PROFESSORA PDE MÁRCIA APARECIDA … de equação do primeiro grau Márcia Aparecida Baldim 1 Túlio...
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SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO Superintendência da Educação
Diretoria de Políticas e Programas Educacionais Programa de Desenvolvimento Educacional
PROFESSORA PDE
MÁRCIA APARECIDA BALDIM
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COMO METODOLOGIA DE
ENSINO E APRENDIZAGEM DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU
Artigo Cientifico - apresentado ao Programa de Desenvolvimento Educacional, realizado na Universidade Estadual de Londrina, área curricular Matemática, sob orientação do Prof. Dr. Túlio Oliveira de Carvalho.
Londrina - 2009
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Resolução de Problemas como metodologia de ensino
aprendizagem de equação do primeiro grau
Márcia Aparecida Baldim1
Túlio Oliveira de Carvalho2
Resumo
O presente trabalho apresenta os resultados de uma investigação
usando a metodologia de Resolução de Problemas para o ensino-
aprendizagem de equações do primeiro grau. O objetivo deste trabalho é,
incitando o entusiasmo, empenho e troca de ideias dos educandos, capacitar os
alunos na resolução e elaboração de problemas. Além disto, objetivou-se
fundamentalmente induzir os alunos a perceberem que o uso dos símbolos nas
equações tem o seu significado e em muitos casos este facilita a solução de
problemas. Os resultados mostram a evolução na resolução dos problemas por
desenhos e cálculos aritméticos, pela capacidade de generalizar e de usar a
linguagem algébrica nas suas generalizações.
Palavras-chave: resolução de problemas, equação do 1º grau.
___________
1 Professora da Rede Pública do Estado do Paraná, participante do Programa de Desenvolvimento da Educação (PDE). E-mail: [email protected].
2 Professor Orientador. Departamento de Matemática, Universidade Estadual de Londrina – PR. E-mail: [email protected].
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Abstract
This work reports on results on the application of the methodology of
Problem Solving for the teaching and learning of linear equations on one
unknown. The aim of the work is, promoting enthusiasm, commitment and
exchange of views of the students, to enable them to solve and elaborate math
problems. We also aimed at diminishing the fundamental lack of skill of the
students on dealing with symbols on equations, emphasizing their meaning,
which may ease the solution of many problems. We have observed the students
development on solving problems with the use of drawings, arithmetic
calculations and some ability to generalize with the algebraic symbolic language.
Keywords: problem solving, linear equations in one unknown.
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1. Introdução
O uso da metodologia de Resolução de Problemas no ensino da
matemática é ideia que tem sido bastante defendida nos últimos anos. As
pesquisas procuram mostrar que há um maior envolvimento dos alunos, com a
consequente compreensão das situações problema apresentadas. Neste
trabalho, desenvolvemos uma aplicação desta metodologia ao tema de
equações do 1º Grau com uma incógnita na 6ª série do Ensino Fundamental.
O objetivo é avaliar a capacidade dos alunos em resolver problemas
dando sentido ao pensamento algébrico e evitando a prática repetitiva comum
em alguns livros texto. A meta deste trabalho é tirar proveito da linguagem
verbal e escrita, a fim de mostrar ao aluno o quanto ele já sabe de álgebra,
conduzindo-o progressivamente a usar o simbolismo algébrico.
Para tal fim, selecionamos problemas que possam proporcionar aos
alunos experiências de aprendizagem significativas, visando capacitá-los a
representar relações simbolicamente e compreender questões no tema de
equações do 1º grau. É possível ainda avaliar as dificuldades mais frequentes
dos alunos no tema de equações do 1º grau e identificar as etapas de
aprendizado da álgebra na 6ª série.
Este trabalho está dividido em 5 seções. Na segunda seção,
apresentamos uma revisão da metodologia de Resolução de Problemas. Na
terceira seção, descrevemos como efetivamente realizamos esta abordagem
em sala de aula. Na quarta seção, apresentamos os resultados da discussão de
um problema específico. Na quinta seção apresentamos nossas conclusões.
