Programação II Prof. Mateus Raeder Universidade do Vale do Rio dos Sinos - São Leopoldo -...

Programação II

Prof. Mateus Raeder

Universidade do Vale do Rio dos Sinos- São Leopoldo -

Transparências baseadas nos originais da profa. Renata Galante da II/UFRGS

Programação II – Prof. Mateus Raeder

Árvores Binárias de Pesquisa • Apresentam uma relação de ordem• A ordem é definida pela chave• Operações:

– inserir– consultar– excluir

500

300 800

150 400 900600


Problemas com ABPExemplo:

– Inserção: 10, 5, 15, 20, 25, 30, 35– Inserção: 1, 13, 24, 27, 56

10

5 15

20

25

30

35


Problemas com ABP• Desbalanceamento progressivo• Exemplo:

– inserção: 1, 13, 24, 27, 56

1

13

24

27

56

Solução:- Árvores AVL

(Árvores Balanceadas)


Balanceamento de Árvores• Distribuição equilibrada dos nós

– otimizar as operações de consulta– diminuir o número médio de comparações

• Distribuição– uniforme – não uniforme

• chaves mais solicitadas mais perto da raiz


Por Frequência• Por frequência de acesso

– Pressupõe distribuição não uniforme de acessos

500

800400

900600

550

50%

12% 25%

4% 5%

4%

Balanceamento por distribuiçãode acessos!


Árvores AVL

• Adelson-Velskii e Landis (1962)• Fator de um nó

– Fator = (altura_subarv_esq) – (altura_subarv_dir)


Árvores AVL• Relembrando:

– NÍVEL de um nó: número de nós entre ele e a raiz (contando ele próprio)

– ALTURA (ou Profundidade) da árvore: é o seu maior nível

A

B C

D E

F G

Nível 1

Nível 2

Nível 3

Nível 4

ALTURA = 4


Árvores AVL

• Adelson-Velskii e Landis (1962)• Fator de um nó

– Fator = (altura_subarv_esq) – (altura_subarv_dir)

Qual o fator dos nós da árvore ao lado?

A

B C

D E

G H

I J


Árvores AVL

• Uma árvore AVL é uma árvore binária de pesquisa (ABP) construída de tal modo que a altura de sua subárvore direita difere da altura da subárvore esquerda de no máximo 1– ou seja, o fator de nó deve ser -1, 0, 1.

• Também chamada de árvore balanceada.

A

B C

D E

G H

I J

+3

-2

0 -1

0 0

00Não é árvore AVL

0


Exercício:Verifique quais das ABP são AVL:

130

150100

20012080

110

120

130100

20011080

150


Exercício: RespostaVerifique quais das ABP são AVL:

130

150100

20012080

110

120

130100

20011080

150

+1

-1 -1

00

0 0

0 0 +1

-20

-1

AVLNão AVL

+1


ExercícioVerifique quais das ABP são AVL:

42

8815

63276 94

20 7157

42

8815

63276 94

42

8815

6327

20 7157


Exercício: RespostaVerifique quais das ABP são AVL:

42

8815

63276 94

20 7157

42

8815

63276 94

42

8815

6327

20 7157

0

0

0 0 0 0

0AVL: completamente

balanceada

000

0+1

-10

0 0

0 0 0

0

+1 -2

0

+2

AVL Não AVL

+1


• por exemplo: INSERÇÃO• deve ser preservada a propriedade AVL

Reestruturar a árvore

Operações


Operações• Como manter uma árvore AVL sempre

balanceada após uma inserção ou exclusão?– Através de uma operação de ROTAÇÃO

• Característica da operação– preserva a ordem das chaves– basta uma execução da operação de rotação

para tornar a árvore AVL novamente


AVLNodepublic class AvlNode {

protected int height; protected int key;

protected AvlNode left, right;

public AvlNode ( int theElement ) { this( theElement, null, null ); }

public AvlNode ( int theElement, AvlNode lt, AvlNode rt ) { key = theElement; left = lt; right = rt; height = 0; }

public int getHeight() {return height;

}

public void setHeight(int height) {this.height = height;

}


AVLNodepublic int getKey() {

return key;}

public void setKey(int key) {this.key = key;

}

public AvlNode getLeft() {return left;

}

public void setLeft(AvlNode left) {this.left = left;

}

public AvlNode getRight() {return right;

}

public void setRight(AvlNode right) {this.right = right;

}}


Rotação Dupla• à direita • à esquerda

Rotação Simples• à direita • à esquerda

Balanceamento de Árvore AVL com Rotação


Rotação Simples DIREITA

• Toda vez que uma subárvore fica com um fator:– positivo e sua subárvore da esquerda

também tem um fator positivo

ROTAÇÃO SIMPLES À DIREITA


Rotação Direita

120

110 150

100

80

130 200


120

110 150

100

80

130 200

+1

0

00

+2

+1

0

Rotação Direita


120

110 150

100

80

130 200

+1

0

00

+2

+1

0

Rotação Direita ?

