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Curso: Matemática Financeira p/ ICMS RJ Teoria e Questões comentadas Prof. Ricardo Soncim - Aula 00 Aula 00 Curso: Matemática Financeira Professor: Custódio Nascimento

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Aula 00

Curso: Matemática Financeira

Professor: Custódio Nascimento

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Caros alunos e alunas,

Bem vindos ao curso on-line preparatório para o cargo de Analista do Tesouro Estadual do Piauí.

Primeiramente, segue uma breve apresentação. Meu nome é Custódio Nascimento, sou Engenheiro de Fortificação e Construção pelo Instituto Militar de Engenharia, com Mestrado em Engenharia de Transportes pela mesma escola. Fui militar por mais de 15 anos no Exército Brasileiro, antes de resolver estudar para um concurso público no meio civil.

No mundo dos concursos, minhas principais conquistas até o momento foram:

• Em 2013, fui aprovado na prova escrita do concurso para Perito da Polícia Federal, na área de Engenharia Civil, com menos de 3 meses de estudo, e convocado para as demais etapas do concurso, das quais optei por não participar, por motivos de cunho pessoal;

• Também em 2013, fui aprovado em 2º lugar no concurso para Especialista em Regulação da Agência Nacional de Transportes Terrestres, na área de Engenharia Civil, com cerca de 4 meses de estudo.

Vale ressaltar que consegui tais conquistas em tão pouco tempo, mesmo tendo que conciliar o trabalho (40 horas semanais), a família (esposa e 2 filhos) e o lazer sempre necessário.

Para quem se interessar, meu depoimento está disponível no site do Exponencial Concursos.

No meu entendimento, isso serve de estímulo para todos. Se você trabalha, tem família e (ou) pouco tempo para estudar, saiba que há maneiras de você aproveitar sua experiência de vida e, com uma preparação objetiva, baseada em um material de qualidade, conseguir a sua aprovação no tão sonhado concurso público.

Por outro lado, se você é jovem, recém-formado e (ou) conta com o apoio dos seus pais para poder estudar muitas horas por dia, aproveite bem o seu tempo com uma preparação de excelência, para não se perder no excesso de conteúdo que qualquer edital é capaz de ter. Caso não saiba por onde começar, ou qual caminho trilhar, nós estamos aqui para ajudar.

E é justamente por isso que a equipe do Exponencial Concursos está aqui, para fornecer o “atalho” que todo concurseiro deseja para atingir seus objetivos.

APRESENTAÇÃO

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Este curso será de Teoria e Exercícios de Matemática Financeira, tendo como base o edital publicado em 21/10/2014. O edital em questão oferece 10 vagas para o cargo de Analista, sendo a prova organizada pela banca Fundação Carlos Chagas. Nossa disciplina será cobrada na prova P1, dentro do grupo G1, com 10 questões a peso 1. Lembrando que a pontuação mínima a ser atingida é de 40% em cada grupo de disciplinas (16 pontos no G1) e 60% em cada prova (48 pontos na P1 e 96 pontos na P2). Portanto, você não pode deixar de estudar nenhuma disciplina.

Matemática Financeira é uma matéria muito cobrada nos concursos da FCC. O nosso objetivo será abordar todo o conteúdo do edital, procurando fazer um paralelo entre teoria e questões de provas. A parte teórica será abordada de forma objetiva, concisa e esquematizada.

Além disso, teremos mais de 100 questões comentadas, com prioridade para as questões da FCC, pois acreditamos que, quando conseguimos entender a maneira de pensar dos integrantes da banca, fica mais fácil nos prepararmos para o que está por vir. Em alguns momentos, serão utilizadas questões de outras bancas (CESPE, ESAF, FGV, Cesgranrio), para complementar o entendimento do assunto tratado.

Daremos prioridade, também, para as questões de provas de concursos de nível superior, já que este é o nível exigido na prova para a qual estamos nos preparando.

Antes de começarmos efetivamente a nossa primeira aula, vamos fazer uma breve análise da nossa disciplina na prova anterior de ATE da SEFAZ/PI, bem como de provas anteriores de outros concursos da área Fiscal.

O último concurso para ATE-PI ocorreu em 2007, e foi organizado pela Universidade Estadual do Piauí. Foram apenas 5 questões, baseadas em um edital diferente do atual, pois também cobrou assuntos de Matemática Fundamental. Em suma, foram apenas 3 questões de Matemática Financeira, distribuídas conforme a tabela a seguir:

Prova ATE-PI (2007)

Assunto Quantidade

Porcentagem. 1

Descontos: simples, composto. 1

Juros compostos. Taxas equivalentes. 1

Histórico e análise das provas de Matemática Financeira

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Como tivemos poucas questões no último concurso da SEFAZ/PI, vamos também apresentar a quantidade de questões dos últimos da SEFAZ/RJ, conforme tabela abaixo:

Provas AFRE-RJ 2008.1, 2008.2, 2009, 2010, 2011, 2014

Assunto Quantidade %

Juros compostos: Montante e juros. 9 15

Juros compostos: Capitais equivalentes. 8 13

Descontos: simples, composto. Desconto racional e desconto comercial.

8 13

Fluxo de caixa. 7 12

Juros simples: Montante e juros. 7 12

Juros compostos: Taxa real e taxa efetiva. 6 10

Amortizações: Sistema Francês 6 10

Amortizações: Sistema de Amortização Constante 6 10

Juros simples: Taxa real e taxa efetiva. 3 5

Aula Assunto Data

00 Aula Demonstrativa – Porcentagem aplicada à Matemática Financeira.

Disponível

01 Revisão de conceitos básicos de Matemática. Juros simples. Montante e juros. Taxa real e taxa efetiva. Taxas equivalentes. Capitais equivalentes.

01/11/2014

02 Juros compostos. Montante e juros. Taxa real e taxa efetiva. Taxas equivalentes. Capitais equivalentes. Capitalização contínua.