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2. Sobre a metodologia de Resolução de Problemas
Garbi (2007) relata que entre todos os documentos contendo
problemas matemáticos da antiguidade que temos conhecimento nos dias de
hoje, os mais famosos são o Papiro de Rhind de 1650 a. C. com 85 problemas
e o Papiro de Moscou de 1850 a. C. com 25 problemas. Neles, o registro é
verbal, por não disporem da simbologia à qual estamos atualmente habituados.
Apesar disto, mostram um conhecimento notável para a época. Este aspecto
histórico coloca-se como uma primeira justificativa para que se tenha uma
atitude mais aberta em relação à produção escrita dos alunos. A metodologia
de Resolução de Problemas vem de encontro a isto, ao considerar que o aluno
possa descrever as atividades verbalmente para depois chegar ao uso de
símbolos.
Desde o início da história escrita, os povos se interessaram em
aplicar a matemática a situações descritas verbalmente. No século
XX também, com um hiato de vinte anos nas décadas de 60 e 70,
uma das metas importantes da matemática escolar tem sido a
solução de aplicações e de problemas. (SCHOEN, 1997, p. 135).
A procura por significados dos símbolos junto com a Resolução de
Problemas faz com que haja algumas diferenças em realizar aulas tradicionais
ou por meio de Resolução de Problemas.
Na tendência tradicional o professor explica a matéria (teoria), mostra
exemplos, propõe “exercícios” semelhantes aos exercícios dados para que os
alunos resolvam, o professor (ou aluno) resolve no quadro os exercícios,
propõe aos alunos outros “exercícios” já não tão semelhantes aos exemplos
que ele resolveu, o professor (ou um aluno) resolve os exercìcios no quadro,
propõe “problemas”, se for o caso, ou mais “exercícios”, que são corrigidos.
Segue-se o curso com outro assunto.
Na tendéncia de Resolução de Problemas, o professor apresenta um
problema escolhido por ele ou pelo(s) aluno(s), e os alunos tentam resolver o
problema com o conhecimento que têm. Quando os alunos encontram algum
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obstáculo o professor os auxilia, por exemplo, com a revisão do conteúdo.
Resolvido o problema, os alunos discutem sua solução, se necessário, com a
ajuda do professor. Essa discussão envolve todos os aspectos da resolução do
problema, inclusive sobre o conteúdo necessário. Dando continuidade o
professor apresenta outro problema.
Para Lester (1983, apud Buriasco, 1995), “problema” é uma situação
que o individuo ou um grupo quer ou precisa resolver e para a qual não dispõe
de um caminho rápido e direto que o leve à solução. Problemas matemáticos
para a maioria dos alunos são uma barreira que precisam enfrentar no
aprendizado da matemática, pois esses têm dificuldade em identificar o
raciocínio que deve ser utilizado para a sua resolução. A pesquisa em
matemática tem seu esteio em problemas abertos sem solução conhecida, por
outro lado, há problemas que possuem diversas soluções.
Segundo Pólya (2006 p.4), a Resolução de Problemas envolve quatro
fases: Compreensão do Problema, Estabelecimento de um Plano, Execução do
Plano e Retrospecto. Em resumo, estas fases se caracterizam pelos aspectos
que descrevemos.
1. Compreensão do Problema: é preciso que o aluno compreenda
o problema, descrevendo as relações entre dados e incógnitas, podendo usar
figuras, diagramas ou adotar uma notação que julgue adequada.
2. Estabelecimento de um Plano: baseando-se em conhecimentos
já adquiridos ou considerando problemas auxiliares, o aluno deve procurar
encontrar uma conexão imediata com um problema correlato. É preciso chegar
afinal a um plano de resolução.
3. Execução do Plano: esta pode ser a parte mais fácil do processo
desde que as fases anteriores estejam corretas. Por outro lado, somente
executando seu plano, verá o aluno a necessidade de correções às etapas
anteriores.
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4. Retrospecto: examinar a solução obtida, nesta fase poderá ser
revisado todo o processo e perceber se existe um modo diferente para o
problema ser resolvido.
