Projeto da Feira de Ciências – 8 ª série

Equipes:Varejão Recepção Pitágoras Arquimedes Descartes

1º Horário (08:00-10:00)

Calvin Vitor Vinicius Machado

Ari Yohann

Cícero Sarah Thalita Fernanda Demetruk

Felipe

Gleisa ThiagoJoão

2º Horário (10:00-12:00)

Jonatas Victor Letícia Fernanda Roters

Carolina

Rodrigo Rafael Guilherme Eduardo LuizVinicius Bueno

Vinicius Franzoni

Valquíria

Conteúdo Básico para Discussão e Síntese

PitágorasPitágoras, um dos maiores filósofos da Europa antiga, era filho de um gravador, Mnesarco. Nasceu cerca de 580 anos a.c., em Samos, uma ilha do mar Egeu, ou, segundo alguns, em Sidon, na Fenícia. Muito pouco se sabe sobre a sua juventude, a não ser que conquistou prêmios nos Jogos Olímpicos.

Chegando à idade adulta e não se sentindo satisfeito com os conhecimentos adquiridos em sua terra, deixou a ilha onde vivia e passou muitos anos a viajar, visitando a maioria dos grandes centros da sabedoria. A história conta a sua peregrinação em busca de conhecimentos, que se estenderam ao Egito, Indostão, Pérsia, Creta e Palestina, e como adquiriu em cada país novas informações, conseguiu familiarizar-se com a Sabedoria Esotérica, assim como os conhecimentos esotéricos neles disponíveis. Voltou, com a mente repleta de conhecimentos e a capacidade de julgamento amadurecida, à sua terra, onde tencionava abrir uma escola para divulgar os seus conhecimentos, o que, porém, se mostrou impraticável, devido à oposição do turbulento tirano Policrates, que governava a ilha. Em vista do fracasso de uma tentativa migrou para Cróton, importante cidade da Magna Grécia, que era uma colônia fundada pelos dórios na costa meridional da Itália.

Foi ali que o famoso filósofo fundou a Escola ou Sociedade de Estudiosos, que se tornou conhecida em todo o mundo civilizado como o centro de erudição na Europa; foi ali que, secretamente, Pitágoras ensinou a sabedoria oculta que havia coligido dos ginosofistas e brâmanes da Índia, dos hierofantes do Egito, do Oráculo de Delfos, da Caverna de Ida e da Cabala dos rabinos hebreus e magos caldeus. Durante cerca de quarenta anos ele lecionou para os seus discípulos e exibiu os seus maravilhosos poderes; mas foi posto um fim à sua instituição, e ele próprio foi forçado a fugir da cidade, devido a uma conspiração e rebelião surgidas em decorrência de uma disputa entre o povo de Cróton e os habitantes de Síbaris; ele conseguiu chegar em Metaponto, onde, segundo a tradição morreu mais ou menos em 500 a.c. A Escola de PitágorasA Escola de Pitágoras tinha várias características peculiares. Cada membro era obrigado a passar um período de cinco anos de contemplação, guardando perfeito silêncio; os membros tinham tudo em comum e abstinham-se de alimentos de origem animal; acreditavam na doutrina da metempsicose, e tinham uma fé ardente e absoluta no seu mestre e fundador da Escola. O elemento da fé entrava a tal ponto na sua aprendizagem, que "autos efa" - ele disse - constituía uma destacada feição da Escola; por isso, a sua afirmação "Um amigo meu é o meu outro eu" tornou-se um provérbio naquele tempo. O ensino era em grande parte secreto, sendo atribuídos a cada classe e grau de instrução certos estudos e ensinamentos; somente o mérito e a capacidade permitiam a passagem para uma classe superior e para o conhecimento de mistérios mais recônditos. A ninguém era permitido registar por escrito qualquer princípio ou doutrina secreta, e, pelo que se sabe, nenhum discípulo jamais violou a regra até depois da morte de Pitágoras e da dispersão da Escola. Depende-se, assim, inteiramente, dos fragmentos de informações fornecidas pelos seus sucessores, e pelos seus críticos ou críticos dos seus sucessores. Uma considerável incerteza é, portanto, inseparável de qualquer consideração das doutrinas reais do próprio Pitágoras, mas pisa-se um terreno mais firme quando se investigam as opiniões dos seus seguidores. Sabe-se que as suas instruções aos seguidores eram formuladas em duas grandes divisões: a ciência dos números e a teoria da grandeza. A primeira dessas divisões incluía dois ramos: a aritmética e a harmonia musical; a segunda era subdividida também em dois ramos, conforme se tratava da grandeza em repouso - a geometria, ou da grandeza em movimento - a astronomia. As mais notáveis peculiaridades das suas doutrinas estavam relacionadas com as concepções matemáticas, as idéias numéricas e simbolizações sobre as quais se apoiava a sua filosofia. Os princípios que governam os Números eram, supunha-se os princípios de todas as Existências Reais; e, como os Números são os componentes primários das Grandezas Matemáticas e, ao mesmo tempo, apresentaram muitas analogias com várias realidades, deduzia-se que os elementos dos Números eram os elementos das Realidades.

