Progressão Aritmética 02 Propriedade dos termos de uma P.A. 1º Propriedade Em uma P.A. de três termos consecutivos o termo central (termo do meio) é igual à média aritmética dos outros dois termos. Ex.: 2º Propriedade Considere a P.A. (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7)

saiba que:

➢ a1 e a7 são os extremos

➢ a2 e a6 são termos eqüidistantes dos

extremos.

➢ a3 e a5 são termos eqüidistantes dos

extremos.

➢ a4 é o termo central.

Observação: A soma dos índices dos termos eqüidistantes são iguais, veja! 2 + 6 = 3 + 5 8 = 8 Conseqüência desta propriedade Sejam a1 e an os extremos de uma P.A. de n

termos, adicionando-se os índices dos extremos termos “n+1” e a P.A. possui “n” termos. Logo: Em toda P.A. a soma dos índices dos extremos ou dos termos eqüidistantes será sempre igual ao número de termos adicionado a 1(um). Exemplo: 17º) Seja a P.A. (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,) de 7 termos, isto é, n=7. Extremo 1+7=8, então: 8=n+1 8=7+1 8=8 3º Propriedade Em toda P.A. finita o termo central é a média aritmética dos extremos e também dos termos eqüidistantes dos extremos. Veja! Seja a P.A. (3, 5, 7, 9, 11, 13,15) a4 é o termo central (9)

(a1 + a7)/2 = a4

(a2 + a6)/2 = a4

4º Propriedade Quando um problema de P.A. finita relaciona termos desconhecidos e fornece “pistas” sobre esses números devemos fazer o seguinte:

➢ P.A. de três termos:

Fazemos (x - r, x, x + r)

➢ P.A. de quatro termos:

Fazemos (x - 3r, x - r, x + r, x + 3r)

➢ P.A. de cinco termos:

Fazemos (x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r) Exemplos: 18º) Determine “x” sabendo que a seqüência (x + 1, 3x - 1, 4x) forma nesta ordem uma P.A. 19º) (UNAMA) Se a seqüência (a1, a2, a3,...,

an) é uma P.A. com 27 termos e sabendo-se

que a3 e ap são termos eqüidistantes dos

extremos, o valor de p é: a) 25 b) 26 c) 27 d) 23 e) 24 20º) (UFPA) Em Uma P.A. de k termos, a soma do primeiro termo com o último é 210: então a soma do sétimo termo com o de ordem k - 6 é: a) 105 b) 100 c) 108 d) 210 21º) (UFRJ) Numa P.A. finita de 13 termos a soma a2 +a12 = 126. Qual o valor de a7?

22º) (PUC-SP) Numa P.A. crescente de três termos a soma dos termos é 9 e o produto entre eles vale 18. Quais os termos? Aplicação 38º) Calcule o valor de x e também os termos da P.A. Dado (2x, 3x + 5, 5x + 8). 39º) A seqüência (3x + 2, 4x + 3, 16 - x,...) é uma P.A. infinita, onde são conhecidos os três primeiros termos. Qual o décimo segundo termo?

Prof. Ricardo Augusto

40º) Numa P.A. de cem termos, a soma a57 +

a44 é 72. Então determine o valor de a18 + a83.

41º) Numa P.A. de 51 termos, sabe-se que a19 +a33 = 42. Então quanto vale o termo

central? 42º) A soma dos três termos de uma P.A. crescente é 21 e a soma dos seus quadrados é 165. Qual o menor termo? 43º) Em uma P.A. crescente de cinco termos a soma deles vale 40 e o produto dos extremos 28. Qual o maior termo? 44º) Uma P.A. crescente é formada de quatro termos onde a soma dos extremos é 8 e o produto dos meios 15. Escreva esta P.A. Fórmula da soma dos n termos de uma P.A. finita

2

).( 1 naaS

n

n

+=

Onde: a1 = 1º termo;

an = termo geral ou último termo;

n = número de termos Sn= soma de n termos.

Exemplos 23º) Obter a soma dos 21 primeiros termos da P.A. (-3, 2,...). 24º) A soma dos 60 primeiros múltiplos positivos de 5 é: ( a1 = 5)

a) 8850 b) 9150 c) 9300 d) 8700 e) 8855 25º) O valor de x na igualdade abaixo: (x +2)+ (x+5)+ (x+8)+...+ (x+35)=282 é:

a) 5 b) 2 c) -3 d) 0 e) 58 26º) Numa P.A. temos a2+a3+a5+a8=14. Então

a soma dos 8 primeiros termos dessa P.A. é: a) 21 b) 24 c) 28 d) 32 e) 42 Aplicação 45º) Quantos termos devemos tomar na progressão aritmética ( -7, -3,...) . Para que a soma seja igual a 3150. a) 40 b) 41 c) 39 d) 42 e) 43

46º) A expressão Sn= (n - 3).n, ∀ n∈ℕ*, representa a soma dos n primeiros termos de uma P.A. cuja razão é: a) -3 b) -2 c) -1 d) 2 e) 3 47º) Determine a soma de todos os múltiplos de 6 compreendidos entre 70 e 170. 48º) Quantos termos devem ter a sucessão ( 7, 9, 11, 13,...) para que a sua soma seja 160? 49º) A soma dos 14 primeiros termos de uma P.A. é 826. Sendo 111 o último termo, calcule o primeiro termo. 50º) Para escrever um livro, um escritor começou escrevendo 20 linhas em certo. A partir desse dia, ele escrevia tantas linhas quantas tinha escrito no dia anterior mais 5 linhas. Se o livro tem 17 páginas, cada uma com 25 linhas, quantos dias ele levou para escrever este livro?