Há diferenças entre fazer uma aula apresentando a solução de
exercícios e a metodologia de Resolução de Problemas. Enquanto na resolução
de exercícios os estudantes dispõem de mecanismos e técnicas que os levam,
de forma padronizada, à solução, na Resolução de Problemas isto não ocorre,
porque, muitas vezes, é preciso entender os problemas, traçar um plano,
executar e testar. Desta forma, uma mesma situação pode ser fácil para alguns
e mais difícil para outros, dependendo do conhecimento que cada aluno tem.
Deve-se finalmente fazer os alunos assumirem a responsabilidade de serem
capazes de resolver problemas (PARANÁ 2008 p 36).
Butts (1997) classifica o conjunto de problemas matemáticos em
cinco subconjuntos;
1. Exercícios de reconhecimento: são exercícios que lembram um
fato, uma definição ou o enunciado de um teorema.
Ex: Assinale a equação polinomial do 1º grau
a. 6 + 2 = 10 - 2
b. 2x – 4 =12
c. 4x < 3 + 7x
2. Exercícios de algoritmos: São exercícios que podem ser
resolvidos passo a passo, freqüentemente um algoritmo numérico.
Ex: Calcule:
21 ÷ 3 + 4(7 – 6)
Resolva:
4x – 8 = 21
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3. Problemas de aplicação: são os problemas tradicionais, para a
sua resolução deve-se se fazer sua formulação simbólica e
manipulação simbólica mediante algoritmos diversos.
Ex: O triplo de um número mais cinco é igual a vinte. Qual é esse
número?
4. Problemas de pesquisa aberta: são problemas cujos enunciados
não indicam nenhuma estratégia para solução.
Ex: Uma empresa de correios vende apenas selos de dois tipos: 7
centavos e 9 centavos. Como pode ser postada uma carta de 32
centavos?
5. Situações-problema: não são problemas propriamente ditos, são
situações em que precisamos identificar o problema, e cuja
solução irá melhorá-la.
Ex: Estimar o desperdício causado por uma torneira que está
gotejando.
Resolver problemas só terá significado se a escolha dos problemas
for adequada à prática de sala de aula e ao interesse dos alunos.
Uma grande parte das atividades que constam dos livros
didáticos é das três primeiras categorias. A característica
comum a elas é o fato de conterem a estratégia para sua
resolução nos próprios enunciados. Por essa razão,
apenas os problemas das duas últimas categorias são
considerados problemas de fato (BURIASCO 1995).
Segundo Musser e Shaughnessy (1997), as principais estratégias de
resolução de problemas que podem ser ensinadas nas escolas;
1) Tentativa-e-erro: talvez esta estratégia seja a mais usada para a
resolução de exercícios.
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2) Padrões: esta estratégia considera casos particulares do problema e
chega-se à solução através da generalização.
3) Resolver um problema mais simples. Esta estratégia pode ser
necessária, mas tem variações: por exemplo, uma suposição extra
pode facilitar o problema, o estudo de casos. Após a solução do
problema simplificado, retorna-se ao original.
4) Trabalhar em sentido inverso.
5) Simulação: a solução de um problema compreende preparar e
realizar um experimento, coletar dados e tomar uma decisão baseada
na análise dos dados.
A procura dos significados dos símbolos e as estratégias de
Resolução de Problemas não se constituem, no entanto, em mais um conjunto
de regras e sim como um processo, que permite extensões para outros tópicos
do aprendizado do aluno.
O grande problema para o professor deve ser o de
articular o seu conhecimento com as hipóteses
elaboradas pelos seus alunos, sem cair no grave erro de
adotar como pressuposto que aquilo que ele acha que
sabe é uma verdade absoluta, ou que não pode ser
pensado de modo diferente... Disposto a ouvir o que têm
a dizer seus alunos, o professor será surpreendido com
as múltiplas interpretações. (VIANNA 2002 p. 401-410)
Será importante respeitar o ritmo da aprendizagem em geral, e
principalmente na Resolução de Problemas levando em conta o conhecimento
prévio dos alunos e sem dar dicas demais, aceitar compreensões parciais e
identificar certos tipos de erros e dificuldades, e a partir daí construir um
conhecimento correto do significado de equações do primeiro grau.
