Prof.: Paulo Cesar Costa – Cap. QCO Belo Horizonte 2012 A NOÇÃO DE FUNÇÃO.
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Prof.: Paulo Cesar Costa – Cap. QCO
Belo Horizonte
2012
A NOÇÃO DE FUNÇÃO
Problema 1:Em uma pista circular de testes, um automóvel desloca-se com velocidade constante. Com o auxílio de um cronômetro, marcam-se diferentes intervalos de tempo e, em cada intervalo de tempo, verificou-se a distância percorrida conforme tabela abaixo.
Resolução:
Tempo (h) 0,2 0,4 0,8 1,6 2
Distância (km) 10 20 40 80 100
a) Qual a distância percorrida quando o tempo é igual a 2,8h?b) Qual é o tempo gasto quando a distância percorrida é 300km?c) Qual a lei matemática que associa a distância percorrida com o tempo?d) Podemos afirmar que a distância percorrida é função do tempo?e) No item c podemos ter t < 0? E d < 0?
a) d(2,8) = 50 × 2,8 = 140km b) t = 300 ÷ 50 = 6h c) d(t) = 50t d) sime) não; não
Problema 2:Cada figura da sequência é formada por triângulos construídos com palitos.
Resolução:
a) Construa um quadro que relacione a quantidade p de palitos e a quantidade t de triângulos de cada figura.
b) Quantos palitos são necessários para formar a figura dessa sequência composta de 6 triângulos? E a figura formada por 12 triângulos?
c) Escreva uma fórmula que permita calcular a quantidade de palitos em função da quantidade de triângulos.
d) A figura formada com 41 palitos é composta de quantos triângulos?
a)
figura I figura II figura III figura IV
t 1 2 3 4
p 3 5 7 9
b) p(6) = 2×6 + 1 = 13; p(12) = 2×12 + 1 = 25 c) p(t) = 2t + 1
d) 41 = 2t + 1
t = 20
Problema 3:Observe a sequencia.
Resolução:
a) Quantos quadrados tem a figura 5 dessa sequência? E a figura 6?b) Escreva uma fórmula que expresse a quantidade de quadrados q em função do número da figura f.c) Calcule a quantidade de quadrados das figuras 8; 10 e 15
a) q(5) = 52 + 2 = 27 e q(6) = 62 + 2 = 38
21
34
b) q(f) = f2 + 2
c) q(8) = 82 + 2 = 66; q(10) = 102 + 2 = 102; q(15) = 152 + 2 = 227
Problema 4:Renato trabalha como garçon em um restaurante nos fins de semana. Por dia de trabalho ele recebe R$25,00 mais 6% da quantia total gasta pelos clientes que ele atende.
a) Quantos reais Renato receberá em um dia de trabalho se os clientes que ele atender gastarem ao todo R$150,00? E se gastarem R$260,00?
b) Escreva uma expressão f por meio da qual seja possível calcular quanto Renato recebeu em um dia de trabalho em que os clientes que atendeu gastaram x reais.
c) Se um certo dia Renato recebeu R$43,00, quantos reais ao todo gastaram os clientes que ele atendeu?
Resolução:
a) f(150) = 25 + 0,06 × 150 = 25 + 9 = 34 reais
b) f(x) = 25 + 0,06x
f(260) = 25 + 0,06 × 20 = 25 + 15,60 = 40,60 reais
c) 43 = 25 + 0,06x 0,06x = 18
x = 300 reais
Problema 5:Uma empresa de telefonia fixa oferece a seus clientes dois planos de serviços:
• Plano A: mensalidade de R$9,55 mais R$0,26 por minuto falado;•Plano B: mensalidade de R$26,30 mais R$0,10 por minuto falado
Resolução:
a) Para cada um dos planos, escreva uma expressão por meio da qual seja possível calcular o valor pago em função da quantidade x de minutos falados.
b) Se um cliente utilizar, no mês, o telefone durante 356 minutos no plano A, quanto vai pagar? E se ele usar o plano B?
c) Em relação ao valor da fatura, a partir de quantos minutos de ligação o plano B é mais vantajoso que o plano A?
b) Plano A: A(356) = 9,55 + 0,26×356 = 102,11
a) plano A: A(x) = 9,55 + 0,26x
c) B(x) < A(x) 26,30 + 0,1x < 9,55 + 0,26x
x > 104,6
plano B: B(x) = 26,30 + 0,1x
Plano B: B(356) = 26,30 + 0,1×356 = 61,90
x > 105
RELAÇÃO
Considere dois conjuntos não vazios A e B. Qualquer maneira de associar os elementos de A com os elementos de B chama-se relação de A em B.