Acredita-se que os europeus devem ao próprio Pitágoras os primeiros ensinamentos sobre as propriedades dos Números, dos princípios da música e da física; há provas, porém de que ele visitou a Ásia Central, e ali adquiriu as idéias matemáticas que formam a base da sua doutrina. A maneira de pensar introduzida por Pitágoras e seguida pelo seu sucessor Jamblico e outros, tornou-se conhecida mais tarde pelos títulos de Escola Italiana ou Escola Dórica. História e lenda do Teorema de Pitágoras 

Os geômetras gregos elevaram a um altíssimo grau de perfeição, técnica e lógica, o estudo das proporções entre grandezas, em particular o confronto entre figuras semelhantes. Eles basearam-se em tal estudo o cálculo não só de comprimentos incógnitos, mas também das áreas de muitas figuras planas limitadas por retas, ou de volumes de sólidos limitados por planos.Para confrontar as áreas das duas figuras planas semelhantes (isto é, da mesma forma) é preciso confrontar não os lados correspondentes, mas os quadrados dos lados correspondentes. No entanto, alguns matemáticos estão de acordo com os estudiosos que pensam que os gregos fizeram o cálculo das áreas, num primeiro momento, por uma via mais simples e natural do que aquela que se baseia no confronto de figuras semelhantes e, em geral, sobre as proporções.Um exemplo famoso, é o de Pitágoras e do seu teorema:« Num triângulo retângulo, a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os dois catetos. A lenda diz que Pitágoras compreendeu tão bem a importância da sua demonstração, que ordenou uma hecatombe, isto é, o sacrifício de cem bois aos deuses, em sinal de agradecimento e de alegria. Naturalmente, sobre a descoberta de Pitágoras não temos jornais, nem livros, nem revistas da época, porque naquela época não havia nem jornais, nem livros, nem revistas. Temos só lendas, ou melhor, histórias de escritores que viveram séculos e séculos depois. Todavia, muitas razões nos induzem a acreditar na «história de Pitágoras». Talvez não se tenha chamado Pitágoras, talvez não tenha morto cem bois, mas um só, ou talvez não tenha sacrificado nem sequer um cordeirinho: tudo isto pode ser só lenda.Mas que um estudioso da Grande Grécia (com esta expressão incluíam-se a Itália Meridional e a Sicília), que viveu seiscentos anos a.c., tenha mostrado com um raciocínio geral a relação, a que chamamos Teorema de Pitágoras, entre os quadrados dos catetos e o da hipotenusa, para cada possível triângulo retângulo, acreditamos que seja verdade.Sabemos, para além disso, que no tempo de Pitágoras, nas ilhas gregas e na Grande Grécia, a geometria de recolha de regras práticas e de observações separadas, como aquela que recordamos agora, se transforma em ciência racional, isto é em raciocínios gerais sobre as figuras em geral. Portanto Pitágoras - hecatombe ou não hecatombe - demonstrou verdadeiramente, cerca de seiscentos anos a.c., que «a soma dos quadrados dos dois catetos, num triângulo retângulo, é sempre igual, ou melhor, equivalente, ao quadrado da hipotenusa».

Perímetros PitagóricosUm grande rancho australiano tem uma forma que pode ser visualizada como um quadrado, a cujos lados está justaposto um triângulo retângulo.