É fundamental que o professor conheça métodos que favoreçam o
ensino deste tema e não levem a uma “técnica automática” de um “simbolismo
extremado”, com vistas ao desenvolvimento do pensamento algébrico dos
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alunos. Incentivar o aluno a falar ou descrever o problema pode ser uma ponte
para o simbolismo algébrico, o entendimento e a resolução do problema.
Schoen (1995) destaca no capítulo de “Resolução de Problemas”, a
importância de fornecer um vínculo entre o conteúdo algébrico, e o
desenvolvimento de aptidões para resolvê-los e não apenas para desenvolver
técnicas algébricas, mas para dar um significado para o conteúdo algébrico,
citando seis recomendações básicas para um curso de álgebra:
♦ Basear a aprendizagem de coisas novas no conhecimento e na compreensão
que os alunos já têm.
♦ Conduzir gradualmente o aluno da verbalização ao simbolismo algébrico.
♦ Introduzir os tópicos de álgebra com aplicações.
♦ Ensinar os tópicos de álgebra a partir da perspectiva de como eles podem ser
aplicados.
♦ Ensinar a modelar processos heurísticos específicos como auxiliares para a
compreensão e resolução de problemas.
♦ Comprometer os alunos com a resolução de problemas.
O que nos propomos é romper com a conduta histórica que tem sido
de ensinar a álgebra resumindo-a a procedimentos mecânicos, com a maestria
da linguagem matemática. Apesar de que alguns alunos cheguem a dominar
estes procedimentos, automatizando-os, o que de fato tem importância para o
aprendizado na 6ª série, nossa reflexão é que este se torna mais significativo ao
passar pela interpretação e discussão dos problemas.
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3. Metodologia
Este trabalho foi desenvolvido em três etapas. Na primeira etapa, que
durou seis aulas, exploramos problemas deixando que os alunos os tentassem
resolver. Na segunda etapa, com quatro aulas, incentivamos a criação de
problemas através de figuras e do interesse do aluno. Na terceira etapa, com
quatro aulas, o objetivo foi induzir o aluno a usar símbolos.
Para o desenvolvimento deste trabalho a turma foi subdividida em
grupos de quatro ou cinco alunos. Na primeira e terceira etapas, os problemas
foram lidos para a turma assim organizada, e os alunos tiveram o restante da
aula para discutirem caminhos para sua solução. Nos minutos finais da aula, os
grupos redigiram um relato do que formularam sobre a solução dos problemas.
Para cada problema, várias leituras foram feitas com o objetivo de
ressaltar a necessidade de compreensão do enunciado. Aos poucos, foi
colocada a estruturação de ataque aos problemas proposta em Pólya (2006):
compreensão, estabelecimento de um plano, execução do plano e retrospecto.
Em uma aula posterior, propusemos uma mudança nos grupos para
troca de informações. A etapa do retrospecto foi feita em seguida, numa aula
dialogada em que toda a turma teve oportunidade de se manifestar. O exercício
(para o professor) é de escutar as estratégias e soluções dos alunos, intervindo,
mas com perguntas, para que o confronto de visões estabeleça uma
perspectiva crítica e ao fim todos cheguem às respostas corretas podendo
haver vários caminhos. É fundamental que não se dê uma solução pronta: tal
procedimento iria contra a prática da Resolução de Problemas.
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4. Resultados
Para demonstrar os resultados obtidos com base no referencial de
Pólya (2006), relato as etapas desenvolvidas com o grupo de alunos da 6ª série
do Colégio Estadual Unidade Pólo – Ensino Fundamental e Médio, Arapongas –
PR com participação minha como professora e de 38 alunos, sendo 19 meninos
e 19 meninas. O estudo foi realizado por no período matutino em aulas
geminadas sendo que a duração de cada aula é de 50 minutos totalizado 1 hora
e 40 minutos.
