Prof a. Raquel Giulian Prof. Leonardo Albuquerque ... · 3ª semana: Lei de Gauss (fluxo elétrico,...
Transcript of Prof a. Raquel Giulian Prof. Leonardo Albuquerque ... · 3ª semana: Lei de Gauss (fluxo elétrico,...
1
Profa Raquel Giulian
Prof Leonardo Albuquerque Heidemann
Porto Alegre 2018
2
Sumaacuterio
3
Sumaacuterio
Introduccedilatildeo 5 Notaccedilatildeo Vetorial 6 Conteuacutedo Programaacutetico 7 Problemas Selecionados 10
(A) Carga eleacutetrica 11
(B) Campo eleacutetrico 13
(C) Lei de Gauss 16
(D) Potencial eleacutetrico 18
(E) Capacitacircncia 20
(F) Corrente e resistecircncia 22
(G) Campo magneacutetico 25
(H) Lei de Faraday 32
(I) Indutacircncia 34
(J) Corrente Alternada 37
Sumaacuterio
4
Manual de Laboratoacuterio 40
O processo de medida no laboratoacuterio de Fiacutesica 41
Lab 1 ndash Instrumentos de medida e incertezas 53
Circuito RC ndash armazenando energia para utilizar
no momento certo 56
Lab 2 ndash Circuito RC ndash seacuterie 63
Medindo campos magneacuteticos 67
Lab 3 ndash Projeto 72
Medindo grandezas que variam rapidamente com o tempo 77
Compreendendo a conta de energia eleacutetrica 81
Lab 4 ndash Circuito RLC ndash seacuterie 88
Respostas 95
Bibliografia 99
Introduccedilatildeo
5
Introduccedilatildeo
Este livro eacute uma ferramenta de apoio agraves aulas de FIacuteSICA GERAL ndash ELETROMAGNETISMO do Instituto de Fiacutesica - UFRGS A primeira parte traz uma seleccedilatildeo de exerciacutecios e problemas que podem ser utilizados para melhor compreensatildeo dos conteuacutedos vistos em aula Os exerciacutecios sugeridos aqui devem servir apenas como um guia satildeo exemplos do niacutevel de dificuldade que pode ser exigido nas avaliaccedilotildees durante o curso O aluno que sentir dificuldade em resolver os exerciacutecios aqui sugeridos deve procurar apoio em outros materiais didaacuteticos que trazem um nuacutemero muito maior de exerciacutecios com variados graus de dificuldade
A segunda parte consiste num MANUAL DE LABORATOacuteRIO um conjunto de atividades que seratildeo realizados nas aulas experimentais O meacutetodo de avaliaccedilatildeo das atividades experimentais deve ser discutido com o professor
Este material estaacute em constante desenvolvimento e foi elaborado a com significativa contribuiccedilatildeo dos professores de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo da UFRGS em especial os professores Cristiano Krug Gabriel Vieira Soares Livio Amaral e Luiz Fernando Ziebell Muitas alteraccedilotildees foram feitas em relaccedilatildeo agraves ediccedilotildees anteriores para melhor atender agraves necessidades da disciplina Os exerciacutecios e problemas satildeo adaptaccedilotildees dos exerciacutecios sugeridos em livros de Fiacutesica Geral
Sugestotildees satildeo bem vindas e podem ser enviadas para os autores atraveacutes do e-mail raquelgiulianifufrgsbr
Notaccedilatildeo Vetorial
6
Notaccedilatildeo Vetorial
A notaccedilatildeo vetorial eacute ferramenta fundamental para o estudo do eletromagnetismo Neste livreto vetores estatildeo escritos no seguinte formato
= lang minus rang 13
que eacute equivalente a = minus + (13) ou ainda a = minus + (13) Quando o vetor tiver apenas uma componente
natildeo nula por exemplo na direccedilatildeo (ou ) entatildeo o vetor em questatildeo deve ser escrito da seguinte forma
= lang0 0 rang 13
Essa disciplina eacute ministrada por diversos professores cada um com suas preferecircncias quanto agrave notaccedilatildeo vetorial entre outros fatores Vocecirc como aluno tem o direito de escolher a notaccedilatildeo que lhe for mais conveniente desde que mantidas a coerecircncia e a exatidatildeo A notaccedilatildeo utilizada neste livreto natildeo eacute necessariamente a mesma do que a utilizada nas aulas e avaliaccedilotildees Converse com seu professor para qualquer esclarecimento
Conteuacutedo Programaacutetico
7
Conteuacutedo Programaacutetico
O conteuacutedo seraacute dividido em quatro aacutereas Ao final de cada aacuterea seraacute realizada uma prova que pode abranger todo o conteuacutedo visto ateacute entatildeo
1ordf semana Carga eleacutetrica (condutores isolantes carga induzida e forccedila eleacutetrica) Campo eleacutetrico (lei de Coulomb dipolo eleacutetrico)
2ordf semana Campo eleacutetrico (momento de dipolo eleacutetrico energia potencial eleacutetrica distribuiccedilotildees discretas e contiacutenuas de carga distribuiccedilotildees contiacutenuas de carga)
3ordf semana Lei de Gauss (fluxo eleacutetrico campo eleacutetrico proacuteximo a objetos simeacutetricos carregados cargas em condutores) PROVA I
4ordf semana Potencial eleacutetrico (potencial diferenccedila de potencial diferenccedila de energia potencial superfiacutecie equipotencial potencial proacuteximo a objetos carregados)
5ordf semana Laboratoacuterio 1 Capacitacircncia (capacitor de placas paralelas diferenccedila de potencial num capacitor capacitores ciliacutendricos e esfeacutericos capacitores em seacuterie e em paralelo capacitores com dieleacutetricos energia armazenada num capacitor)
6ordm semana Carga e descarga de capacitores Corrente e
resistecircncia (conservaccedilatildeo de carga corrente convencional e corrente de eleacutetrons densidade de corrente velocidade de deriva resistores resistividade e resistecircncia lei de Ohm)
Conteuacutedo Programaacutetico
8
7ordf semana Circuitos (baterias forccedila eletromotriz resistores em seacuterie e paralelo circuitos com baterias e resistores potecircncia em circuitos efeito Joule) Laboratoacuterio 2
8ordm semana Circuito RC (corrente num circuito com capacitor carregando eou descarregando)
9ordm semana Aula de problemas e PROVA II
10ordm e 11ordf semanas Campo Magneacutetico (lei de Biot-Savart campo magneacutetico produzido por corrente campo magneacutetico da Terra espira de corrente momento de dipolo magneacutetico dipolo magneacutetico lei de Gauss do magnetismo forccedila eletromagneacutetica forccedila magneacutetica num fio com corrente torque energia potencial magneacutetica) Laboratoacuterio 3
12ordf semana Lei de Ampegravere Efeito Hall Propriedades
Magneacuteticas da Mateacuteria (diamagnetismo paramagnetismo ferromagnetismo)
13ordf semana Laboratoacuterio 4 Aula de problemas e PROVA III
14ordf semana Lei de Faraday-Lenz (forccedila eletromotriz induzida fluxo magneacutetico variaacutevel no tempo transformadores corrente induzida)
15ordf semana Equaccedilotildees de Maxwell (corrente de deslocamento) Indutacircncia (indutores solenoide toroide) Laboratoacuterio 5
16ordf semana Corrente alternada (circuito RL e LC densidade de energia conservaccedilatildeo de energia)
17ordf semana Corrente alternada (circuito RLC ressonacircncia circuito resistivo capacitivo e indutivo circuito RLC forccedilado impedacircncia fator de potecircncia constante de fase diagrama de fasores) Laboratoacuterio 6
Conteuacutedo Programaacutetico
9
18ordf semana Aula de problemas e PROVA IV
19ordf semana Divulgaccedilatildeo dos resultados
20ordf semana RECUPERACcedilAtildeO OU EXAME
Problemas Selecionados
Problemas Selecionados
11
(A) Carga Eleacutetrica
A1 ndash Se vocecirc grudar um pedaccedilo de fita adesiva na mesa e desgrudaacute-lo puxando rapidamente uma das pontas a fita ficaraacute carregada eletricamente Supondo que a fita adesiva tenha 20 de comprimento e 1 de largura e que ao fazer isso vocecirc consiga arrancar 1 eleacutetron de cada aacutetomo da superfiacutecie da fita qual seraacute a carga eleacutetrica total da fita (por simplicidade considere o raio atocircmico = 1 Å)
A2 ndash Repetindo o mesmo procedimento com outro pedaccedilo idecircntico de fita adesiva e aproximando os dois pedaccedilos a uma distacircncia de 5 qual seraacute a forccedila eleacutetrica entre eles
A3 ndash Quatro partiacuteculas carregadas estatildeo dispostas no plano XY sendo = langminus3 0 0rang $ = lang 0 0rang amp = lang0 2 0rang e = lang0 minus2 0rang as distacircncias das cargas ateacute a origem A carga da partiacutecula 2 eacute ($ = 80 times 10-C a carga das partiacuteculas 3 e 4 eacute (amp = ( = minus1 6 times 10-C Qual deve ser a distacircncia para que seja nula a forccedila resultante sobre a partiacutecula 1
A4 ndash O dado mostrado na figura ao lado possui lado = 15 Qual a forccedila (vetor) exercida sobre a partiacutecula indicada pela seta devido agrave presenccedila das demais cargas Use notaccedilatildeo vetorial para indicar sua resposta (Dica defina a origem dos eixos cartesianos no veacutertice que estaacute escondido com o eixo z para cima Calcule as componentes da forccedila nas
direccedilotildees e separadamente soacute entatildeo some as componentes que estatildeo na mesma direccedilatildeo)
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
12
A5 ndash Trecircs partiacuteculas carregadas estatildeo dispostas num plano XY a
partiacutecula 1 na posiccedilatildeo 0- = lang0 15 0rang a partiacutecula 2 na posiccedilatildeo 0$ = lang0 minus15 0rang e a partiacutecula 3 na posiccedilatildeo 0amp = lang 0 0rang com liberdade para se mover no eixo (- = ($ = 32 times 10-C (amp = minus64 times 10-C pode variar de 0 a 5 Qual o valor de para que a forccedila exercida sobre a partiacutecula 3 (pelas demais cargas) seja (a) miacutenima e (b) maacutexima Quais satildeo os valores (c) miacutenimo e (d) maacuteximo do moacutedulo da forccedila
A6 ndash A figura ao lado mostra duas esferas condutoras de mesma massa e mesma carga ( suspensas por fios isolantes de comprimento 2 Mostre que para 2 ≫ as esferas estaratildeo em equiliacutebrio quando a distacircncia entre elas for igual a
= 4 ($2256789- ampfrasl
A7 ndash A forccedila gravitacional entre duas massas pontuais eacute muito similar matematicamente agrave forccedila eletrostaacutetica entre duas cargas pontuais A intensidade dessas forccedilas no entanto eacute extremamente diferente Para ilustrar isso considere a seguinte situaccedilatildeo Em algum lugar do espaccedilo existem duas esferas idecircnticas de poeira 50 de diacircmetro e densidade 25 8amp separadas por uma distacircncia = Se os gratildeos satildeo eletricamente neutros e estatildeo inicialmente em repouso eles iratildeo colidir devido agrave atraccedilatildeo gravitacional Agora suponha que ambos estatildeo eletricamente carregados cada um tendo um nuacutemero gt de eleacutetrons extra Encontre o menor valor de gt que iraacute evitar a colisatildeo (Considere = 667 times 10-- amp8-$)
Problemas Selecionados
13
(B) Campo Eleacutetrico
B1 ndash Um iacuteon de Fe3+ estaacute localizado a 400 gt de um iacuteon de Cl- como mostra a figura ao lado (a) Qual a magnitude direccedilatildeo e sentido do campo
eleacutetrico A na posiccedilatildeo A (b) E na posiccedilatildeo B (c) Se um eleacutetron estiver na posiccedilatildeo A qual seraacute a magnitude e direccedilatildeo da forccedila sobre o eleacutetron
B2 ndash Um quadrupolo eleacutetrico eacute formado por um conjunto de dois dipolos como mostra a figura ao lado Mostre que para ≫ = a magnitude do
campo A num ponto ao longo do eixo dos quadrupolos eacute dado por
A = 6(=$4567
B3 ndash Uma barra muito longa com densidade de carga B estaacute disposta conforme a figura ao lado (Alguns autores chamam esse tipo de barra de semi-infinita pois o ponto P estaacute proacuteximo a uma das extremidades da barra enquanto a outra extremidade estaacute muito distante) Mostre
que o campo eleacutetrico A no ponto P faz um acircngulo de 45deg com a barra independente da distacircncia Y (isto eacute as componentes x e y do campo tem a mesma magnitude)
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
14
B4 ndash Calcule o campo A proacuteximo a uma barra carregada com carga total Q e comprimento As cargas estatildeo distribuiacutedas de forma uniforme ao longo da barra = 015 C = 8 gtD e E = 5
B5 ndash A figura ao lado mostra um anel incompleto de raio F carregado com carga total C Qual a forccedila (vetor) exercida sobre um eleacutetron que por ventura esteja localizado no ponto 0
B6 ndash Um dipolo cujo momento dipolar eacute G = lang37 50 0rang D
encontra-se numa regiatildeo onde o campo A = lang3000 0 0rang H Dfrasl Qual a energia potencial do dipolo Qual o torque que age sobre o dipolo Qual eacute o trabalho que um agente externo deve realizar para girar o dipolo ateacute que seu momento dipolar seja G = langminus50 37 0rang D
B7 ndash Calcule a magnitude direccedilatildeo
e sentido do campo A no centro de um anel de raio F carregado sendo que a distribuiccedilatildeo de cargas no anel varia como B(I) = B7 gt I
Problemas Selecionados
15
B8 ndash Duas barras isolantes de 15 de comprimento encontram-se em um acircngulo reto Uma barra possui 30 D e a outra possui minus30 D de carga uniformemente distribuiacuteda ao longo do comprimento conforme a figura ao lado Determine o campo eleacutetrico (vetor) no ponto P que estaacute a = = 750 do centro de cada barra
B9 ndash Duas barras curvas isolantes com cargas opostas de igual magnitude ( formam um ciacuterculo de raio F no plano xy conforme a figura As cargas estatildeo uniformemente distribuiacutedas na barra (a) Qual o campo eleacutetrico (vetor) no ponto P (b) Qual a resposta do item (a) se ( = 20 GD e F = 10
B10 ndash Considere um cilindro de comprimento 2 e raio J oco carregado com carga total C Vocecirc estaacute interessado em saber qual eacute
o campo eleacutetrico A ao longo do eixo do cilindro numa de suas extremidades Para isso utilize dois caminhos distintos (a) considerando que o cilindro eacute formado por uma infinidade de barras de espessura infinitesimal todas com comprimento 2 dispostas num ciacuterculo de raio J e (b) considerando que o cilindro eacute formado por uma infinidade de aneacuteis de raio J cujos eixos estatildeo alinhados e juntos formam um cilindro de comprimento 2
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
16
(C) Lei de Gauss
C1 ndash Uma faacutebrica de bolinhas de gude foi atingida por um raio durante uma tempestade O preacutedio foi protegido por um paacutera-raios mas algumas descargas atingiram os equipamentos que fabricavam as bolinhas Resultado eacute que a bolinha que estava na maacutequina ao cair o raio recebeu uma descarga eleacutetrica e as cargas ficaram armazenadas
no interior da bolinha de forma que a densidade de carga K() = K7 -LM
(a) Qual o campo A na superfiacutecie da bolinha que tem raio = 2 (b) E no interior da bolinha 1 abaixo da superfiacutecie (c) Qual o
campo A a 5 da superfiacutecie da bolinha
C2 ndash A figura ao lado mostra uma bolinha com massa 0004 8 e carga 8 times 10N D suspensa por um fio nas proximidades de uma grande placa condutora carregada sendo que a densidade de carga da placa eacuteminus2 times 10 D $frasl Encontre um valor para o acircngulo O
C3 ndash Uma casca ciliacutendrica isolante e muito longa tem raio interno e externo e densidade volumeacutetrica de carga K Um fio tambeacutem muito longo tem densidade linear de carga B e estaacute alinhado com o eixo central da casca Qual o campo eleacutetrico na regiatildeo entre e
Problemas Selecionados
17
C4 ndash Uma carga C positiva estaacute no centro de um conjunto de calotas concecircntricas como mostra a figura abaixo O raio das calotas estaacute indicado na figura A mais externa eacute condutora e estaacute carregada com carga C negativa e a calota intermediaacuteria eacute isolante e possui carga liacutequida ( positiva distribuiacuteda de forma uniforme por
todo seu volume Calcule o campo A resultante em cada uma das 5 regiotildees indicadas na figura Indique a localizaccedilatildeo aproximada das cargas induzidas eou em excesso em cada regiatildeo e indique a direccedilatildeo e sentido dos campos eleacutetricos
C5 ndash Uma casca esfeacuterica com densidade volumeacutetrica de carga K = 20 gtDamp tem raio interno = 10 e raio externo = 2 conforme a figura Determine o moacutedulo do campo eleacutetrico para os seguintes raios a partir do centro (a) = 2frasl (b) = 15 (c) = 2
C6 ndash Usando a Lei de Gauss determine o campo eleacutetrico proacuteximo a uma placa muito grande com densidade superficial de carga P
C7 ndash Usando a Lei de Gauss determine o campo eleacutetrico proacuteximo a uma barra muito longa com densidade linear de carga B
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
18
(D) Potencial Eleacutetrico
D1 ndash A figura ao lado mostra um anel incompleto formado por trecircs segmentos de arco com densidade linear de carga constantesB- B$ e Bamp A menor delas tem carga total (- e comprimento de arco 54 As demais estatildeo indicadas na figura Qual o potencial eleacutetrico no centro do anel Qual deve ser a relaccedilatildeo entre as cargas para que o potencial eleacutetrico no centro do anel seja igual a zero
D2 ndash A figura ao lado mostra um dipolo eleacutetrico de momento dipolar |G| = R( Mostre que para ≫ R o potencial eleacutetrico no ponto P eacute dado por
S = 145T7G UO$
Dica quando ≫ R eacute razoaacutevel considerar que V cong $ e minus V cong R UO
D3 ndash Sobre uma mesa de bilhar estatildeo dispostas trecircs bolinhas Uma com carga +C outra com carga ndash C e uma terceira com carga +2C conforme mostra a figura ao lado (a) Qual o potencial no ponto P (b) Se uma quarta bolinha for colocada no centro do quadrado qual deve ser a carga da bolinha para que o potencial no ponto P seja nulo
Problemas Selecionados
19
D4 ndash Uma esfera oca isolante de raio F e carga C eacute colocada nas proximidades de uma placa muito grande cuja densidade superficial de carga eacute P (uniforme) A distacircncia entre a placa e a superfiacutecie da esfera eacute = Qual a diferenccedila de potencial entre o centro da esfera e a placa Dica calcule a ddp devido a cada objeto separadamente e some os resultados A diferenccedila de potencial entre dois pontos pode ser determinada a partir do campo eleacutetrico
D5 ndash Uma esfera isolante maciccedila possui densidade de carga K() = K7$ onde ρ0 eacute uma constante (a) Qual a diferenccedila de potencial entre os pontos b e c Se a densidade de carga fosse uniforme qual seria a diferenccedila de potencial entre os pontos b e c
D6 ndash Um fio tem densidade linear de carga B uniforme e foi dobrado no formato conforme mostra a figura abaixo Qual o potencial eleacutetrico no ponto P
D7 ndash Considere duas cascas esfeacutericas finas concecircntricas condutoras A casca interna tem raio = 15 e carga 10 gtD A casca externa tem raio = 30 e carga minus15 gtD Forneccedila expressotildees para o campo eleacutetrico e o potencial eleacutetrico para as diferentes regiotildees (a) lt 15 (b) 15 lt lt 30 (c) gt 30 Em todos os casos considere S = 0 em = infin
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
20
(E) Capacitacircncia
E1 ndash Sabendo que cada um dos capacitores no circuito ao lado tem capacitacircncia D = 10 e a diferenccedila de potencial na bateria eacute ΔS = 10 S qual eacute a carga do capacitor 1 E do capacitor 2
E2 ndash Encontre uma expressatildeo para a capacitacircncia dos capacitores abaixo sabendo que a distacircncia entre as placas eacute = a aacuterea das placas eacute 10 = o espaccedilo entre as placas estaacute preenchido por dois ou mais materiais de constantes dieleacutetricas distintas conforme mostra a figura abaixo Analisando cada capacitor separadamente eacute possiacutevel obter a mesma capacitacircncia com uma associaccedilatildeo de capacitores simples (preenchidos por um uacutenico material) Explique
E3 ndash Uma diferenccedila de potencial de 100 S eacute aplicada ao circuito ao lado onde D- = 10 D$ = 5 e Damp = 4 Se o capacitor 3 eacute substituiacutedo por um fio condutor qual eacute o aumento na carga do capacitor 1 Qual eacute o aumento na diferenccedila de potencial entre as placas do capacitor 1
(a) (b) (c)
Problemas Selecionados
21
E4 ndash No circuito ao lado a diferenccedila de potencial fornecida pela bateria eacute de 20 S Qual a capacitacircncia equivalente do circuito Qual a carga armazenada por essa capacitacircncia equivalente Qual a carga e ddp para os capacitores 1 2 e 3
E5 ndash Na figura ao lado a ddp da bateria eacute 10 S D- = 10 D$ = Damp = 2D- A chave eacute movida para a esquerda e somente depois que o capacitor 1 atingiu o equiliacutebrio a chave eacute movida para a direita Quando o equiliacutebrio eacute novamente atingido qual eacute a carga do capacitor 1
E6 ndash Um capacitor de placas paralelas com aacuterea J e espaccedilamento = eacute preenchido com vidro (6 = 267) Conectado a uma bateria o capacitor acumula carga C (a) Qual a energia armazenada no capacitor (b) Mantendo a bateria conectada a separaccedilatildeo entre as placas eacute aumentada para 2= (veja a figura) Qual a energia armazenada nessa nova situaccedilatildeo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
22
(F) Corrente e Resistecircncia
F1 ndash A figura ao lado mostra parte de um fio de cobre com diacircmetros =- = 4F e =$ = 8F por onde passa uma corrente uniforme = 4 e a diferenccedila de potencial ao longo desse comprimento eacute20 S O
nuacutemero de portadores de carga por unidade de volume eacute 849 times 10$N amp Qual eacute a velocidade de deriva dos eleacutetrons de conduccedilatildeo na porccedilatildeo do fio com diacircmetro =$
F2 ndash No circuito ao lado qual a magnitude e direccedilatildeo das correntes nos resistores F- F$ e Famp Para isso considere que ℇ- = 6 S ℇ$ = 12 SF- = 100 Ω F$ = 200 Ω Famp = 300 Ω O ciruito estaacute aterrado e nesse ponto S = 0 Qual eacute o potencial eleacutetrico no ponto A
F3 ndash Calcule a potecircncia total dissipada em cada circuito Considere que todas as resistecircncias satildeo iguais e as baterias satildeo ideais Expresse suas respostas em termos de ℇ e F
F4 ndash Se dois fios de mesmo comprimento um de cobre e outro de alumiacutenio apresentam a mesma resistecircncia qual deve ser a razatildeo entre seus raios
Problemas Selecionados
23
F5 ndash No circuito ao lado a potecircncia dissipada no resistor R eacute 20 a Qual o valor de R Qual a ddp entre os pontos A e B
F6 ndash A corrente medida por um amperiacutemetro A no circuito ao lado eacute a mesma quando ambas as chaves estatildeo abertas ou fechadas Qual o valor da resistecircncia R
F7 ndash Determine o valor da corrente que passa por cada um dos resistores a potecircncia fornecida por cada uma das fontes de tensatildeo e a potecircncia dissipada por cada um dos resistores Faccedila o balanccedilo energeacutetico do circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
24
F8 ndash No circuito ao lado a chave S permanece fechada por um longo tempo e a corrente no circuito atinge um valor constante Considere D- = 3 D$ = 6 F- = 4Ω e F$ = 7Ω A potecircncia dissipada em F$ eacute 24a (a) Determine as cargas em D- e D$ (b) Abrindo a chave S e aguardando um longo tempo qual a mudanccedila observada na carga do capacitor 2
F9 ndash Num circuito RC seacuterie como o da figura ao lado D = 1 F = 2 times 10bΩ e ℇ = 10S Dez segundos depois que a chave foi fechada determine (a) a carga no capacitor (b) a corrente no resistor (c) a taxa com que a energia eacute armazenada no capacitor (d) a taxa com que a bateria fornece energia para o circuito
F10 ndash Um capacitor eacute carregado atraveacutes de um resistor como mostra a figura no problema anterior Mostre que metade da energia fornecida pela bateria aparece como energia interna no resistor e a outra metade como energia eleacutetrica no capacitor
F11 ndash Um capacitor duas fontes ideais dois resistores e uma chave S satildeo mostrados no circuito da figura ao lado Suponha D = 12 ℇ- = 15 S ℇ$ = 30 S F- = 05 Ω e F$ = 08 Ω (a) Se a chave S permanece aberta por um longo tempo qual a carga no capacitor (b) Qual a carga no capacitor se a chave S permanece fechada por um longo tempo
Problemas Selecionados
25
F12 ndash No circuito ao lado a bateria fornece 10 S o capacitor eacute de 1 e os resistores tecircm as resistecircncias indicadas na figura O circuito estaacute ligado haacute um longo tempo (a) Qual a ddp entre os terminais do capacitor (b) Se a bateria for desconectada quanto tempo levaraacute para que essa ddp atinja um deacutecimo do valor inicial
-------------------------------------------------------------------------------------------
(G) Campo Magneacutetico
G1 ndash Um proacuteton atravessa uma regiatildeo de campo magneacutetico uniforme = lang10 20 30rang 13 No tempo c- o proacuteton tem uma velocidade d = langde df 2rang e a forccedila magneacutetica sobre o proacuteton eacute g = lang4 times 10-h minus2 times 10-h 0rang H Nesse instante qual o valor de de e df
G2 ndash Um proacuteton viaja atraveacutes de uma regiatildeo de campo eleacutetrico e
magneacutetico uniformes onde = langminus25 0 0rang 13 Num certo instante a velocidade do proacuteton eacute d = lang0 2000 0rang Qual a forccedila resultante que age sobre o proacuteton se o campo eleacutetrico for
(a) A = lang0 0 4rang S (b) A = lang0 0 minus4rang S ou
(c) A = lang4 0 0rang S
G3 ndash Uma espira retangular de lados e estaacute numa regiatildeo de campo
magneacutetico perpendicular ao plano da espira e eacute percorrida por uma corrente i constante conforme mostra a figura ao lado Determine o torque sobre a espira
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
26
G4 ndash Dois trilhos de metal separados por uma distacircncia = = 256 estatildeo ligados a uma bateria No momento em que uma barra de metal de massa = 241 8 eacute colocada sobre os trilhos (c = 0) ela fecha o circuito e por ela passa uma corrente i = 913 J O conjunto estaacute numa regiatildeo onde existe um campo magneacutetico uniforme = 563 13 Qual a velocidade da barra 611 depois Em que direccedilatildeo ela se move
G5 ndash A figura ao lado mostra um cilindro de madeira de massa = 250 8 e comprimento 2 =10 onde foi enrolado um fio formando uma espira de 10 voltas O cilindro eacute posicionado de forma que o eixo da espira estaacute perpendicular ao plano inclinado (paralelo agrave normal do plano
inclinado) Nessa regiatildeo haacute um campo magneacutetico = lang0 05 0rang 13 Qual deve ser o valor miacutenimo da corrente na espira capaz de manter o cilindro em sua posiccedilatildeo evitando que ele role para baixo
G6 ndash A figura ao lado mostra um iacutematilde e um anel condutor de raio por onde passa uma corrente i Se o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde faz um acircngulo O com a vertical na posiccedilatildeo onde estaacute o anel qual eacute a magnitude e a direccedilatildeo da forccedila resultante sobre o anel
Problemas Selecionados
27
G7 ndash Uma barra de metal com densidade de massa B (massa por unidade de comprimento) apresenta uma corrente i (saindo da paacutegina) A barra estaacute suspensa por dois fios num campo magneacutetico uniforme vertical como mostra a figura ao lado No equiliacutebrio os fios
fazem um acircngulo O com a vertical Qual a magnitude do campo magneacutetico
G8 ndash Um proacuteton com energia cineacutetica de 6 jS se move no plano da paacutegina e entra numa regiatildeo de campo magneacutetico = 1 13 direcionado para dentro da paacutegina como mostra a figura ao lado
O proacuteton entra na regiatildeo de campo com o vetor velocidade fazendo um acircngulo O- = 35deg com a borda da regiatildeo Qual eacute a distacircncia entre o ponto de entrada e saiacuteda ( na figura) Qual o valor de O$
G9 ndash Considere um eleacutetron orbitando um proacuteton numa trajetoacuteria circular de raio F = 529 times 10-- devido agrave atraccedilatildeo Coulombiana Considere o sistema como se fosse um anel por onde passa uma corrente Qual seraacute o torque resultante quando o sistema for colocado numa regiatildeo de campo magneacutetico = 04 13 perpendicular ao momento magneacutetico do anel
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
28
G10 ndash Um fio por onde passa uma corrente i foi moldado num formato semicircular de raio F e uma reta de comprimento 2F como mostra a figura ao lado Nessa mesma regiatildeo haacute um campo magneacutetico que aponta na direccedilatildeo + (representado pelos pontos azuis na figura ao lado) Mostre que a
forccedila resultante sobre o fio eacute zero
G11 ndash Um condutor ciliacutendrico longo de raio conteacutem duas cavidades cada uma com diacircmetro ao longo de todo o comprimento do fio Uma visatildeo da seccedilatildeo transversal do fio eacute mostrada na figura ao lado Uma corrente i uniforme (considerando a porccedilatildeo soacutelida do material) passa atraveacutes do fio e aponta para fora da paacutegina Determine a magnitude e direccedilatildeo do campo
magneacutetico em funccedilatildeo de 7 i e no ponto P
G12 ndash Dois fios muito longos por onde passa corrente i de mesma magnitude estatildeo moldados conforme a figura ao lado
Mostre que o campo magneacutetico no centro do ciacuterculo de raio R eacute o mesmo que o
campo a uma distacircncia R abaixo de um fio reto muito longo por onde passa uma corrente i
Problemas Selecionados
29
G13 ndash Encontre uma expressatildeo para determinar a magnitude do campo magneacutetico no ponto P da figura ao lado Dica considere a origem dos eixos cartesianos no ponto P
G14 ndash A figura ao lado mostra a seccedilatildeo transversal de um condutor oco de raio externo e interno por onde passa uma corrente uniforme i Demonstre que a magnitude do campo magneacutetico () para uma distacircncia lt lt eacute dada por
= 7i25($ minus $) $ minus $
G15 ndash A figura ao lado mostra um cabo coaxial de raios e Correntes opostas de igual magnitude estatildeo distribuiacutedas nos dois condutores Derive uma expressatildeo para calcular o campo magneacutetico () na regiatildeo (a) lt (b) lt lt (c) lt lt e (d) gt
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
30
G16 ndash Um fio condutor por onde passa uma corrente i foi torcido para formar um loop de raio R (no plano da paacutegina) como mostra a figura abaixo Qual a direccedilatildeo do campo magneacutetico no
centro do loop Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico no centro do loop
G17 ndash Uma corrente i passa por um fio condutor ciliacutendrico de raio R como mostra a figura ao lado A densidade de corrente l natildeo eacute uniforme atraveacutes da seccedilatildeo transversal do fio mas obedece agrave funccedilatildeo l = onde eacute uma constante Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico (a) a uma distacircncia - lt F e (b) a uma distacircncia $ gt F(em relaccedilatildeo ao centro do condutor)
G18 ndash Um fio condutor muito longo por onde passa uma corrente i- estaacute parcialmente envolto por um loop por onde passa uma corrente i$ (figura ao lado) O loop fio foi moldado num formato semiciliacutendrico de raio R e o comprimento L O fio condutor passa pelo eixo do loop Calcule a forccedila magneacutetica exercida sobre o loop
G19 ndash Considere um solenoide de comprimento 2 e raio F contendo H voltas de um fio por onde passa uma corrente i (a) Determine uma expressatildeo para
o campo magneacutetico num ponto ao longo do eixo do solenoide do lado de fora do solenoide como funccedilatildeo da distacircncia ateacute uma das pontas (considere = 0 no centro do solenoide e = a distacircncia do centro ateacute o ponto onde estaacute sendo calculado o campo ) (b) Mostre que para
Problemas Selecionados
31
valores muito grandes de 2 e = = 0 se aproxima de = 7i H 2frasl para posiccedilotildees ao longo do eixo no interior do solenoide distante das bordas
G20 ndash A figura ao lado mostra um fio moldado para formar duas seccedilotildees retas e um quarto de ciacuterculo por onde passa corrente i Determine o campo magneacutetico (vetor) no ponto P
G21 ndash Um fio ciliacutendrico espesso de raio eacute percorrido por uma corrente i Determine uma expressatildeo para o
campo magneacutetico dentro e fora do fio considerando que (a) a corrente estaacute distribuiacuteda uniformemente sobre a superfiacutecie externa do fio (b) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio com densidade de corrente l constante (c) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio de forma que a densidade de corrente l eacute proporcional agrave distacircncia ateacute o eixo do fio
G22 ndash Considere dois solenoides coaxiais cada um conduzindo uma corrente i em direccedilotildees opostas O solenoide interno de raio possui gt- voltas por unidade de comprimento o
solenoide externo possui raio e gt$ voltas por unidade de
comprimento Determine (a) no interior do conjunto (b) entre eles e (c) fora deles
G23 ndash Um fio condutor longo e reto de raio F conduz uma corrente natildeo uniforme cuja densidade de corrente eacute l = l7 Ffrasl onde l7 eacute uma constante A corrente total eacute i (a) Determine uma expressatildeo para i
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
32
em funccedilatildeo de l7 e F (b) Determine uma expressatildeo para o campo magneacutetico no interior do fio para uma distacircncia
G24 ndash A figura ao lado mostra um toroide que consiste num solenoide fechado em forma de anel (a) Considerando a simetria explique qual deve ser o formato do campo magneacutetico no interior desse toroide (b) Considere o toroide compacto (a separaccedilatildeo entre cada volta do fio eacute pequena) com N voltas conduzindo uma corrente i Usando a lei de Ampeacutere determine a magnitude do campo magneacutetico num ponto interno ao toroide a uma distacircncia do eixo principal (ver figura ao lado) (c) O campo magneacutetico no interior do toroide eacute um campo uniforme Explique
-------------------------------------------------------------------------------------------
(H) Lei de Faraday
H1 ndash A figura ao lado mostra dois aneis cujos eixos estatildeo alinhados separados por uma distacircncia x O anel maior tem raio F o anel menor tem raio Os aneis estatildeo separados por uma distacircncia ≫ F e por isso o campo magneacutetico devido agrave corrente no anel de raio F eacute praticamente uniforme no anel menor Considere que a distacircncia estaacute aumentando a uma taxa constante = =cfrasl = d (a) Determine uma expressatildeo para o fluxo de campo magneacutetico atraveacutes do anel menor como funccedilatildeo de Encontre uma expressatildeo para (b) a fem induzida e (c) a direccedilatildeo da corrente no anel menor
Problemas Selecionados
33
H2 ndash (a) Calcule o fluxo magneacutetico atraveacutes do retacircngulo mostrado na figura ao lado em funccedilatildeo de = i (b) Avalie o resultado encontrado para = 5 = 10 = = 2 e i = 20 J
H3 ndash Uma espira plana e circular de raio =75 estaacute em repouso numa regiatildeo de campo magneacutetico uniforme A espira estaacute orientada de tal forma que o campo magneacutetico aponta para cima
e faz um acircngulo de 30deg com a normal da espira O campo varia com
o tempo de acordo com (c) = 14(77nho) 13 (a) Determine a fem induzida na espira em funccedilatildeo do tempo (b) Para que valor de c a fem induzida eacute igual a um deacutecimo do seu valor inicial Determine o sentido da corrente induzida na espira se observada por cima da espira
H4 ndash Um retacircngulo que mede 30 times 40 estaacute localizado no interior de um campo magneacutetico uniforme de 125 13 com o campo perpendicular ao plano da bobina A bobina se move perpendicular ao campo com velocidade constante d =2 inclusive atingindo a regiatildeo
onde o campo termina abruptamente como mostra a figura ao lado Determine a fem induzida nessa bobina quando ela estaacute (a) inteiramente no interior do campo (b) parcialmente no interior do campo e (c) inteiramente fora do campo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
34
H5 ndash O fio na figura ao lado conduz
uma corrente i(c) = i7po onde gt 0 Determine o sentido da corrente induzida na bobina (horaacuterio ou anti-horaacuterio) para c gt 0
H6 ndash A figura ao lado mostra uma espira circular de raio contendo uma resistecircncia e um capacitor ligados em seacuterie imerso numa regiatildeo onde um campo magneacutetico uniforme (no espaccedilo) entrando no plano na paacutegina decresce no tempo a uma taxa constante = =cfrasl = minus sendo uma constante positiva (a) Qual a carga no capacitor quando ele estaacute completamente carregado (b) Qual das placas do capacitor estaacute em potencial mais elevado (c) Qual a origem da forccedila que causa a separaccedilatildeo de cargas
-------------------------------------------------------------------------------------------
(I) Indutacircncia
I1 ndash No circuito ao lado ℰ = 100 SF- = 10 Ω F$ = 20 Ω Famp = 30 Ω e 2 = 2 H Ao fechar a chave S quais os valores de i- e i$ Considere positivo o sentido das correntes indicadas na figura Muito tempo
depois quais satildeo os valores de i- e i$ A chave eacute entatildeo aberta Nesse instante quais satildeo os valores de i- e i$ E muito tempo depois quais satildeo os valores de i- e i$
Problemas Selecionados
35
I2 ndash Num circuito LC em seacuterie a carga inicial do capacitor eacute C e ele estaacute sendo descarregado Quando a carga no capacitor eacute igual a C 2frasl qual eacute o fluxo magneacutetico que atravessa cada uma das N espiras do indutor (como funccedilatildeo de C H 2 e D)
I3 ndash Uma bobina possui N voltas e estaacute envolvendo um solenoide longo de raio r com n espiras por unidade de comprimento (figura ao lado) (a) Mostre que a indutacircncia muacutetua do sistema eacute dada por j = 75F$gtH (b) Explique por que M natildeo depende do formato tamanho ou possiacutevel falta de proximidade das espiras na bobina
I4 ndash A fem autoinduzida num solenoide de indutacircncia L varia no tempo conforme ℇ(c) = ℇ7so Levando em consideraccedilatildeo que a carga eacute finita (ou seja i = 0 quando c = infin) determine a carga total que passa pelo solenoide (que atravessa um determinado ponto no fio que compotildee o solenoide)
I5 ndash Um fio condutor foi enrolado num papelatildeo formando um toroide com N espiras (voltas) raio menor r e maior R A seccedilatildeo transversal do toroide eacute mostrada na figura ao lado Se F ≫ o campo magneacutetico no interior do toroide eacute essencialmente o mesmo que o campo no interior de um solenoide muito longo que tenha sido
moldado no formato de um ciacuterculo de raio R Modelando o campo como se fosse o campo uniforme de um solenoide longo mostre que a indutacircncia desse toroide eacute
aproximadamente 2 asymp -$ 7H$ LMu
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
36
I6 ndash Um indutor consiste em duas cascas ciliacutendricas concecircntricas como mostra a figura A casca interna tem raio e a externa tem raio ambas com comprimento ℎ A casca interna transporta uma corrente i para fora e a externa para dentro do plano da paacutegina com igual magnitude Calcule na regiatildeo lt lt (a) a densidade de energia magneacutetica (b) a indutacircncia
I7 ndash Mostre que i(c) = i7o wx eacute a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial iF + 2 yzyo = 0 onde i7 eacute a corrente em c = 0 e = 2 Ffrasl
I8 ndash Um fio condutor de raio R transporta uma corrente uniforme A corrente total no fio eacute i Mostre que a energia magneacutetica por unidade de comprimento dentro do fio eacute dada por 7i$ 165frasl
I9 ndash Um cabo coaxial eacute formado por dois cilindros condutores de paredes finas com raios - e $ As correntes nos dois cilindros satildeo iguais em magnitude mas com sentidos opostos (a) Use a lei de Ampeacutere para determinar o campo magneacutetico como funccedilatildeo da distacircncia ao eixo do cabo nas regiotildees (0 lt lt -) ( - lt lt $ ) e ( gt $) (b) Mostre que a densidade de energia magneacutetica na regiatildeo entre os cilindros eacute dada por
| = 12 745 i$(5$)-
(c) Mostre que a energia magneacutetica total num volume de cabo com comprimento ~ eacute dada por
Problemas Selecionados
37
= i$~ ln LML
(d) Mostre que a autoindutacircncia por unidade de comprimento do cabo eacute dada por
2~ = 725 ln $-
-------------------------------------------------------------------------------------------
(J) Corrente Alternada
J1 ndash A tensatildeo de uma fonte de corrente alternada eacute dada por ∆d = 120gt(30 5c) onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A fonte eacute conectada a um indutor de 05 Determine (a) a frequecircncia da fonte (b) a voltagem rms no indutor (c) a reatacircncia indutiva do circuito (d) a corrente rms no indutor e (e) a corrente maacutexima no indutor
J2 ndash Uma fonte de tensatildeo alternada fornece uma tensatildeo ∆d = 98gt(80 5c) a um capacitor onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A corrente maacutexima no circuito eacute 05 J Determine (a) a tensatildeo rms da fonte (b) a frequecircncia da fonte e (c) o valor da capacitacircncia
J3 ndash Um circuito AC eacute composto por um resistor de 250 Ω um indutor de 15 um capacitor de 35 e uma fonte de tensatildeo alternada com amplitude de 45 S operando com frequecircncia angular = 360 = frasl (a) Qual eacute o fator de potecircncia do circuito (b) Determine a potecircncia meacutedia aparente (S) fornecida ao circuito (c) Qual eacute a potecircncia meacutedia ativa (P) dissipada no resistor Qual eacute a potecircncia meacutedia reativa (Q) que fica armazenada no circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
38
J4 ndash Cinco voltiacutemetros com impedacircncia muito grande ajustados para ler valores rms estatildeo conectados conforme a figura ao lado Sendo F =200 Ω 2 = 04 H D = 6 e ∆S = 30 Vqual eacute a leitura da tensatildeo em cada voltiacutemetro se (a) = 200 = frasl e (b) =1000 = frasl
J5 ndash Num circuito RLC 2 = 028 e D = 4 A fonte fornece uma voltagem com amplitude de 120 S Qual eacute a frequecircncia angular de ressonacircncia do circuito (b) Quando a fonte opera na frequecircncia angular de ressonacircncia a amplitude da corrente no circuito eacute 17 J Qual a resistecircncia do resistor (c) Na frequecircncia angular de ressonacircncia quais satildeo as voltagens de pico no indutor capacitor e resistor
J6 ndash O circuito ao lado conteacutem uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal conforme ℇ = ℇgt(c) No estado de equiliacutebrio temos as correntes mostradas no circuito Sem recorrer a uma matemaacutetica complicada responda (a) Quais os valores de u e quando = 0 (frequecircncia zero significa que
a fonte foi substituida por uma bateria ideal) (b) Quais os valores de u e quando rarr infin (c) Qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia
Problemas Selecionados
39
J7 ndash Um indutor um capacitor e um resistor estatildeo conectados em seacuterie a uma fonte de tensatildeo alternada Se os valores da resistecircncia capacitacircncia e indutacircncia forem duplicados o que aconteceraacute com (a) a frequecircncia angular de ressonacircncia (b) a reatacircncia indutiva (c) a reatacircncia capacitiva e (d) a impedacircncia
J8 ndash O circuito abaixo eacute formado por uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal variando conforme ℇ = ℇgt(c) uma resistecircncia F = 6 Ω e uma parte desconhecida que pode conter um indutor um capacitor ou ambos A amplitude da fonte eacute ℇ = 6 S Quando a frequecircncia angular = 2 = a corrente estaacute em fase com a fonte enquanto que para = 1 = a corrente estaacute fora de fase em relaccedilatildeo agrave fonte por exatamente 5 4frasl (a) Quais componentes estatildeo presentes na parte desconhecida (um indutor um capacitor ou ambos) Explique (b) Determine os valores dos componentes desconhecidos
J9 ndash Um circuito em seacuterie possui impendecircncia de 60 Ω e fator de potecircncia igual a 072 em 50 A tensatildeo da fonte estaacute atrasada em relaccedilatildeo agrave corrente (a) Que elemento do circuito (um indutor ou um capacitor) deve ser ligado em seacuterie com o circuito para aumentar o fator de potecircncia (b) Qual deve ser o valor desse elemento para que o fator de potecircncia seja igual a 1 (c) Apresente diagramas de fasores esquemaacuteticos para o circuito antes e depois da ligaccedilatildeo do novo elemento
Manual de Laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
41
O PROCESSO DE MEDIDA NO LABORATOacuteRIO DE FIacuteSICA
Natildeo satildeo raros eventos em que nos valemos de medidas para tomarmos decisotildees Medimos nossa temperatura corporal para avaliarmos se necessitamos de tratamento Medimos a pressatildeo manomeacutetrica dos pneus para avaliarmos se precisamos injetar ou retirar ar neles Consultamos medidas da temperatura ambiente para escolhermos a roupa que vestiremos Consultamos o horaacuterio (medida de tempo) para natildeo chegarmos atrasados em encontros Medidas satildeo portanto fundamentais em nossas vidas No entanto usualmente natildeo nos preocupamos muito com a precisatildeo dessas medidas Em grande parte das vezes natildeo nos interessa saber se o horaacuterio informado no reloacutegio estaacute um pouco atrasado ou adiantado Natildeo nos preocupamos em saber o quanto podemos confiar nas temperaturas coletadas com um determinado termocircmetro Nossas medidas comumente satildeo realizadas de forma despretensiosa sem muito rigor
No laboratoacuterio de Fiacutesica isso ocorre de modo muito diferente Os processos de mediccedilatildeo satildeo mais minuciosos do que os que realizamos costumeiramente Desejamos obter a maior precisatildeo possiacutevel com os equipamentos de que dispomos Mas como fazer isso Como podemos melhorar a precisatildeo dos processos de mediccedilatildeo Intuitivamente podemos concluir que inferecircncias realizadas a partir de um conjunto de medidas satildeo mais precisas do que medidas isoladas Mas quando disponho de um conjunto de medidas como posso analisaacute-las Calcular a meacutedia delas eacute suficiente Responder a questotildees como essas eacute o objetivo desta atividade Para exemplificarmos todo esse processo realizaremos um debate sobre a mediccedilatildeo da resistecircncia interna de amperiacutemetros
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
42
O que satildeo amperiacutemetros
Um amperiacutemetro eacute um instrumento utilizado para a realizaccedilatildeo de medidas de correntes eleacutetricas Evidentemente natildeo queremos modificar os circuitos quando os exploramos com um instrumento Com amperiacutemetros natildeo eacute diferente Queremos medir correntes eleacutetricas sem alterar as caracteriacutesticas do circuito Mas como eacute possiacutevel fazer isso Natildeo discutiremos aqui os detalhes sobre o funcionamento interno de um amperiacutemetro No entanto vamos avaliaacute-los do ponto de vista de uma das suas caracteriacutesticas mais importantes a sua resistecircncia eleacutetrica
A resistecircncia eleacutetrica de um circuito influencia na intensidade da corrente eleacutetrica que circula nele A corrente eleacutetrica i que perpassa por uma resistecircncia eleacutetrica F submetida a uma tensatildeo ∆S por exemplo pode ser predita pela seguinte relaccedilatildeo
i = ∆u Eq 1
O amperiacutemetro precisa ser posicionado em seacuterie no circuito em que se deseja medir a corrente eleacutetrica como eacute exemplificado na figura
Figure 1- Medindo a resistecircncia interna de um multiacutemetro
Manual de Laboratoacuterio
43
1 Como a resistecircncia equivalente em circuitos em seacuteries eacute a soma da resistecircncia eleacutetrica de cada um dos seus componentes a resistecircncia interna dos amperiacutemetros se soma agrave resistecircncia equivalente do circuito investigado alterando a sua dinacircmica Por isso nosso desejo eacute que os amperiacutemetros tenham resistecircncia eleacutetrica nula No entanto a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro real por menor que seja nunca eacute nula Eles possuem um circuito interno com fios e diversos componentes eletrocircnicos que acabam provocando uma resistecircncia agrave circulaccedilatildeo de corrente eleacutetrica Ainda assim frequentemente desprezamos tal resistecircncia Seraacute que isso eacute razoaacutevel Quando podemos desprezar a resistecircncia interna dos amperiacutemetros e quando natildeo podemos Para respondermos tais perguntas precisamos conhecer o valor da resistecircncia interna tiacutepica de um amperiacutemetro
Medindo a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro
Nesta disciplina usaremos diversos amperiacutemetros de uma mesma marca e modelo em uma seacuterie de experimentos (Minipa ET-2075B) Por isso eacute interessante que conheccedilamos a resistecircncia eleacutetrica deles para podermos avaliar quando podemos desprezaacute-la e quando natildeo Mas como podemos obter essa informaccedilatildeo Podemos medi-la Um procedimento simples para isso eacute submeter o amperiacutemetro a uma diferenccedila de potencial ΔV conhecida e medir a corrente eleacutetrica i que passa por ele Desse modo podemos usar a Eq 1 para inferir a resistecircncia eleacutetrica do equipamento Mas podemos confiar em uma uacutenica medida Depende da precisatildeo de que necessitamos para essa medida Intuitivamente sabemos que se medirmos a resistecircncia interna a partir de um conjunto de dados poderemos ter uma maior confiabilidade nos dados No exemplo de que estamos tratando eacute possiacutevel se coletar dados da corrente no amperiacutemetro quando submetido a diferentes tensotildees Desse modo pode-se inferir a resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro pela declividade da reta constituiacuteda
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
44
pelos dados representados em um graacutefico da tensatildeo em funccedilatildeo da corrente eleacutetrica como pode ser constatado da Eq1 No entanto como temos incertezas associadas a cada dado experimental coletado esses dados natildeo seratildeo perfeitamente representados por uma reta Surge entatildeo uma nova questatildeo qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados
Ajuste de Curvas
Diversas retas podem ser ajustadas a um conjunto de dados experimental Qual delas utilizar Intuitivamente podemos conjecturar que a melhor reta a ser utilizada eacute aquela tal que a soma das diferenccedilas entre os valores de tensatildeo medidos e os preditos pela reta tenha o menor valor possiacutevel Em outras palavras queremos minimizar a soma
sum = = (∆Sz minus ∆S)z-
onde ∆Sz satildeo as tensotildees medidas e ∆S satildeo as tensotildees preditas pela reta ajustada
No entanto haacute um inconveniente importante no uso desse criteacuterio tal soma pode ser bem pequena para retas que natildeo apresentam bom ajuste aos dados se as diferenccedilas entre os valores medidos e os preditos se cancelarem sendo alguns positivos e outros negativos Nesses casos apesar de natildeo termos uma reta bem ajustada aos dados o criteacuterio utilizado
indicaria que sim Como resolver isso Elevando os valores de dn ao
Figura 1 - Diferenccedila de potencial em funccedilatildeo
da corrente
Manual de Laboratoacuterio
45
quadrado Ou seja podemos procurar a reta tal que a seguinte soma tenha o menor valor possiacutevel
sum =$ = (∆Sz minus ∆S)$z-
O meacutetodo que utiliza esse criteacuterio para a realizaccedilatildeo de ajustes de curvas que eacute amplamente utilizado no meio acadecircmico eacute denominado Meacutetodo dos Miacutenimos Quadrados Todos os softwares do tipo planilha eletrocircnica realizam esse caacutelculo automaticamente e nos valeremos disso quando necessaacuterio
Todos os amperiacutemetros da sala possuem a mesma resistecircncia interna
Ainda que todos os amperiacutemetros que utilizaremos nas nossas aulas sejam da mesma marca e modelo eles possuem diferentes resistecircncias internas Existe alguma forma de estimar a resistecircncia interna de um desses amperiacutemetros escolhido aleatoriamente Calcular a meacutedia das resistecircncias eacute suficiente para realizar essa estimativa
Variabilidade das medidas o desvio padratildeo amostral e da meacutedia
Apesar de as resistecircncias dos amperiacutemetros natildeo serem exatamente as mesmas elas possuem valores que se distribuem em torno de um valor meacutedio que eacute igual agrave meacutedia dessas resistecircncias Desse modo se tomarmos um dos amperiacutemetros aleatoriamente o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute igual agrave meacutedia das resistecircncias internas de todos os amperiacutemetros Mas quanto podemos confiar nessa estimativa Para respondermos tal pergunta eacute importante quantificarmos a variabilidade das resistecircncias r que medimos Quanto menor for essa variabilidade maior seraacute a nossa confianccedila para assumir que a resistecircncia interna de um amperiacutemetro particular eacute igual agrave meacutedia Intuitivamente podemos conjecturar que tal variabilidade pode ser medida pelo somatoacuterio das diferenccedilas entre as resistecircncias
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
46
medidas z e a meacutedia dessas resistecircncias ou seja por (- minus ) + ($ minus ) + ⋯ + ( minus ) onde N eacute o nuacutemero de medidas realizadas No entanto temos aqui um inconveniente semelhante ao que tivemos quando analisaacutevamos ajustes de curvas se valores positivos e negativos se cancelarem esse somatoacuterio pode ser muito pequeno mesmo quando os dados apresentam grande variabilidade Podemos propor a mesma soluccedilatildeo adotada anteriormente vamos elevar os termos ao quadrado Temos entatildeo a variabilidade dos dados sendo mensurada por (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$
A impossibilidade de comparaccedilatildeo entre as variabilidades de diferentes conjuntos de dados eacute a limitaccedilatildeo desta proposta pois o resultado desse somatoacuterio eacute altamente dependente da quantidade de termos Desse modo eacute possiacutevel que esse somatoacuterio seja maior para grandes conjuntos com pouca variabilidade do que para pequenos grupos com grande variabilidade Para amenizar tal limitaccedilatildeo podemos entatildeo dividir o somatoacuterio por N ou seja calcular a variabilidade por(- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$ Hfrasl Ainda que esse somatoacuterio seja conceitualmente interessante natildeo eacute essa a medida de dispersatildeo de dados que costuma ser utilizada no meio cientiacutefico mas algo que guarda alguma semelhanccedila com ele o desvio padratildeo dos dados (P) Ele eacute calculado por
PL = (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$H minus 1
Mas por que utilizamos essa equaccedilatildeo A resposta estaacute em suas propriedades Quando construiacutemos um histograma (graacutefico de frequecircncias) de um conjunto de medidas por exemplo podemos em muitos casos assumir que a distribuiccedilatildeo desses dados eacute representada por uma distribuiccedilatildeo normal A equaccedilatildeo que define essa distribuiccedilatildeo assim como sua representaccedilatildeo graacutefica eacute ilustrada na Figura 3
Manual de Laboratoacuterio
47
Natildeo eacute nosso objetivo aqui discutir detalhes da distribuiccedilatildeo normal O que desejamos destacar eacute que quando supomos que a distribuiccedilatildeo de um conjunto de dados eacute normal o que eacute bastante razoaacutevel na maioria das vezes o desvio padratildeo σ quantifica como os dados estatildeo distribuiacutedos Para entendermos isso analisemos a Figura 4
O intervalo compreendido pela meacutedia das medidas mais ou menos um desvio padratildeo compreende 68 das medidas realizadas No caso que estamos exemplificando se tomarmos a meacutedia das resistecircncias internas r de todos os amperiacutemetros investigados e o desvio padratildeo PL desses dados 68 das medidas estaratildeo no intervalo entre ( minus PL) e ( + PL) 95 no intervalo ( 2PL) e 99 no intervalo ( 257PL)
Figura 2 - A distribuiccedilatildeo normal eacute usualmente utilizada para representar a distribuiccedilatildeo
de frequecircncias de um conjunto de dados (Lima Jr et al 2013 p 30)
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
48
Agora jaacute sabemos como quantificar a variabilidade de um conjunto de dados Podemos entatildeo calcular a meacutedia e o desvio padratildeo das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros Mas surge entatildeo uma questatildeo Se analisaacutessemos um novo conjunto de amperiacutemetros da mesma marca e modelo dos exemplificados aqui a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros seria a mesma Provavelmente natildeo Temos como estimar a partir do conjunto de medidas que realizamos a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros Temos Para responder a essa questatildeo temos que compreender um novo conceito o de desvio padratildeo da meacutedia (PL) Ele eacute calculado por
PL = PLradicH
Natildeo vamos entrar em detalhes aqui sobre a origem do conceito de desvio padratildeo da meacutedia1 vamos apenas explicar como essa grandeza nos permite estimar a incerteza na meacutedia de um conjunto de medidas Para isso vamos supor um novo conjunto de N novas
1 Se vocecirc eacute um aluno curioso pesquise sobre o Teorema Central do Limite para compreender com mais profundidade o conceito de desvio padratildeo da meacutedia
Figura 3 - A meacutedia e o desvio padratildeo demarcam a distribuiccedilatildeo dos dados em uma
distribuiccedilatildeo normal Na figura o eixo das abcissas expressa a distacircncia da meacutedia em
unidades de desvio padratildeo (Lima Jr et al 2013 p 30)
Manual de Laboratoacuterio
49
medidas da resistecircncia interna de amperiacutemetros como os investigados nesta aula Qual seria a meacutedia dessas medidas Assim como o desvio padratildeo dos dados quantifica a dispersatildeo dos dados em torno da meacutedia o desvio padratildeo da meacutedia quantifica a dispersatildeo das meacutedias de subconjuntos de dados em torno da meacutedia de todo o conjunto de dados Aplicando esse conceito ao nosso exemplo podemos interpretar os dois conjuntos de medidas de resistecircncias internas como subconjuntos de um grande conjunto contendo todas as medidas Desse modo podemos afirmar com 68 de confianccedila que a meacutedia das N novas medidas a serem realizadas estaraacute no intervalo compreendido por ( PL) com 95 de confianccedila no intervalo ( 2PL) e com 99 de confianccedila no intervalo ( 257PL) O desvio padratildeo da meacutedia pode ser compreendido assim como a incerteza da meacutedia de um conjunto de medidas ou seja ele nos fornece uma estimativa da confiabilidade de uma meacutedia Em suma se escolhermos um amperiacutemetro aleatoriamente podemos dizer que i) o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute a meacutedia das resistecircncias de todos os amperiacutemetros e ii) a incerteza que temos nesse valor eacute igual ao desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias dos amperiacutemetros
E se eu soacute tivesse condiccedilotildees de realizar uma uacutenica medida
Nem sempre podemos realizar diversas medidas de uma grandeza Em alguns casos nem mesmo faz sentido realizar diversas medidas No entanto eacute evidente que existe uma incerteza associada a uma uacutenica medida Natildeo existem instrumentos que sejam perfeitamente precisos Entatildeo como podemos estimar essa incerteza Usualmente os manuais dos instrumentos trazem informaccedilotildees sobre isso Desse modo as incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica realizadas com um voltiacutemetro e um amperiacutemetro podem ser consultadas no manual do multiacutemetro utilizado Mas como eacute calculada a incerteza da resistecircncia interna de um amperiacutemetro que foi calculada a partir de
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
50
apenas uma medida de tensatildeo e uma de corrente eleacutetrica Nesse caso precisamos calcular a incerteza propagada das incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica
Os meacutetodos de caacutelculo de incertezas propagadas podem ser bastante complicados Aqui trataremos de um meacutetodo bastante simples usualmente denominado de Meacutetodo dos Limites Vamos exemplificaacute-lo supondo que a incerteza da tensatildeo sobre as entradas do amperiacutemetro eacute P- e da corrente eleacutetrica que circula por ele eacute P$ Ou seja a tensatildeo medida estaacute no intervalo entre ∆S minus P- e ∆S + P- e a corrente eleacutetrica entre i minus P$ e i + P$ Qual eacute entatildeo a incerteza da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro investigado Para responder isso basta calcularmos os valores limites dessa grandeza O maacuteximo valor possiacutevel para a resistecircncia ocorreraacute se a tensatildeo for ∆S + P- e a corrente eleacutetrica for i minus P$ Nesse caso usando a Eq 1 temos
aacutee = ∆S + P-i minus P$
Usando o mesmo raciociacutenio o valor miacutenimo de r seraacute
z = ∆S minus P-i + P$
Desse modo podemos dizer que o valor da resistecircncia interna medida estaacute no intervalo entre rmaacutex e rmiacuten Em outras palavras o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro eacute
F = iexclz + aacutee2 z minus aacutee2 cent
Manual de Laboratoacuterio
51
Erro eacute a mesma coisa que incerteza
Apesar de serem frequentemente utilizados como sinocircnimos os manuais de metrologia atribuem significados distintos aos conceitos de ldquoerrordquo e ldquoincertezardquo O Guia para Expressatildeo da Incerteza da Mediccedilatildeo (Joint Commitee for Guide in Metrology 2008 apud Lima Jr et al 2013) usa o termo ldquoerrordquo para indicar a diferenccedila entre o valor verdadeiro e o resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo o conceito de erro tem uso restrito pois satildeo poucos os casos em que conhecemos o valor verdadeiro de uma grandeza Satildeo exemplos desses casos experimentos em que se deseja mensurar a velocidade da luz no vaacutecuo ou o valor de π que satildeo valores previamente conhecidos pelo experimentador O caacutelculo do erro soacute faz sentido para casos em que sabemos o valor verdadeiro da grandeza que se quer medir
A incerteza por outro lado eacute entendida como uma estimativa que quantifica a confiabilidade do resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo quando calculamos o desvio padratildeo da meacutedia de um conjunto de medidas estamos calculando a incerteza da meacutedia dessas medidas ou seja estamos avaliando a confianccedila que podemos ter em adotar a meacutedia dessas medidas como o valor da grandeza mensurada O conceito de incerteza portanto tem maior aplicabilidade do que o conceito de erro
Algarismos significativos e incerteza
Uma questatildeo frequente nas aulas de laboratoacuterio eacute Com quantos algarismos uma grandeza deve ser apresentada No laboratoacuterio a resposta dessa questatildeo eacute uma funccedilatildeo da incerteza da grandeza Devemos apresentar os dados ateacute o seu primeiro algarismo duvidoso Voltemos ao exemplo da resistecircncia interna dos amperiacutemetros Suponhamos que a meacutedia das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros eacute 21546 Ω e o desvio padratildeo dessa meacutedia que eacute
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
52
entendido aqui como a incerteza da resistecircncia interna dos amperiacutemetros eacute 003 Ω Interpretando tais dados assumimos com 68 de certeza que a resistecircncia interna dos amperiacutemetros estaacute no intervalo entre 21246 e 21846 Ω Desse modo a segunda casa decimal da grandeza medida eacute duvidosa Por isso os algarismos subsequentes satildeo omitidos quando expressamos essa medida e a medida da resistecircncia interna dos amperiacutemetros exemplificados eacute exposta por (215 plusmn 003) Ω Em suma o resultado de uma mediccedilatildeo deve ser sempre expresso com a mesma quantidade de casas decimais que sua incerteza Os algarismos apresentados satildeo entatildeo chamados de algarismos significativos
Referecircncia
Lima Jr P Silva M T X Silveira F L Veit E A (2013) Laboratoacuterio de mecacircnica subsiacutedios para o ensino de Fiacutesica experimental Porto Alegre UFRGS Instituto de Fiacutesica Disponiacutevel em httphdlhandlenet1018390438
Manual de Laboratoacuterio
53
Atividade de Laboratoacuterio I Instrumentos de medida e incertezas
Este material foi cuidadosamente preparado para auxiliar no andamento das atividades no laboratoacuterio de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo Eacute importante responder TODAS as perguntas
(indicadas pelo siacutembolo ) feitas ao longo do texto discutindo com seu grupo possiacuteveis respostas e justificando-as Sempre que possiacutevel faccedila isso por escrito
TAREFA 1
Construa um circuito contendo um resistor de 1 kΩ em seacuterie com uma fonte de tensatildeo contiacutenua e um multiacutemetro Coloque o multiacutemetro na funccedilatildeo amperiacutemetro na escala de miliampere Usando outro multiacutemetro meccedila a tensatildeo no amperiacutemetro Realize medidas com diferentes correntes eleacutetricas variando a tensatildeo de saiacuteda da fonte
Como podemos tratar esses dados se nosso objetivo eacute medir a resistecircncia interna do amperiacutemetro
Qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
54
Para responder essas questotildees se dirija a um dos computadores da sala e use um aplicativo que possibilite a construccedilatildeo de graacuteficos SciDavis por exemplo Insira seus dados no aplicativo construa o graacutefico desejado e encontre a melhor reta que se ajusta aos dados
Qual foi a melhor reta ajustada Determine a equaccedilatildeo dessa reta ajustada
Qual eacute o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro que vocecirc investigou
TAREFA 2
Utilize as medidas de todos os grupos da turma e aplique os conhecimentos abordados na tarefa de leitura para responder as seguintes questotildees
Qual deve ser a resistecircncia interna de um amperiacutemetro escolhido aleatoriamente entre os utilizados nesta aula
Qual eacute a incerteza desse valor
TAREFA 3
Suponha que o manual do Minipa ET-2075B informe que as medidas de tensatildeo e corrente realizadas nas faixas de milivolt e miliampere tecircm incerteza de 3 Use esses dados para calcular a
Manual de Laboratoacuterio
55
incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1
Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma
Elas satildeo coerentes Por quecirc
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
56
CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO
Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por
equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC
Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras
O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se
Manual de Laboratoacuterio
57
extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo
No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador
Salvando vidas
ldquoafastem-se choquerdquo
Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de
sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos
O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo
Figura 4 - Desfibrilador
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
58
esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)
Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma
sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o
miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia
Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2
2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387
Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)
Manual de Laboratoacuterio
59
Circuito RC - seacuterie
Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C
Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que
∆S(c) + i(c)F = 0
Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo
i(c) = =C(c)=c
e a ddp no capacitor eacute dada por
∆S(c) = C(c)D
Dessa forma podemos dizer que
=C(c)=c = minus 1FD C(c)
Figura 6 - Circuito RC
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
60
Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa
funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja
derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever
C(c) = C7 ou
A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial
Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir
Capacitor Carregando Capacitor Descarregando
∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0
C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou
∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou
Manual de Laboratoacuterio
61
Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8
Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo
eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum
3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78
Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas
do capacitor durante o processo de
carga ou descarga
Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um
graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo
do tempo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
62
Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no
capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte
Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor
quando o mesmo estaacute sendo carregado
Manual de Laboratoacuterio
63
Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie
1 - Osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos
2 ndash Aparato Experimental
Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
64
conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto
Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)
Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio
Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees
Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala
Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)
Manual de Laboratoacuterio
65
TAREFA 1
Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees
Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico
Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito
Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito
Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos
Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio
TAREFA 2
Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie
Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
66
figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)
Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados
Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo
NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo
Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste
Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito
Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito
Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles
Manual de Laboratoacuterio
67
MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS
Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais
Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio
Para onde aponta a buacutessola
Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
68
polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc
E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial
tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos
que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a
soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio
4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja
httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4
Figura 10 - Buacutessola
Figura 11 - campo B resultante
Manual de Laboratoacuterio
69
Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por
umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O
Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde
Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde
Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma
iacuteatilde() = ∙
onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde
5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass
The Physics Teacher 49(1) 45-48
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
70
Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como
iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2
Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos
gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)
Logo
gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2
Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo
iacuteatilde() = amp
Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse
tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira
na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart
Manual de Laboratoacuterio
71
pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do
que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute
yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp
onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico
da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos
yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp
Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
72
Atividade de Laboratoacuterio III Projeto
OBJETIVO
Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
73
SUGESTAtildeO 1
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO
Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas
Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece
Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha
Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo
por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o
eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
74
SUGESTAtildeO 2
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA
Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)
Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica
Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de
uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)
Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema
Manual de Laboratoacuterio
75
SUGESTAtildeO 3
BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO
Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola
Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)
Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina
O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
76
SUGESTAtildeO 4
CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO
O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer
Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
77
MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO
Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro
Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental
6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
78
110 V 127 V e 220 V O que eacute isso
As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V
Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas
A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
(c) = Jgt(c + acute)
onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por
∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)
Manual de Laboratoacuterio
79
onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1
Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho
Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores
Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
80
caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por
∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf
∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712
∆Suparamiddot = ∆S7radic2
Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a
tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s
A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente
alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$
Figura 13 - Funccedilotildees seno e
seno quadrado
Manual de Laboratoacuterio
81
COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA
Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz
Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O
Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
82
que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio
Natildeo queremos jogar energia fora
Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14
Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie
Manual de Laboratoacuterio
83
Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por
0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)
onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)
Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
ℇ(c) = ℇ7gt(c)
onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente
Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na
figura 16 para um caso em que VL gt VC
Figura 15 - Diagrama de fasores
de um circuito RLC seacuterie com
fonte de tensatildeo alternada
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
84
A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que
acute = c8 S minus SSu
Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado
por
i(c) = gt(c minus acute)
Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente
as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que
ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$
ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$
Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como
0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)
Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que
0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$
Figura 16 ndash Soma de fasores
Manual de Laboratoacuterio
85
0eacutey = F ∙ uparamiddot$
onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square
Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que
F = frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte
Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade
7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL
Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e
resistecircncia num diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
86
do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como
0 = AJradicAJ$ + AF$
O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP
DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11
Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia
Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por
acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita
Manual de Laboratoacuterio
87
2 = 1D
Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica
Figura 18 - diagramas de fasores representando
um circuito capacitivo e um circuito indutivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
88
Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie
O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio
TAREFA 1
Circuito Resistivo
Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR
Manual de Laboratoacuterio
89
Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)
O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador
Circuito Capacitivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
90
Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor
Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Manual de Laboratoacuterio
91
Circuito Indutivo
Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor
O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
92
Circuito RLC
Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise
Manual de Laboratoacuterio
93
O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador
Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio
O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior
Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor
Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou
A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
94
TAREFA 2
Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente
Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir
Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima
Qual o valor da corrente maacutexima no circuito
Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)
O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique
Manual de Laboratoacuterio
95
TAREFA 3
Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito
Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees
Como isso eacute possiacutevel Explique
Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff
Respostas
96
Respostas
A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32
A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH
A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH
B3 Ae = Af = AtildeAcircf
B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl
B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH
B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l
B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD
B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -
C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc
(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7
C2 O = ~13deg
C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)
Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-
vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr
Respostas
97
C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM
C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD
(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD
C6 A = Eacute$Acirc
C7 A = Atilde$AcircL
D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma
das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp
D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(
D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1
no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)
D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme
D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D
E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)
E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D
E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml
F1 544 times 10
F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S
F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM
u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM
u (e) 0 = ℇMu
F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω
Respostas
98
F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965
G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n
G5 i = Ograve$g = 245 J
G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y
G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez
G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H
G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)
G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)
G15 (a) zL$brvbarM (b)
z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero
G16 z$L + z$L = z$L - + 1
G17 (a) pLM
amp (b) pusup3
ampL
G18 zzMu
G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)
z
G20 zNu saindo da folha
G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)
UgraveLMamp
fora do fio (a) z$L (b)
UgravebrvbarM$L (c)
Ugravebrvbarsup3ampL
G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13
G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM
ampu
H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior
Respostas
99
H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a
H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J
I2 Φ = pound$ sup1amp
I4 C = AcircsM
I6 (a) zM
NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar
J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a
(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S
J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu
(c) = -radic
J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm
(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013
Respostas
100
Bibliografia
Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il
Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il
Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il
Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm
Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il
Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il
Sumaacuterio
3
Sumaacuterio
Introduccedilatildeo 5 Notaccedilatildeo Vetorial 6 Conteuacutedo Programaacutetico 7 Problemas Selecionados 10
(A) Carga eleacutetrica 11
(B) Campo eleacutetrico 13
(C) Lei de Gauss 16
(D) Potencial eleacutetrico 18
(E) Capacitacircncia 20
(F) Corrente e resistecircncia 22
(G) Campo magneacutetico 25
(H) Lei de Faraday 32
(I) Indutacircncia 34
(J) Corrente Alternada 37
Sumaacuterio
4
Manual de Laboratoacuterio 40
O processo de medida no laboratoacuterio de Fiacutesica 41
Lab 1 ndash Instrumentos de medida e incertezas 53
Circuito RC ndash armazenando energia para utilizar
no momento certo 56
Lab 2 ndash Circuito RC ndash seacuterie 63
Medindo campos magneacuteticos 67
Lab 3 ndash Projeto 72
Medindo grandezas que variam rapidamente com o tempo 77
Compreendendo a conta de energia eleacutetrica 81
Lab 4 ndash Circuito RLC ndash seacuterie 88
Respostas 95
Bibliografia 99
Introduccedilatildeo
5
Introduccedilatildeo
Este livro eacute uma ferramenta de apoio agraves aulas de FIacuteSICA GERAL ndash ELETROMAGNETISMO do Instituto de Fiacutesica - UFRGS A primeira parte traz uma seleccedilatildeo de exerciacutecios e problemas que podem ser utilizados para melhor compreensatildeo dos conteuacutedos vistos em aula Os exerciacutecios sugeridos aqui devem servir apenas como um guia satildeo exemplos do niacutevel de dificuldade que pode ser exigido nas avaliaccedilotildees durante o curso O aluno que sentir dificuldade em resolver os exerciacutecios aqui sugeridos deve procurar apoio em outros materiais didaacuteticos que trazem um nuacutemero muito maior de exerciacutecios com variados graus de dificuldade
A segunda parte consiste num MANUAL DE LABORATOacuteRIO um conjunto de atividades que seratildeo realizados nas aulas experimentais O meacutetodo de avaliaccedilatildeo das atividades experimentais deve ser discutido com o professor
Este material estaacute em constante desenvolvimento e foi elaborado a com significativa contribuiccedilatildeo dos professores de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo da UFRGS em especial os professores Cristiano Krug Gabriel Vieira Soares Livio Amaral e Luiz Fernando Ziebell Muitas alteraccedilotildees foram feitas em relaccedilatildeo agraves ediccedilotildees anteriores para melhor atender agraves necessidades da disciplina Os exerciacutecios e problemas satildeo adaptaccedilotildees dos exerciacutecios sugeridos em livros de Fiacutesica Geral
Sugestotildees satildeo bem vindas e podem ser enviadas para os autores atraveacutes do e-mail raquelgiulianifufrgsbr
Notaccedilatildeo Vetorial
6
Notaccedilatildeo Vetorial
A notaccedilatildeo vetorial eacute ferramenta fundamental para o estudo do eletromagnetismo Neste livreto vetores estatildeo escritos no seguinte formato
= lang minus rang 13
que eacute equivalente a = minus + (13) ou ainda a = minus + (13) Quando o vetor tiver apenas uma componente
natildeo nula por exemplo na direccedilatildeo (ou ) entatildeo o vetor em questatildeo deve ser escrito da seguinte forma
= lang0 0 rang 13
Essa disciplina eacute ministrada por diversos professores cada um com suas preferecircncias quanto agrave notaccedilatildeo vetorial entre outros fatores Vocecirc como aluno tem o direito de escolher a notaccedilatildeo que lhe for mais conveniente desde que mantidas a coerecircncia e a exatidatildeo A notaccedilatildeo utilizada neste livreto natildeo eacute necessariamente a mesma do que a utilizada nas aulas e avaliaccedilotildees Converse com seu professor para qualquer esclarecimento
Conteuacutedo Programaacutetico
7
Conteuacutedo Programaacutetico
O conteuacutedo seraacute dividido em quatro aacutereas Ao final de cada aacuterea seraacute realizada uma prova que pode abranger todo o conteuacutedo visto ateacute entatildeo
1ordf semana Carga eleacutetrica (condutores isolantes carga induzida e forccedila eleacutetrica) Campo eleacutetrico (lei de Coulomb dipolo eleacutetrico)
2ordf semana Campo eleacutetrico (momento de dipolo eleacutetrico energia potencial eleacutetrica distribuiccedilotildees discretas e contiacutenuas de carga distribuiccedilotildees contiacutenuas de carga)
3ordf semana Lei de Gauss (fluxo eleacutetrico campo eleacutetrico proacuteximo a objetos simeacutetricos carregados cargas em condutores) PROVA I
4ordf semana Potencial eleacutetrico (potencial diferenccedila de potencial diferenccedila de energia potencial superfiacutecie equipotencial potencial proacuteximo a objetos carregados)
5ordf semana Laboratoacuterio 1 Capacitacircncia (capacitor de placas paralelas diferenccedila de potencial num capacitor capacitores ciliacutendricos e esfeacutericos capacitores em seacuterie e em paralelo capacitores com dieleacutetricos energia armazenada num capacitor)
6ordm semana Carga e descarga de capacitores Corrente e
resistecircncia (conservaccedilatildeo de carga corrente convencional e corrente de eleacutetrons densidade de corrente velocidade de deriva resistores resistividade e resistecircncia lei de Ohm)
Conteuacutedo Programaacutetico
8
7ordf semana Circuitos (baterias forccedila eletromotriz resistores em seacuterie e paralelo circuitos com baterias e resistores potecircncia em circuitos efeito Joule) Laboratoacuterio 2
8ordm semana Circuito RC (corrente num circuito com capacitor carregando eou descarregando)
9ordm semana Aula de problemas e PROVA II
10ordm e 11ordf semanas Campo Magneacutetico (lei de Biot-Savart campo magneacutetico produzido por corrente campo magneacutetico da Terra espira de corrente momento de dipolo magneacutetico dipolo magneacutetico lei de Gauss do magnetismo forccedila eletromagneacutetica forccedila magneacutetica num fio com corrente torque energia potencial magneacutetica) Laboratoacuterio 3
12ordf semana Lei de Ampegravere Efeito Hall Propriedades
Magneacuteticas da Mateacuteria (diamagnetismo paramagnetismo ferromagnetismo)
13ordf semana Laboratoacuterio 4 Aula de problemas e PROVA III
14ordf semana Lei de Faraday-Lenz (forccedila eletromotriz induzida fluxo magneacutetico variaacutevel no tempo transformadores corrente induzida)
15ordf semana Equaccedilotildees de Maxwell (corrente de deslocamento) Indutacircncia (indutores solenoide toroide) Laboratoacuterio 5
16ordf semana Corrente alternada (circuito RL e LC densidade de energia conservaccedilatildeo de energia)
17ordf semana Corrente alternada (circuito RLC ressonacircncia circuito resistivo capacitivo e indutivo circuito RLC forccedilado impedacircncia fator de potecircncia constante de fase diagrama de fasores) Laboratoacuterio 6
Conteuacutedo Programaacutetico
9
18ordf semana Aula de problemas e PROVA IV
19ordf semana Divulgaccedilatildeo dos resultados
20ordf semana RECUPERACcedilAtildeO OU EXAME
Problemas Selecionados
Problemas Selecionados
11
(A) Carga Eleacutetrica
A1 ndash Se vocecirc grudar um pedaccedilo de fita adesiva na mesa e desgrudaacute-lo puxando rapidamente uma das pontas a fita ficaraacute carregada eletricamente Supondo que a fita adesiva tenha 20 de comprimento e 1 de largura e que ao fazer isso vocecirc consiga arrancar 1 eleacutetron de cada aacutetomo da superfiacutecie da fita qual seraacute a carga eleacutetrica total da fita (por simplicidade considere o raio atocircmico = 1 Å)
A2 ndash Repetindo o mesmo procedimento com outro pedaccedilo idecircntico de fita adesiva e aproximando os dois pedaccedilos a uma distacircncia de 5 qual seraacute a forccedila eleacutetrica entre eles
A3 ndash Quatro partiacuteculas carregadas estatildeo dispostas no plano XY sendo = langminus3 0 0rang $ = lang 0 0rang amp = lang0 2 0rang e = lang0 minus2 0rang as distacircncias das cargas ateacute a origem A carga da partiacutecula 2 eacute ($ = 80 times 10-C a carga das partiacuteculas 3 e 4 eacute (amp = ( = minus1 6 times 10-C Qual deve ser a distacircncia para que seja nula a forccedila resultante sobre a partiacutecula 1
A4 ndash O dado mostrado na figura ao lado possui lado = 15 Qual a forccedila (vetor) exercida sobre a partiacutecula indicada pela seta devido agrave presenccedila das demais cargas Use notaccedilatildeo vetorial para indicar sua resposta (Dica defina a origem dos eixos cartesianos no veacutertice que estaacute escondido com o eixo z para cima Calcule as componentes da forccedila nas
direccedilotildees e separadamente soacute entatildeo some as componentes que estatildeo na mesma direccedilatildeo)
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
12
A5 ndash Trecircs partiacuteculas carregadas estatildeo dispostas num plano XY a
partiacutecula 1 na posiccedilatildeo 0- = lang0 15 0rang a partiacutecula 2 na posiccedilatildeo 0$ = lang0 minus15 0rang e a partiacutecula 3 na posiccedilatildeo 0amp = lang 0 0rang com liberdade para se mover no eixo (- = ($ = 32 times 10-C (amp = minus64 times 10-C pode variar de 0 a 5 Qual o valor de para que a forccedila exercida sobre a partiacutecula 3 (pelas demais cargas) seja (a) miacutenima e (b) maacutexima Quais satildeo os valores (c) miacutenimo e (d) maacuteximo do moacutedulo da forccedila
A6 ndash A figura ao lado mostra duas esferas condutoras de mesma massa e mesma carga ( suspensas por fios isolantes de comprimento 2 Mostre que para 2 ≫ as esferas estaratildeo em equiliacutebrio quando a distacircncia entre elas for igual a
= 4 ($2256789- ampfrasl
A7 ndash A forccedila gravitacional entre duas massas pontuais eacute muito similar matematicamente agrave forccedila eletrostaacutetica entre duas cargas pontuais A intensidade dessas forccedilas no entanto eacute extremamente diferente Para ilustrar isso considere a seguinte situaccedilatildeo Em algum lugar do espaccedilo existem duas esferas idecircnticas de poeira 50 de diacircmetro e densidade 25 8amp separadas por uma distacircncia = Se os gratildeos satildeo eletricamente neutros e estatildeo inicialmente em repouso eles iratildeo colidir devido agrave atraccedilatildeo gravitacional Agora suponha que ambos estatildeo eletricamente carregados cada um tendo um nuacutemero gt de eleacutetrons extra Encontre o menor valor de gt que iraacute evitar a colisatildeo (Considere = 667 times 10-- amp8-$)
Problemas Selecionados
13
(B) Campo Eleacutetrico
B1 ndash Um iacuteon de Fe3+ estaacute localizado a 400 gt de um iacuteon de Cl- como mostra a figura ao lado (a) Qual a magnitude direccedilatildeo e sentido do campo
eleacutetrico A na posiccedilatildeo A (b) E na posiccedilatildeo B (c) Se um eleacutetron estiver na posiccedilatildeo A qual seraacute a magnitude e direccedilatildeo da forccedila sobre o eleacutetron
B2 ndash Um quadrupolo eleacutetrico eacute formado por um conjunto de dois dipolos como mostra a figura ao lado Mostre que para ≫ = a magnitude do
campo A num ponto ao longo do eixo dos quadrupolos eacute dado por
A = 6(=$4567
B3 ndash Uma barra muito longa com densidade de carga B estaacute disposta conforme a figura ao lado (Alguns autores chamam esse tipo de barra de semi-infinita pois o ponto P estaacute proacuteximo a uma das extremidades da barra enquanto a outra extremidade estaacute muito distante) Mostre
que o campo eleacutetrico A no ponto P faz um acircngulo de 45deg com a barra independente da distacircncia Y (isto eacute as componentes x e y do campo tem a mesma magnitude)
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
14
B4 ndash Calcule o campo A proacuteximo a uma barra carregada com carga total Q e comprimento As cargas estatildeo distribuiacutedas de forma uniforme ao longo da barra = 015 C = 8 gtD e E = 5
B5 ndash A figura ao lado mostra um anel incompleto de raio F carregado com carga total C Qual a forccedila (vetor) exercida sobre um eleacutetron que por ventura esteja localizado no ponto 0
B6 ndash Um dipolo cujo momento dipolar eacute G = lang37 50 0rang D
encontra-se numa regiatildeo onde o campo A = lang3000 0 0rang H Dfrasl Qual a energia potencial do dipolo Qual o torque que age sobre o dipolo Qual eacute o trabalho que um agente externo deve realizar para girar o dipolo ateacute que seu momento dipolar seja G = langminus50 37 0rang D
B7 ndash Calcule a magnitude direccedilatildeo
e sentido do campo A no centro de um anel de raio F carregado sendo que a distribuiccedilatildeo de cargas no anel varia como B(I) = B7 gt I
Problemas Selecionados
15
B8 ndash Duas barras isolantes de 15 de comprimento encontram-se em um acircngulo reto Uma barra possui 30 D e a outra possui minus30 D de carga uniformemente distribuiacuteda ao longo do comprimento conforme a figura ao lado Determine o campo eleacutetrico (vetor) no ponto P que estaacute a = = 750 do centro de cada barra
B9 ndash Duas barras curvas isolantes com cargas opostas de igual magnitude ( formam um ciacuterculo de raio F no plano xy conforme a figura As cargas estatildeo uniformemente distribuiacutedas na barra (a) Qual o campo eleacutetrico (vetor) no ponto P (b) Qual a resposta do item (a) se ( = 20 GD e F = 10
B10 ndash Considere um cilindro de comprimento 2 e raio J oco carregado com carga total C Vocecirc estaacute interessado em saber qual eacute
o campo eleacutetrico A ao longo do eixo do cilindro numa de suas extremidades Para isso utilize dois caminhos distintos (a) considerando que o cilindro eacute formado por uma infinidade de barras de espessura infinitesimal todas com comprimento 2 dispostas num ciacuterculo de raio J e (b) considerando que o cilindro eacute formado por uma infinidade de aneacuteis de raio J cujos eixos estatildeo alinhados e juntos formam um cilindro de comprimento 2
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
16
(C) Lei de Gauss
C1 ndash Uma faacutebrica de bolinhas de gude foi atingida por um raio durante uma tempestade O preacutedio foi protegido por um paacutera-raios mas algumas descargas atingiram os equipamentos que fabricavam as bolinhas Resultado eacute que a bolinha que estava na maacutequina ao cair o raio recebeu uma descarga eleacutetrica e as cargas ficaram armazenadas
no interior da bolinha de forma que a densidade de carga K() = K7 -LM
(a) Qual o campo A na superfiacutecie da bolinha que tem raio = 2 (b) E no interior da bolinha 1 abaixo da superfiacutecie (c) Qual o
campo A a 5 da superfiacutecie da bolinha
C2 ndash A figura ao lado mostra uma bolinha com massa 0004 8 e carga 8 times 10N D suspensa por um fio nas proximidades de uma grande placa condutora carregada sendo que a densidade de carga da placa eacuteminus2 times 10 D $frasl Encontre um valor para o acircngulo O
C3 ndash Uma casca ciliacutendrica isolante e muito longa tem raio interno e externo e densidade volumeacutetrica de carga K Um fio tambeacutem muito longo tem densidade linear de carga B e estaacute alinhado com o eixo central da casca Qual o campo eleacutetrico na regiatildeo entre e
Problemas Selecionados
17
C4 ndash Uma carga C positiva estaacute no centro de um conjunto de calotas concecircntricas como mostra a figura abaixo O raio das calotas estaacute indicado na figura A mais externa eacute condutora e estaacute carregada com carga C negativa e a calota intermediaacuteria eacute isolante e possui carga liacutequida ( positiva distribuiacuteda de forma uniforme por
todo seu volume Calcule o campo A resultante em cada uma das 5 regiotildees indicadas na figura Indique a localizaccedilatildeo aproximada das cargas induzidas eou em excesso em cada regiatildeo e indique a direccedilatildeo e sentido dos campos eleacutetricos
C5 ndash Uma casca esfeacuterica com densidade volumeacutetrica de carga K = 20 gtDamp tem raio interno = 10 e raio externo = 2 conforme a figura Determine o moacutedulo do campo eleacutetrico para os seguintes raios a partir do centro (a) = 2frasl (b) = 15 (c) = 2
C6 ndash Usando a Lei de Gauss determine o campo eleacutetrico proacuteximo a uma placa muito grande com densidade superficial de carga P
C7 ndash Usando a Lei de Gauss determine o campo eleacutetrico proacuteximo a uma barra muito longa com densidade linear de carga B
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
18
(D) Potencial Eleacutetrico
D1 ndash A figura ao lado mostra um anel incompleto formado por trecircs segmentos de arco com densidade linear de carga constantesB- B$ e Bamp A menor delas tem carga total (- e comprimento de arco 54 As demais estatildeo indicadas na figura Qual o potencial eleacutetrico no centro do anel Qual deve ser a relaccedilatildeo entre as cargas para que o potencial eleacutetrico no centro do anel seja igual a zero
D2 ndash A figura ao lado mostra um dipolo eleacutetrico de momento dipolar |G| = R( Mostre que para ≫ R o potencial eleacutetrico no ponto P eacute dado por
S = 145T7G UO$
Dica quando ≫ R eacute razoaacutevel considerar que V cong $ e minus V cong R UO
D3 ndash Sobre uma mesa de bilhar estatildeo dispostas trecircs bolinhas Uma com carga +C outra com carga ndash C e uma terceira com carga +2C conforme mostra a figura ao lado (a) Qual o potencial no ponto P (b) Se uma quarta bolinha for colocada no centro do quadrado qual deve ser a carga da bolinha para que o potencial no ponto P seja nulo
Problemas Selecionados
19
D4 ndash Uma esfera oca isolante de raio F e carga C eacute colocada nas proximidades de uma placa muito grande cuja densidade superficial de carga eacute P (uniforme) A distacircncia entre a placa e a superfiacutecie da esfera eacute = Qual a diferenccedila de potencial entre o centro da esfera e a placa Dica calcule a ddp devido a cada objeto separadamente e some os resultados A diferenccedila de potencial entre dois pontos pode ser determinada a partir do campo eleacutetrico
D5 ndash Uma esfera isolante maciccedila possui densidade de carga K() = K7$ onde ρ0 eacute uma constante (a) Qual a diferenccedila de potencial entre os pontos b e c Se a densidade de carga fosse uniforme qual seria a diferenccedila de potencial entre os pontos b e c
D6 ndash Um fio tem densidade linear de carga B uniforme e foi dobrado no formato conforme mostra a figura abaixo Qual o potencial eleacutetrico no ponto P
D7 ndash Considere duas cascas esfeacutericas finas concecircntricas condutoras A casca interna tem raio = 15 e carga 10 gtD A casca externa tem raio = 30 e carga minus15 gtD Forneccedila expressotildees para o campo eleacutetrico e o potencial eleacutetrico para as diferentes regiotildees (a) lt 15 (b) 15 lt lt 30 (c) gt 30 Em todos os casos considere S = 0 em = infin
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
20
(E) Capacitacircncia
E1 ndash Sabendo que cada um dos capacitores no circuito ao lado tem capacitacircncia D = 10 e a diferenccedila de potencial na bateria eacute ΔS = 10 S qual eacute a carga do capacitor 1 E do capacitor 2
E2 ndash Encontre uma expressatildeo para a capacitacircncia dos capacitores abaixo sabendo que a distacircncia entre as placas eacute = a aacuterea das placas eacute 10 = o espaccedilo entre as placas estaacute preenchido por dois ou mais materiais de constantes dieleacutetricas distintas conforme mostra a figura abaixo Analisando cada capacitor separadamente eacute possiacutevel obter a mesma capacitacircncia com uma associaccedilatildeo de capacitores simples (preenchidos por um uacutenico material) Explique
E3 ndash Uma diferenccedila de potencial de 100 S eacute aplicada ao circuito ao lado onde D- = 10 D$ = 5 e Damp = 4 Se o capacitor 3 eacute substituiacutedo por um fio condutor qual eacute o aumento na carga do capacitor 1 Qual eacute o aumento na diferenccedila de potencial entre as placas do capacitor 1
(a) (b) (c)
Problemas Selecionados
21
E4 ndash No circuito ao lado a diferenccedila de potencial fornecida pela bateria eacute de 20 S Qual a capacitacircncia equivalente do circuito Qual a carga armazenada por essa capacitacircncia equivalente Qual a carga e ddp para os capacitores 1 2 e 3
E5 ndash Na figura ao lado a ddp da bateria eacute 10 S D- = 10 D$ = Damp = 2D- A chave eacute movida para a esquerda e somente depois que o capacitor 1 atingiu o equiliacutebrio a chave eacute movida para a direita Quando o equiliacutebrio eacute novamente atingido qual eacute a carga do capacitor 1
E6 ndash Um capacitor de placas paralelas com aacuterea J e espaccedilamento = eacute preenchido com vidro (6 = 267) Conectado a uma bateria o capacitor acumula carga C (a) Qual a energia armazenada no capacitor (b) Mantendo a bateria conectada a separaccedilatildeo entre as placas eacute aumentada para 2= (veja a figura) Qual a energia armazenada nessa nova situaccedilatildeo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
22
(F) Corrente e Resistecircncia
F1 ndash A figura ao lado mostra parte de um fio de cobre com diacircmetros =- = 4F e =$ = 8F por onde passa uma corrente uniforme = 4 e a diferenccedila de potencial ao longo desse comprimento eacute20 S O
nuacutemero de portadores de carga por unidade de volume eacute 849 times 10$N amp Qual eacute a velocidade de deriva dos eleacutetrons de conduccedilatildeo na porccedilatildeo do fio com diacircmetro =$
F2 ndash No circuito ao lado qual a magnitude e direccedilatildeo das correntes nos resistores F- F$ e Famp Para isso considere que ℇ- = 6 S ℇ$ = 12 SF- = 100 Ω F$ = 200 Ω Famp = 300 Ω O ciruito estaacute aterrado e nesse ponto S = 0 Qual eacute o potencial eleacutetrico no ponto A
F3 ndash Calcule a potecircncia total dissipada em cada circuito Considere que todas as resistecircncias satildeo iguais e as baterias satildeo ideais Expresse suas respostas em termos de ℇ e F
F4 ndash Se dois fios de mesmo comprimento um de cobre e outro de alumiacutenio apresentam a mesma resistecircncia qual deve ser a razatildeo entre seus raios
Problemas Selecionados
23
F5 ndash No circuito ao lado a potecircncia dissipada no resistor R eacute 20 a Qual o valor de R Qual a ddp entre os pontos A e B
F6 ndash A corrente medida por um amperiacutemetro A no circuito ao lado eacute a mesma quando ambas as chaves estatildeo abertas ou fechadas Qual o valor da resistecircncia R
F7 ndash Determine o valor da corrente que passa por cada um dos resistores a potecircncia fornecida por cada uma das fontes de tensatildeo e a potecircncia dissipada por cada um dos resistores Faccedila o balanccedilo energeacutetico do circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
24
F8 ndash No circuito ao lado a chave S permanece fechada por um longo tempo e a corrente no circuito atinge um valor constante Considere D- = 3 D$ = 6 F- = 4Ω e F$ = 7Ω A potecircncia dissipada em F$ eacute 24a (a) Determine as cargas em D- e D$ (b) Abrindo a chave S e aguardando um longo tempo qual a mudanccedila observada na carga do capacitor 2
F9 ndash Num circuito RC seacuterie como o da figura ao lado D = 1 F = 2 times 10bΩ e ℇ = 10S Dez segundos depois que a chave foi fechada determine (a) a carga no capacitor (b) a corrente no resistor (c) a taxa com que a energia eacute armazenada no capacitor (d) a taxa com que a bateria fornece energia para o circuito
F10 ndash Um capacitor eacute carregado atraveacutes de um resistor como mostra a figura no problema anterior Mostre que metade da energia fornecida pela bateria aparece como energia interna no resistor e a outra metade como energia eleacutetrica no capacitor
F11 ndash Um capacitor duas fontes ideais dois resistores e uma chave S satildeo mostrados no circuito da figura ao lado Suponha D = 12 ℇ- = 15 S ℇ$ = 30 S F- = 05 Ω e F$ = 08 Ω (a) Se a chave S permanece aberta por um longo tempo qual a carga no capacitor (b) Qual a carga no capacitor se a chave S permanece fechada por um longo tempo
Problemas Selecionados
25
F12 ndash No circuito ao lado a bateria fornece 10 S o capacitor eacute de 1 e os resistores tecircm as resistecircncias indicadas na figura O circuito estaacute ligado haacute um longo tempo (a) Qual a ddp entre os terminais do capacitor (b) Se a bateria for desconectada quanto tempo levaraacute para que essa ddp atinja um deacutecimo do valor inicial
-------------------------------------------------------------------------------------------
(G) Campo Magneacutetico
G1 ndash Um proacuteton atravessa uma regiatildeo de campo magneacutetico uniforme = lang10 20 30rang 13 No tempo c- o proacuteton tem uma velocidade d = langde df 2rang e a forccedila magneacutetica sobre o proacuteton eacute g = lang4 times 10-h minus2 times 10-h 0rang H Nesse instante qual o valor de de e df
G2 ndash Um proacuteton viaja atraveacutes de uma regiatildeo de campo eleacutetrico e
magneacutetico uniformes onde = langminus25 0 0rang 13 Num certo instante a velocidade do proacuteton eacute d = lang0 2000 0rang Qual a forccedila resultante que age sobre o proacuteton se o campo eleacutetrico for
(a) A = lang0 0 4rang S (b) A = lang0 0 minus4rang S ou
(c) A = lang4 0 0rang S
G3 ndash Uma espira retangular de lados e estaacute numa regiatildeo de campo
magneacutetico perpendicular ao plano da espira e eacute percorrida por uma corrente i constante conforme mostra a figura ao lado Determine o torque sobre a espira
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
26
G4 ndash Dois trilhos de metal separados por uma distacircncia = = 256 estatildeo ligados a uma bateria No momento em que uma barra de metal de massa = 241 8 eacute colocada sobre os trilhos (c = 0) ela fecha o circuito e por ela passa uma corrente i = 913 J O conjunto estaacute numa regiatildeo onde existe um campo magneacutetico uniforme = 563 13 Qual a velocidade da barra 611 depois Em que direccedilatildeo ela se move
G5 ndash A figura ao lado mostra um cilindro de madeira de massa = 250 8 e comprimento 2 =10 onde foi enrolado um fio formando uma espira de 10 voltas O cilindro eacute posicionado de forma que o eixo da espira estaacute perpendicular ao plano inclinado (paralelo agrave normal do plano
inclinado) Nessa regiatildeo haacute um campo magneacutetico = lang0 05 0rang 13 Qual deve ser o valor miacutenimo da corrente na espira capaz de manter o cilindro em sua posiccedilatildeo evitando que ele role para baixo
G6 ndash A figura ao lado mostra um iacutematilde e um anel condutor de raio por onde passa uma corrente i Se o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde faz um acircngulo O com a vertical na posiccedilatildeo onde estaacute o anel qual eacute a magnitude e a direccedilatildeo da forccedila resultante sobre o anel
Problemas Selecionados
27
G7 ndash Uma barra de metal com densidade de massa B (massa por unidade de comprimento) apresenta uma corrente i (saindo da paacutegina) A barra estaacute suspensa por dois fios num campo magneacutetico uniforme vertical como mostra a figura ao lado No equiliacutebrio os fios
fazem um acircngulo O com a vertical Qual a magnitude do campo magneacutetico
G8 ndash Um proacuteton com energia cineacutetica de 6 jS se move no plano da paacutegina e entra numa regiatildeo de campo magneacutetico = 1 13 direcionado para dentro da paacutegina como mostra a figura ao lado
O proacuteton entra na regiatildeo de campo com o vetor velocidade fazendo um acircngulo O- = 35deg com a borda da regiatildeo Qual eacute a distacircncia entre o ponto de entrada e saiacuteda ( na figura) Qual o valor de O$
G9 ndash Considere um eleacutetron orbitando um proacuteton numa trajetoacuteria circular de raio F = 529 times 10-- devido agrave atraccedilatildeo Coulombiana Considere o sistema como se fosse um anel por onde passa uma corrente Qual seraacute o torque resultante quando o sistema for colocado numa regiatildeo de campo magneacutetico = 04 13 perpendicular ao momento magneacutetico do anel
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
28
G10 ndash Um fio por onde passa uma corrente i foi moldado num formato semicircular de raio F e uma reta de comprimento 2F como mostra a figura ao lado Nessa mesma regiatildeo haacute um campo magneacutetico que aponta na direccedilatildeo + (representado pelos pontos azuis na figura ao lado) Mostre que a
forccedila resultante sobre o fio eacute zero
G11 ndash Um condutor ciliacutendrico longo de raio conteacutem duas cavidades cada uma com diacircmetro ao longo de todo o comprimento do fio Uma visatildeo da seccedilatildeo transversal do fio eacute mostrada na figura ao lado Uma corrente i uniforme (considerando a porccedilatildeo soacutelida do material) passa atraveacutes do fio e aponta para fora da paacutegina Determine a magnitude e direccedilatildeo do campo
magneacutetico em funccedilatildeo de 7 i e no ponto P
G12 ndash Dois fios muito longos por onde passa corrente i de mesma magnitude estatildeo moldados conforme a figura ao lado
Mostre que o campo magneacutetico no centro do ciacuterculo de raio R eacute o mesmo que o
campo a uma distacircncia R abaixo de um fio reto muito longo por onde passa uma corrente i
Problemas Selecionados
29
G13 ndash Encontre uma expressatildeo para determinar a magnitude do campo magneacutetico no ponto P da figura ao lado Dica considere a origem dos eixos cartesianos no ponto P
G14 ndash A figura ao lado mostra a seccedilatildeo transversal de um condutor oco de raio externo e interno por onde passa uma corrente uniforme i Demonstre que a magnitude do campo magneacutetico () para uma distacircncia lt lt eacute dada por
= 7i25($ minus $) $ minus $
G15 ndash A figura ao lado mostra um cabo coaxial de raios e Correntes opostas de igual magnitude estatildeo distribuiacutedas nos dois condutores Derive uma expressatildeo para calcular o campo magneacutetico () na regiatildeo (a) lt (b) lt lt (c) lt lt e (d) gt
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
30
G16 ndash Um fio condutor por onde passa uma corrente i foi torcido para formar um loop de raio R (no plano da paacutegina) como mostra a figura abaixo Qual a direccedilatildeo do campo magneacutetico no
centro do loop Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico no centro do loop
G17 ndash Uma corrente i passa por um fio condutor ciliacutendrico de raio R como mostra a figura ao lado A densidade de corrente l natildeo eacute uniforme atraveacutes da seccedilatildeo transversal do fio mas obedece agrave funccedilatildeo l = onde eacute uma constante Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico (a) a uma distacircncia - lt F e (b) a uma distacircncia $ gt F(em relaccedilatildeo ao centro do condutor)
G18 ndash Um fio condutor muito longo por onde passa uma corrente i- estaacute parcialmente envolto por um loop por onde passa uma corrente i$ (figura ao lado) O loop fio foi moldado num formato semiciliacutendrico de raio R e o comprimento L O fio condutor passa pelo eixo do loop Calcule a forccedila magneacutetica exercida sobre o loop
G19 ndash Considere um solenoide de comprimento 2 e raio F contendo H voltas de um fio por onde passa uma corrente i (a) Determine uma expressatildeo para
o campo magneacutetico num ponto ao longo do eixo do solenoide do lado de fora do solenoide como funccedilatildeo da distacircncia ateacute uma das pontas (considere = 0 no centro do solenoide e = a distacircncia do centro ateacute o ponto onde estaacute sendo calculado o campo ) (b) Mostre que para
Problemas Selecionados
31
valores muito grandes de 2 e = = 0 se aproxima de = 7i H 2frasl para posiccedilotildees ao longo do eixo no interior do solenoide distante das bordas
G20 ndash A figura ao lado mostra um fio moldado para formar duas seccedilotildees retas e um quarto de ciacuterculo por onde passa corrente i Determine o campo magneacutetico (vetor) no ponto P
G21 ndash Um fio ciliacutendrico espesso de raio eacute percorrido por uma corrente i Determine uma expressatildeo para o
campo magneacutetico dentro e fora do fio considerando que (a) a corrente estaacute distribuiacuteda uniformemente sobre a superfiacutecie externa do fio (b) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio com densidade de corrente l constante (c) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio de forma que a densidade de corrente l eacute proporcional agrave distacircncia ateacute o eixo do fio
G22 ndash Considere dois solenoides coaxiais cada um conduzindo uma corrente i em direccedilotildees opostas O solenoide interno de raio possui gt- voltas por unidade de comprimento o
solenoide externo possui raio e gt$ voltas por unidade de
comprimento Determine (a) no interior do conjunto (b) entre eles e (c) fora deles
G23 ndash Um fio condutor longo e reto de raio F conduz uma corrente natildeo uniforme cuja densidade de corrente eacute l = l7 Ffrasl onde l7 eacute uma constante A corrente total eacute i (a) Determine uma expressatildeo para i
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
32
em funccedilatildeo de l7 e F (b) Determine uma expressatildeo para o campo magneacutetico no interior do fio para uma distacircncia
G24 ndash A figura ao lado mostra um toroide que consiste num solenoide fechado em forma de anel (a) Considerando a simetria explique qual deve ser o formato do campo magneacutetico no interior desse toroide (b) Considere o toroide compacto (a separaccedilatildeo entre cada volta do fio eacute pequena) com N voltas conduzindo uma corrente i Usando a lei de Ampeacutere determine a magnitude do campo magneacutetico num ponto interno ao toroide a uma distacircncia do eixo principal (ver figura ao lado) (c) O campo magneacutetico no interior do toroide eacute um campo uniforme Explique
-------------------------------------------------------------------------------------------
(H) Lei de Faraday
H1 ndash A figura ao lado mostra dois aneis cujos eixos estatildeo alinhados separados por uma distacircncia x O anel maior tem raio F o anel menor tem raio Os aneis estatildeo separados por uma distacircncia ≫ F e por isso o campo magneacutetico devido agrave corrente no anel de raio F eacute praticamente uniforme no anel menor Considere que a distacircncia estaacute aumentando a uma taxa constante = =cfrasl = d (a) Determine uma expressatildeo para o fluxo de campo magneacutetico atraveacutes do anel menor como funccedilatildeo de Encontre uma expressatildeo para (b) a fem induzida e (c) a direccedilatildeo da corrente no anel menor
Problemas Selecionados
33
H2 ndash (a) Calcule o fluxo magneacutetico atraveacutes do retacircngulo mostrado na figura ao lado em funccedilatildeo de = i (b) Avalie o resultado encontrado para = 5 = 10 = = 2 e i = 20 J
H3 ndash Uma espira plana e circular de raio =75 estaacute em repouso numa regiatildeo de campo magneacutetico uniforme A espira estaacute orientada de tal forma que o campo magneacutetico aponta para cima
e faz um acircngulo de 30deg com a normal da espira O campo varia com
o tempo de acordo com (c) = 14(77nho) 13 (a) Determine a fem induzida na espira em funccedilatildeo do tempo (b) Para que valor de c a fem induzida eacute igual a um deacutecimo do seu valor inicial Determine o sentido da corrente induzida na espira se observada por cima da espira
H4 ndash Um retacircngulo que mede 30 times 40 estaacute localizado no interior de um campo magneacutetico uniforme de 125 13 com o campo perpendicular ao plano da bobina A bobina se move perpendicular ao campo com velocidade constante d =2 inclusive atingindo a regiatildeo
onde o campo termina abruptamente como mostra a figura ao lado Determine a fem induzida nessa bobina quando ela estaacute (a) inteiramente no interior do campo (b) parcialmente no interior do campo e (c) inteiramente fora do campo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
34
H5 ndash O fio na figura ao lado conduz
uma corrente i(c) = i7po onde gt 0 Determine o sentido da corrente induzida na bobina (horaacuterio ou anti-horaacuterio) para c gt 0
H6 ndash A figura ao lado mostra uma espira circular de raio contendo uma resistecircncia e um capacitor ligados em seacuterie imerso numa regiatildeo onde um campo magneacutetico uniforme (no espaccedilo) entrando no plano na paacutegina decresce no tempo a uma taxa constante = =cfrasl = minus sendo uma constante positiva (a) Qual a carga no capacitor quando ele estaacute completamente carregado (b) Qual das placas do capacitor estaacute em potencial mais elevado (c) Qual a origem da forccedila que causa a separaccedilatildeo de cargas
-------------------------------------------------------------------------------------------
(I) Indutacircncia
I1 ndash No circuito ao lado ℰ = 100 SF- = 10 Ω F$ = 20 Ω Famp = 30 Ω e 2 = 2 H Ao fechar a chave S quais os valores de i- e i$ Considere positivo o sentido das correntes indicadas na figura Muito tempo
depois quais satildeo os valores de i- e i$ A chave eacute entatildeo aberta Nesse instante quais satildeo os valores de i- e i$ E muito tempo depois quais satildeo os valores de i- e i$
Problemas Selecionados
35
I2 ndash Num circuito LC em seacuterie a carga inicial do capacitor eacute C e ele estaacute sendo descarregado Quando a carga no capacitor eacute igual a C 2frasl qual eacute o fluxo magneacutetico que atravessa cada uma das N espiras do indutor (como funccedilatildeo de C H 2 e D)
I3 ndash Uma bobina possui N voltas e estaacute envolvendo um solenoide longo de raio r com n espiras por unidade de comprimento (figura ao lado) (a) Mostre que a indutacircncia muacutetua do sistema eacute dada por j = 75F$gtH (b) Explique por que M natildeo depende do formato tamanho ou possiacutevel falta de proximidade das espiras na bobina
I4 ndash A fem autoinduzida num solenoide de indutacircncia L varia no tempo conforme ℇ(c) = ℇ7so Levando em consideraccedilatildeo que a carga eacute finita (ou seja i = 0 quando c = infin) determine a carga total que passa pelo solenoide (que atravessa um determinado ponto no fio que compotildee o solenoide)
I5 ndash Um fio condutor foi enrolado num papelatildeo formando um toroide com N espiras (voltas) raio menor r e maior R A seccedilatildeo transversal do toroide eacute mostrada na figura ao lado Se F ≫ o campo magneacutetico no interior do toroide eacute essencialmente o mesmo que o campo no interior de um solenoide muito longo que tenha sido
moldado no formato de um ciacuterculo de raio R Modelando o campo como se fosse o campo uniforme de um solenoide longo mostre que a indutacircncia desse toroide eacute
aproximadamente 2 asymp -$ 7H$ LMu
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
36
I6 ndash Um indutor consiste em duas cascas ciliacutendricas concecircntricas como mostra a figura A casca interna tem raio e a externa tem raio ambas com comprimento ℎ A casca interna transporta uma corrente i para fora e a externa para dentro do plano da paacutegina com igual magnitude Calcule na regiatildeo lt lt (a) a densidade de energia magneacutetica (b) a indutacircncia
I7 ndash Mostre que i(c) = i7o wx eacute a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial iF + 2 yzyo = 0 onde i7 eacute a corrente em c = 0 e = 2 Ffrasl
I8 ndash Um fio condutor de raio R transporta uma corrente uniforme A corrente total no fio eacute i Mostre que a energia magneacutetica por unidade de comprimento dentro do fio eacute dada por 7i$ 165frasl
I9 ndash Um cabo coaxial eacute formado por dois cilindros condutores de paredes finas com raios - e $ As correntes nos dois cilindros satildeo iguais em magnitude mas com sentidos opostos (a) Use a lei de Ampeacutere para determinar o campo magneacutetico como funccedilatildeo da distacircncia ao eixo do cabo nas regiotildees (0 lt lt -) ( - lt lt $ ) e ( gt $) (b) Mostre que a densidade de energia magneacutetica na regiatildeo entre os cilindros eacute dada por
| = 12 745 i$(5$)-
(c) Mostre que a energia magneacutetica total num volume de cabo com comprimento ~ eacute dada por
Problemas Selecionados
37
= i$~ ln LML
(d) Mostre que a autoindutacircncia por unidade de comprimento do cabo eacute dada por
2~ = 725 ln $-
-------------------------------------------------------------------------------------------
(J) Corrente Alternada
J1 ndash A tensatildeo de uma fonte de corrente alternada eacute dada por ∆d = 120gt(30 5c) onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A fonte eacute conectada a um indutor de 05 Determine (a) a frequecircncia da fonte (b) a voltagem rms no indutor (c) a reatacircncia indutiva do circuito (d) a corrente rms no indutor e (e) a corrente maacutexima no indutor
J2 ndash Uma fonte de tensatildeo alternada fornece uma tensatildeo ∆d = 98gt(80 5c) a um capacitor onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A corrente maacutexima no circuito eacute 05 J Determine (a) a tensatildeo rms da fonte (b) a frequecircncia da fonte e (c) o valor da capacitacircncia
J3 ndash Um circuito AC eacute composto por um resistor de 250 Ω um indutor de 15 um capacitor de 35 e uma fonte de tensatildeo alternada com amplitude de 45 S operando com frequecircncia angular = 360 = frasl (a) Qual eacute o fator de potecircncia do circuito (b) Determine a potecircncia meacutedia aparente (S) fornecida ao circuito (c) Qual eacute a potecircncia meacutedia ativa (P) dissipada no resistor Qual eacute a potecircncia meacutedia reativa (Q) que fica armazenada no circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
38
J4 ndash Cinco voltiacutemetros com impedacircncia muito grande ajustados para ler valores rms estatildeo conectados conforme a figura ao lado Sendo F =200 Ω 2 = 04 H D = 6 e ∆S = 30 Vqual eacute a leitura da tensatildeo em cada voltiacutemetro se (a) = 200 = frasl e (b) =1000 = frasl
J5 ndash Num circuito RLC 2 = 028 e D = 4 A fonte fornece uma voltagem com amplitude de 120 S Qual eacute a frequecircncia angular de ressonacircncia do circuito (b) Quando a fonte opera na frequecircncia angular de ressonacircncia a amplitude da corrente no circuito eacute 17 J Qual a resistecircncia do resistor (c) Na frequecircncia angular de ressonacircncia quais satildeo as voltagens de pico no indutor capacitor e resistor
J6 ndash O circuito ao lado conteacutem uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal conforme ℇ = ℇgt(c) No estado de equiliacutebrio temos as correntes mostradas no circuito Sem recorrer a uma matemaacutetica complicada responda (a) Quais os valores de u e quando = 0 (frequecircncia zero significa que
a fonte foi substituida por uma bateria ideal) (b) Quais os valores de u e quando rarr infin (c) Qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia
Problemas Selecionados
39
J7 ndash Um indutor um capacitor e um resistor estatildeo conectados em seacuterie a uma fonte de tensatildeo alternada Se os valores da resistecircncia capacitacircncia e indutacircncia forem duplicados o que aconteceraacute com (a) a frequecircncia angular de ressonacircncia (b) a reatacircncia indutiva (c) a reatacircncia capacitiva e (d) a impedacircncia
J8 ndash O circuito abaixo eacute formado por uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal variando conforme ℇ = ℇgt(c) uma resistecircncia F = 6 Ω e uma parte desconhecida que pode conter um indutor um capacitor ou ambos A amplitude da fonte eacute ℇ = 6 S Quando a frequecircncia angular = 2 = a corrente estaacute em fase com a fonte enquanto que para = 1 = a corrente estaacute fora de fase em relaccedilatildeo agrave fonte por exatamente 5 4frasl (a) Quais componentes estatildeo presentes na parte desconhecida (um indutor um capacitor ou ambos) Explique (b) Determine os valores dos componentes desconhecidos
J9 ndash Um circuito em seacuterie possui impendecircncia de 60 Ω e fator de potecircncia igual a 072 em 50 A tensatildeo da fonte estaacute atrasada em relaccedilatildeo agrave corrente (a) Que elemento do circuito (um indutor ou um capacitor) deve ser ligado em seacuterie com o circuito para aumentar o fator de potecircncia (b) Qual deve ser o valor desse elemento para que o fator de potecircncia seja igual a 1 (c) Apresente diagramas de fasores esquemaacuteticos para o circuito antes e depois da ligaccedilatildeo do novo elemento
Manual de Laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
41
O PROCESSO DE MEDIDA NO LABORATOacuteRIO DE FIacuteSICA
Natildeo satildeo raros eventos em que nos valemos de medidas para tomarmos decisotildees Medimos nossa temperatura corporal para avaliarmos se necessitamos de tratamento Medimos a pressatildeo manomeacutetrica dos pneus para avaliarmos se precisamos injetar ou retirar ar neles Consultamos medidas da temperatura ambiente para escolhermos a roupa que vestiremos Consultamos o horaacuterio (medida de tempo) para natildeo chegarmos atrasados em encontros Medidas satildeo portanto fundamentais em nossas vidas No entanto usualmente natildeo nos preocupamos muito com a precisatildeo dessas medidas Em grande parte das vezes natildeo nos interessa saber se o horaacuterio informado no reloacutegio estaacute um pouco atrasado ou adiantado Natildeo nos preocupamos em saber o quanto podemos confiar nas temperaturas coletadas com um determinado termocircmetro Nossas medidas comumente satildeo realizadas de forma despretensiosa sem muito rigor
No laboratoacuterio de Fiacutesica isso ocorre de modo muito diferente Os processos de mediccedilatildeo satildeo mais minuciosos do que os que realizamos costumeiramente Desejamos obter a maior precisatildeo possiacutevel com os equipamentos de que dispomos Mas como fazer isso Como podemos melhorar a precisatildeo dos processos de mediccedilatildeo Intuitivamente podemos concluir que inferecircncias realizadas a partir de um conjunto de medidas satildeo mais precisas do que medidas isoladas Mas quando disponho de um conjunto de medidas como posso analisaacute-las Calcular a meacutedia delas eacute suficiente Responder a questotildees como essas eacute o objetivo desta atividade Para exemplificarmos todo esse processo realizaremos um debate sobre a mediccedilatildeo da resistecircncia interna de amperiacutemetros
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
42
O que satildeo amperiacutemetros
Um amperiacutemetro eacute um instrumento utilizado para a realizaccedilatildeo de medidas de correntes eleacutetricas Evidentemente natildeo queremos modificar os circuitos quando os exploramos com um instrumento Com amperiacutemetros natildeo eacute diferente Queremos medir correntes eleacutetricas sem alterar as caracteriacutesticas do circuito Mas como eacute possiacutevel fazer isso Natildeo discutiremos aqui os detalhes sobre o funcionamento interno de um amperiacutemetro No entanto vamos avaliaacute-los do ponto de vista de uma das suas caracteriacutesticas mais importantes a sua resistecircncia eleacutetrica
A resistecircncia eleacutetrica de um circuito influencia na intensidade da corrente eleacutetrica que circula nele A corrente eleacutetrica i que perpassa por uma resistecircncia eleacutetrica F submetida a uma tensatildeo ∆S por exemplo pode ser predita pela seguinte relaccedilatildeo
i = ∆u Eq 1
O amperiacutemetro precisa ser posicionado em seacuterie no circuito em que se deseja medir a corrente eleacutetrica como eacute exemplificado na figura
Figure 1- Medindo a resistecircncia interna de um multiacutemetro
Manual de Laboratoacuterio
43
1 Como a resistecircncia equivalente em circuitos em seacuteries eacute a soma da resistecircncia eleacutetrica de cada um dos seus componentes a resistecircncia interna dos amperiacutemetros se soma agrave resistecircncia equivalente do circuito investigado alterando a sua dinacircmica Por isso nosso desejo eacute que os amperiacutemetros tenham resistecircncia eleacutetrica nula No entanto a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro real por menor que seja nunca eacute nula Eles possuem um circuito interno com fios e diversos componentes eletrocircnicos que acabam provocando uma resistecircncia agrave circulaccedilatildeo de corrente eleacutetrica Ainda assim frequentemente desprezamos tal resistecircncia Seraacute que isso eacute razoaacutevel Quando podemos desprezar a resistecircncia interna dos amperiacutemetros e quando natildeo podemos Para respondermos tais perguntas precisamos conhecer o valor da resistecircncia interna tiacutepica de um amperiacutemetro
Medindo a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro
Nesta disciplina usaremos diversos amperiacutemetros de uma mesma marca e modelo em uma seacuterie de experimentos (Minipa ET-2075B) Por isso eacute interessante que conheccedilamos a resistecircncia eleacutetrica deles para podermos avaliar quando podemos desprezaacute-la e quando natildeo Mas como podemos obter essa informaccedilatildeo Podemos medi-la Um procedimento simples para isso eacute submeter o amperiacutemetro a uma diferenccedila de potencial ΔV conhecida e medir a corrente eleacutetrica i que passa por ele Desse modo podemos usar a Eq 1 para inferir a resistecircncia eleacutetrica do equipamento Mas podemos confiar em uma uacutenica medida Depende da precisatildeo de que necessitamos para essa medida Intuitivamente sabemos que se medirmos a resistecircncia interna a partir de um conjunto de dados poderemos ter uma maior confiabilidade nos dados No exemplo de que estamos tratando eacute possiacutevel se coletar dados da corrente no amperiacutemetro quando submetido a diferentes tensotildees Desse modo pode-se inferir a resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro pela declividade da reta constituiacuteda
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
44
pelos dados representados em um graacutefico da tensatildeo em funccedilatildeo da corrente eleacutetrica como pode ser constatado da Eq1 No entanto como temos incertezas associadas a cada dado experimental coletado esses dados natildeo seratildeo perfeitamente representados por uma reta Surge entatildeo uma nova questatildeo qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados
Ajuste de Curvas
Diversas retas podem ser ajustadas a um conjunto de dados experimental Qual delas utilizar Intuitivamente podemos conjecturar que a melhor reta a ser utilizada eacute aquela tal que a soma das diferenccedilas entre os valores de tensatildeo medidos e os preditos pela reta tenha o menor valor possiacutevel Em outras palavras queremos minimizar a soma
sum = = (∆Sz minus ∆S)z-
onde ∆Sz satildeo as tensotildees medidas e ∆S satildeo as tensotildees preditas pela reta ajustada
No entanto haacute um inconveniente importante no uso desse criteacuterio tal soma pode ser bem pequena para retas que natildeo apresentam bom ajuste aos dados se as diferenccedilas entre os valores medidos e os preditos se cancelarem sendo alguns positivos e outros negativos Nesses casos apesar de natildeo termos uma reta bem ajustada aos dados o criteacuterio utilizado
indicaria que sim Como resolver isso Elevando os valores de dn ao
Figura 1 - Diferenccedila de potencial em funccedilatildeo
da corrente
Manual de Laboratoacuterio
45
quadrado Ou seja podemos procurar a reta tal que a seguinte soma tenha o menor valor possiacutevel
sum =$ = (∆Sz minus ∆S)$z-
O meacutetodo que utiliza esse criteacuterio para a realizaccedilatildeo de ajustes de curvas que eacute amplamente utilizado no meio acadecircmico eacute denominado Meacutetodo dos Miacutenimos Quadrados Todos os softwares do tipo planilha eletrocircnica realizam esse caacutelculo automaticamente e nos valeremos disso quando necessaacuterio
Todos os amperiacutemetros da sala possuem a mesma resistecircncia interna
Ainda que todos os amperiacutemetros que utilizaremos nas nossas aulas sejam da mesma marca e modelo eles possuem diferentes resistecircncias internas Existe alguma forma de estimar a resistecircncia interna de um desses amperiacutemetros escolhido aleatoriamente Calcular a meacutedia das resistecircncias eacute suficiente para realizar essa estimativa
Variabilidade das medidas o desvio padratildeo amostral e da meacutedia
Apesar de as resistecircncias dos amperiacutemetros natildeo serem exatamente as mesmas elas possuem valores que se distribuem em torno de um valor meacutedio que eacute igual agrave meacutedia dessas resistecircncias Desse modo se tomarmos um dos amperiacutemetros aleatoriamente o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute igual agrave meacutedia das resistecircncias internas de todos os amperiacutemetros Mas quanto podemos confiar nessa estimativa Para respondermos tal pergunta eacute importante quantificarmos a variabilidade das resistecircncias r que medimos Quanto menor for essa variabilidade maior seraacute a nossa confianccedila para assumir que a resistecircncia interna de um amperiacutemetro particular eacute igual agrave meacutedia Intuitivamente podemos conjecturar que tal variabilidade pode ser medida pelo somatoacuterio das diferenccedilas entre as resistecircncias
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
46
medidas z e a meacutedia dessas resistecircncias ou seja por (- minus ) + ($ minus ) + ⋯ + ( minus ) onde N eacute o nuacutemero de medidas realizadas No entanto temos aqui um inconveniente semelhante ao que tivemos quando analisaacutevamos ajustes de curvas se valores positivos e negativos se cancelarem esse somatoacuterio pode ser muito pequeno mesmo quando os dados apresentam grande variabilidade Podemos propor a mesma soluccedilatildeo adotada anteriormente vamos elevar os termos ao quadrado Temos entatildeo a variabilidade dos dados sendo mensurada por (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$
A impossibilidade de comparaccedilatildeo entre as variabilidades de diferentes conjuntos de dados eacute a limitaccedilatildeo desta proposta pois o resultado desse somatoacuterio eacute altamente dependente da quantidade de termos Desse modo eacute possiacutevel que esse somatoacuterio seja maior para grandes conjuntos com pouca variabilidade do que para pequenos grupos com grande variabilidade Para amenizar tal limitaccedilatildeo podemos entatildeo dividir o somatoacuterio por N ou seja calcular a variabilidade por(- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$ Hfrasl Ainda que esse somatoacuterio seja conceitualmente interessante natildeo eacute essa a medida de dispersatildeo de dados que costuma ser utilizada no meio cientiacutefico mas algo que guarda alguma semelhanccedila com ele o desvio padratildeo dos dados (P) Ele eacute calculado por
PL = (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$H minus 1
Mas por que utilizamos essa equaccedilatildeo A resposta estaacute em suas propriedades Quando construiacutemos um histograma (graacutefico de frequecircncias) de um conjunto de medidas por exemplo podemos em muitos casos assumir que a distribuiccedilatildeo desses dados eacute representada por uma distribuiccedilatildeo normal A equaccedilatildeo que define essa distribuiccedilatildeo assim como sua representaccedilatildeo graacutefica eacute ilustrada na Figura 3
Manual de Laboratoacuterio
47
Natildeo eacute nosso objetivo aqui discutir detalhes da distribuiccedilatildeo normal O que desejamos destacar eacute que quando supomos que a distribuiccedilatildeo de um conjunto de dados eacute normal o que eacute bastante razoaacutevel na maioria das vezes o desvio padratildeo σ quantifica como os dados estatildeo distribuiacutedos Para entendermos isso analisemos a Figura 4
O intervalo compreendido pela meacutedia das medidas mais ou menos um desvio padratildeo compreende 68 das medidas realizadas No caso que estamos exemplificando se tomarmos a meacutedia das resistecircncias internas r de todos os amperiacutemetros investigados e o desvio padratildeo PL desses dados 68 das medidas estaratildeo no intervalo entre ( minus PL) e ( + PL) 95 no intervalo ( 2PL) e 99 no intervalo ( 257PL)
Figura 2 - A distribuiccedilatildeo normal eacute usualmente utilizada para representar a distribuiccedilatildeo
de frequecircncias de um conjunto de dados (Lima Jr et al 2013 p 30)
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
48
Agora jaacute sabemos como quantificar a variabilidade de um conjunto de dados Podemos entatildeo calcular a meacutedia e o desvio padratildeo das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros Mas surge entatildeo uma questatildeo Se analisaacutessemos um novo conjunto de amperiacutemetros da mesma marca e modelo dos exemplificados aqui a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros seria a mesma Provavelmente natildeo Temos como estimar a partir do conjunto de medidas que realizamos a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros Temos Para responder a essa questatildeo temos que compreender um novo conceito o de desvio padratildeo da meacutedia (PL) Ele eacute calculado por
PL = PLradicH
Natildeo vamos entrar em detalhes aqui sobre a origem do conceito de desvio padratildeo da meacutedia1 vamos apenas explicar como essa grandeza nos permite estimar a incerteza na meacutedia de um conjunto de medidas Para isso vamos supor um novo conjunto de N novas
1 Se vocecirc eacute um aluno curioso pesquise sobre o Teorema Central do Limite para compreender com mais profundidade o conceito de desvio padratildeo da meacutedia
Figura 3 - A meacutedia e o desvio padratildeo demarcam a distribuiccedilatildeo dos dados em uma
distribuiccedilatildeo normal Na figura o eixo das abcissas expressa a distacircncia da meacutedia em
unidades de desvio padratildeo (Lima Jr et al 2013 p 30)
Manual de Laboratoacuterio
49
medidas da resistecircncia interna de amperiacutemetros como os investigados nesta aula Qual seria a meacutedia dessas medidas Assim como o desvio padratildeo dos dados quantifica a dispersatildeo dos dados em torno da meacutedia o desvio padratildeo da meacutedia quantifica a dispersatildeo das meacutedias de subconjuntos de dados em torno da meacutedia de todo o conjunto de dados Aplicando esse conceito ao nosso exemplo podemos interpretar os dois conjuntos de medidas de resistecircncias internas como subconjuntos de um grande conjunto contendo todas as medidas Desse modo podemos afirmar com 68 de confianccedila que a meacutedia das N novas medidas a serem realizadas estaraacute no intervalo compreendido por ( PL) com 95 de confianccedila no intervalo ( 2PL) e com 99 de confianccedila no intervalo ( 257PL) O desvio padratildeo da meacutedia pode ser compreendido assim como a incerteza da meacutedia de um conjunto de medidas ou seja ele nos fornece uma estimativa da confiabilidade de uma meacutedia Em suma se escolhermos um amperiacutemetro aleatoriamente podemos dizer que i) o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute a meacutedia das resistecircncias de todos os amperiacutemetros e ii) a incerteza que temos nesse valor eacute igual ao desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias dos amperiacutemetros
E se eu soacute tivesse condiccedilotildees de realizar uma uacutenica medida
Nem sempre podemos realizar diversas medidas de uma grandeza Em alguns casos nem mesmo faz sentido realizar diversas medidas No entanto eacute evidente que existe uma incerteza associada a uma uacutenica medida Natildeo existem instrumentos que sejam perfeitamente precisos Entatildeo como podemos estimar essa incerteza Usualmente os manuais dos instrumentos trazem informaccedilotildees sobre isso Desse modo as incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica realizadas com um voltiacutemetro e um amperiacutemetro podem ser consultadas no manual do multiacutemetro utilizado Mas como eacute calculada a incerteza da resistecircncia interna de um amperiacutemetro que foi calculada a partir de
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
50
apenas uma medida de tensatildeo e uma de corrente eleacutetrica Nesse caso precisamos calcular a incerteza propagada das incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica
Os meacutetodos de caacutelculo de incertezas propagadas podem ser bastante complicados Aqui trataremos de um meacutetodo bastante simples usualmente denominado de Meacutetodo dos Limites Vamos exemplificaacute-lo supondo que a incerteza da tensatildeo sobre as entradas do amperiacutemetro eacute P- e da corrente eleacutetrica que circula por ele eacute P$ Ou seja a tensatildeo medida estaacute no intervalo entre ∆S minus P- e ∆S + P- e a corrente eleacutetrica entre i minus P$ e i + P$ Qual eacute entatildeo a incerteza da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro investigado Para responder isso basta calcularmos os valores limites dessa grandeza O maacuteximo valor possiacutevel para a resistecircncia ocorreraacute se a tensatildeo for ∆S + P- e a corrente eleacutetrica for i minus P$ Nesse caso usando a Eq 1 temos
aacutee = ∆S + P-i minus P$
Usando o mesmo raciociacutenio o valor miacutenimo de r seraacute
z = ∆S minus P-i + P$
Desse modo podemos dizer que o valor da resistecircncia interna medida estaacute no intervalo entre rmaacutex e rmiacuten Em outras palavras o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro eacute
F = iexclz + aacutee2 z minus aacutee2 cent
Manual de Laboratoacuterio
51
Erro eacute a mesma coisa que incerteza
Apesar de serem frequentemente utilizados como sinocircnimos os manuais de metrologia atribuem significados distintos aos conceitos de ldquoerrordquo e ldquoincertezardquo O Guia para Expressatildeo da Incerteza da Mediccedilatildeo (Joint Commitee for Guide in Metrology 2008 apud Lima Jr et al 2013) usa o termo ldquoerrordquo para indicar a diferenccedila entre o valor verdadeiro e o resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo o conceito de erro tem uso restrito pois satildeo poucos os casos em que conhecemos o valor verdadeiro de uma grandeza Satildeo exemplos desses casos experimentos em que se deseja mensurar a velocidade da luz no vaacutecuo ou o valor de π que satildeo valores previamente conhecidos pelo experimentador O caacutelculo do erro soacute faz sentido para casos em que sabemos o valor verdadeiro da grandeza que se quer medir
A incerteza por outro lado eacute entendida como uma estimativa que quantifica a confiabilidade do resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo quando calculamos o desvio padratildeo da meacutedia de um conjunto de medidas estamos calculando a incerteza da meacutedia dessas medidas ou seja estamos avaliando a confianccedila que podemos ter em adotar a meacutedia dessas medidas como o valor da grandeza mensurada O conceito de incerteza portanto tem maior aplicabilidade do que o conceito de erro
Algarismos significativos e incerteza
Uma questatildeo frequente nas aulas de laboratoacuterio eacute Com quantos algarismos uma grandeza deve ser apresentada No laboratoacuterio a resposta dessa questatildeo eacute uma funccedilatildeo da incerteza da grandeza Devemos apresentar os dados ateacute o seu primeiro algarismo duvidoso Voltemos ao exemplo da resistecircncia interna dos amperiacutemetros Suponhamos que a meacutedia das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros eacute 21546 Ω e o desvio padratildeo dessa meacutedia que eacute
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
52
entendido aqui como a incerteza da resistecircncia interna dos amperiacutemetros eacute 003 Ω Interpretando tais dados assumimos com 68 de certeza que a resistecircncia interna dos amperiacutemetros estaacute no intervalo entre 21246 e 21846 Ω Desse modo a segunda casa decimal da grandeza medida eacute duvidosa Por isso os algarismos subsequentes satildeo omitidos quando expressamos essa medida e a medida da resistecircncia interna dos amperiacutemetros exemplificados eacute exposta por (215 plusmn 003) Ω Em suma o resultado de uma mediccedilatildeo deve ser sempre expresso com a mesma quantidade de casas decimais que sua incerteza Os algarismos apresentados satildeo entatildeo chamados de algarismos significativos
Referecircncia
Lima Jr P Silva M T X Silveira F L Veit E A (2013) Laboratoacuterio de mecacircnica subsiacutedios para o ensino de Fiacutesica experimental Porto Alegre UFRGS Instituto de Fiacutesica Disponiacutevel em httphdlhandlenet1018390438
Manual de Laboratoacuterio
53
Atividade de Laboratoacuterio I Instrumentos de medida e incertezas
Este material foi cuidadosamente preparado para auxiliar no andamento das atividades no laboratoacuterio de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo Eacute importante responder TODAS as perguntas
(indicadas pelo siacutembolo ) feitas ao longo do texto discutindo com seu grupo possiacuteveis respostas e justificando-as Sempre que possiacutevel faccedila isso por escrito
TAREFA 1
Construa um circuito contendo um resistor de 1 kΩ em seacuterie com uma fonte de tensatildeo contiacutenua e um multiacutemetro Coloque o multiacutemetro na funccedilatildeo amperiacutemetro na escala de miliampere Usando outro multiacutemetro meccedila a tensatildeo no amperiacutemetro Realize medidas com diferentes correntes eleacutetricas variando a tensatildeo de saiacuteda da fonte
Como podemos tratar esses dados se nosso objetivo eacute medir a resistecircncia interna do amperiacutemetro
Qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
54
Para responder essas questotildees se dirija a um dos computadores da sala e use um aplicativo que possibilite a construccedilatildeo de graacuteficos SciDavis por exemplo Insira seus dados no aplicativo construa o graacutefico desejado e encontre a melhor reta que se ajusta aos dados
Qual foi a melhor reta ajustada Determine a equaccedilatildeo dessa reta ajustada
Qual eacute o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro que vocecirc investigou
TAREFA 2
Utilize as medidas de todos os grupos da turma e aplique os conhecimentos abordados na tarefa de leitura para responder as seguintes questotildees
Qual deve ser a resistecircncia interna de um amperiacutemetro escolhido aleatoriamente entre os utilizados nesta aula
Qual eacute a incerteza desse valor
TAREFA 3
Suponha que o manual do Minipa ET-2075B informe que as medidas de tensatildeo e corrente realizadas nas faixas de milivolt e miliampere tecircm incerteza de 3 Use esses dados para calcular a
Manual de Laboratoacuterio
55
incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1
Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma
Elas satildeo coerentes Por quecirc
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
56
CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO
Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por
equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC
Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras
O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se
Manual de Laboratoacuterio
57
extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo
No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador
Salvando vidas
ldquoafastem-se choquerdquo
Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de
sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos
O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo
Figura 4 - Desfibrilador
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
58
esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)
Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma
sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o
miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia
Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2
2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387
Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)
Manual de Laboratoacuterio
59
Circuito RC - seacuterie
Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C
Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que
∆S(c) + i(c)F = 0
Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo
i(c) = =C(c)=c
e a ddp no capacitor eacute dada por
∆S(c) = C(c)D
Dessa forma podemos dizer que
=C(c)=c = minus 1FD C(c)
Figura 6 - Circuito RC
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
60
Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa
funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja
derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever
C(c) = C7 ou
A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial
Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir
Capacitor Carregando Capacitor Descarregando
∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0
C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou
∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou
Manual de Laboratoacuterio
61
Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8
Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo
eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum
3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78
Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas
do capacitor durante o processo de
carga ou descarga
Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um
graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo
do tempo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
62
Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no
capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte
Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor
quando o mesmo estaacute sendo carregado
Manual de Laboratoacuterio
63
Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie
1 - Osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos
2 ndash Aparato Experimental
Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
64
conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto
Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)
Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio
Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees
Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala
Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)
Manual de Laboratoacuterio
65
TAREFA 1
Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees
Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico
Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito
Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito
Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos
Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio
TAREFA 2
Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie
Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
66
figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)
Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados
Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo
NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo
Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste
Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito
Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito
Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles
Manual de Laboratoacuterio
67
MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS
Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais
Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio
Para onde aponta a buacutessola
Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
68
polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc
E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial
tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos
que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a
soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio
4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja
httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4
Figura 10 - Buacutessola
Figura 11 - campo B resultante
Manual de Laboratoacuterio
69
Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por
umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O
Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde
Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde
Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma
iacuteatilde() = ∙
onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde
5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass
The Physics Teacher 49(1) 45-48
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
70
Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como
iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2
Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos
gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)
Logo
gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2
Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo
iacuteatilde() = amp
Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse
tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira
na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart
Manual de Laboratoacuterio
71
pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do
que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute
yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp
onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico
da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos
yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp
Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
72
Atividade de Laboratoacuterio III Projeto
OBJETIVO
Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
73
SUGESTAtildeO 1
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO
Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas
Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece
Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha
Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo
por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o
eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
74
SUGESTAtildeO 2
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA
Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)
Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica
Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de
uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)
Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema
Manual de Laboratoacuterio
75
SUGESTAtildeO 3
BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO
Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola
Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)
Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina
O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
76
SUGESTAtildeO 4
CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO
O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer
Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
77
MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO
Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro
Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental
6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
78
110 V 127 V e 220 V O que eacute isso
As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V
Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas
A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
(c) = Jgt(c + acute)
onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por
∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)
Manual de Laboratoacuterio
79
onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1
Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho
Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores
Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
80
caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por
∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf
∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712
∆Suparamiddot = ∆S7radic2
Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a
tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s
A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente
alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$
Figura 13 - Funccedilotildees seno e
seno quadrado
Manual de Laboratoacuterio
81
COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA
Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz
Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O
Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
82
que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio
Natildeo queremos jogar energia fora
Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14
Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie
Manual de Laboratoacuterio
83
Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por
0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)
onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)
Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
ℇ(c) = ℇ7gt(c)
onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente
Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na
figura 16 para um caso em que VL gt VC
Figura 15 - Diagrama de fasores
de um circuito RLC seacuterie com
fonte de tensatildeo alternada
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
84
A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que
acute = c8 S minus SSu
Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado
por
i(c) = gt(c minus acute)
Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente
as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que
ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$
ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$
Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como
0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)
Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que
0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$
Figura 16 ndash Soma de fasores
Manual de Laboratoacuterio
85
0eacutey = F ∙ uparamiddot$
onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square
Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que
F = frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte
Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade
7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL
Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e
resistecircncia num diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
86
do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como
0 = AJradicAJ$ + AF$
O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP
DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11
Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia
Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por
acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita
Manual de Laboratoacuterio
87
2 = 1D
Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica
Figura 18 - diagramas de fasores representando
um circuito capacitivo e um circuito indutivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
88
Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie
O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio
TAREFA 1
Circuito Resistivo
Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR
Manual de Laboratoacuterio
89
Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)
O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador
Circuito Capacitivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
90
Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor
Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Manual de Laboratoacuterio
91
Circuito Indutivo
Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor
O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
92
Circuito RLC
Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise
Manual de Laboratoacuterio
93
O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador
Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio
O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior
Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor
Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou
A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
94
TAREFA 2
Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente
Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir
Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima
Qual o valor da corrente maacutexima no circuito
Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)
O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique
Manual de Laboratoacuterio
95
TAREFA 3
Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito
Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees
Como isso eacute possiacutevel Explique
Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff
Respostas
96
Respostas
A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32
A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH
A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH
B3 Ae = Af = AtildeAcircf
B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl
B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH
B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l
B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD
B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -
C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc
(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7
C2 O = ~13deg
C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)
Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-
vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr
Respostas
97
C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM
C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD
(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD
C6 A = Eacute$Acirc
C7 A = Atilde$AcircL
D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma
das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp
D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(
D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1
no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)
D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme
D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D
E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)
E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D
E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml
F1 544 times 10
F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S
F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM
u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM
u (e) 0 = ℇMu
F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω
Respostas
98
F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965
G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n
G5 i = Ograve$g = 245 J
G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y
G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez
G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H
G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)
G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)
G15 (a) zL$brvbarM (b)
z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero
G16 z$L + z$L = z$L - + 1
G17 (a) pLM
amp (b) pusup3
ampL
G18 zzMu
G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)
z
G20 zNu saindo da folha
G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)
UgraveLMamp
fora do fio (a) z$L (b)
UgravebrvbarM$L (c)
Ugravebrvbarsup3ampL
G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13
G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM
ampu
H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior
Respostas
99
H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a
H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J
I2 Φ = pound$ sup1amp
I4 C = AcircsM
I6 (a) zM
NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar
J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a
(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S
J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu
(c) = -radic
J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm
(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013
Respostas
100
Bibliografia
Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il
Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il
Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il
Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm
Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il
Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il
Introduccedilatildeo
5
Introduccedilatildeo
Este livro eacute uma ferramenta de apoio agraves aulas de FIacuteSICA GERAL ndash ELETROMAGNETISMO do Instituto de Fiacutesica - UFRGS A primeira parte traz uma seleccedilatildeo de exerciacutecios e problemas que podem ser utilizados para melhor compreensatildeo dos conteuacutedos vistos em aula Os exerciacutecios sugeridos aqui devem servir apenas como um guia satildeo exemplos do niacutevel de dificuldade que pode ser exigido nas avaliaccedilotildees durante o curso O aluno que sentir dificuldade em resolver os exerciacutecios aqui sugeridos deve procurar apoio em outros materiais didaacuteticos que trazem um nuacutemero muito maior de exerciacutecios com variados graus de dificuldade
A segunda parte consiste num MANUAL DE LABORATOacuteRIO um conjunto de atividades que seratildeo realizados nas aulas experimentais O meacutetodo de avaliaccedilatildeo das atividades experimentais deve ser discutido com o professor
Este material estaacute em constante desenvolvimento e foi elaborado a com significativa contribuiccedilatildeo dos professores de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo da UFRGS em especial os professores Cristiano Krug Gabriel Vieira Soares Livio Amaral e Luiz Fernando Ziebell Muitas alteraccedilotildees foram feitas em relaccedilatildeo agraves ediccedilotildees anteriores para melhor atender agraves necessidades da disciplina Os exerciacutecios e problemas satildeo adaptaccedilotildees dos exerciacutecios sugeridos em livros de Fiacutesica Geral
Sugestotildees satildeo bem vindas e podem ser enviadas para os autores atraveacutes do e-mail raquelgiulianifufrgsbr
Notaccedilatildeo Vetorial
6
Notaccedilatildeo Vetorial
A notaccedilatildeo vetorial eacute ferramenta fundamental para o estudo do eletromagnetismo Neste livreto vetores estatildeo escritos no seguinte formato
= lang minus rang 13
que eacute equivalente a = minus + (13) ou ainda a = minus + (13) Quando o vetor tiver apenas uma componente
natildeo nula por exemplo na direccedilatildeo (ou ) entatildeo o vetor em questatildeo deve ser escrito da seguinte forma
= lang0 0 rang 13
Essa disciplina eacute ministrada por diversos professores cada um com suas preferecircncias quanto agrave notaccedilatildeo vetorial entre outros fatores Vocecirc como aluno tem o direito de escolher a notaccedilatildeo que lhe for mais conveniente desde que mantidas a coerecircncia e a exatidatildeo A notaccedilatildeo utilizada neste livreto natildeo eacute necessariamente a mesma do que a utilizada nas aulas e avaliaccedilotildees Converse com seu professor para qualquer esclarecimento
Conteuacutedo Programaacutetico
7
Conteuacutedo Programaacutetico
O conteuacutedo seraacute dividido em quatro aacutereas Ao final de cada aacuterea seraacute realizada uma prova que pode abranger todo o conteuacutedo visto ateacute entatildeo
1ordf semana Carga eleacutetrica (condutores isolantes carga induzida e forccedila eleacutetrica) Campo eleacutetrico (lei de Coulomb dipolo eleacutetrico)
2ordf semana Campo eleacutetrico (momento de dipolo eleacutetrico energia potencial eleacutetrica distribuiccedilotildees discretas e contiacutenuas de carga distribuiccedilotildees contiacutenuas de carga)
3ordf semana Lei de Gauss (fluxo eleacutetrico campo eleacutetrico proacuteximo a objetos simeacutetricos carregados cargas em condutores) PROVA I
4ordf semana Potencial eleacutetrico (potencial diferenccedila de potencial diferenccedila de energia potencial superfiacutecie equipotencial potencial proacuteximo a objetos carregados)
5ordf semana Laboratoacuterio 1 Capacitacircncia (capacitor de placas paralelas diferenccedila de potencial num capacitor capacitores ciliacutendricos e esfeacutericos capacitores em seacuterie e em paralelo capacitores com dieleacutetricos energia armazenada num capacitor)
6ordm semana Carga e descarga de capacitores Corrente e
resistecircncia (conservaccedilatildeo de carga corrente convencional e corrente de eleacutetrons densidade de corrente velocidade de deriva resistores resistividade e resistecircncia lei de Ohm)
Conteuacutedo Programaacutetico
8
7ordf semana Circuitos (baterias forccedila eletromotriz resistores em seacuterie e paralelo circuitos com baterias e resistores potecircncia em circuitos efeito Joule) Laboratoacuterio 2
8ordm semana Circuito RC (corrente num circuito com capacitor carregando eou descarregando)
9ordm semana Aula de problemas e PROVA II
10ordm e 11ordf semanas Campo Magneacutetico (lei de Biot-Savart campo magneacutetico produzido por corrente campo magneacutetico da Terra espira de corrente momento de dipolo magneacutetico dipolo magneacutetico lei de Gauss do magnetismo forccedila eletromagneacutetica forccedila magneacutetica num fio com corrente torque energia potencial magneacutetica) Laboratoacuterio 3
12ordf semana Lei de Ampegravere Efeito Hall Propriedades
Magneacuteticas da Mateacuteria (diamagnetismo paramagnetismo ferromagnetismo)
13ordf semana Laboratoacuterio 4 Aula de problemas e PROVA III
14ordf semana Lei de Faraday-Lenz (forccedila eletromotriz induzida fluxo magneacutetico variaacutevel no tempo transformadores corrente induzida)
15ordf semana Equaccedilotildees de Maxwell (corrente de deslocamento) Indutacircncia (indutores solenoide toroide) Laboratoacuterio 5
16ordf semana Corrente alternada (circuito RL e LC densidade de energia conservaccedilatildeo de energia)
17ordf semana Corrente alternada (circuito RLC ressonacircncia circuito resistivo capacitivo e indutivo circuito RLC forccedilado impedacircncia fator de potecircncia constante de fase diagrama de fasores) Laboratoacuterio 6
Conteuacutedo Programaacutetico
9
18ordf semana Aula de problemas e PROVA IV
19ordf semana Divulgaccedilatildeo dos resultados
20ordf semana RECUPERACcedilAtildeO OU EXAME
Problemas Selecionados
Problemas Selecionados
11
(A) Carga Eleacutetrica
A1 ndash Se vocecirc grudar um pedaccedilo de fita adesiva na mesa e desgrudaacute-lo puxando rapidamente uma das pontas a fita ficaraacute carregada eletricamente Supondo que a fita adesiva tenha 20 de comprimento e 1 de largura e que ao fazer isso vocecirc consiga arrancar 1 eleacutetron de cada aacutetomo da superfiacutecie da fita qual seraacute a carga eleacutetrica total da fita (por simplicidade considere o raio atocircmico = 1 Å)
A2 ndash Repetindo o mesmo procedimento com outro pedaccedilo idecircntico de fita adesiva e aproximando os dois pedaccedilos a uma distacircncia de 5 qual seraacute a forccedila eleacutetrica entre eles
A3 ndash Quatro partiacuteculas carregadas estatildeo dispostas no plano XY sendo = langminus3 0 0rang $ = lang 0 0rang amp = lang0 2 0rang e = lang0 minus2 0rang as distacircncias das cargas ateacute a origem A carga da partiacutecula 2 eacute ($ = 80 times 10-C a carga das partiacuteculas 3 e 4 eacute (amp = ( = minus1 6 times 10-C Qual deve ser a distacircncia para que seja nula a forccedila resultante sobre a partiacutecula 1
A4 ndash O dado mostrado na figura ao lado possui lado = 15 Qual a forccedila (vetor) exercida sobre a partiacutecula indicada pela seta devido agrave presenccedila das demais cargas Use notaccedilatildeo vetorial para indicar sua resposta (Dica defina a origem dos eixos cartesianos no veacutertice que estaacute escondido com o eixo z para cima Calcule as componentes da forccedila nas
direccedilotildees e separadamente soacute entatildeo some as componentes que estatildeo na mesma direccedilatildeo)
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
12
A5 ndash Trecircs partiacuteculas carregadas estatildeo dispostas num plano XY a
partiacutecula 1 na posiccedilatildeo 0- = lang0 15 0rang a partiacutecula 2 na posiccedilatildeo 0$ = lang0 minus15 0rang e a partiacutecula 3 na posiccedilatildeo 0amp = lang 0 0rang com liberdade para se mover no eixo (- = ($ = 32 times 10-C (amp = minus64 times 10-C pode variar de 0 a 5 Qual o valor de para que a forccedila exercida sobre a partiacutecula 3 (pelas demais cargas) seja (a) miacutenima e (b) maacutexima Quais satildeo os valores (c) miacutenimo e (d) maacuteximo do moacutedulo da forccedila
A6 ndash A figura ao lado mostra duas esferas condutoras de mesma massa e mesma carga ( suspensas por fios isolantes de comprimento 2 Mostre que para 2 ≫ as esferas estaratildeo em equiliacutebrio quando a distacircncia entre elas for igual a
= 4 ($2256789- ampfrasl
A7 ndash A forccedila gravitacional entre duas massas pontuais eacute muito similar matematicamente agrave forccedila eletrostaacutetica entre duas cargas pontuais A intensidade dessas forccedilas no entanto eacute extremamente diferente Para ilustrar isso considere a seguinte situaccedilatildeo Em algum lugar do espaccedilo existem duas esferas idecircnticas de poeira 50 de diacircmetro e densidade 25 8amp separadas por uma distacircncia = Se os gratildeos satildeo eletricamente neutros e estatildeo inicialmente em repouso eles iratildeo colidir devido agrave atraccedilatildeo gravitacional Agora suponha que ambos estatildeo eletricamente carregados cada um tendo um nuacutemero gt de eleacutetrons extra Encontre o menor valor de gt que iraacute evitar a colisatildeo (Considere = 667 times 10-- amp8-$)
Problemas Selecionados
13
(B) Campo Eleacutetrico
B1 ndash Um iacuteon de Fe3+ estaacute localizado a 400 gt de um iacuteon de Cl- como mostra a figura ao lado (a) Qual a magnitude direccedilatildeo e sentido do campo
eleacutetrico A na posiccedilatildeo A (b) E na posiccedilatildeo B (c) Se um eleacutetron estiver na posiccedilatildeo A qual seraacute a magnitude e direccedilatildeo da forccedila sobre o eleacutetron
B2 ndash Um quadrupolo eleacutetrico eacute formado por um conjunto de dois dipolos como mostra a figura ao lado Mostre que para ≫ = a magnitude do
campo A num ponto ao longo do eixo dos quadrupolos eacute dado por
A = 6(=$4567
B3 ndash Uma barra muito longa com densidade de carga B estaacute disposta conforme a figura ao lado (Alguns autores chamam esse tipo de barra de semi-infinita pois o ponto P estaacute proacuteximo a uma das extremidades da barra enquanto a outra extremidade estaacute muito distante) Mostre
que o campo eleacutetrico A no ponto P faz um acircngulo de 45deg com a barra independente da distacircncia Y (isto eacute as componentes x e y do campo tem a mesma magnitude)
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
14
B4 ndash Calcule o campo A proacuteximo a uma barra carregada com carga total Q e comprimento As cargas estatildeo distribuiacutedas de forma uniforme ao longo da barra = 015 C = 8 gtD e E = 5
B5 ndash A figura ao lado mostra um anel incompleto de raio F carregado com carga total C Qual a forccedila (vetor) exercida sobre um eleacutetron que por ventura esteja localizado no ponto 0
B6 ndash Um dipolo cujo momento dipolar eacute G = lang37 50 0rang D
encontra-se numa regiatildeo onde o campo A = lang3000 0 0rang H Dfrasl Qual a energia potencial do dipolo Qual o torque que age sobre o dipolo Qual eacute o trabalho que um agente externo deve realizar para girar o dipolo ateacute que seu momento dipolar seja G = langminus50 37 0rang D
B7 ndash Calcule a magnitude direccedilatildeo
e sentido do campo A no centro de um anel de raio F carregado sendo que a distribuiccedilatildeo de cargas no anel varia como B(I) = B7 gt I
Problemas Selecionados
15
B8 ndash Duas barras isolantes de 15 de comprimento encontram-se em um acircngulo reto Uma barra possui 30 D e a outra possui minus30 D de carga uniformemente distribuiacuteda ao longo do comprimento conforme a figura ao lado Determine o campo eleacutetrico (vetor) no ponto P que estaacute a = = 750 do centro de cada barra
B9 ndash Duas barras curvas isolantes com cargas opostas de igual magnitude ( formam um ciacuterculo de raio F no plano xy conforme a figura As cargas estatildeo uniformemente distribuiacutedas na barra (a) Qual o campo eleacutetrico (vetor) no ponto P (b) Qual a resposta do item (a) se ( = 20 GD e F = 10
B10 ndash Considere um cilindro de comprimento 2 e raio J oco carregado com carga total C Vocecirc estaacute interessado em saber qual eacute
o campo eleacutetrico A ao longo do eixo do cilindro numa de suas extremidades Para isso utilize dois caminhos distintos (a) considerando que o cilindro eacute formado por uma infinidade de barras de espessura infinitesimal todas com comprimento 2 dispostas num ciacuterculo de raio J e (b) considerando que o cilindro eacute formado por uma infinidade de aneacuteis de raio J cujos eixos estatildeo alinhados e juntos formam um cilindro de comprimento 2
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
16
(C) Lei de Gauss
C1 ndash Uma faacutebrica de bolinhas de gude foi atingida por um raio durante uma tempestade O preacutedio foi protegido por um paacutera-raios mas algumas descargas atingiram os equipamentos que fabricavam as bolinhas Resultado eacute que a bolinha que estava na maacutequina ao cair o raio recebeu uma descarga eleacutetrica e as cargas ficaram armazenadas
no interior da bolinha de forma que a densidade de carga K() = K7 -LM
(a) Qual o campo A na superfiacutecie da bolinha que tem raio = 2 (b) E no interior da bolinha 1 abaixo da superfiacutecie (c) Qual o
campo A a 5 da superfiacutecie da bolinha
C2 ndash A figura ao lado mostra uma bolinha com massa 0004 8 e carga 8 times 10N D suspensa por um fio nas proximidades de uma grande placa condutora carregada sendo que a densidade de carga da placa eacuteminus2 times 10 D $frasl Encontre um valor para o acircngulo O
C3 ndash Uma casca ciliacutendrica isolante e muito longa tem raio interno e externo e densidade volumeacutetrica de carga K Um fio tambeacutem muito longo tem densidade linear de carga B e estaacute alinhado com o eixo central da casca Qual o campo eleacutetrico na regiatildeo entre e
Problemas Selecionados
17
C4 ndash Uma carga C positiva estaacute no centro de um conjunto de calotas concecircntricas como mostra a figura abaixo O raio das calotas estaacute indicado na figura A mais externa eacute condutora e estaacute carregada com carga C negativa e a calota intermediaacuteria eacute isolante e possui carga liacutequida ( positiva distribuiacuteda de forma uniforme por
todo seu volume Calcule o campo A resultante em cada uma das 5 regiotildees indicadas na figura Indique a localizaccedilatildeo aproximada das cargas induzidas eou em excesso em cada regiatildeo e indique a direccedilatildeo e sentido dos campos eleacutetricos
C5 ndash Uma casca esfeacuterica com densidade volumeacutetrica de carga K = 20 gtDamp tem raio interno = 10 e raio externo = 2 conforme a figura Determine o moacutedulo do campo eleacutetrico para os seguintes raios a partir do centro (a) = 2frasl (b) = 15 (c) = 2
C6 ndash Usando a Lei de Gauss determine o campo eleacutetrico proacuteximo a uma placa muito grande com densidade superficial de carga P
C7 ndash Usando a Lei de Gauss determine o campo eleacutetrico proacuteximo a uma barra muito longa com densidade linear de carga B
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
18
(D) Potencial Eleacutetrico
D1 ndash A figura ao lado mostra um anel incompleto formado por trecircs segmentos de arco com densidade linear de carga constantesB- B$ e Bamp A menor delas tem carga total (- e comprimento de arco 54 As demais estatildeo indicadas na figura Qual o potencial eleacutetrico no centro do anel Qual deve ser a relaccedilatildeo entre as cargas para que o potencial eleacutetrico no centro do anel seja igual a zero
D2 ndash A figura ao lado mostra um dipolo eleacutetrico de momento dipolar |G| = R( Mostre que para ≫ R o potencial eleacutetrico no ponto P eacute dado por
S = 145T7G UO$
Dica quando ≫ R eacute razoaacutevel considerar que V cong $ e minus V cong R UO
D3 ndash Sobre uma mesa de bilhar estatildeo dispostas trecircs bolinhas Uma com carga +C outra com carga ndash C e uma terceira com carga +2C conforme mostra a figura ao lado (a) Qual o potencial no ponto P (b) Se uma quarta bolinha for colocada no centro do quadrado qual deve ser a carga da bolinha para que o potencial no ponto P seja nulo
Problemas Selecionados
19
D4 ndash Uma esfera oca isolante de raio F e carga C eacute colocada nas proximidades de uma placa muito grande cuja densidade superficial de carga eacute P (uniforme) A distacircncia entre a placa e a superfiacutecie da esfera eacute = Qual a diferenccedila de potencial entre o centro da esfera e a placa Dica calcule a ddp devido a cada objeto separadamente e some os resultados A diferenccedila de potencial entre dois pontos pode ser determinada a partir do campo eleacutetrico
D5 ndash Uma esfera isolante maciccedila possui densidade de carga K() = K7$ onde ρ0 eacute uma constante (a) Qual a diferenccedila de potencial entre os pontos b e c Se a densidade de carga fosse uniforme qual seria a diferenccedila de potencial entre os pontos b e c
D6 ndash Um fio tem densidade linear de carga B uniforme e foi dobrado no formato conforme mostra a figura abaixo Qual o potencial eleacutetrico no ponto P
D7 ndash Considere duas cascas esfeacutericas finas concecircntricas condutoras A casca interna tem raio = 15 e carga 10 gtD A casca externa tem raio = 30 e carga minus15 gtD Forneccedila expressotildees para o campo eleacutetrico e o potencial eleacutetrico para as diferentes regiotildees (a) lt 15 (b) 15 lt lt 30 (c) gt 30 Em todos os casos considere S = 0 em = infin
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
20
(E) Capacitacircncia
E1 ndash Sabendo que cada um dos capacitores no circuito ao lado tem capacitacircncia D = 10 e a diferenccedila de potencial na bateria eacute ΔS = 10 S qual eacute a carga do capacitor 1 E do capacitor 2
E2 ndash Encontre uma expressatildeo para a capacitacircncia dos capacitores abaixo sabendo que a distacircncia entre as placas eacute = a aacuterea das placas eacute 10 = o espaccedilo entre as placas estaacute preenchido por dois ou mais materiais de constantes dieleacutetricas distintas conforme mostra a figura abaixo Analisando cada capacitor separadamente eacute possiacutevel obter a mesma capacitacircncia com uma associaccedilatildeo de capacitores simples (preenchidos por um uacutenico material) Explique
E3 ndash Uma diferenccedila de potencial de 100 S eacute aplicada ao circuito ao lado onde D- = 10 D$ = 5 e Damp = 4 Se o capacitor 3 eacute substituiacutedo por um fio condutor qual eacute o aumento na carga do capacitor 1 Qual eacute o aumento na diferenccedila de potencial entre as placas do capacitor 1
(a) (b) (c)
Problemas Selecionados
21
E4 ndash No circuito ao lado a diferenccedila de potencial fornecida pela bateria eacute de 20 S Qual a capacitacircncia equivalente do circuito Qual a carga armazenada por essa capacitacircncia equivalente Qual a carga e ddp para os capacitores 1 2 e 3
E5 ndash Na figura ao lado a ddp da bateria eacute 10 S D- = 10 D$ = Damp = 2D- A chave eacute movida para a esquerda e somente depois que o capacitor 1 atingiu o equiliacutebrio a chave eacute movida para a direita Quando o equiliacutebrio eacute novamente atingido qual eacute a carga do capacitor 1
E6 ndash Um capacitor de placas paralelas com aacuterea J e espaccedilamento = eacute preenchido com vidro (6 = 267) Conectado a uma bateria o capacitor acumula carga C (a) Qual a energia armazenada no capacitor (b) Mantendo a bateria conectada a separaccedilatildeo entre as placas eacute aumentada para 2= (veja a figura) Qual a energia armazenada nessa nova situaccedilatildeo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
22
(F) Corrente e Resistecircncia
F1 ndash A figura ao lado mostra parte de um fio de cobre com diacircmetros =- = 4F e =$ = 8F por onde passa uma corrente uniforme = 4 e a diferenccedila de potencial ao longo desse comprimento eacute20 S O
nuacutemero de portadores de carga por unidade de volume eacute 849 times 10$N amp Qual eacute a velocidade de deriva dos eleacutetrons de conduccedilatildeo na porccedilatildeo do fio com diacircmetro =$
F2 ndash No circuito ao lado qual a magnitude e direccedilatildeo das correntes nos resistores F- F$ e Famp Para isso considere que ℇ- = 6 S ℇ$ = 12 SF- = 100 Ω F$ = 200 Ω Famp = 300 Ω O ciruito estaacute aterrado e nesse ponto S = 0 Qual eacute o potencial eleacutetrico no ponto A
F3 ndash Calcule a potecircncia total dissipada em cada circuito Considere que todas as resistecircncias satildeo iguais e as baterias satildeo ideais Expresse suas respostas em termos de ℇ e F
F4 ndash Se dois fios de mesmo comprimento um de cobre e outro de alumiacutenio apresentam a mesma resistecircncia qual deve ser a razatildeo entre seus raios
Problemas Selecionados
23
F5 ndash No circuito ao lado a potecircncia dissipada no resistor R eacute 20 a Qual o valor de R Qual a ddp entre os pontos A e B
F6 ndash A corrente medida por um amperiacutemetro A no circuito ao lado eacute a mesma quando ambas as chaves estatildeo abertas ou fechadas Qual o valor da resistecircncia R
F7 ndash Determine o valor da corrente que passa por cada um dos resistores a potecircncia fornecida por cada uma das fontes de tensatildeo e a potecircncia dissipada por cada um dos resistores Faccedila o balanccedilo energeacutetico do circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
24
F8 ndash No circuito ao lado a chave S permanece fechada por um longo tempo e a corrente no circuito atinge um valor constante Considere D- = 3 D$ = 6 F- = 4Ω e F$ = 7Ω A potecircncia dissipada em F$ eacute 24a (a) Determine as cargas em D- e D$ (b) Abrindo a chave S e aguardando um longo tempo qual a mudanccedila observada na carga do capacitor 2
F9 ndash Num circuito RC seacuterie como o da figura ao lado D = 1 F = 2 times 10bΩ e ℇ = 10S Dez segundos depois que a chave foi fechada determine (a) a carga no capacitor (b) a corrente no resistor (c) a taxa com que a energia eacute armazenada no capacitor (d) a taxa com que a bateria fornece energia para o circuito
F10 ndash Um capacitor eacute carregado atraveacutes de um resistor como mostra a figura no problema anterior Mostre que metade da energia fornecida pela bateria aparece como energia interna no resistor e a outra metade como energia eleacutetrica no capacitor
F11 ndash Um capacitor duas fontes ideais dois resistores e uma chave S satildeo mostrados no circuito da figura ao lado Suponha D = 12 ℇ- = 15 S ℇ$ = 30 S F- = 05 Ω e F$ = 08 Ω (a) Se a chave S permanece aberta por um longo tempo qual a carga no capacitor (b) Qual a carga no capacitor se a chave S permanece fechada por um longo tempo
Problemas Selecionados
25
F12 ndash No circuito ao lado a bateria fornece 10 S o capacitor eacute de 1 e os resistores tecircm as resistecircncias indicadas na figura O circuito estaacute ligado haacute um longo tempo (a) Qual a ddp entre os terminais do capacitor (b) Se a bateria for desconectada quanto tempo levaraacute para que essa ddp atinja um deacutecimo do valor inicial
-------------------------------------------------------------------------------------------
(G) Campo Magneacutetico
G1 ndash Um proacuteton atravessa uma regiatildeo de campo magneacutetico uniforme = lang10 20 30rang 13 No tempo c- o proacuteton tem uma velocidade d = langde df 2rang e a forccedila magneacutetica sobre o proacuteton eacute g = lang4 times 10-h minus2 times 10-h 0rang H Nesse instante qual o valor de de e df
G2 ndash Um proacuteton viaja atraveacutes de uma regiatildeo de campo eleacutetrico e
magneacutetico uniformes onde = langminus25 0 0rang 13 Num certo instante a velocidade do proacuteton eacute d = lang0 2000 0rang Qual a forccedila resultante que age sobre o proacuteton se o campo eleacutetrico for
(a) A = lang0 0 4rang S (b) A = lang0 0 minus4rang S ou
(c) A = lang4 0 0rang S
G3 ndash Uma espira retangular de lados e estaacute numa regiatildeo de campo
magneacutetico perpendicular ao plano da espira e eacute percorrida por uma corrente i constante conforme mostra a figura ao lado Determine o torque sobre a espira
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
26
G4 ndash Dois trilhos de metal separados por uma distacircncia = = 256 estatildeo ligados a uma bateria No momento em que uma barra de metal de massa = 241 8 eacute colocada sobre os trilhos (c = 0) ela fecha o circuito e por ela passa uma corrente i = 913 J O conjunto estaacute numa regiatildeo onde existe um campo magneacutetico uniforme = 563 13 Qual a velocidade da barra 611 depois Em que direccedilatildeo ela se move
G5 ndash A figura ao lado mostra um cilindro de madeira de massa = 250 8 e comprimento 2 =10 onde foi enrolado um fio formando uma espira de 10 voltas O cilindro eacute posicionado de forma que o eixo da espira estaacute perpendicular ao plano inclinado (paralelo agrave normal do plano
inclinado) Nessa regiatildeo haacute um campo magneacutetico = lang0 05 0rang 13 Qual deve ser o valor miacutenimo da corrente na espira capaz de manter o cilindro em sua posiccedilatildeo evitando que ele role para baixo
G6 ndash A figura ao lado mostra um iacutematilde e um anel condutor de raio por onde passa uma corrente i Se o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde faz um acircngulo O com a vertical na posiccedilatildeo onde estaacute o anel qual eacute a magnitude e a direccedilatildeo da forccedila resultante sobre o anel
Problemas Selecionados
27
G7 ndash Uma barra de metal com densidade de massa B (massa por unidade de comprimento) apresenta uma corrente i (saindo da paacutegina) A barra estaacute suspensa por dois fios num campo magneacutetico uniforme vertical como mostra a figura ao lado No equiliacutebrio os fios
fazem um acircngulo O com a vertical Qual a magnitude do campo magneacutetico
G8 ndash Um proacuteton com energia cineacutetica de 6 jS se move no plano da paacutegina e entra numa regiatildeo de campo magneacutetico = 1 13 direcionado para dentro da paacutegina como mostra a figura ao lado
O proacuteton entra na regiatildeo de campo com o vetor velocidade fazendo um acircngulo O- = 35deg com a borda da regiatildeo Qual eacute a distacircncia entre o ponto de entrada e saiacuteda ( na figura) Qual o valor de O$
G9 ndash Considere um eleacutetron orbitando um proacuteton numa trajetoacuteria circular de raio F = 529 times 10-- devido agrave atraccedilatildeo Coulombiana Considere o sistema como se fosse um anel por onde passa uma corrente Qual seraacute o torque resultante quando o sistema for colocado numa regiatildeo de campo magneacutetico = 04 13 perpendicular ao momento magneacutetico do anel
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
28
G10 ndash Um fio por onde passa uma corrente i foi moldado num formato semicircular de raio F e uma reta de comprimento 2F como mostra a figura ao lado Nessa mesma regiatildeo haacute um campo magneacutetico que aponta na direccedilatildeo + (representado pelos pontos azuis na figura ao lado) Mostre que a
forccedila resultante sobre o fio eacute zero
G11 ndash Um condutor ciliacutendrico longo de raio conteacutem duas cavidades cada uma com diacircmetro ao longo de todo o comprimento do fio Uma visatildeo da seccedilatildeo transversal do fio eacute mostrada na figura ao lado Uma corrente i uniforme (considerando a porccedilatildeo soacutelida do material) passa atraveacutes do fio e aponta para fora da paacutegina Determine a magnitude e direccedilatildeo do campo
magneacutetico em funccedilatildeo de 7 i e no ponto P
G12 ndash Dois fios muito longos por onde passa corrente i de mesma magnitude estatildeo moldados conforme a figura ao lado
Mostre que o campo magneacutetico no centro do ciacuterculo de raio R eacute o mesmo que o
campo a uma distacircncia R abaixo de um fio reto muito longo por onde passa uma corrente i
Problemas Selecionados
29
G13 ndash Encontre uma expressatildeo para determinar a magnitude do campo magneacutetico no ponto P da figura ao lado Dica considere a origem dos eixos cartesianos no ponto P
G14 ndash A figura ao lado mostra a seccedilatildeo transversal de um condutor oco de raio externo e interno por onde passa uma corrente uniforme i Demonstre que a magnitude do campo magneacutetico () para uma distacircncia lt lt eacute dada por
= 7i25($ minus $) $ minus $
G15 ndash A figura ao lado mostra um cabo coaxial de raios e Correntes opostas de igual magnitude estatildeo distribuiacutedas nos dois condutores Derive uma expressatildeo para calcular o campo magneacutetico () na regiatildeo (a) lt (b) lt lt (c) lt lt e (d) gt
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
30
G16 ndash Um fio condutor por onde passa uma corrente i foi torcido para formar um loop de raio R (no plano da paacutegina) como mostra a figura abaixo Qual a direccedilatildeo do campo magneacutetico no
centro do loop Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico no centro do loop
G17 ndash Uma corrente i passa por um fio condutor ciliacutendrico de raio R como mostra a figura ao lado A densidade de corrente l natildeo eacute uniforme atraveacutes da seccedilatildeo transversal do fio mas obedece agrave funccedilatildeo l = onde eacute uma constante Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico (a) a uma distacircncia - lt F e (b) a uma distacircncia $ gt F(em relaccedilatildeo ao centro do condutor)
G18 ndash Um fio condutor muito longo por onde passa uma corrente i- estaacute parcialmente envolto por um loop por onde passa uma corrente i$ (figura ao lado) O loop fio foi moldado num formato semiciliacutendrico de raio R e o comprimento L O fio condutor passa pelo eixo do loop Calcule a forccedila magneacutetica exercida sobre o loop
G19 ndash Considere um solenoide de comprimento 2 e raio F contendo H voltas de um fio por onde passa uma corrente i (a) Determine uma expressatildeo para
o campo magneacutetico num ponto ao longo do eixo do solenoide do lado de fora do solenoide como funccedilatildeo da distacircncia ateacute uma das pontas (considere = 0 no centro do solenoide e = a distacircncia do centro ateacute o ponto onde estaacute sendo calculado o campo ) (b) Mostre que para
Problemas Selecionados
31
valores muito grandes de 2 e = = 0 se aproxima de = 7i H 2frasl para posiccedilotildees ao longo do eixo no interior do solenoide distante das bordas
G20 ndash A figura ao lado mostra um fio moldado para formar duas seccedilotildees retas e um quarto de ciacuterculo por onde passa corrente i Determine o campo magneacutetico (vetor) no ponto P
G21 ndash Um fio ciliacutendrico espesso de raio eacute percorrido por uma corrente i Determine uma expressatildeo para o
campo magneacutetico dentro e fora do fio considerando que (a) a corrente estaacute distribuiacuteda uniformemente sobre a superfiacutecie externa do fio (b) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio com densidade de corrente l constante (c) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio de forma que a densidade de corrente l eacute proporcional agrave distacircncia ateacute o eixo do fio
G22 ndash Considere dois solenoides coaxiais cada um conduzindo uma corrente i em direccedilotildees opostas O solenoide interno de raio possui gt- voltas por unidade de comprimento o
solenoide externo possui raio e gt$ voltas por unidade de
comprimento Determine (a) no interior do conjunto (b) entre eles e (c) fora deles
G23 ndash Um fio condutor longo e reto de raio F conduz uma corrente natildeo uniforme cuja densidade de corrente eacute l = l7 Ffrasl onde l7 eacute uma constante A corrente total eacute i (a) Determine uma expressatildeo para i
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
32
em funccedilatildeo de l7 e F (b) Determine uma expressatildeo para o campo magneacutetico no interior do fio para uma distacircncia
G24 ndash A figura ao lado mostra um toroide que consiste num solenoide fechado em forma de anel (a) Considerando a simetria explique qual deve ser o formato do campo magneacutetico no interior desse toroide (b) Considere o toroide compacto (a separaccedilatildeo entre cada volta do fio eacute pequena) com N voltas conduzindo uma corrente i Usando a lei de Ampeacutere determine a magnitude do campo magneacutetico num ponto interno ao toroide a uma distacircncia do eixo principal (ver figura ao lado) (c) O campo magneacutetico no interior do toroide eacute um campo uniforme Explique
-------------------------------------------------------------------------------------------
(H) Lei de Faraday
H1 ndash A figura ao lado mostra dois aneis cujos eixos estatildeo alinhados separados por uma distacircncia x O anel maior tem raio F o anel menor tem raio Os aneis estatildeo separados por uma distacircncia ≫ F e por isso o campo magneacutetico devido agrave corrente no anel de raio F eacute praticamente uniforme no anel menor Considere que a distacircncia estaacute aumentando a uma taxa constante = =cfrasl = d (a) Determine uma expressatildeo para o fluxo de campo magneacutetico atraveacutes do anel menor como funccedilatildeo de Encontre uma expressatildeo para (b) a fem induzida e (c) a direccedilatildeo da corrente no anel menor
Problemas Selecionados
33
H2 ndash (a) Calcule o fluxo magneacutetico atraveacutes do retacircngulo mostrado na figura ao lado em funccedilatildeo de = i (b) Avalie o resultado encontrado para = 5 = 10 = = 2 e i = 20 J
H3 ndash Uma espira plana e circular de raio =75 estaacute em repouso numa regiatildeo de campo magneacutetico uniforme A espira estaacute orientada de tal forma que o campo magneacutetico aponta para cima
e faz um acircngulo de 30deg com a normal da espira O campo varia com
o tempo de acordo com (c) = 14(77nho) 13 (a) Determine a fem induzida na espira em funccedilatildeo do tempo (b) Para que valor de c a fem induzida eacute igual a um deacutecimo do seu valor inicial Determine o sentido da corrente induzida na espira se observada por cima da espira
H4 ndash Um retacircngulo que mede 30 times 40 estaacute localizado no interior de um campo magneacutetico uniforme de 125 13 com o campo perpendicular ao plano da bobina A bobina se move perpendicular ao campo com velocidade constante d =2 inclusive atingindo a regiatildeo
onde o campo termina abruptamente como mostra a figura ao lado Determine a fem induzida nessa bobina quando ela estaacute (a) inteiramente no interior do campo (b) parcialmente no interior do campo e (c) inteiramente fora do campo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
34
H5 ndash O fio na figura ao lado conduz
uma corrente i(c) = i7po onde gt 0 Determine o sentido da corrente induzida na bobina (horaacuterio ou anti-horaacuterio) para c gt 0
H6 ndash A figura ao lado mostra uma espira circular de raio contendo uma resistecircncia e um capacitor ligados em seacuterie imerso numa regiatildeo onde um campo magneacutetico uniforme (no espaccedilo) entrando no plano na paacutegina decresce no tempo a uma taxa constante = =cfrasl = minus sendo uma constante positiva (a) Qual a carga no capacitor quando ele estaacute completamente carregado (b) Qual das placas do capacitor estaacute em potencial mais elevado (c) Qual a origem da forccedila que causa a separaccedilatildeo de cargas
-------------------------------------------------------------------------------------------
(I) Indutacircncia
I1 ndash No circuito ao lado ℰ = 100 SF- = 10 Ω F$ = 20 Ω Famp = 30 Ω e 2 = 2 H Ao fechar a chave S quais os valores de i- e i$ Considere positivo o sentido das correntes indicadas na figura Muito tempo
depois quais satildeo os valores de i- e i$ A chave eacute entatildeo aberta Nesse instante quais satildeo os valores de i- e i$ E muito tempo depois quais satildeo os valores de i- e i$
Problemas Selecionados
35
I2 ndash Num circuito LC em seacuterie a carga inicial do capacitor eacute C e ele estaacute sendo descarregado Quando a carga no capacitor eacute igual a C 2frasl qual eacute o fluxo magneacutetico que atravessa cada uma das N espiras do indutor (como funccedilatildeo de C H 2 e D)
I3 ndash Uma bobina possui N voltas e estaacute envolvendo um solenoide longo de raio r com n espiras por unidade de comprimento (figura ao lado) (a) Mostre que a indutacircncia muacutetua do sistema eacute dada por j = 75F$gtH (b) Explique por que M natildeo depende do formato tamanho ou possiacutevel falta de proximidade das espiras na bobina
I4 ndash A fem autoinduzida num solenoide de indutacircncia L varia no tempo conforme ℇ(c) = ℇ7so Levando em consideraccedilatildeo que a carga eacute finita (ou seja i = 0 quando c = infin) determine a carga total que passa pelo solenoide (que atravessa um determinado ponto no fio que compotildee o solenoide)
I5 ndash Um fio condutor foi enrolado num papelatildeo formando um toroide com N espiras (voltas) raio menor r e maior R A seccedilatildeo transversal do toroide eacute mostrada na figura ao lado Se F ≫ o campo magneacutetico no interior do toroide eacute essencialmente o mesmo que o campo no interior de um solenoide muito longo que tenha sido
moldado no formato de um ciacuterculo de raio R Modelando o campo como se fosse o campo uniforme de um solenoide longo mostre que a indutacircncia desse toroide eacute
aproximadamente 2 asymp -$ 7H$ LMu
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
36
I6 ndash Um indutor consiste em duas cascas ciliacutendricas concecircntricas como mostra a figura A casca interna tem raio e a externa tem raio ambas com comprimento ℎ A casca interna transporta uma corrente i para fora e a externa para dentro do plano da paacutegina com igual magnitude Calcule na regiatildeo lt lt (a) a densidade de energia magneacutetica (b) a indutacircncia
I7 ndash Mostre que i(c) = i7o wx eacute a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial iF + 2 yzyo = 0 onde i7 eacute a corrente em c = 0 e = 2 Ffrasl
I8 ndash Um fio condutor de raio R transporta uma corrente uniforme A corrente total no fio eacute i Mostre que a energia magneacutetica por unidade de comprimento dentro do fio eacute dada por 7i$ 165frasl
I9 ndash Um cabo coaxial eacute formado por dois cilindros condutores de paredes finas com raios - e $ As correntes nos dois cilindros satildeo iguais em magnitude mas com sentidos opostos (a) Use a lei de Ampeacutere para determinar o campo magneacutetico como funccedilatildeo da distacircncia ao eixo do cabo nas regiotildees (0 lt lt -) ( - lt lt $ ) e ( gt $) (b) Mostre que a densidade de energia magneacutetica na regiatildeo entre os cilindros eacute dada por
| = 12 745 i$(5$)-
(c) Mostre que a energia magneacutetica total num volume de cabo com comprimento ~ eacute dada por
Problemas Selecionados
37
= i$~ ln LML
(d) Mostre que a autoindutacircncia por unidade de comprimento do cabo eacute dada por
2~ = 725 ln $-
-------------------------------------------------------------------------------------------
(J) Corrente Alternada
J1 ndash A tensatildeo de uma fonte de corrente alternada eacute dada por ∆d = 120gt(30 5c) onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A fonte eacute conectada a um indutor de 05 Determine (a) a frequecircncia da fonte (b) a voltagem rms no indutor (c) a reatacircncia indutiva do circuito (d) a corrente rms no indutor e (e) a corrente maacutexima no indutor
J2 ndash Uma fonte de tensatildeo alternada fornece uma tensatildeo ∆d = 98gt(80 5c) a um capacitor onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A corrente maacutexima no circuito eacute 05 J Determine (a) a tensatildeo rms da fonte (b) a frequecircncia da fonte e (c) o valor da capacitacircncia
J3 ndash Um circuito AC eacute composto por um resistor de 250 Ω um indutor de 15 um capacitor de 35 e uma fonte de tensatildeo alternada com amplitude de 45 S operando com frequecircncia angular = 360 = frasl (a) Qual eacute o fator de potecircncia do circuito (b) Determine a potecircncia meacutedia aparente (S) fornecida ao circuito (c) Qual eacute a potecircncia meacutedia ativa (P) dissipada no resistor Qual eacute a potecircncia meacutedia reativa (Q) que fica armazenada no circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
38
J4 ndash Cinco voltiacutemetros com impedacircncia muito grande ajustados para ler valores rms estatildeo conectados conforme a figura ao lado Sendo F =200 Ω 2 = 04 H D = 6 e ∆S = 30 Vqual eacute a leitura da tensatildeo em cada voltiacutemetro se (a) = 200 = frasl e (b) =1000 = frasl
J5 ndash Num circuito RLC 2 = 028 e D = 4 A fonte fornece uma voltagem com amplitude de 120 S Qual eacute a frequecircncia angular de ressonacircncia do circuito (b) Quando a fonte opera na frequecircncia angular de ressonacircncia a amplitude da corrente no circuito eacute 17 J Qual a resistecircncia do resistor (c) Na frequecircncia angular de ressonacircncia quais satildeo as voltagens de pico no indutor capacitor e resistor
J6 ndash O circuito ao lado conteacutem uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal conforme ℇ = ℇgt(c) No estado de equiliacutebrio temos as correntes mostradas no circuito Sem recorrer a uma matemaacutetica complicada responda (a) Quais os valores de u e quando = 0 (frequecircncia zero significa que
a fonte foi substituida por uma bateria ideal) (b) Quais os valores de u e quando rarr infin (c) Qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia
Problemas Selecionados
39
J7 ndash Um indutor um capacitor e um resistor estatildeo conectados em seacuterie a uma fonte de tensatildeo alternada Se os valores da resistecircncia capacitacircncia e indutacircncia forem duplicados o que aconteceraacute com (a) a frequecircncia angular de ressonacircncia (b) a reatacircncia indutiva (c) a reatacircncia capacitiva e (d) a impedacircncia
J8 ndash O circuito abaixo eacute formado por uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal variando conforme ℇ = ℇgt(c) uma resistecircncia F = 6 Ω e uma parte desconhecida que pode conter um indutor um capacitor ou ambos A amplitude da fonte eacute ℇ = 6 S Quando a frequecircncia angular = 2 = a corrente estaacute em fase com a fonte enquanto que para = 1 = a corrente estaacute fora de fase em relaccedilatildeo agrave fonte por exatamente 5 4frasl (a) Quais componentes estatildeo presentes na parte desconhecida (um indutor um capacitor ou ambos) Explique (b) Determine os valores dos componentes desconhecidos
J9 ndash Um circuito em seacuterie possui impendecircncia de 60 Ω e fator de potecircncia igual a 072 em 50 A tensatildeo da fonte estaacute atrasada em relaccedilatildeo agrave corrente (a) Que elemento do circuito (um indutor ou um capacitor) deve ser ligado em seacuterie com o circuito para aumentar o fator de potecircncia (b) Qual deve ser o valor desse elemento para que o fator de potecircncia seja igual a 1 (c) Apresente diagramas de fasores esquemaacuteticos para o circuito antes e depois da ligaccedilatildeo do novo elemento
Manual de Laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
41
O PROCESSO DE MEDIDA NO LABORATOacuteRIO DE FIacuteSICA
Natildeo satildeo raros eventos em que nos valemos de medidas para tomarmos decisotildees Medimos nossa temperatura corporal para avaliarmos se necessitamos de tratamento Medimos a pressatildeo manomeacutetrica dos pneus para avaliarmos se precisamos injetar ou retirar ar neles Consultamos medidas da temperatura ambiente para escolhermos a roupa que vestiremos Consultamos o horaacuterio (medida de tempo) para natildeo chegarmos atrasados em encontros Medidas satildeo portanto fundamentais em nossas vidas No entanto usualmente natildeo nos preocupamos muito com a precisatildeo dessas medidas Em grande parte das vezes natildeo nos interessa saber se o horaacuterio informado no reloacutegio estaacute um pouco atrasado ou adiantado Natildeo nos preocupamos em saber o quanto podemos confiar nas temperaturas coletadas com um determinado termocircmetro Nossas medidas comumente satildeo realizadas de forma despretensiosa sem muito rigor
No laboratoacuterio de Fiacutesica isso ocorre de modo muito diferente Os processos de mediccedilatildeo satildeo mais minuciosos do que os que realizamos costumeiramente Desejamos obter a maior precisatildeo possiacutevel com os equipamentos de que dispomos Mas como fazer isso Como podemos melhorar a precisatildeo dos processos de mediccedilatildeo Intuitivamente podemos concluir que inferecircncias realizadas a partir de um conjunto de medidas satildeo mais precisas do que medidas isoladas Mas quando disponho de um conjunto de medidas como posso analisaacute-las Calcular a meacutedia delas eacute suficiente Responder a questotildees como essas eacute o objetivo desta atividade Para exemplificarmos todo esse processo realizaremos um debate sobre a mediccedilatildeo da resistecircncia interna de amperiacutemetros
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
42
O que satildeo amperiacutemetros
Um amperiacutemetro eacute um instrumento utilizado para a realizaccedilatildeo de medidas de correntes eleacutetricas Evidentemente natildeo queremos modificar os circuitos quando os exploramos com um instrumento Com amperiacutemetros natildeo eacute diferente Queremos medir correntes eleacutetricas sem alterar as caracteriacutesticas do circuito Mas como eacute possiacutevel fazer isso Natildeo discutiremos aqui os detalhes sobre o funcionamento interno de um amperiacutemetro No entanto vamos avaliaacute-los do ponto de vista de uma das suas caracteriacutesticas mais importantes a sua resistecircncia eleacutetrica
A resistecircncia eleacutetrica de um circuito influencia na intensidade da corrente eleacutetrica que circula nele A corrente eleacutetrica i que perpassa por uma resistecircncia eleacutetrica F submetida a uma tensatildeo ∆S por exemplo pode ser predita pela seguinte relaccedilatildeo
i = ∆u Eq 1
O amperiacutemetro precisa ser posicionado em seacuterie no circuito em que se deseja medir a corrente eleacutetrica como eacute exemplificado na figura
Figure 1- Medindo a resistecircncia interna de um multiacutemetro
Manual de Laboratoacuterio
43
1 Como a resistecircncia equivalente em circuitos em seacuteries eacute a soma da resistecircncia eleacutetrica de cada um dos seus componentes a resistecircncia interna dos amperiacutemetros se soma agrave resistecircncia equivalente do circuito investigado alterando a sua dinacircmica Por isso nosso desejo eacute que os amperiacutemetros tenham resistecircncia eleacutetrica nula No entanto a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro real por menor que seja nunca eacute nula Eles possuem um circuito interno com fios e diversos componentes eletrocircnicos que acabam provocando uma resistecircncia agrave circulaccedilatildeo de corrente eleacutetrica Ainda assim frequentemente desprezamos tal resistecircncia Seraacute que isso eacute razoaacutevel Quando podemos desprezar a resistecircncia interna dos amperiacutemetros e quando natildeo podemos Para respondermos tais perguntas precisamos conhecer o valor da resistecircncia interna tiacutepica de um amperiacutemetro
Medindo a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro
Nesta disciplina usaremos diversos amperiacutemetros de uma mesma marca e modelo em uma seacuterie de experimentos (Minipa ET-2075B) Por isso eacute interessante que conheccedilamos a resistecircncia eleacutetrica deles para podermos avaliar quando podemos desprezaacute-la e quando natildeo Mas como podemos obter essa informaccedilatildeo Podemos medi-la Um procedimento simples para isso eacute submeter o amperiacutemetro a uma diferenccedila de potencial ΔV conhecida e medir a corrente eleacutetrica i que passa por ele Desse modo podemos usar a Eq 1 para inferir a resistecircncia eleacutetrica do equipamento Mas podemos confiar em uma uacutenica medida Depende da precisatildeo de que necessitamos para essa medida Intuitivamente sabemos que se medirmos a resistecircncia interna a partir de um conjunto de dados poderemos ter uma maior confiabilidade nos dados No exemplo de que estamos tratando eacute possiacutevel se coletar dados da corrente no amperiacutemetro quando submetido a diferentes tensotildees Desse modo pode-se inferir a resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro pela declividade da reta constituiacuteda
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
44
pelos dados representados em um graacutefico da tensatildeo em funccedilatildeo da corrente eleacutetrica como pode ser constatado da Eq1 No entanto como temos incertezas associadas a cada dado experimental coletado esses dados natildeo seratildeo perfeitamente representados por uma reta Surge entatildeo uma nova questatildeo qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados
Ajuste de Curvas
Diversas retas podem ser ajustadas a um conjunto de dados experimental Qual delas utilizar Intuitivamente podemos conjecturar que a melhor reta a ser utilizada eacute aquela tal que a soma das diferenccedilas entre os valores de tensatildeo medidos e os preditos pela reta tenha o menor valor possiacutevel Em outras palavras queremos minimizar a soma
sum = = (∆Sz minus ∆S)z-
onde ∆Sz satildeo as tensotildees medidas e ∆S satildeo as tensotildees preditas pela reta ajustada
No entanto haacute um inconveniente importante no uso desse criteacuterio tal soma pode ser bem pequena para retas que natildeo apresentam bom ajuste aos dados se as diferenccedilas entre os valores medidos e os preditos se cancelarem sendo alguns positivos e outros negativos Nesses casos apesar de natildeo termos uma reta bem ajustada aos dados o criteacuterio utilizado
indicaria que sim Como resolver isso Elevando os valores de dn ao
Figura 1 - Diferenccedila de potencial em funccedilatildeo
da corrente
Manual de Laboratoacuterio
45
quadrado Ou seja podemos procurar a reta tal que a seguinte soma tenha o menor valor possiacutevel
sum =$ = (∆Sz minus ∆S)$z-
O meacutetodo que utiliza esse criteacuterio para a realizaccedilatildeo de ajustes de curvas que eacute amplamente utilizado no meio acadecircmico eacute denominado Meacutetodo dos Miacutenimos Quadrados Todos os softwares do tipo planilha eletrocircnica realizam esse caacutelculo automaticamente e nos valeremos disso quando necessaacuterio
Todos os amperiacutemetros da sala possuem a mesma resistecircncia interna
Ainda que todos os amperiacutemetros que utilizaremos nas nossas aulas sejam da mesma marca e modelo eles possuem diferentes resistecircncias internas Existe alguma forma de estimar a resistecircncia interna de um desses amperiacutemetros escolhido aleatoriamente Calcular a meacutedia das resistecircncias eacute suficiente para realizar essa estimativa
Variabilidade das medidas o desvio padratildeo amostral e da meacutedia
Apesar de as resistecircncias dos amperiacutemetros natildeo serem exatamente as mesmas elas possuem valores que se distribuem em torno de um valor meacutedio que eacute igual agrave meacutedia dessas resistecircncias Desse modo se tomarmos um dos amperiacutemetros aleatoriamente o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute igual agrave meacutedia das resistecircncias internas de todos os amperiacutemetros Mas quanto podemos confiar nessa estimativa Para respondermos tal pergunta eacute importante quantificarmos a variabilidade das resistecircncias r que medimos Quanto menor for essa variabilidade maior seraacute a nossa confianccedila para assumir que a resistecircncia interna de um amperiacutemetro particular eacute igual agrave meacutedia Intuitivamente podemos conjecturar que tal variabilidade pode ser medida pelo somatoacuterio das diferenccedilas entre as resistecircncias
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
46
medidas z e a meacutedia dessas resistecircncias ou seja por (- minus ) + ($ minus ) + ⋯ + ( minus ) onde N eacute o nuacutemero de medidas realizadas No entanto temos aqui um inconveniente semelhante ao que tivemos quando analisaacutevamos ajustes de curvas se valores positivos e negativos se cancelarem esse somatoacuterio pode ser muito pequeno mesmo quando os dados apresentam grande variabilidade Podemos propor a mesma soluccedilatildeo adotada anteriormente vamos elevar os termos ao quadrado Temos entatildeo a variabilidade dos dados sendo mensurada por (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$
A impossibilidade de comparaccedilatildeo entre as variabilidades de diferentes conjuntos de dados eacute a limitaccedilatildeo desta proposta pois o resultado desse somatoacuterio eacute altamente dependente da quantidade de termos Desse modo eacute possiacutevel que esse somatoacuterio seja maior para grandes conjuntos com pouca variabilidade do que para pequenos grupos com grande variabilidade Para amenizar tal limitaccedilatildeo podemos entatildeo dividir o somatoacuterio por N ou seja calcular a variabilidade por(- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$ Hfrasl Ainda que esse somatoacuterio seja conceitualmente interessante natildeo eacute essa a medida de dispersatildeo de dados que costuma ser utilizada no meio cientiacutefico mas algo que guarda alguma semelhanccedila com ele o desvio padratildeo dos dados (P) Ele eacute calculado por
PL = (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$H minus 1
Mas por que utilizamos essa equaccedilatildeo A resposta estaacute em suas propriedades Quando construiacutemos um histograma (graacutefico de frequecircncias) de um conjunto de medidas por exemplo podemos em muitos casos assumir que a distribuiccedilatildeo desses dados eacute representada por uma distribuiccedilatildeo normal A equaccedilatildeo que define essa distribuiccedilatildeo assim como sua representaccedilatildeo graacutefica eacute ilustrada na Figura 3
Manual de Laboratoacuterio
47
