Sendo F =200 Ω 2 = 04 H D = 6 e ∆S = 30 Vqual eacute a leitura da tensatildeo em cada voltiacutemetro se (a) = 200 = frasl e (b) =1000 = frasl

J5 ndash Num circuito RLC 2 = 028 e D = 4 A fonte fornece uma voltagem com amplitude de 120 S Qual eacute a frequecircncia angular de ressonacircncia do circuito (b) Quando a fonte opera na frequecircncia angular de ressonacircncia a amplitude da corrente no circuito eacute 17 J Qual a resistecircncia do resistor (c) Na frequecircncia angular de ressonacircncia quais satildeo as voltagens de pico no indutor capacitor e resistor

J6 ndash O circuito ao lado conteacutem uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal conforme ℇ = ℇgt(c) No estado de equiliacutebrio temos as correntes mostradas no circuito Sem recorrer a uma matemaacutetica complicada responda (a) Quais os valores de u e quando = 0 (frequecircncia zero significa que

a fonte foi substituida por uma bateria ideal) (b) Quais os valores de u e quando rarr infin (c) Qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia

Problemas Selecionados

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J7 ndash Um indutor um capacitor e um resistor estatildeo conectados em seacuterie a uma fonte de tensatildeo alternada Se os valores da resistecircncia capacitacircncia e indutacircncia forem duplicados o que aconteceraacute com (a) a frequecircncia angular de ressonacircncia (b) a reatacircncia indutiva (c) a reatacircncia capacitiva e (d) a impedacircncia

J8 ndash O circuito abaixo eacute formado por uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal variando conforme ℇ = ℇgt(c) uma resistecircncia F = 6 Ω e uma parte desconhecida que pode conter um indutor um capacitor ou ambos A amplitude da fonte eacute ℇ = 6 S Quando a frequecircncia angular = 2 = a corrente estaacute em fase com a fonte enquanto que para = 1 = a corrente estaacute fora de fase em relaccedilatildeo agrave fonte por exatamente 5 4frasl (a) Quais componentes estatildeo presentes na parte desconhecida (um indutor um capacitor ou ambos) Explique (b) Determine os valores dos componentes desconhecidos

J9 ndash Um circuito em seacuterie possui impendecircncia de 60 Ω e fator de potecircncia igual a 072 em 50 A tensatildeo da fonte estaacute atrasada em relaccedilatildeo agrave corrente (a) Que elemento do circuito (um indutor ou um capacitor) deve ser ligado em seacuterie com o circuito para aumentar o fator de potecircncia (b) Qual deve ser o valor desse elemento para que o fator de potecircncia seja igual a 1 (c) Apresente diagramas de fasores esquemaacuteticos para o circuito antes e depois da ligaccedilatildeo do novo elemento

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O PROCESSO DE MEDIDA NO LABORATOacuteRIO DE FIacuteSICA

Natildeo satildeo raros eventos em que nos valemos de medidas para tomarmos decisotildees Medimos nossa temperatura corporal para avaliarmos se necessitamos de tratamento Medimos a pressatildeo manomeacutetrica dos pneus para avaliarmos se precisamos injetar ou retirar ar neles Consultamos medidas da temperatura ambiente para escolhermos a roupa que vestiremos Consultamos o horaacuterio (medida de tempo) para natildeo chegarmos atrasados em encontros Medidas satildeo portanto fundamentais em nossas vidas No entanto usualmente natildeo nos preocupamos muito com a precisatildeo dessas medidas Em grande parte das vezes natildeo nos interessa saber se o horaacuterio informado no reloacutegio estaacute um pouco atrasado ou adiantado Natildeo nos preocupamos em saber o quanto podemos confiar nas temperaturas coletadas com um determinado termocircmetro Nossas medidas comumente satildeo realizadas de forma despretensiosa sem muito rigor

No laboratoacuterio de Fiacutesica isso ocorre de modo muito diferente Os processos de mediccedilatildeo satildeo mais minuciosos do que os que realizamos costumeiramente Desejamos obter a maior precisatildeo possiacutevel com os equipamentos de que dispomos Mas como fazer isso Como podemos melhorar a precisatildeo dos processos de mediccedilatildeo Intuitivamente podemos concluir que inferecircncias realizadas a partir de um conjunto de medidas satildeo mais precisas do que medidas isoladas Mas quando disponho de um conjunto de medidas como posso analisaacute-las Calcular a meacutedia delas eacute suficiente Responder a questotildees como essas eacute o objetivo desta atividade Para exemplificarmos todo esse processo realizaremos um debate sobre a mediccedilatildeo da resistecircncia interna de amperiacutemetros

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O que satildeo amperiacutemetros

Um amperiacutemetro eacute um instrumento utilizado para a realizaccedilatildeo de medidas de correntes eleacutetricas Evidentemente natildeo queremos modificar os circuitos quando os exploramos com um instrumento Com amperiacutemetros natildeo eacute diferente Queremos medir correntes eleacutetricas sem alterar as caracteriacutesticas do circuito Mas como eacute possiacutevel fazer isso Natildeo discutiremos aqui os detalhes sobre o funcionamento interno de um amperiacutemetro No entanto vamos avaliaacute-los do ponto de vista de uma das suas caracteriacutesticas mais importantes a sua resistecircncia eleacutetrica

A resistecircncia eleacutetrica de um circuito influencia na intensidade da corrente eleacutetrica que circula nele A corrente eleacutetrica i que perpassa por uma resistecircncia eleacutetrica F submetida a uma tensatildeo ∆S por exemplo pode ser predita pela seguinte relaccedilatildeo

i = ∆u Eq 1

O amperiacutemetro precisa ser posicionado em seacuterie no circuito em que se deseja medir a corrente eleacutetrica como eacute exemplificado na figura

Figure 1- Medindo a resistecircncia interna de um multiacutemetro

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1 Como a resistecircncia equivalente em circuitos em seacuteries eacute a soma da resistecircncia eleacutetrica de cada um dos seus componentes a resistecircncia interna dos amperiacutemetros se soma agrave resistecircncia equivalente do circuito investigado alterando a sua dinacircmica Por isso nosso desejo eacute que os amperiacutemetros tenham resistecircncia eleacutetrica nula No entanto a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro real por menor que seja nunca eacute nula Eles possuem um circuito interno com fios e diversos componentes eletrocircnicos que acabam provocando uma resistecircncia agrave circulaccedilatildeo de corrente eleacutetrica Ainda assim frequentemente desprezamos tal resistecircncia Seraacute que isso eacute razoaacutevel Quando podemos desprezar a resistecircncia interna dos amperiacutemetros e quando natildeo podemos Para respondermos tais perguntas precisamos conhecer o valor da resistecircncia interna tiacutepica de um amperiacutemetro

Medindo a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro

Nesta disciplina usaremos diversos amperiacutemetros de uma mesma marca e modelo em uma seacuterie de experimentos (Minipa ET-2075B) Por isso eacute interessante que conheccedilamos a resistecircncia eleacutetrica deles para podermos avaliar quando podemos desprezaacute-la e quando natildeo Mas como podemos obter essa informaccedilatildeo Podemos medi-la Um procedimento simples para isso eacute submeter o amperiacutemetro a uma diferenccedila de potencial ΔV conhecida e medir a corrente eleacutetrica i que passa por ele Desse modo podemos usar a Eq 1 para inferir a resistecircncia eleacutetrica do equipamento Mas podemos confiar em uma uacutenica medida Depende da precisatildeo de que necessitamos para essa medida Intuitivamente sabemos que se medirmos a resistecircncia interna a partir de um conjunto de dados poderemos ter uma maior confiabilidade nos dados No exemplo de que estamos tratando eacute possiacutevel se coletar dados da corrente no amperiacutemetro quando submetido a diferentes tensotildees Desse modo pode-se inferir a resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro pela declividade da reta constituiacuteda

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pelos dados representados em um graacutefico da tensatildeo em funccedilatildeo da corrente eleacutetrica como pode ser constatado da Eq1 No entanto como temos incertezas associadas a cada dado experimental coletado esses dados natildeo seratildeo perfeitamente representados por uma reta Surge entatildeo uma nova questatildeo qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados

Ajuste de Curvas

Diversas retas podem ser ajustadas a um conjunto de dados experimental Qual delas utilizar Intuitivamente podemos conjecturar que a melhor reta a ser utilizada eacute aquela tal que a soma das diferenccedilas entre os valores de tensatildeo medidos e os preditos pela reta tenha o menor valor possiacutevel Em outras palavras queremos minimizar a soma

sum = = (∆Sz minus ∆S)z-

onde ∆Sz satildeo as tensotildees medidas e ∆S satildeo as tensotildees preditas pela reta ajustada

No entanto haacute um inconveniente importante no uso desse criteacuterio tal soma pode ser bem pequena para retas que natildeo apresentam bom ajuste aos dados se as diferenccedilas entre os valores medidos e os preditos se cancelarem sendo alguns positivos e outros negativos Nesses casos apesar de natildeo termos uma reta bem ajustada aos dados o criteacuterio utilizado

indicaria que sim Como resolver isso Elevando os valores de dn ao

Figura 1 - Diferenccedila de potencial em funccedilatildeo

da corrente

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quadrado Ou seja podemos procurar a reta tal que a seguinte soma tenha o menor valor possiacutevel

sum =$ = (∆Sz minus ∆S)$z-

O meacutetodo que utiliza esse criteacuterio para a realizaccedilatildeo de ajustes de curvas que eacute amplamente utilizado no meio acadecircmico eacute denominado Meacutetodo dos Miacutenimos Quadrados Todos os softwares do tipo planilha eletrocircnica realizam esse caacutelculo automaticamente e nos valeremos disso quando necessaacuterio

Todos os amperiacutemetros da sala possuem a mesma resistecircncia interna

Ainda que todos os amperiacutemetros que utilizaremos nas nossas aulas sejam da mesma marca e modelo eles possuem diferentes resistecircncias internas Existe alguma forma de estimar a resistecircncia interna de um desses amperiacutemetros escolhido aleatoriamente Calcular a meacutedia das resistecircncias eacute suficiente para realizar essa estimativa

Variabilidade das medidas o desvio padratildeo amostral e da meacutedia

Apesar de as resistecircncias dos amperiacutemetros natildeo serem exatamente as mesmas elas possuem valores que se distribuem em torno de um valor meacutedio que eacute igual agrave meacutedia dessas resistecircncias Desse modo se tomarmos um dos amperiacutemetros aleatoriamente o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute igual agrave meacutedia das resistecircncias internas de todos os amperiacutemetros Mas quanto podemos confiar nessa estimativa Para respondermos tal pergunta eacute importante quantificarmos a variabilidade das resistecircncias r que medimos Quanto menor for essa variabilidade maior seraacute a nossa confianccedila para assumir que a resistecircncia interna de um amperiacutemetro particular eacute igual agrave meacutedia Intuitivamente podemos conjecturar que tal variabilidade pode ser medida pelo somatoacuterio das diferenccedilas entre as resistecircncias

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medidas z e a meacutedia dessas resistecircncias ou seja por (- minus ) + ($ minus ) + ⋯ + ( minus ) onde N eacute o nuacutemero de medidas realizadas No entanto temos aqui um inconveniente semelhante ao que tivemos quando analisaacutevamos ajustes de curvas se valores positivos e negativos se cancelarem esse somatoacuterio pode ser muito pequeno mesmo quando os dados apresentam grande variabilidade Podemos propor a mesma soluccedilatildeo adotada anteriormente vamos elevar os termos ao quadrado Temos entatildeo a variabilidade dos dados sendo mensurada por (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$

A impossibilidade de comparaccedilatildeo entre as variabilidades de diferentes conjuntos de dados eacute a limitaccedilatildeo desta proposta pois o resultado desse somatoacuterio eacute altamente dependente da quantidade de termos Desse modo eacute possiacutevel que esse somatoacuterio seja maior para grandes conjuntos com pouca variabilidade do que para pequenos grupos com grande variabilidade Para amenizar tal limitaccedilatildeo podemos entatildeo dividir o somatoacuterio por N ou seja calcular a variabilidade por(- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$ Hfrasl Ainda que esse somatoacuterio seja conceitualmente interessante natildeo eacute essa a medida de dispersatildeo de dados que costuma ser utilizada no meio cientiacutefico mas algo que guarda alguma semelhanccedila com ele o desvio padratildeo dos dados (P) Ele eacute calculado por

PL = (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$H minus 1

Mas por que utilizamos essa equaccedilatildeo A resposta estaacute em suas propriedades Quando construiacutemos um histograma (graacutefico de frequecircncias) de um conjunto de medidas por exemplo podemos em muitos casos assumir que a distribuiccedilatildeo desses dados eacute representada por uma distribuiccedilatildeo normal A equaccedilatildeo que define essa distribuiccedilatildeo assim como sua representaccedilatildeo graacutefica eacute ilustrada na Figura 3

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Natildeo eacute nosso objetivo aqui discutir detalhes da distribuiccedilatildeo normal O que desejamos destacar eacute que quando supomos que a distribuiccedilatildeo de um conjunto de dados eacute normal o que eacute bastante razoaacutevel na maioria das vezes o desvio padratildeo σ quantifica como os dados estatildeo distribuiacutedos Para entendermos isso analisemos a Figura 4

O intervalo compreendido pela meacutedia das medidas mais ou menos um desvio padratildeo compreende 68 das medidas realizadas No caso que estamos exemplificando se tomarmos a meacutedia das resistecircncias internas r de todos os amperiacutemetros investigados e o desvio padratildeo PL desses dados 68 das medidas estaratildeo no intervalo entre ( minus PL) e ( + PL) 95 no intervalo ( 2PL) e 99 no intervalo ( 257PL)

Figura 2 - A distribuiccedilatildeo normal eacute usualmente utilizada para representar a distribuiccedilatildeo

de frequecircncias de um conjunto de dados (Lima Jr et al 2013 p 30)

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Agora jaacute sabemos como quantificar a variabilidade de um conjunto de dados Podemos entatildeo calcular a meacutedia e o desvio padratildeo das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros Mas surge entatildeo uma questatildeo Se analisaacutessemos um novo conjunto de amperiacutemetros da mesma marca e modelo dos exemplificados aqui a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros seria a mesma Provavelmente natildeo Temos como estimar a partir do conjunto de medidas que realizamos a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros Temos Para responder a essa questatildeo temos que compreender um novo conceito o de desvio padratildeo da meacutedia (PL) Ele eacute calculado por

PL = PLradicH

Natildeo vamos entrar em detalhes aqui sobre a origem do conceito de desvio padratildeo da meacutedia1 vamos apenas explicar como essa grandeza nos permite estimar a incerteza na meacutedia de um conjunto de medidas Para isso vamos supor um novo conjunto de N novas

1 Se vocecirc eacute um aluno curioso pesquise sobre o Teorema Central do Limite para compreender com mais profundidade o conceito de desvio padratildeo da meacutedia

Figura 3 - A meacutedia e o desvio padratildeo demarcam a distribuiccedilatildeo dos dados em uma

distribuiccedilatildeo normal Na figura o eixo das abcissas expressa a distacircncia da meacutedia em

unidades de desvio padratildeo (Lima Jr et al 2013 p 30)

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medidas da resistecircncia interna de amperiacutemetros como os investigados nesta aula Qual seria a meacutedia dessas medidas Assim como o desvio padratildeo dos dados quantifica a dispersatildeo dos dados em torno da meacutedia o desvio padratildeo da meacutedia quantifica a dispersatildeo das meacutedias de subconjuntos de dados em torno da meacutedia de todo o conjunto de dados Aplicando esse conceito ao nosso exemplo podemos interpretar os dois conjuntos de medidas de resistecircncias internas como subconjuntos de um grande conjunto contendo todas as medidas Desse modo podemos afirmar com 68 de confianccedila que a meacutedia das N novas medidas a serem realizadas estaraacute no intervalo compreendido por ( PL) com 95 de confianccedila no intervalo ( 2PL) e com 99 de confianccedila no intervalo ( 257PL) O desvio padratildeo da meacutedia pode ser compreendido assim como a incerteza da meacutedia de um conjunto de medidas ou seja ele nos fornece uma estimativa da confiabilidade de uma meacutedia Em suma se escolhermos um amperiacutemetro aleatoriamente podemos dizer que i) o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute a meacutedia das resistecircncias de todos os amperiacutemetros e ii) a incerteza que temos nesse valor eacute igual ao desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias dos amperiacutemetros

E se eu soacute tivesse condiccedilotildees de realizar uma uacutenica medida

Nem sempre podemos realizar diversas medidas de uma grandeza Em alguns casos nem mesmo faz sentido realizar diversas medidas No entanto eacute evidente que existe uma incerteza associada a uma uacutenica medida Natildeo existem instrumentos que sejam perfeitamente precisos Entatildeo como podemos estimar essa incerteza Usualmente os manuais dos instrumentos trazem informaccedilotildees sobre isso Desse modo as incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica realizadas com um voltiacutemetro e um amperiacutemetro podem ser consultadas no manual do multiacutemetro utilizado Mas como eacute calculada a incerteza da resistecircncia interna de um amperiacutemetro que foi calculada a partir de

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apenas uma medida de tensatildeo e uma de corrente eleacutetrica Nesse caso precisamos calcular a incerteza propagada das incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica

Os meacutetodos de caacutelculo de incertezas propagadas podem ser bastante complicados Aqui trataremos de um meacutetodo bastante simples usualmente denominado de Meacutetodo dos Limites Vamos exemplificaacute-lo supondo que a incerteza da tensatildeo sobre as entradas do amperiacutemetro eacute P- e da corrente eleacutetrica que circula por ele eacute P$ Ou seja a tensatildeo medida estaacute no intervalo entre ∆S minus P- e ∆S + P- e a corrente eleacutetrica entre i minus P$ e i + P$ Qual eacute entatildeo a incerteza da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro investigado Para responder isso basta calcularmos os valores limites dessa grandeza O maacuteximo valor possiacutevel para a resistecircncia ocorreraacute se a tensatildeo for ∆S + P- e a corrente eleacutetrica for i minus P$ Nesse caso usando a Eq 1 temos

aacutee = ∆S + P-i minus P$

Usando o mesmo raciociacutenio o valor miacutenimo de r seraacute

z = ∆S minus P-i + P$

Desse modo podemos dizer que o valor da resistecircncia interna medida estaacute no intervalo entre rmaacutex e rmiacuten Em outras palavras o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro eacute

F = iexclz + aacutee2 z minus aacutee2 cent

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Erro eacute a mesma coisa que incerteza

Apesar de serem frequentemente utilizados como sinocircnimos os manuais de metrologia atribuem significados distintos aos conceitos de ldquoerrordquo e ldquoincertezardquo O Guia para Expressatildeo da Incerteza da Mediccedilatildeo (Joint Commitee for Guide in Metrology 2008 apud Lima Jr et al 2013) usa o termo ldquoerrordquo para indicar a diferenccedila entre o valor verdadeiro e o resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo o conceito de erro tem uso restrito pois satildeo poucos os casos em que conhecemos o valor verdadeiro de uma grandeza Satildeo exemplos desses casos experimentos em que se deseja mensurar a velocidade da luz no vaacutecuo ou o valor de π que satildeo valores previamente conhecidos pelo experimentador O caacutelculo do erro soacute faz sentido para casos em que sabemos o valor verdadeiro da grandeza que se quer medir

A incerteza por outro lado eacute entendida como uma estimativa que quantifica a confiabilidade do resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo quando calculamos o desvio padratildeo da meacutedia de um conjunto de medidas estamos calculando a incerteza da meacutedia dessas medidas ou seja estamos avaliando a confianccedila que podemos ter em adotar a meacutedia dessas medidas como o valor da grandeza mensurada O conceito de incerteza portanto tem maior aplicabilidade do que o conceito de erro

Algarismos significativos e incerteza

Uma questatildeo frequente nas aulas de laboratoacuterio eacute Com quantos algarismos uma grandeza deve ser apresentada No laboratoacuterio a resposta dessa questatildeo eacute uma funccedilatildeo da incerteza da grandeza Devemos apresentar os dados ateacute o seu primeiro algarismo duvidoso Voltemos ao exemplo da resistecircncia interna dos amperiacutemetros Suponhamos que a meacutedia das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros eacute 21546 Ω e o desvio padratildeo dessa meacutedia que eacute

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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entendido aqui como a incerteza da resistecircncia interna dos amperiacutemetros eacute 003 Ω Interpretando tais dados assumimos com 68 de certeza que a resistecircncia interna dos amperiacutemetros estaacute no intervalo entre 21246 e 21846 Ω Desse modo a segunda casa decimal da grandeza medida eacute duvidosa Por isso os algarismos subsequentes satildeo omitidos quando expressamos essa medida e a medida da resistecircncia interna dos amperiacutemetros exemplificados eacute exposta por (215 plusmn 003) Ω Em suma o resultado de uma mediccedilatildeo deve ser sempre expresso com a mesma quantidade de casas decimais que sua incerteza Os algarismos apresentados satildeo entatildeo chamados de algarismos significativos

Referecircncia

Lima Jr P Silva M T X Silveira F L Veit E A (2013) Laboratoacuterio de mecacircnica subsiacutedios para o ensino de Fiacutesica experimental Porto Alegre UFRGS Instituto de Fiacutesica Disponiacutevel em httphdlhandlenet1018390438

Manual de Laboratoacuterio

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Atividade de Laboratoacuterio I Instrumentos de medida e incertezas

Este material foi cuidadosamente preparado para auxiliar no andamento das atividades no laboratoacuterio de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo Eacute importante responder TODAS as perguntas

(indicadas pelo siacutembolo ) feitas ao longo do texto discutindo com seu grupo possiacuteveis respostas e justificando-as Sempre que possiacutevel faccedila isso por escrito

TAREFA 1

Construa um circuito contendo um resistor de 1 kΩ em seacuterie com uma fonte de tensatildeo contiacutenua e um multiacutemetro Coloque o multiacutemetro na funccedilatildeo amperiacutemetro na escala de miliampere Usando outro multiacutemetro meccedila a tensatildeo no amperiacutemetro Realize medidas com diferentes correntes eleacutetricas variando a tensatildeo de saiacuteda da fonte

Como podemos tratar esses dados se nosso objetivo eacute medir a resistecircncia interna do amperiacutemetro

Qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Para responder essas questotildees se dirija a um dos computadores da sala e use um aplicativo que possibilite a construccedilatildeo de graacuteficos SciDavis por exemplo Insira seus dados no aplicativo construa o graacutefico desejado e encontre a melhor reta que se ajusta aos dados

Qual foi a melhor reta ajustada Determine a equaccedilatildeo dessa reta ajustada

Qual eacute o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro que vocecirc investigou

TAREFA 2

Utilize as medidas de todos os grupos da turma e aplique os conhecimentos abordados na tarefa de leitura para responder as seguintes questotildees

Qual deve ser a resistecircncia interna de um amperiacutemetro escolhido aleatoriamente entre os utilizados nesta aula

Qual eacute a incerteza desse valor

TAREFA 3

Suponha que o manual do Minipa ET-2075B informe que as medidas de tensatildeo e corrente realizadas nas faixas de milivolt e miliampere tecircm incerteza de 3 Use esses dados para calcular a

Manual de Laboratoacuterio

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incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1

Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma

Elas satildeo coerentes Por quecirc

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO

Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por

equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC

Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras

O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se

Manual de Laboratoacuterio

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extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo

No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador

Salvando vidas

ldquoafastem-se choquerdquo

Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de

sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos

O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo

Figura 4 - Desfibrilador

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)

Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma

sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o

miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia

Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2

2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387

Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)

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Circuito RC - seacuterie

Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C

Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que

∆S(c) + i(c)F = 0

Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo

i(c) = =C(c)=c

e a ddp no capacitor eacute dada por

∆S(c) = C(c)D

Dessa forma podemos dizer que

=C(c)=c = minus 1FD C(c)

Figura 6 - Circuito RC

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa

funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja

derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever

C(c) = C7 ou

A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial

Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir

Capacitor Carregando Capacitor Descarregando

∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0

C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou

∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou

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Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8

Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo

eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum

3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78

Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas

do capacitor durante o processo de

carga ou descarga

Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um

graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo

do tempo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no

capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte

Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor

quando o mesmo estaacute sendo carregado

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Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie

1 - Osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos

2 ndash Aparato Experimental

Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto

Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)

Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio

Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees

Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala

Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)

Manual de Laboratoacuterio

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TAREFA 1

Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees

Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico

Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito

Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito

Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos

Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio

TAREFA 2

Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie

Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)

Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados

Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo

NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo

Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste

Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito

Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito

Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles

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MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS

Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais

Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio

Para onde aponta a buacutessola

Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos

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polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc

E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial

tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos

que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a

soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio

4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja

httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4

Figura 10 - Buacutessola

Figura 11 - campo B resultante

Manual de Laboratoacuterio

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Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por

umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O

Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde

Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde

Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma

iacuteatilde() = ∙

onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde

5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass

The Physics Teacher 49(1) 45-48

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como

iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2

Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos

gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)

Logo

gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2

Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo

iacuteatilde() = amp

Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse

tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira

na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart

Manual de Laboratoacuterio

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pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do

que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute

yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp

onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico

da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos

yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp

Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Atividade de Laboratoacuterio III Projeto

OBJETIVO

Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio

Manual de Laboratoacuterio

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SUGESTAtildeO 1

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO

Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas

Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece

Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha

Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo

por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o

eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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SUGESTAtildeO 2

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA

Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)

Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica

Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de

uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)

Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema

Manual de Laboratoacuterio

75

SUGESTAtildeO 3

BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO

Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola

Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)

Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina

O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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SUGESTAtildeO 4

CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO

O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer

Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio

Manual de Laboratoacuterio

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MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO

Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro

Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental

6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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110 V 127 V e 220 V O que eacute isso

As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V

Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas

A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

(c) = Jgt(c + acute)

onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por

∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)

Manual de Laboratoacuterio

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onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1

Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho

Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores

Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por

∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf

∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712

∆Suparamiddot = ∆S7radic2

Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a

tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s

A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente

alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$

Figura 13 - Funccedilotildees seno e

seno quadrado

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COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA

Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz

Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O

Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio

Natildeo queremos jogar energia fora

Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14

Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie

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Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por

0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)

onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)

Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

ℇ(c) = ℇ7gt(c)

onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente

Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na

figura 16 para um caso em que VL gt VC

Figura 15 - Diagrama de fasores

de um circuito RLC seacuterie com

fonte de tensatildeo alternada

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que

acute = c8 S minus SSu

Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado

por

i(c) = gt(c minus acute)

Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente

as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que

ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$

ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$

Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como

0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)

Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que

0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$

Figura 16 ndash Soma de fasores

Manual de Laboratoacuterio

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0eacutey = F ∙ uparamiddot$

onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square

Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que

F = frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte

Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade

7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL

Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e

resistecircncia num diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como

0 = AJradicAJ$ + AF$

O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP

DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11

Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia

Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por

acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita

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2 = 1D

Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica

Figura 18 - diagramas de fasores representando

um circuito capacitivo e um circuito indutivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie

O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio

TAREFA 1

Circuito Resistivo

Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR

Manual de Laboratoacuterio

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Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)

O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador

Circuito Capacitivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor

Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

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Circuito Indutivo

Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor

O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Circuito RLC

Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise

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O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador

Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio

O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior

Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor

Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou

A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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TAREFA 2

Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente

Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir

Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima

Qual o valor da corrente maacutexima no circuito

Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)

O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique

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TAREFA 3

Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito

Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees

Como isso eacute possiacutevel Explique

Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff

Respostas

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Respostas

A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32

A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH

A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH

B3 Ae = Af = AtildeAcircf

B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl

B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH

B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l

B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD

B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -

C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc

(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7

C2 O = ~13deg

C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)

Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-

vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr

Respostas

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C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM

C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD

(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD

C6 A = Eacute$Acirc

C7 A = Atilde$AcircL

D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma

das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp

D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(

D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1

no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)

D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme

D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D

E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)

E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D

E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml

F1 544 times 10

F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S

F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM

u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM

u (e) 0 = ℇMu

F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω

Respostas

98

F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965

G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n

G5 i = Ograve$g = 245 J

G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y

G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez

G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H

G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)

G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)

G15 (a) zL$brvbarM (b)

z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero

G16 z$L + z$L = z$L - + 1

G17 (a) pLM

amp (b) pusup3

ampL

G18 zzMu

G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)

z

G20 zNu saindo da folha

G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)

UgraveLMamp

fora do fio (a) z$L (b)

UgravebrvbarM$L (c)

Ugravebrvbarsup3ampL

G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13

G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM

ampu

H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior

Respostas

99

H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a

H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J

I2 Φ = pound$ sup1amp

I4 C = AcircsM

I6 (a) zM

NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar

J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a

(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S

J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu

(c) = -radic

J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm

(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013

Respostas

100

Bibliografia

Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il

Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il

Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il

Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm

Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il

Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il

Page 2: Prof a. Raquel Giulian Prof. Leonardo Albuquerque ... · 3ª semana: Lei de Gauss (fluxo elétrico, campo elétrico ... Aula de problemas e PROVA II 10º e 11ª semanas: Campo Magnético

Sumaacuterio

3

Sumaacuterio

Introduccedilatildeo 5 Notaccedilatildeo Vetorial 6 Conteuacutedo Programaacutetico 7 Problemas Selecionados 10

(A) Carga eleacutetrica 11

(B) Campo eleacutetrico 13

(C) Lei de Gauss 16

(D) Potencial eleacutetrico 18

(E) Capacitacircncia 20

(F) Corrente e resistecircncia 22

(G) Campo magneacutetico 25

(H) Lei de Faraday 32

(I) Indutacircncia 34

(J) Corrente Alternada 37

Sumaacuterio

4

Manual de Laboratoacuterio 40

O processo de medida no laboratoacuterio de Fiacutesica 41

Lab 1 ndash Instrumentos de medida e incertezas 53

Circuito RC ndash armazenando energia para utilizar

no momento certo 56

Lab 2 ndash Circuito RC ndash seacuterie 63

Medindo campos magneacuteticos 67

Lab 3 ndash Projeto 72

Medindo grandezas que variam rapidamente com o tempo 77

Compreendendo a conta de energia eleacutetrica 81

Lab 4 ndash Circuito RLC ndash seacuterie 88

Respostas 95

Bibliografia 99

Introduccedilatildeo

5

Introduccedilatildeo

Este livro eacute uma ferramenta de apoio agraves aulas de FIacuteSICA GERAL ndash ELETROMAGNETISMO do Instituto de Fiacutesica - UFRGS A primeira parte traz uma seleccedilatildeo de exerciacutecios e problemas que podem ser utilizados para melhor compreensatildeo dos conteuacutedos vistos em aula Os exerciacutecios sugeridos aqui devem servir apenas como um guia satildeo exemplos do niacutevel de dificuldade que pode ser exigido nas avaliaccedilotildees durante o curso O aluno que sentir dificuldade em resolver os exerciacutecios aqui sugeridos deve procurar apoio em outros materiais didaacuteticos que trazem um nuacutemero muito maior de exerciacutecios com variados graus de dificuldade

A segunda parte consiste num MANUAL DE LABORATOacuteRIO um conjunto de atividades que seratildeo realizados nas aulas experimentais O meacutetodo de avaliaccedilatildeo das atividades experimentais deve ser discutido com o professor

Este material estaacute em constante desenvolvimento e foi elaborado a com significativa contribuiccedilatildeo dos professores de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo da UFRGS em especial os professores Cristiano Krug Gabriel Vieira Soares Livio Amaral e Luiz Fernando Ziebell Muitas alteraccedilotildees foram feitas em relaccedilatildeo agraves ediccedilotildees anteriores para melhor atender agraves necessidades da disciplina Os exerciacutecios e problemas satildeo adaptaccedilotildees dos exerciacutecios sugeridos em livros de Fiacutesica Geral

Sugestotildees satildeo bem vindas e podem ser enviadas para os autores atraveacutes do e-mail raquelgiulianifufrgsbr

Notaccedilatildeo Vetorial

6

Notaccedilatildeo Vetorial

A notaccedilatildeo vetorial eacute ferramenta fundamental para o estudo do eletromagnetismo Neste livreto vetores estatildeo escritos no seguinte formato

= lang minus rang 13

que eacute equivalente a = minus + (13) ou ainda a = minus + (13) Quando o vetor tiver apenas uma componente

natildeo nula por exemplo na direccedilatildeo (ou ) entatildeo o vetor em questatildeo deve ser escrito da seguinte forma

= lang0 0 rang 13

Essa disciplina eacute ministrada por diversos professores cada um com suas preferecircncias quanto agrave notaccedilatildeo vetorial entre outros fatores Vocecirc como aluno tem o direito de escolher a notaccedilatildeo que lhe for mais conveniente desde que mantidas a coerecircncia e a exatidatildeo A notaccedilatildeo utilizada neste livreto natildeo eacute necessariamente a mesma do que a utilizada nas aulas e avaliaccedilotildees Converse com seu professor para qualquer esclarecimento

Conteuacutedo Programaacutetico

7

Conteuacutedo Programaacutetico

O conteuacutedo seraacute dividido em quatro aacutereas Ao final de cada aacuterea seraacute realizada uma prova que pode abranger todo o conteuacutedo visto ateacute entatildeo

1ordf semana Carga eleacutetrica (condutores isolantes carga induzida e forccedila eleacutetrica) Campo eleacutetrico (lei de Coulomb dipolo eleacutetrico)

2ordf semana Campo eleacutetrico (momento de dipolo eleacutetrico energia potencial eleacutetrica distribuiccedilotildees discretas e contiacutenuas de carga distribuiccedilotildees contiacutenuas de carga)

3ordf semana Lei de Gauss (fluxo eleacutetrico campo eleacutetrico proacuteximo a objetos simeacutetricos carregados cargas em condutores) PROVA I

4ordf semana Potencial eleacutetrico (potencial diferenccedila de potencial diferenccedila de energia potencial superfiacutecie equipotencial potencial proacuteximo a objetos carregados)

5ordf semana Laboratoacuterio 1 Capacitacircncia (capacitor de placas paralelas diferenccedila de potencial num capacitor capacitores ciliacutendricos e esfeacutericos capacitores em seacuterie e em paralelo capacitores com dieleacutetricos energia armazenada num capacitor)

6ordm semana Carga e descarga de capacitores Corrente e

resistecircncia (conservaccedilatildeo de carga corrente convencional e corrente de eleacutetrons densidade de corrente velocidade de deriva resistores resistividade e resistecircncia lei de Ohm)

Conteuacutedo Programaacutetico

8

7ordf semana Circuitos (baterias forccedila eletromotriz resistores em seacuterie e paralelo circuitos com baterias e resistores potecircncia em circuitos efeito Joule) Laboratoacuterio 2

8ordm semana Circuito RC (corrente num circuito com capacitor carregando eou descarregando)

9ordm semana Aula de problemas e PROVA II

10ordm e 11ordf semanas Campo Magneacutetico (lei de Biot-Savart campo magneacutetico produzido por corrente campo magneacutetico da Terra espira de corrente momento de dipolo magneacutetico dipolo magneacutetico lei de Gauss do magnetismo forccedila eletromagneacutetica forccedila magneacutetica num fio com corrente torque energia potencial magneacutetica) Laboratoacuterio 3

12ordf semana Lei de Ampegravere Efeito Hall Propriedades

Magneacuteticas da Mateacuteria (diamagnetismo paramagnetismo ferromagnetismo)

13ordf semana Laboratoacuterio 4 Aula de problemas e PROVA III

14ordf semana Lei de Faraday-Lenz (forccedila eletromotriz induzida fluxo magneacutetico variaacutevel no tempo transformadores corrente induzida)

15ordf semana Equaccedilotildees de Maxwell (corrente de deslocamento) Indutacircncia (indutores solenoide toroide) Laboratoacuterio 5

16ordf semana Corrente alternada (circuito RL e LC densidade de energia conservaccedilatildeo de energia)

17ordf semana Corrente alternada (circuito RLC ressonacircncia circuito resistivo capacitivo e indutivo circuito RLC forccedilado impedacircncia fator de potecircncia constante de fase diagrama de fasores) Laboratoacuterio 6

Conteuacutedo Programaacutetico

9

18ordf semana Aula de problemas e PROVA IV

19ordf semana Divulgaccedilatildeo dos resultados

20ordf semana RECUPERACcedilAtildeO OU EXAME

Problemas Selecionados

Problemas Selecionados

11

(A) Carga Eleacutetrica

A1 ndash Se vocecirc grudar um pedaccedilo de fita adesiva na mesa e desgrudaacute-lo puxando rapidamente uma das pontas a fita ficaraacute carregada eletricamente Supondo que a fita adesiva tenha 20 de comprimento e 1 de largura e que ao fazer isso vocecirc consiga arrancar 1 eleacutetron de cada aacutetomo da superfiacutecie da fita qual seraacute a carga eleacutetrica total da fita (por simplicidade considere o raio atocircmico = 1 Å)

A2 ndash Repetindo o mesmo procedimento com outro pedaccedilo idecircntico de fita adesiva e aproximando os dois pedaccedilos a uma distacircncia de 5 qual seraacute a forccedila eleacutetrica entre eles

A3 ndash Quatro partiacuteculas carregadas estatildeo dispostas no plano XY sendo = langminus3 0 0rang $ = lang 0 0rang amp = lang0 2 0rang e = lang0 minus2 0rang as distacircncias das cargas ateacute a origem A carga da partiacutecula 2 eacute ($ = 80 times 10-C a carga das partiacuteculas 3 e 4 eacute (amp = ( = minus1 6 times 10-C Qual deve ser a distacircncia para que seja nula a forccedila resultante sobre a partiacutecula 1

A4 ndash O dado mostrado na figura ao lado possui lado = 15 Qual a forccedila (vetor) exercida sobre a partiacutecula indicada pela seta devido agrave presenccedila das demais cargas Use notaccedilatildeo vetorial para indicar sua resposta (Dica defina a origem dos eixos cartesianos no veacutertice que estaacute escondido com o eixo z para cima Calcule as componentes da forccedila nas

direccedilotildees e separadamente soacute entatildeo some as componentes que estatildeo na mesma direccedilatildeo)

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

12

A5 ndash Trecircs partiacuteculas carregadas estatildeo dispostas num plano XY a

partiacutecula 1 na posiccedilatildeo 0- = lang0 15 0rang a partiacutecula 2 na posiccedilatildeo 0$ = lang0 minus15 0rang e a partiacutecula 3 na posiccedilatildeo 0amp = lang 0 0rang com liberdade para se mover no eixo (- = ($ = 32 times 10-C (amp = minus64 times 10-C pode variar de 0 a 5 Qual o valor de para que a forccedila exercida sobre a partiacutecula 3 (pelas demais cargas) seja (a) miacutenima e (b) maacutexima Quais satildeo os valores (c) miacutenimo e (d) maacuteximo do moacutedulo da forccedila

A6 ndash A figura ao lado mostra duas esferas condutoras de mesma massa e mesma carga ( suspensas por fios isolantes de comprimento 2 Mostre que para 2 ≫ as esferas estaratildeo em equiliacutebrio quando a distacircncia entre elas for igual a

= 4 ($2256789- ampfrasl

A7 ndash A forccedila gravitacional entre duas massas pontuais eacute muito similar matematicamente agrave forccedila eletrostaacutetica entre duas cargas pontuais A intensidade dessas forccedilas no entanto eacute extremamente diferente Para ilustrar isso considere a seguinte situaccedilatildeo Em algum lugar do espaccedilo existem duas esferas idecircnticas de poeira 50 de diacircmetro e densidade 25 8amp separadas por uma distacircncia = Se os gratildeos satildeo eletricamente neutros e estatildeo inicialmente em repouso eles iratildeo colidir devido agrave atraccedilatildeo gravitacional Agora suponha que ambos estatildeo eletricamente carregados cada um tendo um nuacutemero gt de eleacutetrons extra Encontre o menor valor de gt que iraacute evitar a colisatildeo (Considere = 667 times 10-- amp8-$)

Problemas Selecionados

13

(B) Campo Eleacutetrico

B1 ndash Um iacuteon de Fe3+ estaacute localizado a 400 gt de um iacuteon de Cl- como mostra a figura ao lado (a) Qual a magnitude direccedilatildeo e sentido do campo

eleacutetrico A na posiccedilatildeo A (b) E na posiccedilatildeo B (c) Se um eleacutetron estiver na posiccedilatildeo A qual seraacute a magnitude e direccedilatildeo da forccedila sobre o eleacutetron

B2 ndash Um quadrupolo eleacutetrico eacute formado por um conjunto de dois dipolos como mostra a figura ao lado Mostre que para ≫ = a magnitude do

campo A num ponto ao longo do eixo dos quadrupolos eacute dado por

A = 6(=$4567

B3 ndash Uma barra muito longa com densidade de carga B estaacute disposta conforme a figura ao lado (Alguns autores chamam esse tipo de barra de semi-infinita pois o ponto P estaacute proacuteximo a uma das extremidades da barra enquanto a outra extremidade estaacute muito distante) Mostre

que o campo eleacutetrico A no ponto P faz um acircngulo de 45deg com a barra independente da distacircncia Y (isto eacute as componentes x e y do campo tem a mesma magnitude)

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

14

B4 ndash Calcule o campo A proacuteximo a uma barra carregada com carga total Q e comprimento As cargas estatildeo distribuiacutedas de forma uniforme ao longo da barra = 015 C = 8 gtD e E = 5

B5 ndash A figura ao lado mostra um anel incompleto de raio F carregado com carga total C Qual a forccedila (vetor) exercida sobre um eleacutetron que por ventura esteja localizado no ponto 0

B6 ndash Um dipolo cujo momento dipolar eacute G = lang37 50 0rang D

encontra-se numa regiatildeo onde o campo A = lang3000 0 0rang H Dfrasl Qual a energia potencial do dipolo Qual o torque que age sobre o dipolo Qual eacute o trabalho que um agente externo deve realizar para girar o dipolo ateacute que seu momento dipolar seja G = langminus50 37 0rang D

B7 ndash Calcule a magnitude direccedilatildeo

e sentido do campo A no centro de um anel de raio F carregado sendo que a distribuiccedilatildeo de cargas no anel varia como B(I) = B7 gt I

Problemas Selecionados

15

B8 ndash Duas barras isolantes de 15 de comprimento encontram-se em um acircngulo reto Uma barra possui 30 D e a outra possui minus30 D de carga uniformemente distribuiacuteda ao longo do comprimento conforme a figura ao lado Determine o campo eleacutetrico (vetor) no ponto P que estaacute a = = 750 do centro de cada barra

B9 ndash Duas barras curvas isolantes com cargas opostas de igual magnitude ( formam um ciacuterculo de raio F no plano xy conforme a figura As cargas estatildeo uniformemente distribuiacutedas na barra (a) Qual o campo eleacutetrico (vetor) no ponto P (b) Qual a resposta do item (a) se ( = 20 GD e F = 10

B10 ndash Considere um cilindro de comprimento 2 e raio J oco carregado com carga total C Vocecirc estaacute interessado em saber qual eacute

o campo eleacutetrico A ao longo do eixo do cilindro numa de suas extremidades Para isso utilize dois caminhos distintos (a) considerando que o cilindro eacute formado por uma infinidade de barras de espessura infinitesimal todas com comprimento 2 dispostas num ciacuterculo de raio J e (b) considerando que o cilindro eacute formado por uma infinidade de aneacuteis de raio J cujos eixos estatildeo alinhados e juntos formam um cilindro de comprimento 2

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

16

(C) Lei de Gauss

C1 ndash Uma faacutebrica de bolinhas de gude foi atingida por um raio durante uma tempestade O preacutedio foi protegido por um paacutera-raios mas algumas descargas atingiram os equipamentos que fabricavam as bolinhas Resultado eacute que a bolinha que estava na maacutequina ao cair o raio recebeu uma descarga eleacutetrica e as cargas ficaram armazenadas

no interior da bolinha de forma que a densidade de carga K() = K7 -LM

(a) Qual o campo A na superfiacutecie da bolinha que tem raio = 2 (b) E no interior da bolinha 1 abaixo da superfiacutecie (c) Qual o

campo A a 5 da superfiacutecie da bolinha

C2 ndash A figura ao lado mostra uma bolinha com massa 0004 8 e carga 8 times 10N D suspensa por um fio nas proximidades de uma grande placa condutora carregada sendo que a densidade de carga da placa eacuteminus2 times 10 D $frasl Encontre um valor para o acircngulo O

C3 ndash Uma casca ciliacutendrica isolante e muito longa tem raio interno e externo e densidade volumeacutetrica de carga K Um fio tambeacutem muito longo tem densidade linear de carga B e estaacute alinhado com o eixo central da casca Qual o campo eleacutetrico na regiatildeo entre e

Problemas Selecionados

17

C4 ndash Uma carga C positiva estaacute no centro de um conjunto de calotas concecircntricas como mostra a figura abaixo O raio das calotas estaacute indicado na figura A mais externa eacute condutora e estaacute carregada com carga C negativa e a calota intermediaacuteria eacute isolante e possui carga liacutequida ( positiva distribuiacuteda de forma uniforme por

todo seu volume Calcule o campo A resultante em cada uma das 5 regiotildees indicadas na figura Indique a localizaccedilatildeo aproximada das cargas induzidas eou em excesso em cada regiatildeo e indique a direccedilatildeo e sentido dos campos eleacutetricos

C5 ndash Uma casca esfeacuterica com densidade volumeacutetrica de carga K = 20 gtDamp tem raio interno = 10 e raio externo = 2 conforme a figura Determine o moacutedulo do campo eleacutetrico para os seguintes raios a partir do centro (a) = 2frasl (b) = 15 (c) = 2

C6 ndash Usando a Lei de Gauss determine o campo eleacutetrico proacuteximo a uma placa muito grande com densidade superficial de carga P

C7 ndash Usando a Lei de Gauss determine o campo eleacutetrico proacuteximo a uma barra muito longa com densidade linear de carga B

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

18

(D) Potencial Eleacutetrico

D1 ndash A figura ao lado mostra um anel incompleto formado por trecircs segmentos de arco com densidade linear de carga constantesB- B$ e Bamp A menor delas tem carga total (- e comprimento de arco 54 As demais estatildeo indicadas na figura Qual o potencial eleacutetrico no centro do anel Qual deve ser a relaccedilatildeo entre as cargas para que o potencial eleacutetrico no centro do anel seja igual a zero

D2 ndash A figura ao lado mostra um dipolo eleacutetrico de momento dipolar |G| = R( Mostre que para ≫ R o potencial eleacutetrico no ponto P eacute dado por

S = 145T7G UO$

Dica quando ≫ R eacute razoaacutevel considerar que V cong $ e minus V cong R UO

D3 ndash Sobre uma mesa de bilhar estatildeo dispostas trecircs bolinhas Uma com carga +C outra com carga ndash C e uma terceira com carga +2C conforme mostra a figura ao lado (a) Qual o potencial no ponto P (b) Se uma quarta bolinha for colocada no centro do quadrado qual deve ser a carga da bolinha para que o potencial no ponto P seja nulo

Problemas Selecionados

19

D4 ndash Uma esfera oca isolante de raio F e carga C eacute colocada nas proximidades de uma placa muito grande cuja densidade superficial de carga eacute P (uniforme) A distacircncia entre a placa e a superfiacutecie da esfera eacute = Qual a diferenccedila de potencial entre o centro da esfera e a placa Dica calcule a ddp devido a cada objeto separadamente e some os resultados A diferenccedila de potencial entre dois pontos pode ser determinada a partir do campo eleacutetrico

D5 ndash Uma esfera isolante maciccedila possui densidade de carga K() = K7$ onde ρ0 eacute uma constante (a) Qual a diferenccedila de potencial entre os pontos b e c Se a densidade de carga fosse uniforme qual seria a diferenccedila de potencial entre os pontos b e c

D6 ndash Um fio tem densidade linear de carga B uniforme e foi dobrado no formato conforme mostra a figura abaixo Qual o potencial eleacutetrico no ponto P

D7 ndash Considere duas cascas esfeacutericas finas concecircntricas condutoras A casca interna tem raio = 15 e carga 10 gtD A casca externa tem raio = 30 e carga minus15 gtD Forneccedila expressotildees para o campo eleacutetrico e o potencial eleacutetrico para as diferentes regiotildees (a) lt 15 (b) 15 lt lt 30 (c) gt 30 Em todos os casos considere S = 0 em = infin

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

20

(E) Capacitacircncia

E1 ndash Sabendo que cada um dos capacitores no circuito ao lado tem capacitacircncia D = 10 e a diferenccedila de potencial na bateria eacute ΔS = 10 S qual eacute a carga do capacitor 1 E do capacitor 2

E2 ndash Encontre uma expressatildeo para a capacitacircncia dos capacitores abaixo sabendo que a distacircncia entre as placas eacute = a aacuterea das placas eacute 10 = o espaccedilo entre as placas estaacute preenchido por dois ou mais materiais de constantes dieleacutetricas distintas conforme mostra a figura abaixo Analisando cada capacitor separadamente eacute possiacutevel obter a mesma capacitacircncia com uma associaccedilatildeo de capacitores simples (preenchidos por um uacutenico material) Explique

E3 ndash Uma diferenccedila de potencial de 100 S eacute aplicada ao circuito ao lado onde D- = 10 D$ = 5 e Damp = 4 Se o capacitor 3 eacute substituiacutedo por um fio condutor qual eacute o aumento na carga do capacitor 1 Qual eacute o aumento na diferenccedila de potencial entre as placas do capacitor 1

(a) (b) (c)

Problemas Selecionados

21

E4 ndash No circuito ao lado a diferenccedila de potencial fornecida pela bateria eacute de 20 S Qual a capacitacircncia equivalente do circuito Qual a carga armazenada por essa capacitacircncia equivalente Qual a carga e ddp para os capacitores 1 2 e 3

E5 ndash Na figura ao lado a ddp da bateria eacute 10 S D- = 10 D$ = Damp = 2D- A chave eacute movida para a esquerda e somente depois que o capacitor 1 atingiu o equiliacutebrio a chave eacute movida para a direita Quando o equiliacutebrio eacute novamente atingido qual eacute a carga do capacitor 1

E6 ndash Um capacitor de placas paralelas com aacuterea J e espaccedilamento = eacute preenchido com vidro (6 = 267) Conectado a uma bateria o capacitor acumula carga C (a) Qual a energia armazenada no capacitor (b) Mantendo a bateria conectada a separaccedilatildeo entre as placas eacute aumentada para 2= (veja a figura) Qual a energia armazenada nessa nova situaccedilatildeo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

22

(F) Corrente e Resistecircncia

F1 ndash A figura ao lado mostra parte de um fio de cobre com diacircmetros =- = 4F e =$ = 8F por onde passa uma corrente uniforme = 4 e a diferenccedila de potencial ao longo desse comprimento eacute20 S O

nuacutemero de portadores de carga por unidade de volume eacute 849 times 10$N amp Qual eacute a velocidade de deriva dos eleacutetrons de conduccedilatildeo na porccedilatildeo do fio com diacircmetro =$

F2 ndash No circuito ao lado qual a magnitude e direccedilatildeo das correntes nos resistores F- F$ e Famp Para isso considere que ℇ- = 6 S ℇ$ = 12 SF- = 100 Ω F$ = 200 Ω Famp = 300 Ω O ciruito estaacute aterrado e nesse ponto S = 0 Qual eacute o potencial eleacutetrico no ponto A

F3 ndash Calcule a potecircncia total dissipada em cada circuito Considere que todas as resistecircncias satildeo iguais e as baterias satildeo ideais Expresse suas respostas em termos de ℇ e F

F4 ndash Se dois fios de mesmo comprimento um de cobre e outro de alumiacutenio apresentam a mesma resistecircncia qual deve ser a razatildeo entre seus raios

Problemas Selecionados

23

F5 ndash No circuito ao lado a potecircncia dissipada no resistor R eacute 20 a Qual o valor de R Qual a ddp entre os pontos A e B

F6 ndash A corrente medida por um amperiacutemetro A no circuito ao lado eacute a mesma quando ambas as chaves estatildeo abertas ou fechadas Qual o valor da resistecircncia R

F7 ndash Determine o valor da corrente que passa por cada um dos resistores a potecircncia fornecida por cada uma das fontes de tensatildeo e a potecircncia dissipada por cada um dos resistores Faccedila o balanccedilo energeacutetico do circuito

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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F8 ndash No circuito ao lado a chave S permanece fechada por um longo tempo e a corrente no circuito atinge um valor constante Considere D- = 3 D$ = 6 F- = 4Ω e F$ = 7Ω A potecircncia dissipada em F$ eacute 24a (a) Determine as cargas em D- e D$ (b) Abrindo a chave S e aguardando um longo tempo qual a mudanccedila observada na carga do capacitor 2

F9 ndash Num circuito RC seacuterie como o da figura ao lado D = 1 F = 2 times 10bΩ e ℇ = 10S Dez segundos depois que a chave foi fechada determine (a) a carga no capacitor (b) a corrente no resistor (c) a taxa com que a energia eacute armazenada no capacitor (d) a taxa com que a bateria fornece energia para o circuito

F10 ndash Um capacitor eacute carregado atraveacutes de um resistor como mostra a figura no problema anterior Mostre que metade da energia fornecida pela bateria aparece como energia interna no resistor e a outra metade como energia eleacutetrica no capacitor

F11 ndash Um capacitor duas fontes ideais dois resistores e uma chave S satildeo mostrados no circuito da figura ao lado Suponha D = 12 ℇ- = 15 S ℇ$ = 30 S F- = 05 Ω e F$ = 08 Ω (a) Se a chave S permanece aberta por um longo tempo qual a carga no capacitor (b) Qual a carga no capacitor se a chave S permanece fechada por um longo tempo

Problemas Selecionados

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F12 ndash No circuito ao lado a bateria fornece 10 S o capacitor eacute de 1 e os resistores tecircm as resistecircncias indicadas na figura O circuito estaacute ligado haacute um longo tempo (a) Qual a ddp entre os terminais do capacitor (b) Se a bateria for desconectada quanto tempo levaraacute para que essa ddp atinja um deacutecimo do valor inicial

-------------------------------------------------------------------------------------------

(G) Campo Magneacutetico

G1 ndash Um proacuteton atravessa uma regiatildeo de campo magneacutetico uniforme = lang10 20 30rang 13 No tempo c- o proacuteton tem uma velocidade d = langde df 2rang e a forccedila magneacutetica sobre o proacuteton eacute g = lang4 times 10-h minus2 times 10-h 0rang H Nesse instante qual o valor de de e df

G2 ndash Um proacuteton viaja atraveacutes de uma regiatildeo de campo eleacutetrico e

magneacutetico uniformes onde = langminus25 0 0rang 13 Num certo instante a velocidade do proacuteton eacute d = lang0 2000 0rang Qual a forccedila resultante que age sobre o proacuteton se o campo eleacutetrico for

(a) A = lang0 0 4rang S (b) A = lang0 0 minus4rang S ou

(c) A = lang4 0 0rang S

G3 ndash Uma espira retangular de lados e estaacute numa regiatildeo de campo

magneacutetico perpendicular ao plano da espira e eacute percorrida por uma corrente i constante conforme mostra a figura ao lado Determine o torque sobre a espira

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G4 ndash Dois trilhos de metal separados por uma distacircncia = = 256 estatildeo ligados a uma bateria No momento em que uma barra de metal de massa = 241 8 eacute colocada sobre os trilhos (c = 0) ela fecha o circuito e por ela passa uma corrente i = 913 J O conjunto estaacute numa regiatildeo onde existe um campo magneacutetico uniforme = 563 13 Qual a velocidade da barra 611 depois Em que direccedilatildeo ela se move

G5 ndash A figura ao lado mostra um cilindro de madeira de massa = 250 8 e comprimento 2 =10 onde foi enrolado um fio formando uma espira de 10 voltas O cilindro eacute posicionado de forma que o eixo da espira estaacute perpendicular ao plano inclinado (paralelo agrave normal do plano

inclinado) Nessa regiatildeo haacute um campo magneacutetico = lang0 05 0rang 13 Qual deve ser o valor miacutenimo da corrente na espira capaz de manter o cilindro em sua posiccedilatildeo evitando que ele role para baixo

G6 ndash A figura ao lado mostra um iacutematilde e um anel condutor de raio por onde passa uma corrente i Se o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde faz um acircngulo O com a vertical na posiccedilatildeo onde estaacute o anel qual eacute a magnitude e a direccedilatildeo da forccedila resultante sobre o anel

Problemas Selecionados

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G7 ndash Uma barra de metal com densidade de massa B (massa por unidade de comprimento) apresenta uma corrente i (saindo da paacutegina) A barra estaacute suspensa por dois fios num campo magneacutetico uniforme vertical como mostra a figura ao lado No equiliacutebrio os fios

fazem um acircngulo O com a vertical Qual a magnitude do campo magneacutetico

G8 ndash Um proacuteton com energia cineacutetica de 6 jS se move no plano da paacutegina e entra numa regiatildeo de campo magneacutetico = 1 13 direcionado para dentro da paacutegina como mostra a figura ao lado

O proacuteton entra na regiatildeo de campo com o vetor velocidade fazendo um acircngulo O- = 35deg com a borda da regiatildeo Qual eacute a distacircncia entre o ponto de entrada e saiacuteda ( na figura) Qual o valor de O$

G9 ndash Considere um eleacutetron orbitando um proacuteton numa trajetoacuteria circular de raio F = 529 times 10-- devido agrave atraccedilatildeo Coulombiana Considere o sistema como se fosse um anel por onde passa uma corrente Qual seraacute o torque resultante quando o sistema for colocado numa regiatildeo de campo magneacutetico = 04 13 perpendicular ao momento magneacutetico do anel

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G10 ndash Um fio por onde passa uma corrente i foi moldado num formato semicircular de raio F e uma reta de comprimento 2F como mostra a figura ao lado Nessa mesma regiatildeo haacute um campo magneacutetico que aponta na direccedilatildeo + (representado pelos pontos azuis na figura ao lado) Mostre que a

forccedila resultante sobre o fio eacute zero

G11 ndash Um condutor ciliacutendrico longo de raio conteacutem duas cavidades cada uma com diacircmetro ao longo de todo o comprimento do fio Uma visatildeo da seccedilatildeo transversal do fio eacute mostrada na figura ao lado Uma corrente i uniforme (considerando a porccedilatildeo soacutelida do material) passa atraveacutes do fio e aponta para fora da paacutegina Determine a magnitude e direccedilatildeo do campo

magneacutetico em funccedilatildeo de 7 i e no ponto P

G12 ndash Dois fios muito longos por onde passa corrente i de mesma magnitude estatildeo moldados conforme a figura ao lado

Mostre que o campo magneacutetico no centro do ciacuterculo de raio R eacute o mesmo que o

campo a uma distacircncia R abaixo de um fio reto muito longo por onde passa uma corrente i

Problemas Selecionados

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G13 ndash Encontre uma expressatildeo para determinar a magnitude do campo magneacutetico no ponto P da figura ao lado Dica considere a origem dos eixos cartesianos no ponto P

G14 ndash A figura ao lado mostra a seccedilatildeo transversal de um condutor oco de raio externo e interno por onde passa uma corrente uniforme i Demonstre que a magnitude do campo magneacutetico () para uma distacircncia lt lt eacute dada por

= 7i25($ minus $) $ minus $

G15 ndash A figura ao lado mostra um cabo coaxial de raios e Correntes opostas de igual magnitude estatildeo distribuiacutedas nos dois condutores Derive uma expressatildeo para calcular o campo magneacutetico () na regiatildeo (a) lt (b) lt lt (c) lt lt e (d) gt

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G16 ndash Um fio condutor por onde passa uma corrente i foi torcido para formar um loop de raio R (no plano da paacutegina) como mostra a figura abaixo Qual a direccedilatildeo do campo magneacutetico no

centro do loop Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico no centro do loop

G17 ndash Uma corrente i passa por um fio condutor ciliacutendrico de raio R como mostra a figura ao lado A densidade de corrente l natildeo eacute uniforme atraveacutes da seccedilatildeo transversal do fio mas obedece agrave funccedilatildeo l = onde eacute uma constante Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico (a) a uma distacircncia - lt F e (b) a uma distacircncia $ gt F(em relaccedilatildeo ao centro do condutor)

G18 ndash Um fio condutor muito longo por onde passa uma corrente i- estaacute parcialmente envolto por um loop por onde passa uma corrente i$ (figura ao lado) O loop fio foi moldado num formato semiciliacutendrico de raio R e o comprimento L O fio condutor passa pelo eixo do loop Calcule a forccedila magneacutetica exercida sobre o loop

G19 ndash Considere um solenoide de comprimento 2 e raio F contendo H voltas de um fio por onde passa uma corrente i (a) Determine uma expressatildeo para

o campo magneacutetico num ponto ao longo do eixo do solenoide do lado de fora do solenoide como funccedilatildeo da distacircncia ateacute uma das pontas (considere = 0 no centro do solenoide e = a distacircncia do centro ateacute o ponto onde estaacute sendo calculado o campo ) (b) Mostre que para

Problemas Selecionados

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valores muito grandes de 2 e = = 0 se aproxima de = 7i H 2frasl para posiccedilotildees ao longo do eixo no interior do solenoide distante das bordas

G20 ndash A figura ao lado mostra um fio moldado para formar duas seccedilotildees retas e um quarto de ciacuterculo por onde passa corrente i Determine o campo magneacutetico (vetor) no ponto P

G21 ndash Um fio ciliacutendrico espesso de raio eacute percorrido por uma corrente i Determine uma expressatildeo para o

campo magneacutetico dentro e fora do fio considerando que (a) a corrente estaacute distribuiacuteda uniformemente sobre a superfiacutecie externa do fio (b) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio com densidade de corrente l constante (c) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio de forma que a densidade de corrente l eacute proporcional agrave distacircncia ateacute o eixo do fio

G22 ndash Considere dois solenoides coaxiais cada um conduzindo uma corrente i em direccedilotildees opostas O solenoide interno de raio possui gt- voltas por unidade de comprimento o

solenoide externo possui raio e gt$ voltas por unidade de

comprimento Determine (a) no interior do conjunto (b) entre eles e (c) fora deles

G23 ndash Um fio condutor longo e reto de raio F conduz uma corrente natildeo uniforme cuja densidade de corrente eacute l = l7 Ffrasl onde l7 eacute uma constante A corrente total eacute i (a) Determine uma expressatildeo para i

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em funccedilatildeo de l7 e F (b) Determine uma expressatildeo para o campo magneacutetico no interior do fio para uma distacircncia

G24 ndash A figura ao lado mostra um toroide que consiste num solenoide fechado em forma de anel (a) Considerando a simetria explique qual deve ser o formato do campo magneacutetico no interior desse toroide (b) Considere o toroide compacto (a separaccedilatildeo entre cada volta do fio eacute pequena) com N voltas conduzindo uma corrente i Usando a lei de Ampeacutere determine a magnitude do campo magneacutetico num ponto interno ao toroide a uma distacircncia do eixo principal (ver figura ao lado) (c) O campo magneacutetico no interior do toroide eacute um campo uniforme Explique

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(H) Lei de Faraday

H1 ndash A figura ao lado mostra dois aneis cujos eixos estatildeo alinhados separados por uma distacircncia x O anel maior tem raio F o anel menor tem raio Os aneis estatildeo separados por uma distacircncia ≫ F e por isso o campo magneacutetico devido agrave corrente no anel de raio F eacute praticamente uniforme no anel menor Considere que a distacircncia estaacute aumentando a uma taxa constante = =cfrasl = d (a) Determine uma expressatildeo para o fluxo de campo magneacutetico atraveacutes do anel menor como funccedilatildeo de Encontre uma expressatildeo para (b) a fem induzida e (c) a direccedilatildeo da corrente no anel menor

Problemas Selecionados

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H2 ndash (a) Calcule o fluxo magneacutetico atraveacutes do retacircngulo mostrado na figura ao lado em funccedilatildeo de = i (b) Avalie o resultado encontrado para = 5 = 10 = = 2 e i = 20 J

H3 ndash Uma espira plana e circular de raio =75 estaacute em repouso numa regiatildeo de campo magneacutetico uniforme A espira estaacute orientada de tal forma que o campo magneacutetico aponta para cima

e faz um acircngulo de 30deg com a normal da espira O campo varia com

o tempo de acordo com (c) = 14(77nho) 13 (a) Determine a fem induzida na espira em funccedilatildeo do tempo (b) Para que valor de c a fem induzida eacute igual a um deacutecimo do seu valor inicial Determine o sentido da corrente induzida na espira se observada por cima da espira

H4 ndash Um retacircngulo que mede 30 times 40 estaacute localizado no interior de um campo magneacutetico uniforme de 125 13 com o campo perpendicular ao plano da bobina A bobina se move perpendicular ao campo com velocidade constante d =2 inclusive atingindo a regiatildeo

onde o campo termina abruptamente como mostra a figura ao lado Determine a fem induzida nessa bobina quando ela estaacute (a) inteiramente no interior do campo (b) parcialmente no interior do campo e (c) inteiramente fora do campo

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H5 ndash O fio na figura ao lado conduz

uma corrente i(c) = i7po onde gt 0 Determine o sentido da corrente induzida na bobina (horaacuterio ou anti-horaacuterio) para c gt 0

H6 ndash A figura ao lado mostra uma espira circular de raio contendo uma resistecircncia e um capacitor ligados em seacuterie imerso numa regiatildeo onde um campo magneacutetico uniforme (no espaccedilo) entrando no plano na paacutegina decresce no tempo a uma taxa constante = =cfrasl = minus sendo uma constante positiva (a) Qual a carga no capacitor quando ele estaacute completamente carregado (b) Qual das placas do capacitor estaacute em potencial mais elevado (c) Qual a origem da forccedila que causa a separaccedilatildeo de cargas

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(I) Indutacircncia

I1 ndash No circuito ao lado ℰ = 100 SF- = 10 Ω F$ = 20 Ω Famp = 30 Ω e 2 = 2 H Ao fechar a chave S quais os valores de i- e i$ Considere positivo o sentido das correntes indicadas na figura Muito tempo

depois quais satildeo os valores de i- e i$ A chave eacute entatildeo aberta Nesse instante quais satildeo os valores de i- e i$ E muito tempo depois quais satildeo os valores de i- e i$

Problemas Selecionados

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I2 ndash Num circuito LC em seacuterie a carga inicial do capacitor eacute C e ele estaacute sendo descarregado Quando a carga no capacitor eacute igual a C 2frasl qual eacute o fluxo magneacutetico que atravessa cada uma das N espiras do indutor (como funccedilatildeo de C H 2 e D)

I3 ndash Uma bobina possui N voltas e estaacute envolvendo um solenoide longo de raio r com n espiras por unidade de comprimento (figura ao lado) (a) Mostre que a indutacircncia muacutetua do sistema eacute dada por j = 75F$gtH (b) Explique por que M natildeo depende do formato tamanho ou possiacutevel falta de proximidade das espiras na bobina

I4 ndash A fem autoinduzida num solenoide de indutacircncia L varia no tempo conforme ℇ(c) = ℇ7so Levando em consideraccedilatildeo que a carga eacute finita (ou seja i = 0 quando c = infin) determine a carga total que passa pelo solenoide (que atravessa um determinado ponto no fio que compotildee o solenoide)

I5 ndash Um fio condutor foi enrolado num papelatildeo formando um toroide com N espiras (voltas) raio menor r e maior R A seccedilatildeo transversal do toroide eacute mostrada na figura ao lado Se F ≫ o campo magneacutetico no interior do toroide eacute essencialmente o mesmo que o campo no interior de um solenoide muito longo que tenha sido

moldado no formato de um ciacuterculo de raio R Modelando o campo como se fosse o campo uniforme de um solenoide longo mostre que a indutacircncia desse toroide eacute

aproximadamente 2 asymp -$ 7H$ LMu

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I6 ndash Um indutor consiste em duas cascas ciliacutendricas concecircntricas como mostra a figura A casca interna tem raio e a externa tem raio ambas com comprimento ℎ A casca interna transporta uma corrente i para fora e a externa para dentro do plano da paacutegina com igual magnitude Calcule na regiatildeo lt lt (a) a densidade de energia magneacutetica (b) a indutacircncia

I7 ndash Mostre que i(c) = i7o wx eacute a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial iF + 2 yzyo = 0 onde i7 eacute a corrente em c = 0 e = 2 Ffrasl

I8 ndash Um fio condutor de raio R transporta uma corrente uniforme A corrente total no fio eacute i Mostre que a energia magneacutetica por unidade de comprimento dentro do fio eacute dada por 7i$ 165frasl

I9 ndash Um cabo coaxial eacute formado por dois cilindros condutores de paredes finas com raios - e $ As correntes nos dois cilindros satildeo iguais em magnitude mas com sentidos opostos (a) Use a lei de Ampeacutere para determinar o campo magneacutetico como funccedilatildeo da distacircncia ao eixo do cabo nas regiotildees (0 lt lt -) ( - lt lt $ ) e ( gt $) (b) Mostre que a densidade de energia magneacutetica na regiatildeo entre os cilindros eacute dada por

| = 12 745 i$(5$)-

(c) Mostre que a energia magneacutetica total num volume de cabo com comprimento ~ eacute dada por

Problemas Selecionados

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= i$~ ln LML

(d) Mostre que a autoindutacircncia por unidade de comprimento do cabo eacute dada por

2~ = 725 ln $-

-------------------------------------------------------------------------------------------

(J) Corrente Alternada

J1 ndash A tensatildeo de uma fonte de corrente alternada eacute dada por ∆d = 120gt(30 5c) onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A fonte eacute conectada a um indutor de 05 Determine (a) a frequecircncia da fonte (b) a voltagem rms no indutor (c) a reatacircncia indutiva do circuito (d) a corrente rms no indutor e (e) a corrente maacutexima no indutor

J2 ndash Uma fonte de tensatildeo alternada fornece uma tensatildeo ∆d = 98gt(80 5c) a um capacitor onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A corrente maacutexima no circuito eacute 05 J Determine (a) a tensatildeo rms da fonte (b) a frequecircncia da fonte e (c) o valor da capacitacircncia

J3 ndash Um circuito AC eacute composto por um resistor de 250 Ω um indutor de 15 um capacitor de 35 e uma fonte de tensatildeo alternada com amplitude de 45 S operando com frequecircncia angular = 360 = frasl (a) Qual eacute o fator de potecircncia do circuito (b) Determine a potecircncia meacutedia aparente (S) fornecida ao circuito (c) Qual eacute a potecircncia meacutedia ativa (P) dissipada no resistor Qual eacute a potecircncia meacutedia reativa (Q) que fica armazenada no circuito

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J4 ndash Cinco voltiacutemetros com impedacircncia muito grande ajustados para ler valores rms estatildeo conectados conforme a figura ao lado Sendo F =200 Ω 2 = 04 H D = 6 e ∆S = 30 Vqual eacute a leitura da tensatildeo em cada voltiacutemetro se (a) = 200 = frasl e (b) =1000 = frasl

J5 ndash Num circuito RLC 2 = 028 e D = 4 A fonte fornece uma voltagem com amplitude de 120 S Qual eacute a frequecircncia angular de ressonacircncia do circuito (b) Quando a fonte opera na frequecircncia angular de ressonacircncia a amplitude da corrente no circuito eacute 17 J Qual a resistecircncia do resistor (c) Na frequecircncia angular de ressonacircncia quais satildeo as voltagens de pico no indutor capacitor e resistor

J6 ndash O circuito ao lado conteacutem uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal conforme ℇ = ℇgt(c) No estado de equiliacutebrio temos as correntes mostradas no circuito Sem recorrer a uma matemaacutetica complicada responda (a) Quais os valores de u e quando = 0 (frequecircncia zero significa que

a fonte foi substituida por uma bateria ideal) (b) Quais os valores de u e quando rarr infin (c) Qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia

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J7 ndash Um indutor um capacitor e um resistor estatildeo conectados em seacuterie a uma fonte de tensatildeo alternada Se os valores da resistecircncia capacitacircncia e indutacircncia forem duplicados o que aconteceraacute com (a) a frequecircncia angular de ressonacircncia (b) a reatacircncia indutiva (c) a reatacircncia capacitiva e (d) a impedacircncia

J8 ndash O circuito abaixo eacute formado por uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal variando conforme ℇ = ℇgt(c) uma resistecircncia F = 6 Ω e uma parte desconhecida que pode conter um indutor um capacitor ou ambos A amplitude da fonte eacute ℇ = 6 S Quando a frequecircncia angular = 2 = a corrente estaacute em fase com a fonte enquanto que para = 1 = a corrente estaacute fora de fase em relaccedilatildeo agrave fonte por exatamente 5 4frasl (a) Quais componentes estatildeo presentes na parte desconhecida (um indutor um capacitor ou ambos) Explique (b) Determine os valores dos componentes desconhecidos

J9 ndash Um circuito em seacuterie possui impendecircncia de 60 Ω e fator de potecircncia igual a 072 em 50 A tensatildeo da fonte estaacute atrasada em relaccedilatildeo agrave corrente (a) Que elemento do circuito (um indutor ou um capacitor) deve ser ligado em seacuterie com o circuito para aumentar o fator de potecircncia (b) Qual deve ser o valor desse elemento para que o fator de potecircncia seja igual a 1 (c) Apresente diagramas de fasores esquemaacuteticos para o circuito antes e depois da ligaccedilatildeo do novo elemento

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O PROCESSO DE MEDIDA NO LABORATOacuteRIO DE FIacuteSICA

Natildeo satildeo raros eventos em que nos valemos de medidas para tomarmos decisotildees Medimos nossa temperatura corporal para avaliarmos se necessitamos de tratamento Medimos a pressatildeo manomeacutetrica dos pneus para avaliarmos se precisamos injetar ou retirar ar neles Consultamos medidas da temperatura ambiente para escolhermos a roupa que vestiremos Consultamos o horaacuterio (medida de tempo) para natildeo chegarmos atrasados em encontros Medidas satildeo portanto fundamentais em nossas vidas No entanto usualmente natildeo nos preocupamos muito com a precisatildeo dessas medidas Em grande parte das vezes natildeo nos interessa saber se o horaacuterio informado no reloacutegio estaacute um pouco atrasado ou adiantado Natildeo nos preocupamos em saber o quanto podemos confiar nas temperaturas coletadas com um determinado termocircmetro Nossas medidas comumente satildeo realizadas de forma despretensiosa sem muito rigor

No laboratoacuterio de Fiacutesica isso ocorre de modo muito diferente Os processos de mediccedilatildeo satildeo mais minuciosos do que os que realizamos costumeiramente Desejamos obter a maior precisatildeo possiacutevel com os equipamentos de que dispomos Mas como fazer isso Como podemos melhorar a precisatildeo dos processos de mediccedilatildeo Intuitivamente podemos concluir que inferecircncias realizadas a partir de um conjunto de medidas satildeo mais precisas do que medidas isoladas Mas quando disponho de um conjunto de medidas como posso analisaacute-las Calcular a meacutedia delas eacute suficiente Responder a questotildees como essas eacute o objetivo desta atividade Para exemplificarmos todo esse processo realizaremos um debate sobre a mediccedilatildeo da resistecircncia interna de amperiacutemetros

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O que satildeo amperiacutemetros

Um amperiacutemetro eacute um instrumento utilizado para a realizaccedilatildeo de medidas de correntes eleacutetricas Evidentemente natildeo queremos modificar os circuitos quando os exploramos com um instrumento Com amperiacutemetros natildeo eacute diferente Queremos medir correntes eleacutetricas sem alterar as caracteriacutesticas do circuito Mas como eacute possiacutevel fazer isso Natildeo discutiremos aqui os detalhes sobre o funcionamento interno de um amperiacutemetro No entanto vamos avaliaacute-los do ponto de vista de uma das suas caracteriacutesticas mais importantes a sua resistecircncia eleacutetrica

A resistecircncia eleacutetrica de um circuito influencia na intensidade da corrente eleacutetrica que circula nele A corrente eleacutetrica i que perpassa por uma resistecircncia eleacutetrica F submetida a uma tensatildeo ∆S por exemplo pode ser predita pela seguinte relaccedilatildeo

i = ∆u Eq 1

O amperiacutemetro precisa ser posicionado em seacuterie no circuito em que se deseja medir a corrente eleacutetrica como eacute exemplificado na figura

Figure 1- Medindo a resistecircncia interna de um multiacutemetro

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1 Como a resistecircncia equivalente em circuitos em seacuteries eacute a soma da resistecircncia eleacutetrica de cada um dos seus componentes a resistecircncia interna dos amperiacutemetros se soma agrave resistecircncia equivalente do circuito investigado alterando a sua dinacircmica Por isso nosso desejo eacute que os amperiacutemetros tenham resistecircncia eleacutetrica nula No entanto a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro real por menor que seja nunca eacute nula Eles possuem um circuito interno com fios e diversos componentes eletrocircnicos que acabam provocando uma resistecircncia agrave circulaccedilatildeo de corrente eleacutetrica Ainda assim frequentemente desprezamos tal resistecircncia Seraacute que isso eacute razoaacutevel Quando podemos desprezar a resistecircncia interna dos amperiacutemetros e quando natildeo podemos Para respondermos tais perguntas precisamos conhecer o valor da resistecircncia interna tiacutepica de um amperiacutemetro

Medindo a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro

Nesta disciplina usaremos diversos amperiacutemetros de uma mesma marca e modelo em uma seacuterie de experimentos (Minipa ET-2075B) Por isso eacute interessante que conheccedilamos a resistecircncia eleacutetrica deles para podermos avaliar quando podemos desprezaacute-la e quando natildeo Mas como podemos obter essa informaccedilatildeo Podemos medi-la Um procedimento simples para isso eacute submeter o amperiacutemetro a uma diferenccedila de potencial ΔV conhecida e medir a corrente eleacutetrica i que passa por ele Desse modo podemos usar a Eq 1 para inferir a resistecircncia eleacutetrica do equipamento Mas podemos confiar em uma uacutenica medida Depende da precisatildeo de que necessitamos para essa medida Intuitivamente sabemos que se medirmos a resistecircncia interna a partir de um conjunto de dados poderemos ter uma maior confiabilidade nos dados No exemplo de que estamos tratando eacute possiacutevel se coletar dados da corrente no amperiacutemetro quando submetido a diferentes tensotildees Desse modo pode-se inferir a resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro pela declividade da reta constituiacuteda

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pelos dados representados em um graacutefico da tensatildeo em funccedilatildeo da corrente eleacutetrica como pode ser constatado da Eq1 No entanto como temos incertezas associadas a cada dado experimental coletado esses dados natildeo seratildeo perfeitamente representados por uma reta Surge entatildeo uma nova questatildeo qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados

Ajuste de Curvas

Diversas retas podem ser ajustadas a um conjunto de dados experimental Qual delas utilizar Intuitivamente podemos conjecturar que a melhor reta a ser utilizada eacute aquela tal que a soma das diferenccedilas entre os valores de tensatildeo medidos e os preditos pela reta tenha o menor valor possiacutevel Em outras palavras queremos minimizar a soma

sum = = (∆Sz minus ∆S)z-

onde ∆Sz satildeo as tensotildees medidas e ∆S satildeo as tensotildees preditas pela reta ajustada

No entanto haacute um inconveniente importante no uso desse criteacuterio tal soma pode ser bem pequena para retas que natildeo apresentam bom ajuste aos dados se as diferenccedilas entre os valores medidos e os preditos se cancelarem sendo alguns positivos e outros negativos Nesses casos apesar de natildeo termos uma reta bem ajustada aos dados o criteacuterio utilizado

indicaria que sim Como resolver isso Elevando os valores de dn ao

Figura 1 - Diferenccedila de potencial em funccedilatildeo

da corrente

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quadrado Ou seja podemos procurar a reta tal que a seguinte soma tenha o menor valor possiacutevel

sum =$ = (∆Sz minus ∆S)$z-

O meacutetodo que utiliza esse criteacuterio para a realizaccedilatildeo de ajustes de curvas que eacute amplamente utilizado no meio acadecircmico eacute denominado Meacutetodo dos Miacutenimos Quadrados Todos os softwares do tipo planilha eletrocircnica realizam esse caacutelculo automaticamente e nos valeremos disso quando necessaacuterio

Todos os amperiacutemetros da sala possuem a mesma resistecircncia interna

Ainda que todos os amperiacutemetros que utilizaremos nas nossas aulas sejam da mesma marca e modelo eles possuem diferentes resistecircncias internas Existe alguma forma de estimar a resistecircncia interna de um desses amperiacutemetros escolhido aleatoriamente Calcular a meacutedia das resistecircncias eacute suficiente para realizar essa estimativa

Variabilidade das medidas o desvio padratildeo amostral e da meacutedia

Apesar de as resistecircncias dos amperiacutemetros natildeo serem exatamente as mesmas elas possuem valores que se distribuem em torno de um valor meacutedio que eacute igual agrave meacutedia dessas resistecircncias Desse modo se tomarmos um dos amperiacutemetros aleatoriamente o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute igual agrave meacutedia das resistecircncias internas de todos os amperiacutemetros Mas quanto podemos confiar nessa estimativa Para respondermos tal pergunta eacute importante quantificarmos a variabilidade das resistecircncias r que medimos Quanto menor for essa variabilidade maior seraacute a nossa confianccedila para assumir que a resistecircncia interna de um amperiacutemetro particular eacute igual agrave meacutedia Intuitivamente podemos conjecturar que tal variabilidade pode ser medida pelo somatoacuterio das diferenccedilas entre as resistecircncias

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medidas z e a meacutedia dessas resistecircncias ou seja por (- minus ) + ($ minus ) + ⋯ + ( minus ) onde N eacute o nuacutemero de medidas realizadas No entanto temos aqui um inconveniente semelhante ao que tivemos quando analisaacutevamos ajustes de curvas se valores positivos e negativos se cancelarem esse somatoacuterio pode ser muito pequeno mesmo quando os dados apresentam grande variabilidade Podemos propor a mesma soluccedilatildeo adotada anteriormente vamos elevar os termos ao quadrado Temos entatildeo a variabilidade dos dados sendo mensurada por (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$

A impossibilidade de comparaccedilatildeo entre as variabilidades de diferentes conjuntos de dados eacute a limitaccedilatildeo desta proposta pois o resultado desse somatoacuterio eacute altamente dependente da quantidade de termos Desse modo eacute possiacutevel que esse somatoacuterio seja maior para grandes conjuntos com pouca variabilidade do que para pequenos grupos com grande variabilidade Para amenizar tal limitaccedilatildeo podemos entatildeo dividir o somatoacuterio por N ou seja calcular a variabilidade por(- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$ Hfrasl Ainda que esse somatoacuterio seja conceitualmente interessante natildeo eacute essa a medida de dispersatildeo de dados que costuma ser utilizada no meio cientiacutefico mas algo que guarda alguma semelhanccedila com ele o desvio padratildeo dos dados (P) Ele eacute calculado por

PL = (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$H minus 1

Mas por que utilizamos essa equaccedilatildeo A resposta estaacute em suas propriedades Quando construiacutemos um histograma (graacutefico de frequecircncias) de um conjunto de medidas por exemplo podemos em muitos casos assumir que a distribuiccedilatildeo desses dados eacute representada por uma distribuiccedilatildeo normal A equaccedilatildeo que define essa distribuiccedilatildeo assim como sua representaccedilatildeo graacutefica eacute ilustrada na Figura 3

Manual de Laboratoacuterio

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Natildeo eacute nosso objetivo aqui discutir detalhes da distribuiccedilatildeo normal O que desejamos destacar eacute que quando supomos que a distribuiccedilatildeo de um conjunto de dados eacute normal o que eacute bastante razoaacutevel na maioria das vezes o desvio padratildeo σ quantifica como os dados estatildeo distribuiacutedos Para entendermos isso analisemos a Figura 4

O intervalo compreendido pela meacutedia das medidas mais ou menos um desvio padratildeo compreende 68 das medidas realizadas No caso que estamos exemplificando se tomarmos a meacutedia das resistecircncias internas r de todos os amperiacutemetros investigados e o desvio padratildeo PL desses dados 68 das medidas estaratildeo no intervalo entre ( minus PL) e ( + PL) 95 no intervalo ( 2PL) e 99 no intervalo ( 257PL)

Figura 2 - A distribuiccedilatildeo normal eacute usualmente utilizada para representar a distribuiccedilatildeo

de frequecircncias de um conjunto de dados (Lima Jr et al 2013 p 30)

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Agora jaacute sabemos como quantificar a variabilidade de um conjunto de dados Podemos entatildeo calcular a meacutedia e o desvio padratildeo das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros Mas surge entatildeo uma questatildeo Se analisaacutessemos um novo conjunto de amperiacutemetros da mesma marca e modelo dos exemplificados aqui a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros seria a mesma Provavelmente natildeo Temos como estimar a partir do conjunto de medidas que realizamos a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros Temos Para responder a essa questatildeo temos que compreender um novo conceito o de desvio padratildeo da meacutedia (PL) Ele eacute calculado por

PL = PLradicH

Natildeo vamos entrar em detalhes aqui sobre a origem do conceito de desvio padratildeo da meacutedia1 vamos apenas explicar como essa grandeza nos permite estimar a incerteza na meacutedia de um conjunto de medidas Para isso vamos supor um novo conjunto de N novas

1 Se vocecirc eacute um aluno curioso pesquise sobre o Teorema Central do Limite para compreender com mais profundidade o conceito de desvio padratildeo da meacutedia

Figura 3 - A meacutedia e o desvio padratildeo demarcam a distribuiccedilatildeo dos dados em uma

distribuiccedilatildeo normal Na figura o eixo das abcissas expressa a distacircncia da meacutedia em

unidades de desvio padratildeo (Lima Jr et al 2013 p 30)

Manual de Laboratoacuterio

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medidas da resistecircncia interna de amperiacutemetros como os investigados nesta aula Qual seria a meacutedia dessas medidas Assim como o desvio padratildeo dos dados quantifica a dispersatildeo dos dados em torno da meacutedia o desvio padratildeo da meacutedia quantifica a dispersatildeo das meacutedias de subconjuntos de dados em torno da meacutedia de todo o conjunto de dados Aplicando esse conceito ao nosso exemplo podemos interpretar os dois conjuntos de medidas de resistecircncias internas como subconjuntos de um grande conjunto contendo todas as medidas Desse modo podemos afirmar com 68 de confianccedila que a meacutedia das N novas medidas a serem realizadas estaraacute no intervalo compreendido por ( PL) com 95 de confianccedila no intervalo ( 2PL) e com 99 de confianccedila no intervalo ( 257PL) O desvio padratildeo da meacutedia pode ser compreendido assim como a incerteza da meacutedia de um conjunto de medidas ou seja ele nos fornece uma estimativa da confiabilidade de uma meacutedia Em suma se escolhermos um amperiacutemetro aleatoriamente podemos dizer que i) o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute a meacutedia das resistecircncias de todos os amperiacutemetros e ii) a incerteza que temos nesse valor eacute igual ao desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias dos amperiacutemetros

E se eu soacute tivesse condiccedilotildees de realizar uma uacutenica medida

Nem sempre podemos realizar diversas medidas de uma grandeza Em alguns casos nem mesmo faz sentido realizar diversas medidas No entanto eacute evidente que existe uma incerteza associada a uma uacutenica medida Natildeo existem instrumentos que sejam perfeitamente precisos Entatildeo como podemos estimar essa incerteza Usualmente os manuais dos instrumentos trazem informaccedilotildees sobre isso Desse modo as incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica realizadas com um voltiacutemetro e um amperiacutemetro podem ser consultadas no manual do multiacutemetro utilizado Mas como eacute calculada a incerteza da resistecircncia interna de um amperiacutemetro que foi calculada a partir de

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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apenas uma medida de tensatildeo e uma de corrente eleacutetrica Nesse caso precisamos calcular a incerteza propagada das incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica

Os meacutetodos de caacutelculo de incertezas propagadas podem ser bastante complicados Aqui trataremos de um meacutetodo bastante simples usualmente denominado de Meacutetodo dos Limites Vamos exemplificaacute-lo supondo que a incerteza da tensatildeo sobre as entradas do amperiacutemetro eacute P- e da corrente eleacutetrica que circula por ele eacute P$ Ou seja a tensatildeo medida estaacute no intervalo entre ∆S minus P- e ∆S + P- e a corrente eleacutetrica entre i minus P$ e i + P$ Qual eacute entatildeo a incerteza da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro investigado Para responder isso basta calcularmos os valores limites dessa grandeza O maacuteximo valor possiacutevel para a resistecircncia ocorreraacute se a tensatildeo for ∆S + P- e a corrente eleacutetrica for i minus P$ Nesse caso usando a Eq 1 temos

aacutee = ∆S + P-i minus P$

Usando o mesmo raciociacutenio o valor miacutenimo de r seraacute

z = ∆S minus P-i + P$

Desse modo podemos dizer que o valor da resistecircncia interna medida estaacute no intervalo entre rmaacutex e rmiacuten Em outras palavras o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro eacute

F = iexclz + aacutee2 z minus aacutee2 cent

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Erro eacute a mesma coisa que incerteza

Apesar de serem frequentemente utilizados como sinocircnimos os manuais de metrologia atribuem significados distintos aos conceitos de ldquoerrordquo e ldquoincertezardquo O Guia para Expressatildeo da Incerteza da Mediccedilatildeo (Joint Commitee for Guide in Metrology 2008 apud Lima Jr et al 2013) usa o termo ldquoerrordquo para indicar a diferenccedila entre o valor verdadeiro e o resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo o conceito de erro tem uso restrito pois satildeo poucos os casos em que conhecemos o valor verdadeiro de uma grandeza Satildeo exemplos desses casos experimentos em que se deseja mensurar a velocidade da luz no vaacutecuo ou o valor de π que satildeo valores previamente conhecidos pelo experimentador O caacutelculo do erro soacute faz sentido para casos em que sabemos o valor verdadeiro da grandeza que se quer medir

A incerteza por outro lado eacute entendida como uma estimativa que quantifica a confiabilidade do resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo quando calculamos o desvio padratildeo da meacutedia de um conjunto de medidas estamos calculando a incerteza da meacutedia dessas medidas ou seja estamos avaliando a confianccedila que podemos ter em adotar a meacutedia dessas medidas como o valor da grandeza mensurada O conceito de incerteza portanto tem maior aplicabilidade do que o conceito de erro

Algarismos significativos e incerteza

Uma questatildeo frequente nas aulas de laboratoacuterio eacute Com quantos algarismos uma grandeza deve ser apresentada No laboratoacuterio a resposta dessa questatildeo eacute uma funccedilatildeo da incerteza da grandeza Devemos apresentar os dados ateacute o seu primeiro algarismo duvidoso Voltemos ao exemplo da resistecircncia interna dos amperiacutemetros Suponhamos que a meacutedia das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros eacute 21546 Ω e o desvio padratildeo dessa meacutedia que eacute

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entendido aqui como a incerteza da resistecircncia interna dos amperiacutemetros eacute 003 Ω Interpretando tais dados assumimos com 68 de certeza que a resistecircncia interna dos amperiacutemetros estaacute no intervalo entre 21246 e 21846 Ω Desse modo a segunda casa decimal da grandeza medida eacute duvidosa Por isso os algarismos subsequentes satildeo omitidos quando expressamos essa medida e a medida da resistecircncia interna dos amperiacutemetros exemplificados eacute exposta por (215 plusmn 003) Ω Em suma o resultado de uma mediccedilatildeo deve ser sempre expresso com a mesma quantidade de casas decimais que sua incerteza Os algarismos apresentados satildeo entatildeo chamados de algarismos significativos

Referecircncia

Lima Jr P Silva M T X Silveira F L Veit E A (2013) Laboratoacuterio de mecacircnica subsiacutedios para o ensino de Fiacutesica experimental Porto Alegre UFRGS Instituto de Fiacutesica Disponiacutevel em httphdlhandlenet1018390438

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Atividade de Laboratoacuterio I Instrumentos de medida e incertezas

Este material foi cuidadosamente preparado para auxiliar no andamento das atividades no laboratoacuterio de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo Eacute importante responder TODAS as perguntas

(indicadas pelo siacutembolo ) feitas ao longo do texto discutindo com seu grupo possiacuteveis respostas e justificando-as Sempre que possiacutevel faccedila isso por escrito

TAREFA 1

Construa um circuito contendo um resistor de 1 kΩ em seacuterie com uma fonte de tensatildeo contiacutenua e um multiacutemetro Coloque o multiacutemetro na funccedilatildeo amperiacutemetro na escala de miliampere Usando outro multiacutemetro meccedila a tensatildeo no amperiacutemetro Realize medidas com diferentes correntes eleacutetricas variando a tensatildeo de saiacuteda da fonte

Como podemos tratar esses dados se nosso objetivo eacute medir a resistecircncia interna do amperiacutemetro

Qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Para responder essas questotildees se dirija a um dos computadores da sala e use um aplicativo que possibilite a construccedilatildeo de graacuteficos SciDavis por exemplo Insira seus dados no aplicativo construa o graacutefico desejado e encontre a melhor reta que se ajusta aos dados

Qual foi a melhor reta ajustada Determine a equaccedilatildeo dessa reta ajustada

Qual eacute o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro que vocecirc investigou

TAREFA 2

Utilize as medidas de todos os grupos da turma e aplique os conhecimentos abordados na tarefa de leitura para responder as seguintes questotildees

Qual deve ser a resistecircncia interna de um amperiacutemetro escolhido aleatoriamente entre os utilizados nesta aula

Qual eacute a incerteza desse valor

TAREFA 3

Suponha que o manual do Minipa ET-2075B informe que as medidas de tensatildeo e corrente realizadas nas faixas de milivolt e miliampere tecircm incerteza de 3 Use esses dados para calcular a

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incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1

Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma

Elas satildeo coerentes Por quecirc

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CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO

Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por

equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC

Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras

O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se

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extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo

No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador

Salvando vidas

ldquoafastem-se choquerdquo

Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de

sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos

O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo

Figura 4 - Desfibrilador

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esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)

Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma

sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o

miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia

Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2

2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387

Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)

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Circuito RC - seacuterie

Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C

Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que

∆S(c) + i(c)F = 0

Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo

i(c) = =C(c)=c

e a ddp no capacitor eacute dada por

∆S(c) = C(c)D

Dessa forma podemos dizer que

=C(c)=c = minus 1FD C(c)

Figura 6 - Circuito RC

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa

funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja

derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever

C(c) = C7 ou

A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial

Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir

Capacitor Carregando Capacitor Descarregando

∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0

C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou

∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou

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Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8

Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo

eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum

3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78

Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas

do capacitor durante o processo de

carga ou descarga

Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um

graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo

do tempo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no

capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte

Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor

quando o mesmo estaacute sendo carregado

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Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie

1 - Osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos

2 ndash Aparato Experimental

Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto

Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)

Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio

Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees

Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala

Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)

Manual de Laboratoacuterio

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TAREFA 1

Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees

Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico

Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito

Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito

Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos

Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio

TAREFA 2

Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie

Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)

Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados

Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo

NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo

Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste

Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito

Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito

Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles

Manual de Laboratoacuterio

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MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS

Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais

Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio

Para onde aponta a buacutessola

Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos

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polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc

E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial

tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos

que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a

soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio

4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja

httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4

Figura 10 - Buacutessola

Figura 11 - campo B resultante

Manual de Laboratoacuterio

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Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por

umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O

Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde

Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde

Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma

iacuteatilde() = ∙

onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde

5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass

The Physics Teacher 49(1) 45-48

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como

iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2

Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos

gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)

Logo

gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2

Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo

iacuteatilde() = amp

Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse

tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira

na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart

Manual de Laboratoacuterio

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pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do

que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute

yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp

onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico

da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos

yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp

Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Atividade de Laboratoacuterio III Projeto

OBJETIVO

Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio

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SUGESTAtildeO 1

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO

Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas

Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece

Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha

Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo

por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o

eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte

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SUGESTAtildeO 2

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA

Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)

Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica

Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de

uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)

Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema

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SUGESTAtildeO 3

BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO

Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola

Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)

Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina

O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados

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SUGESTAtildeO 4

CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO

O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer

Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio

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MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO

Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro

Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental

6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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110 V 127 V e 220 V O que eacute isso

As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V

Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas

A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

(c) = Jgt(c + acute)

onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por

∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)

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onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1

Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho

Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores

Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por

∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf

∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712

∆Suparamiddot = ∆S7radic2

Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a

tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s

A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente

alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$

Figura 13 - Funccedilotildees seno e

seno quadrado

Manual de Laboratoacuterio

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COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA

Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz

Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O

Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio

Natildeo queremos jogar energia fora

Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14

Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie

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Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por

0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)

onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)

Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

ℇ(c) = ℇ7gt(c)

onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente

Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na

figura 16 para um caso em que VL gt VC

Figura 15 - Diagrama de fasores

de um circuito RLC seacuterie com

fonte de tensatildeo alternada

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que

acute = c8 S minus SSu

Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado

por

i(c) = gt(c minus acute)

Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente

as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que

ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$

ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$

Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como

0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)

Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que

0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$

Figura 16 ndash Soma de fasores

Manual de Laboratoacuterio

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0eacutey = F ∙ uparamiddot$

onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square

Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que

F = frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte

Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade

7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL

Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e

resistecircncia num diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como

0 = AJradicAJ$ + AF$

O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP

DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11

Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia

Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por

acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita

Manual de Laboratoacuterio

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2 = 1D

Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica

Figura 18 - diagramas de fasores representando

um circuito capacitivo e um circuito indutivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie

O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio

TAREFA 1

Circuito Resistivo

Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR

Manual de Laboratoacuterio

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Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)

O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador

Circuito Capacitivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor

Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Manual de Laboratoacuterio

91

Circuito Indutivo

Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor

O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Circuito RLC

Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise

Manual de Laboratoacuterio

93

O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador

Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio

O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior

Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor

Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou

A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

94

TAREFA 2

Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente

Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir

Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima

Qual o valor da corrente maacutexima no circuito

Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)

O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique

Manual de Laboratoacuterio

95

TAREFA 3

Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito

Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees

Como isso eacute possiacutevel Explique

Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff

Respostas

96

Respostas

A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32

A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH

A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH

B3 Ae = Af = AtildeAcircf

B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl

B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH

B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l

B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD

B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -

C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc

(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7

C2 O = ~13deg

C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)

Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-

vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr

Respostas

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C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM

C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD

(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD

C6 A = Eacute$Acirc

C7 A = Atilde$AcircL

D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma

das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp

D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(

D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1

no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)

D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme

D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D

E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)

E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D

E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml

F1 544 times 10

F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S

F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM

u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM

u (e) 0 = ℇMu

F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω

Respostas

98

F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965

G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n

G5 i = Ograve$g = 245 J

G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y

G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez

G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H

G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)

G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)

G15 (a) zL$brvbarM (b)

z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero

G16 z$L + z$L = z$L - + 1

G17 (a) pLM

amp (b) pusup3

ampL

G18 zzMu

G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)

z

G20 zNu saindo da folha

G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)

UgraveLMamp

fora do fio (a) z$L (b)

UgravebrvbarM$L (c)

Ugravebrvbarsup3ampL

G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13

G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM

ampu

H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior

Respostas

99

H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a

H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J

I2 Φ = pound$ sup1amp

I4 C = AcircsM

I6 (a) zM

NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar

J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a

(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S

J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu

(c) = -radic

J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm

(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013

Respostas

100

Bibliografia

Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il

Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il

Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il

Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm

Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il

Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il

Page 3: Prof a. Raquel Giulian Prof. Leonardo Albuquerque ... · 3ª semana: Lei de Gauss (fluxo elétrico, campo elétrico ... Aula de problemas e PROVA II 10º e 11ª semanas: Campo Magnético

Introduccedilatildeo

5

Introduccedilatildeo

Este livro eacute uma ferramenta de apoio agraves aulas de FIacuteSICA GERAL ndash ELETROMAGNETISMO do Instituto de Fiacutesica - UFRGS A primeira parte traz uma seleccedilatildeo de exerciacutecios e problemas que podem ser utilizados para melhor compreensatildeo dos conteuacutedos vistos em aula Os exerciacutecios sugeridos aqui devem servir apenas como um guia satildeo exemplos do niacutevel de dificuldade que pode ser exigido nas avaliaccedilotildees durante o curso O aluno que sentir dificuldade em resolver os exerciacutecios aqui sugeridos deve procurar apoio em outros materiais didaacuteticos que trazem um nuacutemero muito maior de exerciacutecios com variados graus de dificuldade

A segunda parte consiste num MANUAL DE LABORATOacuteRIO um conjunto de atividades que seratildeo realizados nas aulas experimentais O meacutetodo de avaliaccedilatildeo das atividades experimentais deve ser discutido com o professor

Este material estaacute em constante desenvolvimento e foi elaborado a com significativa contribuiccedilatildeo dos professores de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo da UFRGS em especial os professores Cristiano Krug Gabriel Vieira Soares Livio Amaral e Luiz Fernando Ziebell Muitas alteraccedilotildees foram feitas em relaccedilatildeo agraves ediccedilotildees anteriores para melhor atender agraves necessidades da disciplina Os exerciacutecios e problemas satildeo adaptaccedilotildees dos exerciacutecios sugeridos em livros de Fiacutesica Geral

Sugestotildees satildeo bem vindas e podem ser enviadas para os autores atraveacutes do e-mail raquelgiulianifufrgsbr

Notaccedilatildeo Vetorial

6

Notaccedilatildeo Vetorial

A notaccedilatildeo vetorial eacute ferramenta fundamental para o estudo do eletromagnetismo Neste livreto vetores estatildeo escritos no seguinte formato

= lang minus rang 13

que eacute equivalente a = minus + (13) ou ainda a = minus + (13) Quando o vetor tiver apenas uma componente

natildeo nula por exemplo na direccedilatildeo (ou ) entatildeo o vetor em questatildeo deve ser escrito da seguinte forma

= lang0 0 rang 13

Essa disciplina eacute ministrada por diversos professores cada um com suas preferecircncias quanto agrave notaccedilatildeo vetorial entre outros fatores Vocecirc como aluno tem o direito de escolher a notaccedilatildeo que lhe for mais conveniente desde que mantidas a coerecircncia e a exatidatildeo A notaccedilatildeo utilizada neste livreto natildeo eacute necessariamente a mesma do que a utilizada nas aulas e avaliaccedilotildees Converse com seu professor para qualquer esclarecimento

Conteuacutedo Programaacutetico

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Conteuacutedo Programaacutetico

O conteuacutedo seraacute dividido em quatro aacutereas Ao final de cada aacuterea seraacute realizada uma prova que pode abranger todo o conteuacutedo visto ateacute entatildeo

1ordf semana Carga eleacutetrica (condutores isolantes carga induzida e forccedila eleacutetrica) Campo eleacutetrico (lei de Coulomb dipolo eleacutetrico)

2ordf semana Campo eleacutetrico (momento de dipolo eleacutetrico energia potencial eleacutetrica distribuiccedilotildees discretas e contiacutenuas de carga distribuiccedilotildees contiacutenuas de carga)

3ordf semana Lei de Gauss (fluxo eleacutetrico campo eleacutetrico proacuteximo a objetos simeacutetricos carregados cargas em condutores) PROVA I

4ordf semana Potencial eleacutetrico (potencial diferenccedila de potencial diferenccedila de energia potencial superfiacutecie equipotencial potencial proacuteximo a objetos carregados)

5ordf semana Laboratoacuterio 1 Capacitacircncia (capacitor de placas paralelas diferenccedila de potencial num capacitor capacitores ciliacutendricos e esfeacutericos capacitores em seacuterie e em paralelo capacitores com dieleacutetricos energia armazenada num capacitor)

6ordm semana Carga e descarga de capacitores Corrente e

resistecircncia (conservaccedilatildeo de carga corrente convencional e corrente de eleacutetrons densidade de corrente velocidade de deriva resistores resistividade e resistecircncia lei de Ohm)

Conteuacutedo Programaacutetico

8

7ordf semana Circuitos (baterias forccedila eletromotriz resistores em seacuterie e paralelo circuitos com baterias e resistores potecircncia em circuitos efeito Joule) Laboratoacuterio 2

8ordm semana Circuito RC (corrente num circuito com capacitor carregando eou descarregando)

9ordm semana Aula de problemas e PROVA II

10ordm e 11ordf semanas Campo Magneacutetico (lei de Biot-Savart campo magneacutetico produzido por corrente campo magneacutetico da Terra espira de corrente momento de dipolo magneacutetico dipolo magneacutetico lei de Gauss do magnetismo forccedila eletromagneacutetica forccedila magneacutetica num fio com corrente torque energia potencial magneacutetica) Laboratoacuterio 3

12ordf semana Lei de Ampegravere Efeito Hall Propriedades

Magneacuteticas da Mateacuteria (diamagnetismo paramagnetismo ferromagnetismo)

13ordf semana Laboratoacuterio 4 Aula de problemas e PROVA III

14ordf semana Lei de Faraday-Lenz (forccedila eletromotriz induzida fluxo magneacutetico variaacutevel no tempo transformadores corrente induzida)

15ordf semana Equaccedilotildees de Maxwell (corrente de deslocamento) Indutacircncia (indutores solenoide toroide) Laboratoacuterio 5

16ordf semana Corrente alternada (circuito RL e LC densidade de energia conservaccedilatildeo de energia)

17ordf semana Corrente alternada (circuito RLC ressonacircncia circuito resistivo capacitivo e indutivo circuito RLC forccedilado impedacircncia fator de potecircncia constante de fase diagrama de fasores) Laboratoacuterio 6

Conteuacutedo Programaacutetico

9

18ordf semana Aula de problemas e PROVA IV

19ordf semana Divulgaccedilatildeo dos resultados

20ordf semana RECUPERACcedilAtildeO OU EXAME

Problemas Selecionados

Problemas Selecionados

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(A) Carga Eleacutetrica

A1 ndash Se vocecirc grudar um pedaccedilo de fita adesiva na mesa e desgrudaacute-lo puxando rapidamente uma das pontas a fita ficaraacute carregada eletricamente Supondo que a fita adesiva tenha 20 de comprimento e 1 de largura e que ao fazer isso vocecirc consiga arrancar 1 eleacutetron de cada aacutetomo da superfiacutecie da fita qual seraacute a carga eleacutetrica total da fita (por simplicidade considere o raio atocircmico = 1 Å)

A2 ndash Repetindo o mesmo procedimento com outro pedaccedilo idecircntico de fita adesiva e aproximando os dois pedaccedilos a uma distacircncia de 5 qual seraacute a forccedila eleacutetrica entre eles

A3 ndash Quatro partiacuteculas carregadas estatildeo dispostas no plano XY sendo = langminus3 0 0rang $ = lang 0 0rang amp = lang0 2 0rang e = lang0 minus2 0rang as distacircncias das cargas ateacute a origem A carga da partiacutecula 2 eacute ($ = 80 times 10-C a carga das partiacuteculas 3 e 4 eacute (amp = ( = minus1 6 times 10-C Qual deve ser a distacircncia para que seja nula a forccedila resultante sobre a partiacutecula 1

A4 ndash O dado mostrado na figura ao lado possui lado = 15 Qual a forccedila (vetor) exercida sobre a partiacutecula indicada pela seta devido agrave presenccedila das demais cargas Use notaccedilatildeo vetorial para indicar sua resposta (Dica defina a origem dos eixos cartesianos no veacutertice que estaacute escondido com o eixo z para cima Calcule as componentes da forccedila nas

direccedilotildees e separadamente soacute entatildeo some as componentes que estatildeo na mesma direccedilatildeo)

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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A5 ndash Trecircs partiacuteculas carregadas estatildeo dispostas num plano XY a

partiacutecula 1 na posiccedilatildeo 0- = lang0 15 0rang a partiacutecula 2 na posiccedilatildeo 0$ = lang0 minus15 0rang e a partiacutecula 3 na posiccedilatildeo 0amp = lang 0 0rang com liberdade para se mover no eixo (- = ($ = 32 times 10-C (amp = minus64 times 10-C pode variar de 0 a 5 Qual o valor de para que a forccedila exercida sobre a partiacutecula 3 (pelas demais cargas) seja (a) miacutenima e (b) maacutexima Quais satildeo os valores (c) miacutenimo e (d) maacuteximo do moacutedulo da forccedila

A6 ndash A figura ao lado mostra duas esferas condutoras de mesma massa e mesma carga ( suspensas por fios isolantes de comprimento 2 Mostre que para 2 ≫ as esferas estaratildeo em equiliacutebrio quando a distacircncia entre elas for igual a

= 4 ($2256789- ampfrasl

A7 ndash A forccedila gravitacional entre duas massas pontuais eacute muito similar matematicamente agrave forccedila eletrostaacutetica entre duas cargas pontuais A intensidade dessas forccedilas no entanto eacute extremamente diferente Para ilustrar isso considere a seguinte situaccedilatildeo Em algum lugar do espaccedilo existem duas esferas idecircnticas de poeira 50 de diacircmetro e densidade 25 8amp separadas por uma distacircncia = Se os gratildeos satildeo eletricamente neutros e estatildeo inicialmente em repouso eles iratildeo colidir devido agrave atraccedilatildeo gravitacional Agora suponha que ambos estatildeo eletricamente carregados cada um tendo um nuacutemero gt de eleacutetrons extra Encontre o menor valor de gt que iraacute evitar a colisatildeo (Considere = 667 times 10-- amp8-$)

Problemas Selecionados

13

(B) Campo Eleacutetrico

B1 ndash Um iacuteon de Fe3+ estaacute localizado a 400 gt de um iacuteon de Cl- como mostra a figura ao lado (a) Qual a magnitude direccedilatildeo e sentido do campo

eleacutetrico A na posiccedilatildeo A (b) E na posiccedilatildeo B (c) Se um eleacutetron estiver na posiccedilatildeo A qual seraacute a magnitude e direccedilatildeo da forccedila sobre o eleacutetron

B2 ndash Um quadrupolo eleacutetrico eacute formado por um conjunto de dois dipolos como mostra a figura ao lado Mostre que para ≫ = a magnitude do

campo A num ponto ao longo do eixo dos quadrupolos eacute dado por

A = 6(=$4567

B3 ndash Uma barra muito longa com densidade de carga B estaacute disposta conforme a figura ao lado (Alguns autores chamam esse tipo de barra de semi-infinita pois o ponto P estaacute proacuteximo a uma das extremidades da barra enquanto a outra extremidade estaacute muito distante) Mostre

que o campo eleacutetrico A no ponto P faz um acircngulo de 45deg com a barra independente da distacircncia Y (isto eacute as componentes x e y do campo tem a mesma magnitude)

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

14

B4 ndash Calcule o campo A proacuteximo a uma barra carregada com carga total Q e comprimento As cargas estatildeo distribuiacutedas de forma uniforme ao longo da barra = 015 C = 8 gtD e E = 5

B5 ndash A figura ao lado mostra um anel incompleto de raio F carregado com carga total C Qual a forccedila (vetor) exercida sobre um eleacutetron que por ventura esteja localizado no ponto 0

B6 ndash Um dipolo cujo momento dipolar eacute G = lang37 50 0rang D

encontra-se numa regiatildeo onde o campo A = lang3000 0 0rang H Dfrasl Qual a energia potencial do dipolo Qual o torque que age sobre o dipolo Qual eacute o trabalho que um agente externo deve realizar para girar o dipolo ateacute que seu momento dipolar seja G = langminus50 37 0rang D

B7 ndash Calcule a magnitude direccedilatildeo

e sentido do campo A no centro de um anel de raio F carregado sendo que a distribuiccedilatildeo de cargas no anel varia como B(I) = B7 gt I

Problemas Selecionados

15

B8 ndash Duas barras isolantes de 15 de comprimento encontram-se em um acircngulo reto Uma barra possui 30 D e a outra possui minus30 D de carga uniformemente distribuiacuteda ao longo do comprimento conforme a figura ao lado Determine o campo eleacutetrico (vetor) no ponto P que estaacute a = = 750 do centro de cada barra

B9 ndash Duas barras curvas isolantes com cargas opostas de igual magnitude ( formam um ciacuterculo de raio F no plano xy conforme a figura As cargas estatildeo uniformemente distribuiacutedas na barra (a) Qual o campo eleacutetrico (vetor) no ponto P (b) Qual a resposta do item (a) se ( = 20 GD e F = 10

B10 ndash Considere um cilindro de comprimento 2 e raio J oco carregado com carga total C Vocecirc estaacute interessado em saber qual eacute

o campo eleacutetrico A ao longo do eixo do cilindro numa de suas extremidades Para isso utilize dois caminhos distintos (a) considerando que o cilindro eacute formado por uma infinidade de barras de espessura infinitesimal todas com comprimento 2 dispostas num ciacuterculo de raio J e (b) considerando que o cilindro eacute formado por uma infinidade de aneacuteis de raio J cujos eixos estatildeo alinhados e juntos formam um cilindro de comprimento 2

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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(C) Lei de Gauss

C1 ndash Uma faacutebrica de bolinhas de gude foi atingida por um raio durante uma tempestade O preacutedio foi protegido por um paacutera-raios mas algumas descargas atingiram os equipamentos que fabricavam as bolinhas Resultado eacute que a bolinha que estava na maacutequina ao cair o raio recebeu uma descarga eleacutetrica e as cargas ficaram armazenadas

no interior da bolinha de forma que a densidade de carga K() = K7 -LM

(a) Qual o campo A na superfiacutecie da bolinha que tem raio = 2 (b) E no interior da bolinha 1 abaixo da superfiacutecie (c) Qual o

campo A a 5 da superfiacutecie da bolinha

C2 ndash A figura ao lado mostra uma bolinha com massa 0004 8 e carga 8 times 10N D suspensa por um fio nas proximidades de uma grande placa condutora carregada sendo que a densidade de carga da placa eacuteminus2 times 10 D $frasl Encontre um valor para o acircngulo O

C3 ndash Uma casca ciliacutendrica isolante e muito longa tem raio interno e externo e densidade volumeacutetrica de carga K Um fio tambeacutem muito longo tem densidade linear de carga B e estaacute alinhado com o eixo central da casca Qual o campo eleacutetrico na regiatildeo entre e

Problemas Selecionados

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C4 ndash Uma carga C positiva estaacute no centro de um conjunto de calotas concecircntricas como mostra a figura abaixo O raio das calotas estaacute indicado na figura A mais externa eacute condutora e estaacute carregada com carga C negativa e a calota intermediaacuteria eacute isolante e possui carga liacutequida ( positiva distribuiacuteda de forma uniforme por

todo seu volume Calcule o campo A resultante em cada uma das 5 regiotildees indicadas na figura Indique a localizaccedilatildeo aproximada das cargas induzidas eou em excesso em cada regiatildeo e indique a direccedilatildeo e sentido dos campos eleacutetricos

C5 ndash Uma casca esfeacuterica com densidade volumeacutetrica de carga K = 20 gtDamp tem raio interno = 10 e raio externo = 2 conforme a figura Determine o moacutedulo do campo eleacutetrico para os seguintes raios a partir do centro (a) = 2frasl (b) = 15 (c) = 2

C6 ndash Usando a Lei de Gauss determine o campo eleacutetrico proacuteximo a uma placa muito grande com densidade superficial de carga P

C7 ndash Usando a Lei de Gauss determine o campo eleacutetrico proacuteximo a uma barra muito longa com densidade linear de carga B

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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(D) Potencial Eleacutetrico

D1 ndash A figura ao lado mostra um anel incompleto formado por trecircs segmentos de arco com densidade linear de carga constantesB- B$ e Bamp A menor delas tem carga total (- e comprimento de arco 54 As demais estatildeo indicadas na figura Qual o potencial eleacutetrico no centro do anel Qual deve ser a relaccedilatildeo entre as cargas para que o potencial eleacutetrico no centro do anel seja igual a zero

D2 ndash A figura ao lado mostra um dipolo eleacutetrico de momento dipolar |G| = R( Mostre que para ≫ R o potencial eleacutetrico no ponto P eacute dado por

S = 145T7G UO$

Dica quando ≫ R eacute razoaacutevel considerar que V cong $ e minus V cong R UO

D3 ndash Sobre uma mesa de bilhar estatildeo dispostas trecircs bolinhas Uma com carga +C outra com carga ndash C e uma terceira com carga +2C conforme mostra a figura ao lado (a) Qual o potencial no ponto P (b) Se uma quarta bolinha for colocada no centro do quadrado qual deve ser a carga da bolinha para que o potencial no ponto P seja nulo

Problemas Selecionados

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D4 ndash Uma esfera oca isolante de raio F e carga C eacute colocada nas proximidades de uma placa muito grande cuja densidade superficial de carga eacute P (uniforme) A distacircncia entre a placa e a superfiacutecie da esfera eacute = Qual a diferenccedila de potencial entre o centro da esfera e a placa Dica calcule a ddp devido a cada objeto separadamente e some os resultados A diferenccedila de potencial entre dois pontos pode ser determinada a partir do campo eleacutetrico

D5 ndash Uma esfera isolante maciccedila possui densidade de carga K() = K7$ onde ρ0 eacute uma constante (a) Qual a diferenccedila de potencial entre os pontos b e c Se a densidade de carga fosse uniforme qual seria a diferenccedila de potencial entre os pontos b e c

D6 ndash Um fio tem densidade linear de carga B uniforme e foi dobrado no formato conforme mostra a figura abaixo Qual o potencial eleacutetrico no ponto P

D7 ndash Considere duas cascas esfeacutericas finas concecircntricas condutoras A casca interna tem raio = 15 e carga 10 gtD A casca externa tem raio = 30 e carga minus15 gtD Forneccedila expressotildees para o campo eleacutetrico e o potencial eleacutetrico para as diferentes regiotildees (a) lt 15 (b) 15 lt lt 30 (c) gt 30 Em todos os casos considere S = 0 em = infin

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(E) Capacitacircncia

E1 ndash Sabendo que cada um dos capacitores no circuito ao lado tem capacitacircncia D = 10 e a diferenccedila de potencial na bateria eacute ΔS = 10 S qual eacute a carga do capacitor 1 E do capacitor 2

E2 ndash Encontre uma expressatildeo para a capacitacircncia dos capacitores abaixo sabendo que a distacircncia entre as placas eacute = a aacuterea das placas eacute 10 = o espaccedilo entre as placas estaacute preenchido por dois ou mais materiais de constantes dieleacutetricas distintas conforme mostra a figura abaixo Analisando cada capacitor separadamente eacute possiacutevel obter a mesma capacitacircncia com uma associaccedilatildeo de capacitores simples (preenchidos por um uacutenico material) Explique

E3 ndash Uma diferenccedila de potencial de 100 S eacute aplicada ao circuito ao lado onde D- = 10 D$ = 5 e Damp = 4 Se o capacitor 3 eacute substituiacutedo por um fio condutor qual eacute o aumento na carga do capacitor 1 Qual eacute o aumento na diferenccedila de potencial entre as placas do capacitor 1

(a) (b) (c)

Problemas Selecionados

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E4 ndash No circuito ao lado a diferenccedila de potencial fornecida pela bateria eacute de 20 S Qual a capacitacircncia equivalente do circuito Qual a carga armazenada por essa capacitacircncia equivalente Qual a carga e ddp para os capacitores 1 2 e 3

E5 ndash Na figura ao lado a ddp da bateria eacute 10 S D- = 10 D$ = Damp = 2D- A chave eacute movida para a esquerda e somente depois que o capacitor 1 atingiu o equiliacutebrio a chave eacute movida para a direita Quando o equiliacutebrio eacute novamente atingido qual eacute a carga do capacitor 1

E6 ndash Um capacitor de placas paralelas com aacuterea J e espaccedilamento = eacute preenchido com vidro (6 = 267) Conectado a uma bateria o capacitor acumula carga C (a) Qual a energia armazenada no capacitor (b) Mantendo a bateria conectada a separaccedilatildeo entre as placas eacute aumentada para 2= (veja a figura) Qual a energia armazenada nessa nova situaccedilatildeo

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(F) Corrente e Resistecircncia

F1 ndash A figura ao lado mostra parte de um fio de cobre com diacircmetros =- = 4F e =$ = 8F por onde passa uma corrente uniforme = 4 e a diferenccedila de potencial ao longo desse comprimento eacute20 S O

nuacutemero de portadores de carga por unidade de volume eacute 849 times 10$N amp Qual eacute a velocidade de deriva dos eleacutetrons de conduccedilatildeo na porccedilatildeo do fio com diacircmetro =$

F2 ndash No circuito ao lado qual a magnitude e direccedilatildeo das correntes nos resistores F- F$ e Famp Para isso considere que ℇ- = 6 S ℇ$ = 12 SF- = 100 Ω F$ = 200 Ω Famp = 300 Ω O ciruito estaacute aterrado e nesse ponto S = 0 Qual eacute o potencial eleacutetrico no ponto A

F3 ndash Calcule a potecircncia total dissipada em cada circuito Considere que todas as resistecircncias satildeo iguais e as baterias satildeo ideais Expresse suas respostas em termos de ℇ e F

F4 ndash Se dois fios de mesmo comprimento um de cobre e outro de alumiacutenio apresentam a mesma resistecircncia qual deve ser a razatildeo entre seus raios

Problemas Selecionados

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F5 ndash No circuito ao lado a potecircncia dissipada no resistor R eacute 20 a Qual o valor de R Qual a ddp entre os pontos A e B

F6 ndash A corrente medida por um amperiacutemetro A no circuito ao lado eacute a mesma quando ambas as chaves estatildeo abertas ou fechadas Qual o valor da resistecircncia R

F7 ndash Determine o valor da corrente que passa por cada um dos resistores a potecircncia fornecida por cada uma das fontes de tensatildeo e a potecircncia dissipada por cada um dos resistores Faccedila o balanccedilo energeacutetico do circuito

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F8 ndash No circuito ao lado a chave S permanece fechada por um longo tempo e a corrente no circuito atinge um valor constante Considere D- = 3 D$ = 6 F- = 4Ω e F$ = 7Ω A potecircncia dissipada em F$ eacute 24a (a) Determine as cargas em D- e D$ (b) Abrindo a chave S e aguardando um longo tempo qual a mudanccedila observada na carga do capacitor 2

F9 ndash Num circuito RC seacuterie como o da figura ao lado D = 1 F = 2 times 10bΩ e ℇ = 10S Dez segundos depois que a chave foi fechada determine (a) a carga no capacitor (b) a corrente no resistor (c) a taxa com que a energia eacute armazenada no capacitor (d) a taxa com que a bateria fornece energia para o circuito

F10 ndash Um capacitor eacute carregado atraveacutes de um resistor como mostra a figura no problema anterior Mostre que metade da energia fornecida pela bateria aparece como energia interna no resistor e a outra metade como energia eleacutetrica no capacitor

F11 ndash Um capacitor duas fontes ideais dois resistores e uma chave S satildeo mostrados no circuito da figura ao lado Suponha D = 12 ℇ- = 15 S ℇ$ = 30 S F- = 05 Ω e F$ = 08 Ω (a) Se a chave S permanece aberta por um longo tempo qual a carga no capacitor (b) Qual a carga no capacitor se a chave S permanece fechada por um longo tempo

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F12 ndash No circuito ao lado a bateria fornece 10 S o capacitor eacute de 1 e os resistores tecircm as resistecircncias indicadas na figura O circuito estaacute ligado haacute um longo tempo (a) Qual a ddp entre os terminais do capacitor (b) Se a bateria for desconectada quanto tempo levaraacute para que essa ddp atinja um deacutecimo do valor inicial

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(G) Campo Magneacutetico

G1 ndash Um proacuteton atravessa uma regiatildeo de campo magneacutetico uniforme = lang10 20 30rang 13 No tempo c- o proacuteton tem uma velocidade d = langde df 2rang e a forccedila magneacutetica sobre o proacuteton eacute g = lang4 times 10-h minus2 times 10-h 0rang H Nesse instante qual o valor de de e df

G2 ndash Um proacuteton viaja atraveacutes de uma regiatildeo de campo eleacutetrico e

magneacutetico uniformes onde = langminus25 0 0rang 13 Num certo instante a velocidade do proacuteton eacute d = lang0 2000 0rang Qual a forccedila resultante que age sobre o proacuteton se o campo eleacutetrico for

(a) A = lang0 0 4rang S (b) A = lang0 0 minus4rang S ou

(c) A = lang4 0 0rang S

G3 ndash Uma espira retangular de lados e estaacute numa regiatildeo de campo

magneacutetico perpendicular ao plano da espira e eacute percorrida por uma corrente i constante conforme mostra a figura ao lado Determine o torque sobre a espira

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G4 ndash Dois trilhos de metal separados por uma distacircncia = = 256 estatildeo ligados a uma bateria No momento em que uma barra de metal de massa = 241 8 eacute colocada sobre os trilhos (c = 0) ela fecha o circuito e por ela passa uma corrente i = 913 J O conjunto estaacute numa regiatildeo onde existe um campo magneacutetico uniforme = 563 13 Qual a velocidade da barra 611 depois Em que direccedilatildeo ela se move

G5 ndash A figura ao lado mostra um cilindro de madeira de massa = 250 8 e comprimento 2 =10 onde foi enrolado um fio formando uma espira de 10 voltas O cilindro eacute posicionado de forma que o eixo da espira estaacute perpendicular ao plano inclinado (paralelo agrave normal do plano

inclinado) Nessa regiatildeo haacute um campo magneacutetico = lang0 05 0rang 13 Qual deve ser o valor miacutenimo da corrente na espira capaz de manter o cilindro em sua posiccedilatildeo evitando que ele role para baixo

G6 ndash A figura ao lado mostra um iacutematilde e um anel condutor de raio por onde passa uma corrente i Se o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde faz um acircngulo O com a vertical na posiccedilatildeo onde estaacute o anel qual eacute a magnitude e a direccedilatildeo da forccedila resultante sobre o anel

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G7 ndash Uma barra de metal com densidade de massa B (massa por unidade de comprimento) apresenta uma corrente i (saindo da paacutegina) A barra estaacute suspensa por dois fios num campo magneacutetico uniforme vertical como mostra a figura ao lado No equiliacutebrio os fios

fazem um acircngulo O com a vertical Qual a magnitude do campo magneacutetico

G8 ndash Um proacuteton com energia cineacutetica de 6 jS se move no plano da paacutegina e entra numa regiatildeo de campo magneacutetico = 1 13 direcionado para dentro da paacutegina como mostra a figura ao lado

O proacuteton entra na regiatildeo de campo com o vetor velocidade fazendo um acircngulo O- = 35deg com a borda da regiatildeo Qual eacute a distacircncia entre o ponto de entrada e saiacuteda ( na figura) Qual o valor de O$

G9 ndash Considere um eleacutetron orbitando um proacuteton numa trajetoacuteria circular de raio F = 529 times 10-- devido agrave atraccedilatildeo Coulombiana Considere o sistema como se fosse um anel por onde passa uma corrente Qual seraacute o torque resultante quando o sistema for colocado numa regiatildeo de campo magneacutetico = 04 13 perpendicular ao momento magneacutetico do anel

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G10 ndash Um fio por onde passa uma corrente i foi moldado num formato semicircular de raio F e uma reta de comprimento 2F como mostra a figura ao lado Nessa mesma regiatildeo haacute um campo magneacutetico que aponta na direccedilatildeo + (representado pelos pontos azuis na figura ao lado) Mostre que a

forccedila resultante sobre o fio eacute zero

G11 ndash Um condutor ciliacutendrico longo de raio conteacutem duas cavidades cada uma com diacircmetro ao longo de todo o comprimento do fio Uma visatildeo da seccedilatildeo transversal do fio eacute mostrada na figura ao lado Uma corrente i uniforme (considerando a porccedilatildeo soacutelida do material) passa atraveacutes do fio e aponta para fora da paacutegina Determine a magnitude e direccedilatildeo do campo

magneacutetico em funccedilatildeo de 7 i e no ponto P

G12 ndash Dois fios muito longos por onde passa corrente i de mesma magnitude estatildeo moldados conforme a figura ao lado

Mostre que o campo magneacutetico no centro do ciacuterculo de raio R eacute o mesmo que o

campo a uma distacircncia R abaixo de um fio reto muito longo por onde passa uma corrente i

Problemas Selecionados

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G13 ndash Encontre uma expressatildeo para determinar a magnitude do campo magneacutetico no ponto P da figura ao lado Dica considere a origem dos eixos cartesianos no ponto P

G14 ndash A figura ao lado mostra a seccedilatildeo transversal de um condutor oco de raio externo e interno por onde passa uma corrente uniforme i Demonstre que a magnitude do campo magneacutetico () para uma distacircncia lt lt eacute dada por

= 7i25($ minus $) $ minus $

G15 ndash A figura ao lado mostra um cabo coaxial de raios e Correntes opostas de igual magnitude estatildeo distribuiacutedas nos dois condutores Derive uma expressatildeo para calcular o campo magneacutetico () na regiatildeo (a) lt (b) lt lt (c) lt lt e (d) gt

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G16 ndash Um fio condutor por onde passa uma corrente i foi torcido para formar um loop de raio R (no plano da paacutegina) como mostra a figura abaixo Qual a direccedilatildeo do campo magneacutetico no

centro do loop Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico no centro do loop

G17 ndash Uma corrente i passa por um fio condutor ciliacutendrico de raio R como mostra a figura ao lado A densidade de corrente l natildeo eacute uniforme atraveacutes da seccedilatildeo transversal do fio mas obedece agrave funccedilatildeo l = onde eacute uma constante Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico (a) a uma distacircncia - lt F e (b) a uma distacircncia $ gt F(em relaccedilatildeo ao centro do condutor)

G18 ndash Um fio condutor muito longo por onde passa uma corrente i- estaacute parcialmente envolto por um loop por onde passa uma corrente i$ (figura ao lado) O loop fio foi moldado num formato semiciliacutendrico de raio R e o comprimento L O fio condutor passa pelo eixo do loop Calcule a forccedila magneacutetica exercida sobre o loop

G19 ndash Considere um solenoide de comprimento 2 e raio F contendo H voltas de um fio por onde passa uma corrente i (a) Determine uma expressatildeo para

o campo magneacutetico num ponto ao longo do eixo do solenoide do lado de fora do solenoide como funccedilatildeo da distacircncia ateacute uma das pontas (considere = 0 no centro do solenoide e = a distacircncia do centro ateacute o ponto onde estaacute sendo calculado o campo ) (b) Mostre que para

Problemas Selecionados

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valores muito grandes de 2 e = = 0 se aproxima de = 7i H 2frasl para posiccedilotildees ao longo do eixo no interior do solenoide distante das bordas

G20 ndash A figura ao lado mostra um fio moldado para formar duas seccedilotildees retas e um quarto de ciacuterculo por onde passa corrente i Determine o campo magneacutetico (vetor) no ponto P

G21 ndash Um fio ciliacutendrico espesso de raio eacute percorrido por uma corrente i Determine uma expressatildeo para o

campo magneacutetico dentro e fora do fio considerando que (a) a corrente estaacute distribuiacuteda uniformemente sobre a superfiacutecie externa do fio (b) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio com densidade de corrente l constante (c) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio de forma que a densidade de corrente l eacute proporcional agrave distacircncia ateacute o eixo do fio

G22 ndash Considere dois solenoides coaxiais cada um conduzindo uma corrente i em direccedilotildees opostas O solenoide interno de raio possui gt- voltas por unidade de comprimento o

solenoide externo possui raio e gt$ voltas por unidade de

comprimento Determine (a) no interior do conjunto (b) entre eles e (c) fora deles

G23 ndash Um fio condutor longo e reto de raio F conduz uma corrente natildeo uniforme cuja densidade de corrente eacute l = l7 Ffrasl onde l7 eacute uma constante A corrente total eacute i (a) Determine uma expressatildeo para i

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em funccedilatildeo de l7 e F (b) Determine uma expressatildeo para o campo magneacutetico no interior do fio para uma distacircncia

G24 ndash A figura ao lado mostra um toroide que consiste num solenoide fechado em forma de anel (a) Considerando a simetria explique qual deve ser o formato do campo magneacutetico no interior desse toroide (b) Considere o toroide compacto (a separaccedilatildeo entre cada volta do fio eacute pequena) com N voltas conduzindo uma corrente i Usando a lei de Ampeacutere determine a magnitude do campo magneacutetico num ponto interno ao toroide a uma distacircncia do eixo principal (ver figura ao lado) (c) O campo magneacutetico no interior do toroide eacute um campo uniforme Explique

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(H) Lei de Faraday

H1 ndash A figura ao lado mostra dois aneis cujos eixos estatildeo alinhados separados por uma distacircncia x O anel maior tem raio F o anel menor tem raio Os aneis estatildeo separados por uma distacircncia ≫ F e por isso o campo magneacutetico devido agrave corrente no anel de raio F eacute praticamente uniforme no anel menor Considere que a distacircncia estaacute aumentando a uma taxa constante = =cfrasl = d (a) Determine uma expressatildeo para o fluxo de campo magneacutetico atraveacutes do anel menor como funccedilatildeo de Encontre uma expressatildeo para (b) a fem induzida e (c) a direccedilatildeo da corrente no anel menor

Problemas Selecionados

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H2 ndash (a) Calcule o fluxo magneacutetico atraveacutes do retacircngulo mostrado na figura ao lado em funccedilatildeo de = i (b) Avalie o resultado encontrado para = 5 = 10 = = 2 e i = 20 J

H3 ndash Uma espira plana e circular de raio =75 estaacute em repouso numa regiatildeo de campo magneacutetico uniforme A espira estaacute orientada de tal forma que o campo magneacutetico aponta para cima

e faz um acircngulo de 30deg com a normal da espira O campo varia com

o tempo de acordo com (c) = 14(77nho) 13 (a) Determine a fem induzida na espira em funccedilatildeo do tempo (b) Para que valor de c a fem induzida eacute igual a um deacutecimo do seu valor inicial Determine o sentido da corrente induzida na espira se observada por cima da espira

H4 ndash Um retacircngulo que mede 30 times 40 estaacute localizado no interior de um campo magneacutetico uniforme de 125 13 com o campo perpendicular ao plano da bobina A bobina se move perpendicular ao campo com velocidade constante d =2 inclusive atingindo a regiatildeo

onde o campo termina abruptamente como mostra a figura ao lado Determine a fem induzida nessa bobina quando ela estaacute (a) inteiramente no interior do campo (b) parcialmente no interior do campo e (c) inteiramente fora do campo

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H5 ndash O fio na figura ao lado conduz

uma corrente i(c) = i7po onde gt 0 Determine o sentido da corrente induzida na bobina (horaacuterio ou anti-horaacuterio) para c gt 0

H6 ndash A figura ao lado mostra uma espira circular de raio contendo uma resistecircncia e um capacitor ligados em seacuterie imerso numa regiatildeo onde um campo magneacutetico uniforme (no espaccedilo) entrando no plano na paacutegina decresce no tempo a uma taxa constante = =cfrasl = minus sendo uma constante positiva (a) Qual a carga no capacitor quando ele estaacute completamente carregado (b) Qual das placas do capacitor estaacute em potencial mais elevado (c) Qual a origem da forccedila que causa a separaccedilatildeo de cargas

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(I) Indutacircncia

I1 ndash No circuito ao lado ℰ = 100 SF- = 10 Ω F$ = 20 Ω Famp = 30 Ω e 2 = 2 H Ao fechar a chave S quais os valores de i- e i$ Considere positivo o sentido das correntes indicadas na figura Muito tempo

depois quais satildeo os valores de i- e i$ A chave eacute entatildeo aberta Nesse instante quais satildeo os valores de i- e i$ E muito tempo depois quais satildeo os valores de i- e i$

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I2 ndash Num circuito LC em seacuterie a carga inicial do capacitor eacute C e ele estaacute sendo descarregado Quando a carga no capacitor eacute igual a C 2frasl qual eacute o fluxo magneacutetico que atravessa cada uma das N espiras do indutor (como funccedilatildeo de C H 2 e D)

I3 ndash Uma bobina possui N voltas e estaacute envolvendo um solenoide longo de raio r com n espiras por unidade de comprimento (figura ao lado) (a) Mostre que a indutacircncia muacutetua do sistema eacute dada por j = 75F$gtH (b) Explique por que M natildeo depende do formato tamanho ou possiacutevel falta de proximidade das espiras na bobina

I4 ndash A fem autoinduzida num solenoide de indutacircncia L varia no tempo conforme ℇ(c) = ℇ7so Levando em consideraccedilatildeo que a carga eacute finita (ou seja i = 0 quando c = infin) determine a carga total que passa pelo solenoide (que atravessa um determinado ponto no fio que compotildee o solenoide)

I5 ndash Um fio condutor foi enrolado num papelatildeo formando um toroide com N espiras (voltas) raio menor r e maior R A seccedilatildeo transversal do toroide eacute mostrada na figura ao lado Se F ≫ o campo magneacutetico no interior do toroide eacute essencialmente o mesmo que o campo no interior de um solenoide muito longo que tenha sido

moldado no formato de um ciacuterculo de raio R Modelando o campo como se fosse o campo uniforme de um solenoide longo mostre que a indutacircncia desse toroide eacute

aproximadamente 2 asymp -$ 7H$ LMu

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I6 ndash Um indutor consiste em duas cascas ciliacutendricas concecircntricas como mostra a figura A casca interna tem raio e a externa tem raio ambas com comprimento ℎ A casca interna transporta uma corrente i para fora e a externa para dentro do plano da paacutegina com igual magnitude Calcule na regiatildeo lt lt (a) a densidade de energia magneacutetica (b) a indutacircncia

I7 ndash Mostre que i(c) = i7o wx eacute a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial iF + 2 yzyo = 0 onde i7 eacute a corrente em c = 0 e = 2 Ffrasl

I8 ndash Um fio condutor de raio R transporta uma corrente uniforme A corrente total no fio eacute i Mostre que a energia magneacutetica por unidade de comprimento dentro do fio eacute dada por 7i$ 165frasl

I9 ndash Um cabo coaxial eacute formado por dois cilindros condutores de paredes finas com raios - e $ As correntes nos dois cilindros satildeo iguais em magnitude mas com sentidos opostos (a) Use a lei de Ampeacutere para determinar o campo magneacutetico como funccedilatildeo da distacircncia ao eixo do cabo nas regiotildees (0 lt lt -) ( - lt lt $ ) e ( gt $) (b) Mostre que a densidade de energia magneacutetica na regiatildeo entre os cilindros eacute dada por

| = 12 745 i$(5$)-

(c) Mostre que a energia magneacutetica total num volume de cabo com comprimento ~ eacute dada por

Problemas Selecionados

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= i$~ ln LML

(d) Mostre que a autoindutacircncia por unidade de comprimento do cabo eacute dada por

2~ = 725 ln $-

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(J) Corrente Alternada

J1 ndash A tensatildeo de uma fonte de corrente alternada eacute dada por ∆d = 120gt(30 5c) onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A fonte eacute conectada a um indutor de 05 Determine (a) a frequecircncia da fonte (b) a voltagem rms no indutor (c) a reatacircncia indutiva do circuito (d) a corrente rms no indutor e (e) a corrente maacutexima no indutor

J2 ndash Uma fonte de tensatildeo alternada fornece uma tensatildeo ∆d = 98gt(80 5c) a um capacitor onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A corrente maacutexima no circuito eacute 05 J Determine (a) a tensatildeo rms da fonte (b) a frequecircncia da fonte e (c) o valor da capacitacircncia

J3 ndash Um circuito AC eacute composto por um resistor de 250 Ω um indutor de 15 um capacitor de 35 e uma fonte de tensatildeo alternada com amplitude de 45 S operando com frequecircncia angular = 360 = frasl (a) Qual eacute o fator de potecircncia do circuito (b) Determine a potecircncia meacutedia aparente (S) fornecida ao circuito (c) Qual eacute a potecircncia meacutedia ativa (P) dissipada no resistor Qual eacute a potecircncia meacutedia reativa (Q) que fica armazenada no circuito

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J4 ndash Cinco voltiacutemetros com impedacircncia muito grande ajustados para ler valores rms estatildeo conectados conforme a figura ao lado Sendo F =200 Ω 2 = 04 H D = 6 e ∆S = 30 Vqual eacute a leitura da tensatildeo em cada voltiacutemetro se (a) = 200 = frasl e (b) =1000 = frasl

J5 ndash Num circuito RLC 2 = 028 e D = 4 A fonte fornece uma voltagem com amplitude de 120 S Qual eacute a frequecircncia angular de ressonacircncia do circuito (b) Quando a fonte opera na frequecircncia angular de ressonacircncia a amplitude da corrente no circuito eacute 17 J Qual a resistecircncia do resistor (c) Na frequecircncia angular de ressonacircncia quais satildeo as voltagens de pico no indutor capacitor e resistor

J6 ndash O circuito ao lado conteacutem uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal conforme ℇ = ℇgt(c) No estado de equiliacutebrio temos as correntes mostradas no circuito Sem recorrer a uma matemaacutetica complicada responda (a) Quais os valores de u e quando = 0 (frequecircncia zero significa que

a fonte foi substituida por uma bateria ideal) (b) Quais os valores de u e quando rarr infin (c) Qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia

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J7 ndash Um indutor um capacitor e um resistor estatildeo conectados em seacuterie a uma fonte de tensatildeo alternada Se os valores da resistecircncia capacitacircncia e indutacircncia forem duplicados o que aconteceraacute com (a) a frequecircncia angular de ressonacircncia (b) a reatacircncia indutiva (c) a reatacircncia capacitiva e (d) a impedacircncia

J8 ndash O circuito abaixo eacute formado por uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal variando conforme ℇ = ℇgt(c) uma resistecircncia F = 6 Ω e uma parte desconhecida que pode conter um indutor um capacitor ou ambos A amplitude da fonte eacute ℇ = 6 S Quando a frequecircncia angular = 2 = a corrente estaacute em fase com a fonte enquanto que para = 1 = a corrente estaacute fora de fase em relaccedilatildeo agrave fonte por exatamente 5 4frasl (a) Quais componentes estatildeo presentes na parte desconhecida (um indutor um capacitor ou ambos) Explique (b) Determine os valores dos componentes desconhecidos

J9 ndash Um circuito em seacuterie possui impendecircncia de 60 Ω e fator de potecircncia igual a 072 em 50 A tensatildeo da fonte estaacute atrasada em relaccedilatildeo agrave corrente (a) Que elemento do circuito (um indutor ou um capacitor) deve ser ligado em seacuterie com o circuito para aumentar o fator de potecircncia (b) Qual deve ser o valor desse elemento para que o fator de potecircncia seja igual a 1 (c) Apresente diagramas de fasores esquemaacuteticos para o circuito antes e depois da ligaccedilatildeo do novo elemento

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O PROCESSO DE MEDIDA NO LABORATOacuteRIO DE FIacuteSICA

Natildeo satildeo raros eventos em que nos valemos de medidas para tomarmos decisotildees Medimos nossa temperatura corporal para avaliarmos se necessitamos de tratamento Medimos a pressatildeo manomeacutetrica dos pneus para avaliarmos se precisamos injetar ou retirar ar neles Consultamos medidas da temperatura ambiente para escolhermos a roupa que vestiremos Consultamos o horaacuterio (medida de tempo) para natildeo chegarmos atrasados em encontros Medidas satildeo portanto fundamentais em nossas vidas No entanto usualmente natildeo nos preocupamos muito com a precisatildeo dessas medidas Em grande parte das vezes natildeo nos interessa saber se o horaacuterio informado no reloacutegio estaacute um pouco atrasado ou adiantado Natildeo nos preocupamos em saber o quanto podemos confiar nas temperaturas coletadas com um determinado termocircmetro Nossas medidas comumente satildeo realizadas de forma despretensiosa sem muito rigor

No laboratoacuterio de Fiacutesica isso ocorre de modo muito diferente Os processos de mediccedilatildeo satildeo mais minuciosos do que os que realizamos costumeiramente Desejamos obter a maior precisatildeo possiacutevel com os equipamentos de que dispomos Mas como fazer isso Como podemos melhorar a precisatildeo dos processos de mediccedilatildeo Intuitivamente podemos concluir que inferecircncias realizadas a partir de um conjunto de medidas satildeo mais precisas do que medidas isoladas Mas quando disponho de um conjunto de medidas como posso analisaacute-las Calcular a meacutedia delas eacute suficiente Responder a questotildees como essas eacute o objetivo desta atividade Para exemplificarmos todo esse processo realizaremos um debate sobre a mediccedilatildeo da resistecircncia interna de amperiacutemetros

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O que satildeo amperiacutemetros

Um amperiacutemetro eacute um instrumento utilizado para a realizaccedilatildeo de medidas de correntes eleacutetricas Evidentemente natildeo queremos modificar os circuitos quando os exploramos com um instrumento Com amperiacutemetros natildeo eacute diferente Queremos medir correntes eleacutetricas sem alterar as caracteriacutesticas do circuito Mas como eacute possiacutevel fazer isso Natildeo discutiremos aqui os detalhes sobre o funcionamento interno de um amperiacutemetro No entanto vamos avaliaacute-los do ponto de vista de uma das suas caracteriacutesticas mais importantes a sua resistecircncia eleacutetrica

A resistecircncia eleacutetrica de um circuito influencia na intensidade da corrente eleacutetrica que circula nele A corrente eleacutetrica i que perpassa por uma resistecircncia eleacutetrica F submetida a uma tensatildeo ∆S por exemplo pode ser predita pela seguinte relaccedilatildeo

i = ∆u Eq 1

O amperiacutemetro precisa ser posicionado em seacuterie no circuito em que se deseja medir a corrente eleacutetrica como eacute exemplificado na figura

Figure 1- Medindo a resistecircncia interna de um multiacutemetro

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1 Como a resistecircncia equivalente em circuitos em seacuteries eacute a soma da resistecircncia eleacutetrica de cada um dos seus componentes a resistecircncia interna dos amperiacutemetros se soma agrave resistecircncia equivalente do circuito investigado alterando a sua dinacircmica Por isso nosso desejo eacute que os amperiacutemetros tenham resistecircncia eleacutetrica nula No entanto a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro real por menor que seja nunca eacute nula Eles possuem um circuito interno com fios e diversos componentes eletrocircnicos que acabam provocando uma resistecircncia agrave circulaccedilatildeo de corrente eleacutetrica Ainda assim frequentemente desprezamos tal resistecircncia Seraacute que isso eacute razoaacutevel Quando podemos desprezar a resistecircncia interna dos amperiacutemetros e quando natildeo podemos Para respondermos tais perguntas precisamos conhecer o valor da resistecircncia interna tiacutepica de um amperiacutemetro

