Prof. Dr. Lucas Barboza Sarno da Silva - Bizuando – O...
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27/10/2015 Prof. Dr. Lucas Barboza Sarno da Silva 2
Transformações de Lorentz
''''
ttzzyy
utxx
Posições:
Transformações de Galileu
Descreve muito bem a realidade para u tendendo a 0.
utxx '
x' se contrai
utxx '
2
2
1'
'
cuutxx
utxx
SS vv ,
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• O Princípio da relatividade exige que as transformações de S para S’ tenham a mesma forma das transformações de S’ para S.
Então, a única mudança deve ser no sinal da velocidade relativa u.
'' utxx
2
2
1'
'
cuutxx
utxx
'utxutx
2
2
2
1'
cuc
xutt
Evidenciando t’, tem-se:
utxx '
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2'
''
)('
cuxtt
zzyy
utxx
Transformações de Lorentz
Posições:
O espaço e tempo tornam-se interligados. Não podemos mais dizer que o espaço e o tempo possuem significados absolutos independentes do sistema de referência.
Quatro dimensões espaço-tempo, que são as coordenadas do espaço-tempo de um evento.
SS vv ,
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Transformações de Lorentz para a velocidade
2'
''
)('
cuxtt
zzyy
utxx
Transformações de Lorentz
Posições:
Divide-se membro a membro asequações anteriores e, depois divide-seo numerador e o denominador por dt,então tem-se:
dtdx
cu
udtdx
dtdx
21''
)(' udtdxdx
2'
cudxdtdt
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dtdx
cu
udtdx
dtdx
21''
21'
cuv
uvvx
xx
(Transformações de Lorentz para a velocidade)
Fazendo-se a conversão de referêncial, entre S e S’, tem-se:
2'1
'
cuv
uvvx
xx
(Transformações de Lorentz para a
velocidade)
• A velocidade será sempre menor que c. • Nenhuma partícula material pode se deslocar com velocidade
igual ou superior a c.
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Exemplo:Velocidades relativasa) Uma espaçonave que se afasta da Terra com uma velocidade igual a0,90c dispara uma sonda espacial com um robô com uma velocidadeigual 0,7000c em relação à espaçonave na mesma direção e no mesmosentido da velocidade da espaçonave. Qual é a velocidade da sondaespacial em relação à Terra? b) Um ônibus espacial tenta alcançar aespaçonave se deslocando com velocidade igual a 0,950c em relação àTerra. Qual é a velocidade do ônibus em relação à espaçonave?
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Exemplo:Um sinal pode ser percebido antes de ser enviado?Tendo vencido uma competição interestelar, Mavis pilota suaespaçonave e atravessa a linha final de chegada com uma velocidadeigual a 0,600c em relação a essa linha. Um sinal de “vitória” é enviadoda parte traseira de sua espaçonave (evento 2) no instante em que (nosistema de referência de Mavis) a parte dianteira da espaçonaveatravessa a linha final de chegada (evento 1). Ela verifica que ocomprimento da espaçonave é 300 m. Staley está em repouso no localda linha de chegada. Quando e onde os eventos 1 e 2 ocorrem paraStaley?
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Momento linear relativísticoAs leis de Newton apresentam a mesma forma em todos os sistemas dereferenciais inerciais.
O princípio da conservação do momento linear afirma que, quando doiscorpos interagem, o momento linear total permanece constante, desde que aforça externa resultante que atua sobre os corpos no sistema de referencialinercial seja igual a zero.Exemplo: quando eles formam um sistema isolado e existe apenas força deinteração entre os dois corpos.
Para que a conservação do momento linear seja uma lei física correta, eladeve ser válida em todos os sistemas de referência inercial.
vmp
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vmp
Usando as transformações de Lorentz, para obter ascoordenadas em um segundo referencial inercial, vê-seque o momento linear não é conservado no segundosistema de referência.
2
2
1cv
vmp
Momento linear relativístico:
onde, m é a massa de repouso
Momento linear relativístico
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A segunda lei de Newton
dtpdF
Aplicando o momento linear relativístico, tem-se:
2
2
1cv
vmdtd
dtpdF
a
cv
mF2
3
2
2
1
Ao longo do eixo Ox:
23
2
2
1
cv
mFa
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a
cv
mF2
3
2
2
1
23
2
2
1
cv
mFa
• Uma força constante não produz uma aceleração constante.
• Quando a velocidade tende ao valor de c, a aceleração tende a zero, por maior que seja o valor da força aplicada.
• Portanto, é impossível acelerar uma partícula com massa de repouso diferente de zero até que ela atinja uma velocidade igual ou superior a c.
