Profa. Esp. Sheila MeloCoordenação Geral de Ensino da Faculdade

Limites infinito e no infinito

Limites infinitos

Votemos ao exemplo da nossa empresa. Deste vez, você observa que seu lucro aumenta à medida que suas despesas diminuem (quando se aproximando de um determinado valor). Assim, podemos chamar de x a despesa e de f(x) (“f de x”: função de x) o lucro pois este depende da despesa.

Considere agora, nesta situação, que seu lucro se relaciona com suas despesas da seguinte forma: o lucro (f(x)) é igual ao inverso da despesa (x). Assim:

f(x) = 1 x

O que está acontecendocom os valores referente às despesas?

E com os valores referente ao lucro?

Os valores de suas despesas (x) diminuem tendendo a se aproximar de zero.

Seu lucro tende a assumir valores infinitamente grandes

x→0

f(x) →∞

Podemos escrever então:

limx→0

1 = ∞x

Generalizando (Definição)

Seja a um número real e considere f uma função que não está definida em a, ou seja, se

x = a => f(x) =

E

Se quando x se aproxima de a, f(x) cresce infinitamente, então escrevemos:

limx→a

f(x)= +∞

Analogamente, considere uma função g que também não está definida em a, ou seja se

x = a => g(x) = E

Se quando x se aproxima de a, f(x) decresce infinitamente, então escrevemos:

limx→a

f(x)= -∞

Exemplo

lim =x→1

3x + 2 (x – 1)

2

5

Tende a valores Bem pequenos e Próximos de zero

+∞

-1

Tende a valores Bem pequenos e Próximos de zero

lim =x→2

1 – x (x – 2)

2 - ∞

Respostas: + ∞; + ∞; - ∞

lim =x→2

3x – 4 (x – 2)

2

lim =x→1

2x + 3 (x – 1)

2

Exercícios

lim =x→1

1 – 3x (x – 1)

2

Respostas: +∞; -∞

lim =x→0

3x - 5x + 2 2

x 2

lim =x→2

1 – x (x – 2)

2

LIMITES NO INFINITO

Considere, agora, que suas despesas estão relacionadas à quantidade de produtos vendidos, de forma que as despesas dependam da quantidade de produtos vendidos.

Assim, pode-se representar por x a quantidade de produtos vendidos e por f(x) o valor de suas despesas.

Considere, ainda, que estes se relacionam de forma inversa ou seja, à medida que suas vendas aumentam, suas despesas diminuem. Logo, podemos escrever:

f(x) = 1 x

O que está acontecendo com os valores referente às despesas?

E com os valores referente ao lucro?

Suas vendas atinjam valores infinitamente grandes

Suas despesas tenderão a valores bem pequenos, próximos de zero

f(x) →0

x→∞

Podemos escrever então:

limx→∞

1 = 0x

Generalizando (Definição)Seja x pertencente a uma intervalo

aberto ]a, +∞ [ , isto é, x pode assumir qualquer valor desde muito próximo de um número a qualquer até +∞; e seja f uma função definida neste intervalo, isto é, todo x deste intervalo gera um imagem (y) correspondente.

Dizemos que, quando x cresce infinitamente, f(x) aproxima-se de um L e escrevemos:

limx→+∞

f(x)= L

De modo análogo, seja x pertencente a um intervalo aberto ]-∞, a[ , isto é, x pode assumir qualquer valor desde -∞ até um valor muito próximo de um número a qualquer; e seja f uma função definida neste intervalo, isto é, todo x deste intervalo gera um imagem (y) correspondente

Dizemos que, quando x decresce infinitamente, f(x) aproxima-se de um L e escrevemos:

limx→-∞

f(x)= L

Exemplos

limx→+∞

4x – 7x + 3 = 2

4.∞ – 7.∞ + 3 = 2

∞

= -∞

limx→-∞

5x - 4x – 3x + 2 = 3 2

5.(-∞) - 4.(-∞) – 3.(-∞) + 2 3 2

Exercícios:

1) limx→+∞

2x + 5 =

2)limx→-∞

4 – 5x =

3) limx→+∞

5x – 4x + 3 = 2

4) limx→+∞

4 - x = 2

5) limx→-∞

3x – 4 = 3

6)limx→-∞

8 – x = 2

Respostas: +∞; +∞; +∞; -∞; -∞; +∞

Calcule o limite:

lim =x→+∞

6x + 2x - 1 2

3x + x + 2 2

6.∞ + 2.∞ - 1 2

3.∞ + ∞ + 2 2

∞∞

= = ?

Temos uma indeterminação! O que fazer?

Em alguns casos pode acontecer de tal substituição levar a uma indeterminação da forma

Para contornar esta situação, deve-se dividir o numerador e o denominador pela maior potência de x presente na função.

∞∞

lim =x→+∞

6x + 2x - 1 2

3x + x + 2 2

limx→+∞

+ +6x 2

x 2

2x

x 2

1

x 2

+ +3x 2

x 2

x

x 2

2

x 2

= limx→+∞

+ +6

2x

1

x 2

+ +3 1

x 2

x 2

0 0

0 0

= limx→+∞

6 3

= 2

Exercícios

1) lim =x→+∞

2x - 3x + 4 3

-7x - x + +5x 3

2

2

2) lim =x→+∞

3x + x - 7 3

5x - x + 8 3

2

Respostas: - 2; 3 7 5

3) lim =x→+∞

2x - 6x + 8 4

7x - x + 1 4

2

4) lim =x→+∞

x – x 5

x + x + 10 5

3

2

5) lim =x→+∞

2x - 3x + 5 3

x - x + 3 3

2

Respostas: 2; - 1; 0 7