Prof. Drª Marília Brasil Xavier COORDENADOR...

Prof. Drª Marília Brasil Xavier

REITORA

Prof. Rubens Vilhena Fonseca

COORDENADOR GERAL DOS CURSOS DE MATEMÁTICA

MATERIAL DIDÁTICO

EDITORAÇÃO ELETRONICA

Odivaldo Teixeira Lopes

ARTE FINAL DA CAPA

Odivaldo Teixeira Lopes

REALIZAÇÃO

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)

F676p Fonseca, Rubens Vilhena

Pré-cálculo / Rubens Vilhena Fonseca, Adriano Santos de França – Belém: UEPA / Centro de Ciências Sociais e Educação, 2011.

100 p.; iI. ISBN: 978-85-88375-65-9 1.Cálculo – Estudo e ensino. 2. Geometria – Estudo e

ensino. 3. Números reais – Estudo e ensino. I. França, Adriano Santos de. II. Universidade Estadual do Pará. III. Título.

CDU: 517 CDD: 515

Índice para catálogo sistemático 1. Cálculo – Estudo e ensino: 517

Belém - Pará - Brasil - 2011 -

Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação

1

TEORIA DOS CONJUNTOS

Introdução aos conjuntos

Alguns conceitos primitivos

Algumas notações p/ conjuntos

Subconjuntos

Alguns conjuntos especiais

Reunião de conjuntos

Interseção de conjuntos

Propriedades dos conjuntos

Diferença de conjuntos

Complemento de um conjunto

Leis de Augustus de Morgan

Diferença Simétrica

INTRODUÇÃO AOS CONJUNTOS

o estudo de Conjuntos, trabalhamos com

alguns conceitos primitivos, que devem ser

entendidos e aceitos sem definição. Para

um estudo mais aprofundado sobre a Teoria dos

Conjuntos, pode-se ler: Naive Set Theory, P.Halmos

ou Axiomatic Set Theory, P.Suppes. O primeiro

deles foi traduzido para o português sob o título

(nada ingênuo de): Teoria Ingênua dos Conjuntos.

Alguns conceitos primitivos

Conjunto: representa uma coleção de objetos.

a. O conjunto de todos os brasileiros.

b. O conjunto de todos os números naturais.

c. O conjunto de todos os números reais tal que

x²-4=0.

Em geral, um conjunto é denotado por uma letra

maiúscula do alfabeto: A, B, C, ..., Z.

Elemento: é um dos componentes de um conjunto.

a. José da Silva é um elemento do conjunto dos

brasileiros.

b. 1 é um elemento do conjunto dos números

naturais.

c. -2 é um elemento do conjunto dos números

reais que satisfaz à equação x²-4=0.

Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado

por uma letra minúscula do alfabeto: a, b, c, ..., z.

Pertinência: é a característica associada a um

elemento que faz parte de um conjunto.

a. José da Silva pertence ao conjunto dos

brasileiros.

b. 1 pertence ao conjunto dos números naturais.

c. -2 pertence ao conjunto de números reais que

satisfaz à equação x²-4=0.

Símbolo de pertinência: Se um elemento pertence

a um conjunto utilizamos o símbolo que se lê:

"pertence".

Para afirmar que 1 é um número natural ou que 1

pertence ao conjunto dos números naturais,

escrevemos:

1 N

Para afirmar que 0 não é um número natural ou que

0 não pertence ao conjunto dos números naturais,

escrevemos:

0 N

Um símbolo matemático muito usado para a

negação é a barra / traçada sobre o símbolo normal.

ALGUMAS NOTAÇÕES PARA

CONJUNTOS

Muitas vezes, um conjunto é representado com os

seus elementos dentro de duas chaves { e } através

de duas formas básicas e de uma terceira forma

geométrica:

Apresentação: Os elementos do conjunto estão

dentro de duas chaves { e }.

a. A={a,e,i,o,u}

b. N={1,2,3,4,...}

c. M={João,Maria,José}

Descrição: O conjunto é descrito por uma ou mais

propriedades.

a. A={x: x é uma vogal}

b. N={x: x é um número natural}

c. M={x: x é uma pessoa da família de Maria}

Diagrama de Venn-Euler: (lê-se: "Ven-óiler") Os

conjuntos são mostrados graficamente.

N

Departamento de Matemática, Estatística e Informática Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância

2

SUBCONJUNTOS

Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está

contido em B, denotado por A B, se todos os

elementos de A também estão em B. Algumas

vezes diremos que um conjunto A está

propriamente contido em B, quando o conjunto B,

além de conter os elementos de A, contém também

outros elementos. O conjunto A é denominado

subconjunto de B e o conjunto B é o superconjunto

que contém A.

ALGUNS CONJUNTOS ESPECIAIS

Conjunto vazio: É um conjunto que não possui

elementos. É representado por { } ou por Ø. O

conjunto vazio está contido em todos os conjuntos.

Conjunto universo: É um conjunto que contém

todos os elementos do contexto no qual estamos

trabalhando e também contém todos os conjuntos

desse contexto. O conjunto universo é representado

por uma letra U. Na sequência não mais usaremos o

conjunto universo.

REUNIÃO DE CONJUNTOS

A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de

todos os elementos que pertencem ao conjunto A

ou ao conjunto B.

A B = { x: x A ou x B }

Exemplo: Se A = {a,e,i,o} e B = {3,4} então

A B = {a,e,i,o,3,4}.

INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS

A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de

todos os elementos que pertencem ao conjunto A e

ao conjunto B.

A B = { x: x A e x B }

Exemplo: Se A={a,e,i,o,u} e B={1,2,3,4} então

A B=Ø.

Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o

conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são

disjuntos.

PROPRIEDADES DOS CONJUNTOS

1. Fechamento: Quaisquer que sejam os

conjuntos A e B, a reunião de A e B, denotada

por A B e a interseção de A e B, denotada

por A B, ainda são conjuntos no universo.

2. Reflexiva: Qualquer que seja o conjunto A,

tem-se que:

A A = A e A A = A

3. Inclusão: Quaisquer que sejam os conjuntos A

e B, tem-se que:

A A B, B A B,

A B A, A B B

4. Inclusão relacionada: Quaisquer que sejam os

conjuntos A e B, tem-se que:

A B equivale a A B = B

A B equivale a A B = A

5. Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos

A, B e C, tem-se que:

A (B C) = (A B) C

A (B C) = (A B) C

6. Comutativa: Quaisquer que sejam os

conjuntos A e B, tem-se que:

A B = B A

A B = B A

7. Elemento neutro para a reunião: O conjunto

vazio Ø é o elemento neutro para a reunião de

conjuntos, tal que para todo conjunto A, se

tem:

A Ø = A

8. Elemento "nulo" para a interseção: A

interseção do conjunto vazio Ø com qualquer

outro conjunto A, fornece o próprio conjunto

vazio.

A Ø = Ø

9. Elemento neutro para a interseção: O

conjunto universo U é o elemento neutro para a

interseção de conjuntos, tal que para todo

conjunto A, se tem:

A U = A

10. Distributiva: Quaisquer que sejam os

conjuntos A, B e C, tem-se que:

A (B C ) = (A B) (A C)

A (B C) = (A B) (A C)

Os gráficos abaixo mostram a distributividade.


3

DIFERENÇA DE CONJUNTOS

A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto

de todos os elementos que pertencem ao conjunto A

e não pertencem ao conjunto B.

A-B = {x: x A e x B}

Do ponto de vista gráfico, a diferença pode ser vista

como:

COMPLEMENTO DE UM CONJUNTO

O complemento do conjunto B contido no conjunto

A, denotado por CAB, é a diferença entre os

conjuntos A e B, ou seja, é o conjunto de todos os

elementos que pertencem ao conjunto A e não

pertencem ao conjunto B.

CAB = A-B = {x: x A e x B}

Graficamente, o complemento do conjunto B no

conjunto A, é dado por:

Quando não há dúvida sobre o universo U em que

estamos trabalhando, simplesmente utilizamos a

letra c posta como expoente no conjunto, para

indicar o complemento deste conjunto. Muitas

vezes usamos a palavra complementar no lugar de

complemento.

Exemplos: Øc = U e U

c = Ø.

LEIS DE AUGUSTUS DE MORGAN

1. O complementar da reunião de dois conjuntos

A e B é a interseção dos complementares

desses conjuntos.

(A B)c = A

c B

c

2. O complementar da reunião de uma coleção

finita de conjuntos é a interseção dos

complementares desses conjuntos.

(A1 A2 ... An)c = A1

c A2

c ... An

c

3. O complementar da interseção de dois

conjuntos A e B é a reunião dos


(A B)c = A

c B

c

4. O complementar da interseção de uma coleção

finita de conjuntos é a reunião dos


(A1 A2 ... An)c = A1

c A2

c ... An

c

DIFERENÇA SIMÉTRICA

A diferença simétrica entre os conjuntos A e B é o

conjunto de todos os elementos que pertencem à

reunião dos conjuntos A e B e não pertencem à

interseção dos conjuntos A e B.

A B = {x: x A B e x A B}

O diagrama de Venn-Euler para a diferença

simétrica é:

Exercício: Dados os conjuntos A, B e C, pode-se

mostrar que:

1. A = Ø se, e somente se, B = A B.

2. O conjunto vazio é o elemento neutro para a

operação de diferença simétrica. Usar o ítem

anterior.

3. A diferença simétrica é comutativa.

4. A diferença simétrica é associativa.

5. A A = Ø (conjunto vazio).

6. A interseção entre A e B C é distributiva, isto

é:

A (B C) = (A B) (A C)

7. A B está contida na reunião de A C e de B

C, mas esta inclusão é própria, isto é:

A B (A C) (B C)


4

Exercícios resolvidos

1. Determinar o conjunto X tal que:

1) {a,b,c,d} U X = {a,b,c,d,e}

2) {c,d} U X = {a,c,d,e}

3) {b,c,d} ∩ X = {c}

a) {a,b}

b) {a,c,e}

c) {b,d,e)

d) {c,d,e}

e) {a,b,c,d}

Solução:

De {b,c,d} ∩ X = {c} tiramos da definição de

interseção de conjuntos que:

c ε X e que b e d não pertencem a X

Da igualdade {c,d} U X = {a,c,d,e} e da

definição de união de conjuntos pode-se

concluir que:

a, c, d e e são possíveis elementos de X

Mas como d não pode pertencer a X em

decorrência da primeira igualdade acima,

temos, até aqui, que X = {a,c,e}

E finalmente, de {a,b,c,d} U X = {a,b,c,d,e},

concluímos de forma análoga à colocada para a

segunda igualdade que:

a, b, c, d e e são possíveis elementos de X

E, como b e d não pertencem a X, concluímos

então que X = {a,c,e}.

Para comprovar verifique que as três

igualdades dadas são verdadeiras para X =

{a,c,e}

2. Em uma escola que tem 415 alunos, 221 estudam inglês, 163 estudam francês e 52 estudam ambas as línguas. Quantos alunos estudam inglês ou francês? Quantos alunos não estudam nenhuma das duas?

a) 384 e 52

b) 332 e 31

c) 332 e 83

d) 384 e 83

e) Nenhuma das respostas anteriores

Solução:

U = {alunos da escola}

E = {alunos que estudam inglês}

F = {alunos que estudam francês}

Dados da questão:

n(U) = 415, onde n(U) representa o número de

elementos de U

n(E) = 221

n(F) = 163

n(E ∩ F) = 52

Logo para determinar quantos alunos

estudam inglês ou francês - n(E U F) - basta

utilizar a seguinte propriedade dos conjuntos,

cuja demonstração não será feita aqui. No

entanto você pode verificar, intuitivamente, a

sua veracidade através de um diagrama de

Euler-Venn:

n(E U F) = n(E) + n(F) - n(E ∩ F) = 221 + 163

- 52 = 332

Como 332 são os alunos que estudam uma

língua, vem que o número de alunos que não

estudam nenhuma das duas é:

n(U) - n(E U F) = 415 - 332 = 83

3. Sejam A, B e C três conjuntos finitos.

Sabendo-se que:

n(X U Y) = n(X) + n(Y) - n(X ∩ Y) [1]


5

é verdadeira para quaisquer conjuntos finitos X e Y,

onde a notação n(Z) representa a quantidade de

elementos do conjunto Z, então n(A U B U C) é

igual a:

4. Dado o conjunto {a, b, c, d, e, f, g} o número

máximo de subconjuntos distintos é:

a) 21

b) 128

c) 64

d) 32

e) 256

Solução:

Este exercício envolve o cálculo do

Conjunto das Partes do conjunto dado e a

fórmula para este cálculo é n(P(A)) = 2 n(A)

onde: P(A) = Conjunto das partes do conjunto

A; e n = número de elementos de A, logo:

Se n = 7

n(P(A)) = 2 7 = 128

Resposta: letra b) 128

5. Utilizando os símbolos ou , relacione os

conjuntos A = {0, -1, - 3, -5}, B = {-3, 5} e C =

{0, -1}.

a) A e B

b) B e A

c) A e C

d) C e A

Solução:

a) A e B _ A B

b) B e A _ B A

c) A e C _ A C

d) C e A _ C A

6. Dado os seguintes conjuntos: A = {0, 2, 4}, B

= {x x é par}, C = {2, 3, 4, 5} classifique em

F(falso) ou V(verdadeiro).

a) 2 B

b) {4, 5} C

c) B A

d) A B

e) {2, 3, 4} (A C)

f) {2, 3} C

g) 2 A

Solução:

a) 2 B _ V, 2 é par

b) {4, 5} C _ F, a relação é entre conjuntos

c) B A _ F, B não está contido em A

d) A B _ V, A está contido em B

e) {2, 3, 4} (A C) _ V, pois A C = {0,

2, 3, 4, 5} f) {2, 3} C _ F, a relação é entre conjuntos

g) 2 A _ F, a relação é de pertinência

7. O conjunto intersecção de {2, 4, 6, 8, 10} e {1,

2, 3, 5, 7} é:

a) {0}

b)

c) {2}

d) {1}

e) {6}

Solução: a) {0}

b)

c) {2}

d) {1}

e) {6}

8. Se A e B são dois conjuntos não vazios e

ocorrer A B, então:

a) A B = B

b) A B =B

c) B A

d) A B =

Solução:

a) A B = B

b) A B =B A B = A

c) B A _ só ocorre se A = B

d) A B = _ A B = A

9. Depois de n dias de férias, um estudante

observa que:

a) choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde;

b) quando chove de manhã não chove à tarde;

c) houve 5 tardes sem chuva;

d) houve 6 manhãs sem chuva.

Podemos afirmar então que n é igual a:

a) 7

b) 8

c) 9

d) 10

e) 11

Solução:

Seja M, o conjunto dos dias que choveu pela

manhã e T o conjunto dos dias que choveu à

tarde. Chamando de M' e T' os conjuntos

complementares de M e T respectivamente,

temos:

n(T') = 5 (cinco tardes sem chuva)


6

n(M') = 6 (seis manhãs sem chuva)

n(M T) = 0 (pois quando chove pela manhã,

não chove à tarde)

Daí:

n(M T) = n(M) + n(T) – n(M T) 7 = n(M)

+ n(T) – 0

Podemos escrever também:

n(M') + n(T') = 5 + 6 = 11

Temos então o seguinte sistema:

n(M') + n(T') = 11

n(M) + N(T) = 7

Somando membro a membro as duas

igualdades, vem:

n(M) + n(M') + n(T) + n(T') = 11 + 7 = 18

Observe que n(M) + n(M') = total dos dias de

férias = n

Analogamente, n(T) + n(T') = total dos dias de

férias = n

Portanto, substituindo vem:

n + n = 18

2n = 18

n = 9

10. 52 pessoas discutem a preferência por dois

produtos A e B, entre outros e conclui-se que o

número de pessoas que gostavam de B era:

I. O quádruplo do número de pessoas que

gostavam de A e B;

II. O dobro do número de pessoas que

gostavam de A;

III. A metade do número de pessoas que não

gostavam de A nem de B.

Nestas condições, o número de pessoas que

não gostavam dos dois produtos é igual a:

a) 48

b) 35

c) 36

d) 47

e) 37

Solução: Considere a figura abaixo, onde estão

representados os conjuntos A e B, e a

quantidade de elementos x, y, z e w.

Pelo enunciado do problema, poderemos

escrever:

x+y+z+w = 52

y+z = 4y

y+z = 2(x+y)

y+z = w/2

Desenvolvendo e simplificando, vem:

x+y+z+w = 52 (eq.1)

z = 3y (eq. 2)

z = 2x + y (eq. 3)

w = 2y + 2z (eq. 4)

Substituindo o valor de z da eq. 2 na eq. 3,

vem: x = y Podemos também escrever: w = 2y

+ 2(3y) = 8y

Expressando a eq. 1 em função de y, vem:

y + y + 3y + 8y = 52 e, daí vem: 13y = 52, de

onde vem y = 4.

Temos então por simples substituição:

z = 3y = 12

x = y = 4

w = 8y = 32

A partir daí, é que vem a sutileza do problema.

Vejamos:

O problema pede para determinar o número de

pessoas que não gostam dos produtos A e B. O

conectivo e indica que devemos excluir os

elementos da interseção A B. Portanto, a

resposta procurada será igual a:

w + x + z = 32 + 4 + 12 = 48 pessoas.

A resposta seria 32 (como muitos acham como

resultado), se a pergunta fosse:

Quantas pessoas não gostam do produto A ou

do produto B? Resp: 48 pessoas

11. 35 estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16

visitaram Manaus; 16, S. Paulo e 11, Salvador.

Desses estudantes, 5 visitaram Manaus e

Salvador e , desses 5, 3 visitaram também São

Paulo. O número de estudantes que visitaram

Manaus ou São Paulo foi:

a) 29

b) 24

c) 11

d) 8

e) 5

Solução:

Observe o diagrama de VENN abaixo:


7

Podemos escrever:

x + y + 5 = 16 ; logo, x + y = 11 .Eq. 1

x + w + z + 3 = 16; logo, x + w + z = 13.Eq. 2

t + w + 5 = 11; logo, t + w = 6.Eq. 3

x + y + z + w + t + 2 + 3 = 35; logo, x + y + z +

w + t = 30.Eq. 4

Substituindo as Eq. 1 e 3, na Eq. 4, vem:

11 + z + 6 = 30; logo, z = 13.Eq. 5

Substituindo o valor de z na Eq. 2, vem: x + w

+ 13 = 13; logo, x + w = 0, de onde se conclui

que x = 0 e w = 0, já que x e w são inteiros

positivos ou nulos.

Substituindo o valor de x encontrado acima na

Eq. 1, vem: 0 + y = 11; logo, y = 11.

Observando que o número de elementos de M

U SP é igual a x + y + z + w + 2 + 3, vem

imediatamente, substituindo os valores: n(M U

SP) = 0 + 11 + 13 + 0 + 2 + 3 = 29

Observe que n(M U SP) representa o conjunto

dos estudantes que visitaram Manaus OU São

Paulo, conforme foi solicitado no problema.

Portanto, a alternativa correta é a letra A.

12. Um teste de literatura, com 5 alternativas em que uma única é verdadeira, referindo-se à data de nascimento de um famoso escritor, apresenta as seguintes alternativas: a) século XIX b) século XX c) antes de 1860 d) depois de 1830 e) nenhuma das anteriores

Pode-se garantir que a resposta correta é:

a) a

b) b

c) c

d) d

e) e

SOLUÇÃO:

Veja os seguintes comentários:

As alternativas (A) e (B): não há elementos

para se concluir por uma delas, inicialmente.

A alternativa (E) não pode ser verdadeira, pois

implicaria - pelo enunciado - que o escritor

nem teria nascido!

Para visualizar isto, veja a figura abaixo.

A alternativa (D) não pode ser verdadeira, pois

implicaria concluir-se pelos séculos XIX ou

XX e, pelo enunciado, só existe uma

alternativa verdadeira.

POR EXCLUSÃO, a alternativa verdadeira só

pode ser a C.

Veja o esquema abaixo, para ajudar no seu

entendimento dos argumentos acima.


8

NÚMEROS RACIONAIS

RELACIONANDO NÚMEROS

RACIONAIS COM FRAÇÕES

Um número racional é o que pode ser escrito na

forma

onde m e n são números inteiros, sendo que n deve

ser não nulo, isto é, n deve ser diferente de zero.

Frequentemente usamos m/n para significar a

divisão de m por n. Quando não existe

possibilidade de divisão, simplesmente usamos uma

letra como q para entender que este número é um

número racional.

Como podemos observar, números racionais podem

ser obtidos através da razão (em Latim:

ratio=razão=divisão=quociente) entre dois números

inteiros, razão pela qual, o conjunto de todos os

números racionais é denotado por Q. Assim, é

comum encontrarmos na literatura a notação:

Q = {m/n : m e n em Z, n diferente de zero}

Quando há interesse, indicamos Q+ para entender o

conjunto dos números racionais positivos e Q_ o

conjunto dos números racionais negativos. O

número zero é também um número racional.

No nosso link Frações já detalhamos o estudo de

frações e como todo número racional pode ser posto

na forma de uma fração, então todas as

propriedades válidas para frações são também

válidas para números racionais. Para simplificar a

escrita, muitas vezes usaremos a palavra racionais

para nos referirmos aos números racionais.

DÍZIMA PERIÓDICA

Uma dízima periódica é um número real da forma:

m,npppp...

onde m, n e p são números inteiros, sendo que o

número p se repete indefinidamente, razão pela qual

usamos os três pontos: ... após o mesmo. A parte

que se repete é denominada período.

Em alguns livros é comum o uso de uma barra

sobre o período ou uma barra debaixo do período

ou o período dentro de parênteses, mas, para nossa

facilidade de escrita na montagem desta Página,

usaremos o período sublinhado.

Exemplos: Dízimas periódicas

1. 0,3333333... = 0,3

2. 1,6666666... = 1,6

3. 12,121212... = 12,12

4. 0,9999999... = 0,9

5. 7,1333333... = 7,13

Uma dízima periódica é simples se a parte decimal

é formada apenas pelo período. Alguns exemplos

são:

1. 0,333333... = 0,(3) = 0,3

2. 3,636363... = 3,(63) = 3,63

Uma dízima periódica é composta se possui uma

parte que não se repete entre a parte inteira e o

período. Por exemplo:

1. 0,83333333... = 0,83

2. 0,72535353... = 0,7253

Uma dízima periódica é uma soma infinita de

números decimais. Alguns exemplos:

1. 0,3333...= 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 +...

2. 0,8333...= 0,8 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + ...

3. 4,7855...= 4,78 + 0,005 + 0,0005 + ...

A conexão entre números racionais e números reais

Um fato importante que relaciona os números

racionais com os números reais é que todo número

real que pode ser escrito como uma dízima

periódica é um número racional. Isto significa que

podemos transformar uma dízima periódica em uma

fração.

O processo para realizar esta tarefa será mostrado

na sequência com alguns exemplos numéricos. Para

pessoas interessadas num estudo mais aprofundado

sobre a justificativa para o que fazemos na

sequência, deve-se aprofundar o estudo de séries

geométricas no âmbito do Ensino Médio ou mesmo

estudar números racionais do ponto de vista do

Cálculo Diferencial e Integral ou da Análise na

Reta no âmbito do Ensino Superior.

A GERATRIZ DE UMA DÍZIMA PERIÓDICA

Dada uma dízima periódica, qual será a fração que

dá origem a esta dízima? Esta fração é de fato um

número racional denominado a geratriz da dízima

periódica. Para obter a geratriz de uma dízima

periódica devemos trabalhar com o número dado

pensado como uma soma infinita de números

decimais. Para mostrar como funciona o método,

utilizaremos diversos exemplos numéricos.


9

1. Seja S a dízima periódica 0,3333333..., isto é,

S=0,3. Observe que o período tem apenas 1

algarismo. Iremos escrever este número como

uma soma de infinitos números decimais da

forma:

S = 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + 0,00003 +...

Multiplicando esta soma "infinita" por 101=10 (o

período tem 1 algarismo), obteremos:

10 S = 3 + 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 +...

Observe que são iguais as duas últimas expressões

que aparecem em cor vermelha!

Subtraindo membro a membro a penúltima

expressão da última, obtemos:

10 S - S = 3

donde segue que

9 S = 3

Simplificando, obtemos:

Exercício: Usando o mesmo argumento que antes,

você saberia mostrar que:

0,99999... = 0,9 = 1

2. Vamos tomar agora a dízima periódica

T=0,313131..., isto é, T=0,31. Observe que o

período tem agora 2 algarismos. Iremos

escrever este número como uma soma de

infinitos números decimais da forma:

T =0,31 + 0,0031 + 0,000031 +...

Multiplicando esta soma "infinita" por 10²=100

(o período tem 2 algarismos), obteremos:

100 T = 31 + 0,31 + 0,0031 + 0,000031 +...

Observe que são iguais as duas últimas

expressões que aparecem em cor vermelha,

assim:

100 T = 31 + T

de onde segue que

99 T = 31

e simplificando, temos que

3. Um terceiro tipo de dízima periódica é

T=7,1888..., isto é, T=7,18. Observe que existe

um número com 1 algarismo após a vírgula

enquanto que o período tem também 1

algarismo. Escreveremos este número como

uma soma de infinitos números decimais da

forma:

R = 7,1 + 0,08 + 0,008 + 0,0008 +...

Manipule a soma "infinita" como se fosse um

número comum e passe a parte que não se

repete para o primeiro membro para obter:

R-7,1 = 0,08 + 0,008 + 0,0008 +...