Rotação Direita


120

110 Rotação Direita150

100

80

130 200

120

100 150

80 110 130 200

+1

+2

+1

0

0 0

0

0 0 0 0

00

0

Rotação Direita


Balanceamento de Árvore AVL com Rotação

k2

k1

x y

z

Nó k2 é a raiz de transformação

X, Y e Z são subárvores (vazias ou não)

Rotação Simples• à direita


Métodos auxiliares public class AvlTree { private AvlNode root = null; /** Retorna a altura da árvore */ private static int height ( AvlNode t ) { if(t == null)

return 0;return t.height;//return t == null ? 0 : t.height;

} /** Retorna o maior valor ente lhs e rhs. */ private static int max ( int lhs, int rhs ) {

if(lhs > rhs) return lhs;return rhs;//return lhs > rhs ? lhs : rhs;

} /** Retorna o fator de balanceamento da árvore com raiz t */ private int getFactor (AvlNode t) { return height( t.left ) - height( t.right ); }


k2

k1

x y

z

k1

k2

y z

x

Rotação Direita

Rotação Direita

private static AvlNode doRightRotation( AvlNode k2 ) { AvlNode k1 = k2.left; k2.left = k1.right; k1.right = k2; k2.height = max( height( k2.left ), height( k2.right ) ) + 1; k1.height = max( height( k1.left ), k2.height ) + 1; return k1;}


42

15 88

6 27

+1

00

0 0

Incluir 4

42

15 88

6 27

+2

0+1

+1 0

40

Rotação Direita


RotaçãoDireita

42

15 88

6 27

+2

0+1

+1 0

40

15

6 42

4 27

0

0+1

0 0880

Ajustado!Rotação Direita


Rotação Simples ESQUERDA• Toda vez que uma subárvore fica com

um fator:– negativo e sua subárvore da direita

também tem um fator negativo

ROTAÇÃO SIMPLES À ESQUERDA


120

100 130

150

200

80 110

-1

0

0 0

0

-2

-1

Rotação Simples ESQUERDA


120

100 130

150

200

80 110

Rotação Esquerda ?

-1

0

0 0

0

-2

-1



120

100 130

150

200

80 110

Rotação Esquerda

120

100 150

80 110 130 200



k2

k1

x y

z

k1

k2

y z

x

Rotação Esquerda



private static AvlNode doLeftRotation( AvlNode k1 ) { AvlNode k2 = k1.right; k1.right = k2.left; k2.left = k1; k1.height = max( height( k1.left ), height( k1.right ) ) + 1; k2.height = max( height( k2.right ), k1.height ) + 1; return k2;}


k2

k1

x y

z

k1

k2

y z

x

Rotação Esquerda


42

15 88

9467

-1

00

0 0

Incluir 90

42

15 88

9467

-2

-10

0 1

900



88

42 94

9067

0

+10

0 015042

15 88

9467

-2

-10

0 1

900

RotaçãoEsquerda

Ajustado!



Rotação Dupla à Direita• Toda vez que uma subárvore fica com

um fator:– positivo e sua subárvore da esquerda tem

um fator negativo

ROTAÇÃO DUPLA À DIREITA


120

110 150

80

100

130 200

+1

+2

-1

0

0 0

0

Rotação Dupla à Direita


120

110 150

80

100

130 200

Rotação DuplaDireita ?

+1

+2

-1

0

0 0

0



DIREITA

ESQUERDA

120

110 150

80

100

130 200

120

110 150

100

80

130 200

120

100 150

80 110 130 200



k3

k1

a

b

d

k2

k3

c d

Rotação Esquerda

k2

c

k1

a b

k3

k2

c

a

d

k1

b

RotaçãoDireita


1

2


Rotação DuplaDireita


k3

k1

a

b

d

k2

c

k2

k3

c d

k1

a b

private static AvlNode doDoubleRightRotation( AvlNode k3 ) { k3.left = doLeftRotation( k3.left ); return doRightRotation( k3 );}


