PROGRAMAÇÃO INTEIRA

27 de maio de 2014

PROGRAMAÇÃO INTEIRA

É um caso particular da Programação Linear em que todas as variáveis são restritas a valores inteiros.

Aplicações em problemas envolvendo número de itens, como televisores, automóveis, número de estágios...

1 2 3 4 500

1

2

3

4

5

x1

x2

Na resolução desses problemas, além da Função Objetivo e das restrições, são acrescentadas

Há problemas, no entanto, em que apenas algumas variáveis são restritas a valores inteiros. Nesse caso, as condições de

integralidades são acrescentadas apenas para estas.

Temos, então a Programação Linear com Inteiros

Max f = 3 x1 + 4 x2

s.a.: 2 x1 + x2 6 2 x1 + 3 x2 9 x1 ≥ 0 (inteiro) x2 ≥ 0 (inteiro)

Max f = 3 x1 + 4 x2

s.a.: 2 x1 + x2 6 2 x1 + 3 x2 9 x1 ≥ 0 (inteiro) x2 ≥ 0

Condições de Integralidade

No decorrer da resolução dos problemas de Programação Inteira, aparecem os seguintes tipos de soluções intermediárias:

As soluções não-inteiras são eliminadas passo-a-passo restando ao final a solução inteira ótima.

1. Aplicar o SIMPLEX ao problema original com as condições de integralidade relaxadas Se coincidir desta solução ser inteira, ela é a solução do problema.

2. Formular e resolver sucessivos problemas de Programação Linear. Em cada problema é acrescentada um nova restrição a uma variável não-inteira, convergindo-se, assim, para a solução inteira ótima.

- soluções inteiras: todas as variáveis exibem valores inteiros.

- soluções não-inteiras: pelo menos uma variável exibe um valor não-inteiro.

A estratégia de resolução consiste em:

Essa estratégia pode ser aplicada com o auxílio do Método de Branch-and-Bound, que consta de duas operações básicas: bifurcação (“branch”) e limitação (“bound”).

A bifurcação gera novos problemas restritos.

A limitação evita a resolução de problemas cujas soluções se mostram, antecipadamente, piores (economiza esforço computacional).

P xj

SP1

xj [xj*]

SP2

xj ≥ [xj*] + 1100

80

inteira

Guardada

70 não-inteiranão bifurcável

xj xj

Eliminação de Intervalo

Numa solução intermediária não-inteira, deve haver pelo menos uma variável xj cujo valor xj

* é não-inteiro.

Seja [xj*] a parte inteira de xj.

Então, a condição necessária para que xj seja inteiro éxj [xj

*] ou xj ≥ [xj*] + 1

Exemplo: x2* = 2,6

[x2*] = 2

Intervalo eliminado2 < x2 < 2 + 1

Ou seja: o intervalo [xj*] < xj < [xj

*] + 1 deve ser eliminado da busca

1 2 3 4 500

1

2

3

4

5

x1

x2

Eliminação de Intervalo: Bifurcação (“branch”)

e criam-se dois sub-problemas (bifurcação) com as devidas restrições:

Sub-problema 1: xj [ xj

* ]Sub-problema 2: xj ≥ [ xj* ] + 1

A solução de qualquer Sub-Problema é mais restrita do que a do Problema que a originou. Portanto, a sua solução é necessariamente pior do que a do Problema.

P xj

SP1

xj [xj*]

SP2

xj ≥ [xj*] + 1FP

FSP1 < FP FSP2 < FP

Ao dar continuidade à resolução, parte-se da solução intermediária não-inteira

Este fato não preocupa porque faz parte do caminho de busca de uma solução inteira.

Problema de Máximo

Heurística: havendo mais de uma variável com valor não-inteiro, deve-se selecionar, para bifurcação, aquela mais afastada do valor inteiro (mais próxima de 0,5).

LIMITAÇÃO (“Bound”)Ao se chegar a uma primeira solução inteira, esta não é necessariamente a ótima

porque outras soluções inteiras ainda podem ser encontradas no processo de bifurcação.

O valor (F) da Função Objetivo desta primeira solução inteira serve de limite (“bound”) para as soluções seguintes.

Em Problemas de Mínimo limite superior.Em Problemas de Máximo limite inferior.

Qualquer outra solução inteira posteriormente encontrada com um valor melhor do que F, deve ser adotada como solução ótima provisória. Se pior, deve ser descartada.

Qualquer solução não-inteira com um valor pior do que F, não deve ser bifurcada: as soluções bifurcadas são necessariamente piores.

xjxj

P xj

SP1

xj [xj*]

SP2

xj ≥ [xj*] + 1FP

FSP1 < FP

inteira

FSP2 < FSP1 não-inteiranão bifurcável

P xj

SP1

xj [xj*]

SP2

xj ≥ [xj*] + 1100

80

inteira

Guardada

70 não-inteiranão bifurcável

xj xj

ExemploProblema de Máximo

EXEMPLO

1

f = 12,75

x1 = 2,25x2 = 1,50

3f = 12,5x1 = 1,5x2 = 2

2f = 11,50x1 = 2,5x2 = 1

x2 2 x2 1

4f = 12,33

x1 = 1x2 = 2,33

x1 2 x1 1

7f = 12,00 x1 = 0x2 = 3

6f = 11,00x1 = 1x2 = 2

x2 3 x2 2

Max f = 3 x1 + 4 x2

s.a.: 2 x1 + x2 6 2 x1 + 3 x2 9 x1 ≥ 0 (inteiro) x2 ≥ 0 (inteiro)

1 2 3 4 500

1

2

3

4

5

x1

x2

5

inviável

inviávelProblema Relaxado

Duas soluções piores...

Não-inteira não-bifurcável: pior que a outra

SOLUÇÃO

PROGRAMAÇÃO 0 - 1

Caso particular da Programação Inteira em que as variáveis inteiras só podem assumir os valores 0 e 1.

É a parte da Programação Inteira de interesse na Engenharia de Processos.

5 6f= - 5 [1; 1; 0]

y3= 0 y3= 1

Min f = 2 x1 – 3 y1 – 2y2 – 3y3

s.a.: x1 + y1 + y2 + y3 ≥ 2 10 x1 + 5 y1 + 3 y2 + 4 y3 10 x1 ≥ 0 y1 , y2 , y3 = 0, 1

0f= -6,8 [0,6; 1; 1]

21 f= - 6,667f= -5 [0; 1; 1] [1; 0,333; 1]

y1 = 0

y1 = 1

3 4f= - 6,5 [1; 1; 0,5]

y2= 0

y1 = 1

f= -6 [1; 0; 1]

Inviável (pq?)

Na Engenharia de Processos, o problema central é a criação de um fluxograma de processo. Neste problema, há variáveis

inteiras e variáveis contínuas.

As variáveis inteiras binárias correspondem à presença (1) ou não (0) de um equipamento.

Temos, então, a Programação Linear Inteira Mista (PLIM)

“Mixed Integer Linear Programming” (MILP).

As variáveis contínuas correspondem às variáveis de processo (vazões, temperaturas, concentrações, dimensões).

e a Programação Não-Linear Inteira Mista (PNLIM)

“Mixed Integer Nonlinear Programming” (MINLP).

DE

DS

RT

RM

T

R

A

6.5.4 Resolução por Super-estruturas

DS

RM

R

A

A,B

P,A

P

A

(7)

Resolve-se um problema de programação não-linear com inteiros: geradas e analisadas diversas estruturas..

Escrevem-se os modelos dos equipamentos e conexões.

A cada equipamento é associada uma variável binária. Na solução: (1) equip. presente; (0) equip. ausente.