Multiplique agora a soma "infinita" por 101=10

(o período tem 1 algarismo), para obter:

10(R-7,1) = 0,8 + 0,08 + 0,008 + 0,0008 +...


expressões que aparecem em cor vermelha!

Subtraia membro a membro a penúltima

expressão da última para obter:

10(R-7,1) - (R-7,1) = 0,8

Assim:

10R - 71 - R + 7,1 = 0,8

Para evitar os números decimais,

multiplicamos toda a expressão por 10 e

simplificamos para obter:

90 R = 647

Obtemos então:

4. Um quarto tipo de dízima periódica é

T=7,004004004..., isto é, U=7,004. Observe

que o período tem 3 algarismos, sendo que os

dois primeiros são iguais a zero e apenas o

terceiro é não nulo. Decomporemos este

número como uma soma de infinitos números

decimais da forma:

U = 7 + 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +...

Manipule a soma "infinita" como se fosse um

número comum e passe a parte que não se

repete para o primeiro membro para obter:

U-7 = 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +...

Multiplique agora a soma "infinita" por

10³=1000 (o período tem 3 algarismos), para

obter:

1000(U-7) = 4 + 0,004 + 0,004004 +

0,004004004 +...


expressões que aparecem em cor vermelha!

Subtraia membro a membro a penúltima

expressão da última para obter:

1000(U-7) - (U-7) = 4

Assim:

1000U - 7000 - U + 7 = 4

Obtemos então

999 U = 6997


10

que pode ser escrita na forma:

NÚMEROS IRRACIONAIS

Um número real é dito um número irracional se ele

não pode ser escrito na forma de uma fração ou

nem mesmo pode ser escrito na forma de uma

dízima periódica.

Exemplo: O número real abaixo é um número

irracional, embora pareça uma dízima periódica:

x=0,10100100010000100000...

Observe que o número de zeros após o algarismo 1

aumenta a cada passo. Existem infinitos números

reais que não são dízimas periódicas e dois números

irracionais muito importantes, são:

e = 2,718281828459045...,

Pi = 3,141592653589793238462643...

que são utilizados nas mais diversas aplicações

práticas como: cálculos de áreas, volumes, centros

de gravidade, previsão populacional, etc...

Exercício: Determinar a medida da diagonal de um

quadrado cujo lado mede 1 metro. O resultado

numérico é um número irracional e pode ser obtido

através da relação de Pitágoras. O resultado é a raiz

quadrada de 2, denotada aqui por R[2] para

simplificar as notações estranhas.

REPRESENTAÇÃO, ORDEM E

SIMETRIA DOS RACIONAIS

Podemos representar geometricamente o conjunto

Q dos números racionais através de uma reta

numerada. Consideramos o número 0 como a

origem e o número 1 em algum lugar e tomamos a

unidade de medida como a distância entre 0 e 1 e

por os números racionais da seguinte maneira:

Ao observar a reta numerada notamos que a ordem

que os números racionais obedecem é crescente da

esquerda para a direita, razão pela qual indicamos

com uma seta para a direita. Esta consideração é

adotada por convenção, o que nos permite pensar

em outras possibilidades.

Dizemos que um número racional r é menor do que

outro número racional s se a diferença r-s é

positiva. Quando esta diferença r-s é negativa,

dizemos que o número r é maior do que s. Para

indicar que r é menor do que s, escrevemos:

r < s

Do ponto de vista geométrico, um número que está

à esquerda é menor do que um número que está à

direita na reta numerada.

Todo número racional q exceto o zero, possui um

elemento denominado simétrico ou oposto -q e ele é

caracterizado pelo fato geométrico que tanto q

como -q estão à mesma distância da origem do

conjunto Q que é 0. Como exemplo, temos que:

(a) O oposto de 3/4 é -3/4.

(b) O oposto de 5 é -5.

Do ponto de vista geométrico, o simétrico funciona

como a imagem virtual de algo colocado na frente

de um espelho que está localizado na origem. A

distância do ponto real q ao espelho é a mesma que

a distância do ponto virtual -q ao espelho.

MÉDIA ARITMÉTICA E MÉDIA

PONDERADA

Média aritmética: Seja uma coleção formada por n

números racionais: x1, x2, x3, ..., xn. A média

aritmética entre esses n números é a soma dos

mesmos dividida por n, isto é:

Exemplo: Se um grupo de 9 pessoas tem as idades:

12, 54, 67, 15, 84, 24, 38, 25, 33

então a idade média do grupo pode ser calculada

pela média aritmética:

o que significa que a idade média está próxima de

39 anos.

Média aritmética ponderada: Consideremos uma

coleção formada por n números racionais: x1, x2, x3,

..., xn, de forma que cada um esteja sujeito a um

peso, respectivamente, indicado por: p1, p2, p3, ...,

pn. A média aritmética ponderada desses n números

é a soma dos produtos de cada um por seu peso,

dividida por n, isto é:

Exemplo: Um grupo de 64 pessoas, que trabalha

(com salário por dia), em uma empresa é formado

por sub-grupos com as seguintes características:

12 ganham R$ 50,00

10 ganham R$ 60,00

20 ganham R$ 25,00


11

15 ganham R$ 90,00

7 ganham R$ 120,00

Para calcular a média salarial (por dia) de todo o

grupo devemos usar a média aritmética ponderada:

MÉDIAS GEOMÉTRICA E HARMÔNICA

Média geométrica: Consideremos uma coleção

formada por n números racionais não negativos: x1,

x2, x3, ..., xn. A média geométrica entre esses n

números é a raiz n-ésima do produto entre esses

números, isto é:

G = Rn[x1 x2 x3 ... xn]

Exemplo: A a média geométrica entre os números

12, 64, 126 e 345, é dada por:

G = R4[12 ×64×126×345] = 76,013

Aplicação prática: Dentre todos os retângulos com

a área igual a 64 cm², qual é o retângulo cujo

perímetro é o menor possível, isto é, o mais

econômico? A resposta a este tipo de questão é

dada pela média geométrica entre as medidas do

comprimento a e da largura b, uma vez que a.b=64.

A média geométrica G entre a e b fornece a medida

desejada.

G = R[a × b] = R[64] = 8

Resposta: É o retângulo cujo comprimento mede 8

cm e é lógico que a altura também mede 8 cm, logo

só pode ser um quadrado! O perímetro neste caso é

p=32 cm. Em qualquer outra situação em que as

medidas dos comprimentos forem diferentes das

alturas, teremos perímetros maiores do que 32 cm.

Interpretação gráfica: A média geométrica entre

dois segmentos de reta pode ser obtida

geometricamente de uma forma bastante simples.

Sejam AB e BC segmentos de reta. Trace um

segmento de reta que contenha a junção dos

segmentos AB e BC, de forma que eles formem

segmentos consecutivos sobre a mesma reta.

Dessa junção aparecerá um novo segmento AC.

Obtenha o ponto médio O deste segmento e com

um compasso centrado em O e raio OA, trace uma

semi-circunferencia começando em A e terminando

em C. O segmento vertical traçado para cima a

partir de B encontrará o ponto D na semi-

circunferência. A medida do segmento BD

corresponde à média geométrica das medidas dos

segmentos AB e BC.

Média harmônica: Seja uma coleção formada por

n números racionais positivos: x1, x2, x3, ..., xn. A

média harmônica H entre esses n números é a

divisão de n pela soma dos inversos desses n

números, isto é:

Aplicações práticas: Para as pessoas interessados

em muitas aplicações do conceito de harmônia,

média harmônica e harmônico global, visite o nosso

link Harmonia.


12

ÁLGEBRA BÁSICA – POTÊNCIA

DE BASE DEZ

Como foi dito no início, podemos ter qualquer tipo

de base para uma potência. Em certos casos é muito

utilizado a escrita na forma de "BASE DEZ". Que é

o que iremos estudar neste tópico.

Vamos começar mostrando uma propriedade

SUPER básica de uma multiplicação de um número

qualquer por 10.

5 x 10 = 50

52 x 10 = 520

458 x 10 = 4580

30 x 10 = 300

Note que sempre que multiplicamos qualquer

número inteiro por 10, acrescentamos um zero à

direita deste número e obtemos o resultado, não

interessa por quais e por quantos algarismos é

formado este número.

Vamos pegar o número 256 e multiplicá-lo por 10

três vezes:

256 x 10 = 2560

2560 x 10 = 25600

25600 x 10 = 256000

Ao multiplicar por 10 três vezes, acrescentamos três

zeros à direita do número.

Veja que o número 256000 pode ser escrito como

256 x 10 x 10 x 10. Ou seja:

256000 = 256 x 10 x 10 x 10

Aplicando potênciação na multiplicação do 10,

temos:

256000 = 256 x 103

Bom, este exemplo não foi muito satisfatório, pois

escrever 256000 ou 256 x 103 acaba dando o

mesmo trabalho. Mas veja agora o número abaixo:

12450000000000000000000000000000

Para representá-lo em uma forma mais compacta,

utilizaremos a potência de base DEZ:

12450000000000000000000000000000 = 1245 x 1028

Note que para este tipo de número, o expoente da

base 10 será igual ao número de zeros à direita que

existem no número a ser representado.

Potências de base DEZ também são utilizadas para

"movimentar a vírgula" de um número decimal.

Vamos ver agora uma outra propriedade básica de

DIVISÃO por 10.

5 ÷ 10 = 0,5

52 ÷ 10 = 5,2

458 ÷ 10 = 45,8

30 ÷ 10 = 3,0

Note que ao dividir por 10, o resultado será

composto pelos algarismos do dividendo (número a

ser dividido), sendo que este resulta

do terá um destes algarismos DEPOIS da vírgula.

254 ÷ 10 = 25,4

Resultado tem os mesmos algarismos, com UM

algarismo APÓS a vírgula.

Agora, se pegarmos este resultado e dividirmos

novamente por 10. O que irá acontecer? Veja o

quadro abaixo:

25,4 ÷ 10 = 2,54

Resultado tem os mesmos algarismos, só que

agora com DOIS algarismos APÓS a vírgula.

Note que cada vez que dividimos por 10, a vírgula

"se movimenta" uma casa para esquerda. Vamos

dividir novamente para confirmar.

2,54 ÷ 10 = 0,254

Resultado tem os mesmos algarismos, agora com

TRÊS algarismos APÓS a vírgula. Como o

número só tinha três algarismos, colocamos um

zero à esquerda, para não ficar ,254

Portanto, podemos dizer que 0,254 é igual a 254

dividido por 10 três vezes, ou seja:

Aqui devemos ver que, dividir um número por 10 é

a mesma coisa que multiplicar pela fração .

Aplicando esta propriedade:

Agora, aplicando as propriedades de potênciação:

Esta notação (forma de apresentar o valor) é

também chamada de notação científica. Para

números extremamenta pequenos ou absurdamente

grandes é muito utilizada.

Continuando no exemplo acima. Se multiplicarmos

por 10, iremos desfazer a "movimentação" para

esquerda, ou seja, a vírgula irá "se movimentar"

para direita.

0,254 x 10 = 2,54


13

Então, se multiplicarmos por 10 três vezes,

voltaremos para 254:

0,254 x 10 x 10 x 10 = 254

0,254 x 103 = 254

RESUMO

Quando temos um número multiplicado por uma

potência de base 10 positiva, indica que iremos

"aumentar" o número de zeros à direita ou

"movimentar" para direita a vírgula tantas casas

quanto indicar o expoente da base 10. Veja alguns

exemplos:

54 x 105 = 5400000

Acrescentamos 5 zeros à direita do 54

2050 x 102 = 205000

Acrescentamos 2 zeros à direita do 2050

0,00021 x 104 = 2,1

"Movimentamos" a vírgula 4 casas para direita

0,000032 x 103 = 0,032

"Movimentamos" a vírgula 3 casas para direita

54 x 10–5

= 0,00054

"Movimentamos" a vírgula 5 casas para esquerda

2050 x 10-2

= 20,5

"Movimentamos" a vírgula 2 casas para esquerda.

Lembrando que 20,5 = 20,50

0,00021 x 10–4

= 0,000000021


0,000032 x 10-3

= 0,000000032


32500000 x 10-4

= 3250

"Diminuimos" 4 zeros que estavam à direita

Quando temos um número multiplicado por uma

potência de base 10 negativa, indica que iremos

"diminuir" o número de zeros à direita ou

"movimentar" a vírgula para esquerda tantas casas

quanto indicar o expoente da base 10. Veja alguns

exemplos:

Agora vamos mostrar um exemplo de uso desta

matéria:

– Calcule o valor de :

– Primeiro de tudo vamos colocar todos números

em notação científica (potências de base DEZ):

– Vamos organizar os termos, para facilitar o

cálculo:

– Agora ficou fácil. É só calcular o lado direito da

multiplicação e aplicar as propriedades de

potênciação no lado esquerdo para calcular.

Fazendo isso, temos:

1024 x 10-1 = 102,4


14

RAZÕES, PROPORÇÕES e PORCENTAGEM

Proporções com números

Propriedades das Proporções

Grandezas diret. proporcionais

Grandezas invers. proporcionais

Histórico sobre a Regra de três

Regras de três simples direta

Regras de três simples inversa

Regras de três composta

Porcentagem

Juros simples

PROPORÇÕES COM NÚMEROS

Quatro números racionais A, B, C e D diferentes de

zero, nessa ordem, formam uma proporção quando:

1. Os números A, B, C e D são denominados

termos

2. Os números A e B são os dois primeiros termos

3. Os números C e D são os dois últimos termos

4. Os números A e C são os antecedentes

5. Os números B e D são os consequentes

6. A e D são os extremos

7. B e C são os meios

8. A divisão entre A e B e a divisão entre C e D, é

uma constante K, denominada constante de

proporcionalidade K dessa razão.

PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES

Para a proporção

valem as seguintes propriedades:

1. O produto dos meios é igual ao produto dos

extremos, isto é:

A · D = B · C

2. A soma (diferença) dos dois primeiros termos

está para o primeiro termo, assim como a soma

(diferença) dos dois últimos está para o terceiro

termo, isto é:

3. A soma (diferença) dos dois primeiros

termos está para o segundo termo, assim

como a soma (diferença) dos dois últimos

está para o quarto termo, isto é:

4. A soma (diferença) dos antecedentes está

para a soma (diferença) dos consequentes,

assim como cada antecedente está para o

seu consequente, isto é:

GRANDEZAS DIRETAMENTE

PROPORCIONAIS

Duas grandezas são diretamente proporcionais

quando, aumentando uma delas, a outra também

aumenta na mesma proporção, ou, diminuindo uma

delas, a outra também diminui na mesma

proporção.

Se duas grandezas X e Y são diretamente

proporcionais, os números que expressam essas

grandezas variam na mesma razão, isto é, existe

uma constante K tal que:

Exemplos:

1. Uma torneira foi aberta para encher uma caixa

com água azul. A cada 15 minutos é medida a

altura do nível de água. (cm=centímetros e

min=minutos)

15 minutos

50 cm

30 minutos

100 cm

45 minutos

150 cm


15

2. Construímos uma tabela para mostrar a

evolução da ocorrência:

Tempo (min) Altura (cm)

15 50

30 100

45 150

3. Observamos que quando duplica o intervalo de

tempo, a altura do nível da água também

duplica e quando o intervalo de tempo é

triplicado, a altura do nível da água também é

triplicada.

4. Observações: Usando razões, podemos

descrever essa situação de outro modo.

5. (a) Quando o intervalo de tempo passa de 15

min para 30 min, dizemos que o tempo varia na

razão 15/30, enquanto que a altura da água

varia de 50 cm para 100 cm, ou seja, a altura

varia na razão 50/100. Observamos que estas

duas razões são iguais:

6. (b) Quando o intervalo de tempo varia de 15

min para 45 min, a altura varia de 50 cm para

150 cm. Nesse caso, o tempo varia na razão

15/45 e a altura na razão 50/150. Então,

notamos que essas razões são iguais:

7. Concluímos que a razão entre o valor numérico

do tempo que a torneira fica aberta e o valor

numérico da altura atingida pela água é sempre

igual, assim dizemos então que a altura do

nível da água é diretamente proporcional ao

tempo que a torneira ficou aberta.

8. Em média, um automóvel percorre 80 Km em

1 hora, 160 Km em 2 horas e 240 Km em 3

horas. (Km=quilômetro, h=hora). Construímos

uma tabela da situação:

Distância (Km) Tempo (h)

80 1

160 2

240 3

9. Notamos que quando duplica o intervalo de

tempo, duplica também a distância percorrida e

quando o intervalo de tempo é triplicado, a

distância também é triplicada, ou seja, quando

o intervalo de tempo aumenta, a distância

percorrida também aumenta na mesma

proporção.

10. Observações: Usando razões e proporções,

podemos descrever essa situação de outro

modo.

11. (a) Quando o intervalo de tempo aumenta de 1

h para 2 h, a distância percorrida varia de 80

Km para 160 Km, ou seja, o tempo varia na

razão de 1/2 enquanto a distância percorrida

varia na razão 80/160. Assim temos que tais

razões são iguais, isto é:

12. (b) Quando o intervalo de tempo varia de 2 h

para 3 h, a distância percorrida varia de 160

Km para 240 Km. Nesse caso, o tempo varia na

razão 2/3 e a distância percorrida na razão

160/240 e observamos que essas razões são

iguais, isto é:

13. Concluímos que o tempo gasto e a distância

percorrida, variam sempre na mesma razão e

isto significa que a distância percorrida é

diretamente proporcional ao tempo gasto para

percorrê-la, se a velocidade média do

automóvel se mantiver constante.

GRANDEZAS INVERSAMENTE

PROPORCIONAIS

Duas grandezas são inversamente proporcionais

quando, aumentando uma delas, a outra diminui na

mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a

outra aumenta na mesma proporção. Se duas

grandezas X e Y são inversamente proporcionais,

os números que expressam essas grandezas variam

na razão inversa, isto é, existe uma constante K tal

que:

X · Y = K

Exemplos:

1. A professora de um colégio, tem 24 livros para

distribuir entre os seus melhores alunos, dando

a mesma quantidade de livros para cada aluno.

2. o melhor aluno receberá 24 livros


16

3. cada um dos 2 melhores alunos receberá 12

livros


livros


livros


livros

Alunos

escolhidos

Livros para

cada aluno

1 24

2 12

3 8

4 6

6 4

7. De acordo com a tabela, a quantidade de alunos

escolhidos e a quantidade de livros que cada

aluno receberá, são grandezas que variam

sendo que uma depende da outra e se

relacionam da seguinte forma:

1. Se o número de alunos dobra, o número de

livros que cada um vai receber cai para a

metade.

2. Se o número de alunos triplica, o número

de livros que cada aluno vai receber cai

para a terça parte.

3. Se o número de alunos quadruplica, o

número de livros que cada aluno vai

receber cai para a quarta parte.

4. Se o número de alunos sextuplica, o

número de livros que cada aluno vai

receber cai para a sexta parte.

Sob estas condições, as duas grandezas

envolvidas (número de alunos escolhidos e

número de livros distribuídos) são grandezas

inversamente proporcionais.

Quando a quantidade de alunos varia na razão

de 2 para 4, a quantidade de livros distribuídos

varia de 12 para 6.

Notemos que essas razões não são iguais, mas

são inversas:

Se a quantidade de alunos varia na razão de 2

para 6, a quantidade de livros distribuídos varia

de 12 para 4. Observemos que essas razões não

são iguais, mas são inversas:

Representamos tais grandezas inversamente

proporcionais com a função f(x)=24/x,

apresentada no gráfico

8. Um automóvel se desloca de uma cidade

até uma outra localizada a 120 Km da

primeira. Se o percurso é realizado em:

9. 1 hora, velocidade média de 120 Km/h

10. 2 horas, velocidade média de 60 Km/h

11. 3 horas, velocidade média de 40 Km/h

A unidade é Km/h=quilômetro por hora e

uma tabela da situação é:

Velocidade (Km/h) Tempo (h)

120 1

60 2

40 3

De acordo com a tabela, o automóvel faz o

percurso em 1 hora com velocidade média

de 120 Km/h. Quando diminui a

velocidade à metade, ou seja 60 Km/h, o

tempo gasto para realizar o mesmo

percurso dobra e quando diminui a

velocidade para a terça parte, 40 Km/h o

tempo gasto para realizar o mesmo

percurso triplica.

Para percorrer uma mesma distância fixa,

as grandezas velocidade e tempo gasto, são

inversamente proporcionais.


17

ELEMENTOS HISTÓRICOS SOBRE A

REGRA DE TRÊS

Embora os gregos e os romanos conhecessem as

proporções, não chegaram a aplicá-las na resolução

de problemas. Na Idade Média, os árabes revelaram

ao mundo a "Regra de Três". No século XIII, o

italiano Leonardo de Pisa difundiu os princípios

dessa regra em seu Liber Abaci (o livro do ábaco),

com o nome de Regra dos três números

conhecidos.

REGRA DE TRÊS SIMPLES DIRETA

Uma regra de três simples direta é uma forma de

relacionar grandezas diretamente proporcionais.

Para resolver problemas, tomaremos duas

grandezas diretamente proporcionais X e Y e outras

duas grandezas W e Z também diretamente

proporcionais, de forma que tenham a mesma

constante de proporcionalidade K.

assim

Exemplo: Na extremidade de uma mola (teórica!)

colocada verticalmente, foi pendurado um corpo

com a massa de 10Kg e verificamos que ocorreu

um deslocamento no comprimento da mola de

54cm. Se colocarmos um corpo com 15Kg de

massa na extremidade dessa mola, qual será o

deslocamento no comprimento da mola?

(Kg=quilograma e cm=centímetro).

Representaremos pela letra X a medida procurada.

De acordo com os dados do problema, temos:

Massa do

corpo (Kg)

Deslocamento da

mola (cm)

10 54

15 X

As grandezas envolvidas: massa e deslocamento,

são diretamente proporcionais. Conhecidos três dos

valores no problema, podemos obter o quarto valor

X, e, pelos dados da tabela, podemos montar a

proporção:

Observamos que os números 10 e 15 aparecem na

mesma ordem que apareceram na tabela e os

números 54 e X também aparecem na mesma

ordem direta que apareceram na tabela anterior e

desse modo 10·X=15·54, logo 10X=810, assim

X=81 e o deslocamento da mola será de 81cm.

REGRA DE TRÊS SIMPLES INVERSA

Uma regra de três simples inversa é uma forma de

relacionar grandezas inversamente proporcionais

para obter uma proporção.

Na resolução de problemas, consideremos duas

grandezas inversamente proporcionais A e B e

outras duas grandezas também inversamente

proporcionais C e D de forma que tenham a mesma

constante de proporcionalidade K.

A · B = K e C · D = K

segue que

A · B = C · D

Logo

Exemplo: Ao participar de um treino de Fórmula 1,

um corredor imprimindo a velocidade média de 180

Km/h fez um certo percurso em 20s. Se a sua

velocidade média fosse de 200 Km/h, qual seria o

tempo gasto no mesmo percurso?

(Km/h=quilômetro por hora, s=segundo).

Representaremos o tempo procurado pela letra T.

De acordo com os dados do problema, temos:

Velocidade (Km/h) Tempo (s)

180 20

200 T

Relacionamos grandezas inversamente

proporcionais: velocidade e tempo em um mesmo

espaço percorrido. Conhecidos três valores,

podemos obter um quarto valor T.

Os números 180 e 200 aparecem na mesma ordem

que apareceram na tabela, enquanto que os números

20 e T aparecem na ordem inversa da ordem que

apareceram na tabela acima.

Assim 180.20=200.X, donde segue que 200X=3600

e assim X=3600/200=18. Se a velocidade do

corredor for de 200 Km/h ele gastará 18s para

realizar o mesmo percurso.


18

REGRA DE TRÊS COMPOSTA

Regra de três composta é um processo de

relacionamento de grandezas diretamente

proporcionais, inversamente proporcionais ou uma

mistura dessas situações.

O método funcional para resolver um problema

dessa ordem é montar uma tabela com duas linhas,

sendo que a primeira linha indica as grandezas

relativas à primeira situação enquanto que a

segunda linha indica os valores conhecidos da

segunda situação.

Se A1, B1, C1, D1, E1, ... são os valores associados

às grandezas para uma primeira situação e A2, B2,

C2, D2, E2, ... são os valores associados às

grandezas para uma segunda situação, montamos a

tabela abaixo lembrando que estamos interessados

em obter o valor numérico para uma das grandezas,

digamos Z2 se conhecemos o correspondente valor

numérico Z1 e todas as medidas das outras

grandezas.

Situação

Gra

ndez

a 1

Gran

deza

2

Gran

deza

3

Gran

deza

4

Gran

deza

5

Gra

nd...

Gran

deza ?

Situação

1 A1 B1 C1 D1 E1 … Z1

Situação

2 A2 B2 C2 D2 E2 … Z2

Quando todas as grandezas são diretamente

proporcionais à grandeza Z, resolvemos a

proporção:

Quando todas as grandezas são diretamente

proporcionais à grandeza Z, exceto a segunda

grandeza (com a letra B, por exemplo) que é

inversamente proporcional à grandeza Z,

resolvemos a proporção com B1 trocada de posição

com B2:

As grandezas que forem diretamente proporcionais

à grandeza Z são indicadas na mesma ordem

(direta) que aparecem na tabela enquanto que as

grandezas que forem inversamente proporcionais à

grandeza Z aparecerão na ordem inversa daquela

que apareceram na tabela.

