Progresses: Aprenda as diferenas de P.A. e P.G.

1) Progresses Aritmticas:Definio: P.A so sequncias de nmeros, em que a diferena entre um nmero e seu antecedente igual uma razo r. Elas podem ser crescentes ou decrescentes. Nas progresses crescentes, a razo ser positiva, e nas decrescentes, ser negativa.O valor da razo r ser calculado da seguinte forma:r = a2 a1 ou r = a3 a2 ou r = a4 a3 ou r = a5 a4 ou r = a6 a5, e assim por diante.Nos exerccios de progresses aritmticas (P.A.), devemos ter em mente duas frmulas:a) N-simo termo de uma P.A.:A frmula abaixo usada quando se quer determinar o n-simo termo de uma progresso aritmtica.an = a1 + (n 1) . rOnde,an = n-simo termo que se quer determinar.a1 = primeiro termo da sequncia.n = nmero de termos da sequncia.r = razo da sequncia, encontrado pela diferena de um termo e seu antecessor.Exerccio:Dada a sequncia (1,3,5,7,9,11,13,15,17), calcule o dcimo oitavo termo dessa sequncia.a1 = 1n = 18r = 3 -1 = 2 ou r = 5 3 = 2 ou r = 7 5 = 2a18 = ?an = a1 + (n 1) . ra18 = 1 + (18-1) . 2a18 = 1 + 17.2a18 = 1 + 34a18 = 35b) Soma dos n primeiros termos:Podemos fazer a soma de n termos de uma progresso aritmtica por meio de uma frmula, que ser:Sn = ((a1 + an) . n) / 2Sn = soma dos n termosa1 = primeiro termo da sequncia.an = n-simo termo da sequncia.n = nmero de termos da sequncia.Exerccio:Dada a sequncia (1,3,5,7,9,11,13,15,17), calcule a soma dos termos dessa P.A.a1 = 1an = 17n = 9Sn = ?Sn = ((a1 + an) . n) / 2Sn = ((1 + 17) . 9) / 2Sn = (18.9) / 2Sn = 812) Progresses Geomtricas:Definio: P.G. so sequncia de nmeros, em que a diviso entre um nmero e seu antecedente igual uma razo q. Elas podem ser crescentes ou decrescentes. Nas progresses crescentes, o q ser maior que 1, e nas progresses decrescentes, ser menor que 1 e maior do que zero. Nas progresses com razo negativa, a sequncia no ser nem crescente nem decrescente.O valor da razo q ser calculado da seguinte forma:q = a2 / a1 ou q = a3 / a2 ou q = a4 / a3 ou q = a5 / a4 ou q = a6 / a5, e assim por diante.Nos exerccios de progresses geomtricas (P.G.), devemos ter em mente trs frmulas:a) N-simo termo de uma P.G.:A frmula abaixo usada quando se quer determinar o n-simo termo de uma progresso geomtrica.an = a1 . q ^ (n 1)Onde,an = n-simo termo que se quer determinar.a1 = primeiro termo da sequncia.n = nmero de termos da sequncia.q = razo da sequncia, encontrado pela diviso de um termo e seu antecessor.Exerccio:Dada a sequncia (1,2,4,8,16,32,64,128,256), calcule o dcimo oitavo termo dessa sequncia.a1 = 1q = 2 / 1 = 2 ou q = 4 / 2 = 2 ou q = 8 / 4 = 2 ou q = 16 / 8 = 2n = 18an = ?an = a1 . q ^ (n 1)a18 = 1 . 2 ^ (18 1)a18 = 1 . 2 ^ 17a18 = 1 . 