Medindo a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro

Nesta disciplina usaremos diversos amperiacutemetros de uma mesma marca e modelo em uma seacuterie de experimentos (Minipa ET-2075B) Por isso eacute interessante que conheccedilamos a resistecircncia eleacutetrica deles para podermos avaliar quando podemos desprezaacute-la e quando natildeo Mas como podemos obter essa informaccedilatildeo Podemos medi-la Um procedimento simples para isso eacute submeter o amperiacutemetro a uma diferenccedila de potencial ΔV conhecida e medir a corrente eleacutetrica i que passa por ele Desse modo podemos usar a Eq 1 para inferir a resistecircncia eleacutetrica do equipamento Mas podemos confiar em uma uacutenica medida Depende da precisatildeo de que necessitamos para essa medida Intuitivamente sabemos que se medirmos a resistecircncia interna a partir de um conjunto de dados poderemos ter uma maior confiabilidade nos dados No exemplo de que estamos tratando eacute possiacutevel se coletar dados da corrente no amperiacutemetro quando submetido a diferentes tensotildees Desse modo pode-se inferir a resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro pela declividade da reta constituiacuteda

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pelos dados representados em um graacutefico da tensatildeo em funccedilatildeo da corrente eleacutetrica como pode ser constatado da Eq1 No entanto como temos incertezas associadas a cada dado experimental coletado esses dados natildeo seratildeo perfeitamente representados por uma reta Surge entatildeo uma nova questatildeo qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados

Ajuste de Curvas

Diversas retas podem ser ajustadas a um conjunto de dados experimental Qual delas utilizar Intuitivamente podemos conjecturar que a melhor reta a ser utilizada eacute aquela tal que a soma das diferenccedilas entre os valores de tensatildeo medidos e os preditos pela reta tenha o menor valor possiacutevel Em outras palavras queremos minimizar a soma

sum = = (∆Sz minus ∆S)z-

onde ∆Sz satildeo as tensotildees medidas e ∆S satildeo as tensotildees preditas pela reta ajustada

No entanto haacute um inconveniente importante no uso desse criteacuterio tal soma pode ser bem pequena para retas que natildeo apresentam bom ajuste aos dados se as diferenccedilas entre os valores medidos e os preditos se cancelarem sendo alguns positivos e outros negativos Nesses casos apesar de natildeo termos uma reta bem ajustada aos dados o criteacuterio utilizado

indicaria que sim Como resolver isso Elevando os valores de dn ao

Figura 1 - Diferenccedila de potencial em funccedilatildeo

da corrente

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quadrado Ou seja podemos procurar a reta tal que a seguinte soma tenha o menor valor possiacutevel

sum =$ = (∆Sz minus ∆S)$z-

O meacutetodo que utiliza esse criteacuterio para a realizaccedilatildeo de ajustes de curvas que eacute amplamente utilizado no meio acadecircmico eacute denominado Meacutetodo dos Miacutenimos Quadrados Todos os softwares do tipo planilha eletrocircnica realizam esse caacutelculo automaticamente e nos valeremos disso quando necessaacuterio

Todos os amperiacutemetros da sala possuem a mesma resistecircncia interna

Ainda que todos os amperiacutemetros que utilizaremos nas nossas aulas sejam da mesma marca e modelo eles possuem diferentes resistecircncias internas Existe alguma forma de estimar a resistecircncia interna de um desses amperiacutemetros escolhido aleatoriamente Calcular a meacutedia das resistecircncias eacute suficiente para realizar essa estimativa

Variabilidade das medidas o desvio padratildeo amostral e da meacutedia

Apesar de as resistecircncias dos amperiacutemetros natildeo serem exatamente as mesmas elas possuem valores que se distribuem em torno de um valor meacutedio que eacute igual agrave meacutedia dessas resistecircncias Desse modo se tomarmos um dos amperiacutemetros aleatoriamente o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute igual agrave meacutedia das resistecircncias internas de todos os amperiacutemetros Mas quanto podemos confiar nessa estimativa Para respondermos tal pergunta eacute importante quantificarmos a variabilidade das resistecircncias r que medimos Quanto menor for essa variabilidade maior seraacute a nossa confianccedila para assumir que a resistecircncia interna de um amperiacutemetro particular eacute igual agrave meacutedia Intuitivamente podemos conjecturar que tal variabilidade pode ser medida pelo somatoacuterio das diferenccedilas entre as resistecircncias

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medidas z e a meacutedia dessas resistecircncias ou seja por (- minus ) + ($ minus ) + ⋯ + ( minus ) onde N eacute o nuacutemero de medidas realizadas No entanto temos aqui um inconveniente semelhante ao que tivemos quando analisaacutevamos ajustes de curvas se valores positivos e negativos se cancelarem esse somatoacuterio pode ser muito pequeno mesmo quando os dados apresentam grande variabilidade Podemos propor a mesma soluccedilatildeo adotada anteriormente vamos elevar os termos ao quadrado Temos entatildeo a variabilidade dos dados sendo mensurada por (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$

A impossibilidade de comparaccedilatildeo entre as variabilidades de diferentes conjuntos de dados eacute a limitaccedilatildeo desta proposta pois o resultado desse somatoacuterio eacute altamente dependente da quantidade de termos Desse modo eacute possiacutevel que esse somatoacuterio seja maior para grandes conjuntos com pouca variabilidade do que para pequenos grupos com grande variabilidade Para amenizar tal limitaccedilatildeo podemos entatildeo dividir o somatoacuterio por N ou seja calcular a variabilidade por(- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$ Hfrasl Ainda que esse somatoacuterio seja conceitualmente interessante natildeo eacute essa a medida de dispersatildeo de dados que costuma ser utilizada no meio cientiacutefico mas algo que guarda alguma semelhanccedila com ele o desvio padratildeo dos dados (P) Ele eacute calculado por

PL = (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$H minus 1

Mas por que utilizamos essa equaccedilatildeo A resposta estaacute em suas propriedades Quando construiacutemos um histograma (graacutefico de frequecircncias) de um conjunto de medidas por exemplo podemos em muitos casos assumir que a distribuiccedilatildeo desses dados eacute representada por uma distribuiccedilatildeo normal A equaccedilatildeo que define essa distribuiccedilatildeo assim como sua representaccedilatildeo graacutefica eacute ilustrada na Figura 3

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Natildeo eacute nosso objetivo aqui discutir detalhes da distribuiccedilatildeo normal O que desejamos destacar eacute que quando supomos que a distribuiccedilatildeo de um conjunto de dados eacute normal o que eacute bastante razoaacutevel na maioria das vezes o desvio padratildeo σ quantifica como os dados estatildeo distribuiacutedos Para entendermos isso analisemos a Figura 4

O intervalo compreendido pela meacutedia das medidas mais ou menos um desvio padratildeo compreende 68 das medidas realizadas No caso que estamos exemplificando se tomarmos a meacutedia das resistecircncias internas r de todos os amperiacutemetros investigados e o desvio padratildeo PL desses dados 68 das medidas estaratildeo no intervalo entre ( minus PL) e ( + PL) 95 no intervalo ( 2PL) e 99 no intervalo ( 257PL)

Figura 2 - A distribuiccedilatildeo normal eacute usualmente utilizada para representar a distribuiccedilatildeo

de frequecircncias de um conjunto de dados (Lima Jr et al 2013 p 30)

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Agora jaacute sabemos como quantificar a variabilidade de um conjunto de dados Podemos entatildeo calcular a meacutedia e o desvio padratildeo das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros Mas surge entatildeo uma questatildeo Se analisaacutessemos um novo conjunto de amperiacutemetros da mesma marca e modelo dos exemplificados aqui a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros seria a mesma Provavelmente natildeo Temos como estimar a partir do conjunto de medidas que realizamos a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros Temos Para responder a essa questatildeo temos que compreender um novo conceito o de desvio padratildeo da meacutedia (PL) Ele eacute calculado por

PL = PLradicH

Natildeo vamos entrar em detalhes aqui sobre a origem do conceito de desvio padratildeo da meacutedia1 vamos apenas explicar como essa grandeza nos permite estimar a incerteza na meacutedia de um conjunto de medidas Para isso vamos supor um novo conjunto de N novas

1 Se vocecirc eacute um aluno curioso pesquise sobre o Teorema Central do Limite para compreender com mais profundidade o conceito de desvio padratildeo da meacutedia

Figura 3 - A meacutedia e o desvio padratildeo demarcam a distribuiccedilatildeo dos dados em uma

distribuiccedilatildeo normal Na figura o eixo das abcissas expressa a distacircncia da meacutedia em

unidades de desvio padratildeo (Lima Jr et al 2013 p 30)

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medidas da resistecircncia interna de amperiacutemetros como os investigados nesta aula Qual seria a meacutedia dessas medidas Assim como o desvio padratildeo dos dados quantifica a dispersatildeo dos dados em torno da meacutedia o desvio padratildeo da meacutedia quantifica a dispersatildeo das meacutedias de subconjuntos de dados em torno da meacutedia de todo o conjunto de dados Aplicando esse conceito ao nosso exemplo podemos interpretar os dois conjuntos de medidas de resistecircncias internas como subconjuntos de um grande conjunto contendo todas as medidas Desse modo podemos afirmar com 68 de confianccedila que a meacutedia das N novas medidas a serem realizadas estaraacute no intervalo compreendido por ( PL) com 95 de confianccedila no intervalo ( 2PL) e com 99 de confianccedila no intervalo ( 257PL) O desvio padratildeo da meacutedia pode ser compreendido assim como a incerteza da meacutedia de um conjunto de medidas ou seja ele nos fornece uma estimativa da confiabilidade de uma meacutedia Em suma se escolhermos um amperiacutemetro aleatoriamente podemos dizer que i) o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute a meacutedia das resistecircncias de todos os amperiacutemetros e ii) a incerteza que temos nesse valor eacute igual ao desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias dos amperiacutemetros

E se eu soacute tivesse condiccedilotildees de realizar uma uacutenica medida

Nem sempre podemos realizar diversas medidas de uma grandeza Em alguns casos nem mesmo faz sentido realizar diversas medidas No entanto eacute evidente que existe uma incerteza associada a uma uacutenica medida Natildeo existem instrumentos que sejam perfeitamente precisos Entatildeo como podemos estimar essa incerteza Usualmente os manuais dos instrumentos trazem informaccedilotildees sobre isso Desse modo as incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica realizadas com um voltiacutemetro e um amperiacutemetro podem ser consultadas no manual do multiacutemetro utilizado Mas como eacute calculada a incerteza da resistecircncia interna de um amperiacutemetro que foi calculada a partir de

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apenas uma medida de tensatildeo e uma de corrente eleacutetrica Nesse caso precisamos calcular a incerteza propagada das incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica

Os meacutetodos de caacutelculo de incertezas propagadas podem ser bastante complicados Aqui trataremos de um meacutetodo bastante simples usualmente denominado de Meacutetodo dos Limites Vamos exemplificaacute-lo supondo que a incerteza da tensatildeo sobre as entradas do amperiacutemetro eacute P- e da corrente eleacutetrica que circula por ele eacute P$ Ou seja a tensatildeo medida estaacute no intervalo entre ∆S minus P- e ∆S + P- e a corrente eleacutetrica entre i minus P$ e i + P$ Qual eacute entatildeo a incerteza da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro investigado Para responder isso basta calcularmos os valores limites dessa grandeza O maacuteximo valor possiacutevel para a resistecircncia ocorreraacute se a tensatildeo for ∆S + P- e a corrente eleacutetrica for i minus P$ Nesse caso usando a Eq 1 temos

aacutee = ∆S + P-i minus P$

Usando o mesmo raciociacutenio o valor miacutenimo de r seraacute

z = ∆S minus P-i + P$

Desse modo podemos dizer que o valor da resistecircncia interna medida estaacute no intervalo entre rmaacutex e rmiacuten Em outras palavras o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro eacute

F = iexclz + aacutee2 z minus aacutee2 cent

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Erro eacute a mesma coisa que incerteza

Apesar de serem frequentemente utilizados como sinocircnimos os manuais de metrologia atribuem significados distintos aos conceitos de ldquoerrordquo e ldquoincertezardquo O Guia para Expressatildeo da Incerteza da Mediccedilatildeo (Joint Commitee for Guide in Metrology 2008 apud Lima Jr et al 2013) usa o termo ldquoerrordquo para indicar a diferenccedila entre o valor verdadeiro e o resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo o conceito de erro tem uso restrito pois satildeo poucos os casos em que conhecemos o valor verdadeiro de uma grandeza Satildeo exemplos desses casos experimentos em que se deseja mensurar a velocidade da luz no vaacutecuo ou o valor de π que satildeo valores previamente conhecidos pelo experimentador O caacutelculo do erro soacute faz sentido para casos em que sabemos o valor verdadeiro da grandeza que se quer medir

A incerteza por outro lado eacute entendida como uma estimativa que quantifica a confiabilidade do resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo quando calculamos o desvio padratildeo da meacutedia de um conjunto de medidas estamos calculando a incerteza da meacutedia dessas medidas ou seja estamos avaliando a confianccedila que podemos ter em adotar a meacutedia dessas medidas como o valor da grandeza mensurada O conceito de incerteza portanto tem maior aplicabilidade do que o conceito de erro

Algarismos significativos e incerteza

Uma questatildeo frequente nas aulas de laboratoacuterio eacute Com quantos algarismos uma grandeza deve ser apresentada No laboratoacuterio a resposta dessa questatildeo eacute uma funccedilatildeo da incerteza da grandeza Devemos apresentar os dados ateacute o seu primeiro algarismo duvidoso Voltemos ao exemplo da resistecircncia interna dos amperiacutemetros Suponhamos que a meacutedia das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros eacute 21546 Ω e o desvio padratildeo dessa meacutedia que eacute

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entendido aqui como a incerteza da resistecircncia interna dos amperiacutemetros eacute 003 Ω Interpretando tais dados assumimos com 68 de certeza que a resistecircncia interna dos amperiacutemetros estaacute no intervalo entre 21246 e 21846 Ω Desse modo a segunda casa decimal da grandeza medida eacute duvidosa Por isso os algarismos subsequentes satildeo omitidos quando expressamos essa medida e a medida da resistecircncia interna dos amperiacutemetros exemplificados eacute exposta por (215 plusmn 003) Ω Em suma o resultado de uma mediccedilatildeo deve ser sempre expresso com a mesma quantidade de casas decimais que sua incerteza Os algarismos apresentados satildeo entatildeo chamados de algarismos significativos

Referecircncia

Lima Jr P Silva M T X Silveira F L Veit E A (2013) Laboratoacuterio de mecacircnica subsiacutedios para o ensino de Fiacutesica experimental Porto Alegre UFRGS Instituto de Fiacutesica Disponiacutevel em httphdlhandlenet1018390438

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Atividade de Laboratoacuterio I Instrumentos de medida e incertezas

Este material foi cuidadosamente preparado para auxiliar no andamento das atividades no laboratoacuterio de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo Eacute importante responder TODAS as perguntas

(indicadas pelo siacutembolo ) feitas ao longo do texto discutindo com seu grupo possiacuteveis respostas e justificando-as Sempre que possiacutevel faccedila isso por escrito

TAREFA 1

Construa um circuito contendo um resistor de 1 kΩ em seacuterie com uma fonte de tensatildeo contiacutenua e um multiacutemetro Coloque o multiacutemetro na funccedilatildeo amperiacutemetro na escala de miliampere Usando outro multiacutemetro meccedila a tensatildeo no amperiacutemetro Realize medidas com diferentes correntes eleacutetricas variando a tensatildeo de saiacuteda da fonte

Como podemos tratar esses dados se nosso objetivo eacute medir a resistecircncia interna do amperiacutemetro

Qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados

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Para responder essas questotildees se dirija a um dos computadores da sala e use um aplicativo que possibilite a construccedilatildeo de graacuteficos SciDavis por exemplo Insira seus dados no aplicativo construa o graacutefico desejado e encontre a melhor reta que se ajusta aos dados

Qual foi a melhor reta ajustada Determine a equaccedilatildeo dessa reta ajustada

Qual eacute o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro que vocecirc investigou

TAREFA 2

Utilize as medidas de todos os grupos da turma e aplique os conhecimentos abordados na tarefa de leitura para responder as seguintes questotildees

Qual deve ser a resistecircncia interna de um amperiacutemetro escolhido aleatoriamente entre os utilizados nesta aula

Qual eacute a incerteza desse valor

TAREFA 3

Suponha que o manual do Minipa ET-2075B informe que as medidas de tensatildeo e corrente realizadas nas faixas de milivolt e miliampere tecircm incerteza de 3 Use esses dados para calcular a

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incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1

Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma

Elas satildeo coerentes Por quecirc

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CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO

Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por

equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC

Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras

O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se

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extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo

No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador

Salvando vidas

ldquoafastem-se choquerdquo

Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de

sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos

O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo

Figura 4 - Desfibrilador

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esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)

Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma

sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o

miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia

Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2

2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387

Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)

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Circuito RC - seacuterie

Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C

Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que

∆S(c) + i(c)F = 0

Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo

i(c) = =C(c)=c

e a ddp no capacitor eacute dada por

∆S(c) = C(c)D

Dessa forma podemos dizer que

=C(c)=c = minus 1FD C(c)

Figura 6 - Circuito RC

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Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa

funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja

derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever

C(c) = C7 ou

A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial

Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir

Capacitor Carregando Capacitor Descarregando

∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0

C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou

∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou

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Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8

Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo

eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum

3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78

Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas

do capacitor durante o processo de

carga ou descarga

Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um

graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo

do tempo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no

capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte

Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor

quando o mesmo estaacute sendo carregado

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Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie

1 - Osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos

2 ndash Aparato Experimental

Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto

Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)

Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio

Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees

Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala

Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)

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TAREFA 1

Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees

Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico

Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito

Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito

Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos

Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio

TAREFA 2

Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie

Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)

Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados

Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo

NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo

Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste

Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito

Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito

Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles

Manual de Laboratoacuterio

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MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS

Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais

Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio

Para onde aponta a buacutessola

Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc

E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial

tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos

que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a

soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio

4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja

httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4

Figura 10 - Buacutessola

Figura 11 - campo B resultante

Manual de Laboratoacuterio

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Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por

umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O

Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde

Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde

Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma

iacuteatilde() = ∙

onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde

5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass

The Physics Teacher 49(1) 45-48

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como

iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2

Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos

gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)

Logo

gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2

Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo

iacuteatilde() = amp

Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse

tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira

na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart

Manual de Laboratoacuterio

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pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do

que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute

yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp

onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico

da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos

yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp

Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3

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Atividade de Laboratoacuterio III Projeto

OBJETIVO

Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio

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SUGESTAtildeO 1

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO

Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas

Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece

Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha

Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo

por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o

eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte

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SUGESTAtildeO 2

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA

Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)

Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica

Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de

uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)

Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema

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SUGESTAtildeO 3

BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO

Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola

Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)

Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina

O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados

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SUGESTAtildeO 4

CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO

O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer

Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio

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MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO

Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro

Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental

6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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110 V 127 V e 220 V O que eacute isso

As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V

Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas

A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

(c) = Jgt(c + acute)

onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por

∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)

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onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1

Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho

Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores

Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por

∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf

∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712

∆Suparamiddot = ∆S7radic2

Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a

tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s

A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente

alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$

Figura 13 - Funccedilotildees seno e

seno quadrado

Manual de Laboratoacuterio

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COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA

Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz

Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O

Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio

Natildeo queremos jogar energia fora

Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14

Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie

Manual de Laboratoacuterio

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Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por

0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)

onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)

Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

ℇ(c) = ℇ7gt(c)

onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente

Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na

figura 16 para um caso em que VL gt VC

Figura 15 - Diagrama de fasores

de um circuito RLC seacuterie com

fonte de tensatildeo alternada

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

84

A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que

acute = c8 S minus SSu

Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado

por

i(c) = gt(c minus acute)

Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente

as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que

ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$

ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$

Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como

0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)

Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que

0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$

Figura 16 ndash Soma de fasores

Manual de Laboratoacuterio

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0eacutey = F ∙ uparamiddot$

onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square

Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que

F = frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte

Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade

7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL

Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e

resistecircncia num diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como

0 = AJradicAJ$ + AF$

O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP

DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11

Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia

Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por

acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita

Manual de Laboratoacuterio

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2 = 1D

Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica

Figura 18 - diagramas de fasores representando

um circuito capacitivo e um circuito indutivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie

O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio

TAREFA 1

Circuito Resistivo

Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR

Manual de Laboratoacuterio

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Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)

O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador

Circuito Capacitivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor

Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Manual de Laboratoacuterio

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Circuito Indutivo

Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor

O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Circuito RLC

Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise

Manual de Laboratoacuterio

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O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador

Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio

O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior

Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor

Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou

A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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TAREFA 2

Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente

Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir

Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima

Qual o valor da corrente maacutexima no circuito

Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)

O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique

Manual de Laboratoacuterio

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TAREFA 3

Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito

Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees

Como isso eacute possiacutevel Explique

Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff

Respostas

96

Respostas

A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32

A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH

A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH

B3 Ae = Af = AtildeAcircf

B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl

B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH

B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l

B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD

B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -

C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc

(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7

C2 O = ~13deg

C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)

Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-

vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr

Respostas

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C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM

C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD

(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD

C6 A = Eacute$Acirc

C7 A = Atilde$AcircL

D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma

das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp

D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(

D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1

no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)

D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme

D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D

E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)

E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D

E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml

F1 544 times 10

F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S

F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM

u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM

u (e) 0 = ℇMu

F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω

Respostas

98

F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965

G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n

G5 i = Ograve$g = 245 J

G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y

G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez

G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H

G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)

G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)

G15 (a) zL$brvbarM (b)

z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero

G16 z$L + z$L = z$L - + 1

G17 (a) pLM

amp (b) pusup3

ampL

G18 zzMu

G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)

z

G20 zNu saindo da folha

G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)

UgraveLMamp

fora do fio (a) z$L (b)

UgravebrvbarM$L (c)

Ugravebrvbarsup3ampL

G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13

G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM

ampu

H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior

Respostas

99

H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a

H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J

I2 Φ = pound$ sup1amp

I4 C = AcircsM

I6 (a) zM

NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar

J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a

(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S

J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu

(c) = -radic

J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm

(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013

Respostas

100

Bibliografia

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Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il

Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il

Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm

Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il

Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il

Page 4: Prof a. Raquel Giulian Prof. Leonardo Albuquerque ... · 3ª semana: Lei de Gauss (fluxo elétrico, campo elétrico ... Aula de problemas e PROVA II 10º e 11ª semanas: Campo Magnético

Conteuacutedo Programaacutetico

7

Conteuacutedo Programaacutetico

O conteuacutedo seraacute dividido em quatro aacutereas Ao final de cada aacuterea seraacute realizada uma prova que pode abranger todo o conteuacutedo visto ateacute entatildeo

1ordf semana Carga eleacutetrica (condutores isolantes carga induzida e forccedila eleacutetrica) Campo eleacutetrico (lei de Coulomb dipolo eleacutetrico)

2ordf semana Campo eleacutetrico (momento de dipolo eleacutetrico energia potencial eleacutetrica distribuiccedilotildees discretas e contiacutenuas de carga distribuiccedilotildees contiacutenuas de carga)

3ordf semana Lei de Gauss (fluxo eleacutetrico campo eleacutetrico proacuteximo a objetos simeacutetricos carregados cargas em condutores) PROVA I

4ordf semana Potencial eleacutetrico (potencial diferenccedila de potencial diferenccedila de energia potencial superfiacutecie equipotencial potencial proacuteximo a objetos carregados)

5ordf semana Laboratoacuterio 1 Capacitacircncia (capacitor de placas paralelas diferenccedila de potencial num capacitor capacitores ciliacutendricos e esfeacutericos capacitores em seacuterie e em paralelo capacitores com dieleacutetricos energia armazenada num capacitor)

6ordm semana Carga e descarga de capacitores Corrente e

resistecircncia (conservaccedilatildeo de carga corrente convencional e corrente de eleacutetrons densidade de corrente velocidade de deriva resistores resistividade e resistecircncia lei de Ohm)

Conteuacutedo Programaacutetico

8

7ordf semana Circuitos (baterias forccedila eletromotriz resistores em seacuterie e paralelo circuitos com baterias e resistores potecircncia em circuitos efeito Joule) Laboratoacuterio 2

8ordm semana Circuito RC (corrente num circuito com capacitor carregando eou descarregando)

9ordm semana Aula de problemas e PROVA II

10ordm e 11ordf semanas Campo Magneacutetico (lei de Biot-Savart campo magneacutetico produzido por corrente campo magneacutetico da Terra espira de corrente momento de dipolo magneacutetico dipolo magneacutetico lei de Gauss do magnetismo forccedila eletromagneacutetica forccedila magneacutetica num fio com corrente torque energia potencial magneacutetica) Laboratoacuterio 3

12ordf semana Lei de Ampegravere Efeito Hall Propriedades

Magneacuteticas da Mateacuteria (diamagnetismo paramagnetismo ferromagnetismo)

13ordf semana Laboratoacuterio 4 Aula de problemas e PROVA III

14ordf semana Lei de Faraday-Lenz (forccedila eletromotriz induzida fluxo magneacutetico variaacutevel no tempo transformadores corrente induzida)

15ordf semana Equaccedilotildees de Maxwell (corrente de deslocamento) Indutacircncia (indutores solenoide toroide) Laboratoacuterio 5

16ordf semana Corrente alternada (circuito RL e LC densidade de energia conservaccedilatildeo de energia)

17ordf semana Corrente alternada (circuito RLC ressonacircncia circuito resistivo capacitivo e indutivo circuito RLC forccedilado impedacircncia fator de potecircncia constante de fase diagrama de fasores) Laboratoacuterio 6

Conteuacutedo Programaacutetico

9

18ordf semana Aula de problemas e PROVA IV

19ordf semana Divulgaccedilatildeo dos resultados

20ordf semana RECUPERACcedilAtildeO OU EXAME

Problemas Selecionados

Problemas Selecionados

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(A) Carga Eleacutetrica

A1 ndash Se vocecirc grudar um pedaccedilo de fita adesiva na mesa e desgrudaacute-lo puxando rapidamente uma das pontas a fita ficaraacute carregada eletricamente Supondo que a fita adesiva tenha 20 de comprimento e 1 de largura e que ao fazer isso vocecirc consiga arrancar 1 eleacutetron de cada aacutetomo da superfiacutecie da fita qual seraacute a carga eleacutetrica total da fita (por simplicidade considere o raio atocircmico = 1 Å)

A2 ndash Repetindo o mesmo procedimento com outro pedaccedilo idecircntico de fita adesiva e aproximando os dois pedaccedilos a uma distacircncia de 5 qual seraacute a forccedila eleacutetrica entre eles

A3 ndash Quatro partiacuteculas carregadas estatildeo dispostas no plano XY sendo = langminus3 0 0rang $ = lang 0 0rang amp = lang0 2 0rang e = lang0 minus2 0rang as distacircncias das cargas ateacute a origem A carga da partiacutecula 2 eacute ($ = 80 times 10-C a carga das partiacuteculas 3 e 4 eacute (amp = ( = minus1 6 times 10-C Qual deve ser a distacircncia para que seja nula a forccedila resultante sobre a partiacutecula 1

A4 ndash O dado mostrado na figura ao lado possui lado = 15 Qual a forccedila (vetor) exercida sobre a partiacutecula indicada pela seta devido agrave presenccedila das demais cargas Use notaccedilatildeo vetorial para indicar sua resposta (Dica defina a origem dos eixos cartesianos no veacutertice que estaacute escondido com o eixo z para cima Calcule as componentes da forccedila nas

direccedilotildees e separadamente soacute entatildeo some as componentes que estatildeo na mesma direccedilatildeo)

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

12

A5 ndash Trecircs partiacuteculas carregadas estatildeo dispostas num plano XY a

partiacutecula 1 na posiccedilatildeo 0- = lang0 15 0rang a partiacutecula 2 na posiccedilatildeo 0$ = lang0 minus15 0rang e a partiacutecula 3 na posiccedilatildeo 0amp = lang 0 0rang com liberdade para se mover no eixo (- = ($ = 32 times 10-C (amp = minus64 times 10-C pode variar de 0 a 5 Qual o valor de para que a forccedila exercida sobre a partiacutecula 3 (pelas demais cargas) seja (a) miacutenima e (b) maacutexima Quais satildeo os valores (c) miacutenimo e (d) maacuteximo do moacutedulo da forccedila

A6 ndash A figura ao lado mostra duas esferas condutoras de mesma massa e mesma carga ( suspensas por fios isolantes de comprimento 2 Mostre que para 2 ≫ as esferas estaratildeo em equiliacutebrio quando a distacircncia entre elas for igual a

= 4 ($2256789- ampfrasl

A7 ndash A forccedila gravitacional entre duas massas pontuais eacute muito similar matematicamente agrave forccedila eletrostaacutetica entre duas cargas pontuais A intensidade dessas forccedilas no entanto eacute extremamente diferente Para ilustrar isso considere a seguinte situaccedilatildeo Em algum lugar do espaccedilo existem duas esferas idecircnticas de poeira 50 de diacircmetro e densidade 25 8amp separadas por uma distacircncia = Se os gratildeos satildeo eletricamente neutros e estatildeo inicialmente em repouso eles iratildeo colidir devido agrave atraccedilatildeo gravitacional Agora suponha que ambos estatildeo eletricamente carregados cada um tendo um nuacutemero gt de eleacutetrons extra Encontre o menor valor de gt que iraacute evitar a colisatildeo (Considere = 667 times 10-- amp8-$)

Problemas Selecionados

13

(B) Campo Eleacutetrico

B1 ndash Um iacuteon de Fe3+ estaacute localizado a 400 gt de um iacuteon de Cl- como mostra a figura ao lado (a) Qual a magnitude direccedilatildeo e sentido do campo

eleacutetrico A na posiccedilatildeo A (b) E na posiccedilatildeo B (c) Se um eleacutetron estiver na posiccedilatildeo A qual seraacute a magnitude e direccedilatildeo da forccedila sobre o eleacutetron

B2 ndash Um quadrupolo eleacutetrico eacute formado por um conjunto de dois dipolos como mostra a figura ao lado Mostre que para ≫ = a magnitude do

campo A num ponto ao longo do eixo dos quadrupolos eacute dado por

A = 6(=$4567

B3 ndash Uma barra muito longa com densidade de carga B estaacute disposta conforme a figura ao lado (Alguns autores chamam esse tipo de barra de semi-infinita pois o ponto P estaacute proacuteximo a uma das extremidades da barra enquanto a outra extremidade estaacute muito distante) Mostre

que o campo eleacutetrico A no ponto P faz um acircngulo de 45deg com a barra independente da distacircncia Y (isto eacute as componentes x e y do campo tem a mesma magnitude)

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

14

B4 ndash Calcule o campo A proacuteximo a uma barra carregada com carga total Q e comprimento As cargas estatildeo distribuiacutedas de forma uniforme ao longo da barra = 015 C = 8 gtD e E = 5

B5 ndash A figura ao lado mostra um anel incompleto de raio F carregado com carga total C Qual a forccedila (vetor) exercida sobre um eleacutetron que por ventura esteja localizado no ponto 0

B6 ndash Um dipolo cujo momento dipolar eacute G = lang37 50 0rang D

encontra-se numa regiatildeo onde o campo A = lang3000 0 0rang H Dfrasl Qual a energia potencial do dipolo Qual o torque que age sobre o dipolo Qual eacute o trabalho que um agente externo deve realizar para girar o dipolo ateacute que seu momento dipolar seja G = langminus50 37 0rang D

B7 ndash Calcule a magnitude direccedilatildeo

e sentido do campo A no centro de um anel de raio F carregado sendo que a distribuiccedilatildeo de cargas no anel varia como B(I) = B7 gt I

Problemas Selecionados

15

B8 ndash Duas barras isolantes de 15 de comprimento encontram-se em um acircngulo reto Uma barra possui 30 D e a outra possui minus30 D de carga uniformemente distribuiacuteda ao longo do comprimento conforme a figura ao lado Determine o campo eleacutetrico (vetor) no ponto P que estaacute a = = 750 do centro de cada barra

B9 ndash Duas barras curvas isolantes com cargas opostas de igual magnitude ( formam um ciacuterculo de raio F no plano xy conforme a figura As cargas estatildeo uniformemente distribuiacutedas na barra (a) Qual o campo eleacutetrico (vetor) no ponto P (b) Qual a resposta do item (a) se ( = 20 GD e F = 10

B10 ndash Considere um cilindro de comprimento 2 e raio J oco carregado com carga total C Vocecirc estaacute interessado em saber qual eacute

o campo eleacutetrico A ao longo do eixo do cilindro numa de suas extremidades Para isso utilize dois caminhos distintos (a) considerando que o cilindro eacute formado por uma infinidade de barras de espessura infinitesimal todas com comprimento 2 dispostas num ciacuterculo de raio J e (b) considerando que o cilindro eacute formado por uma infinidade de aneacuteis de raio J cujos eixos estatildeo alinhados e juntos formam um cilindro de comprimento 2

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

16

(C) Lei de Gauss

C1 ndash Uma faacutebrica de bolinhas de gude foi atingida por um raio durante uma tempestade O preacutedio foi protegido por um paacutera-raios mas algumas descargas atingiram os equipamentos que fabricavam as bolinhas Resultado eacute que a bolinha que estava na maacutequina ao cair o raio recebeu uma descarga eleacutetrica e as cargas ficaram armazenadas

no interior da bolinha de forma que a densidade de carga K() = K7 -LM

(a) Qual o campo A na superfiacutecie da bolinha que tem raio = 2 (b) E no interior da bolinha 1 abaixo da superfiacutecie (c) Qual o

campo A a 5 da superfiacutecie da bolinha

C2 ndash A figura ao lado mostra uma bolinha com massa 0004 8 e carga 8 times 10N D suspensa por um fio nas proximidades de uma grande placa condutora carregada sendo que a densidade de carga da placa eacuteminus2 times 10 D $frasl Encontre um valor para o acircngulo O

C3 ndash Uma casca ciliacutendrica isolante e muito longa tem raio interno e externo e densidade volumeacutetrica de carga K Um fio tambeacutem muito longo tem densidade linear de carga B e estaacute alinhado com o eixo central da casca Qual o campo eleacutetrico na regiatildeo entre e

Problemas Selecionados

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C4 ndash Uma carga C positiva estaacute no centro de um conjunto de calotas concecircntricas como mostra a figura abaixo O raio das calotas estaacute indicado na figura A mais externa eacute condutora e estaacute carregada com carga C negativa e a calota intermediaacuteria eacute isolante e possui carga liacutequida ( positiva distribuiacuteda de forma uniforme por

todo seu volume Calcule o campo A resultante em cada uma das 5 regiotildees indicadas na figura Indique a localizaccedilatildeo aproximada das cargas induzidas eou em excesso em cada regiatildeo e indique a direccedilatildeo e sentido dos campos eleacutetricos

C5 ndash Uma casca esfeacuterica com densidade volumeacutetrica de carga K = 20 gtDamp tem raio interno = 10 e raio externo = 2 conforme a figura Determine o moacutedulo do campo eleacutetrico para os seguintes raios a partir do centro (a) = 2frasl (b) = 15 (c) = 2

C6 ndash Usando a Lei de Gauss determine o campo eleacutetrico proacuteximo a uma placa muito grande com densidade superficial de carga P

C7 ndash Usando a Lei de Gauss determine o campo eleacutetrico proacuteximo a uma barra muito longa com densidade linear de carga B

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(D) Potencial Eleacutetrico

D1 ndash A figura ao lado mostra um anel incompleto formado por trecircs segmentos de arco com densidade linear de carga constantesB- B$ e Bamp A menor delas tem carga total (- e comprimento de arco 54 As demais estatildeo indicadas na figura Qual o potencial eleacutetrico no centro do anel Qual deve ser a relaccedilatildeo entre as cargas para que o potencial eleacutetrico no centro do anel seja igual a zero

D2 ndash A figura ao lado mostra um dipolo eleacutetrico de momento dipolar |G| = R( Mostre que para ≫ R o potencial eleacutetrico no ponto P eacute dado por

S = 145T7G UO$

Dica quando ≫ R eacute razoaacutevel considerar que V cong $ e minus V cong R UO

D3 ndash Sobre uma mesa de bilhar estatildeo dispostas trecircs bolinhas Uma com carga +C outra com carga ndash C e uma terceira com carga +2C conforme mostra a figura ao lado (a) Qual o potencial no ponto P (b) Se uma quarta bolinha for colocada no centro do quadrado qual deve ser a carga da bolinha para que o potencial no ponto P seja nulo

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D4 ndash Uma esfera oca isolante de raio F e carga C eacute colocada nas proximidades de uma placa muito grande cuja densidade superficial de carga eacute P (uniforme) A distacircncia entre a placa e a superfiacutecie da esfera eacute = Qual a diferenccedila de potencial entre o centro da esfera e a placa Dica calcule a ddp devido a cada objeto separadamente e some os resultados A diferenccedila de potencial entre dois pontos pode ser determinada a partir do campo eleacutetrico

D5 ndash Uma esfera isolante maciccedila possui densidade de carga K() = K7$ onde ρ0 eacute uma constante (a) Qual a diferenccedila de potencial entre os pontos b e c Se a densidade de carga fosse uniforme qual seria a diferenccedila de potencial entre os pontos b e c

D6 ndash Um fio tem densidade linear de carga B uniforme e foi dobrado no formato conforme mostra a figura abaixo Qual o potencial eleacutetrico no ponto P

D7 ndash Considere duas cascas esfeacutericas finas concecircntricas condutoras A casca interna tem raio = 15 e carga 10 gtD A casca externa tem raio = 30 e carga minus15 gtD Forneccedila expressotildees para o campo eleacutetrico e o potencial eleacutetrico para as diferentes regiotildees (a) lt 15 (b) 15 lt lt 30 (c) gt 30 Em todos os casos considere S = 0 em = infin

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(E) Capacitacircncia

E1 ndash Sabendo que cada um dos capacitores no circuito ao lado tem capacitacircncia D = 10 e a diferenccedila de potencial na bateria eacute ΔS = 10 S qual eacute a carga do capacitor 1 E do capacitor 2

E2 ndash Encontre uma expressatildeo para a capacitacircncia dos capacitores abaixo sabendo que a distacircncia entre as placas eacute = a aacuterea das placas eacute 10 = o espaccedilo entre as placas estaacute preenchido por dois ou mais materiais de constantes dieleacutetricas distintas conforme mostra a figura abaixo Analisando cada capacitor separadamente eacute possiacutevel obter a mesma capacitacircncia com uma associaccedilatildeo de capacitores simples (preenchidos por um uacutenico material) Explique

E3 ndash Uma diferenccedila de potencial de 100 S eacute aplicada ao circuito ao lado onde D- = 10 D$ = 5 e Damp = 4 Se o capacitor 3 eacute substituiacutedo por um fio condutor qual eacute o aumento na carga do capacitor 1 Qual eacute o aumento na diferenccedila de potencial entre as placas do capacitor 1

(a) (b) (c)

Problemas Selecionados

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E4 ndash No circuito ao lado a diferenccedila de potencial fornecida pela bateria eacute de 20 S Qual a capacitacircncia equivalente do circuito Qual a carga armazenada por essa capacitacircncia equivalente Qual a carga e ddp para os capacitores 1 2 e 3

E5 ndash Na figura ao lado a ddp da bateria eacute 10 S D- = 10 D$ = Damp = 2D- A chave eacute movida para a esquerda e somente depois que o capacitor 1 atingiu o equiliacutebrio a chave eacute movida para a direita Quando o equiliacutebrio eacute novamente atingido qual eacute a carga do capacitor 1

E6 ndash Um capacitor de placas paralelas com aacuterea J e espaccedilamento = eacute preenchido com vidro (6 = 267) Conectado a uma bateria o capacitor acumula carga C (a) Qual a energia armazenada no capacitor (b) Mantendo a bateria conectada a separaccedilatildeo entre as placas eacute aumentada para 2= (veja a figura) Qual a energia armazenada nessa nova situaccedilatildeo

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(F) Corrente e Resistecircncia

F1 ndash A figura ao lado mostra parte de um fio de cobre com diacircmetros =- = 4F e =$ = 8F por onde passa uma corrente uniforme = 4 e a diferenccedila de potencial ao longo desse comprimento eacute20 S O

nuacutemero de portadores de carga por unidade de volume eacute 849 times 10$N amp Qual eacute a velocidade de deriva dos eleacutetrons de conduccedilatildeo na porccedilatildeo do fio com diacircmetro =$

F2 ndash No circuito ao lado qual a magnitude e direccedilatildeo das correntes nos resistores F- F$ e Famp Para isso considere que ℇ- = 6 S ℇ$ = 12 SF- = 100 Ω F$ = 200 Ω Famp = 300 Ω O ciruito estaacute aterrado e nesse ponto S = 0 Qual eacute o potencial eleacutetrico no ponto A

F3 ndash Calcule a potecircncia total dissipada em cada circuito Considere que todas as resistecircncias satildeo iguais e as baterias satildeo ideais Expresse suas respostas em termos de ℇ e F

F4 ndash Se dois fios de mesmo comprimento um de cobre e outro de alumiacutenio apresentam a mesma resistecircncia qual deve ser a razatildeo entre seus raios

Problemas Selecionados

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F5 ndash No circuito ao lado a potecircncia dissipada no resistor R eacute 20 a Qual o valor de R Qual a ddp entre os pontos A e B

F6 ndash A corrente medida por um amperiacutemetro A no circuito ao lado eacute a mesma quando ambas as chaves estatildeo abertas ou fechadas Qual o valor da resistecircncia R

F7 ndash Determine o valor da corrente que passa por cada um dos resistores a potecircncia fornecida por cada uma das fontes de tensatildeo e a potecircncia dissipada por cada um dos resistores Faccedila o balanccedilo energeacutetico do circuito

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F8 ndash No circuito ao lado a chave S permanece fechada por um longo tempo e a corrente no circuito atinge um valor constante Considere D- = 3 D$ = 6 F- = 4Ω e F$ = 7Ω A potecircncia dissipada em F$ eacute 24a (a) Determine as cargas em D- e D$ (b) Abrindo a chave S e aguardando um longo tempo qual a mudanccedila observada na carga do capacitor 2

F9 ndash Num circuito RC seacuterie como o da figura ao lado D = 1 F = 2 times 10bΩ e ℇ = 10S Dez segundos depois que a chave foi fechada determine (a) a carga no capacitor (b) a corrente no resistor (c) a taxa com que a energia eacute armazenada no capacitor (d) a taxa com que a bateria fornece energia para o circuito

F10 ndash Um capacitor eacute carregado atraveacutes de um resistor como mostra a figura no problema anterior Mostre que metade da energia fornecida pela bateria aparece como energia interna no resistor e a outra metade como energia eleacutetrica no capacitor

F11 ndash Um capacitor duas fontes ideais dois resistores e uma chave S satildeo mostrados no circuito da figura ao lado Suponha D = 12 ℇ- = 15 S ℇ$ = 30 S F- = 05 Ω e F$ = 08 Ω (a) Se a chave S permanece aberta por um longo tempo qual a carga no capacitor (b) Qual a carga no capacitor se a chave S permanece fechada por um longo tempo

Problemas Selecionados

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F12 ndash No circuito ao lado a bateria fornece 10 S o capacitor eacute de 1 e os resistores tecircm as resistecircncias indicadas na figura O circuito estaacute ligado haacute um longo tempo (a) Qual a ddp entre os terminais do capacitor (b) Se a bateria for desconectada quanto tempo levaraacute para que essa ddp atinja um deacutecimo do valor inicial

-------------------------------------------------------------------------------------------

(G) Campo Magneacutetico

G1 ndash Um proacuteton atravessa uma regiatildeo de campo magneacutetico uniforme = lang10 20 30rang 13 No tempo c- o proacuteton tem uma velocidade d = langde df 2rang e a forccedila magneacutetica sobre o proacuteton eacute g = lang4 times 10-h minus2 times 10-h 0rang H Nesse instante qual o valor de de e df

G2 ndash Um proacuteton viaja atraveacutes de uma regiatildeo de campo eleacutetrico e

magneacutetico uniformes onde = langminus25 0 0rang 13 Num certo instante a velocidade do proacuteton eacute d = lang0 2000 0rang Qual a forccedila resultante que age sobre o proacuteton se o campo eleacutetrico for

(a) A = lang0 0 4rang S (b) A = lang0 0 minus4rang S ou

(c) A = lang4 0 0rang S

G3 ndash Uma espira retangular de lados e estaacute numa regiatildeo de campo

magneacutetico perpendicular ao plano da espira e eacute percorrida por uma corrente i constante conforme mostra a figura ao lado Determine o torque sobre a espira

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G4 ndash Dois trilhos de metal separados por uma distacircncia = = 256 estatildeo ligados a uma bateria No momento em que uma barra de metal de massa = 241 8 eacute colocada sobre os trilhos (c = 0) ela fecha o circuito e por ela passa uma corrente i = 913 J O conjunto estaacute numa regiatildeo onde existe um campo magneacutetico uniforme = 563 13 Qual a velocidade da barra 611 depois Em que direccedilatildeo ela se move

G5 ndash A figura ao lado mostra um cilindro de madeira de massa = 250 8 e comprimento 2 =10 onde foi enrolado um fio formando uma espira de 10 voltas O cilindro eacute posicionado de forma que o eixo da espira estaacute perpendicular ao plano inclinado (paralelo agrave normal do plano

inclinado) Nessa regiatildeo haacute um campo magneacutetico = lang0 05 0rang 13 Qual deve ser o valor miacutenimo da corrente na espira capaz de manter o cilindro em sua posiccedilatildeo evitando que ele role para baixo

G6 ndash A figura ao lado mostra um iacutematilde e um anel condutor de raio por onde passa uma corrente i Se o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde faz um acircngulo O com a vertical na posiccedilatildeo onde estaacute o anel qual eacute a magnitude e a direccedilatildeo da forccedila resultante sobre o anel

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G7 ndash Uma barra de metal com densidade de massa B (massa por unidade de comprimento) apresenta uma corrente i (saindo da paacutegina) A barra estaacute suspensa por dois fios num campo magneacutetico uniforme vertical como mostra a figura ao lado No equiliacutebrio os fios

fazem um acircngulo O com a vertical Qual a magnitude do campo magneacutetico

G8 ndash Um proacuteton com energia cineacutetica de 6 jS se move no plano da paacutegina e entra numa regiatildeo de campo magneacutetico = 1 13 direcionado para dentro da paacutegina como mostra a figura ao lado

O proacuteton entra na regiatildeo de campo com o vetor velocidade fazendo um acircngulo O- = 35deg com a borda da regiatildeo Qual eacute a distacircncia entre o ponto de entrada e saiacuteda ( na figura) Qual o valor de O$

G9 ndash Considere um eleacutetron orbitando um proacuteton numa trajetoacuteria circular de raio F = 529 times 10-- devido agrave atraccedilatildeo Coulombiana Considere o sistema como se fosse um anel por onde passa uma corrente Qual seraacute o torque resultante quando o sistema for colocado numa regiatildeo de campo magneacutetico = 04 13 perpendicular ao momento magneacutetico do anel

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G10 ndash Um fio por onde passa uma corrente i foi moldado num formato semicircular de raio F e uma reta de comprimento 2F como mostra a figura ao lado Nessa mesma regiatildeo haacute um campo magneacutetico que aponta na direccedilatildeo + (representado pelos pontos azuis na figura ao lado) Mostre que a

forccedila resultante sobre o fio eacute zero

G11 ndash Um condutor ciliacutendrico longo de raio conteacutem duas cavidades cada uma com diacircmetro ao longo de todo o comprimento do fio Uma visatildeo da seccedilatildeo transversal do fio eacute mostrada na figura ao lado Uma corrente i uniforme (considerando a porccedilatildeo soacutelida do material) passa atraveacutes do fio e aponta para fora da paacutegina Determine a magnitude e direccedilatildeo do campo

magneacutetico em funccedilatildeo de 7 i e no ponto P

G12 ndash Dois fios muito longos por onde passa corrente i de mesma magnitude estatildeo moldados conforme a figura ao lado

Mostre que o campo magneacutetico no centro do ciacuterculo de raio R eacute o mesmo que o

campo a uma distacircncia R abaixo de um fio reto muito longo por onde passa uma corrente i

Problemas Selecionados

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G13 ndash Encontre uma expressatildeo para determinar a magnitude do campo magneacutetico no ponto P da figura ao lado Dica considere a origem dos eixos cartesianos no ponto P

G14 ndash A figura ao lado mostra a seccedilatildeo transversal de um condutor oco de raio externo e interno por onde passa uma corrente uniforme i Demonstre que a magnitude do campo magneacutetico () para uma distacircncia lt lt eacute dada por

= 7i25($ minus $) $ minus $

G15 ndash A figura ao lado mostra um cabo coaxial de raios e Correntes opostas de igual magnitude estatildeo distribuiacutedas nos dois condutores Derive uma expressatildeo para calcular o campo magneacutetico () na regiatildeo (a) lt (b) lt lt (c) lt lt e (d) gt

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G16 ndash Um fio condutor por onde passa uma corrente i foi torcido para formar um loop de raio R (no plano da paacutegina) como mostra a figura abaixo Qual a direccedilatildeo do campo magneacutetico no

centro do loop Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico no centro do loop

G17 ndash Uma corrente i passa por um fio condutor ciliacutendrico de raio R como mostra a figura ao lado A densidade de corrente l natildeo eacute uniforme atraveacutes da seccedilatildeo transversal do fio mas obedece agrave funccedilatildeo l = onde eacute uma constante Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico (a) a uma distacircncia - lt F e (b) a uma distacircncia $ gt F(em relaccedilatildeo ao centro do condutor)

G18 ndash Um fio condutor muito longo por onde passa uma corrente i- estaacute parcialmente envolto por um loop por onde passa uma corrente i$ (figura ao lado) O loop fio foi moldado num formato semiciliacutendrico de raio R e o comprimento L O fio condutor passa pelo eixo do loop Calcule a forccedila magneacutetica exercida sobre o loop

G19 ndash Considere um solenoide de comprimento 2 e raio F contendo H voltas de um fio por onde passa uma corrente i (a) Determine uma expressatildeo para

o campo magneacutetico num ponto ao longo do eixo do solenoide do lado de fora do solenoide como funccedilatildeo da distacircncia ateacute uma das pontas (considere = 0 no centro do solenoide e = a distacircncia do centro ateacute o ponto onde estaacute sendo calculado o campo ) (b) Mostre que para

Problemas Selecionados

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valores muito grandes de 2 e = = 0 se aproxima de = 7i H 2frasl para posiccedilotildees ao longo do eixo no interior do solenoide distante das bordas

G20 ndash A figura ao lado mostra um fio moldado para formar duas seccedilotildees retas e um quarto de ciacuterculo por onde passa corrente i Determine o campo magneacutetico (vetor) no ponto P

G21 ndash Um fio ciliacutendrico espesso de raio eacute percorrido por uma corrente i Determine uma expressatildeo para o

campo magneacutetico dentro e fora do fio considerando que (a) a corrente estaacute distribuiacuteda uniformemente sobre a superfiacutecie externa do fio (b) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio com densidade de corrente l constante (c) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio de forma que a densidade de corrente l eacute proporcional agrave distacircncia ateacute o eixo do fio

G22 ndash Considere dois solenoides coaxiais cada um conduzindo uma corrente i em direccedilotildees opostas O solenoide interno de raio possui gt- voltas por unidade de comprimento o

solenoide externo possui raio e gt$ voltas por unidade de

comprimento Determine (a) no interior do conjunto (b) entre eles e (c) fora deles

G23 ndash Um fio condutor longo e reto de raio F conduz uma corrente natildeo uniforme cuja densidade de corrente eacute l = l7 Ffrasl onde l7 eacute uma constante A corrente total eacute i (a) Determine uma expressatildeo para i

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em funccedilatildeo de l7 e F (b) Determine uma expressatildeo para o campo magneacutetico no interior do fio para uma distacircncia

G24 ndash A figura ao lado mostra um toroide que consiste num solenoide fechado em forma de anel (a) Considerando a simetria explique qual deve ser o formato do campo magneacutetico no interior desse toroide (b) Considere o toroide compacto (a separaccedilatildeo entre cada volta do fio eacute pequena) com N voltas conduzindo uma corrente i Usando a lei de Ampeacutere determine a magnitude do campo magneacutetico num ponto interno ao toroide a uma distacircncia do eixo principal (ver figura ao lado) (c) O campo magneacutetico no interior do toroide eacute um campo uniforme Explique

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(H) Lei de Faraday

H1 ndash A figura ao lado mostra dois aneis cujos eixos estatildeo alinhados separados por uma distacircncia x O anel maior tem raio F o anel menor tem raio Os aneis estatildeo separados por uma distacircncia ≫ F e por isso o campo magneacutetico devido agrave corrente no anel de raio F eacute praticamente uniforme no anel menor Considere que a distacircncia estaacute aumentando a uma taxa constante = =cfrasl = d (a) Determine uma expressatildeo para o fluxo de campo magneacutetico atraveacutes do anel menor como funccedilatildeo de Encontre uma expressatildeo para (b) a fem induzida e (c) a direccedilatildeo da corrente no anel menor

Problemas Selecionados

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H2 ndash (a) Calcule o fluxo magneacutetico atraveacutes do retacircngulo mostrado na figura ao lado em funccedilatildeo de = i (b) Avalie o resultado encontrado para = 5 = 10 = = 2 e i = 20 J

H3 ndash Uma espira plana e circular de raio =75 estaacute em repouso numa regiatildeo de campo magneacutetico uniforme A espira estaacute orientada de tal forma que o campo magneacutetico aponta para cima

e faz um acircngulo de 30deg com a normal da espira O campo varia com

o tempo de acordo com (c) = 14(77nho) 13 (a) Determine a fem induzida na espira em funccedilatildeo do tempo (b) Para que valor de c a fem induzida eacute igual a um deacutecimo do seu valor inicial Determine o sentido da corrente induzida na espira se observada por cima da espira

H4 ndash Um retacircngulo que mede 30 times 40 estaacute localizado no interior de um campo magneacutetico uniforme de 125 13 com o campo perpendicular ao plano da bobina A bobina se move perpendicular ao campo com velocidade constante d =2 inclusive atingindo a regiatildeo

onde o campo termina abruptamente como mostra a figura ao lado Determine a fem induzida nessa bobina quando ela estaacute (a) inteiramente no interior do campo (b) parcialmente no interior do campo e (c) inteiramente fora do campo

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H5 ndash O fio na figura ao lado conduz

uma corrente i(c) = i7po onde gt 0 Determine o sentido da corrente induzida na bobina (horaacuterio ou anti-horaacuterio) para c gt 0

H6 ndash A figura ao lado mostra uma espira circular de raio contendo uma resistecircncia e um capacitor ligados em seacuterie imerso numa regiatildeo onde um campo magneacutetico uniforme (no espaccedilo) entrando no plano na paacutegina decresce no tempo a uma taxa constante = =cfrasl = minus sendo uma constante positiva (a) Qual a carga no capacitor quando ele estaacute completamente carregado (b) Qual das placas do capacitor estaacute em potencial mais elevado (c) Qual a origem da forccedila que causa a separaccedilatildeo de cargas

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(I) Indutacircncia

I1 ndash No circuito ao lado ℰ = 100 SF- = 10 Ω F$ = 20 Ω Famp = 30 Ω e 2 = 2 H Ao fechar a chave S quais os valores de i- e i$ Considere positivo o sentido das correntes indicadas na figura Muito tempo

depois quais satildeo os valores de i- e i$ A chave eacute entatildeo aberta Nesse instante quais satildeo os valores de i- e i$ E muito tempo depois quais satildeo os valores de i- e i$

Problemas Selecionados

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I2 ndash Num circuito LC em seacuterie a carga inicial do capacitor eacute C e ele estaacute sendo descarregado Quando a carga no capacitor eacute igual a C 2frasl qual eacute o fluxo magneacutetico que atravessa cada uma das N espiras do indutor (como funccedilatildeo de C H 2 e D)

I3 ndash Uma bobina possui N voltas e estaacute envolvendo um solenoide longo de raio r com n espiras por unidade de comprimento (figura ao lado) (a) Mostre que a indutacircncia muacutetua do sistema eacute dada por j = 75F$gtH (b) Explique por que M natildeo depende do formato tamanho ou possiacutevel falta de proximidade das espiras na bobina

I4 ndash A fem autoinduzida num solenoide de indutacircncia L varia no tempo conforme ℇ(c) = ℇ7so Levando em consideraccedilatildeo que a carga eacute finita (ou seja i = 0 quando c = infin) determine a carga total que passa pelo solenoide (que atravessa um determinado ponto no fio que compotildee o solenoide)

I5 ndash Um fio condutor foi enrolado num papelatildeo formando um toroide com N espiras (voltas) raio menor r e maior R A seccedilatildeo transversal do toroide eacute mostrada na figura ao lado Se F ≫ o campo magneacutetico no interior do toroide eacute essencialmente o mesmo que o campo no interior de um solenoide muito longo que tenha sido

moldado no formato de um ciacuterculo de raio R Modelando o campo como se fosse o campo uniforme de um solenoide longo mostre que a indutacircncia desse toroide eacute

aproximadamente 2 asymp -$ 7H$ LMu

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I6 ndash Um indutor consiste em duas cascas ciliacutendricas concecircntricas como mostra a figura A casca interna tem raio e a externa tem raio ambas com comprimento ℎ A casca interna transporta uma corrente i para fora e a externa para dentro do plano da paacutegina com igual magnitude Calcule na regiatildeo lt lt (a) a densidade de energia magneacutetica (b) a indutacircncia

I7 ndash Mostre que i(c) = i7o wx eacute a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial iF + 2 yzyo = 0 onde i7 eacute a corrente em c = 0 e = 2 Ffrasl

I8 ndash Um fio condutor de raio R transporta uma corrente uniforme A corrente total no fio eacute i Mostre que a energia magneacutetica por unidade de comprimento dentro do fio eacute dada por 7i$ 165frasl

I9 ndash Um cabo coaxial eacute formado por dois cilindros condutores de paredes finas com raios - e $ As correntes nos dois cilindros satildeo iguais em magnitude mas com sentidos opostos (a) Use a lei de Ampeacutere para determinar o campo magneacutetico como funccedilatildeo da distacircncia ao eixo do cabo nas regiotildees (0 lt lt -) ( - lt lt $ ) e ( gt $) (b) Mostre que a densidade de energia magneacutetica na regiatildeo entre os cilindros eacute dada por

| = 12 745 i$(5$)-

(c) Mostre que a energia magneacutetica total num volume de cabo com comprimento ~ eacute dada por

Problemas Selecionados

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= i$~ ln LML

(d) Mostre que a autoindutacircncia por unidade de comprimento do cabo eacute dada por

2~ = 725 ln $-

-------------------------------------------------------------------------------------------

(J) Corrente Alternada

J1 ndash A tensatildeo de uma fonte de corrente alternada eacute dada por ∆d = 120gt(30 5c) onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A fonte eacute conectada a um indutor de 05 Determine (a) a frequecircncia da fonte (b) a voltagem rms no indutor (c) a reatacircncia indutiva do circuito (d) a corrente rms no indutor e (e) a corrente maacutexima no indutor

J2 ndash Uma fonte de tensatildeo alternada fornece uma tensatildeo ∆d = 98gt(80 5c) a um capacitor onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A corrente maacutexima no circuito eacute 05 J Determine (a) a tensatildeo rms da fonte (b) a frequecircncia da fonte e (c) o valor da capacitacircncia

J3 ndash Um circuito AC eacute composto por um resistor de 250 Ω um indutor de 15 um capacitor de 35 e uma fonte de tensatildeo alternada com amplitude de 45 S operando com frequecircncia angular = 360 = frasl (a) Qual eacute o fator de potecircncia do circuito (b) Determine a potecircncia meacutedia aparente (S) fornecida ao circuito (c) Qual eacute a potecircncia meacutedia ativa (P) dissipada no resistor Qual eacute a potecircncia meacutedia reativa (Q) que fica armazenada no circuito

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J4 ndash Cinco voltiacutemetros com impedacircncia muito grande ajustados para ler valores rms estatildeo conectados conforme a figura ao lado Sendo F =200 Ω 2 = 04 H D = 6 e ∆S = 30 Vqual eacute a leitura da tensatildeo em cada voltiacutemetro se (a) = 200 = frasl e (b) =1000 = frasl

J5 ndash Num circuito RLC 2 = 028 e D = 4 A fonte fornece uma voltagem com amplitude de 120 S Qual eacute a frequecircncia angular de ressonacircncia do circuito (b) Quando a fonte opera na frequecircncia angular de ressonacircncia a amplitude da corrente no circuito eacute 17 J Qual a resistecircncia do resistor (c) Na frequecircncia angular de ressonacircncia quais satildeo as voltagens de pico no indutor capacitor e resistor

J6 ndash O circuito ao lado conteacutem uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal conforme ℇ = ℇgt(c) No estado de equiliacutebrio temos as correntes mostradas no circuito Sem recorrer a uma matemaacutetica complicada responda (a) Quais os valores de u e quando = 0 (frequecircncia zero significa que

a fonte foi substituida por uma bateria ideal) (b) Quais os valores de u e quando rarr infin (c) Qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia

Problemas Selecionados

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J7 ndash Um indutor um capacitor e um resistor estatildeo conectados em seacuterie a uma fonte de tensatildeo alternada Se os valores da resistecircncia capacitacircncia e indutacircncia forem duplicados o que aconteceraacute com (a) a frequecircncia angular de ressonacircncia (b) a reatacircncia indutiva (c) a reatacircncia capacitiva e (d) a impedacircncia

J8 ndash O circuito abaixo eacute formado por uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal variando conforme ℇ = ℇgt(c) uma resistecircncia F = 6 Ω e uma parte desconhecida que pode conter um indutor um capacitor ou ambos A amplitude da fonte eacute ℇ = 6 S Quando a frequecircncia angular = 2 = a corrente estaacute em fase com a fonte enquanto que para = 1 = a corrente estaacute fora de fase em relaccedilatildeo agrave fonte por exatamente 5 4frasl (a) Quais componentes estatildeo presentes na parte desconhecida (um indutor um capacitor ou ambos) Explique (b) Determine os valores dos componentes desconhecidos

J9 ndash Um circuito em seacuterie possui impendecircncia de 60 Ω e fator de potecircncia igual a 072 em 50 A tensatildeo da fonte estaacute atrasada em relaccedilatildeo agrave corrente (a) Que elemento do circuito (um indutor ou um capacitor) deve ser ligado em seacuterie com o circuito para aumentar o fator de potecircncia (b) Qual deve ser o valor desse elemento para que o fator de potecircncia seja igual a 1 (c) Apresente diagramas de fasores esquemaacuteticos para o circuito antes e depois da ligaccedilatildeo do novo elemento

Manual de Laboratoacuterio

Manual de Laboratoacuterio

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O PROCESSO DE MEDIDA NO LABORATOacuteRIO DE FIacuteSICA

Natildeo satildeo raros eventos em que nos valemos de medidas para tomarmos decisotildees Medimos nossa temperatura corporal para avaliarmos se necessitamos de tratamento Medimos a pressatildeo manomeacutetrica dos pneus para avaliarmos se precisamos injetar ou retirar ar neles Consultamos medidas da temperatura ambiente para escolhermos a roupa que vestiremos Consultamos o horaacuterio (medida de tempo) para natildeo chegarmos atrasados em encontros Medidas satildeo portanto fundamentais em nossas vidas No entanto usualmente natildeo nos preocupamos muito com a precisatildeo dessas medidas Em grande parte das vezes natildeo nos interessa saber se o horaacuterio informado no reloacutegio estaacute um pouco atrasado ou adiantado Natildeo nos preocupamos em saber o quanto podemos confiar nas temperaturas coletadas com um determinado termocircmetro Nossas medidas comumente satildeo realizadas de forma despretensiosa sem muito rigor

No laboratoacuterio de Fiacutesica isso ocorre de modo muito diferente Os processos de mediccedilatildeo satildeo mais minuciosos do que os que realizamos costumeiramente Desejamos obter a maior precisatildeo possiacutevel com os equipamentos de que dispomos Mas como fazer isso Como podemos melhorar a precisatildeo dos processos de mediccedilatildeo Intuitivamente podemos concluir que inferecircncias realizadas a partir de um conjunto de medidas satildeo mais precisas do que medidas isoladas Mas quando disponho de um conjunto de medidas como posso analisaacute-las Calcular a meacutedia delas eacute suficiente Responder a questotildees como essas eacute o objetivo desta atividade Para exemplificarmos todo esse processo realizaremos um debate sobre a mediccedilatildeo da resistecircncia interna de amperiacutemetros

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O que satildeo amperiacutemetros

Um amperiacutemetro eacute um instrumento utilizado para a realizaccedilatildeo de medidas de correntes eleacutetricas Evidentemente natildeo queremos modificar os circuitos quando os exploramos com um instrumento Com amperiacutemetros natildeo eacute diferente Queremos medir correntes eleacutetricas sem alterar as caracteriacutesticas do circuito Mas como eacute possiacutevel fazer isso Natildeo discutiremos aqui os detalhes sobre o funcionamento interno de um amperiacutemetro No entanto vamos avaliaacute-los do ponto de vista de uma das suas caracteriacutesticas mais importantes a sua resistecircncia eleacutetrica

A resistecircncia eleacutetrica de um circuito influencia na intensidade da corrente eleacutetrica que circula nele A corrente eleacutetrica i que perpassa por uma resistecircncia eleacutetrica F submetida a uma tensatildeo ∆S por exemplo pode ser predita pela seguinte relaccedilatildeo

i = ∆u Eq 1

O amperiacutemetro precisa ser posicionado em seacuterie no circuito em que se deseja medir a corrente eleacutetrica como eacute exemplificado na figura

Figure 1- Medindo a resistecircncia interna de um multiacutemetro

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1 Como a resistecircncia equivalente em circuitos em seacuteries eacute a soma da resistecircncia eleacutetrica de cada um dos seus componentes a resistecircncia interna dos amperiacutemetros se soma agrave resistecircncia equivalente do circuito investigado alterando a sua dinacircmica Por isso nosso desejo eacute que os amperiacutemetros tenham resistecircncia eleacutetrica nula No entanto a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro real por menor que seja nunca eacute nula Eles possuem um circuito interno com fios e diversos componentes eletrocircnicos que acabam provocando uma resistecircncia agrave circulaccedilatildeo de corrente eleacutetrica Ainda assim frequentemente desprezamos tal resistecircncia Seraacute que isso eacute razoaacutevel Quando podemos desprezar a resistecircncia interna dos amperiacutemetros e quando natildeo podemos Para respondermos tais perguntas precisamos conhecer o valor da resistecircncia interna tiacutepica de um amperiacutemetro

Medindo a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro

Nesta disciplina usaremos diversos amperiacutemetros de uma mesma marca e modelo em uma seacuterie de experimentos (Minipa ET-2075B) Por isso eacute interessante que conheccedilamos a resistecircncia eleacutetrica deles para podermos avaliar quando podemos desprezaacute-la e quando natildeo Mas como podemos obter essa informaccedilatildeo Podemos medi-la Um procedimento simples para isso eacute submeter o amperiacutemetro a uma diferenccedila de potencial ΔV conhecida e medir a corrente eleacutetrica i que passa por ele Desse modo podemos usar a Eq 1 para inferir a resistecircncia eleacutetrica do equipamento Mas podemos confiar em uma uacutenica medida Depende da precisatildeo de que necessitamos para essa medida Intuitivamente sabemos que se medirmos a resistecircncia interna a partir de um conjunto de dados poderemos ter uma maior confiabilidade nos dados No exemplo de que estamos tratando eacute possiacutevel se coletar dados da corrente no amperiacutemetro quando submetido a diferentes tensotildees Desse modo pode-se inferir a resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro pela declividade da reta constituiacuteda

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pelos dados representados em um graacutefico da tensatildeo em funccedilatildeo da corrente eleacutetrica como pode ser constatado da Eq1 No entanto como temos incertezas associadas a cada dado experimental coletado esses dados natildeo seratildeo perfeitamente representados por uma reta Surge entatildeo uma nova questatildeo qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados

Ajuste de Curvas

Diversas retas podem ser ajustadas a um conjunto de dados experimental Qual delas utilizar Intuitivamente podemos conjecturar que a melhor reta a ser utilizada eacute aquela tal que a soma das diferenccedilas entre os valores de tensatildeo medidos e os preditos pela reta tenha o menor valor possiacutevel Em outras palavras queremos minimizar a soma

sum = = (∆Sz minus ∆S)z-

onde ∆Sz satildeo as tensotildees medidas e ∆S satildeo as tensotildees preditas pela reta ajustada

No entanto haacute um inconveniente importante no uso desse criteacuterio tal soma pode ser bem pequena para retas que natildeo apresentam bom ajuste aos dados se as diferenccedilas entre os valores medidos e os preditos se cancelarem sendo alguns positivos e outros negativos Nesses casos apesar de natildeo termos uma reta bem ajustada aos dados o criteacuterio utilizado

indicaria que sim Como resolver isso Elevando os valores de dn ao

Figura 1 - Diferenccedila de potencial em funccedilatildeo

da corrente

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quadrado Ou seja podemos procurar a reta tal que a seguinte soma tenha o menor valor possiacutevel

sum =$ = (∆Sz minus ∆S)$z-

O meacutetodo que utiliza esse criteacuterio para a realizaccedilatildeo de ajustes de curvas que eacute amplamente utilizado no meio acadecircmico eacute denominado Meacutetodo dos Miacutenimos Quadrados Todos os softwares do tipo planilha eletrocircnica realizam esse caacutelculo automaticamente e nos valeremos disso quando necessaacuterio

Todos os amperiacutemetros da sala possuem a mesma resistecircncia interna

Ainda que todos os amperiacutemetros que utilizaremos nas nossas aulas sejam da mesma marca e modelo eles possuem diferentes resistecircncias internas Existe alguma forma de estimar a resistecircncia interna de um desses amperiacutemetros escolhido aleatoriamente Calcular a meacutedia das resistecircncias eacute suficiente para realizar essa estimativa

Variabilidade das medidas o desvio padratildeo amostral e da meacutedia

Apesar de as resistecircncias dos amperiacutemetros natildeo serem exatamente as mesmas elas possuem valores que se distribuem em torno de um valor meacutedio que eacute igual agrave meacutedia dessas resistecircncias Desse modo se tomarmos um dos amperiacutemetros aleatoriamente o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute igual agrave meacutedia das resistecircncias internas de todos os amperiacutemetros Mas quanto podemos confiar nessa estimativa Para respondermos tal pergunta eacute importante quantificarmos a variabilidade das resistecircncias r que medimos Quanto menor for essa variabilidade maior seraacute a nossa confianccedila para assumir que a resistecircncia interna de um amperiacutemetro particular eacute igual agrave meacutedia Intuitivamente podemos conjecturar que tal variabilidade pode ser medida pelo somatoacuterio das diferenccedilas entre as resistecircncias

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medidas z e a meacutedia dessas resistecircncias ou seja por (- minus ) + ($ minus ) + ⋯ + ( minus ) onde N eacute o nuacutemero de medidas realizadas No entanto temos aqui um inconveniente semelhante ao que tivemos quando analisaacutevamos ajustes de curvas se valores positivos e negativos se cancelarem esse somatoacuterio pode ser muito pequeno mesmo quando os dados apresentam grande variabilidade Podemos propor a mesma soluccedilatildeo adotada anteriormente vamos elevar os termos ao quadrado Temos entatildeo a variabilidade dos dados sendo mensurada por (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$

A impossibilidade de comparaccedilatildeo entre as variabilidades de diferentes conjuntos de dados eacute a limitaccedilatildeo desta proposta pois o resultado desse somatoacuterio eacute altamente dependente da quantidade de termos Desse modo eacute possiacutevel que esse somatoacuterio seja maior para grandes conjuntos com pouca variabilidade do que para pequenos grupos com grande variabilidade Para amenizar tal limitaccedilatildeo podemos entatildeo dividir o somatoacuterio por N ou seja calcular a variabilidade por(- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$ Hfrasl Ainda que esse somatoacuterio seja conceitualmente interessante natildeo eacute essa a medida de dispersatildeo de dados que costuma ser utilizada no meio cientiacutefico mas algo que guarda alguma semelhanccedila com ele o desvio padratildeo dos dados (P) Ele eacute calculado por

PL = (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$H minus 1

Mas por que utilizamos essa equaccedilatildeo A resposta estaacute em suas propriedades Quando construiacutemos um histograma (graacutefico de frequecircncias) de um conjunto de medidas por exemplo podemos em muitos casos assumir que a distribuiccedilatildeo desses dados eacute representada por uma distribuiccedilatildeo normal A equaccedilatildeo que define essa distribuiccedilatildeo assim como sua representaccedilatildeo graacutefica eacute ilustrada na Figura 3

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Natildeo eacute nosso objetivo aqui discutir detalhes da distribuiccedilatildeo normal O que desejamos destacar eacute que quando supomos que a distribuiccedilatildeo de um conjunto de dados eacute normal o que eacute bastante razoaacutevel na maioria das vezes o desvio padratildeo σ quantifica como os dados estatildeo distribuiacutedos Para entendermos isso analisemos a Figura 4

O intervalo compreendido pela meacutedia das medidas mais ou menos um desvio padratildeo compreende 68 das medidas realizadas No caso que estamos exemplificando se tomarmos a meacutedia das resistecircncias internas r de todos os amperiacutemetros investigados e o desvio padratildeo PL desses dados 68 das medidas estaratildeo no intervalo entre ( minus PL) e ( + PL) 95 no intervalo ( 2PL) e 99 no intervalo ( 257PL)

Figura 2 - A distribuiccedilatildeo normal eacute usualmente utilizada para representar a distribuiccedilatildeo

de frequecircncias de um conjunto de dados (Lima Jr et al 2013 p 30)

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Agora jaacute sabemos como quantificar a variabilidade de um conjunto de dados Podemos entatildeo calcular a meacutedia e o desvio padratildeo das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros Mas surge entatildeo uma questatildeo Se analisaacutessemos um novo conjunto de amperiacutemetros da mesma marca e modelo dos exemplificados aqui a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros seria a mesma Provavelmente natildeo Temos como estimar a partir do conjunto de medidas que realizamos a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros Temos Para responder a essa questatildeo temos que compreender um novo conceito o de desvio padratildeo da meacutedia (PL) Ele eacute calculado por

PL = PLradicH

Natildeo vamos entrar em detalhes aqui sobre a origem do conceito de desvio padratildeo da meacutedia1 vamos apenas explicar como essa grandeza nos permite estimar a incerteza na meacutedia de um conjunto de medidas Para isso vamos supor um novo conjunto de N novas

1 Se vocecirc eacute um aluno curioso pesquise sobre o Teorema Central do Limite para compreender com mais profundidade o conceito de desvio padratildeo da meacutedia

Figura 3 - A meacutedia e o desvio padratildeo demarcam a distribuiccedilatildeo dos dados em uma

distribuiccedilatildeo normal Na figura o eixo das abcissas expressa a distacircncia da meacutedia em

unidades de desvio padratildeo (Lima Jr et al 2013 p 30)

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medidas da resistecircncia interna de amperiacutemetros como os investigados nesta aula Qual seria a meacutedia dessas medidas Assim como o desvio padratildeo dos dados quantifica a dispersatildeo dos dados em torno da meacutedia o desvio padratildeo da meacutedia quantifica a dispersatildeo das meacutedias de subconjuntos de dados em torno da meacutedia de todo o conjunto de dados Aplicando esse conceito ao nosso exemplo podemos interpretar os dois conjuntos de medidas de resistecircncias internas como subconjuntos de um grande conjunto contendo todas as medidas Desse modo podemos afirmar com 68 de confianccedila que a meacutedia das N novas medidas a serem realizadas estaraacute no intervalo compreendido por ( PL) com 95 de confianccedila no intervalo ( 2PL) e com 99 de confianccedila no intervalo ( 257PL) O desvio padratildeo da meacutedia pode ser compreendido assim como a incerteza da meacutedia de um conjunto de medidas ou seja ele nos fornece uma estimativa da confiabilidade de uma meacutedia Em suma se escolhermos um amperiacutemetro aleatoriamente podemos dizer que i) o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute a meacutedia das resistecircncias de todos os amperiacutemetros e ii) a incerteza que temos nesse valor eacute igual ao desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias dos amperiacutemetros

E se eu soacute tivesse condiccedilotildees de realizar uma uacutenica medida

Nem sempre podemos realizar diversas medidas de uma grandeza Em alguns casos nem mesmo faz sentido realizar diversas medidas No entanto eacute evidente que existe uma incerteza associada a uma uacutenica medida Natildeo existem instrumentos que sejam perfeitamente precisos Entatildeo como podemos estimar essa incerteza Usualmente os manuais dos instrumentos trazem informaccedilotildees sobre isso Desse modo as incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica realizadas com um voltiacutemetro e um amperiacutemetro podem ser consultadas no manual do multiacutemetro utilizado Mas como eacute calculada a incerteza da resistecircncia interna de um amperiacutemetro que foi calculada a partir de

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apenas uma medida de tensatildeo e uma de corrente eleacutetrica Nesse caso precisamos calcular a incerteza propagada das incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica

Os meacutetodos de caacutelculo de incertezas propagadas podem ser bastante complicados Aqui trataremos de um meacutetodo bastante simples usualmente denominado de Meacutetodo dos Limites Vamos exemplificaacute-lo supondo que a incerteza da tensatildeo sobre as entradas do amperiacutemetro eacute P- e da corrente eleacutetrica que circula por ele eacute P$ Ou seja a tensatildeo medida estaacute no intervalo entre ∆S minus P- e ∆S + P- e a corrente eleacutetrica entre i minus P$ e i + P$ Qual eacute entatildeo a incerteza da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro investigado Para responder isso basta calcularmos os valores limites dessa grandeza O maacuteximo valor possiacutevel para a resistecircncia ocorreraacute se a tensatildeo for ∆S + P- e a corrente eleacutetrica for i minus P$ Nesse caso usando a Eq 1 temos

aacutee = ∆S + P-i minus P$

Usando o mesmo raciociacutenio o valor miacutenimo de r seraacute

z = ∆S minus P-i + P$

Desse modo podemos dizer que o valor da resistecircncia interna medida estaacute no intervalo entre rmaacutex e rmiacuten Em outras palavras o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro eacute

F = iexclz + aacutee2 z minus aacutee2 cent

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Erro eacute a mesma coisa que incerteza

Apesar de serem frequentemente utilizados como sinocircnimos os manuais de metrologia atribuem significados distintos aos conceitos de ldquoerrordquo e ldquoincertezardquo O Guia para Expressatildeo da Incerteza da Mediccedilatildeo (Joint Commitee for Guide in Metrology 2008 apud Lima Jr et al 2013) usa o termo ldquoerrordquo para indicar a diferenccedila entre o valor verdadeiro e o resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo o conceito de erro tem uso restrito pois satildeo poucos os casos em que conhecemos o valor verdadeiro de uma grandeza Satildeo exemplos desses casos experimentos em que se deseja mensurar a velocidade da luz no vaacutecuo ou o valor de π que satildeo valores previamente conhecidos pelo experimentador O caacutelculo do erro soacute faz sentido para casos em que sabemos o valor verdadeiro da grandeza que se quer medir

A incerteza por outro lado eacute entendida como uma estimativa que quantifica a confiabilidade do resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo quando calculamos o desvio padratildeo da meacutedia de um conjunto de medidas estamos calculando a incerteza da meacutedia dessas medidas ou seja estamos avaliando a confianccedila que podemos ter em adotar a meacutedia dessas medidas como o valor da grandeza mensurada O conceito de incerteza portanto tem maior aplicabilidade do que o conceito de erro

Algarismos significativos e incerteza

Uma questatildeo frequente nas aulas de laboratoacuterio eacute Com quantos algarismos uma grandeza deve ser apresentada No laboratoacuterio a resposta dessa questatildeo eacute uma funccedilatildeo da incerteza da grandeza Devemos apresentar os dados ateacute o seu primeiro algarismo duvidoso Voltemos ao exemplo da resistecircncia interna dos amperiacutemetros Suponhamos que a meacutedia das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros eacute 21546 Ω e o desvio padratildeo dessa meacutedia que eacute

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entendido aqui como a incerteza da resistecircncia interna dos amperiacutemetros eacute 003 Ω Interpretando tais dados assumimos com 68 de certeza que a resistecircncia interna dos amperiacutemetros estaacute no intervalo entre 21246 e 21846 Ω Desse modo a segunda casa decimal da grandeza medida eacute duvidosa Por isso os algarismos subsequentes satildeo omitidos quando expressamos essa medida e a medida da resistecircncia interna dos amperiacutemetros exemplificados eacute exposta por (215 plusmn 003) Ω Em suma o resultado de uma mediccedilatildeo deve ser sempre expresso com a mesma quantidade de casas decimais que sua incerteza Os algarismos apresentados satildeo entatildeo chamados de algarismos significativos

Referecircncia

Lima Jr P Silva M T X Silveira F L Veit E A (2013) Laboratoacuterio de mecacircnica subsiacutedios para o ensino de Fiacutesica experimental Porto Alegre UFRGS Instituto de Fiacutesica Disponiacutevel em httphdlhandlenet1018390438

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Atividade de Laboratoacuterio I Instrumentos de medida e incertezas

Este material foi cuidadosamente preparado para auxiliar no andamento das atividades no laboratoacuterio de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo Eacute importante responder TODAS as perguntas

(indicadas pelo siacutembolo ) feitas ao longo do texto discutindo com seu grupo possiacuteveis respostas e justificando-as Sempre que possiacutevel faccedila isso por escrito

TAREFA 1

Construa um circuito contendo um resistor de 1 kΩ em seacuterie com uma fonte de tensatildeo contiacutenua e um multiacutemetro Coloque o multiacutemetro na funccedilatildeo amperiacutemetro na escala de miliampere Usando outro multiacutemetro meccedila a tensatildeo no amperiacutemetro Realize medidas com diferentes correntes eleacutetricas variando a tensatildeo de saiacuteda da fonte

Como podemos tratar esses dados se nosso objetivo eacute medir a resistecircncia interna do amperiacutemetro

Qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados

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Para responder essas questotildees se dirija a um dos computadores da sala e use um aplicativo que possibilite a construccedilatildeo de graacuteficos SciDavis por exemplo Insira seus dados no aplicativo construa o graacutefico desejado e encontre a melhor reta que se ajusta aos dados

Qual foi a melhor reta ajustada Determine a equaccedilatildeo dessa reta ajustada

Qual eacute o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro que vocecirc investigou

TAREFA 2

Utilize as medidas de todos os grupos da turma e aplique os conhecimentos abordados na tarefa de leitura para responder as seguintes questotildees

Qual deve ser a resistecircncia interna de um amperiacutemetro escolhido aleatoriamente entre os utilizados nesta aula

Qual eacute a incerteza desse valor

TAREFA 3

Suponha que o manual do Minipa ET-2075B informe que as medidas de tensatildeo e corrente realizadas nas faixas de milivolt e miliampere tecircm incerteza de 3 Use esses dados para calcular a

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incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1

Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma

Elas satildeo coerentes Por quecirc

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CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO

Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por

equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC

Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras

O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se

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extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo

No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador

Salvando vidas

ldquoafastem-se choquerdquo

Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de

sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos

O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo

Figura 4 - Desfibrilador

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esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)

Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma

sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o

miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia

Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2

2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387

Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)

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Circuito RC - seacuterie

Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C

Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que

∆S(c) + i(c)F = 0

Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo

i(c) = =C(c)=c

e a ddp no capacitor eacute dada por

∆S(c) = C(c)D

Dessa forma podemos dizer que

=C(c)=c = minus 1FD C(c)

Figura 6 - Circuito RC

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa

funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja

derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever

C(c) = C7 ou

A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial

Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir

Capacitor Carregando Capacitor Descarregando

∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0

C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou

∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou

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Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8

Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo

eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum

3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78

Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas

do capacitor durante o processo de

carga ou descarga

Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um

graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo

do tempo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no

capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte

Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor

quando o mesmo estaacute sendo carregado

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Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie

1 - Osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos

2 ndash Aparato Experimental

Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto

Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)

Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio

Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees

Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala

Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)

Manual de Laboratoacuterio

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TAREFA 1

Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees

Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico

Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito

Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito

Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos

Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio

TAREFA 2

Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie

Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)

Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados

Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo

NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo

Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste

Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito

Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito

Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles

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MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS

Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais

Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio

Para onde aponta a buacutessola

Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos

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polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc

E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial

tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos

que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a

soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio

4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja

httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4

Figura 10 - Buacutessola

Figura 11 - campo B resultante

Manual de Laboratoacuterio

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Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por

umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O

Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde

Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde

Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma

iacuteatilde() = ∙

onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde

5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass

The Physics Teacher 49(1) 45-48

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Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como

iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2

Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos

gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)

Logo

gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2

Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo

iacuteatilde() = amp

Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse

tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira

na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart

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pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do

que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute

yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp

onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico

da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos

yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp

Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3

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Atividade de Laboratoacuterio III Projeto

OBJETIVO

Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio

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SUGESTAtildeO 1

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO

Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas

Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece

Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha

Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo

por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o

eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte

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SUGESTAtildeO 2

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA

Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)

Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica

Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de

uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)

Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema

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SUGESTAtildeO 3

BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO

Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola

Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)

Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina

O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados

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SUGESTAtildeO 4

CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO

O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer

Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio

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MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO

Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro

Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental

6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089

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110 V 127 V e 220 V O que eacute isso

As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V

Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas

A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

(c) = Jgt(c + acute)

onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por

∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)

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onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1

Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho

Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores

Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No

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caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por

∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf

∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712

∆Suparamiddot = ∆S7radic2

Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a

tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s

A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente

alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$

Figura 13 - Funccedilotildees seno e

seno quadrado

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COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA

Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz

Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O

Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio

Natildeo queremos jogar energia fora

Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14

Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie

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Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por

0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)

onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)

Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

ℇ(c) = ℇ7gt(c)

onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente

Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na

figura 16 para um caso em que VL gt VC

Figura 15 - Diagrama de fasores

de um circuito RLC seacuterie com

fonte de tensatildeo alternada

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

84

A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que

acute = c8 S minus SSu

Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado

por

i(c) = gt(c minus acute)

Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente

as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que

ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$

ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$

Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como

0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)

Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que

0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$

Figura 16 ndash Soma de fasores

Manual de Laboratoacuterio

85

0eacutey = F ∙ uparamiddot$

onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square

Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que

F = frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte

Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade

7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL

Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e

resistecircncia num diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

86

do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como

0 = AJradicAJ$ + AF$

O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP

DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11

Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia

Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por

acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita

Manual de Laboratoacuterio

87

2 = 1D

Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica

Figura 18 - diagramas de fasores representando

um circuito capacitivo e um circuito indutivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

88

Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie

O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio

TAREFA 1

Circuito Resistivo

Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR

Manual de Laboratoacuterio

89

Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)

O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador

Circuito Capacitivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

90

Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor

Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Manual de Laboratoacuterio

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Circuito Indutivo

Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor

O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

92

Circuito RLC

Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise

Manual de Laboratoacuterio

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O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador

Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio

O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior

Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor

Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou

A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

94

TAREFA 2

Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente

Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir

Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima

Qual o valor da corrente maacutexima no circuito

Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)

O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique

Manual de Laboratoacuterio

95

TAREFA 3

Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito

Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees

Como isso eacute possiacutevel Explique

Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff

Respostas

96

Respostas

A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32

A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH

A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH

B3 Ae = Af = AtildeAcircf

B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl

B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH

B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l

B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD

B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -

C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc

(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7

C2 O = ~13deg

C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)

Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-

vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr

Respostas

97

C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM

C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD

(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD

C6 A = Eacute$Acirc

C7 A = Atilde$AcircL

D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma

das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp

D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(

D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1

no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)

D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme

D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D

E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)

E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D

E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml

F1 544 times 10

F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S

F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM

u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM

u (e) 0 = ℇMu

F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω

Respostas

98

F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965

G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n

G5 i = Ograve$g = 245 J

G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y

G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez

G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H

G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)

G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)

G15 (a) zL$brvbarM (b)

z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero

G16 z$L + z$L = z$L - + 1

G17 (a) pLM

amp (b) pusup3

ampL

G18 zzMu

G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)

z

G20 zNu saindo da folha

G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)

UgraveLMamp

fora do fio (a) z$L (b)

UgravebrvbarM$L (c)

Ugravebrvbarsup3ampL

G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13

G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM

ampu

H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior

Respostas

99

H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a

H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J

I2 Φ = pound$ sup1amp

I4 C = AcircsM

I6 (a) zM

NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar

J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a

(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S

J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu

(c) = -radic

J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm

(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013

Respostas

100

Bibliografia

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Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm

Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il

Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il

Page 5: Prof a. Raquel Giulian Prof. Leonardo Albuquerque ... · 3ª semana: Lei de Gauss (fluxo elétrico, campo elétrico ... Aula de problemas e PROVA II 10º e 11ª semanas: Campo Magnético

Conteuacutedo Programaacutetico

9

18ordf semana Aula de problemas e PROVA IV

19ordf semana Divulgaccedilatildeo dos resultados

20ordf semana RECUPERACcedilAtildeO OU EXAME

Problemas Selecionados

Problemas Selecionados

11

(A) Carga Eleacutetrica

A1 ndash Se vocecirc grudar um pedaccedilo de fita adesiva na mesa e desgrudaacute-lo puxando rapidamente uma das pontas a fita ficaraacute carregada eletricamente Supondo que a fita adesiva tenha 20 de comprimento e 1 de largura e que ao fazer isso vocecirc consiga arrancar 1 eleacutetron de cada aacutetomo da superfiacutecie da fita qual seraacute a carga eleacutetrica total da fita (por simplicidade considere o raio atocircmico = 1 Å)

A2 ndash Repetindo o mesmo procedimento com outro pedaccedilo idecircntico de fita adesiva e aproximando os dois pedaccedilos a uma distacircncia de 5 qual seraacute a forccedila eleacutetrica entre eles

A3 ndash Quatro partiacuteculas carregadas estatildeo dispostas no plano XY sendo = langminus3 0 0rang $ = lang 0 0rang amp = lang0 2 0rang e = lang0 minus2 0rang as distacircncias das cargas ateacute a origem A carga da partiacutecula 2 eacute ($ = 80 times 10-C a carga das partiacuteculas 3 e 4 eacute (amp = ( = minus1 6 times 10-C Qual deve ser a distacircncia para que seja nula a forccedila resultante sobre a partiacutecula 1

A4 ndash O dado mostrado na figura ao lado possui lado = 15 Qual a forccedila (vetor) exercida sobre a partiacutecula indicada pela seta devido agrave presenccedila das demais cargas Use notaccedilatildeo vetorial para indicar sua resposta (Dica defina a origem dos eixos cartesianos no veacutertice que estaacute escondido com o eixo z para cima Calcule as componentes da forccedila nas

direccedilotildees e separadamente soacute entatildeo some as componentes que estatildeo na mesma direccedilatildeo)

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

12

A5 ndash Trecircs partiacuteculas carregadas estatildeo dispostas num plano XY a

partiacutecula 1 na posiccedilatildeo 0- = lang0 15 0rang a partiacutecula 2 na posiccedilatildeo 0$ = lang0 minus15 0rang e a partiacutecula 3 na posiccedilatildeo 0amp = lang 0 0rang com liberdade para se mover no eixo (- = ($ = 32 times 10-C (amp = minus64 times 10-C pode variar de 0 a 5 Qual o valor de para que a forccedila exercida sobre a partiacutecula 3 (pelas demais cargas) seja (a) miacutenima e (b) maacutexima Quais satildeo os valores (c) miacutenimo e (d) maacuteximo do moacutedulo da forccedila

A6 ndash A figura ao lado mostra duas esferas condutoras de mesma massa e mesma carga ( suspensas por fios isolantes de comprimento 2 Mostre que para 2 ≫ as esferas estaratildeo em equiliacutebrio quando a distacircncia entre elas for igual a

= 4 ($2256789- ampfrasl

A7 ndash A forccedila gravitacional entre duas massas pontuais eacute muito similar matematicamente agrave forccedila eletrostaacutetica entre duas cargas pontuais A intensidade dessas forccedilas no entanto eacute extremamente diferente Para ilustrar isso considere a seguinte situaccedilatildeo Em algum lugar do espaccedilo existem duas esferas idecircnticas de poeira 50 de diacircmetro e densidade 25 8amp separadas por uma distacircncia = Se os gratildeos satildeo eletricamente neutros e estatildeo inicialmente em repouso eles iratildeo colidir devido agrave atraccedilatildeo gravitacional Agora suponha que ambos estatildeo eletricamente carregados cada um tendo um nuacutemero gt de eleacutetrons extra Encontre o menor valor de gt que iraacute evitar a colisatildeo (Considere = 667 times 10-- amp8-$)

Problemas Selecionados

13

(B) Campo Eleacutetrico

B1 ndash Um iacuteon de Fe3+ estaacute localizado a 400 gt de um iacuteon de Cl- como mostra a figura ao lado (a) Qual a magnitude direccedilatildeo e sentido do campo

eleacutetrico A na posiccedilatildeo A (b) E na posiccedilatildeo B (c) Se um eleacutetron estiver na posiccedilatildeo A qual seraacute a magnitude e direccedilatildeo da forccedila sobre o eleacutetron

B2 ndash Um quadrupolo eleacutetrico eacute formado por um conjunto de dois dipolos como mostra a figura ao lado Mostre que para ≫ = a magnitude do

campo A num ponto ao longo do eixo dos quadrupolos eacute dado por

A = 6(=$4567

B3 ndash Uma barra muito longa com densidade de carga B estaacute disposta conforme a figura ao lado (Alguns autores chamam esse tipo de barra de semi-infinita pois o ponto P estaacute proacuteximo a uma das extremidades da barra enquanto a outra extremidade estaacute muito distante) Mostre

que o campo eleacutetrico A no ponto P faz um acircngulo de 45deg com a barra independente da distacircncia Y (isto eacute as componentes x e y do campo tem a mesma magnitude)

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

14

B4 ndash Calcule o campo A proacuteximo a uma barra carregada com carga total Q e comprimento As cargas estatildeo distribuiacutedas de forma uniforme ao longo da barra = 015 C = 8 gtD e E = 5

B5 ndash A figura ao lado mostra um anel incompleto de raio F carregado com carga total C Qual a forccedila (vetor) exercida sobre um eleacutetron que por ventura esteja localizado no ponto 0

B6 ndash Um dipolo cujo momento dipolar eacute G = lang37 50 0rang D

encontra-se numa regiatildeo onde o campo A = lang3000 0 0rang H Dfrasl Qual a energia potencial do dipolo Qual o torque que age sobre o dipolo Qual eacute o trabalho que um agente externo deve realizar para girar o dipolo ateacute que seu momento dipolar seja G = langminus50 37 0rang D

B7 ndash Calcule a magnitude direccedilatildeo

e sentido do campo A no centro de um anel de raio F carregado sendo que a distribuiccedilatildeo de cargas no anel varia como B(I) = B7 gt I

Problemas Selecionados

15

B8 ndash Duas barras isolantes de 15 de comprimento encontram-se em um acircngulo reto Uma barra possui 30 D e a outra possui minus30 D de carga uniformemente distribuiacuteda ao longo do comprimento conforme a figura ao lado Determine o campo eleacutetrico (vetor) no ponto P que estaacute a = = 750 do centro de cada barra

B9 ndash Duas barras curvas isolantes com cargas opostas de igual magnitude ( formam um ciacuterculo de raio F no plano xy conforme a figura As cargas estatildeo uniformemente distribuiacutedas na barra (a) Qual o campo eleacutetrico (vetor) no ponto P (b) Qual a resposta do item (a) se ( = 20 GD e F = 10

B10 ndash Considere um cilindro de comprimento 2 e raio J oco carregado com carga total C Vocecirc estaacute interessado em saber qual eacute

o campo eleacutetrico A ao longo do eixo do cilindro numa de suas extremidades Para isso utilize dois caminhos distintos (a) considerando que o cilindro eacute formado por uma infinidade de barras de espessura infinitesimal todas com comprimento 2 dispostas num ciacuterculo de raio J e (b) considerando que o cilindro eacute formado por uma infinidade de aneacuteis de raio J cujos eixos estatildeo alinhados e juntos formam um cilindro de comprimento 2

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(C) Lei de Gauss

C1 ndash Uma faacutebrica de bolinhas de gude foi atingida por um raio durante uma tempestade O preacutedio foi protegido por um paacutera-raios mas algumas descargas atingiram os equipamentos que fabricavam as bolinhas Resultado eacute que a bolinha que estava na maacutequina ao cair o raio recebeu uma descarga eleacutetrica e as cargas ficaram armazenadas

no interior da bolinha de forma que a densidade de carga K() = K7 -LM

(a) Qual o campo A na superfiacutecie da bolinha que tem raio = 2 (b) E no interior da bolinha 1 abaixo da superfiacutecie (c) Qual o

campo A a 5 da superfiacutecie da bolinha

C2 ndash A figura ao lado mostra uma bolinha com massa 0004 8 e carga 8 times 10N D suspensa por um fio nas proximidades de uma grande placa condutora carregada sendo que a densidade de carga da placa eacuteminus2 times 10 D $frasl Encontre um valor para o acircngulo O

C3 ndash Uma casca ciliacutendrica isolante e muito longa tem raio interno e externo e densidade volumeacutetrica de carga K Um fio tambeacutem muito longo tem densidade linear de carga B e estaacute alinhado com o eixo central da casca Qual o campo eleacutetrico na regiatildeo entre e

Problemas Selecionados

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C4 ndash Uma carga C positiva estaacute no centro de um conjunto de calotas concecircntricas como mostra a figura abaixo O raio das calotas estaacute indicado na figura A mais externa eacute condutora e estaacute carregada com carga C negativa e a calota intermediaacuteria eacute isolante e possui carga liacutequida ( positiva distribuiacuteda de forma uniforme por

todo seu volume Calcule o campo A resultante em cada uma das 5 regiotildees indicadas na figura Indique a localizaccedilatildeo aproximada das cargas induzidas eou em excesso em cada regiatildeo e indique a direccedilatildeo e sentido dos campos eleacutetricos

C5 ndash Uma casca esfeacuterica com densidade volumeacutetrica de carga K = 20 gtDamp tem raio interno = 10 e raio externo = 2 conforme a figura Determine o moacutedulo do campo eleacutetrico para os seguintes raios a partir do centro (a) = 2frasl (b) = 15 (c) = 2

C6 ndash Usando a Lei de Gauss determine o campo eleacutetrico proacuteximo a uma placa muito grande com densidade superficial de carga P

C7 ndash Usando a Lei de Gauss determine o campo eleacutetrico proacuteximo a uma barra muito longa com densidade linear de carga B

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(D) Potencial Eleacutetrico

D1 ndash A figura ao lado mostra um anel incompleto formado por trecircs segmentos de arco com densidade linear de carga constantesB- B$ e Bamp A menor delas tem carga total (- e comprimento de arco 54 As demais estatildeo indicadas na figura Qual o potencial eleacutetrico no centro do anel Qual deve ser a relaccedilatildeo entre as cargas para que o potencial eleacutetrico no centro do anel seja igual a zero

D2 ndash A figura ao lado mostra um dipolo eleacutetrico de momento dipolar |G| = R( Mostre que para ≫ R o potencial eleacutetrico no ponto P eacute dado por

S = 145T7G UO$

Dica quando ≫ R eacute razoaacutevel considerar que V cong $ e minus V cong R UO

D3 ndash Sobre uma mesa de bilhar estatildeo dispostas trecircs bolinhas Uma com carga +C outra com carga ndash C e uma terceira com carga +2C conforme mostra a figura ao lado (a) Qual o potencial no ponto P (b) Se uma quarta bolinha for colocada no centro do quadrado qual deve ser a carga da bolinha para que o potencial no ponto P seja nulo

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D4 ndash Uma esfera oca isolante de raio F e carga C eacute colocada nas proximidades de uma placa muito grande cuja densidade superficial de carga eacute P (uniforme) A distacircncia entre a placa e a superfiacutecie da esfera eacute = Qual a diferenccedila de potencial entre o centro da esfera e a placa Dica calcule a ddp devido a cada objeto separadamente e some os resultados A diferenccedila de potencial entre dois pontos pode ser determinada a partir do campo eleacutetrico

D5 ndash Uma esfera isolante maciccedila possui densidade de carga K() = K7$ onde ρ0 eacute uma constante (a) Qual a diferenccedila de potencial entre os pontos b e c Se a densidade de carga fosse uniforme qual seria a diferenccedila de potencial entre os pontos b e c

D6 ndash Um fio tem densidade linear de carga B uniforme e foi dobrado no formato conforme mostra a figura abaixo Qual o potencial eleacutetrico no ponto P

D7 ndash Considere duas cascas esfeacutericas finas concecircntricas condutoras A casca interna tem raio = 15 e carga 10 gtD A casca externa tem raio = 30 e carga minus15 gtD Forneccedila expressotildees para o campo eleacutetrico e o potencial eleacutetrico para as diferentes regiotildees (a) lt 15 (b) 15 lt lt 30 (c) gt 30 Em todos os casos considere S = 0 em = infin

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(E) Capacitacircncia

E1 ndash Sabendo que cada um dos capacitores no circuito ao lado tem capacitacircncia D = 10 e a diferenccedila de potencial na bateria eacute ΔS = 10 S qual eacute a carga do capacitor 1 E do capacitor 2

E2 ndash Encontre uma expressatildeo para a capacitacircncia dos capacitores abaixo sabendo que a distacircncia entre as placas eacute = a aacuterea das placas eacute 10 = o espaccedilo entre as placas estaacute preenchido por dois ou mais materiais de constantes dieleacutetricas distintas conforme mostra a figura abaixo Analisando cada capacitor separadamente eacute possiacutevel obter a mesma capacitacircncia com uma associaccedilatildeo de capacitores simples (preenchidos por um uacutenico material) Explique

E3 ndash Uma diferenccedila de potencial de 100 S eacute aplicada ao circuito ao lado onde D- = 10 D$ = 5 e Damp = 4 Se o capacitor 3 eacute substituiacutedo por um fio condutor qual eacute o aumento na carga do capacitor 1 Qual eacute o aumento na diferenccedila de potencial entre as placas do capacitor 1

(a) (b) (c)

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E4 ndash No circuito ao lado a diferenccedila de potencial fornecida pela bateria eacute de 20 S Qual a capacitacircncia equivalente do circuito Qual a carga armazenada por essa capacitacircncia equivalente Qual a carga e ddp para os capacitores 1 2 e 3

E5 ndash Na figura ao lado a ddp da bateria eacute 10 S D- = 10 D$ = Damp = 2D- A chave eacute movida para a esquerda e somente depois que o capacitor 1 atingiu o equiliacutebrio a chave eacute movida para a direita Quando o equiliacutebrio eacute novamente atingido qual eacute a carga do capacitor 1

E6 ndash Um capacitor de placas paralelas com aacuterea J e espaccedilamento = eacute preenchido com vidro (6 = 267) Conectado a uma bateria o capacitor acumula carga C (a) Qual a energia armazenada no capacitor (b) Mantendo a bateria conectada a separaccedilatildeo entre as placas eacute aumentada para 2= (veja a figura) Qual a energia armazenada nessa nova situaccedilatildeo

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(F) Corrente e Resistecircncia

F1 ndash A figura ao lado mostra parte de um fio de cobre com diacircmetros =- = 4F e =$ = 8F por onde passa uma corrente uniforme = 4 e a diferenccedila de potencial ao longo desse comprimento eacute20 S O

nuacutemero de portadores de carga por unidade de volume eacute 849 times 10$N amp Qual eacute a velocidade de deriva dos eleacutetrons de conduccedilatildeo na porccedilatildeo do fio com diacircmetro =$

F2 ndash No circuito ao lado qual a magnitude e direccedilatildeo das correntes nos resistores F- F$ e Famp Para isso considere que ℇ- = 6 S ℇ$ = 12 SF- = 100 Ω F$ = 200 Ω Famp = 300 Ω O ciruito estaacute aterrado e nesse ponto S = 0 Qual eacute o potencial eleacutetrico no ponto A

F3 ndash Calcule a potecircncia total dissipada em cada circuito Considere que todas as resistecircncias satildeo iguais e as baterias satildeo ideais Expresse suas respostas em termos de ℇ e F

F4 ndash Se dois fios de mesmo comprimento um de cobre e outro de alumiacutenio apresentam a mesma resistecircncia qual deve ser a razatildeo entre seus raios

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F5 ndash No circuito ao lado a potecircncia dissipada no resistor R eacute 20 a Qual o valor de R Qual a ddp entre os pontos A e B

F6 ndash A corrente medida por um amperiacutemetro A no circuito ao lado eacute a mesma quando ambas as chaves estatildeo abertas ou fechadas Qual o valor da resistecircncia R

F7 ndash Determine o valor da corrente que passa por cada um dos resistores a potecircncia fornecida por cada uma das fontes de tensatildeo e a potecircncia dissipada por cada um dos resistores Faccedila o balanccedilo energeacutetico do circuito

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F8 ndash No circuito ao lado a chave S permanece fechada por um longo tempo e a corrente no circuito atinge um valor constante Considere D- = 3 D$ = 6 F- = 4Ω e F$ = 7Ω A potecircncia dissipada em F$ eacute 24a (a) Determine as cargas em D- e D$ (b) Abrindo a chave S e aguardando um longo tempo qual a mudanccedila observada na carga do capacitor 2

F9 ndash Num circuito RC seacuterie como o da figura ao lado D = 1 F = 2 times 10bΩ e ℇ = 10S Dez segundos depois que a chave foi fechada determine (a) a carga no capacitor (b) a corrente no resistor (c) a taxa com que a energia eacute armazenada no capacitor (d) a taxa com que a bateria fornece energia para o circuito

F10 ndash Um capacitor eacute carregado atraveacutes de um resistor como mostra a figura no problema anterior Mostre que metade da energia fornecida pela bateria aparece como energia interna no resistor e a outra metade como energia eleacutetrica no capacitor

F11 ndash Um capacitor duas fontes ideais dois resistores e uma chave S satildeo mostrados no circuito da figura ao lado Suponha D = 12 ℇ- = 15 S ℇ$ = 30 S F- = 05 Ω e F$ = 08 Ω (a) Se a chave S permanece aberta por um longo tempo qual a carga no capacitor (b) Qual a carga no capacitor se a chave S permanece fechada por um longo tempo

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F12 ndash No circuito ao lado a bateria fornece 10 S o capacitor eacute de 1 e os resistores tecircm as resistecircncias indicadas na figura O circuito estaacute ligado haacute um longo tempo (a) Qual a ddp entre os terminais do capacitor (b) Se a bateria for desconectada quanto tempo levaraacute para que essa ddp atinja um deacutecimo do valor inicial

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(G) Campo Magneacutetico

G1 ndash Um proacuteton atravessa uma regiatildeo de campo magneacutetico uniforme = lang10 20 30rang 13 No tempo c- o proacuteton tem uma velocidade d = langde df 2rang e a forccedila magneacutetica sobre o proacuteton eacute g = lang4 times 10-h minus2 times 10-h 0rang H Nesse instante qual o valor de de e df

G2 ndash Um proacuteton viaja atraveacutes de uma regiatildeo de campo eleacutetrico e

magneacutetico uniformes onde = langminus25 0 0rang 13 Num certo instante a velocidade do proacuteton eacute d = lang0 2000 0rang Qual a forccedila resultante que age sobre o proacuteton se o campo eleacutetrico for

(a) A = lang0 0 4rang S (b) A = lang0 0 minus4rang S ou

(c) A = lang4 0 0rang S

G3 ndash Uma espira retangular de lados e estaacute numa regiatildeo de campo

magneacutetico perpendicular ao plano da espira e eacute percorrida por uma corrente i constante conforme mostra a figura ao lado Determine o torque sobre a espira

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G4 ndash Dois trilhos de metal separados por uma distacircncia = = 256 estatildeo ligados a uma bateria No momento em que uma barra de metal de massa = 241 8 eacute colocada sobre os trilhos (c = 0) ela fecha o circuito e por ela passa uma corrente i = 913 J O conjunto estaacute numa regiatildeo onde existe um campo magneacutetico uniforme = 563 13 Qual a velocidade da barra 611 depois Em que direccedilatildeo ela se move

G5 ndash A figura ao lado mostra um cilindro de madeira de massa = 250 8 e comprimento 2 =10 onde foi enrolado um fio formando uma espira de 10 voltas O cilindro eacute posicionado de forma que o eixo da espira estaacute perpendicular ao plano inclinado (paralelo agrave normal do plano

inclinado) Nessa regiatildeo haacute um campo magneacutetico = lang0 05 0rang 13 Qual deve ser o valor miacutenimo da corrente na espira capaz de manter o cilindro em sua posiccedilatildeo evitando que ele role para baixo

G6 ndash A figura ao lado mostra um iacutematilde e um anel condutor de raio por onde passa uma corrente i Se o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde faz um acircngulo O com a vertical na posiccedilatildeo onde estaacute o anel qual eacute a magnitude e a direccedilatildeo da forccedila resultante sobre o anel

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G7 ndash Uma barra de metal com densidade de massa B (massa por unidade de comprimento) apresenta uma corrente i (saindo da paacutegina) A barra estaacute suspensa por dois fios num campo magneacutetico uniforme vertical como mostra a figura ao lado No equiliacutebrio os fios

fazem um acircngulo O com a vertical Qual a magnitude do campo magneacutetico

G8 ndash Um proacuteton com energia cineacutetica de 6 jS se move no plano da paacutegina e entra numa regiatildeo de campo magneacutetico = 1 13 direcionado para dentro da paacutegina como mostra a figura ao lado

O proacuteton entra na regiatildeo de campo com o vetor velocidade fazendo um acircngulo O- = 35deg com a borda da regiatildeo Qual eacute a distacircncia entre o ponto de entrada e saiacuteda ( na figura) Qual o valor de O$

G9 ndash Considere um eleacutetron orbitando um proacuteton numa trajetoacuteria circular de raio F = 529 times 10-- devido agrave atraccedilatildeo Coulombiana Considere o sistema como se fosse um anel por onde passa uma corrente Qual seraacute o torque resultante quando o sistema for colocado numa regiatildeo de campo magneacutetico = 04 13 perpendicular ao momento magneacutetico do anel

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G10 ndash Um fio por onde passa uma corrente i foi moldado num formato semicircular de raio F e uma reta de comprimento 2F como mostra a figura ao lado Nessa mesma regiatildeo haacute um campo magneacutetico que aponta na direccedilatildeo + (representado pelos pontos azuis na figura ao lado) Mostre que a

forccedila resultante sobre o fio eacute zero

G11 ndash Um condutor ciliacutendrico longo de raio conteacutem duas cavidades cada uma com diacircmetro ao longo de todo o comprimento do fio Uma visatildeo da seccedilatildeo transversal do fio eacute mostrada na figura ao lado Uma corrente i uniforme (considerando a porccedilatildeo soacutelida do material) passa atraveacutes do fio e aponta para fora da paacutegina Determine a magnitude e direccedilatildeo do campo

magneacutetico em funccedilatildeo de 7 i e no ponto P

G12 ndash Dois fios muito longos por onde passa corrente i de mesma magnitude estatildeo moldados conforme a figura ao lado

Mostre que o campo magneacutetico no centro do ciacuterculo de raio R eacute o mesmo que o

campo a uma distacircncia R abaixo de um fio reto muito longo por onde passa uma corrente i

Problemas Selecionados

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G13 ndash Encontre uma expressatildeo para determinar a magnitude do campo magneacutetico no ponto P da figura ao lado Dica considere a origem dos eixos cartesianos no ponto P

G14 ndash A figura ao lado mostra a seccedilatildeo transversal de um condutor oco de raio externo e interno por onde passa uma corrente uniforme i Demonstre que a magnitude do campo magneacutetico () para uma distacircncia lt lt eacute dada por

= 7i25($ minus $) $ minus $

G15 ndash A figura ao lado mostra um cabo coaxial de raios e Correntes opostas de igual magnitude estatildeo distribuiacutedas nos dois condutores Derive uma expressatildeo para calcular o campo magneacutetico () na regiatildeo (a) lt (b) lt lt (c) lt lt e (d) gt

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G16 ndash Um fio condutor por onde passa uma corrente i foi torcido para formar um loop de raio R (no plano da paacutegina) como mostra a figura abaixo Qual a direccedilatildeo do campo magneacutetico no

centro do loop Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico no centro do loop

G17 ndash Uma corrente i passa por um fio condutor ciliacutendrico de raio R como mostra a figura ao lado A densidade de corrente l natildeo eacute uniforme atraveacutes da seccedilatildeo transversal do fio mas obedece agrave funccedilatildeo l = onde eacute uma constante Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico (a) a uma distacircncia - lt F e (b) a uma distacircncia $ gt F(em relaccedilatildeo ao centro do condutor)

G18 ndash Um fio condutor muito longo por onde passa uma corrente i- estaacute parcialmente envolto por um loop por onde passa uma corrente i$ (figura ao lado) O loop fio foi moldado num formato semiciliacutendrico de raio R e o comprimento L O fio condutor passa pelo eixo do loop Calcule a forccedila magneacutetica exercida sobre o loop

G19 ndash Considere um solenoide de comprimento 2 e raio F contendo H voltas de um fio por onde passa uma corrente i (a) Determine uma expressatildeo para

o campo magneacutetico num ponto ao longo do eixo do solenoide do lado de fora do solenoide como funccedilatildeo da distacircncia ateacute uma das pontas (considere = 0 no centro do solenoide e = a distacircncia do centro ateacute o ponto onde estaacute sendo calculado o campo ) (b) Mostre que para

Problemas Selecionados

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valores muito grandes de 2 e = = 0 se aproxima de = 7i H 2frasl para posiccedilotildees ao longo do eixo no interior do solenoide distante das bordas

G20 ndash A figura ao lado mostra um fio moldado para formar duas seccedilotildees retas e um quarto de ciacuterculo por onde passa corrente i Determine o campo magneacutetico (vetor) no ponto P

G21 ndash Um fio ciliacutendrico espesso de raio eacute percorrido por uma corrente i Determine uma expressatildeo para o

campo magneacutetico dentro e fora do fio considerando que (a) a corrente estaacute distribuiacuteda uniformemente sobre a superfiacutecie externa do fio (b) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio com densidade de corrente l constante (c) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio de forma que a densidade de corrente l eacute proporcional agrave distacircncia ateacute o eixo do fio

G22 ndash Considere dois solenoides coaxiais cada um conduzindo uma corrente i em direccedilotildees opostas O solenoide interno de raio possui gt- voltas por unidade de comprimento o

solenoide externo possui raio e gt$ voltas por unidade de

comprimento Determine (a) no interior do conjunto (b) entre eles e (c) fora deles

G23 ndash Um fio condutor longo e reto de raio F conduz uma corrente natildeo uniforme cuja densidade de corrente eacute l = l7 Ffrasl onde l7 eacute uma constante A corrente total eacute i (a) Determine uma expressatildeo para i

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em funccedilatildeo de l7 e F (b) Determine uma expressatildeo para o campo magneacutetico no interior do fio para uma distacircncia

G24 ndash A figura ao lado mostra um toroide que consiste num solenoide fechado em forma de anel (a) Considerando a simetria explique qual deve ser o formato do campo magneacutetico no interior desse toroide (b) Considere o toroide compacto (a separaccedilatildeo entre cada volta do fio eacute pequena) com N voltas conduzindo uma corrente i Usando a lei de Ampeacutere determine a magnitude do campo magneacutetico num ponto interno ao toroide a uma distacircncia do eixo principal (ver figura ao lado) (c) O campo magneacutetico no interior do toroide eacute um campo uniforme Explique

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(H) Lei de Faraday

H1 ndash A figura ao lado mostra dois aneis cujos eixos estatildeo alinhados separados por uma distacircncia x O anel maior tem raio F o anel menor tem raio Os aneis estatildeo separados por uma distacircncia ≫ F e por isso o campo magneacutetico devido agrave corrente no anel de raio F eacute praticamente uniforme no anel menor Considere que a distacircncia estaacute aumentando a uma taxa constante = =cfrasl = d (a) Determine uma expressatildeo para o fluxo de campo magneacutetico atraveacutes do anel menor como funccedilatildeo de Encontre uma expressatildeo para (b) a fem induzida e (c) a direccedilatildeo da corrente no anel menor

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H2 ndash (a) Calcule o fluxo magneacutetico atraveacutes do retacircngulo mostrado na figura ao lado em funccedilatildeo de = i (b) Avalie o resultado encontrado para = 5 = 10 = = 2 e i = 20 J

H3 ndash Uma espira plana e circular de raio =75 estaacute em repouso numa regiatildeo de campo magneacutetico uniforme A espira estaacute orientada de tal forma que o campo magneacutetico aponta para cima

e faz um acircngulo de 30deg com a normal da espira O campo varia com

o tempo de acordo com (c) = 14(77nho) 13 (a) Determine a fem induzida na espira em funccedilatildeo do tempo (b) Para que valor de c a fem induzida eacute igual a um deacutecimo do seu valor inicial Determine o sentido da corrente induzida na espira se observada por cima da espira

H4 ndash Um retacircngulo que mede 30 times 40 estaacute localizado no interior de um campo magneacutetico uniforme de 125 13 com o campo perpendicular ao plano da bobina A bobina se move perpendicular ao campo com velocidade constante d =2 inclusive atingindo a regiatildeo

onde o campo termina abruptamente como mostra a figura ao lado Determine a fem induzida nessa bobina quando ela estaacute (a) inteiramente no interior do campo (b) parcialmente no interior do campo e (c) inteiramente fora do campo

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H5 ndash O fio na figura ao lado conduz

uma corrente i(c) = i7po onde gt 0 Determine o sentido da corrente induzida na bobina (horaacuterio ou anti-horaacuterio) para c gt 0

H6 ndash A figura ao lado mostra uma espira circular de raio contendo uma resistecircncia e um capacitor ligados em seacuterie imerso numa regiatildeo onde um campo magneacutetico uniforme (no espaccedilo) entrando no plano na paacutegina decresce no tempo a uma taxa constante = =cfrasl = minus sendo uma constante positiva (a) Qual a carga no capacitor quando ele estaacute completamente carregado (b) Qual das placas do capacitor estaacute em potencial mais elevado (c) Qual a origem da forccedila que causa a separaccedilatildeo de cargas

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(I) Indutacircncia

I1 ndash No circuito ao lado ℰ = 100 SF- = 10 Ω F$ = 20 Ω Famp = 30 Ω e 2 = 2 H Ao fechar a chave S quais os valores de i- e i$ Considere positivo o sentido das correntes indicadas na figura Muito tempo

depois quais satildeo os valores de i- e i$ A chave eacute entatildeo aberta Nesse instante quais satildeo os valores de i- e i$ E muito tempo depois quais satildeo os valores de i- e i$

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I2 ndash Num circuito LC em seacuterie a carga inicial do capacitor eacute C e ele estaacute sendo descarregado Quando a carga no capacitor eacute igual a C 2frasl qual eacute o fluxo magneacutetico que atravessa cada uma das N espiras do indutor (como funccedilatildeo de C H 2 e D)

I3 ndash Uma bobina possui N voltas e estaacute envolvendo um solenoide longo de raio r com n espiras por unidade de comprimento (figura ao lado) (a) Mostre que a indutacircncia muacutetua do sistema eacute dada por j = 75F$gtH (b) Explique por que M natildeo depende do formato tamanho ou possiacutevel falta de proximidade das espiras na bobina

I4 ndash A fem autoinduzida num solenoide de indutacircncia L varia no tempo conforme ℇ(c) = ℇ7so Levando em consideraccedilatildeo que a carga eacute finita (ou seja i = 0 quando c = infin) determine a carga total que passa pelo solenoide (que atravessa um determinado ponto no fio que compotildee o solenoide)

I5 ndash Um fio condutor foi enrolado num papelatildeo formando um toroide com N espiras (voltas) raio menor r e maior R A seccedilatildeo transversal do toroide eacute mostrada na figura ao lado Se F ≫ o campo magneacutetico no interior do toroide eacute essencialmente o mesmo que o campo no interior de um solenoide muito longo que tenha sido

moldado no formato de um ciacuterculo de raio R Modelando o campo como se fosse o campo uniforme de um solenoide longo mostre que a indutacircncia desse toroide eacute

aproximadamente 2 asymp -$ 7H$ LMu

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I6 ndash Um indutor consiste em duas cascas ciliacutendricas concecircntricas como mostra a figura A casca interna tem raio e a externa tem raio ambas com comprimento ℎ A casca interna transporta uma corrente i para fora e a externa para dentro do plano da paacutegina com igual magnitude Calcule na regiatildeo lt lt (a) a densidade de energia magneacutetica (b) a indutacircncia

I7 ndash Mostre que i(c) = i7o wx eacute a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial iF + 2 yzyo = 0 onde i7 eacute a corrente em c = 0 e = 2 Ffrasl

I8 ndash Um fio condutor de raio R transporta uma corrente uniforme A corrente total no fio eacute i Mostre que a energia magneacutetica por unidade de comprimento dentro do fio eacute dada por 7i$ 165frasl

I9 ndash Um cabo coaxial eacute formado por dois cilindros condutores de paredes finas com raios - e $ As correntes nos dois cilindros satildeo iguais em magnitude mas com sentidos opostos (a) Use a lei de Ampeacutere para determinar o campo magneacutetico como funccedilatildeo da distacircncia ao eixo do cabo nas regiotildees (0 lt lt -) ( - lt lt $ ) e ( gt $) (b) Mostre que a densidade de energia magneacutetica na regiatildeo entre os cilindros eacute dada por

| = 12 745 i$(5$)-

(c) Mostre que a energia magneacutetica total num volume de cabo com comprimento ~ eacute dada por

Problemas Selecionados

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= i$~ ln LML

(d) Mostre que a autoindutacircncia por unidade de comprimento do cabo eacute dada por

2~ = 725 ln $-

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(J) Corrente Alternada

J1 ndash A tensatildeo de uma fonte de corrente alternada eacute dada por ∆d = 120gt(30 5c) onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A fonte eacute conectada a um indutor de 05 Determine (a) a frequecircncia da fonte (b) a voltagem rms no indutor (c) a reatacircncia indutiva do circuito (d) a corrente rms no indutor e (e) a corrente maacutexima no indutor

J2 ndash Uma fonte de tensatildeo alternada fornece uma tensatildeo ∆d = 98gt(80 5c) a um capacitor onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A corrente maacutexima no circuito eacute 05 J Determine (a) a tensatildeo rms da fonte (b) a frequecircncia da fonte e (c) o valor da capacitacircncia

J3 ndash Um circuito AC eacute composto por um resistor de 250 Ω um indutor de 15 um capacitor de 35 e uma fonte de tensatildeo alternada com amplitude de 45 S operando com frequecircncia angular = 360 = frasl (a) Qual eacute o fator de potecircncia do circuito (b) Determine a potecircncia meacutedia aparente (S) fornecida ao circuito (c) Qual eacute a potecircncia meacutedia ativa (P) dissipada no resistor Qual eacute a potecircncia meacutedia reativa (Q) que fica armazenada no circuito

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J4 ndash Cinco voltiacutemetros com impedacircncia muito grande ajustados para ler valores rms estatildeo conectados conforme a figura ao lado Sendo F =200 Ω 2 = 04 H D = 6 e ∆S = 30 Vqual eacute a leitura da tensatildeo em cada voltiacutemetro se (a) = 200 = frasl e (b) =1000 = frasl

J5 ndash Num circuito RLC 2 = 028 e D = 4 A fonte fornece uma voltagem com amplitude de 120 S Qual eacute a frequecircncia angular de ressonacircncia do circuito (b) Quando a fonte opera na frequecircncia angular de ressonacircncia a amplitude da corrente no circuito eacute 17 J Qual a resistecircncia do resistor (c) Na frequecircncia angular de ressonacircncia quais satildeo as voltagens de pico no indutor capacitor e resistor

J6 ndash O circuito ao lado conteacutem uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal conforme ℇ = ℇgt(c) No estado de equiliacutebrio temos as correntes mostradas no circuito Sem recorrer a uma matemaacutetica complicada responda (a) Quais os valores de u e quando = 0 (frequecircncia zero significa que

a fonte foi substituida por uma bateria ideal) (b) Quais os valores de u e quando rarr infin (c) Qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia

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J7 ndash Um indutor um capacitor e um resistor estatildeo conectados em seacuterie a uma fonte de tensatildeo alternada Se os valores da resistecircncia capacitacircncia e indutacircncia forem duplicados o que aconteceraacute com (a) a frequecircncia angular de ressonacircncia (b) a reatacircncia indutiva (c) a reatacircncia capacitiva e (d) a impedacircncia

J8 ndash O circuito abaixo eacute formado por uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal variando conforme ℇ = ℇgt(c) uma resistecircncia F = 6 Ω e uma parte desconhecida que pode conter um indutor um capacitor ou ambos A amplitude da fonte eacute ℇ = 6 S Quando a frequecircncia angular = 2 = a corrente estaacute em fase com a fonte enquanto que para = 1 = a corrente estaacute fora de fase em relaccedilatildeo agrave fonte por exatamente 5 4frasl (a) Quais componentes estatildeo presentes na parte desconhecida (um indutor um capacitor ou ambos) Explique (b) Determine os valores dos componentes desconhecidos

J9 ndash Um circuito em seacuterie possui impendecircncia de 60 Ω e fator de potecircncia igual a 072 em 50 A tensatildeo da fonte estaacute atrasada em relaccedilatildeo agrave corrente (a) Que elemento do circuito (um indutor ou um capacitor) deve ser ligado em seacuterie com o circuito para aumentar o fator de potecircncia (b) Qual deve ser o valor desse elemento para que o fator de potecircncia seja igual a 1 (c) Apresente diagramas de fasores esquemaacuteticos para o circuito antes e depois da ligaccedilatildeo do novo elemento

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O PROCESSO DE MEDIDA NO LABORATOacuteRIO DE FIacuteSICA

Natildeo satildeo raros eventos em que nos valemos de medidas para tomarmos decisotildees Medimos nossa temperatura corporal para avaliarmos se necessitamos de tratamento Medimos a pressatildeo manomeacutetrica dos pneus para avaliarmos se precisamos injetar ou retirar ar neles Consultamos medidas da temperatura ambiente para escolhermos a roupa que vestiremos Consultamos o horaacuterio (medida de tempo) para natildeo chegarmos atrasados em encontros Medidas satildeo portanto fundamentais em nossas vidas No entanto usualmente natildeo nos preocupamos muito com a precisatildeo dessas medidas Em grande parte das vezes natildeo nos interessa saber se o horaacuterio informado no reloacutegio estaacute um pouco atrasado ou adiantado Natildeo nos preocupamos em saber o quanto podemos confiar nas temperaturas coletadas com um determinado termocircmetro Nossas medidas comumente satildeo realizadas de forma despretensiosa sem muito rigor

No laboratoacuterio de Fiacutesica isso ocorre de modo muito diferente Os processos de mediccedilatildeo satildeo mais minuciosos do que os que realizamos costumeiramente Desejamos obter a maior precisatildeo possiacutevel com os equipamentos de que dispomos Mas como fazer isso Como podemos melhorar a precisatildeo dos processos de mediccedilatildeo Intuitivamente podemos concluir que inferecircncias realizadas a partir de um conjunto de medidas satildeo mais precisas do que medidas isoladas Mas quando disponho de um conjunto de medidas como posso analisaacute-las Calcular a meacutedia delas eacute suficiente Responder a questotildees como essas eacute o objetivo desta atividade Para exemplificarmos todo esse processo realizaremos um debate sobre a mediccedilatildeo da resistecircncia interna de amperiacutemetros

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O que satildeo amperiacutemetros

Um amperiacutemetro eacute um instrumento utilizado para a realizaccedilatildeo de medidas de correntes eleacutetricas Evidentemente natildeo queremos modificar os circuitos quando os exploramos com um instrumento Com amperiacutemetros natildeo eacute diferente Queremos medir correntes eleacutetricas sem alterar as caracteriacutesticas do circuito Mas como eacute possiacutevel fazer isso Natildeo discutiremos aqui os detalhes sobre o funcionamento interno de um amperiacutemetro No entanto vamos avaliaacute-los do ponto de vista de uma das suas caracteriacutesticas mais importantes a sua resistecircncia eleacutetrica

A resistecircncia eleacutetrica de um circuito influencia na intensidade da corrente eleacutetrica que circula nele A corrente eleacutetrica i que perpassa por uma resistecircncia eleacutetrica F submetida a uma tensatildeo ∆S por exemplo pode ser predita pela seguinte relaccedilatildeo

i = ∆u Eq 1

O amperiacutemetro precisa ser posicionado em seacuterie no circuito em que se deseja medir a corrente eleacutetrica como eacute exemplificado na figura

Figure 1- Medindo a resistecircncia interna de um multiacutemetro

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1 Como a resistecircncia equivalente em circuitos em seacuteries eacute a soma da resistecircncia eleacutetrica de cada um dos seus componentes a resistecircncia interna dos amperiacutemetros se soma agrave resistecircncia equivalente do circuito investigado alterando a sua dinacircmica Por isso nosso desejo eacute que os amperiacutemetros tenham resistecircncia eleacutetrica nula No entanto a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro real por menor que seja nunca eacute nula Eles possuem um circuito interno com fios e diversos componentes eletrocircnicos que acabam provocando uma resistecircncia agrave circulaccedilatildeo de corrente eleacutetrica Ainda assim frequentemente desprezamos tal resistecircncia Seraacute que isso eacute razoaacutevel Quando podemos desprezar a resistecircncia interna dos amperiacutemetros e quando natildeo podemos Para respondermos tais perguntas precisamos conhecer o valor da resistecircncia interna tiacutepica de um amperiacutemetro

Medindo a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro

Nesta disciplina usaremos diversos amperiacutemetros de uma mesma marca e modelo em uma seacuterie de experimentos (Minipa ET-2075B) Por isso eacute interessante que conheccedilamos a resistecircncia eleacutetrica deles para podermos avaliar quando podemos desprezaacute-la e quando natildeo Mas como podemos obter essa informaccedilatildeo Podemos medi-la Um procedimento simples para isso eacute submeter o amperiacutemetro a uma diferenccedila de potencial ΔV conhecida e medir a corrente eleacutetrica i que passa por ele Desse modo podemos usar a Eq 1 para inferir a resistecircncia eleacutetrica do equipamento Mas podemos confiar em uma uacutenica medida Depende da precisatildeo de que necessitamos para essa medida Intuitivamente sabemos que se medirmos a resistecircncia interna a partir de um conjunto de dados poderemos ter uma maior confiabilidade nos dados No exemplo de que estamos tratando eacute possiacutevel se coletar dados da corrente no amperiacutemetro quando submetido a diferentes tensotildees Desse modo pode-se inferir a resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro pela declividade da reta constituiacuteda

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pelos dados representados em um graacutefico da tensatildeo em funccedilatildeo da corrente eleacutetrica como pode ser constatado da Eq1 No entanto como temos incertezas associadas a cada dado experimental coletado esses dados natildeo seratildeo perfeitamente representados por uma reta Surge entatildeo uma nova questatildeo qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados

Ajuste de Curvas

Diversas retas podem ser ajustadas a um conjunto de dados experimental Qual delas utilizar Intuitivamente podemos conjecturar que a melhor reta a ser utilizada eacute aquela tal que a soma das diferenccedilas entre os valores de tensatildeo medidos e os preditos pela reta tenha o menor valor possiacutevel Em outras palavras queremos minimizar a soma

sum = = (∆Sz minus ∆S)z-

onde ∆Sz satildeo as tensotildees medidas e ∆S satildeo as tensotildees preditas pela reta ajustada

No entanto haacute um inconveniente importante no uso desse criteacuterio tal soma pode ser bem pequena para retas que natildeo apresentam bom ajuste aos dados se as diferenccedilas entre os valores medidos e os preditos se cancelarem sendo alguns positivos e outros negativos Nesses casos apesar de natildeo termos uma reta bem ajustada aos dados o criteacuterio utilizado

indicaria que sim Como resolver isso Elevando os valores de dn ao

Figura 1 - Diferenccedila de potencial em funccedilatildeo

da corrente

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quadrado Ou seja podemos procurar a reta tal que a seguinte soma tenha o menor valor possiacutevel

sum =$ = (∆Sz minus ∆S)$z-

O meacutetodo que utiliza esse criteacuterio para a realizaccedilatildeo de ajustes de curvas que eacute amplamente utilizado no meio acadecircmico eacute denominado Meacutetodo dos Miacutenimos Quadrados Todos os softwares do tipo planilha eletrocircnica realizam esse caacutelculo automaticamente e nos valeremos disso quando necessaacuterio

Todos os amperiacutemetros da sala possuem a mesma resistecircncia interna

Ainda que todos os amperiacutemetros que utilizaremos nas nossas aulas sejam da mesma marca e modelo eles possuem diferentes resistecircncias internas Existe alguma forma de estimar a resistecircncia interna de um desses amperiacutemetros escolhido aleatoriamente Calcular a meacutedia das resistecircncias eacute suficiente para realizar essa estimativa

Variabilidade das medidas o desvio padratildeo amostral e da meacutedia

Apesar de as resistecircncias dos amperiacutemetros natildeo serem exatamente as mesmas elas possuem valores que se distribuem em torno de um valor meacutedio que eacute igual agrave meacutedia dessas resistecircncias Desse modo se tomarmos um dos amperiacutemetros aleatoriamente o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute igual agrave meacutedia das resistecircncias internas de todos os amperiacutemetros Mas quanto podemos confiar nessa estimativa Para respondermos tal pergunta eacute importante quantificarmos a variabilidade das resistecircncias r que medimos Quanto menor for essa variabilidade maior seraacute a nossa confianccedila para assumir que a resistecircncia interna de um amperiacutemetro particular eacute igual agrave meacutedia Intuitivamente podemos conjecturar que tal variabilidade pode ser medida pelo somatoacuterio das diferenccedilas entre as resistecircncias

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medidas z e a meacutedia dessas resistecircncias ou seja por (- minus ) + ($ minus ) + ⋯ + ( minus ) onde N eacute o nuacutemero de medidas realizadas No entanto temos aqui um inconveniente semelhante ao que tivemos quando analisaacutevamos ajustes de curvas se valores positivos e negativos se cancelarem esse somatoacuterio pode ser muito pequeno mesmo quando os dados apresentam grande variabilidade Podemos propor a mesma soluccedilatildeo adotada anteriormente vamos elevar os termos ao quadrado Temos entatildeo a variabilidade dos dados sendo mensurada por (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$

A impossibilidade de comparaccedilatildeo entre as variabilidades de diferentes conjuntos de dados eacute a limitaccedilatildeo desta proposta pois o resultado desse somatoacuterio eacute altamente dependente da quantidade de termos Desse modo eacute possiacutevel que esse somatoacuterio seja maior para grandes conjuntos com pouca variabilidade do que para pequenos grupos com grande variabilidade Para amenizar tal limitaccedilatildeo podemos entatildeo dividir o somatoacuterio por N ou seja calcular a variabilidade por(- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$ Hfrasl Ainda que esse somatoacuterio seja conceitualmente interessante natildeo eacute essa a medida de dispersatildeo de dados que costuma ser utilizada no meio cientiacutefico mas algo que guarda alguma semelhanccedila com ele o desvio padratildeo dos dados (P) Ele eacute calculado por

PL = (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$H minus 1

Mas por que utilizamos essa equaccedilatildeo A resposta estaacute em suas propriedades Quando construiacutemos um histograma (graacutefico de frequecircncias) de um conjunto de medidas por exemplo podemos em muitos casos assumir que a distribuiccedilatildeo desses dados eacute representada por uma distribuiccedilatildeo normal A equaccedilatildeo que define essa distribuiccedilatildeo assim como sua representaccedilatildeo graacutefica eacute ilustrada na Figura 3

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Natildeo eacute nosso objetivo aqui discutir detalhes da distribuiccedilatildeo normal O que desejamos destacar eacute que quando supomos que a distribuiccedilatildeo de um conjunto de dados eacute normal o que eacute bastante razoaacutevel na maioria das vezes o desvio padratildeo σ quantifica como os dados estatildeo distribuiacutedos Para entendermos isso analisemos a Figura 4

O intervalo compreendido pela meacutedia das medidas mais ou menos um desvio padratildeo compreende 68 das medidas realizadas No caso que estamos exemplificando se tomarmos a meacutedia das resistecircncias internas r de todos os amperiacutemetros investigados e o desvio padratildeo PL desses dados 68 das medidas estaratildeo no intervalo entre ( minus PL) e ( + PL) 95 no intervalo ( 2PL) e 99 no intervalo ( 257PL)

Figura 2 - A distribuiccedilatildeo normal eacute usualmente utilizada para representar a distribuiccedilatildeo

de frequecircncias de um conjunto de dados (Lima Jr et al 2013 p 30)

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Agora jaacute sabemos como quantificar a variabilidade de um conjunto de dados Podemos entatildeo calcular a meacutedia e o desvio padratildeo das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros Mas surge entatildeo uma questatildeo Se analisaacutessemos um novo conjunto de amperiacutemetros da mesma marca e modelo dos exemplificados aqui a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros seria a mesma Provavelmente natildeo Temos como estimar a partir do conjunto de medidas que realizamos a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros Temos Para responder a essa questatildeo temos que compreender um novo conceito o de desvio padratildeo da meacutedia (PL) Ele eacute calculado por

PL = PLradicH

Natildeo vamos entrar em detalhes aqui sobre a origem do conceito de desvio padratildeo da meacutedia1 vamos apenas explicar como essa grandeza nos permite estimar a incerteza na meacutedia de um conjunto de medidas Para isso vamos supor um novo conjunto de N novas

1 Se vocecirc eacute um aluno curioso pesquise sobre o Teorema Central do Limite para compreender com mais profundidade o conceito de desvio padratildeo da meacutedia

Figura 3 - A meacutedia e o desvio padratildeo demarcam a distribuiccedilatildeo dos dados em uma

distribuiccedilatildeo normal Na figura o eixo das abcissas expressa a distacircncia da meacutedia em

unidades de desvio padratildeo (Lima Jr et al 2013 p 30)

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medidas da resistecircncia interna de amperiacutemetros como os investigados nesta aula Qual seria a meacutedia dessas medidas Assim como o desvio padratildeo dos dados quantifica a dispersatildeo dos dados em torno da meacutedia o desvio padratildeo da meacutedia quantifica a dispersatildeo das meacutedias de subconjuntos de dados em torno da meacutedia de todo o conjunto de dados Aplicando esse conceito ao nosso exemplo podemos interpretar os dois conjuntos de medidas de resistecircncias internas como subconjuntos de um grande conjunto contendo todas as medidas Desse modo podemos afirmar com 68 de confianccedila que a meacutedia das N novas medidas a serem realizadas estaraacute no intervalo compreendido por ( PL) com 95 de confianccedila no intervalo ( 2PL) e com 99 de confianccedila no intervalo ( 257PL) O desvio padratildeo da meacutedia pode ser compreendido assim como a incerteza da meacutedia de um conjunto de medidas ou seja ele nos fornece uma estimativa da confiabilidade de uma meacutedia Em suma se escolhermos um amperiacutemetro aleatoriamente podemos dizer que i) o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute a meacutedia das resistecircncias de todos os amperiacutemetros e ii) a incerteza que temos nesse valor eacute igual ao desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias dos amperiacutemetros

E se eu soacute tivesse condiccedilotildees de realizar uma uacutenica medida

Nem sempre podemos realizar diversas medidas de uma grandeza Em alguns casos nem mesmo faz sentido realizar diversas medidas No entanto eacute evidente que existe uma incerteza associada a uma uacutenica medida Natildeo existem instrumentos que sejam perfeitamente precisos Entatildeo como podemos estimar essa incerteza Usualmente os manuais dos instrumentos trazem informaccedilotildees sobre isso Desse modo as incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica realizadas com um voltiacutemetro e um amperiacutemetro podem ser consultadas no manual do multiacutemetro utilizado Mas como eacute calculada a incerteza da resistecircncia interna de um amperiacutemetro que foi calculada a partir de

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apenas uma medida de tensatildeo e uma de corrente eleacutetrica Nesse caso precisamos calcular a incerteza propagada das incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica

Os meacutetodos de caacutelculo de incertezas propagadas podem ser bastante complicados Aqui trataremos de um meacutetodo bastante simples usualmente denominado de Meacutetodo dos Limites Vamos exemplificaacute-lo supondo que a incerteza da tensatildeo sobre as entradas do amperiacutemetro eacute P- e da corrente eleacutetrica que circula por ele eacute P$ Ou seja a tensatildeo medida estaacute no intervalo entre ∆S minus P- e ∆S + P- e a corrente eleacutetrica entre i minus P$ e i + P$ Qual eacute entatildeo a incerteza da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro investigado Para responder isso basta calcularmos os valores limites dessa grandeza O maacuteximo valor possiacutevel para a resistecircncia ocorreraacute se a tensatildeo for ∆S + P- e a corrente eleacutetrica for i minus P$ Nesse caso usando a Eq 1 temos

aacutee = ∆S + P-i minus P$

Usando o mesmo raciociacutenio o valor miacutenimo de r seraacute

z = ∆S minus P-i + P$

Desse modo podemos dizer que o valor da resistecircncia interna medida estaacute no intervalo entre rmaacutex e rmiacuten Em outras palavras o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro eacute

F = iexclz + aacutee2 z minus aacutee2 cent

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Erro eacute a mesma coisa que incerteza

Apesar de serem frequentemente utilizados como sinocircnimos os manuais de metrologia atribuem significados distintos aos conceitos de ldquoerrordquo e ldquoincertezardquo O Guia para Expressatildeo da Incerteza da Mediccedilatildeo (Joint Commitee for Guide in Metrology 2008 apud Lima Jr et al 2013) usa o termo ldquoerrordquo para indicar a diferenccedila entre o valor verdadeiro e o resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo o conceito de erro tem uso restrito pois satildeo poucos os casos em que conhecemos o valor verdadeiro de uma grandeza Satildeo exemplos desses casos experimentos em que se deseja mensurar a velocidade da luz no vaacutecuo ou o valor de π que satildeo valores previamente conhecidos pelo experimentador O caacutelculo do erro soacute faz sentido para casos em que sabemos o valor verdadeiro da grandeza que se quer medir

A incerteza por outro lado eacute entendida como uma estimativa que quantifica a confiabilidade do resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo quando calculamos o desvio padratildeo da meacutedia de um conjunto de medidas estamos calculando a incerteza da meacutedia dessas medidas ou seja estamos avaliando a confianccedila que podemos ter em adotar a meacutedia dessas medidas como o valor da grandeza mensurada O conceito de incerteza portanto tem maior aplicabilidade do que o conceito de erro

Algarismos significativos e incerteza

Uma questatildeo frequente nas aulas de laboratoacuterio eacute Com quantos algarismos uma grandeza deve ser apresentada No laboratoacuterio a resposta dessa questatildeo eacute uma funccedilatildeo da incerteza da grandeza Devemos apresentar os dados ateacute o seu primeiro algarismo duvidoso Voltemos ao exemplo da resistecircncia interna dos amperiacutemetros Suponhamos que a meacutedia das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros eacute 21546 Ω e o desvio padratildeo dessa meacutedia que eacute

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entendido aqui como a incerteza da resistecircncia interna dos amperiacutemetros eacute 003 Ω Interpretando tais dados assumimos com 68 de certeza que a resistecircncia interna dos amperiacutemetros estaacute no intervalo entre 21246 e 21846 Ω Desse modo a segunda casa decimal da grandeza medida eacute duvidosa Por isso os algarismos subsequentes satildeo omitidos quando expressamos essa medida e a medida da resistecircncia interna dos amperiacutemetros exemplificados eacute exposta por (215 plusmn 003) Ω Em suma o resultado de uma mediccedilatildeo deve ser sempre expresso com a mesma quantidade de casas decimais que sua incerteza Os algarismos apresentados satildeo entatildeo chamados de algarismos significativos

Referecircncia

Lima Jr P Silva M T X Silveira F L Veit E A (2013) Laboratoacuterio de mecacircnica subsiacutedios para o ensino de Fiacutesica experimental Porto Alegre UFRGS Instituto de Fiacutesica Disponiacutevel em httphdlhandlenet1018390438

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Atividade de Laboratoacuterio I Instrumentos de medida e incertezas

Este material foi cuidadosamente preparado para auxiliar no andamento das atividades no laboratoacuterio de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo Eacute importante responder TODAS as perguntas

(indicadas pelo siacutembolo ) feitas ao longo do texto discutindo com seu grupo possiacuteveis respostas e justificando-as Sempre que possiacutevel faccedila isso por escrito

TAREFA 1

Construa um circuito contendo um resistor de 1 kΩ em seacuterie com uma fonte de tensatildeo contiacutenua e um multiacutemetro Coloque o multiacutemetro na funccedilatildeo amperiacutemetro na escala de miliampere Usando outro multiacutemetro meccedila a tensatildeo no amperiacutemetro Realize medidas com diferentes correntes eleacutetricas variando a tensatildeo de saiacuteda da fonte

Como podemos tratar esses dados se nosso objetivo eacute medir a resistecircncia interna do amperiacutemetro

Qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados

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Para responder essas questotildees se dirija a um dos computadores da sala e use um aplicativo que possibilite a construccedilatildeo de graacuteficos SciDavis por exemplo Insira seus dados no aplicativo construa o graacutefico desejado e encontre a melhor reta que se ajusta aos dados

Qual foi a melhor reta ajustada Determine a equaccedilatildeo dessa reta ajustada

Qual eacute o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro que vocecirc investigou

TAREFA 2

Utilize as medidas de todos os grupos da turma e aplique os conhecimentos abordados na tarefa de leitura para responder as seguintes questotildees

Qual deve ser a resistecircncia interna de um amperiacutemetro escolhido aleatoriamente entre os utilizados nesta aula

Qual eacute a incerteza desse valor

TAREFA 3

Suponha que o manual do Minipa ET-2075B informe que as medidas de tensatildeo e corrente realizadas nas faixas de milivolt e miliampere tecircm incerteza de 3 Use esses dados para calcular a

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incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1

Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma

Elas satildeo coerentes Por quecirc

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CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO

Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por

equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC

Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras

O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se

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extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo

No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador

Salvando vidas

ldquoafastem-se choquerdquo

Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de

sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos

O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo

Figura 4 - Desfibrilador

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esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)

Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma

sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o

miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia

Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2

2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387

Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)

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Circuito RC - seacuterie

Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C

Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que

∆S(c) + i(c)F = 0

Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo

i(c) = =C(c)=c

e a ddp no capacitor eacute dada por

∆S(c) = C(c)D

Dessa forma podemos dizer que

=C(c)=c = minus 1FD C(c)

Figura 6 - Circuito RC

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Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa

funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja

derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever

C(c) = C7 ou

A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial

Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir

Capacitor Carregando Capacitor Descarregando

∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0

C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou

∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou

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Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8

Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo

eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum

3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78

Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas

do capacitor durante o processo de

carga ou descarga

Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um

graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo

do tempo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no

capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte

Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor

quando o mesmo estaacute sendo carregado

Manual de Laboratoacuterio

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Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie

1 - Osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos

2 ndash Aparato Experimental

Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto

Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)

Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio

Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees

Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala

Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)

Manual de Laboratoacuterio

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TAREFA 1

Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees

Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico

Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito

Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito

Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos

Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio

TAREFA 2

Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie

Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)

Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados

Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo

NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo

Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste

Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito

Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito

Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles

Manual de Laboratoacuterio

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MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS

Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais

Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio

Para onde aponta a buacutessola

Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos

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polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc

E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial

tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos

que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a

soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio

4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja

httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4

Figura 10 - Buacutessola

Figura 11 - campo B resultante

Manual de Laboratoacuterio

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Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por

umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O

Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde

Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde

Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma

iacuteatilde() = ∙

onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde

5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass

The Physics Teacher 49(1) 45-48

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Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como

iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2

Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos

gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)

Logo

gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2

Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo

iacuteatilde() = amp

Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse

tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira

na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart

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pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do

que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute

yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp

onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico

da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos

yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp

Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3

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Atividade de Laboratoacuterio III Projeto

OBJETIVO

Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio

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SUGESTAtildeO 1

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO

Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas

Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece

Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha

Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo

por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o

eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte

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SUGESTAtildeO 2

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA

Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)

Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica

Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de

uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)

Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema

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SUGESTAtildeO 3

BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO

Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola

Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)

Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina

O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados

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SUGESTAtildeO 4

CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO

O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer

Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio

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MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO

Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro

Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental

6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089

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110 V 127 V e 220 V O que eacute isso

As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V

Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas

A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

(c) = Jgt(c + acute)

onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por

∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)

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onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1

Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho

Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores

Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por

∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf

∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712

∆Suparamiddot = ∆S7radic2

Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a

tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s

A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente

alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$

Figura 13 - Funccedilotildees seno e

seno quadrado

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COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA

Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz

Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O

Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio

Natildeo queremos jogar energia fora

Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14

Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie

Manual de Laboratoacuterio

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Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por

0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)

onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)

Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

ℇ(c) = ℇ7gt(c)

onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente

Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na

figura 16 para um caso em que VL gt VC

Figura 15 - Diagrama de fasores

de um circuito RLC seacuterie com

fonte de tensatildeo alternada

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

84

A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que

acute = c8 S minus SSu

Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado

por

i(c) = gt(c minus acute)

Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente

as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que

ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$

ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$

Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como

0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)

Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que

0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$

Figura 16 ndash Soma de fasores

Manual de Laboratoacuterio

85

0eacutey = F ∙ uparamiddot$

onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square

Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que

F = frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte

Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade

7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL

Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e

resistecircncia num diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

86

do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como

0 = AJradicAJ$ + AF$

O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP

DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11

Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia

Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por

acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita

Manual de Laboratoacuterio

87

2 = 1D

Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica

Figura 18 - diagramas de fasores representando

um circuito capacitivo e um circuito indutivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

88

Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie

O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio

TAREFA 1

Circuito Resistivo

Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR

Manual de Laboratoacuterio

89

Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)

O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador

Circuito Capacitivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

90

Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor

Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Manual de Laboratoacuterio

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Circuito Indutivo

Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor

O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Circuito RLC

Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise

Manual de Laboratoacuterio

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O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador

Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio

O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior

Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor

Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou

A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

94

TAREFA 2

Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente

Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir

Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima

Qual o valor da corrente maacutexima no circuito

Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)

O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique

Manual de Laboratoacuterio

95

TAREFA 3

Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito

Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees

Como isso eacute possiacutevel Explique

Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff

Respostas

96

Respostas

A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32

A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH

A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH

B3 Ae = Af = AtildeAcircf

B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl

B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH

B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l

B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD

B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -

C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc

(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7

C2 O = ~13deg

C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)

Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-

vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr

Respostas

97

C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM

C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD

(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD

C6 A = Eacute$Acirc

C7 A = Atilde$AcircL

D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma

das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp

D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(

D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1

no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)

D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme

D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D

E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)

E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D

E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml

F1 544 times 10

F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S

F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM

u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM

u (e) 0 = ℇMu

F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω

Respostas

98

F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965

G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n

G5 i = Ograve$g = 245 J

G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y

G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez

G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H

G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)

G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)

G15 (a) zL$brvbarM (b)

z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero

G16 z$L + z$L = z$L - + 1

G17 (a) pLM

amp (b) pusup3

ampL

G18 zzMu

G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)

z

G20 zNu saindo da folha

G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)

UgraveLMamp

fora do fio (a) z$L (b)

UgravebrvbarM$L (c)

Ugravebrvbarsup3ampL

G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13

G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM

ampu

H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior

Respostas

99

H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a

H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J

I2 Φ = pound$ sup1amp

I4 C = AcircsM

I6 (a) zM

NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar

J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a

(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S

J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu

(c) = -radic

J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm

(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013

Respostas

100

Bibliografia

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Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm

Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il

Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il

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Problemas Selecionados

11

(A) Carga Eleacutetrica

A1 ndash Se vocecirc grudar um pedaccedilo de fita adesiva na mesa e desgrudaacute-lo puxando rapidamente uma das pontas a fita ficaraacute carregada eletricamente Supondo que a fita adesiva tenha 20 de comprimento e 1 de largura e que ao fazer isso vocecirc consiga arrancar 1 eleacutetron de cada aacutetomo da superfiacutecie da fita qual seraacute a carga eleacutetrica total da fita (por simplicidade considere o raio atocircmico = 1 Å)

A2 ndash Repetindo o mesmo procedimento com outro pedaccedilo idecircntico de fita adesiva e aproximando os dois pedaccedilos a uma distacircncia de 5 qual seraacute a forccedila eleacutetrica entre eles

A3 ndash Quatro partiacuteculas carregadas estatildeo dispostas no plano XY sendo = langminus3 0 0rang $ = lang 0 0rang amp = lang0 2 0rang e = lang0 minus2 0rang as distacircncias das cargas ateacute a origem A carga da partiacutecula 2 eacute ($ = 80 times 10-C a carga das partiacuteculas 3 e 4 eacute (amp = ( = minus1 6 times 10-C Qual deve ser a distacircncia para que seja nula a forccedila resultante sobre a partiacutecula 1

A4 ndash O dado mostrado na figura ao lado possui lado = 15 Qual a forccedila (vetor) exercida sobre a partiacutecula indicada pela seta devido agrave presenccedila das demais cargas Use notaccedilatildeo vetorial para indicar sua resposta (Dica defina a origem dos eixos cartesianos no veacutertice que estaacute escondido com o eixo z para cima Calcule as componentes da forccedila nas

direccedilotildees e separadamente soacute entatildeo some as componentes que estatildeo na mesma direccedilatildeo)

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

12

A5 ndash Trecircs partiacuteculas carregadas estatildeo dispostas num plano XY a

partiacutecula 1 na posiccedilatildeo 0- = lang0 15 0rang a partiacutecula 2 na posiccedilatildeo 0$ = lang0 minus15 0rang e a partiacutecula 3 na posiccedilatildeo 0amp = lang 0 0rang com liberdade para se mover no eixo (- = ($ = 32 times 10-C (amp = minus64 times 10-C pode variar de 0 a 5 Qual o valor de para que a forccedila exercida sobre a partiacutecula 3 (pelas demais cargas) seja (a) miacutenima e (b) maacutexima Quais satildeo os valores (c) miacutenimo e (d) maacuteximo do moacutedulo da forccedila

A6 ndash A figura ao lado mostra duas esferas condutoras de mesma massa e mesma carga ( suspensas por fios isolantes de comprimento 2 Mostre que para 2 ≫ as esferas estaratildeo em equiliacutebrio quando a distacircncia entre elas for igual a

= 4 ($2256789- ampfrasl

A7 ndash A forccedila gravitacional entre duas massas pontuais eacute muito similar matematicamente agrave forccedila eletrostaacutetica entre duas cargas pontuais A intensidade dessas forccedilas no entanto eacute extremamente diferente Para ilustrar isso considere a seguinte situaccedilatildeo Em algum lugar do espaccedilo existem duas esferas idecircnticas de poeira 50 de diacircmetro e densidade 25 8amp separadas por uma distacircncia = Se os gratildeos satildeo eletricamente neutros e estatildeo inicialmente em repouso eles iratildeo colidir devido agrave atraccedilatildeo gravitacional Agora suponha que ambos estatildeo eletricamente carregados cada um tendo um nuacutemero gt de eleacutetrons extra Encontre o menor valor de gt que iraacute evitar a colisatildeo (Considere = 667 times 10-- amp8-$)

Problemas Selecionados

13

(B) Campo Eleacutetrico

B1 ndash Um iacuteon de Fe3+ estaacute localizado a 400 gt de um iacuteon de Cl- como mostra a figura ao lado (a) Qual a magnitude direccedilatildeo e sentido do campo

eleacutetrico A na posiccedilatildeo A (b) E na posiccedilatildeo B (c) Se um eleacutetron estiver na posiccedilatildeo A qual seraacute a magnitude e direccedilatildeo da forccedila sobre o eleacutetron

B2 ndash Um quadrupolo eleacutetrico eacute formado por um conjunto de dois dipolos como mostra a figura ao lado Mostre que para ≫ = a magnitude do

campo A num ponto ao longo do eixo dos quadrupolos eacute dado por

A = 6(=$4567

B3 ndash Uma barra muito longa com densidade de carga B estaacute disposta conforme a figura ao lado (Alguns autores chamam esse tipo de barra de semi-infinita pois o ponto P estaacute proacuteximo a uma das extremidades da barra enquanto a outra extremidade estaacute muito distante) Mostre

que o campo eleacutetrico A no ponto P faz um acircngulo de 45deg com a barra independente da distacircncia Y (isto eacute as componentes x e y do campo tem a mesma magnitude)

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

14

B4 ndash Calcule o campo A proacuteximo a uma barra carregada com carga total Q e comprimento As cargas estatildeo distribuiacutedas de forma uniforme ao longo da barra = 015 C = 8 gtD e E = 5

B5 ndash A figura ao lado mostra um anel incompleto de raio F carregado com carga total C Qual a forccedila (vetor) exercida sobre um eleacutetron que por ventura esteja localizado no ponto 0

B6 ndash Um dipolo cujo momento dipolar eacute G = lang37 50 0rang D

encontra-se numa regiatildeo onde o campo A = lang3000 0 0rang H Dfrasl Qual a energia potencial do dipolo Qual o torque que age sobre o dipolo Qual eacute o trabalho que um agente externo deve realizar para girar o dipolo ateacute que seu momento dipolar seja G = langminus50 37 0rang D

B7 ndash Calcule a magnitude direccedilatildeo

e sentido do campo A no centro de um anel de raio F carregado sendo que a distribuiccedilatildeo de cargas no anel varia como B(I) = B7 gt I

Problemas Selecionados

15

B8 ndash Duas barras isolantes de 15 de comprimento encontram-se em um acircngulo reto Uma barra possui 30 D e a outra possui minus30 D de carga uniformemente distribuiacuteda ao longo do comprimento conforme a figura ao lado Determine o campo eleacutetrico (vetor) no ponto P que estaacute a = = 750 do centro de cada barra

B9 ndash Duas barras curvas isolantes com cargas opostas de igual magnitude ( formam um ciacuterculo de raio F no plano xy conforme a figura As cargas estatildeo uniformemente distribuiacutedas na barra (a) Qual o campo eleacutetrico (vetor) no ponto P (b) Qual a resposta do item (a) se ( = 20 GD e F = 10

B10 ndash Considere um cilindro de comprimento 2 e raio J oco carregado com carga total C Vocecirc estaacute interessado em saber qual eacute

o campo eleacutetrico A ao longo do eixo do cilindro numa de suas extremidades Para isso utilize dois caminhos distintos (a) considerando que o cilindro eacute formado por uma infinidade de barras de espessura infinitesimal todas com comprimento 2 dispostas num ciacuterculo de raio J e (b) considerando que o cilindro eacute formado por uma infinidade de aneacuteis de raio J cujos eixos estatildeo alinhados e juntos formam um cilindro de comprimento 2

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(C) Lei de Gauss

C1 ndash Uma faacutebrica de bolinhas de gude foi atingida por um raio durante uma tempestade O preacutedio foi protegido por um paacutera-raios mas algumas descargas atingiram os equipamentos que fabricavam as bolinhas Resultado eacute que a bolinha que estava na maacutequina ao cair o raio recebeu uma descarga eleacutetrica e as cargas ficaram armazenadas

no interior da bolinha de forma que a densidade de carga K() = K7 -LM

(a) Qual o campo A na superfiacutecie da bolinha que tem raio = 2 (b) E no interior da bolinha 1 abaixo da superfiacutecie (c) Qual o

campo A a 5 da superfiacutecie da bolinha

C2 ndash A figura ao lado mostra uma bolinha com massa 0004 8 e carga 8 times 10N D suspensa por um fio nas proximidades de uma grande placa condutora carregada sendo que a densidade de carga da placa eacuteminus2 times 10 D $frasl Encontre um valor para o acircngulo O

C3 ndash Uma casca ciliacutendrica isolante e muito longa tem raio interno e externo e densidade volumeacutetrica de carga K Um fio tambeacutem muito longo tem densidade linear de carga B e estaacute alinhado com o eixo central da casca Qual o campo eleacutetrico na regiatildeo entre e

Problemas Selecionados

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C4 ndash Uma carga C positiva estaacute no centro de um conjunto de calotas concecircntricas como mostra a figura abaixo O raio das calotas estaacute indicado na figura A mais externa eacute condutora e estaacute carregada com carga C negativa e a calota intermediaacuteria eacute isolante e possui carga liacutequida ( positiva distribuiacuteda de forma uniforme por

todo seu volume Calcule o campo A resultante em cada uma das 5 regiotildees indicadas na figura Indique a localizaccedilatildeo aproximada das cargas induzidas eou em excesso em cada regiatildeo e indique a direccedilatildeo e sentido dos campos eleacutetricos

C5 ndash Uma casca esfeacuterica com densidade volumeacutetrica de carga K = 20 gtDamp tem raio interno = 10 e raio externo = 2 conforme a figura Determine o moacutedulo do campo eleacutetrico para os seguintes raios a partir do centro (a) = 2frasl (b) = 15 (c) = 2

C6 ndash Usando a Lei de Gauss determine o campo eleacutetrico proacuteximo a uma placa muito grande com densidade superficial de carga P

C7 ndash Usando a Lei de Gauss determine o campo eleacutetrico proacuteximo a uma barra muito longa com densidade linear de carga B

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(D) Potencial Eleacutetrico

D1 ndash A figura ao lado mostra um anel incompleto formado por trecircs segmentos de arco com densidade linear de carga constantesB- B$ e Bamp A menor delas tem carga total (- e comprimento de arco 54 As demais estatildeo indicadas na figura Qual o potencial eleacutetrico no centro do anel Qual deve ser a relaccedilatildeo entre as cargas para que o potencial eleacutetrico no centro do anel seja igual a zero

D2 ndash A figura ao lado mostra um dipolo eleacutetrico de momento dipolar |G| = R( Mostre que para ≫ R o potencial eleacutetrico no ponto P eacute dado por

S = 145T7G UO$

Dica quando ≫ R eacute razoaacutevel considerar que V cong $ e minus V cong R UO

D3 ndash Sobre uma mesa de bilhar estatildeo dispostas trecircs bolinhas Uma com carga +C outra com carga ndash C e uma terceira com carga +2C conforme mostra a figura ao lado (a) Qual o potencial no ponto P (b) Se uma quarta bolinha for colocada no centro do quadrado qual deve ser a carga da bolinha para que o potencial no ponto P seja nulo

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D4 ndash Uma esfera oca isolante de raio F e carga C eacute colocada nas proximidades de uma placa muito grande cuja densidade superficial de carga eacute P (uniforme) A distacircncia entre a placa e a superfiacutecie da esfera eacute = Qual a diferenccedila de potencial entre o centro da esfera e a placa Dica calcule a ddp devido a cada objeto separadamente e some os resultados A diferenccedila de potencial entre dois pontos pode ser determinada a partir do campo eleacutetrico

D5 ndash Uma esfera isolante maciccedila possui densidade de carga K() = K7$ onde ρ0 eacute uma constante (a) Qual a diferenccedila de potencial entre os pontos b e c Se a densidade de carga fosse uniforme qual seria a diferenccedila de potencial entre os pontos b e c

D6 ndash Um fio tem densidade linear de carga B uniforme e foi dobrado no formato conforme mostra a figura abaixo Qual o potencial eleacutetrico no ponto P

D7 ndash Considere duas cascas esfeacutericas finas concecircntricas condutoras A casca interna tem raio = 15 e carga 10 gtD A casca externa tem raio = 30 e carga minus15 gtD Forneccedila expressotildees para o campo eleacutetrico e o potencial eleacutetrico para as diferentes regiotildees (a) lt 15 (b) 15 lt lt 30 (c) gt 30 Em todos os casos considere S = 0 em = infin

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(E) Capacitacircncia

E1 ndash Sabendo que cada um dos capacitores no circuito ao lado tem capacitacircncia D = 10 e a diferenccedila de potencial na bateria eacute ΔS = 10 S qual eacute a carga do capacitor 1 E do capacitor 2

E2 ndash Encontre uma expressatildeo para a capacitacircncia dos capacitores abaixo sabendo que a distacircncia entre as placas eacute = a aacuterea das placas eacute 10 = o espaccedilo entre as placas estaacute preenchido por dois ou mais materiais de constantes dieleacutetricas distintas conforme mostra a figura abaixo Analisando cada capacitor separadamente eacute possiacutevel obter a mesma capacitacircncia com uma associaccedilatildeo de capacitores simples (preenchidos por um uacutenico material) Explique

E3 ndash Uma diferenccedila de potencial de 100 S eacute aplicada ao circuito ao lado onde D- = 10 D$ = 5 e Damp = 4 Se o capacitor 3 eacute substituiacutedo por um fio condutor qual eacute o aumento na carga do capacitor 1 Qual eacute o aumento na diferenccedila de potencial entre as placas do capacitor 1

(a) (b) (c)

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E4 ndash No circuito ao lado a diferenccedila de potencial fornecida pela bateria eacute de 20 S Qual a capacitacircncia equivalente do circuito Qual a carga armazenada por essa capacitacircncia equivalente Qual a carga e ddp para os capacitores 1 2 e 3

E5 ndash Na figura ao lado a ddp da bateria eacute 10 S D- = 10 D$ = Damp = 2D- A chave eacute movida para a esquerda e somente depois que o capacitor 1 atingiu o equiliacutebrio a chave eacute movida para a direita Quando o equiliacutebrio eacute novamente atingido qual eacute a carga do capacitor 1

E6 ndash Um capacitor de placas paralelas com aacuterea J e espaccedilamento = eacute preenchido com vidro (6 = 267) Conectado a uma bateria o capacitor acumula carga C (a) Qual a energia armazenada no capacitor (b) Mantendo a bateria conectada a separaccedilatildeo entre as placas eacute aumentada para 2= (veja a figura) Qual a energia armazenada nessa nova situaccedilatildeo

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(F) Corrente e Resistecircncia

F1 ndash A figura ao lado mostra parte de um fio de cobre com diacircmetros =- = 4F e =$ = 8F por onde passa uma corrente uniforme = 4 e a diferenccedila de potencial ao longo desse comprimento eacute20 S O

nuacutemero de portadores de carga por unidade de volume eacute 849 times 10$N amp Qual eacute a velocidade de deriva dos eleacutetrons de conduccedilatildeo na porccedilatildeo do fio com diacircmetro =$

F2 ndash No circuito ao lado qual a magnitude e direccedilatildeo das correntes nos resistores F- F$ e Famp Para isso considere que ℇ- = 6 S ℇ$ = 12 SF- = 100 Ω F$ = 200 Ω Famp = 300 Ω O ciruito estaacute aterrado e nesse ponto S = 0 Qual eacute o potencial eleacutetrico no ponto A

F3 ndash Calcule a potecircncia total dissipada em cada circuito Considere que todas as resistecircncias satildeo iguais e as baterias satildeo ideais Expresse suas respostas em termos de ℇ e F

F4 ndash Se dois fios de mesmo comprimento um de cobre e outro de alumiacutenio apresentam a mesma resistecircncia qual deve ser a razatildeo entre seus raios

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F5 ndash No circuito ao lado a potecircncia dissipada no resistor R eacute 20 a Qual o valor de R Qual a ddp entre os pontos A e B

F6 ndash A corrente medida por um amperiacutemetro A no circuito ao lado eacute a mesma quando ambas as chaves estatildeo abertas ou fechadas Qual o valor da resistecircncia R

F7 ndash Determine o valor da corrente que passa por cada um dos resistores a potecircncia fornecida por cada uma das fontes de tensatildeo e a potecircncia dissipada por cada um dos resistores Faccedila o balanccedilo energeacutetico do circuito

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F8 ndash No circuito ao lado a chave S permanece fechada por um longo tempo e a corrente no circuito atinge um valor constante Considere D- = 3 D$ = 6 F- = 4Ω e F$ = 7Ω A potecircncia dissipada em F$ eacute 24a (a) Determine as cargas em D- e D$ (b) Abrindo a chave S e aguardando um longo tempo qual a mudanccedila observada na carga do capacitor 2

F9 ndash Num circuito RC seacuterie como o da figura ao lado D = 1 F = 2 times 10bΩ e ℇ = 10S Dez segundos depois que a chave foi fechada determine (a) a carga no capacitor (b) a corrente no resistor (c) a taxa com que a energia eacute armazenada no capacitor (d) a taxa com que a bateria fornece energia para o circuito

F10 ndash Um capacitor eacute carregado atraveacutes de um resistor como mostra a figura no problema anterior Mostre que metade da energia fornecida pela bateria aparece como energia interna no resistor e a outra metade como energia eleacutetrica no capacitor

F11 ndash Um capacitor duas fontes ideais dois resistores e uma chave S satildeo mostrados no circuito da figura ao lado Suponha D = 12 ℇ- = 15 S ℇ$ = 30 S F- = 05 Ω e F$ = 08 Ω (a) Se a chave S permanece aberta por um longo tempo qual a carga no capacitor (b) Qual a carga no capacitor se a chave S permanece fechada por um longo tempo

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F12 ndash No circuito ao lado a bateria fornece 10 S o capacitor eacute de 1 e os resistores tecircm as resistecircncias indicadas na figura O circuito estaacute ligado haacute um longo tempo (a) Qual a ddp entre os terminais do capacitor (b) Se a bateria for desconectada quanto tempo levaraacute para que essa ddp atinja um deacutecimo do valor inicial

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(G) Campo Magneacutetico

G1 ndash Um proacuteton atravessa uma regiatildeo de campo magneacutetico uniforme = lang10 20 30rang 13 No tempo c- o proacuteton tem uma velocidade d = langde df 2rang e a forccedila magneacutetica sobre o proacuteton eacute g = lang4 times 10-h minus2 times 10-h 0rang H Nesse instante qual o valor de de e df

G2 ndash Um proacuteton viaja atraveacutes de uma regiatildeo de campo eleacutetrico e

magneacutetico uniformes onde = langminus25 0 0rang 13 Num certo instante a velocidade do proacuteton eacute d = lang0 2000 0rang Qual a forccedila resultante que age sobre o proacuteton se o campo eleacutetrico for

(a) A = lang0 0 4rang S (b) A = lang0 0 minus4rang S ou

(c) A = lang4 0 0rang S

G3 ndash Uma espira retangular de lados e estaacute numa regiatildeo de campo

magneacutetico perpendicular ao plano da espira e eacute percorrida por uma corrente i constante conforme mostra a figura ao lado Determine o torque sobre a espira

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G4 ndash Dois trilhos de metal separados por uma distacircncia = = 256 estatildeo ligados a uma bateria No momento em que uma barra de metal de massa = 241 8 eacute colocada sobre os trilhos (c = 0) ela fecha o circuito e por ela passa uma corrente i = 913 J O conjunto estaacute numa regiatildeo onde existe um campo magneacutetico uniforme = 563 13 Qual a velocidade da barra 611 depois Em que direccedilatildeo ela se move

G5 ndash A figura ao lado mostra um cilindro de madeira de massa = 250 8 e comprimento 2 =10 onde foi enrolado um fio formando uma espira de 10 voltas O cilindro eacute posicionado de forma que o eixo da espira estaacute perpendicular ao plano inclinado (paralelo agrave normal do plano

inclinado) Nessa regiatildeo haacute um campo magneacutetico = lang0 05 0rang 13 Qual deve ser o valor miacutenimo da corrente na espira capaz de manter o cilindro em sua posiccedilatildeo evitando que ele role para baixo

G6 ndash A figura ao lado mostra um iacutematilde e um anel condutor de raio por onde passa uma corrente i Se o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde faz um acircngulo O com a vertical na posiccedilatildeo onde estaacute o anel qual eacute a magnitude e a direccedilatildeo da forccedila resultante sobre o anel

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G7 ndash Uma barra de metal com densidade de massa B (massa por unidade de comprimento) apresenta uma corrente i (saindo da paacutegina) A barra estaacute suspensa por dois fios num campo magneacutetico uniforme vertical como mostra a figura ao lado No equiliacutebrio os fios

fazem um acircngulo O com a vertical Qual a magnitude do campo magneacutetico

G8 ndash Um proacuteton com energia cineacutetica de 6 jS se move no plano da paacutegina e entra numa regiatildeo de campo magneacutetico = 1 13 direcionado para dentro da paacutegina como mostra a figura ao lado

O proacuteton entra na regiatildeo de campo com o vetor velocidade fazendo um acircngulo O- = 35deg com a borda da regiatildeo Qual eacute a distacircncia entre o ponto de entrada e saiacuteda ( na figura) Qual o valor de O$

G9 ndash Considere um eleacutetron orbitando um proacuteton numa trajetoacuteria circular de raio F = 529 times 10-- devido agrave atraccedilatildeo Coulombiana Considere o sistema como se fosse um anel por onde passa uma corrente Qual seraacute o torque resultante quando o sistema for colocado numa regiatildeo de campo magneacutetico = 04 13 perpendicular ao momento magneacutetico do anel

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G10 ndash Um fio por onde passa uma corrente i foi moldado num formato semicircular de raio F e uma reta de comprimento 2F como mostra a figura ao lado Nessa mesma regiatildeo haacute um campo magneacutetico que aponta na direccedilatildeo + (representado pelos pontos azuis na figura ao lado) Mostre que a

forccedila resultante sobre o fio eacute zero

G11 ndash Um condutor ciliacutendrico longo de raio conteacutem duas cavidades cada uma com diacircmetro ao longo de todo o comprimento do fio Uma visatildeo da seccedilatildeo transversal do fio eacute mostrada na figura ao lado Uma corrente i uniforme (considerando a porccedilatildeo soacutelida do material) passa atraveacutes do fio e aponta para fora da paacutegina Determine a magnitude e direccedilatildeo do campo

magneacutetico em funccedilatildeo de 7 i e no ponto P

G12 ndash Dois fios muito longos por onde passa corrente i de mesma magnitude estatildeo moldados conforme a figura ao lado

Mostre que o campo magneacutetico no centro do ciacuterculo de raio R eacute o mesmo que o

campo a uma distacircncia R abaixo de um fio reto muito longo por onde passa uma corrente i

Problemas Selecionados

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G13 ndash Encontre uma expressatildeo para determinar a magnitude do campo magneacutetico no ponto P da figura ao lado Dica considere a origem dos eixos cartesianos no ponto P

G14 ndash A figura ao lado mostra a seccedilatildeo transversal de um condutor oco de raio externo e interno por onde passa uma corrente uniforme i Demonstre que a magnitude do campo magneacutetico () para uma distacircncia lt lt eacute dada por

= 7i25($ minus $) $ minus $

G15 ndash A figura ao lado mostra um cabo coaxial de raios e Correntes opostas de igual magnitude estatildeo distribuiacutedas nos dois condutores Derive uma expressatildeo para calcular o campo magneacutetico () na regiatildeo (a) lt (b) lt lt (c) lt lt e (d) gt

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G16 ndash Um fio condutor por onde passa uma corrente i foi torcido para formar um loop de raio R (no plano da paacutegina) como mostra a figura abaixo Qual a direccedilatildeo do campo magneacutetico no

centro do loop Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico no centro do loop

G17 ndash Uma corrente i passa por um fio condutor ciliacutendrico de raio R como mostra a figura ao lado A densidade de corrente l natildeo eacute uniforme atraveacutes da seccedilatildeo transversal do fio mas obedece agrave funccedilatildeo l = onde eacute uma constante Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico (a) a uma distacircncia - lt F e (b) a uma distacircncia $ gt F(em relaccedilatildeo ao centro do condutor)

G18 ndash Um fio condutor muito longo por onde passa uma corrente i- estaacute parcialmente envolto por um loop por onde passa uma corrente i$ (figura ao lado) O loop fio foi moldado num formato semiciliacutendrico de raio R e o comprimento L O fio condutor passa pelo eixo do loop Calcule a forccedila magneacutetica exercida sobre o loop

G19 ndash Considere um solenoide de comprimento 2 e raio F contendo H voltas de um fio por onde passa uma corrente i (a) Determine uma expressatildeo para

o campo magneacutetico num ponto ao longo do eixo do solenoide do lado de fora do solenoide como funccedilatildeo da distacircncia ateacute uma das pontas (considere = 0 no centro do solenoide e = a distacircncia do centro ateacute o ponto onde estaacute sendo calculado o campo ) (b) Mostre que para

Problemas Selecionados

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valores muito grandes de 2 e = = 0 se aproxima de = 7i H 2frasl para posiccedilotildees ao longo do eixo no interior do solenoide distante das bordas

G20 ndash A figura ao lado mostra um fio moldado para formar duas seccedilotildees retas e um quarto de ciacuterculo por onde passa corrente i Determine o campo magneacutetico (vetor) no ponto P

G21 ndash Um fio ciliacutendrico espesso de raio eacute percorrido por uma corrente i Determine uma expressatildeo para o

campo magneacutetico dentro e fora do fio considerando que (a) a corrente estaacute distribuiacuteda uniformemente sobre a superfiacutecie externa do fio (b) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio com densidade de corrente l constante (c) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio de forma que a densidade de corrente l eacute proporcional agrave distacircncia ateacute o eixo do fio

G22 ndash Considere dois solenoides coaxiais cada um conduzindo uma corrente i em direccedilotildees opostas O solenoide interno de raio possui gt- voltas por unidade de comprimento o

solenoide externo possui raio e gt$ voltas por unidade de

comprimento Determine (a) no interior do conjunto (b) entre eles e (c) fora deles

G23 ndash Um fio condutor longo e reto de raio F conduz uma corrente natildeo uniforme cuja densidade de corrente eacute l = l7 Ffrasl onde l7 eacute uma constante A corrente total eacute i (a) Determine uma expressatildeo para i

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em funccedilatildeo de l7 e F (b) Determine uma expressatildeo para o campo magneacutetico no interior do fio para uma distacircncia

G24 ndash A figura ao lado mostra um toroide que consiste num solenoide fechado em forma de anel (a) Considerando a simetria explique qual deve ser o formato do campo magneacutetico no interior desse toroide (b) Considere o toroide compacto (a separaccedilatildeo entre cada volta do fio eacute pequena) com N voltas conduzindo uma corrente i Usando a lei de Ampeacutere determine a magnitude do campo magneacutetico num ponto interno ao toroide a uma distacircncia do eixo principal (ver figura ao lado) (c) O campo magneacutetico no interior do toroide eacute um campo uniforme Explique

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(H) Lei de Faraday

H1 ndash A figura ao lado mostra dois aneis cujos eixos estatildeo alinhados separados por uma distacircncia x O anel maior tem raio F o anel menor tem raio Os aneis estatildeo separados por uma distacircncia ≫ F e por isso o campo magneacutetico devido agrave corrente no anel de raio F eacute praticamente uniforme no anel menor Considere que a distacircncia estaacute aumentando a uma taxa constante = =cfrasl = d (a) Determine uma expressatildeo para o fluxo de campo magneacutetico atraveacutes do anel menor como funccedilatildeo de Encontre uma expressatildeo para (b) a fem induzida e (c) a direccedilatildeo da corrente no anel menor

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H2 ndash (a) Calcule o fluxo magneacutetico atraveacutes do retacircngulo mostrado na figura ao lado em funccedilatildeo de = i (b) Avalie o resultado encontrado para = 5 = 10 = = 2 e i = 20 J

H3 ndash Uma espira plana e circular de raio =75 estaacute em repouso numa regiatildeo de campo magneacutetico uniforme A espira estaacute orientada de tal forma que o campo magneacutetico aponta para cima

e faz um acircngulo de 30deg com a normal da espira O campo varia com

o tempo de acordo com (c) = 14(77nho) 13 (a) Determine a fem induzida na espira em funccedilatildeo do tempo (b) Para que valor de c a fem induzida eacute igual a um deacutecimo do seu valor inicial Determine o sentido da corrente induzida na espira se observada por cima da espira

H4 ndash Um retacircngulo que mede 30 times 40 estaacute localizado no interior de um campo magneacutetico uniforme de 125 13 com o campo perpendicular ao plano da bobina A bobina se move perpendicular ao campo com velocidade constante d =2 inclusive atingindo a regiatildeo

onde o campo termina abruptamente como mostra a figura ao lado Determine a fem induzida nessa bobina quando ela estaacute (a) inteiramente no interior do campo (b) parcialmente no interior do campo e (c) inteiramente fora do campo

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H5 ndash O fio na figura ao lado conduz

uma corrente i(c) = i7po onde gt 0 Determine o sentido da corrente induzida na bobina (horaacuterio ou anti-horaacuterio) para c gt 0

H6 ndash A figura ao lado mostra uma espira circular de raio contendo uma resistecircncia e um capacitor ligados em seacuterie imerso numa regiatildeo onde um campo magneacutetico uniforme (no espaccedilo) entrando no plano na paacutegina decresce no tempo a uma taxa constante = =cfrasl = minus sendo uma constante positiva (a) Qual a carga no capacitor quando ele estaacute completamente carregado (b) Qual das placas do capacitor estaacute em potencial mais elevado (c) Qual a origem da forccedila que causa a separaccedilatildeo de cargas

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(I) Indutacircncia

I1 ndash No circuito ao lado ℰ = 100 SF- = 10 Ω F$ = 20 Ω Famp = 30 Ω e 2 = 2 H Ao fechar a chave S quais os valores de i- e i$ Considere positivo o sentido das correntes indicadas na figura Muito tempo

depois quais satildeo os valores de i- e i$ A chave eacute entatildeo aberta Nesse instante quais satildeo os valores de i- e i$ E muito tempo depois quais satildeo os valores de i- e i$

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I2 ndash Num circuito LC em seacuterie a carga inicial do capacitor eacute C e ele estaacute sendo descarregado Quando a carga no capacitor eacute igual a C 2frasl qual eacute o fluxo magneacutetico que atravessa cada uma das N espiras do indutor (como funccedilatildeo de C H 2 e D)

I3 ndash Uma bobina possui N voltas e estaacute envolvendo um solenoide longo de raio r com n espiras por unidade de comprimento (figura ao lado) (a) Mostre que a indutacircncia muacutetua do sistema eacute dada por j = 75F$gtH (b) Explique por que M natildeo depende do formato tamanho ou possiacutevel falta de proximidade das espiras na bobina

I4 ndash A fem autoinduzida num solenoide de indutacircncia L varia no tempo conforme ℇ(c) = ℇ7so Levando em consideraccedilatildeo que a carga eacute finita (ou seja i = 0 quando c = infin) determine a carga total que passa pelo solenoide (que atravessa um determinado ponto no fio que compotildee o solenoide)

I5 ndash Um fio condutor foi enrolado num papelatildeo formando um toroide com N espiras (voltas) raio menor r e maior R A seccedilatildeo transversal do toroide eacute mostrada na figura ao lado Se F ≫ o campo magneacutetico no interior do toroide eacute essencialmente o mesmo que o campo no interior de um solenoide muito longo que tenha sido

moldado no formato de um ciacuterculo de raio R Modelando o campo como se fosse o campo uniforme de um solenoide longo mostre que a indutacircncia desse toroide eacute

aproximadamente 2 asymp -$ 7H$ LMu

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I6 ndash Um indutor consiste em duas cascas ciliacutendricas concecircntricas como mostra a figura A casca interna tem raio e a externa tem raio ambas com comprimento ℎ A casca interna transporta uma corrente i para fora e a externa para dentro do plano da paacutegina com igual magnitude Calcule na regiatildeo lt lt (a) a densidade de energia magneacutetica (b) a indutacircncia

I7 ndash Mostre que i(c) = i7o wx eacute a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial iF + 2 yzyo = 0 onde i7 eacute a corrente em c = 0 e = 2 Ffrasl

I8 ndash Um fio condutor de raio R transporta uma corrente uniforme A corrente total no fio eacute i Mostre que a energia magneacutetica por unidade de comprimento dentro do fio eacute dada por 7i$ 165frasl

I9 ndash Um cabo coaxial eacute formado por dois cilindros condutores de paredes finas com raios - e $ As correntes nos dois cilindros satildeo iguais em magnitude mas com sentidos opostos (a) Use a lei de Ampeacutere para determinar o campo magneacutetico como funccedilatildeo da distacircncia ao eixo do cabo nas regiotildees (0 lt lt -) ( - lt lt $ ) e ( gt $) (b) Mostre que a densidade de energia magneacutetica na regiatildeo entre os cilindros eacute dada por

| = 12 745 i$(5$)-

(c) Mostre que a energia magneacutetica total num volume de cabo com comprimento ~ eacute dada por

Problemas Selecionados

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= i$~ ln LML

(d) Mostre que a autoindutacircncia por unidade de comprimento do cabo eacute dada por

2~ = 725 ln $-

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(J) Corrente Alternada

J1 ndash A tensatildeo de uma fonte de corrente alternada eacute dada por ∆d = 120gt(30 5c) onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A fonte eacute conectada a um indutor de 05 Determine (a) a frequecircncia da fonte (b) a voltagem rms no indutor (c) a reatacircncia indutiva do circuito (d) a corrente rms no indutor e (e) a corrente maacutexima no indutor

J2 ndash Uma fonte de tensatildeo alternada fornece uma tensatildeo ∆d = 98gt(80 5c) a um capacitor onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A corrente maacutexima no circuito eacute 05 J Determine (a) a tensatildeo rms da fonte (b) a frequecircncia da fonte e (c) o valor da capacitacircncia

J3 ndash Um circuito AC eacute composto por um resistor de 250 Ω um indutor de 15 um capacitor de 35 e uma fonte de tensatildeo alternada com amplitude de 45 S operando com frequecircncia angular = 360 = frasl (a) Qual eacute o fator de potecircncia do circuito (b) Determine a potecircncia meacutedia aparente (S) fornecida ao circuito (c) Qual eacute a potecircncia meacutedia ativa (P) dissipada no resistor Qual eacute a potecircncia meacutedia reativa (Q) que fica armazenada no circuito

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J4 ndash Cinco voltiacutemetros com impedacircncia muito grande ajustados para ler valores rms estatildeo conectados conforme a figura ao lado Sendo F =200 Ω 2 = 04 H D = 6 e ∆S = 30 Vqual eacute a leitura da tensatildeo em cada voltiacutemetro se (a) = 200 = frasl e (b) =1000 = frasl

J5 ndash Num circuito RLC 2 = 028 e D = 4 A fonte fornece uma voltagem com amplitude de 120 S Qual eacute a frequecircncia angular de ressonacircncia do circuito (b) Quando a fonte opera na frequecircncia angular de ressonacircncia a amplitude da corrente no circuito eacute 17 J Qual a resistecircncia do resistor (c) Na frequecircncia angular de ressonacircncia quais satildeo as voltagens de pico no indutor capacitor e resistor

J6 ndash O circuito ao lado conteacutem uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal conforme ℇ = ℇgt(c) No estado de equiliacutebrio temos as correntes mostradas no circuito Sem recorrer a uma matemaacutetica complicada responda (a) Quais os valores de u e quando = 0 (frequecircncia zero significa que

a fonte foi substituida por uma bateria ideal) (b) Quais os valores de u e quando rarr infin (c) Qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia

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J7 ndash Um indutor um capacitor e um resistor estatildeo conectados em seacuterie a uma fonte de tensatildeo alternada Se os valores da resistecircncia capacitacircncia e indutacircncia forem duplicados o que aconteceraacute com (a) a frequecircncia angular de ressonacircncia (b) a reatacircncia indutiva (c) a reatacircncia capacitiva e (d) a impedacircncia

J8 ndash O circuito abaixo eacute formado por uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal variando conforme ℇ = ℇgt(c) uma resistecircncia F = 6 Ω e uma parte desconhecida que pode conter um indutor um capacitor ou ambos A amplitude da fonte eacute ℇ = 6 S Quando a frequecircncia angular = 2 = a corrente estaacute em fase com a fonte enquanto que para = 1 = a corrente estaacute fora de fase em relaccedilatildeo agrave fonte por exatamente 5 4frasl (a) Quais componentes estatildeo presentes na parte desconhecida (um indutor um capacitor ou ambos) Explique (b) Determine os valores dos componentes desconhecidos

J9 ndash Um circuito em seacuterie possui impendecircncia de 60 Ω e fator de potecircncia igual a 072 em 50 A tensatildeo da fonte estaacute atrasada em relaccedilatildeo agrave corrente (a) Que elemento do circuito (um indutor ou um capacitor) deve ser ligado em seacuterie com o circuito para aumentar o fator de potecircncia (b) Qual deve ser o valor desse elemento para que o fator de potecircncia seja igual a 1 (c) Apresente diagramas de fasores esquemaacuteticos para o circuito antes e depois da ligaccedilatildeo do novo elemento

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O PROCESSO DE MEDIDA NO LABORATOacuteRIO DE FIacuteSICA

Natildeo satildeo raros eventos em que nos valemos de medidas para tomarmos decisotildees Medimos nossa temperatura corporal para avaliarmos se necessitamos de tratamento Medimos a pressatildeo manomeacutetrica dos pneus para avaliarmos se precisamos injetar ou retirar ar neles Consultamos medidas da temperatura ambiente para escolhermos a roupa que vestiremos Consultamos o horaacuterio (medida de tempo) para natildeo chegarmos atrasados em encontros Medidas satildeo portanto fundamentais em nossas vidas No entanto usualmente natildeo nos preocupamos muito com a precisatildeo dessas medidas Em grande parte das vezes natildeo nos interessa saber se o horaacuterio informado no reloacutegio estaacute um pouco atrasado ou adiantado Natildeo nos preocupamos em saber o quanto podemos confiar nas temperaturas coletadas com um determinado termocircmetro Nossas medidas comumente satildeo realizadas de forma despretensiosa sem muito rigor

No laboratoacuterio de Fiacutesica isso ocorre de modo muito diferente Os processos de mediccedilatildeo satildeo mais minuciosos do que os que realizamos costumeiramente Desejamos obter a maior precisatildeo possiacutevel com os equipamentos de que dispomos Mas como fazer isso Como podemos melhorar a precisatildeo dos processos de mediccedilatildeo Intuitivamente podemos concluir que inferecircncias realizadas a partir de um conjunto de medidas satildeo mais precisas do que medidas isoladas Mas quando disponho de um conjunto de medidas como posso analisaacute-las Calcular a meacutedia delas eacute suficiente Responder a questotildees como essas eacute o objetivo desta atividade Para exemplificarmos todo esse processo realizaremos um debate sobre a mediccedilatildeo da resistecircncia interna de amperiacutemetros

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O que satildeo amperiacutemetros

Um amperiacutemetro eacute um instrumento utilizado para a realizaccedilatildeo de medidas de correntes eleacutetricas Evidentemente natildeo queremos modificar os circuitos quando os exploramos com um instrumento Com amperiacutemetros natildeo eacute diferente Queremos medir correntes eleacutetricas sem alterar as caracteriacutesticas do circuito Mas como eacute possiacutevel fazer isso Natildeo discutiremos aqui os detalhes sobre o funcionamento interno de um amperiacutemetro No entanto vamos avaliaacute-los do ponto de vista de uma das suas caracteriacutesticas mais importantes a sua resistecircncia eleacutetrica

A resistecircncia eleacutetrica de um circuito influencia na intensidade da corrente eleacutetrica que circula nele A corrente eleacutetrica i que perpassa por uma resistecircncia eleacutetrica F submetida a uma tensatildeo ∆S por exemplo pode ser predita pela seguinte relaccedilatildeo

i = ∆u Eq 1

O amperiacutemetro precisa ser posicionado em seacuterie no circuito em que se deseja medir a corrente eleacutetrica como eacute exemplificado na figura

Figure 1- Medindo a resistecircncia interna de um multiacutemetro

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1 Como a resistecircncia equivalente em circuitos em seacuteries eacute a soma da resistecircncia eleacutetrica de cada um dos seus componentes a resistecircncia interna dos amperiacutemetros se soma agrave resistecircncia equivalente do circuito investigado alterando a sua dinacircmica Por isso nosso desejo eacute que os amperiacutemetros tenham resistecircncia eleacutetrica nula No entanto a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro real por menor que seja nunca eacute nula Eles possuem um circuito interno com fios e diversos componentes eletrocircnicos que acabam provocando uma resistecircncia agrave circulaccedilatildeo de corrente eleacutetrica Ainda assim frequentemente desprezamos tal resistecircncia Seraacute que isso eacute razoaacutevel Quando podemos desprezar a resistecircncia interna dos amperiacutemetros e quando natildeo podemos Para respondermos tais perguntas precisamos conhecer o valor da resistecircncia interna tiacutepica de um amperiacutemetro

Medindo a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro

Nesta disciplina usaremos diversos amperiacutemetros de uma mesma marca e modelo em uma seacuterie de experimentos (Minipa ET-2075B) Por isso eacute interessante que conheccedilamos a resistecircncia eleacutetrica deles para podermos avaliar quando podemos desprezaacute-la e quando natildeo Mas como podemos obter essa informaccedilatildeo Podemos medi-la Um procedimento simples para isso eacute submeter o amperiacutemetro a uma diferenccedila de potencial ΔV conhecida e medir a corrente eleacutetrica i que passa por ele Desse modo podemos usar a Eq 1 para inferir a resistecircncia eleacutetrica do equipamento Mas podemos confiar em uma uacutenica medida Depende da precisatildeo de que necessitamos para essa medida Intuitivamente sabemos que se medirmos a resistecircncia interna a partir de um conjunto de dados poderemos ter uma maior confiabilidade nos dados No exemplo de que estamos tratando eacute possiacutevel se coletar dados da corrente no amperiacutemetro quando submetido a diferentes tensotildees Desse modo pode-se inferir a resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro pela declividade da reta constituiacuteda

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pelos dados representados em um graacutefico da tensatildeo em funccedilatildeo da corrente eleacutetrica como pode ser constatado da Eq1 No entanto como temos incertezas associadas a cada dado experimental coletado esses dados natildeo seratildeo perfeitamente representados por uma reta Surge entatildeo uma nova questatildeo qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados

Ajuste de Curvas

Diversas retas podem ser ajustadas a um conjunto de dados experimental Qual delas utilizar Intuitivamente podemos conjecturar que a melhor reta a ser utilizada eacute aquela tal que a soma das diferenccedilas entre os valores de tensatildeo medidos e os preditos pela reta tenha o menor valor possiacutevel Em outras palavras queremos minimizar a soma

sum = = (∆Sz minus ∆S)z-

onde ∆Sz satildeo as tensotildees medidas e ∆S satildeo as tensotildees preditas pela reta ajustada

No entanto haacute um inconveniente importante no uso desse criteacuterio tal soma pode ser bem pequena para retas que natildeo apresentam bom ajuste aos dados se as diferenccedilas entre os valores medidos e os preditos se cancelarem sendo alguns positivos e outros negativos Nesses casos apesar de natildeo termos uma reta bem ajustada aos dados o criteacuterio utilizado

indicaria que sim Como resolver isso Elevando os valores de dn ao

Figura 1 - Diferenccedila de potencial em funccedilatildeo

da corrente

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quadrado Ou seja podemos procurar a reta tal que a seguinte soma tenha o menor valor possiacutevel

sum =$ = (∆Sz minus ∆S)$z-

O meacutetodo que utiliza esse criteacuterio para a realizaccedilatildeo de ajustes de curvas que eacute amplamente utilizado no meio acadecircmico eacute denominado Meacutetodo dos Miacutenimos Quadrados Todos os softwares do tipo planilha eletrocircnica realizam esse caacutelculo automaticamente e nos valeremos disso quando necessaacuterio

Todos os amperiacutemetros da sala possuem a mesma resistecircncia interna

Ainda que todos os amperiacutemetros que utilizaremos nas nossas aulas sejam da mesma marca e modelo eles possuem diferentes resistecircncias internas Existe alguma forma de estimar a resistecircncia interna de um desses amperiacutemetros escolhido aleatoriamente Calcular a meacutedia das resistecircncias eacute suficiente para realizar essa estimativa

Variabilidade das medidas o desvio padratildeo amostral e da meacutedia

Apesar de as resistecircncias dos amperiacutemetros natildeo serem exatamente as mesmas elas possuem valores que se distribuem em torno de um valor meacutedio que eacute igual agrave meacutedia dessas resistecircncias Desse modo se tomarmos um dos amperiacutemetros aleatoriamente o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute igual agrave meacutedia das resistecircncias internas de todos os amperiacutemetros Mas quanto podemos confiar nessa estimativa Para respondermos tal pergunta eacute importante quantificarmos a variabilidade das resistecircncias r que medimos Quanto menor for essa variabilidade maior seraacute a nossa confianccedila para assumir que a resistecircncia interna de um amperiacutemetro particular eacute igual agrave meacutedia Intuitivamente podemos conjecturar que tal variabilidade pode ser medida pelo somatoacuterio das diferenccedilas entre as resistecircncias

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medidas z e a meacutedia dessas resistecircncias ou seja por (- minus ) + ($ minus ) + ⋯ + ( minus ) onde N eacute o nuacutemero de medidas realizadas No entanto temos aqui um inconveniente semelhante ao que tivemos quando analisaacutevamos ajustes de curvas se valores positivos e negativos se cancelarem esse somatoacuterio pode ser muito pequeno mesmo quando os dados apresentam grande variabilidade Podemos propor a mesma soluccedilatildeo adotada anteriormente vamos elevar os termos ao quadrado Temos entatildeo a variabilidade dos dados sendo mensurada por (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$

A impossibilidade de comparaccedilatildeo entre as variabilidades de diferentes conjuntos de dados eacute a limitaccedilatildeo desta proposta pois o resultado desse somatoacuterio eacute altamente dependente da quantidade de termos Desse modo eacute possiacutevel que esse somatoacuterio seja maior para grandes conjuntos com pouca variabilidade do que para pequenos grupos com grande variabilidade Para amenizar tal limitaccedilatildeo podemos entatildeo dividir o somatoacuterio por N ou seja calcular a variabilidade por(- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$ Hfrasl Ainda que esse somatoacuterio seja conceitualmente interessante natildeo eacute essa a medida de dispersatildeo de dados que costuma ser utilizada no meio cientiacutefico mas algo que guarda alguma semelhanccedila com ele o desvio padratildeo dos dados (P) Ele eacute calculado por

PL = (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$H minus 1

Mas por que utilizamos essa equaccedilatildeo A resposta estaacute em suas propriedades Quando construiacutemos um histograma (graacutefico de frequecircncias) de um conjunto de medidas por exemplo podemos em muitos casos assumir que a distribuiccedilatildeo desses dados eacute representada por uma distribuiccedilatildeo normal A equaccedilatildeo que define essa distribuiccedilatildeo assim como sua representaccedilatildeo graacutefica eacute ilustrada na Figura 3

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Natildeo eacute nosso objetivo aqui discutir detalhes da distribuiccedilatildeo normal O que desejamos destacar eacute que quando supomos que a distribuiccedilatildeo de um conjunto de dados eacute normal o que eacute bastante razoaacutevel na maioria das vezes o desvio padratildeo σ quantifica como os dados estatildeo distribuiacutedos Para entendermos isso analisemos a Figura 4

O intervalo compreendido pela meacutedia das medidas mais ou menos um desvio padratildeo compreende 68 das medidas realizadas No caso que estamos exemplificando se tomarmos a meacutedia das resistecircncias internas r de todos os amperiacutemetros investigados e o desvio padratildeo PL desses dados 68 das medidas estaratildeo no intervalo entre ( minus PL) e ( + PL) 95 no intervalo ( 2PL) e 99 no intervalo ( 257PL)

Figura 2 - A distribuiccedilatildeo normal eacute usualmente utilizada para representar a distribuiccedilatildeo

de frequecircncias de um conjunto de dados (Lima Jr et al 2013 p 30)

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Agora jaacute sabemos como quantificar a variabilidade de um conjunto de dados Podemos entatildeo calcular a meacutedia e o desvio padratildeo das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros Mas surge entatildeo uma questatildeo Se analisaacutessemos um novo conjunto de amperiacutemetros da mesma marca e modelo dos exemplificados aqui a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros seria a mesma Provavelmente natildeo Temos como estimar a partir do conjunto de medidas que realizamos a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros Temos Para responder a essa questatildeo temos que compreender um novo conceito o de desvio padratildeo da meacutedia (PL) Ele eacute calculado por

PL = PLradicH

Natildeo vamos entrar em detalhes aqui sobre a origem do conceito de desvio padratildeo da meacutedia1 vamos apenas explicar como essa grandeza nos permite estimar a incerteza na meacutedia de um conjunto de medidas Para isso vamos supor um novo conjunto de N novas

1 Se vocecirc eacute um aluno curioso pesquise sobre o Teorema Central do Limite para compreender com mais profundidade o conceito de desvio padratildeo da meacutedia

Figura 3 - A meacutedia e o desvio padratildeo demarcam a distribuiccedilatildeo dos dados em uma

distribuiccedilatildeo normal Na figura o eixo das abcissas expressa a distacircncia da meacutedia em

unidades de desvio padratildeo (Lima Jr et al 2013 p 30)

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medidas da resistecircncia interna de amperiacutemetros como os investigados nesta aula Qual seria a meacutedia dessas medidas Assim como o desvio padratildeo dos dados quantifica a dispersatildeo dos dados em torno da meacutedia o desvio padratildeo da meacutedia quantifica a dispersatildeo das meacutedias de subconjuntos de dados em torno da meacutedia de todo o conjunto de dados Aplicando esse conceito ao nosso exemplo podemos interpretar os dois conjuntos de medidas de resistecircncias internas como subconjuntos de um grande conjunto contendo todas as medidas Desse modo podemos afirmar com 68 de confianccedila que a meacutedia das N novas medidas a serem realizadas estaraacute no intervalo compreendido por ( PL) com 95 de confianccedila no intervalo ( 2PL) e com 99 de confianccedila no intervalo ( 257PL) O desvio padratildeo da meacutedia pode ser compreendido assim como a incerteza da meacutedia de um conjunto de medidas ou seja ele nos fornece uma estimativa da confiabilidade de uma meacutedia Em suma se escolhermos um amperiacutemetro aleatoriamente podemos dizer que i) o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute a meacutedia das resistecircncias de todos os amperiacutemetros e ii) a incerteza que temos nesse valor eacute igual ao desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias dos amperiacutemetros

E se eu soacute tivesse condiccedilotildees de realizar uma uacutenica medida

Nem sempre podemos realizar diversas medidas de uma grandeza Em alguns casos nem mesmo faz sentido realizar diversas medidas No entanto eacute evidente que existe uma incerteza associada a uma uacutenica medida Natildeo existem instrumentos que sejam perfeitamente precisos Entatildeo como podemos estimar essa incerteza Usualmente os manuais dos instrumentos trazem informaccedilotildees sobre isso Desse modo as incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica realizadas com um voltiacutemetro e um amperiacutemetro podem ser consultadas no manual do multiacutemetro utilizado Mas como eacute calculada a incerteza da resistecircncia interna de um amperiacutemetro que foi calculada a partir de

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apenas uma medida de tensatildeo e uma de corrente eleacutetrica Nesse caso precisamos calcular a incerteza propagada das incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica

Os meacutetodos de caacutelculo de incertezas propagadas podem ser bastante complicados Aqui trataremos de um meacutetodo bastante simples usualmente denominado de Meacutetodo dos Limites Vamos exemplificaacute-lo supondo que a incerteza da tensatildeo sobre as entradas do amperiacutemetro eacute P- e da corrente eleacutetrica que circula por ele eacute P$ Ou seja a tensatildeo medida estaacute no intervalo entre ∆S minus P- e ∆S + P- e a corrente eleacutetrica entre i minus P$ e i + P$ Qual eacute entatildeo a incerteza da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro investigado Para responder isso basta calcularmos os valores limites dessa grandeza O maacuteximo valor possiacutevel para a resistecircncia ocorreraacute se a tensatildeo for ∆S + P- e a corrente eleacutetrica for i minus P$ Nesse caso usando a Eq 1 temos

aacutee = ∆S + P-i minus P$

Usando o mesmo raciociacutenio o valor miacutenimo de r seraacute

z = ∆S minus P-i + P$

Desse modo podemos dizer que o valor da resistecircncia interna medida estaacute no intervalo entre rmaacutex e rmiacuten Em outras palavras o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro eacute

F = iexclz + aacutee2 z minus aacutee2 cent

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Erro eacute a mesma coisa que incerteza

Apesar de serem frequentemente utilizados como sinocircnimos os manuais de metrologia atribuem significados distintos aos conceitos de ldquoerrordquo e ldquoincertezardquo O Guia para Expressatildeo da Incerteza da Mediccedilatildeo (Joint Commitee for Guide in Metrology 2008 apud Lima Jr et al 2013) usa o termo ldquoerrordquo para indicar a diferenccedila entre o valor verdadeiro e o resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo o conceito de erro tem uso restrito pois satildeo poucos os casos em que conhecemos o valor verdadeiro de uma grandeza Satildeo exemplos desses casos experimentos em que se deseja mensurar a velocidade da luz no vaacutecuo ou o valor de π que satildeo valores previamente conhecidos pelo experimentador O caacutelculo do erro soacute faz sentido para casos em que sabemos o valor verdadeiro da grandeza que se quer medir

A incerteza por outro lado eacute entendida como uma estimativa que quantifica a confiabilidade do resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo quando calculamos o desvio padratildeo da meacutedia de um conjunto de medidas estamos calculando a incerteza da meacutedia dessas medidas ou seja estamos avaliando a confianccedila que podemos ter em adotar a meacutedia dessas medidas como o valor da grandeza mensurada O conceito de incerteza portanto tem maior aplicabilidade do que o conceito de erro

Algarismos significativos e incerteza

Uma questatildeo frequente nas aulas de laboratoacuterio eacute Com quantos algarismos uma grandeza deve ser apresentada No laboratoacuterio a resposta dessa questatildeo eacute uma funccedilatildeo da incerteza da grandeza Devemos apresentar os dados ateacute o seu primeiro algarismo duvidoso Voltemos ao exemplo da resistecircncia interna dos amperiacutemetros Suponhamos que a meacutedia das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros eacute 21546 Ω e o desvio padratildeo dessa meacutedia que eacute

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entendido aqui como a incerteza da resistecircncia interna dos amperiacutemetros eacute 003 Ω Interpretando tais dados assumimos com 68 de certeza que a resistecircncia interna dos amperiacutemetros estaacute no intervalo entre 21246 e 21846 Ω Desse modo a segunda casa decimal da grandeza medida eacute duvidosa Por isso os algarismos subsequentes satildeo omitidos quando expressamos essa medida e a medida da resistecircncia interna dos amperiacutemetros exemplificados eacute exposta por (215 plusmn 003) Ω Em suma o resultado de uma mediccedilatildeo deve ser sempre expresso com a mesma quantidade de casas decimais que sua incerteza Os algarismos apresentados satildeo entatildeo chamados de algarismos significativos

Referecircncia

Lima Jr P Silva M T X Silveira F L Veit E A (2013) Laboratoacuterio de mecacircnica subsiacutedios para o ensino de Fiacutesica experimental Porto Alegre UFRGS Instituto de Fiacutesica Disponiacutevel em httphdlhandlenet1018390438

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Atividade de Laboratoacuterio I Instrumentos de medida e incertezas

Este material foi cuidadosamente preparado para auxiliar no andamento das atividades no laboratoacuterio de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo Eacute importante responder TODAS as perguntas

(indicadas pelo siacutembolo ) feitas ao longo do texto discutindo com seu grupo possiacuteveis respostas e justificando-as Sempre que possiacutevel faccedila isso por escrito

TAREFA 1

Construa um circuito contendo um resistor de 1 kΩ em seacuterie com uma fonte de tensatildeo contiacutenua e um multiacutemetro Coloque o multiacutemetro na funccedilatildeo amperiacutemetro na escala de miliampere Usando outro multiacutemetro meccedila a tensatildeo no amperiacutemetro Realize medidas com diferentes correntes eleacutetricas variando a tensatildeo de saiacuteda da fonte

Como podemos tratar esses dados se nosso objetivo eacute medir a resistecircncia interna do amperiacutemetro

Qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados

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Para responder essas questotildees se dirija a um dos computadores da sala e use um aplicativo que possibilite a construccedilatildeo de graacuteficos SciDavis por exemplo Insira seus dados no aplicativo construa o graacutefico desejado e encontre a melhor reta que se ajusta aos dados

Qual foi a melhor reta ajustada Determine a equaccedilatildeo dessa reta ajustada

Qual eacute o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro que vocecirc investigou

TAREFA 2

Utilize as medidas de todos os grupos da turma e aplique os conhecimentos abordados na tarefa de leitura para responder as seguintes questotildees

Qual deve ser a resistecircncia interna de um amperiacutemetro escolhido aleatoriamente entre os utilizados nesta aula

Qual eacute a incerteza desse valor

TAREFA 3

Suponha que o manual do Minipa ET-2075B informe que as medidas de tensatildeo e corrente realizadas nas faixas de milivolt e miliampere tecircm incerteza de 3 Use esses dados para calcular a

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incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1

Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma

Elas satildeo coerentes Por quecirc

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CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO

Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por

equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC

Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras

O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se

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extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo

No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador

Salvando vidas

ldquoafastem-se choquerdquo

Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de

sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos

O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo

Figura 4 - Desfibrilador

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esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)

Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma

sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o

miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia

Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2

2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387

Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)

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Circuito RC - seacuterie

Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C

Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que

∆S(c) + i(c)F = 0

Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo

i(c) = =C(c)=c

e a ddp no capacitor eacute dada por

∆S(c) = C(c)D

Dessa forma podemos dizer que

=C(c)=c = minus 1FD C(c)

Figura 6 - Circuito RC

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Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa

funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja

derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever

C(c) = C7 ou

A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial

Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir

Capacitor Carregando Capacitor Descarregando

∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0

C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou

∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou

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Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8

Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo

eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum

3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78

Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas

do capacitor durante o processo de

carga ou descarga

Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um

graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo

do tempo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no

capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte

Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor

quando o mesmo estaacute sendo carregado

Manual de Laboratoacuterio

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Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie

1 - Osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos

2 ndash Aparato Experimental

Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto

Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)

Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio

Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees

Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala

Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)

Manual de Laboratoacuterio

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TAREFA 1

Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees

Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico

Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito

Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito

Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos

Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio

TAREFA 2

Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie

Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)

Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados

Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo

NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo

Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste

Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito

Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito

Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles

Manual de Laboratoacuterio

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MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS

Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais

Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio

Para onde aponta a buacutessola

Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos

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polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc

E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial

tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos

que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a

soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio

4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja

httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4

Figura 10 - Buacutessola

Figura 11 - campo B resultante

Manual de Laboratoacuterio

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Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por

umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O

Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde

Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde

Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma

iacuteatilde() = ∙

onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde

5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass

The Physics Teacher 49(1) 45-48

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Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como

iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2

Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos

gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)

Logo

gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2

Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo

iacuteatilde() = amp

Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse

tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira

na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart

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pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do

que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute

yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp

onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico

da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos

yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp

Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3

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Atividade de Laboratoacuterio III Projeto

OBJETIVO

Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio

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SUGESTAtildeO 1

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO

Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas

Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece

Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha

Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo

por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o

eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte

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SUGESTAtildeO 2

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA

Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)

Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica

Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de

uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)

Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema

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SUGESTAtildeO 3

BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO

Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola

Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)

Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina

O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados

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SUGESTAtildeO 4

CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO

O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer

Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio

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MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO

Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro

Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental

6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089

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110 V 127 V e 220 V O que eacute isso

As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V

Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas

A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

(c) = Jgt(c + acute)

onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por

∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)

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onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1

Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho

Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores

Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por

∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf

∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712

∆Suparamiddot = ∆S7radic2

Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a

tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s

A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente

alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$

Figura 13 - Funccedilotildees seno e

seno quadrado

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COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA

Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz

Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O

Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio

Natildeo queremos jogar energia fora

Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14

Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie

Manual de Laboratoacuterio

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Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por

0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)

onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)

Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

ℇ(c) = ℇ7gt(c)

onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente

Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na

figura 16 para um caso em que VL gt VC

Figura 15 - Diagrama de fasores

de um circuito RLC seacuterie com

fonte de tensatildeo alternada

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

84

A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que

acute = c8 S minus SSu

Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado

por

i(c) = gt(c minus acute)

Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente

as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que

ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$

ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$

Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como

0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)

Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que

0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$

Figura 16 ndash Soma de fasores

Manual de Laboratoacuterio

85

0eacutey = F ∙ uparamiddot$

onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square

Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que

F = frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte

Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade

7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL

Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e

resistecircncia num diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

86

do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como

0 = AJradicAJ$ + AF$

O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP

DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11

Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia

Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por

acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita

Manual de Laboratoacuterio

87

2 = 1D

Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica

Figura 18 - diagramas de fasores representando

um circuito capacitivo e um circuito indutivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

88

Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie

O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio

TAREFA 1

Circuito Resistivo

Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR

Manual de Laboratoacuterio

89

Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)

O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador

Circuito Capacitivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

90

Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor

Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Manual de Laboratoacuterio

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Circuito Indutivo

Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor

O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

92

Circuito RLC

Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise

Manual de Laboratoacuterio

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O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador

Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio

O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior

Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor

Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou

A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

94

TAREFA 2

Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente

Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir

Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima

Qual o valor da corrente maacutexima no circuito

Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)

O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique

Manual de Laboratoacuterio

95

TAREFA 3

Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito

Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees

Como isso eacute possiacutevel Explique

Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff

Respostas

96

Respostas

A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32

A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH

A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH

B3 Ae = Af = AtildeAcircf

B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl

B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH

B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l

B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD

B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -

C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc

(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7

C2 O = ~13deg

C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)

Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-

vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr

Respostas

97

C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM

C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD

(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD

C6 A = Eacute$Acirc

C7 A = Atilde$AcircL

D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma

das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp

D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(

D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1

no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)

D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme

D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D

E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)

E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D

E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml

F1 544 times 10

F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S

F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM

u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM

u (e) 0 = ℇMu

F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω

Respostas

98

F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965

G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n

G5 i = Ograve$g = 245 J

G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y

G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez

G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H

G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)

G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)

G15 (a) zL$brvbarM (b)

z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero

G16 z$L + z$L = z$L - + 1

G17 (a) pLM

amp (b) pusup3

ampL

G18 zzMu

G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)

z

G20 zNu saindo da folha

G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)

UgraveLMamp

fora do fio (a) z$L (b)

UgravebrvbarM$L (c)

Ugravebrvbarsup3ampL

G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13

G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM

ampu

H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior

Respostas

99

H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a

H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J

I2 Φ = pound$ sup1amp

I4 C = AcircsM

I6 (a) zM

NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar

J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a

(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S

J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu

(c) = -radic

J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm

(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013

Respostas

100

Bibliografia

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Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il

Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il

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Problemas Selecionados

13

(B) Campo Eleacutetrico

B1 ndash Um iacuteon de Fe3+ estaacute localizado a 400 gt de um iacuteon de Cl- como mostra a figura ao lado (a) Qual a magnitude direccedilatildeo e sentido do campo

eleacutetrico A na posiccedilatildeo A (b) E na posiccedilatildeo B (c) Se um eleacutetron estiver na posiccedilatildeo A qual seraacute a magnitude e direccedilatildeo da forccedila sobre o eleacutetron

B2 ndash Um quadrupolo eleacutetrico eacute formado por um conjunto de dois dipolos como mostra a figura ao lado Mostre que para ≫ = a magnitude do

campo A num ponto ao longo do eixo dos quadrupolos eacute dado por

A = 6(=$4567

B3 ndash Uma barra muito longa com densidade de carga B estaacute disposta conforme a figura ao lado (Alguns autores chamam esse tipo de barra de semi-infinita pois o ponto P estaacute proacuteximo a uma das extremidades da barra enquanto a outra extremidade estaacute muito distante) Mostre

que o campo eleacutetrico A no ponto P faz um acircngulo de 45deg com a barra independente da distacircncia Y (isto eacute as componentes x e y do campo tem a mesma magnitude)

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

14

B4 ndash Calcule o campo A proacuteximo a uma barra carregada com carga total Q e comprimento As cargas estatildeo distribuiacutedas de forma uniforme ao longo da barra = 015 C = 8 gtD e E = 5

B5 ndash A figura ao lado mostra um anel incompleto de raio F carregado com carga total C Qual a forccedila (vetor) exercida sobre um eleacutetron que por ventura esteja localizado no ponto 0

B6 ndash Um dipolo cujo momento dipolar eacute G = lang37 50 0rang D

encontra-se numa regiatildeo onde o campo A = lang3000 0 0rang H Dfrasl Qual a energia potencial do dipolo Qual o torque que age sobre o dipolo Qual eacute o trabalho que um agente externo deve realizar para girar o dipolo ateacute que seu momento dipolar seja G = langminus50 37 0rang D

B7 ndash Calcule a magnitude direccedilatildeo

e sentido do campo A no centro de um anel de raio F carregado sendo que a distribuiccedilatildeo de cargas no anel varia como B(I) = B7 gt I

Problemas Selecionados

15

B8 ndash Duas barras isolantes de 15 de comprimento encontram-se em um acircngulo reto Uma barra possui 30 D e a outra possui minus30 D de carga uniformemente distribuiacuteda ao longo do comprimento conforme a figura ao lado Determine o campo eleacutetrico (vetor) no ponto P que estaacute a = = 750 do centro de cada barra

B9 ndash Duas barras curvas isolantes com cargas opostas de igual magnitude ( formam um ciacuterculo de raio F no plano xy conforme a figura As cargas estatildeo uniformemente distribuiacutedas na barra (a) Qual o campo eleacutetrico (vetor) no ponto P (b) Qual a resposta do item (a) se ( = 20 GD e F = 10

B10 ndash Considere um cilindro de comprimento 2 e raio J oco carregado com carga total C Vocecirc estaacute interessado em saber qual eacute

o campo eleacutetrico A ao longo do eixo do cilindro numa de suas extremidades Para isso utilize dois caminhos distintos (a) considerando que o cilindro eacute formado por uma infinidade de barras de espessura infinitesimal todas com comprimento 2 dispostas num ciacuterculo de raio J e (b) considerando que o cilindro eacute formado por uma infinidade de aneacuteis de raio J cujos eixos estatildeo alinhados e juntos formam um cilindro de comprimento 2

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

16

(C) Lei de Gauss

C1 ndash Uma faacutebrica de bolinhas de gude foi atingida por um raio durante uma tempestade O preacutedio foi protegido por um paacutera-raios mas algumas descargas atingiram os equipamentos que fabricavam as bolinhas Resultado eacute que a bolinha que estava na maacutequina ao cair o raio recebeu uma descarga eleacutetrica e as cargas ficaram armazenadas

no interior da bolinha de forma que a densidade de carga K() = K7 -LM

(a) Qual o campo A na superfiacutecie da bolinha que tem raio = 2 (b) E no interior da bolinha 1 abaixo da superfiacutecie (c) Qual o

campo A a 5 da superfiacutecie da bolinha

C2 ndash A figura ao lado mostra uma bolinha com massa 0004 8 e carga 8 times 10N D suspensa por um fio nas proximidades de uma grande placa condutora carregada sendo que a densidade de carga da placa eacuteminus2 times 10 D $frasl Encontre um valor para o acircngulo O

C3 ndash Uma casca ciliacutendrica isolante e muito longa tem raio interno e externo e densidade volumeacutetrica de carga K Um fio tambeacutem muito longo tem densidade linear de carga B e estaacute alinhado com o eixo central da casca Qual o campo eleacutetrico na regiatildeo entre e

Problemas Selecionados

17

C4 ndash Uma carga C positiva estaacute no centro de um conjunto de calotas concecircntricas como mostra a figura abaixo O raio das calotas estaacute indicado na figura A mais externa eacute condutora e estaacute carregada com carga C negativa e a calota intermediaacuteria eacute isolante e possui carga liacutequida ( positiva distribuiacuteda de forma uniforme por

todo seu volume Calcule o campo A resultante em cada uma das 5 regiotildees indicadas na figura Indique a localizaccedilatildeo aproximada das cargas induzidas eou em excesso em cada regiatildeo e indique a direccedilatildeo e sentido dos campos eleacutetricos

C5 ndash Uma casca esfeacuterica com densidade volumeacutetrica de carga K = 20 gtDamp tem raio interno = 10 e raio externo = 2 conforme a figura Determine o moacutedulo do campo eleacutetrico para os seguintes raios a partir do centro (a) = 2frasl (b) = 15 (c) = 2

C6 ndash Usando a Lei de Gauss determine o campo eleacutetrico proacuteximo a uma placa muito grande com densidade superficial de carga P

C7 ndash Usando a Lei de Gauss determine o campo eleacutetrico proacuteximo a uma barra muito longa com densidade linear de carga B

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

18

(D) Potencial Eleacutetrico

D1 ndash A figura ao lado mostra um anel incompleto formado por trecircs segmentos de arco com densidade linear de carga constantesB- B$ e Bamp A menor delas tem carga total (- e comprimento de arco 54 As demais estatildeo indicadas na figura Qual o potencial eleacutetrico no centro do anel Qual deve ser a relaccedilatildeo entre as cargas para que o potencial eleacutetrico no centro do anel seja igual a zero

D2 ndash A figura ao lado mostra um dipolo eleacutetrico de momento dipolar |G| = R( Mostre que para ≫ R o potencial eleacutetrico no ponto P eacute dado por

S = 145T7G UO$

Dica quando ≫ R eacute razoaacutevel considerar que V cong $ e minus V cong R UO

D3 ndash Sobre uma mesa de bilhar estatildeo dispostas trecircs bolinhas Uma com carga +C outra com carga ndash C e uma terceira com carga +2C conforme mostra a figura ao lado (a) Qual o potencial no ponto P (b) Se uma quarta bolinha for colocada no centro do quadrado qual deve ser a carga da bolinha para que o potencial no ponto P seja nulo

Problemas Selecionados

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D4 ndash Uma esfera oca isolante de raio F e carga C eacute colocada nas proximidades de uma placa muito grande cuja densidade superficial de carga eacute P (uniforme) A distacircncia entre a placa e a superfiacutecie da esfera eacute = Qual a diferenccedila de potencial entre o centro da esfera e a placa Dica calcule a ddp devido a cada objeto separadamente e some os resultados A diferenccedila de potencial entre dois pontos pode ser determinada a partir do campo eleacutetrico

D5 ndash Uma esfera isolante maciccedila possui densidade de carga K() = K7$ onde ρ0 eacute uma constante (a) Qual a diferenccedila de potencial entre os pontos b e c Se a densidade de carga fosse uniforme qual seria a diferenccedila de potencial entre os pontos b e c

D6 ndash Um fio tem densidade linear de carga B uniforme e foi dobrado no formato conforme mostra a figura abaixo Qual o potencial eleacutetrico no ponto P

D7 ndash Considere duas cascas esfeacutericas finas concecircntricas condutoras A casca interna tem raio = 15 e carga 10 gtD A casca externa tem raio = 30 e carga minus15 gtD Forneccedila expressotildees para o campo eleacutetrico e o potencial eleacutetrico para as diferentes regiotildees (a) lt 15 (b) 15 lt lt 30 (c) gt 30 Em todos os casos considere S = 0 em = infin

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(E) Capacitacircncia

E1 ndash Sabendo que cada um dos capacitores no circuito ao lado tem capacitacircncia D = 10 e a diferenccedila de potencial na bateria eacute ΔS = 10 S qual eacute a carga do capacitor 1 E do capacitor 2

E2 ndash Encontre uma expressatildeo para a capacitacircncia dos capacitores abaixo sabendo que a distacircncia entre as placas eacute = a aacuterea das placas eacute 10 = o espaccedilo entre as placas estaacute preenchido por dois ou mais materiais de constantes dieleacutetricas distintas conforme mostra a figura abaixo Analisando cada capacitor separadamente eacute possiacutevel obter a mesma capacitacircncia com uma associaccedilatildeo de capacitores simples (preenchidos por um uacutenico material) Explique

E3 ndash Uma diferenccedila de potencial de 100 S eacute aplicada ao circuito ao lado onde D- = 10 D$ = 5 e Damp = 4 Se o capacitor 3 eacute substituiacutedo por um fio condutor qual eacute o aumento na carga do capacitor 1 Qual eacute o aumento na diferenccedila de potencial entre as placas do capacitor 1

(a) (b) (c)

Problemas Selecionados

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E4 ndash No circuito ao lado a diferenccedila de potencial fornecida pela bateria eacute de 20 S Qual a capacitacircncia equivalente do circuito Qual a carga armazenada por essa capacitacircncia equivalente Qual a carga e ddp para os capacitores 1 2 e 3

E5 ndash Na figura ao lado a ddp da bateria eacute 10 S D- = 10 D$ = Damp = 2D- A chave eacute movida para a esquerda e somente depois que o capacitor 1 atingiu o equiliacutebrio a chave eacute movida para a direita Quando o equiliacutebrio eacute novamente atingido qual eacute a carga do capacitor 1

E6 ndash Um capacitor de placas paralelas com aacuterea J e espaccedilamento = eacute preenchido com vidro (6 = 267) Conectado a uma bateria o capacitor acumula carga C (a) Qual a energia armazenada no capacitor (b) Mantendo a bateria conectada a separaccedilatildeo entre as placas eacute aumentada para 2= (veja a figura) Qual a energia armazenada nessa nova situaccedilatildeo

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(F) Corrente e Resistecircncia

F1 ndash A figura ao lado mostra parte de um fio de cobre com diacircmetros =- = 4F e =$ = 8F por onde passa uma corrente uniforme = 4 e a diferenccedila de potencial ao longo desse comprimento eacute20 S O

nuacutemero de portadores de carga por unidade de volume eacute 849 times 10$N amp Qual eacute a velocidade de deriva dos eleacutetrons de conduccedilatildeo na porccedilatildeo do fio com diacircmetro =$

F2 ndash No circuito ao lado qual a magnitude e direccedilatildeo das correntes nos resistores F- F$ e Famp Para isso considere que ℇ- = 6 S ℇ$ = 12 SF- = 100 Ω F$ = 200 Ω Famp = 300 Ω O ciruito estaacute aterrado e nesse ponto S = 0 Qual eacute o potencial eleacutetrico no ponto A

F3 ndash Calcule a potecircncia total dissipada em cada circuito Considere que todas as resistecircncias satildeo iguais e as baterias satildeo ideais Expresse suas respostas em termos de ℇ e F

F4 ndash Se dois fios de mesmo comprimento um de cobre e outro de alumiacutenio apresentam a mesma resistecircncia qual deve ser a razatildeo entre seus raios

Problemas Selecionados

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F5 ndash No circuito ao lado a potecircncia dissipada no resistor R eacute 20 a Qual o valor de R Qual a ddp entre os pontos A e B

F6 ndash A corrente medida por um amperiacutemetro A no circuito ao lado eacute a mesma quando ambas as chaves estatildeo abertas ou fechadas Qual o valor da resistecircncia R

F7 ndash Determine o valor da corrente que passa por cada um dos resistores a potecircncia fornecida por cada uma das fontes de tensatildeo e a potecircncia dissipada por cada um dos resistores Faccedila o balanccedilo energeacutetico do circuito

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F8 ndash No circuito ao lado a chave S permanece fechada por um longo tempo e a corrente no circuito atinge um valor constante Considere D- = 3 D$ = 6 F- = 4Ω e F$ = 7Ω A potecircncia dissipada em F$ eacute 24a (a) Determine as cargas em D- e D$ (b) Abrindo a chave S e aguardando um longo tempo qual a mudanccedila observada na carga do capacitor 2

F9 ndash Num circuito RC seacuterie como o da figura ao lado D = 1 F = 2 times 10bΩ e ℇ = 10S Dez segundos depois que a chave foi fechada determine (a) a carga no capacitor (b) a corrente no resistor (c) a taxa com que a energia eacute armazenada no capacitor (d) a taxa com que a bateria fornece energia para o circuito

F10 ndash Um capacitor eacute carregado atraveacutes de um resistor como mostra a figura no problema anterior Mostre que metade da energia fornecida pela bateria aparece como energia interna no resistor e a outra metade como energia eleacutetrica no capacitor

F11 ndash Um capacitor duas fontes ideais dois resistores e uma chave S satildeo mostrados no circuito da figura ao lado Suponha D = 12 ℇ- = 15 S ℇ$ = 30 S F- = 05 Ω e F$ = 08 Ω (a) Se a chave S permanece aberta por um longo tempo qual a carga no capacitor (b) Qual a carga no capacitor se a chave S permanece fechada por um longo tempo

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F12 ndash No circuito ao lado a bateria fornece 10 S o capacitor eacute de 1 e os resistores tecircm as resistecircncias indicadas na figura O circuito estaacute ligado haacute um longo tempo (a) Qual a ddp entre os terminais do capacitor (b) Se a bateria for desconectada quanto tempo levaraacute para que essa ddp atinja um deacutecimo do valor inicial

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(G) Campo Magneacutetico

G1 ndash Um proacuteton atravessa uma regiatildeo de campo magneacutetico uniforme = lang10 20 30rang 13 No tempo c- o proacuteton tem uma velocidade d = langde df 2rang e a forccedila magneacutetica sobre o proacuteton eacute g = lang4 times 10-h minus2 times 10-h 0rang H Nesse instante qual o valor de de e df

G2 ndash Um proacuteton viaja atraveacutes de uma regiatildeo de campo eleacutetrico e

magneacutetico uniformes onde = langminus25 0 0rang 13 Num certo instante a velocidade do proacuteton eacute d = lang0 2000 0rang Qual a forccedila resultante que age sobre o proacuteton se o campo eleacutetrico for

(a) A = lang0 0 4rang S (b) A = lang0 0 minus4rang S ou

(c) A = lang4 0 0rang S

G3 ndash Uma espira retangular de lados e estaacute numa regiatildeo de campo

magneacutetico perpendicular ao plano da espira e eacute percorrida por uma corrente i constante conforme mostra a figura ao lado Determine o torque sobre a espira

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G4 ndash Dois trilhos de metal separados por uma distacircncia = = 256 estatildeo ligados a uma bateria No momento em que uma barra de metal de massa = 241 8 eacute colocada sobre os trilhos (c = 0) ela fecha o circuito e por ela passa uma corrente i = 913 J O conjunto estaacute numa regiatildeo onde existe um campo magneacutetico uniforme = 563 13 Qual a velocidade da barra 611 depois Em que direccedilatildeo ela se move

G5 ndash A figura ao lado mostra um cilindro de madeira de massa = 250 8 e comprimento 2 =10 onde foi enrolado um fio formando uma espira de 10 voltas O cilindro eacute posicionado de forma que o eixo da espira estaacute perpendicular ao plano inclinado (paralelo agrave normal do plano

inclinado) Nessa regiatildeo haacute um campo magneacutetico = lang0 05 0rang 13 Qual deve ser o valor miacutenimo da corrente na espira capaz de manter o cilindro em sua posiccedilatildeo evitando que ele role para baixo

G6 ndash A figura ao lado mostra um iacutematilde e um anel condutor de raio por onde passa uma corrente i Se o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde faz um acircngulo O com a vertical na posiccedilatildeo onde estaacute o anel qual eacute a magnitude e a direccedilatildeo da forccedila resultante sobre o anel

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G7 ndash Uma barra de metal com densidade de massa B (massa por unidade de comprimento) apresenta uma corrente i (saindo da paacutegina) A barra estaacute suspensa por dois fios num campo magneacutetico uniforme vertical como mostra a figura ao lado No equiliacutebrio os fios

fazem um acircngulo O com a vertical Qual a magnitude do campo magneacutetico

G8 ndash Um proacuteton com energia cineacutetica de 6 jS se move no plano da paacutegina e entra numa regiatildeo de campo magneacutetico = 1 13 direcionado para dentro da paacutegina como mostra a figura ao lado

O proacuteton entra na regiatildeo de campo com o vetor velocidade fazendo um acircngulo O- = 35deg com a borda da regiatildeo Qual eacute a distacircncia entre o ponto de entrada e saiacuteda ( na figura) Qual o valor de O$

G9 ndash Considere um eleacutetron orbitando um proacuteton numa trajetoacuteria circular de raio F = 529 times 10-- devido agrave atraccedilatildeo Coulombiana Considere o sistema como se fosse um anel por onde passa uma corrente Qual seraacute o torque resultante quando o sistema for colocado numa regiatildeo de campo magneacutetico = 04 13 perpendicular ao momento magneacutetico do anel

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G10 ndash Um fio por onde passa uma corrente i foi moldado num formato semicircular de raio F e uma reta de comprimento 2F como mostra a figura ao lado Nessa mesma regiatildeo haacute um campo magneacutetico que aponta na direccedilatildeo + (representado pelos pontos azuis na figura ao lado) Mostre que a

forccedila resultante sobre o fio eacute zero

G11 ndash Um condutor ciliacutendrico longo de raio conteacutem duas cavidades cada uma com diacircmetro ao longo de todo o comprimento do fio Uma visatildeo da seccedilatildeo transversal do fio eacute mostrada na figura ao lado Uma corrente i uniforme (considerando a porccedilatildeo soacutelida do material) passa atraveacutes do fio e aponta para fora da paacutegina Determine a magnitude e direccedilatildeo do campo

magneacutetico em funccedilatildeo de 7 i e no ponto P

G12 ndash Dois fios muito longos por onde passa corrente i de mesma magnitude estatildeo moldados conforme a figura ao lado

Mostre que o campo magneacutetico no centro do ciacuterculo de raio R eacute o mesmo que o

campo a uma distacircncia R abaixo de um fio reto muito longo por onde passa uma corrente i

Problemas Selecionados

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G13 ndash Encontre uma expressatildeo para determinar a magnitude do campo magneacutetico no ponto P da figura ao lado Dica considere a origem dos eixos cartesianos no ponto P

G14 ndash A figura ao lado mostra a seccedilatildeo transversal de um condutor oco de raio externo e interno por onde passa uma corrente uniforme i Demonstre que a magnitude do campo magneacutetico () para uma distacircncia lt lt eacute dada por

= 7i25($ minus $) $ minus $

G15 ndash A figura ao lado mostra um cabo coaxial de raios e Correntes opostas de igual magnitude estatildeo distribuiacutedas nos dois condutores Derive uma expressatildeo para calcular o campo magneacutetico () na regiatildeo (a) lt (b) lt lt (c) lt lt e (d) gt

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G16 ndash Um fio condutor por onde passa uma corrente i foi torcido para formar um loop de raio R (no plano da paacutegina) como mostra a figura abaixo Qual a direccedilatildeo do campo magneacutetico no

centro do loop Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico no centro do loop

G17 ndash Uma corrente i passa por um fio condutor ciliacutendrico de raio R como mostra a figura ao lado A densidade de corrente l natildeo eacute uniforme atraveacutes da seccedilatildeo transversal do fio mas obedece agrave funccedilatildeo l = onde eacute uma constante Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico (a) a uma distacircncia - lt F e (b) a uma distacircncia $ gt F(em relaccedilatildeo ao centro do condutor)

G18 ndash Um fio condutor muito longo por onde passa uma corrente i- estaacute parcialmente envolto por um loop por onde passa uma corrente i$ (figura ao lado) O loop fio foi moldado num formato semiciliacutendrico de raio R e o comprimento L O fio condutor passa pelo eixo do loop Calcule a forccedila magneacutetica exercida sobre o loop

G19 ndash Considere um solenoide de comprimento 2 e raio F contendo H voltas de um fio por onde passa uma corrente i (a) Determine uma expressatildeo para

o campo magneacutetico num ponto ao longo do eixo do solenoide do lado de fora do solenoide como funccedilatildeo da distacircncia ateacute uma das pontas (considere = 0 no centro do solenoide e = a distacircncia do centro ateacute o ponto onde estaacute sendo calculado o campo ) (b) Mostre que para

Problemas Selecionados

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valores muito grandes de 2 e = = 0 se aproxima de = 7i H 2frasl para posiccedilotildees ao longo do eixo no interior do solenoide distante das bordas

G20 ndash A figura ao lado mostra um fio moldado para formar duas seccedilotildees retas e um quarto de ciacuterculo por onde passa corrente i Determine o campo magneacutetico (vetor) no ponto P

G21 ndash Um fio ciliacutendrico espesso de raio eacute percorrido por uma corrente i Determine uma expressatildeo para o

campo magneacutetico dentro e fora do fio considerando que (a) a corrente estaacute distribuiacuteda uniformemente sobre a superfiacutecie externa do fio (b) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio com densidade de corrente l constante (c) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio de forma que a densidade de corrente l eacute proporcional agrave distacircncia ateacute o eixo do fio

G22 ndash Considere dois solenoides coaxiais cada um conduzindo uma corrente i em direccedilotildees opostas O solenoide interno de raio possui gt- voltas por unidade de comprimento o

solenoide externo possui raio e gt$ voltas por unidade de

comprimento Determine (a) no interior do conjunto (b) entre eles e (c) fora deles

G23 ndash Um fio condutor longo e reto de raio F conduz uma corrente natildeo uniforme cuja densidade de corrente eacute l = l7 Ffrasl onde l7 eacute uma constante A corrente total eacute i (a) Determine uma expressatildeo para i

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em funccedilatildeo de l7 e F (b) Determine uma expressatildeo para o campo magneacutetico no interior do fio para uma distacircncia

G24 ndash A figura ao lado mostra um toroide que consiste num solenoide fechado em forma de anel (a) Considerando a simetria explique qual deve ser o formato do campo magneacutetico no interior desse toroide (b) Considere o toroide compacto (a separaccedilatildeo entre cada volta do fio eacute pequena) com N voltas conduzindo uma corrente i Usando a lei de Ampeacutere determine a magnitude do campo magneacutetico num ponto interno ao toroide a uma distacircncia do eixo principal (ver figura ao lado) (c) O campo magneacutetico no interior do toroide eacute um campo uniforme Explique

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(H) Lei de Faraday

H1 ndash A figura ao lado mostra dois aneis cujos eixos estatildeo alinhados separados por uma distacircncia x O anel maior tem raio F o anel menor tem raio Os aneis estatildeo separados por uma distacircncia ≫ F e por isso o campo magneacutetico devido agrave corrente no anel de raio F eacute praticamente uniforme no anel menor Considere que a distacircncia estaacute aumentando a uma taxa constante = =cfrasl = d (a) Determine uma expressatildeo para o fluxo de campo magneacutetico atraveacutes do anel menor como funccedilatildeo de Encontre uma expressatildeo para (b) a fem induzida e (c) a direccedilatildeo da corrente no anel menor

Problemas Selecionados

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H2 ndash (a) Calcule o fluxo magneacutetico atraveacutes do retacircngulo mostrado na figura ao lado em funccedilatildeo de = i (b) Avalie o resultado encontrado para = 5 = 10 = = 2 e i = 20 J

H3 ndash Uma espira plana e circular de raio =75 estaacute em repouso numa regiatildeo de campo magneacutetico uniforme A espira estaacute orientada de tal forma que o campo magneacutetico aponta para cima

e faz um acircngulo de 30deg com a normal da espira O campo varia com

o tempo de acordo com (c) = 14(77nho) 13 (a) Determine a fem induzida na espira em funccedilatildeo do tempo (b) Para que valor de c a fem induzida eacute igual a um deacutecimo do seu valor inicial Determine o sentido da corrente induzida na espira se observada por cima da espira

H4 ndash Um retacircngulo que mede 30 times 40 estaacute localizado no interior de um campo magneacutetico uniforme de 125 13 com o campo perpendicular ao plano da bobina A bobina se move perpendicular ao campo com velocidade constante d =2 inclusive atingindo a regiatildeo

onde o campo termina abruptamente como mostra a figura ao lado Determine a fem induzida nessa bobina quando ela estaacute (a) inteiramente no interior do campo (b) parcialmente no interior do campo e (c) inteiramente fora do campo

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H5 ndash O fio na figura ao lado conduz

uma corrente i(c) = i7po onde gt 0 Determine o sentido da corrente induzida na bobina (horaacuterio ou anti-horaacuterio) para c gt 0

H6 ndash A figura ao lado mostra uma espira circular de raio contendo uma resistecircncia e um capacitor ligados em seacuterie imerso numa regiatildeo onde um campo magneacutetico uniforme (no espaccedilo) entrando no plano na paacutegina decresce no tempo a uma taxa constante = =cfrasl = minus sendo uma constante positiva (a) Qual a carga no capacitor quando ele estaacute completamente carregado (b) Qual das placas do capacitor estaacute em potencial mais elevado (c) Qual a origem da forccedila que causa a separaccedilatildeo de cargas

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(I) Indutacircncia

I1 ndash No circuito ao lado ℰ = 100 SF- = 10 Ω F$ = 20 Ω Famp = 30 Ω e 2 = 2 H Ao fechar a chave S quais os valores de i- e i$ Considere positivo o sentido das correntes indicadas na figura Muito tempo

depois quais satildeo os valores de i- e i$ A chave eacute entatildeo aberta Nesse instante quais satildeo os valores de i- e i$ E muito tempo depois quais satildeo os valores de i- e i$

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I2 ndash Num circuito LC em seacuterie a carga inicial do capacitor eacute C e ele estaacute sendo descarregado Quando a carga no capacitor eacute igual a C 2frasl qual eacute o fluxo magneacutetico que atravessa cada uma das N espiras do indutor (como funccedilatildeo de C H 2 e D)

I3 ndash Uma bobina possui N voltas e estaacute envolvendo um solenoide longo de raio r com n espiras por unidade de comprimento (figura ao lado) (a) Mostre que a indutacircncia muacutetua do sistema eacute dada por j = 75F$gtH (b) Explique por que M natildeo depende do formato tamanho ou possiacutevel falta de proximidade das espiras na bobina

I4 ndash A fem autoinduzida num solenoide de indutacircncia L varia no tempo conforme ℇ(c) = ℇ7so Levando em consideraccedilatildeo que a carga eacute finita (ou seja i = 0 quando c = infin) determine a carga total que passa pelo solenoide (que atravessa um determinado ponto no fio que compotildee o solenoide)

I5 ndash Um fio condutor foi enrolado num papelatildeo formando um toroide com N espiras (voltas) raio menor r e maior R A seccedilatildeo transversal do toroide eacute mostrada na figura ao lado Se F ≫ o campo magneacutetico no interior do toroide eacute essencialmente o mesmo que o campo no interior de um solenoide muito longo que tenha sido

moldado no formato de um ciacuterculo de raio R Modelando o campo como se fosse o campo uniforme de um solenoide longo mostre que a indutacircncia desse toroide eacute

aproximadamente 2 asymp -$ 7H$ LMu

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I6 ndash Um indutor consiste em duas cascas ciliacutendricas concecircntricas como mostra a figura A casca interna tem raio e a externa tem raio ambas com comprimento ℎ A casca interna transporta uma corrente i para fora e a externa para dentro do plano da paacutegina com igual magnitude Calcule na regiatildeo lt lt (a) a densidade de energia magneacutetica (b) a indutacircncia

I7 ndash Mostre que i(c) = i7o wx eacute a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial iF + 2 yzyo = 0 onde i7 eacute a corrente em c = 0 e = 2 Ffrasl

I8 ndash Um fio condutor de raio R transporta uma corrente uniforme A corrente total no fio eacute i Mostre que a energia magneacutetica por unidade de comprimento dentro do fio eacute dada por 7i$ 165frasl

I9 ndash Um cabo coaxial eacute formado por dois cilindros condutores de paredes finas com raios - e $ As correntes nos dois cilindros satildeo iguais em magnitude mas com sentidos opostos (a) Use a lei de Ampeacutere para determinar o campo magneacutetico como funccedilatildeo da distacircncia ao eixo do cabo nas regiotildees (0 lt lt -) ( - lt lt $ ) e ( gt $) (b) Mostre que a densidade de energia magneacutetica na regiatildeo entre os cilindros eacute dada por

| = 12 745 i$(5$)-

(c) Mostre que a energia magneacutetica total num volume de cabo com comprimento ~ eacute dada por

Problemas Selecionados

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= i$~ ln LML

(d) Mostre que a autoindutacircncia por unidade de comprimento do cabo eacute dada por

2~ = 725 ln $-

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(J) Corrente Alternada

J1 ndash A tensatildeo de uma fonte de corrente alternada eacute dada por ∆d = 120gt(30 5c) onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A fonte eacute conectada a um indutor de 05 Determine (a) a frequecircncia da fonte (b) a voltagem rms no indutor (c) a reatacircncia indutiva do circuito (d) a corrente rms no indutor e (e) a corrente maacutexima no indutor

J2 ndash Uma fonte de tensatildeo alternada fornece uma tensatildeo ∆d = 98gt(80 5c) a um capacitor onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A corrente maacutexima no circuito eacute 05 J Determine (a) a tensatildeo rms da fonte (b) a frequecircncia da fonte e (c) o valor da capacitacircncia

J3 ndash Um circuito AC eacute composto por um resistor de 250 Ω um indutor de 15 um capacitor de 35 e uma fonte de tensatildeo alternada com amplitude de 45 S operando com frequecircncia angular = 360 = frasl (a) Qual eacute o fator de potecircncia do circuito (b) Determine a potecircncia meacutedia aparente (S) fornecida ao circuito (c) Qual eacute a potecircncia meacutedia ativa (P) dissipada no resistor Qual eacute a potecircncia meacutedia reativa (Q) que fica armazenada no circuito

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J4 ndash Cinco voltiacutemetros com impedacircncia muito grande ajustados para ler valores rms estatildeo conectados conforme a figura ao lado Sendo F =200 Ω 2 = 04 H D = 6 e ∆S = 30 Vqual eacute a leitura da tensatildeo em cada voltiacutemetro se (a) = 200 = frasl e (b) =1000 = frasl

J5 ndash Num circuito RLC 2 = 028 e D = 4 A fonte fornece uma voltagem com amplitude de 120 S Qual eacute a frequecircncia angular de ressonacircncia do circuito (b) Quando a fonte opera na frequecircncia angular de ressonacircncia a amplitude da corrente no circuito eacute 17 J Qual a resistecircncia do resistor (c) Na frequecircncia angular de ressonacircncia quais satildeo as voltagens de pico no indutor capacitor e resistor

J6 ndash O circuito ao lado conteacutem uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal conforme ℇ = ℇgt(c) No estado de equiliacutebrio temos as correntes mostradas no circuito Sem recorrer a uma matemaacutetica complicada responda (a) Quais os valores de u e quando = 0 (frequecircncia zero significa que

a fonte foi substituida por uma bateria ideal) (b) Quais os valores de u e quando rarr infin (c) Qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia

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J7 ndash Um indutor um capacitor e um resistor estatildeo conectados em seacuterie a uma fonte de tensatildeo alternada Se os valores da resistecircncia capacitacircncia e indutacircncia forem duplicados o que aconteceraacute com (a) a frequecircncia angular de ressonacircncia (b) a reatacircncia indutiva (c) a reatacircncia capacitiva e (d) a impedacircncia

J8 ndash O circuito abaixo eacute formado por uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal variando conforme ℇ = ℇgt(c) uma resistecircncia F = 6 Ω e uma parte desconhecida que pode conter um indutor um capacitor ou ambos A amplitude da fonte eacute ℇ = 6 S Quando a frequecircncia angular = 2 = a corrente estaacute em fase com a fonte enquanto que para = 1 = a corrente estaacute fora de fase em relaccedilatildeo agrave fonte por exatamente 5 4frasl (a) Quais componentes estatildeo presentes na parte desconhecida (um indutor um capacitor ou ambos) Explique (b) Determine os valores dos componentes desconhecidos

J9 ndash Um circuito em seacuterie possui impendecircncia de 60 Ω e fator de potecircncia igual a 072 em 50 A tensatildeo da fonte estaacute atrasada em relaccedilatildeo agrave corrente (a) Que elemento do circuito (um indutor ou um capacitor) deve ser ligado em seacuterie com o circuito para aumentar o fator de potecircncia (b) Qual deve ser o valor desse elemento para que o fator de potecircncia seja igual a 1 (c) Apresente diagramas de fasores esquemaacuteticos para o circuito antes e depois da ligaccedilatildeo do novo elemento

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O PROCESSO DE MEDIDA NO LABORATOacuteRIO DE FIacuteSICA

Natildeo satildeo raros eventos em que nos valemos de medidas para tomarmos decisotildees Medimos nossa temperatura corporal para avaliarmos se necessitamos de tratamento Medimos a pressatildeo manomeacutetrica dos pneus para avaliarmos se precisamos injetar ou retirar ar neles Consultamos medidas da temperatura ambiente para escolhermos a roupa que vestiremos Consultamos o horaacuterio (medida de tempo) para natildeo chegarmos atrasados em encontros Medidas satildeo portanto fundamentais em nossas vidas No entanto usualmente natildeo nos preocupamos muito com a precisatildeo dessas medidas Em grande parte das vezes natildeo nos interessa saber se o horaacuterio informado no reloacutegio estaacute um pouco atrasado ou adiantado Natildeo nos preocupamos em saber o quanto podemos confiar nas temperaturas coletadas com um determinado termocircmetro Nossas medidas comumente satildeo realizadas de forma despretensiosa sem muito rigor

No laboratoacuterio de Fiacutesica isso ocorre de modo muito diferente Os processos de mediccedilatildeo satildeo mais minuciosos do que os que realizamos costumeiramente Desejamos obter a maior precisatildeo possiacutevel com os equipamentos de que dispomos Mas como fazer isso Como podemos melhorar a precisatildeo dos processos de mediccedilatildeo Intuitivamente podemos concluir que inferecircncias realizadas a partir de um conjunto de medidas satildeo mais precisas do que medidas isoladas Mas quando disponho de um conjunto de medidas como posso analisaacute-las Calcular a meacutedia delas eacute suficiente Responder a questotildees como essas eacute o objetivo desta atividade Para exemplificarmos todo esse processo realizaremos um debate sobre a mediccedilatildeo da resistecircncia interna de amperiacutemetros

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O que satildeo amperiacutemetros

Um amperiacutemetro eacute um instrumento utilizado para a realizaccedilatildeo de medidas de correntes eleacutetricas Evidentemente natildeo queremos modificar os circuitos quando os exploramos com um instrumento Com amperiacutemetros natildeo eacute diferente Queremos medir correntes eleacutetricas sem alterar as caracteriacutesticas do circuito Mas como eacute possiacutevel fazer isso Natildeo discutiremos aqui os detalhes sobre o funcionamento interno de um amperiacutemetro No entanto vamos avaliaacute-los do ponto de vista de uma das suas caracteriacutesticas mais importantes a sua resistecircncia eleacutetrica

A resistecircncia eleacutetrica de um circuito influencia na intensidade da corrente eleacutetrica que circula nele A corrente eleacutetrica i que perpassa por uma resistecircncia eleacutetrica F submetida a uma tensatildeo ∆S por exemplo pode ser predita pela seguinte relaccedilatildeo

i = ∆u Eq 1

O amperiacutemetro precisa ser posicionado em seacuterie no circuito em que se deseja medir a corrente eleacutetrica como eacute exemplificado na figura

Figure 1- Medindo a resistecircncia interna de um multiacutemetro

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1 Como a resistecircncia equivalente em circuitos em seacuteries eacute a soma da resistecircncia eleacutetrica de cada um dos seus componentes a resistecircncia interna dos amperiacutemetros se soma agrave resistecircncia equivalente do circuito investigado alterando a sua dinacircmica Por isso nosso desejo eacute que os amperiacutemetros tenham resistecircncia eleacutetrica nula No entanto a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro real por menor que seja nunca eacute nula Eles possuem um circuito interno com fios e diversos componentes eletrocircnicos que acabam provocando uma resistecircncia agrave circulaccedilatildeo de corrente eleacutetrica Ainda assim frequentemente desprezamos tal resistecircncia Seraacute que isso eacute razoaacutevel Quando podemos desprezar a resistecircncia interna dos amperiacutemetros e quando natildeo podemos Para respondermos tais perguntas precisamos conhecer o valor da resistecircncia interna tiacutepica de um amperiacutemetro

Medindo a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro

Nesta disciplina usaremos diversos amperiacutemetros de uma mesma marca e modelo em uma seacuterie de experimentos (Minipa ET-2075B) Por isso eacute interessante que conheccedilamos a resistecircncia eleacutetrica deles para podermos avaliar quando podemos desprezaacute-la e quando natildeo Mas como podemos obter essa informaccedilatildeo Podemos medi-la Um procedimento simples para isso eacute submeter o amperiacutemetro a uma diferenccedila de potencial ΔV conhecida e medir a corrente eleacutetrica i que passa por ele Desse modo podemos usar a Eq 1 para inferir a resistecircncia eleacutetrica do equipamento Mas podemos confiar em uma uacutenica medida Depende da precisatildeo de que necessitamos para essa medida Intuitivamente sabemos que se medirmos a resistecircncia interna a partir de um conjunto de dados poderemos ter uma maior confiabilidade nos dados No exemplo de que estamos tratando eacute possiacutevel se coletar dados da corrente no amperiacutemetro quando submetido a diferentes tensotildees Desse modo pode-se inferir a resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro pela declividade da reta constituiacuteda

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pelos dados representados em um graacutefico da tensatildeo em funccedilatildeo da corrente eleacutetrica como pode ser constatado da Eq1 No entanto como temos incertezas associadas a cada dado experimental coletado esses dados natildeo seratildeo perfeitamente representados por uma reta Surge entatildeo uma nova questatildeo qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados

Ajuste de Curvas

Diversas retas podem ser ajustadas a um conjunto de dados experimental Qual delas utilizar Intuitivamente podemos conjecturar que a melhor reta a ser utilizada eacute aquela tal que a soma das diferenccedilas entre os valores de tensatildeo medidos e os preditos pela reta tenha o menor valor possiacutevel Em outras palavras queremos minimizar a soma

sum = = (∆Sz minus ∆S)z-

onde ∆Sz satildeo as tensotildees medidas e ∆S satildeo as tensotildees preditas pela reta ajustada

No entanto haacute um inconveniente importante no uso desse criteacuterio tal soma pode ser bem pequena para retas que natildeo apresentam bom ajuste aos dados se as diferenccedilas entre os valores medidos e os preditos se cancelarem sendo alguns positivos e outros negativos Nesses casos apesar de natildeo termos uma reta bem ajustada aos dados o criteacuterio utilizado

indicaria que sim Como resolver isso Elevando os valores de dn ao

Figura 1 - Diferenccedila de potencial em funccedilatildeo

da corrente

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quadrado Ou seja podemos procurar a reta tal que a seguinte soma tenha o menor valor possiacutevel

sum =$ = (∆Sz minus ∆S)$z-

O meacutetodo que utiliza esse criteacuterio para a realizaccedilatildeo de ajustes de curvas que eacute amplamente utilizado no meio acadecircmico eacute denominado Meacutetodo dos Miacutenimos Quadrados Todos os softwares do tipo planilha eletrocircnica realizam esse caacutelculo automaticamente e nos valeremos disso quando necessaacuterio

Todos os amperiacutemetros da sala possuem a mesma resistecircncia interna

Ainda que todos os amperiacutemetros que utilizaremos nas nossas aulas sejam da mesma marca e modelo eles possuem diferentes resistecircncias internas Existe alguma forma de estimar a resistecircncia interna de um desses amperiacutemetros escolhido aleatoriamente Calcular a meacutedia das resistecircncias eacute suficiente para realizar essa estimativa

Variabilidade das medidas o desvio padratildeo amostral e da meacutedia

Apesar de as resistecircncias dos amperiacutemetros natildeo serem exatamente as mesmas elas possuem valores que se distribuem em torno de um valor meacutedio que eacute igual agrave meacutedia dessas resistecircncias Desse modo se tomarmos um dos amperiacutemetros aleatoriamente o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute igual agrave meacutedia das resistecircncias internas de todos os amperiacutemetros Mas quanto podemos confiar nessa estimativa Para respondermos tal pergunta eacute importante quantificarmos a variabilidade das resistecircncias r que medimos Quanto menor for essa variabilidade maior seraacute a nossa confianccedila para assumir que a resistecircncia interna de um amperiacutemetro particular eacute igual agrave meacutedia Intuitivamente podemos conjecturar que tal variabilidade pode ser medida pelo somatoacuterio das diferenccedilas entre as resistecircncias

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medidas z e a meacutedia dessas resistecircncias ou seja por (- minus ) + ($ minus ) + ⋯ + ( minus ) onde N eacute o nuacutemero de medidas realizadas No entanto temos aqui um inconveniente semelhante ao que tivemos quando analisaacutevamos ajustes de curvas se valores positivos e negativos se cancelarem esse somatoacuterio pode ser muito pequeno mesmo quando os dados apresentam grande variabilidade Podemos propor a mesma soluccedilatildeo adotada anteriormente vamos elevar os termos ao quadrado Temos entatildeo a variabilidade dos dados sendo mensurada por (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$

A impossibilidade de comparaccedilatildeo entre as variabilidades de diferentes conjuntos de dados eacute a limitaccedilatildeo desta proposta pois o resultado desse somatoacuterio eacute altamente dependente da quantidade de termos Desse modo eacute possiacutevel que esse somatoacuterio seja maior para grandes conjuntos com pouca variabilidade do que para pequenos grupos com grande variabilidade Para amenizar tal limitaccedilatildeo podemos entatildeo dividir o somatoacuterio por N ou seja calcular a variabilidade por(- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$ Hfrasl Ainda que esse somatoacuterio seja conceitualmente interessante natildeo eacute essa a medida de dispersatildeo de dados que costuma ser utilizada no meio cientiacutefico mas algo que guarda alguma semelhanccedila com ele o desvio padratildeo dos dados (P) Ele eacute calculado por

PL = (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$H minus 1

Mas por que utilizamos essa equaccedilatildeo A resposta estaacute em suas propriedades Quando construiacutemos um histograma (graacutefico de frequecircncias) de um conjunto de medidas por exemplo podemos em muitos casos assumir que a distribuiccedilatildeo desses dados eacute representada por uma distribuiccedilatildeo normal A equaccedilatildeo que define essa distribuiccedilatildeo assim como sua representaccedilatildeo graacutefica eacute ilustrada na Figura 3

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Natildeo eacute nosso objetivo aqui discutir detalhes da distribuiccedilatildeo normal O que desejamos destacar eacute que quando supomos que a distribuiccedilatildeo de um conjunto de dados eacute normal o que eacute bastante razoaacutevel na maioria das vezes o desvio padratildeo σ quantifica como os dados estatildeo distribuiacutedos Para entendermos isso analisemos a Figura 4

O intervalo compreendido pela meacutedia das medidas mais ou menos um desvio padratildeo compreende 68 das medidas realizadas No caso que estamos exemplificando se tomarmos a meacutedia das resistecircncias internas r de todos os amperiacutemetros investigados e o desvio padratildeo PL desses dados 68 das medidas estaratildeo no intervalo entre ( minus PL) e ( + PL) 95 no intervalo ( 2PL) e 99 no intervalo ( 257PL)

Figura 2 - A distribuiccedilatildeo normal eacute usualmente utilizada para representar a distribuiccedilatildeo

de frequecircncias de um conjunto de dados (Lima Jr et al 2013 p 30)

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Agora jaacute sabemos como quantificar a variabilidade de um conjunto de dados Podemos entatildeo calcular a meacutedia e o desvio padratildeo das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros Mas surge entatildeo uma questatildeo Se analisaacutessemos um novo conjunto de amperiacutemetros da mesma marca e modelo dos exemplificados aqui a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros seria a mesma Provavelmente natildeo Temos como estimar a partir do conjunto de medidas que realizamos a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros Temos Para responder a essa questatildeo temos que compreender um novo conceito o de desvio padratildeo da meacutedia (PL) Ele eacute calculado por

PL = PLradicH

Natildeo vamos entrar em detalhes aqui sobre a origem do conceito de desvio padratildeo da meacutedia1 vamos apenas explicar como essa grandeza nos permite estimar a incerteza na meacutedia de um conjunto de medidas Para isso vamos supor um novo conjunto de N novas

1 Se vocecirc eacute um aluno curioso pesquise sobre o Teorema Central do Limite para compreender com mais profundidade o conceito de desvio padratildeo da meacutedia

Figura 3 - A meacutedia e o desvio padratildeo demarcam a distribuiccedilatildeo dos dados em uma

distribuiccedilatildeo normal Na figura o eixo das abcissas expressa a distacircncia da meacutedia em

unidades de desvio padratildeo (Lima Jr et al 2013 p 30)

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medidas da resistecircncia interna de amperiacutemetros como os investigados nesta aula Qual seria a meacutedia dessas medidas Assim como o desvio padratildeo dos dados quantifica a dispersatildeo dos dados em torno da meacutedia o desvio padratildeo da meacutedia quantifica a dispersatildeo das meacutedias de subconjuntos de dados em torno da meacutedia de todo o conjunto de dados Aplicando esse conceito ao nosso exemplo podemos interpretar os dois conjuntos de medidas de resistecircncias internas como subconjuntos de um grande conjunto contendo todas as medidas Desse modo podemos afirmar com 68 de confianccedila que a meacutedia das N novas medidas a serem realizadas estaraacute no intervalo compreendido por ( PL) com 95 de confianccedila no intervalo ( 2PL) e com 99 de confianccedila no intervalo ( 257PL) O desvio padratildeo da meacutedia pode ser compreendido assim como a incerteza da meacutedia de um conjunto de medidas ou seja ele nos fornece uma estimativa da confiabilidade de uma meacutedia Em suma se escolhermos um amperiacutemetro aleatoriamente podemos dizer que i) o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute a meacutedia das resistecircncias de todos os amperiacutemetros e ii) a incerteza que temos nesse valor eacute igual ao desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias dos amperiacutemetros

E se eu soacute tivesse condiccedilotildees de realizar uma uacutenica medida

Nem sempre podemos realizar diversas medidas de uma grandeza Em alguns casos nem mesmo faz sentido realizar diversas medidas No entanto eacute evidente que existe uma incerteza associada a uma uacutenica medida Natildeo existem instrumentos que sejam perfeitamente precisos Entatildeo como podemos estimar essa incerteza Usualmente os manuais dos instrumentos trazem informaccedilotildees sobre isso Desse modo as incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica realizadas com um voltiacutemetro e um amperiacutemetro podem ser consultadas no manual do multiacutemetro utilizado Mas como eacute calculada a incerteza da resistecircncia interna de um amperiacutemetro que foi calculada a partir de

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apenas uma medida de tensatildeo e uma de corrente eleacutetrica Nesse caso precisamos calcular a incerteza propagada das incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica

Os meacutetodos de caacutelculo de incertezas propagadas podem ser bastante complicados Aqui trataremos de um meacutetodo bastante simples usualmente denominado de Meacutetodo dos Limites Vamos exemplificaacute-lo supondo que a incerteza da tensatildeo sobre as entradas do amperiacutemetro eacute P- e da corrente eleacutetrica que circula por ele eacute P$ Ou seja a tensatildeo medida estaacute no intervalo entre ∆S minus P- e ∆S + P- e a corrente eleacutetrica entre i minus P$ e i + P$ Qual eacute entatildeo a incerteza da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro investigado Para responder isso basta calcularmos os valores limites dessa grandeza O maacuteximo valor possiacutevel para a resistecircncia ocorreraacute se a tensatildeo for ∆S + P- e a corrente eleacutetrica for i minus P$ Nesse caso usando a Eq 1 temos

aacutee = ∆S + P-i minus P$

Usando o mesmo raciociacutenio o valor miacutenimo de r seraacute

z = ∆S minus P-i + P$

Desse modo podemos dizer que o valor da resistecircncia interna medida estaacute no intervalo entre rmaacutex e rmiacuten Em outras palavras o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro eacute

F = iexclz + aacutee2 z minus aacutee2 cent

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Erro eacute a mesma coisa que incerteza

Apesar de serem frequentemente utilizados como sinocircnimos os manuais de metrologia atribuem significados distintos aos conceitos de ldquoerrordquo e ldquoincertezardquo O Guia para Expressatildeo da Incerteza da Mediccedilatildeo (Joint Commitee for Guide in Metrology 2008 apud Lima Jr et al 2013) usa o termo ldquoerrordquo para indicar a diferenccedila entre o valor verdadeiro e o resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo o conceito de erro tem uso restrito pois satildeo poucos os casos em que conhecemos o valor verdadeiro de uma grandeza Satildeo exemplos desses casos experimentos em que se deseja mensurar a velocidade da luz no vaacutecuo ou o valor de π que satildeo valores previamente conhecidos pelo experimentador O caacutelculo do erro soacute faz sentido para casos em que sabemos o valor verdadeiro da grandeza que se quer medir

A incerteza por outro lado eacute entendida como uma estimativa que quantifica a confiabilidade do resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo quando calculamos o desvio padratildeo da meacutedia de um conjunto de medidas estamos calculando a incerteza da meacutedia dessas medidas ou seja estamos avaliando a confianccedila que podemos ter em adotar a meacutedia dessas medidas como o valor da grandeza mensurada O conceito de incerteza portanto tem maior aplicabilidade do que o conceito de erro

Algarismos significativos e incerteza

Uma questatildeo frequente nas aulas de laboratoacuterio eacute Com quantos algarismos uma grandeza deve ser apresentada No laboratoacuterio a resposta dessa questatildeo eacute uma funccedilatildeo da incerteza da grandeza Devemos apresentar os dados ateacute o seu primeiro algarismo duvidoso Voltemos ao exemplo da resistecircncia interna dos amperiacutemetros Suponhamos que a meacutedia das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros eacute 21546 Ω e o desvio padratildeo dessa meacutedia que eacute

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entendido aqui como a incerteza da resistecircncia interna dos amperiacutemetros eacute 003 Ω Interpretando tais dados assumimos com 68 de certeza que a resistecircncia interna dos amperiacutemetros estaacute no intervalo entre 21246 e 21846 Ω Desse modo a segunda casa decimal da grandeza medida eacute duvidosa Por isso os algarismos subsequentes satildeo omitidos quando expressamos essa medida e a medida da resistecircncia interna dos amperiacutemetros exemplificados eacute exposta por (215 plusmn 003) Ω Em suma o resultado de uma mediccedilatildeo deve ser sempre expresso com a mesma quantidade de casas decimais que sua incerteza Os algarismos apresentados satildeo entatildeo chamados de algarismos significativos

Referecircncia

Lima Jr P Silva M T X Silveira F L Veit E A (2013) Laboratoacuterio de mecacircnica subsiacutedios para o ensino de Fiacutesica experimental Porto Alegre UFRGS Instituto de Fiacutesica Disponiacutevel em httphdlhandlenet1018390438

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Atividade de Laboratoacuterio I Instrumentos de medida e incertezas

Este material foi cuidadosamente preparado para auxiliar no andamento das atividades no laboratoacuterio de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo Eacute importante responder TODAS as perguntas

(indicadas pelo siacutembolo ) feitas ao longo do texto discutindo com seu grupo possiacuteveis respostas e justificando-as Sempre que possiacutevel faccedila isso por escrito

TAREFA 1

Construa um circuito contendo um resistor de 1 kΩ em seacuterie com uma fonte de tensatildeo contiacutenua e um multiacutemetro Coloque o multiacutemetro na funccedilatildeo amperiacutemetro na escala de miliampere Usando outro multiacutemetro meccedila a tensatildeo no amperiacutemetro Realize medidas com diferentes correntes eleacutetricas variando a tensatildeo de saiacuteda da fonte

Como podemos tratar esses dados se nosso objetivo eacute medir a resistecircncia interna do amperiacutemetro

Qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados

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Para responder essas questotildees se dirija a um dos computadores da sala e use um aplicativo que possibilite a construccedilatildeo de graacuteficos SciDavis por exemplo Insira seus dados no aplicativo construa o graacutefico desejado e encontre a melhor reta que se ajusta aos dados

Qual foi a melhor reta ajustada Determine a equaccedilatildeo dessa reta ajustada

Qual eacute o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro que vocecirc investigou

TAREFA 2

Utilize as medidas de todos os grupos da turma e aplique os conhecimentos abordados na tarefa de leitura para responder as seguintes questotildees

Qual deve ser a resistecircncia interna de um amperiacutemetro escolhido aleatoriamente entre os utilizados nesta aula

Qual eacute a incerteza desse valor

TAREFA 3

Suponha que o manual do Minipa ET-2075B informe que as medidas de tensatildeo e corrente realizadas nas faixas de milivolt e miliampere tecircm incerteza de 3 Use esses dados para calcular a

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incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1

Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma

Elas satildeo coerentes Por quecirc

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CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO

Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por

equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC

Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras

O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se

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extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo

No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador

Salvando vidas

ldquoafastem-se choquerdquo

Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de

sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos

O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo

Figura 4 - Desfibrilador

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esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)

Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma

sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o

miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia

Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2

2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387

Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)

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Circuito RC - seacuterie

Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C

Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que

∆S(c) + i(c)F = 0

Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo

i(c) = =C(c)=c

e a ddp no capacitor eacute dada por

∆S(c) = C(c)D

Dessa forma podemos dizer que

=C(c)=c = minus 1FD C(c)

Figura 6 - Circuito RC

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Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa

funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja

derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever

C(c) = C7 ou

A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial

Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir

Capacitor Carregando Capacitor Descarregando

∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0

C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou

∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou

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Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8

Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo

eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum

3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78

Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas

do capacitor durante o processo de

carga ou descarga

Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um

graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo

do tempo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no

capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte

Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor

quando o mesmo estaacute sendo carregado

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Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie

1 - Osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos

2 ndash Aparato Experimental

Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto

Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)

Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio

Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees

Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala

Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)

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TAREFA 1

Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees

Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico

Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito

Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito

Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos

Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio

TAREFA 2

Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie

Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)

Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados

Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo

NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo

Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste

Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito

Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito

Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles

Manual de Laboratoacuterio

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MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS

Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais

Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio

Para onde aponta a buacutessola

Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc

E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial

tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos

que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a

soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio

4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja

httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4

Figura 10 - Buacutessola

Figura 11 - campo B resultante

Manual de Laboratoacuterio

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Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por

umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O

Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde

Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde

Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma

iacuteatilde() = ∙

onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde

5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass

The Physics Teacher 49(1) 45-48

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como

iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2

Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos

gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)

Logo

gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2

Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo

iacuteatilde() = amp

Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse

tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira

na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart

Manual de Laboratoacuterio

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pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do

que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute

yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp

onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico

da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos

yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp

Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3

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Atividade de Laboratoacuterio III Projeto

OBJETIVO

Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio

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SUGESTAtildeO 1

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO

Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas

Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece

Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha

Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo

por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o

eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte

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SUGESTAtildeO 2

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA

Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)

Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica

Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de

uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)

Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema

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SUGESTAtildeO 3

BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO

Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola

Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)

Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina

O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados

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SUGESTAtildeO 4

CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO

O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer

Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio

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MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO

Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro

Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental

6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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110 V 127 V e 220 V O que eacute isso

As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V

Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas

A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

(c) = Jgt(c + acute)

onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por

∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)

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onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1

Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho

Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores

Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por

∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf

∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712

∆Suparamiddot = ∆S7radic2

Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a

tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s

A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente

alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$

Figura 13 - Funccedilotildees seno e

seno quadrado

Manual de Laboratoacuterio

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COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA

Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz

Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O

Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio

Natildeo queremos jogar energia fora

Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14

Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie

Manual de Laboratoacuterio

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Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por

0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)

onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)

Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

ℇ(c) = ℇ7gt(c)

onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente

Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na

figura 16 para um caso em que VL gt VC

Figura 15 - Diagrama de fasores

de um circuito RLC seacuterie com

fonte de tensatildeo alternada

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

84

A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que

acute = c8 S minus SSu

Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado

por

i(c) = gt(c minus acute)

Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente

as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que

ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$

ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$

Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como

0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)

Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que

0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$

Figura 16 ndash Soma de fasores

Manual de Laboratoacuterio

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0eacutey = F ∙ uparamiddot$

onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square

Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que

F = frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte

Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade

7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL

Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e

resistecircncia num diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como

0 = AJradicAJ$ + AF$

O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP

DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11

Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia

Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por

acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita

Manual de Laboratoacuterio

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2 = 1D

Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica

Figura 18 - diagramas de fasores representando

um circuito capacitivo e um circuito indutivo

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Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie

O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio

TAREFA 1

Circuito Resistivo

Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR

Manual de Laboratoacuterio

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Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)

O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador

Circuito Capacitivo

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Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor

Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Manual de Laboratoacuterio

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Circuito Indutivo

Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor

O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

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Circuito RLC

Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise

Manual de Laboratoacuterio

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O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador

Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio

O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior

Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor

Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou

A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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TAREFA 2

Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente

Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir

Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima

Qual o valor da corrente maacutexima no circuito

Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)

O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique

Manual de Laboratoacuterio

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TAREFA 3

Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito

Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees

Como isso eacute possiacutevel Explique

Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff

Respostas

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Respostas

A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32

A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH

A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH

B3 Ae = Af = AtildeAcircf

B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl

B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH

B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l

B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD

B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -

C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc

(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7

C2 O = ~13deg

C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)

Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-

vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr

Respostas

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C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM

C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD

(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD

C6 A = Eacute$Acirc

C7 A = Atilde$AcircL

D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma

das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp

D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(

D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1

no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)

D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme

D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D

E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)

E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D

E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml

F1 544 times 10

F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S

F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM

u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM

u (e) 0 = ℇMu

F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω

Respostas

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F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965

G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n

G5 i = Ograve$g = 245 J

G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y

G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez

G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H

G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)

G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)

G15 (a) zL$brvbarM (b)

z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero

G16 z$L + z$L = z$L - + 1

G17 (a) pLM

amp (b) pusup3

ampL

G18 zzMu

G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)

z

G20 zNu saindo da folha

G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)

UgraveLMamp

fora do fio (a) z$L (b)

UgravebrvbarM$L (c)

Ugravebrvbarsup3ampL

G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13

G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM

ampu

H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior

Respostas

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H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a

H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J

I2 Φ = pound$ sup1amp

I4 C = AcircsM

I6 (a) zM

NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar

J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a

(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S

J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu

(c) = -radic

J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm

(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013

Respostas

100

Bibliografia

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Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm

Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il

Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il

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Problemas Selecionados

15

B8 ndash Duas barras isolantes de 15 de comprimento encontram-se em um acircngulo reto Uma barra possui 30 D e a outra possui minus30 D de carga uniformemente distribuiacuteda ao longo do comprimento conforme a figura ao lado Determine o campo eleacutetrico (vetor) no ponto P que estaacute a = = 750 do centro de cada barra

B9 ndash Duas barras curvas isolantes com cargas opostas de igual magnitude ( formam um ciacuterculo de raio F no plano xy conforme a figura As cargas estatildeo uniformemente distribuiacutedas na barra (a) Qual o campo eleacutetrico (vetor) no ponto P (b) Qual a resposta do item (a) se ( = 20 GD e F = 10

B10 ndash Considere um cilindro de comprimento 2 e raio J oco carregado com carga total C Vocecirc estaacute interessado em saber qual eacute

o campo eleacutetrico A ao longo do eixo do cilindro numa de suas extremidades Para isso utilize dois caminhos distintos (a) considerando que o cilindro eacute formado por uma infinidade de barras de espessura infinitesimal todas com comprimento 2 dispostas num ciacuterculo de raio J e (b) considerando que o cilindro eacute formado por uma infinidade de aneacuteis de raio J cujos eixos estatildeo alinhados e juntos formam um cilindro de comprimento 2

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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(C) Lei de Gauss

C1 ndash Uma faacutebrica de bolinhas de gude foi atingida por um raio durante uma tempestade O preacutedio foi protegido por um paacutera-raios mas algumas descargas atingiram os equipamentos que fabricavam as bolinhas Resultado eacute que a bolinha que estava na maacutequina ao cair o raio recebeu uma descarga eleacutetrica e as cargas ficaram armazenadas

no interior da bolinha de forma que a densidade de carga K() = K7 -LM

(a) Qual o campo A na superfiacutecie da bolinha que tem raio = 2 (b) E no interior da bolinha 1 abaixo da superfiacutecie (c) Qual o

campo A a 5 da superfiacutecie da bolinha

C2 ndash A figura ao lado mostra uma bolinha com massa 0004 8 e carga 8 times 10N D suspensa por um fio nas proximidades de uma grande placa condutora carregada sendo que a densidade de carga da placa eacuteminus2 times 10 D $frasl Encontre um valor para o acircngulo O

C3 ndash Uma casca ciliacutendrica isolante e muito longa tem raio interno e externo e densidade volumeacutetrica de carga K Um fio tambeacutem muito longo tem densidade linear de carga B e estaacute alinhado com o eixo central da casca Qual o campo eleacutetrico na regiatildeo entre e

Problemas Selecionados

17

C4 ndash Uma carga C positiva estaacute no centro de um conjunto de calotas concecircntricas como mostra a figura abaixo O raio das calotas estaacute indicado na figura A mais externa eacute condutora e estaacute carregada com carga C negativa e a calota intermediaacuteria eacute isolante e possui carga liacutequida ( positiva distribuiacuteda de forma uniforme por

todo seu volume Calcule o campo A resultante em cada uma das 5 regiotildees indicadas na figura Indique a localizaccedilatildeo aproximada das cargas induzidas eou em excesso em cada regiatildeo e indique a direccedilatildeo e sentido dos campos eleacutetricos

C5 ndash Uma casca esfeacuterica com densidade volumeacutetrica de carga K = 20 gtDamp tem raio interno = 10 e raio externo = 2 conforme a figura Determine o moacutedulo do campo eleacutetrico para os seguintes raios a partir do centro (a) = 2frasl (b) = 15 (c) = 2

C6 ndash Usando a Lei de Gauss determine o campo eleacutetrico proacuteximo a uma placa muito grande com densidade superficial de carga P

C7 ndash Usando a Lei de Gauss determine o campo eleacutetrico proacuteximo a uma barra muito longa com densidade linear de carga B

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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(D) Potencial Eleacutetrico

D1 ndash A figura ao lado mostra um anel incompleto formado por trecircs segmentos de arco com densidade linear de carga constantesB- B$ e Bamp A menor delas tem carga total (- e comprimento de arco 54 As demais estatildeo indicadas na figura Qual o potencial eleacutetrico no centro do anel Qual deve ser a relaccedilatildeo entre as cargas para que o potencial eleacutetrico no centro do anel seja igual a zero

D2 ndash A figura ao lado mostra um dipolo eleacutetrico de momento dipolar |G| = R( Mostre que para ≫ R o potencial eleacutetrico no ponto P eacute dado por

S = 145T7G UO$

Dica quando ≫ R eacute razoaacutevel considerar que V cong $ e minus V cong R UO

D3 ndash Sobre uma mesa de bilhar estatildeo dispostas trecircs bolinhas Uma com carga +C outra com carga ndash C e uma terceira com carga +2C conforme mostra a figura ao lado (a) Qual o potencial no ponto P (b) Se uma quarta bolinha for colocada no centro do quadrado qual deve ser a carga da bolinha para que o potencial no ponto P seja nulo

Problemas Selecionados

19

D4 ndash Uma esfera oca isolante de raio F e carga C eacute colocada nas proximidades de uma placa muito grande cuja densidade superficial de carga eacute P (uniforme) A distacircncia entre a placa e a superfiacutecie da esfera eacute = Qual a diferenccedila de potencial entre o centro da esfera e a placa Dica calcule a ddp devido a cada objeto separadamente e some os resultados A diferenccedila de potencial entre dois pontos pode ser determinada a partir do campo eleacutetrico

D5 ndash Uma esfera isolante maciccedila possui densidade de carga K() = K7$ onde ρ0 eacute uma constante (a) Qual a diferenccedila de potencial entre os pontos b e c Se a densidade de carga fosse uniforme qual seria a diferenccedila de potencial entre os pontos b e c

D6 ndash Um fio tem densidade linear de carga B uniforme e foi dobrado no formato conforme mostra a figura abaixo Qual o potencial eleacutetrico no ponto P

D7 ndash Considere duas cascas esfeacutericas finas concecircntricas condutoras A casca interna tem raio = 15 e carga 10 gtD A casca externa tem raio = 30 e carga minus15 gtD Forneccedila expressotildees para o campo eleacutetrico e o potencial eleacutetrico para as diferentes regiotildees (a) lt 15 (b) 15 lt lt 30 (c) gt 30 Em todos os casos considere S = 0 em = infin

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(E) Capacitacircncia

E1 ndash Sabendo que cada um dos capacitores no circuito ao lado tem capacitacircncia D = 10 e a diferenccedila de potencial na bateria eacute ΔS = 10 S qual eacute a carga do capacitor 1 E do capacitor 2

E2 ndash Encontre uma expressatildeo para a capacitacircncia dos capacitores abaixo sabendo que a distacircncia entre as placas eacute = a aacuterea das placas eacute 10 = o espaccedilo entre as placas estaacute preenchido por dois ou mais materiais de constantes dieleacutetricas distintas conforme mostra a figura abaixo Analisando cada capacitor separadamente eacute possiacutevel obter a mesma capacitacircncia com uma associaccedilatildeo de capacitores simples (preenchidos por um uacutenico material) Explique

E3 ndash Uma diferenccedila de potencial de 100 S eacute aplicada ao circuito ao lado onde D- = 10 D$ = 5 e Damp = 4 Se o capacitor 3 eacute substituiacutedo por um fio condutor qual eacute o aumento na carga do capacitor 1 Qual eacute o aumento na diferenccedila de potencial entre as placas do capacitor 1

(a) (b) (c)

Problemas Selecionados

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E4 ndash No circuito ao lado a diferenccedila de potencial fornecida pela bateria eacute de 20 S Qual a capacitacircncia equivalente do circuito Qual a carga armazenada por essa capacitacircncia equivalente Qual a carga e ddp para os capacitores 1 2 e 3

E5 ndash Na figura ao lado a ddp da bateria eacute 10 S D- = 10 D$ = Damp = 2D- A chave eacute movida para a esquerda e somente depois que o capacitor 1 atingiu o equiliacutebrio a chave eacute movida para a direita Quando o equiliacutebrio eacute novamente atingido qual eacute a carga do capacitor 1

E6 ndash Um capacitor de placas paralelas com aacuterea J e espaccedilamento = eacute preenchido com vidro (6 = 267) Conectado a uma bateria o capacitor acumula carga C (a) Qual a energia armazenada no capacitor (b) Mantendo a bateria conectada a separaccedilatildeo entre as placas eacute aumentada para 2= (veja a figura) Qual a energia armazenada nessa nova situaccedilatildeo

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(F) Corrente e Resistecircncia

F1 ndash A figura ao lado mostra parte de um fio de cobre com diacircmetros =- = 4F e =$ = 8F por onde passa uma corrente uniforme = 4 e a diferenccedila de potencial ao longo desse comprimento eacute20 S O

nuacutemero de portadores de carga por unidade de volume eacute 849 times 10$N amp Qual eacute a velocidade de deriva dos eleacutetrons de conduccedilatildeo na porccedilatildeo do fio com diacircmetro =$

F2 ndash No circuito ao lado qual a magnitude e direccedilatildeo das correntes nos resistores F- F$ e Famp Para isso considere que ℇ- = 6 S ℇ$ = 12 SF- = 100 Ω F$ = 200 Ω Famp = 300 Ω O ciruito estaacute aterrado e nesse ponto S = 0 Qual eacute o potencial eleacutetrico no ponto A

F3 ndash Calcule a potecircncia total dissipada em cada circuito Considere que todas as resistecircncias satildeo iguais e as baterias satildeo ideais Expresse suas respostas em termos de ℇ e F

F4 ndash Se dois fios de mesmo comprimento um de cobre e outro de alumiacutenio apresentam a mesma resistecircncia qual deve ser a razatildeo entre seus raios

Problemas Selecionados

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F5 ndash No circuito ao lado a potecircncia dissipada no resistor R eacute 20 a Qual o valor de R Qual a ddp entre os pontos A e B

F6 ndash A corrente medida por um amperiacutemetro A no circuito ao lado eacute a mesma quando ambas as chaves estatildeo abertas ou fechadas Qual o valor da resistecircncia R

F7 ndash Determine o valor da corrente que passa por cada um dos resistores a potecircncia fornecida por cada uma das fontes de tensatildeo e a potecircncia dissipada por cada um dos resistores Faccedila o balanccedilo energeacutetico do circuito

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F8 ndash No circuito ao lado a chave S permanece fechada por um longo tempo e a corrente no circuito atinge um valor constante Considere D- = 3 D$ = 6 F- = 4Ω e F$ = 7Ω A potecircncia dissipada em F$ eacute 24a (a) Determine as cargas em D- e D$ (b) Abrindo a chave S e aguardando um longo tempo qual a mudanccedila observada na carga do capacitor 2

F9 ndash Num circuito RC seacuterie como o da figura ao lado D = 1 F = 2 times 10bΩ e ℇ = 10S Dez segundos depois que a chave foi fechada determine (a) a carga no capacitor (b) a corrente no resistor (c) a taxa com que a energia eacute armazenada no capacitor (d) a taxa com que a bateria fornece energia para o circuito

F10 ndash Um capacitor eacute carregado atraveacutes de um resistor como mostra a figura no problema anterior Mostre que metade da energia fornecida pela bateria aparece como energia interna no resistor e a outra metade como energia eleacutetrica no capacitor

F11 ndash Um capacitor duas fontes ideais dois resistores e uma chave S satildeo mostrados no circuito da figura ao lado Suponha D = 12 ℇ- = 15 S ℇ$ = 30 S F- = 05 Ω e F$ = 08 Ω (a) Se a chave S permanece aberta por um longo tempo qual a carga no capacitor (b) Qual a carga no capacitor se a chave S permanece fechada por um longo tempo

Problemas Selecionados

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F12 ndash No circuito ao lado a bateria fornece 10 S o capacitor eacute de 1 e os resistores tecircm as resistecircncias indicadas na figura O circuito estaacute ligado haacute um longo tempo (a) Qual a ddp entre os terminais do capacitor (b) Se a bateria for desconectada quanto tempo levaraacute para que essa ddp atinja um deacutecimo do valor inicial

-------------------------------------------------------------------------------------------

(G) Campo Magneacutetico

G1 ndash Um proacuteton atravessa uma regiatildeo de campo magneacutetico uniforme = lang10 20 30rang 13 No tempo c- o proacuteton tem uma velocidade d = langde df 2rang e a forccedila magneacutetica sobre o proacuteton eacute g = lang4 times 10-h minus2 times 10-h 0rang H Nesse instante qual o valor de de e df

G2 ndash Um proacuteton viaja atraveacutes de uma regiatildeo de campo eleacutetrico e

magneacutetico uniformes onde = langminus25 0 0rang 13 Num certo instante a velocidade do proacuteton eacute d = lang0 2000 0rang Qual a forccedila resultante que age sobre o proacuteton se o campo eleacutetrico for

(a) A = lang0 0 4rang S (b) A = lang0 0 minus4rang S ou

(c) A = lang4 0 0rang S

G3 ndash Uma espira retangular de lados e estaacute numa regiatildeo de campo

magneacutetico perpendicular ao plano da espira e eacute percorrida por uma corrente i constante conforme mostra a figura ao lado Determine o torque sobre a espira

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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G4 ndash Dois trilhos de metal separados por uma distacircncia = = 256 estatildeo ligados a uma bateria No momento em que uma barra de metal de massa = 241 8 eacute colocada sobre os trilhos (c = 0) ela fecha o circuito e por ela passa uma corrente i = 913 J O conjunto estaacute numa regiatildeo onde existe um campo magneacutetico uniforme = 563 13 Qual a velocidade da barra 611 depois Em que direccedilatildeo ela se move

G5 ndash A figura ao lado mostra um cilindro de madeira de massa = 250 8 e comprimento 2 =10 onde foi enrolado um fio formando uma espira de 10 voltas O cilindro eacute posicionado de forma que o eixo da espira estaacute perpendicular ao plano inclinado (paralelo agrave normal do plano

inclinado) Nessa regiatildeo haacute um campo magneacutetico = lang0 05 0rang 13 Qual deve ser o valor miacutenimo da corrente na espira capaz de manter o cilindro em sua posiccedilatildeo evitando que ele role para baixo

G6 ndash A figura ao lado mostra um iacutematilde e um anel condutor de raio por onde passa uma corrente i Se o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde faz um acircngulo O com a vertical na posiccedilatildeo onde estaacute o anel qual eacute a magnitude e a direccedilatildeo da forccedila resultante sobre o anel

Problemas Selecionados

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G7 ndash Uma barra de metal com densidade de massa B (massa por unidade de comprimento) apresenta uma corrente i (saindo da paacutegina) A barra estaacute suspensa por dois fios num campo magneacutetico uniforme vertical como mostra a figura ao lado No equiliacutebrio os fios

fazem um acircngulo O com a vertical Qual a magnitude do campo magneacutetico

G8 ndash Um proacuteton com energia cineacutetica de 6 jS se move no plano da paacutegina e entra numa regiatildeo de campo magneacutetico = 1 13 direcionado para dentro da paacutegina como mostra a figura ao lado

O proacuteton entra na regiatildeo de campo com o vetor velocidade fazendo um acircngulo O- = 35deg com a borda da regiatildeo Qual eacute a distacircncia entre o ponto de entrada e saiacuteda ( na figura) Qual o valor de O$

G9 ndash Considere um eleacutetron orbitando um proacuteton numa trajetoacuteria circular de raio F = 529 times 10-- devido agrave atraccedilatildeo Coulombiana Considere o sistema como se fosse um anel por onde passa uma corrente Qual seraacute o torque resultante quando o sistema for colocado numa regiatildeo de campo magneacutetico = 04 13 perpendicular ao momento magneacutetico do anel

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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G10 ndash Um fio por onde passa uma corrente i foi moldado num formato semicircular de raio F e uma reta de comprimento 2F como mostra a figura ao lado Nessa mesma regiatildeo haacute um campo magneacutetico que aponta na direccedilatildeo + (representado pelos pontos azuis na figura ao lado) Mostre que a

forccedila resultante sobre o fio eacute zero

G11 ndash Um condutor ciliacutendrico longo de raio conteacutem duas cavidades cada uma com diacircmetro ao longo de todo o comprimento do fio Uma visatildeo da seccedilatildeo transversal do fio eacute mostrada na figura ao lado Uma corrente i uniforme (considerando a porccedilatildeo soacutelida do material) passa atraveacutes do fio e aponta para fora da paacutegina Determine a magnitude e direccedilatildeo do campo

magneacutetico em funccedilatildeo de 7 i e no ponto P

G12 ndash Dois fios muito longos por onde passa corrente i de mesma magnitude estatildeo moldados conforme a figura ao lado

Mostre que o campo magneacutetico no centro do ciacuterculo de raio R eacute o mesmo que o

campo a uma distacircncia R abaixo de um fio reto muito longo por onde passa uma corrente i

Problemas Selecionados

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G13 ndash Encontre uma expressatildeo para determinar a magnitude do campo magneacutetico no ponto P da figura ao lado Dica considere a origem dos eixos cartesianos no ponto P

G14 ndash A figura ao lado mostra a seccedilatildeo transversal de um condutor oco de raio externo e interno por onde passa uma corrente uniforme i Demonstre que a magnitude do campo magneacutetico () para uma distacircncia lt lt eacute dada por

= 7i25($ minus $) $ minus $

G15 ndash A figura ao lado mostra um cabo coaxial de raios e Correntes opostas de igual magnitude estatildeo distribuiacutedas nos dois condutores Derive uma expressatildeo para calcular o campo magneacutetico () na regiatildeo (a) lt (b) lt lt (c) lt lt e (d) gt

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G16 ndash Um fio condutor por onde passa uma corrente i foi torcido para formar um loop de raio R (no plano da paacutegina) como mostra a figura abaixo Qual a direccedilatildeo do campo magneacutetico no

centro do loop Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico no centro do loop

G17 ndash Uma corrente i passa por um fio condutor ciliacutendrico de raio R como mostra a figura ao lado A densidade de corrente l natildeo eacute uniforme atraveacutes da seccedilatildeo transversal do fio mas obedece agrave funccedilatildeo l = onde eacute uma constante Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico (a) a uma distacircncia - lt F e (b) a uma distacircncia $ gt F(em relaccedilatildeo ao centro do condutor)

G18 ndash Um fio condutor muito longo por onde passa uma corrente i- estaacute parcialmente envolto por um loop por onde passa uma corrente i$ (figura ao lado) O loop fio foi moldado num formato semiciliacutendrico de raio R e o comprimento L O fio condutor passa pelo eixo do loop Calcule a forccedila magneacutetica exercida sobre o loop

G19 ndash Considere um solenoide de comprimento 2 e raio F contendo H voltas de um fio por onde passa uma corrente i (a) Determine uma expressatildeo para

o campo magneacutetico num ponto ao longo do eixo do solenoide do lado de fora do solenoide como funccedilatildeo da distacircncia ateacute uma das pontas (considere = 0 no centro do solenoide e = a distacircncia do centro ateacute o ponto onde estaacute sendo calculado o campo ) (b) Mostre que para

Problemas Selecionados

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valores muito grandes de 2 e = = 0 se aproxima de = 7i H 2frasl para posiccedilotildees ao longo do eixo no interior do solenoide distante das bordas

G20 ndash A figura ao lado mostra um fio moldado para formar duas seccedilotildees retas e um quarto de ciacuterculo por onde passa corrente i Determine o campo magneacutetico (vetor) no ponto P

G21 ndash Um fio ciliacutendrico espesso de raio eacute percorrido por uma corrente i Determine uma expressatildeo para o

campo magneacutetico dentro e fora do fio considerando que (a) a corrente estaacute distribuiacuteda uniformemente sobre a superfiacutecie externa do fio (b) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio com densidade de corrente l constante (c) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio de forma que a densidade de corrente l eacute proporcional agrave distacircncia ateacute o eixo do fio

G22 ndash Considere dois solenoides coaxiais cada um conduzindo uma corrente i em direccedilotildees opostas O solenoide interno de raio possui gt- voltas por unidade de comprimento o

solenoide externo possui raio e gt$ voltas por unidade de

comprimento Determine (a) no interior do conjunto (b) entre eles e (c) fora deles