Definição:
Exemplos:
A
123
2478
B A
123
2478
B A
123
2478
B
A
123
2478
BA
123
2478
B A
123
2478
B
FUNÇÃO
Uma função de A em B (f:A→B) é uma relação em que cada elemento x do conjunto A está associado a um único elemento y de B
Definição:
Exemplos:
A
123
2478
B A
123
2478
B A
123
2478
B
A
123
2478
BA
123
2478
B A
123
2478
B
função relação função
relação relação função
DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO, IMAGEM E LEI DE ASSOCIAÇÃO
Exemplo 1:
A B
-1
0
1
2
-1 1 5 7 8
f:A→B
Domínio: D(f) = A = {-1, 0, 1, 2}
Contradomínio: C(f) = B = {-1, 1, 5, 7, 8}
Imagem: Im(f) = {-1, 1, 7}
Lei de Associação: f(x) = 2x2 - 1
Obs: Quando não estiverem explícitos o domínio e o contradomínio de uma função admitiremos que o contradomínio é R e o domínio é R exluídos os valores de x para os quais não vale a lei de associação.
Resolução:
exemplo 2:
Obtenha o domínio de cada uma das funções:
3x
1xj(x)d)8xi(x)c)
3x
8xxg(x)b)39xf(x) a)
3
a) D(f) = R
b) x + 3 ≠ 0 x ≠ -3 D(g) = {x R; x ≠ -3} = R – {-3}
c) x - 8 ≥ 0 x ≥ 8 D(i) = {x R; x ≥ 8}
d) x - 1 ≥ 0 e x – 3 ≠ 0 x ≥ 1 e x ≠ 3
D(j) = {x R; x ≥ 1 e x ≠ 3}
Obs: Em todos os casos do contradomínio é R.
Resolução:
exemplo 3:
Seja f:R→R a função definida poela lei f(x) = 4x + 1. Calcule f(-1) + f(0) – f(11)
f(-1) = 4.(-1) + 1 = -4 + 1 = -3
f(0) = 4.0 + 1 = 0 + 1 = 1
f(11) = 4.11 + 1 = 44 + 1 = 45
Logo, f(-1) + f(0) – f(11) = -3 + 1 – 45 = -47
Resolução:
exemplo 4:
Seja f:R→R definida por f(x) = x2 - 2x – 6. Que valores do domínio tem imgem igual a -6?
f(x) = -6
x2 – 2x - 6 = -6
x2 – 2x = 0
x1 = 0 ou x2 = 2
Resolução:
exemplo 5:
Sabe-se que f é uma função definida por f(x) = ax – 4, com a reale f(3) = 11. Calcule f(-5)
• f(3) = 11 a.3 – 4 = 11 a = 5
f(-5) = 5.(-5) - 4
Logo, f(x) = 5x - 4 f(-5) = -29
Resolução:
exemplo 6:
Considere a função g, definida por g(x) = ax + b, com a e b reais,g(2) = 8 e g(-2) = -4. Determine g(10).
4- g(-2)
8g(2)
4- b 2a-
8b 2aa = 3 e b = 2
Logo, g(x) = 3x + 2 g(10) = 3.10 + 2 g(10) = 32
Resolução:
exemplo 7:
(IME) Seja f:R→R onde R é o conjunto dos números reais, tal que:
f(x).f(4)4)f(x
5f(4)
O valor de f(-4) é:
a) -4/5 b) -1/4 c) -1/5 d) 1/5 e) 4/5
• f(0 + 4) = f(0).f(4) f(4) = f(0).f(4) f(0) = 1
• f(-4 + 4) = f(-4).f(4) f(0) = f(-4).f(4)
1 = f(-4).5 f(-4) =1/5
Resolução:
exemplo 8:
Seja f uma função, tal que f(1) = a, f(π) = b e f(x + y) = f(x).f(y),com x e y reais. Calcule f(2 + π).
f(1 + 1) = f(1).f(1)• f(x + y) = f(x).f(y) f(2) = a2
• f(x + y) = f(x).f(y) f(2 + π) = f(2).f(π) f(2 + π) = a2.b