Prof. Drª Marília Brasil Xavier · Este livro foi escrito com o propósito de esclarecer o leitor...

Prof. Drª Marília Brasil Xavier

REITORA

Profª. Drª. Maria das Graças Silva

VICE-REITORA

Prof. Dr. Ruy Guilherme Castro de Almeida PRÓ-REITOR DE ENSINO E GRADUAÇÃO

Profª. M.Sc. Maria José de Souza Cravo

DIRETORA DO CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO

Prof. M.Sc. Antonio Sérgio Santos Oliveira CHEFE DO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E INFORMÁTICA

Prof. M. Sc. Rubens Vilhena Fonseca

COORDENADOR DO CURSO DE MATEMÁTICA COORDENADOR DO CURSO DE MATEMÁTICA MODALIDADE A DISTÂNCIA

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ

CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E INFORMÁTICA

LICENCIATURA EM MATEMÁTICA MODALIDADE A DISTÂNCIA

CONSTRUINDO A TRANSFORMADA DE

LAPLACE

BELÉM – PARÁ – BRASIL

- 2009 -

MATERIAL DIDÁTICO

ELABORAÇÃO DO CONTEÚDO

Rubens Vilhena Fonseca

COLABORAÇÃO

Maria da Glória Costa Lima

EDITORAÇÃO ELETRONICA

Odivaldo Teixeira Lopes

ARTE FINAL DA CAPA

Odivaldo Teixeira Lopes

REALIZAÇÃO

APRESENTAÇÃO.

Diálogo

Napoleão: Escreveste esta enorme obra sobre os mistérios do universo sem mencionar uma

única só vez o nome do Deus, Seu edificador?

Laplace: Senhor! Não senti necessidade desta hipótese.

PREFÁCIO

Se tivéssemos de definir com uma frase o profissional de exatas, poderíamos,com

certa generalidade, rotulá-lo como aquele que resolve EQUAÇÕES DIFERENCIAIS.

Estas equações auxiliam muito os engenheiros a os c,cm7stas a desenvolverem quase

todos os produtos que são requisitados pelas necessidades tecnológicas de hoje. São

empregadas até mesmo como técnica de previsão do volume de vendas de uma empresa

quando esta lança no mercado um produto novo.

As equações diferenciais representam também uma série de fenômenos tais como:

O crescimento de culturas de bactérias,

Competitividade entre as espécies de um ecossistema,

Escoamento de fluidos em dutos,

O movimento dos planetas em torno do sol,

Trajetória de projeteis,

A formação do granizo na atmosfera,

Circulação sanguínea,

Movimento angular de ciclones,

Fenômenos de difusão,

A velocidade adquirida por um fruto maduro que despenca de uma árvore,

Previsão de baixas em batalhas,

Jogos de guerra.

O formato de um ovo,

Mecanismos de transferência de calor,

A maré dos oceanos,

Ondas de choque,

A mudança diária da temperatura do vento,

Problemas de servos-mecanismos,

Evolução de uma epidemia devido a vírus,

Realimentação de sistemas,

Etc, ..., etc.

Podemos dizer que estas equações armazenam informações de tudo aquilo que

podemos abordar através da linguagem matemática.

A TRANSFORMADA DE LAPLACE serve, entre outras coisas, para resolver este

tipo de equação, proporcionando aos estudiosos maior clareza e abrangência na interpretação

de mundo no qual vivemos.

Não obstante, esta técnica criada pele marquês de Laplace torna-se um verdadeiro

monumento científico quando engloba uma série de outros resultados matemáticos, tais como:

A Função Gama, e conceito de fatorial, a noção de operador, transformações de espaço,

cálculo operacional, ..., etc. Esta interligação de diversos resultados importantes faz da

natureza um imenso quebra cabeça matemático, diante do qual estão os homens boquiabertos

a encontrar peça por peça.

Este livro foi escrito com o propósito de esclarecer o leitor de onde, come e porquê foi

criada a Transformada de Laplace.

LAPLACE

A FRANÇA DE LAPLACE

O guilhotinamento do rei Luis XVI intensificou as guerras civis na França. Estes

conflitos sangrentos, oriundos da revolução, contribuíram negativamente no desenvolvimento

econômico e político do povo francês. Além do que, podemos dizer que estas batalhas entre

irmãos provocaram uma mudança drástica nas diretrizes políticas traçadas pelos Luises. No

entanto, a influência política e militar da França na europa estavam muito fortalecidas, isto

graças à astúcia e genialidade militar de Napoleão Bonaparte.

Estudante da Escola de Ciências Políticas, Napoleão preparou-se desde menino para

ser um general de exercito. Seus estudos foram bastante diversificados, ao ponto de estudar

Literatura e Matemática, Logistica e Poesia, Filosofia e Mineração. Sua ascensão ao poder,

como ditador é antes de mais nada uma consequência da crise sócio-política provinda da

Revolução Francesa. Sob o lema Liberdade – Igualdade – Fraternidade, Napoleão comandaria

seus exércitos em diversas batalhas horrendas, estas mesmas que lhe dariam fama, prestigio e

poder.

Napoleão Bonaparte, herói nacional, aproveitando-se da situação vivida pelo seu povo,

mostrou-se como o único salvador possível da pátria francesa. Assim, com o consentimento

do povo, passou de general à consul provisório e mais tarde (após o golpe) Imperador da

França.

O governo napoleônico preocupou-se, antes de mais nada, em organizar as finanças, a

política e a justiça. Incentivou a criação de diversas escolas em todo o pais bem como fundou

a célebre Universidade da França.

Uma característica peculiar deste grande general foi sua paixão pelas artes e fascínio

pelas ciências, especificamente preocupava-se com o desenvolvimento da matemática. Este

interesse pelo cálculo surgiu quando aluno da Escola Militar de Brienne em 1785,

particularmente durante as aulas proferidas por seu orientador acadêmico Pierre Simon. Aos

poucos, estes dois homens encontraram um ponto comum em seus planos de vida: O poder.

Quando Napoleão tornou-se Imperador condecorou seu ex-professor com o título de

Marques de Laplace. Alem disto, convidou-o para participar do seu governo como ministro,

convite aceito imediatamente pelo matemático.