08/11/2014

03 Descontos: simples, composto. Desconto racional e desconto comercial.

15/11/2014

04 Fluxo de caixa. Valor atual. Taxa interna de retorno. 22/11/2014

05 Amortizações. Sistema francês. Sistema de amortização constante. Sistema misto.

29/11/2014

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Deixamos para falar na aula de hoje, aula demonstrativa, de um assunto que não está explicitamente escrito no edital, mas que é muito importante para que você possa compreender todos os conceitos de Matemática Financeira: porcentagem.

Então vamos à aula!!!!!

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Vamos dar início ao nosso curso com esta aula demonstrativa sobre o assunto Porcentagem aplicada à Matemática Financeira.

Assunto Página

1- Preciso estudar esta aula? 06

2- Porcentagem: Conceito, Fator de Multiplicação, Aumentos e/ou Descontos sucessivos.

07

3- Questões comentadas 13

4- Questões apresentadas na aula 24

5- Gabarito 29

Você precisará estudar essa aula se você não souber responder mentalmente as duas perguntas que colocarei a seguir ou se você souber, porém demorando mais de 10 segundos para responder a cada uma delas.

1ª pergunta

Um homem recebe um salário hipotético de R$ 100,00. Ele recebe um aumento de 10% num determinado mês e no seguinte um desconto de 10%. Quanto ele passará a receber após esses dois meses?

(A) R$ 100,00

(B) R$ 110,00

(C) R$ 99,00

(D) R$ 101,00

2ª Pergunta

Um homem recebe um salário hipotético de R$ 100,00. Ele recebe um desconto de 10% num determinado mês e no seguinte um aumento de 10%. Quanto ele passará a receber após esses dois meses?

(A) R$ 100,00

(B) R$ 110,00

(C) R$ 99,00

(D) R$ 101,00

1- Preciso estudar esta aula?

Aula 00: Porcentagem aplicada à Matemática Financeira

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A resposta para as duas perguntas é a alternativa letra C, ou seja, ele passará a receber R$ 99,00.

Se você não conseguiu resolver essas perguntas mentalmente de forma rápida ou achou que a reposta era a alternativa letra A, você deve ler esta aula. No entanto, caso você tenha acertado dentro dos 10 segundos para cada questão, você pode passar para a Aula 01, sobre juros simples.

2.1 – Conceito

A expressão por cento, muito utilizada na linguagem comum e indicada

pelo símbolo %, quer dizer dividido por cem, ou seja, 20% é igual a 20

100. Há

três maneiras de se representar esse número:

Forma percentual Forma fracionária Forma unitária (ou decimal)

20% 20

100 0,2

1% 1

100 0,01

0,5% 0,5

100 0,005

Geralmente, a taxa percentual, que indicaremos por i, é aplicada em relação a alguma quantidade, como, por exemplo, um valor aplicado em um banco ou o número de pessoas em um local. A essa quantidade se dá o nome de principal e a representamos pela letra C. Sendo P o valor da porcentagem que queremos descobrir, temos a relação entre as variáveis:

� = � ∙

Exemplo: Existem 120 pessoas em uma sala, sendo que 30% são mulheres. Quantas mulheres existem na sala?

Solução

C = 120

i = 30%

Para calcularmos o valor do número de mulheres utilizamos a seguinte fórmula:

� = � ∙

2- Porcentagem

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onde P é o valor da porcentagem que queremos descobrir. Temos duas maneiras de realizar o cálculo:

1ª maneira: utilizando a forma centesimal: =��

��:

� = 120 ∙30

100= 36

2ª maneira: utilizando a forma unitária: = 0,30:

� = 120 ∙ 0,30 = 36

Obviamente, as duas maneiras levam ao mesmo resultado, que nos diz que temos 36 mulheres na sala. Você verá que utilizaremos com mais frequência a segunda maneira (forma unitária), e eu recomendo que você se exercite para utilizá-la também.

Vamos ver como esse assunto já foi cobrado em prova de concurso:

(VUNESP – Auditor Fiscal da Receita Estadual – Secretaria de Fazenda – SP/ 2002) A passagem de ônibus teve um reajuste, passando de R$ 1,15 para R$ 1,40. O aumento em porcentagem foi de, aproximadamente:

(A) 28%

(B) 25%

(C) 22%

(D) 20%

(E) 18%

Resolução:

Primeiramente, vamos determinar a magnitude do aumento da passagem, ou seja, quanto ela aumentou, em R$:

� = 1,40 − 1,15 = 0,25

Depois determinamos o percentual que esse aumento representa do preço inicial da passagem:

� = � ∙ ⇒ =�

=0,25

1,15≈ 0,22 = 22%

Logo, a alternativa C é a resposta.

Resolveremos novamente essa questão ainda nesta aula, utilizando uma forma de solução mais rápida, após estudarmos o conceito de fator de multiplicação.

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2.2 – Fator de Multiplicação

O fator de multiplicação nos ajuda muito a resolver problemas de matemática financeira e é o item mais importante desta aula.

Vou explicar este conceito dando um exemplo. Imagine uma pessoa que recebe um salário de R$ 800,00 e recebe um aumento de 20%. Quanto ela receberá após o aumento?

Solução

Vamos calcular o valor do aumento:

� = � ∙ = 800 ∙20

100= 160

Depois, calculamos o salário final (CF) somando o aumento (P) com o salário anterior (C):

�� = � + � = 800 + 160 = 960

Podemos obter esse mesmo resultado de uma forma mais rápida, multiplicando o salário anterior (C) pelo fator de multiplicação (f) que, por definição, vale:

� = 1 +

Se alguma grandeza aumenta de uma taxa i, para sabermos seu valor final após o aumento, basta multiplicarmos seu valor inicial pelo fator de multiplicação f, logo:

�� = � ∙ �1 + �

Assim,

�� = � ∙ �1 + � = 800 ∙ �1 + 0,2� = 800 ∙ 1,2 = 960

E se a grandeza sofrer uma redução? Considere que a pessoa do exemplo acima tenha seu salário de R$ 800,00 reduzido em 20%. Qual será o valor do seu novo salário após a redução?

