Prof. André Aparecido da Silva [email protected] Função quadrática: a função geral de 2º...

Prof. André Aparecido da Silva [email protected]

Função quadrática:a função geral de 2º grau

~ XANDE

Onde se usa equações do 2º Grau ?

~ XANDE

Na engenharia ...

~ XANDE

Na medição de áreas....

~ XANDE


Áreas de retângulos

A = b . H, então teríamos:(x + 3) * (x -1) Neste caso seria aplicada um distributiva

~ XANDE


Neste caso seria aplicada uma distributiva:

A = (x + 3) * (x - 1)

x*x + x*(-1) + 3*x + 3*(-1)

~ XANDE


Resolvendo...

x*x + x*(-1) + 3*x + 3*(-1)

x² - x + 3x - 3 = 0

~ XANDE


Reduzindo a equação teremos:

x² - x + 3x - 3 = 0

x² + 2x - 3 = 0

~ XANDE

Temos a equação ponta

Definimos os termos A, B e C.

x² + 2x - 3 = 0

A = 1 b = 2 c = -3

~ XANDE

Resolvendo com a formula de Bhaskara

~ XANDE

Curiosidade: Formula de Bhaskara

Só no Brasil esta formula é conhecida como formula de Bhaskara, nos demais países esta formula é conhecida como formula para resolução de equações do Segundo grau.

~ XANDE

Substituindo na formula então teremos:

A = 1 B = 2 C = -3

~ XANDE

Resolvendo....

A = 1 B = 2 C = -3

~ XANDE

Encontrando as raízes da equação

A = 1 B = 2 C = -3

~ XANDE

O gráfico...

Ponto a ser colocado no eixo y:A = 1

Pontos a serem colocados no eixo x: x’ = 1 x’’ = -3


Uma quadra esportiva tem a forma retangular, com 40 m de comprimento e 20 m de largura. O clube pretende ampliá-la. Para isso, vai construir em volta dela uma faixa de largura constante.

~ XANDE

Obter a expressão que permite calcular a Área da quadra esportiva?

A = (40 + 2x).(20+2x)

40 m

20 m

x

x

xx

⇒ A = 800 + 80x + 40x + 4x2

⇒ A = f(x) = 4x2 + 120x + 800

~ XANDE

Função quadrática ou função de 2º grau é toda função do tipo

y = f(x) = ax2 + bx + c

Sendo a, b e c são constantes reais, com a ≠ 0.

O Domínio de toda função quadrática é IR.

~ XANDE

Exemplos

y = f(x) = x2 + 3x – 1é uma função quadrática com a = 1 e b = 3 e c = –1.

y = f(x) = –x2 + 5é uma função quadrática com a = –1 e b = 0 e c = 5.

y = f(x) = –2x2 + 4xé uma função quadrática com a = –2 e b = 4 e c = 0.

y = f(x) = x2

é uma função quadrática com a = 1 e b = 0 e c = 0.

~ XANDE

Funções quadráticas elementares.

y = x2 y = –x2e

Nas duas funções, b = c = 0. Na primeira a = 1; na segunda a = –1.

Domínio é o conjuntos dos números reais (R).

~ XANDE

Veja seus gráficos

y = x2.

x

y

0 1 2 3–3 –2 –1

1

2

3

–2

–14 5–4–5

4

5

42

11

00

1–1

4–2

y = x2x

y = x2

Im = [0, +∞[ Mínimo = 0

~ XANDE

Veja seus gráficos

y = – x2.

x

y

01 2 3–3 –2 –1

–2

–14 5–4–5

– 42

– 11

00

– 1–1

– 4–2

y = – x2x

y = – x2

–3

–4

Im = ]– ∞, 0] Máximo = 0

~ XANDE

A análise das duas últimas figuras nos sugere um caso geral em relação a todas as funções quadráticas do tipo y = f(x) = ax2 + bx + c. Os gráficos de funções quadráticas são

curvas chamadas parábolas. O ponto mais alto ou mais baixo da parábola

é chamado de vértice. A reta vertical que passa pelo vértice é

chamada de eixo da parábola. Se a > 0 a concavidade da parábola é voltada

para cima. Se a < 0 a concavidade da parábola é voltada

para baixo.

~ XANDE

Veja um resumo.

V

V

eixo da parábol

a

eixo da parábol

a

a > 0 a < 0

~ XANDE

Eixo de simetria.

V

eixo de simetria da

parábola

A A1

B B1

C1

D1

C

D

r1

r2

r3

r4


Funções quadráticasem que b = c = 0. (y = ax2)

~ XANDE

1º. Caso: a > 0

x

y

y = 2x2

y = x2

Observe que o eixo das três parábolas é o eixo y. O vértice das três parábolas é a origem do plano.

0 Im = [0, +∞[

Mínimo = 0

⇓ y = x212

~ XANDE

2º. Caso: a < 0

x

y

Observe que o eixo das três parábolas é o eixo y. O vértice das três parábolas é a origem do plano.

