Programação Binária e Inteira · • Problema de escalonamento de pessoal. Exemplos de Problemas...
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Programação Binária e Inteira
Programação Inteira (PI)
• Todas as variáveis de decisão são discretas (conjunto finito ou quantidade enumerável de valores provenientes de uma contagem)
Programação Binária (PB)
• Todas as variáveis de decisão são binárias (podem assumir valores 1 – quando a característica de interesse está presente ou 0, caso contrário)
Observação
• Muitos autores não diferenciam as variáveis discretas das binárias,chamando o modelo simplesmente de programação inteira
Exemplos de Problemas (PB)• Problema de designação de tarefas
(programação em redes)• Problema do caminho mais curto (programação
em redes)• Problema da mochila;• Problema de orçamento de capital • Programação de produção• Problema do caixeiro viajante• Problemas de roteirização de veículos
Exemplos de Problemas (PI)
• Problema de escalonamento de pessoal
Exemplos de Problemas (PBM)
• Problema de localização de facilidades– Possíveis localidades (variável binária)– Quantidades entregues (variável contínua)
• Muitos problemas de programação binária e inteira são NP-completos.
• Muitos problemas de programação binária e inteira são NP-completos.– Não podem ser resolvidos em tempo
polinomial em função da alta complexidade computacional.
– Alternativas
Formulação matemática
<=, =, >=
• Uma abordagem para achar a solução ótima é relaxar ou eliminar as restrições de integralidade das variáveis (e/ou a restrição de que as variáveis são binárias)– Relaxação linear do problema de
programação inteira
Exemplo
Exemplo
• Em alguns problemas, mesmo após a relaxação das restrições de integralidade do problema original de PI e resolução do mesmo pelo método Simplex, por exemplo, a solução obtida pode ainda satisfazer as condições de integralidade (e/ou de que as variáveis são binárias) e, portanto, representar a solução ótima do problema original.
• Em muitos casos, não é possível obter diretamente a solução ótima do problema original de PI (PB ou PIB) por meio do relaxamento das condições de integralidade (e/ou relaxamento da restrição de que as variáveis são binárias)– Alternativa: arredondamento da solução obtida após
a relaxação linear– Problema: pode resultar em uma nova solução
infactível não existe garantia de que a solução
encontrada seja ótima- Solução: uso de outros métodos exatos
Métodos de solução exatos
• Branch-and-bound• Algoritmos de plano de corte• Branch-and-cut• Decomposição de Benders,• Relaxação Lagrangeana
• Uma indústria quer se expandir, construindo nova fábrica ou em Los Angeles ou em São Francisco. Também será considerada a construção de um novo depósito na cidade que for selecionada para receber a nova fábrica. O valor presente líquido de cada alternativa está na tabela abaixo. A última coluna dá o capital requerido para os investimentos, sendo o capital total disponível $25 milhões. Achar a combinação viável de alternativas que maximize o valor presente líquido total.
Solução
Exemplo – “Grouping problems”
Exemplo – Problema da Mochila
• Um estudante dispõe de uma mochila com capacidade para 14 kg e tem quatro itens para colocar nela, com pesos e valores (utilidade) diferenciados: Item 1 – peso de 5 kg e valor de 8; Item 2 – peso 7 e valor 11, Item 3 – peso 4 e valor 6, Item 4 – peso 3 e valor 4.
• Deseja maximizar a soma dos valores dos itens colocados na mochila