1ª Etapa
Os problemas foram distribuídos aos alunos, que em seus grupos e
com interação com os demais grupos procuraram resolver. Ao final de uma
aula, discutiu-se as soluções propostas com todos os alunos, questionando se o
caminho estava certo ou errado.
1ª dia
Informei que a aula de Resolução de Problemas seria uma aula em
que a professora passaria os problemas sem dar qualquer dica de como
resolvê-los. Além disto, destaquei as etapas de Pólya:
♦ Compreender o problema; ♦ Estabelecer um plano para a resolução; ♦ Executar do plano; ♦ Verificar.
Estabeleci a formação dos grupos, com o intuito de estabelecer
regras para as aulas. Falei das regras para avaliação, esperei que dessem
opiniões. Como não as houve, informei que avaliaria os seguintes aspectos:
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♦ Disciplina durante as aulas;
♦ Respeito com os colegas;
♦ Participação efetiva nas questões propostas;
♦ Avaliação por meio de observações dos alunos feitas nas aulas e também
pela análise do material escrito e entregue pelos alunos;
Os problemas distribuídos aos grupos foram os seguintes:
1) (Dante 2005) Com 24 palitos de fósforo, forme 9 quadradinhos, como mostra
a figura abaixo. Como fazer para tirar apenas 4 palitos e deixar 5
quadradinhos?
2) (Obmep 2008) Um terreno retangular foi divido em 4 terrenos, também
retangulares.
As áreas de 3 deles estão dadas na figura em km2. Qual e a área do terreno
que foi dividido?
3) (Obmep 2008) Ana e Beatriz compraram dezoito bombons de mesmo preço.
Ana pagou por oito deles e Beatriz pelos outros dez. Na hora do lanche,
dividiram os bombons com Cecília e cada uma delas comeu seis. Para dividir
igualmente o preço dos bombons. Cecília deveria pagar R$1,80 para Ana e
Beatriz. Ela pensou em dar R$0,80 para Ana e R$1,00 para Beatriz, mas
percebeu que essa divisão estava errada. Quanto ela deve pagar para Beatriz?
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Ao término da aula, os alunos entregaram o relatório, e observei que
nenhum grupo havia conseguido resolver os problemas.
2ª dia
Ao iniciar a aula, troquei alguns alunos de grupo. Os alunos tentaram
resolver os problemas em uma aula e pude ver que estavam tendo mais
sucesso. Na segunda aula do mesmo dia organizei a turma e começamos a
discutir o que os grupos haviam conseguido em relação ao problema dos
palitos; fiz o desenho dos palitos no quadro e um aluno de cada grupo ia ao
quadro e mostrava como o grupo pensou apagando os palitos. Esta discussão
foi muito interessante, porque a turma demonstrou paciência em discutir a
solução, mesmo porque os alunos que sabiam resolver ficaram quietos
esperando a sua vez de falar. Os que não sabiam resolver ficaram esperando a
solução, demonstrando curiosidade.
3ª dia
Nesta aula, foram discutidos os problemas 2 e 3. Os alunos opinaram
que acharam estes problemas muito difíceis.
No segundo problema eles somavam as áreas 27 + 18 + 72 = 11727 + 18 + 72 = 11727 + 18 + 72 = 11727 + 18 + 72 = 117 e
achavam que era a solução, mas a aluna F. resolveu corretamente e
apresentou a solução no quadro. Eu havia feito uma revisão do cálculo de área
de um retângulo, mostrando que ela é igual ao produto dos comprimentos da
base e da altura. A aluna mostrou que para conseguir as medidas dos lados
deveria usar a “tabuada” e verificou que 3 . 9=27, 3 . 9=27, 3 . 9=27, 3 . 9=27, 3.3.3.3.6=18 e 6 .6=18 e 6 .6=18 e 6 .6=18 e 6 . 12=7212=7212=7212=72 e descobriu
assim que as medidas da base e altura do retângulo cuja área não é dada são 9
e 12. Como 9 .9 .9 .9 . 12=10812=10812=10812=108 somou 27 + 18 + 72 + 108= 22527 + 18 + 72 + 108= 22527 + 18 + 72 + 108= 22527 + 18 + 72 + 108= 225, obtendo assim a área
total.