Todos os triângulos são diferentes em tamanho, mas têm a propriedade de os seus lados terem todos um número inteiro de quilômetros.Qual é o menor perímetro possível do rancho? CuriosidadesTernos Pitagóricos Dá-se o nome de ternos pitagóricos aos ternos de números naturais que verificam o Teorema de Pitágoras.Exemplos:3, 4, 56, 8, 10 5, 12, 139, 12, 15Se verificares existe uma relação entre elementos do terno 3, 4, 5 e os elementos dos ternos 6, 8, 10; 9, 12, 15 que é:

Ora estes três ternos dizem-se da mesma família.Note-se que ainda poderíamos obter mais ternos desta família multiplicando 3, 4, 5 por outros números naturais. Por exemplo: 12, 16, 20 que resulta de multiplicarmos 3, 4, 5 por 4, etc.Experimenta agora encontrares outros ternos pitagóricos e elementos da sua família. Árvore de PitágorasA Árvore de Pitágoras corresponde a uma construção que consta dos seguintes passos:1 - Desenhar um quadrado,2 - A um dos lados deste quadrado justapõe-se um triângulo;3 - Em seguida, nos dois lados livres do triângulo constroem-se dois quadrados (as medidas dos lados dos quadrados são iguais às medidas dos lados dos triângulos aos quais são justapostos);4 - A partir daqui repetem-se os 3 passos anteriores para os dois novos quadrados.

Reitor da primeira universidadeA palavra Matemática (Mathematike, em grego) surgiu com Pitágoras, que foi o primeiro a concebê-la como um sistema de pensamento, fulcrado em provas dedutivas. Existem, no entanto, indícios de que o chamado Teorema de Pitágoras (a² = b² + c²) já era conhecido dos babilônios em 1600 a.C. com escopo empírico. Estes usavam sistemas de notação sexagesimal na medida do tempo (1h=60min) e na medida dos ângulos (60º, 90º, 180º, 240º, 360º). Pitágoras (560(?) – 500(?) a.C.) nasceu na Ásia Menor, na ilha de Samos. Percorreu por 30 anos o Egito, Babilônia, Síria, Fenícia e quiçá Índia e Pérsia, onde acumulou ecléticos conhecimentos: astronomia, matemática, ciência, filosofia, misticismo e religião. É oportuno lembrar a sua contemporaneidade com Tales,Buda, Confúcio e Lao-Tsé. Retornando a Samos, indispôs-se com o tirano Polícrates e emigrou para o sul da Itália, na Ilha de Crotona, de dominação grega. Aí fundou a Escola Pitagórica, a quem se concede a glória de ser a "primeira Universidade do mundo". A Escola Pitagórica e suas atividades se viram desde então envoltas por um véu de lendas. Foi uma entidade parcialmente secreta com centenas de alunos que

compunham uma irmandade religiosa e intelectual. Entre os conceitos que defendiam, destacam-se:prática de rituais de purificação e crença na doutrina da metempsicose, isto é, na transmigração da alma após a morte, de um corpo para outro. Portanto, advogavam a reencarnação e a imortalidade da alma;lealdade entre os seus membros e distribuição comunitária dos bens materiais;austeridade, ascetismo e obediência à hierarquia da Escola;proibição de beber vinho e comer carne (portanto é falsa a informação que seus discípulos tivessem mandado matar 100 bois quando da demonstração do denominado Teorema de Pitágoras. A palavra hecatombe que significa mortandade ou carnificina, deve sua etimologia ao grego: sacrifício de 100 bois);purificação da mente pelo estudo de Geometria, Aritmética, Música e Astronomia;classificação aritmética dos números em pares, ímpares, primos e fatoráveis;"criação de um modelo de definições, axiomas, teoremas e provas, segundo o qual a estrutura intrincada da Geometria é obtida de um pequeno número de afirmações explicitamente feitas e da ação de um raciocínio dedutivo rigoroso" (George Simmons);grande celeuma instalou-se entre os discípulos de Pitágoras a respeito da irracionalidade do 'raiz de 2'. Utilizando notação algébrica, os pitagóricos não aceitavam qualquer solução numérica para x2 = 2, pois só admitiam números racionais. Dada a conotação mística atribuída aos números, comenta-se que, quando o infeliz Hipasus de Metapontum propôs uma solução para o impasse, os outros discípulos o expulsaram da Escola e o afogaram no mar;na Astronomia, idéias inovadoras, embora nem sempre verdadeiras: a Terra é esférica, os planetas movem-se em diferentes velocidades em suas várias órbitas ao redor da Terra. Pela cuidadosa observação dos astros, cristalizou-se a idéia de que há uma ordem que domina o Universo;aos pitagóricos deve-se provavelmente a construção do cubo, tetraedro, octaedro, dodecaedro e a bem conhecida "seção áurea";na Música, uma descoberta notável de que os intervalos musicais se colocam de modo que admitem expressões através de proporções aritméticas: Pitágoras é o primeiro matemático puro. Entretanto é difícil separar o histórico do lendário, uma vez que deve ser considerado uma figura imprecisa historicamente, já que tudo o que dele sabemos deve-se à tradição oral. Nada deixou escrito, e os primeiros trabalhos sobre o mesmo deve-se a Filolau, quase 100 anos após a morte de Pitágoras. Mas não é fácil negar aos pitagóricos - assevera Carl Boyer - "o papel primordial para o estabelecimento da Matemática como disciplina racional". A despeito de algum exagero, há séculos cunhou-se uma frase: "Se não houvesse o 'teorema Pitágoras', não existiria a Geometria". Ao biografar Pitágoras, Jâmblico (c. 300 d.C.) registra que o mestre vivia repetindo aos discípulos: “todas as coisas se assemelham aos números”. A Escola Pitagórica ensejou forte influência na poderosa verve de Euclides, Arquimedes e Platão, na antiga era cristã, na Idade Média, na Renascença e até em nossos dias com o Neopitagorismo.

