EletromagnetismoIProf.DanielOrquizadeCarvalhoEl

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Eletromagnetismo I - Eletrostática

•  Energia despendida no movimento de uma carga imersa num campo Elétrico.

•  Diferença de potencial e potencial.

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Energia e Potencial Elétrico (Capítulo 4 - Páginas 75 a 84no livro texto)

§  A Lei de Coulomb pode ser usada (indiretamente) para calcular o campo E de cargas pontuais e pelo princípio da superposição, vimos que é possível chegar a expressões para calcular os campos gerados por distribuições de cargas.

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§  Mais adiante vamos definir expressões que relacionam diretamente este potencial escalar com as fontes de campo (cargas).

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§  Agora vamos definir um potencial elétrico V (campo escalar), que está diretamente associado com o campo elétrico E (campo vetorial).

§  A Lei de Gauss permite simplificar bastante o cálculo da distribuição de campos em problemas com simetrias espaciais.

Trabalho e Potencial Elétrico

§  O trabalho diferencial realizado para mover uma carga Q imersa em um campo elétrico E ao longo de uma distância diferencial dl é:

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Trabalho e Potencial Elétrico

dW = −Q!E ⋅d!l  ,

onde d!l = aldl

①  Note que se E e dl forem perpendiculares o trabalho é nulo:

②  O sinal negativo é devido à convenção de que o trabalho é realizado por um agente externo (não pelo campo elétrico).

§  O trabalho necessário para mover a carga por uma distância finita é:

W = −Q!E ⋅d!l

inicial

final∫

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Dado o campo elétrico:

calcule a quantidade diferencial de trabalho exercido no deslocamento de uma

carga de 6nC por uma distância ‘diferencial’ de 2µm, começando em P(2,-2,3) e

movimentando-se na direção

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!E =  1

z28xyzax + 4x

2zay − 4x2yaz( ) [V /m],

al = − 67ar +

37ay +

27az.

Exemplo

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§  Vamos considerar o trabalho realizado ao longo de um caminho B à A em um campo uniforme.

EletromagnetismoI

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Campo Uniforme

E

§  A integral de linha do campo elétrico para um campo uniforme se reduz a:

ΔR1

ΔR2

ΔR3

ΔR4

ΔR5

ΔR6

W = −Q!E ⋅d!l

B

A∫

§  Se dividirmos o caminho em N segmentos, podemos escrever:

W = −Q!E1 ⋅ Δ

!R1 +!E2 ⋅ Δ

!R2 +...+

!EN ⋅ Δ

!RN( ),

fazendo: Δ!RN → 0   (N→∞)

EΔR1

ΔR2

ΔR3

ΔR4

ΔR5

ΔR6

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Campo Uniforme

§  O campo elétrico é uniforme:

§  Além disso, a soma dos vetores distância é:

W = −Q!E1 ⋅ Δ

!R1 +!E2 ⋅ Δ

!R2 +...+

!EN ⋅ Δ

!RN( ), Δ

!RN → 0   (N→∞)

!E =!E1 =

!E2 =

!EN

!RBA = Δ

"R1 +Δ

"R2 +...+Δ

"RN

§  Assim, o trabalho é independente do caminho!

W = −Q !E ⋅!RBA

Isto é válido para um campo uniforme, mas também é válido para qualquer outro campo eletrostático gerador por cargas e distribuições de cargas (Campo Conservativo).

§  O trabalho realizado ao se movimentar a carga é:

Como calculamos o trabalho realizado para mover uma carga ao longo de um caminho circular de raio ‘a’, ao redor de uma linha de cargas?

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Trabalho para mover uma carga ao redor de uma linha infinita de cargas

ρ

ρL

x

y

z

φ !E = Eρ aρ

!E = ρL

2πε0ρaρ

§  Vimos que o campo gerado só possui componente radial:

§  Em coord. cilíndricas:

0 0

W = −Q ρL2πε0a

aρ⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟⋅adφaφφ=0

2π∫

aρ ⋅ aφ = 0 W = 0

a

Como calculamos o trabalho realizado para mover uma carga ao longo de um caminho radial (do ponto ‘a’ até o ponto ‘b’)?

