UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO

INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA

MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA – PROFMAT

MATEMÁTICA DISCRETA

CUIABÁ – 04/2012

1) Prove que a função N N N definida por f(m,n) = 2 .3 1m n é injetiva.

Solução:

Devemos mostrar que dados 1 1( , )m n e 2 2( , )m n , tais que: 1 1 2 2( , ) ( , )f m n f m n , então

1 1 2 2( , ) ( , )m n m n

De fato!

Sejam 1 1( , )m n e 2 2( , )m n pertencente a N x N, tais que 1 1 2 2( , ) ( , )f m n f m n . Então

temos que:

1 1 2 22 .3 1 2 .3 1m n m n , que nos leva a

1 1 2 22 .3 2 .3m n m n .

Como temos potências com expoentes naturais, então podemos aplicar a divisão de

um mesmo termo em ambos os lados. Logo:

1 2 2 12 3m m n n

Esta igualdade vem das propriedades da potenciação. Como 2 e 3 são primos entre

si, temos que esta igualdade só será satisfeita quando o expoente for igual a zero,

isto é:

1 2 2 10m m n n , mas isto só acontece se 1 1 2 2( , ) ( , )m n m n . c.q.d

2) Quando dividimos a soma 1! + 2! + 3! + 4! + ... + 50! Por 15, qual é o resto?

Solução:

O resto é 3.

Com efeito!

Observe que a partir de 5! temos a seguinte situação: 5! = 5x4x3x2x1 = 15q, para

algum q natural.

Logo podemos de maneira análoga arrumar 6!, ..., 50! Como múltiplos de 15. Logo

temos que:

1! + 2! + 3! + 4! + ... + 50! = 1 + 2 + 6 + 24 + 15j, para algum j natural.

1! + 2! + 3! + 4! + ... + 50! = 3 + 30 + 15j = 3 + 15w, para algum w natural.

Portanto a divisão desta soma por 15 é igual a 3.

3) Os números 210, 301 e 352 escrito na base b, estão em PA. Determine b.

De maneira geral, um número natural N pode ser representado em uma base b

através do polinômio:

0 10 1 ... n

nN a b a b a b , com n natural e 0 1ia b .

Sabendo disso temos que a representação destes números na base b é dada por:

2210 2b b , 2301 3 1b e

2352 3 5 2b b . Como estes números estão em PA

temos que: 301 – 210 = 352 – 301, logo: 2 2 2 23 1 (2 ) 3 5 2 (3 1)b b b b b b .

Resultando em: b²- b + 1 = 5b + 1, implicando em: b² - 6b = 0 = b(b - 6). Desta

forma b = 0 ou b = 6, logo temos que b = 6.

Transformando os números para a base decimal temos que: 210 = 78 na base dez;

301 = 109 na base 10 e 352 = 140 na base 10. Logo de fato a base é 6, pois 109 – 78

= 140 – 109 = 31. Logo r = 31 e a PA = {...,78,109,140,...}.

4) Uma quantidade de 500 reais foi investida em uma conta remunerada a

uma taxa de juros compostos anual de 10%:

Dados: i = 0,1 ao ano, Capital = R$ 500,00.

Pelo Teorema 2 da página 3 da unidade 9 temos que o montante daqui a n anos é

dado por: 500(1.1)nnC .

a) Escreva a definição recursiva da quantia P(n) na conta no início do (n)-

ésimo ano.

Chamando de ( )nC P n , temos que a definição recursiva da quantia na conta no

início do (n)-ésimo ano é: ( ) 500(1.1)nP n .

b) Depois de quantos anos a quantia investida excederá 700 reais.

Fazendo a iteração na definição da letra a, geramos a seguinte seqüência:

( ) {550,605,665.5,732.05,805.255,...}P n , logo observamos que depois de

quatro anos a quantia chegará a R$ 732,05 excedendo o valor de R$ 700,00.