0 y = –2x2

y = –x2

Im = ]–∞, 0]

Máximo = 0

⇓ y = x2–1

2


Funções quadráticasem que b = 0 c ≠ 0 (y = ax2 + c)

~ XANDE

Os gráficos das funções do tipo y = ax2 + c, com a ≠ 0 e c ≠ 0, são obtidos a partir do gráfico de y = ax2. Desloca-se esse último para cima ou para baixo, conforme o coeficiente c seja positivo ou negativo, respectivamente.

~ XANDE

1º. Caso: a > 0

x

y

y = x2 + 2

y = x2

0

Im = [0, +∞[

y = x2 – 1

Im = [2, +∞[

Im = [–1, +∞[

Observe que o eixo das três parábolas é o eixo y. O vértice das três parábolas são os pontos V (0, 0), V(0, 2) e V(0, –1).

2

–1

~ XANDE

2º. Caso: a < 0

x

y

0 y = –x2 + 1

y = –x2 Im = ]– ∞, 0]

y = – x2 – 2

Im = ]– ∞, 1]

Im = ]–∞, –2]

1

–2

Observe que o eixo das três parábolas é o eixo y. O vértice das três parábolas são os pontos V (0, 0), V(0, 1) e V(0, –2).


Funções quadráticasem que b ≠ 0 (caso geral)

~ XANDE

Vamos analisar, agora, o caso mais geral da função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c. É o caso em que o coeficiente b é diferente de 0.Para b ≠ 0, o vértice não fica mais sobre o eixo y das ordenadas.

~ XANDE

Caso geral: b ≠ 0

x

y

0

(0, c)P

xv

Q(k, c)

k

V

Vamos obter o valor de k, abscissa de Q.

f(x) = c⇒ f(x) = a.x2 + b.x + c = c

⇒ a.x2 + b.x = 0

⇒ x(a.x + b) = 0

⇒ x = 0 ou a.x + b = 0⇒ x = 0ou x = – b/a

x = 0 é a abscissa de P, logo k = –b/a.

Devido à simetria da parábola,xV = k/2 ⇒ xV =

–b

2a

yv

~ XANDE

Ordenada do vértice

A ordenada do vértice pode ser obtida calculando-se f(xV), ou seja, a imagem da abscissa do vértice da função. Veja

f(x) = ax2 +bx +c

f(xV) = a(xV)2 +bxV +c= a(–b/2a)2 +b(–b/2a) +c

f(xV) = a(b2/4a2) – b2/2a +c= b2/4a – b2/2a +c

f(xV) = (b2 – 2b2 +4ac)/4a= (– b2 +4ac)/4a

f(xV) = –(b2 – 4ac)/4a

yV =

–

4af(xV) = yV = – /4a

~ XANDE

x

y

x

y

No caso, essa ordenada é

V

V

O mínimo da função (a > 0)

O máximo da função (a < 0)

yV

yV

⇒ Im = [yV, +∞[ ⇒ Im = ]–∞, yV]

~ XANDE

Exemplos

Para a função quadrática y = f(x) = 2x2 – 8x + 5 de R em R, obter o vértice, o máximo ou mínimo e o conjunto imagem.Os coeficientes são: a = 2; b = – 8 e c = 5

Como a > 0, a parábola tem concavidade para cima e a função admite um valor mínimo.

A abscissa do vértice é: xV =

–b

2a=

–(–8)

2.2= 2 O mínimo da função ocorre para x = 2.

y = f(2) = 2 . 22 – 8 . 2 + 5 = –3

Im = [–3, +∞[V (2, –3)

~ XANDE

Veja o gráfico da função

y = 2x2 – 8x + 5

x

y

0 1 2 3

–1

5

–3

4

Im = [–3, ∞[V

Eixo

~ XANDE

Exemplos

Para a função quadrática y = f(x) = –x2 + 3x + 1 de R em R, obter o vértice, o máximo ou mínimo e o conjunto imagem.

Os coeficientes são: a = – 1; b = 3 e c = 1

Como a < 0, a parábola tem concavidade para baixo e a função admite um valor máximo.

A abscissa do vértice é: xV =

–b

2a=

–(3)

2.(–1)= 3/2 O mínimo da função ocorre para x = 3/2.

y = f(3/2) = –1 . (3/2)2 + 3 . 3/2 + 1 = 13/4

V (3/2, 13/4) Im = ]–∞, 13/4]

~ XANDE


y = –x2 + 3x + 1

x

y

0 1 23/2

13/4

3

Im = ]–∞, 13/4]

V

Eixo

1

3

~ XANDE

Exemplo

Um objeto é atirado para cima, da janela situada no alto de um prédio de 80 m de altura. Sua velocidade inicial é de 30 m/s. A altura h do objeto em relação ao solo, em metros, t segundos após o lançamento, é h(t) = 80 + 30t – 5t2. Obter:

A) o instante em que o objeto atinge a altura máxima;

B) a altura máxima que ele atinge;

C) o instante em que ele atinge o solo.

A função h(t) = –5t2 + 30t + 80 é quadrática, com a = –5, b = 30 e c = 80.