G23 ndash Um fio condutor longo e reto de raio F conduz uma corrente natildeo uniforme cuja densidade de corrente eacute l = l7 Ffrasl onde l7 eacute uma constante A corrente total eacute i (a) Determine uma expressatildeo para i

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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em funccedilatildeo de l7 e F (b) Determine uma expressatildeo para o campo magneacutetico no interior do fio para uma distacircncia

G24 ndash A figura ao lado mostra um toroide que consiste num solenoide fechado em forma de anel (a) Considerando a simetria explique qual deve ser o formato do campo magneacutetico no interior desse toroide (b) Considere o toroide compacto (a separaccedilatildeo entre cada volta do fio eacute pequena) com N voltas conduzindo uma corrente i Usando a lei de Ampeacutere determine a magnitude do campo magneacutetico num ponto interno ao toroide a uma distacircncia do eixo principal (ver figura ao lado) (c) O campo magneacutetico no interior do toroide eacute um campo uniforme Explique

-------------------------------------------------------------------------------------------

(H) Lei de Faraday

H1 ndash A figura ao lado mostra dois aneis cujos eixos estatildeo alinhados separados por uma distacircncia x O anel maior tem raio F o anel menor tem raio Os aneis estatildeo separados por uma distacircncia ≫ F e por isso o campo magneacutetico devido agrave corrente no anel de raio F eacute praticamente uniforme no anel menor Considere que a distacircncia estaacute aumentando a uma taxa constante = =cfrasl = d (a) Determine uma expressatildeo para o fluxo de campo magneacutetico atraveacutes do anel menor como funccedilatildeo de Encontre uma expressatildeo para (b) a fem induzida e (c) a direccedilatildeo da corrente no anel menor

Problemas Selecionados

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H2 ndash (a) Calcule o fluxo magneacutetico atraveacutes do retacircngulo mostrado na figura ao lado em funccedilatildeo de = i (b) Avalie o resultado encontrado para = 5 = 10 = = 2 e i = 20 J

H3 ndash Uma espira plana e circular de raio =75 estaacute em repouso numa regiatildeo de campo magneacutetico uniforme A espira estaacute orientada de tal forma que o campo magneacutetico aponta para cima

e faz um acircngulo de 30deg com a normal da espira O campo varia com

o tempo de acordo com (c) = 14(77nho) 13 (a) Determine a fem induzida na espira em funccedilatildeo do tempo (b) Para que valor de c a fem induzida eacute igual a um deacutecimo do seu valor inicial Determine o sentido da corrente induzida na espira se observada por cima da espira

H4 ndash Um retacircngulo que mede 30 times 40 estaacute localizado no interior de um campo magneacutetico uniforme de 125 13 com o campo perpendicular ao plano da bobina A bobina se move perpendicular ao campo com velocidade constante d =2 inclusive atingindo a regiatildeo

onde o campo termina abruptamente como mostra a figura ao lado Determine a fem induzida nessa bobina quando ela estaacute (a) inteiramente no interior do campo (b) parcialmente no interior do campo e (c) inteiramente fora do campo

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H5 ndash O fio na figura ao lado conduz

uma corrente i(c) = i7po onde gt 0 Determine o sentido da corrente induzida na bobina (horaacuterio ou anti-horaacuterio) para c gt 0

H6 ndash A figura ao lado mostra uma espira circular de raio contendo uma resistecircncia e um capacitor ligados em seacuterie imerso numa regiatildeo onde um campo magneacutetico uniforme (no espaccedilo) entrando no plano na paacutegina decresce no tempo a uma taxa constante = =cfrasl = minus sendo uma constante positiva (a) Qual a carga no capacitor quando ele estaacute completamente carregado (b) Qual das placas do capacitor estaacute em potencial mais elevado (c) Qual a origem da forccedila que causa a separaccedilatildeo de cargas

-------------------------------------------------------------------------------------------

(I) Indutacircncia

I1 ndash No circuito ao lado ℰ = 100 SF- = 10 Ω F$ = 20 Ω Famp = 30 Ω e 2 = 2 H Ao fechar a chave S quais os valores de i- e i$ Considere positivo o sentido das correntes indicadas na figura Muito tempo

depois quais satildeo os valores de i- e i$ A chave eacute entatildeo aberta Nesse instante quais satildeo os valores de i- e i$ E muito tempo depois quais satildeo os valores de i- e i$

Problemas Selecionados

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I2 ndash Num circuito LC em seacuterie a carga inicial do capacitor eacute C e ele estaacute sendo descarregado Quando a carga no capacitor eacute igual a C 2frasl qual eacute o fluxo magneacutetico que atravessa cada uma das N espiras do indutor (como funccedilatildeo de C H 2 e D)

I3 ndash Uma bobina possui N voltas e estaacute envolvendo um solenoide longo de raio r com n espiras por unidade de comprimento (figura ao lado) (a) Mostre que a indutacircncia muacutetua do sistema eacute dada por j = 75F$gtH (b) Explique por que M natildeo depende do formato tamanho ou possiacutevel falta de proximidade das espiras na bobina

I4 ndash A fem autoinduzida num solenoide de indutacircncia L varia no tempo conforme ℇ(c) = ℇ7so Levando em consideraccedilatildeo que a carga eacute finita (ou seja i = 0 quando c = infin) determine a carga total que passa pelo solenoide (que atravessa um determinado ponto no fio que compotildee o solenoide)

I5 ndash Um fio condutor foi enrolado num papelatildeo formando um toroide com N espiras (voltas) raio menor r e maior R A seccedilatildeo transversal do toroide eacute mostrada na figura ao lado Se F ≫ o campo magneacutetico no interior do toroide eacute essencialmente o mesmo que o campo no interior de um solenoide muito longo que tenha sido

moldado no formato de um ciacuterculo de raio R Modelando o campo como se fosse o campo uniforme de um solenoide longo mostre que a indutacircncia desse toroide eacute

aproximadamente 2 asymp -$ 7H$ LMu

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I6 ndash Um indutor consiste em duas cascas ciliacutendricas concecircntricas como mostra a figura A casca interna tem raio e a externa tem raio ambas com comprimento ℎ A casca interna transporta uma corrente i para fora e a externa para dentro do plano da paacutegina com igual magnitude Calcule na regiatildeo lt lt (a) a densidade de energia magneacutetica (b) a indutacircncia

I7 ndash Mostre que i(c) = i7o wx eacute a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial iF + 2 yzyo = 0 onde i7 eacute a corrente em c = 0 e = 2 Ffrasl

I8 ndash Um fio condutor de raio R transporta uma corrente uniforme A corrente total no fio eacute i Mostre que a energia magneacutetica por unidade de comprimento dentro do fio eacute dada por 7i$ 165frasl

I9 ndash Um cabo coaxial eacute formado por dois cilindros condutores de paredes finas com raios - e $ As correntes nos dois cilindros satildeo iguais em magnitude mas com sentidos opostos (a) Use a lei de Ampeacutere para determinar o campo magneacutetico como funccedilatildeo da distacircncia ao eixo do cabo nas regiotildees (0 lt lt -) ( - lt lt $ ) e ( gt $) (b) Mostre que a densidade de energia magneacutetica na regiatildeo entre os cilindros eacute dada por

| = 12 745 i$(5$)-

(c) Mostre que a energia magneacutetica total num volume de cabo com comprimento ~ eacute dada por

Problemas Selecionados

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= i$~ ln LML

(d) Mostre que a autoindutacircncia por unidade de comprimento do cabo eacute dada por

2~ = 725 ln $-

-------------------------------------------------------------------------------------------

(J) Corrente Alternada

J1 ndash A tensatildeo de uma fonte de corrente alternada eacute dada por ∆d = 120gt(30 5c) onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A fonte eacute conectada a um indutor de 05 Determine (a) a frequecircncia da fonte (b) a voltagem rms no indutor (c) a reatacircncia indutiva do circuito (d) a corrente rms no indutor e (e) a corrente maacutexima no indutor

J2 ndash Uma fonte de tensatildeo alternada fornece uma tensatildeo ∆d = 98gt(80 5c) a um capacitor onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A corrente maacutexima no circuito eacute 05 J Determine (a) a tensatildeo rms da fonte (b) a frequecircncia da fonte e (c) o valor da capacitacircncia

J3 ndash Um circuito AC eacute composto por um resistor de 250 Ω um indutor de 15 um capacitor de 35 e uma fonte de tensatildeo alternada com amplitude de 45 S operando com frequecircncia angular = 360 = frasl (a) Qual eacute o fator de potecircncia do circuito (b) Determine a potecircncia meacutedia aparente (S) fornecida ao circuito (c) Qual eacute a potecircncia meacutedia ativa (P) dissipada no resistor Qual eacute a potecircncia meacutedia reativa (Q) que fica armazenada no circuito

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J4 ndash Cinco voltiacutemetros com impedacircncia muito grande ajustados para ler valores rms estatildeo conectados conforme a figura ao lado Sendo F =200 Ω 2 = 04 H D = 6 e ∆S = 30 Vqual eacute a leitura da tensatildeo em cada voltiacutemetro se (a) = 200 = frasl e (b) =1000 = frasl

J5 ndash Num circuito RLC 2 = 028 e D = 4 A fonte fornece uma voltagem com amplitude de 120 S Qual eacute a frequecircncia angular de ressonacircncia do circuito (b) Quando a fonte opera na frequecircncia angular de ressonacircncia a amplitude da corrente no circuito eacute 17 J Qual a resistecircncia do resistor (c) Na frequecircncia angular de ressonacircncia quais satildeo as voltagens de pico no indutor capacitor e resistor

J6 ndash O circuito ao lado conteacutem uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal conforme ℇ = ℇgt(c) No estado de equiliacutebrio temos as correntes mostradas no circuito Sem recorrer a uma matemaacutetica complicada responda (a) Quais os valores de u e quando = 0 (frequecircncia zero significa que

a fonte foi substituida por uma bateria ideal) (b) Quais os valores de u e quando rarr infin (c) Qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia

Problemas Selecionados

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J7 ndash Um indutor um capacitor e um resistor estatildeo conectados em seacuterie a uma fonte de tensatildeo alternada Se os valores da resistecircncia capacitacircncia e indutacircncia forem duplicados o que aconteceraacute com (a) a frequecircncia angular de ressonacircncia (b) a reatacircncia indutiva (c) a reatacircncia capacitiva e (d) a impedacircncia

J8 ndash O circuito abaixo eacute formado por uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal variando conforme ℇ = ℇgt(c) uma resistecircncia F = 6 Ω e uma parte desconhecida que pode conter um indutor um capacitor ou ambos A amplitude da fonte eacute ℇ = 6 S Quando a frequecircncia angular = 2 = a corrente estaacute em fase com a fonte enquanto que para = 1 = a corrente estaacute fora de fase em relaccedilatildeo agrave fonte por exatamente 5 4frasl (a) Quais componentes estatildeo presentes na parte desconhecida (um indutor um capacitor ou ambos) Explique (b) Determine os valores dos componentes desconhecidos

J9 ndash Um circuito em seacuterie possui impendecircncia de 60 Ω e fator de potecircncia igual a 072 em 50 A tensatildeo da fonte estaacute atrasada em relaccedilatildeo agrave corrente (a) Que elemento do circuito (um indutor ou um capacitor) deve ser ligado em seacuterie com o circuito para aumentar o fator de potecircncia (b) Qual deve ser o valor desse elemento para que o fator de potecircncia seja igual a 1 (c) Apresente diagramas de fasores esquemaacuteticos para o circuito antes e depois da ligaccedilatildeo do novo elemento

Manual de Laboratoacuterio

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O PROCESSO DE MEDIDA NO LABORATOacuteRIO DE FIacuteSICA

Natildeo satildeo raros eventos em que nos valemos de medidas para tomarmos decisotildees Medimos nossa temperatura corporal para avaliarmos se necessitamos de tratamento Medimos a pressatildeo manomeacutetrica dos pneus para avaliarmos se precisamos injetar ou retirar ar neles Consultamos medidas da temperatura ambiente para escolhermos a roupa que vestiremos Consultamos o horaacuterio (medida de tempo) para natildeo chegarmos atrasados em encontros Medidas satildeo portanto fundamentais em nossas vidas No entanto usualmente natildeo nos preocupamos muito com a precisatildeo dessas medidas Em grande parte das vezes natildeo nos interessa saber se o horaacuterio informado no reloacutegio estaacute um pouco atrasado ou adiantado Natildeo nos preocupamos em saber o quanto podemos confiar nas temperaturas coletadas com um determinado termocircmetro Nossas medidas comumente satildeo realizadas de forma despretensiosa sem muito rigor

No laboratoacuterio de Fiacutesica isso ocorre de modo muito diferente Os processos de mediccedilatildeo satildeo mais minuciosos do que os que realizamos costumeiramente Desejamos obter a maior precisatildeo possiacutevel com os equipamentos de que dispomos Mas como fazer isso Como podemos melhorar a precisatildeo dos processos de mediccedilatildeo Intuitivamente podemos concluir que inferecircncias realizadas a partir de um conjunto de medidas satildeo mais precisas do que medidas isoladas Mas quando disponho de um conjunto de medidas como posso analisaacute-las Calcular a meacutedia delas eacute suficiente Responder a questotildees como essas eacute o objetivo desta atividade Para exemplificarmos todo esse processo realizaremos um debate sobre a mediccedilatildeo da resistecircncia interna de amperiacutemetros

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O que satildeo amperiacutemetros

Um amperiacutemetro eacute um instrumento utilizado para a realizaccedilatildeo de medidas de correntes eleacutetricas Evidentemente natildeo queremos modificar os circuitos quando os exploramos com um instrumento Com amperiacutemetros natildeo eacute diferente Queremos medir correntes eleacutetricas sem alterar as caracteriacutesticas do circuito Mas como eacute possiacutevel fazer isso Natildeo discutiremos aqui os detalhes sobre o funcionamento interno de um amperiacutemetro No entanto vamos avaliaacute-los do ponto de vista de uma das suas caracteriacutesticas mais importantes a sua resistecircncia eleacutetrica

A resistecircncia eleacutetrica de um circuito influencia na intensidade da corrente eleacutetrica que circula nele A corrente eleacutetrica i que perpassa por uma resistecircncia eleacutetrica F submetida a uma tensatildeo ∆S por exemplo pode ser predita pela seguinte relaccedilatildeo

i = ∆u Eq 1

O amperiacutemetro precisa ser posicionado em seacuterie no circuito em que se deseja medir a corrente eleacutetrica como eacute exemplificado na figura

Figure 1- Medindo a resistecircncia interna de um multiacutemetro

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1 Como a resistecircncia equivalente em circuitos em seacuteries eacute a soma da resistecircncia eleacutetrica de cada um dos seus componentes a resistecircncia interna dos amperiacutemetros se soma agrave resistecircncia equivalente do circuito investigado alterando a sua dinacircmica Por isso nosso desejo eacute que os amperiacutemetros tenham resistecircncia eleacutetrica nula No entanto a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro real por menor que seja nunca eacute nula Eles possuem um circuito interno com fios e diversos componentes eletrocircnicos que acabam provocando uma resistecircncia agrave circulaccedilatildeo de corrente eleacutetrica Ainda assim frequentemente desprezamos tal resistecircncia Seraacute que isso eacute razoaacutevel Quando podemos desprezar a resistecircncia interna dos amperiacutemetros e quando natildeo podemos Para respondermos tais perguntas precisamos conhecer o valor da resistecircncia interna tiacutepica de um amperiacutemetro

Medindo a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro

Nesta disciplina usaremos diversos amperiacutemetros de uma mesma marca e modelo em uma seacuterie de experimentos (Minipa ET-2075B) Por isso eacute interessante que conheccedilamos a resistecircncia eleacutetrica deles para podermos avaliar quando podemos desprezaacute-la e quando natildeo Mas como podemos obter essa informaccedilatildeo Podemos medi-la Um procedimento simples para isso eacute submeter o amperiacutemetro a uma diferenccedila de potencial ΔV conhecida e medir a corrente eleacutetrica i que passa por ele Desse modo podemos usar a Eq 1 para inferir a resistecircncia eleacutetrica do equipamento Mas podemos confiar em uma uacutenica medida Depende da precisatildeo de que necessitamos para essa medida Intuitivamente sabemos que se medirmos a resistecircncia interna a partir de um conjunto de dados poderemos ter uma maior confiabilidade nos dados No exemplo de que estamos tratando eacute possiacutevel se coletar dados da corrente no amperiacutemetro quando submetido a diferentes tensotildees Desse modo pode-se inferir a resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro pela declividade da reta constituiacuteda

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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pelos dados representados em um graacutefico da tensatildeo em funccedilatildeo da corrente eleacutetrica como pode ser constatado da Eq1 No entanto como temos incertezas associadas a cada dado experimental coletado esses dados natildeo seratildeo perfeitamente representados por uma reta Surge entatildeo uma nova questatildeo qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados

Ajuste de Curvas

Diversas retas podem ser ajustadas a um conjunto de dados experimental Qual delas utilizar Intuitivamente podemos conjecturar que a melhor reta a ser utilizada eacute aquela tal que a soma das diferenccedilas entre os valores de tensatildeo medidos e os preditos pela reta tenha o menor valor possiacutevel Em outras palavras queremos minimizar a soma

sum = = (∆Sz minus ∆S)z-

onde ∆Sz satildeo as tensotildees medidas e ∆S satildeo as tensotildees preditas pela reta ajustada

No entanto haacute um inconveniente importante no uso desse criteacuterio tal soma pode ser bem pequena para retas que natildeo apresentam bom ajuste aos dados se as diferenccedilas entre os valores medidos e os preditos se cancelarem sendo alguns positivos e outros negativos Nesses casos apesar de natildeo termos uma reta bem ajustada aos dados o criteacuterio utilizado

indicaria que sim Como resolver isso Elevando os valores de dn ao

Figura 1 - Diferenccedila de potencial em funccedilatildeo

da corrente

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quadrado Ou seja podemos procurar a reta tal que a seguinte soma tenha o menor valor possiacutevel

sum =$ = (∆Sz minus ∆S)$z-

O meacutetodo que utiliza esse criteacuterio para a realizaccedilatildeo de ajustes de curvas que eacute amplamente utilizado no meio acadecircmico eacute denominado Meacutetodo dos Miacutenimos Quadrados Todos os softwares do tipo planilha eletrocircnica realizam esse caacutelculo automaticamente e nos valeremos disso quando necessaacuterio

Todos os amperiacutemetros da sala possuem a mesma resistecircncia interna

Ainda que todos os amperiacutemetros que utilizaremos nas nossas aulas sejam da mesma marca e modelo eles possuem diferentes resistecircncias internas Existe alguma forma de estimar a resistecircncia interna de um desses amperiacutemetros escolhido aleatoriamente Calcular a meacutedia das resistecircncias eacute suficiente para realizar essa estimativa

Variabilidade das medidas o desvio padratildeo amostral e da meacutedia

Apesar de as resistecircncias dos amperiacutemetros natildeo serem exatamente as mesmas elas possuem valores que se distribuem em torno de um valor meacutedio que eacute igual agrave meacutedia dessas resistecircncias Desse modo se tomarmos um dos amperiacutemetros aleatoriamente o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute igual agrave meacutedia das resistecircncias internas de todos os amperiacutemetros Mas quanto podemos confiar nessa estimativa Para respondermos tal pergunta eacute importante quantificarmos a variabilidade das resistecircncias r que medimos Quanto menor for essa variabilidade maior seraacute a nossa confianccedila para assumir que a resistecircncia interna de um amperiacutemetro particular eacute igual agrave meacutedia Intuitivamente podemos conjecturar que tal variabilidade pode ser medida pelo somatoacuterio das diferenccedilas entre as resistecircncias

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medidas z e a meacutedia dessas resistecircncias ou seja por (- minus ) + ($ minus ) + ⋯ + ( minus ) onde N eacute o nuacutemero de medidas realizadas No entanto temos aqui um inconveniente semelhante ao que tivemos quando analisaacutevamos ajustes de curvas se valores positivos e negativos se cancelarem esse somatoacuterio pode ser muito pequeno mesmo quando os dados apresentam grande variabilidade Podemos propor a mesma soluccedilatildeo adotada anteriormente vamos elevar os termos ao quadrado Temos entatildeo a variabilidade dos dados sendo mensurada por (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$

A impossibilidade de comparaccedilatildeo entre as variabilidades de diferentes conjuntos de dados eacute a limitaccedilatildeo desta proposta pois o resultado desse somatoacuterio eacute altamente dependente da quantidade de termos Desse modo eacute possiacutevel que esse somatoacuterio seja maior para grandes conjuntos com pouca variabilidade do que para pequenos grupos com grande variabilidade Para amenizar tal limitaccedilatildeo podemos entatildeo dividir o somatoacuterio por N ou seja calcular a variabilidade por(- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$ Hfrasl Ainda que esse somatoacuterio seja conceitualmente interessante natildeo eacute essa a medida de dispersatildeo de dados que costuma ser utilizada no meio cientiacutefico mas algo que guarda alguma semelhanccedila com ele o desvio padratildeo dos dados (P) Ele eacute calculado por

PL = (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$H minus 1

Mas por que utilizamos essa equaccedilatildeo A resposta estaacute em suas propriedades Quando construiacutemos um histograma (graacutefico de frequecircncias) de um conjunto de medidas por exemplo podemos em muitos casos assumir que a distribuiccedilatildeo desses dados eacute representada por uma distribuiccedilatildeo normal A equaccedilatildeo que define essa distribuiccedilatildeo assim como sua representaccedilatildeo graacutefica eacute ilustrada na Figura 3

Manual de Laboratoacuterio

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Natildeo eacute nosso objetivo aqui discutir detalhes da distribuiccedilatildeo normal O que desejamos destacar eacute que quando supomos que a distribuiccedilatildeo de um conjunto de dados eacute normal o que eacute bastante razoaacutevel na maioria das vezes o desvio padratildeo σ quantifica como os dados estatildeo distribuiacutedos Para entendermos isso analisemos a Figura 4

O intervalo compreendido pela meacutedia das medidas mais ou menos um desvio padratildeo compreende 68 das medidas realizadas No caso que estamos exemplificando se tomarmos a meacutedia das resistecircncias internas r de todos os amperiacutemetros investigados e o desvio padratildeo PL desses dados 68 das medidas estaratildeo no intervalo entre ( minus PL) e ( + PL) 95 no intervalo ( 2PL) e 99 no intervalo ( 257PL)

Figura 2 - A distribuiccedilatildeo normal eacute usualmente utilizada para representar a distribuiccedilatildeo

de frequecircncias de um conjunto de dados (Lima Jr et al 2013 p 30)

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Agora jaacute sabemos como quantificar a variabilidade de um conjunto de dados Podemos entatildeo calcular a meacutedia e o desvio padratildeo das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros Mas surge entatildeo uma questatildeo Se analisaacutessemos um novo conjunto de amperiacutemetros da mesma marca e modelo dos exemplificados aqui a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros seria a mesma Provavelmente natildeo Temos como estimar a partir do conjunto de medidas que realizamos a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros Temos Para responder a essa questatildeo temos que compreender um novo conceito o de desvio padratildeo da meacutedia (PL) Ele eacute calculado por

PL = PLradicH

Natildeo vamos entrar em detalhes aqui sobre a origem do conceito de desvio padratildeo da meacutedia1 vamos apenas explicar como essa grandeza nos permite estimar a incerteza na meacutedia de um conjunto de medidas Para isso vamos supor um novo conjunto de N novas

1 Se vocecirc eacute um aluno curioso pesquise sobre o Teorema Central do Limite para compreender com mais profundidade o conceito de desvio padratildeo da meacutedia

Figura 3 - A meacutedia e o desvio padratildeo demarcam a distribuiccedilatildeo dos dados em uma

distribuiccedilatildeo normal Na figura o eixo das abcissas expressa a distacircncia da meacutedia em

unidades de desvio padratildeo (Lima Jr et al 2013 p 30)

Manual de Laboratoacuterio

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medidas da resistecircncia interna de amperiacutemetros como os investigados nesta aula Qual seria a meacutedia dessas medidas Assim como o desvio padratildeo dos dados quantifica a dispersatildeo dos dados em torno da meacutedia o desvio padratildeo da meacutedia quantifica a dispersatildeo das meacutedias de subconjuntos de dados em torno da meacutedia de todo o conjunto de dados Aplicando esse conceito ao nosso exemplo podemos interpretar os dois conjuntos de medidas de resistecircncias internas como subconjuntos de um grande conjunto contendo todas as medidas Desse modo podemos afirmar com 68 de confianccedila que a meacutedia das N novas medidas a serem realizadas estaraacute no intervalo compreendido por ( PL) com 95 de confianccedila no intervalo ( 2PL) e com 99 de confianccedila no intervalo ( 257PL) O desvio padratildeo da meacutedia pode ser compreendido assim como a incerteza da meacutedia de um conjunto de medidas ou seja ele nos fornece uma estimativa da confiabilidade de uma meacutedia Em suma se escolhermos um amperiacutemetro aleatoriamente podemos dizer que i) o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute a meacutedia das resistecircncias de todos os amperiacutemetros e ii) a incerteza que temos nesse valor eacute igual ao desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias dos amperiacutemetros

E se eu soacute tivesse condiccedilotildees de realizar uma uacutenica medida

Nem sempre podemos realizar diversas medidas de uma grandeza Em alguns casos nem mesmo faz sentido realizar diversas medidas No entanto eacute evidente que existe uma incerteza associada a uma uacutenica medida Natildeo existem instrumentos que sejam perfeitamente precisos Entatildeo como podemos estimar essa incerteza Usualmente os manuais dos instrumentos trazem informaccedilotildees sobre isso Desse modo as incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica realizadas com um voltiacutemetro e um amperiacutemetro podem ser consultadas no manual do multiacutemetro utilizado Mas como eacute calculada a incerteza da resistecircncia interna de um amperiacutemetro que foi calculada a partir de

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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apenas uma medida de tensatildeo e uma de corrente eleacutetrica Nesse caso precisamos calcular a incerteza propagada das incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica

Os meacutetodos de caacutelculo de incertezas propagadas podem ser bastante complicados Aqui trataremos de um meacutetodo bastante simples usualmente denominado de Meacutetodo dos Limites Vamos exemplificaacute-lo supondo que a incerteza da tensatildeo sobre as entradas do amperiacutemetro eacute P- e da corrente eleacutetrica que circula por ele eacute P$ Ou seja a tensatildeo medida estaacute no intervalo entre ∆S minus P- e ∆S + P- e a corrente eleacutetrica entre i minus P$ e i + P$ Qual eacute entatildeo a incerteza da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro investigado Para responder isso basta calcularmos os valores limites dessa grandeza O maacuteximo valor possiacutevel para a resistecircncia ocorreraacute se a tensatildeo for ∆S + P- e a corrente eleacutetrica for i minus P$ Nesse caso usando a Eq 1 temos

aacutee = ∆S + P-i minus P$

Usando o mesmo raciociacutenio o valor miacutenimo de r seraacute

z = ∆S minus P-i + P$

Desse modo podemos dizer que o valor da resistecircncia interna medida estaacute no intervalo entre rmaacutex e rmiacuten Em outras palavras o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro eacute

F = iexclz + aacutee2 z minus aacutee2 cent

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Erro eacute a mesma coisa que incerteza

Apesar de serem frequentemente utilizados como sinocircnimos os manuais de metrologia atribuem significados distintos aos conceitos de ldquoerrordquo e ldquoincertezardquo O Guia para Expressatildeo da Incerteza da Mediccedilatildeo (Joint Commitee for Guide in Metrology 2008 apud Lima Jr et al 2013) usa o termo ldquoerrordquo para indicar a diferenccedila entre o valor verdadeiro e o resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo o conceito de erro tem uso restrito pois satildeo poucos os casos em que conhecemos o valor verdadeiro de uma grandeza Satildeo exemplos desses casos experimentos em que se deseja mensurar a velocidade da luz no vaacutecuo ou o valor de π que satildeo valores previamente conhecidos pelo experimentador O caacutelculo do erro soacute faz sentido para casos em que sabemos o valor verdadeiro da grandeza que se quer medir

A incerteza por outro lado eacute entendida como uma estimativa que quantifica a confiabilidade do resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo quando calculamos o desvio padratildeo da meacutedia de um conjunto de medidas estamos calculando a incerteza da meacutedia dessas medidas ou seja estamos avaliando a confianccedila que podemos ter em adotar a meacutedia dessas medidas como o valor da grandeza mensurada O conceito de incerteza portanto tem maior aplicabilidade do que o conceito de erro

Algarismos significativos e incerteza

Uma questatildeo frequente nas aulas de laboratoacuterio eacute Com quantos algarismos uma grandeza deve ser apresentada No laboratoacuterio a resposta dessa questatildeo eacute uma funccedilatildeo da incerteza da grandeza Devemos apresentar os dados ateacute o seu primeiro algarismo duvidoso Voltemos ao exemplo da resistecircncia interna dos amperiacutemetros Suponhamos que a meacutedia das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros eacute 21546 Ω e o desvio padratildeo dessa meacutedia que eacute

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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entendido aqui como a incerteza da resistecircncia interna dos amperiacutemetros eacute 003 Ω Interpretando tais dados assumimos com 68 de certeza que a resistecircncia interna dos amperiacutemetros estaacute no intervalo entre 21246 e 21846 Ω Desse modo a segunda casa decimal da grandeza medida eacute duvidosa Por isso os algarismos subsequentes satildeo omitidos quando expressamos essa medida e a medida da resistecircncia interna dos amperiacutemetros exemplificados eacute exposta por (215 plusmn 003) Ω Em suma o resultado de uma mediccedilatildeo deve ser sempre expresso com a mesma quantidade de casas decimais que sua incerteza Os algarismos apresentados satildeo entatildeo chamados de algarismos significativos

Referecircncia

Lima Jr P Silva M T X Silveira F L Veit E A (2013) Laboratoacuterio de mecacircnica subsiacutedios para o ensino de Fiacutesica experimental Porto Alegre UFRGS Instituto de Fiacutesica Disponiacutevel em httphdlhandlenet1018390438

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Atividade de Laboratoacuterio I Instrumentos de medida e incertezas

Este material foi cuidadosamente preparado para auxiliar no andamento das atividades no laboratoacuterio de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo Eacute importante responder TODAS as perguntas

(indicadas pelo siacutembolo ) feitas ao longo do texto discutindo com seu grupo possiacuteveis respostas e justificando-as Sempre que possiacutevel faccedila isso por escrito

TAREFA 1

Construa um circuito contendo um resistor de 1 kΩ em seacuterie com uma fonte de tensatildeo contiacutenua e um multiacutemetro Coloque o multiacutemetro na funccedilatildeo amperiacutemetro na escala de miliampere Usando outro multiacutemetro meccedila a tensatildeo no amperiacutemetro Realize medidas com diferentes correntes eleacutetricas variando a tensatildeo de saiacuteda da fonte

Como podemos tratar esses dados se nosso objetivo eacute medir a resistecircncia interna do amperiacutemetro

Qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Para responder essas questotildees se dirija a um dos computadores da sala e use um aplicativo que possibilite a construccedilatildeo de graacuteficos SciDavis por exemplo Insira seus dados no aplicativo construa o graacutefico desejado e encontre a melhor reta que se ajusta aos dados

Qual foi a melhor reta ajustada Determine a equaccedilatildeo dessa reta ajustada

Qual eacute o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro que vocecirc investigou

TAREFA 2

Utilize as medidas de todos os grupos da turma e aplique os conhecimentos abordados na tarefa de leitura para responder as seguintes questotildees

Qual deve ser a resistecircncia interna de um amperiacutemetro escolhido aleatoriamente entre os utilizados nesta aula

Qual eacute a incerteza desse valor

TAREFA 3

Suponha que o manual do Minipa ET-2075B informe que as medidas de tensatildeo e corrente realizadas nas faixas de milivolt e miliampere tecircm incerteza de 3 Use esses dados para calcular a

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incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1

Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma

Elas satildeo coerentes Por quecirc

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO

Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por

equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC

Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras

O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se

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extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo

No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador

Salvando vidas

ldquoafastem-se choquerdquo

Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de

sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos

O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo

Figura 4 - Desfibrilador

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esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)

Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma

sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o

miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia

Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2

2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387

Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)

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Circuito RC - seacuterie

Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C

Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que

∆S(c) + i(c)F = 0

Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo

i(c) = =C(c)=c

e a ddp no capacitor eacute dada por

∆S(c) = C(c)D

Dessa forma podemos dizer que

=C(c)=c = minus 1FD C(c)

Figura 6 - Circuito RC

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa

funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja

derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever

C(c) = C7 ou

A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial

Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir

Capacitor Carregando Capacitor Descarregando

∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0

C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou

∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou

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Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8

Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo

eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum

3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78

Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas

do capacitor durante o processo de

carga ou descarga

Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um

graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo

do tempo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no

capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte

Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor

quando o mesmo estaacute sendo carregado

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Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie

1 - Osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos

2 ndash Aparato Experimental

Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto

Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)

Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio

Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees

Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala

Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)

Manual de Laboratoacuterio

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TAREFA 1

Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees

Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico

Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito

Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito

Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos

Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio

TAREFA 2

Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie

Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)

Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados

Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo

NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo

Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste

Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito

Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito

Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles

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MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS

Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais

Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio

Para onde aponta a buacutessola

Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos

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polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc

E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial

tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos

que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a

soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio

4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja

httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4

Figura 10 - Buacutessola

Figura 11 - campo B resultante

Manual de Laboratoacuterio

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Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por

umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O

Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde

Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde

Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma

iacuteatilde() = ∙

onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde

5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass

The Physics Teacher 49(1) 45-48

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

70

Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como

iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2

Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos

gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)

Logo

gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2

Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo

iacuteatilde() = amp

Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse

tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira

na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart

Manual de Laboratoacuterio

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pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do

que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute

yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp

onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico

da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos

yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp

Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Atividade de Laboratoacuterio III Projeto

OBJETIVO

Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio

Manual de Laboratoacuterio

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SUGESTAtildeO 1

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO

Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas

Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece

Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha

Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo

por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o

eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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SUGESTAtildeO 2

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA

Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)

Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica

Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de

uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)

Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema

Manual de Laboratoacuterio

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SUGESTAtildeO 3

BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO

Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola

Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)

Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina

O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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SUGESTAtildeO 4

CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO

O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer

Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio

Manual de Laboratoacuterio

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MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO

Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro

Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental

6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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110 V 127 V e 220 V O que eacute isso

As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V

Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas

A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

(c) = Jgt(c + acute)

onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por

∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)

Manual de Laboratoacuterio

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onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1

Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho

Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores

Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por

∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf

∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712

∆Suparamiddot = ∆S7radic2

Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a

tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s

A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente

alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$

Figura 13 - Funccedilotildees seno e

seno quadrado

Manual de Laboratoacuterio

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COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA

Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz

Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O

Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio

Natildeo queremos jogar energia fora

Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14

Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie

Manual de Laboratoacuterio

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Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por

0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)

onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)

Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

ℇ(c) = ℇ7gt(c)

onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente

Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na

figura 16 para um caso em que VL gt VC

Figura 15 - Diagrama de fasores

de um circuito RLC seacuterie com

fonte de tensatildeo alternada

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que

acute = c8 S minus SSu

Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado

por

i(c) = gt(c minus acute)

Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente

as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que

ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$

ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$

Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como

0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)

Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que

0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$

Figura 16 ndash Soma de fasores

Manual de Laboratoacuterio

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0eacutey = F ∙ uparamiddot$

onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square

Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que

F = frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte

Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade

7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL

Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e

resistecircncia num diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como

0 = AJradicAJ$ + AF$

O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP

DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11

Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia

Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por

acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita

Manual de Laboratoacuterio

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2 = 1D

Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica

Figura 18 - diagramas de fasores representando

um circuito capacitivo e um circuito indutivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie

O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio

TAREFA 1

Circuito Resistivo

Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR

Manual de Laboratoacuterio

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Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)

O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador

Circuito Capacitivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor

Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Manual de Laboratoacuterio

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Circuito Indutivo

Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor

O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Circuito RLC

Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise

Manual de Laboratoacuterio

93

O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador

Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio

O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior

Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor

Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou

A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

94

TAREFA 2

Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente

Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir

Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima

Qual o valor da corrente maacutexima no circuito

Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)

O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique

Manual de Laboratoacuterio

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TAREFA 3

Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito

Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees

Como isso eacute possiacutevel Explique

Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff

Respostas

96

Respostas

A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32

A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH

A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH

B3 Ae = Af = AtildeAcircf

B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl

B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH

B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l

B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD

B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -

C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc

(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7

C2 O = ~13deg

C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)

Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-

vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr

Respostas

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C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM

C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD

(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD

C6 A = Eacute$Acirc

C7 A = Atilde$AcircL

D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma

das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp

D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(

D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1

no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)

D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme

D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D

E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)

E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D

E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml

F1 544 times 10

F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S

F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM

u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM

u (e) 0 = ℇMu

F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω

Respostas

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F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965

G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n

G5 i = Ograve$g = 245 J

G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y

G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez

G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H

G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)

G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)

G15 (a) zL$brvbarM (b)

z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero

G16 z$L + z$L = z$L - + 1

G17 (a) pLM

amp (b) pusup3

ampL

G18 zzMu

G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)

z

G20 zNu saindo da folha

G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)

UgraveLMamp

fora do fio (a) z$L (b)

UgravebrvbarM$L (c)

Ugravebrvbarsup3ampL

G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13

G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM

ampu

H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior

Respostas

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H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a

H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J

I2 Φ = pound$ sup1amp

I4 C = AcircsM

I6 (a) zM

NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar

J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a

(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S

J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu

(c) = -radic

J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm

(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013

Respostas

100

Bibliografia

Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il

Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il

Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il

Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm

Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il

Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il

Page 9: Prof a. Raquel Giulian Prof. Leonardo Albuquerque ... · 3ª semana: Lei de Gauss (fluxo elétrico, campo elétrico ... Aula de problemas e PROVA II 10º e 11ª semanas: Campo Magnético

Problemas Selecionados

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C4 ndash Uma carga C positiva estaacute no centro de um conjunto de calotas concecircntricas como mostra a figura abaixo O raio das calotas estaacute indicado na figura A mais externa eacute condutora e estaacute carregada com carga C negativa e a calota intermediaacuteria eacute isolante e possui carga liacutequida ( positiva distribuiacuteda de forma uniforme por

todo seu volume Calcule o campo A resultante em cada uma das 5 regiotildees indicadas na figura Indique a localizaccedilatildeo aproximada das cargas induzidas eou em excesso em cada regiatildeo e indique a direccedilatildeo e sentido dos campos eleacutetricos

C5 ndash Uma casca esfeacuterica com densidade volumeacutetrica de carga K = 20 gtDamp tem raio interno = 10 e raio externo = 2 conforme a figura Determine o moacutedulo do campo eleacutetrico para os seguintes raios a partir do centro (a) = 2frasl (b) = 15 (c) = 2

C6 ndash Usando a Lei de Gauss determine o campo eleacutetrico proacuteximo a uma placa muito grande com densidade superficial de carga P

C7 ndash Usando a Lei de Gauss determine o campo eleacutetrico proacuteximo a uma barra muito longa com densidade linear de carga B

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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(D) Potencial Eleacutetrico

D1 ndash A figura ao lado mostra um anel incompleto formado por trecircs segmentos de arco com densidade linear de carga constantesB- B$ e Bamp A menor delas tem carga total (- e comprimento de arco 54 As demais estatildeo indicadas na figura Qual o potencial eleacutetrico no centro do anel Qual deve ser a relaccedilatildeo entre as cargas para que o potencial eleacutetrico no centro do anel seja igual a zero

D2 ndash A figura ao lado mostra um dipolo eleacutetrico de momento dipolar |G| = R( Mostre que para ≫ R o potencial eleacutetrico no ponto P eacute dado por

S = 145T7G UO$

Dica quando ≫ R eacute razoaacutevel considerar que V cong $ e minus V cong R UO

D3 ndash Sobre uma mesa de bilhar estatildeo dispostas trecircs bolinhas Uma com carga +C outra com carga ndash C e uma terceira com carga +2C conforme mostra a figura ao lado (a) Qual o potencial no ponto P (b) Se uma quarta bolinha for colocada no centro do quadrado qual deve ser a carga da bolinha para que o potencial no ponto P seja nulo

Problemas Selecionados

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D4 ndash Uma esfera oca isolante de raio F e carga C eacute colocada nas proximidades de uma placa muito grande cuja densidade superficial de carga eacute P (uniforme) A distacircncia entre a placa e a superfiacutecie da esfera eacute = Qual a diferenccedila de potencial entre o centro da esfera e a placa Dica calcule a ddp devido a cada objeto separadamente e some os resultados A diferenccedila de potencial entre dois pontos pode ser determinada a partir do campo eleacutetrico

D5 ndash Uma esfera isolante maciccedila possui densidade de carga K() = K7$ onde ρ0 eacute uma constante (a) Qual a diferenccedila de potencial entre os pontos b e c Se a densidade de carga fosse uniforme qual seria a diferenccedila de potencial entre os pontos b e c

D6 ndash Um fio tem densidade linear de carga B uniforme e foi dobrado no formato conforme mostra a figura abaixo Qual o potencial eleacutetrico no ponto P

D7 ndash Considere duas cascas esfeacutericas finas concecircntricas condutoras A casca interna tem raio = 15 e carga 10 gtD A casca externa tem raio = 30 e carga minus15 gtD Forneccedila expressotildees para o campo eleacutetrico e o potencial eleacutetrico para as diferentes regiotildees (a) lt 15 (b) 15 lt lt 30 (c) gt 30 Em todos os casos considere S = 0 em = infin

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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(E) Capacitacircncia

E1 ndash Sabendo que cada um dos capacitores no circuito ao lado tem capacitacircncia D = 10 e a diferenccedila de potencial na bateria eacute ΔS = 10 S qual eacute a carga do capacitor 1 E do capacitor 2

E2 ndash Encontre uma expressatildeo para a capacitacircncia dos capacitores abaixo sabendo que a distacircncia entre as placas eacute = a aacuterea das placas eacute 10 = o espaccedilo entre as placas estaacute preenchido por dois ou mais materiais de constantes dieleacutetricas distintas conforme mostra a figura abaixo Analisando cada capacitor separadamente eacute possiacutevel obter a mesma capacitacircncia com uma associaccedilatildeo de capacitores simples (preenchidos por um uacutenico material) Explique

E3 ndash Uma diferenccedila de potencial de 100 S eacute aplicada ao circuito ao lado onde D- = 10 D$ = 5 e Damp = 4 Se o capacitor 3 eacute substituiacutedo por um fio condutor qual eacute o aumento na carga do capacitor 1 Qual eacute o aumento na diferenccedila de potencial entre as placas do capacitor 1

(a) (b) (c)

Problemas Selecionados

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E4 ndash No circuito ao lado a diferenccedila de potencial fornecida pela bateria eacute de 20 S Qual a capacitacircncia equivalente do circuito Qual a carga armazenada por essa capacitacircncia equivalente Qual a carga e ddp para os capacitores 1 2 e 3

E5 ndash Na figura ao lado a ddp da bateria eacute 10 S D- = 10 D$ = Damp = 2D- A chave eacute movida para a esquerda e somente depois que o capacitor 1 atingiu o equiliacutebrio a chave eacute movida para a direita Quando o equiliacutebrio eacute novamente atingido qual eacute a carga do capacitor 1

E6 ndash Um capacitor de placas paralelas com aacuterea J e espaccedilamento = eacute preenchido com vidro (6 = 267) Conectado a uma bateria o capacitor acumula carga C (a) Qual a energia armazenada no capacitor (b) Mantendo a bateria conectada a separaccedilatildeo entre as placas eacute aumentada para 2= (veja a figura) Qual a energia armazenada nessa nova situaccedilatildeo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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(F) Corrente e Resistecircncia

F1 ndash A figura ao lado mostra parte de um fio de cobre com diacircmetros =- = 4F e =$ = 8F por onde passa uma corrente uniforme = 4 e a diferenccedila de potencial ao longo desse comprimento eacute20 S O

nuacutemero de portadores de carga por unidade de volume eacute 849 times 10$N amp Qual eacute a velocidade de deriva dos eleacutetrons de conduccedilatildeo na porccedilatildeo do fio com diacircmetro =$

F2 ndash No circuito ao lado qual a magnitude e direccedilatildeo das correntes nos resistores F- F$ e Famp Para isso considere que ℇ- = 6 S ℇ$ = 12 SF- = 100 Ω F$ = 200 Ω Famp = 300 Ω O ciruito estaacute aterrado e nesse ponto S = 0 Qual eacute o potencial eleacutetrico no ponto A

F3 ndash Calcule a potecircncia total dissipada em cada circuito Considere que todas as resistecircncias satildeo iguais e as baterias satildeo ideais Expresse suas respostas em termos de ℇ e F

F4 ndash Se dois fios de mesmo comprimento um de cobre e outro de alumiacutenio apresentam a mesma resistecircncia qual deve ser a razatildeo entre seus raios

Problemas Selecionados

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F5 ndash No circuito ao lado a potecircncia dissipada no resistor R eacute 20 a Qual o valor de R Qual a ddp entre os pontos A e B

F6 ndash A corrente medida por um amperiacutemetro A no circuito ao lado eacute a mesma quando ambas as chaves estatildeo abertas ou fechadas Qual o valor da resistecircncia R

F7 ndash Determine o valor da corrente que passa por cada um dos resistores a potecircncia fornecida por cada uma das fontes de tensatildeo e a potecircncia dissipada por cada um dos resistores Faccedila o balanccedilo energeacutetico do circuito

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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F8 ndash No circuito ao lado a chave S permanece fechada por um longo tempo e a corrente no circuito atinge um valor constante Considere D- = 3 D$ = 6 F- = 4Ω e F$ = 7Ω A potecircncia dissipada em F$ eacute 24a (a) Determine as cargas em D- e D$ (b) Abrindo a chave S e aguardando um longo tempo qual a mudanccedila observada na carga do capacitor 2

F9 ndash Num circuito RC seacuterie como o da figura ao lado D = 1 F = 2 times 10bΩ e ℇ = 10S Dez segundos depois que a chave foi fechada determine (a) a carga no capacitor (b) a corrente no resistor (c) a taxa com que a energia eacute armazenada no capacitor (d) a taxa com que a bateria fornece energia para o circuito

F10 ndash Um capacitor eacute carregado atraveacutes de um resistor como mostra a figura no problema anterior Mostre que metade da energia fornecida pela bateria aparece como energia interna no resistor e a outra metade como energia eleacutetrica no capacitor

F11 ndash Um capacitor duas fontes ideais dois resistores e uma chave S satildeo mostrados no circuito da figura ao lado Suponha D = 12 ℇ- = 15 S ℇ$ = 30 S F- = 05 Ω e F$ = 08 Ω (a) Se a chave S permanece aberta por um longo tempo qual a carga no capacitor (b) Qual a carga no capacitor se a chave S permanece fechada por um longo tempo

Problemas Selecionados

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F12 ndash No circuito ao lado a bateria fornece 10 S o capacitor eacute de 1 e os resistores tecircm as resistecircncias indicadas na figura O circuito estaacute ligado haacute um longo tempo (a) Qual a ddp entre os terminais do capacitor (b) Se a bateria for desconectada quanto tempo levaraacute para que essa ddp atinja um deacutecimo do valor inicial

-------------------------------------------------------------------------------------------

(G) Campo Magneacutetico

G1 ndash Um proacuteton atravessa uma regiatildeo de campo magneacutetico uniforme = lang10 20 30rang 13 No tempo c- o proacuteton tem uma velocidade d = langde df 2rang e a forccedila magneacutetica sobre o proacuteton eacute g = lang4 times 10-h minus2 times 10-h 0rang H Nesse instante qual o valor de de e df

G2 ndash Um proacuteton viaja atraveacutes de uma regiatildeo de campo eleacutetrico e

magneacutetico uniformes onde = langminus25 0 0rang 13 Num certo instante a velocidade do proacuteton eacute d = lang0 2000 0rang Qual a forccedila resultante que age sobre o proacuteton se o campo eleacutetrico for

(a) A = lang0 0 4rang S (b) A = lang0 0 minus4rang S ou

(c) A = lang4 0 0rang S

G3 ndash Uma espira retangular de lados e estaacute numa regiatildeo de campo

magneacutetico perpendicular ao plano da espira e eacute percorrida por uma corrente i constante conforme mostra a figura ao lado Determine o torque sobre a espira

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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G4 ndash Dois trilhos de metal separados por uma distacircncia = = 256 estatildeo ligados a uma bateria No momento em que uma barra de metal de massa = 241 8 eacute colocada sobre os trilhos (c = 0) ela fecha o circuito e por ela passa uma corrente i = 913 J O conjunto estaacute numa regiatildeo onde existe um campo magneacutetico uniforme = 563 13 Qual a velocidade da barra 611 depois Em que direccedilatildeo ela se move

G5 ndash A figura ao lado mostra um cilindro de madeira de massa = 250 8 e comprimento 2 =10 onde foi enrolado um fio formando uma espira de 10 voltas O cilindro eacute posicionado de forma que o eixo da espira estaacute perpendicular ao plano inclinado (paralelo agrave normal do plano

inclinado) Nessa regiatildeo haacute um campo magneacutetico = lang0 05 0rang 13 Qual deve ser o valor miacutenimo da corrente na espira capaz de manter o cilindro em sua posiccedilatildeo evitando que ele role para baixo

G6 ndash A figura ao lado mostra um iacutematilde e um anel condutor de raio por onde passa uma corrente i Se o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde faz um acircngulo O com a vertical na posiccedilatildeo onde estaacute o anel qual eacute a magnitude e a direccedilatildeo da forccedila resultante sobre o anel

Problemas Selecionados

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G7 ndash Uma barra de metal com densidade de massa B (massa por unidade de comprimento) apresenta uma corrente i (saindo da paacutegina) A barra estaacute suspensa por dois fios num campo magneacutetico uniforme vertical como mostra a figura ao lado No equiliacutebrio os fios

fazem um acircngulo O com a vertical Qual a magnitude do campo magneacutetico

G8 ndash Um proacuteton com energia cineacutetica de 6 jS se move no plano da paacutegina e entra numa regiatildeo de campo magneacutetico = 1 13 direcionado para dentro da paacutegina como mostra a figura ao lado

O proacuteton entra na regiatildeo de campo com o vetor velocidade fazendo um acircngulo O- = 35deg com a borda da regiatildeo Qual eacute a distacircncia entre o ponto de entrada e saiacuteda ( na figura) Qual o valor de O$

G9 ndash Considere um eleacutetron orbitando um proacuteton numa trajetoacuteria circular de raio F = 529 times 10-- devido agrave atraccedilatildeo Coulombiana Considere o sistema como se fosse um anel por onde passa uma corrente Qual seraacute o torque resultante quando o sistema for colocado numa regiatildeo de campo magneacutetico = 04 13 perpendicular ao momento magneacutetico do anel

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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G10 ndash Um fio por onde passa uma corrente i foi moldado num formato semicircular de raio F e uma reta de comprimento 2F como mostra a figura ao lado Nessa mesma regiatildeo haacute um campo magneacutetico que aponta na direccedilatildeo + (representado pelos pontos azuis na figura ao lado) Mostre que a

forccedila resultante sobre o fio eacute zero

G11 ndash Um condutor ciliacutendrico longo de raio conteacutem duas cavidades cada uma com diacircmetro ao longo de todo o comprimento do fio Uma visatildeo da seccedilatildeo transversal do fio eacute mostrada na figura ao lado Uma corrente i uniforme (considerando a porccedilatildeo soacutelida do material) passa atraveacutes do fio e aponta para fora da paacutegina Determine a magnitude e direccedilatildeo do campo

magneacutetico em funccedilatildeo de 7 i e no ponto P

G12 ndash Dois fios muito longos por onde passa corrente i de mesma magnitude estatildeo moldados conforme a figura ao lado

Mostre que o campo magneacutetico no centro do ciacuterculo de raio R eacute o mesmo que o

campo a uma distacircncia R abaixo de um fio reto muito longo por onde passa uma corrente i

Problemas Selecionados

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G13 ndash Encontre uma expressatildeo para determinar a magnitude do campo magneacutetico no ponto P da figura ao lado Dica considere a origem dos eixos cartesianos no ponto P

G14 ndash A figura ao lado mostra a seccedilatildeo transversal de um condutor oco de raio externo e interno por onde passa uma corrente uniforme i Demonstre que a magnitude do campo magneacutetico () para uma distacircncia lt lt eacute dada por

= 7i25($ minus $) $ minus $

G15 ndash A figura ao lado mostra um cabo coaxial de raios e Correntes opostas de igual magnitude estatildeo distribuiacutedas nos dois condutores Derive uma expressatildeo para calcular o campo magneacutetico () na regiatildeo (a) lt (b) lt lt (c) lt lt e (d) gt

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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G16 ndash Um fio condutor por onde passa uma corrente i foi torcido para formar um loop de raio R (no plano da paacutegina) como mostra a figura abaixo Qual a direccedilatildeo do campo magneacutetico no

centro do loop Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico no centro do loop

G17 ndash Uma corrente i passa por um fio condutor ciliacutendrico de raio R como mostra a figura ao lado A densidade de corrente l natildeo eacute uniforme atraveacutes da seccedilatildeo transversal do fio mas obedece agrave funccedilatildeo l = onde eacute uma constante Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico (a) a uma distacircncia - lt F e (b) a uma distacircncia $ gt F(em relaccedilatildeo ao centro do condutor)

G18 ndash Um fio condutor muito longo por onde passa uma corrente i- estaacute parcialmente envolto por um loop por onde passa uma corrente i$ (figura ao lado) O loop fio foi moldado num formato semiciliacutendrico de raio R e o comprimento L O fio condutor passa pelo eixo do loop Calcule a forccedila magneacutetica exercida sobre o loop

G19 ndash Considere um solenoide de comprimento 2 e raio F contendo H voltas de um fio por onde passa uma corrente i (a) Determine uma expressatildeo para

o campo magneacutetico num ponto ao longo do eixo do solenoide do lado de fora do solenoide como funccedilatildeo da distacircncia ateacute uma das pontas (considere = 0 no centro do solenoide e = a distacircncia do centro ateacute o ponto onde estaacute sendo calculado o campo ) (b) Mostre que para

Problemas Selecionados

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valores muito grandes de 2 e = = 0 se aproxima de = 7i H 2frasl para posiccedilotildees ao longo do eixo no interior do solenoide distante das bordas

G20 ndash A figura ao lado mostra um fio moldado para formar duas seccedilotildees retas e um quarto de ciacuterculo por onde passa corrente i Determine o campo magneacutetico (vetor) no ponto P

G21 ndash Um fio ciliacutendrico espesso de raio eacute percorrido por uma corrente i Determine uma expressatildeo para o

campo magneacutetico dentro e fora do fio considerando que (a) a corrente estaacute distribuiacuteda uniformemente sobre a superfiacutecie externa do fio (b) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio com densidade de corrente l constante (c) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio de forma que a densidade de corrente l eacute proporcional agrave distacircncia ateacute o eixo do fio

G22 ndash Considere dois solenoides coaxiais cada um conduzindo uma corrente i em direccedilotildees opostas O solenoide interno de raio possui gt- voltas por unidade de comprimento o

solenoide externo possui raio e gt$ voltas por unidade de

comprimento Determine (a) no interior do conjunto (b) entre eles e (c) fora deles

G23 ndash Um fio condutor longo e reto de raio F conduz uma corrente natildeo uniforme cuja densidade de corrente eacute l = l7 Ffrasl onde l7 eacute uma constante A corrente total eacute i (a) Determine uma expressatildeo para i

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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em funccedilatildeo de l7 e F (b) Determine uma expressatildeo para o campo magneacutetico no interior do fio para uma distacircncia

G24 ndash A figura ao lado mostra um toroide que consiste num solenoide fechado em forma de anel (a) Considerando a simetria explique qual deve ser o formato do campo magneacutetico no interior desse toroide (b) Considere o toroide compacto (a separaccedilatildeo entre cada volta do fio eacute pequena) com N voltas conduzindo uma corrente i Usando a lei de Ampeacutere determine a magnitude do campo magneacutetico num ponto interno ao toroide a uma distacircncia do eixo principal (ver figura ao lado) (c) O campo magneacutetico no interior do toroide eacute um campo uniforme Explique

-------------------------------------------------------------------------------------------

(H) Lei de Faraday

H1 ndash A figura ao lado mostra dois aneis cujos eixos estatildeo alinhados separados por uma distacircncia x O anel maior tem raio F o anel menor tem raio Os aneis estatildeo separados por uma distacircncia ≫ F e por isso o campo magneacutetico devido agrave corrente no anel de raio F eacute praticamente uniforme no anel menor Considere que a distacircncia estaacute aumentando a uma taxa constante = =cfrasl = d (a) Determine uma expressatildeo para o fluxo de campo magneacutetico atraveacutes do anel menor como funccedilatildeo de Encontre uma expressatildeo para (b) a fem induzida e (c) a direccedilatildeo da corrente no anel menor

Problemas Selecionados

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H2 ndash (a) Calcule o fluxo magneacutetico atraveacutes do retacircngulo mostrado na figura ao lado em funccedilatildeo de = i (b) Avalie o resultado encontrado para = 5 = 10 = = 2 e i = 20 J

H3 ndash Uma espira plana e circular de raio =75 estaacute em repouso numa regiatildeo de campo magneacutetico uniforme A espira estaacute orientada de tal forma que o campo magneacutetico aponta para cima

e faz um acircngulo de 30deg com a normal da espira O campo varia com

o tempo de acordo com (c) = 14(77nho) 13 (a) Determine a fem induzida na espira em funccedilatildeo do tempo (b) Para que valor de c a fem induzida eacute igual a um deacutecimo do seu valor inicial Determine o sentido da corrente induzida na espira se observada por cima da espira

H4 ndash Um retacircngulo que mede 30 times 40 estaacute localizado no interior de um campo magneacutetico uniforme de 125 13 com o campo perpendicular ao plano da bobina A bobina se move perpendicular ao campo com velocidade constante d =2 inclusive atingindo a regiatildeo

onde o campo termina abruptamente como mostra a figura ao lado Determine a fem induzida nessa bobina quando ela estaacute (a) inteiramente no interior do campo (b) parcialmente no interior do campo e (c) inteiramente fora do campo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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H5 ndash O fio na figura ao lado conduz

uma corrente i(c) = i7po onde gt 0 Determine o sentido da corrente induzida na bobina (horaacuterio ou anti-horaacuterio) para c gt 0

H6 ndash A figura ao lado mostra uma espira circular de raio contendo uma resistecircncia e um capacitor ligados em seacuterie imerso numa regiatildeo onde um campo magneacutetico uniforme (no espaccedilo) entrando no plano na paacutegina decresce no tempo a uma taxa constante = =cfrasl = minus sendo uma constante positiva (a) Qual a carga no capacitor quando ele estaacute completamente carregado (b) Qual das placas do capacitor estaacute em potencial mais elevado (c) Qual a origem da forccedila que causa a separaccedilatildeo de cargas

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(I) Indutacircncia

I1 ndash No circuito ao lado ℰ = 100 SF- = 10 Ω F$ = 20 Ω Famp = 30 Ω e 2 = 2 H Ao fechar a chave S quais os valores de i- e i$ Considere positivo o sentido das correntes indicadas na figura Muito tempo

depois quais satildeo os valores de i- e i$ A chave eacute entatildeo aberta Nesse instante quais satildeo os valores de i- e i$ E muito tempo depois quais satildeo os valores de i- e i$

Problemas Selecionados

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I2 ndash Num circuito LC em seacuterie a carga inicial do capacitor eacute C e ele estaacute sendo descarregado Quando a carga no capacitor eacute igual a C 2frasl qual eacute o fluxo magneacutetico que atravessa cada uma das N espiras do indutor (como funccedilatildeo de C H 2 e D)

I3 ndash Uma bobina possui N voltas e estaacute envolvendo um solenoide longo de raio r com n espiras por unidade de comprimento (figura ao lado) (a) Mostre que a indutacircncia muacutetua do sistema eacute dada por j = 75F$gtH (b) Explique por que M natildeo depende do formato tamanho ou possiacutevel falta de proximidade das espiras na bobina

I4 ndash A fem autoinduzida num solenoide de indutacircncia L varia no tempo conforme ℇ(c) = ℇ7so Levando em consideraccedilatildeo que a carga eacute finita (ou seja i = 0 quando c = infin) determine a carga total que passa pelo solenoide (que atravessa um determinado ponto no fio que compotildee o solenoide)

I5 ndash Um fio condutor foi enrolado num papelatildeo formando um toroide com N espiras (voltas) raio menor r e maior R A seccedilatildeo transversal do toroide eacute mostrada na figura ao lado Se F ≫ o campo magneacutetico no interior do toroide eacute essencialmente o mesmo que o campo no interior de um solenoide muito longo que tenha sido

moldado no formato de um ciacuterculo de raio R Modelando o campo como se fosse o campo uniforme de um solenoide longo mostre que a indutacircncia desse toroide eacute

aproximadamente 2 asymp -$ 7H$ LMu

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I6 ndash Um indutor consiste em duas cascas ciliacutendricas concecircntricas como mostra a figura A casca interna tem raio e a externa tem raio ambas com comprimento ℎ A casca interna transporta uma corrente i para fora e a externa para dentro do plano da paacutegina com igual magnitude Calcule na regiatildeo lt lt (a) a densidade de energia magneacutetica (b) a indutacircncia

I7 ndash Mostre que i(c) = i7o wx eacute a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial iF + 2 yzyo = 0 onde i7 eacute a corrente em c = 0 e = 2 Ffrasl

I8 ndash Um fio condutor de raio R transporta uma corrente uniforme A corrente total no fio eacute i Mostre que a energia magneacutetica por unidade de comprimento dentro do fio eacute dada por 7i$ 165frasl

I9 ndash Um cabo coaxial eacute formado por dois cilindros condutores de paredes finas com raios - e $ As correntes nos dois cilindros satildeo iguais em magnitude mas com sentidos opostos (a) Use a lei de Ampeacutere para determinar o campo magneacutetico como funccedilatildeo da distacircncia ao eixo do cabo nas regiotildees (0 lt lt -) ( - lt lt $ ) e ( gt $) (b) Mostre que a densidade de energia magneacutetica na regiatildeo entre os cilindros eacute dada por

| = 12 745 i$(5$)-

(c) Mostre que a energia magneacutetica total num volume de cabo com comprimento ~ eacute dada por

Problemas Selecionados

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= i$~ ln LML

(d) Mostre que a autoindutacircncia por unidade de comprimento do cabo eacute dada por

2~ = 725 ln $-

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(J) Corrente Alternada

J1 ndash A tensatildeo de uma fonte de corrente alternada eacute dada por ∆d = 120gt(30 5c) onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A fonte eacute conectada a um indutor de 05 Determine (a) a frequecircncia da fonte (b) a voltagem rms no indutor (c) a reatacircncia indutiva do circuito (d) a corrente rms no indutor e (e) a corrente maacutexima no indutor

J2 ndash Uma fonte de tensatildeo alternada fornece uma tensatildeo ∆d = 98gt(80 5c) a um capacitor onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A corrente maacutexima no circuito eacute 05 J Determine (a) a tensatildeo rms da fonte (b) a frequecircncia da fonte e (c) o valor da capacitacircncia

J3 ndash Um circuito AC eacute composto por um resistor de 250 Ω um indutor de 15 um capacitor de 35 e uma fonte de tensatildeo alternada com amplitude de 45 S operando com frequecircncia angular = 360 = frasl (a) Qual eacute o fator de potecircncia do circuito (b) Determine a potecircncia meacutedia aparente (S) fornecida ao circuito (c) Qual eacute a potecircncia meacutedia ativa (P) dissipada no resistor Qual eacute a potecircncia meacutedia reativa (Q) que fica armazenada no circuito

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J4 ndash Cinco voltiacutemetros com impedacircncia muito grande ajustados para ler valores rms estatildeo conectados conforme a figura ao lado Sendo F =200 Ω 2 = 04 H D = 6 e ∆S = 30 Vqual eacute a leitura da tensatildeo em cada voltiacutemetro se (a) = 200 = frasl e (b) =1000 = frasl

J5 ndash Num circuito RLC 2 = 028 e D = 4 A fonte fornece uma voltagem com amplitude de 120 S Qual eacute a frequecircncia angular de ressonacircncia do circuito (b) Quando a fonte opera na frequecircncia angular de ressonacircncia a amplitude da corrente no circuito eacute 17 J Qual a resistecircncia do resistor (c) Na frequecircncia angular de ressonacircncia quais satildeo as voltagens de pico no indutor capacitor e resistor

J6 ndash O circuito ao lado conteacutem uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal conforme ℇ = ℇgt(c) No estado de equiliacutebrio temos as correntes mostradas no circuito Sem recorrer a uma matemaacutetica complicada responda (a) Quais os valores de u e quando = 0 (frequecircncia zero significa que

a fonte foi substituida por uma bateria ideal) (b) Quais os valores de u e quando rarr infin (c) Qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia

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J7 ndash Um indutor um capacitor e um resistor estatildeo conectados em seacuterie a uma fonte de tensatildeo alternada Se os valores da resistecircncia capacitacircncia e indutacircncia forem duplicados o que aconteceraacute com (a) a frequecircncia angular de ressonacircncia (b) a reatacircncia indutiva (c) a reatacircncia capacitiva e (d) a impedacircncia

J8 ndash O circuito abaixo eacute formado por uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal variando conforme ℇ = ℇgt(c) uma resistecircncia F = 6 Ω e uma parte desconhecida que pode conter um indutor um capacitor ou ambos A amplitude da fonte eacute ℇ = 6 S Quando a frequecircncia angular = 2 = a corrente estaacute em fase com a fonte enquanto que para = 1 = a corrente estaacute fora de fase em relaccedilatildeo agrave fonte por exatamente 5 4frasl (a) Quais componentes estatildeo presentes na parte desconhecida (um indutor um capacitor ou ambos) Explique (b) Determine os valores dos componentes desconhecidos

J9 ndash Um circuito em seacuterie possui impendecircncia de 60 Ω e fator de potecircncia igual a 072 em 50 A tensatildeo da fonte estaacute atrasada em relaccedilatildeo agrave corrente (a) Que elemento do circuito (um indutor ou um capacitor) deve ser ligado em seacuterie com o circuito para aumentar o fator de potecircncia (b) Qual deve ser o valor desse elemento para que o fator de potecircncia seja igual a 1 (c) Apresente diagramas de fasores esquemaacuteticos para o circuito antes e depois da ligaccedilatildeo do novo elemento

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O PROCESSO DE MEDIDA NO LABORATOacuteRIO DE FIacuteSICA

Natildeo satildeo raros eventos em que nos valemos de medidas para tomarmos decisotildees Medimos nossa temperatura corporal para avaliarmos se necessitamos de tratamento Medimos a pressatildeo manomeacutetrica dos pneus para avaliarmos se precisamos injetar ou retirar ar neles Consultamos medidas da temperatura ambiente para escolhermos a roupa que vestiremos Consultamos o horaacuterio (medida de tempo) para natildeo chegarmos atrasados em encontros Medidas satildeo portanto fundamentais em nossas vidas No entanto usualmente natildeo nos preocupamos muito com a precisatildeo dessas medidas Em grande parte das vezes natildeo nos interessa saber se o horaacuterio informado no reloacutegio estaacute um pouco atrasado ou adiantado Natildeo nos preocupamos em saber o quanto podemos confiar nas temperaturas coletadas com um determinado termocircmetro Nossas medidas comumente satildeo realizadas de forma despretensiosa sem muito rigor

No laboratoacuterio de Fiacutesica isso ocorre de modo muito diferente Os processos de mediccedilatildeo satildeo mais minuciosos do que os que realizamos costumeiramente Desejamos obter a maior precisatildeo possiacutevel com os equipamentos de que dispomos Mas como fazer isso Como podemos melhorar a precisatildeo dos processos de mediccedilatildeo Intuitivamente podemos concluir que inferecircncias realizadas a partir de um conjunto de medidas satildeo mais precisas do que medidas isoladas Mas quando disponho de um conjunto de medidas como posso analisaacute-las Calcular a meacutedia delas eacute suficiente Responder a questotildees como essas eacute o objetivo desta atividade Para exemplificarmos todo esse processo realizaremos um debate sobre a mediccedilatildeo da resistecircncia interna de amperiacutemetros

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O que satildeo amperiacutemetros

Um amperiacutemetro eacute um instrumento utilizado para a realizaccedilatildeo de medidas de correntes eleacutetricas Evidentemente natildeo queremos modificar os circuitos quando os exploramos com um instrumento Com amperiacutemetros natildeo eacute diferente Queremos medir correntes eleacutetricas sem alterar as caracteriacutesticas do circuito Mas como eacute possiacutevel fazer isso Natildeo discutiremos aqui os detalhes sobre o funcionamento interno de um amperiacutemetro No entanto vamos avaliaacute-los do ponto de vista de uma das suas caracteriacutesticas mais importantes a sua resistecircncia eleacutetrica

A resistecircncia eleacutetrica de um circuito influencia na intensidade da corrente eleacutetrica que circula nele A corrente eleacutetrica i que perpassa por uma resistecircncia eleacutetrica F submetida a uma tensatildeo ∆S por exemplo pode ser predita pela seguinte relaccedilatildeo

i = ∆u Eq 1

O amperiacutemetro precisa ser posicionado em seacuterie no circuito em que se deseja medir a corrente eleacutetrica como eacute exemplificado na figura

Figure 1- Medindo a resistecircncia interna de um multiacutemetro

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1 Como a resistecircncia equivalente em circuitos em seacuteries eacute a soma da resistecircncia eleacutetrica de cada um dos seus componentes a resistecircncia interna dos amperiacutemetros se soma agrave resistecircncia equivalente do circuito investigado alterando a sua dinacircmica Por isso nosso desejo eacute que os amperiacutemetros tenham resistecircncia eleacutetrica nula No entanto a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro real por menor que seja nunca eacute nula Eles possuem um circuito interno com fios e diversos componentes eletrocircnicos que acabam provocando uma resistecircncia agrave circulaccedilatildeo de corrente eleacutetrica Ainda assim frequentemente desprezamos tal resistecircncia Seraacute que isso eacute razoaacutevel Quando podemos desprezar a resistecircncia interna dos amperiacutemetros e quando natildeo podemos Para respondermos tais perguntas precisamos conhecer o valor da resistecircncia interna tiacutepica de um amperiacutemetro

Medindo a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro

Nesta disciplina usaremos diversos amperiacutemetros de uma mesma marca e modelo em uma seacuterie de experimentos (Minipa ET-2075B) Por isso eacute interessante que conheccedilamos a resistecircncia eleacutetrica deles para podermos avaliar quando podemos desprezaacute-la e quando natildeo Mas como podemos obter essa informaccedilatildeo Podemos medi-la Um procedimento simples para isso eacute submeter o amperiacutemetro a uma diferenccedila de potencial ΔV conhecida e medir a corrente eleacutetrica i que passa por ele Desse modo podemos usar a Eq 1 para inferir a resistecircncia eleacutetrica do equipamento Mas podemos confiar em uma uacutenica medida Depende da precisatildeo de que necessitamos para essa medida Intuitivamente sabemos que se medirmos a resistecircncia interna a partir de um conjunto de dados poderemos ter uma maior confiabilidade nos dados No exemplo de que estamos tratando eacute possiacutevel se coletar dados da corrente no amperiacutemetro quando submetido a diferentes tensotildees Desse modo pode-se inferir a resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro pela declividade da reta constituiacuteda

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pelos dados representados em um graacutefico da tensatildeo em funccedilatildeo da corrente eleacutetrica como pode ser constatado da Eq1 No entanto como temos incertezas associadas a cada dado experimental coletado esses dados natildeo seratildeo perfeitamente representados por uma reta Surge entatildeo uma nova questatildeo qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados

Ajuste de Curvas

Diversas retas podem ser ajustadas a um conjunto de dados experimental Qual delas utilizar Intuitivamente podemos conjecturar que a melhor reta a ser utilizada eacute aquela tal que a soma das diferenccedilas entre os valores de tensatildeo medidos e os preditos pela reta tenha o menor valor possiacutevel Em outras palavras queremos minimizar a soma

sum = = (∆Sz minus ∆S)z-

onde ∆Sz satildeo as tensotildees medidas e ∆S satildeo as tensotildees preditas pela reta ajustada

No entanto haacute um inconveniente importante no uso desse criteacuterio tal soma pode ser bem pequena para retas que natildeo apresentam bom ajuste aos dados se as diferenccedilas entre os valores medidos e os preditos se cancelarem sendo alguns positivos e outros negativos Nesses casos apesar de natildeo termos uma reta bem ajustada aos dados o criteacuterio utilizado

indicaria que sim Como resolver isso Elevando os valores de dn ao

Figura 1 - Diferenccedila de potencial em funccedilatildeo

da corrente

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quadrado Ou seja podemos procurar a reta tal que a seguinte soma tenha o menor valor possiacutevel

sum =$ = (∆Sz minus ∆S)$z-

O meacutetodo que utiliza esse criteacuterio para a realizaccedilatildeo de ajustes de curvas que eacute amplamente utilizado no meio acadecircmico eacute denominado Meacutetodo dos Miacutenimos Quadrados Todos os softwares do tipo planilha eletrocircnica realizam esse caacutelculo automaticamente e nos valeremos disso quando necessaacuterio

Todos os amperiacutemetros da sala possuem a mesma resistecircncia interna

Ainda que todos os amperiacutemetros que utilizaremos nas nossas aulas sejam da mesma marca e modelo eles possuem diferentes resistecircncias internas Existe alguma forma de estimar a resistecircncia interna de um desses amperiacutemetros escolhido aleatoriamente Calcular a meacutedia das resistecircncias eacute suficiente para realizar essa estimativa

Variabilidade das medidas o desvio padratildeo amostral e da meacutedia

Apesar de as resistecircncias dos amperiacutemetros natildeo serem exatamente as mesmas elas possuem valores que se distribuem em torno de um valor meacutedio que eacute igual agrave meacutedia dessas resistecircncias Desse modo se tomarmos um dos amperiacutemetros aleatoriamente o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute igual agrave meacutedia das resistecircncias internas de todos os amperiacutemetros Mas quanto podemos confiar nessa estimativa Para respondermos tal pergunta eacute importante quantificarmos a variabilidade das resistecircncias r que medimos Quanto menor for essa variabilidade maior seraacute a nossa confianccedila para assumir que a resistecircncia interna de um amperiacutemetro particular eacute igual agrave meacutedia Intuitivamente podemos conjecturar que tal variabilidade pode ser medida pelo somatoacuterio das diferenccedilas entre as resistecircncias

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medidas z e a meacutedia dessas resistecircncias ou seja por (- minus ) + ($ minus ) + ⋯ + ( minus ) onde N eacute o nuacutemero de medidas realizadas No entanto temos aqui um inconveniente semelhante ao que tivemos quando analisaacutevamos ajustes de curvas se valores positivos e negativos se cancelarem esse somatoacuterio pode ser muito pequeno mesmo quando os dados apresentam grande variabilidade Podemos propor a mesma soluccedilatildeo adotada anteriormente vamos elevar os termos ao quadrado Temos entatildeo a variabilidade dos dados sendo mensurada por (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$

A impossibilidade de comparaccedilatildeo entre as variabilidades de diferentes conjuntos de dados eacute a limitaccedilatildeo desta proposta pois o resultado desse somatoacuterio eacute altamente dependente da quantidade de termos Desse modo eacute possiacutevel que esse somatoacuterio seja maior para grandes conjuntos com pouca variabilidade do que para pequenos grupos com grande variabilidade Para amenizar tal limitaccedilatildeo podemos entatildeo dividir o somatoacuterio por N ou seja calcular a variabilidade por(- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$ Hfrasl Ainda que esse somatoacuterio seja conceitualmente interessante natildeo eacute essa a medida de dispersatildeo de dados que costuma ser utilizada no meio cientiacutefico mas algo que guarda alguma semelhanccedila com ele o desvio padratildeo dos dados (P) Ele eacute calculado por

PL = (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$H minus 1

Mas por que utilizamos essa equaccedilatildeo A resposta estaacute em suas propriedades Quando construiacutemos um histograma (graacutefico de frequecircncias) de um conjunto de medidas por exemplo podemos em muitos casos assumir que a distribuiccedilatildeo desses dados eacute representada por uma distribuiccedilatildeo normal A equaccedilatildeo que define essa distribuiccedilatildeo assim como sua representaccedilatildeo graacutefica eacute ilustrada na Figura 3

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Natildeo eacute nosso objetivo aqui discutir detalhes da distribuiccedilatildeo normal O que desejamos destacar eacute que quando supomos que a distribuiccedilatildeo de um conjunto de dados eacute normal o que eacute bastante razoaacutevel na maioria das vezes o desvio padratildeo σ quantifica como os dados estatildeo distribuiacutedos Para entendermos isso analisemos a Figura 4

O intervalo compreendido pela meacutedia das medidas mais ou menos um desvio padratildeo compreende 68 das medidas realizadas No caso que estamos exemplificando se tomarmos a meacutedia das resistecircncias internas r de todos os amperiacutemetros investigados e o desvio padratildeo PL desses dados 68 das medidas estaratildeo no intervalo entre ( minus PL) e ( + PL) 95 no intervalo ( 2PL) e 99 no intervalo ( 257PL)

Figura 2 - A distribuiccedilatildeo normal eacute usualmente utilizada para representar a distribuiccedilatildeo

de frequecircncias de um conjunto de dados (Lima Jr et al 2013 p 30)

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Agora jaacute sabemos como quantificar a variabilidade de um conjunto de dados Podemos entatildeo calcular a meacutedia e o desvio padratildeo das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros Mas surge entatildeo uma questatildeo Se analisaacutessemos um novo conjunto de amperiacutemetros da mesma marca e modelo dos exemplificados aqui a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros seria a mesma Provavelmente natildeo Temos como estimar a partir do conjunto de medidas que realizamos a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros Temos Para responder a essa questatildeo temos que compreender um novo conceito o de desvio padratildeo da meacutedia (PL) Ele eacute calculado por

PL = PLradicH

Natildeo vamos entrar em detalhes aqui sobre a origem do conceito de desvio padratildeo da meacutedia1 vamos apenas explicar como essa grandeza nos permite estimar a incerteza na meacutedia de um conjunto de medidas Para isso vamos supor um novo conjunto de N novas

1 Se vocecirc eacute um aluno curioso pesquise sobre o Teorema Central do Limite para compreender com mais profundidade o conceito de desvio padratildeo da meacutedia

Figura 3 - A meacutedia e o desvio padratildeo demarcam a distribuiccedilatildeo dos dados em uma

distribuiccedilatildeo normal Na figura o eixo das abcissas expressa a distacircncia da meacutedia em

unidades de desvio padratildeo (Lima Jr et al 2013 p 30)

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medidas da resistecircncia interna de amperiacutemetros como os investigados nesta aula Qual seria a meacutedia dessas medidas Assim como o desvio padratildeo dos dados quantifica a dispersatildeo dos dados em torno da meacutedia o desvio padratildeo da meacutedia quantifica a dispersatildeo das meacutedias de subconjuntos de dados em torno da meacutedia de todo o conjunto de dados Aplicando esse conceito ao nosso exemplo podemos interpretar os dois conjuntos de medidas de resistecircncias internas como subconjuntos de um grande conjunto contendo todas as medidas Desse modo podemos afirmar com 68 de confianccedila que a meacutedia das N novas medidas a serem realizadas estaraacute no intervalo compreendido por ( PL) com 95 de confianccedila no intervalo ( 2PL) e com 99 de confianccedila no intervalo ( 257PL) O desvio padratildeo da meacutedia pode ser compreendido assim como a incerteza da meacutedia de um conjunto de medidas ou seja ele nos fornece uma estimativa da confiabilidade de uma meacutedia Em suma se escolhermos um amperiacutemetro aleatoriamente podemos dizer que i) o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute a meacutedia das resistecircncias de todos os amperiacutemetros e ii) a incerteza que temos nesse valor eacute igual ao desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias dos amperiacutemetros

E se eu soacute tivesse condiccedilotildees de realizar uma uacutenica medida

Nem sempre podemos realizar diversas medidas de uma grandeza Em alguns casos nem mesmo faz sentido realizar diversas medidas No entanto eacute evidente que existe uma incerteza associada a uma uacutenica medida Natildeo existem instrumentos que sejam perfeitamente precisos Entatildeo como podemos estimar essa incerteza Usualmente os manuais dos instrumentos trazem informaccedilotildees sobre isso Desse modo as incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica realizadas com um voltiacutemetro e um amperiacutemetro podem ser consultadas no manual do multiacutemetro utilizado Mas como eacute calculada a incerteza da resistecircncia interna de um amperiacutemetro que foi calculada a partir de

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apenas uma medida de tensatildeo e uma de corrente eleacutetrica Nesse caso precisamos calcular a incerteza propagada das incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica

Os meacutetodos de caacutelculo de incertezas propagadas podem ser bastante complicados Aqui trataremos de um meacutetodo bastante simples usualmente denominado de Meacutetodo dos Limites Vamos exemplificaacute-lo supondo que a incerteza da tensatildeo sobre as entradas do amperiacutemetro eacute P- e da corrente eleacutetrica que circula por ele eacute P$ Ou seja a tensatildeo medida estaacute no intervalo entre ∆S minus P- e ∆S + P- e a corrente eleacutetrica entre i minus P$ e i + P$ Qual eacute entatildeo a incerteza da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro investigado Para responder isso basta calcularmos os valores limites dessa grandeza O maacuteximo valor possiacutevel para a resistecircncia ocorreraacute se a tensatildeo for ∆S + P- e a corrente eleacutetrica for i minus P$ Nesse caso usando a Eq 1 temos

aacutee = ∆S + P-i minus P$

Usando o mesmo raciociacutenio o valor miacutenimo de r seraacute

z = ∆S minus P-i + P$

Desse modo podemos dizer que o valor da resistecircncia interna medida estaacute no intervalo entre rmaacutex e rmiacuten Em outras palavras o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro eacute

F = iexclz + aacutee2 z minus aacutee2 cent

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Erro eacute a mesma coisa que incerteza

Apesar de serem frequentemente utilizados como sinocircnimos os manuais de metrologia atribuem significados distintos aos conceitos de ldquoerrordquo e ldquoincertezardquo O Guia para Expressatildeo da Incerteza da Mediccedilatildeo (Joint Commitee for Guide in Metrology 2008 apud Lima Jr et al 2013) usa o termo ldquoerrordquo para indicar a diferenccedila entre o valor verdadeiro e o resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo o conceito de erro tem uso restrito pois satildeo poucos os casos em que conhecemos o valor verdadeiro de uma grandeza Satildeo exemplos desses casos experimentos em que se deseja mensurar a velocidade da luz no vaacutecuo ou o valor de π que satildeo valores previamente conhecidos pelo experimentador O caacutelculo do erro soacute faz sentido para casos em que sabemos o valor verdadeiro da grandeza que se quer medir

A incerteza por outro lado eacute entendida como uma estimativa que quantifica a confiabilidade do resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo quando calculamos o desvio padratildeo da meacutedia de um conjunto de medidas estamos calculando a incerteza da meacutedia dessas medidas ou seja estamos avaliando a confianccedila que podemos ter em adotar a meacutedia dessas medidas como o valor da grandeza mensurada O conceito de incerteza portanto tem maior aplicabilidade do que o conceito de erro

Algarismos significativos e incerteza

Uma questatildeo frequente nas aulas de laboratoacuterio eacute Com quantos algarismos uma grandeza deve ser apresentada No laboratoacuterio a resposta dessa questatildeo eacute uma funccedilatildeo da incerteza da grandeza Devemos apresentar os dados ateacute o seu primeiro algarismo duvidoso Voltemos ao exemplo da resistecircncia interna dos amperiacutemetros Suponhamos que a meacutedia das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros eacute 21546 Ω e o desvio padratildeo dessa meacutedia que eacute

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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entendido aqui como a incerteza da resistecircncia interna dos amperiacutemetros eacute 003 Ω Interpretando tais dados assumimos com 68 de certeza que a resistecircncia interna dos amperiacutemetros estaacute no intervalo entre 21246 e 21846 Ω Desse modo a segunda casa decimal da grandeza medida eacute duvidosa Por isso os algarismos subsequentes satildeo omitidos quando expressamos essa medida e a medida da resistecircncia interna dos amperiacutemetros exemplificados eacute exposta por (215 plusmn 003) Ω Em suma o resultado de uma mediccedilatildeo deve ser sempre expresso com a mesma quantidade de casas decimais que sua incerteza Os algarismos apresentados satildeo entatildeo chamados de algarismos significativos

Referecircncia

Lima Jr P Silva M T X Silveira F L Veit E A (2013) Laboratoacuterio de mecacircnica subsiacutedios para o ensino de Fiacutesica experimental Porto Alegre UFRGS Instituto de Fiacutesica Disponiacutevel em httphdlhandlenet1018390438

Manual de Laboratoacuterio

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Atividade de Laboratoacuterio I Instrumentos de medida e incertezas

Este material foi cuidadosamente preparado para auxiliar no andamento das atividades no laboratoacuterio de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo Eacute importante responder TODAS as perguntas

(indicadas pelo siacutembolo ) feitas ao longo do texto discutindo com seu grupo possiacuteveis respostas e justificando-as Sempre que possiacutevel faccedila isso por escrito

TAREFA 1

Construa um circuito contendo um resistor de 1 kΩ em seacuterie com uma fonte de tensatildeo contiacutenua e um multiacutemetro Coloque o multiacutemetro na funccedilatildeo amperiacutemetro na escala de miliampere Usando outro multiacutemetro meccedila a tensatildeo no amperiacutemetro Realize medidas com diferentes correntes eleacutetricas variando a tensatildeo de saiacuteda da fonte

Como podemos tratar esses dados se nosso objetivo eacute medir a resistecircncia interna do amperiacutemetro

Qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Para responder essas questotildees se dirija a um dos computadores da sala e use um aplicativo que possibilite a construccedilatildeo de graacuteficos SciDavis por exemplo Insira seus dados no aplicativo construa o graacutefico desejado e encontre a melhor reta que se ajusta aos dados

Qual foi a melhor reta ajustada Determine a equaccedilatildeo dessa reta ajustada

Qual eacute o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro que vocecirc investigou

TAREFA 2

Utilize as medidas de todos os grupos da turma e aplique os conhecimentos abordados na tarefa de leitura para responder as seguintes questotildees

Qual deve ser a resistecircncia interna de um amperiacutemetro escolhido aleatoriamente entre os utilizados nesta aula

Qual eacute a incerteza desse valor

TAREFA 3

Suponha que o manual do Minipa ET-2075B informe que as medidas de tensatildeo e corrente realizadas nas faixas de milivolt e miliampere tecircm incerteza de 3 Use esses dados para calcular a

Manual de Laboratoacuterio

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incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1

Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma

Elas satildeo coerentes Por quecirc

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO

Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por

equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC

Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras

O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se

Manual de Laboratoacuterio

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extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo

No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador

Salvando vidas

ldquoafastem-se choquerdquo

Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de

sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos

O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo

Figura 4 - Desfibrilador

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)

Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma

sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o

miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia

Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2

2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387

Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)

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Circuito RC - seacuterie

Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C

Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que

∆S(c) + i(c)F = 0

Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo

i(c) = =C(c)=c

e a ddp no capacitor eacute dada por

∆S(c) = C(c)D

Dessa forma podemos dizer que

=C(c)=c = minus 1FD C(c)

Figura 6 - Circuito RC

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa

funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja

derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever

C(c) = C7 ou

A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial

Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir

Capacitor Carregando Capacitor Descarregando

∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0

C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou

∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou

Manual de Laboratoacuterio

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Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8

Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo

eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum

3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78

Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas

do capacitor durante o processo de

carga ou descarga

Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um

graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo

do tempo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no

capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte

Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor

quando o mesmo estaacute sendo carregado

Manual de Laboratoacuterio

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Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie

1 - Osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos

2 ndash Aparato Experimental

Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto

Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)

Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio

Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees

Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala

Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)

Manual de Laboratoacuterio

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TAREFA 1

Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees

Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico

Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito

Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito

Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos

Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio

TAREFA 2

Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie

Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)

Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados

Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo

NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo

Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste

Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito

Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito

Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles

Manual de Laboratoacuterio

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MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS

Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais

Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio

Para onde aponta a buacutessola

Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc

E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial

tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos

que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a

soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio

4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja

httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4

Figura 10 - Buacutessola

Figura 11 - campo B resultante

Manual de Laboratoacuterio

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Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por

umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O

Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde

Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde

Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma

iacuteatilde() = ∙

onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde

5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass

The Physics Teacher 49(1) 45-48

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como

iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2

Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos

gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)

Logo

gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2

Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo

iacuteatilde() = amp

Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse

tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira

na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart

Manual de Laboratoacuterio

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pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do

que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute

yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp

onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico

da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos

yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp

Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Atividade de Laboratoacuterio III Projeto

OBJETIVO

Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio

Manual de Laboratoacuterio

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SUGESTAtildeO 1

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO

Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas

Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece

Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha

Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo

por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o

eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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SUGESTAtildeO 2

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA

Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)

Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica

Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de

uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)

Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema

Manual de Laboratoacuterio

75

SUGESTAtildeO 3

BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO

Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola

Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)

Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina

O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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SUGESTAtildeO 4

CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO

O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer

Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio

Manual de Laboratoacuterio

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MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO

Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro

Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental

6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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110 V 127 V e 220 V O que eacute isso

As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V

Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas

A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

(c) = Jgt(c + acute)

onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por

∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)

Manual de Laboratoacuterio

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onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1

Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho

Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores

Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por

∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf

∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712

∆Suparamiddot = ∆S7radic2

Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a

tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s

A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente

alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$

Figura 13 - Funccedilotildees seno e

seno quadrado

Manual de Laboratoacuterio

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COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA

Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz

Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O

Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio

Natildeo queremos jogar energia fora

Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14

Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie

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Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por

0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)

onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)

Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

ℇ(c) = ℇ7gt(c)

onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente

Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na

figura 16 para um caso em que VL gt VC

Figura 15 - Diagrama de fasores

de um circuito RLC seacuterie com

fonte de tensatildeo alternada

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que

acute = c8 S minus SSu

Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado

por

i(c) = gt(c minus acute)

Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente

as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que

ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$

ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$

Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como

0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)

Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que

0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$

Figura 16 ndash Soma de fasores

Manual de Laboratoacuterio

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0eacutey = F ∙ uparamiddot$

onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square

Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que

F = frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte

Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade

7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL

Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e

resistecircncia num diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como

0 = AJradicAJ$ + AF$

O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP

DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11

Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia

Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por

acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita

Manual de Laboratoacuterio

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2 = 1D

Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica

Figura 18 - diagramas de fasores representando

um circuito capacitivo e um circuito indutivo

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Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie

O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio

TAREFA 1

Circuito Resistivo

Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR

Manual de Laboratoacuterio

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Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)

O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador

Circuito Capacitivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor

Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

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Circuito Indutivo

Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor

O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Circuito RLC

Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise

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O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador

Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio

O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior

Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor

Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou

A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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TAREFA 2

Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente

Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir

Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima

Qual o valor da corrente maacutexima no circuito

Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)

O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique

Manual de Laboratoacuterio

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TAREFA 3

Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito

Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees

Como isso eacute possiacutevel Explique

Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff

Respostas

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Respostas

A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32

A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH

A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH

B3 Ae = Af = AtildeAcircf

B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl

B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH

B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l

B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD

B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -

C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc

(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7

C2 O = ~13deg

C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)

Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-

vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr

Respostas

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C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM

C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD

(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD

C6 A = Eacute$Acirc

C7 A = Atilde$AcircL

D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma

das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp

D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(

D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1

no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)

D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme

D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D

E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)

E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D

E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml

F1 544 times 10

F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S

F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM

u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM

u (e) 0 = ℇMu

F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω

Respostas

98

F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965

G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n

G5 i = Ograve$g = 245 J

G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y

G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez

G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H

G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)

G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)

G15 (a) zL$brvbarM (b)

z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero

G16 z$L + z$L = z$L - + 1

G17 (a) pLM

amp (b) pusup3

ampL

G18 zzMu

G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)

z

G20 zNu saindo da folha

G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)

UgraveLMamp

fora do fio (a) z$L (b)

UgravebrvbarM$L (c)

Ugravebrvbarsup3ampL

G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13

G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM

ampu

H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior

Respostas

99

H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a

H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J

I2 Φ = pound$ sup1amp

I4 C = AcircsM

I6 (a) zM

NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar

J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a

(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S

J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu

(c) = -radic

J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm

(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013

Respostas

100

Bibliografia

Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il

Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il

Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il

Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm

Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il

Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il

Page 10: Prof a. Raquel Giulian Prof. Leonardo Albuquerque ... · 3ª semana: Lei de Gauss (fluxo elétrico, campo elétrico ... Aula de problemas e PROVA II 10º e 11ª semanas: Campo Magnético

Problemas Selecionados

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D4 ndash Uma esfera oca isolante de raio F e carga C eacute colocada nas proximidades de uma placa muito grande cuja densidade superficial de carga eacute P (uniforme) A distacircncia entre a placa e a superfiacutecie da esfera eacute = Qual a diferenccedila de potencial entre o centro da esfera e a placa Dica calcule a ddp devido a cada objeto separadamente e some os resultados A diferenccedila de potencial entre dois pontos pode ser determinada a partir do campo eleacutetrico

D5 ndash Uma esfera isolante maciccedila possui densidade de carga K() = K7$ onde ρ0 eacute uma constante (a) Qual a diferenccedila de potencial entre os pontos b e c Se a densidade de carga fosse uniforme qual seria a diferenccedila de potencial entre os pontos b e c

D6 ndash Um fio tem densidade linear de carga B uniforme e foi dobrado no formato conforme mostra a figura abaixo Qual o potencial eleacutetrico no ponto P

D7 ndash Considere duas cascas esfeacutericas finas concecircntricas condutoras A casca interna tem raio = 15 e carga 10 gtD A casca externa tem raio = 30 e carga minus15 gtD Forneccedila expressotildees para o campo eleacutetrico e o potencial eleacutetrico para as diferentes regiotildees (a) lt 15 (b) 15 lt lt 30 (c) gt 30 Em todos os casos considere S = 0 em = infin

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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(E) Capacitacircncia

E1 ndash Sabendo que cada um dos capacitores no circuito ao lado tem capacitacircncia D = 10 e a diferenccedila de potencial na bateria eacute ΔS = 10 S qual eacute a carga do capacitor 1 E do capacitor 2

E2 ndash Encontre uma expressatildeo para a capacitacircncia dos capacitores abaixo sabendo que a distacircncia entre as placas eacute = a aacuterea das placas eacute 10 = o espaccedilo entre as placas estaacute preenchido por dois ou mais materiais de constantes dieleacutetricas distintas conforme mostra a figura abaixo Analisando cada capacitor separadamente eacute possiacutevel obter a mesma capacitacircncia com uma associaccedilatildeo de capacitores simples (preenchidos por um uacutenico material) Explique

E3 ndash Uma diferenccedila de potencial de 100 S eacute aplicada ao circuito ao lado onde D- = 10 D$ = 5 e Damp = 4 Se o capacitor 3 eacute substituiacutedo por um fio condutor qual eacute o aumento na carga do capacitor 1 Qual eacute o aumento na diferenccedila de potencial entre as placas do capacitor 1

(a) (b) (c)

Problemas Selecionados

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E4 ndash No circuito ao lado a diferenccedila de potencial fornecida pela bateria eacute de 20 S Qual a capacitacircncia equivalente do circuito Qual a carga armazenada por essa capacitacircncia equivalente Qual a carga e ddp para os capacitores 1 2 e 3

E5 ndash Na figura ao lado a ddp da bateria eacute 10 S D- = 10 D$ = Damp = 2D- A chave eacute movida para a esquerda e somente depois que o capacitor 1 atingiu o equiliacutebrio a chave eacute movida para a direita Quando o equiliacutebrio eacute novamente atingido qual eacute a carga do capacitor 1

E6 ndash Um capacitor de placas paralelas com aacuterea J e espaccedilamento = eacute preenchido com vidro (6 = 267) Conectado a uma bateria o capacitor acumula carga C (a) Qual a energia armazenada no capacitor (b) Mantendo a bateria conectada a separaccedilatildeo entre as placas eacute aumentada para 2= (veja a figura) Qual a energia armazenada nessa nova situaccedilatildeo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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(F) Corrente e Resistecircncia

F1 ndash A figura ao lado mostra parte de um fio de cobre com diacircmetros =- = 4F e =$ = 8F por onde passa uma corrente uniforme = 4 e a diferenccedila de potencial ao longo desse comprimento eacute20 S O

nuacutemero de portadores de carga por unidade de volume eacute 849 times 10$N amp Qual eacute a velocidade de deriva dos eleacutetrons de conduccedilatildeo na porccedilatildeo do fio com diacircmetro =$

F2 ndash No circuito ao lado qual a magnitude e direccedilatildeo das correntes nos resistores F- F$ e Famp Para isso considere que ℇ- = 6 S ℇ$ = 12 SF- = 100 Ω F$ = 200 Ω Famp = 300 Ω O ciruito estaacute aterrado e nesse ponto S = 0 Qual eacute o potencial eleacutetrico no ponto A

F3 ndash Calcule a potecircncia total dissipada em cada circuito Considere que todas as resistecircncias satildeo iguais e as baterias satildeo ideais Expresse suas respostas em termos de ℇ e F

F4 ndash Se dois fios de mesmo comprimento um de cobre e outro de alumiacutenio apresentam a mesma resistecircncia qual deve ser a razatildeo entre seus raios

Problemas Selecionados

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F5 ndash No circuito ao lado a potecircncia dissipada no resistor R eacute 20 a Qual o valor de R Qual a ddp entre os pontos A e B

F6 ndash A corrente medida por um amperiacutemetro A no circuito ao lado eacute a mesma quando ambas as chaves estatildeo abertas ou fechadas Qual o valor da resistecircncia R

F7 ndash Determine o valor da corrente que passa por cada um dos resistores a potecircncia fornecida por cada uma das fontes de tensatildeo e a potecircncia dissipada por cada um dos resistores Faccedila o balanccedilo energeacutetico do circuito

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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F8 ndash No circuito ao lado a chave S permanece fechada por um longo tempo e a corrente no circuito atinge um valor constante Considere D- = 3 D$ = 6 F- = 4Ω e F$ = 7Ω A potecircncia dissipada em F$ eacute 24a (a) Determine as cargas em D- e D$ (b) Abrindo a chave S e aguardando um longo tempo qual a mudanccedila observada na carga do capacitor 2

F9 ndash Num circuito RC seacuterie como o da figura ao lado D = 1 F = 2 times 10bΩ e ℇ = 10S Dez segundos depois que a chave foi fechada determine (a) a carga no capacitor (b) a corrente no resistor (c) a taxa com que a energia eacute armazenada no capacitor (d) a taxa com que a bateria fornece energia para o circuito

F10 ndash Um capacitor eacute carregado atraveacutes de um resistor como mostra a figura no problema anterior Mostre que metade da energia fornecida pela bateria aparece como energia interna no resistor e a outra metade como energia eleacutetrica no capacitor

F11 ndash Um capacitor duas fontes ideais dois resistores e uma chave S satildeo mostrados no circuito da figura ao lado Suponha D = 12 ℇ- = 15 S ℇ$ = 30 S F- = 05 Ω e F$ = 08 Ω (a) Se a chave S permanece aberta por um longo tempo qual a carga no capacitor (b) Qual a carga no capacitor se a chave S permanece fechada por um longo tempo

Problemas Selecionados

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F12 ndash No circuito ao lado a bateria fornece 10 S o capacitor eacute de 1 e os resistores tecircm as resistecircncias indicadas na figura O circuito estaacute ligado haacute um longo tempo (a) Qual a ddp entre os terminais do capacitor (b) Se a bateria for desconectada quanto tempo levaraacute para que essa ddp atinja um deacutecimo do valor inicial

-------------------------------------------------------------------------------------------

(G) Campo Magneacutetico

G1 ndash Um proacuteton atravessa uma regiatildeo de campo magneacutetico uniforme = lang10 20 30rang 13 No tempo c- o proacuteton tem uma velocidade d = langde df 2rang e a forccedila magneacutetica sobre o proacuteton eacute g = lang4 times 10-h minus2 times 10-h 0rang H Nesse instante qual o valor de de e df

G2 ndash Um proacuteton viaja atraveacutes de uma regiatildeo de campo eleacutetrico e

magneacutetico uniformes onde = langminus25 0 0rang 13 Num certo instante a velocidade do proacuteton eacute d = lang0 2000 0rang Qual a forccedila resultante que age sobre o proacuteton se o campo eleacutetrico for

(a) A = lang0 0 4rang S (b) A = lang0 0 minus4rang S ou

(c) A = lang4 0 0rang S

G3 ndash Uma espira retangular de lados e estaacute numa regiatildeo de campo

magneacutetico perpendicular ao plano da espira e eacute percorrida por uma corrente i constante conforme mostra a figura ao lado Determine o torque sobre a espira

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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G4 ndash Dois trilhos de metal separados por uma distacircncia = = 256 estatildeo ligados a uma bateria No momento em que uma barra de metal de massa = 241 8 eacute colocada sobre os trilhos (c = 0) ela fecha o circuito e por ela passa uma corrente i = 913 J O conjunto estaacute numa regiatildeo onde existe um campo magneacutetico uniforme = 563 13 Qual a velocidade da barra 611 depois Em que direccedilatildeo ela se move

G5 ndash A figura ao lado mostra um cilindro de madeira de massa = 250 8 e comprimento 2 =10 onde foi enrolado um fio formando uma espira de 10 voltas O cilindro eacute posicionado de forma que o eixo da espira estaacute perpendicular ao plano inclinado (paralelo agrave normal do plano

inclinado) Nessa regiatildeo haacute um campo magneacutetico = lang0 05 0rang 13 Qual deve ser o valor miacutenimo da corrente na espira capaz de manter o cilindro em sua posiccedilatildeo evitando que ele role para baixo

G6 ndash A figura ao lado mostra um iacutematilde e um anel condutor de raio por onde passa uma corrente i Se o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde faz um acircngulo O com a vertical na posiccedilatildeo onde estaacute o anel qual eacute a magnitude e a direccedilatildeo da forccedila resultante sobre o anel

Problemas Selecionados

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G7 ndash Uma barra de metal com densidade de massa B (massa por unidade de comprimento) apresenta uma corrente i (saindo da paacutegina) A barra estaacute suspensa por dois fios num campo magneacutetico uniforme vertical como mostra a figura ao lado No equiliacutebrio os fios

fazem um acircngulo O com a vertical Qual a magnitude do campo magneacutetico

G8 ndash Um proacuteton com energia cineacutetica de 6 jS se move no plano da paacutegina e entra numa regiatildeo de campo magneacutetico = 1 13 direcionado para dentro da paacutegina como mostra a figura ao lado

O proacuteton entra na regiatildeo de campo com o vetor velocidade fazendo um acircngulo O- = 35deg com a borda da regiatildeo Qual eacute a distacircncia entre o ponto de entrada e saiacuteda ( na figura) Qual o valor de O$

G9 ndash Considere um eleacutetron orbitando um proacuteton numa trajetoacuteria circular de raio F = 529 times 10-- devido agrave atraccedilatildeo Coulombiana Considere o sistema como se fosse um anel por onde passa uma corrente Qual seraacute o torque resultante quando o sistema for colocado numa regiatildeo de campo magneacutetico = 04 13 perpendicular ao momento magneacutetico do anel

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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G10 ndash Um fio por onde passa uma corrente i foi moldado num formato semicircular de raio F e uma reta de comprimento 2F como mostra a figura ao lado Nessa mesma regiatildeo haacute um campo magneacutetico que aponta na direccedilatildeo + (representado pelos pontos azuis na figura ao lado) Mostre que a

forccedila resultante sobre o fio eacute zero

G11 ndash Um condutor ciliacutendrico longo de raio conteacutem duas cavidades cada uma com diacircmetro ao longo de todo o comprimento do fio Uma visatildeo da seccedilatildeo transversal do fio eacute mostrada na figura ao lado Uma corrente i uniforme (considerando a porccedilatildeo soacutelida do material) passa atraveacutes do fio e aponta para fora da paacutegina Determine a magnitude e direccedilatildeo do campo

magneacutetico em funccedilatildeo de 7 i e no ponto P

G12 ndash Dois fios muito longos por onde passa corrente i de mesma magnitude estatildeo moldados conforme a figura ao lado

Mostre que o campo magneacutetico no centro do ciacuterculo de raio R eacute o mesmo que o

campo a uma distacircncia R abaixo de um fio reto muito longo por onde passa uma corrente i

Problemas Selecionados

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G13 ndash Encontre uma expressatildeo para determinar a magnitude do campo magneacutetico no ponto P da figura ao lado Dica considere a origem dos eixos cartesianos no ponto P

G14 ndash A figura ao lado mostra a seccedilatildeo transversal de um condutor oco de raio externo e interno por onde passa uma corrente uniforme i Demonstre que a magnitude do campo magneacutetico () para uma distacircncia lt lt eacute dada por

= 7i25($ minus $) $ minus $

G15 ndash A figura ao lado mostra um cabo coaxial de raios e Correntes opostas de igual magnitude estatildeo distribuiacutedas nos dois condutores Derive uma expressatildeo para calcular o campo magneacutetico () na regiatildeo (a) lt (b) lt lt (c) lt lt e (d) gt

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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G16 ndash Um fio condutor por onde passa uma corrente i foi torcido para formar um loop de raio R (no plano da paacutegina) como mostra a figura abaixo Qual a direccedilatildeo do campo magneacutetico no

centro do loop Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico no centro do loop

G17 ndash Uma corrente i passa por um fio condutor ciliacutendrico de raio R como mostra a figura ao lado A densidade de corrente l natildeo eacute uniforme atraveacutes da seccedilatildeo transversal do fio mas obedece agrave funccedilatildeo l = onde eacute uma constante Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico (a) a uma distacircncia - lt F e (b) a uma distacircncia $ gt F(em relaccedilatildeo ao centro do condutor)

G18 ndash Um fio condutor muito longo por onde passa uma corrente i- estaacute parcialmente envolto por um loop por onde passa uma corrente i$ (figura ao lado) O loop fio foi moldado num formato semiciliacutendrico de raio R e o comprimento L O fio condutor passa pelo eixo do loop Calcule a forccedila magneacutetica exercida sobre o loop

G19 ndash Considere um solenoide de comprimento 2 e raio F contendo H voltas de um fio por onde passa uma corrente i (a) Determine uma expressatildeo para

o campo magneacutetico num ponto ao longo do eixo do solenoide do lado de fora do solenoide como funccedilatildeo da distacircncia ateacute uma das pontas (considere = 0 no centro do solenoide e = a distacircncia do centro ateacute o ponto onde estaacute sendo calculado o campo ) (b) Mostre que para

Problemas Selecionados

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valores muito grandes de 2 e = = 0 se aproxima de = 7i H 2frasl para posiccedilotildees ao longo do eixo no interior do solenoide distante das bordas

G20 ndash A figura ao lado mostra um fio moldado para formar duas seccedilotildees retas e um quarto de ciacuterculo por onde passa corrente i Determine o campo magneacutetico (vetor) no ponto P

G21 ndash Um fio ciliacutendrico espesso de raio eacute percorrido por uma corrente i Determine uma expressatildeo para o

campo magneacutetico dentro e fora do fio considerando que (a) a corrente estaacute distribuiacuteda uniformemente sobre a superfiacutecie externa do fio (b) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio com densidade de corrente l constante (c) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio de forma que a densidade de corrente l eacute proporcional agrave distacircncia ateacute o eixo do fio

G22 ndash Considere dois solenoides coaxiais cada um conduzindo uma corrente i em direccedilotildees opostas O solenoide interno de raio possui gt- voltas por unidade de comprimento o

solenoide externo possui raio e gt$ voltas por unidade de

comprimento Determine (a) no interior do conjunto (b) entre eles e (c) fora deles

G23 ndash Um fio condutor longo e reto de raio F conduz uma corrente natildeo uniforme cuja densidade de corrente eacute l = l7 Ffrasl onde l7 eacute uma constante A corrente total eacute i (a) Determine uma expressatildeo para i

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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em funccedilatildeo de l7 e F (b) Determine uma expressatildeo para o campo magneacutetico no interior do fio para uma distacircncia

G24 ndash A figura ao lado mostra um toroide que consiste num solenoide fechado em forma de anel (a) Considerando a simetria explique qual deve ser o formato do campo magneacutetico no interior desse toroide (b) Considere o toroide compacto (a separaccedilatildeo entre cada volta do fio eacute pequena) com N voltas conduzindo uma corrente i Usando a lei de Ampeacutere determine a magnitude do campo magneacutetico num ponto interno ao toroide a uma distacircncia do eixo principal (ver figura ao lado) (c) O campo magneacutetico no interior do toroide eacute um campo uniforme Explique

-------------------------------------------------------------------------------------------

(H) Lei de Faraday

H1 ndash A figura ao lado mostra dois aneis cujos eixos estatildeo alinhados separados por uma distacircncia x O anel maior tem raio F o anel menor tem raio Os aneis estatildeo separados por uma distacircncia ≫ F e por isso o campo magneacutetico devido agrave corrente no anel de raio F eacute praticamente uniforme no anel menor Considere que a distacircncia estaacute aumentando a uma taxa constante = =cfrasl = d (a) Determine uma expressatildeo para o fluxo de campo magneacutetico atraveacutes do anel menor como funccedilatildeo de Encontre uma expressatildeo para (b) a fem induzida e (c) a direccedilatildeo da corrente no anel menor

Problemas Selecionados

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H2 ndash (a) Calcule o fluxo magneacutetico atraveacutes do retacircngulo mostrado na figura ao lado em funccedilatildeo de = i (b) Avalie o resultado encontrado para = 5 = 10 = = 2 e i = 20 J

H3 ndash Uma espira plana e circular de raio =75 estaacute em repouso numa regiatildeo de campo magneacutetico uniforme A espira estaacute orientada de tal forma que o campo magneacutetico aponta para cima

e faz um acircngulo de 30deg com a normal da espira O campo varia com

o tempo de acordo com (c) = 14(77nho) 13 (a) Determine a fem induzida na espira em funccedilatildeo do tempo (b) Para que valor de c a fem induzida eacute igual a um deacutecimo do seu valor inicial Determine o sentido da corrente induzida na espira se observada por cima da espira

H4 ndash Um retacircngulo que mede 30 times 40 estaacute localizado no interior de um campo magneacutetico uniforme de 125 13 com o campo perpendicular ao plano da bobina A bobina se move perpendicular ao campo com velocidade constante d =2 inclusive atingindo a regiatildeo

onde o campo termina abruptamente como mostra a figura ao lado Determine a fem induzida nessa bobina quando ela estaacute (a) inteiramente no interior do campo (b) parcialmente no interior do campo e (c) inteiramente fora do campo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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H5 ndash O fio na figura ao lado conduz

uma corrente i(c) = i7po onde gt 0 Determine o sentido da corrente induzida na bobina (horaacuterio ou anti-horaacuterio) para c gt 0

H6 ndash A figura ao lado mostra uma espira circular de raio contendo uma resistecircncia e um capacitor ligados em seacuterie imerso numa regiatildeo onde um campo magneacutetico uniforme (no espaccedilo) entrando no plano na paacutegina decresce no tempo a uma taxa constante = =cfrasl = minus sendo uma constante positiva (a) Qual a carga no capacitor quando ele estaacute completamente carregado (b) Qual das placas do capacitor estaacute em potencial mais elevado (c) Qual a origem da forccedila que causa a separaccedilatildeo de cargas

-------------------------------------------------------------------------------------------

(I) Indutacircncia

I1 ndash No circuito ao lado ℰ = 100 SF- = 10 Ω F$ = 20 Ω Famp = 30 Ω e 2 = 2 H Ao fechar a chave S quais os valores de i- e i$ Considere positivo o sentido das correntes indicadas na figura Muito tempo

depois quais satildeo os valores de i- e i$ A chave eacute entatildeo aberta Nesse instante quais satildeo os valores de i- e i$ E muito tempo depois quais satildeo os valores de i- e i$

Problemas Selecionados

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I2 ndash Num circuito LC em seacuterie a carga inicial do capacitor eacute C e ele estaacute sendo descarregado Quando a carga no capacitor eacute igual a C 2frasl qual eacute o fluxo magneacutetico que atravessa cada uma das N espiras do indutor (como funccedilatildeo de C H 2 e D)

I3 ndash Uma bobina possui N voltas e estaacute envolvendo um solenoide longo de raio r com n espiras por unidade de comprimento (figura ao lado) (a) Mostre que a indutacircncia muacutetua do sistema eacute dada por j = 75F$gtH (b) Explique por que M natildeo depende do formato tamanho ou possiacutevel falta de proximidade das espiras na bobina

I4 ndash A fem autoinduzida num solenoide de indutacircncia L varia no tempo conforme ℇ(c) = ℇ7so Levando em consideraccedilatildeo que a carga eacute finita (ou seja i = 0 quando c = infin) determine a carga total que passa pelo solenoide (que atravessa um determinado ponto no fio que compotildee o solenoide)

I5 ndash Um fio condutor foi enrolado num papelatildeo formando um toroide com N espiras (voltas) raio menor r e maior R A seccedilatildeo transversal do toroide eacute mostrada na figura ao lado Se F ≫ o campo magneacutetico no interior do toroide eacute essencialmente o mesmo que o campo no interior de um solenoide muito longo que tenha sido

moldado no formato de um ciacuterculo de raio R Modelando o campo como se fosse o campo uniforme de um solenoide longo mostre que a indutacircncia desse toroide eacute

aproximadamente 2 asymp -$ 7H$ LMu

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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I6 ndash Um indutor consiste em duas cascas ciliacutendricas concecircntricas como mostra a figura A casca interna tem raio e a externa tem raio ambas com comprimento ℎ A casca interna transporta uma corrente i para fora e a externa para dentro do plano da paacutegina com igual magnitude Calcule na regiatildeo lt lt (a) a densidade de energia magneacutetica (b) a indutacircncia

I7 ndash Mostre que i(c) = i7o wx eacute a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial iF + 2 yzyo = 0 onde i7 eacute a corrente em c = 0 e = 2 Ffrasl

I8 ndash Um fio condutor de raio R transporta uma corrente uniforme A corrente total no fio eacute i Mostre que a energia magneacutetica por unidade de comprimento dentro do fio eacute dada por 7i$ 165frasl

I9 ndash Um cabo coaxial eacute formado por dois cilindros condutores de paredes finas com raios - e $ As correntes nos dois cilindros satildeo iguais em magnitude mas com sentidos opostos (a) Use a lei de Ampeacutere para determinar o campo magneacutetico como funccedilatildeo da distacircncia ao eixo do cabo nas regiotildees (0 lt lt -) ( - lt lt $ ) e ( gt $) (b) Mostre que a densidade de energia magneacutetica na regiatildeo entre os cilindros eacute dada por

| = 12 745 i$(5$)-

(c) Mostre que a energia magneacutetica total num volume de cabo com comprimento ~ eacute dada por

Problemas Selecionados

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= i$~ ln LML

(d) Mostre que a autoindutacircncia por unidade de comprimento do cabo eacute dada por

2~ = 725 ln $-

-------------------------------------------------------------------------------------------

(J) Corrente Alternada

J1 ndash A tensatildeo de uma fonte de corrente alternada eacute dada por ∆d = 120gt(30 5c) onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A fonte eacute conectada a um indutor de 05 Determine (a) a frequecircncia da fonte (b) a voltagem rms no indutor (c) a reatacircncia indutiva do circuito (d) a corrente rms no indutor e (e) a corrente maacutexima no indutor

J2 ndash Uma fonte de tensatildeo alternada fornece uma tensatildeo ∆d = 98gt(80 5c) a um capacitor onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A corrente maacutexima no circuito eacute 05 J Determine (a) a tensatildeo rms da fonte (b) a frequecircncia da fonte e (c) o valor da capacitacircncia

J3 ndash Um circuito AC eacute composto por um resistor de 250 Ω um indutor de 15 um capacitor de 35 e uma fonte de tensatildeo alternada com amplitude de 45 S operando com frequecircncia angular = 360 = frasl (a) Qual eacute o fator de potecircncia do circuito (b) Determine a potecircncia meacutedia aparente (S) fornecida ao circuito (c) Qual eacute a potecircncia meacutedia ativa (P) dissipada no resistor Qual eacute a potecircncia meacutedia reativa (Q) que fica armazenada no circuito

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J4 ndash Cinco voltiacutemetros com impedacircncia muito grande ajustados para ler valores rms estatildeo conectados conforme a figura ao lado Sendo F =200 Ω 2 = 04 H D = 6 e ∆S = 30 Vqual eacute a leitura da tensatildeo em cada voltiacutemetro se (a) = 200 = frasl e (b) =1000 = frasl

J5 ndash Num circuito RLC 2 = 028 e D = 4 A fonte fornece uma voltagem com amplitude de 120 S Qual eacute a frequecircncia angular de ressonacircncia do circuito (b) Quando a fonte opera na frequecircncia angular de ressonacircncia a amplitude da corrente no circuito eacute 17 J Qual a resistecircncia do resistor (c) Na frequecircncia angular de ressonacircncia quais satildeo as voltagens de pico no indutor capacitor e resistor

J6 ndash O circuito ao lado conteacutem uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal conforme ℇ = ℇgt(c) No estado de equiliacutebrio temos as correntes mostradas no circuito Sem recorrer a uma matemaacutetica complicada responda (a) Quais os valores de u e quando = 0 (frequecircncia zero significa que

a fonte foi substituida por uma bateria ideal) (b) Quais os valores de u e quando rarr infin (c) Qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia

Problemas Selecionados

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J7 ndash Um indutor um capacitor e um resistor estatildeo conectados em seacuterie a uma fonte de tensatildeo alternada Se os valores da resistecircncia capacitacircncia e indutacircncia forem duplicados o que aconteceraacute com (a) a frequecircncia angular de ressonacircncia (b) a reatacircncia indutiva (c) a reatacircncia capacitiva e (d) a impedacircncia

J8 ndash O circuito abaixo eacute formado por uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal variando conforme ℇ = ℇgt(c) uma resistecircncia F = 6 Ω e uma parte desconhecida que pode conter um indutor um capacitor ou ambos A amplitude da fonte eacute ℇ = 6 S Quando a frequecircncia angular = 2 = a corrente estaacute em fase com a fonte enquanto que para = 1 = a corrente estaacute fora de fase em relaccedilatildeo agrave fonte por exatamente 5 4frasl (a) Quais componentes estatildeo presentes na parte desconhecida (um indutor um capacitor ou ambos) Explique (b) Determine os valores dos componentes desconhecidos

J9 ndash Um circuito em seacuterie possui impendecircncia de 60 Ω e fator de potecircncia igual a 072 em 50 A tensatildeo da fonte estaacute atrasada em relaccedilatildeo agrave corrente (a) Que elemento do circuito (um indutor ou um capacitor) deve ser ligado em seacuterie com o circuito para aumentar o fator de potecircncia (b) Qual deve ser o valor desse elemento para que o fator de potecircncia seja igual a 1 (c) Apresente diagramas de fasores esquemaacuteticos para o circuito antes e depois da ligaccedilatildeo do novo elemento

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O PROCESSO DE MEDIDA NO LABORATOacuteRIO DE FIacuteSICA

Natildeo satildeo raros eventos em que nos valemos de medidas para tomarmos decisotildees Medimos nossa temperatura corporal para avaliarmos se necessitamos de tratamento Medimos a pressatildeo manomeacutetrica dos pneus para avaliarmos se precisamos injetar ou retirar ar neles Consultamos medidas da temperatura ambiente para escolhermos a roupa que vestiremos Consultamos o horaacuterio (medida de tempo) para natildeo chegarmos atrasados em encontros Medidas satildeo portanto fundamentais em nossas vidas No entanto usualmente natildeo nos preocupamos muito com a precisatildeo dessas medidas Em grande parte das vezes natildeo nos interessa saber se o horaacuterio informado no reloacutegio estaacute um pouco atrasado ou adiantado Natildeo nos preocupamos em saber o quanto podemos confiar nas temperaturas coletadas com um determinado termocircmetro Nossas medidas comumente satildeo realizadas de forma despretensiosa sem muito rigor

No laboratoacuterio de Fiacutesica isso ocorre de modo muito diferente Os processos de mediccedilatildeo satildeo mais minuciosos do que os que realizamos costumeiramente Desejamos obter a maior precisatildeo possiacutevel com os equipamentos de que dispomos Mas como fazer isso Como podemos melhorar a precisatildeo dos processos de mediccedilatildeo Intuitivamente podemos concluir que inferecircncias realizadas a partir de um conjunto de medidas satildeo mais precisas do que medidas isoladas Mas quando disponho de um conjunto de medidas como posso analisaacute-las Calcular a meacutedia delas eacute suficiente Responder a questotildees como essas eacute o objetivo desta atividade Para exemplificarmos todo esse processo realizaremos um debate sobre a mediccedilatildeo da resistecircncia interna de amperiacutemetros

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O que satildeo amperiacutemetros

Um amperiacutemetro eacute um instrumento utilizado para a realizaccedilatildeo de medidas de correntes eleacutetricas Evidentemente natildeo queremos modificar os circuitos quando os exploramos com um instrumento Com amperiacutemetros natildeo eacute diferente Queremos medir correntes eleacutetricas sem alterar as caracteriacutesticas do circuito Mas como eacute possiacutevel fazer isso Natildeo discutiremos aqui os detalhes sobre o funcionamento interno de um amperiacutemetro No entanto vamos avaliaacute-los do ponto de vista de uma das suas caracteriacutesticas mais importantes a sua resistecircncia eleacutetrica

A resistecircncia eleacutetrica de um circuito influencia na intensidade da corrente eleacutetrica que circula nele A corrente eleacutetrica i que perpassa por uma resistecircncia eleacutetrica F submetida a uma tensatildeo ∆S por exemplo pode ser predita pela seguinte relaccedilatildeo

i = ∆u Eq 1

O amperiacutemetro precisa ser posicionado em seacuterie no circuito em que se deseja medir a corrente eleacutetrica como eacute exemplificado na figura

Figure 1- Medindo a resistecircncia interna de um multiacutemetro

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1 Como a resistecircncia equivalente em circuitos em seacuteries eacute a soma da resistecircncia eleacutetrica de cada um dos seus componentes a resistecircncia interna dos amperiacutemetros se soma agrave resistecircncia equivalente do circuito investigado alterando a sua dinacircmica Por isso nosso desejo eacute que os amperiacutemetros tenham resistecircncia eleacutetrica nula No entanto a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro real por menor que seja nunca eacute nula Eles possuem um circuito interno com fios e diversos componentes eletrocircnicos que acabam provocando uma resistecircncia agrave circulaccedilatildeo de corrente eleacutetrica Ainda assim frequentemente desprezamos tal resistecircncia Seraacute que isso eacute razoaacutevel Quando podemos desprezar a resistecircncia interna dos amperiacutemetros e quando natildeo podemos Para respondermos tais perguntas precisamos conhecer o valor da resistecircncia interna tiacutepica de um amperiacutemetro

Medindo a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro

Nesta disciplina usaremos diversos amperiacutemetros de uma mesma marca e modelo em uma seacuterie de experimentos (Minipa ET-2075B) Por isso eacute interessante que conheccedilamos a resistecircncia eleacutetrica deles para podermos avaliar quando podemos desprezaacute-la e quando natildeo Mas como podemos obter essa informaccedilatildeo Podemos medi-la Um procedimento simples para isso eacute submeter o amperiacutemetro a uma diferenccedila de potencial ΔV conhecida e medir a corrente eleacutetrica i que passa por ele Desse modo podemos usar a Eq 1 para inferir a resistecircncia eleacutetrica do equipamento Mas podemos confiar em uma uacutenica medida Depende da precisatildeo de que necessitamos para essa medida Intuitivamente sabemos que se medirmos a resistecircncia interna a partir de um conjunto de dados poderemos ter uma maior confiabilidade nos dados No exemplo de que estamos tratando eacute possiacutevel se coletar dados da corrente no amperiacutemetro quando submetido a diferentes tensotildees Desse modo pode-se inferir a resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro pela declividade da reta constituiacuteda

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pelos dados representados em um graacutefico da tensatildeo em funccedilatildeo da corrente eleacutetrica como pode ser constatado da Eq1 No entanto como temos incertezas associadas a cada dado experimental coletado esses dados natildeo seratildeo perfeitamente representados por uma reta Surge entatildeo uma nova questatildeo qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados

Ajuste de Curvas

Diversas retas podem ser ajustadas a um conjunto de dados experimental Qual delas utilizar Intuitivamente podemos conjecturar que a melhor reta a ser utilizada eacute aquela tal que a soma das diferenccedilas entre os valores de tensatildeo medidos e os preditos pela reta tenha o menor valor possiacutevel Em outras palavras queremos minimizar a soma

sum = = (∆Sz minus ∆S)z-

onde ∆Sz satildeo as tensotildees medidas e ∆S satildeo as tensotildees preditas pela reta ajustada

No entanto haacute um inconveniente importante no uso desse criteacuterio tal soma pode ser bem pequena para retas que natildeo apresentam bom ajuste aos dados se as diferenccedilas entre os valores medidos e os preditos se cancelarem sendo alguns positivos e outros negativos Nesses casos apesar de natildeo termos uma reta bem ajustada aos dados o criteacuterio utilizado

indicaria que sim Como resolver isso Elevando os valores de dn ao

Figura 1 - Diferenccedila de potencial em funccedilatildeo

da corrente

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quadrado Ou seja podemos procurar a reta tal que a seguinte soma tenha o menor valor possiacutevel

sum =$ = (∆Sz minus ∆S)$z-

O meacutetodo que utiliza esse criteacuterio para a realizaccedilatildeo de ajustes de curvas que eacute amplamente utilizado no meio acadecircmico eacute denominado Meacutetodo dos Miacutenimos Quadrados Todos os softwares do tipo planilha eletrocircnica realizam esse caacutelculo automaticamente e nos valeremos disso quando necessaacuterio

Todos os amperiacutemetros da sala possuem a mesma resistecircncia interna

Ainda que todos os amperiacutemetros que utilizaremos nas nossas aulas sejam da mesma marca e modelo eles possuem diferentes resistecircncias internas Existe alguma forma de estimar a resistecircncia interna de um desses amperiacutemetros escolhido aleatoriamente Calcular a meacutedia das resistecircncias eacute suficiente para realizar essa estimativa

Variabilidade das medidas o desvio padratildeo amostral e da meacutedia

Apesar de as resistecircncias dos amperiacutemetros natildeo serem exatamente as mesmas elas possuem valores que se distribuem em torno de um valor meacutedio que eacute igual agrave meacutedia dessas resistecircncias Desse modo se tomarmos um dos amperiacutemetros aleatoriamente o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute igual agrave meacutedia das resistecircncias internas de todos os amperiacutemetros Mas quanto podemos confiar nessa estimativa Para respondermos tal pergunta eacute importante quantificarmos a variabilidade das resistecircncias r que medimos Quanto menor for essa variabilidade maior seraacute a nossa confianccedila para assumir que a resistecircncia interna de um amperiacutemetro particular eacute igual agrave meacutedia Intuitivamente podemos conjecturar que tal variabilidade pode ser medida pelo somatoacuterio das diferenccedilas entre as resistecircncias

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medidas z e a meacutedia dessas resistecircncias ou seja por (- minus ) + ($ minus ) + ⋯ + ( minus ) onde N eacute o nuacutemero de medidas realizadas No entanto temos aqui um inconveniente semelhante ao que tivemos quando analisaacutevamos ajustes de curvas se valores positivos e negativos se cancelarem esse somatoacuterio pode ser muito pequeno mesmo quando os dados apresentam grande variabilidade Podemos propor a mesma soluccedilatildeo adotada anteriormente vamos elevar os termos ao quadrado Temos entatildeo a variabilidade dos dados sendo mensurada por (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$

A impossibilidade de comparaccedilatildeo entre as variabilidades de diferentes conjuntos de dados eacute a limitaccedilatildeo desta proposta pois o resultado desse somatoacuterio eacute altamente dependente da quantidade de termos Desse modo eacute possiacutevel que esse somatoacuterio seja maior para grandes conjuntos com pouca variabilidade do que para pequenos grupos com grande variabilidade Para amenizar tal limitaccedilatildeo podemos entatildeo dividir o somatoacuterio por N ou seja calcular a variabilidade por(- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$ Hfrasl Ainda que esse somatoacuterio seja conceitualmente interessante natildeo eacute essa a medida de dispersatildeo de dados que costuma ser utilizada no meio cientiacutefico mas algo que guarda alguma semelhanccedila com ele o desvio padratildeo dos dados (P) Ele eacute calculado por

PL = (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$H minus 1

Mas por que utilizamos essa equaccedilatildeo A resposta estaacute em suas propriedades Quando construiacutemos um histograma (graacutefico de frequecircncias) de um conjunto de medidas por exemplo podemos em muitos casos assumir que a distribuiccedilatildeo desses dados eacute representada por uma distribuiccedilatildeo normal A equaccedilatildeo que define essa distribuiccedilatildeo assim como sua representaccedilatildeo graacutefica eacute ilustrada na Figura 3

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Natildeo eacute nosso objetivo aqui discutir detalhes da distribuiccedilatildeo normal O que desejamos destacar eacute que quando supomos que a distribuiccedilatildeo de um conjunto de dados eacute normal o que eacute bastante razoaacutevel na maioria das vezes o desvio padratildeo σ quantifica como os dados estatildeo distribuiacutedos Para entendermos isso analisemos a Figura 4

O intervalo compreendido pela meacutedia das medidas mais ou menos um desvio padratildeo compreende 68 das medidas realizadas No caso que estamos exemplificando se tomarmos a meacutedia das resistecircncias internas r de todos os amperiacutemetros investigados e o desvio padratildeo PL desses dados 68 das medidas estaratildeo no intervalo entre ( minus PL) e ( + PL) 95 no intervalo ( 2PL) e 99 no intervalo ( 257PL)

Figura 2 - A distribuiccedilatildeo normal eacute usualmente utilizada para representar a distribuiccedilatildeo

de frequecircncias de um conjunto de dados (Lima Jr et al 2013 p 30)

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Agora jaacute sabemos como quantificar a variabilidade de um conjunto de dados Podemos entatildeo calcular a meacutedia e o desvio padratildeo das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros Mas surge entatildeo uma questatildeo Se analisaacutessemos um novo conjunto de amperiacutemetros da mesma marca e modelo dos exemplificados aqui a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros seria a mesma Provavelmente natildeo Temos como estimar a partir do conjunto de medidas que realizamos a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros Temos Para responder a essa questatildeo temos que compreender um novo conceito o de desvio padratildeo da meacutedia (PL) Ele eacute calculado por

PL = PLradicH

Natildeo vamos entrar em detalhes aqui sobre a origem do conceito de desvio padratildeo da meacutedia1 vamos apenas explicar como essa grandeza nos permite estimar a incerteza na meacutedia de um conjunto de medidas Para isso vamos supor um novo conjunto de N novas

1 Se vocecirc eacute um aluno curioso pesquise sobre o Teorema Central do Limite para compreender com mais profundidade o conceito de desvio padratildeo da meacutedia

Figura 3 - A meacutedia e o desvio padratildeo demarcam a distribuiccedilatildeo dos dados em uma

distribuiccedilatildeo normal Na figura o eixo das abcissas expressa a distacircncia da meacutedia em

unidades de desvio padratildeo (Lima Jr et al 2013 p 30)

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medidas da resistecircncia interna de amperiacutemetros como os investigados nesta aula Qual seria a meacutedia dessas medidas Assim como o desvio padratildeo dos dados quantifica a dispersatildeo dos dados em torno da meacutedia o desvio padratildeo da meacutedia quantifica a dispersatildeo das meacutedias de subconjuntos de dados em torno da meacutedia de todo o conjunto de dados Aplicando esse conceito ao nosso exemplo podemos interpretar os dois conjuntos de medidas de resistecircncias internas como subconjuntos de um grande conjunto contendo todas as medidas Desse modo podemos afirmar com 68 de confianccedila que a meacutedia das N novas medidas a serem realizadas estaraacute no intervalo compreendido por ( PL) com 95 de confianccedila no intervalo ( 2PL) e com 99 de confianccedila no intervalo ( 257PL) O desvio padratildeo da meacutedia pode ser compreendido assim como a incerteza da meacutedia de um conjunto de medidas ou seja ele nos fornece uma estimativa da confiabilidade de uma meacutedia Em suma se escolhermos um amperiacutemetro aleatoriamente podemos dizer que i) o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute a meacutedia das resistecircncias de todos os amperiacutemetros e ii) a incerteza que temos nesse valor eacute igual ao desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias dos amperiacutemetros

E se eu soacute tivesse condiccedilotildees de realizar uma uacutenica medida

Nem sempre podemos realizar diversas medidas de uma grandeza Em alguns casos nem mesmo faz sentido realizar diversas medidas No entanto eacute evidente que existe uma incerteza associada a uma uacutenica medida Natildeo existem instrumentos que sejam perfeitamente precisos Entatildeo como podemos estimar essa incerteza Usualmente os manuais dos instrumentos trazem informaccedilotildees sobre isso Desse modo as incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica realizadas com um voltiacutemetro e um amperiacutemetro podem ser consultadas no manual do multiacutemetro utilizado Mas como eacute calculada a incerteza da resistecircncia interna de um amperiacutemetro que foi calculada a partir de

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apenas uma medida de tensatildeo e uma de corrente eleacutetrica Nesse caso precisamos calcular a incerteza propagada das incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica

Os meacutetodos de caacutelculo de incertezas propagadas podem ser bastante complicados Aqui trataremos de um meacutetodo bastante simples usualmente denominado de Meacutetodo dos Limites Vamos exemplificaacute-lo supondo que a incerteza da tensatildeo sobre as entradas do amperiacutemetro eacute P- e da corrente eleacutetrica que circula por ele eacute P$ Ou seja a tensatildeo medida estaacute no intervalo entre ∆S minus P- e ∆S + P- e a corrente eleacutetrica entre i minus P$ e i + P$ Qual eacute entatildeo a incerteza da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro investigado Para responder isso basta calcularmos os valores limites dessa grandeza O maacuteximo valor possiacutevel para a resistecircncia ocorreraacute se a tensatildeo for ∆S + P- e a corrente eleacutetrica for i minus P$ Nesse caso usando a Eq 1 temos

aacutee = ∆S + P-i minus P$

Usando o mesmo raciociacutenio o valor miacutenimo de r seraacute

z = ∆S minus P-i + P$

Desse modo podemos dizer que o valor da resistecircncia interna medida estaacute no intervalo entre rmaacutex e rmiacuten Em outras palavras o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro eacute

F = iexclz + aacutee2 z minus aacutee2 cent

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Erro eacute a mesma coisa que incerteza

Apesar de serem frequentemente utilizados como sinocircnimos os manuais de metrologia atribuem significados distintos aos conceitos de ldquoerrordquo e ldquoincertezardquo O Guia para Expressatildeo da Incerteza da Mediccedilatildeo (Joint Commitee for Guide in Metrology 2008 apud Lima Jr et al 2013) usa o termo ldquoerrordquo para indicar a diferenccedila entre o valor verdadeiro e o resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo o conceito de erro tem uso restrito pois satildeo poucos os casos em que conhecemos o valor verdadeiro de uma grandeza Satildeo exemplos desses casos experimentos em que se deseja mensurar a velocidade da luz no vaacutecuo ou o valor de π que satildeo valores previamente conhecidos pelo experimentador O caacutelculo do erro soacute faz sentido para casos em que sabemos o valor verdadeiro da grandeza que se quer medir

A incerteza por outro lado eacute entendida como uma estimativa que quantifica a confiabilidade do resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo quando calculamos o desvio padratildeo da meacutedia de um conjunto de medidas estamos calculando a incerteza da meacutedia dessas medidas ou seja estamos avaliando a confianccedila que podemos ter em adotar a meacutedia dessas medidas como o valor da grandeza mensurada O conceito de incerteza portanto tem maior aplicabilidade do que o conceito de erro

Algarismos significativos e incerteza

Uma questatildeo frequente nas aulas de laboratoacuterio eacute Com quantos algarismos uma grandeza deve ser apresentada No laboratoacuterio a resposta dessa questatildeo eacute uma funccedilatildeo da incerteza da grandeza Devemos apresentar os dados ateacute o seu primeiro algarismo duvidoso Voltemos ao exemplo da resistecircncia interna dos amperiacutemetros Suponhamos que a meacutedia das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros eacute 21546 Ω e o desvio padratildeo dessa meacutedia que eacute

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entendido aqui como a incerteza da resistecircncia interna dos amperiacutemetros eacute 003 Ω Interpretando tais dados assumimos com 68 de certeza que a resistecircncia interna dos amperiacutemetros estaacute no intervalo entre 21246 e 21846 Ω Desse modo a segunda casa decimal da grandeza medida eacute duvidosa Por isso os algarismos subsequentes satildeo omitidos quando expressamos essa medida e a medida da resistecircncia interna dos amperiacutemetros exemplificados eacute exposta por (215 plusmn 003) Ω Em suma o resultado de uma mediccedilatildeo deve ser sempre expresso com a mesma quantidade de casas decimais que sua incerteza Os algarismos apresentados satildeo entatildeo chamados de algarismos significativos

Referecircncia

Lima Jr P Silva M T X Silveira F L Veit E A (2013) Laboratoacuterio de mecacircnica subsiacutedios para o ensino de Fiacutesica experimental Porto Alegre UFRGS Instituto de Fiacutesica Disponiacutevel em httphdlhandlenet1018390438

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Atividade de Laboratoacuterio I Instrumentos de medida e incertezas

Este material foi cuidadosamente preparado para auxiliar no andamento das atividades no laboratoacuterio de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo Eacute importante responder TODAS as perguntas

(indicadas pelo siacutembolo ) feitas ao longo do texto discutindo com seu grupo possiacuteveis respostas e justificando-as Sempre que possiacutevel faccedila isso por escrito

TAREFA 1

Construa um circuito contendo um resistor de 1 kΩ em seacuterie com uma fonte de tensatildeo contiacutenua e um multiacutemetro Coloque o multiacutemetro na funccedilatildeo amperiacutemetro na escala de miliampere Usando outro multiacutemetro meccedila a tensatildeo no amperiacutemetro Realize medidas com diferentes correntes eleacutetricas variando a tensatildeo de saiacuteda da fonte

Como podemos tratar esses dados se nosso objetivo eacute medir a resistecircncia interna do amperiacutemetro

Qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados

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Para responder essas questotildees se dirija a um dos computadores da sala e use um aplicativo que possibilite a construccedilatildeo de graacuteficos SciDavis por exemplo Insira seus dados no aplicativo construa o graacutefico desejado e encontre a melhor reta que se ajusta aos dados

Qual foi a melhor reta ajustada Determine a equaccedilatildeo dessa reta ajustada

Qual eacute o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro que vocecirc investigou

TAREFA 2

Utilize as medidas de todos os grupos da turma e aplique os conhecimentos abordados na tarefa de leitura para responder as seguintes questotildees

Qual deve ser a resistecircncia interna de um amperiacutemetro escolhido aleatoriamente entre os utilizados nesta aula

Qual eacute a incerteza desse valor

TAREFA 3

Suponha que o manual do Minipa ET-2075B informe que as medidas de tensatildeo e corrente realizadas nas faixas de milivolt e miliampere tecircm incerteza de 3 Use esses dados para calcular a

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incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1

Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma

Elas satildeo coerentes Por quecirc

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CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO

Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por

equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC

Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras

O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se

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extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo

No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador

Salvando vidas

ldquoafastem-se choquerdquo

Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de

sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos

O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo

Figura 4 - Desfibrilador

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esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)

Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma

sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o

miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia

Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2

2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387

Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)

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Circuito RC - seacuterie

Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C

Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que

∆S(c) + i(c)F = 0

Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo

i(c) = =C(c)=c

e a ddp no capacitor eacute dada por

∆S(c) = C(c)D

Dessa forma podemos dizer que

=C(c)=c = minus 1FD C(c)

Figura 6 - Circuito RC

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Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa

funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja

derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever

C(c) = C7 ou

A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial

Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir

Capacitor Carregando Capacitor Descarregando

∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0

C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou

∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou

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Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8

Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo

eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum

3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78

Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas

do capacitor durante o processo de

carga ou descarga

Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um

graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo

do tempo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no

capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte

Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor

quando o mesmo estaacute sendo carregado

Manual de Laboratoacuterio

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Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie

1 - Osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos

2 ndash Aparato Experimental

Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto

Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)

Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio

Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees

Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala

Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)

Manual de Laboratoacuterio

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TAREFA 1

Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees

Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico

Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito

Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito

Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos

Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio

TAREFA 2

Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie

Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)

Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados

Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo

NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo

Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste

Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito

Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito

Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles

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MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS

Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais

Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio

Para onde aponta a buacutessola

Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos

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polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc

E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial

tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos

que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a

soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio

4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja

httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4

Figura 10 - Buacutessola

Figura 11 - campo B resultante

Manual de Laboratoacuterio

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Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por

umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O

Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde

Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde

Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma

iacuteatilde() = ∙

onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde

5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass

The Physics Teacher 49(1) 45-48

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como

iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2

Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos

gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)

Logo

gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2

Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo

iacuteatilde() = amp

Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse

tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira

na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart

Manual de Laboratoacuterio

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pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do

que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute

yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp

onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico

da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos

yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp

Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3

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Atividade de Laboratoacuterio III Projeto

OBJETIVO

Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio

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SUGESTAtildeO 1

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO

Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas

Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece

Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha

Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo

por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o

eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte

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SUGESTAtildeO 2

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA

Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)

Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica

Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de

uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)

Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema

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SUGESTAtildeO 3

BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO

Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola

Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)

Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina

O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados

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SUGESTAtildeO 4

CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO

O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer

Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio

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MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO

Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro

Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental

6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089

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110 V 127 V e 220 V O que eacute isso

As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V

Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas

A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

(c) = Jgt(c + acute)

onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por

∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)

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onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1

Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho

Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores

Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por

∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf

∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712

∆Suparamiddot = ∆S7radic2

Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a

tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s

A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente

alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$

Figura 13 - Funccedilotildees seno e

seno quadrado

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COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA

Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz

Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O

Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio

Natildeo queremos jogar energia fora

Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14

Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie

Manual de Laboratoacuterio

83

Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por

0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)

onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)

Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

ℇ(c) = ℇ7gt(c)

onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente

Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na

figura 16 para um caso em que VL gt VC

Figura 15 - Diagrama de fasores

de um circuito RLC seacuterie com

fonte de tensatildeo alternada

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

84

A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que

acute = c8 S minus SSu

Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado

por

i(c) = gt(c minus acute)

Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente

as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que

ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$

ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$

Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como

0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)

Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que

0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$

Figura 16 ndash Soma de fasores

Manual de Laboratoacuterio

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0eacutey = F ∙ uparamiddot$

onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square

Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que

F = frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte

Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade

7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL

Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e

resistecircncia num diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como

0 = AJradicAJ$ + AF$

O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP

DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11

Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia

Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por

acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita

Manual de Laboratoacuterio

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2 = 1D

Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica

Figura 18 - diagramas de fasores representando

um circuito capacitivo e um circuito indutivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie

O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio

TAREFA 1

Circuito Resistivo

Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR

Manual de Laboratoacuterio

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Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)

O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador

Circuito Capacitivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor

Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Manual de Laboratoacuterio

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Circuito Indutivo

Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor

O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Circuito RLC

Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise

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O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador

Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio

O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior

Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor

Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou

A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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TAREFA 2

Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente

Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir

Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima

Qual o valor da corrente maacutexima no circuito

Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)

O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique

Manual de Laboratoacuterio

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TAREFA 3

Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito

Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees

Como isso eacute possiacutevel Explique

Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff

Respostas

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Respostas

A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32

A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH

A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH

B3 Ae = Af = AtildeAcircf

B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl

B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH

B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l

B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD

B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -

C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc

(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7

C2 O = ~13deg

C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)

Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-

vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr

Respostas

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C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM

C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD

(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD

C6 A = Eacute$Acirc

C7 A = Atilde$AcircL

D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma

das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp

D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(

D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1

no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)

D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme

D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D

E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)

E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D

E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml

F1 544 times 10

F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S

F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM

u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM

u (e) 0 = ℇMu

F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω

Respostas

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F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965

G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n

G5 i = Ograve$g = 245 J

G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y

G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez

G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H

G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)

G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)

G15 (a) zL$brvbarM (b)

z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero

G16 z$L + z$L = z$L - + 1

G17 (a) pLM

amp (b) pusup3

ampL

G18 zzMu

G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)

z

G20 zNu saindo da folha

G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)

UgraveLMamp

fora do fio (a) z$L (b)

UgravebrvbarM$L (c)

Ugravebrvbarsup3ampL

G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13

G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM

ampu

H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior

Respostas

99

H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a

H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J

I2 Φ = pound$ sup1amp

I4 C = AcircsM

I6 (a) zM

NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar

J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a

(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S

J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu

(c) = -radic

J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm

(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013

Respostas

100

Bibliografia

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Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il

Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il

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Problemas Selecionados

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E4 ndash No circuito ao lado a diferenccedila de potencial fornecida pela bateria eacute de 20 S Qual a capacitacircncia equivalente do circuito Qual a carga armazenada por essa capacitacircncia equivalente Qual a carga e ddp para os capacitores 1 2 e 3

E5 ndash Na figura ao lado a ddp da bateria eacute 10 S D- = 10 D$ = Damp = 2D- A chave eacute movida para a esquerda e somente depois que o capacitor 1 atingiu o equiliacutebrio a chave eacute movida para a direita Quando o equiliacutebrio eacute novamente atingido qual eacute a carga do capacitor 1

E6 ndash Um capacitor de placas paralelas com aacuterea J e espaccedilamento = eacute preenchido com vidro (6 = 267) Conectado a uma bateria o capacitor acumula carga C (a) Qual a energia armazenada no capacitor (b) Mantendo a bateria conectada a separaccedilatildeo entre as placas eacute aumentada para 2= (veja a figura) Qual a energia armazenada nessa nova situaccedilatildeo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

22

(F) Corrente e Resistecircncia

F1 ndash A figura ao lado mostra parte de um fio de cobre com diacircmetros =- = 4F e =$ = 8F por onde passa uma corrente uniforme = 4 e a diferenccedila de potencial ao longo desse comprimento eacute20 S O

nuacutemero de portadores de carga por unidade de volume eacute 849 times 10$N amp Qual eacute a velocidade de deriva dos eleacutetrons de conduccedilatildeo na porccedilatildeo do fio com diacircmetro =$