Neste caso, temos duas maneiras de enxergar o problema. Na primeira maneira, consideramos um fator de multiplicação calculado especificamente para a redução (ou seja, uma nova fórmula), como se segue:

� = 1 −

Neste caso, colocaríamos o valor absoluto do desconto na fórmula (em outras palavras, colocamos o valor sem considerar um sinal positivo ou negativo), e teríamos que o fator de redução é igual a:

� = 1 − = 1 − 0,2 = 0,8

A segunda maneira de se enxergar o problema é considerar a mesma fórmula para o fator de aumento ou de redução, e considerarmos um valor

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positivo ou negativo para a taxa. Em outras palavras, é dizer que um desconto de 20% equivale a um aumento de (-20%). Com isso, podemos utilizar a seguinte fórmula:

� = 1 �

Nesta fórmula, inserimos o valor do desconto que foi dado (-20%), como se segue:

� � 1 � � 1 � ��0,2� � 1 � 0,2 � 0,8

Como era de se esperar, obtivemos o mesmo valor. Cabe a você definir qual a maneira que você acha mais simples e mais fácil, e adotá-la em seus estudos. Neste curso, utilizaremos a segunda maneira, pois acreditamos que, quanto menor o número de fórmulas a serem decoradas, maior é a chance de um resultado positivo no concurso. Sendo assim, consideraremos positivas as taxas para aumento (ou lucro) e negativas as taxas para redução (ou desconto, prejuízo).

Voltando ao problema que foi proposto (redução de 20% no salário), já tendo calculado o fator de multiplicação, basta multiplicarmos tal fator pelo salário anterior (C), logo:

�� � � ∙ � � 800 ∙ 0,8 � 640

Desta forma, temos os seguintes esquemas:

(VUNESP – Auditor Fiscal da Receita Estadual – Secretaria de Fazenda – SP/ 2002) A passagem de ônibus teve um reajuste, passando de R$ 1,15 para R$ 1,40. O aumento em porcentagem foi de, aproximadamente:

(A) 28%

(B) 25%

(C) 22%

(D) 20%

(E) 18%

Fator de multiplicação 1+i

de aumento i positivo

de redução i negativo

Valor final da grandeza CF = C . (1 + i)

para aumento i positivo

para redução i negativo

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Resolução:

Vamos resolver novamente este problema utilizando o conceito de fator de multiplicação que acabamos de aprender.

Quando temos um aumento, a fórmula a ser utilizada é a seguinte:

�� � � ∙ �1 � �

Substituindo os valores, temos:

1,40 � 1,15 ∙ �1 � � ⇒ 1 � �1,40

1,15⇒ 1 � � 1,22 ⇒ � 0,22 � 22%

A alternativa C é a resposta correta.

2.3 – Aumentos e/ou descontos sucessivos

Para finalizar a parte teórica, vamos tratar do embasamento teórico para resolvermos as perguntas do início da aula. Para recordarmos, eis novamente as perguntas:

1ª pergunta

Um homem recebe um salário hipotético de R$ 100,00. Ele recebe um aumento de 10% num determinado mês e no seguinte um desconto de 10%. Quanto ele passará a receber após esses dois meses?

2ª Pergunta

Um homem recebe um salário hipotético de R$ 100,00. Ele recebe um desconto de 10% num determinado mês e no seguinte um aumento de 10%. Quanto ele passará a receber após esses dois meses?

� Taxas sucessivas

Quando temos aumentos ou descontos sucessivos basta multiplicarmos o valor da grandeza inicial por cada fator de multiplicação obtidos a partir de cada taxa de aumento ou redução, assim:

�� � � ∙ �1 � � ∙ �1 � �� ∙ �1 � �� …

Onde o valor de i deve ser positivo (+) quando temos uma taxa de aumento e deve ser negativo (-) quando temos uma taxa de desconto.

Valor final em taxas

sucessivasCF = C . (1 + i1) . (1 + i2)...

aumento i positivo

redução i negativo

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Solução da 1ª pergunta

O aumento de 10% será aplicado com um fator de aumento (1+0,10), enquanto que o desconto de 10% será aplicado com um fator de desconto (1-0,10). Podemos aplicar os fatores sucessivamente, multiplicando o valor inicial do salário (R$ 100,00) por ambos os fatores, utilizando a equação mostrada anteriormente:

�� � 100 ∙ �1 � 0,10� ∙ �1 � 0,10� � 100 ∙ 1,1 ∙ 0,9 � 99

Logo, o salário final será de R$ 99,00

Solução da 2ª pergunta

Nessa pergunta, o desconto ocorreu primeiro. Será que isso fará diferença? Vejamos:

�� � 100 ∙ �1 � 0,10� ∙ �1 � 0,10� � 100 ∙ 0,9 ∙ 1,1 � 99

Note que agora multiplicamos o valor 100 primeiro por 0,9 e depois por 1,1, mas, como sabemos, a ordem dos fatores não altera o produto, assim, não faz diferença se ganhamos primeiro um aumento ou um desconto de salário!

� Aumento (ou desconto) resultante:

Em uma situação envolvendo aumentos ou descontos sucessivos, podemos calcular o aumento (ou desconto) resultante (iR), da seguinte forma:

�1 � �� � �1 � � ∙ �1 � �� ∙ �1 � �� …

Se o resultado de iR for positivo, teremos um aumento. Por outro lado, se o resultado der um número negativo, trata-se de um desconto.

