PROGRAMAÇÃO DINÂMICA ESTOCÁSTICA APLICADA AO PLANEJAMENTO DA OPERAÇÃO DO SISTEMA...

7/26/2019 PROGRAMAO DINMICA ESTOCSTICA APLICADA AO PLANEJAMENTO DA OPERAO DO SISTEMA ELTRICO BRAS

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PROGRAMAO DINMICA ESTOCSTICA APLICADA AO PLANEJAMENTO DAOPERAO DO SISTEMA ELTRICO BRASILEIRO ATRAVS DO USO DE

PROCESSAMENTO PARALELO

Bruno H. DiasPUC-Rio1/ UFJF2

Rua Marqus de So Vicente, 225 Gvea, 22451-900, Rio de Janeiro, RJ 1

Campus da UFJF, Plataforma do Setor de Tecnologia, 36036-330, Juiz de Fora, [email protected]

Andr L. M. MarcatoUniversidade Federal de Juiz de Fora - UFJF

Campus da UFJF, Plataforma do Setor de Tecnologia, 36036-330, Juiz de Fora, [email protected]

Reinaldo C. SouzaPontifcia Universidade Catlica do Rio de Janeiro PUC-Rio

Rua Marqus de So Vicente, 225 Gvea, 22451-900, Rio de Janeiro, [email protected]

Murilo P. SoaresOperador Nacional do Sistema Eltrico - ONS

Rua da Quitanda, 196 Centro, 20091-005 Rio de Janeiro, [email protected]

Ivo C. Silva Jr, Tales P. Ramos, Rafael B. S. Brandi, Edimar J. Oliveira, Marcelo A. TomimUniversidade Federal de Juiz de Fora - UFJF

Campus da UFJF, Plataforma do Setor de Tecnologia, 36036-330, Juiz de Fora, [email protected], [email protected], [email protected],[email protected], [email protected]

RESUMONeste trabalho so utilizadas tcnicas de processamento paralelo para estudo de

viabilizao da tcnica de programao dinmica estocstica utilizando algoritmo de fechosconvexos aplicada ao planejamento da operao de mdio prazo. As usinas hidreltricasrepresentadas so agrupadas em reservatrios equivalentes de energia e as funes de custofuturo modeladas por aproximao linear. Para validao da metodologia o estudo proposto realizado utilizando os dados do sistema eltrico brasileiro.

KEYWORDS. Planejamento de Sistemas Hidrotrmicos. Programao Dinmica

Estocstica. Programao Paralela. Pesquisa Operacional em Energia Eltrica.ABSTRACT

This paper uses parallel processing techniques to study the viability of the stochasticdynamic programming using convex hull algorithm applied to long term electrical systemoperation planning. The hydroelectric plants are grouped into energy equivalent reservoirs andthe expected cost functions are modeled by a piecewise linear approximation. To validate themethodology the proposed study uses data from the brazilian electrical power system.

KEYWORDS. Hydrothermal System Planning. Stochastic Dynamic Programming. ParallelProgramming. Operations research applied to Electrical Energy.

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1. IntroduoO planejamento da operao de sistemas eltricos tem por objetivo a determinao do

montante de produo de energia por cada unidade geradora que minimize o valor esperado docusto total de operao do sistema no horizonte considerado, mantendo um nvel pr-determinadode confiabilidade (Fortunato, 1990).

Na operao de sistemas hidrotrmicos, como o Sistema Eltrico Brasileiro (SEB), oobjetivo usar, sempre que possvel, a gerao de origem hidreltrica, usando as demais fontescomo gerao complementar a fim de agregar maior confiabilidade ao sistema.

O planejamento da operao do SEB dividido de acordo com o horizonte de estudoque vai do despacho hidrotrmico at o planejamento de mdio prazo. No despacho hidrotrmicoo sistema representado de forma detalhada, j que as restries de operao dos reservatriosso conhecidas e as incertezas com relao s afluncias so muito baixas. medida que ohorizonte se distancia do despacho horrio, a incerteza com relao s afluncias aumenta,tornando o problema mais complexo do ponto de vista estatstico. Por outro lado, as restrieshorrias perdem importncia em horizontes maiores, e a representao fsica do sistema pode ser

simplificada (Maceira, 2002; Silva, 2001).O presente trabalho apresenta como foco o planejamento de mdio prazo, cujohorizonte varia de um a cinco anos, com elevadas incertezas, tais como, variao da carga eafluncias aos reservatrios ao longo do horizonte. Por outro lado, possibilita uma modelagem dosistema com menor nvel de detalhamento.