Pensamentos de PitágorasEducai as crianças e não será preciso punir os homens.Não é livre quem não obteve domínio sobre si.Pensem o que quiserem de ti; faze aquilo que te parece justo.O que fala semeia; o que escuta recolhe.Ajuda teus semelhantes a levantar a carga, mas não a carregues.Com ordem e com tempo encontra-se o segredo de fazer tudo e tudo fazer bem.Todas as coisas são números.A melhor maneira que o homem dispõe para se aperfeiçoar, é aproximar-se de Deus.A Evolução é a Lei da Vida, o Número é a Lei do Universo, a Unidade é a Lei de Deus.A vida é como uma sala de espectáculos: entra-se, vê-se e sai-se.

Arquimedes

287ac à 212acArquimedes, filho de um astrônomo, foi o maior cientista e matemático da antiguidade. Estudou em Alexandria, onde seu professor Cônon havia sido, em seu tempo, aluno de Euclides. Regressou a sua cidade natal, provavelmente por causa das suas boas relações com o rei de Siracusa, Hierão II.Hierão pediu ao seu brilhante amigo para determinar se uma coroa, que havia acabado de receber do ourives, era realmente de ouro, como deveria ser, ou se tratava de uma liga de prata.Arquimedes foi intimado a realizar suas determinações sem estragar a coroa.O físico não atinava como proceder até que um belo dia, entrando em uma banheira cheia, notou que a água transbordava. Repentinamente ocorreu-lhe que a quantidade de água transbordada era igual em volume à parte do corpo nela mergulhada. Raciocinou então que, se mergulhasse a coroa na água, poderia determinar seu volume pela subida do liquido. Poderia mais ainda: comparar este dado com o volume de um pedaço de ouro de igual peso. Se os volumes fossem iguais, a coroa seria de ouro puro. Se a coroa fosse feita de uma liga de prata (mais volumosa que o ouro), teria um volume maior.Excitado ao mais alto grau pela sua descoberta do princípio de flutuabilidade, Arquimedes pulou para fora da banheira, e, completamente nu, correu pelas ruas de Siracusa até o palácio real aos gritos de Achei! Achei! (É preciso salientar que a nudez não perturbava tanto os gregos quanto a nós). Como Arquimedes falava grego, o que disse foi Eureka! Eureka! Esta expressão é usada desde então como exclamação apropriada ao prenúncio de uma descoberta. (A conclusão da história é de que a coroa incluía certa percentagem de prata, tendo sido o ourives executado).Arquimedes também desenvolveu o princípio da alavanca. Demonstrou que um pequeno peso situado a uma certa distância do ponto de apoio da alavanca pode contrabalançar um peso maior situado mais perto, sendo assim peso e distância inversamente proporcionais. O principio da alavanca explica por que um grande bloco de pedra pode ser levantado por um pé de cabra.Também calculou o valor de pi, obtendo um resultado melhor do que qualquer outro até então obtido no mundo clássico.Demonstrou que o valor real se encontrava entre 223/71 e 220/70. Usou para esse fim o método que consiste em calcular as circunferências e os diâmetros de polígonos traçados dentro e fora do círculo. Ao acrescentarem-se lados ao polígono, este se aproxima cada vez mais do círculo, em tamanho e área. Poderíamos considerar que dois mil anos antes de Newton, este brilhante homem foi precursor do Cálculo Diferencial e Integral.Mas Arquimedes não terminou os seus dias em paz. Sua fama maior é a de guerreiro. Hierão II mantinha um tratado de aliança com