Assim, podemos substituir na equação vista anteriormente:

�� � � ∙ �1 � � ∙ �1 � �� ∙ �1 � �� …

�� � � ∙ �1 � ��

Desta forma, temos o seguinte esquema:

Aumento ou redução resultante

(1+iR) = (1 + i1) . (1 + i2)...aumento i positivo

redução i negativo

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(FGV / Auditor do Estado – Área Controlador – Controladoria Geral do Estado-MA / 2014) O prefeito de certo município exerceu seu mandato nos anos de 2009 a 2012. Em cada um dos anos de 2010, 2011 e 2012 as despesas de custeio da administração municipal aumentaram em 20% em relação ao ano anterior. Então, as despesas em 2012 superaram as de 2009 em, aproximadamente,

A) 60%.

B) 68%.

C) 73%.

D) 80%.

E) 107%.

Resolução:

Pelo enunciado, vemos que houve 3 aumentos (em 2010, 2011 e 2012), sendo cada um deles de 20% em relação ao ano anterior. Trata-se, portanto, de um caso de aumentos sucessivos, em que queremos saber qual foi o aumento resultante, ou seja, o aumento do último ano (2012) em relação ao ano inicial (2009). Utilizando a fórmula vista anteriormente, temos:

�1 + �� = �1 + � ∙ �1 + �� ∙ �1 + ��

em que i1 = i2 = i3 = 0,2. Logo:

�1 + �� = �1 + 0,2� ∙ �1 + 0,2� ∙ �1 + 0,2� = 1,2 ∙ 1,2 ∙ 1,2

Neste ponto, você deve ter percebido que terá que multiplicar os três números decimais, e já que a prova do concurso não permite o uso de calculadora, você terá que fazer isso “na mão”. Sendo assim, comece a treinar desde já. Se for preciso, volte à Matemática Fundamental, para relembrar como se resolve uma multiplicação (ou divisão) de números com vírgula. Resolvendo a multiplicação, ficamos com:

�1 + �� = 1,728 ≈ 1,73 ⟹ � = 0,73 = 73%

A alternativa C é a resposta correta.

01. (FCC / Analista Desenvolvimento Gestão Júnior – Área Economia – Metrô-SP / 2014) A loja A pretende reduzir em 20% o preço P de determinado produto. A loja B vende o mesmo produto pela metade do preço P e pretende aumentar o seu preço de tal forma que, após o aumento, seu novo preço ainda seja 10% a menos do que o preço já reduzido a ser praticado pela loja A. O aumento que a loja B deve realizar é de

3- Questões Comentadas

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A) 56%.

B) 15%.

C) 50%.

D) 30%.

E) 44%.

Resolução:

1ª solução: utilizando a forma literal

Vamos dar nomes às variáveis que indicarão os preços inicial e final praticados nas lojas A e B:

�"# = preço inicial da loja A

�$# = preço final da loja A

�"% = preço inicial da loja B

�$% = preço final da loja B

Sendo assim, vamos montar as equações, de acordo com o enunciado:

A loja A pretende reduzir em 20% o preço P de determinado produto. Logo:

�$# � �1 − 0,20� ∙ �"# = 0,8 ∙ �"# (I)

A loja B vende o mesmo produto pela metade do preço P e pretende aumentar

o seu preço de tal forma que, após o aumento, seu novo preço ainda seja 10%

a menos do que o preço já reduzido a ser praticado pela loja A.

�"% =&'(

� (II)

�$% = �1 − 0,1� ∙ �$# = 0,9 ∙ �$# (III)

Queremos encontrar o aumento que a loja B deve realizar, ou seja, o valor de

�$% − �"%

�"%

=?

Substituindo I em III, temos:

�$% = 0,9 ∙ �0,8 ∙ �"#� = 0,72 ∙ �"# (IV)

Substituindo II em IV, temos:

�$% = 0,72 ∙ �2 ∙ �"%� ⟹ �$%

�"%

= 1,44

Logo, o valor do aumento é:

�$% − �"%

�"%

=�$%

�"%

− 1 = 1,44 − 1 = 0,44 = 44%

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2ª solução: dando um valor para P, por exemplo, P=100 (mais prática e rápida)

Loja A

�" � � � 100

�$ = �1 − 0,2� ∙ 100 = 0,8 ∙ 100 = 80

Loja B

�" = � 2⁄ = 50

�$ = �1 − 0,1� ∙ 80 = 0,9 ∙ 80 = 72

Aumento = 72-50 = 22

22

50= 44%

A alternativa E é a resposta correta.

02. (FCC / Técnico em Gestão de Informática – Companhia de Saneamento Básico de São Paulo / 2014) Dois lojistas concorrem vendendo o produto P pelo mesmo valor. Em um dia o lojista Q reajusta o preço de P em 10% e o lojista R reajusta o preço de P em 20%. Os compradores desaparecem. Uma semana depois, apavorados, os lojistas, querendo vender, resolveram abaixar o preço de P. O lojista Q diminuiu 10% e o lojista R diminuiu 20%. Os compradores voltaram e todos compram na loja de R. Isso se deve ao fato do preço de P, na loja de R, ser menor do que na loja de Q em, aproximadamente,

A) 3%.

B) 10%.

C) 15%.

D) 1%.

E) 5%.

Resolução:

Neste caso, o caminho mais rápido para resolvermos a questão é supormos que o preço P é igual a 100. Sendo assim, temos:

Loja Q:

Preço inicial = 100

Preço após o reajuste de 10% = �1 + 0,1� ∙ 100 = 1,1 ∙ 100 = 110

Preço após o desconto de 10% = �1 − 0,1� ∙ 110 = 0,9 ∙ 110 = 99

Loja R:

Preço inicial = 100

Preço após o reajuste de 20% = �1 + 0,2� ∙ 100 = 1,2 ∙ 100 = 120

Preço após o desconto de 20% = �1 − 0,2� ∙ 120 = 0,8 ∙ 120 = 96

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Logo, a diferença de preços entre as lojas é de 99 - 96 = 3.

Tal diferença, em relação ao preço da loja Q, é de

3

99≈ 3%

É importante ressaltar que, neste caso, você não precisa fazer a conta acima

(�

>>), pois 99 é muito próximo de 100 e a questão pede uma resposta

aproximada. A alternativa A é a resposta correta.

