Prof. Daniel Orquiza de Carvalho Eletromagnetismo I · § Grandezas Escalares ... § Campos...
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SJBV
• Objetivo:
§ Introduzir notação que será usada neste e nos próximos cursos.
§ Relembrar as ferramentas matemáticas básicas que serão usadas.
§ Revisar Sistemas de coordenadas
Revisão Analise Vetorial e Sist. de Coord.
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Revisão básica álgebra vetorial e Sist. de Coordenadas (Páginas 1 a 22 no Livro texto)
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Revisão de Análise Vetorial
§ Grandezas Escalares
§ Ex: massa (m), temperatura (T), tensão elétrica (V) densidade (ρ), etc.
§ Fasores
§ Grandezas Vetoriais
§ Ex: Campos elétrico e magnético (E e H), velocidade (v), posição (rp)
§ Notação (negrito): E, H, v, rp (ou E, H, v, rp)
§ Vetores unitários: ax, ay, az, i, j, k (ou ax, ay, az)
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ˆ ˆ ˆ
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§ Grandezas Vetoriais possuem intensidade, direção e sentido no espaço.
§ Diferentes formas de escrever:
Análise Vetorial
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Ax é um número
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Análise Vetorial
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e.g. T( r ) = T(x, y, z)
§ Campos Escalares representam a distribuição espacial de grandezas escalares.
r = (x, y, z) é o vetor posição
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§ Campos Vetoriais representam a distribuição espacial de grandezas que possuem intensidade, direção e sentido.
Análise Vetorial
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Vetor Campo Vetorial
§ Para visualizar Campos Vetoriais no espaço, os vetores do campo são amostrados em pontos discretos no espaço, embora o campo normalmente exista em toda a região.
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§ Um Campo Vetorial em um sistema de coordenadas tridimensional é representado por três Campos Escalares (multiplicando vetores unitários).
Análise Vetorial
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Campo Vetorial
Ex( r ) = Ex(x, y, z)
Ey( r ) = Ey(x, y, z)
Ez( r ) = Ez(x, y, z)
Ex não é número, é função
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§ Campos Escalares e Vetoriais (Exemplo: Simulação Numérica)
Análise Vetorial
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SJBV
§ Campos Escalares e Vetoriais (Exemplo Simulação Numérica)
Análise Vetorial
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SJBV
§ A magnitude ou valor absoluto de um vetor A em coordenadas cartesianas é dada por:
Análise Vetorial
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§ Como fica o vetor unitário na direção de A?
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§ Exemplo: A magnitude do vetor posição (rp) do ponto P em coordenadas cartesianas é:
Análise Vetorial
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!rp = 32 + 42+ 52
!rp = 50 = 7,07
§ O vetor unitário na direção rp é:
arp = 3ax + 4ay + 5ay
7,07
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Vetor distância RPQ (distância de P a Q)
Aritmética Vetorial
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RPQ = rQ – rP
§ O vetor distância entre os pontos P e Q cujas posições são dadas pelos vetores posição rP e rQ é:
§ Para os pontos da figura ao lado, qual é o vetor RPQ?
!RPQ = (2−1)ax + (−2− 2)ay + (1−3)az = ax − 4ay − 2az
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§ O produto escalar entre dois vetores A e B é igual ao produto das magnitudes dos dois vetores pelo cosseno do angulo θAB entre A e B:
Algebra Vetorial
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θAB
A
B
§ O produto escalar entre A = Axax + Ayay + Azaz e B = Bxax + Byay + Bzaz é:
§ Como eu calculo o produto escalar em coordenadas cartesianas?
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§ O Produto escalar é útil para projetarmos um vetor em uma dada direção (encontrar componente do vetor nesta direção).
Algebra Vetorial
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θx
E
Ex
Ex = E � ax
Ex = |E| |ax| cos θ
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§ O produto vetorial entre dois vetores A e B é o vetor cuja magnitude é a área do paralelepípedo formado por A e B e cuja direção e sentido são dados pela regra da mão direita com os dedos apontando para A e girando em direção a B.
Algebra Vetorial
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§ O produto vetorial entre A = Axax + Ayay + Azaz e B = Bxax + Byay + Bzaz é:
ˆ
§ Como eu calculo o produto escalar em coordenadas cartesianas?
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§ Sistemas de coordenadas ortogonais são sistemas onde os eixos são perpendiculares entre si.
§ Para realizar integrais no Sistema Cartesiano,
O elemento de linha é:
O elemento de superfície é:
O elemento de volume é:
Sistemas de Coordenadas
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Sistemas de coordenadas cilíndricas
§ Para transformar as coordenadas do ponto P do sistema cilíndrico para o cartesiano:
§ Para transformar as coordenadas do ponto P do sistema cartesiano para o cilíndrico:
Sistemas de Coordenadas
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§ Sistemas de coordenadas ortogonais são sistemas onde os eixos são perpendiculares entre si.
§ Para realizar integrais no Sistema Cilíndrico,
O elemento de linha é:
O elemento de superfície é:
O elemento de volume é:
Sistemas de Coordenadas
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Sistemas de coordenadas esféricas
§ Para transformar as coordenadas do ponto P do sistema esférico para o cartesiano:
§ Para transformar as coordenadas do ponto P do sistema cartesiano para o esférico:
Sistemas de Coordenadas
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§ Sistemas de coordenadas ortogonais são sistemas onde os eixos são perpendiculares entre si.
§ Para realizar integrais no Sistema Esférico,
O elemento de linha é:
O elemento de superfície é:
O elemento de volume é:
Sistemas de Coordenadas
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Transformação de campos vetoriais entre sistemas de coordenadas
§ Como fazemos para transformar vetores unitários entre os sistemas?
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§ Para transformar Campos Vetoriais do Sistema Cartesiano para o Cilíndrico usamos:
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Transformação de campos vetoriais entre sistemas de coordenadas
§ Para transformar os vetores unitários do Sistema Cilíndrico para o Cartesiano usamos:
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§ Para transformar Campos Vetoriais do Sistema Cilíndrico para o Cartesiano usamos:
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Transformação de campos vetoriais entre sistemas de coordenadas
§ Para transformar os vetores unitários do Sistema Cartesiano para o Cilíndrico usamos:
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Exemplo
Dados o ponto P(-2, 6, 3) e o vetor A = yax+(x+z) ay, expresse P e A coordenadas cilíndricas. Determine A em P no sistema cilíndrico.
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