Por exemplo, se temos cinco grandezas envolvidas:

A, B, C, D e Z, sendo a primeira A e a terceira C

diretamente proporcionais à grandeza Z e as outras

duas B e D inversamente proporcionais à grandeza

Z, deveremos resolver a proporção:

Observação: O problema difícil é analisar de um

ponto de vista lógico quais grandezas são

diretamente proporcionais ou inversamente

proporcionais. Como é muito difícil realizar esta

análise de um ponto de vista geral, apresentaremos

alguns exemplos para entender o funcionamento da

situação.

Exemplos:

1. Funcionando durante 6 dias, 5 máquinas

produziram 400 peças de uma mercadoria.

Quantas peças dessa mesma mercadoria serão

produzidas por 7 máquinas iguais às primeiras,

se essas máquinas funcionarem durante 9 dias?

Vamos representar o número de peças pela

letra X. De acordo com os dados do problema,

vamos organizar a tabela:

No. de

máquinas (A)

No. de dias

(B)

No. de peças

(C)

5 6 400

7 9 X

A grandeza Número de peças (C) servirá de

referência para as outras grandezas.

Analisaremos se as grandezas Número de

máquinas (A) e Número de dias (B) são

diretamente proporcionais ou inversamente

proporcionais à grandeza C que representa o

Número de peças. Tal análise deve ser feita de

uma forma independente para cada par de

grandezas.

Vamos considerar as grandezas Número de

peças e Número de máquinas. Devemos fazer

uso de lógica para constatar que se tivermos

mais máquinas operando produziremos mais

peças e se tivermos menos máquinas operando

produziremos menos peças. Assim temos que

estas duas grandezas são diretamente

proporcionais.

Vamos agora considerar as grandezas Número

de peças e Número de dias. Novamente

devemos usar a lógica para constatar que se

tivermos maior número de dias produziremos

maior número de peças e se tivermos menor

número de dias produziremos menor número

de peças. Assim temos que estas duas

grandezas também são diretamente

proporcionais.

Concluímos que todas as grandezas envolvidas

são diretamente proporcionais, logo, basta

resolver a proporção:


19

que pode ser posta na forma

Resolvendo a proporção, obtemos X=840,

assim, se as 7 máquinas funcionarem durante 9

dias serão produzidas 840 peças.

2. Um motociclista, rodando 4h por dia, percorre

em média 200 Km em 2 dias. Em quantos dias

esse motociclista irá percorrer 500 Km, se

rodar 5 h por dia? (h=hora, Km=quilômetro).

Vamos representar o número de dias procurado

pela letra X. De acordo com os dados do

problema, vamos organizar a tabela:

Quilômetros

(A)

Horas por

dia (B)

No. de

dias (C)

200 4 2

500 5 X

A grandeza Número de dias (C) é a que servirá

como referência para as outras grandezas.

Analisaremos se as grandezas Quilômetros (A)

e Horas por dia (B) são diretamente

proporcionais ou inversamente proporcionais à

grandeza C que representa o Número de dias.

Tal análise deve ser feita de uma forma

independente para cada par de grandezas.

Consideremos as grandezas Número de dias e

Quilômetros. Usaremos a lógica para constatar

que se rodarmos maior número de dias,

percorreremos maior quilometragem e se

rodarmos menor número de dias percorreremos

menor quilometragem. Assim temos que estas

duas grandezas são diretamente proporcionais.

Na outra análise, vamos agora considerar as

grandezas Número de dias e Horas por dia.

Verificar que para realizar o mesmo percurso,

se tivermos maior número de dias utilizaremos

menor número de horas por dia e se tivermos

menor número de dias necessitaremos maior

número de horas para p mesmo percurso.

Logo, estas duas grandezas são inversamente

proporcionais e desse modo:

que pode ser posta como

Resolvendo esta proporção, obtemos X=4,

significando que para percorrer 500 Km,

rodando 5 h por dia, o motociclista levará 4

dias.

PORCENTAGEM

Praticamente todos os dias, observamos nos meios

de comunicação, expressões matemáticas

relacionadas com porcentagem. O termo por cento

é proveniente do Latim per centum e quer dizer por

cem. Toda razão da forma a/b na qual o

denominador b=100, é chamada taxa de

porcentagem ou simplesmente porcentagem ou

ainda percentagem.

Historicamente, a expressão por cento aparece nas

principais obras de aritmética de autores italianos

do século XV. O símbolo % surgiu como uma

abreviatura da palavra cento utilizada nas

operações mercantis.

Para indicar um índice de 10 por cento, escrevemos

10% e isto significa que em cada 100 unidades de

algo, tomaremos 10 unidades. 10% de 80 pode ser

obtido como o produto de 10% por 80, isto é:

Produto = 10%.80 = 10/100.80 = 800 / 100 = 8

Em geral, para indicar um índice de M por cento,

escrevemos M% e para calcular M% de um número

N, realizamos o produto:

Produto = M%.N = M.N / 100

Exemplos:

1. Um fichário tem 25 fichas numeradas, sendo

que 52% dessas fichas estão etiquetadas com

um número par. Quantas fichas têm a etiqueta

com número par? uantas fichas têm a etiqueta

com número ímpar?

Par = 52% de 25 = 52%.25 = 52.25 / 100 = 13

Nesse fichário há 13 fichas etiquetadas com

número par e 12 fichas com número ímpar.

2. Num torneio de basquete, uma determinada

seleção disputou 4 partidas na primeira fase e

venceu 3. Qual a porcentagem de vitórias

obtida por essa seleção nessa fase?

Vamos indicar por X% o número que

representa essa porcentagem. Esse problema

pode ser expresso da seguinte forma:

X% de 4 = 3

Assim:

(X/100).4 = 3

4X/100 = 3

4X = 300

X = 75


20

Na primeira fase a porcentagem de vitórias foi

de 75%.

3. Numa indústria há 255 empregadas. Esse

número corresponde a 42,5% do total de

empregados da indústria. Quantas pessoas

trabalham nesse local? Quantos homens

trabalham nessa indústria?

Vamos indicar por X o número total de

empregados dessa indústria. Esse problema

pode ser representado por:

42,5% de X = 255

Assim:

42,5%.X = 255

42,5 / 100.X = 255

42,5.X / 100 = 255

42,5.X = 25500

425.X = 255000

X = 255000/425 = 600

Nessa indústria trabalham 600 pessoas, sendo

que há 345 homens.

4. Ao comprar uma mercadoria, obtive um

desconto de 8% sobre o preço marcado na

etiqueta. Se paguei R$ 690,00 pela mercadoria,

qual o preço original dessa mercadoria?

Seja X o preço original da mercadoria. Se

obtive 8% de desconto sobre o preço da

etiqueta, o preço que paguei representa 100%-

8%=92% do preço original e isto significa que

92% de X = 690

logo

92%.X = 690

92/100.X = 690

92.X / 100 = 690

92.X = 69000

X = 69000 / 92 = 750

O preço original da mercadoria era de R$

750,00.

JUROS Simples

Juro é toda compensação em dinheiro que se paga

ou se recebe pela quantia em dinheiro que se

empresta ou que é emprestada em função de uma

taxa e do tempo. Quando falamos em juros,

devemos considerar:

1. O dinheiro que se empresta ou que se pede

emprestado é chamado de capital.

2. A taxa de porcentagem que se paga ou se

recebe pelo aluguel do dinheiro é denominada

taxa de juros.

3. O tempo deve sempre ser indicado na mesma

unidade a que está submetida a taxa, e em caso

contrário, deve-se realizar a conversão para que

tanto a taxa como a unidade de tempo estejam

compatíveis, isto é, estejam na mesma unidade.

4. O total pago no final do empréstimo, que

corresponde ao capital mais os juros, é

denominado montante.

Para calcular os juros simples j de um capital C,

durante t períodos com a taxa de i% ao período,

basta usar a fórmula:

Exemplos:

1. O preço à vista de um aparelho é de R$ 450,00.

A loja oferece este aparelho para pagamento

em 5 prestações mensais e iguais porém, o

preço passa a ser de R$ 652,00. Sabendo-se

que a diferença entre o preço à prazo e o preço

à vista é devida aos juros cobrados pela loja

nesse período, qual é a taxa mensal de juros

cobrada por essa loja?

A diferença entre os preços dados pela loja é:

652,00 - 450,00 = 202,50

A quantia mensal que deve ser paga de juros é:

202,50 / 5 = 40,50

Se X% é a taxa mensal de juros, então esse

problema pode ser resolvido da seguinte forma:

X% de 450,00 = 40,50

X/100.450,00 = 40,50

450 X / 100 = 40,50

450 X = 4050

X = 4050 / 450

X = 9

A taxa de juros é de 9% ao mês.

2. Uma aplicação feita durante 2 meses a uma

taxa de 3% ao mês, rendeu R$ 1.920,00 de

juro. Qual foi o capital aplicado?

O capital que a aplicaçao rendeu mensalmente

de juros foi de: 1920,00/2=960,00. Se o capital

aplicado é indicado por C, esse problema pode

ser expresso por:

3% de C = 960,00

3/100 C = 960,00

3 C / 100 = 960,00

3 C = 96000

C = 96000/3 = 32000,00

O capital aplicado foi de R$ 32.000,00.


21

FUNÇÕES

INTRODUÇÃO

O mundo atual experimenta a cada dia inovações tecnológicas

importantes graças às relações funcionais entre variáveis. Podemos

destacar vários exemplos tais como: a função que relaciona voltagem e

corrente numa placa de computador ou a relação funcional entre o saldo

devedor e a taxa num financiamento de um carro ou até uma função

que, a partir de um exame de sangue seu, pode dizer se você tem um

tipo específico de doença.

Uma função ou relação funcional se estabelece quando existe

uma relação de dependência entre incógnitas. Formalmente, uma função

se define através de uma equação matemática relacionando as variáveis

de interesse.

Para o curso de cálculo diferencial e integral, o conhecimento de

funções tem vital importância. Portanto, esse capítulo se dedica a

analisar detalhadamente os mais variados tipos de funções.

VARIÁVEIS DEPENDENTES E

INDEPENDENTES

Uma função se estabelece quando

descrevemos quais são as suas variáveis

independentes e qual é a variável dependente. Por

exemplo, a aceleração de um carro depende da

intensidade com que você pisa no pedal do

acelerador. Nesse caso, a aceleração é a variável

dependente e a intensidade com que você pisa no

pedal é a variável independente.

Note que você controla uma das variáveis

(controla a sua intensidade) enquanto a outra é

conseqüência da primeira.

Uma função pode conter mais de uma

variável independente mas apenas uma variável

dependente. Na prática, isso significa que podem

existir várias causas com apenas uma conseqüência.

A função se encarrega de relacionar a contribuição

de cada causa com a conseqüência final.

Por exemplo, a temperatura média de uma

cidade pode depender da umidade, da distância do

equador e da altitude em que ela se encontra.

REPRESENTAÇÃO DE UMA FUNÇÃO Uma função com apenas uma variável

independente pode ser representada de duas

formas equivalentes:

y = equação da variável x ou f(x) =

equação da variável x

EXEMPLO Representar uma função em que a

variável dependente é igual ao quadrado da

variável independente.

SOLUÇÃO

A função pode ser representada das

seguintes formas:

2xy ou 2x)x(f

OBS.:

As variáveis que aparecem na função

não precisam ser, necessariamente, iguais a y e

x. Por

exemplo, a área de uma circunferência

depende do raio segundo a equação:

2rA ou 2r)r(A

Se quisermos conhecer o valor da

variável dependente, basta substituirmos um

valor onde aparece a variável independente.

Por exemplo, se quisermos saber a área da

circunferência de raio igual a 2 m, basta fazer:

2r)r(A

56,122)2(A 2 m2


22

GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO

O gráfico de uma função é uma curva

que expressa a relação entre a variável

dependente e as independentes. Estudaremos

nesse capítulo somente funções com uma

variável independente.

Podemos construir o gráfico de uma

função usando um sistema de duas

coordenadas posicionadas no plano cartesiano.

Primeiro, atribuímos valores para a

variável x e calculamos os valores

correspondentes da variável y através da

equação da função. Em seguida, posicionamos

essas duas coordenadas no plano cartesiano.

Atualmente, existem vários recursos

computacionais que possibilitam a construção

rápida de gráficos.

DEFINIÇÃO MATEMÁTICA DE FUNÇÃO Definimos uma função como uma

regra (equação) que permite associar cada

elemento x, de um conjunto A, a um único

elemento y de um conjunto B. O conjunto A é

chamado domínio da função. Já o conjunto B é

denominado imagem da função se cada

elemento seu está relacionado a, pelo menos,

um elemento do conjunto A.

Podemos entender melhor essa

definição usando o diagrama de Venn:

Pela definição dada, é natural pensar

que um único um valor de x se associa a um

único valor de y, porém, não é tão óbvio que

dois valores diferentes de x possam ser

associados ao mesmo valor de y. Um exemplo

prático disso é que uma cidade pode ter a

mesma temperatura em dois horários diferentes

durante o dia.

Vejamos essa situação no diagrama de

Venn:

Conforme a definição, a única situação

que não pode acontecer é um valor de x ser

associado a mais de um valor de y. Por

exemplo, uma cidade não pode ter duas

temperaturas diferentes ao meio-dia não é

mesmo ?

A conseqüência imediata das

afirmações anteriores é a seguinte regra:

Uma curva no plano cartesiano é gráfico de

uma função se qualquer reta vertical não

intercepta essa curva mais de uma vez dentro

do seu domínio.

Vejamos dois exemplos:

É gráfico de uma função

f(x)


23

Não é gráfico de uma função

FUNÇÕES DISCRETAS E FUNÇÕES

CONTÍNUAS

Estamos freqüentemente em contato

com funções de dois tipos: as funções discretas

e as funções contínuas.

As funções discretas aparecem nos

jornais, na televisão e nas revistas em forma de

gráficos. Por exemplo, considere que o censo

demográfico de uma cidade forneceu os

seguintes resultados:

ANO POPULAÇÃO

1970 154.000

1980 285.000

1990 430.100

2000 610.300

Para visualizar melhor, podemos

transformar essa tabela num gráfico em forma

de barras verticais:

O exemplo do censo demográfico

mostra duas características interessantes das

funções discretas. A primeira característica é

que toda função discreta é representada por

uma tabela.

A segunda, e mais importante,

característica é a impossibilidade de sabermos

o valor da variável dependente para valores

não-tabelados da variável independente. Por

exemplo, não sabemos quantos habitantes

existem na cidade no ano de 1985.

Em geral, as funções discretas são

resultados de medições em intervalos de tempo

regulares. A inflação mensal, a temperatura

diária, o lucro anual e o censo demográfico de

dez em dez anos são exemplos de funções

discretas.

Por outro lado, as funções contínuas

são representadas por equações no lugar de

tabelas e é possível saber o valor da variável

dependente para qualquer valor da variável

independente.

Um exemplo de função contínua é a

velocidade instantânea de um carro sujeito à

aceleração constante:

atV)t(V 0

Suponha que estejamos interessados

em calcular a velocidade no instante t=2s

sabendo-se que a velocidade inicial V0 é igual

a 3m/s e a aceleração a é igual a 1m/s2:

5213)2(V m/s

Qualquer valor de tempo que você

imaginar tem uma velocidade correspondente.

Para visualizar melhor, vamos

construir o gráfico dessa função:

DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO O domínio de uma função é o conjunto

de todos os valores possíveis da variável

independente.

EXEMPLO

Encontre o domínio da função:

x)x(f

Censo demográfico de uma cidade

0

100.000

200.000

300.000

400.000

500.000

600.000

700.000

1970 1980 1990 2000

Ano

Hab

itan

tes


24

SOLUÇÃO Não são possíveis valores negativos de

x já que, dentre os números reais, não existe a

raiz quadrada de um número negativo.

Assim, o domínio da função é

representado da seguinte forma:

}0x/x{D f R

Devemos ler essa notação matemática

da seguinte forma:

x pertence ao conjunto dos números reais

tal que x é maior ou igual a zero

EXEMPLO

Encontre o domínio da função:

x

1)x(f

SOLUÇÃO

Nesse caso, não é possível x=0 já que

0

1 não é definido como um número real.

Assim, o domínio da função é

representado da seguinte forma:

}0x/x{D f R

OBS.:

A expressão 0

1 não é definida porque

não existe um número real que multiplicado

por zero seja igual a 1.

IMAGEM DE UMA FUNÇÃO A imagem é o conjunto de todos os

resultados que a variável dependente assume

quando usamos os valores do domínio na

equação da função.

EXEMPLO

Encontre a imagem da função:

x)x(f

SOLUÇÃO

Para qualquer valor de x dentro do

domínio da função (só valores positivos de x),

a variável y assume apenas valores positivos

(incluindo o zero).

Assim, a imagem da função é

representada da seguinte forma:

}0y/y{Im f R

EXEMPLO

Encontre a imagem da função:

2x)x(f

SOLUÇÃO

Para qualquer valor de x dentro do

domínio da função (todos os números reais), a

variável y assume apenas valores negativos

(incluindo o zero).

Assim, a imagem da função é

representada da seguinte forma:

}0y/y{Im f R

Exercícios

1 – Encontre o domínio das funções abaixo:

a) 3x)x(f

b) 3x

1)x(f

c) 2x

1)x(f

d) 2x)x(f

e) 1x)x(f

f) x

1)x(f

g) 1x

1)x(f

FUNÇÃO AFIM

A função Afim é aquela que estabelece

uma taxa constante de crescimento (ou

decrescimento) da variável dependente.

EXEMPLO

O apresentador do jornal da televisão

informa que as exportações do país atualmente

atingiram 300 milhões e estão crescendo 100

milhões por ano.

SOLUÇÃO


25

Para entender melhor o problema,

vamos construir a seguinte tabela:

Prazo

Total de

Exportações (em

milhões)

Hoje 300

Após 1 ano 400 (= 300 + 1 100)

Após 2 anos 500 (= 300 + 2 100)

Após 3 anos 600 (= 300 + 3 100)

... ...

Após x anos 300 + x 100

A função que relaciona o total de

exportações e o número de anos é então dada

por:

x100300)x(f

Matematicamente, a função afim é

dada pela relação:

bax)x(f ou baxy

Essa função é caracterizada

graficamente por uma reta. O valor de “a” é

chamado coeficiente angular ( ou taxa de

variação) e o valor de “b” é chamado

coeficiente linear.

COEFICIENTE ANGULAR O coeficiente angular indica a taxa

constante de crescimento ou decrescimento de

y. Podemos analisá-lo de duas formas:

Pelo seu sinal;

Pelo seu valor absoluto.

Quando analisamos o coeficiente

angular pelo seu sinal estamos interessados em

saber se a taxa é de crescimento ou de

decrescimento.

Uma taxa de crescimento é

caracterizada por um valor positivo e uma taxa

de decrescimento é caracterizada por um valor

negativo.

EXEMPLO

Vamos considerar que a temperatura

no interior de uma sala refrigerada decresce a

uma taxa constante de 2oC a cada hora

enquanto do lado de fora a temperatura está

crescendo a uma taxa constante de 2oC a cada

hora.

SOLUÇÃO

No primeiro caso, o coeficiente

angular é igual a -2oC/h. Isso significa que a

cada hora a temperatura cai 2oC. Por exemplo,

se a sala estava inicialmente a 30oC então após

1 hora a temperatura será de 28oC, após 2

horas a temperatura será de 26oC e assim por

diante.

No segundo caso, o coeficiente angular

é igual a +2oC/h. Isso significa que a cada hora

a temperatura sobe 2oC. Por exemplo, se a

temperatura do lado de fora da sala estava em

30oC então após 1 hora a temperatura será de

32oC, após 2 horas a temperatura será de 34

oC

e assim por diante.

O gráfico da temperatura para o lado

de dentro e para o lado de fora da sala é dado

por:

Por outro lado, quando analisamos o

coeficiente angular pelo seu valor absoluto

(apenas o número sem considerar o sinal)

estamos interessados em saber se a taxa de

crescimento ou decrescimento (dependendo do

sinal) é elevada ou não.

COEFICIENTE LINEAR

O coeficiente linear indica onde a

função corta o eixo y, ou seja, o valor de y

quando x é igual a zero. Podemos encontrar

dois casos:

Coeficiente linear positivo, quando a

função corta o eixo y num valor

positivo;


26

Coeficiente linear negativo, quando a

função corta o eixo y num valor

negativo.

EXEMPLO

Vamos considerar o caso de duas

funções com coeficiente angular positivo, uma

com coeficiente linear positivo e a outra com

coeficiente linear negativo:

Coeficiente linear positivo

Coeficiente linear negativo

EXEMPLO

Agora vamos considerar o caso de duas

funções com coeficiente angular negativo, uma com

coeficiente linear positivo e a outra com coeficiente

linear negativo:

Coeficiente linear positivo

Coeficiente linear negativo

COMO OBTER A FUNÇÃO

A FUNÇÃO AFIM

Vamos supor que conhecemos dois pontos

)y,x( 00 e )y,x( 11 pelos quais a reta passa.

A inclinação da reta é dada pela tangente

do ângulo no triângulo mostrado no gráfico:

adjacente cateto

oposto catetotga

x

y

xx

yya

01

01

Fazendo yy1 e xx1 na fórmula

acima podemos encontrar a equação da reta:

0

0

xx

yya


27

)xx(a)yy( 00

Essa equação é usada quando sabemos

qual é o coeficiente angular e um ponto por onde a

reta passa.

OBS.:

Poderíamos ter feito yy0 e xx0 .

Nesse caso, teríamos a seguinte equação da reta:

)xx(a)yy( 11

Isso significa que qualquer um dos dois

pontos pode ser usado na equação.

EXEMPLO

Encontrar a equação da reta que passa

pelos pontos )0,1()y,x( 00 e

)3,2()y,x( 11 .

SOLUÇÃO

Primeiramente, devemos encontrar o

coeficiente angular:

312

03

xx

yya

01

01

Agora, podemos usar a equação da reta:

)xx(a)yy( 00

)1x(3)0y(

3x3y

Por outro lado, poderíamos ter escolhido o

outro ponto:

)xx(a)yy( 11

)2x(3)3y(

3x336x3y

CRESCIMENTO OU

DECRESCIMENTO DA FUNÇÃO

Definimos uma função crescente quando, à

medida que x aumenta dentro de um intervalo, o

valor de y também aumenta. Na função Afim, isso é

caracterizado pelo valor positivo do coeficiente

angular.

EXEMPLO

3x3y

coeficiente angular = +3, reta crescente.

1x2y

coeficiente angular = +2, reta crescente.

Definimos uma função decrescente

quando, à medida que x aumenta dentro de um

intervalo, o valor de y diminui. Um coeficiente

angular negativo caracteriza uma reta decrescente.

EXEMPLO

1x3y

coeficiente angular = -3, reta decrescente.

3x2y

coeficiente angular = -2, reta decrescente.

OBS.:

Pode acontecer do valor de “a” ser nulo.

Nesse caso, a reta, que não é crescente e nem

decrescente, é chamada função constante (não

possui inclinação).

ESBOÇO DO GRÁFICO ATRAVÉS DA

EQUAÇÃO DA FUNÇÃO

Podemos usar o nosso raciocínio para

construir o gráfico da função encontrando as duas

coordenadas mais importantes: onde a função corta

o eixo x e onde corta o eixo y.

Para encontrar em que ponto a função

corta o eixo x, basta colocar zero onde aparecer y

na equação. O valor calculado de x deve ser

marcado sobre o eixo x.

Para encontrar em que ponto a função

corta o eixo y, basta colocar zero onde aparecer x

na equação. O valor calculado de y deve ser

marcado sobre o eixo y. Esse valor é igual ao

coeficiente linear da função Afim.

Finalmente, usando uma régua, ligamos

esses dois pontos com uma reta.

EXEMPLO

Encontrar o gráfico da função:

1x2y

SOLUÇÃO

Para 0y , 2

1x1x201x2


28

Para 0x , 1y102y

Vamos agora posicionar os dois pontos no

gráfico:

Finalmente, devemos traçar a reta que

passa pelos dois pontos:

CLASSIFICAÇÃO

A função y = ax + b pode se enquadrar

num dos três tipos listados abaixo:

Função Afim;

Função Linear;

Função Constante.

A função afim é caracterizada por a0 e

b0. Isso faz com que o gráfico nunca passe pela

origem dos eixos (x=0 e y=0).

EXEMPLO

Exemplos de funções do tipo afim:

1x2y (função afim crescente)

3x2y (função afim decrescente)

Esboço do gráfico de uma função afim

(decrescente):

A função linear é caracterizada por a0 e

b=0. Isso faz com que o gráfico sempre passe pela

origem do plano cartesiano (x=0 e y=0).

EXEMPLO

Exemplos de funções do tipo linear:

x2y (função linear crescente)

x2y (função linear decrescente)

Esboço do gráfico de uma função linear (crescente):

A função constante é caracterizada por

a=0. Isso faz com que o gráfico da função seja uma

reta horizontal, ou seja, o valor de y não varia com

x.

