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Função afim: a função geral de 1º grau

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A temperatura de uma substância é 30 ºC. Vamos analisar duas situações distintas.

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① Sua temperatura varia com o tempo de maneira uniforme, aumentando 10 ºC por minuto.

t(min) 0 1 2 3 4 5

T(oC) 30 40 50 60 70 80

Veja as temperaturas da substância, medidas minuto a minuto.

A taxa de variação da temperatura é positiva (10 oC/min).

Após t minutos, a temperatura T da substância em oC é,

T = 30 + 10.t

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② Sua temperatura varia com o tempo de maneira uniforme, diminuindo 10 ºC por minuto.

t(min) 0 1 2 3 4 5

T(oC) 30 20 10 0 –10 – 20

Veja as temperaturas da substância, medidas minuto a minuto.

A taxa de variação da temperatura é negativa (10 oC/min).

Após t minutos, a temperatura T da substância em oC é,

T = 30 – 10.t

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Veja os gráficos cartesianos das duas funções

t(min)

T(oC)

0 1 2 3 4

t(min) T(oC)

0 30

1 40

2 50

3 60

4 70

5 8020

40

60

80

5T = 30 + 10.t

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Veja os gráficos cartesianos das duas funções

t(min)

T(oC)

0 1 2 3 4

t(min) T(oC)

0 30

1 20

2 10

3 0

4 –10

5 –20–20

–40

20

40

5

T = 30 – 10.t

60

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Função afim ou de 1º grau é toda função do tipo

y = f(x) = ax + b

Em que a e b são constantes reais, com a ≠ 0.

Se b = 0, temos a função y = f(x) = ax, chamada, também, função

linear.

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Exemplos

y = f(x) = 5x – 3

é uma função afim com a = 5 e b = –3.

y = f(x) = –2x

é uma função afim, com a = –2 e b = 0

Nesse caso a função é chamada de linear.

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Características da função afim y = f(x) = ax + b.

A fórmula que a define é um polinômio de 1º grau; seu termo independente pode ser nulo ou não.

Se b = 0, temos a função f(x) = ax, chamada de função linear.

A constante real a, não-nula, é o coeficiente angular. Ela é a mesma, qualquer que seja o intervalo considerado.

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Características da função afim y = f(x) = ax + b.

A constante real b é o coeficiente linear.

Seu gráfico cartesiano é uma linha reta, não paralela aos eixos. Ela pode conter a origem (caso b = 0) ou não conter origem (caso b ≠ 0).

O crescimento ou o decrescimento da função estão relacionados com o sinal de a. A reta é ascendente para a > 0 e descendente para a < 0.

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Crescimento e decrescimento.

a > 0 ⇒ função crescente

⇒ reta ascendente (sobe da esquerda p/ direita)

a < 0 ⇒ função decrescente

⇒ reta descendente (desce da esquerda p/ direita)

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Exemplos Veja o gráficos das funções y = x; y = 2x e y = x/2.

x

y

0 1 2 3–3 –2 –1

1

2

3

–3

–2

–14 5–4–5

–5

–4

4

5y = x

y = x/2

y = 2xa > 0

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Exemplos

Veja o gráficos das funções y = –x; y = –2x e y = –x/2 em que

x

y

0 1 2 3–3 –2 –1

1

2

3

–3

–2

–14 5–4–5

–5

–4

4

5

y = –x

y = –x/2

y = –2x

a < 0

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A partir do gráfico da função linear y = ax, podemos obter os gráficos de todas as funções afins y = ax + b. Deslocamos o gráfico da função y = ax para cima ou para baixo, de acordo com o valor da constante b.

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Exemplos

Veja o gráficos das funções y = x; y = x + 2 e y = x – 3.

x

y

0 1 2 3–3 –2 –1

1

2

3

–3

–2

–14 5–4–5

–5

–4

4

5y = x

a > 0

y = x – 3

y = x + 2

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Exemplos

Veja o gráficos das funções y = –2x; y = –2x – 3 e y = –2x + 4.

x

y

0 1 2 3–3 –2 –1

1

2

3

–3

–2

–14 5–4–5

–5

–4

4

5

y = –2x + 4

y = –2x

a < 0

y = –2x – 3

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A análise das duas últimas figuras nos sugere um caso geral em relação a todas as funções afins do tipo y = f(x) = ax + b.

Que relação existe entre o coeficiente b e o ponto onde cada reta corta o eixo y?

b é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo y. Ou seja, a reta intercepta o eixo y no ponto de coordenadas (0, b).

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Construir o gráfico da função y = 2x + 3.

x

y

0 1 2 3–3 –2 –1

1

2

3

–3

–2

–14 5–4–5

–5

–4

4

5

y = 2x + 3

x y = 2x + 3

0 y = 2.0 + 3 = 3

1 y = 2.1 + 3 = 5

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Construir o gráfico da função y = –2x – 2.

x

y

0 1 2 3–3 –2 –1

1

2

3

–3

–2

–14 5–4–5

–5

–4

4

5y = –2x – 2

x y = –2x – 2

0 y = –2.0 – 2 = –2

1 y = –2.1 – 2 = –4

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Dois pontos determinam uma reta. Por isso, se conhecermos dois de seus pontos, podemos obter a função afim que ela representa. Ou seja, podemos obter os coeficientes a e b da função.