03. (FCC / Analista Legislativo – Assembléia Legislativa - RN/ 2013) O preço de uma mercadoria é controlado pelo governo. Durante um mês esse preço só pode ser reajustado em 22%. Na primeira semana de um determinado mês, um comerciante reajustou o preço em 7%. Após cinco dias, o mesmo comerciante queria reajustar o preço novamente de forma a chegar ao limite permitido de reajuste no mês. O reajuste pretendido pelo comerciante é de aproximadamente

A) 15%.

B) 12%.

C) 19%.

D) 13%.

E) 14%.

Resolução:

Mostraremos duas formas de solução:

1ª Solução: estipulando valores

Considere que o preço inicial vale 100. Após o primeiro aumento de 7% o preço passa a ser igual a 100 ∙ �1 + 0,07� = 100 ∙ 1,07 = 107.

O aumento máximo permitido é de 22% (sobre o preço inicial), logo o preço máximo final é igual a 100 ∙ �1 + 0,22� = 100 ∙ 1,22 = 122

Logo, o segundo aumento deve levar o preço de 107 para 122, logo deve ser:

�� = � ∙ �1 + � ⟹ 122 = 107 ∙ �1 + � ⟹ 1 + =122

107= 1,14 ⟹ = 0,14 = 14%

Observe o esquema gráfico abaixo para facilitar o seu entendimento:

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2ª Solução: utilizando a fórmula dos aumentos sucessivos

Lembrando que se tivermos variações sucessivas, basta multiplicarmos os fatores de multiplicação para obtermos a variação resultante, assim:

�1 + �� = �1 + � ∙ �1 + ��

�1 + 0,22� = �1 + 0,07� ∙ �1 + �� ⟹ �1 + �� =1,22

1,07= 1,14 ⟹ � = 0,14 = 14%

Esta última situação é mais simples, caso você tenha facilidade com fórmulas matemáticas.

A alternativa E é a resposta correta.

04. (FCC / Analista Legislativo – Assembléia Legislativa - RN/ 2013) O preço de um produto era R$ 15,00 ao final de um mês. No final do mês seguinte, o preço era R$ 18,75 e ao final do mês seguinte o preço do mesmo produto era R$ 22,50. A variação, em porcentagem, da porcentagem de aumento do preço nesses dois intervalos foi de:

A) mais 15%.

B) menos 10%.

C) menos 20%.

D) mais 25%.

E) mais 20%.

Resolução:

A questão pede o percentual de variação da porcentagem de aumento dos preços. Primeiramente, vamos decifrar essa solicitação:

Etapa 1: O preço aumentou inicialmente de R$ 15,00 para R$ 18,75 e sofreu um aumento percentual i1 – que calcularemos daqui a pouco.

Etapa 2: Depois, ele aumentou de R$ 18,75 para R$ 22,50, sofrendo um aumento percentual i2 – que calcularemos daqui a pouco.

Etapa 3: o percentual i1 mudou para i2, ou seja, sofreu uma variação percentual i3. Esse valor i3 que é a resposta do problema!

100

107

122

Aumento de 7% Aumento de i%

Aumento de 22%

Preço inicial Preço final

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Agora, vamos aplicar a fórmula do aumento percentual para cada etapa e encontraremos os valores de i1, i2 e, finalmente, i3.

Etapa 1:

�� � � ∙ �1 + � ⟹ 18,75 = 15 ∙ �1 + � ⟹ 1 + =18,75

15= 1,25 ⟹ = 0,25

Etapa 2:

�� = � ∙ �1 + �� ⟹ 22,5 = 18,75 ∙ �1 + �� ⟹ 1 + � =22,5

18,75= 1,2 ⟹ � = 0,2

Etapa 3:

�� = � ∙ �1 + �� ⟹ 0,2 = 0,25 ∙ �1 + �� ⟹ 1 + � =0,2

0,25= 0,8

� = −0,2 = −20%

Ou seja, a taxa foi de menos 20%. A alternativa C é a resposta correta.

05. (FCC / Analista Judiciário – Área Judiciária - Especialidade: Execução de Mandados – TRT-1ª Região / 2013) A etiqueta de um produto indica que seu preço é R$ 160. No sistema da loja, porém, um de seus três dígitos foi registrado errado, gerando um valor x% maior do que o da etiqueta. Apenas com essas informações, conclui-se que x pode valer, no máximo,

A) 5.

B) 5.

C) 19.

D) 500.

E) 600.

Resolução:

A questão quer saber o valor percentual máximo de variação do preço. Logo, temos que perceber que o máximo preço “errado” da etiqueta seria R$ 960. Assim, basta calcularmos a diferença percentual entre R$ 160 e R$ 960.

�� = � ∙ �1 + � ⟹ 960 = 160 ∙ �1 + � ⟹ 1 + =960

160= 6 ⟹ = 5 = 500%

A alternativa D é a resposta correta.

06. (FCC / Analista Judiciário – Área Judiciária - Especialidade: Execução de Mandados – TRT-1ª Região / 2013) Um investidor comprou um apartamento X e revendeu-o em seguida, conseguindo lucro nessa transação. Com a totalidade do dinheiro obtido, comprou um apartamento Y e

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revendeu-o por um valor 40% maior do que o que havia comprado. Considerando o dinheiro investido no apartamento X e o valor pelo qual foi vendido o apartamento Y, o investidor obteve 61% de lucro. Dessa forma, o lucro obtido na venda do apartamento X foi de

A) 10%.

B) 12%.

C) 15%.

D) 18%.

E) 21%.

Resolução:

Vamos utilizar o diagrama a seguir, para facilitar a compreensão do problema:

Este é um caso em que atribuir um valor inicial ao apartamento X não facilita a resolução da questão. Neste caso, a maneira mais simples de resolver a questão é com o uso da fórmula dos aumentos sucessivos:

�1 + �� = �1 + � ∙ �1 + ��

A questão nos forneceu o valor do lucro da segunda venda (� = 40%), bem como do lucro resultante (� = 61%), e pede o valor do lucro da primeira venda (i1).