Laplace revelou-se bom político, porem péssimo administrador enquanto seu

orientado (Napoleão) mostrou-se excelente general mas medíocre como político.

GEOMETRIA: ALICERCE DAS FUNÇÕES

A VIDA DE LAPLACE

O matemático e político Pierre Simon - Marqués de Laplace - nasceu no dia 23

de março de 1749 na cidade de Beaumont - En - Auqe (França)

Não encontramos nos museus europeus dados históricos que nos permitam

trabalhar o perfil de sua infância. Simon nunca se referia a seu passado. Sabemos através de

alguns depoimentos feitos por seus amigos, que sua infância foi muito problemática. Sufocada

pela miséria da família, teve logo cedo de trabalhar para ajudar no sustento dos seus irmãos.

Esta condição de vida sempre o envergonhou.

Aos sete anos de idade ingressa na Academia Militar de Beaumont quando então

manifestou sua espantosa facilidade para a matemática. Sua aptidão para resolver os

exercícios propostos pelos mestres o fez famoso em sua cidade, onde é considerado ainda

criança, um verdadeiro cientista. Com dezoito anos recebe uma bolsa de estudos dada por

alguns moradores de sua cidade natal, que permitiu-lhe ir para Paris, na época a capital

intelectual do mundo.

Simon, na cidade das luzes, procurou D‟Alembert e entregou-lhe uma carta de

recomendação feita pelos seus professores. Mas o famoso matemático estava tão absorvido

em seus estudos, que não deu a minima atenção ao jovem estudante, dizendo-lhe apenas não

estar interessado em orientar adolecentes.

Pierre Simon, muito triste, voltou para o hotel onde estava hospedado e escreveu

uma belíssima carta a D‟Alembert. Nesta expunha suas ideas sobre os princípios gerais da

mecânica newtoniana. Com esta, conseguiu impressionar o ocupado D‟Alembert, que lhe

responde:

Paris, 1767

Sr. Simon, você viu que eu dei pouca atenção a sua recomendação.

Você não precisa de nenhuma recomendação; deveria ter-se

apresentado diretamente. Isto que você escreveu foi suficiente para

mim, as sim pode contar com meu apoio.

D‟ Alembert

Alguns meses depois, Pierre Simon foi indicado por D‟Alembert para ser professor de

Cálculo na Escola Militar de Paris.

Nesta época, um dos problemas mais interessantes que estava sendo estudado era o da

estabilidade dos movimentos dos planetas em torno do Sol. O próprio Newton, no ápice de

sua carreira, começava a pensar que deveria haver uma certa intervenção divina nestes

movimentos, caso contrário, seria um verdadeiro caos cosmológico. Para estudar o problema

da estabilidade cinemática dos planetas, Newton faria um trabalho matemático bastante

extenso, mas, como os outros, também fracassou.

Pierre Simon dominava as leis de Newton e conhecia a Matemática desenvolvida por

Descartes, Leibniz e Fermat, assim atacou o problema com todas as suas forças. A partir das

leis de Newton, estudou os efeitos combinados das perturbações de todos os corpos

conhecidos sobre um corpo específico. Desse estudo resultou sua espetacular obra: Mecânica

Celeste. O trabalho seria dividido em vários livros: O 1º e o 2º volume apareceram em 1799, o

3º e o 4º volume aparecem em 1802 e o 5º volume em 1823.

Pierre Simon faria no seu Mecânica Celeste uma conexão espetacular entre a Física e a

Matemática. Além do que apresentou um método poderoso para resolução de equações

diferenciais. Este método, “Transformada de Laplace” concedeu a seu autor prestígio e

respeito em todos os meios científicos do mundo. Não bastando, as suas transformadas seriam

consideradas um verdadeiro monumento matemático, um marco na história da resolução das

equações diferenciais ordinárias.

Pierre correspondeu-se muito com D‟Alembert, em uma de suas cartas do ano de 1777

podemos observar alguns traços de sua personalidade.

Paris, 1777

Eu sempre gostei da matematica devido a sua beleza e não pela

provável reputaçao que meus estudos um dia darão. Meu maior

divertimento é estudar atentamente a vida e a obra dos matemáticos do

passado e saber como contornavam os obstáculos que constantemente

encontramos no desnevolvimento de um trabalho. Assim, me coloco

no lugar destes homens e imagino como poderia vencer estas

barreiras. No entanto sempre que verifico a soluçao encontrada por

estes homens e as comparo com as minhas, me decepciono.

No entanto se consigo encontrar alguma resposta melhor, atribuo este

êxito a minha posiçao no tempo e lembro-me que estes matemáticos

viveram no passado, sem os recursos de hoje ...

Pierre Simon

É lamentável dizer que esta humildade iria desaparecer com o tempo ... Em 1785,

agora professor da Escola Militar, Pierre Simon orientaria um jovem estudante de 16 anos.

Este menino provocaria uma verdadeira guinada na vida do modesto matemático, O jovem

chamava-se Napoleão Bonaparte. Napoleão, anos depois como Imperador da França,

convidou o amigo Simon para ser Ministro do Interior.

Assim o autor das Transformadas de Laplace muda completamente o seu

comportamento. Reescreve sua obra prima “Mecânica Celeste” quando então a dedica a

Napoleão. Porém deixa de citar diversos nomes de matemáticos e físicos que, sem dúvida

contribuíram com resultados matemáticos importantes ao desenvolvimento de seus estudos.

No entanto, percebemos claramente que o agora Marquês de Laplace tenta induzir a

coletividade científica a acreditarem que todos os resultados citados em seu Mecânica Celeste

é de sua autoria. Isto certamente aumentaria sua fama quando então poderia influenciar mais

no destino da França.

Após a queda de Napoleão o Marquês de Laplace re tira-se da política e vai para a

cidade de Arcubil, onde faleceu dia 5 de março de 1827, aos 78 anos de idade.

