Programação DinâmicaSegmento de Soma Máxima

Gabriel RamalhoTúlio Lemes

Vinicius Rodrigues

1.1 Definição do Problema: Dado a necessidade de obtermos o segmento de um vetor com a maior soma possível, se faz necessária a utilização de algoritmos.

Podemos tomar como exemplo eventos da vida real:

● Bioinformática (produzir melhor alinhamento entre sequências de DNA, RNA ou proteínas, e determinar sua similaridade através de somas)

● Monitoramento de Áreas (calcular se é preciso mais sensores de monitoramento)

1. Motivação

Representar a soma dos elementos do segmento de soma máxima, com base no conjunto numérico determinado.

1.2 Descrição Informal:

Questão: Dado uma sequência de n números inteiros, encontre a maior soma de uma subsequência presente no conjunto.

Entrada: Um conjunto numérico.

Saída: Soma dos elementos do segmento de soma máxima encontrado.

1.3 Descrição Formal:

1.4 Exemplo:

1.4 Exemplo:

1.4 Exemplo:

1.4 Exemplo:

1.4 Exemplo:

1.4 Exemplo:

1.4 Exemplo:

1.4 Exemplo:

1.4 Exemplo:

1.4 Exemplo:

1.4 Exemplo:

1.4 Exemplo:

1.4 Exemplo:

Obs: Se a sequência de número não possuir números negativos, o segmento de soma máxima abrangerá todos elementos.

= 175 (segmento 0 até 7)

Obs2: Caso todos elementos da sequência sejam negativos, a soma será o valor de seu elemento menos negativo.

= -5 (segmento 1)

1.4 Exemplo:

2. AlgoritmoSOLIDEZ (A, p, r)

F[p] ← A[p]para q ← p + 1 até r faça

se F[q − 1] > 0então F[q] ← F[q−1] + A[q]senão F[q] ← A[q]

x ← F[p]para q ← p + 1 até r faça

se F[q] > x então x ← F[q]devolva x

3.1 Prova de Corretude:

SOLIDEZ (A, p, r)F[p] ← A[p]para q ← p + 1 até r faça

se F[q − 1] > 0então F[q] ← F[q−1] + A[q]senão F[q] ← A[q]

x ← F[p]para q ← p + 1 até r faça

se F[q] > x então x ← F[q]devolva x

3. Análise do Algoritmo

A cada iteração do loop, F[q − 1] e a firmeza de A[p...q−1]. Logo, pode-se afirmar que F[j] e a firmeza de A[p..j].

Sendo j = p, p+1,...,q−2, q−1 pode-se afirmar que o fato de F[j] ser firmeza de A[p..j] vale para j = p, p+1,..., r.

Em seu bloco final, o algoritmo percorre todo o vetor com as firmezas das subsequências registradas até então e retorna o maior valor entre elas.

3.2 Complexidade:

● A partir do loop do algoritmo podemos perceber que o tempo consumido é proporcional ao número de elementos n := r − p + 1 do vetor. Logo, o consumo de tempo do algoritmo está em:

Θ(n)

3. Análise do Algoritmo

4. Conclusão● Melhor técnica para resolver o problema.● Não é possível obter um algoritmo melhor.

Vantagens:● Algoritmo mais eficiente para a solução do problema● Menor gasto de processamento

Desvantagens:● Mais difícil de implementar● Maior gasto com memória

Bibliografia:● http://prezi.com/i1eoqtqpjgpk/problema-do-segmento-de-soma-maxima/● http://www.ime.usp.br/~cris/aulas/11_1_338/slides/aula5.pdf● http://www.ime.usp.br/~pf/livrinho-AA/AA-BOOKLET.pdf