EXEMPLO Exemplos de funções do tipo constante:

2y (positiva)

2y (negativa)

Esboço do gráfico de uma função constante

(positiva):


29

Exercícios

1. Classifique as funções abaixo em crescentes ou

decrescentes:

a) 1x3y

b) 1x2y

c) xy

d) x3y

e) 1x2

1y

f) x2

11y

2. Classifique as funções abaixo em afim, linear e

constante:

a) 1x3y

b) 3y

c) xy

d) 1y

e) x3y

f) 1x2y

3. Encontre a equação da reta que passa pelos

pontos:

a) (1,3) e (2,6)

b) (-1,2) e (2, -4)

c) (2,5) e (3,5)

d) (1,1) e (3,5)

e) (3,2) e (4,1)

f) (3,4) e (1,1)

4. Com os resultados da questão anterior,

construa o gráfico correspondente a cada uma

das retas.

MODELOS BASEADOS NA FUNÇÃO AFIM

Um modelo matemático é uma função que

representa um determinado problema. Existem

muitos exemplos de problemas que podem ser

modelados por uma função Afim:

Juros simples;

Avaliação de alternativas de consumo de

celular;

Movimento uniforme (MU);

Movimento uniformemente variado (MUV).

JUROS SIMPLES

No regime de capitalização chamado juros

simples os juros são proporcionais ao tempo da

aplicação. Por exemplo, se dobrarmos o prazo de

um empréstimo então os juros dobrarão de valor.

A equação abaixo fornece o valor dos juros

de uma aplicação em juros simples:

100

tiCJ

Nessa equação, identificamos os seguintes

parâmetros:

C é o capital aplicado em dinheiro;

i é a taxa percentual por unidade de tempo (diária,

mensal, anual, etc);

t é o tempo da aplicação (dia, mês, ano, etc)

Definimos o montante de uma aplicação

como sendo a soma do capital com os juros do

período considerado. Pela definição, a fórmula de

cálculo do montante é dada por:

100

tiCCJCM

EXEMPLO

Quanto rende de juros uma aplicação de

$10.000,00 a uma taxa de juros de 3% ao mês

durante 2 meses ?

SOLUÇÃO

Usando a equação do regime de juros

simples:

00,600$100

2300,000.10

100

tiCJ

ALTERNATIVAS DE

CONSUMO DE CELULAR

Suponha que a sua operadora de celular

tenha duas opções de plano de consumo:


30

Plano pós-pago: você paga a assinatura de

$30,00 mais $0,40 por minuto de ligação.

Plano pré-pago: $1,00 por minuto de ligação.

Baseado nos dois planos acima, explique

até que ponto o plano pré-pago é mais vantajoso

que o pós-pago ?

O modelo do plano pós-pago é dado pela

equação:

t4,030Consumo , onde t é o tempo de

conversação em minutos.

O plano pré-pago pode ser modelado

segundo a equação abaixo:

t1Consumo , onde t é o tempo de

conversação em minutos.

A partir das equações dos modelos,

podemos montar o gráfico a seguir:

A linha tracejada corresponde ao plano

pós-pago e a linha cheia ao plano pré-pago.

Conforme o gráfico, as duas retas se

encontram no tempo de 50 minutos (marcado com

um círculo). Nesse ponto as duas contas são iguais,

ou seja, se você consumir 50 minutos todo mês

então será indiferente você ter um plano pré-pago

ou pós-pago.

O valor da conta com o consumo de 50

minutos será de $50,00.

Abaixo de 50 minutos, podemos verificar

que a linha cheia está abaixo da linha tracejada. Isso

significa que se você consumir menos de 50

minutos por mês, então o plano pré-pago é mais

vantajoso porque a conta é mais barata.

Já acima de 50 minutos, verificamos que a

linha tracejada está abaixo da linha cheia,

mostrando que se você consumir mais de 50

minutos por mês então o plano de conta é mais

interessante já que no final do mês a conta será

menor.

MOVIMENTO UNIFORME

A velocidade é definida como a rapidez

para completar um percurso. Isso é medido em

termos de quanta distância é percorrida num

período de tempo. Por exemplo, se um carro

percorre 100 quilômetros em 2 horas, então a sua

velocidade é de 50 quilômetros por cada hora do

percurso.

Em física, definimos o movimento

uniforme como sendo aquele cuja velocidade é

constante. Por esse motivo, podemos encarar o

espaço como uma função do 1o grau dada por:

tVSS 0

Note que a velocidade é o coeficiente

angular da reta e o seu valor determina se o espaço

está crescendo ou decrescendo à medida que o

tempo passa.

EXEMPLO

Duas horas após iniciar o movimento, em

que ponto estará um automóvel que viaja a uma

velocidade constante de 50km/h e está situado

inicialmente a 10km da origem ?

SOLUÇÃO

Os dados do problema são:

km10S0 , h/km50V e h2t

Vamos calcular em que ponto estará o

automóvel a partir da equação do espaço:

t5010S

km11025010S

O automóvel estará a 110km da origem.

Note que 110km não é o espaço percorrido em

duas horas, mas onde estará o automóvel em

relação ao ponto de referência.

MOVIMENTO

UNIFORMEMENTE VARIADO

A aceleração é definida como sendo a taxa

de variação da velocidade na unidade de tempo.

Isso é medido em termos de quanto aumenta ou

diminui a velocidade num período de tempo. Por

exemplo, se um carro tem uma velocidade de 5m/s

e 10 segundos depois está com uma velocidade de

15m/s então a sua aceleração é de 10m/s em 10

segundos, ou seja, 1 m/s2.

Em física, definimos o movimento

uniformemente variado como sendo aquele cuja

0

10

20

30

40

50

60

70

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

tempo de conversação (min)

Co

nsu

mo

($)


31

aceleração é constante. Dessa forma, podemos

modelar a velocidade como uma função do 1o grau:

taVV 0

É importante perceber que a aceleração é o

coeficiente angular da reta e o seu valor determina

se a velocidade está crescendo ou decrescendo à

medida que o tempo passa.

EXEMPLO

Um automóvel viaja a uma velocidade de

10m/s e 5 segundos depois está a 20m/s. A que

velocidade estará o automóvel em 10 segundos

mantendo a aceleração constante ?

SOLUÇÃO

Os dados do problema são:

s/m10V0 , 2s/m2

5

1020a

e s10t

Vamos calcular em que velocidade o

móvel estará através da equação da velocidade:

s/m3010210t210V

FUNÇÃO QUADRÁTICA

A função em que a maior potência da

variável independente é igual a dois chama-se

função quadrática. Matematicamente, a função

quadrática é dada pela relação:

cbxax)x(f 2 ou cbxaxy 2

Essa função é caracterizada graficamente

por uma parábola. O gráfico de uma função

quadrática tem a propriedade de ser simétrico em

relação ao seu vértice.

O valor de “c” identifica o ponto onde a

função quadrática corta o eixo y e o seu

posicionamento é similar ao coeficiente linear na

função afim.

EXEMPLO

A função do espaço no MUV é dada pela

seguinte equação do 2o grau:

2

attVSS

2

00

Note que a maior potência da variável

independente t é dois.

CONCAVIDADE DA FUNÇÃO

QUADRÁTICA

A concavidade é uma característica

importante da função, já que indica se a abertura da

parábola está para cima ou para baixo. Essa

característica pode ser prevista através do

parâmetro “a” da equação, conforme a

classificação:

a>0 (a positivo): concavidade para cima, ou

seja, abertura para cima.

a<0 (a negativo): concavidade para baixo, ou

seja, abertura para baixo.

EXEMPLO

Concavidade para cima

Concavidade para baixo

Vértice da Parábola

c


32

ZEROS DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

São os valores de x que anulam a função

quadrática. Assim:

y=0 ou f(x)=0

A forma mais usada de resolução da

equação quadrática é através da fórmula de

Baskara:

a2

ac4bbx

2

a2

ac4bbx

2

Note que na função afim só existe um

único valor que anula a função (corta o eixo x)

enquanto que na função quadrática existem dois

valores.

EXEMPLO

Encontre os zeros da função

6x5xy 2 .

SOLUÇÃO

06x5x 2

32

15

2

24255

)1(2

)6()1(4)5()5(x

2

22

15

2

24255

)1(2

)6()1(4)5()5(x

2

Uma segunda forma de resolver o

problema é através do cálculo do discriminante :

ac4b2

Obteremos então as seguintes raízes como

solução:

a2

bx

a2

bx

A introdução do elemento simplifica o

entendimento do resultado de x’ e x”. Podemos

estabelecer a seguinte classificação baseada no

valor de :

Quando >0:

Quando isso acontece, certamente teremos

2 raízes reais e diferentes, ou seja, a função

quadrática “cortará” o eixo x nos pontos x’ e x”.

EXEMPLO

06x5x 2

)6()1(4)5( 2

1

3)1(2

1)5(x

2)1(2

1)5(x

Quando =0:

Quando isso acontece, certamente teremos

2 raízes reais e iguais, ou seja, a função quadrática

“tangenciará” o eixo x no ponto x’=x”.

EXEMPLO

04x4x 2

)4()1(4)4( 2

0

2)1(2

0)4(x

2)1(2

0)4(x


33

OBS.:

Nesse caso, dizemos que a raiz 2 tem

multiplicidade 2 (2 raízes iguais a 2).

Quando <0:

Quando isso acontece, certamente não

teremos raízes reais, ou seja, a função quadrática

não “cortará” nem “tangenciará” o eixo x.

EXEMPLO

05x4x 2

)5()1(4)4( 2

4

Portanto:

R x,x

PONTOS DE MÁXIMO E MÍNIMO DA

FUNÇÃO QUADRÁTICA

Dependendo da concavidade da função

quadrática, podemos perceber que o vértice da

parábola situa-se no ponto mais baixo ou no ponto

mais alto do gráfico.

Denominamos ponto de máximo ao valor

de x cujo valor de y é máximo, ou seja, quando o

valor de y está no ponto mais alto do gráfico. Isso

acontece quando a função tem concavidade para

baixo (a<0).

Denominamos ponto de mínimo ao valor

de x cujo valor de y é mínimo, ou seja, quando o

valor de y está no ponto mais baixo do gráfico. Isso

acontece quando a função tem concavidade para

cima (a>0).

O ponto de máximo ou mínimo pode ser

calculado através do conhecimento das coordenadas

do vértice da parábola:

a2

bx v

a4yv

EXEMPLO

Gráfico com ponto de mínimo

Gráfico com ponto de máximo

EXEMPLO

Calcule o valor de xv e yv da função

6x5xy 2 e diga se xv é máximo ou

mínimo.

SOLUÇÃO

A partir da função encontramos os

seguintes resultados:

1)6()1(4)5( 2

5,22

5

12

)5(

a2

bx v

25,04

1

14

1

a4yv

Observando o gráfico da função podemos

entender melhor o problema:


34

Logo, o ponto xv=2,5 é ponto de mínimo já

que a concavidade está voltada para cima (a>0).

Nesse caso, yv=-0,25 é o menor valor que a função

assume.

OBSERVAÇÕES NO GRÁFICO

1) Gráfico para as funções y= x2

e x= y2

2) Gráfico para as funções y=-x2

e x=-y2

3) Gráfico para as funções y= x2-x-6 e x= y

2-y-6.

4) Alguns gráficos alterando apenas o “b” das

funções:

y=x2-x-6

y=x2-2x-6

y=x2-3x-6

y=x2-4x-6


35

5) Alguns gráficos alterando apenas o “a” das

funções:

y=x2-x-6

y=2x2-x-6

y=3x2-x-6

y=4x2-x-6

6) Alguns gráficos alterando apenas o “c” das

funções:

y=x2-x-3

y=x2-x-4

y=x2-x-5

y=x2-x-6

7) Alguns gráficos para as funções:

y+x+4=x2

y-15x+36=y2

MODELOS BASEADOS NA FUNÇÃO

QUADRÁTICA

Existem muitos problemas que podem ser

modelados por uma função quadrática:

Movimento uniformemente variado (MUV);

Trajetória de projéteis;

MOVIMENTO

UNIFORMEMENTE VARIADO

No movimento uniformemente variado, a

posição do móvel depende do tempo conforme a

seguinte função quadrática:

2

attVSS

2

00

Onde:

S é a posição final do móvel em relação à origem;

S0 é a posição inicial do móvel em relação à

origem;

V0 é a velocidade inicial do móvel;

t é o tempo de percurso desde a posição inicial S0

até a posição final S;

EXEMPLO

Um automóvel começou a mover-se num

ponto que está a 20 metros distante da origem com


36

aceleração constante de 1m/s2. Encontre a posição

final do móvel após 10 segundos.

SOLUÇÃO

A velocidade inicial do automóvel é igual

a zero, já que estava parado e começou a se mover

no ponto inicial. Substituindo os dados do problema

na equação da posição:

2

t120

2

attVSS

22

00

Após 10 segundos, o automóvel estará na

posição:

m702

)10(20S

2

TRAJETÓRIA DE PROJÉTEIS

Em aplicações militares é interessante

descobrir a trajetória de projéteis para que um alvo

possa ser atingido com precisão. Galileu foi o

primeiro a demonstrar que a equação da trajetória

de um projétil é dada por:

2

20

x)cosV(2

gx)tg(y

Onde:

y é a altura que o projétil alcança;

x é a distância horizontal do projétil;

V0 é a velocidade inicial do projétil;

é o ângulo de lançamento do projétil.

EXEMPLO

Encontre a altura máxima que pode atingir

um míssil lançado de um equipamento de artilharia

terrestre.

SOLUÇÃO

A altura máxima é dada pelo valor do yv:

g

)cosV(2

4

)tg(

a4y

20

2

v

Fica mais fácil simplificar essa expressão

se soubermos que:

cos

sentg

Então a altura máxima é dada por:

g2

)senV(y

20

v

Isso significa que a altura máxima

possível, considerando a velocidade inicial

constante, depende do ângulo de lançamento do

projétil e acontece quando o ângulo é de 90o (é um

lançamento para cima!), já que sen(90o)=1.

Exercícios

1. Calcule os valores de xv e yv e diga, para cada

caso, se o ponto xv é de máximo ou mínimo:

a) 9x6xy 2

b) 8x6xy 2

c) 7x5xy 2

2. A partir das funções da questão anterior,

identifique o número de raízes reais e construa

o seu respectivo gráfico.

3. Considere a função do 2o grau:

cbxax)x(f 2

Somando e subtraindo a4

b2

no segundo

membro, obtenha a seguinte expressão:

a4a2

bxa)x(f

2

Em seguida:

a) Mostre que se a>0, então o menor valor de

f(x) ocorre em a2

bx . Substituindo

esse valor na expressão anterior, descubra

o menor valor que a função assume.

b) Mostre que se a<0, então o maior valor de

f(x) também ocorre em a2

bx .

Substituindo esse valor na expressão

anterior, descubra o maior valor que a

função assume.


37

c) Fazendo 0)x(f , demonstre a fórmula

de Baskara.

FUNÇÃO EXPONENCIAL

A função que representa um crescimento

(ou um decrescimento) multiplicativo é conhecida

como função exponencial.

EXEMPLO

Um capital dobra a cada ano de aplicação.

Encontre a função que expressa a relação entre o

capital e o montante.

SOLUÇÃO

Vamos representar o capital aplicado pela

letra C e o montante pela letra M. A cada ano o

montante será igual ao dobro do valor do capital

aplicado no início do ano anterior, ou seja:

Prazo da Aplicação Montante

Hoje C

Após 1 ano 2C

Após 2 anos 4C (=22C)

Após 3 anos 8C (=23C)

... ...

Após x anos 2xC

A função que relaciona o capital e o

montante é então dada por:

x2C)x(f

A função exponencial é caracterizada pela

seguinte expressão:

xa)x(f , com a > 0.

Chamamos os parâmetros “a” de base e

“x” de expoente. A base de uma função

exponencial representa o valor do seu crescimento

ou decrescimento multiplicativo.

Por exemplo, se uma função triplica a cada

ano ou reduz-se à metade a cada hora então a base é

representada por esses valores.

A característica principal do seu gráfico é

o seu crescimento (ou decrescimento) rápido. Outra

característica é que o gráfico da função exponencial

corta o eixo y no ponto y = +1.

EXEMPLO

PROPRIEDADES DA EXPONENCIAL

Para compreender o comportamento de

uma função exponencial é necessário conhecermos

as seguintes propriedades:

0a1a 0

EXEMPLO

11000 0

nmnm aaa

EXEMPLO

52323 2222

nm

n

m

aa

a

EXEMPLO

123

2

3

222

2

mmm )ab(ba


38

EXEMPLO

3333 6)32(32

m

ma

a

1

EXEMPLO

2

22

2

1

n mn

m

aa

EXEMPLO

5 25

2

33

nmnm a)a(

EXEMPLO

155353 22)2(

CLASSIFICAÇÃO DA FUNÇÃO

EXPONENCIAL

A função exponencial pode ser classificada

em crescente e decrescente, conforme o valor do

parâmetro “a” da equação:

xa)x(f

1o caso: a>1

Quando o valor de a é maior do que 1, a

função é dita crescente. O que acontece nesse caso

é que a função representa um crescimento

multiplicativo.

EXEMPLO

Uma colônia de bactérias triplica a cada

hora. Encontre o número de bactérias após 4 horas,

sendo que no instante inicial o número de bactérias

é igual a 10.000.

SOLUÇÃO Conforme o enunciado, a função que

representa o problema é:

x3)000.10(y

Como a base é igual a 3, a função é

crescente. Após 4 horas, o número de bactérias é

igual a:

000.8103)000.10(y 4

bactérias.

O gráfico dessa função é dado por:

2o caso: 0<a<1

Quando o valor de a é maior do que zero e

menor do que 1, a função é dita decrescente. O que

acontece nesse caso é que a função representa um

decrescimento multiplicativo.

EXEMPLO

Um carro perde 10% do seu valor a cada

ano de uso. Sabendo-se que o valor inicial do carro

é $20.000,00, calcule seu valor após 3 anos.

SOLUÇÃO

A cada ano de uso, o valor do automóvel

se torna 90% do valor do ano anterior. Portanto, a

função que representa o problema é:

x

x

9,0)000.20(100

90)000.20(y

Como a base é igual a 0,9, a função é

decrescente. Após 3 anos, o valor do carro é igual a:

00,580.14$9,0)000.20(y 3


39

O gráfico dessa função é dado por:

OBS:

A parte em que x é negativo não existe

para os dois exemplos mostrados já que a variável

x é o tempo e não é possível existir tempo negativo.

O VALOR DE “e”

Quando estamos trabalhando com funções

exponenciais, é muito freqüente aparecerem

expressões em que a base da função é a letra “e”.

Essa letra, dada em homenagem ao matemático

Leonard Euler, representa um número irracional

igual a:

...7182,2e


EXPONENCIAL

Existem muitos problemas que podem ser

modelados por uma função exponencial:

Juros compostos;

Financiamento;

Diodo semicondutor.

JUROS COMPOSTOS

No regime de capitalização chamado juros

compostos o montante cresce exponencialmente

com a taxa de juros mensal i e o tempo de aplicação

n.

EXEMPLO

Calcularemos o montante mês a mês de

uma aplicação de $10.000,00 a uma taxa de 1% ao

mês durante 4 meses.

SOLUÇÃO

Primeiramente, devemos transformar a

taxa percentual em taxa unitária. Nesse caso, uma

taxa de 1% corresponde a:

01,0100

1%1

Vamos agora montar um quadro da

aplicação:

Prazo da

Aplicação Juros Montante

Hoje $0,00 $10.000,00

Após 1 mês $10.000,00 0,01

= $100,00 $10.100,00

Após 2

meses $10.100,00 0,01

= $101,00 $10.201,00

Após 3

meses $10.201,00 0,01

= $101,00 $10.303,01

Após 4

meses $10.303,01 0,01

= $103,03 $10.406,04

A equação abaixo fornece o valor do

montante de uma aplicação financeira:

n)i1(CM

Nessa equação, identificamos os seguintes

parâmetros:

C é o capital aplicado em dinheiro;

i é a taxa unitária na unidade de tempo (diária,


n é o tempo da aplicação (dia, mês, ano, etc)

EXEMPLO

Quanto rende de juros uma aplicação de

$10.000,00 a uma taxa de 3% ao mês durante 2

meses ?

SOLUÇÃO

Usando a equação do regime de juros

compostos:

n)i1(CM

00,609.10$)03,01(00,000.10$M 2

O montante é definido como sendo a soma

do capital com os juros do período considerado. A

partir dessa definição, os juros podem ser

calculados da seguinte forma:


40

CMJ

00,609$00,000.10$00,609.10$J

FINANCIAMENTO

Quando você está interessado em adquirir

um carro ou uma casa, porém não tem possibilidade

de pagar à vista, uma das soluções é pedir um

empréstimo a uma instituição financeira através de

uma operação conhecida como financiamento.

O financiamento é um plano de pagamento

baseado no princípio de que o valor de cada

prestação divide-se em duas parcelas:

Amortização do valor emprestado: uma parte

de cada prestação deve diminuir (amortizar) o

valor que foi emprestado.

Juros sobre o saldo devedor: outra parte da

prestação deve pagar juros sobre a parte do

valor emprestado que não foi amortizada (saldo

devedor).

A equação do financiamento é dada por:

1)i1(

)i1(iVEP

n

n

Onde:

P é o valor da prestação em dinheiro;

VE é o valor emprestado em dinheiro;

i é a taxa unitária na unidade de tempo (diária,


n é o tempo da aplicação (dia, mês, ano, etc).

EXEMPLO

Construir o plano de financiamento de um

carro que custa $10.000,00 a uma taxa de 1% ao

mês (i=0,01) durante 12 meses.

SOLUÇÃO

Valor da parcelas é calculado da seguinte

forma:

1)i1(

)i1(iVEP

n

n

1)01,01(

)01,01(01,000,000.10P

12

12

49,888$P

PLANO DE FINANCIAMENTO

Tempo (meses)

Juros

(J=SDi) Dívida

(D) Parcela

(P) Amortização

(A=P-J) Saldo Devedor

(SD=D-P)

Hoje $10.000,00 $10.000,00

Após 1 mês $100,00 $10.100,00 $888,49 $788,49 $9.211,51

Após 2 meses $92,12 $9.303,63 $888,49 $796,37 $8.415,14

Após 3 meses $84,15 $8.499,29 $888,49 $804,34 $7.610,80

Após 4 meses $76,11 $7.686,91 $888,49 $812,38 $6.798,42

Após 5 meses $67,98 $6.866,40 $888,49 $820,51 $5.977,91

Após 6 meses $59,78 $6.037,69 $888,49 $828,71 $5.149,20

Após 7 meses $51,49 $5.200,69 $888,49 $837,00 $4.312,20

Após 8 meses $43,12 $4.355,32 $888,49 $845,37 $3.466,83

Após 9 meses $34,67 $3.501,50 $888,49 $853,82 $2.613,01

Após 10 meses $26,13 $2.639,14 $888,49 $862,36 $1.750,65

Após 11 meses $17,51 $1.768,16 $888,49 $870,98 $879,67

Após 12 meses $8,80 $888,49 $888,49 $879,69 $0,00* (dívida paga)

Totais $661,85 $10.661,88 $10.000,00* * ocorre uma diferença $0,02 por causa do arredondamento nas casas decimais.


41

Graficamente, podemos representar a operação por:

A parte cinza é a contribuição dos juros e a parte preta é a contribuição da amortização no valor da

parcela. Desta forma, concluímos que a amortização deve crescer com o tempo e o valor dos juros deve

decrescer com o tempo.

DIODO SEMICONDUTOR

Chamamos de diodo ao elemento de

circuito eletrônico construído com semicondutores

(em geral são usados o silício, o germânio, o

arsênio e o gálio). O diodo possui dois terminais

conhecidos como catodo e anodo. O catodo é o

terminal negativo e o anodo é o terminal positivo.

A finalidade do diodo é conduzir a

corrente elétrica somente num sentido e bloquear a

corrente em sentido contrário. O diodo sempre

permitirá passagem de corrente elétrica quando a

tensão no anodo for maior que a tensão no catodo.

As figuras abaixo mostram o símbolo do

diodo e algumas imagens reais dos componentes:

Símbolo:

Componentes:

(DIODO)

(LED)

A equação que modela o funcionamento

do diodo semicondutor é dada por:

T

D

V

v

SD eIi , para vD0V

Onde:

iD é a corrente do diodo;

IS é a corrente de saturação (10-15

A);

vD é a tensão sobre o diodo;

VT é a tensão térmica (25mV).

A característica exponencial do diodo faz

com que a sua principal aplicação seja o

chaveamento analógico. Isso significa que,

dependendo da tensão vD, o diodo liga ou desliga o

circuito eletrônico ao qual está conectado.

Outra aplicação do diodo é o LED (diodo

emissor de luz) que ilumina as teclas e o display do

seu telefone celular.

720,00

740,00

760,00

780,00

800,00

820,00

840,00

860,00

880,00

900,00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Meses

Val

or

da

Pre

staç

ão


42

Exercícios

1. Classifique as funções em crescente e

decrescente e esboce seus gráficos:

a)

x

2

1y

b) xey

c)

x

3

4y

d) x3y

2. O estudo da concentração de drogas na

circulação sanguínea é um ramo da farmácia

conhecido como farmacocinética. A redução da

droga no corpo humano é modelada pela

seguinte função exponencial:

kt

0 eCC

Onde:

C0 é a concentração inicial da droga.

t é o tempo decorrido desde que a droga foi

introduzida no corpo.

O valor de k no expoente responde pela

rapidez de redução da droga no corpo e

depende do medicamento considerado.

Descubra a concentração de uma droga

após 4h, se k é igual a 0,45/h e a concentração

inicial é igual a 5 mg/ml.

FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Considere o seguinte exemplo:

Se o capital dobra a cada ano de aplicação,

então quantos anos são necessários para o montante

ser 8 vezes o valor do capital?

Já sabemos que a relação de dependência

entre o montante e o número de anos é dada por

uma função exponencial de base igual a 2. Nosso

objetivo agora é descobrir o valor do expoente que

produz o montante conhecido, ou seja:

8C2C t

3t 22

3t anos

Representamos (e resumimos!) toda essa

situação por:

Devemos ler essa expressão da seguinte

forma: “logaritmo de 8 na base 2 é igual a 3”.

Calcular o valor do logaritmo acima

significa responder à seguinte pergunta:

Devemos elevar a base 2 a que valor de t para que

o resultado seja igual a 8 ?

Definimos então a função logarítmica por:

xlogy a , com a > 0, a 1 e x > 0

O parâmetro “a” é chamado de base do

logaritmo. Uma característica importante é que o

gráfico da função logarítmica corta o eixo x no

ponto x = +1.

EXEMPLO

LOGARITMOS ESPECIAIS

Existem dois logaritmos especiais na

matemática o logaritmo decimal e o logaritmo

2t log 8 3


43

natural, também chamado de logaritmo neperiano

em homenagem ao matemático John Napier.

O logaritmo decimal é aquele cuja base é

10. Sempre que nos referirmos a esse logaritmo,

não é obrigatório informar o número 10, ou seja:

2log2log10

O logaritmo natural é aquele cuja base é o

número “e”. A referência a esse logaritmo é feita

escrevendo-se “ln” no lugar de “loge”, portanto:

2ln2log e

OBS.:

É sempre bom olhar a ajuda do software

matemático antes de seguir essas notações, já que

alguns usam “log” significando logaritmo

neperiano e não decimal.

PROPRIEDADES DO LOGARITMO

Para compreender o comportamento de

uma função logarítmica é necessário conhecermos

as seguintes propriedades:

Como 1a 0 , então: 01log a , a>0

EXEMPLO

01log10

Como aa1 , então: 1alog a , a>0

EXEMPLO

110log10

)xy(logylogxlog aaa

EXEMPLO

6log)32(log3log2log 10101010

y

xlogylogxlog aaa

EXEMPLO

2

3log2log3log 101010

xlognxlog an

a

EXEMPLO

2log22log 102

10

alog

blogblog

c

ca (mudança de base)

EXEMPLO

3log

2log2log

10

103

xaxlog a

EXEMPLO

323log 2

CLASSIFICAÇÃO DA FUNÇÃO

LOGARÍTMICA

A função logarítmica pode ser classificada

em crescente e decrescente, conforme o valor do

parâmetro “a” da equação:

xlogy a

1o caso: a>1

Quando o valor de a é maior do que 1, a

função é dita crescente.

EXEMPLO

Uma cultura de bactérias em laboratório

triplica sua população a cada hora. Sabendo-se que

inicialmente existiam 1.000 bactérias encontre

quanto tempo se passou para que a cultura atingisse

243.000 bactérias.

EXEMPLO

Primeiramente, devemos dividir o número

final de bactérias pelo seu número inicial:

243000.1

000.243

Nesse caso, após um tempo t a colônia se

torna 243 vezes o seu tamanho inicial. O valor

procurado é dado pelo seguinte logaritmo:

5243logt 3 horas

A função que representa o problema é dada

por:

xlogy 3


44

Onde x representa o tamanho final da

colônia em relação ao seu tamanho inicial.

O gráfico dessa função é representado por:

2o caso: 0<a<1

Quando o valor de a é maior do que zero e

menor do que 1, a função é dita decrescente.

EXEMPLO

A concentração de um determinado

fármaco na corrente sanguínea reduz-se à metade a

cada hora. Sabendo-se que a concentração inicial do

fármaco é igual a 6,4mg/ml e que uma

concentração de 0,1mg/ml não fará mais efeito no

combate à doença, encontre quanto tempo levará

para o paciente tomar outra dose.

SOLUÇÃO

Primeiramente, devemos dividir a

concentração final pela sua concentração inicial:

64

1

4,6

1,0

Nesse caso, após um tempo t a

concentração reduz-se a 1/64 vezes a sua

concentração inicial. O valor procurado é dado pelo

seguinte logaritmo:

664

1logt

2

1 horas

Após 6 horas, o remédio não fará mais

efeito porque a sua concentração na corrente

sanguínea ficará abaixo de 0,1mg/ml.

A função que representa o problema é dada

por:

xlogy

2

1

Onde x representa a concentração final do

fármaco na corrente sanguínea em relação à sua

concentração inicial.

O gráfico dessa função é representado por:

OBS:

A parte em que y é negativo não existe

para os dois exemplos mostrados já que a variável

y é o tempo e não é possível existir tempo negativo.


LOGARÍTMICA

Vamos analisar um modelo interessante

em que a função logarítmica se aplica:

Resfriamento de corpos;

RESFRIAMENTO DE CORPOS

Isaac Newton foi o primeiro a demonstrar

a lei matemática que regula o resfriamento de

corpos. Uma das aplicações dessa lei é a

determinação pelos peritos policiais da hora

aproximada de um assassinato.

A expressão que fornece a lei do

resfriamento é dada por: kt

0 eTT

Onde:

t é o tempo decorrido desde que o crime aconteceu;

T é a diferença de temperatura entre o corpo e o

ambiente no tempo t após o crime;

T0 é a diferença de temperatura entre o corpo e o

ambiente na hora do crime;

k é a taxa de resfriamento e significa o percentual

de resfriamento do corpo.

A grande limitação desse modelo é que o

perito deve chegar ao local do crime enquanto o

corpo ainda está com temperatura acima da

temperatura ambiente (T0), caso contrário, o

método perde a sua funcionalidade.

A função logarítmica aparece no momento

em que desejamos calcular o tempo decorrido desde

que o crime aconteceu:

0T

Tln

k

1t

EXEMPLO


45

Considere a seguinte notícia:

Jornal do Dia Páginas Policiais

Policiais encontraram às 23:00h o corpo de

uma mulher aparentando 30 anos dentro de

seu apartamento. Vizinhos acionaram a

polícia após terem ouvidos tiros dentro do

prédio. A análise pericial do corpo

concluiu que a mulher foi assassinada por

volta das 21:00h.

Você, como perito policial que esteve

presente na cena do crime, deve mostrar como

chegou a essa conclusão no seu relatório policial.

SOLUÇÃO

A primeira atitude sua como bom perito foi

medir a temperatura do corpo imediatamente

quando chegou ao local do crime (23:00h).

Suponha que você tenha encontrado 34,8oC. Uma

hora mais tarde, você mediu novamente a

temperatura e descobriu que o corpo estava a

34,1oC.

O quarto estava a 20oC e o corpo humano

quando está vivo possui temperatura de 36,5oC.

Com esses dados você pode calcular a hora em que

ocorreu o crime.

O primeiro objetivo é encontrar o valor do

parâmetro k de posse da seguinte equação:

0T

Tln

t

1k

Com:

C1,14)201,34(T o

C8,14)208,34(T o0

h1t

Então, usando uma calculadora, obtemos:

h/04845,08,14

1,14ln1k

O que significa que o corpo se resfria a

uma taxa de aproximadamente 4,85% por cada hora

a partir do momento do crime.

Agora, podemos descobrir quanto tempo

se passou desde a hora do assassinato conforme a

equação:

0T

Tln

k

1t

Com:

C8,14)208,34(T o

C5,16)205,36(T o0

h/04845,0k

Substituindo esses valores na equação:

h244,25,16

8,14ln

04845,0

1t

2h

15min

A hora aproximada do assassinato foi

20:45h (23:00h 2:15h)

Exercícios

1. Encontre, se for possível, o valor dos seguintes

logaritmos:

a) 100log10

b) 2log

2

1

c) 1log10

d) 16log

2

1

e) 3log9

f) 5log5

g) 2log1

h) 2log 2

2. Outra aplicação prática da função logarítmica

é a determinação da concentração segura de um

fármaco na corrente sanguínea. O problema

matemático se resume a encontrar qual é o

tempo mínimo de aplicação da próxima dose

sabendo-se que a concentração não pode atingir

um determinado valor que é prejudicial à saúde

do paciente.

Considere que a concentração do fármaco na

corrente sanguínea reduz-se à metade a cada

hora. Sabendo-se que a concentração inicial do

fármaco é 6,4mg/ml e que uma concentração

de 10mg/ml pode levar o paciente a entrar em

estado de coma, calcule o intervalo mínimo

entre duas doses de forma que o paciente não

seja prejudicado.


46

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

A nossa vida está repleta de casos que

envolvem a repetição de um acontecimento no

tempo, tais como: o período do ano em que mais

chove ou faz sol na cidade, de quanto em quanto

tempo ocorre uma recessão no país ou a hora em

que vamos dormir todo dia. Chamamos de rotina a

esse tipo de situação.

Matematicamente, denomina-se periódico

um evento que se repete ao longo do tempo (ou

outra variável independente conforme a situação).

Tais eventos podem ser descritos por uma função

trigonométrica.

As funções trigonométricas mais

importantes são as funções seno e cosseno. A partir

delas são construídas as funções tangente,

cotangente, secante e cossecante.

UM POUCO DE GEOMETRIA – O CICLO

TRIGONOMÉTRICO

A forma mais simples de enxergar as

funções trigonométricas principais é através do

ciclo trigonométrico:

O ciclo trigonométrico é uma

circunferência de raio igual a 1 centrada no

cruzamento dos eixos x e y. O eixo horizontal é

denominado cosseno e o eixo vertical é chamado

seno.

Os valores do seno e do cosseno de um

ângulo são dados pelas medidas sobre cada um dos

eixos do ciclo trigonométrico.

EXEMPLO

Se quisermos saber o valor do seno e do

cosseno de um determinado ângulo basta fazer:

Um ângulo positivo deve ser medido no

sentido anti-horário e um ângulo negativo deve

ser medido no sentido horário.

ÂNGULOS NO CICLO TRIGONOMÉTRICO

O ciclo trigonométrico é dividido em 4

partes (ou quadrantes) de 90o. O primeiro quadrante

começa no ângulo 0o e vai até 90

o (sobre o eixo

vertical). O segundo quadrante começa do ângulo

de 90o e vai até 180

o (sobre o eixo horizontal). O

terceiro quadrante começa do ângulo de 180o e vai

até 270o (sobre o eixo vertical). O quarto quadrante

começa do ângulo de 270o e vai até o ângulo de

360o (sobre eixo horizontal e coincidente com o

ângulo de 0o):

ÂNGULOS EM GRAUS E RADIANOS

Existem duas medidas principais de

ângulos: o grau e o radiano. O grau é uma unidade

de medida que nasceu da divisão arbitrária de uma

Sentido anti-horário

Seno do ângulo

Cosseno do ângulo


47

circunferência em 360 partes iguais. Cada grau é

subdividido em 60 minutos e cada minuto em 60

segundos.

Para os matemáticos antigos, dividir a

circunferência em 360 graus seria equivalente a

dividir um ano em 360 dias.

O grau é muito utilizado em Engenharia,

pois existem instrumentos de medição graduados

nesse sistema. Por outro lado, é pouco comum o

grau aparecer em fórmulas matemáticas por causa

do aumento no número de operações.

Nos cálculos matemáticos, a medida de

ângulo mais usada é o radiano. 1 radiano é definido

como sendo o ângulo cujo raio R do ciclo

trigonométrico coincide com o comprimento do

arco S:

O ângulo radiano é um número real que

fornece a relação entre o comprimento do arco C e

o tamanho do raio R:

R

CRadiano

Essa relação tem ligação com a conhecida

fórmula do comprimento da circunferência:

R2C

Ao reorganizarmos essa fórmula, teremos:

R

C2

Podemos entender 2 como sendo o

ângulo em radianos correspondente a uma volta

completa na circunferência. Dessa forma, podemos

converter graus em radianos fazendo:

Então:

180

GR

ou

R180G

EXEMPLO

Encontrar os seguintes ângulos em

radianos:

a) 30o

b) 45o

c) 60o

SOLUÇÃO

a) 6180

30R

o

o

b) 4180

45R

o

o

c) 3180

60R

o

o

AS FUNÇÕES SENO E COSSENO

A partir do ciclo trigonométrico, vamos

mostrar as características das funções

trigonométricas seno e cosseno. Imagine o ponto P

se deslocando no sentido anti-horário e observe o

que acontece com a linha cinza vertical:

Podemos notar que, quando =0o, a linha

cinza tem comprimento igual a zero.

= 1 radiano


48

À medida que o ângulo aumenta, o

comprimento da linha cinza aumenta até se tornar

igual a 1, quando =90o (/2 rad).

O valor do seno é então igual a +1 já que a

linha está na parte positiva do eixo.

Se o ponto P continuar se movendo no

mesmo sentido, podemos perceber que o tamanho

da linha cinza diminui até chegar em 0 quando o

ângulo =180o ( rad).

O que acontece quando o ângulo

ultrapassa os 180o é que o comprimento da linha

cinza volta a aumentar, só que no sentido negativo

até chegar em =270o (3/2 rad).

O valor do seno é então igual a -1 já que a

linha está na parte negativa do eixo.

Se o ponto P continuar se movendo no

mesmo sentido, podemos perceber que o tamanho

da linha cinza diminui até chegar em 0 quando o

ângulo =360o (2 rad).

A partir ponto, o ciclo do seno se repete.

A partir dessa análise, podemos traçar o

gráfico da função seno no intervalo de 0 a 2:

A função seno é representada da seguinte

maneira:

)x(seny , sendo que x é o ângulo dado em

radianos.

Podemos fazer a mesma análise do ciclo

trigonométrico para a função cosseno (eixo

horizontal). O resultado é o seguinte gráfico no

intervalo de 0 a 2:

A função cosseno é representada da

seguinte maneira:

)xcos(y , sendo que x é o ângulo dado em

radianos.

As funções trigonométricas seno e cosseno

são chamadas periódicas, pois a cada ciclo de 360o

(2) os seus valores se repetem. Dessa forma, os

dois gráficos mostrados anteriormente se repetem

ao longo do eixo x indefinidamente. Vale notar a

característica oscilante das funções seno e cosseno

entre os valores +1 e -1.


49

OUTRAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

A partir das duas funções conhecidas,

podemos definir outras quatro funções importantes:

a secante, a cossecante, a tangente e a cotangente.

Essas funções são definidas por:

)xcos(

1)xsec( e

)x(sen

1)xsec(cos

)xcos(

)x(sen)x(tg e

)x(sen

)xcos(

)x(tg

1)x(gcot

RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

PRINCIPAIS

As funções trigonométricas podem ser

relacionadas entre si através de fórmulas

conhecidas como relações trigonométricas.

As principais relações trigonométricas são:

1xcosxsen 22

xsec1xtg 22

xseccosxgcot1 22

senbsenabcosacos)bacos(

senbsenabcosacos)bacos(

acossenbbcossena)ba(sen

acossenbbcossena)ba(sen

Todas as fórmulas acima são demonstradas

com o auxílio do ciclo trigonométrico. Algumas

dessas demonstrações são mostradas no apêndice 1.

MODELOS BASEADOS NAS FUNÇÕES

TRIGONOMÉTRICAS

Vamos analisar dois modelos em que as

funções trigonométricas se aplicam:

Voltagem elétrica;

Movimento harmônico simples (MHS).

VOLTAGEM ELÉTRICA

A maioria dos aparelhos da nossa casa

funciona no que chamamos corrente alternada

(C.A.). O sistema de corrente alternada se baseia na

variação da voltagem elétrica conforme a seguinte

função trigonométrica:

)tf2(senV)t(V máx

Onde:

Vmáx é a tensão máxima fornecida pelo sistema,

dada em Volts;

f é a freqüência com que a voltagem varia, dada em

ciclos por segundo (Hertz). No Brasil, a freqüência

adotada é igual a 60 Hertz.

O gráfico da voltagem é dado por:

Essa variação da voltagem faz com que a

corrente elétrica dentro dos aparelhos circule ora

num sentido ora no sentido contrário. Portanto, uma

freqüência de 60 Hz (ciclos por segundo) faz com

que o sentido da corrente se alterne 60 vezes a cada

1 segundo!

MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES

Se desprezarmos o atrito, o movimento de

uma massa m presa a uma mola de constante k tem

a característica de se repetir com o tempo. Portanto,

o deslocamento da massa pode ser descrito pela

seguinte função trigonométrica:

Esse ciclo se repete 60 vezes a cada 1 segundo!


50

)tf2cos(A)t(x máx

Onde:

Amáx é a amplitude máxima do movimento, dada

em metros;

f é a freqüência com que o deslocamento varia,

dada em ciclos por segundo (Hertz).

A relação funcional entre o deslocamento e

o tempo é dada pelo gráfico:

A amplitude máxima é o maior

deslocamento que a massa pode atingir em relação

ao ponto de equilíbrio. Determinamos a amplitude

máxima medindo a distância do ponto em que a

massa estava parada até o ponto em que foi

deslocada para iniciar o seu movimento.

Já a freqüência informa quantas vezes em

1 segundo a massa passa por um ponto de

referência. Esse valor depende da massa m e da

constante k da mola. Quanto maior a massa, para a

mesma mola, mais lento será o movimento e menor

será a freqüência.

Exercícios

1. Prove as seguintes relações:

a) bcosacossenbsena)bacos(

b) acosbsenbcosasen)basen(

Dica: Comece pela relação trigonométrica fundamental:

1)ba(cos)ba(sen 22

c) acosbsenbcosasen)basen(

d) xcosxsen2x2sen

e) 1xcos2x2cos 2

f) xsen1x2cos 2

g) tgbtga1

tgbtga)ba(tg

Dica:

Você deve partir da relação:

)bacos(

)basen()ba(tg

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

INVERSAS

Considere a seguinte questão:

Qual é o ângulo cujo seno é igual a 1/2 ?

Essa pergunta pode ser respondida através

da definição das funções trigonométricas inversas.

Partindo da função seno:

)x(seny

Colocaremos x onde aparece y e y onde

aparece x:

)y(senx

Separando y, teremos a definição da

função arco-seno:

)x(arcseny , onde y é dado em radianos

Podemos definir as outras funções

trigonométricas inversas da mesma maneira.

EXEMPLO

Quanto vale 2

1arcseny ?

SOLUÇÃO

Interpretando y como o ângulo cujo seno é 2

1,

então, y é igual a 6

(=30

o).

GRÁFICOS DAS FUNÇÕES

TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

Os gráficos do arco-seno e do arco-

cosseno são obtidos descobrindo-se os valores de y

quando x varia de –1 a +1.


51

OUTRAS FUNÇÕES ESPECIAIS

Função condicional

A característica mais marcante da função

condicional é a definição de uma expressão

diferente para cada trecho do seu domínio.

EXEMPLO

Encontre o gráfico da seguinte função

condicional:

0 xse x,-

0 xse ,xy

2

SOLUÇÃO

Esse gráfico deve ser construído por

partes. Enquanto x for positivo, y é dado pela

primeira função. Já quando x for negativo, y é dado

pela segunda função.

Portanto, o gráfico é dado por:

EXEMPLO

Encontre o gráfico da seguinte função

condicional:

2 xse 6,

2 xse ,xy

2

SOLUÇÃO

Fazendo da mesma forma que no exemplo

anterior:

Para a primeira função, não é permitido

calcular o valor de y no ponto x=2 (o que daria

y=4). Essa situação é representada pela bola aberta.

Conforme a função condicional, quando

x=2 temos que y=6. Devemos representar esse caso

com uma bola fechada.

Função modular

A função modular é definida por:

0y se y,-

0y se y,y

-1 -0.5 0.5 1

0.5

1

1.5

2

2.5

3

)xarccos(y

-1 -0.5 0.5 1

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

)x(arcseny


52

A finalidade da função modular é

transformar qualquer valor negativo de y em

positivo. Todas as funções estudadas anteriormente

podem ser convertidas em funções modulares,

bastando para isso refletir a parte negativa de y para

a parte positiva.

EXEMPLO

Construir o gráfico da função xy .

SOLUÇÃO

O primeiro passo consiste em construir o

gráfico da função xy :

Agora, devemos refletir a parte negativa de

y para a parte positiva:

Dessa forma, podemos encontrar o gráfico

de qualquer função modular.

MODELO BASEADO NA FUNÇÃO

MODULAR

Vamos analisar um modelo onde a função

modular se aplica:

Retificador de onda completa;

RETIFICADOR DE ONDA COMPLETA

O retificador de onda completa é um

dispositivo eletrônico que implementa a função

modular. A figura abaixo mostra o circuito do

retificador:

A análise dos sinais de entrada e saída

permite entender melhor a função do retificador:

Dizemos que o retificador transforma um

sinal em corrente alternada em um sinal em

corrente contínua pulsada (a corrente elétrica sobe

até um valor máximo e cai até zero).

O circuito retificador é utilizado dentro do

carregador da bateria do celular para converter

corrente alternada em corrente contínua.

ALTERAÇÕES NO GRÁFICO DA FUNÇÃO

Podemos alterar o gráfico de uma função

para obtermos um novo gráfico que anda guarda

relação visual com a função que lhe deu origem.

São possíveis as seguintes alterações:

Ampliar ou comprimir uma função;

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

-4 -2 2 4

1

2

3

4

5 VSAÍDA(t)

VENTRADA(t)

VENTRADA(t) = sen(t)

VSAÍDA(t)

= sen(t)


53

Refletir uma função em relação aos eixos x e

y;

Deslocar uma função.

AMPLIANDO OU COMPRIMINDO O

GRÁFICO DA FUNÇÃO

Uma função pode ser ampliada ou

comprimida nas direções horizontal e vertical.

Sendo k um número positivo, as alterações na

direção horizontal são feitas através da seguinte

operação:

)xk(f)x(g

Para k>1, a função g(x) é igual a f(x)

comprimida k vezes na direção horizontal;

Para 0<k<1, a função g(x) é igual a f(x)

ampliada k vezes na direção horizontal.

EXEMPLO

Construir os gráficos das funções

)x(sen)x(f e )x2(sen)x(g .

SOLUÇÃO

Conforme a regra, a função g(x) é igual a

f(x) comprimida duas vezes na direção horizontal:

Observe que g(x) é uma compressão

horizontal de f(x) e que, por outro lado, f(x) é uma

ampliação horizontal de g(x).

Sendo k um número positivo, as alterações

na direção vertical são feitas através da seguinte

operação:

)x(fk)x(g

Para k>1, a função g(x) é igual

a f(x) ampliada k vezes na

direção vertical;

Para 0<k<1, a função g(x) é

igual a f(x) comprimida k vezes

na direção vertical.

EXEMPLO


)x(sen)x(f e )x(sen2)x(g .

SOLUÇÃO


f(x) ampliada duas vezes na direção vertical:

É interessante observar que g(x) é uma

ampliação vertical de f(x) e que, por outro lado, f(x)

é uma compressão vertical de g(x).

REFLETINDO O GRÁFICO DA FUNÇÃO

Uma função pode ser refletida em relação

aos eixos x e y. Uma reflexão em relação ao eixo y

é feita através da seguinte operação:

)x(f)x(g

EXEMPLO Construir os gráficos das funções

x)x(f e x)x(g .

SOLUÇÃO


f(x) refletida em relação ao eixo y:


reflexão de f(x) em relação ao eixo y e que, por

outro lado, f(x) é uma reflexão de g(x) em relação

ao eixo y.

f(x)=sen(x)

g(x)=2sen(x)

f(x)=sen(x)

g(x)=sen(2x)


54

Uma reflexão em relação ao eixo x é feita

através da seguinte operação:

)x(f)x(g

EXEMPLO


2x)x(f e 2x)x(g .

SOLUÇÃO


f(x) refletida em relação ao eixo x:


reflexão de f(x) em relação ao eixo x e que, por

outro lado, f(x) é uma reflexão de g(x) em relação

ao eixo x.

DESLOCANDO O GRÁFICO DA FUNÇÃO

Uma função também pode ser deslocada

nas direções horizontal e vertical. As alterações na

direção vertical são feitas através da seguinte

operação:

k)x(f)x(g

Para k>0, a função g(x) é igual a f(x)

deslocada k unidades para cima;

Para k<0, a função g(x) é igual a f(x)

deslocada k unidades para baixo.

EXEMPLO


)x(sen)x(f e 2)x(sen)x(g .

SOLUÇÃO


f(x) deslocada duas unidades para cima:

É interessante observar que g(x) é igual a

f(x) deslocada para cima e que, por outro lado, f(x)

é igual a g(x) deslocada para baixo.

As alterações na direção horizontal são

feitas através da seguinte operação:

)kx(f)x(g

Para k>0, a função g(x) é igual a f(x) deslocada k

unidades para a esquerda;

Para k<0, a função g(x) é igual a f(x) deslocada k

unidades para a direita.

EXEMPLO


2x)x(f e 2)5x()x(g .

SOLUÇÃO


f(x) deslocada cinco unidades para a direita:

Podemos observar que g(x) é igual a f(x)

deslocada 5 unidades para a direita e que, por outro

f(x)=sen(x)

g(x)=sen(x)+2

f(x)=x2

g(x)=-x2

f(x)=x g(x)=-x


55

lado, f(x) é igual a g(x) deslocada cinco unidades

para a esquerda.

FUNÇÃO COMPOSTA

A função composta é o resultado da

substituição de uma função g(x) no lugar da

variável independente de uma outra função f(x).