REUNIÃO DE CIENTISTAS FRANCESES 1780

Departamento de Matemática, Estatística e Informática Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância

12

PRIMEIRA PARTE

A GRANDE IDÉIA DE LAPLACE

Sabemos que resolver uma equação significa encontrarmos a variável que satisfaz uma

identidade pré-estabelecida pelo sinal de igual. Esta variável comumente chamada de

incógnita pode ser representada por: um número, um vetor, uma função ou um objeto

matemático qualquer.

Observe os exemplos

Quando temos uma equação algébrica, a variável será um número

Caso a equação seja vetorial, a solução será representada por um vetor.

Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação

13

Tratando-se de uma equação diferencial a variável procurada será uma função.

Existem diversas técnicas que nos permitem encontrar as soluções dos vários tipos de

equações. Laplace criou um método muito curioso e de uma beleza inigualável que o

conduziu às soluções de várias equações diferenciais ordinárias. Este método, simples e

elegante, foi desenvolvido do seguinte modo:

Consideremos a equação diferencial abaixo

f (x) – f (x) = f (0) = –1

LÊ-SE: “A derivada de certa função f(x) subtraída desta própria função, dá o resultado ”.

PERGUNTA-SE: Qual será esta função f(x) ?

RESPOSTA: A função procurada, ou seja, a função que satisfaz a

equação acima é: f(x) = – 2ex (você pode testar)

Esta solução foi encontrada pelo criativo Marquês de Laplace do seguinte modo.

f (x) – f(x) = e2x

sx f (x) –

sx f(x) =

sx e

2x

sx f (x) dx –

sx f(x) dx =

(s-2)x dx

(1)


14

Para resolver estas integrais, Laplace utilizou-se da identidade de Leibniz.

Assim teremos que:

u = f (x) v = sx

u = f(x) v‟ = -ssx

ou seja:

Substituindo (2) e (3) na equação (1)

No entando f (0) = –1, então:

Laplace diante do resultado (4) questionar-se-ia

... A função f(x) que procuramos, multiplicada por sx

e integrada de zero a infinito

resultou ... Qual será esta função?

A resposta a esta indagação pode ser encontrada no manuscrito abaixo.


15


16

SEGUNDA PARTE

DESENVOLVIMENTO

1. INTRODUÇÃO

A multiplicação da ambos os lados da equação diferencial por dx e posterior

integração de zero e infinito foi um artifício muito útil na obtenção da solução f(x) = e2x

– 2

ex. No entanto, foi necessário conhecermos antecipadamente a solução da integral (4). Sendo

assim, notamos que: Quanto mais funções forem multiplicadas por sx

e integradas de zero a

infinito, tanto mais cômodo será encontrar a solução de uma equação diferencial.

Um fato matemático interessante que surge na utilização deste procedimento pode ser

ilustrado do seguinte modo:

A transformação de variáveis acima ( ) é chamada de integração de Laplace ou de

Transformada de Laplace, ou seja:

Isto é:


17

Vamos exercitar um pouco a operacionalidade desta integral.

2. FUNÇÕES POLINOMIAIS

Exemplo A ..................... f(x) = 1

Exemplo B ..................... f(x) = x

Integrando por partes:

Exemplo C ..................... f(x) = x2

por partes:

Exemplo D ..................... f(x) = x3

Exemplo E ..................... f(x) = x4


18

Dos exemplos acima, podemos observar que existe uma lei de formação nos resultados

encontrados.

POLINÔMIO TRANSFORMADA

f(x) = 1

f(x) = x

f(x) = x2

f(x) = x3

f(x) = x4

– – –

– – –

– – –

f(x) = xn

Onde n é um número natural e a exclamação indica o fatorial de n. Este símbolo foi

introduzido na matemática por CHRISTIAN KRAMP em seu livro Elèments d Arithmètique

Universele publicado em 1808. Nesta obra podemos ler:

... “Je me sers de La notation três simple n! pour designer le produit de

nombres décroissans depuis n jusqu‟a 1 unite savoir n(n-1) (n–2) (n–3) ... 4. 3. 2. 1”

Esta notação compacta foi muito difundida pelo matemático português Francisco de

Borba Garção no seu livro Methodo Inverso dos Limites, publicado em Lisboa no ano de

1824.


19

3. A TRANSFORMAÇÃO DE LAPLACE DE ALGUMAS FUNÇÕES ESPECIAIS

Exemplo A ............ f(x) = eax (a R)

Exemplo B ............... f(x) = senax (a R)

Integrando por partes teremos:

v = senax u =

v‟ = a cosax u‟ = sx

Integrando novamente por partes vem que:

v = cosax u =

v‟ = – a senax u‟ = sx

Exemplo C ......... f(x) = (a R)

(b R)

Por partes:

Exemplo D ..................... f(x) = coshax

Para simplificar podemos escrever este elemento matemático na sua forma exponencial.

f(x) = coshax =


20

TERCEIRA PARTE

APLICAÇÃO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE

NAS DERIVADAS DE DIVERSAS ORDENS

1. CONSIDERAÇÕES

Para empregarmos a transformada de Laplace na solução de equações diferenciais

ordinárias é fundamental conhecermos as transformadas das derivadas que surgem neste tipo

de equação.

Observe como é simples.

2. DESENVOLVIMENTO

a) A da primeira derivada

Seja f‟ (x) a derivada da função f(x). A transformada desta derivada é dada por:

Embora pareça difícil dar o próximo passo, podemos faze-lo integrando por partes.

u' = f‟(x) ................................ v =

u = f(x) ................................ v‟ = -s

ou seja


21

b) A da segunda derivada

Seja f”(x) a segunda derivada da função f(x). A transformada desta derivada pode ser

construída assim:

u' = f”(x) .......................... v =

u = f‟(x) .......................... v‟ = -s

L

Isto é:

- -

c) A da terceira derivada

Seja f” „ (x) a terceira derivada da função f(x). A transformada desta derivada é dada

por:

u' = f” „ (x) .......................... v =

u = f”(x) .......................... v‟ = -s

L

- - –

Você já deve ter notado que os resultados encontrados seguem uma lei de formação

muito bem definida.

Vamos rearranjá-los para melhor compreensão.

