Programação Linear Ellen

8/18/2019 Programação Linear Ellen

1/13

2.0 Programações Lineares

A programação linear, no campo da programação matemática, é uma área dapesquisa operacional com vasta aplicação em apoio à decisão. O termo“programação”, tanto linear quanto matemática, não tem a ver diretamente com

programação de computadores, ou linguagem de programação. Este termo temorigem em suas aplicações, originalmente desenvolvido para resolver prolemas industriais. Assim, o termo “programação” da programação linear está relacionado ao planejamento de recursos escassos visando atender ascondições operacionais. Estas, por sua ve!, são representadas por equações e"unções lineares. A aplicação da programação linear em apoio à decisão ocorre na condiçãoque se decide para atingir um objetivo. Este, por sua ve!, é resultante daalocação #tima dos recursos. $or isso caracteri!amos a programação linear como uma técnica de otimi!ação. %o prolema de otimi!ação em siderurgia,por e&emplo, uscamos determinar a alocação #tima dos recursos de produçãode "orma a atender as limitações de capacidades de cada usina e ma&imi!ar olucro resultante. 'anto a "unção de ma&imi!ar o lucro quanto as restrições decapacidade de cada planta são representados por "unções lineares. %estee&emplo, o tomador de decisão pode escol(er diversas cominações dealocação de seus produtos, no entanto apenas uma cominação é a maislucrativa. Esta e a cominação #tima que ma&imi!a o lucro, uma "unção linear,do prolema de programação linear.

$rogramação linear) equações e "unções são lineares

Emora originalmente o tempo “programação” de programação linear não tema ver diretamente com programação de computadores, os prolemas reais nãopodem ser resolvidos manualmente, dada a dimensão de prolemas reais.*om a evolução da tecnologia de (ard+are e so"t+are, os algoritmos deprogramação linear são implementados em uma linguagem computacional paraviaili!ar a resolução de prolemas reais em menor tempo. A programaçãolinear, dessa "orma, teve seu desenvolvimento unto com o desenvolvimentodos computadores, a partir da década de quarenta. A programação linear é uma das técnicas mais usadas dentre outras grandesáreas da pesquisa operacional, como simulação, teoria de "ilas, programaçãodin-mica, teoria dos ogos. O prolema de programação linear "oi inventadopelo matemático usso /. 0antorovic( em 1232. /. 0antorovic( e '.0oopmans gan(aram o pr4mio %oel por suas contriuições à teoria de

http://www.widwor.com/2011/02/como-funciona-otimizacao-para.htmlhttp://www.widwor.com/2011/02/como-funciona-otimizacao-para.htmlhttp://www.widwor.com/2011/02/como-funciona-otimizacao-para.htmlhttp://www.widwor.com/2012/08/o-que-e-programacao-linear.htmlhttp://www.widwor.com/2011/02/como-funciona-otimizacao-para.htmlhttp://www.widwor.com/2011/02/como-funciona-otimizacao-para.htmlhttp://www.widwor.com/2012/08/o-que-e-programacao-linear.htmlhttp://www.widwor.com/2011/02/como-funciona-otimizacao-para.html


2/13

alocação #tima de recursos. %o entanto, o algoritmo mais utili!ado pararesolver prolemas de programação linear é o simple& e suas variações 5primalsimple&, dual simple&, simple& revisado6 "ormali!ados por 7eorge 8ant!ig em129: enquanto traal(ava no proeto de computação cient;"ica deotimi!ação ma empresa "arica mesas e cadeiras. O quadro aai&o mostra os recursos consumidos

por unidade de cada produto e os seus lucros.Buantas mesas e cadeiras podem ser

"aricados para se ma&imi!ar o lucro@

>nidades %ecessárias

ecurso Cesa *adeira Buantidade 8ispon;vel

Cadeira 3D D 31D

Cetal F 1D 113

/ucro G H ?

A nossa "unção oetivo é o total de lucro da venda de mesas 5C6 e cadeiras 5*6.

Bueremos descorir qual o valor má&imo poss;vel de lucro que podemos oter. /ogo,

nossa "unção oetivo é)

Cá& 5=unção?Oetivo6

Agora precisamos analisar as restrições. 'emos uma quantidade má&ima de madeira

dispon;vel 531D6 e cada mesa e cada cadeira gastam uma certa quantidade deste material

53D e D6. /ogo, temos uma restrição) 5estrição 16

8a mesma "orma, e&iste uma quantidade limitada de metais, o que nos dá a segunda

restrição)

5estrição 6

Além disso, saemos que não podemos "aricar uma quantidade negativa de cadeiras ou

mesas)