F2 ndash No circuito ao lado qual a magnitude e direccedilatildeo das correntes nos resistores F- F$ e Famp Para isso considere que ℇ- = 6 S ℇ$ = 12 SF- = 100 Ω F$ = 200 Ω Famp = 300 Ω O ciruito estaacute aterrado e nesse ponto S = 0 Qual eacute o potencial eleacutetrico no ponto A

F3 ndash Calcule a potecircncia total dissipada em cada circuito Considere que todas as resistecircncias satildeo iguais e as baterias satildeo ideais Expresse suas respostas em termos de ℇ e F

F4 ndash Se dois fios de mesmo comprimento um de cobre e outro de alumiacutenio apresentam a mesma resistecircncia qual deve ser a razatildeo entre seus raios

Problemas Selecionados

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F5 ndash No circuito ao lado a potecircncia dissipada no resistor R eacute 20 a Qual o valor de R Qual a ddp entre os pontos A e B

F6 ndash A corrente medida por um amperiacutemetro A no circuito ao lado eacute a mesma quando ambas as chaves estatildeo abertas ou fechadas Qual o valor da resistecircncia R

F7 ndash Determine o valor da corrente que passa por cada um dos resistores a potecircncia fornecida por cada uma das fontes de tensatildeo e a potecircncia dissipada por cada um dos resistores Faccedila o balanccedilo energeacutetico do circuito

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

24

F8 ndash No circuito ao lado a chave S permanece fechada por um longo tempo e a corrente no circuito atinge um valor constante Considere D- = 3 D$ = 6 F- = 4Ω e F$ = 7Ω A potecircncia dissipada em F$ eacute 24a (a) Determine as cargas em D- e D$ (b) Abrindo a chave S e aguardando um longo tempo qual a mudanccedila observada na carga do capacitor 2

F9 ndash Num circuito RC seacuterie como o da figura ao lado D = 1 F = 2 times 10bΩ e ℇ = 10S Dez segundos depois que a chave foi fechada determine (a) a carga no capacitor (b) a corrente no resistor (c) a taxa com que a energia eacute armazenada no capacitor (d) a taxa com que a bateria fornece energia para o circuito

F10 ndash Um capacitor eacute carregado atraveacutes de um resistor como mostra a figura no problema anterior Mostre que metade da energia fornecida pela bateria aparece como energia interna no resistor e a outra metade como energia eleacutetrica no capacitor

F11 ndash Um capacitor duas fontes ideais dois resistores e uma chave S satildeo mostrados no circuito da figura ao lado Suponha D = 12 ℇ- = 15 S ℇ$ = 30 S F- = 05 Ω e F$ = 08 Ω (a) Se a chave S permanece aberta por um longo tempo qual a carga no capacitor (b) Qual a carga no capacitor se a chave S permanece fechada por um longo tempo

Problemas Selecionados

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F12 ndash No circuito ao lado a bateria fornece 10 S o capacitor eacute de 1 e os resistores tecircm as resistecircncias indicadas na figura O circuito estaacute ligado haacute um longo tempo (a) Qual a ddp entre os terminais do capacitor (b) Se a bateria for desconectada quanto tempo levaraacute para que essa ddp atinja um deacutecimo do valor inicial

-------------------------------------------------------------------------------------------

(G) Campo Magneacutetico

G1 ndash Um proacuteton atravessa uma regiatildeo de campo magneacutetico uniforme = lang10 20 30rang 13 No tempo c- o proacuteton tem uma velocidade d = langde df 2rang e a forccedila magneacutetica sobre o proacuteton eacute g = lang4 times 10-h minus2 times 10-h 0rang H Nesse instante qual o valor de de e df

G2 ndash Um proacuteton viaja atraveacutes de uma regiatildeo de campo eleacutetrico e

magneacutetico uniformes onde = langminus25 0 0rang 13 Num certo instante a velocidade do proacuteton eacute d = lang0 2000 0rang Qual a forccedila resultante que age sobre o proacuteton se o campo eleacutetrico for

(a) A = lang0 0 4rang S (b) A = lang0 0 minus4rang S ou

(c) A = lang4 0 0rang S

G3 ndash Uma espira retangular de lados e estaacute numa regiatildeo de campo

magneacutetico perpendicular ao plano da espira e eacute percorrida por uma corrente i constante conforme mostra a figura ao lado Determine o torque sobre a espira

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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G4 ndash Dois trilhos de metal separados por uma distacircncia = = 256 estatildeo ligados a uma bateria No momento em que uma barra de metal de massa = 241 8 eacute colocada sobre os trilhos (c = 0) ela fecha o circuito e por ela passa uma corrente i = 913 J O conjunto estaacute numa regiatildeo onde existe um campo magneacutetico uniforme = 563 13 Qual a velocidade da barra 611 depois Em que direccedilatildeo ela se move

G5 ndash A figura ao lado mostra um cilindro de madeira de massa = 250 8 e comprimento 2 =10 onde foi enrolado um fio formando uma espira de 10 voltas O cilindro eacute posicionado de forma que o eixo da espira estaacute perpendicular ao plano inclinado (paralelo agrave normal do plano

inclinado) Nessa regiatildeo haacute um campo magneacutetico = lang0 05 0rang 13 Qual deve ser o valor miacutenimo da corrente na espira capaz de manter o cilindro em sua posiccedilatildeo evitando que ele role para baixo

G6 ndash A figura ao lado mostra um iacutematilde e um anel condutor de raio por onde passa uma corrente i Se o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde faz um acircngulo O com a vertical na posiccedilatildeo onde estaacute o anel qual eacute a magnitude e a direccedilatildeo da forccedila resultante sobre o anel

Problemas Selecionados

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G7 ndash Uma barra de metal com densidade de massa B (massa por unidade de comprimento) apresenta uma corrente i (saindo da paacutegina) A barra estaacute suspensa por dois fios num campo magneacutetico uniforme vertical como mostra a figura ao lado No equiliacutebrio os fios

fazem um acircngulo O com a vertical Qual a magnitude do campo magneacutetico

G8 ndash Um proacuteton com energia cineacutetica de 6 jS se move no plano da paacutegina e entra numa regiatildeo de campo magneacutetico = 1 13 direcionado para dentro da paacutegina como mostra a figura ao lado

O proacuteton entra na regiatildeo de campo com o vetor velocidade fazendo um acircngulo O- = 35deg com a borda da regiatildeo Qual eacute a distacircncia entre o ponto de entrada e saiacuteda ( na figura) Qual o valor de O$

G9 ndash Considere um eleacutetron orbitando um proacuteton numa trajetoacuteria circular de raio F = 529 times 10-- devido agrave atraccedilatildeo Coulombiana Considere o sistema como se fosse um anel por onde passa uma corrente Qual seraacute o torque resultante quando o sistema for colocado numa regiatildeo de campo magneacutetico = 04 13 perpendicular ao momento magneacutetico do anel

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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G10 ndash Um fio por onde passa uma corrente i foi moldado num formato semicircular de raio F e uma reta de comprimento 2F como mostra a figura ao lado Nessa mesma regiatildeo haacute um campo magneacutetico que aponta na direccedilatildeo + (representado pelos pontos azuis na figura ao lado) Mostre que a

forccedila resultante sobre o fio eacute zero

G11 ndash Um condutor ciliacutendrico longo de raio conteacutem duas cavidades cada uma com diacircmetro ao longo de todo o comprimento do fio Uma visatildeo da seccedilatildeo transversal do fio eacute mostrada na figura ao lado Uma corrente i uniforme (considerando a porccedilatildeo soacutelida do material) passa atraveacutes do fio e aponta para fora da paacutegina Determine a magnitude e direccedilatildeo do campo

magneacutetico em funccedilatildeo de 7 i e no ponto P

G12 ndash Dois fios muito longos por onde passa corrente i de mesma magnitude estatildeo moldados conforme a figura ao lado

Mostre que o campo magneacutetico no centro do ciacuterculo de raio R eacute o mesmo que o

campo a uma distacircncia R abaixo de um fio reto muito longo por onde passa uma corrente i

Problemas Selecionados

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G13 ndash Encontre uma expressatildeo para determinar a magnitude do campo magneacutetico no ponto P da figura ao lado Dica considere a origem dos eixos cartesianos no ponto P

G14 ndash A figura ao lado mostra a seccedilatildeo transversal de um condutor oco de raio externo e interno por onde passa uma corrente uniforme i Demonstre que a magnitude do campo magneacutetico () para uma distacircncia lt lt eacute dada por

= 7i25($ minus $) $ minus $

G15 ndash A figura ao lado mostra um cabo coaxial de raios e Correntes opostas de igual magnitude estatildeo distribuiacutedas nos dois condutores Derive uma expressatildeo para calcular o campo magneacutetico () na regiatildeo (a) lt (b) lt lt (c) lt lt e (d) gt

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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G16 ndash Um fio condutor por onde passa uma corrente i foi torcido para formar um loop de raio R (no plano da paacutegina) como mostra a figura abaixo Qual a direccedilatildeo do campo magneacutetico no

centro do loop Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico no centro do loop

G17 ndash Uma corrente i passa por um fio condutor ciliacutendrico de raio R como mostra a figura ao lado A densidade de corrente l natildeo eacute uniforme atraveacutes da seccedilatildeo transversal do fio mas obedece agrave funccedilatildeo l = onde eacute uma constante Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico (a) a uma distacircncia - lt F e (b) a uma distacircncia $ gt F(em relaccedilatildeo ao centro do condutor)

G18 ndash Um fio condutor muito longo por onde passa uma corrente i- estaacute parcialmente envolto por um loop por onde passa uma corrente i$ (figura ao lado) O loop fio foi moldado num formato semiciliacutendrico de raio R e o comprimento L O fio condutor passa pelo eixo do loop Calcule a forccedila magneacutetica exercida sobre o loop

G19 ndash Considere um solenoide de comprimento 2 e raio F contendo H voltas de um fio por onde passa uma corrente i (a) Determine uma expressatildeo para

o campo magneacutetico num ponto ao longo do eixo do solenoide do lado de fora do solenoide como funccedilatildeo da distacircncia ateacute uma das pontas (considere = 0 no centro do solenoide e = a distacircncia do centro ateacute o ponto onde estaacute sendo calculado o campo ) (b) Mostre que para

Problemas Selecionados

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valores muito grandes de 2 e = = 0 se aproxima de = 7i H 2frasl para posiccedilotildees ao longo do eixo no interior do solenoide distante das bordas

G20 ndash A figura ao lado mostra um fio moldado para formar duas seccedilotildees retas e um quarto de ciacuterculo por onde passa corrente i Determine o campo magneacutetico (vetor) no ponto P

G21 ndash Um fio ciliacutendrico espesso de raio eacute percorrido por uma corrente i Determine uma expressatildeo para o

campo magneacutetico dentro e fora do fio considerando que (a) a corrente estaacute distribuiacuteda uniformemente sobre a superfiacutecie externa do fio (b) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio com densidade de corrente l constante (c) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio de forma que a densidade de corrente l eacute proporcional agrave distacircncia ateacute o eixo do fio

G22 ndash Considere dois solenoides coaxiais cada um conduzindo uma corrente i em direccedilotildees opostas O solenoide interno de raio possui gt- voltas por unidade de comprimento o

solenoide externo possui raio e gt$ voltas por unidade de

comprimento Determine (a) no interior do conjunto (b) entre eles e (c) fora deles

G23 ndash Um fio condutor longo e reto de raio F conduz uma corrente natildeo uniforme cuja densidade de corrente eacute l = l7 Ffrasl onde l7 eacute uma constante A corrente total eacute i (a) Determine uma expressatildeo para i

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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em funccedilatildeo de l7 e F (b) Determine uma expressatildeo para o campo magneacutetico no interior do fio para uma distacircncia

G24 ndash A figura ao lado mostra um toroide que consiste num solenoide fechado em forma de anel (a) Considerando a simetria explique qual deve ser o formato do campo magneacutetico no interior desse toroide (b) Considere o toroide compacto (a separaccedilatildeo entre cada volta do fio eacute pequena) com N voltas conduzindo uma corrente i Usando a lei de Ampeacutere determine a magnitude do campo magneacutetico num ponto interno ao toroide a uma distacircncia do eixo principal (ver figura ao lado) (c) O campo magneacutetico no interior do toroide eacute um campo uniforme Explique

-------------------------------------------------------------------------------------------

(H) Lei de Faraday

H1 ndash A figura ao lado mostra dois aneis cujos eixos estatildeo alinhados separados por uma distacircncia x O anel maior tem raio F o anel menor tem raio Os aneis estatildeo separados por uma distacircncia ≫ F e por isso o campo magneacutetico devido agrave corrente no anel de raio F eacute praticamente uniforme no anel menor Considere que a distacircncia estaacute aumentando a uma taxa constante = =cfrasl = d (a) Determine uma expressatildeo para o fluxo de campo magneacutetico atraveacutes do anel menor como funccedilatildeo de Encontre uma expressatildeo para (b) a fem induzida e (c) a direccedilatildeo da corrente no anel menor

Problemas Selecionados

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H2 ndash (a) Calcule o fluxo magneacutetico atraveacutes do retacircngulo mostrado na figura ao lado em funccedilatildeo de = i (b) Avalie o resultado encontrado para = 5 = 10 = = 2 e i = 20 J

H3 ndash Uma espira plana e circular de raio =75 estaacute em repouso numa regiatildeo de campo magneacutetico uniforme A espira estaacute orientada de tal forma que o campo magneacutetico aponta para cima

e faz um acircngulo de 30deg com a normal da espira O campo varia com

o tempo de acordo com (c) = 14(77nho) 13 (a) Determine a fem induzida na espira em funccedilatildeo do tempo (b) Para que valor de c a fem induzida eacute igual a um deacutecimo do seu valor inicial Determine o sentido da corrente induzida na espira se observada por cima da espira

H4 ndash Um retacircngulo que mede 30 times 40 estaacute localizado no interior de um campo magneacutetico uniforme de 125 13 com o campo perpendicular ao plano da bobina A bobina se move perpendicular ao campo com velocidade constante d =2 inclusive atingindo a regiatildeo

onde o campo termina abruptamente como mostra a figura ao lado Determine a fem induzida nessa bobina quando ela estaacute (a) inteiramente no interior do campo (b) parcialmente no interior do campo e (c) inteiramente fora do campo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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H5 ndash O fio na figura ao lado conduz

uma corrente i(c) = i7po onde gt 0 Determine o sentido da corrente induzida na bobina (horaacuterio ou anti-horaacuterio) para c gt 0

H6 ndash A figura ao lado mostra uma espira circular de raio contendo uma resistecircncia e um capacitor ligados em seacuterie imerso numa regiatildeo onde um campo magneacutetico uniforme (no espaccedilo) entrando no plano na paacutegina decresce no tempo a uma taxa constante = =cfrasl = minus sendo uma constante positiva (a) Qual a carga no capacitor quando ele estaacute completamente carregado (b) Qual das placas do capacitor estaacute em potencial mais elevado (c) Qual a origem da forccedila que causa a separaccedilatildeo de cargas

-------------------------------------------------------------------------------------------

(I) Indutacircncia

I1 ndash No circuito ao lado ℰ = 100 SF- = 10 Ω F$ = 20 Ω Famp = 30 Ω e 2 = 2 H Ao fechar a chave S quais os valores de i- e i$ Considere positivo o sentido das correntes indicadas na figura Muito tempo

depois quais satildeo os valores de i- e i$ A chave eacute entatildeo aberta Nesse instante quais satildeo os valores de i- e i$ E muito tempo depois quais satildeo os valores de i- e i$

Problemas Selecionados

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I2 ndash Num circuito LC em seacuterie a carga inicial do capacitor eacute C e ele estaacute sendo descarregado Quando a carga no capacitor eacute igual a C 2frasl qual eacute o fluxo magneacutetico que atravessa cada uma das N espiras do indutor (como funccedilatildeo de C H 2 e D)

I3 ndash Uma bobina possui N voltas e estaacute envolvendo um solenoide longo de raio r com n espiras por unidade de comprimento (figura ao lado) (a) Mostre que a indutacircncia muacutetua do sistema eacute dada por j = 75F$gtH (b) Explique por que M natildeo depende do formato tamanho ou possiacutevel falta de proximidade das espiras na bobina

I4 ndash A fem autoinduzida num solenoide de indutacircncia L varia no tempo conforme ℇ(c) = ℇ7so Levando em consideraccedilatildeo que a carga eacute finita (ou seja i = 0 quando c = infin) determine a carga total que passa pelo solenoide (que atravessa um determinado ponto no fio que compotildee o solenoide)

I5 ndash Um fio condutor foi enrolado num papelatildeo formando um toroide com N espiras (voltas) raio menor r e maior R A seccedilatildeo transversal do toroide eacute mostrada na figura ao lado Se F ≫ o campo magneacutetico no interior do toroide eacute essencialmente o mesmo que o campo no interior de um solenoide muito longo que tenha sido

moldado no formato de um ciacuterculo de raio R Modelando o campo como se fosse o campo uniforme de um solenoide longo mostre que a indutacircncia desse toroide eacute

aproximadamente 2 asymp -$ 7H$ LMu

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I6 ndash Um indutor consiste em duas cascas ciliacutendricas concecircntricas como mostra a figura A casca interna tem raio e a externa tem raio ambas com comprimento ℎ A casca interna transporta uma corrente i para fora e a externa para dentro do plano da paacutegina com igual magnitude Calcule na regiatildeo lt lt (a) a densidade de energia magneacutetica (b) a indutacircncia

I7 ndash Mostre que i(c) = i7o wx eacute a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial iF + 2 yzyo = 0 onde i7 eacute a corrente em c = 0 e = 2 Ffrasl

I8 ndash Um fio condutor de raio R transporta uma corrente uniforme A corrente total no fio eacute i Mostre que a energia magneacutetica por unidade de comprimento dentro do fio eacute dada por 7i$ 165frasl

I9 ndash Um cabo coaxial eacute formado por dois cilindros condutores de paredes finas com raios - e $ As correntes nos dois cilindros satildeo iguais em magnitude mas com sentidos opostos (a) Use a lei de Ampeacutere para determinar o campo magneacutetico como funccedilatildeo da distacircncia ao eixo do cabo nas regiotildees (0 lt lt -) ( - lt lt $ ) e ( gt $) (b) Mostre que a densidade de energia magneacutetica na regiatildeo entre os cilindros eacute dada por

| = 12 745 i$(5$)-

(c) Mostre que a energia magneacutetica total num volume de cabo com comprimento ~ eacute dada por

Problemas Selecionados

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= i$~ ln LML

(d) Mostre que a autoindutacircncia por unidade de comprimento do cabo eacute dada por

2~ = 725 ln $-

-------------------------------------------------------------------------------------------

(J) Corrente Alternada

J1 ndash A tensatildeo de uma fonte de corrente alternada eacute dada por ∆d = 120gt(30 5c) onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A fonte eacute conectada a um indutor de 05 Determine (a) a frequecircncia da fonte (b) a voltagem rms no indutor (c) a reatacircncia indutiva do circuito (d) a corrente rms no indutor e (e) a corrente maacutexima no indutor

J2 ndash Uma fonte de tensatildeo alternada fornece uma tensatildeo ∆d = 98gt(80 5c) a um capacitor onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A corrente maacutexima no circuito eacute 05 J Determine (a) a tensatildeo rms da fonte (b) a frequecircncia da fonte e (c) o valor da capacitacircncia

J3 ndash Um circuito AC eacute composto por um resistor de 250 Ω um indutor de 15 um capacitor de 35 e uma fonte de tensatildeo alternada com amplitude de 45 S operando com frequecircncia angular = 360 = frasl (a) Qual eacute o fator de potecircncia do circuito (b) Determine a potecircncia meacutedia aparente (S) fornecida ao circuito (c) Qual eacute a potecircncia meacutedia ativa (P) dissipada no resistor Qual eacute a potecircncia meacutedia reativa (Q) que fica armazenada no circuito

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J4 ndash Cinco voltiacutemetros com impedacircncia muito grande ajustados para ler valores rms estatildeo conectados conforme a figura ao lado Sendo F =200 Ω 2 = 04 H D = 6 e ∆S = 30 Vqual eacute a leitura da tensatildeo em cada voltiacutemetro se (a) = 200 = frasl e (b) =1000 = frasl

J5 ndash Num circuito RLC 2 = 028 e D = 4 A fonte fornece uma voltagem com amplitude de 120 S Qual eacute a frequecircncia angular de ressonacircncia do circuito (b) Quando a fonte opera na frequecircncia angular de ressonacircncia a amplitude da corrente no circuito eacute 17 J Qual a resistecircncia do resistor (c) Na frequecircncia angular de ressonacircncia quais satildeo as voltagens de pico no indutor capacitor e resistor

J6 ndash O circuito ao lado conteacutem uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal conforme ℇ = ℇgt(c) No estado de equiliacutebrio temos as correntes mostradas no circuito Sem recorrer a uma matemaacutetica complicada responda (a) Quais os valores de u e quando = 0 (frequecircncia zero significa que

a fonte foi substituida por uma bateria ideal) (b) Quais os valores de u e quando rarr infin (c) Qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia

Problemas Selecionados

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J7 ndash Um indutor um capacitor e um resistor estatildeo conectados em seacuterie a uma fonte de tensatildeo alternada Se os valores da resistecircncia capacitacircncia e indutacircncia forem duplicados o que aconteceraacute com (a) a frequecircncia angular de ressonacircncia (b) a reatacircncia indutiva (c) a reatacircncia capacitiva e (d) a impedacircncia

J8 ndash O circuito abaixo eacute formado por uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal variando conforme ℇ = ℇgt(c) uma resistecircncia F = 6 Ω e uma parte desconhecida que pode conter um indutor um capacitor ou ambos A amplitude da fonte eacute ℇ = 6 S Quando a frequecircncia angular = 2 = a corrente estaacute em fase com a fonte enquanto que para = 1 = a corrente estaacute fora de fase em relaccedilatildeo agrave fonte por exatamente 5 4frasl (a) Quais componentes estatildeo presentes na parte desconhecida (um indutor um capacitor ou ambos) Explique (b) Determine os valores dos componentes desconhecidos

J9 ndash Um circuito em seacuterie possui impendecircncia de 60 Ω e fator de potecircncia igual a 072 em 50 A tensatildeo da fonte estaacute atrasada em relaccedilatildeo agrave corrente (a) Que elemento do circuito (um indutor ou um capacitor) deve ser ligado em seacuterie com o circuito para aumentar o fator de potecircncia (b) Qual deve ser o valor desse elemento para que o fator de potecircncia seja igual a 1 (c) Apresente diagramas de fasores esquemaacuteticos para o circuito antes e depois da ligaccedilatildeo do novo elemento

Manual de Laboratoacuterio

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O PROCESSO DE MEDIDA NO LABORATOacuteRIO DE FIacuteSICA

Natildeo satildeo raros eventos em que nos valemos de medidas para tomarmos decisotildees Medimos nossa temperatura corporal para avaliarmos se necessitamos de tratamento Medimos a pressatildeo manomeacutetrica dos pneus para avaliarmos se precisamos injetar ou retirar ar neles Consultamos medidas da temperatura ambiente para escolhermos a roupa que vestiremos Consultamos o horaacuterio (medida de tempo) para natildeo chegarmos atrasados em encontros Medidas satildeo portanto fundamentais em nossas vidas No entanto usualmente natildeo nos preocupamos muito com a precisatildeo dessas medidas Em grande parte das vezes natildeo nos interessa saber se o horaacuterio informado no reloacutegio estaacute um pouco atrasado ou adiantado Natildeo nos preocupamos em saber o quanto podemos confiar nas temperaturas coletadas com um determinado termocircmetro Nossas medidas comumente satildeo realizadas de forma despretensiosa sem muito rigor

No laboratoacuterio de Fiacutesica isso ocorre de modo muito diferente Os processos de mediccedilatildeo satildeo mais minuciosos do que os que realizamos costumeiramente Desejamos obter a maior precisatildeo possiacutevel com os equipamentos de que dispomos Mas como fazer isso Como podemos melhorar a precisatildeo dos processos de mediccedilatildeo Intuitivamente podemos concluir que inferecircncias realizadas a partir de um conjunto de medidas satildeo mais precisas do que medidas isoladas Mas quando disponho de um conjunto de medidas como posso analisaacute-las Calcular a meacutedia delas eacute suficiente Responder a questotildees como essas eacute o objetivo desta atividade Para exemplificarmos todo esse processo realizaremos um debate sobre a mediccedilatildeo da resistecircncia interna de amperiacutemetros

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O que satildeo amperiacutemetros

Um amperiacutemetro eacute um instrumento utilizado para a realizaccedilatildeo de medidas de correntes eleacutetricas Evidentemente natildeo queremos modificar os circuitos quando os exploramos com um instrumento Com amperiacutemetros natildeo eacute diferente Queremos medir correntes eleacutetricas sem alterar as caracteriacutesticas do circuito Mas como eacute possiacutevel fazer isso Natildeo discutiremos aqui os detalhes sobre o funcionamento interno de um amperiacutemetro No entanto vamos avaliaacute-los do ponto de vista de uma das suas caracteriacutesticas mais importantes a sua resistecircncia eleacutetrica

A resistecircncia eleacutetrica de um circuito influencia na intensidade da corrente eleacutetrica que circula nele A corrente eleacutetrica i que perpassa por uma resistecircncia eleacutetrica F submetida a uma tensatildeo ∆S por exemplo pode ser predita pela seguinte relaccedilatildeo

i = ∆u Eq 1

O amperiacutemetro precisa ser posicionado em seacuterie no circuito em que se deseja medir a corrente eleacutetrica como eacute exemplificado na figura

Figure 1- Medindo a resistecircncia interna de um multiacutemetro

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1 Como a resistecircncia equivalente em circuitos em seacuteries eacute a soma da resistecircncia eleacutetrica de cada um dos seus componentes a resistecircncia interna dos amperiacutemetros se soma agrave resistecircncia equivalente do circuito investigado alterando a sua dinacircmica Por isso nosso desejo eacute que os amperiacutemetros tenham resistecircncia eleacutetrica nula No entanto a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro real por menor que seja nunca eacute nula Eles possuem um circuito interno com fios e diversos componentes eletrocircnicos que acabam provocando uma resistecircncia agrave circulaccedilatildeo de corrente eleacutetrica Ainda assim frequentemente desprezamos tal resistecircncia Seraacute que isso eacute razoaacutevel Quando podemos desprezar a resistecircncia interna dos amperiacutemetros e quando natildeo podemos Para respondermos tais perguntas precisamos conhecer o valor da resistecircncia interna tiacutepica de um amperiacutemetro

Medindo a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro

Nesta disciplina usaremos diversos amperiacutemetros de uma mesma marca e modelo em uma seacuterie de experimentos (Minipa ET-2075B) Por isso eacute interessante que conheccedilamos a resistecircncia eleacutetrica deles para podermos avaliar quando podemos desprezaacute-la e quando natildeo Mas como podemos obter essa informaccedilatildeo Podemos medi-la Um procedimento simples para isso eacute submeter o amperiacutemetro a uma diferenccedila de potencial ΔV conhecida e medir a corrente eleacutetrica i que passa por ele Desse modo podemos usar a Eq 1 para inferir a resistecircncia eleacutetrica do equipamento Mas podemos confiar em uma uacutenica medida Depende da precisatildeo de que necessitamos para essa medida Intuitivamente sabemos que se medirmos a resistecircncia interna a partir de um conjunto de dados poderemos ter uma maior confiabilidade nos dados No exemplo de que estamos tratando eacute possiacutevel se coletar dados da corrente no amperiacutemetro quando submetido a diferentes tensotildees Desse modo pode-se inferir a resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro pela declividade da reta constituiacuteda

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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pelos dados representados em um graacutefico da tensatildeo em funccedilatildeo da corrente eleacutetrica como pode ser constatado da Eq1 No entanto como temos incertezas associadas a cada dado experimental coletado esses dados natildeo seratildeo perfeitamente representados por uma reta Surge entatildeo uma nova questatildeo qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados

Ajuste de Curvas

Diversas retas podem ser ajustadas a um conjunto de dados experimental Qual delas utilizar Intuitivamente podemos conjecturar que a melhor reta a ser utilizada eacute aquela tal que a soma das diferenccedilas entre os valores de tensatildeo medidos e os preditos pela reta tenha o menor valor possiacutevel Em outras palavras queremos minimizar a soma

sum = = (∆Sz minus ∆S)z-

onde ∆Sz satildeo as tensotildees medidas e ∆S satildeo as tensotildees preditas pela reta ajustada

No entanto haacute um inconveniente importante no uso desse criteacuterio tal soma pode ser bem pequena para retas que natildeo apresentam bom ajuste aos dados se as diferenccedilas entre os valores medidos e os preditos se cancelarem sendo alguns positivos e outros negativos Nesses casos apesar de natildeo termos uma reta bem ajustada aos dados o criteacuterio utilizado

indicaria que sim Como resolver isso Elevando os valores de dn ao

Figura 1 - Diferenccedila de potencial em funccedilatildeo

da corrente

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quadrado Ou seja podemos procurar a reta tal que a seguinte soma tenha o menor valor possiacutevel

sum =$ = (∆Sz minus ∆S)$z-

O meacutetodo que utiliza esse criteacuterio para a realizaccedilatildeo de ajustes de curvas que eacute amplamente utilizado no meio acadecircmico eacute denominado Meacutetodo dos Miacutenimos Quadrados Todos os softwares do tipo planilha eletrocircnica realizam esse caacutelculo automaticamente e nos valeremos disso quando necessaacuterio

Todos os amperiacutemetros da sala possuem a mesma resistecircncia interna

Ainda que todos os amperiacutemetros que utilizaremos nas nossas aulas sejam da mesma marca e modelo eles possuem diferentes resistecircncias internas Existe alguma forma de estimar a resistecircncia interna de um desses amperiacutemetros escolhido aleatoriamente Calcular a meacutedia das resistecircncias eacute suficiente para realizar essa estimativa

Variabilidade das medidas o desvio padratildeo amostral e da meacutedia

Apesar de as resistecircncias dos amperiacutemetros natildeo serem exatamente as mesmas elas possuem valores que se distribuem em torno de um valor meacutedio que eacute igual agrave meacutedia dessas resistecircncias Desse modo se tomarmos um dos amperiacutemetros aleatoriamente o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute igual agrave meacutedia das resistecircncias internas de todos os amperiacutemetros Mas quanto podemos confiar nessa estimativa Para respondermos tal pergunta eacute importante quantificarmos a variabilidade das resistecircncias r que medimos Quanto menor for essa variabilidade maior seraacute a nossa confianccedila para assumir que a resistecircncia interna de um amperiacutemetro particular eacute igual agrave meacutedia Intuitivamente podemos conjecturar que tal variabilidade pode ser medida pelo somatoacuterio das diferenccedilas entre as resistecircncias

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medidas z e a meacutedia dessas resistecircncias ou seja por (- minus ) + ($ minus ) + ⋯ + ( minus ) onde N eacute o nuacutemero de medidas realizadas No entanto temos aqui um inconveniente semelhante ao que tivemos quando analisaacutevamos ajustes de curvas se valores positivos e negativos se cancelarem esse somatoacuterio pode ser muito pequeno mesmo quando os dados apresentam grande variabilidade Podemos propor a mesma soluccedilatildeo adotada anteriormente vamos elevar os termos ao quadrado Temos entatildeo a variabilidade dos dados sendo mensurada por (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$

A impossibilidade de comparaccedilatildeo entre as variabilidades de diferentes conjuntos de dados eacute a limitaccedilatildeo desta proposta pois o resultado desse somatoacuterio eacute altamente dependente da quantidade de termos Desse modo eacute possiacutevel que esse somatoacuterio seja maior para grandes conjuntos com pouca variabilidade do que para pequenos grupos com grande variabilidade Para amenizar tal limitaccedilatildeo podemos entatildeo dividir o somatoacuterio por N ou seja calcular a variabilidade por(- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$ Hfrasl Ainda que esse somatoacuterio seja conceitualmente interessante natildeo eacute essa a medida de dispersatildeo de dados que costuma ser utilizada no meio cientiacutefico mas algo que guarda alguma semelhanccedila com ele o desvio padratildeo dos dados (P) Ele eacute calculado por

PL = (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$H minus 1

Mas por que utilizamos essa equaccedilatildeo A resposta estaacute em suas propriedades Quando construiacutemos um histograma (graacutefico de frequecircncias) de um conjunto de medidas por exemplo podemos em muitos casos assumir que a distribuiccedilatildeo desses dados eacute representada por uma distribuiccedilatildeo normal A equaccedilatildeo que define essa distribuiccedilatildeo assim como sua representaccedilatildeo graacutefica eacute ilustrada na Figura 3

Manual de Laboratoacuterio

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Natildeo eacute nosso objetivo aqui discutir detalhes da distribuiccedilatildeo normal O que desejamos destacar eacute que quando supomos que a distribuiccedilatildeo de um conjunto de dados eacute normal o que eacute bastante razoaacutevel na maioria das vezes o desvio padratildeo σ quantifica como os dados estatildeo distribuiacutedos Para entendermos isso analisemos a Figura 4

O intervalo compreendido pela meacutedia das medidas mais ou menos um desvio padratildeo compreende 68 das medidas realizadas No caso que estamos exemplificando se tomarmos a meacutedia das resistecircncias internas r de todos os amperiacutemetros investigados e o desvio padratildeo PL desses dados 68 das medidas estaratildeo no intervalo entre ( minus PL) e ( + PL) 95 no intervalo ( 2PL) e 99 no intervalo ( 257PL)

Figura 2 - A distribuiccedilatildeo normal eacute usualmente utilizada para representar a distribuiccedilatildeo

de frequecircncias de um conjunto de dados (Lima Jr et al 2013 p 30)

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Agora jaacute sabemos como quantificar a variabilidade de um conjunto de dados Podemos entatildeo calcular a meacutedia e o desvio padratildeo das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros Mas surge entatildeo uma questatildeo Se analisaacutessemos um novo conjunto de amperiacutemetros da mesma marca e modelo dos exemplificados aqui a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros seria a mesma Provavelmente natildeo Temos como estimar a partir do conjunto de medidas que realizamos a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros Temos Para responder a essa questatildeo temos que compreender um novo conceito o de desvio padratildeo da meacutedia (PL) Ele eacute calculado por

PL = PLradicH

Natildeo vamos entrar em detalhes aqui sobre a origem do conceito de desvio padratildeo da meacutedia1 vamos apenas explicar como essa grandeza nos permite estimar a incerteza na meacutedia de um conjunto de medidas Para isso vamos supor um novo conjunto de N novas

1 Se vocecirc eacute um aluno curioso pesquise sobre o Teorema Central do Limite para compreender com mais profundidade o conceito de desvio padratildeo da meacutedia

Figura 3 - A meacutedia e o desvio padratildeo demarcam a distribuiccedilatildeo dos dados em uma

distribuiccedilatildeo normal Na figura o eixo das abcissas expressa a distacircncia da meacutedia em

unidades de desvio padratildeo (Lima Jr et al 2013 p 30)

Manual de Laboratoacuterio

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medidas da resistecircncia interna de amperiacutemetros como os investigados nesta aula Qual seria a meacutedia dessas medidas Assim como o desvio padratildeo dos dados quantifica a dispersatildeo dos dados em torno da meacutedia o desvio padratildeo da meacutedia quantifica a dispersatildeo das meacutedias de subconjuntos de dados em torno da meacutedia de todo o conjunto de dados Aplicando esse conceito ao nosso exemplo podemos interpretar os dois conjuntos de medidas de resistecircncias internas como subconjuntos de um grande conjunto contendo todas as medidas Desse modo podemos afirmar com 68 de confianccedila que a meacutedia das N novas medidas a serem realizadas estaraacute no intervalo compreendido por ( PL) com 95 de confianccedila no intervalo ( 2PL) e com 99 de confianccedila no intervalo ( 257PL) O desvio padratildeo da meacutedia pode ser compreendido assim como a incerteza da meacutedia de um conjunto de medidas ou seja ele nos fornece uma estimativa da confiabilidade de uma meacutedia Em suma se escolhermos um amperiacutemetro aleatoriamente podemos dizer que i) o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute a meacutedia das resistecircncias de todos os amperiacutemetros e ii) a incerteza que temos nesse valor eacute igual ao desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias dos amperiacutemetros

E se eu soacute tivesse condiccedilotildees de realizar uma uacutenica medida

Nem sempre podemos realizar diversas medidas de uma grandeza Em alguns casos nem mesmo faz sentido realizar diversas medidas No entanto eacute evidente que existe uma incerteza associada a uma uacutenica medida Natildeo existem instrumentos que sejam perfeitamente precisos Entatildeo como podemos estimar essa incerteza Usualmente os manuais dos instrumentos trazem informaccedilotildees sobre isso Desse modo as incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica realizadas com um voltiacutemetro e um amperiacutemetro podem ser consultadas no manual do multiacutemetro utilizado Mas como eacute calculada a incerteza da resistecircncia interna de um amperiacutemetro que foi calculada a partir de

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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apenas uma medida de tensatildeo e uma de corrente eleacutetrica Nesse caso precisamos calcular a incerteza propagada das incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica

Os meacutetodos de caacutelculo de incertezas propagadas podem ser bastante complicados Aqui trataremos de um meacutetodo bastante simples usualmente denominado de Meacutetodo dos Limites Vamos exemplificaacute-lo supondo que a incerteza da tensatildeo sobre as entradas do amperiacutemetro eacute P- e da corrente eleacutetrica que circula por ele eacute P$ Ou seja a tensatildeo medida estaacute no intervalo entre ∆S minus P- e ∆S + P- e a corrente eleacutetrica entre i minus P$ e i + P$ Qual eacute entatildeo a incerteza da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro investigado Para responder isso basta calcularmos os valores limites dessa grandeza O maacuteximo valor possiacutevel para a resistecircncia ocorreraacute se a tensatildeo for ∆S + P- e a corrente eleacutetrica for i minus P$ Nesse caso usando a Eq 1 temos

aacutee = ∆S + P-i minus P$

Usando o mesmo raciociacutenio o valor miacutenimo de r seraacute

z = ∆S minus P-i + P$

Desse modo podemos dizer que o valor da resistecircncia interna medida estaacute no intervalo entre rmaacutex e rmiacuten Em outras palavras o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro eacute

F = iexclz + aacutee2 z minus aacutee2 cent

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Erro eacute a mesma coisa que incerteza

Apesar de serem frequentemente utilizados como sinocircnimos os manuais de metrologia atribuem significados distintos aos conceitos de ldquoerrordquo e ldquoincertezardquo O Guia para Expressatildeo da Incerteza da Mediccedilatildeo (Joint Commitee for Guide in Metrology 2008 apud Lima Jr et al 2013) usa o termo ldquoerrordquo para indicar a diferenccedila entre o valor verdadeiro e o resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo o conceito de erro tem uso restrito pois satildeo poucos os casos em que conhecemos o valor verdadeiro de uma grandeza Satildeo exemplos desses casos experimentos em que se deseja mensurar a velocidade da luz no vaacutecuo ou o valor de π que satildeo valores previamente conhecidos pelo experimentador O caacutelculo do erro soacute faz sentido para casos em que sabemos o valor verdadeiro da grandeza que se quer medir

A incerteza por outro lado eacute entendida como uma estimativa que quantifica a confiabilidade do resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo quando calculamos o desvio padratildeo da meacutedia de um conjunto de medidas estamos calculando a incerteza da meacutedia dessas medidas ou seja estamos avaliando a confianccedila que podemos ter em adotar a meacutedia dessas medidas como o valor da grandeza mensurada O conceito de incerteza portanto tem maior aplicabilidade do que o conceito de erro

Algarismos significativos e incerteza

Uma questatildeo frequente nas aulas de laboratoacuterio eacute Com quantos algarismos uma grandeza deve ser apresentada No laboratoacuterio a resposta dessa questatildeo eacute uma funccedilatildeo da incerteza da grandeza Devemos apresentar os dados ateacute o seu primeiro algarismo duvidoso Voltemos ao exemplo da resistecircncia interna dos amperiacutemetros Suponhamos que a meacutedia das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros eacute 21546 Ω e o desvio padratildeo dessa meacutedia que eacute

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entendido aqui como a incerteza da resistecircncia interna dos amperiacutemetros eacute 003 Ω Interpretando tais dados assumimos com 68 de certeza que a resistecircncia interna dos amperiacutemetros estaacute no intervalo entre 21246 e 21846 Ω Desse modo a segunda casa decimal da grandeza medida eacute duvidosa Por isso os algarismos subsequentes satildeo omitidos quando expressamos essa medida e a medida da resistecircncia interna dos amperiacutemetros exemplificados eacute exposta por (215 plusmn 003) Ω Em suma o resultado de uma mediccedilatildeo deve ser sempre expresso com a mesma quantidade de casas decimais que sua incerteza Os algarismos apresentados satildeo entatildeo chamados de algarismos significativos

Referecircncia

Lima Jr P Silva M T X Silveira F L Veit E A (2013) Laboratoacuterio de mecacircnica subsiacutedios para o ensino de Fiacutesica experimental Porto Alegre UFRGS Instituto de Fiacutesica Disponiacutevel em httphdlhandlenet1018390438

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Atividade de Laboratoacuterio I Instrumentos de medida e incertezas

Este material foi cuidadosamente preparado para auxiliar no andamento das atividades no laboratoacuterio de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo Eacute importante responder TODAS as perguntas

(indicadas pelo siacutembolo ) feitas ao longo do texto discutindo com seu grupo possiacuteveis respostas e justificando-as Sempre que possiacutevel faccedila isso por escrito

TAREFA 1

Construa um circuito contendo um resistor de 1 kΩ em seacuterie com uma fonte de tensatildeo contiacutenua e um multiacutemetro Coloque o multiacutemetro na funccedilatildeo amperiacutemetro na escala de miliampere Usando outro multiacutemetro meccedila a tensatildeo no amperiacutemetro Realize medidas com diferentes correntes eleacutetricas variando a tensatildeo de saiacuteda da fonte

Como podemos tratar esses dados se nosso objetivo eacute medir a resistecircncia interna do amperiacutemetro

Qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Para responder essas questotildees se dirija a um dos computadores da sala e use um aplicativo que possibilite a construccedilatildeo de graacuteficos SciDavis por exemplo Insira seus dados no aplicativo construa o graacutefico desejado e encontre a melhor reta que se ajusta aos dados

Qual foi a melhor reta ajustada Determine a equaccedilatildeo dessa reta ajustada

Qual eacute o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro que vocecirc investigou

TAREFA 2

Utilize as medidas de todos os grupos da turma e aplique os conhecimentos abordados na tarefa de leitura para responder as seguintes questotildees

Qual deve ser a resistecircncia interna de um amperiacutemetro escolhido aleatoriamente entre os utilizados nesta aula

Qual eacute a incerteza desse valor

TAREFA 3

Suponha que o manual do Minipa ET-2075B informe que as medidas de tensatildeo e corrente realizadas nas faixas de milivolt e miliampere tecircm incerteza de 3 Use esses dados para calcular a

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incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1

Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma

Elas satildeo coerentes Por quecirc

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CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO

Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por

equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC

Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras

O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se

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extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo

No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador

Salvando vidas

ldquoafastem-se choquerdquo

Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de

sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos

O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo

Figura 4 - Desfibrilador

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esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)

Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma

sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o

miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia

Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2

2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387

Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)

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Circuito RC - seacuterie

Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C

Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que

∆S(c) + i(c)F = 0

Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo

i(c) = =C(c)=c

e a ddp no capacitor eacute dada por

∆S(c) = C(c)D

Dessa forma podemos dizer que

=C(c)=c = minus 1FD C(c)

Figura 6 - Circuito RC

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa

funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja

derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever

C(c) = C7 ou

A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial

Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir

Capacitor Carregando Capacitor Descarregando

∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0

C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou

∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou

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Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8

Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo

eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum

3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78

Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas

do capacitor durante o processo de

carga ou descarga

Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um

graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo

do tempo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no

capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte

Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor

quando o mesmo estaacute sendo carregado

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Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie

1 - Osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos

2 ndash Aparato Experimental

Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto

Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)

Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio

Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees

Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala

Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)

Manual de Laboratoacuterio

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TAREFA 1

Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees

Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico

Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito

Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito

Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos

Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio

TAREFA 2

Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie

Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)

Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados

Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo

NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo

Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste

Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito

Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito

Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles

Manual de Laboratoacuterio

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MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS

Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais

Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio

Para onde aponta a buacutessola

Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos

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polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc

E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial

tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos

que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a

soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio

4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja

httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4

Figura 10 - Buacutessola

Figura 11 - campo B resultante

Manual de Laboratoacuterio

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Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por

umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O

Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde

Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde

Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma

iacuteatilde() = ∙

onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde

5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass

The Physics Teacher 49(1) 45-48

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como

iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2

Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos

gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)

Logo

gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2

Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo

iacuteatilde() = amp

Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse

tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira

na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart

Manual de Laboratoacuterio

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pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do

que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute

yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp

onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico

da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos

yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp

Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Atividade de Laboratoacuterio III Projeto

OBJETIVO

Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio

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SUGESTAtildeO 1

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO

Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas

Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece

Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha

Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo

por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o

eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte

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SUGESTAtildeO 2

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA

Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)

Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica

Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de

uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)

Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema

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SUGESTAtildeO 3

BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO

Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola

Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)

Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina

O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados

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SUGESTAtildeO 4

CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO

O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer

Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio

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MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO

Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro

Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental

6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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110 V 127 V e 220 V O que eacute isso

As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V

Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas

A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

(c) = Jgt(c + acute)

onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por

∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)

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onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1

Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho

Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores

Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por

∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf

∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712

∆Suparamiddot = ∆S7radic2

Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a

tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s

A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente

alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$

Figura 13 - Funccedilotildees seno e

seno quadrado

Manual de Laboratoacuterio

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COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA

Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz

Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O

Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio

Natildeo queremos jogar energia fora

Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14

Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie

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Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por

0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)

onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)

Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

ℇ(c) = ℇ7gt(c)

onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente

Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na

figura 16 para um caso em que VL gt VC

Figura 15 - Diagrama de fasores

de um circuito RLC seacuterie com

fonte de tensatildeo alternada

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que

acute = c8 S minus SSu

Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado

por

i(c) = gt(c minus acute)

Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente

as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que

ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$

ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$

Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como

0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)

Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que

0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$

Figura 16 ndash Soma de fasores

Manual de Laboratoacuterio

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0eacutey = F ∙ uparamiddot$

onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square

Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que

F = frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte

Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade

7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL

Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e

resistecircncia num diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como

0 = AJradicAJ$ + AF$

O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP

DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11

Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia

Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por

acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita

Manual de Laboratoacuterio

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2 = 1D

Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica

Figura 18 - diagramas de fasores representando

um circuito capacitivo e um circuito indutivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie

O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio

TAREFA 1

Circuito Resistivo

Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR

Manual de Laboratoacuterio

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Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)

O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador

Circuito Capacitivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor

Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Manual de Laboratoacuterio

91

Circuito Indutivo

Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor

O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Circuito RLC

Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise

Manual de Laboratoacuterio

93

O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador

Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio

O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior

Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor

Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou

A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

94

TAREFA 2

Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente

Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir

Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima

Qual o valor da corrente maacutexima no circuito

Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)

O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique

Manual de Laboratoacuterio

95

TAREFA 3

Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito

Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees

Como isso eacute possiacutevel Explique

Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff

Respostas

96

Respostas

A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32

A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH

A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH

B3 Ae = Af = AtildeAcircf

B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl

B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH

B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l

B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD

B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -

C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc

(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7

C2 O = ~13deg

C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)

Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-

vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr

Respostas

97

C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM

C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD

(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD

C6 A = Eacute$Acirc

C7 A = Atilde$AcircL

D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma

das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp

D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(

D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1

no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)

D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme

D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D

E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)

E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D

E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml

F1 544 times 10

F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S

F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM

u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM

u (e) 0 = ℇMu

F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω

Respostas

98

F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965

G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n

G5 i = Ograve$g = 245 J

G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y

G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez

G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H

G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)

G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)

G15 (a) zL$brvbarM (b)

z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero

G16 z$L + z$L = z$L - + 1

G17 (a) pLM

amp (b) pusup3

ampL

G18 zzMu

G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)

z

G20 zNu saindo da folha

G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)

UgraveLMamp

fora do fio (a) z$L (b)

UgravebrvbarM$L (c)

Ugravebrvbarsup3ampL

G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13

G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM

ampu

H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior

Respostas

99

H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a

H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J

I2 Φ = pound$ sup1amp

I4 C = AcircsM

I6 (a) zM

NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar

J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a

(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S

J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu

(c) = -radic

J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm

(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013

Respostas

100

Bibliografia

Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il

Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il

Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il

Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm

Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il

Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il

Page 12: Prof a. Raquel Giulian Prof. Leonardo Albuquerque ... · 3ª semana: Lei de Gauss (fluxo elétrico, campo elétrico ... Aula de problemas e PROVA II 10º e 11ª semanas: Campo Magnético

Problemas Selecionados

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F5 ndash No circuito ao lado a potecircncia dissipada no resistor R eacute 20 a Qual o valor de R Qual a ddp entre os pontos A e B

F6 ndash A corrente medida por um amperiacutemetro A no circuito ao lado eacute a mesma quando ambas as chaves estatildeo abertas ou fechadas Qual o valor da resistecircncia R

F7 ndash Determine o valor da corrente que passa por cada um dos resistores a potecircncia fornecida por cada uma das fontes de tensatildeo e a potecircncia dissipada por cada um dos resistores Faccedila o balanccedilo energeacutetico do circuito

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

24

F8 ndash No circuito ao lado a chave S permanece fechada por um longo tempo e a corrente no circuito atinge um valor constante Considere D- = 3 D$ = 6 F- = 4Ω e F$ = 7Ω A potecircncia dissipada em F$ eacute 24a (a) Determine as cargas em D- e D$ (b) Abrindo a chave S e aguardando um longo tempo qual a mudanccedila observada na carga do capacitor 2

F9 ndash Num circuito RC seacuterie como o da figura ao lado D = 1 F = 2 times 10bΩ e ℇ = 10S Dez segundos depois que a chave foi fechada determine (a) a carga no capacitor (b) a corrente no resistor (c) a taxa com que a energia eacute armazenada no capacitor (d) a taxa com que a bateria fornece energia para o circuito

F10 ndash Um capacitor eacute carregado atraveacutes de um resistor como mostra a figura no problema anterior Mostre que metade da energia fornecida pela bateria aparece como energia interna no resistor e a outra metade como energia eleacutetrica no capacitor

F11 ndash Um capacitor duas fontes ideais dois resistores e uma chave S satildeo mostrados no circuito da figura ao lado Suponha D = 12 ℇ- = 15 S ℇ$ = 30 S F- = 05 Ω e F$ = 08 Ω (a) Se a chave S permanece aberta por um longo tempo qual a carga no capacitor (b) Qual a carga no capacitor se a chave S permanece fechada por um longo tempo

Problemas Selecionados

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F12 ndash No circuito ao lado a bateria fornece 10 S o capacitor eacute de 1 e os resistores tecircm as resistecircncias indicadas na figura O circuito estaacute ligado haacute um longo tempo (a) Qual a ddp entre os terminais do capacitor (b) Se a bateria for desconectada quanto tempo levaraacute para que essa ddp atinja um deacutecimo do valor inicial

-------------------------------------------------------------------------------------------

(G) Campo Magneacutetico

G1 ndash Um proacuteton atravessa uma regiatildeo de campo magneacutetico uniforme = lang10 20 30rang 13 No tempo c- o proacuteton tem uma velocidade d = langde df 2rang e a forccedila magneacutetica sobre o proacuteton eacute g = lang4 times 10-h minus2 times 10-h 0rang H Nesse instante qual o valor de de e df

G2 ndash Um proacuteton viaja atraveacutes de uma regiatildeo de campo eleacutetrico e

magneacutetico uniformes onde = langminus25 0 0rang 13 Num certo instante a velocidade do proacuteton eacute d = lang0 2000 0rang Qual a forccedila resultante que age sobre o proacuteton se o campo eleacutetrico for

(a) A = lang0 0 4rang S (b) A = lang0 0 minus4rang S ou

(c) A = lang4 0 0rang S

G3 ndash Uma espira retangular de lados e estaacute numa regiatildeo de campo

magneacutetico perpendicular ao plano da espira e eacute percorrida por uma corrente i constante conforme mostra a figura ao lado Determine o torque sobre a espira

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

26

G4 ndash Dois trilhos de metal separados por uma distacircncia = = 256 estatildeo ligados a uma bateria No momento em que uma barra de metal de massa = 241 8 eacute colocada sobre os trilhos (c = 0) ela fecha o circuito e por ela passa uma corrente i = 913 J O conjunto estaacute numa regiatildeo onde existe um campo magneacutetico uniforme = 563 13 Qual a velocidade da barra 611 depois Em que direccedilatildeo ela se move

G5 ndash A figura ao lado mostra um cilindro de madeira de massa = 250 8 e comprimento 2 =10 onde foi enrolado um fio formando uma espira de 10 voltas O cilindro eacute posicionado de forma que o eixo da espira estaacute perpendicular ao plano inclinado (paralelo agrave normal do plano

inclinado) Nessa regiatildeo haacute um campo magneacutetico = lang0 05 0rang 13 Qual deve ser o valor miacutenimo da corrente na espira capaz de manter o cilindro em sua posiccedilatildeo evitando que ele role para baixo

G6 ndash A figura ao lado mostra um iacutematilde e um anel condutor de raio por onde passa uma corrente i Se o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde faz um acircngulo O com a vertical na posiccedilatildeo onde estaacute o anel qual eacute a magnitude e a direccedilatildeo da forccedila resultante sobre o anel

Problemas Selecionados

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G7 ndash Uma barra de metal com densidade de massa B (massa por unidade de comprimento) apresenta uma corrente i (saindo da paacutegina) A barra estaacute suspensa por dois fios num campo magneacutetico uniforme vertical como mostra a figura ao lado No equiliacutebrio os fios

fazem um acircngulo O com a vertical Qual a magnitude do campo magneacutetico

G8 ndash Um proacuteton com energia cineacutetica de 6 jS se move no plano da paacutegina e entra numa regiatildeo de campo magneacutetico = 1 13 direcionado para dentro da paacutegina como mostra a figura ao lado

O proacuteton entra na regiatildeo de campo com o vetor velocidade fazendo um acircngulo O- = 35deg com a borda da regiatildeo Qual eacute a distacircncia entre o ponto de entrada e saiacuteda ( na figura) Qual o valor de O$

G9 ndash Considere um eleacutetron orbitando um proacuteton numa trajetoacuteria circular de raio F = 529 times 10-- devido agrave atraccedilatildeo Coulombiana Considere o sistema como se fosse um anel por onde passa uma corrente Qual seraacute o torque resultante quando o sistema for colocado numa regiatildeo de campo magneacutetico = 04 13 perpendicular ao momento magneacutetico do anel

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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G10 ndash Um fio por onde passa uma corrente i foi moldado num formato semicircular de raio F e uma reta de comprimento 2F como mostra a figura ao lado Nessa mesma regiatildeo haacute um campo magneacutetico que aponta na direccedilatildeo + (representado pelos pontos azuis na figura ao lado) Mostre que a

forccedila resultante sobre o fio eacute zero

G11 ndash Um condutor ciliacutendrico longo de raio conteacutem duas cavidades cada uma com diacircmetro ao longo de todo o comprimento do fio Uma visatildeo da seccedilatildeo transversal do fio eacute mostrada na figura ao lado Uma corrente i uniforme (considerando a porccedilatildeo soacutelida do material) passa atraveacutes do fio e aponta para fora da paacutegina Determine a magnitude e direccedilatildeo do campo

magneacutetico em funccedilatildeo de 7 i e no ponto P

G12 ndash Dois fios muito longos por onde passa corrente i de mesma magnitude estatildeo moldados conforme a figura ao lado

Mostre que o campo magneacutetico no centro do ciacuterculo de raio R eacute o mesmo que o

campo a uma distacircncia R abaixo de um fio reto muito longo por onde passa uma corrente i

Problemas Selecionados

29

G13 ndash Encontre uma expressatildeo para determinar a magnitude do campo magneacutetico no ponto P da figura ao lado Dica considere a origem dos eixos cartesianos no ponto P

G14 ndash A figura ao lado mostra a seccedilatildeo transversal de um condutor oco de raio externo e interno por onde passa uma corrente uniforme i Demonstre que a magnitude do campo magneacutetico () para uma distacircncia lt lt eacute dada por

= 7i25($ minus $) $ minus $

G15 ndash A figura ao lado mostra um cabo coaxial de raios e Correntes opostas de igual magnitude estatildeo distribuiacutedas nos dois condutores Derive uma expressatildeo para calcular o campo magneacutetico () na regiatildeo (a) lt (b) lt lt (c) lt lt e (d) gt

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

30

G16 ndash Um fio condutor por onde passa uma corrente i foi torcido para formar um loop de raio R (no plano da paacutegina) como mostra a figura abaixo Qual a direccedilatildeo do campo magneacutetico no

centro do loop Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico no centro do loop

G17 ndash Uma corrente i passa por um fio condutor ciliacutendrico de raio R como mostra a figura ao lado A densidade de corrente l natildeo eacute uniforme atraveacutes da seccedilatildeo transversal do fio mas obedece agrave funccedilatildeo l = onde eacute uma constante Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico (a) a uma distacircncia - lt F e (b) a uma distacircncia $ gt F(em relaccedilatildeo ao centro do condutor)

G18 ndash Um fio condutor muito longo por onde passa uma corrente i- estaacute parcialmente envolto por um loop por onde passa uma corrente i$ (figura ao lado) O loop fio foi moldado num formato semiciliacutendrico de raio R e o comprimento L O fio condutor passa pelo eixo do loop Calcule a forccedila magneacutetica exercida sobre o loop

G19 ndash Considere um solenoide de comprimento 2 e raio F contendo H voltas de um fio por onde passa uma corrente i (a) Determine uma expressatildeo para

o campo magneacutetico num ponto ao longo do eixo do solenoide do lado de fora do solenoide como funccedilatildeo da distacircncia ateacute uma das pontas (considere = 0 no centro do solenoide e = a distacircncia do centro ateacute o ponto onde estaacute sendo calculado o campo ) (b) Mostre que para

Problemas Selecionados

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valores muito grandes de 2 e = = 0 se aproxima de = 7i H 2frasl para posiccedilotildees ao longo do eixo no interior do solenoide distante das bordas

G20 ndash A figura ao lado mostra um fio moldado para formar duas seccedilotildees retas e um quarto de ciacuterculo por onde passa corrente i Determine o campo magneacutetico (vetor) no ponto P

G21 ndash Um fio ciliacutendrico espesso de raio eacute percorrido por uma corrente i Determine uma expressatildeo para o

campo magneacutetico dentro e fora do fio considerando que (a) a corrente estaacute distribuiacuteda uniformemente sobre a superfiacutecie externa do fio (b) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio com densidade de corrente l constante (c) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio de forma que a densidade de corrente l eacute proporcional agrave distacircncia ateacute o eixo do fio

G22 ndash Considere dois solenoides coaxiais cada um conduzindo uma corrente i em direccedilotildees opostas O solenoide interno de raio possui gt- voltas por unidade de comprimento o

solenoide externo possui raio e gt$ voltas por unidade de

comprimento Determine (a) no interior do conjunto (b) entre eles e (c) fora deles

G23 ndash Um fio condutor longo e reto de raio F conduz uma corrente natildeo uniforme cuja densidade de corrente eacute l = l7 Ffrasl onde l7 eacute uma constante A corrente total eacute i (a) Determine uma expressatildeo para i

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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em funccedilatildeo de l7 e F (b) Determine uma expressatildeo para o campo magneacutetico no interior do fio para uma distacircncia

G24 ndash A figura ao lado mostra um toroide que consiste num solenoide fechado em forma de anel (a) Considerando a simetria explique qual deve ser o formato do campo magneacutetico no interior desse toroide (b) Considere o toroide compacto (a separaccedilatildeo entre cada volta do fio eacute pequena) com N voltas conduzindo uma corrente i Usando a lei de Ampeacutere determine a magnitude do campo magneacutetico num ponto interno ao toroide a uma distacircncia do eixo principal (ver figura ao lado) (c) O campo magneacutetico no interior do toroide eacute um campo uniforme Explique

-------------------------------------------------------------------------------------------

(H) Lei de Faraday

H1 ndash A figura ao lado mostra dois aneis cujos eixos estatildeo alinhados separados por uma distacircncia x O anel maior tem raio F o anel menor tem raio Os aneis estatildeo separados por uma distacircncia ≫ F e por isso o campo magneacutetico devido agrave corrente no anel de raio F eacute praticamente uniforme no anel menor Considere que a distacircncia estaacute aumentando a uma taxa constante = =cfrasl = d (a) Determine uma expressatildeo para o fluxo de campo magneacutetico atraveacutes do anel menor como funccedilatildeo de Encontre uma expressatildeo para (b) a fem induzida e (c) a direccedilatildeo da corrente no anel menor

Problemas Selecionados

33

H2 ndash (a) Calcule o fluxo magneacutetico atraveacutes do retacircngulo mostrado na figura ao lado em funccedilatildeo de = i (b) Avalie o resultado encontrado para = 5 = 10 = = 2 e i = 20 J

H3 ndash Uma espira plana e circular de raio =75 estaacute em repouso numa regiatildeo de campo magneacutetico uniforme A espira estaacute orientada de tal forma que o campo magneacutetico aponta para cima

e faz um acircngulo de 30deg com a normal da espira O campo varia com

o tempo de acordo com (c) = 14(77nho) 13 (a) Determine a fem induzida na espira em funccedilatildeo do tempo (b) Para que valor de c a fem induzida eacute igual a um deacutecimo do seu valor inicial Determine o sentido da corrente induzida na espira se observada por cima da espira

H4 ndash Um retacircngulo que mede 30 times 40 estaacute localizado no interior de um campo magneacutetico uniforme de 125 13 com o campo perpendicular ao plano da bobina A bobina se move perpendicular ao campo com velocidade constante d =2 inclusive atingindo a regiatildeo

onde o campo termina abruptamente como mostra a figura ao lado Determine a fem induzida nessa bobina quando ela estaacute (a) inteiramente no interior do campo (b) parcialmente no interior do campo e (c) inteiramente fora do campo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

34

H5 ndash O fio na figura ao lado conduz

uma corrente i(c) = i7po onde gt 0 Determine o sentido da corrente induzida na bobina (horaacuterio ou anti-horaacuterio) para c gt 0

H6 ndash A figura ao lado mostra uma espira circular de raio contendo uma resistecircncia e um capacitor ligados em seacuterie imerso numa regiatildeo onde um campo magneacutetico uniforme (no espaccedilo) entrando no plano na paacutegina decresce no tempo a uma taxa constante = =cfrasl = minus sendo uma constante positiva (a) Qual a carga no capacitor quando ele estaacute completamente carregado (b) Qual das placas do capacitor estaacute em potencial mais elevado (c) Qual a origem da forccedila que causa a separaccedilatildeo de cargas

-------------------------------------------------------------------------------------------

(I) Indutacircncia

I1 ndash No circuito ao lado ℰ = 100 SF- = 10 Ω F$ = 20 Ω Famp = 30 Ω e 2 = 2 H Ao fechar a chave S quais os valores de i- e i$ Considere positivo o sentido das correntes indicadas na figura Muito tempo

depois quais satildeo os valores de i- e i$ A chave eacute entatildeo aberta Nesse instante quais satildeo os valores de i- e i$ E muito tempo depois quais satildeo os valores de i- e i$

Problemas Selecionados

35

I2 ndash Num circuito LC em seacuterie a carga inicial do capacitor eacute C e ele estaacute sendo descarregado Quando a carga no capacitor eacute igual a C 2frasl qual eacute o fluxo magneacutetico que atravessa cada uma das N espiras do indutor (como funccedilatildeo de C H 2 e D)

I3 ndash Uma bobina possui N voltas e estaacute envolvendo um solenoide longo de raio r com n espiras por unidade de comprimento (figura ao lado) (a) Mostre que a indutacircncia muacutetua do sistema eacute dada por j = 75F$gtH (b) Explique por que M natildeo depende do formato tamanho ou possiacutevel falta de proximidade das espiras na bobina

I4 ndash A fem autoinduzida num solenoide de indutacircncia L varia no tempo conforme ℇ(c) = ℇ7so Levando em consideraccedilatildeo que a carga eacute finita (ou seja i = 0 quando c = infin) determine a carga total que passa pelo solenoide (que atravessa um determinado ponto no fio que compotildee o solenoide)

I5 ndash Um fio condutor foi enrolado num papelatildeo formando um toroide com N espiras (voltas) raio menor r e maior R A seccedilatildeo transversal do toroide eacute mostrada na figura ao lado Se F ≫ o campo magneacutetico no interior do toroide eacute essencialmente o mesmo que o campo no interior de um solenoide muito longo que tenha sido

moldado no formato de um ciacuterculo de raio R Modelando o campo como se fosse o campo uniforme de um solenoide longo mostre que a indutacircncia desse toroide eacute

aproximadamente 2 asymp -$ 7H$ LMu

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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I6 ndash Um indutor consiste em duas cascas ciliacutendricas concecircntricas como mostra a figura A casca interna tem raio e a externa tem raio ambas com comprimento ℎ A casca interna transporta uma corrente i para fora e a externa para dentro do plano da paacutegina com igual magnitude Calcule na regiatildeo lt lt (a) a densidade de energia magneacutetica (b) a indutacircncia

I7 ndash Mostre que i(c) = i7o wx eacute a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial iF + 2 yzyo = 0 onde i7 eacute a corrente em c = 0 e = 2 Ffrasl

I8 ndash Um fio condutor de raio R transporta uma corrente uniforme A corrente total no fio eacute i Mostre que a energia magneacutetica por unidade de comprimento dentro do fio eacute dada por 7i$ 165frasl

I9 ndash Um cabo coaxial eacute formado por dois cilindros condutores de paredes finas com raios - e $ As correntes nos dois cilindros satildeo iguais em magnitude mas com sentidos opostos (a) Use a lei de Ampeacutere para determinar o campo magneacutetico como funccedilatildeo da distacircncia ao eixo do cabo nas regiotildees (0 lt lt -) ( - lt lt $ ) e ( gt $) (b) Mostre que a densidade de energia magneacutetica na regiatildeo entre os cilindros eacute dada por

| = 12 745 i$(5$)-

(c) Mostre que a energia magneacutetica total num volume de cabo com comprimento ~ eacute dada por

Problemas Selecionados

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= i$~ ln LML

(d) Mostre que a autoindutacircncia por unidade de comprimento do cabo eacute dada por

2~ = 725 ln $-

-------------------------------------------------------------------------------------------

(J) Corrente Alternada

J1 ndash A tensatildeo de uma fonte de corrente alternada eacute dada por ∆d = 120gt(30 5c) onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A fonte eacute conectada a um indutor de 05 Determine (a) a frequecircncia da fonte (b) a voltagem rms no indutor (c) a reatacircncia indutiva do circuito (d) a corrente rms no indutor e (e) a corrente maacutexima no indutor

J2 ndash Uma fonte de tensatildeo alternada fornece uma tensatildeo ∆d = 98gt(80 5c) a um capacitor onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A corrente maacutexima no circuito eacute 05 J Determine (a) a tensatildeo rms da fonte (b) a frequecircncia da fonte e (c) o valor da capacitacircncia

J3 ndash Um circuito AC eacute composto por um resistor de 250 Ω um indutor de 15 um capacitor de 35 e uma fonte de tensatildeo alternada com amplitude de 45 S operando com frequecircncia angular = 360 = frasl (a) Qual eacute o fator de potecircncia do circuito (b) Determine a potecircncia meacutedia aparente (S) fornecida ao circuito (c) Qual eacute a potecircncia meacutedia ativa (P) dissipada no resistor Qual eacute a potecircncia meacutedia reativa (Q) que fica armazenada no circuito

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J4 ndash Cinco voltiacutemetros com impedacircncia muito grande ajustados para ler valores rms estatildeo conectados conforme a figura ao lado Sendo F =200 Ω 2 = 04 H D = 6 e ∆S = 30 Vqual eacute a leitura da tensatildeo em cada voltiacutemetro se (a) = 200 = frasl e (b) =1000 = frasl

J5 ndash Num circuito RLC 2 = 028 e D = 4 A fonte fornece uma voltagem com amplitude de 120 S Qual eacute a frequecircncia angular de ressonacircncia do circuito (b) Quando a fonte opera na frequecircncia angular de ressonacircncia a amplitude da corrente no circuito eacute 17 J Qual a resistecircncia do resistor (c) Na frequecircncia angular de ressonacircncia quais satildeo as voltagens de pico no indutor capacitor e resistor

J6 ndash O circuito ao lado conteacutem uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal conforme ℇ = ℇgt(c) No estado de equiliacutebrio temos as correntes mostradas no circuito Sem recorrer a uma matemaacutetica complicada responda (a) Quais os valores de u e quando = 0 (frequecircncia zero significa que

a fonte foi substituida por uma bateria ideal) (b) Quais os valores de u e quando rarr infin (c) Qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia

Problemas Selecionados

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J7 ndash Um indutor um capacitor e um resistor estatildeo conectados em seacuterie a uma fonte de tensatildeo alternada Se os valores da resistecircncia capacitacircncia e indutacircncia forem duplicados o que aconteceraacute com (a) a frequecircncia angular de ressonacircncia (b) a reatacircncia indutiva (c) a reatacircncia capacitiva e (d) a impedacircncia

J8 ndash O circuito abaixo eacute formado por uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal variando conforme ℇ = ℇgt(c) uma resistecircncia F = 6 Ω e uma parte desconhecida que pode conter um indutor um capacitor ou ambos A amplitude da fonte eacute ℇ = 6 S Quando a frequecircncia angular = 2 = a corrente estaacute em fase com a fonte enquanto que para = 1 = a corrente estaacute fora de fase em relaccedilatildeo agrave fonte por exatamente 5 4frasl (a) Quais componentes estatildeo presentes na parte desconhecida (um indutor um capacitor ou ambos) Explique (b) Determine os valores dos componentes desconhecidos

J9 ndash Um circuito em seacuterie possui impendecircncia de 60 Ω e fator de potecircncia igual a 072 em 50 A tensatildeo da fonte estaacute atrasada em relaccedilatildeo agrave corrente (a) Que elemento do circuito (um indutor ou um capacitor) deve ser ligado em seacuterie com o circuito para aumentar o fator de potecircncia (b) Qual deve ser o valor desse elemento para que o fator de potecircncia seja igual a 1 (c) Apresente diagramas de fasores esquemaacuteticos para o circuito antes e depois da ligaccedilatildeo do novo elemento

Manual de Laboratoacuterio

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O PROCESSO DE MEDIDA NO LABORATOacuteRIO DE FIacuteSICA

Natildeo satildeo raros eventos em que nos valemos de medidas para tomarmos decisotildees Medimos nossa temperatura corporal para avaliarmos se necessitamos de tratamento Medimos a pressatildeo manomeacutetrica dos pneus para avaliarmos se precisamos injetar ou retirar ar neles Consultamos medidas da temperatura ambiente para escolhermos a roupa que vestiremos Consultamos o horaacuterio (medida de tempo) para natildeo chegarmos atrasados em encontros Medidas satildeo portanto fundamentais em nossas vidas No entanto usualmente natildeo nos preocupamos muito com a precisatildeo dessas medidas Em grande parte das vezes natildeo nos interessa saber se o horaacuterio informado no reloacutegio estaacute um pouco atrasado ou adiantado Natildeo nos preocupamos em saber o quanto podemos confiar nas temperaturas coletadas com um determinado termocircmetro Nossas medidas comumente satildeo realizadas de forma despretensiosa sem muito rigor

No laboratoacuterio de Fiacutesica isso ocorre de modo muito diferente Os processos de mediccedilatildeo satildeo mais minuciosos do que os que realizamos costumeiramente Desejamos obter a maior precisatildeo possiacutevel com os equipamentos de que dispomos Mas como fazer isso Como podemos melhorar a precisatildeo dos processos de mediccedilatildeo Intuitivamente podemos concluir que inferecircncias realizadas a partir de um conjunto de medidas satildeo mais precisas do que medidas isoladas Mas quando disponho de um conjunto de medidas como posso analisaacute-las Calcular a meacutedia delas eacute suficiente Responder a questotildees como essas eacute o objetivo desta atividade Para exemplificarmos todo esse processo realizaremos um debate sobre a mediccedilatildeo da resistecircncia interna de amperiacutemetros

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O que satildeo amperiacutemetros

Um amperiacutemetro eacute um instrumento utilizado para a realizaccedilatildeo de medidas de correntes eleacutetricas Evidentemente natildeo queremos modificar os circuitos quando os exploramos com um instrumento Com amperiacutemetros natildeo eacute diferente Queremos medir correntes eleacutetricas sem alterar as caracteriacutesticas do circuito Mas como eacute possiacutevel fazer isso Natildeo discutiremos aqui os detalhes sobre o funcionamento interno de um amperiacutemetro No entanto vamos avaliaacute-los do ponto de vista de uma das suas caracteriacutesticas mais importantes a sua resistecircncia eleacutetrica

A resistecircncia eleacutetrica de um circuito influencia na intensidade da corrente eleacutetrica que circula nele A corrente eleacutetrica i que perpassa por uma resistecircncia eleacutetrica F submetida a uma tensatildeo ∆S por exemplo pode ser predita pela seguinte relaccedilatildeo

i = ∆u Eq 1

O amperiacutemetro precisa ser posicionado em seacuterie no circuito em que se deseja medir a corrente eleacutetrica como eacute exemplificado na figura

Figure 1- Medindo a resistecircncia interna de um multiacutemetro

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1 Como a resistecircncia equivalente em circuitos em seacuteries eacute a soma da resistecircncia eleacutetrica de cada um dos seus componentes a resistecircncia interna dos amperiacutemetros se soma agrave resistecircncia equivalente do circuito investigado alterando a sua dinacircmica Por isso nosso desejo eacute que os amperiacutemetros tenham resistecircncia eleacutetrica nula No entanto a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro real por menor que seja nunca eacute nula Eles possuem um circuito interno com fios e diversos componentes eletrocircnicos que acabam provocando uma resistecircncia agrave circulaccedilatildeo de corrente eleacutetrica Ainda assim frequentemente desprezamos tal resistecircncia Seraacute que isso eacute razoaacutevel Quando podemos desprezar a resistecircncia interna dos amperiacutemetros e quando natildeo podemos Para respondermos tais perguntas precisamos conhecer o valor da resistecircncia interna tiacutepica de um amperiacutemetro

Medindo a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro

Nesta disciplina usaremos diversos amperiacutemetros de uma mesma marca e modelo em uma seacuterie de experimentos (Minipa ET-2075B) Por isso eacute interessante que conheccedilamos a resistecircncia eleacutetrica deles para podermos avaliar quando podemos desprezaacute-la e quando natildeo Mas como podemos obter essa informaccedilatildeo Podemos medi-la Um procedimento simples para isso eacute submeter o amperiacutemetro a uma diferenccedila de potencial ΔV conhecida e medir a corrente eleacutetrica i que passa por ele Desse modo podemos usar a Eq 1 para inferir a resistecircncia eleacutetrica do equipamento Mas podemos confiar em uma uacutenica medida Depende da precisatildeo de que necessitamos para essa medida Intuitivamente sabemos que se medirmos a resistecircncia interna a partir de um conjunto de dados poderemos ter uma maior confiabilidade nos dados No exemplo de que estamos tratando eacute possiacutevel se coletar dados da corrente no amperiacutemetro quando submetido a diferentes tensotildees Desse modo pode-se inferir a resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro pela declividade da reta constituiacuteda

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pelos dados representados em um graacutefico da tensatildeo em funccedilatildeo da corrente eleacutetrica como pode ser constatado da Eq1 No entanto como temos incertezas associadas a cada dado experimental coletado esses dados natildeo seratildeo perfeitamente representados por uma reta Surge entatildeo uma nova questatildeo qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados

Ajuste de Curvas

Diversas retas podem ser ajustadas a um conjunto de dados experimental Qual delas utilizar Intuitivamente podemos conjecturar que a melhor reta a ser utilizada eacute aquela tal que a soma das diferenccedilas entre os valores de tensatildeo medidos e os preditos pela reta tenha o menor valor possiacutevel Em outras palavras queremos minimizar a soma

sum = = (∆Sz minus ∆S)z-

onde ∆Sz satildeo as tensotildees medidas e ∆S satildeo as tensotildees preditas pela reta ajustada

No entanto haacute um inconveniente importante no uso desse criteacuterio tal soma pode ser bem pequena para retas que natildeo apresentam bom ajuste aos dados se as diferenccedilas entre os valores medidos e os preditos se cancelarem sendo alguns positivos e outros negativos Nesses casos apesar de natildeo termos uma reta bem ajustada aos dados o criteacuterio utilizado

indicaria que sim Como resolver isso Elevando os valores de dn ao

Figura 1 - Diferenccedila de potencial em funccedilatildeo

da corrente

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quadrado Ou seja podemos procurar a reta tal que a seguinte soma tenha o menor valor possiacutevel

sum =$ = (∆Sz minus ∆S)$z-

O meacutetodo que utiliza esse criteacuterio para a realizaccedilatildeo de ajustes de curvas que eacute amplamente utilizado no meio acadecircmico eacute denominado Meacutetodo dos Miacutenimos Quadrados Todos os softwares do tipo planilha eletrocircnica realizam esse caacutelculo automaticamente e nos valeremos disso quando necessaacuterio

Todos os amperiacutemetros da sala possuem a mesma resistecircncia interna

Ainda que todos os amperiacutemetros que utilizaremos nas nossas aulas sejam da mesma marca e modelo eles possuem diferentes resistecircncias internas Existe alguma forma de estimar a resistecircncia interna de um desses amperiacutemetros escolhido aleatoriamente Calcular a meacutedia das resistecircncias eacute suficiente para realizar essa estimativa

Variabilidade das medidas o desvio padratildeo amostral e da meacutedia

Apesar de as resistecircncias dos amperiacutemetros natildeo serem exatamente as mesmas elas possuem valores que se distribuem em torno de um valor meacutedio que eacute igual agrave meacutedia dessas resistecircncias Desse modo se tomarmos um dos amperiacutemetros aleatoriamente o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute igual agrave meacutedia das resistecircncias internas de todos os amperiacutemetros Mas quanto podemos confiar nessa estimativa Para respondermos tal pergunta eacute importante quantificarmos a variabilidade das resistecircncias r que medimos Quanto menor for essa variabilidade maior seraacute a nossa confianccedila para assumir que a resistecircncia interna de um amperiacutemetro particular eacute igual agrave meacutedia Intuitivamente podemos conjecturar que tal variabilidade pode ser medida pelo somatoacuterio das diferenccedilas entre as resistecircncias

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medidas z e a meacutedia dessas resistecircncias ou seja por (- minus ) + ($ minus ) + ⋯ + ( minus ) onde N eacute o nuacutemero de medidas realizadas No entanto temos aqui um inconveniente semelhante ao que tivemos quando analisaacutevamos ajustes de curvas se valores positivos e negativos se cancelarem esse somatoacuterio pode ser muito pequeno mesmo quando os dados apresentam grande variabilidade Podemos propor a mesma soluccedilatildeo adotada anteriormente vamos elevar os termos ao quadrado Temos entatildeo a variabilidade dos dados sendo mensurada por (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$

A impossibilidade de comparaccedilatildeo entre as variabilidades de diferentes conjuntos de dados eacute a limitaccedilatildeo desta proposta pois o resultado desse somatoacuterio eacute altamente dependente da quantidade de termos Desse modo eacute possiacutevel que esse somatoacuterio seja maior para grandes conjuntos com pouca variabilidade do que para pequenos grupos com grande variabilidade Para amenizar tal limitaccedilatildeo podemos entatildeo dividir o somatoacuterio por N ou seja calcular a variabilidade por(- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$ Hfrasl Ainda que esse somatoacuterio seja conceitualmente interessante natildeo eacute essa a medida de dispersatildeo de dados que costuma ser utilizada no meio cientiacutefico mas algo que guarda alguma semelhanccedila com ele o desvio padratildeo dos dados (P) Ele eacute calculado por

PL = (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$H minus 1

Mas por que utilizamos essa equaccedilatildeo A resposta estaacute em suas propriedades Quando construiacutemos um histograma (graacutefico de frequecircncias) de um conjunto de medidas por exemplo podemos em muitos casos assumir que a distribuiccedilatildeo desses dados eacute representada por uma distribuiccedilatildeo normal A equaccedilatildeo que define essa distribuiccedilatildeo assim como sua representaccedilatildeo graacutefica eacute ilustrada na Figura 3

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Natildeo eacute nosso objetivo aqui discutir detalhes da distribuiccedilatildeo normal O que desejamos destacar eacute que quando supomos que a distribuiccedilatildeo de um conjunto de dados eacute normal o que eacute bastante razoaacutevel na maioria das vezes o desvio padratildeo σ quantifica como os dados estatildeo distribuiacutedos Para entendermos isso analisemos a Figura 4

O intervalo compreendido pela meacutedia das medidas mais ou menos um desvio padratildeo compreende 68 das medidas realizadas No caso que estamos exemplificando se tomarmos a meacutedia das resistecircncias internas r de todos os amperiacutemetros investigados e o desvio padratildeo PL desses dados 68 das medidas estaratildeo no intervalo entre ( minus PL) e ( + PL) 95 no intervalo ( 2PL) e 99 no intervalo ( 257PL)

Figura 2 - A distribuiccedilatildeo normal eacute usualmente utilizada para representar a distribuiccedilatildeo

de frequecircncias de um conjunto de dados (Lima Jr et al 2013 p 30)

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Agora jaacute sabemos como quantificar a variabilidade de um conjunto de dados Podemos entatildeo calcular a meacutedia e o desvio padratildeo das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros Mas surge entatildeo uma questatildeo Se analisaacutessemos um novo conjunto de amperiacutemetros da mesma marca e modelo dos exemplificados aqui a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros seria a mesma Provavelmente natildeo Temos como estimar a partir do conjunto de medidas que realizamos a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros Temos Para responder a essa questatildeo temos que compreender um novo conceito o de desvio padratildeo da meacutedia (PL) Ele eacute calculado por

PL = PLradicH

Natildeo vamos entrar em detalhes aqui sobre a origem do conceito de desvio padratildeo da meacutedia1 vamos apenas explicar como essa grandeza nos permite estimar a incerteza na meacutedia de um conjunto de medidas Para isso vamos supor um novo conjunto de N novas

1 Se vocecirc eacute um aluno curioso pesquise sobre o Teorema Central do Limite para compreender com mais profundidade o conceito de desvio padratildeo da meacutedia

Figura 3 - A meacutedia e o desvio padratildeo demarcam a distribuiccedilatildeo dos dados em uma

distribuiccedilatildeo normal Na figura o eixo das abcissas expressa a distacircncia da meacutedia em

unidades de desvio padratildeo (Lima Jr et al 2013 p 30)

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medidas da resistecircncia interna de amperiacutemetros como os investigados nesta aula Qual seria a meacutedia dessas medidas Assim como o desvio padratildeo dos dados quantifica a dispersatildeo dos dados em torno da meacutedia o desvio padratildeo da meacutedia quantifica a dispersatildeo das meacutedias de subconjuntos de dados em torno da meacutedia de todo o conjunto de dados Aplicando esse conceito ao nosso exemplo podemos interpretar os dois conjuntos de medidas de resistecircncias internas como subconjuntos de um grande conjunto contendo todas as medidas Desse modo podemos afirmar com 68 de confianccedila que a meacutedia das N novas medidas a serem realizadas estaraacute no intervalo compreendido por ( PL) com 95 de confianccedila no intervalo ( 2PL) e com 99 de confianccedila no intervalo ( 257PL) O desvio padratildeo da meacutedia pode ser compreendido assim como a incerteza da meacutedia de um conjunto de medidas ou seja ele nos fornece uma estimativa da confiabilidade de uma meacutedia Em suma se escolhermos um amperiacutemetro aleatoriamente podemos dizer que i) o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute a meacutedia das resistecircncias de todos os amperiacutemetros e ii) a incerteza que temos nesse valor eacute igual ao desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias dos amperiacutemetros

E se eu soacute tivesse condiccedilotildees de realizar uma uacutenica medida

Nem sempre podemos realizar diversas medidas de uma grandeza Em alguns casos nem mesmo faz sentido realizar diversas medidas No entanto eacute evidente que existe uma incerteza associada a uma uacutenica medida Natildeo existem instrumentos que sejam perfeitamente precisos Entatildeo como podemos estimar essa incerteza Usualmente os manuais dos instrumentos trazem informaccedilotildees sobre isso Desse modo as incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica realizadas com um voltiacutemetro e um amperiacutemetro podem ser consultadas no manual do multiacutemetro utilizado Mas como eacute calculada a incerteza da resistecircncia interna de um amperiacutemetro que foi calculada a partir de

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apenas uma medida de tensatildeo e uma de corrente eleacutetrica Nesse caso precisamos calcular a incerteza propagada das incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica

Os meacutetodos de caacutelculo de incertezas propagadas podem ser bastante complicados Aqui trataremos de um meacutetodo bastante simples usualmente denominado de Meacutetodo dos Limites Vamos exemplificaacute-lo supondo que a incerteza da tensatildeo sobre as entradas do amperiacutemetro eacute P- e da corrente eleacutetrica que circula por ele eacute P$ Ou seja a tensatildeo medida estaacute no intervalo entre ∆S minus P- e ∆S + P- e a corrente eleacutetrica entre i minus P$ e i + P$ Qual eacute entatildeo a incerteza da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro investigado Para responder isso basta calcularmos os valores limites dessa grandeza O maacuteximo valor possiacutevel para a resistecircncia ocorreraacute se a tensatildeo for ∆S + P- e a corrente eleacutetrica for i minus P$ Nesse caso usando a Eq 1 temos

aacutee = ∆S + P-i minus P$

Usando o mesmo raciociacutenio o valor miacutenimo de r seraacute

z = ∆S minus P-i + P$

Desse modo podemos dizer que o valor da resistecircncia interna medida estaacute no intervalo entre rmaacutex e rmiacuten Em outras palavras o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro eacute

F = iexclz + aacutee2 z minus aacutee2 cent

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Erro eacute a mesma coisa que incerteza

Apesar de serem frequentemente utilizados como sinocircnimos os manuais de metrologia atribuem significados distintos aos conceitos de ldquoerrordquo e ldquoincertezardquo O Guia para Expressatildeo da Incerteza da Mediccedilatildeo (Joint Commitee for Guide in Metrology 2008 apud Lima Jr et al 2013) usa o termo ldquoerrordquo para indicar a diferenccedila entre o valor verdadeiro e o resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo o conceito de erro tem uso restrito pois satildeo poucos os casos em que conhecemos o valor verdadeiro de uma grandeza Satildeo exemplos desses casos experimentos em que se deseja mensurar a velocidade da luz no vaacutecuo ou o valor de π que satildeo valores previamente conhecidos pelo experimentador O caacutelculo do erro soacute faz sentido para casos em que sabemos o valor verdadeiro da grandeza que se quer medir

A incerteza por outro lado eacute entendida como uma estimativa que quantifica a confiabilidade do resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo quando calculamos o desvio padratildeo da meacutedia de um conjunto de medidas estamos calculando a incerteza da meacutedia dessas medidas ou seja estamos avaliando a confianccedila que podemos ter em adotar a meacutedia dessas medidas como o valor da grandeza mensurada O conceito de incerteza portanto tem maior aplicabilidade do que o conceito de erro

Algarismos significativos e incerteza

Uma questatildeo frequente nas aulas de laboratoacuterio eacute Com quantos algarismos uma grandeza deve ser apresentada No laboratoacuterio a resposta dessa questatildeo eacute uma funccedilatildeo da incerteza da grandeza Devemos apresentar os dados ateacute o seu primeiro algarismo duvidoso Voltemos ao exemplo da resistecircncia interna dos amperiacutemetros Suponhamos que a meacutedia das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros eacute 21546 Ω e o desvio padratildeo dessa meacutedia que eacute

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entendido aqui como a incerteza da resistecircncia interna dos amperiacutemetros eacute 003 Ω Interpretando tais dados assumimos com 68 de certeza que a resistecircncia interna dos amperiacutemetros estaacute no intervalo entre 21246 e 21846 Ω Desse modo a segunda casa decimal da grandeza medida eacute duvidosa Por isso os algarismos subsequentes satildeo omitidos quando expressamos essa medida e a medida da resistecircncia interna dos amperiacutemetros exemplificados eacute exposta por (215 plusmn 003) Ω Em suma o resultado de uma mediccedilatildeo deve ser sempre expresso com a mesma quantidade de casas decimais que sua incerteza Os algarismos apresentados satildeo entatildeo chamados de algarismos significativos

Referecircncia

Lima Jr P Silva M T X Silveira F L Veit E A (2013) Laboratoacuterio de mecacircnica subsiacutedios para o ensino de Fiacutesica experimental Porto Alegre UFRGS Instituto de Fiacutesica Disponiacutevel em httphdlhandlenet1018390438

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Atividade de Laboratoacuterio I Instrumentos de medida e incertezas

Este material foi cuidadosamente preparado para auxiliar no andamento das atividades no laboratoacuterio de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo Eacute importante responder TODAS as perguntas

(indicadas pelo siacutembolo ) feitas ao longo do texto discutindo com seu grupo possiacuteveis respostas e justificando-as Sempre que possiacutevel faccedila isso por escrito

TAREFA 1

Construa um circuito contendo um resistor de 1 kΩ em seacuterie com uma fonte de tensatildeo contiacutenua e um multiacutemetro Coloque o multiacutemetro na funccedilatildeo amperiacutemetro na escala de miliampere Usando outro multiacutemetro meccedila a tensatildeo no amperiacutemetro Realize medidas com diferentes correntes eleacutetricas variando a tensatildeo de saiacuteda da fonte

Como podemos tratar esses dados se nosso objetivo eacute medir a resistecircncia interna do amperiacutemetro

Qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados

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Para responder essas questotildees se dirija a um dos computadores da sala e use um aplicativo que possibilite a construccedilatildeo de graacuteficos SciDavis por exemplo Insira seus dados no aplicativo construa o graacutefico desejado e encontre a melhor reta que se ajusta aos dados

Qual foi a melhor reta ajustada Determine a equaccedilatildeo dessa reta ajustada

Qual eacute o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro que vocecirc investigou

TAREFA 2

Utilize as medidas de todos os grupos da turma e aplique os conhecimentos abordados na tarefa de leitura para responder as seguintes questotildees

Qual deve ser a resistecircncia interna de um amperiacutemetro escolhido aleatoriamente entre os utilizados nesta aula

Qual eacute a incerteza desse valor

TAREFA 3

Suponha que o manual do Minipa ET-2075B informe que as medidas de tensatildeo e corrente realizadas nas faixas de milivolt e miliampere tecircm incerteza de 3 Use esses dados para calcular a

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incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1

Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma

Elas satildeo coerentes Por quecirc

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CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO

Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por

equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC

Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras

O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se

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extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo

No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador

Salvando vidas

ldquoafastem-se choquerdquo

Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de

sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos

O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo

Figura 4 - Desfibrilador

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

58

esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)

Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma

sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o

miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia

Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2

2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387

Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)

Manual de Laboratoacuterio

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Circuito RC - seacuterie

Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C

Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que

∆S(c) + i(c)F = 0

Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo

i(c) = =C(c)=c

e a ddp no capacitor eacute dada por

∆S(c) = C(c)D

Dessa forma podemos dizer que

=C(c)=c = minus 1FD C(c)

Figura 6 - Circuito RC

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

60

Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa

funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja

derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever

C(c) = C7 ou

A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial

Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir

Capacitor Carregando Capacitor Descarregando

∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0

C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou

∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou

Manual de Laboratoacuterio

61

Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8

Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo

eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum

3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78

Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas

do capacitor durante o processo de

carga ou descarga

Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um

graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo

do tempo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no

capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte

Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor

quando o mesmo estaacute sendo carregado

Manual de Laboratoacuterio

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Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie

1 - Osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos

2 ndash Aparato Experimental

Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto

Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)

Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio

Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees

Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala

Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)

Manual de Laboratoacuterio

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TAREFA 1

Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees

Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico

Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito

Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito

Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos

Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio

TAREFA 2

Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie

Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

66

figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)

Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados

Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo

NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo

Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste

Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito

Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito

Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles

Manual de Laboratoacuterio

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MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS

Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais

Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio

Para onde aponta a buacutessola

Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc

E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial

tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos

que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a

soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio

4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja

httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4

Figura 10 - Buacutessola

Figura 11 - campo B resultante

Manual de Laboratoacuterio

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Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por

umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O

Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde

Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde

Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma

iacuteatilde() = ∙

onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde

5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass

The Physics Teacher 49(1) 45-48

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como

iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2

Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos

gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)

Logo

gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2

Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo

iacuteatilde() = amp

Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse

tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira

na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart

Manual de Laboratoacuterio

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pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do

que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute

yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp

onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico

da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos

yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp

Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Atividade de Laboratoacuterio III Projeto

OBJETIVO

Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio

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SUGESTAtildeO 1

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO

Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas

Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece

Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha

Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo

por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o

eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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SUGESTAtildeO 2

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA

Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)

Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica

Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de

uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)

Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema

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SUGESTAtildeO 3

BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO

Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola

Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)

Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina

O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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SUGESTAtildeO 4

CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO

O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer

Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio

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MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO

Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro

Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental

6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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110 V 127 V e 220 V O que eacute isso

As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V

Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas

A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

(c) = Jgt(c + acute)

onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por

∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)

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onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1

Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho

Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores

Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por

∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf

∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712

∆Suparamiddot = ∆S7radic2

Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a

tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s

A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente

alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$

Figura 13 - Funccedilotildees seno e

seno quadrado

Manual de Laboratoacuterio

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COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA

Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz

Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O

Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio

Natildeo queremos jogar energia fora

Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14

Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie

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Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por

0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)

onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)

Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

ℇ(c) = ℇ7gt(c)

onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente

Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na

figura 16 para um caso em que VL gt VC

Figura 15 - Diagrama de fasores

de um circuito RLC seacuterie com

fonte de tensatildeo alternada

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que

acute = c8 S minus SSu

Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado

por

i(c) = gt(c minus acute)

Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente

as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que

ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$

ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$

Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como

0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)

Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que

0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$

Figura 16 ndash Soma de fasores

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0eacutey = F ∙ uparamiddot$

onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square

Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que

F = frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte

Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade

7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL

Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e

resistecircncia num diagrama de fasores

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do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como

0 = AJradicAJ$ + AF$

O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP

DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11

Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia

Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por

acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita

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2 = 1D

Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica

Figura 18 - diagramas de fasores representando

um circuito capacitivo e um circuito indutivo

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Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie

O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio

TAREFA 1

Circuito Resistivo

Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR

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Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)

O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador

Circuito Capacitivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor

Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

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Circuito Indutivo

Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor

O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

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Circuito RLC

Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise

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O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador

Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio

O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior

Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor

Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou

A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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TAREFA 2

Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente

Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir

Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima

Qual o valor da corrente maacutexima no circuito

Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)

O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique

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TAREFA 3

Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito

Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees

Como isso eacute possiacutevel Explique

Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff

Respostas

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Respostas

A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32

A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH

A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH

B3 Ae = Af = AtildeAcircf

B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl

B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH

B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l

B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD

B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -

C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc

(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7

C2 O = ~13deg

C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)

Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-

vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr

Respostas

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C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM

C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD

(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD

C6 A = Eacute$Acirc

C7 A = Atilde$AcircL

D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma

das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp

D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(

D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1

no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)

D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme

D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D

E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)

E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D

E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml

F1 544 times 10

F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S

F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM

u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM

u (e) 0 = ℇMu

F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω

Respostas

98

F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965

G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n

G5 i = Ograve$g = 245 J

G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y

G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez

G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H

G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)

G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)

G15 (a) zL$brvbarM (b)

z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero

G16 z$L + z$L = z$L - + 1

G17 (a) pLM

amp (b) pusup3

ampL

G18 zzMu

G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)

z

G20 zNu saindo da folha

G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)

UgraveLMamp

fora do fio (a) z$L (b)

UgravebrvbarM$L (c)

Ugravebrvbarsup3ampL

G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13

G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM

ampu

H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior

Respostas

99

H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a

H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J

I2 Φ = pound$ sup1amp

I4 C = AcircsM

I6 (a) zM

NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar

J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a

(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S

J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu

(c) = -radic

J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm

(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013

Respostas

100

Bibliografia

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Problemas Selecionados

25

F12 ndash No circuito ao lado a bateria fornece 10 S o capacitor eacute de 1 e os resistores tecircm as resistecircncias indicadas na figura O circuito estaacute ligado haacute um longo tempo (a) Qual a ddp entre os terminais do capacitor (b) Se a bateria for desconectada quanto tempo levaraacute para que essa ddp atinja um deacutecimo do valor inicial

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(G) Campo Magneacutetico

G1 ndash Um proacuteton atravessa uma regiatildeo de campo magneacutetico uniforme = lang10 20 30rang 13 No tempo c- o proacuteton tem uma velocidade d = langde df 2rang e a forccedila magneacutetica sobre o proacuteton eacute g = lang4 times 10-h minus2 times 10-h 0rang H Nesse instante qual o valor de de e df

G2 ndash Um proacuteton viaja atraveacutes de uma regiatildeo de campo eleacutetrico e

magneacutetico uniformes onde = langminus25 0 0rang 13 Num certo instante a velocidade do proacuteton eacute d = lang0 2000 0rang Qual a forccedila resultante que age sobre o proacuteton se o campo eleacutetrico for

(a) A = lang0 0 4rang S (b) A = lang0 0 minus4rang S ou

(c) A = lang4 0 0rang S

G3 ndash Uma espira retangular de lados e estaacute numa regiatildeo de campo

magneacutetico perpendicular ao plano da espira e eacute percorrida por uma corrente i constante conforme mostra a figura ao lado Determine o torque sobre a espira

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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G4 ndash Dois trilhos de metal separados por uma distacircncia = = 256 estatildeo ligados a uma bateria No momento em que uma barra de metal de massa = 241 8 eacute colocada sobre os trilhos (c = 0) ela fecha o circuito e por ela passa uma corrente i = 913 J O conjunto estaacute numa regiatildeo onde existe um campo magneacutetico uniforme = 563 13 Qual a velocidade da barra 611 depois Em que direccedilatildeo ela se move

G5 ndash A figura ao lado mostra um cilindro de madeira de massa = 250 8 e comprimento 2 =10 onde foi enrolado um fio formando uma espira de 10 voltas O cilindro eacute posicionado de forma que o eixo da espira estaacute perpendicular ao plano inclinado (paralelo agrave normal do plano

inclinado) Nessa regiatildeo haacute um campo magneacutetico = lang0 05 0rang 13 Qual deve ser o valor miacutenimo da corrente na espira capaz de manter o cilindro em sua posiccedilatildeo evitando que ele role para baixo

G6 ndash A figura ao lado mostra um iacutematilde e um anel condutor de raio por onde passa uma corrente i Se o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde faz um acircngulo O com a vertical na posiccedilatildeo onde estaacute o anel qual eacute a magnitude e a direccedilatildeo da forccedila resultante sobre o anel

Problemas Selecionados

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G7 ndash Uma barra de metal com densidade de massa B (massa por unidade de comprimento) apresenta uma corrente i (saindo da paacutegina) A barra estaacute suspensa por dois fios num campo magneacutetico uniforme vertical como mostra a figura ao lado No equiliacutebrio os fios

fazem um acircngulo O com a vertical Qual a magnitude do campo magneacutetico

G8 ndash Um proacuteton com energia cineacutetica de 6 jS se move no plano da paacutegina e entra numa regiatildeo de campo magneacutetico = 1 13 direcionado para dentro da paacutegina como mostra a figura ao lado

O proacuteton entra na regiatildeo de campo com o vetor velocidade fazendo um acircngulo O- = 35deg com a borda da regiatildeo Qual eacute a distacircncia entre o ponto de entrada e saiacuteda ( na figura) Qual o valor de O$

G9 ndash Considere um eleacutetron orbitando um proacuteton numa trajetoacuteria circular de raio F = 529 times 10-- devido agrave atraccedilatildeo Coulombiana Considere o sistema como se fosse um anel por onde passa uma corrente Qual seraacute o torque resultante quando o sistema for colocado numa regiatildeo de campo magneacutetico = 04 13 perpendicular ao momento magneacutetico do anel

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G10 ndash Um fio por onde passa uma corrente i foi moldado num formato semicircular de raio F e uma reta de comprimento 2F como mostra a figura ao lado Nessa mesma regiatildeo haacute um campo magneacutetico que aponta na direccedilatildeo + (representado pelos pontos azuis na figura ao lado) Mostre que a

forccedila resultante sobre o fio eacute zero

G11 ndash Um condutor ciliacutendrico longo de raio conteacutem duas cavidades cada uma com diacircmetro ao longo de todo o comprimento do fio Uma visatildeo da seccedilatildeo transversal do fio eacute mostrada na figura ao lado Uma corrente i uniforme (considerando a porccedilatildeo soacutelida do material) passa atraveacutes do fio e aponta para fora da paacutegina Determine a magnitude e direccedilatildeo do campo

magneacutetico em funccedilatildeo de 7 i e no ponto P

G12 ndash Dois fios muito longos por onde passa corrente i de mesma magnitude estatildeo moldados conforme a figura ao lado

Mostre que o campo magneacutetico no centro do ciacuterculo de raio R eacute o mesmo que o

campo a uma distacircncia R abaixo de um fio reto muito longo por onde passa uma corrente i

Problemas Selecionados

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G13 ndash Encontre uma expressatildeo para determinar a magnitude do campo magneacutetico no ponto P da figura ao lado Dica considere a origem dos eixos cartesianos no ponto P

G14 ndash A figura ao lado mostra a seccedilatildeo transversal de um condutor oco de raio externo e interno por onde passa uma corrente uniforme i Demonstre que a magnitude do campo magneacutetico () para uma distacircncia lt lt eacute dada por

= 7i25($ minus $) $ minus $

G15 ndash A figura ao lado mostra um cabo coaxial de raios e Correntes opostas de igual magnitude estatildeo distribuiacutedas nos dois condutores Derive uma expressatildeo para calcular o campo magneacutetico () na regiatildeo (a) lt (b) lt lt (c) lt lt e (d) gt

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G16 ndash Um fio condutor por onde passa uma corrente i foi torcido para formar um loop de raio R (no plano da paacutegina) como mostra a figura abaixo Qual a direccedilatildeo do campo magneacutetico no

centro do loop Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico no centro do loop

G17 ndash Uma corrente i passa por um fio condutor ciliacutendrico de raio R como mostra a figura ao lado A densidade de corrente l natildeo eacute uniforme atraveacutes da seccedilatildeo transversal do fio mas obedece agrave funccedilatildeo l = onde eacute uma constante Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico (a) a uma distacircncia - lt F e (b) a uma distacircncia $ gt F(em relaccedilatildeo ao centro do condutor)

G18 ndash Um fio condutor muito longo por onde passa uma corrente i- estaacute parcialmente envolto por um loop por onde passa uma corrente i$ (figura ao lado) O loop fio foi moldado num formato semiciliacutendrico de raio R e o comprimento L O fio condutor passa pelo eixo do loop Calcule a forccedila magneacutetica exercida sobre o loop

G19 ndash Considere um solenoide de comprimento 2 e raio F contendo H voltas de um fio por onde passa uma corrente i (a) Determine uma expressatildeo para

o campo magneacutetico num ponto ao longo do eixo do solenoide do lado de fora do solenoide como funccedilatildeo da distacircncia ateacute uma das pontas (considere = 0 no centro do solenoide e = a distacircncia do centro ateacute o ponto onde estaacute sendo calculado o campo ) (b) Mostre que para

Problemas Selecionados

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valores muito grandes de 2 e = = 0 se aproxima de = 7i H 2frasl para posiccedilotildees ao longo do eixo no interior do solenoide distante das bordas

G20 ndash A figura ao lado mostra um fio moldado para formar duas seccedilotildees retas e um quarto de ciacuterculo por onde passa corrente i Determine o campo magneacutetico (vetor) no ponto P

G21 ndash Um fio ciliacutendrico espesso de raio eacute percorrido por uma corrente i Determine uma expressatildeo para o

campo magneacutetico dentro e fora do fio considerando que (a) a corrente estaacute distribuiacuteda uniformemente sobre a superfiacutecie externa do fio (b) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio com densidade de corrente l constante (c) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio de forma que a densidade de corrente l eacute proporcional agrave distacircncia ateacute o eixo do fio

G22 ndash Considere dois solenoides coaxiais cada um conduzindo uma corrente i em direccedilotildees opostas O solenoide interno de raio possui gt- voltas por unidade de comprimento o

solenoide externo possui raio e gt$ voltas por unidade de

comprimento Determine (a) no interior do conjunto (b) entre eles e (c) fora deles

G23 ndash Um fio condutor longo e reto de raio F conduz uma corrente natildeo uniforme cuja densidade de corrente eacute l = l7 Ffrasl onde l7 eacute uma constante A corrente total eacute i (a) Determine uma expressatildeo para i

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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em funccedilatildeo de l7 e F (b) Determine uma expressatildeo para o campo magneacutetico no interior do fio para uma distacircncia

G24 ndash A figura ao lado mostra um toroide que consiste num solenoide fechado em forma de anel (a) Considerando a simetria explique qual deve ser o formato do campo magneacutetico no interior desse toroide (b) Considere o toroide compacto (a separaccedilatildeo entre cada volta do fio eacute pequena) com N voltas conduzindo uma corrente i Usando a lei de Ampeacutere determine a magnitude do campo magneacutetico num ponto interno ao toroide a uma distacircncia do eixo principal (ver figura ao lado) (c) O campo magneacutetico no interior do toroide eacute um campo uniforme Explique

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(H) Lei de Faraday

H1 ndash A figura ao lado mostra dois aneis cujos eixos estatildeo alinhados separados por uma distacircncia x O anel maior tem raio F o anel menor tem raio Os aneis estatildeo separados por uma distacircncia ≫ F e por isso o campo magneacutetico devido agrave corrente no anel de raio F eacute praticamente uniforme no anel menor Considere que a distacircncia estaacute aumentando a uma taxa constante = =cfrasl = d (a) Determine uma expressatildeo para o fluxo de campo magneacutetico atraveacutes do anel menor como funccedilatildeo de Encontre uma expressatildeo para (b) a fem induzida e (c) a direccedilatildeo da corrente no anel menor

Problemas Selecionados

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H2 ndash (a) Calcule o fluxo magneacutetico atraveacutes do retacircngulo mostrado na figura ao lado em funccedilatildeo de = i (b) Avalie o resultado encontrado para = 5 = 10 = = 2 e i = 20 J

H3 ndash Uma espira plana e circular de raio =75 estaacute em repouso numa regiatildeo de campo magneacutetico uniforme A espira estaacute orientada de tal forma que o campo magneacutetico aponta para cima

e faz um acircngulo de 30deg com a normal da espira O campo varia com

o tempo de acordo com (c) = 14(77nho) 13 (a) Determine a fem induzida na espira em funccedilatildeo do tempo (b) Para que valor de c a fem induzida eacute igual a um deacutecimo do seu valor inicial Determine o sentido da corrente induzida na espira se observada por cima da espira

H4 ndash Um retacircngulo que mede 30 times 40 estaacute localizado no interior de um campo magneacutetico uniforme de 125 13 com o campo perpendicular ao plano da bobina A bobina se move perpendicular ao campo com velocidade constante d =2 inclusive atingindo a regiatildeo

onde o campo termina abruptamente como mostra a figura ao lado Determine a fem induzida nessa bobina quando ela estaacute (a) inteiramente no interior do campo (b) parcialmente no interior do campo e (c) inteiramente fora do campo

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H5 ndash O fio na figura ao lado conduz

uma corrente i(c) = i7po onde gt 0 Determine o sentido da corrente induzida na bobina (horaacuterio ou anti-horaacuterio) para c gt 0

H6 ndash A figura ao lado mostra uma espira circular de raio contendo uma resistecircncia e um capacitor ligados em seacuterie imerso numa regiatildeo onde um campo magneacutetico uniforme (no espaccedilo) entrando no plano na paacutegina decresce no tempo a uma taxa constante = =cfrasl = minus sendo uma constante positiva (a) Qual a carga no capacitor quando ele estaacute completamente carregado (b) Qual das placas do capacitor estaacute em potencial mais elevado (c) Qual a origem da forccedila que causa a separaccedilatildeo de cargas

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(I) Indutacircncia

I1 ndash No circuito ao lado ℰ = 100 SF- = 10 Ω F$ = 20 Ω Famp = 30 Ω e 2 = 2 H Ao fechar a chave S quais os valores de i- e i$ Considere positivo o sentido das correntes indicadas na figura Muito tempo

depois quais satildeo os valores de i- e i$ A chave eacute entatildeo aberta Nesse instante quais satildeo os valores de i- e i$ E muito tempo depois quais satildeo os valores de i- e i$

Problemas Selecionados

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I2 ndash Num circuito LC em seacuterie a carga inicial do capacitor eacute C e ele estaacute sendo descarregado Quando a carga no capacitor eacute igual a C 2frasl qual eacute o fluxo magneacutetico que atravessa cada uma das N espiras do indutor (como funccedilatildeo de C H 2 e D)

I3 ndash Uma bobina possui N voltas e estaacute envolvendo um solenoide longo de raio r com n espiras por unidade de comprimento (figura ao lado) (a) Mostre que a indutacircncia muacutetua do sistema eacute dada por j = 75F$gtH (b) Explique por que M natildeo depende do formato tamanho ou possiacutevel falta de proximidade das espiras na bobina

I4 ndash A fem autoinduzida num solenoide de indutacircncia L varia no tempo conforme ℇ(c) = ℇ7so Levando em consideraccedilatildeo que a carga eacute finita (ou seja i = 0 quando c = infin) determine a carga total que passa pelo solenoide (que atravessa um determinado ponto no fio que compotildee o solenoide)

I5 ndash Um fio condutor foi enrolado num papelatildeo formando um toroide com N espiras (voltas) raio menor r e maior R A seccedilatildeo transversal do toroide eacute mostrada na figura ao lado Se F ≫ o campo magneacutetico no interior do toroide eacute essencialmente o mesmo que o campo no interior de um solenoide muito longo que tenha sido

moldado no formato de um ciacuterculo de raio R Modelando o campo como se fosse o campo uniforme de um solenoide longo mostre que a indutacircncia desse toroide eacute

aproximadamente 2 asymp -$ 7H$ LMu

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I6 ndash Um indutor consiste em duas cascas ciliacutendricas concecircntricas como mostra a figura A casca interna tem raio e a externa tem raio ambas com comprimento ℎ A casca interna transporta uma corrente i para fora e a externa para dentro do plano da paacutegina com igual magnitude Calcule na regiatildeo lt lt (a) a densidade de energia magneacutetica (b) a indutacircncia

I7 ndash Mostre que i(c) = i7o wx eacute a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial iF + 2 yzyo = 0 onde i7 eacute a corrente em c = 0 e = 2 Ffrasl

I8 ndash Um fio condutor de raio R transporta uma corrente uniforme A corrente total no fio eacute i Mostre que a energia magneacutetica por unidade de comprimento dentro do fio eacute dada por 7i$ 165frasl

I9 ndash Um cabo coaxial eacute formado por dois cilindros condutores de paredes finas com raios - e $ As correntes nos dois cilindros satildeo iguais em magnitude mas com sentidos opostos (a) Use a lei de Ampeacutere para determinar o campo magneacutetico como funccedilatildeo da distacircncia ao eixo do cabo nas regiotildees (0 lt lt -) ( - lt lt $ ) e ( gt $) (b) Mostre que a densidade de energia magneacutetica na regiatildeo entre os cilindros eacute dada por

| = 12 745 i$(5$)-

(c) Mostre que a energia magneacutetica total num volume de cabo com comprimento ~ eacute dada por

Problemas Selecionados

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= i$~ ln LML

(d) Mostre que a autoindutacircncia por unidade de comprimento do cabo eacute dada por

2~ = 725 ln $-

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(J) Corrente Alternada

J1 ndash A tensatildeo de uma fonte de corrente alternada eacute dada por ∆d = 120gt(30 5c) onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A fonte eacute conectada a um indutor de 05 Determine (a) a frequecircncia da fonte (b) a voltagem rms no indutor (c) a reatacircncia indutiva do circuito (d) a corrente rms no indutor e (e) a corrente maacutexima no indutor

J2 ndash Uma fonte de tensatildeo alternada fornece uma tensatildeo ∆d = 98gt(80 5c) a um capacitor onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A corrente maacutexima no circuito eacute 05 J Determine (a) a tensatildeo rms da fonte (b) a frequecircncia da fonte e (c) o valor da capacitacircncia

J3 ndash Um circuito AC eacute composto por um resistor de 250 Ω um indutor de 15 um capacitor de 35 e uma fonte de tensatildeo alternada com amplitude de 45 S operando com frequecircncia angular = 360 = frasl (a) Qual eacute o fator de potecircncia do circuito (b) Determine a potecircncia meacutedia aparente (S) fornecida ao circuito (c) Qual eacute a potecircncia meacutedia ativa (P) dissipada no resistor Qual eacute a potecircncia meacutedia reativa (Q) que fica armazenada no circuito

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J4 ndash Cinco voltiacutemetros com impedacircncia muito grande ajustados para ler valores rms estatildeo conectados conforme a figura ao lado Sendo F =200 Ω 2 = 04 H D = 6 e ∆S = 30 Vqual eacute a leitura da tensatildeo em cada voltiacutemetro se (a) = 200 = frasl e (b) =1000 = frasl

J5 ndash Num circuito RLC 2 = 028 e D = 4 A fonte fornece uma voltagem com amplitude de 120 S Qual eacute a frequecircncia angular de ressonacircncia do circuito (b) Quando a fonte opera na frequecircncia angular de ressonacircncia a amplitude da corrente no circuito eacute 17 J Qual a resistecircncia do resistor (c) Na frequecircncia angular de ressonacircncia quais satildeo as voltagens de pico no indutor capacitor e resistor

J6 ndash O circuito ao lado conteacutem uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal conforme ℇ = ℇgt(c) No estado de equiliacutebrio temos as correntes mostradas no circuito Sem recorrer a uma matemaacutetica complicada responda (a) Quais os valores de u e quando = 0 (frequecircncia zero significa que

a fonte foi substituida por uma bateria ideal) (b) Quais os valores de u e quando rarr infin (c) Qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia

Problemas Selecionados

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J7 ndash Um indutor um capacitor e um resistor estatildeo conectados em seacuterie a uma fonte de tensatildeo alternada Se os valores da resistecircncia capacitacircncia e indutacircncia forem duplicados o que aconteceraacute com (a) a frequecircncia angular de ressonacircncia (b) a reatacircncia indutiva (c) a reatacircncia capacitiva e (d) a impedacircncia

J8 ndash O circuito abaixo eacute formado por uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal variando conforme ℇ = ℇgt(c) uma resistecircncia F = 6 Ω e uma parte desconhecida que pode conter um indutor um capacitor ou ambos A amplitude da fonte eacute ℇ = 6 S Quando a frequecircncia angular = 2 = a corrente estaacute em fase com a fonte enquanto que para = 1 = a corrente estaacute fora de fase em relaccedilatildeo agrave fonte por exatamente 5 4frasl (a) Quais componentes estatildeo presentes na parte desconhecida (um indutor um capacitor ou ambos) Explique (b) Determine os valores dos componentes desconhecidos

J9 ndash Um circuito em seacuterie possui impendecircncia de 60 Ω e fator de potecircncia igual a 072 em 50 A tensatildeo da fonte estaacute atrasada em relaccedilatildeo agrave corrente (a) Que elemento do circuito (um indutor ou um capacitor) deve ser ligado em seacuterie com o circuito para aumentar o fator de potecircncia (b) Qual deve ser o valor desse elemento para que o fator de potecircncia seja igual a 1 (c) Apresente diagramas de fasores esquemaacuteticos para o circuito antes e depois da ligaccedilatildeo do novo elemento

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O PROCESSO DE MEDIDA NO LABORATOacuteRIO DE FIacuteSICA

Natildeo satildeo raros eventos em que nos valemos de medidas para tomarmos decisotildees Medimos nossa temperatura corporal para avaliarmos se necessitamos de tratamento Medimos a pressatildeo manomeacutetrica dos pneus para avaliarmos se precisamos injetar ou retirar ar neles Consultamos medidas da temperatura ambiente para escolhermos a roupa que vestiremos Consultamos o horaacuterio (medida de tempo) para natildeo chegarmos atrasados em encontros Medidas satildeo portanto fundamentais em nossas vidas No entanto usualmente natildeo nos preocupamos muito com a precisatildeo dessas medidas Em grande parte das vezes natildeo nos interessa saber se o horaacuterio informado no reloacutegio estaacute um pouco atrasado ou adiantado Natildeo nos preocupamos em saber o quanto podemos confiar nas temperaturas coletadas com um determinado termocircmetro Nossas medidas comumente satildeo realizadas de forma despretensiosa sem muito rigor

No laboratoacuterio de Fiacutesica isso ocorre de modo muito diferente Os processos de mediccedilatildeo satildeo mais minuciosos do que os que realizamos costumeiramente Desejamos obter a maior precisatildeo possiacutevel com os equipamentos de que dispomos Mas como fazer isso Como podemos melhorar a precisatildeo dos processos de mediccedilatildeo Intuitivamente podemos concluir que inferecircncias realizadas a partir de um conjunto de medidas satildeo mais precisas do que medidas isoladas Mas quando disponho de um conjunto de medidas como posso analisaacute-las Calcular a meacutedia delas eacute suficiente Responder a questotildees como essas eacute o objetivo desta atividade Para exemplificarmos todo esse processo realizaremos um debate sobre a mediccedilatildeo da resistecircncia interna de amperiacutemetros

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O que satildeo amperiacutemetros

Um amperiacutemetro eacute um instrumento utilizado para a realizaccedilatildeo de medidas de correntes eleacutetricas Evidentemente natildeo queremos modificar os circuitos quando os exploramos com um instrumento Com amperiacutemetros natildeo eacute diferente Queremos medir correntes eleacutetricas sem alterar as caracteriacutesticas do circuito Mas como eacute possiacutevel fazer isso Natildeo discutiremos aqui os detalhes sobre o funcionamento interno de um amperiacutemetro No entanto vamos avaliaacute-los do ponto de vista de uma das suas caracteriacutesticas mais importantes a sua resistecircncia eleacutetrica

A resistecircncia eleacutetrica de um circuito influencia na intensidade da corrente eleacutetrica que circula nele A corrente eleacutetrica i que perpassa por uma resistecircncia eleacutetrica F submetida a uma tensatildeo ∆S por exemplo pode ser predita pela seguinte relaccedilatildeo

i = ∆u Eq 1

O amperiacutemetro precisa ser posicionado em seacuterie no circuito em que se deseja medir a corrente eleacutetrica como eacute exemplificado na figura

Figure 1- Medindo a resistecircncia interna de um multiacutemetro

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1 Como a resistecircncia equivalente em circuitos em seacuteries eacute a soma da resistecircncia eleacutetrica de cada um dos seus componentes a resistecircncia interna dos amperiacutemetros se soma agrave resistecircncia equivalente do circuito investigado alterando a sua dinacircmica Por isso nosso desejo eacute que os amperiacutemetros tenham resistecircncia eleacutetrica nula No entanto a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro real por menor que seja nunca eacute nula Eles possuem um circuito interno com fios e diversos componentes eletrocircnicos que acabam provocando uma resistecircncia agrave circulaccedilatildeo de corrente eleacutetrica Ainda assim frequentemente desprezamos tal resistecircncia Seraacute que isso eacute razoaacutevel Quando podemos desprezar a resistecircncia interna dos amperiacutemetros e quando natildeo podemos Para respondermos tais perguntas precisamos conhecer o valor da resistecircncia interna tiacutepica de um amperiacutemetro

Medindo a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro

Nesta disciplina usaremos diversos amperiacutemetros de uma mesma marca e modelo em uma seacuterie de experimentos (Minipa ET-2075B) Por isso eacute interessante que conheccedilamos a resistecircncia eleacutetrica deles para podermos avaliar quando podemos desprezaacute-la e quando natildeo Mas como podemos obter essa informaccedilatildeo Podemos medi-la Um procedimento simples para isso eacute submeter o amperiacutemetro a uma diferenccedila de potencial ΔV conhecida e medir a corrente eleacutetrica i que passa por ele Desse modo podemos usar a Eq 1 para inferir a resistecircncia eleacutetrica do equipamento Mas podemos confiar em uma uacutenica medida Depende da precisatildeo de que necessitamos para essa medida Intuitivamente sabemos que se medirmos a resistecircncia interna a partir de um conjunto de dados poderemos ter uma maior confiabilidade nos dados No exemplo de que estamos tratando eacute possiacutevel se coletar dados da corrente no amperiacutemetro quando submetido a diferentes tensotildees Desse modo pode-se inferir a resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro pela declividade da reta constituiacuteda

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pelos dados representados em um graacutefico da tensatildeo em funccedilatildeo da corrente eleacutetrica como pode ser constatado da Eq1 No entanto como temos incertezas associadas a cada dado experimental coletado esses dados natildeo seratildeo perfeitamente representados por uma reta Surge entatildeo uma nova questatildeo qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados

Ajuste de Curvas

Diversas retas podem ser ajustadas a um conjunto de dados experimental Qual delas utilizar Intuitivamente podemos conjecturar que a melhor reta a ser utilizada eacute aquela tal que a soma das diferenccedilas entre os valores de tensatildeo medidos e os preditos pela reta tenha o menor valor possiacutevel Em outras palavras queremos minimizar a soma

sum = = (∆Sz minus ∆S)z-

onde ∆Sz satildeo as tensotildees medidas e ∆S satildeo as tensotildees preditas pela reta ajustada

No entanto haacute um inconveniente importante no uso desse criteacuterio tal soma pode ser bem pequena para retas que natildeo apresentam bom ajuste aos dados se as diferenccedilas entre os valores medidos e os preditos se cancelarem sendo alguns positivos e outros negativos Nesses casos apesar de natildeo termos uma reta bem ajustada aos dados o criteacuterio utilizado

indicaria que sim Como resolver isso Elevando os valores de dn ao

Figura 1 - Diferenccedila de potencial em funccedilatildeo

da corrente

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quadrado Ou seja podemos procurar a reta tal que a seguinte soma tenha o menor valor possiacutevel

sum =$ = (∆Sz minus ∆S)$z-

O meacutetodo que utiliza esse criteacuterio para a realizaccedilatildeo de ajustes de curvas que eacute amplamente utilizado no meio acadecircmico eacute denominado Meacutetodo dos Miacutenimos Quadrados Todos os softwares do tipo planilha eletrocircnica realizam esse caacutelculo automaticamente e nos valeremos disso quando necessaacuterio

Todos os amperiacutemetros da sala possuem a mesma resistecircncia interna

Ainda que todos os amperiacutemetros que utilizaremos nas nossas aulas sejam da mesma marca e modelo eles possuem diferentes resistecircncias internas Existe alguma forma de estimar a resistecircncia interna de um desses amperiacutemetros escolhido aleatoriamente Calcular a meacutedia das resistecircncias eacute suficiente para realizar essa estimativa

Variabilidade das medidas o desvio padratildeo amostral e da meacutedia

Apesar de as resistecircncias dos amperiacutemetros natildeo serem exatamente as mesmas elas possuem valores que se distribuem em torno de um valor meacutedio que eacute igual agrave meacutedia dessas resistecircncias Desse modo se tomarmos um dos amperiacutemetros aleatoriamente o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute igual agrave meacutedia das resistecircncias internas de todos os amperiacutemetros Mas quanto podemos confiar nessa estimativa Para respondermos tal pergunta eacute importante quantificarmos a variabilidade das resistecircncias r que medimos Quanto menor for essa variabilidade maior seraacute a nossa confianccedila para assumir que a resistecircncia interna de um amperiacutemetro particular eacute igual agrave meacutedia Intuitivamente podemos conjecturar que tal variabilidade pode ser medida pelo somatoacuterio das diferenccedilas entre as resistecircncias

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medidas z e a meacutedia dessas resistecircncias ou seja por (- minus ) + ($ minus ) + ⋯ + ( minus ) onde N eacute o nuacutemero de medidas realizadas No entanto temos aqui um inconveniente semelhante ao que tivemos quando analisaacutevamos ajustes de curvas se valores positivos e negativos se cancelarem esse somatoacuterio pode ser muito pequeno mesmo quando os dados apresentam grande variabilidade Podemos propor a mesma soluccedilatildeo adotada anteriormente vamos elevar os termos ao quadrado Temos entatildeo a variabilidade dos dados sendo mensurada por (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$

A impossibilidade de comparaccedilatildeo entre as variabilidades de diferentes conjuntos de dados eacute a limitaccedilatildeo desta proposta pois o resultado desse somatoacuterio eacute altamente dependente da quantidade de termos Desse modo eacute possiacutevel que esse somatoacuterio seja maior para grandes conjuntos com pouca variabilidade do que para pequenos grupos com grande variabilidade Para amenizar tal limitaccedilatildeo podemos entatildeo dividir o somatoacuterio por N ou seja calcular a variabilidade por(- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$ Hfrasl Ainda que esse somatoacuterio seja conceitualmente interessante natildeo eacute essa a medida de dispersatildeo de dados que costuma ser utilizada no meio cientiacutefico mas algo que guarda alguma semelhanccedila com ele o desvio padratildeo dos dados (P) Ele eacute calculado por

PL = (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$H minus 1

Mas por que utilizamos essa equaccedilatildeo A resposta estaacute em suas propriedades Quando construiacutemos um histograma (graacutefico de frequecircncias) de um conjunto de medidas por exemplo podemos em muitos casos assumir que a distribuiccedilatildeo desses dados eacute representada por uma distribuiccedilatildeo normal A equaccedilatildeo que define essa distribuiccedilatildeo assim como sua representaccedilatildeo graacutefica eacute ilustrada na Figura 3

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Natildeo eacute nosso objetivo aqui discutir detalhes da distribuiccedilatildeo normal O que desejamos destacar eacute que quando supomos que a distribuiccedilatildeo de um conjunto de dados eacute normal o que eacute bastante razoaacutevel na maioria das vezes o desvio padratildeo σ quantifica como os dados estatildeo distribuiacutedos Para entendermos isso analisemos a Figura 4

O intervalo compreendido pela meacutedia das medidas mais ou menos um desvio padratildeo compreende 68 das medidas realizadas No caso que estamos exemplificando se tomarmos a meacutedia das resistecircncias internas r de todos os amperiacutemetros investigados e o desvio padratildeo PL desses dados 68 das medidas estaratildeo no intervalo entre ( minus PL) e ( + PL) 95 no intervalo ( 2PL) e 99 no intervalo ( 257PL)

Figura 2 - A distribuiccedilatildeo normal eacute usualmente utilizada para representar a distribuiccedilatildeo

de frequecircncias de um conjunto de dados (Lima Jr et al 2013 p 30)

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Agora jaacute sabemos como quantificar a variabilidade de um conjunto de dados Podemos entatildeo calcular a meacutedia e o desvio padratildeo das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros Mas surge entatildeo uma questatildeo Se analisaacutessemos um novo conjunto de amperiacutemetros da mesma marca e modelo dos exemplificados aqui a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros seria a mesma Provavelmente natildeo Temos como estimar a partir do conjunto de medidas que realizamos a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros Temos Para responder a essa questatildeo temos que compreender um novo conceito o de desvio padratildeo da meacutedia (PL) Ele eacute calculado por

PL = PLradicH

Natildeo vamos entrar em detalhes aqui sobre a origem do conceito de desvio padratildeo da meacutedia1 vamos apenas explicar como essa grandeza nos permite estimar a incerteza na meacutedia de um conjunto de medidas Para isso vamos supor um novo conjunto de N novas

1 Se vocecirc eacute um aluno curioso pesquise sobre o Teorema Central do Limite para compreender com mais profundidade o conceito de desvio padratildeo da meacutedia

Figura 3 - A meacutedia e o desvio padratildeo demarcam a distribuiccedilatildeo dos dados em uma

distribuiccedilatildeo normal Na figura o eixo das abcissas expressa a distacircncia da meacutedia em

unidades de desvio padratildeo (Lima Jr et al 2013 p 30)

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medidas da resistecircncia interna de amperiacutemetros como os investigados nesta aula Qual seria a meacutedia dessas medidas Assim como o desvio padratildeo dos dados quantifica a dispersatildeo dos dados em torno da meacutedia o desvio padratildeo da meacutedia quantifica a dispersatildeo das meacutedias de subconjuntos de dados em torno da meacutedia de todo o conjunto de dados Aplicando esse conceito ao nosso exemplo podemos interpretar os dois conjuntos de medidas de resistecircncias internas como subconjuntos de um grande conjunto contendo todas as medidas Desse modo podemos afirmar com 68 de confianccedila que a meacutedia das N novas medidas a serem realizadas estaraacute no intervalo compreendido por ( PL) com 95 de confianccedila no intervalo ( 2PL) e com 99 de confianccedila no intervalo ( 257PL) O desvio padratildeo da meacutedia pode ser compreendido assim como a incerteza da meacutedia de um conjunto de medidas ou seja ele nos fornece uma estimativa da confiabilidade de uma meacutedia Em suma se escolhermos um amperiacutemetro aleatoriamente podemos dizer que i) o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute a meacutedia das resistecircncias de todos os amperiacutemetros e ii) a incerteza que temos nesse valor eacute igual ao desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias dos amperiacutemetros

E se eu soacute tivesse condiccedilotildees de realizar uma uacutenica medida

Nem sempre podemos realizar diversas medidas de uma grandeza Em alguns casos nem mesmo faz sentido realizar diversas medidas No entanto eacute evidente que existe uma incerteza associada a uma uacutenica medida Natildeo existem instrumentos que sejam perfeitamente precisos Entatildeo como podemos estimar essa incerteza Usualmente os manuais dos instrumentos trazem informaccedilotildees sobre isso Desse modo as incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica realizadas com um voltiacutemetro e um amperiacutemetro podem ser consultadas no manual do multiacutemetro utilizado Mas como eacute calculada a incerteza da resistecircncia interna de um amperiacutemetro que foi calculada a partir de

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apenas uma medida de tensatildeo e uma de corrente eleacutetrica Nesse caso precisamos calcular a incerteza propagada das incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica

Os meacutetodos de caacutelculo de incertezas propagadas podem ser bastante complicados Aqui trataremos de um meacutetodo bastante simples usualmente denominado de Meacutetodo dos Limites Vamos exemplificaacute-lo supondo que a incerteza da tensatildeo sobre as entradas do amperiacutemetro eacute P- e da corrente eleacutetrica que circula por ele eacute P$ Ou seja a tensatildeo medida estaacute no intervalo entre ∆S minus P- e ∆S + P- e a corrente eleacutetrica entre i minus P$ e i + P$ Qual eacute entatildeo a incerteza da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro investigado Para responder isso basta calcularmos os valores limites dessa grandeza O maacuteximo valor possiacutevel para a resistecircncia ocorreraacute se a tensatildeo for ∆S + P- e a corrente eleacutetrica for i minus P$ Nesse caso usando a Eq 1 temos

aacutee = ∆S + P-i minus P$

Usando o mesmo raciociacutenio o valor miacutenimo de r seraacute

z = ∆S minus P-i + P$

Desse modo podemos dizer que o valor da resistecircncia interna medida estaacute no intervalo entre rmaacutex e rmiacuten Em outras palavras o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro eacute

F = iexclz + aacutee2 z minus aacutee2 cent

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Erro eacute a mesma coisa que incerteza

Apesar de serem frequentemente utilizados como sinocircnimos os manuais de metrologia atribuem significados distintos aos conceitos de ldquoerrordquo e ldquoincertezardquo O Guia para Expressatildeo da Incerteza da Mediccedilatildeo (Joint Commitee for Guide in Metrology 2008 apud Lima Jr et al 2013) usa o termo ldquoerrordquo para indicar a diferenccedila entre o valor verdadeiro e o resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo o conceito de erro tem uso restrito pois satildeo poucos os casos em que conhecemos o valor verdadeiro de uma grandeza Satildeo exemplos desses casos experimentos em que se deseja mensurar a velocidade da luz no vaacutecuo ou o valor de π que satildeo valores previamente conhecidos pelo experimentador O caacutelculo do erro soacute faz sentido para casos em que sabemos o valor verdadeiro da grandeza que se quer medir

A incerteza por outro lado eacute entendida como uma estimativa que quantifica a confiabilidade do resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo quando calculamos o desvio padratildeo da meacutedia de um conjunto de medidas estamos calculando a incerteza da meacutedia dessas medidas ou seja estamos avaliando a confianccedila que podemos ter em adotar a meacutedia dessas medidas como o valor da grandeza mensurada O conceito de incerteza portanto tem maior aplicabilidade do que o conceito de erro

Algarismos significativos e incerteza

Uma questatildeo frequente nas aulas de laboratoacuterio eacute Com quantos algarismos uma grandeza deve ser apresentada No laboratoacuterio a resposta dessa questatildeo eacute uma funccedilatildeo da incerteza da grandeza Devemos apresentar os dados ateacute o seu primeiro algarismo duvidoso Voltemos ao exemplo da resistecircncia interna dos amperiacutemetros Suponhamos que a meacutedia das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros eacute 21546 Ω e o desvio padratildeo dessa meacutedia que eacute

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entendido aqui como a incerteza da resistecircncia interna dos amperiacutemetros eacute 003 Ω Interpretando tais dados assumimos com 68 de certeza que a resistecircncia interna dos amperiacutemetros estaacute no intervalo entre 21246 e 21846 Ω Desse modo a segunda casa decimal da grandeza medida eacute duvidosa Por isso os algarismos subsequentes satildeo omitidos quando expressamos essa medida e a medida da resistecircncia interna dos amperiacutemetros exemplificados eacute exposta por (215 plusmn 003) Ω Em suma o resultado de uma mediccedilatildeo deve ser sempre expresso com a mesma quantidade de casas decimais que sua incerteza Os algarismos apresentados satildeo entatildeo chamados de algarismos significativos

Referecircncia

Lima Jr P Silva M T X Silveira F L Veit E A (2013) Laboratoacuterio de mecacircnica subsiacutedios para o ensino de Fiacutesica experimental Porto Alegre UFRGS Instituto de Fiacutesica Disponiacutevel em httphdlhandlenet1018390438

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Atividade de Laboratoacuterio I Instrumentos de medida e incertezas

Este material foi cuidadosamente preparado para auxiliar no andamento das atividades no laboratoacuterio de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo Eacute importante responder TODAS as perguntas

(indicadas pelo siacutembolo ) feitas ao longo do texto discutindo com seu grupo possiacuteveis respostas e justificando-as Sempre que possiacutevel faccedila isso por escrito

TAREFA 1

Construa um circuito contendo um resistor de 1 kΩ em seacuterie com uma fonte de tensatildeo contiacutenua e um multiacutemetro Coloque o multiacutemetro na funccedilatildeo amperiacutemetro na escala de miliampere Usando outro multiacutemetro meccedila a tensatildeo no amperiacutemetro Realize medidas com diferentes correntes eleacutetricas variando a tensatildeo de saiacuteda da fonte

Como podemos tratar esses dados se nosso objetivo eacute medir a resistecircncia interna do amperiacutemetro

Qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados

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Para responder essas questotildees se dirija a um dos computadores da sala e use um aplicativo que possibilite a construccedilatildeo de graacuteficos SciDavis por exemplo Insira seus dados no aplicativo construa o graacutefico desejado e encontre a melhor reta que se ajusta aos dados

Qual foi a melhor reta ajustada Determine a equaccedilatildeo dessa reta ajustada

Qual eacute o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro que vocecirc investigou

TAREFA 2

Utilize as medidas de todos os grupos da turma e aplique os conhecimentos abordados na tarefa de leitura para responder as seguintes questotildees

Qual deve ser a resistecircncia interna de um amperiacutemetro escolhido aleatoriamente entre os utilizados nesta aula

Qual eacute a incerteza desse valor

TAREFA 3

Suponha que o manual do Minipa ET-2075B informe que as medidas de tensatildeo e corrente realizadas nas faixas de milivolt e miliampere tecircm incerteza de 3 Use esses dados para calcular a

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incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1

Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma

Elas satildeo coerentes Por quecirc

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CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO

Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por

equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC

Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras

O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se

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extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo

No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador

Salvando vidas

ldquoafastem-se choquerdquo

Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de

sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos

O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo

Figura 4 - Desfibrilador

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esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)

Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma

sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o

miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia

Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2

2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387

Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)

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Circuito RC - seacuterie

Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C

Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que

∆S(c) + i(c)F = 0

Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo

i(c) = =C(c)=c

e a ddp no capacitor eacute dada por

∆S(c) = C(c)D

Dessa forma podemos dizer que

=C(c)=c = minus 1FD C(c)

Figura 6 - Circuito RC

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Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa

funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja

derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever

C(c) = C7 ou

A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial

Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir

Capacitor Carregando Capacitor Descarregando

∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0

C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou

∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou

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Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8

Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo

eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum

3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78

Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas

do capacitor durante o processo de

carga ou descarga

Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um

graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo

do tempo

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Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no

capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte

Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor

quando o mesmo estaacute sendo carregado

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Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie

1 - Osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos

2 ndash Aparato Experimental

Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito

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conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto

Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)

Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio

Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees

Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala

Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)

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TAREFA 1

Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees

Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico

Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito

Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito

Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos

Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio

TAREFA 2

Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie

Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)

Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados

Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo

NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo

Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste

Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito

Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito

Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles

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MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS

Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais

Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio

Para onde aponta a buacutessola

Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos

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polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc

E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial

tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos

que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a

soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio

4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja

httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4

Figura 10 - Buacutessola

Figura 11 - campo B resultante

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Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por

umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O

Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde

Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde

Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma

iacuteatilde() = ∙

onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde

5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass

The Physics Teacher 49(1) 45-48

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como

iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2

Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos

gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)

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gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2

Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo

iacuteatilde() = amp

Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse

tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira

na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart

Manual de Laboratoacuterio

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pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do

que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute

yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp

onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico

da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos

yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp

Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Atividade de Laboratoacuterio III Projeto

OBJETIVO

Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio

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SUGESTAtildeO 1

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO

Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas

Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece

Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha

Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo

por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o

eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte

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SUGESTAtildeO 2

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA

Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)

Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica

Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de

uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)

Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema

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SUGESTAtildeO 3

BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO

Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola

Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)

Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina

O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados

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SUGESTAtildeO 4

CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO

O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer

Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio

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MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO

Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro

Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental

6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089

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110 V 127 V e 220 V O que eacute isso

As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V

Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas

A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

(c) = Jgt(c + acute)

onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por

∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)

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onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1

Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho

Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores

Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No

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caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por

∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf

∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712

∆Suparamiddot = ∆S7radic2

Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a

tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s

A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente

alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$

Figura 13 - Funccedilotildees seno e

seno quadrado

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COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA

Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz

Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O

Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio

Natildeo queremos jogar energia fora

Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14

Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie

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Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por

0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)

onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)

Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

ℇ(c) = ℇ7gt(c)

onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente

Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na

figura 16 para um caso em que VL gt VC

Figura 15 - Diagrama de fasores

de um circuito RLC seacuterie com

fonte de tensatildeo alternada

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que

acute = c8 S minus SSu

Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado

por

i(c) = gt(c minus acute)

Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente

as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que

ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$

ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$

Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como

0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)

Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que

0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$

Figura 16 ndash Soma de fasores

Manual de Laboratoacuterio

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0eacutey = F ∙ uparamiddot$

onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square

Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que

F = frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte

Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade

7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL

Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e

resistecircncia num diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como

0 = AJradicAJ$ + AF$

O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP

DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11

Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia

Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por

acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita

Manual de Laboratoacuterio

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2 = 1D

Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica

Figura 18 - diagramas de fasores representando

um circuito capacitivo e um circuito indutivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie

O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio

TAREFA 1

Circuito Resistivo

Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR

Manual de Laboratoacuterio

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Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)

O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador

Circuito Capacitivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor

Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Manual de Laboratoacuterio

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Circuito Indutivo

Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor

O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Circuito RLC

Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise

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O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador

Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio

O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior

Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor

Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou

A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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TAREFA 2

Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente

Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir

Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima

Qual o valor da corrente maacutexima no circuito

Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)

O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique

Manual de Laboratoacuterio

95

TAREFA 3

Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito

Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees

Como isso eacute possiacutevel Explique

Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff

Respostas

96

Respostas

A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32

A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH

A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH

B3 Ae = Af = AtildeAcircf

B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl

B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH

B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l

B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD

B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -

C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc

(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7

C2 O = ~13deg

C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)

Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-

vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr

Respostas

97

C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM

C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD

(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD

C6 A = Eacute$Acirc

C7 A = Atilde$AcircL

D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma

das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp

D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(

D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1

no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)

D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme

D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D

E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)

E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D

E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml

F1 544 times 10

F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S

F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM

u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM

u (e) 0 = ℇMu

F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω

Respostas

98

F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965

G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n

G5 i = Ograve$g = 245 J

G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y

G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez

G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H

G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)

G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)

G15 (a) zL$brvbarM (b)

z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero

G16 z$L + z$L = z$L - + 1

G17 (a) pLM

amp (b) pusup3

ampL

G18 zzMu

G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)

z

G20 zNu saindo da folha

G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)

UgraveLMamp

fora do fio (a) z$L (b)

UgravebrvbarM$L (c)

Ugravebrvbarsup3ampL

G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13

G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM

ampu

H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior

Respostas

99

H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a

H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J

I2 Φ = pound$ sup1amp

I4 C = AcircsM

I6 (a) zM

NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar

J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a

(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S

J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu

(c) = -radic

J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm

(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013

Respostas

100

Bibliografia

Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il

Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il

Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il

Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm

Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il

Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il

Page 14: Prof a. Raquel Giulian Prof. Leonardo Albuquerque ... · 3ª semana: Lei de Gauss (fluxo elétrico, campo elétrico ... Aula de problemas e PROVA II 10º e 11ª semanas: Campo Magnético

Problemas Selecionados

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G7 ndash Uma barra de metal com densidade de massa B (massa por unidade de comprimento) apresenta uma corrente i (saindo da paacutegina) A barra estaacute suspensa por dois fios num campo magneacutetico uniforme vertical como mostra a figura ao lado No equiliacutebrio os fios

fazem um acircngulo O com a vertical Qual a magnitude do campo magneacutetico

G8 ndash Um proacuteton com energia cineacutetica de 6 jS se move no plano da paacutegina e entra numa regiatildeo de campo magneacutetico = 1 13 direcionado para dentro da paacutegina como mostra a figura ao lado

O proacuteton entra na regiatildeo de campo com o vetor velocidade fazendo um acircngulo O- = 35deg com a borda da regiatildeo Qual eacute a distacircncia entre o ponto de entrada e saiacuteda ( na figura) Qual o valor de O$

G9 ndash Considere um eleacutetron orbitando um proacuteton numa trajetoacuteria circular de raio F = 529 times 10-- devido agrave atraccedilatildeo Coulombiana Considere o sistema como se fosse um anel por onde passa uma corrente Qual seraacute o torque resultante quando o sistema for colocado numa regiatildeo de campo magneacutetico = 04 13 perpendicular ao momento magneacutetico do anel

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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G10 ndash Um fio por onde passa uma corrente i foi moldado num formato semicircular de raio F e uma reta de comprimento 2F como mostra a figura ao lado Nessa mesma regiatildeo haacute um campo magneacutetico que aponta na direccedilatildeo + (representado pelos pontos azuis na figura ao lado) Mostre que a

forccedila resultante sobre o fio eacute zero

G11 ndash Um condutor ciliacutendrico longo de raio conteacutem duas cavidades cada uma com diacircmetro ao longo de todo o comprimento do fio Uma visatildeo da seccedilatildeo transversal do fio eacute mostrada na figura ao lado Uma corrente i uniforme (considerando a porccedilatildeo soacutelida do material) passa atraveacutes do fio e aponta para fora da paacutegina Determine a magnitude e direccedilatildeo do campo

magneacutetico em funccedilatildeo de 7 i e no ponto P

G12 ndash Dois fios muito longos por onde passa corrente i de mesma magnitude estatildeo moldados conforme a figura ao lado

Mostre que o campo magneacutetico no centro do ciacuterculo de raio R eacute o mesmo que o

campo a uma distacircncia R abaixo de um fio reto muito longo por onde passa uma corrente i

Problemas Selecionados

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G13 ndash Encontre uma expressatildeo para determinar a magnitude do campo magneacutetico no ponto P da figura ao lado Dica considere a origem dos eixos cartesianos no ponto P

G14 ndash A figura ao lado mostra a seccedilatildeo transversal de um condutor oco de raio externo e interno por onde passa uma corrente uniforme i Demonstre que a magnitude do campo magneacutetico () para uma distacircncia lt lt eacute dada por

= 7i25($ minus $) $ minus $

G15 ndash A figura ao lado mostra um cabo coaxial de raios e Correntes opostas de igual magnitude estatildeo distribuiacutedas nos dois condutores Derive uma expressatildeo para calcular o campo magneacutetico () na regiatildeo (a) lt (b) lt lt (c) lt lt e (d) gt

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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G16 ndash Um fio condutor por onde passa uma corrente i foi torcido para formar um loop de raio R (no plano da paacutegina) como mostra a figura abaixo Qual a direccedilatildeo do campo magneacutetico no

centro do loop Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico no centro do loop

G17 ndash Uma corrente i passa por um fio condutor ciliacutendrico de raio R como mostra a figura ao lado A densidade de corrente l natildeo eacute uniforme atraveacutes da seccedilatildeo transversal do fio mas obedece agrave funccedilatildeo l = onde eacute uma constante Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico (a) a uma distacircncia - lt F e (b) a uma distacircncia $ gt F(em relaccedilatildeo ao centro do condutor)

G18 ndash Um fio condutor muito longo por onde passa uma corrente i- estaacute parcialmente envolto por um loop por onde passa uma corrente i$ (figura ao lado) O loop fio foi moldado num formato semiciliacutendrico de raio R e o comprimento L O fio condutor passa pelo eixo do loop Calcule a forccedila magneacutetica exercida sobre o loop

G19 ndash Considere um solenoide de comprimento 2 e raio F contendo H voltas de um fio por onde passa uma corrente i (a) Determine uma expressatildeo para

o campo magneacutetico num ponto ao longo do eixo do solenoide do lado de fora do solenoide como funccedilatildeo da distacircncia ateacute uma das pontas (considere = 0 no centro do solenoide e = a distacircncia do centro ateacute o ponto onde estaacute sendo calculado o campo ) (b) Mostre que para

