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    09-Jan-2016
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  • *Faculdade de Engenharia - Campus de GuaratinguetPesquisa Operacional

    Livro: Introduo Pesquisa OperacionalCaptulo 2 - Programao Linear

    Fernando Marins [email protected] de Produo

  • Sumrio

    *

    Modelagem e limitaes da Programao Linear.

    Resoluo Grfica.

    Forma padro de um modelo de Programao Linear.

    Definies e Teoremas.

    Forma cannica de um sistema de equaes lineares.

    Mtodo Simplex. Exerccios

  • *

    Programao Linear: Preocupao em encontrar a melhor soluo para problemas associados com modelos lineares.

    Modelo de Programao Linear: Maximizao (ou minimizao) de uma funo objetivo linear com relao as variveis de deciso do modelo.Respeitando-se as limitaes (restries) do problema expressas por um sistema de equaes e inequaes associadas com as variveis de deciso do modelo.Programao Linear

  • Modelagem em Programao Linear*Razes para o uso da Programao Linear:

    Grande variedade de situaes podem ser aproximadas por modelos lineares.

    Existncia de tcnicas (algoritmos) eficientes para a soluo de modelos lineares.

    Possibilidade de realizao de anlise de sensibilidade nos dados do modelo.

    Estgio de desenvolvimento da tecnologia computacional.

  • Modelagem em Programao Linear*Passos bsicos na obteno de modelos de PL:

    Identificar as variveis de deciso, represent-las em simbologia algbrica.

    Identificar as restries do problema, express-las como equaes ou inequaes lineares em termos das variveis de deciso.

    Identificar o objetivo de interesse no problema, represent-lo como funo linear em termos das variveis de deciso, que dever ser maximizada ou minimizada.

  • Modelagem em Programao Linear*Construo de modelos no uma cincia, mas uma arte, podendo ser melhorada com a prtica.

    Exemplos a serem trabalhados:

    Determinao do mix de produoSeleo de mdia para propagandaUm problema de treinamentoUma indstria qumicaUma oficina mecnicaDimensionamento de equipes de inspeo

  • Modelagem em Programao Linear

    *Determinao do mix de produo

    Uma companhia deseja programar a produo de um utenslio de cozinha que requer o uso de dois tipos de recursos mo-de-obra e material. A companhia est considerando a fabricao de trs modelos e o seu departamento de engenharia forneceu os dados a seguir:O suprimento de material de 200 kg por dia. A disponibilidade diria de mo-de-obra 150 horas. Formule um modelo de Programao Linear para determinar a produo diria de cada um dos modelos de modo a maximizar o lucro total da companhia.

    ModeloABCMo-de-obra(horas por unidade)736Material(kg por unidade)445Lucro($ por unidade)423

  • Modelagem em Programao Linear*Formulao do modelo

    Identificao das variveis de deciso:XA produo diria do modelo AXB produo diria do modelo BXC produo diria do modelo CIdentificao das restries:Identificao do objetivo: maximizao do lucro totalLucro Total = L = 4XA + 2XB +3XCMax L = 4XA + 2XB +3XC

  • Modelagem em Programao Linear

    *ModeloEncontrar nmeros XA, XB, XC tais que:

    Max L= 4XA + 2XB +3XC

    Sujeito as restries: 7XA + 3XB +6XC 150 4XA + 4XB +5XC 200XA 0, XB 0, XC 0

  • Modelagem em Programao Linear

    *Seleo de mdia para propaganda

    Uma companhia de propaganda deseja planejar uma campanha em 03 diferentes meios: TV, rdio e revistas. Pretende-se alcanar o maior nmero de clientes possvel. Um estudo de mercado resultou em:0bs: valores vlidos para cada veiculao da propaganda.

    TV horrioTV horrioRdioRevistasnormalnobreCusto40.00075.00030.00015.000ClientesAtingidos400.000900.000500.000200.000MulheresAtingidas300.000400.000200.000100.000

  • Modelagem em Programao Linear

    * A companhia no quer gastar mais de $ 800.000 e, adicionalmente, deseja:(1) Que no mnimo 2 milhes de mulheres sejam atingidas;(2) Gastar no mximo $ 500.000 com TV;(3) Que no mnimo 03 veiculaes ocorram no horrio normal TV;(4) Que no mnimo 02 veiculaes ocorram no horrio nobre TV;(5) Que o n. de veiculaes no rdio e revistas fiquem entre 05 e 10, para cada meio de divulgao. Formular um modelo de PL que trate este problema, determinando o n. de veiculaes a serem feitas em cada meio de comunicao, de modo a atingir o mximo possvel de clientes.

  • Modelagem em Programao Linear

    *Resoluo do exemplo seleo de mdia para propagandaVariveis de deciso:X1 = n. de exposies em horrio normal na tv.X2 = n. de exposies em horrio nobre na tv.X3 = n. de exposies feitas utilizando rdioX4 = n. de exposies feitas utilizando revistas.Funo-objetivo:Maximizar n. de clientes atingidosMax Z = 400.000X1 + 900.000X2 + 500.000X3 + 200.000X4

  • Modelagem em Programao Linear

    *Restries:Oramento:40.000X1 + 75.000X2 + 30.000X3 + 15.000X4 800.000Mulheres atingidas:300.000X1 + 400.000X2 + 200.000X3 + 100.000X4 2.000.000Gasto com TV40.000X1 + 75.000X2 500.000N. de veiculaes em TV, rdio e revistas X1 3, X2 2, 5 X3 10, 5 X4 10No-negatividadeX1, X2, X3, X4 0.