Roma e ele se manteve fiel. Após a sua morte, seu neto, Jerônimo, tomou o poder. Roma sofreu sua pior derrota em Canas e, durante certo tempo, pareceu prestes a ser esmagada, Jerônimo, desejoso de permanecer ao lado do vencedor aliou-se a Cartago. Mas os romanos ainda não estavam vencidos. Enviaram uma frota sob o comando do General Marcelo, contra Siracusa, dando inicio então a uma guerra de três anos, a que moveu a frota romana contra um único homem, Arquimedes.Segundo a tradição, os romanos teriam tomado a cidade rapidamente, não fossem as armas engenhosas inventada pelo grande cientista. Teria construído grandes lentes destinadas a incendiar a frota, guindastes mecânicos para levantar os navios e vira-los de cabeça para baixo, etc. Ao fim da história, parece que os romanos não se atreviam a se aproximar dos muros da cidade, fugindo ao menor fio que sobre eles surgisse convencido que o temível Arquimedes os estava destruindo com invenções novas e monstruosas.Durante o saque da cidade, Arquimedes, com um soberbo e erudito desdém para com a realidade, entregou-se a um problema matemático. Um soldado romano encontrou-o inclinado sobre uma figura geométrica desenhada na areia e ordenou-lhe que o acompanhasse. Arquimedes apenas respondeu por gestos: "Não perturbe meus círculos!”.O soldado romano, aparentemente um homem prático, sem tempo para brincar, matou Arquimedes e seguiu em frente. Marcelo, que havia dado ordens para capturar Arquimedes com vida e para tratá-lo com distinção, lamentou sua morte e ordenou funeral condigno, tratando os parentes do grande homem com relativa suavidade.

Criações matemáticas

No tratado Sobre as Medidas do Círculo, Arquimedes, em um círculo dado, inscreveu e circunscreveu um polígono de 96 lados e obteve a fórmula para o cálculo da área do círculo e, por muitos séculos, o mais acertado valor para π:No tratado “A Quadratura da Parábola”, Arquimedes demonstra que a área contida por uma parábola (Sp) e uma reta transversal é 4/3 da área ) com a mesma base e cujo vértice é o ponto onde ado triângulo (S tangente à parábola é paralela à base.O tratado Sobre Espirais descreve a curva hoje conhecida como = kθ) e pelaEspiral de Arquimedes (em coordenadas polares tem equação primeira vez determina a tangente a uma curva que não seja o círculo.De forma inédita, Arquimedes apresenta os primeiros conceitos de limites e cálculo diferencial, cerca de 19 séculos antes de Newton.Outros inventos notáveisUm mecanismo feito de tubos em hélice, fixos a um eixo inclinado com uma manivela para fazê-lo girar. Tem por escopo elevar a água a um plano superior, conhecido como "parafuso de Arquimedes". É um processo rudimentar, mas que ainda é usado ao longo do rio Nilo.Conta Plutarco que Arquimedes arrastou uma das galeras do rei Herão, tão suave e uniformemente como se navegasse em pleno mar, movendo apenas com sua mão a extremidade de um engenho que consistia em um bloco com polias e cordas.Relata Cícero que Arquimedes construiu um empolgante mecanismo hidráulico, com esferas móveis que representavam o Sol, a Lua e os cincos planetas conhecidos, podendo-se observar as fases e os eclipses da Lua. Enfim, um pequeno planetário.Enfim, são tantos os feitos, que Leibniz se faz apropriado. “Quem entende Arquimedes e Apolônio, admirará menos as realizações dos homens mais célebres de épocas posteriores".

