Programação Inteira/Otimização discreta

Exemplo

Deseja-se produzir dois diferentes produtos, Mesas e Cadeiras usando as peças

disponíveis (matéria-prima):

� 6 peças grandes

� 8 peças pequenas

� Especificação do produto:

� Mesa : 2 peças grandes

2 peças pequenas

� Cadeira : 1 peça grande

2 peças pequenas

Pendegraft, 1997

Objetivo Encontrar uma combinação de produtos (mesas e cadeiras) que dê o

maior lucro possível, considerando:

Preço de venda : Mesa $ 16

Cadeira $ 10

Modelagem do Problema

Max 16 m + 10 c

s.a 2 m + 2 c ≤ 8 (disp. Peças pequenas)

2 m + c ≤ 6 (disp. Peças grandes)

Variáveis: m – número de mesas

c – número de cadeiras

Solução Gráfica

cadeiras

mesas

Peças pequenas

Peças Grandes

4

4

3

6

Solução Ótima (c=2,m=2)

Soluções Viáveis

Solução Gráfica (motivação)E se tivéssemos disponíveis 9 peças pequenas, qual seria a melhor solução pelo método gráfico?

cadeiras

mesas

Peças pequenas

Peças Grandes

4.5

4.5

3

6

Solução Ótima (3 cadeiras e 1.5 mesas)

Soluções ViáveisNão é inteiro. Faz sentido???

Modelos de Programação Linear

� ZPL = Max cx + dy

� Sujeito a:

� Ax+Dy ≤ b

� x≥0 e y≥0

n

n

+

+

ℜ∈

ℜ∈

y

x

Problema da mistura, dieta, planejamento de projeto s, problema do transporte e outros.

Programação (Linear) Inteira

Mista (PIM)

� ZPIM = Max cx + dy

� Sujeito a:

� Ax+Dy ≤ b

� x≥0 e inteiro e y≥0

n

nZ

+

+

ℜ∈

∈

y

x

Problema de planejamento da produção e outros.

Problema de PI (programação

inteira)

� ZPI = Max cx + dy

� Sujeito a:

� Ax+Dy ≤ b

� x≥0 e inteiro e y≥0 e inteiro

n

n

Z

Z

+

+

∈

∈

y

x

Se X e Y assumir somente valores 0-1?

Problema de programação 0-1

(binária)

� Z = Max cx

� Sujeito a:

� Ax ≤ b

� x∈{0,1} ou x ∈B2

Problema da mochila, do caixeiro viajante, de local ização de facilidades e outros.

Problema de programação 0-1

(binária)Exemplo

})1,0{,}1,0{(

1086

..

32max

212

21

21

∈∈∈

≤+

+=

xxouBx

xx

as

xxZ

(0,1)}(1,0),{(0,0),X

FactívelRegião

=

Qual a solução ótima?

)inteiroe0(

554

4559

..

610max

221

21

21

≥∈

≤+−≤+

+=

+ i

PI

xouz

xx

xx

as

xxZ

x

Região Factível

)}0,5(),1,4(),0,4(),3,3(),2,3(

),1,3(),0,3(),2,2(),1,2(),0,2(

),1,1(),0,1(),1,0(),0,0{(=x

Qual a solução ótima? X=(5,0), ZPI=50

12

11

21

21

21

,

554

4559

..

610max

++ ∈ℜ∈

≤+−≤+

+=

Zxx

xx

xx

as

xxZPIM

Região Factível: Quatro segmentos de reta

}930

0),3,{(

}9

350),2,{(

}9

400),1,{(

}50),0,{(

114

113

112

111

≤≤=

≤≤=

≤≤=

≤≤=

xx

xx

xx

xx

x

x

x

x

Qual a solução ótima? X=(10/3,3), ZPIM=154/3 ≅51,33

12

11

21

21

21

,

554

4559

..

610max

++ ℜ∈ℜ∈

≤+−≤+

+=

xx

xx

xx

as

xxZPL

Qual a solução ótima? ZPL=670/13≅51,58

A solução relaxada pode estar bem distante da solução ótima

Mais que isso: em problemas grandes, pode ser difícil, por meio do arredondamento, obter uma solução factível

A relaxação tem um papel chave nos principais algoritmos de resolução de PI e PIM.

Idéia: ela fornece um limitante

•Em geral, não faz sentido resolver a relaxação linear e arredondar a solução ótima obtida. A solução arredondada pode nem sequer ser factível ou pode estar muito afastada da solução ótima.

•Há circunstâncias práticas em que o arredondamento pode fazer sentido, tendo-se a consciência de que está obtendo uma solução que pode não ser ótima (por exemplo, na prática será muito diferente x=1999.5 ou x=2000?).

•Um problema PI é muito mais difícil de resolver do que o PL(perdeu-se a convexidade do conjunto de soluções factíveis...).

Para PI não são conhecidas condições necessárias nem suficientes de otimalidade: dada uma solução factível, a única forma de determinar se ela é ótima ou não é demonstrar que não existe nenhuma solução factível com melhor valor.

Intervalo (gap) de integralidade (gráfico problema maximização)

* *RL PI

*PI

Z - Zrelativo =

Z

Soluções

factíveis

para o PI

Soluções

factíveis

para o RL

GAP