131072a18 = 131072b) Soma dos n primeiros termos (P.G. finita):Podemos fazer a soma de n termos de uma progresso geomtrica por meio de uma frmula, que ser:Sn = (a1 . ((q ^ n) 1)) / (q 1)Onde,Sn = soma dos n primeiros termos.a1 = primeiro termo da sequncia.n = nmero de termos da sequncia.q = razo da sequncia, encontrado pela diviso de um termo e seu antecessor.Exerccio:Dada a sequncia (1,2,4,8,16,32,64,128,256), calcule a soma dos n termos dessa sequncia.a1 = 1n = 9q = 2 / 1 = 2 ou q = 4 / 2 = 2 ou q = 8 / 4 = 2 ou q = 16 / 8 = 2Sn = ?Sn = (a1 . ((q ^ n) 1)) / (q 1)Sn = (1 . ((2 ^ 9) 1 ) / (2-1)Sn = (1. (512) 1) / (1)Sn = (512 1) / 1Sn = 511c) Soma dos infinitos termos de uma sequncia (P.G. infinita):Podemos fazer a soma de infinitos termos de uma progresso geomtrica por meio de uma frmula, que ser:S infintos = a1 / (1 q)Observao: Nesse caso especfico, a razo deve estar compreendida entre -1 e 1 (condio necessria para usar a equao abaixo).Onde,S infinitos = soma dos infinitos termos.a1 = primeiro termo da sequncia.q = razo da sequncia, encontrado pela diviso de um termo e seu antecessor.Exerccio:Dada a sequncia (1, 0.5, 0.25, 0.125, ), calcule a soma dos infinitos termos dessa sequncia.Observe o sinal de , indicando que a P.G. infinita.a1 = 1q = 0,5 / 1 = 0,5 ou q = 0.25 / 0.5 = 0.5 ou q = 0.125 / 0.25 = 0.5S infintos = a1 / (1 q)S infintos = 1 / (1 0,5)S infinitos = 1 / 0,5S infinitos = 2 As frmulas das progresses aritmtica e geomtrica devem ser memorizadas por aquelas pessoas que iro fazer provas de matemtica ou raciocnio lgico, pois a grande maioria dessas provas cobram assuntos relacionados progresses.Exerccios com PA e PG1.Calcule a razo da P.G. onde a1= e a8= 48. 2.Em uma P.G. crescente tem-se a2= 576. Calcule a razo e o 1 termo.3.Sabendo que em uma P.G. a2+ a4= 60 e a3+ a5= 180, calcule a6.4.Somando o 1 termo com o 3 termo de uma P.G., obtm-se 10/81, e somando o 4 com o 6, 10/3. Calcule o 7 termo dessa P.G.5.Determine o 8 termo da P.G.(1, 2, 4,...)6.Em uma P.G. de razo 3, o 7, termo 1458. Calcule a1.7.Calcule o nmero de termos das seguintes P.G.a)(4, 8, 16,...,1024) R = 9 b) (9, 3, 1,...,1/81)8.Interpole quatro meios geomtricos entre 2 e 486.9.Insira trs meios geomtricos positivos entre 1/27 e 3.10.Calcule a soma dos 10 primeiros termos da P.G. (2, 4, 8, 16,...)11.Determine a soma dos 5 primeiros termos da P.G. (2, -6, 18,...)12.Determine a soma da seguinte P.G infinita (10, 4, 8/5,...)13.Quantos termos tem a P.A. (5, 9, 13,...,37)14.Determine o 1 termo de uma P.A., onde se conhece: a6= 17 e r = -4.15.Quantos mltiplos de 3 existe entre 10 e 95.16.Encontre o termo geral da P.A. (12, 16, 20,...)17.Calcule o oitavo termo da P.A.(-6, -2, 2,...)18.Em uma P.A. a1= 18 e a5= 6. Calcule a razo.19.O stimo termo de uma P.A. 75 e r = 11. Calcule o primeiro termo.20.Qual o vigsimo quinto termo da P.A.(2, 5, 8,...)?21.Calcule a soma dos oito primeiros elementos da P.A.(3, 15, 27,...)22.Calcule a soma dos elementos da P.A.(-8, -1, 6,...,41)23.A soma dos termos de uma P.A. 324. O 1 termo 4 e o ltimo, 68. Quantos so os termos dessa P.A.?24.Resolva a equao 2 + 5 + 8 +...+x = 12625.Calcule a soma dos mltiplos de 4 compreendidos entre 10 e 90.