[f‟(x)] = sº [f(x)]

[f‟ (x)] = s1 [f(x)] – s

0 f (0)

[f”(x)] = s2 L [f (x)] – s

1 f(0) – s

0 f‟ (0)


22

[f” „ (x)] = s3 L [f(x)] – s

2 f(0) – s

1 f‟ (0) – s

0 f” (0)

. . . . .

. . . . .

. . . . .

Neste ponto do trabalho é nítida a beleza descoberta por Laplace.

CIÊNCIA: ENTENDIMENTO DA NATUREZA


23

QUARTA PARTE

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

ORDINÁRIAS

1. INTRODUÇÃO

Com este conhecimento que desenvolvemos podemos resolver uma grande

quantidade de equações diferenciais ordinárias.

Perceberemos nas soluções que seguem como é simples e útil a transformada de

Laplace.

2. APLICAÇÕES

Exemplo A

f‟ (x) – f(x) = 0 ............................. f(0) = 1

Lê-se “Qual função que derivada em relação a x e subtraída dela própria é igual azero”

Esta função pode ser encontrada se aplicarmos em ambos os lados da equação a

transformada de Laplace.

[f‟(x)] – [f(x)] = L [0]

No entanto sabemos que:

[0] = 0

[f‟ (x)] = s [f(x)] – f(0)

Assim ficamos com:

s [f(x)] – f(0) – [f(x)] = 0

[f(x)] =


24

O resultado acima permite o seguinte diálogo:

PERGUNTA: Qual é a função f(x) que tem sua transformada dada por –

?

RESPOSTA: Algumas páginas atrás encontramos o seguinte resultado: -

Então, se a constante “a” for igual ao número teremos:

[ex] =

ou seja:

f(x) = ex

(Solução da equação diferente)

Exemplo B

f" (x) – 2 f‟ (x) = 2 e2x

....................... f(0) = 0

f‟ (0) = 1

Lê-se: “Qual função que derivada duas vezes em relação a x e subtraída de sua

primeira derivada multiplicada por dois é igual a 2e2x

?”

Aplicando a transformada nos dois lados da equação diferente teremos:

[f”(x)] – [2f‟ (x)] = [2e2x

]

[f” (x)] – 2 [f‟ (x)] = 2 [e2x

]

O número dois foi “para fora” da transformada por sabermos que a transformada de

um número vezes uma função é igual a transformada da função vezes o número, ou seja:

[N f(x) = N [f(x)]

Continuando então a solução da equação diferencial.

[f”(x)] – 2 [f‟ (x)] = 2 [e2x

]

A transformada de cada termo é dada por:

[f” (x) = s2 [f(x)] – sf(0) – f‟(0)

[f‟ (x)] = s [f(x)] – f (0)

[e2x

] =


25

Assim ficamos com:

s2 [f(x)] – sf(0) – f‟ (0) – 2 {s [f (x)] – f(0)} = 2

[f(x)] =

Se você consultar a relação de transformadas que forneci no final do livro, encontrará:

Isto é, a função que procuramos é dada por:

f(x) = x e2x

Exemplo C

f(x) + f” (x) = 0 ........................ f (0) = 1

f‟ (0) = 0

Lê-se: “Qual função que somada com sua segunda derivada resulta em zero?”

Se aplicarmos a transformada de Laplace nos dois lados da equação teremos:

[f(x)] + [f”(x)] = [0]

[f(x)] + s2 [f(x)] – sf (0) – f‟ (0) = 0

[f (x)] + s2 [f(x)] – s – 0 = 0

[f(x)] =

Porém:

ou seja:

(solução da equação diferencial)

Exemplo D

f"(x) – f(x) = 1 ………………………….. f (0) = 0

f‟(0) = 1

5 f(x) = x eax [f (x)] =

12 f(x) = cosax

[f (x)] =

f(x) = cosx


26

Lê-se: “Qual função que subtraida de sua segunda derivada resulta no número um?”

Aplicando a transformada nos dois lados da equação

[f”(x)] – [f(x)] = [1]

s2 [f(x)] – sf(0) – f‟ (0) – [f(x)] =

Porém f(0) = 0 e f‟ (0) = 1, ou seja :

[f(x)] =

Para encontrarmos o resultado acima no quadro das transformadas, fazemos:

[f(x)] =

Isto é:

(solução da equação)

Exemplo E

f" (x) + w2 f(x) = 0 ...................... f(0) = A e f‟(0) = 0

w e A são constantes

Lê-se: “Qual função que multiplicada por w2 e somada a sua segunda derivada resulta em

zero”.

A resposta a esta pergunta pode ser encontrada se aplicarmos a transformada de

Laplace na equação diferencial do oscilador harmônico simples, acima.

[f” 9x(x)] + w2 [f(x)] = [0]

s2 [f(x)] – sf(0) – f‟(0) + w

2 [f(x)] = 0

s2

[f(x)] – sA – 0 + w2 [f(x)] = 0

[f(x)] = A

4 f(x) = eax

[f (x)] =

1 f(x) = 1 [f (x)] =

f(x) = ex – 1


27

No entanto:

(solução procurada)

Exemplo F

f‟ (x) + R f(x) = E …………………… f(0) = 0

, R e E são constants

Lê-se: “Qual função que multiplicada por E somada com L vezes sua primeira derivada dá

E?”

A solução de equação diferencial do cirsuito R–L é construída assim:

[ f‟(x)] + [R f(x)] = [E]

[f‟(x)] + R [f(x)] = E [1]

{s [f(x)] – s f(0)} + R [f(x)] = E.

. {s [f (x)] – 0} + R [f(x)] =

[f(x)] =

Então:

(solução procurada)

11 f(x) = cosax [f (x)] =

f(x) = A coswx

1 f(x) = 1 [f (x)] =

4 f(x) = [f (x)] =

f(x) =


28

A REVOLUÇÃO INDUSTRIAL E O USO DO CÁLCULO

A REVOLUÇÃO INDUSTRIAL E O USO DO CÁLCULO


29

QUINTA PARTE

UMA CONEXÃO IMPORTANTE

Leonhard Euler descobriu em 1729 uma função-integral muito importante, tanto para a

Física quanto para a Matemática. Neste mesmo ano Euler espôs seus resultados extraídos

desta função ao matemático Golbach que recomendou a publicação da descoberta na revista

russa Comment Alad Petropolitanae and Annos.