O quebra-cabeça de Arquimedes

Como se não bastasse ter sido o descobridor de leis da física, inventor de engenhocas para facilitar a vida humana e um dos maiores matemáticos de todos os tempos, Arquimedes (287-212 a.C.) agora é apontado também como o possível inventor de um dos passatempos mais antigos do mundo.De todos os seus feitos, o que levou mais fama foi a descoberta do empuxo. Conta-se que, enquanto tomava banho de banheira, o grego se deu conta de que o volume de seu corpo imerso deslocava para cima um volume de água de igual valor. Além disso, seu corpo imerso sofria a ação de uma força vertical, para cima - o empuxo -, de valor exatamente igual ao peso da água que era deslocada pelo seu corpo. Entusiasmado com a descoberta o gênio teria saído nu às ruas gritando "Eureca!" (descobri, em grego.)Arquimedes também deixou para a humanidade os benefícios do parafuso, das roldanas, das alavancas e invenções de ataque e defesa militares, como a catapulta. Como matemático, o grego é famoso pelos seus trabalhos e descobertas na geometria, como o cálculo do número "pi" e a medição de áreas de figuras geométricas.Só que agora, investigando velhos pergaminhos e manuscritos, o historiador de matemática Reviel Netz, da Universidade de Stanford, na Califórnia, afirma que Arquimedes foi também pioneiro em análise combinatória, área que só ganhou mais incentivo e aplicação com os computadores, no século 20. Os matemáticos desse ramo procuram determinar de quantas

maneiras um problema pode ser resolvido. E esses estudos podem ser aplicados na busca do melhor jeito de se realizar uma tarefa. Fazemos algo parecido, por exemplo, quando temos convidados para jantar e queremos saber de quantas formas eles podem ser distribuídos à mesa, e qual a melhor distribuição de pessoas nas cadeiras (quem ao lado de quem).Os pergaminhos, depois de passar pelas mãos de vários povos da Idade Média, desaparecer várias vezes, ir parar em mosteiros em que monges os utilizaram para escrever orações, sumir de novo e sofrer a ação de mofos, foram reencontrados e analisados nos últimos anos por cientistas, matemáticos e especialistas em grego. Com o auxílio de raios ultravioleta e de programas de computador para separar o que seria original (transcrição do trabalho de Arquimedes) de ruídos (orações escritas, mofos etc.), a equipe liderada por Netz chegou à conclusão que o grego deixou um trabalho inédito sobre um passatempo da Antiguidade: o stomachion.O trabalho descreve um quebra-cabeça que consiste em um quadrado fracionado em 14 partes. O objetivo do jogo é, depois de embaralhados, juntar esses 14 pedaços para formar novamente o quadrado ou ainda outras figuras conhecidas. O stomachion é parecido com o Tangram, mais difundido hoje, o desafio chinês de 7 peças.Os especialistas não compreendiam como um gênio como Arquimedes poderia ter perdido seu tempo com um trabalho sobre um brinquedo desses para crianças. Mas analisando os manuscritos e o passatempo, concluíram que o grego havia escrito um tratado para tentar solucionar o seguinte problema: de quantas maneiras as peças podem ser arranjadas para formar o quadrado. Hoje, essa é uma questão para os especialistas em análise combinatória responderem. E eles podem recorrer à ajuda de computadores. Netz propôs o problema para matemáticos atuais da área de combinatória e eles, depois de seis semanas, concluíram que a resposta é 17.152.Na verdade, não se sabe se Arquimedes inventou o brinquedo nem sequer se chegou à resposta correta do número de arranjos possíveis para a formação do quadrado. Mas na opinião de Netz, o grego teria pelo menos proposto uma solução. E isso há 2.200 anos, enquanto descobria leis da natureza, relações geométricas e inventava máquinas. Ele só não se preocupou em proteger sua própria vida. Conta-se que, absorto em seus estudos, foi morto por um soldado romano durante a invasão de sua cidade, enquanto estudava e escrevia equações matemáticas nas areias da praia de Siracusa, na atual Sicília. Arquimedes teria se recusado a parar de estudar durante o cerco.