Natildeo eacute nosso objetivo aqui discutir detalhes da distribuiccedilatildeo normal O que desejamos destacar eacute que quando supomos que a distribuiccedilatildeo de um conjunto de dados eacute normal o que eacute bastante razoaacutevel na maioria das vezes o desvio padratildeo σ quantifica como os dados estatildeo distribuiacutedos Para entendermos isso analisemos a Figura 4
O intervalo compreendido pela meacutedia das medidas mais ou menos um desvio padratildeo compreende 68 das medidas realizadas No caso que estamos exemplificando se tomarmos a meacutedia das resistecircncias internas r de todos os amperiacutemetros investigados e o desvio padratildeo PL desses dados 68 das medidas estaratildeo no intervalo entre ( minus PL) e ( + PL) 95 no intervalo ( 2PL) e 99 no intervalo ( 257PL)
Figura 2 - A distribuiccedilatildeo normal eacute usualmente utilizada para representar a distribuiccedilatildeo
de frequecircncias de um conjunto de dados (Lima Jr et al 2013 p 30)
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
48
Agora jaacute sabemos como quantificar a variabilidade de um conjunto de dados Podemos entatildeo calcular a meacutedia e o desvio padratildeo das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros Mas surge entatildeo uma questatildeo Se analisaacutessemos um novo conjunto de amperiacutemetros da mesma marca e modelo dos exemplificados aqui a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros seria a mesma Provavelmente natildeo Temos como estimar a partir do conjunto de medidas que realizamos a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros Temos Para responder a essa questatildeo temos que compreender um novo conceito o de desvio padratildeo da meacutedia (PL) Ele eacute calculado por
PL = PLradicH
Natildeo vamos entrar em detalhes aqui sobre a origem do conceito de desvio padratildeo da meacutedia1 vamos apenas explicar como essa grandeza nos permite estimar a incerteza na meacutedia de um conjunto de medidas Para isso vamos supor um novo conjunto de N novas
1 Se vocecirc eacute um aluno curioso pesquise sobre o Teorema Central do Limite para compreender com mais profundidade o conceito de desvio padratildeo da meacutedia
Figura 3 - A meacutedia e o desvio padratildeo demarcam a distribuiccedilatildeo dos dados em uma
distribuiccedilatildeo normal Na figura o eixo das abcissas expressa a distacircncia da meacutedia em
unidades de desvio padratildeo (Lima Jr et al 2013 p 30)
Manual de Laboratoacuterio
49
medidas da resistecircncia interna de amperiacutemetros como os investigados nesta aula Qual seria a meacutedia dessas medidas Assim como o desvio padratildeo dos dados quantifica a dispersatildeo dos dados em torno da meacutedia o desvio padratildeo da meacutedia quantifica a dispersatildeo das meacutedias de subconjuntos de dados em torno da meacutedia de todo o conjunto de dados Aplicando esse conceito ao nosso exemplo podemos interpretar os dois conjuntos de medidas de resistecircncias internas como subconjuntos de um grande conjunto contendo todas as medidas Desse modo podemos afirmar com 68 de confianccedila que a meacutedia das N novas medidas a serem realizadas estaraacute no intervalo compreendido por ( PL) com 95 de confianccedila no intervalo ( 2PL) e com 99 de confianccedila no intervalo ( 257PL) O desvio padratildeo da meacutedia pode ser compreendido assim como a incerteza da meacutedia de um conjunto de medidas ou seja ele nos fornece uma estimativa da confiabilidade de uma meacutedia Em suma se escolhermos um amperiacutemetro aleatoriamente podemos dizer que i) o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute a meacutedia das resistecircncias de todos os amperiacutemetros e ii) a incerteza que temos nesse valor eacute igual ao desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias dos amperiacutemetros
E se eu soacute tivesse condiccedilotildees de realizar uma uacutenica medida
Nem sempre podemos realizar diversas medidas de uma grandeza Em alguns casos nem mesmo faz sentido realizar diversas medidas No entanto eacute evidente que existe uma incerteza associada a uma uacutenica medida Natildeo existem instrumentos que sejam perfeitamente precisos Entatildeo como podemos estimar essa incerteza Usualmente os manuais dos instrumentos trazem informaccedilotildees sobre isso Desse modo as incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica realizadas com um voltiacutemetro e um amperiacutemetro podem ser consultadas no manual do multiacutemetro utilizado Mas como eacute calculada a incerteza da resistecircncia interna de um amperiacutemetro que foi calculada a partir de
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
50
apenas uma medida de tensatildeo e uma de corrente eleacutetrica Nesse caso precisamos calcular a incerteza propagada das incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica
Os meacutetodos de caacutelculo de incertezas propagadas podem ser bastante complicados Aqui trataremos de um meacutetodo bastante simples usualmente denominado de Meacutetodo dos Limites Vamos exemplificaacute-lo supondo que a incerteza da tensatildeo sobre as entradas do amperiacutemetro eacute P- e da corrente eleacutetrica que circula por ele eacute P$ Ou seja a tensatildeo medida estaacute no intervalo entre ∆S minus P- e ∆S + P- e a corrente eleacutetrica entre i minus P$ e i + P$ Qual eacute entatildeo a incerteza da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro investigado Para responder isso basta calcularmos os valores limites dessa grandeza O maacuteximo valor possiacutevel para a resistecircncia ocorreraacute se a tensatildeo for ∆S + P- e a corrente eleacutetrica for i minus P$ Nesse caso usando a Eq 1 temos
aacutee = ∆S + P-i minus P$
Usando o mesmo raciociacutenio o valor miacutenimo de r seraacute
z = ∆S minus P-i + P$
Desse modo podemos dizer que o valor da resistecircncia interna medida estaacute no intervalo entre rmaacutex e rmiacuten Em outras palavras o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro eacute
F = iexclz + aacutee2 z minus aacutee2 cent
Manual de Laboratoacuterio
51
Erro eacute a mesma coisa que incerteza
Apesar de serem frequentemente utilizados como sinocircnimos os manuais de metrologia atribuem significados distintos aos conceitos de ldquoerrordquo e ldquoincertezardquo O Guia para Expressatildeo da Incerteza da Mediccedilatildeo (Joint Commitee for Guide in Metrology 2008 apud Lima Jr et al 2013) usa o termo ldquoerrordquo para indicar a diferenccedila entre o valor verdadeiro e o resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo o conceito de erro tem uso restrito pois satildeo poucos os casos em que conhecemos o valor verdadeiro de uma grandeza Satildeo exemplos desses casos experimentos em que se deseja mensurar a velocidade da luz no vaacutecuo ou o valor de π que satildeo valores previamente conhecidos pelo experimentador O caacutelculo do erro soacute faz sentido para casos em que sabemos o valor verdadeiro da grandeza que se quer medir
A incerteza por outro lado eacute entendida como uma estimativa que quantifica a confiabilidade do resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo quando calculamos o desvio padratildeo da meacutedia de um conjunto de medidas estamos calculando a incerteza da meacutedia dessas medidas ou seja estamos avaliando a confianccedila que podemos ter em adotar a meacutedia dessas medidas como o valor da grandeza mensurada O conceito de incerteza portanto tem maior aplicabilidade do que o conceito de erro
Algarismos significativos e incerteza
Uma questatildeo frequente nas aulas de laboratoacuterio eacute Com quantos algarismos uma grandeza deve ser apresentada No laboratoacuterio a resposta dessa questatildeo eacute uma funccedilatildeo da incerteza da grandeza Devemos apresentar os dados ateacute o seu primeiro algarismo duvidoso Voltemos ao exemplo da resistecircncia interna dos amperiacutemetros Suponhamos que a meacutedia das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros eacute 21546 Ω e o desvio padratildeo dessa meacutedia que eacute
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
52
entendido aqui como a incerteza da resistecircncia interna dos amperiacutemetros eacute 003 Ω Interpretando tais dados assumimos com 68 de certeza que a resistecircncia interna dos amperiacutemetros estaacute no intervalo entre 21246 e 21846 Ω Desse modo a segunda casa decimal da grandeza medida eacute duvidosa Por isso os algarismos subsequentes satildeo omitidos quando expressamos essa medida e a medida da resistecircncia interna dos amperiacutemetros exemplificados eacute exposta por (215 plusmn 003) Ω Em suma o resultado de uma mediccedilatildeo deve ser sempre expresso com a mesma quantidade de casas decimais que sua incerteza Os algarismos apresentados satildeo entatildeo chamados de algarismos significativos
Referecircncia
Lima Jr P Silva M T X Silveira F L Veit E A (2013) Laboratoacuterio de mecacircnica subsiacutedios para o ensino de Fiacutesica experimental Porto Alegre UFRGS Instituto de Fiacutesica Disponiacutevel em httphdlhandlenet1018390438
Manual de Laboratoacuterio
53
Atividade de Laboratoacuterio I Instrumentos de medida e incertezas
Este material foi cuidadosamente preparado para auxiliar no andamento das atividades no laboratoacuterio de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo Eacute importante responder TODAS as perguntas
(indicadas pelo siacutembolo ) feitas ao longo do texto discutindo com seu grupo possiacuteveis respostas e justificando-as Sempre que possiacutevel faccedila isso por escrito
TAREFA 1
Construa um circuito contendo um resistor de 1 kΩ em seacuterie com uma fonte de tensatildeo contiacutenua e um multiacutemetro Coloque o multiacutemetro na funccedilatildeo amperiacutemetro na escala de miliampere Usando outro multiacutemetro meccedila a tensatildeo no amperiacutemetro Realize medidas com diferentes correntes eleacutetricas variando a tensatildeo de saiacuteda da fonte
Como podemos tratar esses dados se nosso objetivo eacute medir a resistecircncia interna do amperiacutemetro
Qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
54
Para responder essas questotildees se dirija a um dos computadores da sala e use um aplicativo que possibilite a construccedilatildeo de graacuteficos SciDavis por exemplo Insira seus dados no aplicativo construa o graacutefico desejado e encontre a melhor reta que se ajusta aos dados
Qual foi a melhor reta ajustada Determine a equaccedilatildeo dessa reta ajustada
Qual eacute o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro que vocecirc investigou
TAREFA 2
Utilize as medidas de todos os grupos da turma e aplique os conhecimentos abordados na tarefa de leitura para responder as seguintes questotildees
Qual deve ser a resistecircncia interna de um amperiacutemetro escolhido aleatoriamente entre os utilizados nesta aula
Qual eacute a incerteza desse valor
TAREFA 3
Suponha que o manual do Minipa ET-2075B informe que as medidas de tensatildeo e corrente realizadas nas faixas de milivolt e miliampere tecircm incerteza de 3 Use esses dados para calcular a
Manual de Laboratoacuterio
55
incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1
Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma
Elas satildeo coerentes Por quecirc
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
56
CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO
Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por
equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC
Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras
O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se
Manual de Laboratoacuterio
57
extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo
No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador
Salvando vidas
ldquoafastem-se choquerdquo
Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de
sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos
O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo
Figura 4 - Desfibrilador
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
58
esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)
Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma
sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o
miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia
Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2
2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387
Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)
Manual de Laboratoacuterio
59
Circuito RC - seacuterie
Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C
Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que
∆S(c) + i(c)F = 0
Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo
i(c) = =C(c)=c
e a ddp no capacitor eacute dada por
∆S(c) = C(c)D
Dessa forma podemos dizer que
=C(c)=c = minus 1FD C(c)
Figura 6 - Circuito RC
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
60
Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa
funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja
derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever
C(c) = C7 ou
A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial
Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir
Capacitor Carregando Capacitor Descarregando
∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0
C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou
∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou
Manual de Laboratoacuterio
61
Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8
Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo
eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum
3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78
Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas
do capacitor durante o processo de
carga ou descarga
Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um
graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo
do tempo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
62
Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no
capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte
Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor
quando o mesmo estaacute sendo carregado
Manual de Laboratoacuterio
63
Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie
1 - Osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos
2 ndash Aparato Experimental
Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
64
conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto
Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)
Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio
Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees
Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala
Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)
Manual de Laboratoacuterio
65
TAREFA 1
Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees
Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico
Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito
Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito
Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos
Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio
TAREFA 2
Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie
Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
66
figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)
Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados
Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo
NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo
Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste
Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito
Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito
Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles
Manual de Laboratoacuterio
67
MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS
Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais
Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio
Para onde aponta a buacutessola
Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
68
polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc
E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial
tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos
que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a
soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio
4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja
httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4
Figura 10 - Buacutessola
Figura 11 - campo B resultante
Manual de Laboratoacuterio
69
Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por
umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O
Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde
Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde
Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma
iacuteatilde() = ∙
onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde
5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass
The Physics Teacher 49(1) 45-48
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
70
Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como
iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2
Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos
gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)
Logo
gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2
Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo
iacuteatilde() = amp
Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse
tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira
na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart
Manual de Laboratoacuterio
71
pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do
que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute
yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp
onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico
da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos
yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp
Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
72
Atividade de Laboratoacuterio III Projeto
OBJETIVO
Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
73
SUGESTAtildeO 1
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO
Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas
Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece
Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha
Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo
por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o
eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
74
SUGESTAtildeO 2
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA
Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)
Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica
Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de
uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)
Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema
Manual de Laboratoacuterio
75
SUGESTAtildeO 3
BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO
Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola
Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)
Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina
O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
76
SUGESTAtildeO 4
CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO
O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer
Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
77
MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO
Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro
Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental
6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
78
110 V 127 V e 220 V O que eacute isso
As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V
Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas
A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
(c) = Jgt(c + acute)
onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por
∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)
Manual de Laboratoacuterio
79
onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1
Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho
Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores
Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
80
caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por
∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf
∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712
∆Suparamiddot = ∆S7radic2
Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a
tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s
A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente
alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$
Figura 13 - Funccedilotildees seno e
seno quadrado
Manual de Laboratoacuterio
81
COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA
Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz
Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O
Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
82
que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio
Natildeo queremos jogar energia fora
Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14
Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie
Manual de Laboratoacuterio
83
Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por
0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)
onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)
Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
ℇ(c) = ℇ7gt(c)
onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente
Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na
figura 16 para um caso em que VL gt VC
Figura 15 - Diagrama de fasores
de um circuito RLC seacuterie com
fonte de tensatildeo alternada
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
84
A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que
acute = c8 S minus SSu
Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado
por
i(c) = gt(c minus acute)
Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente
as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que
ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$
ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$
Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como
0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)
Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que
0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$
Figura 16 ndash Soma de fasores
Manual de Laboratoacuterio
85
0eacutey = F ∙ uparamiddot$
onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square
Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que
F = frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte
Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade
7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL
Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e
resistecircncia num diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
86
do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como
0 = AJradicAJ$ + AF$
O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP
DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11
Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia
Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por
acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita
Manual de Laboratoacuterio
87
2 = 1D
Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica
Figura 18 - diagramas de fasores representando
um circuito capacitivo e um circuito indutivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
88
Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie
O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio
TAREFA 1
Circuito Resistivo
Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR
Manual de Laboratoacuterio
89
Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)
O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador
Circuito Capacitivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
90
Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor
Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Manual de Laboratoacuterio
91
Circuito Indutivo
Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor
O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
92
Circuito RLC
Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise
Manual de Laboratoacuterio
93
O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador
Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio
O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior
Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor
Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou
A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
94
TAREFA 2
Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente
Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir
Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima
Qual o valor da corrente maacutexima no circuito
Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)
O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique
Manual de Laboratoacuterio
95
TAREFA 3
Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito
Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees
Como isso eacute possiacutevel Explique
Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff
Respostas
96
Respostas
A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32
A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH
A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH
B3 Ae = Af = AtildeAcircf
B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl
B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH
B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l
B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD
B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -
C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc
(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7
C2 O = ~13deg
C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)
Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-
vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr
Respostas
97
C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM
C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD
(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD
C6 A = Eacute$Acirc
C7 A = Atilde$AcircL
D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma
das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp
D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(
D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1
no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)
D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme
D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D
E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)
E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D
E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml
F1 544 times 10
F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S
F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM
u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM
u (e) 0 = ℇMu
F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω
Respostas
98
F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965
G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n
G5 i = Ograve$g = 245 J
G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y
G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez
G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H
G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)
G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)
G15 (a) zL$brvbarM (b)
z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero
G16 z$L + z$L = z$L - + 1
G17 (a) pLM
amp (b) pusup3
ampL
G18 zzMu
G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)
z
G20 zNu saindo da folha
G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)
UgraveLMamp
fora do fio (a) z$L (b)
UgravebrvbarM$L (c)
Ugravebrvbarsup3ampL
G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13
G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM
ampu
H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior
Respostas
99
H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a
H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J
I2 Φ = pound$ sup1amp
I4 C = AcircsM
I6 (a) zM
NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar
J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a
(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S
J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu
(c) = -radic
J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm
(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013
Respostas
100
Bibliografia
Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il
Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il
Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il
Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm
Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il
Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il
Conteuacutedo Programaacutetico
7
Conteuacutedo Programaacutetico
O conteuacutedo seraacute dividido em quatro aacutereas Ao final de cada aacuterea seraacute realizada uma prova que pode abranger todo o conteuacutedo visto ateacute entatildeo
1ordf semana Carga eleacutetrica (condutores isolantes carga induzida e forccedila eleacutetrica) Campo eleacutetrico (lei de Coulomb dipolo eleacutetrico)
2ordf semana Campo eleacutetrico (momento de dipolo eleacutetrico energia potencial eleacutetrica distribuiccedilotildees discretas e contiacutenuas de carga distribuiccedilotildees contiacutenuas de carga)
3ordf semana Lei de Gauss (fluxo eleacutetrico campo eleacutetrico proacuteximo a objetos simeacutetricos carregados cargas em condutores) PROVA I
4ordf semana Potencial eleacutetrico (potencial diferenccedila de potencial diferenccedila de energia potencial superfiacutecie equipotencial potencial proacuteximo a objetos carregados)
5ordf semana Laboratoacuterio 1 Capacitacircncia (capacitor de placas paralelas diferenccedila de potencial num capacitor capacitores ciliacutendricos e esfeacutericos capacitores em seacuterie e em paralelo capacitores com dieleacutetricos energia armazenada num capacitor)
6ordm semana Carga e descarga de capacitores Corrente e
resistecircncia (conservaccedilatildeo de carga corrente convencional e corrente de eleacutetrons densidade de corrente velocidade de deriva resistores resistividade e resistecircncia lei de Ohm)
Conteuacutedo Programaacutetico
8
7ordf semana Circuitos (baterias forccedila eletromotriz resistores em seacuterie e paralelo circuitos com baterias e resistores potecircncia em circuitos efeito Joule) Laboratoacuterio 2
8ordm semana Circuito RC (corrente num circuito com capacitor carregando eou descarregando)
9ordm semana Aula de problemas e PROVA II
10ordm e 11ordf semanas Campo Magneacutetico (lei de Biot-Savart campo magneacutetico produzido por corrente campo magneacutetico da Terra espira de corrente momento de dipolo magneacutetico dipolo magneacutetico lei de Gauss do magnetismo forccedila eletromagneacutetica forccedila magneacutetica num fio com corrente torque energia potencial magneacutetica) Laboratoacuterio 3
12ordf semana Lei de Ampegravere Efeito Hall Propriedades
Magneacuteticas da Mateacuteria (diamagnetismo paramagnetismo ferromagnetismo)
13ordf semana Laboratoacuterio 4 Aula de problemas e PROVA III
14ordf semana Lei de Faraday-Lenz (forccedila eletromotriz induzida fluxo magneacutetico variaacutevel no tempo transformadores corrente induzida)
15ordf semana Equaccedilotildees de Maxwell (corrente de deslocamento) Indutacircncia (indutores solenoide toroide) Laboratoacuterio 5
16ordf semana Corrente alternada (circuito RL e LC densidade de energia conservaccedilatildeo de energia)
17ordf semana Corrente alternada (circuito RLC ressonacircncia circuito resistivo capacitivo e indutivo circuito RLC forccedilado impedacircncia fator de potecircncia constante de fase diagrama de fasores) Laboratoacuterio 6
Conteuacutedo Programaacutetico
9
18ordf semana Aula de problemas e PROVA IV
19ordf semana Divulgaccedilatildeo dos resultados
20ordf semana RECUPERACcedilAtildeO OU EXAME
Problemas Selecionados
Problemas Selecionados
11
(A) Carga Eleacutetrica
A1 ndash Se vocecirc grudar um pedaccedilo de fita adesiva na mesa e desgrudaacute-lo puxando rapidamente uma das pontas a fita ficaraacute carregada eletricamente Supondo que a fita adesiva tenha 20 de comprimento e 1 de largura e que ao fazer isso vocecirc consiga arrancar 1 eleacutetron de cada aacutetomo da superfiacutecie da fita qual seraacute a carga eleacutetrica total da fita (por simplicidade considere o raio atocircmico = 1 Å)
A2 ndash Repetindo o mesmo procedimento com outro pedaccedilo idecircntico de fita adesiva e aproximando os dois pedaccedilos a uma distacircncia de 5 qual seraacute a forccedila eleacutetrica entre eles
A3 ndash Quatro partiacuteculas carregadas estatildeo dispostas no plano XY sendo = langminus3 0 0rang $ = lang 0 0rang amp = lang0 2 0rang e = lang0 minus2 0rang as distacircncias das cargas ateacute a origem A carga da partiacutecula 2 eacute ($ = 80 times 10-C a carga das partiacuteculas 3 e 4 eacute (amp = ( = minus1 6 times 10-C Qual deve ser a distacircncia para que seja nula a forccedila resultante sobre a partiacutecula 1
A4 ndash O dado mostrado na figura ao lado possui lado = 15 Qual a forccedila (vetor) exercida sobre a partiacutecula indicada pela seta devido agrave presenccedila das demais cargas Use notaccedilatildeo vetorial para indicar sua resposta (Dica defina a origem dos eixos cartesianos no veacutertice que estaacute escondido com o eixo z para cima Calcule as componentes da forccedila nas
direccedilotildees e separadamente soacute entatildeo some as componentes que estatildeo na mesma direccedilatildeo)
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
12
A5 ndash Trecircs partiacuteculas carregadas estatildeo dispostas num plano XY a
partiacutecula 1 na posiccedilatildeo 0- = lang0 15 0rang a partiacutecula 2 na posiccedilatildeo 0$ = lang0 minus15 0rang e a partiacutecula 3 na posiccedilatildeo 0amp = lang 0 0rang com liberdade para se mover no eixo (- = ($ = 32 times 10-C (amp = minus64 times 10-C pode variar de 0 a 5 Qual o valor de para que a forccedila exercida sobre a partiacutecula 3 (pelas demais cargas) seja (a) miacutenima e (b) maacutexima Quais satildeo os valores (c) miacutenimo e (d) maacuteximo do moacutedulo da forccedila
A6 ndash A figura ao lado mostra duas esferas condutoras de mesma massa e mesma carga ( suspensas por fios isolantes de comprimento 2 Mostre que para 2 ≫ as esferas estaratildeo em equiliacutebrio quando a distacircncia entre elas for igual a
= 4 ($2256789- ampfrasl
A7 ndash A forccedila gravitacional entre duas massas pontuais eacute muito similar matematicamente agrave forccedila eletrostaacutetica entre duas cargas pontuais A intensidade dessas forccedilas no entanto eacute extremamente diferente Para ilustrar isso considere a seguinte situaccedilatildeo Em algum lugar do espaccedilo existem duas esferas idecircnticas de poeira 50 de diacircmetro e densidade 25 8amp separadas por uma distacircncia = Se os gratildeos satildeo eletricamente neutros e estatildeo inicialmente em repouso eles iratildeo colidir devido agrave atraccedilatildeo gravitacional Agora suponha que ambos estatildeo eletricamente carregados cada um tendo um nuacutemero gt de eleacutetrons extra Encontre o menor valor de gt que iraacute evitar a colisatildeo (Considere = 667 times 10-- amp8-$)
Problemas Selecionados
13
(B) Campo Eleacutetrico
B1 ndash Um iacuteon de Fe3+ estaacute localizado a 400 gt de um iacuteon de Cl- como mostra a figura ao lado (a) Qual a magnitude direccedilatildeo e sentido do campo
eleacutetrico A na posiccedilatildeo A (b) E na posiccedilatildeo B (c) Se um eleacutetron estiver na posiccedilatildeo A qual seraacute a magnitude e direccedilatildeo da forccedila sobre o eleacutetron
B2 ndash Um quadrupolo eleacutetrico eacute formado por um conjunto de dois dipolos como mostra a figura ao lado Mostre que para ≫ = a magnitude do
campo A num ponto ao longo do eixo dos quadrupolos eacute dado por
A = 6(=$4567
B3 ndash Uma barra muito longa com densidade de carga B estaacute disposta conforme a figura ao lado (Alguns autores chamam esse tipo de barra de semi-infinita pois o ponto P estaacute proacuteximo a uma das extremidades da barra enquanto a outra extremidade estaacute muito distante) Mostre
que o campo eleacutetrico A no ponto P faz um acircngulo de 45deg com a barra independente da distacircncia Y (isto eacute as componentes x e y do campo tem a mesma magnitude)
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
14
B4 ndash Calcule o campo A proacuteximo a uma barra carregada com carga total Q e comprimento As cargas estatildeo distribuiacutedas de forma uniforme ao longo da barra = 015 C = 8 gtD e E = 5
B5 ndash A figura ao lado mostra um anel incompleto de raio F carregado com carga total C Qual a forccedila (vetor) exercida sobre um eleacutetron que por ventura esteja localizado no ponto 0
B6 ndash Um dipolo cujo momento dipolar eacute G = lang37 50 0rang D
encontra-se numa regiatildeo onde o campo A = lang3000 0 0rang H Dfrasl Qual a energia potencial do dipolo Qual o torque que age sobre o dipolo Qual eacute o trabalho que um agente externo deve realizar para girar o dipolo ateacute que seu momento dipolar seja G = langminus50 37 0rang D
B7 ndash Calcule a magnitude direccedilatildeo
e sentido do campo A no centro de um anel de raio F carregado sendo que a distribuiccedilatildeo de cargas no anel varia como B(I) = B7 gt I
Problemas Selecionados
15
B8 ndash Duas barras isolantes de 15 de comprimento encontram-se em um acircngulo reto Uma barra possui 30 D e a outra possui minus30 D de carga uniformemente distribuiacuteda ao longo do comprimento conforme a figura ao lado Determine o campo eleacutetrico (vetor) no ponto P que estaacute a = = 750 do centro de cada barra
B9 ndash Duas barras curvas isolantes com cargas opostas de igual magnitude ( formam um ciacuterculo de raio F no plano xy conforme a figura As cargas estatildeo uniformemente distribuiacutedas na barra (a) Qual o campo eleacutetrico (vetor) no ponto P (b) Qual a resposta do item (a) se ( = 20 GD e F = 10
B10 ndash Considere um cilindro de comprimento 2 e raio J oco carregado com carga total C Vocecirc estaacute interessado em saber qual eacute
o campo eleacutetrico A ao longo do eixo do cilindro numa de suas extremidades Para isso utilize dois caminhos distintos (a) considerando que o cilindro eacute formado por uma infinidade de barras de espessura infinitesimal todas com comprimento 2 dispostas num ciacuterculo de raio J e (b) considerando que o cilindro eacute formado por uma infinidade de aneacuteis de raio J cujos eixos estatildeo alinhados e juntos formam um cilindro de comprimento 2
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
16
(C) Lei de Gauss
C1 ndash Uma faacutebrica de bolinhas de gude foi atingida por um raio durante uma tempestade O preacutedio foi protegido por um paacutera-raios mas algumas descargas atingiram os equipamentos que fabricavam as bolinhas Resultado eacute que a bolinha que estava na maacutequina ao cair o raio recebeu uma descarga eleacutetrica e as cargas ficaram armazenadas
no interior da bolinha de forma que a densidade de carga K() = K7 -LM
(a) Qual o campo A na superfiacutecie da bolinha que tem raio = 2 (b) E no interior da bolinha 1 abaixo da superfiacutecie (c) Qual o
campo A a 5 da superfiacutecie da bolinha
C2 ndash A figura ao lado mostra uma bolinha com massa 0004 8 e carga 8 times 10N D suspensa por um fio nas proximidades de uma grande placa condutora carregada sendo que a densidade de carga da placa eacuteminus2 times 10 D $frasl Encontre um valor para o acircngulo O
C3 ndash Uma casca ciliacutendrica isolante e muito longa tem raio interno e externo e densidade volumeacutetrica de carga K Um fio tambeacutem muito longo tem densidade linear de carga B e estaacute alinhado com o eixo central da casca Qual o campo eleacutetrico na regiatildeo entre e
Problemas Selecionados
17
C4 ndash Uma carga C positiva estaacute no centro de um conjunto de calotas concecircntricas como mostra a figura abaixo O raio das calotas estaacute indicado na figura A mais externa eacute condutora e estaacute carregada com carga C negativa e a calota intermediaacuteria eacute isolante e possui carga liacutequida ( positiva distribuiacuteda de forma uniforme por
todo seu volume Calcule o campo A resultante em cada uma das 5 regiotildees indicadas na figura Indique a localizaccedilatildeo aproximada das cargas induzidas eou em excesso em cada regiatildeo e indique a direccedilatildeo e sentido dos campos eleacutetricos
C5 ndash Uma casca esfeacuterica com densidade volumeacutetrica de carga K = 20 gtDamp tem raio interno = 10 e raio externo = 2 conforme a figura Determine o moacutedulo do campo eleacutetrico para os seguintes raios a partir do centro (a) = 2frasl (b) = 15 (c) = 2
C6 ndash Usando a Lei de Gauss determine o campo eleacutetrico proacuteximo a uma placa muito grande com densidade superficial de carga P
C7 ndash Usando a Lei de Gauss determine o campo eleacutetrico proacuteximo a uma barra muito longa com densidade linear de carga B
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
18
(D) Potencial Eleacutetrico
D1 ndash A figura ao lado mostra um anel incompleto formado por trecircs segmentos de arco com densidade linear de carga constantesB- B$ e Bamp A menor delas tem carga total (- e comprimento de arco 54 As demais estatildeo indicadas na figura Qual o potencial eleacutetrico no centro do anel Qual deve ser a relaccedilatildeo entre as cargas para que o potencial eleacutetrico no centro do anel seja igual a zero
D2 ndash A figura ao lado mostra um dipolo eleacutetrico de momento dipolar |G| = R( Mostre que para ≫ R o potencial eleacutetrico no ponto P eacute dado por
S = 145T7G UO$
Dica quando ≫ R eacute razoaacutevel considerar que V cong $ e minus V cong R UO
D3 ndash Sobre uma mesa de bilhar estatildeo dispostas trecircs bolinhas Uma com carga +C outra com carga ndash C e uma terceira com carga +2C conforme mostra a figura ao lado (a) Qual o potencial no ponto P (b) Se uma quarta bolinha for colocada no centro do quadrado qual deve ser a carga da bolinha para que o potencial no ponto P seja nulo
Problemas Selecionados
19
D4 ndash Uma esfera oca isolante de raio F e carga C eacute colocada nas proximidades de uma placa muito grande cuja densidade superficial de carga eacute P (uniforme) A distacircncia entre a placa e a superfiacutecie da esfera eacute = Qual a diferenccedila de potencial entre o centro da esfera e a placa Dica calcule a ddp devido a cada objeto separadamente e some os resultados A diferenccedila de potencial entre dois pontos pode ser determinada a partir do campo eleacutetrico
D5 ndash Uma esfera isolante maciccedila possui densidade de carga K() = K7$ onde ρ0 eacute uma constante (a) Qual a diferenccedila de potencial entre os pontos b e c Se a densidade de carga fosse uniforme qual seria a diferenccedila de potencial entre os pontos b e c
D6 ndash Um fio tem densidade linear de carga B uniforme e foi dobrado no formato conforme mostra a figura abaixo Qual o potencial eleacutetrico no ponto P
D7 ndash Considere duas cascas esfeacutericas finas concecircntricas condutoras A casca interna tem raio = 15 e carga 10 gtD A casca externa tem raio = 30 e carga minus15 gtD Forneccedila expressotildees para o campo eleacutetrico e o potencial eleacutetrico para as diferentes regiotildees (a) lt 15 (b) 15 lt lt 30 (c) gt 30 Em todos os casos considere S = 0 em = infin
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
20
(E) Capacitacircncia
E1 ndash Sabendo que cada um dos capacitores no circuito ao lado tem capacitacircncia D = 10 e a diferenccedila de potencial na bateria eacute ΔS = 10 S qual eacute a carga do capacitor 1 E do capacitor 2
E2 ndash Encontre uma expressatildeo para a capacitacircncia dos capacitores abaixo sabendo que a distacircncia entre as placas eacute = a aacuterea das placas eacute 10 = o espaccedilo entre as placas estaacute preenchido por dois ou mais materiais de constantes dieleacutetricas distintas conforme mostra a figura abaixo Analisando cada capacitor separadamente eacute possiacutevel obter a mesma capacitacircncia com uma associaccedilatildeo de capacitores simples (preenchidos por um uacutenico material) Explique
E3 ndash Uma diferenccedila de potencial de 100 S eacute aplicada ao circuito ao lado onde D- = 10 D$ = 5 e Damp = 4 Se o capacitor 3 eacute substituiacutedo por um fio condutor qual eacute o aumento na carga do capacitor 1 Qual eacute o aumento na diferenccedila de potencial entre as placas do capacitor 1
(a) (b) (c)
Problemas Selecionados
21
E4 ndash No circuito ao lado a diferenccedila de potencial fornecida pela bateria eacute de 20 S Qual a capacitacircncia equivalente do circuito Qual a carga armazenada por essa capacitacircncia equivalente Qual a carga e ddp para os capacitores 1 2 e 3
E5 ndash Na figura ao lado a ddp da bateria eacute 10 S D- = 10 D$ = Damp = 2D- A chave eacute movida para a esquerda e somente depois que o capacitor 1 atingiu o equiliacutebrio a chave eacute movida para a direita Quando o equiliacutebrio eacute novamente atingido qual eacute a carga do capacitor 1
E6 ndash Um capacitor de placas paralelas com aacuterea J e espaccedilamento = eacute preenchido com vidro (6 = 267) Conectado a uma bateria o capacitor acumula carga C (a) Qual a energia armazenada no capacitor (b) Mantendo a bateria conectada a separaccedilatildeo entre as placas eacute aumentada para 2= (veja a figura) Qual a energia armazenada nessa nova situaccedilatildeo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
22
(F) Corrente e Resistecircncia
F1 ndash A figura ao lado mostra parte de um fio de cobre com diacircmetros =- = 4F e =$ = 8F por onde passa uma corrente uniforme = 4 e a diferenccedila de potencial ao longo desse comprimento eacute20 S O
nuacutemero de portadores de carga por unidade de volume eacute 849 times 10$N amp Qual eacute a velocidade de deriva dos eleacutetrons de conduccedilatildeo na porccedilatildeo do fio com diacircmetro =$
F2 ndash No circuito ao lado qual a magnitude e direccedilatildeo das correntes nos resistores F- F$ e Famp Para isso considere que ℇ- = 6 S ℇ$ = 12 SF- = 100 Ω F$ = 200 Ω Famp = 300 Ω O ciruito estaacute aterrado e nesse ponto S = 0 Qual eacute o potencial eleacutetrico no ponto A
F3 ndash Calcule a potecircncia total dissipada em cada circuito Considere que todas as resistecircncias satildeo iguais e as baterias satildeo ideais Expresse suas respostas em termos de ℇ e F
F4 ndash Se dois fios de mesmo comprimento um de cobre e outro de alumiacutenio apresentam a mesma resistecircncia qual deve ser a razatildeo entre seus raios
Problemas Selecionados
23
F5 ndash No circuito ao lado a potecircncia dissipada no resistor R eacute 20 a Qual o valor de R Qual a ddp entre os pontos A e B
F6 ndash A corrente medida por um amperiacutemetro A no circuito ao lado eacute a mesma quando ambas as chaves estatildeo abertas ou fechadas Qual o valor da resistecircncia R
F7 ndash Determine o valor da corrente que passa por cada um dos resistores a potecircncia fornecida por cada uma das fontes de tensatildeo e a potecircncia dissipada por cada um dos resistores Faccedila o balanccedilo energeacutetico do circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
24
F8 ndash No circuito ao lado a chave S permanece fechada por um longo tempo e a corrente no circuito atinge um valor constante Considere D- = 3 D$ = 6 F- = 4Ω e F$ = 7Ω A potecircncia dissipada em F$ eacute 24a (a) Determine as cargas em D- e D$ (b) Abrindo a chave S e aguardando um longo tempo qual a mudanccedila observada na carga do capacitor 2
F9 ndash Num circuito RC seacuterie como o da figura ao lado D = 1 F = 2 times 10bΩ e ℇ = 10S Dez segundos depois que a chave foi fechada determine (a) a carga no capacitor (b) a corrente no resistor (c) a taxa com que a energia eacute armazenada no capacitor (d) a taxa com que a bateria fornece energia para o circuito
F10 ndash Um capacitor eacute carregado atraveacutes de um resistor como mostra a figura no problema anterior Mostre que metade da energia fornecida pela bateria aparece como energia interna no resistor e a outra metade como energia eleacutetrica no capacitor
F11 ndash Um capacitor duas fontes ideais dois resistores e uma chave S satildeo mostrados no circuito da figura ao lado Suponha D = 12 ℇ- = 15 S ℇ$ = 30 S F- = 05 Ω e F$ = 08 Ω (a) Se a chave S permanece aberta por um longo tempo qual a carga no capacitor (b) Qual a carga no capacitor se a chave S permanece fechada por um longo tempo
Problemas Selecionados
25
F12 ndash No circuito ao lado a bateria fornece 10 S o capacitor eacute de 1 e os resistores tecircm as resistecircncias indicadas na figura O circuito estaacute ligado haacute um longo tempo (a) Qual a ddp entre os terminais do capacitor (b) Se a bateria for desconectada quanto tempo levaraacute para que essa ddp atinja um deacutecimo do valor inicial
-------------------------------------------------------------------------------------------
(G) Campo Magneacutetico
G1 ndash Um proacuteton atravessa uma regiatildeo de campo magneacutetico uniforme = lang10 20 30rang 13 No tempo c- o proacuteton tem uma velocidade d = langde df 2rang e a forccedila magneacutetica sobre o proacuteton eacute g = lang4 times 10-h minus2 times 10-h 0rang H Nesse instante qual o valor de de e df
G2 ndash Um proacuteton viaja atraveacutes de uma regiatildeo de campo eleacutetrico e
magneacutetico uniformes onde = langminus25 0 0rang 13 Num certo instante a velocidade do proacuteton eacute d = lang0 2000 0rang Qual a forccedila resultante que age sobre o proacuteton se o campo eleacutetrico for
(a) A = lang0 0 4rang S (b) A = lang0 0 minus4rang S ou
(c) A = lang4 0 0rang S
G3 ndash Uma espira retangular de lados e estaacute numa regiatildeo de campo
magneacutetico perpendicular ao plano da espira e eacute percorrida por uma corrente i constante conforme mostra a figura ao lado Determine o torque sobre a espira
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
26
G4 ndash Dois trilhos de metal separados por uma distacircncia = = 256 estatildeo ligados a uma bateria No momento em que uma barra de metal de massa = 241 8 eacute colocada sobre os trilhos (c = 0) ela fecha o circuito e por ela passa uma corrente i = 913 J O conjunto estaacute numa regiatildeo onde existe um campo magneacutetico uniforme = 563 13 Qual a velocidade da barra 611 depois Em que direccedilatildeo ela se move
G5 ndash A figura ao lado mostra um cilindro de madeira de massa = 250 8 e comprimento 2 =10 onde foi enrolado um fio formando uma espira de 10 voltas O cilindro eacute posicionado de forma que o eixo da espira estaacute perpendicular ao plano inclinado (paralelo agrave normal do plano
inclinado) Nessa regiatildeo haacute um campo magneacutetico = lang0 05 0rang 13 Qual deve ser o valor miacutenimo da corrente na espira capaz de manter o cilindro em sua posiccedilatildeo evitando que ele role para baixo
G6 ndash A figura ao lado mostra um iacutematilde e um anel condutor de raio por onde passa uma corrente i Se o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde faz um acircngulo O com a vertical na posiccedilatildeo onde estaacute o anel qual eacute a magnitude e a direccedilatildeo da forccedila resultante sobre o anel
Problemas Selecionados
27
G7 ndash Uma barra de metal com densidade de massa B (massa por unidade de comprimento) apresenta uma corrente i (saindo da paacutegina) A barra estaacute suspensa por dois fios num campo magneacutetico uniforme vertical como mostra a figura ao lado No equiliacutebrio os fios
fazem um acircngulo O com a vertical Qual a magnitude do campo magneacutetico
G8 ndash Um proacuteton com energia cineacutetica de 6 jS se move no plano da paacutegina e entra numa regiatildeo de campo magneacutetico = 1 13 direcionado para dentro da paacutegina como mostra a figura ao lado
O proacuteton entra na regiatildeo de campo com o vetor velocidade fazendo um acircngulo O- = 35deg com a borda da regiatildeo Qual eacute a distacircncia entre o ponto de entrada e saiacuteda ( na figura) Qual o valor de O$
G9 ndash Considere um eleacutetron orbitando um proacuteton numa trajetoacuteria circular de raio F = 529 times 10-- devido agrave atraccedilatildeo Coulombiana Considere o sistema como se fosse um anel por onde passa uma corrente Qual seraacute o torque resultante quando o sistema for colocado numa regiatildeo de campo magneacutetico = 04 13 perpendicular ao momento magneacutetico do anel
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
28
G10 ndash Um fio por onde passa uma corrente i foi moldado num formato semicircular de raio F e uma reta de comprimento 2F como mostra a figura ao lado Nessa mesma regiatildeo haacute um campo magneacutetico que aponta na direccedilatildeo + (representado pelos pontos azuis na figura ao lado) Mostre que a
forccedila resultante sobre o fio eacute zero
G11 ndash Um condutor ciliacutendrico longo de raio conteacutem duas cavidades cada uma com diacircmetro ao longo de todo o comprimento do fio Uma visatildeo da seccedilatildeo transversal do fio eacute mostrada na figura ao lado Uma corrente i uniforme (considerando a porccedilatildeo soacutelida do material) passa atraveacutes do fio e aponta para fora da paacutegina Determine a magnitude e direccedilatildeo do campo
magneacutetico em funccedilatildeo de 7 i e no ponto P
G12 ndash Dois fios muito longos por onde passa corrente i de mesma magnitude estatildeo moldados conforme a figura ao lado
Mostre que o campo magneacutetico no centro do ciacuterculo de raio R eacute o mesmo que o
campo a uma distacircncia R abaixo de um fio reto muito longo por onde passa uma corrente i
Problemas Selecionados
29
G13 ndash Encontre uma expressatildeo para determinar a magnitude do campo magneacutetico no ponto P da figura ao lado Dica considere a origem dos eixos cartesianos no ponto P
G14 ndash A figura ao lado mostra a seccedilatildeo transversal de um condutor oco de raio externo e interno por onde passa uma corrente uniforme i Demonstre que a magnitude do campo magneacutetico () para uma distacircncia lt lt eacute dada por
= 7i25($ minus $) $ minus $
G15 ndash A figura ao lado mostra um cabo coaxial de raios e Correntes opostas de igual magnitude estatildeo distribuiacutedas nos dois condutores Derive uma expressatildeo para calcular o campo magneacutetico () na regiatildeo (a) lt (b) lt lt (c) lt lt e (d) gt
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
30
G16 ndash Um fio condutor por onde passa uma corrente i foi torcido para formar um loop de raio R (no plano da paacutegina) como mostra a figura abaixo Qual a direccedilatildeo do campo magneacutetico no
centro do loop Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico no centro do loop
G17 ndash Uma corrente i passa por um fio condutor ciliacutendrico de raio R como mostra a figura ao lado A densidade de corrente l natildeo eacute uniforme atraveacutes da seccedilatildeo transversal do fio mas obedece agrave funccedilatildeo l = onde eacute uma constante Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico (a) a uma distacircncia - lt F e (b) a uma distacircncia $ gt F(em relaccedilatildeo ao centro do condutor)
G18 ndash Um fio condutor muito longo por onde passa uma corrente i- estaacute parcialmente envolto por um loop por onde passa uma corrente i$ (figura ao lado) O loop fio foi moldado num formato semiciliacutendrico de raio R e o comprimento L O fio condutor passa pelo eixo do loop Calcule a forccedila magneacutetica exercida sobre o loop
G19 ndash Considere um solenoide de comprimento 2 e raio F contendo H voltas de um fio por onde passa uma corrente i (a) Determine uma expressatildeo para
o campo magneacutetico num ponto ao longo do eixo do solenoide do lado de fora do solenoide como funccedilatildeo da distacircncia ateacute uma das pontas (considere = 0 no centro do solenoide e = a distacircncia do centro ateacute o ponto onde estaacute sendo calculado o campo ) (b) Mostre que para
Problemas Selecionados
31
valores muito grandes de 2 e = = 0 se aproxima de = 7i H 2frasl para posiccedilotildees ao longo do eixo no interior do solenoide distante das bordas
G20 ndash A figura ao lado mostra um fio moldado para formar duas seccedilotildees retas e um quarto de ciacuterculo por onde passa corrente i Determine o campo magneacutetico (vetor) no ponto P
G21 ndash Um fio ciliacutendrico espesso de raio eacute percorrido por uma corrente i Determine uma expressatildeo para o
campo magneacutetico dentro e fora do fio considerando que (a) a corrente estaacute distribuiacuteda uniformemente sobre a superfiacutecie externa do fio (b) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio com densidade de corrente l constante (c) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio de forma que a densidade de corrente l eacute proporcional agrave distacircncia ateacute o eixo do fio
G22 ndash Considere dois solenoides coaxiais cada um conduzindo uma corrente i em direccedilotildees opostas O solenoide interno de raio possui gt- voltas por unidade de comprimento o
solenoide externo possui raio e gt$ voltas por unidade de
comprimento Determine (a) no interior do conjunto (b) entre eles e (c) fora deles
G23 ndash Um fio condutor longo e reto de raio F conduz uma corrente natildeo uniforme cuja densidade de corrente eacute l = l7 Ffrasl onde l7 eacute uma constante A corrente total eacute i (a) Determine uma expressatildeo para i
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
32
em funccedilatildeo de l7 e F (b) Determine uma expressatildeo para o campo magneacutetico no interior do fio para uma distacircncia
G24 ndash A figura ao lado mostra um toroide que consiste num solenoide fechado em forma de anel (a) Considerando a simetria explique qual deve ser o formato do campo magneacutetico no interior desse toroide (b) Considere o toroide compacto (a separaccedilatildeo entre cada volta do fio eacute pequena) com N voltas conduzindo uma corrente i Usando a lei de Ampeacutere determine a magnitude do campo magneacutetico num ponto interno ao toroide a uma distacircncia do eixo principal (ver figura ao lado) (c) O campo magneacutetico no interior do toroide eacute um campo uniforme Explique
-------------------------------------------------------------------------------------------
(H) Lei de Faraday
H1 ndash A figura ao lado mostra dois aneis cujos eixos estatildeo alinhados separados por uma distacircncia x O anel maior tem raio F o anel menor tem raio Os aneis estatildeo separados por uma distacircncia ≫ F e por isso o campo magneacutetico devido agrave corrente no anel de raio F eacute praticamente uniforme no anel menor Considere que a distacircncia estaacute aumentando a uma taxa constante = =cfrasl = d (a) Determine uma expressatildeo para o fluxo de campo magneacutetico atraveacutes do anel menor como funccedilatildeo de Encontre uma expressatildeo para (b) a fem induzida e (c) a direccedilatildeo da corrente no anel menor
Problemas Selecionados
33
H2 ndash (a) Calcule o fluxo magneacutetico atraveacutes do retacircngulo mostrado na figura ao lado em funccedilatildeo de = i (b) Avalie o resultado encontrado para = 5 = 10 = = 2 e i = 20 J
H3 ndash Uma espira plana e circular de raio =75 estaacute em repouso numa regiatildeo de campo magneacutetico uniforme A espira estaacute orientada de tal forma que o campo magneacutetico aponta para cima
e faz um acircngulo de 30deg com a normal da espira O campo varia com
o tempo de acordo com (c) = 14(77nho) 13 (a) Determine a fem induzida na espira em funccedilatildeo do tempo (b) Para que valor de c a fem induzida eacute igual a um deacutecimo do seu valor inicial Determine o sentido da corrente induzida na espira se observada por cima da espira
H4 ndash Um retacircngulo que mede 30 times 40 estaacute localizado no interior de um campo magneacutetico uniforme de 125 13 com o campo perpendicular ao plano da bobina A bobina se move perpendicular ao campo com velocidade constante d =2 inclusive atingindo a regiatildeo
onde o campo termina abruptamente como mostra a figura ao lado Determine a fem induzida nessa bobina quando ela estaacute (a) inteiramente no interior do campo (b) parcialmente no interior do campo e (c) inteiramente fora do campo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
34
H5 ndash O fio na figura ao lado conduz
uma corrente i(c) = i7po onde gt 0 Determine o sentido da corrente induzida na bobina (horaacuterio ou anti-horaacuterio) para c gt 0
H6 ndash A figura ao lado mostra uma espira circular de raio contendo uma resistecircncia e um capacitor ligados em seacuterie imerso numa regiatildeo onde um campo magneacutetico uniforme (no espaccedilo) entrando no plano na paacutegina decresce no tempo a uma taxa constante = =cfrasl = minus sendo uma constante positiva (a) Qual a carga no capacitor quando ele estaacute completamente carregado (b) Qual das placas do capacitor estaacute em potencial mais elevado (c) Qual a origem da forccedila que causa a separaccedilatildeo de cargas
-------------------------------------------------------------------------------------------
(I) Indutacircncia
I1 ndash No circuito ao lado ℰ = 100 SF- = 10 Ω F$ = 20 Ω Famp = 30 Ω e 2 = 2 H Ao fechar a chave S quais os valores de i- e i$ Considere positivo o sentido das correntes indicadas na figura Muito tempo
depois quais satildeo os valores de i- e i$ A chave eacute entatildeo aberta Nesse instante quais satildeo os valores de i- e i$ E muito tempo depois quais satildeo os valores de i- e i$
Problemas Selecionados
35
I2 ndash Num circuito LC em seacuterie a carga inicial do capacitor eacute C e ele estaacute sendo descarregado Quando a carga no capacitor eacute igual a C 2frasl qual eacute o fluxo magneacutetico que atravessa cada uma das N espiras do indutor (como funccedilatildeo de C H 2 e D)
I3 ndash Uma bobina possui N voltas e estaacute envolvendo um solenoide longo de raio r com n espiras por unidade de comprimento (figura ao lado) (a) Mostre que a indutacircncia muacutetua do sistema eacute dada por j = 75F$gtH (b) Explique por que M natildeo depende do formato tamanho ou possiacutevel falta de proximidade das espiras na bobina
I4 ndash A fem autoinduzida num solenoide de indutacircncia L varia no tempo conforme ℇ(c) = ℇ7so Levando em consideraccedilatildeo que a carga eacute finita (ou seja i = 0 quando c = infin) determine a carga total que passa pelo solenoide (que atravessa um determinado ponto no fio que compotildee o solenoide)
I5 ndash Um fio condutor foi enrolado num papelatildeo formando um toroide com N espiras (voltas) raio menor r e maior R A seccedilatildeo transversal do toroide eacute mostrada na figura ao lado Se F ≫ o campo magneacutetico no interior do toroide eacute essencialmente o mesmo que o campo no interior de um solenoide muito longo que tenha sido
moldado no formato de um ciacuterculo de raio R Modelando o campo como se fosse o campo uniforme de um solenoide longo mostre que a indutacircncia desse toroide eacute
aproximadamente 2 asymp -$ 7H$ LMu
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
36
I6 ndash Um indutor consiste em duas cascas ciliacutendricas concecircntricas como mostra a figura A casca interna tem raio e a externa tem raio ambas com comprimento ℎ A casca interna transporta uma corrente i para fora e a externa para dentro do plano da paacutegina com igual magnitude Calcule na regiatildeo lt lt (a) a densidade de energia magneacutetica (b) a indutacircncia
I7 ndash Mostre que i(c) = i7o wx eacute a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial iF + 2 yzyo = 0 onde i7 eacute a corrente em c = 0 e = 2 Ffrasl
I8 ndash Um fio condutor de raio R transporta uma corrente uniforme A corrente total no fio eacute i Mostre que a energia magneacutetica por unidade de comprimento dentro do fio eacute dada por 7i$ 165frasl
I9 ndash Um cabo coaxial eacute formado por dois cilindros condutores de paredes finas com raios - e $ As correntes nos dois cilindros satildeo iguais em magnitude mas com sentidos opostos (a) Use a lei de Ampeacutere para determinar o campo magneacutetico como funccedilatildeo da distacircncia ao eixo do cabo nas regiotildees (0 lt lt -) ( - lt lt $ ) e ( gt $) (b) Mostre que a densidade de energia magneacutetica na regiatildeo entre os cilindros eacute dada por
| = 12 745 i$(5$)-
(c) Mostre que a energia magneacutetica total num volume de cabo com comprimento ~ eacute dada por
Problemas Selecionados
37
= i$~ ln LML
(d) Mostre que a autoindutacircncia por unidade de comprimento do cabo eacute dada por
2~ = 725 ln $-
-------------------------------------------------------------------------------------------
(J) Corrente Alternada
J1 ndash A tensatildeo de uma fonte de corrente alternada eacute dada por ∆d = 120gt(30 5c) onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A fonte eacute conectada a um indutor de 05 Determine (a) a frequecircncia da fonte (b) a voltagem rms no indutor (c) a reatacircncia indutiva do circuito (d) a corrente rms no indutor e (e) a corrente maacutexima no indutor
J2 ndash Uma fonte de tensatildeo alternada fornece uma tensatildeo ∆d = 98gt(80 5c) a um capacitor onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A corrente maacutexima no circuito eacute 05 J Determine (a) a tensatildeo rms da fonte (b) a frequecircncia da fonte e (c) o valor da capacitacircncia
J3 ndash Um circuito AC eacute composto por um resistor de 250 Ω um indutor de 15 um capacitor de 35 e uma fonte de tensatildeo alternada com amplitude de 45 S operando com frequecircncia angular = 360 = frasl (a) Qual eacute o fator de potecircncia do circuito (b) Determine a potecircncia meacutedia aparente (S) fornecida ao circuito (c) Qual eacute a potecircncia meacutedia ativa (P) dissipada no resistor Qual eacute a potecircncia meacutedia reativa (Q) que fica armazenada no circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
38
J4 ndash Cinco voltiacutemetros com impedacircncia muito grande ajustados para ler valores rms estatildeo conectados conforme a figura ao lado Sendo F =200 Ω 2 = 04 H D = 6 e ∆S = 30 Vqual eacute a leitura da tensatildeo em cada voltiacutemetro se (a) = 200 = frasl e (b) =1000 = frasl
J5 ndash Num circuito RLC 2 = 028 e D = 4 A fonte fornece uma voltagem com amplitude de 120 S Qual eacute a frequecircncia angular de ressonacircncia do circuito (b) Quando a fonte opera na frequecircncia angular de ressonacircncia a amplitude da corrente no circuito eacute 17 J Qual a resistecircncia do resistor (c) Na frequecircncia angular de ressonacircncia quais satildeo as voltagens de pico no indutor capacitor e resistor
J6 ndash O circuito ao lado conteacutem uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal conforme ℇ = ℇgt(c) No estado de equiliacutebrio temos as correntes mostradas no circuito Sem recorrer a uma matemaacutetica complicada responda (a) Quais os valores de u e quando = 0 (frequecircncia zero significa que
a fonte foi substituida por uma bateria ideal) (b) Quais os valores de u e quando rarr infin (c) Qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia
Problemas Selecionados
39
J7 ndash Um indutor um capacitor e um resistor estatildeo conectados em seacuterie a uma fonte de tensatildeo alternada Se os valores da resistecircncia capacitacircncia e indutacircncia forem duplicados o que aconteceraacute com (a) a frequecircncia angular de ressonacircncia (b) a reatacircncia indutiva (c) a reatacircncia capacitiva e (d) a impedacircncia
J8 ndash O circuito abaixo eacute formado por uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal variando conforme ℇ = ℇgt(c) uma resistecircncia F = 6 Ω e uma parte desconhecida que pode conter um indutor um capacitor ou ambos A amplitude da fonte eacute ℇ = 6 S Quando a frequecircncia angular = 2 = a corrente estaacute em fase com a fonte enquanto que para = 1 = a corrente estaacute fora de fase em relaccedilatildeo agrave fonte por exatamente 5 4frasl (a) Quais componentes estatildeo presentes na parte desconhecida (um indutor um capacitor ou ambos) Explique (b) Determine os valores dos componentes desconhecidos
J9 ndash Um circuito em seacuterie possui impendecircncia de 60 Ω e fator de potecircncia igual a 072 em 50 A tensatildeo da fonte estaacute atrasada em relaccedilatildeo agrave corrente (a) Que elemento do circuito (um indutor ou um capacitor) deve ser ligado em seacuterie com o circuito para aumentar o fator de potecircncia (b) Qual deve ser o valor desse elemento para que o fator de potecircncia seja igual a 1 (c) Apresente diagramas de fasores esquemaacuteticos para o circuito antes e depois da ligaccedilatildeo do novo elemento
Manual de Laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
41
O PROCESSO DE MEDIDA NO LABORATOacuteRIO DE FIacuteSICA
Natildeo satildeo raros eventos em que nos valemos de medidas para tomarmos decisotildees Medimos nossa temperatura corporal para avaliarmos se necessitamos de tratamento Medimos a pressatildeo manomeacutetrica dos pneus para avaliarmos se precisamos injetar ou retirar ar neles Consultamos medidas da temperatura ambiente para escolhermos a roupa que vestiremos Consultamos o horaacuterio (medida de tempo) para natildeo chegarmos atrasados em encontros Medidas satildeo portanto fundamentais em nossas vidas No entanto usualmente natildeo nos preocupamos muito com a precisatildeo dessas medidas Em grande parte das vezes natildeo nos interessa saber se o horaacuterio informado no reloacutegio estaacute um pouco atrasado ou adiantado Natildeo nos preocupamos em saber o quanto podemos confiar nas temperaturas coletadas com um determinado termocircmetro Nossas medidas comumente satildeo realizadas de forma despretensiosa sem muito rigor
No laboratoacuterio de Fiacutesica isso ocorre de modo muito diferente Os processos de mediccedilatildeo satildeo mais minuciosos do que os que realizamos costumeiramente Desejamos obter a maior precisatildeo possiacutevel com os equipamentos de que dispomos Mas como fazer isso Como podemos melhorar a precisatildeo dos processos de mediccedilatildeo Intuitivamente podemos concluir que inferecircncias realizadas a partir de um conjunto de medidas satildeo mais precisas do que medidas isoladas Mas quando disponho de um conjunto de medidas como posso analisaacute-las Calcular a meacutedia delas eacute suficiente Responder a questotildees como essas eacute o objetivo desta atividade Para exemplificarmos todo esse processo realizaremos um debate sobre a mediccedilatildeo da resistecircncia interna de amperiacutemetros
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
42
O que satildeo amperiacutemetros
Um amperiacutemetro eacute um instrumento utilizado para a realizaccedilatildeo de medidas de correntes eleacutetricas Evidentemente natildeo queremos modificar os circuitos quando os exploramos com um instrumento Com amperiacutemetros natildeo eacute diferente Queremos medir correntes eleacutetricas sem alterar as caracteriacutesticas do circuito Mas como eacute possiacutevel fazer isso Natildeo discutiremos aqui os detalhes sobre o funcionamento interno de um amperiacutemetro No entanto vamos avaliaacute-los do ponto de vista de uma das suas caracteriacutesticas mais importantes a sua resistecircncia eleacutetrica
A resistecircncia eleacutetrica de um circuito influencia na intensidade da corrente eleacutetrica que circula nele A corrente eleacutetrica i que perpassa por uma resistecircncia eleacutetrica F submetida a uma tensatildeo ∆S por exemplo pode ser predita pela seguinte relaccedilatildeo
i = ∆u Eq 1
O amperiacutemetro precisa ser posicionado em seacuterie no circuito em que se deseja medir a corrente eleacutetrica como eacute exemplificado na figura
Figure 1- Medindo a resistecircncia interna de um multiacutemetro
Manual de Laboratoacuterio
43
1 Como a resistecircncia equivalente em circuitos em seacuteries eacute a soma da resistecircncia eleacutetrica de cada um dos seus componentes a resistecircncia interna dos amperiacutemetros se soma agrave resistecircncia equivalente do circuito investigado alterando a sua dinacircmica Por isso nosso desejo eacute que os amperiacutemetros tenham resistecircncia eleacutetrica nula No entanto a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro real por menor que seja nunca eacute nula Eles possuem um circuito interno com fios e diversos componentes eletrocircnicos que acabam provocando uma resistecircncia agrave circulaccedilatildeo de corrente eleacutetrica Ainda assim frequentemente desprezamos tal resistecircncia Seraacute que isso eacute razoaacutevel Quando podemos desprezar a resistecircncia interna dos amperiacutemetros e quando natildeo podemos Para respondermos tais perguntas precisamos conhecer o valor da resistecircncia interna tiacutepica de um amperiacutemetro
Medindo a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro
Nesta disciplina usaremos diversos amperiacutemetros de uma mesma marca e modelo em uma seacuterie de experimentos (Minipa ET-2075B) Por isso eacute interessante que conheccedilamos a resistecircncia eleacutetrica deles para podermos avaliar quando podemos desprezaacute-la e quando natildeo Mas como podemos obter essa informaccedilatildeo Podemos medi-la Um procedimento simples para isso eacute submeter o amperiacutemetro a uma diferenccedila de potencial ΔV conhecida e medir a corrente eleacutetrica i que passa por ele Desse modo podemos usar a Eq 1 para inferir a resistecircncia eleacutetrica do equipamento Mas podemos confiar em uma uacutenica medida Depende da precisatildeo de que necessitamos para essa medida Intuitivamente sabemos que se medirmos a resistecircncia interna a partir de um conjunto de dados poderemos ter uma maior confiabilidade nos dados No exemplo de que estamos tratando eacute possiacutevel se coletar dados da corrente no amperiacutemetro quando submetido a diferentes tensotildees Desse modo pode-se inferir a resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro pela declividade da reta constituiacuteda
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
44
pelos dados representados em um graacutefico da tensatildeo em funccedilatildeo da corrente eleacutetrica como pode ser constatado da Eq1 No entanto como temos incertezas associadas a cada dado experimental coletado esses dados natildeo seratildeo perfeitamente representados por uma reta Surge entatildeo uma nova questatildeo qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados
Ajuste de Curvas
Diversas retas podem ser ajustadas a um conjunto de dados experimental Qual delas utilizar Intuitivamente podemos conjecturar que a melhor reta a ser utilizada eacute aquela tal que a soma das diferenccedilas entre os valores de tensatildeo medidos e os preditos pela reta tenha o menor valor possiacutevel Em outras palavras queremos minimizar a soma
sum = = (∆Sz minus ∆S)z-
onde ∆Sz satildeo as tensotildees medidas e ∆S satildeo as tensotildees preditas pela reta ajustada
No entanto haacute um inconveniente importante no uso desse criteacuterio tal soma pode ser bem pequena para retas que natildeo apresentam bom ajuste aos dados se as diferenccedilas entre os valores medidos e os preditos se cancelarem sendo alguns positivos e outros negativos Nesses casos apesar de natildeo termos uma reta bem ajustada aos dados o criteacuterio utilizado
indicaria que sim Como resolver isso Elevando os valores de dn ao
Figura 1 - Diferenccedila de potencial em funccedilatildeo
da corrente
Manual de Laboratoacuterio
45
quadrado Ou seja podemos procurar a reta tal que a seguinte soma tenha o menor valor possiacutevel
sum =$ = (∆Sz minus ∆S)$z-
O meacutetodo que utiliza esse criteacuterio para a realizaccedilatildeo de ajustes de curvas que eacute amplamente utilizado no meio acadecircmico eacute denominado Meacutetodo dos Miacutenimos Quadrados Todos os softwares do tipo planilha eletrocircnica realizam esse caacutelculo automaticamente e nos valeremos disso quando necessaacuterio
Todos os amperiacutemetros da sala possuem a mesma resistecircncia interna
Ainda que todos os amperiacutemetros que utilizaremos nas nossas aulas sejam da mesma marca e modelo eles possuem diferentes resistecircncias internas Existe alguma forma de estimar a resistecircncia interna de um desses amperiacutemetros escolhido aleatoriamente Calcular a meacutedia das resistecircncias eacute suficiente para realizar essa estimativa
Variabilidade das medidas o desvio padratildeo amostral e da meacutedia
Apesar de as resistecircncias dos amperiacutemetros natildeo serem exatamente as mesmas elas possuem valores que se distribuem em torno de um valor meacutedio que eacute igual agrave meacutedia dessas resistecircncias Desse modo se tomarmos um dos amperiacutemetros aleatoriamente o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute igual agrave meacutedia das resistecircncias internas de todos os amperiacutemetros Mas quanto podemos confiar nessa estimativa Para respondermos tal pergunta eacute importante quantificarmos a variabilidade das resistecircncias r que medimos Quanto menor for essa variabilidade maior seraacute a nossa confianccedila para assumir que a resistecircncia interna de um amperiacutemetro particular eacute igual agrave meacutedia Intuitivamente podemos conjecturar que tal variabilidade pode ser medida pelo somatoacuterio das diferenccedilas entre as resistecircncias
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
46
medidas z e a meacutedia dessas resistecircncias ou seja por (- minus ) + ($ minus ) + ⋯ + ( minus ) onde N eacute o nuacutemero de medidas realizadas No entanto temos aqui um inconveniente semelhante ao que tivemos quando analisaacutevamos ajustes de curvas se valores positivos e negativos se cancelarem esse somatoacuterio pode ser muito pequeno mesmo quando os dados apresentam grande variabilidade Podemos propor a mesma soluccedilatildeo adotada anteriormente vamos elevar os termos ao quadrado Temos entatildeo a variabilidade dos dados sendo mensurada por (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$
A impossibilidade de comparaccedilatildeo entre as variabilidades de diferentes conjuntos de dados eacute a limitaccedilatildeo desta proposta pois o resultado desse somatoacuterio eacute altamente dependente da quantidade de termos Desse modo eacute possiacutevel que esse somatoacuterio seja maior para grandes conjuntos com pouca variabilidade do que para pequenos grupos com grande variabilidade Para amenizar tal limitaccedilatildeo podemos entatildeo dividir o somatoacuterio por N ou seja calcular a variabilidade por(- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$ Hfrasl Ainda que esse somatoacuterio seja conceitualmente interessante natildeo eacute essa a medida de dispersatildeo de dados que costuma ser utilizada no meio cientiacutefico mas algo que guarda alguma semelhanccedila com ele o desvio padratildeo dos dados (P) Ele eacute calculado por
PL = (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$H minus 1
Mas por que utilizamos essa equaccedilatildeo A resposta estaacute em suas propriedades Quando construiacutemos um histograma (graacutefico de frequecircncias) de um conjunto de medidas por exemplo podemos em muitos casos assumir que a distribuiccedilatildeo desses dados eacute representada por uma distribuiccedilatildeo normal A equaccedilatildeo que define essa distribuiccedilatildeo assim como sua representaccedilatildeo graacutefica eacute ilustrada na Figura 3
Manual de Laboratoacuterio
47
Natildeo eacute nosso objetivo aqui discutir detalhes da distribuiccedilatildeo normal O que desejamos destacar eacute que quando supomos que a distribuiccedilatildeo de um conjunto de dados eacute normal o que eacute bastante razoaacutevel na maioria das vezes o desvio padratildeo σ quantifica como os dados estatildeo distribuiacutedos Para entendermos isso analisemos a Figura 4
O intervalo compreendido pela meacutedia das medidas mais ou menos um desvio padratildeo compreende 68 das medidas realizadas No caso que estamos exemplificando se tomarmos a meacutedia das resistecircncias internas r de todos os amperiacutemetros investigados e o desvio padratildeo PL desses dados 68 das medidas estaratildeo no intervalo entre ( minus PL) e ( + PL) 95 no intervalo ( 2PL) e 99 no intervalo ( 257PL)
Figura 2 - A distribuiccedilatildeo normal eacute usualmente utilizada para representar a distribuiccedilatildeo
de frequecircncias de um conjunto de dados (Lima Jr et al 2013 p 30)
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
48
Agora jaacute sabemos como quantificar a variabilidade de um conjunto de dados Podemos entatildeo calcular a meacutedia e o desvio padratildeo das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros Mas surge entatildeo uma questatildeo Se analisaacutessemos um novo conjunto de amperiacutemetros da mesma marca e modelo dos exemplificados aqui a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros seria a mesma Provavelmente natildeo Temos como estimar a partir do conjunto de medidas que realizamos a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros Temos Para responder a essa questatildeo temos que compreender um novo conceito o de desvio padratildeo da meacutedia (PL) Ele eacute calculado por
PL = PLradicH
Natildeo vamos entrar em detalhes aqui sobre a origem do conceito de desvio padratildeo da meacutedia1 vamos apenas explicar como essa grandeza nos permite estimar a incerteza na meacutedia de um conjunto de medidas Para isso vamos supor um novo conjunto de N novas
1 Se vocecirc eacute um aluno curioso pesquise sobre o Teorema Central do Limite para compreender com mais profundidade o conceito de desvio padratildeo da meacutedia
Figura 3 - A meacutedia e o desvio padratildeo demarcam a distribuiccedilatildeo dos dados em uma
distribuiccedilatildeo normal Na figura o eixo das abcissas expressa a distacircncia da meacutedia em
unidades de desvio padratildeo (Lima Jr et al 2013 p 30)
Manual de Laboratoacuterio
49
medidas da resistecircncia interna de amperiacutemetros como os investigados nesta aula Qual seria a meacutedia dessas medidas Assim como o desvio padratildeo dos dados quantifica a dispersatildeo dos dados em torno da meacutedia o desvio padratildeo da meacutedia quantifica a dispersatildeo das meacutedias de subconjuntos de dados em torno da meacutedia de todo o conjunto de dados Aplicando esse conceito ao nosso exemplo podemos interpretar os dois conjuntos de medidas de resistecircncias internas como subconjuntos de um grande conjunto contendo todas as medidas Desse modo podemos afirmar com 68 de confianccedila que a meacutedia das N novas medidas a serem realizadas estaraacute no intervalo compreendido por ( PL) com 95 de confianccedila no intervalo ( 2PL) e com 99 de confianccedila no intervalo ( 257PL) O desvio padratildeo da meacutedia pode ser compreendido assim como a incerteza da meacutedia de um conjunto de medidas ou seja ele nos fornece uma estimativa da confiabilidade de uma meacutedia Em suma se escolhermos um amperiacutemetro aleatoriamente podemos dizer que i) o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute a meacutedia das resistecircncias de todos os amperiacutemetros e ii) a incerteza que temos nesse valor eacute igual ao desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias dos amperiacutemetros
E se eu soacute tivesse condiccedilotildees de realizar uma uacutenica medida
Nem sempre podemos realizar diversas medidas de uma grandeza Em alguns casos nem mesmo faz sentido realizar diversas medidas No entanto eacute evidente que existe uma incerteza associada a uma uacutenica medida Natildeo existem instrumentos que sejam perfeitamente precisos Entatildeo como podemos estimar essa incerteza Usualmente os manuais dos instrumentos trazem informaccedilotildees sobre isso Desse modo as incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica realizadas com um voltiacutemetro e um amperiacutemetro podem ser consultadas no manual do multiacutemetro utilizado Mas como eacute calculada a incerteza da resistecircncia interna de um amperiacutemetro que foi calculada a partir de
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
50
apenas uma medida de tensatildeo e uma de corrente eleacutetrica Nesse caso precisamos calcular a incerteza propagada das incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica
Os meacutetodos de caacutelculo de incertezas propagadas podem ser bastante complicados Aqui trataremos de um meacutetodo bastante simples usualmente denominado de Meacutetodo dos Limites Vamos exemplificaacute-lo supondo que a incerteza da tensatildeo sobre as entradas do amperiacutemetro eacute P- e da corrente eleacutetrica que circula por ele eacute P$ Ou seja a tensatildeo medida estaacute no intervalo entre ∆S minus P- e ∆S + P- e a corrente eleacutetrica entre i minus P$ e i + P$ Qual eacute entatildeo a incerteza da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro investigado Para responder isso basta calcularmos os valores limites dessa grandeza O maacuteximo valor possiacutevel para a resistecircncia ocorreraacute se a tensatildeo for ∆S + P- e a corrente eleacutetrica for i minus P$ Nesse caso usando a Eq 1 temos
aacutee = ∆S + P-i minus P$
Usando o mesmo raciociacutenio o valor miacutenimo de r seraacute
z = ∆S minus P-i + P$
Desse modo podemos dizer que o valor da resistecircncia interna medida estaacute no intervalo entre rmaacutex e rmiacuten Em outras palavras o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro eacute
F = iexclz + aacutee2 z minus aacutee2 cent
Manual de Laboratoacuterio
51
Erro eacute a mesma coisa que incerteza
Apesar de serem frequentemente utilizados como sinocircnimos os manuais de metrologia atribuem significados distintos aos conceitos de ldquoerrordquo e ldquoincertezardquo O Guia para Expressatildeo da Incerteza da Mediccedilatildeo (Joint Commitee for Guide in Metrology 2008 apud Lima Jr et al 2013) usa o termo ldquoerrordquo para indicar a diferenccedila entre o valor verdadeiro e o resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo o conceito de erro tem uso restrito pois satildeo poucos os casos em que conhecemos o valor verdadeiro de uma grandeza Satildeo exemplos desses casos experimentos em que se deseja mensurar a velocidade da luz no vaacutecuo ou o valor de π que satildeo valores previamente conhecidos pelo experimentador O caacutelculo do erro soacute faz sentido para casos em que sabemos o valor verdadeiro da grandeza que se quer medir
A incerteza por outro lado eacute entendida como uma estimativa que quantifica a confiabilidade do resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo quando calculamos o desvio padratildeo da meacutedia de um conjunto de medidas estamos calculando a incerteza da meacutedia dessas medidas ou seja estamos avaliando a confianccedila que podemos ter em adotar a meacutedia dessas medidas como o valor da grandeza mensurada O conceito de incerteza portanto tem maior aplicabilidade do que o conceito de erro
Algarismos significativos e incerteza
Uma questatildeo frequente nas aulas de laboratoacuterio eacute Com quantos algarismos uma grandeza deve ser apresentada No laboratoacuterio a resposta dessa questatildeo eacute uma funccedilatildeo da incerteza da grandeza Devemos apresentar os dados ateacute o seu primeiro algarismo duvidoso Voltemos ao exemplo da resistecircncia interna dos amperiacutemetros Suponhamos que a meacutedia das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros eacute 21546 Ω e o desvio padratildeo dessa meacutedia que eacute
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
52
entendido aqui como a incerteza da resistecircncia interna dos amperiacutemetros eacute 003 Ω Interpretando tais dados assumimos com 68 de certeza que a resistecircncia interna dos amperiacutemetros estaacute no intervalo entre 21246 e 21846 Ω Desse modo a segunda casa decimal da grandeza medida eacute duvidosa Por isso os algarismos subsequentes satildeo omitidos quando expressamos essa medida e a medida da resistecircncia interna dos amperiacutemetros exemplificados eacute exposta por (215 plusmn 003) Ω Em suma o resultado de uma mediccedilatildeo deve ser sempre expresso com a mesma quantidade de casas decimais que sua incerteza Os algarismos apresentados satildeo entatildeo chamados de algarismos significativos
Referecircncia
Lima Jr P Silva M T X Silveira F L Veit E A (2013) Laboratoacuterio de mecacircnica subsiacutedios para o ensino de Fiacutesica experimental Porto Alegre UFRGS Instituto de Fiacutesica Disponiacutevel em httphdlhandlenet1018390438
Manual de Laboratoacuterio
53
Atividade de Laboratoacuterio I Instrumentos de medida e incertezas
Este material foi cuidadosamente preparado para auxiliar no andamento das atividades no laboratoacuterio de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo Eacute importante responder TODAS as perguntas
(indicadas pelo siacutembolo ) feitas ao longo do texto discutindo com seu grupo possiacuteveis respostas e justificando-as Sempre que possiacutevel faccedila isso por escrito
TAREFA 1
Construa um circuito contendo um resistor de 1 kΩ em seacuterie com uma fonte de tensatildeo contiacutenua e um multiacutemetro Coloque o multiacutemetro na funccedilatildeo amperiacutemetro na escala de miliampere Usando outro multiacutemetro meccedila a tensatildeo no amperiacutemetro Realize medidas com diferentes correntes eleacutetricas variando a tensatildeo de saiacuteda da fonte
Como podemos tratar esses dados se nosso objetivo eacute medir a resistecircncia interna do amperiacutemetro
Qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
54
Para responder essas questotildees se dirija a um dos computadores da sala e use um aplicativo que possibilite a construccedilatildeo de graacuteficos SciDavis por exemplo Insira seus dados no aplicativo construa o graacutefico desejado e encontre a melhor reta que se ajusta aos dados
Qual foi a melhor reta ajustada Determine a equaccedilatildeo dessa reta ajustada
Qual eacute o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro que vocecirc investigou
TAREFA 2
Utilize as medidas de todos os grupos da turma e aplique os conhecimentos abordados na tarefa de leitura para responder as seguintes questotildees
Qual deve ser a resistecircncia interna de um amperiacutemetro escolhido aleatoriamente entre os utilizados nesta aula
Qual eacute a incerteza desse valor
TAREFA 3
Suponha que o manual do Minipa ET-2075B informe que as medidas de tensatildeo e corrente realizadas nas faixas de milivolt e miliampere tecircm incerteza de 3 Use esses dados para calcular a
Manual de Laboratoacuterio
55
incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1
Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma
Elas satildeo coerentes Por quecirc
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
56
CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO
Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por
equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC
Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras
O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se
Manual de Laboratoacuterio
57
extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo
No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador
Salvando vidas
ldquoafastem-se choquerdquo
Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de
sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos
O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo
Figura 4 - Desfibrilador
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
58
esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)
Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma
sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o
miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia
Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2
2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387
Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)
Manual de Laboratoacuterio
59
Circuito RC - seacuterie
Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C
Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que
∆S(c) + i(c)F = 0
Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo
i(c) = =C(c)=c
e a ddp no capacitor eacute dada por
∆S(c) = C(c)D
Dessa forma podemos dizer que
=C(c)=c = minus 1FD C(c)
Figura 6 - Circuito RC
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
60
Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa
funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja
derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever
C(c) = C7 ou
A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial
Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir
Capacitor Carregando Capacitor Descarregando
∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0
C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou
∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou
Manual de Laboratoacuterio
61
Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8
Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo
eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum
3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78
Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas
do capacitor durante o processo de
carga ou descarga
Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um
graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo
do tempo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
62
Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no
capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte
Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor
quando o mesmo estaacute sendo carregado
Manual de Laboratoacuterio
63
Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie
1 - Osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos
2 ndash Aparato Experimental
Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
64
conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto
Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)
Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio
Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees
Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala
Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)
Manual de Laboratoacuterio
65
TAREFA 1
Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees
Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico
Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito
Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito
Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos
Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio
TAREFA 2
Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie
Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
66
figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)
Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados
Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo
NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo
Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste
Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito
Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito
Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles
Manual de Laboratoacuterio
67
MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS
Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais
Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio
Para onde aponta a buacutessola
Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
68
polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc
E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial
tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos
que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a
soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio
4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja
httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4
Figura 10 - Buacutessola
Figura 11 - campo B resultante
Manual de Laboratoacuterio
69
Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por
umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O
Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde
Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde
Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma
iacuteatilde() = ∙
onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde
5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass
The Physics Teacher 49(1) 45-48
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
70
Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como
iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2
Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos
gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)
Logo
gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2
Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo
iacuteatilde() = amp
Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse
tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira
na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart
Manual de Laboratoacuterio
71
pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do
que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute
yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp
onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico
da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos
yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp
Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
72
Atividade de Laboratoacuterio III Projeto
OBJETIVO
Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
73
SUGESTAtildeO 1
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO
Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas
Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece
Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha
Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo
por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o
eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
74
SUGESTAtildeO 2
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA
Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)
Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica
Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de
uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)
Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema
Manual de Laboratoacuterio
75
SUGESTAtildeO 3
BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO
Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola
Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)
Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina
O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
76
SUGESTAtildeO 4
CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO
O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer
Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
77
MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO
Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro
Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental
6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
78
110 V 127 V e 220 V O que eacute isso
As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V
Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas
A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
(c) = Jgt(c + acute)
onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por
∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)
Manual de Laboratoacuterio
79
onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1
Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho
Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores
Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
80
caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por
∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf
∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712
∆Suparamiddot = ∆S7radic2
Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a
tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s
A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente
alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$
Figura 13 - Funccedilotildees seno e
seno quadrado
Manual de Laboratoacuterio
81
COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA
Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz
Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O
Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
82
que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio
Natildeo queremos jogar energia fora
Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14
Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie
Manual de Laboratoacuterio
83
Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por
0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)
onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)
Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
ℇ(c) = ℇ7gt(c)
onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente
Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na
figura 16 para um caso em que VL gt VC
Figura 15 - Diagrama de fasores
de um circuito RLC seacuterie com
fonte de tensatildeo alternada
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
84
A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que
acute = c8 S minus SSu
Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado
por
i(c) = gt(c minus acute)
Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente
as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que
ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$
ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$
Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como
0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)
Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que
0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$
Figura 16 ndash Soma de fasores
Manual de Laboratoacuterio
85
0eacutey = F ∙ uparamiddot$
onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square
Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que
F = frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte
Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade
7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL
Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e
resistecircncia num diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
86
do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como
0 = AJradicAJ$ + AF$
O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP
DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11
Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia
Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por
acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita
Manual de Laboratoacuterio
87
2 = 1D
Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica
Figura 18 - diagramas de fasores representando
um circuito capacitivo e um circuito indutivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
88
Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie
O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio
TAREFA 1
Circuito Resistivo
Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR
Manual de Laboratoacuterio
89
Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)
O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador
Circuito Capacitivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
90
Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor
Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Manual de Laboratoacuterio
91
Circuito Indutivo
Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor
O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
92
Circuito RLC
Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise
Manual de Laboratoacuterio
93
O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador
Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio
O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior
Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor
Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou
A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
94
TAREFA 2
Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente
Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir
Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima
Qual o valor da corrente maacutexima no circuito
Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)
O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique
Manual de Laboratoacuterio
95
TAREFA 3
Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito
Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees
Como isso eacute possiacutevel Explique
Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff
Respostas
96
Respostas
A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32
A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH
A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH
B3 Ae = Af = AtildeAcircf
B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl
B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH
B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l
B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD
B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -
C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc
(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7
C2 O = ~13deg
C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)
Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-
vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr
Respostas
97
C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM
C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD
(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD
C6 A = Eacute$Acirc
C7 A = Atilde$AcircL
D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma
das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp
D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(
D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1
no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)
D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme
D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D
E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)
E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D
E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml
F1 544 times 10
F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S
F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM
u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM
u (e) 0 = ℇMu
F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω
Respostas
98
F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965
G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n
G5 i = Ograve$g = 245 J
G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y
G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez
G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H
G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)
G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)
G15 (a) zL$brvbarM (b)
z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero
G16 z$L + z$L = z$L - + 1
G17 (a) pLM
amp (b) pusup3
ampL
G18 zzMu
G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)
z
G20 zNu saindo da folha
G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)
UgraveLMamp
fora do fio (a) z$L (b)
UgravebrvbarM$L (c)
Ugravebrvbarsup3ampL
G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13
G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM
ampu
H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior
Respostas
99
H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a
H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J
I2 Φ = pound$ sup1amp
I4 C = AcircsM
I6 (a) zM
NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar
J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a
(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S
J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu
(c) = -radic
J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm
(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013
Respostas
100
Bibliografia
Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il
Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il
Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il
Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm
Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il
Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il
Conteuacutedo Programaacutetico
9
18ordf semana Aula de problemas e PROVA IV
19ordf semana Divulgaccedilatildeo dos resultados
20ordf semana RECUPERACcedilAtildeO OU EXAME
Problemas Selecionados
Problemas Selecionados
11
(A) Carga Eleacutetrica
A1 ndash Se vocecirc grudar um pedaccedilo de fita adesiva na mesa e desgrudaacute-lo puxando rapidamente uma das pontas a fita ficaraacute carregada eletricamente Supondo que a fita adesiva tenha 20 de comprimento e 1 de largura e que ao fazer isso vocecirc consiga arrancar 1 eleacutetron de cada aacutetomo da superfiacutecie da fita qual seraacute a carga eleacutetrica total da fita (por simplicidade considere o raio atocircmico = 1 Å)
A2 ndash Repetindo o mesmo procedimento com outro pedaccedilo idecircntico de fita adesiva e aproximando os dois pedaccedilos a uma distacircncia de 5 qual seraacute a forccedila eleacutetrica entre eles
A3 ndash Quatro partiacuteculas carregadas estatildeo dispostas no plano XY sendo = langminus3 0 0rang $ = lang 0 0rang amp = lang0 2 0rang e = lang0 minus2 0rang as distacircncias das cargas ateacute a origem A carga da partiacutecula 2 eacute ($ = 80 times 10-C a carga das partiacuteculas 3 e 4 eacute (amp = ( = minus1 6 times 10-C Qual deve ser a distacircncia para que seja nula a forccedila resultante sobre a partiacutecula 1
A4 ndash O dado mostrado na figura ao lado possui lado = 15 Qual a forccedila (vetor) exercida sobre a partiacutecula indicada pela seta devido agrave presenccedila das demais cargas Use notaccedilatildeo vetorial para indicar sua resposta (Dica defina a origem dos eixos cartesianos no veacutertice que estaacute escondido com o eixo z para cima Calcule as componentes da forccedila nas
direccedilotildees e separadamente soacute entatildeo some as componentes que estatildeo na mesma direccedilatildeo)
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
12
A5 ndash Trecircs partiacuteculas carregadas estatildeo dispostas num plano XY a
partiacutecula 1 na posiccedilatildeo 0- = lang0 15 0rang a partiacutecula 2 na posiccedilatildeo 0$ = lang0 minus15 0rang e a partiacutecula 3 na posiccedilatildeo 0amp = lang 0 0rang com liberdade para se mover no eixo (- = ($ = 32 times 10-C (amp = minus64 times 10-C pode variar de 0 a 5 Qual o valor de para que a forccedila exercida sobre a partiacutecula 3 (pelas demais cargas) seja (a) miacutenima e (b) maacutexima Quais satildeo os valores (c) miacutenimo e (d) maacuteximo do moacutedulo da forccedila
A6 ndash A figura ao lado mostra duas esferas condutoras de mesma massa e mesma carga ( suspensas por fios isolantes de comprimento 2 Mostre que para 2 ≫ as esferas estaratildeo em equiliacutebrio quando a distacircncia entre elas for igual a
= 4 ($2256789- ampfrasl
A7 ndash A forccedila gravitacional entre duas massas pontuais eacute muito similar matematicamente agrave forccedila eletrostaacutetica entre duas cargas pontuais A intensidade dessas forccedilas no entanto eacute extremamente diferente Para ilustrar isso considere a seguinte situaccedilatildeo Em algum lugar do espaccedilo existem duas esferas idecircnticas de poeira 50 de diacircmetro e densidade 25 8amp separadas por uma distacircncia = Se os gratildeos satildeo eletricamente neutros e estatildeo inicialmente em repouso eles iratildeo colidir devido agrave atraccedilatildeo gravitacional Agora suponha que ambos estatildeo eletricamente carregados cada um tendo um nuacutemero gt de eleacutetrons extra Encontre o menor valor de gt que iraacute evitar a colisatildeo (Considere = 667 times 10-- amp8-$)
Problemas Selecionados
13
(B) Campo Eleacutetrico
B1 ndash Um iacuteon de Fe3+ estaacute localizado a 400 gt de um iacuteon de Cl- como mostra a figura ao lado (a) Qual a magnitude direccedilatildeo e sentido do campo
eleacutetrico A na posiccedilatildeo A (b) E na posiccedilatildeo B (c) Se um eleacutetron estiver na posiccedilatildeo A qual seraacute a magnitude e direccedilatildeo da forccedila sobre o eleacutetron
B2 ndash Um quadrupolo eleacutetrico eacute formado por um conjunto de dois dipolos como mostra a figura ao lado Mostre que para ≫ = a magnitude do
campo A num ponto ao longo do eixo dos quadrupolos eacute dado por
A = 6(=$4567
B3 ndash Uma barra muito longa com densidade de carga B estaacute disposta conforme a figura ao lado (Alguns autores chamam esse tipo de barra de semi-infinita pois o ponto P estaacute proacuteximo a uma das extremidades da barra enquanto a outra extremidade estaacute muito distante) Mostre
que o campo eleacutetrico A no ponto P faz um acircngulo de 45deg com a barra independente da distacircncia Y (isto eacute as componentes x e y do campo tem a mesma magnitude)
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
14
B4 ndash Calcule o campo A proacuteximo a uma barra carregada com carga total Q e comprimento As cargas estatildeo distribuiacutedas de forma uniforme ao longo da barra = 015 C = 8 gtD e E = 5
B5 ndash A figura ao lado mostra um anel incompleto de raio F carregado com carga total C Qual a forccedila (vetor) exercida sobre um eleacutetron que por ventura esteja localizado no ponto 0
B6 ndash Um dipolo cujo momento dipolar eacute G = lang37 50 0rang D
encontra-se numa regiatildeo onde o campo A = lang3000 0 0rang H Dfrasl Qual a energia potencial do dipolo Qual o torque que age sobre o dipolo Qual eacute o trabalho que um agente externo deve realizar para girar o dipolo ateacute que seu momento dipolar seja G = langminus50 37 0rang D
B7 ndash Calcule a magnitude direccedilatildeo
e sentido do campo A no centro de um anel de raio F carregado sendo que a distribuiccedilatildeo de cargas no anel varia como B(I) = B7 gt I
Problemas Selecionados
15
B8 ndash Duas barras isolantes de 15 de comprimento encontram-se em um acircngulo reto Uma barra possui 30 D e a outra possui minus30 D de carga uniformemente distribuiacuteda ao longo do comprimento conforme a figura ao lado Determine o campo eleacutetrico (vetor) no ponto P que estaacute a = = 750 do centro de cada barra
B9 ndash Duas barras curvas isolantes com cargas opostas de igual magnitude ( formam um ciacuterculo de raio F no plano xy conforme a figura As cargas estatildeo uniformemente distribuiacutedas na barra (a) Qual o campo eleacutetrico (vetor) no ponto P (b) Qual a resposta do item (a) se ( = 20 GD e F = 10
B10 ndash Considere um cilindro de comprimento 2 e raio J oco carregado com carga total C Vocecirc estaacute interessado em saber qual eacute
o campo eleacutetrico A ao longo do eixo do cilindro numa de suas extremidades Para isso utilize dois caminhos distintos (a) considerando que o cilindro eacute formado por uma infinidade de barras de espessura infinitesimal todas com comprimento 2 dispostas num ciacuterculo de raio J e (b) considerando que o cilindro eacute formado por uma infinidade de aneacuteis de raio J cujos eixos estatildeo alinhados e juntos formam um cilindro de comprimento 2
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
16
(C) Lei de Gauss
C1 ndash Uma faacutebrica de bolinhas de gude foi atingida por um raio durante uma tempestade O preacutedio foi protegido por um paacutera-raios mas algumas descargas atingiram os equipamentos que fabricavam as bolinhas Resultado eacute que a bolinha que estava na maacutequina ao cair o raio recebeu uma descarga eleacutetrica e as cargas ficaram armazenadas
no interior da bolinha de forma que a densidade de carga K() = K7 -LM
(a) Qual o campo A na superfiacutecie da bolinha que tem raio = 2 (b) E no interior da bolinha 1 abaixo da superfiacutecie (c) Qual o
campo A a 5 da superfiacutecie da bolinha
C2 ndash A figura ao lado mostra uma bolinha com massa 0004 8 e carga 8 times 10N D suspensa por um fio nas proximidades de uma grande placa condutora carregada sendo que a densidade de carga da placa eacuteminus2 times 10 D $frasl Encontre um valor para o acircngulo O
C3 ndash Uma casca ciliacutendrica isolante e muito longa tem raio interno e externo e densidade volumeacutetrica de carga K Um fio tambeacutem muito longo tem densidade linear de carga B e estaacute alinhado com o eixo central da casca Qual o campo eleacutetrico na regiatildeo entre e
Problemas Selecionados
17
C4 ndash Uma carga C positiva estaacute no centro de um conjunto de calotas concecircntricas como mostra a figura abaixo O raio das calotas estaacute indicado na figura A mais externa eacute condutora e estaacute carregada com carga C negativa e a calota intermediaacuteria eacute isolante e possui carga liacutequida ( positiva distribuiacuteda de forma uniforme por
todo seu volume Calcule o campo A resultante em cada uma das 5 regiotildees indicadas na figura Indique a localizaccedilatildeo aproximada das cargas induzidas eou em excesso em cada regiatildeo e indique a direccedilatildeo e sentido dos campos eleacutetricos
C5 ndash Uma casca esfeacuterica com densidade volumeacutetrica de carga K = 20 gtDamp tem raio interno = 10 e raio externo = 2 conforme a figura Determine o moacutedulo do campo eleacutetrico para os seguintes raios a partir do centro (a) = 2frasl (b) = 15 (c) = 2
C6 ndash Usando a Lei de Gauss determine o campo eleacutetrico proacuteximo a uma placa muito grande com densidade superficial de carga P
C7 ndash Usando a Lei de Gauss determine o campo eleacutetrico proacuteximo a uma barra muito longa com densidade linear de carga B
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
18
(D) Potencial Eleacutetrico
D1 ndash A figura ao lado mostra um anel incompleto formado por trecircs segmentos de arco com densidade linear de carga constantesB- B$ e Bamp A menor delas tem carga total (- e comprimento de arco 54 As demais estatildeo indicadas na figura Qual o potencial eleacutetrico no centro do anel Qual deve ser a relaccedilatildeo entre as cargas para que o potencial eleacutetrico no centro do anel seja igual a zero
D2 ndash A figura ao lado mostra um dipolo eleacutetrico de momento dipolar |G| = R( Mostre que para ≫ R o potencial eleacutetrico no ponto P eacute dado por
S = 145T7G UO$
Dica quando ≫ R eacute razoaacutevel considerar que V cong $ e minus V cong R UO
D3 ndash Sobre uma mesa de bilhar estatildeo dispostas trecircs bolinhas Uma com carga +C outra com carga ndash C e uma terceira com carga +2C conforme mostra a figura ao lado (a) Qual o potencial no ponto P (b) Se uma quarta bolinha for colocada no centro do quadrado qual deve ser a carga da bolinha para que o potencial no ponto P seja nulo
Problemas Selecionados
19
D4 ndash Uma esfera oca isolante de raio F e carga C eacute colocada nas proximidades de uma placa muito grande cuja densidade superficial de carga eacute P (uniforme) A distacircncia entre a placa e a superfiacutecie da esfera eacute = Qual a diferenccedila de potencial entre o centro da esfera e a placa Dica calcule a ddp devido a cada objeto separadamente e some os resultados A diferenccedila de potencial entre dois pontos pode ser determinada a partir do campo eleacutetrico
D5 ndash Uma esfera isolante maciccedila possui densidade de carga K() = K7$ onde ρ0 eacute uma constante (a) Qual a diferenccedila de potencial entre os pontos b e c Se a densidade de carga fosse uniforme qual seria a diferenccedila de potencial entre os pontos b e c
D6 ndash Um fio tem densidade linear de carga B uniforme e foi dobrado no formato conforme mostra a figura abaixo Qual o potencial eleacutetrico no ponto P
D7 ndash Considere duas cascas esfeacutericas finas concecircntricas condutoras A casca interna tem raio = 15 e carga 10 gtD A casca externa tem raio = 30 e carga minus15 gtD Forneccedila expressotildees para o campo eleacutetrico e o potencial eleacutetrico para as diferentes regiotildees (a) lt 15 (b) 15 lt lt 30 (c) gt 30 Em todos os casos considere S = 0 em = infin
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
20
(E) Capacitacircncia
E1 ndash Sabendo que cada um dos capacitores no circuito ao lado tem capacitacircncia D = 10 e a diferenccedila de potencial na bateria eacute ΔS = 10 S qual eacute a carga do capacitor 1 E do capacitor 2
E2 ndash Encontre uma expressatildeo para a capacitacircncia dos capacitores abaixo sabendo que a distacircncia entre as placas eacute = a aacuterea das placas eacute 10 = o espaccedilo entre as placas estaacute preenchido por dois ou mais materiais de constantes dieleacutetricas distintas conforme mostra a figura abaixo Analisando cada capacitor separadamente eacute possiacutevel obter a mesma capacitacircncia com uma associaccedilatildeo de capacitores simples (preenchidos por um uacutenico material) Explique
E3 ndash Uma diferenccedila de potencial de 100 S eacute aplicada ao circuito ao lado onde D- = 10 D$ = 5 e Damp = 4 Se o capacitor 3 eacute substituiacutedo por um fio condutor qual eacute o aumento na carga do capacitor 1 Qual eacute o aumento na diferenccedila de potencial entre as placas do capacitor 1
(a) (b) (c)
Problemas Selecionados
21
E4 ndash No circuito ao lado a diferenccedila de potencial fornecida pela bateria eacute de 20 S Qual a capacitacircncia equivalente do circuito Qual a carga armazenada por essa capacitacircncia equivalente Qual a carga e ddp para os capacitores 1 2 e 3
E5 ndash Na figura ao lado a ddp da bateria eacute 10 S D- = 10 D$ = Damp = 2D- A chave eacute movida para a esquerda e somente depois que o capacitor 1 atingiu o equiliacutebrio a chave eacute movida para a direita Quando o equiliacutebrio eacute novamente atingido qual eacute a carga do capacitor 1
E6 ndash Um capacitor de placas paralelas com aacuterea J e espaccedilamento = eacute preenchido com vidro (6 = 267) Conectado a uma bateria o capacitor acumula carga C (a) Qual a energia armazenada no capacitor (b) Mantendo a bateria conectada a separaccedilatildeo entre as placas eacute aumentada para 2= (veja a figura) Qual a energia armazenada nessa nova situaccedilatildeo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
22
(F) Corrente e Resistecircncia
F1 ndash A figura ao lado mostra parte de um fio de cobre com diacircmetros =- = 4F e =$ = 8F por onde passa uma corrente uniforme = 4 e a diferenccedila de potencial ao longo desse comprimento eacute20 S O
nuacutemero de portadores de carga por unidade de volume eacute 849 times 10$N amp Qual eacute a velocidade de deriva dos eleacutetrons de conduccedilatildeo na porccedilatildeo do fio com diacircmetro =$
F2 ndash No circuito ao lado qual a magnitude e direccedilatildeo das correntes nos resistores F- F$ e Famp Para isso considere que ℇ- = 6 S ℇ$ = 12 SF- = 100 Ω F$ = 200 Ω Famp = 300 Ω O ciruito estaacute aterrado e nesse ponto S = 0 Qual eacute o potencial eleacutetrico no ponto A
F3 ndash Calcule a potecircncia total dissipada em cada circuito Considere que todas as resistecircncias satildeo iguais e as baterias satildeo ideais Expresse suas respostas em termos de ℇ e F
F4 ndash Se dois fios de mesmo comprimento um de cobre e outro de alumiacutenio apresentam a mesma resistecircncia qual deve ser a razatildeo entre seus raios
Problemas Selecionados
23
F5 ndash No circuito ao lado a potecircncia dissipada no resistor R eacute 20 a Qual o valor de R Qual a ddp entre os pontos A e B
F6 ndash A corrente medida por um amperiacutemetro A no circuito ao lado eacute a mesma quando ambas as chaves estatildeo abertas ou fechadas Qual o valor da resistecircncia R
F7 ndash Determine o valor da corrente que passa por cada um dos resistores a potecircncia fornecida por cada uma das fontes de tensatildeo e a potecircncia dissipada por cada um dos resistores Faccedila o balanccedilo energeacutetico do circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
24
F8 ndash No circuito ao lado a chave S permanece fechada por um longo tempo e a corrente no circuito atinge um valor constante Considere D- = 3 D$ = 6 F- = 4Ω e F$ = 7Ω A potecircncia dissipada em F$ eacute 24a (a) Determine as cargas em D- e D$ (b) Abrindo a chave S e aguardando um longo tempo qual a mudanccedila observada na carga do capacitor 2
F9 ndash Num circuito RC seacuterie como o da figura ao lado D = 1 F = 2 times 10bΩ e ℇ = 10S Dez segundos depois que a chave foi fechada determine (a) a carga no capacitor (b) a corrente no resistor (c) a taxa com que a energia eacute armazenada no capacitor (d) a taxa com que a bateria fornece energia para o circuito
F10 ndash Um capacitor eacute carregado atraveacutes de um resistor como mostra a figura no problema anterior Mostre que metade da energia fornecida pela bateria aparece como energia interna no resistor e a outra metade como energia eleacutetrica no capacitor
F11 ndash Um capacitor duas fontes ideais dois resistores e uma chave S satildeo mostrados no circuito da figura ao lado Suponha D = 12 ℇ- = 15 S ℇ$ = 30 S F- = 05 Ω e F$ = 08 Ω (a) Se a chave S permanece aberta por um longo tempo qual a carga no capacitor (b) Qual a carga no capacitor se a chave S permanece fechada por um longo tempo
Problemas Selecionados
25
F12 ndash No circuito ao lado a bateria fornece 10 S o capacitor eacute de 1 e os resistores tecircm as resistecircncias indicadas na figura O circuito estaacute ligado haacute um longo tempo (a) Qual a ddp entre os terminais do capacitor (b) Se a bateria for desconectada quanto tempo levaraacute para que essa ddp atinja um deacutecimo do valor inicial
-------------------------------------------------------------------------------------------
(G) Campo Magneacutetico
G1 ndash Um proacuteton atravessa uma regiatildeo de campo magneacutetico uniforme = lang10 20 30rang 13 No tempo c- o proacuteton tem uma velocidade d = langde df 2rang e a forccedila magneacutetica sobre o proacuteton eacute g = lang4 times 10-h minus2 times 10-h 0rang H Nesse instante qual o valor de de e df
G2 ndash Um proacuteton viaja atraveacutes de uma regiatildeo de campo eleacutetrico e
magneacutetico uniformes onde = langminus25 0 0rang 13 Num certo instante a velocidade do proacuteton eacute d = lang0 2000 0rang Qual a forccedila resultante que age sobre o proacuteton se o campo eleacutetrico for
(a) A = lang0 0 4rang S (b) A = lang0 0 minus4rang S ou
(c) A = lang4 0 0rang S
G3 ndash Uma espira retangular de lados e estaacute numa regiatildeo de campo
magneacutetico perpendicular ao plano da espira e eacute percorrida por uma corrente i constante conforme mostra a figura ao lado Determine o torque sobre a espira
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
26
G4 ndash Dois trilhos de metal separados por uma distacircncia = = 256 estatildeo ligados a uma bateria No momento em que uma barra de metal de massa = 241 8 eacute colocada sobre os trilhos (c = 0) ela fecha o circuito e por ela passa uma corrente i = 913 J O conjunto estaacute numa regiatildeo onde existe um campo magneacutetico uniforme = 563 13 Qual a velocidade da barra 611 depois Em que direccedilatildeo ela se move
G5 ndash A figura ao lado mostra um cilindro de madeira de massa = 250 8 e comprimento 2 =10 onde foi enrolado um fio formando uma espira de 10 voltas O cilindro eacute posicionado de forma que o eixo da espira estaacute perpendicular ao plano inclinado (paralelo agrave normal do plano
inclinado) Nessa regiatildeo haacute um campo magneacutetico = lang0 05 0rang 13 Qual deve ser o valor miacutenimo da corrente na espira capaz de manter o cilindro em sua posiccedilatildeo evitando que ele role para baixo
G6 ndash A figura ao lado mostra um iacutematilde e um anel condutor de raio por onde passa uma corrente i Se o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde faz um acircngulo O com a vertical na posiccedilatildeo onde estaacute o anel qual eacute a magnitude e a direccedilatildeo da forccedila resultante sobre o anel
Problemas Selecionados
27
G7 ndash Uma barra de metal com densidade de massa B (massa por unidade de comprimento) apresenta uma corrente i (saindo da paacutegina) A barra estaacute suspensa por dois fios num campo magneacutetico uniforme vertical como mostra a figura ao lado No equiliacutebrio os fios
fazem um acircngulo O com a vertical Qual a magnitude do campo magneacutetico
G8 ndash Um proacuteton com energia cineacutetica de 6 jS se move no plano da paacutegina e entra numa regiatildeo de campo magneacutetico = 1 13 direcionado para dentro da paacutegina como mostra a figura ao lado
O proacuteton entra na regiatildeo de campo com o vetor velocidade fazendo um acircngulo O- = 35deg com a borda da regiatildeo Qual eacute a distacircncia entre o ponto de entrada e saiacuteda ( na figura) Qual o valor de O$
G9 ndash Considere um eleacutetron orbitando um proacuteton numa trajetoacuteria circular de raio F = 529 times 10-- devido agrave atraccedilatildeo Coulombiana Considere o sistema como se fosse um anel por onde passa uma corrente Qual seraacute o torque resultante quando o sistema for colocado numa regiatildeo de campo magneacutetico = 04 13 perpendicular ao momento magneacutetico do anel
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
28
G10 ndash Um fio por onde passa uma corrente i foi moldado num formato semicircular de raio F e uma reta de comprimento 2F como mostra a figura ao lado Nessa mesma regiatildeo haacute um campo magneacutetico que aponta na direccedilatildeo + (representado pelos pontos azuis na figura ao lado) Mostre que a
forccedila resultante sobre o fio eacute zero
G11 ndash Um condutor ciliacutendrico longo de raio conteacutem duas cavidades cada uma com diacircmetro ao longo de todo o comprimento do fio Uma visatildeo da seccedilatildeo transversal do fio eacute mostrada na figura ao lado Uma corrente i uniforme (considerando a porccedilatildeo soacutelida do material) passa atraveacutes do fio e aponta para fora da paacutegina Determine a magnitude e direccedilatildeo do campo
magneacutetico em funccedilatildeo de 7 i e no ponto P
G12 ndash Dois fios muito longos por onde passa corrente i de mesma magnitude estatildeo moldados conforme a figura ao lado
Mostre que o campo magneacutetico no centro do ciacuterculo de raio R eacute o mesmo que o
campo a uma distacircncia R abaixo de um fio reto muito longo por onde passa uma corrente i
Problemas Selecionados
29
G13 ndash Encontre uma expressatildeo para determinar a magnitude do campo magneacutetico no ponto P da figura ao lado Dica considere a origem dos eixos cartesianos no ponto P
G14 ndash A figura ao lado mostra a seccedilatildeo transversal de um condutor oco de raio externo e interno por onde passa uma corrente uniforme i Demonstre que a magnitude do campo magneacutetico () para uma distacircncia lt lt eacute dada por
= 7i25($ minus $) $ minus $
G15 ndash A figura ao lado mostra um cabo coaxial de raios e Correntes opostas de igual magnitude estatildeo distribuiacutedas nos dois condutores Derive uma expressatildeo para calcular o campo magneacutetico () na regiatildeo (a) lt (b) lt lt (c) lt lt e (d) gt
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
30
G16 ndash Um fio condutor por onde passa uma corrente i foi torcido para formar um loop de raio R (no plano da paacutegina) como mostra a figura abaixo Qual a direccedilatildeo do campo magneacutetico no
centro do loop Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico no centro do loop
G17 ndash Uma corrente i passa por um fio condutor ciliacutendrico de raio R como mostra a figura ao lado A densidade de corrente l natildeo eacute uniforme atraveacutes da seccedilatildeo transversal do fio mas obedece agrave funccedilatildeo l = onde eacute uma constante Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico (a) a uma distacircncia - lt F e (b) a uma distacircncia $ gt F(em relaccedilatildeo ao centro do condutor)
G18 ndash Um fio condutor muito longo por onde passa uma corrente i- estaacute parcialmente envolto por um loop por onde passa uma corrente i$ (figura ao lado) O loop fio foi moldado num formato semiciliacutendrico de raio R e o comprimento L O fio condutor passa pelo eixo do loop Calcule a forccedila magneacutetica exercida sobre o loop
G19 ndash Considere um solenoide de comprimento 2 e raio F contendo H voltas de um fio por onde passa uma corrente i (a) Determine uma expressatildeo para
o campo magneacutetico num ponto ao longo do eixo do solenoide do lado de fora do solenoide como funccedilatildeo da distacircncia ateacute uma das pontas (considere = 0 no centro do solenoide e = a distacircncia do centro ateacute o ponto onde estaacute sendo calculado o campo ) (b) Mostre que para
Problemas Selecionados
31
valores muito grandes de 2 e = = 0 se aproxima de = 7i H 2frasl para posiccedilotildees ao longo do eixo no interior do solenoide distante das bordas
G20 ndash A figura ao lado mostra um fio moldado para formar duas seccedilotildees retas e um quarto de ciacuterculo por onde passa corrente i Determine o campo magneacutetico (vetor) no ponto P
G21 ndash Um fio ciliacutendrico espesso de raio eacute percorrido por uma corrente i Determine uma expressatildeo para o
campo magneacutetico dentro e fora do fio considerando que (a) a corrente estaacute distribuiacuteda uniformemente sobre a superfiacutecie externa do fio (b) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio com densidade de corrente l constante (c) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio de forma que a densidade de corrente l eacute proporcional agrave distacircncia ateacute o eixo do fio
G22 ndash Considere dois solenoides coaxiais cada um conduzindo uma corrente i em direccedilotildees opostas O solenoide interno de raio possui gt- voltas por unidade de comprimento o
solenoide externo possui raio e gt$ voltas por unidade de
comprimento Determine (a) no interior do conjunto (b) entre eles e (c) fora deles
G23 ndash Um fio condutor longo e reto de raio F conduz uma corrente natildeo uniforme cuja densidade de corrente eacute l = l7 Ffrasl onde l7 eacute uma constante A corrente total eacute i (a) Determine uma expressatildeo para i
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
32
em funccedilatildeo de l7 e F (b) Determine uma expressatildeo para o campo magneacutetico no interior do fio para uma distacircncia
G24 ndash A figura ao lado mostra um toroide que consiste num solenoide fechado em forma de anel (a) Considerando a simetria explique qual deve ser o formato do campo magneacutetico no interior desse toroide (b) Considere o toroide compacto (a separaccedilatildeo entre cada volta do fio eacute pequena) com N voltas conduzindo uma corrente i Usando a lei de Ampeacutere determine a magnitude do campo magneacutetico num ponto interno ao toroide a uma distacircncia do eixo principal (ver figura ao lado) (c) O campo magneacutetico no interior do toroide eacute um campo uniforme Explique
-------------------------------------------------------------------------------------------
(H) Lei de Faraday
H1 ndash A figura ao lado mostra dois aneis cujos eixos estatildeo alinhados separados por uma distacircncia x O anel maior tem raio F o anel menor tem raio Os aneis estatildeo separados por uma distacircncia ≫ F e por isso o campo magneacutetico devido agrave corrente no anel de raio F eacute praticamente uniforme no anel menor Considere que a distacircncia estaacute aumentando a uma taxa constante = =cfrasl = d (a) Determine uma expressatildeo para o fluxo de campo magneacutetico atraveacutes do anel menor como funccedilatildeo de Encontre uma expressatildeo para (b) a fem induzida e (c) a direccedilatildeo da corrente no anel menor
Problemas Selecionados
33
H2 ndash (a) Calcule o fluxo magneacutetico atraveacutes do retacircngulo mostrado na figura ao lado em funccedilatildeo de = i (b) Avalie o resultado encontrado para = 5 = 10 = = 2 e i = 20 J
H3 ndash Uma espira plana e circular de raio =75 estaacute em repouso numa regiatildeo de campo magneacutetico uniforme A espira estaacute orientada de tal forma que o campo magneacutetico aponta para cima
e faz um acircngulo de 30deg com a normal da espira O campo varia com
o tempo de acordo com (c) = 14(77nho) 13 (a) Determine a fem induzida na espira em funccedilatildeo do tempo (b) Para que valor de c a fem induzida eacute igual a um deacutecimo do seu valor inicial Determine o sentido da corrente induzida na espira se observada por cima da espira
H4 ndash Um retacircngulo que mede 30 times 40 estaacute localizado no interior de um campo magneacutetico uniforme de 125 13 com o campo perpendicular ao plano da bobina A bobina se move perpendicular ao campo com velocidade constante d =2 inclusive atingindo a regiatildeo
onde o campo termina abruptamente como mostra a figura ao lado Determine a fem induzida nessa bobina quando ela estaacute (a) inteiramente no interior do campo (b) parcialmente no interior do campo e (c) inteiramente fora do campo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
34
H5 ndash O fio na figura ao lado conduz
uma corrente i(c) = i7po onde gt 0 Determine o sentido da corrente induzida na bobina (horaacuterio ou anti-horaacuterio) para c gt 0
H6 ndash A figura ao lado mostra uma espira circular de raio contendo uma resistecircncia e um capacitor ligados em seacuterie imerso numa regiatildeo onde um campo magneacutetico uniforme (no espaccedilo) entrando no plano na paacutegina decresce no tempo a uma taxa constante = =cfrasl = minus sendo uma constante positiva (a) Qual a carga no capacitor quando ele estaacute completamente carregado (b) Qual das placas do capacitor estaacute em potencial mais elevado (c) Qual a origem da forccedila que causa a separaccedilatildeo de cargas
-------------------------------------------------------------------------------------------
(I) Indutacircncia
I1 ndash No circuito ao lado ℰ = 100 SF- = 10 Ω F$ = 20 Ω Famp = 30 Ω e 2 = 2 H Ao fechar a chave S quais os valores de i- e i$ Considere positivo o sentido das correntes indicadas na figura Muito tempo
depois quais satildeo os valores de i- e i$ A chave eacute entatildeo aberta Nesse instante quais satildeo os valores de i- e i$ E muito tempo depois quais satildeo os valores de i- e i$
Problemas Selecionados
35
I2 ndash Num circuito LC em seacuterie a carga inicial do capacitor eacute C e ele estaacute sendo descarregado Quando a carga no capacitor eacute igual a C 2frasl qual eacute o fluxo magneacutetico que atravessa cada uma das N espiras do indutor (como funccedilatildeo de C H 2 e D)
I3 ndash Uma bobina possui N voltas e estaacute envolvendo um solenoide longo de raio r com n espiras por unidade de comprimento (figura ao lado) (a) Mostre que a indutacircncia muacutetua do sistema eacute dada por j = 75F$gtH (b) Explique por que M natildeo depende do formato tamanho ou possiacutevel falta de proximidade das espiras na bobina
I4 ndash A fem autoinduzida num solenoide de indutacircncia L varia no tempo conforme ℇ(c) = ℇ7so Levando em consideraccedilatildeo que a carga eacute finita (ou seja i = 0 quando c = infin) determine a carga total que passa pelo solenoide (que atravessa um determinado ponto no fio que compotildee o solenoide)
I5 ndash Um fio condutor foi enrolado num papelatildeo formando um toroide com N espiras (voltas) raio menor r e maior R A seccedilatildeo transversal do toroide eacute mostrada na figura ao lado Se F ≫ o campo magneacutetico no interior do toroide eacute essencialmente o mesmo que o campo no interior de um solenoide muito longo que tenha sido
moldado no formato de um ciacuterculo de raio R Modelando o campo como se fosse o campo uniforme de um solenoide longo mostre que a indutacircncia desse toroide eacute
aproximadamente 2 asymp -$ 7H$ LMu
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
36
I6 ndash Um indutor consiste em duas cascas ciliacutendricas concecircntricas como mostra a figura A casca interna tem raio e a externa tem raio ambas com comprimento ℎ A casca interna transporta uma corrente i para fora e a externa para dentro do plano da paacutegina com igual magnitude Calcule na regiatildeo lt lt (a) a densidade de energia magneacutetica (b) a indutacircncia
I7 ndash Mostre que i(c) = i7o wx eacute a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial iF + 2 yzyo = 0 onde i7 eacute a corrente em c = 0 e = 2 Ffrasl
I8 ndash Um fio condutor de raio R transporta uma corrente uniforme A corrente total no fio eacute i Mostre que a energia magneacutetica por unidade de comprimento dentro do fio eacute dada por 7i$ 165frasl
I9 ndash Um cabo coaxial eacute formado por dois cilindros condutores de paredes finas com raios - e $ As correntes nos dois cilindros satildeo iguais em magnitude mas com sentidos opostos (a) Use a lei de Ampeacutere para determinar o campo magneacutetico como funccedilatildeo da distacircncia ao eixo do cabo nas regiotildees (0 lt lt -) ( - lt lt $ ) e ( gt $) (b) Mostre que a densidade de energia magneacutetica na regiatildeo entre os cilindros eacute dada por
| = 12 745 i$(5$)-
(c) Mostre que a energia magneacutetica total num volume de cabo com comprimento ~ eacute dada por
Problemas Selecionados
37
= i$~ ln LML
(d) Mostre que a autoindutacircncia por unidade de comprimento do cabo eacute dada por
2~ = 725 ln $-
-------------------------------------------------------------------------------------------
(J) Corrente Alternada
J1 ndash A tensatildeo de uma fonte de corrente alternada eacute dada por ∆d = 120gt(30 5c) onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A fonte eacute conectada a um indutor de 05 Determine (a) a frequecircncia da fonte (b) a voltagem rms no indutor (c) a reatacircncia indutiva do circuito (d) a corrente rms no indutor e (e) a corrente maacutexima no indutor
J2 ndash Uma fonte de tensatildeo alternada fornece uma tensatildeo ∆d = 98gt(80 5c) a um capacitor onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A corrente maacutexima no circuito eacute 05 J Determine (a) a tensatildeo rms da fonte (b) a frequecircncia da fonte e (c) o valor da capacitacircncia
J3 ndash Um circuito AC eacute composto por um resistor de 250 Ω um indutor de 15 um capacitor de 35 e uma fonte de tensatildeo alternada com amplitude de 45 S operando com frequecircncia angular = 360 = frasl (a) Qual eacute o fator de potecircncia do circuito (b) Determine a potecircncia meacutedia aparente (S) fornecida ao circuito (c) Qual eacute a potecircncia meacutedia ativa (P) dissipada no resistor Qual eacute a potecircncia meacutedia reativa (Q) que fica armazenada no circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
38
J4 ndash Cinco voltiacutemetros com impedacircncia muito grande ajustados para ler valores rms estatildeo conectados conforme a figura ao lado Sendo F =200 Ω 2 = 04 H D = 6 e ∆S = 30 Vqual eacute a leitura da tensatildeo em cada voltiacutemetro se (a) = 200 = frasl e (b) =1000 = frasl
J5 ndash Num circuito RLC 2 = 028 e D = 4 A fonte fornece uma voltagem com amplitude de 120 S Qual eacute a frequecircncia angular de ressonacircncia do circuito (b) Quando a fonte opera na frequecircncia angular de ressonacircncia a amplitude da corrente no circuito eacute 17 J Qual a resistecircncia do resistor (c) Na frequecircncia angular de ressonacircncia quais satildeo as voltagens de pico no indutor capacitor e resistor
J6 ndash O circuito ao lado conteacutem uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal conforme ℇ = ℇgt(c) No estado de equiliacutebrio temos as correntes mostradas no circuito Sem recorrer a uma matemaacutetica complicada responda (a) Quais os valores de u e quando = 0 (frequecircncia zero significa que
a fonte foi substituida por uma bateria ideal) (b) Quais os valores de u e quando rarr infin (c) Qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia
Problemas Selecionados
39
J7 ndash Um indutor um capacitor e um resistor estatildeo conectados em seacuterie a uma fonte de tensatildeo alternada Se os valores da resistecircncia capacitacircncia e indutacircncia forem duplicados o que aconteceraacute com (a) a frequecircncia angular de ressonacircncia (b) a reatacircncia indutiva (c) a reatacircncia capacitiva e (d) a impedacircncia
J8 ndash O circuito abaixo eacute formado por uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal variando conforme ℇ = ℇgt(c) uma resistecircncia F = 6 Ω e uma parte desconhecida que pode conter um indutor um capacitor ou ambos A amplitude da fonte eacute ℇ = 6 S Quando a frequecircncia angular = 2 = a corrente estaacute em fase com a fonte enquanto que para = 1 = a corrente estaacute fora de fase em relaccedilatildeo agrave fonte por exatamente 5 4frasl (a) Quais componentes estatildeo presentes na parte desconhecida (um indutor um capacitor ou ambos) Explique (b) Determine os valores dos componentes desconhecidos
J9 ndash Um circuito em seacuterie possui impendecircncia de 60 Ω e fator de potecircncia igual a 072 em 50 A tensatildeo da fonte estaacute atrasada em relaccedilatildeo agrave corrente (a) Que elemento do circuito (um indutor ou um capacitor) deve ser ligado em seacuterie com o circuito para aumentar o fator de potecircncia (b) Qual deve ser o valor desse elemento para que o fator de potecircncia seja igual a 1 (c) Apresente diagramas de fasores esquemaacuteticos para o circuito antes e depois da ligaccedilatildeo do novo elemento
Manual de Laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
41
O PROCESSO DE MEDIDA NO LABORATOacuteRIO DE FIacuteSICA
Natildeo satildeo raros eventos em que nos valemos de medidas para tomarmos decisotildees Medimos nossa temperatura corporal para avaliarmos se necessitamos de tratamento Medimos a pressatildeo manomeacutetrica dos pneus para avaliarmos se precisamos injetar ou retirar ar neles Consultamos medidas da temperatura ambiente para escolhermos a roupa que vestiremos Consultamos o horaacuterio (medida de tempo) para natildeo chegarmos atrasados em encontros Medidas satildeo portanto fundamentais em nossas vidas No entanto usualmente natildeo nos preocupamos muito com a precisatildeo dessas medidas Em grande parte das vezes natildeo nos interessa saber se o horaacuterio informado no reloacutegio estaacute um pouco atrasado ou adiantado Natildeo nos preocupamos em saber o quanto podemos confiar nas temperaturas coletadas com um determinado termocircmetro Nossas medidas comumente satildeo realizadas de forma despretensiosa sem muito rigor
No laboratoacuterio de Fiacutesica isso ocorre de modo muito diferente Os processos de mediccedilatildeo satildeo mais minuciosos do que os que realizamos costumeiramente Desejamos obter a maior precisatildeo possiacutevel com os equipamentos de que dispomos Mas como fazer isso Como podemos melhorar a precisatildeo dos processos de mediccedilatildeo Intuitivamente podemos concluir que inferecircncias realizadas a partir de um conjunto de medidas satildeo mais precisas do que medidas isoladas Mas quando disponho de um conjunto de medidas como posso analisaacute-las Calcular a meacutedia delas eacute suficiente Responder a questotildees como essas eacute o objetivo desta atividade Para exemplificarmos todo esse processo realizaremos um debate sobre a mediccedilatildeo da resistecircncia interna de amperiacutemetros
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
42
O que satildeo amperiacutemetros
Um amperiacutemetro eacute um instrumento utilizado para a realizaccedilatildeo de medidas de correntes eleacutetricas Evidentemente natildeo queremos modificar os circuitos quando os exploramos com um instrumento Com amperiacutemetros natildeo eacute diferente Queremos medir correntes eleacutetricas sem alterar as caracteriacutesticas do circuito Mas como eacute possiacutevel fazer isso Natildeo discutiremos aqui os detalhes sobre o funcionamento interno de um amperiacutemetro No entanto vamos avaliaacute-los do ponto de vista de uma das suas caracteriacutesticas mais importantes a sua resistecircncia eleacutetrica
A resistecircncia eleacutetrica de um circuito influencia na intensidade da corrente eleacutetrica que circula nele A corrente eleacutetrica i que perpassa por uma resistecircncia eleacutetrica F submetida a uma tensatildeo ∆S por exemplo pode ser predita pela seguinte relaccedilatildeo
i = ∆u Eq 1
O amperiacutemetro precisa ser posicionado em seacuterie no circuito em que se deseja medir a corrente eleacutetrica como eacute exemplificado na figura
Figure 1- Medindo a resistecircncia interna de um multiacutemetro
Manual de Laboratoacuterio
43
1 Como a resistecircncia equivalente em circuitos em seacuteries eacute a soma da resistecircncia eleacutetrica de cada um dos seus componentes a resistecircncia interna dos amperiacutemetros se soma agrave resistecircncia equivalente do circuito investigado alterando a sua dinacircmica Por isso nosso desejo eacute que os amperiacutemetros tenham resistecircncia eleacutetrica nula No entanto a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro real por menor que seja nunca eacute nula Eles possuem um circuito interno com fios e diversos componentes eletrocircnicos que acabam provocando uma resistecircncia agrave circulaccedilatildeo de corrente eleacutetrica Ainda assim frequentemente desprezamos tal resistecircncia Seraacute que isso eacute razoaacutevel Quando podemos desprezar a resistecircncia interna dos amperiacutemetros e quando natildeo podemos Para respondermos tais perguntas precisamos conhecer o valor da resistecircncia interna tiacutepica de um amperiacutemetro
Medindo a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro
Nesta disciplina usaremos diversos amperiacutemetros de uma mesma marca e modelo em uma seacuterie de experimentos (Minipa ET-2075B) Por isso eacute interessante que conheccedilamos a resistecircncia eleacutetrica deles para podermos avaliar quando podemos desprezaacute-la e quando natildeo Mas como podemos obter essa informaccedilatildeo Podemos medi-la Um procedimento simples para isso eacute submeter o amperiacutemetro a uma diferenccedila de potencial ΔV conhecida e medir a corrente eleacutetrica i que passa por ele Desse modo podemos usar a Eq 1 para inferir a resistecircncia eleacutetrica do equipamento Mas podemos confiar em uma uacutenica medida Depende da precisatildeo de que necessitamos para essa medida Intuitivamente sabemos que se medirmos a resistecircncia interna a partir de um conjunto de dados poderemos ter uma maior confiabilidade nos dados No exemplo de que estamos tratando eacute possiacutevel se coletar dados da corrente no amperiacutemetro quando submetido a diferentes tensotildees Desse modo pode-se inferir a resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro pela declividade da reta constituiacuteda
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
44
pelos dados representados em um graacutefico da tensatildeo em funccedilatildeo da corrente eleacutetrica como pode ser constatado da Eq1 No entanto como temos incertezas associadas a cada dado experimental coletado esses dados natildeo seratildeo perfeitamente representados por uma reta Surge entatildeo uma nova questatildeo qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados
Ajuste de Curvas
Diversas retas podem ser ajustadas a um conjunto de dados experimental Qual delas utilizar Intuitivamente podemos conjecturar que a melhor reta a ser utilizada eacute aquela tal que a soma das diferenccedilas entre os valores de tensatildeo medidos e os preditos pela reta tenha o menor valor possiacutevel Em outras palavras queremos minimizar a soma
sum = = (∆Sz minus ∆S)z-
onde ∆Sz satildeo as tensotildees medidas e ∆S satildeo as tensotildees preditas pela reta ajustada
No entanto haacute um inconveniente importante no uso desse criteacuterio tal soma pode ser bem pequena para retas que natildeo apresentam bom ajuste aos dados se as diferenccedilas entre os valores medidos e os preditos se cancelarem sendo alguns positivos e outros negativos Nesses casos apesar de natildeo termos uma reta bem ajustada aos dados o criteacuterio utilizado
indicaria que sim Como resolver isso Elevando os valores de dn ao
Figura 1 - Diferenccedila de potencial em funccedilatildeo
da corrente
Manual de Laboratoacuterio
45
quadrado Ou seja podemos procurar a reta tal que a seguinte soma tenha o menor valor possiacutevel
sum =$ = (∆Sz minus ∆S)$z-
O meacutetodo que utiliza esse criteacuterio para a realizaccedilatildeo de ajustes de curvas que eacute amplamente utilizado no meio acadecircmico eacute denominado Meacutetodo dos Miacutenimos Quadrados Todos os softwares do tipo planilha eletrocircnica realizam esse caacutelculo automaticamente e nos valeremos disso quando necessaacuterio
Todos os amperiacutemetros da sala possuem a mesma resistecircncia interna
Ainda que todos os amperiacutemetros que utilizaremos nas nossas aulas sejam da mesma marca e modelo eles possuem diferentes resistecircncias internas Existe alguma forma de estimar a resistecircncia interna de um desses amperiacutemetros escolhido aleatoriamente Calcular a meacutedia das resistecircncias eacute suficiente para realizar essa estimativa
Variabilidade das medidas o desvio padratildeo amostral e da meacutedia
Apesar de as resistecircncias dos amperiacutemetros natildeo serem exatamente as mesmas elas possuem valores que se distribuem em torno de um valor meacutedio que eacute igual agrave meacutedia dessas resistecircncias Desse modo se tomarmos um dos amperiacutemetros aleatoriamente o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute igual agrave meacutedia das resistecircncias internas de todos os amperiacutemetros Mas quanto podemos confiar nessa estimativa Para respondermos tal pergunta eacute importante quantificarmos a variabilidade das resistecircncias r que medimos Quanto menor for essa variabilidade maior seraacute a nossa confianccedila para assumir que a resistecircncia interna de um amperiacutemetro particular eacute igual agrave meacutedia Intuitivamente podemos conjecturar que tal variabilidade pode ser medida pelo somatoacuterio das diferenccedilas entre as resistecircncias
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
46
medidas z e a meacutedia dessas resistecircncias ou seja por (- minus ) + ($ minus ) + ⋯ + ( minus ) onde N eacute o nuacutemero de medidas realizadas No entanto temos aqui um inconveniente semelhante ao que tivemos quando analisaacutevamos ajustes de curvas se valores positivos e negativos se cancelarem esse somatoacuterio pode ser muito pequeno mesmo quando os dados apresentam grande variabilidade Podemos propor a mesma soluccedilatildeo adotada anteriormente vamos elevar os termos ao quadrado Temos entatildeo a variabilidade dos dados sendo mensurada por (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$
A impossibilidade de comparaccedilatildeo entre as variabilidades de diferentes conjuntos de dados eacute a limitaccedilatildeo desta proposta pois o resultado desse somatoacuterio eacute altamente dependente da quantidade de termos Desse modo eacute possiacutevel que esse somatoacuterio seja maior para grandes conjuntos com pouca variabilidade do que para pequenos grupos com grande variabilidade Para amenizar tal limitaccedilatildeo podemos entatildeo dividir o somatoacuterio por N ou seja calcular a variabilidade por(- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$ Hfrasl Ainda que esse somatoacuterio seja conceitualmente interessante natildeo eacute essa a medida de dispersatildeo de dados que costuma ser utilizada no meio cientiacutefico mas algo que guarda alguma semelhanccedila com ele o desvio padratildeo dos dados (P) Ele eacute calculado por
PL = (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$H minus 1
Mas por que utilizamos essa equaccedilatildeo A resposta estaacute em suas propriedades Quando construiacutemos um histograma (graacutefico de frequecircncias) de um conjunto de medidas por exemplo podemos em muitos casos assumir que a distribuiccedilatildeo desses dados eacute representada por uma distribuiccedilatildeo normal A equaccedilatildeo que define essa distribuiccedilatildeo assim como sua representaccedilatildeo graacutefica eacute ilustrada na Figura 3
Manual de Laboratoacuterio
47
Natildeo eacute nosso objetivo aqui discutir detalhes da distribuiccedilatildeo normal O que desejamos destacar eacute que quando supomos que a distribuiccedilatildeo de um conjunto de dados eacute normal o que eacute bastante razoaacutevel na maioria das vezes o desvio padratildeo σ quantifica como os dados estatildeo distribuiacutedos Para entendermos isso analisemos a Figura 4
O intervalo compreendido pela meacutedia das medidas mais ou menos um desvio padratildeo compreende 68 das medidas realizadas No caso que estamos exemplificando se tomarmos a meacutedia das resistecircncias internas r de todos os amperiacutemetros investigados e o desvio padratildeo PL desses dados 68 das medidas estaratildeo no intervalo entre ( minus PL) e ( + PL) 95 no intervalo ( 2PL) e 99 no intervalo ( 257PL)
Figura 2 - A distribuiccedilatildeo normal eacute usualmente utilizada para representar a distribuiccedilatildeo
de frequecircncias de um conjunto de dados (Lima Jr et al 2013 p 30)
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
48
Agora jaacute sabemos como quantificar a variabilidade de um conjunto de dados Podemos entatildeo calcular a meacutedia e o desvio padratildeo das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros Mas surge entatildeo uma questatildeo Se analisaacutessemos um novo conjunto de amperiacutemetros da mesma marca e modelo dos exemplificados aqui a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros seria a mesma Provavelmente natildeo Temos como estimar a partir do conjunto de medidas que realizamos a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros Temos Para responder a essa questatildeo temos que compreender um novo conceito o de desvio padratildeo da meacutedia (PL) Ele eacute calculado por
PL = PLradicH
Natildeo vamos entrar em detalhes aqui sobre a origem do conceito de desvio padratildeo da meacutedia1 vamos apenas explicar como essa grandeza nos permite estimar a incerteza na meacutedia de um conjunto de medidas Para isso vamos supor um novo conjunto de N novas
1 Se vocecirc eacute um aluno curioso pesquise sobre o Teorema Central do Limite para compreender com mais profundidade o conceito de desvio padratildeo da meacutedia
Figura 3 - A meacutedia e o desvio padratildeo demarcam a distribuiccedilatildeo dos dados em uma
distribuiccedilatildeo normal Na figura o eixo das abcissas expressa a distacircncia da meacutedia em
unidades de desvio padratildeo (Lima Jr et al 2013 p 30)
Manual de Laboratoacuterio
49
medidas da resistecircncia interna de amperiacutemetros como os investigados nesta aula Qual seria a meacutedia dessas medidas Assim como o desvio padratildeo dos dados quantifica a dispersatildeo dos dados em torno da meacutedia o desvio padratildeo da meacutedia quantifica a dispersatildeo das meacutedias de subconjuntos de dados em torno da meacutedia de todo o conjunto de dados Aplicando esse conceito ao nosso exemplo podemos interpretar os dois conjuntos de medidas de resistecircncias internas como subconjuntos de um grande conjunto contendo todas as medidas Desse modo podemos afirmar com 68 de confianccedila que a meacutedia das N novas medidas a serem realizadas estaraacute no intervalo compreendido por ( PL) com 95 de confianccedila no intervalo ( 2PL) e com 99 de confianccedila no intervalo ( 257PL) O desvio padratildeo da meacutedia pode ser compreendido assim como a incerteza da meacutedia de um conjunto de medidas ou seja ele nos fornece uma estimativa da confiabilidade de uma meacutedia Em suma se escolhermos um amperiacutemetro aleatoriamente podemos dizer que i) o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute a meacutedia das resistecircncias de todos os amperiacutemetros e ii) a incerteza que temos nesse valor eacute igual ao desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias dos amperiacutemetros
E se eu soacute tivesse condiccedilotildees de realizar uma uacutenica medida
Nem sempre podemos realizar diversas medidas de uma grandeza Em alguns casos nem mesmo faz sentido realizar diversas medidas No entanto eacute evidente que existe uma incerteza associada a uma uacutenica medida Natildeo existem instrumentos que sejam perfeitamente precisos Entatildeo como podemos estimar essa incerteza Usualmente os manuais dos instrumentos trazem informaccedilotildees sobre isso Desse modo as incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica realizadas com um voltiacutemetro e um amperiacutemetro podem ser consultadas no manual do multiacutemetro utilizado Mas como eacute calculada a incerteza da resistecircncia interna de um amperiacutemetro que foi calculada a partir de
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
50
apenas uma medida de tensatildeo e uma de corrente eleacutetrica Nesse caso precisamos calcular a incerteza propagada das incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica
Os meacutetodos de caacutelculo de incertezas propagadas podem ser bastante complicados Aqui trataremos de um meacutetodo bastante simples usualmente denominado de Meacutetodo dos Limites Vamos exemplificaacute-lo supondo que a incerteza da tensatildeo sobre as entradas do amperiacutemetro eacute P- e da corrente eleacutetrica que circula por ele eacute P$ Ou seja a tensatildeo medida estaacute no intervalo entre ∆S minus P- e ∆S + P- e a corrente eleacutetrica entre i minus P$ e i + P$ Qual eacute entatildeo a incerteza da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro investigado Para responder isso basta calcularmos os valores limites dessa grandeza O maacuteximo valor possiacutevel para a resistecircncia ocorreraacute se a tensatildeo for ∆S + P- e a corrente eleacutetrica for i minus P$ Nesse caso usando a Eq 1 temos
aacutee = ∆S + P-i minus P$
Usando o mesmo raciociacutenio o valor miacutenimo de r seraacute
z = ∆S minus P-i + P$
Desse modo podemos dizer que o valor da resistecircncia interna medida estaacute no intervalo entre rmaacutex e rmiacuten Em outras palavras o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro eacute
F = iexclz + aacutee2 z minus aacutee2 cent
Manual de Laboratoacuterio
51
Erro eacute a mesma coisa que incerteza
Apesar de serem frequentemente utilizados como sinocircnimos os manuais de metrologia atribuem significados distintos aos conceitos de ldquoerrordquo e ldquoincertezardquo O Guia para Expressatildeo da Incerteza da Mediccedilatildeo (Joint Commitee for Guide in Metrology 2008 apud Lima Jr et al 2013) usa o termo ldquoerrordquo para indicar a diferenccedila entre o valor verdadeiro e o resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo o conceito de erro tem uso restrito pois satildeo poucos os casos em que conhecemos o valor verdadeiro de uma grandeza Satildeo exemplos desses casos experimentos em que se deseja mensurar a velocidade da luz no vaacutecuo ou o valor de π que satildeo valores previamente conhecidos pelo experimentador O caacutelculo do erro soacute faz sentido para casos em que sabemos o valor verdadeiro da grandeza que se quer medir
A incerteza por outro lado eacute entendida como uma estimativa que quantifica a confiabilidade do resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo quando calculamos o desvio padratildeo da meacutedia de um conjunto de medidas estamos calculando a incerteza da meacutedia dessas medidas ou seja estamos avaliando a confianccedila que podemos ter em adotar a meacutedia dessas medidas como o valor da grandeza mensurada O conceito de incerteza portanto tem maior aplicabilidade do que o conceito de erro
Algarismos significativos e incerteza
Uma questatildeo frequente nas aulas de laboratoacuterio eacute Com quantos algarismos uma grandeza deve ser apresentada No laboratoacuterio a resposta dessa questatildeo eacute uma funccedilatildeo da incerteza da grandeza Devemos apresentar os dados ateacute o seu primeiro algarismo duvidoso Voltemos ao exemplo da resistecircncia interna dos amperiacutemetros Suponhamos que a meacutedia das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros eacute 21546 Ω e o desvio padratildeo dessa meacutedia que eacute
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
52
entendido aqui como a incerteza da resistecircncia interna dos amperiacutemetros eacute 003 Ω Interpretando tais dados assumimos com 68 de certeza que a resistecircncia interna dos amperiacutemetros estaacute no intervalo entre 21246 e 21846 Ω Desse modo a segunda casa decimal da grandeza medida eacute duvidosa Por isso os algarismos subsequentes satildeo omitidos quando expressamos essa medida e a medida da resistecircncia interna dos amperiacutemetros exemplificados eacute exposta por (215 plusmn 003) Ω Em suma o resultado de uma mediccedilatildeo deve ser sempre expresso com a mesma quantidade de casas decimais que sua incerteza Os algarismos apresentados satildeo entatildeo chamados de algarismos significativos
Referecircncia
Lima Jr P Silva M T X Silveira F L Veit E A (2013) Laboratoacuterio de mecacircnica subsiacutedios para o ensino de Fiacutesica experimental Porto Alegre UFRGS Instituto de Fiacutesica Disponiacutevel em httphdlhandlenet1018390438
Manual de Laboratoacuterio
53
Atividade de Laboratoacuterio I Instrumentos de medida e incertezas
Este material foi cuidadosamente preparado para auxiliar no andamento das atividades no laboratoacuterio de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo Eacute importante responder TODAS as perguntas
(indicadas pelo siacutembolo ) feitas ao longo do texto discutindo com seu grupo possiacuteveis respostas e justificando-as Sempre que possiacutevel faccedila isso por escrito
TAREFA 1
Construa um circuito contendo um resistor de 1 kΩ em seacuterie com uma fonte de tensatildeo contiacutenua e um multiacutemetro Coloque o multiacutemetro na funccedilatildeo amperiacutemetro na escala de miliampere Usando outro multiacutemetro meccedila a tensatildeo no amperiacutemetro Realize medidas com diferentes correntes eleacutetricas variando a tensatildeo de saiacuteda da fonte
Como podemos tratar esses dados se nosso objetivo eacute medir a resistecircncia interna do amperiacutemetro
Qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
54
Para responder essas questotildees se dirija a um dos computadores da sala e use um aplicativo que possibilite a construccedilatildeo de graacuteficos SciDavis por exemplo Insira seus dados no aplicativo construa o graacutefico desejado e encontre a melhor reta que se ajusta aos dados
Qual foi a melhor reta ajustada Determine a equaccedilatildeo dessa reta ajustada
Qual eacute o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro que vocecirc investigou
TAREFA 2
Utilize as medidas de todos os grupos da turma e aplique os conhecimentos abordados na tarefa de leitura para responder as seguintes questotildees
Qual deve ser a resistecircncia interna de um amperiacutemetro escolhido aleatoriamente entre os utilizados nesta aula
Qual eacute a incerteza desse valor
TAREFA 3
Suponha que o manual do Minipa ET-2075B informe que as medidas de tensatildeo e corrente realizadas nas faixas de milivolt e miliampere tecircm incerteza de 3 Use esses dados para calcular a
Manual de Laboratoacuterio
55
incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1
Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma
Elas satildeo coerentes Por quecirc
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
56
CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO
Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por
equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC
Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras
O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se
Manual de Laboratoacuterio
57
extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo
No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador
Salvando vidas
ldquoafastem-se choquerdquo
Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de
sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos
O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo
Figura 4 - Desfibrilador
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
58
esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)
Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma
sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o
miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia
Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2
2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387
Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)
Manual de Laboratoacuterio
59
Circuito RC - seacuterie
Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C
Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que
∆S(c) + i(c)F = 0
Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo
i(c) = =C(c)=c
e a ddp no capacitor eacute dada por
∆S(c) = C(c)D
Dessa forma podemos dizer que
=C(c)=c = minus 1FD C(c)
Figura 6 - Circuito RC
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
60
Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa
funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja
derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever
C(c) = C7 ou
A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial
Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir
Capacitor Carregando Capacitor Descarregando
∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0
C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou
∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou
Manual de Laboratoacuterio
61
Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8
Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo
eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum
3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78
Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas
do capacitor durante o processo de
carga ou descarga
Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um
graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo
do tempo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
62
Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no
capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte
Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor
quando o mesmo estaacute sendo carregado
Manual de Laboratoacuterio
63
Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie
1 - Osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos
2 ndash Aparato Experimental
Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
64
conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto
Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)
Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio
Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees
Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala
Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)
Manual de Laboratoacuterio
65
TAREFA 1
Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees
Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico
Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito
Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito
Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos
Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio
TAREFA 2
Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie
Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
66
figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)
Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados
Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo
NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo
Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste
Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito
Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito
Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles
Manual de Laboratoacuterio
67
MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS
Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais
Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio
Para onde aponta a buacutessola
Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
68
polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc
E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial
tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos
que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a
soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio
4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja
httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4
Figura 10 - Buacutessola
Figura 11 - campo B resultante
Manual de Laboratoacuterio
69
Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por
umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O
Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde
Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde
Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma
iacuteatilde() = ∙
onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde
5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass
The Physics Teacher 49(1) 45-48
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
70
Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como
iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2
Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos
gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)
Logo
gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2
Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo
iacuteatilde() = amp
Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse
tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira
na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart
Manual de Laboratoacuterio
71
pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do
que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute
yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp
onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico
da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos
yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp
Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
72
Atividade de Laboratoacuterio III Projeto
OBJETIVO
Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
73
SUGESTAtildeO 1
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO
Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas
Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece
Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha
Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo
por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o
eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
74
SUGESTAtildeO 2
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA
Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)
Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica
Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de
uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)
Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema
Manual de Laboratoacuterio
75
SUGESTAtildeO 3
BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO
Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola
Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)
Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina
O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
76
SUGESTAtildeO 4
CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO
O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer
Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
77
MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO
Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro
Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental
6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
78
110 V 127 V e 220 V O que eacute isso
As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V
Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas
A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
(c) = Jgt(c + acute)
onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por
∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)
Manual de Laboratoacuterio
79
onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1
Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho
Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores
Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
80
caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por
∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf
∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712
∆Suparamiddot = ∆S7radic2
Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a
tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s
A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente
alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$
Figura 13 - Funccedilotildees seno e
seno quadrado
Manual de Laboratoacuterio
81
COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA
Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz
Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O
Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
82
que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio
Natildeo queremos jogar energia fora
Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14
Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie
Manual de Laboratoacuterio
83
Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por
0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)
onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)
Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
ℇ(c) = ℇ7gt(c)
onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente
Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na
figura 16 para um caso em que VL gt VC
Figura 15 - Diagrama de fasores
de um circuito RLC seacuterie com
fonte de tensatildeo alternada
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
84
A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que
acute = c8 S minus SSu
Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado
por
i(c) = gt(c minus acute)
Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente
as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que
ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$
ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$
Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como
0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)
Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que
0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$
Figura 16 ndash Soma de fasores
Manual de Laboratoacuterio
85
0eacutey = F ∙ uparamiddot$
onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square
Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que
F = frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte
Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade
7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL
Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e
resistecircncia num diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
86
do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como
0 = AJradicAJ$ + AF$
O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP
DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11
Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia
Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por
acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita
Manual de Laboratoacuterio
87
2 = 1D
Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica
Figura 18 - diagramas de fasores representando
um circuito capacitivo e um circuito indutivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
88
Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie
O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio
TAREFA 1
Circuito Resistivo
Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR
Manual de Laboratoacuterio
89
Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)
O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador
Circuito Capacitivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
90
Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor
Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Manual de Laboratoacuterio
91
Circuito Indutivo
Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor
O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
92
Circuito RLC
Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise
Manual de Laboratoacuterio
93
O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador
Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio
O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior
Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor
Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou
A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
94
TAREFA 2
Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente
Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir
Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima
Qual o valor da corrente maacutexima no circuito
Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)
O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique
Manual de Laboratoacuterio
95
TAREFA 3
Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito
Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees
Como isso eacute possiacutevel Explique
Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff
Respostas
96
Respostas
A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32
A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH
A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH
B3 Ae = Af = AtildeAcircf
B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl
B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH
B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l
B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD
B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -
C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc
(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7
C2 O = ~13deg
C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)
Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-
vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr
Respostas
97
C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM
C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD
(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD
C6 A = Eacute$Acirc
C7 A = Atilde$AcircL
D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma
das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp
D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(
D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1
no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)
D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme
D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D
E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)
E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D
E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml
F1 544 times 10
F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S
F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM
u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM
u (e) 0 = ℇMu
F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω
Respostas
98
F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965
G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n
G5 i = Ograve$g = 245 J
G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y
G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez
G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H
G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)
G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)
G15 (a) zL$brvbarM (b)
z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero
G16 z$L + z$L = z$L - + 1
G17 (a) pLM
amp (b) pusup3
ampL
G18 zzMu
G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)
z
G20 zNu saindo da folha
G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)
UgraveLMamp
fora do fio (a) z$L (b)
UgravebrvbarM$L (c)
Ugravebrvbarsup3ampL
G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13
G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM
ampu
H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior
Respostas
99
H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a
H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J
I2 Φ = pound$ sup1amp
I4 C = AcircsM
I6 (a) zM
NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar
J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a
(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S
J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu
(c) = -radic
J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm
(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013
Respostas
100
Bibliografia
Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il
Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il
Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il
Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm
Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il
Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il
Problemas Selecionados
11
(A) Carga Eleacutetrica
A1 ndash Se vocecirc grudar um pedaccedilo de fita adesiva na mesa e desgrudaacute-lo puxando rapidamente uma das pontas a fita ficaraacute carregada eletricamente Supondo que a fita adesiva tenha 20 de comprimento e 1 de largura e que ao fazer isso vocecirc consiga arrancar 1 eleacutetron de cada aacutetomo da superfiacutecie da fita qual seraacute a carga eleacutetrica total da fita (por simplicidade considere o raio atocircmico = 1 Å)
A2 ndash Repetindo o mesmo procedimento com outro pedaccedilo idecircntico de fita adesiva e aproximando os dois pedaccedilos a uma distacircncia de 5 qual seraacute a forccedila eleacutetrica entre eles
A3 ndash Quatro partiacuteculas carregadas estatildeo dispostas no plano XY sendo = langminus3 0 0rang $ = lang 0 0rang amp = lang0 2 0rang e = lang0 minus2 0rang as distacircncias das cargas ateacute a origem A carga da partiacutecula 2 eacute ($ = 80 times 10-C a carga das partiacuteculas 3 e 4 eacute (amp = ( = minus1 6 times 10-C Qual deve ser a distacircncia para que seja nula a forccedila resultante sobre a partiacutecula 1
A4 ndash O dado mostrado na figura ao lado possui lado = 15 Qual a forccedila (vetor) exercida sobre a partiacutecula indicada pela seta devido agrave presenccedila das demais cargas Use notaccedilatildeo vetorial para indicar sua resposta (Dica defina a origem dos eixos cartesianos no veacutertice que estaacute escondido com o eixo z para cima Calcule as componentes da forccedila nas
direccedilotildees e separadamente soacute entatildeo some as componentes que estatildeo na mesma direccedilatildeo)
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
12
A5 ndash Trecircs partiacuteculas carregadas estatildeo dispostas num plano XY a
partiacutecula 1 na posiccedilatildeo 0- = lang0 15 0rang a partiacutecula 2 na posiccedilatildeo 0$ = lang0 minus15 0rang e a partiacutecula 3 na posiccedilatildeo 0amp = lang 0 0rang com liberdade para se mover no eixo (- = ($ = 32 times 10-C (amp = minus64 times 10-C pode variar de 0 a 5 Qual o valor de para que a forccedila exercida sobre a partiacutecula 3 (pelas demais cargas) seja (a) miacutenima e (b) maacutexima Quais satildeo os valores (c) miacutenimo e (d) maacuteximo do moacutedulo da forccedila
A6 ndash A figura ao lado mostra duas esferas condutoras de mesma massa e mesma carga ( suspensas por fios isolantes de comprimento 2 Mostre que para 2 ≫ as esferas estaratildeo em equiliacutebrio quando a distacircncia entre elas for igual a
= 4 ($2256789- ampfrasl
A7 ndash A forccedila gravitacional entre duas massas pontuais eacute muito similar matematicamente agrave forccedila eletrostaacutetica entre duas cargas pontuais A intensidade dessas forccedilas no entanto eacute extremamente diferente Para ilustrar isso considere a seguinte situaccedilatildeo Em algum lugar do espaccedilo existem duas esferas idecircnticas de poeira 50 de diacircmetro e densidade 25 8amp separadas por uma distacircncia = Se os gratildeos satildeo eletricamente neutros e estatildeo inicialmente em repouso eles iratildeo colidir devido agrave atraccedilatildeo gravitacional Agora suponha que ambos estatildeo eletricamente carregados cada um tendo um nuacutemero gt de eleacutetrons extra Encontre o menor valor de gt que iraacute evitar a colisatildeo (Considere = 667 times 10-- amp8-$)
Problemas Selecionados
13
(B) Campo Eleacutetrico
B1 ndash Um iacuteon de Fe3+ estaacute localizado a 400 gt de um iacuteon de Cl- como mostra a figura ao lado (a) Qual a magnitude direccedilatildeo e sentido do campo
eleacutetrico A na posiccedilatildeo A (b) E na posiccedilatildeo B (c) Se um eleacutetron estiver na posiccedilatildeo A qual seraacute a magnitude e direccedilatildeo da forccedila sobre o eleacutetron
B2 ndash Um quadrupolo eleacutetrico eacute formado por um conjunto de dois dipolos como mostra a figura ao lado Mostre que para ≫ = a magnitude do
campo A num ponto ao longo do eixo dos quadrupolos eacute dado por
A = 6(=$4567
B3 ndash Uma barra muito longa com densidade de carga B estaacute disposta conforme a figura ao lado (Alguns autores chamam esse tipo de barra de semi-infinita pois o ponto P estaacute proacuteximo a uma das extremidades da barra enquanto a outra extremidade estaacute muito distante) Mostre
que o campo eleacutetrico A no ponto P faz um acircngulo de 45deg com a barra independente da distacircncia Y (isto eacute as componentes x e y do campo tem a mesma magnitude)
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
14
B4 ndash Calcule o campo A proacuteximo a uma barra carregada com carga total Q e comprimento As cargas estatildeo distribuiacutedas de forma uniforme ao longo da barra = 015 C = 8 gtD e E = 5
B5 ndash A figura ao lado mostra um anel incompleto de raio F carregado com carga total C Qual a forccedila (vetor) exercida sobre um eleacutetron que por ventura esteja localizado no ponto 0
B6 ndash Um dipolo cujo momento dipolar eacute G = lang37 50 0rang D
encontra-se numa regiatildeo onde o campo A = lang3000 0 0rang H Dfrasl Qual a energia potencial do dipolo Qual o torque que age sobre o dipolo Qual eacute o trabalho que um agente externo deve realizar para girar o dipolo ateacute que seu momento dipolar seja G = langminus50 37 0rang D
B7 ndash Calcule a magnitude direccedilatildeo
e sentido do campo A no centro de um anel de raio F carregado sendo que a distribuiccedilatildeo de cargas no anel varia como B(I) = B7 gt I
Problemas Selecionados
15
B8 ndash Duas barras isolantes de 15 de comprimento encontram-se em um acircngulo reto Uma barra possui 30 D e a outra possui minus30 D de carga uniformemente distribuiacuteda ao longo do comprimento conforme a figura ao lado Determine o campo eleacutetrico (vetor) no ponto P que estaacute a = = 750 do centro de cada barra
B9 ndash Duas barras curvas isolantes com cargas opostas de igual magnitude ( formam um ciacuterculo de raio F no plano xy conforme a figura As cargas estatildeo uniformemente distribuiacutedas na barra (a) Qual o campo eleacutetrico (vetor) no ponto P (b) Qual a resposta do item (a) se ( = 20 GD e F = 10
B10 ndash Considere um cilindro de comprimento 2 e raio J oco carregado com carga total C Vocecirc estaacute interessado em saber qual eacute
o campo eleacutetrico A ao longo do eixo do cilindro numa de suas extremidades Para isso utilize dois caminhos distintos (a) considerando que o cilindro eacute formado por uma infinidade de barras de espessura infinitesimal todas com comprimento 2 dispostas num ciacuterculo de raio J e (b) considerando que o cilindro eacute formado por uma infinidade de aneacuteis de raio J cujos eixos estatildeo alinhados e juntos formam um cilindro de comprimento 2
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
16
(C) Lei de Gauss
C1 ndash Uma faacutebrica de bolinhas de gude foi atingida por um raio durante uma tempestade O preacutedio foi protegido por um paacutera-raios mas algumas descargas atingiram os equipamentos que fabricavam as bolinhas Resultado eacute que a bolinha que estava na maacutequina ao cair o raio recebeu uma descarga eleacutetrica e as cargas ficaram armazenadas
no interior da bolinha de forma que a densidade de carga K() = K7 -LM
(a) Qual o campo A na superfiacutecie da bolinha que tem raio = 2 (b) E no interior da bolinha 1 abaixo da superfiacutecie (c) Qual o
campo A a 5 da superfiacutecie da bolinha
C2 ndash A figura ao lado mostra uma bolinha com massa 0004 8 e carga 8 times 10N D suspensa por um fio nas proximidades de uma grande placa condutora carregada sendo que a densidade de carga da placa eacuteminus2 times 10 D $frasl Encontre um valor para o acircngulo O
C3 ndash Uma casca ciliacutendrica isolante e muito longa tem raio interno e externo e densidade volumeacutetrica de carga K Um fio tambeacutem muito longo tem densidade linear de carga B e estaacute alinhado com o eixo central da casca Qual o campo eleacutetrico na regiatildeo entre e
Problemas Selecionados
17
C4 ndash Uma carga C positiva estaacute no centro de um conjunto de calotas concecircntricas como mostra a figura abaixo O raio das calotas estaacute indicado na figura A mais externa eacute condutora e estaacute carregada com carga C negativa e a calota intermediaacuteria eacute isolante e possui carga liacutequida ( positiva distribuiacuteda de forma uniforme por
todo seu volume Calcule o campo A resultante em cada uma das 5 regiotildees indicadas na figura Indique a localizaccedilatildeo aproximada das cargas induzidas eou em excesso em cada regiatildeo e indique a direccedilatildeo e sentido dos campos eleacutetricos
C5 ndash Uma casca esfeacuterica com densidade volumeacutetrica de carga K = 20 gtDamp tem raio interno = 10 e raio externo = 2 conforme a figura Determine o moacutedulo do campo eleacutetrico para os seguintes raios a partir do centro (a) = 2frasl (b) = 15 (c) = 2
C6 ndash Usando a Lei de Gauss determine o campo eleacutetrico proacuteximo a uma placa muito grande com densidade superficial de carga P
C7 ndash Usando a Lei de Gauss determine o campo eleacutetrico proacuteximo a uma barra muito longa com densidade linear de carga B
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
18
(D) Potencial Eleacutetrico
D1 ndash A figura ao lado mostra um anel incompleto formado por trecircs segmentos de arco com densidade linear de carga constantesB- B$ e Bamp A menor delas tem carga total (- e comprimento de arco 54 As demais estatildeo indicadas na figura Qual o potencial eleacutetrico no centro do anel Qual deve ser a relaccedilatildeo entre as cargas para que o potencial eleacutetrico no centro do anel seja igual a zero
D2 ndash A figura ao lado mostra um dipolo eleacutetrico de momento dipolar |G| = R( Mostre que para ≫ R o potencial eleacutetrico no ponto P eacute dado por
S = 145T7G UO$
Dica quando ≫ R eacute razoaacutevel considerar que V cong $ e minus V cong R UO
D3 ndash Sobre uma mesa de bilhar estatildeo dispostas trecircs bolinhas Uma com carga +C outra com carga ndash C e uma terceira com carga +2C conforme mostra a figura ao lado (a) Qual o potencial no ponto P (b) Se uma quarta bolinha for colocada no centro do quadrado qual deve ser a carga da bolinha para que o potencial no ponto P seja nulo
Problemas Selecionados
19
D4 ndash Uma esfera oca isolante de raio F e carga C eacute colocada nas proximidades de uma placa muito grande cuja densidade superficial de carga eacute P (uniforme) A distacircncia entre a placa e a superfiacutecie da esfera eacute = Qual a diferenccedila de potencial entre o centro da esfera e a placa Dica calcule a ddp devido a cada objeto separadamente e some os resultados A diferenccedila de potencial entre dois pontos pode ser determinada a partir do campo eleacutetrico
D5 ndash Uma esfera isolante maciccedila possui densidade de carga K() = K7$ onde ρ0 eacute uma constante (a) Qual a diferenccedila de potencial entre os pontos b e c Se a densidade de carga fosse uniforme qual seria a diferenccedila de potencial entre os pontos b e c
D6 ndash Um fio tem densidade linear de carga B uniforme e foi dobrado no formato conforme mostra a figura abaixo Qual o potencial eleacutetrico no ponto P
D7 ndash Considere duas cascas esfeacutericas finas concecircntricas condutoras A casca interna tem raio = 15 e carga 10 gtD A casca externa tem raio = 30 e carga minus15 gtD Forneccedila expressotildees para o campo eleacutetrico e o potencial eleacutetrico para as diferentes regiotildees (a) lt 15 (b) 15 lt lt 30 (c) gt 30 Em todos os casos considere S = 0 em = infin
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
20
(E) Capacitacircncia
E1 ndash Sabendo que cada um dos capacitores no circuito ao lado tem capacitacircncia D = 10 e a diferenccedila de potencial na bateria eacute ΔS = 10 S qual eacute a carga do capacitor 1 E do capacitor 2
E2 ndash Encontre uma expressatildeo para a capacitacircncia dos capacitores abaixo sabendo que a distacircncia entre as placas eacute = a aacuterea das placas eacute 10 = o espaccedilo entre as placas estaacute preenchido por dois ou mais materiais de constantes dieleacutetricas distintas conforme mostra a figura abaixo Analisando cada capacitor separadamente eacute possiacutevel obter a mesma capacitacircncia com uma associaccedilatildeo de capacitores simples (preenchidos por um uacutenico material) Explique
E3 ndash Uma diferenccedila de potencial de 100 S eacute aplicada ao circuito ao lado onde D- = 10 D$ = 5 e Damp = 4 Se o capacitor 3 eacute substituiacutedo por um fio condutor qual eacute o aumento na carga do capacitor 1 Qual eacute o aumento na diferenccedila de potencial entre as placas do capacitor 1
(a) (b) (c)
Problemas Selecionados
21
E4 ndash No circuito ao lado a diferenccedila de potencial fornecida pela bateria eacute de 20 S Qual a capacitacircncia equivalente do circuito Qual a carga armazenada por essa capacitacircncia equivalente Qual a carga e ddp para os capacitores 1 2 e 3
E5 ndash Na figura ao lado a ddp da bateria eacute 10 S D- = 10 D$ = Damp = 2D- A chave eacute movida para a esquerda e somente depois que o capacitor 1 atingiu o equiliacutebrio a chave eacute movida para a direita Quando o equiliacutebrio eacute novamente atingido qual eacute a carga do capacitor 1
E6 ndash Um capacitor de placas paralelas com aacuterea J e espaccedilamento = eacute preenchido com vidro (6 = 267) Conectado a uma bateria o capacitor acumula carga C (a) Qual a energia armazenada no capacitor (b) Mantendo a bateria conectada a separaccedilatildeo entre as placas eacute aumentada para 2= (veja a figura) Qual a energia armazenada nessa nova situaccedilatildeo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
22
(F) Corrente e Resistecircncia
F1 ndash A figura ao lado mostra parte de um fio de cobre com diacircmetros =- = 4F e =$ = 8F por onde passa uma corrente uniforme = 4 e a diferenccedila de potencial ao longo desse comprimento eacute20 S O
nuacutemero de portadores de carga por unidade de volume eacute 849 times 10$N amp Qual eacute a velocidade de deriva dos eleacutetrons de conduccedilatildeo na porccedilatildeo do fio com diacircmetro =$
F2 ndash No circuito ao lado qual a magnitude e direccedilatildeo das correntes nos resistores F- F$ e Famp Para isso considere que ℇ- = 6 S ℇ$ = 12 SF- = 100 Ω F$ = 200 Ω Famp = 300 Ω O ciruito estaacute aterrado e nesse ponto S = 0 Qual eacute o potencial eleacutetrico no ponto A
F3 ndash Calcule a potecircncia total dissipada em cada circuito Considere que todas as resistecircncias satildeo iguais e as baterias satildeo ideais Expresse suas respostas em termos de ℇ e F
F4 ndash Se dois fios de mesmo comprimento um de cobre e outro de alumiacutenio apresentam a mesma resistecircncia qual deve ser a razatildeo entre seus raios
Problemas Selecionados
23
F5 ndash No circuito ao lado a potecircncia dissipada no resistor R eacute 20 a Qual o valor de R Qual a ddp entre os pontos A e B
F6 ndash A corrente medida por um amperiacutemetro A no circuito ao lado eacute a mesma quando ambas as chaves estatildeo abertas ou fechadas Qual o valor da resistecircncia R
F7 ndash Determine o valor da corrente que passa por cada um dos resistores a potecircncia fornecida por cada uma das fontes de tensatildeo e a potecircncia dissipada por cada um dos resistores Faccedila o balanccedilo energeacutetico do circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
24
F8 ndash No circuito ao lado a chave S permanece fechada por um longo tempo e a corrente no circuito atinge um valor constante Considere D- = 3 D$ = 6 F- = 4Ω e F$ = 7Ω A potecircncia dissipada em F$ eacute 24a (a) Determine as cargas em D- e D$ (b) Abrindo a chave S e aguardando um longo tempo qual a mudanccedila observada na carga do capacitor 2
F9 ndash Num circuito RC seacuterie como o da figura ao lado D = 1 F = 2 times 10bΩ e ℇ = 10S Dez segundos depois que a chave foi fechada determine (a) a carga no capacitor (b) a corrente no resistor (c) a taxa com que a energia eacute armazenada no capacitor (d) a taxa com que a bateria fornece energia para o circuito
F10 ndash Um capacitor eacute carregado atraveacutes de um resistor como mostra a figura no problema anterior Mostre que metade da energia fornecida pela bateria aparece como energia interna no resistor e a outra metade como energia eleacutetrica no capacitor
F11 ndash Um capacitor duas fontes ideais dois resistores e uma chave S satildeo mostrados no circuito da figura ao lado Suponha D = 12 ℇ- = 15 S ℇ$ = 30 S F- = 05 Ω e F$ = 08 Ω (a) Se a chave S permanece aberta por um longo tempo qual a carga no capacitor (b) Qual a carga no capacitor se a chave S permanece fechada por um longo tempo
Problemas Selecionados
25
F12 ndash No circuito ao lado a bateria fornece 10 S o capacitor eacute de 1 e os resistores tecircm as resistecircncias indicadas na figura O circuito estaacute ligado haacute um longo tempo (a) Qual a ddp entre os terminais do capacitor (b) Se a bateria for desconectada quanto tempo levaraacute para que essa ddp atinja um deacutecimo do valor inicial
-------------------------------------------------------------------------------------------
(G) Campo Magneacutetico
G1 ndash Um proacuteton atravessa uma regiatildeo de campo magneacutetico uniforme = lang10 20 30rang 13 No tempo c- o proacuteton tem uma velocidade d = langde df 2rang e a forccedila magneacutetica sobre o proacuteton eacute g = lang4 times 10-h minus2 times 10-h 0rang H Nesse instante qual o valor de de e df
G2 ndash Um proacuteton viaja atraveacutes de uma regiatildeo de campo eleacutetrico e
magneacutetico uniformes onde = langminus25 0 0rang 13 Num certo instante a velocidade do proacuteton eacute d = lang0 2000 0rang Qual a forccedila resultante que age sobre o proacuteton se o campo eleacutetrico for
(a) A = lang0 0 4rang S (b) A = lang0 0 minus4rang S ou
(c) A = lang4 0 0rang S
G3 ndash Uma espira retangular de lados e estaacute numa regiatildeo de campo
magneacutetico perpendicular ao plano da espira e eacute percorrida por uma corrente i constante conforme mostra a figura ao lado Determine o torque sobre a espira
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
26
G4 ndash Dois trilhos de metal separados por uma distacircncia = = 256 estatildeo ligados a uma bateria No momento em que uma barra de metal de massa = 241 8 eacute colocada sobre os trilhos (c = 0) ela fecha o circuito e por ela passa uma corrente i = 913 J O conjunto estaacute numa regiatildeo onde existe um campo magneacutetico uniforme = 563 13 Qual a velocidade da barra 611 depois Em que direccedilatildeo ela se move
G5 ndash A figura ao lado mostra um cilindro de madeira de massa = 250 8 e comprimento 2 =10 onde foi enrolado um fio formando uma espira de 10 voltas O cilindro eacute posicionado de forma que o eixo da espira estaacute perpendicular ao plano inclinado (paralelo agrave normal do plano
inclinado) Nessa regiatildeo haacute um campo magneacutetico = lang0 05 0rang 13 Qual deve ser o valor miacutenimo da corrente na espira capaz de manter o cilindro em sua posiccedilatildeo evitando que ele role para baixo
G6 ndash A figura ao lado mostra um iacutematilde e um anel condutor de raio por onde passa uma corrente i Se o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde faz um acircngulo O com a vertical na posiccedilatildeo onde estaacute o anel qual eacute a magnitude e a direccedilatildeo da forccedila resultante sobre o anel
Problemas Selecionados
27
G7 ndash Uma barra de metal com densidade de massa B (massa por unidade de comprimento) apresenta uma corrente i (saindo da paacutegina) A barra estaacute suspensa por dois fios num campo magneacutetico uniforme vertical como mostra a figura ao lado No equiliacutebrio os fios
fazem um acircngulo O com a vertical Qual a magnitude do campo magneacutetico
G8 ndash Um proacuteton com energia cineacutetica de 6 jS se move no plano da paacutegina e entra numa regiatildeo de campo magneacutetico = 1 13 direcionado para dentro da paacutegina como mostra a figura ao lado
O proacuteton entra na regiatildeo de campo com o vetor velocidade fazendo um acircngulo O- = 35deg com a borda da regiatildeo Qual eacute a distacircncia entre o ponto de entrada e saiacuteda ( na figura) Qual o valor de O$
G9 ndash Considere um eleacutetron orbitando um proacuteton numa trajetoacuteria circular de raio F = 529 times 10-- devido agrave atraccedilatildeo Coulombiana Considere o sistema como se fosse um anel por onde passa uma corrente Qual seraacute o torque resultante quando o sistema for colocado numa regiatildeo de campo magneacutetico = 04 13 perpendicular ao momento magneacutetico do anel
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
28
G10 ndash Um fio por onde passa uma corrente i foi moldado num formato semicircular de raio F e uma reta de comprimento 2F como mostra a figura ao lado Nessa mesma regiatildeo haacute um campo magneacutetico que aponta na direccedilatildeo + (representado pelos pontos azuis na figura ao lado) Mostre que a
forccedila resultante sobre o fio eacute zero
G11 ndash Um condutor ciliacutendrico longo de raio conteacutem duas cavidades cada uma com diacircmetro ao longo de todo o comprimento do fio Uma visatildeo da seccedilatildeo transversal do fio eacute mostrada na figura ao lado Uma corrente i uniforme (considerando a porccedilatildeo soacutelida do material) passa atraveacutes do fio e aponta para fora da paacutegina Determine a magnitude e direccedilatildeo do campo
magneacutetico em funccedilatildeo de 7 i e no ponto P
G12 ndash Dois fios muito longos por onde passa corrente i de mesma magnitude estatildeo moldados conforme a figura ao lado
Mostre que o campo magneacutetico no centro do ciacuterculo de raio R eacute o mesmo que o
campo a uma distacircncia R abaixo de um fio reto muito longo por onde passa uma corrente i
Problemas Selecionados
29
G13 ndash Encontre uma expressatildeo para determinar a magnitude do campo magneacutetico no ponto P da figura ao lado Dica considere a origem dos eixos cartesianos no ponto P
G14 ndash A figura ao lado mostra a seccedilatildeo transversal de um condutor oco de raio externo e interno por onde passa uma corrente uniforme i Demonstre que a magnitude do campo magneacutetico () para uma distacircncia lt lt eacute dada por
= 7i25($ minus $) $ minus $
G15 ndash A figura ao lado mostra um cabo coaxial de raios e Correntes opostas de igual magnitude estatildeo distribuiacutedas nos dois condutores Derive uma expressatildeo para calcular o campo magneacutetico () na regiatildeo (a) lt (b) lt lt (c) lt lt e (d) gt
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
30
G16 ndash Um fio condutor por onde passa uma corrente i foi torcido para formar um loop de raio R (no plano da paacutegina) como mostra a figura abaixo Qual a direccedilatildeo do campo magneacutetico no
centro do loop Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico no centro do loop
G17 ndash Uma corrente i passa por um fio condutor ciliacutendrico de raio R como mostra a figura ao lado A densidade de corrente l natildeo eacute uniforme atraveacutes da seccedilatildeo transversal do fio mas obedece agrave funccedilatildeo l = onde eacute uma constante Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico (a) a uma distacircncia - lt F e (b) a uma distacircncia $ gt F(em relaccedilatildeo ao centro do condutor)
G18 ndash Um fio condutor muito longo por onde passa uma corrente i- estaacute parcialmente envolto por um loop por onde passa uma corrente i$ (figura ao lado) O loop fio foi moldado num formato semiciliacutendrico de raio R e o comprimento L O fio condutor passa pelo eixo do loop Calcule a forccedila magneacutetica exercida sobre o loop
G19 ndash Considere um solenoide de comprimento 2 e raio F contendo H voltas de um fio por onde passa uma corrente i (a) Determine uma expressatildeo para
o campo magneacutetico num ponto ao longo do eixo do solenoide do lado de fora do solenoide como funccedilatildeo da distacircncia ateacute uma das pontas (considere = 0 no centro do solenoide e = a distacircncia do centro ateacute o ponto onde estaacute sendo calculado o campo ) (b) Mostre que para
Problemas Selecionados
31
valores muito grandes de 2 e = = 0 se aproxima de = 7i H 2frasl para posiccedilotildees ao longo do eixo no interior do solenoide distante das bordas
G20 ndash A figura ao lado mostra um fio moldado para formar duas seccedilotildees retas e um quarto de ciacuterculo por onde passa corrente i Determine o campo magneacutetico (vetor) no ponto P
G21 ndash Um fio ciliacutendrico espesso de raio eacute percorrido por uma corrente i Determine uma expressatildeo para o
campo magneacutetico dentro e fora do fio considerando que (a) a corrente estaacute distribuiacuteda uniformemente sobre a superfiacutecie externa do fio (b) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio com densidade de corrente l constante (c) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio de forma que a densidade de corrente l eacute proporcional agrave distacircncia ateacute o eixo do fio
G22 ndash Considere dois solenoides coaxiais cada um conduzindo uma corrente i em direccedilotildees opostas O solenoide interno de raio possui gt- voltas por unidade de comprimento o
solenoide externo possui raio e gt$ voltas por unidade de
comprimento Determine (a) no interior do conjunto (b) entre eles e (c) fora deles
G23 ndash Um fio condutor longo e reto de raio F conduz uma corrente natildeo uniforme cuja densidade de corrente eacute l = l7 Ffrasl onde l7 eacute uma constante A corrente total eacute i (a) Determine uma expressatildeo para i
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
32
em funccedilatildeo de l7 e F (b) Determine uma expressatildeo para o campo magneacutetico no interior do fio para uma distacircncia
G24 ndash A figura ao lado mostra um toroide que consiste num solenoide fechado em forma de anel (a) Considerando a simetria explique qual deve ser o formato do campo magneacutetico no interior desse toroide (b) Considere o toroide compacto (a separaccedilatildeo entre cada volta do fio eacute pequena) com N voltas conduzindo uma corrente i Usando a lei de Ampeacutere determine a magnitude do campo magneacutetico num ponto interno ao toroide a uma distacircncia do eixo principal (ver figura ao lado) (c) O campo magneacutetico no interior do toroide eacute um campo uniforme Explique
-------------------------------------------------------------------------------------------
(H) Lei de Faraday
H1 ndash A figura ao lado mostra dois aneis cujos eixos estatildeo alinhados separados por uma distacircncia x O anel maior tem raio F o anel menor tem raio Os aneis estatildeo separados por uma distacircncia ≫ F e por isso o campo magneacutetico devido agrave corrente no anel de raio F eacute praticamente uniforme no anel menor Considere que a distacircncia estaacute aumentando a uma taxa constante = =cfrasl = d (a) Determine uma expressatildeo para o fluxo de campo magneacutetico atraveacutes do anel menor como funccedilatildeo de Encontre uma expressatildeo para (b) a fem induzida e (c) a direccedilatildeo da corrente no anel menor
Problemas Selecionados
33
H2 ndash (a) Calcule o fluxo magneacutetico atraveacutes do retacircngulo mostrado na figura ao lado em funccedilatildeo de = i (b) Avalie o resultado encontrado para = 5 = 10 = = 2 e i = 20 J
H3 ndash Uma espira plana e circular de raio =75 estaacute em repouso numa regiatildeo de campo magneacutetico uniforme A espira estaacute orientada de tal forma que o campo magneacutetico aponta para cima
e faz um acircngulo de 30deg com a normal da espira O campo varia com
o tempo de acordo com (c) = 14(77nho) 13 (a) Determine a fem induzida na espira em funccedilatildeo do tempo (b) Para que valor de c a fem induzida eacute igual a um deacutecimo do seu valor inicial Determine o sentido da corrente induzida na espira se observada por cima da espira
H4 ndash Um retacircngulo que mede 30 times 40 estaacute localizado no interior de um campo magneacutetico uniforme de 125 13 com o campo perpendicular ao plano da bobina A bobina se move perpendicular ao campo com velocidade constante d =2 inclusive atingindo a regiatildeo
onde o campo termina abruptamente como mostra a figura ao lado Determine a fem induzida nessa bobina quando ela estaacute (a) inteiramente no interior do campo (b) parcialmente no interior do campo e (c) inteiramente fora do campo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
34
H5 ndash O fio na figura ao lado conduz
uma corrente i(c) = i7po onde gt 0 Determine o sentido da corrente induzida na bobina (horaacuterio ou anti-horaacuterio) para c gt 0
H6 ndash A figura ao lado mostra uma espira circular de raio contendo uma resistecircncia e um capacitor ligados em seacuterie imerso numa regiatildeo onde um campo magneacutetico uniforme (no espaccedilo) entrando no plano na paacutegina decresce no tempo a uma taxa constante = =cfrasl = minus sendo uma constante positiva (a) Qual a carga no capacitor quando ele estaacute completamente carregado (b) Qual das placas do capacitor estaacute em potencial mais elevado (c) Qual a origem da forccedila que causa a separaccedilatildeo de cargas
-------------------------------------------------------------------------------------------
(I) Indutacircncia
I1 ndash No circuito ao lado ℰ = 100 SF- = 10 Ω F$ = 20 Ω Famp = 30 Ω e 2 = 2 H Ao fechar a chave S quais os valores de i- e i$ Considere positivo o sentido das correntes indicadas na figura Muito tempo
depois quais satildeo os valores de i- e i$ A chave eacute entatildeo aberta Nesse instante quais satildeo os valores de i- e i$ E muito tempo depois quais satildeo os valores de i- e i$
Problemas Selecionados
35
I2 ndash Num circuito LC em seacuterie a carga inicial do capacitor eacute C e ele estaacute sendo descarregado Quando a carga no capacitor eacute igual a C 2frasl qual eacute o fluxo magneacutetico que atravessa cada uma das N espiras do indutor (como funccedilatildeo de C H 2 e D)
I3 ndash Uma bobina possui N voltas e estaacute envolvendo um solenoide longo de raio r com n espiras por unidade de comprimento (figura ao lado) (a) Mostre que a indutacircncia muacutetua do sistema eacute dada por j = 75F$gtH (b) Explique por que M natildeo depende do formato tamanho ou possiacutevel falta de proximidade das espiras na bobina
I4 ndash A fem autoinduzida num solenoide de indutacircncia L varia no tempo conforme ℇ(c) = ℇ7so Levando em consideraccedilatildeo que a carga eacute finita (ou seja i = 0 quando c = infin) determine a carga total que passa pelo solenoide (que atravessa um determinado ponto no fio que compotildee o solenoide)
I5 ndash Um fio condutor foi enrolado num papelatildeo formando um toroide com N espiras (voltas) raio menor r e maior R A seccedilatildeo transversal do toroide eacute mostrada na figura ao lado Se F ≫ o campo magneacutetico no interior do toroide eacute essencialmente o mesmo que o campo no interior de um solenoide muito longo que tenha sido
moldado no formato de um ciacuterculo de raio R Modelando o campo como se fosse o campo uniforme de um solenoide longo mostre que a indutacircncia desse toroide eacute
aproximadamente 2 asymp -$ 7H$ LMu
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
36
I6 ndash Um indutor consiste em duas cascas ciliacutendricas concecircntricas como mostra a figura A casca interna tem raio e a externa tem raio ambas com comprimento ℎ A casca interna transporta uma corrente i para fora e a externa para dentro do plano da paacutegina com igual magnitude Calcule na regiatildeo lt lt (a) a densidade de energia magneacutetica (b) a indutacircncia
I7 ndash Mostre que i(c) = i7o wx eacute a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial iF + 2 yzyo = 0 onde i7 eacute a corrente em c = 0 e = 2 Ffrasl
I8 ndash Um fio condutor de raio R transporta uma corrente uniforme A corrente total no fio eacute i Mostre que a energia magneacutetica por unidade de comprimento dentro do fio eacute dada por 7i$ 165frasl
I9 ndash Um cabo coaxial eacute formado por dois cilindros condutores de paredes finas com raios - e $ As correntes nos dois cilindros satildeo iguais em magnitude mas com sentidos opostos (a) Use a lei de Ampeacutere para determinar o campo magneacutetico como funccedilatildeo da distacircncia ao eixo do cabo nas regiotildees (0 lt lt -) ( - lt lt $ ) e ( gt $) (b) Mostre que a densidade de energia magneacutetica na regiatildeo entre os cilindros eacute dada por
| = 12 745 i$(5$)-
(c) Mostre que a energia magneacutetica total num volume de cabo com comprimento ~ eacute dada por
Problemas Selecionados
37
= i$~ ln LML
(d) Mostre que a autoindutacircncia por unidade de comprimento do cabo eacute dada por
2~ = 725 ln $-
-------------------------------------------------------------------------------------------
(J) Corrente Alternada
J1 ndash A tensatildeo de uma fonte de corrente alternada eacute dada por ∆d = 120gt(30 5c) onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A fonte eacute conectada a um indutor de 05 Determine (a) a frequecircncia da fonte (b) a voltagem rms no indutor (c) a reatacircncia indutiva do circuito (d) a corrente rms no indutor e (e) a corrente maacutexima no indutor
J2 ndash Uma fonte de tensatildeo alternada fornece uma tensatildeo ∆d = 98gt(80 5c) a um capacitor onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A corrente maacutexima no circuito eacute 05 J Determine (a) a tensatildeo rms da fonte (b) a frequecircncia da fonte e (c) o valor da capacitacircncia
J3 ndash Um circuito AC eacute composto por um resistor de 250 Ω um indutor de 15 um capacitor de 35 e uma fonte de tensatildeo alternada com amplitude de 45 S operando com frequecircncia angular = 360 = frasl (a) Qual eacute o fator de potecircncia do circuito (b) Determine a potecircncia meacutedia aparente (S) fornecida ao circuito (c) Qual eacute a potecircncia meacutedia ativa (P) dissipada no resistor Qual eacute a potecircncia meacutedia reativa (Q) que fica armazenada no circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
38
J4 ndash Cinco voltiacutemetros com impedacircncia muito grande ajustados para ler valores rms estatildeo conectados conforme a figura ao lado Sendo F =200 Ω 2 = 04 H D = 6 e ∆S = 30 Vqual eacute a leitura da tensatildeo em cada voltiacutemetro se (a) = 200 = frasl e (b) =1000 = frasl
J5 ndash Num circuito RLC 2 = 028 e D = 4 A fonte fornece uma voltagem com amplitude de 120 S Qual eacute a frequecircncia angular de ressonacircncia do circuito (b) Quando a fonte opera na frequecircncia angular de ressonacircncia a amplitude da corrente no circuito eacute 17 J Qual a resistecircncia do resistor (c) Na frequecircncia angular de ressonacircncia quais satildeo as voltagens de pico no indutor capacitor e resistor
J6 ndash O circuito ao lado conteacutem uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal conforme ℇ = ℇgt(c) No estado de equiliacutebrio temos as correntes mostradas no circuito Sem recorrer a uma matemaacutetica complicada responda (a) Quais os valores de u e quando = 0 (frequecircncia zero significa que