Função Gama

O nome Função Gama foi dado por Legendre em seu livro Exercices de Calcul

Integral (vol. 1 – pg. 277) 1811.

Esta função-Integral apresenta uma série de propriedades importantes como podemos

verificar abaixo.

A função gama pode ser relacionada com a transformada de Laplace da seguinte

forma:


30

Para f(x) = xn teremos:

Mudando a variável do problema tem-se que:

que belo resultado!

Agora caro leitor, convido-o a fazer a seguinte meditação:

“As descobertas que fazemos na matemática podem ser comparadas às partes que

compõem um grande quebra-cabeça universal.

Encontrar todas as “peças” e encaixá-las umas as outras é antes de mais nada o

entendimento da nossa própria existência”


31

EULER

CARTA DE LEGENDRE


32

SEXTA PARTE

A MULTIPLICIDADE DA TRANSFORMADA DE

LAPLACE DO PONTO DE VISTA DIFERENCIAL

1. INTRODUÇÃO

Neste capítulo pretendemos explorar a diferenciação da transformada de Laplace em

relação ao parâmetro s. Os resultados que encontraremos serão muito úteis na aquisição das

transformadas das funções do tipo: xn f(x).

2. DESENVOLVIMENTO

Primeira derivada em relação a s.

Segunda derivada em relação a s.


33

Terceira derivada em relação a s.

De modo geral concluimos que:

isto é: para n = 0, 1, 2, 3, ... teremos:

3. APLICAÇÕES

a) Qual será a transformada de Laplace da função:

b) Qual é a transformada da função: x2 . senx?


34

PRODUÇÃO DE ARTEFATOS OTIMIZADOS


35

APÊNDICE A

INTEGRAÇÃO POR PARTES

Leibniz foi um dos matemáticos que mais contribuiu para o desenvolvimento do

Cálculo Diferencial e Integral. Uma das suas maiores descobertas foi o método de integração

por partes. Esta técnica muito utilizada neste estudo de Laplace foi construída do seguinte

modo:

Seja duas funções diferenciáveis u(x) e v(x) que se multiplicam: u(x) . v(x).

A derivada ( „ ) deste produto de funções é dada por:

[uv] „ = u „ v + uv‟

Integrando os dois lados da igualdade obtemos:

Exemplo A

Isto é:

Exemplo B


36

ou seja:

EXPERIMENTAÇÃO


37

APÊNDICE B

COLEÇÃO DE TRANSFORMADAS

1 f(x) = 1 [f(x)] =

2 f(x) = x [f(x)] =

3 f(x) = xn [f(x)] =

4 f(x) = eax

[f(x)] =

5 f(x) = x eax [f(x)] =

6 f(x) = xn

[f(x)] =

7 f(x) = sen ax [f(x)] =

8 f(x) = sen (ax + b) [f(x)] =

9 f(x) = x sen ax [f(x)] =

10 [f(x)] =

11 [f(x)] =

12 f(x) = cosax [f(x)] =

13 f(x) = ebx

. cosax [f(x)] =

14 f(x) = xcosax [f(x)] =

15 f(x) = cos (ax + b) [f(x)] =


38

FACIES SPECUL E SEPTEN:

16 f(x) = 1 – cos ax [f(x)] =

17 f(x) = senax - axcosax [f(x)] =

18 f(x) = cosbx [f(x)] =

19 f(x) = coshax [f(x)] =

20 f(x) = xcoshax [f(x)] =

21 f(x) = coshax [f(x)] =

22 f(x) = senhax [f(x)] =

23 f(x) = [f(x)] =

24 f(x) = [f(x)] =

25 f(x) = [f(x)] = arc . tag


39

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ

CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E INFORMÁTICA

LICENCIATURA EM MATEMÁTICA MODALIDADE A DISTÂNCIA

CONSTRUINDO A SÉRIE DE FOURIER

BELÉM – PARÁ – BRASIL

- 2009 -


40

INTRODUÇÃO

Embora a série de Fourier tenha sido desenvolvida como subsídio matemático ao estudo da

transferência do calor (Théorie de la Chaleur), a aplicação desta soma de senos e cossenos estendeu-se à todos os

remos da Física, Engenharia e Matemática. É como hoje em dia encontrarmos o uso desta série nos mais

diversos artigos publicados sobre o conhecimento humano: da Biologia à Lingüística, da Cibernética à

Paleontologia defrontamos com o emprego desta série.

De modo geral, pode-se dizer que a série desenvolvida por Fourier tem permitido a engenheiros e

cientistas escreverem eficientemente os mais diversos tipos de funções. Com estas podem controlar, prever e

admirar o mundo que os circunda.

Muitos livros didáticos tem sido escritos sobre esta série. No entanto pouca tem sido a preocupação dos

seus autores em arquitetarem seus textos com base nas idéias originais do telentoso Fourier. Assim, o principal

objetivo deste livro é, antes de tudo, resgatar as idéias de 1822 deste grande feito matemático.

A VIDA DE FOURIER

Oito anos após a Revolução Industrial, a 21 de março de 1768, na cidade francesa de Auxerre, nasceu

Jean Baptiste Joseph Fourier, filho de um humilde alfaiate, que tinha dificuldades em proporcionar à família uma

vida modesta.

Com oito anos de idade, seu pai veio a falecer e sua mãe passou a ter sérias complicações de saúde.

Diante deste quadro familiar, ingressa na Academia Militar de Auxerre, dirigida pelos padres beneditinos, que

procuravam levar Religião, Matemática, Literatura e Arte Militar aos seus alunos.

Aos doze anos, devido ao seu destacado talento literário, despertou a atenção dos seus professores que o

incentivaram a escrever sermões religiosos, alguns dos quais obtiveram grande êxito em Paris. Com estes

abastecia financeiramente sua família.

Um ano mais tarde, em 1781, manifestou exagerado interesse pela matemática, explorando todos os

livros da biblioteca dos beneitinos. Em dois anos de incasável estudo obteve um razoável conhecimento em

Física e Matemática. Apesar de sua dedicação e do apoio de seu professor Legendre, foi impedido de realizar

seus estudos profíssionais em cíências excatas na Escola Militar, devido sua origem. Bastante triste com a

perseguição e o preconceito social que assolavam a França nesse período, Fourier coloca a hâbito de noviço no

mosteiro beneditino de Saint Bernôit sur Loire.

