Progressão Geométrica

1) Definição:

Progressão geométrica (P.G) é toda seqüência de números não-nulos na qual é constante o quociente da divisão de cada termo (a partir do segundo ) pelo termo anterior. Esse quociente é chamado razão q da progressão ou, seja, uma progressão geométrica é uma seqüência na qual a taxa de crescimento relativo de cada termo para o seguinte é sempre a mesma.

2) Fórmula do termo geral

1

1

−⋅=

n

n qaa

onde: an= termo geral;

a1= 1º termo;

n= número de termos q= razão Exercícios 1º) Determine a razão de cada seqüência; a) ( 1, 3, 9, 27, 81) b) ( 400, 200, 100, 50) c) ( 5, -10, 20, -40, 80, -160) d) (1, 1/4,1/16, 1/64) e) (x, 4x, 16x, 64x, 256x)

f) ( a, ap, ap2, ap3)

g) ( x/y2, x/y, x, xy) 2º) Escreva uma P.G.: a) De cinco termos em que a1= 7 e q = 3;

b) De quatro termos em que a1= - 5 e q = 2;

c) De quatro termos, na qual a1= 180 e q = 1/3;

d) De cinco termos, na qual a1 = x/y3 e q = y2

3º) Determine:

a) O 4º termo da P.G. em que a1= 4 e q = 5;

b) O 5º termo da P.G. na qual a1= 10 -4 e q = 10;

c) O 6º termo da P.G. em que a4= 128 e q = 4

d) O 9º termo da P.G. em que a5= ab2 e q = 1/2

4º) Determine a fórmula do termo geral de cada P.G.:

a) ( 2, 8,...)

b) ( 3, 9,...)

c) ( 2, 9,...)

d) ( 2, 4,...)

5º) Quantos elementos tem a P.G. ( 8, 32,...,231)?

6º) Em uma P.G. o quarto termo é 24 e o sexto termo

é 96. Determine esta P.G.

7º) Em uma P.G. a soma do segundo termo com o

terceiro termo vale 20 e a soma do quarto termo com

o quinto termo vale 320. Determine a razão.

8º) Quatro números estão em P.G., a soma do

primeiro com o terceiro é 10 e a soma do segundo

com o quarto é 30. Determine a razão.

9º) Escrever a P.G. onde a soma do primeiro termo

com o terceiro seja 20 e a soma do segundo com o

quarto termo seja 60.

10º) Em uma P.G. a soma dos dois primeiros termos é 1 e a soma do terceiro com o quarto é 9. Determine o primeiro termo. 11º) A soma do 2º, 4º e 7º termos de uma P.G. é 148, a soma do 3º, 5º e 8º vale 296. Determine a razão.

3) Interpolação geométrica 12º) Interpolar 5 meios geométricos entre 2 e 1458. 13º) Interpolar-se 6 meios geométricos entre 5 e 640. Qual a razão assim obtida? 14º) Inserir três meios geométricos entre 3 e 48.

4) Propriedades 4.1) Em qualquer P.G. de três termos consecutivos o termo central é a média geométrica entre os outros dois termos: ( a1,a2, a3)

1

2

a

aq =

e 31

2

2

2

3

1

2

2

3 aaaa

a

a

a

a

aq ⋅===⇒=

Exemplo: 01. Determine o valor de x para que a seqüência (x, -4,8) seja uma P.G. 02. Determine o valor ‘a’ de modo que a seqüência a+1, a+4, a+10 forme nesta ordem uma P.G. 4.2) Na resolução de problemas de P.G. de acordo com o número de termos desconhecidos podemos ter:

Prof. Ricardo Augusto

➢ Três termos ( x/q, x, x.q)

➢ Quatro termos ( x/q3, x/q, x.q, x.q3)

➢ Cinco termos (x/q2, x/q, x, x.q, x.q2)

Exemplo: 03. O produto de três termos em P.G. é -9261 e a soma do 1º com o 2º é -17. Determine a P.G. 04. A soma de três termos consecutivos de uma progressão geométrica decrescente é 39 e o seu produto é 729. Qual o último termo desta P.G.

5) Produto dos n primeiros termos de uma P.G.

( )n

naaPn ⋅=1

Exemplo:

05. Determine o produto dos doze primeiros termos da

P.G. ( -4096, -2048, ...)

06. Calcular o produto dos 7 primeiros termos da P.G.

( -128, -64,...)

07. Calcular o produto dos 15 primeiros termos da

P.G. ( -3, -9, -27,...)

6) Fórmula da soma dos “n” termos de uma P.G. finita

( )1

11

−

−=

q

qaSn

n

onde:

Sn

= soma de n termos

q = razão

n = número determos a1 = 1º termo

Exemplo: 08. Calcular a soma dos dez primeiros termos da P.G. ( 2, 4, 8,...) 09. Determinar a soma dos termos da P.G. ( 1,3, 9,...,729) 10. Qual o valor de x na igualdade x + 3x +...+ 243x = 728, sabendo-se que os termos do 1º membro formam uma P.G. finita.

11. Resolver a equação 3x + 12x +...+ 12288x = 16383. Sabendo que o 1º membro é uma P.G. finita. Exercícios 15º) Qual é o 7º termo da P.G. ( 2,6,...) 16º) Calcule o 1º termo de uma P.G. em que a4 = 375

e q = 5 17º) Numa P.G. crescente o 1º termo é 3 e o 5º termo é 30000. Qual é o valor da razão q nessa P.G.? 18º) Determine o valor de x de modo que os números x+1, x+6 e x+16 formam, nessa ordem, uma P.G. 19º) Numa P.G. crescente o 3º termo é 3 e o 5º termo é 48. Qual é o valor do 4º termo? Qual é o valor da razão q? 20º) Numa P.G. temos a5= 32 e a8=256. Calcule o

primeiro termo e a razão dessa P.G. 21º) Quais são as progressões geométricas de termos reais em que a7= 20 e a3 = 320?

22º) Numa P.G. a soma do 3º e do 5º termo é igual a 360 e a soma do 4º e do 6º termo é igual a 1080. Determine a razão e o 1º termo dessa P.G. 23º) Três números estão em P.G. de forma que o produto deles é 1728 e a soma é 52. Calcule os três números. 24º) Em uma progressão geométrica, o quarto termo vale 7 e o sétimo termo vale 189. Quanto vale o sexto termo dessa progressão? 25º) Quantos meios geométricos devemos inserir entre 1/16 e 64 de modo que a seqüência obtida tenha razão 4? 26º) Calcule o valor de x na igualdade 10x+20x+...+1280x = 7650, sabendo que os termos do 1º membro formam uma P.G.