Problemas Selecionados

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valores muito grandes de 2 e = = 0 se aproxima de = 7i H 2frasl para posiccedilotildees ao longo do eixo no interior do solenoide distante das bordas

G20 ndash A figura ao lado mostra um fio moldado para formar duas seccedilotildees retas e um quarto de ciacuterculo por onde passa corrente i Determine o campo magneacutetico (vetor) no ponto P

G21 ndash Um fio ciliacutendrico espesso de raio eacute percorrido por uma corrente i Determine uma expressatildeo para o

campo magneacutetico dentro e fora do fio considerando que (a) a corrente estaacute distribuiacuteda uniformemente sobre a superfiacutecie externa do fio (b) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio com densidade de corrente l constante (c) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio de forma que a densidade de corrente l eacute proporcional agrave distacircncia ateacute o eixo do fio

G22 ndash Considere dois solenoides coaxiais cada um conduzindo uma corrente i em direccedilotildees opostas O solenoide interno de raio possui gt- voltas por unidade de comprimento o

solenoide externo possui raio e gt$ voltas por unidade de

comprimento Determine (a) no interior do conjunto (b) entre eles e (c) fora deles

G23 ndash Um fio condutor longo e reto de raio F conduz uma corrente natildeo uniforme cuja densidade de corrente eacute l = l7 Ffrasl onde l7 eacute uma constante A corrente total eacute i (a) Determine uma expressatildeo para i

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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em funccedilatildeo de l7 e F (b) Determine uma expressatildeo para o campo magneacutetico no interior do fio para uma distacircncia

G24 ndash A figura ao lado mostra um toroide que consiste num solenoide fechado em forma de anel (a) Considerando a simetria explique qual deve ser o formato do campo magneacutetico no interior desse toroide (b) Considere o toroide compacto (a separaccedilatildeo entre cada volta do fio eacute pequena) com N voltas conduzindo uma corrente i Usando a lei de Ampeacutere determine a magnitude do campo magneacutetico num ponto interno ao toroide a uma distacircncia do eixo principal (ver figura ao lado) (c) O campo magneacutetico no interior do toroide eacute um campo uniforme Explique

-------------------------------------------------------------------------------------------

(H) Lei de Faraday

H1 ndash A figura ao lado mostra dois aneis cujos eixos estatildeo alinhados separados por uma distacircncia x O anel maior tem raio F o anel menor tem raio Os aneis estatildeo separados por uma distacircncia ≫ F e por isso o campo magneacutetico devido agrave corrente no anel de raio F eacute praticamente uniforme no anel menor Considere que a distacircncia estaacute aumentando a uma taxa constante = =cfrasl = d (a) Determine uma expressatildeo para o fluxo de campo magneacutetico atraveacutes do anel menor como funccedilatildeo de Encontre uma expressatildeo para (b) a fem induzida e (c) a direccedilatildeo da corrente no anel menor

Problemas Selecionados

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H2 ndash (a) Calcule o fluxo magneacutetico atraveacutes do retacircngulo mostrado na figura ao lado em funccedilatildeo de = i (b) Avalie o resultado encontrado para = 5 = 10 = = 2 e i = 20 J

H3 ndash Uma espira plana e circular de raio =75 estaacute em repouso numa regiatildeo de campo magneacutetico uniforme A espira estaacute orientada de tal forma que o campo magneacutetico aponta para cima

e faz um acircngulo de 30deg com a normal da espira O campo varia com

o tempo de acordo com (c) = 14(77nho) 13 (a) Determine a fem induzida na espira em funccedilatildeo do tempo (b) Para que valor de c a fem induzida eacute igual a um deacutecimo do seu valor inicial Determine o sentido da corrente induzida na espira se observada por cima da espira

H4 ndash Um retacircngulo que mede 30 times 40 estaacute localizado no interior de um campo magneacutetico uniforme de 125 13 com o campo perpendicular ao plano da bobina A bobina se move perpendicular ao campo com velocidade constante d =2 inclusive atingindo a regiatildeo

onde o campo termina abruptamente como mostra a figura ao lado Determine a fem induzida nessa bobina quando ela estaacute (a) inteiramente no interior do campo (b) parcialmente no interior do campo e (c) inteiramente fora do campo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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H5 ndash O fio na figura ao lado conduz

uma corrente i(c) = i7po onde gt 0 Determine o sentido da corrente induzida na bobina (horaacuterio ou anti-horaacuterio) para c gt 0

H6 ndash A figura ao lado mostra uma espira circular de raio contendo uma resistecircncia e um capacitor ligados em seacuterie imerso numa regiatildeo onde um campo magneacutetico uniforme (no espaccedilo) entrando no plano na paacutegina decresce no tempo a uma taxa constante = =cfrasl = minus sendo uma constante positiva (a) Qual a carga no capacitor quando ele estaacute completamente carregado (b) Qual das placas do capacitor estaacute em potencial mais elevado (c) Qual a origem da forccedila que causa a separaccedilatildeo de cargas

-------------------------------------------------------------------------------------------

(I) Indutacircncia

I1 ndash No circuito ao lado ℰ = 100 SF- = 10 Ω F$ = 20 Ω Famp = 30 Ω e 2 = 2 H Ao fechar a chave S quais os valores de i- e i$ Considere positivo o sentido das correntes indicadas na figura Muito tempo

depois quais satildeo os valores de i- e i$ A chave eacute entatildeo aberta Nesse instante quais satildeo os valores de i- e i$ E muito tempo depois quais satildeo os valores de i- e i$

Problemas Selecionados

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I2 ndash Num circuito LC em seacuterie a carga inicial do capacitor eacute C e ele estaacute sendo descarregado Quando a carga no capacitor eacute igual a C 2frasl qual eacute o fluxo magneacutetico que atravessa cada uma das N espiras do indutor (como funccedilatildeo de C H 2 e D)

I3 ndash Uma bobina possui N voltas e estaacute envolvendo um solenoide longo de raio r com n espiras por unidade de comprimento (figura ao lado) (a) Mostre que a indutacircncia muacutetua do sistema eacute dada por j = 75F$gtH (b) Explique por que M natildeo depende do formato tamanho ou possiacutevel falta de proximidade das espiras na bobina

I4 ndash A fem autoinduzida num solenoide de indutacircncia L varia no tempo conforme ℇ(c) = ℇ7so Levando em consideraccedilatildeo que a carga eacute finita (ou seja i = 0 quando c = infin) determine a carga total que passa pelo solenoide (que atravessa um determinado ponto no fio que compotildee o solenoide)

I5 ndash Um fio condutor foi enrolado num papelatildeo formando um toroide com N espiras (voltas) raio menor r e maior R A seccedilatildeo transversal do toroide eacute mostrada na figura ao lado Se F ≫ o campo magneacutetico no interior do toroide eacute essencialmente o mesmo que o campo no interior de um solenoide muito longo que tenha sido

moldado no formato de um ciacuterculo de raio R Modelando o campo como se fosse o campo uniforme de um solenoide longo mostre que a indutacircncia desse toroide eacute

aproximadamente 2 asymp -$ 7H$ LMu

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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I6 ndash Um indutor consiste em duas cascas ciliacutendricas concecircntricas como mostra a figura A casca interna tem raio e a externa tem raio ambas com comprimento ℎ A casca interna transporta uma corrente i para fora e a externa para dentro do plano da paacutegina com igual magnitude Calcule na regiatildeo lt lt (a) a densidade de energia magneacutetica (b) a indutacircncia

I7 ndash Mostre que i(c) = i7o wx eacute a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial iF + 2 yzyo = 0 onde i7 eacute a corrente em c = 0 e = 2 Ffrasl

I8 ndash Um fio condutor de raio R transporta uma corrente uniforme A corrente total no fio eacute i Mostre que a energia magneacutetica por unidade de comprimento dentro do fio eacute dada por 7i$ 165frasl

I9 ndash Um cabo coaxial eacute formado por dois cilindros condutores de paredes finas com raios - e $ As correntes nos dois cilindros satildeo iguais em magnitude mas com sentidos opostos (a) Use a lei de Ampeacutere para determinar o campo magneacutetico como funccedilatildeo da distacircncia ao eixo do cabo nas regiotildees (0 lt lt -) ( - lt lt $ ) e ( gt $) (b) Mostre que a densidade de energia magneacutetica na regiatildeo entre os cilindros eacute dada por

| = 12 745 i$(5$)-

(c) Mostre que a energia magneacutetica total num volume de cabo com comprimento ~ eacute dada por

Problemas Selecionados

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= i$~ ln LML

(d) Mostre que a autoindutacircncia por unidade de comprimento do cabo eacute dada por

2~ = 725 ln $-

-------------------------------------------------------------------------------------------

(J) Corrente Alternada

J1 ndash A tensatildeo de uma fonte de corrente alternada eacute dada por ∆d = 120gt(30 5c) onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A fonte eacute conectada a um indutor de 05 Determine (a) a frequecircncia da fonte (b) a voltagem rms no indutor (c) a reatacircncia indutiva do circuito (d) a corrente rms no indutor e (e) a corrente maacutexima no indutor

J2 ndash Uma fonte de tensatildeo alternada fornece uma tensatildeo ∆d = 98gt(80 5c) a um capacitor onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A corrente maacutexima no circuito eacute 05 J Determine (a) a tensatildeo rms da fonte (b) a frequecircncia da fonte e (c) o valor da capacitacircncia

J3 ndash Um circuito AC eacute composto por um resistor de 250 Ω um indutor de 15 um capacitor de 35 e uma fonte de tensatildeo alternada com amplitude de 45 S operando com frequecircncia angular = 360 = frasl (a) Qual eacute o fator de potecircncia do circuito (b) Determine a potecircncia meacutedia aparente (S) fornecida ao circuito (c) Qual eacute a potecircncia meacutedia ativa (P) dissipada no resistor Qual eacute a potecircncia meacutedia reativa (Q) que fica armazenada no circuito

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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J4 ndash Cinco voltiacutemetros com impedacircncia muito grande ajustados para ler valores rms estatildeo conectados conforme a figura ao lado Sendo F =200 Ω 2 = 04 H D = 6 e ∆S = 30 Vqual eacute a leitura da tensatildeo em cada voltiacutemetro se (a) = 200 = frasl e (b) =1000 = frasl

J5 ndash Num circuito RLC 2 = 028 e D = 4 A fonte fornece uma voltagem com amplitude de 120 S Qual eacute a frequecircncia angular de ressonacircncia do circuito (b) Quando a fonte opera na frequecircncia angular de ressonacircncia a amplitude da corrente no circuito eacute 17 J Qual a resistecircncia do resistor (c) Na frequecircncia angular de ressonacircncia quais satildeo as voltagens de pico no indutor capacitor e resistor

J6 ndash O circuito ao lado conteacutem uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal conforme ℇ = ℇgt(c) No estado de equiliacutebrio temos as correntes mostradas no circuito Sem recorrer a uma matemaacutetica complicada responda (a) Quais os valores de u e quando = 0 (frequecircncia zero significa que

a fonte foi substituida por uma bateria ideal) (b) Quais os valores de u e quando rarr infin (c) Qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia

Problemas Selecionados

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J7 ndash Um indutor um capacitor e um resistor estatildeo conectados em seacuterie a uma fonte de tensatildeo alternada Se os valores da resistecircncia capacitacircncia e indutacircncia forem duplicados o que aconteceraacute com (a) a frequecircncia angular de ressonacircncia (b) a reatacircncia indutiva (c) a reatacircncia capacitiva e (d) a impedacircncia

J8 ndash O circuito abaixo eacute formado por uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal variando conforme ℇ = ℇgt(c) uma resistecircncia F = 6 Ω e uma parte desconhecida que pode conter um indutor um capacitor ou ambos A amplitude da fonte eacute ℇ = 6 S Quando a frequecircncia angular = 2 = a corrente estaacute em fase com a fonte enquanto que para = 1 = a corrente estaacute fora de fase em relaccedilatildeo agrave fonte por exatamente 5 4frasl (a) Quais componentes estatildeo presentes na parte desconhecida (um indutor um capacitor ou ambos) Explique (b) Determine os valores dos componentes desconhecidos

J9 ndash Um circuito em seacuterie possui impendecircncia de 60 Ω e fator de potecircncia igual a 072 em 50 A tensatildeo da fonte estaacute atrasada em relaccedilatildeo agrave corrente (a) Que elemento do circuito (um indutor ou um capacitor) deve ser ligado em seacuterie com o circuito para aumentar o fator de potecircncia (b) Qual deve ser o valor desse elemento para que o fator de potecircncia seja igual a 1 (c) Apresente diagramas de fasores esquemaacuteticos para o circuito antes e depois da ligaccedilatildeo do novo elemento

Manual de Laboratoacuterio

Manual de Laboratoacuterio

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O PROCESSO DE MEDIDA NO LABORATOacuteRIO DE FIacuteSICA

Natildeo satildeo raros eventos em que nos valemos de medidas para tomarmos decisotildees Medimos nossa temperatura corporal para avaliarmos se necessitamos de tratamento Medimos a pressatildeo manomeacutetrica dos pneus para avaliarmos se precisamos injetar ou retirar ar neles Consultamos medidas da temperatura ambiente para escolhermos a roupa que vestiremos Consultamos o horaacuterio (medida de tempo) para natildeo chegarmos atrasados em encontros Medidas satildeo portanto fundamentais em nossas vidas No entanto usualmente natildeo nos preocupamos muito com a precisatildeo dessas medidas Em grande parte das vezes natildeo nos interessa saber se o horaacuterio informado no reloacutegio estaacute um pouco atrasado ou adiantado Natildeo nos preocupamos em saber o quanto podemos confiar nas temperaturas coletadas com um determinado termocircmetro Nossas medidas comumente satildeo realizadas de forma despretensiosa sem muito rigor

No laboratoacuterio de Fiacutesica isso ocorre de modo muito diferente Os processos de mediccedilatildeo satildeo mais minuciosos do que os que realizamos costumeiramente Desejamos obter a maior precisatildeo possiacutevel com os equipamentos de que dispomos Mas como fazer isso Como podemos melhorar a precisatildeo dos processos de mediccedilatildeo Intuitivamente podemos concluir que inferecircncias realizadas a partir de um conjunto de medidas satildeo mais precisas do que medidas isoladas Mas quando disponho de um conjunto de medidas como posso analisaacute-las Calcular a meacutedia delas eacute suficiente Responder a questotildees como essas eacute o objetivo desta atividade Para exemplificarmos todo esse processo realizaremos um debate sobre a mediccedilatildeo da resistecircncia interna de amperiacutemetros

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O que satildeo amperiacutemetros

Um amperiacutemetro eacute um instrumento utilizado para a realizaccedilatildeo de medidas de correntes eleacutetricas Evidentemente natildeo queremos modificar os circuitos quando os exploramos com um instrumento Com amperiacutemetros natildeo eacute diferente Queremos medir correntes eleacutetricas sem alterar as caracteriacutesticas do circuito Mas como eacute possiacutevel fazer isso Natildeo discutiremos aqui os detalhes sobre o funcionamento interno de um amperiacutemetro No entanto vamos avaliaacute-los do ponto de vista de uma das suas caracteriacutesticas mais importantes a sua resistecircncia eleacutetrica

A resistecircncia eleacutetrica de um circuito influencia na intensidade da corrente eleacutetrica que circula nele A corrente eleacutetrica i que perpassa por uma resistecircncia eleacutetrica F submetida a uma tensatildeo ∆S por exemplo pode ser predita pela seguinte relaccedilatildeo

i = ∆u Eq 1

O amperiacutemetro precisa ser posicionado em seacuterie no circuito em que se deseja medir a corrente eleacutetrica como eacute exemplificado na figura

Figure 1- Medindo a resistecircncia interna de um multiacutemetro

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1 Como a resistecircncia equivalente em circuitos em seacuteries eacute a soma da resistecircncia eleacutetrica de cada um dos seus componentes a resistecircncia interna dos amperiacutemetros se soma agrave resistecircncia equivalente do circuito investigado alterando a sua dinacircmica Por isso nosso desejo eacute que os amperiacutemetros tenham resistecircncia eleacutetrica nula No entanto a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro real por menor que seja nunca eacute nula Eles possuem um circuito interno com fios e diversos componentes eletrocircnicos que acabam provocando uma resistecircncia agrave circulaccedilatildeo de corrente eleacutetrica Ainda assim frequentemente desprezamos tal resistecircncia Seraacute que isso eacute razoaacutevel Quando podemos desprezar a resistecircncia interna dos amperiacutemetros e quando natildeo podemos Para respondermos tais perguntas precisamos conhecer o valor da resistecircncia interna tiacutepica de um amperiacutemetro

Medindo a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro

Nesta disciplina usaremos diversos amperiacutemetros de uma mesma marca e modelo em uma seacuterie de experimentos (Minipa ET-2075B) Por isso eacute interessante que conheccedilamos a resistecircncia eleacutetrica deles para podermos avaliar quando podemos desprezaacute-la e quando natildeo Mas como podemos obter essa informaccedilatildeo Podemos medi-la Um procedimento simples para isso eacute submeter o amperiacutemetro a uma diferenccedila de potencial ΔV conhecida e medir a corrente eleacutetrica i que passa por ele Desse modo podemos usar a Eq 1 para inferir a resistecircncia eleacutetrica do equipamento Mas podemos confiar em uma uacutenica medida Depende da precisatildeo de que necessitamos para essa medida Intuitivamente sabemos que se medirmos a resistecircncia interna a partir de um conjunto de dados poderemos ter uma maior confiabilidade nos dados No exemplo de que estamos tratando eacute possiacutevel se coletar dados da corrente no amperiacutemetro quando submetido a diferentes tensotildees Desse modo pode-se inferir a resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro pela declividade da reta constituiacuteda

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pelos dados representados em um graacutefico da tensatildeo em funccedilatildeo da corrente eleacutetrica como pode ser constatado da Eq1 No entanto como temos incertezas associadas a cada dado experimental coletado esses dados natildeo seratildeo perfeitamente representados por uma reta Surge entatildeo uma nova questatildeo qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados

Ajuste de Curvas

Diversas retas podem ser ajustadas a um conjunto de dados experimental Qual delas utilizar Intuitivamente podemos conjecturar que a melhor reta a ser utilizada eacute aquela tal que a soma das diferenccedilas entre os valores de tensatildeo medidos e os preditos pela reta tenha o menor valor possiacutevel Em outras palavras queremos minimizar a soma

sum = = (∆Sz minus ∆S)z-

onde ∆Sz satildeo as tensotildees medidas e ∆S satildeo as tensotildees preditas pela reta ajustada

No entanto haacute um inconveniente importante no uso desse criteacuterio tal soma pode ser bem pequena para retas que natildeo apresentam bom ajuste aos dados se as diferenccedilas entre os valores medidos e os preditos se cancelarem sendo alguns positivos e outros negativos Nesses casos apesar de natildeo termos uma reta bem ajustada aos dados o criteacuterio utilizado

indicaria que sim Como resolver isso Elevando os valores de dn ao

Figura 1 - Diferenccedila de potencial em funccedilatildeo

da corrente

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quadrado Ou seja podemos procurar a reta tal que a seguinte soma tenha o menor valor possiacutevel

sum =$ = (∆Sz minus ∆S)$z-

O meacutetodo que utiliza esse criteacuterio para a realizaccedilatildeo de ajustes de curvas que eacute amplamente utilizado no meio acadecircmico eacute denominado Meacutetodo dos Miacutenimos Quadrados Todos os softwares do tipo planilha eletrocircnica realizam esse caacutelculo automaticamente e nos valeremos disso quando necessaacuterio

Todos os amperiacutemetros da sala possuem a mesma resistecircncia interna

Ainda que todos os amperiacutemetros que utilizaremos nas nossas aulas sejam da mesma marca e modelo eles possuem diferentes resistecircncias internas Existe alguma forma de estimar a resistecircncia interna de um desses amperiacutemetros escolhido aleatoriamente Calcular a meacutedia das resistecircncias eacute suficiente para realizar essa estimativa

Variabilidade das medidas o desvio padratildeo amostral e da meacutedia

Apesar de as resistecircncias dos amperiacutemetros natildeo serem exatamente as mesmas elas possuem valores que se distribuem em torno de um valor meacutedio que eacute igual agrave meacutedia dessas resistecircncias Desse modo se tomarmos um dos amperiacutemetros aleatoriamente o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute igual agrave meacutedia das resistecircncias internas de todos os amperiacutemetros Mas quanto podemos confiar nessa estimativa Para respondermos tal pergunta eacute importante quantificarmos a variabilidade das resistecircncias r que medimos Quanto menor for essa variabilidade maior seraacute a nossa confianccedila para assumir que a resistecircncia interna de um amperiacutemetro particular eacute igual agrave meacutedia Intuitivamente podemos conjecturar que tal variabilidade pode ser medida pelo somatoacuterio das diferenccedilas entre as resistecircncias

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medidas z e a meacutedia dessas resistecircncias ou seja por (- minus ) + ($ minus ) + ⋯ + ( minus ) onde N eacute o nuacutemero de medidas realizadas No entanto temos aqui um inconveniente semelhante ao que tivemos quando analisaacutevamos ajustes de curvas se valores positivos e negativos se cancelarem esse somatoacuterio pode ser muito pequeno mesmo quando os dados apresentam grande variabilidade Podemos propor a mesma soluccedilatildeo adotada anteriormente vamos elevar os termos ao quadrado Temos entatildeo a variabilidade dos dados sendo mensurada por (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$

A impossibilidade de comparaccedilatildeo entre as variabilidades de diferentes conjuntos de dados eacute a limitaccedilatildeo desta proposta pois o resultado desse somatoacuterio eacute altamente dependente da quantidade de termos Desse modo eacute possiacutevel que esse somatoacuterio seja maior para grandes conjuntos com pouca variabilidade do que para pequenos grupos com grande variabilidade Para amenizar tal limitaccedilatildeo podemos entatildeo dividir o somatoacuterio por N ou seja calcular a variabilidade por(- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$ Hfrasl Ainda que esse somatoacuterio seja conceitualmente interessante natildeo eacute essa a medida de dispersatildeo de dados que costuma ser utilizada no meio cientiacutefico mas algo que guarda alguma semelhanccedila com ele o desvio padratildeo dos dados (P) Ele eacute calculado por

PL = (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$H minus 1

Mas por que utilizamos essa equaccedilatildeo A resposta estaacute em suas propriedades Quando construiacutemos um histograma (graacutefico de frequecircncias) de um conjunto de medidas por exemplo podemos em muitos casos assumir que a distribuiccedilatildeo desses dados eacute representada por uma distribuiccedilatildeo normal A equaccedilatildeo que define essa distribuiccedilatildeo assim como sua representaccedilatildeo graacutefica eacute ilustrada na Figura 3

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Natildeo eacute nosso objetivo aqui discutir detalhes da distribuiccedilatildeo normal O que desejamos destacar eacute que quando supomos que a distribuiccedilatildeo de um conjunto de dados eacute normal o que eacute bastante razoaacutevel na maioria das vezes o desvio padratildeo σ quantifica como os dados estatildeo distribuiacutedos Para entendermos isso analisemos a Figura 4

O intervalo compreendido pela meacutedia das medidas mais ou menos um desvio padratildeo compreende 68 das medidas realizadas No caso que estamos exemplificando se tomarmos a meacutedia das resistecircncias internas r de todos os amperiacutemetros investigados e o desvio padratildeo PL desses dados 68 das medidas estaratildeo no intervalo entre ( minus PL) e ( + PL) 95 no intervalo ( 2PL) e 99 no intervalo ( 257PL)

Figura 2 - A distribuiccedilatildeo normal eacute usualmente utilizada para representar a distribuiccedilatildeo

de frequecircncias de um conjunto de dados (Lima Jr et al 2013 p 30)

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Agora jaacute sabemos como quantificar a variabilidade de um conjunto de dados Podemos entatildeo calcular a meacutedia e o desvio padratildeo das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros Mas surge entatildeo uma questatildeo Se analisaacutessemos um novo conjunto de amperiacutemetros da mesma marca e modelo dos exemplificados aqui a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros seria a mesma Provavelmente natildeo Temos como estimar a partir do conjunto de medidas que realizamos a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros Temos Para responder a essa questatildeo temos que compreender um novo conceito o de desvio padratildeo da meacutedia (PL) Ele eacute calculado por

PL = PLradicH

Natildeo vamos entrar em detalhes aqui sobre a origem do conceito de desvio padratildeo da meacutedia1 vamos apenas explicar como essa grandeza nos permite estimar a incerteza na meacutedia de um conjunto de medidas Para isso vamos supor um novo conjunto de N novas

1 Se vocecirc eacute um aluno curioso pesquise sobre o Teorema Central do Limite para compreender com mais profundidade o conceito de desvio padratildeo da meacutedia

Figura 3 - A meacutedia e o desvio padratildeo demarcam a distribuiccedilatildeo dos dados em uma

distribuiccedilatildeo normal Na figura o eixo das abcissas expressa a distacircncia da meacutedia em

unidades de desvio padratildeo (Lima Jr et al 2013 p 30)

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medidas da resistecircncia interna de amperiacutemetros como os investigados nesta aula Qual seria a meacutedia dessas medidas Assim como o desvio padratildeo dos dados quantifica a dispersatildeo dos dados em torno da meacutedia o desvio padratildeo da meacutedia quantifica a dispersatildeo das meacutedias de subconjuntos de dados em torno da meacutedia de todo o conjunto de dados Aplicando esse conceito ao nosso exemplo podemos interpretar os dois conjuntos de medidas de resistecircncias internas como subconjuntos de um grande conjunto contendo todas as medidas Desse modo podemos afirmar com 68 de confianccedila que a meacutedia das N novas medidas a serem realizadas estaraacute no intervalo compreendido por ( PL) com 95 de confianccedila no intervalo ( 2PL) e com 99 de confianccedila no intervalo ( 257PL) O desvio padratildeo da meacutedia pode ser compreendido assim como a incerteza da meacutedia de um conjunto de medidas ou seja ele nos fornece uma estimativa da confiabilidade de uma meacutedia Em suma se escolhermos um amperiacutemetro aleatoriamente podemos dizer que i) o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute a meacutedia das resistecircncias de todos os amperiacutemetros e ii) a incerteza que temos nesse valor eacute igual ao desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias dos amperiacutemetros

E se eu soacute tivesse condiccedilotildees de realizar uma uacutenica medida

Nem sempre podemos realizar diversas medidas de uma grandeza Em alguns casos nem mesmo faz sentido realizar diversas medidas No entanto eacute evidente que existe uma incerteza associada a uma uacutenica medida Natildeo existem instrumentos que sejam perfeitamente precisos Entatildeo como podemos estimar essa incerteza Usualmente os manuais dos instrumentos trazem informaccedilotildees sobre isso Desse modo as incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica realizadas com um voltiacutemetro e um amperiacutemetro podem ser consultadas no manual do multiacutemetro utilizado Mas como eacute calculada a incerteza da resistecircncia interna de um amperiacutemetro que foi calculada a partir de

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apenas uma medida de tensatildeo e uma de corrente eleacutetrica Nesse caso precisamos calcular a incerteza propagada das incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica

Os meacutetodos de caacutelculo de incertezas propagadas podem ser bastante complicados Aqui trataremos de um meacutetodo bastante simples usualmente denominado de Meacutetodo dos Limites Vamos exemplificaacute-lo supondo que a incerteza da tensatildeo sobre as entradas do amperiacutemetro eacute P- e da corrente eleacutetrica que circula por ele eacute P$ Ou seja a tensatildeo medida estaacute no intervalo entre ∆S minus P- e ∆S + P- e a corrente eleacutetrica entre i minus P$ e i + P$ Qual eacute entatildeo a incerteza da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro investigado Para responder isso basta calcularmos os valores limites dessa grandeza O maacuteximo valor possiacutevel para a resistecircncia ocorreraacute se a tensatildeo for ∆S + P- e a corrente eleacutetrica for i minus P$ Nesse caso usando a Eq 1 temos

aacutee = ∆S + P-i minus P$

Usando o mesmo raciociacutenio o valor miacutenimo de r seraacute

z = ∆S minus P-i + P$

Desse modo podemos dizer que o valor da resistecircncia interna medida estaacute no intervalo entre rmaacutex e rmiacuten Em outras palavras o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro eacute

F = iexclz + aacutee2 z minus aacutee2 cent

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Erro eacute a mesma coisa que incerteza

Apesar de serem frequentemente utilizados como sinocircnimos os manuais de metrologia atribuem significados distintos aos conceitos de ldquoerrordquo e ldquoincertezardquo O Guia para Expressatildeo da Incerteza da Mediccedilatildeo (Joint Commitee for Guide in Metrology 2008 apud Lima Jr et al 2013) usa o termo ldquoerrordquo para indicar a diferenccedila entre o valor verdadeiro e o resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo o conceito de erro tem uso restrito pois satildeo poucos os casos em que conhecemos o valor verdadeiro de uma grandeza Satildeo exemplos desses casos experimentos em que se deseja mensurar a velocidade da luz no vaacutecuo ou o valor de π que satildeo valores previamente conhecidos pelo experimentador O caacutelculo do erro soacute faz sentido para casos em que sabemos o valor verdadeiro da grandeza que se quer medir

A incerteza por outro lado eacute entendida como uma estimativa que quantifica a confiabilidade do resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo quando calculamos o desvio padratildeo da meacutedia de um conjunto de medidas estamos calculando a incerteza da meacutedia dessas medidas ou seja estamos avaliando a confianccedila que podemos ter em adotar a meacutedia dessas medidas como o valor da grandeza mensurada O conceito de incerteza portanto tem maior aplicabilidade do que o conceito de erro

Algarismos significativos e incerteza

Uma questatildeo frequente nas aulas de laboratoacuterio eacute Com quantos algarismos uma grandeza deve ser apresentada No laboratoacuterio a resposta dessa questatildeo eacute uma funccedilatildeo da incerteza da grandeza Devemos apresentar os dados ateacute o seu primeiro algarismo duvidoso Voltemos ao exemplo da resistecircncia interna dos amperiacutemetros Suponhamos que a meacutedia das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros eacute 21546 Ω e o desvio padratildeo dessa meacutedia que eacute

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entendido aqui como a incerteza da resistecircncia interna dos amperiacutemetros eacute 003 Ω Interpretando tais dados assumimos com 68 de certeza que a resistecircncia interna dos amperiacutemetros estaacute no intervalo entre 21246 e 21846 Ω Desse modo a segunda casa decimal da grandeza medida eacute duvidosa Por isso os algarismos subsequentes satildeo omitidos quando expressamos essa medida e a medida da resistecircncia interna dos amperiacutemetros exemplificados eacute exposta por (215 plusmn 003) Ω Em suma o resultado de uma mediccedilatildeo deve ser sempre expresso com a mesma quantidade de casas decimais que sua incerteza Os algarismos apresentados satildeo entatildeo chamados de algarismos significativos

Referecircncia

Lima Jr P Silva M T X Silveira F L Veit E A (2013) Laboratoacuterio de mecacircnica subsiacutedios para o ensino de Fiacutesica experimental Porto Alegre UFRGS Instituto de Fiacutesica Disponiacutevel em httphdlhandlenet1018390438

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Atividade de Laboratoacuterio I Instrumentos de medida e incertezas

Este material foi cuidadosamente preparado para auxiliar no andamento das atividades no laboratoacuterio de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo Eacute importante responder TODAS as perguntas

(indicadas pelo siacutembolo ) feitas ao longo do texto discutindo com seu grupo possiacuteveis respostas e justificando-as Sempre que possiacutevel faccedila isso por escrito

TAREFA 1

Construa um circuito contendo um resistor de 1 kΩ em seacuterie com uma fonte de tensatildeo contiacutenua e um multiacutemetro Coloque o multiacutemetro na funccedilatildeo amperiacutemetro na escala de miliampere Usando outro multiacutemetro meccedila a tensatildeo no amperiacutemetro Realize medidas com diferentes correntes eleacutetricas variando a tensatildeo de saiacuteda da fonte

Como podemos tratar esses dados se nosso objetivo eacute medir a resistecircncia interna do amperiacutemetro

Qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados

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Para responder essas questotildees se dirija a um dos computadores da sala e use um aplicativo que possibilite a construccedilatildeo de graacuteficos SciDavis por exemplo Insira seus dados no aplicativo construa o graacutefico desejado e encontre a melhor reta que se ajusta aos dados

Qual foi a melhor reta ajustada Determine a equaccedilatildeo dessa reta ajustada

Qual eacute o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro que vocecirc investigou

TAREFA 2

Utilize as medidas de todos os grupos da turma e aplique os conhecimentos abordados na tarefa de leitura para responder as seguintes questotildees

Qual deve ser a resistecircncia interna de um amperiacutemetro escolhido aleatoriamente entre os utilizados nesta aula

Qual eacute a incerteza desse valor

TAREFA 3

Suponha que o manual do Minipa ET-2075B informe que as medidas de tensatildeo e corrente realizadas nas faixas de milivolt e miliampere tecircm incerteza de 3 Use esses dados para calcular a

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incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1

Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma

Elas satildeo coerentes Por quecirc

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CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO

Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por

equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC

Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras

O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se

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extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo

No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador

Salvando vidas

ldquoafastem-se choquerdquo

Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de

sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos

O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo

Figura 4 - Desfibrilador

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esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)

Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma

sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o

miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia

Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2

2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387

Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)

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Circuito RC - seacuterie

Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C

Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que

∆S(c) + i(c)F = 0

Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo

i(c) = =C(c)=c

e a ddp no capacitor eacute dada por

∆S(c) = C(c)D

Dessa forma podemos dizer que

=C(c)=c = minus 1FD C(c)

Figura 6 - Circuito RC

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa

funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja

derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever

C(c) = C7 ou

A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial

Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir

Capacitor Carregando Capacitor Descarregando

∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0

C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou

∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou

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Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8

Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo

eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum

3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78

Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas

do capacitor durante o processo de

carga ou descarga

Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um

graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo

do tempo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no

capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte

Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor

quando o mesmo estaacute sendo carregado

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Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie

1 - Osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos

2 ndash Aparato Experimental

Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto

Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)

Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio

Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees

Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala

Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)

Manual de Laboratoacuterio

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TAREFA 1

Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees

Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico

Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito

Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito

Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos

Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio

TAREFA 2

Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie

Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)

Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados

Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo

NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo

Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste

Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito

Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito

Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles

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MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS

Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais

Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio

Para onde aponta a buacutessola

Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos

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polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc

E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial

tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos

que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a

soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio

4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja

httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4

Figura 10 - Buacutessola

Figura 11 - campo B resultante

Manual de Laboratoacuterio

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Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por

umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O

Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde

Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde

Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma

iacuteatilde() = ∙

onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde

5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass

The Physics Teacher 49(1) 45-48

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Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como

iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2

Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos

gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)

Logo

gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2

Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo

iacuteatilde() = amp

Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse

tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira

na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart

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pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do

que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute

yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp

onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico

da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos

yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp

Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3

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Atividade de Laboratoacuterio III Projeto

OBJETIVO

Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio

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SUGESTAtildeO 1

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO

Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas

Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece

Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha

Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo

por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o

eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte

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SUGESTAtildeO 2

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA

Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)

Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica

Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de

uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)

Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema

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SUGESTAtildeO 3

BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO

Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola

Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)

Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina

O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados

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SUGESTAtildeO 4

CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO

O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer

Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio

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MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO

Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro

Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental

6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089

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110 V 127 V e 220 V O que eacute isso

As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V

Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas

A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

(c) = Jgt(c + acute)

onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por

∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)

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onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1

Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho

Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores

Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No

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caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por

∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf

∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712

∆Suparamiddot = ∆S7radic2

Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a

tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s

A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente

alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$

Figura 13 - Funccedilotildees seno e

seno quadrado

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COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA

Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz

Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O

Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio

Natildeo queremos jogar energia fora

Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14

Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie

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Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por

0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)

onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)

Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

ℇ(c) = ℇ7gt(c)

onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente

Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na

figura 16 para um caso em que VL gt VC

Figura 15 - Diagrama de fasores

de um circuito RLC seacuterie com

fonte de tensatildeo alternada

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

84

A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que

acute = c8 S minus SSu

Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado

por

i(c) = gt(c minus acute)

Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente

as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que

ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$

ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$

Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como

0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)

Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que

0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$

Figura 16 ndash Soma de fasores

Manual de Laboratoacuterio

85

0eacutey = F ∙ uparamiddot$

onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square

Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que

F = frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte

Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade

7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL

Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e

resistecircncia num diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

86

do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como

0 = AJradicAJ$ + AF$

O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP

DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11

Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia

Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por

acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita

Manual de Laboratoacuterio

87

2 = 1D

Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica

Figura 18 - diagramas de fasores representando

um circuito capacitivo e um circuito indutivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

88

Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie

O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio

TAREFA 1

Circuito Resistivo

Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR

Manual de Laboratoacuterio

89

Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)

O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador

Circuito Capacitivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

90

Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor

Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Manual de Laboratoacuterio

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Circuito Indutivo

Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor

O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

92

Circuito RLC

Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise

Manual de Laboratoacuterio

93

O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador

Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio

O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior

Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor

Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou

A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

94

TAREFA 2

Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente

Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir

Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima

Qual o valor da corrente maacutexima no circuito

Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)

O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique

Manual de Laboratoacuterio

95

TAREFA 3

Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito

Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees

Como isso eacute possiacutevel Explique

Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff

Respostas

96

Respostas

A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32

A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH

A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH

B3 Ae = Af = AtildeAcircf

B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl

B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH

B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l

B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD

B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -

C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc

(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7

C2 O = ~13deg

C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)

Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-

vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr

Respostas

97

C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM

C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD

(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD

C6 A = Eacute$Acirc

C7 A = Atilde$AcircL

D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma

das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp

D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(

D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1

no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)

D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme

D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D

E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)

E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D

E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml

F1 544 times 10

F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S

F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM

u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM

u (e) 0 = ℇMu

F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω

Respostas

98

F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965

G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n

G5 i = Ograve$g = 245 J

G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y

G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez

G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H

G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)

G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)

G15 (a) zL$brvbarM (b)

z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero

G16 z$L + z$L = z$L - + 1

G17 (a) pLM

amp (b) pusup3

ampL

G18 zzMu

G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)

z

G20 zNu saindo da folha

G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)

UgraveLMamp

fora do fio (a) z$L (b)

UgravebrvbarM$L (c)

Ugravebrvbarsup3ampL

G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13

G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM

ampu

H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior

Respostas

99

H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a

H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J

I2 Φ = pound$ sup1amp

I4 C = AcircsM

I6 (a) zM

NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar

J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a

(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S

J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu

(c) = -radic

J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm

(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013

Respostas

100

Bibliografia

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Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il

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Problemas Selecionados

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G13 ndash Encontre uma expressatildeo para determinar a magnitude do campo magneacutetico no ponto P da figura ao lado Dica considere a origem dos eixos cartesianos no ponto P

G14 ndash A figura ao lado mostra a seccedilatildeo transversal de um condutor oco de raio externo e interno por onde passa uma corrente uniforme i Demonstre que a magnitude do campo magneacutetico () para uma distacircncia lt lt eacute dada por

= 7i25($ minus $) $ minus $

G15 ndash A figura ao lado mostra um cabo coaxial de raios e Correntes opostas de igual magnitude estatildeo distribuiacutedas nos dois condutores Derive uma expressatildeo para calcular o campo magneacutetico () na regiatildeo (a) lt (b) lt lt (c) lt lt e (d) gt

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

30

G16 ndash Um fio condutor por onde passa uma corrente i foi torcido para formar um loop de raio R (no plano da paacutegina) como mostra a figura abaixo Qual a direccedilatildeo do campo magneacutetico no

centro do loop Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico no centro do loop

G17 ndash Uma corrente i passa por um fio condutor ciliacutendrico de raio R como mostra a figura ao lado A densidade de corrente l natildeo eacute uniforme atraveacutes da seccedilatildeo transversal do fio mas obedece agrave funccedilatildeo l = onde eacute uma constante Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico (a) a uma distacircncia - lt F e (b) a uma distacircncia $ gt F(em relaccedilatildeo ao centro do condutor)

G18 ndash Um fio condutor muito longo por onde passa uma corrente i- estaacute parcialmente envolto por um loop por onde passa uma corrente i$ (figura ao lado) O loop fio foi moldado num formato semiciliacutendrico de raio R e o comprimento L O fio condutor passa pelo eixo do loop Calcule a forccedila magneacutetica exercida sobre o loop

G19 ndash Considere um solenoide de comprimento 2 e raio F contendo H voltas de um fio por onde passa uma corrente i (a) Determine uma expressatildeo para

o campo magneacutetico num ponto ao longo do eixo do solenoide do lado de fora do solenoide como funccedilatildeo da distacircncia ateacute uma das pontas (considere = 0 no centro do solenoide e = a distacircncia do centro ateacute o ponto onde estaacute sendo calculado o campo ) (b) Mostre que para

Problemas Selecionados

31

valores muito grandes de 2 e = = 0 se aproxima de = 7i H 2frasl para posiccedilotildees ao longo do eixo no interior do solenoide distante das bordas

G20 ndash A figura ao lado mostra um fio moldado para formar duas seccedilotildees retas e um quarto de ciacuterculo por onde passa corrente i Determine o campo magneacutetico (vetor) no ponto P

G21 ndash Um fio ciliacutendrico espesso de raio eacute percorrido por uma corrente i Determine uma expressatildeo para o

campo magneacutetico dentro e fora do fio considerando que (a) a corrente estaacute distribuiacuteda uniformemente sobre a superfiacutecie externa do fio (b) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio com densidade de corrente l constante (c) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio de forma que a densidade de corrente l eacute proporcional agrave distacircncia ateacute o eixo do fio

G22 ndash Considere dois solenoides coaxiais cada um conduzindo uma corrente i em direccedilotildees opostas O solenoide interno de raio possui gt- voltas por unidade de comprimento o

solenoide externo possui raio e gt$ voltas por unidade de

comprimento Determine (a) no interior do conjunto (b) entre eles e (c) fora deles

G23 ndash Um fio condutor longo e reto de raio F conduz uma corrente natildeo uniforme cuja densidade de corrente eacute l = l7 Ffrasl onde l7 eacute uma constante A corrente total eacute i (a) Determine uma expressatildeo para i

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

32

em funccedilatildeo de l7 e F (b) Determine uma expressatildeo para o campo magneacutetico no interior do fio para uma distacircncia

G24 ndash A figura ao lado mostra um toroide que consiste num solenoide fechado em forma de anel (a) Considerando a simetria explique qual deve ser o formato do campo magneacutetico no interior desse toroide (b) Considere o toroide compacto (a separaccedilatildeo entre cada volta do fio eacute pequena) com N voltas conduzindo uma corrente i Usando a lei de Ampeacutere determine a magnitude do campo magneacutetico num ponto interno ao toroide a uma distacircncia do eixo principal (ver figura ao lado) (c) O campo magneacutetico no interior do toroide eacute um campo uniforme Explique

-------------------------------------------------------------------------------------------

(H) Lei de Faraday

H1 ndash A figura ao lado mostra dois aneis cujos eixos estatildeo alinhados separados por uma distacircncia x O anel maior tem raio F o anel menor tem raio Os aneis estatildeo separados por uma distacircncia ≫ F e por isso o campo magneacutetico devido agrave corrente no anel de raio F eacute praticamente uniforme no anel menor Considere que a distacircncia estaacute aumentando a uma taxa constante = =cfrasl = d (a) Determine uma expressatildeo para o fluxo de campo magneacutetico atraveacutes do anel menor como funccedilatildeo de Encontre uma expressatildeo para (b) a fem induzida e (c) a direccedilatildeo da corrente no anel menor

Problemas Selecionados

33

H2 ndash (a) Calcule o fluxo magneacutetico atraveacutes do retacircngulo mostrado na figura ao lado em funccedilatildeo de = i (b) Avalie o resultado encontrado para = 5 = 10 = = 2 e i = 20 J

H3 ndash Uma espira plana e circular de raio =75 estaacute em repouso numa regiatildeo de campo magneacutetico uniforme A espira estaacute orientada de tal forma que o campo magneacutetico aponta para cima

e faz um acircngulo de 30deg com a normal da espira O campo varia com

o tempo de acordo com (c) = 14(77nho) 13 (a) Determine a fem induzida na espira em funccedilatildeo do tempo (b) Para que valor de c a fem induzida eacute igual a um deacutecimo do seu valor inicial Determine o sentido da corrente induzida na espira se observada por cima da espira

H4 ndash Um retacircngulo que mede 30 times 40 estaacute localizado no interior de um campo magneacutetico uniforme de 125 13 com o campo perpendicular ao plano da bobina A bobina se move perpendicular ao campo com velocidade constante d =2 inclusive atingindo a regiatildeo

onde o campo termina abruptamente como mostra a figura ao lado Determine a fem induzida nessa bobina quando ela estaacute (a) inteiramente no interior do campo (b) parcialmente no interior do campo e (c) inteiramente fora do campo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

34

H5 ndash O fio na figura ao lado conduz

uma corrente i(c) = i7po onde gt 0 Determine o sentido da corrente induzida na bobina (horaacuterio ou anti-horaacuterio) para c gt 0

H6 ndash A figura ao lado mostra uma espira circular de raio contendo uma resistecircncia e um capacitor ligados em seacuterie imerso numa regiatildeo onde um campo magneacutetico uniforme (no espaccedilo) entrando no plano na paacutegina decresce no tempo a uma taxa constante = =cfrasl = minus sendo uma constante positiva (a) Qual a carga no capacitor quando ele estaacute completamente carregado (b) Qual das placas do capacitor estaacute em potencial mais elevado (c) Qual a origem da forccedila que causa a separaccedilatildeo de cargas

-------------------------------------------------------------------------------------------

(I) Indutacircncia

I1 ndash No circuito ao lado ℰ = 100 SF- = 10 Ω F$ = 20 Ω Famp = 30 Ω e 2 = 2 H Ao fechar a chave S quais os valores de i- e i$ Considere positivo o sentido das correntes indicadas na figura Muito tempo

depois quais satildeo os valores de i- e i$ A chave eacute entatildeo aberta Nesse instante quais satildeo os valores de i- e i$ E muito tempo depois quais satildeo os valores de i- e i$

Problemas Selecionados

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I2 ndash Num circuito LC em seacuterie a carga inicial do capacitor eacute C e ele estaacute sendo descarregado Quando a carga no capacitor eacute igual a C 2frasl qual eacute o fluxo magneacutetico que atravessa cada uma das N espiras do indutor (como funccedilatildeo de C H 2 e D)

I3 ndash Uma bobina possui N voltas e estaacute envolvendo um solenoide longo de raio r com n espiras por unidade de comprimento (figura ao lado) (a) Mostre que a indutacircncia muacutetua do sistema eacute dada por j = 75F$gtH (b) Explique por que M natildeo depende do formato tamanho ou possiacutevel falta de proximidade das espiras na bobina

I4 ndash A fem autoinduzida num solenoide de indutacircncia L varia no tempo conforme ℇ(c) = ℇ7so Levando em consideraccedilatildeo que a carga eacute finita (ou seja i = 0 quando c = infin) determine a carga total que passa pelo solenoide (que atravessa um determinado ponto no fio que compotildee o solenoide)

I5 ndash Um fio condutor foi enrolado num papelatildeo formando um toroide com N espiras (voltas) raio menor r e maior R A seccedilatildeo transversal do toroide eacute mostrada na figura ao lado Se F ≫ o campo magneacutetico no interior do toroide eacute essencialmente o mesmo que o campo no interior de um solenoide muito longo que tenha sido

moldado no formato de um ciacuterculo de raio R Modelando o campo como se fosse o campo uniforme de um solenoide longo mostre que a indutacircncia desse toroide eacute

aproximadamente 2 asymp -$ 7H$ LMu

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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I6 ndash Um indutor consiste em duas cascas ciliacutendricas concecircntricas como mostra a figura A casca interna tem raio e a externa tem raio ambas com comprimento ℎ A casca interna transporta uma corrente i para fora e a externa para dentro do plano da paacutegina com igual magnitude Calcule na regiatildeo lt lt (a) a densidade de energia magneacutetica (b) a indutacircncia

I7 ndash Mostre que i(c) = i7o wx eacute a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial iF + 2 yzyo = 0 onde i7 eacute a corrente em c = 0 e = 2 Ffrasl

I8 ndash Um fio condutor de raio R transporta uma corrente uniforme A corrente total no fio eacute i Mostre que a energia magneacutetica por unidade de comprimento dentro do fio eacute dada por 7i$ 165frasl

I9 ndash Um cabo coaxial eacute formado por dois cilindros condutores de paredes finas com raios - e $ As correntes nos dois cilindros satildeo iguais em magnitude mas com sentidos opostos (a) Use a lei de Ampeacutere para determinar o campo magneacutetico como funccedilatildeo da distacircncia ao eixo do cabo nas regiotildees (0 lt lt -) ( - lt lt $ ) e ( gt $) (b) Mostre que a densidade de energia magneacutetica na regiatildeo entre os cilindros eacute dada por

| = 12 745 i$(5$)-

(c) Mostre que a energia magneacutetica total num volume de cabo com comprimento ~ eacute dada por

Problemas Selecionados

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= i$~ ln LML

(d) Mostre que a autoindutacircncia por unidade de comprimento do cabo eacute dada por

2~ = 725 ln $-

-------------------------------------------------------------------------------------------

(J) Corrente Alternada

J1 ndash A tensatildeo de uma fonte de corrente alternada eacute dada por ∆d = 120gt(30 5c) onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A fonte eacute conectada a um indutor de 05 Determine (a) a frequecircncia da fonte (b) a voltagem rms no indutor (c) a reatacircncia indutiva do circuito (d) a corrente rms no indutor e (e) a corrente maacutexima no indutor

J2 ndash Uma fonte de tensatildeo alternada fornece uma tensatildeo ∆d = 98gt(80 5c) a um capacitor onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A corrente maacutexima no circuito eacute 05 J Determine (a) a tensatildeo rms da fonte (b) a frequecircncia da fonte e (c) o valor da capacitacircncia

J3 ndash Um circuito AC eacute composto por um resistor de 250 Ω um indutor de 15 um capacitor de 35 e uma fonte de tensatildeo alternada com amplitude de 45 S operando com frequecircncia angular = 360 = frasl (a) Qual eacute o fator de potecircncia do circuito (b) Determine a potecircncia meacutedia aparente (S) fornecida ao circuito (c) Qual eacute a potecircncia meacutedia ativa (P) dissipada no resistor Qual eacute a potecircncia meacutedia reativa (Q) que fica armazenada no circuito

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J4 ndash Cinco voltiacutemetros com impedacircncia muito grande ajustados para ler valores rms estatildeo conectados conforme a figura ao lado Sendo F =200 Ω 2 = 04 H D = 6 e ∆S = 30 Vqual eacute a leitura da tensatildeo em cada voltiacutemetro se (a) = 200 = frasl e (b) =1000 = frasl

J5 ndash Num circuito RLC 2 = 028 e D = 4 A fonte fornece uma voltagem com amplitude de 120 S Qual eacute a frequecircncia angular de ressonacircncia do circuito (b) Quando a fonte opera na frequecircncia angular de ressonacircncia a amplitude da corrente no circuito eacute 17 J Qual a resistecircncia do resistor (c) Na frequecircncia angular de ressonacircncia quais satildeo as voltagens de pico no indutor capacitor e resistor

J6 ndash O circuito ao lado conteacutem uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal conforme ℇ = ℇgt(c) No estado de equiliacutebrio temos as correntes mostradas no circuito Sem recorrer a uma matemaacutetica complicada responda (a) Quais os valores de u e quando = 0 (frequecircncia zero significa que

a fonte foi substituida por uma bateria ideal) (b) Quais os valores de u e quando rarr infin (c) Qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia

Problemas Selecionados

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J7 ndash Um indutor um capacitor e um resistor estatildeo conectados em seacuterie a uma fonte de tensatildeo alternada Se os valores da resistecircncia capacitacircncia e indutacircncia forem duplicados o que aconteceraacute com (a) a frequecircncia angular de ressonacircncia (b) a reatacircncia indutiva (c) a reatacircncia capacitiva e (d) a impedacircncia

J8 ndash O circuito abaixo eacute formado por uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal variando conforme ℇ = ℇgt(c) uma resistecircncia F = 6 Ω e uma parte desconhecida que pode conter um indutor um capacitor ou ambos A amplitude da fonte eacute ℇ = 6 S Quando a frequecircncia angular = 2 = a corrente estaacute em fase com a fonte enquanto que para = 1 = a corrente estaacute fora de fase em relaccedilatildeo agrave fonte por exatamente 5 4frasl (a) Quais componentes estatildeo presentes na parte desconhecida (um indutor um capacitor ou ambos) Explique (b) Determine os valores dos componentes desconhecidos

J9 ndash Um circuito em seacuterie possui impendecircncia de 60 Ω e fator de potecircncia igual a 072 em 50 A tensatildeo da fonte estaacute atrasada em relaccedilatildeo agrave corrente (a) Que elemento do circuito (um indutor ou um capacitor) deve ser ligado em seacuterie com o circuito para aumentar o fator de potecircncia (b) Qual deve ser o valor desse elemento para que o fator de potecircncia seja igual a 1 (c) Apresente diagramas de fasores esquemaacuteticos para o circuito antes e depois da ligaccedilatildeo do novo elemento

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O PROCESSO DE MEDIDA NO LABORATOacuteRIO DE FIacuteSICA

Natildeo satildeo raros eventos em que nos valemos de medidas para tomarmos decisotildees Medimos nossa temperatura corporal para avaliarmos se necessitamos de tratamento Medimos a pressatildeo manomeacutetrica dos pneus para avaliarmos se precisamos injetar ou retirar ar neles Consultamos medidas da temperatura ambiente para escolhermos a roupa que vestiremos Consultamos o horaacuterio (medida de tempo) para natildeo chegarmos atrasados em encontros Medidas satildeo portanto fundamentais em nossas vidas No entanto usualmente natildeo nos preocupamos muito com a precisatildeo dessas medidas Em grande parte das vezes natildeo nos interessa saber se o horaacuterio informado no reloacutegio estaacute um pouco atrasado ou adiantado Natildeo nos preocupamos em saber o quanto podemos confiar nas temperaturas coletadas com um determinado termocircmetro Nossas medidas comumente satildeo realizadas de forma despretensiosa sem muito rigor

No laboratoacuterio de Fiacutesica isso ocorre de modo muito diferente Os processos de mediccedilatildeo satildeo mais minuciosos do que os que realizamos costumeiramente Desejamos obter a maior precisatildeo possiacutevel com os equipamentos de que dispomos Mas como fazer isso Como podemos melhorar a precisatildeo dos processos de mediccedilatildeo Intuitivamente podemos concluir que inferecircncias realizadas a partir de um conjunto de medidas satildeo mais precisas do que medidas isoladas Mas quando disponho de um conjunto de medidas como posso analisaacute-las Calcular a meacutedia delas eacute suficiente Responder a questotildees como essas eacute o objetivo desta atividade Para exemplificarmos todo esse processo realizaremos um debate sobre a mediccedilatildeo da resistecircncia interna de amperiacutemetros

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O que satildeo amperiacutemetros

Um amperiacutemetro eacute um instrumento utilizado para a realizaccedilatildeo de medidas de correntes eleacutetricas Evidentemente natildeo queremos modificar os circuitos quando os exploramos com um instrumento Com amperiacutemetros natildeo eacute diferente Queremos medir correntes eleacutetricas sem alterar as caracteriacutesticas do circuito Mas como eacute possiacutevel fazer isso Natildeo discutiremos aqui os detalhes sobre o funcionamento interno de um amperiacutemetro No entanto vamos avaliaacute-los do ponto de vista de uma das suas caracteriacutesticas mais importantes a sua resistecircncia eleacutetrica

A resistecircncia eleacutetrica de um circuito influencia na intensidade da corrente eleacutetrica que circula nele A corrente eleacutetrica i que perpassa por uma resistecircncia eleacutetrica F submetida a uma tensatildeo ∆S por exemplo pode ser predita pela seguinte relaccedilatildeo

i = ∆u Eq 1

O amperiacutemetro precisa ser posicionado em seacuterie no circuito em que se deseja medir a corrente eleacutetrica como eacute exemplificado na figura

Figure 1- Medindo a resistecircncia interna de um multiacutemetro

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1 Como a resistecircncia equivalente em circuitos em seacuteries eacute a soma da resistecircncia eleacutetrica de cada um dos seus componentes a resistecircncia interna dos amperiacutemetros se soma agrave resistecircncia equivalente do circuito investigado alterando a sua dinacircmica Por isso nosso desejo eacute que os amperiacutemetros tenham resistecircncia eleacutetrica nula No entanto a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro real por menor que seja nunca eacute nula Eles possuem um circuito interno com fios e diversos componentes eletrocircnicos que acabam provocando uma resistecircncia agrave circulaccedilatildeo de corrente eleacutetrica Ainda assim frequentemente desprezamos tal resistecircncia Seraacute que isso eacute razoaacutevel Quando podemos desprezar a resistecircncia interna dos amperiacutemetros e quando natildeo podemos Para respondermos tais perguntas precisamos conhecer o valor da resistecircncia interna tiacutepica de um amperiacutemetro

Medindo a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro

Nesta disciplina usaremos diversos amperiacutemetros de uma mesma marca e modelo em uma seacuterie de experimentos (Minipa ET-2075B) Por isso eacute interessante que conheccedilamos a resistecircncia eleacutetrica deles para podermos avaliar quando podemos desprezaacute-la e quando natildeo Mas como podemos obter essa informaccedilatildeo Podemos medi-la Um procedimento simples para isso eacute submeter o amperiacutemetro a uma diferenccedila de potencial ΔV conhecida e medir a corrente eleacutetrica i que passa por ele Desse modo podemos usar a Eq 1 para inferir a resistecircncia eleacutetrica do equipamento Mas podemos confiar em uma uacutenica medida Depende da precisatildeo de que necessitamos para essa medida Intuitivamente sabemos que se medirmos a resistecircncia interna a partir de um conjunto de dados poderemos ter uma maior confiabilidade nos dados No exemplo de que estamos tratando eacute possiacutevel se coletar dados da corrente no amperiacutemetro quando submetido a diferentes tensotildees Desse modo pode-se inferir a resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro pela declividade da reta constituiacuteda

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pelos dados representados em um graacutefico da tensatildeo em funccedilatildeo da corrente eleacutetrica como pode ser constatado da Eq1 No entanto como temos incertezas associadas a cada dado experimental coletado esses dados natildeo seratildeo perfeitamente representados por uma reta Surge entatildeo uma nova questatildeo qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados

Ajuste de Curvas

Diversas retas podem ser ajustadas a um conjunto de dados experimental Qual delas utilizar Intuitivamente podemos conjecturar que a melhor reta a ser utilizada eacute aquela tal que a soma das diferenccedilas entre os valores de tensatildeo medidos e os preditos pela reta tenha o menor valor possiacutevel Em outras palavras queremos minimizar a soma

sum = = (∆Sz minus ∆S)z-

onde ∆Sz satildeo as tensotildees medidas e ∆S satildeo as tensotildees preditas pela reta ajustada

No entanto haacute um inconveniente importante no uso desse criteacuterio tal soma pode ser bem pequena para retas que natildeo apresentam bom ajuste aos dados se as diferenccedilas entre os valores medidos e os preditos se cancelarem sendo alguns positivos e outros negativos Nesses casos apesar de natildeo termos uma reta bem ajustada aos dados o criteacuterio utilizado

indicaria que sim Como resolver isso Elevando os valores de dn ao

Figura 1 - Diferenccedila de potencial em funccedilatildeo

da corrente

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quadrado Ou seja podemos procurar a reta tal que a seguinte soma tenha o menor valor possiacutevel

sum =$ = (∆Sz minus ∆S)$z-

O meacutetodo que utiliza esse criteacuterio para a realizaccedilatildeo de ajustes de curvas que eacute amplamente utilizado no meio acadecircmico eacute denominado Meacutetodo dos Miacutenimos Quadrados Todos os softwares do tipo planilha eletrocircnica realizam esse caacutelculo automaticamente e nos valeremos disso quando necessaacuterio

Todos os amperiacutemetros da sala possuem a mesma resistecircncia interna

Ainda que todos os amperiacutemetros que utilizaremos nas nossas aulas sejam da mesma marca e modelo eles possuem diferentes resistecircncias internas Existe alguma forma de estimar a resistecircncia interna de um desses amperiacutemetros escolhido aleatoriamente Calcular a meacutedia das resistecircncias eacute suficiente para realizar essa estimativa

Variabilidade das medidas o desvio padratildeo amostral e da meacutedia

Apesar de as resistecircncias dos amperiacutemetros natildeo serem exatamente as mesmas elas possuem valores que se distribuem em torno de um valor meacutedio que eacute igual agrave meacutedia dessas resistecircncias Desse modo se tomarmos um dos amperiacutemetros aleatoriamente o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute igual agrave meacutedia das resistecircncias internas de todos os amperiacutemetros Mas quanto podemos confiar nessa estimativa Para respondermos tal pergunta eacute importante quantificarmos a variabilidade das resistecircncias r que medimos Quanto menor for essa variabilidade maior seraacute a nossa confianccedila para assumir que a resistecircncia interna de um amperiacutemetro particular eacute igual agrave meacutedia Intuitivamente podemos conjecturar que tal variabilidade pode ser medida pelo somatoacuterio das diferenccedilas entre as resistecircncias

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medidas z e a meacutedia dessas resistecircncias ou seja por (- minus ) + ($ minus ) + ⋯ + ( minus ) onde N eacute o nuacutemero de medidas realizadas No entanto temos aqui um inconveniente semelhante ao que tivemos quando analisaacutevamos ajustes de curvas se valores positivos e negativos se cancelarem esse somatoacuterio pode ser muito pequeno mesmo quando os dados apresentam grande variabilidade Podemos propor a mesma soluccedilatildeo adotada anteriormente vamos elevar os termos ao quadrado Temos entatildeo a variabilidade dos dados sendo mensurada por (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$

A impossibilidade de comparaccedilatildeo entre as variabilidades de diferentes conjuntos de dados eacute a limitaccedilatildeo desta proposta pois o resultado desse somatoacuterio eacute altamente dependente da quantidade de termos Desse modo eacute possiacutevel que esse somatoacuterio seja maior para grandes conjuntos com pouca variabilidade do que para pequenos grupos com grande variabilidade Para amenizar tal limitaccedilatildeo podemos entatildeo dividir o somatoacuterio por N ou seja calcular a variabilidade por(- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$ Hfrasl Ainda que esse somatoacuterio seja conceitualmente interessante natildeo eacute essa a medida de dispersatildeo de dados que costuma ser utilizada no meio cientiacutefico mas algo que guarda alguma semelhanccedila com ele o desvio padratildeo dos dados (P) Ele eacute calculado por

PL = (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$H minus 1

Mas por que utilizamos essa equaccedilatildeo A resposta estaacute em suas propriedades Quando construiacutemos um histograma (graacutefico de frequecircncias) de um conjunto de medidas por exemplo podemos em muitos casos assumir que a distribuiccedilatildeo desses dados eacute representada por uma distribuiccedilatildeo normal A equaccedilatildeo que define essa distribuiccedilatildeo assim como sua representaccedilatildeo graacutefica eacute ilustrada na Figura 3

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Natildeo eacute nosso objetivo aqui discutir detalhes da distribuiccedilatildeo normal O que desejamos destacar eacute que quando supomos que a distribuiccedilatildeo de um conjunto de dados eacute normal o que eacute bastante razoaacutevel na maioria das vezes o desvio padratildeo σ quantifica como os dados estatildeo distribuiacutedos Para entendermos isso analisemos a Figura 4

O intervalo compreendido pela meacutedia das medidas mais ou menos um desvio padratildeo compreende 68 das medidas realizadas No caso que estamos exemplificando se tomarmos a meacutedia das resistecircncias internas r de todos os amperiacutemetros investigados e o desvio padratildeo PL desses dados 68 das medidas estaratildeo no intervalo entre ( minus PL) e ( + PL) 95 no intervalo ( 2PL) e 99 no intervalo ( 257PL)

Figura 2 - A distribuiccedilatildeo normal eacute usualmente utilizada para representar a distribuiccedilatildeo

de frequecircncias de um conjunto de dados (Lima Jr et al 2013 p 30)

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Agora jaacute sabemos como quantificar a variabilidade de um conjunto de dados Podemos entatildeo calcular a meacutedia e o desvio padratildeo das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros Mas surge entatildeo uma questatildeo Se analisaacutessemos um novo conjunto de amperiacutemetros da mesma marca e modelo dos exemplificados aqui a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros seria a mesma Provavelmente natildeo Temos como estimar a partir do conjunto de medidas que realizamos a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros Temos Para responder a essa questatildeo temos que compreender um novo conceito o de desvio padratildeo da meacutedia (PL) Ele eacute calculado por

PL = PLradicH

Natildeo vamos entrar em detalhes aqui sobre a origem do conceito de desvio padratildeo da meacutedia1 vamos apenas explicar como essa grandeza nos permite estimar a incerteza na meacutedia de um conjunto de medidas Para isso vamos supor um novo conjunto de N novas

1 Se vocecirc eacute um aluno curioso pesquise sobre o Teorema Central do Limite para compreender com mais profundidade o conceito de desvio padratildeo da meacutedia

Figura 3 - A meacutedia e o desvio padratildeo demarcam a distribuiccedilatildeo dos dados em uma

distribuiccedilatildeo normal Na figura o eixo das abcissas expressa a distacircncia da meacutedia em

unidades de desvio padratildeo (Lima Jr et al 2013 p 30)

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medidas da resistecircncia interna de amperiacutemetros como os investigados nesta aula Qual seria a meacutedia dessas medidas Assim como o desvio padratildeo dos dados quantifica a dispersatildeo dos dados em torno da meacutedia o desvio padratildeo da meacutedia quantifica a dispersatildeo das meacutedias de subconjuntos de dados em torno da meacutedia de todo o conjunto de dados Aplicando esse conceito ao nosso exemplo podemos interpretar os dois conjuntos de medidas de resistecircncias internas como subconjuntos de um grande conjunto contendo todas as medidas Desse modo podemos afirmar com 68 de confianccedila que a meacutedia das N novas medidas a serem realizadas estaraacute no intervalo compreendido por ( PL) com 95 de confianccedila no intervalo ( 2PL) e com 99 de confianccedila no intervalo ( 257PL) O desvio padratildeo da meacutedia pode ser compreendido assim como a incerteza da meacutedia de um conjunto de medidas ou seja ele nos fornece uma estimativa da confiabilidade de uma meacutedia Em suma se escolhermos um amperiacutemetro aleatoriamente podemos dizer que i) o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute a meacutedia das resistecircncias de todos os amperiacutemetros e ii) a incerteza que temos nesse valor eacute igual ao desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias dos amperiacutemetros

E se eu soacute tivesse condiccedilotildees de realizar uma uacutenica medida

Nem sempre podemos realizar diversas medidas de uma grandeza Em alguns casos nem mesmo faz sentido realizar diversas medidas No entanto eacute evidente que existe uma incerteza associada a uma uacutenica medida Natildeo existem instrumentos que sejam perfeitamente precisos Entatildeo como podemos estimar essa incerteza Usualmente os manuais dos instrumentos trazem informaccedilotildees sobre isso Desse modo as incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica realizadas com um voltiacutemetro e um amperiacutemetro podem ser consultadas no manual do multiacutemetro utilizado Mas como eacute calculada a incerteza da resistecircncia interna de um amperiacutemetro que foi calculada a partir de

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apenas uma medida de tensatildeo e uma de corrente eleacutetrica Nesse caso precisamos calcular a incerteza propagada das incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica

Os meacutetodos de caacutelculo de incertezas propagadas podem ser bastante complicados Aqui trataremos de um meacutetodo bastante simples usualmente denominado de Meacutetodo dos Limites Vamos exemplificaacute-lo supondo que a incerteza da tensatildeo sobre as entradas do amperiacutemetro eacute P- e da corrente eleacutetrica que circula por ele eacute P$ Ou seja a tensatildeo medida estaacute no intervalo entre ∆S minus P- e ∆S + P- e a corrente eleacutetrica entre i minus P$ e i + P$ Qual eacute entatildeo a incerteza da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro investigado Para responder isso basta calcularmos os valores limites dessa grandeza O maacuteximo valor possiacutevel para a resistecircncia ocorreraacute se a tensatildeo for ∆S + P- e a corrente eleacutetrica for i minus P$ Nesse caso usando a Eq 1 temos

aacutee = ∆S + P-i minus P$

Usando o mesmo raciociacutenio o valor miacutenimo de r seraacute

z = ∆S minus P-i + P$

Desse modo podemos dizer que o valor da resistecircncia interna medida estaacute no intervalo entre rmaacutex e rmiacuten Em outras palavras o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro eacute

F = iexclz + aacutee2 z minus aacutee2 cent

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Erro eacute a mesma coisa que incerteza

Apesar de serem frequentemente utilizados como sinocircnimos os manuais de metrologia atribuem significados distintos aos conceitos de ldquoerrordquo e ldquoincertezardquo O Guia para Expressatildeo da Incerteza da Mediccedilatildeo (Joint Commitee for Guide in Metrology 2008 apud Lima Jr et al 2013) usa o termo ldquoerrordquo para indicar a diferenccedila entre o valor verdadeiro e o resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo o conceito de erro tem uso restrito pois satildeo poucos os casos em que conhecemos o valor verdadeiro de uma grandeza Satildeo exemplos desses casos experimentos em que se deseja mensurar a velocidade da luz no vaacutecuo ou o valor de π que satildeo valores previamente conhecidos pelo experimentador O caacutelculo do erro soacute faz sentido para casos em que sabemos o valor verdadeiro da grandeza que se quer medir

A incerteza por outro lado eacute entendida como uma estimativa que quantifica a confiabilidade do resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo quando calculamos o desvio padratildeo da meacutedia de um conjunto de medidas estamos calculando a incerteza da meacutedia dessas medidas ou seja estamos avaliando a confianccedila que podemos ter em adotar a meacutedia dessas medidas como o valor da grandeza mensurada O conceito de incerteza portanto tem maior aplicabilidade do que o conceito de erro

Algarismos significativos e incerteza

Uma questatildeo frequente nas aulas de laboratoacuterio eacute Com quantos algarismos uma grandeza deve ser apresentada No laboratoacuterio a resposta dessa questatildeo eacute uma funccedilatildeo da incerteza da grandeza Devemos apresentar os dados ateacute o seu primeiro algarismo duvidoso Voltemos ao exemplo da resistecircncia interna dos amperiacutemetros Suponhamos que a meacutedia das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros eacute 21546 Ω e o desvio padratildeo dessa meacutedia que eacute

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entendido aqui como a incerteza da resistecircncia interna dos amperiacutemetros eacute 003 Ω Interpretando tais dados assumimos com 68 de certeza que a resistecircncia interna dos amperiacutemetros estaacute no intervalo entre 21246 e 21846 Ω Desse modo a segunda casa decimal da grandeza medida eacute duvidosa Por isso os algarismos subsequentes satildeo omitidos quando expressamos essa medida e a medida da resistecircncia interna dos amperiacutemetros exemplificados eacute exposta por (215 plusmn 003) Ω Em suma o resultado de uma mediccedilatildeo deve ser sempre expresso com a mesma quantidade de casas decimais que sua incerteza Os algarismos apresentados satildeo entatildeo chamados de algarismos significativos

Referecircncia

Lima Jr P Silva M T X Silveira F L Veit E A (2013) Laboratoacuterio de mecacircnica subsiacutedios para o ensino de Fiacutesica experimental Porto Alegre UFRGS Instituto de Fiacutesica Disponiacutevel em httphdlhandlenet1018390438

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Atividade de Laboratoacuterio I Instrumentos de medida e incertezas

Este material foi cuidadosamente preparado para auxiliar no andamento das atividades no laboratoacuterio de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo Eacute importante responder TODAS as perguntas

(indicadas pelo siacutembolo ) feitas ao longo do texto discutindo com seu grupo possiacuteveis respostas e justificando-as Sempre que possiacutevel faccedila isso por escrito

TAREFA 1

Construa um circuito contendo um resistor de 1 kΩ em seacuterie com uma fonte de tensatildeo contiacutenua e um multiacutemetro Coloque o multiacutemetro na funccedilatildeo amperiacutemetro na escala de miliampere Usando outro multiacutemetro meccedila a tensatildeo no amperiacutemetro Realize medidas com diferentes correntes eleacutetricas variando a tensatildeo de saiacuteda da fonte

Como podemos tratar esses dados se nosso objetivo eacute medir a resistecircncia interna do amperiacutemetro

Qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados

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Para responder essas questotildees se dirija a um dos computadores da sala e use um aplicativo que possibilite a construccedilatildeo de graacuteficos SciDavis por exemplo Insira seus dados no aplicativo construa o graacutefico desejado e encontre a melhor reta que se ajusta aos dados

Qual foi a melhor reta ajustada Determine a equaccedilatildeo dessa reta ajustada

Qual eacute o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro que vocecirc investigou

TAREFA 2

Utilize as medidas de todos os grupos da turma e aplique os conhecimentos abordados na tarefa de leitura para responder as seguintes questotildees

Qual deve ser a resistecircncia interna de um amperiacutemetro escolhido aleatoriamente entre os utilizados nesta aula

Qual eacute a incerteza desse valor

TAREFA 3

Suponha que o manual do Minipa ET-2075B informe que as medidas de tensatildeo e corrente realizadas nas faixas de milivolt e miliampere tecircm incerteza de 3 Use esses dados para calcular a

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incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1

Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma

Elas satildeo coerentes Por quecirc

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CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO

Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por

equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC

Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras

O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se

Manual de Laboratoacuterio

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extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo

No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador

Salvando vidas

ldquoafastem-se choquerdquo

Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de

sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos

O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo

Figura 4 - Desfibrilador

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)

Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma

sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o

miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia

Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2

2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387

Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)

Manual de Laboratoacuterio

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Circuito RC - seacuterie

Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C

Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que

∆S(c) + i(c)F = 0

Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo

i(c) = =C(c)=c

e a ddp no capacitor eacute dada por

∆S(c) = C(c)D

Dessa forma podemos dizer que

=C(c)=c = minus 1FD C(c)

Figura 6 - Circuito RC

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa

funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja

derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever

C(c) = C7 ou

A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial

Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir

Capacitor Carregando Capacitor Descarregando

∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0

C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou

∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou

Manual de Laboratoacuterio

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Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8

Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo

eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum

3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78

Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas

do capacitor durante o processo de

carga ou descarga

Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um

graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo

do tempo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no

capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte

Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor

quando o mesmo estaacute sendo carregado

Manual de Laboratoacuterio

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Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie

1 - Osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos

2 ndash Aparato Experimental

Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto

Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)

Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio

Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees

Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala

Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)

Manual de Laboratoacuterio

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TAREFA 1

Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees

Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico

Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito

Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito

Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos

Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio

TAREFA 2

Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie

Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

66

figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)

Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados

Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo

NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo

Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste

Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito

Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito

Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles

Manual de Laboratoacuterio

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MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS

Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais

Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio

Para onde aponta a buacutessola

Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc

E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial

tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos

que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a

soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio

4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja

httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4

Figura 10 - Buacutessola

Figura 11 - campo B resultante

Manual de Laboratoacuterio

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Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por

umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O

Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde

Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde

Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma

iacuteatilde() = ∙

onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde

5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass

The Physics Teacher 49(1) 45-48

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como

iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2

Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos

gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)

Logo

gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2

Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo

iacuteatilde() = amp

Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse

tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira

na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart

Manual de Laboratoacuterio

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pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do

que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute

yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp

onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico

da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos

yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp

Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Atividade de Laboratoacuterio III Projeto

OBJETIVO

Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio

Manual de Laboratoacuterio

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SUGESTAtildeO 1

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO

Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas

Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece

Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha

Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo

por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o

eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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SUGESTAtildeO 2

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA

Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)

Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica

Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de

uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)

Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema

Manual de Laboratoacuterio

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SUGESTAtildeO 3

BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO

Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola

Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)

Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina

O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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SUGESTAtildeO 4

CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO

O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer

Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio

Manual de Laboratoacuterio

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MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO

Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro

Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental

6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

78

110 V 127 V e 220 V O que eacute isso

As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V

Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas

A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

(c) = Jgt(c + acute)

onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por

∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)

Manual de Laboratoacuterio

79

onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1

Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho

Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores

Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

80

caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por

∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf

∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712

∆Suparamiddot = ∆S7radic2

Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a

tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s

A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente

alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$

Figura 13 - Funccedilotildees seno e

seno quadrado

Manual de Laboratoacuterio

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COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA

Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz

Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O

Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

82

que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio

Natildeo queremos jogar energia fora

Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14

Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie

Manual de Laboratoacuterio

83

Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por

0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)

onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)

Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

ℇ(c) = ℇ7gt(c)

onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente

Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na

figura 16 para um caso em que VL gt VC

Figura 15 - Diagrama de fasores

de um circuito RLC seacuterie com

fonte de tensatildeo alternada

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que

acute = c8 S minus SSu

Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado

por

i(c) = gt(c minus acute)

Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente

as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que

ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$

ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$

Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como

0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)

Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que

0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$

Figura 16 ndash Soma de fasores

Manual de Laboratoacuterio

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0eacutey = F ∙ uparamiddot$

onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square

Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que

F = frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte

Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade

7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL

Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e

resistecircncia num diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como

0 = AJradicAJ$ + AF$

O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP

DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11

Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia

Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por

acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita

Manual de Laboratoacuterio

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2 = 1D

Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica

Figura 18 - diagramas de fasores representando

um circuito capacitivo e um circuito indutivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie

O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio

TAREFA 1

Circuito Resistivo

Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR

Manual de Laboratoacuterio

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Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)

O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador

Circuito Capacitivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor

Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Manual de Laboratoacuterio

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Circuito Indutivo

Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor

O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Circuito RLC

Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise

Manual de Laboratoacuterio

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O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador

Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio

O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior

Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor

Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou

A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

94

TAREFA 2

Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente

Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir

Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima

Qual o valor da corrente maacutexima no circuito

Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)

O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique

Manual de Laboratoacuterio

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TAREFA 3

Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito

Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees

Como isso eacute possiacutevel Explique

Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff

Respostas

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Respostas

A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32

A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH

A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH

B3 Ae = Af = AtildeAcircf

B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl

B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH

B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l

B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD

B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -

C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc

(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7

C2 O = ~13deg

C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)

Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-

vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr

Respostas

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C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM

C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD

(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD

C6 A = Eacute$Acirc

C7 A = Atilde$AcircL

D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma

das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp

D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(

D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1

no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)

D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme

D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D

E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)

E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D

E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml

F1 544 times 10

F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S

F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM

u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM

u (e) 0 = ℇMu

F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω

Respostas

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F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965

G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n

G5 i = Ograve$g = 245 J

G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y

G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez

G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H

G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)

G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)

G15 (a) zL$brvbarM (b)

z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero

G16 z$L + z$L = z$L - + 1

G17 (a) pLM

amp (b) pusup3

ampL

G18 zzMu

G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)

z

G20 zNu saindo da folha

G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)

UgraveLMamp

fora do fio (a) z$L (b)

UgravebrvbarM$L (c)

Ugravebrvbarsup3ampL

G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13

G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM

ampu

H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior

Respostas

99

H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a

H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J

I2 Φ = pound$ sup1amp

I4 C = AcircsM

I6 (a) zM

NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar

J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a

(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S

J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu

(c) = -radic

J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm

(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013

Respostas

100

Bibliografia

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Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm

Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il

Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il

Page 16: Prof a. Raquel Giulian Prof. Leonardo Albuquerque ... · 3ª semana: Lei de Gauss (fluxo elétrico, campo elétrico ... Aula de problemas e PROVA II 10º e 11ª semanas: Campo Magnético

Problemas Selecionados

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valores muito grandes de 2 e = = 0 se aproxima de = 7i H 2frasl para posiccedilotildees ao longo do eixo no interior do solenoide distante das bordas

G20 ndash A figura ao lado mostra um fio moldado para formar duas seccedilotildees retas e um quarto de ciacuterculo por onde passa corrente i Determine o campo magneacutetico (vetor) no ponto P

G21 ndash Um fio ciliacutendrico espesso de raio eacute percorrido por uma corrente i Determine uma expressatildeo para o

campo magneacutetico dentro e fora do fio considerando que (a) a corrente estaacute distribuiacuteda uniformemente sobre a superfiacutecie externa do fio (b) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio com densidade de corrente l constante (c) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio de forma que a densidade de corrente l eacute proporcional agrave distacircncia ateacute o eixo do fio

G22 ndash Considere dois solenoides coaxiais cada um conduzindo uma corrente i em direccedilotildees opostas O solenoide interno de raio possui gt- voltas por unidade de comprimento o

solenoide externo possui raio e gt$ voltas por unidade de

comprimento Determine (a) no interior do conjunto (b) entre eles e (c) fora deles

G23 ndash Um fio condutor longo e reto de raio F conduz uma corrente natildeo uniforme cuja densidade de corrente eacute l = l7 Ffrasl onde l7 eacute uma constante A corrente total eacute i (a) Determine uma expressatildeo para i

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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em funccedilatildeo de l7 e F (b) Determine uma expressatildeo para o campo magneacutetico no interior do fio para uma distacircncia

G24 ndash A figura ao lado mostra um toroide que consiste num solenoide fechado em forma de anel (a) Considerando a simetria explique qual deve ser o formato do campo magneacutetico no interior desse toroide (b) Considere o toroide compacto (a separaccedilatildeo entre cada volta do fio eacute pequena) com N voltas conduzindo uma corrente i Usando a lei de Ampeacutere determine a magnitude do campo magneacutetico num ponto interno ao toroide a uma distacircncia do eixo principal (ver figura ao lado) (c) O campo magneacutetico no interior do toroide eacute um campo uniforme Explique

-------------------------------------------------------------------------------------------

(H) Lei de Faraday

H1 ndash A figura ao lado mostra dois aneis cujos eixos estatildeo alinhados separados por uma distacircncia x O anel maior tem raio F o anel menor tem raio Os aneis estatildeo separados por uma distacircncia ≫ F e por isso o campo magneacutetico devido agrave corrente no anel de raio F eacute praticamente uniforme no anel menor Considere que a distacircncia estaacute aumentando a uma taxa constante = =cfrasl = d (a) Determine uma expressatildeo para o fluxo de campo magneacutetico atraveacutes do anel menor como funccedilatildeo de Encontre uma expressatildeo para (b) a fem induzida e (c) a direccedilatildeo da corrente no anel menor

Problemas Selecionados

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H2 ndash (a) Calcule o fluxo magneacutetico atraveacutes do retacircngulo mostrado na figura ao lado em funccedilatildeo de = i (b) Avalie o resultado encontrado para = 5 = 10 = = 2 e i = 20 J

H3 ndash Uma espira plana e circular de raio =75 estaacute em repouso numa regiatildeo de campo magneacutetico uniforme A espira estaacute orientada de tal forma que o campo magneacutetico aponta para cima

e faz um acircngulo de 30deg com a normal da espira O campo varia com

o tempo de acordo com (c) = 14(77nho) 13 (a) Determine a fem induzida na espira em funccedilatildeo do tempo (b) Para que valor de c a fem induzida eacute igual a um deacutecimo do seu valor inicial Determine o sentido da corrente induzida na espira se observada por cima da espira

H4 ndash Um retacircngulo que mede 30 times 40 estaacute localizado no interior de um campo magneacutetico uniforme de 125 13 com o campo perpendicular ao plano da bobina A bobina se move perpendicular ao campo com velocidade constante d =2 inclusive atingindo a regiatildeo

onde o campo termina abruptamente como mostra a figura ao lado Determine a fem induzida nessa bobina quando ela estaacute (a) inteiramente no interior do campo (b) parcialmente no interior do campo e (c) inteiramente fora do campo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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H5 ndash O fio na figura ao lado conduz

uma corrente i(c) = i7po onde gt 0 Determine o sentido da corrente induzida na bobina (horaacuterio ou anti-horaacuterio) para c gt 0

H6 ndash A figura ao lado mostra uma espira circular de raio contendo uma resistecircncia e um capacitor ligados em seacuterie imerso numa regiatildeo onde um campo magneacutetico uniforme (no espaccedilo) entrando no plano na paacutegina decresce no tempo a uma taxa constante = =cfrasl = minus sendo uma constante positiva (a) Qual a carga no capacitor quando ele estaacute completamente carregado (b) Qual das placas do capacitor estaacute em potencial mais elevado (c) Qual a origem da forccedila que causa a separaccedilatildeo de cargas

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(I) Indutacircncia

I1 ndash No circuito ao lado ℰ = 100 SF- = 10 Ω F$ = 20 Ω Famp = 30 Ω e 2 = 2 H Ao fechar a chave S quais os valores de i- e i$ Considere positivo o sentido das correntes indicadas na figura Muito tempo

depois quais satildeo os valores de i- e i$ A chave eacute entatildeo aberta Nesse instante quais satildeo os valores de i- e i$ E muito tempo depois quais satildeo os valores de i- e i$

Problemas Selecionados

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I2 ndash Num circuito LC em seacuterie a carga inicial do capacitor eacute C e ele estaacute sendo descarregado Quando a carga no capacitor eacute igual a C 2frasl qual eacute o fluxo magneacutetico que atravessa cada uma das N espiras do indutor (como funccedilatildeo de C H 2 e D)

I3 ndash Uma bobina possui N voltas e estaacute envolvendo um solenoide longo de raio r com n espiras por unidade de comprimento (figura ao lado) (a) Mostre que a indutacircncia muacutetua do sistema eacute dada por j = 75F$gtH (b) Explique por que M natildeo depende do formato tamanho ou possiacutevel falta de proximidade das espiras na bobina

I4 ndash A fem autoinduzida num solenoide de indutacircncia L varia no tempo conforme ℇ(c) = ℇ7so Levando em consideraccedilatildeo que a carga eacute finita (ou seja i = 0 quando c = infin) determine a carga total que passa pelo solenoide (que atravessa um determinado ponto no fio que compotildee o solenoide)

I5 ndash Um fio condutor foi enrolado num papelatildeo formando um toroide com N espiras (voltas) raio menor r e maior R A seccedilatildeo transversal do toroide eacute mostrada na figura ao lado Se F ≫ o campo magneacutetico no interior do toroide eacute essencialmente o mesmo que o campo no interior de um solenoide muito longo que tenha sido

moldado no formato de um ciacuterculo de raio R Modelando o campo como se fosse o campo uniforme de um solenoide longo mostre que a indutacircncia desse toroide eacute

aproximadamente 2 asymp -$ 7H$ LMu

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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I6 ndash Um indutor consiste em duas cascas ciliacutendricas concecircntricas como mostra a figura A casca interna tem raio e a externa tem raio ambas com comprimento ℎ A casca interna transporta uma corrente i para fora e a externa para dentro do plano da paacutegina com igual magnitude Calcule na regiatildeo lt lt (a) a densidade de energia magneacutetica (b) a indutacircncia

I7 ndash Mostre que i(c) = i7o wx eacute a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial iF + 2 yzyo = 0 onde i7 eacute a corrente em c = 0 e = 2 Ffrasl

I8 ndash Um fio condutor de raio R transporta uma corrente uniforme A corrente total no fio eacute i Mostre que a energia magneacutetica por unidade de comprimento dentro do fio eacute dada por 7i$ 165frasl

I9 ndash Um cabo coaxial eacute formado por dois cilindros condutores de paredes finas com raios - e $ As correntes nos dois cilindros satildeo iguais em magnitude mas com sentidos opostos (a) Use a lei de Ampeacutere para determinar o campo magneacutetico como funccedilatildeo da distacircncia ao eixo do cabo nas regiotildees (0 lt lt -) ( - lt lt $ ) e ( gt $) (b) Mostre que a densidade de energia magneacutetica na regiatildeo entre os cilindros eacute dada por

| = 12 745 i$(5$)-

(c) Mostre que a energia magneacutetica total num volume de cabo com comprimento ~ eacute dada por

Problemas Selecionados

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= i$~ ln LML

(d) Mostre que a autoindutacircncia por unidade de comprimento do cabo eacute dada por

2~ = 725 ln $-

-------------------------------------------------------------------------------------------

(J) Corrente Alternada

J1 ndash A tensatildeo de uma fonte de corrente alternada eacute dada por ∆d = 120gt(30 5c) onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A fonte eacute conectada a um indutor de 05 Determine (a) a frequecircncia da fonte (b) a voltagem rms no indutor (c) a reatacircncia indutiva do circuito (d) a corrente rms no indutor e (e) a corrente maacutexima no indutor

J2 ndash Uma fonte de tensatildeo alternada fornece uma tensatildeo ∆d = 98gt(80 5c) a um capacitor onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A corrente maacutexima no circuito eacute 05 J Determine (a) a tensatildeo rms da fonte (b) a frequecircncia da fonte e (c) o valor da capacitacircncia

J3 ndash Um circuito AC eacute composto por um resistor de 250 Ω um indutor de 15 um capacitor de 35 e uma fonte de tensatildeo alternada com amplitude de 45 S operando com frequecircncia angular = 360 = frasl (a) Qual eacute o fator de potecircncia do circuito (b) Determine a potecircncia meacutedia aparente (S) fornecida ao circuito (c) Qual eacute a potecircncia meacutedia ativa (P) dissipada no resistor Qual eacute a potecircncia meacutedia reativa (Q) que fica armazenada no circuito

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J4 ndash Cinco voltiacutemetros com impedacircncia muito grande ajustados para ler valores rms estatildeo conectados conforme a figura ao lado Sendo F =200 Ω 2 = 04 H D = 6 e ∆S = 30 Vqual eacute a leitura da tensatildeo em cada voltiacutemetro se (a) = 200 = frasl e (b) =1000 = frasl

J5 ndash Num circuito RLC 2 = 028 e D = 4 A fonte fornece uma voltagem com amplitude de 120 S Qual eacute a frequecircncia angular de ressonacircncia do circuito (b) Quando a fonte opera na frequecircncia angular de ressonacircncia a amplitude da corrente no circuito eacute 17 J Qual a resistecircncia do resistor (c) Na frequecircncia angular de ressonacircncia quais satildeo as voltagens de pico no indutor capacitor e resistor

J6 ndash O circuito ao lado conteacutem uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal conforme ℇ = ℇgt(c) No estado de equiliacutebrio temos as correntes mostradas no circuito Sem recorrer a uma matemaacutetica complicada responda (a) Quais os valores de u e quando = 0 (frequecircncia zero significa que

a fonte foi substituida por uma bateria ideal) (b) Quais os valores de u e quando rarr infin (c) Qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia

Problemas Selecionados

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J7 ndash Um indutor um capacitor e um resistor estatildeo conectados em seacuterie a uma fonte de tensatildeo alternada Se os valores da resistecircncia capacitacircncia e indutacircncia forem duplicados o que aconteceraacute com (a) a frequecircncia angular de ressonacircncia (b) a reatacircncia indutiva (c) a reatacircncia capacitiva e (d) a impedacircncia

J8 ndash O circuito abaixo eacute formado por uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal variando conforme ℇ = ℇgt(c) uma resistecircncia F = 6 Ω e uma parte desconhecida que pode conter um indutor um capacitor ou ambos A amplitude da fonte eacute ℇ = 6 S Quando a frequecircncia angular = 2 = a corrente estaacute em fase com a fonte enquanto que para = 1 = a corrente estaacute fora de fase em relaccedilatildeo agrave fonte por exatamente 5 4frasl (a) Quais componentes estatildeo presentes na parte desconhecida (um indutor um capacitor ou ambos) Explique (b) Determine os valores dos componentes desconhecidos

J9 ndash Um circuito em seacuterie possui impendecircncia de 60 Ω e fator de potecircncia igual a 072 em 50 A tensatildeo da fonte estaacute atrasada em relaccedilatildeo agrave corrente (a) Que elemento do circuito (um indutor ou um capacitor) deve ser ligado em seacuterie com o circuito para aumentar o fator de potecircncia (b) Qual deve ser o valor desse elemento para que o fator de potecircncia seja igual a 1 (c) Apresente diagramas de fasores esquemaacuteticos para o circuito antes e depois da ligaccedilatildeo do novo elemento

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O PROCESSO DE MEDIDA NO LABORATOacuteRIO DE FIacuteSICA

Natildeo satildeo raros eventos em que nos valemos de medidas para tomarmos decisotildees Medimos nossa temperatura corporal para avaliarmos se necessitamos de tratamento Medimos a pressatildeo manomeacutetrica dos pneus para avaliarmos se precisamos injetar ou retirar ar neles Consultamos medidas da temperatura ambiente para escolhermos a roupa que vestiremos Consultamos o horaacuterio (medida de tempo) para natildeo chegarmos atrasados em encontros Medidas satildeo portanto fundamentais em nossas vidas No entanto usualmente natildeo nos preocupamos muito com a precisatildeo dessas medidas Em grande parte das vezes natildeo nos interessa saber se o horaacuterio informado no reloacutegio estaacute um pouco atrasado ou adiantado Natildeo nos preocupamos em saber o quanto podemos confiar nas temperaturas coletadas com um determinado termocircmetro Nossas medidas comumente satildeo realizadas de forma despretensiosa sem muito rigor

No laboratoacuterio de Fiacutesica isso ocorre de modo muito diferente Os processos de mediccedilatildeo satildeo mais minuciosos do que os que realizamos costumeiramente Desejamos obter a maior precisatildeo possiacutevel com os equipamentos de que dispomos Mas como fazer isso Como podemos melhorar a precisatildeo dos processos de mediccedilatildeo Intuitivamente podemos concluir que inferecircncias realizadas a partir de um conjunto de medidas satildeo mais precisas do que medidas isoladas Mas quando disponho de um conjunto de medidas como posso analisaacute-las Calcular a meacutedia delas eacute suficiente Responder a questotildees como essas eacute o objetivo desta atividade Para exemplificarmos todo esse processo realizaremos um debate sobre a mediccedilatildeo da resistecircncia interna de amperiacutemetros

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O que satildeo amperiacutemetros

Um amperiacutemetro eacute um instrumento utilizado para a realizaccedilatildeo de medidas de correntes eleacutetricas Evidentemente natildeo queremos modificar os circuitos quando os exploramos com um instrumento Com amperiacutemetros natildeo eacute diferente Queremos medir correntes eleacutetricas sem alterar as caracteriacutesticas do circuito Mas como eacute possiacutevel fazer isso Natildeo discutiremos aqui os detalhes sobre o funcionamento interno de um amperiacutemetro No entanto vamos avaliaacute-los do ponto de vista de uma das suas caracteriacutesticas mais importantes a sua resistecircncia eleacutetrica

A resistecircncia eleacutetrica de um circuito influencia na intensidade da corrente eleacutetrica que circula nele A corrente eleacutetrica i que perpassa por uma resistecircncia eleacutetrica F submetida a uma tensatildeo ∆S por exemplo pode ser predita pela seguinte relaccedilatildeo

i = ∆u Eq 1

O amperiacutemetro precisa ser posicionado em seacuterie no circuito em que se deseja medir a corrente eleacutetrica como eacute exemplificado na figura

Figure 1- Medindo a resistecircncia interna de um multiacutemetro

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1 Como a resistecircncia equivalente em circuitos em seacuteries eacute a soma da resistecircncia eleacutetrica de cada um dos seus componentes a resistecircncia interna dos amperiacutemetros se soma agrave resistecircncia equivalente do circuito investigado alterando a sua dinacircmica Por isso nosso desejo eacute que os amperiacutemetros tenham resistecircncia eleacutetrica nula No entanto a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro real por menor que seja nunca eacute nula Eles possuem um circuito interno com fios e diversos componentes eletrocircnicos que acabam provocando uma resistecircncia agrave circulaccedilatildeo de corrente eleacutetrica Ainda assim frequentemente desprezamos tal resistecircncia Seraacute que isso eacute razoaacutevel Quando podemos desprezar a resistecircncia interna dos amperiacutemetros e quando natildeo podemos Para respondermos tais perguntas precisamos conhecer o valor da resistecircncia interna tiacutepica de um amperiacutemetro

Medindo a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro

Nesta disciplina usaremos diversos amperiacutemetros de uma mesma marca e modelo em uma seacuterie de experimentos (Minipa ET-2075B) Por isso eacute interessante que conheccedilamos a resistecircncia eleacutetrica deles para podermos avaliar quando podemos desprezaacute-la e quando natildeo Mas como podemos obter essa informaccedilatildeo Podemos medi-la Um procedimento simples para isso eacute submeter o amperiacutemetro a uma diferenccedila de potencial ΔV conhecida e medir a corrente eleacutetrica i que passa por ele Desse modo podemos usar a Eq 1 para inferir a resistecircncia eleacutetrica do equipamento Mas podemos confiar em uma uacutenica medida Depende da precisatildeo de que necessitamos para essa medida Intuitivamente sabemos que se medirmos a resistecircncia interna a partir de um conjunto de dados poderemos ter uma maior confiabilidade nos dados No exemplo de que estamos tratando eacute possiacutevel se coletar dados da corrente no amperiacutemetro quando submetido a diferentes tensotildees Desse modo pode-se inferir a resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro pela declividade da reta constituiacuteda

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pelos dados representados em um graacutefico da tensatildeo em funccedilatildeo da corrente eleacutetrica como pode ser constatado da Eq1 No entanto como temos incertezas associadas a cada dado experimental coletado esses dados natildeo seratildeo perfeitamente representados por uma reta Surge entatildeo uma nova questatildeo qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados

Ajuste de Curvas

Diversas retas podem ser ajustadas a um conjunto de dados experimental Qual delas utilizar Intuitivamente podemos conjecturar que a melhor reta a ser utilizada eacute aquela tal que a soma das diferenccedilas entre os valores de tensatildeo medidos e os preditos pela reta tenha o menor valor possiacutevel Em outras palavras queremos minimizar a soma

sum = = (∆Sz minus ∆S)z-

onde ∆Sz satildeo as tensotildees medidas e ∆S satildeo as tensotildees preditas pela reta ajustada

No entanto haacute um inconveniente importante no uso desse criteacuterio tal soma pode ser bem pequena para retas que natildeo apresentam bom ajuste aos dados se as diferenccedilas entre os valores medidos e os preditos se cancelarem sendo alguns positivos e outros negativos Nesses casos apesar de natildeo termos uma reta bem ajustada aos dados o criteacuterio utilizado

indicaria que sim Como resolver isso Elevando os valores de dn ao

Figura 1 - Diferenccedila de potencial em funccedilatildeo

da corrente

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quadrado Ou seja podemos procurar a reta tal que a seguinte soma tenha o menor valor possiacutevel

sum =$ = (∆Sz minus ∆S)$z-

O meacutetodo que utiliza esse criteacuterio para a realizaccedilatildeo de ajustes de curvas que eacute amplamente utilizado no meio acadecircmico eacute denominado Meacutetodo dos Miacutenimos Quadrados Todos os softwares do tipo planilha eletrocircnica realizam esse caacutelculo automaticamente e nos valeremos disso quando necessaacuterio

Todos os amperiacutemetros da sala possuem a mesma resistecircncia interna

Ainda que todos os amperiacutemetros que utilizaremos nas nossas aulas sejam da mesma marca e modelo eles possuem diferentes resistecircncias internas Existe alguma forma de estimar a resistecircncia interna de um desses amperiacutemetros escolhido aleatoriamente Calcular a meacutedia das resistecircncias eacute suficiente para realizar essa estimativa

Variabilidade das medidas o desvio padratildeo amostral e da meacutedia

Apesar de as resistecircncias dos amperiacutemetros natildeo serem exatamente as mesmas elas possuem valores que se distribuem em torno de um valor meacutedio que eacute igual agrave meacutedia dessas resistecircncias Desse modo se tomarmos um dos amperiacutemetros aleatoriamente o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute igual agrave meacutedia das resistecircncias internas de todos os amperiacutemetros Mas quanto podemos confiar nessa estimativa Para respondermos tal pergunta eacute importante quantificarmos a variabilidade das resistecircncias r que medimos Quanto menor for essa variabilidade maior seraacute a nossa confianccedila para assumir que a resistecircncia interna de um amperiacutemetro particular eacute igual agrave meacutedia Intuitivamente podemos conjecturar que tal variabilidade pode ser medida pelo somatoacuterio das diferenccedilas entre as resistecircncias

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medidas z e a meacutedia dessas resistecircncias ou seja por (- minus ) + ($ minus ) + ⋯ + ( minus ) onde N eacute o nuacutemero de medidas realizadas No entanto temos aqui um inconveniente semelhante ao que tivemos quando analisaacutevamos ajustes de curvas se valores positivos e negativos se cancelarem esse somatoacuterio pode ser muito pequeno mesmo quando os dados apresentam grande variabilidade Podemos propor a mesma soluccedilatildeo adotada anteriormente vamos elevar os termos ao quadrado Temos entatildeo a variabilidade dos dados sendo mensurada por (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$

A impossibilidade de comparaccedilatildeo entre as variabilidades de diferentes conjuntos de dados eacute a limitaccedilatildeo desta proposta pois o resultado desse somatoacuterio eacute altamente dependente da quantidade de termos Desse modo eacute possiacutevel que esse somatoacuterio seja maior para grandes conjuntos com pouca variabilidade do que para pequenos grupos com grande variabilidade Para amenizar tal limitaccedilatildeo podemos entatildeo dividir o somatoacuterio por N ou seja calcular a variabilidade por(- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$ Hfrasl Ainda que esse somatoacuterio seja conceitualmente interessante natildeo eacute essa a medida de dispersatildeo de dados que costuma ser utilizada no meio cientiacutefico mas algo que guarda alguma semelhanccedila com ele o desvio padratildeo dos dados (P) Ele eacute calculado por

PL = (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$H minus 1

Mas por que utilizamos essa equaccedilatildeo A resposta estaacute em suas propriedades Quando construiacutemos um histograma (graacutefico de frequecircncias) de um conjunto de medidas por exemplo podemos em muitos casos assumir que a distribuiccedilatildeo desses dados eacute representada por uma distribuiccedilatildeo normal A equaccedilatildeo que define essa distribuiccedilatildeo assim como sua representaccedilatildeo graacutefica eacute ilustrada na Figura 3

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Natildeo eacute nosso objetivo aqui discutir detalhes da distribuiccedilatildeo normal O que desejamos destacar eacute que quando supomos que a distribuiccedilatildeo de um conjunto de dados eacute normal o que eacute bastante razoaacutevel na maioria das vezes o desvio padratildeo σ quantifica como os dados estatildeo distribuiacutedos Para entendermos isso analisemos a Figura 4

O intervalo compreendido pela meacutedia das medidas mais ou menos um desvio padratildeo compreende 68 das medidas realizadas No caso que estamos exemplificando se tomarmos a meacutedia das resistecircncias internas r de todos os amperiacutemetros investigados e o desvio padratildeo PL desses dados 68 das medidas estaratildeo no intervalo entre ( minus PL) e ( + PL) 95 no intervalo ( 2PL) e 99 no intervalo ( 257PL)

Figura 2 - A distribuiccedilatildeo normal eacute usualmente utilizada para representar a distribuiccedilatildeo

de frequecircncias de um conjunto de dados (Lima Jr et al 2013 p 30)

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Agora jaacute sabemos como quantificar a variabilidade de um conjunto de dados Podemos entatildeo calcular a meacutedia e o desvio padratildeo das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros Mas surge entatildeo uma questatildeo Se analisaacutessemos um novo conjunto de amperiacutemetros da mesma marca e modelo dos exemplificados aqui a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros seria a mesma Provavelmente natildeo Temos como estimar a partir do conjunto de medidas que realizamos a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros Temos Para responder a essa questatildeo temos que compreender um novo conceito o de desvio padratildeo da meacutedia (PL) Ele eacute calculado por

PL = PLradicH

Natildeo vamos entrar em detalhes aqui sobre a origem do conceito de desvio padratildeo da meacutedia1 vamos apenas explicar como essa grandeza nos permite estimar a incerteza na meacutedia de um conjunto de medidas Para isso vamos supor um novo conjunto de N novas

1 Se vocecirc eacute um aluno curioso pesquise sobre o Teorema Central do Limite para compreender com mais profundidade o conceito de desvio padratildeo da meacutedia

Figura 3 - A meacutedia e o desvio padratildeo demarcam a distribuiccedilatildeo dos dados em uma

distribuiccedilatildeo normal Na figura o eixo das abcissas expressa a distacircncia da meacutedia em

unidades de desvio padratildeo (Lima Jr et al 2013 p 30)

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medidas da resistecircncia interna de amperiacutemetros como os investigados nesta aula Qual seria a meacutedia dessas medidas Assim como o desvio padratildeo dos dados quantifica a dispersatildeo dos dados em torno da meacutedia o desvio padratildeo da meacutedia quantifica a dispersatildeo das meacutedias de subconjuntos de dados em torno da meacutedia de todo o conjunto de dados Aplicando esse conceito ao nosso exemplo podemos interpretar os dois conjuntos de medidas de resistecircncias internas como subconjuntos de um grande conjunto contendo todas as medidas Desse modo podemos afirmar com 68 de confianccedila que a meacutedia das N novas medidas a serem realizadas estaraacute no intervalo compreendido por ( PL) com 95 de confianccedila no intervalo ( 2PL) e com 99 de confianccedila no intervalo ( 257PL) O desvio padratildeo da meacutedia pode ser compreendido assim como a incerteza da meacutedia de um conjunto de medidas ou seja ele nos fornece uma estimativa da confiabilidade de uma meacutedia Em suma se escolhermos um amperiacutemetro aleatoriamente podemos dizer que i) o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute a meacutedia das resistecircncias de todos os amperiacutemetros e ii) a incerteza que temos nesse valor eacute igual ao desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias dos amperiacutemetros

E se eu soacute tivesse condiccedilotildees de realizar uma uacutenica medida

Nem sempre podemos realizar diversas medidas de uma grandeza Em alguns casos nem mesmo faz sentido realizar diversas medidas No entanto eacute evidente que existe uma incerteza associada a uma uacutenica medida Natildeo existem instrumentos que sejam perfeitamente precisos Entatildeo como podemos estimar essa incerteza Usualmente os manuais dos instrumentos trazem informaccedilotildees sobre isso Desse modo as incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica realizadas com um voltiacutemetro e um amperiacutemetro podem ser consultadas no manual do multiacutemetro utilizado Mas como eacute calculada a incerteza da resistecircncia interna de um amperiacutemetro que foi calculada a partir de

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apenas uma medida de tensatildeo e uma de corrente eleacutetrica Nesse caso precisamos calcular a incerteza propagada das incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica

Os meacutetodos de caacutelculo de incertezas propagadas podem ser bastante complicados Aqui trataremos de um meacutetodo bastante simples usualmente denominado de Meacutetodo dos Limites Vamos exemplificaacute-lo supondo que a incerteza da tensatildeo sobre as entradas do amperiacutemetro eacute P- e da corrente eleacutetrica que circula por ele eacute P$ Ou seja a tensatildeo medida estaacute no intervalo entre ∆S minus P- e ∆S + P- e a corrente eleacutetrica entre i minus P$ e i + P$ Qual eacute entatildeo a incerteza da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro investigado Para responder isso basta calcularmos os valores limites dessa grandeza O maacuteximo valor possiacutevel para a resistecircncia ocorreraacute se a tensatildeo for ∆S + P- e a corrente eleacutetrica for i minus P$ Nesse caso usando a Eq 1 temos

aacutee = ∆S + P-i minus P$

Usando o mesmo raciociacutenio o valor miacutenimo de r seraacute

z = ∆S minus P-i + P$

Desse modo podemos dizer que o valor da resistecircncia interna medida estaacute no intervalo entre rmaacutex e rmiacuten Em outras palavras o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro eacute

F = iexclz + aacutee2 z minus aacutee2 cent

Manual de Laboratoacuterio

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Erro eacute a mesma coisa que incerteza

Apesar de serem frequentemente utilizados como sinocircnimos os manuais de metrologia atribuem significados distintos aos conceitos de ldquoerrordquo e ldquoincertezardquo O Guia para Expressatildeo da Incerteza da Mediccedilatildeo (Joint Commitee for Guide in Metrology 2008 apud Lima Jr et al 2013) usa o termo ldquoerrordquo para indicar a diferenccedila entre o valor verdadeiro e o resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo o conceito de erro tem uso restrito pois satildeo poucos os casos em que conhecemos o valor verdadeiro de uma grandeza Satildeo exemplos desses casos experimentos em que se deseja mensurar a velocidade da luz no vaacutecuo ou o valor de π que satildeo valores previamente conhecidos pelo experimentador O caacutelculo do erro soacute faz sentido para casos em que sabemos o valor verdadeiro da grandeza que se quer medir

A incerteza por outro lado eacute entendida como uma estimativa que quantifica a confiabilidade do resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo quando calculamos o desvio padratildeo da meacutedia de um conjunto de medidas estamos calculando a incerteza da meacutedia dessas medidas ou seja estamos avaliando a confianccedila que podemos ter em adotar a meacutedia dessas medidas como o valor da grandeza mensurada O conceito de incerteza portanto tem maior aplicabilidade do que o conceito de erro

Algarismos significativos e incerteza

Uma questatildeo frequente nas aulas de laboratoacuterio eacute Com quantos algarismos uma grandeza deve ser apresentada No laboratoacuterio a resposta dessa questatildeo eacute uma funccedilatildeo da incerteza da grandeza Devemos apresentar os dados ateacute o seu primeiro algarismo duvidoso Voltemos ao exemplo da resistecircncia interna dos amperiacutemetros Suponhamos que a meacutedia das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros eacute 21546 Ω e o desvio padratildeo dessa meacutedia que eacute

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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entendido aqui como a incerteza da resistecircncia interna dos amperiacutemetros eacute 003 Ω Interpretando tais dados assumimos com 68 de certeza que a resistecircncia interna dos amperiacutemetros estaacute no intervalo entre 21246 e 21846 Ω Desse modo a segunda casa decimal da grandeza medida eacute duvidosa Por isso os algarismos subsequentes satildeo omitidos quando expressamos essa medida e a medida da resistecircncia interna dos amperiacutemetros exemplificados eacute exposta por (215 plusmn 003) Ω Em suma o resultado de uma mediccedilatildeo deve ser sempre expresso com a mesma quantidade de casas decimais que sua incerteza Os algarismos apresentados satildeo entatildeo chamados de algarismos significativos

Referecircncia

Lima Jr P Silva M T X Silveira F L Veit E A (2013) Laboratoacuterio de mecacircnica subsiacutedios para o ensino de Fiacutesica experimental Porto Alegre UFRGS Instituto de Fiacutesica Disponiacutevel em httphdlhandlenet1018390438

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Atividade de Laboratoacuterio I Instrumentos de medida e incertezas

Este material foi cuidadosamente preparado para auxiliar no andamento das atividades no laboratoacuterio de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo Eacute importante responder TODAS as perguntas

(indicadas pelo siacutembolo ) feitas ao longo do texto discutindo com seu grupo possiacuteveis respostas e justificando-as Sempre que possiacutevel faccedila isso por escrito

TAREFA 1

Construa um circuito contendo um resistor de 1 kΩ em seacuterie com uma fonte de tensatildeo contiacutenua e um multiacutemetro Coloque o multiacutemetro na funccedilatildeo amperiacutemetro na escala de miliampere Usando outro multiacutemetro meccedila a tensatildeo no amperiacutemetro Realize medidas com diferentes correntes eleacutetricas variando a tensatildeo de saiacuteda da fonte

Como podemos tratar esses dados se nosso objetivo eacute medir a resistecircncia interna do amperiacutemetro

Qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Para responder essas questotildees se dirija a um dos computadores da sala e use um aplicativo que possibilite a construccedilatildeo de graacuteficos SciDavis por exemplo Insira seus dados no aplicativo construa o graacutefico desejado e encontre a melhor reta que se ajusta aos dados

Qual foi a melhor reta ajustada Determine a equaccedilatildeo dessa reta ajustada

Qual eacute o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro que vocecirc investigou

TAREFA 2

Utilize as medidas de todos os grupos da turma e aplique os conhecimentos abordados na tarefa de leitura para responder as seguintes questotildees

Qual deve ser a resistecircncia interna de um amperiacutemetro escolhido aleatoriamente entre os utilizados nesta aula

Qual eacute a incerteza desse valor

TAREFA 3

Suponha que o manual do Minipa ET-2075B informe que as medidas de tensatildeo e corrente realizadas nas faixas de milivolt e miliampere tecircm incerteza de 3 Use esses dados para calcular a

Manual de Laboratoacuterio

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incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1

Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma

Elas satildeo coerentes Por quecirc

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO

Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por

equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC

Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras

O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se

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extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo

No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador

Salvando vidas

ldquoafastem-se choquerdquo

Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de

sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos

O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo

Figura 4 - Desfibrilador

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)

Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma

sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o

miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia

Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2

2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387

Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)

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Circuito RC - seacuterie

Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C

Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que

∆S(c) + i(c)F = 0

Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo

i(c) = =C(c)=c

e a ddp no capacitor eacute dada por

∆S(c) = C(c)D

Dessa forma podemos dizer que

=C(c)=c = minus 1FD C(c)

Figura 6 - Circuito RC

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa

funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja

derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever

C(c) = C7 ou

A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial

Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir

Capacitor Carregando Capacitor Descarregando

∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0

C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou

∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou

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Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8

Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo

eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum

3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78

Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas

do capacitor durante o processo de

carga ou descarga

Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um

graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo

do tempo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no

capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte

Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor

quando o mesmo estaacute sendo carregado

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Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie

1 - Osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos

2 ndash Aparato Experimental

Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto

Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)

Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio

Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees

Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala

Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)

Manual de Laboratoacuterio

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TAREFA 1

Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees

Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico

Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito

Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito

Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos

Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio

TAREFA 2

Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie

Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)

Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados

Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo

NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo

Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste

Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito

Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito

Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles

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MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS

Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais

Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio

Para onde aponta a buacutessola

Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos

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polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc

E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial

tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos

que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a

soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio

4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja

httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4

Figura 10 - Buacutessola

Figura 11 - campo B resultante

Manual de Laboratoacuterio

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Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por

umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O

Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde

Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde

Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma

iacuteatilde() = ∙

onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde

5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass

The Physics Teacher 49(1) 45-48

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como

iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2

Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos

gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)

Logo

gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2

Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo

iacuteatilde() = amp

Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse

tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira

na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart

Manual de Laboratoacuterio

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pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do

que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute

yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp

onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico

da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos

yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp

Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Atividade de Laboratoacuterio III Projeto

OBJETIVO

Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio

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SUGESTAtildeO 1

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO

Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas

Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece

Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha

Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo

por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o

eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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SUGESTAtildeO 2

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA

Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)

Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica

Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de

uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)

Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema

Manual de Laboratoacuterio

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SUGESTAtildeO 3

BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO

Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola

Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)

Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina

O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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SUGESTAtildeO 4

CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO

O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer

Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio

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MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO

Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro

Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental

6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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110 V 127 V e 220 V O que eacute isso

As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V

Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas

A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

(c) = Jgt(c + acute)

onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por

∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)

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onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1

Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho

Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores

Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por

∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf

∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712

∆Suparamiddot = ∆S7radic2

Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a

tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s

A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente

alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$

Figura 13 - Funccedilotildees seno e

seno quadrado

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COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA

Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz

Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O

Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio

Natildeo queremos jogar energia fora

Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14

Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie

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Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por

0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)

onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)

Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

ℇ(c) = ℇ7gt(c)

onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente

Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na

figura 16 para um caso em que VL gt VC

Figura 15 - Diagrama de fasores

de um circuito RLC seacuterie com

fonte de tensatildeo alternada

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que

acute = c8 S minus SSu

Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado

por

i(c) = gt(c minus acute)

Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente

as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que

ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$

ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$

Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como

0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)

Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que

0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$

Figura 16 ndash Soma de fasores

Manual de Laboratoacuterio

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0eacutey = F ∙ uparamiddot$

onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square

Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que

F = frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte

Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade

7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL

Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e

resistecircncia num diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como

0 = AJradicAJ$ + AF$

O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP

DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11

Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia

Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por

acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita

Manual de Laboratoacuterio

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2 = 1D

Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica

Figura 18 - diagramas de fasores representando

um circuito capacitivo e um circuito indutivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie

O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio

TAREFA 1

Circuito Resistivo

Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR

Manual de Laboratoacuterio

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Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)

O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador

Circuito Capacitivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor

Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

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Circuito Indutivo

Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor

O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Circuito RLC

Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise

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O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador

Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio

O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior

Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor

Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou

A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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TAREFA 2

Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente

Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir

Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima

Qual o valor da corrente maacutexima no circuito

Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)

O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique

Manual de Laboratoacuterio

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TAREFA 3

Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito

Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees

Como isso eacute possiacutevel Explique

Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff

Respostas

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Respostas

A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32

A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH

A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH

B3 Ae = Af = AtildeAcircf

B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl

B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH

B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l

B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD

B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -

C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc

(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7

C2 O = ~13deg

C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)

Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-

vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr

Respostas

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C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM

C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD

(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD

C6 A = Eacute$Acirc

C7 A = Atilde$AcircL

D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma

das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp

D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(

D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1

no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)

D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme

D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D

E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)

E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D

E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml

F1 544 times 10

F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S

F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM

u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM

u (e) 0 = ℇMu

F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω

Respostas

98

F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965

G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n

G5 i = Ograve$g = 245 J

G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y

G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez

G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H

G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)

G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)

G15 (a) zL$brvbarM (b)

z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero

G16 z$L + z$L = z$L - + 1

G17 (a) pLM

amp (b) pusup3

ampL

G18 zzMu

G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)

z

G20 zNu saindo da folha

G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)

UgraveLMamp

fora do fio (a) z$L (b)

UgravebrvbarM$L (c)

Ugravebrvbarsup3ampL

G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13

G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM

ampu

H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior

Respostas

99

H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a

H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J

I2 Φ = pound$ sup1amp

I4 C = AcircsM

I6 (a) zM

NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar

J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a

(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S

J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu

(c) = -radic

J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm

(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013

Respostas

100

Bibliografia

Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il

Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il

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Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm

Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il

Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il

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Problemas Selecionados

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H2 ndash (a) Calcule o fluxo magneacutetico atraveacutes do retacircngulo mostrado na figura ao lado em funccedilatildeo de = i (b) Avalie o resultado encontrado para = 5 = 10 = = 2 e i = 20 J

H3 ndash Uma espira plana e circular de raio =75 estaacute em repouso numa regiatildeo de campo magneacutetico uniforme A espira estaacute orientada de tal forma que o campo magneacutetico aponta para cima

e faz um acircngulo de 30deg com a normal da espira O campo varia com

o tempo de acordo com (c) = 14(77nho) 13 (a) Determine a fem induzida na espira em funccedilatildeo do tempo (b) Para que valor de c a fem induzida eacute igual a um deacutecimo do seu valor inicial Determine o sentido da corrente induzida na espira se observada por cima da espira

H4 ndash Um retacircngulo que mede 30 times 40 estaacute localizado no interior de um campo magneacutetico uniforme de 125 13 com o campo perpendicular ao plano da bobina A bobina se move perpendicular ao campo com velocidade constante d =2 inclusive atingindo a regiatildeo

onde o campo termina abruptamente como mostra a figura ao lado Determine a fem induzida nessa bobina quando ela estaacute (a) inteiramente no interior do campo (b) parcialmente no interior do campo e (c) inteiramente fora do campo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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H5 ndash O fio na figura ao lado conduz

uma corrente i(c) = i7po onde gt 0 Determine o sentido da corrente induzida na bobina (horaacuterio ou anti-horaacuterio) para c gt 0

H6 ndash A figura ao lado mostra uma espira circular de raio contendo uma resistecircncia e um capacitor ligados em seacuterie imerso numa regiatildeo onde um campo magneacutetico uniforme (no espaccedilo) entrando no plano na paacutegina decresce no tempo a uma taxa constante = =cfrasl = minus sendo uma constante positiva (a) Qual a carga no capacitor quando ele estaacute completamente carregado (b) Qual das placas do capacitor estaacute em potencial mais elevado (c) Qual a origem da forccedila que causa a separaccedilatildeo de cargas

-------------------------------------------------------------------------------------------

(I) Indutacircncia

I1 ndash No circuito ao lado ℰ = 100 SF- = 10 Ω F$ = 20 Ω Famp = 30 Ω e 2 = 2 H Ao fechar a chave S quais os valores de i- e i$ Considere positivo o sentido das correntes indicadas na figura Muito tempo

depois quais satildeo os valores de i- e i$ A chave eacute entatildeo aberta Nesse instante quais satildeo os valores de i- e i$ E muito tempo depois quais satildeo os valores de i- e i$

Problemas Selecionados

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I2 ndash Num circuito LC em seacuterie a carga inicial do capacitor eacute C e ele estaacute sendo descarregado Quando a carga no capacitor eacute igual a C 2frasl qual eacute o fluxo magneacutetico que atravessa cada uma das N espiras do indutor (como funccedilatildeo de C H 2 e D)

I3 ndash Uma bobina possui N voltas e estaacute envolvendo um solenoide longo de raio r com n espiras por unidade de comprimento (figura ao lado) (a) Mostre que a indutacircncia muacutetua do sistema eacute dada por j = 75F$gtH (b) Explique por que M natildeo depende do formato tamanho ou possiacutevel falta de proximidade das espiras na bobina

I4 ndash A fem autoinduzida num solenoide de indutacircncia L varia no tempo conforme ℇ(c) = ℇ7so Levando em consideraccedilatildeo que a carga eacute finita (ou seja i = 0 quando c = infin) determine a carga total que passa pelo solenoide (que atravessa um determinado ponto no fio que compotildee o solenoide)

I5 ndash Um fio condutor foi enrolado num papelatildeo formando um toroide com N espiras (voltas) raio menor r e maior R A seccedilatildeo transversal do toroide eacute mostrada na figura ao lado Se F ≫ o campo magneacutetico no interior do toroide eacute essencialmente o mesmo que o campo no interior de um solenoide muito longo que tenha sido

moldado no formato de um ciacuterculo de raio R Modelando o campo como se fosse o campo uniforme de um solenoide longo mostre que a indutacircncia desse toroide eacute

aproximadamente 2 asymp -$ 7H$ LMu

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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I6 ndash Um indutor consiste em duas cascas ciliacutendricas concecircntricas como mostra a figura A casca interna tem raio e a externa tem raio ambas com comprimento ℎ A casca interna transporta uma corrente i para fora e a externa para dentro do plano da paacutegina com igual magnitude Calcule na regiatildeo lt lt (a) a densidade de energia magneacutetica (b) a indutacircncia

I7 ndash Mostre que i(c) = i7o wx eacute a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial iF + 2 yzyo = 0 onde i7 eacute a corrente em c = 0 e = 2 Ffrasl

I8 ndash Um fio condutor de raio R transporta uma corrente uniforme A corrente total no fio eacute i Mostre que a energia magneacutetica por unidade de comprimento dentro do fio eacute dada por 7i$ 165frasl

I9 ndash Um cabo coaxial eacute formado por dois cilindros condutores de paredes finas com raios - e $ As correntes nos dois cilindros satildeo iguais em magnitude mas com sentidos opostos (a) Use a lei de Ampeacutere para determinar o campo magneacutetico como funccedilatildeo da distacircncia ao eixo do cabo nas regiotildees (0 lt lt -) ( - lt lt $ ) e ( gt $) (b) Mostre que a densidade de energia magneacutetica na regiatildeo entre os cilindros eacute dada por

| = 12 745 i$(5$)-

(c) Mostre que a energia magneacutetica total num volume de cabo com comprimento ~ eacute dada por

Problemas Selecionados

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= i$~ ln LML

(d) Mostre que a autoindutacircncia por unidade de comprimento do cabo eacute dada por

2~ = 725 ln $-

-------------------------------------------------------------------------------------------

(J) Corrente Alternada

J1 ndash A tensatildeo de uma fonte de corrente alternada eacute dada por ∆d = 120gt(30 5c) onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A fonte eacute conectada a um indutor de 05 Determine (a) a frequecircncia da fonte (b) a voltagem rms no indutor (c) a reatacircncia indutiva do circuito (d) a corrente rms no indutor e (e) a corrente maacutexima no indutor

J2 ndash Uma fonte de tensatildeo alternada fornece uma tensatildeo ∆d = 98gt(80 5c) a um capacitor onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A corrente maacutexima no circuito eacute 05 J Determine (a) a tensatildeo rms da fonte (b) a frequecircncia da fonte e (c) o valor da capacitacircncia

J3 ndash Um circuito AC eacute composto por um resistor de 250 Ω um indutor de 15 um capacitor de 35 e uma fonte de tensatildeo alternada com amplitude de 45 S operando com frequecircncia angular = 360 = frasl (a) Qual eacute o fator de potecircncia do circuito (b) Determine a potecircncia meacutedia aparente (S) fornecida ao circuito (c) Qual eacute a potecircncia meacutedia ativa (P) dissipada no resistor Qual eacute a potecircncia meacutedia reativa (Q) que fica armazenada no circuito

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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J4 ndash Cinco voltiacutemetros com impedacircncia muito grande ajustados para ler valores rms estatildeo conectados conforme a figura ao lado Sendo F =200 Ω 2 = 04 H D = 6 e ∆S = 30 Vqual eacute a leitura da tensatildeo em cada voltiacutemetro se (a) = 200 = frasl e (b) =1000 = frasl

J5 ndash Num circuito RLC 2 = 028 e D = 4 A fonte fornece uma voltagem com amplitude de 120 S Qual eacute a frequecircncia angular de ressonacircncia do circuito (b) Quando a fonte opera na frequecircncia angular de ressonacircncia a amplitude da corrente no circuito eacute 17 J Qual a resistecircncia do resistor (c) Na frequecircncia angular de ressonacircncia quais satildeo as voltagens de pico no indutor capacitor e resistor

J6 ndash O circuito ao lado conteacutem uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal conforme ℇ = ℇgt(c) No estado de equiliacutebrio temos as correntes mostradas no circuito Sem recorrer a uma matemaacutetica complicada responda (a) Quais os valores de u e quando = 0 (frequecircncia zero significa que

a fonte foi substituida por uma bateria ideal) (b) Quais os valores de u e quando rarr infin (c) Qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia

Problemas Selecionados

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J7 ndash Um indutor um capacitor e um resistor estatildeo conectados em seacuterie a uma fonte de tensatildeo alternada Se os valores da resistecircncia capacitacircncia e indutacircncia forem duplicados o que aconteceraacute com (a) a frequecircncia angular de ressonacircncia (b) a reatacircncia indutiva (c) a reatacircncia capacitiva e (d) a impedacircncia

J8 ndash O circuito abaixo eacute formado por uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal variando conforme ℇ = ℇgt(c) uma resistecircncia F = 6 Ω e uma parte desconhecida que pode conter um indutor um capacitor ou ambos A amplitude da fonte eacute ℇ = 6 S Quando a frequecircncia angular = 2 = a corrente estaacute em fase com a fonte enquanto que para = 1 = a corrente estaacute fora de fase em relaccedilatildeo agrave fonte por exatamente 5 4frasl (a) Quais componentes estatildeo presentes na parte desconhecida (um indutor um capacitor ou ambos) Explique (b) Determine os valores dos componentes desconhecidos

J9 ndash Um circuito em seacuterie possui impendecircncia de 60 Ω e fator de potecircncia igual a 072 em 50 A tensatildeo da fonte estaacute atrasada em relaccedilatildeo agrave corrente (a) Que elemento do circuito (um indutor ou um capacitor) deve ser ligado em seacuterie com o circuito para aumentar o fator de potecircncia (b) Qual deve ser o valor desse elemento para que o fator de potecircncia seja igual a 1 (c) Apresente diagramas de fasores esquemaacuteticos para o circuito antes e depois da ligaccedilatildeo do novo elemento

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O PROCESSO DE MEDIDA NO LABORATOacuteRIO DE FIacuteSICA

Natildeo satildeo raros eventos em que nos valemos de medidas para tomarmos decisotildees Medimos nossa temperatura corporal para avaliarmos se necessitamos de tratamento Medimos a pressatildeo manomeacutetrica dos pneus para avaliarmos se precisamos injetar ou retirar ar neles Consultamos medidas da temperatura ambiente para escolhermos a roupa que vestiremos Consultamos o horaacuterio (medida de tempo) para natildeo chegarmos atrasados em encontros Medidas satildeo portanto fundamentais em nossas vidas No entanto usualmente natildeo nos preocupamos muito com a precisatildeo dessas medidas Em grande parte das vezes natildeo nos interessa saber se o horaacuterio informado no reloacutegio estaacute um pouco atrasado ou adiantado Natildeo nos preocupamos em saber o quanto podemos confiar nas temperaturas coletadas com um determinado termocircmetro Nossas medidas comumente satildeo realizadas de forma despretensiosa sem muito rigor

No laboratoacuterio de Fiacutesica isso ocorre de modo muito diferente Os processos de mediccedilatildeo satildeo mais minuciosos do que os que realizamos costumeiramente Desejamos obter a maior precisatildeo possiacutevel com os equipamentos de que dispomos Mas como fazer isso Como podemos melhorar a precisatildeo dos processos de mediccedilatildeo Intuitivamente podemos concluir que inferecircncias realizadas a partir de um conjunto de medidas satildeo mais precisas do que medidas isoladas Mas quando disponho de um conjunto de medidas como posso analisaacute-las Calcular a meacutedia delas eacute suficiente Responder a questotildees como essas eacute o objetivo desta atividade Para exemplificarmos todo esse processo realizaremos um debate sobre a mediccedilatildeo da resistecircncia interna de amperiacutemetros

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O que satildeo amperiacutemetros

Um amperiacutemetro eacute um instrumento utilizado para a realizaccedilatildeo de medidas de correntes eleacutetricas Evidentemente natildeo queremos modificar os circuitos quando os exploramos com um instrumento Com amperiacutemetros natildeo eacute diferente Queremos medir correntes eleacutetricas sem alterar as caracteriacutesticas do circuito Mas como eacute possiacutevel fazer isso Natildeo discutiremos aqui os detalhes sobre o funcionamento interno de um amperiacutemetro No entanto vamos avaliaacute-los do ponto de vista de uma das suas caracteriacutesticas mais importantes a sua resistecircncia eleacutetrica

A resistecircncia eleacutetrica de um circuito influencia na intensidade da corrente eleacutetrica que circula nele A corrente eleacutetrica i que perpassa por uma resistecircncia eleacutetrica F submetida a uma tensatildeo ∆S por exemplo pode ser predita pela seguinte relaccedilatildeo

i = ∆u Eq 1

O amperiacutemetro precisa ser posicionado em seacuterie no circuito em que se deseja medir a corrente eleacutetrica como eacute exemplificado na figura

Figure 1- Medindo a resistecircncia interna de um multiacutemetro

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1 Como a resistecircncia equivalente em circuitos em seacuteries eacute a soma da resistecircncia eleacutetrica de cada um dos seus componentes a resistecircncia interna dos amperiacutemetros se soma agrave resistecircncia equivalente do circuito investigado alterando a sua dinacircmica Por isso nosso desejo eacute que os amperiacutemetros tenham resistecircncia eleacutetrica nula No entanto a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro real por menor que seja nunca eacute nula Eles possuem um circuito interno com fios e diversos componentes eletrocircnicos que acabam provocando uma resistecircncia agrave circulaccedilatildeo de corrente eleacutetrica Ainda assim frequentemente desprezamos tal resistecircncia Seraacute que isso eacute razoaacutevel Quando podemos desprezar a resistecircncia interna dos amperiacutemetros e quando natildeo podemos Para respondermos tais perguntas precisamos conhecer o valor da resistecircncia interna tiacutepica de um amperiacutemetro

Medindo a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro

Nesta disciplina usaremos diversos amperiacutemetros de uma mesma marca e modelo em uma seacuterie de experimentos (Minipa ET-2075B) Por isso eacute interessante que conheccedilamos a resistecircncia eleacutetrica deles para podermos avaliar quando podemos desprezaacute-la e quando natildeo Mas como podemos obter essa informaccedilatildeo Podemos medi-la Um procedimento simples para isso eacute submeter o amperiacutemetro a uma diferenccedila de potencial ΔV conhecida e medir a corrente eleacutetrica i que passa por ele Desse modo podemos usar a Eq 1 para inferir a resistecircncia eleacutetrica do equipamento Mas podemos confiar em uma uacutenica medida Depende da precisatildeo de que necessitamos para essa medida Intuitivamente sabemos que se medirmos a resistecircncia interna a partir de um conjunto de dados poderemos ter uma maior confiabilidade nos dados No exemplo de que estamos tratando eacute possiacutevel se coletar dados da corrente no amperiacutemetro quando submetido a diferentes tensotildees Desse modo pode-se inferir a resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro pela declividade da reta constituiacuteda

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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pelos dados representados em um graacutefico da tensatildeo em funccedilatildeo da corrente eleacutetrica como pode ser constatado da Eq1 No entanto como temos incertezas associadas a cada dado experimental coletado esses dados natildeo seratildeo perfeitamente representados por uma reta Surge entatildeo uma nova questatildeo qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados

Ajuste de Curvas

Diversas retas podem ser ajustadas a um conjunto de dados experimental Qual delas utilizar Intuitivamente podemos conjecturar que a melhor reta a ser utilizada eacute aquela tal que a soma das diferenccedilas entre os valores de tensatildeo medidos e os preditos pela reta tenha o menor valor possiacutevel Em outras palavras queremos minimizar a soma

sum = = (∆Sz minus ∆S)z-

onde ∆Sz satildeo as tensotildees medidas e ∆S satildeo as tensotildees preditas pela reta ajustada

No entanto haacute um inconveniente importante no uso desse criteacuterio tal soma pode ser bem pequena para retas que natildeo apresentam bom ajuste aos dados se as diferenccedilas entre os valores medidos e os preditos se cancelarem sendo alguns positivos e outros negativos Nesses casos apesar de natildeo termos uma reta bem ajustada aos dados o criteacuterio utilizado

indicaria que sim Como resolver isso Elevando os valores de dn ao

Figura 1 - Diferenccedila de potencial em funccedilatildeo

da corrente

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quadrado Ou seja podemos procurar a reta tal que a seguinte soma tenha o menor valor possiacutevel

sum =$ = (∆Sz minus ∆S)$z-

O meacutetodo que utiliza esse criteacuterio para a realizaccedilatildeo de ajustes de curvas que eacute amplamente utilizado no meio acadecircmico eacute denominado Meacutetodo dos Miacutenimos Quadrados Todos os softwares do tipo planilha eletrocircnica realizam esse caacutelculo automaticamente e nos valeremos disso quando necessaacuterio

Todos os amperiacutemetros da sala possuem a mesma resistecircncia interna

Ainda que todos os amperiacutemetros que utilizaremos nas nossas aulas sejam da mesma marca e modelo eles possuem diferentes resistecircncias internas Existe alguma forma de estimar a resistecircncia interna de um desses amperiacutemetros escolhido aleatoriamente Calcular a meacutedia das resistecircncias eacute suficiente para realizar essa estimativa

Variabilidade das medidas o desvio padratildeo amostral e da meacutedia

Apesar de as resistecircncias dos amperiacutemetros natildeo serem exatamente as mesmas elas possuem valores que se distribuem em torno de um valor meacutedio que eacute igual agrave meacutedia dessas resistecircncias Desse modo se tomarmos um dos amperiacutemetros aleatoriamente o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute igual agrave meacutedia das resistecircncias internas de todos os amperiacutemetros Mas quanto podemos confiar nessa estimativa Para respondermos tal pergunta eacute importante quantificarmos a variabilidade das resistecircncias r que medimos Quanto menor for essa variabilidade maior seraacute a nossa confianccedila para assumir que a resistecircncia interna de um amperiacutemetro particular eacute igual agrave meacutedia Intuitivamente podemos conjecturar que tal variabilidade pode ser medida pelo somatoacuterio das diferenccedilas entre as resistecircncias

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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medidas z e a meacutedia dessas resistecircncias ou seja por (- minus ) + ($ minus ) + ⋯ + ( minus ) onde N eacute o nuacutemero de medidas realizadas No entanto temos aqui um inconveniente semelhante ao que tivemos quando analisaacutevamos ajustes de curvas se valores positivos e negativos se cancelarem esse somatoacuterio pode ser muito pequeno mesmo quando os dados apresentam grande variabilidade Podemos propor a mesma soluccedilatildeo adotada anteriormente vamos elevar os termos ao quadrado Temos entatildeo a variabilidade dos dados sendo mensurada por (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$

A impossibilidade de comparaccedilatildeo entre as variabilidades de diferentes conjuntos de dados eacute a limitaccedilatildeo desta proposta pois o resultado desse somatoacuterio eacute altamente dependente da quantidade de termos Desse modo eacute possiacutevel que esse somatoacuterio seja maior para grandes conjuntos com pouca variabilidade do que para pequenos grupos com grande variabilidade Para amenizar tal limitaccedilatildeo podemos entatildeo dividir o somatoacuterio por N ou seja calcular a variabilidade por(- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$ Hfrasl Ainda que esse somatoacuterio seja conceitualmente interessante natildeo eacute essa a medida de dispersatildeo de dados que costuma ser utilizada no meio cientiacutefico mas algo que guarda alguma semelhanccedila com ele o desvio padratildeo dos dados (P) Ele eacute calculado por

PL = (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$H minus 1

Mas por que utilizamos essa equaccedilatildeo A resposta estaacute em suas propriedades Quando construiacutemos um histograma (graacutefico de frequecircncias) de um conjunto de medidas por exemplo podemos em muitos casos assumir que a distribuiccedilatildeo desses dados eacute representada por uma distribuiccedilatildeo normal A equaccedilatildeo que define essa distribuiccedilatildeo assim como sua representaccedilatildeo graacutefica eacute ilustrada na Figura 3

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Natildeo eacute nosso objetivo aqui discutir detalhes da distribuiccedilatildeo normal O que desejamos destacar eacute que quando supomos que a distribuiccedilatildeo de um conjunto de dados eacute normal o que eacute bastante razoaacutevel na maioria das vezes o desvio padratildeo σ quantifica como os dados estatildeo distribuiacutedos Para entendermos isso analisemos a Figura 4

O intervalo compreendido pela meacutedia das medidas mais ou menos um desvio padratildeo compreende 68 das medidas realizadas No caso que estamos exemplificando se tomarmos a meacutedia das resistecircncias internas r de todos os amperiacutemetros investigados e o desvio padratildeo PL desses dados 68 das medidas estaratildeo no intervalo entre ( minus PL) e ( + PL) 95 no intervalo ( 2PL) e 99 no intervalo ( 257PL)

Figura 2 - A distribuiccedilatildeo normal eacute usualmente utilizada para representar a distribuiccedilatildeo

de frequecircncias de um conjunto de dados (Lima Jr et al 2013 p 30)

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Agora jaacute sabemos como quantificar a variabilidade de um conjunto de dados Podemos entatildeo calcular a meacutedia e o desvio padratildeo das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros Mas surge entatildeo uma questatildeo Se analisaacutessemos um novo conjunto de amperiacutemetros da mesma marca e modelo dos exemplificados aqui a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros seria a mesma Provavelmente natildeo Temos como estimar a partir do conjunto de medidas que realizamos a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros Temos Para responder a essa questatildeo temos que compreender um novo conceito o de desvio padratildeo da meacutedia (PL) Ele eacute calculado por

PL = PLradicH

Natildeo vamos entrar em detalhes aqui sobre a origem do conceito de desvio padratildeo da meacutedia1 vamos apenas explicar como essa grandeza nos permite estimar a incerteza na meacutedia de um conjunto de medidas Para isso vamos supor um novo conjunto de N novas

1 Se vocecirc eacute um aluno curioso pesquise sobre o Teorema Central do Limite para compreender com mais profundidade o conceito de desvio padratildeo da meacutedia

Figura 3 - A meacutedia e o desvio padratildeo demarcam a distribuiccedilatildeo dos dados em uma

distribuiccedilatildeo normal Na figura o eixo das abcissas expressa a distacircncia da meacutedia em

unidades de desvio padratildeo (Lima Jr et al 2013 p 30)

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medidas da resistecircncia interna de amperiacutemetros como os investigados nesta aula Qual seria a meacutedia dessas medidas Assim como o desvio padratildeo dos dados quantifica a dispersatildeo dos dados em torno da meacutedia o desvio padratildeo da meacutedia quantifica a dispersatildeo das meacutedias de subconjuntos de dados em torno da meacutedia de todo o conjunto de dados Aplicando esse conceito ao nosso exemplo podemos interpretar os dois conjuntos de medidas de resistecircncias internas como subconjuntos de um grande conjunto contendo todas as medidas Desse modo podemos afirmar com 68 de confianccedila que a meacutedia das N novas medidas a serem realizadas estaraacute no intervalo compreendido por ( PL) com 95 de confianccedila no intervalo ( 2PL) e com 99 de confianccedila no intervalo ( 257PL) O desvio padratildeo da meacutedia pode ser compreendido assim como a incerteza da meacutedia de um conjunto de medidas ou seja ele nos fornece uma estimativa da confiabilidade de uma meacutedia Em suma se escolhermos um amperiacutemetro aleatoriamente podemos dizer que i) o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute a meacutedia das resistecircncias de todos os amperiacutemetros e ii) a incerteza que temos nesse valor eacute igual ao desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias dos amperiacutemetros

E se eu soacute tivesse condiccedilotildees de realizar uma uacutenica medida

Nem sempre podemos realizar diversas medidas de uma grandeza Em alguns casos nem mesmo faz sentido realizar diversas medidas No entanto eacute evidente que existe uma incerteza associada a uma uacutenica medida Natildeo existem instrumentos que sejam perfeitamente precisos Entatildeo como podemos estimar essa incerteza Usualmente os manuais dos instrumentos trazem informaccedilotildees sobre isso Desse modo as incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica realizadas com um voltiacutemetro e um amperiacutemetro podem ser consultadas no manual do multiacutemetro utilizado Mas como eacute calculada a incerteza da resistecircncia interna de um amperiacutemetro que foi calculada a partir de

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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apenas uma medida de tensatildeo e uma de corrente eleacutetrica Nesse caso precisamos calcular a incerteza propagada das incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica

Os meacutetodos de caacutelculo de incertezas propagadas podem ser bastante complicados Aqui trataremos de um meacutetodo bastante simples usualmente denominado de Meacutetodo dos Limites Vamos exemplificaacute-lo supondo que a incerteza da tensatildeo sobre as entradas do amperiacutemetro eacute P- e da corrente eleacutetrica que circula por ele eacute P$ Ou seja a tensatildeo medida estaacute no intervalo entre ∆S minus P- e ∆S + P- e a corrente eleacutetrica entre i minus P$ e i + P$ Qual eacute entatildeo a incerteza da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro investigado Para responder isso basta calcularmos os valores limites dessa grandeza O maacuteximo valor possiacutevel para a resistecircncia ocorreraacute se a tensatildeo for ∆S + P- e a corrente eleacutetrica for i minus P$ Nesse caso usando a Eq 1 temos

aacutee = ∆S + P-i minus P$

Usando o mesmo raciociacutenio o valor miacutenimo de r seraacute

z = ∆S minus P-i + P$

Desse modo podemos dizer que o valor da resistecircncia interna medida estaacute no intervalo entre rmaacutex e rmiacuten Em outras palavras o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro eacute

F = iexclz + aacutee2 z minus aacutee2 cent

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Erro eacute a mesma coisa que incerteza

Apesar de serem frequentemente utilizados como sinocircnimos os manuais de metrologia atribuem significados distintos aos conceitos de ldquoerrordquo e ldquoincertezardquo O Guia para Expressatildeo da Incerteza da Mediccedilatildeo (Joint Commitee for Guide in Metrology 2008 apud Lima Jr et al 2013) usa o termo ldquoerrordquo para indicar a diferenccedila entre o valor verdadeiro e o resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo o conceito de erro tem uso restrito pois satildeo poucos os casos em que conhecemos o valor verdadeiro de uma grandeza Satildeo exemplos desses casos experimentos em que se deseja mensurar a velocidade da luz no vaacutecuo ou o valor de π que satildeo valores previamente conhecidos pelo experimentador O caacutelculo do erro soacute faz sentido para casos em que sabemos o valor verdadeiro da grandeza que se quer medir

A incerteza por outro lado eacute entendida como uma estimativa que quantifica a confiabilidade do resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo quando calculamos o desvio padratildeo da meacutedia de um conjunto de medidas estamos calculando a incerteza da meacutedia dessas medidas ou seja estamos avaliando a confianccedila que podemos ter em adotar a meacutedia dessas medidas como o valor da grandeza mensurada O conceito de incerteza portanto tem maior aplicabilidade do que o conceito de erro

Algarismos significativos e incerteza

Uma questatildeo frequente nas aulas de laboratoacuterio eacute Com quantos algarismos uma grandeza deve ser apresentada No laboratoacuterio a resposta dessa questatildeo eacute uma funccedilatildeo da incerteza da grandeza Devemos apresentar os dados ateacute o seu primeiro algarismo duvidoso Voltemos ao exemplo da resistecircncia interna dos amperiacutemetros Suponhamos que a meacutedia das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros eacute 21546 Ω e o desvio padratildeo dessa meacutedia que eacute

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entendido aqui como a incerteza da resistecircncia interna dos amperiacutemetros eacute 003 Ω Interpretando tais dados assumimos com 68 de certeza que a resistecircncia interna dos amperiacutemetros estaacute no intervalo entre 21246 e 21846 Ω Desse modo a segunda casa decimal da grandeza medida eacute duvidosa Por isso os algarismos subsequentes satildeo omitidos quando expressamos essa medida e a medida da resistecircncia interna dos amperiacutemetros exemplificados eacute exposta por (215 plusmn 003) Ω Em suma o resultado de uma mediccedilatildeo deve ser sempre expresso com a mesma quantidade de casas decimais que sua incerteza Os algarismos apresentados satildeo entatildeo chamados de algarismos significativos

Referecircncia

Lima Jr P Silva M T X Silveira F L Veit E A (2013) Laboratoacuterio de mecacircnica subsiacutedios para o ensino de Fiacutesica experimental Porto Alegre UFRGS Instituto de Fiacutesica Disponiacutevel em httphdlhandlenet1018390438

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Atividade de Laboratoacuterio I Instrumentos de medida e incertezas

Este material foi cuidadosamente preparado para auxiliar no andamento das atividades no laboratoacuterio de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo Eacute importante responder TODAS as perguntas

(indicadas pelo siacutembolo ) feitas ao longo do texto discutindo com seu grupo possiacuteveis respostas e justificando-as Sempre que possiacutevel faccedila isso por escrito

