Programação Linear

Tiago FaíscaMatemática

Professora Márcia Mendes

3º Ano do Curso Técnico de Processamento e Controlo da Qualidade Alimentar

Programação LinearO A palavra “Programação” refere-se a

uma programação de tarefas ou planificação, não a uma programação no sentido da informática.

O A palavra “Linear”, advém do facto das expressões (condições) que se utilizam serem lineares.

O que é a Programação Linear?

O A Programação Linear é uma técnica de optimização bastante utilizada na resolução de problemas cujos modelos matemáticos são representados por expressões lineares.

O A Programação Linear é uma vertente da matemática muito jovem, que surgiu em 1947, quando George B. Dantzig inventou e desenvolveu o “Método Simplex” para resolver problemas de optimização formulados a partir de questões de logística da Força Aérea dos Estados Unidos da América durante a segunda Guerra Mundial.

Problemas de Optimização

O São problemas que procuram o óptimo. O óptimo na globalidade é um minimo ou um máximo a ser alcançado, nas condições existentes.

O Nos problemas de Programação Linear algumas decisões têm de ser tomadas. Estas decisões são representadas pelas variáveis de decisão x e y, utilizadas no modelo de programação linear.

Problemas de Optimização

O A estrutura base de um problema de programção linear é maximizar ou minimizar a função objetivo que satisfaz a um conjunto de restrições ou condições.

O Geometricamente, as restrições lineares definem um polígono convexo, chamado de conjunto de pontos admissíveis ou região admissível.

O As restrições ou condições utilizadas em programação linear são representadas por equações ou inequações.

ResumindoPara formular um problema de Programção Linear deve-se:O Definir as variáveis de decisão (o que

pretendemos determinar).

O Definir a função objetivo (o que se pretende optimizar).

O Establecer as restrições (as condições que têm que ser satisfeitas).

Exemplo de Programação Linear

Uma empresa fabrica dois produtos A e B. Cada um destes produtos requer uma certa quantidade de tempo na linha de montagem e ainda mais algum para a sua finalização.

Cada produto do tipo A necessita de 5 horas na linha de montagem e de 2 horas para a finalização. Cada produto de tipo B necessita de 3 horas na linha de montagem e de 4 horas para finalização.

Exemplo de Programação Linear

Numa semana a empresa dispõe de 108 horas para a linha de montagem e 60 horas para a finalização. Toda a produção é vendida. O lucro de cada produto é de 120€ para o produto A e de 210€ para o B.

Quantas unidades, por semana, dos produtos A e B se devem produzir de modo a que o lucro seja máximo?

Exemplo de Programação Linear

Podemos elaborar uma tabela para melhor esquematizar os dados:

Seja X o número de unidades que a empresa produz por semana, do produto A e y o número de unidades que a empresa produz, por semana, do produto B.

O Tempo necessário na linha de montagem para os dois produtos é 5x+3y horas, no total. Como somente existem 108 horas de disponibilidade, temos a restrição: 5x+3y<108

Exemplo de Programação Linear

De forma análoga temos a seguinte restrição:2x4y<60