Em 1789, não suportando mais a vida religiosa, abandona a carreira de sacerdote e ingressa na recém-

criada École Polytechnique como professor de Engenharia Civil e posteriormente professor de Análise

Matemática.

Em 1798, o Imperador Napoleão Bonaparte convida-o a participar de sua campanha no Egito. O

imperaor ficou impressionado com a capacidade de trabalho daquele jovem professor da polytechnique,

nomeando-o Governador Geral do Baixo Egito. Nesta época, a principal preocupação de Fourier era os assuntos


41

polít icos e tudo que escrevia referia-se sempre a Napoleão Bonaparte. No entanto continuava a se interessar pela

Física e pela Matemática. Chegou mesmo a influenciar Napoleão para criar na cidade do Cairo um Instituto que

deveria incumbir-se de divulgar em todo Egito o conhecimento físico-matemático do povo francês.

Após a tomada o Egito pelos inglesses, voltou à França, recebendo o cargo de Prefeito da cidade de

Grenoble, retomando seus estudos, em especial, o da transferência de calor.

Em 1822, publicou aquela que seria sua obra prima. Theórie Analitique de la Chaleur, assunto abordado

anos depois por Poisson. O ponto máximo deste livro está no sexto capítulo, onde Fourier não mediu esforços na

resolução das equações diferenciais que regem o problema da transferência de calor. É também neste capítulo

que Fourier desenvolve uma função geral em séries de senos e cossenos (Série de Fourier). Estas série,

juntamente com o desenvolvimento de Taylor e Maclaurin e o método de Frobenius, contribuiram de maneira

indispensável para o conhecimento da estrutura do Cálculo Diferencial e Integral.

Fourier, citado por Hamilton vários vazes, como o principal filósofo matemático francês, acreditava

que a matemática deveria desenvolver-se para ser de utilidade pública. Into é, só teria sentido pesquisar técnicas

dentro do cálculo que poderiam ajudar o homem no seu engrandecimento tecnológico.

Em 1872, ingressa na Academie Française, sendo nomeado, neste mesmo ano, Secretário perpétuo das

seções de Física e Matemática.

Com a restauração dos Bourbons e após o exílio de Napoleão, seu protetor e amigo pessoal, Fourier cai

em desgraça, não aparecendo mais a Academia de Ciências, na Ècole Polytechnique ou mesmo em qualquer

lugar onde comprometesse sua imagem fiel a Napoleão.

O principal matemátco francês deste período tornou-se um mendingo, um andarilho pelas ruas

parisienses, morrendo em 16 de maio de 1830, em completo abandono.

FOURIER


42

ELETROENCEFALOGRAMA

Ondas produzidas pelo cérebro humano que podem ser interpretadas mediante o uso da Série de Fourier

TRANSMISSÃO DE IMAGEM

A Série de Fourier tem sido muio empregada na transmissão de Imagens


43

Superfícies matemátcas, como estas, podem ser escritas mediante o uso da Série de Fourier.


44

PRIMEIRO CAPÍTULO

FUNÇÕES PERIÓDICAS

São chamada de funções periódicas aquelas que se repetem de período em período:

Isto é:

Exemplo – A

Exemplo – B

Exemplo – C


45

Exemplo – D

Exemplo – E

Exemplo – F


46

Estas funções períodicas exemplificadas acima podem ser definidas do seguinte modo:

Diz-se que uma função f(x) tem período, ou que é periódica com período P, se para qualquer número

real x for verdadeira a identidade abaixo:

f(x) = f(x + P)

Exemplo – A

Exemplo – B


47

Biólogos estudam função de listras existentes em zebras

Da Redação

O fato de as zebras terem listras infriga há muito os biólogos que estudam camuflagens naturais dos

animais. Uma camuflagem pode tanto tornar o animal indistinguível em relação ao meio ambiente que o cerca

como servir de caracteristicas de óticas tão marcantes que impedem a correta distinção das formas que

indentificam o animal. Ao que parece, no entanto, as listras das zebras servem mais para que animais

semelhantes se identifiquem que para a proteção contra eventuais predadores.

Na última edição do “Biological Journal of the Linnean Society”, uma equipe de pesquisadores do

London College e da Universidade de Bristol, ambos na Grã-Bretanha, publicou um artigo em que as listras da

zebra “Eqquus Greyvis” e do tigre “Panthera Tigris” foram estudadas para a determinação exata de sua função.

A visão de muitos mamíferos está “programada” para responder a padrões específicos de frequências

espaciais, que fazem com que os outros objetos de interesse sejam realçados em relação ao meio. O que os

pesquisadores fizeram foi simular esse efeito, tirando fotos do tigre e da zebra em seu habitat natural. Depois

usaram uma técnica matemática (a análise de Fourier) para mostrar os animais da mesma maneira que o cérebro

dos mamíferos os percebe.

Uma análise de Fourier junta as partes da foto que têm a mesma frequência espacial. No caso dos tigres

e zebras, a freqüência espacial é determinada pelo espaçamento entre as listras. Os contornos das zebras e tigres

foram reconhecíveis nas imagens de Fourier para freqüências espaciais muito baixas. Para frequências mais

altas, a imagem do tigre se confundiu com o meio que o cercava, como se espera de uma camuflagem. O mesmo

não aconteceu com a zebra, que se tornou ainda mais realçada.

A explicação que os cientistas propõem para as listras das zebras é que a alta visibilidade que as listras

proporcionam deve servir para que as zebras se identifiquem. Quando pastam, as zebras dividem a área com

outros animais, como gnus. No entanto, na iminência de algum perigo, rapidamente elas fogem em bandos só de

zebras. Na confusão, as listras devem servir para identificar os animais semelhantes.