Desta forma, o planejamento da operao de mdio prazo tem como caractersticas:

Estocasticidade: relacionada com a incerteza em relao s afluncias futuras,que se tornam mais significativas quanto maior for o horizonte doplanejamento;

Acoplamento espacial: a construo de usinas em cascata, ou seja, no leito deum mesmo rio, visando um maior aproveitamento da energia, faz com que aoperao de uma usina a montante interfira na operao das usinas a jusante(Grygier, 1985; Ni, 1999; Terry, 1986);

Acoplamento temporal: a deciso da utilizao dos recursos hdricos em umms pode ocasionar efeitos indesejados nos meses subseqentes, tais como ono suprimento da carga (dficit) ou mesmo o vertimento de gua dosreservatrios, que representa um desperdcio de energia (Silva, 2001).

O planejamento de mdio prazo do SEB era realizado, na dcada de oitenta, utilizandoa Programao Dinmica Estocstica PDE (Terry, 1986). Porm, a ampliao do sistema detransmisso e conseqente possibilidade de intercmbio entre os subsistemas energticos resultouem um aumento no nmero de combinaes de estados operativos, tornando a metodologiainvivel computacionalmente (Kligerman, 1992).

Para contornar o problema, foi ento proposta a metodologia da Programao DinmicaDual Estocstica PDDE (Pereira, 1989; Pereira, 1985). Esta metodologia utiliza a tcnica deDecomposio de Benders (Benders, 1962), que possibilita que as afluncias sejam tratadas apartir de modelos de sries temporais, tais como o modelo auto-regressivo peridico (Maceira,2004; Hipel, 1994; Mondal, 2006). Adicionalmente, as usinas do Sistema Interligado Nacional(SIN) so agregadas em quatro reservatrios equivalentes de energia a fim de reduzir o nmerode combinaes de estados, reduzindo assim a dimenso do problema (Arvanitidis, 1970;Zambelli, 2006).

Esta modelagem utilizada at hoje, e est implementada nos modelos DECOMP eNEWAVE (Maceira, 2002), desenvolvidos pelo CEPEL, os quais so os modelos oficiais dosetor eltrico brasileiro para o planejamento da operao de curto e mdio prazo respectivamente.

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Com a evoluo tecnolgica dos hardwares e softwares dos sistemas computacionais,observada ao longo dos ltimos anos, propostas de voltar-se a utilizar a tcnica de ProgramaoDinmica Estocstica (PDE) tm sido consideradas, a exemplo de Cervellera (2006), queapresenta um modelo de discretizao eficiente, bem como a utilizao de Redes Neurais

Artificiais na resoluo do problema.Silva e Finardi (2003) utilizam tcnicas de processamento paralelo para a soluo do

problema de planejamento hidrotrmico, porm atravs de Programao Dinmica DualEstocstica (PDDE). Outros exemplos de aplicao de processamento paralelo utilizado noplanejamento da expanso e operao de sistemas hidrotrmicos, baseados na mesmametodologia podem ser vistos em Pinto (2006) e Pinto (2007).

O presente trabalho consiste em, inicialmente, modelar as Funes de Custo Futuro(FCFs) dos estgios do problema de planejamento energtico de mdio prazo utilizandoaproximao linear por partes. Neste caso prope-se a utilizao do algoritmo de fechosconvexos e programao dinmica estocstica (Dias et al, 2010). Para reduzir o tempocomputacional devido ao elevado nmero de combinaes do espao de estados, o presentetrabalho analisa a utilizao de mltiplos processadores na soluo do problema do planejamentoenergtico do Sistema Eltrico Brasileiro.2. Programao Dinmica Estocsctica

A Programao Dinmica (PD) consiste em um processo seqencial de tomada dedecises, onde uma deciso tima global pode ser obtida atravs da otimizao de subproblemas(ou timos locais) individuais (Bellman, 1957). No problema do planejamento energtico tem-sea subdiviso do problema em estgios, sendo que a deciso tima atual est ligada a um conjuntode acontecimentos futuros. O problema resolvido em sentido contrrio, ou seja, tomando comoincio o ltimo estgio de deciso e realizando a recurso no tempo, onde em cada estgio soconsideradas as decises do estgio em anlise e as conseqncias futuras (Silva, 2001).