Como é o StomachionO passatempo que fez Arquimedes gastar seu tempo é um quadrado dividido em 14 partes irregularesO desafio do brinquedo é embaralhar as peças e depois juntá-las novamente para formar um quadrado. Pode-se também tentar montar figuras parecidas com objetos ou animais. Um exemplo é o esboço do elefanteGabriela Favre

> Junte três das peças abaixo (sem girá-las) para formar um triângulo que se encaixe no espaço vazio à direita

DescartesRené Descartes (31 de Março de 1596, La Haye/Touraine, França — 11 de Fevereiro de 1650, Estocolmo, Suécia), também conhecido como Cartesius, foi um filósofo, um físico e matemático francês. Notabilizou-se sobre tudo pelo seu trabalho revolucionário da Filosofia, tendo também sido famoso por ser o inventor do sistema de coordenadas cartesiano, que influenciou o desenvolvimento do Cálculo moderno.Descartes, por vezes chamado o fundador da filosofia moderna e o pai da matemática moderna, é considerado um dos pensadores mais importantes e influentes da história humana. Ele inspirou os seus contemporâneos e gerações de filósofos. Na opinião de alguns comentadores, ele iniciou a formação daquilo a que hoje se chama de Racionalismo continental (supostamente em oposição à escola que predominava nas ilhas britânicas, o Empirismo), posição filosófica dos séculos XVII e XVIII na Europa.René Descartes nasceu em La haye (hoje Descartes), no departamento francês de Indre-et-Loire. Com oito anos, ingressou no Colégio Jesuíta Royal Henry-Le-Grand em La Flèche. Tinha bastante liberdade e era apreciado pelos professores, mas declarou no Discurso sobre o método decepção com o ensino escolástico. Depois, seguiu seus estudos, graduando com Baccalauréat e Licença em Direito em 1616.Contanto, Descartes nunca exerceu o Direito, e em 1618 alistou-se no exército do Príncipe Maurício de Nassau, com a intenção de seguir carreira militar. Mas se declarava menos um ator do que um espectador: antes ouvinte numa escola de guerra do que verdadeiro militar. Conheceu então Isaac Beeckman, e compôs um pequeno tratado sobre música intitulado Compendium Musicae. É nessa época também que escreve Larvatus prodeo (Eu caminho mascarado). Em 1619, viajou até a Alemanha e no dia 10 de Novembro teve uma visão em sonho de um novo sistema matemático e científico. Em 1622, ele retornou a França e passou os seguintes anos em Paris a algumas outras partes da Europa.Em 1628, ele compôs as Regulae ad directionem ingenii (Regras para a Direção do Espírito), e partiu para os Países Baixos, onde viveu até 1649, mas mudando de endereço frequentemente. Em 1629 começou a trabalhar em Tratado do Mundo, uma obra de física, que deveria defender a tese do heliocentrismo, mas em 1633, quando Galileu foi condenado, Descartes abandonou seus planos de publicá-lo. Em 1635, a filha ilegítima de Descartes, Francine, nasceu. Ela foi batizada no dia 7 de Agosto de 1635. Sua morte em 1640 foi um grande baque para o Descartes.Em 1637, ele publicou três pequenos resumos de sua obra científica: A Dióptrica, Os Meteoros e A Geometria mas é o prefácio dessas obras que continua sendo lido até hoje: o Discurso Sobre o Método. Em 1641, aparece sua obra mais conhecida: as Meditações Sobre a Filosofia Primeira, com os primeiros seis conjuntos de Objeções e Respostas. Os autores das objeções são: do primeiro conjunto, o téologo holandês Johan de Kater; do segundo, Mersenne; do terceiro, Thomas Hobbes; do quarto, Arnauld; do quinto, Gassendi; e do sexto conjunto, Mersenne. Em 1642, a segunda edição das Meditações incluía uma sétima objeção, feita pelo jesuíta Pierre Bourdin, seguida de uma Carta a Dinet. Em 1643, a filosofia Cartesiana foi condenada pela Universidade de Utrecht, e Descartes começou sua longa correspondência com a Princesa Elizabeth de Bohemia. Descartes publicou Os Princípios de Filosofia, uma espécie de manual cartesiano, e faz uma visita rápida a França em 1644, onde encontra o embaixador da frança junto à corte sueca, Chanut, que o põe em contato com a rainha Cristina. Em 1647 ele foi premiado com uma pensão pelo Rei da França e começou a trabalhar na Descrição do Corpo Humano. Ele entrevistou Frans Burman em Egmond-Binnen em 1648, resultando na Conversa com Burman. Em 1649 ele foi a Suécia a convite da Rainha Christina, e suas Tratado das Paixões, que ele dedicou a Princesa Elizabete, foram publicados.René Descartes morreu de pneumonia no dia 11 de Fevereiro, 1650 em Estocolmo, Suécia, onde ele estava trabalhando como professor a convite da Rainha. Acostumado a trabalhar na cama até meio-dia, sua saúde por ter sofrido com as demandas da Rainha Christina - começavam seus estudos às 5 da manhã. Como um católico num país protestante, ele foi enterrado num cemitério de crianças não batizadas, em Adolf Fredrikskyrkan em Estocolmo. Depois, seus restos foram levados para a França e enterrados na Igreja de São Genevieve-du-Mont em Paris. Um memorial construído no século XVIII permanece na igreja sueca.Durante a Revolução Francesa seus restos foram desenterrados para irem para o Panthéon, ao lado de outros grandes pensadores franceses. A vila no vale Loire onde ele nasceu foi renomeada La Haye - Descartes.Em 1667, depois de sua morte, a Igreja Católica Romana colocou suas obras no Índice de Livros Proibidos.