�1 + 0,61� = �1 + � ∙ �1 + 0,4� ⟹ 1,61 = �1 + � ∙ 1,4 ⟹ �1 + � =1,61

1,4= 1,15

= 0,15 = 15%

A alternativa C é a resposta correta.

07. (FCC / Agente de Defensoria Pública – Área Administrador de Banco de Dados – Defensoria Pública -SP / 2013)

Um comerciante comprou uma mercadoria por R$ 350,00. Para estabelecer o preço de venda desse produto em sua loja, o comerciante decidiu que o valor deveria ser suficiente para dar 30% de desconto sobre o preço de venda e ainda assim garantir lucro de 20% sobre o preço de compra. Nessas condições, o preço que o comerciante deve vender essa mercadoria é igual a

Apto Y

Lucro de x% Lucro de 40%

Lucro de 61%

Apto X Preço final

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A) R$ 620,00.

B) R$ 580,00.

C) R$ 600,00.

D) R$ 590,00.

E) R$ 610,00.

Resolução:

Primeiramente, precisamos decifrar os dados da questão. O comerciante quer estabelecer um preço de venda (preço de etiqueta) tal que ele possa anunciar um desconto de 30%, gerando um preço intermediário, e ainda assim, garantir lucro de 20% em relação ao valor da compra. Logo, esse preço intermediário dá 20% de lucro sobre o preço inicial. Sendo assim, podemos usar o seguinte diagrama para nos auxiliar:

Vamos calcular o preço intermediário para, a partir dele, chegar ao preço de venda:

I. O preço intermediário (PM) dá um lucro de 20% sobre o preço inicial (350):

�� � � ∙ �1 + � ⟹ �? = 350 ∙ �1 + 0,2� ⟹ �? = 350 ∙ 1,2 = 420

II. Um desconto de 30% (i=-0,3) sobre o preço de venda (PV) nos leva ao

preço intermediário (420):

�� = � ∙ �1 + � ⟹ 420 = �@ ∙ �1 − 0,3� = �@ ∙ 0,7 ⟹ �@ =420

0,7= 600

A alternativa C é a resposta correta.

08. (FGV / Auditor Fiscal da Receita Estadual Secretaria de Fazenda - RJ / 2007) Em um país, o Produto Interno Bruto (PIB) aumentou 6,0% em um ano, enquanto a população aumentou 2,0% no mesmo período. Então, pode-se dizer que a evolução do PIB per capita foi:

A) inferior a 2,0%.

B) igual a 2,0%.

C) entre 2,0% e 3,0%, excluindo os extremos.

D) igual a 3,0%.

E) superior a 3,0%,

350 Preço intermediário (PM)

Lucro de 20% Desconto de 30%

Preço de compra

Preço de venda

PV

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Resolução:

Primeiramente, vale lembrar que PIB per capita é a razão entre o valor do PIB e o número de habitantes (N) de uma população, logo:

PIBPIB per capita

N=

Dito isto, vamos mostrar duas soluções possíveis para a questão:

1ª Solução – usando fator de multiplicação

Lembre-se de que depois de um aumento, o valor final da grandeza é obtido pelo produto do seu valor inicial pelo fator de multiplicação, ou seja,

�� � � ∙ �1 + �

O PIB aumentou 6,0%, logo o fator de multiplicação vale 1 + 0,06 = 1,06 e o novo valor do PIB vale PIBF = 1,06.PIB.

A população aumentou 2,0%, logo o fator de multiplicação vale 1 + 0,02 = 1,02 e o novo valor do nº de habitante vale NF = 1,02.N.

O novo PIB per capita é obtido pela razão dos novos valores de PIB e nº de habitantes, assim:

�AB CDE FGCHG� =�AB�

I�

=1,06 ∙ �AB

1,02 ∙ I=

1,06

1,02∙

�AB

I= 1,039 ∙ �AB CDE FGCHG"J"K"#L

A conta nos mostra que o fator de multiplicação do PIB é igual a 1,039, logo:

� = 1 + = 1,039 ⟹ = 0,039 = 3,9%

A alternativa E é a resposta correta.

2ª Solução – utilizando valores

Considerando que, no início, tenhamos um PIB de 100 e o nº de habitantes

também igual a 100. Desta maneira, o PIB per capita inicial vale ��

��= 1.

O PIB aumentou 6,0%, logo seu valor final vale 1,06.

A população aumentou 2,0%, logo seu valor final vale 1,02.

O novo valor do PIB per capita vale:

�AB CDE FGCHG� =1,06

1,02= 1,039

Note que O PIB per capita aumentou de 1 para 1,039, ou seja, aumentou 3,9%. A alternativa E é a resposta correta.

09. (ESAF / Técnico de Finanças e Controle – Controladoria Geral da União / 2001) O nível geral de preços em determinada região sofreu um

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aumento de 10% em 1999 e 8% em 2000. Qual foi o aumento total dos preços no biênio considerado?

A) 8%

B) 8,8%

C) 10,8%

D) 18%

E) 18,8%

Resolução:

Esta questão pode ser facilmente resolvida com o uso da fórmula do aumento resultante de dois aumentos sucessivos, conforme vimos na aula:

�1 + �� = �1 + � ∙ �1 + ��

Pelos dados da questão,

i1=10%=0,10

i2=8%=0,08

Logo:

�1 + �� = �1 + 0,1� ∙ �1 + 0,08� = 1,1 ∙ 1,08 = 1,188 ⟹ � = 0,188 = 18,8%

A alternativa E é a resposta correta.

