Tema I - Geometria no Plano e no Espaço II Subtema: Programação L inear

Ano Lectivo: 2010–2011 11.º Ano

PROBLEMA 1

Companhia “Terra Pura”

A Companhia “Terra Pura” utiliza restos de papel e restos de tecido para fazer dois tipos diferentes, A

e B, de papel reciclado.

Um fardo de papel reciclado do tipo A é feito com 40kg de restos de tecido e 50kg de restos de

papel enquanto que o do tipo B é feito com 10kg de restos de tecido e 100kg de restos de papel.

A Companhia dispõe de 110kg de restos de tecido e 400kg de restos de papel.

A manufactura de um fardo do papel do tipo A produz um lucro de 375 euros enquanto que o do

tipo B conduz a um lucro de 187,5 euros.

Que quantidade de papel de cada tipo se deve produzir de modo a maximizar o lucro?

PROBLEMA 2

A fábrica “Aperitosa”

A fábrica “Aperitosa” dispõe de 400kg de milho e 20kg de sal para fazer dois tipos de aperitivos.

Uma caixa de “Salmilho” é feita com 200g de milho e 50g de sal e uma caixa de “Sómilho” é feita

com 250g de puro milho. O lucro obtido em cada caixa de “Salmilho” é de 0,10 euros e em cada

caixa de “Sómilho” é de 0,075 euros.

Qual a quantidade de cada aperitivo que se pode fazer de modo a obter o máximo de lucro sem

exceder as quantidades disponíveis?

PROBLEMA 3

Sumos Maranga e Manguja

Uma empresa quer comercializar dois novos tipos de sumos. Um litro de sumo “Maranga” será feito

a partir de 3/4l de sumo puro de manga e 1/4l de sumo puro de maracujá e um litro de sumo

“Mangujá” será feito a partir de 1/2l de sumo puro de manga e 1/2l de sumo puro de maracujá.

Sabendo que estão disponíveis 55l de sumo puro de manga e 22l de sumo puro de maracujá e que

o lucro previsto por litro de “Maranga” é de 0,6 euros e de “Mangujá” é 0,8 euros, quantos litros

de sumo de cada tipo deve ser feito para obter o máximo de lucro?

PROBLEMA 4

O criador de porcos

Um criador de porcos pretende determinar as quantidades de cada tipo de ração que devem ser

dadas diariamente a cada animal de forma a conseguir uma certa qualidade nutritiva a um custo

mínimo.

Os dados relativos ao custo de cada tipo de ração, às quantidades mínimas diárias de ingredientes

nutritivos básicos a fornecer a cada animal e às quantidades existentes em cada tipo de ração (g/kg)

constam do seguinte quadro:

Dados técnico – económicos

Ração

Ingredientes nutritivos Granulado Farinha Quantidade mínima

requerida

Glícidos

Vitaminas

Proteínas

20 50

50 10

30 30

200

150

210

Custo (euros/Kg) 1,5 0,75

PROBLEMA 5

O Windsurf

Dois amigos fabricam pranchas de windsurf de dois tipos: de ondas e de regata. Para concluir uma

prancha de ondas são necessárias 2 horas para o fabrico e 1 hora para acabamentos, enquanto que

para uma prancha de regata são gastas 1 hora no fabrico e 2 horas nos acabamentos.

Semanalmente os dois amigos podem dedicar 40horas ao fabrico das pranchas e 50 horas ao

acabamento. O lucro obtido com a venda de uma prancha de ondas é de 100 euros e com a venda

de uma prancha de regata é de 60 euros.

Quantas pranchas de cada tipo se devem fazer por semana para maximizar os seus lucros?

PROBLEMA 6

A Fábrica de Cerâmica

O pai do António tem uma fábrica de cerâmica que produz jarras e pratos. Cada jarra demora 3

horas na linha de fabrico e 1 hora na de acabamentos. Cada prato demora 2 horas na linha de

fabrico e 2 horas na linha de acabamentos A fábrica dispõe de, no máximo, 480 horas por dia para o

fabrico e, no máximo, 300 horas por dia para os acabamentos.