O planejamento da operao de sistemas hidrotrmicos , por natureza, um problemaestocstico, uma vez que as afluncias futuras so incertas. Considerando o vetor de estados Xt,

contendo os dados de volume inicial referentes a cada usina hidreltrica no estgio tem estudo, aProgramao Dinmica Estocstica (PDE) pode ser descrita tendo como base a seguinte equaorecursiva (Silva, 2001):

( ) ( ) ( )1 1 1X E Min C U Xt t t t t t Uy X tt t

= + + +

(1)

Sujeito a:

t t t t gt gh def D+ + = (2)

1t t t t t x x y u s+ = + (3)

11 1 tt tx x x ++ + (4)

ttu u (5)

.t tgh u= (6)

Onde:T Nmero de estgios do problema;t(Xt) custo total esperado de operao do estado Xt;

t+1 custo futuro ($);Eyt|Xt valor esperado do custo total de operao considerando aspossveis afluncias no estgio t, e condicionadas ao estadoXt;

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Xt vetor de estados no estgio t;Ut vetor de decises no estgio t;Ct(Ut) custo operativo associado a deciso Ut; taxa de desconto;

gtt gerao trmica (MW);ght gerao hdrica (MW);

Deft dficit (MW);Dt demanda total (MW);xt volume inicial do reservatrio no estgio t(hm

3);xt+1 volume no final do estgio t (hm

3);yt afluncia ao reservatrio durante o estgio t (hm

3/ms);ut vazo turbinada no estgio t (hm

3/ms);

tu vazo turbinada mxima (hm3/ms);

Produtibilidade da usina hidreltrica (MW/hm3);st vazo vertida no estgio t (hm

3/ms);

1tx + volume mximo do reservatrio (hm3);

1tx + volume mnimo do reservatrio (hm3).

Na equao (1), Ct(Ut)representa o custo imediato vinculado deciso Ut, uma vez queo estadoXt+1 a conseqncia da deciso operativa Ut. Considera-se queUt dado pelos vetorescorrespondentes aos volumes armazenados no final do estgio, volumes turbinados e vertidos dasusinas hidreltricas, montante gerado nas usinas trmicas e dficit de energia. A funo de custode operao pode ser definida como a associao do custo em um determinado estado Xtao custofuturo associado ao estadoXt+1.

As equaes (2) a (5) representam as restries do problema, sendo a equao (2)representa a restrio de atendimento demanda, onde o montante de gerao hdrica e trmica

deve suprir a demanda solicitada pelo sistema. Estes valores esto representados em MW-mdios(MW).

Na equao (3) tem-se a restrio de balano hdrico, onde o volume armazenado nofinal de um estgio, xt+1, igual ao volume armazenado no incio deste estgio, xt, somado afluncia ao sistema durante o estgio,yt, subtrado do montante de gua utilizado na gerao ut,e do total vertido st.

As equaes (4) e (5) representam, respectivamente, os limites mximos e mnimos dosreservatrios e os volumes mximos turbinveis. A equao (6) representa a gerao hidrulicaem funo da produtibilidade equivalente da usina e do volume turbinado.

Esse problema pode ser resolvido naturalmente por PD discretizando as variveis deestado e enumerando todas as combinaes destas variveis. A desvantagem consiste no elevado

nmero de combinaes reforando a necessidade de novos procedimentos.3. Fechos ConvexosOs algoritmos da classe Convex Hull (CH) apresentam, a partir de um conjunto de

pontos fornecidos, o menor polgono convexo que contm os pontos dados (Cormen, 2001),conhecido como fecho convexo.

Um conjunto C considerado convexo se para quaisquer pontos ,x y C , qualquercombinao convexa de x e y tambm pertena a C, ou seja,

(1 ) | , [0,1]x y C x y C e + (7)

Existem diversos algoritmos para a obteno dos CHs, dentre eles, o algoritmo deGraham, o algoritmo de Jarvis e o algoritmo QuickHull, sendo este ltimo utilizado nodesenvolvimento do presente trabalho (Qhull, 2009; Barber, 1996).

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No presente trabalho, dados os pontos correspondentes soluo tima de cada um dosestados dos problemas de coordenao hidrotrmica, o algoritmo indica o conjunto dehiperplanos que correspondem a um fecho convexo, que so utilizados como uma aproximaolinear das funes de custo futuro para cada estgio do problema.

Os passos do algoritmo de soluo so mostrados na Figura 1.

Figura 1: Algoritmo da obteno das funes de custo futuro utilizando fechos convexos

Observa-se que, seguindo a tcnica de programao dinmica, inicia-se pelo ltimoestgio (t = T). No Bloco 1 so obtidos os custos operacionais mdios para cada estado operativo,atravs da soluo de problemas de programao linear. O conjunto de pontos que relacionam oarmazenamento do reservatrio com o custo de operao obtido anteriormente fornecido aoalgoritmo QuickHull, obtendo o conjunto reduzido de planos que compem o fecho convexo.