10. (FGV / Auditor da Receita do Estado – Secretaria de Estado da Administração - AP / 2010) - O dono de uma loja aumenta os preços durante a noite em 20% e na manhã seguinte anuncia um desconto de 30% em todos os produtos. O desconto real que ele está oferecendo em relação aos preços do dia anterior é de:

A) 10%

B) 12%

C) 14%

D) 16%

E) 18%

Resolução:

Esta questão também pode ser resolvida com o uso da fórmula das variações sucessivas:

�1 + �� = �1 + � ∙ �1 + ��

Pelos dados da questão,

i1=20%=0,20

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i2=-30%=-0,3. Atentar que, como se trata de um desconto, o percentual entra na fórmula como um valor negativo.

Logo:

�1 + �� = �1 + 0,2� ∙ �1 − 0,3� = 1,2 ∙ 0,7 = 0,84 ⟹ � = −0,16 = −16%

Isso significa que o desconto real foi de 16%. A alternativa D é a resposta correta.

11. (FGV / Fiscal da Receita Estadual – Secretaria de Estado da Administração - AP / 2010) As ações de certa empresa em crise desvalorizaram 20% a cada mês por três meses seguidos. A desvalorização total nesses três meses foi de:

A) 60%

B) 56,6%

C) 53,4%

D) 51,2%

E) 48,8%

Resolução:

Foram três desvalorizações sucessivas de mesma taxa de 20%, portanto podemos utilizar a seguinte fórmula:

�1 + �� = �1 + � ∙ �1 + �� ∙ �1 + ��

Neste caso, i1= i2=i3=-20%=-0,2

�1 + �� = �1 − 0,2� ∙ �1 − 0,2� ∙ �1 − 0,2� = 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 = 0,512

� = −0,488 = −48,8%

A alternativa E é a resposta correta.

12. (FGV / Fiscal da Receita Estadual – Secretaria de Estado da Administração - AP / 2010) Alberto investiu no início do ano de 2009 suas economias em ações de uma empresa e, no final do primeiro semestre, verificou que suas ações tinham valorizado em 25%. No final do ano Alberto declarou: "Tenho hoje o dobro da quantia que investi no início do ano". Isto significa que, no segundo semestre de 2009, as ações valorizaram em:

A) 60%

B) 66%

C) 70%

D) 75%

E) 100%

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Resolução:

A questão nos forneceu a taxa resultante, que vale I = 100% - pois o investimento dobrou de valor – e nos forneceu a primeira taxa de aumento, de 25%, pedindo então a segunda taxa de aumento, logo:

�1 + �� = �1 + � ∙ �1 + �� ⟹ 1 + 1 = �1 + 0,25� ∙ �1 + �� ⟹ 2 = 1,25 ∙ �1 + ��

1 + � =2

1,25= 1,6 ⟹ � = 0,6 = 60%

A alternativa A é a resposta correta.

13. (FCC / Escriturário – Banco do Brasil / 2011) Em dezembro de 2007, um investidor comprou um lote de ações de uma empresa por R$ 8.000,00. Sabe-se que: em 2008 as ações dessa empresa sofreram uma valorização de 20%; em 2009, sofreram uma desvalorização de 20%, em relação ao seu valor no ano anterior; em 2010, se valorizaram em 20%, em relação ao seu valor em 2009. De acordo com essas informações, é verdade que, nesses três anos, o rendimento percentual do investimento foi de:

A) 20%

B) 18,4%

C) 18%

D) 15,2%

E) 15%

Resolução:

A questão nos fornece três taxas sucessivas, a saber:

Valorização de 20% em 2008 => i1 = 20% = 0,2

Desvalorização de 20% em 2009 => i2 = – 20% = – 0,2

Valorização de 20% em 2010 => i3 = 20% = 0,2

A taxa percentual resultante será:

�1 + �� = �1 + � ∙ �1 + �� ∙ �1 + ��

�1 + �� = �1 + 0,2� ∙ �1 − 0,2� ∙ �1 + 0,2� = 1,2 ∙ 0,8 ∙ 1,2 = 1,152

� = 0,152 = 15,2%

A alternativa D é a resposta correta.

14. (CETRO / Técnico em Regulação – ANVISA / 2013) Uma categoria profissional entrou em greve devido ao reajuste salarial de 3%. O sindicato da categoria, após a negociação, conseguiu um aumento de 80% sobre o

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percentual anterior. Logo, o valor do reajuste percentual após a negociação foi de

A) 2,4%

B) 3,6%

C) 4,5%

D) 5,4%

E) 6,0%

Resolução:

O aumento de i = 80% foi sobre o valor C = 3%, logo:

�� � � ∙ �1 + � ⟹ �� = 3 ∙ �1 + 0,8� = 3 ∙ 1,8 = 5,4 ⟹ �� = 5,4%

A alternativa D é a resposta correta.

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01. (FCC / Analista Desenvolvimento Gestão Júnior – Área Economia – Metrô-SP / 2014) A loja A pretende reduzir em 20% o preço P de determinado produto. A loja B vende o mesmo produto pela metade do preço P e pretende aumentar o seu preço de tal forma que, após o aumento, seu novo preço ainda seja 10% a menos do que o preço já reduzido a ser praticado pela loja A. O aumento que a loja B deve realizar é de

A) 56%.

B) 15%.

C) 50%.

D) 30%.

E) 44%.

02. (FCC / Técnico em Gestão de Informática – Companhia de Saneamento Básico de São Paulo / 2014) Dois lojistas concorrem vendendo o produto P pelo mesmo valor. Em um dia o lojista Q reajusta o preço de P em 10% e o lojista R reajusta o preço de P em 20%. Os compradores desaparecem. Uma semana depois, apavorados, os lojistas, querendo vender, resolveram abaixar o preço de P. O lojista Q diminuiu 10% e o lojista R diminuiu 20%. Os compradores voltaram e todos compram na loja de R. Isso se deve ao fato do preço de P, na loja de R, ser menor do que na loja de Q em, aproximadamente,

A) 3%.

B) 10%.

C) 15%.

D) 1%.

E) 5%.