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No terceiro problema, a primeira solução exposta consistia em efetuar
a divisão de R$1,80R$1,80R$1,80R$1,80 por 2222, o que implicava que Beatriz deveria pagar R$0,90R$0,90R$0,90R$0,90
para cada uma. A leitura do problema foi feita novamente. Ana pagou por oito
bombons e Beatriz pelos outros dez; perguntei se eles achavam justo
receberem o mesmo, já que Beatriz pagou por mais bombons. Assim os alunos
foram capazes de perceber que teriam que calcular o preço de cada bombom.
Surgiram as seguintes sugestões:
O aluno J. disse que como R$1,80R$1,80R$1,80R$1,80 era o preço de 6666 bombons,
deveríamos somar 1,80 + 1,80 + 1,80 = 5,401,80 + 1,80 + 1,80 = 5,401,80 + 1,80 + 1,80 = 5,401,80 + 1,80 + 1,80 = 5,40 e dividir por 18181818 assim o preço do
bombom é R$R$R$R$0,300,300,300,30.
Confirmei que estava certo, mas perguntei se não haveria outra forma
de encontrar o preço de um bombom.
O aluno C. sugeriu para dividir R$R$R$R$1,801,801,801,80 primeiro por 2222 e depois por 3333, o
que dá o mesmo resultado. Esta forma de resolver não tem explicação nos
dados.
E a aluna F. falou: “Como no problema se diz que Cecília deveria
pagar R$1,80R$1,80R$1,80R$1,80 para Ana e Beatriz e como Cecília comeu 6666 bombons, é só dividir
R$R$R$R$1,801,801,801,80 por 6666, e a Cecília deve pagar para a Beatriz R$R$R$R$1,201,201,201,20, pois a Beatriz
pagou por dez bombons e deu quatro para Cecília. “
Durante a correção dos problemas alguns alunos questionaram
“porque a professora fica enrolando e não resolve logo os problemas”. Eu
expliquei que o objetivo do trabalho era promover a discussão dos problemas
pelos alunos e que o importante naquele momento era a troca de idéias e todos
juntos chegarem à solução do problema.
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2ª Etapa
Para o desenvolvimento desta etapa a sala foi dividida em duplas,
sendo que no primeiro dia foi dado aos alunos folhas com figuras para que eles
pudessem desenvolver problemas de seu interesse. Esta atividade foi feita em
duas aulas do mesmo dia. No segundo dia os alunos formaram as mesmas
duplas, as folhas com os problemas que os alunos elaboraram foram trocadas
entre as duplas. Na segunda aula do mesmo dia, eles corrigiram os problemas
resolvidos pelos colegas.
Estes são alguns problemas elaborados pelos alunos com base nas
figuras que foram dadas a eles:
1) (Dante 2005) Elabore um problema para cada uma das seguintes figuras e
resolva:
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2) (Dante 2005) Observe o cardápio da lanchonete da escola. Com base nele,
invente um problema e o resolva:
Observe-se que o enunciado dos problemas contém erros de
português, mas estes não foram discutidos.
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3ª Etapa
Nesta etapa o objetivo foi analisar o desempenho e os
procedimentos, corretos ou incorretos dos alunos envolvidos nesta pesquisa.
Lembrando Usiskin (op, cit.1995, p. 13), as diferentes concepções da Álgebra
se traduzem na variedade de usos dos símbolos, em especial, como variável ou
incógnita. As discussões que os problemas a seguir suscitaram propiciaram aos
alunos perceber que o uso de símbolos pode ser necessário para simplificar a
sua solução.
A atividade que considerei muito relevante, porque demonstra a
produção de significados e propicia a generalização através de uma situação do
cotidiano, foi adaptada do livro do Krulik (1997).
No inicio desta etapa foi lembrado mais uma vez aos alunos as fases
de Pólya (2006) e os processos de avaliação como na primeira etapa.