5) Escreva a função recursiva de cada uma das seqüências:

a) a, b, a + b, a + 2b, 2a + 3b, .........

Observe que:

1

2

3 2 1

4 3 2

5 4 3

2

2 3

x a

x b

x a b x x

x a b x x

x a b x x

Logo concluímos que a função recursiva é:

2 1n n nx x x , com 1x a e 2x b .

b) p, q, p – q, p + q, p – 2q, p + 2q, p – 3q, ...........

Observe que a partir do terceiro termo temos expressões parecidas, alterando

apenas o sinal. Desta forma podemos dividir em duas subseqüências: para n

par e para n ímpar. Do terceiro termo em diante observamos a seguinte

relação entre os termos e o q da expressão: (Termo * coeficiente de q): 3 * 1,

5 * 2, 7 * 3,..., n * ((n – 1): 2) e 4 * 1, 6 * 2, 8 * 3, ...., n * (n – 2): 2). Logo

temos a seguinte situação:

1

3

5

7

3 1

2

5 12

2

5 13

2

1

2n ímpar

x p

x p q p q

x p q p q

x p q p q

nx p q

2

4

6

8

4 2

2

6 22

2

8 23

2

2

2n par

x q

x p q p q

x p q p q

x p q p q

nx p q

Logo concluímos que a função recursiva é dada por:

1:

2

2:

2

n

n

n

nn ímpar x p q

xn

n par x p q

, com 1x p e 2x q .

6) Calcular:

a)

4

1

n

k

k

Solução:

A idéia para solucionar este exercício é dada na Unidade 5 – página 9 – Somas

polinomiais.

Devemos partir de:

5 5 4 3 2( 1) 5 10 10 5 1k k k k k k

Aplicando o somatório em ambos os lados e juntamente as propriedades, temos que:

5 5 4 3 2

1 1 1 1 1 1

[( 1) ] 5 10 10 5 1n n n n n n

k k k k k k

k k k k k k

Da teoria e dos exercícios temos que:

2

1

( 1)(2 1)

6

n

k

n n nk

, 1

( 1)

2

n

k

n nk

, 1

1n

k

n

. Não temos a expressão

3

1

n

k

k

, todavia

usando a mesma idéia inicial, isto é: 4 4( 1)k k , chegamos à seguinte expressão:

24 3 23

1

2 ( 1)

4 2

n

k

n n n n nk

Logo temos que:

5 5 4 3 2

1 1 1 1 1 1

[( 1) ] 5 10 10 5 1n n n n n n

k k k k k k

k k k k k k

2

5 4

1

( 1) ( 1)(2 1) ( 1)( 1) 1 5 10 10 5

2 6 2

n

k

n n n n n n nn k n

Desenvolvendo e simplificando esta igualdade chegamos em:

4 4 3 2

1

(6 15 10 1)30

n

k

nk n n n

b) 2

2

1

1

n

k k

Solução:

Observe que: 2

2 2

1 1

1 ( 1).( 1)

n n

k kk k k

. Vamos tentar encontrar A e B tais que:

2 2

1

( 1).( 1) 1 1

n n

k k

A B

k k k k

Resolvendo um sistema de equações encontramos A = -1/2 e B = 1/2. Logo temos que:

22 2 2 2 2

1 1 1 / 2 1 / 2 1 1

1 ( 1).( 1) 1 1 1 1 2( 1) 2( 1)

n n n n n

k k k k k

A B

k k k k k k k k k

Desenvolvendo este somatório temos que:

2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1...

2( 1) 2( 1) 6 2 8 4 10 6 2( 1) 2( 3) 2 2( 2) 2( 1) 2( 1)

n

k k k n n n n n n

Desta forma observamos que sobrarão os dois primeiros termos positivos e os dois últimos

termos negativos, isto é:

2

22

1 1 1 1 1 3 2( 1) 2 3 2

1 2 4 2 2( 1) 4 4 ( 1) 4 ( 1)

n

k

n n n n

k n n n n n n