Estes planos so utilizados para a modelagem da Funo de Custo Futuro (FCF). Esteprocedimento mostrado no Bloco 2. No Bloco 3 h um decremento no nmero do estgio. AsFCFs obtidas entram como restrio na anlise do prximo estgio, sendo este procedimentorepetido at que se atinja o primeiro estgio. O critrio de parada est representado atravs doBloco 4.

4. Processamento ParaleloA crescente demanda de aplicaes que necessitam um elevado esforo computacional,

o que em geral leva a um tempo de execuo que torna invivel a sua execuo, incentivou odesenvolvimento de tcnicas e softwares que permitem a distribuio de processos oucomputao paralela de partes do cdigo.

Uma caracterstica importante da Programao Dinmica Estocstica est no fato do

clculo do custo timo de cada estado operativo de um estgio poder ser realizado de formaindependente dos outros estados do mesmo estgio, o que possibilita a paralelizao destesprocessos.

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2010), simulada utilizando o processamento paralelo e aplicada ao sistema eltrico brasileiro.Inicialmente realizado o planejamento apenas para dois subsistemas: Sul e Sudeste/Centro-Oeste. A seguir, apresenta-se o estudo de caso para o sistema completo, utilizando os quatrosubsistemas: Sul, Sudeste/Centro-Oeste, Norte e Nordeste. O sistema computacional utilizado foi

desenvolvido em C++.5.1 Estudo de caso 1: dois subsistemas

Para avaliao do modelo proposto, utilizou-se o PMO de Janeiro de 2009 modificado,contendo os dados dos sistemas Sudeste/Centro-Oeste e Sul.

Simulou-se o problema com 11 discretizaes de armazenamento para os sistemasequivalentes e 72 cenrios de afluncia da srie histrica, com 60 estgios (5 anos) de estudo paraa anlise. A srie histrica corresponde ao registro temporal das afluncias aos reservatrios dasusinas, que atualmente compreende 76 anos em discretizaes mensais. Como o perodo deestudo considerado de 5 anos, pode-se obter 72 cenrios distintos de 5 anos percorrendo-se oregistro do incio ao fim.

Neste trabalho no foi considerado perodo de ps-estudo nesta anlise. O ps-estudo

consiste em aumentar o horizonte na fase de modelagem dos planos de corte (fasebackward),para evitar que os reservatrios sejam completamente deplecionados no final do horizonte deestudo (nos estudos do SEB so geralmente considerados 5 anos para o ps-estudo). A escolhados parmetros foi feita com base em estudos prvios, conforme mostrado em Dias (2010).

Na Figura 3 pode-se observar o conjunto de planos que modelam a funo de custofuturo, obtidos na PDE, no ltimo estgio do problema (estgio 60). Adicionalmente, na Figura 4e na Figura 5 so mostradas as FCFs aproximadas para os estgios 59 e 2, respectivamente.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

x 105

00.5

11.5

22.5

x 104

0

2

4

6

8

10

12

x 105

Arm. S (MWms

Funo de Custo Futuro

Arm. SE (MWms

Custo(R$)

Figura 3: Funo de custo futuro obtida no ltimo estgio

0

0.5

1

1.5

2

2.5

x 105

00.5

11.5

22.5

x 104

0

1

2

3

4

5

6

x 106

Arm. S (MWms


Arm. SE (MWms

Custo(R$)

Figura 4: Funo de custo futuro obtida no estgio 59

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0

0.5

1

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2

x 105

00.5

11.5

2

x 104

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x 107

Arm. S (MWms


Arm. SE (MWms

Custo(R$)

Figura 5: Funo de custo futuro obtida no estgio 2

O custo operativo total calculado por meio de uma simulao da operao realizada

do primeiro ao ltimo estgio (fase forward) que, neste exemplo, considerou um cenrio mdiode afluncias.

O computador utilizado foi um Intel Core 2 Quad de 2.66 GHz, com 4 Gb de memriaRAM. Inicialmente a simulao foi realizada em um nico processador. O tempo computacionalfoi de aproximadamente 210 segundos. Observa-se o nmero total de Problemas Lineares (PLs)a ser resolvido para esta modelagem, equivale a:

( )NC E D (10)

Onde:D nmero de discretizaes;N nmero de reservatrios;E nmero de estgios;C nmero de cenrios;

Desta forma, o nmero total de PLs de

( )272 60 11 522.720 =

Na Figura 6 observa-se o montante de gerao hdrica e trmica em relao ao mercadototal de energia para os 5 anos de estudo (2009 a 2013).