Pedi que formassem grupos de 4 ou 5 alunos, e logo após foi
distribuído aos alunos folhas com o seguinte problema:
Ontem à noite, terminei de fazer a lista de convidados para o jantar que vou dar
no próximo mês. Como haverá trinta pessoas, vou precisar tomar emprestadas
algumas mesas de jogo, de tamanho que permita sentar-se uma pessoa de
cada lado. Quero dispô-las numa longa fileira, encostadas umas nas outras,
Naturalmente, quero tomar emprestado o mínimo de mesas possível. De
quantas mesas de jogo vou precisar?
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Podemos generalizar conforme a seguinte tabela:
Observando a tabela que você completou, descubra uma relação
entre o número de mesas e o de pessoas que podem ocupá-las. E se fossem
100 convidados quantas mesas seriam necessárias?
Após uma aula de 50 minutos destinada à resolução do problema
pelos grupos, passamos à discussão do que cada grupo havia formulado. A
maioria resolveu usando desenhos. A aluna F. foi ao quadro e apresentou a sua
resolução. Primeiro desenhou os 30 lugares em torno da mesa
Nº de
mesas
Nº de
pessoas
1 4
2 6
20
E depois completou o desenho com as mesas.
E pôde contar 14 mesas.
Após a sua exposição eu perguntei se algum aluno resolveu de outra
forma, ao que todos responderam negativamente.
Minha intervenção foi para que tentasse resolver com cálculos.
O aluno J. sugeriu que poderíamos dividir 30303030 por 2222 e diminuir um (que
representa um mesa), pois duas pessoas podem sentar-se na ponta. Sugeriu
ainda que se fizéssemos 30 30 30 30 –––– 2 = 282 = 282 = 282 = 28, e depois a divisão por 2, obteríamos a
mesma resposta obtida do desenho.
O aluno E. falou que o número de pessoas é sempre o dobro de
número de mesas mais dois e escreveu:
2 .2 .2 .2 . 14 + 2 = 3014 + 2 = 3014 + 2 = 3014 + 2 = 30
Após esses comentários retomamos a tabela, os alunos já tinham
completado e falavam todos juntos. Neste momento, havia certo alvoroço e
empolgação: a descoberta enunciada foi que “o número de mesas aumentava
de um em um e as pessoas de dois em dois”.
Confirmei que é correta afirmação. Em seguida, lembrei-os que
deveríamos estabelecer uma relação entre o número de mesas e o de pessoas
que podem ocupá-las, justificando que, apesar de não ser impossível, é muito
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trabalhoso ir escrevendo uma tabela ou desenhando mesas até completar 100
convidados ou mais. Comentei também que eles poderiam olhar os cálculos
que foram feitos e os desenhos. Este é o momento da generalização.
O aluno W. disse: “podemos pegar o número de pessoas menos dois
e dividir o resultado por dois”. Verificamos que esta afirmação estava coerente
com os resultados da tabela.
4444 –––– 2222 ==== 2222 e e e e 2222 :::: 2222 ==== 1111
6666 –––– 2222 ==== 4 4 4 4 e e e e 4444 :::: 2222 ==== 2222
Assim, chegamos a
100 100 100 100 –––– 2 = 982 = 982 = 982 = 98 , que dividido por 2222 dá 49494949.
Após esta explicação eu lembrei mais uma vez que a relação deve
ser entre o número de mesas e o número de pessoas.
E o aluno J. disse: “Professora então a relação é: o dobro do número
de mesas mais dois é igual ao número de pessoas.” Eu disse “vamos ver se na
tabela dá certo.”
E verificamos que;
2 .2 .2 .2 . 1 + 2 = 41 + 2 = 41 + 2 = 41 + 2 = 4 pessoas
2 .2 .2 .2 . 2 + 2 = 62 + 2 = 62 + 2 = 62 + 2 = 6 pessoas e assim por diante..;
E
2 2 2 2 .... 49 + 2 = 4949 + 2 = 4949 + 2 = 4949 + 2 = 49
E partindo desta relação
2 .2 .2 .2 . nº de mesas + 2 (pessoas de cada ponta) = 100nº de mesas + 2 (pessoas de cada ponta) = 100nº de mesas + 2 (pessoas de cada ponta) = 100nº de mesas + 2 (pessoas de cada ponta) = 100
Chegamos à equação
2.m + 2 = 1002.m + 2 = 1002.m + 2 = 1002.m + 2 = 100
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Que é uma equação do 1º grau.
