Prof. Gabriel Cremona Parma EQUIVALÊNCIAS...

�� = ��=��

��

�� =��

�á�� í�� .

�� = ��=��

��

�� =��

�á�� í�� .

�� = TA=��

��

�� =��

��

eixo dos cossenos

eixo

do

s se

no

s

eixo

da

s ta

ng

ente

s

Prof. Gabriel Cremona Parma

Raio do círculo trigonométrico sempre o raio unitário (igual á uma unidade).

Simulação online das Funções Trigonométricas: http://alexsanderam.brinkster.net/geogebra/2.html

sen(α)=cos(90-α)cos(α)=sen(90-α)

sen(α)=sen(180-α)cos(α)=-cos(180-α)

sen(α)=-sen(180+α)cos(α)=-cos(180+α)

sen(α)=-sen(360-α)cos(α)=cos(360-α)

α α α

180 − α 180 + α 360 − α

X’

X’

X’

tan(X)

EQUIVALÊNCIAS180⁰ =π(rd)

1⁰ = 60’=3600”1’ = 60”

TRANSFORMARGraus/minutos/ segundos para graus decimais:30⁰16’46” = 30,2794445⁰Processo:30 + 16/60 + 46/3600 =

30 + 0,2666667 + 0,0127778 = 30,2794445⁰

TRANSFORMARGraus decimais para graus/minutos/segundos:

30,2794445⁰ = 30⁰16’46”Processo:graus: parte inteira do número

g = parte inteira do número = int(30,2794445)g = 30⁰Minutos:

m = int(0,2794445x60) = int(16,7666700)m = 16’Segundos:

s = int(0, 7666700x60) = int(46,0002000)s = 46” (nunca usar decimais para os seg.)Finalmente o valor transformado é:30⁰16’46

αα α

2 2 2

2 2 2 2 2 2

Funções Básicas

. .cos

.

.cos

.

. .tan cot

.

.cot tan

. .

Teorema Pitágoras

;

Relações Fundamentais

tan = , cotcos

a cat opsen

c hip

b cat adjsen

c hip

a cat op

c cat adj

b cat adj

a cat op

c a b

a c b b c a

sen

2 2

1

tan

cos 1sen

2 2 2

2 2 2

2 2 2

Teorema Seno

2

Teorema cosseno

2

2

2

Teoerma Tangentes

tan2 ; 90

2 2tan2

Teorema projeções

cos cos

cos cos

a b cR

sen sen sen

a c b c b cos

b c a c a cos

c a b a b cos

a b

a b

a b c

b a c

c b

cos cosa

2

2

raio circunf. inscrita

raio circunf. circunscrita

2

( )( )( )

Area ( )( )( )

Area 2

Area 2

Area base altura

r

R

a b cs

s a s b s cr

s

rs s s a s b s c

R sen sen sen

a b sen

a

bc

B C

A

α

β γ

180

: 90

90

se

a

bc

C

B

A

α

β

γ

90

90

90

180

tan ; tan ; tan2 ( ) 2 ( ) 2 ( )

( )( ); ...; ...

2 2 2

tan ; tan ...; tan ...cos

r r r

s a s b s c

s b s csen sen sen

bc

a sen

c a


��çã� �� = 90°

� = 90° − �; c= � × ��

Solução básica� = 180° − � − �

c =� × ��

�� Segunda Solução �� = 180 − �

�� = 180° − � − ��

�� =� × ��

��

a) Se : � × �� > � → �ã� �� ℎ�� çã�.b) Se: � ≥ � → � < 90°: �� çã� ú�� :

c) Se: � < � →verificar possível segunda solução−Se: � × �� < � → �� çã�:−Se: � × �� = � → �� uma única ��çã� ��:

Caso 1: um lado e dois ângulosadjacentes. Dados: c; α; β

Caso 2: dois lados e o ângulo compreendido. Dados: a; b; γ

Caso 3: 2 lados e o ângulo oposto. Dados: a; b; α (Caso duvidoso)

Caso 4: três lados. Dados: a; b; c

a

bc

C

B

α

β

γ

A

90

90

90

180

� = 180° − � − �

b =� × ��

��

a =� × ��

��

� = �� + �� − 2�� × ��

�� =� × ��

�

� = 180° − � − �

Método A: Método B:

��

�=

��

��×

�

��

�

→��

�= �

� + �

2= 90 −

�

2= �

� = � + �; β = � = �

c =� × ��

��

� =� + � + �

2; � =

(� − �)(� − �)(� − �)

�; �� =

�

� − �; �� =

�

� − �; � = 180° − � − �

�� =��

��; �� =

��

��; � = 180° − � − �Método A:

Método B:

�� =� × ��

�

Verificação da Solução:


Calcular primeiro:

�� = ��

�é�� ; ��; �� ; ��; ��

��çõ�� /�� = �� − �� = �� − �� = �� − ��

��. �� (�� )

�� ç� ��:

�� = ��; �;� ��

�� ℎ�� :

�� = �ℎ��; ��

��â�� ℎ��

�ℎ�� = �� + ��

�� = �ℎ�� + ��

�� = �� + �� + ��

Â�� çã� �:

�� =��

��; �� =

��

��; �� =

��

��

Â�� çã� ℎ�� :