a fonte foi substituida por uma bateria ideal) (b) Quais os valores de u e quando rarr infin (c) Qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia
Problemas Selecionados
39
J7 ndash Um indutor um capacitor e um resistor estatildeo conectados em seacuterie a uma fonte de tensatildeo alternada Se os valores da resistecircncia capacitacircncia e indutacircncia forem duplicados o que aconteceraacute com (a) a frequecircncia angular de ressonacircncia (b) a reatacircncia indutiva (c) a reatacircncia capacitiva e (d) a impedacircncia
J8 ndash O circuito abaixo eacute formado por uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal variando conforme ℇ = ℇgt(c) uma resistecircncia F = 6 Ω e uma parte desconhecida que pode conter um indutor um capacitor ou ambos A amplitude da fonte eacute ℇ = 6 S Quando a frequecircncia angular = 2 = a corrente estaacute em fase com a fonte enquanto que para = 1 = a corrente estaacute fora de fase em relaccedilatildeo agrave fonte por exatamente 5 4frasl (a) Quais componentes estatildeo presentes na parte desconhecida (um indutor um capacitor ou ambos) Explique (b) Determine os valores dos componentes desconhecidos
J9 ndash Um circuito em seacuterie possui impendecircncia de 60 Ω e fator de potecircncia igual a 072 em 50 A tensatildeo da fonte estaacute atrasada em relaccedilatildeo agrave corrente (a) Que elemento do circuito (um indutor ou um capacitor) deve ser ligado em seacuterie com o circuito para aumentar o fator de potecircncia (b) Qual deve ser o valor desse elemento para que o fator de potecircncia seja igual a 1 (c) Apresente diagramas de fasores esquemaacuteticos para o circuito antes e depois da ligaccedilatildeo do novo elemento
Manual de Laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
41
O PROCESSO DE MEDIDA NO LABORATOacuteRIO DE FIacuteSICA
Natildeo satildeo raros eventos em que nos valemos de medidas para tomarmos decisotildees Medimos nossa temperatura corporal para avaliarmos se necessitamos de tratamento Medimos a pressatildeo manomeacutetrica dos pneus para avaliarmos se precisamos injetar ou retirar ar neles Consultamos medidas da temperatura ambiente para escolhermos a roupa que vestiremos Consultamos o horaacuterio (medida de tempo) para natildeo chegarmos atrasados em encontros Medidas satildeo portanto fundamentais em nossas vidas No entanto usualmente natildeo nos preocupamos muito com a precisatildeo dessas medidas Em grande parte das vezes natildeo nos interessa saber se o horaacuterio informado no reloacutegio estaacute um pouco atrasado ou adiantado Natildeo nos preocupamos em saber o quanto podemos confiar nas temperaturas coletadas com um determinado termocircmetro Nossas medidas comumente satildeo realizadas de forma despretensiosa sem muito rigor
No laboratoacuterio de Fiacutesica isso ocorre de modo muito diferente Os processos de mediccedilatildeo satildeo mais minuciosos do que os que realizamos costumeiramente Desejamos obter a maior precisatildeo possiacutevel com os equipamentos de que dispomos Mas como fazer isso Como podemos melhorar a precisatildeo dos processos de mediccedilatildeo Intuitivamente podemos concluir que inferecircncias realizadas a partir de um conjunto de medidas satildeo mais precisas do que medidas isoladas Mas quando disponho de um conjunto de medidas como posso analisaacute-las Calcular a meacutedia delas eacute suficiente Responder a questotildees como essas eacute o objetivo desta atividade Para exemplificarmos todo esse processo realizaremos um debate sobre a mediccedilatildeo da resistecircncia interna de amperiacutemetros
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
42
O que satildeo amperiacutemetros
Um amperiacutemetro eacute um instrumento utilizado para a realizaccedilatildeo de medidas de correntes eleacutetricas Evidentemente natildeo queremos modificar os circuitos quando os exploramos com um instrumento Com amperiacutemetros natildeo eacute diferente Queremos medir correntes eleacutetricas sem alterar as caracteriacutesticas do circuito Mas como eacute possiacutevel fazer isso Natildeo discutiremos aqui os detalhes sobre o funcionamento interno de um amperiacutemetro No entanto vamos avaliaacute-los do ponto de vista de uma das suas caracteriacutesticas mais importantes a sua resistecircncia eleacutetrica
A resistecircncia eleacutetrica de um circuito influencia na intensidade da corrente eleacutetrica que circula nele A corrente eleacutetrica i que perpassa por uma resistecircncia eleacutetrica F submetida a uma tensatildeo ∆S por exemplo pode ser predita pela seguinte relaccedilatildeo
i = ∆u Eq 1
O amperiacutemetro precisa ser posicionado em seacuterie no circuito em que se deseja medir a corrente eleacutetrica como eacute exemplificado na figura
Figure 1- Medindo a resistecircncia interna de um multiacutemetro
Manual de Laboratoacuterio
43
1 Como a resistecircncia equivalente em circuitos em seacuteries eacute a soma da resistecircncia eleacutetrica de cada um dos seus componentes a resistecircncia interna dos amperiacutemetros se soma agrave resistecircncia equivalente do circuito investigado alterando a sua dinacircmica Por isso nosso desejo eacute que os amperiacutemetros tenham resistecircncia eleacutetrica nula No entanto a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro real por menor que seja nunca eacute nula Eles possuem um circuito interno com fios e diversos componentes eletrocircnicos que acabam provocando uma resistecircncia agrave circulaccedilatildeo de corrente eleacutetrica Ainda assim frequentemente desprezamos tal resistecircncia Seraacute que isso eacute razoaacutevel Quando podemos desprezar a resistecircncia interna dos amperiacutemetros e quando natildeo podemos Para respondermos tais perguntas precisamos conhecer o valor da resistecircncia interna tiacutepica de um amperiacutemetro
Medindo a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro
Nesta disciplina usaremos diversos amperiacutemetros de uma mesma marca e modelo em uma seacuterie de experimentos (Minipa ET-2075B) Por isso eacute interessante que conheccedilamos a resistecircncia eleacutetrica deles para podermos avaliar quando podemos desprezaacute-la e quando natildeo Mas como podemos obter essa informaccedilatildeo Podemos medi-la Um procedimento simples para isso eacute submeter o amperiacutemetro a uma diferenccedila de potencial ΔV conhecida e medir a corrente eleacutetrica i que passa por ele Desse modo podemos usar a Eq 1 para inferir a resistecircncia eleacutetrica do equipamento Mas podemos confiar em uma uacutenica medida Depende da precisatildeo de que necessitamos para essa medida Intuitivamente sabemos que se medirmos a resistecircncia interna a partir de um conjunto de dados poderemos ter uma maior confiabilidade nos dados No exemplo de que estamos tratando eacute possiacutevel se coletar dados da corrente no amperiacutemetro quando submetido a diferentes tensotildees Desse modo pode-se inferir a resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro pela declividade da reta constituiacuteda
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
44
pelos dados representados em um graacutefico da tensatildeo em funccedilatildeo da corrente eleacutetrica como pode ser constatado da Eq1 No entanto como temos incertezas associadas a cada dado experimental coletado esses dados natildeo seratildeo perfeitamente representados por uma reta Surge entatildeo uma nova questatildeo qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados
Ajuste de Curvas
Diversas retas podem ser ajustadas a um conjunto de dados experimental Qual delas utilizar Intuitivamente podemos conjecturar que a melhor reta a ser utilizada eacute aquela tal que a soma das diferenccedilas entre os valores de tensatildeo medidos e os preditos pela reta tenha o menor valor possiacutevel Em outras palavras queremos minimizar a soma
sum = = (∆Sz minus ∆S)z-
onde ∆Sz satildeo as tensotildees medidas e ∆S satildeo as tensotildees preditas pela reta ajustada
No entanto haacute um inconveniente importante no uso desse criteacuterio tal soma pode ser bem pequena para retas que natildeo apresentam bom ajuste aos dados se as diferenccedilas entre os valores medidos e os preditos se cancelarem sendo alguns positivos e outros negativos Nesses casos apesar de natildeo termos uma reta bem ajustada aos dados o criteacuterio utilizado
indicaria que sim Como resolver isso Elevando os valores de dn ao
Figura 1 - Diferenccedila de potencial em funccedilatildeo
da corrente
Manual de Laboratoacuterio
45
quadrado Ou seja podemos procurar a reta tal que a seguinte soma tenha o menor valor possiacutevel
sum =$ = (∆Sz minus ∆S)$z-
O meacutetodo que utiliza esse criteacuterio para a realizaccedilatildeo de ajustes de curvas que eacute amplamente utilizado no meio acadecircmico eacute denominado Meacutetodo dos Miacutenimos Quadrados Todos os softwares do tipo planilha eletrocircnica realizam esse caacutelculo automaticamente e nos valeremos disso quando necessaacuterio
Todos os amperiacutemetros da sala possuem a mesma resistecircncia interna
Ainda que todos os amperiacutemetros que utilizaremos nas nossas aulas sejam da mesma marca e modelo eles possuem diferentes resistecircncias internas Existe alguma forma de estimar a resistecircncia interna de um desses amperiacutemetros escolhido aleatoriamente Calcular a meacutedia das resistecircncias eacute suficiente para realizar essa estimativa
Variabilidade das medidas o desvio padratildeo amostral e da meacutedia
Apesar de as resistecircncias dos amperiacutemetros natildeo serem exatamente as mesmas elas possuem valores que se distribuem em torno de um valor meacutedio que eacute igual agrave meacutedia dessas resistecircncias Desse modo se tomarmos um dos amperiacutemetros aleatoriamente o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute igual agrave meacutedia das resistecircncias internas de todos os amperiacutemetros Mas quanto podemos confiar nessa estimativa Para respondermos tal pergunta eacute importante quantificarmos a variabilidade das resistecircncias r que medimos Quanto menor for essa variabilidade maior seraacute a nossa confianccedila para assumir que a resistecircncia interna de um amperiacutemetro particular eacute igual agrave meacutedia Intuitivamente podemos conjecturar que tal variabilidade pode ser medida pelo somatoacuterio das diferenccedilas entre as resistecircncias
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
46
medidas z e a meacutedia dessas resistecircncias ou seja por (- minus ) + ($ minus ) + ⋯ + ( minus ) onde N eacute o nuacutemero de medidas realizadas No entanto temos aqui um inconveniente semelhante ao que tivemos quando analisaacutevamos ajustes de curvas se valores positivos e negativos se cancelarem esse somatoacuterio pode ser muito pequeno mesmo quando os dados apresentam grande variabilidade Podemos propor a mesma soluccedilatildeo adotada anteriormente vamos elevar os termos ao quadrado Temos entatildeo a variabilidade dos dados sendo mensurada por (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$
A impossibilidade de comparaccedilatildeo entre as variabilidades de diferentes conjuntos de dados eacute a limitaccedilatildeo desta proposta pois o resultado desse somatoacuterio eacute altamente dependente da quantidade de termos Desse modo eacute possiacutevel que esse somatoacuterio seja maior para grandes conjuntos com pouca variabilidade do que para pequenos grupos com grande variabilidade Para amenizar tal limitaccedilatildeo podemos entatildeo dividir o somatoacuterio por N ou seja calcular a variabilidade por(- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$ Hfrasl Ainda que esse somatoacuterio seja conceitualmente interessante natildeo eacute essa a medida de dispersatildeo de dados que costuma ser utilizada no meio cientiacutefico mas algo que guarda alguma semelhanccedila com ele o desvio padratildeo dos dados (P) Ele eacute calculado por
PL = (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$H minus 1
Mas por que utilizamos essa equaccedilatildeo A resposta estaacute em suas propriedades Quando construiacutemos um histograma (graacutefico de frequecircncias) de um conjunto de medidas por exemplo podemos em muitos casos assumir que a distribuiccedilatildeo desses dados eacute representada por uma distribuiccedilatildeo normal A equaccedilatildeo que define essa distribuiccedilatildeo assim como sua representaccedilatildeo graacutefica eacute ilustrada na Figura 3
Manual de Laboratoacuterio
47
Natildeo eacute nosso objetivo aqui discutir detalhes da distribuiccedilatildeo normal O que desejamos destacar eacute que quando supomos que a distribuiccedilatildeo de um conjunto de dados eacute normal o que eacute bastante razoaacutevel na maioria das vezes o desvio padratildeo σ quantifica como os dados estatildeo distribuiacutedos Para entendermos isso analisemos a Figura 4
O intervalo compreendido pela meacutedia das medidas mais ou menos um desvio padratildeo compreende 68 das medidas realizadas No caso que estamos exemplificando se tomarmos a meacutedia das resistecircncias internas r de todos os amperiacutemetros investigados e o desvio padratildeo PL desses dados 68 das medidas estaratildeo no intervalo entre ( minus PL) e ( + PL) 95 no intervalo ( 2PL) e 99 no intervalo ( 257PL)
Figura 2 - A distribuiccedilatildeo normal eacute usualmente utilizada para representar a distribuiccedilatildeo
de frequecircncias de um conjunto de dados (Lima Jr et al 2013 p 30)
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
48
Agora jaacute sabemos como quantificar a variabilidade de um conjunto de dados Podemos entatildeo calcular a meacutedia e o desvio padratildeo das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros Mas surge entatildeo uma questatildeo Se analisaacutessemos um novo conjunto de amperiacutemetros da mesma marca e modelo dos exemplificados aqui a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros seria a mesma Provavelmente natildeo Temos como estimar a partir do conjunto de medidas que realizamos a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros Temos Para responder a essa questatildeo temos que compreender um novo conceito o de desvio padratildeo da meacutedia (PL) Ele eacute calculado por
PL = PLradicH
Natildeo vamos entrar em detalhes aqui sobre a origem do conceito de desvio padratildeo da meacutedia1 vamos apenas explicar como essa grandeza nos permite estimar a incerteza na meacutedia de um conjunto de medidas Para isso vamos supor um novo conjunto de N novas
1 Se vocecirc eacute um aluno curioso pesquise sobre o Teorema Central do Limite para compreender com mais profundidade o conceito de desvio padratildeo da meacutedia
Figura 3 - A meacutedia e o desvio padratildeo demarcam a distribuiccedilatildeo dos dados em uma
distribuiccedilatildeo normal Na figura o eixo das abcissas expressa a distacircncia da meacutedia em
unidades de desvio padratildeo (Lima Jr et al 2013 p 30)
Manual de Laboratoacuterio
49
medidas da resistecircncia interna de amperiacutemetros como os investigados nesta aula Qual seria a meacutedia dessas medidas Assim como o desvio padratildeo dos dados quantifica a dispersatildeo dos dados em torno da meacutedia o desvio padratildeo da meacutedia quantifica a dispersatildeo das meacutedias de subconjuntos de dados em torno da meacutedia de todo o conjunto de dados Aplicando esse conceito ao nosso exemplo podemos interpretar os dois conjuntos de medidas de resistecircncias internas como subconjuntos de um grande conjunto contendo todas as medidas Desse modo podemos afirmar com 68 de confianccedila que a meacutedia das N novas medidas a serem realizadas estaraacute no intervalo compreendido por ( PL) com 95 de confianccedila no intervalo ( 2PL) e com 99 de confianccedila no intervalo ( 257PL) O desvio padratildeo da meacutedia pode ser compreendido assim como a incerteza da meacutedia de um conjunto de medidas ou seja ele nos fornece uma estimativa da confiabilidade de uma meacutedia Em suma se escolhermos um amperiacutemetro aleatoriamente podemos dizer que i) o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute a meacutedia das resistecircncias de todos os amperiacutemetros e ii) a incerteza que temos nesse valor eacute igual ao desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias dos amperiacutemetros
E se eu soacute tivesse condiccedilotildees de realizar uma uacutenica medida
Nem sempre podemos realizar diversas medidas de uma grandeza Em alguns casos nem mesmo faz sentido realizar diversas medidas No entanto eacute evidente que existe uma incerteza associada a uma uacutenica medida Natildeo existem instrumentos que sejam perfeitamente precisos Entatildeo como podemos estimar essa incerteza Usualmente os manuais dos instrumentos trazem informaccedilotildees sobre isso Desse modo as incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica realizadas com um voltiacutemetro e um amperiacutemetro podem ser consultadas no manual do multiacutemetro utilizado Mas como eacute calculada a incerteza da resistecircncia interna de um amperiacutemetro que foi calculada a partir de
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
50
apenas uma medida de tensatildeo e uma de corrente eleacutetrica Nesse caso precisamos calcular a incerteza propagada das incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica
Os meacutetodos de caacutelculo de incertezas propagadas podem ser bastante complicados Aqui trataremos de um meacutetodo bastante simples usualmente denominado de Meacutetodo dos Limites Vamos exemplificaacute-lo supondo que a incerteza da tensatildeo sobre as entradas do amperiacutemetro eacute P- e da corrente eleacutetrica que circula por ele eacute P$ Ou seja a tensatildeo medida estaacute no intervalo entre ∆S minus P- e ∆S + P- e a corrente eleacutetrica entre i minus P$ e i + P$ Qual eacute entatildeo a incerteza da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro investigado Para responder isso basta calcularmos os valores limites dessa grandeza O maacuteximo valor possiacutevel para a resistecircncia ocorreraacute se a tensatildeo for ∆S + P- e a corrente eleacutetrica for i minus P$ Nesse caso usando a Eq 1 temos
aacutee = ∆S + P-i minus P$
Usando o mesmo raciociacutenio o valor miacutenimo de r seraacute
z = ∆S minus P-i + P$
Desse modo podemos dizer que o valor da resistecircncia interna medida estaacute no intervalo entre rmaacutex e rmiacuten Em outras palavras o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro eacute
F = iexclz + aacutee2 z minus aacutee2 cent
Manual de Laboratoacuterio
51
Erro eacute a mesma coisa que incerteza
Apesar de serem frequentemente utilizados como sinocircnimos os manuais de metrologia atribuem significados distintos aos conceitos de ldquoerrordquo e ldquoincertezardquo O Guia para Expressatildeo da Incerteza da Mediccedilatildeo (Joint Commitee for Guide in Metrology 2008 apud Lima Jr et al 2013) usa o termo ldquoerrordquo para indicar a diferenccedila entre o valor verdadeiro e o resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo o conceito de erro tem uso restrito pois satildeo poucos os casos em que conhecemos o valor verdadeiro de uma grandeza Satildeo exemplos desses casos experimentos em que se deseja mensurar a velocidade da luz no vaacutecuo ou o valor de π que satildeo valores previamente conhecidos pelo experimentador O caacutelculo do erro soacute faz sentido para casos em que sabemos o valor verdadeiro da grandeza que se quer medir
A incerteza por outro lado eacute entendida como uma estimativa que quantifica a confiabilidade do resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo quando calculamos o desvio padratildeo da meacutedia de um conjunto de medidas estamos calculando a incerteza da meacutedia dessas medidas ou seja estamos avaliando a confianccedila que podemos ter em adotar a meacutedia dessas medidas como o valor da grandeza mensurada O conceito de incerteza portanto tem maior aplicabilidade do que o conceito de erro
Algarismos significativos e incerteza
Uma questatildeo frequente nas aulas de laboratoacuterio eacute Com quantos algarismos uma grandeza deve ser apresentada No laboratoacuterio a resposta dessa questatildeo eacute uma funccedilatildeo da incerteza da grandeza Devemos apresentar os dados ateacute o seu primeiro algarismo duvidoso Voltemos ao exemplo da resistecircncia interna dos amperiacutemetros Suponhamos que a meacutedia das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros eacute 21546 Ω e o desvio padratildeo dessa meacutedia que eacute
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
52
entendido aqui como a incerteza da resistecircncia interna dos amperiacutemetros eacute 003 Ω Interpretando tais dados assumimos com 68 de certeza que a resistecircncia interna dos amperiacutemetros estaacute no intervalo entre 21246 e 21846 Ω Desse modo a segunda casa decimal da grandeza medida eacute duvidosa Por isso os algarismos subsequentes satildeo omitidos quando expressamos essa medida e a medida da resistecircncia interna dos amperiacutemetros exemplificados eacute exposta por (215 plusmn 003) Ω Em suma o resultado de uma mediccedilatildeo deve ser sempre expresso com a mesma quantidade de casas decimais que sua incerteza Os algarismos apresentados satildeo entatildeo chamados de algarismos significativos
Referecircncia
Lima Jr P Silva M T X Silveira F L Veit E A (2013) Laboratoacuterio de mecacircnica subsiacutedios para o ensino de Fiacutesica experimental Porto Alegre UFRGS Instituto de Fiacutesica Disponiacutevel em httphdlhandlenet1018390438
Manual de Laboratoacuterio
53
Atividade de Laboratoacuterio I Instrumentos de medida e incertezas
Este material foi cuidadosamente preparado para auxiliar no andamento das atividades no laboratoacuterio de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo Eacute importante responder TODAS as perguntas
(indicadas pelo siacutembolo ) feitas ao longo do texto discutindo com seu grupo possiacuteveis respostas e justificando-as Sempre que possiacutevel faccedila isso por escrito
TAREFA 1
Construa um circuito contendo um resistor de 1 kΩ em seacuterie com uma fonte de tensatildeo contiacutenua e um multiacutemetro Coloque o multiacutemetro na funccedilatildeo amperiacutemetro na escala de miliampere Usando outro multiacutemetro meccedila a tensatildeo no amperiacutemetro Realize medidas com diferentes correntes eleacutetricas variando a tensatildeo de saiacuteda da fonte
Como podemos tratar esses dados se nosso objetivo eacute medir a resistecircncia interna do amperiacutemetro
Qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
54
Para responder essas questotildees se dirija a um dos computadores da sala e use um aplicativo que possibilite a construccedilatildeo de graacuteficos SciDavis por exemplo Insira seus dados no aplicativo construa o graacutefico desejado e encontre a melhor reta que se ajusta aos dados
Qual foi a melhor reta ajustada Determine a equaccedilatildeo dessa reta ajustada
Qual eacute o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro que vocecirc investigou
TAREFA 2
Utilize as medidas de todos os grupos da turma e aplique os conhecimentos abordados na tarefa de leitura para responder as seguintes questotildees
Qual deve ser a resistecircncia interna de um amperiacutemetro escolhido aleatoriamente entre os utilizados nesta aula
Qual eacute a incerteza desse valor
TAREFA 3
Suponha que o manual do Minipa ET-2075B informe que as medidas de tensatildeo e corrente realizadas nas faixas de milivolt e miliampere tecircm incerteza de 3 Use esses dados para calcular a
Manual de Laboratoacuterio
55
incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1
Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma
Elas satildeo coerentes Por quecirc
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
56
CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO
Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por
equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC
Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras
O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se
Manual de Laboratoacuterio
57
extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo
No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador
Salvando vidas
ldquoafastem-se choquerdquo
Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de
sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos
O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo
Figura 4 - Desfibrilador
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
58
esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)
Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma
sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o
miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia
Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2
2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387
Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)
Manual de Laboratoacuterio
59
Circuito RC - seacuterie
Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C
Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que
∆S(c) + i(c)F = 0
Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo
i(c) = =C(c)=c
e a ddp no capacitor eacute dada por
∆S(c) = C(c)D
Dessa forma podemos dizer que
=C(c)=c = minus 1FD C(c)
Figura 6 - Circuito RC
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
60
Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa
funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja
derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever
C(c) = C7 ou
A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial
Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir
Capacitor Carregando Capacitor Descarregando
∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0
C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou
∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou
Manual de Laboratoacuterio
61
Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8
Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo
eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum
3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78
Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas
do capacitor durante o processo de
carga ou descarga
Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um
graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo
do tempo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
62
Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no
capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte
Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor
quando o mesmo estaacute sendo carregado
Manual de Laboratoacuterio
63
Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie
1 - Osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos
2 ndash Aparato Experimental
Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
64
conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto
Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)
Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio
Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees
Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala
Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)
Manual de Laboratoacuterio
65
TAREFA 1
Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees
Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico
Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito
Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito
Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos
Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio
TAREFA 2
Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie
Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
66
figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)
Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados
Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo
NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo
Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste
Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito
Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito
Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles
Manual de Laboratoacuterio
67
MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS
Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais
Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio
Para onde aponta a buacutessola
Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
68
polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc
E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial
tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos
que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a
soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio
4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja
httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4
Figura 10 - Buacutessola
Figura 11 - campo B resultante
Manual de Laboratoacuterio
69
Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por
umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O
Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde
Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde
Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma
iacuteatilde() = ∙
onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde
5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass
The Physics Teacher 49(1) 45-48
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
70
Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como
iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2
Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos
gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)
Logo
gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2
Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo
iacuteatilde() = amp
Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse
tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira
na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart
Manual de Laboratoacuterio
71
pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do
que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute
yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp
onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico
da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos
yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp
Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
72
Atividade de Laboratoacuterio III Projeto
OBJETIVO
Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
73
SUGESTAtildeO 1
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO
Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas
Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece
Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha
Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo
por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o
eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
74
SUGESTAtildeO 2
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA
Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)
Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica
Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de
uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)
Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema
Manual de Laboratoacuterio
75
SUGESTAtildeO 3
BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO
Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola
Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)
Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina
O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
76
SUGESTAtildeO 4
CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO
O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer
Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
77
MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO
Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro
Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental
6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
78
110 V 127 V e 220 V O que eacute isso
As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V
Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas
A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
(c) = Jgt(c + acute)
onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por
∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)
Manual de Laboratoacuterio
79
onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1
Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho
Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores
Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
80
caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por
∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf
∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712
∆Suparamiddot = ∆S7radic2
Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a
tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s
A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente
alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$
Figura 13 - Funccedilotildees seno e
seno quadrado
Manual de Laboratoacuterio
81
COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA
Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz
Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O
Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
82
que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio
Natildeo queremos jogar energia fora
Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14
Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie
Manual de Laboratoacuterio
83
Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por
0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)
onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)
Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
ℇ(c) = ℇ7gt(c)
onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente
Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na
figura 16 para um caso em que VL gt VC
Figura 15 - Diagrama de fasores
de um circuito RLC seacuterie com
fonte de tensatildeo alternada
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
84
A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que
acute = c8 S minus SSu
Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado
por
i(c) = gt(c minus acute)
Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente
as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que
ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$
ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$
Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como
0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)
Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que
0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$
Figura 16 ndash Soma de fasores
Manual de Laboratoacuterio
85
0eacutey = F ∙ uparamiddot$
onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square
Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que
F = frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte
Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade
7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL
Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e
resistecircncia num diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
86
do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como
0 = AJradicAJ$ + AF$
O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP
DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11
Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia
Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por
acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita
Manual de Laboratoacuterio
87
2 = 1D
Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica
Figura 18 - diagramas de fasores representando
um circuito capacitivo e um circuito indutivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
88
Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie
O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio
TAREFA 1
Circuito Resistivo
Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR
Manual de Laboratoacuterio
89
Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)
O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador
Circuito Capacitivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
90
Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor
Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Manual de Laboratoacuterio
91
Circuito Indutivo
Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor
O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
92
Circuito RLC
Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise
Manual de Laboratoacuterio
93
O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador
Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio
O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior
Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor
Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou
A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
94
TAREFA 2
Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente
Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir
Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima
Qual o valor da corrente maacutexima no circuito
Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)
O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique
Manual de Laboratoacuterio
95
TAREFA 3
Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito
Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees
Como isso eacute possiacutevel Explique
Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff
Respostas
96
Respostas
A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32
A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH
A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH
B3 Ae = Af = AtildeAcircf
B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl
B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH
B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l
B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD
B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -
C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc
(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7
C2 O = ~13deg
C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)
Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-
vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr
Respostas
97
C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM
C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD
(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD
C6 A = Eacute$Acirc
C7 A = Atilde$AcircL
D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma
das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp
D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(
D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1
no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)
D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme
D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D
E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)
E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D
E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml
F1 544 times 10
F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S
F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM
u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM
u (e) 0 = ℇMu
F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω
Respostas
98
F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965
G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n
G5 i = Ograve$g = 245 J
G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y
G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez
G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H
G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)
G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)
G15 (a) zL$brvbarM (b)
z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero
G16 z$L + z$L = z$L - + 1
G17 (a) pLM
amp (b) pusup3
ampL
G18 zzMu
G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)
z
G20 zNu saindo da folha
G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)
UgraveLMamp
fora do fio (a) z$L (b)
UgravebrvbarM$L (c)
Ugravebrvbarsup3ampL
G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13
G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM
ampu
H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior
Respostas
99
H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a
H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J
I2 Φ = pound$ sup1amp
I4 C = AcircsM
I6 (a) zM
NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar
J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a
(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S
J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu
(c) = -radic
J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm
(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013
Respostas
100
Bibliografia
Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il
Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il
Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il
Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm
Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il
Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il
Problemas Selecionados
13
(B) Campo Eleacutetrico
B1 ndash Um iacuteon de Fe3+ estaacute localizado a 400 gt de um iacuteon de Cl- como mostra a figura ao lado (a) Qual a magnitude direccedilatildeo e sentido do campo
eleacutetrico A na posiccedilatildeo A (b) E na posiccedilatildeo B (c) Se um eleacutetron estiver na posiccedilatildeo A qual seraacute a magnitude e direccedilatildeo da forccedila sobre o eleacutetron
B2 ndash Um quadrupolo eleacutetrico eacute formado por um conjunto de dois dipolos como mostra a figura ao lado Mostre que para ≫ = a magnitude do
campo A num ponto ao longo do eixo dos quadrupolos eacute dado por
A = 6(=$4567
B3 ndash Uma barra muito longa com densidade de carga B estaacute disposta conforme a figura ao lado (Alguns autores chamam esse tipo de barra de semi-infinita pois o ponto P estaacute proacuteximo a uma das extremidades da barra enquanto a outra extremidade estaacute muito distante) Mostre
que o campo eleacutetrico A no ponto P faz um acircngulo de 45deg com a barra independente da distacircncia Y (isto eacute as componentes x e y do campo tem a mesma magnitude)
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
14
B4 ndash Calcule o campo A proacuteximo a uma barra carregada com carga total Q e comprimento As cargas estatildeo distribuiacutedas de forma uniforme ao longo da barra = 015 C = 8 gtD e E = 5
B5 ndash A figura ao lado mostra um anel incompleto de raio F carregado com carga total C Qual a forccedila (vetor) exercida sobre um eleacutetron que por ventura esteja localizado no ponto 0
B6 ndash Um dipolo cujo momento dipolar eacute G = lang37 50 0rang D
encontra-se numa regiatildeo onde o campo A = lang3000 0 0rang H Dfrasl Qual a energia potencial do dipolo Qual o torque que age sobre o dipolo Qual eacute o trabalho que um agente externo deve realizar para girar o dipolo ateacute que seu momento dipolar seja G = langminus50 37 0rang D
B7 ndash Calcule a magnitude direccedilatildeo
e sentido do campo A no centro de um anel de raio F carregado sendo que a distribuiccedilatildeo de cargas no anel varia como B(I) = B7 gt I
Problemas Selecionados
15
B8 ndash Duas barras isolantes de 15 de comprimento encontram-se em um acircngulo reto Uma barra possui 30 D e a outra possui minus30 D de carga uniformemente distribuiacuteda ao longo do comprimento conforme a figura ao lado Determine o campo eleacutetrico (vetor) no ponto P que estaacute a = = 750 do centro de cada barra
B9 ndash Duas barras curvas isolantes com cargas opostas de igual magnitude ( formam um ciacuterculo de raio F no plano xy conforme a figura As cargas estatildeo uniformemente distribuiacutedas na barra (a) Qual o campo eleacutetrico (vetor) no ponto P (b) Qual a resposta do item (a) se ( = 20 GD e F = 10
B10 ndash Considere um cilindro de comprimento 2 e raio J oco carregado com carga total C Vocecirc estaacute interessado em saber qual eacute
o campo eleacutetrico A ao longo do eixo do cilindro numa de suas extremidades Para isso utilize dois caminhos distintos (a) considerando que o cilindro eacute formado por uma infinidade de barras de espessura infinitesimal todas com comprimento 2 dispostas num ciacuterculo de raio J e (b) considerando que o cilindro eacute formado por uma infinidade de aneacuteis de raio J cujos eixos estatildeo alinhados e juntos formam um cilindro de comprimento 2
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
16
(C) Lei de Gauss
C1 ndash Uma faacutebrica de bolinhas de gude foi atingida por um raio durante uma tempestade O preacutedio foi protegido por um paacutera-raios mas algumas descargas atingiram os equipamentos que fabricavam as bolinhas Resultado eacute que a bolinha que estava na maacutequina ao cair o raio recebeu uma descarga eleacutetrica e as cargas ficaram armazenadas
no interior da bolinha de forma que a densidade de carga K() = K7 -LM
(a) Qual o campo A na superfiacutecie da bolinha que tem raio = 2 (b) E no interior da bolinha 1 abaixo da superfiacutecie (c) Qual o
campo A a 5 da superfiacutecie da bolinha
C2 ndash A figura ao lado mostra uma bolinha com massa 0004 8 e carga 8 times 10N D suspensa por um fio nas proximidades de uma grande placa condutora carregada sendo que a densidade de carga da placa eacuteminus2 times 10 D $frasl Encontre um valor para o acircngulo O
C3 ndash Uma casca ciliacutendrica isolante e muito longa tem raio interno e externo e densidade volumeacutetrica de carga K Um fio tambeacutem muito longo tem densidade linear de carga B e estaacute alinhado com o eixo central da casca Qual o campo eleacutetrico na regiatildeo entre e
Problemas Selecionados
17
C4 ndash Uma carga C positiva estaacute no centro de um conjunto de calotas concecircntricas como mostra a figura abaixo O raio das calotas estaacute indicado na figura A mais externa eacute condutora e estaacute carregada com carga C negativa e a calota intermediaacuteria eacute isolante e possui carga liacutequida ( positiva distribuiacuteda de forma uniforme por
todo seu volume Calcule o campo A resultante em cada uma das 5 regiotildees indicadas na figura Indique a localizaccedilatildeo aproximada das cargas induzidas eou em excesso em cada regiatildeo e indique a direccedilatildeo e sentido dos campos eleacutetricos
C5 ndash Uma casca esfeacuterica com densidade volumeacutetrica de carga K = 20 gtDamp tem raio interno = 10 e raio externo = 2 conforme a figura Determine o moacutedulo do campo eleacutetrico para os seguintes raios a partir do centro (a) = 2frasl (b) = 15 (c) = 2
C6 ndash Usando a Lei de Gauss determine o campo eleacutetrico proacuteximo a uma placa muito grande com densidade superficial de carga P
C7 ndash Usando a Lei de Gauss determine o campo eleacutetrico proacuteximo a uma barra muito longa com densidade linear de carga B
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
18
(D) Potencial Eleacutetrico
D1 ndash A figura ao lado mostra um anel incompleto formado por trecircs segmentos de arco com densidade linear de carga constantesB- B$ e Bamp A menor delas tem carga total (- e comprimento de arco 54 As demais estatildeo indicadas na figura Qual o potencial eleacutetrico no centro do anel Qual deve ser a relaccedilatildeo entre as cargas para que o potencial eleacutetrico no centro do anel seja igual a zero
D2 ndash A figura ao lado mostra um dipolo eleacutetrico de momento dipolar |G| = R( Mostre que para ≫ R o potencial eleacutetrico no ponto P eacute dado por
S = 145T7G UO$
Dica quando ≫ R eacute razoaacutevel considerar que V cong $ e minus V cong R UO
D3 ndash Sobre uma mesa de bilhar estatildeo dispostas trecircs bolinhas Uma com carga +C outra com carga ndash C e uma terceira com carga +2C conforme mostra a figura ao lado (a) Qual o potencial no ponto P (b) Se uma quarta bolinha for colocada no centro do quadrado qual deve ser a carga da bolinha para que o potencial no ponto P seja nulo
Problemas Selecionados
19
D4 ndash Uma esfera oca isolante de raio F e carga C eacute colocada nas proximidades de uma placa muito grande cuja densidade superficial de carga eacute P (uniforme) A distacircncia entre a placa e a superfiacutecie da esfera eacute = Qual a diferenccedila de potencial entre o centro da esfera e a placa Dica calcule a ddp devido a cada objeto separadamente e some os resultados A diferenccedila de potencial entre dois pontos pode ser determinada a partir do campo eleacutetrico
D5 ndash Uma esfera isolante maciccedila possui densidade de carga K() = K7$ onde ρ0 eacute uma constante (a) Qual a diferenccedila de potencial entre os pontos b e c Se a densidade de carga fosse uniforme qual seria a diferenccedila de potencial entre os pontos b e c
D6 ndash Um fio tem densidade linear de carga B uniforme e foi dobrado no formato conforme mostra a figura abaixo Qual o potencial eleacutetrico no ponto P
D7 ndash Considere duas cascas esfeacutericas finas concecircntricas condutoras A casca interna tem raio = 15 e carga 10 gtD A casca externa tem raio = 30 e carga minus15 gtD Forneccedila expressotildees para o campo eleacutetrico e o potencial eleacutetrico para as diferentes regiotildees (a) lt 15 (b) 15 lt lt 30 (c) gt 30 Em todos os casos considere S = 0 em = infin
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
20
(E) Capacitacircncia
E1 ndash Sabendo que cada um dos capacitores no circuito ao lado tem capacitacircncia D = 10 e a diferenccedila de potencial na bateria eacute ΔS = 10 S qual eacute a carga do capacitor 1 E do capacitor 2
E2 ndash Encontre uma expressatildeo para a capacitacircncia dos capacitores abaixo sabendo que a distacircncia entre as placas eacute = a aacuterea das placas eacute 10 = o espaccedilo entre as placas estaacute preenchido por dois ou mais materiais de constantes dieleacutetricas distintas conforme mostra a figura abaixo Analisando cada capacitor separadamente eacute possiacutevel obter a mesma capacitacircncia com uma associaccedilatildeo de capacitores simples (preenchidos por um uacutenico material) Explique
E3 ndash Uma diferenccedila de potencial de 100 S eacute aplicada ao circuito ao lado onde D- = 10 D$ = 5 e Damp = 4 Se o capacitor 3 eacute substituiacutedo por um fio condutor qual eacute o aumento na carga do capacitor 1 Qual eacute o aumento na diferenccedila de potencial entre as placas do capacitor 1
(a) (b) (c)
Problemas Selecionados
21
E4 ndash No circuito ao lado a diferenccedila de potencial fornecida pela bateria eacute de 20 S Qual a capacitacircncia equivalente do circuito Qual a carga armazenada por essa capacitacircncia equivalente Qual a carga e ddp para os capacitores 1 2 e 3
E5 ndash Na figura ao lado a ddp da bateria eacute 10 S D- = 10 D$ = Damp = 2D- A chave eacute movida para a esquerda e somente depois que o capacitor 1 atingiu o equiliacutebrio a chave eacute movida para a direita Quando o equiliacutebrio eacute novamente atingido qual eacute a carga do capacitor 1
E6 ndash Um capacitor de placas paralelas com aacuterea J e espaccedilamento = eacute preenchido com vidro (6 = 267) Conectado a uma bateria o capacitor acumula carga C (a) Qual a energia armazenada no capacitor (b) Mantendo a bateria conectada a separaccedilatildeo entre as placas eacute aumentada para 2= (veja a figura) Qual a energia armazenada nessa nova situaccedilatildeo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
22
(F) Corrente e Resistecircncia
F1 ndash A figura ao lado mostra parte de um fio de cobre com diacircmetros =- = 4F e =$ = 8F por onde passa uma corrente uniforme = 4 e a diferenccedila de potencial ao longo desse comprimento eacute20 S O
nuacutemero de portadores de carga por unidade de volume eacute 849 times 10$N amp Qual eacute a velocidade de deriva dos eleacutetrons de conduccedilatildeo na porccedilatildeo do fio com diacircmetro =$
F2 ndash No circuito ao lado qual a magnitude e direccedilatildeo das correntes nos resistores F- F$ e Famp Para isso considere que ℇ- = 6 S ℇ$ = 12 SF- = 100 Ω F$ = 200 Ω Famp = 300 Ω O ciruito estaacute aterrado e nesse ponto S = 0 Qual eacute o potencial eleacutetrico no ponto A
F3 ndash Calcule a potecircncia total dissipada em cada circuito Considere que todas as resistecircncias satildeo iguais e as baterias satildeo ideais Expresse suas respostas em termos de ℇ e F
F4 ndash Se dois fios de mesmo comprimento um de cobre e outro de alumiacutenio apresentam a mesma resistecircncia qual deve ser a razatildeo entre seus raios
Problemas Selecionados
23
F5 ndash No circuito ao lado a potecircncia dissipada no resistor R eacute 20 a Qual o valor de R Qual a ddp entre os pontos A e B
F6 ndash A corrente medida por um amperiacutemetro A no circuito ao lado eacute a mesma quando ambas as chaves estatildeo abertas ou fechadas Qual o valor da resistecircncia R
F7 ndash Determine o valor da corrente que passa por cada um dos resistores a potecircncia fornecida por cada uma das fontes de tensatildeo e a potecircncia dissipada por cada um dos resistores Faccedila o balanccedilo energeacutetico do circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
24
F8 ndash No circuito ao lado a chave S permanece fechada por um longo tempo e a corrente no circuito atinge um valor constante Considere D- = 3 D$ = 6 F- = 4Ω e F$ = 7Ω A potecircncia dissipada em F$ eacute 24a (a) Determine as cargas em D- e D$ (b) Abrindo a chave S e aguardando um longo tempo qual a mudanccedila observada na carga do capacitor 2
F9 ndash Num circuito RC seacuterie como o da figura ao lado D = 1 F = 2 times 10bΩ e ℇ = 10S Dez segundos depois que a chave foi fechada determine (a) a carga no capacitor (b) a corrente no resistor (c) a taxa com que a energia eacute armazenada no capacitor (d) a taxa com que a bateria fornece energia para o circuito
F10 ndash Um capacitor eacute carregado atraveacutes de um resistor como mostra a figura no problema anterior Mostre que metade da energia fornecida pela bateria aparece como energia interna no resistor e a outra metade como energia eleacutetrica no capacitor
F11 ndash Um capacitor duas fontes ideais dois resistores e uma chave S satildeo mostrados no circuito da figura ao lado Suponha D = 12 ℇ- = 15 S ℇ$ = 30 S F- = 05 Ω e F$ = 08 Ω (a) Se a chave S permanece aberta por um longo tempo qual a carga no capacitor (b) Qual a carga no capacitor se a chave S permanece fechada por um longo tempo
Problemas Selecionados
25
F12 ndash No circuito ao lado a bateria fornece 10 S o capacitor eacute de 1 e os resistores tecircm as resistecircncias indicadas na figura O circuito estaacute ligado haacute um longo tempo (a) Qual a ddp entre os terminais do capacitor (b) Se a bateria for desconectada quanto tempo levaraacute para que essa ddp atinja um deacutecimo do valor inicial
-------------------------------------------------------------------------------------------
(G) Campo Magneacutetico
G1 ndash Um proacuteton atravessa uma regiatildeo de campo magneacutetico uniforme = lang10 20 30rang 13 No tempo c- o proacuteton tem uma velocidade d = langde df 2rang e a forccedila magneacutetica sobre o proacuteton eacute g = lang4 times 10-h minus2 times 10-h 0rang H Nesse instante qual o valor de de e df
G2 ndash Um proacuteton viaja atraveacutes de uma regiatildeo de campo eleacutetrico e
magneacutetico uniformes onde = langminus25 0 0rang 13 Num certo instante a velocidade do proacuteton eacute d = lang0 2000 0rang Qual a forccedila resultante que age sobre o proacuteton se o campo eleacutetrico for
(a) A = lang0 0 4rang S (b) A = lang0 0 minus4rang S ou
(c) A = lang4 0 0rang S
G3 ndash Uma espira retangular de lados e estaacute numa regiatildeo de campo
magneacutetico perpendicular ao plano da espira e eacute percorrida por uma corrente i constante conforme mostra a figura ao lado Determine o torque sobre a espira
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
26
G4 ndash Dois trilhos de metal separados por uma distacircncia = = 256 estatildeo ligados a uma bateria No momento em que uma barra de metal de massa = 241 8 eacute colocada sobre os trilhos (c = 0) ela fecha o circuito e por ela passa uma corrente i = 913 J O conjunto estaacute numa regiatildeo onde existe um campo magneacutetico uniforme = 563 13 Qual a velocidade da barra 611 depois Em que direccedilatildeo ela se move
G5 ndash A figura ao lado mostra um cilindro de madeira de massa = 250 8 e comprimento 2 =10 onde foi enrolado um fio formando uma espira de 10 voltas O cilindro eacute posicionado de forma que o eixo da espira estaacute perpendicular ao plano inclinado (paralelo agrave normal do plano
inclinado) Nessa regiatildeo haacute um campo magneacutetico = lang0 05 0rang 13 Qual deve ser o valor miacutenimo da corrente na espira capaz de manter o cilindro em sua posiccedilatildeo evitando que ele role para baixo
G6 ndash A figura ao lado mostra um iacutematilde e um anel condutor de raio por onde passa uma corrente i Se o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde faz um acircngulo O com a vertical na posiccedilatildeo onde estaacute o anel qual eacute a magnitude e a direccedilatildeo da forccedila resultante sobre o anel
Problemas Selecionados
27
G7 ndash Uma barra de metal com densidade de massa B (massa por unidade de comprimento) apresenta uma corrente i (saindo da paacutegina) A barra estaacute suspensa por dois fios num campo magneacutetico uniforme vertical como mostra a figura ao lado No equiliacutebrio os fios
fazem um acircngulo O com a vertical Qual a magnitude do campo magneacutetico
G8 ndash Um proacuteton com energia cineacutetica de 6 jS se move no plano da paacutegina e entra numa regiatildeo de campo magneacutetico = 1 13 direcionado para dentro da paacutegina como mostra a figura ao lado
O proacuteton entra na regiatildeo de campo com o vetor velocidade fazendo um acircngulo O- = 35deg com a borda da regiatildeo Qual eacute a distacircncia entre o ponto de entrada e saiacuteda ( na figura) Qual o valor de O$
G9 ndash Considere um eleacutetron orbitando um proacuteton numa trajetoacuteria circular de raio F = 529 times 10-- devido agrave atraccedilatildeo Coulombiana Considere o sistema como se fosse um anel por onde passa uma corrente Qual seraacute o torque resultante quando o sistema for colocado numa regiatildeo de campo magneacutetico = 04 13 perpendicular ao momento magneacutetico do anel
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
28
G10 ndash Um fio por onde passa uma corrente i foi moldado num formato semicircular de raio F e uma reta de comprimento 2F como mostra a figura ao lado Nessa mesma regiatildeo haacute um campo magneacutetico que aponta na direccedilatildeo + (representado pelos pontos azuis na figura ao lado) Mostre que a
forccedila resultante sobre o fio eacute zero
G11 ndash Um condutor ciliacutendrico longo de raio conteacutem duas cavidades cada uma com diacircmetro ao longo de todo o comprimento do fio Uma visatildeo da seccedilatildeo transversal do fio eacute mostrada na figura ao lado Uma corrente i uniforme (considerando a porccedilatildeo soacutelida do material) passa atraveacutes do fio e aponta para fora da paacutegina Determine a magnitude e direccedilatildeo do campo
magneacutetico em funccedilatildeo de 7 i e no ponto P
G12 ndash Dois fios muito longos por onde passa corrente i de mesma magnitude estatildeo moldados conforme a figura ao lado
Mostre que o campo magneacutetico no centro do ciacuterculo de raio R eacute o mesmo que o
campo a uma distacircncia R abaixo de um fio reto muito longo por onde passa uma corrente i
Problemas Selecionados
29
G13 ndash Encontre uma expressatildeo para determinar a magnitude do campo magneacutetico no ponto P da figura ao lado Dica considere a origem dos eixos cartesianos no ponto P
G14 ndash A figura ao lado mostra a seccedilatildeo transversal de um condutor oco de raio externo e interno por onde passa uma corrente uniforme i Demonstre que a magnitude do campo magneacutetico () para uma distacircncia lt lt eacute dada por
= 7i25($ minus $) $ minus $
G15 ndash A figura ao lado mostra um cabo coaxial de raios e Correntes opostas de igual magnitude estatildeo distribuiacutedas nos dois condutores Derive uma expressatildeo para calcular o campo magneacutetico () na regiatildeo (a) lt (b) lt lt (c) lt lt e (d) gt
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
30
G16 ndash Um fio condutor por onde passa uma corrente i foi torcido para formar um loop de raio R (no plano da paacutegina) como mostra a figura abaixo Qual a direccedilatildeo do campo magneacutetico no
centro do loop Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico no centro do loop
G17 ndash Uma corrente i passa por um fio condutor ciliacutendrico de raio R como mostra a figura ao lado A densidade de corrente l natildeo eacute uniforme atraveacutes da seccedilatildeo transversal do fio mas obedece agrave funccedilatildeo l = onde eacute uma constante Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico (a) a uma distacircncia - lt F e (b) a uma distacircncia $ gt F(em relaccedilatildeo ao centro do condutor)
G18 ndash Um fio condutor muito longo por onde passa uma corrente i- estaacute parcialmente envolto por um loop por onde passa uma corrente i$ (figura ao lado) O loop fio foi moldado num formato semiciliacutendrico de raio R e o comprimento L O fio condutor passa pelo eixo do loop Calcule a forccedila magneacutetica exercida sobre o loop
G19 ndash Considere um solenoide de comprimento 2 e raio F contendo H voltas de um fio por onde passa uma corrente i (a) Determine uma expressatildeo para
o campo magneacutetico num ponto ao longo do eixo do solenoide do lado de fora do solenoide como funccedilatildeo da distacircncia ateacute uma das pontas (considere = 0 no centro do solenoide e = a distacircncia do centro ateacute o ponto onde estaacute sendo calculado o campo ) (b) Mostre que para
Problemas Selecionados
31
valores muito grandes de 2 e = = 0 se aproxima de = 7i H 2frasl para posiccedilotildees ao longo do eixo no interior do solenoide distante das bordas
G20 ndash A figura ao lado mostra um fio moldado para formar duas seccedilotildees retas e um quarto de ciacuterculo por onde passa corrente i Determine o campo magneacutetico (vetor) no ponto P
G21 ndash Um fio ciliacutendrico espesso de raio eacute percorrido por uma corrente i Determine uma expressatildeo para o
campo magneacutetico dentro e fora do fio considerando que (a) a corrente estaacute distribuiacuteda uniformemente sobre a superfiacutecie externa do fio (b) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio com densidade de corrente l constante (c) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio de forma que a densidade de corrente l eacute proporcional agrave distacircncia ateacute o eixo do fio
G22 ndash Considere dois solenoides coaxiais cada um conduzindo uma corrente i em direccedilotildees opostas O solenoide interno de raio possui gt- voltas por unidade de comprimento o
solenoide externo possui raio e gt$ voltas por unidade de
comprimento Determine (a) no interior do conjunto (b) entre eles e (c) fora deles
G23 ndash Um fio condutor longo e reto de raio F conduz uma corrente natildeo uniforme cuja densidade de corrente eacute l = l7 Ffrasl onde l7 eacute uma constante A corrente total eacute i (a) Determine uma expressatildeo para i
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
32
em funccedilatildeo de l7 e F (b) Determine uma expressatildeo para o campo magneacutetico no interior do fio para uma distacircncia
G24 ndash A figura ao lado mostra um toroide que consiste num solenoide fechado em forma de anel (a) Considerando a simetria explique qual deve ser o formato do campo magneacutetico no interior desse toroide (b) Considere o toroide compacto (a separaccedilatildeo entre cada volta do fio eacute pequena) com N voltas conduzindo uma corrente i Usando a lei de Ampeacutere determine a magnitude do campo magneacutetico num ponto interno ao toroide a uma distacircncia do eixo principal (ver figura ao lado) (c) O campo magneacutetico no interior do toroide eacute um campo uniforme Explique
-------------------------------------------------------------------------------------------
(H) Lei de Faraday
H1 ndash A figura ao lado mostra dois aneis cujos eixos estatildeo alinhados separados por uma distacircncia x O anel maior tem raio F o anel menor tem raio Os aneis estatildeo separados por uma distacircncia ≫ F e por isso o campo magneacutetico devido agrave corrente no anel de raio F eacute praticamente uniforme no anel menor Considere que a distacircncia estaacute aumentando a uma taxa constante = =cfrasl = d (a) Determine uma expressatildeo para o fluxo de campo magneacutetico atraveacutes do anel menor como funccedilatildeo de Encontre uma expressatildeo para (b) a fem induzida e (c) a direccedilatildeo da corrente no anel menor
Problemas Selecionados
33
H2 ndash (a) Calcule o fluxo magneacutetico atraveacutes do retacircngulo mostrado na figura ao lado em funccedilatildeo de = i (b) Avalie o resultado encontrado para = 5 = 10 = = 2 e i = 20 J
H3 ndash Uma espira plana e circular de raio =75 estaacute em repouso numa regiatildeo de campo magneacutetico uniforme A espira estaacute orientada de tal forma que o campo magneacutetico aponta para cima
e faz um acircngulo de 30deg com a normal da espira O campo varia com
o tempo de acordo com (c) = 14(77nho) 13 (a) Determine a fem induzida na espira em funccedilatildeo do tempo (b) Para que valor de c a fem induzida eacute igual a um deacutecimo do seu valor inicial Determine o sentido da corrente induzida na espira se observada por cima da espira
H4 ndash Um retacircngulo que mede 30 times 40 estaacute localizado no interior de um campo magneacutetico uniforme de 125 13 com o campo perpendicular ao plano da bobina A bobina se move perpendicular ao campo com velocidade constante d =2 inclusive atingindo a regiatildeo
onde o campo termina abruptamente como mostra a figura ao lado Determine a fem induzida nessa bobina quando ela estaacute (a) inteiramente no interior do campo (b) parcialmente no interior do campo e (c) inteiramente fora do campo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
34
H5 ndash O fio na figura ao lado conduz
uma corrente i(c) = i7po onde gt 0 Determine o sentido da corrente induzida na bobina (horaacuterio ou anti-horaacuterio) para c gt 0
H6 ndash A figura ao lado mostra uma espira circular de raio contendo uma resistecircncia e um capacitor ligados em seacuterie imerso numa regiatildeo onde um campo magneacutetico uniforme (no espaccedilo) entrando no plano na paacutegina decresce no tempo a uma taxa constante = =cfrasl = minus sendo uma constante positiva (a) Qual a carga no capacitor quando ele estaacute completamente carregado (b) Qual das placas do capacitor estaacute em potencial mais elevado (c) Qual a origem da forccedila que causa a separaccedilatildeo de cargas
-------------------------------------------------------------------------------------------
(I) Indutacircncia
I1 ndash No circuito ao lado ℰ = 100 SF- = 10 Ω F$ = 20 Ω Famp = 30 Ω e 2 = 2 H Ao fechar a chave S quais os valores de i- e i$ Considere positivo o sentido das correntes indicadas na figura Muito tempo
depois quais satildeo os valores de i- e i$ A chave eacute entatildeo aberta Nesse instante quais satildeo os valores de i- e i$ E muito tempo depois quais satildeo os valores de i- e i$
Problemas Selecionados
35
I2 ndash Num circuito LC em seacuterie a carga inicial do capacitor eacute C e ele estaacute sendo descarregado Quando a carga no capacitor eacute igual a C 2frasl qual eacute o fluxo magneacutetico que atravessa cada uma das N espiras do indutor (como funccedilatildeo de C H 2 e D)
I3 ndash Uma bobina possui N voltas e estaacute envolvendo um solenoide longo de raio r com n espiras por unidade de comprimento (figura ao lado) (a) Mostre que a indutacircncia muacutetua do sistema eacute dada por j = 75F$gtH (b) Explique por que M natildeo depende do formato tamanho ou possiacutevel falta de proximidade das espiras na bobina
I4 ndash A fem autoinduzida num solenoide de indutacircncia L varia no tempo conforme ℇ(c) = ℇ7so Levando em consideraccedilatildeo que a carga eacute finita (ou seja i = 0 quando c = infin) determine a carga total que passa pelo solenoide (que atravessa um determinado ponto no fio que compotildee o solenoide)
I5 ndash Um fio condutor foi enrolado num papelatildeo formando um toroide com N espiras (voltas) raio menor r e maior R A seccedilatildeo transversal do toroide eacute mostrada na figura ao lado Se F ≫ o campo magneacutetico no interior do toroide eacute essencialmente o mesmo que o campo no interior de um solenoide muito longo que tenha sido
moldado no formato de um ciacuterculo de raio R Modelando o campo como se fosse o campo uniforme de um solenoide longo mostre que a indutacircncia desse toroide eacute
aproximadamente 2 asymp -$ 7H$ LMu
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
36
I6 ndash Um indutor consiste em duas cascas ciliacutendricas concecircntricas como mostra a figura A casca interna tem raio e a externa tem raio ambas com comprimento ℎ A casca interna transporta uma corrente i para fora e a externa para dentro do plano da paacutegina com igual magnitude Calcule na regiatildeo lt lt (a) a densidade de energia magneacutetica (b) a indutacircncia
I7 ndash Mostre que i(c) = i7o wx eacute a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial iF + 2 yzyo = 0 onde i7 eacute a corrente em c = 0 e = 2 Ffrasl
I8 ndash Um fio condutor de raio R transporta uma corrente uniforme A corrente total no fio eacute i Mostre que a energia magneacutetica por unidade de comprimento dentro do fio eacute dada por 7i$ 165frasl
I9 ndash Um cabo coaxial eacute formado por dois cilindros condutores de paredes finas com raios - e $ As correntes nos dois cilindros satildeo iguais em magnitude mas com sentidos opostos (a) Use a lei de Ampeacutere para determinar o campo magneacutetico como funccedilatildeo da distacircncia ao eixo do cabo nas regiotildees (0 lt lt -) ( - lt lt $ ) e ( gt $) (b) Mostre que a densidade de energia magneacutetica na regiatildeo entre os cilindros eacute dada por
| = 12 745 i$(5$)-
(c) Mostre que a energia magneacutetica total num volume de cabo com comprimento ~ eacute dada por
Problemas Selecionados
37
= i$~ ln LML
(d) Mostre que a autoindutacircncia por unidade de comprimento do cabo eacute dada por
2~ = 725 ln $-
-------------------------------------------------------------------------------------------
(J) Corrente Alternada
J1 ndash A tensatildeo de uma fonte de corrente alternada eacute dada por ∆d = 120gt(30 5c) onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A fonte eacute conectada a um indutor de 05 Determine (a) a frequecircncia da fonte (b) a voltagem rms no indutor (c) a reatacircncia indutiva do circuito (d) a corrente rms no indutor e (e) a corrente maacutexima no indutor
J2 ndash Uma fonte de tensatildeo alternada fornece uma tensatildeo ∆d = 98gt(80 5c) a um capacitor onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A corrente maacutexima no circuito eacute 05 J Determine (a) a tensatildeo rms da fonte (b) a frequecircncia da fonte e (c) o valor da capacitacircncia
J3 ndash Um circuito AC eacute composto por um resistor de 250 Ω um indutor de 15 um capacitor de 35 e uma fonte de tensatildeo alternada com amplitude de 45 S operando com frequecircncia angular = 360 = frasl (a) Qual eacute o fator de potecircncia do circuito (b) Determine a potecircncia meacutedia aparente (S) fornecida ao circuito (c) Qual eacute a potecircncia meacutedia ativa (P) dissipada no resistor Qual eacute a potecircncia meacutedia reativa (Q) que fica armazenada no circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
38
J4 ndash Cinco voltiacutemetros com impedacircncia muito grande ajustados para ler valores rms estatildeo conectados conforme a figura ao lado Sendo F =200 Ω 2 = 04 H D = 6 e ∆S = 30 Vqual eacute a leitura da tensatildeo em cada voltiacutemetro se (a) = 200 = frasl e (b) =1000 = frasl
J5 ndash Num circuito RLC 2 = 028 e D = 4 A fonte fornece uma voltagem com amplitude de 120 S Qual eacute a frequecircncia angular de ressonacircncia do circuito (b) Quando a fonte opera na frequecircncia angular de ressonacircncia a amplitude da corrente no circuito eacute 17 J Qual a resistecircncia do resistor (c) Na frequecircncia angular de ressonacircncia quais satildeo as voltagens de pico no indutor capacitor e resistor
J6 ndash O circuito ao lado conteacutem uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal conforme ℇ = ℇgt(c) No estado de equiliacutebrio temos as correntes mostradas no circuito Sem recorrer a uma matemaacutetica complicada responda (a) Quais os valores de u e quando = 0 (frequecircncia zero significa que
a fonte foi substituida por uma bateria ideal) (b) Quais os valores de u e quando rarr infin (c) Qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia
Problemas Selecionados
39
J7 ndash Um indutor um capacitor e um resistor estatildeo conectados em seacuterie a uma fonte de tensatildeo alternada Se os valores da resistecircncia capacitacircncia e indutacircncia forem duplicados o que aconteceraacute com (a) a frequecircncia angular de ressonacircncia (b) a reatacircncia indutiva (c) a reatacircncia capacitiva e (d) a impedacircncia
J8 ndash O circuito abaixo eacute formado por uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal variando conforme ℇ = ℇgt(c) uma resistecircncia F = 6 Ω e uma parte desconhecida que pode conter um indutor um capacitor ou ambos A amplitude da fonte eacute ℇ = 6 S Quando a frequecircncia angular = 2 = a corrente estaacute em fase com a fonte enquanto que para = 1 = a corrente estaacute fora de fase em relaccedilatildeo agrave fonte por exatamente 5 4frasl (a) Quais componentes estatildeo presentes na parte desconhecida (um indutor um capacitor ou ambos) Explique (b) Determine os valores dos componentes desconhecidos
J9 ndash Um circuito em seacuterie possui impendecircncia de 60 Ω e fator de potecircncia igual a 072 em 50 A tensatildeo da fonte estaacute atrasada em relaccedilatildeo agrave corrente (a) Que elemento do circuito (um indutor ou um capacitor) deve ser ligado em seacuterie com o circuito para aumentar o fator de potecircncia (b) Qual deve ser o valor desse elemento para que o fator de potecircncia seja igual a 1 (c) Apresente diagramas de fasores esquemaacuteticos para o circuito antes e depois da ligaccedilatildeo do novo elemento
Manual de Laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
41
O PROCESSO DE MEDIDA NO LABORATOacuteRIO DE FIacuteSICA
Natildeo satildeo raros eventos em que nos valemos de medidas para tomarmos decisotildees Medimos nossa temperatura corporal para avaliarmos se necessitamos de tratamento Medimos a pressatildeo manomeacutetrica dos pneus para avaliarmos se precisamos injetar ou retirar ar neles Consultamos medidas da temperatura ambiente para escolhermos a roupa que vestiremos Consultamos o horaacuterio (medida de tempo) para natildeo chegarmos atrasados em encontros Medidas satildeo portanto fundamentais em nossas vidas No entanto usualmente natildeo nos preocupamos muito com a precisatildeo dessas medidas Em grande parte das vezes natildeo nos interessa saber se o horaacuterio informado no reloacutegio estaacute um pouco atrasado ou adiantado Natildeo nos preocupamos em saber o quanto podemos confiar nas temperaturas coletadas com um determinado termocircmetro Nossas medidas comumente satildeo realizadas de forma despretensiosa sem muito rigor
No laboratoacuterio de Fiacutesica isso ocorre de modo muito diferente Os processos de mediccedilatildeo satildeo mais minuciosos do que os que realizamos costumeiramente Desejamos obter a maior precisatildeo possiacutevel com os equipamentos de que dispomos Mas como fazer isso Como podemos melhorar a precisatildeo dos processos de mediccedilatildeo Intuitivamente podemos concluir que inferecircncias realizadas a partir de um conjunto de medidas satildeo mais precisas do que medidas isoladas Mas quando disponho de um conjunto de medidas como posso analisaacute-las Calcular a meacutedia delas eacute suficiente Responder a questotildees como essas eacute o objetivo desta atividade Para exemplificarmos todo esse processo realizaremos um debate sobre a mediccedilatildeo da resistecircncia interna de amperiacutemetros
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
42
O que satildeo amperiacutemetros
Um amperiacutemetro eacute um instrumento utilizado para a realizaccedilatildeo de medidas de correntes eleacutetricas Evidentemente natildeo queremos modificar os circuitos quando os exploramos com um instrumento Com amperiacutemetros natildeo eacute diferente Queremos medir correntes eleacutetricas sem alterar as caracteriacutesticas do circuito Mas como eacute possiacutevel fazer isso Natildeo discutiremos aqui os detalhes sobre o funcionamento interno de um amperiacutemetro No entanto vamos avaliaacute-los do ponto de vista de uma das suas caracteriacutesticas mais importantes a sua resistecircncia eleacutetrica
A resistecircncia eleacutetrica de um circuito influencia na intensidade da corrente eleacutetrica que circula nele A corrente eleacutetrica i que perpassa por uma resistecircncia eleacutetrica F submetida a uma tensatildeo ∆S por exemplo pode ser predita pela seguinte relaccedilatildeo
i = ∆u Eq 1
O amperiacutemetro precisa ser posicionado em seacuterie no circuito em que se deseja medir a corrente eleacutetrica como eacute exemplificado na figura
Figure 1- Medindo a resistecircncia interna de um multiacutemetro
Manual de Laboratoacuterio
43
1 Como a resistecircncia equivalente em circuitos em seacuteries eacute a soma da resistecircncia eleacutetrica de cada um dos seus componentes a resistecircncia interna dos amperiacutemetros se soma agrave resistecircncia equivalente do circuito investigado alterando a sua dinacircmica Por isso nosso desejo eacute que os amperiacutemetros tenham resistecircncia eleacutetrica nula No entanto a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro real por menor que seja nunca eacute nula Eles possuem um circuito interno com fios e diversos componentes eletrocircnicos que acabam provocando uma resistecircncia agrave circulaccedilatildeo de corrente eleacutetrica Ainda assim frequentemente desprezamos tal resistecircncia Seraacute que isso eacute razoaacutevel Quando podemos desprezar a resistecircncia interna dos amperiacutemetros e quando natildeo podemos Para respondermos tais perguntas precisamos conhecer o valor da resistecircncia interna tiacutepica de um amperiacutemetro
Medindo a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro
Nesta disciplina usaremos diversos amperiacutemetros de uma mesma marca e modelo em uma seacuterie de experimentos (Minipa ET-2075B) Por isso eacute interessante que conheccedilamos a resistecircncia eleacutetrica deles para podermos avaliar quando podemos desprezaacute-la e quando natildeo Mas como podemos obter essa informaccedilatildeo Podemos medi-la Um procedimento simples para isso eacute submeter o amperiacutemetro a uma diferenccedila de potencial ΔV conhecida e medir a corrente eleacutetrica i que passa por ele Desse modo podemos usar a Eq 1 para inferir a resistecircncia eleacutetrica do equipamento Mas podemos confiar em uma uacutenica medida Depende da precisatildeo de que necessitamos para essa medida Intuitivamente sabemos que se medirmos a resistecircncia interna a partir de um conjunto de dados poderemos ter uma maior confiabilidade nos dados No exemplo de que estamos tratando eacute possiacutevel se coletar dados da corrente no amperiacutemetro quando submetido a diferentes tensotildees Desse modo pode-se inferir a resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro pela declividade da reta constituiacuteda
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
44
pelos dados representados em um graacutefico da tensatildeo em funccedilatildeo da corrente eleacutetrica como pode ser constatado da Eq1 No entanto como temos incertezas associadas a cada dado experimental coletado esses dados natildeo seratildeo perfeitamente representados por uma reta Surge entatildeo uma nova questatildeo qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados
Ajuste de Curvas
Diversas retas podem ser ajustadas a um conjunto de dados experimental Qual delas utilizar Intuitivamente podemos conjecturar que a melhor reta a ser utilizada eacute aquela tal que a soma das diferenccedilas entre os valores de tensatildeo medidos e os preditos pela reta tenha o menor valor possiacutevel Em outras palavras queremos minimizar a soma
sum = = (∆Sz minus ∆S)z-
onde ∆Sz satildeo as tensotildees medidas e ∆S satildeo as tensotildees preditas pela reta ajustada
No entanto haacute um inconveniente importante no uso desse criteacuterio tal soma pode ser bem pequena para retas que natildeo apresentam bom ajuste aos dados se as diferenccedilas entre os valores medidos e os preditos se cancelarem sendo alguns positivos e outros negativos Nesses casos apesar de natildeo termos uma reta bem ajustada aos dados o criteacuterio utilizado
indicaria que sim Como resolver isso Elevando os valores de dn ao
Figura 1 - Diferenccedila de potencial em funccedilatildeo
da corrente
Manual de Laboratoacuterio
45
quadrado Ou seja podemos procurar a reta tal que a seguinte soma tenha o menor valor possiacutevel
sum =$ = (∆Sz minus ∆S)$z-
O meacutetodo que utiliza esse criteacuterio para a realizaccedilatildeo de ajustes de curvas que eacute amplamente utilizado no meio acadecircmico eacute denominado Meacutetodo dos Miacutenimos Quadrados Todos os softwares do tipo planilha eletrocircnica realizam esse caacutelculo automaticamente e nos valeremos disso quando necessaacuterio
Todos os amperiacutemetros da sala possuem a mesma resistecircncia interna
Ainda que todos os amperiacutemetros que utilizaremos nas nossas aulas sejam da mesma marca e modelo eles possuem diferentes resistecircncias internas Existe alguma forma de estimar a resistecircncia interna de um desses amperiacutemetros escolhido aleatoriamente Calcular a meacutedia das resistecircncias eacute suficiente para realizar essa estimativa
Variabilidade das medidas o desvio padratildeo amostral e da meacutedia
Apesar de as resistecircncias dos amperiacutemetros natildeo serem exatamente as mesmas elas possuem valores que se distribuem em torno de um valor meacutedio que eacute igual agrave meacutedia dessas resistecircncias Desse modo se tomarmos um dos amperiacutemetros aleatoriamente o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute igual agrave meacutedia das resistecircncias internas de todos os amperiacutemetros Mas quanto podemos confiar nessa estimativa Para respondermos tal pergunta eacute importante quantificarmos a variabilidade das resistecircncias r que medimos Quanto menor for essa variabilidade maior seraacute a nossa confianccedila para assumir que a resistecircncia interna de um amperiacutemetro particular eacute igual agrave meacutedia Intuitivamente podemos conjecturar que tal variabilidade pode ser medida pelo somatoacuterio das diferenccedilas entre as resistecircncias
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
46
medidas z e a meacutedia dessas resistecircncias ou seja por (- minus ) + ($ minus ) + ⋯ + ( minus ) onde N eacute o nuacutemero de medidas realizadas No entanto temos aqui um inconveniente semelhante ao que tivemos quando analisaacutevamos ajustes de curvas se valores positivos e negativos se cancelarem esse somatoacuterio pode ser muito pequeno mesmo quando os dados apresentam grande variabilidade Podemos propor a mesma soluccedilatildeo adotada anteriormente vamos elevar os termos ao quadrado Temos entatildeo a variabilidade dos dados sendo mensurada por (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$
A impossibilidade de comparaccedilatildeo entre as variabilidades de diferentes conjuntos de dados eacute a limitaccedilatildeo desta proposta pois o resultado desse somatoacuterio eacute altamente dependente da quantidade de termos Desse modo eacute possiacutevel que esse somatoacuterio seja maior para grandes conjuntos com pouca variabilidade do que para pequenos grupos com grande variabilidade Para amenizar tal limitaccedilatildeo podemos entatildeo dividir o somatoacuterio por N ou seja calcular a variabilidade por(- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$ Hfrasl Ainda que esse somatoacuterio seja conceitualmente interessante natildeo eacute essa a medida de dispersatildeo de dados que costuma ser utilizada no meio cientiacutefico mas algo que guarda alguma semelhanccedila com ele o desvio padratildeo dos dados (P) Ele eacute calculado por
PL = (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$H minus 1
Mas por que utilizamos essa equaccedilatildeo A resposta estaacute em suas propriedades Quando construiacutemos um histograma (graacutefico de frequecircncias) de um conjunto de medidas por exemplo podemos em muitos casos assumir que a distribuiccedilatildeo desses dados eacute representada por uma distribuiccedilatildeo normal A equaccedilatildeo que define essa distribuiccedilatildeo assim como sua representaccedilatildeo graacutefica eacute ilustrada na Figura 3
Manual de Laboratoacuterio
47
Natildeo eacute nosso objetivo aqui discutir detalhes da distribuiccedilatildeo normal O que desejamos destacar eacute que quando supomos que a distribuiccedilatildeo de um conjunto de dados eacute normal o que eacute bastante razoaacutevel na maioria das vezes o desvio padratildeo σ quantifica como os dados estatildeo distribuiacutedos Para entendermos isso analisemos a Figura 4
O intervalo compreendido pela meacutedia das medidas mais ou menos um desvio padratildeo compreende 68 das medidas realizadas No caso que estamos exemplificando se tomarmos a meacutedia das resistecircncias internas r de todos os amperiacutemetros investigados e o desvio padratildeo PL desses dados 68 das medidas estaratildeo no intervalo entre ( minus PL) e ( + PL) 95 no intervalo ( 2PL) e 99 no intervalo ( 257PL)
Figura 2 - A distribuiccedilatildeo normal eacute usualmente utilizada para representar a distribuiccedilatildeo
de frequecircncias de um conjunto de dados (Lima Jr et al 2013 p 30)
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
48
Agora jaacute sabemos como quantificar a variabilidade de um conjunto de dados Podemos entatildeo calcular a meacutedia e o desvio padratildeo das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros Mas surge entatildeo uma questatildeo Se analisaacutessemos um novo conjunto de amperiacutemetros da mesma marca e modelo dos exemplificados aqui a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros seria a mesma Provavelmente natildeo Temos como estimar a partir do conjunto de medidas que realizamos a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros Temos Para responder a essa questatildeo temos que compreender um novo conceito o de desvio padratildeo da meacutedia (PL) Ele eacute calculado por
PL = PLradicH
Natildeo vamos entrar em detalhes aqui sobre a origem do conceito de desvio padratildeo da meacutedia1 vamos apenas explicar como essa grandeza nos permite estimar a incerteza na meacutedia de um conjunto de medidas Para isso vamos supor um novo conjunto de N novas
1 Se vocecirc eacute um aluno curioso pesquise sobre o Teorema Central do Limite para compreender com mais profundidade o conceito de desvio padratildeo da meacutedia
Figura 3 - A meacutedia e o desvio padratildeo demarcam a distribuiccedilatildeo dos dados em uma
distribuiccedilatildeo normal Na figura o eixo das abcissas expressa a distacircncia da meacutedia em
unidades de desvio padratildeo (Lima Jr et al 2013 p 30)
Manual de Laboratoacuterio
49
medidas da resistecircncia interna de amperiacutemetros como os investigados nesta aula Qual seria a meacutedia dessas medidas Assim como o desvio padratildeo dos dados quantifica a dispersatildeo dos dados em torno da meacutedia o desvio padratildeo da meacutedia quantifica a dispersatildeo das meacutedias de subconjuntos de dados em torno da meacutedia de todo o conjunto de dados Aplicando esse conceito ao nosso exemplo podemos interpretar os dois conjuntos de medidas de resistecircncias internas como subconjuntos de um grande conjunto contendo todas as medidas Desse modo podemos afirmar com 68 de confianccedila que a meacutedia das N novas medidas a serem realizadas estaraacute no intervalo compreendido por ( PL) com 95 de confianccedila no intervalo ( 2PL) e com 99 de confianccedila no intervalo ( 257PL) O desvio padratildeo da meacutedia pode ser compreendido assim como a incerteza da meacutedia de um conjunto de medidas ou seja ele nos fornece uma estimativa da confiabilidade de uma meacutedia Em suma se escolhermos um amperiacutemetro aleatoriamente podemos dizer que i) o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute a meacutedia das resistecircncias de todos os amperiacutemetros e ii) a incerteza que temos nesse valor eacute igual ao desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias dos amperiacutemetros
E se eu soacute tivesse condiccedilotildees de realizar uma uacutenica medida
Nem sempre podemos realizar diversas medidas de uma grandeza Em alguns casos nem mesmo faz sentido realizar diversas medidas No entanto eacute evidente que existe uma incerteza associada a uma uacutenica medida Natildeo existem instrumentos que sejam perfeitamente precisos Entatildeo como podemos estimar essa incerteza Usualmente os manuais dos instrumentos trazem informaccedilotildees sobre isso Desse modo as incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica realizadas com um voltiacutemetro e um amperiacutemetro podem ser consultadas no manual do multiacutemetro utilizado Mas como eacute calculada a incerteza da resistecircncia interna de um amperiacutemetro que foi calculada a partir de
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
50
apenas uma medida de tensatildeo e uma de corrente eleacutetrica Nesse caso precisamos calcular a incerteza propagada das incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica
Os meacutetodos de caacutelculo de incertezas propagadas podem ser bastante complicados Aqui trataremos de um meacutetodo bastante simples usualmente denominado de Meacutetodo dos Limites Vamos exemplificaacute-lo supondo que a incerteza da tensatildeo sobre as entradas do amperiacutemetro eacute P- e da corrente eleacutetrica que circula por ele eacute P$ Ou seja a tensatildeo medida estaacute no intervalo entre ∆S minus P- e ∆S + P- e a corrente eleacutetrica entre i minus P$ e i + P$ Qual eacute entatildeo a incerteza da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro investigado Para responder isso basta calcularmos os valores limites dessa grandeza O maacuteximo valor possiacutevel para a resistecircncia ocorreraacute se a tensatildeo for ∆S + P- e a corrente eleacutetrica for i minus P$ Nesse caso usando a Eq 1 temos
aacutee = ∆S + P-i minus P$
Usando o mesmo raciociacutenio o valor miacutenimo de r seraacute
z = ∆S minus P-i + P$
Desse modo podemos dizer que o valor da resistecircncia interna medida estaacute no intervalo entre rmaacutex e rmiacuten Em outras palavras o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro eacute
F = iexclz + aacutee2 z minus aacutee2 cent
Manual de Laboratoacuterio
51
Erro eacute a mesma coisa que incerteza
Apesar de serem frequentemente utilizados como sinocircnimos os manuais de metrologia atribuem significados distintos aos conceitos de ldquoerrordquo e ldquoincertezardquo O Guia para Expressatildeo da Incerteza da Mediccedilatildeo (Joint Commitee for Guide in Metrology 2008 apud Lima Jr et al 2013) usa o termo ldquoerrordquo para indicar a diferenccedila entre o valor verdadeiro e o resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo o conceito de erro tem uso restrito pois satildeo poucos os casos em que conhecemos o valor verdadeiro de uma grandeza Satildeo exemplos desses casos experimentos em que se deseja mensurar a velocidade da luz no vaacutecuo ou o valor de π que satildeo valores previamente conhecidos pelo experimentador O caacutelculo do erro soacute faz sentido para casos em que sabemos o valor verdadeiro da grandeza que se quer medir
A incerteza por outro lado eacute entendida como uma estimativa que quantifica a confiabilidade do resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo quando calculamos o desvio padratildeo da meacutedia de um conjunto de medidas estamos calculando a incerteza da meacutedia dessas medidas ou seja estamos avaliando a confianccedila que podemos ter em adotar a meacutedia dessas medidas como o valor da grandeza mensurada O conceito de incerteza portanto tem maior aplicabilidade do que o conceito de erro
Algarismos significativos e incerteza
Uma questatildeo frequente nas aulas de laboratoacuterio eacute Com quantos algarismos uma grandeza deve ser apresentada No laboratoacuterio a resposta dessa questatildeo eacute uma funccedilatildeo da incerteza da grandeza Devemos apresentar os dados ateacute o seu primeiro algarismo duvidoso Voltemos ao exemplo da resistecircncia interna dos amperiacutemetros Suponhamos que a meacutedia das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros eacute 21546 Ω e o desvio padratildeo dessa meacutedia que eacute
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
52
entendido aqui como a incerteza da resistecircncia interna dos amperiacutemetros eacute 003 Ω Interpretando tais dados assumimos com 68 de certeza que a resistecircncia interna dos amperiacutemetros estaacute no intervalo entre 21246 e 21846 Ω Desse modo a segunda casa decimal da grandeza medida eacute duvidosa Por isso os algarismos subsequentes satildeo omitidos quando expressamos essa medida e a medida da resistecircncia interna dos amperiacutemetros exemplificados eacute exposta por (215 plusmn 003) Ω Em suma o resultado de uma mediccedilatildeo deve ser sempre expresso com a mesma quantidade de casas decimais que sua incerteza Os algarismos apresentados satildeo entatildeo chamados de algarismos significativos
Referecircncia
Lima Jr P Silva M T X Silveira F L Veit E A (2013) Laboratoacuterio de mecacircnica subsiacutedios para o ensino de Fiacutesica experimental Porto Alegre UFRGS Instituto de Fiacutesica Disponiacutevel em httphdlhandlenet1018390438
Manual de Laboratoacuterio
53
Atividade de Laboratoacuterio I Instrumentos de medida e incertezas
Este material foi cuidadosamente preparado para auxiliar no andamento das atividades no laboratoacuterio de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo Eacute importante responder TODAS as perguntas
(indicadas pelo siacutembolo ) feitas ao longo do texto discutindo com seu grupo possiacuteveis respostas e justificando-as Sempre que possiacutevel faccedila isso por escrito
TAREFA 1
Construa um circuito contendo um resistor de 1 kΩ em seacuterie com uma fonte de tensatildeo contiacutenua e um multiacutemetro Coloque o multiacutemetro na funccedilatildeo amperiacutemetro na escala de miliampere Usando outro multiacutemetro meccedila a tensatildeo no amperiacutemetro Realize medidas com diferentes correntes eleacutetricas variando a tensatildeo de saiacuteda da fonte
Como podemos tratar esses dados se nosso objetivo eacute medir a resistecircncia interna do amperiacutemetro
Qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
54
Para responder essas questotildees se dirija a um dos computadores da sala e use um aplicativo que possibilite a construccedilatildeo de graacuteficos SciDavis por exemplo Insira seus dados no aplicativo construa o graacutefico desejado e encontre a melhor reta que se ajusta aos dados
Qual foi a melhor reta ajustada Determine a equaccedilatildeo dessa reta ajustada
Qual eacute o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro que vocecirc investigou
TAREFA 2
Utilize as medidas de todos os grupos da turma e aplique os conhecimentos abordados na tarefa de leitura para responder as seguintes questotildees
Qual deve ser a resistecircncia interna de um amperiacutemetro escolhido aleatoriamente entre os utilizados nesta aula
Qual eacute a incerteza desse valor
TAREFA 3
Suponha que o manual do Minipa ET-2075B informe que as medidas de tensatildeo e corrente realizadas nas faixas de milivolt e miliampere tecircm incerteza de 3 Use esses dados para calcular a
Manual de Laboratoacuterio
55
incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1
Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma
Elas satildeo coerentes Por quecirc
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
56
CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO
Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por
equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC
Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras
O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se
Manual de Laboratoacuterio
57
extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo
No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador
Salvando vidas
ldquoafastem-se choquerdquo
Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de
sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos
O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo
Figura 4 - Desfibrilador
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
58
esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)
Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma
sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o
miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia
Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2
2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387
Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)
Manual de Laboratoacuterio
59
Circuito RC - seacuterie
Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C
Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que
∆S(c) + i(c)F = 0
Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo
i(c) = =C(c)=c
e a ddp no capacitor eacute dada por
∆S(c) = C(c)D
Dessa forma podemos dizer que
=C(c)=c = minus 1FD C(c)
Figura 6 - Circuito RC
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
60
Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa
funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja
derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever
C(c) = C7 ou
A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial
Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir
Capacitor Carregando Capacitor Descarregando
∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0
C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou
∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou
Manual de Laboratoacuterio
61
Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8
Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo
eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum
3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78
Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas
do capacitor durante o processo de
carga ou descarga
Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um
graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo
do tempo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
62
Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no
capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte
Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor
quando o mesmo estaacute sendo carregado
Manual de Laboratoacuterio
63
Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie
1 - Osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos
2 ndash Aparato Experimental
Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
64
conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto
Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)
Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio
Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees
Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala
Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)
Manual de Laboratoacuterio
65
TAREFA 1
Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees
Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico
Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito
Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito
Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos
Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio
TAREFA 2
Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie
Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
66
figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)
Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados
Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo
NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo
Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste
Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito
Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito
Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles
Manual de Laboratoacuterio
67
MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS
Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais
Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio
Para onde aponta a buacutessola
Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
68
polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc
E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial
tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos
que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a
soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio
4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja
httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4
Figura 10 - Buacutessola
Figura 11 - campo B resultante
Manual de Laboratoacuterio
69
Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por
umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O
Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde
Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde
Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma
iacuteatilde() = ∙
onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde
5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass
The Physics Teacher 49(1) 45-48
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
70
Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como
iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2
Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos
gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)
Logo
gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2
Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo
iacuteatilde() = amp
Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse
tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira
na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart
Manual de Laboratoacuterio
71
pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do
que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute
yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp
onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico
da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos
yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp
Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
72
Atividade de Laboratoacuterio III Projeto
OBJETIVO
Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
73
SUGESTAtildeO 1
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO
Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas
Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece
Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha
Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo
por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o
eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
74
SUGESTAtildeO 2
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA
Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)
Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica
Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de
uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)
Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema
Manual de Laboratoacuterio
75
SUGESTAtildeO 3
BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO
Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola
Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)
Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina
O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
76
SUGESTAtildeO 4
CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO
O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer
Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
77
MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO
Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro
Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental
6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
78
110 V 127 V e 220 V O que eacute isso
As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V
Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas
A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
(c) = Jgt(c + acute)
onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por
∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)
Manual de Laboratoacuterio
79
onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1
Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho
Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores
Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
80
caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por
∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf
∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712
∆Suparamiddot = ∆S7radic2
Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a
tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s
A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente
alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$
Figura 13 - Funccedilotildees seno e
seno quadrado
Manual de Laboratoacuterio
81
COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA
Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz
Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O
Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
82
que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio
Natildeo queremos jogar energia fora
Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14
Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie
Manual de Laboratoacuterio
83
Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por
0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)
onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)
Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
ℇ(c) = ℇ7gt(c)
onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente
Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na
figura 16 para um caso em que VL gt VC
Figura 15 - Diagrama de fasores
de um circuito RLC seacuterie com
fonte de tensatildeo alternada
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
84
A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que
acute = c8 S minus SSu
Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado
por
i(c) = gt(c minus acute)
Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente
as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que
ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$
ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$
Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como
0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)
Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que
0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$
Figura 16 ndash Soma de fasores
Manual de Laboratoacuterio
85
0eacutey = F ∙ uparamiddot$
onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square
Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que
F = frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte
Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade
7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL
Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e
resistecircncia num diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
86
do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como
0 = AJradicAJ$ + AF$
O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP
DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11
Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia
Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por
acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita
Manual de Laboratoacuterio
87
2 = 1D
Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica
Figura 18 - diagramas de fasores representando
um circuito capacitivo e um circuito indutivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
88
Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie
O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio
TAREFA 1
Circuito Resistivo
Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR
Manual de Laboratoacuterio
89
Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)
O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador
Circuito Capacitivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
90
Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor
Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Manual de Laboratoacuterio
91
Circuito Indutivo
Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor
O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
92
Circuito RLC
Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise
Manual de Laboratoacuterio
93
O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador
Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio
O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior
Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor
Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou
A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
94
TAREFA 2
Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente
Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir
Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima
Qual o valor da corrente maacutexima no circuito
Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)
O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique
Manual de Laboratoacuterio
95
TAREFA 3
Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito
Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees
Como isso eacute possiacutevel Explique
Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff
Respostas
96
Respostas
A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32
A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH
A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH
B3 Ae = Af = AtildeAcircf
B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl
B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH
B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l
B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD
B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -
C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc
(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7
C2 O = ~13deg
C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)
Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-
vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr
Respostas
97
C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM
C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD
(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD
C6 A = Eacute$Acirc
C7 A = Atilde$AcircL
D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma
das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp
D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(
D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1
no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)
D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme
D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D
E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)
E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D
E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml
F1 544 times 10
F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S
F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM
u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM
u (e) 0 = ℇMu
F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω
Respostas
98
F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965
G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n
G5 i = Ograve$g = 245 J
G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y
G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez
G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H
G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)
G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)
G15 (a) zL$brvbarM (b)
z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero
G16 z$L + z$L = z$L - + 1
G17 (a) pLM
amp (b) pusup3
ampL
G18 zzMu
G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)
z
G20 zNu saindo da folha
G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)
UgraveLMamp
fora do fio (a) z$L (b)
UgravebrvbarM$L (c)
Ugravebrvbarsup3ampL
G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13
G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM
ampu
H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior
Respostas
99
H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a
H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J
I2 Φ = pound$ sup1amp
I4 C = AcircsM
I6 (a) zM
NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar
J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a
(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S
J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu
(c) = -radic
J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm
(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013
Respostas
100
Bibliografia
Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il
Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il
Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il
Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm
Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il
Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il
Problemas Selecionados
15
B8 ndash Duas barras isolantes de 15 de comprimento encontram-se em um acircngulo reto Uma barra possui 30 D e a outra possui minus30 D de carga uniformemente distribuiacuteda ao longo do comprimento conforme a figura ao lado Determine o campo eleacutetrico (vetor) no ponto P que estaacute a = = 750 do centro de cada barra
B9 ndash Duas barras curvas isolantes com cargas opostas de igual magnitude ( formam um ciacuterculo de raio F no plano xy conforme a figura As cargas estatildeo uniformemente distribuiacutedas na barra (a) Qual o campo eleacutetrico (vetor) no ponto P (b) Qual a resposta do item (a) se ( = 20 GD e F = 10
B10 ndash Considere um cilindro de comprimento 2 e raio J oco carregado com carga total C Vocecirc estaacute interessado em saber qual eacute
o campo eleacutetrico A ao longo do eixo do cilindro numa de suas extremidades Para isso utilize dois caminhos distintos (a) considerando que o cilindro eacute formado por uma infinidade de barras de espessura infinitesimal todas com comprimento 2 dispostas num ciacuterculo de raio J e (b) considerando que o cilindro eacute formado por uma infinidade de aneacuteis de raio J cujos eixos estatildeo alinhados e juntos formam um cilindro de comprimento 2
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
16
(C) Lei de Gauss
C1 ndash Uma faacutebrica de bolinhas de gude foi atingida por um raio durante uma tempestade O preacutedio foi protegido por um paacutera-raios mas algumas descargas atingiram os equipamentos que fabricavam as bolinhas Resultado eacute que a bolinha que estava na maacutequina ao cair o raio recebeu uma descarga eleacutetrica e as cargas ficaram armazenadas
no interior da bolinha de forma que a densidade de carga K() = K7 -LM
(a) Qual o campo A na superfiacutecie da bolinha que tem raio = 2 (b) E no interior da bolinha 1 abaixo da superfiacutecie (c) Qual o
campo A a 5 da superfiacutecie da bolinha
C2 ndash A figura ao lado mostra uma bolinha com massa 0004 8 e carga 8 times 10N D suspensa por um fio nas proximidades de uma grande placa condutora carregada sendo que a densidade de carga da placa eacuteminus2 times 10 D $frasl Encontre um valor para o acircngulo O
C3 ndash Uma casca ciliacutendrica isolante e muito longa tem raio interno e externo e densidade volumeacutetrica de carga K Um fio tambeacutem muito longo tem densidade linear de carga B e estaacute alinhado com o eixo central da casca Qual o campo eleacutetrico na regiatildeo entre e
Problemas Selecionados
17
C4 ndash Uma carga C positiva estaacute no centro de um conjunto de calotas concecircntricas como mostra a figura abaixo O raio das calotas estaacute indicado na figura A mais externa eacute condutora e estaacute carregada com carga C negativa e a calota intermediaacuteria eacute isolante e possui carga liacutequida ( positiva distribuiacuteda de forma uniforme por
todo seu volume Calcule o campo A resultante em cada uma das 5 regiotildees indicadas na figura Indique a localizaccedilatildeo aproximada das cargas induzidas eou em excesso em cada regiatildeo e indique a direccedilatildeo e sentido dos campos eleacutetricos
C5 ndash Uma casca esfeacuterica com densidade volumeacutetrica de carga K = 20 gtDamp tem raio interno = 10 e raio externo = 2 conforme a figura Determine o moacutedulo do campo eleacutetrico para os seguintes raios a partir do centro (a) = 2frasl (b) = 15 (c) = 2
C6 ndash Usando a Lei de Gauss determine o campo eleacutetrico proacuteximo a uma placa muito grande com densidade superficial de carga P
C7 ndash Usando a Lei de Gauss determine o campo eleacutetrico proacuteximo a uma barra muito longa com densidade linear de carga B
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
18
(D) Potencial Eleacutetrico
D1 ndash A figura ao lado mostra um anel incompleto formado por trecircs segmentos de arco com densidade linear de carga constantesB- B$ e Bamp A menor delas tem carga total (- e comprimento de arco 54 As demais estatildeo indicadas na figura Qual o potencial eleacutetrico no centro do anel Qual deve ser a relaccedilatildeo entre as cargas para que o potencial eleacutetrico no centro do anel seja igual a zero
D2 ndash A figura ao lado mostra um dipolo eleacutetrico de momento dipolar |G| = R( Mostre que para ≫ R o potencial eleacutetrico no ponto P eacute dado por
S = 145T7G UO$
Dica quando ≫ R eacute razoaacutevel considerar que V cong $ e minus V cong R UO
D3 ndash Sobre uma mesa de bilhar estatildeo dispostas trecircs bolinhas Uma com carga +C outra com carga ndash C e uma terceira com carga +2C conforme mostra a figura ao lado (a) Qual o potencial no ponto P (b) Se uma quarta bolinha for colocada no centro do quadrado qual deve ser a carga da bolinha para que o potencial no ponto P seja nulo
Problemas Selecionados
19
D4 ndash Uma esfera oca isolante de raio F e carga C eacute colocada nas proximidades de uma placa muito grande cuja densidade superficial de carga eacute P (uniforme) A distacircncia entre a placa e a superfiacutecie da esfera eacute = Qual a diferenccedila de potencial entre o centro da esfera e a placa Dica calcule a ddp devido a cada objeto separadamente e some os resultados A diferenccedila de potencial entre dois pontos pode ser determinada a partir do campo eleacutetrico
D5 ndash Uma esfera isolante maciccedila possui densidade de carga K() = K7$ onde ρ0 eacute uma constante (a) Qual a diferenccedila de potencial entre os pontos b e c Se a densidade de carga fosse uniforme qual seria a diferenccedila de potencial entre os pontos b e c
D6 ndash Um fio tem densidade linear de carga B uniforme e foi dobrado no formato conforme mostra a figura abaixo Qual o potencial eleacutetrico no ponto P
D7 ndash Considere duas cascas esfeacutericas finas concecircntricas condutoras A casca interna tem raio = 15 e carga 10 gtD A casca externa tem raio = 30 e carga minus15 gtD Forneccedila expressotildees para o campo eleacutetrico e o potencial eleacutetrico para as diferentes regiotildees (a) lt 15 (b) 15 lt lt 30 (c) gt 30 Em todos os casos considere S = 0 em = infin
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
20
(E) Capacitacircncia
E1 ndash Sabendo que cada um dos capacitores no circuito ao lado tem capacitacircncia D = 10 e a diferenccedila de potencial na bateria eacute ΔS = 10 S qual eacute a carga do capacitor 1 E do capacitor 2
E2 ndash Encontre uma expressatildeo para a capacitacircncia dos capacitores abaixo sabendo que a distacircncia entre as placas eacute = a aacuterea das placas eacute 10 = o espaccedilo entre as placas estaacute preenchido por dois ou mais materiais de constantes dieleacutetricas distintas conforme mostra a figura abaixo Analisando cada capacitor separadamente eacute possiacutevel obter a mesma capacitacircncia com uma associaccedilatildeo de capacitores simples (preenchidos por um uacutenico material) Explique
E3 ndash Uma diferenccedila de potencial de 100 S eacute aplicada ao circuito ao lado onde D- = 10 D$ = 5 e Damp = 4 Se o capacitor 3 eacute substituiacutedo por um fio condutor qual eacute o aumento na carga do capacitor 1 Qual eacute o aumento na diferenccedila de potencial entre as placas do capacitor 1
(a) (b) (c)
Problemas Selecionados
21
E4 ndash No circuito ao lado a diferenccedila de potencial fornecida pela bateria eacute de 20 S Qual a capacitacircncia equivalente do circuito Qual a carga armazenada por essa capacitacircncia equivalente Qual a carga e ddp para os capacitores 1 2 e 3
E5 ndash Na figura ao lado a ddp da bateria eacute 10 S D- = 10 D$ = Damp = 2D- A chave eacute movida para a esquerda e somente depois que o capacitor 1 atingiu o equiliacutebrio a chave eacute movida para a direita Quando o equiliacutebrio eacute novamente atingido qual eacute a carga do capacitor 1
E6 ndash Um capacitor de placas paralelas com aacuterea J e espaccedilamento = eacute preenchido com vidro (6 = 267) Conectado a uma bateria o capacitor acumula carga C (a) Qual a energia armazenada no capacitor (b) Mantendo a bateria conectada a separaccedilatildeo entre as placas eacute aumentada para 2= (veja a figura) Qual a energia armazenada nessa nova situaccedilatildeo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
22
(F) Corrente e Resistecircncia
F1 ndash A figura ao lado mostra parte de um fio de cobre com diacircmetros =- = 4F e =$ = 8F por onde passa uma corrente uniforme = 4 e a diferenccedila de potencial ao longo desse comprimento eacute20 S O
nuacutemero de portadores de carga por unidade de volume eacute 849 times 10$N amp Qual eacute a velocidade de deriva dos eleacutetrons de conduccedilatildeo na porccedilatildeo do fio com diacircmetro =$
F2 ndash No circuito ao lado qual a magnitude e direccedilatildeo das correntes nos resistores F- F$ e Famp Para isso considere que ℇ- = 6 S ℇ$ = 12 SF- = 100 Ω F$ = 200 Ω Famp = 300 Ω O ciruito estaacute aterrado e nesse ponto S = 0 Qual eacute o potencial eleacutetrico no ponto A
F3 ndash Calcule a potecircncia total dissipada em cada circuito Considere que todas as resistecircncias satildeo iguais e as baterias satildeo ideais Expresse suas respostas em termos de ℇ e F
F4 ndash Se dois fios de mesmo comprimento um de cobre e outro de alumiacutenio apresentam a mesma resistecircncia qual deve ser a razatildeo entre seus raios
Problemas Selecionados
23
F5 ndash No circuito ao lado a potecircncia dissipada no resistor R eacute 20 a Qual o valor de R Qual a ddp entre os pontos A e B
F6 ndash A corrente medida por um amperiacutemetro A no circuito ao lado eacute a mesma quando ambas as chaves estatildeo abertas ou fechadas Qual o valor da resistecircncia R
F7 ndash Determine o valor da corrente que passa por cada um dos resistores a potecircncia fornecida por cada uma das fontes de tensatildeo e a potecircncia dissipada por cada um dos resistores Faccedila o balanccedilo energeacutetico do circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
24
F8 ndash No circuito ao lado a chave S permanece fechada por um longo tempo e a corrente no circuito atinge um valor constante Considere D- = 3 D$ = 6 F- = 4Ω e F$ = 7Ω A potecircncia dissipada em F$ eacute 24a (a) Determine as cargas em D- e D$ (b) Abrindo a chave S e aguardando um longo tempo qual a mudanccedila observada na carga do capacitor 2
F9 ndash Num circuito RC seacuterie como o da figura ao lado D = 1 F = 2 times 10bΩ e ℇ = 10S Dez segundos depois que a chave foi fechada determine (a) a carga no capacitor (b) a corrente no resistor (c) a taxa com que a energia eacute armazenada no capacitor (d) a taxa com que a bateria fornece energia para o circuito
F10 ndash Um capacitor eacute carregado atraveacutes de um resistor como mostra a figura no problema anterior Mostre que metade da energia fornecida pela bateria aparece como energia interna no resistor e a outra metade como energia eleacutetrica no capacitor
F11 ndash Um capacitor duas fontes ideais dois resistores e uma chave S satildeo mostrados no circuito da figura ao lado Suponha D = 12 ℇ- = 15 S ℇ$ = 30 S F- = 05 Ω e F$ = 08 Ω (a) Se a chave S permanece aberta por um longo tempo qual a carga no capacitor (b) Qual a carga no capacitor se a chave S permanece fechada por um longo tempo
Problemas Selecionados
25
F12 ndash No circuito ao lado a bateria fornece 10 S o capacitor eacute de 1 e os resistores tecircm as resistecircncias indicadas na figura O circuito estaacute ligado haacute um longo tempo (a) Qual a ddp entre os terminais do capacitor (b) Se a bateria for desconectada quanto tempo levaraacute para que essa ddp atinja um deacutecimo do valor inicial
-------------------------------------------------------------------------------------------
(G) Campo Magneacutetico
G1 ndash Um proacuteton atravessa uma regiatildeo de campo magneacutetico uniforme = lang10 20 30rang 13 No tempo c- o proacuteton tem uma velocidade d = langde df 2rang e a forccedila magneacutetica sobre o proacuteton eacute g = lang4 times 10-h minus2 times 10-h 0rang H Nesse instante qual o valor de de e df
G2 ndash Um proacuteton viaja atraveacutes de uma regiatildeo de campo eleacutetrico e
magneacutetico uniformes onde = langminus25 0 0rang 13 Num certo instante a velocidade do proacuteton eacute d = lang0 2000 0rang Qual a forccedila resultante que age sobre o proacuteton se o campo eleacutetrico for
(a) A = lang0 0 4rang S (b) A = lang0 0 minus4rang S ou
(c) A = lang4 0 0rang S
G3 ndash Uma espira retangular de lados e estaacute numa regiatildeo de campo
magneacutetico perpendicular ao plano da espira e eacute percorrida por uma corrente i constante conforme mostra a figura ao lado Determine o torque sobre a espira
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
26
G4 ndash Dois trilhos de metal separados por uma distacircncia = = 256 estatildeo ligados a uma bateria No momento em que uma barra de metal de massa = 241 8 eacute colocada sobre os trilhos (c = 0) ela fecha o circuito e por ela passa uma corrente i = 913 J O conjunto estaacute numa regiatildeo onde existe um campo magneacutetico uniforme = 563 13 Qual a velocidade da barra 611 depois Em que direccedilatildeo ela se move
G5 ndash A figura ao lado mostra um cilindro de madeira de massa = 250 8 e comprimento 2 =10 onde foi enrolado um fio formando uma espira de 10 voltas O cilindro eacute posicionado de forma que o eixo da espira estaacute perpendicular ao plano inclinado (paralelo agrave normal do plano
inclinado) Nessa regiatildeo haacute um campo magneacutetico = lang0 05 0rang 13 Qual deve ser o valor miacutenimo da corrente na espira capaz de manter o cilindro em sua posiccedilatildeo evitando que ele role para baixo
G6 ndash A figura ao lado mostra um iacutematilde e um anel condutor de raio por onde passa uma corrente i Se o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde faz um acircngulo O com a vertical na posiccedilatildeo onde estaacute o anel qual eacute a magnitude e a direccedilatildeo da forccedila resultante sobre o anel
Problemas Selecionados
27
G7 ndash Uma barra de metal com densidade de massa B (massa por unidade de comprimento) apresenta uma corrente i (saindo da paacutegina) A barra estaacute suspensa por dois fios num campo magneacutetico uniforme vertical como mostra a figura ao lado No equiliacutebrio os fios
fazem um acircngulo O com a vertical Qual a magnitude do campo magneacutetico
G8 ndash Um proacuteton com energia cineacutetica de 6 jS se move no plano da paacutegina e entra numa regiatildeo de campo magneacutetico = 1 13 direcionado para dentro da paacutegina como mostra a figura ao lado
O proacuteton entra na regiatildeo de campo com o vetor velocidade fazendo um acircngulo O- = 35deg com a borda da regiatildeo Qual eacute a distacircncia entre o ponto de entrada e saiacuteda ( na figura) Qual o valor de O$
G9 ndash Considere um eleacutetron orbitando um proacuteton numa trajetoacuteria circular de raio F = 529 times 10-- devido agrave atraccedilatildeo Coulombiana Considere o sistema como se fosse um anel por onde passa uma corrente Qual seraacute o torque resultante quando o sistema for colocado numa regiatildeo de campo magneacutetico = 04 13 perpendicular ao momento magneacutetico do anel
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
28
G10 ndash Um fio por onde passa uma corrente i foi moldado num formato semicircular de raio F e uma reta de comprimento 2F como mostra a figura ao lado Nessa mesma regiatildeo haacute um campo magneacutetico que aponta na direccedilatildeo + (representado pelos pontos azuis na figura ao lado) Mostre que a
forccedila resultante sobre o fio eacute zero
G11 ndash Um condutor ciliacutendrico longo de raio conteacutem duas cavidades cada uma com diacircmetro ao longo de todo o comprimento do fio Uma visatildeo da seccedilatildeo transversal do fio eacute mostrada na figura ao lado Uma corrente i uniforme (considerando a porccedilatildeo soacutelida do material) passa atraveacutes do fio e aponta para fora da paacutegina Determine a magnitude e direccedilatildeo do campo
magneacutetico em funccedilatildeo de 7 i e no ponto P
G12 ndash Dois fios muito longos por onde passa corrente i de mesma magnitude estatildeo moldados conforme a figura ao lado
Mostre que o campo magneacutetico no centro do ciacuterculo de raio R eacute o mesmo que o
campo a uma distacircncia R abaixo de um fio reto muito longo por onde passa uma corrente i
Problemas Selecionados
29
G13 ndash Encontre uma expressatildeo para determinar a magnitude do campo magneacutetico no ponto P da figura ao lado Dica considere a origem dos eixos cartesianos no ponto P
G14 ndash A figura ao lado mostra a seccedilatildeo transversal de um condutor oco de raio externo e interno por onde passa uma corrente uniforme i Demonstre que a magnitude do campo magneacutetico () para uma distacircncia lt lt eacute dada por
= 7i25($ minus $) $ minus $
G15 ndash A figura ao lado mostra um cabo coaxial de raios e Correntes opostas de igual magnitude estatildeo distribuiacutedas nos dois condutores Derive uma expressatildeo para calcular o campo magneacutetico () na regiatildeo (a) lt (b) lt lt (c) lt lt e (d) gt
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
30
G16 ndash Um fio condutor por onde passa uma corrente i foi torcido para formar um loop de raio R (no plano da paacutegina) como mostra a figura abaixo Qual a direccedilatildeo do campo magneacutetico no
centro do loop Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico no centro do loop
G17 ndash Uma corrente i passa por um fio condutor ciliacutendrico de raio R como mostra a figura ao lado A densidade de corrente l natildeo eacute uniforme atraveacutes da seccedilatildeo transversal do fio mas obedece agrave funccedilatildeo l = onde eacute uma constante Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico (a) a uma distacircncia - lt F e (b) a uma distacircncia $ gt F(em relaccedilatildeo ao centro do condutor)
G18 ndash Um fio condutor muito longo por onde passa uma corrente i- estaacute parcialmente envolto por um loop por onde passa uma corrente i$ (figura ao lado) O loop fio foi moldado num formato semiciliacutendrico de raio R e o comprimento L O fio condutor passa pelo eixo do loop Calcule a forccedila magneacutetica exercida sobre o loop
G19 ndash Considere um solenoide de comprimento 2 e raio F contendo H voltas de um fio por onde passa uma corrente i (a) Determine uma expressatildeo para
o campo magneacutetico num ponto ao longo do eixo do solenoide do lado de fora do solenoide como funccedilatildeo da distacircncia ateacute uma das pontas (considere = 0 no centro do solenoide e = a distacircncia do centro ateacute o ponto onde estaacute sendo calculado o campo ) (b) Mostre que para
Problemas Selecionados
31
valores muito grandes de 2 e = = 0 se aproxima de = 7i H 2frasl para posiccedilotildees ao longo do eixo no interior do solenoide distante das bordas
G20 ndash A figura ao lado mostra um fio moldado para formar duas seccedilotildees retas e um quarto de ciacuterculo por onde passa corrente i Determine o campo magneacutetico (vetor) no ponto P
G21 ndash Um fio ciliacutendrico espesso de raio eacute percorrido por uma corrente i Determine uma expressatildeo para o
campo magneacutetico dentro e fora do fio considerando que (a) a corrente estaacute distribuiacuteda uniformemente sobre a superfiacutecie externa do fio (b) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio com densidade de corrente l constante (c) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio de forma que a densidade de corrente l eacute proporcional agrave distacircncia ateacute o eixo do fio
G22 ndash Considere dois solenoides coaxiais cada um conduzindo uma corrente i em direccedilotildees opostas O solenoide interno de raio possui gt- voltas por unidade de comprimento o
solenoide externo possui raio e gt$ voltas por unidade de
comprimento Determine (a) no interior do conjunto (b) entre eles e (c) fora deles
G23 ndash Um fio condutor longo e reto de raio F conduz uma corrente natildeo uniforme cuja densidade de corrente eacute l = l7 Ffrasl onde l7 eacute uma constante A corrente total eacute i (a) Determine uma expressatildeo para i
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
32
em funccedilatildeo de l7 e F (b) Determine uma expressatildeo para o campo magneacutetico no interior do fio para uma distacircncia
G24 ndash A figura ao lado mostra um toroide que consiste num solenoide fechado em forma de anel (a) Considerando a simetria explique qual deve ser o formato do campo magneacutetico no interior desse toroide (b) Considere o toroide compacto (a separaccedilatildeo entre cada volta do fio eacute pequena) com N voltas conduzindo uma corrente i Usando a lei de Ampeacutere determine a magnitude do campo magneacutetico num ponto interno ao toroide a uma distacircncia do eixo principal (ver figura ao lado) (c) O campo magneacutetico no interior do toroide eacute um campo uniforme Explique
-------------------------------------------------------------------------------------------
(H) Lei de Faraday
H1 ndash A figura ao lado mostra dois aneis cujos eixos estatildeo alinhados separados por uma distacircncia x O anel maior tem raio F o anel menor tem raio Os aneis estatildeo separados por uma distacircncia ≫ F e por isso o campo magneacutetico devido agrave corrente no anel de raio F eacute praticamente uniforme no anel menor Considere que a distacircncia estaacute aumentando a uma taxa constante = =cfrasl = d (a) Determine uma expressatildeo para o fluxo de campo magneacutetico atraveacutes do anel menor como funccedilatildeo de Encontre uma expressatildeo para (b) a fem induzida e (c) a direccedilatildeo da corrente no anel menor
Problemas Selecionados
33
H2 ndash (a) Calcule o fluxo magneacutetico atraveacutes do retacircngulo mostrado na figura ao lado em funccedilatildeo de = i (b) Avalie o resultado encontrado para = 5 = 10 = = 2 e i = 20 J
H3 ndash Uma espira plana e circular de raio =75 estaacute em repouso numa regiatildeo de campo magneacutetico uniforme A espira estaacute orientada de tal forma que o campo magneacutetico aponta para cima
e faz um acircngulo de 30deg com a normal da espira O campo varia com
o tempo de acordo com (c) = 14(77nho) 13 (a) Determine a fem induzida na espira em funccedilatildeo do tempo (b) Para que valor de c a fem induzida eacute igual a um deacutecimo do seu valor inicial Determine o sentido da corrente induzida na espira se observada por cima da espira
H4 ndash Um retacircngulo que mede 30 times 40 estaacute localizado no interior de um campo magneacutetico uniforme de 125 13 com o campo perpendicular ao plano da bobina A bobina se move perpendicular ao campo com velocidade constante d =2 inclusive atingindo a regiatildeo
onde o campo termina abruptamente como mostra a figura ao lado Determine a fem induzida nessa bobina quando ela estaacute (a) inteiramente no interior do campo (b) parcialmente no interior do campo e (c) inteiramente fora do campo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
34
H5 ndash O fio na figura ao lado conduz
uma corrente i(c) = i7po onde gt 0 Determine o sentido da corrente induzida na bobina (horaacuterio ou anti-horaacuterio) para c gt 0
H6 ndash A figura ao lado mostra uma espira circular de raio contendo uma resistecircncia e um capacitor ligados em seacuterie imerso numa regiatildeo onde um campo magneacutetico uniforme (no espaccedilo) entrando no plano na paacutegina decresce no tempo a uma taxa constante = =cfrasl = minus sendo uma constante positiva (a) Qual a carga no capacitor quando ele estaacute completamente carregado (b) Qual das placas do capacitor estaacute em potencial mais elevado (c) Qual a origem da forccedila que causa a separaccedilatildeo de cargas
-------------------------------------------------------------------------------------------
(I) Indutacircncia
I1 ndash No circuito ao lado ℰ = 100 SF- = 10 Ω F$ = 20 Ω Famp = 30 Ω e 2 = 2 H Ao fechar a chave S quais os valores de i- e i$ Considere positivo o sentido das correntes indicadas na figura Muito tempo
depois quais satildeo os valores de i- e i$ A chave eacute entatildeo aberta Nesse instante quais satildeo os valores de i- e i$ E muito tempo depois quais satildeo os valores de i- e i$
Problemas Selecionados
35
I2 ndash Num circuito LC em seacuterie a carga inicial do capacitor eacute C e ele estaacute sendo descarregado Quando a carga no capacitor eacute igual a C 2frasl qual eacute o fluxo magneacutetico que atravessa cada uma das N espiras do indutor (como funccedilatildeo de C H 2 e D)
I3 ndash Uma bobina possui N voltas e estaacute envolvendo um solenoide longo de raio r com n espiras por unidade de comprimento (figura ao lado) (a) Mostre que a indutacircncia muacutetua do sistema eacute dada por j = 75F$gtH (b) Explique por que M natildeo depende do formato tamanho ou possiacutevel falta de proximidade das espiras na bobina
I4 ndash A fem autoinduzida num solenoide de indutacircncia L varia no tempo conforme ℇ(c) = ℇ7so Levando em consideraccedilatildeo que a carga eacute finita (ou seja i = 0 quando c = infin) determine a carga total que passa pelo solenoide (que atravessa um determinado ponto no fio que compotildee o solenoide)
I5 ndash Um fio condutor foi enrolado num papelatildeo formando um toroide com N espiras (voltas) raio menor r e maior R A seccedilatildeo transversal do toroide eacute mostrada na figura ao lado Se F ≫ o campo magneacutetico no interior do toroide eacute essencialmente o mesmo que o campo no interior de um solenoide muito longo que tenha sido
moldado no formato de um ciacuterculo de raio R Modelando o campo como se fosse o campo uniforme de um solenoide longo mostre que a indutacircncia desse toroide eacute
aproximadamente 2 asymp -$ 7H$ LMu
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
36
I6 ndash Um indutor consiste em duas cascas ciliacutendricas concecircntricas como mostra a figura A casca interna tem raio e a externa tem raio ambas com comprimento ℎ A casca interna transporta uma corrente i para fora e a externa para dentro do plano da paacutegina com igual magnitude Calcule na regiatildeo lt lt (a) a densidade de energia magneacutetica (b) a indutacircncia
I7 ndash Mostre que i(c) = i7o wx eacute a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial iF + 2 yzyo = 0 onde i7 eacute a corrente em c = 0 e = 2 Ffrasl
I8 ndash Um fio condutor de raio R transporta uma corrente uniforme A corrente total no fio eacute i Mostre que a energia magneacutetica por unidade de comprimento dentro do fio eacute dada por 7i$ 165frasl
I9 ndash Um cabo coaxial eacute formado por dois cilindros condutores de paredes finas com raios - e $ As correntes nos dois cilindros satildeo iguais em magnitude mas com sentidos opostos (a) Use a lei de Ampeacutere para determinar o campo magneacutetico como funccedilatildeo da distacircncia ao eixo do cabo nas regiotildees (0 lt lt -) ( - lt lt $ ) e ( gt $) (b) Mostre que a densidade de energia magneacutetica na regiatildeo entre os cilindros eacute dada por
| = 12 745 i$(5$)-
(c) Mostre que a energia magneacutetica total num volume de cabo com comprimento ~ eacute dada por
Problemas Selecionados
37
= i$~ ln LML
(d) Mostre que a autoindutacircncia por unidade de comprimento do cabo eacute dada por
2~ = 725 ln $-
-------------------------------------------------------------------------------------------
(J) Corrente Alternada
J1 ndash A tensatildeo de uma fonte de corrente alternada eacute dada por ∆d = 120gt(30 5c) onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A fonte eacute conectada a um indutor de 05 Determine (a) a frequecircncia da fonte (b) a voltagem rms no indutor (c) a reatacircncia indutiva do circuito (d) a corrente rms no indutor e (e) a corrente maacutexima no indutor
J2 ndash Uma fonte de tensatildeo alternada fornece uma tensatildeo ∆d = 98gt(80 5c) a um capacitor onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A corrente maacutexima no circuito eacute 05 J Determine (a) a tensatildeo rms da fonte (b) a frequecircncia da fonte e (c) o valor da capacitacircncia
J3 ndash Um circuito AC eacute composto por um resistor de 250 Ω um indutor de 15 um capacitor de 35 e uma fonte de tensatildeo alternada com amplitude de 45 S operando com frequecircncia angular = 360 = frasl (a) Qual eacute o fator de potecircncia do circuito (b) Determine a potecircncia meacutedia aparente (S) fornecida ao circuito (c) Qual eacute a potecircncia meacutedia ativa (P) dissipada no resistor Qual eacute a potecircncia meacutedia reativa (Q) que fica armazenada no circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
38
J4 ndash Cinco voltiacutemetros com impedacircncia muito grande ajustados para ler valores rms estatildeo conectados conforme a figura ao lado Sendo F =200 Ω 2 = 04 H D = 6 e ∆S = 30 Vqual eacute a leitura da tensatildeo em cada voltiacutemetro se (a) = 200 = frasl e (b) =1000 = frasl
J5 ndash Num circuito RLC 2 = 028 e D = 4 A fonte fornece uma voltagem com amplitude de 120 S Qual eacute a frequecircncia angular de ressonacircncia do circuito (b) Quando a fonte opera na frequecircncia angular de ressonacircncia a amplitude da corrente no circuito eacute 17 J Qual a resistecircncia do resistor (c) Na frequecircncia angular de ressonacircncia quais satildeo as voltagens de pico no indutor capacitor e resistor
J6 ndash O circuito ao lado conteacutem uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal conforme ℇ = ℇgt(c) No estado de equiliacutebrio temos as correntes mostradas no circuito Sem recorrer a uma matemaacutetica complicada responda (a) Quais os valores de u e quando = 0 (frequecircncia zero significa que
a fonte foi substituida por uma bateria ideal) (b) Quais os valores de u e quando rarr infin (c) Qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia
Problemas Selecionados
39
J7 ndash Um indutor um capacitor e um resistor estatildeo conectados em seacuterie a uma fonte de tensatildeo alternada Se os valores da resistecircncia capacitacircncia e indutacircncia forem duplicados o que aconteceraacute com (a) a frequecircncia angular de ressonacircncia (b) a reatacircncia indutiva (c) a reatacircncia capacitiva e (d) a impedacircncia
J8 ndash O circuito abaixo eacute formado por uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal variando conforme ℇ = ℇgt(c) uma resistecircncia F = 6 Ω e uma parte desconhecida que pode conter um indutor um capacitor ou ambos A amplitude da fonte eacute ℇ = 6 S Quando a frequecircncia angular = 2 = a corrente estaacute em fase com a fonte enquanto que para = 1 = a corrente estaacute fora de fase em relaccedilatildeo agrave fonte por exatamente 5 4frasl (a) Quais componentes estatildeo presentes na parte desconhecida (um indutor um capacitor ou ambos) Explique (b) Determine os valores dos componentes desconhecidos
J9 ndash Um circuito em seacuterie possui impendecircncia de 60 Ω e fator de potecircncia igual a 072 em 50 A tensatildeo da fonte estaacute atrasada em relaccedilatildeo agrave corrente (a) Que elemento do circuito (um indutor ou um capacitor) deve ser ligado em seacuterie com o circuito para aumentar o fator de potecircncia (b) Qual deve ser o valor desse elemento para que o fator de potecircncia seja igual a 1 (c) Apresente diagramas de fasores esquemaacuteticos para o circuito antes e depois da ligaccedilatildeo do novo elemento
Manual de Laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
41
O PROCESSO DE MEDIDA NO LABORATOacuteRIO DE FIacuteSICA
Natildeo satildeo raros eventos em que nos valemos de medidas para tomarmos decisotildees Medimos nossa temperatura corporal para avaliarmos se necessitamos de tratamento Medimos a pressatildeo manomeacutetrica dos pneus para avaliarmos se precisamos injetar ou retirar ar neles Consultamos medidas da temperatura ambiente para escolhermos a roupa que vestiremos Consultamos o horaacuterio (medida de tempo) para natildeo chegarmos atrasados em encontros Medidas satildeo portanto fundamentais em nossas vidas No entanto usualmente natildeo nos preocupamos muito com a precisatildeo dessas medidas Em grande parte das vezes natildeo nos interessa saber se o horaacuterio informado no reloacutegio estaacute um pouco atrasado ou adiantado Natildeo nos preocupamos em saber o quanto podemos confiar nas temperaturas coletadas com um determinado termocircmetro Nossas medidas comumente satildeo realizadas de forma despretensiosa sem muito rigor
No laboratoacuterio de Fiacutesica isso ocorre de modo muito diferente Os processos de mediccedilatildeo satildeo mais minuciosos do que os que realizamos costumeiramente Desejamos obter a maior precisatildeo possiacutevel com os equipamentos de que dispomos Mas como fazer isso Como podemos melhorar a precisatildeo dos processos de mediccedilatildeo Intuitivamente podemos concluir que inferecircncias realizadas a partir de um conjunto de medidas satildeo mais precisas do que medidas isoladas Mas quando disponho de um conjunto de medidas como posso analisaacute-las Calcular a meacutedia delas eacute suficiente Responder a questotildees como essas eacute o objetivo desta atividade Para exemplificarmos todo esse processo realizaremos um debate sobre a mediccedilatildeo da resistecircncia interna de amperiacutemetros
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
42
O que satildeo amperiacutemetros
Um amperiacutemetro eacute um instrumento utilizado para a realizaccedilatildeo de medidas de correntes eleacutetricas Evidentemente natildeo queremos modificar os circuitos quando os exploramos com um instrumento Com amperiacutemetros natildeo eacute diferente Queremos medir correntes eleacutetricas sem alterar as caracteriacutesticas do circuito Mas como eacute possiacutevel fazer isso Natildeo discutiremos aqui os detalhes sobre o funcionamento interno de um amperiacutemetro No entanto vamos avaliaacute-los do ponto de vista de uma das suas caracteriacutesticas mais importantes a sua resistecircncia eleacutetrica
A resistecircncia eleacutetrica de um circuito influencia na intensidade da corrente eleacutetrica que circula nele A corrente eleacutetrica i que perpassa por uma resistecircncia eleacutetrica F submetida a uma tensatildeo ∆S por exemplo pode ser predita pela seguinte relaccedilatildeo
i = ∆u Eq 1
O amperiacutemetro precisa ser posicionado em seacuterie no circuito em que se deseja medir a corrente eleacutetrica como eacute exemplificado na figura
Figure 1- Medindo a resistecircncia interna de um multiacutemetro
Manual de Laboratoacuterio
43
1 Como a resistecircncia equivalente em circuitos em seacuteries eacute a soma da resistecircncia eleacutetrica de cada um dos seus componentes a resistecircncia interna dos amperiacutemetros se soma agrave resistecircncia equivalente do circuito investigado alterando a sua dinacircmica Por isso nosso desejo eacute que os amperiacutemetros tenham resistecircncia eleacutetrica nula No entanto a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro real por menor que seja nunca eacute nula Eles possuem um circuito interno com fios e diversos componentes eletrocircnicos que acabam provocando uma resistecircncia agrave circulaccedilatildeo de corrente eleacutetrica Ainda assim frequentemente desprezamos tal resistecircncia Seraacute que isso eacute razoaacutevel Quando podemos desprezar a resistecircncia interna dos amperiacutemetros e quando natildeo podemos Para respondermos tais perguntas precisamos conhecer o valor da resistecircncia interna tiacutepica de um amperiacutemetro
Medindo a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro
Nesta disciplina usaremos diversos amperiacutemetros de uma mesma marca e modelo em uma seacuterie de experimentos (Minipa ET-2075B) Por isso eacute interessante que conheccedilamos a resistecircncia eleacutetrica deles para podermos avaliar quando podemos desprezaacute-la e quando natildeo Mas como podemos obter essa informaccedilatildeo Podemos medi-la Um procedimento simples para isso eacute submeter o amperiacutemetro a uma diferenccedila de potencial ΔV conhecida e medir a corrente eleacutetrica i que passa por ele Desse modo podemos usar a Eq 1 para inferir a resistecircncia eleacutetrica do equipamento Mas podemos confiar em uma uacutenica medida Depende da precisatildeo de que necessitamos para essa medida Intuitivamente sabemos que se medirmos a resistecircncia interna a partir de um conjunto de dados poderemos ter uma maior confiabilidade nos dados No exemplo de que estamos tratando eacute possiacutevel se coletar dados da corrente no amperiacutemetro quando submetido a diferentes tensotildees Desse modo pode-se inferir a resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro pela declividade da reta constituiacuteda
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
44
pelos dados representados em um graacutefico da tensatildeo em funccedilatildeo da corrente eleacutetrica como pode ser constatado da Eq1 No entanto como temos incertezas associadas a cada dado experimental coletado esses dados natildeo seratildeo perfeitamente representados por uma reta Surge entatildeo uma nova questatildeo qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados
Ajuste de Curvas
Diversas retas podem ser ajustadas a um conjunto de dados experimental Qual delas utilizar Intuitivamente podemos conjecturar que a melhor reta a ser utilizada eacute aquela tal que a soma das diferenccedilas entre os valores de tensatildeo medidos e os preditos pela reta tenha o menor valor possiacutevel Em outras palavras queremos minimizar a soma
sum = = (∆Sz minus ∆S)z-
onde ∆Sz satildeo as tensotildees medidas e ∆S satildeo as tensotildees preditas pela reta ajustada
No entanto haacute um inconveniente importante no uso desse criteacuterio tal soma pode ser bem pequena para retas que natildeo apresentam bom ajuste aos dados se as diferenccedilas entre os valores medidos e os preditos se cancelarem sendo alguns positivos e outros negativos Nesses casos apesar de natildeo termos uma reta bem ajustada aos dados o criteacuterio utilizado
indicaria que sim Como resolver isso Elevando os valores de dn ao
Figura 1 - Diferenccedila de potencial em funccedilatildeo
da corrente
Manual de Laboratoacuterio
45
quadrado Ou seja podemos procurar a reta tal que a seguinte soma tenha o menor valor possiacutevel
sum =$ = (∆Sz minus ∆S)$z-
O meacutetodo que utiliza esse criteacuterio para a realizaccedilatildeo de ajustes de curvas que eacute amplamente utilizado no meio acadecircmico eacute denominado Meacutetodo dos Miacutenimos Quadrados Todos os softwares do tipo planilha eletrocircnica realizam esse caacutelculo automaticamente e nos valeremos disso quando necessaacuterio
Todos os amperiacutemetros da sala possuem a mesma resistecircncia interna
Ainda que todos os amperiacutemetros que utilizaremos nas nossas aulas sejam da mesma marca e modelo eles possuem diferentes resistecircncias internas Existe alguma forma de estimar a resistecircncia interna de um desses amperiacutemetros escolhido aleatoriamente Calcular a meacutedia das resistecircncias eacute suficiente para realizar essa estimativa
Variabilidade das medidas o desvio padratildeo amostral e da meacutedia
Apesar de as resistecircncias dos amperiacutemetros natildeo serem exatamente as mesmas elas possuem valores que se distribuem em torno de um valor meacutedio que eacute igual agrave meacutedia dessas resistecircncias Desse modo se tomarmos um dos amperiacutemetros aleatoriamente o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute igual agrave meacutedia das resistecircncias internas de todos os amperiacutemetros Mas quanto podemos confiar nessa estimativa Para respondermos tal pergunta eacute importante quantificarmos a variabilidade das resistecircncias r que medimos Quanto menor for essa variabilidade maior seraacute a nossa confianccedila para assumir que a resistecircncia interna de um amperiacutemetro particular eacute igual agrave meacutedia Intuitivamente podemos conjecturar que tal variabilidade pode ser medida pelo somatoacuterio das diferenccedilas entre as resistecircncias
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
46
medidas z e a meacutedia dessas resistecircncias ou seja por (- minus ) + ($ minus ) + ⋯ + ( minus ) onde N eacute o nuacutemero de medidas realizadas No entanto temos aqui um inconveniente semelhante ao que tivemos quando analisaacutevamos ajustes de curvas se valores positivos e negativos se cancelarem esse somatoacuterio pode ser muito pequeno mesmo quando os dados apresentam grande variabilidade Podemos propor a mesma soluccedilatildeo adotada anteriormente vamos elevar os termos ao quadrado Temos entatildeo a variabilidade dos dados sendo mensurada por (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$
A impossibilidade de comparaccedilatildeo entre as variabilidades de diferentes conjuntos de dados eacute a limitaccedilatildeo desta proposta pois o resultado desse somatoacuterio eacute altamente dependente da quantidade de termos Desse modo eacute possiacutevel que esse somatoacuterio seja maior para grandes conjuntos com pouca variabilidade do que para pequenos grupos com grande variabilidade Para amenizar tal limitaccedilatildeo podemos entatildeo dividir o somatoacuterio por N ou seja calcular a variabilidade por(- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$ Hfrasl Ainda que esse somatoacuterio seja conceitualmente interessante natildeo eacute essa a medida de dispersatildeo de dados que costuma ser utilizada no meio cientiacutefico mas algo que guarda alguma semelhanccedila com ele o desvio padratildeo dos dados (P) Ele eacute calculado por
PL = (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$H minus 1
Mas por que utilizamos essa equaccedilatildeo A resposta estaacute em suas propriedades Quando construiacutemos um histograma (graacutefico de frequecircncias) de um conjunto de medidas por exemplo podemos em muitos casos assumir que a distribuiccedilatildeo desses dados eacute representada por uma distribuiccedilatildeo normal A equaccedilatildeo que define essa distribuiccedilatildeo assim como sua representaccedilatildeo graacutefica eacute ilustrada na Figura 3
Manual de Laboratoacuterio
47
Natildeo eacute nosso objetivo aqui discutir detalhes da distribuiccedilatildeo normal O que desejamos destacar eacute que quando supomos que a distribuiccedilatildeo de um conjunto de dados eacute normal o que eacute bastante razoaacutevel na maioria das vezes o desvio padratildeo σ quantifica como os dados estatildeo distribuiacutedos Para entendermos isso analisemos a Figura 4
O intervalo compreendido pela meacutedia das medidas mais ou menos um desvio padratildeo compreende 68 das medidas realizadas No caso que estamos exemplificando se tomarmos a meacutedia das resistecircncias internas r de todos os amperiacutemetros investigados e o desvio padratildeo PL desses dados 68 das medidas estaratildeo no intervalo entre ( minus PL) e ( + PL) 95 no intervalo ( 2PL) e 99 no intervalo ( 257PL)
Figura 2 - A distribuiccedilatildeo normal eacute usualmente utilizada para representar a distribuiccedilatildeo
de frequecircncias de um conjunto de dados (Lima Jr et al 2013 p 30)
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
48
Agora jaacute sabemos como quantificar a variabilidade de um conjunto de dados Podemos entatildeo calcular a meacutedia e o desvio padratildeo das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros Mas surge entatildeo uma questatildeo Se analisaacutessemos um novo conjunto de amperiacutemetros da mesma marca e modelo dos exemplificados aqui a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros seria a mesma Provavelmente natildeo Temos como estimar a partir do conjunto de medidas que realizamos a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros Temos Para responder a essa questatildeo temos que compreender um novo conceito o de desvio padratildeo da meacutedia (PL) Ele eacute calculado por
PL = PLradicH
Natildeo vamos entrar em detalhes aqui sobre a origem do conceito de desvio padratildeo da meacutedia1 vamos apenas explicar como essa grandeza nos permite estimar a incerteza na meacutedia de um conjunto de medidas Para isso vamos supor um novo conjunto de N novas
1 Se vocecirc eacute um aluno curioso pesquise sobre o Teorema Central do Limite para compreender com mais profundidade o conceito de desvio padratildeo da meacutedia
Figura 3 - A meacutedia e o desvio padratildeo demarcam a distribuiccedilatildeo dos dados em uma
distribuiccedilatildeo normal Na figura o eixo das abcissas expressa a distacircncia da meacutedia em
unidades de desvio padratildeo (Lima Jr et al 2013 p 30)
Manual de Laboratoacuterio
49
medidas da resistecircncia interna de amperiacutemetros como os investigados nesta aula Qual seria a meacutedia dessas medidas Assim como o desvio padratildeo dos dados quantifica a dispersatildeo dos dados em torno da meacutedia o desvio padratildeo da meacutedia quantifica a dispersatildeo das meacutedias de subconjuntos de dados em torno da meacutedia de todo o conjunto de dados Aplicando esse conceito ao nosso exemplo podemos interpretar os dois conjuntos de medidas de resistecircncias internas como subconjuntos de um grande conjunto contendo todas as medidas Desse modo podemos afirmar com 68 de confianccedila que a meacutedia das N novas medidas a serem realizadas estaraacute no intervalo compreendido por ( PL) com 95 de confianccedila no intervalo ( 2PL) e com 99 de confianccedila no intervalo ( 257PL) O desvio padratildeo da meacutedia pode ser compreendido assim como a incerteza da meacutedia de um conjunto de medidas ou seja ele nos fornece uma estimativa da confiabilidade de uma meacutedia Em suma se escolhermos um amperiacutemetro aleatoriamente podemos dizer que i) o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute a meacutedia das resistecircncias de todos os amperiacutemetros e ii) a incerteza que temos nesse valor eacute igual ao desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias dos amperiacutemetros
E se eu soacute tivesse condiccedilotildees de realizar uma uacutenica medida
Nem sempre podemos realizar diversas medidas de uma grandeza Em alguns casos nem mesmo faz sentido realizar diversas medidas No entanto eacute evidente que existe uma incerteza associada a uma uacutenica medida Natildeo existem instrumentos que sejam perfeitamente precisos Entatildeo como podemos estimar essa incerteza Usualmente os manuais dos instrumentos trazem informaccedilotildees sobre isso Desse modo as incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica realizadas com um voltiacutemetro e um amperiacutemetro podem ser consultadas no manual do multiacutemetro utilizado Mas como eacute calculada a incerteza da resistecircncia interna de um amperiacutemetro que foi calculada a partir de
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
50
apenas uma medida de tensatildeo e uma de corrente eleacutetrica Nesse caso precisamos calcular a incerteza propagada das incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica
Os meacutetodos de caacutelculo de incertezas propagadas podem ser bastante complicados Aqui trataremos de um meacutetodo bastante simples usualmente denominado de Meacutetodo dos Limites Vamos exemplificaacute-lo supondo que a incerteza da tensatildeo sobre as entradas do amperiacutemetro eacute P- e da corrente eleacutetrica que circula por ele eacute P$ Ou seja a tensatildeo medida estaacute no intervalo entre ∆S minus P- e ∆S + P- e a corrente eleacutetrica entre i minus P$ e i + P$ Qual eacute entatildeo a incerteza da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro investigado Para responder isso basta calcularmos os valores limites dessa grandeza O maacuteximo valor possiacutevel para a resistecircncia ocorreraacute se a tensatildeo for ∆S + P- e a corrente eleacutetrica for i minus P$ Nesse caso usando a Eq 1 temos
aacutee = ∆S + P-i minus P$
Usando o mesmo raciociacutenio o valor miacutenimo de r seraacute
z = ∆S minus P-i + P$
Desse modo podemos dizer que o valor da resistecircncia interna medida estaacute no intervalo entre rmaacutex e rmiacuten Em outras palavras o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro eacute
F = iexclz + aacutee2 z minus aacutee2 cent
Manual de Laboratoacuterio
51
Erro eacute a mesma coisa que incerteza
Apesar de serem frequentemente utilizados como sinocircnimos os manuais de metrologia atribuem significados distintos aos conceitos de ldquoerrordquo e ldquoincertezardquo O Guia para Expressatildeo da Incerteza da Mediccedilatildeo (Joint Commitee for Guide in Metrology 2008 apud Lima Jr et al 2013) usa o termo ldquoerrordquo para indicar a diferenccedila entre o valor verdadeiro e o resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo o conceito de erro tem uso restrito pois satildeo poucos os casos em que conhecemos o valor verdadeiro de uma grandeza Satildeo exemplos desses casos experimentos em que se deseja mensurar a velocidade da luz no vaacutecuo ou o valor de π que satildeo valores previamente conhecidos pelo experimentador O caacutelculo do erro soacute faz sentido para casos em que sabemos o valor verdadeiro da grandeza que se quer medir
A incerteza por outro lado eacute entendida como uma estimativa que quantifica a confiabilidade do resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo quando calculamos o desvio padratildeo da meacutedia de um conjunto de medidas estamos calculando a incerteza da meacutedia dessas medidas ou seja estamos avaliando a confianccedila que podemos ter em adotar a meacutedia dessas medidas como o valor da grandeza mensurada O conceito de incerteza portanto tem maior aplicabilidade do que o conceito de erro
Algarismos significativos e incerteza
Uma questatildeo frequente nas aulas de laboratoacuterio eacute Com quantos algarismos uma grandeza deve ser apresentada No laboratoacuterio a resposta dessa questatildeo eacute uma funccedilatildeo da incerteza da grandeza Devemos apresentar os dados ateacute o seu primeiro algarismo duvidoso Voltemos ao exemplo da resistecircncia interna dos amperiacutemetros Suponhamos que a meacutedia das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros eacute 21546 Ω e o desvio padratildeo dessa meacutedia que eacute
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
52
entendido aqui como a incerteza da resistecircncia interna dos amperiacutemetros eacute 003 Ω Interpretando tais dados assumimos com 68 de certeza que a resistecircncia interna dos amperiacutemetros estaacute no intervalo entre 21246 e 21846 Ω Desse modo a segunda casa decimal da grandeza medida eacute duvidosa Por isso os algarismos subsequentes satildeo omitidos quando expressamos essa medida e a medida da resistecircncia interna dos amperiacutemetros exemplificados eacute exposta por (215 plusmn 003) Ω Em suma o resultado de uma mediccedilatildeo deve ser sempre expresso com a mesma quantidade de casas decimais que sua incerteza Os algarismos apresentados satildeo entatildeo chamados de algarismos significativos
Referecircncia
Lima Jr P Silva M T X Silveira F L Veit E A (2013) Laboratoacuterio de mecacircnica subsiacutedios para o ensino de Fiacutesica experimental Porto Alegre UFRGS Instituto de Fiacutesica Disponiacutevel em httphdlhandlenet1018390438
Manual de Laboratoacuterio
53
Atividade de Laboratoacuterio I Instrumentos de medida e incertezas
Este material foi cuidadosamente preparado para auxiliar no andamento das atividades no laboratoacuterio de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo Eacute importante responder TODAS as perguntas
(indicadas pelo siacutembolo ) feitas ao longo do texto discutindo com seu grupo possiacuteveis respostas e justificando-as Sempre que possiacutevel faccedila isso por escrito
TAREFA 1
Construa um circuito contendo um resistor de 1 kΩ em seacuterie com uma fonte de tensatildeo contiacutenua e um multiacutemetro Coloque o multiacutemetro na funccedilatildeo amperiacutemetro na escala de miliampere Usando outro multiacutemetro meccedila a tensatildeo no amperiacutemetro Realize medidas com diferentes correntes eleacutetricas variando a tensatildeo de saiacuteda da fonte
Como podemos tratar esses dados se nosso objetivo eacute medir a resistecircncia interna do amperiacutemetro
Qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
54
Para responder essas questotildees se dirija a um dos computadores da sala e use um aplicativo que possibilite a construccedilatildeo de graacuteficos SciDavis por exemplo Insira seus dados no aplicativo construa o graacutefico desejado e encontre a melhor reta que se ajusta aos dados
Qual foi a melhor reta ajustada Determine a equaccedilatildeo dessa reta ajustada
Qual eacute o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro que vocecirc investigou
TAREFA 2
Utilize as medidas de todos os grupos da turma e aplique os conhecimentos abordados na tarefa de leitura para responder as seguintes questotildees
Qual deve ser a resistecircncia interna de um amperiacutemetro escolhido aleatoriamente entre os utilizados nesta aula
Qual eacute a incerteza desse valor
TAREFA 3
Suponha que o manual do Minipa ET-2075B informe que as medidas de tensatildeo e corrente realizadas nas faixas de milivolt e miliampere tecircm incerteza de 3 Use esses dados para calcular a
Manual de Laboratoacuterio
55
incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1
Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma
Elas satildeo coerentes Por quecirc
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
56
CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO
Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por
equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC
Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras
O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se
Manual de Laboratoacuterio
57
extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo
No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador
Salvando vidas
ldquoafastem-se choquerdquo
Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de
sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos
O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo
Figura 4 - Desfibrilador
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
58
esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)
Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma
sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o
miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia
Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2
2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387
Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)
Manual de Laboratoacuterio
59
Circuito RC - seacuterie
Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C
Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que
∆S(c) + i(c)F = 0
Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo
i(c) = =C(c)=c
e a ddp no capacitor eacute dada por
∆S(c) = C(c)D
Dessa forma podemos dizer que
=C(c)=c = minus 1FD C(c)
Figura 6 - Circuito RC
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
60
Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa
funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja
derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever
C(c) = C7 ou
A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial
Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir
Capacitor Carregando Capacitor Descarregando
∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0
C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou
∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou
Manual de Laboratoacuterio
61
Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8
Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo
eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum
3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78
Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas
do capacitor durante o processo de
carga ou descarga
Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um
graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo
do tempo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
62
Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no
capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte
Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor
quando o mesmo estaacute sendo carregado
Manual de Laboratoacuterio
63
Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie
1 - Osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos
2 ndash Aparato Experimental
Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
64
conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto
Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)
Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio
Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees
Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala
Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)
Manual de Laboratoacuterio
65
TAREFA 1
Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees
Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico
Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito
Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito
Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos
Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio
TAREFA 2
Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie
Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
66
figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)
Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados
Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo
NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo
Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste
Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito
Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito
Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles
Manual de Laboratoacuterio
67
MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS
Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais
Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio
Para onde aponta a buacutessola
Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
68
polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc
E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial
tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos
que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a
soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio
4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja
httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4
Figura 10 - Buacutessola
Figura 11 - campo B resultante
Manual de Laboratoacuterio
69
Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por
umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O
Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde
Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde
Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma
iacuteatilde() = ∙
onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde
5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass
The Physics Teacher 49(1) 45-48
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
70
Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como
iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2
Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos
gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)
Logo
gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2
Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo
iacuteatilde() = amp
Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse
tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira
na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart
Manual de Laboratoacuterio
71
pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do
que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute
yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp
onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico
da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos
yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp
Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
72
Atividade de Laboratoacuterio III Projeto
OBJETIVO
Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
73
SUGESTAtildeO 1
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO
Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas
Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece
Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha
Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo
por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o
eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
74
SUGESTAtildeO 2
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA
Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)
Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica
Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de
uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)
Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema
Manual de Laboratoacuterio
75
SUGESTAtildeO 3
BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO
Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola
Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)
Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina
O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
76
SUGESTAtildeO 4
CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO
O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer
Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
77
MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO
Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro
Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental
6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
78
110 V 127 V e 220 V O que eacute isso
As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V
Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas
A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
(c) = Jgt(c + acute)
onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por
∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)
Manual de Laboratoacuterio
79
onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1
Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho
Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores
Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
80
caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por
∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf
∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712
∆Suparamiddot = ∆S7radic2
Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a
tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s
A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente
alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$
Figura 13 - Funccedilotildees seno e
seno quadrado
Manual de Laboratoacuterio
81
COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA
Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz
Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O
Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
82
que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio
Natildeo queremos jogar energia fora
Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14
Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie
Manual de Laboratoacuterio
83
Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por
0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)
onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)
Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
ℇ(c) = ℇ7gt(c)
onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente
Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na
figura 16 para um caso em que VL gt VC
Figura 15 - Diagrama de fasores
de um circuito RLC seacuterie com
fonte de tensatildeo alternada
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
84
A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que
acute = c8 S minus SSu
Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado
por
i(c) = gt(c minus acute)
Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente
as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que
ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$
ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$
Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como
0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)
Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que
0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$
Figura 16 ndash Soma de fasores
Manual de Laboratoacuterio
85
0eacutey = F ∙ uparamiddot$
onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square
Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que
F = frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte
Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade
7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL
Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e
resistecircncia num diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
86
do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como
0 = AJradicAJ$ + AF$
O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP
DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11
Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia
Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por
acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita
Manual de Laboratoacuterio
87
2 = 1D
Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica
Figura 18 - diagramas de fasores representando
um circuito capacitivo e um circuito indutivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
88
Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie
O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio
TAREFA 1
Circuito Resistivo
Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR
Manual de Laboratoacuterio
89
Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)
O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador
Circuito Capacitivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
90
Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor
Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Manual de Laboratoacuterio
91
Circuito Indutivo
Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor
O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
92
Circuito RLC
Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise
Manual de Laboratoacuterio
93
O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador
Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio
O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior
Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor
Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou
A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
94
TAREFA 2
Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente
Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir
Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima
Qual o valor da corrente maacutexima no circuito
Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)
O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique
Manual de Laboratoacuterio
95
TAREFA 3
Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito
Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees
Como isso eacute possiacutevel Explique
Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff
Respostas
96
Respostas
A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32
A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH
A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH
B3 Ae = Af = AtildeAcircf
B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl
B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH
B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l
B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD
B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -
C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc
(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7
C2 O = ~13deg
C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)
Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-
vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr
Respostas
97
C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM
C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD
(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD
C6 A = Eacute$Acirc
C7 A = Atilde$AcircL
D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma
das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp
D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(
D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1
no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)
D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme
D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D
E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)
E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D
E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml
F1 544 times 10
F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S
F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM
u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM
u (e) 0 = ℇMu
F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω
Respostas
98
F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965
G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n
G5 i = Ograve$g = 245 J
G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y
G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez
G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H
G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)
G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)
G15 (a) zL$brvbarM (b)
z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero
G16 z$L + z$L = z$L - + 1
G17 (a) pLM
amp (b) pusup3
ampL
G18 zzMu
G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)
z
G20 zNu saindo da folha
G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)
UgraveLMamp
fora do fio (a) z$L (b)
UgravebrvbarM$L (c)
Ugravebrvbarsup3ampL
G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13
G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM
ampu
H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior
Respostas
99
H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a
H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J
I2 Φ = pound$ sup1amp
I4 C = AcircsM
I6 (a) zM
NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar
J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a
(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S
J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu
(c) = -radic
J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm
(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013
Respostas
100
Bibliografia
Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il
Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il
Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il
Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm
Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il
Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il
Problemas Selecionados
17
C4 ndash Uma carga C positiva estaacute no centro de um conjunto de calotas concecircntricas como mostra a figura abaixo O raio das calotas estaacute indicado na figura A mais externa eacute condutora e estaacute carregada com carga C negativa e a calota intermediaacuteria eacute isolante e possui carga liacutequida ( positiva distribuiacuteda de forma uniforme por
todo seu volume Calcule o campo A resultante em cada uma das 5 regiotildees indicadas na figura Indique a localizaccedilatildeo aproximada das cargas induzidas eou em excesso em cada regiatildeo e indique a direccedilatildeo e sentido dos campos eleacutetricos
C5 ndash Uma casca esfeacuterica com densidade volumeacutetrica de carga K = 20 gtDamp tem raio interno = 10 e raio externo = 2 conforme a figura Determine o moacutedulo do campo eleacutetrico para os seguintes raios a partir do centro (a) = 2frasl (b) = 15 (c) = 2
C6 ndash Usando a Lei de Gauss determine o campo eleacutetrico proacuteximo a uma placa muito grande com densidade superficial de carga P
C7 ndash Usando a Lei de Gauss determine o campo eleacutetrico proacuteximo a uma barra muito longa com densidade linear de carga B
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
18
(D) Potencial Eleacutetrico
D1 ndash A figura ao lado mostra um anel incompleto formado por trecircs segmentos de arco com densidade linear de carga constantesB- B$ e Bamp A menor delas tem carga total (- e comprimento de arco 54 As demais estatildeo indicadas na figura Qual o potencial eleacutetrico no centro do anel Qual deve ser a relaccedilatildeo entre as cargas para que o potencial eleacutetrico no centro do anel seja igual a zero
D2 ndash A figura ao lado mostra um dipolo eleacutetrico de momento dipolar |G| = R( Mostre que para ≫ R o potencial eleacutetrico no ponto P eacute dado por
S = 145T7G UO$
Dica quando ≫ R eacute razoaacutevel considerar que V cong $ e minus V cong R UO
D3 ndash Sobre uma mesa de bilhar estatildeo dispostas trecircs bolinhas Uma com carga +C outra com carga ndash C e uma terceira com carga +2C conforme mostra a figura ao lado (a) Qual o potencial no ponto P (b) Se uma quarta bolinha for colocada no centro do quadrado qual deve ser a carga da bolinha para que o potencial no ponto P seja nulo
Problemas Selecionados
19
D4 ndash Uma esfera oca isolante de raio F e carga C eacute colocada nas proximidades de uma placa muito grande cuja densidade superficial de carga eacute P (uniforme) A distacircncia entre a placa e a superfiacutecie da esfera eacute = Qual a diferenccedila de potencial entre o centro da esfera e a placa Dica calcule a ddp devido a cada objeto separadamente e some os resultados A diferenccedila de potencial entre dois pontos pode ser determinada a partir do campo eleacutetrico
D5 ndash Uma esfera isolante maciccedila possui densidade de carga K() = K7$ onde ρ0 eacute uma constante (a) Qual a diferenccedila de potencial entre os pontos b e c Se a densidade de carga fosse uniforme qual seria a diferenccedila de potencial entre os pontos b e c
D6 ndash Um fio tem densidade linear de carga B uniforme e foi dobrado no formato conforme mostra a figura abaixo Qual o potencial eleacutetrico no ponto P
D7 ndash Considere duas cascas esfeacutericas finas concecircntricas condutoras A casca interna tem raio = 15 e carga 10 gtD A casca externa tem raio = 30 e carga minus15 gtD Forneccedila expressotildees para o campo eleacutetrico e o potencial eleacutetrico para as diferentes regiotildees (a) lt 15 (b) 15 lt lt 30 (c) gt 30 Em todos os casos considere S = 0 em = infin
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
20
(E) Capacitacircncia
E1 ndash Sabendo que cada um dos capacitores no circuito ao lado tem capacitacircncia D = 10 e a diferenccedila de potencial na bateria eacute ΔS = 10 S qual eacute a carga do capacitor 1 E do capacitor 2
E2 ndash Encontre uma expressatildeo para a capacitacircncia dos capacitores abaixo sabendo que a distacircncia entre as placas eacute = a aacuterea das placas eacute 10 = o espaccedilo entre as placas estaacute preenchido por dois ou mais materiais de constantes dieleacutetricas distintas conforme mostra a figura abaixo Analisando cada capacitor separadamente eacute possiacutevel obter a mesma capacitacircncia com uma associaccedilatildeo de capacitores simples (preenchidos por um uacutenico material) Explique
E3 ndash Uma diferenccedila de potencial de 100 S eacute aplicada ao circuito ao lado onde D- = 10 D$ = 5 e Damp = 4 Se o capacitor 3 eacute substituiacutedo por um fio condutor qual eacute o aumento na carga do capacitor 1 Qual eacute o aumento na diferenccedila de potencial entre as placas do capacitor 1
(a) (b) (c)
Problemas Selecionados
21
E4 ndash No circuito ao lado a diferenccedila de potencial fornecida pela bateria eacute de 20 S Qual a capacitacircncia equivalente do circuito Qual a carga armazenada por essa capacitacircncia equivalente Qual a carga e ddp para os capacitores 1 2 e 3
E5 ndash Na figura ao lado a ddp da bateria eacute 10 S D- = 10 D$ = Damp = 2D- A chave eacute movida para a esquerda e somente depois que o capacitor 1 atingiu o equiliacutebrio a chave eacute movida para a direita Quando o equiliacutebrio eacute novamente atingido qual eacute a carga do capacitor 1
E6 ndash Um capacitor de placas paralelas com aacuterea J e espaccedilamento = eacute preenchido com vidro (6 = 267) Conectado a uma bateria o capacitor acumula carga C (a) Qual a energia armazenada no capacitor (b) Mantendo a bateria conectada a separaccedilatildeo entre as placas eacute aumentada para 2= (veja a figura) Qual a energia armazenada nessa nova situaccedilatildeo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
22
(F) Corrente e Resistecircncia
F1 ndash A figura ao lado mostra parte de um fio de cobre com diacircmetros =- = 4F e =$ = 8F por onde passa uma corrente uniforme = 4 e a diferenccedila de potencial ao longo desse comprimento eacute20 S O
nuacutemero de portadores de carga por unidade de volume eacute 849 times 10$N amp Qual eacute a velocidade de deriva dos eleacutetrons de conduccedilatildeo na porccedilatildeo do fio com diacircmetro =$
F2 ndash No circuito ao lado qual a magnitude e direccedilatildeo das correntes nos resistores F- F$ e Famp Para isso considere que ℇ- = 6 S ℇ$ = 12 SF- = 100 Ω F$ = 200 Ω Famp = 300 Ω O ciruito estaacute aterrado e nesse ponto S = 0 Qual eacute o potencial eleacutetrico no ponto A
F3 ndash Calcule a potecircncia total dissipada em cada circuito Considere que todas as resistecircncias satildeo iguais e as baterias satildeo ideais Expresse suas respostas em termos de ℇ e F
F4 ndash Se dois fios de mesmo comprimento um de cobre e outro de alumiacutenio apresentam a mesma resistecircncia qual deve ser a razatildeo entre seus raios
Problemas Selecionados
23
F5 ndash No circuito ao lado a potecircncia dissipada no resistor R eacute 20 a Qual o valor de R Qual a ddp entre os pontos A e B
F6 ndash A corrente medida por um amperiacutemetro A no circuito ao lado eacute a mesma quando ambas as chaves estatildeo abertas ou fechadas Qual o valor da resistecircncia R
F7 ndash Determine o valor da corrente que passa por cada um dos resistores a potecircncia fornecida por cada uma das fontes de tensatildeo e a potecircncia dissipada por cada um dos resistores Faccedila o balanccedilo energeacutetico do circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
24
F8 ndash No circuito ao lado a chave S permanece fechada por um longo tempo e a corrente no circuito atinge um valor constante Considere D- = 3 D$ = 6 F- = 4Ω e F$ = 7Ω A potecircncia dissipada em F$ eacute 24a (a) Determine as cargas em D- e D$ (b) Abrindo a chave S e aguardando um longo tempo qual a mudanccedila observada na carga do capacitor 2
F9 ndash Num circuito RC seacuterie como o da figura ao lado D = 1 F = 2 times 10bΩ e ℇ = 10S Dez segundos depois que a chave foi fechada determine (a) a carga no capacitor (b) a corrente no resistor (c) a taxa com que a energia eacute armazenada no capacitor (d) a taxa com que a bateria fornece energia para o circuito
F10 ndash Um capacitor eacute carregado atraveacutes de um resistor como mostra a figura no problema anterior Mostre que metade da energia fornecida pela bateria aparece como energia interna no resistor e a outra metade como energia eleacutetrica no capacitor
F11 ndash Um capacitor duas fontes ideais dois resistores e uma chave S satildeo mostrados no circuito da figura ao lado Suponha D = 12 ℇ- = 15 S ℇ$ = 30 S F- = 05 Ω e F$ = 08 Ω (a) Se a chave S permanece aberta por um longo tempo qual a carga no capacitor (b) Qual a carga no capacitor se a chave S permanece fechada por um longo tempo
Problemas Selecionados
25
F12 ndash No circuito ao lado a bateria fornece 10 S o capacitor eacute de 1 e os resistores tecircm as resistecircncias indicadas na figura O circuito estaacute ligado haacute um longo tempo (a) Qual a ddp entre os terminais do capacitor (b) Se a bateria for desconectada quanto tempo levaraacute para que essa ddp atinja um deacutecimo do valor inicial
-------------------------------------------------------------------------------------------
(G) Campo Magneacutetico
G1 ndash Um proacuteton atravessa uma regiatildeo de campo magneacutetico uniforme = lang10 20 30rang 13 No tempo c- o proacuteton tem uma velocidade d = langde df 2rang e a forccedila magneacutetica sobre o proacuteton eacute g = lang4 times 10-h minus2 times 10-h 0rang H Nesse instante qual o valor de de e df
G2 ndash Um proacuteton viaja atraveacutes de uma regiatildeo de campo eleacutetrico e
magneacutetico uniformes onde = langminus25 0 0rang 13 Num certo instante a velocidade do proacuteton eacute d = lang0 2000 0rang Qual a forccedila resultante que age sobre o proacuteton se o campo eleacutetrico for
(a) A = lang0 0 4rang S (b) A = lang0 0 minus4rang S ou
(c) A = lang4 0 0rang S
G3 ndash Uma espira retangular de lados e estaacute numa regiatildeo de campo
magneacutetico perpendicular ao plano da espira e eacute percorrida por uma corrente i constante conforme mostra a figura ao lado Determine o torque sobre a espira
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
26
G4 ndash Dois trilhos de metal separados por uma distacircncia = = 256 estatildeo ligados a uma bateria No momento em que uma barra de metal de massa = 241 8 eacute colocada sobre os trilhos (c = 0) ela fecha o circuito e por ela passa uma corrente i = 913 J O conjunto estaacute numa regiatildeo onde existe um campo magneacutetico uniforme = 563 13 Qual a velocidade da barra 611 depois Em que direccedilatildeo ela se move
G5 ndash A figura ao lado mostra um cilindro de madeira de massa = 250 8 e comprimento 2 =10 onde foi enrolado um fio formando uma espira de 10 voltas O cilindro eacute posicionado de forma que o eixo da espira estaacute perpendicular ao plano inclinado (paralelo agrave normal do plano
inclinado) Nessa regiatildeo haacute um campo magneacutetico = lang0 05 0rang 13 Qual deve ser o valor miacutenimo da corrente na espira capaz de manter o cilindro em sua posiccedilatildeo evitando que ele role para baixo
G6 ndash A figura ao lado mostra um iacutematilde e um anel condutor de raio por onde passa uma corrente i Se o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde faz um acircngulo O com a vertical na posiccedilatildeo onde estaacute o anel qual eacute a magnitude e a direccedilatildeo da forccedila resultante sobre o anel
Problemas Selecionados
27
G7 ndash Uma barra de metal com densidade de massa B (massa por unidade de comprimento) apresenta uma corrente i (saindo da paacutegina) A barra estaacute suspensa por dois fios num campo magneacutetico uniforme vertical como mostra a figura ao lado No equiliacutebrio os fios
fazem um acircngulo O com a vertical Qual a magnitude do campo magneacutetico
G8 ndash Um proacuteton com energia cineacutetica de 6 jS se move no plano da paacutegina e entra numa regiatildeo de campo magneacutetico = 1 13 direcionado para dentro da paacutegina como mostra a figura ao lado
O proacuteton entra na regiatildeo de campo com o vetor velocidade fazendo um acircngulo O- = 35deg com a borda da regiatildeo Qual eacute a distacircncia entre o ponto de entrada e saiacuteda ( na figura) Qual o valor de O$
G9 ndash Considere um eleacutetron orbitando um proacuteton numa trajetoacuteria circular de raio F = 529 times 10-- devido agrave atraccedilatildeo Coulombiana Considere o sistema como se fosse um anel por onde passa uma corrente Qual seraacute o torque resultante quando o sistema for colocado numa regiatildeo de campo magneacutetico = 04 13 perpendicular ao momento magneacutetico do anel
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
28
G10 ndash Um fio por onde passa uma corrente i foi moldado num formato semicircular de raio F e uma reta de comprimento 2F como mostra a figura ao lado Nessa mesma regiatildeo haacute um campo magneacutetico que aponta na direccedilatildeo + (representado pelos pontos azuis na figura ao lado) Mostre que a
forccedila resultante sobre o fio eacute zero
G11 ndash Um condutor ciliacutendrico longo de raio conteacutem duas cavidades cada uma com diacircmetro ao longo de todo o comprimento do fio Uma visatildeo da seccedilatildeo transversal do fio eacute mostrada na figura ao lado Uma corrente i uniforme (considerando a porccedilatildeo soacutelida do material) passa atraveacutes do fio e aponta para fora da paacutegina Determine a magnitude e direccedilatildeo do campo
magneacutetico em funccedilatildeo de 7 i e no ponto P
G12 ndash Dois fios muito longos por onde passa corrente i de mesma magnitude estatildeo moldados conforme a figura ao lado
Mostre que o campo magneacutetico no centro do ciacuterculo de raio R eacute o mesmo que o
campo a uma distacircncia R abaixo de um fio reto muito longo por onde passa uma corrente i
Problemas Selecionados
29
G13 ndash Encontre uma expressatildeo para determinar a magnitude do campo magneacutetico no ponto P da figura ao lado Dica considere a origem dos eixos cartesianos no ponto P
G14 ndash A figura ao lado mostra a seccedilatildeo transversal de um condutor oco de raio externo e interno por onde passa uma corrente uniforme i Demonstre que a magnitude do campo magneacutetico () para uma distacircncia lt lt eacute dada por
= 7i25($ minus $) $ minus $
G15 ndash A figura ao lado mostra um cabo coaxial de raios e Correntes opostas de igual magnitude estatildeo distribuiacutedas nos dois condutores Derive uma expressatildeo para calcular o campo magneacutetico () na regiatildeo (a) lt (b) lt lt (c) lt lt e (d) gt
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
30
G16 ndash Um fio condutor por onde passa uma corrente i foi torcido para formar um loop de raio R (no plano da paacutegina) como mostra a figura abaixo Qual a direccedilatildeo do campo magneacutetico no
centro do loop Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico no centro do loop
G17 ndash Uma corrente i passa por um fio condutor ciliacutendrico de raio R como mostra a figura ao lado A densidade de corrente l natildeo eacute uniforme atraveacutes da seccedilatildeo transversal do fio mas obedece agrave funccedilatildeo l = onde eacute uma constante Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico (a) a uma distacircncia - lt F e (b) a uma distacircncia $ gt F(em relaccedilatildeo ao centro do condutor)
G18 ndash Um fio condutor muito longo por onde passa uma corrente i- estaacute parcialmente envolto por um loop por onde passa uma corrente i$ (figura ao lado) O loop fio foi moldado num formato semiciliacutendrico de raio R e o comprimento L O fio condutor passa pelo eixo do loop Calcule a forccedila magneacutetica exercida sobre o loop
G19 ndash Considere um solenoide de comprimento 2 e raio F contendo H voltas de um fio por onde passa uma corrente i (a) Determine uma expressatildeo para
o campo magneacutetico num ponto ao longo do eixo do solenoide do lado de fora do solenoide como funccedilatildeo da distacircncia ateacute uma das pontas (considere = 0 no centro do solenoide e = a distacircncia do centro ateacute o ponto onde estaacute sendo calculado o campo ) (b) Mostre que para
Problemas Selecionados
31
valores muito grandes de 2 e = = 0 se aproxima de = 7i H 2frasl para posiccedilotildees ao longo do eixo no interior do solenoide distante das bordas
G20 ndash A figura ao lado mostra um fio moldado para formar duas seccedilotildees retas e um quarto de ciacuterculo por onde passa corrente i Determine o campo magneacutetico (vetor) no ponto P
G21 ndash Um fio ciliacutendrico espesso de raio eacute percorrido por uma corrente i Determine uma expressatildeo para o
campo magneacutetico dentro e fora do fio considerando que (a) a corrente estaacute distribuiacuteda uniformemente sobre a superfiacutecie externa do fio (b) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio com densidade de corrente l constante (c) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio de forma que a densidade de corrente l eacute proporcional agrave distacircncia ateacute o eixo do fio
G22 ndash Considere dois solenoides coaxiais cada um conduzindo uma corrente i em direccedilotildees opostas O solenoide interno de raio possui gt- voltas por unidade de comprimento o
solenoide externo possui raio e gt$ voltas por unidade de
comprimento Determine (a) no interior do conjunto (b) entre eles e (c) fora deles
G23 ndash Um fio condutor longo e reto de raio F conduz uma corrente natildeo uniforme cuja densidade de corrente eacute l = l7 Ffrasl onde l7 eacute uma constante A corrente total eacute i (a) Determine uma expressatildeo para i
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
32
em funccedilatildeo de l7 e F (b) Determine uma expressatildeo para o campo magneacutetico no interior do fio para uma distacircncia
G24 ndash A figura ao lado mostra um toroide que consiste num solenoide fechado em forma de anel (a) Considerando a simetria explique qual deve ser o formato do campo magneacutetico no interior desse toroide (b) Considere o toroide compacto (a separaccedilatildeo entre cada volta do fio eacute pequena) com N voltas conduzindo uma corrente i Usando a lei de Ampeacutere determine a magnitude do campo magneacutetico num ponto interno ao toroide a uma distacircncia do eixo principal (ver figura ao lado) (c) O campo magneacutetico no interior do toroide eacute um campo uniforme Explique
-------------------------------------------------------------------------------------------
(H) Lei de Faraday
H1 ndash A figura ao lado mostra dois aneis cujos eixos estatildeo alinhados separados por uma distacircncia x O anel maior tem raio F o anel menor tem raio Os aneis estatildeo separados por uma distacircncia ≫ F e por isso o campo magneacutetico devido agrave corrente no anel de raio F eacute praticamente uniforme no anel menor Considere que a distacircncia estaacute aumentando a uma taxa constante = =cfrasl = d (a) Determine uma expressatildeo para o fluxo de campo magneacutetico atraveacutes do anel menor como funccedilatildeo de Encontre uma expressatildeo para (b) a fem induzida e (c) a direccedilatildeo da corrente no anel menor
Problemas Selecionados
33
H2 ndash (a) Calcule o fluxo magneacutetico atraveacutes do retacircngulo mostrado na figura ao lado em funccedilatildeo de = i (b) Avalie o resultado encontrado para = 5 = 10 = = 2 e i = 20 J
H3 ndash Uma espira plana e circular de raio =75 estaacute em repouso numa regiatildeo de campo magneacutetico uniforme A espira estaacute orientada de tal forma que o campo magneacutetico aponta para cima
e faz um acircngulo de 30deg com a normal da espira O campo varia com
o tempo de acordo com (c) = 14(77nho) 13 (a) Determine a fem induzida na espira em funccedilatildeo do tempo (b) Para que valor de c a fem induzida eacute igual a um deacutecimo do seu valor inicial Determine o sentido da corrente induzida na espira se observada por cima da espira
H4 ndash Um retacircngulo que mede 30 times 40 estaacute localizado no interior de um campo magneacutetico uniforme de 125 13 com o campo perpendicular ao plano da bobina A bobina se move perpendicular ao campo com velocidade constante d =2 inclusive atingindo a regiatildeo
onde o campo termina abruptamente como mostra a figura ao lado Determine a fem induzida nessa bobina quando ela estaacute (a) inteiramente no interior do campo (b) parcialmente no interior do campo e (c) inteiramente fora do campo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
34
H5 ndash O fio na figura ao lado conduz
uma corrente i(c) = i7po onde gt 0 Determine o sentido da corrente induzida na bobina (horaacuterio ou anti-horaacuterio) para c gt 0
H6 ndash A figura ao lado mostra uma espira circular de raio contendo uma resistecircncia e um capacitor ligados em seacuterie imerso numa regiatildeo onde um campo magneacutetico uniforme (no espaccedilo) entrando no plano na paacutegina decresce no tempo a uma taxa constante = =cfrasl = minus sendo uma constante positiva (a) Qual a carga no capacitor quando ele estaacute completamente carregado (b) Qual das placas do capacitor estaacute em potencial mais elevado (c) Qual a origem da forccedila que causa a separaccedilatildeo de cargas
-------------------------------------------------------------------------------------------
(I) Indutacircncia
I1 ndash No circuito ao lado ℰ = 100 SF- = 10 Ω F$ = 20 Ω Famp = 30 Ω e 2 = 2 H Ao fechar a chave S quais os valores de i- e i$ Considere positivo o sentido das correntes indicadas na figura Muito tempo
depois quais satildeo os valores de i- e i$ A chave eacute entatildeo aberta Nesse instante quais satildeo os valores de i- e i$ E muito tempo depois quais satildeo os valores de i- e i$
Problemas Selecionados
35
I2 ndash Num circuito LC em seacuterie a carga inicial do capacitor eacute C e ele estaacute sendo descarregado Quando a carga no capacitor eacute igual a C 2frasl qual eacute o fluxo magneacutetico que atravessa cada uma das N espiras do indutor (como funccedilatildeo de C H 2 e D)
I3 ndash Uma bobina possui N voltas e estaacute envolvendo um solenoide longo de raio r com n espiras por unidade de comprimento (figura ao lado) (a) Mostre que a indutacircncia muacutetua do sistema eacute dada por j = 75F$gtH (b) Explique por que M natildeo depende do formato tamanho ou possiacutevel falta de proximidade das espiras na bobina
I4 ndash A fem autoinduzida num solenoide de indutacircncia L varia no tempo conforme ℇ(c) = ℇ7so Levando em consideraccedilatildeo que a carga eacute finita (ou seja i = 0 quando c = infin) determine a carga total que passa pelo solenoide (que atravessa um determinado ponto no fio que compotildee o solenoide)
I5 ndash Um fio condutor foi enrolado num papelatildeo formando um toroide com N espiras (voltas) raio menor r e maior R A seccedilatildeo transversal do toroide eacute mostrada na figura ao lado Se F ≫ o campo magneacutetico no interior do toroide eacute essencialmente o mesmo que o campo no interior de um solenoide muito longo que tenha sido
moldado no formato de um ciacuterculo de raio R Modelando o campo como se fosse o campo uniforme de um solenoide longo mostre que a indutacircncia desse toroide eacute
aproximadamente 2 asymp -$ 7H$ LMu
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
36
I6 ndash Um indutor consiste em duas cascas ciliacutendricas concecircntricas como mostra a figura A casca interna tem raio e a externa tem raio ambas com comprimento ℎ A casca interna transporta uma corrente i para fora e a externa para dentro do plano da paacutegina com igual magnitude Calcule na regiatildeo lt lt (a) a densidade de energia magneacutetica (b) a indutacircncia
I7 ndash Mostre que i(c) = i7o wx eacute a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial iF + 2 yzyo = 0 onde i7 eacute a corrente em c = 0 e = 2 Ffrasl
I8 ndash Um fio condutor de raio R transporta uma corrente uniforme A corrente total no fio eacute i Mostre que a energia magneacutetica por unidade de comprimento dentro do fio eacute dada por 7i$ 165frasl
I9 ndash Um cabo coaxial eacute formado por dois cilindros condutores de paredes finas com raios - e $ As correntes nos dois cilindros satildeo iguais em magnitude mas com sentidos opostos (a) Use a lei de Ampeacutere para determinar o campo magneacutetico como funccedilatildeo da distacircncia ao eixo do cabo nas regiotildees (0 lt lt -) ( - lt lt $ ) e ( gt $) (b) Mostre que a densidade de energia magneacutetica na regiatildeo entre os cilindros eacute dada por
| = 12 745 i$(5$)-
(c) Mostre que a energia magneacutetica total num volume de cabo com comprimento ~ eacute dada por
Problemas Selecionados
37
= i$~ ln LML
(d) Mostre que a autoindutacircncia por unidade de comprimento do cabo eacute dada por
2~ = 725 ln $-
-------------------------------------------------------------------------------------------
(J) Corrente Alternada
J1 ndash A tensatildeo de uma fonte de corrente alternada eacute dada por ∆d = 120gt(30 5c) onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A fonte eacute conectada a um indutor de 05 Determine (a) a frequecircncia da fonte (b) a voltagem rms no indutor (c) a reatacircncia indutiva do circuito (d) a corrente rms no indutor e (e) a corrente maacutexima no indutor
J2 ndash Uma fonte de tensatildeo alternada fornece uma tensatildeo ∆d = 98gt(80 5c) a um capacitor onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A corrente maacutexima no circuito eacute 05 J Determine (a) a tensatildeo rms da fonte (b) a frequecircncia da fonte e (c) o valor da capacitacircncia
J3 ndash Um circuito AC eacute composto por um resistor de 250 Ω um indutor de 15 um capacitor de 35 e uma fonte de tensatildeo alternada com amplitude de 45 S operando com frequecircncia angular = 360 = frasl (a) Qual eacute o fator de potecircncia do circuito (b) Determine a potecircncia meacutedia aparente (S) fornecida ao circuito (c) Qual eacute a potecircncia meacutedia ativa (P) dissipada no resistor Qual eacute a potecircncia meacutedia reativa (Q) que fica armazenada no circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
38
J4 ndash Cinco voltiacutemetros com impedacircncia muito grande ajustados para ler valores rms estatildeo conectados conforme a figura ao lado Sendo F =200 Ω 2 = 04 H D = 6 e ∆S = 30 Vqual eacute a leitura da tensatildeo em cada voltiacutemetro se (a) = 200 = frasl e (b) =1000 = frasl
J5 ndash Num circuito RLC 2 = 028 e D = 4 A fonte fornece uma voltagem com amplitude de 120 S Qual eacute a frequecircncia angular de ressonacircncia do circuito (b) Quando a fonte opera na frequecircncia angular de ressonacircncia a amplitude da corrente no circuito eacute 17 J Qual a resistecircncia do resistor (c) Na frequecircncia angular de ressonacircncia quais satildeo as voltagens de pico no indutor capacitor e resistor
J6 ndash O circuito ao lado conteacutem uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal conforme ℇ = ℇgt(c) No estado de equiliacutebrio temos as correntes mostradas no circuito Sem recorrer a uma matemaacutetica complicada responda (a) Quais os valores de u e quando = 0 (frequecircncia zero significa que
a fonte foi substituida por uma bateria ideal) (b) Quais os valores de u e quando rarr infin (c) Qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia
Problemas Selecionados
39
J7 ndash Um indutor um capacitor e um resistor estatildeo conectados em seacuterie a uma fonte de tensatildeo alternada Se os valores da resistecircncia capacitacircncia e indutacircncia forem duplicados o que aconteceraacute com (a) a frequecircncia angular de ressonacircncia (b) a reatacircncia indutiva (c) a reatacircncia capacitiva e (d) a impedacircncia
J8 ndash O circuito abaixo eacute formado por uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal variando conforme ℇ = ℇgt(c) uma resistecircncia F = 6 Ω e uma parte desconhecida que pode conter um indutor um capacitor ou ambos A amplitude da fonte eacute ℇ = 6 S Quando a frequecircncia angular = 2 = a corrente estaacute em fase com a fonte enquanto que para = 1 = a corrente estaacute fora de fase em relaccedilatildeo agrave fonte por exatamente 5 4frasl (a) Quais componentes estatildeo presentes na parte desconhecida (um indutor um capacitor ou ambos) Explique (b) Determine os valores dos componentes desconhecidos
J9 ndash Um circuito em seacuterie possui impendecircncia de 60 Ω e fator de potecircncia igual a 072 em 50 A tensatildeo da fonte estaacute atrasada em relaccedilatildeo agrave corrente (a) Que elemento do circuito (um indutor ou um capacitor) deve ser ligado em seacuterie com o circuito para aumentar o fator de potecircncia (b) Qual deve ser o valor desse elemento para que o fator de potecircncia seja igual a 1 (c) Apresente diagramas de fasores esquemaacuteticos para o circuito antes e depois da ligaccedilatildeo do novo elemento
Manual de Laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
41
O PROCESSO DE MEDIDA NO LABORATOacuteRIO DE FIacuteSICA
Natildeo satildeo raros eventos em que nos valemos de medidas para tomarmos decisotildees Medimos nossa temperatura corporal para avaliarmos se necessitamos de tratamento Medimos a pressatildeo manomeacutetrica dos pneus para avaliarmos se precisamos injetar ou retirar ar neles Consultamos medidas da temperatura ambiente para escolhermos a roupa que vestiremos Consultamos o horaacuterio (medida de tempo) para natildeo chegarmos atrasados em encontros Medidas satildeo portanto fundamentais em nossas vidas No entanto usualmente natildeo nos preocupamos muito com a precisatildeo dessas medidas Em grande parte das vezes natildeo nos interessa saber se o horaacuterio informado no reloacutegio estaacute um pouco atrasado ou adiantado Natildeo nos preocupamos em saber o quanto podemos confiar nas temperaturas coletadas com um determinado termocircmetro Nossas medidas comumente satildeo realizadas de forma despretensiosa sem muito rigor
No laboratoacuterio de Fiacutesica isso ocorre de modo muito diferente Os processos de mediccedilatildeo satildeo mais minuciosos do que os que realizamos costumeiramente Desejamos obter a maior precisatildeo possiacutevel com os equipamentos de que dispomos Mas como fazer isso Como podemos melhorar a precisatildeo dos processos de mediccedilatildeo Intuitivamente podemos concluir que inferecircncias realizadas a partir de um conjunto de medidas satildeo mais precisas do que medidas isoladas Mas quando disponho de um conjunto de medidas como posso analisaacute-las Calcular a meacutedia delas eacute suficiente Responder a questotildees como essas eacute o objetivo desta atividade Para exemplificarmos todo esse processo realizaremos um debate sobre a mediccedilatildeo da resistecircncia interna de amperiacutemetros
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
42
O que satildeo amperiacutemetros
Um amperiacutemetro eacute um instrumento utilizado para a realizaccedilatildeo de medidas de correntes eleacutetricas Evidentemente natildeo queremos modificar os circuitos quando os exploramos com um instrumento Com amperiacutemetros natildeo eacute diferente Queremos medir correntes eleacutetricas sem alterar as caracteriacutesticas do circuito Mas como eacute possiacutevel fazer isso Natildeo discutiremos aqui os detalhes sobre o funcionamento interno de um amperiacutemetro No entanto vamos avaliaacute-los do ponto de vista de uma das suas caracteriacutesticas mais importantes a sua resistecircncia eleacutetrica
A resistecircncia eleacutetrica de um circuito influencia na intensidade da corrente eleacutetrica que circula nele A corrente eleacutetrica i que perpassa por uma resistecircncia eleacutetrica F submetida a uma tensatildeo ∆S por exemplo pode ser predita pela seguinte relaccedilatildeo
i = ∆u Eq 1
O amperiacutemetro precisa ser posicionado em seacuterie no circuito em que se deseja medir a corrente eleacutetrica como eacute exemplificado na figura
Figure 1- Medindo a resistecircncia interna de um multiacutemetro
Manual de Laboratoacuterio
43
1 Como a resistecircncia equivalente em circuitos em seacuteries eacute a soma da resistecircncia eleacutetrica de cada um dos seus componentes a resistecircncia interna dos amperiacutemetros se soma agrave resistecircncia equivalente do circuito investigado alterando a sua dinacircmica Por isso nosso desejo eacute que os amperiacutemetros tenham resistecircncia eleacutetrica nula No entanto a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro real por menor que seja nunca eacute nula Eles possuem um circuito interno com fios e diversos componentes eletrocircnicos que acabam provocando uma resistecircncia agrave circulaccedilatildeo de corrente eleacutetrica Ainda assim frequentemente desprezamos tal resistecircncia Seraacute que isso eacute razoaacutevel Quando podemos desprezar a resistecircncia interna dos amperiacutemetros e quando natildeo podemos Para respondermos tais perguntas precisamos conhecer o valor da resistecircncia interna tiacutepica de um amperiacutemetro
Medindo a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro
Nesta disciplina usaremos diversos amperiacutemetros de uma mesma marca e modelo em uma seacuterie de experimentos (Minipa ET-2075B) Por isso eacute interessante que conheccedilamos a resistecircncia eleacutetrica deles para podermos avaliar quando podemos desprezaacute-la e quando natildeo Mas como podemos obter essa informaccedilatildeo Podemos medi-la Um procedimento simples para isso eacute submeter o amperiacutemetro a uma diferenccedila de potencial ΔV conhecida e medir a corrente eleacutetrica i que passa por ele Desse modo podemos usar a Eq 1 para inferir a resistecircncia eleacutetrica do equipamento Mas podemos confiar em uma uacutenica medida Depende da precisatildeo de que necessitamos para essa medida Intuitivamente sabemos que se medirmos a resistecircncia interna a partir de um conjunto de dados poderemos ter uma maior confiabilidade nos dados No exemplo de que estamos tratando eacute possiacutevel se coletar dados da corrente no amperiacutemetro quando submetido a diferentes tensotildees Desse modo pode-se inferir a resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro pela declividade da reta constituiacuteda
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
44
pelos dados representados em um graacutefico da tensatildeo em funccedilatildeo da corrente eleacutetrica como pode ser constatado da Eq1 No entanto como temos incertezas associadas a cada dado experimental coletado esses dados natildeo seratildeo perfeitamente representados por uma reta Surge entatildeo uma nova questatildeo qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados
Ajuste de Curvas
Diversas retas podem ser ajustadas a um conjunto de dados experimental Qual delas utilizar Intuitivamente podemos conjecturar que a melhor reta a ser utilizada eacute aquela tal que a soma das diferenccedilas entre os valores de tensatildeo medidos e os preditos pela reta tenha o menor valor possiacutevel Em outras palavras queremos minimizar a soma