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Exemplos

A semi-reta da figura mostra a despesa mensal y (em milhares de

reais) de uma empresa, para produzir x toneladas no mês.

a) Escrever y em função de x.b) Obter a despesa na produção

de 76 t.c) Obter o número de toneladas

produzidas, para uma despesa de 93 mil reais.

x

y

0 20 3010

20

40

40

60

Despesa (milhares de reais)

Produção (t)

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Exemplos

Para o gráfico abaixo, obtenha a fórmula da função.

x

y

0 2

4

A função é do tipo y = ax + b, com a e b reais (a ≠ 0).

Para x = 0 y = ⇒4

Para x = 2 y = 0, substituindo ⇒em y = ax + b, temos

0 = a.2 + 4 –⇒ 2a = 4

⇒ a = –2

y = –2x + 4

⇒ b = 4.

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Exemplos

Para o gráfico abaixo, obtenha a fórmula da função.

A função é do tipo y = ax + b, com a e b reais (a ≠ 0).

Para x = 0 y = ⇒1

Para x = –2 y = –1, ⇒substituindo em y = ax + b, temos

–1 = a.(–2) + 1 ⇒ 2a = 2

⇒ a = 1

y = x + 1

⇒ b = 1.

x

y

0–2

1

–1

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Raízes e sinal dafunção afim

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Nos gráficos das funções de 1º grau, a reta sempre corta o eixo x. A abscissa do ponto por onde o gráfico da função intercepta esse eixo é chamada de zero ou raiz da função.

Raiz da função é o valor de x tais que f(x) = 0.

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Exemplos

Encontrar as raízes das funções de IR em IR definidas

por f(x) = 3x – 6 e g(x) = –2x – 2.

Queremos obter os valores de x que anulam as duas funções.

f(x) = 0 ⇒ 3x – 6 = 0 ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 2

g(x) = 0 ⇒ –2x – 2 = 0⇒ –2x = 2⇒ x = –1

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Obter a raiz e analisar os sinais da função definida pelo gráfico abaixo.

x

y

0–2 ++ + + +

–– –

Raiz:

y = 0 para x = –2

Sinais:

y < 0 para x < –2

y > 0 para x < –2

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x

y

0 –– –

Raiz:

y = 0 para x = 1

Sinais:

y < 0 para x > 1

y > 0 para x < 11

+ ++ + +

Obter a raiz e analisar os sinais da função definida pelo gráfico abaixo.

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Estudar o sinal de uma função é determinar para que valores do domínio (valores de x) a função é positiva, negativa ou nula.

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Exemplos

Estudar o sinal da função definida por f(x) = 3x – 6.

Queremos saber para que valores reais de x a função é positiva, negativa ou nula.

f(x) = 0 ⇒ 3x – 6 = 0 ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 2

Primeiro vamos achar sua raiz.

x2–

+

Portanto,

y = 0 para x = 2

y > 0 para x > 2

y < 0 para x < 2

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Exemplos

Estudar o sinal da função definida por g(x) = –2x + 2.

g(x) = 0 ⇒ –2x + 2 = 0 ⇒ –2x = –2 ⇒ x = 1

Primeiro vamos achar sua raiz.

x1 –

+

Portanto,

y = 0 para x = 1

y > 0 para x < 1

y < 0 para x > 1

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Inequações de 1º grau

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Suponhamos que y = f(x) e y = g(x) sejam duas funções reais. Chamamos Inequação de incógnita x toda desigualdade condicional que apresenta uma das formas seguintes:

f(x) > g(x) f(x) < g(x)

f(x) ≥ g(x) f(x) ≤ g(x)

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Solução e Conjunto-solução

Solução de uma inequação é cada valor real de x

que a satisfaz. Conjunto-solução de uma inequação

é o conjunto de todas as soluções.

Resolver uma inequação é encontrar o seu conjunto

solução.

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Equivalência de inequaçõesPrincípios de equivalência

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Princípios de equivalência

Podemos adicionar uma mesma expressão aos dois membros de uma inequação. Isso equivale a transpor um termo de um membro para outro, invertendo o seu sinal.

3x + 5 > 2 ⇒ 3x > 2 – 5

⇒ 3x > –3 ⇒ x > –1

Troca de sinal

–3x ≤ 6 – 4x ⇒ –3x + 4x ≤ 6 ⇒ x ≤ 6

Troca de sinal

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Princípios de equivalência

Podemos multiplicar ou dividir os dois membros de uma inequação por um mesmo número real k (k ≠ 0) . No caso, o sentido da desigualdade

se mantém, se k for positivo. se inverte, se k for negativo.

3x > –12 ⇒ x > –12/3 ⇒ x > – 4

Manteve o sentido

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Princípios de equivalência

Podemos multiplicar ou dividir os dois membros de uma inequação por um mesmo número real k (k ≠ 0) . No caso, o sentido da desigualdade

se mantém, se k for positivo. se inverte, se k for negativo.

–5x ≤ – 15 ⇒ x ≥ –15/–5 ⇒ x ≥ 3

Inverteu o sentido

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Princípios de equivalência

< 3 ⇒ x + 1 > 3.(–2) ⇒ x + 1 > –6

Inverteu o sentido

2

1x

Podemos multiplicar ou dividir os dois membros de uma inequação por um mesmo número real k (k ≠ 0) . No caso, o sentido da desigualdade

se mantém, se k for positivo. se inverte, se k for negativo.

⇒ x > –7

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Analisando inequações graficamente A linha vermelha da figura é o gráfico da função y = f(x).

Ele é formado por duas semi-retas. A partir dele, resolver

as inequações f(x) > 0 e f(x) ≤ 0.

x

y

02–4

Raízes: – 4 e 2.

f(x) = 0 para x = – 4 ou x = 2

f(x) ≤ 0 para – 4 ≤ x ≤ 2

f(x) > 0 para x < – 4 ou x > 2