Representamos essa situação por:

))x(g(fgf

Devemos ler gf da seguinte maneira:“f

bola g” ou função composta de g(x) em f(x).

Podemos entender melhor a função

composta usando os diagramas de Venn:

Maneira mais trabalhosa

Maneira mais rápida

Conforme o primeiro diagrama de Venn, o

cálculo de z é feito em duas partes. Primeiro,

substituímos x em g(x) para obtermos y. Em

seguida, usamos o resultado de y na função f(y)

para encontrarmos o valor de z. Essa é a forma mais

trabalhosa de calcular uma função composta.

Como pode ser visto no segundo diagrama

de Venn, podemos utilizar a definição de função

composta para poupar o trabalho de calcularmos o

valor intermediário y.

EXEMPLO

Encontrar gf , sabendo-se que

2x)x(f e 2x)x(g .

SOLUÇÃO

Devemos substituir g(x) onde aparecer a

variável x na função f(x):

4x4x)2x()]x(g[))x(g(f 222

4x4x))x(g(fgf 2

f(x)=x2 g(x)=(x-5)

2


56

USANDO SOFTWARE MATEMÁTICO

MATHEMATICA®

O Mathematica é um software matemático com funções internas

que auxiliam as mais diversas tarefas em que o cálculo necessita ser

simplificado.

Atualmente, é um dos softwares mais utilizados tanto na área

Matemática como na Física, Computação, Engenharia, Biologia, etc.

O AMBIENTE DO MATHEMATICA

O ambiente do Mathematica é composto por uma janela de edição (em branco), onde os comandos são

digitados e executados. Possui ainda uma barra de menu e uma barra de comandos com as operações

matemáticas mais comuns.


57

EXECUTANDO UM COMANDO

Para executarmos um comando no Mathematica basta clicar na área de edição e começar a digitar o

código. Em seguida, devemos pressionar a combinação de teclas: Shift e Enter.

Todo comando digitado e executado recebe uma numeração de ordem de execução especificada entre

colchetes após a palavra In.

EXEMPLO

Digite o comando:

Plot[x^2,{x,-2,2}]

Após pressionar Shift + Enter, aparecerá na janela de edição:

In[1]:=Plot[x^2,{x,-2,2}]

O símbolo In significa que é um comando de entrada e [1] é a sua ordem na execução, ou seja, In[1] é o

primeiro comando de entrada executado.

O resultado da execução é precedido do símbolo Out[1] que significa resultado da execução do primeiro

comando. Se o comando for executado corretamente, a janela de edição se parecerá exatamente com a figura

abaixo:


58

SIMBOLOGIA DAS OPERAÇÕES

O Mathematica utiliza os seguintes símbolos na construção de equações:

SÍMBOLO DESCRIÇÃO EXEMPLO

. Indica início das casas decimais do número 2.3 (=2,3)

* ou espaço Indica multiplicação entre os números 2*3 ou 2 3

/ Indica divisão entre os números 2/3

^ Indica potência 2^3 (=23)

*^ Indica potência de dez 2*^3 (=2x103)

O Mathematica possui ainda um conjunto de constantes:

SÍMBOLO DESCRIÇÃO EXEMPLO

E Indica o valor de e=2,7182... E^2

Pi Indica o valor de =3,1415... Pi/2

I Indica o número complexo i I^2

Infinity Indica o símbolo -Infinity


59

Degree Fator de conversão de graus para radianos: 180

90*Degree (=Pi/2)

ALGUMAS FUNÇÕES DO MATHEMATICA

No quadro abaixo estão descritas algumas das funções básicas do Mathematica.

COMANDO DESCRIÇÃO EXEMPLO

Sqrt[x] Raiz quadrada de x Sqrt[2]

Exp[x] Exponencial de base “e” Exp[1]

Log[x] Logaritmo de base “e” (logaritmo neperiano) Log[E]

Log[b,x] Logaritmo de base b Log[2,8] (=log28)

n! Fatorial de n 3!


Abs[x] Módulo de x Abs[-2] (=|-2|)

Mod[n,m] Resto da divisão de n por m Mod[5,2] (=1)

Sin[x] Seno de x (x em radianos) Sin[Pi/2]

Cos[x] Cosseno de x (x em radianos) Cos[Pi]

Tan[x] Tangente de x (x em radianos) Tan[Pi/2]

ArcSin[x] Arco-Seno de x (resultado em radianos) ArcSin[1/2]*1/Degree

ArcCos[x] Arco-Cosseno de x (resultado em radianos) ArcCos[Sqrt[3]/2]*1/Degree

ArcTan[x] Arco-Tangente de x (resultado em radianos) ArcTan[Infinity]*1/Degree

OBS.:

É importante observar que todos os comandos começam com letra maiúscula e

os seus argumentos são fechados por colchetes.

REUSANDO RESULTADOS

Os resultados de uma execução podem ser reaproveitados de forma que o seu comando possa ficar mais

compacto.


% Aproveita o último resultado calculado %+2

%n Aproveita o resultado que está em Out[n] %3+2 (=Out[3]+2)

OBS.:

Cuidado com a reutilização de comandos, principalmente com o comando %n.

Tenha certeza que Out[n] é o resultado que você deseja utilizar.

EXEMPLO

Digite e execute o comando:

(Sin[x])^2

Em seguida digite e execute o comando:

%+(Cos[x])^2

COMPUTAÇÃO SIMBÓLICA


60

O Mathematica consegue fatorar, expandir

e operar uma equação algébrica das mais diversas

formas. Essa facilidade é conhecida como

computação simbólica.

EXEMPLO


3*x2-x+x

2

O resultado após a execução:

4*x2-x

Factor[expressão]

Esse comando fatora a expressão entre

colchetes.

EXEMPLO


Factor[3*x2-x+x

2]

O resultado será:

x(-1+4x)

Expand[expressão]

Esse comando expande a expressão entre

colchetes.

EXEMPLO


Expand[(1+x)^2]

O resultado será:

1+2x+x2

Simplify[expressão]

Esse comando simplifica ao máximo a

expressão entre colchetes.

EXEMPLO


Simplify[1+2x+x2]

O resultado será:

(1+x)2

Together[expressão]

Esse comando coloca a expressão sob o mesmo

denominador.

EXEMPLO


Together[1/x+1/(x-1)]

O resultado será:

)x1(x

x21

Apart[expressão]

Esse comando separa a expressão em vários

termos com denominadores simples.

EXEMPLO


Apart[(-1+2*x)/(x*(-1+x))]

O resultado será:

x

1

x1

1

TrigExpand[expressão_trigonométrica]

Esse comando coloca expressões

trigonométricas como soma de termos.

EXEMPLO


TrigExpand[Cos[2*x]]

O resultado será:

Cos[x]2-Sin[x]

2

ENCONTRANDO AS RAÍZES

DE UMA EQUAÇÃO

O Mathematica pode encontrar as raízes de

uma determinada equação. Isso é feito através do

comando:

Solve[expressão = = 0,variável_da_equação]

EXEMPLO


Solve[x2-5x+6= = 0,x]


61

O resultado será:

{{x2},{x3}}

DEFININDO FUNÇÕES

Uma função pode ser definida para

posterior uso. Isso é feito através do seguinte

comando:

f[ x_ ]:=expressão em x

Note que existe um traço após a ocorrência

de x dentro dos colchetes.

EXEMPLO

Digite e execute os comandos:

f[ x_ ]:=x2-5x+6

f[2]

O resultado será igual a:

0

Agora, digite e execute o comando:

f[x^2]

O resultado será:

x4-5x

2+6

PLOTANDO FUNÇÕES

Uma função pode ser colocada num

gráfico usando o comando:

Plot[expressão,{variável_independente, mínimo,

máximo}]

EXEMPLO


Plot[x2-5x+6,{x,0,3}]

O resultado será o gráfico da função

f(x)=x2-5x+6 no intervalo de x=0 a x=3.

É possível colocar várias funções no

mesmo gráfico através do seguinte comando:

Plot[{expressão1,

expressão2,...},{variável_independente, mínimo,

máximo}]

EXEMPLO


Plot[{x^2, x^3, x^4},{x,-3,3}]

O resultado será um único gráfico com as

funções f(x)=x2, g(x)=x

3 e h(x)=x

4 para x variando

de -3 a 3.

0.5 1 1.5 2 2.5 3

1

2

3

4

5

6

-3 -2 -1 1 2 3

-2

2

4


62

ANÁLISE COMBINATÓRIA

Introdução Análise Combinatória

Arranjos

Permutações

Combinações

Regras gerais Combinatória

Arranjos simples

Permutações simples

Combinações simples

Arranjos c/ repetição

Permutações c/ repetição

Combinações c/ repetição

Propr. das combinações

Número binomial

Teorema binomial

INTRODUÇÃO À ANÁLISE

COMBINATÓRIA

Análise Combinatória é um conjunto de

procedimentos que possibilita a construção de

grupos diferentes formados por um número finito

de elementos de um conjunto sob certas

circunstâncias.

Na maior parte das vezes, tomaremos conjuntos Z

com m elementos e os grupos formados com

elementos de Z terão p elementos, isto é, p será a

taxa do agrupamento, com p<m.

Arranjos, Permutações ou Combinações, são os três

tipos principais de agrupamentos, sendo que eles

podem ser simples, com repetição ou circulares.

Apresentaremos alguns detalhes de tais

agrupamentos.

Observação: É comum encontrarmos na literatura

termos como: arranjar, combinar ou permutar, mas

todo o cuidado é pouco com os mesmos, que às

vezes são utilizados em concursos em uma forma

dúbia!

ARRANJOS

São agrupamentos formados com p elementos,

(p<m) de forma que os p elementos sejam distintos

entre sí pela ordem ou pela espécie. Os arranjos

podem ser simples ou com repetição.

Arranjo simples: Não ocorre a repetição de

qualquer elemento em cada grupo de p elementos.

Fórmula: As(m,p) = m!/(m-p)!

Cálculo para o exemplo: As(4,2) = 4!/2!=24/2=12.

Exemplo: Seja Z={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os

arranjos simples desses 4 elementos tomados 2 a 2

são 12 grupos que não podem ter a repetição de

qualquer elemento mas que podem aparecer na

ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no

conjunto:

As={AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC}

Arranjo com repetição: Todos os elementos

podem aparecer repetidos em cada grupo de p

elementos.

Fórmula: Ar(m,p) = mp.

Cálculo para o exemplo: Ar (4,2) = 42=16.

Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os

arranjos com repetição desses 4 elementos tomados

2 a 2 são 16 grupos que onde aparecem elementos

repetidos em cada grupo. Todos os agrupamentos

estão no conjunto:

Ar={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,

CD,DA,DB,DC,DD}

Arranjo condicional: Todos os elementos

aparecem em cada grupo de p elementos, mas

existe uma condição que deve ser satisfeita acerca

de alguns elementos.

Fórmula: N=A(m1,p1).A(m-m1,p-p1)

Cálculo para o exemplo: N=A(3,2).A(7-3,4-

2)=A(3,2).A(4,2)=6×12=72.

Exemplo: Quantos arranjos com 4 elementos do

conjunto {A,B,C,D,E,F,G}, começam com duas

letras escolhidas no subconjunto {A,B,C}?

Aqui temos um total de m=7 letras, a taxa é p=4, o

subconjunto escolhido tem m1=3 elementos e a taxa

que este subconjunto será formado é p1=2. Com as

letras A,B e C, tomadas 2 a 2, temos 6 grupos que

estão no conjunto:

PABC = {AB,BA,AC,CA,BC,CB}

Com as letras D,E,F e G tomadas 2 a 2, temos 12

grupos que estão no conjunto:

PDEFG = {DE,DF,DG,ED,EF,EG,FD,FE,FG,GD,GE,GF}

Usando a regra do produto, teremos 72

possibilidades obtidas pela junção de um elemento

do conjunto PABC com um elemento do conjunto

PDEFG. Um típico arranjo para esta situação é

CAFG.

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/combinat/combinat.htm#comb12


63

PERMUTAÇÕES

Quando formamos agrupamentos com m elementos,

de forma que os m elementos sejam distintos entre

sí pela ordem. As permutações podem ser simples,

com repetição ou circulares.

Permutação simples: São agrupamentos com

todos os m elementos distintos.

Fórmula: Ps(m) = m!.

Cálculo para o exemplo: Ps(3) = 3!=6.

Exemplo: Seja C={A,B,C} e m=3. As permutações

simples desses 3 elementos são 6 agrupamentos que

não podem ter a repetição de qualquer elemento em

cada grupo mas podem aparecer na ordem trocada.

Todos os agrupamentos estão no conjunto:

Ps={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}

Permutação com repetição: Dentre os m

elementos do conjunto C={x1,x2,x3,...,xn}, faremos

a suposição que existem m1 iguais a x1, m2 iguais a

x2, m3 iguais a x3, ... , mn iguais a xn, de modo que

m1+m2+m3+...+mn=m.

Fórmula: Se m=m1+m2+m3+...+mn, então

Pr(m)=C(m,m1).C(m-m1,m2).C(m-m1-m2,m3) ... C(mn,mn)

Anagrama: Um anagrama é uma (outra) palavra

construída com as mesmas letras da palavra original

trocadas de posição.

Cálculo para o exemplo: m1=4, m2=2, m3=1, m4=1

e m=6, logo: Pr(6)=C(6,4).C(6-4,2).C(6-4-

1,1)=C(6,4).C(2,2).C(1,1)=15.

Exemplo: Quantos anagramas podemos formar

com as 6 letras da palavra ARARAT. A letra A

ocorre 3 vezes, a letra R ocorre 2 vezes e a letra T

ocorre 1 vez. As permutações com repetição desses

3 elementos do conjunto C={A,R,T} em

agrupamentos de 6 elementos são 15 grupos que

contêm a repetição de todos os elementos de C

aparecendo também na ordem trocada. Todos os

agrupamentos estão no conjunto:

Pr={AAARRT,AAATRR,AAARTR,AARRTA,AART

TA,AATRRA,AARRTA,ARAART,ARARAT,ARAR

TA,ARAATR,ARAART,ARAATR,ATAARA,ATAR

AR}

Permutação circular: Situação que ocorre quando

temos grupos com m elementos distintos formando

uma circunferência de círculo.

Fórmula: Pc(m)=(m-1)!

Cálculo para o exemplo: P(4)=3!=6

Exemplo: Seja um conjunto com 4 pessoas

K={A,B,C,D}. De quantos modos distintos estas

pessoas poderão sentar-se junto a uma mesa

circular (pode ser retangular) para realizar o jantar

sem que haja repetição das posições?

Se considerássemos todas as permutações simples

possíveis com estas 4 pessoas, teriamos 24 grupos,

apresentados no conjunto:

Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,

BACD,BADC,BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CAB

D,CADB,CBAD,CBDA,CDAB,CDBA,DABC,D

ACB,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA}

Acontece que junto a uma mesa "circular" temos

que:

ABCD=BCDA=CDAB=DABC

ABDC=BDCA=DCAB=CABD

ACBD=CBDA=BDAC=DACB

ACDB=CDBA=DBAC=BACD

ADBC=DBCA=BCAD=CADB

ADCB=DCBA=CBAD=BADC

Existem somente 6 grupos distintos, dados por:

Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB}

COMBINAÇÕES

Quando formamos agrupamentos com p elementos,

(p<m) de forma que os p elementos sejam distintos

entre sí apenas pela espécie.

Combinação simples: Não ocorre a repetição de

qualquer elemento em cada grupo de p elementos.

Fórmula: C(m,p) = m!/[(m-p)! p!]

Cálculo para o exemplo: C(4,2)=4!/[2!2!]=24/4=6

Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As

combinações simples desses 4 elementos tomados 2

a 2 são 6 grupos que não podem ter a repetição de

qualquer elemento nem podem aparecer na ordem

trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

Cs={AB,AC,AD,BC,BD,CD}

Combinação com repetição: Todos os elementos

podem aparecer repetidos em cada grupo até p

vezes.

Fórmula: Cr(m,p)=C(m+p-1,p)

Cálculo para o exemplo: Cr(4,2)=C(4+2-

1,2)=C(5,2)=5!/[2!3!]=10

Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As

combinações com repetição desses 4 elementos

tomados 2 a 2 são 10 grupos que têm todas as

repetições possíveis de elementos em grupos de 2

elementos não podendo aparecer o mesmo grupo

com a ordem trocada. De um modo geral neste

caso, todos os agrupamentos com 2 elementos

formam um conjunto com 16 elementos:

Cr={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,

CD,DA,DB,DC,DD}

mas para obter as combinações com repetição,

deveremos excluir deste conjunto os 6 grupos que


64

já apareceram antes, pois AB=BA, AC=CA,

AD=DA, BC=CB, BD=DB e CD=DC, assim as

combinações com repetição dos elementos de C

tomados 2 a 2, são:

Cr={AA,AB,AC,AD,BB,BC,BD,CC,CD,DD}

REGRAS GERAIS SOBRE A ANÁLISE

COMBINATÓRIA

Problemas de Análise Combinatória normalmente

são muito difíceis mas eles podem ser resolvidos

através de duas regras básicas: a regra da soma e a

regra do produto.

Regra da soma: A regra da soma nos diz que se

um elemento pode ser escolhido de m formas e um

outro elemento pode ser escolhido de n formas,

então a escolha de um ou outro elemento se

realizará de m+n formas, desde que tais escolhas

sejam independentes, isto é, nenhuma das escolhas

de um elemento pode coincidir com uma escolha do

outro.

Regra do Produto: A regra do produto diz que se

um elemento H pode ser escolhido de m formas

diferentes e se depois de cada uma dessas escolhas,

um outro elemento M pode ser escolhido de n

formas diferentes, a escolha do par (H,M) nesta

ordem poderá ser realizada de m.n formas.

Exemplo: Consideremos duas retas paralelas ou

concorrentes sem que os pontos sob análise estejam

em ambas, sendo que a primeira r contem m pontos

distintos marcados por r1, r2, r3, ..., rm e a segunda s

contem n outros pontos distintos marcados por s1,

s2, s3, ..., sn. De quantas maneiras podemos traçar

segmentos de retas com uma extremidade numa

reta e a outra extremidade na outra reta?

É fácil ver isto ligando r1 a todos os pontos de s e

assim teremos n segmentos, depois ligando r2 a

todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, e

continuamos até o último ponto para obter também

n segmentos. Como existem m pontos em r e n

pontos em s, teremos m.n segmentos possíveis.

NÚMERO DE ARRANJOS SIMPLES

Seja C um conjunto com m elementos. De quantas

maneiras diferentes poderemos escolher p

elementos (p<m) deste conjunto? Cada uma dessas

escolhas será chamada um arranjo de m elementos

tomados p a p. Construiremos uma sequência com

os m elementos de C.

c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm

Cada vez que um elemento for retirado,

indicaremos esta operação com a mudança da cor

do elemento para a cor vermelha.

Para escolher o primeiro elemento do conjunto C

que possui m elementos, temos m possibilidades.

Vamos supor que a escolha tenha caído sobre o m-

ésimo elemento de C.

c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm

Para escolher o segundo elemento, devemos

observar o que sobrou no conjunto e constatamos

que agora existem apenas m-1 elementos.

Suponhamos que tenha sido retirado o último

elemento dentre os que sobraram no conjunto C. O

elemento retirado na segunda fase é o (m-1)-ésimo.

c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm

Após a segunda retirada, sobraram m-2

possibilidades para a próxima retirada. Do que

sobrou, se retirarmos o terceiro elemento como

sendo o de ordem (m-2), teremos algo que pode ser

visualizado como:

c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm

Se continuarmos o processo de retirada, cada vez

teremos 1 elemento a menos do que na fase

anterior. Para retirar o p-ésimo elemento, restarão

m-p+1 possibilidades de escolha.

Para saber o número total de arranjos possíveis de

m elementos tomados p a p, basta multiplicar os

números que aparecem na segunda coluna da tabela

abaixo:

Retirada Número de possibilidades

1 m

2 m-1

3 m-2

... ...

p m-p+1

No.de arranjos m(m-1)(m-2)...(m-p+1)


65

Denotaremos o número de arranjos de m elementos

tomados p a p, por A(m,p) e a expressão para seu

cálculo será dada por:

A(m,p) = m(m-1)(m-2)...(m-p+1)

Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso

alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de

dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos

diferentes? O conjunto solução é:

{AE,AI,AO,AU,EA,EI,EO,EU,IA,IE,

IO,IU,OA,OE,OI,OU,UA,UE,UI,UO}

A solução numérica é A(5,2)=5×4=20.

Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso

alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de

dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos

(não necessariamente diferentes)?

Sugestão: Construir uma reta com as 5 vogais e

outra reta paralela à anterior com as 5 vogais, usar a

regra do produto para concluir que há 5x5=25

possibilidades.

O conjunto solução é:

{AA,AE,AI,AO,AU,EA,EE,EI,EO,EU,IA,IE,II,

IO,IU,OA,OE,OI,OO,OU,UA,UE,UI,UO,UU}

Exemplo: Quantas placas de carros podem existir

no atual sistema brasileiro de trânsito que permite 3

letras iniciais e 4 algarismos no final?

XYZ-1234

Sugestão: Considere que existem 26 letras em

nosso alfabeto que podem ser dispostas 3 a 3 e 10

algarismos que podem ser dispostos 4 a 4 e em

seguida utilize a regra do produto.

NÚMERO DE PERMUTAÇÕES SIMPLES

Este é um caso particular de arranjo em que p=m.

Para obter o número de permutações com m

elementos distintos de um conjunto C, basta

escolher os m elementos em uma determinada

ordem. A tabela de arranjos com todas as linhas até

a ordem p=m, permitirá obter o número de

permutações de m elementos:

Retirada Número de possibilidades

1 m

2 m-1

... ...

p m-p+1

... ...

m-2 3

m-1 2

m 1

No.de

permutações

m(m-1)(m-2)...(m-

p+1)...4.3.2.1

Denotaremos o número de permutações de m

elementos, por P(m) e a expressão para seu cálculo

será dada por:

P(m) = m(m-1)(m-2) ... (m-p+1) ... 3 . 2 . 1

Em função da forma como construímos o processo,

podemos escrever:

A(m,m) = P(m)

Como o uso de permutações é muito intenso em

Matemática e nas ciências em geral, costuma-se

simplificar a permutação de m elementos e escrever

simplesmente:

P(m) = m!

Este símbolo de exclamação posto junto ao número

m é lido como: fatorial de m, onde m é um número

natural.

Embora zero não seja um número natural no

sentido que tenha tido origem nas coisas da

natureza, procura-se dar sentido para a definição de

fatorial de m de uma forma mais ampla, incluindo

m=0 e para isto podemos escrever:

0!=1

Em contextos mais avançados, existe a função

gama que generaliza o conceito de fatorial de um

número real, excluindo os inteiros negativos e com

estas informações pode-se demonstrar que 0!=1.

O fatorial de um número inteiro não negativo pode

ser definido de uma forma recursiva através da

função P=P(m) ou com o uso do sinal de

exclamação:

(m+1)! = (m+1).m!, 0! = 1

Exemplo: De quantos modos podemos colocar

juntos 3 livros A, B e C diferentes em uma estante?

O número de arranjos é P(3)=6 e o conjunto

solução é:

P={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}

Exemplo: Quantos anagramas são possíveis com as

letras da palavra AMOR? O número de arranjos é

P(4)=24 e o conjunto solução é:

P={AMOR,AMRO,AROM,ARMO,AORM,AOMR,M

ARO,MAOR, MROA, MRAO, MORA, MOAR,

OAMR,OARM,ORMA,ORAM,OMAR,OMRA,RAM

O,RAOM,RMOA,RMAO,ROAM,ROMA}


66

NÚMERO DE COMBINAÇÕES SIMPLES

Seja C um conjunto com m elementos distintos. No

estudo de arranjos, já vimos antes que é possível

escolher p elementos de A, mas quando realizamos

tais escolhas pode acontecer que duas coleções com

p elementos tenham os mesmos elementos em

ordens trocadas. Uma situação típica é a escolha de

um casal (H,M). Quando se fala casal, não tem

importância a ordem da posição (H,M) ou (M,H),

assim não há a necessidade de escolher duas vezes

as mesmas pessoas para formar o referido casal.

Para evitar a repetição de elementos em grupos com

a mesma quantidade p de elementos,

introduziremos o conceito de combinação.

Diremos que uma coleção de p elementos de um

conjunto C com m elementos é uma combinação de

m elementos tomados p a p, se as coleções com p

elementos não tem os mesmos elementos que já

apareceram em outras coleções com o mesmo

número p de elementos.

Aqui temos outra situação particular de arranjo,

mas não pode acontecer a repetição do mesmo

grupo de elementos em uma ordem diferente.

Isto significa que dentre todos os A(m,p) arranjos

com p elementos, existem p! desses arranjos com os

mesmos elementos, assim, para obter a

combinação de m elementos tomados p a p,

deveremos dividir o número A(m,p) por m! para

obter apenas o número de arranjos que contem

conjuntos distintos, ou seja:

C(m,p) = A(m,p) / p!

Como

A(m,p) = m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)

então:

C(m,p) = [ m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1)] / p!

que pode ser reescrito

C(m,p)=[m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)]/[(1.2.3.4....(p-

1)p]

Multiplicando o numerador e o denominador desta

fração por

(m-p)(m-p-1)(m-p-2)...3.2.1

que é o mesmo que multiplicar por (m-p)!, o

numerador da fração ficará:

m.(m-1).(m-2).....(m-p+1)(m-p)(m-p-1)...3.2.1=m!

e o denominador ficará:

p! (m-p)!