sum = = (∆Sz minus ∆S)z-
onde ∆Sz satildeo as tensotildees medidas e ∆S satildeo as tensotildees preditas pela reta ajustada
No entanto haacute um inconveniente importante no uso desse criteacuterio tal soma pode ser bem pequena para retas que natildeo apresentam bom ajuste aos dados se as diferenccedilas entre os valores medidos e os preditos se cancelarem sendo alguns positivos e outros negativos Nesses casos apesar de natildeo termos uma reta bem ajustada aos dados o criteacuterio utilizado
indicaria que sim Como resolver isso Elevando os valores de dn ao
Figura 1 - Diferenccedila de potencial em funccedilatildeo
da corrente
Manual de Laboratoacuterio
45
quadrado Ou seja podemos procurar a reta tal que a seguinte soma tenha o menor valor possiacutevel
sum =$ = (∆Sz minus ∆S)$z-
O meacutetodo que utiliza esse criteacuterio para a realizaccedilatildeo de ajustes de curvas que eacute amplamente utilizado no meio acadecircmico eacute denominado Meacutetodo dos Miacutenimos Quadrados Todos os softwares do tipo planilha eletrocircnica realizam esse caacutelculo automaticamente e nos valeremos disso quando necessaacuterio
Todos os amperiacutemetros da sala possuem a mesma resistecircncia interna
Ainda que todos os amperiacutemetros que utilizaremos nas nossas aulas sejam da mesma marca e modelo eles possuem diferentes resistecircncias internas Existe alguma forma de estimar a resistecircncia interna de um desses amperiacutemetros escolhido aleatoriamente Calcular a meacutedia das resistecircncias eacute suficiente para realizar essa estimativa
Variabilidade das medidas o desvio padratildeo amostral e da meacutedia
Apesar de as resistecircncias dos amperiacutemetros natildeo serem exatamente as mesmas elas possuem valores que se distribuem em torno de um valor meacutedio que eacute igual agrave meacutedia dessas resistecircncias Desse modo se tomarmos um dos amperiacutemetros aleatoriamente o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute igual agrave meacutedia das resistecircncias internas de todos os amperiacutemetros Mas quanto podemos confiar nessa estimativa Para respondermos tal pergunta eacute importante quantificarmos a variabilidade das resistecircncias r que medimos Quanto menor for essa variabilidade maior seraacute a nossa confianccedila para assumir que a resistecircncia interna de um amperiacutemetro particular eacute igual agrave meacutedia Intuitivamente podemos conjecturar que tal variabilidade pode ser medida pelo somatoacuterio das diferenccedilas entre as resistecircncias
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
46
medidas z e a meacutedia dessas resistecircncias ou seja por (- minus ) + ($ minus ) + ⋯ + ( minus ) onde N eacute o nuacutemero de medidas realizadas No entanto temos aqui um inconveniente semelhante ao que tivemos quando analisaacutevamos ajustes de curvas se valores positivos e negativos se cancelarem esse somatoacuterio pode ser muito pequeno mesmo quando os dados apresentam grande variabilidade Podemos propor a mesma soluccedilatildeo adotada anteriormente vamos elevar os termos ao quadrado Temos entatildeo a variabilidade dos dados sendo mensurada por (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$
A impossibilidade de comparaccedilatildeo entre as variabilidades de diferentes conjuntos de dados eacute a limitaccedilatildeo desta proposta pois o resultado desse somatoacuterio eacute altamente dependente da quantidade de termos Desse modo eacute possiacutevel que esse somatoacuterio seja maior para grandes conjuntos com pouca variabilidade do que para pequenos grupos com grande variabilidade Para amenizar tal limitaccedilatildeo podemos entatildeo dividir o somatoacuterio por N ou seja calcular a variabilidade por(- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$ Hfrasl Ainda que esse somatoacuterio seja conceitualmente interessante natildeo eacute essa a medida de dispersatildeo de dados que costuma ser utilizada no meio cientiacutefico mas algo que guarda alguma semelhanccedila com ele o desvio padratildeo dos dados (P) Ele eacute calculado por
PL = (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$H minus 1
Mas por que utilizamos essa equaccedilatildeo A resposta estaacute em suas propriedades Quando construiacutemos um histograma (graacutefico de frequecircncias) de um conjunto de medidas por exemplo podemos em muitos casos assumir que a distribuiccedilatildeo desses dados eacute representada por uma distribuiccedilatildeo normal A equaccedilatildeo que define essa distribuiccedilatildeo assim como sua representaccedilatildeo graacutefica eacute ilustrada na Figura 3
Manual de Laboratoacuterio
47
Natildeo eacute nosso objetivo aqui discutir detalhes da distribuiccedilatildeo normal O que desejamos destacar eacute que quando supomos que a distribuiccedilatildeo de um conjunto de dados eacute normal o que eacute bastante razoaacutevel na maioria das vezes o desvio padratildeo σ quantifica como os dados estatildeo distribuiacutedos Para entendermos isso analisemos a Figura 4
O intervalo compreendido pela meacutedia das medidas mais ou menos um desvio padratildeo compreende 68 das medidas realizadas No caso que estamos exemplificando se tomarmos a meacutedia das resistecircncias internas r de todos os amperiacutemetros investigados e o desvio padratildeo PL desses dados 68 das medidas estaratildeo no intervalo entre ( minus PL) e ( + PL) 95 no intervalo ( 2PL) e 99 no intervalo ( 257PL)
Figura 2 - A distribuiccedilatildeo normal eacute usualmente utilizada para representar a distribuiccedilatildeo
de frequecircncias de um conjunto de dados (Lima Jr et al 2013 p 30)
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
48
Agora jaacute sabemos como quantificar a variabilidade de um conjunto de dados Podemos entatildeo calcular a meacutedia e o desvio padratildeo das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros Mas surge entatildeo uma questatildeo Se analisaacutessemos um novo conjunto de amperiacutemetros da mesma marca e modelo dos exemplificados aqui a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros seria a mesma Provavelmente natildeo Temos como estimar a partir do conjunto de medidas que realizamos a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros Temos Para responder a essa questatildeo temos que compreender um novo conceito o de desvio padratildeo da meacutedia (PL) Ele eacute calculado por
PL = PLradicH
Natildeo vamos entrar em detalhes aqui sobre a origem do conceito de desvio padratildeo da meacutedia1 vamos apenas explicar como essa grandeza nos permite estimar a incerteza na meacutedia de um conjunto de medidas Para isso vamos supor um novo conjunto de N novas
1 Se vocecirc eacute um aluno curioso pesquise sobre o Teorema Central do Limite para compreender com mais profundidade o conceito de desvio padratildeo da meacutedia
Figura 3 - A meacutedia e o desvio padratildeo demarcam a distribuiccedilatildeo dos dados em uma
distribuiccedilatildeo normal Na figura o eixo das abcissas expressa a distacircncia da meacutedia em
unidades de desvio padratildeo (Lima Jr et al 2013 p 30)
Manual de Laboratoacuterio
49
medidas da resistecircncia interna de amperiacutemetros como os investigados nesta aula Qual seria a meacutedia dessas medidas Assim como o desvio padratildeo dos dados quantifica a dispersatildeo dos dados em torno da meacutedia o desvio padratildeo da meacutedia quantifica a dispersatildeo das meacutedias de subconjuntos de dados em torno da meacutedia de todo o conjunto de dados Aplicando esse conceito ao nosso exemplo podemos interpretar os dois conjuntos de medidas de resistecircncias internas como subconjuntos de um grande conjunto contendo todas as medidas Desse modo podemos afirmar com 68 de confianccedila que a meacutedia das N novas medidas a serem realizadas estaraacute no intervalo compreendido por ( PL) com 95 de confianccedila no intervalo ( 2PL) e com 99 de confianccedila no intervalo ( 257PL) O desvio padratildeo da meacutedia pode ser compreendido assim como a incerteza da meacutedia de um conjunto de medidas ou seja ele nos fornece uma estimativa da confiabilidade de uma meacutedia Em suma se escolhermos um amperiacutemetro aleatoriamente podemos dizer que i) o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute a meacutedia das resistecircncias de todos os amperiacutemetros e ii) a incerteza que temos nesse valor eacute igual ao desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias dos amperiacutemetros
E se eu soacute tivesse condiccedilotildees de realizar uma uacutenica medida
Nem sempre podemos realizar diversas medidas de uma grandeza Em alguns casos nem mesmo faz sentido realizar diversas medidas No entanto eacute evidente que existe uma incerteza associada a uma uacutenica medida Natildeo existem instrumentos que sejam perfeitamente precisos Entatildeo como podemos estimar essa incerteza Usualmente os manuais dos instrumentos trazem informaccedilotildees sobre isso Desse modo as incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica realizadas com um voltiacutemetro e um amperiacutemetro podem ser consultadas no manual do multiacutemetro utilizado Mas como eacute calculada a incerteza da resistecircncia interna de um amperiacutemetro que foi calculada a partir de
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
50
apenas uma medida de tensatildeo e uma de corrente eleacutetrica Nesse caso precisamos calcular a incerteza propagada das incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica
Os meacutetodos de caacutelculo de incertezas propagadas podem ser bastante complicados Aqui trataremos de um meacutetodo bastante simples usualmente denominado de Meacutetodo dos Limites Vamos exemplificaacute-lo supondo que a incerteza da tensatildeo sobre as entradas do amperiacutemetro eacute P- e da corrente eleacutetrica que circula por ele eacute P$ Ou seja a tensatildeo medida estaacute no intervalo entre ∆S minus P- e ∆S + P- e a corrente eleacutetrica entre i minus P$ e i + P$ Qual eacute entatildeo a incerteza da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro investigado Para responder isso basta calcularmos os valores limites dessa grandeza O maacuteximo valor possiacutevel para a resistecircncia ocorreraacute se a tensatildeo for ∆S + P- e a corrente eleacutetrica for i minus P$ Nesse caso usando a Eq 1 temos
aacutee = ∆S + P-i minus P$
Usando o mesmo raciociacutenio o valor miacutenimo de r seraacute
z = ∆S minus P-i + P$
Desse modo podemos dizer que o valor da resistecircncia interna medida estaacute no intervalo entre rmaacutex e rmiacuten Em outras palavras o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro eacute
F = iexclz + aacutee2 z minus aacutee2 cent
Manual de Laboratoacuterio
51
Erro eacute a mesma coisa que incerteza
Apesar de serem frequentemente utilizados como sinocircnimos os manuais de metrologia atribuem significados distintos aos conceitos de ldquoerrordquo e ldquoincertezardquo O Guia para Expressatildeo da Incerteza da Mediccedilatildeo (Joint Commitee for Guide in Metrology 2008 apud Lima Jr et al 2013) usa o termo ldquoerrordquo para indicar a diferenccedila entre o valor verdadeiro e o resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo o conceito de erro tem uso restrito pois satildeo poucos os casos em que conhecemos o valor verdadeiro de uma grandeza Satildeo exemplos desses casos experimentos em que se deseja mensurar a velocidade da luz no vaacutecuo ou o valor de π que satildeo valores previamente conhecidos pelo experimentador O caacutelculo do erro soacute faz sentido para casos em que sabemos o valor verdadeiro da grandeza que se quer medir
A incerteza por outro lado eacute entendida como uma estimativa que quantifica a confiabilidade do resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo quando calculamos o desvio padratildeo da meacutedia de um conjunto de medidas estamos calculando a incerteza da meacutedia dessas medidas ou seja estamos avaliando a confianccedila que podemos ter em adotar a meacutedia dessas medidas como o valor da grandeza mensurada O conceito de incerteza portanto tem maior aplicabilidade do que o conceito de erro
Algarismos significativos e incerteza
Uma questatildeo frequente nas aulas de laboratoacuterio eacute Com quantos algarismos uma grandeza deve ser apresentada No laboratoacuterio a resposta dessa questatildeo eacute uma funccedilatildeo da incerteza da grandeza Devemos apresentar os dados ateacute o seu primeiro algarismo duvidoso Voltemos ao exemplo da resistecircncia interna dos amperiacutemetros Suponhamos que a meacutedia das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros eacute 21546 Ω e o desvio padratildeo dessa meacutedia que eacute
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
52
entendido aqui como a incerteza da resistecircncia interna dos amperiacutemetros eacute 003 Ω Interpretando tais dados assumimos com 68 de certeza que a resistecircncia interna dos amperiacutemetros estaacute no intervalo entre 21246 e 21846 Ω Desse modo a segunda casa decimal da grandeza medida eacute duvidosa Por isso os algarismos subsequentes satildeo omitidos quando expressamos essa medida e a medida da resistecircncia interna dos amperiacutemetros exemplificados eacute exposta por (215 plusmn 003) Ω Em suma o resultado de uma mediccedilatildeo deve ser sempre expresso com a mesma quantidade de casas decimais que sua incerteza Os algarismos apresentados satildeo entatildeo chamados de algarismos significativos
Referecircncia
Lima Jr P Silva M T X Silveira F L Veit E A (2013) Laboratoacuterio de mecacircnica subsiacutedios para o ensino de Fiacutesica experimental Porto Alegre UFRGS Instituto de Fiacutesica Disponiacutevel em httphdlhandlenet1018390438
Manual de Laboratoacuterio
53
Atividade de Laboratoacuterio I Instrumentos de medida e incertezas
Este material foi cuidadosamente preparado para auxiliar no andamento das atividades no laboratoacuterio de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo Eacute importante responder TODAS as perguntas
(indicadas pelo siacutembolo ) feitas ao longo do texto discutindo com seu grupo possiacuteveis respostas e justificando-as Sempre que possiacutevel faccedila isso por escrito
TAREFA 1
Construa um circuito contendo um resistor de 1 kΩ em seacuterie com uma fonte de tensatildeo contiacutenua e um multiacutemetro Coloque o multiacutemetro na funccedilatildeo amperiacutemetro na escala de miliampere Usando outro multiacutemetro meccedila a tensatildeo no amperiacutemetro Realize medidas com diferentes correntes eleacutetricas variando a tensatildeo de saiacuteda da fonte
Como podemos tratar esses dados se nosso objetivo eacute medir a resistecircncia interna do amperiacutemetro
Qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
54
Para responder essas questotildees se dirija a um dos computadores da sala e use um aplicativo que possibilite a construccedilatildeo de graacuteficos SciDavis por exemplo Insira seus dados no aplicativo construa o graacutefico desejado e encontre a melhor reta que se ajusta aos dados
Qual foi a melhor reta ajustada Determine a equaccedilatildeo dessa reta ajustada
Qual eacute o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro que vocecirc investigou
TAREFA 2
Utilize as medidas de todos os grupos da turma e aplique os conhecimentos abordados na tarefa de leitura para responder as seguintes questotildees
Qual deve ser a resistecircncia interna de um amperiacutemetro escolhido aleatoriamente entre os utilizados nesta aula
Qual eacute a incerteza desse valor
TAREFA 3
Suponha que o manual do Minipa ET-2075B informe que as medidas de tensatildeo e corrente realizadas nas faixas de milivolt e miliampere tecircm incerteza de 3 Use esses dados para calcular a
Manual de Laboratoacuterio
55
incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1
Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma
Elas satildeo coerentes Por quecirc
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
56
CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO
Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por
equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC
Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras
O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se
Manual de Laboratoacuterio
57
extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo
No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador
Salvando vidas
ldquoafastem-se choquerdquo
Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de
sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos
O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo
Figura 4 - Desfibrilador
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
58
esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)
Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma
sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o
miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia
Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2
2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387
Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)
Manual de Laboratoacuterio
59
Circuito RC - seacuterie
Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C
Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que
∆S(c) + i(c)F = 0
Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo
i(c) = =C(c)=c
e a ddp no capacitor eacute dada por
∆S(c) = C(c)D
Dessa forma podemos dizer que
=C(c)=c = minus 1FD C(c)
Figura 6 - Circuito RC
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
60
Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa
funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja
derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever
C(c) = C7 ou
A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial
Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir
Capacitor Carregando Capacitor Descarregando
∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0
C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou
∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou
Manual de Laboratoacuterio
61
Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8
Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo
eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum
3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78
Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas
do capacitor durante o processo de
carga ou descarga
Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um
graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo
do tempo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
62
Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no
capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte
Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor
quando o mesmo estaacute sendo carregado
Manual de Laboratoacuterio
63
Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie
1 - Osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos
2 ndash Aparato Experimental
Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
64
conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto
Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)
Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio
Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees
Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala
Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)
Manual de Laboratoacuterio
65
TAREFA 1
Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees
Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico
Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito
Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito
Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos
Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio
TAREFA 2
Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie
Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
66
figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)
Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados
Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo
NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo
Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste
Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito
Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito
Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles
Manual de Laboratoacuterio
67
MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS
Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais
Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio
Para onde aponta a buacutessola
Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
68
polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc
E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial
tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos
que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a
soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio
4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja
httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4
Figura 10 - Buacutessola
Figura 11 - campo B resultante
Manual de Laboratoacuterio
69
Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por
umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O
Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde
Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde
Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma
iacuteatilde() = ∙
onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde
5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass
The Physics Teacher 49(1) 45-48
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
70
Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como
iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2
Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos
gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)
Logo
gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2
Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo
iacuteatilde() = amp
Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse
tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira
na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart
Manual de Laboratoacuterio
71
pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do
que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute
yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp
onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico
da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos
yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp
Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
72
Atividade de Laboratoacuterio III Projeto
OBJETIVO
Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
73
SUGESTAtildeO 1
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO
Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas
Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece
Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha
Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo
por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o
eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
74
SUGESTAtildeO 2
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA
Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)
Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica
Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de
uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)
Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema
Manual de Laboratoacuterio
75
SUGESTAtildeO 3
BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO
Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola
Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)
Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina
O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
76
SUGESTAtildeO 4
CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO
O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer
Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
77
MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO
Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro
Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental
6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
78
110 V 127 V e 220 V O que eacute isso
As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V
Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas
A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
(c) = Jgt(c + acute)
onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por
∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)
Manual de Laboratoacuterio
79
onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1
Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho
Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores
Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
80
caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por
∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf
∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712
∆Suparamiddot = ∆S7radic2
Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a
tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s
A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente
alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$
Figura 13 - Funccedilotildees seno e
seno quadrado
Manual de Laboratoacuterio
81
COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA
Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz
Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O
Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
82
que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio
Natildeo queremos jogar energia fora
Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14
Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie
Manual de Laboratoacuterio
83
Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por
0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)
onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)
Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
ℇ(c) = ℇ7gt(c)
onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente
Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na
figura 16 para um caso em que VL gt VC
Figura 15 - Diagrama de fasores
de um circuito RLC seacuterie com
fonte de tensatildeo alternada
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
84
A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que
acute = c8 S minus SSu
Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado
por
i(c) = gt(c minus acute)
Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente
as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que
ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$
ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$
Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como
0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)
Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que
0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$
Figura 16 ndash Soma de fasores
Manual de Laboratoacuterio
85
0eacutey = F ∙ uparamiddot$
onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square
Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que
F = frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte
Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade
7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL
Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e
resistecircncia num diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
86
do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como
0 = AJradicAJ$ + AF$
O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP
DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11
Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia
Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por
acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita
Manual de Laboratoacuterio
87
2 = 1D
Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica
Figura 18 - diagramas de fasores representando
um circuito capacitivo e um circuito indutivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
88
Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie
O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio
TAREFA 1
Circuito Resistivo
Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR
Manual de Laboratoacuterio
89
Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)
O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador
Circuito Capacitivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
90
Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor
Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Manual de Laboratoacuterio
91
Circuito Indutivo
Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor
O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
92
Circuito RLC
Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise
Manual de Laboratoacuterio
93
O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador
Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio
O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior
Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor
Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou
A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
94
TAREFA 2
Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente
Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir
Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima
Qual o valor da corrente maacutexima no circuito
Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)
O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique
Manual de Laboratoacuterio
95
TAREFA 3
Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito
Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees
Como isso eacute possiacutevel Explique
Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff
Respostas
96
Respostas
A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32
A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH
A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH
B3 Ae = Af = AtildeAcircf
B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl
B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH
B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l
B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD
B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -
C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc
(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7
C2 O = ~13deg
C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)
Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-
vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr
Respostas
97
C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM
C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD
(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD
C6 A = Eacute$Acirc
C7 A = Atilde$AcircL
D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma
das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp
D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(
D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1
no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)
D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme
D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D
E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)
E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D
E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml
F1 544 times 10
F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S
F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM
u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM
u (e) 0 = ℇMu
F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω
Respostas
98
F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965
G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n
G5 i = Ograve$g = 245 J
G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y
G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez
G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H
G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)
G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)
G15 (a) zL$brvbarM (b)
z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero
G16 z$L + z$L = z$L - + 1
G17 (a) pLM
amp (b) pusup3
ampL
G18 zzMu
G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)
z
G20 zNu saindo da folha
G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)
UgraveLMamp
fora do fio (a) z$L (b)
UgravebrvbarM$L (c)
Ugravebrvbarsup3ampL
G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13
G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM
ampu
H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior
Respostas
99
H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a
H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J
I2 Φ = pound$ sup1amp
I4 C = AcircsM
I6 (a) zM
NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar
J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a
(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S
J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu
(c) = -radic
J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm
(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013
Respostas
100
Bibliografia
Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il
Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il
Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il
Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm
Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il
Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il
Problemas Selecionados
19
D4 ndash Uma esfera oca isolante de raio F e carga C eacute colocada nas proximidades de uma placa muito grande cuja densidade superficial de carga eacute P (uniforme) A distacircncia entre a placa e a superfiacutecie da esfera eacute = Qual a diferenccedila de potencial entre o centro da esfera e a placa Dica calcule a ddp devido a cada objeto separadamente e some os resultados A diferenccedila de potencial entre dois pontos pode ser determinada a partir do campo eleacutetrico
D5 ndash Uma esfera isolante maciccedila possui densidade de carga K() = K7$ onde ρ0 eacute uma constante (a) Qual a diferenccedila de potencial entre os pontos b e c Se a densidade de carga fosse uniforme qual seria a diferenccedila de potencial entre os pontos b e c
D6 ndash Um fio tem densidade linear de carga B uniforme e foi dobrado no formato conforme mostra a figura abaixo Qual o potencial eleacutetrico no ponto P
D7 ndash Considere duas cascas esfeacutericas finas concecircntricas condutoras A casca interna tem raio = 15 e carga 10 gtD A casca externa tem raio = 30 e carga minus15 gtD Forneccedila expressotildees para o campo eleacutetrico e o potencial eleacutetrico para as diferentes regiotildees (a) lt 15 (b) 15 lt lt 30 (c) gt 30 Em todos os casos considere S = 0 em = infin
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
20
(E) Capacitacircncia
E1 ndash Sabendo que cada um dos capacitores no circuito ao lado tem capacitacircncia D = 10 e a diferenccedila de potencial na bateria eacute ΔS = 10 S qual eacute a carga do capacitor 1 E do capacitor 2
E2 ndash Encontre uma expressatildeo para a capacitacircncia dos capacitores abaixo sabendo que a distacircncia entre as placas eacute = a aacuterea das placas eacute 10 = o espaccedilo entre as placas estaacute preenchido por dois ou mais materiais de constantes dieleacutetricas distintas conforme mostra a figura abaixo Analisando cada capacitor separadamente eacute possiacutevel obter a mesma capacitacircncia com uma associaccedilatildeo de capacitores simples (preenchidos por um uacutenico material) Explique
E3 ndash Uma diferenccedila de potencial de 100 S eacute aplicada ao circuito ao lado onde D- = 10 D$ = 5 e Damp = 4 Se o capacitor 3 eacute substituiacutedo por um fio condutor qual eacute o aumento na carga do capacitor 1 Qual eacute o aumento na diferenccedila de potencial entre as placas do capacitor 1
(a) (b) (c)
Problemas Selecionados
21
E4 ndash No circuito ao lado a diferenccedila de potencial fornecida pela bateria eacute de 20 S Qual a capacitacircncia equivalente do circuito Qual a carga armazenada por essa capacitacircncia equivalente Qual a carga e ddp para os capacitores 1 2 e 3
E5 ndash Na figura ao lado a ddp da bateria eacute 10 S D- = 10 D$ = Damp = 2D- A chave eacute movida para a esquerda e somente depois que o capacitor 1 atingiu o equiliacutebrio a chave eacute movida para a direita Quando o equiliacutebrio eacute novamente atingido qual eacute a carga do capacitor 1
E6 ndash Um capacitor de placas paralelas com aacuterea J e espaccedilamento = eacute preenchido com vidro (6 = 267) Conectado a uma bateria o capacitor acumula carga C (a) Qual a energia armazenada no capacitor (b) Mantendo a bateria conectada a separaccedilatildeo entre as placas eacute aumentada para 2= (veja a figura) Qual a energia armazenada nessa nova situaccedilatildeo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
22
(F) Corrente e Resistecircncia
F1 ndash A figura ao lado mostra parte de um fio de cobre com diacircmetros =- = 4F e =$ = 8F por onde passa uma corrente uniforme = 4 e a diferenccedila de potencial ao longo desse comprimento eacute20 S O
nuacutemero de portadores de carga por unidade de volume eacute 849 times 10$N amp Qual eacute a velocidade de deriva dos eleacutetrons de conduccedilatildeo na porccedilatildeo do fio com diacircmetro =$
F2 ndash No circuito ao lado qual a magnitude e direccedilatildeo das correntes nos resistores F- F$ e Famp Para isso considere que ℇ- = 6 S ℇ$ = 12 SF- = 100 Ω F$ = 200 Ω Famp = 300 Ω O ciruito estaacute aterrado e nesse ponto S = 0 Qual eacute o potencial eleacutetrico no ponto A
F3 ndash Calcule a potecircncia total dissipada em cada circuito Considere que todas as resistecircncias satildeo iguais e as baterias satildeo ideais Expresse suas respostas em termos de ℇ e F
F4 ndash Se dois fios de mesmo comprimento um de cobre e outro de alumiacutenio apresentam a mesma resistecircncia qual deve ser a razatildeo entre seus raios
Problemas Selecionados
23
F5 ndash No circuito ao lado a potecircncia dissipada no resistor R eacute 20 a Qual o valor de R Qual a ddp entre os pontos A e B
F6 ndash A corrente medida por um amperiacutemetro A no circuito ao lado eacute a mesma quando ambas as chaves estatildeo abertas ou fechadas Qual o valor da resistecircncia R
F7 ndash Determine o valor da corrente que passa por cada um dos resistores a potecircncia fornecida por cada uma das fontes de tensatildeo e a potecircncia dissipada por cada um dos resistores Faccedila o balanccedilo energeacutetico do circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
24
F8 ndash No circuito ao lado a chave S permanece fechada por um longo tempo e a corrente no circuito atinge um valor constante Considere D- = 3 D$ = 6 F- = 4Ω e F$ = 7Ω A potecircncia dissipada em F$ eacute 24a (a) Determine as cargas em D- e D$ (b) Abrindo a chave S e aguardando um longo tempo qual a mudanccedila observada na carga do capacitor 2
F9 ndash Num circuito RC seacuterie como o da figura ao lado D = 1 F = 2 times 10bΩ e ℇ = 10S Dez segundos depois que a chave foi fechada determine (a) a carga no capacitor (b) a corrente no resistor (c) a taxa com que a energia eacute armazenada no capacitor (d) a taxa com que a bateria fornece energia para o circuito
F10 ndash Um capacitor eacute carregado atraveacutes de um resistor como mostra a figura no problema anterior Mostre que metade da energia fornecida pela bateria aparece como energia interna no resistor e a outra metade como energia eleacutetrica no capacitor
F11 ndash Um capacitor duas fontes ideais dois resistores e uma chave S satildeo mostrados no circuito da figura ao lado Suponha D = 12 ℇ- = 15 S ℇ$ = 30 S F- = 05 Ω e F$ = 08 Ω (a) Se a chave S permanece aberta por um longo tempo qual a carga no capacitor (b) Qual a carga no capacitor se a chave S permanece fechada por um longo tempo
Problemas Selecionados
25
F12 ndash No circuito ao lado a bateria fornece 10 S o capacitor eacute de 1 e os resistores tecircm as resistecircncias indicadas na figura O circuito estaacute ligado haacute um longo tempo (a) Qual a ddp entre os terminais do capacitor (b) Se a bateria for desconectada quanto tempo levaraacute para que essa ddp atinja um deacutecimo do valor inicial
-------------------------------------------------------------------------------------------
(G) Campo Magneacutetico
G1 ndash Um proacuteton atravessa uma regiatildeo de campo magneacutetico uniforme = lang10 20 30rang 13 No tempo c- o proacuteton tem uma velocidade d = langde df 2rang e a forccedila magneacutetica sobre o proacuteton eacute g = lang4 times 10-h minus2 times 10-h 0rang H Nesse instante qual o valor de de e df
G2 ndash Um proacuteton viaja atraveacutes de uma regiatildeo de campo eleacutetrico e
magneacutetico uniformes onde = langminus25 0 0rang 13 Num certo instante a velocidade do proacuteton eacute d = lang0 2000 0rang Qual a forccedila resultante que age sobre o proacuteton se o campo eleacutetrico for
(a) A = lang0 0 4rang S (b) A = lang0 0 minus4rang S ou
(c) A = lang4 0 0rang S
G3 ndash Uma espira retangular de lados e estaacute numa regiatildeo de campo
magneacutetico perpendicular ao plano da espira e eacute percorrida por uma corrente i constante conforme mostra a figura ao lado Determine o torque sobre a espira
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
26
G4 ndash Dois trilhos de metal separados por uma distacircncia = = 256 estatildeo ligados a uma bateria No momento em que uma barra de metal de massa = 241 8 eacute colocada sobre os trilhos (c = 0) ela fecha o circuito e por ela passa uma corrente i = 913 J O conjunto estaacute numa regiatildeo onde existe um campo magneacutetico uniforme = 563 13 Qual a velocidade da barra 611 depois Em que direccedilatildeo ela se move
G5 ndash A figura ao lado mostra um cilindro de madeira de massa = 250 8 e comprimento 2 =10 onde foi enrolado um fio formando uma espira de 10 voltas O cilindro eacute posicionado de forma que o eixo da espira estaacute perpendicular ao plano inclinado (paralelo agrave normal do plano
inclinado) Nessa regiatildeo haacute um campo magneacutetico = lang0 05 0rang 13 Qual deve ser o valor miacutenimo da corrente na espira capaz de manter o cilindro em sua posiccedilatildeo evitando que ele role para baixo
G6 ndash A figura ao lado mostra um iacutematilde e um anel condutor de raio por onde passa uma corrente i Se o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde faz um acircngulo O com a vertical na posiccedilatildeo onde estaacute o anel qual eacute a magnitude e a direccedilatildeo da forccedila resultante sobre o anel
Problemas Selecionados
27
G7 ndash Uma barra de metal com densidade de massa B (massa por unidade de comprimento) apresenta uma corrente i (saindo da paacutegina) A barra estaacute suspensa por dois fios num campo magneacutetico uniforme vertical como mostra a figura ao lado No equiliacutebrio os fios
fazem um acircngulo O com a vertical Qual a magnitude do campo magneacutetico
G8 ndash Um proacuteton com energia cineacutetica de 6 jS se move no plano da paacutegina e entra numa regiatildeo de campo magneacutetico = 1 13 direcionado para dentro da paacutegina como mostra a figura ao lado
O proacuteton entra na regiatildeo de campo com o vetor velocidade fazendo um acircngulo O- = 35deg com a borda da regiatildeo Qual eacute a distacircncia entre o ponto de entrada e saiacuteda ( na figura) Qual o valor de O$
G9 ndash Considere um eleacutetron orbitando um proacuteton numa trajetoacuteria circular de raio F = 529 times 10-- devido agrave atraccedilatildeo Coulombiana Considere o sistema como se fosse um anel por onde passa uma corrente Qual seraacute o torque resultante quando o sistema for colocado numa regiatildeo de campo magneacutetico = 04 13 perpendicular ao momento magneacutetico do anel
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
28
G10 ndash Um fio por onde passa uma corrente i foi moldado num formato semicircular de raio F e uma reta de comprimento 2F como mostra a figura ao lado Nessa mesma regiatildeo haacute um campo magneacutetico que aponta na direccedilatildeo + (representado pelos pontos azuis na figura ao lado) Mostre que a
forccedila resultante sobre o fio eacute zero
G11 ndash Um condutor ciliacutendrico longo de raio conteacutem duas cavidades cada uma com diacircmetro ao longo de todo o comprimento do fio Uma visatildeo da seccedilatildeo transversal do fio eacute mostrada na figura ao lado Uma corrente i uniforme (considerando a porccedilatildeo soacutelida do material) passa atraveacutes do fio e aponta para fora da paacutegina Determine a magnitude e direccedilatildeo do campo
magneacutetico em funccedilatildeo de 7 i e no ponto P
G12 ndash Dois fios muito longos por onde passa corrente i de mesma magnitude estatildeo moldados conforme a figura ao lado
Mostre que o campo magneacutetico no centro do ciacuterculo de raio R eacute o mesmo que o
campo a uma distacircncia R abaixo de um fio reto muito longo por onde passa uma corrente i
Problemas Selecionados
29
G13 ndash Encontre uma expressatildeo para determinar a magnitude do campo magneacutetico no ponto P da figura ao lado Dica considere a origem dos eixos cartesianos no ponto P
G14 ndash A figura ao lado mostra a seccedilatildeo transversal de um condutor oco de raio externo e interno por onde passa uma corrente uniforme i Demonstre que a magnitude do campo magneacutetico () para uma distacircncia lt lt eacute dada por
= 7i25($ minus $) $ minus $
G15 ndash A figura ao lado mostra um cabo coaxial de raios e Correntes opostas de igual magnitude estatildeo distribuiacutedas nos dois condutores Derive uma expressatildeo para calcular o campo magneacutetico () na regiatildeo (a) lt (b) lt lt (c) lt lt e (d) gt
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
30
G16 ndash Um fio condutor por onde passa uma corrente i foi torcido para formar um loop de raio R (no plano da paacutegina) como mostra a figura abaixo Qual a direccedilatildeo do campo magneacutetico no
centro do loop Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico no centro do loop
G17 ndash Uma corrente i passa por um fio condutor ciliacutendrico de raio R como mostra a figura ao lado A densidade de corrente l natildeo eacute uniforme atraveacutes da seccedilatildeo transversal do fio mas obedece agrave funccedilatildeo l = onde eacute uma constante Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico (a) a uma distacircncia - lt F e (b) a uma distacircncia $ gt F(em relaccedilatildeo ao centro do condutor)
G18 ndash Um fio condutor muito longo por onde passa uma corrente i- estaacute parcialmente envolto por um loop por onde passa uma corrente i$ (figura ao lado) O loop fio foi moldado num formato semiciliacutendrico de raio R e o comprimento L O fio condutor passa pelo eixo do loop Calcule a forccedila magneacutetica exercida sobre o loop
G19 ndash Considere um solenoide de comprimento 2 e raio F contendo H voltas de um fio por onde passa uma corrente i (a) Determine uma expressatildeo para
o campo magneacutetico num ponto ao longo do eixo do solenoide do lado de fora do solenoide como funccedilatildeo da distacircncia ateacute uma das pontas (considere = 0 no centro do solenoide e = a distacircncia do centro ateacute o ponto onde estaacute sendo calculado o campo ) (b) Mostre que para
Problemas Selecionados
31
valores muito grandes de 2 e = = 0 se aproxima de = 7i H 2frasl para posiccedilotildees ao longo do eixo no interior do solenoide distante das bordas
G20 ndash A figura ao lado mostra um fio moldado para formar duas seccedilotildees retas e um quarto de ciacuterculo por onde passa corrente i Determine o campo magneacutetico (vetor) no ponto P
G21 ndash Um fio ciliacutendrico espesso de raio eacute percorrido por uma corrente i Determine uma expressatildeo para o
campo magneacutetico dentro e fora do fio considerando que (a) a corrente estaacute distribuiacuteda uniformemente sobre a superfiacutecie externa do fio (b) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio com densidade de corrente l constante (c) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio de forma que a densidade de corrente l eacute proporcional agrave distacircncia ateacute o eixo do fio
G22 ndash Considere dois solenoides coaxiais cada um conduzindo uma corrente i em direccedilotildees opostas O solenoide interno de raio possui gt- voltas por unidade de comprimento o
solenoide externo possui raio e gt$ voltas por unidade de
comprimento Determine (a) no interior do conjunto (b) entre eles e (c) fora deles
G23 ndash Um fio condutor longo e reto de raio F conduz uma corrente natildeo uniforme cuja densidade de corrente eacute l = l7 Ffrasl onde l7 eacute uma constante A corrente total eacute i (a) Determine uma expressatildeo para i
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
32
em funccedilatildeo de l7 e F (b) Determine uma expressatildeo para o campo magneacutetico no interior do fio para uma distacircncia
G24 ndash A figura ao lado mostra um toroide que consiste num solenoide fechado em forma de anel (a) Considerando a simetria explique qual deve ser o formato do campo magneacutetico no interior desse toroide (b) Considere o toroide compacto (a separaccedilatildeo entre cada volta do fio eacute pequena) com N voltas conduzindo uma corrente i Usando a lei de Ampeacutere determine a magnitude do campo magneacutetico num ponto interno ao toroide a uma distacircncia do eixo principal (ver figura ao lado) (c) O campo magneacutetico no interior do toroide eacute um campo uniforme Explique
-------------------------------------------------------------------------------------------
(H) Lei de Faraday
H1 ndash A figura ao lado mostra dois aneis cujos eixos estatildeo alinhados separados por uma distacircncia x O anel maior tem raio F o anel menor tem raio Os aneis estatildeo separados por uma distacircncia ≫ F e por isso o campo magneacutetico devido agrave corrente no anel de raio F eacute praticamente uniforme no anel menor Considere que a distacircncia estaacute aumentando a uma taxa constante = =cfrasl = d (a) Determine uma expressatildeo para o fluxo de campo magneacutetico atraveacutes do anel menor como funccedilatildeo de Encontre uma expressatildeo para (b) a fem induzida e (c) a direccedilatildeo da corrente no anel menor
Problemas Selecionados
33
H2 ndash (a) Calcule o fluxo magneacutetico atraveacutes do retacircngulo mostrado na figura ao lado em funccedilatildeo de = i (b) Avalie o resultado encontrado para = 5 = 10 = = 2 e i = 20 J
H3 ndash Uma espira plana e circular de raio =75 estaacute em repouso numa regiatildeo de campo magneacutetico uniforme A espira estaacute orientada de tal forma que o campo magneacutetico aponta para cima
e faz um acircngulo de 30deg com a normal da espira O campo varia com
o tempo de acordo com (c) = 14(77nho) 13 (a) Determine a fem induzida na espira em funccedilatildeo do tempo (b) Para que valor de c a fem induzida eacute igual a um deacutecimo do seu valor inicial Determine o sentido da corrente induzida na espira se observada por cima da espira
H4 ndash Um retacircngulo que mede 30 times 40 estaacute localizado no interior de um campo magneacutetico uniforme de 125 13 com o campo perpendicular ao plano da bobina A bobina se move perpendicular ao campo com velocidade constante d =2 inclusive atingindo a regiatildeo
onde o campo termina abruptamente como mostra a figura ao lado Determine a fem induzida nessa bobina quando ela estaacute (a) inteiramente no interior do campo (b) parcialmente no interior do campo e (c) inteiramente fora do campo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
34
H5 ndash O fio na figura ao lado conduz
uma corrente i(c) = i7po onde gt 0 Determine o sentido da corrente induzida na bobina (horaacuterio ou anti-horaacuterio) para c gt 0
H6 ndash A figura ao lado mostra uma espira circular de raio contendo uma resistecircncia e um capacitor ligados em seacuterie imerso numa regiatildeo onde um campo magneacutetico uniforme (no espaccedilo) entrando no plano na paacutegina decresce no tempo a uma taxa constante = =cfrasl = minus sendo uma constante positiva (a) Qual a carga no capacitor quando ele estaacute completamente carregado (b) Qual das placas do capacitor estaacute em potencial mais elevado (c) Qual a origem da forccedila que causa a separaccedilatildeo de cargas
-------------------------------------------------------------------------------------------
(I) Indutacircncia
I1 ndash No circuito ao lado ℰ = 100 SF- = 10 Ω F$ = 20 Ω Famp = 30 Ω e 2 = 2 H Ao fechar a chave S quais os valores de i- e i$ Considere positivo o sentido das correntes indicadas na figura Muito tempo
depois quais satildeo os valores de i- e i$ A chave eacute entatildeo aberta Nesse instante quais satildeo os valores de i- e i$ E muito tempo depois quais satildeo os valores de i- e i$
Problemas Selecionados
35
I2 ndash Num circuito LC em seacuterie a carga inicial do capacitor eacute C e ele estaacute sendo descarregado Quando a carga no capacitor eacute igual a C 2frasl qual eacute o fluxo magneacutetico que atravessa cada uma das N espiras do indutor (como funccedilatildeo de C H 2 e D)
I3 ndash Uma bobina possui N voltas e estaacute envolvendo um solenoide longo de raio r com n espiras por unidade de comprimento (figura ao lado) (a) Mostre que a indutacircncia muacutetua do sistema eacute dada por j = 75F$gtH (b) Explique por que M natildeo depende do formato tamanho ou possiacutevel falta de proximidade das espiras na bobina
I4 ndash A fem autoinduzida num solenoide de indutacircncia L varia no tempo conforme ℇ(c) = ℇ7so Levando em consideraccedilatildeo que a carga eacute finita (ou seja i = 0 quando c = infin) determine a carga total que passa pelo solenoide (que atravessa um determinado ponto no fio que compotildee o solenoide)
I5 ndash Um fio condutor foi enrolado num papelatildeo formando um toroide com N espiras (voltas) raio menor r e maior R A seccedilatildeo transversal do toroide eacute mostrada na figura ao lado Se F ≫ o campo magneacutetico no interior do toroide eacute essencialmente o mesmo que o campo no interior de um solenoide muito longo que tenha sido
moldado no formato de um ciacuterculo de raio R Modelando o campo como se fosse o campo uniforme de um solenoide longo mostre que a indutacircncia desse toroide eacute
aproximadamente 2 asymp -$ 7H$ LMu
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
36
I6 ndash Um indutor consiste em duas cascas ciliacutendricas concecircntricas como mostra a figura A casca interna tem raio e a externa tem raio ambas com comprimento ℎ A casca interna transporta uma corrente i para fora e a externa para dentro do plano da paacutegina com igual magnitude Calcule na regiatildeo lt lt (a) a densidade de energia magneacutetica (b) a indutacircncia
I7 ndash Mostre que i(c) = i7o wx eacute a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial iF + 2 yzyo = 0 onde i7 eacute a corrente em c = 0 e = 2 Ffrasl
I8 ndash Um fio condutor de raio R transporta uma corrente uniforme A corrente total no fio eacute i Mostre que a energia magneacutetica por unidade de comprimento dentro do fio eacute dada por 7i$ 165frasl
I9 ndash Um cabo coaxial eacute formado por dois cilindros condutores de paredes finas com raios - e $ As correntes nos dois cilindros satildeo iguais em magnitude mas com sentidos opostos (a) Use a lei de Ampeacutere para determinar o campo magneacutetico como funccedilatildeo da distacircncia ao eixo do cabo nas regiotildees (0 lt lt -) ( - lt lt $ ) e ( gt $) (b) Mostre que a densidade de energia magneacutetica na regiatildeo entre os cilindros eacute dada por
| = 12 745 i$(5$)-
(c) Mostre que a energia magneacutetica total num volume de cabo com comprimento ~ eacute dada por
Problemas Selecionados
37
= i$~ ln LML
(d) Mostre que a autoindutacircncia por unidade de comprimento do cabo eacute dada por
2~ = 725 ln $-
-------------------------------------------------------------------------------------------
(J) Corrente Alternada
J1 ndash A tensatildeo de uma fonte de corrente alternada eacute dada por ∆d = 120gt(30 5c) onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A fonte eacute conectada a um indutor de 05 Determine (a) a frequecircncia da fonte (b) a voltagem rms no indutor (c) a reatacircncia indutiva do circuito (d) a corrente rms no indutor e (e) a corrente maacutexima no indutor
J2 ndash Uma fonte de tensatildeo alternada fornece uma tensatildeo ∆d = 98gt(80 5c) a um capacitor onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A corrente maacutexima no circuito eacute 05 J Determine (a) a tensatildeo rms da fonte (b) a frequecircncia da fonte e (c) o valor da capacitacircncia
J3 ndash Um circuito AC eacute composto por um resistor de 250 Ω um indutor de 15 um capacitor de 35 e uma fonte de tensatildeo alternada com amplitude de 45 S operando com frequecircncia angular = 360 = frasl (a) Qual eacute o fator de potecircncia do circuito (b) Determine a potecircncia meacutedia aparente (S) fornecida ao circuito (c) Qual eacute a potecircncia meacutedia ativa (P) dissipada no resistor Qual eacute a potecircncia meacutedia reativa (Q) que fica armazenada no circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
38
J4 ndash Cinco voltiacutemetros com impedacircncia muito grande ajustados para ler valores rms estatildeo conectados conforme a figura ao lado Sendo F =200 Ω 2 = 04 H D = 6 e ∆S = 30 Vqual eacute a leitura da tensatildeo em cada voltiacutemetro se (a) = 200 = frasl e (b) =1000 = frasl
J5 ndash Num circuito RLC 2 = 028 e D = 4 A fonte fornece uma voltagem com amplitude de 120 S Qual eacute a frequecircncia angular de ressonacircncia do circuito (b) Quando a fonte opera na frequecircncia angular de ressonacircncia a amplitude da corrente no circuito eacute 17 J Qual a resistecircncia do resistor (c) Na frequecircncia angular de ressonacircncia quais satildeo as voltagens de pico no indutor capacitor e resistor
J6 ndash O circuito ao lado conteacutem uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal conforme ℇ = ℇgt(c) No estado de equiliacutebrio temos as correntes mostradas no circuito Sem recorrer a uma matemaacutetica complicada responda (a) Quais os valores de u e quando = 0 (frequecircncia zero significa que
a fonte foi substituida por uma bateria ideal) (b) Quais os valores de u e quando rarr infin (c) Qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia
Problemas Selecionados
39
J7 ndash Um indutor um capacitor e um resistor estatildeo conectados em seacuterie a uma fonte de tensatildeo alternada Se os valores da resistecircncia capacitacircncia e indutacircncia forem duplicados o que aconteceraacute com (a) a frequecircncia angular de ressonacircncia (b) a reatacircncia indutiva (c) a reatacircncia capacitiva e (d) a impedacircncia
J8 ndash O circuito abaixo eacute formado por uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal variando conforme ℇ = ℇgt(c) uma resistecircncia F = 6 Ω e uma parte desconhecida que pode conter um indutor um capacitor ou ambos A amplitude da fonte eacute ℇ = 6 S Quando a frequecircncia angular = 2 = a corrente estaacute em fase com a fonte enquanto que para = 1 = a corrente estaacute fora de fase em relaccedilatildeo agrave fonte por exatamente 5 4frasl (a) Quais componentes estatildeo presentes na parte desconhecida (um indutor um capacitor ou ambos) Explique (b) Determine os valores dos componentes desconhecidos
J9 ndash Um circuito em seacuterie possui impendecircncia de 60 Ω e fator de potecircncia igual a 072 em 50 A tensatildeo da fonte estaacute atrasada em relaccedilatildeo agrave corrente (a) Que elemento do circuito (um indutor ou um capacitor) deve ser ligado em seacuterie com o circuito para aumentar o fator de potecircncia (b) Qual deve ser o valor desse elemento para que o fator de potecircncia seja igual a 1 (c) Apresente diagramas de fasores esquemaacuteticos para o circuito antes e depois da ligaccedilatildeo do novo elemento
Manual de Laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
41
O PROCESSO DE MEDIDA NO LABORATOacuteRIO DE FIacuteSICA
Natildeo satildeo raros eventos em que nos valemos de medidas para tomarmos decisotildees Medimos nossa temperatura corporal para avaliarmos se necessitamos de tratamento Medimos a pressatildeo manomeacutetrica dos pneus para avaliarmos se precisamos injetar ou retirar ar neles Consultamos medidas da temperatura ambiente para escolhermos a roupa que vestiremos Consultamos o horaacuterio (medida de tempo) para natildeo chegarmos atrasados em encontros Medidas satildeo portanto fundamentais em nossas vidas No entanto usualmente natildeo nos preocupamos muito com a precisatildeo dessas medidas Em grande parte das vezes natildeo nos interessa saber se o horaacuterio informado no reloacutegio estaacute um pouco atrasado ou adiantado Natildeo nos preocupamos em saber o quanto podemos confiar nas temperaturas coletadas com um determinado termocircmetro Nossas medidas comumente satildeo realizadas de forma despretensiosa sem muito rigor
No laboratoacuterio de Fiacutesica isso ocorre de modo muito diferente Os processos de mediccedilatildeo satildeo mais minuciosos do que os que realizamos costumeiramente Desejamos obter a maior precisatildeo possiacutevel com os equipamentos de que dispomos Mas como fazer isso Como podemos melhorar a precisatildeo dos processos de mediccedilatildeo Intuitivamente podemos concluir que inferecircncias realizadas a partir de um conjunto de medidas satildeo mais precisas do que medidas isoladas Mas quando disponho de um conjunto de medidas como posso analisaacute-las Calcular a meacutedia delas eacute suficiente Responder a questotildees como essas eacute o objetivo desta atividade Para exemplificarmos todo esse processo realizaremos um debate sobre a mediccedilatildeo da resistecircncia interna de amperiacutemetros
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
42
O que satildeo amperiacutemetros
Um amperiacutemetro eacute um instrumento utilizado para a realizaccedilatildeo de medidas de correntes eleacutetricas Evidentemente natildeo queremos modificar os circuitos quando os exploramos com um instrumento Com amperiacutemetros natildeo eacute diferente Queremos medir correntes eleacutetricas sem alterar as caracteriacutesticas do circuito Mas como eacute possiacutevel fazer isso Natildeo discutiremos aqui os detalhes sobre o funcionamento interno de um amperiacutemetro No entanto vamos avaliaacute-los do ponto de vista de uma das suas caracteriacutesticas mais importantes a sua resistecircncia eleacutetrica
A resistecircncia eleacutetrica de um circuito influencia na intensidade da corrente eleacutetrica que circula nele A corrente eleacutetrica i que perpassa por uma resistecircncia eleacutetrica F submetida a uma tensatildeo ∆S por exemplo pode ser predita pela seguinte relaccedilatildeo
i = ∆u Eq 1
O amperiacutemetro precisa ser posicionado em seacuterie no circuito em que se deseja medir a corrente eleacutetrica como eacute exemplificado na figura
Figure 1- Medindo a resistecircncia interna de um multiacutemetro
Manual de Laboratoacuterio
43
1 Como a resistecircncia equivalente em circuitos em seacuteries eacute a soma da resistecircncia eleacutetrica de cada um dos seus componentes a resistecircncia interna dos amperiacutemetros se soma agrave resistecircncia equivalente do circuito investigado alterando a sua dinacircmica Por isso nosso desejo eacute que os amperiacutemetros tenham resistecircncia eleacutetrica nula No entanto a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro real por menor que seja nunca eacute nula Eles possuem um circuito interno com fios e diversos componentes eletrocircnicos que acabam provocando uma resistecircncia agrave circulaccedilatildeo de corrente eleacutetrica Ainda assim frequentemente desprezamos tal resistecircncia Seraacute que isso eacute razoaacutevel Quando podemos desprezar a resistecircncia interna dos amperiacutemetros e quando natildeo podemos Para respondermos tais perguntas precisamos conhecer o valor da resistecircncia interna tiacutepica de um amperiacutemetro
Medindo a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro
Nesta disciplina usaremos diversos amperiacutemetros de uma mesma marca e modelo em uma seacuterie de experimentos (Minipa ET-2075B) Por isso eacute interessante que conheccedilamos a resistecircncia eleacutetrica deles para podermos avaliar quando podemos desprezaacute-la e quando natildeo Mas como podemos obter essa informaccedilatildeo Podemos medi-la Um procedimento simples para isso eacute submeter o amperiacutemetro a uma diferenccedila de potencial ΔV conhecida e medir a corrente eleacutetrica i que passa por ele Desse modo podemos usar a Eq 1 para inferir a resistecircncia eleacutetrica do equipamento Mas podemos confiar em uma uacutenica medida Depende da precisatildeo de que necessitamos para essa medida Intuitivamente sabemos que se medirmos a resistecircncia interna a partir de um conjunto de dados poderemos ter uma maior confiabilidade nos dados No exemplo de que estamos tratando eacute possiacutevel se coletar dados da corrente no amperiacutemetro quando submetido a diferentes tensotildees Desse modo pode-se inferir a resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro pela declividade da reta constituiacuteda
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
44
pelos dados representados em um graacutefico da tensatildeo em funccedilatildeo da corrente eleacutetrica como pode ser constatado da Eq1 No entanto como temos incertezas associadas a cada dado experimental coletado esses dados natildeo seratildeo perfeitamente representados por uma reta Surge entatildeo uma nova questatildeo qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados
Ajuste de Curvas
Diversas retas podem ser ajustadas a um conjunto de dados experimental Qual delas utilizar Intuitivamente podemos conjecturar que a melhor reta a ser utilizada eacute aquela tal que a soma das diferenccedilas entre os valores de tensatildeo medidos e os preditos pela reta tenha o menor valor possiacutevel Em outras palavras queremos minimizar a soma
sum = = (∆Sz minus ∆S)z-
onde ∆Sz satildeo as tensotildees medidas e ∆S satildeo as tensotildees preditas pela reta ajustada
No entanto haacute um inconveniente importante no uso desse criteacuterio tal soma pode ser bem pequena para retas que natildeo apresentam bom ajuste aos dados se as diferenccedilas entre os valores medidos e os preditos se cancelarem sendo alguns positivos e outros negativos Nesses casos apesar de natildeo termos uma reta bem ajustada aos dados o criteacuterio utilizado
indicaria que sim Como resolver isso Elevando os valores de dn ao
Figura 1 - Diferenccedila de potencial em funccedilatildeo
da corrente
Manual de Laboratoacuterio
45
quadrado Ou seja podemos procurar a reta tal que a seguinte soma tenha o menor valor possiacutevel
sum =$ = (∆Sz minus ∆S)$z-
O meacutetodo que utiliza esse criteacuterio para a realizaccedilatildeo de ajustes de curvas que eacute amplamente utilizado no meio acadecircmico eacute denominado Meacutetodo dos Miacutenimos Quadrados Todos os softwares do tipo planilha eletrocircnica realizam esse caacutelculo automaticamente e nos valeremos disso quando necessaacuterio
Todos os amperiacutemetros da sala possuem a mesma resistecircncia interna
Ainda que todos os amperiacutemetros que utilizaremos nas nossas aulas sejam da mesma marca e modelo eles possuem diferentes resistecircncias internas Existe alguma forma de estimar a resistecircncia interna de um desses amperiacutemetros escolhido aleatoriamente Calcular a meacutedia das resistecircncias eacute suficiente para realizar essa estimativa
Variabilidade das medidas o desvio padratildeo amostral e da meacutedia
Apesar de as resistecircncias dos amperiacutemetros natildeo serem exatamente as mesmas elas possuem valores que se distribuem em torno de um valor meacutedio que eacute igual agrave meacutedia dessas resistecircncias Desse modo se tomarmos um dos amperiacutemetros aleatoriamente o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute igual agrave meacutedia das resistecircncias internas de todos os amperiacutemetros Mas quanto podemos confiar nessa estimativa Para respondermos tal pergunta eacute importante quantificarmos a variabilidade das resistecircncias r que medimos Quanto menor for essa variabilidade maior seraacute a nossa confianccedila para assumir que a resistecircncia interna de um amperiacutemetro particular eacute igual agrave meacutedia Intuitivamente podemos conjecturar que tal variabilidade pode ser medida pelo somatoacuterio das diferenccedilas entre as resistecircncias
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
46
medidas z e a meacutedia dessas resistecircncias ou seja por (- minus ) + ($ minus ) + ⋯ + ( minus ) onde N eacute o nuacutemero de medidas realizadas No entanto temos aqui um inconveniente semelhante ao que tivemos quando analisaacutevamos ajustes de curvas se valores positivos e negativos se cancelarem esse somatoacuterio pode ser muito pequeno mesmo quando os dados apresentam grande variabilidade Podemos propor a mesma soluccedilatildeo adotada anteriormente vamos elevar os termos ao quadrado Temos entatildeo a variabilidade dos dados sendo mensurada por (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$
A impossibilidade de comparaccedilatildeo entre as variabilidades de diferentes conjuntos de dados eacute a limitaccedilatildeo desta proposta pois o resultado desse somatoacuterio eacute altamente dependente da quantidade de termos Desse modo eacute possiacutevel que esse somatoacuterio seja maior para grandes conjuntos com pouca variabilidade do que para pequenos grupos com grande variabilidade Para amenizar tal limitaccedilatildeo podemos entatildeo dividir o somatoacuterio por N ou seja calcular a variabilidade por(- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$ Hfrasl Ainda que esse somatoacuterio seja conceitualmente interessante natildeo eacute essa a medida de dispersatildeo de dados que costuma ser utilizada no meio cientiacutefico mas algo que guarda alguma semelhanccedila com ele o desvio padratildeo dos dados (P) Ele eacute calculado por
PL = (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$H minus 1
Mas por que utilizamos essa equaccedilatildeo A resposta estaacute em suas propriedades Quando construiacutemos um histograma (graacutefico de frequecircncias) de um conjunto de medidas por exemplo podemos em muitos casos assumir que a distribuiccedilatildeo desses dados eacute representada por uma distribuiccedilatildeo normal A equaccedilatildeo que define essa distribuiccedilatildeo assim como sua representaccedilatildeo graacutefica eacute ilustrada na Figura 3
Manual de Laboratoacuterio
47
Natildeo eacute nosso objetivo aqui discutir detalhes da distribuiccedilatildeo normal O que desejamos destacar eacute que quando supomos que a distribuiccedilatildeo de um conjunto de dados eacute normal o que eacute bastante razoaacutevel na maioria das vezes o desvio padratildeo σ quantifica como os dados estatildeo distribuiacutedos Para entendermos isso analisemos a Figura 4
O intervalo compreendido pela meacutedia das medidas mais ou menos um desvio padratildeo compreende 68 das medidas realizadas No caso que estamos exemplificando se tomarmos a meacutedia das resistecircncias internas r de todos os amperiacutemetros investigados e o desvio padratildeo PL desses dados 68 das medidas estaratildeo no intervalo entre ( minus PL) e ( + PL) 95 no intervalo ( 2PL) e 99 no intervalo ( 257PL)
Figura 2 - A distribuiccedilatildeo normal eacute usualmente utilizada para representar a distribuiccedilatildeo
de frequecircncias de um conjunto de dados (Lima Jr et al 2013 p 30)
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
48
Agora jaacute sabemos como quantificar a variabilidade de um conjunto de dados Podemos entatildeo calcular a meacutedia e o desvio padratildeo das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros Mas surge entatildeo uma questatildeo Se analisaacutessemos um novo conjunto de amperiacutemetros da mesma marca e modelo dos exemplificados aqui a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros seria a mesma Provavelmente natildeo Temos como estimar a partir do conjunto de medidas que realizamos a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros Temos Para responder a essa questatildeo temos que compreender um novo conceito o de desvio padratildeo da meacutedia (PL) Ele eacute calculado por
PL = PLradicH
Natildeo vamos entrar em detalhes aqui sobre a origem do conceito de desvio padratildeo da meacutedia1 vamos apenas explicar como essa grandeza nos permite estimar a incerteza na meacutedia de um conjunto de medidas Para isso vamos supor um novo conjunto de N novas
1 Se vocecirc eacute um aluno curioso pesquise sobre o Teorema Central do Limite para compreender com mais profundidade o conceito de desvio padratildeo da meacutedia
Figura 3 - A meacutedia e o desvio padratildeo demarcam a distribuiccedilatildeo dos dados em uma
distribuiccedilatildeo normal Na figura o eixo das abcissas expressa a distacircncia da meacutedia em
unidades de desvio padratildeo (Lima Jr et al 2013 p 30)
Manual de Laboratoacuterio
49
medidas da resistecircncia interna de amperiacutemetros como os investigados nesta aula Qual seria a meacutedia dessas medidas Assim como o desvio padratildeo dos dados quantifica a dispersatildeo dos dados em torno da meacutedia o desvio padratildeo da meacutedia quantifica a dispersatildeo das meacutedias de subconjuntos de dados em torno da meacutedia de todo o conjunto de dados Aplicando esse conceito ao nosso exemplo podemos interpretar os dois conjuntos de medidas de resistecircncias internas como subconjuntos de um grande conjunto contendo todas as medidas Desse modo podemos afirmar com 68 de confianccedila que a meacutedia das N novas medidas a serem realizadas estaraacute no intervalo compreendido por ( PL) com 95 de confianccedila no intervalo ( 2PL) e com 99 de confianccedila no intervalo ( 257PL) O desvio padratildeo da meacutedia pode ser compreendido assim como a incerteza da meacutedia de um conjunto de medidas ou seja ele nos fornece uma estimativa da confiabilidade de uma meacutedia Em suma se escolhermos um amperiacutemetro aleatoriamente podemos dizer que i) o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute a meacutedia das resistecircncias de todos os amperiacutemetros e ii) a incerteza que temos nesse valor eacute igual ao desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias dos amperiacutemetros
E se eu soacute tivesse condiccedilotildees de realizar uma uacutenica medida
Nem sempre podemos realizar diversas medidas de uma grandeza Em alguns casos nem mesmo faz sentido realizar diversas medidas No entanto eacute evidente que existe uma incerteza associada a uma uacutenica medida Natildeo existem instrumentos que sejam perfeitamente precisos Entatildeo como podemos estimar essa incerteza Usualmente os manuais dos instrumentos trazem informaccedilotildees sobre isso Desse modo as incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica realizadas com um voltiacutemetro e um amperiacutemetro podem ser consultadas no manual do multiacutemetro utilizado Mas como eacute calculada a incerteza da resistecircncia interna de um amperiacutemetro que foi calculada a partir de
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
50
apenas uma medida de tensatildeo e uma de corrente eleacutetrica Nesse caso precisamos calcular a incerteza propagada das incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica
Os meacutetodos de caacutelculo de incertezas propagadas podem ser bastante complicados Aqui trataremos de um meacutetodo bastante simples usualmente denominado de Meacutetodo dos Limites Vamos exemplificaacute-lo supondo que a incerteza da tensatildeo sobre as entradas do amperiacutemetro eacute P- e da corrente eleacutetrica que circula por ele eacute P$ Ou seja a tensatildeo medida estaacute no intervalo entre ∆S minus P- e ∆S + P- e a corrente eleacutetrica entre i minus P$ e i + P$ Qual eacute entatildeo a incerteza da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro investigado Para responder isso basta calcularmos os valores limites dessa grandeza O maacuteximo valor possiacutevel para a resistecircncia ocorreraacute se a tensatildeo for ∆S + P- e a corrente eleacutetrica for i minus P$ Nesse caso usando a Eq 1 temos
aacutee = ∆S + P-i minus P$
Usando o mesmo raciociacutenio o valor miacutenimo de r seraacute
z = ∆S minus P-i + P$
Desse modo podemos dizer que o valor da resistecircncia interna medida estaacute no intervalo entre rmaacutex e rmiacuten Em outras palavras o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro eacute
F = iexclz + aacutee2 z minus aacutee2 cent
Manual de Laboratoacuterio
51
Erro eacute a mesma coisa que incerteza
Apesar de serem frequentemente utilizados como sinocircnimos os manuais de metrologia atribuem significados distintos aos conceitos de ldquoerrordquo e ldquoincertezardquo O Guia para Expressatildeo da Incerteza da Mediccedilatildeo (Joint Commitee for Guide in Metrology 2008 apud Lima Jr et al 2013) usa o termo ldquoerrordquo para indicar a diferenccedila entre o valor verdadeiro e o resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo o conceito de erro tem uso restrito pois satildeo poucos os casos em que conhecemos o valor verdadeiro de uma grandeza Satildeo exemplos desses casos experimentos em que se deseja mensurar a velocidade da luz no vaacutecuo ou o valor de π que satildeo valores previamente conhecidos pelo experimentador O caacutelculo do erro soacute faz sentido para casos em que sabemos o valor verdadeiro da grandeza que se quer medir
A incerteza por outro lado eacute entendida como uma estimativa que quantifica a confiabilidade do resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo quando calculamos o desvio padratildeo da meacutedia de um conjunto de medidas estamos calculando a incerteza da meacutedia dessas medidas ou seja estamos avaliando a confianccedila que podemos ter em adotar a meacutedia dessas medidas como o valor da grandeza mensurada O conceito de incerteza portanto tem maior aplicabilidade do que o conceito de erro
Algarismos significativos e incerteza
Uma questatildeo frequente nas aulas de laboratoacuterio eacute Com quantos algarismos uma grandeza deve ser apresentada No laboratoacuterio a resposta dessa questatildeo eacute uma funccedilatildeo da incerteza da grandeza Devemos apresentar os dados ateacute o seu primeiro algarismo duvidoso Voltemos ao exemplo da resistecircncia interna dos amperiacutemetros Suponhamos que a meacutedia das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros eacute 21546 Ω e o desvio padratildeo dessa meacutedia que eacute
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
52
entendido aqui como a incerteza da resistecircncia interna dos amperiacutemetros eacute 003 Ω Interpretando tais dados assumimos com 68 de certeza que a resistecircncia interna dos amperiacutemetros estaacute no intervalo entre 21246 e 21846 Ω Desse modo a segunda casa decimal da grandeza medida eacute duvidosa Por isso os algarismos subsequentes satildeo omitidos quando expressamos essa medida e a medida da resistecircncia interna dos amperiacutemetros exemplificados eacute exposta por (215 plusmn 003) Ω Em suma o resultado de uma mediccedilatildeo deve ser sempre expresso com a mesma quantidade de casas decimais que sua incerteza Os algarismos apresentados satildeo entatildeo chamados de algarismos significativos
Referecircncia
Lima Jr P Silva M T X Silveira F L Veit E A (2013) Laboratoacuterio de mecacircnica subsiacutedios para o ensino de Fiacutesica experimental Porto Alegre UFRGS Instituto de Fiacutesica Disponiacutevel em httphdlhandlenet1018390438
Manual de Laboratoacuterio
53
Atividade de Laboratoacuterio I Instrumentos de medida e incertezas
Este material foi cuidadosamente preparado para auxiliar no andamento das atividades no laboratoacuterio de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo Eacute importante responder TODAS as perguntas
(indicadas pelo siacutembolo ) feitas ao longo do texto discutindo com seu grupo possiacuteveis respostas e justificando-as Sempre que possiacutevel faccedila isso por escrito
TAREFA 1
Construa um circuito contendo um resistor de 1 kΩ em seacuterie com uma fonte de tensatildeo contiacutenua e um multiacutemetro Coloque o multiacutemetro na funccedilatildeo amperiacutemetro na escala de miliampere Usando outro multiacutemetro meccedila a tensatildeo no amperiacutemetro Realize medidas com diferentes correntes eleacutetricas variando a tensatildeo de saiacuteda da fonte
Como podemos tratar esses dados se nosso objetivo eacute medir a resistecircncia interna do amperiacutemetro
Qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
54
Para responder essas questotildees se dirija a um dos computadores da sala e use um aplicativo que possibilite a construccedilatildeo de graacuteficos SciDavis por exemplo Insira seus dados no aplicativo construa o graacutefico desejado e encontre a melhor reta que se ajusta aos dados
Qual foi a melhor reta ajustada Determine a equaccedilatildeo dessa reta ajustada
Qual eacute o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro que vocecirc investigou
TAREFA 2
Utilize as medidas de todos os grupos da turma e aplique os conhecimentos abordados na tarefa de leitura para responder as seguintes questotildees
Qual deve ser a resistecircncia interna de um amperiacutemetro escolhido aleatoriamente entre os utilizados nesta aula
Qual eacute a incerteza desse valor
TAREFA 3
Suponha que o manual do Minipa ET-2075B informe que as medidas de tensatildeo e corrente realizadas nas faixas de milivolt e miliampere tecircm incerteza de 3 Use esses dados para calcular a
Manual de Laboratoacuterio
55
incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1
Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma
Elas satildeo coerentes Por quecirc
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
56
CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO
Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por
equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC
Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras
O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se
Manual de Laboratoacuterio
57
extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo
No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador
Salvando vidas
ldquoafastem-se choquerdquo
Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de
sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos
O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo
Figura 4 - Desfibrilador
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
58
esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)
Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma
sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o
miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia
Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2
2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387
Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)
Manual de Laboratoacuterio
59
Circuito RC - seacuterie
Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C
Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que
∆S(c) + i(c)F = 0
Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo
i(c) = =C(c)=c
e a ddp no capacitor eacute dada por
∆S(c) = C(c)D
Dessa forma podemos dizer que
=C(c)=c = minus 1FD C(c)
Figura 6 - Circuito RC
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
60
Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa
funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja
derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever
C(c) = C7 ou
A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial
Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir
Capacitor Carregando Capacitor Descarregando
∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0
C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou
∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou
Manual de Laboratoacuterio
61
Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8
Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo
eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum
3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78
Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas
do capacitor durante o processo de
carga ou descarga
Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um
graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo
do tempo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
62
Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no
capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte
Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor
quando o mesmo estaacute sendo carregado
Manual de Laboratoacuterio
63
Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie
1 - Osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos
2 ndash Aparato Experimental
Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
64
conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto
Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)
Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio
Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees
Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala
Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)
Manual de Laboratoacuterio
65
TAREFA 1
Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees
Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico
Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito
Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito
Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos
Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio
TAREFA 2
Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie
Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
66
figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)
Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados
Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo
NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo
Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste
Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito
Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito
Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles
Manual de Laboratoacuterio
67
MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS
Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais
Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio
Para onde aponta a buacutessola
Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
68
polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc
E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial
tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos
que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a
soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio
4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja
httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4
Figura 10 - Buacutessola
Figura 11 - campo B resultante
Manual de Laboratoacuterio
69
Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por
umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O
Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde
Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde
Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma
iacuteatilde() = ∙
onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde
5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass
The Physics Teacher 49(1) 45-48
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
70
Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como
iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2
Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos
gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)
Logo
gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2
Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo
iacuteatilde() = amp
Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse
tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira
na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart
Manual de Laboratoacuterio
71
pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do
que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute
yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp
onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico
da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos
yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp
Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
72
Atividade de Laboratoacuterio III Projeto
OBJETIVO
Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
73
SUGESTAtildeO 1
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO
Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas
Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece
Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha
Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo
por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o
eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
74
SUGESTAtildeO 2
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA
Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)
Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica
Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de
uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)
Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema
Manual de Laboratoacuterio
75
SUGESTAtildeO 3
BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO
Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola
Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)
Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina
O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
76
SUGESTAtildeO 4
CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO
O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer
Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
77
MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO
Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro
Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental
6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
78
110 V 127 V e 220 V O que eacute isso
As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V
Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas
A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
(c) = Jgt(c + acute)
onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por
∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)
Manual de Laboratoacuterio
79
onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1
Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho
Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores
Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
80
caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por
∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf
∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712
∆Suparamiddot = ∆S7radic2
Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a
tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s
A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente
alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$
Figura 13 - Funccedilotildees seno e
seno quadrado
Manual de Laboratoacuterio
81
COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA
Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz
Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O
Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
82
que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio
Natildeo queremos jogar energia fora
Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14
Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie
Manual de Laboratoacuterio
83
Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por
0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)
onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)
Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
ℇ(c) = ℇ7gt(c)
onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente
Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na
figura 16 para um caso em que VL gt VC
Figura 15 - Diagrama de fasores
de um circuito RLC seacuterie com
fonte de tensatildeo alternada
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
84
A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que
acute = c8 S minus SSu
Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado
por
i(c) = gt(c minus acute)
Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente
as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que
ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$
ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$
Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como
0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)
Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que
0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$
Figura 16 ndash Soma de fasores
Manual de Laboratoacuterio
85
0eacutey = F ∙ uparamiddot$
onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square
Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que
F = frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte
Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade
7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL
Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e
resistecircncia num diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
86
do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como
0 = AJradicAJ$ + AF$
O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP
DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11
Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia
Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por
acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita
Manual de Laboratoacuterio
87
2 = 1D
Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica
Figura 18 - diagramas de fasores representando
um circuito capacitivo e um circuito indutivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
88
Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie
O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio
TAREFA 1
Circuito Resistivo
Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR
Manual de Laboratoacuterio
89
Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)
O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador
Circuito Capacitivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
90
Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor
Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Manual de Laboratoacuterio
91
Circuito Indutivo
Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor
O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
92
Circuito RLC
Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise
Manual de Laboratoacuterio
93
O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador
Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio
O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior
Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor
Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou
A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
94
TAREFA 2
Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente
Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir
Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima
Qual o valor da corrente maacutexima no circuito
Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)
O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique
Manual de Laboratoacuterio
95
TAREFA 3
Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito
Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees
Como isso eacute possiacutevel Explique
Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff
Respostas
96
Respostas
A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32
A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH
A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH
B3 Ae = Af = AtildeAcircf
B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl
B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH
B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l
B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD
B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -
C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc
(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7
C2 O = ~13deg
C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)
Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-
vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr
Respostas
97
C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM
C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD
(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD
C6 A = Eacute$Acirc
C7 A = Atilde$AcircL
D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma
das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp
D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(
D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1
no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)
D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme
D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D
E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)
E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D
E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml
F1 544 times 10
F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S
F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM
u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM
u (e) 0 = ℇMu
F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω
Respostas
98
F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965
G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n
G5 i = Ograve$g = 245 J
G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y
G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez
G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H
G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)
G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)
G15 (a) zL$brvbarM (b)
z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero
G16 z$L + z$L = z$L - + 1
G17 (a) pLM
amp (b) pusup3
ampL
G18 zzMu
G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)
z
G20 zNu saindo da folha
G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)
UgraveLMamp
fora do fio (a) z$L (b)
UgravebrvbarM$L (c)
Ugravebrvbarsup3ampL
G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13
G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM
ampu
H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior
Respostas
99
H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a
H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J
I2 Φ = pound$ sup1amp
I4 C = AcircsM
I6 (a) zM
NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar
J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a
(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S
J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu
(c) = -radic
J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm
(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013
Respostas
100
Bibliografia
Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il
Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il
Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il
Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm
Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il
Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il
Problemas Selecionados
21
E4 ndash No circuito ao lado a diferenccedila de potencial fornecida pela bateria eacute de 20 S Qual a capacitacircncia equivalente do circuito Qual a carga armazenada por essa capacitacircncia equivalente Qual a carga e ddp para os capacitores 1 2 e 3
E5 ndash Na figura ao lado a ddp da bateria eacute 10 S D- = 10 D$ = Damp = 2D- A chave eacute movida para a esquerda e somente depois que o capacitor 1 atingiu o equiliacutebrio a chave eacute movida para a direita Quando o equiliacutebrio eacute novamente atingido qual eacute a carga do capacitor 1
E6 ndash Um capacitor de placas paralelas com aacuterea J e espaccedilamento = eacute preenchido com vidro (6 = 267) Conectado a uma bateria o capacitor acumula carga C (a) Qual a energia armazenada no capacitor (b) Mantendo a bateria conectada a separaccedilatildeo entre as placas eacute aumentada para 2= (veja a figura) Qual a energia armazenada nessa nova situaccedilatildeo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
22
(F) Corrente e Resistecircncia
F1 ndash A figura ao lado mostra parte de um fio de cobre com diacircmetros =- = 4F e =$ = 8F por onde passa uma corrente uniforme = 4 e a diferenccedila de potencial ao longo desse comprimento eacute20 S O
nuacutemero de portadores de carga por unidade de volume eacute 849 times 10$N amp Qual eacute a velocidade de deriva dos eleacutetrons de conduccedilatildeo na porccedilatildeo do fio com diacircmetro =$
F2 ndash No circuito ao lado qual a magnitude e direccedilatildeo das correntes nos resistores F- F$ e Famp Para isso considere que ℇ- = 6 S ℇ$ = 12 SF- = 100 Ω F$ = 200 Ω Famp = 300 Ω O ciruito estaacute aterrado e nesse ponto S = 0 Qual eacute o potencial eleacutetrico no ponto A
F3 ndash Calcule a potecircncia total dissipada em cada circuito Considere que todas as resistecircncias satildeo iguais e as baterias satildeo ideais Expresse suas respostas em termos de ℇ e F
F4 ndash Se dois fios de mesmo comprimento um de cobre e outro de alumiacutenio apresentam a mesma resistecircncia qual deve ser a razatildeo entre seus raios
Problemas Selecionados
23
F5 ndash No circuito ao lado a potecircncia dissipada no resistor R eacute 20 a Qual o valor de R Qual a ddp entre os pontos A e B
F6 ndash A corrente medida por um amperiacutemetro A no circuito ao lado eacute a mesma quando ambas as chaves estatildeo abertas ou fechadas Qual o valor da resistecircncia R
F7 ndash Determine o valor da corrente que passa por cada um dos resistores a potecircncia fornecida por cada uma das fontes de tensatildeo e a potecircncia dissipada por cada um dos resistores Faccedila o balanccedilo energeacutetico do circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
24
F8 ndash No circuito ao lado a chave S permanece fechada por um longo tempo e a corrente no circuito atinge um valor constante Considere D- = 3 D$ = 6 F- = 4Ω e F$ = 7Ω A potecircncia dissipada em F$ eacute 24a (a) Determine as cargas em D- e D$ (b) Abrindo a chave S e aguardando um longo tempo qual a mudanccedila observada na carga do capacitor 2
F9 ndash Num circuito RC seacuterie como o da figura ao lado D = 1 F = 2 times 10bΩ e ℇ = 10S Dez segundos depois que a chave foi fechada determine (a) a carga no capacitor (b) a corrente no resistor (c) a taxa com que a energia eacute armazenada no capacitor (d) a taxa com que a bateria fornece energia para o circuito
F10 ndash Um capacitor eacute carregado atraveacutes de um resistor como mostra a figura no problema anterior Mostre que metade da energia fornecida pela bateria aparece como energia interna no resistor e a outra metade como energia eleacutetrica no capacitor
F11 ndash Um capacitor duas fontes ideais dois resistores e uma chave S satildeo mostrados no circuito da figura ao lado Suponha D = 12 ℇ- = 15 S ℇ$ = 30 S F- = 05 Ω e F$ = 08 Ω (a) Se a chave S permanece aberta por um longo tempo qual a carga no capacitor (b) Qual a carga no capacitor se a chave S permanece fechada por um longo tempo
Problemas Selecionados
25
F12 ndash No circuito ao lado a bateria fornece 10 S o capacitor eacute de 1 e os resistores tecircm as resistecircncias indicadas na figura O circuito estaacute ligado haacute um longo tempo (a) Qual a ddp entre os terminais do capacitor (b) Se a bateria for desconectada quanto tempo levaraacute para que essa ddp atinja um deacutecimo do valor inicial
-------------------------------------------------------------------------------------------
(G) Campo Magneacutetico
G1 ndash Um proacuteton atravessa uma regiatildeo de campo magneacutetico uniforme = lang10 20 30rang 13 No tempo c- o proacuteton tem uma velocidade d = langde df 2rang e a forccedila magneacutetica sobre o proacuteton eacute g = lang4 times 10-h minus2 times 10-h 0rang H Nesse instante qual o valor de de e df
G2 ndash Um proacuteton viaja atraveacutes de uma regiatildeo de campo eleacutetrico e
magneacutetico uniformes onde = langminus25 0 0rang 13 Num certo instante a velocidade do proacuteton eacute d = lang0 2000 0rang Qual a forccedila resultante que age sobre o proacuteton se o campo eleacutetrico for
(a) A = lang0 0 4rang S (b) A = lang0 0 minus4rang S ou
(c) A = lang4 0 0rang S
G3 ndash Uma espira retangular de lados e estaacute numa regiatildeo de campo
magneacutetico perpendicular ao plano da espira e eacute percorrida por uma corrente i constante conforme mostra a figura ao lado Determine o torque sobre a espira
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
26
G4 ndash Dois trilhos de metal separados por uma distacircncia = = 256 estatildeo ligados a uma bateria No momento em que uma barra de metal de massa = 241 8 eacute colocada sobre os trilhos (c = 0) ela fecha o circuito e por ela passa uma corrente i = 913 J O conjunto estaacute numa regiatildeo onde existe um campo magneacutetico uniforme = 563 13 Qual a velocidade da barra 611 depois Em que direccedilatildeo ela se move
G5 ndash A figura ao lado mostra um cilindro de madeira de massa = 250 8 e comprimento 2 =10 onde foi enrolado um fio formando uma espira de 10 voltas O cilindro eacute posicionado de forma que o eixo da espira estaacute perpendicular ao plano inclinado (paralelo agrave normal do plano
inclinado) Nessa regiatildeo haacute um campo magneacutetico = lang0 05 0rang 13 Qual deve ser o valor miacutenimo da corrente na espira capaz de manter o cilindro em sua posiccedilatildeo evitando que ele role para baixo
G6 ndash A figura ao lado mostra um iacutematilde e um anel condutor de raio por onde passa uma corrente i Se o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde faz um acircngulo O com a vertical na posiccedilatildeo onde estaacute o anel qual eacute a magnitude e a direccedilatildeo da forccedila resultante sobre o anel
Problemas Selecionados
27
G7 ndash Uma barra de metal com densidade de massa B (massa por unidade de comprimento) apresenta uma corrente i (saindo da paacutegina) A barra estaacute suspensa por dois fios num campo magneacutetico uniforme vertical como mostra a figura ao lado No equiliacutebrio os fios
fazem um acircngulo O com a vertical Qual a magnitude do campo magneacutetico
G8 ndash Um proacuteton com energia cineacutetica de 6 jS se move no plano da paacutegina e entra numa regiatildeo de campo magneacutetico = 1 13 direcionado para dentro da paacutegina como mostra a figura ao lado
O proacuteton entra na regiatildeo de campo com o vetor velocidade fazendo um acircngulo O- = 35deg com a borda da regiatildeo Qual eacute a distacircncia entre o ponto de entrada e saiacuteda ( na figura) Qual o valor de O$
G9 ndash Considere um eleacutetron orbitando um proacuteton numa trajetoacuteria circular de raio F = 529 times 10-- devido agrave atraccedilatildeo Coulombiana Considere o sistema como se fosse um anel por onde passa uma corrente Qual seraacute o torque resultante quando o sistema for colocado numa regiatildeo de campo magneacutetico = 04 13 perpendicular ao momento magneacutetico do anel
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
28
G10 ndash Um fio por onde passa uma corrente i foi moldado num formato semicircular de raio F e uma reta de comprimento 2F como mostra a figura ao lado Nessa mesma regiatildeo haacute um campo magneacutetico que aponta na direccedilatildeo + (representado pelos pontos azuis na figura ao lado) Mostre que a
forccedila resultante sobre o fio eacute zero
G11 ndash Um condutor ciliacutendrico longo de raio conteacutem duas cavidades cada uma com diacircmetro ao longo de todo o comprimento do fio Uma visatildeo da seccedilatildeo transversal do fio eacute mostrada na figura ao lado Uma corrente i uniforme (considerando a porccedilatildeo soacutelida do material) passa atraveacutes do fio e aponta para fora da paacutegina Determine a magnitude e direccedilatildeo do campo
magneacutetico em funccedilatildeo de 7 i e no ponto P
G12 ndash Dois fios muito longos por onde passa corrente i de mesma magnitude estatildeo moldados conforme a figura ao lado
Mostre que o campo magneacutetico no centro do ciacuterculo de raio R eacute o mesmo que o
campo a uma distacircncia R abaixo de um fio reto muito longo por onde passa uma corrente i
Problemas Selecionados
29
G13 ndash Encontre uma expressatildeo para determinar a magnitude do campo magneacutetico no ponto P da figura ao lado Dica considere a origem dos eixos cartesianos no ponto P
G14 ndash A figura ao lado mostra a seccedilatildeo transversal de um condutor oco de raio externo e interno por onde passa uma corrente uniforme i Demonstre que a magnitude do campo magneacutetico () para uma distacircncia lt lt eacute dada por
= 7i25($ minus $) $ minus $
G15 ndash A figura ao lado mostra um cabo coaxial de raios e Correntes opostas de igual magnitude estatildeo distribuiacutedas nos dois condutores Derive uma expressatildeo para calcular o campo magneacutetico () na regiatildeo (a) lt (b) lt lt (c) lt lt e (d) gt
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
30
G16 ndash Um fio condutor por onde passa uma corrente i foi torcido para formar um loop de raio R (no plano da paacutegina) como mostra a figura abaixo Qual a direccedilatildeo do campo magneacutetico no
centro do loop Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico no centro do loop
G17 ndash Uma corrente i passa por um fio condutor ciliacutendrico de raio R como mostra a figura ao lado A densidade de corrente l natildeo eacute uniforme atraveacutes da seccedilatildeo transversal do fio mas obedece agrave funccedilatildeo l = onde eacute uma constante Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico (a) a uma distacircncia - lt F e (b) a uma distacircncia $ gt F(em relaccedilatildeo ao centro do condutor)
G18 ndash Um fio condutor muito longo por onde passa uma corrente i- estaacute parcialmente envolto por um loop por onde passa uma corrente i$ (figura ao lado) O loop fio foi moldado num formato semiciliacutendrico de raio R e o comprimento L O fio condutor passa pelo eixo do loop Calcule a forccedila magneacutetica exercida sobre o loop
G19 ndash Considere um solenoide de comprimento 2 e raio F contendo H voltas de um fio por onde passa uma corrente i (a) Determine uma expressatildeo para
o campo magneacutetico num ponto ao longo do eixo do solenoide do lado de fora do solenoide como funccedilatildeo da distacircncia ateacute uma das pontas (considere = 0 no centro do solenoide e = a distacircncia do centro ateacute o ponto onde estaacute sendo calculado o campo ) (b) Mostre que para
Problemas Selecionados
31
valores muito grandes de 2 e = = 0 se aproxima de = 7i H 2frasl para posiccedilotildees ao longo do eixo no interior do solenoide distante das bordas
G20 ndash A figura ao lado mostra um fio moldado para formar duas seccedilotildees retas e um quarto de ciacuterculo por onde passa corrente i Determine o campo magneacutetico (vetor) no ponto P
G21 ndash Um fio ciliacutendrico espesso de raio eacute percorrido por uma corrente i Determine uma expressatildeo para o
campo magneacutetico dentro e fora do fio considerando que (a) a corrente estaacute distribuiacuteda uniformemente sobre a superfiacutecie externa do fio (b) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio com densidade de corrente l constante (c) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio de forma que a densidade de corrente l eacute proporcional agrave distacircncia ateacute o eixo do fio
G22 ndash Considere dois solenoides coaxiais cada um conduzindo uma corrente i em direccedilotildees opostas O solenoide interno de raio possui gt- voltas por unidade de comprimento o
solenoide externo possui raio e gt$ voltas por unidade de
comprimento Determine (a) no interior do conjunto (b) entre eles e (c) fora deles
G23 ndash Um fio condutor longo e reto de raio F conduz uma corrente natildeo uniforme cuja densidade de corrente eacute l = l7 Ffrasl onde l7 eacute uma constante A corrente total eacute i (a) Determine uma expressatildeo para i
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
32
em funccedilatildeo de l7 e F (b) Determine uma expressatildeo para o campo magneacutetico no interior do fio para uma distacircncia
G24 ndash A figura ao lado mostra um toroide que consiste num solenoide fechado em forma de anel (a) Considerando a simetria explique qual deve ser o formato do campo magneacutetico no interior desse toroide (b) Considere o toroide compacto (a separaccedilatildeo entre cada volta do fio eacute pequena) com N voltas conduzindo uma corrente i Usando a lei de Ampeacutere determine a magnitude do campo magneacutetico num ponto interno ao toroide a uma distacircncia do eixo principal (ver figura ao lado) (c) O campo magneacutetico no interior do toroide eacute um campo uniforme Explique
-------------------------------------------------------------------------------------------
(H) Lei de Faraday
H1 ndash A figura ao lado mostra dois aneis cujos eixos estatildeo alinhados separados por uma distacircncia x O anel maior tem raio F o anel menor tem raio Os aneis estatildeo separados por uma distacircncia ≫ F e por isso o campo magneacutetico devido agrave corrente no anel de raio F eacute praticamente uniforme no anel menor Considere que a distacircncia estaacute aumentando a uma taxa constante = =cfrasl = d (a) Determine uma expressatildeo para o fluxo de campo magneacutetico atraveacutes do anel menor como funccedilatildeo de Encontre uma expressatildeo para (b) a fem induzida e (c) a direccedilatildeo da corrente no anel menor
Problemas Selecionados
33
H2 ndash (a) Calcule o fluxo magneacutetico atraveacutes do retacircngulo mostrado na figura ao lado em funccedilatildeo de = i (b) Avalie o resultado encontrado para = 5 = 10 = = 2 e i = 20 J
H3 ndash Uma espira plana e circular de raio =75 estaacute em repouso numa regiatildeo de campo magneacutetico uniforme A espira estaacute orientada de tal forma que o campo magneacutetico aponta para cima
e faz um acircngulo de 30deg com a normal da espira O campo varia com
o tempo de acordo com (c) = 14(77nho) 13 (a) Determine a fem induzida na espira em funccedilatildeo do tempo (b) Para que valor de c a fem induzida eacute igual a um deacutecimo do seu valor inicial Determine o sentido da corrente induzida na espira se observada por cima da espira
H4 ndash Um retacircngulo que mede 30 times 40 estaacute localizado no interior de um campo magneacutetico uniforme de 125 13 com o campo perpendicular ao plano da bobina A bobina se move perpendicular ao campo com velocidade constante d =2 inclusive atingindo a regiatildeo
onde o campo termina abruptamente como mostra a figura ao lado Determine a fem induzida nessa bobina quando ela estaacute (a) inteiramente no interior do campo (b) parcialmente no interior do campo e (c) inteiramente fora do campo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
34
H5 ndash O fio na figura ao lado conduz
uma corrente i(c) = i7po onde gt 0 Determine o sentido da corrente induzida na bobina (horaacuterio ou anti-horaacuterio) para c gt 0
H6 ndash A figura ao lado mostra uma espira circular de raio contendo uma resistecircncia e um capacitor ligados em seacuterie imerso numa regiatildeo onde um campo magneacutetico uniforme (no espaccedilo) entrando no plano na paacutegina decresce no tempo a uma taxa constante = =cfrasl = minus sendo uma constante positiva (a) Qual a carga no capacitor quando ele estaacute completamente carregado (b) Qual das placas do capacitor estaacute em potencial mais elevado (c) Qual a origem da forccedila que causa a separaccedilatildeo de cargas
-------------------------------------------------------------------------------------------
(I) Indutacircncia
I1 ndash No circuito ao lado ℰ = 100 SF- = 10 Ω F$ = 20 Ω Famp = 30 Ω e 2 = 2 H Ao fechar a chave S quais os valores de i- e i$ Considere positivo o sentido das correntes indicadas na figura Muito tempo
depois quais satildeo os valores de i- e i$ A chave eacute entatildeo aberta Nesse instante quais satildeo os valores de i- e i$ E muito tempo depois quais satildeo os valores de i- e i$
Problemas Selecionados
35
I2 ndash Num circuito LC em seacuterie a carga inicial do capacitor eacute C e ele estaacute sendo descarregado Quando a carga no capacitor eacute igual a C 2frasl qual eacute o fluxo magneacutetico que atravessa cada uma das N espiras do indutor (como funccedilatildeo de C H 2 e D)
I3 ndash Uma bobina possui N voltas e estaacute envolvendo um solenoide longo de raio r com n espiras por unidade de comprimento (figura ao lado) (a) Mostre que a indutacircncia muacutetua do sistema eacute dada por j = 75F$gtH (b) Explique por que M natildeo depende do formato tamanho ou possiacutevel falta de proximidade das espiras na bobina
I4 ndash A fem autoinduzida num solenoide de indutacircncia L varia no tempo conforme ℇ(c) = ℇ7so Levando em consideraccedilatildeo que a carga eacute finita (ou seja i = 0 quando c = infin) determine a carga total que passa pelo solenoide (que atravessa um determinado ponto no fio que compotildee o solenoide)
I5 ndash Um fio condutor foi enrolado num papelatildeo formando um toroide com N espiras (voltas) raio menor r e maior R A seccedilatildeo transversal do toroide eacute mostrada na figura ao lado Se F ≫ o campo magneacutetico no interior do toroide eacute essencialmente o mesmo que o campo no interior de um solenoide muito longo que tenha sido
moldado no formato de um ciacuterculo de raio R Modelando o campo como se fosse o campo uniforme de um solenoide longo mostre que a indutacircncia desse toroide eacute
aproximadamente 2 asymp -$ 7H$ LMu
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
36
I6 ndash Um indutor consiste em duas cascas ciliacutendricas concecircntricas como mostra a figura A casca interna tem raio e a externa tem raio ambas com comprimento ℎ A casca interna transporta uma corrente i para fora e a externa para dentro do plano da paacutegina com igual magnitude Calcule na regiatildeo lt lt (a) a densidade de energia magneacutetica (b) a indutacircncia
I7 ndash Mostre que i(c) = i7o wx eacute a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial iF + 2 yzyo = 0 onde i7 eacute a corrente em c = 0 e = 2 Ffrasl
I8 ndash Um fio condutor de raio R transporta uma corrente uniforme A corrente total no fio eacute i Mostre que a energia magneacutetica por unidade de comprimento dentro do fio eacute dada por 7i$ 165frasl
I9 ndash Um cabo coaxial eacute formado por dois cilindros condutores de paredes finas com raios - e $ As correntes nos dois cilindros satildeo iguais em magnitude mas com sentidos opostos (a) Use a lei de Ampeacutere para determinar o campo magneacutetico como funccedilatildeo da distacircncia ao eixo do cabo nas regiotildees (0 lt lt -) ( - lt lt $ ) e ( gt $) (b) Mostre que a densidade de energia magneacutetica na regiatildeo entre os cilindros eacute dada por
| = 12 745 i$(5$)-
(c) Mostre que a energia magneacutetica total num volume de cabo com comprimento ~ eacute dada por
Problemas Selecionados
37
= i$~ ln LML
(d) Mostre que a autoindutacircncia por unidade de comprimento do cabo eacute dada por
2~ = 725 ln $-
-------------------------------------------------------------------------------------------
(J) Corrente Alternada
J1 ndash A tensatildeo de uma fonte de corrente alternada eacute dada por ∆d = 120gt(30 5c) onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A fonte eacute conectada a um indutor de 05 Determine (a) a frequecircncia da fonte (b) a voltagem rms no indutor (c) a reatacircncia indutiva do circuito (d) a corrente rms no indutor e (e) a corrente maacutexima no indutor
J2 ndash Uma fonte de tensatildeo alternada fornece uma tensatildeo ∆d = 98gt(80 5c) a um capacitor onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A corrente maacutexima no circuito eacute 05 J Determine (a) a tensatildeo rms da fonte (b) a frequecircncia da fonte e (c) o valor da capacitacircncia
J3 ndash Um circuito AC eacute composto por um resistor de 250 Ω um indutor de 15 um capacitor de 35 e uma fonte de tensatildeo alternada com amplitude de 45 S operando com frequecircncia angular = 360 = frasl (a) Qual eacute o fator de potecircncia do circuito (b) Determine a potecircncia meacutedia aparente (S) fornecida ao circuito (c) Qual eacute a potecircncia meacutedia ativa (P) dissipada no resistor Qual eacute a potecircncia meacutedia reativa (Q) que fica armazenada no circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
38
J4 ndash Cinco voltiacutemetros com impedacircncia muito grande ajustados para ler valores rms estatildeo conectados conforme a figura ao lado Sendo F =200 Ω 2 = 04 H D = 6 e ∆S = 30 Vqual eacute a leitura da tensatildeo em cada voltiacutemetro se (a) = 200 = frasl e (b) =1000 = frasl
J5 ndash Num circuito RLC 2 = 028 e D = 4 A fonte fornece uma voltagem com amplitude de 120 S Qual eacute a frequecircncia angular de ressonacircncia do circuito (b) Quando a fonte opera na frequecircncia angular de ressonacircncia a amplitude da corrente no circuito eacute 17 J Qual a resistecircncia do resistor (c) Na frequecircncia angular de ressonacircncia quais satildeo as voltagens de pico no indutor capacitor e resistor
J6 ndash O circuito ao lado conteacutem uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal conforme ℇ = ℇgt(c) No estado de equiliacutebrio temos as correntes mostradas no circuito Sem recorrer a uma matemaacutetica complicada responda (a) Quais os valores de u e quando = 0 (frequecircncia zero significa que
a fonte foi substituida por uma bateria ideal) (b) Quais os valores de u e quando rarr infin (c) Qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia
Problemas Selecionados
39
J7 ndash Um indutor um capacitor e um resistor estatildeo conectados em seacuterie a uma fonte de tensatildeo alternada Se os valores da resistecircncia capacitacircncia e indutacircncia forem duplicados o que aconteceraacute com (a) a frequecircncia angular de ressonacircncia (b) a reatacircncia indutiva (c) a reatacircncia capacitiva e (d) a impedacircncia
J8 ndash O circuito abaixo eacute formado por uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal variando conforme ℇ = ℇgt(c) uma resistecircncia F = 6 Ω e uma parte desconhecida que pode conter um indutor um capacitor ou ambos A amplitude da fonte eacute ℇ = 6 S Quando a frequecircncia angular = 2 = a corrente estaacute em fase com a fonte enquanto que para = 1 = a corrente estaacute fora de fase em relaccedilatildeo agrave fonte por exatamente 5 4frasl (a) Quais componentes estatildeo presentes na parte desconhecida (um indutor um capacitor ou ambos) Explique (b) Determine os valores dos componentes desconhecidos
J9 ndash Um circuito em seacuterie possui impendecircncia de 60 Ω e fator de potecircncia igual a 072 em 50 A tensatildeo da fonte estaacute atrasada em relaccedilatildeo agrave corrente (a) Que elemento do circuito (um indutor ou um capacitor) deve ser ligado em seacuterie com o circuito para aumentar o fator de potecircncia (b) Qual deve ser o valor desse elemento para que o fator de potecircncia seja igual a 1 (c) Apresente diagramas de fasores esquemaacuteticos para o circuito antes e depois da ligaccedilatildeo do novo elemento
Manual de Laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
41
O PROCESSO DE MEDIDA NO LABORATOacuteRIO DE FIacuteSICA
Natildeo satildeo raros eventos em que nos valemos de medidas para tomarmos decisotildees Medimos nossa temperatura corporal para avaliarmos se necessitamos de tratamento Medimos a pressatildeo manomeacutetrica dos pneus para avaliarmos se precisamos injetar ou retirar ar neles Consultamos medidas da temperatura ambiente para escolhermos a roupa que vestiremos Consultamos o horaacuterio (medida de tempo) para natildeo chegarmos atrasados em encontros Medidas satildeo portanto fundamentais em nossas vidas No entanto usualmente natildeo nos preocupamos muito com a precisatildeo dessas medidas Em grande parte das vezes natildeo nos interessa saber se o horaacuterio informado no reloacutegio estaacute um pouco atrasado ou adiantado Natildeo nos preocupamos em saber o quanto podemos confiar nas temperaturas coletadas com um determinado termocircmetro Nossas medidas comumente satildeo realizadas de forma despretensiosa sem muito rigor
No laboratoacuterio de Fiacutesica isso ocorre de modo muito diferente Os processos de mediccedilatildeo satildeo mais minuciosos do que os que realizamos costumeiramente Desejamos obter a maior precisatildeo possiacutevel com os equipamentos de que dispomos Mas como fazer isso Como podemos melhorar a precisatildeo dos processos de mediccedilatildeo Intuitivamente podemos concluir que inferecircncias realizadas a partir de um conjunto de medidas satildeo mais precisas do que medidas isoladas Mas quando disponho de um conjunto de medidas como posso analisaacute-las Calcular a meacutedia delas eacute suficiente Responder a questotildees como essas eacute o objetivo desta atividade Para exemplificarmos todo esse processo realizaremos um debate sobre a mediccedilatildeo da resistecircncia interna de amperiacutemetros
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
42
O que satildeo amperiacutemetros
Um amperiacutemetro eacute um instrumento utilizado para a realizaccedilatildeo de medidas de correntes eleacutetricas Evidentemente natildeo queremos modificar os circuitos quando os exploramos com um instrumento Com amperiacutemetros natildeo eacute diferente Queremos medir correntes eleacutetricas sem alterar as caracteriacutesticas do circuito Mas como eacute possiacutevel fazer isso Natildeo discutiremos aqui os detalhes sobre o funcionamento interno de um amperiacutemetro No entanto vamos avaliaacute-los do ponto de vista de uma das suas caracteriacutesticas mais importantes a sua resistecircncia eleacutetrica
A resistecircncia eleacutetrica de um circuito influencia na intensidade da corrente eleacutetrica que circula nele A corrente eleacutetrica i que perpassa por uma resistecircncia eleacutetrica F submetida a uma tensatildeo ∆S por exemplo pode ser predita pela seguinte relaccedilatildeo
i = ∆u Eq 1
O amperiacutemetro precisa ser posicionado em seacuterie no circuito em que se deseja medir a corrente eleacutetrica como eacute exemplificado na figura
Figure 1- Medindo a resistecircncia interna de um multiacutemetro
Manual de Laboratoacuterio
43
1 Como a resistecircncia equivalente em circuitos em seacuteries eacute a soma da resistecircncia eleacutetrica de cada um dos seus componentes a resistecircncia interna dos amperiacutemetros se soma agrave resistecircncia equivalente do circuito investigado alterando a sua dinacircmica Por isso nosso desejo eacute que os amperiacutemetros tenham resistecircncia eleacutetrica nula No entanto a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro real por menor que seja nunca eacute nula Eles possuem um circuito interno com fios e diversos componentes eletrocircnicos que acabam provocando uma resistecircncia agrave circulaccedilatildeo de corrente eleacutetrica Ainda assim frequentemente desprezamos tal resistecircncia Seraacute que isso eacute razoaacutevel Quando podemos desprezar a resistecircncia interna dos amperiacutemetros e quando natildeo podemos Para respondermos tais perguntas precisamos conhecer o valor da resistecircncia interna tiacutepica de um amperiacutemetro
Medindo a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro
Nesta disciplina usaremos diversos amperiacutemetros de uma mesma marca e modelo em uma seacuterie de experimentos (Minipa ET-2075B) Por isso eacute interessante que conheccedilamos a resistecircncia eleacutetrica deles para podermos avaliar quando podemos desprezaacute-la e quando natildeo Mas como podemos obter essa informaccedilatildeo Podemos medi-la Um procedimento simples para isso eacute submeter o amperiacutemetro a uma diferenccedila de potencial ΔV conhecida e medir a corrente eleacutetrica i que passa por ele Desse modo podemos usar a Eq 1 para inferir a resistecircncia eleacutetrica do equipamento Mas podemos confiar em uma uacutenica medida Depende da precisatildeo de que necessitamos para essa medida Intuitivamente sabemos que se medirmos a resistecircncia interna a partir de um conjunto de dados poderemos ter uma maior confiabilidade nos dados No exemplo de que estamos tratando eacute possiacutevel se coletar dados da corrente no amperiacutemetro quando submetido a diferentes tensotildees Desse modo pode-se inferir a resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro pela declividade da reta constituiacuteda
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
44
pelos dados representados em um graacutefico da tensatildeo em funccedilatildeo da corrente eleacutetrica como pode ser constatado da Eq1 No entanto como temos incertezas associadas a cada dado experimental coletado esses dados natildeo seratildeo perfeitamente representados por uma reta Surge entatildeo uma nova questatildeo qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados
Ajuste de Curvas
Diversas retas podem ser ajustadas a um conjunto de dados experimental Qual delas utilizar Intuitivamente podemos conjecturar que a melhor reta a ser utilizada eacute aquela tal que a soma das diferenccedilas entre os valores de tensatildeo medidos e os preditos pela reta tenha o menor valor possiacutevel Em outras palavras queremos minimizar a soma
sum = = (∆Sz minus ∆S)z-
onde ∆Sz satildeo as tensotildees medidas e ∆S satildeo as tensotildees preditas pela reta ajustada
No entanto haacute um inconveniente importante no uso desse criteacuterio tal soma pode ser bem pequena para retas que natildeo apresentam bom ajuste aos dados se as diferenccedilas entre os valores medidos e os preditos se cancelarem sendo alguns positivos e outros negativos Nesses casos apesar de natildeo termos uma reta bem ajustada aos dados o criteacuterio utilizado
indicaria que sim Como resolver isso Elevando os valores de dn ao
Figura 1 - Diferenccedila de potencial em funccedilatildeo
da corrente
Manual de Laboratoacuterio
45
quadrado Ou seja podemos procurar a reta tal que a seguinte soma tenha o menor valor possiacutevel
sum =$ = (∆Sz minus ∆S)$z-
O meacutetodo que utiliza esse criteacuterio para a realizaccedilatildeo de ajustes de curvas que eacute amplamente utilizado no meio acadecircmico eacute denominado Meacutetodo dos Miacutenimos Quadrados Todos os softwares do tipo planilha eletrocircnica realizam esse caacutelculo automaticamente e nos valeremos disso quando necessaacuterio
Todos os amperiacutemetros da sala possuem a mesma resistecircncia interna
Ainda que todos os amperiacutemetros que utilizaremos nas nossas aulas sejam da mesma marca e modelo eles possuem diferentes resistecircncias internas Existe alguma forma de estimar a resistecircncia interna de um desses amperiacutemetros escolhido aleatoriamente Calcular a meacutedia das resistecircncias eacute suficiente para realizar essa estimativa
Variabilidade das medidas o desvio padratildeo amostral e da meacutedia
Apesar de as resistecircncias dos amperiacutemetros natildeo serem exatamente as mesmas elas possuem valores que se distribuem em torno de um valor meacutedio que eacute igual agrave meacutedia dessas resistecircncias Desse modo se tomarmos um dos amperiacutemetros aleatoriamente o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute igual agrave meacutedia das resistecircncias internas de todos os amperiacutemetros Mas quanto podemos confiar nessa estimativa Para respondermos tal pergunta eacute importante quantificarmos a variabilidade das resistecircncias r que medimos Quanto menor for essa variabilidade maior seraacute a nossa confianccedila para assumir que a resistecircncia interna de um amperiacutemetro particular eacute igual agrave meacutedia Intuitivamente podemos conjecturar que tal variabilidade pode ser medida pelo somatoacuterio das diferenccedilas entre as resistecircncias
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
46
medidas z e a meacutedia dessas resistecircncias ou seja por (- minus ) + ($ minus ) + ⋯ + ( minus ) onde N eacute o nuacutemero de medidas realizadas No entanto temos aqui um inconveniente semelhante ao que tivemos quando analisaacutevamos ajustes de curvas se valores positivos e negativos se cancelarem esse somatoacuterio pode ser muito pequeno mesmo quando os dados apresentam grande variabilidade Podemos propor a mesma soluccedilatildeo adotada anteriormente vamos elevar os termos ao quadrado Temos entatildeo a variabilidade dos dados sendo mensurada por (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$
A impossibilidade de comparaccedilatildeo entre as variabilidades de diferentes conjuntos de dados eacute a limitaccedilatildeo desta proposta pois o resultado desse somatoacuterio eacute altamente dependente da quantidade de termos Desse modo eacute possiacutevel que esse somatoacuterio seja maior para grandes conjuntos com pouca variabilidade do que para pequenos grupos com grande variabilidade Para amenizar tal limitaccedilatildeo podemos entatildeo dividir o somatoacuterio por N ou seja calcular a variabilidade por(- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$ Hfrasl Ainda que esse somatoacuterio seja conceitualmente interessante natildeo eacute essa a medida de dispersatildeo de dados que costuma ser utilizada no meio cientiacutefico mas algo que guarda alguma semelhanccedila com ele o desvio padratildeo dos dados (P) Ele eacute calculado por
PL = (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$H minus 1
Mas por que utilizamos essa equaccedilatildeo A resposta estaacute em suas propriedades Quando construiacutemos um histograma (graacutefico de frequecircncias) de um conjunto de medidas por exemplo podemos em muitos casos assumir que a distribuiccedilatildeo desses dados eacute representada por uma distribuiccedilatildeo normal A equaccedilatildeo que define essa distribuiccedilatildeo assim como sua representaccedilatildeo graacutefica eacute ilustrada na Figura 3
Manual de Laboratoacuterio
47
Natildeo eacute nosso objetivo aqui discutir detalhes da distribuiccedilatildeo normal O que desejamos destacar eacute que quando supomos que a distribuiccedilatildeo de um conjunto de dados eacute normal o que eacute bastante razoaacutevel na maioria das vezes o desvio padratildeo σ quantifica como os dados estatildeo distribuiacutedos Para entendermos isso analisemos a Figura 4
O intervalo compreendido pela meacutedia das medidas mais ou menos um desvio padratildeo compreende 68 das medidas realizadas No caso que estamos exemplificando se tomarmos a meacutedia das resistecircncias internas r de todos os amperiacutemetros investigados e o desvio padratildeo PL desses dados 68 das medidas estaratildeo no intervalo entre ( minus PL) e ( + PL) 95 no intervalo ( 2PL) e 99 no intervalo ( 257PL)
Figura 2 - A distribuiccedilatildeo normal eacute usualmente utilizada para representar a distribuiccedilatildeo
de frequecircncias de um conjunto de dados (Lima Jr et al 2013 p 30)
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
48
Agora jaacute sabemos como quantificar a variabilidade de um conjunto de dados Podemos entatildeo calcular a meacutedia e o desvio padratildeo das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros Mas surge entatildeo uma questatildeo Se analisaacutessemos um novo conjunto de amperiacutemetros da mesma marca e modelo dos exemplificados aqui a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros seria a mesma Provavelmente natildeo Temos como estimar a partir do conjunto de medidas que realizamos a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros Temos Para responder a essa questatildeo temos que compreender um novo conceito o de desvio padratildeo da meacutedia (PL) Ele eacute calculado por
PL = PLradicH
Natildeo vamos entrar em detalhes aqui sobre a origem do conceito de desvio padratildeo da meacutedia1 vamos apenas explicar como essa grandeza nos permite estimar a incerteza na meacutedia de um conjunto de medidas Para isso vamos supor um novo conjunto de N novas
1 Se vocecirc eacute um aluno curioso pesquise sobre o Teorema Central do Limite para compreender com mais profundidade o conceito de desvio padratildeo da meacutedia
Figura 3 - A meacutedia e o desvio padratildeo demarcam a distribuiccedilatildeo dos dados em uma
distribuiccedilatildeo normal Na figura o eixo das abcissas expressa a distacircncia da meacutedia em
unidades de desvio padratildeo (Lima Jr et al 2013 p 30)
Manual de Laboratoacuterio
49
medidas da resistecircncia interna de amperiacutemetros como os investigados nesta aula Qual seria a meacutedia dessas medidas Assim como o desvio padratildeo dos dados quantifica a dispersatildeo dos dados em torno da meacutedia o desvio padratildeo da meacutedia quantifica a dispersatildeo das meacutedias de subconjuntos de dados em torno da meacutedia de todo o conjunto de dados Aplicando esse conceito ao nosso exemplo podemos interpretar os dois conjuntos de medidas de resistecircncias internas como subconjuntos de um grande conjunto contendo todas as medidas Desse modo podemos afirmar com 68 de confianccedila que a meacutedia das N novas medidas a serem realizadas estaraacute no intervalo compreendido por ( PL) com 95 de confianccedila no intervalo ( 2PL) e com 99 de confianccedila no intervalo ( 257PL) O desvio padratildeo da meacutedia pode ser compreendido assim como a incerteza da meacutedia de um conjunto de medidas ou seja ele nos fornece uma estimativa da confiabilidade de uma meacutedia Em suma se escolhermos um amperiacutemetro aleatoriamente podemos dizer que i) o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute a meacutedia das resistecircncias de todos os amperiacutemetros e ii) a incerteza que temos nesse valor eacute igual ao desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias dos amperiacutemetros
E se eu soacute tivesse condiccedilotildees de realizar uma uacutenica medida
Nem sempre podemos realizar diversas medidas de uma grandeza Em alguns casos nem mesmo faz sentido realizar diversas medidas No entanto eacute evidente que existe uma incerteza associada a uma uacutenica medida Natildeo existem instrumentos que sejam perfeitamente precisos Entatildeo como podemos estimar essa incerteza Usualmente os manuais dos instrumentos trazem informaccedilotildees sobre isso Desse modo as incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica realizadas com um voltiacutemetro e um amperiacutemetro podem ser consultadas no manual do multiacutemetro utilizado Mas como eacute calculada a incerteza da resistecircncia interna de um amperiacutemetro que foi calculada a partir de
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
50
apenas uma medida de tensatildeo e uma de corrente eleacutetrica Nesse caso precisamos calcular a incerteza propagada das incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica
Os meacutetodos de caacutelculo de incertezas propagadas podem ser bastante complicados Aqui trataremos de um meacutetodo bastante simples usualmente denominado de Meacutetodo dos Limites Vamos exemplificaacute-lo supondo que a incerteza da tensatildeo sobre as entradas do amperiacutemetro eacute P- e da corrente eleacutetrica que circula por ele eacute P$ Ou seja a tensatildeo medida estaacute no intervalo entre ∆S minus P- e ∆S + P- e a corrente eleacutetrica entre i minus P$ e i + P$ Qual eacute entatildeo a incerteza da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro investigado Para responder isso basta calcularmos os valores limites dessa grandeza O maacuteximo valor possiacutevel para a resistecircncia ocorreraacute se a tensatildeo for ∆S + P- e a corrente eleacutetrica for i minus P$ Nesse caso usando a Eq 1 temos
aacutee = ∆S + P-i minus P$
Usando o mesmo raciociacutenio o valor miacutenimo de r seraacute
z = ∆S minus P-i + P$
Desse modo podemos dizer que o valor da resistecircncia interna medida estaacute no intervalo entre rmaacutex e rmiacuten Em outras palavras o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro eacute
F = iexclz + aacutee2 z minus aacutee2 cent
Manual de Laboratoacuterio
51
Erro eacute a mesma coisa que incerteza
Apesar de serem frequentemente utilizados como sinocircnimos os manuais de metrologia atribuem significados distintos aos conceitos de ldquoerrordquo e ldquoincertezardquo O Guia para Expressatildeo da Incerteza da Mediccedilatildeo (Joint Commitee for Guide in Metrology 2008 apud Lima Jr et al 2013) usa o termo ldquoerrordquo para indicar a diferenccedila entre o valor verdadeiro e o resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo o conceito de erro tem uso restrito pois satildeo poucos os casos em que conhecemos o valor verdadeiro de uma grandeza Satildeo exemplos desses casos experimentos em que se deseja mensurar a velocidade da luz no vaacutecuo ou o valor de π que satildeo valores previamente conhecidos pelo experimentador O caacutelculo do erro soacute faz sentido para casos em que sabemos o valor verdadeiro da grandeza que se quer medir
A incerteza por outro lado eacute entendida como uma estimativa que quantifica a confiabilidade do resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo quando calculamos o desvio padratildeo da meacutedia de um conjunto de medidas estamos calculando a incerteza da meacutedia dessas medidas ou seja estamos avaliando a confianccedila que podemos ter em adotar a meacutedia dessas medidas como o valor da grandeza mensurada O conceito de incerteza portanto tem maior aplicabilidade do que o conceito de erro
Algarismos significativos e incerteza
Uma questatildeo frequente nas aulas de laboratoacuterio eacute Com quantos algarismos uma grandeza deve ser apresentada No laboratoacuterio a resposta dessa questatildeo eacute uma funccedilatildeo da incerteza da grandeza Devemos apresentar os dados ateacute o seu primeiro algarismo duvidoso Voltemos ao exemplo da resistecircncia interna dos amperiacutemetros Suponhamos que a meacutedia das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros eacute 21546 Ω e o desvio padratildeo dessa meacutedia que eacute
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
52
entendido aqui como a incerteza da resistecircncia interna dos amperiacutemetros eacute 003 Ω Interpretando tais dados assumimos com 68 de certeza que a resistecircncia interna dos amperiacutemetros estaacute no intervalo entre 21246 e 21846 Ω Desse modo a segunda casa decimal da grandeza medida eacute duvidosa Por isso os algarismos subsequentes satildeo omitidos quando expressamos essa medida e a medida da resistecircncia interna dos amperiacutemetros exemplificados eacute exposta por (215 plusmn 003) Ω Em suma o resultado de uma mediccedilatildeo deve ser sempre expresso com a mesma quantidade de casas decimais que sua incerteza Os algarismos apresentados satildeo entatildeo chamados de algarismos significativos
Referecircncia
Lima Jr P Silva M T X Silveira F L Veit E A (2013) Laboratoacuterio de mecacircnica subsiacutedios para o ensino de Fiacutesica experimental Porto Alegre UFRGS Instituto de Fiacutesica Disponiacutevel em httphdlhandlenet1018390438
Manual de Laboratoacuterio
53
Atividade de Laboratoacuterio I Instrumentos de medida e incertezas
Este material foi cuidadosamente preparado para auxiliar no andamento das atividades no laboratoacuterio de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo Eacute importante responder TODAS as perguntas
(indicadas pelo siacutembolo ) feitas ao longo do texto discutindo com seu grupo possiacuteveis respostas e justificando-as Sempre que possiacutevel faccedila isso por escrito
TAREFA 1
Construa um circuito contendo um resistor de 1 kΩ em seacuterie com uma fonte de tensatildeo contiacutenua e um multiacutemetro Coloque o multiacutemetro na funccedilatildeo amperiacutemetro na escala de miliampere Usando outro multiacutemetro meccedila a tensatildeo no amperiacutemetro Realize medidas com diferentes correntes eleacutetricas variando a tensatildeo de saiacuteda da fonte
Como podemos tratar esses dados se nosso objetivo eacute medir a resistecircncia interna do amperiacutemetro
Qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
54
Para responder essas questotildees se dirija a um dos computadores da sala e use um aplicativo que possibilite a construccedilatildeo de graacuteficos SciDavis por exemplo Insira seus dados no aplicativo construa o graacutefico desejado e encontre a melhor reta que se ajusta aos dados
Qual foi a melhor reta ajustada Determine a equaccedilatildeo dessa reta ajustada
Qual eacute o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro que vocecirc investigou
TAREFA 2
Utilize as medidas de todos os grupos da turma e aplique os conhecimentos abordados na tarefa de leitura para responder as seguintes questotildees
Qual deve ser a resistecircncia interna de um amperiacutemetro escolhido aleatoriamente entre os utilizados nesta aula
Qual eacute a incerteza desse valor
TAREFA 3
Suponha que o manual do Minipa ET-2075B informe que as medidas de tensatildeo e corrente realizadas nas faixas de milivolt e miliampere tecircm incerteza de 3 Use esses dados para calcular a
Manual de Laboratoacuterio
55
incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1
Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma
Elas satildeo coerentes Por quecirc
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
56
CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO
Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por
equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC
Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras
O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se
Manual de Laboratoacuterio
57
extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo
No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador
Salvando vidas
ldquoafastem-se choquerdquo
Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de
sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos
O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo
Figura 4 - Desfibrilador
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
58
esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)
Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma
sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o
miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia
Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2
2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387
Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)
Manual de Laboratoacuterio
59
Circuito RC - seacuterie
Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C
Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que
∆S(c) + i(c)F = 0
Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo
i(c) = =C(c)=c
e a ddp no capacitor eacute dada por
∆S(c) = C(c)D
Dessa forma podemos dizer que
=C(c)=c = minus 1FD C(c)
Figura 6 - Circuito RC
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
60
Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa
funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja
derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever
C(c) = C7 ou
A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial
Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir
Capacitor Carregando Capacitor Descarregando
∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0
C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou
∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou
Manual de Laboratoacuterio
61
Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8
Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo
eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum
3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78
Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas
do capacitor durante o processo de
carga ou descarga
Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um
graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo
do tempo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
62
Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no
capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte
Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor
quando o mesmo estaacute sendo carregado
Manual de Laboratoacuterio
63
Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie
1 - Osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos
2 ndash Aparato Experimental
Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
64
conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto
Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)
Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio
Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees
Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala
Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)
Manual de Laboratoacuterio
65
TAREFA 1
Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees
Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico
Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito
Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito
Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos
Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio
TAREFA 2
Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie
Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
66
figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)
Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados
Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo
NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo
Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste
Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito
Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito
Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles
Manual de Laboratoacuterio
67
MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS
Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais
Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio
Para onde aponta a buacutessola
Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
68
polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc
E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial
tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos
que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a
soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio
4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja
httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4
Figura 10 - Buacutessola
Figura 11 - campo B resultante
Manual de Laboratoacuterio
69
Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por
umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O
Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde
Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde
Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma
iacuteatilde() = ∙
onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde
5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass
The Physics Teacher 49(1) 45-48
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
70
Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como
iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2
Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos
gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)
Logo
gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2
Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo
iacuteatilde() = amp
Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse
tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira
na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart
Manual de Laboratoacuterio
71
pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do
que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute
yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp
onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico
da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos
yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp
Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
72
Atividade de Laboratoacuterio III Projeto
OBJETIVO
Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
73
SUGESTAtildeO 1
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO
Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas
Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece
Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha
Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo
por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o
eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
74
SUGESTAtildeO 2
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA
Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)
Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica
Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de
uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)
Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema
Manual de Laboratoacuterio
75
SUGESTAtildeO 3
BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO
Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola
Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)
Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina
O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
76
SUGESTAtildeO 4
CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO
O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer
Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
77
MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO
Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro
Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental
6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
78
110 V 127 V e 220 V O que eacute isso
As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V
Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas
A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
(c) = Jgt(c + acute)
onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por
∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)
Manual de Laboratoacuterio
79
onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1
Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho
Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores
Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
80
caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por
∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf
∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712
∆Suparamiddot = ∆S7radic2
Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a
tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s
A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente
alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$
Figura 13 - Funccedilotildees seno e
seno quadrado
Manual de Laboratoacuterio
81
COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA
Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz
Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O
Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
82
que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio
Natildeo queremos jogar energia fora
Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14
Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie
Manual de Laboratoacuterio
83
Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por
0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)
onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)
Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
ℇ(c) = ℇ7gt(c)
onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente
Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na
figura 16 para um caso em que VL gt VC
Figura 15 - Diagrama de fasores
de um circuito RLC seacuterie com
fonte de tensatildeo alternada
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
84
A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que
acute = c8 S minus SSu
Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado
por
i(c) = gt(c minus acute)
Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente
as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que
ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$
ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$
Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como
0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)
Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que
0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$
Figura 16 ndash Soma de fasores
Manual de Laboratoacuterio
85
0eacutey = F ∙ uparamiddot$
onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square
Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que
F = frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte
Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade
7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL
Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e
resistecircncia num diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
86
do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como
0 = AJradicAJ$ + AF$
O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP
DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11
Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia
Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por
acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita
Manual de Laboratoacuterio
87
2 = 1D
Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica
Figura 18 - diagramas de fasores representando
um circuito capacitivo e um circuito indutivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
88
Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie
O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio
TAREFA 1
Circuito Resistivo
Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR
Manual de Laboratoacuterio
89
Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)
O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador
Circuito Capacitivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
90
Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor
Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Manual de Laboratoacuterio
91
Circuito Indutivo
Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor
O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
92
Circuito RLC
Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise
Manual de Laboratoacuterio
93
O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador
Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio
O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior
Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor
Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou
A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
94
TAREFA 2
Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente
Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir
Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima
Qual o valor da corrente maacutexima no circuito
Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)
O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique
Manual de Laboratoacuterio
95
TAREFA 3
Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito
Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees
Como isso eacute possiacutevel Explique
Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff
Respostas
96
Respostas
A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32
A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH
A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH
B3 Ae = Af = AtildeAcircf
B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl
B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH
B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l
B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD
B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -
C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc
(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7
C2 O = ~13deg
C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)
Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-
vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr
Respostas
97
C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM
C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD
(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD
C6 A = Eacute$Acirc
C7 A = Atilde$AcircL
D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma
das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp
D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(
D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1
no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)
D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme
D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D
E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)
E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D
E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml
F1 544 times 10
F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S
F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM
u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM
u (e) 0 = ℇMu
F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω
Respostas
98
F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965
G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n
G5 i = Ograve$g = 245 J
G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y
G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez
G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H
G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)
G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)
G15 (a) zL$brvbarM (b)
z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero
G16 z$L + z$L = z$L - + 1
G17 (a) pLM
amp (b) pusup3
ampL
G18 zzMu
G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)
z
G20 zNu saindo da folha
G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)
UgraveLMamp
fora do fio (a) z$L (b)
UgravebrvbarM$L (c)
Ugravebrvbarsup3ampL
G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13
G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM
ampu
H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior
Respostas
99
H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a
H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J
I2 Φ = pound$ sup1amp
I4 C = AcircsM
I6 (a) zM
NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar
J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a
(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S
J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu
(c) = -radic
J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm
(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013
Respostas
100
Bibliografia
Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il
Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il
Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il
Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm
Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il
Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il
Problemas Selecionados
23
F5 ndash No circuito ao lado a potecircncia dissipada no resistor R eacute 20 a Qual o valor de R Qual a ddp entre os pontos A e B
F6 ndash A corrente medida por um amperiacutemetro A no circuito ao lado eacute a mesma quando ambas as chaves estatildeo abertas ou fechadas Qual o valor da resistecircncia R
F7 ndash Determine o valor da corrente que passa por cada um dos resistores a potecircncia fornecida por cada uma das fontes de tensatildeo e a potecircncia dissipada por cada um dos resistores Faccedila o balanccedilo energeacutetico do circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
24
F8 ndash No circuito ao lado a chave S permanece fechada por um longo tempo e a corrente no circuito atinge um valor constante Considere D- = 3 D$ = 6 F- = 4Ω e F$ = 7Ω A potecircncia dissipada em F$ eacute 24a (a) Determine as cargas em D- e D$ (b) Abrindo a chave S e aguardando um longo tempo qual a mudanccedila observada na carga do capacitor 2
F9 ndash Num circuito RC seacuterie como o da figura ao lado D = 1 F = 2 times 10bΩ e ℇ = 10S Dez segundos depois que a chave foi fechada determine (a) a carga no capacitor (b) a corrente no resistor (c) a taxa com que a energia eacute armazenada no capacitor (d) a taxa com que a bateria fornece energia para o circuito
F10 ndash Um capacitor eacute carregado atraveacutes de um resistor como mostra a figura no problema anterior Mostre que metade da energia fornecida pela bateria aparece como energia interna no resistor e a outra metade como energia eleacutetrica no capacitor
F11 ndash Um capacitor duas fontes ideais dois resistores e uma chave S satildeo mostrados no circuito da figura ao lado Suponha D = 12 ℇ- = 15 S ℇ$ = 30 S F- = 05 Ω e F$ = 08 Ω (a) Se a chave S permanece aberta por um longo tempo qual a carga no capacitor (b) Qual a carga no capacitor se a chave S permanece fechada por um longo tempo
Problemas Selecionados
25
F12 ndash No circuito ao lado a bateria fornece 10 S o capacitor eacute de 1 e os resistores tecircm as resistecircncias indicadas na figura O circuito estaacute ligado haacute um longo tempo (a) Qual a ddp entre os terminais do capacitor (b) Se a bateria for desconectada quanto tempo levaraacute para que essa ddp atinja um deacutecimo do valor inicial
-------------------------------------------------------------------------------------------
(G) Campo Magneacutetico
G1 ndash Um proacuteton atravessa uma regiatildeo de campo magneacutetico uniforme = lang10 20 30rang 13 No tempo c- o proacuteton tem uma velocidade d = langde df 2rang e a forccedila magneacutetica sobre o proacuteton eacute g = lang4 times 10-h minus2 times 10-h 0rang H Nesse instante qual o valor de de e df
G2 ndash Um proacuteton viaja atraveacutes de uma regiatildeo de campo eleacutetrico e
magneacutetico uniformes onde = langminus25 0 0rang 13 Num certo instante a velocidade do proacuteton eacute d = lang0 2000 0rang Qual a forccedila resultante que age sobre o proacuteton se o campo eleacutetrico for
(a) A = lang0 0 4rang S (b) A = lang0 0 minus4rang S ou
(c) A = lang4 0 0rang S
G3 ndash Uma espira retangular de lados e estaacute numa regiatildeo de campo
magneacutetico perpendicular ao plano da espira e eacute percorrida por uma corrente i constante conforme mostra a figura ao lado Determine o torque sobre a espira
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
26
G4 ndash Dois trilhos de metal separados por uma distacircncia = = 256 estatildeo ligados a uma bateria No momento em que uma barra de metal de massa = 241 8 eacute colocada sobre os trilhos (c = 0) ela fecha o circuito e por ela passa uma corrente i = 913 J O conjunto estaacute numa regiatildeo onde existe um campo magneacutetico uniforme = 563 13 Qual a velocidade da barra 611 depois Em que direccedilatildeo ela se move
G5 ndash A figura ao lado mostra um cilindro de madeira de massa = 250 8 e comprimento 2 =10 onde foi enrolado um fio formando uma espira de 10 voltas O cilindro eacute posicionado de forma que o eixo da espira estaacute perpendicular ao plano inclinado (paralelo agrave normal do plano
inclinado) Nessa regiatildeo haacute um campo magneacutetico = lang0 05 0rang 13 Qual deve ser o valor miacutenimo da corrente na espira capaz de manter o cilindro em sua posiccedilatildeo evitando que ele role para baixo
G6 ndash A figura ao lado mostra um iacutematilde e um anel condutor de raio por onde passa uma corrente i Se o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde faz um acircngulo O com a vertical na posiccedilatildeo onde estaacute o anel qual eacute a magnitude e a direccedilatildeo da forccedila resultante sobre o anel
Problemas Selecionados
27
G7 ndash Uma barra de metal com densidade de massa B (massa por unidade de comprimento) apresenta uma corrente i (saindo da paacutegina) A barra estaacute suspensa por dois fios num campo magneacutetico uniforme vertical como mostra a figura ao lado No equiliacutebrio os fios
fazem um acircngulo O com a vertical Qual a magnitude do campo magneacutetico
G8 ndash Um proacuteton com energia cineacutetica de 6 jS se move no plano da paacutegina e entra numa regiatildeo de campo magneacutetico = 1 13 direcionado para dentro da paacutegina como mostra a figura ao lado
O proacuteton entra na regiatildeo de campo com o vetor velocidade fazendo um acircngulo O- = 35deg com a borda da regiatildeo Qual eacute a distacircncia entre o ponto de entrada e saiacuteda ( na figura) Qual o valor de O$
G9 ndash Considere um eleacutetron orbitando um proacuteton numa trajetoacuteria circular de raio F = 529 times 10-- devido agrave atraccedilatildeo Coulombiana Considere o sistema como se fosse um anel por onde passa uma corrente Qual seraacute o torque resultante quando o sistema for colocado numa regiatildeo de campo magneacutetico = 04 13 perpendicular ao momento magneacutetico do anel
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
28
G10 ndash Um fio por onde passa uma corrente i foi moldado num formato semicircular de raio F e uma reta de comprimento 2F como mostra a figura ao lado Nessa mesma regiatildeo haacute um campo magneacutetico que aponta na direccedilatildeo + (representado pelos pontos azuis na figura ao lado) Mostre que a
forccedila resultante sobre o fio eacute zero
G11 ndash Um condutor ciliacutendrico longo de raio conteacutem duas cavidades cada uma com diacircmetro ao longo de todo o comprimento do fio Uma visatildeo da seccedilatildeo transversal do fio eacute mostrada na figura ao lado Uma corrente i uniforme (considerando a porccedilatildeo soacutelida do material) passa atraveacutes do fio e aponta para fora da paacutegina Determine a magnitude e direccedilatildeo do campo
magneacutetico em funccedilatildeo de 7 i e no ponto P
G12 ndash Dois fios muito longos por onde passa corrente i de mesma magnitude estatildeo moldados conforme a figura ao lado
Mostre que o campo magneacutetico no centro do ciacuterculo de raio R eacute o mesmo que o
campo a uma distacircncia R abaixo de um fio reto muito longo por onde passa uma corrente i
Problemas Selecionados
29
G13 ndash Encontre uma expressatildeo para determinar a magnitude do campo magneacutetico no ponto P da figura ao lado Dica considere a origem dos eixos cartesianos no ponto P
G14 ndash A figura ao lado mostra a seccedilatildeo transversal de um condutor oco de raio externo e interno por onde passa uma corrente uniforme i Demonstre que a magnitude do campo magneacutetico () para uma distacircncia lt lt eacute dada por
= 7i25($ minus $) $ minus $
G15 ndash A figura ao lado mostra um cabo coaxial de raios e Correntes opostas de igual magnitude estatildeo distribuiacutedas nos dois condutores Derive uma expressatildeo para calcular o campo magneacutetico () na regiatildeo (a) lt (b) lt lt (c) lt lt e (d) gt
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
30
G16 ndash Um fio condutor por onde passa uma corrente i foi torcido para formar um loop de raio R (no plano da paacutegina) como mostra a figura abaixo Qual a direccedilatildeo do campo magneacutetico no
centro do loop Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico no centro do loop
G17 ndash Uma corrente i passa por um fio condutor ciliacutendrico de raio R como mostra a figura ao lado A densidade de corrente l natildeo eacute uniforme atraveacutes da seccedilatildeo transversal do fio mas obedece agrave funccedilatildeo l = onde eacute uma constante Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico (a) a uma distacircncia - lt F e (b) a uma distacircncia $ gt F(em relaccedilatildeo ao centro do condutor)
G18 ndash Um fio condutor muito longo por onde passa uma corrente i- estaacute parcialmente envolto por um loop por onde passa uma corrente i$ (figura ao lado) O loop fio foi moldado num formato semiciliacutendrico de raio R e o comprimento L O fio condutor passa pelo eixo do loop Calcule a forccedila magneacutetica exercida sobre o loop
G19 ndash Considere um solenoide de comprimento 2 e raio F contendo H voltas de um fio por onde passa uma corrente i (a) Determine uma expressatildeo para
o campo magneacutetico num ponto ao longo do eixo do solenoide do lado de fora do solenoide como funccedilatildeo da distacircncia ateacute uma das pontas (considere = 0 no centro do solenoide e = a distacircncia do centro ateacute o ponto onde estaacute sendo calculado o campo ) (b) Mostre que para
Problemas Selecionados
31
valores muito grandes de 2 e = = 0 se aproxima de = 7i H 2frasl para posiccedilotildees ao longo do eixo no interior do solenoide distante das bordas
G20 ndash A figura ao lado mostra um fio moldado para formar duas seccedilotildees retas e um quarto de ciacuterculo por onde passa corrente i Determine o campo magneacutetico (vetor) no ponto P
G21 ndash Um fio ciliacutendrico espesso de raio eacute percorrido por uma corrente i Determine uma expressatildeo para o
campo magneacutetico dentro e fora do fio considerando que (a) a corrente estaacute distribuiacuteda uniformemente sobre a superfiacutecie externa do fio (b) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio com densidade de corrente l constante (c) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio de forma que a densidade de corrente l eacute proporcional agrave distacircncia ateacute o eixo do fio
G22 ndash Considere dois solenoides coaxiais cada um conduzindo uma corrente i em direccedilotildees opostas O solenoide interno de raio possui gt- voltas por unidade de comprimento o
solenoide externo possui raio e gt$ voltas por unidade de
comprimento Determine (a) no interior do conjunto (b) entre eles e (c) fora deles
G23 ndash Um fio condutor longo e reto de raio F conduz uma corrente natildeo uniforme cuja densidade de corrente eacute l = l7 Ffrasl onde l7 eacute uma constante A corrente total eacute i (a) Determine uma expressatildeo para i
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
32
em funccedilatildeo de l7 e F (b) Determine uma expressatildeo para o campo magneacutetico no interior do fio para uma distacircncia
G24 ndash A figura ao lado mostra um toroide que consiste num solenoide fechado em forma de anel (a) Considerando a simetria explique qual deve ser o formato do campo magneacutetico no interior desse toroide (b) Considere o toroide compacto (a separaccedilatildeo entre cada volta do fio eacute pequena) com N voltas conduzindo uma corrente i Usando a lei de Ampeacutere determine a magnitude do campo magneacutetico num ponto interno ao toroide a uma distacircncia do eixo principal (ver figura ao lado) (c) O campo magneacutetico no interior do toroide eacute um campo uniforme Explique
-------------------------------------------------------------------------------------------
(H) Lei de Faraday
H1 ndash A figura ao lado mostra dois aneis cujos eixos estatildeo alinhados separados por uma distacircncia x O anel maior tem raio F o anel menor tem raio Os aneis estatildeo separados por uma distacircncia ≫ F e por isso o campo magneacutetico devido agrave corrente no anel de raio F eacute praticamente uniforme no anel menor Considere que a distacircncia estaacute aumentando a uma taxa constante = =cfrasl = d (a) Determine uma expressatildeo para o fluxo de campo magneacutetico atraveacutes do anel menor como funccedilatildeo de Encontre uma expressatildeo para (b) a fem induzida e (c) a direccedilatildeo da corrente no anel menor
Problemas Selecionados
33
H2 ndash (a) Calcule o fluxo magneacutetico atraveacutes do retacircngulo mostrado na figura ao lado em funccedilatildeo de = i (b) Avalie o resultado encontrado para = 5 = 10 = = 2 e i = 20 J
H3 ndash Uma espira plana e circular de raio =75 estaacute em repouso numa regiatildeo de campo magneacutetico uniforme A espira estaacute orientada de tal forma que o campo magneacutetico aponta para cima
e faz um acircngulo de 30deg com a normal da espira O campo varia com
o tempo de acordo com (c) = 14(77nho) 13 (a) Determine a fem induzida na espira em funccedilatildeo do tempo (b) Para que valor de c a fem induzida eacute igual a um deacutecimo do seu valor inicial Determine o sentido da corrente induzida na espira se observada por cima da espira
H4 ndash Um retacircngulo que mede 30 times 40 estaacute localizado no interior de um campo magneacutetico uniforme de 125 13 com o campo perpendicular ao plano da bobina A bobina se move perpendicular ao campo com velocidade constante d =2 inclusive atingindo a regiatildeo
onde o campo termina abruptamente como mostra a figura ao lado Determine a fem induzida nessa bobina quando ela estaacute (a) inteiramente no interior do campo (b) parcialmente no interior do campo e (c) inteiramente fora do campo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
34
H5 ndash O fio na figura ao lado conduz
uma corrente i(c) = i7po onde gt 0 Determine o sentido da corrente induzida na bobina (horaacuterio ou anti-horaacuterio) para c gt 0
H6 ndash A figura ao lado mostra uma espira circular de raio contendo uma resistecircncia e um capacitor ligados em seacuterie imerso numa regiatildeo onde um campo magneacutetico uniforme (no espaccedilo) entrando no plano na paacutegina decresce no tempo a uma taxa constante = =cfrasl = minus sendo uma constante positiva (a) Qual a carga no capacitor quando ele estaacute completamente carregado (b) Qual das placas do capacitor estaacute em potencial mais elevado (c) Qual a origem da forccedila que causa a separaccedilatildeo de cargas
-------------------------------------------------------------------------------------------
(I) Indutacircncia
I1 ndash No circuito ao lado ℰ = 100 SF- = 10 Ω F$ = 20 Ω Famp = 30 Ω e 2 = 2 H Ao fechar a chave S quais os valores de i- e i$ Considere positivo o sentido das correntes indicadas na figura Muito tempo
depois quais satildeo os valores de i- e i$ A chave eacute entatildeo aberta Nesse instante quais satildeo os valores de i- e i$ E muito tempo depois quais satildeo os valores de i- e i$
Problemas Selecionados
35
I2 ndash Num circuito LC em seacuterie a carga inicial do capacitor eacute C e ele estaacute sendo descarregado Quando a carga no capacitor eacute igual a C 2frasl qual eacute o fluxo magneacutetico que atravessa cada uma das N espiras do indutor (como funccedilatildeo de C H 2 e D)
I3 ndash Uma bobina possui N voltas e estaacute envolvendo um solenoide longo de raio r com n espiras por unidade de comprimento (figura ao lado) (a) Mostre que a indutacircncia muacutetua do sistema eacute dada por j = 75F$gtH (b) Explique por que M natildeo depende do formato tamanho ou possiacutevel falta de proximidade das espiras na bobina
I4 ndash A fem autoinduzida num solenoide de indutacircncia L varia no tempo conforme ℇ(c) = ℇ7so Levando em consideraccedilatildeo que a carga eacute finita (ou seja i = 0 quando c = infin) determine a carga total que passa pelo solenoide (que atravessa um determinado ponto no fio que compotildee o solenoide)
I5 ndash Um fio condutor foi enrolado num papelatildeo formando um toroide com N espiras (voltas) raio menor r e maior R A seccedilatildeo transversal do toroide eacute mostrada na figura ao lado Se F ≫ o campo magneacutetico no interior do toroide eacute essencialmente o mesmo que o campo no interior de um solenoide muito longo que tenha sido
moldado no formato de um ciacuterculo de raio R Modelando o campo como se fosse o campo uniforme de um solenoide longo mostre que a indutacircncia desse toroide eacute
aproximadamente 2 asymp -$ 7H$ LMu
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
36
I6 ndash Um indutor consiste em duas cascas ciliacutendricas concecircntricas como mostra a figura A casca interna tem raio e a externa tem raio ambas com comprimento ℎ A casca interna transporta uma corrente i para fora e a externa para dentro do plano da paacutegina com igual magnitude Calcule na regiatildeo lt lt (a) a densidade de energia magneacutetica (b) a indutacircncia
I7 ndash Mostre que i(c) = i7o wx eacute a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial iF + 2 yzyo = 0 onde i7 eacute a corrente em c = 0 e = 2 Ffrasl
I8 ndash Um fio condutor de raio R transporta uma corrente uniforme A corrente total no fio eacute i Mostre que a energia magneacutetica por unidade de comprimento dentro do fio eacute dada por 7i$ 165frasl
I9 ndash Um cabo coaxial eacute formado por dois cilindros condutores de paredes finas com raios - e $ As correntes nos dois cilindros satildeo iguais em magnitude mas com sentidos opostos (a) Use a lei de Ampeacutere para determinar o campo magneacutetico como funccedilatildeo da distacircncia ao eixo do cabo nas regiotildees (0 lt lt -) ( - lt lt $ ) e ( gt $) (b) Mostre que a densidade de energia magneacutetica na regiatildeo entre os cilindros eacute dada por
| = 12 745 i$(5$)-
(c) Mostre que a energia magneacutetica total num volume de cabo com comprimento ~ eacute dada por
Problemas Selecionados
37
= i$~ ln LML
(d) Mostre que a autoindutacircncia por unidade de comprimento do cabo eacute dada por
2~ = 725 ln $-
-------------------------------------------------------------------------------------------
(J) Corrente Alternada
J1 ndash A tensatildeo de uma fonte de corrente alternada eacute dada por ∆d = 120gt(30 5c) onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A fonte eacute conectada a um indutor de 05 Determine (a) a frequecircncia da fonte (b) a voltagem rms no indutor (c) a reatacircncia indutiva do circuito (d) a corrente rms no indutor e (e) a corrente maacutexima no indutor
J2 ndash Uma fonte de tensatildeo alternada fornece uma tensatildeo ∆d = 98gt(80 5c) a um capacitor onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A corrente maacutexima no circuito eacute 05 J Determine (a) a tensatildeo rms da fonte (b) a frequecircncia da fonte e (c) o valor da capacitacircncia
J3 ndash Um circuito AC eacute composto por um resistor de 250 Ω um indutor de 15 um capacitor de 35 e uma fonte de tensatildeo alternada com amplitude de 45 S operando com frequecircncia angular = 360 = frasl (a) Qual eacute o fator de potecircncia do circuito (b) Determine a potecircncia meacutedia aparente (S) fornecida ao circuito (c) Qual eacute a potecircncia meacutedia ativa (P) dissipada no resistor Qual eacute a potecircncia meacutedia reativa (Q) que fica armazenada no circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
38
J4 ndash Cinco voltiacutemetros com impedacircncia muito grande ajustados para ler valores rms estatildeo conectados conforme a figura ao lado Sendo F =200 Ω 2 = 04 H D = 6 e ∆S = 30 Vqual eacute a leitura da tensatildeo em cada voltiacutemetro se (a) = 200 = frasl e (b) =1000 = frasl
J5 ndash Num circuito RLC 2 = 028 e D = 4 A fonte fornece uma voltagem com amplitude de 120 S Qual eacute a frequecircncia angular de ressonacircncia do circuito (b) Quando a fonte opera na frequecircncia angular de ressonacircncia a amplitude da corrente no circuito eacute 17 J Qual a resistecircncia do resistor (c) Na frequecircncia angular de ressonacircncia quais satildeo as voltagens de pico no indutor capacitor e resistor
J6 ndash O circuito ao lado conteacutem uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal conforme ℇ = ℇgt(c) No estado de equiliacutebrio temos as correntes mostradas no circuito Sem recorrer a uma matemaacutetica complicada responda (a) Quais os valores de u e quando = 0 (frequecircncia zero significa que
a fonte foi substituida por uma bateria ideal) (b) Quais os valores de u e quando rarr infin (c) Qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia
Problemas Selecionados
39
J7 ndash Um indutor um capacitor e um resistor estatildeo conectados em seacuterie a uma fonte de tensatildeo alternada Se os valores da resistecircncia capacitacircncia e indutacircncia forem duplicados o que aconteceraacute com (a) a frequecircncia angular de ressonacircncia (b) a reatacircncia indutiva (c) a reatacircncia capacitiva e (d) a impedacircncia
J8 ndash O circuito abaixo eacute formado por uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal variando conforme ℇ = ℇgt(c) uma resistecircncia F = 6 Ω e uma parte desconhecida que pode conter um indutor um capacitor ou ambos A amplitude da fonte eacute ℇ = 6 S Quando a frequecircncia angular = 2 = a corrente estaacute em fase com a fonte enquanto que para = 1 = a corrente estaacute fora de fase em relaccedilatildeo agrave fonte por exatamente 5 4frasl (a) Quais componentes estatildeo presentes na parte desconhecida (um indutor um capacitor ou ambos) Explique (b) Determine os valores dos componentes desconhecidos
J9 ndash Um circuito em seacuterie possui impendecircncia de 60 Ω e fator de potecircncia igual a 072 em 50 A tensatildeo da fonte estaacute atrasada em relaccedilatildeo agrave corrente (a) Que elemento do circuito (um indutor ou um capacitor) deve ser ligado em seacuterie com o circuito para aumentar o fator de potecircncia (b) Qual deve ser o valor desse elemento para que o fator de potecircncia seja igual a 1 (c) Apresente diagramas de fasores esquemaacuteticos para o circuito antes e depois da ligaccedilatildeo do novo elemento
Manual de Laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
41
O PROCESSO DE MEDIDA NO LABORATOacuteRIO DE FIacuteSICA
Natildeo satildeo raros eventos em que nos valemos de medidas para tomarmos decisotildees Medimos nossa temperatura corporal para avaliarmos se necessitamos de tratamento Medimos a pressatildeo manomeacutetrica dos pneus para avaliarmos se precisamos injetar ou retirar ar neles Consultamos medidas da temperatura ambiente para escolhermos a roupa que vestiremos Consultamos o horaacuterio (medida de tempo) para natildeo chegarmos atrasados em encontros Medidas satildeo portanto fundamentais em nossas vidas No entanto usualmente natildeo nos preocupamos muito com a precisatildeo dessas medidas Em grande parte das vezes natildeo nos interessa saber se o horaacuterio informado no reloacutegio estaacute um pouco atrasado ou adiantado Natildeo nos preocupamos em saber o quanto podemos confiar nas temperaturas coletadas com um determinado termocircmetro Nossas medidas comumente satildeo realizadas de forma despretensiosa sem muito rigor
No laboratoacuterio de Fiacutesica isso ocorre de modo muito diferente Os processos de mediccedilatildeo satildeo mais minuciosos do que os que realizamos costumeiramente Desejamos obter a maior precisatildeo possiacutevel com os equipamentos de que dispomos Mas como fazer isso Como podemos melhorar a precisatildeo dos processos de mediccedilatildeo Intuitivamente podemos concluir que inferecircncias realizadas a partir de um conjunto de medidas satildeo mais precisas do que medidas isoladas Mas quando disponho de um conjunto de medidas como posso analisaacute-las Calcular a meacutedia delas eacute suficiente Responder a questotildees como essas eacute o objetivo desta atividade Para exemplificarmos todo esse processo realizaremos um debate sobre a mediccedilatildeo da resistecircncia interna de amperiacutemetros
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
42
O que satildeo amperiacutemetros
Um amperiacutemetro eacute um instrumento utilizado para a realizaccedilatildeo de medidas de correntes eleacutetricas Evidentemente natildeo queremos modificar os circuitos quando os exploramos com um instrumento Com amperiacutemetros natildeo eacute diferente Queremos medir correntes eleacutetricas sem alterar as caracteriacutesticas do circuito Mas como eacute possiacutevel fazer isso Natildeo discutiremos aqui os detalhes sobre o funcionamento interno de um amperiacutemetro No entanto vamos avaliaacute-los do ponto de vista de uma das suas caracteriacutesticas mais importantes a sua resistecircncia eleacutetrica
A resistecircncia eleacutetrica de um circuito influencia na intensidade da corrente eleacutetrica que circula nele A corrente eleacutetrica i que perpassa por uma resistecircncia eleacutetrica F submetida a uma tensatildeo ∆S por exemplo pode ser predita pela seguinte relaccedilatildeo
i = ∆u Eq 1
O amperiacutemetro precisa ser posicionado em seacuterie no circuito em que se deseja medir a corrente eleacutetrica como eacute exemplificado na figura
Figure 1- Medindo a resistecircncia interna de um multiacutemetro
Manual de Laboratoacuterio
43
1 Como a resistecircncia equivalente em circuitos em seacuteries eacute a soma da resistecircncia eleacutetrica de cada um dos seus componentes a resistecircncia interna dos amperiacutemetros se soma agrave resistecircncia equivalente do circuito investigado alterando a sua dinacircmica Por isso nosso desejo eacute que os amperiacutemetros tenham resistecircncia eleacutetrica nula No entanto a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro real por menor que seja nunca eacute nula Eles possuem um circuito interno com fios e diversos componentes eletrocircnicos que acabam provocando uma resistecircncia agrave circulaccedilatildeo de corrente eleacutetrica Ainda assim frequentemente desprezamos tal resistecircncia Seraacute que isso eacute razoaacutevel Quando podemos desprezar a resistecircncia interna dos amperiacutemetros e quando natildeo podemos Para respondermos tais perguntas precisamos conhecer o valor da resistecircncia interna tiacutepica de um amperiacutemetro
Medindo a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro
Nesta disciplina usaremos diversos amperiacutemetros de uma mesma marca e modelo em uma seacuterie de experimentos (Minipa ET-2075B) Por isso eacute interessante que conheccedilamos a resistecircncia eleacutetrica deles para podermos avaliar quando podemos desprezaacute-la e quando natildeo Mas como podemos obter essa informaccedilatildeo Podemos medi-la Um procedimento simples para isso eacute submeter o amperiacutemetro a uma diferenccedila de potencial ΔV conhecida e medir a corrente eleacutetrica i que passa por ele Desse modo podemos usar a Eq 1 para inferir a resistecircncia eleacutetrica do equipamento Mas podemos confiar em uma uacutenica medida Depende da precisatildeo de que necessitamos para essa medida Intuitivamente sabemos que se medirmos a resistecircncia interna a partir de um conjunto de dados poderemos ter uma maior confiabilidade nos dados No exemplo de que estamos tratando eacute possiacutevel se coletar dados da corrente no amperiacutemetro quando submetido a diferentes tensotildees Desse modo pode-se inferir a resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro pela declividade da reta constituiacuteda
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
44
pelos dados representados em um graacutefico da tensatildeo em funccedilatildeo da corrente eleacutetrica como pode ser constatado da Eq1 No entanto como temos incertezas associadas a cada dado experimental coletado esses dados natildeo seratildeo perfeitamente representados por uma reta Surge entatildeo uma nova questatildeo qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados
Ajuste de Curvas
Diversas retas podem ser ajustadas a um conjunto de dados experimental Qual delas utilizar Intuitivamente podemos conjecturar que a melhor reta a ser utilizada eacute aquela tal que a soma das diferenccedilas entre os valores de tensatildeo medidos e os preditos pela reta tenha o menor valor possiacutevel Em outras palavras queremos minimizar a soma
sum = = (∆Sz minus ∆S)z-
onde ∆Sz satildeo as tensotildees medidas e ∆S satildeo as tensotildees preditas pela reta ajustada
No entanto haacute um inconveniente importante no uso desse criteacuterio tal soma pode ser bem pequena para retas que natildeo apresentam bom ajuste aos dados se as diferenccedilas entre os valores medidos e os preditos se cancelarem sendo alguns positivos e outros negativos Nesses casos apesar de natildeo termos uma reta bem ajustada aos dados o criteacuterio utilizado
indicaria que sim Como resolver isso Elevando os valores de dn ao
Figura 1 - Diferenccedila de potencial em funccedilatildeo
da corrente
Manual de Laboratoacuterio
45
quadrado Ou seja podemos procurar a reta tal que a seguinte soma tenha o menor valor possiacutevel
sum =$ = (∆Sz minus ∆S)$z-
O meacutetodo que utiliza esse criteacuterio para a realizaccedilatildeo de ajustes de curvas que eacute amplamente utilizado no meio acadecircmico eacute denominado Meacutetodo dos Miacutenimos Quadrados Todos os softwares do tipo planilha eletrocircnica realizam esse caacutelculo automaticamente e nos valeremos disso quando necessaacuterio
Todos os amperiacutemetros da sala possuem a mesma resistecircncia interna
Ainda que todos os amperiacutemetros que utilizaremos nas nossas aulas sejam da mesma marca e modelo eles possuem diferentes resistecircncias internas Existe alguma forma de estimar a resistecircncia interna de um desses amperiacutemetros escolhido aleatoriamente Calcular a meacutedia das resistecircncias eacute suficiente para realizar essa estimativa
Variabilidade das medidas o desvio padratildeo amostral e da meacutedia
Apesar de as resistecircncias dos amperiacutemetros natildeo serem exatamente as mesmas elas possuem valores que se distribuem em torno de um valor meacutedio que eacute igual agrave meacutedia dessas resistecircncias Desse modo se tomarmos um dos amperiacutemetros aleatoriamente o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute igual agrave meacutedia das resistecircncias internas de todos os amperiacutemetros Mas quanto podemos confiar nessa estimativa Para respondermos tal pergunta eacute importante quantificarmos a variabilidade das resistecircncias r que medimos Quanto menor for essa variabilidade maior seraacute a nossa confianccedila para assumir que a resistecircncia interna de um amperiacutemetro particular eacute igual agrave meacutedia Intuitivamente podemos conjecturar que tal variabilidade pode ser medida pelo somatoacuterio das diferenccedilas entre as resistecircncias
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
46
medidas z e a meacutedia dessas resistecircncias ou seja por (- minus ) + ($ minus ) + ⋯ + ( minus ) onde N eacute o nuacutemero de medidas realizadas No entanto temos aqui um inconveniente semelhante ao que tivemos quando analisaacutevamos ajustes de curvas se valores positivos e negativos se cancelarem esse somatoacuterio pode ser muito pequeno mesmo quando os dados apresentam grande variabilidade Podemos propor a mesma soluccedilatildeo adotada anteriormente vamos elevar os termos ao quadrado Temos entatildeo a variabilidade dos dados sendo mensurada por (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$
A impossibilidade de comparaccedilatildeo entre as variabilidades de diferentes conjuntos de dados eacute a limitaccedilatildeo desta proposta pois o resultado desse somatoacuterio eacute altamente dependente da quantidade de termos Desse modo eacute possiacutevel que esse somatoacuterio seja maior para grandes conjuntos com pouca variabilidade do que para pequenos grupos com grande variabilidade Para amenizar tal limitaccedilatildeo podemos entatildeo dividir o somatoacuterio por N ou seja calcular a variabilidade por(- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$ Hfrasl Ainda que esse somatoacuterio seja conceitualmente interessante natildeo eacute essa a medida de dispersatildeo de dados que costuma ser utilizada no meio cientiacutefico mas algo que guarda alguma semelhanccedila com ele o desvio padratildeo dos dados (P) Ele eacute calculado por
PL = (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$H minus 1
Mas por que utilizamos essa equaccedilatildeo A resposta estaacute em suas propriedades Quando construiacutemos um histograma (graacutefico de frequecircncias) de um conjunto de medidas por exemplo podemos em muitos casos assumir que a distribuiccedilatildeo desses dados eacute representada por uma distribuiccedilatildeo normal A equaccedilatildeo que define essa distribuiccedilatildeo assim como sua representaccedilatildeo graacutefica eacute ilustrada na Figura 3
Manual de Laboratoacuterio
47
Natildeo eacute nosso objetivo aqui discutir detalhes da distribuiccedilatildeo normal O que desejamos destacar eacute que quando supomos que a distribuiccedilatildeo de um conjunto de dados eacute normal o que eacute bastante razoaacutevel na maioria das vezes o desvio padratildeo σ quantifica como os dados estatildeo distribuiacutedos Para entendermos isso analisemos a Figura 4
O intervalo compreendido pela meacutedia das medidas mais ou menos um desvio padratildeo compreende 68 das medidas realizadas No caso que estamos exemplificando se tomarmos a meacutedia das resistecircncias internas r de todos os amperiacutemetros investigados e o desvio padratildeo PL desses dados 68 das medidas estaratildeo no intervalo entre ( minus PL) e ( + PL) 95 no intervalo ( 2PL) e 99 no intervalo ( 257PL)
Figura 2 - A distribuiccedilatildeo normal eacute usualmente utilizada para representar a distribuiccedilatildeo
de frequecircncias de um conjunto de dados (Lima Jr et al 2013 p 30)
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
48
Agora jaacute sabemos como quantificar a variabilidade de um conjunto de dados Podemos entatildeo calcular a meacutedia e o desvio padratildeo das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros Mas surge entatildeo uma questatildeo Se analisaacutessemos um novo conjunto de amperiacutemetros da mesma marca e modelo dos exemplificados aqui a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros seria a mesma Provavelmente natildeo Temos como estimar a partir do conjunto de medidas que realizamos a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros Temos Para responder a essa questatildeo temos que compreender um novo conceito o de desvio padratildeo da meacutedia (PL) Ele eacute calculado por
PL = PLradicH
Natildeo vamos entrar em detalhes aqui sobre a origem do conceito de desvio padratildeo da meacutedia1 vamos apenas explicar como essa grandeza nos permite estimar a incerteza na meacutedia de um conjunto de medidas Para isso vamos supor um novo conjunto de N novas
1 Se vocecirc eacute um aluno curioso pesquise sobre o Teorema Central do Limite para compreender com mais profundidade o conceito de desvio padratildeo da meacutedia
Figura 3 - A meacutedia e o desvio padratildeo demarcam a distribuiccedilatildeo dos dados em uma
distribuiccedilatildeo normal Na figura o eixo das abcissas expressa a distacircncia da meacutedia em
unidades de desvio padratildeo (Lima Jr et al 2013 p 30)
Manual de Laboratoacuterio
49
medidas da resistecircncia interna de amperiacutemetros como os investigados nesta aula Qual seria a meacutedia dessas medidas Assim como o desvio padratildeo dos dados quantifica a dispersatildeo dos dados em torno da meacutedia o desvio padratildeo da meacutedia quantifica a dispersatildeo das meacutedias de subconjuntos de dados em torno da meacutedia de todo o conjunto de dados Aplicando esse conceito ao nosso exemplo podemos interpretar os dois conjuntos de medidas de resistecircncias internas como subconjuntos de um grande conjunto contendo todas as medidas Desse modo podemos afirmar com 68 de confianccedila que a meacutedia das N novas medidas a serem realizadas estaraacute no intervalo compreendido por ( PL) com 95 de confianccedila no intervalo ( 2PL) e com 99 de confianccedila no intervalo ( 257PL) O desvio padratildeo da meacutedia pode ser compreendido assim como a incerteza da meacutedia de um conjunto de medidas ou seja ele nos fornece uma estimativa da confiabilidade de uma meacutedia Em suma se escolhermos um amperiacutemetro aleatoriamente podemos dizer que i) o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute a meacutedia das resistecircncias de todos os amperiacutemetros e ii) a incerteza que temos nesse valor eacute igual ao desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias dos amperiacutemetros
E se eu soacute tivesse condiccedilotildees de realizar uma uacutenica medida
Nem sempre podemos realizar diversas medidas de uma grandeza Em alguns casos nem mesmo faz sentido realizar diversas medidas No entanto eacute evidente que existe uma incerteza associada a uma uacutenica medida Natildeo existem instrumentos que sejam perfeitamente precisos Entatildeo como podemos estimar essa incerteza Usualmente os manuais dos instrumentos trazem informaccedilotildees sobre isso Desse modo as incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica realizadas com um voltiacutemetro e um amperiacutemetro podem ser consultadas no manual do multiacutemetro utilizado Mas como eacute calculada a incerteza da resistecircncia interna de um amperiacutemetro que foi calculada a partir de
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
50
apenas uma medida de tensatildeo e uma de corrente eleacutetrica Nesse caso precisamos calcular a incerteza propagada das incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica
Os meacutetodos de caacutelculo de incertezas propagadas podem ser bastante complicados Aqui trataremos de um meacutetodo bastante simples usualmente denominado de Meacutetodo dos Limites Vamos exemplificaacute-lo supondo que a incerteza da tensatildeo sobre as entradas do amperiacutemetro eacute P- e da corrente eleacutetrica que circula por ele eacute P$ Ou seja a tensatildeo medida estaacute no intervalo entre ∆S minus P- e ∆S + P- e a corrente eleacutetrica entre i minus P$ e i + P$ Qual eacute entatildeo a incerteza da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro investigado Para responder isso basta calcularmos os valores limites dessa grandeza O maacuteximo valor possiacutevel para a resistecircncia ocorreraacute se a tensatildeo for ∆S + P- e a corrente eleacutetrica for i minus P$ Nesse caso usando a Eq 1 temos
aacutee = ∆S + P-i minus P$
Usando o mesmo raciociacutenio o valor miacutenimo de r seraacute
z = ∆S minus P-i + P$
Desse modo podemos dizer que o valor da resistecircncia interna medida estaacute no intervalo entre rmaacutex e rmiacuten Em outras palavras o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro eacute
F = iexclz + aacutee2 z minus aacutee2 cent
Manual de Laboratoacuterio
51
Erro eacute a mesma coisa que incerteza
Apesar de serem frequentemente utilizados como sinocircnimos os manuais de metrologia atribuem significados distintos aos conceitos de ldquoerrordquo e ldquoincertezardquo O Guia para Expressatildeo da Incerteza da Mediccedilatildeo (Joint Commitee for Guide in Metrology 2008 apud Lima Jr et al 2013) usa o termo ldquoerrordquo para indicar a diferenccedila entre o valor verdadeiro e o resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo o conceito de erro tem uso restrito pois satildeo poucos os casos em que conhecemos o valor verdadeiro de uma grandeza Satildeo exemplos desses casos experimentos em que se deseja mensurar a velocidade da luz no vaacutecuo ou o valor de π que satildeo valores previamente conhecidos pelo experimentador O caacutelculo do erro soacute faz sentido para casos em que sabemos o valor verdadeiro da grandeza que se quer medir
A incerteza por outro lado eacute entendida como uma estimativa que quantifica a confiabilidade do resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo quando calculamos o desvio padratildeo da meacutedia de um conjunto de medidas estamos calculando a incerteza da meacutedia dessas medidas ou seja estamos avaliando a confianccedila que podemos ter em adotar a meacutedia dessas medidas como o valor da grandeza mensurada O conceito de incerteza portanto tem maior aplicabilidade do que o conceito de erro
Algarismos significativos e incerteza
Uma questatildeo frequente nas aulas de laboratoacuterio eacute Com quantos algarismos uma grandeza deve ser apresentada No laboratoacuterio a resposta dessa questatildeo eacute uma funccedilatildeo da incerteza da grandeza Devemos apresentar os dados ateacute o seu primeiro algarismo duvidoso Voltemos ao exemplo da resistecircncia interna dos amperiacutemetros Suponhamos que a meacutedia das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros eacute 21546 Ω e o desvio padratildeo dessa meacutedia que eacute
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
52
entendido aqui como a incerteza da resistecircncia interna dos amperiacutemetros eacute 003 Ω Interpretando tais dados assumimos com 68 de certeza que a resistecircncia interna dos amperiacutemetros estaacute no intervalo entre 21246 e 21846 Ω Desse modo a segunda casa decimal da grandeza medida eacute duvidosa Por isso os algarismos subsequentes satildeo omitidos quando expressamos essa medida e a medida da resistecircncia interna dos amperiacutemetros exemplificados eacute exposta por (215 plusmn 003) Ω Em suma o resultado de uma mediccedilatildeo deve ser sempre expresso com a mesma quantidade de casas decimais que sua incerteza Os algarismos apresentados satildeo entatildeo chamados de algarismos significativos
Referecircncia
Lima Jr P Silva M T X Silveira F L Veit E A (2013) Laboratoacuterio de mecacircnica subsiacutedios para o ensino de Fiacutesica experimental Porto Alegre UFRGS Instituto de Fiacutesica Disponiacutevel em httphdlhandlenet1018390438
Manual de Laboratoacuterio
53
Atividade de Laboratoacuterio I Instrumentos de medida e incertezas
Este material foi cuidadosamente preparado para auxiliar no andamento das atividades no laboratoacuterio de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo Eacute importante responder TODAS as perguntas
(indicadas pelo siacutembolo ) feitas ao longo do texto discutindo com seu grupo possiacuteveis respostas e justificando-as Sempre que possiacutevel faccedila isso por escrito
TAREFA 1
Construa um circuito contendo um resistor de 1 kΩ em seacuterie com uma fonte de tensatildeo contiacutenua e um multiacutemetro Coloque o multiacutemetro na funccedilatildeo amperiacutemetro na escala de miliampere Usando outro multiacutemetro meccedila a tensatildeo no amperiacutemetro Realize medidas com diferentes correntes eleacutetricas variando a tensatildeo de saiacuteda da fonte
Como podemos tratar esses dados se nosso objetivo eacute medir a resistecircncia interna do amperiacutemetro
Qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
54
Para responder essas questotildees se dirija a um dos computadores da sala e use um aplicativo que possibilite a construccedilatildeo de graacuteficos SciDavis por exemplo Insira seus dados no aplicativo construa o graacutefico desejado e encontre a melhor reta que se ajusta aos dados
Qual foi a melhor reta ajustada Determine a equaccedilatildeo dessa reta ajustada
Qual eacute o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro que vocecirc investigou
TAREFA 2
Utilize as medidas de todos os grupos da turma e aplique os conhecimentos abordados na tarefa de leitura para responder as seguintes questotildees
Qual deve ser a resistecircncia interna de um amperiacutemetro escolhido aleatoriamente entre os utilizados nesta aula
Qual eacute a incerteza desse valor
TAREFA 3
Suponha que o manual do Minipa ET-2075B informe que as medidas de tensatildeo e corrente realizadas nas faixas de milivolt e miliampere tecircm incerteza de 3 Use esses dados para calcular a
Manual de Laboratoacuterio
55
incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1
Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma
Elas satildeo coerentes Por quecirc
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
56
CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO
Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por
equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC
Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras
O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se
Manual de Laboratoacuterio
57
extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo
No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador
Salvando vidas
ldquoafastem-se choquerdquo
Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de
sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos
O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo
Figura 4 - Desfibrilador
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
58
esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)
Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma
sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o
miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia
Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2
2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387
Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)
Manual de Laboratoacuterio
59
Circuito RC - seacuterie
Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C
Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que
∆S(c) + i(c)F = 0
Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo
i(c) = =C(c)=c
e a ddp no capacitor eacute dada por
∆S(c) = C(c)D
Dessa forma podemos dizer que
=C(c)=c = minus 1FD C(c)
Figura 6 - Circuito RC
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
60
Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa
funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja
derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever
C(c) = C7 ou
A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial
Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir
Capacitor Carregando Capacitor Descarregando
∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0
C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou
∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou
Manual de Laboratoacuterio
61
Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8
Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo
eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum
3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78
Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas
do capacitor durante o processo de
carga ou descarga
Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um
graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo
do tempo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
62
Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no
capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte
Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor
quando o mesmo estaacute sendo carregado
Manual de Laboratoacuterio
63
Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie
1 - Osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos
2 ndash Aparato Experimental
Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
64
conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto
Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)
Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio
Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees
Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala
Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)
Manual de Laboratoacuterio
65
TAREFA 1
Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees
Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico
Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito
Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito
Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos
Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio
TAREFA 2
Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie
Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
66
figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)
Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados
Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo
NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo
Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste
Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito
Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito
Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles
Manual de Laboratoacuterio
67
MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS
Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais
Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio
Para onde aponta a buacutessola
Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
68
polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc
E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial
tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos
que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a
soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio
4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja
httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4
Figura 10 - Buacutessola
Figura 11 - campo B resultante
Manual de Laboratoacuterio
69
Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por
umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O
Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde
Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde
Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma
iacuteatilde() = ∙
onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde
5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass
The Physics Teacher 49(1) 45-48
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
70
Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como
iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2
Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos
gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)
Logo
gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2
Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo
iacuteatilde() = amp
Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse
tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira
na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart
Manual de Laboratoacuterio
71
pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do
que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute
yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp
onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico
da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos
yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp
Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
72
Atividade de Laboratoacuterio III Projeto
OBJETIVO
Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
73
SUGESTAtildeO 1
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO
Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas
Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece
Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha
Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo
por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o
eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
74
SUGESTAtildeO 2
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA
Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)
Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica
Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de
uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)
Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema
Manual de Laboratoacuterio
75
SUGESTAtildeO 3
BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO
Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola
Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)
Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina
O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
76
SUGESTAtildeO 4
CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO
O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer
Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
77
MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO
Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro
Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental
6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
78
110 V 127 V e 220 V O que eacute isso
As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V
Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas
A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
(c) = Jgt(c + acute)
onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por
∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)
Manual de Laboratoacuterio
79
onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1
Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho
Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores
Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
80
caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por
∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf
∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712
∆Suparamiddot = ∆S7radic2
Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a
tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s
A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente
alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$
Figura 13 - Funccedilotildees seno e
seno quadrado
Manual de Laboratoacuterio
81
COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA
Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz
Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O
Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
82
que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio
Natildeo queremos jogar energia fora
Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14
Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie
Manual de Laboratoacuterio
83
Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por
0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)
onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)
Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
ℇ(c) = ℇ7gt(c)
onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente
Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na
figura 16 para um caso em que VL gt VC
Figura 15 - Diagrama de fasores
de um circuito RLC seacuterie com
fonte de tensatildeo alternada
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
84
A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que
acute = c8 S minus SSu
Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado
por
i(c) = gt(c minus acute)
Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente
as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que
ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$
ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$
Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como
0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)
Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que
0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$
Figura 16 ndash Soma de fasores
Manual de Laboratoacuterio
85
0eacutey = F ∙ uparamiddot$
onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square
Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que
F = frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte
Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade
7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL
Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e
resistecircncia num diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
86
do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como
0 = AJradicAJ$ + AF$
O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP
DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11
Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia
Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por
acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita
Manual de Laboratoacuterio
87
2 = 1D
Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica
Figura 18 - diagramas de fasores representando
um circuito capacitivo e um circuito indutivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
88
Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie
O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio
TAREFA 1
Circuito Resistivo
Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR
Manual de Laboratoacuterio
89
Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)