Os alunos puderam perceber que conforme o número de pessoas
aumentava ficava difícil resolver por desenhos. A equação de primeiro grau à
qual por fim se chegou tornava o cálculo mais fácil.
Foram apresentados outros problemas, que os grupos resolveram
num primeiro momento pelo processo da tentativa para depois serem
formulados em termos de equações, e assim resolver a equação pelas
operações inversas (que foi uma das técnicas por mim utilizada para a
explicação e resolução de equações do primeiro grau).
5. Conclusões
Partindo das estratégias que os alunos adotam para a resolução das
atividades, a Resolução de Problemas desenvolve os conceitos e o uso da
linguagem simbólica a partir da base individualizada do aluno, o que permite um
aprendizado mais significativo, inclusive nas séries iniciais. Neste trabalho,
mostramos alguns caminhos para o ensino da álgebra, no contexto de
equações de 1º grau, tendo como objetivo o desenvolvimento do pensamento
algébrico, evitando a mera aplicação de procedimentos.
A compreensão dos símbolos no trabalho com a álgebra é
fundamental. Algumas das dificuldades dos alunos devem-se ao fato de estes
surgirem em outros contextos com outros significados, como são exemplos os
sinais das operações e o sinal de igual. As letras, além de aparecerem em
outros contextos, assumem também diferentes significados na álgebra de
acordo com as expressões onde estão inseridas. Uma concepção (decerto
limitada) das equações é que se trata de calcular com letras. A letra, porém,
representa uma incógnita. A grande contribuição da metodologia é balizar o
significado da representação simbólica pela interpretação prática no contexto do
problema.
23
O estudo de padrões e regularidades contribuiu para a compreensão
da linguagem algébrica pelos alunos, que se refletiu no trabalho com equações.
Verifiquei que esta abordagem inicial promoveu a compreensão da letra
representando um número.
Para a compreensão do conceito de equação também foi importante
representar e resolver equações explorando situações de balanças em
equilíbrio. Esta abordagem, apesar de ter uma utilização limitada a alguns tipos
de equação, promoveu o entendimento do equilíbrio existente entre os dois
membros de uma equação e dos princípios e regras de equivalência. Neste
aspecto, a compreensão da lei do cancelamento é o passo essencial, por
permitir ao aluno resolver as equações pela transposição de termos com as
operações inversas.
Durante o desenvolvimento do trabalho a impressão que tive pela
indisciplina da turma é de que não chegaria a resultado nenhum, pois uma aula
de Resolução de Problemas em uma turma numerosa pode ser extenuante. No
decorrer da aula, por não serem dadas dicas, os alunos ficam pensando que
estamos “enrolando” e não sabemos resolver os problemas. Entretanto, quando
eu comecei a discutir os problemas com os alunos ocorre a mágica da
participação ativa, alguns grupos haviam resolvido e a turma toda fica
interessada na apresentação dos resultados contribuindo com opiniões. É
muito compensador ver que o aluno se sente empolgado em ter resolvido o
problema sozinho e sem dicas.
24
6. Referências
BURIASCO. Regina L. C. de. Sobre a Resolução de Problemas (II). Nosso
Fazer,ano 1, n.º. 6, Secretaria Municipal de Educação - Londrina, 1995.
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aprendizagem.; 2004; Palestra; Moderadora; VIII ENEM; Encontro Nacional de
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Editora Livraria da Física, 2007.
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problemas na matemática escolar In: KRULIK, S. e REYS, R. E. A Resolução
de Problemas na Matemática Escolar. São Paulo: Atual, 1997.
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2007.
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Araújo. Rio de Janeiro: Editora Interciência, 2006.
25
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variáveis In: As idéias da álgebra. Tradução de Hygino H. Domingues, São
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