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Trabalho para mover uma carga ao redor de uma linha infinita de cargas

ρ

ρL

x

y

z

φ

§  Em coord. cilíndricas:

0 0

§  O trabalho realizado ao se movimentar a carga é:

aρ

a

b

W = −Q ρL2πε0ρ

aρ⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟⋅dρaρa

b∫

W = −QρL2πε0

ln ba⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

§  O trabalho W é:

Como calculamos o trabalho realizado para mover uma carga ao longo de um caminho radial (do ponto ‘a’ até o ponto ‘b’)?

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Trabalho para mover uma carga ao redor de uma linha infinita de cargas

ρ

ρL

x

y

z

φ

§  O elemento de linha muda?

§  O trabalho realizado ao se movimentar a carga é:

aρ

a

b

W = −Q ρL2πε0ρ

aρ⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟⋅dρaρb

a∫

W =QρL2πε0

ln ba⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

§  O trabalho W fica:

§  E se invertermos o sentido do caminho? (do ponto ‘b’ até o ponto ‘a’)

A diferença de potencial elétrico entre os pontos A e B é definida como o trabalho realizado para mover uma carga de teste de B até A, por unidade de carga teste.

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Diferença de Potencial e Potencial Elétrico (V)

VAB =WQ= −

!E ⋅d!l

B

A∫     [V ]

•  Importante: VAB é positiva se o trabalho é realizado externamente no deslocamento da carga de B até A.

E

VABB

A

Qual é a diferença de potencial entre os pontos com ‘ρ = b’ até o ponto ‘ρ = a’ Vba?

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Diferença de potencial ao redor de uma linha infinita de cargas

ρ

ρL

x

y

z

φ

§  O trabalho realizado ao se movimentar a carga de ‘a’ até ‘b’ é:

aρ

a

b

W = −Q ρL2πε0ρ

aρ⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟⋅dρaρa

b∫

W = −QρL2πε0

ln ba⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

§  Realizando a integral:

V =ρL2πε0

ln ab⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

§  A diferença de potencial é:

Qual é a diferença de potencial VAB entre os pontos com raio ‘ rA’ até o ponto ‘rB’ com relação a uma carga pontual no centro do sistema de coordenadas esféricas?

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r

x

y

z

φ

arθ

§  O campo gerado pela carga pode ser obtido pela Lei de Coulomb. !

E = Erar =Q

4πε0r2 ar

§  Em coord. esféricas:

0 0

§  A diferença de potencial entre os pontos A e B é:

VAB = −!E ⋅d!l

rB

rA∫

rA

rB

Trabalho para mover uma carga ao redor de uma carga pontual

Q

Qual é a diferença de potencial VAB entre os pontos com raio ‘ rA’ e raio ‘rB’ com relação a uma carga pontual no centro do sistema de coordenadas esféricas?

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Trabalho para mover uma carga ao redor de uma carga pontual

§  Substituindo a expressão para o Campo Elétrico:

§  A diferença de potencial VAB fica:

VAB = −Q

4πε0r2 ar

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟⋅drarrB

rA∫

VAB =Q4πε0

1rA−1rB

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

§  Note que se rB > rA, a diferença de potencial é positiva.

(há uma ação externa para trazer a carga de rB até rA)

r

x

y

z

φ

arθrA

rB

Q

§  A diferença de potencia pode ser expressa em termos dos potenciais em cada ponto.

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§  Em outros problemas o potencial do plano terra é adotado como nulo!

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§  No problema do potencial próximo a uma carga pontual, o potencial no infinito é o potencial de referência e é zero

§  A referência de potencial é arbitrária embora existam certas convenções.

Diferença de potencial e potencial

Vab =Va −Vb

Qual é a diferença de potencial VAB entre os pontos com raio ‘ rA’ e raio ‘rB’ com relação a uma carga pontual no centro do sistema de coordenadas esféricas?

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Trabalho para mover uma carga ao redor de uma linha infinita de cargas

§  A diferença de potencial VAB fica:

VAB =Q4πε0

1rA−1rB

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

§  Se adotarmos o raio rB como infinito, o potencial no infinito é zero e o potencial no ponto A fica:

VA =Q4πε0

1rA

§  Para uma carga pontual em r’, o potencial em r fica:

V (!r ) = Q4πε0

1!r − !r '

r

x

y

z

φ

arθ

Q

rA

rB