TAREFA 1

Construa um circuito contendo um resistor de 1 kΩ em seacuterie com uma fonte de tensatildeo contiacutenua e um multiacutemetro Coloque o multiacutemetro na funccedilatildeo amperiacutemetro na escala de miliampere Usando outro multiacutemetro meccedila a tensatildeo no amperiacutemetro Realize medidas com diferentes correntes eleacutetricas variando a tensatildeo de saiacuteda da fonte

Como podemos tratar esses dados se nosso objetivo eacute medir a resistecircncia interna do amperiacutemetro

Qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Para responder essas questotildees se dirija a um dos computadores da sala e use um aplicativo que possibilite a construccedilatildeo de graacuteficos SciDavis por exemplo Insira seus dados no aplicativo construa o graacutefico desejado e encontre a melhor reta que se ajusta aos dados

Qual foi a melhor reta ajustada Determine a equaccedilatildeo dessa reta ajustada

Qual eacute o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro que vocecirc investigou

TAREFA 2

Utilize as medidas de todos os grupos da turma e aplique os conhecimentos abordados na tarefa de leitura para responder as seguintes questotildees

Qual deve ser a resistecircncia interna de um amperiacutemetro escolhido aleatoriamente entre os utilizados nesta aula

Qual eacute a incerteza desse valor

TAREFA 3

Suponha que o manual do Minipa ET-2075B informe que as medidas de tensatildeo e corrente realizadas nas faixas de milivolt e miliampere tecircm incerteza de 3 Use esses dados para calcular a

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incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1

Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma

Elas satildeo coerentes Por quecirc

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CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO

Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por

equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC

Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras

O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se

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extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo

No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador

Salvando vidas

ldquoafastem-se choquerdquo

Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de

sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos

O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo

Figura 4 - Desfibrilador

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esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)

Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma

sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o

miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia

Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2

2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387

Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)

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Circuito RC - seacuterie

Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C

Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que

∆S(c) + i(c)F = 0

Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo

i(c) = =C(c)=c

e a ddp no capacitor eacute dada por

∆S(c) = C(c)D

Dessa forma podemos dizer que

=C(c)=c = minus 1FD C(c)

Figura 6 - Circuito RC

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa

funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja

derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever

C(c) = C7 ou

A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial

Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir

Capacitor Carregando Capacitor Descarregando

∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0

C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou

∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou

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Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8

Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo

eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum

3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78

Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas

do capacitor durante o processo de

carga ou descarga

Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um

graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo

do tempo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no

capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte

Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor

quando o mesmo estaacute sendo carregado

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Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie

1 - Osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos

2 ndash Aparato Experimental

Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto

Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)

Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio

Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees

Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala

Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)

Manual de Laboratoacuterio

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TAREFA 1

Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees

Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico

Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito

Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito

Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos

Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio

TAREFA 2

Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie

Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)

Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados

Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo

NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo

Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste

Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito

Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito

Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles

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MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS

Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais

Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio

Para onde aponta a buacutessola

Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos

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polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc

E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial

tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos

que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a

soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio

4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja

httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4

Figura 10 - Buacutessola

Figura 11 - campo B resultante

Manual de Laboratoacuterio

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Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por

umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O

Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde

Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde

Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma

iacuteatilde() = ∙

onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde

5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass

The Physics Teacher 49(1) 45-48

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

70

Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como

iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2

Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos

gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)

Logo

gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2

Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo

iacuteatilde() = amp

Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse

tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira

na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart

Manual de Laboratoacuterio

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pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do

que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute

yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp

onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico

da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos

yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp

Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3

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Atividade de Laboratoacuterio III Projeto

OBJETIVO

Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio

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SUGESTAtildeO 1

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO

Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas

Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece

Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha

Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo

por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o

eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte

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SUGESTAtildeO 2

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA

Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)

Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica

Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de

uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)

Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema

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SUGESTAtildeO 3

BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO

Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola

Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)

Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina

O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados

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SUGESTAtildeO 4

CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO

O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer

Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio

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MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO

Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro

Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental

6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089

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110 V 127 V e 220 V O que eacute isso

As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V

Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas

A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

(c) = Jgt(c + acute)

onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por

∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)

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onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1

Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho

Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores

Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por

∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf

∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712

∆Suparamiddot = ∆S7radic2

Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a

tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s

A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente

alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$

Figura 13 - Funccedilotildees seno e

seno quadrado

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COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA

Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz

Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O

Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio

Natildeo queremos jogar energia fora

Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14

Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie

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Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por

0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)

onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)

Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

ℇ(c) = ℇ7gt(c)

onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente

Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na

figura 16 para um caso em que VL gt VC

Figura 15 - Diagrama de fasores

de um circuito RLC seacuterie com

fonte de tensatildeo alternada

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que

acute = c8 S minus SSu

Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado

por

i(c) = gt(c minus acute)

Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente

as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que

ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$

ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$

Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como

0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)

Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que

0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$

Figura 16 ndash Soma de fasores

Manual de Laboratoacuterio

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0eacutey = F ∙ uparamiddot$

onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square

Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que

F = frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte

Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade

7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL

Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e

resistecircncia num diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como

0 = AJradicAJ$ + AF$

O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP

DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11

Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia

Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por

acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita

Manual de Laboratoacuterio

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2 = 1D

Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica

Figura 18 - diagramas de fasores representando

um circuito capacitivo e um circuito indutivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie

O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio

TAREFA 1

Circuito Resistivo

Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR

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Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)

O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador

Circuito Capacitivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor

Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

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Circuito Indutivo

Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor

O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Circuito RLC

Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise

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O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador

Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio

O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior

Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor

Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou

A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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TAREFA 2

Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente

Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir

Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima

Qual o valor da corrente maacutexima no circuito

Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)

O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique

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TAREFA 3

Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito

Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees

Como isso eacute possiacutevel Explique

Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff

Respostas

96

Respostas

A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32

A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH

A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH

B3 Ae = Af = AtildeAcircf

B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl

B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH

B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l

B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD

B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -

C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc

(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7

C2 O = ~13deg

C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)

Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-

vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr

Respostas

97

C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM

C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD

(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD

C6 A = Eacute$Acirc

C7 A = Atilde$AcircL

D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma

das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp

D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(

D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1

no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)

D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme

D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D

E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)

E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D

E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml

F1 544 times 10

F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S

F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM

u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM

u (e) 0 = ℇMu

F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω

Respostas

98

F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965

G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n

G5 i = Ograve$g = 245 J

G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y

G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez

G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H

G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)

G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)

G15 (a) zL$brvbarM (b)

z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero

G16 z$L + z$L = z$L - + 1

G17 (a) pLM

amp (b) pusup3

ampL

G18 zzMu

G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)

z

G20 zNu saindo da folha

G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)

UgraveLMamp

fora do fio (a) z$L (b)

UgravebrvbarM$L (c)

Ugravebrvbarsup3ampL

G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13

G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM

ampu

H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior

Respostas

99

H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a

H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J

I2 Φ = pound$ sup1amp

I4 C = AcircsM

I6 (a) zM

NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar

J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a

(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S

J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu

(c) = -radic

J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm

(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013

Respostas

100

Bibliografia

Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il

Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il

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Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm

Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il

Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il

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Problemas Selecionados

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I2 ndash Num circuito LC em seacuterie a carga inicial do capacitor eacute C e ele estaacute sendo descarregado Quando a carga no capacitor eacute igual a C 2frasl qual eacute o fluxo magneacutetico que atravessa cada uma das N espiras do indutor (como funccedilatildeo de C H 2 e D)

I3 ndash Uma bobina possui N voltas e estaacute envolvendo um solenoide longo de raio r com n espiras por unidade de comprimento (figura ao lado) (a) Mostre que a indutacircncia muacutetua do sistema eacute dada por j = 75F$gtH (b) Explique por que M natildeo depende do formato tamanho ou possiacutevel falta de proximidade das espiras na bobina

I4 ndash A fem autoinduzida num solenoide de indutacircncia L varia no tempo conforme ℇ(c) = ℇ7so Levando em consideraccedilatildeo que a carga eacute finita (ou seja i = 0 quando c = infin) determine a carga total que passa pelo solenoide (que atravessa um determinado ponto no fio que compotildee o solenoide)

I5 ndash Um fio condutor foi enrolado num papelatildeo formando um toroide com N espiras (voltas) raio menor r e maior R A seccedilatildeo transversal do toroide eacute mostrada na figura ao lado Se F ≫ o campo magneacutetico no interior do toroide eacute essencialmente o mesmo que o campo no interior de um solenoide muito longo que tenha sido

moldado no formato de um ciacuterculo de raio R Modelando o campo como se fosse o campo uniforme de um solenoide longo mostre que a indutacircncia desse toroide eacute

aproximadamente 2 asymp -$ 7H$ LMu

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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I6 ndash Um indutor consiste em duas cascas ciliacutendricas concecircntricas como mostra a figura A casca interna tem raio e a externa tem raio ambas com comprimento ℎ A casca interna transporta uma corrente i para fora e a externa para dentro do plano da paacutegina com igual magnitude Calcule na regiatildeo lt lt (a) a densidade de energia magneacutetica (b) a indutacircncia

I7 ndash Mostre que i(c) = i7o wx eacute a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial iF + 2 yzyo = 0 onde i7 eacute a corrente em c = 0 e = 2 Ffrasl

I8 ndash Um fio condutor de raio R transporta uma corrente uniforme A corrente total no fio eacute i Mostre que a energia magneacutetica por unidade de comprimento dentro do fio eacute dada por 7i$ 165frasl

I9 ndash Um cabo coaxial eacute formado por dois cilindros condutores de paredes finas com raios - e $ As correntes nos dois cilindros satildeo iguais em magnitude mas com sentidos opostos (a) Use a lei de Ampeacutere para determinar o campo magneacutetico como funccedilatildeo da distacircncia ao eixo do cabo nas regiotildees (0 lt lt -) ( - lt lt $ ) e ( gt $) (b) Mostre que a densidade de energia magneacutetica na regiatildeo entre os cilindros eacute dada por

| = 12 745 i$(5$)-

(c) Mostre que a energia magneacutetica total num volume de cabo com comprimento ~ eacute dada por

Problemas Selecionados

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= i$~ ln LML

(d) Mostre que a autoindutacircncia por unidade de comprimento do cabo eacute dada por

2~ = 725 ln $-

-------------------------------------------------------------------------------------------

(J) Corrente Alternada

J1 ndash A tensatildeo de uma fonte de corrente alternada eacute dada por ∆d = 120gt(30 5c) onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A fonte eacute conectada a um indutor de 05 Determine (a) a frequecircncia da fonte (b) a voltagem rms no indutor (c) a reatacircncia indutiva do circuito (d) a corrente rms no indutor e (e) a corrente maacutexima no indutor

J2 ndash Uma fonte de tensatildeo alternada fornece uma tensatildeo ∆d = 98gt(80 5c) a um capacitor onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A corrente maacutexima no circuito eacute 05 J Determine (a) a tensatildeo rms da fonte (b) a frequecircncia da fonte e (c) o valor da capacitacircncia

J3 ndash Um circuito AC eacute composto por um resistor de 250 Ω um indutor de 15 um capacitor de 35 e uma fonte de tensatildeo alternada com amplitude de 45 S operando com frequecircncia angular = 360 = frasl (a) Qual eacute o fator de potecircncia do circuito (b) Determine a potecircncia meacutedia aparente (S) fornecida ao circuito (c) Qual eacute a potecircncia meacutedia ativa (P) dissipada no resistor Qual eacute a potecircncia meacutedia reativa (Q) que fica armazenada no circuito

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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J4 ndash Cinco voltiacutemetros com impedacircncia muito grande ajustados para ler valores rms estatildeo conectados conforme a figura ao lado Sendo F =200 Ω 2 = 04 H D = 6 e ∆S = 30 Vqual eacute a leitura da tensatildeo em cada voltiacutemetro se (a) = 200 = frasl e (b) =1000 = frasl

J5 ndash Num circuito RLC 2 = 028 e D = 4 A fonte fornece uma voltagem com amplitude de 120 S Qual eacute a frequecircncia angular de ressonacircncia do circuito (b) Quando a fonte opera na frequecircncia angular de ressonacircncia a amplitude da corrente no circuito eacute 17 J Qual a resistecircncia do resistor (c) Na frequecircncia angular de ressonacircncia quais satildeo as voltagens de pico no indutor capacitor e resistor

J6 ndash O circuito ao lado conteacutem uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal conforme ℇ = ℇgt(c) No estado de equiliacutebrio temos as correntes mostradas no circuito Sem recorrer a uma matemaacutetica complicada responda (a) Quais os valores de u e quando = 0 (frequecircncia zero significa que

a fonte foi substituida por uma bateria ideal) (b) Quais os valores de u e quando rarr infin (c) Qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia

Problemas Selecionados

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J7 ndash Um indutor um capacitor e um resistor estatildeo conectados em seacuterie a uma fonte de tensatildeo alternada Se os valores da resistecircncia capacitacircncia e indutacircncia forem duplicados o que aconteceraacute com (a) a frequecircncia angular de ressonacircncia (b) a reatacircncia indutiva (c) a reatacircncia capacitiva e (d) a impedacircncia

J8 ndash O circuito abaixo eacute formado por uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal variando conforme ℇ = ℇgt(c) uma resistecircncia F = 6 Ω e uma parte desconhecida que pode conter um indutor um capacitor ou ambos A amplitude da fonte eacute ℇ = 6 S Quando a frequecircncia angular = 2 = a corrente estaacute em fase com a fonte enquanto que para = 1 = a corrente estaacute fora de fase em relaccedilatildeo agrave fonte por exatamente 5 4frasl (a) Quais componentes estatildeo presentes na parte desconhecida (um indutor um capacitor ou ambos) Explique (b) Determine os valores dos componentes desconhecidos

J9 ndash Um circuito em seacuterie possui impendecircncia de 60 Ω e fator de potecircncia igual a 072 em 50 A tensatildeo da fonte estaacute atrasada em relaccedilatildeo agrave corrente (a) Que elemento do circuito (um indutor ou um capacitor) deve ser ligado em seacuterie com o circuito para aumentar o fator de potecircncia (b) Qual deve ser o valor desse elemento para que o fator de potecircncia seja igual a 1 (c) Apresente diagramas de fasores esquemaacuteticos para o circuito antes e depois da ligaccedilatildeo do novo elemento

Manual de Laboratoacuterio

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O PROCESSO DE MEDIDA NO LABORATOacuteRIO DE FIacuteSICA

Natildeo satildeo raros eventos em que nos valemos de medidas para tomarmos decisotildees Medimos nossa temperatura corporal para avaliarmos se necessitamos de tratamento Medimos a pressatildeo manomeacutetrica dos pneus para avaliarmos se precisamos injetar ou retirar ar neles Consultamos medidas da temperatura ambiente para escolhermos a roupa que vestiremos Consultamos o horaacuterio (medida de tempo) para natildeo chegarmos atrasados em encontros Medidas satildeo portanto fundamentais em nossas vidas No entanto usualmente natildeo nos preocupamos muito com a precisatildeo dessas medidas Em grande parte das vezes natildeo nos interessa saber se o horaacuterio informado no reloacutegio estaacute um pouco atrasado ou adiantado Natildeo nos preocupamos em saber o quanto podemos confiar nas temperaturas coletadas com um determinado termocircmetro Nossas medidas comumente satildeo realizadas de forma despretensiosa sem muito rigor

No laboratoacuterio de Fiacutesica isso ocorre de modo muito diferente Os processos de mediccedilatildeo satildeo mais minuciosos do que os que realizamos costumeiramente Desejamos obter a maior precisatildeo possiacutevel com os equipamentos de que dispomos Mas como fazer isso Como podemos melhorar a precisatildeo dos processos de mediccedilatildeo Intuitivamente podemos concluir que inferecircncias realizadas a partir de um conjunto de medidas satildeo mais precisas do que medidas isoladas Mas quando disponho de um conjunto de medidas como posso analisaacute-las Calcular a meacutedia delas eacute suficiente Responder a questotildees como essas eacute o objetivo desta atividade Para exemplificarmos todo esse processo realizaremos um debate sobre a mediccedilatildeo da resistecircncia interna de amperiacutemetros

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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O que satildeo amperiacutemetros

Um amperiacutemetro eacute um instrumento utilizado para a realizaccedilatildeo de medidas de correntes eleacutetricas Evidentemente natildeo queremos modificar os circuitos quando os exploramos com um instrumento Com amperiacutemetros natildeo eacute diferente Queremos medir correntes eleacutetricas sem alterar as caracteriacutesticas do circuito Mas como eacute possiacutevel fazer isso Natildeo discutiremos aqui os detalhes sobre o funcionamento interno de um amperiacutemetro No entanto vamos avaliaacute-los do ponto de vista de uma das suas caracteriacutesticas mais importantes a sua resistecircncia eleacutetrica

A resistecircncia eleacutetrica de um circuito influencia na intensidade da corrente eleacutetrica que circula nele A corrente eleacutetrica i que perpassa por uma resistecircncia eleacutetrica F submetida a uma tensatildeo ∆S por exemplo pode ser predita pela seguinte relaccedilatildeo

i = ∆u Eq 1

O amperiacutemetro precisa ser posicionado em seacuterie no circuito em que se deseja medir a corrente eleacutetrica como eacute exemplificado na figura

Figure 1- Medindo a resistecircncia interna de um multiacutemetro

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1 Como a resistecircncia equivalente em circuitos em seacuteries eacute a soma da resistecircncia eleacutetrica de cada um dos seus componentes a resistecircncia interna dos amperiacutemetros se soma agrave resistecircncia equivalente do circuito investigado alterando a sua dinacircmica Por isso nosso desejo eacute que os amperiacutemetros tenham resistecircncia eleacutetrica nula No entanto a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro real por menor que seja nunca eacute nula Eles possuem um circuito interno com fios e diversos componentes eletrocircnicos que acabam provocando uma resistecircncia agrave circulaccedilatildeo de corrente eleacutetrica Ainda assim frequentemente desprezamos tal resistecircncia Seraacute que isso eacute razoaacutevel Quando podemos desprezar a resistecircncia interna dos amperiacutemetros e quando natildeo podemos Para respondermos tais perguntas precisamos conhecer o valor da resistecircncia interna tiacutepica de um amperiacutemetro

Medindo a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro

Nesta disciplina usaremos diversos amperiacutemetros de uma mesma marca e modelo em uma seacuterie de experimentos (Minipa ET-2075B) Por isso eacute interessante que conheccedilamos a resistecircncia eleacutetrica deles para podermos avaliar quando podemos desprezaacute-la e quando natildeo Mas como podemos obter essa informaccedilatildeo Podemos medi-la Um procedimento simples para isso eacute submeter o amperiacutemetro a uma diferenccedila de potencial ΔV conhecida e medir a corrente eleacutetrica i que passa por ele Desse modo podemos usar a Eq 1 para inferir a resistecircncia eleacutetrica do equipamento Mas podemos confiar em uma uacutenica medida Depende da precisatildeo de que necessitamos para essa medida Intuitivamente sabemos que se medirmos a resistecircncia interna a partir de um conjunto de dados poderemos ter uma maior confiabilidade nos dados No exemplo de que estamos tratando eacute possiacutevel se coletar dados da corrente no amperiacutemetro quando submetido a diferentes tensotildees Desse modo pode-se inferir a resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro pela declividade da reta constituiacuteda

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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pelos dados representados em um graacutefico da tensatildeo em funccedilatildeo da corrente eleacutetrica como pode ser constatado da Eq1 No entanto como temos incertezas associadas a cada dado experimental coletado esses dados natildeo seratildeo perfeitamente representados por uma reta Surge entatildeo uma nova questatildeo qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados

Ajuste de Curvas

Diversas retas podem ser ajustadas a um conjunto de dados experimental Qual delas utilizar Intuitivamente podemos conjecturar que a melhor reta a ser utilizada eacute aquela tal que a soma das diferenccedilas entre os valores de tensatildeo medidos e os preditos pela reta tenha o menor valor possiacutevel Em outras palavras queremos minimizar a soma

sum = = (∆Sz minus ∆S)z-

onde ∆Sz satildeo as tensotildees medidas e ∆S satildeo as tensotildees preditas pela reta ajustada

No entanto haacute um inconveniente importante no uso desse criteacuterio tal soma pode ser bem pequena para retas que natildeo apresentam bom ajuste aos dados se as diferenccedilas entre os valores medidos e os preditos se cancelarem sendo alguns positivos e outros negativos Nesses casos apesar de natildeo termos uma reta bem ajustada aos dados o criteacuterio utilizado

indicaria que sim Como resolver isso Elevando os valores de dn ao

Figura 1 - Diferenccedila de potencial em funccedilatildeo

da corrente

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quadrado Ou seja podemos procurar a reta tal que a seguinte soma tenha o menor valor possiacutevel

sum =$ = (∆Sz minus ∆S)$z-

O meacutetodo que utiliza esse criteacuterio para a realizaccedilatildeo de ajustes de curvas que eacute amplamente utilizado no meio acadecircmico eacute denominado Meacutetodo dos Miacutenimos Quadrados Todos os softwares do tipo planilha eletrocircnica realizam esse caacutelculo automaticamente e nos valeremos disso quando necessaacuterio

Todos os amperiacutemetros da sala possuem a mesma resistecircncia interna

Ainda que todos os amperiacutemetros que utilizaremos nas nossas aulas sejam da mesma marca e modelo eles possuem diferentes resistecircncias internas Existe alguma forma de estimar a resistecircncia interna de um desses amperiacutemetros escolhido aleatoriamente Calcular a meacutedia das resistecircncias eacute suficiente para realizar essa estimativa

Variabilidade das medidas o desvio padratildeo amostral e da meacutedia

Apesar de as resistecircncias dos amperiacutemetros natildeo serem exatamente as mesmas elas possuem valores que se distribuem em torno de um valor meacutedio que eacute igual agrave meacutedia dessas resistecircncias Desse modo se tomarmos um dos amperiacutemetros aleatoriamente o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute igual agrave meacutedia das resistecircncias internas de todos os amperiacutemetros Mas quanto podemos confiar nessa estimativa Para respondermos tal pergunta eacute importante quantificarmos a variabilidade das resistecircncias r que medimos Quanto menor for essa variabilidade maior seraacute a nossa confianccedila para assumir que a resistecircncia interna de um amperiacutemetro particular eacute igual agrave meacutedia Intuitivamente podemos conjecturar que tal variabilidade pode ser medida pelo somatoacuterio das diferenccedilas entre as resistecircncias

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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medidas z e a meacutedia dessas resistecircncias ou seja por (- minus ) + ($ minus ) + ⋯ + ( minus ) onde N eacute o nuacutemero de medidas realizadas No entanto temos aqui um inconveniente semelhante ao que tivemos quando analisaacutevamos ajustes de curvas se valores positivos e negativos se cancelarem esse somatoacuterio pode ser muito pequeno mesmo quando os dados apresentam grande variabilidade Podemos propor a mesma soluccedilatildeo adotada anteriormente vamos elevar os termos ao quadrado Temos entatildeo a variabilidade dos dados sendo mensurada por (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$

A impossibilidade de comparaccedilatildeo entre as variabilidades de diferentes conjuntos de dados eacute a limitaccedilatildeo desta proposta pois o resultado desse somatoacuterio eacute altamente dependente da quantidade de termos Desse modo eacute possiacutevel que esse somatoacuterio seja maior para grandes conjuntos com pouca variabilidade do que para pequenos grupos com grande variabilidade Para amenizar tal limitaccedilatildeo podemos entatildeo dividir o somatoacuterio por N ou seja calcular a variabilidade por(- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$ Hfrasl Ainda que esse somatoacuterio seja conceitualmente interessante natildeo eacute essa a medida de dispersatildeo de dados que costuma ser utilizada no meio cientiacutefico mas algo que guarda alguma semelhanccedila com ele o desvio padratildeo dos dados (P) Ele eacute calculado por

PL = (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$H minus 1

Mas por que utilizamos essa equaccedilatildeo A resposta estaacute em suas propriedades Quando construiacutemos um histograma (graacutefico de frequecircncias) de um conjunto de medidas por exemplo podemos em muitos casos assumir que a distribuiccedilatildeo desses dados eacute representada por uma distribuiccedilatildeo normal A equaccedilatildeo que define essa distribuiccedilatildeo assim como sua representaccedilatildeo graacutefica eacute ilustrada na Figura 3

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Natildeo eacute nosso objetivo aqui discutir detalhes da distribuiccedilatildeo normal O que desejamos destacar eacute que quando supomos que a distribuiccedilatildeo de um conjunto de dados eacute normal o que eacute bastante razoaacutevel na maioria das vezes o desvio padratildeo σ quantifica como os dados estatildeo distribuiacutedos Para entendermos isso analisemos a Figura 4

O intervalo compreendido pela meacutedia das medidas mais ou menos um desvio padratildeo compreende 68 das medidas realizadas No caso que estamos exemplificando se tomarmos a meacutedia das resistecircncias internas r de todos os amperiacutemetros investigados e o desvio padratildeo PL desses dados 68 das medidas estaratildeo no intervalo entre ( minus PL) e ( + PL) 95 no intervalo ( 2PL) e 99 no intervalo ( 257PL)

Figura 2 - A distribuiccedilatildeo normal eacute usualmente utilizada para representar a distribuiccedilatildeo

de frequecircncias de um conjunto de dados (Lima Jr et al 2013 p 30)

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Agora jaacute sabemos como quantificar a variabilidade de um conjunto de dados Podemos entatildeo calcular a meacutedia e o desvio padratildeo das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros Mas surge entatildeo uma questatildeo Se analisaacutessemos um novo conjunto de amperiacutemetros da mesma marca e modelo dos exemplificados aqui a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros seria a mesma Provavelmente natildeo Temos como estimar a partir do conjunto de medidas que realizamos a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros Temos Para responder a essa questatildeo temos que compreender um novo conceito o de desvio padratildeo da meacutedia (PL) Ele eacute calculado por

PL = PLradicH

Natildeo vamos entrar em detalhes aqui sobre a origem do conceito de desvio padratildeo da meacutedia1 vamos apenas explicar como essa grandeza nos permite estimar a incerteza na meacutedia de um conjunto de medidas Para isso vamos supor um novo conjunto de N novas

1 Se vocecirc eacute um aluno curioso pesquise sobre o Teorema Central do Limite para compreender com mais profundidade o conceito de desvio padratildeo da meacutedia

Figura 3 - A meacutedia e o desvio padratildeo demarcam a distribuiccedilatildeo dos dados em uma

distribuiccedilatildeo normal Na figura o eixo das abcissas expressa a distacircncia da meacutedia em

unidades de desvio padratildeo (Lima Jr et al 2013 p 30)

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medidas da resistecircncia interna de amperiacutemetros como os investigados nesta aula Qual seria a meacutedia dessas medidas Assim como o desvio padratildeo dos dados quantifica a dispersatildeo dos dados em torno da meacutedia o desvio padratildeo da meacutedia quantifica a dispersatildeo das meacutedias de subconjuntos de dados em torno da meacutedia de todo o conjunto de dados Aplicando esse conceito ao nosso exemplo podemos interpretar os dois conjuntos de medidas de resistecircncias internas como subconjuntos de um grande conjunto contendo todas as medidas Desse modo podemos afirmar com 68 de confianccedila que a meacutedia das N novas medidas a serem realizadas estaraacute no intervalo compreendido por ( PL) com 95 de confianccedila no intervalo ( 2PL) e com 99 de confianccedila no intervalo ( 257PL) O desvio padratildeo da meacutedia pode ser compreendido assim como a incerteza da meacutedia de um conjunto de medidas ou seja ele nos fornece uma estimativa da confiabilidade de uma meacutedia Em suma se escolhermos um amperiacutemetro aleatoriamente podemos dizer que i) o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute a meacutedia das resistecircncias de todos os amperiacutemetros e ii) a incerteza que temos nesse valor eacute igual ao desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias dos amperiacutemetros

E se eu soacute tivesse condiccedilotildees de realizar uma uacutenica medida

Nem sempre podemos realizar diversas medidas de uma grandeza Em alguns casos nem mesmo faz sentido realizar diversas medidas No entanto eacute evidente que existe uma incerteza associada a uma uacutenica medida Natildeo existem instrumentos que sejam perfeitamente precisos Entatildeo como podemos estimar essa incerteza Usualmente os manuais dos instrumentos trazem informaccedilotildees sobre isso Desse modo as incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica realizadas com um voltiacutemetro e um amperiacutemetro podem ser consultadas no manual do multiacutemetro utilizado Mas como eacute calculada a incerteza da resistecircncia interna de um amperiacutemetro que foi calculada a partir de

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apenas uma medida de tensatildeo e uma de corrente eleacutetrica Nesse caso precisamos calcular a incerteza propagada das incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica

Os meacutetodos de caacutelculo de incertezas propagadas podem ser bastante complicados Aqui trataremos de um meacutetodo bastante simples usualmente denominado de Meacutetodo dos Limites Vamos exemplificaacute-lo supondo que a incerteza da tensatildeo sobre as entradas do amperiacutemetro eacute P- e da corrente eleacutetrica que circula por ele eacute P$ Ou seja a tensatildeo medida estaacute no intervalo entre ∆S minus P- e ∆S + P- e a corrente eleacutetrica entre i minus P$ e i + P$ Qual eacute entatildeo a incerteza da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro investigado Para responder isso basta calcularmos os valores limites dessa grandeza O maacuteximo valor possiacutevel para a resistecircncia ocorreraacute se a tensatildeo for ∆S + P- e a corrente eleacutetrica for i minus P$ Nesse caso usando a Eq 1 temos

aacutee = ∆S + P-i minus P$

Usando o mesmo raciociacutenio o valor miacutenimo de r seraacute

z = ∆S minus P-i + P$

Desse modo podemos dizer que o valor da resistecircncia interna medida estaacute no intervalo entre rmaacutex e rmiacuten Em outras palavras o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro eacute

F = iexclz + aacutee2 z minus aacutee2 cent

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Erro eacute a mesma coisa que incerteza

Apesar de serem frequentemente utilizados como sinocircnimos os manuais de metrologia atribuem significados distintos aos conceitos de ldquoerrordquo e ldquoincertezardquo O Guia para Expressatildeo da Incerteza da Mediccedilatildeo (Joint Commitee for Guide in Metrology 2008 apud Lima Jr et al 2013) usa o termo ldquoerrordquo para indicar a diferenccedila entre o valor verdadeiro e o resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo o conceito de erro tem uso restrito pois satildeo poucos os casos em que conhecemos o valor verdadeiro de uma grandeza Satildeo exemplos desses casos experimentos em que se deseja mensurar a velocidade da luz no vaacutecuo ou o valor de π que satildeo valores previamente conhecidos pelo experimentador O caacutelculo do erro soacute faz sentido para casos em que sabemos o valor verdadeiro da grandeza que se quer medir

A incerteza por outro lado eacute entendida como uma estimativa que quantifica a confiabilidade do resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo quando calculamos o desvio padratildeo da meacutedia de um conjunto de medidas estamos calculando a incerteza da meacutedia dessas medidas ou seja estamos avaliando a confianccedila que podemos ter em adotar a meacutedia dessas medidas como o valor da grandeza mensurada O conceito de incerteza portanto tem maior aplicabilidade do que o conceito de erro

Algarismos significativos e incerteza

Uma questatildeo frequente nas aulas de laboratoacuterio eacute Com quantos algarismos uma grandeza deve ser apresentada No laboratoacuterio a resposta dessa questatildeo eacute uma funccedilatildeo da incerteza da grandeza Devemos apresentar os dados ateacute o seu primeiro algarismo duvidoso Voltemos ao exemplo da resistecircncia interna dos amperiacutemetros Suponhamos que a meacutedia das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros eacute 21546 Ω e o desvio padratildeo dessa meacutedia que eacute

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entendido aqui como a incerteza da resistecircncia interna dos amperiacutemetros eacute 003 Ω Interpretando tais dados assumimos com 68 de certeza que a resistecircncia interna dos amperiacutemetros estaacute no intervalo entre 21246 e 21846 Ω Desse modo a segunda casa decimal da grandeza medida eacute duvidosa Por isso os algarismos subsequentes satildeo omitidos quando expressamos essa medida e a medida da resistecircncia interna dos amperiacutemetros exemplificados eacute exposta por (215 plusmn 003) Ω Em suma o resultado de uma mediccedilatildeo deve ser sempre expresso com a mesma quantidade de casas decimais que sua incerteza Os algarismos apresentados satildeo entatildeo chamados de algarismos significativos

Referecircncia

Lima Jr P Silva M T X Silveira F L Veit E A (2013) Laboratoacuterio de mecacircnica subsiacutedios para o ensino de Fiacutesica experimental Porto Alegre UFRGS Instituto de Fiacutesica Disponiacutevel em httphdlhandlenet1018390438

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Atividade de Laboratoacuterio I Instrumentos de medida e incertezas

Este material foi cuidadosamente preparado para auxiliar no andamento das atividades no laboratoacuterio de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo Eacute importante responder TODAS as perguntas

(indicadas pelo siacutembolo ) feitas ao longo do texto discutindo com seu grupo possiacuteveis respostas e justificando-as Sempre que possiacutevel faccedila isso por escrito

TAREFA 1

Construa um circuito contendo um resistor de 1 kΩ em seacuterie com uma fonte de tensatildeo contiacutenua e um multiacutemetro Coloque o multiacutemetro na funccedilatildeo amperiacutemetro na escala de miliampere Usando outro multiacutemetro meccedila a tensatildeo no amperiacutemetro Realize medidas com diferentes correntes eleacutetricas variando a tensatildeo de saiacuteda da fonte

Como podemos tratar esses dados se nosso objetivo eacute medir a resistecircncia interna do amperiacutemetro

Qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados

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Para responder essas questotildees se dirija a um dos computadores da sala e use um aplicativo que possibilite a construccedilatildeo de graacuteficos SciDavis por exemplo Insira seus dados no aplicativo construa o graacutefico desejado e encontre a melhor reta que se ajusta aos dados

Qual foi a melhor reta ajustada Determine a equaccedilatildeo dessa reta ajustada

Qual eacute o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro que vocecirc investigou

TAREFA 2

Utilize as medidas de todos os grupos da turma e aplique os conhecimentos abordados na tarefa de leitura para responder as seguintes questotildees

Qual deve ser a resistecircncia interna de um amperiacutemetro escolhido aleatoriamente entre os utilizados nesta aula

Qual eacute a incerteza desse valor

TAREFA 3

Suponha que o manual do Minipa ET-2075B informe que as medidas de tensatildeo e corrente realizadas nas faixas de milivolt e miliampere tecircm incerteza de 3 Use esses dados para calcular a

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incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1

Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma

Elas satildeo coerentes Por quecirc

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CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO

Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por

equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC

Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras

O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se

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extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo

No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador

Salvando vidas

ldquoafastem-se choquerdquo

Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de

sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos

O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo

Figura 4 - Desfibrilador

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esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)

Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma

sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o

miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia

Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2

2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387

Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)

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Circuito RC - seacuterie

Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C

Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que

∆S(c) + i(c)F = 0

Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo

i(c) = =C(c)=c

e a ddp no capacitor eacute dada por

∆S(c) = C(c)D

Dessa forma podemos dizer que

=C(c)=c = minus 1FD C(c)

Figura 6 - Circuito RC

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Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa

funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja

derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever

C(c) = C7 ou

A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial

Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir

Capacitor Carregando Capacitor Descarregando

∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0

C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou

∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou

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Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8

Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo

eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum

3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78

Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas

do capacitor durante o processo de

carga ou descarga

Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um

graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo

do tempo

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Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no

capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte

Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor

quando o mesmo estaacute sendo carregado

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Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie

1 - Osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos

2 ndash Aparato Experimental

Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito

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conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto

Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)

Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio

Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees

Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala

Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)

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TAREFA 1

Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees

Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico

Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito

Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito

Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos

Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio

TAREFA 2

Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie

Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)

Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados

Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo

NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo

Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste

Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito

Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito

Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles

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MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS

Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais

Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio

Para onde aponta a buacutessola

Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos

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polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc

E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial

tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos

que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a

soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio

4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja

httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4

Figura 10 - Buacutessola

Figura 11 - campo B resultante

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Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por

umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O

Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde

Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde

Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma

iacuteatilde() = ∙

onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde

5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass

The Physics Teacher 49(1) 45-48

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como

iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2

Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos

gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)

Logo

gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2

Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo

iacuteatilde() = amp

Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse

tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira

na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart

Manual de Laboratoacuterio

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pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do

que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute

yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp

onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico

da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos

yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp

Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3

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Atividade de Laboratoacuterio III Projeto

OBJETIVO

Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio

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SUGESTAtildeO 1

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO

Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas

Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece

Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha

Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo

por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o

eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte

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SUGESTAtildeO 2

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA

Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)

Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica

Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de

uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)

Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema

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SUGESTAtildeO 3

BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO

Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola

Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)

Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina

O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados

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SUGESTAtildeO 4

CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO

O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer

Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio

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MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO

Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro

Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental

6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089

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110 V 127 V e 220 V O que eacute isso

As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V

Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas

A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

(c) = Jgt(c + acute)

onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por

∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)

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onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1

Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho

Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores

Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No

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caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por

∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf

∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712

∆Suparamiddot = ∆S7radic2

Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a

tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s

A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente

alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$

Figura 13 - Funccedilotildees seno e

seno quadrado

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COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA

Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz

Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O

Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica

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que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio

Natildeo queremos jogar energia fora

Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14

Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie

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Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por

0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)

onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)

Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

ℇ(c) = ℇ7gt(c)

onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente

Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na

figura 16 para um caso em que VL gt VC

Figura 15 - Diagrama de fasores

de um circuito RLC seacuterie com

fonte de tensatildeo alternada

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A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que

acute = c8 S minus SSu

Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado

por

i(c) = gt(c minus acute)

Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente

as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que

ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$

ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$

Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como

0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)

Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que

0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$

Figura 16 ndash Soma de fasores

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0eacutey = F ∙ uparamiddot$

onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square

Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que

F = frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte

Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade

7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL

Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e

resistecircncia num diagrama de fasores

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do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como

0 = AJradicAJ$ + AF$

O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP

DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11

Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia

Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por

acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita

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2 = 1D

Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica

Figura 18 - diagramas de fasores representando

um circuito capacitivo e um circuito indutivo

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Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie

O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio

TAREFA 1

Circuito Resistivo

Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR

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Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)

O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador

Circuito Capacitivo

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Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor

Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

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Circuito Indutivo

Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor

O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

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Circuito RLC

Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise

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O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador

Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio

O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior

Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor

Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou

A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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TAREFA 2

Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente

Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir

Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima

Qual o valor da corrente maacutexima no circuito

Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)

O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique

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TAREFA 3

Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito

Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees

Como isso eacute possiacutevel Explique

Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff

Respostas

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Respostas

A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32

A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH

A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH

B3 Ae = Af = AtildeAcircf

B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl

B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH

B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l

B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD

B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -

C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc

(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7

C2 O = ~13deg

C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)

Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-

vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr

Respostas

97

C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM

C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD

(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD

C6 A = Eacute$Acirc

C7 A = Atilde$AcircL

D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma

das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp

D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(

D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1

no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)

D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme

D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D

E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)

E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D

E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml

F1 544 times 10

F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S

F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM

u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM

u (e) 0 = ℇMu

F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω

Respostas

98

F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965

G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n

G5 i = Ograve$g = 245 J

G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y

G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez

G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H

G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)

G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)

G15 (a) zL$brvbarM (b)

z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero

G16 z$L + z$L = z$L - + 1

G17 (a) pLM

amp (b) pusup3

ampL

G18 zzMu

G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)

z

G20 zNu saindo da folha

G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)

UgraveLMamp

fora do fio (a) z$L (b)

UgravebrvbarM$L (c)

Ugravebrvbarsup3ampL

G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13

G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM

ampu

H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior

Respostas

99

H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a

H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J

I2 Φ = pound$ sup1amp

I4 C = AcircsM

I6 (a) zM

NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar

J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a

(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S

J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu

(c) = -radic

J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm

(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013

Respostas

100

Bibliografia

Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il

Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il

Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il

Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm

Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il

Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il

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Problemas Selecionados

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= i$~ ln LML

(d) Mostre que a autoindutacircncia por unidade de comprimento do cabo eacute dada por

2~ = 725 ln $-

-------------------------------------------------------------------------------------------

(J) Corrente Alternada

J1 ndash A tensatildeo de uma fonte de corrente alternada eacute dada por ∆d = 120gt(30 5c) onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A fonte eacute conectada a um indutor de 05 Determine (a) a frequecircncia da fonte (b) a voltagem rms no indutor (c) a reatacircncia indutiva do circuito (d) a corrente rms no indutor e (e) a corrente maacutexima no indutor

J2 ndash Uma fonte de tensatildeo alternada fornece uma tensatildeo ∆d = 98gt(80 5c) a um capacitor onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A corrente maacutexima no circuito eacute 05 J Determine (a) a tensatildeo rms da fonte (b) a frequecircncia da fonte e (c) o valor da capacitacircncia

J3 ndash Um circuito AC eacute composto por um resistor de 250 Ω um indutor de 15 um capacitor de 35 e uma fonte de tensatildeo alternada com amplitude de 45 S operando com frequecircncia angular = 360 = frasl (a) Qual eacute o fator de potecircncia do circuito (b) Determine a potecircncia meacutedia aparente (S) fornecida ao circuito (c) Qual eacute a potecircncia meacutedia ativa (P) dissipada no resistor Qual eacute a potecircncia meacutedia reativa (Q) que fica armazenada no circuito

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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J4 ndash Cinco voltiacutemetros com impedacircncia muito grande ajustados para ler valores rms estatildeo conectados conforme a figura ao lado Sendo F =200 Ω 2 = 04 H D = 6 e ∆S = 30 Vqual eacute a leitura da tensatildeo em cada voltiacutemetro se (a) = 200 = frasl e (b) =1000 = frasl

J5 ndash Num circuito RLC 2 = 028 e D = 4 A fonte fornece uma voltagem com amplitude de 120 S Qual eacute a frequecircncia angular de ressonacircncia do circuito (b) Quando a fonte opera na frequecircncia angular de ressonacircncia a amplitude da corrente no circuito eacute 17 J Qual a resistecircncia do resistor (c) Na frequecircncia angular de ressonacircncia quais satildeo as voltagens de pico no indutor capacitor e resistor

J6 ndash O circuito ao lado conteacutem uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal conforme ℇ = ℇgt(c) No estado de equiliacutebrio temos as correntes mostradas no circuito Sem recorrer a uma matemaacutetica complicada responda (a) Quais os valores de u e quando = 0 (frequecircncia zero significa que

a fonte foi substituida por uma bateria ideal) (b) Quais os valores de u e quando rarr infin (c) Qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia

Problemas Selecionados

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J7 ndash Um indutor um capacitor e um resistor estatildeo conectados em seacuterie a uma fonte de tensatildeo alternada Se os valores da resistecircncia capacitacircncia e indutacircncia forem duplicados o que aconteceraacute com (a) a frequecircncia angular de ressonacircncia (b) a reatacircncia indutiva (c) a reatacircncia capacitiva e (d) a impedacircncia

J8 ndash O circuito abaixo eacute formado por uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal variando conforme ℇ = ℇgt(c) uma resistecircncia F = 6 Ω e uma parte desconhecida que pode conter um indutor um capacitor ou ambos A amplitude da fonte eacute ℇ = 6 S Quando a frequecircncia angular = 2 = a corrente estaacute em fase com a fonte enquanto que para = 1 = a corrente estaacute fora de fase em relaccedilatildeo agrave fonte por exatamente 5 4frasl (a) Quais componentes estatildeo presentes na parte desconhecida (um indutor um capacitor ou ambos) Explique (b) Determine os valores dos componentes desconhecidos

J9 ndash Um circuito em seacuterie possui impendecircncia de 60 Ω e fator de potecircncia igual a 072 em 50 A tensatildeo da fonte estaacute atrasada em relaccedilatildeo agrave corrente (a) Que elemento do circuito (um indutor ou um capacitor) deve ser ligado em seacuterie com o circuito para aumentar o fator de potecircncia (b) Qual deve ser o valor desse elemento para que o fator de potecircncia seja igual a 1 (c) Apresente diagramas de fasores esquemaacuteticos para o circuito antes e depois da ligaccedilatildeo do novo elemento

Manual de Laboratoacuterio

Manual de Laboratoacuterio

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O PROCESSO DE MEDIDA NO LABORATOacuteRIO DE FIacuteSICA

Natildeo satildeo raros eventos em que nos valemos de medidas para tomarmos decisotildees Medimos nossa temperatura corporal para avaliarmos se necessitamos de tratamento Medimos a pressatildeo manomeacutetrica dos pneus para avaliarmos se precisamos injetar ou retirar ar neles Consultamos medidas da temperatura ambiente para escolhermos a roupa que vestiremos Consultamos o horaacuterio (medida de tempo) para natildeo chegarmos atrasados em encontros Medidas satildeo portanto fundamentais em nossas vidas No entanto usualmente natildeo nos preocupamos muito com a precisatildeo dessas medidas Em grande parte das vezes natildeo nos interessa saber se o horaacuterio informado no reloacutegio estaacute um pouco atrasado ou adiantado Natildeo nos preocupamos em saber o quanto podemos confiar nas temperaturas coletadas com um determinado termocircmetro Nossas medidas comumente satildeo realizadas de forma despretensiosa sem muito rigor

No laboratoacuterio de Fiacutesica isso ocorre de modo muito diferente Os processos de mediccedilatildeo satildeo mais minuciosos do que os que realizamos costumeiramente Desejamos obter a maior precisatildeo possiacutevel com os equipamentos de que dispomos Mas como fazer isso Como podemos melhorar a precisatildeo dos processos de mediccedilatildeo Intuitivamente podemos concluir que inferecircncias realizadas a partir de um conjunto de medidas satildeo mais precisas do que medidas isoladas Mas quando disponho de um conjunto de medidas como posso analisaacute-las Calcular a meacutedia delas eacute suficiente Responder a questotildees como essas eacute o objetivo desta atividade Para exemplificarmos todo esse processo realizaremos um debate sobre a mediccedilatildeo da resistecircncia interna de amperiacutemetros

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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O que satildeo amperiacutemetros

Um amperiacutemetro eacute um instrumento utilizado para a realizaccedilatildeo de medidas de correntes eleacutetricas Evidentemente natildeo queremos modificar os circuitos quando os exploramos com um instrumento Com amperiacutemetros natildeo eacute diferente Queremos medir correntes eleacutetricas sem alterar as caracteriacutesticas do circuito Mas como eacute possiacutevel fazer isso Natildeo discutiremos aqui os detalhes sobre o funcionamento interno de um amperiacutemetro No entanto vamos avaliaacute-los do ponto de vista de uma das suas caracteriacutesticas mais importantes a sua resistecircncia eleacutetrica

A resistecircncia eleacutetrica de um circuito influencia na intensidade da corrente eleacutetrica que circula nele A corrente eleacutetrica i que perpassa por uma resistecircncia eleacutetrica F submetida a uma tensatildeo ∆S por exemplo pode ser predita pela seguinte relaccedilatildeo

i = ∆u Eq 1

O amperiacutemetro precisa ser posicionado em seacuterie no circuito em que se deseja medir a corrente eleacutetrica como eacute exemplificado na figura

Figure 1- Medindo a resistecircncia interna de um multiacutemetro

Manual de Laboratoacuterio

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1 Como a resistecircncia equivalente em circuitos em seacuteries eacute a soma da resistecircncia eleacutetrica de cada um dos seus componentes a resistecircncia interna dos amperiacutemetros se soma agrave resistecircncia equivalente do circuito investigado alterando a sua dinacircmica Por isso nosso desejo eacute que os amperiacutemetros tenham resistecircncia eleacutetrica nula No entanto a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro real por menor que seja nunca eacute nula Eles possuem um circuito interno com fios e diversos componentes eletrocircnicos que acabam provocando uma resistecircncia agrave circulaccedilatildeo de corrente eleacutetrica Ainda assim frequentemente desprezamos tal resistecircncia Seraacute que isso eacute razoaacutevel Quando podemos desprezar a resistecircncia interna dos amperiacutemetros e quando natildeo podemos Para respondermos tais perguntas precisamos conhecer o valor da resistecircncia interna tiacutepica de um amperiacutemetro

Medindo a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro

Nesta disciplina usaremos diversos amperiacutemetros de uma mesma marca e modelo em uma seacuterie de experimentos (Minipa ET-2075B) Por isso eacute interessante que conheccedilamos a resistecircncia eleacutetrica deles para podermos avaliar quando podemos desprezaacute-la e quando natildeo Mas como podemos obter essa informaccedilatildeo Podemos medi-la Um procedimento simples para isso eacute submeter o amperiacutemetro a uma diferenccedila de potencial ΔV conhecida e medir a corrente eleacutetrica i que passa por ele Desse modo podemos usar a Eq 1 para inferir a resistecircncia eleacutetrica do equipamento Mas podemos confiar em uma uacutenica medida Depende da precisatildeo de que necessitamos para essa medida Intuitivamente sabemos que se medirmos a resistecircncia interna a partir de um conjunto de dados poderemos ter uma maior confiabilidade nos dados No exemplo de que estamos tratando eacute possiacutevel se coletar dados da corrente no amperiacutemetro quando submetido a diferentes tensotildees Desse modo pode-se inferir a resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro pela declividade da reta constituiacuteda

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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pelos dados representados em um graacutefico da tensatildeo em funccedilatildeo da corrente eleacutetrica como pode ser constatado da Eq1 No entanto como temos incertezas associadas a cada dado experimental coletado esses dados natildeo seratildeo perfeitamente representados por uma reta Surge entatildeo uma nova questatildeo qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados

Ajuste de Curvas

Diversas retas podem ser ajustadas a um conjunto de dados experimental Qual delas utilizar Intuitivamente podemos conjecturar que a melhor reta a ser utilizada eacute aquela tal que a soma das diferenccedilas entre os valores de tensatildeo medidos e os preditos pela reta tenha o menor valor possiacutevel Em outras palavras queremos minimizar a soma

sum = = (∆Sz minus ∆S)z-

onde ∆Sz satildeo as tensotildees medidas e ∆S satildeo as tensotildees preditas pela reta ajustada

No entanto haacute um inconveniente importante no uso desse criteacuterio tal soma pode ser bem pequena para retas que natildeo apresentam bom ajuste aos dados se as diferenccedilas entre os valores medidos e os preditos se cancelarem sendo alguns positivos e outros negativos Nesses casos apesar de natildeo termos uma reta bem ajustada aos dados o criteacuterio utilizado

indicaria que sim Como resolver isso Elevando os valores de dn ao

Figura 1 - Diferenccedila de potencial em funccedilatildeo

da corrente

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quadrado Ou seja podemos procurar a reta tal que a seguinte soma tenha o menor valor possiacutevel

sum =$ = (∆Sz minus ∆S)$z-

O meacutetodo que utiliza esse criteacuterio para a realizaccedilatildeo de ajustes de curvas que eacute amplamente utilizado no meio acadecircmico eacute denominado Meacutetodo dos Miacutenimos Quadrados Todos os softwares do tipo planilha eletrocircnica realizam esse caacutelculo automaticamente e nos valeremos disso quando necessaacuterio

Todos os amperiacutemetros da sala possuem a mesma resistecircncia interna

Ainda que todos os amperiacutemetros que utilizaremos nas nossas aulas sejam da mesma marca e modelo eles possuem diferentes resistecircncias internas Existe alguma forma de estimar a resistecircncia interna de um desses amperiacutemetros escolhido aleatoriamente Calcular a meacutedia das resistecircncias eacute suficiente para realizar essa estimativa

Variabilidade das medidas o desvio padratildeo amostral e da meacutedia

Apesar de as resistecircncias dos amperiacutemetros natildeo serem exatamente as mesmas elas possuem valores que se distribuem em torno de um valor meacutedio que eacute igual agrave meacutedia dessas resistecircncias Desse modo se tomarmos um dos amperiacutemetros aleatoriamente o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute igual agrave meacutedia das resistecircncias internas de todos os amperiacutemetros Mas quanto podemos confiar nessa estimativa Para respondermos tal pergunta eacute importante quantificarmos a variabilidade das resistecircncias r que medimos Quanto menor for essa variabilidade maior seraacute a nossa confianccedila para assumir que a resistecircncia interna de um amperiacutemetro particular eacute igual agrave meacutedia Intuitivamente podemos conjecturar que tal variabilidade pode ser medida pelo somatoacuterio das diferenccedilas entre as resistecircncias

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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medidas z e a meacutedia dessas resistecircncias ou seja por (- minus ) + ($ minus ) + ⋯ + ( minus ) onde N eacute o nuacutemero de medidas realizadas No entanto temos aqui um inconveniente semelhante ao que tivemos quando analisaacutevamos ajustes de curvas se valores positivos e negativos se cancelarem esse somatoacuterio pode ser muito pequeno mesmo quando os dados apresentam grande variabilidade Podemos propor a mesma soluccedilatildeo adotada anteriormente vamos elevar os termos ao quadrado Temos entatildeo a variabilidade dos dados sendo mensurada por (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$

A impossibilidade de comparaccedilatildeo entre as variabilidades de diferentes conjuntos de dados eacute a limitaccedilatildeo desta proposta pois o resultado desse somatoacuterio eacute altamente dependente da quantidade de termos Desse modo eacute possiacutevel que esse somatoacuterio seja maior para grandes conjuntos com pouca variabilidade do que para pequenos grupos com grande variabilidade Para amenizar tal limitaccedilatildeo podemos entatildeo dividir o somatoacuterio por N ou seja calcular a variabilidade por(- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$ Hfrasl Ainda que esse somatoacuterio seja conceitualmente interessante natildeo eacute essa a medida de dispersatildeo de dados que costuma ser utilizada no meio cientiacutefico mas algo que guarda alguma semelhanccedila com ele o desvio padratildeo dos dados (P) Ele eacute calculado por

PL = (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$H minus 1

Mas por que utilizamos essa equaccedilatildeo A resposta estaacute em suas propriedades Quando construiacutemos um histograma (graacutefico de frequecircncias) de um conjunto de medidas por exemplo podemos em muitos casos assumir que a distribuiccedilatildeo desses dados eacute representada por uma distribuiccedilatildeo normal A equaccedilatildeo que define essa distribuiccedilatildeo assim como sua representaccedilatildeo graacutefica eacute ilustrada na Figura 3

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Natildeo eacute nosso objetivo aqui discutir detalhes da distribuiccedilatildeo normal O que desejamos destacar eacute que quando supomos que a distribuiccedilatildeo de um conjunto de dados eacute normal o que eacute bastante razoaacutevel na maioria das vezes o desvio padratildeo σ quantifica como os dados estatildeo distribuiacutedos Para entendermos isso analisemos a Figura 4

O intervalo compreendido pela meacutedia das medidas mais ou menos um desvio padratildeo compreende 68 das medidas realizadas No caso que estamos exemplificando se tomarmos a meacutedia das resistecircncias internas r de todos os amperiacutemetros investigados e o desvio padratildeo PL desses dados 68 das medidas estaratildeo no intervalo entre ( minus PL) e ( + PL) 95 no intervalo ( 2PL) e 99 no intervalo ( 257PL)

Figura 2 - A distribuiccedilatildeo normal eacute usualmente utilizada para representar a distribuiccedilatildeo

de frequecircncias de um conjunto de dados (Lima Jr et al 2013 p 30)

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Agora jaacute sabemos como quantificar a variabilidade de um conjunto de dados Podemos entatildeo calcular a meacutedia e o desvio padratildeo das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros Mas surge entatildeo uma questatildeo Se analisaacutessemos um novo conjunto de amperiacutemetros da mesma marca e modelo dos exemplificados aqui a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros seria a mesma Provavelmente natildeo Temos como estimar a partir do conjunto de medidas que realizamos a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros Temos Para responder a essa questatildeo temos que compreender um novo conceito o de desvio padratildeo da meacutedia (PL) Ele eacute calculado por

PL = PLradicH

Natildeo vamos entrar em detalhes aqui sobre a origem do conceito de desvio padratildeo da meacutedia1 vamos apenas explicar como essa grandeza nos permite estimar a incerteza na meacutedia de um conjunto de medidas Para isso vamos supor um novo conjunto de N novas

1 Se vocecirc eacute um aluno curioso pesquise sobre o Teorema Central do Limite para compreender com mais profundidade o conceito de desvio padratildeo da meacutedia

Figura 3 - A meacutedia e o desvio padratildeo demarcam a distribuiccedilatildeo dos dados em uma

distribuiccedilatildeo normal Na figura o eixo das abcissas expressa a distacircncia da meacutedia em

unidades de desvio padratildeo (Lima Jr et al 2013 p 30)

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medidas da resistecircncia interna de amperiacutemetros como os investigados nesta aula Qual seria a meacutedia dessas medidas Assim como o desvio padratildeo dos dados quantifica a dispersatildeo dos dados em torno da meacutedia o desvio padratildeo da meacutedia quantifica a dispersatildeo das meacutedias de subconjuntos de dados em torno da meacutedia de todo o conjunto de dados Aplicando esse conceito ao nosso exemplo podemos interpretar os dois conjuntos de medidas de resistecircncias internas como subconjuntos de um grande conjunto contendo todas as medidas Desse modo podemos afirmar com 68 de confianccedila que a meacutedia das N novas medidas a serem realizadas estaraacute no intervalo compreendido por ( PL) com 95 de confianccedila no intervalo ( 2PL) e com 99 de confianccedila no intervalo ( 257PL) O desvio padratildeo da meacutedia pode ser compreendido assim como a incerteza da meacutedia de um conjunto de medidas ou seja ele nos fornece uma estimativa da confiabilidade de uma meacutedia Em suma se escolhermos um amperiacutemetro aleatoriamente podemos dizer que i) o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute a meacutedia das resistecircncias de todos os amperiacutemetros e ii) a incerteza que temos nesse valor eacute igual ao desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias dos amperiacutemetros

E se eu soacute tivesse condiccedilotildees de realizar uma uacutenica medida

Nem sempre podemos realizar diversas medidas de uma grandeza Em alguns casos nem mesmo faz sentido realizar diversas medidas No entanto eacute evidente que existe uma incerteza associada a uma uacutenica medida Natildeo existem instrumentos que sejam perfeitamente precisos Entatildeo como podemos estimar essa incerteza Usualmente os manuais dos instrumentos trazem informaccedilotildees sobre isso Desse modo as incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica realizadas com um voltiacutemetro e um amperiacutemetro podem ser consultadas no manual do multiacutemetro utilizado Mas como eacute calculada a incerteza da resistecircncia interna de um amperiacutemetro que foi calculada a partir de

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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apenas uma medida de tensatildeo e uma de corrente eleacutetrica Nesse caso precisamos calcular a incerteza propagada das incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica

Os meacutetodos de caacutelculo de incertezas propagadas podem ser bastante complicados Aqui trataremos de um meacutetodo bastante simples usualmente denominado de Meacutetodo dos Limites Vamos exemplificaacute-lo supondo que a incerteza da tensatildeo sobre as entradas do amperiacutemetro eacute P- e da corrente eleacutetrica que circula por ele eacute P$ Ou seja a tensatildeo medida estaacute no intervalo entre ∆S minus P- e ∆S + P- e a corrente eleacutetrica entre i minus P$ e i + P$ Qual eacute entatildeo a incerteza da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro investigado Para responder isso basta calcularmos os valores limites dessa grandeza O maacuteximo valor possiacutevel para a resistecircncia ocorreraacute se a tensatildeo for ∆S + P- e a corrente eleacutetrica for i minus P$ Nesse caso usando a Eq 1 temos

aacutee = ∆S + P-i minus P$

Usando o mesmo raciociacutenio o valor miacutenimo de r seraacute

z = ∆S minus P-i + P$

Desse modo podemos dizer que o valor da resistecircncia interna medida estaacute no intervalo entre rmaacutex e rmiacuten Em outras palavras o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro eacute

F = iexclz + aacutee2 z minus aacutee2 cent

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Erro eacute a mesma coisa que incerteza

Apesar de serem frequentemente utilizados como sinocircnimos os manuais de metrologia atribuem significados distintos aos conceitos de ldquoerrordquo e ldquoincertezardquo O Guia para Expressatildeo da Incerteza da Mediccedilatildeo (Joint Commitee for Guide in Metrology 2008 apud Lima Jr et al 2013) usa o termo ldquoerrordquo para indicar a diferenccedila entre o valor verdadeiro e o resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo o conceito de erro tem uso restrito pois satildeo poucos os casos em que conhecemos o valor verdadeiro de uma grandeza Satildeo exemplos desses casos experimentos em que se deseja mensurar a velocidade da luz no vaacutecuo ou o valor de π que satildeo valores previamente conhecidos pelo experimentador O caacutelculo do erro soacute faz sentido para casos em que sabemos o valor verdadeiro da grandeza que se quer medir

A incerteza por outro lado eacute entendida como uma estimativa que quantifica a confiabilidade do resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo quando calculamos o desvio padratildeo da meacutedia de um conjunto de medidas estamos calculando a incerteza da meacutedia dessas medidas ou seja estamos avaliando a confianccedila que podemos ter em adotar a meacutedia dessas medidas como o valor da grandeza mensurada O conceito de incerteza portanto tem maior aplicabilidade do que o conceito de erro

Algarismos significativos e incerteza

Uma questatildeo frequente nas aulas de laboratoacuterio eacute Com quantos algarismos uma grandeza deve ser apresentada No laboratoacuterio a resposta dessa questatildeo eacute uma funccedilatildeo da incerteza da grandeza Devemos apresentar os dados ateacute o seu primeiro algarismo duvidoso Voltemos ao exemplo da resistecircncia interna dos amperiacutemetros Suponhamos que a meacutedia das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros eacute 21546 Ω e o desvio padratildeo dessa meacutedia que eacute

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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entendido aqui como a incerteza da resistecircncia interna dos amperiacutemetros eacute 003 Ω Interpretando tais dados assumimos com 68 de certeza que a resistecircncia interna dos amperiacutemetros estaacute no intervalo entre 21246 e 21846 Ω Desse modo a segunda casa decimal da grandeza medida eacute duvidosa Por isso os algarismos subsequentes satildeo omitidos quando expressamos essa medida e a medida da resistecircncia interna dos amperiacutemetros exemplificados eacute exposta por (215 plusmn 003) Ω Em suma o resultado de uma mediccedilatildeo deve ser sempre expresso com a mesma quantidade de casas decimais que sua incerteza Os algarismos apresentados satildeo entatildeo chamados de algarismos significativos

Referecircncia

Lima Jr P Silva M T X Silveira F L Veit E A (2013) Laboratoacuterio de mecacircnica subsiacutedios para o ensino de Fiacutesica experimental Porto Alegre UFRGS Instituto de Fiacutesica Disponiacutevel em httphdlhandlenet1018390438

Manual de Laboratoacuterio

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Atividade de Laboratoacuterio I Instrumentos de medida e incertezas

Este material foi cuidadosamente preparado para auxiliar no andamento das atividades no laboratoacuterio de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo Eacute importante responder TODAS as perguntas

(indicadas pelo siacutembolo ) feitas ao longo do texto discutindo com seu grupo possiacuteveis respostas e justificando-as Sempre que possiacutevel faccedila isso por escrito

TAREFA 1

Construa um circuito contendo um resistor de 1 kΩ em seacuterie com uma fonte de tensatildeo contiacutenua e um multiacutemetro Coloque o multiacutemetro na funccedilatildeo amperiacutemetro na escala de miliampere Usando outro multiacutemetro meccedila a tensatildeo no amperiacutemetro Realize medidas com diferentes correntes eleacutetricas variando a tensatildeo de saiacuteda da fonte

Como podemos tratar esses dados se nosso objetivo eacute medir a resistecircncia interna do amperiacutemetro

Qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Para responder essas questotildees se dirija a um dos computadores da sala e use um aplicativo que possibilite a construccedilatildeo de graacuteficos SciDavis por exemplo Insira seus dados no aplicativo construa o graacutefico desejado e encontre a melhor reta que se ajusta aos dados

Qual foi a melhor reta ajustada Determine a equaccedilatildeo dessa reta ajustada

Qual eacute o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro que vocecirc investigou

TAREFA 2

Utilize as medidas de todos os grupos da turma e aplique os conhecimentos abordados na tarefa de leitura para responder as seguintes questotildees

Qual deve ser a resistecircncia interna de um amperiacutemetro escolhido aleatoriamente entre os utilizados nesta aula

Qual eacute a incerteza desse valor

TAREFA 3

Suponha que o manual do Minipa ET-2075B informe que as medidas de tensatildeo e corrente realizadas nas faixas de milivolt e miliampere tecircm incerteza de 3 Use esses dados para calcular a

Manual de Laboratoacuterio

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incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1

Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma

Elas satildeo coerentes Por quecirc

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO

Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por

equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC

Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras

O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se

Manual de Laboratoacuterio

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extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo

No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador

Salvando vidas

ldquoafastem-se choquerdquo

Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de

sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos

O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo

Figura 4 - Desfibrilador

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)

Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma

sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o

miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia

Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2

2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387

Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)

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Circuito RC - seacuterie

Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C

Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que

∆S(c) + i(c)F = 0

Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo

i(c) = =C(c)=c

e a ddp no capacitor eacute dada por

∆S(c) = C(c)D

Dessa forma podemos dizer que

=C(c)=c = minus 1FD C(c)

Figura 6 - Circuito RC

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa

funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja

derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever

C(c) = C7 ou

A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial

Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir

Capacitor Carregando Capacitor Descarregando

∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0

C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou

∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou

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Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8

Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo

eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum

3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78

Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas

do capacitor durante o processo de

carga ou descarga

Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um

graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo

do tempo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no

capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte

Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor

quando o mesmo estaacute sendo carregado

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Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie

1 - Osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos

2 ndash Aparato Experimental

Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto

Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)

Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio

Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees

Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala

Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)

Manual de Laboratoacuterio

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TAREFA 1

Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees

Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico

Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito

Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito

Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos

Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio

TAREFA 2

Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie

Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)

Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados

Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo

NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo

Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste

Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito

Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito

Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles

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MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS

Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais

Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio

Para onde aponta a buacutessola

Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos

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polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc

E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial

tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos

que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a

soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio

4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja

httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4

Figura 10 - Buacutessola

Figura 11 - campo B resultante

Manual de Laboratoacuterio

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Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por

umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O

Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde

Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde

Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma

iacuteatilde() = ∙

onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde

5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass

The Physics Teacher 49(1) 45-48

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como

iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2

Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos

gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)

Logo

gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2

Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo

iacuteatilde() = amp

Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse

tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira

na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart

Manual de Laboratoacuterio

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pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do

que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute

yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp

onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico

da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos

yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp

Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Atividade de Laboratoacuterio III Projeto

OBJETIVO

Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio

Manual de Laboratoacuterio

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SUGESTAtildeO 1

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO

Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas

Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece

Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha

Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo

por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o

eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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SUGESTAtildeO 2

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA

Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)

Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica

Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de

uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)

Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema

Manual de Laboratoacuterio

75

SUGESTAtildeO 3

BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO

Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola

Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)

Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina

O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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SUGESTAtildeO 4

CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO

O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer

Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio

Manual de Laboratoacuterio

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MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO

Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro

Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental

6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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110 V 127 V e 220 V O que eacute isso

As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V

Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas

A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

(c) = Jgt(c + acute)

onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por

∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)

Manual de Laboratoacuterio

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onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1

Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho

Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores

Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por

∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf

∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712

∆Suparamiddot = ∆S7radic2

Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a

tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s

A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente

alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$

Figura 13 - Funccedilotildees seno e

seno quadrado

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COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA

Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz

Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O

Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio

Natildeo queremos jogar energia fora

Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14

Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie

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Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por

0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)

onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)

Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

ℇ(c) = ℇ7gt(c)

onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente

Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na

figura 16 para um caso em que VL gt VC

Figura 15 - Diagrama de fasores

de um circuito RLC seacuterie com

fonte de tensatildeo alternada

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que

acute = c8 S minus SSu

Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado

por

i(c) = gt(c minus acute)

Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente

as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que

ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$

ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$

Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como

0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)

Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que

0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$

Figura 16 ndash Soma de fasores

Manual de Laboratoacuterio

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0eacutey = F ∙ uparamiddot$

onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square

Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que

F = frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte

Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade

7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL

Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e

resistecircncia num diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como

0 = AJradicAJ$ + AF$

O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP

DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11

Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia

Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por

acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita

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2 = 1D

Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica

Figura 18 - diagramas de fasores representando

um circuito capacitivo e um circuito indutivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie

O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio

TAREFA 1

Circuito Resistivo

Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR

Manual de Laboratoacuterio

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Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)

O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador

Circuito Capacitivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor

Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

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Circuito Indutivo

Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor

O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Circuito RLC

Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise

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O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador

Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio

O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior

Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor

Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou

A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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TAREFA 2

Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente

Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir

Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima

Qual o valor da corrente maacutexima no circuito

Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)

O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique

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TAREFA 3

Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito

Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees

Como isso eacute possiacutevel Explique

Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff

Respostas

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Respostas

A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32

A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH

A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH

B3 Ae = Af = AtildeAcircf

B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl

B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH

B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l

B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD

B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -

C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc

(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7

C2 O = ~13deg

C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)

Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-

vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr

Respostas

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C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM

C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD

(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD

C6 A = Eacute$Acirc

C7 A = Atilde$AcircL

D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma

das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp

D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(

D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1

no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)

D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme

D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D

E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)

E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D

E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml

F1 544 times 10

F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S

F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM

u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM

u (e) 0 = ℇMu

F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω

Respostas

98

F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965

G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n

G5 i = Ograve$g = 245 J

G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y

G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez

G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H

G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)

G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)

G15 (a) zL$brvbarM (b)

z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero

G16 z$L + z$L = z$L - + 1

G17 (a) pLM

amp (b) pusup3

ampL

G18 zzMu

G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)

z

G20 zNu saindo da folha

G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)

UgraveLMamp

fora do fio (a) z$L (b)

UgravebrvbarM$L (c)

Ugravebrvbarsup3ampL

G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13

G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM

ampu

H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior

Respostas

99

H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a

H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J

I2 Φ = pound$ sup1amp

I4 C = AcircsM

I6 (a) zM

NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar

J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a

(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S

J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu

(c) = -radic

J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm

(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013

Respostas

100

Bibliografia

Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il

Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il

Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il

Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm

Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il

Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il

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Problemas Selecionados

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J7 ndash Um indutor um capacitor e um resistor estatildeo conectados em seacuterie a uma fonte de tensatildeo alternada Se os valores da resistecircncia capacitacircncia e indutacircncia forem duplicados o que aconteceraacute com (a) a frequecircncia angular de ressonacircncia (b) a reatacircncia indutiva (c) a reatacircncia capacitiva e (d) a impedacircncia

J8 ndash O circuito abaixo eacute formado por uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal variando conforme ℇ = ℇgt(c) uma resistecircncia F = 6 Ω e uma parte desconhecida que pode conter um indutor um capacitor ou ambos A amplitude da fonte eacute ℇ = 6 S Quando a frequecircncia angular = 2 = a corrente estaacute em fase com a fonte enquanto que para = 1 = a corrente estaacute fora de fase em relaccedilatildeo agrave fonte por exatamente 5 4frasl (a) Quais componentes estatildeo presentes na parte desconhecida (um indutor um capacitor ou ambos) Explique (b) Determine os valores dos componentes desconhecidos

J9 ndash Um circuito em seacuterie possui impendecircncia de 60 Ω e fator de potecircncia igual a 072 em 50 A tensatildeo da fonte estaacute atrasada em relaccedilatildeo agrave corrente (a) Que elemento do circuito (um indutor ou um capacitor) deve ser ligado em seacuterie com o circuito para aumentar o fator de potecircncia (b) Qual deve ser o valor desse elemento para que o fator de potecircncia seja igual a 1 (c) Apresente diagramas de fasores esquemaacuteticos para o circuito antes e depois da ligaccedilatildeo do novo elemento

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O PROCESSO DE MEDIDA NO LABORATOacuteRIO DE FIacuteSICA

Natildeo satildeo raros eventos em que nos valemos de medidas para tomarmos decisotildees Medimos nossa temperatura corporal para avaliarmos se necessitamos de tratamento Medimos a pressatildeo manomeacutetrica dos pneus para avaliarmos se precisamos injetar ou retirar ar neles Consultamos medidas da temperatura ambiente para escolhermos a roupa que vestiremos Consultamos o horaacuterio (medida de tempo) para natildeo chegarmos atrasados em encontros Medidas satildeo portanto fundamentais em nossas vidas No entanto usualmente natildeo nos preocupamos muito com a precisatildeo dessas medidas Em grande parte das vezes natildeo nos interessa saber se o horaacuterio informado no reloacutegio estaacute um pouco atrasado ou adiantado Natildeo nos preocupamos em saber o quanto podemos confiar nas temperaturas coletadas com um determinado termocircmetro Nossas medidas comumente satildeo realizadas de forma despretensiosa sem muito rigor

No laboratoacuterio de Fiacutesica isso ocorre de modo muito diferente Os processos de mediccedilatildeo satildeo mais minuciosos do que os que realizamos costumeiramente Desejamos obter a maior precisatildeo possiacutevel com os equipamentos de que dispomos Mas como fazer isso Como podemos melhorar a precisatildeo dos processos de mediccedilatildeo Intuitivamente podemos concluir que inferecircncias realizadas a partir de um conjunto de medidas satildeo mais precisas do que medidas isoladas Mas quando disponho de um conjunto de medidas como posso analisaacute-las Calcular a meacutedia delas eacute suficiente Responder a questotildees como essas eacute o objetivo desta atividade Para exemplificarmos todo esse processo realizaremos um debate sobre a mediccedilatildeo da resistecircncia interna de amperiacutemetros

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O que satildeo amperiacutemetros

Um amperiacutemetro eacute um instrumento utilizado para a realizaccedilatildeo de medidas de correntes eleacutetricas Evidentemente natildeo queremos modificar os circuitos quando os exploramos com um instrumento Com amperiacutemetros natildeo eacute diferente Queremos medir correntes eleacutetricas sem alterar as caracteriacutesticas do circuito Mas como eacute possiacutevel fazer isso Natildeo discutiremos aqui os detalhes sobre o funcionamento interno de um amperiacutemetro No entanto vamos avaliaacute-los do ponto de vista de uma das suas caracteriacutesticas mais importantes a sua resistecircncia eleacutetrica

A resistecircncia eleacutetrica de um circuito influencia na intensidade da corrente eleacutetrica que circula nele A corrente eleacutetrica i que perpassa por uma resistecircncia eleacutetrica F submetida a uma tensatildeo ∆S por exemplo pode ser predita pela seguinte relaccedilatildeo

i = ∆u Eq 1

O amperiacutemetro precisa ser posicionado em seacuterie no circuito em que se deseja medir a corrente eleacutetrica como eacute exemplificado na figura

Figure 1- Medindo a resistecircncia interna de um multiacutemetro

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1 Como a resistecircncia equivalente em circuitos em seacuteries eacute a soma da resistecircncia eleacutetrica de cada um dos seus componentes a resistecircncia interna dos amperiacutemetros se soma agrave resistecircncia equivalente do circuito investigado alterando a sua dinacircmica Por isso nosso desejo eacute que os amperiacutemetros tenham resistecircncia eleacutetrica nula No entanto a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro real por menor que seja nunca eacute nula Eles possuem um circuito interno com fios e diversos componentes eletrocircnicos que acabam provocando uma resistecircncia agrave circulaccedilatildeo de corrente eleacutetrica Ainda assim frequentemente desprezamos tal resistecircncia Seraacute que isso eacute razoaacutevel Quando podemos desprezar a resistecircncia interna dos amperiacutemetros e quando natildeo podemos Para respondermos tais perguntas precisamos conhecer o valor da resistecircncia interna tiacutepica de um amperiacutemetro

Medindo a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro

Nesta disciplina usaremos diversos amperiacutemetros de uma mesma marca e modelo em uma seacuterie de experimentos (Minipa ET-2075B) Por isso eacute interessante que conheccedilamos a resistecircncia eleacutetrica deles para podermos avaliar quando podemos desprezaacute-la e quando natildeo Mas como podemos obter essa informaccedilatildeo Podemos medi-la Um procedimento simples para isso eacute submeter o amperiacutemetro a uma diferenccedila de potencial ΔV conhecida e medir a corrente eleacutetrica i que passa por ele Desse modo podemos usar a Eq 1 para inferir a resistecircncia eleacutetrica do equipamento Mas podemos confiar em uma uacutenica medida Depende da precisatildeo de que necessitamos para essa medida Intuitivamente sabemos que se medirmos a resistecircncia interna a partir de um conjunto de dados poderemos ter uma maior confiabilidade nos dados No exemplo de que estamos tratando eacute possiacutevel se coletar dados da corrente no amperiacutemetro quando submetido a diferentes tensotildees Desse modo pode-se inferir a resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro pela declividade da reta constituiacuteda

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pelos dados representados em um graacutefico da tensatildeo em funccedilatildeo da corrente eleacutetrica como pode ser constatado da Eq1 No entanto como temos incertezas associadas a cada dado experimental coletado esses dados natildeo seratildeo perfeitamente representados por uma reta Surge entatildeo uma nova questatildeo qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados

Ajuste de Curvas

Diversas retas podem ser ajustadas a um conjunto de dados experimental Qual delas utilizar Intuitivamente podemos conjecturar que a melhor reta a ser utilizada eacute aquela tal que a soma das diferenccedilas entre os valores de tensatildeo medidos e os preditos pela reta tenha o menor valor possiacutevel Em outras palavras queremos minimizar a soma

sum = = (∆Sz minus ∆S)z-

onde ∆Sz satildeo as tensotildees medidas e ∆S satildeo as tensotildees preditas pela reta ajustada

No entanto haacute um inconveniente importante no uso desse criteacuterio tal soma pode ser bem pequena para retas que natildeo apresentam bom ajuste aos dados se as diferenccedilas entre os valores medidos e os preditos se cancelarem sendo alguns positivos e outros negativos Nesses casos apesar de natildeo termos uma reta bem ajustada aos dados o criteacuterio utilizado

indicaria que sim Como resolver isso Elevando os valores de dn ao

Figura 1 - Diferenccedila de potencial em funccedilatildeo

da corrente

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quadrado Ou seja podemos procurar a reta tal que a seguinte soma tenha o menor valor possiacutevel

sum =$ = (∆Sz minus ∆S)$z-

O meacutetodo que utiliza esse criteacuterio para a realizaccedilatildeo de ajustes de curvas que eacute amplamente utilizado no meio acadecircmico eacute denominado Meacutetodo dos Miacutenimos Quadrados Todos os softwares do tipo planilha eletrocircnica realizam esse caacutelculo automaticamente e nos valeremos disso quando necessaacuterio

Todos os amperiacutemetros da sala possuem a mesma resistecircncia interna

Ainda que todos os amperiacutemetros que utilizaremos nas nossas aulas sejam da mesma marca e modelo eles possuem diferentes resistecircncias internas Existe alguma forma de estimar a resistecircncia interna de um desses amperiacutemetros escolhido aleatoriamente Calcular a meacutedia das resistecircncias eacute suficiente para realizar essa estimativa

Variabilidade das medidas o desvio padratildeo amostral e da meacutedia

Apesar de as resistecircncias dos amperiacutemetros natildeo serem exatamente as mesmas elas possuem valores que se distribuem em torno de um valor meacutedio que eacute igual agrave meacutedia dessas resistecircncias Desse modo se tomarmos um dos amperiacutemetros aleatoriamente o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute igual agrave meacutedia das resistecircncias internas de todos os amperiacutemetros Mas quanto podemos confiar nessa estimativa Para respondermos tal pergunta eacute importante quantificarmos a variabilidade das resistecircncias r que medimos Quanto menor for essa variabilidade maior seraacute a nossa confianccedila para assumir que a resistecircncia interna de um amperiacutemetro particular eacute igual agrave meacutedia Intuitivamente podemos conjecturar que tal variabilidade pode ser medida pelo somatoacuterio das diferenccedilas entre as resistecircncias

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medidas z e a meacutedia dessas resistecircncias ou seja por (- minus ) + ($ minus ) + ⋯ + ( minus ) onde N eacute o nuacutemero de medidas realizadas No entanto temos aqui um inconveniente semelhante ao que tivemos quando analisaacutevamos ajustes de curvas se valores positivos e negativos se cancelarem esse somatoacuterio pode ser muito pequeno mesmo quando os dados apresentam grande variabilidade Podemos propor a mesma soluccedilatildeo adotada anteriormente vamos elevar os termos ao quadrado Temos entatildeo a variabilidade dos dados sendo mensurada por (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$

A impossibilidade de comparaccedilatildeo entre as variabilidades de diferentes conjuntos de dados eacute a limitaccedilatildeo desta proposta pois o resultado desse somatoacuterio eacute altamente dependente da quantidade de termos Desse modo eacute possiacutevel que esse somatoacuterio seja maior para grandes conjuntos com pouca variabilidade do que para pequenos grupos com grande variabilidade Para amenizar tal limitaccedilatildeo podemos entatildeo dividir o somatoacuterio por N ou seja calcular a variabilidade por(- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$ Hfrasl Ainda que esse somatoacuterio seja conceitualmente interessante natildeo eacute essa a medida de dispersatildeo de dados que costuma ser utilizada no meio cientiacutefico mas algo que guarda alguma semelhanccedila com ele o desvio padratildeo dos dados (P) Ele eacute calculado por

PL = (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$H minus 1

Mas por que utilizamos essa equaccedilatildeo A resposta estaacute em suas propriedades Quando construiacutemos um histograma (graacutefico de frequecircncias) de um conjunto de medidas por exemplo podemos em muitos casos assumir que a distribuiccedilatildeo desses dados eacute representada por uma distribuiccedilatildeo normal A equaccedilatildeo que define essa distribuiccedilatildeo assim como sua representaccedilatildeo graacutefica eacute ilustrada na Figura 3

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Natildeo eacute nosso objetivo aqui discutir detalhes da distribuiccedilatildeo normal O que desejamos destacar eacute que quando supomos que a distribuiccedilatildeo de um conjunto de dados eacute normal o que eacute bastante razoaacutevel na maioria das vezes o desvio padratildeo σ quantifica como os dados estatildeo distribuiacutedos Para entendermos isso analisemos a Figura 4

O intervalo compreendido pela meacutedia das medidas mais ou menos um desvio padratildeo compreende 68 das medidas realizadas No caso que estamos exemplificando se tomarmos a meacutedia das resistecircncias internas r de todos os amperiacutemetros investigados e o desvio padratildeo PL desses dados 68 das medidas estaratildeo no intervalo entre ( minus PL) e ( + PL) 95 no intervalo ( 2PL) e 99 no intervalo ( 257PL)

Figura 2 - A distribuiccedilatildeo normal eacute usualmente utilizada para representar a distribuiccedilatildeo

de frequecircncias de um conjunto de dados (Lima Jr et al 2013 p 30)

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Agora jaacute sabemos como quantificar a variabilidade de um conjunto de dados Podemos entatildeo calcular a meacutedia e o desvio padratildeo das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros Mas surge entatildeo uma questatildeo Se analisaacutessemos um novo conjunto de amperiacutemetros da mesma marca e modelo dos exemplificados aqui a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros seria a mesma Provavelmente natildeo Temos como estimar a partir do conjunto de medidas que realizamos a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros Temos Para responder a essa questatildeo temos que compreender um novo conceito o de desvio padratildeo da meacutedia (PL) Ele eacute calculado por

PL = PLradicH

Natildeo vamos entrar em detalhes aqui sobre a origem do conceito de desvio padratildeo da meacutedia1 vamos apenas explicar como essa grandeza nos permite estimar a incerteza na meacutedia de um conjunto de medidas Para isso vamos supor um novo conjunto de N novas

1 Se vocecirc eacute um aluno curioso pesquise sobre o Teorema Central do Limite para compreender com mais profundidade o conceito de desvio padratildeo da meacutedia

Figura 3 - A meacutedia e o desvio padratildeo demarcam a distribuiccedilatildeo dos dados em uma

distribuiccedilatildeo normal Na figura o eixo das abcissas expressa a distacircncia da meacutedia em

unidades de desvio padratildeo (Lima Jr et al 2013 p 30)

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medidas da resistecircncia interna de amperiacutemetros como os investigados nesta aula Qual seria a meacutedia dessas medidas Assim como o desvio padratildeo dos dados quantifica a dispersatildeo dos dados em torno da meacutedia o desvio padratildeo da meacutedia quantifica a dispersatildeo das meacutedias de subconjuntos de dados em torno da meacutedia de todo o conjunto de dados Aplicando esse conceito ao nosso exemplo podemos interpretar os dois conjuntos de medidas de resistecircncias internas como subconjuntos de um grande conjunto contendo todas as medidas Desse modo podemos afirmar com 68 de confianccedila que a meacutedia das N novas medidas a serem realizadas estaraacute no intervalo compreendido por ( PL) com 95 de confianccedila no intervalo ( 2PL) e com 99 de confianccedila no intervalo ( 257PL) O desvio padratildeo da meacutedia pode ser compreendido assim como a incerteza da meacutedia de um conjunto de medidas ou seja ele nos fornece uma estimativa da confiabilidade de uma meacutedia Em suma se escolhermos um amperiacutemetro aleatoriamente podemos dizer que i) o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute a meacutedia das resistecircncias de todos os amperiacutemetros e ii) a incerteza que temos nesse valor eacute igual ao desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias dos amperiacutemetros

E se eu soacute tivesse condiccedilotildees de realizar uma uacutenica medida

Nem sempre podemos realizar diversas medidas de uma grandeza Em alguns casos nem mesmo faz sentido realizar diversas medidas No entanto eacute evidente que existe uma incerteza associada a uma uacutenica medida Natildeo existem instrumentos que sejam perfeitamente precisos Entatildeo como podemos estimar essa incerteza Usualmente os manuais dos instrumentos trazem informaccedilotildees sobre isso Desse modo as incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica realizadas com um voltiacutemetro e um amperiacutemetro podem ser consultadas no manual do multiacutemetro utilizado Mas como eacute calculada a incerteza da resistecircncia interna de um amperiacutemetro que foi calculada a partir de

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apenas uma medida de tensatildeo e uma de corrente eleacutetrica Nesse caso precisamos calcular a incerteza propagada das incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica

Os meacutetodos de caacutelculo de incertezas propagadas podem ser bastante complicados Aqui trataremos de um meacutetodo bastante simples usualmente denominado de Meacutetodo dos Limites Vamos exemplificaacute-lo supondo que a incerteza da tensatildeo sobre as entradas do amperiacutemetro eacute P- e da corrente eleacutetrica que circula por ele eacute P$ Ou seja a tensatildeo medida estaacute no intervalo entre ∆S minus P- e ∆S + P- e a corrente eleacutetrica entre i minus P$ e i + P$ Qual eacute entatildeo a incerteza da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro investigado Para responder isso basta calcularmos os valores limites dessa grandeza O maacuteximo valor possiacutevel para a resistecircncia ocorreraacute se a tensatildeo for ∆S + P- e a corrente eleacutetrica for i minus P$ Nesse caso usando a Eq 1 temos

aacutee = ∆S + P-i minus P$

Usando o mesmo raciociacutenio o valor miacutenimo de r seraacute

z = ∆S minus P-i + P$

Desse modo podemos dizer que o valor da resistecircncia interna medida estaacute no intervalo entre rmaacutex e rmiacuten Em outras palavras o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro eacute

F = iexclz + aacutee2 z minus aacutee2 cent

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Erro eacute a mesma coisa que incerteza

Apesar de serem frequentemente utilizados como sinocircnimos os manuais de metrologia atribuem significados distintos aos conceitos de ldquoerrordquo e ldquoincertezardquo O Guia para Expressatildeo da Incerteza da Mediccedilatildeo (Joint Commitee for Guide in Metrology 2008 apud Lima Jr et al 2013) usa o termo ldquoerrordquo para indicar a diferenccedila entre o valor verdadeiro e o resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo o conceito de erro tem uso restrito pois satildeo poucos os casos em que conhecemos o valor verdadeiro de uma grandeza Satildeo exemplos desses casos experimentos em que se deseja mensurar a velocidade da luz no vaacutecuo ou o valor de π que satildeo valores previamente conhecidos pelo experimentador O caacutelculo do erro soacute faz sentido para casos em que sabemos o valor verdadeiro da grandeza que se quer medir

A incerteza por outro lado eacute entendida como uma estimativa que quantifica a confiabilidade do resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo quando calculamos o desvio padratildeo da meacutedia de um conjunto de medidas estamos calculando a incerteza da meacutedia dessas medidas ou seja estamos avaliando a confianccedila que podemos ter em adotar a meacutedia dessas medidas como o valor da grandeza mensurada O conceito de incerteza portanto tem maior aplicabilidade do que o conceito de erro

Algarismos significativos e incerteza

Uma questatildeo frequente nas aulas de laboratoacuterio eacute Com quantos algarismos uma grandeza deve ser apresentada No laboratoacuterio a resposta dessa questatildeo eacute uma funccedilatildeo da incerteza da grandeza Devemos apresentar os dados ateacute o seu primeiro algarismo duvidoso Voltemos ao exemplo da resistecircncia interna dos amperiacutemetros Suponhamos que a meacutedia das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros eacute 21546 Ω e o desvio padratildeo dessa meacutedia que eacute

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entendido aqui como a incerteza da resistecircncia interna dos amperiacutemetros eacute 003 Ω Interpretando tais dados assumimos com 68 de certeza que a resistecircncia interna dos amperiacutemetros estaacute no intervalo entre 21246 e 21846 Ω Desse modo a segunda casa decimal da grandeza medida eacute duvidosa Por isso os algarismos subsequentes satildeo omitidos quando expressamos essa medida e a medida da resistecircncia interna dos amperiacutemetros exemplificados eacute exposta por (215 plusmn 003) Ω Em suma o resultado de uma mediccedilatildeo deve ser sempre expresso com a mesma quantidade de casas decimais que sua incerteza Os algarismos apresentados satildeo entatildeo chamados de algarismos significativos

Referecircncia

Lima Jr P Silva M T X Silveira F L Veit E A (2013) Laboratoacuterio de mecacircnica subsiacutedios para o ensino de Fiacutesica experimental Porto Alegre UFRGS Instituto de Fiacutesica Disponiacutevel em httphdlhandlenet1018390438

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Atividade de Laboratoacuterio I Instrumentos de medida e incertezas

Este material foi cuidadosamente preparado para auxiliar no andamento das atividades no laboratoacuterio de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo Eacute importante responder TODAS as perguntas

(indicadas pelo siacutembolo ) feitas ao longo do texto discutindo com seu grupo possiacuteveis respostas e justificando-as Sempre que possiacutevel faccedila isso por escrito

TAREFA 1

Construa um circuito contendo um resistor de 1 kΩ em seacuterie com uma fonte de tensatildeo contiacutenua e um multiacutemetro Coloque o multiacutemetro na funccedilatildeo amperiacutemetro na escala de miliampere Usando outro multiacutemetro meccedila a tensatildeo no amperiacutemetro Realize medidas com diferentes correntes eleacutetricas variando a tensatildeo de saiacuteda da fonte

Como podemos tratar esses dados se nosso objetivo eacute medir a resistecircncia interna do amperiacutemetro

Qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados

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Para responder essas questotildees se dirija a um dos computadores da sala e use um aplicativo que possibilite a construccedilatildeo de graacuteficos SciDavis por exemplo Insira seus dados no aplicativo construa o graacutefico desejado e encontre a melhor reta que se ajusta aos dados

Qual foi a melhor reta ajustada Determine a equaccedilatildeo dessa reta ajustada

Qual eacute o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro que vocecirc investigou

TAREFA 2

Utilize as medidas de todos os grupos da turma e aplique os conhecimentos abordados na tarefa de leitura para responder as seguintes questotildees

Qual deve ser a resistecircncia interna de um amperiacutemetro escolhido aleatoriamente entre os utilizados nesta aula

Qual eacute a incerteza desse valor

TAREFA 3

Suponha que o manual do Minipa ET-2075B informe que as medidas de tensatildeo e corrente realizadas nas faixas de milivolt e miliampere tecircm incerteza de 3 Use esses dados para calcular a

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incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1

Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma

Elas satildeo coerentes Por quecirc

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CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO

Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por

equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC

Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras

O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se

Manual de Laboratoacuterio

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extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo

No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador

Salvando vidas

ldquoafastem-se choquerdquo

Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de

sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos

O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo

Figura 4 - Desfibrilador

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)

Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma

sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o

miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia

Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2

2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387

Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)

Manual de Laboratoacuterio

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Circuito RC - seacuterie

Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C

Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que

∆S(c) + i(c)F = 0

Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo

i(c) = =C(c)=c

e a ddp no capacitor eacute dada por

∆S(c) = C(c)D

Dessa forma podemos dizer que

=C(c)=c = minus 1FD C(c)

Figura 6 - Circuito RC

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa

funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja

derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever

C(c) = C7 ou

A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial

Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir

Capacitor Carregando Capacitor Descarregando

∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0

C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou

∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou

Manual de Laboratoacuterio

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Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8

Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo

eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum

3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78

Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas

do capacitor durante o processo de

carga ou descarga

Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um

graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo

do tempo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no

capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte

Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor

quando o mesmo estaacute sendo carregado

Manual de Laboratoacuterio

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Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie

1 - Osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos

2 ndash Aparato Experimental

Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto

Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)

Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio

Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees

Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala

Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)

Manual de Laboratoacuterio

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TAREFA 1

Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees

Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico

Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito

Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito

Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos

Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio

TAREFA 2

Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie

Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

66

figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)

Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados

Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo

NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo

Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste

Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito

Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito

Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles

Manual de Laboratoacuterio

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MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS

Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais

Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio

Para onde aponta a buacutessola

Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc

E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial

tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos

que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a

soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio

4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja

httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4

Figura 10 - Buacutessola

Figura 11 - campo B resultante

Manual de Laboratoacuterio

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Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por

umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O

Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde

Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde

Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma

iacuteatilde() = ∙

onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde

5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass

The Physics Teacher 49(1) 45-48

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como

iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2

Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos

gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)

Logo

gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2

Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo

iacuteatilde() = amp

Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse

tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira

na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart

Manual de Laboratoacuterio

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pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do

que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute

yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp

onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico

da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos

yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp

Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Atividade de Laboratoacuterio III Projeto

OBJETIVO

Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio

Manual de Laboratoacuterio

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SUGESTAtildeO 1

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO

Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas

Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece

Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha

Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo

por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o

eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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SUGESTAtildeO 2

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA

Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)

Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica

Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de

uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)

Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema

Manual de Laboratoacuterio

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SUGESTAtildeO 3

BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO

Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola

Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)

Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina

O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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SUGESTAtildeO 4

CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO

O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer

Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio

Manual de Laboratoacuterio

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MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO

Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro

Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental

6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

78

110 V 127 V e 220 V O que eacute isso

As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V

Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas

A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

(c) = Jgt(c + acute)

onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por

∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)

Manual de Laboratoacuterio

79

onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1

Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho

Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores

Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

80

caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por

∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf

∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712

∆Suparamiddot = ∆S7radic2

Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a

tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s

A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente

alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$

Figura 13 - Funccedilotildees seno e

seno quadrado

Manual de Laboratoacuterio

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COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA

Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz

Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O

Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

82

que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio

Natildeo queremos jogar energia fora

Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14

Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie

Manual de Laboratoacuterio

83

Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por

0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)

onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)

Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

ℇ(c) = ℇ7gt(c)

onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente

Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na

figura 16 para um caso em que VL gt VC

Figura 15 - Diagrama de fasores

de um circuito RLC seacuterie com

fonte de tensatildeo alternada

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que

acute = c8 S minus SSu

Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado

por

i(c) = gt(c minus acute)

Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente

as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que

ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$

ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$

Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como

0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)

Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que

0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$

Figura 16 ndash Soma de fasores

Manual de Laboratoacuterio

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0eacutey = F ∙ uparamiddot$

onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square

Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que

F = frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte

Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade

7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL

Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e

resistecircncia num diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como

0 = AJradicAJ$ + AF$

O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP

DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11

Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia

Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por

acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita

Manual de Laboratoacuterio

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2 = 1D

Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica

Figura 18 - diagramas de fasores representando

um circuito capacitivo e um circuito indutivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie

O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio

TAREFA 1

Circuito Resistivo

Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR

Manual de Laboratoacuterio

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Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)

O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador

Circuito Capacitivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor

Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Manual de Laboratoacuterio

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Circuito Indutivo

Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor

O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Circuito RLC

Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise

Manual de Laboratoacuterio

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O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador

Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio

O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior

Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor

Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou

A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

94

TAREFA 2

Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente

Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir

Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima

Qual o valor da corrente maacutexima no circuito

Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)

O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique

Manual de Laboratoacuterio

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TAREFA 3

Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito

Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees

Como isso eacute possiacutevel Explique

Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff

Respostas

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Respostas

A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32

A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH

A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH

B3 Ae = Af = AtildeAcircf

B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl

B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH

B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l

B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD

B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -

C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc

(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7

C2 O = ~13deg

C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)

Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-

vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr

Respostas

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C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM

C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD

(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD

C6 A = Eacute$Acirc

C7 A = Atilde$AcircL

D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma

das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp

D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(

D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1

no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)

D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme

D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D

E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)

E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D

E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml

F1 544 times 10

F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S

F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM

u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM

u (e) 0 = ℇMu

F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω

Respostas

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F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965

G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n

G5 i = Ograve$g = 245 J

G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y

G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez

G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H

G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)

G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)

G15 (a) zL$brvbarM (b)

z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero

G16 z$L + z$L = z$L - + 1

G17 (a) pLM

amp (b) pusup3

ampL

G18 zzMu

G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)

z

G20 zNu saindo da folha

G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)

UgraveLMamp

fora do fio (a) z$L (b)

UgravebrvbarM$L (c)

Ugravebrvbarsup3ampL

G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13

G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM

ampu

H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior

Respostas

99

H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a

H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J

I2 Φ = pound$ sup1amp

I4 C = AcircsM

I6 (a) zM

NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar

J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a

(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S

J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu

(c) = -radic

J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm

(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013

Respostas

100

Bibliografia

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Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il

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Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm

Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il

Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il

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O PROCESSO DE MEDIDA NO LABORATOacuteRIO DE FIacuteSICA

Natildeo satildeo raros eventos em que nos valemos de medidas para tomarmos decisotildees Medimos nossa temperatura corporal para avaliarmos se necessitamos de tratamento Medimos a pressatildeo manomeacutetrica dos pneus para avaliarmos se precisamos injetar ou retirar ar neles Consultamos medidas da temperatura ambiente para escolhermos a roupa que vestiremos Consultamos o horaacuterio (medida de tempo) para natildeo chegarmos atrasados em encontros Medidas satildeo portanto fundamentais em nossas vidas No entanto usualmente natildeo nos preocupamos muito com a precisatildeo dessas medidas Em grande parte das vezes natildeo nos interessa saber se o horaacuterio informado no reloacutegio estaacute um pouco atrasado ou adiantado Natildeo nos preocupamos em saber o quanto podemos confiar nas temperaturas coletadas com um determinado termocircmetro Nossas medidas comumente satildeo realizadas de forma despretensiosa sem muito rigor

No laboratoacuterio de Fiacutesica isso ocorre de modo muito diferente Os processos de mediccedilatildeo satildeo mais minuciosos do que os que realizamos costumeiramente Desejamos obter a maior precisatildeo possiacutevel com os equipamentos de que dispomos Mas como fazer isso Como podemos melhorar a precisatildeo dos processos de mediccedilatildeo Intuitivamente podemos concluir que inferecircncias realizadas a partir de um conjunto de medidas satildeo mais precisas do que medidas isoladas Mas quando disponho de um conjunto de medidas como posso analisaacute-las Calcular a meacutedia delas eacute suficiente Responder a questotildees como essas eacute o objetivo desta atividade Para exemplificarmos todo esse processo realizaremos um debate sobre a mediccedilatildeo da resistecircncia interna de amperiacutemetros

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O que satildeo amperiacutemetros

Um amperiacutemetro eacute um instrumento utilizado para a realizaccedilatildeo de medidas de correntes eleacutetricas Evidentemente natildeo queremos modificar os circuitos quando os exploramos com um instrumento Com amperiacutemetros natildeo eacute diferente Queremos medir correntes eleacutetricas sem alterar as caracteriacutesticas do circuito Mas como eacute possiacutevel fazer isso Natildeo discutiremos aqui os detalhes sobre o funcionamento interno de um amperiacutemetro No entanto vamos avaliaacute-los do ponto de vista de uma das suas caracteriacutesticas mais importantes a sua resistecircncia eleacutetrica

A resistecircncia eleacutetrica de um circuito influencia na intensidade da corrente eleacutetrica que circula nele A corrente eleacutetrica i que perpassa por uma resistecircncia eleacutetrica F submetida a uma tensatildeo ∆S por exemplo pode ser predita pela seguinte relaccedilatildeo

i = ∆u Eq 1

O amperiacutemetro precisa ser posicionado em seacuterie no circuito em que se deseja medir a corrente eleacutetrica como eacute exemplificado na figura

Figure 1- Medindo a resistecircncia interna de um multiacutemetro

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1 Como a resistecircncia equivalente em circuitos em seacuteries eacute a soma da resistecircncia eleacutetrica de cada um dos seus componentes a resistecircncia interna dos amperiacutemetros se soma agrave resistecircncia equivalente do circuito investigado alterando a sua dinacircmica Por isso nosso desejo eacute que os amperiacutemetros tenham resistecircncia eleacutetrica nula No entanto a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro real por menor que seja nunca eacute nula Eles possuem um circuito interno com fios e diversos componentes eletrocircnicos que acabam provocando uma resistecircncia agrave circulaccedilatildeo de corrente eleacutetrica Ainda assim frequentemente desprezamos tal resistecircncia Seraacute que isso eacute razoaacutevel Quando podemos desprezar a resistecircncia interna dos amperiacutemetros e quando natildeo podemos Para respondermos tais perguntas precisamos conhecer o valor da resistecircncia interna tiacutepica de um amperiacutemetro

Medindo a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro

Nesta disciplina usaremos diversos amperiacutemetros de uma mesma marca e modelo em uma seacuterie de experimentos (Minipa ET-2075B) Por isso eacute interessante que conheccedilamos a resistecircncia eleacutetrica deles para podermos avaliar quando podemos desprezaacute-la e quando natildeo Mas como podemos obter essa informaccedilatildeo Podemos medi-la Um procedimento simples para isso eacute submeter o amperiacutemetro a uma diferenccedila de potencial ΔV conhecida e medir a corrente eleacutetrica i que passa por ele Desse modo podemos usar a Eq 1 para inferir a resistecircncia eleacutetrica do equipamento Mas podemos confiar em uma uacutenica medida Depende da precisatildeo de que necessitamos para essa medida Intuitivamente sabemos que se medirmos a resistecircncia interna a partir de um conjunto de dados poderemos ter uma maior confiabilidade nos dados No exemplo de que estamos tratando eacute possiacutevel se coletar dados da corrente no amperiacutemetro quando submetido a diferentes tensotildees Desse modo pode-se inferir a resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro pela declividade da reta constituiacuteda

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pelos dados representados em um graacutefico da tensatildeo em funccedilatildeo da corrente eleacutetrica como pode ser constatado da Eq1 No entanto como temos incertezas associadas a cada dado experimental coletado esses dados natildeo seratildeo perfeitamente representados por uma reta Surge entatildeo uma nova questatildeo qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados

Ajuste de Curvas

Diversas retas podem ser ajustadas a um conjunto de dados experimental Qual delas utilizar Intuitivamente podemos conjecturar que a melhor reta a ser utilizada eacute aquela tal que a soma das diferenccedilas entre os valores de tensatildeo medidos e os preditos pela reta tenha o menor valor possiacutevel Em outras palavras queremos minimizar a soma

sum = = (∆Sz minus ∆S)z-

onde ∆Sz satildeo as tensotildees medidas e ∆S satildeo as tensotildees preditas pela reta ajustada

No entanto haacute um inconveniente importante no uso desse criteacuterio tal soma pode ser bem pequena para retas que natildeo apresentam bom ajuste aos dados se as diferenccedilas entre os valores medidos e os preditos se cancelarem sendo alguns positivos e outros negativos Nesses casos apesar de natildeo termos uma reta bem ajustada aos dados o criteacuterio utilizado

indicaria que sim Como resolver isso Elevando os valores de dn ao

Figura 1 - Diferenccedila de potencial em funccedilatildeo

da corrente

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quadrado Ou seja podemos procurar a reta tal que a seguinte soma tenha o menor valor possiacutevel

sum =$ = (∆Sz minus ∆S)$z-

O meacutetodo que utiliza esse criteacuterio para a realizaccedilatildeo de ajustes de curvas que eacute amplamente utilizado no meio acadecircmico eacute denominado Meacutetodo dos Miacutenimos Quadrados Todos os softwares do tipo planilha eletrocircnica realizam esse caacutelculo automaticamente e nos valeremos disso quando necessaacuterio

Todos os amperiacutemetros da sala possuem a mesma resistecircncia interna

Ainda que todos os amperiacutemetros que utilizaremos nas nossas aulas sejam da mesma marca e modelo eles possuem diferentes resistecircncias internas Existe alguma forma de estimar a resistecircncia interna de um desses amperiacutemetros escolhido aleatoriamente Calcular a meacutedia das resistecircncias eacute suficiente para realizar essa estimativa

Variabilidade das medidas o desvio padratildeo amostral e da meacutedia

Apesar de as resistecircncias dos amperiacutemetros natildeo serem exatamente as mesmas elas possuem valores que se distribuem em torno de um valor meacutedio que eacute igual agrave meacutedia dessas resistecircncias Desse modo se tomarmos um dos amperiacutemetros aleatoriamente o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute igual agrave meacutedia das resistecircncias internas de todos os amperiacutemetros Mas quanto podemos confiar nessa estimativa Para respondermos tal pergunta eacute importante quantificarmos a variabilidade das resistecircncias r que medimos Quanto menor for essa variabilidade maior seraacute a nossa confianccedila para assumir que a resistecircncia interna de um amperiacutemetro particular eacute igual agrave meacutedia Intuitivamente podemos conjecturar que tal variabilidade pode ser medida pelo somatoacuterio das diferenccedilas entre as resistecircncias

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medidas z e a meacutedia dessas resistecircncias ou seja por (- minus ) + ($ minus ) + ⋯ + ( minus ) onde N eacute o nuacutemero de medidas realizadas No entanto temos aqui um inconveniente semelhante ao que tivemos quando analisaacutevamos ajustes de curvas se valores positivos e negativos se cancelarem esse somatoacuterio pode ser muito pequeno mesmo quando os dados apresentam grande variabilidade Podemos propor a mesma soluccedilatildeo adotada anteriormente vamos elevar os termos ao quadrado Temos entatildeo a variabilidade dos dados sendo mensurada por (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$

A impossibilidade de comparaccedilatildeo entre as variabilidades de diferentes conjuntos de dados eacute a limitaccedilatildeo desta proposta pois o resultado desse somatoacuterio eacute altamente dependente da quantidade de termos Desse modo eacute possiacutevel que esse somatoacuterio seja maior para grandes conjuntos com pouca variabilidade do que para pequenos grupos com grande variabilidade Para amenizar tal limitaccedilatildeo podemos entatildeo dividir o somatoacuterio por N ou seja calcular a variabilidade por(- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$ Hfrasl Ainda que esse somatoacuterio seja conceitualmente interessante natildeo eacute essa a medida de dispersatildeo de dados que costuma ser utilizada no meio cientiacutefico mas algo que guarda alguma semelhanccedila com ele o desvio padratildeo dos dados (P) Ele eacute calculado por

PL = (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$H minus 1

Mas por que utilizamos essa equaccedilatildeo A resposta estaacute em suas propriedades Quando construiacutemos um histograma (graacutefico de frequecircncias) de um conjunto de medidas por exemplo podemos em muitos casos assumir que a distribuiccedilatildeo desses dados eacute representada por uma distribuiccedilatildeo normal A equaccedilatildeo que define essa distribuiccedilatildeo assim como sua representaccedilatildeo graacutefica eacute ilustrada na Figura 3

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Natildeo eacute nosso objetivo aqui discutir detalhes da distribuiccedilatildeo normal O que desejamos destacar eacute que quando supomos que a distribuiccedilatildeo de um conjunto de dados eacute normal o que eacute bastante razoaacutevel na maioria das vezes o desvio padratildeo σ quantifica como os dados estatildeo distribuiacutedos Para entendermos isso analisemos a Figura 4

O intervalo compreendido pela meacutedia das medidas mais ou menos um desvio padratildeo compreende 68 das medidas realizadas No caso que estamos exemplificando se tomarmos a meacutedia das resistecircncias internas r de todos os amperiacutemetros investigados e o desvio padratildeo PL desses dados 68 das medidas estaratildeo no intervalo entre ( minus PL) e ( + PL) 95 no intervalo ( 2PL) e 99 no intervalo ( 257PL)

Figura 2 - A distribuiccedilatildeo normal eacute usualmente utilizada para representar a distribuiccedilatildeo

de frequecircncias de um conjunto de dados (Lima Jr et al 2013 p 30)

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Agora jaacute sabemos como quantificar a variabilidade de um conjunto de dados Podemos entatildeo calcular a meacutedia e o desvio padratildeo das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros Mas surge entatildeo uma questatildeo Se analisaacutessemos um novo conjunto de amperiacutemetros da mesma marca e modelo dos exemplificados aqui a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros seria a mesma Provavelmente natildeo Temos como estimar a partir do conjunto de medidas que realizamos a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros Temos Para responder a essa questatildeo temos que compreender um novo conceito o de desvio padratildeo da meacutedia (PL) Ele eacute calculado por

PL = PLradicH

Natildeo vamos entrar em detalhes aqui sobre a origem do conceito de desvio padratildeo da meacutedia1 vamos apenas explicar como essa grandeza nos permite estimar a incerteza na meacutedia de um conjunto de medidas Para isso vamos supor um novo conjunto de N novas

1 Se vocecirc eacute um aluno curioso pesquise sobre o Teorema Central do Limite para compreender com mais profundidade o conceito de desvio padratildeo da meacutedia

Figura 3 - A meacutedia e o desvio padratildeo demarcam a distribuiccedilatildeo dos dados em uma

distribuiccedilatildeo normal Na figura o eixo das abcissas expressa a distacircncia da meacutedia em

unidades de desvio padratildeo (Lima Jr et al 2013 p 30)

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medidas da resistecircncia interna de amperiacutemetros como os investigados nesta aula Qual seria a meacutedia dessas medidas Assim como o desvio padratildeo dos dados quantifica a dispersatildeo dos dados em torno da meacutedia o desvio padratildeo da meacutedia quantifica a dispersatildeo das meacutedias de subconjuntos de dados em torno da meacutedia de todo o conjunto de dados Aplicando esse conceito ao nosso exemplo podemos interpretar os dois conjuntos de medidas de resistecircncias internas como subconjuntos de um grande conjunto contendo todas as medidas Desse modo podemos afirmar com 68 de confianccedila que a meacutedia das N novas medidas a serem realizadas estaraacute no intervalo compreendido por ( PL) com 95 de confianccedila no intervalo ( 2PL) e com 99 de confianccedila no intervalo ( 257PL) O desvio padratildeo da meacutedia pode ser compreendido assim como a incerteza da meacutedia de um conjunto de medidas ou seja ele nos fornece uma estimativa da confiabilidade de uma meacutedia Em suma se escolhermos um amperiacutemetro aleatoriamente podemos dizer que i) o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute a meacutedia das resistecircncias de todos os amperiacutemetros e ii) a incerteza que temos nesse valor eacute igual ao desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias dos amperiacutemetros

E se eu soacute tivesse condiccedilotildees de realizar uma uacutenica medida

Nem sempre podemos realizar diversas medidas de uma grandeza Em alguns casos nem mesmo faz sentido realizar diversas medidas No entanto eacute evidente que existe uma incerteza associada a uma uacutenica medida Natildeo existem instrumentos que sejam perfeitamente precisos Entatildeo como podemos estimar essa incerteza Usualmente os manuais dos instrumentos trazem informaccedilotildees sobre isso Desse modo as incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica realizadas com um voltiacutemetro e um amperiacutemetro podem ser consultadas no manual do multiacutemetro utilizado Mas como eacute calculada a incerteza da resistecircncia interna de um amperiacutemetro que foi calculada a partir de

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apenas uma medida de tensatildeo e uma de corrente eleacutetrica Nesse caso precisamos calcular a incerteza propagada das incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica

Os meacutetodos de caacutelculo de incertezas propagadas podem ser bastante complicados Aqui trataremos de um meacutetodo bastante simples usualmente denominado de Meacutetodo dos Limites Vamos exemplificaacute-lo supondo que a incerteza da tensatildeo sobre as entradas do amperiacutemetro eacute P- e da corrente eleacutetrica que circula por ele eacute P$ Ou seja a tensatildeo medida estaacute no intervalo entre ∆S minus P- e ∆S + P- e a corrente eleacutetrica entre i minus P$ e i + P$ Qual eacute entatildeo a incerteza da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro investigado Para responder isso basta calcularmos os valores limites dessa grandeza O maacuteximo valor possiacutevel para a resistecircncia ocorreraacute se a tensatildeo for ∆S + P- e a corrente eleacutetrica for i minus P$ Nesse caso usando a Eq 1 temos

aacutee = ∆S + P-i minus P$

Usando o mesmo raciociacutenio o valor miacutenimo de r seraacute

z = ∆S minus P-i + P$

Desse modo podemos dizer que o valor da resistecircncia interna medida estaacute no intervalo entre rmaacutex e rmiacuten Em outras palavras o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro eacute

F = iexclz + aacutee2 z minus aacutee2 cent

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Erro eacute a mesma coisa que incerteza

Apesar de serem frequentemente utilizados como sinocircnimos os manuais de metrologia atribuem significados distintos aos conceitos de ldquoerrordquo e ldquoincertezardquo O Guia para Expressatildeo da Incerteza da Mediccedilatildeo (Joint Commitee for Guide in Metrology 2008 apud Lima Jr et al 2013) usa o termo ldquoerrordquo para indicar a diferenccedila entre o valor verdadeiro e o resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo o conceito de erro tem uso restrito pois satildeo poucos os casos em que conhecemos o valor verdadeiro de uma grandeza Satildeo exemplos desses casos experimentos em que se deseja mensurar a velocidade da luz no vaacutecuo ou o valor de π que satildeo valores previamente conhecidos pelo experimentador O caacutelculo do erro soacute faz sentido para casos em que sabemos o valor verdadeiro da grandeza que se quer medir

A incerteza por outro lado eacute entendida como uma estimativa que quantifica a confiabilidade do resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo quando calculamos o desvio padratildeo da meacutedia de um conjunto de medidas estamos calculando a incerteza da meacutedia dessas medidas ou seja estamos avaliando a confianccedila que podemos ter em adotar a meacutedia dessas medidas como o valor da grandeza mensurada O conceito de incerteza portanto tem maior aplicabilidade do que o conceito de erro

Algarismos significativos e incerteza

Uma questatildeo frequente nas aulas de laboratoacuterio eacute Com quantos algarismos uma grandeza deve ser apresentada No laboratoacuterio a resposta dessa questatildeo eacute uma funccedilatildeo da incerteza da grandeza Devemos apresentar os dados ateacute o seu primeiro algarismo duvidoso Voltemos ao exemplo da resistecircncia interna dos amperiacutemetros Suponhamos que a meacutedia das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros eacute 21546 Ω e o desvio padratildeo dessa meacutedia que eacute

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entendido aqui como a incerteza da resistecircncia interna dos amperiacutemetros eacute 003 Ω Interpretando tais dados assumimos com 68 de certeza que a resistecircncia interna dos amperiacutemetros estaacute no intervalo entre 21246 e 21846 Ω Desse modo a segunda casa decimal da grandeza medida eacute duvidosa Por isso os algarismos subsequentes satildeo omitidos quando expressamos essa medida e a medida da resistecircncia interna dos amperiacutemetros exemplificados eacute exposta por (215 plusmn 003) Ω Em suma o resultado de uma mediccedilatildeo deve ser sempre expresso com a mesma quantidade de casas decimais que sua incerteza Os algarismos apresentados satildeo entatildeo chamados de algarismos significativos

Referecircncia

Lima Jr P Silva M T X Silveira F L Veit E A (2013) Laboratoacuterio de mecacircnica subsiacutedios para o ensino de Fiacutesica experimental Porto Alegre UFRGS Instituto de Fiacutesica Disponiacutevel em httphdlhandlenet1018390438

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Atividade de Laboratoacuterio I Instrumentos de medida e incertezas

Este material foi cuidadosamente preparado para auxiliar no andamento das atividades no laboratoacuterio de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo Eacute importante responder TODAS as perguntas

(indicadas pelo siacutembolo ) feitas ao longo do texto discutindo com seu grupo possiacuteveis respostas e justificando-as Sempre que possiacutevel faccedila isso por escrito

TAREFA 1

Construa um circuito contendo um resistor de 1 kΩ em seacuterie com uma fonte de tensatildeo contiacutenua e um multiacutemetro Coloque o multiacutemetro na funccedilatildeo amperiacutemetro na escala de miliampere Usando outro multiacutemetro meccedila a tensatildeo no amperiacutemetro Realize medidas com diferentes correntes eleacutetricas variando a tensatildeo de saiacuteda da fonte

Como podemos tratar esses dados se nosso objetivo eacute medir a resistecircncia interna do amperiacutemetro

Qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados

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Para responder essas questotildees se dirija a um dos computadores da sala e use um aplicativo que possibilite a construccedilatildeo de graacuteficos SciDavis por exemplo Insira seus dados no aplicativo construa o graacutefico desejado e encontre a melhor reta que se ajusta aos dados

Qual foi a melhor reta ajustada Determine a equaccedilatildeo dessa reta ajustada

Qual eacute o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro que vocecirc investigou

TAREFA 2

Utilize as medidas de todos os grupos da turma e aplique os conhecimentos abordados na tarefa de leitura para responder as seguintes questotildees

Qual deve ser a resistecircncia interna de um amperiacutemetro escolhido aleatoriamente entre os utilizados nesta aula

Qual eacute a incerteza desse valor

TAREFA 3

Suponha que o manual do Minipa ET-2075B informe que as medidas de tensatildeo e corrente realizadas nas faixas de milivolt e miliampere tecircm incerteza de 3 Use esses dados para calcular a

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incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1

Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma

Elas satildeo coerentes Por quecirc

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CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO

Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por

equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC

Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras

O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se

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extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo

No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador

Salvando vidas

ldquoafastem-se choquerdquo

Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de

sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos

O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo

Figura 4 - Desfibrilador

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esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)

Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma

sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o

miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia

Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2

2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387

Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)

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Circuito RC - seacuterie

Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C

Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que

∆S(c) + i(c)F = 0

Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo

i(c) = =C(c)=c

e a ddp no capacitor eacute dada por

∆S(c) = C(c)D

Dessa forma podemos dizer que

=C(c)=c = minus 1FD C(c)

Figura 6 - Circuito RC

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Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa

funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja

derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever

C(c) = C7 ou

A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial

Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir

Capacitor Carregando Capacitor Descarregando

∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0

C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou

∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou

Manual de Laboratoacuterio

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Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8

Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo

eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum

3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78

Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas

do capacitor durante o processo de

carga ou descarga

Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um

graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo

do tempo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no

capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte

Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor

quando o mesmo estaacute sendo carregado

Manual de Laboratoacuterio

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Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie

1 - Osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos

2 ndash Aparato Experimental

Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto

Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)

Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio

Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees

Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala

Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)

Manual de Laboratoacuterio

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TAREFA 1

Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees

Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico

Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito

Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito

Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos

Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio

TAREFA 2

Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie

Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

66

figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)

Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados

Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo

NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo

Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste

Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito

Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito

Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles

Manual de Laboratoacuterio

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MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS

Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais

Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio

Para onde aponta a buacutessola

Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc

E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial

tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos

que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a

soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio

4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja

httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4

Figura 10 - Buacutessola

Figura 11 - campo B resultante

Manual de Laboratoacuterio

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Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por

umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O

Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde

Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde

Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma

iacuteatilde() = ∙

onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde

5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass

The Physics Teacher 49(1) 45-48

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como

iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2

Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos

gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)

Logo

gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2

Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo

iacuteatilde() = amp

Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse

tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira

na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart

Manual de Laboratoacuterio

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pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do

que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute

yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp

onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico

da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos

yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp

Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3

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Atividade de Laboratoacuterio III Projeto

OBJETIVO

Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio

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SUGESTAtildeO 1

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO

Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas

Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece

Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha

Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo

por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o

eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte

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SUGESTAtildeO 2

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA

Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)

Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica

Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de

uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)

Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema

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SUGESTAtildeO 3

BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO

Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola

Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)

Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina

O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados

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SUGESTAtildeO 4

CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO

O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer

Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio

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MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO

Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro

Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental

6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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110 V 127 V e 220 V O que eacute isso

As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V

Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas

A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

(c) = Jgt(c + acute)

onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por

∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)

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onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1

Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho

Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores

Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por

∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf

∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712

∆Suparamiddot = ∆S7radic2

Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a

tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s

A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente

alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$

Figura 13 - Funccedilotildees seno e

seno quadrado

Manual de Laboratoacuterio

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COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA

Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz

Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O

Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

82

que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio

Natildeo queremos jogar energia fora

Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14

Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie

Manual de Laboratoacuterio

83

Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por

0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)

onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)

Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

ℇ(c) = ℇ7gt(c)

onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente

Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na

figura 16 para um caso em que VL gt VC

Figura 15 - Diagrama de fasores

de um circuito RLC seacuterie com

fonte de tensatildeo alternada

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

84

A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que

acute = c8 S minus SSu

Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado

por

i(c) = gt(c minus acute)

Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente

as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que

ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$

ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$

Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como

0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)

Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que

0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$

Figura 16 ndash Soma de fasores

Manual de Laboratoacuterio

85

0eacutey = F ∙ uparamiddot$

onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square

Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que

F = frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte

Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade

7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL

Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e

resistecircncia num diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como

0 = AJradicAJ$ + AF$

O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP

DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11

Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia

Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por

acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita

Manual de Laboratoacuterio

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2 = 1D

Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica

Figura 18 - diagramas de fasores representando

um circuito capacitivo e um circuito indutivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie

O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio

TAREFA 1

Circuito Resistivo

Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR

Manual de Laboratoacuterio

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Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)

O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador

Circuito Capacitivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

90

Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor

Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Manual de Laboratoacuterio

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Circuito Indutivo

Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor

O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Circuito RLC

Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise

Manual de Laboratoacuterio

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O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador

Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio

O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior

Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor

Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou

A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

94

TAREFA 2

Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente

Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir

Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima

Qual o valor da corrente maacutexima no circuito

Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)

O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique

Manual de Laboratoacuterio

95

TAREFA 3

Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito

Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees

Como isso eacute possiacutevel Explique

Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff

Respostas

96

Respostas

A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32

A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH

A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH

B3 Ae = Af = AtildeAcircf

B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl

B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH

B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l

B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD

B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -

C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc

(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7

C2 O = ~13deg

C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)

Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-

vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr

Respostas

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C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM

C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD

(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD

C6 A = Eacute$Acirc

C7 A = Atilde$AcircL

D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma

das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp

D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(

D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1

no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)

D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme

D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D

E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)

E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D

E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml

F1 544 times 10

F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S

F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM

u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM

u (e) 0 = ℇMu

F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω

Respostas

98

F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965

G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n

G5 i = Ograve$g = 245 J

G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y

G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez

G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H

G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)

G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)

G15 (a) zL$brvbarM (b)

z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero

G16 z$L + z$L = z$L - + 1

G17 (a) pLM

amp (b) pusup3

ampL

G18 zzMu

G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)

z

G20 zNu saindo da folha

G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)

UgraveLMamp

fora do fio (a) z$L (b)

UgravebrvbarM$L (c)

Ugravebrvbarsup3ampL

G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13

G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM

ampu

H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior

Respostas

99

H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a

H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J

I2 Φ = pound$ sup1amp

I4 C = AcircsM

I6 (a) zM

NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar

J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a

(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S

J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu

(c) = -radic

J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm

(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013

Respostas

100

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Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il

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Manual de Laboratoacuterio

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1 Como a resistecircncia equivalente em circuitos em seacuteries eacute a soma da resistecircncia eleacutetrica de cada um dos seus componentes a resistecircncia interna dos amperiacutemetros se soma agrave resistecircncia equivalente do circuito investigado alterando a sua dinacircmica Por isso nosso desejo eacute que os amperiacutemetros tenham resistecircncia eleacutetrica nula No entanto a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro real por menor que seja nunca eacute nula Eles possuem um circuito interno com fios e diversos componentes eletrocircnicos que acabam provocando uma resistecircncia agrave circulaccedilatildeo de corrente eleacutetrica Ainda assim frequentemente desprezamos tal resistecircncia Seraacute que isso eacute razoaacutevel Quando podemos desprezar a resistecircncia interna dos amperiacutemetros e quando natildeo podemos Para respondermos tais perguntas precisamos conhecer o valor da resistecircncia interna tiacutepica de um amperiacutemetro

Medindo a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro

Nesta disciplina usaremos diversos amperiacutemetros de uma mesma marca e modelo em uma seacuterie de experimentos (Minipa ET-2075B) Por isso eacute interessante que conheccedilamos a resistecircncia eleacutetrica deles para podermos avaliar quando podemos desprezaacute-la e quando natildeo Mas como podemos obter essa informaccedilatildeo Podemos medi-la Um procedimento simples para isso eacute submeter o amperiacutemetro a uma diferenccedila de potencial ΔV conhecida e medir a corrente eleacutetrica i que passa por ele Desse modo podemos usar a Eq 1 para inferir a resistecircncia eleacutetrica do equipamento Mas podemos confiar em uma uacutenica medida Depende da precisatildeo de que necessitamos para essa medida Intuitivamente sabemos que se medirmos a resistecircncia interna a partir de um conjunto de dados poderemos ter uma maior confiabilidade nos dados No exemplo de que estamos tratando eacute possiacutevel se coletar dados da corrente no amperiacutemetro quando submetido a diferentes tensotildees Desse modo pode-se inferir a resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro pela declividade da reta constituiacuteda

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

44

pelos dados representados em um graacutefico da tensatildeo em funccedilatildeo da corrente eleacutetrica como pode ser constatado da Eq1 No entanto como temos incertezas associadas a cada dado experimental coletado esses dados natildeo seratildeo perfeitamente representados por uma reta Surge entatildeo uma nova questatildeo qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados

Ajuste de Curvas

Diversas retas podem ser ajustadas a um conjunto de dados experimental Qual delas utilizar Intuitivamente podemos conjecturar que a melhor reta a ser utilizada eacute aquela tal que a soma das diferenccedilas entre os valores de tensatildeo medidos e os preditos pela reta tenha o menor valor possiacutevel Em outras palavras queremos minimizar a soma

sum = = (∆Sz minus ∆S)z-

onde ∆Sz satildeo as tensotildees medidas e ∆S satildeo as tensotildees preditas pela reta ajustada

No entanto haacute um inconveniente importante no uso desse criteacuterio tal soma pode ser bem pequena para retas que natildeo apresentam bom ajuste aos dados se as diferenccedilas entre os valores medidos e os preditos se cancelarem sendo alguns positivos e outros negativos Nesses casos apesar de natildeo termos uma reta bem ajustada aos dados o criteacuterio utilizado

indicaria que sim Como resolver isso Elevando os valores de dn ao

Figura 1 - Diferenccedila de potencial em funccedilatildeo

da corrente

Manual de Laboratoacuterio

45

quadrado Ou seja podemos procurar a reta tal que a seguinte soma tenha o menor valor possiacutevel

sum =$ = (∆Sz minus ∆S)$z-

O meacutetodo que utiliza esse criteacuterio para a realizaccedilatildeo de ajustes de curvas que eacute amplamente utilizado no meio acadecircmico eacute denominado Meacutetodo dos Miacutenimos Quadrados Todos os softwares do tipo planilha eletrocircnica realizam esse caacutelculo automaticamente e nos valeremos disso quando necessaacuterio

Todos os amperiacutemetros da sala possuem a mesma resistecircncia interna

Ainda que todos os amperiacutemetros que utilizaremos nas nossas aulas sejam da mesma marca e modelo eles possuem diferentes resistecircncias internas Existe alguma forma de estimar a resistecircncia interna de um desses amperiacutemetros escolhido aleatoriamente Calcular a meacutedia das resistecircncias eacute suficiente para realizar essa estimativa

Variabilidade das medidas o desvio padratildeo amostral e da meacutedia

Apesar de as resistecircncias dos amperiacutemetros natildeo serem exatamente as mesmas elas possuem valores que se distribuem em torno de um valor meacutedio que eacute igual agrave meacutedia dessas resistecircncias Desse modo se tomarmos um dos amperiacutemetros aleatoriamente o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute igual agrave meacutedia das resistecircncias internas de todos os amperiacutemetros Mas quanto podemos confiar nessa estimativa Para respondermos tal pergunta eacute importante quantificarmos a variabilidade das resistecircncias r que medimos Quanto menor for essa variabilidade maior seraacute a nossa confianccedila para assumir que a resistecircncia interna de um amperiacutemetro particular eacute igual agrave meacutedia Intuitivamente podemos conjecturar que tal variabilidade pode ser medida pelo somatoacuterio das diferenccedilas entre as resistecircncias

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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medidas z e a meacutedia dessas resistecircncias ou seja por (- minus ) + ($ minus ) + ⋯ + ( minus ) onde N eacute o nuacutemero de medidas realizadas No entanto temos aqui um inconveniente semelhante ao que tivemos quando analisaacutevamos ajustes de curvas se valores positivos e negativos se cancelarem esse somatoacuterio pode ser muito pequeno mesmo quando os dados apresentam grande variabilidade Podemos propor a mesma soluccedilatildeo adotada anteriormente vamos elevar os termos ao quadrado Temos entatildeo a variabilidade dos dados sendo mensurada por (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$

A impossibilidade de comparaccedilatildeo entre as variabilidades de diferentes conjuntos de dados eacute a limitaccedilatildeo desta proposta pois o resultado desse somatoacuterio eacute altamente dependente da quantidade de termos Desse modo eacute possiacutevel que esse somatoacuterio seja maior para grandes conjuntos com pouca variabilidade do que para pequenos grupos com grande variabilidade Para amenizar tal limitaccedilatildeo podemos entatildeo dividir o somatoacuterio por N ou seja calcular a variabilidade por(- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$ Hfrasl Ainda que esse somatoacuterio seja conceitualmente interessante natildeo eacute essa a medida de dispersatildeo de dados que costuma ser utilizada no meio cientiacutefico mas algo que guarda alguma semelhanccedila com ele o desvio padratildeo dos dados (P) Ele eacute calculado por

PL = (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$H minus 1

Mas por que utilizamos essa equaccedilatildeo A resposta estaacute em suas propriedades Quando construiacutemos um histograma (graacutefico de frequecircncias) de um conjunto de medidas por exemplo podemos em muitos casos assumir que a distribuiccedilatildeo desses dados eacute representada por uma distribuiccedilatildeo normal A equaccedilatildeo que define essa distribuiccedilatildeo assim como sua representaccedilatildeo graacutefica eacute ilustrada na Figura 3

Manual de Laboratoacuterio

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Natildeo eacute nosso objetivo aqui discutir detalhes da distribuiccedilatildeo normal O que desejamos destacar eacute que quando supomos que a distribuiccedilatildeo de um conjunto de dados eacute normal o que eacute bastante razoaacutevel na maioria das vezes o desvio padratildeo σ quantifica como os dados estatildeo distribuiacutedos Para entendermos isso analisemos a Figura 4

O intervalo compreendido pela meacutedia das medidas mais ou menos um desvio padratildeo compreende 68 das medidas realizadas No caso que estamos exemplificando se tomarmos a meacutedia das resistecircncias internas r de todos os amperiacutemetros investigados e o desvio padratildeo PL desses dados 68 das medidas estaratildeo no intervalo entre ( minus PL) e ( + PL) 95 no intervalo ( 2PL) e 99 no intervalo ( 257PL)

Figura 2 - A distribuiccedilatildeo normal eacute usualmente utilizada para representar a distribuiccedilatildeo

de frequecircncias de um conjunto de dados (Lima Jr et al 2013 p 30)

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Agora jaacute sabemos como quantificar a variabilidade de um conjunto de dados Podemos entatildeo calcular a meacutedia e o desvio padratildeo das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros Mas surge entatildeo uma questatildeo Se analisaacutessemos um novo conjunto de amperiacutemetros da mesma marca e modelo dos exemplificados aqui a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros seria a mesma Provavelmente natildeo Temos como estimar a partir do conjunto de medidas que realizamos a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros Temos Para responder a essa questatildeo temos que compreender um novo conceito o de desvio padratildeo da meacutedia (PL) Ele eacute calculado por

PL = PLradicH

Natildeo vamos entrar em detalhes aqui sobre a origem do conceito de desvio padratildeo da meacutedia1 vamos apenas explicar como essa grandeza nos permite estimar a incerteza na meacutedia de um conjunto de medidas Para isso vamos supor um novo conjunto de N novas

1 Se vocecirc eacute um aluno curioso pesquise sobre o Teorema Central do Limite para compreender com mais profundidade o conceito de desvio padratildeo da meacutedia

Figura 3 - A meacutedia e o desvio padratildeo demarcam a distribuiccedilatildeo dos dados em uma

distribuiccedilatildeo normal Na figura o eixo das abcissas expressa a distacircncia da meacutedia em

unidades de desvio padratildeo (Lima Jr et al 2013 p 30)

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medidas da resistecircncia interna de amperiacutemetros como os investigados nesta aula Qual seria a meacutedia dessas medidas Assim como o desvio padratildeo dos dados quantifica a dispersatildeo dos dados em torno da meacutedia o desvio padratildeo da meacutedia quantifica a dispersatildeo das meacutedias de subconjuntos de dados em torno da meacutedia de todo o conjunto de dados Aplicando esse conceito ao nosso exemplo podemos interpretar os dois conjuntos de medidas de resistecircncias internas como subconjuntos de um grande conjunto contendo todas as medidas Desse modo podemos afirmar com 68 de confianccedila que a meacutedia das N novas medidas a serem realizadas estaraacute no intervalo compreendido por ( PL) com 95 de confianccedila no intervalo ( 2PL) e com 99 de confianccedila no intervalo ( 257PL) O desvio padratildeo da meacutedia pode ser compreendido assim como a incerteza da meacutedia de um conjunto de medidas ou seja ele nos fornece uma estimativa da confiabilidade de uma meacutedia Em suma se escolhermos um amperiacutemetro aleatoriamente podemos dizer que i) o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute a meacutedia das resistecircncias de todos os amperiacutemetros e ii) a incerteza que temos nesse valor eacute igual ao desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias dos amperiacutemetros

E se eu soacute tivesse condiccedilotildees de realizar uma uacutenica medida

Nem sempre podemos realizar diversas medidas de uma grandeza Em alguns casos nem mesmo faz sentido realizar diversas medidas No entanto eacute evidente que existe uma incerteza associada a uma uacutenica medida Natildeo existem instrumentos que sejam perfeitamente precisos Entatildeo como podemos estimar essa incerteza Usualmente os manuais dos instrumentos trazem informaccedilotildees sobre isso Desse modo as incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica realizadas com um voltiacutemetro e um amperiacutemetro podem ser consultadas no manual do multiacutemetro utilizado Mas como eacute calculada a incerteza da resistecircncia interna de um amperiacutemetro que foi calculada a partir de

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apenas uma medida de tensatildeo e uma de corrente eleacutetrica Nesse caso precisamos calcular a incerteza propagada das incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica

Os meacutetodos de caacutelculo de incertezas propagadas podem ser bastante complicados Aqui trataremos de um meacutetodo bastante simples usualmente denominado de Meacutetodo dos Limites Vamos exemplificaacute-lo supondo que a incerteza da tensatildeo sobre as entradas do amperiacutemetro eacute P- e da corrente eleacutetrica que circula por ele eacute P$ Ou seja a tensatildeo medida estaacute no intervalo entre ∆S minus P- e ∆S + P- e a corrente eleacutetrica entre i minus P$ e i + P$ Qual eacute entatildeo a incerteza da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro investigado Para responder isso basta calcularmos os valores limites dessa grandeza O maacuteximo valor possiacutevel para a resistecircncia ocorreraacute se a tensatildeo for ∆S + P- e a corrente eleacutetrica for i minus P$ Nesse caso usando a Eq 1 temos

aacutee = ∆S + P-i minus P$

Usando o mesmo raciociacutenio o valor miacutenimo de r seraacute

z = ∆S minus P-i + P$

Desse modo podemos dizer que o valor da resistecircncia interna medida estaacute no intervalo entre rmaacutex e rmiacuten Em outras palavras o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro eacute

F = iexclz + aacutee2 z minus aacutee2 cent

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Erro eacute a mesma coisa que incerteza

Apesar de serem frequentemente utilizados como sinocircnimos os manuais de metrologia atribuem significados distintos aos conceitos de ldquoerrordquo e ldquoincertezardquo O Guia para Expressatildeo da Incerteza da Mediccedilatildeo (Joint Commitee for Guide in Metrology 2008 apud Lima Jr et al 2013) usa o termo ldquoerrordquo para indicar a diferenccedila entre o valor verdadeiro e o resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo o conceito de erro tem uso restrito pois satildeo poucos os casos em que conhecemos o valor verdadeiro de uma grandeza Satildeo exemplos desses casos experimentos em que se deseja mensurar a velocidade da luz no vaacutecuo ou o valor de π que satildeo valores previamente conhecidos pelo experimentador O caacutelculo do erro soacute faz sentido para casos em que sabemos o valor verdadeiro da grandeza que se quer medir

A incerteza por outro lado eacute entendida como uma estimativa que quantifica a confiabilidade do resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo quando calculamos o desvio padratildeo da meacutedia de um conjunto de medidas estamos calculando a incerteza da meacutedia dessas medidas ou seja estamos avaliando a confianccedila que podemos ter em adotar a meacutedia dessas medidas como o valor da grandeza mensurada O conceito de incerteza portanto tem maior aplicabilidade do que o conceito de erro

Algarismos significativos e incerteza

Uma questatildeo frequente nas aulas de laboratoacuterio eacute Com quantos algarismos uma grandeza deve ser apresentada No laboratoacuterio a resposta dessa questatildeo eacute uma funccedilatildeo da incerteza da grandeza Devemos apresentar os dados ateacute o seu primeiro algarismo duvidoso Voltemos ao exemplo da resistecircncia interna dos amperiacutemetros Suponhamos que a meacutedia das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros eacute 21546 Ω e o desvio padratildeo dessa meacutedia que eacute

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entendido aqui como a incerteza da resistecircncia interna dos amperiacutemetros eacute 003 Ω Interpretando tais dados assumimos com 68 de certeza que a resistecircncia interna dos amperiacutemetros estaacute no intervalo entre 21246 e 21846 Ω Desse modo a segunda casa decimal da grandeza medida eacute duvidosa Por isso os algarismos subsequentes satildeo omitidos quando expressamos essa medida e a medida da resistecircncia interna dos amperiacutemetros exemplificados eacute exposta por (215 plusmn 003) Ω Em suma o resultado de uma mediccedilatildeo deve ser sempre expresso com a mesma quantidade de casas decimais que sua incerteza Os algarismos apresentados satildeo entatildeo chamados de algarismos significativos

Referecircncia

Lima Jr P Silva M T X Silveira F L Veit E A (2013) Laboratoacuterio de mecacircnica subsiacutedios para o ensino de Fiacutesica experimental Porto Alegre UFRGS Instituto de Fiacutesica Disponiacutevel em httphdlhandlenet1018390438

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Atividade de Laboratoacuterio I Instrumentos de medida e incertezas

Este material foi cuidadosamente preparado para auxiliar no andamento das atividades no laboratoacuterio de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo Eacute importante responder TODAS as perguntas

(indicadas pelo siacutembolo ) feitas ao longo do texto discutindo com seu grupo possiacuteveis respostas e justificando-as Sempre que possiacutevel faccedila isso por escrito

TAREFA 1

Construa um circuito contendo um resistor de 1 kΩ em seacuterie com uma fonte de tensatildeo contiacutenua e um multiacutemetro Coloque o multiacutemetro na funccedilatildeo amperiacutemetro na escala de miliampere Usando outro multiacutemetro meccedila a tensatildeo no amperiacutemetro Realize medidas com diferentes correntes eleacutetricas variando a tensatildeo de saiacuteda da fonte

Como podemos tratar esses dados se nosso objetivo eacute medir a resistecircncia interna do amperiacutemetro

Qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Para responder essas questotildees se dirija a um dos computadores da sala e use um aplicativo que possibilite a construccedilatildeo de graacuteficos SciDavis por exemplo Insira seus dados no aplicativo construa o graacutefico desejado e encontre a melhor reta que se ajusta aos dados

Qual foi a melhor reta ajustada Determine a equaccedilatildeo dessa reta ajustada

Qual eacute o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro que vocecirc investigou

TAREFA 2

Utilize as medidas de todos os grupos da turma e aplique os conhecimentos abordados na tarefa de leitura para responder as seguintes questotildees

Qual deve ser a resistecircncia interna de um amperiacutemetro escolhido aleatoriamente entre os utilizados nesta aula

Qual eacute a incerteza desse valor

TAREFA 3

Suponha que o manual do Minipa ET-2075B informe que as medidas de tensatildeo e corrente realizadas nas faixas de milivolt e miliampere tecircm incerteza de 3 Use esses dados para calcular a

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incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1

Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma

Elas satildeo coerentes Por quecirc

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CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO

Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por

equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC

Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras

O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se

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extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo

No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador

Salvando vidas

ldquoafastem-se choquerdquo

Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de

sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos

O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo

Figura 4 - Desfibrilador

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esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)

Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma

sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o

miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia

Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2

2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387

Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)

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Circuito RC - seacuterie

Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C

Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que

∆S(c) + i(c)F = 0

Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo

i(c) = =C(c)=c

e a ddp no capacitor eacute dada por

∆S(c) = C(c)D

Dessa forma podemos dizer que

=C(c)=c = minus 1FD C(c)

Figura 6 - Circuito RC

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Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa

funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja

derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever

C(c) = C7 ou

A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial

Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir

Capacitor Carregando Capacitor Descarregando

∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0

C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou

∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou

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Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8

Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo

eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum

3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78

Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas

do capacitor durante o processo de

carga ou descarga

Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um

graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo

do tempo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no

capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte

Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor

quando o mesmo estaacute sendo carregado

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Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie

1 - Osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos

2 ndash Aparato Experimental

Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito

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conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto

Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)

Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio

Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees

Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala

Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)

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TAREFA 1

Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees

Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico

Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito

Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito

Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos

Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio

TAREFA 2

Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie

Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)

Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados

Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo

NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo

Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste

Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito

Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito

Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles

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MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS

Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais

Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio

Para onde aponta a buacutessola

Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos

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polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc

E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial

tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos

que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a

soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio

4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja

httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4

Figura 10 - Buacutessola

Figura 11 - campo B resultante

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Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por

umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O

Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde

Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde

Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma

iacuteatilde() = ∙

onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde

5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass

The Physics Teacher 49(1) 45-48

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Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como

iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2

Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos

gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)

Logo

gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2

Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo

iacuteatilde() = amp

Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse

tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira

na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart

Manual de Laboratoacuterio

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pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do

que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute

yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp

onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico

da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos

yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp

Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3

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Atividade de Laboratoacuterio III Projeto

OBJETIVO

Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio

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SUGESTAtildeO 1

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO

Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas

Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece

Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha

Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo

por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o

eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte

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SUGESTAtildeO 2

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA

Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)

Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica

Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de

uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)

Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema

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SUGESTAtildeO 3

BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO

Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola

Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)

Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina

O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados

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SUGESTAtildeO 4

CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO

O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer

Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio

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MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO

Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro

Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental

6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089

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110 V 127 V e 220 V O que eacute isso

As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V

Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas

A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

(c) = Jgt(c + acute)

onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por

∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)

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onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1

Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho

Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores

Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No

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caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por

∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf

∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712

∆Suparamiddot = ∆S7radic2

Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a

tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s

A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente

alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$

Figura 13 - Funccedilotildees seno e

seno quadrado

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COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA

Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz

Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O

Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio

Natildeo queremos jogar energia fora

Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14

Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie

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Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por

0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)

onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)

Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

ℇ(c) = ℇ7gt(c)

onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente

Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na

figura 16 para um caso em que VL gt VC

Figura 15 - Diagrama de fasores

de um circuito RLC seacuterie com

fonte de tensatildeo alternada

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que

acute = c8 S minus SSu

Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado

por

i(c) = gt(c minus acute)

Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente

as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que

ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$

ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$

Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como

0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)

Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que

0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$

Figura 16 ndash Soma de fasores

Manual de Laboratoacuterio

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0eacutey = F ∙ uparamiddot$

onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square

Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que

F = frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte

Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade

7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL

Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e

resistecircncia num diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como

0 = AJradicAJ$ + AF$

O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP

DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11

Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia

Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por

acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita

Manual de Laboratoacuterio

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2 = 1D

Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica

Figura 18 - diagramas de fasores representando

um circuito capacitivo e um circuito indutivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie

O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio

TAREFA 1

Circuito Resistivo

Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR

Manual de Laboratoacuterio

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Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)

O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador

Circuito Capacitivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor

Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Manual de Laboratoacuterio

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Circuito Indutivo

Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor

O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Circuito RLC

Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise

Manual de Laboratoacuterio

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O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador

Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio

O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior

Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor

Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou

A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

94

TAREFA 2

Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente

Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir

Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima

Qual o valor da corrente maacutexima no circuito

Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)

O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique

Manual de Laboratoacuterio

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TAREFA 3

Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito

Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees

Como isso eacute possiacutevel Explique

Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff

Respostas

96

Respostas

A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32

A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH

A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH

B3 Ae = Af = AtildeAcircf

B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl

B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH

B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l

B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD

B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -

C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc

(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7

C2 O = ~13deg

C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)

Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-

vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr

Respostas

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C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM

C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD

(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD

C6 A = Eacute$Acirc

C7 A = Atilde$AcircL

D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma

das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp

D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(

D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1

no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)

D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme

D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D

E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)

E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D

E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml

F1 544 times 10

F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S

F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM

u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM

u (e) 0 = ℇMu

F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω

Respostas

98

F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965

G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n

G5 i = Ograve$g = 245 J

G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y

G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez

G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H

G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)

G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)

G15 (a) zL$brvbarM (b)

z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero

G16 z$L + z$L = z$L - + 1

G17 (a) pLM

amp (b) pusup3

ampL

G18 zzMu

G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)

z

G20 zNu saindo da folha

G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)