O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador
Circuito Capacitivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
90
Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor
Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Manual de Laboratoacuterio
91
Circuito Indutivo
Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor
O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
92
Circuito RLC
Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise
Manual de Laboratoacuterio
93
O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador
Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio
O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior
Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor
Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou
A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
94
TAREFA 2
Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente
Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir
Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima
Qual o valor da corrente maacutexima no circuito
Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)
O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique
Manual de Laboratoacuterio
95
TAREFA 3
Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito
Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees
Como isso eacute possiacutevel Explique
Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff
Respostas
96
Respostas
A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32
A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH
A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH
B3 Ae = Af = AtildeAcircf
B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl
B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH
B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l
B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD
B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -
C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc
(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7
C2 O = ~13deg
C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)
Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-
vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr
Respostas
97
C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM
C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD
(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD
C6 A = Eacute$Acirc
C7 A = Atilde$AcircL
D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma
das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp
D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(
D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1
no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)
D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme
D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D
E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)
E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D
E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml
F1 544 times 10
F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S
F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM
u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM
u (e) 0 = ℇMu
F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω
Respostas
98
F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965
G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n
G5 i = Ograve$g = 245 J
G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y
G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez
G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H
G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)
G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)
G15 (a) zL$brvbarM (b)
z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero
G16 z$L + z$L = z$L - + 1
G17 (a) pLM
amp (b) pusup3
ampL
G18 zzMu
G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)
z
G20 zNu saindo da folha
G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)
UgraveLMamp
fora do fio (a) z$L (b)
UgravebrvbarM$L (c)
Ugravebrvbarsup3ampL
G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13
G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM
ampu
H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior
Respostas
99
H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a
H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J
I2 Φ = pound$ sup1amp
I4 C = AcircsM
I6 (a) zM
NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar
J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a
(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S
J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu
(c) = -radic
J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm
(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013
Respostas
100
Bibliografia
Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il
Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il
Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il
Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm
Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il
Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il
Problemas Selecionados
25
F12 ndash No circuito ao lado a bateria fornece 10 S o capacitor eacute de 1 e os resistores tecircm as resistecircncias indicadas na figura O circuito estaacute ligado haacute um longo tempo (a) Qual a ddp entre os terminais do capacitor (b) Se a bateria for desconectada quanto tempo levaraacute para que essa ddp atinja um deacutecimo do valor inicial
-------------------------------------------------------------------------------------------
(G) Campo Magneacutetico
G1 ndash Um proacuteton atravessa uma regiatildeo de campo magneacutetico uniforme = lang10 20 30rang 13 No tempo c- o proacuteton tem uma velocidade d = langde df 2rang e a forccedila magneacutetica sobre o proacuteton eacute g = lang4 times 10-h minus2 times 10-h 0rang H Nesse instante qual o valor de de e df
G2 ndash Um proacuteton viaja atraveacutes de uma regiatildeo de campo eleacutetrico e
magneacutetico uniformes onde = langminus25 0 0rang 13 Num certo instante a velocidade do proacuteton eacute d = lang0 2000 0rang Qual a forccedila resultante que age sobre o proacuteton se o campo eleacutetrico for
(a) A = lang0 0 4rang S (b) A = lang0 0 minus4rang S ou
(c) A = lang4 0 0rang S
G3 ndash Uma espira retangular de lados e estaacute numa regiatildeo de campo
magneacutetico perpendicular ao plano da espira e eacute percorrida por uma corrente i constante conforme mostra a figura ao lado Determine o torque sobre a espira
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
26
G4 ndash Dois trilhos de metal separados por uma distacircncia = = 256 estatildeo ligados a uma bateria No momento em que uma barra de metal de massa = 241 8 eacute colocada sobre os trilhos (c = 0) ela fecha o circuito e por ela passa uma corrente i = 913 J O conjunto estaacute numa regiatildeo onde existe um campo magneacutetico uniforme = 563 13 Qual a velocidade da barra 611 depois Em que direccedilatildeo ela se move
G5 ndash A figura ao lado mostra um cilindro de madeira de massa = 250 8 e comprimento 2 =10 onde foi enrolado um fio formando uma espira de 10 voltas O cilindro eacute posicionado de forma que o eixo da espira estaacute perpendicular ao plano inclinado (paralelo agrave normal do plano
inclinado) Nessa regiatildeo haacute um campo magneacutetico = lang0 05 0rang 13 Qual deve ser o valor miacutenimo da corrente na espira capaz de manter o cilindro em sua posiccedilatildeo evitando que ele role para baixo
G6 ndash A figura ao lado mostra um iacutematilde e um anel condutor de raio por onde passa uma corrente i Se o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde faz um acircngulo O com a vertical na posiccedilatildeo onde estaacute o anel qual eacute a magnitude e a direccedilatildeo da forccedila resultante sobre o anel
Problemas Selecionados
27
G7 ndash Uma barra de metal com densidade de massa B (massa por unidade de comprimento) apresenta uma corrente i (saindo da paacutegina) A barra estaacute suspensa por dois fios num campo magneacutetico uniforme vertical como mostra a figura ao lado No equiliacutebrio os fios
fazem um acircngulo O com a vertical Qual a magnitude do campo magneacutetico
G8 ndash Um proacuteton com energia cineacutetica de 6 jS se move no plano da paacutegina e entra numa regiatildeo de campo magneacutetico = 1 13 direcionado para dentro da paacutegina como mostra a figura ao lado
O proacuteton entra na regiatildeo de campo com o vetor velocidade fazendo um acircngulo O- = 35deg com a borda da regiatildeo Qual eacute a distacircncia entre o ponto de entrada e saiacuteda ( na figura) Qual o valor de O$
G9 ndash Considere um eleacutetron orbitando um proacuteton numa trajetoacuteria circular de raio F = 529 times 10-- devido agrave atraccedilatildeo Coulombiana Considere o sistema como se fosse um anel por onde passa uma corrente Qual seraacute o torque resultante quando o sistema for colocado numa regiatildeo de campo magneacutetico = 04 13 perpendicular ao momento magneacutetico do anel
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
28
G10 ndash Um fio por onde passa uma corrente i foi moldado num formato semicircular de raio F e uma reta de comprimento 2F como mostra a figura ao lado Nessa mesma regiatildeo haacute um campo magneacutetico que aponta na direccedilatildeo + (representado pelos pontos azuis na figura ao lado) Mostre que a
forccedila resultante sobre o fio eacute zero
G11 ndash Um condutor ciliacutendrico longo de raio conteacutem duas cavidades cada uma com diacircmetro ao longo de todo o comprimento do fio Uma visatildeo da seccedilatildeo transversal do fio eacute mostrada na figura ao lado Uma corrente i uniforme (considerando a porccedilatildeo soacutelida do material) passa atraveacutes do fio e aponta para fora da paacutegina Determine a magnitude e direccedilatildeo do campo
magneacutetico em funccedilatildeo de 7 i e no ponto P
G12 ndash Dois fios muito longos por onde passa corrente i de mesma magnitude estatildeo moldados conforme a figura ao lado
Mostre que o campo magneacutetico no centro do ciacuterculo de raio R eacute o mesmo que o
campo a uma distacircncia R abaixo de um fio reto muito longo por onde passa uma corrente i
Problemas Selecionados
29
G13 ndash Encontre uma expressatildeo para determinar a magnitude do campo magneacutetico no ponto P da figura ao lado Dica considere a origem dos eixos cartesianos no ponto P
G14 ndash A figura ao lado mostra a seccedilatildeo transversal de um condutor oco de raio externo e interno por onde passa uma corrente uniforme i Demonstre que a magnitude do campo magneacutetico () para uma distacircncia lt lt eacute dada por
= 7i25($ minus $) $ minus $
G15 ndash A figura ao lado mostra um cabo coaxial de raios e Correntes opostas de igual magnitude estatildeo distribuiacutedas nos dois condutores Derive uma expressatildeo para calcular o campo magneacutetico () na regiatildeo (a) lt (b) lt lt (c) lt lt e (d) gt
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
30
G16 ndash Um fio condutor por onde passa uma corrente i foi torcido para formar um loop de raio R (no plano da paacutegina) como mostra a figura abaixo Qual a direccedilatildeo do campo magneacutetico no
centro do loop Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico no centro do loop
G17 ndash Uma corrente i passa por um fio condutor ciliacutendrico de raio R como mostra a figura ao lado A densidade de corrente l natildeo eacute uniforme atraveacutes da seccedilatildeo transversal do fio mas obedece agrave funccedilatildeo l = onde eacute uma constante Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico (a) a uma distacircncia - lt F e (b) a uma distacircncia $ gt F(em relaccedilatildeo ao centro do condutor)
G18 ndash Um fio condutor muito longo por onde passa uma corrente i- estaacute parcialmente envolto por um loop por onde passa uma corrente i$ (figura ao lado) O loop fio foi moldado num formato semiciliacutendrico de raio R e o comprimento L O fio condutor passa pelo eixo do loop Calcule a forccedila magneacutetica exercida sobre o loop
G19 ndash Considere um solenoide de comprimento 2 e raio F contendo H voltas de um fio por onde passa uma corrente i (a) Determine uma expressatildeo para
o campo magneacutetico num ponto ao longo do eixo do solenoide do lado de fora do solenoide como funccedilatildeo da distacircncia ateacute uma das pontas (considere = 0 no centro do solenoide e = a distacircncia do centro ateacute o ponto onde estaacute sendo calculado o campo ) (b) Mostre que para
Problemas Selecionados
31
valores muito grandes de 2 e = = 0 se aproxima de = 7i H 2frasl para posiccedilotildees ao longo do eixo no interior do solenoide distante das bordas
G20 ndash A figura ao lado mostra um fio moldado para formar duas seccedilotildees retas e um quarto de ciacuterculo por onde passa corrente i Determine o campo magneacutetico (vetor) no ponto P
G21 ndash Um fio ciliacutendrico espesso de raio eacute percorrido por uma corrente i Determine uma expressatildeo para o
campo magneacutetico dentro e fora do fio considerando que (a) a corrente estaacute distribuiacuteda uniformemente sobre a superfiacutecie externa do fio (b) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio com densidade de corrente l constante (c) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio de forma que a densidade de corrente l eacute proporcional agrave distacircncia ateacute o eixo do fio
G22 ndash Considere dois solenoides coaxiais cada um conduzindo uma corrente i em direccedilotildees opostas O solenoide interno de raio possui gt- voltas por unidade de comprimento o
solenoide externo possui raio e gt$ voltas por unidade de
comprimento Determine (a) no interior do conjunto (b) entre eles e (c) fora deles
G23 ndash Um fio condutor longo e reto de raio F conduz uma corrente natildeo uniforme cuja densidade de corrente eacute l = l7 Ffrasl onde l7 eacute uma constante A corrente total eacute i (a) Determine uma expressatildeo para i
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
32
em funccedilatildeo de l7 e F (b) Determine uma expressatildeo para o campo magneacutetico no interior do fio para uma distacircncia
G24 ndash A figura ao lado mostra um toroide que consiste num solenoide fechado em forma de anel (a) Considerando a simetria explique qual deve ser o formato do campo magneacutetico no interior desse toroide (b) Considere o toroide compacto (a separaccedilatildeo entre cada volta do fio eacute pequena) com N voltas conduzindo uma corrente i Usando a lei de Ampeacutere determine a magnitude do campo magneacutetico num ponto interno ao toroide a uma distacircncia do eixo principal (ver figura ao lado) (c) O campo magneacutetico no interior do toroide eacute um campo uniforme Explique
-------------------------------------------------------------------------------------------
(H) Lei de Faraday
H1 ndash A figura ao lado mostra dois aneis cujos eixos estatildeo alinhados separados por uma distacircncia x O anel maior tem raio F o anel menor tem raio Os aneis estatildeo separados por uma distacircncia ≫ F e por isso o campo magneacutetico devido agrave corrente no anel de raio F eacute praticamente uniforme no anel menor Considere que a distacircncia estaacute aumentando a uma taxa constante = =cfrasl = d (a) Determine uma expressatildeo para o fluxo de campo magneacutetico atraveacutes do anel menor como funccedilatildeo de Encontre uma expressatildeo para (b) a fem induzida e (c) a direccedilatildeo da corrente no anel menor
Problemas Selecionados
33
H2 ndash (a) Calcule o fluxo magneacutetico atraveacutes do retacircngulo mostrado na figura ao lado em funccedilatildeo de = i (b) Avalie o resultado encontrado para = 5 = 10 = = 2 e i = 20 J
H3 ndash Uma espira plana e circular de raio =75 estaacute em repouso numa regiatildeo de campo magneacutetico uniforme A espira estaacute orientada de tal forma que o campo magneacutetico aponta para cima
e faz um acircngulo de 30deg com a normal da espira O campo varia com
o tempo de acordo com (c) = 14(77nho) 13 (a) Determine a fem induzida na espira em funccedilatildeo do tempo (b) Para que valor de c a fem induzida eacute igual a um deacutecimo do seu valor inicial Determine o sentido da corrente induzida na espira se observada por cima da espira
H4 ndash Um retacircngulo que mede 30 times 40 estaacute localizado no interior de um campo magneacutetico uniforme de 125 13 com o campo perpendicular ao plano da bobina A bobina se move perpendicular ao campo com velocidade constante d =2 inclusive atingindo a regiatildeo
onde o campo termina abruptamente como mostra a figura ao lado Determine a fem induzida nessa bobina quando ela estaacute (a) inteiramente no interior do campo (b) parcialmente no interior do campo e (c) inteiramente fora do campo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
34
H5 ndash O fio na figura ao lado conduz
uma corrente i(c) = i7po onde gt 0 Determine o sentido da corrente induzida na bobina (horaacuterio ou anti-horaacuterio) para c gt 0
H6 ndash A figura ao lado mostra uma espira circular de raio contendo uma resistecircncia e um capacitor ligados em seacuterie imerso numa regiatildeo onde um campo magneacutetico uniforme (no espaccedilo) entrando no plano na paacutegina decresce no tempo a uma taxa constante = =cfrasl = minus sendo uma constante positiva (a) Qual a carga no capacitor quando ele estaacute completamente carregado (b) Qual das placas do capacitor estaacute em potencial mais elevado (c) Qual a origem da forccedila que causa a separaccedilatildeo de cargas
-------------------------------------------------------------------------------------------
(I) Indutacircncia
I1 ndash No circuito ao lado ℰ = 100 SF- = 10 Ω F$ = 20 Ω Famp = 30 Ω e 2 = 2 H Ao fechar a chave S quais os valores de i- e i$ Considere positivo o sentido das correntes indicadas na figura Muito tempo
depois quais satildeo os valores de i- e i$ A chave eacute entatildeo aberta Nesse instante quais satildeo os valores de i- e i$ E muito tempo depois quais satildeo os valores de i- e i$
Problemas Selecionados
35
I2 ndash Num circuito LC em seacuterie a carga inicial do capacitor eacute C e ele estaacute sendo descarregado Quando a carga no capacitor eacute igual a C 2frasl qual eacute o fluxo magneacutetico que atravessa cada uma das N espiras do indutor (como funccedilatildeo de C H 2 e D)
I3 ndash Uma bobina possui N voltas e estaacute envolvendo um solenoide longo de raio r com n espiras por unidade de comprimento (figura ao lado) (a) Mostre que a indutacircncia muacutetua do sistema eacute dada por j = 75F$gtH (b) Explique por que M natildeo depende do formato tamanho ou possiacutevel falta de proximidade das espiras na bobina
I4 ndash A fem autoinduzida num solenoide de indutacircncia L varia no tempo conforme ℇ(c) = ℇ7so Levando em consideraccedilatildeo que a carga eacute finita (ou seja i = 0 quando c = infin) determine a carga total que passa pelo solenoide (que atravessa um determinado ponto no fio que compotildee o solenoide)
I5 ndash Um fio condutor foi enrolado num papelatildeo formando um toroide com N espiras (voltas) raio menor r e maior R A seccedilatildeo transversal do toroide eacute mostrada na figura ao lado Se F ≫ o campo magneacutetico no interior do toroide eacute essencialmente o mesmo que o campo no interior de um solenoide muito longo que tenha sido
moldado no formato de um ciacuterculo de raio R Modelando o campo como se fosse o campo uniforme de um solenoide longo mostre que a indutacircncia desse toroide eacute
aproximadamente 2 asymp -$ 7H$ LMu
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
36
I6 ndash Um indutor consiste em duas cascas ciliacutendricas concecircntricas como mostra a figura A casca interna tem raio e a externa tem raio ambas com comprimento ℎ A casca interna transporta uma corrente i para fora e a externa para dentro do plano da paacutegina com igual magnitude Calcule na regiatildeo lt lt (a) a densidade de energia magneacutetica (b) a indutacircncia
I7 ndash Mostre que i(c) = i7o wx eacute a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial iF + 2 yzyo = 0 onde i7 eacute a corrente em c = 0 e = 2 Ffrasl
I8 ndash Um fio condutor de raio R transporta uma corrente uniforme A corrente total no fio eacute i Mostre que a energia magneacutetica por unidade de comprimento dentro do fio eacute dada por 7i$ 165frasl
I9 ndash Um cabo coaxial eacute formado por dois cilindros condutores de paredes finas com raios - e $ As correntes nos dois cilindros satildeo iguais em magnitude mas com sentidos opostos (a) Use a lei de Ampeacutere para determinar o campo magneacutetico como funccedilatildeo da distacircncia ao eixo do cabo nas regiotildees (0 lt lt -) ( - lt lt $ ) e ( gt $) (b) Mostre que a densidade de energia magneacutetica na regiatildeo entre os cilindros eacute dada por
| = 12 745 i$(5$)-
(c) Mostre que a energia magneacutetica total num volume de cabo com comprimento ~ eacute dada por
Problemas Selecionados
37
= i$~ ln LML
(d) Mostre que a autoindutacircncia por unidade de comprimento do cabo eacute dada por
2~ = 725 ln $-
-------------------------------------------------------------------------------------------
(J) Corrente Alternada
J1 ndash A tensatildeo de uma fonte de corrente alternada eacute dada por ∆d = 120gt(30 5c) onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A fonte eacute conectada a um indutor de 05 Determine (a) a frequecircncia da fonte (b) a voltagem rms no indutor (c) a reatacircncia indutiva do circuito (d) a corrente rms no indutor e (e) a corrente maacutexima no indutor
J2 ndash Uma fonte de tensatildeo alternada fornece uma tensatildeo ∆d = 98gt(80 5c) a um capacitor onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A corrente maacutexima no circuito eacute 05 J Determine (a) a tensatildeo rms da fonte (b) a frequecircncia da fonte e (c) o valor da capacitacircncia
J3 ndash Um circuito AC eacute composto por um resistor de 250 Ω um indutor de 15 um capacitor de 35 e uma fonte de tensatildeo alternada com amplitude de 45 S operando com frequecircncia angular = 360 = frasl (a) Qual eacute o fator de potecircncia do circuito (b) Determine a potecircncia meacutedia aparente (S) fornecida ao circuito (c) Qual eacute a potecircncia meacutedia ativa (P) dissipada no resistor Qual eacute a potecircncia meacutedia reativa (Q) que fica armazenada no circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
38
J4 ndash Cinco voltiacutemetros com impedacircncia muito grande ajustados para ler valores rms estatildeo conectados conforme a figura ao lado Sendo F =200 Ω 2 = 04 H D = 6 e ∆S = 30 Vqual eacute a leitura da tensatildeo em cada voltiacutemetro se (a) = 200 = frasl e (b) =1000 = frasl
J5 ndash Num circuito RLC 2 = 028 e D = 4 A fonte fornece uma voltagem com amplitude de 120 S Qual eacute a frequecircncia angular de ressonacircncia do circuito (b) Quando a fonte opera na frequecircncia angular de ressonacircncia a amplitude da corrente no circuito eacute 17 J Qual a resistecircncia do resistor (c) Na frequecircncia angular de ressonacircncia quais satildeo as voltagens de pico no indutor capacitor e resistor
J6 ndash O circuito ao lado conteacutem uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal conforme ℇ = ℇgt(c) No estado de equiliacutebrio temos as correntes mostradas no circuito Sem recorrer a uma matemaacutetica complicada responda (a) Quais os valores de u e quando = 0 (frequecircncia zero significa que
a fonte foi substituida por uma bateria ideal) (b) Quais os valores de u e quando rarr infin (c) Qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia
Problemas Selecionados
39
J7 ndash Um indutor um capacitor e um resistor estatildeo conectados em seacuterie a uma fonte de tensatildeo alternada Se os valores da resistecircncia capacitacircncia e indutacircncia forem duplicados o que aconteceraacute com (a) a frequecircncia angular de ressonacircncia (b) a reatacircncia indutiva (c) a reatacircncia capacitiva e (d) a impedacircncia
J8 ndash O circuito abaixo eacute formado por uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal variando conforme ℇ = ℇgt(c) uma resistecircncia F = 6 Ω e uma parte desconhecida que pode conter um indutor um capacitor ou ambos A amplitude da fonte eacute ℇ = 6 S Quando a frequecircncia angular = 2 = a corrente estaacute em fase com a fonte enquanto que para = 1 = a corrente estaacute fora de fase em relaccedilatildeo agrave fonte por exatamente 5 4frasl (a) Quais componentes estatildeo presentes na parte desconhecida (um indutor um capacitor ou ambos) Explique (b) Determine os valores dos componentes desconhecidos
J9 ndash Um circuito em seacuterie possui impendecircncia de 60 Ω e fator de potecircncia igual a 072 em 50 A tensatildeo da fonte estaacute atrasada em relaccedilatildeo agrave corrente (a) Que elemento do circuito (um indutor ou um capacitor) deve ser ligado em seacuterie com o circuito para aumentar o fator de potecircncia (b) Qual deve ser o valor desse elemento para que o fator de potecircncia seja igual a 1 (c) Apresente diagramas de fasores esquemaacuteticos para o circuito antes e depois da ligaccedilatildeo do novo elemento
Manual de Laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
41
O PROCESSO DE MEDIDA NO LABORATOacuteRIO DE FIacuteSICA
Natildeo satildeo raros eventos em que nos valemos de medidas para tomarmos decisotildees Medimos nossa temperatura corporal para avaliarmos se necessitamos de tratamento Medimos a pressatildeo manomeacutetrica dos pneus para avaliarmos se precisamos injetar ou retirar ar neles Consultamos medidas da temperatura ambiente para escolhermos a roupa que vestiremos Consultamos o horaacuterio (medida de tempo) para natildeo chegarmos atrasados em encontros Medidas satildeo portanto fundamentais em nossas vidas No entanto usualmente natildeo nos preocupamos muito com a precisatildeo dessas medidas Em grande parte das vezes natildeo nos interessa saber se o horaacuterio informado no reloacutegio estaacute um pouco atrasado ou adiantado Natildeo nos preocupamos em saber o quanto podemos confiar nas temperaturas coletadas com um determinado termocircmetro Nossas medidas comumente satildeo realizadas de forma despretensiosa sem muito rigor
No laboratoacuterio de Fiacutesica isso ocorre de modo muito diferente Os processos de mediccedilatildeo satildeo mais minuciosos do que os que realizamos costumeiramente Desejamos obter a maior precisatildeo possiacutevel com os equipamentos de que dispomos Mas como fazer isso Como podemos melhorar a precisatildeo dos processos de mediccedilatildeo Intuitivamente podemos concluir que inferecircncias realizadas a partir de um conjunto de medidas satildeo mais precisas do que medidas isoladas Mas quando disponho de um conjunto de medidas como posso analisaacute-las Calcular a meacutedia delas eacute suficiente Responder a questotildees como essas eacute o objetivo desta atividade Para exemplificarmos todo esse processo realizaremos um debate sobre a mediccedilatildeo da resistecircncia interna de amperiacutemetros
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
42
O que satildeo amperiacutemetros
Um amperiacutemetro eacute um instrumento utilizado para a realizaccedilatildeo de medidas de correntes eleacutetricas Evidentemente natildeo queremos modificar os circuitos quando os exploramos com um instrumento Com amperiacutemetros natildeo eacute diferente Queremos medir correntes eleacutetricas sem alterar as caracteriacutesticas do circuito Mas como eacute possiacutevel fazer isso Natildeo discutiremos aqui os detalhes sobre o funcionamento interno de um amperiacutemetro No entanto vamos avaliaacute-los do ponto de vista de uma das suas caracteriacutesticas mais importantes a sua resistecircncia eleacutetrica
A resistecircncia eleacutetrica de um circuito influencia na intensidade da corrente eleacutetrica que circula nele A corrente eleacutetrica i que perpassa por uma resistecircncia eleacutetrica F submetida a uma tensatildeo ∆S por exemplo pode ser predita pela seguinte relaccedilatildeo
i = ∆u Eq 1
O amperiacutemetro precisa ser posicionado em seacuterie no circuito em que se deseja medir a corrente eleacutetrica como eacute exemplificado na figura
Figure 1- Medindo a resistecircncia interna de um multiacutemetro
Manual de Laboratoacuterio
43
1 Como a resistecircncia equivalente em circuitos em seacuteries eacute a soma da resistecircncia eleacutetrica de cada um dos seus componentes a resistecircncia interna dos amperiacutemetros se soma agrave resistecircncia equivalente do circuito investigado alterando a sua dinacircmica Por isso nosso desejo eacute que os amperiacutemetros tenham resistecircncia eleacutetrica nula No entanto a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro real por menor que seja nunca eacute nula Eles possuem um circuito interno com fios e diversos componentes eletrocircnicos que acabam provocando uma resistecircncia agrave circulaccedilatildeo de corrente eleacutetrica Ainda assim frequentemente desprezamos tal resistecircncia Seraacute que isso eacute razoaacutevel Quando podemos desprezar a resistecircncia interna dos amperiacutemetros e quando natildeo podemos Para respondermos tais perguntas precisamos conhecer o valor da resistecircncia interna tiacutepica de um amperiacutemetro
Medindo a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro
Nesta disciplina usaremos diversos amperiacutemetros de uma mesma marca e modelo em uma seacuterie de experimentos (Minipa ET-2075B) Por isso eacute interessante que conheccedilamos a resistecircncia eleacutetrica deles para podermos avaliar quando podemos desprezaacute-la e quando natildeo Mas como podemos obter essa informaccedilatildeo Podemos medi-la Um procedimento simples para isso eacute submeter o amperiacutemetro a uma diferenccedila de potencial ΔV conhecida e medir a corrente eleacutetrica i que passa por ele Desse modo podemos usar a Eq 1 para inferir a resistecircncia eleacutetrica do equipamento Mas podemos confiar em uma uacutenica medida Depende da precisatildeo de que necessitamos para essa medida Intuitivamente sabemos que se medirmos a resistecircncia interna a partir de um conjunto de dados poderemos ter uma maior confiabilidade nos dados No exemplo de que estamos tratando eacute possiacutevel se coletar dados da corrente no amperiacutemetro quando submetido a diferentes tensotildees Desse modo pode-se inferir a resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro pela declividade da reta constituiacuteda
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
44
pelos dados representados em um graacutefico da tensatildeo em funccedilatildeo da corrente eleacutetrica como pode ser constatado da Eq1 No entanto como temos incertezas associadas a cada dado experimental coletado esses dados natildeo seratildeo perfeitamente representados por uma reta Surge entatildeo uma nova questatildeo qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados
Ajuste de Curvas
Diversas retas podem ser ajustadas a um conjunto de dados experimental Qual delas utilizar Intuitivamente podemos conjecturar que a melhor reta a ser utilizada eacute aquela tal que a soma das diferenccedilas entre os valores de tensatildeo medidos e os preditos pela reta tenha o menor valor possiacutevel Em outras palavras queremos minimizar a soma
sum = = (∆Sz minus ∆S)z-
onde ∆Sz satildeo as tensotildees medidas e ∆S satildeo as tensotildees preditas pela reta ajustada
No entanto haacute um inconveniente importante no uso desse criteacuterio tal soma pode ser bem pequena para retas que natildeo apresentam bom ajuste aos dados se as diferenccedilas entre os valores medidos e os preditos se cancelarem sendo alguns positivos e outros negativos Nesses casos apesar de natildeo termos uma reta bem ajustada aos dados o criteacuterio utilizado
indicaria que sim Como resolver isso Elevando os valores de dn ao
Figura 1 - Diferenccedila de potencial em funccedilatildeo
da corrente
Manual de Laboratoacuterio
45
quadrado Ou seja podemos procurar a reta tal que a seguinte soma tenha o menor valor possiacutevel
sum =$ = (∆Sz minus ∆S)$z-
O meacutetodo que utiliza esse criteacuterio para a realizaccedilatildeo de ajustes de curvas que eacute amplamente utilizado no meio acadecircmico eacute denominado Meacutetodo dos Miacutenimos Quadrados Todos os softwares do tipo planilha eletrocircnica realizam esse caacutelculo automaticamente e nos valeremos disso quando necessaacuterio
Todos os amperiacutemetros da sala possuem a mesma resistecircncia interna
Ainda que todos os amperiacutemetros que utilizaremos nas nossas aulas sejam da mesma marca e modelo eles possuem diferentes resistecircncias internas Existe alguma forma de estimar a resistecircncia interna de um desses amperiacutemetros escolhido aleatoriamente Calcular a meacutedia das resistecircncias eacute suficiente para realizar essa estimativa
Variabilidade das medidas o desvio padratildeo amostral e da meacutedia
Apesar de as resistecircncias dos amperiacutemetros natildeo serem exatamente as mesmas elas possuem valores que se distribuem em torno de um valor meacutedio que eacute igual agrave meacutedia dessas resistecircncias Desse modo se tomarmos um dos amperiacutemetros aleatoriamente o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute igual agrave meacutedia das resistecircncias internas de todos os amperiacutemetros Mas quanto podemos confiar nessa estimativa Para respondermos tal pergunta eacute importante quantificarmos a variabilidade das resistecircncias r que medimos Quanto menor for essa variabilidade maior seraacute a nossa confianccedila para assumir que a resistecircncia interna de um amperiacutemetro particular eacute igual agrave meacutedia Intuitivamente podemos conjecturar que tal variabilidade pode ser medida pelo somatoacuterio das diferenccedilas entre as resistecircncias
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
46
medidas z e a meacutedia dessas resistecircncias ou seja por (- minus ) + ($ minus ) + ⋯ + ( minus ) onde N eacute o nuacutemero de medidas realizadas No entanto temos aqui um inconveniente semelhante ao que tivemos quando analisaacutevamos ajustes de curvas se valores positivos e negativos se cancelarem esse somatoacuterio pode ser muito pequeno mesmo quando os dados apresentam grande variabilidade Podemos propor a mesma soluccedilatildeo adotada anteriormente vamos elevar os termos ao quadrado Temos entatildeo a variabilidade dos dados sendo mensurada por (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$
A impossibilidade de comparaccedilatildeo entre as variabilidades de diferentes conjuntos de dados eacute a limitaccedilatildeo desta proposta pois o resultado desse somatoacuterio eacute altamente dependente da quantidade de termos Desse modo eacute possiacutevel que esse somatoacuterio seja maior para grandes conjuntos com pouca variabilidade do que para pequenos grupos com grande variabilidade Para amenizar tal limitaccedilatildeo podemos entatildeo dividir o somatoacuterio por N ou seja calcular a variabilidade por(- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$ Hfrasl Ainda que esse somatoacuterio seja conceitualmente interessante natildeo eacute essa a medida de dispersatildeo de dados que costuma ser utilizada no meio cientiacutefico mas algo que guarda alguma semelhanccedila com ele o desvio padratildeo dos dados (P) Ele eacute calculado por
PL = (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$H minus 1
Mas por que utilizamos essa equaccedilatildeo A resposta estaacute em suas propriedades Quando construiacutemos um histograma (graacutefico de frequecircncias) de um conjunto de medidas por exemplo podemos em muitos casos assumir que a distribuiccedilatildeo desses dados eacute representada por uma distribuiccedilatildeo normal A equaccedilatildeo que define essa distribuiccedilatildeo assim como sua representaccedilatildeo graacutefica eacute ilustrada na Figura 3
Manual de Laboratoacuterio
47
Natildeo eacute nosso objetivo aqui discutir detalhes da distribuiccedilatildeo normal O que desejamos destacar eacute que quando supomos que a distribuiccedilatildeo de um conjunto de dados eacute normal o que eacute bastante razoaacutevel na maioria das vezes o desvio padratildeo σ quantifica como os dados estatildeo distribuiacutedos Para entendermos isso analisemos a Figura 4
O intervalo compreendido pela meacutedia das medidas mais ou menos um desvio padratildeo compreende 68 das medidas realizadas No caso que estamos exemplificando se tomarmos a meacutedia das resistecircncias internas r de todos os amperiacutemetros investigados e o desvio padratildeo PL desses dados 68 das medidas estaratildeo no intervalo entre ( minus PL) e ( + PL) 95 no intervalo ( 2PL) e 99 no intervalo ( 257PL)
Figura 2 - A distribuiccedilatildeo normal eacute usualmente utilizada para representar a distribuiccedilatildeo
de frequecircncias de um conjunto de dados (Lima Jr et al 2013 p 30)
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
48
Agora jaacute sabemos como quantificar a variabilidade de um conjunto de dados Podemos entatildeo calcular a meacutedia e o desvio padratildeo das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros Mas surge entatildeo uma questatildeo Se analisaacutessemos um novo conjunto de amperiacutemetros da mesma marca e modelo dos exemplificados aqui a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros seria a mesma Provavelmente natildeo Temos como estimar a partir do conjunto de medidas que realizamos a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros Temos Para responder a essa questatildeo temos que compreender um novo conceito o de desvio padratildeo da meacutedia (PL) Ele eacute calculado por
PL = PLradicH
Natildeo vamos entrar em detalhes aqui sobre a origem do conceito de desvio padratildeo da meacutedia1 vamos apenas explicar como essa grandeza nos permite estimar a incerteza na meacutedia de um conjunto de medidas Para isso vamos supor um novo conjunto de N novas
1 Se vocecirc eacute um aluno curioso pesquise sobre o Teorema Central do Limite para compreender com mais profundidade o conceito de desvio padratildeo da meacutedia
Figura 3 - A meacutedia e o desvio padratildeo demarcam a distribuiccedilatildeo dos dados em uma
distribuiccedilatildeo normal Na figura o eixo das abcissas expressa a distacircncia da meacutedia em
unidades de desvio padratildeo (Lima Jr et al 2013 p 30)
Manual de Laboratoacuterio
49
medidas da resistecircncia interna de amperiacutemetros como os investigados nesta aula Qual seria a meacutedia dessas medidas Assim como o desvio padratildeo dos dados quantifica a dispersatildeo dos dados em torno da meacutedia o desvio padratildeo da meacutedia quantifica a dispersatildeo das meacutedias de subconjuntos de dados em torno da meacutedia de todo o conjunto de dados Aplicando esse conceito ao nosso exemplo podemos interpretar os dois conjuntos de medidas de resistecircncias internas como subconjuntos de um grande conjunto contendo todas as medidas Desse modo podemos afirmar com 68 de confianccedila que a meacutedia das N novas medidas a serem realizadas estaraacute no intervalo compreendido por ( PL) com 95 de confianccedila no intervalo ( 2PL) e com 99 de confianccedila no intervalo ( 257PL) O desvio padratildeo da meacutedia pode ser compreendido assim como a incerteza da meacutedia de um conjunto de medidas ou seja ele nos fornece uma estimativa da confiabilidade de uma meacutedia Em suma se escolhermos um amperiacutemetro aleatoriamente podemos dizer que i) o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute a meacutedia das resistecircncias de todos os amperiacutemetros e ii) a incerteza que temos nesse valor eacute igual ao desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias dos amperiacutemetros
E se eu soacute tivesse condiccedilotildees de realizar uma uacutenica medida
Nem sempre podemos realizar diversas medidas de uma grandeza Em alguns casos nem mesmo faz sentido realizar diversas medidas No entanto eacute evidente que existe uma incerteza associada a uma uacutenica medida Natildeo existem instrumentos que sejam perfeitamente precisos Entatildeo como podemos estimar essa incerteza Usualmente os manuais dos instrumentos trazem informaccedilotildees sobre isso Desse modo as incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica realizadas com um voltiacutemetro e um amperiacutemetro podem ser consultadas no manual do multiacutemetro utilizado Mas como eacute calculada a incerteza da resistecircncia interna de um amperiacutemetro que foi calculada a partir de
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
50
apenas uma medida de tensatildeo e uma de corrente eleacutetrica Nesse caso precisamos calcular a incerteza propagada das incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica
Os meacutetodos de caacutelculo de incertezas propagadas podem ser bastante complicados Aqui trataremos de um meacutetodo bastante simples usualmente denominado de Meacutetodo dos Limites Vamos exemplificaacute-lo supondo que a incerteza da tensatildeo sobre as entradas do amperiacutemetro eacute P- e da corrente eleacutetrica que circula por ele eacute P$ Ou seja a tensatildeo medida estaacute no intervalo entre ∆S minus P- e ∆S + P- e a corrente eleacutetrica entre i minus P$ e i + P$ Qual eacute entatildeo a incerteza da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro investigado Para responder isso basta calcularmos os valores limites dessa grandeza O maacuteximo valor possiacutevel para a resistecircncia ocorreraacute se a tensatildeo for ∆S + P- e a corrente eleacutetrica for i minus P$ Nesse caso usando a Eq 1 temos
aacutee = ∆S + P-i minus P$
Usando o mesmo raciociacutenio o valor miacutenimo de r seraacute
z = ∆S minus P-i + P$
Desse modo podemos dizer que o valor da resistecircncia interna medida estaacute no intervalo entre rmaacutex e rmiacuten Em outras palavras o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro eacute
F = iexclz + aacutee2 z minus aacutee2 cent
Manual de Laboratoacuterio
51
Erro eacute a mesma coisa que incerteza
Apesar de serem frequentemente utilizados como sinocircnimos os manuais de metrologia atribuem significados distintos aos conceitos de ldquoerrordquo e ldquoincertezardquo O Guia para Expressatildeo da Incerteza da Mediccedilatildeo (Joint Commitee for Guide in Metrology 2008 apud Lima Jr et al 2013) usa o termo ldquoerrordquo para indicar a diferenccedila entre o valor verdadeiro e o resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo o conceito de erro tem uso restrito pois satildeo poucos os casos em que conhecemos o valor verdadeiro de uma grandeza Satildeo exemplos desses casos experimentos em que se deseja mensurar a velocidade da luz no vaacutecuo ou o valor de π que satildeo valores previamente conhecidos pelo experimentador O caacutelculo do erro soacute faz sentido para casos em que sabemos o valor verdadeiro da grandeza que se quer medir
A incerteza por outro lado eacute entendida como uma estimativa que quantifica a confiabilidade do resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo quando calculamos o desvio padratildeo da meacutedia de um conjunto de medidas estamos calculando a incerteza da meacutedia dessas medidas ou seja estamos avaliando a confianccedila que podemos ter em adotar a meacutedia dessas medidas como o valor da grandeza mensurada O conceito de incerteza portanto tem maior aplicabilidade do que o conceito de erro
Algarismos significativos e incerteza
Uma questatildeo frequente nas aulas de laboratoacuterio eacute Com quantos algarismos uma grandeza deve ser apresentada No laboratoacuterio a resposta dessa questatildeo eacute uma funccedilatildeo da incerteza da grandeza Devemos apresentar os dados ateacute o seu primeiro algarismo duvidoso Voltemos ao exemplo da resistecircncia interna dos amperiacutemetros Suponhamos que a meacutedia das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros eacute 21546 Ω e o desvio padratildeo dessa meacutedia que eacute
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
52
entendido aqui como a incerteza da resistecircncia interna dos amperiacutemetros eacute 003 Ω Interpretando tais dados assumimos com 68 de certeza que a resistecircncia interna dos amperiacutemetros estaacute no intervalo entre 21246 e 21846 Ω Desse modo a segunda casa decimal da grandeza medida eacute duvidosa Por isso os algarismos subsequentes satildeo omitidos quando expressamos essa medida e a medida da resistecircncia interna dos amperiacutemetros exemplificados eacute exposta por (215 plusmn 003) Ω Em suma o resultado de uma mediccedilatildeo deve ser sempre expresso com a mesma quantidade de casas decimais que sua incerteza Os algarismos apresentados satildeo entatildeo chamados de algarismos significativos
Referecircncia
Lima Jr P Silva M T X Silveira F L Veit E A (2013) Laboratoacuterio de mecacircnica subsiacutedios para o ensino de Fiacutesica experimental Porto Alegre UFRGS Instituto de Fiacutesica Disponiacutevel em httphdlhandlenet1018390438
Manual de Laboratoacuterio
53
Atividade de Laboratoacuterio I Instrumentos de medida e incertezas
Este material foi cuidadosamente preparado para auxiliar no andamento das atividades no laboratoacuterio de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo Eacute importante responder TODAS as perguntas
(indicadas pelo siacutembolo ) feitas ao longo do texto discutindo com seu grupo possiacuteveis respostas e justificando-as Sempre que possiacutevel faccedila isso por escrito
TAREFA 1
Construa um circuito contendo um resistor de 1 kΩ em seacuterie com uma fonte de tensatildeo contiacutenua e um multiacutemetro Coloque o multiacutemetro na funccedilatildeo amperiacutemetro na escala de miliampere Usando outro multiacutemetro meccedila a tensatildeo no amperiacutemetro Realize medidas com diferentes correntes eleacutetricas variando a tensatildeo de saiacuteda da fonte
Como podemos tratar esses dados se nosso objetivo eacute medir a resistecircncia interna do amperiacutemetro
Qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
54
Para responder essas questotildees se dirija a um dos computadores da sala e use um aplicativo que possibilite a construccedilatildeo de graacuteficos SciDavis por exemplo Insira seus dados no aplicativo construa o graacutefico desejado e encontre a melhor reta que se ajusta aos dados
Qual foi a melhor reta ajustada Determine a equaccedilatildeo dessa reta ajustada
Qual eacute o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro que vocecirc investigou
TAREFA 2
Utilize as medidas de todos os grupos da turma e aplique os conhecimentos abordados na tarefa de leitura para responder as seguintes questotildees
Qual deve ser a resistecircncia interna de um amperiacutemetro escolhido aleatoriamente entre os utilizados nesta aula
Qual eacute a incerteza desse valor
TAREFA 3
Suponha que o manual do Minipa ET-2075B informe que as medidas de tensatildeo e corrente realizadas nas faixas de milivolt e miliampere tecircm incerteza de 3 Use esses dados para calcular a
Manual de Laboratoacuterio
55
incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1
Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma
Elas satildeo coerentes Por quecirc
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
56
CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO
Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por
equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC
Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras
O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se
Manual de Laboratoacuterio
57
extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo
No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador
Salvando vidas
ldquoafastem-se choquerdquo
Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de
sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos
O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo
Figura 4 - Desfibrilador
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
58
esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)
Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma
sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o
miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia
Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2
2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387
Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)
Manual de Laboratoacuterio
59
Circuito RC - seacuterie
Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C
Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que
∆S(c) + i(c)F = 0
Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo
i(c) = =C(c)=c
e a ddp no capacitor eacute dada por
∆S(c) = C(c)D
Dessa forma podemos dizer que
=C(c)=c = minus 1FD C(c)
Figura 6 - Circuito RC
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
60
Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa
funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja
derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever
C(c) = C7 ou
A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial
Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir
Capacitor Carregando Capacitor Descarregando
∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0
C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou
∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou
Manual de Laboratoacuterio
61
Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8
Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo
eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum
3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78
Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas
do capacitor durante o processo de
carga ou descarga
Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um
graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo
do tempo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
62
Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no
capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte
Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor
quando o mesmo estaacute sendo carregado
Manual de Laboratoacuterio
63
Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie
1 - Osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos
2 ndash Aparato Experimental
Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
64
conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto
Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)
Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio
Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees
Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala
Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)
Manual de Laboratoacuterio
65
TAREFA 1
Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees
Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico
Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito
Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito
Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos
Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio
TAREFA 2
Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie
Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
66
figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)
Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados
Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo
NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo
Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste
Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito
Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito
Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles
Manual de Laboratoacuterio
67
MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS
Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais
Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio
Para onde aponta a buacutessola
Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
68
polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc
E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial
tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos
que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a
soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio
4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja
httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4
Figura 10 - Buacutessola
Figura 11 - campo B resultante
Manual de Laboratoacuterio
69
Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por
umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O
Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde
Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde
Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma
iacuteatilde() = ∙
onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde
5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass
The Physics Teacher 49(1) 45-48
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
70
Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como
iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2
Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos
gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)
Logo
gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2
Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo
iacuteatilde() = amp
Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse
tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira
na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart
Manual de Laboratoacuterio
71
pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do
que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute
yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp
onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico
da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos
yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp
Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
72
Atividade de Laboratoacuterio III Projeto
OBJETIVO
Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
73
SUGESTAtildeO 1
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO
Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas
Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece
Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha
Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo
por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o
eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
74
SUGESTAtildeO 2
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA
Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)
Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica
Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de
uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)
Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema
Manual de Laboratoacuterio
75
SUGESTAtildeO 3
BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO
Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola
Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)
Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina
O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
76
SUGESTAtildeO 4
CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO
O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer
Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
77
MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO
Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro
Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental
6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
78
110 V 127 V e 220 V O que eacute isso
As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V
Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas
A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
(c) = Jgt(c + acute)
onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por
∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)
Manual de Laboratoacuterio
79
onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1
Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho
Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores
Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
80
caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por
∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf
∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712
∆Suparamiddot = ∆S7radic2
Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a
tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s
A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente
alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$
Figura 13 - Funccedilotildees seno e
seno quadrado
Manual de Laboratoacuterio
81
COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA
Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz
Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O
Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
82
que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio
Natildeo queremos jogar energia fora
Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14
Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie
Manual de Laboratoacuterio
83
Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por
0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)
onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)
Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
ℇ(c) = ℇ7gt(c)
onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente
Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na
figura 16 para um caso em que VL gt VC
Figura 15 - Diagrama de fasores
de um circuito RLC seacuterie com
fonte de tensatildeo alternada
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
84
A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que
acute = c8 S minus SSu
Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado
por
i(c) = gt(c minus acute)
Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente
as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que
ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$
ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$
Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como
0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)
Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que
0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$
Figura 16 ndash Soma de fasores
Manual de Laboratoacuterio
85
0eacutey = F ∙ uparamiddot$
onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square
Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que
F = frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte
Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade
7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL
Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e
resistecircncia num diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
86
do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como
0 = AJradicAJ$ + AF$
O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP
DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11
Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia
Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por
acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita
Manual de Laboratoacuterio
87
2 = 1D
Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica
Figura 18 - diagramas de fasores representando
um circuito capacitivo e um circuito indutivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
88
Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie
O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio
TAREFA 1
Circuito Resistivo
Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR
Manual de Laboratoacuterio
89
Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)
O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador
Circuito Capacitivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
90
Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor
Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Manual de Laboratoacuterio
91
Circuito Indutivo
Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor
O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
92
Circuito RLC
Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise
Manual de Laboratoacuterio
93
O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador
Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio
O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior
Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor
Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou
A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
94
TAREFA 2
Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente
Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir
Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima
Qual o valor da corrente maacutexima no circuito
Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)
O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique
Manual de Laboratoacuterio
95
TAREFA 3
Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito
Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees
Como isso eacute possiacutevel Explique
Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff
Respostas
96
Respostas
A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32
A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH
A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH
B3 Ae = Af = AtildeAcircf
B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl
B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH
B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l
B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD
B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -
C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc
(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7
C2 O = ~13deg
C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)
Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-
vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr
Respostas
97
C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM
C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD
(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD
C6 A = Eacute$Acirc
C7 A = Atilde$AcircL
D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma
das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp
D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(
D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1
no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)
D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme
D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D
E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)
E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D
E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml
F1 544 times 10
F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S
F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM
u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM
u (e) 0 = ℇMu
F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω
Respostas
98
F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965
G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n
G5 i = Ograve$g = 245 J
G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y
G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez
G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H
G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)
G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)
G15 (a) zL$brvbarM (b)
z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero
G16 z$L + z$L = z$L - + 1
G17 (a) pLM
amp (b) pusup3
ampL
G18 zzMu
G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)
z
G20 zNu saindo da folha
G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)
UgraveLMamp
fora do fio (a) z$L (b)
UgravebrvbarM$L (c)
Ugravebrvbarsup3ampL
G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13
G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM
ampu
H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior
Respostas
99
H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a
H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J
I2 Φ = pound$ sup1amp
I4 C = AcircsM
I6 (a) zM
NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar
J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a
(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S
J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu
(c) = -radic
J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm
(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013
Respostas
100
Bibliografia
Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il
Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il
Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il
Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm
Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il
Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il
Problemas Selecionados
27
G7 ndash Uma barra de metal com densidade de massa B (massa por unidade de comprimento) apresenta uma corrente i (saindo da paacutegina) A barra estaacute suspensa por dois fios num campo magneacutetico uniforme vertical como mostra a figura ao lado No equiliacutebrio os fios
fazem um acircngulo O com a vertical Qual a magnitude do campo magneacutetico
G8 ndash Um proacuteton com energia cineacutetica de 6 jS se move no plano da paacutegina e entra numa regiatildeo de campo magneacutetico = 1 13 direcionado para dentro da paacutegina como mostra a figura ao lado
O proacuteton entra na regiatildeo de campo com o vetor velocidade fazendo um acircngulo O- = 35deg com a borda da regiatildeo Qual eacute a distacircncia entre o ponto de entrada e saiacuteda ( na figura) Qual o valor de O$
G9 ndash Considere um eleacutetron orbitando um proacuteton numa trajetoacuteria circular de raio F = 529 times 10-- devido agrave atraccedilatildeo Coulombiana Considere o sistema como se fosse um anel por onde passa uma corrente Qual seraacute o torque resultante quando o sistema for colocado numa regiatildeo de campo magneacutetico = 04 13 perpendicular ao momento magneacutetico do anel
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
28
G10 ndash Um fio por onde passa uma corrente i foi moldado num formato semicircular de raio F e uma reta de comprimento 2F como mostra a figura ao lado Nessa mesma regiatildeo haacute um campo magneacutetico que aponta na direccedilatildeo + (representado pelos pontos azuis na figura ao lado) Mostre que a
forccedila resultante sobre o fio eacute zero
G11 ndash Um condutor ciliacutendrico longo de raio conteacutem duas cavidades cada uma com diacircmetro ao longo de todo o comprimento do fio Uma visatildeo da seccedilatildeo transversal do fio eacute mostrada na figura ao lado Uma corrente i uniforme (considerando a porccedilatildeo soacutelida do material) passa atraveacutes do fio e aponta para fora da paacutegina Determine a magnitude e direccedilatildeo do campo
magneacutetico em funccedilatildeo de 7 i e no ponto P
G12 ndash Dois fios muito longos por onde passa corrente i de mesma magnitude estatildeo moldados conforme a figura ao lado
Mostre que o campo magneacutetico no centro do ciacuterculo de raio R eacute o mesmo que o
campo a uma distacircncia R abaixo de um fio reto muito longo por onde passa uma corrente i
Problemas Selecionados
29
G13 ndash Encontre uma expressatildeo para determinar a magnitude do campo magneacutetico no ponto P da figura ao lado Dica considere a origem dos eixos cartesianos no ponto P
G14 ndash A figura ao lado mostra a seccedilatildeo transversal de um condutor oco de raio externo e interno por onde passa uma corrente uniforme i Demonstre que a magnitude do campo magneacutetico () para uma distacircncia lt lt eacute dada por
= 7i25($ minus $) $ minus $
G15 ndash A figura ao lado mostra um cabo coaxial de raios e Correntes opostas de igual magnitude estatildeo distribuiacutedas nos dois condutores Derive uma expressatildeo para calcular o campo magneacutetico () na regiatildeo (a) lt (b) lt lt (c) lt lt e (d) gt
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
30
G16 ndash Um fio condutor por onde passa uma corrente i foi torcido para formar um loop de raio R (no plano da paacutegina) como mostra a figura abaixo Qual a direccedilatildeo do campo magneacutetico no
centro do loop Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico no centro do loop
G17 ndash Uma corrente i passa por um fio condutor ciliacutendrico de raio R como mostra a figura ao lado A densidade de corrente l natildeo eacute uniforme atraveacutes da seccedilatildeo transversal do fio mas obedece agrave funccedilatildeo l = onde eacute uma constante Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico (a) a uma distacircncia - lt F e (b) a uma distacircncia $ gt F(em relaccedilatildeo ao centro do condutor)
G18 ndash Um fio condutor muito longo por onde passa uma corrente i- estaacute parcialmente envolto por um loop por onde passa uma corrente i$ (figura ao lado) O loop fio foi moldado num formato semiciliacutendrico de raio R e o comprimento L O fio condutor passa pelo eixo do loop Calcule a forccedila magneacutetica exercida sobre o loop
G19 ndash Considere um solenoide de comprimento 2 e raio F contendo H voltas de um fio por onde passa uma corrente i (a) Determine uma expressatildeo para
o campo magneacutetico num ponto ao longo do eixo do solenoide do lado de fora do solenoide como funccedilatildeo da distacircncia ateacute uma das pontas (considere = 0 no centro do solenoide e = a distacircncia do centro ateacute o ponto onde estaacute sendo calculado o campo ) (b) Mostre que para
Problemas Selecionados
31
valores muito grandes de 2 e = = 0 se aproxima de = 7i H 2frasl para posiccedilotildees ao longo do eixo no interior do solenoide distante das bordas
G20 ndash A figura ao lado mostra um fio moldado para formar duas seccedilotildees retas e um quarto de ciacuterculo por onde passa corrente i Determine o campo magneacutetico (vetor) no ponto P
G21 ndash Um fio ciliacutendrico espesso de raio eacute percorrido por uma corrente i Determine uma expressatildeo para o
campo magneacutetico dentro e fora do fio considerando que (a) a corrente estaacute distribuiacuteda uniformemente sobre a superfiacutecie externa do fio (b) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio com densidade de corrente l constante (c) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio de forma que a densidade de corrente l eacute proporcional agrave distacircncia ateacute o eixo do fio
G22 ndash Considere dois solenoides coaxiais cada um conduzindo uma corrente i em direccedilotildees opostas O solenoide interno de raio possui gt- voltas por unidade de comprimento o
solenoide externo possui raio e gt$ voltas por unidade de
comprimento Determine (a) no interior do conjunto (b) entre eles e (c) fora deles
G23 ndash Um fio condutor longo e reto de raio F conduz uma corrente natildeo uniforme cuja densidade de corrente eacute l = l7 Ffrasl onde l7 eacute uma constante A corrente total eacute i (a) Determine uma expressatildeo para i
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
32
em funccedilatildeo de l7 e F (b) Determine uma expressatildeo para o campo magneacutetico no interior do fio para uma distacircncia
G24 ndash A figura ao lado mostra um toroide que consiste num solenoide fechado em forma de anel (a) Considerando a simetria explique qual deve ser o formato do campo magneacutetico no interior desse toroide (b) Considere o toroide compacto (a separaccedilatildeo entre cada volta do fio eacute pequena) com N voltas conduzindo uma corrente i Usando a lei de Ampeacutere determine a magnitude do campo magneacutetico num ponto interno ao toroide a uma distacircncia do eixo principal (ver figura ao lado) (c) O campo magneacutetico no interior do toroide eacute um campo uniforme Explique
-------------------------------------------------------------------------------------------
(H) Lei de Faraday
H1 ndash A figura ao lado mostra dois aneis cujos eixos estatildeo alinhados separados por uma distacircncia x O anel maior tem raio F o anel menor tem raio Os aneis estatildeo separados por uma distacircncia ≫ F e por isso o campo magneacutetico devido agrave corrente no anel de raio F eacute praticamente uniforme no anel menor Considere que a distacircncia estaacute aumentando a uma taxa constante = =cfrasl = d (a) Determine uma expressatildeo para o fluxo de campo magneacutetico atraveacutes do anel menor como funccedilatildeo de Encontre uma expressatildeo para (b) a fem induzida e (c) a direccedilatildeo da corrente no anel menor
Problemas Selecionados
33
H2 ndash (a) Calcule o fluxo magneacutetico atraveacutes do retacircngulo mostrado na figura ao lado em funccedilatildeo de = i (b) Avalie o resultado encontrado para = 5 = 10 = = 2 e i = 20 J
H3 ndash Uma espira plana e circular de raio =75 estaacute em repouso numa regiatildeo de campo magneacutetico uniforme A espira estaacute orientada de tal forma que o campo magneacutetico aponta para cima
e faz um acircngulo de 30deg com a normal da espira O campo varia com
o tempo de acordo com (c) = 14(77nho) 13 (a) Determine a fem induzida na espira em funccedilatildeo do tempo (b) Para que valor de c a fem induzida eacute igual a um deacutecimo do seu valor inicial Determine o sentido da corrente induzida na espira se observada por cima da espira
H4 ndash Um retacircngulo que mede 30 times 40 estaacute localizado no interior de um campo magneacutetico uniforme de 125 13 com o campo perpendicular ao plano da bobina A bobina se move perpendicular ao campo com velocidade constante d =2 inclusive atingindo a regiatildeo
onde o campo termina abruptamente como mostra a figura ao lado Determine a fem induzida nessa bobina quando ela estaacute (a) inteiramente no interior do campo (b) parcialmente no interior do campo e (c) inteiramente fora do campo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
34
H5 ndash O fio na figura ao lado conduz
uma corrente i(c) = i7po onde gt 0 Determine o sentido da corrente induzida na bobina (horaacuterio ou anti-horaacuterio) para c gt 0
H6 ndash A figura ao lado mostra uma espira circular de raio contendo uma resistecircncia e um capacitor ligados em seacuterie imerso numa regiatildeo onde um campo magneacutetico uniforme (no espaccedilo) entrando no plano na paacutegina decresce no tempo a uma taxa constante = =cfrasl = minus sendo uma constante positiva (a) Qual a carga no capacitor quando ele estaacute completamente carregado (b) Qual das placas do capacitor estaacute em potencial mais elevado (c) Qual a origem da forccedila que causa a separaccedilatildeo de cargas
-------------------------------------------------------------------------------------------
(I) Indutacircncia
I1 ndash No circuito ao lado ℰ = 100 SF- = 10 Ω F$ = 20 Ω Famp = 30 Ω e 2 = 2 H Ao fechar a chave S quais os valores de i- e i$ Considere positivo o sentido das correntes indicadas na figura Muito tempo
depois quais satildeo os valores de i- e i$ A chave eacute entatildeo aberta Nesse instante quais satildeo os valores de i- e i$ E muito tempo depois quais satildeo os valores de i- e i$
Problemas Selecionados
35
I2 ndash Num circuito LC em seacuterie a carga inicial do capacitor eacute C e ele estaacute sendo descarregado Quando a carga no capacitor eacute igual a C 2frasl qual eacute o fluxo magneacutetico que atravessa cada uma das N espiras do indutor (como funccedilatildeo de C H 2 e D)
I3 ndash Uma bobina possui N voltas e estaacute envolvendo um solenoide longo de raio r com n espiras por unidade de comprimento (figura ao lado) (a) Mostre que a indutacircncia muacutetua do sistema eacute dada por j = 75F$gtH (b) Explique por que M natildeo depende do formato tamanho ou possiacutevel falta de proximidade das espiras na bobina
I4 ndash A fem autoinduzida num solenoide de indutacircncia L varia no tempo conforme ℇ(c) = ℇ7so Levando em consideraccedilatildeo que a carga eacute finita (ou seja i = 0 quando c = infin) determine a carga total que passa pelo solenoide (que atravessa um determinado ponto no fio que compotildee o solenoide)
I5 ndash Um fio condutor foi enrolado num papelatildeo formando um toroide com N espiras (voltas) raio menor r e maior R A seccedilatildeo transversal do toroide eacute mostrada na figura ao lado Se F ≫ o campo magneacutetico no interior do toroide eacute essencialmente o mesmo que o campo no interior de um solenoide muito longo que tenha sido
moldado no formato de um ciacuterculo de raio R Modelando o campo como se fosse o campo uniforme de um solenoide longo mostre que a indutacircncia desse toroide eacute
aproximadamente 2 asymp -$ 7H$ LMu
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
36
I6 ndash Um indutor consiste em duas cascas ciliacutendricas concecircntricas como mostra a figura A casca interna tem raio e a externa tem raio ambas com comprimento ℎ A casca interna transporta uma corrente i para fora e a externa para dentro do plano da paacutegina com igual magnitude Calcule na regiatildeo lt lt (a) a densidade de energia magneacutetica (b) a indutacircncia
I7 ndash Mostre que i(c) = i7o wx eacute a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial iF + 2 yzyo = 0 onde i7 eacute a corrente em c = 0 e = 2 Ffrasl
I8 ndash Um fio condutor de raio R transporta uma corrente uniforme A corrente total no fio eacute i Mostre que a energia magneacutetica por unidade de comprimento dentro do fio eacute dada por 7i$ 165frasl
I9 ndash Um cabo coaxial eacute formado por dois cilindros condutores de paredes finas com raios - e $ As correntes nos dois cilindros satildeo iguais em magnitude mas com sentidos opostos (a) Use a lei de Ampeacutere para determinar o campo magneacutetico como funccedilatildeo da distacircncia ao eixo do cabo nas regiotildees (0 lt lt -) ( - lt lt $ ) e ( gt $) (b) Mostre que a densidade de energia magneacutetica na regiatildeo entre os cilindros eacute dada por
| = 12 745 i$(5$)-
(c) Mostre que a energia magneacutetica total num volume de cabo com comprimento ~ eacute dada por
Problemas Selecionados
37
= i$~ ln LML
(d) Mostre que a autoindutacircncia por unidade de comprimento do cabo eacute dada por
2~ = 725 ln $-
-------------------------------------------------------------------------------------------
(J) Corrente Alternada
J1 ndash A tensatildeo de uma fonte de corrente alternada eacute dada por ∆d = 120gt(30 5c) onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A fonte eacute conectada a um indutor de 05 Determine (a) a frequecircncia da fonte (b) a voltagem rms no indutor (c) a reatacircncia indutiva do circuito (d) a corrente rms no indutor e (e) a corrente maacutexima no indutor
J2 ndash Uma fonte de tensatildeo alternada fornece uma tensatildeo ∆d = 98gt(80 5c) a um capacitor onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A corrente maacutexima no circuito eacute 05 J Determine (a) a tensatildeo rms da fonte (b) a frequecircncia da fonte e (c) o valor da capacitacircncia
J3 ndash Um circuito AC eacute composto por um resistor de 250 Ω um indutor de 15 um capacitor de 35 e uma fonte de tensatildeo alternada com amplitude de 45 S operando com frequecircncia angular = 360 = frasl (a) Qual eacute o fator de potecircncia do circuito (b) Determine a potecircncia meacutedia aparente (S) fornecida ao circuito (c) Qual eacute a potecircncia meacutedia ativa (P) dissipada no resistor Qual eacute a potecircncia meacutedia reativa (Q) que fica armazenada no circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
38
J4 ndash Cinco voltiacutemetros com impedacircncia muito grande ajustados para ler valores rms estatildeo conectados conforme a figura ao lado Sendo F =200 Ω 2 = 04 H D = 6 e ∆S = 30 Vqual eacute a leitura da tensatildeo em cada voltiacutemetro se (a) = 200 = frasl e (b) =1000 = frasl
J5 ndash Num circuito RLC 2 = 028 e D = 4 A fonte fornece uma voltagem com amplitude de 120 S Qual eacute a frequecircncia angular de ressonacircncia do circuito (b) Quando a fonte opera na frequecircncia angular de ressonacircncia a amplitude da corrente no circuito eacute 17 J Qual a resistecircncia do resistor (c) Na frequecircncia angular de ressonacircncia quais satildeo as voltagens de pico no indutor capacitor e resistor
J6 ndash O circuito ao lado conteacutem uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal conforme ℇ = ℇgt(c) No estado de equiliacutebrio temos as correntes mostradas no circuito Sem recorrer a uma matemaacutetica complicada responda (a) Quais os valores de u e quando = 0 (frequecircncia zero significa que
a fonte foi substituida por uma bateria ideal) (b) Quais os valores de u e quando rarr infin (c) Qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia
Problemas Selecionados
39
J7 ndash Um indutor um capacitor e um resistor estatildeo conectados em seacuterie a uma fonte de tensatildeo alternada Se os valores da resistecircncia capacitacircncia e indutacircncia forem duplicados o que aconteceraacute com (a) a frequecircncia angular de ressonacircncia (b) a reatacircncia indutiva (c) a reatacircncia capacitiva e (d) a impedacircncia
J8 ndash O circuito abaixo eacute formado por uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal variando conforme ℇ = ℇgt(c) uma resistecircncia F = 6 Ω e uma parte desconhecida que pode conter um indutor um capacitor ou ambos A amplitude da fonte eacute ℇ = 6 S Quando a frequecircncia angular = 2 = a corrente estaacute em fase com a fonte enquanto que para = 1 = a corrente estaacute fora de fase em relaccedilatildeo agrave fonte por exatamente 5 4frasl (a) Quais componentes estatildeo presentes na parte desconhecida (um indutor um capacitor ou ambos) Explique (b) Determine os valores dos componentes desconhecidos
J9 ndash Um circuito em seacuterie possui impendecircncia de 60 Ω e fator de potecircncia igual a 072 em 50 A tensatildeo da fonte estaacute atrasada em relaccedilatildeo agrave corrente (a) Que elemento do circuito (um indutor ou um capacitor) deve ser ligado em seacuterie com o circuito para aumentar o fator de potecircncia (b) Qual deve ser o valor desse elemento para que o fator de potecircncia seja igual a 1 (c) Apresente diagramas de fasores esquemaacuteticos para o circuito antes e depois da ligaccedilatildeo do novo elemento
Manual de Laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
41
O PROCESSO DE MEDIDA NO LABORATOacuteRIO DE FIacuteSICA
Natildeo satildeo raros eventos em que nos valemos de medidas para tomarmos decisotildees Medimos nossa temperatura corporal para avaliarmos se necessitamos de tratamento Medimos a pressatildeo manomeacutetrica dos pneus para avaliarmos se precisamos injetar ou retirar ar neles Consultamos medidas da temperatura ambiente para escolhermos a roupa que vestiremos Consultamos o horaacuterio (medida de tempo) para natildeo chegarmos atrasados em encontros Medidas satildeo portanto fundamentais em nossas vidas No entanto usualmente natildeo nos preocupamos muito com a precisatildeo dessas medidas Em grande parte das vezes natildeo nos interessa saber se o horaacuterio informado no reloacutegio estaacute um pouco atrasado ou adiantado Natildeo nos preocupamos em saber o quanto podemos confiar nas temperaturas coletadas com um determinado termocircmetro Nossas medidas comumente satildeo realizadas de forma despretensiosa sem muito rigor
No laboratoacuterio de Fiacutesica isso ocorre de modo muito diferente Os processos de mediccedilatildeo satildeo mais minuciosos do que os que realizamos costumeiramente Desejamos obter a maior precisatildeo possiacutevel com os equipamentos de que dispomos Mas como fazer isso Como podemos melhorar a precisatildeo dos processos de mediccedilatildeo Intuitivamente podemos concluir que inferecircncias realizadas a partir de um conjunto de medidas satildeo mais precisas do que medidas isoladas Mas quando disponho de um conjunto de medidas como posso analisaacute-las Calcular a meacutedia delas eacute suficiente Responder a questotildees como essas eacute o objetivo desta atividade Para exemplificarmos todo esse processo realizaremos um debate sobre a mediccedilatildeo da resistecircncia interna de amperiacutemetros
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
42
O que satildeo amperiacutemetros
Um amperiacutemetro eacute um instrumento utilizado para a realizaccedilatildeo de medidas de correntes eleacutetricas Evidentemente natildeo queremos modificar os circuitos quando os exploramos com um instrumento Com amperiacutemetros natildeo eacute diferente Queremos medir correntes eleacutetricas sem alterar as caracteriacutesticas do circuito Mas como eacute possiacutevel fazer isso Natildeo discutiremos aqui os detalhes sobre o funcionamento interno de um amperiacutemetro No entanto vamos avaliaacute-los do ponto de vista de uma das suas caracteriacutesticas mais importantes a sua resistecircncia eleacutetrica
A resistecircncia eleacutetrica de um circuito influencia na intensidade da corrente eleacutetrica que circula nele A corrente eleacutetrica i que perpassa por uma resistecircncia eleacutetrica F submetida a uma tensatildeo ∆S por exemplo pode ser predita pela seguinte relaccedilatildeo
i = ∆u Eq 1
O amperiacutemetro precisa ser posicionado em seacuterie no circuito em que se deseja medir a corrente eleacutetrica como eacute exemplificado na figura
Figure 1- Medindo a resistecircncia interna de um multiacutemetro
Manual de Laboratoacuterio
43
1 Como a resistecircncia equivalente em circuitos em seacuteries eacute a soma da resistecircncia eleacutetrica de cada um dos seus componentes a resistecircncia interna dos amperiacutemetros se soma agrave resistecircncia equivalente do circuito investigado alterando a sua dinacircmica Por isso nosso desejo eacute que os amperiacutemetros tenham resistecircncia eleacutetrica nula No entanto a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro real por menor que seja nunca eacute nula Eles possuem um circuito interno com fios e diversos componentes eletrocircnicos que acabam provocando uma resistecircncia agrave circulaccedilatildeo de corrente eleacutetrica Ainda assim frequentemente desprezamos tal resistecircncia Seraacute que isso eacute razoaacutevel Quando podemos desprezar a resistecircncia interna dos amperiacutemetros e quando natildeo podemos Para respondermos tais perguntas precisamos conhecer o valor da resistecircncia interna tiacutepica de um amperiacutemetro
Medindo a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro
Nesta disciplina usaremos diversos amperiacutemetros de uma mesma marca e modelo em uma seacuterie de experimentos (Minipa ET-2075B) Por isso eacute interessante que conheccedilamos a resistecircncia eleacutetrica deles para podermos avaliar quando podemos desprezaacute-la e quando natildeo Mas como podemos obter essa informaccedilatildeo Podemos medi-la Um procedimento simples para isso eacute submeter o amperiacutemetro a uma diferenccedila de potencial ΔV conhecida e medir a corrente eleacutetrica i que passa por ele Desse modo podemos usar a Eq 1 para inferir a resistecircncia eleacutetrica do equipamento Mas podemos confiar em uma uacutenica medida Depende da precisatildeo de que necessitamos para essa medida Intuitivamente sabemos que se medirmos a resistecircncia interna a partir de um conjunto de dados poderemos ter uma maior confiabilidade nos dados No exemplo de que estamos tratando eacute possiacutevel se coletar dados da corrente no amperiacutemetro quando submetido a diferentes tensotildees Desse modo pode-se inferir a resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro pela declividade da reta constituiacuteda
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
44
pelos dados representados em um graacutefico da tensatildeo em funccedilatildeo da corrente eleacutetrica como pode ser constatado da Eq1 No entanto como temos incertezas associadas a cada dado experimental coletado esses dados natildeo seratildeo perfeitamente representados por uma reta Surge entatildeo uma nova questatildeo qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados
Ajuste de Curvas
Diversas retas podem ser ajustadas a um conjunto de dados experimental Qual delas utilizar Intuitivamente podemos conjecturar que a melhor reta a ser utilizada eacute aquela tal que a soma das diferenccedilas entre os valores de tensatildeo medidos e os preditos pela reta tenha o menor valor possiacutevel Em outras palavras queremos minimizar a soma
sum = = (∆Sz minus ∆S)z-
onde ∆Sz satildeo as tensotildees medidas e ∆S satildeo as tensotildees preditas pela reta ajustada
No entanto haacute um inconveniente importante no uso desse criteacuterio tal soma pode ser bem pequena para retas que natildeo apresentam bom ajuste aos dados se as diferenccedilas entre os valores medidos e os preditos se cancelarem sendo alguns positivos e outros negativos Nesses casos apesar de natildeo termos uma reta bem ajustada aos dados o criteacuterio utilizado
indicaria que sim Como resolver isso Elevando os valores de dn ao
Figura 1 - Diferenccedila de potencial em funccedilatildeo
da corrente
Manual de Laboratoacuterio
45
quadrado Ou seja podemos procurar a reta tal que a seguinte soma tenha o menor valor possiacutevel
sum =$ = (∆Sz minus ∆S)$z-
O meacutetodo que utiliza esse criteacuterio para a realizaccedilatildeo de ajustes de curvas que eacute amplamente utilizado no meio acadecircmico eacute denominado Meacutetodo dos Miacutenimos Quadrados Todos os softwares do tipo planilha eletrocircnica realizam esse caacutelculo automaticamente e nos valeremos disso quando necessaacuterio
Todos os amperiacutemetros da sala possuem a mesma resistecircncia interna
Ainda que todos os amperiacutemetros que utilizaremos nas nossas aulas sejam da mesma marca e modelo eles possuem diferentes resistecircncias internas Existe alguma forma de estimar a resistecircncia interna de um desses amperiacutemetros escolhido aleatoriamente Calcular a meacutedia das resistecircncias eacute suficiente para realizar essa estimativa
Variabilidade das medidas o desvio padratildeo amostral e da meacutedia
Apesar de as resistecircncias dos amperiacutemetros natildeo serem exatamente as mesmas elas possuem valores que se distribuem em torno de um valor meacutedio que eacute igual agrave meacutedia dessas resistecircncias Desse modo se tomarmos um dos amperiacutemetros aleatoriamente o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute igual agrave meacutedia das resistecircncias internas de todos os amperiacutemetros Mas quanto podemos confiar nessa estimativa Para respondermos tal pergunta eacute importante quantificarmos a variabilidade das resistecircncias r que medimos Quanto menor for essa variabilidade maior seraacute a nossa confianccedila para assumir que a resistecircncia interna de um amperiacutemetro particular eacute igual agrave meacutedia Intuitivamente podemos conjecturar que tal variabilidade pode ser medida pelo somatoacuterio das diferenccedilas entre as resistecircncias
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
46
medidas z e a meacutedia dessas resistecircncias ou seja por (- minus ) + ($ minus ) + ⋯ + ( minus ) onde N eacute o nuacutemero de medidas realizadas No entanto temos aqui um inconveniente semelhante ao que tivemos quando analisaacutevamos ajustes de curvas se valores positivos e negativos se cancelarem esse somatoacuterio pode ser muito pequeno mesmo quando os dados apresentam grande variabilidade Podemos propor a mesma soluccedilatildeo adotada anteriormente vamos elevar os termos ao quadrado Temos entatildeo a variabilidade dos dados sendo mensurada por (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$
A impossibilidade de comparaccedilatildeo entre as variabilidades de diferentes conjuntos de dados eacute a limitaccedilatildeo desta proposta pois o resultado desse somatoacuterio eacute altamente dependente da quantidade de termos Desse modo eacute possiacutevel que esse somatoacuterio seja maior para grandes conjuntos com pouca variabilidade do que para pequenos grupos com grande variabilidade Para amenizar tal limitaccedilatildeo podemos entatildeo dividir o somatoacuterio por N ou seja calcular a variabilidade por(- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$ Hfrasl Ainda que esse somatoacuterio seja conceitualmente interessante natildeo eacute essa a medida de dispersatildeo de dados que costuma ser utilizada no meio cientiacutefico mas algo que guarda alguma semelhanccedila com ele o desvio padratildeo dos dados (P) Ele eacute calculado por
PL = (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$H minus 1
Mas por que utilizamos essa equaccedilatildeo A resposta estaacute em suas propriedades Quando construiacutemos um histograma (graacutefico de frequecircncias) de um conjunto de medidas por exemplo podemos em muitos casos assumir que a distribuiccedilatildeo desses dados eacute representada por uma distribuiccedilatildeo normal A equaccedilatildeo que define essa distribuiccedilatildeo assim como sua representaccedilatildeo graacutefica eacute ilustrada na Figura 3
Manual de Laboratoacuterio
47
Natildeo eacute nosso objetivo aqui discutir detalhes da distribuiccedilatildeo normal O que desejamos destacar eacute que quando supomos que a distribuiccedilatildeo de um conjunto de dados eacute normal o que eacute bastante razoaacutevel na maioria das vezes o desvio padratildeo σ quantifica como os dados estatildeo distribuiacutedos Para entendermos isso analisemos a Figura 4
O intervalo compreendido pela meacutedia das medidas mais ou menos um desvio padratildeo compreende 68 das medidas realizadas No caso que estamos exemplificando se tomarmos a meacutedia das resistecircncias internas r de todos os amperiacutemetros investigados e o desvio padratildeo PL desses dados 68 das medidas estaratildeo no intervalo entre ( minus PL) e ( + PL) 95 no intervalo ( 2PL) e 99 no intervalo ( 257PL)
Figura 2 - A distribuiccedilatildeo normal eacute usualmente utilizada para representar a distribuiccedilatildeo
de frequecircncias de um conjunto de dados (Lima Jr et al 2013 p 30)
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
48
Agora jaacute sabemos como quantificar a variabilidade de um conjunto de dados Podemos entatildeo calcular a meacutedia e o desvio padratildeo das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros Mas surge entatildeo uma questatildeo Se analisaacutessemos um novo conjunto de amperiacutemetros da mesma marca e modelo dos exemplificados aqui a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros seria a mesma Provavelmente natildeo Temos como estimar a partir do conjunto de medidas que realizamos a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros Temos Para responder a essa questatildeo temos que compreender um novo conceito o de desvio padratildeo da meacutedia (PL) Ele eacute calculado por
PL = PLradicH
Natildeo vamos entrar em detalhes aqui sobre a origem do conceito de desvio padratildeo da meacutedia1 vamos apenas explicar como essa grandeza nos permite estimar a incerteza na meacutedia de um conjunto de medidas Para isso vamos supor um novo conjunto de N novas
1 Se vocecirc eacute um aluno curioso pesquise sobre o Teorema Central do Limite para compreender com mais profundidade o conceito de desvio padratildeo da meacutedia
Figura 3 - A meacutedia e o desvio padratildeo demarcam a distribuiccedilatildeo dos dados em uma
distribuiccedilatildeo normal Na figura o eixo das abcissas expressa a distacircncia da meacutedia em
unidades de desvio padratildeo (Lima Jr et al 2013 p 30)
Manual de Laboratoacuterio
49
medidas da resistecircncia interna de amperiacutemetros como os investigados nesta aula Qual seria a meacutedia dessas medidas Assim como o desvio padratildeo dos dados quantifica a dispersatildeo dos dados em torno da meacutedia o desvio padratildeo da meacutedia quantifica a dispersatildeo das meacutedias de subconjuntos de dados em torno da meacutedia de todo o conjunto de dados Aplicando esse conceito ao nosso exemplo podemos interpretar os dois conjuntos de medidas de resistecircncias internas como subconjuntos de um grande conjunto contendo todas as medidas Desse modo podemos afirmar com 68 de confianccedila que a meacutedia das N novas medidas a serem realizadas estaraacute no intervalo compreendido por ( PL) com 95 de confianccedila no intervalo ( 2PL) e com 99 de confianccedila no intervalo ( 257PL) O desvio padratildeo da meacutedia pode ser compreendido assim como a incerteza da meacutedia de um conjunto de medidas ou seja ele nos fornece uma estimativa da confiabilidade de uma meacutedia Em suma se escolhermos um amperiacutemetro aleatoriamente podemos dizer que i) o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute a meacutedia das resistecircncias de todos os amperiacutemetros e ii) a incerteza que temos nesse valor eacute igual ao desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias dos amperiacutemetros
E se eu soacute tivesse condiccedilotildees de realizar uma uacutenica medida
Nem sempre podemos realizar diversas medidas de uma grandeza Em alguns casos nem mesmo faz sentido realizar diversas medidas No entanto eacute evidente que existe uma incerteza associada a uma uacutenica medida Natildeo existem instrumentos que sejam perfeitamente precisos Entatildeo como podemos estimar essa incerteza Usualmente os manuais dos instrumentos trazem informaccedilotildees sobre isso Desse modo as incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica realizadas com um voltiacutemetro e um amperiacutemetro podem ser consultadas no manual do multiacutemetro utilizado Mas como eacute calculada a incerteza da resistecircncia interna de um amperiacutemetro que foi calculada a partir de
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
50
apenas uma medida de tensatildeo e uma de corrente eleacutetrica Nesse caso precisamos calcular a incerteza propagada das incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica
Os meacutetodos de caacutelculo de incertezas propagadas podem ser bastante complicados Aqui trataremos de um meacutetodo bastante simples usualmente denominado de Meacutetodo dos Limites Vamos exemplificaacute-lo supondo que a incerteza da tensatildeo sobre as entradas do amperiacutemetro eacute P- e da corrente eleacutetrica que circula por ele eacute P$ Ou seja a tensatildeo medida estaacute no intervalo entre ∆S minus P- e ∆S + P- e a corrente eleacutetrica entre i minus P$ e i + P$ Qual eacute entatildeo a incerteza da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro investigado Para responder isso basta calcularmos os valores limites dessa grandeza O maacuteximo valor possiacutevel para a resistecircncia ocorreraacute se a tensatildeo for ∆S + P- e a corrente eleacutetrica for i minus P$ Nesse caso usando a Eq 1 temos
aacutee = ∆S + P-i minus P$
Usando o mesmo raciociacutenio o valor miacutenimo de r seraacute
z = ∆S minus P-i + P$
Desse modo podemos dizer que o valor da resistecircncia interna medida estaacute no intervalo entre rmaacutex e rmiacuten Em outras palavras o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro eacute
F = iexclz + aacutee2 z minus aacutee2 cent
Manual de Laboratoacuterio
51
Erro eacute a mesma coisa que incerteza
Apesar de serem frequentemente utilizados como sinocircnimos os manuais de metrologia atribuem significados distintos aos conceitos de ldquoerrordquo e ldquoincertezardquo O Guia para Expressatildeo da Incerteza da Mediccedilatildeo (Joint Commitee for Guide in Metrology 2008 apud Lima Jr et al 2013) usa o termo ldquoerrordquo para indicar a diferenccedila entre o valor verdadeiro e o resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo o conceito de erro tem uso restrito pois satildeo poucos os casos em que conhecemos o valor verdadeiro de uma grandeza Satildeo exemplos desses casos experimentos em que se deseja mensurar a velocidade da luz no vaacutecuo ou o valor de π que satildeo valores previamente conhecidos pelo experimentador O caacutelculo do erro soacute faz sentido para casos em que sabemos o valor verdadeiro da grandeza que se quer medir
A incerteza por outro lado eacute entendida como uma estimativa que quantifica a confiabilidade do resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo quando calculamos o desvio padratildeo da meacutedia de um conjunto de medidas estamos calculando a incerteza da meacutedia dessas medidas ou seja estamos avaliando a confianccedila que podemos ter em adotar a meacutedia dessas medidas como o valor da grandeza mensurada O conceito de incerteza portanto tem maior aplicabilidade do que o conceito de erro
Algarismos significativos e incerteza
Uma questatildeo frequente nas aulas de laboratoacuterio eacute Com quantos algarismos uma grandeza deve ser apresentada No laboratoacuterio a resposta dessa questatildeo eacute uma funccedilatildeo da incerteza da grandeza Devemos apresentar os dados ateacute o seu primeiro algarismo duvidoso Voltemos ao exemplo da resistecircncia interna dos amperiacutemetros Suponhamos que a meacutedia das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros eacute 21546 Ω e o desvio padratildeo dessa meacutedia que eacute
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
52
entendido aqui como a incerteza da resistecircncia interna dos amperiacutemetros eacute 003 Ω Interpretando tais dados assumimos com 68 de certeza que a resistecircncia interna dos amperiacutemetros estaacute no intervalo entre 21246 e 21846 Ω Desse modo a segunda casa decimal da grandeza medida eacute duvidosa Por isso os algarismos subsequentes satildeo omitidos quando expressamos essa medida e a medida da resistecircncia interna dos amperiacutemetros exemplificados eacute exposta por (215 plusmn 003) Ω Em suma o resultado de uma mediccedilatildeo deve ser sempre expresso com a mesma quantidade de casas decimais que sua incerteza Os algarismos apresentados satildeo entatildeo chamados de algarismos significativos
Referecircncia
Lima Jr P Silva M T X Silveira F L Veit E A (2013) Laboratoacuterio de mecacircnica subsiacutedios para o ensino de Fiacutesica experimental Porto Alegre UFRGS Instituto de Fiacutesica Disponiacutevel em httphdlhandlenet1018390438
Manual de Laboratoacuterio
53
Atividade de Laboratoacuterio I Instrumentos de medida e incertezas
Este material foi cuidadosamente preparado para auxiliar no andamento das atividades no laboratoacuterio de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo Eacute importante responder TODAS as perguntas
(indicadas pelo siacutembolo ) feitas ao longo do texto discutindo com seu grupo possiacuteveis respostas e justificando-as Sempre que possiacutevel faccedila isso por escrito
TAREFA 1
Construa um circuito contendo um resistor de 1 kΩ em seacuterie com uma fonte de tensatildeo contiacutenua e um multiacutemetro Coloque o multiacutemetro na funccedilatildeo amperiacutemetro na escala de miliampere Usando outro multiacutemetro meccedila a tensatildeo no amperiacutemetro Realize medidas com diferentes correntes eleacutetricas variando a tensatildeo de saiacuteda da fonte
Como podemos tratar esses dados se nosso objetivo eacute medir a resistecircncia interna do amperiacutemetro
Qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
54
Para responder essas questotildees se dirija a um dos computadores da sala e use um aplicativo que possibilite a construccedilatildeo de graacuteficos SciDavis por exemplo Insira seus dados no aplicativo construa o graacutefico desejado e encontre a melhor reta que se ajusta aos dados
Qual foi a melhor reta ajustada Determine a equaccedilatildeo dessa reta ajustada
Qual eacute o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro que vocecirc investigou
TAREFA 2
Utilize as medidas de todos os grupos da turma e aplique os conhecimentos abordados na tarefa de leitura para responder as seguintes questotildees
Qual deve ser a resistecircncia interna de um amperiacutemetro escolhido aleatoriamente entre os utilizados nesta aula
Qual eacute a incerteza desse valor
TAREFA 3
Suponha que o manual do Minipa ET-2075B informe que as medidas de tensatildeo e corrente realizadas nas faixas de milivolt e miliampere tecircm incerteza de 3 Use esses dados para calcular a
Manual de Laboratoacuterio
55
incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1
Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma
Elas satildeo coerentes Por quecirc
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
56
CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO
Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por
equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC
Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras
O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se
Manual de Laboratoacuterio
57
extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo
No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador
Salvando vidas
ldquoafastem-se choquerdquo
Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de
sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos
O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo
Figura 4 - Desfibrilador
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
58
esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)
Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma
sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o
miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia
Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2
2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387
Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)
Manual de Laboratoacuterio
59
Circuito RC - seacuterie
Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C
Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que
∆S(c) + i(c)F = 0
Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo
i(c) = =C(c)=c
e a ddp no capacitor eacute dada por
∆S(c) = C(c)D
Dessa forma podemos dizer que
=C(c)=c = minus 1FD C(c)
Figura 6 - Circuito RC
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
60
Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa
funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja
derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever
C(c) = C7 ou
A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial
Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir
Capacitor Carregando Capacitor Descarregando
∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0
C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou
∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou
Manual de Laboratoacuterio
61
Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8
Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo
eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum
3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78
Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas
do capacitor durante o processo de
carga ou descarga
Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um
graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo
do tempo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
62
Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no
capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte
Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor
quando o mesmo estaacute sendo carregado
Manual de Laboratoacuterio
63
Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie
1 - Osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos
2 ndash Aparato Experimental
Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
64
conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto
Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)
Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio
Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees
Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala
Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)
Manual de Laboratoacuterio
65
TAREFA 1
Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees
Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico
Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito
Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito
Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos
Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio
TAREFA 2
Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie
Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
66
figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)
Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados
Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo
NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo
Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste
Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito
Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito
Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles
Manual de Laboratoacuterio
67
MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS
Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais
Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio
Para onde aponta a buacutessola
Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
68
polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc
E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial
tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos
que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a
soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio
4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja
httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4
Figura 10 - Buacutessola
Figura 11 - campo B resultante
Manual de Laboratoacuterio
69
Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por
umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O
Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde
Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde
Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma
iacuteatilde() = ∙
onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde
5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass
The Physics Teacher 49(1) 45-48
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
70
Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como
iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2
Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos
gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)
Logo
gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2
Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo
iacuteatilde() = amp
Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse
tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira
na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart
Manual de Laboratoacuterio
71
pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do
que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute
yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp
onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico
da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos
yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp
Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
72
Atividade de Laboratoacuterio III Projeto
OBJETIVO
Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
73
SUGESTAtildeO 1
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO
Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas
Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece
Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha
Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo
por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o
eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
74
SUGESTAtildeO 2
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA
Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)
Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica
Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de
uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)
Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema
Manual de Laboratoacuterio
75
SUGESTAtildeO 3
BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO
Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola
Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)
Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina
O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
76
SUGESTAtildeO 4
CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO
O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer
Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
77
MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO
Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro
Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental
6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
78
110 V 127 V e 220 V O que eacute isso
As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V
Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas
A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
(c) = Jgt(c + acute)
onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por
∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)
Manual de Laboratoacuterio
79
onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1
Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho
Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores
Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
80
caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por
∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf
∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712
∆Suparamiddot = ∆S7radic2
Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a
tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s
A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente
alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$
Figura 13 - Funccedilotildees seno e
seno quadrado
Manual de Laboratoacuterio
81
COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA
Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz
Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O
Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
82
que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio
Natildeo queremos jogar energia fora
Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14
Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie
Manual de Laboratoacuterio
83
Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por
0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)
onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)
Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
ℇ(c) = ℇ7gt(c)
onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente
Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na
figura 16 para um caso em que VL gt VC
Figura 15 - Diagrama de fasores
de um circuito RLC seacuterie com
fonte de tensatildeo alternada
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
84
A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que
acute = c8 S minus SSu
Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado
por
i(c) = gt(c minus acute)
Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente
as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que
ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$
ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$
Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como
0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)
Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que
0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$
Figura 16 ndash Soma de fasores
Manual de Laboratoacuterio
85
0eacutey = F ∙ uparamiddot$
onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square
Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que
F = frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte
Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade
7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL
Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e
resistecircncia num diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
86
do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como
0 = AJradicAJ$ + AF$
O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP
DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11
Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia
Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por
acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita
Manual de Laboratoacuterio
87
2 = 1D
Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica
Figura 18 - diagramas de fasores representando
um circuito capacitivo e um circuito indutivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
88
Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie
O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio
TAREFA 1
Circuito Resistivo
Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR
Manual de Laboratoacuterio
89
Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)
O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador
Circuito Capacitivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
90
Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor
Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Manual de Laboratoacuterio
91
Circuito Indutivo
Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor
O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
92
Circuito RLC
Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise
Manual de Laboratoacuterio
93
O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador
Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio
O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior
Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor
Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou
A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
94
TAREFA 2
Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente
Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir
Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima
Qual o valor da corrente maacutexima no circuito
Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)
O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique
Manual de Laboratoacuterio
95
TAREFA 3
Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito
Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees
Como isso eacute possiacutevel Explique
Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff
Respostas
96
Respostas
A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32
A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH
A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH
B3 Ae = Af = AtildeAcircf
B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl
B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH
B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l
B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD
B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -
C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc
(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7
C2 O = ~13deg
C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)
Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-
vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr
Respostas
97
C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM
C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD
(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD
C6 A = Eacute$Acirc
C7 A = Atilde$AcircL
D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma
das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp
D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(
D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1
no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)
D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme
D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D
E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)
E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D
E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml
F1 544 times 10
F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S
F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM
u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM
u (e) 0 = ℇMu
F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω
Respostas
98
F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965
G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n
G5 i = Ograve$g = 245 J
G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y
G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez
G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H
G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)
G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)
G15 (a) zL$brvbarM (b)
z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero
G16 z$L + z$L = z$L - + 1
G17 (a) pLM
amp (b) pusup3
ampL
G18 zzMu
G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)
z
G20 zNu saindo da folha
G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)
UgraveLMamp
fora do fio (a) z$L (b)
UgravebrvbarM$L (c)
Ugravebrvbarsup3ampL
G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13
G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM
ampu
H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior
Respostas
99
H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a
H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J
I2 Φ = pound$ sup1amp
I4 C = AcircsM
I6 (a) zM
NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar
J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a
(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S
J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu
(c) = -radic
J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm
(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013
Respostas
100
Bibliografia
Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il
Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il
Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il
Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm
Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il
Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il
Problemas Selecionados
29
G13 ndash Encontre uma expressatildeo para determinar a magnitude do campo magneacutetico no ponto P da figura ao lado Dica considere a origem dos eixos cartesianos no ponto P
G14 ndash A figura ao lado mostra a seccedilatildeo transversal de um condutor oco de raio externo e interno por onde passa uma corrente uniforme i Demonstre que a magnitude do campo magneacutetico () para uma distacircncia lt lt eacute dada por
= 7i25($ minus $) $ minus $
G15 ndash A figura ao lado mostra um cabo coaxial de raios e Correntes opostas de igual magnitude estatildeo distribuiacutedas nos dois condutores Derive uma expressatildeo para calcular o campo magneacutetico () na regiatildeo (a) lt (b) lt lt (c) lt lt e (d) gt
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
30
G16 ndash Um fio condutor por onde passa uma corrente i foi torcido para formar um loop de raio R (no plano da paacutegina) como mostra a figura abaixo Qual a direccedilatildeo do campo magneacutetico no
centro do loop Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico no centro do loop
G17 ndash Uma corrente i passa por um fio condutor ciliacutendrico de raio R como mostra a figura ao lado A densidade de corrente l natildeo eacute uniforme atraveacutes da seccedilatildeo transversal do fio mas obedece agrave funccedilatildeo l = onde eacute uma constante Determine uma expressatildeo para calcular a magnitude do campo magneacutetico (a) a uma distacircncia - lt F e (b) a uma distacircncia $ gt F(em relaccedilatildeo ao centro do condutor)
G18 ndash Um fio condutor muito longo por onde passa uma corrente i- estaacute parcialmente envolto por um loop por onde passa uma corrente i$ (figura ao lado) O loop fio foi moldado num formato semiciliacutendrico de raio R e o comprimento L O fio condutor passa pelo eixo do loop Calcule a forccedila magneacutetica exercida sobre o loop
G19 ndash Considere um solenoide de comprimento 2 e raio F contendo H voltas de um fio por onde passa uma corrente i (a) Determine uma expressatildeo para
o campo magneacutetico num ponto ao longo do eixo do solenoide do lado de fora do solenoide como funccedilatildeo da distacircncia ateacute uma das pontas (considere = 0 no centro do solenoide e = a distacircncia do centro ateacute o ponto onde estaacute sendo calculado o campo ) (b) Mostre que para
Problemas Selecionados
31
valores muito grandes de 2 e = = 0 se aproxima de = 7i H 2frasl para posiccedilotildees ao longo do eixo no interior do solenoide distante das bordas
G20 ndash A figura ao lado mostra um fio moldado para formar duas seccedilotildees retas e um quarto de ciacuterculo por onde passa corrente i Determine o campo magneacutetico (vetor) no ponto P
G21 ndash Um fio ciliacutendrico espesso de raio eacute percorrido por uma corrente i Determine uma expressatildeo para o
campo magneacutetico dentro e fora do fio considerando que (a) a corrente estaacute distribuiacuteda uniformemente sobre a superfiacutecie externa do fio (b) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio com densidade de corrente l constante (c) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio de forma que a densidade de corrente l eacute proporcional agrave distacircncia ateacute o eixo do fio
G22 ndash Considere dois solenoides coaxiais cada um conduzindo uma corrente i em direccedilotildees opostas O solenoide interno de raio possui gt- voltas por unidade de comprimento o
solenoide externo possui raio e gt$ voltas por unidade de
comprimento Determine (a) no interior do conjunto (b) entre eles e (c) fora deles
G23 ndash Um fio condutor longo e reto de raio F conduz uma corrente natildeo uniforme cuja densidade de corrente eacute l = l7 Ffrasl onde l7 eacute uma constante A corrente total eacute i (a) Determine uma expressatildeo para i
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
32
em funccedilatildeo de l7 e F (b) Determine uma expressatildeo para o campo magneacutetico no interior do fio para uma distacircncia
G24 ndash A figura ao lado mostra um toroide que consiste num solenoide fechado em forma de anel (a) Considerando a simetria explique qual deve ser o formato do campo magneacutetico no interior desse toroide (b) Considere o toroide compacto (a separaccedilatildeo entre cada volta do fio eacute pequena) com N voltas conduzindo uma corrente i Usando a lei de Ampeacutere determine a magnitude do campo magneacutetico num ponto interno ao toroide a uma distacircncia do eixo principal (ver figura ao lado) (c) O campo magneacutetico no interior do toroide eacute um campo uniforme Explique
-------------------------------------------------------------------------------------------
(H) Lei de Faraday
H1 ndash A figura ao lado mostra dois aneis cujos eixos estatildeo alinhados separados por uma distacircncia x O anel maior tem raio F o anel menor tem raio Os aneis estatildeo separados por uma distacircncia ≫ F e por isso o campo magneacutetico devido agrave corrente no anel de raio F eacute praticamente uniforme no anel menor Considere que a distacircncia estaacute aumentando a uma taxa constante = =cfrasl = d (a) Determine uma expressatildeo para o fluxo de campo magneacutetico atraveacutes do anel menor como funccedilatildeo de Encontre uma expressatildeo para (b) a fem induzida e (c) a direccedilatildeo da corrente no anel menor
Problemas Selecionados
33
H2 ndash (a) Calcule o fluxo magneacutetico atraveacutes do retacircngulo mostrado na figura ao lado em funccedilatildeo de = i (b) Avalie o resultado encontrado para = 5 = 10 = = 2 e i = 20 J
H3 ndash Uma espira plana e circular de raio =75 estaacute em repouso numa regiatildeo de campo magneacutetico uniforme A espira estaacute orientada de tal forma que o campo magneacutetico aponta para cima
e faz um acircngulo de 30deg com a normal da espira O campo varia com
o tempo de acordo com (c) = 14(77nho) 13 (a) Determine a fem induzida na espira em funccedilatildeo do tempo (b) Para que valor de c a fem induzida eacute igual a um deacutecimo do seu valor inicial Determine o sentido da corrente induzida na espira se observada por cima da espira
H4 ndash Um retacircngulo que mede 30 times 40 estaacute localizado no interior de um campo magneacutetico uniforme de 125 13 com o campo perpendicular ao plano da bobina A bobina se move perpendicular ao campo com velocidade constante d =2 inclusive atingindo a regiatildeo
onde o campo termina abruptamente como mostra a figura ao lado Determine a fem induzida nessa bobina quando ela estaacute (a) inteiramente no interior do campo (b) parcialmente no interior do campo e (c) inteiramente fora do campo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
34
H5 ndash O fio na figura ao lado conduz
uma corrente i(c) = i7po onde gt 0 Determine o sentido da corrente induzida na bobina (horaacuterio ou anti-horaacuterio) para c gt 0
H6 ndash A figura ao lado mostra uma espira circular de raio contendo uma resistecircncia e um capacitor ligados em seacuterie imerso numa regiatildeo onde um campo magneacutetico uniforme (no espaccedilo) entrando no plano na paacutegina decresce no tempo a uma taxa constante = =cfrasl = minus sendo uma constante positiva (a) Qual a carga no capacitor quando ele estaacute completamente carregado (b) Qual das placas do capacitor estaacute em potencial mais elevado (c) Qual a origem da forccedila que causa a separaccedilatildeo de cargas
-------------------------------------------------------------------------------------------
(I) Indutacircncia
I1 ndash No circuito ao lado ℰ = 100 SF- = 10 Ω F$ = 20 Ω Famp = 30 Ω e 2 = 2 H Ao fechar a chave S quais os valores de i- e i$ Considere positivo o sentido das correntes indicadas na figura Muito tempo
depois quais satildeo os valores de i- e i$ A chave eacute entatildeo aberta Nesse instante quais satildeo os valores de i- e i$ E muito tempo depois quais satildeo os valores de i- e i$
Problemas Selecionados
35
I2 ndash Num circuito LC em seacuterie a carga inicial do capacitor eacute C e ele estaacute sendo descarregado Quando a carga no capacitor eacute igual a C 2frasl qual eacute o fluxo magneacutetico que atravessa cada uma das N espiras do indutor (como funccedilatildeo de C H 2 e D)
I3 ndash Uma bobina possui N voltas e estaacute envolvendo um solenoide longo de raio r com n espiras por unidade de comprimento (figura ao lado) (a) Mostre que a indutacircncia muacutetua do sistema eacute dada por j = 75F$gtH (b) Explique por que M natildeo depende do formato tamanho ou possiacutevel falta de proximidade das espiras na bobina
I4 ndash A fem autoinduzida num solenoide de indutacircncia L varia no tempo conforme ℇ(c) = ℇ7so Levando em consideraccedilatildeo que a carga eacute finita (ou seja i = 0 quando c = infin) determine a carga total que passa pelo solenoide (que atravessa um determinado ponto no fio que compotildee o solenoide)
I5 ndash Um fio condutor foi enrolado num papelatildeo formando um toroide com N espiras (voltas) raio menor r e maior R A seccedilatildeo transversal do toroide eacute mostrada na figura ao lado Se F ≫ o campo magneacutetico no interior do toroide eacute essencialmente o mesmo que o campo no interior de um solenoide muito longo que tenha sido
moldado no formato de um ciacuterculo de raio R Modelando o campo como se fosse o campo uniforme de um solenoide longo mostre que a indutacircncia desse toroide eacute
aproximadamente 2 asymp -$ 7H$ LMu
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
36
I6 ndash Um indutor consiste em duas cascas ciliacutendricas concecircntricas como mostra a figura A casca interna tem raio e a externa tem raio ambas com comprimento ℎ A casca interna transporta uma corrente i para fora e a externa para dentro do plano da paacutegina com igual magnitude Calcule na regiatildeo lt lt (a) a densidade de energia magneacutetica (b) a indutacircncia
I7 ndash Mostre que i(c) = i7o wx eacute a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial iF + 2 yzyo = 0 onde i7 eacute a corrente em c = 0 e = 2 Ffrasl
I8 ndash Um fio condutor de raio R transporta uma corrente uniforme A corrente total no fio eacute i Mostre que a energia magneacutetica por unidade de comprimento dentro do fio eacute dada por 7i$ 165frasl
I9 ndash Um cabo coaxial eacute formado por dois cilindros condutores de paredes finas com raios - e $ As correntes nos dois cilindros satildeo iguais em magnitude mas com sentidos opostos (a) Use a lei de Ampeacutere para determinar o campo magneacutetico como funccedilatildeo da distacircncia ao eixo do cabo nas regiotildees (0 lt lt -) ( - lt lt $ ) e ( gt $) (b) Mostre que a densidade de energia magneacutetica na regiatildeo entre os cilindros eacute dada por
| = 12 745 i$(5$)-
(c) Mostre que a energia magneacutetica total num volume de cabo com comprimento ~ eacute dada por
Problemas Selecionados
37
= i$~ ln LML
(d) Mostre que a autoindutacircncia por unidade de comprimento do cabo eacute dada por
2~ = 725 ln $-
-------------------------------------------------------------------------------------------
(J) Corrente Alternada
J1 ndash A tensatildeo de uma fonte de corrente alternada eacute dada por ∆d = 120gt(30 5c) onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A fonte eacute conectada a um indutor de 05 Determine (a) a frequecircncia da fonte (b) a voltagem rms no indutor (c) a reatacircncia indutiva do circuito (d) a corrente rms no indutor e (e) a corrente maacutexima no indutor
J2 ndash Uma fonte de tensatildeo alternada fornece uma tensatildeo ∆d = 98gt(80 5c) a um capacitor onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A corrente maacutexima no circuito eacute 05 J Determine (a) a tensatildeo rms da fonte (b) a frequecircncia da fonte e (c) o valor da capacitacircncia
J3 ndash Um circuito AC eacute composto por um resistor de 250 Ω um indutor de 15 um capacitor de 35 e uma fonte de tensatildeo alternada com amplitude de 45 S operando com frequecircncia angular = 360 = frasl (a) Qual eacute o fator de potecircncia do circuito (b) Determine a potecircncia meacutedia aparente (S) fornecida ao circuito (c) Qual eacute a potecircncia meacutedia ativa (P) dissipada no resistor Qual eacute a potecircncia meacutedia reativa (Q) que fica armazenada no circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
38
J4 ndash Cinco voltiacutemetros com impedacircncia muito grande ajustados para ler valores rms estatildeo conectados conforme a figura ao lado Sendo F =200 Ω 2 = 04 H D = 6 e ∆S = 30 Vqual eacute a leitura da tensatildeo em cada voltiacutemetro se (a) = 200 = frasl e (b) =1000 = frasl
J5 ndash Num circuito RLC 2 = 028 e D = 4 A fonte fornece uma voltagem com amplitude de 120 S Qual eacute a frequecircncia angular de ressonacircncia do circuito (b) Quando a fonte opera na frequecircncia angular de ressonacircncia a amplitude da corrente no circuito eacute 17 J Qual a resistecircncia do resistor (c) Na frequecircncia angular de ressonacircncia quais satildeo as voltagens de pico no indutor capacitor e resistor
J6 ndash O circuito ao lado conteacutem uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal conforme ℇ = ℇgt(c) No estado de equiliacutebrio temos as correntes mostradas no circuito Sem recorrer a uma matemaacutetica complicada responda (a) Quais os valores de u e quando = 0 (frequecircncia zero significa que
a fonte foi substituida por uma bateria ideal) (b) Quais os valores de u e quando rarr infin (c) Qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia
Problemas Selecionados
39
J7 ndash Um indutor um capacitor e um resistor estatildeo conectados em seacuterie a uma fonte de tensatildeo alternada Se os valores da resistecircncia capacitacircncia e indutacircncia forem duplicados o que aconteceraacute com (a) a frequecircncia angular de ressonacircncia (b) a reatacircncia indutiva (c) a reatacircncia capacitiva e (d) a impedacircncia
J8 ndash O circuito abaixo eacute formado por uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal variando conforme ℇ = ℇgt(c) uma resistecircncia F = 6 Ω e uma parte desconhecida que pode conter um indutor um capacitor ou ambos A amplitude da fonte eacute ℇ = 6 S Quando a frequecircncia angular = 2 = a corrente estaacute em fase com a fonte enquanto que para = 1 = a corrente estaacute fora de fase em relaccedilatildeo agrave fonte por exatamente 5 4frasl (a) Quais componentes estatildeo presentes na parte desconhecida (um indutor um capacitor ou ambos) Explique (b) Determine os valores dos componentes desconhecidos
J9 ndash Um circuito em seacuterie possui impendecircncia de 60 Ω e fator de potecircncia igual a 072 em 50 A tensatildeo da fonte estaacute atrasada em relaccedilatildeo agrave corrente (a) Que elemento do circuito (um indutor ou um capacitor) deve ser ligado em seacuterie com o circuito para aumentar o fator de potecircncia (b) Qual deve ser o valor desse elemento para que o fator de potecircncia seja igual a 1 (c) Apresente diagramas de fasores esquemaacuteticos para o circuito antes e depois da ligaccedilatildeo do novo elemento
Manual de Laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
41
O PROCESSO DE MEDIDA NO LABORATOacuteRIO DE FIacuteSICA
Natildeo satildeo raros eventos em que nos valemos de medidas para tomarmos decisotildees Medimos nossa temperatura corporal para avaliarmos se necessitamos de tratamento Medimos a pressatildeo manomeacutetrica dos pneus para avaliarmos se precisamos injetar ou retirar ar neles Consultamos medidas da temperatura ambiente para escolhermos a roupa que vestiremos Consultamos o horaacuterio (medida de tempo) para natildeo chegarmos atrasados em encontros Medidas satildeo portanto fundamentais em nossas vidas No entanto usualmente natildeo nos preocupamos muito com a precisatildeo dessas medidas Em grande parte das vezes natildeo nos interessa saber se o horaacuterio informado no reloacutegio estaacute um pouco atrasado ou adiantado Natildeo nos preocupamos em saber o quanto podemos confiar nas temperaturas coletadas com um determinado termocircmetro Nossas medidas comumente satildeo realizadas de forma despretensiosa sem muito rigor
No laboratoacuterio de Fiacutesica isso ocorre de modo muito diferente Os processos de mediccedilatildeo satildeo mais minuciosos do que os que realizamos costumeiramente Desejamos obter a maior precisatildeo possiacutevel com os equipamentos de que dispomos Mas como fazer isso Como podemos melhorar a precisatildeo dos processos de mediccedilatildeo Intuitivamente podemos concluir que inferecircncias realizadas a partir de um conjunto de medidas satildeo mais precisas do que medidas isoladas Mas quando disponho de um conjunto de medidas como posso analisaacute-las Calcular a meacutedia delas eacute suficiente Responder a questotildees como essas eacute o objetivo desta atividade Para exemplificarmos todo esse processo realizaremos um debate sobre a mediccedilatildeo da resistecircncia interna de amperiacutemetros
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
42
O que satildeo amperiacutemetros
Um amperiacutemetro eacute um instrumento utilizado para a realizaccedilatildeo de medidas de correntes eleacutetricas Evidentemente natildeo queremos modificar os circuitos quando os exploramos com um instrumento Com amperiacutemetros natildeo eacute diferente Queremos medir correntes eleacutetricas sem alterar as caracteriacutesticas do circuito Mas como eacute possiacutevel fazer isso Natildeo discutiremos aqui os detalhes sobre o funcionamento interno de um amperiacutemetro No entanto vamos avaliaacute-los do ponto de vista de uma das suas caracteriacutesticas mais importantes a sua resistecircncia eleacutetrica
A resistecircncia eleacutetrica de um circuito influencia na intensidade da corrente eleacutetrica que circula nele A corrente eleacutetrica i que perpassa por uma resistecircncia eleacutetrica F submetida a uma tensatildeo ∆S por exemplo pode ser predita pela seguinte relaccedilatildeo
i = ∆u Eq 1
O amperiacutemetro precisa ser posicionado em seacuterie no circuito em que se deseja medir a corrente eleacutetrica como eacute exemplificado na figura
Figure 1- Medindo a resistecircncia interna de um multiacutemetro
Manual de Laboratoacuterio
43
1 Como a resistecircncia equivalente em circuitos em seacuteries eacute a soma da resistecircncia eleacutetrica de cada um dos seus componentes a resistecircncia interna dos amperiacutemetros se soma agrave resistecircncia equivalente do circuito investigado alterando a sua dinacircmica Por isso nosso desejo eacute que os amperiacutemetros tenham resistecircncia eleacutetrica nula No entanto a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro real por menor que seja nunca eacute nula Eles possuem um circuito interno com fios e diversos componentes eletrocircnicos que acabam provocando uma resistecircncia agrave circulaccedilatildeo de corrente eleacutetrica Ainda assim frequentemente desprezamos tal resistecircncia Seraacute que isso eacute razoaacutevel Quando podemos desprezar a resistecircncia interna dos amperiacutemetros e quando natildeo podemos Para respondermos tais perguntas precisamos conhecer o valor da resistecircncia interna tiacutepica de um amperiacutemetro
Medindo a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro
Nesta disciplina usaremos diversos amperiacutemetros de uma mesma marca e modelo em uma seacuterie de experimentos (Minipa ET-2075B) Por isso eacute interessante que conheccedilamos a resistecircncia eleacutetrica deles para podermos avaliar quando podemos desprezaacute-la e quando natildeo Mas como podemos obter essa informaccedilatildeo Podemos medi-la Um procedimento simples para isso eacute submeter o amperiacutemetro a uma diferenccedila de potencial ΔV conhecida e medir a corrente eleacutetrica i que passa por ele Desse modo podemos usar a Eq 1 para inferir a resistecircncia eleacutetrica do equipamento Mas podemos confiar em uma uacutenica medida Depende da precisatildeo de que necessitamos para essa medida Intuitivamente sabemos que se medirmos a resistecircncia interna a partir de um conjunto de dados poderemos ter uma maior confiabilidade nos dados No exemplo de que estamos tratando eacute possiacutevel se coletar dados da corrente no amperiacutemetro quando submetido a diferentes tensotildees Desse modo pode-se inferir a resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro pela declividade da reta constituiacuteda
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
44
pelos dados representados em um graacutefico da tensatildeo em funccedilatildeo da corrente eleacutetrica como pode ser constatado da Eq1 No entanto como temos incertezas associadas a cada dado experimental coletado esses dados natildeo seratildeo perfeitamente representados por uma reta Surge entatildeo uma nova questatildeo qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados
Ajuste de Curvas
Diversas retas podem ser ajustadas a um conjunto de dados experimental Qual delas utilizar Intuitivamente podemos conjecturar que a melhor reta a ser utilizada eacute aquela tal que a soma das diferenccedilas entre os valores de tensatildeo medidos e os preditos pela reta tenha o menor valor possiacutevel Em outras palavras queremos minimizar a soma
sum = = (∆Sz minus ∆S)z-
onde ∆Sz satildeo as tensotildees medidas e ∆S satildeo as tensotildees preditas pela reta ajustada
No entanto haacute um inconveniente importante no uso desse criteacuterio tal soma pode ser bem pequena para retas que natildeo apresentam bom ajuste aos dados se as diferenccedilas entre os valores medidos e os preditos se cancelarem sendo alguns positivos e outros negativos Nesses casos apesar de natildeo termos uma reta bem ajustada aos dados o criteacuterio utilizado
indicaria que sim Como resolver isso Elevando os valores de dn ao
Figura 1 - Diferenccedila de potencial em funccedilatildeo
da corrente
Manual de Laboratoacuterio
45
quadrado Ou seja podemos procurar a reta tal que a seguinte soma tenha o menor valor possiacutevel
sum =$ = (∆Sz minus ∆S)$z-
O meacutetodo que utiliza esse criteacuterio para a realizaccedilatildeo de ajustes de curvas que eacute amplamente utilizado no meio acadecircmico eacute denominado Meacutetodo dos Miacutenimos Quadrados Todos os softwares do tipo planilha eletrocircnica realizam esse caacutelculo automaticamente e nos valeremos disso quando necessaacuterio
Todos os amperiacutemetros da sala possuem a mesma resistecircncia interna
Ainda que todos os amperiacutemetros que utilizaremos nas nossas aulas sejam da mesma marca e modelo eles possuem diferentes resistecircncias internas Existe alguma forma de estimar a resistecircncia interna de um desses amperiacutemetros escolhido aleatoriamente Calcular a meacutedia das resistecircncias eacute suficiente para realizar essa estimativa
Variabilidade das medidas o desvio padratildeo amostral e da meacutedia
Apesar de as resistecircncias dos amperiacutemetros natildeo serem exatamente as mesmas elas possuem valores que se distribuem em torno de um valor meacutedio que eacute igual agrave meacutedia dessas resistecircncias Desse modo se tomarmos um dos amperiacutemetros aleatoriamente o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute igual agrave meacutedia das resistecircncias internas de todos os amperiacutemetros Mas quanto podemos confiar nessa estimativa Para respondermos tal pergunta eacute importante quantificarmos a variabilidade das resistecircncias r que medimos Quanto menor for essa variabilidade maior seraacute a nossa confianccedila para assumir que a resistecircncia interna de um amperiacutemetro particular eacute igual agrave meacutedia Intuitivamente podemos conjecturar que tal variabilidade pode ser medida pelo somatoacuterio das diferenccedilas entre as resistecircncias
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
46
medidas z e a meacutedia dessas resistecircncias ou seja por (- minus ) + ($ minus ) + ⋯ + ( minus ) onde N eacute o nuacutemero de medidas realizadas No entanto temos aqui um inconveniente semelhante ao que tivemos quando analisaacutevamos ajustes de curvas se valores positivos e negativos se cancelarem esse somatoacuterio pode ser muito pequeno mesmo quando os dados apresentam grande variabilidade Podemos propor a mesma soluccedilatildeo adotada anteriormente vamos elevar os termos ao quadrado Temos entatildeo a variabilidade dos dados sendo mensurada por (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$
A impossibilidade de comparaccedilatildeo entre as variabilidades de diferentes conjuntos de dados eacute a limitaccedilatildeo desta proposta pois o resultado desse somatoacuterio eacute altamente dependente da quantidade de termos Desse modo eacute possiacutevel que esse somatoacuterio seja maior para grandes conjuntos com pouca variabilidade do que para pequenos grupos com grande variabilidade Para amenizar tal limitaccedilatildeo podemos entatildeo dividir o somatoacuterio por N ou seja calcular a variabilidade por(- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$ Hfrasl Ainda que esse somatoacuterio seja conceitualmente interessante natildeo eacute essa a medida de dispersatildeo de dados que costuma ser utilizada no meio cientiacutefico mas algo que guarda alguma semelhanccedila com ele o desvio padratildeo dos dados (P) Ele eacute calculado por
PL = (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$H minus 1
Mas por que utilizamos essa equaccedilatildeo A resposta estaacute em suas propriedades Quando construiacutemos um histograma (graacutefico de frequecircncias) de um conjunto de medidas por exemplo podemos em muitos casos assumir que a distribuiccedilatildeo desses dados eacute representada por uma distribuiccedilatildeo normal A equaccedilatildeo que define essa distribuiccedilatildeo assim como sua representaccedilatildeo graacutefica eacute ilustrada na Figura 3
Manual de Laboratoacuterio
47
Natildeo eacute nosso objetivo aqui discutir detalhes da distribuiccedilatildeo normal O que desejamos destacar eacute que quando supomos que a distribuiccedilatildeo de um conjunto de dados eacute normal o que eacute bastante razoaacutevel na maioria das vezes o desvio padratildeo σ quantifica como os dados estatildeo distribuiacutedos Para entendermos isso analisemos a Figura 4
O intervalo compreendido pela meacutedia das medidas mais ou menos um desvio padratildeo compreende 68 das medidas realizadas No caso que estamos exemplificando se tomarmos a meacutedia das resistecircncias internas r de todos os amperiacutemetros investigados e o desvio padratildeo PL desses dados 68 das medidas estaratildeo no intervalo entre ( minus PL) e ( + PL) 95 no intervalo ( 2PL) e 99 no intervalo ( 257PL)
Figura 2 - A distribuiccedilatildeo normal eacute usualmente utilizada para representar a distribuiccedilatildeo
de frequecircncias de um conjunto de dados (Lima Jr et al 2013 p 30)
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
48
Agora jaacute sabemos como quantificar a variabilidade de um conjunto de dados Podemos entatildeo calcular a meacutedia e o desvio padratildeo das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros Mas surge entatildeo uma questatildeo Se analisaacutessemos um novo conjunto de amperiacutemetros da mesma marca e modelo dos exemplificados aqui a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros seria a mesma Provavelmente natildeo Temos como estimar a partir do conjunto de medidas que realizamos a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros Temos Para responder a essa questatildeo temos que compreender um novo conceito o de desvio padratildeo da meacutedia (PL) Ele eacute calculado por
PL = PLradicH
Natildeo vamos entrar em detalhes aqui sobre a origem do conceito de desvio padratildeo da meacutedia1 vamos apenas explicar como essa grandeza nos permite estimar a incerteza na meacutedia de um conjunto de medidas Para isso vamos supor um novo conjunto de N novas
1 Se vocecirc eacute um aluno curioso pesquise sobre o Teorema Central do Limite para compreender com mais profundidade o conceito de desvio padratildeo da meacutedia
Figura 3 - A meacutedia e o desvio padratildeo demarcam a distribuiccedilatildeo dos dados em uma
distribuiccedilatildeo normal Na figura o eixo das abcissas expressa a distacircncia da meacutedia em
unidades de desvio padratildeo (Lima Jr et al 2013 p 30)
Manual de Laboratoacuterio
49
medidas da resistecircncia interna de amperiacutemetros como os investigados nesta aula Qual seria a meacutedia dessas medidas Assim como o desvio padratildeo dos dados quantifica a dispersatildeo dos dados em torno da meacutedia o desvio padratildeo da meacutedia quantifica a dispersatildeo das meacutedias de subconjuntos de dados em torno da meacutedia de todo o conjunto de dados Aplicando esse conceito ao nosso exemplo podemos interpretar os dois conjuntos de medidas de resistecircncias internas como subconjuntos de um grande conjunto contendo todas as medidas Desse modo podemos afirmar com 68 de confianccedila que a meacutedia das N novas medidas a serem realizadas estaraacute no intervalo compreendido por ( PL) com 95 de confianccedila no intervalo ( 2PL) e com 99 de confianccedila no intervalo ( 257PL) O desvio padratildeo da meacutedia pode ser compreendido assim como a incerteza da meacutedia de um conjunto de medidas ou seja ele nos fornece uma estimativa da confiabilidade de uma meacutedia Em suma se escolhermos um amperiacutemetro aleatoriamente podemos dizer que i) o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute a meacutedia das resistecircncias de todos os amperiacutemetros e ii) a incerteza que temos nesse valor eacute igual ao desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias dos amperiacutemetros
E se eu soacute tivesse condiccedilotildees de realizar uma uacutenica medida
Nem sempre podemos realizar diversas medidas de uma grandeza Em alguns casos nem mesmo faz sentido realizar diversas medidas No entanto eacute evidente que existe uma incerteza associada a uma uacutenica medida Natildeo existem instrumentos que sejam perfeitamente precisos Entatildeo como podemos estimar essa incerteza Usualmente os manuais dos instrumentos trazem informaccedilotildees sobre isso Desse modo as incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica realizadas com um voltiacutemetro e um amperiacutemetro podem ser consultadas no manual do multiacutemetro utilizado Mas como eacute calculada a incerteza da resistecircncia interna de um amperiacutemetro que foi calculada a partir de
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
50
apenas uma medida de tensatildeo e uma de corrente eleacutetrica Nesse caso precisamos calcular a incerteza propagada das incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica
Os meacutetodos de caacutelculo de incertezas propagadas podem ser bastante complicados Aqui trataremos de um meacutetodo bastante simples usualmente denominado de Meacutetodo dos Limites Vamos exemplificaacute-lo supondo que a incerteza da tensatildeo sobre as entradas do amperiacutemetro eacute P- e da corrente eleacutetrica que circula por ele eacute P$ Ou seja a tensatildeo medida estaacute no intervalo entre ∆S minus P- e ∆S + P- e a corrente eleacutetrica entre i minus P$ e i + P$ Qual eacute entatildeo a incerteza da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro investigado Para responder isso basta calcularmos os valores limites dessa grandeza O maacuteximo valor possiacutevel para a resistecircncia ocorreraacute se a tensatildeo for ∆S + P- e a corrente eleacutetrica for i minus P$ Nesse caso usando a Eq 1 temos
aacutee = ∆S + P-i minus P$
Usando o mesmo raciociacutenio o valor miacutenimo de r seraacute
z = ∆S minus P-i + P$
Desse modo podemos dizer que o valor da resistecircncia interna medida estaacute no intervalo entre rmaacutex e rmiacuten Em outras palavras o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro eacute
F = iexclz + aacutee2 z minus aacutee2 cent
Manual de Laboratoacuterio
51
Erro eacute a mesma coisa que incerteza
Apesar de serem frequentemente utilizados como sinocircnimos os manuais de metrologia atribuem significados distintos aos conceitos de ldquoerrordquo e ldquoincertezardquo O Guia para Expressatildeo da Incerteza da Mediccedilatildeo (Joint Commitee for Guide in Metrology 2008 apud Lima Jr et al 2013) usa o termo ldquoerrordquo para indicar a diferenccedila entre o valor verdadeiro e o resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo o conceito de erro tem uso restrito pois satildeo poucos os casos em que conhecemos o valor verdadeiro de uma grandeza Satildeo exemplos desses casos experimentos em que se deseja mensurar a velocidade da luz no vaacutecuo ou o valor de π que satildeo valores previamente conhecidos pelo experimentador O caacutelculo do erro soacute faz sentido para casos em que sabemos o valor verdadeiro da grandeza que se quer medir
A incerteza por outro lado eacute entendida como uma estimativa que quantifica a confiabilidade do resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo quando calculamos o desvio padratildeo da meacutedia de um conjunto de medidas estamos calculando a incerteza da meacutedia dessas medidas ou seja estamos avaliando a confianccedila que podemos ter em adotar a meacutedia dessas medidas como o valor da grandeza mensurada O conceito de incerteza portanto tem maior aplicabilidade do que o conceito de erro
Algarismos significativos e incerteza
Uma questatildeo frequente nas aulas de laboratoacuterio eacute Com quantos algarismos uma grandeza deve ser apresentada No laboratoacuterio a resposta dessa questatildeo eacute uma funccedilatildeo da incerteza da grandeza Devemos apresentar os dados ateacute o seu primeiro algarismo duvidoso Voltemos ao exemplo da resistecircncia interna dos amperiacutemetros Suponhamos que a meacutedia das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros eacute 21546 Ω e o desvio padratildeo dessa meacutedia que eacute
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
52
entendido aqui como a incerteza da resistecircncia interna dos amperiacutemetros eacute 003 Ω Interpretando tais dados assumimos com 68 de certeza que a resistecircncia interna dos amperiacutemetros estaacute no intervalo entre 21246 e 21846 Ω Desse modo a segunda casa decimal da grandeza medida eacute duvidosa Por isso os algarismos subsequentes satildeo omitidos quando expressamos essa medida e a medida da resistecircncia interna dos amperiacutemetros exemplificados eacute exposta por (215 plusmn 003) Ω Em suma o resultado de uma mediccedilatildeo deve ser sempre expresso com a mesma quantidade de casas decimais que sua incerteza Os algarismos apresentados satildeo entatildeo chamados de algarismos significativos
Referecircncia
Lima Jr P Silva M T X Silveira F L Veit E A (2013) Laboratoacuterio de mecacircnica subsiacutedios para o ensino de Fiacutesica experimental Porto Alegre UFRGS Instituto de Fiacutesica Disponiacutevel em httphdlhandlenet1018390438
Manual de Laboratoacuterio
53
Atividade de Laboratoacuterio I Instrumentos de medida e incertezas
Este material foi cuidadosamente preparado para auxiliar no andamento das atividades no laboratoacuterio de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo Eacute importante responder TODAS as perguntas
(indicadas pelo siacutembolo ) feitas ao longo do texto discutindo com seu grupo possiacuteveis respostas e justificando-as Sempre que possiacutevel faccedila isso por escrito
TAREFA 1
Construa um circuito contendo um resistor de 1 kΩ em seacuterie com uma fonte de tensatildeo contiacutenua e um multiacutemetro Coloque o multiacutemetro na funccedilatildeo amperiacutemetro na escala de miliampere Usando outro multiacutemetro meccedila a tensatildeo no amperiacutemetro Realize medidas com diferentes correntes eleacutetricas variando a tensatildeo de saiacuteda da fonte
Como podemos tratar esses dados se nosso objetivo eacute medir a resistecircncia interna do amperiacutemetro
Qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
54
Para responder essas questotildees se dirija a um dos computadores da sala e use um aplicativo que possibilite a construccedilatildeo de graacuteficos SciDavis por exemplo Insira seus dados no aplicativo construa o graacutefico desejado e encontre a melhor reta que se ajusta aos dados
Qual foi a melhor reta ajustada Determine a equaccedilatildeo dessa reta ajustada
Qual eacute o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro que vocecirc investigou
TAREFA 2
Utilize as medidas de todos os grupos da turma e aplique os conhecimentos abordados na tarefa de leitura para responder as seguintes questotildees
Qual deve ser a resistecircncia interna de um amperiacutemetro escolhido aleatoriamente entre os utilizados nesta aula
Qual eacute a incerteza desse valor
TAREFA 3
Suponha que o manual do Minipa ET-2075B informe que as medidas de tensatildeo e corrente realizadas nas faixas de milivolt e miliampere tecircm incerteza de 3 Use esses dados para calcular a
Manual de Laboratoacuterio
55
incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1
Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma
Elas satildeo coerentes Por quecirc
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
56
CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO
Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por
equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC
Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras
O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se
Manual de Laboratoacuterio
57
extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo
No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador
Salvando vidas
ldquoafastem-se choquerdquo
Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de
sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos
O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo
Figura 4 - Desfibrilador
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
58
esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)
Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma
sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o
miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia
Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2
2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387
Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)
Manual de Laboratoacuterio
59
Circuito RC - seacuterie
Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C
Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que
∆S(c) + i(c)F = 0
Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo
i(c) = =C(c)=c
e a ddp no capacitor eacute dada por
∆S(c) = C(c)D
Dessa forma podemos dizer que
=C(c)=c = minus 1FD C(c)
Figura 6 - Circuito RC
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
60
Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa
funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja
derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever
C(c) = C7 ou
A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial
Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir
Capacitor Carregando Capacitor Descarregando
∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0
C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou
∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou
Manual de Laboratoacuterio
61
Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8
Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo
eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum
3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78
Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas
do capacitor durante o processo de
carga ou descarga
Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um
graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo
do tempo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
62
Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no
capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte
Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor
quando o mesmo estaacute sendo carregado
Manual de Laboratoacuterio
63
Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie
1 - Osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos
2 ndash Aparato Experimental
Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
64
conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto
Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)
Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio
Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees
Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala
Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)
Manual de Laboratoacuterio
65
TAREFA 1
Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees
Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico
Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito
Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito
Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos
Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio
TAREFA 2
Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie
Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
66
figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)
Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados
Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo
NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo
Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste
Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito
Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito
Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles
Manual de Laboratoacuterio
67
MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS
Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais
Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio
Para onde aponta a buacutessola
Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
68
polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc
E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial
tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos
que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a
soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio
4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja
httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4
Figura 10 - Buacutessola
Figura 11 - campo B resultante
Manual de Laboratoacuterio
69
Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por
umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O
Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde
Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde
Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma
iacuteatilde() = ∙
onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde
5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass
The Physics Teacher 49(1) 45-48
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
70
Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como
iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2
Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos
gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)
Logo
gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2
Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo
iacuteatilde() = amp
Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse
tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira
na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart
Manual de Laboratoacuterio
71
pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do
que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute
yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp
onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico
da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos
yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp
Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
72
Atividade de Laboratoacuterio III Projeto
OBJETIVO
Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
73
SUGESTAtildeO 1
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO
Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas
Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece
Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha
Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo
por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o
eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
74
SUGESTAtildeO 2
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA
Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)
Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica
Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de
uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)
Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema
Manual de Laboratoacuterio
75
SUGESTAtildeO 3
BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO
Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola
Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)
Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina
O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
76
SUGESTAtildeO 4
CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO
O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer
Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
77
MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO
Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro
Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental
6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
78
110 V 127 V e 220 V O que eacute isso
As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V
Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas
A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
(c) = Jgt(c + acute)
onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por
∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)
Manual de Laboratoacuterio
79
onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1
Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho
Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores
Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
80
caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por
∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf
∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712
∆Suparamiddot = ∆S7radic2
Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a
tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s
A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente
alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$
Figura 13 - Funccedilotildees seno e
seno quadrado
Manual de Laboratoacuterio
81
COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA
Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz
Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O
Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
82
que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio
Natildeo queremos jogar energia fora
Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14
Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie
Manual de Laboratoacuterio
83
Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por
0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)
onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)
Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
ℇ(c) = ℇ7gt(c)
onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente
Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na
figura 16 para um caso em que VL gt VC
Figura 15 - Diagrama de fasores
de um circuito RLC seacuterie com
fonte de tensatildeo alternada
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
84
A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que
acute = c8 S minus SSu
Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado
por
i(c) = gt(c minus acute)
Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente
as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que
ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$
ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$
Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como
0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)
Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que
0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$
Figura 16 ndash Soma de fasores
Manual de Laboratoacuterio
85
0eacutey = F ∙ uparamiddot$
onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square
Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que
F = frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte
Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade
7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL
Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e
resistecircncia num diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
86
do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como
0 = AJradicAJ$ + AF$
O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP
DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11
Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia
Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por
acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita
Manual de Laboratoacuterio
87
2 = 1D
Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica
Figura 18 - diagramas de fasores representando
um circuito capacitivo e um circuito indutivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
88
Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie
O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio
TAREFA 1
Circuito Resistivo
Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR
Manual de Laboratoacuterio
89
Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)
O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador
Circuito Capacitivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
90
Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor
Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Manual de Laboratoacuterio
91
Circuito Indutivo
Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor
O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
92
Circuito RLC
Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise
Manual de Laboratoacuterio
93
O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador
Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio
O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior
Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor
Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou
A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
94
TAREFA 2
Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente
Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir
Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima
Qual o valor da corrente maacutexima no circuito
Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)
O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique
Manual de Laboratoacuterio
95
TAREFA 3
Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito
Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees
Como isso eacute possiacutevel Explique
Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff
Respostas
96
Respostas
A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32
A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH
A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH
B3 Ae = Af = AtildeAcircf
B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl
B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH
B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l
B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD
B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -
C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc
(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7
C2 O = ~13deg
C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)
Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-
vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr
Respostas
97
C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM
C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD
(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD
C6 A = Eacute$Acirc
C7 A = Atilde$AcircL
D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma
das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp
D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(
D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1
no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)
D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme
D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D
E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)
E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D
E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml
F1 544 times 10
F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S
F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM
u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM
u (e) 0 = ℇMu
F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω
Respostas
98
F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965
G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n
G5 i = Ograve$g = 245 J
G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y
G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez
G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H
G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)
G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)
G15 (a) zL$brvbarM (b)
z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero
G16 z$L + z$L = z$L - + 1
G17 (a) pLM
amp (b) pusup3
ampL
G18 zzMu
G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)
z
G20 zNu saindo da folha
G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)
UgraveLMamp
fora do fio (a) z$L (b)
UgravebrvbarM$L (c)
Ugravebrvbarsup3ampL
G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13
G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM
ampu
H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior
Respostas
99
H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a
H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J
I2 Φ = pound$ sup1amp
I4 C = AcircsM
I6 (a) zM
NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar
J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a
(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S
J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu
(c) = -radic
J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm
(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013
Respostas
100
Bibliografia
Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il
Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il
Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il
Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm
Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il
Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il
Problemas Selecionados
31
valores muito grandes de 2 e = = 0 se aproxima de = 7i H 2frasl para posiccedilotildees ao longo do eixo no interior do solenoide distante das bordas
G20 ndash A figura ao lado mostra um fio moldado para formar duas seccedilotildees retas e um quarto de ciacuterculo por onde passa corrente i Determine o campo magneacutetico (vetor) no ponto P
G21 ndash Um fio ciliacutendrico espesso de raio eacute percorrido por uma corrente i Determine uma expressatildeo para o
campo magneacutetico dentro e fora do fio considerando que (a) a corrente estaacute distribuiacuteda uniformemente sobre a superfiacutecie externa do fio (b) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio com densidade de corrente l constante (c) a corrente estaacute distribuiacuteda por todo o volume do fio de forma que a densidade de corrente l eacute proporcional agrave distacircncia ateacute o eixo do fio
G22 ndash Considere dois solenoides coaxiais cada um conduzindo uma corrente i em direccedilotildees opostas O solenoide interno de raio possui gt- voltas por unidade de comprimento o
solenoide externo possui raio e gt$ voltas por unidade de
comprimento Determine (a) no interior do conjunto (b) entre eles e (c) fora deles
G23 ndash Um fio condutor longo e reto de raio F conduz uma corrente natildeo uniforme cuja densidade de corrente eacute l = l7 Ffrasl onde l7 eacute uma constante A corrente total eacute i (a) Determine uma expressatildeo para i
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
32
em funccedilatildeo de l7 e F (b) Determine uma expressatildeo para o campo magneacutetico no interior do fio para uma distacircncia
G24 ndash A figura ao lado mostra um toroide que consiste num solenoide fechado em forma de anel (a) Considerando a simetria explique qual deve ser o formato do campo magneacutetico no interior desse toroide (b) Considere o toroide compacto (a separaccedilatildeo entre cada volta do fio eacute pequena) com N voltas conduzindo uma corrente i Usando a lei de Ampeacutere determine a magnitude do campo magneacutetico num ponto interno ao toroide a uma distacircncia do eixo principal (ver figura ao lado) (c) O campo magneacutetico no interior do toroide eacute um campo uniforme Explique
-------------------------------------------------------------------------------------------
(H) Lei de Faraday
H1 ndash A figura ao lado mostra dois aneis cujos eixos estatildeo alinhados separados por uma distacircncia x O anel maior tem raio F o anel menor tem raio Os aneis estatildeo separados por uma distacircncia ≫ F e por isso o campo magneacutetico devido agrave corrente no anel de raio F eacute praticamente uniforme no anel menor Considere que a distacircncia estaacute aumentando a uma taxa constante = =cfrasl = d (a) Determine uma expressatildeo para o fluxo de campo magneacutetico atraveacutes do anel menor como funccedilatildeo de Encontre uma expressatildeo para (b) a fem induzida e (c) a direccedilatildeo da corrente no anel menor
Problemas Selecionados
33
H2 ndash (a) Calcule o fluxo magneacutetico atraveacutes do retacircngulo mostrado na figura ao lado em funccedilatildeo de = i (b) Avalie o resultado encontrado para = 5 = 10 = = 2 e i = 20 J
H3 ndash Uma espira plana e circular de raio =75 estaacute em repouso numa regiatildeo de campo magneacutetico uniforme A espira estaacute orientada de tal forma que o campo magneacutetico aponta para cima
e faz um acircngulo de 30deg com a normal da espira O campo varia com
o tempo de acordo com (c) = 14(77nho) 13 (a) Determine a fem induzida na espira em funccedilatildeo do tempo (b) Para que valor de c a fem induzida eacute igual a um deacutecimo do seu valor inicial Determine o sentido da corrente induzida na espira se observada por cima da espira
H4 ndash Um retacircngulo que mede 30 times 40 estaacute localizado no interior de um campo magneacutetico uniforme de 125 13 com o campo perpendicular ao plano da bobina A bobina se move perpendicular ao campo com velocidade constante d =2 inclusive atingindo a regiatildeo
onde o campo termina abruptamente como mostra a figura ao lado Determine a fem induzida nessa bobina quando ela estaacute (a) inteiramente no interior do campo (b) parcialmente no interior do campo e (c) inteiramente fora do campo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
34
H5 ndash O fio na figura ao lado conduz
uma corrente i(c) = i7po onde gt 0 Determine o sentido da corrente induzida na bobina (horaacuterio ou anti-horaacuterio) para c gt 0
H6 ndash A figura ao lado mostra uma espira circular de raio contendo uma resistecircncia e um capacitor ligados em seacuterie imerso numa regiatildeo onde um campo magneacutetico uniforme (no espaccedilo) entrando no plano na paacutegina decresce no tempo a uma taxa constante = =cfrasl = minus sendo uma constante positiva (a) Qual a carga no capacitor quando ele estaacute completamente carregado (b) Qual das placas do capacitor estaacute em potencial mais elevado (c) Qual a origem da forccedila que causa a separaccedilatildeo de cargas
-------------------------------------------------------------------------------------------
(I) Indutacircncia
I1 ndash No circuito ao lado ℰ = 100 SF- = 10 Ω F$ = 20 Ω Famp = 30 Ω e 2 = 2 H Ao fechar a chave S quais os valores de i- e i$ Considere positivo o sentido das correntes indicadas na figura Muito tempo
depois quais satildeo os valores de i- e i$ A chave eacute entatildeo aberta Nesse instante quais satildeo os valores de i- e i$ E muito tempo depois quais satildeo os valores de i- e i$
Problemas Selecionados
35
I2 ndash Num circuito LC em seacuterie a carga inicial do capacitor eacute C e ele estaacute sendo descarregado Quando a carga no capacitor eacute igual a C 2frasl qual eacute o fluxo magneacutetico que atravessa cada uma das N espiras do indutor (como funccedilatildeo de C H 2 e D)
I3 ndash Uma bobina possui N voltas e estaacute envolvendo um solenoide longo de raio r com n espiras por unidade de comprimento (figura ao lado) (a) Mostre que a indutacircncia muacutetua do sistema eacute dada por j = 75F$gtH (b) Explique por que M natildeo depende do formato tamanho ou possiacutevel falta de proximidade das espiras na bobina
I4 ndash A fem autoinduzida num solenoide de indutacircncia L varia no tempo conforme ℇ(c) = ℇ7so Levando em consideraccedilatildeo que a carga eacute finita (ou seja i = 0 quando c = infin) determine a carga total que passa pelo solenoide (que atravessa um determinado ponto no fio que compotildee o solenoide)
I5 ndash Um fio condutor foi enrolado num papelatildeo formando um toroide com N espiras (voltas) raio menor r e maior R A seccedilatildeo transversal do toroide eacute mostrada na figura ao lado Se F ≫ o campo magneacutetico no interior do toroide eacute essencialmente o mesmo que o campo no interior de um solenoide muito longo que tenha sido
moldado no formato de um ciacuterculo de raio R Modelando o campo como se fosse o campo uniforme de um solenoide longo mostre que a indutacircncia desse toroide eacute
aproximadamente 2 asymp -$ 7H$ LMu
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
36
I6 ndash Um indutor consiste em duas cascas ciliacutendricas concecircntricas como mostra a figura A casca interna tem raio e a externa tem raio ambas com comprimento ℎ A casca interna transporta uma corrente i para fora e a externa para dentro do plano da paacutegina com igual magnitude Calcule na regiatildeo lt lt (a) a densidade de energia magneacutetica (b) a indutacircncia
I7 ndash Mostre que i(c) = i7o wx eacute a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial iF + 2 yzyo = 0 onde i7 eacute a corrente em c = 0 e = 2 Ffrasl
I8 ndash Um fio condutor de raio R transporta uma corrente uniforme A corrente total no fio eacute i Mostre que a energia magneacutetica por unidade de comprimento dentro do fio eacute dada por 7i$ 165frasl
I9 ndash Um cabo coaxial eacute formado por dois cilindros condutores de paredes finas com raios - e $ As correntes nos dois cilindros satildeo iguais em magnitude mas com sentidos opostos (a) Use a lei de Ampeacutere para determinar o campo magneacutetico como funccedilatildeo da distacircncia ao eixo do cabo nas regiotildees (0 lt lt -) ( - lt lt $ ) e ( gt $) (b) Mostre que a densidade de energia magneacutetica na regiatildeo entre os cilindros eacute dada por
| = 12 745 i$(5$)-
(c) Mostre que a energia magneacutetica total num volume de cabo com comprimento ~ eacute dada por
Problemas Selecionados
37
= i$~ ln LML
(d) Mostre que a autoindutacircncia por unidade de comprimento do cabo eacute dada por
2~ = 725 ln $-
-------------------------------------------------------------------------------------------
(J) Corrente Alternada
J1 ndash A tensatildeo de uma fonte de corrente alternada eacute dada por ∆d = 120gt(30 5c) onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A fonte eacute conectada a um indutor de 05 Determine (a) a frequecircncia da fonte (b) a voltagem rms no indutor (c) a reatacircncia indutiva do circuito (d) a corrente rms no indutor e (e) a corrente maacutexima no indutor
J2 ndash Uma fonte de tensatildeo alternada fornece uma tensatildeo ∆d = 98gt(80 5c) a um capacitor onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A corrente maacutexima no circuito eacute 05 J Determine (a) a tensatildeo rms da fonte (b) a frequecircncia da fonte e (c) o valor da capacitacircncia
J3 ndash Um circuito AC eacute composto por um resistor de 250 Ω um indutor de 15 um capacitor de 35 e uma fonte de tensatildeo alternada com amplitude de 45 S operando com frequecircncia angular = 360 = frasl (a) Qual eacute o fator de potecircncia do circuito (b) Determine a potecircncia meacutedia aparente (S) fornecida ao circuito (c) Qual eacute a potecircncia meacutedia ativa (P) dissipada no resistor Qual eacute a potecircncia meacutedia reativa (Q) que fica armazenada no circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
38
J4 ndash Cinco voltiacutemetros com impedacircncia muito grande ajustados para ler valores rms estatildeo conectados conforme a figura ao lado Sendo F =200 Ω 2 = 04 H D = 6 e ∆S = 30 Vqual eacute a leitura da tensatildeo em cada voltiacutemetro se (a) = 200 = frasl e (b) =1000 = frasl
J5 ndash Num circuito RLC 2 = 028 e D = 4 A fonte fornece uma voltagem com amplitude de 120 S Qual eacute a frequecircncia angular de ressonacircncia do circuito (b) Quando a fonte opera na frequecircncia angular de ressonacircncia a amplitude da corrente no circuito eacute 17 J Qual a resistecircncia do resistor (c) Na frequecircncia angular de ressonacircncia quais satildeo as voltagens de pico no indutor capacitor e resistor
J6 ndash O circuito ao lado conteacutem uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal conforme ℇ = ℇgt(c) No estado de equiliacutebrio temos as correntes mostradas no circuito Sem recorrer a uma matemaacutetica complicada responda (a) Quais os valores de u e quando = 0 (frequecircncia zero significa que
a fonte foi substituida por uma bateria ideal) (b) Quais os valores de u e quando rarr infin (c) Qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia
Problemas Selecionados
39
J7 ndash Um indutor um capacitor e um resistor estatildeo conectados em seacuterie a uma fonte de tensatildeo alternada Se os valores da resistecircncia capacitacircncia e indutacircncia forem duplicados o que aconteceraacute com (a) a frequecircncia angular de ressonacircncia (b) a reatacircncia indutiva (c) a reatacircncia capacitiva e (d) a impedacircncia
J8 ndash O circuito abaixo eacute formado por uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal variando conforme ℇ = ℇgt(c) uma resistecircncia F = 6 Ω e uma parte desconhecida que pode conter um indutor um capacitor ou ambos A amplitude da fonte eacute ℇ = 6 S Quando a frequecircncia angular = 2 = a corrente estaacute em fase com a fonte enquanto que para = 1 = a corrente estaacute fora de fase em relaccedilatildeo agrave fonte por exatamente 5 4frasl (a) Quais componentes estatildeo presentes na parte desconhecida (um indutor um capacitor ou ambos) Explique (b) Determine os valores dos componentes desconhecidos
J9 ndash Um circuito em seacuterie possui impendecircncia de 60 Ω e fator de potecircncia igual a 072 em 50 A tensatildeo da fonte estaacute atrasada em relaccedilatildeo agrave corrente (a) Que elemento do circuito (um indutor ou um capacitor) deve ser ligado em seacuterie com o circuito para aumentar o fator de potecircncia (b) Qual deve ser o valor desse elemento para que o fator de potecircncia seja igual a 1 (c) Apresente diagramas de fasores esquemaacuteticos para o circuito antes e depois da ligaccedilatildeo do novo elemento
Manual de Laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
41
O PROCESSO DE MEDIDA NO LABORATOacuteRIO DE FIacuteSICA
Natildeo satildeo raros eventos em que nos valemos de medidas para tomarmos decisotildees Medimos nossa temperatura corporal para avaliarmos se necessitamos de tratamento Medimos a pressatildeo manomeacutetrica dos pneus para avaliarmos se precisamos injetar ou retirar ar neles Consultamos medidas da temperatura ambiente para escolhermos a roupa que vestiremos Consultamos o horaacuterio (medida de tempo) para natildeo chegarmos atrasados em encontros Medidas satildeo portanto fundamentais em nossas vidas No entanto usualmente natildeo nos preocupamos muito com a precisatildeo dessas medidas Em grande parte das vezes natildeo nos interessa saber se o horaacuterio informado no reloacutegio estaacute um pouco atrasado ou adiantado Natildeo nos preocupamos em saber o quanto podemos confiar nas temperaturas coletadas com um determinado termocircmetro Nossas medidas comumente satildeo realizadas de forma despretensiosa sem muito rigor
No laboratoacuterio de Fiacutesica isso ocorre de modo muito diferente Os processos de mediccedilatildeo satildeo mais minuciosos do que os que realizamos costumeiramente Desejamos obter a maior precisatildeo possiacutevel com os equipamentos de que dispomos Mas como fazer isso Como podemos melhorar a precisatildeo dos processos de mediccedilatildeo Intuitivamente podemos concluir que inferecircncias realizadas a partir de um conjunto de medidas satildeo mais precisas do que medidas isoladas Mas quando disponho de um conjunto de medidas como posso analisaacute-las Calcular a meacutedia delas eacute suficiente Responder a questotildees como essas eacute o objetivo desta atividade Para exemplificarmos todo esse processo realizaremos um debate sobre a mediccedilatildeo da resistecircncia interna de amperiacutemetros
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
42
O que satildeo amperiacutemetros
Um amperiacutemetro eacute um instrumento utilizado para a realizaccedilatildeo de medidas de correntes eleacutetricas Evidentemente natildeo queremos modificar os circuitos quando os exploramos com um instrumento Com amperiacutemetros natildeo eacute diferente Queremos medir correntes eleacutetricas sem alterar as caracteriacutesticas do circuito Mas como eacute possiacutevel fazer isso Natildeo discutiremos aqui os detalhes sobre o funcionamento interno de um amperiacutemetro No entanto vamos avaliaacute-los do ponto de vista de uma das suas caracteriacutesticas mais importantes a sua resistecircncia eleacutetrica
A resistecircncia eleacutetrica de um circuito influencia na intensidade da corrente eleacutetrica que circula nele A corrente eleacutetrica i que perpassa por uma resistecircncia eleacutetrica F submetida a uma tensatildeo ∆S por exemplo pode ser predita pela seguinte relaccedilatildeo
i = ∆u Eq 1
O amperiacutemetro precisa ser posicionado em seacuterie no circuito em que se deseja medir a corrente eleacutetrica como eacute exemplificado na figura
Figure 1- Medindo a resistecircncia interna de um multiacutemetro
Manual de Laboratoacuterio
43
1 Como a resistecircncia equivalente em circuitos em seacuteries eacute a soma da resistecircncia eleacutetrica de cada um dos seus componentes a resistecircncia interna dos amperiacutemetros se soma agrave resistecircncia equivalente do circuito investigado alterando a sua dinacircmica Por isso nosso desejo eacute que os amperiacutemetros tenham resistecircncia eleacutetrica nula No entanto a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro real por menor que seja nunca eacute nula Eles possuem um circuito interno com fios e diversos componentes eletrocircnicos que acabam provocando uma resistecircncia agrave circulaccedilatildeo de corrente eleacutetrica Ainda assim frequentemente desprezamos tal resistecircncia Seraacute que isso eacute razoaacutevel Quando podemos desprezar a resistecircncia interna dos amperiacutemetros e quando natildeo podemos Para respondermos tais perguntas precisamos conhecer o valor da resistecircncia interna tiacutepica de um amperiacutemetro
Medindo a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro
Nesta disciplina usaremos diversos amperiacutemetros de uma mesma marca e modelo em uma seacuterie de experimentos (Minipa ET-2075B) Por isso eacute interessante que conheccedilamos a resistecircncia eleacutetrica deles para podermos avaliar quando podemos desprezaacute-la e quando natildeo Mas como podemos obter essa informaccedilatildeo Podemos medi-la Um procedimento simples para isso eacute submeter o amperiacutemetro a uma diferenccedila de potencial ΔV conhecida e medir a corrente eleacutetrica i que passa por ele Desse modo podemos usar a Eq 1 para inferir a resistecircncia eleacutetrica do equipamento Mas podemos confiar em uma uacutenica medida Depende da precisatildeo de que necessitamos para essa medida Intuitivamente sabemos que se medirmos a resistecircncia interna a partir de um conjunto de dados poderemos ter uma maior confiabilidade nos dados No exemplo de que estamos tratando eacute possiacutevel se coletar dados da corrente no amperiacutemetro quando submetido a diferentes tensotildees Desse modo pode-se inferir a resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro pela declividade da reta constituiacuteda
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
44
pelos dados representados em um graacutefico da tensatildeo em funccedilatildeo da corrente eleacutetrica como pode ser constatado da Eq1 No entanto como temos incertezas associadas a cada dado experimental coletado esses dados natildeo seratildeo perfeitamente representados por uma reta Surge entatildeo uma nova questatildeo qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados
Ajuste de Curvas
Diversas retas podem ser ajustadas a um conjunto de dados experimental Qual delas utilizar Intuitivamente podemos conjecturar que a melhor reta a ser utilizada eacute aquela tal que a soma das diferenccedilas entre os valores de tensatildeo medidos e os preditos pela reta tenha o menor valor possiacutevel Em outras palavras queremos minimizar a soma
sum = = (∆Sz minus ∆S)z-
onde ∆Sz satildeo as tensotildees medidas e ∆S satildeo as tensotildees preditas pela reta ajustada
No entanto haacute um inconveniente importante no uso desse criteacuterio tal soma pode ser bem pequena para retas que natildeo apresentam bom ajuste aos dados se as diferenccedilas entre os valores medidos e os preditos se cancelarem sendo alguns positivos e outros negativos Nesses casos apesar de natildeo termos uma reta bem ajustada aos dados o criteacuterio utilizado
indicaria que sim Como resolver isso Elevando os valores de dn ao
Figura 1 - Diferenccedila de potencial em funccedilatildeo
da corrente
Manual de Laboratoacuterio
45
quadrado Ou seja podemos procurar a reta tal que a seguinte soma tenha o menor valor possiacutevel
sum =$ = (∆Sz minus ∆S)$z-
O meacutetodo que utiliza esse criteacuterio para a realizaccedilatildeo de ajustes de curvas que eacute amplamente utilizado no meio acadecircmico eacute denominado Meacutetodo dos Miacutenimos Quadrados Todos os softwares do tipo planilha eletrocircnica realizam esse caacutelculo automaticamente e nos valeremos disso quando necessaacuterio
Todos os amperiacutemetros da sala possuem a mesma resistecircncia interna
Ainda que todos os amperiacutemetros que utilizaremos nas nossas aulas sejam da mesma marca e modelo eles possuem diferentes resistecircncias internas Existe alguma forma de estimar a resistecircncia interna de um desses amperiacutemetros escolhido aleatoriamente Calcular a meacutedia das resistecircncias eacute suficiente para realizar essa estimativa
Variabilidade das medidas o desvio padratildeo amostral e da meacutedia
Apesar de as resistecircncias dos amperiacutemetros natildeo serem exatamente as mesmas elas possuem valores que se distribuem em torno de um valor meacutedio que eacute igual agrave meacutedia dessas resistecircncias Desse modo se tomarmos um dos amperiacutemetros aleatoriamente o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute igual agrave meacutedia das resistecircncias internas de todos os amperiacutemetros Mas quanto podemos confiar nessa estimativa Para respondermos tal pergunta eacute importante quantificarmos a variabilidade das resistecircncias r que medimos Quanto menor for essa variabilidade maior seraacute a nossa confianccedila para assumir que a resistecircncia interna de um amperiacutemetro particular eacute igual agrave meacutedia Intuitivamente podemos conjecturar que tal variabilidade pode ser medida pelo somatoacuterio das diferenccedilas entre as resistecircncias
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
46
medidas z e a meacutedia dessas resistecircncias ou seja por (- minus ) + ($ minus ) + ⋯ + ( minus ) onde N eacute o nuacutemero de medidas realizadas No entanto temos aqui um inconveniente semelhante ao que tivemos quando analisaacutevamos ajustes de curvas se valores positivos e negativos se cancelarem esse somatoacuterio pode ser muito pequeno mesmo quando os dados apresentam grande variabilidade Podemos propor a mesma soluccedilatildeo adotada anteriormente vamos elevar os termos ao quadrado Temos entatildeo a variabilidade dos dados sendo mensurada por (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$
A impossibilidade de comparaccedilatildeo entre as variabilidades de diferentes conjuntos de dados eacute a limitaccedilatildeo desta proposta pois o resultado desse somatoacuterio eacute altamente dependente da quantidade de termos Desse modo eacute possiacutevel que esse somatoacuterio seja maior para grandes conjuntos com pouca variabilidade do que para pequenos grupos com grande variabilidade Para amenizar tal limitaccedilatildeo podemos entatildeo dividir o somatoacuterio por N ou seja calcular a variabilidade por(- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$ Hfrasl Ainda que esse somatoacuterio seja conceitualmente interessante natildeo eacute essa a medida de dispersatildeo de dados que costuma ser utilizada no meio cientiacutefico mas algo que guarda alguma semelhanccedila com ele o desvio padratildeo dos dados (P) Ele eacute calculado por
PL = (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$H minus 1
Mas por que utilizamos essa equaccedilatildeo A resposta estaacute em suas propriedades Quando construiacutemos um histograma (graacutefico de frequecircncias) de um conjunto de medidas por exemplo podemos em muitos casos assumir que a distribuiccedilatildeo desses dados eacute representada por uma distribuiccedilatildeo normal A equaccedilatildeo que define essa distribuiccedilatildeo assim como sua representaccedilatildeo graacutefica eacute ilustrada na Figura 3
Manual de Laboratoacuterio
47
Natildeo eacute nosso objetivo aqui discutir detalhes da distribuiccedilatildeo normal O que desejamos destacar eacute que quando supomos que a distribuiccedilatildeo de um conjunto de dados eacute normal o que eacute bastante razoaacutevel na maioria das vezes o desvio padratildeo σ quantifica como os dados estatildeo distribuiacutedos Para entendermos isso analisemos a Figura 4
O intervalo compreendido pela meacutedia das medidas mais ou menos um desvio padratildeo compreende 68 das medidas realizadas No caso que estamos exemplificando se tomarmos a meacutedia das resistecircncias internas r de todos os amperiacutemetros investigados e o desvio padratildeo PL desses dados 68 das medidas estaratildeo no intervalo entre ( minus PL) e ( + PL) 95 no intervalo ( 2PL) e 99 no intervalo ( 257PL)
Figura 2 - A distribuiccedilatildeo normal eacute usualmente utilizada para representar a distribuiccedilatildeo
de frequecircncias de um conjunto de dados (Lima Jr et al 2013 p 30)
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
48
Agora jaacute sabemos como quantificar a variabilidade de um conjunto de dados Podemos entatildeo calcular a meacutedia e o desvio padratildeo das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros Mas surge entatildeo uma questatildeo Se analisaacutessemos um novo conjunto de amperiacutemetros da mesma marca e modelo dos exemplificados aqui a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros seria a mesma Provavelmente natildeo Temos como estimar a partir do conjunto de medidas que realizamos a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros Temos Para responder a essa questatildeo temos que compreender um novo conceito o de desvio padratildeo da meacutedia (PL) Ele eacute calculado por
PL = PLradicH
Natildeo vamos entrar em detalhes aqui sobre a origem do conceito de desvio padratildeo da meacutedia1 vamos apenas explicar como essa grandeza nos permite estimar a incerteza na meacutedia de um conjunto de medidas Para isso vamos supor um novo conjunto de N novas
1 Se vocecirc eacute um aluno curioso pesquise sobre o Teorema Central do Limite para compreender com mais profundidade o conceito de desvio padratildeo da meacutedia
Figura 3 - A meacutedia e o desvio padratildeo demarcam a distribuiccedilatildeo dos dados em uma
distribuiccedilatildeo normal Na figura o eixo das abcissas expressa a distacircncia da meacutedia em
unidades de desvio padratildeo (Lima Jr et al 2013 p 30)
Manual de Laboratoacuterio
49
medidas da resistecircncia interna de amperiacutemetros como os investigados nesta aula Qual seria a meacutedia dessas medidas Assim como o desvio padratildeo dos dados quantifica a dispersatildeo dos dados em torno da meacutedia o desvio padratildeo da meacutedia quantifica a dispersatildeo das meacutedias de subconjuntos de dados em torno da meacutedia de todo o conjunto de dados Aplicando esse conceito ao nosso exemplo podemos interpretar os dois conjuntos de medidas de resistecircncias internas como subconjuntos de um grande conjunto contendo todas as medidas Desse modo podemos afirmar com 68 de confianccedila que a meacutedia das N novas medidas a serem realizadas estaraacute no intervalo compreendido por ( PL) com 95 de confianccedila no intervalo ( 2PL) e com 99 de confianccedila no intervalo ( 257PL) O desvio padratildeo da meacutedia pode ser compreendido assim como a incerteza da meacutedia de um conjunto de medidas ou seja ele nos fornece uma estimativa da confiabilidade de uma meacutedia Em suma se escolhermos um amperiacutemetro aleatoriamente podemos dizer que i) o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute a meacutedia das resistecircncias de todos os amperiacutemetros e ii) a incerteza que temos nesse valor eacute igual ao desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias dos amperiacutemetros
E se eu soacute tivesse condiccedilotildees de realizar uma uacutenica medida
Nem sempre podemos realizar diversas medidas de uma grandeza Em alguns casos nem mesmo faz sentido realizar diversas medidas No entanto eacute evidente que existe uma incerteza associada a uma uacutenica medida Natildeo existem instrumentos que sejam perfeitamente precisos Entatildeo como podemos estimar essa incerteza Usualmente os manuais dos instrumentos trazem informaccedilotildees sobre isso Desse modo as incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica realizadas com um voltiacutemetro e um amperiacutemetro podem ser consultadas no manual do multiacutemetro utilizado Mas como eacute calculada a incerteza da resistecircncia interna de um amperiacutemetro que foi calculada a partir de
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
50
apenas uma medida de tensatildeo e uma de corrente eleacutetrica Nesse caso precisamos calcular a incerteza propagada das incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica
Os meacutetodos de caacutelculo de incertezas propagadas podem ser bastante complicados Aqui trataremos de um meacutetodo bastante simples usualmente denominado de Meacutetodo dos Limites Vamos exemplificaacute-lo supondo que a incerteza da tensatildeo sobre as entradas do amperiacutemetro eacute P- e da corrente eleacutetrica que circula por ele eacute P$ Ou seja a tensatildeo medida estaacute no intervalo entre ∆S minus P- e ∆S + P- e a corrente eleacutetrica entre i minus P$ e i + P$ Qual eacute entatildeo a incerteza da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro investigado Para responder isso basta calcularmos os valores limites dessa grandeza O maacuteximo valor possiacutevel para a resistecircncia ocorreraacute se a tensatildeo for ∆S + P- e a corrente eleacutetrica for i minus P$ Nesse caso usando a Eq 1 temos
aacutee = ∆S + P-i minus P$
Usando o mesmo raciociacutenio o valor miacutenimo de r seraacute
z = ∆S minus P-i + P$
Desse modo podemos dizer que o valor da resistecircncia interna medida estaacute no intervalo entre rmaacutex e rmiacuten Em outras palavras o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro eacute
F = iexclz + aacutee2 z minus aacutee2 cent
Manual de Laboratoacuterio
51
Erro eacute a mesma coisa que incerteza
Apesar de serem frequentemente utilizados como sinocircnimos os manuais de metrologia atribuem significados distintos aos conceitos de ldquoerrordquo e ldquoincertezardquo O Guia para Expressatildeo da Incerteza da Mediccedilatildeo (Joint Commitee for Guide in Metrology 2008 apud Lima Jr et al 2013) usa o termo ldquoerrordquo para indicar a diferenccedila entre o valor verdadeiro e o resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo o conceito de erro tem uso restrito pois satildeo poucos os casos em que conhecemos o valor verdadeiro de uma grandeza Satildeo exemplos desses casos experimentos em que se deseja mensurar a velocidade da luz no vaacutecuo ou o valor de π que satildeo valores previamente conhecidos pelo experimentador O caacutelculo do erro soacute faz sentido para casos em que sabemos o valor verdadeiro da grandeza que se quer medir
A incerteza por outro lado eacute entendida como uma estimativa que quantifica a confiabilidade do resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo quando calculamos o desvio padratildeo da meacutedia de um conjunto de medidas estamos calculando a incerteza da meacutedia dessas medidas ou seja estamos avaliando a confianccedila que podemos ter em adotar a meacutedia dessas medidas como o valor da grandeza mensurada O conceito de incerteza portanto tem maior aplicabilidade do que o conceito de erro
Algarismos significativos e incerteza
Uma questatildeo frequente nas aulas de laboratoacuterio eacute Com quantos algarismos uma grandeza deve ser apresentada No laboratoacuterio a resposta dessa questatildeo eacute uma funccedilatildeo da incerteza da grandeza Devemos apresentar os dados ateacute o seu primeiro algarismo duvidoso Voltemos ao exemplo da resistecircncia interna dos amperiacutemetros Suponhamos que a meacutedia das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros eacute 21546 Ω e o desvio padratildeo dessa meacutedia que eacute
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
52
entendido aqui como a incerteza da resistecircncia interna dos amperiacutemetros eacute 003 Ω Interpretando tais dados assumimos com 68 de certeza que a resistecircncia interna dos amperiacutemetros estaacute no intervalo entre 21246 e 21846 Ω Desse modo a segunda casa decimal da grandeza medida eacute duvidosa Por isso os algarismos subsequentes satildeo omitidos quando expressamos essa medida e a medida da resistecircncia interna dos amperiacutemetros exemplificados eacute exposta por (215 plusmn 003) Ω Em suma o resultado de uma mediccedilatildeo deve ser sempre expresso com a mesma quantidade de casas decimais que sua incerteza Os algarismos apresentados satildeo entatildeo chamados de algarismos significativos
Referecircncia
Lima Jr P Silva M T X Silveira F L Veit E A (2013) Laboratoacuterio de mecacircnica subsiacutedios para o ensino de Fiacutesica experimental Porto Alegre UFRGS Instituto de Fiacutesica Disponiacutevel em httphdlhandlenet1018390438
Manual de Laboratoacuterio
53
Atividade de Laboratoacuterio I Instrumentos de medida e incertezas
Este material foi cuidadosamente preparado para auxiliar no andamento das atividades no laboratoacuterio de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo Eacute importante responder TODAS as perguntas
(indicadas pelo siacutembolo ) feitas ao longo do texto discutindo com seu grupo possiacuteveis respostas e justificando-as Sempre que possiacutevel faccedila isso por escrito
TAREFA 1
Construa um circuito contendo um resistor de 1 kΩ em seacuterie com uma fonte de tensatildeo contiacutenua e um multiacutemetro Coloque o multiacutemetro na funccedilatildeo amperiacutemetro na escala de miliampere Usando outro multiacutemetro meccedila a tensatildeo no amperiacutemetro Realize medidas com diferentes correntes eleacutetricas variando a tensatildeo de saiacuteda da fonte
Como podemos tratar esses dados se nosso objetivo eacute medir a resistecircncia interna do amperiacutemetro
Qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
54
Para responder essas questotildees se dirija a um dos computadores da sala e use um aplicativo que possibilite a construccedilatildeo de graacuteficos SciDavis por exemplo Insira seus dados no aplicativo construa o graacutefico desejado e encontre a melhor reta que se ajusta aos dados
Qual foi a melhor reta ajustada Determine a equaccedilatildeo dessa reta ajustada
Qual eacute o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro que vocecirc investigou
TAREFA 2
Utilize as medidas de todos os grupos da turma e aplique os conhecimentos abordados na tarefa de leitura para responder as seguintes questotildees
Qual deve ser a resistecircncia interna de um amperiacutemetro escolhido aleatoriamente entre os utilizados nesta aula
Qual eacute a incerteza desse valor
TAREFA 3
Suponha que o manual do Minipa ET-2075B informe que as medidas de tensatildeo e corrente realizadas nas faixas de milivolt e miliampere tecircm incerteza de 3 Use esses dados para calcular a
Manual de Laboratoacuterio
55
incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1
Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma
Elas satildeo coerentes Por quecirc
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
56
CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO
Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por
equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC
Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras
O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se
Manual de Laboratoacuterio
57
extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo
No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador
Salvando vidas
ldquoafastem-se choquerdquo
Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de
sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos
O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo
Figura 4 - Desfibrilador
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
58
esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)
Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma
sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o
miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia
Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2
2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387
Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)
Manual de Laboratoacuterio
59
Circuito RC - seacuterie
Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C
Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que
∆S(c) + i(c)F = 0
Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo
i(c) = =C(c)=c
e a ddp no capacitor eacute dada por
∆S(c) = C(c)D
Dessa forma podemos dizer que
=C(c)=c = minus 1FD C(c)
Figura 6 - Circuito RC
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
60
Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa
funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja
derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever
C(c) = C7 ou
A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial
Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir
Capacitor Carregando Capacitor Descarregando
∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0
C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou
∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou
Manual de Laboratoacuterio
61
Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8
Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo
eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum
3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78
Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas
do capacitor durante o processo de
carga ou descarga
Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um
graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo
do tempo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
62
Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no
capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte
Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor
quando o mesmo estaacute sendo carregado
Manual de Laboratoacuterio
63
Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie
1 - Osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos
2 ndash Aparato Experimental
Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
64
conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto
Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)
Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio
Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees
Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala
Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)
Manual de Laboratoacuterio
65
TAREFA 1
Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees
Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico
Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito
Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito
Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos
Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio
TAREFA 2
Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie
Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
66
figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)
Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados
Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo
NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo
Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste
Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito
Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito
Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles
Manual de Laboratoacuterio
67
MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS
Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais
Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio
Para onde aponta a buacutessola
Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
68
polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc
E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial
tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos
que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a
soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio
4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja
httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4
Figura 10 - Buacutessola
Figura 11 - campo B resultante
Manual de Laboratoacuterio
69
Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por
umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O
Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde
Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde
Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma
iacuteatilde() = ∙
onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde
5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass
The Physics Teacher 49(1) 45-48
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
70
Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como
iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2
Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos
gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)
Logo
gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2
Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo
iacuteatilde() = amp
Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse
tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira
na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart
Manual de Laboratoacuterio
71
pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do
que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute
yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp
onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico
da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos
yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp
Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
72
Atividade de Laboratoacuterio III Projeto
OBJETIVO
Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
73
SUGESTAtildeO 1
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO
Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas
Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece
Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha
Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo
por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o
eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
74
SUGESTAtildeO 2
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA
Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)
Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica
Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de
uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)
Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema
Manual de Laboratoacuterio
75
SUGESTAtildeO 3
BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO
Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola
Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)
Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina
O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
76
SUGESTAtildeO 4
CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO
O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer
Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
77
MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO
Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro
Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental
6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
78
110 V 127 V e 220 V O que eacute isso
As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V
Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas
A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
(c) = Jgt(c + acute)
onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por
∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)
Manual de Laboratoacuterio
79
onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1
Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho
Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores
Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
80
caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por
∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf
∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712
∆Suparamiddot = ∆S7radic2
Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a
tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s
A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente
alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$
Figura 13 - Funccedilotildees seno e
seno quadrado
Manual de Laboratoacuterio
81
COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA
Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz
Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O
Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
82
que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio
Natildeo queremos jogar energia fora
Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14
Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie
Manual de Laboratoacuterio
83
Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por
0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)
onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)
Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
ℇ(c) = ℇ7gt(c)
onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente
Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na
figura 16 para um caso em que VL gt VC
Figura 15 - Diagrama de fasores
de um circuito RLC seacuterie com
fonte de tensatildeo alternada
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
84
A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que
acute = c8 S minus SSu
Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado
por
i(c) = gt(c minus acute)
Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente
as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que
ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$
ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$
Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como
0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)
Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que
0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$
Figura 16 ndash Soma de fasores
Manual de Laboratoacuterio
85
0eacutey = F ∙ uparamiddot$
onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square
Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que
F = frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte
Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade
7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL
Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e
resistecircncia num diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
86
do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como
0 = AJradicAJ$ + AF$
O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP
DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11
Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia
Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por
acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita
Manual de Laboratoacuterio
87
2 = 1D
Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica
Figura 18 - diagramas de fasores representando
um circuito capacitivo e um circuito indutivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
88
Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie
O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio
TAREFA 1
Circuito Resistivo
Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR
Manual de Laboratoacuterio
89
Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)
O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador
Circuito Capacitivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
90
Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor
Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Manual de Laboratoacuterio
91
Circuito Indutivo
Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor
O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
92
Circuito RLC
Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise
Manual de Laboratoacuterio
93
O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador
Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio
O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior
Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor
Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou
A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
94
TAREFA 2
Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente
Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir
Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima
Qual o valor da corrente maacutexima no circuito
Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)
O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique
Manual de Laboratoacuterio
95
TAREFA 3
Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito
Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees
Como isso eacute possiacutevel Explique
Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff
Respostas
96
Respostas
A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32
A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH
A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH
B3 Ae = Af = AtildeAcircf
B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl
B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH
B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l
B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD
B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -
C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc
(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7
C2 O = ~13deg
C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)
Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-
vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr
Respostas
97
C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM
C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD
(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD
C6 A = Eacute$Acirc
C7 A = Atilde$AcircL
D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma
das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp
D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(
D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1
no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)
D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme
D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D
E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)
E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D
E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml
F1 544 times 10
F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S
F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM
u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM
u (e) 0 = ℇMu
F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω
Respostas
98
F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965
G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n
G5 i = Ograve$g = 245 J
G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y
G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez
G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H
G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)
G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)
G15 (a) zL$brvbarM (b)
z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero
G16 z$L + z$L = z$L - + 1
G17 (a) pLM
amp (b) pusup3
ampL
G18 zzMu
G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)
z
G20 zNu saindo da folha
G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)
UgraveLMamp
fora do fio (a) z$L (b)
UgravebrvbarM$L (c)
Ugravebrvbarsup3ampL
G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13
G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM
ampu
H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior
Respostas
99
H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a
H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J
I2 Φ = pound$ sup1amp
I4 C = AcircsM
I6 (a) zM
NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar
J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a
(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S
J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu
(c) = -radic
J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm
(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013
Respostas
100
Bibliografia
Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il
Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il
Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il
Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm
Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il
Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il
Problemas Selecionados
33
H2 ndash (a) Calcule o fluxo magneacutetico atraveacutes do retacircngulo mostrado na figura ao lado em funccedilatildeo de = i (b) Avalie o resultado encontrado para = 5 = 10 = = 2 e i = 20 J
H3 ndash Uma espira plana e circular de raio =75 estaacute em repouso numa regiatildeo de campo magneacutetico uniforme A espira estaacute orientada de tal forma que o campo magneacutetico aponta para cima
e faz um acircngulo de 30deg com a normal da espira O campo varia com
o tempo de acordo com (c) = 14(77nho) 13 (a) Determine a fem induzida na espira em funccedilatildeo do tempo (b) Para que valor de c a fem induzida eacute igual a um deacutecimo do seu valor inicial Determine o sentido da corrente induzida na espira se observada por cima da espira
H4 ndash Um retacircngulo que mede 30 times 40 estaacute localizado no interior de um campo magneacutetico uniforme de 125 13 com o campo perpendicular ao plano da bobina A bobina se move perpendicular ao campo com velocidade constante d =2 inclusive atingindo a regiatildeo
onde o campo termina abruptamente como mostra a figura ao lado Determine a fem induzida nessa bobina quando ela estaacute (a) inteiramente no interior do campo (b) parcialmente no interior do campo e (c) inteiramente fora do campo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
34
H5 ndash O fio na figura ao lado conduz
uma corrente i(c) = i7po onde gt 0 Determine o sentido da corrente induzida na bobina (horaacuterio ou anti-horaacuterio) para c gt 0
H6 ndash A figura ao lado mostra uma espira circular de raio contendo uma resistecircncia e um capacitor ligados em seacuterie imerso numa regiatildeo onde um campo magneacutetico uniforme (no espaccedilo) entrando no plano na paacutegina decresce no tempo a uma taxa constante = =cfrasl = minus sendo uma constante positiva (a) Qual a carga no capacitor quando ele estaacute completamente carregado (b) Qual das placas do capacitor estaacute em potencial mais elevado (c) Qual a origem da forccedila que causa a separaccedilatildeo de cargas
-------------------------------------------------------------------------------------------
(I) Indutacircncia
I1 ndash No circuito ao lado ℰ = 100 SF- = 10 Ω F$ = 20 Ω Famp = 30 Ω e 2 = 2 H Ao fechar a chave S quais os valores de i- e i$ Considere positivo o sentido das correntes indicadas na figura Muito tempo
depois quais satildeo os valores de i- e i$ A chave eacute entatildeo aberta Nesse instante quais satildeo os valores de i- e i$ E muito tempo depois quais satildeo os valores de i- e i$
Problemas Selecionados
35
I2 ndash Num circuito LC em seacuterie a carga inicial do capacitor eacute C e ele estaacute sendo descarregado Quando a carga no capacitor eacute igual a C 2frasl qual eacute o fluxo magneacutetico que atravessa cada uma das N espiras do indutor (como funccedilatildeo de C H 2 e D)
I3 ndash Uma bobina possui N voltas e estaacute envolvendo um solenoide longo de raio r com n espiras por unidade de comprimento (figura ao lado) (a) Mostre que a indutacircncia muacutetua do sistema eacute dada por j = 75F$gtH (b) Explique por que M natildeo depende do formato tamanho ou possiacutevel falta de proximidade das espiras na bobina
I4 ndash A fem autoinduzida num solenoide de indutacircncia L varia no tempo conforme ℇ(c) = ℇ7so Levando em consideraccedilatildeo que a carga eacute finita (ou seja i = 0 quando c = infin) determine a carga total que passa pelo solenoide (que atravessa um determinado ponto no fio que compotildee o solenoide)
I5 ndash Um fio condutor foi enrolado num papelatildeo formando um toroide com N espiras (voltas) raio menor r e maior R A seccedilatildeo transversal do toroide eacute mostrada na figura ao lado Se F ≫ o campo magneacutetico no interior do toroide eacute essencialmente o mesmo que o campo no interior de um solenoide muito longo que tenha sido
moldado no formato de um ciacuterculo de raio R Modelando o campo como se fosse o campo uniforme de um solenoide longo mostre que a indutacircncia desse toroide eacute
aproximadamente 2 asymp -$ 7H$ LMu
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
36
I6 ndash Um indutor consiste em duas cascas ciliacutendricas concecircntricas como mostra a figura A casca interna tem raio e a externa tem raio ambas com comprimento ℎ A casca interna transporta uma corrente i para fora e a externa para dentro do plano da paacutegina com igual magnitude Calcule na regiatildeo lt lt (a) a densidade de energia magneacutetica (b) a indutacircncia
I7 ndash Mostre que i(c) = i7o wx eacute a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial iF + 2 yzyo = 0 onde i7 eacute a corrente em c = 0 e = 2 Ffrasl
I8 ndash Um fio condutor de raio R transporta uma corrente uniforme A corrente total no fio eacute i Mostre que a energia magneacutetica por unidade de comprimento dentro do fio eacute dada por 7i$ 165frasl
I9 ndash Um cabo coaxial eacute formado por dois cilindros condutores de paredes finas com raios - e $ As correntes nos dois cilindros satildeo iguais em magnitude mas com sentidos opostos (a) Use a lei de Ampeacutere para determinar o campo magneacutetico como funccedilatildeo da distacircncia ao eixo do cabo nas regiotildees (0 lt lt -) ( - lt lt $ ) e ( gt $) (b) Mostre que a densidade de energia magneacutetica na regiatildeo entre os cilindros eacute dada por
| = 12 745 i$(5$)-
(c) Mostre que a energia magneacutetica total num volume de cabo com comprimento ~ eacute dada por
Problemas Selecionados
37
= i$~ ln LML
(d) Mostre que a autoindutacircncia por unidade de comprimento do cabo eacute dada por
2~ = 725 ln $-
-------------------------------------------------------------------------------------------
(J) Corrente Alternada
J1 ndash A tensatildeo de uma fonte de corrente alternada eacute dada por ∆d = 120gt(30 5c) onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A fonte eacute conectada a um indutor de 05 Determine (a) a frequecircncia da fonte (b) a voltagem rms no indutor (c) a reatacircncia indutiva do circuito (d) a corrente rms no indutor e (e) a corrente maacutexima no indutor
J2 ndash Uma fonte de tensatildeo alternada fornece uma tensatildeo ∆d = 98gt(80 5c) a um capacitor onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A corrente maacutexima no circuito eacute 05 J Determine (a) a tensatildeo rms da fonte (b) a frequecircncia da fonte e (c) o valor da capacitacircncia
J3 ndash Um circuito AC eacute composto por um resistor de 250 Ω um indutor de 15 um capacitor de 35 e uma fonte de tensatildeo alternada com amplitude de 45 S operando com frequecircncia angular = 360 = frasl (a) Qual eacute o fator de potecircncia do circuito (b) Determine a potecircncia meacutedia aparente (S) fornecida ao circuito (c) Qual eacute a potecircncia meacutedia ativa (P) dissipada no resistor Qual eacute a potecircncia meacutedia reativa (Q) que fica armazenada no circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
38
J4 ndash Cinco voltiacutemetros com impedacircncia muito grande ajustados para ler valores rms estatildeo conectados conforme a figura ao lado Sendo F =200 Ω 2 = 04 H D = 6 e ∆S = 30 Vqual eacute a leitura da tensatildeo em cada voltiacutemetro se (a) = 200 = frasl e (b) =1000 = frasl
J5 ndash Num circuito RLC 2 = 028 e D = 4 A fonte fornece uma voltagem com amplitude de 120 S Qual eacute a frequecircncia angular de ressonacircncia do circuito (b) Quando a fonte opera na frequecircncia angular de ressonacircncia a amplitude da corrente no circuito eacute 17 J Qual a resistecircncia do resistor (c) Na frequecircncia angular de ressonacircncia quais satildeo as voltagens de pico no indutor capacitor e resistor
J6 ndash O circuito ao lado conteacutem uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal conforme ℇ = ℇgt(c) No estado de equiliacutebrio temos as correntes mostradas no circuito Sem recorrer a uma matemaacutetica complicada responda (a) Quais os valores de u e quando = 0 (frequecircncia zero significa que
a fonte foi substituida por uma bateria ideal) (b) Quais os valores de u e quando rarr infin (c) Qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia
Problemas Selecionados
39
J7 ndash Um indutor um capacitor e um resistor estatildeo conectados em seacuterie a uma fonte de tensatildeo alternada Se os valores da resistecircncia capacitacircncia e indutacircncia forem duplicados o que aconteceraacute com (a) a frequecircncia angular de ressonacircncia (b) a reatacircncia indutiva (c) a reatacircncia capacitiva e (d) a impedacircncia
J8 ndash O circuito abaixo eacute formado por uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal variando conforme ℇ = ℇgt(c) uma resistecircncia F = 6 Ω e uma parte desconhecida que pode conter um indutor um capacitor ou ambos A amplitude da fonte eacute ℇ = 6 S Quando a frequecircncia angular = 2 = a corrente estaacute em fase com a fonte enquanto que para = 1 = a corrente estaacute fora de fase em relaccedilatildeo agrave fonte por exatamente 5 4frasl (a) Quais componentes estatildeo presentes na parte desconhecida (um indutor um capacitor ou ambos) Explique (b) Determine os valores dos componentes desconhecidos
J9 ndash Um circuito em seacuterie possui impendecircncia de 60 Ω e fator de potecircncia igual a 072 em 50 A tensatildeo da fonte estaacute atrasada em relaccedilatildeo agrave corrente (a) Que elemento do circuito (um indutor ou um capacitor) deve ser ligado em seacuterie com o circuito para aumentar o fator de potecircncia (b) Qual deve ser o valor desse elemento para que o fator de potecircncia seja igual a 1 (c) Apresente diagramas de fasores esquemaacuteticos para o circuito antes e depois da ligaccedilatildeo do novo elemento
Manual de Laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
41
O PROCESSO DE MEDIDA NO LABORATOacuteRIO DE FIacuteSICA
Natildeo satildeo raros eventos em que nos valemos de medidas para tomarmos decisotildees Medimos nossa temperatura corporal para avaliarmos se necessitamos de tratamento Medimos a pressatildeo manomeacutetrica dos pneus para avaliarmos se precisamos injetar ou retirar ar neles Consultamos medidas da temperatura ambiente para escolhermos a roupa que vestiremos Consultamos o horaacuterio (medida de tempo) para natildeo chegarmos atrasados em encontros Medidas satildeo portanto fundamentais em nossas vidas No entanto usualmente natildeo nos preocupamos muito com a precisatildeo dessas medidas Em grande parte das vezes natildeo nos interessa saber se o horaacuterio informado no reloacutegio estaacute um pouco atrasado ou adiantado Natildeo nos preocupamos em saber o quanto podemos confiar nas temperaturas coletadas com um determinado termocircmetro Nossas medidas comumente satildeo realizadas de forma despretensiosa sem muito rigor
No laboratoacuterio de Fiacutesica isso ocorre de modo muito diferente Os processos de mediccedilatildeo satildeo mais minuciosos do que os que realizamos costumeiramente Desejamos obter a maior precisatildeo possiacutevel com os equipamentos de que dispomos Mas como fazer isso Como podemos melhorar a precisatildeo dos processos de mediccedilatildeo Intuitivamente podemos concluir que inferecircncias realizadas a partir de um conjunto de medidas satildeo mais precisas do que medidas isoladas Mas quando disponho de um conjunto de medidas como posso analisaacute-las Calcular a meacutedia delas eacute suficiente Responder a questotildees como essas eacute o objetivo desta atividade Para exemplificarmos todo esse processo realizaremos um debate sobre a mediccedilatildeo da resistecircncia interna de amperiacutemetros
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
42
O que satildeo amperiacutemetros
Um amperiacutemetro eacute um instrumento utilizado para a realizaccedilatildeo de medidas de correntes eleacutetricas Evidentemente natildeo queremos modificar os circuitos quando os exploramos com um instrumento Com amperiacutemetros natildeo eacute diferente Queremos medir correntes eleacutetricas sem alterar as caracteriacutesticas do circuito Mas como eacute possiacutevel fazer isso Natildeo discutiremos aqui os detalhes sobre o funcionamento interno de um amperiacutemetro No entanto vamos avaliaacute-los do ponto de vista de uma das suas caracteriacutesticas mais importantes a sua resistecircncia eleacutetrica
A resistecircncia eleacutetrica de um circuito influencia na intensidade da corrente eleacutetrica que circula nele A corrente eleacutetrica i que perpassa por uma resistecircncia eleacutetrica F submetida a uma tensatildeo ∆S por exemplo pode ser predita pela seguinte relaccedilatildeo
i = ∆u Eq 1
O amperiacutemetro precisa ser posicionado em seacuterie no circuito em que se deseja medir a corrente eleacutetrica como eacute exemplificado na figura
Figure 1- Medindo a resistecircncia interna de um multiacutemetro
Manual de Laboratoacuterio
43
1 Como a resistecircncia equivalente em circuitos em seacuteries eacute a soma da resistecircncia eleacutetrica de cada um dos seus componentes a resistecircncia interna dos amperiacutemetros se soma agrave resistecircncia equivalente do circuito investigado alterando a sua dinacircmica Por isso nosso desejo eacute que os amperiacutemetros tenham resistecircncia eleacutetrica nula No entanto a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro real por menor que seja nunca eacute nula Eles possuem um circuito interno com fios e diversos componentes eletrocircnicos que acabam provocando uma resistecircncia agrave circulaccedilatildeo de corrente eleacutetrica Ainda assim frequentemente desprezamos tal resistecircncia Seraacute que isso eacute razoaacutevel Quando podemos desprezar a resistecircncia interna dos amperiacutemetros e quando natildeo podemos Para respondermos tais perguntas precisamos conhecer o valor da resistecircncia interna tiacutepica de um amperiacutemetro
Medindo a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro
Nesta disciplina usaremos diversos amperiacutemetros de uma mesma marca e modelo em uma seacuterie de experimentos (Minipa ET-2075B) Por isso eacute interessante que conheccedilamos a resistecircncia eleacutetrica deles para podermos avaliar quando podemos desprezaacute-la e quando natildeo Mas como podemos obter essa informaccedilatildeo Podemos medi-la Um procedimento simples para isso eacute submeter o amperiacutemetro a uma diferenccedila de potencial ΔV conhecida e medir a corrente eleacutetrica i que passa por ele Desse modo podemos usar a Eq 1 para inferir a resistecircncia eleacutetrica do equipamento Mas podemos confiar em uma uacutenica medida Depende da precisatildeo de que necessitamos para essa medida Intuitivamente sabemos que se medirmos a resistecircncia interna a partir de um conjunto de dados poderemos ter uma maior confiabilidade nos dados No exemplo de que estamos tratando eacute possiacutevel se coletar dados da corrente no amperiacutemetro quando submetido a diferentes tensotildees Desse modo pode-se inferir a resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro pela declividade da reta constituiacuteda
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
44
pelos dados representados em um graacutefico da tensatildeo em funccedilatildeo da corrente eleacutetrica como pode ser constatado da Eq1 No entanto como temos incertezas associadas a cada dado experimental coletado esses dados natildeo seratildeo perfeitamente representados por uma reta Surge entatildeo uma nova questatildeo qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados
Ajuste de Curvas
Diversas retas podem ser ajustadas a um conjunto de dados experimental Qual delas utilizar Intuitivamente podemos conjecturar que a melhor reta a ser utilizada eacute aquela tal que a soma das diferenccedilas entre os valores de tensatildeo medidos e os preditos pela reta tenha o menor valor possiacutevel Em outras palavras queremos minimizar a soma
sum = = (∆Sz minus ∆S)z-
onde ∆Sz satildeo as tensotildees medidas e ∆S satildeo as tensotildees preditas pela reta ajustada
No entanto haacute um inconveniente importante no uso desse criteacuterio tal soma pode ser bem pequena para retas que natildeo apresentam bom ajuste aos dados se as diferenccedilas entre os valores medidos e os preditos se cancelarem sendo alguns positivos e outros negativos Nesses casos apesar de natildeo termos uma reta bem ajustada aos dados o criteacuterio utilizado
indicaria que sim Como resolver isso Elevando os valores de dn ao
Figura 1 - Diferenccedila de potencial em funccedilatildeo
da corrente
Manual de Laboratoacuterio
45
quadrado Ou seja podemos procurar a reta tal que a seguinte soma tenha o menor valor possiacutevel
sum =$ = (∆Sz minus ∆S)$z-
O meacutetodo que utiliza esse criteacuterio para a realizaccedilatildeo de ajustes de curvas que eacute amplamente utilizado no meio acadecircmico eacute denominado Meacutetodo dos Miacutenimos Quadrados Todos os softwares do tipo planilha eletrocircnica realizam esse caacutelculo automaticamente e nos valeremos disso quando necessaacuterio
Todos os amperiacutemetros da sala possuem a mesma resistecircncia interna
Ainda que todos os amperiacutemetros que utilizaremos nas nossas aulas sejam da mesma marca e modelo eles possuem diferentes resistecircncias internas Existe alguma forma de estimar a resistecircncia interna de um desses amperiacutemetros escolhido aleatoriamente Calcular a meacutedia das resistecircncias eacute suficiente para realizar essa estimativa
Variabilidade das medidas o desvio padratildeo amostral e da meacutedia
Apesar de as resistecircncias dos amperiacutemetros natildeo serem exatamente as mesmas elas possuem valores que se distribuem em torno de um valor meacutedio que eacute igual agrave meacutedia dessas resistecircncias Desse modo se tomarmos um dos amperiacutemetros aleatoriamente o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute igual agrave meacutedia das resistecircncias internas de todos os amperiacutemetros Mas quanto podemos confiar nessa estimativa Para respondermos tal pergunta eacute importante quantificarmos a variabilidade das resistecircncias r que medimos Quanto menor for essa variabilidade maior seraacute a nossa confianccedila para assumir que a resistecircncia interna de um amperiacutemetro particular eacute igual agrave meacutedia Intuitivamente podemos conjecturar que tal variabilidade pode ser medida pelo somatoacuterio das diferenccedilas entre as resistecircncias
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
46
medidas z e a meacutedia dessas resistecircncias ou seja por (- minus ) + ($ minus ) + ⋯ + ( minus ) onde N eacute o nuacutemero de medidas realizadas No entanto temos aqui um inconveniente semelhante ao que tivemos quando analisaacutevamos ajustes de curvas se valores positivos e negativos se cancelarem esse somatoacuterio pode ser muito pequeno mesmo quando os dados apresentam grande variabilidade Podemos propor a mesma soluccedilatildeo adotada anteriormente vamos elevar os termos ao quadrado Temos entatildeo a variabilidade dos dados sendo mensurada por (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$
A impossibilidade de comparaccedilatildeo entre as variabilidades de diferentes conjuntos de dados eacute a limitaccedilatildeo desta proposta pois o resultado desse somatoacuterio eacute altamente dependente da quantidade de termos Desse modo eacute possiacutevel que esse somatoacuterio seja maior para grandes conjuntos com pouca variabilidade do que para pequenos grupos com grande variabilidade Para amenizar tal limitaccedilatildeo podemos entatildeo dividir o somatoacuterio por N ou seja calcular a variabilidade por(- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$ Hfrasl Ainda que esse somatoacuterio seja conceitualmente interessante natildeo eacute essa a medida de dispersatildeo de dados que costuma ser utilizada no meio cientiacutefico mas algo que guarda alguma semelhanccedila com ele o desvio padratildeo dos dados (P) Ele eacute calculado por
PL = (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$H minus 1
Mas por que utilizamos essa equaccedilatildeo A resposta estaacute em suas propriedades Quando construiacutemos um histograma (graacutefico de frequecircncias) de um conjunto de medidas por exemplo podemos em muitos casos assumir que a distribuiccedilatildeo desses dados eacute representada por uma distribuiccedilatildeo normal A equaccedilatildeo que define essa distribuiccedilatildeo assim como sua representaccedilatildeo graacutefica eacute ilustrada na Figura 3
Manual de Laboratoacuterio
47
Natildeo eacute nosso objetivo aqui discutir detalhes da distribuiccedilatildeo normal O que desejamos destacar eacute que quando supomos que a distribuiccedilatildeo de um conjunto de dados eacute normal o que eacute bastante razoaacutevel na maioria das vezes o desvio padratildeo σ quantifica como os dados estatildeo distribuiacutedos Para entendermos isso analisemos a Figura 4
O intervalo compreendido pela meacutedia das medidas mais ou menos um desvio padratildeo compreende 68 das medidas realizadas No caso que estamos exemplificando se tomarmos a meacutedia das resistecircncias internas r de todos os amperiacutemetros investigados e o desvio padratildeo PL desses dados 68 das medidas estaratildeo no intervalo entre ( minus PL) e ( + PL) 95 no intervalo ( 2PL) e 99 no intervalo ( 257PL)
Figura 2 - A distribuiccedilatildeo normal eacute usualmente utilizada para representar a distribuiccedilatildeo
de frequecircncias de um conjunto de dados (Lima Jr et al 2013 p 30)
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
48
Agora jaacute sabemos como quantificar a variabilidade de um conjunto de dados Podemos entatildeo calcular a meacutedia e o desvio padratildeo das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros Mas surge entatildeo uma questatildeo Se analisaacutessemos um novo conjunto de amperiacutemetros da mesma marca e modelo dos exemplificados aqui a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros seria a mesma Provavelmente natildeo Temos como estimar a partir do conjunto de medidas que realizamos a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros Temos Para responder a essa questatildeo temos que compreender um novo conceito o de desvio padratildeo da meacutedia (PL) Ele eacute calculado por
PL = PLradicH
Natildeo vamos entrar em detalhes aqui sobre a origem do conceito de desvio padratildeo da meacutedia1 vamos apenas explicar como essa grandeza nos permite estimar a incerteza na meacutedia de um conjunto de medidas Para isso vamos supor um novo conjunto de N novas
1 Se vocecirc eacute um aluno curioso pesquise sobre o Teorema Central do Limite para compreender com mais profundidade o conceito de desvio padratildeo da meacutedia
Figura 3 - A meacutedia e o desvio padratildeo demarcam a distribuiccedilatildeo dos dados em uma
distribuiccedilatildeo normal Na figura o eixo das abcissas expressa a distacircncia da meacutedia em
unidades de desvio padratildeo (Lima Jr et al 2013 p 30)
Manual de Laboratoacuterio
49
medidas da resistecircncia interna de amperiacutemetros como os investigados nesta aula Qual seria a meacutedia dessas medidas Assim como o desvio padratildeo dos dados quantifica a dispersatildeo dos dados em torno da meacutedia o desvio padratildeo da meacutedia quantifica a dispersatildeo das meacutedias de subconjuntos de dados em torno da meacutedia de todo o conjunto de dados Aplicando esse conceito ao nosso exemplo podemos interpretar os dois conjuntos de medidas de resistecircncias internas como subconjuntos de um grande conjunto contendo todas as medidas Desse modo podemos afirmar com 68 de confianccedila que a meacutedia das N novas medidas a serem realizadas estaraacute no intervalo compreendido por ( PL) com 95 de confianccedila no intervalo ( 2PL) e com 99 de confianccedila no intervalo ( 257PL) O desvio padratildeo da meacutedia pode ser compreendido assim como a incerteza da meacutedia de um conjunto de medidas ou seja ele nos fornece uma estimativa da confiabilidade de uma meacutedia Em suma se escolhermos um amperiacutemetro aleatoriamente podemos dizer que i) o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute a meacutedia das resistecircncias de todos os amperiacutemetros e ii) a incerteza que temos nesse valor eacute igual ao desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias dos amperiacutemetros
E se eu soacute tivesse condiccedilotildees de realizar uma uacutenica medida
Nem sempre podemos realizar diversas medidas de uma grandeza Em alguns casos nem mesmo faz sentido realizar diversas medidas No entanto eacute evidente que existe uma incerteza associada a uma uacutenica medida Natildeo existem instrumentos que sejam perfeitamente precisos Entatildeo como podemos estimar essa incerteza Usualmente os manuais dos instrumentos trazem informaccedilotildees sobre isso Desse modo as incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica realizadas com um voltiacutemetro e um amperiacutemetro podem ser consultadas no manual do multiacutemetro utilizado Mas como eacute calculada a incerteza da resistecircncia interna de um amperiacutemetro que foi calculada a partir de
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
50
apenas uma medida de tensatildeo e uma de corrente eleacutetrica Nesse caso precisamos calcular a incerteza propagada das incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica
Os meacutetodos de caacutelculo de incertezas propagadas podem ser bastante complicados Aqui trataremos de um meacutetodo bastante simples usualmente denominado de Meacutetodo dos Limites Vamos exemplificaacute-lo supondo que a incerteza da tensatildeo sobre as entradas do amperiacutemetro eacute P- e da corrente eleacutetrica que circula por ele eacute P$ Ou seja a tensatildeo medida estaacute no intervalo entre ∆S minus P- e ∆S + P- e a corrente eleacutetrica entre i minus P$ e i + P$ Qual eacute entatildeo a incerteza da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro investigado Para responder isso basta calcularmos os valores limites dessa grandeza O maacuteximo valor possiacutevel para a resistecircncia ocorreraacute se a tensatildeo for ∆S + P- e a corrente eleacutetrica for i minus P$ Nesse caso usando a Eq 1 temos
aacutee = ∆S + P-i minus P$
Usando o mesmo raciociacutenio o valor miacutenimo de r seraacute
z = ∆S minus P-i + P$
Desse modo podemos dizer que o valor da resistecircncia interna medida estaacute no intervalo entre rmaacutex e rmiacuten Em outras palavras o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro eacute
F = iexclz + aacutee2 z minus aacutee2 cent
Manual de Laboratoacuterio
51
Erro eacute a mesma coisa que incerteza
Apesar de serem frequentemente utilizados como sinocircnimos os manuais de metrologia atribuem significados distintos aos conceitos de ldquoerrordquo e ldquoincertezardquo O Guia para Expressatildeo da Incerteza da Mediccedilatildeo (Joint Commitee for Guide in Metrology 2008 apud Lima Jr et al 2013) usa o termo ldquoerrordquo para indicar a diferenccedila entre o valor verdadeiro e o resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo o conceito de erro tem uso restrito pois satildeo poucos os casos em que conhecemos o valor verdadeiro de uma grandeza Satildeo exemplos desses casos experimentos em que se deseja mensurar a velocidade da luz no vaacutecuo ou o valor de π que satildeo valores previamente conhecidos pelo experimentador O caacutelculo do erro soacute faz sentido para casos em que sabemos o valor verdadeiro da grandeza que se quer medir
A incerteza por outro lado eacute entendida como uma estimativa que quantifica a confiabilidade do resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo quando calculamos o desvio padratildeo da meacutedia de um conjunto de medidas estamos calculando a incerteza da meacutedia dessas medidas ou seja estamos avaliando a confianccedila que podemos ter em adotar a meacutedia dessas medidas como o valor da grandeza mensurada O conceito de incerteza portanto tem maior aplicabilidade do que o conceito de erro
Algarismos significativos e incerteza
Uma questatildeo frequente nas aulas de laboratoacuterio eacute Com quantos algarismos uma grandeza deve ser apresentada No laboratoacuterio a resposta dessa questatildeo eacute uma funccedilatildeo da incerteza da grandeza Devemos apresentar os dados ateacute o seu primeiro algarismo duvidoso Voltemos ao exemplo da resistecircncia interna dos amperiacutemetros Suponhamos que a meacutedia das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros eacute 21546 Ω e o desvio padratildeo dessa meacutedia que eacute
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
52
entendido aqui como a incerteza da resistecircncia interna dos amperiacutemetros eacute 003 Ω Interpretando tais dados assumimos com 68 de certeza que a resistecircncia interna dos amperiacutemetros estaacute no intervalo entre 21246 e 21846 Ω Desse modo a segunda casa decimal da grandeza medida eacute duvidosa Por isso os algarismos subsequentes satildeo omitidos quando expressamos essa medida e a medida da resistecircncia interna dos amperiacutemetros exemplificados eacute exposta por (215 plusmn 003) Ω Em suma o resultado de uma mediccedilatildeo deve ser sempre expresso com a mesma quantidade de casas decimais que sua incerteza Os algarismos apresentados satildeo entatildeo chamados de algarismos significativos
Referecircncia
Lima Jr P Silva M T X Silveira F L Veit E A (2013) Laboratoacuterio de mecacircnica subsiacutedios para o ensino de Fiacutesica experimental Porto Alegre UFRGS Instituto de Fiacutesica Disponiacutevel em httphdlhandlenet1018390438
Manual de Laboratoacuterio
53
Atividade de Laboratoacuterio I Instrumentos de medida e incertezas
Este material foi cuidadosamente preparado para auxiliar no andamento das atividades no laboratoacuterio de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo Eacute importante responder TODAS as perguntas
(indicadas pelo siacutembolo ) feitas ao longo do texto discutindo com seu grupo possiacuteveis respostas e justificando-as Sempre que possiacutevel faccedila isso por escrito
TAREFA 1
Construa um circuito contendo um resistor de 1 kΩ em seacuterie com uma fonte de tensatildeo contiacutenua e um multiacutemetro Coloque o multiacutemetro na funccedilatildeo amperiacutemetro na escala de miliampere Usando outro multiacutemetro meccedila a tensatildeo no amperiacutemetro Realize medidas com diferentes correntes eleacutetricas variando a tensatildeo de saiacuteda da fonte
Como podemos tratar esses dados se nosso objetivo eacute medir a resistecircncia interna do amperiacutemetro
Qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
54
Para responder essas questotildees se dirija a um dos computadores da sala e use um aplicativo que possibilite a construccedilatildeo de graacuteficos SciDavis por exemplo Insira seus dados no aplicativo construa o graacutefico desejado e encontre a melhor reta que se ajusta aos dados
Qual foi a melhor reta ajustada Determine a equaccedilatildeo dessa reta ajustada
Qual eacute o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro que vocecirc investigou
TAREFA 2
Utilize as medidas de todos os grupos da turma e aplique os conhecimentos abordados na tarefa de leitura para responder as seguintes questotildees
Qual deve ser a resistecircncia interna de um amperiacutemetro escolhido aleatoriamente entre os utilizados nesta aula
Qual eacute a incerteza desse valor
TAREFA 3
Suponha que o manual do Minipa ET-2075B informe que as medidas de tensatildeo e corrente realizadas nas faixas de milivolt e miliampere tecircm incerteza de 3 Use esses dados para calcular a
Manual de Laboratoacuterio
55
incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1
Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma
Elas satildeo coerentes Por quecirc
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
56
CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO
Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por
equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC
Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras
O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se
Manual de Laboratoacuterio
57
extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo
No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador
Salvando vidas
ldquoafastem-se choquerdquo
Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de
sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos
O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo
Figura 4 - Desfibrilador
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
58
esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)
Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma
sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o
miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia
Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2
2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387
Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)
Manual de Laboratoacuterio
59
Circuito RC - seacuterie
Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C
Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que
∆S(c) + i(c)F = 0
Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo
i(c) = =C(c)=c
e a ddp no capacitor eacute dada por
∆S(c) = C(c)D
Dessa forma podemos dizer que
=C(c)=c = minus 1FD C(c)
Figura 6 - Circuito RC
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
60
Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa
funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja
derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever
C(c) = C7 ou
A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial
Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir
Capacitor Carregando Capacitor Descarregando
∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0
C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou
∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou
Manual de Laboratoacuterio
61
Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8
Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo
eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum
3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78
Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas
do capacitor durante o processo de
carga ou descarga
Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um
graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo
do tempo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
62
Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no
capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte
Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor
quando o mesmo estaacute sendo carregado
Manual de Laboratoacuterio
63
Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie
1 - Osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos
2 ndash Aparato Experimental
Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
64
conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto
Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)
Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio
Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees
Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala
Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)
Manual de Laboratoacuterio
65
TAREFA 1
Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees
Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico
Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito
Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito
Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos
Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio
TAREFA 2
Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie
Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
66
figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)
Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados
Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo
NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo
Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste
Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito
Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito
Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles
Manual de Laboratoacuterio
67
MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS
Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais
Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio
Para onde aponta a buacutessola
Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
68
polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc
E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial
tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos
que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a
soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio
4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja
httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4
Figura 10 - Buacutessola
Figura 11 - campo B resultante
Manual de Laboratoacuterio
69
Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por
umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O
Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde
Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde
Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma
iacuteatilde() = ∙
onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde
5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass
The Physics Teacher 49(1) 45-48
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
70
Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como
iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2
Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos
gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)
Logo
gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2
Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo
iacuteatilde() = amp
Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse
tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira
na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart
Manual de Laboratoacuterio
71
pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do
que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute
yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp
onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico
da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos
yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp
Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
72
Atividade de Laboratoacuterio III Projeto
OBJETIVO
Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
73
SUGESTAtildeO 1
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO
Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas
Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece
Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha
Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo
por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o
eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
74
SUGESTAtildeO 2
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA
Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)
Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica
Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de
uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)
Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema
Manual de Laboratoacuterio
75
SUGESTAtildeO 3
BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO
Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola
Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)
Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina
O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
76
SUGESTAtildeO 4
CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO
O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer
Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
77
MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO
Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro
Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental
6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
78
110 V 127 V e 220 V O que eacute isso
As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V
Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas
A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
(c) = Jgt(c + acute)
onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por
∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)
Manual de Laboratoacuterio
79
onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1
Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho
Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores
Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
80
caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por
∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf
∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712
∆Suparamiddot = ∆S7radic2
Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a
tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s
A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente
alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$
Figura 13 - Funccedilotildees seno e
seno quadrado
Manual de Laboratoacuterio
81
COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA
Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz
Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O
Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
82
que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio
Natildeo queremos jogar energia fora
Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14
Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie
Manual de Laboratoacuterio
83
Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por
0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)
onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)
Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
ℇ(c) = ℇ7gt(c)
onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente
Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na
figura 16 para um caso em que VL gt VC
Figura 15 - Diagrama de fasores
de um circuito RLC seacuterie com
fonte de tensatildeo alternada
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
84
A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que
acute = c8 S minus SSu
Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado
por
i(c) = gt(c minus acute)
Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente
as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que
ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$
ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$
Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como
0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)
Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que
0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$
Figura 16 ndash Soma de fasores
Manual de Laboratoacuterio
85
0eacutey = F ∙ uparamiddot$
onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square
Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que
F = frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte
Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade
7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL
Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e
resistecircncia num diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
86
do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como
0 = AJradicAJ$ + AF$
O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP
DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11
Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia
Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por
acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita
Manual de Laboratoacuterio
87
2 = 1D
Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica
Figura 18 - diagramas de fasores representando
um circuito capacitivo e um circuito indutivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
88
Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie
O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio
TAREFA 1
Circuito Resistivo
Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR
Manual de Laboratoacuterio
89
Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)
O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador
Circuito Capacitivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
90
Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor
Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Manual de Laboratoacuterio
91
Circuito Indutivo
Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor
O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
92
Circuito RLC
Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise
Manual de Laboratoacuterio
93
O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador
Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio
O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior
Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor
Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou
A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
94
TAREFA 2
Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente
Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir
Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima
Qual o valor da corrente maacutexima no circuito
Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)
O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique
Manual de Laboratoacuterio
95
TAREFA 3
Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito
Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees
Como isso eacute possiacutevel Explique
Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff
Respostas
96
Respostas
A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32
A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH
A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH
B3 Ae = Af = AtildeAcircf
B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl
B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH
B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l
B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD
B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -
C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc
(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7
C2 O = ~13deg
C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)
Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-
vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr
Respostas
97
C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM
C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD
(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD
C6 A = Eacute$Acirc
C7 A = Atilde$AcircL
D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma
das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp
D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(
D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1
no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)
D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme
D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D
E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)
E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D
E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml
F1 544 times 10
F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S
F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM
u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM
u (e) 0 = ℇMu
F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω
Respostas
98
F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965
G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n
G5 i = Ograve$g = 245 J
G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y
G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez
G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H
G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)
G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)
G15 (a) zL$brvbarM (b)
z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero
G16 z$L + z$L = z$L - + 1
G17 (a) pLM
amp (b) pusup3
ampL
G18 zzMu
G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)
z
G20 zNu saindo da folha
G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)
UgraveLMamp
fora do fio (a) z$L (b)
UgravebrvbarM$L (c)
Ugravebrvbarsup3ampL
G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13
G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM
ampu
H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior
Respostas
99
H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a
H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J
I2 Φ = pound$ sup1amp
I4 C = AcircsM
I6 (a) zM
NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar
J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a
(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S
J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu
(c) = -radic
J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm
(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013
Respostas
100
Bibliografia
Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il
Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il
Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il
Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm
Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il
Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il
Problemas Selecionados
35
I2 ndash Num circuito LC em seacuterie a carga inicial do capacitor eacute C e ele estaacute sendo descarregado Quando a carga no capacitor eacute igual a C 2frasl qual eacute o fluxo magneacutetico que atravessa cada uma das N espiras do indutor (como funccedilatildeo de C H 2 e D)
I3 ndash Uma bobina possui N voltas e estaacute envolvendo um solenoide longo de raio r com n espiras por unidade de comprimento (figura ao lado) (a) Mostre que a indutacircncia muacutetua do sistema eacute dada por j = 75F$gtH (b) Explique por que M natildeo depende do formato tamanho ou possiacutevel falta de proximidade das espiras na bobina
I4 ndash A fem autoinduzida num solenoide de indutacircncia L varia no tempo conforme ℇ(c) = ℇ7so Levando em consideraccedilatildeo que a carga eacute finita (ou seja i = 0 quando c = infin) determine a carga total que passa pelo solenoide (que atravessa um determinado ponto no fio que compotildee o solenoide)
I5 ndash Um fio condutor foi enrolado num papelatildeo formando um toroide com N espiras (voltas) raio menor r e maior R A seccedilatildeo transversal do toroide eacute mostrada na figura ao lado Se F ≫ o campo magneacutetico no interior do toroide eacute essencialmente o mesmo que o campo no interior de um solenoide muito longo que tenha sido
moldado no formato de um ciacuterculo de raio R Modelando o campo como se fosse o campo uniforme de um solenoide longo mostre que a indutacircncia desse toroide eacute
aproximadamente 2 asymp -$ 7H$ LMu
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
36
I6 ndash Um indutor consiste em duas cascas ciliacutendricas concecircntricas como mostra a figura A casca interna tem raio e a externa tem raio ambas com comprimento ℎ A casca interna transporta uma corrente i para fora e a externa para dentro do plano da paacutegina com igual magnitude Calcule na regiatildeo lt lt (a) a densidade de energia magneacutetica (b) a indutacircncia
I7 ndash Mostre que i(c) = i7o wx eacute a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial iF + 2 yzyo = 0 onde i7 eacute a corrente em c = 0 e = 2 Ffrasl
I8 ndash Um fio condutor de raio R transporta uma corrente uniforme A corrente total no fio eacute i Mostre que a energia magneacutetica por unidade de comprimento dentro do fio eacute dada por 7i$ 165frasl
I9 ndash Um cabo coaxial eacute formado por dois cilindros condutores de paredes finas com raios - e $ As correntes nos dois cilindros satildeo iguais em magnitude mas com sentidos opostos (a) Use a lei de Ampeacutere para determinar o campo magneacutetico como funccedilatildeo da distacircncia ao eixo do cabo nas regiotildees (0 lt lt -) ( - lt lt $ ) e ( gt $) (b) Mostre que a densidade de energia magneacutetica na regiatildeo entre os cilindros eacute dada por
| = 12 745 i$(5$)-
(c) Mostre que a energia magneacutetica total num volume de cabo com comprimento ~ eacute dada por
Problemas Selecionados
37
= i$~ ln LML
(d) Mostre que a autoindutacircncia por unidade de comprimento do cabo eacute dada por
2~ = 725 ln $-
-------------------------------------------------------------------------------------------
(J) Corrente Alternada
J1 ndash A tensatildeo de uma fonte de corrente alternada eacute dada por ∆d = 120gt(30 5c) onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A fonte eacute conectada a um indutor de 05 Determine (a) a frequecircncia da fonte (b) a voltagem rms no indutor (c) a reatacircncia indutiva do circuito (d) a corrente rms no indutor e (e) a corrente maacutexima no indutor
J2 ndash Uma fonte de tensatildeo alternada fornece uma tensatildeo ∆d = 98gt(80 5c) a um capacitor onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A corrente maacutexima no circuito eacute 05 J Determine (a) a tensatildeo rms da fonte (b) a frequecircncia da fonte e (c) o valor da capacitacircncia
J3 ndash Um circuito AC eacute composto por um resistor de 250 Ω um indutor de 15 um capacitor de 35 e uma fonte de tensatildeo alternada com amplitude de 45 S operando com frequecircncia angular = 360 = frasl (a) Qual eacute o fator de potecircncia do circuito (b) Determine a potecircncia meacutedia aparente (S) fornecida ao circuito (c) Qual eacute a potecircncia meacutedia ativa (P) dissipada no resistor Qual eacute a potecircncia meacutedia reativa (Q) que fica armazenada no circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
38
J4 ndash Cinco voltiacutemetros com impedacircncia muito grande ajustados para ler valores rms estatildeo conectados conforme a figura ao lado Sendo F =200 Ω 2 = 04 H D = 6 e ∆S = 30 Vqual eacute a leitura da tensatildeo em cada voltiacutemetro se (a) = 200 = frasl e (b) =1000 = frasl
J5 ndash Num circuito RLC 2 = 028 e D = 4 A fonte fornece uma voltagem com amplitude de 120 S Qual eacute a frequecircncia angular de ressonacircncia do circuito (b) Quando a fonte opera na frequecircncia angular de ressonacircncia a amplitude da corrente no circuito eacute 17 J Qual a resistecircncia do resistor (c) Na frequecircncia angular de ressonacircncia quais satildeo as voltagens de pico no indutor capacitor e resistor
J6 ndash O circuito ao lado conteacutem uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal conforme ℇ = ℇgt(c) No estado de equiliacutebrio temos as correntes mostradas no circuito Sem recorrer a uma matemaacutetica complicada responda (a) Quais os valores de u e quando = 0 (frequecircncia zero significa que
a fonte foi substituida por uma bateria ideal) (b) Quais os valores de u e quando rarr infin (c) Qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia
Problemas Selecionados
39
J7 ndash Um indutor um capacitor e um resistor estatildeo conectados em seacuterie a uma fonte de tensatildeo alternada Se os valores da resistecircncia capacitacircncia e indutacircncia forem duplicados o que aconteceraacute com (a) a frequecircncia angular de ressonacircncia (b) a reatacircncia indutiva (c) a reatacircncia capacitiva e (d) a impedacircncia
J8 ndash O circuito abaixo eacute formado por uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal variando conforme ℇ = ℇgt(c) uma resistecircncia F = 6 Ω e uma parte desconhecida que pode conter um indutor um capacitor ou ambos A amplitude da fonte eacute ℇ = 6 S Quando a frequecircncia angular = 2 = a corrente estaacute em fase com a fonte enquanto que para = 1 = a corrente estaacute fora de fase em relaccedilatildeo agrave fonte por exatamente 5 4frasl (a) Quais componentes estatildeo presentes na parte desconhecida (um indutor um capacitor ou ambos) Explique (b) Determine os valores dos componentes desconhecidos
J9 ndash Um circuito em seacuterie possui impendecircncia de 60 Ω e fator de potecircncia igual a 072 em 50 A tensatildeo da fonte estaacute atrasada em relaccedilatildeo agrave corrente (a) Que elemento do circuito (um indutor ou um capacitor) deve ser ligado em seacuterie com o circuito para aumentar o fator de potecircncia (b) Qual deve ser o valor desse elemento para que o fator de potecircncia seja igual a 1 (c) Apresente diagramas de fasores esquemaacuteticos para o circuito antes e depois da ligaccedilatildeo do novo elemento
Manual de Laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
41
O PROCESSO DE MEDIDA NO LABORATOacuteRIO DE FIacuteSICA
Natildeo satildeo raros eventos em que nos valemos de medidas para tomarmos decisotildees Medimos nossa temperatura corporal para avaliarmos se necessitamos de tratamento Medimos a pressatildeo manomeacutetrica dos pneus para avaliarmos se precisamos injetar ou retirar ar neles Consultamos medidas da temperatura ambiente para escolhermos a roupa que vestiremos Consultamos o horaacuterio (medida de tempo) para natildeo chegarmos atrasados em encontros Medidas satildeo portanto fundamentais em nossas vidas No entanto usualmente natildeo nos preocupamos muito com a precisatildeo dessas medidas Em grande parte das vezes natildeo nos interessa saber se o horaacuterio informado no reloacutegio estaacute um pouco atrasado ou adiantado Natildeo nos preocupamos em saber o quanto podemos confiar nas temperaturas coletadas com um determinado termocircmetro Nossas medidas comumente satildeo realizadas de forma despretensiosa sem muito rigor
No laboratoacuterio de Fiacutesica isso ocorre de modo muito diferente Os processos de mediccedilatildeo satildeo mais minuciosos do que os que realizamos costumeiramente Desejamos obter a maior precisatildeo possiacutevel com os equipamentos de que dispomos Mas como fazer isso Como podemos melhorar a precisatildeo dos processos de mediccedilatildeo Intuitivamente podemos concluir que inferecircncias realizadas a partir de um conjunto de medidas satildeo mais precisas do que medidas isoladas Mas quando disponho de um conjunto de medidas como posso analisaacute-las Calcular a meacutedia delas eacute suficiente Responder a questotildees como essas eacute o objetivo desta atividade Para exemplificarmos todo esse processo realizaremos um debate sobre a mediccedilatildeo da resistecircncia interna de amperiacutemetros
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
42
O que satildeo amperiacutemetros
Um amperiacutemetro eacute um instrumento utilizado para a realizaccedilatildeo de medidas de correntes eleacutetricas Evidentemente natildeo queremos modificar os circuitos quando os exploramos com um instrumento Com amperiacutemetros natildeo eacute diferente Queremos medir correntes eleacutetricas sem alterar as caracteriacutesticas do circuito Mas como eacute possiacutevel fazer isso Natildeo discutiremos aqui os detalhes sobre o funcionamento interno de um amperiacutemetro No entanto vamos avaliaacute-los do ponto de vista de uma das suas caracteriacutesticas mais importantes a sua resistecircncia eleacutetrica
A resistecircncia eleacutetrica de um circuito influencia na intensidade da corrente eleacutetrica que circula nele A corrente eleacutetrica i que perpassa por uma resistecircncia eleacutetrica F submetida a uma tensatildeo ∆S por exemplo pode ser predita pela seguinte relaccedilatildeo
i = ∆u Eq 1
O amperiacutemetro precisa ser posicionado em seacuterie no circuito em que se deseja medir a corrente eleacutetrica como eacute exemplificado na figura
Figure 1- Medindo a resistecircncia interna de um multiacutemetro
Manual de Laboratoacuterio
43
1 Como a resistecircncia equivalente em circuitos em seacuteries eacute a soma da resistecircncia eleacutetrica de cada um dos seus componentes a resistecircncia interna dos amperiacutemetros se soma agrave resistecircncia equivalente do circuito investigado alterando a sua dinacircmica Por isso nosso desejo eacute que os amperiacutemetros tenham resistecircncia eleacutetrica nula No entanto a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro real por menor que seja nunca eacute nula Eles possuem um circuito interno com fios e diversos componentes eletrocircnicos que acabam provocando uma resistecircncia agrave circulaccedilatildeo de corrente eleacutetrica Ainda assim frequentemente desprezamos tal resistecircncia Seraacute que isso eacute razoaacutevel Quando podemos desprezar a resistecircncia interna dos amperiacutemetros e quando natildeo podemos Para respondermos tais perguntas precisamos conhecer o valor da resistecircncia interna tiacutepica de um amperiacutemetro
Medindo a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro
Nesta disciplina usaremos diversos amperiacutemetros de uma mesma marca e modelo em uma seacuterie de experimentos (Minipa ET-2075B) Por isso eacute interessante que conheccedilamos a resistecircncia eleacutetrica deles para podermos avaliar quando podemos desprezaacute-la e quando natildeo Mas como podemos obter essa informaccedilatildeo Podemos medi-la Um procedimento simples para isso eacute submeter o amperiacutemetro a uma diferenccedila de potencial ΔV conhecida e medir a corrente eleacutetrica i que passa por ele Desse modo podemos usar a Eq 1 para inferir a resistecircncia eleacutetrica do equipamento Mas podemos confiar em uma uacutenica medida Depende da precisatildeo de que necessitamos para essa medida Intuitivamente sabemos que se medirmos a resistecircncia interna a partir de um conjunto de dados poderemos ter uma maior confiabilidade nos dados No exemplo de que estamos tratando eacute possiacutevel se coletar dados da corrente no amperiacutemetro quando submetido a diferentes tensotildees Desse modo pode-se inferir a resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro pela declividade da reta constituiacuteda
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
44
pelos dados representados em um graacutefico da tensatildeo em funccedilatildeo da corrente eleacutetrica como pode ser constatado da Eq1 No entanto como temos incertezas associadas a cada dado experimental coletado esses dados natildeo seratildeo perfeitamente representados por uma reta Surge entatildeo uma nova questatildeo qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados
Ajuste de Curvas
Diversas retas podem ser ajustadas a um conjunto de dados experimental Qual delas utilizar Intuitivamente podemos conjecturar que a melhor reta a ser utilizada eacute aquela tal que a soma das diferenccedilas entre os valores de tensatildeo medidos e os preditos pela reta tenha o menor valor possiacutevel Em outras palavras queremos minimizar a soma
sum = = (∆Sz minus ∆S)z-
onde ∆Sz satildeo as tensotildees medidas e ∆S satildeo as tensotildees preditas pela reta ajustada
No entanto haacute um inconveniente importante no uso desse criteacuterio tal soma pode ser bem pequena para retas que natildeo apresentam bom ajuste aos dados se as diferenccedilas entre os valores medidos e os preditos se cancelarem sendo alguns positivos e outros negativos Nesses casos apesar de natildeo termos uma reta bem ajustada aos dados o criteacuterio utilizado
indicaria que sim Como resolver isso Elevando os valores de dn ao
Figura 1 - Diferenccedila de potencial em funccedilatildeo
da corrente
Manual de Laboratoacuterio
45
quadrado Ou seja podemos procurar a reta tal que a seguinte soma tenha o menor valor possiacutevel
sum =$ = (∆Sz minus ∆S)$z-
O meacutetodo que utiliza esse criteacuterio para a realizaccedilatildeo de ajustes de curvas que eacute amplamente utilizado no meio acadecircmico eacute denominado Meacutetodo dos Miacutenimos Quadrados Todos os softwares do tipo planilha eletrocircnica realizam esse caacutelculo automaticamente e nos valeremos disso quando necessaacuterio
Todos os amperiacutemetros da sala possuem a mesma resistecircncia interna
Ainda que todos os amperiacutemetros que utilizaremos nas nossas aulas sejam da mesma marca e modelo eles possuem diferentes resistecircncias internas Existe alguma forma de estimar a resistecircncia interna de um desses amperiacutemetros escolhido aleatoriamente Calcular a meacutedia das resistecircncias eacute suficiente para realizar essa estimativa
Variabilidade das medidas o desvio padratildeo amostral e da meacutedia
Apesar de as resistecircncias dos amperiacutemetros natildeo serem exatamente as mesmas elas possuem valores que se distribuem em torno de um valor meacutedio que eacute igual agrave meacutedia dessas resistecircncias Desse modo se tomarmos um dos amperiacutemetros aleatoriamente o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute igual agrave meacutedia das resistecircncias internas de todos os amperiacutemetros Mas quanto podemos confiar nessa estimativa Para respondermos tal pergunta eacute importante quantificarmos a variabilidade das resistecircncias r que medimos Quanto menor for essa variabilidade maior seraacute a nossa confianccedila para assumir que a resistecircncia interna de um amperiacutemetro particular eacute igual agrave meacutedia Intuitivamente podemos conjecturar que tal variabilidade pode ser medida pelo somatoacuterio das diferenccedilas entre as resistecircncias
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
46
medidas z e a meacutedia dessas resistecircncias ou seja por (- minus ) + ($ minus ) + ⋯ + ( minus ) onde N eacute o nuacutemero de medidas realizadas No entanto temos aqui um inconveniente semelhante ao que tivemos quando analisaacutevamos ajustes de curvas se valores positivos e negativos se cancelarem esse somatoacuterio pode ser muito pequeno mesmo quando os dados apresentam grande variabilidade Podemos propor a mesma soluccedilatildeo adotada anteriormente vamos elevar os termos ao quadrado Temos entatildeo a variabilidade dos dados sendo mensurada por (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$
A impossibilidade de comparaccedilatildeo entre as variabilidades de diferentes conjuntos de dados eacute a limitaccedilatildeo desta proposta pois o resultado desse somatoacuterio eacute altamente dependente da quantidade de termos Desse modo eacute possiacutevel que esse somatoacuterio seja maior para grandes conjuntos com pouca variabilidade do que para pequenos grupos com grande variabilidade Para amenizar tal limitaccedilatildeo podemos entatildeo dividir o somatoacuterio por N ou seja calcular a variabilidade por(- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$ Hfrasl Ainda que esse somatoacuterio seja conceitualmente interessante natildeo eacute essa a medida de dispersatildeo de dados que costuma ser utilizada no meio cientiacutefico mas algo que guarda alguma semelhanccedila com ele o desvio padratildeo dos dados (P) Ele eacute calculado por
PL = (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$H minus 1
Mas por que utilizamos essa equaccedilatildeo A resposta estaacute em suas propriedades Quando construiacutemos um histograma (graacutefico de frequecircncias) de um conjunto de medidas por exemplo podemos em muitos casos assumir que a distribuiccedilatildeo desses dados eacute representada por uma distribuiccedilatildeo normal A equaccedilatildeo que define essa distribuiccedilatildeo assim como sua representaccedilatildeo graacutefica eacute ilustrada na Figura 3
Manual de Laboratoacuterio
47
Natildeo eacute nosso objetivo aqui discutir detalhes da distribuiccedilatildeo normal O que desejamos destacar eacute que quando supomos que a distribuiccedilatildeo de um conjunto de dados eacute normal o que eacute bastante razoaacutevel na maioria das vezes o desvio padratildeo σ quantifica como os dados estatildeo distribuiacutedos Para entendermos isso analisemos a Figura 4
O intervalo compreendido pela meacutedia das medidas mais ou menos um desvio padratildeo compreende 68 das medidas realizadas No caso que estamos exemplificando se tomarmos a meacutedia das resistecircncias internas r de todos os amperiacutemetros investigados e o desvio padratildeo PL desses dados 68 das medidas estaratildeo no intervalo entre ( minus PL) e ( + PL) 95 no intervalo ( 2PL) e 99 no intervalo ( 257PL)
Figura 2 - A distribuiccedilatildeo normal eacute usualmente utilizada para representar a distribuiccedilatildeo
de frequecircncias de um conjunto de dados (Lima Jr et al 2013 p 30)
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
48
Agora jaacute sabemos como quantificar a variabilidade de um conjunto de dados Podemos entatildeo calcular a meacutedia e o desvio padratildeo das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros Mas surge entatildeo uma questatildeo Se analisaacutessemos um novo conjunto de amperiacutemetros da mesma marca e modelo dos exemplificados aqui a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros seria a mesma Provavelmente natildeo Temos como estimar a partir do conjunto de medidas que realizamos a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros Temos Para responder a essa questatildeo temos que compreender um novo conceito o de desvio padratildeo da meacutedia (PL) Ele eacute calculado por
PL = PLradicH
Natildeo vamos entrar em detalhes aqui sobre a origem do conceito de desvio padratildeo da meacutedia1 vamos apenas explicar como essa grandeza nos permite estimar a incerteza na meacutedia de um conjunto de medidas Para isso vamos supor um novo conjunto de N novas
1 Se vocecirc eacute um aluno curioso pesquise sobre o Teorema Central do Limite para compreender com mais profundidade o conceito de desvio padratildeo da meacutedia
Figura 3 - A meacutedia e o desvio padratildeo demarcam a distribuiccedilatildeo dos dados em uma
distribuiccedilatildeo normal Na figura o eixo das abcissas expressa a distacircncia da meacutedia em
unidades de desvio padratildeo (Lima Jr et al 2013 p 30)
Manual de Laboratoacuterio
49
medidas da resistecircncia interna de amperiacutemetros como os investigados nesta aula Qual seria a meacutedia dessas medidas Assim como o desvio padratildeo dos dados quantifica a dispersatildeo dos dados em torno da meacutedia o desvio padratildeo da meacutedia quantifica a dispersatildeo das meacutedias de subconjuntos de dados em torno da meacutedia de todo o conjunto de dados Aplicando esse conceito ao nosso exemplo podemos interpretar os dois conjuntos de medidas de resistecircncias internas como subconjuntos de um grande conjunto contendo todas as medidas Desse modo podemos afirmar com 68 de confianccedila que a meacutedia das N novas medidas a serem realizadas estaraacute no intervalo compreendido por ( PL) com 95 de confianccedila no intervalo ( 2PL) e com 99 de confianccedila no intervalo ( 257PL) O desvio padratildeo da meacutedia pode ser compreendido assim como a incerteza da meacutedia de um conjunto de medidas ou seja ele nos fornece uma estimativa da confiabilidade de uma meacutedia Em suma se escolhermos um amperiacutemetro aleatoriamente podemos dizer que i) o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute a meacutedia das resistecircncias de todos os amperiacutemetros e ii) a incerteza que temos nesse valor eacute igual ao desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias dos amperiacutemetros
E se eu soacute tivesse condiccedilotildees de realizar uma uacutenica medida
Nem sempre podemos realizar diversas medidas de uma grandeza Em alguns casos nem mesmo faz sentido realizar diversas medidas No entanto eacute evidente que existe uma incerteza associada a uma uacutenica medida Natildeo existem instrumentos que sejam perfeitamente precisos Entatildeo como podemos estimar essa incerteza Usualmente os manuais dos instrumentos trazem informaccedilotildees sobre isso Desse modo as incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica realizadas com um voltiacutemetro e um amperiacutemetro podem ser consultadas no manual do multiacutemetro utilizado Mas como eacute calculada a incerteza da resistecircncia interna de um amperiacutemetro que foi calculada a partir de
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
50
apenas uma medida de tensatildeo e uma de corrente eleacutetrica Nesse caso precisamos calcular a incerteza propagada das incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica
Os meacutetodos de caacutelculo de incertezas propagadas podem ser bastante complicados Aqui trataremos de um meacutetodo bastante simples usualmente denominado de Meacutetodo dos Limites Vamos exemplificaacute-lo supondo que a incerteza da tensatildeo sobre as entradas do amperiacutemetro eacute P- e da corrente eleacutetrica que circula por ele eacute P$ Ou seja a tensatildeo medida estaacute no intervalo entre ∆S minus P- e ∆S + P- e a corrente eleacutetrica entre i minus P$ e i + P$ Qual eacute entatildeo a incerteza da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro investigado Para responder isso basta calcularmos os valores limites dessa grandeza O maacuteximo valor possiacutevel para a resistecircncia ocorreraacute se a tensatildeo for ∆S + P- e a corrente eleacutetrica for i minus P$ Nesse caso usando a Eq 1 temos
aacutee = ∆S + P-i minus P$
Usando o mesmo raciociacutenio o valor miacutenimo de r seraacute
z = ∆S minus P-i + P$
Desse modo podemos dizer que o valor da resistecircncia interna medida estaacute no intervalo entre rmaacutex e rmiacuten Em outras palavras o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro eacute
F = iexclz + aacutee2 z minus aacutee2 cent
Manual de Laboratoacuterio
51
Erro eacute a mesma coisa que incerteza
Apesar de serem frequentemente utilizados como sinocircnimos os manuais de metrologia atribuem significados distintos aos conceitos de ldquoerrordquo e ldquoincertezardquo O Guia para Expressatildeo da Incerteza da Mediccedilatildeo (Joint Commitee for Guide in Metrology 2008 apud Lima Jr et al 2013) usa o termo ldquoerrordquo para indicar a diferenccedila entre o valor verdadeiro e o resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo o conceito de erro tem uso restrito pois satildeo poucos os casos em que conhecemos o valor verdadeiro de uma grandeza Satildeo exemplos desses casos experimentos em que se deseja mensurar a velocidade da luz no vaacutecuo ou o valor de π que satildeo valores previamente conhecidos pelo experimentador O caacutelculo do erro soacute faz sentido para casos em que sabemos o valor verdadeiro da grandeza que se quer medir
A incerteza por outro lado eacute entendida como uma estimativa que quantifica a confiabilidade do resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo quando calculamos o desvio padratildeo da meacutedia de um conjunto de medidas estamos calculando a incerteza da meacutedia dessas medidas ou seja estamos avaliando a confianccedila que podemos ter em adotar a meacutedia dessas medidas como o valor da grandeza mensurada O conceito de incerteza portanto tem maior aplicabilidade do que o conceito de erro
Algarismos significativos e incerteza
Uma questatildeo frequente nas aulas de laboratoacuterio eacute Com quantos algarismos uma grandeza deve ser apresentada No laboratoacuterio a resposta dessa questatildeo eacute uma funccedilatildeo da incerteza da grandeza Devemos apresentar os dados ateacute o seu primeiro algarismo duvidoso Voltemos ao exemplo da resistecircncia interna dos amperiacutemetros Suponhamos que a meacutedia das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros eacute 21546 Ω e o desvio padratildeo dessa meacutedia que eacute
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
52
entendido aqui como a incerteza da resistecircncia interna dos amperiacutemetros eacute 003 Ω Interpretando tais dados assumimos com 68 de certeza que a resistecircncia interna dos amperiacutemetros estaacute no intervalo entre 21246 e 21846 Ω Desse modo a segunda casa decimal da grandeza medida eacute duvidosa Por isso os algarismos subsequentes satildeo omitidos quando expressamos essa medida e a medida da resistecircncia interna dos amperiacutemetros exemplificados eacute exposta por (215 plusmn 003) Ω Em suma o resultado de uma mediccedilatildeo deve ser sempre expresso com a mesma quantidade de casas decimais que sua incerteza Os algarismos apresentados satildeo entatildeo chamados de algarismos significativos
Referecircncia
Lima Jr P Silva M T X Silveira F L Veit E A (2013) Laboratoacuterio de mecacircnica subsiacutedios para o ensino de Fiacutesica experimental Porto Alegre UFRGS Instituto de Fiacutesica Disponiacutevel em httphdlhandlenet1018390438
Manual de Laboratoacuterio
53
Atividade de Laboratoacuterio I Instrumentos de medida e incertezas
Este material foi cuidadosamente preparado para auxiliar no andamento das atividades no laboratoacuterio de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo Eacute importante responder TODAS as perguntas
(indicadas pelo siacutembolo ) feitas ao longo do texto discutindo com seu grupo possiacuteveis respostas e justificando-as Sempre que possiacutevel faccedila isso por escrito
TAREFA 1
Construa um circuito contendo um resistor de 1 kΩ em seacuterie com uma fonte de tensatildeo contiacutenua e um multiacutemetro Coloque o multiacutemetro na funccedilatildeo amperiacutemetro na escala de miliampere Usando outro multiacutemetro meccedila a tensatildeo no amperiacutemetro Realize medidas com diferentes correntes eleacutetricas variando a tensatildeo de saiacuteda da fonte
Como podemos tratar esses dados se nosso objetivo eacute medir a resistecircncia interna do amperiacutemetro
Qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
54
Para responder essas questotildees se dirija a um dos computadores da sala e use um aplicativo que possibilite a construccedilatildeo de graacuteficos SciDavis por exemplo Insira seus dados no aplicativo construa o graacutefico desejado e encontre a melhor reta que se ajusta aos dados
Qual foi a melhor reta ajustada Determine a equaccedilatildeo dessa reta ajustada
Qual eacute o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro que vocecirc investigou
TAREFA 2
Utilize as medidas de todos os grupos da turma e aplique os conhecimentos abordados na tarefa de leitura para responder as seguintes questotildees
Qual deve ser a resistecircncia interna de um amperiacutemetro escolhido aleatoriamente entre os utilizados nesta aula
Qual eacute a incerteza desse valor
TAREFA 3
Suponha que o manual do Minipa ET-2075B informe que as medidas de tensatildeo e corrente realizadas nas faixas de milivolt e miliampere tecircm incerteza de 3 Use esses dados para calcular a
Manual de Laboratoacuterio
55
incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1
Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma
Elas satildeo coerentes Por quecirc
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
56
CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO
Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por
equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC
Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras
O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se
Manual de Laboratoacuterio
57
extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo
No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador
Salvando vidas
ldquoafastem-se choquerdquo
Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de
sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos
O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo
Figura 4 - Desfibrilador
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
58
esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)
Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma
sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o
miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia
Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2
2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387
Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)
Manual de Laboratoacuterio
59
Circuito RC - seacuterie
Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C
Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que
∆S(c) + i(c)F = 0
Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo
i(c) = =C(c)=c
e a ddp no capacitor eacute dada por
∆S(c) = C(c)D
Dessa forma podemos dizer que
=C(c)=c = minus 1FD C(c)
Figura 6 - Circuito RC
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
60
Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa
funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja
derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever
C(c) = C7 ou
A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial
Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir
Capacitor Carregando Capacitor Descarregando
∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0
C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou
∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou
Manual de Laboratoacuterio
61
Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8
Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo
eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum
3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78
Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas
do capacitor durante o processo de
carga ou descarga
Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um
graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo
do tempo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
62
Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no
capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte
Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor
quando o mesmo estaacute sendo carregado
Manual de Laboratoacuterio
63
Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie
1 - Osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos
2 ndash Aparato Experimental
Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
64
conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto
Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)
Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio
Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees
Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala
Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)
Manual de Laboratoacuterio
65
TAREFA 1
Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees
Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico
Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito
Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito
Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos
Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio
TAREFA 2
Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie
Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
66
figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)
Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados
Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo
NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo
Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste
Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito
Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito
Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles
Manual de Laboratoacuterio
67
MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS
Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais
Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio
Para onde aponta a buacutessola
Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
68
polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc
E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial
tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos
que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a
soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio
4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja
httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4
Figura 10 - Buacutessola
Figura 11 - campo B resultante
Manual de Laboratoacuterio
69
Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por
umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O
Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde
Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde
Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma
iacuteatilde() = ∙
onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde
5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass
The Physics Teacher 49(1) 45-48
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
70
Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como
iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2
Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos
gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)
Logo
gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2
Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo
iacuteatilde() = amp
Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse
tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira
na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart
Manual de Laboratoacuterio
71
pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do
que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute
yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp
onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico
da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos
yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp
Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
72
Atividade de Laboratoacuterio III Projeto
OBJETIVO
Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
73
SUGESTAtildeO 1
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO
Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas
Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece
Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha
Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo
por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o
eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
74
SUGESTAtildeO 2
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA
Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)
Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica
Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de
uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)
Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema
Manual de Laboratoacuterio
75
SUGESTAtildeO 3
BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO
Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola
Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)
Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina
O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
76
SUGESTAtildeO 4
CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO
O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer
Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
77
MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO
Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro
Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental
6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
78
110 V 127 V e 220 V O que eacute isso
As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V
Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas
A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
(c) = Jgt(c + acute)
onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por
∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)
Manual de Laboratoacuterio
79
onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1
Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho
Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores
Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
80
caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por
∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf
∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712
∆Suparamiddot = ∆S7radic2
Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a
tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s
A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente
alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$
Figura 13 - Funccedilotildees seno e
seno quadrado
Manual de Laboratoacuterio
81
COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA
Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz
Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O
Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
82
que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio
Natildeo queremos jogar energia fora
Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14
Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie
Manual de Laboratoacuterio
83
Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por
0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)
onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)
Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
ℇ(c) = ℇ7gt(c)
onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente
Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na
figura 16 para um caso em que VL gt VC
Figura 15 - Diagrama de fasores
de um circuito RLC seacuterie com
fonte de tensatildeo alternada
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
84
A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que
acute = c8 S minus SSu
Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado
por
i(c) = gt(c minus acute)
Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente
as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que
ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$
ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$
Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como
0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)
Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que
0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$
Figura 16 ndash Soma de fasores
Manual de Laboratoacuterio
85
0eacutey = F ∙ uparamiddot$
onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square
Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que
F = frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte
Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade
7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL
Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e
resistecircncia num diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
86
do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como
0 = AJradicAJ$ + AF$
O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP
DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11
Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia
Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por
acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita
Manual de Laboratoacuterio
87
2 = 1D
Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica
Figura 18 - diagramas de fasores representando
um circuito capacitivo e um circuito indutivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
88
Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie
O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio
TAREFA 1
Circuito Resistivo
Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR
Manual de Laboratoacuterio
89
Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)
O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador
Circuito Capacitivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
90
Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor
Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Manual de Laboratoacuterio
91
Circuito Indutivo
Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor
O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
92
Circuito RLC
Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise
Manual de Laboratoacuterio
93
O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador
Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio
O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior
Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor
Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou
A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
94
TAREFA 2
Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente
Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir
Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima
Qual o valor da corrente maacutexima no circuito
Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)
O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique
Manual de Laboratoacuterio
95
TAREFA 3
Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito
Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees
Como isso eacute possiacutevel Explique
Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff
Respostas
96
Respostas
A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32
A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH
A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH
B3 Ae = Af = AtildeAcircf
B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl
B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH
B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l
B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD
B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -
C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc
(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7
C2 O = ~13deg
C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)
Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-
vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr
Respostas
97
C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM
C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD
(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD
C6 A = Eacute$Acirc
C7 A = Atilde$AcircL
D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma
das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp
D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(
D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1
no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)
D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme
D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D
E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)
E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D
E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml
F1 544 times 10
F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S
F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM
u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM
u (e) 0 = ℇMu
F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω
Respostas
98
F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965
G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n
G5 i = Ograve$g = 245 J
G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y
G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez
G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H
G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)
G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)
G15 (a) zL$brvbarM (b)
z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero
G16 z$L + z$L = z$L - + 1
G17 (a) pLM
amp (b) pusup3
ampL
G18 zzMu
G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)
z
G20 zNu saindo da folha
G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)
UgraveLMamp
fora do fio (a) z$L (b)
UgravebrvbarM$L (c)
Ugravebrvbarsup3ampL
G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13
G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM
ampu
H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior
Respostas
99
H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a
H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J
I2 Φ = pound$ sup1amp
I4 C = AcircsM
I6 (a) zM
NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar
J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a
(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S
J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu
(c) = -radic
J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm
(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013
Respostas
100
Bibliografia
Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il
Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il
Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il
Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm
Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il
Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il
Problemas Selecionados
37
= i$~ ln LML
(d) Mostre que a autoindutacircncia por unidade de comprimento do cabo eacute dada por
2~ = 725 ln $-
-------------------------------------------------------------------------------------------
(J) Corrente Alternada
J1 ndash A tensatildeo de uma fonte de corrente alternada eacute dada por ∆d = 120gt(30 5c) onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A fonte eacute conectada a um indutor de 05 Determine (a) a frequecircncia da fonte (b) a voltagem rms no indutor (c) a reatacircncia indutiva do circuito (d) a corrente rms no indutor e (e) a corrente maacutexima no indutor
J2 ndash Uma fonte de tensatildeo alternada fornece uma tensatildeo ∆d = 98gt(80 5c) a um capacitor onde a tensatildeo eacute dada em volts e o tempo c em segundos A corrente maacutexima no circuito eacute 05 J Determine (a) a tensatildeo rms da fonte (b) a frequecircncia da fonte e (c) o valor da capacitacircncia
J3 ndash Um circuito AC eacute composto por um resistor de 250 Ω um indutor de 15 um capacitor de 35 e uma fonte de tensatildeo alternada com amplitude de 45 S operando com frequecircncia angular = 360 = frasl (a) Qual eacute o fator de potecircncia do circuito (b) Determine a potecircncia meacutedia aparente (S) fornecida ao circuito (c) Qual eacute a potecircncia meacutedia ativa (P) dissipada no resistor Qual eacute a potecircncia meacutedia reativa (Q) que fica armazenada no circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
38
J4 ndash Cinco voltiacutemetros com impedacircncia muito grande ajustados para ler valores rms estatildeo conectados conforme a figura ao lado Sendo F =200 Ω 2 = 04 H D = 6 e ∆S = 30 Vqual eacute a leitura da tensatildeo em cada voltiacutemetro se (a) = 200 = frasl e (b) =1000 = frasl
J5 ndash Num circuito RLC 2 = 028 e D = 4 A fonte fornece uma voltagem com amplitude de 120 S Qual eacute a frequecircncia angular de ressonacircncia do circuito (b) Quando a fonte opera na frequecircncia angular de ressonacircncia a amplitude da corrente no circuito eacute 17 J Qual a resistecircncia do resistor (c) Na frequecircncia angular de ressonacircncia quais satildeo as voltagens de pico no indutor capacitor e resistor
J6 ndash O circuito ao lado conteacutem uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal conforme ℇ = ℇgt(c) No estado de equiliacutebrio temos as correntes mostradas no circuito Sem recorrer a uma matemaacutetica complicada responda (a) Quais os valores de u e quando = 0 (frequecircncia zero significa que
a fonte foi substituida por uma bateria ideal) (b) Quais os valores de u e quando rarr infin (c) Qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia
Problemas Selecionados
39
J7 ndash Um indutor um capacitor e um resistor estatildeo conectados em seacuterie a uma fonte de tensatildeo alternada Se os valores da resistecircncia capacitacircncia e indutacircncia forem duplicados o que aconteceraacute com (a) a frequecircncia angular de ressonacircncia (b) a reatacircncia indutiva (c) a reatacircncia capacitiva e (d) a impedacircncia
J8 ndash O circuito abaixo eacute formado por uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal variando conforme ℇ = ℇgt(c) uma resistecircncia F = 6 Ω e uma parte desconhecida que pode conter um indutor um capacitor ou ambos A amplitude da fonte eacute ℇ = 6 S Quando a frequecircncia angular = 2 = a corrente estaacute em fase com a fonte enquanto que para = 1 = a corrente estaacute fora de fase em relaccedilatildeo agrave fonte por exatamente 5 4frasl (a) Quais componentes estatildeo presentes na parte desconhecida (um indutor um capacitor ou ambos) Explique (b) Determine os valores dos componentes desconhecidos
J9 ndash Um circuito em seacuterie possui impendecircncia de 60 Ω e fator de potecircncia igual a 072 em 50 A tensatildeo da fonte estaacute atrasada em relaccedilatildeo agrave corrente (a) Que elemento do circuito (um indutor ou um capacitor) deve ser ligado em seacuterie com o circuito para aumentar o fator de potecircncia (b) Qual deve ser o valor desse elemento para que o fator de potecircncia seja igual a 1 (c) Apresente diagramas de fasores esquemaacuteticos para o circuito antes e depois da ligaccedilatildeo do novo elemento
Manual de Laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
41
O PROCESSO DE MEDIDA NO LABORATOacuteRIO DE FIacuteSICA
Natildeo satildeo raros eventos em que nos valemos de medidas para tomarmos decisotildees Medimos nossa temperatura corporal para avaliarmos se necessitamos de tratamento Medimos a pressatildeo manomeacutetrica dos pneus para avaliarmos se precisamos injetar ou retirar ar neles Consultamos medidas da temperatura ambiente para escolhermos a roupa que vestiremos Consultamos o horaacuterio (medida de tempo) para natildeo chegarmos atrasados em encontros Medidas satildeo portanto fundamentais em nossas vidas No entanto usualmente natildeo nos preocupamos muito com a precisatildeo dessas medidas Em grande parte das vezes natildeo nos interessa saber se o horaacuterio informado no reloacutegio estaacute um pouco atrasado ou adiantado Natildeo nos preocupamos em saber o quanto podemos confiar nas temperaturas coletadas com um determinado termocircmetro Nossas medidas comumente satildeo realizadas de forma despretensiosa sem muito rigor
No laboratoacuterio de Fiacutesica isso ocorre de modo muito diferente Os processos de mediccedilatildeo satildeo mais minuciosos do que os que realizamos costumeiramente Desejamos obter a maior precisatildeo possiacutevel com os equipamentos de que dispomos Mas como fazer isso Como podemos melhorar a precisatildeo dos processos de mediccedilatildeo Intuitivamente podemos concluir que inferecircncias realizadas a partir de um conjunto de medidas satildeo mais precisas do que medidas isoladas Mas quando disponho de um conjunto de medidas como posso analisaacute-las Calcular a meacutedia delas eacute suficiente Responder a questotildees como essas eacute o objetivo desta atividade Para exemplificarmos todo esse processo realizaremos um debate sobre a mediccedilatildeo da resistecircncia interna de amperiacutemetros
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
42
O que satildeo amperiacutemetros
Um amperiacutemetro eacute um instrumento utilizado para a realizaccedilatildeo de medidas de correntes eleacutetricas Evidentemente natildeo queremos modificar os circuitos quando os exploramos com um instrumento Com amperiacutemetros natildeo eacute diferente Queremos medir correntes eleacutetricas sem alterar as caracteriacutesticas do circuito Mas como eacute possiacutevel fazer isso Natildeo discutiremos aqui os detalhes sobre o funcionamento interno de um amperiacutemetro No entanto vamos avaliaacute-los do ponto de vista de uma das suas caracteriacutesticas mais importantes a sua resistecircncia eleacutetrica
A resistecircncia eleacutetrica de um circuito influencia na intensidade da corrente eleacutetrica que circula nele A corrente eleacutetrica i que perpassa por uma resistecircncia eleacutetrica F submetida a uma tensatildeo ∆S por exemplo pode ser predita pela seguinte relaccedilatildeo
i = ∆u Eq 1
O amperiacutemetro precisa ser posicionado em seacuterie no circuito em que se deseja medir a corrente eleacutetrica como eacute exemplificado na figura
Figure 1- Medindo a resistecircncia interna de um multiacutemetro
Manual de Laboratoacuterio
43
1 Como a resistecircncia equivalente em circuitos em seacuteries eacute a soma da resistecircncia eleacutetrica de cada um dos seus componentes a resistecircncia interna dos amperiacutemetros se soma agrave resistecircncia equivalente do circuito investigado alterando a sua dinacircmica Por isso nosso desejo eacute que os amperiacutemetros tenham resistecircncia eleacutetrica nula No entanto a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro real por menor que seja nunca eacute nula Eles possuem um circuito interno com fios e diversos componentes eletrocircnicos que acabam provocando uma resistecircncia agrave circulaccedilatildeo de corrente eleacutetrica Ainda assim frequentemente desprezamos tal resistecircncia Seraacute que isso eacute razoaacutevel Quando podemos desprezar a resistecircncia interna dos amperiacutemetros e quando natildeo podemos Para respondermos tais perguntas precisamos conhecer o valor da resistecircncia interna tiacutepica de um amperiacutemetro
Medindo a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro
Nesta disciplina usaremos diversos amperiacutemetros de uma mesma marca e modelo em uma seacuterie de experimentos (Minipa ET-2075B) Por isso eacute interessante que conheccedilamos a resistecircncia eleacutetrica deles para podermos avaliar quando podemos desprezaacute-la e quando natildeo Mas como podemos obter essa informaccedilatildeo Podemos medi-la Um procedimento simples para isso eacute submeter o amperiacutemetro a uma diferenccedila de potencial ΔV conhecida e medir a corrente eleacutetrica i que passa por ele Desse modo podemos usar a Eq 1 para inferir a resistecircncia eleacutetrica do equipamento Mas podemos confiar em uma uacutenica medida Depende da precisatildeo de que necessitamos para essa medida Intuitivamente sabemos que se medirmos a resistecircncia interna a partir de um conjunto de dados poderemos ter uma maior confiabilidade nos dados No exemplo de que estamos tratando eacute possiacutevel se coletar dados da corrente no amperiacutemetro quando submetido a diferentes tensotildees Desse modo pode-se inferir a resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro pela declividade da reta constituiacuteda
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
44
pelos dados representados em um graacutefico da tensatildeo em funccedilatildeo da corrente eleacutetrica como pode ser constatado da Eq1 No entanto como temos incertezas associadas a cada dado experimental coletado esses dados natildeo seratildeo perfeitamente representados por uma reta Surge entatildeo uma nova questatildeo qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados
Ajuste de Curvas
Diversas retas podem ser ajustadas a um conjunto de dados experimental Qual delas utilizar Intuitivamente podemos conjecturar que a melhor reta a ser utilizada eacute aquela tal que a soma das diferenccedilas entre os valores de tensatildeo medidos e os preditos pela reta tenha o menor valor possiacutevel Em outras palavras queremos minimizar a soma
sum = = (∆Sz minus ∆S)z-
onde ∆Sz satildeo as tensotildees medidas e ∆S satildeo as tensotildees preditas pela reta ajustada
No entanto haacute um inconveniente importante no uso desse criteacuterio tal soma pode ser bem pequena para retas que natildeo apresentam bom ajuste aos dados se as diferenccedilas entre os valores medidos e os preditos se cancelarem sendo alguns positivos e outros negativos Nesses casos apesar de natildeo termos uma reta bem ajustada aos dados o criteacuterio utilizado
indicaria que sim Como resolver isso Elevando os valores de dn ao
Figura 1 - Diferenccedila de potencial em funccedilatildeo
da corrente
Manual de Laboratoacuterio
45
quadrado Ou seja podemos procurar a reta tal que a seguinte soma tenha o menor valor possiacutevel
sum =$ = (∆Sz minus ∆S)$z-
O meacutetodo que utiliza esse criteacuterio para a realizaccedilatildeo de ajustes de curvas que eacute amplamente utilizado no meio acadecircmico eacute denominado Meacutetodo dos Miacutenimos Quadrados Todos os softwares do tipo planilha eletrocircnica realizam esse caacutelculo automaticamente e nos valeremos disso quando necessaacuterio
Todos os amperiacutemetros da sala possuem a mesma resistecircncia interna
Ainda que todos os amperiacutemetros que utilizaremos nas nossas aulas sejam da mesma marca e modelo eles possuem diferentes resistecircncias internas Existe alguma forma de estimar a resistecircncia interna de um desses amperiacutemetros escolhido aleatoriamente Calcular a meacutedia das resistecircncias eacute suficiente para realizar essa estimativa
Variabilidade das medidas o desvio padratildeo amostral e da meacutedia
Apesar de as resistecircncias dos amperiacutemetros natildeo serem exatamente as mesmas elas possuem valores que se distribuem em torno de um valor meacutedio que eacute igual agrave meacutedia dessas resistecircncias Desse modo se tomarmos um dos amperiacutemetros aleatoriamente o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute igual agrave meacutedia das resistecircncias internas de todos os amperiacutemetros Mas quanto podemos confiar nessa estimativa Para respondermos tal pergunta eacute importante quantificarmos a variabilidade das resistecircncias r que medimos Quanto menor for essa variabilidade maior seraacute a nossa confianccedila para assumir que a resistecircncia interna de um amperiacutemetro particular eacute igual agrave meacutedia Intuitivamente podemos conjecturar que tal variabilidade pode ser medida pelo somatoacuterio das diferenccedilas entre as resistecircncias
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
46
medidas z e a meacutedia dessas resistecircncias ou seja por (- minus ) + ($ minus ) + ⋯ + ( minus ) onde N eacute o nuacutemero de medidas realizadas No entanto temos aqui um inconveniente semelhante ao que tivemos quando analisaacutevamos ajustes de curvas se valores positivos e negativos se cancelarem esse somatoacuterio pode ser muito pequeno mesmo quando os dados apresentam grande variabilidade Podemos propor a mesma soluccedilatildeo adotada anteriormente vamos elevar os termos ao quadrado Temos entatildeo a variabilidade dos dados sendo mensurada por (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$
A impossibilidade de comparaccedilatildeo entre as variabilidades de diferentes conjuntos de dados eacute a limitaccedilatildeo desta proposta pois o resultado desse somatoacuterio eacute altamente dependente da quantidade de termos Desse modo eacute possiacutevel que esse somatoacuterio seja maior para grandes conjuntos com pouca variabilidade do que para pequenos grupos com grande variabilidade Para amenizar tal limitaccedilatildeo podemos entatildeo dividir o somatoacuterio por N ou seja calcular a variabilidade por(- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$ Hfrasl Ainda que esse somatoacuterio seja conceitualmente interessante natildeo eacute essa a medida de dispersatildeo de dados que costuma ser utilizada no meio cientiacutefico mas algo que guarda alguma semelhanccedila com ele o desvio padratildeo dos dados (P) Ele eacute calculado por
PL = (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$H minus 1
Mas por que utilizamos essa equaccedilatildeo A resposta estaacute em suas propriedades Quando construiacutemos um histograma (graacutefico de frequecircncias) de um conjunto de medidas por exemplo podemos em muitos casos assumir que a distribuiccedilatildeo desses dados eacute representada por uma distribuiccedilatildeo normal A equaccedilatildeo que define essa distribuiccedilatildeo assim como sua representaccedilatildeo graacutefica eacute ilustrada na Figura 3
Manual de Laboratoacuterio
47
Natildeo eacute nosso objetivo aqui discutir detalhes da distribuiccedilatildeo normal O que desejamos destacar eacute que quando supomos que a distribuiccedilatildeo de um conjunto de dados eacute normal o que eacute bastante razoaacutevel na maioria das vezes o desvio padratildeo σ quantifica como os dados estatildeo distribuiacutedos Para entendermos isso analisemos a Figura 4
O intervalo compreendido pela meacutedia das medidas mais ou menos um desvio padratildeo compreende 68 das medidas realizadas No caso que estamos exemplificando se tomarmos a meacutedia das resistecircncias internas r de todos os amperiacutemetros investigados e o desvio padratildeo PL desses dados 68 das medidas estaratildeo no intervalo entre ( minus PL) e ( + PL) 95 no intervalo ( 2PL) e 99 no intervalo ( 257PL)
Figura 2 - A distribuiccedilatildeo normal eacute usualmente utilizada para representar a distribuiccedilatildeo
de frequecircncias de um conjunto de dados (Lima Jr et al 2013 p 30)
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
48
Agora jaacute sabemos como quantificar a variabilidade de um conjunto de dados Podemos entatildeo calcular a meacutedia e o desvio padratildeo das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros Mas surge entatildeo uma questatildeo Se analisaacutessemos um novo conjunto de amperiacutemetros da mesma marca e modelo dos exemplificados aqui a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros seria a mesma Provavelmente natildeo Temos como estimar a partir do conjunto de medidas que realizamos a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros Temos Para responder a essa questatildeo temos que compreender um novo conceito o de desvio padratildeo da meacutedia (PL) Ele eacute calculado por
PL = PLradicH
Natildeo vamos entrar em detalhes aqui sobre a origem do conceito de desvio padratildeo da meacutedia1 vamos apenas explicar como essa grandeza nos permite estimar a incerteza na meacutedia de um conjunto de medidas Para isso vamos supor um novo conjunto de N novas
1 Se vocecirc eacute um aluno curioso pesquise sobre o Teorema Central do Limite para compreender com mais profundidade o conceito de desvio padratildeo da meacutedia
Figura 3 - A meacutedia e o desvio padratildeo demarcam a distribuiccedilatildeo dos dados em uma
distribuiccedilatildeo normal Na figura o eixo das abcissas expressa a distacircncia da meacutedia em
unidades de desvio padratildeo (Lima Jr et al 2013 p 30)
Manual de Laboratoacuterio
49
medidas da resistecircncia interna de amperiacutemetros como os investigados nesta aula Qual seria a meacutedia dessas medidas Assim como o desvio padratildeo dos dados quantifica a dispersatildeo dos dados em torno da meacutedia o desvio padratildeo da meacutedia quantifica a dispersatildeo das meacutedias de subconjuntos de dados em torno da meacutedia de todo o conjunto de dados Aplicando esse conceito ao nosso exemplo podemos interpretar os dois conjuntos de medidas de resistecircncias internas como subconjuntos de um grande conjunto contendo todas as medidas Desse modo podemos afirmar com 68 de confianccedila que a meacutedia das N novas medidas a serem realizadas estaraacute no intervalo compreendido por ( PL) com 95 de confianccedila no intervalo ( 2PL) e com 99 de confianccedila no intervalo ( 257PL) O desvio padratildeo da meacutedia pode ser compreendido assim como a incerteza da meacutedia de um conjunto de medidas ou seja ele nos fornece uma estimativa da confiabilidade de uma meacutedia Em suma se escolhermos um amperiacutemetro aleatoriamente podemos dizer que i) o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute a meacutedia das resistecircncias de todos os amperiacutemetros e ii) a incerteza que temos nesse valor eacute igual ao desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias dos amperiacutemetros
E se eu soacute tivesse condiccedilotildees de realizar uma uacutenica medida
Nem sempre podemos realizar diversas medidas de uma grandeza Em alguns casos nem mesmo faz sentido realizar diversas medidas No entanto eacute evidente que existe uma incerteza associada a uma uacutenica medida Natildeo existem instrumentos que sejam perfeitamente precisos Entatildeo como podemos estimar essa incerteza Usualmente os manuais dos instrumentos trazem informaccedilotildees sobre isso Desse modo as incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica realizadas com um voltiacutemetro e um amperiacutemetro podem ser consultadas no manual do multiacutemetro utilizado Mas como eacute calculada a incerteza da resistecircncia interna de um amperiacutemetro que foi calculada a partir de
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
50
apenas uma medida de tensatildeo e uma de corrente eleacutetrica Nesse caso precisamos calcular a incerteza propagada das incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica
Os meacutetodos de caacutelculo de incertezas propagadas podem ser bastante complicados Aqui trataremos de um meacutetodo bastante simples usualmente denominado de Meacutetodo dos Limites Vamos exemplificaacute-lo supondo que a incerteza da tensatildeo sobre as entradas do amperiacutemetro eacute P- e da corrente eleacutetrica que circula por ele eacute P$ Ou seja a tensatildeo medida estaacute no intervalo entre ∆S minus P- e ∆S + P- e a corrente eleacutetrica entre i minus P$ e i + P$ Qual eacute entatildeo a incerteza da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro investigado Para responder isso basta calcularmos os valores limites dessa grandeza O maacuteximo valor possiacutevel para a resistecircncia ocorreraacute se a tensatildeo for ∆S + P- e a corrente eleacutetrica for i minus P$ Nesse caso usando a Eq 1 temos
aacutee = ∆S + P-i minus P$
Usando o mesmo raciociacutenio o valor miacutenimo de r seraacute
z = ∆S minus P-i + P$
Desse modo podemos dizer que o valor da resistecircncia interna medida estaacute no intervalo entre rmaacutex e rmiacuten Em outras palavras o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro eacute
F = iexclz + aacutee2 z minus aacutee2 cent
Manual de Laboratoacuterio
51
Erro eacute a mesma coisa que incerteza
Apesar de serem frequentemente utilizados como sinocircnimos os manuais de metrologia atribuem significados distintos aos conceitos de ldquoerrordquo e ldquoincertezardquo O Guia para Expressatildeo da Incerteza da Mediccedilatildeo (Joint Commitee for Guide in Metrology 2008 apud Lima Jr et al 2013) usa o termo ldquoerrordquo para indicar a diferenccedila entre o valor verdadeiro e o resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo o conceito de erro tem uso restrito pois satildeo poucos os casos em que conhecemos o valor verdadeiro de uma grandeza Satildeo exemplos desses casos experimentos em que se deseja mensurar a velocidade da luz no vaacutecuo ou o valor de π que satildeo valores previamente conhecidos pelo experimentador O caacutelculo do erro soacute faz sentido para casos em que sabemos o valor verdadeiro da grandeza que se quer medir
A incerteza por outro lado eacute entendida como uma estimativa que quantifica a confiabilidade do resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo quando calculamos o desvio padratildeo da meacutedia de um conjunto de medidas estamos calculando a incerteza da meacutedia dessas medidas ou seja estamos avaliando a confianccedila que podemos ter em adotar a meacutedia dessas medidas como o valor da grandeza mensurada O conceito de incerteza portanto tem maior aplicabilidade do que o conceito de erro
Algarismos significativos e incerteza
Uma questatildeo frequente nas aulas de laboratoacuterio eacute Com quantos algarismos uma grandeza deve ser apresentada No laboratoacuterio a resposta dessa questatildeo eacute uma funccedilatildeo da incerteza da grandeza Devemos apresentar os dados ateacute o seu primeiro algarismo duvidoso Voltemos ao exemplo da resistecircncia interna dos amperiacutemetros Suponhamos que a meacutedia das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros eacute 21546 Ω e o desvio padratildeo dessa meacutedia que eacute
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
52
entendido aqui como a incerteza da resistecircncia interna dos amperiacutemetros eacute 003 Ω Interpretando tais dados assumimos com 68 de certeza que a resistecircncia interna dos amperiacutemetros estaacute no intervalo entre 21246 e 21846 Ω Desse modo a segunda casa decimal da grandeza medida eacute duvidosa Por isso os algarismos subsequentes satildeo omitidos quando expressamos essa medida e a medida da resistecircncia interna dos amperiacutemetros exemplificados eacute exposta por (215 plusmn 003) Ω Em suma o resultado de uma mediccedilatildeo deve ser sempre expresso com a mesma quantidade de casas decimais que sua incerteza Os algarismos apresentados satildeo entatildeo chamados de algarismos significativos
Referecircncia
Lima Jr P Silva M T X Silveira F L Veit E A (2013) Laboratoacuterio de mecacircnica subsiacutedios para o ensino de Fiacutesica experimental Porto Alegre UFRGS Instituto de Fiacutesica Disponiacutevel em httphdlhandlenet1018390438
Manual de Laboratoacuterio
53
Atividade de Laboratoacuterio I Instrumentos de medida e incertezas
Este material foi cuidadosamente preparado para auxiliar no andamento das atividades no laboratoacuterio de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo Eacute importante responder TODAS as perguntas
(indicadas pelo siacutembolo ) feitas ao longo do texto discutindo com seu grupo possiacuteveis respostas e justificando-as Sempre que possiacutevel faccedila isso por escrito
TAREFA 1
Construa um circuito contendo um resistor de 1 kΩ em seacuterie com uma fonte de tensatildeo contiacutenua e um multiacutemetro Coloque o multiacutemetro na funccedilatildeo amperiacutemetro na escala de miliampere Usando outro multiacutemetro meccedila a tensatildeo no amperiacutemetro Realize medidas com diferentes correntes eleacutetricas variando a tensatildeo de saiacuteda da fonte
Como podemos tratar esses dados se nosso objetivo eacute medir a resistecircncia interna do amperiacutemetro
Qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
54
Para responder essas questotildees se dirija a um dos computadores da sala e use um aplicativo que possibilite a construccedilatildeo de graacuteficos SciDavis por exemplo Insira seus dados no aplicativo construa o graacutefico desejado e encontre a melhor reta que se ajusta aos dados
Qual foi a melhor reta ajustada Determine a equaccedilatildeo dessa reta ajustada
Qual eacute o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro que vocecirc investigou
TAREFA 2
Utilize as medidas de todos os grupos da turma e aplique os conhecimentos abordados na tarefa de leitura para responder as seguintes questotildees
Qual deve ser a resistecircncia interna de um amperiacutemetro escolhido aleatoriamente entre os utilizados nesta aula
Qual eacute a incerteza desse valor
TAREFA 3
Suponha que o manual do Minipa ET-2075B informe que as medidas de tensatildeo e corrente realizadas nas faixas de milivolt e miliampere tecircm incerteza de 3 Use esses dados para calcular a
Manual de Laboratoacuterio
55
incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1
Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma
Elas satildeo coerentes Por quecirc
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
56
CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO
Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por
equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC
Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras
O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se
Manual de Laboratoacuterio
57
extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo
No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador
Salvando vidas
ldquoafastem-se choquerdquo
Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de
sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos
O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo
Figura 4 - Desfibrilador
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
58
esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)
Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma
sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o
miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia
Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2
2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387
Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)
Manual de Laboratoacuterio
59
Circuito RC - seacuterie
Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C
Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que
∆S(c) + i(c)F = 0
Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo
i(c) = =C(c)=c
e a ddp no capacitor eacute dada por
∆S(c) = C(c)D
Dessa forma podemos dizer que
=C(c)=c = minus 1FD C(c)
Figura 6 - Circuito RC
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
60
Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa
funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja
derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever
C(c) = C7 ou
A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial
Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir
Capacitor Carregando Capacitor Descarregando
∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0
C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou
∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou
Manual de Laboratoacuterio
61
Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8
Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo
eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum
3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78
Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas
do capacitor durante o processo de
carga ou descarga
Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um
graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo
do tempo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
62
Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no
capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte
Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor
quando o mesmo estaacute sendo carregado
Manual de Laboratoacuterio
63
Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie
1 - Osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos
2 ndash Aparato Experimental
Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
64
conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto
Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)
Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio
Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees
Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala
Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)
Manual de Laboratoacuterio
65
TAREFA 1
Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees
Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico
Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito
Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito
Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos
Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio
TAREFA 2
Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie
Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
66
figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)
Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados
Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo
NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo
Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste
Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito
Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito
Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles
Manual de Laboratoacuterio
67
MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS
Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais
Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio
Para onde aponta a buacutessola
Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
68
polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc
E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial
tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos
que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a
soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio
4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja
httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4
Figura 10 - Buacutessola
Figura 11 - campo B resultante
Manual de Laboratoacuterio
69
Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por
umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O
Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde
Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde
Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma
iacuteatilde() = ∙
onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde
5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass
The Physics Teacher 49(1) 45-48
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
70
Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como
iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2
Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos
gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)
Logo
gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2
Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo
iacuteatilde() = amp
Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse
tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira
na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart
Manual de Laboratoacuterio
71
pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do
que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute
yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp
onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico
da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos
yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp
Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
72
Atividade de Laboratoacuterio III Projeto
OBJETIVO
Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
73
SUGESTAtildeO 1
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO
Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas
Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece
Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha
Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo
por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o
eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
74
SUGESTAtildeO 2
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA
Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)
Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica
Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de
uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)
Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema
Manual de Laboratoacuterio
75
SUGESTAtildeO 3
BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO
Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola
Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)
Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina
O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
76
SUGESTAtildeO 4
CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO
O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer
Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
77
MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO
Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro
Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental
6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
78
110 V 127 V e 220 V O que eacute isso
As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V
Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas
A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
(c) = Jgt(c + acute)
onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por
∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)
Manual de Laboratoacuterio
79
onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1
Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho
Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores
Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
80
caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por
∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf
∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712
∆Suparamiddot = ∆S7radic2
Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a
tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s
A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente
alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$
Figura 13 - Funccedilotildees seno e
seno quadrado
Manual de Laboratoacuterio
81
COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA
Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz
Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O
Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
82
que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio
Natildeo queremos jogar energia fora
Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14
Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie
Manual de Laboratoacuterio
83
Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por
0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)
onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)
Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
ℇ(c) = ℇ7gt(c)
onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente
Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na
figura 16 para um caso em que VL gt VC
Figura 15 - Diagrama de fasores
de um circuito RLC seacuterie com
fonte de tensatildeo alternada
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
84
A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que
acute = c8 S minus SSu
Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado
por
i(c) = gt(c minus acute)
Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente
as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que
ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$
ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$
Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como
0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)
Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que
0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$
Figura 16 ndash Soma de fasores
Manual de Laboratoacuterio
85
0eacutey = F ∙ uparamiddot$
onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square
Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que
F = frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte
Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade
7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL
Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e
resistecircncia num diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
86
do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como
0 = AJradicAJ$ + AF$
O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP
DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11
Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia
Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por
acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita
Manual de Laboratoacuterio
87
2 = 1D
Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica
Figura 18 - diagramas de fasores representando
um circuito capacitivo e um circuito indutivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
88
Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie
O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio
TAREFA 1
Circuito Resistivo
Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR
Manual de Laboratoacuterio
89
Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)
O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador
Circuito Capacitivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
90
Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor
Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Manual de Laboratoacuterio
91
Circuito Indutivo
Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor
O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
92
Circuito RLC
Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise
Manual de Laboratoacuterio
93
O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador
Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio
O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior
Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor
Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou
A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
94
TAREFA 2
Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente
Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir
Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima
Qual o valor da corrente maacutexima no circuito
Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)
O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique
Manual de Laboratoacuterio
95
TAREFA 3
Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito
Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees
Como isso eacute possiacutevel Explique
Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff
Respostas
96
Respostas
A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32
A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH
A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH
B3 Ae = Af = AtildeAcircf
B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl
B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH
B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l
B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD
B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -
C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc
(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7
C2 O = ~13deg
C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)
Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-
vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr
Respostas
97
C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM
C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD
(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD
C6 A = Eacute$Acirc
C7 A = Atilde$AcircL
D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma
das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp
D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(
D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1
no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)
D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme
D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D
E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)
E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D
E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml
F1 544 times 10
F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S
F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM
u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM
u (e) 0 = ℇMu
F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω
Respostas
98
F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965
G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n
G5 i = Ograve$g = 245 J
G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y
G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez
G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H
G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)
G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)
G15 (a) zL$brvbarM (b)
z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero
G16 z$L + z$L = z$L - + 1
G17 (a) pLM
amp (b) pusup3
ampL
G18 zzMu
G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)
z
G20 zNu saindo da folha
G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)
UgraveLMamp
fora do fio (a) z$L (b)
UgravebrvbarM$L (c)
Ugravebrvbarsup3ampL
G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13
G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM
ampu
H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior
Respostas
99
H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a
H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J
I2 Φ = pound$ sup1amp
I4 C = AcircsM
I6 (a) zM
NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar
J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a
(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S
J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu
(c) = -radic
J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm
(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013
Respostas
100
Bibliografia
Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il
Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il
Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il
Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm
Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il
Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il
Problemas Selecionados
39
J7 ndash Um indutor um capacitor e um resistor estatildeo conectados em seacuterie a uma fonte de tensatildeo alternada Se os valores da resistecircncia capacitacircncia e indutacircncia forem duplicados o que aconteceraacute com (a) a frequecircncia angular de ressonacircncia (b) a reatacircncia indutiva (c) a reatacircncia capacitiva e (d) a impedacircncia
J8 ndash O circuito abaixo eacute formado por uma fonte AC que fornece uma tensatildeo senoidal variando conforme ℇ = ℇgt(c) uma resistecircncia F = 6 Ω e uma parte desconhecida que pode conter um indutor um capacitor ou ambos A amplitude da fonte eacute ℇ = 6 S Quando a frequecircncia angular = 2 = a corrente estaacute em fase com a fonte enquanto que para = 1 = a corrente estaacute fora de fase em relaccedilatildeo agrave fonte por exatamente 5 4frasl (a) Quais componentes estatildeo presentes na parte desconhecida (um indutor um capacitor ou ambos) Explique (b) Determine os valores dos componentes desconhecidos
J9 ndash Um circuito em seacuterie possui impendecircncia de 60 Ω e fator de potecircncia igual a 072 em 50 A tensatildeo da fonte estaacute atrasada em relaccedilatildeo agrave corrente (a) Que elemento do circuito (um indutor ou um capacitor) deve ser ligado em seacuterie com o circuito para aumentar o fator de potecircncia (b) Qual deve ser o valor desse elemento para que o fator de potecircncia seja igual a 1 (c) Apresente diagramas de fasores esquemaacuteticos para o circuito antes e depois da ligaccedilatildeo do novo elemento
Manual de Laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
41
O PROCESSO DE MEDIDA NO LABORATOacuteRIO DE FIacuteSICA
Natildeo satildeo raros eventos em que nos valemos de medidas para tomarmos decisotildees Medimos nossa temperatura corporal para avaliarmos se necessitamos de tratamento Medimos a pressatildeo manomeacutetrica dos pneus para avaliarmos se precisamos injetar ou retirar ar neles Consultamos medidas da temperatura ambiente para escolhermos a roupa que vestiremos Consultamos o horaacuterio (medida de tempo) para natildeo chegarmos atrasados em encontros Medidas satildeo portanto fundamentais em nossas vidas No entanto usualmente natildeo nos preocupamos muito com a precisatildeo dessas medidas Em grande parte das vezes natildeo nos interessa saber se o horaacuterio informado no reloacutegio estaacute um pouco atrasado ou adiantado Natildeo nos preocupamos em saber o quanto podemos confiar nas temperaturas coletadas com um determinado termocircmetro Nossas medidas comumente satildeo realizadas de forma despretensiosa sem muito rigor
No laboratoacuterio de Fiacutesica isso ocorre de modo muito diferente Os processos de mediccedilatildeo satildeo mais minuciosos do que os que realizamos costumeiramente Desejamos obter a maior precisatildeo possiacutevel com os equipamentos de que dispomos Mas como fazer isso Como podemos melhorar a precisatildeo dos processos de mediccedilatildeo Intuitivamente podemos concluir que inferecircncias realizadas a partir de um conjunto de medidas satildeo mais precisas do que medidas isoladas Mas quando disponho de um conjunto de medidas como posso analisaacute-las Calcular a meacutedia delas eacute suficiente Responder a questotildees como essas eacute o objetivo desta atividade Para exemplificarmos todo esse processo realizaremos um debate sobre a mediccedilatildeo da resistecircncia interna de amperiacutemetros
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
42
O que satildeo amperiacutemetros
Um amperiacutemetro eacute um instrumento utilizado para a realizaccedilatildeo de medidas de correntes eleacutetricas Evidentemente natildeo queremos modificar os circuitos quando os exploramos com um instrumento Com amperiacutemetros natildeo eacute diferente Queremos medir correntes eleacutetricas sem alterar as caracteriacutesticas do circuito Mas como eacute possiacutevel fazer isso Natildeo discutiremos aqui os detalhes sobre o funcionamento interno de um amperiacutemetro No entanto vamos avaliaacute-los do ponto de vista de uma das suas caracteriacutesticas mais importantes a sua resistecircncia eleacutetrica
A resistecircncia eleacutetrica de um circuito influencia na intensidade da corrente eleacutetrica que circula nele A corrente eleacutetrica i que perpassa por uma resistecircncia eleacutetrica F submetida a uma tensatildeo ∆S por exemplo pode ser predita pela seguinte relaccedilatildeo
i = ∆u Eq 1
O amperiacutemetro precisa ser posicionado em seacuterie no circuito em que se deseja medir a corrente eleacutetrica como eacute exemplificado na figura
Figure 1- Medindo a resistecircncia interna de um multiacutemetro
Manual de Laboratoacuterio
43
1 Como a resistecircncia equivalente em circuitos em seacuteries eacute a soma da resistecircncia eleacutetrica de cada um dos seus componentes a resistecircncia interna dos amperiacutemetros se soma agrave resistecircncia equivalente do circuito investigado alterando a sua dinacircmica Por isso nosso desejo eacute que os amperiacutemetros tenham resistecircncia eleacutetrica nula No entanto a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro real por menor que seja nunca eacute nula Eles possuem um circuito interno com fios e diversos componentes eletrocircnicos que acabam provocando uma resistecircncia agrave circulaccedilatildeo de corrente eleacutetrica Ainda assim frequentemente desprezamos tal resistecircncia Seraacute que isso eacute razoaacutevel Quando podemos desprezar a resistecircncia interna dos amperiacutemetros e quando natildeo podemos Para respondermos tais perguntas precisamos conhecer o valor da resistecircncia interna tiacutepica de um amperiacutemetro
Medindo a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro
Nesta disciplina usaremos diversos amperiacutemetros de uma mesma marca e modelo em uma seacuterie de experimentos (Minipa ET-2075B) Por isso eacute interessante que conheccedilamos a resistecircncia eleacutetrica deles para podermos avaliar quando podemos desprezaacute-la e quando natildeo Mas como podemos obter essa informaccedilatildeo Podemos medi-la Um procedimento simples para isso eacute submeter o amperiacutemetro a uma diferenccedila de potencial ΔV conhecida e medir a corrente eleacutetrica i que passa por ele Desse modo podemos usar a Eq 1 para inferir a resistecircncia eleacutetrica do equipamento Mas podemos confiar em uma uacutenica medida Depende da precisatildeo de que necessitamos para essa medida Intuitivamente sabemos que se medirmos a resistecircncia interna a partir de um conjunto de dados poderemos ter uma maior confiabilidade nos dados No exemplo de que estamos tratando eacute possiacutevel se coletar dados da corrente no amperiacutemetro quando submetido a diferentes tensotildees Desse modo pode-se inferir a resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro pela declividade da reta constituiacuteda
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
44
pelos dados representados em um graacutefico da tensatildeo em funccedilatildeo da corrente eleacutetrica como pode ser constatado da Eq1 No entanto como temos incertezas associadas a cada dado experimental coletado esses dados natildeo seratildeo perfeitamente representados por uma reta Surge entatildeo uma nova questatildeo qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados
Ajuste de Curvas
Diversas retas podem ser ajustadas a um conjunto de dados experimental Qual delas utilizar Intuitivamente podemos conjecturar que a melhor reta a ser utilizada eacute aquela tal que a soma das diferenccedilas entre os valores de tensatildeo medidos e os preditos pela reta tenha o menor valor possiacutevel Em outras palavras queremos minimizar a soma
sum = = (∆Sz minus ∆S)z-
onde ∆Sz satildeo as tensotildees medidas e ∆S satildeo as tensotildees preditas pela reta ajustada
No entanto haacute um inconveniente importante no uso desse criteacuterio tal soma pode ser bem pequena para retas que natildeo apresentam bom ajuste aos dados se as diferenccedilas entre os valores medidos e os preditos se cancelarem sendo alguns positivos e outros negativos Nesses casos apesar de natildeo termos uma reta bem ajustada aos dados o criteacuterio utilizado
indicaria que sim Como resolver isso Elevando os valores de dn ao
Figura 1 - Diferenccedila de potencial em funccedilatildeo
da corrente
Manual de Laboratoacuterio
45
quadrado Ou seja podemos procurar a reta tal que a seguinte soma tenha o menor valor possiacutevel
sum =$ = (∆Sz minus ∆S)$z-
O meacutetodo que utiliza esse criteacuterio para a realizaccedilatildeo de ajustes de curvas que eacute amplamente utilizado no meio acadecircmico eacute denominado Meacutetodo dos Miacutenimos Quadrados Todos os softwares do tipo planilha eletrocircnica realizam esse caacutelculo automaticamente e nos valeremos disso quando necessaacuterio
Todos os amperiacutemetros da sala possuem a mesma resistecircncia interna
Ainda que todos os amperiacutemetros que utilizaremos nas nossas aulas sejam da mesma marca e modelo eles possuem diferentes resistecircncias internas Existe alguma forma de estimar a resistecircncia interna de um desses amperiacutemetros escolhido aleatoriamente Calcular a meacutedia das resistecircncias eacute suficiente para realizar essa estimativa
Variabilidade das medidas o desvio padratildeo amostral e da meacutedia
Apesar de as resistecircncias dos amperiacutemetros natildeo serem exatamente as mesmas elas possuem valores que se distribuem em torno de um valor meacutedio que eacute igual agrave meacutedia dessas resistecircncias Desse modo se tomarmos um dos amperiacutemetros aleatoriamente o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute igual agrave meacutedia das resistecircncias internas de todos os amperiacutemetros Mas quanto podemos confiar nessa estimativa Para respondermos tal pergunta eacute importante quantificarmos a variabilidade das resistecircncias r que medimos Quanto menor for essa variabilidade maior seraacute a nossa confianccedila para assumir que a resistecircncia interna de um amperiacutemetro particular eacute igual agrave meacutedia Intuitivamente podemos conjecturar que tal variabilidade pode ser medida pelo somatoacuterio das diferenccedilas entre as resistecircncias
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
46
medidas z e a meacutedia dessas resistecircncias ou seja por (- minus ) + ($ minus ) + ⋯ + ( minus ) onde N eacute o nuacutemero de medidas realizadas No entanto temos aqui um inconveniente semelhante ao que tivemos quando analisaacutevamos ajustes de curvas se valores positivos e negativos se cancelarem esse somatoacuterio pode ser muito pequeno mesmo quando os dados apresentam grande variabilidade Podemos propor a mesma soluccedilatildeo adotada anteriormente vamos elevar os termos ao quadrado Temos entatildeo a variabilidade dos dados sendo mensurada por (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$
A impossibilidade de comparaccedilatildeo entre as variabilidades de diferentes conjuntos de dados eacute a limitaccedilatildeo desta proposta pois o resultado desse somatoacuterio eacute altamente dependente da quantidade de termos Desse modo eacute possiacutevel que esse somatoacuterio seja maior para grandes conjuntos com pouca variabilidade do que para pequenos grupos com grande variabilidade Para amenizar tal limitaccedilatildeo podemos entatildeo dividir o somatoacuterio por N ou seja calcular a variabilidade por(- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$ Hfrasl Ainda que esse somatoacuterio seja conceitualmente interessante natildeo eacute essa a medida de dispersatildeo de dados que costuma ser utilizada no meio cientiacutefico mas algo que guarda alguma semelhanccedila com ele o desvio padratildeo dos dados (P) Ele eacute calculado por
PL = (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$H minus 1
Mas por que utilizamos essa equaccedilatildeo A resposta estaacute em suas propriedades Quando construiacutemos um histograma (graacutefico de frequecircncias) de um conjunto de medidas por exemplo podemos em muitos casos assumir que a distribuiccedilatildeo desses dados eacute representada por uma distribuiccedilatildeo normal A equaccedilatildeo que define essa distribuiccedilatildeo assim como sua representaccedilatildeo graacutefica eacute ilustrada na Figura 3
Manual de Laboratoacuterio
47
Natildeo eacute nosso objetivo aqui discutir detalhes da distribuiccedilatildeo normal O que desejamos destacar eacute que quando supomos que a distribuiccedilatildeo de um conjunto de dados eacute normal o que eacute bastante razoaacutevel na maioria das vezes o desvio padratildeo σ quantifica como os dados estatildeo distribuiacutedos Para entendermos isso analisemos a Figura 4
O intervalo compreendido pela meacutedia das medidas mais ou menos um desvio padratildeo compreende 68 das medidas realizadas No caso que estamos exemplificando se tomarmos a meacutedia das resistecircncias internas r de todos os amperiacutemetros investigados e o desvio padratildeo PL desses dados 68 das medidas estaratildeo no intervalo entre ( minus PL) e ( + PL) 95 no intervalo ( 2PL) e 99 no intervalo ( 257PL)
Figura 2 - A distribuiccedilatildeo normal eacute usualmente utilizada para representar a distribuiccedilatildeo
de frequecircncias de um conjunto de dados (Lima Jr et al 2013 p 30)
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
48
Agora jaacute sabemos como quantificar a variabilidade de um conjunto de dados Podemos entatildeo calcular a meacutedia e o desvio padratildeo das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros Mas surge entatildeo uma questatildeo Se analisaacutessemos um novo conjunto de amperiacutemetros da mesma marca e modelo dos exemplificados aqui a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros seria a mesma Provavelmente natildeo Temos como estimar a partir do conjunto de medidas que realizamos a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros Temos Para responder a essa questatildeo temos que compreender um novo conceito o de desvio padratildeo da meacutedia (PL) Ele eacute calculado por
PL = PLradicH
Natildeo vamos entrar em detalhes aqui sobre a origem do conceito de desvio padratildeo da meacutedia1 vamos apenas explicar como essa grandeza nos permite estimar a incerteza na meacutedia de um conjunto de medidas Para isso vamos supor um novo conjunto de N novas
1 Se vocecirc eacute um aluno curioso pesquise sobre o Teorema Central do Limite para compreender com mais profundidade o conceito de desvio padratildeo da meacutedia
Figura 3 - A meacutedia e o desvio padratildeo demarcam a distribuiccedilatildeo dos dados em uma
distribuiccedilatildeo normal Na figura o eixo das abcissas expressa a distacircncia da meacutedia em
unidades de desvio padratildeo (Lima Jr et al 2013 p 30)
Manual de Laboratoacuterio
49
medidas da resistecircncia interna de amperiacutemetros como os investigados nesta aula Qual seria a meacutedia dessas medidas Assim como o desvio padratildeo dos dados quantifica a dispersatildeo dos dados em torno da meacutedia o desvio padratildeo da meacutedia quantifica a dispersatildeo das meacutedias de subconjuntos de dados em torno da meacutedia de todo o conjunto de dados Aplicando esse conceito ao nosso exemplo podemos interpretar os dois conjuntos de medidas de resistecircncias internas como subconjuntos de um grande conjunto contendo todas as medidas Desse modo podemos afirmar com 68 de confianccedila que a meacutedia das N novas medidas a serem realizadas estaraacute no intervalo compreendido por ( PL) com 95 de confianccedila no intervalo ( 2PL) e com 99 de confianccedila no intervalo ( 257PL) O desvio padratildeo da meacutedia pode ser compreendido assim como a incerteza da meacutedia de um conjunto de medidas ou seja ele nos fornece uma estimativa da confiabilidade de uma meacutedia Em suma se escolhermos um amperiacutemetro aleatoriamente podemos dizer que i) o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute a meacutedia das resistecircncias de todos os amperiacutemetros e ii) a incerteza que temos nesse valor eacute igual ao desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias dos amperiacutemetros
E se eu soacute tivesse condiccedilotildees de realizar uma uacutenica medida
Nem sempre podemos realizar diversas medidas de uma grandeza Em alguns casos nem mesmo faz sentido realizar diversas medidas No entanto eacute evidente que existe uma incerteza associada a uma uacutenica medida Natildeo existem instrumentos que sejam perfeitamente precisos Entatildeo como podemos estimar essa incerteza Usualmente os manuais dos instrumentos trazem informaccedilotildees sobre isso Desse modo as incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica realizadas com um voltiacutemetro e um amperiacutemetro podem ser consultadas no manual do multiacutemetro utilizado Mas como eacute calculada a incerteza da resistecircncia interna de um amperiacutemetro que foi calculada a partir de
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
50
apenas uma medida de tensatildeo e uma de corrente eleacutetrica Nesse caso precisamos calcular a incerteza propagada das incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica
Os meacutetodos de caacutelculo de incertezas propagadas podem ser bastante complicados Aqui trataremos de um meacutetodo bastante simples usualmente denominado de Meacutetodo dos Limites Vamos exemplificaacute-lo supondo que a incerteza da tensatildeo sobre as entradas do amperiacutemetro eacute P- e da corrente eleacutetrica que circula por ele eacute P$ Ou seja a tensatildeo medida estaacute no intervalo entre ∆S minus P- e ∆S + P- e a corrente eleacutetrica entre i minus P$ e i + P$ Qual eacute entatildeo a incerteza da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro investigado Para responder isso basta calcularmos os valores limites dessa grandeza O maacuteximo valor possiacutevel para a resistecircncia ocorreraacute se a tensatildeo for ∆S + P- e a corrente eleacutetrica for i minus P$ Nesse caso usando a Eq 1 temos
aacutee = ∆S + P-i minus P$
Usando o mesmo raciociacutenio o valor miacutenimo de r seraacute
z = ∆S minus P-i + P$
Desse modo podemos dizer que o valor da resistecircncia interna medida estaacute no intervalo entre rmaacutex e rmiacuten Em outras palavras o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro eacute
F = iexclz + aacutee2 z minus aacutee2 cent
Manual de Laboratoacuterio
51
Erro eacute a mesma coisa que incerteza
Apesar de serem frequentemente utilizados como sinocircnimos os manuais de metrologia atribuem significados distintos aos conceitos de ldquoerrordquo e ldquoincertezardquo O Guia para Expressatildeo da Incerteza da Mediccedilatildeo (Joint Commitee for Guide in Metrology 2008 apud Lima Jr et al 2013) usa o termo ldquoerrordquo para indicar a diferenccedila entre o valor verdadeiro e o resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo o conceito de erro tem uso restrito pois satildeo poucos os casos em que conhecemos o valor verdadeiro de uma grandeza Satildeo exemplos desses casos experimentos em que se deseja mensurar a velocidade da luz no vaacutecuo ou o valor de π que satildeo valores previamente conhecidos pelo experimentador O caacutelculo do erro soacute faz sentido para casos em que sabemos o valor verdadeiro da grandeza que se quer medir
A incerteza por outro lado eacute entendida como uma estimativa que quantifica a confiabilidade do resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo quando calculamos o desvio padratildeo da meacutedia de um conjunto de medidas estamos calculando a incerteza da meacutedia dessas medidas ou seja estamos avaliando a confianccedila que podemos ter em adotar a meacutedia dessas medidas como o valor da grandeza mensurada O conceito de incerteza portanto tem maior aplicabilidade do que o conceito de erro
Algarismos significativos e incerteza
Uma questatildeo frequente nas aulas de laboratoacuterio eacute Com quantos algarismos uma grandeza deve ser apresentada No laboratoacuterio a resposta dessa questatildeo eacute uma funccedilatildeo da incerteza da grandeza Devemos apresentar os dados ateacute o seu primeiro algarismo duvidoso Voltemos ao exemplo da resistecircncia interna dos amperiacutemetros Suponhamos que a meacutedia das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros eacute 21546 Ω e o desvio padratildeo dessa meacutedia que eacute
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
52
entendido aqui como a incerteza da resistecircncia interna dos amperiacutemetros eacute 003 Ω Interpretando tais dados assumimos com 68 de certeza que a resistecircncia interna dos amperiacutemetros estaacute no intervalo entre 21246 e 21846 Ω Desse modo a segunda casa decimal da grandeza medida eacute duvidosa Por isso os algarismos subsequentes satildeo omitidos quando expressamos essa medida e a medida da resistecircncia interna dos amperiacutemetros exemplificados eacute exposta por (215 plusmn 003) Ω Em suma o resultado de uma mediccedilatildeo deve ser sempre expresso com a mesma quantidade de casas decimais que sua incerteza Os algarismos apresentados satildeo entatildeo chamados de algarismos significativos
Referecircncia
Lima Jr P Silva M T X Silveira F L Veit E A (2013) Laboratoacuterio de mecacircnica subsiacutedios para o ensino de Fiacutesica experimental Porto Alegre UFRGS Instituto de Fiacutesica Disponiacutevel em httphdlhandlenet1018390438
Manual de Laboratoacuterio
53
Atividade de Laboratoacuterio I Instrumentos de medida e incertezas
Este material foi cuidadosamente preparado para auxiliar no andamento das atividades no laboratoacuterio de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo Eacute importante responder TODAS as perguntas
(indicadas pelo siacutembolo ) feitas ao longo do texto discutindo com seu grupo possiacuteveis respostas e justificando-as Sempre que possiacutevel faccedila isso por escrito
TAREFA 1
Construa um circuito contendo um resistor de 1 kΩ em seacuterie com uma fonte de tensatildeo contiacutenua e um multiacutemetro Coloque o multiacutemetro na funccedilatildeo amperiacutemetro na escala de miliampere Usando outro multiacutemetro meccedila a tensatildeo no amperiacutemetro Realize medidas com diferentes correntes eleacutetricas variando a tensatildeo de saiacuteda da fonte
Como podemos tratar esses dados se nosso objetivo eacute medir a resistecircncia interna do amperiacutemetro
Qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
54
Para responder essas questotildees se dirija a um dos computadores da sala e use um aplicativo que possibilite a construccedilatildeo de graacuteficos SciDavis por exemplo Insira seus dados no aplicativo construa o graacutefico desejado e encontre a melhor reta que se ajusta aos dados
Qual foi a melhor reta ajustada Determine a equaccedilatildeo dessa reta ajustada
Qual eacute o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro que vocecirc investigou
TAREFA 2
Utilize as medidas de todos os grupos da turma e aplique os conhecimentos abordados na tarefa de leitura para responder as seguintes questotildees
Qual deve ser a resistecircncia interna de um amperiacutemetro escolhido aleatoriamente entre os utilizados nesta aula
Qual eacute a incerteza desse valor
TAREFA 3
Suponha que o manual do Minipa ET-2075B informe que as medidas de tensatildeo e corrente realizadas nas faixas de milivolt e miliampere tecircm incerteza de 3 Use esses dados para calcular a
Manual de Laboratoacuterio
55
incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1
Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma
Elas satildeo coerentes Por quecirc
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
56
CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO
Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por
equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC
Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras
O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se
Manual de Laboratoacuterio
57
extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo
No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador
Salvando vidas
ldquoafastem-se choquerdquo
Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de
sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos
O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo
Figura 4 - Desfibrilador
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
58
esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)
Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma
sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o
miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia
Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2
2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387
Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)
Manual de Laboratoacuterio
59
Circuito RC - seacuterie
Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C
Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que
∆S(c) + i(c)F = 0
Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo
i(c) = =C(c)=c
e a ddp no capacitor eacute dada por
∆S(c) = C(c)D
Dessa forma podemos dizer que
=C(c)=c = minus 1FD C(c)
Figura 6 - Circuito RC
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
60
Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa
funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja
derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever
C(c) = C7 ou
A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial
Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir
Capacitor Carregando Capacitor Descarregando
∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0
C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou
∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou
Manual de Laboratoacuterio
61
Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8
Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo
eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum
3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78
Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas
do capacitor durante o processo de
carga ou descarga
Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um
graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo
do tempo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
62
Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no
capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte
Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor
quando o mesmo estaacute sendo carregado
Manual de Laboratoacuterio
63
Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie
1 - Osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos
2 ndash Aparato Experimental
Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
64
conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto
Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)
Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio
Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees
Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala
Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)
Manual de Laboratoacuterio
65
TAREFA 1
Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees
Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico
Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito
Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito
Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos
Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio
TAREFA 2
Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie
Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
66
figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)
Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados
Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo
NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo
Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste
Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito
Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito
Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles
Manual de Laboratoacuterio
67
MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS
Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais
Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio
Para onde aponta a buacutessola
Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
68
polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc
E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial
tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos
que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a
soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio
4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja
httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4
Figura 10 - Buacutessola
Figura 11 - campo B resultante
Manual de Laboratoacuterio
69
Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por
umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O
Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde
Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde
Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma
iacuteatilde() = ∙
onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde
5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass
The Physics Teacher 49(1) 45-48
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
70
Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como
iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2
Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos
gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)
Logo
gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2
Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo
iacuteatilde() = amp
Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse
tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira
na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart
Manual de Laboratoacuterio
71
pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do
que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute
yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp
onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico
da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos
yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp
Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
72
Atividade de Laboratoacuterio III Projeto
OBJETIVO
Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
73
SUGESTAtildeO 1
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO
Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas
Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece
Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha
Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo
por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o
eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
74
SUGESTAtildeO 2
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA
Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)
Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica
Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de
uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)
Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema
Manual de Laboratoacuterio
75
SUGESTAtildeO 3
BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO
Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola
Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)
Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina
O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
76
SUGESTAtildeO 4
CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO
O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer
Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
77
MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO
Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro
Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental
6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
78
110 V 127 V e 220 V O que eacute isso
As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V
Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas
A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
(c) = Jgt(c + acute)
onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por
∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)
Manual de Laboratoacuterio
79
onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1
Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho
Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores
Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
80
caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por
∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf
∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712
∆Suparamiddot = ∆S7radic2
Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a
tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s
A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente
alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$
Figura 13 - Funccedilotildees seno e
seno quadrado
Manual de Laboratoacuterio
81
COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA
Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz
Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O
Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
82
que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio
Natildeo queremos jogar energia fora
Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14
Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie
Manual de Laboratoacuterio
83
Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por
0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)
onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)
Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
ℇ(c) = ℇ7gt(c)
onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente
Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na
figura 16 para um caso em que VL gt VC
Figura 15 - Diagrama de fasores
de um circuito RLC seacuterie com
fonte de tensatildeo alternada
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
84
A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que
acute = c8 S minus SSu
Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado
por
i(c) = gt(c minus acute)
Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente
as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que
ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$
ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$
Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como
0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)
Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que
0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$
Figura 16 ndash Soma de fasores
Manual de Laboratoacuterio
85
0eacutey = F ∙ uparamiddot$
onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square
Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que
F = frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte
Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade
7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL
Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e
resistecircncia num diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
86
do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como
0 = AJradicAJ$ + AF$
O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP
DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11
Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia
Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por
acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita
Manual de Laboratoacuterio
87
2 = 1D
Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica
Figura 18 - diagramas de fasores representando
um circuito capacitivo e um circuito indutivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
88
Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie
O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio
TAREFA 1
Circuito Resistivo
Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR
Manual de Laboratoacuterio
89
Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)
O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador
Circuito Capacitivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
90
Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor
Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Manual de Laboratoacuterio
91
Circuito Indutivo
Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor
O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
92
Circuito RLC
Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise
Manual de Laboratoacuterio
93
O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador
Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio
O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior
Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor
Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou
A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
94
TAREFA 2
Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente
Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir
Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima
Qual o valor da corrente maacutexima no circuito
Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)
O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique
Manual de Laboratoacuterio
95
TAREFA 3
Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito
Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees
Como isso eacute possiacutevel Explique
Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff
Respostas
96
Respostas
A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32
A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH
A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH
B3 Ae = Af = AtildeAcircf
B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl
B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH
B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l
B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD
B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -
C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc
(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7
C2 O = ~13deg
C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)
Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-
vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr
Respostas
97
C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM
C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD
(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD
C6 A = Eacute$Acirc
C7 A = Atilde$AcircL
D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma
das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp
D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(
D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1
no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)
D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme
D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D
E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)
E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D
E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml
F1 544 times 10
F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S
F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM
u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM
u (e) 0 = ℇMu
F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω
Respostas
98
F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965
G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n
G5 i = Ograve$g = 245 J
G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y
G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez
G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H
G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)
G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)
G15 (a) zL$brvbarM (b)
z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero
G16 z$L + z$L = z$L - + 1
G17 (a) pLM
amp (b) pusup3
ampL
G18 zzMu
G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)
z
G20 zNu saindo da folha
G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)
UgraveLMamp
fora do fio (a) z$L (b)
UgravebrvbarM$L (c)
Ugravebrvbarsup3ampL
G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13
G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM
ampu
H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior
Respostas
99
H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a
H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J
I2 Φ = pound$ sup1amp
I4 C = AcircsM
I6 (a) zM
NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar
J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a
(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S
J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu
(c) = -radic
J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm
(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013
Respostas
100
Bibliografia
Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il
Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il
Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il
Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm
Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il
Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il
Manual de Laboratoacuterio
41
O PROCESSO DE MEDIDA NO LABORATOacuteRIO DE FIacuteSICA
Natildeo satildeo raros eventos em que nos valemos de medidas para tomarmos decisotildees Medimos nossa temperatura corporal para avaliarmos se necessitamos de tratamento Medimos a pressatildeo manomeacutetrica dos pneus para avaliarmos se precisamos injetar ou retirar ar neles Consultamos medidas da temperatura ambiente para escolhermos a roupa que vestiremos Consultamos o horaacuterio (medida de tempo) para natildeo chegarmos atrasados em encontros Medidas satildeo portanto fundamentais em nossas vidas No entanto usualmente natildeo nos preocupamos muito com a precisatildeo dessas medidas Em grande parte das vezes natildeo nos interessa saber se o horaacuterio informado no reloacutegio estaacute um pouco atrasado ou adiantado Natildeo nos preocupamos em saber o quanto podemos confiar nas temperaturas coletadas com um determinado termocircmetro Nossas medidas comumente satildeo realizadas de forma despretensiosa sem muito rigor
No laboratoacuterio de Fiacutesica isso ocorre de modo muito diferente Os processos de mediccedilatildeo satildeo mais minuciosos do que os que realizamos costumeiramente Desejamos obter a maior precisatildeo possiacutevel com os equipamentos de que dispomos Mas como fazer isso Como podemos melhorar a precisatildeo dos processos de mediccedilatildeo Intuitivamente podemos concluir que inferecircncias realizadas a partir de um conjunto de medidas satildeo mais precisas do que medidas isoladas Mas quando disponho de um conjunto de medidas como posso analisaacute-las Calcular a meacutedia delas eacute suficiente Responder a questotildees como essas eacute o objetivo desta atividade Para exemplificarmos todo esse processo realizaremos um debate sobre a mediccedilatildeo da resistecircncia interna de amperiacutemetros
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
42
O que satildeo amperiacutemetros
Um amperiacutemetro eacute um instrumento utilizado para a realizaccedilatildeo de medidas de correntes eleacutetricas Evidentemente natildeo queremos modificar os circuitos quando os exploramos com um instrumento Com amperiacutemetros natildeo eacute diferente Queremos medir correntes eleacutetricas sem alterar as caracteriacutesticas do circuito Mas como eacute possiacutevel fazer isso Natildeo discutiremos aqui os detalhes sobre o funcionamento interno de um amperiacutemetro No entanto vamos avaliaacute-los do ponto de vista de uma das suas caracteriacutesticas mais importantes a sua resistecircncia eleacutetrica
A resistecircncia eleacutetrica de um circuito influencia na intensidade da corrente eleacutetrica que circula nele A corrente eleacutetrica i que perpassa por uma resistecircncia eleacutetrica F submetida a uma tensatildeo ∆S por exemplo pode ser predita pela seguinte relaccedilatildeo
i = ∆u Eq 1
O amperiacutemetro precisa ser posicionado em seacuterie no circuito em que se deseja medir a corrente eleacutetrica como eacute exemplificado na figura
Figure 1- Medindo a resistecircncia interna de um multiacutemetro
Manual de Laboratoacuterio
43
1 Como a resistecircncia equivalente em circuitos em seacuteries eacute a soma da resistecircncia eleacutetrica de cada um dos seus componentes a resistecircncia interna dos amperiacutemetros se soma agrave resistecircncia equivalente do circuito investigado alterando a sua dinacircmica Por isso nosso desejo eacute que os amperiacutemetros tenham resistecircncia eleacutetrica nula No entanto a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro real por menor que seja nunca eacute nula Eles possuem um circuito interno com fios e diversos componentes eletrocircnicos que acabam provocando uma resistecircncia agrave circulaccedilatildeo de corrente eleacutetrica Ainda assim frequentemente desprezamos tal resistecircncia Seraacute que isso eacute razoaacutevel Quando podemos desprezar a resistecircncia interna dos amperiacutemetros e quando natildeo podemos Para respondermos tais perguntas precisamos conhecer o valor da resistecircncia interna tiacutepica de um amperiacutemetro
Medindo a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro
Nesta disciplina usaremos diversos amperiacutemetros de uma mesma marca e modelo em uma seacuterie de experimentos (Minipa ET-2075B) Por isso eacute interessante que conheccedilamos a resistecircncia eleacutetrica deles para podermos avaliar quando podemos desprezaacute-la e quando natildeo Mas como podemos obter essa informaccedilatildeo Podemos medi-la Um procedimento simples para isso eacute submeter o amperiacutemetro a uma diferenccedila de potencial ΔV conhecida e medir a corrente eleacutetrica i que passa por ele Desse modo podemos usar a Eq 1 para inferir a resistecircncia eleacutetrica do equipamento Mas podemos confiar em uma uacutenica medida Depende da precisatildeo de que necessitamos para essa medida Intuitivamente sabemos que se medirmos a resistecircncia interna a partir de um conjunto de dados poderemos ter uma maior confiabilidade nos dados No exemplo de que estamos tratando eacute possiacutevel se coletar dados da corrente no amperiacutemetro quando submetido a diferentes tensotildees Desse modo pode-se inferir a resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro pela declividade da reta constituiacuteda
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
44
pelos dados representados em um graacutefico da tensatildeo em funccedilatildeo da corrente eleacutetrica como pode ser constatado da Eq1 No entanto como temos incertezas associadas a cada dado experimental coletado esses dados natildeo seratildeo perfeitamente representados por uma reta Surge entatildeo uma nova questatildeo qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados
Ajuste de Curvas
Diversas retas podem ser ajustadas a um conjunto de dados experimental Qual delas utilizar Intuitivamente podemos conjecturar que a melhor reta a ser utilizada eacute aquela tal que a soma das diferenccedilas entre os valores de tensatildeo medidos e os preditos pela reta tenha o menor valor possiacutevel Em outras palavras queremos minimizar a soma
sum = = (∆Sz minus ∆S)z-
onde ∆Sz satildeo as tensotildees medidas e ∆S satildeo as tensotildees preditas pela reta ajustada
No entanto haacute um inconveniente importante no uso desse criteacuterio tal soma pode ser bem pequena para retas que natildeo apresentam bom ajuste aos dados se as diferenccedilas entre os valores medidos e os preditos se cancelarem sendo alguns positivos e outros negativos Nesses casos apesar de natildeo termos uma reta bem ajustada aos dados o criteacuterio utilizado
indicaria que sim Como resolver isso Elevando os valores de dn ao
Figura 1 - Diferenccedila de potencial em funccedilatildeo
da corrente
Manual de Laboratoacuterio
45
quadrado Ou seja podemos procurar a reta tal que a seguinte soma tenha o menor valor possiacutevel
sum =$ = (∆Sz minus ∆S)$z-
O meacutetodo que utiliza esse criteacuterio para a realizaccedilatildeo de ajustes de curvas que eacute amplamente utilizado no meio acadecircmico eacute denominado Meacutetodo dos Miacutenimos Quadrados Todos os softwares do tipo planilha eletrocircnica realizam esse caacutelculo automaticamente e nos valeremos disso quando necessaacuterio
Todos os amperiacutemetros da sala possuem a mesma resistecircncia interna
Ainda que todos os amperiacutemetros que utilizaremos nas nossas aulas sejam da mesma marca e modelo eles possuem diferentes resistecircncias internas Existe alguma forma de estimar a resistecircncia interna de um desses amperiacutemetros escolhido aleatoriamente Calcular a meacutedia das resistecircncias eacute suficiente para realizar essa estimativa
Variabilidade das medidas o desvio padratildeo amostral e da meacutedia
Apesar de as resistecircncias dos amperiacutemetros natildeo serem exatamente as mesmas elas possuem valores que se distribuem em torno de um valor meacutedio que eacute igual agrave meacutedia dessas resistecircncias Desse modo se tomarmos um dos amperiacutemetros aleatoriamente o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute igual agrave meacutedia das resistecircncias internas de todos os amperiacutemetros Mas quanto podemos confiar nessa estimativa Para respondermos tal pergunta eacute importante quantificarmos a variabilidade das resistecircncias r que medimos Quanto menor for essa variabilidade maior seraacute a nossa confianccedila para assumir que a resistecircncia interna de um amperiacutemetro particular eacute igual agrave meacutedia Intuitivamente podemos conjecturar que tal variabilidade pode ser medida pelo somatoacuterio das diferenccedilas entre as resistecircncias
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
46
medidas z e a meacutedia dessas resistecircncias ou seja por (- minus ) + ($ minus ) + ⋯ + ( minus ) onde N eacute o nuacutemero de medidas realizadas No entanto temos aqui um inconveniente semelhante ao que tivemos quando analisaacutevamos ajustes de curvas se valores positivos e negativos se cancelarem esse somatoacuterio pode ser muito pequeno mesmo quando os dados apresentam grande variabilidade Podemos propor a mesma soluccedilatildeo adotada anteriormente vamos elevar os termos ao quadrado Temos entatildeo a variabilidade dos dados sendo mensurada por (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$
A impossibilidade de comparaccedilatildeo entre as variabilidades de diferentes conjuntos de dados eacute a limitaccedilatildeo desta proposta pois o resultado desse somatoacuterio eacute altamente dependente da quantidade de termos Desse modo eacute possiacutevel que esse somatoacuterio seja maior para grandes conjuntos com pouca variabilidade do que para pequenos grupos com grande variabilidade Para amenizar tal limitaccedilatildeo podemos entatildeo dividir o somatoacuterio por N ou seja calcular a variabilidade por(- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$ Hfrasl Ainda que esse somatoacuterio seja conceitualmente interessante natildeo eacute essa a medida de dispersatildeo de dados que costuma ser utilizada no meio cientiacutefico mas algo que guarda alguma semelhanccedila com ele o desvio padratildeo dos dados (P) Ele eacute calculado por
PL = (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$H minus 1
Mas por que utilizamos essa equaccedilatildeo A resposta estaacute em suas propriedades Quando construiacutemos um histograma (graacutefico de frequecircncias) de um conjunto de medidas por exemplo podemos em muitos casos assumir que a distribuiccedilatildeo desses dados eacute representada por uma distribuiccedilatildeo normal A equaccedilatildeo que define essa distribuiccedilatildeo assim como sua representaccedilatildeo graacutefica eacute ilustrada na Figura 3
Manual de Laboratoacuterio
47
Natildeo eacute nosso objetivo aqui discutir detalhes da distribuiccedilatildeo normal O que desejamos destacar eacute que quando supomos que a distribuiccedilatildeo de um conjunto de dados eacute normal o que eacute bastante razoaacutevel na maioria das vezes o desvio padratildeo σ quantifica como os dados estatildeo distribuiacutedos Para entendermos isso analisemos a Figura 4
O intervalo compreendido pela meacutedia das medidas mais ou menos um desvio padratildeo compreende 68 das medidas realizadas No caso que estamos exemplificando se tomarmos a meacutedia das resistecircncias internas r de todos os amperiacutemetros investigados e o desvio padratildeo PL desses dados 68 das medidas estaratildeo no intervalo entre ( minus PL) e ( + PL) 95 no intervalo ( 2PL) e 99 no intervalo ( 257PL)
Figura 2 - A distribuiccedilatildeo normal eacute usualmente utilizada para representar a distribuiccedilatildeo
de frequecircncias de um conjunto de dados (Lima Jr et al 2013 p 30)
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
48
Agora jaacute sabemos como quantificar a variabilidade de um conjunto de dados Podemos entatildeo calcular a meacutedia e o desvio padratildeo das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros Mas surge entatildeo uma questatildeo Se analisaacutessemos um novo conjunto de amperiacutemetros da mesma marca e modelo dos exemplificados aqui a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros seria a mesma Provavelmente natildeo Temos como estimar a partir do conjunto de medidas que realizamos a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros Temos Para responder a essa questatildeo temos que compreender um novo conceito o de desvio padratildeo da meacutedia (PL) Ele eacute calculado por
PL = PLradicH
Natildeo vamos entrar em detalhes aqui sobre a origem do conceito de desvio padratildeo da meacutedia1 vamos apenas explicar como essa grandeza nos permite estimar a incerteza na meacutedia de um conjunto de medidas Para isso vamos supor um novo conjunto de N novas
1 Se vocecirc eacute um aluno curioso pesquise sobre o Teorema Central do Limite para compreender com mais profundidade o conceito de desvio padratildeo da meacutedia
Figura 3 - A meacutedia e o desvio padratildeo demarcam a distribuiccedilatildeo dos dados em uma
distribuiccedilatildeo normal Na figura o eixo das abcissas expressa a distacircncia da meacutedia em
unidades de desvio padratildeo (Lima Jr et al 2013 p 30)
Manual de Laboratoacuterio
49
medidas da resistecircncia interna de amperiacutemetros como os investigados nesta aula Qual seria a meacutedia dessas medidas Assim como o desvio padratildeo dos dados quantifica a dispersatildeo dos dados em torno da meacutedia o desvio padratildeo da meacutedia quantifica a dispersatildeo das meacutedias de subconjuntos de dados em torno da meacutedia de todo o conjunto de dados Aplicando esse conceito ao nosso exemplo podemos interpretar os dois conjuntos de medidas de resistecircncias internas como subconjuntos de um grande conjunto contendo todas as medidas Desse modo podemos afirmar com 68 de confianccedila que a meacutedia das N novas medidas a serem realizadas estaraacute no intervalo compreendido por ( PL) com 95 de confianccedila no intervalo ( 2PL) e com 99 de confianccedila no intervalo ( 257PL) O desvio padratildeo da meacutedia pode ser compreendido assim como a incerteza da meacutedia de um conjunto de medidas ou seja ele nos fornece uma estimativa da confiabilidade de uma meacutedia Em suma se escolhermos um amperiacutemetro aleatoriamente podemos dizer que i) o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute a meacutedia das resistecircncias de todos os amperiacutemetros e ii) a incerteza que temos nesse valor eacute igual ao desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias dos amperiacutemetros
E se eu soacute tivesse condiccedilotildees de realizar uma uacutenica medida
Nem sempre podemos realizar diversas medidas de uma grandeza Em alguns casos nem mesmo faz sentido realizar diversas medidas No entanto eacute evidente que existe uma incerteza associada a uma uacutenica medida Natildeo existem instrumentos que sejam perfeitamente precisos Entatildeo como podemos estimar essa incerteza Usualmente os manuais dos instrumentos trazem informaccedilotildees sobre isso Desse modo as incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica realizadas com um voltiacutemetro e um amperiacutemetro podem ser consultadas no manual do multiacutemetro utilizado Mas como eacute calculada a incerteza da resistecircncia interna de um amperiacutemetro que foi calculada a partir de
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
50
apenas uma medida de tensatildeo e uma de corrente eleacutetrica Nesse caso precisamos calcular a incerteza propagada das incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica
Os meacutetodos de caacutelculo de incertezas propagadas podem ser bastante complicados Aqui trataremos de um meacutetodo bastante simples usualmente denominado de Meacutetodo dos Limites Vamos exemplificaacute-lo supondo que a incerteza da tensatildeo sobre as entradas do amperiacutemetro eacute P- e da corrente eleacutetrica que circula por ele eacute P$ Ou seja a tensatildeo medida estaacute no intervalo entre ∆S minus P- e ∆S + P- e a corrente eleacutetrica entre i minus P$ e i + P$ Qual eacute entatildeo a incerteza da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro investigado Para responder isso basta calcularmos os valores limites dessa grandeza O maacuteximo valor possiacutevel para a resistecircncia ocorreraacute se a tensatildeo for ∆S + P- e a corrente eleacutetrica for i minus P$ Nesse caso usando a Eq 1 temos
aacutee = ∆S + P-i minus P$
Usando o mesmo raciociacutenio o valor miacutenimo de r seraacute
z = ∆S minus P-i + P$
Desse modo podemos dizer que o valor da resistecircncia interna medida estaacute no intervalo entre rmaacutex e rmiacuten Em outras palavras o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro eacute
F = iexclz + aacutee2 z minus aacutee2 cent
Manual de Laboratoacuterio
51
Erro eacute a mesma coisa que incerteza
Apesar de serem frequentemente utilizados como sinocircnimos os manuais de metrologia atribuem significados distintos aos conceitos de ldquoerrordquo e ldquoincertezardquo O Guia para Expressatildeo da Incerteza da Mediccedilatildeo (Joint Commitee for Guide in Metrology 2008 apud Lima Jr et al 2013) usa o termo ldquoerrordquo para indicar a diferenccedila entre o valor verdadeiro e o resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo o conceito de erro tem uso restrito pois satildeo poucos os casos em que conhecemos o valor verdadeiro de uma grandeza Satildeo exemplos desses casos experimentos em que se deseja mensurar a velocidade da luz no vaacutecuo ou o valor de π que satildeo valores previamente conhecidos pelo experimentador O caacutelculo do erro soacute faz sentido para casos em que sabemos o valor verdadeiro da grandeza que se quer medir
A incerteza por outro lado eacute entendida como uma estimativa que quantifica a confiabilidade do resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo quando calculamos o desvio padratildeo da meacutedia de um conjunto de medidas estamos calculando a incerteza da meacutedia dessas medidas ou seja estamos avaliando a confianccedila que podemos ter em adotar a meacutedia dessas medidas como o valor da grandeza mensurada O conceito de incerteza portanto tem maior aplicabilidade do que o conceito de erro
Algarismos significativos e incerteza
Uma questatildeo frequente nas aulas de laboratoacuterio eacute Com quantos algarismos uma grandeza deve ser apresentada No laboratoacuterio a resposta dessa questatildeo eacute uma funccedilatildeo da incerteza da grandeza Devemos apresentar os dados ateacute o seu primeiro algarismo duvidoso Voltemos ao exemplo da resistecircncia interna dos amperiacutemetros Suponhamos que a meacutedia das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros eacute 21546 Ω e o desvio padratildeo dessa meacutedia que eacute
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
52
entendido aqui como a incerteza da resistecircncia interna dos amperiacutemetros eacute 003 Ω Interpretando tais dados assumimos com 68 de certeza que a resistecircncia interna dos amperiacutemetros estaacute no intervalo entre 21246 e 21846 Ω Desse modo a segunda casa decimal da grandeza medida eacute duvidosa Por isso os algarismos subsequentes satildeo omitidos quando expressamos essa medida e a medida da resistecircncia interna dos amperiacutemetros exemplificados eacute exposta por (215 plusmn 003) Ω Em suma o resultado de uma mediccedilatildeo deve ser sempre expresso com a mesma quantidade de casas decimais que sua incerteza Os algarismos apresentados satildeo entatildeo chamados de algarismos significativos
Referecircncia
Lima Jr P Silva M T X Silveira F L Veit E A (2013) Laboratoacuterio de mecacircnica subsiacutedios para o ensino de Fiacutesica experimental Porto Alegre UFRGS Instituto de Fiacutesica Disponiacutevel em httphdlhandlenet1018390438
Manual de Laboratoacuterio
53
Atividade de Laboratoacuterio I Instrumentos de medida e incertezas
Este material foi cuidadosamente preparado para auxiliar no andamento das atividades no laboratoacuterio de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo Eacute importante responder TODAS as perguntas
(indicadas pelo siacutembolo ) feitas ao longo do texto discutindo com seu grupo possiacuteveis respostas e justificando-as Sempre que possiacutevel faccedila isso por escrito
TAREFA 1
Construa um circuito contendo um resistor de 1 kΩ em seacuterie com uma fonte de tensatildeo contiacutenua e um multiacutemetro Coloque o multiacutemetro na funccedilatildeo amperiacutemetro na escala de miliampere Usando outro multiacutemetro meccedila a tensatildeo no amperiacutemetro Realize medidas com diferentes correntes eleacutetricas variando a tensatildeo de saiacuteda da fonte
Como podemos tratar esses dados se nosso objetivo eacute medir a resistecircncia interna do amperiacutemetro
Qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
54
Para responder essas questotildees se dirija a um dos computadores da sala e use um aplicativo que possibilite a construccedilatildeo de graacuteficos SciDavis por exemplo Insira seus dados no aplicativo construa o graacutefico desejado e encontre a melhor reta que se ajusta aos dados
Qual foi a melhor reta ajustada Determine a equaccedilatildeo dessa reta ajustada
Qual eacute o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro que vocecirc investigou
TAREFA 2
Utilize as medidas de todos os grupos da turma e aplique os conhecimentos abordados na tarefa de leitura para responder as seguintes questotildees
Qual deve ser a resistecircncia interna de um amperiacutemetro escolhido aleatoriamente entre os utilizados nesta aula
Qual eacute a incerteza desse valor
TAREFA 3
Suponha que o manual do Minipa ET-2075B informe que as medidas de tensatildeo e corrente realizadas nas faixas de milivolt e miliampere tecircm incerteza de 3 Use esses dados para calcular a
Manual de Laboratoacuterio
55
incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1
Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma
Elas satildeo coerentes Por quecirc
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
56
CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO
Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por
equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC
Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras
O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se
Manual de Laboratoacuterio
57
extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo
No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador
Salvando vidas
ldquoafastem-se choquerdquo
Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de
sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos
O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo
Figura 4 - Desfibrilador
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
58
esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)
Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma
sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o
miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia
Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2
2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387
Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)
Manual de Laboratoacuterio
59
Circuito RC - seacuterie
Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C
Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que
∆S(c) + i(c)F = 0
Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo
i(c) = =C(c)=c
e a ddp no capacitor eacute dada por
∆S(c) = C(c)D
Dessa forma podemos dizer que
=C(c)=c = minus 1FD C(c)
Figura 6 - Circuito RC
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
60
Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa
funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja
derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever
C(c) = C7 ou
A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial
Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir
Capacitor Carregando Capacitor Descarregando
∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0
C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou
∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou
Manual de Laboratoacuterio
61
Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8
Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo
eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum
3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78
Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas
do capacitor durante o processo de
carga ou descarga
Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um
graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo
do tempo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
62
Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no
capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte
Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor
quando o mesmo estaacute sendo carregado
Manual de Laboratoacuterio
63
Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie
1 - Osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos
2 ndash Aparato Experimental
Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
64
conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto
Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)
Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio
Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees
Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala
Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)
Manual de Laboratoacuterio
65
TAREFA 1
Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees
Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico
Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito
Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito
Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos
Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio
TAREFA 2
Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie
Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
66
figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)
Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados
Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo
NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo
Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste
Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito
Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito
Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles
Manual de Laboratoacuterio
67
MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS
Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais
Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio
Para onde aponta a buacutessola
Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
68
polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc
E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial
tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos
que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a
soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio
4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja
httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4
Figura 10 - Buacutessola
Figura 11 - campo B resultante
Manual de Laboratoacuterio
69
Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por
umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O
Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde
Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde
Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma
iacuteatilde() = ∙
onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde
5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass
The Physics Teacher 49(1) 45-48
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
70
Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como
iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2
Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos
gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)
Logo
gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2
Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo
iacuteatilde() = amp
Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse
tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira
na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart
Manual de Laboratoacuterio
71
pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do
que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute
yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp
onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico
da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos
yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp
Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
72
Atividade de Laboratoacuterio III Projeto
OBJETIVO
Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
73
SUGESTAtildeO 1
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO
Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas
Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece
Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha
Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo
por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o
eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
74
SUGESTAtildeO 2
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA
Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)
Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica
Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de
uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)
Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema
Manual de Laboratoacuterio
75
SUGESTAtildeO 3
BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO
Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola
Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)
Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina
O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
76
SUGESTAtildeO 4
CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO
O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer
Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
77
MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO
Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro
Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental
6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
78
110 V 127 V e 220 V O que eacute isso
As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V
Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas
A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
(c) = Jgt(c + acute)
onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por
∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)
Manual de Laboratoacuterio
79
onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1
Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho
Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores
Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
80
caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por
∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf
∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712
∆Suparamiddot = ∆S7radic2
Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a
tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s
A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente
alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$
Figura 13 - Funccedilotildees seno e
seno quadrado
Manual de Laboratoacuterio
81
COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA
Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz
Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O
Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
82
que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio
Natildeo queremos jogar energia fora
Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14
Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie
Manual de Laboratoacuterio
83
Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por
0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)
onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)
Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
ℇ(c) = ℇ7gt(c)
onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente
Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na
figura 16 para um caso em que VL gt VC
Figura 15 - Diagrama de fasores
de um circuito RLC seacuterie com
fonte de tensatildeo alternada
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
84
A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que
acute = c8 S minus SSu
Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado
por
i(c) = gt(c minus acute)
Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente
as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que
ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$
ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$
Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como
0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)
Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que
0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$
Figura 16 ndash Soma de fasores
Manual de Laboratoacuterio
85
0eacutey = F ∙ uparamiddot$
onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square
Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que
F = frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte
Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade
7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL
Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e
resistecircncia num diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
86
do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como
0 = AJradicAJ$ + AF$
O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP
DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11
Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia
Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por
acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita
Manual de Laboratoacuterio
87
2 = 1D
Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica
Figura 18 - diagramas de fasores representando
um circuito capacitivo e um circuito indutivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
88
Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie
O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio
TAREFA 1
Circuito Resistivo
Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR
Manual de Laboratoacuterio
89
Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)
O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador
Circuito Capacitivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
90
Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor
Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Manual de Laboratoacuterio
91
Circuito Indutivo
Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor
O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
92
Circuito RLC
Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise
Manual de Laboratoacuterio
93
O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador
Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio
O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior
Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor
Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou
A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
94
TAREFA 2
Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente
Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir
Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima
Qual o valor da corrente maacutexima no circuito
Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)
O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique
Manual de Laboratoacuterio
95
TAREFA 3
Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito
Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees
Como isso eacute possiacutevel Explique
Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff
Respostas
96
Respostas
A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32
A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH
A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH
B3 Ae = Af = AtildeAcircf
B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl
B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH
B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l
B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD
B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -
C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc
(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7
C2 O = ~13deg
C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)
Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-
vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr
Respostas
97
C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM
C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD
(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD
C6 A = Eacute$Acirc
C7 A = Atilde$AcircL
D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma
das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp
D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(
D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1
no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)
D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme
D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D
E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)
E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D
E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml
F1 544 times 10
F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S
F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM
u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM
u (e) 0 = ℇMu
F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω
Respostas
98
F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965
G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n
G5 i = Ograve$g = 245 J
G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y
G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez
G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H
G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)
G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)
G15 (a) zL$brvbarM (b)
z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero
G16 z$L + z$L = z$L - + 1
G17 (a) pLM
amp (b) pusup3
ampL
G18 zzMu
G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)
z
G20 zNu saindo da folha
G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)
UgraveLMamp
fora do fio (a) z$L (b)
UgravebrvbarM$L (c)
Ugravebrvbarsup3ampL
G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13
G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM
ampu
H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior
Respostas
99
H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a
H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J
I2 Φ = pound$ sup1amp
I4 C = AcircsM
I6 (a) zM
NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar
J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a
(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S
J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu
(c) = -radic
J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm
(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013
Respostas
100
Bibliografia
Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il
Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il
Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il
Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm
Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il
Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il
Manual de Laboratoacuterio
43
1 Como a resistecircncia equivalente em circuitos em seacuteries eacute a soma da resistecircncia eleacutetrica de cada um dos seus componentes a resistecircncia interna dos amperiacutemetros se soma agrave resistecircncia equivalente do circuito investigado alterando a sua dinacircmica Por isso nosso desejo eacute que os amperiacutemetros tenham resistecircncia eleacutetrica nula No entanto a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro real por menor que seja nunca eacute nula Eles possuem um circuito interno com fios e diversos componentes eletrocircnicos que acabam provocando uma resistecircncia agrave circulaccedilatildeo de corrente eleacutetrica Ainda assim frequentemente desprezamos tal resistecircncia Seraacute que isso eacute razoaacutevel Quando podemos desprezar a resistecircncia interna dos amperiacutemetros e quando natildeo podemos Para respondermos tais perguntas precisamos conhecer o valor da resistecircncia interna tiacutepica de um amperiacutemetro
Medindo a resistecircncia eleacutetrica de um amperiacutemetro
Nesta disciplina usaremos diversos amperiacutemetros de uma mesma marca e modelo em uma seacuterie de experimentos (Minipa ET-2075B) Por isso eacute interessante que conheccedilamos a resistecircncia eleacutetrica deles para podermos avaliar quando podemos desprezaacute-la e quando natildeo Mas como podemos obter essa informaccedilatildeo Podemos medi-la Um procedimento simples para isso eacute submeter o amperiacutemetro a uma diferenccedila de potencial ΔV conhecida e medir a corrente eleacutetrica i que passa por ele Desse modo podemos usar a Eq 1 para inferir a resistecircncia eleacutetrica do equipamento Mas podemos confiar em uma uacutenica medida Depende da precisatildeo de que necessitamos para essa medida Intuitivamente sabemos que se medirmos a resistecircncia interna a partir de um conjunto de dados poderemos ter uma maior confiabilidade nos dados No exemplo de que estamos tratando eacute possiacutevel se coletar dados da corrente no amperiacutemetro quando submetido a diferentes tensotildees Desse modo pode-se inferir a resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro pela declividade da reta constituiacuteda
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
44
pelos dados representados em um graacutefico da tensatildeo em funccedilatildeo da corrente eleacutetrica como pode ser constatado da Eq1 No entanto como temos incertezas associadas a cada dado experimental coletado esses dados natildeo seratildeo perfeitamente representados por uma reta Surge entatildeo uma nova questatildeo qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados
Ajuste de Curvas
Diversas retas podem ser ajustadas a um conjunto de dados experimental Qual delas utilizar Intuitivamente podemos conjecturar que a melhor reta a ser utilizada eacute aquela tal que a soma das diferenccedilas entre os valores de tensatildeo medidos e os preditos pela reta tenha o menor valor possiacutevel Em outras palavras queremos minimizar a soma
sum = = (∆Sz minus ∆S)z-
onde ∆Sz satildeo as tensotildees medidas e ∆S satildeo as tensotildees preditas pela reta ajustada
No entanto haacute um inconveniente importante no uso desse criteacuterio tal soma pode ser bem pequena para retas que natildeo apresentam bom ajuste aos dados se as diferenccedilas entre os valores medidos e os preditos se cancelarem sendo alguns positivos e outros negativos Nesses casos apesar de natildeo termos uma reta bem ajustada aos dados o criteacuterio utilizado
indicaria que sim Como resolver isso Elevando os valores de dn ao
Figura 1 - Diferenccedila de potencial em funccedilatildeo
da corrente
Manual de Laboratoacuterio
45
quadrado Ou seja podemos procurar a reta tal que a seguinte soma tenha o menor valor possiacutevel
sum =$ = (∆Sz minus ∆S)$z-
O meacutetodo que utiliza esse criteacuterio para a realizaccedilatildeo de ajustes de curvas que eacute amplamente utilizado no meio acadecircmico eacute denominado Meacutetodo dos Miacutenimos Quadrados Todos os softwares do tipo planilha eletrocircnica realizam esse caacutelculo automaticamente e nos valeremos disso quando necessaacuterio
Todos os amperiacutemetros da sala possuem a mesma resistecircncia interna
Ainda que todos os amperiacutemetros que utilizaremos nas nossas aulas sejam da mesma marca e modelo eles possuem diferentes resistecircncias internas Existe alguma forma de estimar a resistecircncia interna de um desses amperiacutemetros escolhido aleatoriamente Calcular a meacutedia das resistecircncias eacute suficiente para realizar essa estimativa
Variabilidade das medidas o desvio padratildeo amostral e da meacutedia
Apesar de as resistecircncias dos amperiacutemetros natildeo serem exatamente as mesmas elas possuem valores que se distribuem em torno de um valor meacutedio que eacute igual agrave meacutedia dessas resistecircncias Desse modo se tomarmos um dos amperiacutemetros aleatoriamente o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute igual agrave meacutedia das resistecircncias internas de todos os amperiacutemetros Mas quanto podemos confiar nessa estimativa Para respondermos tal pergunta eacute importante quantificarmos a variabilidade das resistecircncias r que medimos Quanto menor for essa variabilidade maior seraacute a nossa confianccedila para assumir que a resistecircncia interna de um amperiacutemetro particular eacute igual agrave meacutedia Intuitivamente podemos conjecturar que tal variabilidade pode ser medida pelo somatoacuterio das diferenccedilas entre as resistecircncias
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
46
medidas z e a meacutedia dessas resistecircncias ou seja por (- minus ) + ($ minus ) + ⋯ + ( minus ) onde N eacute o nuacutemero de medidas realizadas No entanto temos aqui um inconveniente semelhante ao que tivemos quando analisaacutevamos ajustes de curvas se valores positivos e negativos se cancelarem esse somatoacuterio pode ser muito pequeno mesmo quando os dados apresentam grande variabilidade Podemos propor a mesma soluccedilatildeo adotada anteriormente vamos elevar os termos ao quadrado Temos entatildeo a variabilidade dos dados sendo mensurada por (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$
A impossibilidade de comparaccedilatildeo entre as variabilidades de diferentes conjuntos de dados eacute a limitaccedilatildeo desta proposta pois o resultado desse somatoacuterio eacute altamente dependente da quantidade de termos Desse modo eacute possiacutevel que esse somatoacuterio seja maior para grandes conjuntos com pouca variabilidade do que para pequenos grupos com grande variabilidade Para amenizar tal limitaccedilatildeo podemos entatildeo dividir o somatoacuterio por N ou seja calcular a variabilidade por(- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$ Hfrasl Ainda que esse somatoacuterio seja conceitualmente interessante natildeo eacute essa a medida de dispersatildeo de dados que costuma ser utilizada no meio cientiacutefico mas algo que guarda alguma semelhanccedila com ele o desvio padratildeo dos dados (P) Ele eacute calculado por
PL = (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$H minus 1
Mas por que utilizamos essa equaccedilatildeo A resposta estaacute em suas propriedades Quando construiacutemos um histograma (graacutefico de frequecircncias) de um conjunto de medidas por exemplo podemos em muitos casos assumir que a distribuiccedilatildeo desses dados eacute representada por uma distribuiccedilatildeo normal A equaccedilatildeo que define essa distribuiccedilatildeo assim como sua representaccedilatildeo graacutefica eacute ilustrada na Figura 3
Manual de Laboratoacuterio
47
Natildeo eacute nosso objetivo aqui discutir detalhes da distribuiccedilatildeo normal O que desejamos destacar eacute que quando supomos que a distribuiccedilatildeo de um conjunto de dados eacute normal o que eacute bastante razoaacutevel na maioria das vezes o desvio padratildeo σ quantifica como os dados estatildeo distribuiacutedos Para entendermos isso analisemos a Figura 4
O intervalo compreendido pela meacutedia das medidas mais ou menos um desvio padratildeo compreende 68 das medidas realizadas No caso que estamos exemplificando se tomarmos a meacutedia das resistecircncias internas r de todos os amperiacutemetros investigados e o desvio padratildeo PL desses dados 68 das medidas estaratildeo no intervalo entre ( minus PL) e ( + PL) 95 no intervalo ( 2PL) e 99 no intervalo ( 257PL)
Figura 2 - A distribuiccedilatildeo normal eacute usualmente utilizada para representar a distribuiccedilatildeo
de frequecircncias de um conjunto de dados (Lima Jr et al 2013 p 30)
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
48
Agora jaacute sabemos como quantificar a variabilidade de um conjunto de dados Podemos entatildeo calcular a meacutedia e o desvio padratildeo das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros Mas surge entatildeo uma questatildeo Se analisaacutessemos um novo conjunto de amperiacutemetros da mesma marca e modelo dos exemplificados aqui a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros seria a mesma Provavelmente natildeo Temos como estimar a partir do conjunto de medidas que realizamos a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros Temos Para responder a essa questatildeo temos que compreender um novo conceito o de desvio padratildeo da meacutedia (PL) Ele eacute calculado por
PL = PLradicH
Natildeo vamos entrar em detalhes aqui sobre a origem do conceito de desvio padratildeo da meacutedia1 vamos apenas explicar como essa grandeza nos permite estimar a incerteza na meacutedia de um conjunto de medidas Para isso vamos supor um novo conjunto de N novas
1 Se vocecirc eacute um aluno curioso pesquise sobre o Teorema Central do Limite para compreender com mais profundidade o conceito de desvio padratildeo da meacutedia
Figura 3 - A meacutedia e o desvio padratildeo demarcam a distribuiccedilatildeo dos dados em uma
distribuiccedilatildeo normal Na figura o eixo das abcissas expressa a distacircncia da meacutedia em
unidades de desvio padratildeo (Lima Jr et al 2013 p 30)
Manual de Laboratoacuterio
49
medidas da resistecircncia interna de amperiacutemetros como os investigados nesta aula Qual seria a meacutedia dessas medidas Assim como o desvio padratildeo dos dados quantifica a dispersatildeo dos dados em torno da meacutedia o desvio padratildeo da meacutedia quantifica a dispersatildeo das meacutedias de subconjuntos de dados em torno da meacutedia de todo o conjunto de dados Aplicando esse conceito ao nosso exemplo podemos interpretar os dois conjuntos de medidas de resistecircncias internas como subconjuntos de um grande conjunto contendo todas as medidas Desse modo podemos afirmar com 68 de confianccedila que a meacutedia das N novas medidas a serem realizadas estaraacute no intervalo compreendido por ( PL) com 95 de confianccedila no intervalo ( 2PL) e com 99 de confianccedila no intervalo ( 257PL) O desvio padratildeo da meacutedia pode ser compreendido assim como a incerteza da meacutedia de um conjunto de medidas ou seja ele nos fornece uma estimativa da confiabilidade de uma meacutedia Em suma se escolhermos um amperiacutemetro aleatoriamente podemos dizer que i) o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute a meacutedia das resistecircncias de todos os amperiacutemetros e ii) a incerteza que temos nesse valor eacute igual ao desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias dos amperiacutemetros
E se eu soacute tivesse condiccedilotildees de realizar uma uacutenica medida
Nem sempre podemos realizar diversas medidas de uma grandeza Em alguns casos nem mesmo faz sentido realizar diversas medidas No entanto eacute evidente que existe uma incerteza associada a uma uacutenica medida Natildeo existem instrumentos que sejam perfeitamente precisos Entatildeo como podemos estimar essa incerteza Usualmente os manuais dos instrumentos trazem informaccedilotildees sobre isso Desse modo as incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica realizadas com um voltiacutemetro e um amperiacutemetro podem ser consultadas no manual do multiacutemetro utilizado Mas como eacute calculada a incerteza da resistecircncia interna de um amperiacutemetro que foi calculada a partir de
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
50
apenas uma medida de tensatildeo e uma de corrente eleacutetrica Nesse caso precisamos calcular a incerteza propagada das incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica
Os meacutetodos de caacutelculo de incertezas propagadas podem ser bastante complicados Aqui trataremos de um meacutetodo bastante simples usualmente denominado de Meacutetodo dos Limites Vamos exemplificaacute-lo supondo que a incerteza da tensatildeo sobre as entradas do amperiacutemetro eacute P- e da corrente eleacutetrica que circula por ele eacute P$ Ou seja a tensatildeo medida estaacute no intervalo entre ∆S minus P- e ∆S + P- e a corrente eleacutetrica entre i minus P$ e i + P$ Qual eacute entatildeo a incerteza da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro investigado Para responder isso basta calcularmos os valores limites dessa grandeza O maacuteximo valor possiacutevel para a resistecircncia ocorreraacute se a tensatildeo for ∆S + P- e a corrente eleacutetrica for i minus P$ Nesse caso usando a Eq 1 temos
aacutee = ∆S + P-i minus P$
Usando o mesmo raciociacutenio o valor miacutenimo de r seraacute
z = ∆S minus P-i + P$
Desse modo podemos dizer que o valor da resistecircncia interna medida estaacute no intervalo entre rmaacutex e rmiacuten Em outras palavras o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro eacute
F = iexclz + aacutee2 z minus aacutee2 cent
Manual de Laboratoacuterio
51
Erro eacute a mesma coisa que incerteza
Apesar de serem frequentemente utilizados como sinocircnimos os manuais de metrologia atribuem significados distintos aos conceitos de ldquoerrordquo e ldquoincertezardquo O Guia para Expressatildeo da Incerteza da Mediccedilatildeo (Joint Commitee for Guide in Metrology 2008 apud Lima Jr et al 2013) usa o termo ldquoerrordquo para indicar a diferenccedila entre o valor verdadeiro e o resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo o conceito de erro tem uso restrito pois satildeo poucos os casos em que conhecemos o valor verdadeiro de uma grandeza Satildeo exemplos desses casos experimentos em que se deseja mensurar a velocidade da luz no vaacutecuo ou o valor de π que satildeo valores previamente conhecidos pelo experimentador O caacutelculo do erro soacute faz sentido para casos em que sabemos o valor verdadeiro da grandeza que se quer medir
A incerteza por outro lado eacute entendida como uma estimativa que quantifica a confiabilidade do resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo quando calculamos o desvio padratildeo da meacutedia de um conjunto de medidas estamos calculando a incerteza da meacutedia dessas medidas ou seja estamos avaliando a confianccedila que podemos ter em adotar a meacutedia dessas medidas como o valor da grandeza mensurada O conceito de incerteza portanto tem maior aplicabilidade do que o conceito de erro
Algarismos significativos e incerteza
Uma questatildeo frequente nas aulas de laboratoacuterio eacute Com quantos algarismos uma grandeza deve ser apresentada No laboratoacuterio a resposta dessa questatildeo eacute uma funccedilatildeo da incerteza da grandeza Devemos apresentar os dados ateacute o seu primeiro algarismo duvidoso Voltemos ao exemplo da resistecircncia interna dos amperiacutemetros Suponhamos que a meacutedia das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros eacute 21546 Ω e o desvio padratildeo dessa meacutedia que eacute
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
52
entendido aqui como a incerteza da resistecircncia interna dos amperiacutemetros eacute 003 Ω Interpretando tais dados assumimos com 68 de certeza que a resistecircncia interna dos amperiacutemetros estaacute no intervalo entre 21246 e 21846 Ω Desse modo a segunda casa decimal da grandeza medida eacute duvidosa Por isso os algarismos subsequentes satildeo omitidos quando expressamos essa medida e a medida da resistecircncia interna dos amperiacutemetros exemplificados eacute exposta por (215 plusmn 003) Ω Em suma o resultado de uma mediccedilatildeo deve ser sempre expresso com a mesma quantidade de casas decimais que sua incerteza Os algarismos apresentados satildeo entatildeo chamados de algarismos significativos
Referecircncia
Lima Jr P Silva M T X Silveira F L Veit E A (2013) Laboratoacuterio de mecacircnica subsiacutedios para o ensino de Fiacutesica experimental Porto Alegre UFRGS Instituto de Fiacutesica Disponiacutevel em httphdlhandlenet1018390438
Manual de Laboratoacuterio
53
Atividade de Laboratoacuterio I Instrumentos de medida e incertezas
Este material foi cuidadosamente preparado para auxiliar no andamento das atividades no laboratoacuterio de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo Eacute importante responder TODAS as perguntas
(indicadas pelo siacutembolo ) feitas ao longo do texto discutindo com seu grupo possiacuteveis respostas e justificando-as Sempre que possiacutevel faccedila isso por escrito
TAREFA 1
Construa um circuito contendo um resistor de 1 kΩ em seacuterie com uma fonte de tensatildeo contiacutenua e um multiacutemetro Coloque o multiacutemetro na funccedilatildeo amperiacutemetro na escala de miliampere Usando outro multiacutemetro meccedila a tensatildeo no amperiacutemetro Realize medidas com diferentes correntes eleacutetricas variando a tensatildeo de saiacuteda da fonte
Como podemos tratar esses dados se nosso objetivo eacute medir a resistecircncia interna do amperiacutemetro
Qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
54
Para responder essas questotildees se dirija a um dos computadores da sala e use um aplicativo que possibilite a construccedilatildeo de graacuteficos SciDavis por exemplo Insira seus dados no aplicativo construa o graacutefico desejado e encontre a melhor reta que se ajusta aos dados
Qual foi a melhor reta ajustada Determine a equaccedilatildeo dessa reta ajustada
Qual eacute o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro que vocecirc investigou
TAREFA 2
Utilize as medidas de todos os grupos da turma e aplique os conhecimentos abordados na tarefa de leitura para responder as seguintes questotildees
Qual deve ser a resistecircncia interna de um amperiacutemetro escolhido aleatoriamente entre os utilizados nesta aula
Qual eacute a incerteza desse valor
TAREFA 3
Suponha que o manual do Minipa ET-2075B informe que as medidas de tensatildeo e corrente realizadas nas faixas de milivolt e miliampere tecircm incerteza de 3 Use esses dados para calcular a
Manual de Laboratoacuterio
55
incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1
Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma
Elas satildeo coerentes Por quecirc
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
56
CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO
Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por
equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC
Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras
O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se
Manual de Laboratoacuterio
57
extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo
No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador
Salvando vidas
ldquoafastem-se choquerdquo
Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de
sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos
O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo
Figura 4 - Desfibrilador
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
58
esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)
Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma
sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o
miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia
Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2
2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387
Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)
Manual de Laboratoacuterio
59
Circuito RC - seacuterie
Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C
Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que
∆S(c) + i(c)F = 0
Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo
i(c) = =C(c)=c
e a ddp no capacitor eacute dada por
∆S(c) = C(c)D
Dessa forma podemos dizer que
=C(c)=c = minus 1FD C(c)
Figura 6 - Circuito RC
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
60
Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa
funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja
derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever
C(c) = C7 ou
A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial
Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir
Capacitor Carregando Capacitor Descarregando
∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0
C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou
∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou
Manual de Laboratoacuterio
61
Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8
Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo
eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum
3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78
Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas
do capacitor durante o processo de
carga ou descarga
Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um
graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo
do tempo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
62
Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no
capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte
Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor
quando o mesmo estaacute sendo carregado
Manual de Laboratoacuterio
63
Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie
1 - Osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos
2 ndash Aparato Experimental
Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
64
conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto
Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)
Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio
Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees
Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala
Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)
Manual de Laboratoacuterio
65
TAREFA 1
Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees
Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico
Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito
Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito
Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos
Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio
TAREFA 2
Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie
Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
66
figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)
Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados
Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo
NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo
Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste
Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito
Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito
Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles
Manual de Laboratoacuterio
67
MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS
Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais
Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio
Para onde aponta a buacutessola
Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
68
polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc
E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial
tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos
que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a
soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio
4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja
httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4
Figura 10 - Buacutessola
Figura 11 - campo B resultante
Manual de Laboratoacuterio
69
Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por
umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O
Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde
Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde
Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma
iacuteatilde() = ∙
onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde
5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass
The Physics Teacher 49(1) 45-48
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
70
Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como
iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2
Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos
gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)
Logo
gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2
Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo
iacuteatilde() = amp
Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse
tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira
na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart
Manual de Laboratoacuterio
71
pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do
que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute
yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp
onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico
da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos
yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp
Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
72
Atividade de Laboratoacuterio III Projeto
OBJETIVO
Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
73
SUGESTAtildeO 1
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO
Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas
Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece
Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha
Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo
por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o
eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
74
SUGESTAtildeO 2
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA
Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)
Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica
Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de
uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)
Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema
Manual de Laboratoacuterio
75
SUGESTAtildeO 3
BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO
Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola
Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)
Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina
O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
76
SUGESTAtildeO 4
CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO
O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer
Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
77
MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO
Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro
Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental
6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
78
110 V 127 V e 220 V O que eacute isso
As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V
Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas
A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
(c) = Jgt(c + acute)
onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por
∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)
Manual de Laboratoacuterio
79
onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1
Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho
Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores
Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
80
caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por
∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf
∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712
∆Suparamiddot = ∆S7radic2
Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a
tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s
A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente
alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$
Figura 13 - Funccedilotildees seno e
seno quadrado
Manual de Laboratoacuterio
81
COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA
Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz
Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O
Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
82
que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio
Natildeo queremos jogar energia fora
Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14
Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie
Manual de Laboratoacuterio
83
Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por
0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)
onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)
Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
ℇ(c) = ℇ7gt(c)
onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente
Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na
figura 16 para um caso em que VL gt VC
Figura 15 - Diagrama de fasores
de um circuito RLC seacuterie com
fonte de tensatildeo alternada
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
84
A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que
acute = c8 S minus SSu
Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado
por
i(c) = gt(c minus acute)
Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente
as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que
ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$
ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$
Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como
0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)
Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que
0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$
Figura 16 ndash Soma de fasores
Manual de Laboratoacuterio
85
0eacutey = F ∙ uparamiddot$
onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square
Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que
F = frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte
Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade
7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL
Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e
resistecircncia num diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
86
do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como
0 = AJradicAJ$ + AF$
O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP
DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11
Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia
Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por
acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita
Manual de Laboratoacuterio
87
2 = 1D
Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica
Figura 18 - diagramas de fasores representando
um circuito capacitivo e um circuito indutivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
88
Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie
O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio
TAREFA 1
Circuito Resistivo
Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR
Manual de Laboratoacuterio
89
Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)
O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador
Circuito Capacitivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
90
Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor
Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Manual de Laboratoacuterio
91
Circuito Indutivo
Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor
O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
92
Circuito RLC
Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise
Manual de Laboratoacuterio
93
O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador
Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio
O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior
Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor
Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou
A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
94
TAREFA 2
Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente
Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir
Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima
Qual o valor da corrente maacutexima no circuito
Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)
O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique
Manual de Laboratoacuterio
95
TAREFA 3
Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito
Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees
Como isso eacute possiacutevel Explique
Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff
Respostas
96
Respostas
A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32
A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH
A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH
B3 Ae = Af = AtildeAcircf
B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl
B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH
B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l
B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD
B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -
C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc
(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7
C2 O = ~13deg
C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)
Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-
vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr
Respostas
97
C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM
C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD
(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD
C6 A = Eacute$Acirc
C7 A = Atilde$AcircL
D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma
das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp
D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(
D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1
no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)
D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme
D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D
E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)
E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D
E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml
F1 544 times 10
F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S
F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM
u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM
u (e) 0 = ℇMu
F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω
Respostas
98
F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965
G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n
G5 i = Ograve$g = 245 J
G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y
G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez
G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H
G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)
G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)
G15 (a) zL$brvbarM (b)
z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero
G16 z$L + z$L = z$L - + 1
G17 (a) pLM
amp (b) pusup3
ampL
G18 zzMu
G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)
z
G20 zNu saindo da folha
G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)
UgraveLMamp
fora do fio (a) z$L (b)
UgravebrvbarM$L (c)
Ugravebrvbarsup3ampL
G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13
G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM
ampu
H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior
Respostas
99
H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a
H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J
I2 Φ = pound$ sup1amp
I4 C = AcircsM
I6 (a) zM
NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar
J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a
(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S
J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu
(c) = -radic
J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm
(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013
Respostas
100
Bibliografia
Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il
Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il
Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il
Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm
Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il
Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il
Manual de Laboratoacuterio
45
quadrado Ou seja podemos procurar a reta tal que a seguinte soma tenha o menor valor possiacutevel
sum =$ = (∆Sz minus ∆S)$z-
O meacutetodo que utiliza esse criteacuterio para a realizaccedilatildeo de ajustes de curvas que eacute amplamente utilizado no meio acadecircmico eacute denominado Meacutetodo dos Miacutenimos Quadrados Todos os softwares do tipo planilha eletrocircnica realizam esse caacutelculo automaticamente e nos valeremos disso quando necessaacuterio
Todos os amperiacutemetros da sala possuem a mesma resistecircncia interna
Ainda que todos os amperiacutemetros que utilizaremos nas nossas aulas sejam da mesma marca e modelo eles possuem diferentes resistecircncias internas Existe alguma forma de estimar a resistecircncia interna de um desses amperiacutemetros escolhido aleatoriamente Calcular a meacutedia das resistecircncias eacute suficiente para realizar essa estimativa
Variabilidade das medidas o desvio padratildeo amostral e da meacutedia
Apesar de as resistecircncias dos amperiacutemetros natildeo serem exatamente as mesmas elas possuem valores que se distribuem em torno de um valor meacutedio que eacute igual agrave meacutedia dessas resistecircncias Desse modo se tomarmos um dos amperiacutemetros aleatoriamente o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute igual agrave meacutedia das resistecircncias internas de todos os amperiacutemetros Mas quanto podemos confiar nessa estimativa Para respondermos tal pergunta eacute importante quantificarmos a variabilidade das resistecircncias r que medimos Quanto menor for essa variabilidade maior seraacute a nossa confianccedila para assumir que a resistecircncia interna de um amperiacutemetro particular eacute igual agrave meacutedia Intuitivamente podemos conjecturar que tal variabilidade pode ser medida pelo somatoacuterio das diferenccedilas entre as resistecircncias
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
46
medidas z e a meacutedia dessas resistecircncias ou seja por (- minus ) + ($ minus ) + ⋯ + ( minus ) onde N eacute o nuacutemero de medidas realizadas No entanto temos aqui um inconveniente semelhante ao que tivemos quando analisaacutevamos ajustes de curvas se valores positivos e negativos se cancelarem esse somatoacuterio pode ser muito pequeno mesmo quando os dados apresentam grande variabilidade Podemos propor a mesma soluccedilatildeo adotada anteriormente vamos elevar os termos ao quadrado Temos entatildeo a variabilidade dos dados sendo mensurada por (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$
A impossibilidade de comparaccedilatildeo entre as variabilidades de diferentes conjuntos de dados eacute a limitaccedilatildeo desta proposta pois o resultado desse somatoacuterio eacute altamente dependente da quantidade de termos Desse modo eacute possiacutevel que esse somatoacuterio seja maior para grandes conjuntos com pouca variabilidade do que para pequenos grupos com grande variabilidade Para amenizar tal limitaccedilatildeo podemos entatildeo dividir o somatoacuterio por N ou seja calcular a variabilidade por(- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$ Hfrasl Ainda que esse somatoacuterio seja conceitualmente interessante natildeo eacute essa a medida de dispersatildeo de dados que costuma ser utilizada no meio cientiacutefico mas algo que guarda alguma semelhanccedila com ele o desvio padratildeo dos dados (P) Ele eacute calculado por
PL = (- minus )$ + ($ minus )$ + ⋯ + ( minus )$H minus 1
Mas por que utilizamos essa equaccedilatildeo A resposta estaacute em suas propriedades Quando construiacutemos um histograma (graacutefico de frequecircncias) de um conjunto de medidas por exemplo podemos em muitos casos assumir que a distribuiccedilatildeo desses dados eacute representada por uma distribuiccedilatildeo normal A equaccedilatildeo que define essa distribuiccedilatildeo assim como sua representaccedilatildeo graacutefica eacute ilustrada na Figura 3
Manual de Laboratoacuterio
47
Natildeo eacute nosso objetivo aqui discutir detalhes da distribuiccedilatildeo normal O que desejamos destacar eacute que quando supomos que a distribuiccedilatildeo de um conjunto de dados eacute normal o que eacute bastante razoaacutevel na maioria das vezes o desvio padratildeo σ quantifica como os dados estatildeo distribuiacutedos Para entendermos isso analisemos a Figura 4
O intervalo compreendido pela meacutedia das medidas mais ou menos um desvio padratildeo compreende 68 das medidas realizadas No caso que estamos exemplificando se tomarmos a meacutedia das resistecircncias internas r de todos os amperiacutemetros investigados e o desvio padratildeo PL desses dados 68 das medidas estaratildeo no intervalo entre ( minus PL) e ( + PL) 95 no intervalo ( 2PL) e 99 no intervalo ( 257PL)
Figura 2 - A distribuiccedilatildeo normal eacute usualmente utilizada para representar a distribuiccedilatildeo
de frequecircncias de um conjunto de dados (Lima Jr et al 2013 p 30)
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
48
Agora jaacute sabemos como quantificar a variabilidade de um conjunto de dados Podemos entatildeo calcular a meacutedia e o desvio padratildeo das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros Mas surge entatildeo uma questatildeo Se analisaacutessemos um novo conjunto de amperiacutemetros da mesma marca e modelo dos exemplificados aqui a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros seria a mesma Provavelmente natildeo Temos como estimar a partir do conjunto de medidas que realizamos a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros Temos Para responder a essa questatildeo temos que compreender um novo conceito o de desvio padratildeo da meacutedia (PL) Ele eacute calculado por
PL = PLradicH
Natildeo vamos entrar em detalhes aqui sobre a origem do conceito de desvio padratildeo da meacutedia1 vamos apenas explicar como essa grandeza nos permite estimar a incerteza na meacutedia de um conjunto de medidas Para isso vamos supor um novo conjunto de N novas
1 Se vocecirc eacute um aluno curioso pesquise sobre o Teorema Central do Limite para compreender com mais profundidade o conceito de desvio padratildeo da meacutedia
Figura 3 - A meacutedia e o desvio padratildeo demarcam a distribuiccedilatildeo dos dados em uma
distribuiccedilatildeo normal Na figura o eixo das abcissas expressa a distacircncia da meacutedia em
unidades de desvio padratildeo (Lima Jr et al 2013 p 30)
Manual de Laboratoacuterio
49
medidas da resistecircncia interna de amperiacutemetros como os investigados nesta aula Qual seria a meacutedia dessas medidas Assim como o desvio padratildeo dos dados quantifica a dispersatildeo dos dados em torno da meacutedia o desvio padratildeo da meacutedia quantifica a dispersatildeo das meacutedias de subconjuntos de dados em torno da meacutedia de todo o conjunto de dados Aplicando esse conceito ao nosso exemplo podemos interpretar os dois conjuntos de medidas de resistecircncias internas como subconjuntos de um grande conjunto contendo todas as medidas Desse modo podemos afirmar com 68 de confianccedila que a meacutedia das N novas medidas a serem realizadas estaraacute no intervalo compreendido por ( PL) com 95 de confianccedila no intervalo ( 2PL) e com 99 de confianccedila no intervalo ( 257PL) O desvio padratildeo da meacutedia pode ser compreendido assim como a incerteza da meacutedia de um conjunto de medidas ou seja ele nos fornece uma estimativa da confiabilidade de uma meacutedia Em suma se escolhermos um amperiacutemetro aleatoriamente podemos dizer que i) o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute a meacutedia das resistecircncias de todos os amperiacutemetros e ii) a incerteza que temos nesse valor eacute igual ao desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias dos amperiacutemetros
E se eu soacute tivesse condiccedilotildees de realizar uma uacutenica medida
Nem sempre podemos realizar diversas medidas de uma grandeza Em alguns casos nem mesmo faz sentido realizar diversas medidas No entanto eacute evidente que existe uma incerteza associada a uma uacutenica medida Natildeo existem instrumentos que sejam perfeitamente precisos Entatildeo como podemos estimar essa incerteza Usualmente os manuais dos instrumentos trazem informaccedilotildees sobre isso Desse modo as incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica realizadas com um voltiacutemetro e um amperiacutemetro podem ser consultadas no manual do multiacutemetro utilizado Mas como eacute calculada a incerteza da resistecircncia interna de um amperiacutemetro que foi calculada a partir de
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
50
apenas uma medida de tensatildeo e uma de corrente eleacutetrica Nesse caso precisamos calcular a incerteza propagada das incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica
Os meacutetodos de caacutelculo de incertezas propagadas podem ser bastante complicados Aqui trataremos de um meacutetodo bastante simples usualmente denominado de Meacutetodo dos Limites Vamos exemplificaacute-lo supondo que a incerteza da tensatildeo sobre as entradas do amperiacutemetro eacute P- e da corrente eleacutetrica que circula por ele eacute P$ Ou seja a tensatildeo medida estaacute no intervalo entre ∆S minus P- e ∆S + P- e a corrente eleacutetrica entre i minus P$ e i + P$ Qual eacute entatildeo a incerteza da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro investigado Para responder isso basta calcularmos os valores limites dessa grandeza O maacuteximo valor possiacutevel para a resistecircncia ocorreraacute se a tensatildeo for ∆S + P- e a corrente eleacutetrica for i minus P$ Nesse caso usando a Eq 1 temos
aacutee = ∆S + P-i minus P$
Usando o mesmo raciociacutenio o valor miacutenimo de r seraacute
z = ∆S minus P-i + P$
Desse modo podemos dizer que o valor da resistecircncia interna medida estaacute no intervalo entre rmaacutex e rmiacuten Em outras palavras o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro eacute
F = iexclz + aacutee2 z minus aacutee2 cent
Manual de Laboratoacuterio
51
Erro eacute a mesma coisa que incerteza
Apesar de serem frequentemente utilizados como sinocircnimos os manuais de metrologia atribuem significados distintos aos conceitos de ldquoerrordquo e ldquoincertezardquo O Guia para Expressatildeo da Incerteza da Mediccedilatildeo (Joint Commitee for Guide in Metrology 2008 apud Lima Jr et al 2013) usa o termo ldquoerrordquo para indicar a diferenccedila entre o valor verdadeiro e o resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo o conceito de erro tem uso restrito pois satildeo poucos os casos em que conhecemos o valor verdadeiro de uma grandeza Satildeo exemplos desses casos experimentos em que se deseja mensurar a velocidade da luz no vaacutecuo ou o valor de π que satildeo valores previamente conhecidos pelo experimentador O caacutelculo do erro soacute faz sentido para casos em que sabemos o valor verdadeiro da grandeza que se quer medir
A incerteza por outro lado eacute entendida como uma estimativa que quantifica a confiabilidade do resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo quando calculamos o desvio padratildeo da meacutedia de um conjunto de medidas estamos calculando a incerteza da meacutedia dessas medidas ou seja estamos avaliando a confianccedila que podemos ter em adotar a meacutedia dessas medidas como o valor da grandeza mensurada O conceito de incerteza portanto tem maior aplicabilidade do que o conceito de erro
Algarismos significativos e incerteza
Uma questatildeo frequente nas aulas de laboratoacuterio eacute Com quantos algarismos uma grandeza deve ser apresentada No laboratoacuterio a resposta dessa questatildeo eacute uma funccedilatildeo da incerteza da grandeza Devemos apresentar os dados ateacute o seu primeiro algarismo duvidoso Voltemos ao exemplo da resistecircncia interna dos amperiacutemetros Suponhamos que a meacutedia das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros eacute 21546 Ω e o desvio padratildeo dessa meacutedia que eacute
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
52
entendido aqui como a incerteza da resistecircncia interna dos amperiacutemetros eacute 003 Ω Interpretando tais dados assumimos com 68 de certeza que a resistecircncia interna dos amperiacutemetros estaacute no intervalo entre 21246 e 21846 Ω Desse modo a segunda casa decimal da grandeza medida eacute duvidosa Por isso os algarismos subsequentes satildeo omitidos quando expressamos essa medida e a medida da resistecircncia interna dos amperiacutemetros exemplificados eacute exposta por (215 plusmn 003) Ω Em suma o resultado de uma mediccedilatildeo deve ser sempre expresso com a mesma quantidade de casas decimais que sua incerteza Os algarismos apresentados satildeo entatildeo chamados de algarismos significativos
Referecircncia
Lima Jr P Silva M T X Silveira F L Veit E A (2013) Laboratoacuterio de mecacircnica subsiacutedios para o ensino de Fiacutesica experimental Porto Alegre UFRGS Instituto de Fiacutesica Disponiacutevel em httphdlhandlenet1018390438
Manual de Laboratoacuterio
53
Atividade de Laboratoacuterio I Instrumentos de medida e incertezas
Este material foi cuidadosamente preparado para auxiliar no andamento das atividades no laboratoacuterio de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo Eacute importante responder TODAS as perguntas
(indicadas pelo siacutembolo ) feitas ao longo do texto discutindo com seu grupo possiacuteveis respostas e justificando-as Sempre que possiacutevel faccedila isso por escrito
TAREFA 1
Construa um circuito contendo um resistor de 1 kΩ em seacuterie com uma fonte de tensatildeo contiacutenua e um multiacutemetro Coloque o multiacutemetro na funccedilatildeo amperiacutemetro na escala de miliampere Usando outro multiacutemetro meccedila a tensatildeo no amperiacutemetro Realize medidas com diferentes correntes eleacutetricas variando a tensatildeo de saiacuteda da fonte
Como podemos tratar esses dados se nosso objetivo eacute medir a resistecircncia interna do amperiacutemetro
Qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
54
Para responder essas questotildees se dirija a um dos computadores da sala e use um aplicativo que possibilite a construccedilatildeo de graacuteficos SciDavis por exemplo Insira seus dados no aplicativo construa o graacutefico desejado e encontre a melhor reta que se ajusta aos dados
Qual foi a melhor reta ajustada Determine a equaccedilatildeo dessa reta ajustada
Qual eacute o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro que vocecirc investigou
TAREFA 2
Utilize as medidas de todos os grupos da turma e aplique os conhecimentos abordados na tarefa de leitura para responder as seguintes questotildees
Qual deve ser a resistecircncia interna de um amperiacutemetro escolhido aleatoriamente entre os utilizados nesta aula
Qual eacute a incerteza desse valor
TAREFA 3
Suponha que o manual do Minipa ET-2075B informe que as medidas de tensatildeo e corrente realizadas nas faixas de milivolt e miliampere tecircm incerteza de 3 Use esses dados para calcular a
Manual de Laboratoacuterio
55
incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1
Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma
Elas satildeo coerentes Por quecirc
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
56
CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO
Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por
equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC
Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras
O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se
Manual de Laboratoacuterio
57
extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo
No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador
Salvando vidas
ldquoafastem-se choquerdquo
Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de
sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos
O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo
Figura 4 - Desfibrilador
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
58
esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)
Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma
sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o
miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia
Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2
2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387
Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)
Manual de Laboratoacuterio
59
Circuito RC - seacuterie
Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C
Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que
∆S(c) + i(c)F = 0
Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo
i(c) = =C(c)=c
e a ddp no capacitor eacute dada por
∆S(c) = C(c)D
Dessa forma podemos dizer que
=C(c)=c = minus 1FD C(c)
Figura 6 - Circuito RC
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
60
Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa
funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja
derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever
C(c) = C7 ou
A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial
Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir
Capacitor Carregando Capacitor Descarregando
∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0
C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou
∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou
Manual de Laboratoacuterio
61
Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8
Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo
eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum
3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78
Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas
do capacitor durante o processo de
carga ou descarga
Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um
graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo
do tempo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
62
Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no
capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte
Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor
quando o mesmo estaacute sendo carregado
Manual de Laboratoacuterio
63
Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie
1 - Osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos
2 ndash Aparato Experimental
Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
64
conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto
Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)
Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio
Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees
Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala
Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)
Manual de Laboratoacuterio
65
TAREFA 1
Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees
Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico
Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito
Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito
Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos
Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio
TAREFA 2
Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie
Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
66
figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)
Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados
Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo
NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo
Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste
Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito
Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito
Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles
Manual de Laboratoacuterio
67
MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS
Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais
Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio
Para onde aponta a buacutessola
Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
68
polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc
E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial
tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos
que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a
soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio
4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja
httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4
Figura 10 - Buacutessola
Figura 11 - campo B resultante
Manual de Laboratoacuterio
69
Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por
umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O
Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde
Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde
Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma
iacuteatilde() = ∙
onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde
5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass
The Physics Teacher 49(1) 45-48
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
70
Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como
iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2
Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos
gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)
Logo
gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2
Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo
iacuteatilde() = amp
Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse
tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira
na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart
Manual de Laboratoacuterio
71
pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do
que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute
yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp
onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico
da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos
yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp
Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
72
Atividade de Laboratoacuterio III Projeto
OBJETIVO
Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
73
SUGESTAtildeO 1
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO
Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas
Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece
Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha
Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo
por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o
eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
74
SUGESTAtildeO 2
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA
Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)
Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica
Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de
uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)
Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema
Manual de Laboratoacuterio
75
SUGESTAtildeO 3
BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO
Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola
Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)
Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina
O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
76
SUGESTAtildeO 4
CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO
O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer
Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
77
MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO
Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro
Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental
6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
78
110 V 127 V e 220 V O que eacute isso
As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V
Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas
A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
(c) = Jgt(c + acute)
onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por
∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)
Manual de Laboratoacuterio
79
onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1
Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho
Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores
Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
80
caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por
∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf
∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712
∆Suparamiddot = ∆S7radic2
Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a
tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s
A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente
alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$
Figura 13 - Funccedilotildees seno e
seno quadrado
Manual de Laboratoacuterio
81
COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA
Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz
Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O
Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
82
que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio
Natildeo queremos jogar energia fora
Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14
Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie
Manual de Laboratoacuterio
83
Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por
0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)
onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)
Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
ℇ(c) = ℇ7gt(c)
onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente
Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na
figura 16 para um caso em que VL gt VC
Figura 15 - Diagrama de fasores
de um circuito RLC seacuterie com
fonte de tensatildeo alternada
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
84
A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que
acute = c8 S minus SSu
Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado
por
i(c) = gt(c minus acute)
Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente
as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que
ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$
ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$
Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como
0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)
Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que
0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$
Figura 16 ndash Soma de fasores
Manual de Laboratoacuterio
85
0eacutey = F ∙ uparamiddot$
onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square
Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que
F = frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte
Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade
7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL
Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e
resistecircncia num diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
86
do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como
0 = AJradicAJ$ + AF$
O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP
DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11
Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia
Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por
acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita
Manual de Laboratoacuterio
87
2 = 1D
Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica
Figura 18 - diagramas de fasores representando
um circuito capacitivo e um circuito indutivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
88
Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie
O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio
TAREFA 1
Circuito Resistivo
Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR
Manual de Laboratoacuterio
89
Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)
O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador
Circuito Capacitivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
90
Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor
Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Manual de Laboratoacuterio
91
Circuito Indutivo
Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor
O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
92
Circuito RLC
Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise
Manual de Laboratoacuterio
93
O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador
Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio
O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior
Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor
Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou
A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
94
TAREFA 2
Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente
Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir
Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima
Qual o valor da corrente maacutexima no circuito
Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)
O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique
Manual de Laboratoacuterio
95
TAREFA 3
Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito
Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees
Como isso eacute possiacutevel Explique
Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff
Respostas
96
Respostas
A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32
A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH
A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH
B3 Ae = Af = AtildeAcircf
B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl
B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH
B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l
B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD
B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -
C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc
(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7
C2 O = ~13deg
C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)
Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-
vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr
Respostas
97
C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM
C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD
(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD
C6 A = Eacute$Acirc
C7 A = Atilde$AcircL
D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma
das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp
D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(
D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1
no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)
D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme
D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D
E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)
E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D
E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml
F1 544 times 10
F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S
F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM
u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM
u (e) 0 = ℇMu
F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω
Respostas
98
F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965
G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n
G5 i = Ograve$g = 245 J
G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y
G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez
G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H
G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)
G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)
G15 (a) zL$brvbarM (b)
z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero
G16 z$L + z$L = z$L - + 1
G17 (a) pLM
amp (b) pusup3
ampL
G18 zzMu
G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)
z
G20 zNu saindo da folha
G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)
UgraveLMamp
fora do fio (a) z$L (b)
UgravebrvbarM$L (c)
Ugravebrvbarsup3ampL
G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13
G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM
ampu
H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior
Respostas
99
H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a
H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J
I2 Φ = pound$ sup1amp
I4 C = AcircsM
I6 (a) zM
NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar
J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a
(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S
J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu
(c) = -radic
J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm
(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013
Respostas
100
Bibliografia
Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il
Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il
Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il
Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm
Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il
Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il
Manual de Laboratoacuterio
47
Natildeo eacute nosso objetivo aqui discutir detalhes da distribuiccedilatildeo normal O que desejamos destacar eacute que quando supomos que a distribuiccedilatildeo de um conjunto de dados eacute normal o que eacute bastante razoaacutevel na maioria das vezes o desvio padratildeo σ quantifica como os dados estatildeo distribuiacutedos Para entendermos isso analisemos a Figura 4
O intervalo compreendido pela meacutedia das medidas mais ou menos um desvio padratildeo compreende 68 das medidas realizadas No caso que estamos exemplificando se tomarmos a meacutedia das resistecircncias internas r de todos os amperiacutemetros investigados e o desvio padratildeo PL desses dados 68 das medidas estaratildeo no intervalo entre ( minus PL) e ( + PL) 95 no intervalo ( 2PL) e 99 no intervalo ( 257PL)
Figura 2 - A distribuiccedilatildeo normal eacute usualmente utilizada para representar a distribuiccedilatildeo
de frequecircncias de um conjunto de dados (Lima Jr et al 2013 p 30)
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
48
Agora jaacute sabemos como quantificar a variabilidade de um conjunto de dados Podemos entatildeo calcular a meacutedia e o desvio padratildeo das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros Mas surge entatildeo uma questatildeo Se analisaacutessemos um novo conjunto de amperiacutemetros da mesma marca e modelo dos exemplificados aqui a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros seria a mesma Provavelmente natildeo Temos como estimar a partir do conjunto de medidas que realizamos a meacutedia das resistecircncias internas desse novo conjunto de amperiacutemetros Temos Para responder a essa questatildeo temos que compreender um novo conceito o de desvio padratildeo da meacutedia (PL) Ele eacute calculado por
PL = PLradicH
Natildeo vamos entrar em detalhes aqui sobre a origem do conceito de desvio padratildeo da meacutedia1 vamos apenas explicar como essa grandeza nos permite estimar a incerteza na meacutedia de um conjunto de medidas Para isso vamos supor um novo conjunto de N novas
1 Se vocecirc eacute um aluno curioso pesquise sobre o Teorema Central do Limite para compreender com mais profundidade o conceito de desvio padratildeo da meacutedia
Figura 3 - A meacutedia e o desvio padratildeo demarcam a distribuiccedilatildeo dos dados em uma
distribuiccedilatildeo normal Na figura o eixo das abcissas expressa a distacircncia da meacutedia em
unidades de desvio padratildeo (Lima Jr et al 2013 p 30)
Manual de Laboratoacuterio
49
medidas da resistecircncia interna de amperiacutemetros como os investigados nesta aula Qual seria a meacutedia dessas medidas Assim como o desvio padratildeo dos dados quantifica a dispersatildeo dos dados em torno da meacutedia o desvio padratildeo da meacutedia quantifica a dispersatildeo das meacutedias de subconjuntos de dados em torno da meacutedia de todo o conjunto de dados Aplicando esse conceito ao nosso exemplo podemos interpretar os dois conjuntos de medidas de resistecircncias internas como subconjuntos de um grande conjunto contendo todas as medidas Desse modo podemos afirmar com 68 de confianccedila que a meacutedia das N novas medidas a serem realizadas estaraacute no intervalo compreendido por ( PL) com 95 de confianccedila no intervalo ( 2PL) e com 99 de confianccedila no intervalo ( 257PL) O desvio padratildeo da meacutedia pode ser compreendido assim como a incerteza da meacutedia de um conjunto de medidas ou seja ele nos fornece uma estimativa da confiabilidade de uma meacutedia Em suma se escolhermos um amperiacutemetro aleatoriamente podemos dizer que i) o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute a meacutedia das resistecircncias de todos os amperiacutemetros e ii) a incerteza que temos nesse valor eacute igual ao desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias dos amperiacutemetros
E se eu soacute tivesse condiccedilotildees de realizar uma uacutenica medida
Nem sempre podemos realizar diversas medidas de uma grandeza Em alguns casos nem mesmo faz sentido realizar diversas medidas No entanto eacute evidente que existe uma incerteza associada a uma uacutenica medida Natildeo existem instrumentos que sejam perfeitamente precisos Entatildeo como podemos estimar essa incerteza Usualmente os manuais dos instrumentos trazem informaccedilotildees sobre isso Desse modo as incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica realizadas com um voltiacutemetro e um amperiacutemetro podem ser consultadas no manual do multiacutemetro utilizado Mas como eacute calculada a incerteza da resistecircncia interna de um amperiacutemetro que foi calculada a partir de
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
50
apenas uma medida de tensatildeo e uma de corrente eleacutetrica Nesse caso precisamos calcular a incerteza propagada das incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica
Os meacutetodos de caacutelculo de incertezas propagadas podem ser bastante complicados Aqui trataremos de um meacutetodo bastante simples usualmente denominado de Meacutetodo dos Limites Vamos exemplificaacute-lo supondo que a incerteza da tensatildeo sobre as entradas do amperiacutemetro eacute P- e da corrente eleacutetrica que circula por ele eacute P$ Ou seja a tensatildeo medida estaacute no intervalo entre ∆S minus P- e ∆S + P- e a corrente eleacutetrica entre i minus P$ e i + P$ Qual eacute entatildeo a incerteza da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro investigado Para responder isso basta calcularmos os valores limites dessa grandeza O maacuteximo valor possiacutevel para a resistecircncia ocorreraacute se a tensatildeo for ∆S + P- e a corrente eleacutetrica for i minus P$ Nesse caso usando a Eq 1 temos
aacutee = ∆S + P-i minus P$
Usando o mesmo raciociacutenio o valor miacutenimo de r seraacute
z = ∆S minus P-i + P$
Desse modo podemos dizer que o valor da resistecircncia interna medida estaacute no intervalo entre rmaacutex e rmiacuten Em outras palavras o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro eacute
F = iexclz + aacutee2 z minus aacutee2 cent
Manual de Laboratoacuterio
51
Erro eacute a mesma coisa que incerteza
Apesar de serem frequentemente utilizados como sinocircnimos os manuais de metrologia atribuem significados distintos aos conceitos de ldquoerrordquo e ldquoincertezardquo O Guia para Expressatildeo da Incerteza da Mediccedilatildeo (Joint Commitee for Guide in Metrology 2008 apud Lima Jr et al 2013) usa o termo ldquoerrordquo para indicar a diferenccedila entre o valor verdadeiro e o resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo o conceito de erro tem uso restrito pois satildeo poucos os casos em que conhecemos o valor verdadeiro de uma grandeza Satildeo exemplos desses casos experimentos em que se deseja mensurar a velocidade da luz no vaacutecuo ou o valor de π que satildeo valores previamente conhecidos pelo experimentador O caacutelculo do erro soacute faz sentido para casos em que sabemos o valor verdadeiro da grandeza que se quer medir
A incerteza por outro lado eacute entendida como uma estimativa que quantifica a confiabilidade do resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo quando calculamos o desvio padratildeo da meacutedia de um conjunto de medidas estamos calculando a incerteza da meacutedia dessas medidas ou seja estamos avaliando a confianccedila que podemos ter em adotar a meacutedia dessas medidas como o valor da grandeza mensurada O conceito de incerteza portanto tem maior aplicabilidade do que o conceito de erro
Algarismos significativos e incerteza
Uma questatildeo frequente nas aulas de laboratoacuterio eacute Com quantos algarismos uma grandeza deve ser apresentada No laboratoacuterio a resposta dessa questatildeo eacute uma funccedilatildeo da incerteza da grandeza Devemos apresentar os dados ateacute o seu primeiro algarismo duvidoso Voltemos ao exemplo da resistecircncia interna dos amperiacutemetros Suponhamos que a meacutedia das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros eacute 21546 Ω e o desvio padratildeo dessa meacutedia que eacute
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
52
entendido aqui como a incerteza da resistecircncia interna dos amperiacutemetros eacute 003 Ω Interpretando tais dados assumimos com 68 de certeza que a resistecircncia interna dos amperiacutemetros estaacute no intervalo entre 21246 e 21846 Ω Desse modo a segunda casa decimal da grandeza medida eacute duvidosa Por isso os algarismos subsequentes satildeo omitidos quando expressamos essa medida e a medida da resistecircncia interna dos amperiacutemetros exemplificados eacute exposta por (215 plusmn 003) Ω Em suma o resultado de uma mediccedilatildeo deve ser sempre expresso com a mesma quantidade de casas decimais que sua incerteza Os algarismos apresentados satildeo entatildeo chamados de algarismos significativos
Referecircncia
Lima Jr P Silva M T X Silveira F L Veit E A (2013) Laboratoacuterio de mecacircnica subsiacutedios para o ensino de Fiacutesica experimental Porto Alegre UFRGS Instituto de Fiacutesica Disponiacutevel em httphdlhandlenet1018390438
Manual de Laboratoacuterio
53
Atividade de Laboratoacuterio I Instrumentos de medida e incertezas
Este material foi cuidadosamente preparado para auxiliar no andamento das atividades no laboratoacuterio de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo Eacute importante responder TODAS as perguntas
(indicadas pelo siacutembolo ) feitas ao longo do texto discutindo com seu grupo possiacuteveis respostas e justificando-as Sempre que possiacutevel faccedila isso por escrito
TAREFA 1
Construa um circuito contendo um resistor de 1 kΩ em seacuterie com uma fonte de tensatildeo contiacutenua e um multiacutemetro Coloque o multiacutemetro na funccedilatildeo amperiacutemetro na escala de miliampere Usando outro multiacutemetro meccedila a tensatildeo no amperiacutemetro Realize medidas com diferentes correntes eleacutetricas variando a tensatildeo de saiacuteda da fonte
Como podemos tratar esses dados se nosso objetivo eacute medir a resistecircncia interna do amperiacutemetro
Qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
54
Para responder essas questotildees se dirija a um dos computadores da sala e use um aplicativo que possibilite a construccedilatildeo de graacuteficos SciDavis por exemplo Insira seus dados no aplicativo construa o graacutefico desejado e encontre a melhor reta que se ajusta aos dados
Qual foi a melhor reta ajustada Determine a equaccedilatildeo dessa reta ajustada
Qual eacute o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro que vocecirc investigou
TAREFA 2
Utilize as medidas de todos os grupos da turma e aplique os conhecimentos abordados na tarefa de leitura para responder as seguintes questotildees
Qual deve ser a resistecircncia interna de um amperiacutemetro escolhido aleatoriamente entre os utilizados nesta aula
Qual eacute a incerteza desse valor
TAREFA 3
Suponha que o manual do Minipa ET-2075B informe que as medidas de tensatildeo e corrente realizadas nas faixas de milivolt e miliampere tecircm incerteza de 3 Use esses dados para calcular a
Manual de Laboratoacuterio
55
incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1
Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma
Elas satildeo coerentes Por quecirc
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
56
CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO
Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por
equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC
Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras
O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se
Manual de Laboratoacuterio
57
extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo
No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador
Salvando vidas
ldquoafastem-se choquerdquo
Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de
sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos
O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo
Figura 4 - Desfibrilador
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
58
esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)
Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma
sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o
miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia
Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2
2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387
Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)
Manual de Laboratoacuterio
59
Circuito RC - seacuterie
Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C
Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que
∆S(c) + i(c)F = 0
Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo
i(c) = =C(c)=c
e a ddp no capacitor eacute dada por
∆S(c) = C(c)D
Dessa forma podemos dizer que
=C(c)=c = minus 1FD C(c)
Figura 6 - Circuito RC
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
60
Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa
funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja
derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever
C(c) = C7 ou
A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial
Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir
Capacitor Carregando Capacitor Descarregando
∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0
C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou
∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou
Manual de Laboratoacuterio
61
Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8
Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo
eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum
3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78
Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas
do capacitor durante o processo de
carga ou descarga
Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um
graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo
do tempo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
62
Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no
capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte
Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor
quando o mesmo estaacute sendo carregado
Manual de Laboratoacuterio
63
Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie
1 - Osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos
2 ndash Aparato Experimental
Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
64
conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto
Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)
Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio
Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees
Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala
Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)
Manual de Laboratoacuterio
65
TAREFA 1
Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees
Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico
Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito
Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito
Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos
Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio
TAREFA 2
Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie
Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
66
figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)
Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados
Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo
NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo
Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste
Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito
Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito
Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles
Manual de Laboratoacuterio
67
MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS
Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais
Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio
Para onde aponta a buacutessola
Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
68
polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc
E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial
tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos
que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a
soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio
4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja
httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4
Figura 10 - Buacutessola
Figura 11 - campo B resultante
Manual de Laboratoacuterio
69
Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por
umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O
Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde
Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde
Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma
iacuteatilde() = ∙
onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde
5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass
The Physics Teacher 49(1) 45-48
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
70
Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como
iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2
Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos
gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)
Logo
gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2
Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo
iacuteatilde() = amp
Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse
tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira
na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart
Manual de Laboratoacuterio
71
pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do
que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute
yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp
onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico
da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos
yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp
Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
72
Atividade de Laboratoacuterio III Projeto
OBJETIVO
Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
73
SUGESTAtildeO 1
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO
Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas
Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece
Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha
Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo
por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o
eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
74
SUGESTAtildeO 2
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA
Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)
Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica
Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de
uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)
Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema
Manual de Laboratoacuterio
75
SUGESTAtildeO 3
BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO
Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola
Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)
Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina
O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
76
SUGESTAtildeO 4
CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO
O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer
Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
77
MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO
Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro
Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental
6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
78
110 V 127 V e 220 V O que eacute isso
As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V
Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas
A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
(c) = Jgt(c + acute)
onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por
∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)
Manual de Laboratoacuterio
79
onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1
Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho
Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores
Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
80
caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por
∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf
∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712
∆Suparamiddot = ∆S7radic2
Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a
tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s
A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente
alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$
Figura 13 - Funccedilotildees seno e
seno quadrado
Manual de Laboratoacuterio
81
COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA
Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz
Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O
Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
82
que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio
Natildeo queremos jogar energia fora
Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14
Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie
Manual de Laboratoacuterio
83
Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por
0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)
onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)
Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
ℇ(c) = ℇ7gt(c)
onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente
Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na
figura 16 para um caso em que VL gt VC
Figura 15 - Diagrama de fasores
de um circuito RLC seacuterie com
fonte de tensatildeo alternada
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
84
A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que
acute = c8 S minus SSu
Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado
por
i(c) = gt(c minus acute)
Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente
as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que
ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$
ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$
Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como
0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)
Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que
0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$
Figura 16 ndash Soma de fasores
Manual de Laboratoacuterio
85
0eacutey = F ∙ uparamiddot$
onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square
Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que
F = frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte
Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade
7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL
Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e
resistecircncia num diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
86
do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como
0 = AJradicAJ$ + AF$
O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP
DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11
Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia
Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por
acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita
Manual de Laboratoacuterio
87
2 = 1D
Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica
Figura 18 - diagramas de fasores representando
um circuito capacitivo e um circuito indutivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
88
Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie
O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio
TAREFA 1
Circuito Resistivo
Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR
Manual de Laboratoacuterio
89
Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)
O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador
Circuito Capacitivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
90
Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor
Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Manual de Laboratoacuterio
91
Circuito Indutivo
Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor
O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
92
Circuito RLC
Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise
Manual de Laboratoacuterio
93
O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador
Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio
O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior
Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor
Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou
A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
94
TAREFA 2
Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente
Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir
Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima
Qual o valor da corrente maacutexima no circuito
Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)
O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique
Manual de Laboratoacuterio
95
TAREFA 3
Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito
Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees
Como isso eacute possiacutevel Explique
Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff
Respostas
96
Respostas
A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32
A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH
A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH
B3 Ae = Af = AtildeAcircf
B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl
B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH
B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l
B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD
B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -
C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc
(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7
C2 O = ~13deg
C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)
Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-
vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr
Respostas
97
C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM
C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD
(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD
C6 A = Eacute$Acirc
C7 A = Atilde$AcircL
D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma
das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp
D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(
D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1
no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)
D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme
D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D
E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)
E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D
E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml
F1 544 times 10
F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S
F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM
u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM
u (e) 0 = ℇMu
F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω
Respostas
98
F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965
G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n
G5 i = Ograve$g = 245 J
G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y
G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez
G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H
G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)
G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)
G15 (a) zL$brvbarM (b)
z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero
G16 z$L + z$L = z$L - + 1
G17 (a) pLM
amp (b) pusup3
ampL
G18 zzMu
G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)
z
G20 zNu saindo da folha
G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)
UgraveLMamp
fora do fio (a) z$L (b)
UgravebrvbarM$L (c)
Ugravebrvbarsup3ampL
G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13
G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM
ampu
H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior
Respostas
99
H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a
H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J
I2 Φ = pound$ sup1amp
I4 C = AcircsM
I6 (a) zM
NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar
J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a
(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S
J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu
(c) = -radic
J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm
(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013
Respostas
100
Bibliografia
Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il
Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il
Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il
Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm
Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il
Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il
Manual de Laboratoacuterio
49
medidas da resistecircncia interna de amperiacutemetros como os investigados nesta aula Qual seria a meacutedia dessas medidas Assim como o desvio padratildeo dos dados quantifica a dispersatildeo dos dados em torno da meacutedia o desvio padratildeo da meacutedia quantifica a dispersatildeo das meacutedias de subconjuntos de dados em torno da meacutedia de todo o conjunto de dados Aplicando esse conceito ao nosso exemplo podemos interpretar os dois conjuntos de medidas de resistecircncias internas como subconjuntos de um grande conjunto contendo todas as medidas Desse modo podemos afirmar com 68 de confianccedila que a meacutedia das N novas medidas a serem realizadas estaraacute no intervalo compreendido por ( PL) com 95 de confianccedila no intervalo ( 2PL) e com 99 de confianccedila no intervalo ( 257PL) O desvio padratildeo da meacutedia pode ser compreendido assim como a incerteza da meacutedia de um conjunto de medidas ou seja ele nos fornece uma estimativa da confiabilidade de uma meacutedia Em suma se escolhermos um amperiacutemetro aleatoriamente podemos dizer que i) o valor mais provaacutevel da sua resistecircncia interna eacute a meacutedia das resistecircncias de todos os amperiacutemetros e ii) a incerteza que temos nesse valor eacute igual ao desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias dos amperiacutemetros
E se eu soacute tivesse condiccedilotildees de realizar uma uacutenica medida
Nem sempre podemos realizar diversas medidas de uma grandeza Em alguns casos nem mesmo faz sentido realizar diversas medidas No entanto eacute evidente que existe uma incerteza associada a uma uacutenica medida Natildeo existem instrumentos que sejam perfeitamente precisos Entatildeo como podemos estimar essa incerteza Usualmente os manuais dos instrumentos trazem informaccedilotildees sobre isso Desse modo as incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica realizadas com um voltiacutemetro e um amperiacutemetro podem ser consultadas no manual do multiacutemetro utilizado Mas como eacute calculada a incerteza da resistecircncia interna de um amperiacutemetro que foi calculada a partir de
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
50
apenas uma medida de tensatildeo e uma de corrente eleacutetrica Nesse caso precisamos calcular a incerteza propagada das incertezas das medidas de tensatildeo e de corrente eleacutetrica
Os meacutetodos de caacutelculo de incertezas propagadas podem ser bastante complicados Aqui trataremos de um meacutetodo bastante simples usualmente denominado de Meacutetodo dos Limites Vamos exemplificaacute-lo supondo que a incerteza da tensatildeo sobre as entradas do amperiacutemetro eacute P- e da corrente eleacutetrica que circula por ele eacute P$ Ou seja a tensatildeo medida estaacute no intervalo entre ∆S minus P- e ∆S + P- e a corrente eleacutetrica entre i minus P$ e i + P$ Qual eacute entatildeo a incerteza da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro investigado Para responder isso basta calcularmos os valores limites dessa grandeza O maacuteximo valor possiacutevel para a resistecircncia ocorreraacute se a tensatildeo for ∆S + P- e a corrente eleacutetrica for i minus P$ Nesse caso usando a Eq 1 temos
aacutee = ∆S + P-i minus P$
Usando o mesmo raciociacutenio o valor miacutenimo de r seraacute
z = ∆S minus P-i + P$
Desse modo podemos dizer que o valor da resistecircncia interna medida estaacute no intervalo entre rmaacutex e rmiacuten Em outras palavras o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro eacute
F = iexclz + aacutee2 z minus aacutee2 cent
Manual de Laboratoacuterio
51
Erro eacute a mesma coisa que incerteza
Apesar de serem frequentemente utilizados como sinocircnimos os manuais de metrologia atribuem significados distintos aos conceitos de ldquoerrordquo e ldquoincertezardquo O Guia para Expressatildeo da Incerteza da Mediccedilatildeo (Joint Commitee for Guide in Metrology 2008 apud Lima Jr et al 2013) usa o termo ldquoerrordquo para indicar a diferenccedila entre o valor verdadeiro e o resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo o conceito de erro tem uso restrito pois satildeo poucos os casos em que conhecemos o valor verdadeiro de uma grandeza Satildeo exemplos desses casos experimentos em que se deseja mensurar a velocidade da luz no vaacutecuo ou o valor de π que satildeo valores previamente conhecidos pelo experimentador O caacutelculo do erro soacute faz sentido para casos em que sabemos o valor verdadeiro da grandeza que se quer medir
A incerteza por outro lado eacute entendida como uma estimativa que quantifica a confiabilidade do resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo quando calculamos o desvio padratildeo da meacutedia de um conjunto de medidas estamos calculando a incerteza da meacutedia dessas medidas ou seja estamos avaliando a confianccedila que podemos ter em adotar a meacutedia dessas medidas como o valor da grandeza mensurada O conceito de incerteza portanto tem maior aplicabilidade do que o conceito de erro
Algarismos significativos e incerteza
Uma questatildeo frequente nas aulas de laboratoacuterio eacute Com quantos algarismos uma grandeza deve ser apresentada No laboratoacuterio a resposta dessa questatildeo eacute uma funccedilatildeo da incerteza da grandeza Devemos apresentar os dados ateacute o seu primeiro algarismo duvidoso Voltemos ao exemplo da resistecircncia interna dos amperiacutemetros Suponhamos que a meacutedia das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros eacute 21546 Ω e o desvio padratildeo dessa meacutedia que eacute
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
52
entendido aqui como a incerteza da resistecircncia interna dos amperiacutemetros eacute 003 Ω Interpretando tais dados assumimos com 68 de certeza que a resistecircncia interna dos amperiacutemetros estaacute no intervalo entre 21246 e 21846 Ω Desse modo a segunda casa decimal da grandeza medida eacute duvidosa Por isso os algarismos subsequentes satildeo omitidos quando expressamos essa medida e a medida da resistecircncia interna dos amperiacutemetros exemplificados eacute exposta por (215 plusmn 003) Ω Em suma o resultado de uma mediccedilatildeo deve ser sempre expresso com a mesma quantidade de casas decimais que sua incerteza Os algarismos apresentados satildeo entatildeo chamados de algarismos significativos
Referecircncia
Lima Jr P Silva M T X Silveira F L Veit E A (2013) Laboratoacuterio de mecacircnica subsiacutedios para o ensino de Fiacutesica experimental Porto Alegre UFRGS Instituto de Fiacutesica Disponiacutevel em httphdlhandlenet1018390438
Manual de Laboratoacuterio
53
Atividade de Laboratoacuterio I Instrumentos de medida e incertezas
Este material foi cuidadosamente preparado para auxiliar no andamento das atividades no laboratoacuterio de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo Eacute importante responder TODAS as perguntas
(indicadas pelo siacutembolo ) feitas ao longo do texto discutindo com seu grupo possiacuteveis respostas e justificando-as Sempre que possiacutevel faccedila isso por escrito
TAREFA 1
Construa um circuito contendo um resistor de 1 kΩ em seacuterie com uma fonte de tensatildeo contiacutenua e um multiacutemetro Coloque o multiacutemetro na funccedilatildeo amperiacutemetro na escala de miliampere Usando outro multiacutemetro meccedila a tensatildeo no amperiacutemetro Realize medidas com diferentes correntes eleacutetricas variando a tensatildeo de saiacuteda da fonte
Como podemos tratar esses dados se nosso objetivo eacute medir a resistecircncia interna do amperiacutemetro
Qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
54
Para responder essas questotildees se dirija a um dos computadores da sala e use um aplicativo que possibilite a construccedilatildeo de graacuteficos SciDavis por exemplo Insira seus dados no aplicativo construa o graacutefico desejado e encontre a melhor reta que se ajusta aos dados
Qual foi a melhor reta ajustada Determine a equaccedilatildeo dessa reta ajustada
Qual eacute o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro que vocecirc investigou
TAREFA 2
Utilize as medidas de todos os grupos da turma e aplique os conhecimentos abordados na tarefa de leitura para responder as seguintes questotildees
Qual deve ser a resistecircncia interna de um amperiacutemetro escolhido aleatoriamente entre os utilizados nesta aula
Qual eacute a incerteza desse valor
TAREFA 3
Suponha que o manual do Minipa ET-2075B informe que as medidas de tensatildeo e corrente realizadas nas faixas de milivolt e miliampere tecircm incerteza de 3 Use esses dados para calcular a
Manual de Laboratoacuterio
55
incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1
Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma
Elas satildeo coerentes Por quecirc
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
56
CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO
Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por
equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC
Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras
O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se
Manual de Laboratoacuterio
57
extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo
No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador
Salvando vidas
ldquoafastem-se choquerdquo
Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de
sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos
O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo
Figura 4 - Desfibrilador
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
58
esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)
Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma
sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o
miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia
Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2
2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387
Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)
Manual de Laboratoacuterio
59
Circuito RC - seacuterie
Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C
Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que
∆S(c) + i(c)F = 0
Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo
i(c) = =C(c)=c
e a ddp no capacitor eacute dada por
∆S(c) = C(c)D
Dessa forma podemos dizer que
=C(c)=c = minus 1FD C(c)
Figura 6 - Circuito RC
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
60
Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa
funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja
derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever
C(c) = C7 ou
A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial
Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir
Capacitor Carregando Capacitor Descarregando
∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0
C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou
∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou
Manual de Laboratoacuterio
61
Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8
Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo
eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum
3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78
Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas
do capacitor durante o processo de
carga ou descarga
Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um
graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo
do tempo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
62
Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no
capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte
Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor
quando o mesmo estaacute sendo carregado
Manual de Laboratoacuterio
63
Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie
1 - Osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos
2 ndash Aparato Experimental
Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
64
conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto
Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)
Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio
Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees
Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala
Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)
Manual de Laboratoacuterio
65
TAREFA 1
Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees
Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico
Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito
Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito
Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos
Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio
TAREFA 2
Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie
Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
66
figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)
Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados
Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo
NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo
Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste
Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito
Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito
Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles
Manual de Laboratoacuterio
67
MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS
Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais
Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio
Para onde aponta a buacutessola
Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
68
polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc
E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial
tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos
que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a
soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio
4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja
httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4
Figura 10 - Buacutessola
Figura 11 - campo B resultante
Manual de Laboratoacuterio
69
Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por
umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O
Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde
Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde
Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma
iacuteatilde() = ∙
onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde
5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass
The Physics Teacher 49(1) 45-48
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
70
Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como
iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2
Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos
gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)
Logo
gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2
Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo
iacuteatilde() = amp
Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse
tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira
na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart
Manual de Laboratoacuterio
71
pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do
que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute
yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp
onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico
da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos
yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp
Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
72
Atividade de Laboratoacuterio III Projeto
OBJETIVO
Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
73
SUGESTAtildeO 1
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO
Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas
Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece
Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha
Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo
por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o
eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
74
SUGESTAtildeO 2
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA
Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)
Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica
Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de
uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)
Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema
Manual de Laboratoacuterio
75
SUGESTAtildeO 3
BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO
Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola
Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)
Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina
O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
76
SUGESTAtildeO 4
CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO
O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer
Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
77
MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO
Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro
Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental
6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
78
110 V 127 V e 220 V O que eacute isso
As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V
Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas
A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
(c) = Jgt(c + acute)
onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por
∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)
Manual de Laboratoacuterio
79
onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1
Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho
Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores
Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
80
caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por
∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf
∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712
∆Suparamiddot = ∆S7radic2
Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a
tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s
A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente
alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$
Figura 13 - Funccedilotildees seno e
seno quadrado
Manual de Laboratoacuterio
81
COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA
Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz
Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O
Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
82
que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio
Natildeo queremos jogar energia fora
Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14
Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie
Manual de Laboratoacuterio
83
Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por
0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)
onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)
Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
ℇ(c) = ℇ7gt(c)
onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente
Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na
figura 16 para um caso em que VL gt VC
Figura 15 - Diagrama de fasores
de um circuito RLC seacuterie com
fonte de tensatildeo alternada
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
84
A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que
acute = c8 S minus SSu
Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado
por
i(c) = gt(c minus acute)
Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente
as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que
ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$
ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$
Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como
0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)
Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que
0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$
Figura 16 ndash Soma de fasores
Manual de Laboratoacuterio
85
0eacutey = F ∙ uparamiddot$
onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square
Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que
F = frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte
Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade
7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL
Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e
resistecircncia num diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
86
do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como
0 = AJradicAJ$ + AF$
O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP
DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11
Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia
Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por
acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita
Manual de Laboratoacuterio
87
2 = 1D
Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica
Figura 18 - diagramas de fasores representando
um circuito capacitivo e um circuito indutivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
88
Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie
O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio
TAREFA 1
Circuito Resistivo
Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR
Manual de Laboratoacuterio
89
Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)
O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador
Circuito Capacitivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
90
Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor
Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Manual de Laboratoacuterio
91
Circuito Indutivo
Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor
O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
92
Circuito RLC
Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise
Manual de Laboratoacuterio
93
O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador
Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio
O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior
Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor
Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou
A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
94
TAREFA 2
Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente
Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir
Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima
Qual o valor da corrente maacutexima no circuito
Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)
O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique
Manual de Laboratoacuterio
95
TAREFA 3
Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito
Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees
Como isso eacute possiacutevel Explique
Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff
Respostas
96
Respostas
A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32
A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH
A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH
B3 Ae = Af = AtildeAcircf
B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl
B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH
B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l
B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD
B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -
C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc
(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7
C2 O = ~13deg
C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)
Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-
vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr
Respostas
97
C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM
C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD
(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD
C6 A = Eacute$Acirc
C7 A = Atilde$AcircL
D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma
das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp
D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(
D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1
no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)
D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme
D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D
E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)
E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D
E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml
F1 544 times 10
F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S
F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM
u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM
u (e) 0 = ℇMu
F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω
Respostas
98
F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965
G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n
G5 i = Ograve$g = 245 J
G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y
G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez
G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H
G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)
G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)
G15 (a) zL$brvbarM (b)
z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero
G16 z$L + z$L = z$L - + 1
G17 (a) pLM
amp (b) pusup3
ampL
G18 zzMu
G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)
z
G20 zNu saindo da folha
G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)
UgraveLMamp
fora do fio (a) z$L (b)
UgravebrvbarM$L (c)
Ugravebrvbarsup3ampL
G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13
G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM
ampu
H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior
Respostas
99
H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a
H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J
I2 Φ = pound$ sup1amp
I4 C = AcircsM
I6 (a) zM
NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar
J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a
(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S
J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu
(c) = -radic
J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm
(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013
Respostas
100
Bibliografia
Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il
Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il
Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il
Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm
Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il
Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il
Manual de Laboratoacuterio
51
Erro eacute a mesma coisa que incerteza
Apesar de serem frequentemente utilizados como sinocircnimos os manuais de metrologia atribuem significados distintos aos conceitos de ldquoerrordquo e ldquoincertezardquo O Guia para Expressatildeo da Incerteza da Mediccedilatildeo (Joint Commitee for Guide in Metrology 2008 apud Lima Jr et al 2013) usa o termo ldquoerrordquo para indicar a diferenccedila entre o valor verdadeiro e o resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo o conceito de erro tem uso restrito pois satildeo poucos os casos em que conhecemos o valor verdadeiro de uma grandeza Satildeo exemplos desses casos experimentos em que se deseja mensurar a velocidade da luz no vaacutecuo ou o valor de π que satildeo valores previamente conhecidos pelo experimentador O caacutelculo do erro soacute faz sentido para casos em que sabemos o valor verdadeiro da grandeza que se quer medir
A incerteza por outro lado eacute entendida como uma estimativa que quantifica a confiabilidade do resultado de uma mediccedilatildeo Desse modo quando calculamos o desvio padratildeo da meacutedia de um conjunto de medidas estamos calculando a incerteza da meacutedia dessas medidas ou seja estamos avaliando a confianccedila que podemos ter em adotar a meacutedia dessas medidas como o valor da grandeza mensurada O conceito de incerteza portanto tem maior aplicabilidade do que o conceito de erro
Algarismos significativos e incerteza
Uma questatildeo frequente nas aulas de laboratoacuterio eacute Com quantos algarismos uma grandeza deve ser apresentada No laboratoacuterio a resposta dessa questatildeo eacute uma funccedilatildeo da incerteza da grandeza Devemos apresentar os dados ateacute o seu primeiro algarismo duvidoso Voltemos ao exemplo da resistecircncia interna dos amperiacutemetros Suponhamos que a meacutedia das resistecircncias internas de um conjunto de amperiacutemetros eacute 21546 Ω e o desvio padratildeo dessa meacutedia que eacute
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
52
entendido aqui como a incerteza da resistecircncia interna dos amperiacutemetros eacute 003 Ω Interpretando tais dados assumimos com 68 de certeza que a resistecircncia interna dos amperiacutemetros estaacute no intervalo entre 21246 e 21846 Ω Desse modo a segunda casa decimal da grandeza medida eacute duvidosa Por isso os algarismos subsequentes satildeo omitidos quando expressamos essa medida e a medida da resistecircncia interna dos amperiacutemetros exemplificados eacute exposta por (215 plusmn 003) Ω Em suma o resultado de uma mediccedilatildeo deve ser sempre expresso com a mesma quantidade de casas decimais que sua incerteza Os algarismos apresentados satildeo entatildeo chamados de algarismos significativos
Referecircncia
Lima Jr P Silva M T X Silveira F L Veit E A (2013) Laboratoacuterio de mecacircnica subsiacutedios para o ensino de Fiacutesica experimental Porto Alegre UFRGS Instituto de Fiacutesica Disponiacutevel em httphdlhandlenet1018390438
Manual de Laboratoacuterio
53
Atividade de Laboratoacuterio I Instrumentos de medida e incertezas
Este material foi cuidadosamente preparado para auxiliar no andamento das atividades no laboratoacuterio de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo Eacute importante responder TODAS as perguntas
(indicadas pelo siacutembolo ) feitas ao longo do texto discutindo com seu grupo possiacuteveis respostas e justificando-as Sempre que possiacutevel faccedila isso por escrito
TAREFA 1
Construa um circuito contendo um resistor de 1 kΩ em seacuterie com uma fonte de tensatildeo contiacutenua e um multiacutemetro Coloque o multiacutemetro na funccedilatildeo amperiacutemetro na escala de miliampere Usando outro multiacutemetro meccedila a tensatildeo no amperiacutemetro Realize medidas com diferentes correntes eleacutetricas variando a tensatildeo de saiacuteda da fonte
Como podemos tratar esses dados se nosso objetivo eacute medir a resistecircncia interna do amperiacutemetro
Qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
54
Para responder essas questotildees se dirija a um dos computadores da sala e use um aplicativo que possibilite a construccedilatildeo de graacuteficos SciDavis por exemplo Insira seus dados no aplicativo construa o graacutefico desejado e encontre a melhor reta que se ajusta aos dados
Qual foi a melhor reta ajustada Determine a equaccedilatildeo dessa reta ajustada
Qual eacute o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro que vocecirc investigou
TAREFA 2
Utilize as medidas de todos os grupos da turma e aplique os conhecimentos abordados na tarefa de leitura para responder as seguintes questotildees
Qual deve ser a resistecircncia interna de um amperiacutemetro escolhido aleatoriamente entre os utilizados nesta aula
Qual eacute a incerteza desse valor
TAREFA 3
Suponha que o manual do Minipa ET-2075B informe que as medidas de tensatildeo e corrente realizadas nas faixas de milivolt e miliampere tecircm incerteza de 3 Use esses dados para calcular a
Manual de Laboratoacuterio
55
incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1
Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma
Elas satildeo coerentes Por quecirc
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
56
CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO
Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por
equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC
Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras
O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se
Manual de Laboratoacuterio
57
extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo
No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador
Salvando vidas
ldquoafastem-se choquerdquo
Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de
sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos
O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo
Figura 4 - Desfibrilador
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
58
esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)
Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma
sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o
miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia
Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2
2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387
Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)
Manual de Laboratoacuterio
59
Circuito RC - seacuterie
Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C
Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que
∆S(c) + i(c)F = 0
Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo
i(c) = =C(c)=c
e a ddp no capacitor eacute dada por
∆S(c) = C(c)D
Dessa forma podemos dizer que
=C(c)=c = minus 1FD C(c)
Figura 6 - Circuito RC
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
60
Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa
funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja
derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever
C(c) = C7 ou
A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial
Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir
Capacitor Carregando Capacitor Descarregando
∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0
C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou
∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou
Manual de Laboratoacuterio
61
Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8
Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo
eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum
3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78
Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas
do capacitor durante o processo de
carga ou descarga
Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um
graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo
do tempo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
62
Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no
capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte
Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor
quando o mesmo estaacute sendo carregado
Manual de Laboratoacuterio
63
Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie
1 - Osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos
2 ndash Aparato Experimental
Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
64
conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto
Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)
Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio
Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees
Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala
Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)
Manual de Laboratoacuterio
65
TAREFA 1
Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees
Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico
Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito
Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito
Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos
Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio
TAREFA 2
Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie
Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
66
figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)
Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados
Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo
NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo
Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste
Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito
Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito
Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles
Manual de Laboratoacuterio
67
MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS
Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais
Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio
Para onde aponta a buacutessola
Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
68
polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc
E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial
tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos
que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a
soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio
4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja
httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4
Figura 10 - Buacutessola
Figura 11 - campo B resultante
Manual de Laboratoacuterio
69
Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por
umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O
Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde
Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde
Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma
iacuteatilde() = ∙
onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde
5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass
The Physics Teacher 49(1) 45-48
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
70
Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como
iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2
Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos
gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)
Logo
gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2
Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo
iacuteatilde() = amp
Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse
tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira
na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart
Manual de Laboratoacuterio
71
pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do
que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute
yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp
onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico
da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos
yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp
Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
72
Atividade de Laboratoacuterio III Projeto
OBJETIVO
Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
73
SUGESTAtildeO 1
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO
Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas
Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece
Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha
Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo
por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o
eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
74
SUGESTAtildeO 2
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA
Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)
Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica
Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de
uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)
Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema
Manual de Laboratoacuterio
75
SUGESTAtildeO 3
BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO
Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola
Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)
Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina
O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
76
SUGESTAtildeO 4
CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO
O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer
Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
77
MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO
Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro
Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental
6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
78
110 V 127 V e 220 V O que eacute isso
As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V
Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas
A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
(c) = Jgt(c + acute)
onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por
∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)
Manual de Laboratoacuterio
79
onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1
Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho
Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores
Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
80
caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por
∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf
∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712
∆Suparamiddot = ∆S7radic2
Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a
tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s
A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente
alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$
Figura 13 - Funccedilotildees seno e
seno quadrado
Manual de Laboratoacuterio
81
COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA
Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz
Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O
Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
82
que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio
Natildeo queremos jogar energia fora
Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14
Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie
Manual de Laboratoacuterio
83
Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por
0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)
onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)
Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
ℇ(c) = ℇ7gt(c)
onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente
Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na
figura 16 para um caso em que VL gt VC
Figura 15 - Diagrama de fasores
de um circuito RLC seacuterie com
fonte de tensatildeo alternada
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
84
A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que
acute = c8 S minus SSu
Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado
por
i(c) = gt(c minus acute)
Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente
as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que
ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$
ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$
Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como
0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)
Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que
0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$
Figura 16 ndash Soma de fasores
Manual de Laboratoacuterio
85
0eacutey = F ∙ uparamiddot$
onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square
Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que
F = frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte
Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade
7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL
Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e
resistecircncia num diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
86
do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como
0 = AJradicAJ$ + AF$
O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP
DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11
Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia
Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por
acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita
Manual de Laboratoacuterio
87
2 = 1D
Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica
Figura 18 - diagramas de fasores representando
um circuito capacitivo e um circuito indutivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
88
Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie
O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio
TAREFA 1
Circuito Resistivo
Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR
Manual de Laboratoacuterio
89
Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)
O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador
Circuito Capacitivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
90
Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor
Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Manual de Laboratoacuterio
91
Circuito Indutivo
Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor
O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
92
Circuito RLC
Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise
Manual de Laboratoacuterio
93
O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador
Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio
O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior
Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor
Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou
A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
94
TAREFA 2
Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente
Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir
Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima
Qual o valor da corrente maacutexima no circuito
Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)
O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique
Manual de Laboratoacuterio
95
TAREFA 3
Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito
Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees
Como isso eacute possiacutevel Explique
Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff
Respostas
96
Respostas
A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32
A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH
A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH
B3 Ae = Af = AtildeAcircf
B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl
B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH
B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l
B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD
B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -
C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc
(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7
C2 O = ~13deg
C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)
Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-
vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr
Respostas
97
C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM
C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD
(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD
C6 A = Eacute$Acirc
C7 A = Atilde$AcircL
D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma
das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp
D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(
D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1
no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)
D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme
D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D
E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)
E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D
E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml
F1 544 times 10
F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S
F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM
u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM
u (e) 0 = ℇMu
F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω
Respostas
98
F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965
G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n
G5 i = Ograve$g = 245 J
G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y
G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez
G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H
G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)
G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)
G15 (a) zL$brvbarM (b)
z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero
G16 z$L + z$L = z$L - + 1
G17 (a) pLM
amp (b) pusup3
ampL
G18 zzMu
G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)
z
G20 zNu saindo da folha
G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)
UgraveLMamp
fora do fio (a) z$L (b)
UgravebrvbarM$L (c)
Ugravebrvbarsup3ampL
G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13
G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM
ampu
H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior
Respostas
99
H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a
H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J
I2 Φ = pound$ sup1amp
I4 C = AcircsM
I6 (a) zM
NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar
J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a
(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S
J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu
(c) = -radic
J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm
(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013
Respostas
100
Bibliografia
Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il
Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il
Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il
Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm
Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il
Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il
Manual de Laboratoacuterio
53
Atividade de Laboratoacuterio I Instrumentos de medida e incertezas
Este material foi cuidadosamente preparado para auxiliar no andamento das atividades no laboratoacuterio de Fiacutesica Geral Eletromagnetismo Eacute importante responder TODAS as perguntas
(indicadas pelo siacutembolo ) feitas ao longo do texto discutindo com seu grupo possiacuteveis respostas e justificando-as Sempre que possiacutevel faccedila isso por escrito
TAREFA 1
Construa um circuito contendo um resistor de 1 kΩ em seacuterie com uma fonte de tensatildeo contiacutenua e um multiacutemetro Coloque o multiacutemetro na funccedilatildeo amperiacutemetro na escala de miliampere Usando outro multiacutemetro meccedila a tensatildeo no amperiacutemetro Realize medidas com diferentes correntes eleacutetricas variando a tensatildeo de saiacuteda da fonte
Como podemos tratar esses dados se nosso objetivo eacute medir a resistecircncia interna do amperiacutemetro
Qual eacute a melhor curva que se ajusta a esses dados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
54
Para responder essas questotildees se dirija a um dos computadores da sala e use um aplicativo que possibilite a construccedilatildeo de graacuteficos SciDavis por exemplo Insira seus dados no aplicativo construa o graacutefico desejado e encontre a melhor reta que se ajusta aos dados
Qual foi a melhor reta ajustada Determine a equaccedilatildeo dessa reta ajustada
Qual eacute o valor da resistecircncia eleacutetrica do amperiacutemetro que vocecirc investigou
TAREFA 2
Utilize as medidas de todos os grupos da turma e aplique os conhecimentos abordados na tarefa de leitura para responder as seguintes questotildees
Qual deve ser a resistecircncia interna de um amperiacutemetro escolhido aleatoriamente entre os utilizados nesta aula
Qual eacute a incerteza desse valor
TAREFA 3
Suponha que o manual do Minipa ET-2075B informe que as medidas de tensatildeo e corrente realizadas nas faixas de milivolt e miliampere tecircm incerteza de 3 Use esses dados para calcular a
Manual de Laboratoacuterio
55
incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1
Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma
Elas satildeo coerentes Por quecirc
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
56
CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO
Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por
equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC
Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras
O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se
Manual de Laboratoacuterio
57
extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo
No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador
Salvando vidas
ldquoafastem-se choquerdquo
Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de
sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos
O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo
Figura 4 - Desfibrilador
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
58
esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)
Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma
sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o
miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia
Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2
2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387
Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)
Manual de Laboratoacuterio
59
Circuito RC - seacuterie
Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C
Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que
∆S(c) + i(c)F = 0
Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo
i(c) = =C(c)=c
e a ddp no capacitor eacute dada por
∆S(c) = C(c)D
Dessa forma podemos dizer que
=C(c)=c = minus 1FD C(c)
Figura 6 - Circuito RC
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
60
Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa
funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja
derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever
C(c) = C7 ou
A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial
Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir
Capacitor Carregando Capacitor Descarregando
∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0
C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou
∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou
Manual de Laboratoacuterio
61
Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8
Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo
eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum
3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78
Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas
do capacitor durante o processo de
carga ou descarga
Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um
graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo
do tempo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
62
Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no
capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte
Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor
quando o mesmo estaacute sendo carregado
Manual de Laboratoacuterio
63
Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie
1 - Osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos
2 ndash Aparato Experimental
Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
64
conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto
Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)
Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio
Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees
Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala
Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)
Manual de Laboratoacuterio
65
TAREFA 1
Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees
Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico
Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito
Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito
Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos
Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio
TAREFA 2
Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie
Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
66
figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)
Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados
Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo
NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo
Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste
Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito
Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito
Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles
Manual de Laboratoacuterio
67
MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS
Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais
Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio
Para onde aponta a buacutessola
Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
68
polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc
E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial
tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos
que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a
soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio
4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja
httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4
Figura 10 - Buacutessola
Figura 11 - campo B resultante
Manual de Laboratoacuterio
69
Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por
umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O
Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde
Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde
Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma
iacuteatilde() = ∙
onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde
5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass
The Physics Teacher 49(1) 45-48
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
70
Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como
iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2
Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos
gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)
Logo
gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2
Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo
iacuteatilde() = amp
Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse
tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira
na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart
Manual de Laboratoacuterio
71
pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do
que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute
yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp
onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico
da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos
yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp
Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
72
Atividade de Laboratoacuterio III Projeto
OBJETIVO
Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
73
SUGESTAtildeO 1
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO
Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas
Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece
Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha
Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo
por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o
eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
74
SUGESTAtildeO 2
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA
Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)
Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica
Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de
uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)
Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema
Manual de Laboratoacuterio
75
SUGESTAtildeO 3
BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO
Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola
Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)
Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina
O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
76
SUGESTAtildeO 4
CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO
O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer
Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
77
MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO
Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro
Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental
6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
78
110 V 127 V e 220 V O que eacute isso
As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V
Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas
A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
(c) = Jgt(c + acute)
onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por
∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)
Manual de Laboratoacuterio
79
onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1
Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho
Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores
Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
80
caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por
∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf
∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712
∆Suparamiddot = ∆S7radic2
Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a
tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s
A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente
alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$
Figura 13 - Funccedilotildees seno e
seno quadrado
Manual de Laboratoacuterio
81
COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA
Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz
Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O
Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
82
que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio
Natildeo queremos jogar energia fora
Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14
Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie
Manual de Laboratoacuterio
83
Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por
0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)
onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)
Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
ℇ(c) = ℇ7gt(c)
onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente
Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na
figura 16 para um caso em que VL gt VC
Figura 15 - Diagrama de fasores
de um circuito RLC seacuterie com
fonte de tensatildeo alternada
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
84
A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que
acute = c8 S minus SSu
Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado
por
i(c) = gt(c minus acute)
Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente
as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que
ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$
ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$
Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como
0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)
Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que
0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$
Figura 16 ndash Soma de fasores
Manual de Laboratoacuterio
85
0eacutey = F ∙ uparamiddot$
onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square
Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que
F = frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte
Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade
7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL
Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e
resistecircncia num diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
86
do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como
0 = AJradicAJ$ + AF$
O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP
DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11
Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia
Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por
acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita
Manual de Laboratoacuterio
87
2 = 1D
Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica
Figura 18 - diagramas de fasores representando
um circuito capacitivo e um circuito indutivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
88
Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie
O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio
TAREFA 1
Circuito Resistivo
Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR
Manual de Laboratoacuterio
89
Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)
O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador
Circuito Capacitivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
90
Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor
Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Manual de Laboratoacuterio
91
Circuito Indutivo
Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor
O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
92
Circuito RLC
Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise
Manual de Laboratoacuterio
93
O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador
Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio
O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior
Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor
Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou
A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
94
TAREFA 2
Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente
Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir
Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima
Qual o valor da corrente maacutexima no circuito
Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)
O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique
Manual de Laboratoacuterio
95
TAREFA 3
Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito
Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees
Como isso eacute possiacutevel Explique
Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff
Respostas
96
Respostas
A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32
A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH
A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH
B3 Ae = Af = AtildeAcircf
B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl
B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH
B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l
B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD
B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -
C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc
(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7
C2 O = ~13deg
C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)
Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-
vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr
Respostas
97
C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM
C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD
(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD
C6 A = Eacute$Acirc
C7 A = Atilde$AcircL
D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma
das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp
D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(
D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1
no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)
D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme
D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D
E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)
E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D
E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml
F1 544 times 10
F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S
F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM
u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM
u (e) 0 = ℇMu
F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω
Respostas
98
F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965
G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n
G5 i = Ograve$g = 245 J
G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y
G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez
G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H
G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)
G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)
G15 (a) zL$brvbarM (b)
z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero
G16 z$L + z$L = z$L - + 1
G17 (a) pLM
amp (b) pusup3
ampL
G18 zzMu
G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)
z
G20 zNu saindo da folha
G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)
UgraveLMamp
fora do fio (a) z$L (b)
UgravebrvbarM$L (c)
Ugravebrvbarsup3ampL
G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13
G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM
ampu
H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior
Respostas
99
H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a
H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J
I2 Φ = pound$ sup1amp
I4 C = AcircsM
I6 (a) zM
NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar
J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a
(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S
J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu
(c) = -radic
J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm
(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013
Respostas
100
Bibliografia
Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il
Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il
Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il
Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm
Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il
Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il
Manual de Laboratoacuterio
55
incerteza da resistecircncia interna inferida de uma uacutenica medida de tensatildeo e corrente eleacutetrica realizada na Tarefa 1
Essa incerteza eacute maior ou menor do que a incerteza mensurada na Tarefa 2 por meio do desvio padratildeo da meacutedia das resistecircncias medidas pela turma
Elas satildeo coerentes Por quecirc
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
56
CIRCUITO RC ndash ARMAZENANDO ENERGIA PARA UTILIZAR NO MOMENTO CERTO
Estamos tatildeo acostumados agrave comodidade proporcionada por
equipamentos como refrigerador televisatildeo telefone celular ateacute mesmo o mais simples reloacutegio que fica difiacutecil imaginar como seria a vida sem eles O funcionamento de todos os dispositivos eletrocircnicos baseia-se na passagem de corrente eleacutetrica por um circuito que pode conter diferentes componentes incluindo resistores capacitores e baterias (ou fontes de tensatildeo) entre outros Um circuito contendo um resistor e um capacitor (que podem tambeacutem estar conectados a uma fonte de tensatildeo) eacute conhecido como CIRCUITO RC
Num circuito eleacutetrico a funccedilatildeo principal da fonte de tensatildeo (ou bateria) eacute fornecer energia ao sistema A energia fornecida pela fonte pode ser constante (tensatildeo contiacutenua ou DC) ou pode variar com o tempo (tensatildeo alternada ou AC) respeitando uma funccedilatildeo perioacutedica tipo degrau triangular senoidal entre outras
O capacitor eacute um dispositivo que tem como funccedilatildeo armazenar energia e isso eacute feito no campo eleacutetrico que se estabelece entre as placas do capacitor quando este estaacute carregado Assim como a bateria o capacitor tambeacutem pode fornecer energia ao circuito quando por exemplo um capacitor carregado eacute conectado a uma lacircmpada a lacircmpada acende No entanto haacute uma grande diferenccedila entre conectar uma lacircmpada a um capacitor carregado e a uma bateria A bateria (ou fonte de tensatildeo DC) manteacutem a mesma diferenccedila de potencial por um longo tempo Quando uma lacircmpada eacute conectada a uma bateria por exemplo a lacircmpada acende e o seu brilho natildeo muda enquanto o circuito estiver conectado No entanto ao conectar um capacitor carregado numa lacircmpada (resistor) o brilho da lacircmpada eacute intenso logo que o circuito eacute fechado diminuindo com o passar do tempo ateacute se
Manual de Laboratoacuterio
57
extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo
No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador
Salvando vidas
ldquoafastem-se choquerdquo
Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de
sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos
O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo
Figura 4 - Desfibrilador
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
58
esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)
Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma
sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o
miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia
Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2
2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387
Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)
Manual de Laboratoacuterio
59
Circuito RC - seacuterie
Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C
Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que
∆S(c) + i(c)F = 0
Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo
i(c) = =C(c)=c
e a ddp no capacitor eacute dada por
∆S(c) = C(c)D
Dessa forma podemos dizer que
=C(c)=c = minus 1FD C(c)
Figura 6 - Circuito RC
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
60
Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa
funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja
derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever
C(c) = C7 ou
A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial
Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir
Capacitor Carregando Capacitor Descarregando
∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0
C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou
∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou
Manual de Laboratoacuterio
61
Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8
Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo
eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum
3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78
Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas
do capacitor durante o processo de
carga ou descarga
Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um
graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo
do tempo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
62
Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no
capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte
Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor
quando o mesmo estaacute sendo carregado
Manual de Laboratoacuterio
63
Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie
1 - Osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos
2 ndash Aparato Experimental
Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
64
conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto
Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)
Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio
Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees
Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala
Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)
Manual de Laboratoacuterio
65
TAREFA 1
Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees
Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico
Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito
Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito
Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos
Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio
TAREFA 2
Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie
Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
66
figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)
Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados
Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo
NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo
Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste
Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito
Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito
Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles
Manual de Laboratoacuterio
67
MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS
Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais
Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio
Para onde aponta a buacutessola
Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
68
polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc
E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial
tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos
que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a
soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio
4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja
httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4
Figura 10 - Buacutessola
Figura 11 - campo B resultante
Manual de Laboratoacuterio
69
Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por
umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O
Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde
Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde
Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma
iacuteatilde() = ∙
onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde
5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass
The Physics Teacher 49(1) 45-48
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
70
Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como
iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2
Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos
gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)
Logo
gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2
Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo
iacuteatilde() = amp
Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse
tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira
na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart
Manual de Laboratoacuterio
71
pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do
que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute
yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp
onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico
da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos
yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp
Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
72
Atividade de Laboratoacuterio III Projeto
OBJETIVO
Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
73
SUGESTAtildeO 1
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO
Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas
Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece
Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha
Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo
por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o
eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
74
SUGESTAtildeO 2
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA
Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)
Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica
Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de
uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)
Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema
Manual de Laboratoacuterio
75
SUGESTAtildeO 3
BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO
Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola
Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)
Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina
O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
76
SUGESTAtildeO 4
CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO
O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer
Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
77
MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO
Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro
Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental
6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
78
110 V 127 V e 220 V O que eacute isso
As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V
Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas
A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
(c) = Jgt(c + acute)
onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por
∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)
Manual de Laboratoacuterio
79
onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1
Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho
Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores
Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
80
caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por
∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf
∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712
∆Suparamiddot = ∆S7radic2
Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a
tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s
A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente
alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$
Figura 13 - Funccedilotildees seno e
seno quadrado
Manual de Laboratoacuterio
81
COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA
Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz
Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O
Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
82
que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio
Natildeo queremos jogar energia fora
Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14
Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie
Manual de Laboratoacuterio
83
Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por
0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)
onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)
Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
ℇ(c) = ℇ7gt(c)
onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente
Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na
figura 16 para um caso em que VL gt VC
Figura 15 - Diagrama de fasores
de um circuito RLC seacuterie com
fonte de tensatildeo alternada
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
84
A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que
acute = c8 S minus SSu
Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado
por
i(c) = gt(c minus acute)
Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente
as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que
ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$
ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$
Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como
0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)
Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que
0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$
Figura 16 ndash Soma de fasores
Manual de Laboratoacuterio
85
0eacutey = F ∙ uparamiddot$
onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square
Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que
F = frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte
Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade
7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL
Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e
resistecircncia num diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
86
do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como
0 = AJradicAJ$ + AF$
O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP
DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11
Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia
Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por
acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita
Manual de Laboratoacuterio
87
2 = 1D
Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica
Figura 18 - diagramas de fasores representando
um circuito capacitivo e um circuito indutivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
88
Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie
O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio
TAREFA 1
Circuito Resistivo
Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR
Manual de Laboratoacuterio
89
Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)
O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador
Circuito Capacitivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
90
Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor
Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Manual de Laboratoacuterio
91
Circuito Indutivo
Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor
O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
92
Circuito RLC
Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise
Manual de Laboratoacuterio
93
O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador
Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio
O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior
Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor
Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou
A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
94
TAREFA 2
Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente
Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir
Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima
Qual o valor da corrente maacutexima no circuito
Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)
O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique
Manual de Laboratoacuterio
95
TAREFA 3
Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito
Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees
Como isso eacute possiacutevel Explique
Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff
Respostas
96
Respostas
A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32
A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH
A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH
B3 Ae = Af = AtildeAcircf
B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl
B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH
B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l
B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD
B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -
C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc
(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7
C2 O = ~13deg
C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)
Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-
vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr
Respostas
97
C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM
C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD
(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD
C6 A = Eacute$Acirc
C7 A = Atilde$AcircL
D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma
das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp
D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(
D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1
no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)
D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme
D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D
E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)
E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D
E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml
F1 544 times 10
F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S
F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM
u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM
u (e) 0 = ℇMu
F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω
Respostas
98
F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965
G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n
G5 i = Ograve$g = 245 J
G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y
G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez
G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H
G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)
G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)
G15 (a) zL$brvbarM (b)
z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero
G16 z$L + z$L = z$L - + 1
G17 (a) pLM
amp (b) pusup3
ampL
G18 zzMu
G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)
z
G20 zNu saindo da folha
G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)
UgraveLMamp
fora do fio (a) z$L (b)
UgravebrvbarM$L (c)
Ugravebrvbarsup3ampL
G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13
G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM
ampu
H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior
Respostas
99
H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a
H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J
I2 Φ = pound$ sup1amp
I4 C = AcircsM
I6 (a) zM
NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar
J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a
(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S
J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu
(c) = -radic
J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm
(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013
Respostas
100
Bibliografia
Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il
Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il
Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il
Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm
Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il
Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il
Manual de Laboratoacuterio
57
extinguir por completo No caso do capacitor a diferenccedila de potencial natildeo eacute constante Inicialmente a passagem de carga pelo resistor eacute bem faacutecil pois haacute grande diferenccedila de potencial entre as placas mas conforme o capacitor descarrega a corrente decresce de forma exponencial ateacute se extinguir por completo
No laboratoacuterio faremos experimentos para entender como se comporta a corrente num circuito contendo um capacitor e um resistor Essa situaccedilatildeo apesar de simplificada representa sistemas utilizados atualmente em diversas situaccedilotildees como por exemplo o flash da maacutequina fotograacutefica o marcapasso e o desfibrilador
Salvando vidas
ldquoafastem-se choquerdquo
Em situaccedilotildees onde haacute parada cardiacuteaca muitas vezes faz-se uso de um equipamento chamado desfibrilador para ressuscitar o paciente O desfibrilador eacute um equipamento que faz passar uma corrente eleacutetrica pelo miocaacuterdio muacutesculo cardiacuteaco que auxilia no bombeamento de
sangue atraveacutes do coraccedilatildeo para reestabelecer seu funcionamento de forma sincronizada Desfibriladores podem ser encontrados em hospitais centros de sauacutede ambulacircncias e ateacute mesmo em locais puacuteblicos de grande movimento como aeroportos
O desfibrilador gera uma descarga eleacutetrica no paciente Para que haja descarga eleacutetrica primeiro eacute preciso acumular uma certa quantidade de carga e para isso utiliza-se um capacitor A carga acumula-se nas placas do capacitor quando este eacute submetido a uma diferenccedila de potencial A figura 6 mostra uma representaccedilatildeo
Figura 4 - Desfibrilador
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
58
esquemaacutetica de um circuito contendo uma fonte de tensatildeo um capacitor e o paciente (representado na imagem pelo coraccedilatildeo)
Primeiramente o capacitor eacute conectado agrave fonte de tensatildeo e isso faz com que cargas eleacutetricas se acumulem nas placas do capacitor que apoacutes um tempo apresenta a mesma diferenccedila de potencial da fonte As paacutes do desfibrilador feitas de material condutor satildeo geralmente posicionadas no peito do paciente proacuteximas uma da outra ou uma
sobre o peito e a outra na lateral logo abaixo do braccedilo esquerdo possibilitando que a corrente eleacutetrica atravesse o coraccedilatildeo do paciente Para diminuir a resistecircncia eleacutetrica e aumentar o valor da corrente que atravessa o
miocaacuterdio eacute comum utilizar algum tipo de gel condutor que melhora o contato eleacutetrico entre as paacutes e o peito do paciente O caminho entre uma paacute e a outra passando pelo coraccedilatildeo do paciente equivale a uma resistecircncia eleacutetrica aproximada de 50 minus 150 Ω a tensatildeo da fonte eacute aproximadamente 5000 S enquanto o capacitor tem em torno de 32 de capacitacircncia
Quando as paacutes do desfibrilador (carregado) satildeo posicionadas no paciente e a descarga eacute acionada a diferenccedila de potencial que havia no capacitor diminui rapidamente dando lugar a uma corrente eleacutetrica que atravessa o miocaacuterdio por um curto periacuteodo de tempo reestabelecendo os batimentos cardiacuteacos de forma sincronizada2
2 Williams D Physical principles of defibrillators Anaesthesia amp Intensive Care Medicine 2012 13(8) p 384-387
Figura 5 ndash Circuito RC (paciente - capacitor)
Manual de Laboratoacuterio
59
Circuito RC - seacuterie
Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C
Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que
∆S(c) + i(c)F = 0
Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo
i(c) = =C(c)=c
e a ddp no capacitor eacute dada por
∆S(c) = C(c)D
Dessa forma podemos dizer que
=C(c)=c = minus 1FD C(c)
Figura 6 - Circuito RC
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
60
Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa
funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja
derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever
C(c) = C7 ou
A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial
Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir
Capacitor Carregando Capacitor Descarregando
∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0
C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou
∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou
Manual de Laboratoacuterio
61
Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8
Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo
eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum
3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78
Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas
do capacitor durante o processo de
carga ou descarga
Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um
graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo
do tempo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
62
Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no
capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte
Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor
quando o mesmo estaacute sendo carregado
Manual de Laboratoacuterio
63
Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie
1 - Osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos
2 ndash Aparato Experimental
Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
64
conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto
Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)
Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio
Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees
Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala
Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)
Manual de Laboratoacuterio
65
TAREFA 1
Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees
Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico
Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito
Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito
Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos
Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio
TAREFA 2
Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie
Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
66
figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)
Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados
Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo
NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo
Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste
Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito
Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito
Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles
Manual de Laboratoacuterio
67
MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS
Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais
Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio
Para onde aponta a buacutessola
Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
68
polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc
E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial
tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos
que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a
soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio
4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja
httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4
Figura 10 - Buacutessola
Figura 11 - campo B resultante
Manual de Laboratoacuterio
69
Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por
umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O
Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde
Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde
Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma
iacuteatilde() = ∙
onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde
5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass
The Physics Teacher 49(1) 45-48
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
70
Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como
iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2
Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos
gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)
Logo
gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2
Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo
iacuteatilde() = amp
Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse
tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira
na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart
Manual de Laboratoacuterio
71
pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do
que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute
yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp
onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico
da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos
yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp
Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
72
Atividade de Laboratoacuterio III Projeto
OBJETIVO
Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
73
SUGESTAtildeO 1
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO
Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas
Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece
Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha
Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo
por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o
eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
74
SUGESTAtildeO 2
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA
Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)
Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica
Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de
uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)
Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema
Manual de Laboratoacuterio
75
SUGESTAtildeO 3
BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO
Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola
Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)
Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina
O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
76
SUGESTAtildeO 4
CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO
O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer
Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
77
MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO
Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro
Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental
6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
78
110 V 127 V e 220 V O que eacute isso
As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V
Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas
A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
(c) = Jgt(c + acute)
onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por
∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)
Manual de Laboratoacuterio
79
onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1
Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho
Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores
Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
80
caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por
∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf
∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712
∆Suparamiddot = ∆S7radic2
Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a
tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s
A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente
alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$
Figura 13 - Funccedilotildees seno e
seno quadrado
Manual de Laboratoacuterio
81
COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA
Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz
Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O
Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
82
que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio
Natildeo queremos jogar energia fora
Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14
Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie
Manual de Laboratoacuterio
83
Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por
0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)
onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)
Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
ℇ(c) = ℇ7gt(c)
onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente
Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na
figura 16 para um caso em que VL gt VC
Figura 15 - Diagrama de fasores
de um circuito RLC seacuterie com
fonte de tensatildeo alternada
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
84
A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que
acute = c8 S minus SSu
Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado
por
i(c) = gt(c minus acute)
Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente
as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que
ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$
ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$
Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como
0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)
Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que
0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$
Figura 16 ndash Soma de fasores
Manual de Laboratoacuterio
85
0eacutey = F ∙ uparamiddot$
onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square
Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que
F = frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte
Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade
7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL
Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e
resistecircncia num diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
86
do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como
0 = AJradicAJ$ + AF$
O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP
DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11
Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia
Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por
acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita
Manual de Laboratoacuterio
87
2 = 1D
Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica
Figura 18 - diagramas de fasores representando
um circuito capacitivo e um circuito indutivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
88
Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie
O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio
TAREFA 1
Circuito Resistivo
Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR
Manual de Laboratoacuterio
89
Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)
O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador
Circuito Capacitivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
90
Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor
Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Manual de Laboratoacuterio
91
Circuito Indutivo
Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor
O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
92
Circuito RLC
Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise
Manual de Laboratoacuterio
93
O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador
Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio
O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior
Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor
Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou
A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
94
TAREFA 2
Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente
Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir
Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima
Qual o valor da corrente maacutexima no circuito
Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)
O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique
Manual de Laboratoacuterio
95
TAREFA 3
Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito
Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees
Como isso eacute possiacutevel Explique
Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff
Respostas
96
Respostas
A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32
A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH
A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH
B3 Ae = Af = AtildeAcircf
B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl
B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH
B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l
B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD
B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -
C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc
(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7
C2 O = ~13deg
C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)
Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-
vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr
Respostas
97
C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM
C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD
(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD
C6 A = Eacute$Acirc
C7 A = Atilde$AcircL
D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma
das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp
D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(
D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1
no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)
D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme
D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D
E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)
E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D
E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml
F1 544 times 10
F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S
F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM
u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM
u (e) 0 = ℇMu
F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω
Respostas
98
F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965
G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n
G5 i = Ograve$g = 245 J
G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y
G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez
G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H
G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)
G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)
G15 (a) zL$brvbarM (b)
z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero
G16 z$L + z$L = z$L - + 1
G17 (a) pLM
amp (b) pusup3
ampL
G18 zzMu
G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)
z
G20 zNu saindo da folha
G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)
UgraveLMamp
fora do fio (a) z$L (b)
UgravebrvbarM$L (c)
Ugravebrvbarsup3ampL
G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13
G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM
ampu
H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior
Respostas
99
H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a
H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J
I2 Φ = pound$ sup1amp
I4 C = AcircsM
I6 (a) zM
NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar
J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a
(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S
J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu
(c) = -radic
J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm
(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013
Respostas
100
Bibliografia
Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il
Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il
Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il
Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm
Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il
Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il
Manual de Laboratoacuterio
59
Circuito RC - seacuterie
Um circuito composto por um resistor de resistecircncia R e um capacitor de capacitacircncia C eacute a forma mais simples de circuito RC (figura 7) O desfibrilador eacute um exemplo de circuito RC A energia eleacutetrica armazenada no campo eleacutetrico do capacitor eacute convertida em outras formas de energia geralmente calor no resistor Essa conversatildeo de energia natildeo eacute instantacircnea mas leva um tempo caracteriacutestico em cada circuito dependendo dos valores de R e C
Ao conectar a resistecircncia ao capacitor carregado eliminando do circuito a fonte de tensatildeo (como no caso do desfibrilador) num caminho fechado passando por R e C podemos dizer que
∆S(c) + i(c)F = 0
Corrente i eacute definida como a quantidade de carga C que atravessa o fio por unidade de tempo
i(c) = =C(c)=c
e a ddp no capacitor eacute dada por
∆S(c) = C(c)D
Dessa forma podemos dizer que
=C(c)=c = minus 1FD C(c)
Figura 6 - Circuito RC
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
60
Essa eacute uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem pois nela estatildeo presentes a funccedilatildeo C(c) e tambeacutem a derivada temporal dessa
funccedilatildeo ypound(o)yo A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo deve ser uma funccedilatildeo cuja
derivada primeira eacute igual agrave proacutepria funccedilatildeo a menos de uma constante A funccedilatildeo que apresenta esse tipo de comportamento eacute a funccedilatildeo exponencial portanto pode-se escrever
C(c) = C7 ou
A quantidade FD chamada constante de tempo eacute o que caracteriza o circuito e pode ser reescrita como Num processo de descarga por exemplo apoacutes um tempo igual a a carga no capacitor eacute igual a - (ou 037) vezes o seu valor inicial
Meacutetodos para resolver esse tipo de equaccedilatildeo seratildeo vistos em detalhe no curso de equaccedilotildees diferenciais Por ora vocecirc pode utilizar a soluccedilatildeo dessas equaccedilotildees conforme a tabela a seguir
Capacitor Carregando Capacitor Descarregando
∆S = F =C(c)=c + C(c)D F =C(c)=c + C(c)D = 0
C(c) = ∆S7D 1 minus ou C(c) = ∆S7D ou
∆S(c) = ∆S7 1 minus ou ∆S(c) = ∆S7 ou
Manual de Laboratoacuterio
61
Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8
Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo
eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum
3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78
Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas
do capacitor durante o processo de
carga ou descarga
Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um
graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo
do tempo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
62
Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no
capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte
Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor
quando o mesmo estaacute sendo carregado
Manual de Laboratoacuterio
63
Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie
1 - Osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos
2 ndash Aparato Experimental
Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
64
conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto
Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)
Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio
Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees
Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala
Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)
Manual de Laboratoacuterio
65
TAREFA 1
Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees
Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico
Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito
Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito
Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos
Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio
TAREFA 2
Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie
Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
66
figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)
Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados
Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo
NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo
Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste
Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito
Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito
Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles
Manual de Laboratoacuterio
67
MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS
Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais
Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio
Para onde aponta a buacutessola
Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
68
polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc
E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial
tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos
que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a
soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio
4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja
httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4
Figura 10 - Buacutessola
Figura 11 - campo B resultante
Manual de Laboratoacuterio
69
Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por
umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O
Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde
Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde
Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma
iacuteatilde() = ∙
onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde
5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass
The Physics Teacher 49(1) 45-48
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
70
Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como
iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2
Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos
gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)
Logo
gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2
Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo
iacuteatilde() = amp
Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse
tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira
na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart
Manual de Laboratoacuterio
71
pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do
que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute
yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp
onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico
da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos
yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp
Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
72
Atividade de Laboratoacuterio III Projeto
OBJETIVO
Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
73
SUGESTAtildeO 1
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO
Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas
Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece
Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha
Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo
por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o
eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
74
SUGESTAtildeO 2
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA
Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)
Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica
Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de
uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)
Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema
Manual de Laboratoacuterio
75
SUGESTAtildeO 3
BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO
Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola
Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)
Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina
O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
76
SUGESTAtildeO 4
CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO
O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer
Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
77
MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO
Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro
Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental
6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
78
110 V 127 V e 220 V O que eacute isso
As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V
Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas
A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
(c) = Jgt(c + acute)
onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por
∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)
Manual de Laboratoacuterio
79
onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1
Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho
Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores
Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
80
caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por
∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf
∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712
∆Suparamiddot = ∆S7radic2
Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a
tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s
A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente
alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$
Figura 13 - Funccedilotildees seno e
seno quadrado
Manual de Laboratoacuterio
81
COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA
Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz
Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O
Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
82
que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio
Natildeo queremos jogar energia fora
Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14
Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie
Manual de Laboratoacuterio
83
Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por
0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)
onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)
Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
ℇ(c) = ℇ7gt(c)
onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente
Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na
figura 16 para um caso em que VL gt VC
Figura 15 - Diagrama de fasores
de um circuito RLC seacuterie com
fonte de tensatildeo alternada
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
84
A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que
acute = c8 S minus SSu
Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado
por
i(c) = gt(c minus acute)
Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente
as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que
ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$
ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$
Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como
0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)
Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que
0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$
Figura 16 ndash Soma de fasores
Manual de Laboratoacuterio
85
0eacutey = F ∙ uparamiddot$
onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square
Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que
F = frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte
Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade
7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL
Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e
resistecircncia num diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
86
do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como
0 = AJradicAJ$ + AF$
O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP
DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11
Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia
Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por
acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita
Manual de Laboratoacuterio
87
2 = 1D
Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica
Figura 18 - diagramas de fasores representando
um circuito capacitivo e um circuito indutivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
88
Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie
O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio
TAREFA 1
Circuito Resistivo
Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR
Manual de Laboratoacuterio
89
Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)
O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador
Circuito Capacitivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
90
Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor
Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Manual de Laboratoacuterio
91
Circuito Indutivo
Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor
O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
92
Circuito RLC
Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise
Manual de Laboratoacuterio
93
O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador
Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio
O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior
Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor
Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou
A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
94
TAREFA 2
Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente
Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir
Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima
Qual o valor da corrente maacutexima no circuito
Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)
O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique
Manual de Laboratoacuterio
95
TAREFA 3
Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito
Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees
Como isso eacute possiacutevel Explique
Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff
Respostas
96
Respostas
A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32
A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH
A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH
B3 Ae = Af = AtildeAcircf
B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl
B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH
B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l
B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD
B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -
C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc
(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7
C2 O = ~13deg
C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)
Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-
vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr
Respostas
97
C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM
C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD
(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD
C6 A = Eacute$Acirc
C7 A = Atilde$AcircL
D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma
das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp
D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(
D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1
no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)
D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme
D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D
E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)
E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D
E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml
F1 544 times 10
F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S
F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM
u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM
u (e) 0 = ℇMu
F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω
Respostas
98
F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965
G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n
G5 i = Ograve$g = 245 J
G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y
G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez
G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H
G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)
G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)
G15 (a) zL$brvbarM (b)
z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero
G16 z$L + z$L = z$L - + 1
G17 (a) pLM
amp (b) pusup3
ampL
G18 zzMu
G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)
z
G20 zNu saindo da folha
G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)
UgraveLMamp
fora do fio (a) z$L (b)
UgravebrvbarM$L (c)
Ugravebrvbarsup3ampL
G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13
G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM
ampu
H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior
Respostas
99
H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a
H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J
I2 Φ = pound$ sup1amp
I4 C = AcircsM
I6 (a) zM
NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar
J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a
(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S
J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu
(c) = -radic
J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm
(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013
Respostas
100
Bibliografia
Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il
Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il
Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il
Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm
Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il
Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il
Manual de Laboratoacuterio
61
Quando c = FD a tensatildeo no capacitor atinge 63 do valor maacuteximo quando este estiver carregando e 37 do valor maacuteximo num processo de descarga Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na figura 8
Como o multiacutemetro soacute nos permite medir valores RMS (do inglecircs root mean square)3 de tensotildees ele natildeo
eacute uacutetil se quisermos estudar a evoluccedilatildeo temporal de ∆S do capacitor Nesse caso precisamos de medidas instantacircneas que podem ser obtidas atraveacutes de um osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um dos instrumentos de mediccedilatildeo mais versaacuteteis usados na eletrocircnica Ele nos fornece num modo graacutefico tensotildees em funccedilatildeo do tempo Em um monitor como o apresentado na figura 9 ele representa no eixo das ordenadas (vertical) a tensatildeo entre dois pontos e no eixo das abscissas o tempo Ou seja a tela de um osciloscoacutepio eacute um graacutefico de uma funccedilatildeo da tensatildeo contra o tempo ∆S times c Trata-se de um instrumento proacuteprio para observar variaccedilotildees raacutepidas de tensotildees ao longo do tempo informaccedilatildeo essa que natildeo pode ser obtida por um multiacutemetro comum
3 Para mais informaccedilotildees sobre valores RMS veja paacutegina 78
Figura 7 ndash Tensatildeo entre as aplacas
do capacitor durante o processo de
carga ou descarga
Figura 8 - A tela do osciloscoacutepio apresenta um
graacutefico da tensatildeo entre dois pontos em funccedilatildeo
do tempo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
62
Suponha que desejamos estudar o processo de carregamento de um capacitor como o que exemplificamos haacute pouco Se o colocarmos em seacuterie com uma fonte de tensatildeo ∆S contiacutenua ao ligarmos o circuito a tensatildeo no capacitor evoluiraacute de modo semelhante ao representado na figura 10 A curva suave (verde) representa a tensatildeo no
capacitor enquanto que a curva em formato degrau (laranja) representa a tensatildeo da fonte
Figura 9 - Tensatildeo da fonte e do capacitor
quando o mesmo estaacute sendo carregado
Manual de Laboratoacuterio
63
Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie
1 - Osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos
2 ndash Aparato Experimental
Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
64
conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto
Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)
Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio
Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees
Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala
Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)
Manual de Laboratoacuterio
65
TAREFA 1
Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees
Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico
Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito
Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito
Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos
Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio
TAREFA 2
Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie
Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
66
figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)
Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados
Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo
NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo
Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste
Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito
Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito
Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles
Manual de Laboratoacuterio
67
MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS
Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais
Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio
Para onde aponta a buacutessola
Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
68
polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc
E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial
tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos
que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a
soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio
4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja
httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4
Figura 10 - Buacutessola
Figura 11 - campo B resultante
Manual de Laboratoacuterio
69
Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por
umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O
Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde
Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde
Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma
iacuteatilde() = ∙
onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde
5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass
The Physics Teacher 49(1) 45-48
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
70
Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como
iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2
Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos
gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)
Logo
gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2
Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo
iacuteatilde() = amp
Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse
tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira
na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart
Manual de Laboratoacuterio
71
pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do
que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute
yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp
onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico
da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos
yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp
Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
72
Atividade de Laboratoacuterio III Projeto
OBJETIVO
Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
73
SUGESTAtildeO 1
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO
Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas
Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece
Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha
Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo
por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o
eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
74
SUGESTAtildeO 2
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA
Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)
Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica
Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de
uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)
Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema
Manual de Laboratoacuterio
75
SUGESTAtildeO 3
BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO
Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola
Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)
Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina
O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
76
SUGESTAtildeO 4
CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO
O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer
Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
77
MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO
Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro
Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental
6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
78
110 V 127 V e 220 V O que eacute isso
As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V
Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas
A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
(c) = Jgt(c + acute)
onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por
∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)
Manual de Laboratoacuterio
79
onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1
Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho
Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores
Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
80
caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por
∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf
∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712
∆Suparamiddot = ∆S7radic2
Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a
tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s
A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente
alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$
Figura 13 - Funccedilotildees seno e
seno quadrado
Manual de Laboratoacuterio
81
COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA
Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz
Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O
Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
82
que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio
Natildeo queremos jogar energia fora
Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14
Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie
Manual de Laboratoacuterio
83
Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por
0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)
onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)
Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
ℇ(c) = ℇ7gt(c)
onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente
Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na
figura 16 para um caso em que VL gt VC
Figura 15 - Diagrama de fasores
de um circuito RLC seacuterie com
fonte de tensatildeo alternada
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
84
A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que
acute = c8 S minus SSu
Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado
por
i(c) = gt(c minus acute)
Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente
as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que
ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$
ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$
Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como
0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)
Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que
0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$
Figura 16 ndash Soma de fasores
Manual de Laboratoacuterio
85
0eacutey = F ∙ uparamiddot$
onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square
Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que
F = frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte
Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade
7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL
Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e
resistecircncia num diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
86
do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como
0 = AJradicAJ$ + AF$
O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP
DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11
Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia
Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por
acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita
Manual de Laboratoacuterio
87
2 = 1D
Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica
Figura 18 - diagramas de fasores representando
um circuito capacitivo e um circuito indutivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
88
Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie
O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio
TAREFA 1
Circuito Resistivo
Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR
Manual de Laboratoacuterio
89
Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)
O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador
Circuito Capacitivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
90
Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor
Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Manual de Laboratoacuterio
91
Circuito Indutivo
Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor
O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
92
Circuito RLC
Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise
Manual de Laboratoacuterio
93
O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador
Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio
O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior
Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor
Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou
A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
94
TAREFA 2
Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente
Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir
Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima
Qual o valor da corrente maacutexima no circuito
Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)
O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique
Manual de Laboratoacuterio
95
TAREFA 3
Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito
Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees
Como isso eacute possiacutevel Explique
Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff
Respostas
96
Respostas
A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32
A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH
A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH
B3 Ae = Af = AtildeAcircf
B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl
B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH
B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l
B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD
B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -
C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc
(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7
C2 O = ~13deg
C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)
Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-
vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr
Respostas
97
C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM
C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD
(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD
C6 A = Eacute$Acirc
C7 A = Atilde$AcircL
D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma
das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp
D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(
D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1
no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)
D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme
D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D
E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)
E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D
E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml
F1 544 times 10
F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S
F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM
u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM
u (e) 0 = ℇMu
F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω
Respostas
98
F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965
G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n
G5 i = Ograve$g = 245 J
G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y
G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez
G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H
G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)
G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)
G15 (a) zL$brvbarM (b)
z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero
G16 z$L + z$L = z$L - + 1
G17 (a) pLM
amp (b) pusup3
ampL
G18 zzMu
G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)
z
G20 zNu saindo da folha
G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)
UgraveLMamp
fora do fio (a) z$L (b)
UgravebrvbarM$L (c)
Ugravebrvbarsup3ampL
G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13
G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM
ampu
H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior
Respostas
99
H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a
H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J
I2 Φ = pound$ sup1amp
I4 C = AcircsM
I6 (a) zM
NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar
J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a
(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S
J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu
(c) = -radic
J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm
(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013
Respostas
100
Bibliografia
Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il
Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il
Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il
Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm
Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il
Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il
Manual de Laboratoacuterio
63
Atividade de Laboratoacuterio II Circuitos RC - seacuterie
1 - Osciloscoacutepio
O osciloscoacutepio eacute um instrumento para medir tensotildees alternadas em intervalos de tempo que variam desde segundos ateacute microssegundos As escalas utilizadas nos dois eixos ndash usualmente no eixo vertical tem-se a tensatildeo e no eixo horizontal o tempo ndash podem ser modificadas com o objetivo de tornar o graacutefico que eacute visto na tela do osciloscoacutepio o mais adequado para as mediccedilotildees que se deseja realizar Se por exemplo a escala do eixo vertical escolhida atribuir o valor de 2 V por divisatildeo (2 Vdiv) isto significa que cada divisatildeo do graacutefico representado na tela vale 2 V Da mesma forma pode-se modificar a escala do eixo horizontal O osciloscoacutepio assim como o voltiacutemetro sempre mede tensotildees entre dois pontos portanto cada canal precisa ser abastecido com dados coletados em dois pontos Por isso o cabo coaxial que alimenta cada canal possui dois pinos
2 ndash Aparato Experimental
Monte um circuito contendo um capacitor um resistor e o gerador de funccedilotildees como mostrado esquematicamente na figura abaixo Tanto o gerador de funccedilotildees quanto o osciloscoacutepio possuem um fio terra (fio preto do cabo coaxial) que precisam necessariamente estar conectados no mesmo ponto Por isso eacute importante montar o circuito
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
64
conforme mostra a figura assegurando que o fio terra da fonte estaacute ligado com o fio terra do osciloscoacutepio Isso significa ligar cabo preto com preto
Construa entatildeo um circuito em seacuterie com um resistor (56 k) um capacitor (47 nF) e o gerador de funccedilotildees jaacute ajustado Usando cabos coaxiais ligue a fonte no canal 1 do osciloscoacutepio e o capacitor no canal 2 cuidando para que os fios terra estejam ligados no mesmo ponto (preto com preto)
Ligue os equipamentos e acione o botatildeo AUTO SET no osciloscoacutepio
Verifique o que acontece quando satildeo selecionadas as funccedilotildees onda quadrada onda senoidal e onda triangular no gerador de funccedilotildees
Selecione uma onda quadrada no gerador de funccedilotildees e faccedila alguns ajustes nos bototildees do osciloscoacutepio para facilitar a anaacutelise A coluna ao lado direito da tela mostra as opccedilotildees em uso pelo equipamento Utilizando os bototildees imediatamente ao lado de onde diz COUPLING selecione DC Observe se a amplitude dos canais estaacute multiplicada por um fator 1 isto eacute PROBE 1x VOLTAGE A opccedilatildeo INVERT deve estar OFF Observe se os canais 1 e 2 estatildeo com a mesma escala
Ajuste as escalas vertical e a horizontal (igual para os dois canais) de forma que ocorra a sobreposiccedilatildeo do sinal da fonte e do sinal da tensatildeo no capacitor Verifique que enquanto a fonte (onda quadrada) tem um valor ora positivo ora negativo a tensatildeo no capacitor tambeacutem oscila entre estes valores maacuteximo e miacutenimo poreacutem como uma curva exponencial tanto crescente (processo de carregamento do capacitor) quanto decrescente (processo de descarga)
Manual de Laboratoacuterio
65
TAREFA 1
Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees
Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico
Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito
Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito
Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos
Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio
TAREFA 2
Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie
Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
66
figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)
Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados
Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo
NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo
Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste
Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito
Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito
Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles
Manual de Laboratoacuterio
67
MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS
Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais
Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio
Para onde aponta a buacutessola
Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
68
polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc
E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial
tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos
que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a
soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio
4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja
httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4
Figura 10 - Buacutessola
Figura 11 - campo B resultante
Manual de Laboratoacuterio
69
Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por
umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O
Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde
Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde
Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma
iacuteatilde() = ∙
onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde
5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass
The Physics Teacher 49(1) 45-48
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
70
Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como
iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2
Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos
gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)
Logo
gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2
Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo
iacuteatilde() = amp
Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse
tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira
na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart
Manual de Laboratoacuterio
71
pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do
que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute
yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp
onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico
da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos
yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp
Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
72
Atividade de Laboratoacuterio III Projeto
OBJETIVO
Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
73
SUGESTAtildeO 1
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO
Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas
Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece
Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha
Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo
por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o
eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
74
SUGESTAtildeO 2
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA
Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)
Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica
Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de
uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)
Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema
Manual de Laboratoacuterio
75
SUGESTAtildeO 3
BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO
Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola
Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)
Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina
O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
76
SUGESTAtildeO 4
CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO
O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer
Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
77
MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO
Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro
Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental
6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
78
110 V 127 V e 220 V O que eacute isso
As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V
Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas
A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
(c) = Jgt(c + acute)
onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por
∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)
Manual de Laboratoacuterio
79
onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1
Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho
Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores
Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
80
caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por
∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf
∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712
∆Suparamiddot = ∆S7radic2
Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a
tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s
A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente
alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$
Figura 13 - Funccedilotildees seno e
seno quadrado
Manual de Laboratoacuterio
81
COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA
Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz
Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O
Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
82
que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio
Natildeo queremos jogar energia fora
Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14
Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie
Manual de Laboratoacuterio
83
Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por
0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)
onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)
Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
ℇ(c) = ℇ7gt(c)
onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente
Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na
figura 16 para um caso em que VL gt VC
Figura 15 - Diagrama de fasores
de um circuito RLC seacuterie com
fonte de tensatildeo alternada
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
84
A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que
acute = c8 S minus SSu
Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado
por
i(c) = gt(c minus acute)
Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente
as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que
ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$
ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$
Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como
0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)
Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que
0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$
Figura 16 ndash Soma de fasores
Manual de Laboratoacuterio
85
0eacutey = F ∙ uparamiddot$
onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square
Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que
F = frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte
Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade
7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL
Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e
resistecircncia num diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
86
do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como
0 = AJradicAJ$ + AF$
O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP
DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11
Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia
Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por
acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita
Manual de Laboratoacuterio
87
2 = 1D
Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica
Figura 18 - diagramas de fasores representando
um circuito capacitivo e um circuito indutivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
88
Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie
O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio
TAREFA 1
Circuito Resistivo
Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR
Manual de Laboratoacuterio
89
Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)
O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador
Circuito Capacitivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
90
Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor
Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Manual de Laboratoacuterio
91
Circuito Indutivo
Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor
O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
92
Circuito RLC
Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise
Manual de Laboratoacuterio
93
O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador
Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio
O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior
Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor
Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou
A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
94
TAREFA 2
Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente
Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir
Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima
Qual o valor da corrente maacutexima no circuito
Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)
O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique
Manual de Laboratoacuterio
95
TAREFA 3
Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito
Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees
Como isso eacute possiacutevel Explique
Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff
Respostas
96
Respostas
A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32
A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH
A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH
B3 Ae = Af = AtildeAcircf
B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl
B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH
B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l
B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD
B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -
C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc
(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7
C2 O = ~13deg
C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)
Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-
vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr
Respostas
97
C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM
C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD
(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD
C6 A = Eacute$Acirc
C7 A = Atilde$AcircL
D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma
das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp
D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(
D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1
no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)
D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme
D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D
E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)
E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D
E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml
F1 544 times 10
F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S
F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM
u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM
u (e) 0 = ℇMu
F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω
Respostas
98
F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965
G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n
G5 i = Ograve$g = 245 J
G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y
G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez
G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H
G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)
G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)
G15 (a) zL$brvbarM (b)
z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero
G16 z$L + z$L = z$L - + 1
G17 (a) pLM
amp (b) pusup3
ampL
G18 zzMu
G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)
z
G20 zNu saindo da folha
G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)
UgraveLMamp
fora do fio (a) z$L (b)
UgravebrvbarM$L (c)
Ugravebrvbarsup3ampL
G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13
G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM
ampu
H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior
Respostas
99
H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a
H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J
I2 Φ = pound$ sup1amp
I4 C = AcircsM
I6 (a) zM
NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar
J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a
(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S
J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu
(c) = -radic
J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm
(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013
Respostas
100
Bibliografia
Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il
Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il
Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il
Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm
Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il
Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il
Manual de Laboratoacuterio
65
TAREFA 1
Com os ajustes propostos na montagem experimental aborde as questotildees
Como eacute o graacutefico representado no monitor do osciloscoacutepio nessa configuraccedilatildeo Qual o significado fiacutesico desse graacutefico
Como se pode estimar a constante de tempo do circuito a partir de uma anaacutelise da curva de descarregamento do capacitor Determine visualmente (ordem de grandeza) olhando na tela do osciloscoacutepio a constante de tempo do circuito
Analise o que acontece se vocecirc mudar o valor da resistecircncia do circuito
Analise o que ocorre (ordem de grandeza) se vocecirc acrescentar outro resistor ao circuito primeiro em seacuterie depois em paralelo e estime o valor da constante de tempo para os dois casos
Estime se haacute diferenccedilas entre o valor da constante de tempo do circuito calculada a partir dos valores nominais de R e C comparado com o valor estimado pela curva no osciloscoacutepio
TAREFA 2
Considere novamente o circuito contendo apenas um resistor e um capacitor em seacuterie
Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a descarga do capacitor apareccedila mais agrave esquerda da tela como na
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
66
figura ao lado (observe se as escalas dos dois canais satildeo as mesmas)
Coloque um pendrive no osciloscoacutepio e clique em SAVE para gravar os dados coletados
Utilizando aplicativo de graacuteficos (Sci-Davis LibreOffice Origin ou qualquer outro que esteja acessiacutevel via os computadores da sala) construa um graacutefico da tensatildeo no capacitor em funccedilatildeo do tempo
NAtildeO FACcedilA UM GRAacuteFICO COM TODA A COLUNA Selecione uma parte dos dados (300 pontos eacute suficiente) e entatildeo faccedila um graacutefico mostrando a tensatildeo no capacitor no eixo Y e o tempo no eixo X Evite utilizar valores constantes principalmente no iniacutecio e no final da curva O comportamento exponencial da curva eacute o mesmo independente da regiatildeo que for escolhida para o ajuste desde que haja variaccedilatildeo
Qual curva pode ser ajustada aos dados Quais paracircmetros (grandezas) podem ser obtidos com este ajuste
Analisando a equaccedilatildeo da curva ajustada o que se pode concluir do produto da resistecircncia pela capacitacircncia do circuito
Tal resultado eacute coerente com as caracteriacutesticas dos componentes utilizados no circuito
Salve os dados num USB e compartilhe com seus colegas do grupo pois vocecirc pode precisar deles
Manual de Laboratoacuterio
67
MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS
Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais
Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio
Para onde aponta a buacutessola
Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
68
polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc
E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial
tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos
que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a
soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio
4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja
httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4
Figura 10 - Buacutessola
Figura 11 - campo B resultante
Manual de Laboratoacuterio
69
Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por
umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O
Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde
Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde
Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma
iacuteatilde() = ∙
onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde
5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass
The Physics Teacher 49(1) 45-48
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
70
Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como
iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2
Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos
gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)
Logo
gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2
Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo
iacuteatilde() = amp
Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse
tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira
na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart
Manual de Laboratoacuterio
71
pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do
que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute
yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp
onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico
da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos
yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp
Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
72
Atividade de Laboratoacuterio III Projeto
OBJETIVO
Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
73
SUGESTAtildeO 1
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO
Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas
Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece
Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha
Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo
por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o
eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
74
SUGESTAtildeO 2
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA
Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)
Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica
Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de
uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)
Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema
Manual de Laboratoacuterio
75
SUGESTAtildeO 3
BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO
Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola
Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)
Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina
O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
76
SUGESTAtildeO 4
CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO
O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer
Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
77
MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO
Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro
Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental
6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
78
110 V 127 V e 220 V O que eacute isso
As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V
Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas
A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
(c) = Jgt(c + acute)
onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por
∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)
Manual de Laboratoacuterio
79
onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1
Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho
Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores
Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
80
caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por
∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf
∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712
∆Suparamiddot = ∆S7radic2
Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a
tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s
A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente
alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$
Figura 13 - Funccedilotildees seno e
seno quadrado
Manual de Laboratoacuterio
81
COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA
Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz
Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O
Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
82
que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio
Natildeo queremos jogar energia fora
Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14
Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie
Manual de Laboratoacuterio
83
Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por
0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)
onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)
Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
ℇ(c) = ℇ7gt(c)
onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente
Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na
figura 16 para um caso em que VL gt VC
Figura 15 - Diagrama de fasores
de um circuito RLC seacuterie com
fonte de tensatildeo alternada
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
84
A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que
acute = c8 S minus SSu
Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado
por
i(c) = gt(c minus acute)
Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente
as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que
ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$
ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$
Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como
0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)
Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que
0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$
Figura 16 ndash Soma de fasores
Manual de Laboratoacuterio
85
0eacutey = F ∙ uparamiddot$
onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square
Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que
F = frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte
Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade
7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL
Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e
resistecircncia num diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
86
do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como
0 = AJradicAJ$ + AF$
O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP
DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11
Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia
Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por
acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita
Manual de Laboratoacuterio
87
2 = 1D
Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica
Figura 18 - diagramas de fasores representando
um circuito capacitivo e um circuito indutivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
88
Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie
O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio
TAREFA 1
Circuito Resistivo
Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR
Manual de Laboratoacuterio
89
Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)
O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador
Circuito Capacitivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
90
Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor
Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Manual de Laboratoacuterio
91
Circuito Indutivo
Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor
O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
92
Circuito RLC
Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise
Manual de Laboratoacuterio
93
O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador
Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio
O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior
Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor
Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou
A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
94
TAREFA 2
Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente
Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir
Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima
Qual o valor da corrente maacutexima no circuito
Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)
O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique
Manual de Laboratoacuterio
95
TAREFA 3
Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito
Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees
Como isso eacute possiacutevel Explique
Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff
Respostas
96
Respostas
A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32
A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH
A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH
B3 Ae = Af = AtildeAcircf
B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl
B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH
B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l
B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD
B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -
C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc
(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7
C2 O = ~13deg
C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)
Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-
vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr
Respostas
97
C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM
C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD
(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD
C6 A = Eacute$Acirc
C7 A = Atilde$AcircL
D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma
das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp
D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(
D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1
no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)
D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme
D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D
E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)
E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D
E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml
F1 544 times 10
F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S
F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM
u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM
u (e) 0 = ℇMu
F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω
Respostas
98
F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965
G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n
G5 i = Ograve$g = 245 J
G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y
G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez
G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H
G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)
G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)
G15 (a) zL$brvbarM (b)
z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero
G16 z$L + z$L = z$L - + 1
G17 (a) pLM
amp (b) pusup3
ampL
G18 zzMu
G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)
z
G20 zNu saindo da folha
G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)
UgraveLMamp
fora do fio (a) z$L (b)
UgravebrvbarM$L (c)
Ugravebrvbarsup3ampL
G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13
G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM
ampu
H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior
Respostas
99
H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a
H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J
I2 Φ = pound$ sup1amp
I4 C = AcircsM
I6 (a) zM
NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar
J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a
(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S
J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu
(c) = -radic
J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm
(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013
Respostas
100
Bibliografia
Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il
Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il
Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il
Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm
Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il
Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il
Manual de Laboratoacuterio
67
MEDINDO CAMPOS MAGNEacuteTICOS
Campos magneacuteticos satildeo fundamentais para o funcionamento de muitos equipamentos e estatildeo presentes em diversas tecnologias contemporacircneas Aparelhos de ressonacircncia magneacutetica altofalantes motores eleacutetricos e trens Maglev satildeo exemplos de equipamentos que dependem de campos magneacuteticos para funcionarem Mas como esses campos satildeo gerados nesses equipamentos Usualmente satildeo produzidos por meio de iacutematildes permanentes ou bobinas dimensionadas especialmente para a funccedilatildeo que desempenharatildeo nos equipamentos O estudo e caracterizaccedilatildeo de campos magneacuteticos satildeo portanto fundamentais
Instrumentos frequentemente utilizados em laboratoacuterios para investigar campos magneacuteticos fazem uso de sensores que se valem do efeito Hall Esse fenocircmeno certamente seraacute tratado nas aulas teoacutericas deste curso Menos conhecido e pouco discutido eacute o uso de buacutessolas para se medir campos magneacuteticos Como isso pode ser realizado Que grandezas precisam ser medidas para isso Em que tipo de situaccedilatildeo tal meacutetodo pode ser utilizado Essas satildeo questotildees que seratildeo debatidas nesta tarefa de leitura e nas proacuteximas aulas de laboratoacuterio
Para onde aponta a buacutessola
Uma buacutessola como a da figura 11 usualmente eacute constituiacuteda por uma agulha magnetizada que pode girar livremente no plano horizontal imersa num liacutequido para minimizar o atrito A agulha da buacutessola por ser de material magneacutetico possui momento magneacutetico proacuteprio e quando na presenccedila de um campo magneacutetico externo sofre um torque ateacute se alinhar com a direccedilatildeo do campo magneacutetico no qual estaacute imersa As buacutessolas comuns como essa da figura 11 funcionam melhor em locais de baixa latitude onde a componente horizontal do campo magneacutetico da Terra apresenta os maiores valores Proacuteximo aos
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
68
polos onde o campo magneacutetico terrestre eacute praticamente perpendicular agrave superfiacutecie buacutessolas comuns natildeo tecircm muita utilidade Buacutessolas naacuteuticas profissionais satildeo esfeacutericas permitindo identificar a orientaccedilatildeo do campo em trecircs dimensotildees4 A buacutessola estaacute intimamente relacionada com a histoacuteria das navegaccedilotildees pois esse instrumento foi amplamente utilizado para se tomar decisotildees sobre a orientaccedilatildeo que as embarcaccedilotildees deveriam seguir No entanto o uso das buacutessolas para se identificar a direccedilatildeo norte-sul demanda que o instrumento esteja distante de qualquer outro objeto com propriedades magneacuteticas como iacutematildes por exemplo Por quecirc
E quando a buacutessola estaacute sob a influecircncia de outro campo magneacutetico aleacutem do campo terrestre Nesse caso a buacutessola vai se alinhar na direccedilatildeo do campo resultante do somatoacuterio dos dois campos existentes o campo terrestre e o campo adicional Lembremos que campo magneacutetico eacute uma grandeza vetorial Vamos analisar aqui um caso particular adotando um referencial
tal que currenyenLLbrvbar = lang0 sect 0rang13 em um local especiacutefico do planeta Nesse local suponhamos
que haacute um campo adicional umlyzcopyzordfbrvbarlaquo =lang 00rangO campo resultante uyennot nesse local eacute a
soma vetorial dos dois campos ou seja uyennot =lang sect 0rang13 A figura 12 ilustra esse somatoacuterio
4 Para saber mais sobre o processo de construccedilatildeo de uma buacutessola naacuteutica veja
httpswwwyoutubecomwatchv=mDdR6aCZoN4
Figura 10 - Buacutessola
Figura 11 - campo B resultante
Manual de Laboratoacuterio
69
Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por
umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O
Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde
Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde
Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma
iacuteatilde() = ∙
onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde
5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass
The Physics Teacher 49(1) 45-48
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
70
Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como
iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2
Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos
gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)
Logo
gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2
Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo
iacuteatilde() = amp
Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse
tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira
na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart
Manual de Laboratoacuterio
71
pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do
que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute
yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp
onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico
da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos
yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp
Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
72
Atividade de Laboratoacuterio III Projeto
OBJETIVO
Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
73
SUGESTAtildeO 1
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO
Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas
Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece
Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha
Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo
por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o
eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
74
SUGESTAtildeO 2
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA
Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)
Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica
Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de
uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)
Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema
Manual de Laboratoacuterio
75
SUGESTAtildeO 3
BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO
Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola
Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)
Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina
O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
76
SUGESTAtildeO 4
CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO
O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer
Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
77
MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO
Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro
Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental
6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
78
110 V 127 V e 220 V O que eacute isso
As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V
Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas
A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
(c) = Jgt(c + acute)
onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por
∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)
Manual de Laboratoacuterio
79
onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1
Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho
Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores
Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
80
caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por
∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf
∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712
∆Suparamiddot = ∆S7radic2
Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a
tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s
A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente
alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$
Figura 13 - Funccedilotildees seno e
seno quadrado
Manual de Laboratoacuterio
81
COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA
Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz
Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O
Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
82
que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio
Natildeo queremos jogar energia fora
Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14
Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie
Manual de Laboratoacuterio
83
Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por
0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)
onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)
Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
ℇ(c) = ℇ7gt(c)
onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente
Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na
figura 16 para um caso em que VL gt VC
Figura 15 - Diagrama de fasores
de um circuito RLC seacuterie com
fonte de tensatildeo alternada
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
84
A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que
acute = c8 S minus SSu
Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado
por
i(c) = gt(c minus acute)
Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente
as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que
ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$
ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$
Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como
0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)
Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que
0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$
Figura 16 ndash Soma de fasores
Manual de Laboratoacuterio
85
0eacutey = F ∙ uparamiddot$
onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square
Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que
F = frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte
Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade
7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL
Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e
resistecircncia num diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
86
do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como
0 = AJradicAJ$ + AF$
O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP
DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11
Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia
Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por
acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita
Manual de Laboratoacuterio
87
2 = 1D
Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica
Figura 18 - diagramas de fasores representando
um circuito capacitivo e um circuito indutivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
88
Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie
O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio
TAREFA 1
Circuito Resistivo
Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR
Manual de Laboratoacuterio
89
Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)
O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador
Circuito Capacitivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
90
Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor
Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Manual de Laboratoacuterio
91
Circuito Indutivo
Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor
O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
92
Circuito RLC
Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise
Manual de Laboratoacuterio
93
O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador
Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio
O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior
Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor
Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou
A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
94
TAREFA 2
Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente
Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir
Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima
Qual o valor da corrente maacutexima no circuito
Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)
O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique
Manual de Laboratoacuterio
95
TAREFA 3
Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito
Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees
Como isso eacute possiacutevel Explique
Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff
Respostas
96
Respostas
A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32
A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH
A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH
B3 Ae = Af = AtildeAcircf
B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl
B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH
B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l
B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD
B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -
C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc
(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7
C2 O = ~13deg
C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)
Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-
vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr
Respostas
97
C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM
C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD
(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD
C6 A = Eacute$Acirc
C7 A = Atilde$AcircL
D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma
das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp
D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(
D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1
no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)
D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme
D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D
E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)
E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D
E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml
F1 544 times 10
F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S
F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM
u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM
u (e) 0 = ℇMu
F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω
Respostas
98
F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965
G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n
G5 i = Ograve$g = 245 J
G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y
G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez
G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H
G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)
G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)
G15 (a) zL$brvbarM (b)
z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero
G16 z$L + z$L = z$L - + 1
G17 (a) pLM
amp (b) pusup3
ampL
G18 zzMu
G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)
z
G20 zNu saindo da folha
G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)
UgraveLMamp
fora do fio (a) z$L (b)
UgravebrvbarM$L (c)
Ugravebrvbarsup3ampL
G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13
G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM
ampu
H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior
Respostas
99
H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a
H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J
I2 Φ = pound$ sup1amp
I4 C = AcircsM
I6 (a) zM
NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar
J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a
(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S
J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu
(c) = -radic
J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm
(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013
Respostas
100
Bibliografia
Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il
Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il
Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il
Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm
Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il
Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il
Manual de Laboratoacuterio
69
Podemos concluir a partir da figura 12 que o acircngulo O entre currenyenLLbrvbar e umlyzcopyzordfbrvbarlaquo eacute dado por
umlyzcopyzordfbrvbarlaquocurrenyenLLbrvbar = tan O
Desse modo se conhecemos a intensidade e a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre em um local podemos inferir a intensidade de um campo magneacutetico adicional por meio da medida do acircngulo formado entre a direccedilatildeo do campo magneacutetico terrestre e a direccedilatildeo da agulha de uma buacutessola (ou vice-versa) Vejamos como podemos utilizar essas relaccedilotildees para investigar a momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde
Investigando o campo magneacutetico de um iacutematilde
Matematicamente podemos expressar a intensidade do campo magneacutetico de um iacutematilde iacuteatilde em uma distacircncia na direccedilatildeo que coincide com o seu momento de dipolo magneacutetico da seguinte forma
iacuteatilde() = ∙
onde k e n satildeo constantes (Para mais informaccedilotildees sobre buacutessolas e como utilizaacute-las para medir campos magneacuteticos veja a referecircncia 5) Vamos analisar como podemos medir a constante n Primeiramente ajustamos uma buacutessola de tal forma que longe da influecircncia de campos adicionais a sua agulha faccedila um acircngulo zero (na escala graduada da proacutepria buacutessola) Com a buacutessola fixa aproximamos o polo norte ou sul de um iacutematilde em uma direccedilatildeo perpendicular ao seu alinhamento original Com isso a agulha da buacutessola seraacute defletida com um acircngulo proporcional agrave intensidade do campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde
5 Lunk B Beichner R (2011) Exploring Magnetic Fields with a Compass
The Physics Teacher 49(1) 45-48
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
70
Utilizando os conhecimentos que discutimos na seccedilatildeo anterior podemos inferir o campo magneacutetico produzido pelo iacutematilde a partir do acircngulo formado entre a direccedilatildeo original da agulha (sem o iacutematilde) e a direccedilatildeo quando o iacutematilde estaacute presente Se medirmos o campo magneacutetico do iacutematilde em duas distacircncias d e 2d a razatildeo entre esses campos pode ser escrita como
iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) = ∙ (2=) ∙ (=) = 2
Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da relaccedilatildeo temos
gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 = gt ∙ gt(2)
Logo
gt = gt 4iacuteatilde(2=)iacuteatilde(=) 9 1ln 2
Desse modo pode-se inferir o valor de n para um iacutematilde medindo o campo magneacutetico produzido por ele em duas distacircncias d e 2d Tanto empiricamente como teoricamente pode-se mostrar que gt = minus3 no caso que estamos investigando Ou seja podemos construir uma relaccedilatildeo do tipo
iacuteatilde() = amp
Imediatamente conseguimos identificar semelhanccedilas entre esse
tipo de campo e o campo magneacutetico yennotsup2zLbrvbar produzido por uma espira
na qual circula uma corrente eleacutetrica i A partir da lei de Biot-Savart
Manual de Laboratoacuterio
71
pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do
que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute
yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp
onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico
da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos
yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp
Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
72
Atividade de Laboratoacuterio III Projeto
OBJETIVO
Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
73
SUGESTAtildeO 1
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO
Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas
Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece
Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha
Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo
por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o
eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
74
SUGESTAtildeO 2
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA
Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)
Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica
Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de
uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)
Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema
Manual de Laboratoacuterio
75
SUGESTAtildeO 3
BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO
Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola
Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)
Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina
O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
76
SUGESTAtildeO 4
CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO
O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer
Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
77
MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO
Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro
Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental
6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
78
110 V 127 V e 220 V O que eacute isso
As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V
Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas
A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
(c) = Jgt(c + acute)
onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por
∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)
Manual de Laboratoacuterio
79
onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1
Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho
Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores
Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
80
caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por
∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf
∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712
∆Suparamiddot = ∆S7radic2
Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a
tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s
A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente
alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$
Figura 13 - Funccedilotildees seno e
seno quadrado
Manual de Laboratoacuterio
81
COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA
Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz
Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O
Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
82
que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio
Natildeo queremos jogar energia fora
Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14
Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie
Manual de Laboratoacuterio
83
Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por
0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)
onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)
Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
ℇ(c) = ℇ7gt(c)
onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente
Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na
figura 16 para um caso em que VL gt VC
Figura 15 - Diagrama de fasores
de um circuito RLC seacuterie com
fonte de tensatildeo alternada
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
84
A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que
acute = c8 S minus SSu
Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado
por
i(c) = gt(c minus acute)
Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente
as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que
ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$
ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$
Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como
0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)
Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que
0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$
Figura 16 ndash Soma de fasores
Manual de Laboratoacuterio
85
0eacutey = F ∙ uparamiddot$
onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square
Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que
F = frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte
Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade
7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL
Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e
resistecircncia num diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
86
do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como
0 = AJradicAJ$ + AF$
O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP
DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11
Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia
Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por
acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita
Manual de Laboratoacuterio
87
2 = 1D
Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica
Figura 18 - diagramas de fasores representando
um circuito capacitivo e um circuito indutivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
88
Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie
O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio
TAREFA 1
Circuito Resistivo
Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR
Manual de Laboratoacuterio
89
Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)
O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador
Circuito Capacitivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
90
Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor
Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Manual de Laboratoacuterio
91
Circuito Indutivo
Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor
O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
92
Circuito RLC
Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise
Manual de Laboratoacuterio
93
O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador
Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio
O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior
Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor
Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou
A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
94
TAREFA 2
Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente
Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir
Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima
Qual o valor da corrente maacutexima no circuito
Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)
O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique
Manual de Laboratoacuterio
95
TAREFA 3
Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito
Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees
Como isso eacute possiacutevel Explique
Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff
Respostas
96
Respostas
A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32
A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH
A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH
B3 Ae = Af = AtildeAcircf
B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl
B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH
B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l
B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD
B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -
C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc
(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7
C2 O = ~13deg
C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)
Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-
vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr
Respostas
97
C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM
C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD
(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD
C6 A = Eacute$Acirc
C7 A = Atilde$AcircL
D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma
das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp
D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(
D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1
no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)
D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme
D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D
E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)
E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D
E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml
F1 544 times 10
F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S
F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM
u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM
u (e) 0 = ℇMu
F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω
Respostas
98
F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965
G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n
G5 i = Ograve$g = 245 J
G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y
G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez
G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H
G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)
G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)
G15 (a) zL$brvbarM (b)
z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero
G16 z$L + z$L = z$L - + 1
G17 (a) pLM
amp (b) pusup3
ampL
G18 zzMu
G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)
z
G20 zNu saindo da folha
G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)
UgraveLMamp
fora do fio (a) z$L (b)
UgravebrvbarM$L (c)
Ugravebrvbarsup3ampL
G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13
G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM
ampu
H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior
Respostas
99
H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a
H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J
I2 Φ = pound$ sup1amp
I4 C = AcircsM
I6 (a) zM
NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar
J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a
(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S
J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu
(c) = -radic
J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm
(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013
Respostas
100
Bibliografia
Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il
Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il
Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il
Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm
Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il
Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il
Manual de Laboratoacuterio
71
pode-se mostrar que yennotsup2zLbrvbar a uma distacircncia x (para x muito maior do
que o raio da espira) ao longo do seu eixo eacute
yennotsup2zLbrvbar = 745 2iJamp
onde A eacute a aacuterea da espira Definindo o momento de dipolo magneacutetico
da espira como = iJ considerando J o vetor com moacutedulo igual agrave aacuterea e direccedilatildeo e sentido normal agrave aacuterea temos
yennotsup2zLbrvbar = 745 2amp
Desse modo o momento de dipolo magneacutetico de um iacutematilde pode ser inferido a partir de um ajuste de curva realizado com uma seacuterie de medidas do campo magneacutetico produzido por ele em diferentes distacircncias x que podem ser realizadas com uma buacutessola dispostas em um graacutefico de iacuteatilde em funccedilatildeo de x3
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
72
Atividade de Laboratoacuterio III Projeto
OBJETIVO
Estudar fenocircmenos eletromagneacuteticos Assim resumimos o objetivo geral das duas aulas de laboratoacuterio previstas neste guia de atividade De modo distinto das aulas de laboratoacuterio anteriores quando o experimento investigado era previamente definido agora vocecirc teraacute liberdade para investigar os fenocircmenos que vocecirc julga mais interessantes Estaraacute agrave disposiccedilatildeo uma seacuterie de materiais como fios pregos multiacutemetros pinos buacutessola arame reacutegua etc que vocecirc poderaacute utilizar da maneira que achar mais conveniente para demonstrar alguns dos fenocircmenos eletromagneacuteticos vistos ou natildeo em aula Os experimentos propostos na sequecircncia desse guia satildeo sugestotildees Se vocecirc quiser investigar outro fenocircmeno eletromagneacutetico pode planejar e executar o experimento que desejar Basta planejaacute-lo e apresentaacute-lo ao professor Se necessaacuterio adapte o experimento para a realidade da sala onde vocecirc estaacute Vocecirc pode fazer quantos experimentos quiser mas lembre-se de que o mais importante natildeo eacute a quantidade mas a qualidade dos resultados Ao final das aulas vocecirc deveraacute ter resultados suficientes para escrever um pequeno relatoacuterio do experimento que vocecirc desenvolveu descrevendo em detalhes o que foi feito como com que materiais quais os resultados obtidos e comparaccedilotildees com previsotildees teoacutericas Faccedila anotaccedilotildees detalhadas durante o experimento (com desenhos e fotos) pois vocecirc vai precisar dessas informaccedilotildees para escrever seu relatoacuterio Ao final do experimento peccedila para o professor do laboratoacuterio rubricar as paacuteginas onde estatildeo suas anotaccedilotildees e essas devem ser anexadas ao relatoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
73
SUGESTAtildeO 1
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO
Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas
Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece
Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha
Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo
por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o
eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
74
SUGESTAtildeO 2
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA
Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)
Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica
Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de
uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)
Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema
Manual de Laboratoacuterio
75
SUGESTAtildeO 3
BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO
Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola
Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)
Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina
O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
76
SUGESTAtildeO 4
CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO
O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer
Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
77
MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO
Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro
Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental
6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
78
110 V 127 V e 220 V O que eacute isso
As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V
Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas
A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
(c) = Jgt(c + acute)
onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por
∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)
Manual de Laboratoacuterio
79
onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1
Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho
Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores
Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
80
caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por
∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf
∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712
∆Suparamiddot = ∆S7radic2
Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a
tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s
A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente
alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$
Figura 13 - Funccedilotildees seno e
seno quadrado
Manual de Laboratoacuterio
81
COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA
Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz
Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O
Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
82
que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio
Natildeo queremos jogar energia fora
Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14
Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie
Manual de Laboratoacuterio
83
Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por
0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)
onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)
Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
ℇ(c) = ℇ7gt(c)
onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente
Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na
figura 16 para um caso em que VL gt VC
Figura 15 - Diagrama de fasores
de um circuito RLC seacuterie com
fonte de tensatildeo alternada
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
84
A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que
acute = c8 S minus SSu
Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado
por
i(c) = gt(c minus acute)
Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente
as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que
ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$
ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$
Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como
0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)
Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que
0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$
Figura 16 ndash Soma de fasores
Manual de Laboratoacuterio
85
0eacutey = F ∙ uparamiddot$
onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square
Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que
F = frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte
Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade
7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL
Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e
resistecircncia num diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
86
do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como
0 = AJradicAJ$ + AF$
O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP
DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11
Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia
Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por
acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita
Manual de Laboratoacuterio
87
2 = 1D
Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica
Figura 18 - diagramas de fasores representando
um circuito capacitivo e um circuito indutivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
88
Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie
O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio
TAREFA 1
Circuito Resistivo
Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR
Manual de Laboratoacuterio
89
Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)
O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador
Circuito Capacitivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
90
Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor
Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Manual de Laboratoacuterio
91
Circuito Indutivo
Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor
O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
92
Circuito RLC
Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise
Manual de Laboratoacuterio
93
O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador
Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio
O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior
Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor
Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou
A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
94
TAREFA 2
Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente
Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir
Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima
Qual o valor da corrente maacutexima no circuito
Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)
O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique
Manual de Laboratoacuterio
95
TAREFA 3
Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito
Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees
Como isso eacute possiacutevel Explique
Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff
Respostas
96
Respostas
A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32
A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH
A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH
B3 Ae = Af = AtildeAcircf
B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl
B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH
B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l
B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD
B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -
C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc
(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7
C2 O = ~13deg
C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)
Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-
vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr
Respostas
97
C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM
C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD
(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD
C6 A = Eacute$Acirc
C7 A = Atilde$AcircL
D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma
das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp
D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(
D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1
no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)
D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme
D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D
E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)
E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D
E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml
F1 544 times 10
F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S
F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM
u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM
u (e) 0 = ℇMu
F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω
Respostas
98
F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965
G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n
G5 i = Ograve$g = 245 J
G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y
G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez
G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H
G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)
G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)
G15 (a) zL$brvbarM (b)
z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero
G16 z$L + z$L = z$L - + 1
G17 (a) pLM
amp (b) pusup3
ampL
G18 zzMu
G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)
z
G20 zNu saindo da folha
G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)
UgraveLMamp
fora do fio (a) z$L (b)
UgravebrvbarM$L (c)
Ugravebrvbarsup3ampL
G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13
G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM
ampu
H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior
Respostas
99
H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a
H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J
I2 Φ = pound$ sup1amp
I4 C = AcircsM
I6 (a) zM
NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar
J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a
(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S
J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu
(c) = -radic
J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm
(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013
Respostas
100
Bibliografia
Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il
Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il
Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il
Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm
Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il
Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il
Manual de Laboratoacuterio
73
SUGESTAtildeO 1
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UM FIO LONGO
Construa um circuito simples com um resistor fonte de tensatildeo e um fio longo (2) A lacircmpada suporta uma tensatildeo maacutexima de 5S o resistor comum suporta 14S Tome cuidado para natildeo ultrapassar esses limites Estenda o fio na direccedilatildeo NORTE-SUL sobre a mesa ou no chatildeo deixe a fonte numa das extremidades o mais distante possiacutevel do ponto onde seratildeo feitas as medidas
Com a fonte desligada posicione a buacutessola sobre o fio com a agulha alinhada na direccedilatildeo do fio e meccedila a deflexatildeo da agulha quando a fonte eacute ligada Faccedila vaacuterias medidas em diferentes posiccedilotildees para ter certeza de natildeo ter nenhuma interferecircncia externa (evite as extremidades) Faccedila a corrente passar pelo fio na direccedilatildeo oposta e observe o que acontece
Repita o experimento com a buacutessola a certa altura do fio escolha uma altura que possibilite medir alguma deflexatildeo na agulha Meccedila a altura com a reacutegua e anote a deflexatildeo da agulha
Anaacutelise dos dados ndash suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao redor de um fio longo
por onde passa corrente eacute proporcional agrave -L (onde eacute a distacircncia ateacute o
eixo do fio) Determine a corrente no fio a partir dos valores medidos (deflexatildeo na agulha da buacutessola) e compare com o valor ajustado na fonte
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
74
SUGESTAtildeO 2
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UMA BOBINA
Construa uma bobina com o fio longo enrolando-a num pedaccedilo de cano de PVC e prendendo-a com fita Construa um circuito simples com a fonte a bobina e uma resistecircncia Posicione a bobina de tal forma que o seu eixo coincida com a direccedilatildeo LESTE-OESTE Posicione o conjunto buacutessola-bobina o mais distante possiacutevel da fonte (para evitar interferecircncias)
Faccedila um desenho esquemaacutetico mostrando a posiccedilatildeo relativa da agulha da buacutessola para diferentes posiccedilotildees ao redor da bobina (enquanto passa corrente por ela) Posicione a buacutessola a diferentes distacircncias ao longo do eixo da bobina e observe a deflexatildeo da agulha Compare os seus resultados com a previsatildeo teoacuterica
Anaacutelise dos dados ndash qual a previsatildeo teoacuterica que melhor descreve o campo magneacutetico ao longo do eixo da bobina Eacute razoaacutevel considerar a bobina como um solenoide infinito (e utilizar a lei de Ampeacutere para calcular o campo) Suas observaccedilotildees satildeo consistentes com a previsatildeo teoacuterica de que o campo magneacutetico ao longo do eixo de
uma bobina eacute proporcional agrave -Lsup3 (onde eacute a distacircncia ateacute o centro)
Pode ser que nenhuma dessas abordagens seja adequada para o sistema que vocecirc construiu Nesse caso qual eacute a melhor forma de analisar o comportamento desse sistema
Manual de Laboratoacuterio
75
SUGESTAtildeO 3
BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO
Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola
Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)
Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina
O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
76
SUGESTAtildeO 4
CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO
O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer
Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
77
MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO
Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro
Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental
6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
78
110 V 127 V e 220 V O que eacute isso
As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V
Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas
A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
(c) = Jgt(c + acute)
onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por
∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)
Manual de Laboratoacuterio
79
onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1
Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho
Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores
Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
80
caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por
∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf
∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712
∆Suparamiddot = ∆S7radic2
Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a
tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s
A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente
alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$
Figura 13 - Funccedilotildees seno e
seno quadrado
Manual de Laboratoacuterio
81
COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA
Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz
Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O
Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
82
que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio
Natildeo queremos jogar energia fora
Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14
Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie
Manual de Laboratoacuterio
83
Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por
0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)
onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)
Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
ℇ(c) = ℇ7gt(c)
onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente
Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na
figura 16 para um caso em que VL gt VC
Figura 15 - Diagrama de fasores
de um circuito RLC seacuterie com
fonte de tensatildeo alternada
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
84
A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que
acute = c8 S minus SSu
Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado
por
i(c) = gt(c minus acute)
Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente
as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que
ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$
ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$
Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como
0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)
Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que
0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$
Figura 16 ndash Soma de fasores
Manual de Laboratoacuterio
85
0eacutey = F ∙ uparamiddot$
onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square
Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que
F = frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte
Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade
7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL
Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e
resistecircncia num diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
86
do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como
0 = AJradicAJ$ + AF$
O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP
DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11
Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia
Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por
acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita
Manual de Laboratoacuterio
87
2 = 1D
Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica
Figura 18 - diagramas de fasores representando
um circuito capacitivo e um circuito indutivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
88
Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie
O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio
TAREFA 1
Circuito Resistivo
Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR
Manual de Laboratoacuterio
89
Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)
O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador
Circuito Capacitivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
90
Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor
Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Manual de Laboratoacuterio
91
Circuito Indutivo
Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor
O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
92
Circuito RLC
Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise
Manual de Laboratoacuterio
93
O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador
Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio
O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior
Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor
Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou
A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
94
TAREFA 2
Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente
Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir
Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima
Qual o valor da corrente maacutexima no circuito
Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)
O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique
Manual de Laboratoacuterio
95
TAREFA 3
Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito
Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees
Como isso eacute possiacutevel Explique
Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff
Respostas
96
Respostas
A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32
A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH
A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH
B3 Ae = Af = AtildeAcircf
B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl
B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH
B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l
B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD
B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -
C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc
(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7
C2 O = ~13deg
C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)
Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-
vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr
Respostas
97
C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM
C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD
(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD
C6 A = Eacute$Acirc
C7 A = Atilde$AcircL
D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma
das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp
D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(
D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1
no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)
D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme
D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D
E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)
E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D
E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml
F1 544 times 10
F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S
F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM
u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM
u (e) 0 = ℇMu
F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω
Respostas
98
F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965
G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n
G5 i = Ograve$g = 245 J
G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y
G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez
G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H
G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)
G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)
G15 (a) zL$brvbarM (b)
z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero
G16 z$L + z$L = z$L - + 1
G17 (a) pLM
amp (b) pusup3
ampL
G18 zzMu
G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)
z
G20 zNu saindo da folha
G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)
UgraveLMamp
fora do fio (a) z$L (b)
UgravebrvbarM$L (c)
Ugravebrvbarsup3ampL
G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13
G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM
ampu
H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior
Respostas
99
H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a
H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J
I2 Φ = pound$ sup1amp
I4 C = AcircsM
I6 (a) zM
NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar
J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a
(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S
J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu
(c) = -radic
J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm
(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013
Respostas
100
Bibliografia
Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il
Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il
Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il
Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm
Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il
Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il
Manual de Laboratoacuterio
75
SUGESTAtildeO 3
BOBINA COM NUacuteCLEO DE FERRO
Para esse experimento vocecirc vai precisar de pregos natildeo magnetizados Verifique se os pregos que vocecirc tem disponiacuteveis estatildeo magnetizados aproximando da buacutessola (sem tocar) os dois lados do prego Se o prego estaacute desmagnetizado ambos os lados afetaratildeo a buacutessola da mesma forma Caso os pregos estejam fortemente magnetizados cada um dos lados do prego afetaraacute a buacutessola de forma diferente Para reduzir o efeito da magnetizaccedilatildeo nos pregos aproxime o iacutematilde (sem tocar) fazendo com que o prego fique magnetizado na direccedilatildeo oposta Repita essa operaccedilatildeo quantas vezes for necessaacuterio ateacute que a magnetizaccedilatildeo do prego seja imperceptiacutevel com a buacutessola
Construa uma bobina enrolando o fio longo num cano de PVC e prendendo com fita Meccedila o diacircmetro interno da bobina Conecte a bobina ao resistor e agrave fonte (desligada) Oriente o eixo da bobina na direccedilatildeo LESTE-OESTE ligue a fonte e posicione a buacutessola (ao longo do eixo da bobina) ateacute que a agulha indique 5deg Desligue a fonte (a agulha da buacutessola deve entatildeo marcar 0deg)
Insira um prego (desmagnetizado) na bobina ligue a fonte e observe a deflexatildeo da buacutessola Repita essa operaccedilatildeo adicionando outros pregos agrave bobina e anote os resultados Explique por que a deflexatildeo da agulha da buacutessola eacute afetada pela introduccedilatildeo dos pregos na bobina
O que acontece quando vocecirc desliga a fonte Explique os resultados observados
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
76
SUGESTAtildeO 4
CRIE SEU PROacutePRIO EXPERIMENTO
O objetivo dessa atividade eacute verificar na praacutetica algum fenocircmeno relacionado ao eletromagnetismo Se vocecirc se sentir motivado a desenvolver um experimento que natildeo esteja sugerido aqui faccedila isso Vocecirc pode utilizar os equipamentos disponiacuteveis na sala (fonte de tensatildeo lacircmpadas resistores fios buacutessola ) e pode trazer de casa outros materiais que possibilitem desenvolver o experimento que vocecirc quer
Em geral grupos que optam por criar seu proacuteprio experimento obteacutem resultados muito interessantes quando trabalham com motivaccedilatildeo Poreacutem natildeo basta criar um experimento complexo eacute preciso obter resultados e fazer uma anaacutelise adequada dos resultados obtidos O ideal eacute utilizar a primeira aula para planejar e testar vaacuterias possibilidades e se preciso providenciar os materiais que natildeo estatildeo disponiacuteveis no laboratoacuterio e na segunda aula aprimorar as medidas e analisar os resultados em grupo ainda no laboratoacuterio
Manual de Laboratoacuterio
77
MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO
Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro
Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental
6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
78
110 V 127 V e 220 V O que eacute isso
As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V
Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas
A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
(c) = Jgt(c + acute)
onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por
∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)
Manual de Laboratoacuterio
79
onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1
Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho
Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores
Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
80
caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por
∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf
∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712
∆Suparamiddot = ∆S7radic2
Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a
tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s
A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente
alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$
Figura 13 - Funccedilotildees seno e
seno quadrado
Manual de Laboratoacuterio
81
COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA
Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz
Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O
Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
82
que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio
Natildeo queremos jogar energia fora
Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14
Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie
Manual de Laboratoacuterio
83
Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por
0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)
onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)
Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
ℇ(c) = ℇ7gt(c)
onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente
Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na
figura 16 para um caso em que VL gt VC
Figura 15 - Diagrama de fasores
de um circuito RLC seacuterie com
fonte de tensatildeo alternada
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
84
A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que
acute = c8 S minus SSu
Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado
por
i(c) = gt(c minus acute)
Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente
as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que
ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$
ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$
Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como
0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)
Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que
0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$
Figura 16 ndash Soma de fasores
Manual de Laboratoacuterio
85
0eacutey = F ∙ uparamiddot$
onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square
Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que
F = frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte
Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade
7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL
Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e
resistecircncia num diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
86
do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como
0 = AJradicAJ$ + AF$
O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP
DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11
Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia
Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por
acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita
Manual de Laboratoacuterio
87
2 = 1D
Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica
Figura 18 - diagramas de fasores representando
um circuito capacitivo e um circuito indutivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
88
Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie
O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio
TAREFA 1
Circuito Resistivo
Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR
Manual de Laboratoacuterio
89
Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)
O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador
Circuito Capacitivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
90
Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor
Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Manual de Laboratoacuterio
91
Circuito Indutivo
Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor
O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
92
Circuito RLC
Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise
Manual de Laboratoacuterio
93
O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador
Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio
O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior
Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor
Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou
A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
94
TAREFA 2
Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente
Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir
Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima
Qual o valor da corrente maacutexima no circuito
Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)
O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique
Manual de Laboratoacuterio
95
TAREFA 3
Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito
Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees
Como isso eacute possiacutevel Explique
Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff
Respostas
96
Respostas
A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32
A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH
A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH
B3 Ae = Af = AtildeAcircf
B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl
B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH
B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l
B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD
B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -
C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc
(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7
C2 O = ~13deg
C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)
Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-
vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr
Respostas
97
C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM
C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD
(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD
C6 A = Eacute$Acirc
C7 A = Atilde$AcircL
D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma
das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp
D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(
D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1
no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)
D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme
D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D
E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)
E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D
E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml
F1 544 times 10
F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S
F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM
u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM
u (e) 0 = ℇMu
F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω
Respostas
98
F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965
G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n
G5 i = Ograve$g = 245 J
G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y
G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez
G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H
G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)
G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)
G15 (a) zL$brvbarM (b)
z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero
G16 z$L + z$L = z$L - + 1
G17 (a) pLM
amp (b) pusup3
ampL
G18 zzMu
G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)
z
G20 zNu saindo da folha
G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)
UgraveLMamp
fora do fio (a) z$L (b)
UgravebrvbarM$L (c)
Ugravebrvbarsup3ampL
G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13
G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM
ampu
H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior
Respostas
99
H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a
H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J
I2 Φ = pound$ sup1amp
I4 C = AcircsM
I6 (a) zM
NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar
J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a
(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S
J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu
(c) = -radic
J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm
(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013
Respostas
100
Bibliografia
Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il
Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il
Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il
Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm
Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il
Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il
Manual de Laboratoacuterio
77
MEDINDO GRANDEZAS QUE VARIAM RAPIDAMENTE COM O TEMPO
Vimos na primeira aula de laboratoacuterio que o processo de mediccedilatildeo no laboratoacuterio de Fiacutesica demanda uma seacuterie de procedimentos e cuidados a partir de uma investigaccedilatildeo sobre a resistecircncia interna de amperiacutemetros Naquela atividade partimos do pressuposto de que a tensatildeo e a corrente eleacutetrica no amperiacutemetro natildeo se modificavam com o tempo enquanto realizaacutevamos uma medida particular ou seja consideraacutevamos essas grandezas constantes durante cada medida Certamente isso natildeo era bem verdade A tensatildeo de saiacuteda de fontes reais nunca eacute perfeitamente constante No entanto as variaccedilotildees das tensotildees mensuradas eram tatildeo pequenas que era muito razoaacutevel desprezaacute-las frente ao objetivo que tiacutenhamos que era medir a resistecircncia interna de um amperiacutemetro
Em nosso cotidiano no entanto grande parte dos eventos que envolvem correntes eleacutetricas ocorre com tensotildees alternadas pois o fornecimento de energia eleacutetrica em nossas casas eacute realizado desse modo6 A tensatildeo entre os terminais de uma tomada em Porto Alegre usualmente varia com uma frequecircncia de aproximadamente 60 Hz Mas entatildeo o que significam os 110 127 ou 220 volts que atribuiacutemos agrave tensatildeo dos equipamentos eleacutetricos E se a tensatildeo natildeo eacute constante o que eacute medido quando uso um voltiacutemetro para avaliar a tensatildeo entre os terminais de uma tomada Existe alguma forma de medir tensotildees que variam rapidamente com o tempo Essas satildeo questotildees que abordaremos nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula experimental
6 Se vocecirc quer entender melhor o porquecirc de usarmos tensotildees alternadas precisa compreender o processo histoacuterico ocorrido a partir da Guerra de Correntes despontado pela contraposiccedilatildeo das ideias de Tesla e Franklin Para ler mais consulte httpwwwifufrgsbrcrefarea=questionsampid=1089
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
78
110 V 127 V e 220 V O que eacute isso
As tensotildees das tomadas de diferentes residecircncias natildeo satildeo sempre iguais Aliaacutes eacute comum que dentro de uma mesma residecircncia existam tomadas com diferentes tensotildees de operaccedilatildeo Em Porto Alegre o usual eacute que elas funcionem com tensatildeo efetiva de 127 V ou 220 V com frequecircncia de 60 Hz No passado natildeo muito distante existiram redes alimentadas com tensotildees efetivas de 110 V com frequecircncia de 50 Hz mas hoje satildeo rariacutessimas redes com essas caracteriacutesticas Por heranccedila histoacuterica ainda eacute comum ouvirmos expressotildees do tipo ldquoessa tomada eacute 110rdquo quando na verdade se deseja fazer uma referecircncia agrave tensatildeo de 127 V
Mas se a tensatildeo varia com o tempo o que eacute essa tensatildeo Eacute o valor maacuteximo da tensatildeo entre os terminais das tomadas Para respondermos essas perguntas precisamos primeiramente compreender como representamos tensotildees alternadas
A tensatildeo de saiacuteda de fontes alternadas oscila aproximadamente de forma perioacutedica Por isso uma analogia interessante neste momento eacute relacionar fontes alternadas com um modelo que jaacute conhecemos o modelo de movimento harmocircnico simples Esse modelo eacute usado por exemplo para representar o movimento de um corpo que oscila preso por uma mola sobre uma superfiacutecie lisa A evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo desse corpo eacute descrita matematicamente por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
(c) = Jgt(c + acute)
onde J eacute a amplitude do movimento a frequecircncia angular do movimento e acute a constante de fase De forma anaacuteloga a tensatildeo de saiacuteda S de uma fonte alternada pode ser representada por
∆S(c) = ∆S7gt(c + acute)
Manual de Laboratoacuterio
79
onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1
Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho
Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores
Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
80
caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por
∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf
∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712
∆Suparamiddot = ∆S7radic2
Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a
tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s
A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente
alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$
Figura 13 - Funccedilotildees seno e
seno quadrado
Manual de Laboratoacuterio
81
COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA
Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz
Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O
Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
82
que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio
Natildeo queremos jogar energia fora
Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14
Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie
Manual de Laboratoacuterio
83
Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por
0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)
onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)
Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
ℇ(c) = ℇ7gt(c)
onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente
Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na
figura 16 para um caso em que VL gt VC
Figura 15 - Diagrama de fasores
de um circuito RLC seacuterie com
fonte de tensatildeo alternada
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
84
A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que
acute = c8 S minus SSu
Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado
por
i(c) = gt(c minus acute)
Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente
as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que
ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$
ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$
Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como
0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)
Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que
0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$
Figura 16 ndash Soma de fasores
Manual de Laboratoacuterio
85
0eacutey = F ∙ uparamiddot$
onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square
Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que
F = frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte
Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade
7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL
Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e
resistecircncia num diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
86
do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como
0 = AJradicAJ$ + AF$
O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP
DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11
Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia
Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por
acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita
Manual de Laboratoacuterio
87
2 = 1D
Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica
Figura 18 - diagramas de fasores representando
um circuito capacitivo e um circuito indutivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
88
Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie
O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio
TAREFA 1
Circuito Resistivo
Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR
Manual de Laboratoacuterio
89
Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)
O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador
Circuito Capacitivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
90
Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor
Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Manual de Laboratoacuterio
91
Circuito Indutivo
Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor
O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
92
Circuito RLC
Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise
Manual de Laboratoacuterio
93
O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador
Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio
O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior
Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor
Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou
A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
94
TAREFA 2
Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente
Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir
Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima
Qual o valor da corrente maacutexima no circuito
Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)
O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique
Manual de Laboratoacuterio
95
TAREFA 3
Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito
Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees
Como isso eacute possiacutevel Explique
Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff
Respostas
96
Respostas
A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32
A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH
A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH
B3 Ae = Af = AtildeAcircf
B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl
B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH
B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l
B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD
B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -
C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc
(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7
C2 O = ~13deg
C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)
Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-
vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr
Respostas
97
C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM
C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD
(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD
C6 A = Eacute$Acirc
C7 A = Atilde$AcircL
D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma
das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp
D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(
D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1
no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)
D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme
D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D
E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)
E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D
E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml
F1 544 times 10
F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S
F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM
u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM
u (e) 0 = ℇMu
F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω
Respostas
98
F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965
G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n
G5 i = Ograve$g = 245 J
G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y
G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez
G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H
G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)
G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)
G15 (a) zL$brvbarM (b)
z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero
G16 z$L + z$L = z$L - + 1
G17 (a) pLM
amp (b) pusup3
ampL
G18 zzMu
G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)
z
G20 zNu saindo da folha
G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)
UgraveLMamp
fora do fio (a) z$L (b)
UgravebrvbarM$L (c)
Ugravebrvbarsup3ampL
G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13
G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM
ampu
H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior
Respostas
99
H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a
H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J
I2 Φ = pound$ sup1amp
I4 C = AcircsM
I6 (a) zM
NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar
J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a
(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S
J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu
(c) = -radic
J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm
(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013
Respostas
100
Bibliografia
Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il
Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il
Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il
Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm
Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il
Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il
Manual de Laboratoacuterio
79
onde ∆S7 eacute o pico de tensatildeo de saiacuteda eacute a frequecircncia angular (igual a 25micro onde micro eacute a frequecircncia da fonte) das oscilaccedilotildees e acute a constante de fase da fonte Essa funccedilatildeo eacute representada graficamente na Fig1
Agora imagine algo que oscila 60 vezes por segundo Assim eacute a tensatildeo fornecida para nossas casas Essa frequecircncia eacute baixa quando comparada com valores comumente explorados em circuitos eleacutetricos Mesmo assim se tiveacutessemos um voltiacutemetro que realizasse a medida instantacircnea dessas tensotildees natildeo conseguiriacuteamos coletar ou interpretar os dados em funccedilatildeo da rapidez com que eles se modificariam no leitor do aparelho
Figura 12 - Graacutefico qualitativo de ∆V em funccedilatildeo de t e o respectivo diagrama de fasores
Os multiacutemetros nos fornecem uma meacutedia temporal quando mensuramos tensotildees alternadas Mas que meacutedia eacute essa Analisando a figura 1 podemos perceber que a meacutedia aritmeacutetica da tensatildeo de saiacuteda de uma fonte alternada eacute um valor proacuteximo de zero Entatildeo qual eacute o valor calculado pelo multiacutemetro De modo semelhante ao que era realizado no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (tratado na nossa primeira aula) o multiacutemetro calcula o valor meacutedio quadraacutetico ou valor RMS (root mean square) A tensatildeo RMS de uma fonte alternada eacute a raiz quadrada da meacutedia dos quadrados das tensotildees instantacircneas No
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
80
caso de uma tensatildeo alternada senoidal como a que estamos tratando aqui essa meacutedia eacute dada por
∆Suparamiddot$ = lang ∆S$rangeacuteyzordf = lang∆S7$gt$(25microc + acute)rangeacuteyzordf
∆Suparamiddot = sup1lang∆S7$gt$(25microc + acute)rang= ∆S712
∆Suparamiddot = ∆S7radic2
Desse modo quando o voltiacutemetro mede uma tensatildeo RMS (tambeacutem denominada de tensatildeo eficaz) de 127 V entre os terminais de uma tomada significa que a
tensatildeo de pico nela eacute de 127radic2 Volts ou seja ∆S7 = 1796 Volts Assim como a frequecircncia dessa tensatildeo eacute 60 Hz ela oscila entre +1796 V e ndash1796 V com periacuteodo de 0016 s
A potecircncia meacutedia dissipada em um circuito eleacutetrico com tensatildeo alternada pode ser calculada da mesma forma que a potecircncia dissipada em um circuito de corrente contiacutenua quando usamos o valor RMS da corrente eleacutetrica Ou seja assim como calculamos a potecircncia P dissipada em um circuito de corrente contiacutenua por 0 = Fi$ onde F eacute a resistecircncia eleacutetrica do circuito e i a corrente eleacutetrica que circula nele a potecircncia meacutedia 0eacutey dissipada em um circuito com corrente
alternada pode ser calculada por 0eacutey = Fiuparamiddot$
Figura 13 - Funccedilotildees seno e
seno quadrado
Manual de Laboratoacuterio
81
COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA
Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz
Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O
Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
82
que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio
Natildeo queremos jogar energia fora
Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14
Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie
Manual de Laboratoacuterio
83
Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por
0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)
onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)
Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
ℇ(c) = ℇ7gt(c)
onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente
Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na
figura 16 para um caso em que VL gt VC
Figura 15 - Diagrama de fasores
de um circuito RLC seacuterie com
fonte de tensatildeo alternada
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
84
A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que
acute = c8 S minus SSu
Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado
por
i(c) = gt(c minus acute)
Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente
as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que
ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$
ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$
Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como
0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)
Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que
0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$
Figura 16 ndash Soma de fasores
Manual de Laboratoacuterio
85
0eacutey = F ∙ uparamiddot$
onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square
Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que
F = frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte
Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade
7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL
Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e
resistecircncia num diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
86
do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como
0 = AJradicAJ$ + AF$
O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP
DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11
Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia
Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por
acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita
Manual de Laboratoacuterio
87
2 = 1D
Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica
Figura 18 - diagramas de fasores representando
um circuito capacitivo e um circuito indutivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
88
Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie
O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio
TAREFA 1
Circuito Resistivo
Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR
Manual de Laboratoacuterio
89
Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)
O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador
Circuito Capacitivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
90
Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor
Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Manual de Laboratoacuterio
91
Circuito Indutivo
Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor
O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
92
Circuito RLC
Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise
Manual de Laboratoacuterio
93
O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador
Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio
O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior
Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor
Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou
A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
94
TAREFA 2
Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente
Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir
Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima
Qual o valor da corrente maacutexima no circuito
Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)
O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique
Manual de Laboratoacuterio
95
TAREFA 3
Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito
Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees
Como isso eacute possiacutevel Explique
Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff
Respostas
96
Respostas
A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32
A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH
A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH
B3 Ae = Af = AtildeAcircf
B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl
B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH
B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l
B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD
B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -
C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc
(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7
C2 O = ~13deg
C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)
Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-
vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr
Respostas
97
C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM
C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD
(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD
C6 A = Eacute$Acirc
C7 A = Atilde$AcircL
D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma
das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp
D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(
D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1
no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)
D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme
D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D
E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)
E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D
E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml
F1 544 times 10
F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S
F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM
u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM
u (e) 0 = ℇMu
F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω
Respostas
98
F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965
G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n
G5 i = Ograve$g = 245 J
G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y
G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez
G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H
G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)
G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)
G15 (a) zL$brvbarM (b)
z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero
G16 z$L + z$L = z$L - + 1
G17 (a) pLM
amp (b) pusup3
ampL
G18 zzMu
G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)
z
G20 zNu saindo da folha
G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)
UgraveLMamp
fora do fio (a) z$L (b)
UgravebrvbarM$L (c)
Ugravebrvbarsup3ampL
G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13
G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM
ampu
H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior
Respostas
99
H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a
H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J
I2 Φ = pound$ sup1amp
I4 C = AcircsM
I6 (a) zM
NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar
J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a
(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S
J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu
(c) = -radic
J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm
(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013
Respostas
100
Bibliografia
Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il
Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il
Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il
Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm
Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il
Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il
Manual de Laboratoacuterio
81
COMPREENDENDO A CONTA DE ENERGIA ELEacuteTRICA O FATOR DE POTEcircNCIA
Cada vez mais campanhas procuram promover a conscientizaccedilatildeo sobre o uso da energia eleacutetrica Fatores econocircmicos e ambientais fazem com que essa energia seja tratada como um bem precioso em nossa sociedade Manter a borracha de vedaccedilatildeo das geladeiras em bom estado evitar o uso de maacutequinas de lavar com poucas roupas evitar o uso do modo stand by dos equipamentos satildeo exemplos de accedilotildees frequentemente sugeridas que podem ser facilmente implementadas em nosso cotidiano No entanto se queremos aprofundar nosso conhecimento sobre accedilotildees que possibilitam a economia de energia eleacutetrica eacute importante que conheccedilamos o que pagamos para as concessionaacuterias ou seja que entendamos o que eacute exposto em nossas contas de luz
Existem variaccedilotildees nas contas de luz expedidas pelas concessionaacuterias dependendo de uma seacuterie de caracteriacutesticas do imoacutevel e do processo de mediccedilatildeo de consumo realizado O normal eacute que elas apresentem a quantidade de energia consumida em kWh o preccedilo por kWh e o valor total em R$ Essas quantidades fazem parte do que eacute denominado de ldquoConsumo Ativordquo (veja o conteuacutedo circulado em vermelho na figura 13) No entanto existem pessoas que satildeo surpreendidas quando satildeo informados que precisam pagar por um outro tipo de consumo o ldquoConsumo Reativo Excedenterdquo O
Figura 14 - Conta de luz residencial tiacutepica
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
82
que eacute esse consumo Como ele eacute calculado Quando o consumo de energia reativa eacute muito alto eletricistas propotildeem a instalaccedilatildeo de bancos de capacitores na instalaccedilatildeo eleacutetrica Por quecirc Quais satildeo as causas desse consumo reativo Os procedimentos sugeridos em campanhas de conscientizaccedilatildeo contribuem para diminuir o consumo reativo tambeacutem Essas satildeo questotildees que seratildeo abordadas nesta tarefa de leitura e na proacutexima aula de laboratoacuterio
Natildeo queremos jogar energia fora
Uma residecircncia faacutebrica estabelecimento comercial ou qualquer local que seja possui uma seacuterie de equipamentos com diferentes caracteriacutesticas que constituem suas instalaccedilotildees eleacutetricas Para possibilitar uma melhor compreensatildeo dos conceitos de consumo ativo e reativo vamos simplificar aqui uma instalaccedilatildeo eleacutetrica considerando que mesmo que momentaneamente podemos atribuir aos equipamentos que a constituem uma resistecircncia uma capacitacircncia e uma indutacircncia equivalente Desse modo vamos realizar um estudo sobre um circuito constituiacutedo por um resistor de resistecircncia R um capacitor de capacitacircncia C e um indutor de indutacircncia L dispostos em seacuterie com uma fonte de corrente alternada com forccedila eletromotriz ℇ(c) Temos aqui um circuito RLC em seacuterie com uma fonte alternada como eacute ilustrado na figura 14
Figura 16 ndash Circuito RLC seacuterie
Manual de Laboratoacuterio
83
Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por
0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)
onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)
Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
ℇ(c) = ℇ7gt(c)
onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente
Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na
figura 16 para um caso em que VL gt VC
Figura 15 - Diagrama de fasores
de um circuito RLC seacuterie com
fonte de tensatildeo alternada
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
84
A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que
acute = c8 S minus SSu
Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado
por
i(c) = gt(c minus acute)
Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente
as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que
ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$
ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$
Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como
0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)
Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que
0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$
Figura 16 ndash Soma de fasores
Manual de Laboratoacuterio
85
0eacutey = F ∙ uparamiddot$
onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square
Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que
F = frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte
Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade
7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL
Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e
resistecircncia num diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
86
do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como
0 = AJradicAJ$ + AF$
O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP
DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11
Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia
Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por
acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita
Manual de Laboratoacuterio
87
2 = 1D
Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica
Figura 18 - diagramas de fasores representando
um circuito capacitivo e um circuito indutivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
88
Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie
O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio
TAREFA 1
Circuito Resistivo
Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR
Manual de Laboratoacuterio
89
Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)
O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador
Circuito Capacitivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
90
Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor
Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Manual de Laboratoacuterio
91
Circuito Indutivo
Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor
O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
92
Circuito RLC
Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise
Manual de Laboratoacuterio
93
O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador
Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio
O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior
Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor
Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou
A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
94
TAREFA 2
Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente
Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir
Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima
Qual o valor da corrente maacutexima no circuito
Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)
O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique
Manual de Laboratoacuterio
95
TAREFA 3
Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito
Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees
Como isso eacute possiacutevel Explique
Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff
Respostas
96
Respostas
A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32
A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH
A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH
B3 Ae = Af = AtildeAcircf
B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl
B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH
B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l
B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD
B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -
C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc
(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7
C2 O = ~13deg
C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)
Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-
vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr
Respostas
97
C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM
C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD
(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD
C6 A = Eacute$Acirc
C7 A = Atilde$AcircL
D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma
das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp
D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(
D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1
no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)
D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme
D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D
E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)
E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D
E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml
F1 544 times 10
F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S
F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM
u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM
u (e) 0 = ℇMu
F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω
Respostas
98
F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965
G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n
G5 i = Ograve$g = 245 J
G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y
G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez
G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H
G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)
G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)
G15 (a) zL$brvbarM (b)
z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero
G16 z$L + z$L = z$L - + 1
G17 (a) pLM
amp (b) pusup3
ampL
G18 zzMu
G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)
z
G20 zNu saindo da folha
G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)
UgraveLMamp
fora do fio (a) z$L (b)
UgravebrvbarM$L (c)
Ugravebrvbarsup3ampL
G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13
G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM
ampu
H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior
Respostas
99
H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a
H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J
I2 Φ = pound$ sup1amp
I4 C = AcircsM
I6 (a) zM
NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar
J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a
(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S
J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu
(c) = -radic
J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm
(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013
Respostas
100
Bibliografia
Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il
Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il
Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il
Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm
Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il
Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il
Manual de Laboratoacuterio
83
Usualmente desejamos que uma instalaccedilatildeo eleacutetrica possa suprir a maacutexima potecircncia possiacutevel Mas como podemos fazer isso Para respondermos essa pergunta vamos analisar como se comporta a potecircncia instantacircnea P(t) fornecida por uma fonte alternada para um circuito RLC em seacuterie Ela eacute representada por
0(c) = ℇ(c) ∙ i(c)
onde i eacute a corrente eleacutetrica no circuito Passamos entatildeo analisar como se comportam as funccedilotildees ℇ(c) e i(c)
Vamos supor que a forccedila eletromotriz na fonte varia de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica do tipo
ℇ(c) = ℇ7gt(c)
onde eacute a frequecircncia angular da fonte e ℇ7 eacute a forccedila eletromotriz de pico na fonte As tensotildees entre os terminais do resistor do indutor e do capacitor tambeacutem vatildeo oscilar de acordo com uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica Essas tensotildees podem ser representadas em um diagrama de fasores como o ilustrado na figura 15 onde VR VL e VC satildeo as tensotildees de pico no resistor no indutor e no capacitor respectivamente
Note que o fasor da corrente eleacutetrica sempre deve ter a mesma direccedilatildeo do fasor que representa a tensatildeo no resistor Jaacute o fasor da forccedila eletromotriz ε da fonte pode natildeo estar em fase com o fasor I da corrente eleacutetrica Para encontrarmos a diferenccedila de fase φ entre ε e I basta construirmos um triacircngulo retacircngulo com os fasores das tensotildees VR VL - VC e ε como eacute ilustrado na
figura 16 para um caso em que VL gt VC
Figura 15 - Diagrama de fasores
de um circuito RLC seacuterie com
fonte de tensatildeo alternada
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
84
A anaacutelise deste triacircngulo nos permite concluir que
acute = c8 S minus SSu
Desse modo o valor instantacircneo i da corrente eleacutetrica pode ser representado
por
i(c) = gt(c minus acute)
Mas quanto vale I Recordando que S = ordm ∙ = 2 ∙ S = ordm ∙ = -raquo ∙ e Su = F ∙ onde ordm e ordm satildeo respectivamente
as reatacircncias indutiva e capacitiva do circuito Analisando o diagrama de fasores da figura 14 podemos concluir que
ℇ7$ = Su $ + (S minus S )$
ℇ7$ = $F$ + (ordm minus ordm )$ = ℇ7frac14F$ + (ordm minus ordm)$
Com isso a potecircncia dissipada no resistor pode ser reescrita como
0(c) = F ∙ i(c)$ = F ∙ $gt$(c minus acute)
Como visto anteriormente (figura 6) a meacutedia temporal da funccedilatildeo seno quadrado eacute frac12 e por isso podemos dizer que
0eacutey = F ∙ $2 = F radic2$
Figura 16 ndash Soma de fasores
Manual de Laboratoacuterio
85
0eacutey = F ∙ uparamiddot$
onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square
Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que
F = frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte
Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade
7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL
Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e
resistecircncia num diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
86
do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como
0 = AJradicAJ$ + AF$
O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP
DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11
Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia
Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por
acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita
Manual de Laboratoacuterio
87
2 = 1D
Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica
Figura 18 - diagramas de fasores representando
um circuito capacitivo e um circuito indutivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
88
Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie
O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio
TAREFA 1
Circuito Resistivo
Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR
Manual de Laboratoacuterio
89
Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)
O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador
Circuito Capacitivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
90
Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor
Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Manual de Laboratoacuterio
91
Circuito Indutivo
Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor
O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
92
Circuito RLC
Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise
Manual de Laboratoacuterio
93
O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador
Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio
O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior
Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor
Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou
A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
94
TAREFA 2
Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente
Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir
Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima
Qual o valor da corrente maacutexima no circuito
Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)
O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique
Manual de Laboratoacuterio
95
TAREFA 3
Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito
Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees
Como isso eacute possiacutevel Explique
Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff
Respostas
96
Respostas
A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32
A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH
A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH
B3 Ae = Af = AtildeAcircf
B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl
B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH
B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l
B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD
B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -
C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc
(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7
C2 O = ~13deg
C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)
Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-
vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr
Respostas
97
C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM
C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD
(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD
C6 A = Eacute$Acirc
C7 A = Atilde$AcircL
D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma
das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp
D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(
D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1
no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)
D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme
D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D
E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)
E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D
E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml
F1 544 times 10
F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S
F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM
u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM
u (e) 0 = ℇMu
F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω
Respostas
98
F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965
G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n
G5 i = Ograve$g = 245 J
G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y
G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez
G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H
G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)
G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)
G15 (a) zL$brvbarM (b)
z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero
G16 z$L + z$L = z$L - + 1
G17 (a) pLM
amp (b) pusup3
ampL
G18 zzMu
G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)
z
G20 zNu saindo da folha
G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)
UgraveLMamp
fora do fio (a) z$L (b)
UgravebrvbarM$L (c)
Ugravebrvbarsup3ampL
G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13
G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM
ampu
H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior
Respostas
99
H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a
H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J
I2 Φ = pound$ sup1amp
I4 C = AcircsM
I6 (a) zM
NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar
J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a
(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S
J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu
(c) = -radic
J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm
(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013
Respostas
100
Bibliografia
Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il
Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il
Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il
Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm
Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il
Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il
Manual de Laboratoacuterio
85
0eacutey = F ∙ uparamiddot$
onde RMS significa valor meacutedio quadraacutetico do inglecircs Root Mean Square
Seguindo o exemplo mostrado na figura 17 podemos inferir que a impedacircncia e a resistecircncia do circuito estatildeo relacionadas pelo U acute de forma que
F = frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddot$ frac34 ∙ Uacute
0eacutey = uparamiddotℇuparamiddot ∙ Uacute
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir o U acute que denominamos fator de potecircncia FP influencia diretamente na potecircncia fornecida pela fonte ao circuito RLC Quanto mais proacuteximo de 1 for o fator de potecircncia maior vai ser a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte
Voltando agraves instalaccedilotildees eleacutetricas queremos que a energia eleacutetrica seja aproveitada ao maacuteximo em nossas casas empresas etc Por isso queremos que o FP dessas instalaccedilotildees tenham o valor mais proacuteximo possiacutevel de 1 maximizando a potecircncia fornecida pela rede eleacutetrica para a instalaccedilatildeo Para garantir que isso aconteccedila ou seja que a energia eleacutetrica produzida no Brasil seja aproveitada da melhor forma possiacutevel a Agecircncia Nacional de Energia Eleacutetrica (ANEEL) estabelece que o FP das instalaccedilotildees eleacutetricas natildeo pode ser menor do que 0927 Nesses oacutergatildeos o FP eacute tratado em termos dos conceitos de energia ativa (EA) e energia reativa (ER) A EA estaacute relacionada com a capacidade
7 Para mais detalhes consulte a Resoluccedilatildeo 4562000 da ANEEL
Figura 17 - relaccedilatildeo entre impedacircncia e
resistecircncia num diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
86
do circuito de realizar trabalho enquanto que a ER eacute a energia estocada nos componentes da instalaccedilatildeo momentaneamente (em capacitores eou indutores) e devolvida ao circuito em seguida O FP eacute definido entatildeo como
0 = AJradicAJ$ + AF$
O Consumo Reativo Excedente (CRE) das instalaccedilotildees eacute entatildeo calculado em R$ como uma funccedilatildeo de FP
DFA = DAJ iexcl 0092 minus 1cent onde CEA eacute o consumo de energia ativa em R$ Em alguns casos as contas de luz tambeacutem apresentam o valor do FP da instalaccedilatildeo eleacutetrica como eacute destacado na figura 11
Mas como podemos aumentar o fator de potecircncia
Para termos um FP igual agrave unidade precisamos que os fasores de ℇ e I coincidam em suas direccedilotildees ou seja precisamos que acute seja tatildeo pequeno quanto possiacutevel Vimos que esse acircngulo (veja a figura 17) eacute dado por
acute = c8 ordm2 minus ordmDF = c8 iquest2 minus 1DF Agrave
Analisando a equaccedilatildeo acima podemos concluir que o FP eacute igual agrave unidade quando a seguinte igualdade eacute satisfeita
Manual de Laboratoacuterio
87
2 = 1D
Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica
Figura 18 - diagramas de fasores representando
um circuito capacitivo e um circuito indutivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
88
Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie
O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio
TAREFA 1
Circuito Resistivo
Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR
Manual de Laboratoacuterio
89
Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)
O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador
Circuito Capacitivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
90
Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor
Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Manual de Laboratoacuterio
91
Circuito Indutivo
Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor
O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
92
Circuito RLC
Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise
Manual de Laboratoacuterio
93
O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador
Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio
O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior
Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor
Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou
A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
94
TAREFA 2
Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente
Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir
Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima
Qual o valor da corrente maacutexima no circuito
Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)
O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique
Manual de Laboratoacuterio
95
TAREFA 3
Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito
Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees
Como isso eacute possiacutevel Explique
Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff
Respostas
96
Respostas
A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32
A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH
A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH
B3 Ae = Af = AtildeAcircf
B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl
B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH
B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l
B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD
B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -
C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc
(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7
C2 O = ~13deg
C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)
Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-
vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr
Respostas
97
C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM
C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD
(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD
C6 A = Eacute$Acirc
C7 A = Atilde$AcircL
D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma
das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp
D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(
D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1
no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)
D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme
D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D
E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)
E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D
E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml
F1 544 times 10
F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S
F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM
u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM
u (e) 0 = ℇMu
F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω
Respostas
98
F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965
G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n
G5 i = Ograve$g = 245 J
G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y
G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez
G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H
G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)
G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)
G15 (a) zL$brvbarM (b)
z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero
G16 z$L + z$L = z$L - + 1
G17 (a) pLM
amp (b) pusup3
ampL
G18 zzMu
G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)
z
G20 zNu saindo da folha
G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)
UgraveLMamp
fora do fio (a) z$L (b)
UgravebrvbarM$L (c)
Ugravebrvbarsup3ampL
G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13
G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM
ampu
H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior
Respostas
99
H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a
H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J
I2 Φ = pound$ sup1amp
I4 C = AcircsM
I6 (a) zM
NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar
J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a
(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S
J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu
(c) = -radic
J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm
(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013
Respostas
100
Bibliografia
Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il
Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il
Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il
Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm
Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il
Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il
Manual de Laboratoacuterio
87
2 = 1D
Se pudeacutessemos modificar a frequecircncia de alimentaccedilatildeo do sistema bastaria escolher a frequecircncia de ressonacircncia uda instalaccedilatildeo eleacutetrica para obtermos um FP igual agrave 1 ou seja escolher a frequecircncia = 1 radic2Dfrasl No entanto como jaacute discutimos na nossa primeira aula de laboratoacuterio a frequecircncia de alimentaccedilatildeo da rede eleacutetrica de Porto Alegre eacute de aproximadamente 60 Hz natildeo podendo ser modificada pelo usuaacuterio comum Desse modo para diminuirmos o acircngulo acute precisamos ajustar os valores de L e C da instalaccedilatildeo eleacutetrica Nesses casos existem basicamente duas situaccedilotildees possiacuteveis que satildeo ilustradas na figura 20 i) a reatacircncia capacitiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia indutiva e o fasor I estaacute adiantado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ e ii) a reatacircncia indutiva da instalaccedilatildeo eacute maior do que a reatacircncia capacitiva e o fasor I estaacute atrasado com um acircngulo acute em relaccedilatildeo ao fasor ℇ Nos dois casos a correccedilatildeo do FP eacute usualmente realizada por meio da instalaccedilatildeo de bancos de capacitores adequados diminuindo ou aumentando a capacitacircncia equivalente da instalaccedilatildeo eleacutetrica
Figura 18 - diagramas de fasores representando
um circuito capacitivo e um circuito indutivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
88
Atividade de Laboratoacuterio IV Circuitos RLC - seacuterie
O roteiro a seguir seraacute utilizado nas duas aulas de laboratoacuterio que seguem Primeiramente seraacute feita uma avaliaccedilatildeo qualitativa do comportamento do circuito contendo diferentes componentes (resistor 56 kΩ capacitor 47 nF e bobina de 1000 voltas com e sem nuacutecleo de ferro) Num segundo momento faremos mediccedilotildees de tensatildeo e corrente num circuito RLC para diferentes valores de frequecircncia para determinar qual eacute a frequecircncia de ressonacircncia do circuito Apoacutes as atividades vocecirc teraacute que responder perguntas no Moodle relacionadas aos experimentos por isso eacute recomendaacutevel que vocecirc faccedila anotaccedilotildees sobre as atividades realizadas no laboratoacuterio
TAREFA 1
Circuito Resistivo
Monte o circuito contendo apenas o resistor ligado em seacuterie com o gerador de funccedilotildees Eacute fundamental que o terra da fonte e do osciloscoacutepio estejam conectados no mesmo ponto (cabo preto) Monitore a tensatildeo de saiacuteda da fonte no canal 1 e a tensatildeo nos terminais do resistor no canal 2 No decorrer do experimento vocecirc pode verificar (utilizando o osciloscoacutepio) a tensatildeo nos terminais do capacitor e do indutor e para isso vocecirc deve mudar os COMPONENTES (capacitor indutor e resistor) de lugar NUNCA MUDE OS CABOS DO OSCILOSCOacutePIO DE LUGAR
Manual de Laboratoacuterio
89
Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)
O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador
Circuito Capacitivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
90
Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor
Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Manual de Laboratoacuterio
91
Circuito Indutivo
Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor
O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
92
Circuito RLC
Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise
Manual de Laboratoacuterio
93
O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador
Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio
O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior
Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor
Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou
A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
94
TAREFA 2
Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente
Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir
Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima
Qual o valor da corrente maacutexima no circuito
Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)
O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique
Manual de Laboratoacuterio
95
TAREFA 3
Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito
Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees
Como isso eacute possiacutevel Explique
Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff
Respostas
96
Respostas
A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32
A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH
A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH
B3 Ae = Af = AtildeAcircf
B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl
B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH
B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l
B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD
B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -
C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc
(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7
C2 O = ~13deg
C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)
Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-
vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr
Respostas
97
C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM
C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD
(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD
C6 A = Eacute$Acirc
C7 A = Atilde$AcircL
D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma
das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp
D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(
D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1
no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)
D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme
D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D
E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)
E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D
E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml
F1 544 times 10
F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S
F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM
u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM
u (e) 0 = ℇMu
F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω
Respostas
98
F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965
G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n
G5 i = Ograve$g = 245 J
G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y
G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez
G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H
G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)
G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)
G15 (a) zL$brvbarM (b)
z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero
G16 z$L + z$L = z$L - + 1
G17 (a) pLM
amp (b) pusup3
ampL
G18 zzMu
G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)
z
G20 zNu saindo da folha
G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)
UgraveLMamp
fora do fio (a) z$L (b)
UgravebrvbarM$L (c)
Ugravebrvbarsup3ampL
G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13
G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM
ampu
H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior
Respostas
99
H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a
H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J
I2 Φ = pound$ sup1amp
I4 C = AcircsM
I6 (a) zM
NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar
J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a
(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S
J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu
(c) = -radic
J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm
(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013
Respostas
100
Bibliografia
Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il
Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il
Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il
Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm
Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il
Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il
Manual de Laboratoacuterio
89
Ajuste o gerador de funccedilotildees para fornecer uma tensatildeo com formato senoidal Alinhe os dois canais do osciloscoacutepio para melhor comparar os sinais da fonte e do resistor (coloque uma curva sobre a outra)
O que acontece quando mudamos a frequecircncia no gerador
Circuito Capacitivo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
90
Acrescente o capacitor ao circuito Ajuste a frequecircncia do gerador e a escala do osciloscoacutepio para otimizar a visualizaccedilatildeo do sinal de saiacuteda da fonte e do capacitor
Como se comporta a tensatildeo no capacitor para diferentes frequecircncias
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo agrave tensatildeo do capacitor Agora troque o resistor e o capacitor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o capacitor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Manual de Laboratoacuterio
91
Circuito Indutivo
Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor
O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
92
Circuito RLC
Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise
Manual de Laboratoacuterio
93
O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador
Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio
O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior
Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor
Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou
A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
94
TAREFA 2
Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente
Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir
Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima
Qual o valor da corrente maacutexima no circuito
Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)
O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique
Manual de Laboratoacuterio
95
TAREFA 3
Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito
Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees
Como isso eacute possiacutevel Explique
Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff
Respostas
96
Respostas
A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32
A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH
A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH
B3 Ae = Af = AtildeAcircf
B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl
B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH
B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l
B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD
B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -
C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc
(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7
C2 O = ~13deg
C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)
Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-
vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr
Respostas
97
C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM
C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD
(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD
C6 A = Eacute$Acirc
C7 A = Atilde$AcircL
D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma
das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp
D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(
D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1
no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)
D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme
D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D
E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)
E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D
E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml
F1 544 times 10
F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S
F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM
u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM
u (e) 0 = ℇMu
F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω
Respostas
98
F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965
G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n
G5 i = Ograve$g = 245 J
G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y
G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez
G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H
G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)
G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)
G15 (a) zL$brvbarM (b)
z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero
G16 z$L + z$L = z$L - + 1
G17 (a) pLM
amp (b) pusup3
ampL
G18 zzMu
G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)
z
G20 zNu saindo da folha
G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)
UgraveLMamp
fora do fio (a) z$L (b)
UgravebrvbarM$L (c)
Ugravebrvbarsup3ampL
G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13
G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM
ampu
H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior
Respostas
99
H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a
H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J
I2 Φ = pound$ sup1amp
I4 C = AcircsM
I6 (a) zM
NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar
J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a
(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S
J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu
(c) = -radic
J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm
(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013
Respostas
100
Bibliografia
Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il
Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il
Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il
Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm
Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il
Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il
Manual de Laboratoacuterio
91
Circuito Indutivo
Substitua o capacitor pelo indutor no circuito mantendo os cabos do osciloscoacutepio na mesma configuraccedilatildeo Ajuste a frequecircncia do gerador e o osciloscoacutepio para melhor visualizar o sinal do gerador e do indutor
O que acontece quando o nuacutecleo de ferro eacute inserido no interior da bobina
Ajuste a frequecircncia ateacute que a tensatildeo da fonte apareccedila defasada em relaccedilatildeo ao sinal do indutor Agora troque o resistor e o indutor de lugar para verificar a tensatildeo no resistor (para essa mesma frequecircncia)
O que mudou no osciloscoacutepio
Se tiveacutessemos apenas o indutor ligado agrave fonte sem nenhuma resistecircncia teriacuteamos a situaccedilatildeo mostrada esquematicamente abaixo
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
92
Circuito RLC
Monte o circuito com o indutor o capacitor e o resistor ligados ao gerador de funccedilotildees Mantenha o osciloscoacutepio e a fonte nos mesmos locais troque apenas a ordem dos componentes no circuito deixando o resistor ligado ao canal 2 do osciloscoacutepio Ajuste o osciloscoacutepio de forma que a tensatildeo no resistor e na fonte estejam sobrepostas Isso facilitaraacute a anaacutelise
Manual de Laboratoacuterio
93
O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador
Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio
O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior
Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor
Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou
A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
94
TAREFA 2
Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente
Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir
Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima
Qual o valor da corrente maacutexima no circuito
Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)
O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique
Manual de Laboratoacuterio
95
TAREFA 3
Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito
Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees
Como isso eacute possiacutevel Explique
Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff
Respostas
96
Respostas
A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32
A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH
A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH
B3 Ae = Af = AtildeAcircf
B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl
B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH
B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l
B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD
B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -
C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc
(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7
C2 O = ~13deg
C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)
Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-
vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr
Respostas
97
C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM
C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD
(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD
C6 A = Eacute$Acirc
C7 A = Atilde$AcircL
D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma
das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp
D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(
D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1
no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)
D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme
D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D
E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)
E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D
E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml
F1 544 times 10
F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S
F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM
u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM
u (e) 0 = ℇMu
F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω
Respostas
98
F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965
G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n
G5 i = Ograve$g = 245 J
G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y
G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez
G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H
G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)
G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)
G15 (a) zL$brvbarM (b)
z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero
G16 z$L + z$L = z$L - + 1
G17 (a) pLM
amp (b) pusup3
ampL
G18 zzMu
G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)
z
G20 zNu saindo da folha
G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)
UgraveLMamp
fora do fio (a) z$L (b)
UgravebrvbarM$L (c)
Ugravebrvbarsup3ampL
G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13
G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM
ampu
H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior
Respostas
99
H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a
H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J
I2 Φ = pound$ sup1amp
I4 C = AcircsM
I6 (a) zM
NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar
J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a
(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S
J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu
(c) = -radic
J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm
(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013
Respostas
100
Bibliografia
Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il
Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il
Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il
Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm
Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il
Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il
Manual de Laboratoacuterio
93
O que acontece quando vocecirc muda a frequecircncia do gerador
Ajuste a frequecircncia ateacute que o sinal da fonte e do resistor apareccedilam em fase no osciloscoacutepio
O que acontece com a amplitude da tensatildeo no resistor quando vocecirc muda a frequecircncia Para qual frequecircncia a amplitude eacute maior
Ajuste a frequecircncia ateacute que a amplitude da tensatildeo no resistor seja a maior possiacutevel Agora troque os componentes de lugar no circuito para verificar como ficou a tensatildeo no indutor e no capacitor
Construa um diagrama de fasores com os dados do circuito que vocecirc analisou
A figura abaixo mostra a representaccedilatildeo esquemaacutetica de um circuito RLC forccedilado com o respectivo diagrama de fasores
Fiacutesica Geral - Eletromagnetismo
94
TAREFA 2
Agora vamos avaliar a impedacircncia do circuito para diferentes frequecircncias Conecte um indutor (bobina de 1000 espiras com nuacutecleo de ferro) um resistor (56 kΩ) e um capacitor (47 nF) em seacuterie a um gerador de funccedilotildees com a opccedilatildeo onda senoidal selecione uma frequecircncia de ~500 Hz no gerador de funccedilotildees Utilize um multiacutemetro em seacuterie no circuito para medir a corrente
Calcule a impedacircncia do circuito para diferentes valores de frequecircncia num intervalo entre ~500 Hz e 3000 Hz Anote os valores medidos diretamente numa tabela num software para fazer graacuteficos e utilize as facilidades do programa para fazer os caacutelculos isso vai facilitar seu trabalho Construa um graacutefico da corrente em funccedilatildeo da frequecircncia e apoacutes responda as perguntas a seguir
Qual o valor da impedacircncia quando a corrente no circuito eacute maacutexima
Qual o valor da corrente maacutexima no circuito
Observe no osciloscoacutepio a amplitude da tensatildeo no resistor Meccedila com o multiacutemetro em paralelo qual o valor da tensatildeo no resistor (para a mesma frequecircncia)
O valor mostrado no multiacutemetro eacute igual agrave amplitude da funccedilatildeo no osciloscoacutepio Explique
Manual de Laboratoacuterio
95
TAREFA 3
Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito
Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees
Como isso eacute possiacutevel Explique
Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff
Respostas
96
Respostas
A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32
A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH
A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH
B3 Ae = Af = AtildeAcircf
B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl
B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH
B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l
B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD
B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -
C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc
(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7
C2 O = ~13deg
C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)
Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-
vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr
Respostas
97
C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM
C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD
(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD
C6 A = Eacute$Acirc
C7 A = Atilde$AcircL
D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma
das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp
D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(
D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1
no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)
D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme
D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D
E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)
E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D
E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml
F1 544 times 10
F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S
F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM
u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM
u (e) 0 = ℇMu
F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω
Respostas
98
F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965
G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n
G5 i = Ograve$g = 245 J
G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y
G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez
G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H
G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)
G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)
G15 (a) zL$brvbarM (b)
z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero
G16 z$L + z$L = z$L - + 1
G17 (a) pLM
amp (b) pusup3
ampL
G18 zzMu
G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)
z
G20 zNu saindo da folha
G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)
UgraveLMamp
fora do fio (a) z$L (b)
UgravebrvbarM$L (c)
Ugravebrvbarsup3ampL
G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13
G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM
ampu
H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior
Respostas
99
H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a
H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J
I2 Φ = pound$ sup1amp
I4 C = AcircsM
I6 (a) zM
NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar
J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a
(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S
J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu
(c) = -radic
J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm
(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013
Respostas
100
Bibliografia
Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il
Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il
Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il
Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm
Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il
Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il
Manual de Laboratoacuterio
95
TAREFA 3
Substitua a bobina de 1000 espiras pela de 10000 espiras Visualize com o osciloscoacutepio a ddp da fonte e do resistor Encontre a frequecircncia de ressonacircncia para o novo circuito
Com o osciloscoacutepio meccedila a ddp no gerador de funccedilotildees e no indutor A ddp no indutor eacute maior do que entre os terminais do gerador de funccedilotildees
Como isso eacute possiacutevel Explique
Tal resultado pode ser entendido como uma evidecircncia da invalidade da lei de Kirchhoff
Respostas
96
Respostas
A1 ~001D A2 ~36 times 10N H A3 = 32
A4 = -Acirc ($4444 langminus032 097 minus003rangH
A5 iacutezordf = 0 quando = 0 aacuteezordf = 63 times 10$bH quando = 106 A7 ~1 B1 A uml = langminus448 times 10n 0 0rang H Dfrasl A g = lang426 times 10n 0 0rang H Dfrasl = lang717 times 10- 0 0rangH
B3 Ae = Af = AtildeAcircf
B4 A = lang0 minus16000 0rang H Dfrasl
B5 = pound(-b7$times-7AumlAring)bM60uM lang1 minus1 0rangH
B6 ∆ = minus11100 l = lang0 0 minus15000rangH a = minus26100 l
B7 A = lang0 minus AtildeAcircu 0rang B8 A = 34 times 10langminus1 minus1 0rang HD B9 A = lang0 minus AEligMAcircLM 0rang = lang0 minus 229 0rang HD
B10 (a) (b) A = poundAcirc -radicumlMVM minus -
C1 (a) AnotCcedilsup2 = Egrave77$ Acirc (b) Azo = Egrave77- Acirc
(c) Ahcopy = Egraveu AcircLM = 46 times 10--K7
C2 O = ~13deg
C3 A = -$AcircL B + K5($ + $)
Este eacute um material em desenvolvimento Sugestotildees satildeo bem-
vindas e podem ser enviadas para raquelgiulianifufrgsbr
Respostas
97
C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM
C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD
(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD
C6 A = Eacute$Acirc
C7 A = Atilde$AcircL
D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma
das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp
D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(
D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1
no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)
D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme
D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D
E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)
E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D
E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml
F1 544 times 10
F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S
F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM
u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM
u (e) 0 = ℇMu
F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω
Respostas
98
F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965
G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n
G5 i = Ograve$g = 245 J
G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y
G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez
G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H
G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)
G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)
G15 (a) zL$brvbarM (b)
z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero
G16 z$L + z$L = z$L - + 1
G17 (a) pLM
amp (b) pusup3
ampL
G18 zzMu
G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)
z
G20 zNu saindo da folha
G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)
UgraveLMamp
fora do fio (a) z$L (b)
UgravebrvbarM$L (c)
Ugravebrvbarsup3ampL
G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13
G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM
ampu
H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior
Respostas
99
H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a
H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J
I2 Φ = pound$ sup1amp
I4 C = AcircsM
I6 (a) zM
NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar
J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a
(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S
J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu
(c) = -radic
J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm
(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013
Respostas
100
Bibliografia
Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il
Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il
Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il
Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm
Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il
Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il
Respostas
97
C4 A- = AEligAcircLM A$ = 0 Aamp = poundVAEligAcircLM A = -AcircLM AElig(Lsup3brvbarsup3)(psup3brvbarsup3) + C An = poundAcircLM
C5 (a) A = 0 (b) A = Egrave(Lsup3brvbarsup3)ampAcircLM = 79 HD
(c) A = Egrave(psup3brvbarsup3)ampAcircpM = 132 HD
C6 A = Eacute$Acirc
C7 A = Atilde$AcircL
D1 Soordfobrvbarlaquo = S- + S$ + Samp = -Acirc(AEligVAEligMVAEligsup3)u para Soordfobrvbarlaquo = 0 uma
das possibilidades eacute (- + ($ = minus(amp
D3 (a) SEcirc = AEligAcircbrvbar Euml1 + radic$$ Igrave (b) minus12(
D4 Considerando o ponto 2 na superfiacutecie da placa e o ponto 1
no centro da esfera S$ minus S- = -Acirc C -uVy minus -u + Eacute$Acirc (F + =)
D5 Scopy minus Sp = minus Egrave$7Acirc ( minus ) Scopy minus Sp = minus EgravebAcirc ($ minus $) se a densidade fosse uniforme
D6 SEcirc = AtildeAcirc Euml1 + $IacuteIcirc () Igrave E1 100 D 20 D
E2 (a) $7 IumlIumlMAcircIumlVIumlM (b) 5T7 ETH- + $ IumlMIumlsup3IumlMVIumlsup3 (c) 5T7 (ETH- + ETH$)
E3 4737 D1000 D 474 S100 S E4 32 646 DSamp = 108 S Camp = 323 D S$ = 92 S C$ =185 D S- = 46 S C- = 92 D E5 20 D
E6 (a) = poundMyAcircuml (b) = poundMy-$Acircuml
F1 544 times 10
F2 i- = 000545 J (horaacuterio) i$ = 002725 J (para baixo)iamp =00218 J (anti-horaacuterio) SNtilde = 545 S
F3 (a) 0 = ℇMampu (b) 0 = ℇM
u (c) 0 = ℇMu (d) 0 = ampℇM
u (e) 0 = ℇMu
F4 078 CuAl F5 462 Ω ou 168 Ω F6 600 Ω
Respostas
98
F7 fontes 16 a 8 a minus4 a resistores 4 a 8 a 2 a 6 a F8 (a) C- = 222 D C$ = 778 D (b) 444 D F9 (a) 993 D (b) 337 gtJ (c) 3346 gta (d) 337 gta F11 (a) 36 D (b) 24 D F12 (a) 6 S (b) 83 G1 de = 482 df = 965
G2 (a) = lang0 0 144 times 10-NrangH (b) = lang0 0 160 times 10-rangH (c) = lang641 times 10- 0 801 times 10-rangH G3 zero G4 334 times 10n
G5 i = Ograve$g = 245 J
G6 Lyennot = i25 gtO na direccedilatildeo y
G7 = AtildeOgrave OacuteOcircIcirc Otildez
G8 = 04 O$ = O- G9 37 times 10$ H
G11 = z($LMbrvbarM)L(LMbrvbarM)
G13 = zampbrvbar (4radic2 + 2radic10)
G15 (a) zL$brvbarM (b)
z$L (c)z(LMpM)$L(copyMpM) minus z$L (d) zero
G16 z$L + z$L = z$L - + 1
G17 (a) pLM
amp (b) pusup3
ampL
G18 zzMu
G19 (a) z$ Ouml yVtimesMsup1yVtimesMMVuM minus ytimesMsup1ytimesMMVuMOslash (b)
z
G20 zNu saindo da folha
G21 dentro do fio (a) 0 13 (b) UgraveL$ (c)
UgraveLMamp
fora do fio (a) z$L (b)
UgravebrvbarM$L (c)
Ugravebrvbarsup3ampL
G22 (a) 7ibrvbargt- minus 7ipgt$ (b) minus7ipgt$ (c) 0 13
G23 (a) i = Ugrave$Lsup3ampu (b) = UgraveLM
ampu
H1 Φ = zuMLM$esup3 ε = ampzuMLMUuml$eYacute o mesmo do anel maior
Respostas
99
H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a
H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J
I2 Φ = pound$ sup1amp
I4 C = AcircsM
I6 (a) zM
NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar
J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a
(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S
J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu
(c) = -radic
J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm
(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013
Respostas
100
Bibliografia
Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il
Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il
Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il
Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm
Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il
Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il
Respostas
99
H2 (a) zp$ ln (1 + brvbary) (b) 501 times 10h a
H3 012277nho c = 404 sentido anti-horaacuterio H4 (a) 0 S (b) minus10 S (c) 0 S H5 anti-horaacuterio H6 (a) C = D5$ (b) a placa da esquerda I1 (a) i- = i$ = 333 J (b) i- = 455 J i$ = 273 J (c) i- = 0 J i$ = minus182 J (d) i- = i$ = 0 J
I2 Φ = pound$ sup1amp
I4 C = AcircsM
I6 (a) zM
NMLM (b) THORN$ ln pbrvbar
J1 (a) 15 (b) 848 S (c) 471 Ω (d) 18 J (e) 25 J J2 (a) 693 S (b) 40 (c) 20 J3 (a) cos acirc = 030 (b) R = 122 SJ (c) 0 = 036 a
(c) C = 115 SJF J4 (a) S- = 540 S S$ = 216 S Samp = 2250 S S = 2034 S Sn = 2104 S (b) S- = 1380 S S$ = 2720 S Samp = 1149 S S = 1610 S Sn = 2090 S J5 (a) = 9449 = frasl (b) F = 706 Ω (c) Suyennot = 120 S Satildey = 4498 S Sbrvbarsup2 = 4498 S
J6 (a) = 0 = u = ℇaumlu (b) = 0 = u = ℇaumlu
(c) = -radic
J7 (a) Lyennot = raquoaringaeligccedil$ (b) ordm = 2ordm (c) ordm = -$ ordm
(d) na ressonacircncia frac34 = 2F J8 (a) um indutor e um capacitor (b) D = 0125 2 = 2 J9 (a) um indutor (b) 2 = 013
Respostas
100
Bibliografia
Chabay Ruth W Matter amp interactions 3rd ed Hoboken Wiley c2011 xxiv 1080 19 p il
Tipler Paul A Fisica para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2006 2 v il
Serway Raymond A Princiacutepios de fiacutesica In Serway Raymond A Jewett Jr John W Princiacutepios de fiacutesica Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 4 v 2004-2005 Satildeo Paulo Cengage Learning c2004-2005 4 v il
Young Hugh D Sears e Zemansky Fisica 10 ed Satildeo Paulo Pearson Addison Wesley c2003 c2004 4 v il 25 cm
Nussenzveig HershMoyses Curso de fiacutesica baacutesica 4 ed rev Satildeo Paulo Ed Edgar Blucher c2002 4 v il
Halliday David Fundamentos de fiacutesica 8 ed Rio de Janeiro RJ LTC c2009 4 v il