  • Modelagem em Programao Linear

    *Um problema de treinamento

    Uma empresa de mquinas ferramentas tem um programa de treinamento para operadores de mquinas. Alguns operadores j treinados podem trabalhar como instrutores neste programa ficando responsveis por 10 trainees cada. A empresa pretende aproveitar apenas 07 trainees de cada turma de 10.

    Estes operadores treinados tambm so necessrios na linha de fabricao, e sabe-se que sero necessrios para os prximos meses: 100 operadores em janeiro, 150 em fevereiro, 200 em maro, e 250 em abril. Atualmente h 130 operadores treinados disponveis na empresa.

  • Modelagem em Programao Linear

    *Encontrar um modelo de PL que fornea um programa de treinamento de custo mnimo e satisfaa os requisitos da empresa em termos de n. de operadores treinados disponveis a cada ms.

    Observao: acordo firmado com o sindicato probe demisses de operadores treinados no perodo. Os custos associados a cada situao so:

    Trainees ...........................................................................$ 400.Operador treinado trabalhando ........................................$ 700.Operador treinado ocioso..................................................$ 500.

  • Modelagem em Programao Linear

    *Variveis de deciso:X6 = operadores ociosos em maroX5 = operadores trabalhando como instrutores em maroX4 = operadores ociosos em fevereiroX3 = operadores trabalhando como instrutores em fevereiroX2 = operadores ociosos em janeiroResoluo do exemplo: Um problema de treinamento

    Observe que a cada ms um operador treinado est: operando mquina, trabalhando como instrutor, ou est ocioso. Alm disto, o n. de operadores treinados trabalhando nas mquinas fixo e conhecido: 100 em janeiro, 150 em fevereiro, 200 em maro e 250 em abril.X1 = operadores trabalhando como instrutores em janeiro

  • Modelagem em Programao Linear

    *Funo-objetivo:Min C = 400(10X1 + 10X3 + 10X5) + 700(X1 + X3 + X5) + + 500(X2 + X4 + X6) + 700(100 + 150 + 200)

    Min C = 4700X1 +500X2 + 4700X3 +500X4 +4700X5 +500X6 + 315.000

    Custo total = custo trainees + custo instrutores + custo ociosos + custo operadores trabalhando em mquinas.

  • Modelagem em Programao Linear

    *Restries: X1, X2, X3, X4, X5, X6 0 (no-negatividade) Abril: 250 = 130 + 7X1 + 7X3 + 7X5 7X1 + 7X3 + 7X5 = 120.operadores treinados no incio do ms = operadores nas mquinas + instrutores + operadores ociosos.Equao de balano mensal: Janeiro: 130 = 100 + X1 + X2 X1 + X2 = 30 Fevereiro: 130 + 7X1 = 150 + X3 + X4 7X1 - X3 - X4 = 20 Maro: 130 + 7X1 + 7X3 = 200 + X5 + X6 7X1 + 7X3 - X5 - X6 = 70

  • Modelagem em Programao Linear

    *Uma indstria qumica

    Dois produtos, A e B, so feitos a partir de duas operaes qumicas. Cada unidade do produto A requer 02 horas da operao 1 e 03 horas da operao 2. Cada unidade do produto B requer 03 horas da operao 1 e 04 horas da operao 2. O tempo total disponvel para a realizao da operao 1 de 16 horas, e o tempo total para a operao 2 de 24 horas.

    A produo do produto B resulta, tambm, num subproduto C sem custos adicionais. Sabe-se que parte do produto C pode ser vendido com lucro, mas o restante deve ser destrudo. Previses mostram que no mximo 05 unidades do produto C sero vendidas, e sabe-se que cada unidade do produto B fabricada gera 02 unidades do produto C.

  • Modelagem em Programao Linear

    *Sabe-se que:

    Produto A gera um lucro de $ 4 por unidade.Produto B gera um lucro de $ 10 por unidade.Produto C gera um lucro de $ 3 por unidade se for vendido.Produto C gera um custo de $ 2 por unidade se for destrudoDeterminar um modelo de PL para tratar este problema, e encontrar quanto produzir de cada produto, de modo a maximizar o lucro da indstria qumica.

  • Modelagem em Programao Linear

    *Observe que o lucro da venda do produto A uma funo linear, mas com respeito ao produto C isto no ocorre.Resoluo do exemplo: Uma indstria qumica - produto A

  • Modelagem em Programao Linear

    *2 X1 + 3 X2 16 (disponibilidade de tempo para operao 1)3 X1 + 4 X2 24 (disponibilidade de tempo para operao 2)X3 + X4 = 2 X2 (produo do produto C a partir do produto B)X3 5 (previso de produto C que pode ser vendido)X1, X2, X3, X4 0 (no-negatividade)Restries:Artifcio: considerar as variveis de deciso como sendoX1 = quantidade produto A produzidaX2 = quantidade produto B produzidaX3 = quantidade produto C vendidaX4 = quantidade produto C destrudaFuno-objetivo:Max Z = 4 X1 + 10 X2 + 3 X3 2 X4

  • Modelagem em Programao Linear

    *Oficina mecnica

    Uma oficina mecnica tem 01 furadeira vertical