Progressão Aritmética 01

Definição

Progressão aritmética (P.A.) é toda seqüência de números na qual a diferença entre cada termo (a partir do segundo) e o termo anterior é constante. Essa diferença constante é chamada razão da progressão e é representada pela letra r. Exemplos: 1º) A seqüência (2, 7, 12, 17,...) é uma progressão aritmética infinita de razão 5, em que a1 = 2 e r = 5.

Essa é uma P.A. crescente, pois r > 0. 2º) A seqüência (20, 10, 0, -10, -20) é uma P.A. de cinco termos em que o 1º termo é a1 = 20 e a razão é r = -10.

Essa é uma P.A. decrescente, pois r < 0. 3º) A seqüência (4,4,4) é uma P.A. de três termos em que o 1º termo é a1 = 4 e a razão é

r = 0. Quando r = 0, a P.A. é chamada P.A. constante ou estacionária. 4º) A seqüência (1, -1, 1, -1, 1, -1,...) não é uma progressão aritmética, pois as diferenças entre termos sucessivos são alternadamente -2 e 2. Fórmula do termo geral de uma P.A.

Em uma progressão aritmética (a1, a2,

a3,... an) de razão r, partindo do 1º termo

(a2=a1 + r); para avançar dois termos basta

somar 2r ao 1º termo (a3=a1 + 2r); para

avançar três termos basta somar 3r ao 1º termo (a4=a1 + 3r); e assim por diante. Desse

modo encontramos o termo geral da P.A., que é dado por:

( ) rnaan

⋅−+= 11

Nessa fórmula temos: an= termo geral;

a1= 1º termo;

n= número de termos (até an);

r= razão da P.A.

Aplicação: 1º) Qual o termo geral da P.A. (2, 5,...). 2º) Dê a fórmula do termo geral da P.A. (5, 9,...). 3º) Determine o termo geral da P.A. (-5, 1,...). 4º) Calcule a fórmula do termo geral de cada P.A.: a) (2, 7,...) b) (-1, 5,...) c) (p - 2, p,...) 5º) Qual o vigésimo primeiro termo da P.A. (-2, 2,...). 6º) Qual o vigésimo quinto termo da P.A. (-2, 6,...). 7º) Qual é o 20º termo da P.A. (2, 8,...)? 8º) Determine o 15º termo da P.A. (6, 10,...). 9º) Qual a razão de uma P.A. onde o primeiro termo vale 2 e o trigésimo termo é 118. 10º) Em uma P.A. o vigésimo termo vale 59; o primeiro termo é 2, Qual a razão desta P.A.? 11º) Numa P.A. de 14 termos, o 1º termo é 2 e o último é 28. Calcule a razão dessa P.A. 12º) Numa P.A. na qual o 20º termo é 157 e o 1º termo é 5, calcule a razão. 13º) Determine o primeiro termo de uma P.A. onde o décimo oitavo termo vale 31 e a razão 2. 14º) Qual é o 1º termo de uma P.A. em que a10 = 39 e r = 4?

15º) Calcule o 1º termo da P.A a) De razão r = 3, sabendo que a7 = 21;

b) Em que a12 = - 29 e r = - 4.

Prof. Ricardo Augusto

16º) Numa P.A. o último termo é 53. Sabe-se que o primeiro termo é -5 e a razão 2. Quantos termos possui esta progressão? 17º) Em uma P.A. o primeiro termo é -7 e a razão é 3. Qual a ordem ou índice do termo igual a 62. 18º) Na P.A. em que a1 = 6 e r = 8, qual é o

lugar ocupado na seqüência pelo termo igual a 62? 19º) Quantos termos tem a P.A. (1,7,13,...121)? 20º) Qual a ordem ou índice do número 22 na P.A. (82, 76, 70,...). 21º) Quantos termos tem a P.A. finita (-2, 3,...,43)? Outros exercícios que são resolvidos com a fórmula do termo geral 1º CASO

➢ Quantos múltiplos de “k” existem entre os

números “x” e “y”? Solução: você deve saber que:

➢ A razão é sempre k, isto é, r = k.

➢ Obtenção de a1: Dividi-se o primeiro número dado, no caso “x” por k, e em seguida fazemos a diferença entre “x” e o resto da divisão; em seguida adiciona-se com “k”; o resultado é exatamente o primeiro termo.

➢ Obtenção de an: Divide-se o segundo número dado, no caso “y” por k e em seguida fazemos a diferença entre “y” e o resto da divisão, o resultado é exatamente o último múltiplo de “k” (an).