O lucro na produção de uma jarra é de 30 euros e de um prato é de 50 euros. Quantos objectos de

cada tipo deve produzir, por dia, o pai do António, de modo a obter o lucro máximo? Qual o valor do

lucro?

PROBLEMA 7

A Docemania

A Docemania tem em armazém 130 kg de bombons de cereja coberta de chocolate e 170 kg de

bombons de chocolate de recheio de baunilha e decide vender estes produtos sob a forma de 2

misturas embaladas convenientemente:

!numa das misturas, juntar-se-ão bombons das duas qualidades em partes iguais e

pretende vender-se este produto a 7.5 euros o quilo;

!na outra mistura, juntar-se-ão um terço de bombons cereja com dois terços de bombons

de baunilha e pôr-se-á este produto à venda a 6 euros o quilo.

Quantos quilos de cada mistura deverão a Docemania pôr à venda de modo a obter o lucro máximo?

Qual o total facturado?

PROBLEMA 8

Desportos radicais

O João com o dinheiro que juntou no aniversário, pretende inscrever-se num curso de desportos

radicais. O curso é composto por sessões de rappel e de mergulho. Cada hora de rappel custa

15 euros e cada hora de mergulho 30 euros. Os cursos têm a duração de 25 a 35 horas. Sabendo

que o João quer gastar o mínimo possível, quantas horas de cada modalidade deve escolher?

Como deverá fazer a sua escolha se, em cada curso, tiver de frequentar pelos menos 10 horas de

cada actividade?

PROBLEMA 9

A Oficina de Cerâmica

Uma pequena fábrica de artesanato produz vasos e potes. Cada vaso demora 2 horas a moldar e 4

horas a pintar. Cada pote demora 3 horas a moldar e 2 horas a pintar. Na fábrica há 2 oleiros e 3

pintores e todos eles trabalham 40 horas por semana.

1) Escreve um sistema de inequações que traduza as condições do problema para o

número de objectos a produzir numa semana de trabalho.

2) Representa graficamente as condições da alínea anterior, e obtém o polígono de

soluções. Indica três soluções para o número de objectos de cada tipo a ser produzido

numa semana.

3) Cada pote dá um lucro de 100 euros e cada vaso um lucro de 150 euros. Qual é o

número de objectos de cada tipo que deve ser fabricado semanalmente de modo a

maximizar o lucro?

4) Se cada pote der um lucro de 100 euros e cada vaso um lucro de 200 euros, o número

de objectos que deve ser fabricado semanalmente é o mesmo? Porquê?

PROBLEMA 10

O intermediário

Um intermediário de bugigangas compra bonecos de peluche e bolas de futebol no Norte para

vender em pequenas lojas da região de Lisboa.

Cada saco de bonecos de peluche custa 50 euros e cada saco de bolas 30 euros.

O comerciante dispõe de 600 euros par investir e tem espaço na carrinha para apenas 14 sacos.

Quantos sacos deve comprar de cada tipo para obter o lucro máximo, sabendo que ganha, em cada

saco, 20% do preço de custo?

PROBLEMA 11

Viagem de Finalistas

Para angariarem fundos para a viagem de finalistas, os alunos de uma turma do 11º ano,

conseguiram a oferta de 20 calções e 60 bonés e decidiram fazer com eles dois tipos de lotes:

LOTE A: 1 par de calções e 1 boné.

LOTE B: I par de calções e 5 bonés

Cada lote do tipo A vai ser vendido a 40 euros e cada um do tipo B a 60 euros.

1) Qual deverá ser o número de lotes de cada tipo que se deve fazer de modo a maximizar o

lucro?

2) E se os lotes fossem vendidos ao preço único de 40 euros como se deveria proceder para

obter o lucro máximo? E se o lote do tipo A fosse vendido a 50 euros e do tipo B a 20?