03. (FCC / Analista Legislativo – Assembléia Legislativa - RN/ 2013) O preço de uma mercadoria é controlado pelo governo. Durante um mês esse preço só pode ser reajustado em 22%. Na primeira semana de um determinado mês, um comerciante reajustou o preço em 7%. Após cinco dias, o mesmo comerciante queria reajustar o preço novamente de forma a chegar ao limite permitido de reajuste no mês. O reajuste pretendido pelo comerciante é de aproximadamente

A) 15%.

B) 12%.

4- Questões apresentadas na aula

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C) 19%.

D) 13%.

E) 14%.

04. (FCC / Analista Legislativo – Assembléia Legislativa - RN/ 2013) O preço de um produto era R$ 15,00 ao final de um mês. No final do mês seguinte, o preço era R$ 18,75 e ao final do mês seguinte o preço do mesmo produto era R$ 22,50. A variação, em porcentagem, da porcentagem de aumento do preço nesses dois intervalos foi de:

A) mais 15%.

B) menos 10%.

C) menos 20%.

D) mais 25%.

E) mais 20%.

05. (FCC / Analista Judiciário – Área Judiciária - Especialidade: Execução de Mandados – TRT-1ª Região / 2013) A etiqueta de um produto indica que seu preço é R$ 160. No sistema da loja, porém, um de seus três dígitos foi registrado errado, gerando um valor x% maior do que o da etiqueta. Apenas com essas informações, conclui-se que x pode valer, no máximo,

A) 5.

B) 5.

C) 19.

D) 500.

E) 600.

06. (FCC / Analista Judiciário – Área Judiciária - Especialidade: Execução de Mandados – TRT-1ª Região / 2013) Um investidor comprou um apartamento X e revendeu-o em seguida, conseguindo lucro nessa transação. Com a totalidade do dinheiro obtido, comprou um apartamento Y e revendeu-o por um valor 40% maior do que o que havia comprado. Considerando o dinheiro investido no apartamento X e o valor pelo qual foi vendido o apartamento Y, o investidor obteve 61% de lucro. Dessa forma, o lucro obtido na venda do apartamento X foi de

A) 10%.

B) 12%.

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C) 15%.

D) 18%.

E) 21%.

07. (FCC / Agente de Defensoria Pública – Área Administrador de Banco de Dados – Defensoria Pública -SP / 2013)

Um comerciante comprou uma mercadoria por R$ 350,00. Para estabelecer o preço de venda desse produto em sua loja, o comerciante decidiu que o valor deveria ser suficiente para dar 30% de desconto sobre o preço de venda e ainda assim garantir lucro de 20% sobre o preço de compra. Nessas condições, o preço que o comerciante deve vender essa mercadoria é igual a

A) R$ 620,00.

B) R$ 580,00.

C) R$ 600,00.

D) R$ 590,00.

E) R$ 610,00.

08. (FGV / Auditor Fiscal da Receita Estadual-RJ / 2007) Em um país, o Produto Interno Bruto (PIB) aumentou 6,0% em um ano, enquanto a população aumentou 2,0% no mesmo período. Então, pode-se dizer que a evolução do PIB per capita foi:

A) inferior a 2,0%.

B) igual a 2,0%.

C) entre 2,0% e 3,0%, excluindo os extremos.

D) igual a 3,0%.

E) superior a 3,0%.

09. (ESAF / Técnico de Finanças e Controle – Controladoria Geral da União / 2001) O nível geral de preços em determinada região sofreu um aumento de 10% em 1999 e 8% em 2000. Qual foi o aumento total dos preços no biênio considerado?

A) 8%

B) 8,8%

C) 10,8%

D) 18%

E) 18,8%

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10. (FGV / Auditor da Receita do Estado – AP / 2010) - O dono de uma loja aumenta os preços durante a noite em 20% e na manhã seguinte anuncia um desconto de 30% em todos os produtos. O desconto real que ele está oferecendo em relação aos preços do dia anterior é de:

A) 10%

B) 12%

C) 14%

D) 16%

E) 18%

11. (FGV / Fiscal da Receita Estadual – AP / 2010) As ações de certa empresa em crise desvalorizaram 20% a cada mês por três meses seguidos. A desvalorização total nesses três meses foi de:

A) 60%

B) 56,6%

C) 53,4%

D) 51,2%

E) 48,8%

12. (FGV / Fiscal da Receita Estadual – AP / 2010) Alberto investiu no início do ano de 2009 suas economias em ações de uma empresa e, no final do primeiro semestre, verificou que suas ações tinham valorizado em 25%. No final do ano Alberto declarou: "Tenho hoje o dobro da quantia que investi no início do ano". Isto significa que, no segundo semestre de 2009, as ações valorizaram em:

A) 60%

B) 66%

C) 70%

D) 75%

E) 100%

13. (FCC / Escriturário – Banco do Brasil / 2011) Em dezembro de 2007, um investidor comprou um lote de ações de uma empresa por R$ 8.000,00. Sabe-se que: em 2008 as ações dessa empresa sofreram uma valorização de 20%; em 2009, sofreram uma desvalorização de 20%, em relação ao seu valor no ano anterior; em 2010, se valorizaram em 20%, em relação ao seu

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valor em 2009. De acordo com essas informações, é verdade que, nesses três anos, o rendimento percentual do investimento foi de:

A) 20%

B) 18,4%

C) 18%

D) 15,2%

E) 15%

14. (CETRO / Técnico em Regulação – ANVISA / 2013) Uma categoria profissional entrou em greve devido ao reajuste salarial de 3%. O sindicato da categoria, após a negociação, conseguiu um aumento de 80% sobre o percentual anterior. Logo, o valor do reajuste percentual após a negociação foi de

A) 2,4%

B) 3,6%

C) 4,5%

D) 5,4%

E) 6,0%

1. E 6. C 11. E

2. A 7. C 12. A

3. E 8. E 13. D

4. C 9. E 14. D

5. D 10. D

5- Gabarito