➢ Para obter o número de múltiplos, ou seja, o

valor de “n” basta usar a fórmula do termo geral. an= a1 + (n + 1).r

exemplos: 5º) Quantos múltiplos de 6 existem entre 100 e 400.

6º) Entre 63 e 500 há quantos múltiplos de 7? 7º) Quantos são os múltiplos de 3 e 7 que existem com 2 ou 3 algarismos inteiros e positivos? 8º) Quantos números inteiros e positivos, formados de dois ou três algarismos, não são divisíveis por 7? Aplicação 22º) Quantos números inteiros compreendidos entre 1 e 5000 são divisíveis por 3 e por 7 ao mesmo tempo? 23º) Quantos números inteiros compreendidos entre 101 a 700, que são divisíveis por 6. 24º) Quantos números inteiros positivos formados por dois ou três algarismos não são divisíveis por 2 nem por 5. 25º) Quantos números inteiros existem de 1000 a 10000, que não são divisíveis por 5 nem por 7. 2º CASO Interpolação Aritmética

Para interpolar ou inserir ou intercalar “k” meios aritméticos entre a e b; é necessário saber que:

➢ a é o a1 (primeiro termo da interpolação

aritmética)

➢ b é o an (último termo da interpolação

aritmética).

➢ n = k + 2 (número de termos é k mais os

extremos a1 e an)

➢ Para acertar a questão devemos achar a

razão(r) pela fórmula do termo geral an= a1 + (n - 1). r

Exemplos: 9º) Interpolando 6 meios aritméticos entre 3 e 31. Qual a razão desta P.A.? 10º) Inserindo-se 8 meios aritméticos entre os extremos de uma P.A. de valores -2 e 43. Forma esta P.A.

Aplicação 26º) Inserindo-se nove meios aritméticos entre 15 e 45. Qual o valor do quinto termo da P.A.? 27º) Intercalando-se 8 meios aritméticos em uma P.A. de extremos -4 e 41. Qual o valor da razão? 28º) Quantos meios aritméticos devemos interpolar entre 1 e 36 para que a razão seja 5? 3º CASO

Problemas envolvendo P.A. cuja resolução é por meio de um sistema de duas equações. Exemplos: 11º) Determine a razão de uma P.A. com dez termos sabendo que a soma dos dois primeiros termos é 5 e a soma dos dois últimos é 53. 12º) A soma do 4º e 8º termos de uma P.A. é 20 e o 31º termo é igual ao dobro do 16º termo. Determine o primeiro termo e a razão dessa P.A. 13º) Numa P.A. a3+ a6 = 29 e a4 + a7 = 35.

Escreva os cincos primeiros termos desta P.A. Aplicação 29º) Em uma P.A. crescente de 6 termos, a soma dos termos de ordem ímpar é 27 e a soma dos termos de ordem par é 36. Escreva os termos desta P.A. 30º) Em uma progressão aritmética tem-se que a1 + a5 = 8 e a4 + a9 = 29, determine:

a) A razão; b) O primeiro termo; c) 8º termo. 31º) Em uma P.A. de 9 termos sabe-se que a soma dos três primeiros vale -3 e a soma dos três últimos vale 33. Determine:

a) A razão; b) O primeiro termo; c) O termo central. 32º) Considere a P.A. (a1, a2, a3, a4, a5, a6,

a7, a8) sabe-se que: a2+a3+a5+a8 é igual a

14. Então o valor de 2a1+7r é:

33º) Numa P.A. de sete termos, soma do 3º com o último é 16 e a soma dos dois primeiros é -5. Determine o terceiro termo desta P.A. 4º CASO Exercícios de P.A. em função do termo geral Exemplos 14º) Se o termo geral de uma P.A. é an=5n - 13. Determine o 1º termo e a razão.

15º) O termo geral de uma P.A. é representado por an=4 - 2n, então determine o

quinto termo desta progressão. 16º) A expressão an= 1 - 2n/3 representa o termo geral de uma P.A., quanto vale “a1+2r”

onde r é a razão. Aplicação 34º) A expressão an=2 - n/3 representa o

termo geral de uma P.A. infinita então determine a razão e o quarto termo desta progressão. 35º) O termo geral de uma P.A. é representado por an=1+5n; determine o

centésimo primeiro termo. 36º) A expressão do termo geral de uma P.A . é an= 2/3 - 5n. Determine a3 + a5