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Aula de Revisão da AV1Aula de Revisão da AV1

FUNDAMENTOS DE FUNDAMENTOS DE ANÁLISE IANÁLISE I

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FUNDAMENTOS DE ANÁLISE IFUNDAMENTOS DE ANÁLISE I

Conteúdo Programático desta aula

Rever os conceitos dos conteúdos das aulas 1 até 5.

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FUNDAMENTOS DE ANÁLISE IFUNDAMENTOS DE ANÁLISE I

Exercício Nr 01: Mostre que se m < n e n < p, então m < p, para m, n e p números naturais.

Solução:- Como m < n e n < p, podemos dizer que (n – m) > 0

e que (p – n) > 0;

- Somando, temos: (n-m) + (p-n) > 0;- Ainda: (p-n) > - (n-m);- (p-n) > -n + m- Por fim: p > m ou m < p

(c.q.d.)

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FUNDAMENTOS DE ANÁLISE IFUNDAMENTOS DE ANÁLISE I

Exercício Nr 02: Mostre que –(m + n) = (-m) + (-n), para m, n números naturais.

Solução:- Temos, pela propriedade do elemento simétrico que:

-(m + n) = (-1)(m + n)- Pela propriedade distributiva, vale que:

(-1)(m + n) = (-1)(m) + (-1)(n)- Novamente, pela propriedade do elemento simétrico:

-(m + n) = (-m) + (-n)(c.q.d.)

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Exercício Nr 03: Demonstrar a proposição:P(n): 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n², para todo n natural

Solução:- Temos que P(1) é verdadeira, pois 1 = 1²- A nossa hipótese de indução é:

P(k): 1 + 3 + 5 +...+ (2k-1) = k²- Adicionando (2k + 1) a ambos os lados desta igualdade,

obtemos:1 + 3 + 5 +...+ (2k-1) + (2k+1) = k² + 2k + 1 = (k+1)²

- Isto significa que P(k+1) é verdadeira. Assim, por indução, mostramos que P(n) é verdadeira para todo natural n.

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Exercício Nr 04: Demonstrar a proposição:P(n): 2n > n, para todo n natural

Solução:- Temos que P(1) é verdadeira, pois 2¹ > 1- A nossa hipótese de indução é:

P(k): 2k > k, para k natural- Multiplicando por 2 ambos os lados desta igualdade,

obtemos:2.2k > 2k ou 2k+1 > k + k k + 1

Isto é: 2k+1 > k + 1- Isto significa que P(k+1) é verdadeira. Assim, por

indução, mostramos que P(n) é verdadeira para todo natural n.

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Exercício Nr 05: Considere a existência de um hotel que possua infinitos quartos e o hotel está lotado. Um ônibus trouxe infinitos novos hóspedes. Será possível acomodar todo esse ônibus, permanecendo com os hóspedes anteriores? Como isso poderia ser feito?

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Solução:- A resposta correta é sim, por incrível que pareça!- Basta que o dono do hotel dê a ordem para que os

hóspedes já acomodados desocupem o quarto que estão e passem a ocupar o quarto que possua o número correspondente ao dobro do atual.

- Assim, quem estava no 1, passaria para o 2, quem estava no 2, passaria para o 4, quem estava no 3, passaria para o 6, e assim por diante.

- Assim, os quartos ímpares estariam vagos e podemos acomodar todos os novos hóspedes!

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Exercício Nr 06: Mostre que x² = 2 não é satisfeita por nenhum número racional x.

Solução:- Vamos supor que exista um racional x. Então, poderíamos

escrevê-lo como x = p/q, com p e q inteiros e primos entre si.- Em particular, sabemos que p e q não são ambos pares.- Assim:

x² = p²/q² = 2 -> p² = 2q²- De cara, sabemos que p² é par. Portanto p é par (Teste!!)- Assim, podemos escrever p = 2m e, por consequência:

p² = 2q² -> 4m² = 2q² -> 2m² = q²- Isso mostra que q² é par e, q é par, o que nos leva a uma

contradição.- Assim, provamos que nenhum racional satisfaz a equação do

enunciado.

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Exercício Nr 07: Mostre que, para elementos arbitrários de um corpo ordenado qualquer, vale a relação:

|x+y| |x| + |y|Solução:- Observe que:

-|x| x |x|-|y| y |y|

- Por adição, vale que: -(|x| + |y|) x + y |x| + |y|

- Ou seja:|x + y| |x| + |y|

(c.q.d.)