�� =��

��; �� =

��

��; �� =

��

��


ORIGEM ORIENTAÇAO NO EIXO HORIZONTAL +Y (NORTE)

ARREDONDAMENTO DE NÚMEROS

• Medidas lineares com precisão de milímetros:– Três casas decimais depois da vírgula. CERTO: 234,233m ERRADO: 234,233441214m– Exemplos de arredondamentos ao milímetro (a três casas decimais):

• 15,6232m → 15,623m• 15,6237m → 15,624m• 15,6235m → 15,624m• 15,6245m → 15,624m

• Medidas angulares com precisão de segundos.– Sem decimas de segundos. CERTO: 124° 23' 34“ ERRADO: 124° 23' 34,23“– Exemplos de arredondamento ao segundo:

• 20⁰30’16,32” → 20⁰30’16”• 20⁰30’16,73” → 20⁰30’17” • 20⁰30’16,50” → 20⁰30’16”• 20⁰30’15,50” → 20⁰30’16”

• Cálculos/valores intermediários– Usar a precisão total da calculadora e usar a capacidade da calculadora de fazer cálculos complexos de

uma só vez. Porém, nunca use menos de seis casas decimais nos resultados parciais;• Recomenda-se não copiar resultados intermediários/parciais da calculadora na folha dos cálculos. • Matematicamente só deve-se indicar o modelo matemático, os valores das variáveis e o resultado final, sem

os resultados parciais (faça os cálculos de uma única vez na calculadora!)

Estas condições de precisões e formalismos serão cobradas nos resultados numéricos das provas, descontando-se nos cálculos (precisões) e no método (formalismos matemáticos)

No caso do “5” arredondar para o par mais próximo!

No caso do “5” arredondar para o par mais próximo!

X

X

Tecla “GRAUS” para trabalhar com graus, minutos e segundos sexagesimais nos dois formatos usuais (ggg/mm/ss ou g.ddddddd)

Exemplo: calcular o cosseno de 30⁰16’46”:

No ecrã da calculadora resulta:

cos ⁰ ’ ”3 1 ⁰ ’ ” 4 ⁰ ’ ” )0 6 6 =

Exemplo: calcular o arco cosseno de 0.923456 (descobrir o ângulo):


SHIFT .cos 9 3 4 6 )0 2 5 = ⁰ ’ ”

Observação: os parênteses iniciais nas funções trigonométricas dependem do modelo de CASIO: se apertar a função e aparecer a abertura de parêntese, lembre-se de fechá-lo antes da tecla “=“

Exemplo: calcular a raiz quadrada de 5,32 menos 32 (metros):


Neste caso, o resultado deve serconsiderado como 22°33’48”Nunca usar decimas de segundos

No mínimo, trabalhar com 6 casas decimais nas funções trigonométricas, se necessário valores intermediários. Neste caso seria: 0,833576

Nos resultados finais de comprimento de segmentos de retas, usar só três casas decimais: 4,369m neste caso.

5• �� - 3 ) =( 2 ��. 3

Classificações dos ângulosCom relação às suas medidas

• Giro: – ângulo que mede 360° (também pode ser chamado de Ângulo de uma volta ou

completo).– Um ângulo de 360 graus é aquele que completa o círculo. – A volta completa coincide com o ângulo de 0° mas possui a grandeza de 360°. – Tal identificação se assemelha à do ângulo negativo com o ângulo positivo que tem como

medida exatamente aquele (negativo) somado com a volta completa.

• Consecutivos: – dois ângulos são chamados consecutivos se um dos lados de um deles coincide com um

dos lados do outro ângulo;

• Adjacentes: – Ângulos adjacentes são aqueles que possuem um lado em comum, mas as regiões

determinadas não possuem pontos em comum;

• Opostos: – Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um deles são semirretas

opostas aos lados do outro.

• Congruentes: – Dois ângulos são congruente (ou coincidentes) se quando sobrepostos os lados de um

deles são as mesmas semirretas dos lados do outro.

Classificações dos ângulosCom relação às suas medidas

• Nulo: – um ângulo nulo mede 0°;

• Agudo: – ângulo cuja medida é maior do que 0° e menor do que 90°;

• Reto: – um ângulo reto é um ângulo cuja medida é exatamente 90°; assim os

seus lados estão localizados em retas perpendiculares;

• Obtuso: – é um ângulo cuja medida está entre 90° e 180°;

• Raso: – ângulo que mede exatamente 180°, os seus lados são semirretas

opostas;

• Côncavo ou reentrante: – ângulo que mede mais de 180°e menos de 360°;

Classificações dos ângulosQuanto a suas complementações

• Complementares: – dois ângulos são complementares se a soma de suas medidas é

igual a 90°. Neste caso, cada um é o complemento do outro.

• Suplementares:– dois ângulos são Suplementares quando a soma de suas medidas

é igual a 180°. Neste caso, cada um é o suplemento do outro.

• Explementares:– Dois ângulos são Explementares quando a diferença de suas

medidas é igual a 180. Neste caso, cada um é o explemento do outro.

• Replementares:– dois ângulos são Replementares quando a soma de suas medidas

é igual a 360°. Neste caso, cada um é o replemento do outro.

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