Assim, a expressão simplificada para a combinação

de m elementos tomados p a p, será uma das

seguintes:

NÚMERO DE ARRANJOS COM

REPETIÇÃO

Seja C um conjunto com m elementos distintos e

considere p elementos escolhidos neste conjunto em

uma ordem determinada. Cada uma de tais escolhas

é denominada um arranjo com repetição de m

elementos tomados p a p. Acontece que existem m

possibilidades para a colocação de cada elemento,

logo, o número total de arranjos com repetição de m

elementos escolhidos p a p é dado por mp.

Indicamos isto por:

Arep(m,p) = mp

NÚMERO DE PERMUTAÇÕES COM

REPETIÇÃO

Consideremos 3 bolas vermelhas, 2 bolas azuis e 5

bolas amarelas. Coloque estas bolas em uma ordem

determinada. Iremos obter o número de

permutações com repetição dessas bolas. Tomemos

10 compartimentos numerados onde serão

colocadas as bolas. Primeiro coloque as 3 bolas

vermelhas em 3 compartimentos, o que dá C(10,3)

possibilidades. Agora coloque as 2 bolas azuis nos

compartimentos restantes para obter C(10-3,2)

possibilidades e finalmente coloque as 5 bolas

amarelas. As possibilidades são C(10-3-2,5).

O número total de possibilidades pode ser calculado

como:

Tal metodologia pode ser generalizada.

NÚMERO DE COMBINAÇÕES COM

REPETIÇÃO

Considere m elementos distintos e ordenados.

Escolha p elementos um após o outro e ordene estes

elementos na mesma ordem que os elementos

dados. O resultado é chamado uma combinação

com repetição de m elementos tomados p a p.

Denotamos o número destas combinações por

Crep(m,p). Aqui a taxa p poderá ser maior do que o

número m de elementos.

Seja o conjunto A=(a,b,c,d,e) e p=6. As coleções

(a,a,b,d,d,d), (b,b,b,c,d,e) e (c,c,c,c,c,c) são

exemplos de combinações com repetição de 5

elementos escolhidos 6 a 6.


67

Podemos representar tais combinações por meio de

símbolos # e vazios Ø onde cada ponto # é repetido

(e colocado junto) tantas vezes quantas vezes

aparece uma escolha do mesmo tipo, enquanto o

vazio Ø serve para separar os objetos em função

das suas diferenças

(a,a,b,d,d,d) equivale a ##Ø#ØØ###Ø

(b,b,b,c,d,e) equivale a Ø###Ø#Ø#Ø#

(c,c,c,c,c,c) equivale a ØØ######ØØ

Cada símbolo possui 10 lugares com exatamente 6#

e 4Ø. Para cada combinação existe uma

correspondência biunívoca com um símbolo e

reciprocamente. Podemos construir um símbolo

pondo exatamente 6 pontos em 10 lugares. Após

isto, os espaços vazios são prenchidos com barras.

Isto pode ser feito de C(10,6) modos. Assim:

Crep(5,6) = C(5+6-1,6)

Generalizando isto, podemos mostrar que:

Crep(m,p) = C(m+p-1,p)

PROPRIEDADES DAS COMBINAÇÕES

O segundo número, indicado logo acima por p é

conhecido como a taxa que define a quantidade de

elementos de cada escolha.

Taxas complementares

C(m,p)=C(m,m-p)

Exemplo: C(12,10) = C(12,2)=66.

Relação do triângulo de Pascal

C(m,p)=C(m-1,p)+C(m-1,p-1)

Exemplo: C(12,10)=C(11,10)+C(11,9)=605

NÚMERO BINOMIAL

O número de combinações de m elementos tomados

p a p, indicado antes por C(m,p) é chamado

Coeficiente Binomial ou número binomial,

denotado na literatura científica como:

Exemplo: C(8,2)=28.

Extensão: Existe uma importante extensão do

conceito de número binomial ao conjunto dos

números reais e podemos calcular o número

binomial de qualquer número real r que seja

diferente de um número inteiro negativo, tomado a

uma taxa inteira p, somente que, neste caso, não

podemos mais utilizar a notação de combinação

C(m,p) pois esta somente tem sentido quando m e p

são números inteiros não negativos. Como

Pi=3,1415926535..., então:

A função envolvida com este contexto é a função

gama. Tais cálculos são úteis em Probabilidade e

Estatística.

TEOREMA BINOMIAL

Se m é um número natural, para simplificar um

pouco as notações, escreveremos mp no lugar de

C(m,p). Então:

(a+b)m = a

m+m1a

m-1b+m2a

m-2b

2+m3a

m-3b

3+...+mmb

m

Alguns casos particulares com m=2, 3, 4 e 5, são:

(a+b)2 = a

2 + 2ab + b

2

(a+b)3 = a

3 + 3 a

2b + 3 ab

2 + b

3

(a+b)4 = a

4 + 4 a

3b + 6 a

2b

2 + 4 ab

3 + b

4

(a+b)5 = a

5 + 5 a

4b + 10 a

3b

2 + 10 a

2b

3 + 5 ab

4 + b

5

A demonstração segue pelo Princípio da Indução

Matemática.

Iremos considerar a Proposição P(m) de ordem m,

dada por:

P(m): (a+b)m=a

m+m1a

m-1b+m2a

m-2b

2+m3a

m-

3b

3+...+mmb

m

P(1) é verdadeira pois (a+b)1 = a + b

Vamos considerar verdadeira a proposição P(k),

com k>1:

P(k): (a+b)k=a

k+k1a

k-1b+k2a

k-2b

2+k3a

k-3b

3+...+kkb

k

para provar a propriedade P(k+1).

Para que a proposição P(k+1) seja verdadeira,

deveremos chegar à conclusão que:

(a+b)k+1

=ak+1

+(k+1)1akb+(k+1)2a

k-

1b

2+...+(k+1)(k+1)b

k+1

(a+b)k+1

= (a+b).(a+b)k

= (a+b).[a

k+k1a

k-1b+k2a

k-2b

2+k3a

k-

3b

3+...+kkb

k]

=

a.[ak+k1a

k-1b+k2a

k-2 b

2+k3a

k-

3b

3+...+kkb

k]

+b.[ak+k1a

k-1b+k2a

k-2b

2+k3a

k-

3b

3+...+kk b

k]

=

ak+1

+k1akb+k2a

k-1b

2+k3a

k-

2b

3+...+kkab

k

+akb+k1a

k-1b

2+k2a

k-2 b

3+k3a

k-

3b

4+...+kkb

k+1

=

ak+1

+[k1+1]akb+[k2+k1]a

k-

1b

2+[k3+k2]a

k-2b

3+[k4+k3] a

k-

3b

4+...+[kk-1+kk-2]a

2b

k-1+[kk+kk-

1]abk+kkb

k+1


68

=

ak+1

+[k1+k0] akb+[k2+k1]a

k-

1b

2+[k3+k2]a

k-2b

3

+[k4+k3]ak-3

b4+...+[kk-1+kk-2]a

2b

k-

1+[kk+kk-1]ab

k+kkb

k+1

Pelas propriedades das combinações, temos:

k1+k0=C(k,1)+C(k,0)=C(k+1,1)=(k+1)1

k2+k1=C(k,2)+C(k,1)=C(k+1,2)=(k+1)2

k3+k2=C(k,3)+C(k,2)=C(k+1,3)=(k+1)3

k4+k3=C(k,4)+C(k,3)=C(k+1,4)=(k+1)4

... ... ... ...

kk-1+kk-2=C(k,k-1)+C(k,k-2)=C(k+1,k-1)=(k+1)k-1

kk+kk-1=C(k,k)+C(k,k-1)=C(k+1,k)=(k+1)k

E assim podemos escrever:

(a+b)k+1

=

ak+1

+(k+1)1akb + (k+1)2a

k-1b

2 +

(k+1)3ak-2

b3

+(k+1)4ak-3

b4 +...+ (k+1)k-1a

2b

k-

1 + (k+1)kab

k + kkb

k+1

que é o resultado desejado.

BINÔMIO DE NEWTON

O binômio do tipo ( x + a )n , onde x IR, a

IR e n IN , é conhecido como binômio de

Newton.

Para o desenvolvimento do binômio de Newton

usaremos os números binomiais.

NÚMEROS BINOMIAIS

Dados dois números naturais n e p, tais que p n,

chama-se número binomial n sobre p , indicado

por

p

n , ao número definido por:

p

n=

)!(!

!

pnp

n

TRIÂNGULO DE PASCAL

Os números binomiais podem ser dispostos em

linhas e colunas, numa disposição triangular, de

modo que em cada linha fiquem os termos de

ordem “n” e em cada coluna os termos de ordem

“p”.

1. 0

0

1. 1 1

0 1

0

1. 2 1 2

0 2

1 2

2

1 3 3 1 3

0 3

1 3

2 3

3

1 4 6 4 1 4

0 4

1 4

2 4

3 4

4

1 5 10 10 5 1 5

0 5

1 5

2 5

3 5

4 5

5

1 6 15 20 15 6 1 6

0 6

1 6

2 6

3 6

4 6

5 6

6

Observar que :

1º) Cada linha começa e termina por .

2º) Adicionando dois elementos consecutivos de

uma linha obtemos o elemento situado abaixo

do segundo elemento somado.

DESENVOLVIMENTO DO BINÔMIO DE

NEWTON

Devemos usar a fórmula :

( x + a )n =

n022n11n0n axn

n...ax

2

nax

1

nax

0

n

Exemplo:

(2x + 3)5 =

5432

2345

35

53x2

4

53

x23

53x2

2

53x2

1

5x2

0

5

(2x + 3)5 = 1.32x

5 + 5.16x

4.3 + 10 . 8x

3.9 + 10 . 4x

2.

27 + 5.2x . 81 + 1 . 243

(2x+3)5

= 32x5 + 240x

4 + 720x

3 + 1.080x

2 + 810x +

243

FÓRMULA DO TERMO GERAL

T p+1 = ppn axp

n

Exercício: Calcular o 5º. termo no

desenvolvimento de ( 3x + 2 )9 .

p + 1 = 5 → p = 4


69

T5 =

4

9(3x)

9-4 . 2

4 → T5 =

!5!.4

!9 (3x)

5 . 16 =

489.888 x5

PONTOS E RETAS


70

INTRODUÇÃO

Entre os pontos de uma reta e os números reais existe uma correspondência

biunívoca, isto é, a cada ponto de reta corresponde um único número real e

vice-versa.

Considerando uma reta horizontal x, orientada da esquerda para direita

(eixo), e determinando um ponto O dessa reta ( origem) e um segmento u,

unitário e não-nulo, temos que dois números inteiros e consecutivos

determinam sempre nesse eixo um segmento de reta de comprimento u:

MEDIDA ALGÉBRICA DE UM SEGMENTO

Fazendo corresponder a dois pontos, A e

B, do eixo x os números reais xA e xB , temos:

A medida algébrica de um segmento

orientado é o número real que corresponde à

diferença entre as abscissas da extremidade e da

origem desse segmento.

PLANO CARTESIANO

A geometria analítica teve como principal

idealizador o filósofo francês René Descartes (

1596-1650). Com o auxílio de um sistema de eixos

associados a um plano, ele faz corresponder a cada

ponto do plano um par ordenado e vice-versa.

Quando os eixos desse sistemas são

perpendiculares na origem, essa correspondência

determina um sistema cartesiano ortogonal ( ou

plano cartesiano). Assim, há uma reciprocidade

entre o estudo da geometria ( ponto, reta,

circunferência) e da Álgebra ( relações, equações

etc.), podendo-se representar graficamente relações

algébricas e expressar algebricamente

representações gráficas.

Observe o plano cartesiano nos quadros quadrantes:

EXEMPLOS

A(2, 4) pertence ao 1º quadrante

(xA > 0 e yA > 0)

B(-3, -5) pertence ao 3º quadrante

( xB < 0 e yB < 0)

Observação: Por convenção, os pontos localizados

sobre os eixos não estão em nenhum quadrante.

DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS

Dados os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) e

sendo dAB a distância entre eles, temos:


71

Aplicando o teorema de Pitágoras ao

triângulo retângulo ABC, vem:

Como exemplo, vamos determinar a

distância entre os pontos A(1, -1) e B(4, -5):

RAZÃO DE SECÇÃO

Dados os pontos A(xA, yA), B(xB, yB),

C(xC, yC) de uma mesma reta (A B C), o ponto

C divide AB numa determinada razão, denominada

razão de secção e indicada por:

em que , pois se , então A = B.

Observe a representação a seguir:

Como o , podemos escrever:

Vejamos alguns exemplos:

Considerando os pontos A(2, 3), B(5, 6) e P(3,

4), a razão em que o ponto P divide é:

Se calculássemos rp usando as ordenadas

dos pontos, obteríamos o mesmo resultado:

Para os pontos A(2, 3), B(5, 6) e P(1, 2),

temos:


72

Assim, para um ponto P qualquer em relação a

um segmento orientado contido em um eixo,

temos:

se P é interior a , então rp > 0

se P é exterior a , então rp < 0

se P = A, então rp =0

se P = B, então não existe rp (PB = 0)

se P é o ponto médio de , então rp =1

PONTO MÉDIO

Dados os pontos A(xA, yA), B(xB, yB) e P,

que divide ao meio, temos:

Assim:

XP – XA = XB – XP 2XP = XA + XB A Bx X

2

(média aritmética de XA e XB)

YP –YA =YB –YP 2YP = YA + YB YP

=A BY Y

2

(média aritmética de YA e YB)

Logo, as coordenadas do ponto médio são dadas

por:

BARICENTRO DE UM TRIÂNGULO

Observe o triângulo da figura a seguir, em

que M, N e P são os pontos médios dos lados

, respectivamente. Portanto, são

as medianas desse triângulo:

Chamamos de baricentro (G) o ponto de

intersecção das medianas de um triângulo.

Esse ponto divide a mediana relativa a um

lado em duas partes: a que vai do vértice até o

baricentro tem o dobro da mediana da que vai do

baricentro até o ponto médio do lado.

Veja:

CÁLCULO DAS COORDENADAS DO

BARICENTRO

Sendo A(XA, YA), B(XB, YB) e C(XC, YC)

vértices de um triângulo, se N é ponto médio de

, temos:


73

Mas:

Analogamente, determinamos . Assim:

CONDIÇÕES DE ALINHAMENTO

DE TRÊS PONTOS

Se três pontos, A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC,

yC), estão alinhados, então:

Para demonstrar esse teorema podemos

considerar três casos:

a) três pontos alinhados horizontalmente

Neste caso, as ordenadas são iguais:

yA = yB = yC

e o determinante é nulo, pois a 2ª e a 3ª coluna são

proporcionais.

b) três pontos alinhados verticalmente

Neste caso, as abscissas são iguais:

xA = xB = xC

e o determinante é nulo, pois a 1ª e a 3ª coluna são

proporcionais.

c) três pontos numa reta não-paralela aos eixos

Pela figura, verificamos que os triângulos

ABD e BCE são semelhantes. Então:

Desenvolvendo, vem:

Como:

então .

Observação: A recíproca da afirmação demonstrada

é válida, ou seja, se ,

então os pontos A(xA,yA), B(xB,yB) e C(xC, yC)

estão alinhados.

EQUAÇÕES DE UMA RETA

EQUAÇÃO GERAL

Podemos estabelecer a equação geral de

uma reta a partir da condição de alinhamento de

três pontos.

Dada uma reta r, sendo A(xA, yA) e B(xB,

yB) pontos conhecidos e distintos de r e P(x,y) um

ponto genérico, também de r, estando A, B e P

alinhados, podemos escrever:


74

Fazendo yA - yB = a, xB - xA = b e xAyB -

xByA=c, como a e b não são simultaneamente nulos

, temos:

ax + by + c = 0

(equação geral da reta r)

Essa equação relaciona x e y para qualquer ponto P

genérico da reta. Assim, dado o ponto P(m, n):

se am + bn + c = 0, P é o ponto da reta;

se am + bn + c 0, P não é ponto da reta.

Acompanhe os exemplos:

Vamos considerar a equação geral da reta

r que passa por A(1, 3) e B(2, 4).

Considerando um ponto P(x, y) da reta, temos:

Vamos verificar se os pontos P(-3, -1) e Q(1,

2) pertencem à reta r do exemplo anterior.

Substituindo as coordenadas de P em x - y + 2

= 0, temos:

-3 - (-1) + 2 = 0 -3 + 1 + 2 = 0

Como a igualdade é verdadeira, então P r.

Substituindo as coordenadas de Q em x - y + 2

= 0, obtemos:

1 - 2 + 2 0

Como a igualdade não é verdadeira, então

Q r.

EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA

Considere a reta r não paralela a nenhum

dos eixos e que intercepta os eixos nos pontos P(p,

0) e Q(0, q), com :

A equação geral de r é dada por:

Dividindo essa equação por pq ,

temos:

(equação segmentári a da reta r)


equação segmentária da reta que passa por P(3, 0) e

Q(0, 2), conforme o gráfico:

EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS

São equações equivalentes à equação geral da

reta, da forma x= f(t) e y= g(t), que relacionam as

coordenadas x e y dos pontos da reta com um

parâmetro t.

Assim, por exemplo, , são equações

paramétricas de uma reta r.

Para obter a equação geral dessa reta a partir das

paramétricas, basta eliminar o parâmetro t das duas

equações:

x = t + 2 t = x -2

Substituindo esse valor em y = - t + 1, temos:

y = -(x - 2) + 1 = -x + 3 x + y - 3 = 0 ( equação

geral de r)


75

EQUAÇÃO REDUZIDA

Considere uma reta r não-paralela ao eixo Oy:

Isolando y na equação geral ax + by + c =

0, temos:

Fazendo , vem:

y = mx + q

Chamada equação reduzida da reta, em que

fornece a inclinação da reta em relação ao

eixo Ox.

Quando a reta for paralela ao eixo Oy, não

existe a equação na forma reduzida.

COEFICIENTE ANGULAR

Chamamos de coeficiente angular da reta r

o número real m tal que:

O ângulo é orientado no sentido anti-

horário e obtido a partir do semi-eixo positivo Ox

até a reta r. Desse modo, temos sempre

.

Assim:

para 0º <90º . m > 0 (a tangente é positiva

no 1º quadrante)

para 90º < < 180º . m < 0 ( a tangente é

negativa no 2º quadrante)

EXEMPLOS

DETERMINAÇÃO DO

COEFICIENTE ANGULAR

Vamos considerar três casos:

a) o ângulo é conhecido


76

b) as coordenadas de dois pontos distintos da reta

são conhecidas: A(xA, yA) e B(xB, yB)

Como 1 = ( ângulos correspondentes) temos que

.

Mas, m = tg Então:

Assim, o coeficiente angular da reta que

passa, por exemplo, por A(2, -3) e B(-2, 5) é:

c) a equação geral da reta é conhecida

Se uma reta passa por dois pontos distintos

A(XA, YA) e B(XB, YB), temos:

Aplicando o Teorema de Laplace na 1ª

linha, vem:

(YA - YB)x + (XB - XA)y + XAYA - XBYB = 0

Da equação geral da reta, temos:

Substituindo esses valores em

,

temos:

EQUAÇÃO DE UMA RETA R,

CONHECIDOS O COEFICIENTE ANGULAR

E UM PONTO DE R

Seja r uma reta de coeficiente angular m.

Sendo P(X0, Y0), P r, e Q(x,y) um ponto

qualquer de r(Q P), podemos escrever:


equação geral da reta r que passa por P(1, 2), sendo

m=3. Assim, temos X0=1 e Y0=2. Logo:

y-y0 = m(x-x0) = y-2 = 3(x - 1) =

y-2 = 3x - 3 = 3x - y - 1 = 0

que é a equação geral de r.

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE RETAS

Para representar graficamente as retas de

equação ax + by + c = 0 ( b 0), isolamos a

variável y e atribuímos valores a x, obtendo pares

ordenados que são pontos da reta.

Assim, é mais conveniente usar a equação

na forma reduzida, já que ela apresenta o y isolado.

COORDENADAS DO PONTO DE

INTERSECÇÃO DE RETAS

A intersecção das retas r e s, quando

existir, é o ponto P(x, y), comum a elas, que é a

solução do sistema formado pelas equações das

duas retas.

Vamos determinar o ponto de intersecção, por

exemplo, das retas r: 2x +y - 4 =0 e s: x -y +1=0.

Montando o sistema e resolvendo-o, temos:


77

Substituindo esse valor em x -y = -1, temos:

1 - y = -1

y = 2

Logo, P(1, 2) é o ponto de intersecção das retas r e s.

Graficamente, temos:

POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS

PARALELISMO

Duas retas, r e s, distintas e não-verticais,

são paralelas se, e somente se, tiverem coeficientes

angulares iguais.

CONCORRÊNCIA

Dadas as retas r: a1x +b1y + c1 = 0 e s: a2x

+ b2y + c2 = 0, elas serão concorrentes se tiverem

coeficientes angulares diferentes:

Como exemplo, vamos ver se as retas r: 3x

- 2y + 1 = 0 e s: 6x + 4y + 3 = 0 são

concorrentes:

PERPENDICULARISMO

Se r e s são duas retas não-verticais, então

r é perpendicular a s se, e somente se, o produto de

seus coeficientes angulares for igual a -1. Lê-se

. Acompanhe o desenho:

ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS

Sendo r e s duas retas não-verticais e não-

perpendiculares entre si, pelo teorema do ângulo

externo ( =+), temos:


78

Dependendo da posição das duas retas no

plano, o ângulo pode ser agudo ou obtuso. Logo:

Essa relação nos fornece o ângulo agudo

entre r e s, pois . O ângulo obtuso

será o suplemento de .

DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA

Dados um ponto P(x1, y1) e uma reta r:ax + by + c

= 0, a distância entre eles (dpr)é dada por:

Vamos calcular a distância, por exemplo,

do ponto P(-1,2) à reta r: x - 2y + 1 = 0.

Temos P(-1, 2) = P(x1, y1), a = 1, b= - 2 e c=1.

Assim:

BISSETRIZES

Dadas as retas concorrentes r: a1x + b1y + c1 = 0 e

s: a2x + b2y + c2 = 0, o que se interceptam em um

ponto Q, se P(x, y) é um ponto qualquer de uma

das bissetrizes, P Q, então P equidista de r e s:

Considerando o sinal positivo, obtemos

uma bissetriz; considerando o sinal negativo,

obtemos a outra.

Vejamos um exemplo:

Se r: 3x + 2y - 7 = 0 e s: 2x - 3y + 1 = 0,

então suas bissetrizes são:


79

NÚMEROS COMPLEXOS

A UNIDADE IMAGINÁRIA

No século XVI o matemático italiano

Girolamo Cardano, com o auxílio de seu

compatriota Tartáglia, descobriu uma fórmula para

resolver equações cúbicas do tipo x3 + px = q.

A fórmula era:

De posse dessa fórmula, Rafael Bombelli,

matemático italiano e da mesma época de Tartáglia

e Cardano, ao resolver a equação:

x3 – 15x = 4

encontrou: o que

mostrava que x não deveria ser um número real,

pois

No entanto, Bombelli percebeu que o

número real x = 4 era raiz da equação, pois 43 – 15

· 4 = 4, e isso o intrigou bastante.

Continuando suas pesquisas, Bombelli

descobriu que:

Portanto, o valor encontrado com o uso da

fórmula passava a ser:

Um valor coerente com as expectativas.

A partir desse momento, começou-se a

trabalhar com raízes quadradas de números

negativos e, mais tarde, já no século XVIII, o

matemático suíço Leonhard Euler passou a

representar 1 por i, convenção que utilizamos

até os dias atuais.

Assim: 1 i que passamos a denominar

unidade imaginária. Normalmente utilizamos a

igualdade:

RESOLUÇÃO DE ALGUMAS EQUAÇÕES

A partir da criação da unidade imaginária

i, vamos resolver algumas equações cuja solução

era impossível no conjunto universo dos número

reais.

1a) Resolver a equação: x

2 + 9 = 0

Resolução

Como essa é uma equação de segundo

grau incompleta, não há necessidade de

utilizarmos a fórmula de Bhaskara.

x2 + 9 = 0 x

2 = – 9 x

2 = 9 · (–1)

Como i2 = –1, temos: x

2 = 9i

2 x = ± 3i

2a) Resolva a equação: x

2 – 6x + 13 = 0

Resolução

= b2 – 4ac = (–6)2 – 4 · 1 · 13 = –16 = 16i

2

Assim: x = 3 + 2i ou x = 3 – 2i

S = {3 + 2i, 3 – 2i }

O CONJUNTO DOS

NÚMEROS COMPLEXOS

Com a criação da unidade imaginária i,

surgiu um novo conjunto numérico C, o conjunto

dos números complexos, que engloba o conjunto R

dos números reais.

Assim, por meio de um diagrama Euler-

Venn, temos:


80

O surgimento desse novo conjunto

numérico foi de grande utilidade para a superação

de alguns obstáculos na matemática e, por

conseguinte, nas aplicações diretamente ligadas a

ela.

Definições

Chamamos de número complexo na

forma algébrica, todo número na forma a + bi, em

que a e b são números reais e i é unidade

imaginária (i2 = –1).

Da mesma forma que, quando nos

referimos a um número natural, usamos a letra n

para representá-lo, a letra z será usada para

representarmos um número complexo.