Figura 6: Gerao hidrulica e trmica do caso em estudo

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Observa-se ainda, na Figura 7, o armazenamento dos reservatrios equivalentes aolongo do horizonte de estudo considerado. Uma anlise destes grficos mostra que ao final dohorizonte os reservatrios do Sudeste encontram-se totalmente deplecionados, o que esperado,j que com o fim do horizonte o custo futuro associado a qualquer nvel de armazenamento

nulo. Assim, qualquer gua armazenada no reservatrio ao final do horizonte implica emdesperdcio de recursos. No Sul, apesar de haver um esvaziamento dos reservatrios nos doisltimos anos, observa-se ainda gua armazenada. Isto ocorre devido ao seu comportamento muitoirregular, devido a sries com altas afluncias nos ltimos meses, o que impossibilitou o uso detoda a gua para gerao de energia, mesmo havendo uma tendncia de usar toda a gua nosltimos estgios.

Figura 7: Grfico de armazenamento dos Subsistemas.

b) Simulao utilizando processamento paralelo

Simulou-se ainda o mesmo sistema, utilizando, porm diferente nmero deprocessadores a cada simulao. Tendo em vista a disponibilidade de um micro Quad Core,contabilizou-se, alm do tempo seqencial, o tempo gasto com 2, 3 e 4 processadores. O tempocomputacional total do programa em funo do nmero de processadores utilizados mostradona Tabela 1.

Tabela 1: Tempo gasto com nmero de processadores.

Nmero de

processadores

Tempo total

(s)1 210,22 111,63 77,34 62,8

A partir dos tempos totais obtidos e dos tempos das partes paralelizada e seqencial docdigo em anlise, pode-se calcular o fator de acelerao e eficincia, mostrados nas Figuras 8 e9.

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0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Nmero de Processadores

Speedup

Grfico de Speedup

Speedup

Speedup Linear

Figura 8: Fator de acelerao do algoritmo paralelo.

2 3 40

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

rocess dores

E

c

a

)

Grfico de Eficincia

Figura 9: Eficincia do algoritmo paralelo.

Observa-se que o algoritmo paralelo apresenta uma eficincia superior a 80% paraquatro processadores, alm de um fator de acelerao significativo, sendo necessrio, porm, omesmo estudo com um nmero maior de processadores.

5.2 Estudo de caso 2: Sistema Eltrico Brasileiro 4 subsistemasA simulao anterior foi ampliada para o SEB completo, utilizando para isto 4

reservatrios equivalentes de energia, representando os subsistemas sul, Sudeste/Centro-oeste,Norte e Nordeste. Simulou-se para apenas trs cenrios de afluncia, utilizando sries de baixa,mdia e alta afluncias, quando considerada a mdia de afluncia anual.

O tempo computacional total, utilizando 4 processadores foi de aproximadamente 30horas. Para a simulao final foi escolhido o pior cenrio. O grfico de gerao total hdrica etrmica observado na Figura 10.

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Figura 10: Gerao hidrulica e trmica do SEB.

Ressalta-se que o problema completo ainda demanda um alto tempo computacional,motivo da utilizao de apenas trs cenrios de afluncias.

6. Concluso e Trabalhos Futuros

Neste trabalho foram realizados testes de utilizao da PDE com modelagem dasfunes de custo futuro utilizando algoritmo de fechos convexos para o Sistema EltricoBrasileiro completo.

O sistema computacional desenvolvido apresentou resultado relevante quando utilizadopara resoluo do problema de planejamento energtico considerando dois subsistemas.

Considerando quatro subsistemas, o tempo computacional ainda se apresenta muitoelevado. Para viabilizar a utilizao da metodologia proposta para o SEB representado por quatrosubsistemas em um tempo satisfatrio, utilizando os 72 cenrios da srie histrica de afluncias.O presente trabalho deve ser estendido para um nmero maior de processadores. Para tanto,pode-se utilizar um cluster com maior nmero de processadores. Adicionalmente deve seranalisada a possibilidade de paralelizao de outros trechos do cdigo, tal como o algoritmo defechos convexos.

Adicionalmente, para reduo do esforo computacional prope-se a utilizao detcnicas de amostragem eficiente do espao de estados, excluindo os estados operativos que noso atingidos em estgios especficos.Agradecimentos

O presente trabalho foi realizado com o apoio do Conselho Nacional deDesenvolvimento Cientfico e Tecnolgico CNPq - Brasil.Referncias

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