Aplicações das relações e funções no cotidianoAo lermos um jornal ou uma revista, diariamente nos deparamos com gráficos, tabelas e ilustrações. Estes, são instrumentos muito utilizados nos meios de comunicação. Um texto com ilustrações, é muito mais interessante, chamativo, agradável e de fácil compreensão. Não é só nos jornais ou revistas que encontramos gráficos. Os gráficos estão presentes nos exames laboratoriais, nos rótulos de produtos alimentícios, nas informações de composição química de cosméticos, nas bulas de remédios, enfim em todos os lugares. Ao interpretarmos estes gráficos, verificamos a necessidade dos conceitos de plano cartesiano.O Sistema ABO dos grupos sangüíneos é explicado pela recombinação genética dos alelos (a,b,o) e este é um bom exemplo de uma aplicação do conceito de produto cartesiano. Uma aplicação prática do conceito de relação é a discussão sobre a interação de neurônios (células nervosas do cérebro).Ao relacionarmos espaço em função do tempo, número do sapato em função do tamanho dos pés, intensidade da fotossíntese realizada por uma planta em função da intensidade de luz a que ela é exposta ou pessoa em função da impressão digital, percebemos quão importantes são os conceitos de funções para compreendermos as relações entre os fenômenos físicos, biológicos, sociais...Observamos então que as aplicações de plano cartesiano, produto cartesiano, relações e funções estão presentes no nosso cotidiano.

Valores assumidos por uma ação numa Bolsa de Valores

O Plano CartesianoReferência histórica: Os nomes Plano Cartesiano e Produto Cartesiano são homenagens ao seu criador René Descartes (1596-1650), filósofo e matemático francês. O nome de Descartes em Latim, era Cartesius, daí vem o nome cartesiano.O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos x e y perpendiculares entre si que se cruzam na origem. O eixo horizontal é o eixo das abscissas (eixo OX) e o eixo vertical é o eixo das ordenadas (eixo OY). Associando a cada um dos eixos o conjunto de todos os números reais, obtém-se o plano cartesiano ortogonal.

Cada ponto P=(a,b) do plano cartesiano é formado por um par ordenado de números, indicados entre parênteses, a abscissa e a ordenada respectivamente. Este par ordenado representa as coordenadas de um ponto.O primeiro número indica a medidada do deslocamento a partir da origem para a direita (se positivo) ou para a esquerda (se negativo).

O segundo número indica o deslocamento a partir da origem para cima (se positivo) ou para baixo (se negativo). Observe no desenho que: (a,b) (b,a) se a b.Os dois eixos dividem o plano em quatro regiões denominadas quadrantes sendo que tais eixos são retas concorrentes na origem do sistema formando um ângulo reto (90 graus). Os nomes dos quadrantes são indicados no sentido anti-horário, conforme a figura, com as cores da bandeira do Brasil.

Segundo  quadrante

Primeiro quadrante

Terceiro quadrante

Quarto quadrante 

Quadrante sinal de x sinal de y Ponto

  não tem não tem (0,0)

Primeiro + + (2,4)

Segundo - + (-4,2)

Terceiro - - (-3,-7)

Quarto + - (7,-2)