Programação por Restrições Pedro Barahona

1

Programação por Restrições

Pedro Barahona

2

Restrições - O que são• Intuitivamente são limitações aos possíveis

valores que as variáveis de um problema podem tomar dentro de um certo domínio.

• Um problema de satisfação de restrições pode ser especificado por um tuplo < V, D, R > em que– V: é o conjunto de variáveis usadas na

modelação do problema– D: é o domínio(s) em que as variáveis de V

podem tomar valores– R: é o conjunto de restrições que afectam as

variáveis V

3

Restrições - Exemplos• Planeamento de testes em circuitos digitais

– Para detecção de avarias– Para distinção de avarias

• Gestão de Tráfego em Redes• Gestão da Produção• Sequenciação de Tarefas (Scheduling)• Geração de Horários• Caixeiro Viajante

– Simples ou Multiplo

• “Colocação” ou “preenchimento”– 2D: corte de peças (tecido, tábuas, etc...)– 3D: prenchimento de contentores

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Restrições - Circuitos digitais• Planeamento de testes para detecção de

avarias• Objectivo: Determinar um padrão de

entrada que permita detectar se uma “gate” está avariada.

• Variáveis: modelam o valor do nível eléctrico (high/low) nos vários “fios” do circuito

• Domínio: Booleanos: 0/1.• Restrições: Restrições de igualdade entre o

sinal de saída e o esperado pelo funcionamento das “gates”

5

Restrições - Circuitos digitaisA

C

D

B

E

F

G

H

I

G1

G2

G3

G4

G5

• E = A+B+A·B % E = or(A,B) • F = 1+ B·C % F = nand(B,C) • G = C·D % G = nand(B,C) • H = 1+E·F % H = nand(E,F) • I = 1+F·G % H = nand(E,F)

6

Restrições - Gestão de Produção• Determinação de quantidades ideais de

items a produzir

• Objectivo: Determinar a quantidade de items que deve compor um plano de produção

• Variáveis: modelam o número de exemplares de cada preduto

• Domínio: Inteiros / Reais não negativos.• Restrições: Limites dos recursos existentes,

restrições sobre o plano produzido

7

Restrições - Gestão de Produção

Limites dos recursos existentes

a1j X1 + a2jX2 + a3jX3 + .... ≤ Ri

Restrições sobre o plano produzido

X1 + X2 ≥ X3

X4 = X5

8

Restrições - Gestão de Redes• Determinação do tráfego em redes de

telecomunicações (ou de transporte de água).

• Objectivo: Determinar a quantidade de informação que flui em cada um dos troços de uma rede de comunicações

• Variáveis: modelam o fluxo num troço• Domínio: Reais não negativos.• Restrições: Limites de capacidade dos troços,

não perda de informação nos vários nós

9

Restrições - Gestão de Redes

• Restrições de Capacidade Xab ≤ 15

• Restrições de não perda de informaçãoXab+Xdb = Xbc

A

B

C

E

G

FZ

H

D

I4

2315

10

Restrições - Escalonamento de Tarefas

• Precedência entre tarefasJ11 + D11 ≤ J12

• Não sobreposição de tarefasMi ≠ Mj Jij + Dij ≤ Jkl Jkl + Dkl ≤ Jij

J 1

J 2

J 3

J 4

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

11

Restrições - Horários• Determinação de horários (p. ex. escolares)

para planos de produção• Objectivo: Determinar o início das várias

aulas de dum horário• Variáveis: modelam o início da aula, e

eventualmente a sala, o professor, etc...• Domínio: Finitos para os professores

Finitos (horas certas) para os tempos

• Restrições: Não sobreposição de aulas na mesma sala , nem com o mesmo professor, etc...,

12

Restrições - Caixeiro Viajante• Determinação de percursos (frotas de

carros, empresas de distribuição)

• Objectivo: Determinar o “melhor” caminho para ser seguido pelos veículos de uma empresa de distribuição

• Variáveis: Ordem em que uma localidade é atingida

• Domínio: Finitos (localidades existentes)

• Restrições: Não repetir localidades, garantir ciclos, não existência de sub-ciclos

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Restrições - Caixeiro Viajante

• ordem em que uma localidade é atingidaV1 = a, V2 = d, V3 = b, ...

• garantir ciclosVj ≠ Vj

• não existência de sub-ciclos???