"#$


3/13

1->m vendedor amulante sae preparar pastéis e cac(orros?quentes. >mcac(orro?quente custa o doro do preço de um pastel. Ele nunca consegue vendermais do que tr4s pastéis e mais do que quatro cac(orros?quentes em um mesmodia. >m pastel vem com uma pitada de mostarda e um cac(orro?quente com duaspitadas. Ele s# tem dispon;veis nove pitadas de mostarda para gastar em um Inico

dia. Buantos pastéis e cac(orros?quentes ele deve produ!ir em um Inico dia parater o má&imo poss;vel de lucro@ esolva construindo um modelo de programaçãolinear.espostas dos E&erc;cios

A "unção?oetivo é)

Cá& 5$J$astel, *J*ac(orro?Buente, KJlucro6

As restrições são)

O grá"ico do 8om;nio é)

O pol;gono mais escuro que representa os pontos que atendem à todas

as restrições possui como vértices os pontos 5D,D6, 53,D6, 53,36, 51,96 e

5D,96. O lucro em 5D,D6 é LD, em 53,D6 é L3, em 53,36 é L2, em 51,96 é L2 e

em 5D,96 é LH. %este e&emplo, não e&iste apenas um Inico ponto que

representa o má&imo da "unção ? e&istem in"initos pontos. 'odos aqueles

que pertencem ao 8om;nio e estão na reta que liga 53,36 e 51,96 são o

má&imo da "unção e representam a quantidade ideal de produção de

pastéis e cac(orros?quentes para o vendedor amulante. *omo o

vendedor amulante não pode "a!er um nImero "racionário de pastéis e

cac(orros, quentes, a resposta é) 3 pastéis e 3 cac(orros?quentes ou

então 1 pastel e 9 cac(orros?quentes.


4/13

2.2-%&cnicas de solução para modelos de programação linear com duas

vari'veis de decisão- m&todo gr'ico.

2.2.1-(onceito

A programação linear, no campo da programação matemática, é umaárea da pesquisa operacional com vasta aplicação em apoio à decisão. Otermo “programação”, tanto linear quanto matemática, não tem a ver diretamente com programação de computadores, ou linguagem deprogramação. Este termo tem origem em suas aplicações, originalmentedesenvolvido para resolver prolemas industriais. Assim, o termo“programação” da programação linear está relacionado ao planejamento derecursos escassos visando atender as condições operacionais. Estas, por suave!, são representadas por equações e "unções lineares.

A aplicação da programação linear em apoio à decisão ocorre nacondição que se decide para atingir um objetivo. Este, por sua ve!, éresultante da alocação #tima dos recursos. $or isso caracteri!amos aprogramação linear como uma técnica de otimi!ação.

2.2.2-)r'ico do conjunto de soluções

>m prolema que conten(a duas variáveis pode ser resolvidogra"icamente.

'raça?se um grá"ico com os seus ei&os sendo as variáveis e .

A partir deste grá"ico traçam?se as restrições do prolema e delimita?se aregião viável.

Ap#s isso, traça?se uma reta com a inclinação da "unção oetivo,uscando retas paralelas a ela que "orneçam a solução para o prolema


5/13

2.2.*-+valiação do objetivo.

Mreas de aplicação da programação linear)

$rolemas de alocação, ou sea, prolemas envolvidos na alocação de

recursos escassos entre "ins alternativos, de acordo com algum critério eprolemas comple&os de alocação que não podem ser resolvidossatis"atoriamente com as técnicas anal;ticas convencionais.

E&emplo de prolema de alocação

8eterminação dos produtos a serem "aricados, a composição daprodução, planeada levando em consideração a demanda esperada, aadequailidade e as capacidades da produção e "acilidades de distriuição, asdiretri!es administrativas, tais como a pol;tica sore os produtos levados até o

término da lin(a de produção. *om o oetivo de ma&imi!ar os lucros

2.2.,-M&todo gr'ico

A partir da modelagem matemática de um $$/, pode?se encontrar a suasolução através da interpretação grá"ica da "unção oetivo e das restriçõesoperacionais, desde que o prolema possua no má&imo duas variáveis dedecisão.

Este tipo de solução não tem aplicação prática pois os prolemas domundo real tem sempre muito mais variáveis 5de!enas, centenas e atémil(ares6.

%o entanto, a solução grá"ica nos audará a entender os princ;piosásicos do método anal;tico, c(amado de método


6/13

N'*E< 8A E7PO AN/)


7/13

,


8/13


9/13

,.0- M&todo imple#.

,.1-+presentação.

O Cétodo


10/13

O modelo de programação linear pode ser resolvido por um método de solução de sistema de

equações lineares. O processo que será apresentado no e&emplo a seguir, retirado de

A%8A8E 5DDD6, é astante intuitivo e tem por "inalidade apresentar a metodologia utili!ada

pelo método ma marcenaria desea estaelecer uma programação diária de produção”. Atualmente, a

o"icina "a! apenas dois produtos) mesa e armário, amos de um s# modelo. $ara e"eito de

simpli"icação, vamos considerar que a marcenaria tem limitações em somente dois recursos)

madeira e mão de ora, cuas disponiilidades diárias são mostradas na taela a seguir.

ecurso 8isponiilidade Cadeira 1m

Cão de?oraH Toras

O processo de produção é tal que, para "a!er uma mesa a "árica gasta m de madeira e

T.( de mão de ora. $ara "a!er um armário, a "árica gasta 3 m de madeira e 1 T.( de mão

de ora.