Como a < 0, a parábola tem concavidade para baixo e a função admite um valor máximo.

~ XANDE

Exemplo





A) O instante em que o objeto atinge a altura máxima é a abscissa do vértice:

=

2.(–5)= 3 s

t =

–b

2a

–(30)

~ XANDE

Exemplo





B) A altura máxima é o valor da função em t = 3 s.

h(3) = –5.32 + 30.3 + 80 = 125 m

~ XANDE

Exemplo





C) No instante em que o objeto atinge o solo, deve ser h(t) = 0.

h(t) = 0

⇒ –5t2 + 30t + 80 = 0⇒ t2 + 6t – 16 = 0

⇒ t = –2 ou t = 8

⇒ t = 8 s

~ XANDE


h(t) = –5t2 – 30t + 80

t (s)

h (m)

0 3

125

8

80


Raízes da função quadrática

~ XANDE

Já sabemos que as raízes de uma função real y = f(x) são os valores de x tais que y = 0. São as abscissas dos pontos em que o gráfico de f corta o eixo das abscissas.

Na função quadrática y = ax2 + bx + c (a ≠ 0), achar as raízes significa resolver a equação de 2º grau f(x) = 0.

~ XANDE

Número de raízes da equação de 2º grau Para resolver uma equação de 2º grau usamos

a fórmula de Bhaskara

O número real é o discriminante da equação. O valor dele indica se a função tem ou não raízes reais.

> 0 ⇔ tem duas raízes reais distintas. = 0 ⇔ tem duas raízes reais iguais

(ou 1 raiz real dupla). < 0 ⇔ não tem raízes reais.

a2

bx

sendo = b2 – 4ac

~ XANDE

Exemplos

Obter as raízes, esboçar o gráfico e estudar os sinais da função y = 3x2 – x – 2.

O discriminante da função é

= b2 – 4ac⇒ = (–1)2 – 4.3.(–2)⇒ = 25

Raízes: x’ = 1 ou x” = –2/3

⇒ A parábola corta o eixo x em (1, 0) e (–2/3, 0)

Como a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima.O coeficiente c =–2, indica que a parábola corta o eixo y no ponto (0, –2)

~ XANDE


y = 3x2 – x – 2

x

y

0 1/6

1–2/3

–2–25/12

y > 0 para x < –2/3 ou x > 1.y < 0 para –2/3 < x < 1.

RaizRaiz

=

2.(3)= 1/6

xV =

–b

2a

–(–1)

x y

–2/3 0

1 0

0 –2

1/6 –25/12

y > 0y > 0

y < 0

~ XANDE

Exemplos

Na função quadrática y = x2 + 2x + 3, mostrar que y > o para todo x real.

O discriminante da função é

= b2 – 4ac⇒ = (2)2 – 4.1.(3)⇒ = –8

Como a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima.

O coeficiente c = 3, indica que a parábola corta o eixo y no ponto (0, 3)

< 0, a função não tem raízes reais, logo a parábola não corta o eixo x.

~ XANDE


y = x2 + 2x + 3

x

y

0

3

2

–1

y > 0 para todo x real.

–2

3–2

2–1

30

yx

=

2.(1)= –1

xV =

–b

2a

–2

+ + + + + +

~ XANDE

Exemplos

A função y = –x2 + 4x + k, tem duas raízes reais iguais. Calcular a constante k, obter a raiz dupla e esboçar o gráfico da função.

Se a função tem uma raiz dupla = 0.

b2 – 4ac = 0⇒ (4)2 – 4.(–1).k = 0⇒ 16 + 4k = 0

A função é y = –x2 + 4x – 4, tem concavidade para baixo.A raiz dupla é –b/2a = 2.

⇒ k = –4

⇒ A parábola intercepta o eixo x em (2, 0).c = –4, indica que a parábola corta o eixo y no ponto (0, –4)

~ XANDE


y = –x2 + 4x – 4

x

y

04

–4

x y

2 0

0 –4

4 –4

2Raiz

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APRENDENDO FUNÇÃO QUADRÁTICA OU FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU

Aplicações Da Função Quadrática

Função Quadrática - A Função de 2o Grau

Função Quadrática

Trabalho de Função Quadrática

Cap. 04 - Função Quadrática

FunçãO De 2º Grau QuadráTica

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Informática Educativa - Projeto Execução - Função Quadrática

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FUNÇÃO QUADRÁTICA

03 função quadrática - parte III (gráfico)

FUNÇÃO DO 2º GRAU OU FUNÇÃO QUADRÁTICA

Função Quadrática

4-Função Quadrática · 4.1-Raízes da função quadrática As raízes da função quadrática são as soluções de uma equação do 2 0 grau que se resolve pela fórmula de Baskara.

ENSINO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA ATRAVÉS DA ...

Explorando os gráficos da função quadrática

ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 4 – Função quadrática CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 4 – Função quadrática 4.1 Capítulo 4 Função quadrática.

AULA 3 Função Quadrática Função Modular