A

B

C

E

G

FZ

H

D

I4

231534

14

Restrições - Colocação• Colocar componentes sem sobreposição

• Objectivo: Determinar formas de conseguir colocar componentes num dado espaço

• Variáveis: Coordenadas dos elementos• Domínio: Reais / Finitos (grelha)• Restrições: Não sobrepôr componentes,

não ultrapassar os limites do “contentor

15

Restrições - Colocação

• Não ultrapassar os limites do “contentor

Xa+Lxa ≤ Xmax

• Não sobrepôr componentes

Xa+Lxa ≤ Xb Xb+Lyb ≤ Xa

Ya+Lya ≤ Yb Yb+Lyb ≤ Ya

D

G

I

BCA

JH

E

FK

16

Restrições - Satisfação ou Optimização

• Em certos (muitos) casos o que se pretende determinar não é uma solução qualquer, mas sim a melhor solução

• Um problema de optimização com restrições pode ser especificado por um tuplo < V, D, R, F > em que– V, D, R como antes– F: é uma função das soluções para

um domínio ordenado

17

Optimização com Restrições - Exemplos

• Planeamento de testes em circuitos digitais– Teste com menos entradas especificadas

• Gestão de Tráfego em Redes– Tráfego com menor custo

• Gestão da Produção– Plano com maior lucro

• Sequenciação de Tarefas (Scheduling)– Solução com o fim mais cedo

18

Optimização com Restrições - Exemplos

• Geração de Horários– Solução com menos furos– Solução com menos teóricas de tarde

• Caixeiro Viajante– Solução com menor distância percorrida

• “Colocação” ou “preenchimento”– Colocação do maior número de peças

19

Restrições + Optimização - Caixeiro Viajante

• Distância percorridaV1 = a V2 = d P1 = 15

• Optimização

min Pi

A

B

C

E

G

FZ

H

D

I4

231534

20

Restrições - Complexidade

• A dificuldade em resolver os problemas de restrições reside na sua complexidade exponencial.

• Domínio Booleano– Número de variáveis: n– Dimensão do Domínio: 2 – Número de soluções potenciais: 2n

• Domínio Finitos– Número de variáveis: n– Dimensão do Domínio: k

– Número de soluções potenciais: kn

21

Complexidade Exponencial

• Para perspectivar ...• Assumindo-se que uma operação

elementar tem uma duração de 1 μs, o tempo de pesquisa exaustiva das kn possíveis soluções será da ordem de

K \ n 10 20 30 40 50 60

2 1 mseg 1 seg 18 min 12.7 dias 35.7 anos 365 séculos

3 50 mseg 1 hora 6.5 anos 3855 séculos

4 1 seg 12.6 dias 365 séculos

5 9.8 seg 1103 dias 295 Kséculos

6 1 min 116 anos

22

Restrições - Complexidade

• O problemas de interesse são geralmente– Restrições: NP - completos– Optimização: NP - difíceis

• Analogia com 3SAT

Problema 3SAT

23

Restrições - Métodos de Resolução

• Resolução Simbólica– Booleanos– Programação Linear Inteira

• Retrocesso– Percorre todo o espaço de pesquisa

• Complexidade k1n

– Redução do espaço de pesquisa• Propagação de restrições• Cortes - Programação inteira

• Complexidade k2n

24

Retrocesso

Testes 0 Retrocessos 0

25

Retrocesso

Testes 0 + 1 = 1 Retrocessos 0

Q1 \= Q2, L1+Q1 \= L2+Q2, L1+Q2 \= L2+Q1.

26

Retrocesso


Q1 \= Q2, L1+Q1 \= L2+Q2, L1+Q2 \= L2+Q1.

27

Retrocesso


Q1 \= Q2, L1+Q1 \= L2+Q2, L1+Q2 \= L2+Q1.