A conclusão, segundo a revista britânica “New Scientist” de 4 de fevereiro, é que há padrões distintos

de listras. No caso das zebras, o espaçamento das áreas claras e escuras é extremamente regular com uma

frequência espacial mais fortemente representada no padrão que na vizinhança. No caso do tigre, o espaçamento

é bem menos regular e não tem frequência espacial particular – sua utilidade é muito maior como camuflagem.


48

SEGUNDO CAPÍTULO

O TRABALHO DE FOURIER

A SÉRIE DE FOURIER foi desenvolvida em 1822 por Jean Baptiste Joseph Fourier, que acreditava

ser possível através da SOMA DE FUNÇÕES SENO e COSSENO representar os mais diferentes tipos de

funções.

Para ilustrarmos a idéia de Fourier podemos reunir diversas funções trigonométricas e atribuir-lhes

valores.

Observe a variedade de curvas que obtemos com este procedimento.

Exemplo – A

f(x) = senx + cosx

Exemplo – B

f(x) = sen2x – cos3x


49

Exemplo – C

f(x) = 2 – senx – 3cosx

Exemplo – D

f(x) = senx – cos2x + 2cos3x

Exemplo – E

f(x) = senx – cos2x + cosx + cos2x

Exemplo – F

f(x) = 1 + senx + 3sen2x + cosx – 2cosx


50

Exemplo – G

f(x) = 2 + senx + 3sen2x – 2sen3x + cosx + 2cos2x – cos3x

Através destes exemplos o engenheiro Fourier observou que uma função genêtica f(x), pode ser

representada por uma soma dos senos e cossenos.

Isto é:

f(x) = A + a1cos1x + a2cos2x + a3cos3x + ... +

+ b1sen1x + b2sen2x + b3sen3x + ...

ou seja:

f(x) = A + k k

1

a coskx+b senkxk

Neste ponto do estudo é natural questionar-mos:

“Dada uma função f(x), definida em um certo intervalo,

quais são os valores dos coeficientes A, ak e bk de modo

que a soma de senos e cossenos à represente?”

ou seja:


51

1 + x2 = A + k

k=1

a coskx + bxsenkx A = ?, ak = ?, bk = ?

x – ex = A + k

k=1


x3 – x4 = A + k

k=1


Então, pode-se dizer que Fourier concentrou seus esforços no desenvolvimento de uma metodologia

matemática que lhe permitisse responder a esta pergunta.


52

TERCEIRO CAPÍTULO

DESENVOLVIMENTO DA SÉRIE

Os valores A, ak e bk de certa função f(x) definido no intervalo de – a foram encontradas por Fourier

em seu livro Theorie Analytique de la Chaleur, quando ocorreu o auge de sua criatividade matemática.

Observe:

Cálculo de A

Seja uma função representada de dois modos:

Representação – Descartes

Representação – Fourier

Como as áreas sob as curvas são idênticas, têm-se:


53

Do Apêndice – A:

sen(-x) = -senx função ímpar

cos(-x) = cosx função par

Então:

Cálculo de aK

Para obtermos o valor aK basta multiplicarmos a soma de funções senos e cossenos por

(coskxdx) e integrarmos de – a .

Verifique:

Por comodidade não escreverei o símbolo de somatória.


54

Do Apêndice – B têm-se:

Isto é:

Cálculo de bk

Este valor é obtido da multiplicação da soma de senos e cossenos por senkxdx e

posterior integração de – a

Veja como é simples !

Do Apêndice – B

Isto é:

Assim, concluímos que a série de Fourier de uma função f(x) definida de – a é dada

por:

onde:


55

A Série de Fourier tem sido muito utilizada no estudo da Transferência de Calor.


56

QUARTO CAPÍTULO

APLICAÇÃO DA SÉRIE DE FOURIER

PRIMEIRA APLICAÇÃO

Considere a função f(x) definida por:

Vamos escrevê-la em termos da série de Fourier.

Os coeficientes não dados por:


57

Do Apêndice – B, têm-se:

bk = 0 (Função par)

Ficamos com:

Podemos visualizar o desenvolvimento da série atribuindo valores para k.


58


59

LANÇAMENTO DE FOGUETES

A Série de Fourier pode ser empregada no estudo das perturbações aleatórias que atuam na trajetória de foguetes

SEGUNDA APLICAÇÃO

Vamos desenvolver f(x) = x, - < x < , em Série de Fourier.

Precisamos achar os coeficientes da série

A= 0


60

ak = 0 (Função Ímpar)

Do Apêndice –B, vêm que:

como k = 1, 2, 3, ... + senk = 0

Assim, teremos:

Observe a convergência da série à medida que k aumenta.


61


62

TERCEIRA APLICAÇÃO

Seja a função f(x) definida por:

Escreva a série de Fourier para esta função.

Os coeficientes são dados por:


63

A = 0

ak = 0 (Função Ímpar)

A convergência da série em função de k pode ser observada abaixa:


64

QUARTA APLICAÇÃO

É dada a função:


65

Vamos construir a série de Fourier que a represente.

Primeiro encontramos os coeficientes da série, isto é:

bk = 0 (Função Par)

Ficamos com:


66

Observe a convergência da série:


67

Observação

Dos exemplos estudados conseguimos um resultado muito importante no

desenvolvimento de funções em série de Fourier:

Função Par

ak 0 bk = 0

Função Ímpar

ak = 0 bk 0

A Série de Fourier tem sido empregada, com grande êxito, na construção de máquinas.


68

QUINTO CAPÍTULO

A SÉRIE DE FOURIER PARA FUNÇÕES

DE PERÍODO GENÉRICO

Construção da Série

Seja uma função f(x) definida no intervalo de –L a L. A constante L é um número

positivo que será chamada de semi período.

A função desenhada pode ser representada por uma soma de funções senos e cossenos.

Isto é:

ou seja:

Como no Capítulo 3, será necessário encontrarmos os coeficientes A, ak e bk para que

a soma das funções trigonométricas represente a f(x).


69

Cálculo de A

Multiplicamos a série nos dois lados por dx e integramos de –L a L.

Cálculo de ak

Multiplicamos a série por cos e integramos de –L a L.