Além disso, o "aricante sae que cada mesa dá uma margem de contriuição para o lucro de

L 9 e cada armário de L 1. “O prolema é encontrar o programa de produção que ma&imi!a a

margem de contriuição total para o lucro.” 6 Contagem do modelo As variáveis de decisão

envolvidas no prolema são)

R) quantidade a produ!ir de armários A "unção oetivo é)

/ucro) ! J 9 &1 U & $ara as restrições, a relação l#gica e&istente é)

>tili!ação de recurso V 8isponiilidade

9 ? O Cétodo


11/13

"#erccio

,.*-olução de um modulo geral de programação linear pelo metodo

simple#

,.*.1-Problema de minimi!ação.

,.*.2- Problema da vari'vel

,.*.*- problema da solução da base inicial

,.*.,-etorno ao modelo original

,.*.,.1-M&todo do M grande

O Cétodo do C?7rande, ou Wig C, consiste em se acrescentar a "unçãooetivo do prolema original as variáveis arti"iciais com coe"icientes negativos

muito grandes 5XC6 nos casos de ma&imi!ação, ou 5UC6 no caso deminimi!ação. *omo se quer aper"eiçoar a "unção oetivo, as variáveisarti"iciais deverão ter seus valores redu!idos a !ero e sair da ase.


12/13

9&1 U 3& X &3 U Ra J G &1 U & U &9 J 9 &1, &, &3, &9, Ra1, Ra, Y D Agoratemos uma solução ásica inicial dada por 5Ra1, Ra, &96 J 53, G, 96. Em muitasoras literárias, C [e manipulado algericamente 5não está associado valoralgum \a variável, usando?a apenas nos cálculos6, contudo, como [e mais usuala implementação dos prolemas na "orma computacional, utili!aremos um valor numérico para C. O valor a ser escol(ido deveria ser teoricamente in"initocontudo, na rotina dos cálculos em computadores, a interação entre n[Imerosmuito grandes e outros muito pequenos pode ocasionar erros dearredondamento. $ara evitar que tal "ato ocorra, devemos escol(er o valor deC su"icientemente grande em relação aos coe"icientes da "unção oetivo,sendo assim, no presente caso utili!aremos C J 1DD, pois os coe"icientes de &1e & são respectivamente 9 e 1, ou sea, 1DD [e grande se comparado \a essesvalores. O sistema em "orma de quadros e) Wase " 5&6 &1 & &3 Ra1 Ra &9 /in(a min. 1 ?9 ?1 D 1DD 1DD D D 5D6 Ra1 D 3 1 D 1 D D 3 516 Ra D 9 3 ?1 D 1 D G

56 &9 D 1 D D D 1 9 536 'aela 3.13) 8ados apresentados na "orma de quadro.$odemos oservar no quadro, que a solução inicial resulta em " 5&6 J 2DD e não!ero como mostrado na lin(a 5D6, isto ocorre, pois, os coe"icientes de Ra1 eRa são nulos. $ara colocarmos o sistema com essa caracter;stica, e torná?loconsistente, devemos operar com as outras lin(as de maneira a anular oscoe"icientes das variáveis arti"iciais na "unção oetivo. =a!endo?se a lin(a 516 ea lin(a 56 ve!es 1DD e somando?se a lin(a 5D6, otemos os resultados queseguem na 'aela 3.19. *omo se trata de um prolema de minimi!ação, ocoe"iciente de maior valor positivo deverá entrar na ase, neste caso a variável

e &1. A ra!ão m;nima da condição de viailidade especi"ica Ra1 como avariável que sai. Ap#s as operações pertinentes, temos os resultados da 'aela3.1F. Agora quem deverá entrar e &, saindo Ra da base.

,.*.,.2-M&todo de a unção objetivo au#iliar

,.,- problema da degeneração

,. problema da solução ilimitada

,.3-(asos de solução m4ltiplas

"#erccios

,.5-+nalise econ6mica


13/13

Referencias Bibliográcas

http://www.marcogandra.com.br/2012/08/o-!e-e-programacao-

linear.html

https://pt.wi"iboo"s.org/wi"i/#es!isa$operacional/%ntrod!

&'(&)*&'(&)(o$&'(&)0$#rograma&'(&)*&'(&)(o$+inear
http://www.marcogandra.com.br/2012/08/o-que-e-programacao-linear.htmlhttp://www.marcogandra.com.br/2012/08/o-que-e-programacao-linear.htmlhttp://www.marcogandra.com.br/2012/08/o-que-e-programacao-linear.htmlhttp://www.marcogandra.com.br/2012/08/o-que-e-programacao-linear.html

Programação Linear Ellen

Documents

Transcript of Programação Linear Ellen