A velocidade da luz no vácuo é algumas vezes chamada de “velocidade limite”.
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2
2
1cv
vmp
Momento linear relativístico:
• Pode-se, muitas vezes, afirmar que uma partícula ao mover-se com velocidade elevada ela sofre um aumento de massa.
Se, m é a massa em repouso, então a massa relativística será:
2
2
1cv
mmrel
2
2
1
1
cv
vmp
maF 3
Momento linear relativístico
(Força e velocidade ao longo da mesma linha)
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maa
cv
mF
2
1
2
2
1Acelerador circular(Força e velocidade perpendiculares)
Esquema de um Síncroton
Laboratório Nacional de Luz Síncroton(LNLS) Campinas, SP
maa
cv
mF 3
23
2
2
1
Acelerador linear(Força e velocidade ao longo da mesma linha)
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ExemploDinâmica relativística de um elétronUm elétron (massa de repouso igual a 9,11 x 10-31 kg, carga-1,60 x 10-19 C) move-se em sentido oposto ao de um campo elétricocom módulo E = 5,0 x 105 N/C. Todas as outras forças sãodesprezíveis em comparação com a força elétrica. a) Determine omódulo do momento linear e da aceleração quando v = 0,010c, 0,90c e0,99c. b) Calcule a aceleração correspondente considerando uma forçacom módulo igual ao do item anterior perpendicular à velocidade.
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Trabalho e energia na relatividadeQuando a força resultante e o deslocamento estão na mesma direção, o trabalho realizado por essa força é dado por:
FdxW
maF 3 (Força e velocidade ao longo da mesma linha)
2
1
2
12
3
22
1
x
x
x
x
dx
cv
maFdxW
Trabalho
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Energia cinética de uma partículaA energia cinética de uma partícula é igual ao trabalho realizado para desloca-la desde o repouso até uma velocidade v:
WK
Velocidade no ponto x1 = 0
Velocidade no ponto x2 = v
xxxxx dvvdv
dtdx
dtdvdxdx
dtdvadx
xxdvvadx
2
1
2
12
3
22
1
x
x
x
x
dx
cv
maFdxW
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v
xx
cv
dvmvWK0 2
3
22
1
Fazendo uma mudança de variável, o resultado é:
22
22
2
11
mcmc
cv
mcK
2
1
2
12
3
22
1
x
x
x
x
dx
cv
maFdxW
xxdvvadx
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22
22
2
11
mcmc
cv
mcK
cv
cv
A energia se aproxima do infinito
(Expressão newtoniana)
2
21 mvK
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Energia de repouso
22
22
2
11
mcmc
cv
mcK
Depende do movimento da partícula
Não depende do movimento da partícula
Logo notamos que a energia cinética da partícula é a diferença entreuma energia total E e uma energia mc2 que existe sempre, mesmoquando o corpo está em repouso.
2
22
22
1mc
cv
mcmcKE
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2
22
22
1mc
cv
mcmcKE
Para uma partícula em repouso (K = 0), vemos que E = mc2
2mcE Energia de repouso da partícula
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2mcE mvp
Podemos relacionar diretamente a energia total E de uma partícula(energia de repouso mais energia cinética) com seu momento linear:
Elevando ao quadrado as duas expressões e subtraindo uma da outra,podemos eliminar v. O resultado é:
2222 pcmcE (energia total, energia de repouso e momento linear)
Esta equação sugere que uma partícula pode ter energia e momentolinear mesmo quando ela não possui massa de repouso.
pcE (massa de repouso igual a zero)
Partículas com massa de repouso igual a zero existem, e se deslocamsempre com velocidade c. Um exemplo é o fóton, o quantum daradiação eletromagnética.
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Exemplo:Elétrons com energias elevadasa) Calcule a energia de repouso de um elétron (m = 9,109 x 10-31 kg,q = -e = -1,60 x 10-19 C) em joules e em elétrons-volt. b) Determinea velocidade de um elétron que foi acelerado por um campo elétrico,a partir do repouso, com diferença de potencial igual a 20 kV (típicaem um cinescópio de TV) ou 5,0 MV (comum em um tubo de raiosX com alta voltagem).
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Exemplo:Uma colisão relativísticaDois prótons (cada um com M = 1,67 x 10-27 kg) estão se movendoinicialmente com velocidades de módulo iguais e sentidos opostos.Depois da colisão eles continuam a existir, porém, ocorre a produçãode um píon neutro de massa m = 2,40 x 10-28 kg. Sabendo que osprótons e píon permanecem em repouso depois da colisão, calcule avelocidade inicial dos prótons. A energia é conservada na colisão.