28

Retrocesso


29

Retrocesso


30

Retrocesso


31

Retrocesso


32

Retrocesso


33

Retrocesso

Testes 11 + 1 + 3 = 15 Retrocessos 0

34

Retrocesso

Testes 15 + 1 + 4 + 2 + 4 = 26 Retrocessos 0

35

Retrocesso


36

Retrocesso


37

Retrocesso


38

Retrocesso


39

Retrocesso


40

Retrocesso


41

Retrocesso


42

Retrocesso


43

Retrocesso


Falha

6

Retrocede

5

44

Retrocesso


45

Retrocesso


46

Retrocesso


47

Retrocesso


48

Retrocesso


49

Retrocesso

Testes 55+1+3+2+4+3+1+2+3 = 74 Retrocessos 1

Falha

6

Retrocede

5 e 4

50

Retrocesso

Testes 74+2+1+2+3+3= 85 Retrocessos 1+2 = 3

51

Retrocesso

Testes 85 + 1 + 4 = 90 Retrocessos 3

52

Retrocesso

Testes 90 +1+3+2+5 = 101 Retrocessos 3

53

Retrocesso

Testes 101+1+5+2+4+3+6= 122 Retrocessos 3

54

Retrocesso

Testes 122+1+5+2+6+3+6+4+1= 150 Retrocessos 3+1=4

Falha

8

Retrocede

7

55

Retrocesso

Testes 150+1+2= 153 Retrocessos 4+1=5

Falha

7

Retrocede

6

56

Retrocesso

Testes 153+3+1+2+3= 162 Retrocessos 5+1=6

Falha

6

Retrocede

5

57

Retrocesso


58

Retrocesso

Testes 168+1+3+2+5+3+1+2+3= 188 Retrocessos 7

Falha

6

Retrocede

5

59

Retrocesso


Falha

5

Retrocede

4

60

Retrocesso

Testes 198 + 3 = 201 Retrocessos 8+1=9

61

Retrocesso

Testes 201+1+4 = 206 Retrocessos 9

62

Retrocesso

Testes 206+1+3+2+5 = 217 Retrocessos 9

63

Retrocesso

Testes 217+1+5+2+5+3+6 = 239 Retrocessos 9

64

Retrocesso


Falha

8

Retrocede

7

65

Retrocesso


Falha

7

Retrocede

6

66

Retrocesso


Falha

6

Retrocede

5

67

Retrocesso

Testes 286+2+4= 292 Retrocessos 12

68

Retrocesso


Falha

6

Retrocede

5

69

Retrocesso


Falha

5

Retrocede

4 e 3

70

Retrocesso


X1=1

X2=3

X3=5

Impossível

71

Propagação


72

Propagação

1 1

1

1

1

1

11

1

1

1

1

1

1

Testes 8 * 7 = 56 Retrocessos 0

Q1 #\= Q2, L1+Q1 #\= L2+Q2, L1+Q2 #\= L2+Q1.

73

Propagação

1 1

1

1

1

1

11

1

1

1

1

1

12

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Testes 56 + 6 * 6 = 92 Retrocessos 0

74

Propagação

1 1

1

1

1

1

11

1

1

1

1

1

12

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

33


75

Propagação 2

1 1

1

1

1

1

11

1

1

1

1

1

12

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

33


X6 só pode tomar o valor 4

76

Propagação 2

1 1

1

1

1

1

11

1

1

1

1

1

12

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

33

6

6

6

6

6 6

Testes 112+3+3+3+4 = 125 Retrocessos 0

77

Propagação 2

1 1

1

1

1

1

11

1

1

1

1

1

12

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

33

6

6

2

6

6 6



78

Propagação 2

1 1

1

1

1

1

11

1

1

1

1

1

12

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

33

6

6

2

6

6 6


79

Propagação 2

1 1

1

1

1

1

11

1

1

1

1

1

12

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

33

6

6

2

6

6 6

8

8

Testes 125+2+2+2=131 Retrocessos 0

80

Propagação 2

1 1

1

1

1

1

11

1

1

1

1

1

12

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

33

6

6

2

6

6 6

8

8



81

Propagação 2

1 1

1

1

1

1

11

1

1

1

1

1

12

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

33

6

6

2

6

6 6

8

8


82

Propagação 2

1 1

1

1

1

1

11

1

1

1

1

1

12

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

33

6

6

2

6

6 6

8

8

4

Testes 131+2+2=135 Retrocessos 0

83

Propagação 2

1 1

1

1

1

1

11

1

1

1

1

1

12

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

33

6

6

2

6

6 6

8

8

4



84

Propagação 2

1 1

1

1

1

1

11

1

1

1

1

1

12

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

33

6

6

2

6

6 6

8

8

4


85

Propagação 2

1 1

1

1

1

1

11

1

1

1

1

1

12

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

33

6

6

2

6

6 6

8

8

4

5

Testes 135+1=136 Retrocessos 0

86

Propagação 2

1 1

1

1

1

1

11

1

1

1

1

1

12

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

33

6

6

2

6

6 6

8

8

4

5


87

Propagação 2

1 1

1

1

1

1

11

1

1

1

1

1

12

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

33

6

6

2

6

6 6

8

8

4

5

Testes 136 Retrocessos 0+1=1

Falha

7

Retrocede

3 !

88

Propagação 2

1 1

1

1

1

1

11

1

1

1

1

1

12

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

33

3

3

3

3

3


3

X1=1

X2=3

X3=5

Impossível

Testes

136

(324)

Retrocessos

1

(15)

89

Restrições - Métodos de Resolução

• Pesquisa Local– Reparação de “soluções”– Optimização– Método incompleto

90

Pesquisa Local - Reparação

4

7

1

6

3

5

8

2

Solução

Permutação

Vizinhança

Troca

91


2 Ataques

3 - 5

4 - 8

4

7

1

6

3

5

8

2

92


4

7

1 2

6

3

5

8

2 1

2 Ataques

3 - 5

4 - 8

93


4

7

2

6

3

5

8

1

3 Ataques

1 - 3

2 - 8

3 - 6

94


4 1

7

2

6

3

5

8

1 4

3 Ataques

1 - 3

2 - 8

3 - 6

95


1 Ataque

3 - 6

1

7

2

6

3

5

8

4

96


1

7

2 8

6

3

5

8 2

4

1 Ataque

3 - 6

97


1

7

8

6

3

5

2

4

3 Ataques

2 - 3

2 - 7

3 - 6

98


1

7 5

8

6

3

5 7

2

4

3 Ataques

2 - 3

2 - 7

3 - 6

99


0 Ataques

1

5

8

6

3

7

2

4

100

Programação por Restrições

• Foco na propagação de restrições associada ao retrocesso

• Extensão ao Prolog– Constraint Logic Programming– CHIP, ECLIPSE, SICStus

• Outras possibilidades– Packages de filtragem– ILOG, CHIP

• Página da cadeirassdi.di.fct.unl.pt/~pr

Programação por Restrições Pedro Barahona

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