UgraveLMamp

fora do fio (a) z$L (b)

UgravebrvbarM$L (c)

Ugravebrvbarsup3ampL

G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13

G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM

ampu

H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior

Respostas

99

H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a

H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J

I2 Φ = pound$ sup1amp

I4 C = AcircsM

I6 (a) zM

NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar

J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a

(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S

J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu

(c) = -radic

J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm

(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013

Respostas

100

Bibliografia

Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il

Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il

Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il

Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm

Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il

Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il

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quadrado Ou seja podemos procurar a reta tal que a seguinte soma tenha o menor valor possiacutevel

sum =$ = (∆Sz minus ∆S)$z-

O meacutetodo que utiliza esse criteacuterio para a realizaccedilatildeo de ajustes de curvas que eacute amplamente utilizado no meio acadecircmico eacute denominado Meacutetodo dos Miacutenimos Quadrados Todos os softwares do tipo planilha eletrocircnica realizam esse caacutelculo automaticamente e nos valeremos disso quando necessaacuterio

Todos os amperiacutemetros da sala possuem a mesma resistecircncia interna

Ainda que todos os amperiacutemetros que utilizaremos nas nossas aulas sejam da mesma marca e modelo eles possuem diferentes resistecircncias internas Existe alguma forma de estimar a resistecircncia interna de um desses amperiacutemetros escolhido aleatoriamente Calcular a meacutedia das resistecircncias eacute suficiente para realizar essa estimativa

Variabilidade das medidas o desvio padratildeo amostral e da meacutedia

Apesar de as resistecircncias dos amperiacutemetros natildeo serem exatamente as mesmas elas possuem valores que se distribuem em torno de um valor meacutedio que eacute igual agrave meacutedia dessas resistecircncias Desse modo se tomarmos um dos amperiacutemetros aleatoriamente o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute igual agrave meacutedia das resistecircncias internas de todos os amperiacutemetros Mas quanto podemos confiar nessa estimativa Para respondermos tal pergunta eacute importante quantificarmos a variabilidade das resistecircncias r que medimos Quanto menor for essa variabilidade maior seraacute a nossa confianccedila para assumir que a resistecircncia interna de um amperiacutemetro particular eacute igual agrave meacutedia Intuitivamente podemos conjecturar que tal variabilidade pode ser medida pelo somatoacuterio das diferenccedilas entre as resistecircncias

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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medidas z e a meacutedia dessas resistecircncias ou seja por (- minus ) + ($ minus ) + ⋯ + ( minus ) onde N eacute o nuacutemero de medidas realizadas No entanto temos aqui um inconveniente semelhante ao que tivemos quando analisaacutevamos ajustes de curvas se valores positivos e negativos se cancelarem esse somatoacuterio pode ser muito pequeno mesmo quando os dados apresentam grande variabilidade Podemos propor a mesma soluccedilatildeo adotada anteriormente vamos elevar os termos ao quadrado Temos entatildeo a variabilidade dos dados sendo mensurada por (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$

A impossibilidade de comparaccedilatildeo entre as variabilidades de diferentes conjuntos de dados eacute a limitaccedilatildeo desta proposta pois o resultado desse somatoacuterio eacute altamente dependente da quantidade de termos Desse modo eacute possiacutevel que esse somatoacuterio seja maior para grandes conjuntos com pouca variabilidade do que para pequenos grupos com grande variabilidade Para amenizar tal limitaccedilatildeo podemos entatildeo dividir o somatoacuterio por N ou seja calcular a variabilidade por(- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$ Hfrasl Ainda que esse somatoacuterio seja conceitualmente interessante natildeo eacute essa a medida de dispersatildeo de dados que costuma ser utilizada no meio cientiacutefico mas algo que guarda alguma semelhanccedila com ele o desvio padratildeo dos dados (P) Ele eacute calculado por

PL = (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$H minus 1

Mas por que utilizamos essa equaccedilatildeo A resposta estaacute em suas propriedades Quando construiacutemos um histograma (graacutefico de frequecircncias) de um conjunto de medidas por exemplo podemos em muitos casos assumir que a distribuiccedilatildeo desses dados eacute representada por uma distribuiccedilatildeo normal A equaccedilatildeo que define essa distribuiccedilatildeo assim como sua representaccedilatildeo graacutefica eacute ilustrada na Figura 3

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Natildeo eacute nosso objetivo aqui discutir detalhes da distribuiccedilatildeo normal O que desejamos destacar eacute que quando supomos que a distribuiccedilatildeo de um conjunto de dados eacute normal o que eacute bastante razoaacutevel na maioria das vezes o desvio padratildeo σ quantifica como os dados estatildeo distribuiacutedos Para entendermos isso analisemos a Figura 4

O intervalo compreendido pela meacutedia das medidas mais ou menos um desvio padratildeo compreende 68 das medidas realizadas No caso que estamos exemplificando se tomarmos a meacutedia das resistecircncias internas r de todos os amperiacutemetros investigados e o desvio padratildeo PL desses dados 68 das medidas estaratildeo no intervalo entre ( minus PL) e ( + PL) 95 no intervalo ( 2PL) e 99 no intervalo ( 257PL)

Figura 2 - A distribuiccedilatildeo normal eacute usualmente utilizada para representar a distribuiccedilatildeo

de frequecircncias de um conjunto de dados (Lima Jr et al 2013 p 30)

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Agora jaacute sabemos como quantificar a variabilidade de um conjunto de dados Podemos entatildeo calcular a meacutedia e o desvio padratildeo das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros Mas surge entatildeo uma questatildeo Se analisaacutessemos um novo conjunto de amperiacutemetros da mesma marca e modelo dos exemplificados aqui a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros seria a mesma Provavelmente natildeo Temos como estimar a partir do conjunto de medidas que realizamos a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros Temos Para responder a essa questatildeo temos que compreender um novo conceito o de desvio padratildeo da meacutedia (PL) Ele eacute calculado por

PL = PLradicH

Natildeo vamos entrar em detalhes aqui sobre a origem do conceito de desvio padratildeo da meacutedia1 vamos apenas explicar como essa grandeza nos permite estimar a incerteza na meacutedia de um conjunto de medidas Para isso vamos supor um novo conjunto de N novas

1 Se vocecirc eacute um aluno curioso pesquise sobre o Teorema Central do Limite para compreender com mais profundidade o conceito de desvio padratildeo da meacutedia

Figura 3 - A meacutedia e o desvio padratildeo demarcam a distribuiccedilatildeo dos dados em uma

distribuiccedilatildeo normal Na figura o eixo das abcissas expressa a distacircncia da meacutedia em

unidades de desvio padratildeo (Lima Jr et al 2013 p 30)

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medidas da resistecircncia interna de amperiacutemetros como os investigados nesta aula Qual seria a meacutedia dessas medidas Assim como o desvio padratildeo dos dados quantifica a dispersatildeo dos dados em torno da meacutedia o desvio padratildeo da meacutedia quantifica a dispersatildeo das meacutedias de subconjuntos de dados em torno da meacutedia de todo o conjunto de dados Aplicando esse conceito ao nosso exemplo podemos interpretar os dois conjuntos de medidas de resistecircncias internas como subconjuntos de um grande conjunto contendo todas as medidas Desse modo podemos afirmar com 68 de confianccedila que a meacutedia das N novas medidas a serem realizadas estaraacute no intervalo compreendido por ( PL) com 95 de confianccedila no intervalo ( 2PL) e com 99 de confianccedila no intervalo ( 257PL) O desvio padratildeo da meacutedia pode ser compreendido assim como a incerteza da meacutedia de um conjunto de medidas ou seja ele nos fornece uma estimativa da confiabilidade de uma meacutedia Em suma se escolhermos um amperiacutemetro aleatoriamente podemos dizer que i) o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute a meacutedia das resistecircncias de todos os amperiacutemetros e ii) a incerteza que temos nesse valor eacute igual ao desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias dos amperiacutemetros

E se eu soacute tivesse condiccedilotildees de realizar uma uacutenica medida

Nem sempre podemos realizar diversas medidas de uma grandeza Em alguns casos nem mesmo faz sentido realizar diversas medidas No entanto eacute evidente que existe uma incerteza associada a uma uacutenica medida Natildeo existem instrumentos que sejam perfeitamente precisos Entatildeo como podemos estimar essa incerteza Usualmente os manuais dos instrumentos trazem informaccedilotildees sobre isso Desse modo as incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica realizadas com um voltiacutemetro e um amperiacutemetro podem ser consultadas no manual do multiacutemetro utilizado Mas como eacute calculada a incerteza da resistecircncia interna de um amperiacutemetro que foi calculada a partir de

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apenas uma medida de tensatildeo e uma de corrente eleacutetrica Nesse caso precisamos calcular a incerteza propagada das incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica

Os meacutetodos de caacutelculo de incertezas propagadas podem ser bastante complicados Aqui trataremos de um meacutetodo bastante simples usualmente denominado de Meacutetodo dos Limites Vamos exemplificaacute-lo supondo que a incerteza da tensatildeo sobre as entradas do amperiacutemetro eacute P- e da corrente eleacutetrica que circula por ele eacute P$ Ou seja a tensatildeo medida estaacute no intervalo entre ∆S minus P- e ∆S + P- e a corrente eleacutetrica entre i minus P$ e i + P$ Qual eacute entatildeo a incerteza da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro investigado Para responder isso basta calcularmos os valores limites dessa grandeza O maacuteximo valor possiacutevel para a resistecircncia ocorreraacute se a tensatildeo for ∆S + P- e a corrente eleacutetrica for i minus P$ Nesse caso usando a Eq 1 temos

aacutee = ∆S + P-i minus P$

Usando o mesmo raciociacutenio o valor miacutenimo de r seraacute

z = ∆S minus P-i + P$

Desse modo podemos dizer que o valor da resistecircncia interna medida estaacute no intervalo entre rmaacutex e rmiacuten Em outras palavras o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro eacute

F = iexclz + aacutee2 z minus aacutee2 cent

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Erro eacute a mesma coisa que incerteza

Apesar de serem frequentemente utilizados como sinocircnimos os manuais de metrologia atribuem significados distintos aos conceitos de ldquoerrordquo e ldquoincertezardquo O Guia para Expressatildeo da Incerteza da Mediccedilatildeo (Joint Commitee for Guide in Metrology 2008 apud Lima Jr et al 2013) usa o termo ldquoerrordquo para indicar a diferenccedila entre o valor verdadeiro e o resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo o conceito de erro tem uso restrito pois satildeo poucos os casos em que conhecemos o valor verdadeiro de uma grandeza Satildeo exemplos desses casos experimentos em que se deseja mensurar a velocidade da luz no vaacutecuo ou o valor de π que satildeo valores previamente conhecidos pelo experimentador O caacutelculo do erro soacute faz sentido para casos em que sabemos o valor verdadeiro da grandeza que se quer medir

A incerteza por outro lado eacute entendida como uma estimativa que quantifica a confiabilidade do resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo quando calculamos o desvio padratildeo da meacutedia de um conjunto de medidas estamos calculando a incerteza da meacutedia dessas medidas ou seja estamos avaliando a confianccedila que podemos ter em adotar a meacutedia dessas medidas como o valor da grandeza mensurada O conceito de incerteza portanto tem maior aplicabilidade do que o conceito de erro

Algarismos significativos e incerteza

Uma questatildeo frequente nas aulas de laboratoacuterio eacute Com quantos algarismos uma grandeza deve ser apresentada No laboratoacuterio a resposta dessa questatildeo eacute uma funccedilatildeo da incerteza da grandeza Devemos apresentar os dados ateacute o seu primeiro algarismo duvidoso Voltemos ao exemplo da resistecircncia interna dos amperiacutemetros Suponhamos que a meacutedia das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros eacute 21546 Ω e o desvio padratildeo dessa meacutedia que eacute

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entendido aqui como a incerteza da resistecircncia interna dos amperiacutemetros eacute 003 Ω Interpretando tais dados assumimos com 68 de certeza que a resistecircncia interna dos amperiacutemetros estaacute no intervalo entre 21246 e 21846 Ω Desse modo a segunda casa decimal da grandeza medida eacute duvidosa Por isso os algarismos subsequentes satildeo omitidos quando expressamos essa medida e a medida da resistecircncia interna dos amperiacutemetros exemplificados eacute exposta por (215 plusmn 003) Ω Em suma o resultado de uma mediccedilatildeo deve ser sempre expresso com a mesma quantidade de casas decimais que sua incerteza Os algarismos apresentados satildeo entatildeo chamados de algarismos significativos

Referecircncia

Lima Jr P Silva M T X Silveira F L Veit E A (2013) Laboratoacuterio de mecacircnica subsiacutedios para o ensino de Fiacutesica experimental Porto Alegre UFRGS Instituto de Fiacutesica Disponiacutevel em httphdlhandlenet1018390438

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Atividade de Laboratoacuterio I Instrumentos de medida e incertezas

Este material foi cuidadosamente preparado para auxiliar no andamento das atividades no laboratoacuterio de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo Eacute importante responder TODAS as perguntas

(indicadas pelo siacutembolo ) feitas ao longo do texto discutindo com seu grupo possiacuteveis respostas e justificando-as Sempre que possiacutevel faccedila isso por escrito

TAREFA 1

Construa um circuito contendo um resistor de 1 kΩ em seacuterie com uma fonte de tensatildeo contiacutenua e um multiacutemetro Coloque o multiacutemetro na funccedilatildeo amperiacutemetro na escala de miliampere Usando outro multiacutemetro meccedila a tensatildeo no amperiacutemetro Realize medidas com diferentes correntes eleacutetricas variando a tensatildeo de saiacuteda da fonte

Como podemos tratar esses dados se nosso objetivo eacute medir a resistecircncia interna do amperiacutemetro

Qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Para responder essas questotildees se dirija a um dos computadores da sala e use um aplicativo que possibilite a construccedilatildeo de graacuteficos SciDavis por exemplo Insira seus dados no aplicativo construa o graacutefico desejado e encontre a melhor reta que se ajusta aos dados

Qual foi a melhor reta ajustada Determine a equaccedilatildeo dessa reta ajustada

Qual eacute o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro que vocecirc investigou

TAREFA 2

Utilize as medidas de todos os grupos da turma e aplique os conhecimentos abordados na tarefa de leitura para responder as seguintes questotildees

Qual deve ser a resistecircncia interna de um amperiacutemetro escolhido aleatoriamente entre os utilizados nesta aula

Qual eacute a incerteza desse valor

TAREFA 3

Suponha que o manual do Minipa ET-2075B informe que as medidas de tensatildeo e corrente realizadas nas faixas de milivolt e miliampere tecircm incerteza de 3 Use esses dados para calcular a

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incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1

Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma

Elas satildeo coerentes Por quecirc

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO

Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por

equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC

Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras

O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se

Manual de Laboratoacuterio

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extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo

No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador

Salvando vidas

ldquoafastem-se choquerdquo

Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de

sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos

O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo

Figura 4 - Desfibrilador

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esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)

Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma

sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o

miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia

Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2

2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387

Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)

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Circuito RC - seacuterie

Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C

Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que

∆S(c) + i(c)F = 0

Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo

i(c) = =C(c)=c

e a ddp no capacitor eacute dada por

∆S(c) = C(c)D

Dessa forma podemos dizer que

=C(c)=c = minus 1FD C(c)

Figura 6 - Circuito RC

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Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa

funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja

derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever

C(c) = C7 ou

A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial

Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir

Capacitor Carregando Capacitor Descarregando

∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0

C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou

∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou

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Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8

Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo

eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum

3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78

Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas

do capacitor durante o processo de

carga ou descarga

Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um

graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo

do tempo

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Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no

capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte

Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor

quando o mesmo estaacute sendo carregado

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Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie

1 - Osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos

2 ndash Aparato Experimental

Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto

Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)

Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio

Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees

Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala

Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)

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TAREFA 1

Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees

Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico

Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito

Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito

Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos

Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio

TAREFA 2

Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie

Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)

Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados

Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo

NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo

Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste

Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito

Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito

Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles

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MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS

Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais

Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio

Para onde aponta a buacutessola

Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos

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polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc

E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial

tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos

que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a

soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio

4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja

httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4

Figura 10 - Buacutessola

Figura 11 - campo B resultante

Manual de Laboratoacuterio

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Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por

umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O

Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde

Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde

Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma

iacuteatilde() = ∙

onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde

5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass

The Physics Teacher 49(1) 45-48

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Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como

iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2

Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos

gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)

Logo

gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2

Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo

iacuteatilde() = amp

Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse

tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira

na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart

Manual de Laboratoacuterio

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pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do

que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute

yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp

onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico

da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos

yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp

Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Atividade de Laboratoacuterio III Projeto

OBJETIVO

Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio

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SUGESTAtildeO 1

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO

Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas

Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece

Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha

Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo

por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o

eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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SUGESTAtildeO 2

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA

Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)

Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica

Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de

uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)

Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema

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SUGESTAtildeO 3

BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO

Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola

Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)

Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina

O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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SUGESTAtildeO 4

CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO

O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer

Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio

Manual de Laboratoacuterio

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MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO

Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro

Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental

6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

78

110 V 127 V e 220 V O que eacute isso

As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V

Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas

A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

(c) = Jgt(c + acute)

onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por

∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)

Manual de Laboratoacuterio

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onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1

Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho

Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores

Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

80

caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por

∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf

∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712

∆Suparamiddot = ∆S7radic2

Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a

tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s

A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente

alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$

Figura 13 - Funccedilotildees seno e

seno quadrado

Manual de Laboratoacuterio

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COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA

Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz

Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O

Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio

Natildeo queremos jogar energia fora

Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14

Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie

Manual de Laboratoacuterio

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Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por

0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)

onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)

Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

ℇ(c) = ℇ7gt(c)

onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente

Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na

figura 16 para um caso em que VL gt VC

Figura 15 - Diagrama de fasores

de um circuito RLC seacuterie com

fonte de tensatildeo alternada

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que

acute = c8 S minus SSu

Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado

por

i(c) = gt(c minus acute)

Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente

as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que

ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$

ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$

Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como

0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)

Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que

0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$

Figura 16 ndash Soma de fasores

Manual de Laboratoacuterio

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0eacutey = F ∙ uparamiddot$

onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square

Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que

F = frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte

Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade

7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL

Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e

resistecircncia num diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como

0 = AJradicAJ$ + AF$

O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP

DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11

Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia

Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por

acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita

Manual de Laboratoacuterio

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2 = 1D

Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica

Figura 18 - diagramas de fasores representando

um circuito capacitivo e um circuito indutivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie

O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio

TAREFA 1

Circuito Resistivo

Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR

Manual de Laboratoacuterio

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Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)

O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador

Circuito Capacitivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor

Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Manual de Laboratoacuterio

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Circuito Indutivo

Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor

O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Circuito RLC

Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise

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O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador

Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio

O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior

Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor

Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou

A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

94

TAREFA 2

Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente

Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir

Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima

Qual o valor da corrente maacutexima no circuito

Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)

O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique

Manual de Laboratoacuterio

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TAREFA 3

Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito

Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees

Como isso eacute possiacutevel Explique

Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff

Respostas

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Respostas

A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32

A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH

A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH

B3 Ae = Af = AtildeAcircf

B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl

B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH

B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l

B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD

B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -

C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc

(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7

C2 O = ~13deg

C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)

Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-

vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr

Respostas

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C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM

C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD

(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD

C6 A = Eacute$Acirc

C7 A = Atilde$AcircL

D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma

das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp

D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(

D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1

no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)

D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme

D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D

E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)

E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D

E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml

F1 544 times 10

F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S

F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM

u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM

u (e) 0 = ℇMu

F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω

Respostas

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F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965

G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n

G5 i = Ograve$g = 245 J

G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y

G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez

G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H

G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)

G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)

G15 (a) zL$brvbarM (b)

z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero

G16 z$L + z$L = z$L - + 1

G17 (a) pLM

amp (b) pusup3

ampL

G18 zzMu

G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)

z

G20 zNu saindo da folha

G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)

UgraveLMamp

fora do fio (a) z$L (b)

UgravebrvbarM$L (c)

Ugravebrvbarsup3ampL

G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13

G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM

ampu

H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior

Respostas

99

H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a

H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J

I2 Φ = pound$ sup1amp

I4 C = AcircsM

I6 (a) zM

NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar

J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a

(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S

J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu

(c) = -radic

J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm

(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013

Respostas

100

Bibliografia

Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il

Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il

Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il

Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm

Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il

Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il

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Manual de Laboratoacuterio

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Natildeo eacute nosso objetivo aqui discutir detalhes da distribuiccedilatildeo normal O que desejamos destacar eacute que quando supomos que a distribuiccedilatildeo de um conjunto de dados eacute normal o que eacute bastante razoaacutevel na maioria das vezes o desvio padratildeo σ quantifica como os dados estatildeo distribuiacutedos Para entendermos isso analisemos a Figura 4

O intervalo compreendido pela meacutedia das medidas mais ou menos um desvio padratildeo compreende 68 das medidas realizadas No caso que estamos exemplificando se tomarmos a meacutedia das resistecircncias internas r de todos os amperiacutemetros investigados e o desvio padratildeo PL desses dados 68 das medidas estaratildeo no intervalo entre ( minus PL) e ( + PL) 95 no intervalo ( 2PL) e 99 no intervalo ( 257PL)

Figura 2 - A distribuiccedilatildeo normal eacute usualmente utilizada para representar a distribuiccedilatildeo

de frequecircncias de um conjunto de dados (Lima Jr et al 2013 p 30)

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Agora jaacute sabemos como quantificar a variabilidade de um conjunto de dados Podemos entatildeo calcular a meacutedia e o desvio padratildeo das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros Mas surge entatildeo uma questatildeo Se analisaacutessemos um novo conjunto de amperiacutemetros da mesma marca e modelo dos exemplificados aqui a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros seria a mesma Provavelmente natildeo Temos como estimar a partir do conjunto de medidas que realizamos a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros Temos Para responder a essa questatildeo temos que compreender um novo conceito o de desvio padratildeo da meacutedia (PL) Ele eacute calculado por

PL = PLradicH

Natildeo vamos entrar em detalhes aqui sobre a origem do conceito de desvio padratildeo da meacutedia1 vamos apenas explicar como essa grandeza nos permite estimar a incerteza na meacutedia de um conjunto de medidas Para isso vamos supor um novo conjunto de N novas

1 Se vocecirc eacute um aluno curioso pesquise sobre o Teorema Central do Limite para compreender com mais profundidade o conceito de desvio padratildeo da meacutedia

Figura 3 - A meacutedia e o desvio padratildeo demarcam a distribuiccedilatildeo dos dados em uma

distribuiccedilatildeo normal Na figura o eixo das abcissas expressa a distacircncia da meacutedia em

unidades de desvio padratildeo (Lima Jr et al 2013 p 30)

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medidas da resistecircncia interna de amperiacutemetros como os investigados nesta aula Qual seria a meacutedia dessas medidas Assim como o desvio padratildeo dos dados quantifica a dispersatildeo dos dados em torno da meacutedia o desvio padratildeo da meacutedia quantifica a dispersatildeo das meacutedias de subconjuntos de dados em torno da meacutedia de todo o conjunto de dados Aplicando esse conceito ao nosso exemplo podemos interpretar os dois conjuntos de medidas de resistecircncias internas como subconjuntos de um grande conjunto contendo todas as medidas Desse modo podemos afirmar com 68 de confianccedila que a meacutedia das N novas medidas a serem realizadas estaraacute no intervalo compreendido por ( PL) com 95 de confianccedila no intervalo ( 2PL) e com 99 de confianccedila no intervalo ( 257PL) O desvio padratildeo da meacutedia pode ser compreendido assim como a incerteza da meacutedia de um conjunto de medidas ou seja ele nos fornece uma estimativa da confiabilidade de uma meacutedia Em suma se escolhermos um amperiacutemetro aleatoriamente podemos dizer que i) o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute a meacutedia das resistecircncias de todos os amperiacutemetros e ii) a incerteza que temos nesse valor eacute igual ao desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias dos amperiacutemetros

E se eu soacute tivesse condiccedilotildees de realizar uma uacutenica medida

Nem sempre podemos realizar diversas medidas de uma grandeza Em alguns casos nem mesmo faz sentido realizar diversas medidas No entanto eacute evidente que existe uma incerteza associada a uma uacutenica medida Natildeo existem instrumentos que sejam perfeitamente precisos Entatildeo como podemos estimar essa incerteza Usualmente os manuais dos instrumentos trazem informaccedilotildees sobre isso Desse modo as incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica realizadas com um voltiacutemetro e um amperiacutemetro podem ser consultadas no manual do multiacutemetro utilizado Mas como eacute calculada a incerteza da resistecircncia interna de um amperiacutemetro que foi calculada a partir de

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apenas uma medida de tensatildeo e uma de corrente eleacutetrica Nesse caso precisamos calcular a incerteza propagada das incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica

Os meacutetodos de caacutelculo de incertezas propagadas podem ser bastante complicados Aqui trataremos de um meacutetodo bastante simples usualmente denominado de Meacutetodo dos Limites Vamos exemplificaacute-lo supondo que a incerteza da tensatildeo sobre as entradas do amperiacutemetro eacute P- e da corrente eleacutetrica que circula por ele eacute P$ Ou seja a tensatildeo medida estaacute no intervalo entre ∆S minus P- e ∆S + P- e a corrente eleacutetrica entre i minus P$ e i + P$ Qual eacute entatildeo a incerteza da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro investigado Para responder isso basta calcularmos os valores limites dessa grandeza O maacuteximo valor possiacutevel para a resistecircncia ocorreraacute se a tensatildeo for ∆S + P- e a corrente eleacutetrica for i minus P$ Nesse caso usando a Eq 1 temos

aacutee = ∆S + P-i minus P$

Usando o mesmo raciociacutenio o valor miacutenimo de r seraacute

z = ∆S minus P-i + P$

Desse modo podemos dizer que o valor da resistecircncia interna medida estaacute no intervalo entre rmaacutex e rmiacuten Em outras palavras o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro eacute

F = iexclz + aacutee2 z minus aacutee2 cent

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Erro eacute a mesma coisa que incerteza

Apesar de serem frequentemente utilizados como sinocircnimos os manuais de metrologia atribuem significados distintos aos conceitos de ldquoerrordquo e ldquoincertezardquo O Guia para Expressatildeo da Incerteza da Mediccedilatildeo (Joint Commitee for Guide in Metrology 2008 apud Lima Jr et al 2013) usa o termo ldquoerrordquo para indicar a diferenccedila entre o valor verdadeiro e o resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo o conceito de erro tem uso restrito pois satildeo poucos os casos em que conhecemos o valor verdadeiro de uma grandeza Satildeo exemplos desses casos experimentos em que se deseja mensurar a velocidade da luz no vaacutecuo ou o valor de π que satildeo valores previamente conhecidos pelo experimentador O caacutelculo do erro soacute faz sentido para casos em que sabemos o valor verdadeiro da grandeza que se quer medir

A incerteza por outro lado eacute entendida como uma estimativa que quantifica a confiabilidade do resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo quando calculamos o desvio padratildeo da meacutedia de um conjunto de medidas estamos calculando a incerteza da meacutedia dessas medidas ou seja estamos avaliando a confianccedila que podemos ter em adotar a meacutedia dessas medidas como o valor da grandeza mensurada O conceito de incerteza portanto tem maior aplicabilidade do que o conceito de erro

Algarismos significativos e incerteza

Uma questatildeo frequente nas aulas de laboratoacuterio eacute Com quantos algarismos uma grandeza deve ser apresentada No laboratoacuterio a resposta dessa questatildeo eacute uma funccedilatildeo da incerteza da grandeza Devemos apresentar os dados ateacute o seu primeiro algarismo duvidoso Voltemos ao exemplo da resistecircncia interna dos amperiacutemetros Suponhamos que a meacutedia das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros eacute 21546 Ω e o desvio padratildeo dessa meacutedia que eacute

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entendido aqui como a incerteza da resistecircncia interna dos amperiacutemetros eacute 003 Ω Interpretando tais dados assumimos com 68 de certeza que a resistecircncia interna dos amperiacutemetros estaacute no intervalo entre 21246 e 21846 Ω Desse modo a segunda casa decimal da grandeza medida eacute duvidosa Por isso os algarismos subsequentes satildeo omitidos quando expressamos essa medida e a medida da resistecircncia interna dos amperiacutemetros exemplificados eacute exposta por (215 plusmn 003) Ω Em suma o resultado de uma mediccedilatildeo deve ser sempre expresso com a mesma quantidade de casas decimais que sua incerteza Os algarismos apresentados satildeo entatildeo chamados de algarismos significativos

Referecircncia

Lima Jr P Silva M T X Silveira F L Veit E A (2013) Laboratoacuterio de mecacircnica subsiacutedios para o ensino de Fiacutesica experimental Porto Alegre UFRGS Instituto de Fiacutesica Disponiacutevel em httphdlhandlenet1018390438

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Atividade de Laboratoacuterio I Instrumentos de medida e incertezas

Este material foi cuidadosamente preparado para auxiliar no andamento das atividades no laboratoacuterio de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo Eacute importante responder TODAS as perguntas

(indicadas pelo siacutembolo ) feitas ao longo do texto discutindo com seu grupo possiacuteveis respostas e justificando-as Sempre que possiacutevel faccedila isso por escrito

TAREFA 1

Construa um circuito contendo um resistor de 1 kΩ em seacuterie com uma fonte de tensatildeo contiacutenua e um multiacutemetro Coloque o multiacutemetro na funccedilatildeo amperiacutemetro na escala de miliampere Usando outro multiacutemetro meccedila a tensatildeo no amperiacutemetro Realize medidas com diferentes correntes eleacutetricas variando a tensatildeo de saiacuteda da fonte

Como podemos tratar esses dados se nosso objetivo eacute medir a resistecircncia interna do amperiacutemetro

Qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Para responder essas questotildees se dirija a um dos computadores da sala e use um aplicativo que possibilite a construccedilatildeo de graacuteficos SciDavis por exemplo Insira seus dados no aplicativo construa o graacutefico desejado e encontre a melhor reta que se ajusta aos dados

Qual foi a melhor reta ajustada Determine a equaccedilatildeo dessa reta ajustada

Qual eacute o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro que vocecirc investigou

TAREFA 2

Utilize as medidas de todos os grupos da turma e aplique os conhecimentos abordados na tarefa de leitura para responder as seguintes questotildees

Qual deve ser a resistecircncia interna de um amperiacutemetro escolhido aleatoriamente entre os utilizados nesta aula

Qual eacute a incerteza desse valor

TAREFA 3

Suponha que o manual do Minipa ET-2075B informe que as medidas de tensatildeo e corrente realizadas nas faixas de milivolt e miliampere tecircm incerteza de 3 Use esses dados para calcular a

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incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1

Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma

Elas satildeo coerentes Por quecirc

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CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO

Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por

equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC

Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras

O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se

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extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo

No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador

Salvando vidas

ldquoafastem-se choquerdquo

Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de

sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos

O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo

Figura 4 - Desfibrilador

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esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)

Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma

sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o

miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia

Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2

2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387

Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)

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Circuito RC - seacuterie

Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C

Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que

∆S(c) + i(c)F = 0

Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo

i(c) = =C(c)=c

e a ddp no capacitor eacute dada por

∆S(c) = C(c)D

Dessa forma podemos dizer que

=C(c)=c = minus 1FD C(c)

Figura 6 - Circuito RC

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa

funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja

derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever

C(c) = C7 ou

A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial

Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir

Capacitor Carregando Capacitor Descarregando

∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0

C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou

∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou

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Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8

Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo

eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum

3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78

Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas

do capacitor durante o processo de

carga ou descarga

Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um

graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo

do tempo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no

capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte

Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor

quando o mesmo estaacute sendo carregado

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Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie

1 - Osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos

2 ndash Aparato Experimental

Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto

Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)

Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio

Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees

Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala

Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)

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TAREFA 1

Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees

Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico

Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito

Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito

Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos

Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio

TAREFA 2

Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie

Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

66

figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)

Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados

Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo

NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo

Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste

Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito

Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito

Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles

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MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS

Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais

Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio

Para onde aponta a buacutessola

Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc

E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial

tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos

que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a

soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio

4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja

httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4

Figura 10 - Buacutessola

Figura 11 - campo B resultante

Manual de Laboratoacuterio

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Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por

umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O

Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde

Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde

Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma

iacuteatilde() = ∙

onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde

5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass

The Physics Teacher 49(1) 45-48

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como

iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2

Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos

gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)

Logo

gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2

Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo

iacuteatilde() = amp

Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse

tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira

na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart

Manual de Laboratoacuterio

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pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do

que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute

yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp

onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico

da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos

yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp

Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Atividade de Laboratoacuterio III Projeto

OBJETIVO

Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio

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SUGESTAtildeO 1

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO

Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas

Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece

Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha

Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo

por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o

eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte

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SUGESTAtildeO 2

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA

Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)

Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica

Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de

uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)

Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema

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SUGESTAtildeO 3

BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO

Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola

Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)

Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina

O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados

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SUGESTAtildeO 4

CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO

O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer

Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio

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MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO

Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro

Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental

6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089

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110 V 127 V e 220 V O que eacute isso

As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V

Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas

A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

(c) = Jgt(c + acute)

onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por

∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)

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onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1

Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho

Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores

Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por

∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf

∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712

∆Suparamiddot = ∆S7radic2

Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a

tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s

A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente

alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$

Figura 13 - Funccedilotildees seno e

seno quadrado

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COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA

Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz

Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O

Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio

Natildeo queremos jogar energia fora

Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14

Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie

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Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por

0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)

onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)

Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

ℇ(c) = ℇ7gt(c)

onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente

Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na

figura 16 para um caso em que VL gt VC

Figura 15 - Diagrama de fasores

de um circuito RLC seacuterie com

fonte de tensatildeo alternada

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que

acute = c8 S minus SSu

Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado

por

i(c) = gt(c minus acute)

Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente

as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que

ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$

ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$

Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como

0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)

Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que

0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$

Figura 16 ndash Soma de fasores

Manual de Laboratoacuterio

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0eacutey = F ∙ uparamiddot$

onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square

Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que

F = frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte

Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade

7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL

Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e

resistecircncia num diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como

0 = AJradicAJ$ + AF$

O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP

DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11

Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia

Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por

acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita

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2 = 1D

Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica

Figura 18 - diagramas de fasores representando

um circuito capacitivo e um circuito indutivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie

O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio

TAREFA 1

Circuito Resistivo

Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR

Manual de Laboratoacuterio

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Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)

O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador

Circuito Capacitivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor

Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Manual de Laboratoacuterio

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Circuito Indutivo

Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor

O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Circuito RLC

Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise

Manual de Laboratoacuterio

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O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador

Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio

O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior

Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor

Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou

A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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TAREFA 2

Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente

Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir

Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima

Qual o valor da corrente maacutexima no circuito

Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)

O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique

Manual de Laboratoacuterio

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TAREFA 3

Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito

Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees

Como isso eacute possiacutevel Explique

Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff

Respostas

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Respostas

A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32

A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH

A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH

B3 Ae = Af = AtildeAcircf

B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl

B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH

B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l

B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD

B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -

C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc

(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7

C2 O = ~13deg

C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)

Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-

vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr

Respostas

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C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM

C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD

(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD

C6 A = Eacute$Acirc

C7 A = Atilde$AcircL

D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma

das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp

D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(

D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1

no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)

D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme

D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D

E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)

E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D

E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml

F1 544 times 10

F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S

F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM

u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM

u (e) 0 = ℇMu

F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω

Respostas

98

F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965

G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n

G5 i = Ograve$g = 245 J

G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y

G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez

G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H

G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)

G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)

G15 (a) zL$brvbarM (b)

z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero

G16 z$L + z$L = z$L - + 1

G17 (a) pLM

amp (b) pusup3

ampL

G18 zzMu

G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)

z

G20 zNu saindo da folha

G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)

UgraveLMamp

fora do fio (a) z$L (b)

UgravebrvbarM$L (c)

Ugravebrvbarsup3ampL

G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13

G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM

ampu

H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior

Respostas

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H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a

H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J

I2 Φ = pound$ sup1amp

I4 C = AcircsM

I6 (a) zM

NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar

J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a

(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S

J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu

(c) = -radic

J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm

(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013

Respostas

100

Bibliografia

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Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il

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Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm

Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il

Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il

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medidas da resistecircncia interna de amperiacutemetros como os investigados nesta aula Qual seria a meacutedia dessas medidas Assim como o desvio padratildeo dos dados quantifica a dispersatildeo dos dados em torno da meacutedia o desvio padratildeo da meacutedia quantifica a dispersatildeo das meacutedias de subconjuntos de dados em torno da meacutedia de todo o conjunto de dados Aplicando esse conceito ao nosso exemplo podemos interpretar os dois conjuntos de medidas de resistecircncias internas como subconjuntos de um grande conjunto contendo todas as medidas Desse modo podemos afirmar com 68 de confianccedila que a meacutedia das N novas medidas a serem realizadas estaraacute no intervalo compreendido por ( PL) com 95 de confianccedila no intervalo ( 2PL) e com 99 de confianccedila no intervalo ( 257PL) O desvio padratildeo da meacutedia pode ser compreendido assim como a incerteza da meacutedia de um conjunto de medidas ou seja ele nos fornece uma estimativa da confiabilidade de uma meacutedia Em suma se escolhermos um amperiacutemetro aleatoriamente podemos dizer que i) o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute a meacutedia das resistecircncias de todos os amperiacutemetros e ii) a incerteza que temos nesse valor eacute igual ao desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias dos amperiacutemetros

E se eu soacute tivesse condiccedilotildees de realizar uma uacutenica medida

Nem sempre podemos realizar diversas medidas de uma grandeza Em alguns casos nem mesmo faz sentido realizar diversas medidas No entanto eacute evidente que existe uma incerteza associada a uma uacutenica medida Natildeo existem instrumentos que sejam perfeitamente precisos Entatildeo como podemos estimar essa incerteza Usualmente os manuais dos instrumentos trazem informaccedilotildees sobre isso Desse modo as incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica realizadas com um voltiacutemetro e um amperiacutemetro podem ser consultadas no manual do multiacutemetro utilizado Mas como eacute calculada a incerteza da resistecircncia interna de um amperiacutemetro que foi calculada a partir de

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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apenas uma medida de tensatildeo e uma de corrente eleacutetrica Nesse caso precisamos calcular a incerteza propagada das incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica

Os meacutetodos de caacutelculo de incertezas propagadas podem ser bastante complicados Aqui trataremos de um meacutetodo bastante simples usualmente denominado de Meacutetodo dos Limites Vamos exemplificaacute-lo supondo que a incerteza da tensatildeo sobre as entradas do amperiacutemetro eacute P- e da corrente eleacutetrica que circula por ele eacute P$ Ou seja a tensatildeo medida estaacute no intervalo entre ∆S minus P- e ∆S + P- e a corrente eleacutetrica entre i minus P$ e i + P$ Qual eacute entatildeo a incerteza da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro investigado Para responder isso basta calcularmos os valores limites dessa grandeza O maacuteximo valor possiacutevel para a resistecircncia ocorreraacute se a tensatildeo for ∆S + P- e a corrente eleacutetrica for i minus P$ Nesse caso usando a Eq 1 temos

aacutee = ∆S + P-i minus P$

Usando o mesmo raciociacutenio o valor miacutenimo de r seraacute

z = ∆S minus P-i + P$

Desse modo podemos dizer que o valor da resistecircncia interna medida estaacute no intervalo entre rmaacutex e rmiacuten Em outras palavras o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro eacute

F = iexclz + aacutee2 z minus aacutee2 cent

Manual de Laboratoacuterio

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Erro eacute a mesma coisa que incerteza

Apesar de serem frequentemente utilizados como sinocircnimos os manuais de metrologia atribuem significados distintos aos conceitos de ldquoerrordquo e ldquoincertezardquo O Guia para Expressatildeo da Incerteza da Mediccedilatildeo (Joint Commitee for Guide in Metrology 2008 apud Lima Jr et al 2013) usa o termo ldquoerrordquo para indicar a diferenccedila entre o valor verdadeiro e o resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo o conceito de erro tem uso restrito pois satildeo poucos os casos em que conhecemos o valor verdadeiro de uma grandeza Satildeo exemplos desses casos experimentos em que se deseja mensurar a velocidade da luz no vaacutecuo ou o valor de π que satildeo valores previamente conhecidos pelo experimentador O caacutelculo do erro soacute faz sentido para casos em que sabemos o valor verdadeiro da grandeza que se quer medir

A incerteza por outro lado eacute entendida como uma estimativa que quantifica a confiabilidade do resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo quando calculamos o desvio padratildeo da meacutedia de um conjunto de medidas estamos calculando a incerteza da meacutedia dessas medidas ou seja estamos avaliando a confianccedila que podemos ter em adotar a meacutedia dessas medidas como o valor da grandeza mensurada O conceito de incerteza portanto tem maior aplicabilidade do que o conceito de erro

Algarismos significativos e incerteza

Uma questatildeo frequente nas aulas de laboratoacuterio eacute Com quantos algarismos uma grandeza deve ser apresentada No laboratoacuterio a resposta dessa questatildeo eacute uma funccedilatildeo da incerteza da grandeza Devemos apresentar os dados ateacute o seu primeiro algarismo duvidoso Voltemos ao exemplo da resistecircncia interna dos amperiacutemetros Suponhamos que a meacutedia das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros eacute 21546 Ω e o desvio padratildeo dessa meacutedia que eacute

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entendido aqui como a incerteza da resistecircncia interna dos amperiacutemetros eacute 003 Ω Interpretando tais dados assumimos com 68 de certeza que a resistecircncia interna dos amperiacutemetros estaacute no intervalo entre 21246 e 21846 Ω Desse modo a segunda casa decimal da grandeza medida eacute duvidosa Por isso os algarismos subsequentes satildeo omitidos quando expressamos essa medida e a medida da resistecircncia interna dos amperiacutemetros exemplificados eacute exposta por (215 plusmn 003) Ω Em suma o resultado de uma mediccedilatildeo deve ser sempre expresso com a mesma quantidade de casas decimais que sua incerteza Os algarismos apresentados satildeo entatildeo chamados de algarismos significativos

Referecircncia

Lima Jr P Silva M T X Silveira F L Veit E A (2013) Laboratoacuterio de mecacircnica subsiacutedios para o ensino de Fiacutesica experimental Porto Alegre UFRGS Instituto de Fiacutesica Disponiacutevel em httphdlhandlenet1018390438

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Atividade de Laboratoacuterio I Instrumentos de medida e incertezas

Este material foi cuidadosamente preparado para auxiliar no andamento das atividades no laboratoacuterio de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo Eacute importante responder TODAS as perguntas

(indicadas pelo siacutembolo ) feitas ao longo do texto discutindo com seu grupo possiacuteveis respostas e justificando-as Sempre que possiacutevel faccedila isso por escrito

TAREFA 1

Construa um circuito contendo um resistor de 1 kΩ em seacuterie com uma fonte de tensatildeo contiacutenua e um multiacutemetro Coloque o multiacutemetro na funccedilatildeo amperiacutemetro na escala de miliampere Usando outro multiacutemetro meccedila a tensatildeo no amperiacutemetro Realize medidas com diferentes correntes eleacutetricas variando a tensatildeo de saiacuteda da fonte

Como podemos tratar esses dados se nosso objetivo eacute medir a resistecircncia interna do amperiacutemetro

Qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Para responder essas questotildees se dirija a um dos computadores da sala e use um aplicativo que possibilite a construccedilatildeo de graacuteficos SciDavis por exemplo Insira seus dados no aplicativo construa o graacutefico desejado e encontre a melhor reta que se ajusta aos dados

Qual foi a melhor reta ajustada Determine a equaccedilatildeo dessa reta ajustada

Qual eacute o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro que vocecirc investigou

TAREFA 2

Utilize as medidas de todos os grupos da turma e aplique os conhecimentos abordados na tarefa de leitura para responder as seguintes questotildees

Qual deve ser a resistecircncia interna de um amperiacutemetro escolhido aleatoriamente entre os utilizados nesta aula

Qual eacute a incerteza desse valor

TAREFA 3

Suponha que o manual do Minipa ET-2075B informe que as medidas de tensatildeo e corrente realizadas nas faixas de milivolt e miliampere tecircm incerteza de 3 Use esses dados para calcular a

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incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1

Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma

Elas satildeo coerentes Por quecirc

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CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO

Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por

equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC

Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras

O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se

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extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo

No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador

Salvando vidas

ldquoafastem-se choquerdquo

Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de

sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos

O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo

Figura 4 - Desfibrilador

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esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)

Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma

sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o

miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia

Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2

2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387

Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)

Manual de Laboratoacuterio

59

Circuito RC - seacuterie

Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C

Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que

∆S(c) + i(c)F = 0

Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo

i(c) = =C(c)=c

e a ddp no capacitor eacute dada por

∆S(c) = C(c)D

Dessa forma podemos dizer que

=C(c)=c = minus 1FD C(c)

Figura 6 - Circuito RC

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

60

Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa

funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja

derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever

C(c) = C7 ou

A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial

Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir

Capacitor Carregando Capacitor Descarregando

∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0

C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou

∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou

Manual de Laboratoacuterio

61

Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8

Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo

eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum

3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78

Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas

do capacitor durante o processo de

carga ou descarga

Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um

graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo

do tempo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no

capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte

Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor

quando o mesmo estaacute sendo carregado

Manual de Laboratoacuterio

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Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie

1 - Osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos

2 ndash Aparato Experimental

Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto

Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)

Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio

Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees

Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala

Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)

Manual de Laboratoacuterio

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TAREFA 1

Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees

Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico

Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito

Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito

Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos

Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio

TAREFA 2

Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie

Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

66

figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)

Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados

Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo

NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo

Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste

Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito

Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito

Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles

Manual de Laboratoacuterio

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MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS

Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais

Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio

Para onde aponta a buacutessola

Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc

E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial

tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos

que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a

soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio

4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja

httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4

Figura 10 - Buacutessola

Figura 11 - campo B resultante

Manual de Laboratoacuterio

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Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por

umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O

Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde

Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde

Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma

iacuteatilde() = ∙

onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde

5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass

The Physics Teacher 49(1) 45-48

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como

iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2

Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos

gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)

Logo

gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2

Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo

iacuteatilde() = amp

Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse

tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira

na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart

Manual de Laboratoacuterio

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pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do

que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute

yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp

onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico

da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos

yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp

Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Atividade de Laboratoacuterio III Projeto

OBJETIVO

Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio

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SUGESTAtildeO 1

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO

Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas

Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece

Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha

Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo

por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o

eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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SUGESTAtildeO 2

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA

Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)

Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica

Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de

uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)

Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema

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SUGESTAtildeO 3

BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO

Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola

Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)

Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina

O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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SUGESTAtildeO 4

CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO

O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer

Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio

Manual de Laboratoacuterio

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MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO

Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro

Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental

6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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110 V 127 V e 220 V O que eacute isso

As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V

Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas

A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

(c) = Jgt(c + acute)

onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por

∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)

Manual de Laboratoacuterio

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onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1

Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho

Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores

Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

80

caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por

∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf

∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712

∆Suparamiddot = ∆S7radic2

Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a

tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s

A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente

alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$

Figura 13 - Funccedilotildees seno e

seno quadrado

Manual de Laboratoacuterio

81

COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA

Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz

Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O

Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

82

que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio

Natildeo queremos jogar energia fora

Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14

Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie

Manual de Laboratoacuterio

83

Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por

0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)

onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)

Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

ℇ(c) = ℇ7gt(c)

onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente

Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na

figura 16 para um caso em que VL gt VC

Figura 15 - Diagrama de fasores

de um circuito RLC seacuterie com

fonte de tensatildeo alternada

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

84

A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que

acute = c8 S minus SSu

Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado

por

i(c) = gt(c minus acute)

Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente

as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que

ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$

ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$

Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como

0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)

Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que

0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$

Figura 16 ndash Soma de fasores

Manual de Laboratoacuterio

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0eacutey = F ∙ uparamiddot$

onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square

Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que

F = frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte

Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade

7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL

Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e

resistecircncia num diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como

0 = AJradicAJ$ + AF$

O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP

DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11

Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia

Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por

acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita

Manual de Laboratoacuterio

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2 = 1D

Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica

Figura 18 - diagramas de fasores representando

um circuito capacitivo e um circuito indutivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie

O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio

TAREFA 1

Circuito Resistivo

Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR

Manual de Laboratoacuterio

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Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)

O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador

Circuito Capacitivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor

Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Manual de Laboratoacuterio

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Circuito Indutivo

Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor

O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Circuito RLC

Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise

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O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador

Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio

O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior

Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor

Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou

A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

94

TAREFA 2

Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente

Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir

Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima

Qual o valor da corrente maacutexima no circuito

Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)

O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique

Manual de Laboratoacuterio

95

TAREFA 3

Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito

Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees

Como isso eacute possiacutevel Explique

Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff

Respostas

96

Respostas

A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32

A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH

A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH

B3 Ae = Af = AtildeAcircf

B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl

B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH

B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l

B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD

B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -

C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc

(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7

C2 O = ~13deg

C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)

Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-

vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr

Respostas

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C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM

C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD

(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD

C6 A = Eacute$Acirc

C7 A = Atilde$AcircL

D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma

das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp

D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(

D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1

no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)

D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme

D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D

E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)

E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D

E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml

F1 544 times 10

F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S

F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM

u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM

u (e) 0 = ℇMu

F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω

Respostas

98

F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965

G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n

G5 i = Ograve$g = 245 J

G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y

G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez

G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H

G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)

G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)

G15 (a) zL$brvbarM (b)

z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero

G16 z$L + z$L = z$L - + 1

G17 (a) pLM

amp (b) pusup3

ampL

G18 zzMu

G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)

z

G20 zNu saindo da folha

G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)

UgraveLMamp

fora do fio (a) z$L (b)

UgravebrvbarM$L (c)

Ugravebrvbarsup3ampL

G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13

G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM

ampu

H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior

Respostas

99

H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a

H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J

I2 Φ = pound$ sup1amp

I4 C = AcircsM

I6 (a) zM

NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar

J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a

(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S

J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu

(c) = -radic

J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm

(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013

Respostas

100

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Manual de Laboratoacuterio

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Erro eacute a mesma coisa que incerteza

Apesar de serem frequentemente utilizados como sinocircnimos os manuais de metrologia atribuem significados distintos aos conceitos de ldquoerrordquo e ldquoincertezardquo O Guia para Expressatildeo da Incerteza da Mediccedilatildeo (Joint Commitee for Guide in Metrology 2008 apud Lima Jr et al 2013) usa o termo ldquoerrordquo para indicar a diferenccedila entre o valor verdadeiro e o resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo o conceito de erro tem uso restrito pois satildeo poucos os casos em que conhecemos o valor verdadeiro de uma grandeza Satildeo exemplos desses casos experimentos em que se deseja mensurar a velocidade da luz no vaacutecuo ou o valor de π que satildeo valores previamente conhecidos pelo experimentador O caacutelculo do erro soacute faz sentido para casos em que sabemos o valor verdadeiro da grandeza que se quer medir

A incerteza por outro lado eacute entendida como uma estimativa que quantifica a confiabilidade do resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo quando calculamos o desvio padratildeo da meacutedia de um conjunto de medidas estamos calculando a incerteza da meacutedia dessas medidas ou seja estamos avaliando a confianccedila que podemos ter em adotar a meacutedia dessas medidas como o valor da grandeza mensurada O conceito de incerteza portanto tem maior aplicabilidade do que o conceito de erro

Algarismos significativos e incerteza

Uma questatildeo frequente nas aulas de laboratoacuterio eacute Com quantos algarismos uma grandeza deve ser apresentada No laboratoacuterio a resposta dessa questatildeo eacute uma funccedilatildeo da incerteza da grandeza Devemos apresentar os dados ateacute o seu primeiro algarismo duvidoso Voltemos ao exemplo da resistecircncia interna dos amperiacutemetros Suponhamos que a meacutedia das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros eacute 21546 Ω e o desvio padratildeo dessa meacutedia que eacute

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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entendido aqui como a incerteza da resistecircncia interna dos amperiacutemetros eacute 003 Ω Interpretando tais dados assumimos com 68 de certeza que a resistecircncia interna dos amperiacutemetros estaacute no intervalo entre 21246 e 21846 Ω Desse modo a segunda casa decimal da grandeza medida eacute duvidosa Por isso os algarismos subsequentes satildeo omitidos quando expressamos essa medida e a medida da resistecircncia interna dos amperiacutemetros exemplificados eacute exposta por (215 plusmn 003) Ω Em suma o resultado de uma mediccedilatildeo deve ser sempre expresso com a mesma quantidade de casas decimais que sua incerteza Os algarismos apresentados satildeo entatildeo chamados de algarismos significativos

Referecircncia

Lima Jr P Silva M T X Silveira F L Veit E A (2013) Laboratoacuterio de mecacircnica subsiacutedios para o ensino de Fiacutesica experimental Porto Alegre UFRGS Instituto de Fiacutesica Disponiacutevel em httphdlhandlenet1018390438

Manual de Laboratoacuterio

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Atividade de Laboratoacuterio I Instrumentos de medida e incertezas

Este material foi cuidadosamente preparado para auxiliar no andamento das atividades no laboratoacuterio de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo Eacute importante responder TODAS as perguntas

(indicadas pelo siacutembolo ) feitas ao longo do texto discutindo com seu grupo possiacuteveis respostas e justificando-as Sempre que possiacutevel faccedila isso por escrito

TAREFA 1

Construa um circuito contendo um resistor de 1 kΩ em seacuterie com uma fonte de tensatildeo contiacutenua e um multiacutemetro Coloque o multiacutemetro na funccedilatildeo amperiacutemetro na escala de miliampere Usando outro multiacutemetro meccedila a tensatildeo no amperiacutemetro Realize medidas com diferentes correntes eleacutetricas variando a tensatildeo de saiacuteda da fonte

Como podemos tratar esses dados se nosso objetivo eacute medir a resistecircncia interna do amperiacutemetro

Qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Para responder essas questotildees se dirija a um dos computadores da sala e use um aplicativo que possibilite a construccedilatildeo de graacuteficos SciDavis por exemplo Insira seus dados no aplicativo construa o graacutefico desejado e encontre a melhor reta que se ajusta aos dados

Qual foi a melhor reta ajustada Determine a equaccedilatildeo dessa reta ajustada

Qual eacute o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro que vocecirc investigou

TAREFA 2

Utilize as medidas de todos os grupos da turma e aplique os conhecimentos abordados na tarefa de leitura para responder as seguintes questotildees

Qual deve ser a resistecircncia interna de um amperiacutemetro escolhido aleatoriamente entre os utilizados nesta aula

Qual eacute a incerteza desse valor

TAREFA 3

Suponha que o manual do Minipa ET-2075B informe que as medidas de tensatildeo e corrente realizadas nas faixas de milivolt e miliampere tecircm incerteza de 3 Use esses dados para calcular a

Manual de Laboratoacuterio

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incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1

Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma

Elas satildeo coerentes Por quecirc

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO

Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por

equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC

Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras

O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se

Manual de Laboratoacuterio

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extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo

No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador

Salvando vidas

ldquoafastem-se choquerdquo

Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de

sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos

O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo

Figura 4 - Desfibrilador

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)

Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma

sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o

miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia

Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2

2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387

Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)

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Circuito RC - seacuterie

Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C

Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que

∆S(c) + i(c)F = 0

Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo

i(c) = =C(c)=c

e a ddp no capacitor eacute dada por

∆S(c) = C(c)D

Dessa forma podemos dizer que

=C(c)=c = minus 1FD C(c)

Figura 6 - Circuito RC

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa

funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja

derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever

C(c) = C7 ou

A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial

Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir

Capacitor Carregando Capacitor Descarregando

∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0

C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou

∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou

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Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8

Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo

eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum

3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78

Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas

do capacitor durante o processo de

carga ou descarga

Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um

graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo

do tempo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no

capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte

Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor

quando o mesmo estaacute sendo carregado

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Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie

1 - Osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos

2 ndash Aparato Experimental

Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto

Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)

Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio

Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees

Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala

Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)

Manual de Laboratoacuterio

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TAREFA 1

Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees

Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico

Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito

Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito

Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos

Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio

TAREFA 2

Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie

Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)

Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados

Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo

NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo

Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste

Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito

Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito

Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles

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MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS

Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais

Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio

Para onde aponta a buacutessola

Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos

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polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc

E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial

tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos

que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a

soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio

4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja

httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4

Figura 10 - Buacutessola

Figura 11 - campo B resultante

Manual de Laboratoacuterio

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Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por

umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O

Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde

Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde

Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma

iacuteatilde() = ∙

onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde

5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass

The Physics Teacher 49(1) 45-48

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como

iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2

Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos

gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)

Logo

gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2

Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo

iacuteatilde() = amp

Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse

tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira

na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart

Manual de Laboratoacuterio

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pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do

que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute

yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp

onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico

da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos

yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp

Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Atividade de Laboratoacuterio III Projeto

OBJETIVO

Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio

Manual de Laboratoacuterio

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SUGESTAtildeO 1

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO

Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas

Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece

Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha

Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo

por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o

eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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SUGESTAtildeO 2

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA

Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)

Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica

Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de

uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)

Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema

Manual de Laboratoacuterio

75

SUGESTAtildeO 3

BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO

Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola

Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)

Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina

O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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SUGESTAtildeO 4

CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO

O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer

Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio

Manual de Laboratoacuterio

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MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO

Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro

Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental

6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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110 V 127 V e 220 V O que eacute isso

As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V

Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas

A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

(c) = Jgt(c + acute)

onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por

∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)

Manual de Laboratoacuterio

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onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1

Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho

Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores

Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por

∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf

∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712

∆Suparamiddot = ∆S7radic2

Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a

tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s

A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente

alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$

Figura 13 - Funccedilotildees seno e

seno quadrado

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COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA

Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz

Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O

Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio

Natildeo queremos jogar energia fora

Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14

Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie

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Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por

0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)

onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)

Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

ℇ(c) = ℇ7gt(c)

onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente

Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na

figura 16 para um caso em que VL gt VC

Figura 15 - Diagrama de fasores

de um circuito RLC seacuterie com

fonte de tensatildeo alternada

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que

acute = c8 S minus SSu

Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado

por

i(c) = gt(c minus acute)

Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente

as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que

ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$

ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$

Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como

0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)

Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que

0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$

Figura 16 ndash Soma de fasores

Manual de Laboratoacuterio

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0eacutey = F ∙ uparamiddot$

onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square

Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que

F = frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte

Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade

7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL

Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e

resistecircncia num diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como

0 = AJradicAJ$ + AF$

O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP

DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11

Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia

Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por

acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita

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2 = 1D

Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica

Figura 18 - diagramas de fasores representando

um circuito capacitivo e um circuito indutivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie

O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio

TAREFA 1

Circuito Resistivo

Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR

Manual de Laboratoacuterio

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Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)

O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador

Circuito Capacitivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor

Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

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Circuito Indutivo

Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor

O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Circuito RLC

Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise

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O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador

Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio

O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior

Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor

Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou

A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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TAREFA 2

Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente

Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir

Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima

Qual o valor da corrente maacutexima no circuito

Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)

O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique

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TAREFA 3

Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito

Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees

Como isso eacute possiacutevel Explique

Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff

Respostas

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Respostas

A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32

A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH

A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH

B3 Ae = Af = AtildeAcircf

B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl

B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH

B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l

B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD

B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -

C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc

(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7

C2 O = ~13deg

C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)

Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-

vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr

Respostas

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C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM

C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD

(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD

C6 A = Eacute$Acirc

C7 A = Atilde$AcircL

D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma

das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp

D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(

D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1

no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)

D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme

D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D

E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)

E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D

E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml

F1 544 times 10

F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S

F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM

u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM

u (e) 0 = ℇMu

F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω

Respostas

98

F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965

G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n

G5 i = Ograve$g = 245 J

G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y

G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez

G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H

G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)

G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)

G15 (a) zL$brvbarM (b)

z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero

G16 z$L + z$L = z$L - + 1

G17 (a) pLM

amp (b) pusup3

ampL

G18 zzMu

G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)

z

G20 zNu saindo da folha

G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)

UgraveLMamp

fora do fio (a) z$L (b)

UgravebrvbarM$L (c)

Ugravebrvbarsup3ampL

G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13

G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM

ampu

H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior

Respostas

99

H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a

H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J

I2 Φ = pound$ sup1amp

I4 C = AcircsM

I6 (a) zM

NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar

J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a

(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S

J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu

(c) = -radic

J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm

(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013

Respostas

100

Bibliografia

Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il

Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il

Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il

Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm

Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il

Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il

Page 27: Prof a. Raquel Giulian Prof. Leonardo Albuquerque ... · 3ª semana: Lei de Gauss (fluxo elétrico, campo elétrico ... Aula de problemas e PROVA II 10º e 11ª semanas: Campo Magnético

Manual de Laboratoacuterio

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Atividade de Laboratoacuterio I Instrumentos de medida e incertezas

Este material foi cuidadosamente preparado para auxiliar no andamento das atividades no laboratoacuterio de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo Eacute importante responder TODAS as perguntas

(indicadas pelo siacutembolo ) feitas ao longo do texto discutindo com seu grupo possiacuteveis respostas e justificando-as Sempre que possiacutevel faccedila isso por escrito

TAREFA 1

Construa um circuito contendo um resistor de 1 kΩ em seacuterie com uma fonte de tensatildeo contiacutenua e um multiacutemetro Coloque o multiacutemetro na funccedilatildeo amperiacutemetro na escala de miliampere Usando outro multiacutemetro meccedila a tensatildeo no amperiacutemetro Realize medidas com diferentes correntes eleacutetricas variando a tensatildeo de saiacuteda da fonte

Como podemos tratar esses dados se nosso objetivo eacute medir a resistecircncia interna do amperiacutemetro

Qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

54

Para responder essas questotildees se dirija a um dos computadores da sala e use um aplicativo que possibilite a construccedilatildeo de graacuteficos SciDavis por exemplo Insira seus dados no aplicativo construa o graacutefico desejado e encontre a melhor reta que se ajusta aos dados

Qual foi a melhor reta ajustada Determine a equaccedilatildeo dessa reta ajustada

Qual eacute o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro que vocecirc investigou

TAREFA 2

Utilize as medidas de todos os grupos da turma e aplique os conhecimentos abordados na tarefa de leitura para responder as seguintes questotildees

Qual deve ser a resistecircncia interna de um amperiacutemetro escolhido aleatoriamente entre os utilizados nesta aula

Qual eacute a incerteza desse valor

TAREFA 3

Suponha que o manual do Minipa ET-2075B informe que as medidas de tensatildeo e corrente realizadas nas faixas de milivolt e miliampere tecircm incerteza de 3 Use esses dados para calcular a

Manual de Laboratoacuterio

55

incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1

Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma

Elas satildeo coerentes Por quecirc

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO

Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por

equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC

Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras

O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se

Manual de Laboratoacuterio

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extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo

No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador

Salvando vidas

ldquoafastem-se choquerdquo

Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de

sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos

O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo

Figura 4 - Desfibrilador

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)

Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma

sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o

miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia

Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2

2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387

Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)

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Circuito RC - seacuterie

Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C

Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que

∆S(c) + i(c)F = 0

Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo

i(c) = =C(c)=c

e a ddp no capacitor eacute dada por

∆S(c) = C(c)D

Dessa forma podemos dizer que

=C(c)=c = minus 1FD C(c)

Figura 6 - Circuito RC

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

60

Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa

funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja

derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever

C(c) = C7 ou

A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial

Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir

Capacitor Carregando Capacitor Descarregando

∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0

C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou

∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou

Manual de Laboratoacuterio

61

Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8

Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo

eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum

3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78

Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas

do capacitor durante o processo de

carga ou descarga

Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um

graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo

do tempo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

62

Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no

capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte

Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor

quando o mesmo estaacute sendo carregado

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Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie

1 - Osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos

2 ndash Aparato Experimental

Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto

Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)

Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio

Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees

Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala

Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)

Manual de Laboratoacuterio

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TAREFA 1

Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees

Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico

Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito

Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito

Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos

Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio

TAREFA 2

Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie

Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

66

figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)

Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados

Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo

NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo

Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste

Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito

Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito

Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles

Manual de Laboratoacuterio

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MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS

Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais

Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio

Para onde aponta a buacutessola

Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

68

polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc

E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial

tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos

que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a

soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio

4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja

httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4

Figura 10 - Buacutessola

Figura 11 - campo B resultante

Manual de Laboratoacuterio

69

Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por

umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O

Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde

Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde

Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma

iacuteatilde() = ∙

onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde

5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass

The Physics Teacher 49(1) 45-48

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

70

Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como

iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2

Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos

gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)

Logo

gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2

Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo

iacuteatilde() = amp

Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse

tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira

na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart

Manual de Laboratoacuterio

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pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do

que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute

yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp

onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico

da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos

yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp

Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Atividade de Laboratoacuterio III Projeto

OBJETIVO

Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio

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SUGESTAtildeO 1

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO

Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas

Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece

Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha

Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo

por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o

eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte

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SUGESTAtildeO 2

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA

Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)

Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica

Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de

uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)

Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema

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SUGESTAtildeO 3

BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO

Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola

Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)

Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina

O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados

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SUGESTAtildeO 4

CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO

O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer

Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio

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MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO

Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro

Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental

6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089

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110 V 127 V e 220 V O que eacute isso

As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V

Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas

A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

(c) = Jgt(c + acute)

onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por

∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)

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onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1

Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho

Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores

Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por

∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf

∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712

∆Suparamiddot = ∆S7radic2

Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a

tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s

A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente

alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$

Figura 13 - Funccedilotildees seno e

seno quadrado

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COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA

Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz

Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O

Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio

Natildeo queremos jogar energia fora

Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14

Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie

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Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por

0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)

onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)

Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

ℇ(c) = ℇ7gt(c)

onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente

Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na

figura 16 para um caso em que VL gt VC

Figura 15 - Diagrama de fasores

de um circuito RLC seacuterie com

fonte de tensatildeo alternada

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que

acute = c8 S minus SSu

Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado

por

i(c) = gt(c minus acute)

Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente

as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que

ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$

ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$

Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como

0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)

Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que

0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$

Figura 16 ndash Soma de fasores

Manual de Laboratoacuterio

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0eacutey = F ∙ uparamiddot$

onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square

Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que

F = frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte

Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade

7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL

Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e

resistecircncia num diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como

0 = AJradicAJ$ + AF$

O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP

DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11

Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia

Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por

acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita

Manual de Laboratoacuterio

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2 = 1D

Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica

Figura 18 - diagramas de fasores representando

um circuito capacitivo e um circuito indutivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie

O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio

TAREFA 1

Circuito Resistivo

Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR

Manual de Laboratoacuterio

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Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)

O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador

Circuito Capacitivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor

Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Manual de Laboratoacuterio

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Circuito Indutivo

Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor

O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Circuito RLC

Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise

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O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador

Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio

O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior

Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor

Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou

A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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TAREFA 2

Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente

Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir

Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima

Qual o valor da corrente maacutexima no circuito

Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)

O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique

Manual de Laboratoacuterio

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TAREFA 3

Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito

Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees

Como isso eacute possiacutevel Explique

Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff

Respostas

96

Respostas

A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32

A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH

A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH

B3 Ae = Af = AtildeAcircf

B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl

B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH

B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l

B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD

B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -

C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc

(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7

C2 O = ~13deg

C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)

Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-

vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr

Respostas

97

C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM

C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD

(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD

C6 A = Eacute$Acirc

C7 A = Atilde$AcircL

D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma

das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp

D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(

D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1

no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)

D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme

D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D

E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)

E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D

E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml

F1 544 times 10

F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S

F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM

u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM

u (e) 0 = ℇMu

F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω

Respostas

98

F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965

G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n

G5 i = Ograve$g = 245 J

G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y

G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez

G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H

G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)

G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)

G15 (a) zL$brvbarM (b)

z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero

G16 z$L + z$L = z$L - + 1

G17 (a) pLM

amp (b) pusup3

ampL

G18 zzMu

G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)

z

G20 zNu saindo da folha

G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)

UgraveLMamp

fora do fio (a) z$L (b)

UgravebrvbarM$L (c)

Ugravebrvbarsup3ampL

G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13

G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM

ampu

H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior

Respostas

99

H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a

H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J

I2 Φ = pound$ sup1amp

I4 C = AcircsM

I6 (a) zM

NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar

J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a

(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S

J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu

(c) = -radic

J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm

(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013

Respostas

100

Bibliografia

Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il

Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il

Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il

Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm

Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il

Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il

Page 28: Prof a. Raquel Giulian Prof. Leonardo Albuquerque ... · 3ª semana: Lei de Gauss (fluxo elétrico, campo elétrico ... Aula de problemas e PROVA II 10º e 11ª semanas: Campo Magnético

Manual de Laboratoacuterio

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incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1

Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma

Elas satildeo coerentes Por quecirc

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO

Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por

equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC

Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras

O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se

Manual de Laboratoacuterio

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extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo

No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador

Salvando vidas

ldquoafastem-se choquerdquo

Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de

sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos

O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo

Figura 4 - Desfibrilador

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)

Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma

sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o

miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia

Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2

2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387

Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)

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Circuito RC - seacuterie

Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C

Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que

∆S(c) + i(c)F = 0

Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo

i(c) = =C(c)=c

e a ddp no capacitor eacute dada por

∆S(c) = C(c)D

Dessa forma podemos dizer que

=C(c)=c = minus 1FD C(c)

Figura 6 - Circuito RC

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa

funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja

derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever

C(c) = C7 ou

A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial

Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir

Capacitor Carregando Capacitor Descarregando

∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0

C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou

∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou

Manual de Laboratoacuterio

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Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8

Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo

eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum

3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78

Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas

do capacitor durante o processo de

carga ou descarga

Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um

graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo

do tempo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no

capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte

Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor

quando o mesmo estaacute sendo carregado

Manual de Laboratoacuterio

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Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie

1 - Osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos

2 ndash Aparato Experimental

Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto

Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)

Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio

Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees

Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala

Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)

Manual de Laboratoacuterio

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TAREFA 1

Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees

Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico

Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito

Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito

Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos

Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio

TAREFA 2

Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie

Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

66

figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)

Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados

Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo

NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo

Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste

Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito

Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito

Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles

Manual de Laboratoacuterio

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MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS

Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais

Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio

Para onde aponta a buacutessola

Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

68

polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc

E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial

tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos

que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a

soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio

4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja

httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4

Figura 10 - Buacutessola

Figura 11 - campo B resultante

Manual de Laboratoacuterio

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Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por

umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O

Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde

Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde

Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma

iacuteatilde() = ∙

onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde

5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass

The Physics Teacher 49(1) 45-48

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

70

Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como

iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2

Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos

gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)

Logo

gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2

Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo

iacuteatilde() = amp

Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse

tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira

na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart

Manual de Laboratoacuterio

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pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do

que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute

yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp

onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico

da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos

yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp

Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Atividade de Laboratoacuterio III Projeto

OBJETIVO

Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio

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SUGESTAtildeO 1

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO

Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas

Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece

Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha

Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo

por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o

eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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SUGESTAtildeO 2

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA

Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)

Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica

Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de

uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)

Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema

Manual de Laboratoacuterio

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SUGESTAtildeO 3

BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO

Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola

Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)

Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina

O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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SUGESTAtildeO 4

CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO

O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer

Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio

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MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO

Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro

Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental

6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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110 V 127 V e 220 V O que eacute isso

As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V

Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas

A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

(c) = Jgt(c + acute)

onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por

∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)

Manual de Laboratoacuterio

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onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1

Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho

Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores

Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por

∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf

∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712

∆Suparamiddot = ∆S7radic2

Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a

tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s

A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente

alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$

Figura 13 - Funccedilotildees seno e

seno quadrado

Manual de Laboratoacuterio

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COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA

Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz

Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O

Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio

Natildeo queremos jogar energia fora

Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14

Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie

Manual de Laboratoacuterio

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Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por

0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)

onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)

Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

ℇ(c) = ℇ7gt(c)

onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente

Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na

figura 16 para um caso em que VL gt VC

Figura 15 - Diagrama de fasores

de um circuito RLC seacuterie com

fonte de tensatildeo alternada

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que

acute = c8 S minus SSu

Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado

por

i(c) = gt(c minus acute)

Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente

as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que

ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$

ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$

Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como

0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)

Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que

0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$

Figura 16 ndash Soma de fasores

Manual de Laboratoacuterio

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0eacutey = F ∙ uparamiddot$

onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square

Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que

F = frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte

Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade

7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL

Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e

resistecircncia num diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como

0 = AJradicAJ$ + AF$

O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP

DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11

Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia

Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por

acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita

Manual de Laboratoacuterio

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2 = 1D

Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica

Figura 18 - diagramas de fasores representando

um circuito capacitivo e um circuito indutivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie

O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio

TAREFA 1

Circuito Resistivo

Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR

Manual de Laboratoacuterio

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Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)

O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador

Circuito Capacitivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor

Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Manual de Laboratoacuterio

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Circuito Indutivo

Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor

O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

92

Circuito RLC

Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise

Manual de Laboratoacuterio

93

O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador

Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio

O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior

Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor

Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou

A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

94

TAREFA 2

Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente

Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir

Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima

Qual o valor da corrente maacutexima no circuito

Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)

O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique

Manual de Laboratoacuterio

95

TAREFA 3

Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito

Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees

Como isso eacute possiacutevel Explique

Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff

Respostas

96

Respostas

A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32

A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH

A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH

B3 Ae = Af = AtildeAcircf

B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl

B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH

B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l

B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD

B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -

C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc

(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7

C2 O = ~13deg

C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)

Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-

vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr

Respostas

97

C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM

C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD

(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD

C6 A = Eacute$Acirc

C7 A = Atilde$AcircL

D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma

das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp

D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(

D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1

no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)

D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme

D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D

E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)

E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D

E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml

F1 544 times 10

F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S

F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM

u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM

u (e) 0 = ℇMu

F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω

Respostas

98

F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965

G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n

G5 i = Ograve$g = 245 J

G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y

G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez

G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H

G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)

G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)

G15 (a) zL$brvbarM (b)

z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero

G16 z$L + z$L = z$L - + 1

G17 (a) pLM

amp (b) pusup3

ampL

G18 zzMu

G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)

z

G20 zNu saindo da folha

G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)

UgraveLMamp

fora do fio (a) z$L (b)

UgravebrvbarM$L (c)

Ugravebrvbarsup3ampL

G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13

G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM

ampu

H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior

Respostas

99

H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a

H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J

I2 Φ = pound$ sup1amp

I4 C = AcircsM

I6 (a) zM

NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar

J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a

(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S

J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu

(c) = -radic

J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm

(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013

Respostas

100

Bibliografia

Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il

Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il

Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il

Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm

Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il

Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il

Page 29: Prof a. Raquel Giulian Prof. Leonardo Albuquerque ... · 3ª semana: Lei de Gauss (fluxo elétrico, campo elétrico ... Aula de problemas e PROVA II 10º e 11ª semanas: Campo Magnético

Manual de Laboratoacuterio

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extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo

No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador

Salvando vidas

ldquoafastem-se choquerdquo

Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de

sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos

O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo

Figura 4 - Desfibrilador

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

58

esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)

Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma

sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o

miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia

Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2

2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387

Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)

Manual de Laboratoacuterio

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Circuito RC - seacuterie

Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C

Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que

∆S(c) + i(c)F = 0

Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo

i(c) = =C(c)=c

e a ddp no capacitor eacute dada por

∆S(c) = C(c)D

Dessa forma podemos dizer que

=C(c)=c = minus 1FD C(c)

Figura 6 - Circuito RC

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

60

Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa

funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja

derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever

C(c) = C7 ou

A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial

Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir

Capacitor Carregando Capacitor Descarregando

∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0

C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou

∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou

Manual de Laboratoacuterio

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Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8

Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo

eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum

3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78

Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas

do capacitor durante o processo de

carga ou descarga

Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um

graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo

do tempo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

62

Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no

capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte

Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor

quando o mesmo estaacute sendo carregado

Manual de Laboratoacuterio

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Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie

1 - Osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos

2 ndash Aparato Experimental

Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto

Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)

Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio

Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees

Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala

Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)

Manual de Laboratoacuterio

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TAREFA 1

Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees

Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico

Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito

Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito

Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos

Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio

TAREFA 2

Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie

Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)

Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados

Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo

NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo

Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste

Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito

Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito

Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles

Manual de Laboratoacuterio

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MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS

Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais

Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio

Para onde aponta a buacutessola

Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc

E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial

tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos

que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a

soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio

4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja

httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4

Figura 10 - Buacutessola

Figura 11 - campo B resultante

Manual de Laboratoacuterio

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Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por

umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O

Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde

Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde

Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma

iacuteatilde() = ∙

onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde

5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass

The Physics Teacher 49(1) 45-48

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como

iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2

Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos

gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)

Logo

gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2

Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo

iacuteatilde() = amp

Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse

tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira

na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart

Manual de Laboratoacuterio

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pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do

que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute

yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp

onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico

da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos

yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp

Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Atividade de Laboratoacuterio III Projeto

OBJETIVO

Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio

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SUGESTAtildeO 1

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO

Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas

Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece

Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha

Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo

por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o

eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte

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SUGESTAtildeO 2

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA

Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)

Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica

Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de

uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)

Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema

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SUGESTAtildeO 3

BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO

Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola

Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)

Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina

O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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SUGESTAtildeO 4

CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO

O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer

Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio

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MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO

Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro

Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental

6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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110 V 127 V e 220 V O que eacute isso

As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V

Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas

A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

(c) = Jgt(c + acute)

onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por

∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)

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onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1

Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho

Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores

Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por

∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf

∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712

∆Suparamiddot = ∆S7radic2

Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a

tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s

A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente

alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$

Figura 13 - Funccedilotildees seno e

seno quadrado

Manual de Laboratoacuterio

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COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA

Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz

Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O

Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio

Natildeo queremos jogar energia fora

Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14

Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie

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Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por

0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)

onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)

Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

ℇ(c) = ℇ7gt(c)

onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente

Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na

figura 16 para um caso em que VL gt VC

Figura 15 - Diagrama de fasores

de um circuito RLC seacuterie com

fonte de tensatildeo alternada

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que

acute = c8 S minus SSu

Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado

por

i(c) = gt(c minus acute)

Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente

as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que

ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$

ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$

Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como

0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)

Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que

0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$

Figura 16 ndash Soma de fasores

Manual de Laboratoacuterio

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0eacutey = F ∙ uparamiddot$

onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square

Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que

F = frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte

Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade

7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL

Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e

resistecircncia num diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como

0 = AJradicAJ$ + AF$

O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP

DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11

Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia

Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por

acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita

Manual de Laboratoacuterio

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2 = 1D

Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica

Figura 18 - diagramas de fasores representando

um circuito capacitivo e um circuito indutivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie

O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio

TAREFA 1

Circuito Resistivo

Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR

Manual de Laboratoacuterio

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Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)

O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador

Circuito Capacitivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor

Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Manual de Laboratoacuterio

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Circuito Indutivo

Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor

O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

92

Circuito RLC

Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise

Manual de Laboratoacuterio

93

O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador

Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio

O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior

Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor

Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou

A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

94

TAREFA 2

Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente

Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir

Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima

Qual o valor da corrente maacutexima no circuito

Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)

O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique

Manual de Laboratoacuterio

95

TAREFA 3

Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito

Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees

Como isso eacute possiacutevel Explique

Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff

Respostas

96

Respostas

A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32

A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH

A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH

B3 Ae = Af = AtildeAcircf

B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl

B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH

B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l

B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD

B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -

C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc

(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7

C2 O = ~13deg

C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)

Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-

vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr

Respostas

97

C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM

C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD

(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD

C6 A = Eacute$Acirc

C7 A = Atilde$AcircL

D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma

das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp

D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(

D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1

no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)

D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme

D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D

E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)

E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D

E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml

F1 544 times 10

F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S

F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM

u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM

u (e) 0 = ℇMu

F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω

Respostas

98

F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965

G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n

G5 i = Ograve$g = 245 J

G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y

G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez

G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H

G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)

G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)

G15 (a) zL$brvbarM (b)

z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero

G16 z$L + z$L = z$L - + 1

G17 (a) pLM

amp (b) pusup3

ampL

G18 zzMu

G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)

z

G20 zNu saindo da folha

G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)

UgraveLMamp

fora do fio (a) z$L (b)

UgravebrvbarM$L (c)

Ugravebrvbarsup3ampL

G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13

G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM

ampu

H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior

Respostas

99

H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a

H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J

I2 Φ = pound$ sup1amp

I4 C = AcircsM

I6 (a) zM

NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar

J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a

(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S

J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu

(c) = -radic

J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm

(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013

Respostas

100

Bibliografia

Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il

Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il

Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il

Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm

Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il

Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il

Page 30: Prof a. Raquel Giulian Prof. Leonardo Albuquerque ... · 3ª semana: Lei de Gauss (fluxo elétrico, campo elétrico ... Aula de problemas e PROVA II 10º e 11ª semanas: Campo Magnético

Manual de Laboratoacuterio

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Circuito RC - seacuterie

Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C

Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que

∆S(c) + i(c)F = 0

Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo

i(c) = =C(c)=c

e a ddp no capacitor eacute dada por

∆S(c) = C(c)D

Dessa forma podemos dizer que

=C(c)=c = minus 1FD C(c)

Figura 6 - Circuito RC

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

60

Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa

funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja

derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever

C(c) = C7 ou

A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial

Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir

Capacitor Carregando Capacitor Descarregando

∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0

C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou

∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou

Manual de Laboratoacuterio

61

Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8

Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo

eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum

3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78

Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas

do capacitor durante o processo de

carga ou descarga

Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um

graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo

do tempo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

62

Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no

capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte

Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor

quando o mesmo estaacute sendo carregado

Manual de Laboratoacuterio

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Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie

1 - Osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos

2 ndash Aparato Experimental

Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto

Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)

Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio

Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees

Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala

Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)

Manual de Laboratoacuterio

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TAREFA 1

Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees

Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico

Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito

Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito

Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos

Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio

TAREFA 2

Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie

Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

66

figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)

Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados

Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo

NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo

Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste

Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito

Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito

Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles

Manual de Laboratoacuterio

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MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS

Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais

Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio

Para onde aponta a buacutessola

Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc

E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial

tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos

que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a

soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio

4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja

httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4

Figura 10 - Buacutessola

Figura 11 - campo B resultante

Manual de Laboratoacuterio

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Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por

umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O

Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde

Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde

Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma

iacuteatilde() = ∙

onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde

5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass

The Physics Teacher 49(1) 45-48

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

70

Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como

iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2

Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos

gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)

Logo

gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2

Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo

iacuteatilde() = amp

Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse

tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira

na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart

Manual de Laboratoacuterio

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pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do

que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute

yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp

onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico

da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos

yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp

Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Atividade de Laboratoacuterio III Projeto

OBJETIVO

Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio

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SUGESTAtildeO 1

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO

Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas

Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece

Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha

Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo

por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o

eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte

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SUGESTAtildeO 2

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA

Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)

Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica

Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de

uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)

Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema

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SUGESTAtildeO 3

BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO

Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola

Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)

Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina

O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados

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SUGESTAtildeO 4

CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO

O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer

Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio

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MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO

Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro

Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental

6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089

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110 V 127 V e 220 V O que eacute isso

As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V

Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas

A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

(c) = Jgt(c + acute)

onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por

∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)

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onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1

Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho

Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores

Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por

∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf

∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712

∆Suparamiddot = ∆S7radic2

Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a

tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s

A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente

alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$

Figura 13 - Funccedilotildees seno e

seno quadrado

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COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA

Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz

Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O

Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio

Natildeo queremos jogar energia fora

Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14

Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie

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Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por

0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)

onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)

Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

ℇ(c) = ℇ7gt(c)

onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente

Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na

figura 16 para um caso em que VL gt VC

Figura 15 - Diagrama de fasores

de um circuito RLC seacuterie com

fonte de tensatildeo alternada

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que

acute = c8 S minus SSu

Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado

por

i(c) = gt(c minus acute)

Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente

as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que

ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$

ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$

Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como

0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)

Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que

0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$

Figura 16 ndash Soma de fasores

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0eacutey = F ∙ uparamiddot$

onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square

Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que

F = frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte

Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade

7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL

Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e

resistecircncia num diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como

0 = AJradicAJ$ + AF$

O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP

DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11

Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia

Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por

acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita

Manual de Laboratoacuterio

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2 = 1D

Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica

Figura 18 - diagramas de fasores representando

um circuito capacitivo e um circuito indutivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie

O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio

TAREFA 1

Circuito Resistivo

Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR

Manual de Laboratoacuterio

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Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)

O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador

Circuito Capacitivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor

Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

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Circuito Indutivo

Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor

O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Circuito RLC

Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise

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O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador

Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio

O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior

Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor

Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou

A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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TAREFA 2

Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente

Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir

Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima

Qual o valor da corrente maacutexima no circuito

Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)

O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique

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95

TAREFA 3

Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito

Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees

Como isso eacute possiacutevel Explique

Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff

Respostas

96

Respostas

A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32

A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH

A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH

B3 Ae = Af = AtildeAcircf

B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl

B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH

B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l

B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD

B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -

C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc

(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7

C2 O = ~13deg

C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)

Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-

vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr

Respostas

97

C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM

C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD

(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD

C6 A = Eacute$Acirc

C7 A = Atilde$AcircL

D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma

das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp

D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(

D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1

no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)

D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme

D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D

E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)

E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D

E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml

F1 544 times 10

F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S

F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM

u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM

u (e) 0 = ℇMu

F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω

Respostas

98

F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965

G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n

G5 i = Ograve$g = 245 J

G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y

G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez

G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H

G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)

G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)

G15 (a) zL$brvbarM (b)

z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero

G16 z$L + z$L = z$L - + 1

G17 (a) pLM

amp (b) pusup3

ampL

G18 zzMu

G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)

z

G20 zNu saindo da folha

G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)

UgraveLMamp

fora do fio (a) z$L (b)

UgravebrvbarM$L (c)

Ugravebrvbarsup3ampL

G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13

G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM

ampu

H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior

Respostas

99

H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a

H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J

I2 Φ = pound$ sup1amp

I4 C = AcircsM

I6 (a) zM

NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar

J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a

(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S

J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu

(c) = -radic

J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm

(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013

Respostas

100

Bibliografia

Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il

Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il

Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il

Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm

Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il

Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il

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Manual de Laboratoacuterio

61

Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8

Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo

eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum

3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78

Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas

do capacitor durante o processo de

carga ou descarga

Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um

graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo

do tempo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

62

Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no

capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte

Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor

quando o mesmo estaacute sendo carregado

Manual de Laboratoacuterio

63

Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie

1 - Osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos

2 ndash Aparato Experimental

Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

64

conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto

Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)

Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio

Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees

Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala

Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)

Manual de Laboratoacuterio

65

TAREFA 1

Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees

Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico

Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito

Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito

Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos

Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio

TAREFA 2

Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie

Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

66

figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)

Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados

Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo

NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo

Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste

Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito

Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito

Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles

Manual de Laboratoacuterio

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MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS

Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais

Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio

Para onde aponta a buacutessola

Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

68

polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc

E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial

tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos

que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a

soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio

4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja

httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4

Figura 10 - Buacutessola

Figura 11 - campo B resultante

Manual de Laboratoacuterio

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Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por

umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O

Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde

Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde

Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma

iacuteatilde() = ∙

onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde

5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass

The Physics Teacher 49(1) 45-48

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

70

Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como

iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2

Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos

gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)

Logo

gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2

Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo

iacuteatilde() = amp

Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse

tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira

na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart

Manual de Laboratoacuterio

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pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do

que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute

yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp

onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico

da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos

yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp

Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Atividade de Laboratoacuterio III Projeto

OBJETIVO

Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio

Manual de Laboratoacuterio

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SUGESTAtildeO 1

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO

Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas

Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece

Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha

Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo

por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o

eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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SUGESTAtildeO 2

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA

Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)

Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica

Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de

uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)

Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema

Manual de Laboratoacuterio

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SUGESTAtildeO 3

BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO

Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola

Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)

Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina

O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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SUGESTAtildeO 4

CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO

O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer

Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio

Manual de Laboratoacuterio

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MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO

Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro

Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental

6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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110 V 127 V e 220 V O que eacute isso

As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V

Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas

A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

(c) = Jgt(c + acute)

onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por

∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)

Manual de Laboratoacuterio

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onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1

Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho

Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores

Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por

∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf

∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712

∆Suparamiddot = ∆S7radic2

Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a

tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s

A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente

alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$

Figura 13 - Funccedilotildees seno e

seno quadrado

Manual de Laboratoacuterio

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COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA

Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz

Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O

Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio

Natildeo queremos jogar energia fora

Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14

Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie

Manual de Laboratoacuterio

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Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por

0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)

onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)

Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

ℇ(c) = ℇ7gt(c)

onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente

Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na

figura 16 para um caso em que VL gt VC

Figura 15 - Diagrama de fasores

de um circuito RLC seacuterie com

fonte de tensatildeo alternada

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que

acute = c8 S minus SSu

Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado

por

i(c) = gt(c minus acute)

Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente

as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que

ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$

ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$

Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como

0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)

Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que

0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$

Figura 16 ndash Soma de fasores

Manual de Laboratoacuterio

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0eacutey = F ∙ uparamiddot$

onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square

Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que

F = frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte

Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade

7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL

Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e

resistecircncia num diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como

0 = AJradicAJ$ + AF$

O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP

DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11

Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia

Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por

acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita

Manual de Laboratoacuterio

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2 = 1D

Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica

Figura 18 - diagramas de fasores representando

um circuito capacitivo e um circuito indutivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie

O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio

TAREFA 1

Circuito Resistivo

Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR

Manual de Laboratoacuterio

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Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)

O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador

Circuito Capacitivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor

Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

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Circuito Indutivo

Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor

O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Circuito RLC

Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise

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O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador

Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio

O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior

Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor

Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou

A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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TAREFA 2

Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente

Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir

Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima

Qual o valor da corrente maacutexima no circuito

Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)

O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique

Manual de Laboratoacuterio

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TAREFA 3

Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito

Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees

Como isso eacute possiacutevel Explique

Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff

Respostas

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Respostas

A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32

A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH

A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH

B3 Ae = Af = AtildeAcircf

B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl

B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH

B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l

B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD

B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -

C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc

(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7

C2 O = ~13deg

C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)

Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-

vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr

Respostas

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C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM

C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD

(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD

C6 A = Eacute$Acirc

C7 A = Atilde$AcircL

D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma

das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp

D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(

D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1

no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)

D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme

D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D

E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)

E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D

E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml

F1 544 times 10

F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S

F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM

u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM

u (e) 0 = ℇMu

F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω

Respostas

98

F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965

G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n

G5 i = Ograve$g = 245 J

G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y

G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez

G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H

G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)

G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)

G15 (a) zL$brvbarM (b)

z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero

G16 z$L + z$L = z$L - + 1

G17 (a) pLM

amp (b) pusup3

ampL

G18 zzMu

G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)

z

G20 zNu saindo da folha

G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)

UgraveLMamp

fora do fio (a) z$L (b)

UgravebrvbarM$L (c)

Ugravebrvbarsup3ampL

G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13

G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM

ampu

H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior

Respostas

99

H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a

H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J

I2 Φ = pound$ sup1amp

I4 C = AcircsM

I6 (a) zM

NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar

J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a

(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S

J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu

(c) = -radic

J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm

(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013

Respostas

100

Bibliografia

Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il

Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il

Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il

Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm

Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il

Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il

Page 32: Prof a. Raquel Giulian Prof. Leonardo Albuquerque ... · 3ª semana: Lei de Gauss (fluxo elétrico, campo elétrico ... Aula de problemas e PROVA II 10º e 11ª semanas: Campo Magnético

Manual de Laboratoacuterio

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Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie

1 - Osciloscoacutepio

O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos

2 ndash Aparato Experimental

Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto

Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)

Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio

Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees

Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala

Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)

Manual de Laboratoacuterio

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TAREFA 1

Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees

Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico

Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito

Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito

Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos

Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio

TAREFA 2

Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie

Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)

Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados

Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo

NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo

Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste

Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito

Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito

Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles

Manual de Laboratoacuterio

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MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS

Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais

Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio

Para onde aponta a buacutessola

Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc

E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial

tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos

que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a

soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio

4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja

httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4

Figura 10 - Buacutessola

Figura 11 - campo B resultante

Manual de Laboratoacuterio

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Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por

umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O

Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde

Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde

Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma

iacuteatilde() = ∙

onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde

5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass

The Physics Teacher 49(1) 45-48

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

70

Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como

iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2

Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos

gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)

Logo

gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2

Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo

iacuteatilde() = amp

Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse

tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira

na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart

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pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do

que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute

yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp

onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico

da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos

yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp

Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3

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Atividade de Laboratoacuterio III Projeto

OBJETIVO

Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio

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SUGESTAtildeO 1

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO

Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas

Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece

Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha

Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo

por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o

eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte

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SUGESTAtildeO 2

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA

Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)

Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica

Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de

uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)

Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema

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SUGESTAtildeO 3

BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO

Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola

Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)

Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina

O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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SUGESTAtildeO 4

CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO

O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer

Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio

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MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO

Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro

Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental

6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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110 V 127 V e 220 V O que eacute isso

As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V

Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas

A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

(c) = Jgt(c + acute)

onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por

∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)

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onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1

Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho

Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores

Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

80

caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por

∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf

∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712

∆Suparamiddot = ∆S7radic2

Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a

tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s

A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente

alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$

Figura 13 - Funccedilotildees seno e

seno quadrado

Manual de Laboratoacuterio

81

COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA

Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz

Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O

Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

82

que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio

Natildeo queremos jogar energia fora

Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14

Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie

Manual de Laboratoacuterio

83

Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por

0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)

onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)

Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

ℇ(c) = ℇ7gt(c)

onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente

Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na

figura 16 para um caso em que VL gt VC

Figura 15 - Diagrama de fasores

de um circuito RLC seacuterie com

fonte de tensatildeo alternada

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

84

A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que

acute = c8 S minus SSu

Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado

por

i(c) = gt(c minus acute)

Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente

as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que

ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$

ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$

Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como

0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)

Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que

0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$

Figura 16 ndash Soma de fasores

Manual de Laboratoacuterio

85

0eacutey = F ∙ uparamiddot$

onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square

Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que

F = frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte

Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade

7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL

Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e

resistecircncia num diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

86

do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como

0 = AJradicAJ$ + AF$

O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP

DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11

Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia

Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por

acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita

Manual de Laboratoacuterio

87

2 = 1D

Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica

Figura 18 - diagramas de fasores representando

um circuito capacitivo e um circuito indutivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie

O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio

TAREFA 1

Circuito Resistivo

Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR

Manual de Laboratoacuterio

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Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)

O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador

Circuito Capacitivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

90

Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor

Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Manual de Laboratoacuterio

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Circuito Indutivo

Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor

O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Circuito RLC

Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise

Manual de Laboratoacuterio

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O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador

Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio

O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior

Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor

Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou

A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

94

TAREFA 2

Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente

Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir

Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima

Qual o valor da corrente maacutexima no circuito

Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)

O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique

Manual de Laboratoacuterio

95

TAREFA 3

Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito

Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees

Como isso eacute possiacutevel Explique

Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff

Respostas

96

Respostas

A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32

A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH

A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH

B3 Ae = Af = AtildeAcircf

B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl

B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH

B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l

B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD

B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -

C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc

(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7

C2 O = ~13deg

C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)

Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-

vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr

Respostas

97

C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM

C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD

(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD

C6 A = Eacute$Acirc

C7 A = Atilde$AcircL

D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma

das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp

D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(

D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1

no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)

D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme

D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D

E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)

E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D

E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml

F1 544 times 10

F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S

F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM

u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM

u (e) 0 = ℇMu

F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω

Respostas

98

F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965

G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n

G5 i = Ograve$g = 245 J

G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y

G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez

G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H

G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)

G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)

G15 (a) zL$brvbarM (b)

z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero

G16 z$L + z$L = z$L - + 1

G17 (a) pLM

amp (b) pusup3

ampL

G18 zzMu

G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)

z

G20 zNu saindo da folha

G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)

UgraveLMamp

fora do fio (a) z$L (b)

UgravebrvbarM$L (c)

Ugravebrvbarsup3ampL

G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13

G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM

ampu

H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior

Respostas

99

H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a

H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J

I2 Φ = pound$ sup1amp

I4 C = AcircsM

I6 (a) zM

NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar

J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a

(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S

J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu

(c) = -radic

J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm

(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013

Respostas

100

Bibliografia

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Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il

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Manual de Laboratoacuterio

65

TAREFA 1

Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees

Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico

Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito

Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito

Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos

Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio

TAREFA 2

Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie

Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)

Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados

Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo

NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo

Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste

Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito

Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito

Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles

Manual de Laboratoacuterio

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MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS

Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais

Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio

Para onde aponta a buacutessola

Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc

E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial

tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos

que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a

soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio

4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja

httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4

Figura 10 - Buacutessola

Figura 11 - campo B resultante

Manual de Laboratoacuterio

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Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por

umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O

Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde

Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde

Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma

iacuteatilde() = ∙

onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde

5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass

The Physics Teacher 49(1) 45-48

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como

iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2

Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos

gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)

Logo

gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2

Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo

iacuteatilde() = amp

Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse

tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira

na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart

Manual de Laboratoacuterio

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pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do

que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute

yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp

onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico

da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos

yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp

Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3

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Atividade de Laboratoacuterio III Projeto

OBJETIVO

Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio

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SUGESTAtildeO 1

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO

Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas

Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece

Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha

Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo

por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o

eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte

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SUGESTAtildeO 2

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA

Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)

Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica

Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de

uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)

Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema

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SUGESTAtildeO 3

BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO

Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola

Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)

Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina

O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados

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SUGESTAtildeO 4

CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO

O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer

Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio

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MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO

Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro

Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental

6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089

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110 V 127 V e 220 V O que eacute isso

As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V

Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas

A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

(c) = Jgt(c + acute)

onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por

∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)

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onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1

Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho

Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores

Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por

∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf

∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712

∆Suparamiddot = ∆S7radic2

Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a

tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s

A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente

alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$

Figura 13 - Funccedilotildees seno e

seno quadrado

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COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA

Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz

Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O

Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio

Natildeo queremos jogar energia fora

Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14

Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie

Manual de Laboratoacuterio

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Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por

0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)

onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)

Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

ℇ(c) = ℇ7gt(c)

onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente

Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na

figura 16 para um caso em que VL gt VC

Figura 15 - Diagrama de fasores

de um circuito RLC seacuterie com

fonte de tensatildeo alternada

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que

acute = c8 S minus SSu

Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado

por

i(c) = gt(c minus acute)

Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente

as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que

ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$

ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$

Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como

0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)

Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que

0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$

Figura 16 ndash Soma de fasores

Manual de Laboratoacuterio

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0eacutey = F ∙ uparamiddot$

onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square

Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que

F = frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte

Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade

7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL

Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e

resistecircncia num diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como

0 = AJradicAJ$ + AF$

O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP

DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11

Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia

Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por

acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita

Manual de Laboratoacuterio

87

2 = 1D

Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica

Figura 18 - diagramas de fasores representando

um circuito capacitivo e um circuito indutivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

88

Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie

O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio

TAREFA 1

Circuito Resistivo

Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR

Manual de Laboratoacuterio

89

Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)

O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador

Circuito Capacitivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

90

Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor

Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Manual de Laboratoacuterio

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Circuito Indutivo

Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor

O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Circuito RLC

Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise

Manual de Laboratoacuterio

93

O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador

Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio

O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior

Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor

Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou

A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

94

TAREFA 2

Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente

Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir

Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima

Qual o valor da corrente maacutexima no circuito

Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)

O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique

Manual de Laboratoacuterio

95

TAREFA 3

Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito

Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees

Como isso eacute possiacutevel Explique

Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff

Respostas

96

Respostas

A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32

A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH

A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH

B3 Ae = Af = AtildeAcircf

B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl

B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH

B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l

B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD

B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -

C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc

(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7

C2 O = ~13deg

C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)

Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-

vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr

Respostas

97

C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM

C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD

(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD

C6 A = Eacute$Acirc

C7 A = Atilde$AcircL

D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma

das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp

D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(

D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1

no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)

D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme

D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D

E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)

E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D

E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml

F1 544 times 10

F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S

F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM

u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM

u (e) 0 = ℇMu

F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω

Respostas

98

F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965

G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n

G5 i = Ograve$g = 245 J

G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y

G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez

G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H

G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)

G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)

G15 (a) zL$brvbarM (b)

z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero

G16 z$L + z$L = z$L - + 1

G17 (a) pLM

amp (b) pusup3

ampL

G18 zzMu

G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)

z

G20 zNu saindo da folha

G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)

UgraveLMamp

fora do fio (a) z$L (b)

UgravebrvbarM$L (c)

Ugravebrvbarsup3ampL

G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13

G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM

ampu

H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior

Respostas

99

H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a

H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J

I2 Φ = pound$ sup1amp

I4 C = AcircsM

I6 (a) zM

NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar

J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a

(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S

J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu

(c) = -radic

J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm

(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013

Respostas

100

Bibliografia

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Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il

Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il

Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm

Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il

Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il

Page 34: Prof a. Raquel Giulian Prof. Leonardo Albuquerque ... · 3ª semana: Lei de Gauss (fluxo elétrico, campo elétrico ... Aula de problemas e PROVA II 10º e 11ª semanas: Campo Magnético

Manual de Laboratoacuterio

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MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS

Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais

Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio

Para onde aponta a buacutessola

Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

68

polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc

E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial

tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos

que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a

soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio

4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja

httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4

Figura 10 - Buacutessola

Figura 11 - campo B resultante

Manual de Laboratoacuterio

69

Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por

umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O

Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde

Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde

Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma

iacuteatilde() = ∙

onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde

5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass

The Physics Teacher 49(1) 45-48

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

70

Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como

iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2

Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos

gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)

Logo

gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2

Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo

iacuteatilde() = amp

Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse

tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira

na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart

Manual de Laboratoacuterio

71

pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do

que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute

yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp

onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico

da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos

yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp

Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Atividade de Laboratoacuterio III Projeto

OBJETIVO

Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio

Manual de Laboratoacuterio

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SUGESTAtildeO 1

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO

Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas

Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece

Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha

Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo

por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o

eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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SUGESTAtildeO 2

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA

Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)

Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica

Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de

uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)

Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema

Manual de Laboratoacuterio

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SUGESTAtildeO 3

BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO

Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola

Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)

Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina

O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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SUGESTAtildeO 4

CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO

O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer

Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio

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MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO

Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro

Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental

6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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110 V 127 V e 220 V O que eacute isso

As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V

Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas

A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

(c) = Jgt(c + acute)

onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por

∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)

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onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1

Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho

Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores

Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No

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caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por

∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf

∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712

∆Suparamiddot = ∆S7radic2

Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a

tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s

A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente

alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$

Figura 13 - Funccedilotildees seno e

seno quadrado

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COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA

Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz

Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O

Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio

Natildeo queremos jogar energia fora

Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14

Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie

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Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por

0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)

onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)

Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

ℇ(c) = ℇ7gt(c)

onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente

Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na

figura 16 para um caso em que VL gt VC

Figura 15 - Diagrama de fasores

de um circuito RLC seacuterie com

fonte de tensatildeo alternada

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que

acute = c8 S minus SSu

Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado

por

i(c) = gt(c minus acute)

Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente

as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que

ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$

ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$

Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como

0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)

Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que

0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$

Figura 16 ndash Soma de fasores

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0eacutey = F ∙ uparamiddot$

onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square

Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que

F = frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte

Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade

7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL

Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e

resistecircncia num diagrama de fasores

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do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como

0 = AJradicAJ$ + AF$

O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP

DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11

Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia

Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por

acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita

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2 = 1D

Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica

Figura 18 - diagramas de fasores representando

um circuito capacitivo e um circuito indutivo

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Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie

O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio

TAREFA 1

Circuito Resistivo

Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR

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Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)

O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador

Circuito Capacitivo

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Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor

Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

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Circuito Indutivo

Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor

O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

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Circuito RLC

Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise

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O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador

Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio

O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior

Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor

Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou

A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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TAREFA 2

Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente

Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir

Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima

Qual o valor da corrente maacutexima no circuito

Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)

O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique

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TAREFA 3

Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito

Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees

Como isso eacute possiacutevel Explique

Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff

Respostas

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Respostas

A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32

A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH

A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH

B3 Ae = Af = AtildeAcircf

B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl

B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH

B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l

B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD

B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -

C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc

(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7

C2 O = ~13deg

C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)

Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-

vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr

Respostas

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C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM

C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD

(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD

C6 A = Eacute$Acirc

C7 A = Atilde$AcircL

D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma

das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp

D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(

D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1

no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)

D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme

D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D

E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)

E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D

E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml

F1 544 times 10

F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S

F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM

u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM

u (e) 0 = ℇMu

F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω

Respostas

98

F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965

G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n

G5 i = Ograve$g = 245 J

G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y

G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez

G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H

G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)

G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)

G15 (a) zL$brvbarM (b)

z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero

G16 z$L + z$L = z$L - + 1

G17 (a) pLM

amp (b) pusup3

ampL

G18 zzMu

G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)

z

G20 zNu saindo da folha

G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)

UgraveLMamp

fora do fio (a) z$L (b)

UgravebrvbarM$L (c)

Ugravebrvbarsup3ampL

G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13

G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM

ampu

H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior

Respostas

99

H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a

H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J

I2 Φ = pound$ sup1amp

I4 C = AcircsM

I6 (a) zM

NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar

J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a

(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S

J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu

(c) = -radic

J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm

(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013

Respostas

100

Bibliografia

Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il

Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il

Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il

Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm

Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il

Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il

Page 35: Prof a. Raquel Giulian Prof. Leonardo Albuquerque ... · 3ª semana: Lei de Gauss (fluxo elétrico, campo elétrico ... Aula de problemas e PROVA II 10º e 11ª semanas: Campo Magnético

Manual de Laboratoacuterio

69

Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por

umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O

Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde

Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde

Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma

iacuteatilde() = ∙

onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde

5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass

The Physics Teacher 49(1) 45-48

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

70

Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como

iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2

Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos

gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)

Logo

gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2

Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo

iacuteatilde() = amp

Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse

tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira

na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart

Manual de Laboratoacuterio

71

pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do

que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute

yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp

onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico

da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos

yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp

Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Atividade de Laboratoacuterio III Projeto

OBJETIVO

Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio

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SUGESTAtildeO 1

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO

Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas

Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece

Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha

Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo

por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o

eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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SUGESTAtildeO 2

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA

Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)

Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica

Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de

uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)

Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema

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SUGESTAtildeO 3

BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO

Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola

Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)

Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina

O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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SUGESTAtildeO 4

CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO

O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer

Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio

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MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO

Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro

Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental

6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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110 V 127 V e 220 V O que eacute isso

As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V

Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas

A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

(c) = Jgt(c + acute)

onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por

∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)

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onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1

Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho

Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores

Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por

∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf

∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712

∆Suparamiddot = ∆S7radic2

Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a

tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s

A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente

alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$

Figura 13 - Funccedilotildees seno e

seno quadrado

Manual de Laboratoacuterio

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COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA

Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz

Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O

Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

82

que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio

Natildeo queremos jogar energia fora

Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14

Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie

Manual de Laboratoacuterio

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Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por

0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)

onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)

Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

ℇ(c) = ℇ7gt(c)

onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente

Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na

figura 16 para um caso em que VL gt VC

Figura 15 - Diagrama de fasores

de um circuito RLC seacuterie com

fonte de tensatildeo alternada

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

84

A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que

acute = c8 S minus SSu

Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado

por

i(c) = gt(c minus acute)

Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente

as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que

ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$

ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$

Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como

0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)

Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que

0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$

Figura 16 ndash Soma de fasores

Manual de Laboratoacuterio

85

0eacutey = F ∙ uparamiddot$

onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square

Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que

F = frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte

Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade

7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL

Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e

resistecircncia num diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

86

do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como

0 = AJradicAJ$ + AF$

O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP

DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11

Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia

Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por

acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita

Manual de Laboratoacuterio

87

2 = 1D

Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica

Figura 18 - diagramas de fasores representando

um circuito capacitivo e um circuito indutivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

88

Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie

O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio

TAREFA 1

Circuito Resistivo

Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR

Manual de Laboratoacuterio

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Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)

O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador

Circuito Capacitivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

90

Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor

Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Manual de Laboratoacuterio

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Circuito Indutivo

Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor

O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

92

Circuito RLC

Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise

Manual de Laboratoacuterio

93

O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador

Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio

O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior

Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor

Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou

A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

94

TAREFA 2

Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente

Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir

Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima

Qual o valor da corrente maacutexima no circuito

Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)

O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique

Manual de Laboratoacuterio

95

TAREFA 3

Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito

Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees

Como isso eacute possiacutevel Explique

Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff

Respostas

96

Respostas

A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32

A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH

A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH

B3 Ae = Af = AtildeAcircf

B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl

B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH

B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l

B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD

B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -

C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc

(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7

C2 O = ~13deg

C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)

Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-

vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr

Respostas

97

C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM

C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD

(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD

C6 A = Eacute$Acirc

C7 A = Atilde$AcircL

D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma

das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp

D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(

D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1

no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)

D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme

D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D

E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)

E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D

E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml

F1 544 times 10

F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S

F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM

u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM

u (e) 0 = ℇMu

F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω

Respostas

98

F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965

G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n

G5 i = Ograve$g = 245 J

G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y

G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez

G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H

G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)

G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)

G15 (a) zL$brvbarM (b)

z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero

G16 z$L + z$L = z$L - + 1

G17 (a) pLM

amp (b) pusup3

ampL

G18 zzMu

G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)

z

G20 zNu saindo da folha

G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)

UgraveLMamp

fora do fio (a) z$L (b)

UgravebrvbarM$L (c)

Ugravebrvbarsup3ampL

G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13

G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM

ampu

H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior

Respostas

99

H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a

H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J

I2 Φ = pound$ sup1amp

I4 C = AcircsM

I6 (a) zM

NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar

J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a

(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S

J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu

(c) = -radic

J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm

(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013

Respostas

100

Bibliografia

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Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il

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Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm

Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il

Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il

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Manual de Laboratoacuterio

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pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do

que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute

yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp

onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico

da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos

yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp

Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

72

Atividade de Laboratoacuterio III Projeto

OBJETIVO

Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio

Manual de Laboratoacuterio

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SUGESTAtildeO 1

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO

Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas

Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece

Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha

Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo

por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o

eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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SUGESTAtildeO 2

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA

Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)

Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica

Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de

uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)

Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema

Manual de Laboratoacuterio

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SUGESTAtildeO 3

BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO

Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola

Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)

Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina

O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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SUGESTAtildeO 4

CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO

O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer

Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio

Manual de Laboratoacuterio

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MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO

Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro

Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental

6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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110 V 127 V e 220 V O que eacute isso

As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V

Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas

A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

(c) = Jgt(c + acute)

onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por

∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)

Manual de Laboratoacuterio

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onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1

Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho

Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores

Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por

∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf

∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712

∆Suparamiddot = ∆S7radic2

Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a

tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s

A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente

alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$

Figura 13 - Funccedilotildees seno e

seno quadrado

Manual de Laboratoacuterio

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COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA

Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz

Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O

Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio

Natildeo queremos jogar energia fora

Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14

Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie

Manual de Laboratoacuterio

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Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por

0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)

onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)

Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

ℇ(c) = ℇ7gt(c)

onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente

Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na

figura 16 para um caso em que VL gt VC

Figura 15 - Diagrama de fasores

de um circuito RLC seacuterie com

fonte de tensatildeo alternada

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que

acute = c8 S minus SSu

Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado

por

i(c) = gt(c minus acute)

Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente

as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que

ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$

ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$

Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como

0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)

Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que

0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$

Figura 16 ndash Soma de fasores

Manual de Laboratoacuterio

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0eacutey = F ∙ uparamiddot$

onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square

Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que

F = frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte

Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade

7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL

Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e

resistecircncia num diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como

0 = AJradicAJ$ + AF$

O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP

DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11

Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia

Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por

acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita

Manual de Laboratoacuterio

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2 = 1D

Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica

Figura 18 - diagramas de fasores representando

um circuito capacitivo e um circuito indutivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie

O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio

TAREFA 1

Circuito Resistivo

Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR

Manual de Laboratoacuterio

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Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)

O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador

Circuito Capacitivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor

Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Manual de Laboratoacuterio

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Circuito Indutivo

Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor

O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

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Circuito RLC

Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise

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O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador

Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio

O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior

Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor

Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou

A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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TAREFA 2

Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente

Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir

Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima

Qual o valor da corrente maacutexima no circuito

Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)

O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique

Manual de Laboratoacuterio

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TAREFA 3

Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito

Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees

Como isso eacute possiacutevel Explique

Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff

Respostas

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Respostas

A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32

A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH

A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH

B3 Ae = Af = AtildeAcircf

B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl

B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH

B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l

B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD

B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -

C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc

(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7

C2 O = ~13deg

C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)

Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-

vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr

Respostas

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C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM

C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD

(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD

C6 A = Eacute$Acirc

C7 A = Atilde$AcircL

D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma

das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp

D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(

D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1

no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)

D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme

D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D

E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)

E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D

E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml

F1 544 times 10

F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S

F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM

u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM

u (e) 0 = ℇMu

F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω

Respostas

98

F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965

G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n

G5 i = Ograve$g = 245 J

G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y

G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez

G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H

G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)

G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)

G15 (a) zL$brvbarM (b)

z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero

G16 z$L + z$L = z$L - + 1

G17 (a) pLM

amp (b) pusup3

ampL

G18 zzMu

G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)

z

G20 zNu saindo da folha

G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)

UgraveLMamp

fora do fio (a) z$L (b)

UgravebrvbarM$L (c)

Ugravebrvbarsup3ampL

G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13

G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM

ampu

H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior

Respostas

99

H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a

H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J

I2 Φ = pound$ sup1amp

I4 C = AcircsM

I6 (a) zM

NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar

J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a

(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S

J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu

(c) = -radic

J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm

(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013

Respostas

100

Bibliografia

Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il

Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il

Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il

Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm

Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il

Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il

Page 37: Prof a. Raquel Giulian Prof. Leonardo Albuquerque ... · 3ª semana: Lei de Gauss (fluxo elétrico, campo elétrico ... Aula de problemas e PROVA II 10º e 11ª semanas: Campo Magnético

Manual de Laboratoacuterio

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SUGESTAtildeO 1

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO

Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas

Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece

Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha

Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo

por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o

eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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SUGESTAtildeO 2

CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA

Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)

Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica

Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de

uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)

Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema

Manual de Laboratoacuterio

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SUGESTAtildeO 3

BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO

Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola

Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)

Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina

O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados

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SUGESTAtildeO 4

CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO

O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer

Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio

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MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO

Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro

Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental

6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089

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110 V 127 V e 220 V O que eacute isso

As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V

Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas

A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

(c) = Jgt(c + acute)

onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por

∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)

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onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1

Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho

Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores

Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por

∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf

∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712

∆Suparamiddot = ∆S7radic2

Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a

tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s

A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente

alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$

Figura 13 - Funccedilotildees seno e

seno quadrado

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COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA

Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz

Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O

Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio

Natildeo queremos jogar energia fora

Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14

Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie

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Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por

0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)

onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)

Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

ℇ(c) = ℇ7gt(c)

onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente

Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na

figura 16 para um caso em que VL gt VC

Figura 15 - Diagrama de fasores

de um circuito RLC seacuterie com

fonte de tensatildeo alternada

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que

acute = c8 S minus SSu

Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado

por

i(c) = gt(c minus acute)

Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente

as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que

ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$

ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$

Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como

0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)

Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que

0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$

Figura 16 ndash Soma de fasores

Manual de Laboratoacuterio

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0eacutey = F ∙ uparamiddot$

onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square

Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que

F = frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte

Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade

7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL

Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e

resistecircncia num diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como

0 = AJradicAJ$ + AF$

O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP

DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11

Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia

Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por

acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita

Manual de Laboratoacuterio

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2 = 1D

Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica

Figura 18 - diagramas de fasores representando

um circuito capacitivo e um circuito indutivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie

O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio

TAREFA 1

Circuito Resistivo

Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR

Manual de Laboratoacuterio

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Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)

O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador

Circuito Capacitivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor

Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Manual de Laboratoacuterio

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Circuito Indutivo

Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor

O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Circuito RLC

Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise

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O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador

Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio

O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior

Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor

Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou

A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

94

TAREFA 2

Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente

Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir

Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima

Qual o valor da corrente maacutexima no circuito

Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)

O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique

Manual de Laboratoacuterio

95

TAREFA 3

Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito

Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees

Como isso eacute possiacutevel Explique

Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff

Respostas

96

Respostas

A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32

A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH

A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH

B3 Ae = Af = AtildeAcircf

B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl

B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH

B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l

B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD

B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -

C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc

(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7

C2 O = ~13deg

C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)

Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-

vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr

Respostas

97

C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM

C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD

(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD

C6 A = Eacute$Acirc

C7 A = Atilde$AcircL

D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma

das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp

D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(

D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1

no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)

D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme

D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D

E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)

E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D

E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml

F1 544 times 10

F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S

F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM

u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM

u (e) 0 = ℇMu

F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω

Respostas

98

F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965

G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n

G5 i = Ograve$g = 245 J

G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y

G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez

G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H

G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)

G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)

G15 (a) zL$brvbarM (b)

z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero

G16 z$L + z$L = z$L - + 1

G17 (a) pLM

amp (b) pusup3

ampL

G18 zzMu

G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)

z

G20 zNu saindo da folha

G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)

UgraveLMamp

fora do fio (a) z$L (b)

UgravebrvbarM$L (c)

Ugravebrvbarsup3ampL

G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13

G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM

ampu

H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior

Respostas

99

H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a

H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J

I2 Φ = pound$ sup1amp

I4 C = AcircsM

I6 (a) zM

NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar

J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a

(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S

J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu

(c) = -radic

J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm

(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013

Respostas

100

Bibliografia

Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il

Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il

Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il

Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm

Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il

Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il

Page 38: Prof a. Raquel Giulian Prof. Leonardo Albuquerque ... · 3ª semana: Lei de Gauss (fluxo elétrico, campo elétrico ... Aula de problemas e PROVA II 10º e 11ª semanas: Campo Magnético

Manual de Laboratoacuterio

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SUGESTAtildeO 3

BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO

Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola

Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)

Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina

O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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SUGESTAtildeO 4

CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO

O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer

Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio

Manual de Laboratoacuterio

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MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO

Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro

Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental

6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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110 V 127 V e 220 V O que eacute isso

As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V

Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas

A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

(c) = Jgt(c + acute)

onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por

∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)

Manual de Laboratoacuterio

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onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1

Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho

Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores

Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por

∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf

∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712

∆Suparamiddot = ∆S7radic2

Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a

tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s

A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente

alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$

Figura 13 - Funccedilotildees seno e

seno quadrado

Manual de Laboratoacuterio

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COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA

Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz

Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O

Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio

Natildeo queremos jogar energia fora

Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14

Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie

Manual de Laboratoacuterio

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Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por

0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)

onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)

Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

ℇ(c) = ℇ7gt(c)

onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente

Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na

figura 16 para um caso em que VL gt VC

Figura 15 - Diagrama de fasores

de um circuito RLC seacuterie com

fonte de tensatildeo alternada

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que

acute = c8 S minus SSu

Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado

por

i(c) = gt(c minus acute)

Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente

as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que

ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$

ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$

Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como

0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)

Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que

0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$

Figura 16 ndash Soma de fasores

Manual de Laboratoacuterio

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0eacutey = F ∙ uparamiddot$

onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square

Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que

F = frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte

Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade

7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL

Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e

resistecircncia num diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

86

do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como

0 = AJradicAJ$ + AF$

O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP

DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11

Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia

Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por

acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita

Manual de Laboratoacuterio

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2 = 1D

Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica

Figura 18 - diagramas de fasores representando

um circuito capacitivo e um circuito indutivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie

O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio

TAREFA 1

Circuito Resistivo

Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR

Manual de Laboratoacuterio

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Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)

O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador

Circuito Capacitivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor

Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Manual de Laboratoacuterio

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Circuito Indutivo

Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor

O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Circuito RLC

Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise

Manual de Laboratoacuterio

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O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador

Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio

O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior

Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor

Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou

A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

94

TAREFA 2

Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente

Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir

Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima

Qual o valor da corrente maacutexima no circuito

Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)

O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique

Manual de Laboratoacuterio

95

TAREFA 3

Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito

Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees

Como isso eacute possiacutevel Explique

Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff

Respostas

96

Respostas

A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32

A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH

A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH

B3 Ae = Af = AtildeAcircf

B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl

B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH

B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l

B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD

B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -

C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc

(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7

C2 O = ~13deg

C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)

Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-

vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr

Respostas

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C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM

C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD

(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD

C6 A = Eacute$Acirc

C7 A = Atilde$AcircL

D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma

das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp

D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(

D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1

no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)

D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme

D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D

E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)

E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D

E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml

F1 544 times 10

F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S

F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM

u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM

u (e) 0 = ℇMu

F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω

Respostas

98

F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965

G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n

G5 i = Ograve$g = 245 J

G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y

G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez

G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H

G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)

G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)

G15 (a) zL$brvbarM (b)

z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero

G16 z$L + z$L = z$L - + 1

G17 (a) pLM

amp (b) pusup3

ampL

G18 zzMu

G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)

z

G20 zNu saindo da folha

G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)

UgraveLMamp

fora do fio (a) z$L (b)

UgravebrvbarM$L (c)

Ugravebrvbarsup3ampL

G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13

G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM

ampu

H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior

Respostas

99

H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a

H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J

I2 Φ = pound$ sup1amp

I4 C = AcircsM

I6 (a) zM

NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar

J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a

(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S

J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu

(c) = -radic

J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm

(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013

Respostas

100

Bibliografia

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Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm

Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il

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Page 39: Prof a. Raquel Giulian Prof. Leonardo Albuquerque ... · 3ª semana: Lei de Gauss (fluxo elétrico, campo elétrico ... Aula de problemas e PROVA II 10º e 11ª semanas: Campo Magnético

Manual de Laboratoacuterio

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MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO

Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro

Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental

6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

78

110 V 127 V e 220 V O que eacute isso

As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V

Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas

A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

(c) = Jgt(c + acute)

onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por

∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)

Manual de Laboratoacuterio

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onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1

Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho

Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores

Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por

∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf

∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712

∆Suparamiddot = ∆S7radic2

Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a

tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s

A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente

alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$

Figura 13 - Funccedilotildees seno e

seno quadrado

Manual de Laboratoacuterio

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COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA

Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz

Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O

Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

82

que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio

Natildeo queremos jogar energia fora

Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14

Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie

Manual de Laboratoacuterio

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Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por

0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)

onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)

Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

ℇ(c) = ℇ7gt(c)

onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente

Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na

figura 16 para um caso em que VL gt VC

Figura 15 - Diagrama de fasores

de um circuito RLC seacuterie com

fonte de tensatildeo alternada

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

84

A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que

acute = c8 S minus SSu

Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado

por

i(c) = gt(c minus acute)

Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente

as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que

ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$

ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$

Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como

0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)

Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que

0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$

Figura 16 ndash Soma de fasores

Manual de Laboratoacuterio

85

0eacutey = F ∙ uparamiddot$

onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square

Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que

F = frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte

Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade

7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL

Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e

resistecircncia num diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

86

do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como

0 = AJradicAJ$ + AF$

O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP

DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11

Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia

Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por

acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita

Manual de Laboratoacuterio

87

2 = 1D

Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica

Figura 18 - diagramas de fasores representando

um circuito capacitivo e um circuito indutivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

88

Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie

O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio

TAREFA 1

Circuito Resistivo

Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR

Manual de Laboratoacuterio

89

Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)

O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador

Circuito Capacitivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

90

Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor

Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Manual de Laboratoacuterio

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Circuito Indutivo

Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor

O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

92

Circuito RLC

Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise

Manual de Laboratoacuterio

93

O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador

Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio

O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior

Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor

Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou

A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

94

TAREFA 2

Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente

Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir

Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima

Qual o valor da corrente maacutexima no circuito

Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)

O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique

Manual de Laboratoacuterio

95

TAREFA 3

Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito

Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees

Como isso eacute possiacutevel Explique

Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff

Respostas

96

Respostas

A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32

A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH

A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH

B3 Ae = Af = AtildeAcircf

B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl

B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH

B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l

B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD

B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -

C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc

(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7

C2 O = ~13deg

C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)

Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-

vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr

Respostas

97

C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM

C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD

(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD

C6 A = Eacute$Acirc

C7 A = Atilde$AcircL

D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma

das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp

D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(

D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1

no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)

D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme

D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D

E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)

E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D

E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml

F1 544 times 10

F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S

F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM

u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM

u (e) 0 = ℇMu

F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω

Respostas

98

F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965

G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n

G5 i = Ograve$g = 245 J

G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y

G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez

G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H

G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)

G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)

G15 (a) zL$brvbarM (b)

z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero

G16 z$L + z$L = z$L - + 1

G17 (a) pLM

amp (b) pusup3

ampL

G18 zzMu

G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)

z

G20 zNu saindo da folha

G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)

UgraveLMamp

fora do fio (a) z$L (b)

UgravebrvbarM$L (c)

Ugravebrvbarsup3ampL

G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13

G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM

ampu

H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior

Respostas

99

H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a

H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J

I2 Φ = pound$ sup1amp

I4 C = AcircsM

I6 (a) zM

NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar

J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a

(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S

J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu

(c) = -radic

J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm

(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013

Respostas

100

Bibliografia

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Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il

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Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm

Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il

Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il

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Manual de Laboratoacuterio

79

onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1

Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho

Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores

Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

80

caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por

∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf

∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712

∆Suparamiddot = ∆S7radic2

Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a

tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s

A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente

alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$

Figura 13 - Funccedilotildees seno e

seno quadrado

Manual de Laboratoacuterio

81

COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA

Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz

Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O

Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

82

que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio

Natildeo queremos jogar energia fora

Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14

Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie

Manual de Laboratoacuterio

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Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por

0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)

onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)

Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

ℇ(c) = ℇ7gt(c)

onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente

Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na

figura 16 para um caso em que VL gt VC

Figura 15 - Diagrama de fasores

de um circuito RLC seacuterie com

fonte de tensatildeo alternada

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

84

A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que

acute = c8 S minus SSu

Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado

por

i(c) = gt(c minus acute)

Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente

as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que

ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$

ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$

Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como

0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)

Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que

0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$

Figura 16 ndash Soma de fasores

Manual de Laboratoacuterio

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0eacutey = F ∙ uparamiddot$

onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square

Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que

F = frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte

Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade

7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL

Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e

resistecircncia num diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

86

do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como

0 = AJradicAJ$ + AF$

O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP

DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11

Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia

Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por

acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita

Manual de Laboratoacuterio

87

2 = 1D

Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica

Figura 18 - diagramas de fasores representando

um circuito capacitivo e um circuito indutivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

88

Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie

O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio

TAREFA 1

Circuito Resistivo

Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR

Manual de Laboratoacuterio

89

Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)

O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador

Circuito Capacitivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

90

Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor

Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Manual de Laboratoacuterio

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Circuito Indutivo

Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor

O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Circuito RLC

Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise

Manual de Laboratoacuterio

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O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador

Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio

O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior

Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor

Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou

A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

94

TAREFA 2

Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente

Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir

Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima

Qual o valor da corrente maacutexima no circuito

Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)

O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique

Manual de Laboratoacuterio

95

TAREFA 3

Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito

Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees

Como isso eacute possiacutevel Explique

Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff

Respostas

96

Respostas

A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32

A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH

A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH

B3 Ae = Af = AtildeAcircf

B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl

B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH

B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l

B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD

B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -

C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc

(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7

C2 O = ~13deg

C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)

Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-

vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr

Respostas

97

C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM

C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD

(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD

C6 A = Eacute$Acirc

C7 A = Atilde$AcircL

D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma

das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp

D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(

D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1

no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)

D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme

D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D

E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)

E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D

E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml

F1 544 times 10

F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S

F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM

u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM

u (e) 0 = ℇMu

F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω

Respostas

98

F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965

G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n

G5 i = Ograve$g = 245 J

G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y

G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez

G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H

G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)

G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)

G15 (a) zL$brvbarM (b)

z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero

G16 z$L + z$L = z$L - + 1

G17 (a) pLM

amp (b) pusup3

ampL

G18 zzMu

G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)

z

G20 zNu saindo da folha

G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)

UgraveLMamp

fora do fio (a) z$L (b)

UgravebrvbarM$L (c)

Ugravebrvbarsup3ampL

G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13

G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM

ampu

H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior

Respostas

99

H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a

H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J

I2 Φ = pound$ sup1amp

I4 C = AcircsM

I6 (a) zM

NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar

J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a

(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S

J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu

(c) = -radic

J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm

(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013

Respostas

100

Bibliografia

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Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il

Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il

Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm

Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il

Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il

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Manual de Laboratoacuterio

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COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA

Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz

Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O

Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

82

que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio

Natildeo queremos jogar energia fora

Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14

Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie

Manual de Laboratoacuterio

83

Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por

0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)

onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)

Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

ℇ(c) = ℇ7gt(c)

onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente

Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na

figura 16 para um caso em que VL gt VC

Figura 15 - Diagrama de fasores

de um circuito RLC seacuterie com

fonte de tensatildeo alternada

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

84

A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que

acute = c8 S minus SSu

Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado

por

i(c) = gt(c minus acute)

Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente

as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que

ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$

ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$

Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como

0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)

Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que

0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$

Figura 16 ndash Soma de fasores

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85

0eacutey = F ∙ uparamiddot$

onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square

Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que

F = frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte

Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade

7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL

Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e

resistecircncia num diagrama de fasores

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do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como

0 = AJradicAJ$ + AF$

O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP

DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11

Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia

Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por

acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita

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2 = 1D

Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica

Figura 18 - diagramas de fasores representando

um circuito capacitivo e um circuito indutivo

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Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie

O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio

TAREFA 1

Circuito Resistivo

Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR

Manual de Laboratoacuterio

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Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)

O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador

Circuito Capacitivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor

Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

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Circuito Indutivo

Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor

O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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Circuito RLC

Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise

Manual de Laboratoacuterio

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O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador

Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio

O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior

Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor

Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou

A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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TAREFA 2

Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente

Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir

Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima

Qual o valor da corrente maacutexima no circuito

Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)

O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique

Manual de Laboratoacuterio

95

TAREFA 3

Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito

Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees

Como isso eacute possiacutevel Explique

Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff

Respostas

96

Respostas

A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32

A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH

A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH

B3 Ae = Af = AtildeAcircf

B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl

B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH

B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l

B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD

B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -

C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc

(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7

C2 O = ~13deg

C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)

Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-

vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr

Respostas

97

C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM

C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD

(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD

C6 A = Eacute$Acirc

C7 A = Atilde$AcircL

D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma

das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp

D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(

D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1

no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)

D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme

D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D

E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)

E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D

E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml

F1 544 times 10

F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S

F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM

u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM

u (e) 0 = ℇMu

F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω

Respostas

98

F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965

G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n

G5 i = Ograve$g = 245 J

G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y

G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez

G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H

G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)

G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)

G15 (a) zL$brvbarM (b)

z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero

G16 z$L + z$L = z$L - + 1

G17 (a) pLM

amp (b) pusup3

ampL

G18 zzMu

G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)

z

G20 zNu saindo da folha

G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)

UgraveLMamp

fora do fio (a) z$L (b)

UgravebrvbarM$L (c)

Ugravebrvbarsup3ampL

G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13

G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM

ampu

H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior

Respostas

99

H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a

H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J

I2 Φ = pound$ sup1amp

I4 C = AcircsM

I6 (a) zM

NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar

J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a

(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S

J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu

(c) = -radic

J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm

(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013

Respostas

100

Bibliografia

Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il

Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il

Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il

Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm

Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il

Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il

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Manual de Laboratoacuterio

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Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por

0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)

onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)

Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo

ℇ(c) = ℇ7gt(c)

onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente

Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na

figura 16 para um caso em que VL gt VC

Figura 15 - Diagrama de fasores

de um circuito RLC seacuterie com

fonte de tensatildeo alternada

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

84

A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que

acute = c8 S minus SSu

Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado

por

i(c) = gt(c minus acute)

Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente

as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que

ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$

ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$

Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como

0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)

Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que

0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$

Figura 16 ndash Soma de fasores

Manual de Laboratoacuterio

85

0eacutey = F ∙ uparamiddot$

onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square

Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que

F = frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte

Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade

7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL

Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e

resistecircncia num diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

86

do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como

0 = AJradicAJ$ + AF$

O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP

DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11

Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia

Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por

acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita

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2 = 1D

Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica

Figura 18 - diagramas de fasores representando

um circuito capacitivo e um circuito indutivo

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Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie

O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio

TAREFA 1

Circuito Resistivo

Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR

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Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)

O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador

Circuito Capacitivo

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Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor

Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

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Circuito Indutivo

Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor

O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

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Circuito RLC

Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise

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O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador

Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio

O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior

Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor

Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou

A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores

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TAREFA 2

Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente

Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir

Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima

Qual o valor da corrente maacutexima no circuito

Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)

O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique

Manual de Laboratoacuterio

95

TAREFA 3

Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito

Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees

Como isso eacute possiacutevel Explique

Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff

Respostas

96

Respostas

A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32

A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH

A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH

B3 Ae = Af = AtildeAcircf

B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl

B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH

B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l

B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD

B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -

C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc

(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7

C2 O = ~13deg

C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)

Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-

vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr

Respostas

97

C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM

C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD

(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD

C6 A = Eacute$Acirc

C7 A = Atilde$AcircL

D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma

das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp

D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(

D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1

no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)

D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme

D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D

E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)

E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D

E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml

F1 544 times 10

F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S

F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM

u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM

u (e) 0 = ℇMu

F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω

Respostas

98

F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965

G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n

G5 i = Ograve$g = 245 J

G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y

G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez

G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H

G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)

G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)

G15 (a) zL$brvbarM (b)

z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero

G16 z$L + z$L = z$L - + 1

G17 (a) pLM

amp (b) pusup3

ampL

G18 zzMu

G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)

z

G20 zNu saindo da folha

G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)

UgraveLMamp

fora do fio (a) z$L (b)

UgravebrvbarM$L (c)

Ugravebrvbarsup3ampL

G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13

G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM

ampu

H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior

Respostas

99

H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a

H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J

I2 Φ = pound$ sup1amp

I4 C = AcircsM

I6 (a) zM

NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar

J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a

(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S

J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu

(c) = -radic

J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm

(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013

Respostas

100

Bibliografia

Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il

Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il

Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il

Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm

Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il

Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il

Page 43: Prof a. Raquel Giulian Prof. Leonardo Albuquerque ... · 3ª semana: Lei de Gauss (fluxo elétrico, campo elétrico ... Aula de problemas e PROVA II 10º e 11ª semanas: Campo Magnético

Manual de Laboratoacuterio

85

0eacutey = F ∙ uparamiddot$

onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square

Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que

F = frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute

0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte

Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade

7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL

Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e

resistecircncia num diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

86

do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como

0 = AJradicAJ$ + AF$

O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP

DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11

Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia

Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por

acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave

Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita

Manual de Laboratoacuterio

87

2 = 1D

Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica

Figura 18 - diagramas de fasores representando

um circuito capacitivo e um circuito indutivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

88

Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie

O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio

TAREFA 1

Circuito Resistivo

Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR

Manual de Laboratoacuterio

89

Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)

O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador

Circuito Capacitivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

90

Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor

Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Manual de Laboratoacuterio

91

Circuito Indutivo

Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor

O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

92

Circuito RLC

Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise

Manual de Laboratoacuterio

93

O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador

Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio

O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior

Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor

Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou

A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

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TAREFA 2

Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente

Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir

Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima

Qual o valor da corrente maacutexima no circuito

Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)

O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique

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TAREFA 3

Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito

Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees

Como isso eacute possiacutevel Explique

Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff

Respostas

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Respostas

A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32

A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH

A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH

B3 Ae = Af = AtildeAcircf

B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl

B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH

B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l

B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD

B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -

C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc

(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7

C2 O = ~13deg

C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)

Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-

vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr

Respostas

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C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM

C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD

(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD

C6 A = Eacute$Acirc

C7 A = Atilde$AcircL

D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma

das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp

D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(

D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1

no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)

D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme

D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D

E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)

E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D

E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml

F1 544 times 10

F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S

F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM

u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM

u (e) 0 = ℇMu

F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω

Respostas

98

F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965

G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n

G5 i = Ograve$g = 245 J

G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y

G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez

G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H

G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)

G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)

G15 (a) zL$brvbarM (b)

z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero

G16 z$L + z$L = z$L - + 1

G17 (a) pLM

amp (b) pusup3

ampL

G18 zzMu

G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)

z

G20 zNu saindo da folha

G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)

UgraveLMamp

fora do fio (a) z$L (b)

UgravebrvbarM$L (c)

Ugravebrvbarsup3ampL

G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13

G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM

ampu

H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior

Respostas

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H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a

H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J

I2 Φ = pound$ sup1amp

I4 C = AcircsM

I6 (a) zM

NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar

J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a

(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S

J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu

(c) = -radic

J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm

(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013

Respostas

100

Bibliografia

Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il

Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il

Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il

Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm

Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il

Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il

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Manual de Laboratoacuterio

87

2 = 1D

Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica

Figura 18 - diagramas de fasores representando

um circuito capacitivo e um circuito indutivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

88

Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie

O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio

TAREFA 1

Circuito Resistivo

Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR

Manual de Laboratoacuterio

89

Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)

O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador

Circuito Capacitivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

90

Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor

Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Manual de Laboratoacuterio

91

Circuito Indutivo

Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor

O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

92

Circuito RLC

Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise

Manual de Laboratoacuterio

93

O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador

Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio

O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior

Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor

Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou

A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

94

TAREFA 2

Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente

Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir

Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima

Qual o valor da corrente maacutexima no circuito

Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)

O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique

Manual de Laboratoacuterio

95

TAREFA 3

Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito

Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees

Como isso eacute possiacutevel Explique

Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff

Respostas

96

Respostas

A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32

A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH

A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH

B3 Ae = Af = AtildeAcircf

B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl

B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH

B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l

B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD

B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -

C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc

(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7

C2 O = ~13deg

C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)

Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-

vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr

Respostas

97

C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM

C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD

(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD

C6 A = Eacute$Acirc

C7 A = Atilde$AcircL

D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma

das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp

D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(

D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1

no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)

D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme

D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D

E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)

E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D

E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml

F1 544 times 10

F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S

F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM

u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM

u (e) 0 = ℇMu

F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω

Respostas

98

F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965

G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n

G5 i = Ograve$g = 245 J

G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y

G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez

G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H

G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)

G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)

G15 (a) zL$brvbarM (b)

z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero

G16 z$L + z$L = z$L - + 1

G17 (a) pLM

amp (b) pusup3

ampL

G18 zzMu

G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)

z

G20 zNu saindo da folha

G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)

UgraveLMamp

fora do fio (a) z$L (b)

UgravebrvbarM$L (c)

Ugravebrvbarsup3ampL

G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13

G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM

ampu

H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior

Respostas

99

H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a

H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J

I2 Φ = pound$ sup1amp

I4 C = AcircsM

I6 (a) zM

NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar

J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a

(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S

J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu

(c) = -radic

J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm

(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013

Respostas

100

Bibliografia

Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il

Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il

Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il

Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm

Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il

Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il

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Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)

O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador

Circuito Capacitivo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

90

Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor

Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

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Circuito Indutivo

Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor

O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

92

Circuito RLC

Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise

Manual de Laboratoacuterio

93

O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador

Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio

O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior

Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor

Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou

A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

94

TAREFA 2

Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente

Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir

Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima

Qual o valor da corrente maacutexima no circuito

Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)

O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique

Manual de Laboratoacuterio

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TAREFA 3

Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito

Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees

Como isso eacute possiacutevel Explique

Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff

Respostas

96

Respostas

A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32

A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH

A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH

B3 Ae = Af = AtildeAcircf

B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl

B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH

B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l

B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD

B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -

C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc

(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7

C2 O = ~13deg

C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)

Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-

vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr

Respostas

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C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM

C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD

(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD

C6 A = Eacute$Acirc

C7 A = Atilde$AcircL

D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma

das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp

D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(

D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1

no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)

D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme

D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D

E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)

E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D

E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml

F1 544 times 10

F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S

F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM

u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM

u (e) 0 = ℇMu

F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω

Respostas

98

F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965

G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n

G5 i = Ograve$g = 245 J

G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y

G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez

G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H

G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)

G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)

G15 (a) zL$brvbarM (b)

z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero

G16 z$L + z$L = z$L - + 1

G17 (a) pLM

amp (b) pusup3

ampL

G18 zzMu

G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)

z

G20 zNu saindo da folha

G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)

UgraveLMamp

fora do fio (a) z$L (b)

UgravebrvbarM$L (c)

Ugravebrvbarsup3ampL

G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13

G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM

ampu

H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior

Respostas

99

H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a

H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J

I2 Φ = pound$ sup1amp

I4 C = AcircsM

I6 (a) zM

NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar

J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a

(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S

J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu

(c) = -radic

J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm

(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013

Respostas

100

Bibliografia

Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il

Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il

Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il

Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm

Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il

Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il

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Manual de Laboratoacuterio

91

Circuito Indutivo

Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor

O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina

Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)

O que mudou no osciloscoacutepio

Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

92

Circuito RLC

Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise

Manual de Laboratoacuterio

93

O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador

Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio

O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior

Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor

Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou

A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

94

TAREFA 2

Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente

Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir

Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima

Qual o valor da corrente maacutexima no circuito

Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)

O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique

Manual de Laboratoacuterio

95

TAREFA 3

Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito

Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees

Como isso eacute possiacutevel Explique

Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff

Respostas

96

Respostas

A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32

A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH

A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH

B3 Ae = Af = AtildeAcircf

B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl

B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH

B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l

B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD

B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -

C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc

(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7

C2 O = ~13deg

C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)

Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-

vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr

Respostas

97

C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM

C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD

(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD

C6 A = Eacute$Acirc

C7 A = Atilde$AcircL

D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma

das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp

D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(

D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1

no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)

D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme

D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D

E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)

E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D

E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml

F1 544 times 10

F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S

F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM

u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM

u (e) 0 = ℇMu

F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω

Respostas

98

F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965

G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n

G5 i = Ograve$g = 245 J

G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y

G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez

G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H

G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)

G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)

G15 (a) zL$brvbarM (b)

z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero

G16 z$L + z$L = z$L - + 1

G17 (a) pLM

amp (b) pusup3

ampL

G18 zzMu

G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)

z

G20 zNu saindo da folha

G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)

UgraveLMamp

fora do fio (a) z$L (b)

UgravebrvbarM$L (c)

Ugravebrvbarsup3ampL

G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13

G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM

ampu

H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior

Respostas

99

H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a

H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J

I2 Φ = pound$ sup1amp

I4 C = AcircsM

I6 (a) zM

NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar

J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a

(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S

J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu

(c) = -radic

J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm

(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013

Respostas

100

Bibliografia

Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il

Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il

Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il

Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm

Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il

Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il

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Manual de Laboratoacuterio

93

O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador

Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio

O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior

Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor

Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou

A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores

Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo

94

TAREFA 2

Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente

Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir

Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima

Qual o valor da corrente maacutexima no circuito

Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)

O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique

Manual de Laboratoacuterio

95

TAREFA 3

Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito

Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees

Como isso eacute possiacutevel Explique

Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff

Respostas

96

Respostas

A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32

A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH

A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH

B3 Ae = Af = AtildeAcircf

B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl

B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH

B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l

B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD

B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -

C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc

(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7

C2 O = ~13deg

C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)

Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-

vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr

Respostas

97

C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM

C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD

(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD

C6 A = Eacute$Acirc

C7 A = Atilde$AcircL

D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma

das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp

D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(

D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1

no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)

D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme

D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D

E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)

E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D

E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml

F1 544 times 10

F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S

F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM

u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM

u (e) 0 = ℇMu

F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω

Respostas

98

F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965

G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n

G5 i = Ograve$g = 245 J

G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y

G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez

G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H

G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)

G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)

G15 (a) zL$brvbarM (b)

z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero

G16 z$L + z$L = z$L - + 1

G17 (a) pLM

amp (b) pusup3

ampL

G18 zzMu

G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)

z

G20 zNu saindo da folha

G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)

UgraveLMamp

fora do fio (a) z$L (b)

UgravebrvbarM$L (c)

Ugravebrvbarsup3ampL

G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13

G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM

ampu

H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior

Respostas

99

H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a

H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J

I2 Φ = pound$ sup1amp

I4 C = AcircsM

I6 (a) zM

NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar

J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a

(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S

J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu

(c) = -radic

J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm

(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013

Respostas

100

Bibliografia

Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il

Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il

Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il

Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm

Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il

Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il

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Manual de Laboratoacuterio

95

TAREFA 3

Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito

Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees

Como isso eacute possiacutevel Explique

Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff

Respostas

96

Respostas

A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32

A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH

A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH

B3 Ae = Af = AtildeAcircf

B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl

B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH

B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l

B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD

B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -

C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc

(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7

C2 O = ~13deg

C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)

Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-

vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr

Respostas

97

C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM

C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD

(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD

C6 A = Eacute$Acirc

C7 A = Atilde$AcircL

D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma

das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp

D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(

D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1

no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)

D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme

D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D

E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)

E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D

E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml

F1 544 times 10

F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S

F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM

u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM

u (e) 0 = ℇMu

F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω

Respostas

98

F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965

G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n

G5 i = Ograve$g = 245 J

G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y

G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez

G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H

G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)

G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)

G15 (a) zL$brvbarM (b)

z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero

G16 z$L + z$L = z$L - + 1

G17 (a) pLM

amp (b) pusup3

ampL

G18 zzMu

G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)

z

G20 zNu saindo da folha

G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)

UgraveLMamp

fora do fio (a) z$L (b)

UgravebrvbarM$L (c)

Ugravebrvbarsup3ampL

G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13

G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM

ampu

H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior

Respostas

99

H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a

H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J

I2 Φ = pound$ sup1amp

I4 C = AcircsM

I6 (a) zM

NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar

J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a

(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S

J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu

(c) = -radic

J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm

(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013

Respostas

100

Bibliografia

Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il

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C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM

C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD

(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD

C6 A = Eacute$Acirc

C7 A = Atilde$AcircL

D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma

das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp

D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(

D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1

no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)

D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme

D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D

E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)

E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D

E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml

F1 544 times 10

F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S

F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM

u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM

u (e) 0 = ℇMu

F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω

Respostas

98

F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965

G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n

G5 i = Ograve$g = 245 J

G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y

G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez

G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H

G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)

G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)

G15 (a) zL$brvbarM (b)

z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero

G16 z$L + z$L = z$L - + 1

G17 (a) pLM

amp (b) pusup3

ampL

G18 zzMu

G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)

z

G20 zNu saindo da folha

G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)

UgraveLMamp

fora do fio (a) z$L (b)

UgravebrvbarM$L (c)

Ugravebrvbarsup3ampL

G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13

G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM

ampu

H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior

Respostas

99

H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a

H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J

I2 Φ = pound$ sup1amp

I4 C = AcircsM

I6 (a) zM

NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar

J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a

(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S

J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu

(c) = -radic

J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm

(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013

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99

H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a

H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J

I2 Φ = pound$ sup1amp

I4 C = AcircsM

I6 (a) zM

NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar

J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a

(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S

J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu

(c) = -radic

J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm

(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013

Respostas

100

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