Progressão Aritmética

• Observe a sequência abaixo: ( 2, 5, 8, 11, ...)

• Notemos que a diferença entre um termo qualquer dessa sequência e seu antecedente é sempre igual a 3:

• 5 – 2 = 3• 8 – 5 = 3• 11 – 8 = 3

Assim:

–Progressão Aritmética (P.A.) é uma sequência de números reais em que a diferença entre um termo qualquer ( a partir do segundo) e o termo antecedente é sempre a mesma (constante).

–Essa constante é chamada de razão da P.A representada por r.

• Exemplos:

(-5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, ...) é P.A de razão r = 2.

(23, 20, 17, 14,...) é P.A de razão r = -3.

(5, 5, 5, 5,...) é P.A de razão r = 0.

• A razão tem algumas particularidades como:

r > 0, dizemos que a P.A é crescente;

r < 0, dizemos que a P.A é decrescente;

r = 0, todos os termos da P.A são iguais, ou seja, a P.A é constante.

TERMO GERAL DA P.A.

• Considerando a P.A (a1, a2, a3, a4, ...., an) de razão r. Temos:

• a2 - a1 = r      →      a2 = a1 + r

• a3 - a2 = r      →      a3 = a2 + r      →      a3 = a1 + 2r

• a4 - a3 = r     →      a4 = a3 + r      →     a4 = a1 + 3r

.                              .                                   .

.                              .                                   .

.                              .                                   .

• Assim: 

• an = a1 + ( n – 1) . r

• Essa fórmula acima é conhecida como a fórmula do termo geral de uma P.A.

• Exemplo:Vamos calcular o 20º termo da P.A (26, 31, 36, 41, ...):Para efetuarmos os cálculos é necessário que retiremos os dados necessários.Como: a1 = 26 e r = 31 – 26 = 5

Utilizando a fórmula do termo geral calculemos o 20º termo da P.A.

a20 = 26 + ( 20 – 1) . 5

a20 = 26 + 19 . 5

a20 = 26 + 95

a20 = 121

• Concluímos que o 20º termo dessa P.A é 121.

NOTAÇÕES ESPECIAIS

• Para determinar uma P.A a partir de seus elementos utilizamos de algumas notações que facilitam a resolução de alguns exercícios.

• Para três termos em P.A, podemos escrever:

( x – r , x , x + r )

• Para cinco termos em P.A, podemos escrever:

(x – 2r , x – r , x , x + r , x – 2r )

Exemplo:1. Determine três números em P.A,

sabendo que o elemento central é 4 e o produto entre eles é 28.

Para efetuarmos os cálculos é necessário que retiremos os dados:Como a P.A tem 3 termos ( x – r , x , x + r ) e x = 4(x – r) . x . (x + r) = 28.

• Então:(4 – r) . 4 . (4 + r) = 28

r = +3 e r = -3• Assim iremos obter duas P.A• Para r = +3 a P.A será ( 1, 4, 7)• Para r = -3 a P.A será ( 7, 4, 1)

SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA P.A

• Pode também ser pedido que você calcule a soma dos termos de uma PA. Pode ser pedido a soma dos 25 primeiros termos, ou dos 200 primeiros termos.

• Estas somas são simbolizadas por S25 (soma dos 25 primeiros termos), por S200 (soma dos 200 primeiros termos) ou por Sn (soma dos "n" primeiros termos). Vamos ver um exemplo:

(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19)

• Esta progressão possui 10 termos, com a1=1, a10=19 e r=2. Se quiséssemos saber a soma dos 10 primeiros termos desta PA, poderíamos calcular manualmente, ou seja, 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100. Mas, se fosse pedido a soma dos 145 primeiros termos?? BAH, manualmente iria demorar muito.

• Vamos ver se existe uma maneira mais prática.

• Observe quanto vale a soma do primeiro com o último termo desta PA:

• Agora, veja a soma do segundo com o penúltimo:

E a soma do terceiro com o antepenúltimo, do quarto com o antes do antepenúltimo...

• Note, que a soma 20 apareceu exatamente 5 vezes. Ao invés de somar termo a termo, poderíamos somar 5 vezes o 20, ou seja, 5x20=100 (mesmo resultado).

• Agora, pense!!! Por que que apareceu cinco vezes a soma = 20?????

• Isto mesmo, pois tínhamos 10 termos, e como pegamos eles de 2 em 2, é óbvio que a soma iria aparecer um número de vezes igual a metade do número de termos!

• E agora, se fosse uma progressão com 100 elementos? Deveríamos proceder da mesma maneira!

• A soma do primeiro com o último iria se repetir por 50 vezes (metade de 100), portanto, matematicamente falando teríamos:

S100=(a1+a100).50

• Para concluir:Se tivéssemos que calcular a soma

dos elementos de uma P.A. com "n" termos?  A soma do primeiro com o último iria se repetir por n/2 vezes. Ou seja, podemos escrever:

Interpolação de meios aritméticos

• Muitos exercícios citam "Interpolação de meios aritméticos" entre dois termos.

• Este tópico nada mais é do que uma simples interpretação do que é pedido no exercício.

• Primeiramente devemos saber o que significa o verbo "interpolar". Significa "colocar entre".

• E, "meios aritméticos", significa "números que formam uma PA". Veja os exercícios resolvidos:

1) Interpolando 10 meios aritméticos entre 5 e 38, teremos uma PA de razão:

    (A) 1     (B) 2     (C) 3     (D) 4     (E) 5

 

        

- Interpretando o que é dito: o exercício pede para colocarmos 10 números entre 5 e 38. Assim, teremos:

        - Como inserimos dez termos no meio dos dois já existentes, a PA terá, 12 termos. Então, as informações deste exercício são:

                a1=5 e a12=38 r=?

        - Agora é só usar a fórmula do termo geral :                a12=a1+(12-1)r

                38=5+11r                38-5=11r                33=11r                r=33/11                r=3             Resposta certa letra "C"

Matemática AplicadaProf. Léo Moreira

• Referências• Matemática Completa, Giovanni  e Bonjorno, editora FTD;

• Brasil Escola, http://www.brasilescola.com/matematica/progressoes-aritmeticas.htm

• Mundo Educação, http://www.brasilescola.com/matematica/progressoes-aritmeticas.htm