Assim, no número complexo z = a + bi,

dizemos que a é a parte real de z, e bi é a parte

imaginária de z.

Representamos:

a = Re(z)

b = Im(z)

Em particular, temos:

1

o) Se Im(z) = 0, dizemos que z é um número

real.

EXEMPLO

– 5 = – 5 + 0i ; 2 2 0i

2o) Se Re(z) = 0 e Im(z) 0, dizemos que z é um

imaginário puro.

EXEMPLO

2i = 0 + 2i ; 3i 0 3i

IGUALDADE DE NÚMEROS COMPLEXOS

Dois números complexos, na forma

algébrica, são iguais quando suas partes reais e

imaginárias forem respectivamente iguais. (As

partes imaginárias são iguais, quando os

coeficientes forem iguais).

Assim, sendo z1 = a1 + b1i e z2 = a2 + b2i, com a1,

b1, a2 e b2 reais, dizemos:

EXEMPLO

Calcular a e b de modo que:

(2a – b) + 3i = – 2 + (– a + b)i

Resolução

Resolvendo o sistema, temos:

Substituindo a = 1 na equação –a + b = 3, temos:

–1 + b = 3 b = 4

Assim: a = 1 e b = 4

OPERAÇÕES COM NÚMEROS

COMPLEXOS

ADIÇÃO

Dados os complexos z1 = a + bi e z2 = c +

di, com a, b, c e d reais, a soma z1 + z2 será um

complexo tal que:

EXEMPLO

Sendo z1 = – 3 + 4i e z2 = 2 – i, calcular z1 + z2

Resolução

z1 + z2 = (– 3 + 4i) + (2 – i) = (– 3 + 2) + (4 – 1)i

Assim: z1 + z2 = – 1 + 3i

SUBTRAÇÃO


di, com a, b, c e d reais, a diferença z1 – z2 será um

complexo, tal que:

EXEMPLO

Sendo z1 = 5 + 3i e z2 = 3 + 2i, calcular z1 – z2

Resolução

z1 – z2 = (5 + 3i) – (3 + 2i) = (5 – 3) + (3 – 2)i


81

Assim: z1 – z2 = 2 + i

MULTIPLICAÇÃO


di, com a, b, c e d reais, o produto z1 · z2 será um

complexo, tal que:

De fato, usando a propriedade

distributiva, temos:

Como i

2 = – 1, temos:

(a + bi) · (c + di) = ac + adi + bci – bd

Agrupando a parte real e a parte

imaginária, temos:

z1 · z2 = (ac – bd) + (ad + bc)i

EXEMPLO

Sendo z1 = 3 + 2i e z2 = 2 + 4i, calcule z1 · z2

Resolução

z1 · z2 = (3 + 2i) · (2 + 4i)

z1 · z2 = 3 · 2 + 3 · 4i + 2i · 2 + 2i · 4i

z1 · z2 = 6 + 12i + 4i + 8i2

z1 · z2 = 6 + 12i + 4i – 8

z1 · z2 = – 2 + 16i

Observação – As propriedades da adição, subtra-

ção e multiplicação válidas para os números reais

continuam válidas para os números complexos.

CONJUGADO DE UM NÚMERO

COMPLEXO

Chamamos de conjugado do número

complexo

z = a + bi, com a e b reais,

o número complexo

= a – bi.

EXEMPLOS

1o) z1 = 2 – 3i = 2 + 3i

2o) z2 = –1 – 4i = –1 + 4i

3o) z3 = –3i = 3i

4o) z4 = 2 = 2

Propriedade

O produto de um número complexo pelo

seu conjugado é sempre um número real.

Demonstração

Sendo z = a + bi e = a – bi (a R e b R) temos:

Como a e b são reais, z · R.

DIVISÃO

Dados dois números complexos z1 e z2,

com z2 0, efetuar a divisão de z1 por z2 é

encontrar um terceiro número complexo z3 tal que

z1 = z2 · z3, ou seja:

EXEMPLO

Efetuar a divisão de z1 = 2 – 3i por z2 = 1 + 2i.

Resolução

Devemos encontrar um número complexo z3 = a +

bi tal que 1

3

2

zz

z . Assim,

2 3i

1 2i

= a + bi

2 – 3i = (a + bi) · (1 + 2i)

2 – 3i = a + 2ai + bi + 2bi2

2 – 3i = a + 2ai + bi – 2b

2 – 3i = (a – 2b) + (2a + b)i

Substituindo em a – 2b = 2, temos:


82

Assim:

Então

REGRA PRÁTICA


di, a, b, c e d reais e z2 0, para efetuarmos a

divisão de z1 por z2, basta multiplicarmos o

numerador e o denominador da fração 1

2

z

zpelo

conjugado do denominador 2z .

Assim, temos:

Assim:

EXEMPLO

Efetuar a divisão de z1 = 2 – 3i por z2 = 1 + 2i

Resolução

POTÊNCIAS DE I

Calculemos algumas potências de i com

expoente natural:

i0 = 1

i1 = i

i2 = – 1

i3 = i

2 · i = (– 1) · i = – i

i4 = i

2 · i

2 = (– 1) · (– 1) = 1

i5 = i

4 · i = 1 · i = i

i6 = i

4 · i

2 = 1 · (– 1) = – 1

i7 = i

4 · i

3 = 1 · (– i) = – i

Notamos que, a partir de i4 as potências de

i vão repetindo os quatro primeiros resultados;

assim, de um modo mais geral, com n N,

podemos afirmar que:

i4n

= (i4)

n = 1

n = 1

i4n + 1

= i4n

· i1 = 1 · i = i

i4n + 2

= i4n

· i2 = 1 · (–1) = –1

i4n + 3

= i4n

· i3 = 1 · (– i) = – i

Esta conclusão sugere-nos o seguinte:

Propriedade

Demonstração

Assim:

im = i

4q + r = i

4q · i

r = (i

4)

q · i

r

im = 1

q · i

r

Observação

Notamos que r {0, 1, 2, 3}, então, com m N, a

potência im é sempre igual a i

0 ou i

1 ou i

2 ou i

3, ou

seja, 1, i, – 1, – i, respectivamente.

EXEMPLOS

1o) Calcular i

359

Resolução


83

2o) Calcular i

130

Resolução

Exercícios Resolvidos

1. Resolva a equação: x4 – 1 = 0

Resolução

x4 – 1 = 0 (x

2 + 1) (x

2 – 1) = 0

x2 + 1 = 0 x

2 = – 1 x

2 = i

2 x = i

ou

x2 – 1 = 0 x

2 = 1 x = 1

S = { + i, + 1, – 1, – i}

2. Resolva a equação: x

2 – 2x + 10 = 0

Resolução

= (–2)2 – 4 · 1 · 10 = – 36

x = 1 3 i

S = {1 – 3i, 1 + 3i}

3. Se Z = 4 + 2i e W = 3 – 5i, então, calcular:

a) Z + W

b) Z – W

c) Z · W

Resolução

Z + W = (4 + 2 i ) + (3 – 5 i ) = 4 + 2 i + 3 –

5 i = 7 – 3 i

Z – W = (4 + 2 i) – (3 – 5 i) = 4 + 2 i –3 + 5 i

= 1 + 7 i

Z · W = (4 + 2 i) · (3 – 5 i) = 12 – 20 i + 6 i –

10 i2 =

12 – 14 i + 10 = 22 – 14 i

4. (FCC-BA) O número complexo 1 – i é raiz da

equação x2 + kx + t = 0 (k, t R ) se, e

somente se:

a) k = t = – 2 d) k = 2 e t = – 2

b) k = t = 2 e) k + t = 1

c) k = –2 e t = 2

Resolução

Se (1 – i) é raiz, temos:

(1 – i)2 + k(1 – i) + t = 0

1 – 2i – 1 + k – ki + t = 0

(k + t) + (–2 – k)i = 0 + 0i

Logo:

5. (UCMG-MG) O número complexo z, tal que

5z + = 12 + 16i, é igual a:

a) – 2 + 2i d) 2 + 4i

b) 2 – 3i e) 3 + i

c) 1 + 2i

Resolução

Fazendo z = a + bi e = a – bi, temos:

5z + = 12 + 16i

5(a + bi) + a – bi = 12 + 16i

5a + 5bi + a – bi = 12 + 16i

Logo: z = 2 + 4i

6. Determine o inverso do número complexo z =

3 – 2i.

Resolução

O inverso de z será z–1

, tal que z · z–1

= 1, ou

seja, 1 1

zz

Assim:


84

Assim,

Resposta:

7. Determinar m R para que 2 3i

z2 mi

seja

um imaginário puro.

Resolução

Para que z seja imaginário puro, devemos ter:

Re (z) = 0

Assim:

= 0 4 + 3m = 0 m = –

Resposta: m =

8. Calcular: i14

– 3i9 + 2i

26

Resolução

i2 – 3 i

1 + 2 i

2 = –1 – 3i – 2 = – 3 – 3i

9. Calcular i

4n – 2

Resolução

Resposta: – 1

O PLANO DE ARGAND-GAUSS

Já sabemos que cada número real pode ser

associado a um ponto de uma reta e que cada ponto

da reta é imagem de um único número real. Para

representarmos geometricamente os números

complexos (entre os quais se encontram todos os

números reais), utilizaremos um plano. Assim

sendo, considere um plano no qual se fixou um

sistema de coordenadas retangulares.

Representaremos cada número complexo

z = a + bi pelo ponto do plano de coordenadas

(a, b).

Dessa forma, o número complexo z = 2 +

3i, por exemplo, será representado pelo ponto

P (2, 3).

Quem pela primeira vez fez essa

interpretação geométrica foi Wessel, num artigo

publicado em 1798, mas sua obra ficou quase

desconhecida; por isso, este plano onde

representamos os números complexos é conhecido,

até hoje, como plano de Gauss, embora este tenha

publicado a mesma idéia cerca de trinta anos

depois. No plano de Gauss, os números reais são

representados por pontos que pertencem ao eixo

Ox e, por isso, esse eixo será chamado de eixo

real, enquanto o eixo Oy será chamado de eixo

imaginário. O ponto P(a, b), que representa o

número complexo z = a + bi, será chamado de

afixo ou imagem deste número complexo.

MÓDULO DE UM NÚMERO COMPLEXO

Dado um número complexo z = a + bi,

com a e b reais, chamamos de módulo de z e

indicamos |z| ou à distância entre a origem O do

plano de Gauss e o afixo de z.

Sendo O (0, 0) e P ( a, b)

Assim:


85

Observação

A definição de módulo no conjunto dos números

complexos é coerente com a definição dada em R,

ou seja:

EXEMPLOS

Propriedades

Sendo z1 = a + bi e z2 = c + di dois números

complexos quaisquer, então:

1a) 11| z | | z |

Demonstração

Assim:

2a) |z1 · z2| = |z1 · z2|

Assim: |z1 · z2| = |z1 · z2|

3a)

Demonstração

Observação

Existem outras propriedades que são válidas para

os números complexos e que serão demonstradas

no próximo módulo.

4a)

5a)

Importante

Todos os números complexos com módulo r têm

os seus afixos em uma circunferência de centro na

origem e o raio r.

ARGUMENTO DE UM

NÚMERO COMPLEXO

Sendo z = a + bi um número complexo

não-nulo e P o afixo de z no plano de Gauss de

origem O, chamamos argumento do número

complexo z a medida do arco com centro em O

tomado a partir do semi-eixo real positivo até a

semi-reta OP

no sentido anti-horário.


86

Assim:

Da trigonometria concluímos que:

em que é o módulo de z.

Em particular quando:

EXEMPLOS

1o) Calcular o argumento do número complexo

z = 2 – 2i.

Resolução

Assim: = 315º

2

o) Calcular o argumento de z = – 1 + .

Resolução

3

o) Calcular o argumento de z = – 4i.

Resolução

4

o) Calcular o argumento de z = – 2.

Resolução


87

Assim: = 180º

Importante

Todos os números complexos com argumento

têm os seus afixos em uma semi-reta de origem O.

FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UM

NÚMERO COMPLEXO

Podemos determinar um número complexo de dois

modos:

1o) Conhecendo a = Re (z) e

bi = Im (z) e temos:

z = a + bi, que é a forma algébrica de z.

2o) Conhecendo = |z| e o = argumento de z,

temos:

Assim:

Então:

que é a forma trigonométrica de z.

EXEMPLOS

1o) Colocar o número complexo z = 1 + i na forma

trigonométrica.

Resolução

2o) Escreva na forma trigonométrica z = –2i.

Resolução

3o) Escreva na forma trigonométrica z = – 4.

Resolução


88


1. Sendo z1 = 2 + 3i e z2 = 1 – 2i, verificar a

veracidade das sentenças abaixo.

Resolução

2. Obter o argumento dos complexos:

Resolução

a)

b)


89

3. Escrever o número z = – 1 – na forma

trigonométrica.

Resolução

OPERAÇÕES NA FORMA

TRIGONOMÉTRICA

ADIÇÃO

Sejam os números complexos z1 e z2 na forma

trigonométrica:

Vamos efetuar a adição de z1 e z2:

O módulo de z1 + z2 será:

Simplificando, encontramos:

Este último resultado mostra-nos que o

módulo de soma é o maior possível quando cos (1

- 2) for máximo, o que se dará para cos (1 - 2) =

1, e neste caso teremos:

ou seja:

Assim, podemos afirmar que

REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA

DA ADIÇÃO

Consideremos dois números complexos z1 e z2, na

forma algébrica:

z1 = a1 + b1 i

z2 = a2 + b2 i

Vamos construir as imagens respectivas de z1 e z2

que representamos por M1 e M2.


90

Com os pontos O, M1, M2 e M vamos construir o

paralelogramo OM1MM2, cuja diagonal é .

A partir da figura, podemos concluir que:

Como OP1 = a1 e OP2 = a2, temos que:

Analogamente, provamos que:

Dessa forma, concluímos que o ponto M é o afixo

do número complexo (a1 + a2) + (b1 + b2) i que é a

soma z1 + z2.

Assim, concluímos que:

A soma de dois números complexos é representada

geometricamente pela diagonal do paralelogramo

construído sobre os vetores correspondentes aos

dois complexos dados.

Escrevemos que:

MULTIPLICAÇÃO

Consideremos os números complexos não-nulos:

A multiplicação de z1 por z2 ficará:

Agrupando convenientemente, temos:

Assim:

Podemos observar que:

1o) o módulo de z1 · z2 é igual ao produto dos

módulos de z1 e z2 ;

2o) o argumento de z1 · z2 é igual à soma dos

argumentos de z1 e z2.

EXEMPLO

Calcular o produto dos números complexos

z = 2 (cos 50° + i sen 50°) e

w = 3 (cos 20° + i sen 20°).

Resolução

z · w = 2 · 3 · [cos (50° + 20°) + i sen (50° + 20°)]

Assim: z · w = 6 · (cos 70° + i sen 70°)

Importante – Se tivermos n fatores, será fácil

verificarmos que:

EXEMPLOS

Calcular o produto dos números complexos:


91

Resolução

DIVISÃO

Consideremos os números complexos não-nulos:

A divisão de z1 por z2 ficará:

Logo:


1o) o módulo de

1

2

z

zé igual ao quociente dos

módulos de z1 e z2;

2o) o argumento de

1

2

z

zé igual à diferença dos

argumentos de z1 e z2.

EXEMPLOS

Calcular o quociente dos números complexos

z = 6 (cos 70° + i sen 70°) e

w = 2 (cos 20° i sen 20°).

Resolução

POTENCIAÇÃO

Sendo z = r (cos + i sen ) e n um número natural

não-nulo, temos:

Assim:

FÓRMULA DE MOIVRE


1o) o módulo de z

n é igual ao módulo de z

elevado ao expoente n;

2o) o argumento de z

n é igual ao argumento de z

multiplicado por n.

EXEMPLOS

1o) Dado

1 3

2 2 i, calcular z

6.

Resolução

z

6 = 1 · (cos 2 + i sen 2 )

z6 = 1 · (1 + i · 0)

z6 = 1


92


1. Dados os números complexos:

z = 8 (cos 75° + i sen 75°) e w = 2 (cos 15° + i

sen 15°), pode-se dizer que:

a) zw = 16 d) zw = –16i

b) z

2 2 3iw e) nra

c) z

4w (sen 60º + i cos 60º)

Resolução

Resposta: B

2. Dado z = 2 cos i sen3 3

, calcular 6

1

z.

Resolução

Sabendo que zn = p

n · (cos n · + i sen n · )

3. Determinar o menor valor de n N*, tal que

n

2 2 i seja real.

Resolução

Para que zn seja real, devemos ter:

Im (zn) = 0

Assim: sen ( n 7

4

) = 0

Então n7

4

= k , k Z

Se n é natural, devemos ter que n seja

múltiplo de 4. Então o menor valor de n é :

4. Sendo z = cos + i sen , obtenha as fórmulas

de sen (2 ) e cos (2 ) utilizando a fórmula

de Moivre.

Resolução

Sabemos que:

Fazendo n = 2, temos:


93

Então:

Igualando as partes reais e imaginárias, obtemos

:

e


94

VETORES

RETA ORIENTADA - EIXO

Uma reta r é orientada quando fixa nela

um sentido de percurso, considerado positivo e

indicado por uma seta.

SEGMENTO ORIENTADO

Um segmento orientado é determinado por

um par ordenado de pontos, o primeiro chamado

origem do segmento, o segundo chamado

extremidade.

SEGMENTO NULO

Um segmento nulo é aquele cuja

extremidade coincide com a origem.

SEGMENTOS OPOSTOS

Se AB é um segmento orientado, o

segmento orientado BA é oposto de AB.

MEDIDA DE UM SEGMENTO

Fixada uma unidade de comprimento, cada

segmento orientado pode-se associar um número

real, não negativo, que é a medida do segmento em

relação aquela unidade. A medida do segmento

orientado é o seu comprimento ou seu módulo. O

comprimento do segmento AB é indicado por AB .

Assim, o comprimento do segmento AB

representado na figura abaixo é de 5 unidades de

comprimento:

AB = 5 u.c.

Observações

a. Os segmentos nulos têm comprimento igual a

zero

b. AB = BA

DIREÇÃO E SENTIDO

Dois segmentos orientados não nulos AB e

CD têm a mesma direção se as retas suportes desses

segmentos são paralelas:

ou coincidentes

Observações

a. Só se pode comparar os sentidos de dois

segmentos orientados se eles têm mesma

direção.


95

b. Dois Segmentos orientados opostos têm

sentidos contrários.

SEGMENTOS EQUIPOLENTES

Dois segmentos orientados AB e CD são

equipolentes quando têm a mesma direção, o

mesmo sentido e o mesmo comprimento.

Se os segmentos orientados AB e CD não

pertencem à mesma reta. Na segunda figura abaixo,

para que AB seja equipolente a CD é necessário

que AB//CD e AC/BD, isto é, ABCD deve ser um

paralelogramo.

Observações

a. Dois segmentos nulos são sempre equipolentes.

b. A equipolência dos segmentos AB e CD é

representada por AB ~ CD.

PROPRIEDADES DA EQUIPOLÊNCIA

I. AB ~ AB (reflexiva).

II. Se AB ~ CD, CD ~ AB (simétrica).

III. Se AB ~ CD e CD ~ EF, AB ~ EF

(transitiva).

IV. Dado o segmento orientado AB e um

ponto C, existe um único ponto D tal que

AB ~ CD.

VETOR

Vetor determinado por um segmento

orientado AB é o conjunto de todos os segmentos

orientados equipolentes a AB.

Se indicarmos com v

este conjunto,

simbolicamente poderemos escrever:

v

= {XY/XY ~ AB}

onde XY é um segmento qualquer do conjunto.

O vetor determinado por AB é indicado

por AB ou B - A ou v

.

Um mesmo vetor AB é determinado por

uma infinidade de segmentos orientados, chamados

representantes desse vetor, e todos equipolentes

entre si. Assim, um segmento determina um

conjunto que é o vetor, e qualquer um destes

representantes determina o mesmo vetor. Usando

um pouco mais nossa capacidade de abstração, se

considerarmos todos os infinitos segmentos

orientados de origem comum, estaremos

caracterizando, através de representantes, a

totalidade dos vetores do espaço. Ora, cada um

destes segmentos é um representante de um só

vetor. Conseqüentemente, todos os vetores se

acham representados naquele conjunto que

imaginamos.

As características de um vetor v

são as

mesmas de qualquer um de seus representantes, isto

é: o módulo, a direção e o sentido do vetor são o

módulo, direção e o sentido de qualquer um de seus

representantes.

O módulo de v

se indica por | v

|.

VETORES IGUAIS

Dois vetores AB

e CD

são iguais se, e somente se,

AB ~ CD.

VETOR NULO

Os segmentos nulos, por serem

equipolentes entre si, determinam um único vetor,

chamado vetor nulo ou vetor zero, e que é indicado

por 0

.

VETORES OPOSTOS

Dado um vetor = , o vetor é o oposto

de e se indica por ou por .

VETOR UNITÁRIO

Um vetor é unitário se | | = 1.


96

VERSOR

Versor de um vetor não nulo é o vetor

unitário de mesma direção e mesmo sentido de .

Por exemplo, tomemos um vetor de módulo 3.

Os vetores e da figura são vetores

unitários, pois ambos têm módulo 1. No entanto,

apenas tem a mesma direção e o mesmo sentido

de . Portanto, este é o versor de .

VETORES COLINEARES

Dois vetores e são colineares se

tiverem a mesma direção. Em outras palavras: e

são colineares se tiverem representantes AB e

CD pertencentes a uma mesma reta ou a retas

paralelas.

VETORES COPLANARES

Se os vetores não nulos , e (não

importa o número de vetores) possuem

representantes AB, CD e EF pertencentes a um

mesmo plano , diz-se que eles são coplanares.

Dois vetores e quaisquer são são

sempre coplanares, pois podemos sempre tomar um

ponto no espaço e, com origem nele, imaginar os

dois representantes de e pertencendo a um

plano p que passa por este ponto.

Três vetores poderão ou não ser

coplanares.

, e são coplanares

, e não são coplanares

SOMA DE VETORES

Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a soma de v e w,

por:

v + w = (a+c,b+d)

PROPRIEDADES DA SOMA DE VETORES

I) Comutativa: Para todos os vetores u e v de

R2:

v + w = w + v

II) Associativa: Para todos os vetores u, v e w

de R2:

u + (v + w) = (u + v) + w


97

III) Elemento neutro: Existe um vetor O=(0,0)

em R2 tal que para todo vetor u de R

2, se

tem:

O + u = u

IV) Elemento oposto: Para cada vetor v de R2,

existe um vetor -v em R2 tal que:

v + (-v) = O

DIFERENÇA DE VETORES

Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a

diferença entre v e w, por:

v - w = (a-c,b-d)

PRODUTO DE UM ESCALAR

POR UM VETOR

Se v=(a,b) é um vetor e c é um número

real, definimos a multiplicação de c por v, como:

c.v = (ca,cb)

PROPRIEDADES DO PRODUTO DE

ESCALAR POR VETOR

Quaisquer que sejam k e c escalares, v e w

vetores:

1 v = v

(k c) v = k (c v) = c (k v)

k v = c v implica k = c, se v for não nulo

k (v+w) = k v + k w

(k + c)v = k v + c v

MÓDULO DE UM VETOR

O módulo ou comprimento do vetor

v=(a,b) é um número real não negativo, definido

por:

VETOR UNITÁRIO

Vetor unitário é o que tem o módulo igual

a 1.

Existem dois vetores unitários que formam

a base canônica para o espaço R2, que são dados

por:

i = (1,0) j = (0,1)

Para construir um vetor unitário u que

tenha a mesma direção e sentido que um outro vetor

v, basta dividir o vetor v pelo seu módulo, isto é:

Observação:

Para construir um vetor u paralelo a um vetor v,

basta tomar u=cv onde c é um escalar não nulo.

Nesse caso, u e v serão paralelos.

Se c = 0 então u será o vetor nulo.

Se 0 < c < 1 então u terá comprimento menor do

que v.

Se c > 1 então u terá comprimento maior do que v.

Se c < 0 então u terá sentido oposto ao de v.

PRODUTO ESCALAR

Dados os vetores u=(a,b) e v=(c,d),

definimos o produto escalar entre os vetores u e v,

como o número real obtido por:

u.v = a.c + b.d

EXEMPLOS

O produto escalar entre u=(3,4) e v=(-2,5) é:

u.v = 3.(-2) + 4.(5) = -6+20 = 14

O produto escalar entre u=(1,7) e v=(2,-3) é:

u.v = 1.(2) + 7.(-3) = 2-21 = -19

PROPRIEDADES DO PRODUTO ESCALAR

Quaisquer que sejam os vetores, u v e w e k escalar:

v.w = w.v

v.v = |v| |v| = |v|2

u.(v+w) = u.v + u.w

(kv).w = v.(kw) = k(v.w)

|kv| = |k| |v|

|u.v| |u| |v| (desigualdade de Schwarz)

|u+v| |u| + |v| (desigualdade triangular)


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ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES

O produto escalar entre os vetores u e v pode ser

escrito na forma:

u.v = |u| |v| cos(x)

onde x é o ângulo formado entre u e v.

Através desta última definição de produto escalar,

podemos obter o ângulo x entre dois vetores

genéricos u e v, como:

desde que nenhum deles seja nulo.

VETORES ORTOGONAIS

Dois vetores u e v são ortogonais se:

u.v = 0

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