42

15 88

276

+1

00

00

Incluir 34

42

15 88

276

+2

0-1

-10

34 0



42

15 88

276

+2

0-1

-10

34 0


0

PASSO 1Rotação Esquerda

42

27 88

3415

+2

0+1

+1

6

0




PASSO 2Rotação Direita

42

27 88

3415

+2

0+1

+1

0 6

0

27

15 42

34

0

0+1

06 0 880



Rotação Dupla ESQUERDA• Toda vez que uma subárvore fica com um

fator:– negativo e sua subárvore da direita tem um fator

positivo

ROTAÇÃO DUPLA À ESQUERDA


120

100 130

200

150

80 110

-1

-2

+1

0

00

0

Rotação Dupla ESQUERDA


120

100 130

200

150

80 110

Rotação Dupla

Esquerda ?-1

-2

+1

0

00

0



DIREITA

120

100 130

200

150

80 110

ESQUERDA

120

100 130

150

200

80 110

120

100 150

80 110 130 200



120

100 130

200

150

80 110

Rotação Dupla

Esquerda

120

100 150

80 110 130 200



k1

k3

d

b

a

k2

c

ROTAÇÃO DIREITA

k1

k2

b

c

a

k3

dk2

k3

c d

k1

a b

ROTAÇÃOESQUERDA



Rotação Dupla

Esquerda

k1

k3

d

b

a

k2

c

k2

k3

c d

k1

a b

private static AvlNode doDoubleLeftRotation (AvlNode k1) { k1.right = doRightRotation( k1.right ); return doLeftRotation( k1 );}



Resumo: Rotaçõesk2

k1

x y

z

k1

k2

y z

xRotação Direita

k2

k1

x y

z

k1

k2

y z

xRotação Esquerda

Rotação DuplaDireita k2

k3

c d

k1

a b

positivo e f. e. positivo

Rotação Dupla

Esquerda

k1

k3

d

b

a

k2

c

k2

k3

c d

k1

a b

negativo e f. d. negativo

positivo e f. e. negativo negativo e f. d. positivo

k3

k1

a

b

d

k2

c


Exemplos de Rotação (Esquerda e Direita)• Considere a árvore abaixo, no qual 12 está entre 9 e 15.

– Fazendo a rotação direita em 9, onde ficará 12? – Terminada a rotação a direita, tente agora a rotação a

esquerda em 15.

15

9 22

4 12

9

4 15

12 22

15

9 22

4 12

DIREITA ESQUERDA


Inserção em Árvores AVL220

120

80

100

300

150 260 400

110 130 200 250 270 350 500

Inserir 140


Inserção de nodos em árvores AVLAlguns Problemas

• Percorre-se a árvore verificando se a chave já existe ou não– Em caso positivo, encerra a tentativa de inserção– Caso contrário, a busca encontra o local correto de inserção do

novo nó• Verifica-se se a inclusão tornará a árvore desbalanceada

– Em caso negativo, o processo termina– Caso contrário, deve-se efetuar o balanceamento da árvore

• Descobre-se qual a operação de rotação a ser executada• Executa-se a rotação


Inserção em Árvore AVLprivate AvlNode insert (int x, AvlNode t) { if( t == null ) t = new AvlNode( x, null, null ); else if( x<t.key ) t.left = insert( x, t.left ); else if( x>t.key) t.right = insert( x, t.right ); if ( getFactor(t) == 2 ) { if (getFactor (t.left)>0) t = doRightRotation( t ); else t = doDoubleRightRotation( t ); } else if ( getFactor(t) == -2 ) { if ( getFactor(t.right)<0 ) t = doLeftRotation( t ); else t = doDoubleLeftRotation( t ); } t.height = max( height( t.left ), height( t.right ) ) + 1; return t;}


Inserção em Árvore AVL

public boolean insert (int x) { // se chave já existe na árvore retorna

false if (search (x)!=null) return false; // insere chave na árvore root = insert (x, root); return true; }


Remoção de nodos em árvores AVL

• Caso parecido com as inclusões.• No entanto, nem sempre se consegue solucionar

com uma única rotação...• Remover elemento e retornar do pai do nó

removido até a raiz, verificando se cada nó do caminho precisa ser balanceado


Remoção em Árvore AVL32

16

8

48

24 40 56

28 36 44 52 60

58 62

deletando 8

-1

-1

0

-1

-1

0

0 0

-1

0 0

0 0

0



16 48

24 40 56

28 36 44 52 60

58 62

faz balanceamento de nó pai de nó deletado

0

-1

-2

-1

-1

-1

0

00

000

0

rotação simples à esquerda



24 48

16 40 5628

36 44 52 60

58 62

volta recursivamente até a raiz, balanceando todos os nós que se encontrarem desbalanceados

00

0

0 0

0 0

00

-10

-1

-2rotação simples

à esquerda


Remoção em Árvore AVL

32

24

48

16

40

56

28 36 44

52 60

58 620 0

0

0 0

0

0

00

00

-1

0


Árvores AVL

• Applet que simula árvore AVL:http://webpages.ull.es/users/jriera/Docencia/AVL/AVL%20tree%20applet.

htm

http://webpages.ull.es/users/jriera/Docencia/AVL/AVL%20tree%20applet.htm



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