Cálculo de bk

Se multiplicarmos a série por sen e integrarmos de –L a L encontraremos:

Agora, após termos calculado os coeficientes de Fourier para uma f(x) definida de –L

a L façamos alguns exemplos:

APLICAÇÕES:

Primeira Aplicação

Seja uma função f(x) definida por:


70

Vamos escrevê-la em termos da série de Fourier:

Os coeficientes são dados por:

AK = 0 para k = 1, 2, 3, ...


71

k = 1, 2, 3, ...

Agora podemos construir a série:

A convergência da série em termos de k pode ser observada abaixo:


72

SEGUNDA APLICAÇÃO

Escrever a série de Fourier para a função f(x) = x onde –3 < x < 3


73

Os coeficientes de Fourier A, ak e bk são dados por:

A = 0

(Função Ímpar)


74

senk = 0 para K = 1, 2, 3, ...

A série será dada por:

Pode-se observar abaixo a convergência da Série de Fourier à medida que a

escrevemos com mais termos.


75


76


77

TERCEIRA APLICAÇÃO

Seja a função f(x) definida por:

Onde w é uma constante positiva.

Vamos encontrar a série de Fourier que a represente:

pois,

Os coeficientes da série são dados por:


78

Para resolvermos esta integral, será necessário a seguinte álgebra:

sen(wx + kwx) = senwxcoskwx + senkwxcosx (1)

sen(wx – kwx) = senwxcoskwx – senkwxcosx (2)

Somando (1) com (2), têm–se:

substituindo na integral, resulta:


79

Como o denominador não pode ser zero é necessário impormos k 1 para o

coeficiente ak.

Podemos resolver esta integral do seguinte modo:

– cos(wx + kwx) = – coswxcoskwx + senwxsenkwx (3)

cos (wx – kwx) = coswxcoskwx + senwxsenkwx (4)

Somando (3) e (4):

Substituindo-se este resultado na integral acima têm-se:


80

Para k = 2, 3, 4, ... bk = 0. No entanto para k = 1 bk está indeterminado, ou seja:

Para resolvermos a indeterminação faz-se necessário:

Por L‟ Hospital, têm-se:

Isto é:

Assim temos:


81

Trecho do livro de L‟ Hôspital

“Analyse des infiniments petits”


82

APÊNDICE – A

FUNÇÕES ESPECIAIS

Para entendermos o desenvolvimento do trabalho de Fourier é fundamental

conhecermos as funções: par e ímpar.

FUNÇÃO PAR

Rotulamos de função par aquela que verifica a seguinte identidade:

f(-x) = f(x)

Exemplo A

f(x) = cosx

Exemplo B

f(x) = x2


83

Exemplo C

FUNÇÃO ÍMPAR

Dizemos ser função Ímpar aquela que satisfaz a seguinte identidade:

f(-x) = – f(x)

Exemplo – A

f(x) = senx


84

Exemplo – B

f(x) = x

Exemplo – C

f(x) = x3

Johann Bernoulli L‟ Hôspital


85

APÊNDICE – B

CÁLCULO DE ALGUMAS INTEGRAIS

TRIGONOMÉTRICAS

Antes de efetuarmos os exercícios que seguem é fundamental lembrarmos das

seguintes identidades trigonométricas.

sen2kx + cos

2kx = 1 (1)

cos2kx = cos

2kx – sen

2kx (2)

sen2kx = 2senkxcoskx (3)

Primeira Integral

para k = 1, 2, 3, ...

De (2) e (1) resulta sen2kx =

Substituindo na integral, têm-se:

sen (-x) = –senx (Função Ímpar)


86

Como sen2k = 0 para k = 1, 2, 3, ...

Segunda Integral

para k = 1, 2, 3, ...

De (2) e (1) resulta cos2kx =

Substituindo na integral, têm-se:

sen2k = 0 para k = 1, 2, 3, ...

Terceira Integral

para k = 1, 2, 3, ...

De (3) resulta:


87

cos(-x) = cosx (Função Par)

Quarta Integral

para k = 1, 2, 3, ...

senk = 0 para k = 1, 2, 3, ...

Quinta Integral

para k = 1, 2, 3, ...

Sexta Integral


88

Integrando “por partes”, têm-se:

Isto é

Para k = 1, 2, 3, ... senk = 0

Sétima Integral


89

Isto é

Para k = 1, 2, 3, ... senk = 0


90

APÊNDICE – C

FUNÇÃO CONSTANTE

Seja a função constante f(x) = 5 definida de a .

Vamos escrevê-la em termos da série de Fourier.

As constantes são dadas por:

A = 5


91

= 0

= 0

A série de Fourier desta função é dada por:

f(x) = 5 Belo exemplo !

Cauchy Lagrange


92

APÊNDICE – D

TABELA DAS SÉRIE DE FOURIER

S-1 FUNÇÃO

SÉRIE

GRÁFICO

S-2 FUNÇÃO

SÉRIE

GRÁFICO


93

S-3 FUNÇÃO

f(x) = x para – < x <

SÉRIE

GRÁFICO

S-4 FUNÇÃO

f(x) = x para –3 < x < 3

SÉRIE

GRÁFICO


94

S-5 FUNÇÃO

SÉRIE

GRÁFICO

S-6 FUNÇÃO

f(x) = x para –0 < x < 2

SÉRIE

GRÁFICO


95

S-7 FUNÇÃO

SÉRIE

GRÁFICO

S-8 FUNÇÃO

SÉRIE

GRÁFICO


96

S-9 FUNÇÃO

para – < x <

SÉRIE

GRÁFICO

S-10 FUNÇÃO

para – < x <

SÉRIE

GRÁFICO


97

S-11 FUNÇÃO

SÉRIE

GRÁFICO

S-12 FUNÇÃO

SÉRIE

GRÁFICO


98

S-13 FUNÇÃO

f(x) = senhwx para – < x <

SÉRIE

GRÁFICO

S-14 FUNÇÃO

SÉRIE

GRÁFICO


99

S-15 FUNÇÃO

f(x) = coshwx para – < x <

SÉRIE

GRÁFICO

S-16 FUNÇÃO

f(x) = -x(x- ) para 0 < x <

SÉRIE

GRÁFICO

Prof. Drª Marília Brasil Xavier · Este livro foi escrito com o propósito de esclarecer o leitor...

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