INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIAE TECNOLOGIA DE GOIÁS

BACHARELADO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

Projeto de Controle no Espaço de Estados:Motor de Corrente Contínua com excitação constante.

JOÃO PAULO MARQUES TAVARES

ITUMBIARA2015

SUMÁRIO

1 MODELO NO ESPAÇO DE ESTADOS DO MOTOR DC 2

2 PROJETO NO ESPAÇO DE ESTADOS DO MOTOR DC 42.1 Matrizes de Controlabilidade e Matriz de Similaridade . . . . . . . . . . . 4

2.1.1 Matriz de Controlabilidade da Representação em Variáveis de Fase . 42.1.2 Matriz de Controlabilidade da Representação em Cascata . . . . . . 52.1.3 Matriz de Similaridade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Cálculo da Equação Característica Desejada . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Cálculo do Vetor de Ganhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 Representação no Espaço de Estados e Função de Transferência do Sistema

Controlado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.5 Resposta ao Degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS 9

1 MODELO NO ESPAÇO DE ESTADOS DOMOTORDC

O motor de corrente contínua com excitação constante, consiste em uma máquina elé-trica simples, o que resulta em modelo matemático relativamente simples. Um diagramaesquemático do motor DC é apresentado na gura 1. No circuito elétrico da máquinaconsidera-se apenas a indutância e resistência da armadura e a força contra eletromotriz.Para o circuito mecânico considera-se o momento de inércia do rotor e o atrito viscosodos mancais da máquina, que não foi apresentado na gura 1.

Figura 1: Diagrama do Motor DC.

Como o intuito neste trabalho é controlar a posição do rotor por meio da tensão apli-cada na armadura, há necessidade de modelar a dinâmica do motor DC por meio darelação entre a tensão de entrada e a posição do rotor da máquina. Deste modo, considerea equação no domínio da frequência:

Va(s) = (Ra + sLa)Ia(s) + Ec(s) (1)

A equação 1, basicamente, descreve a dinâmica do circuito elétrico da máquina, ondeRa e La são, respectivamente, a resistência e indutância de armadura e Ec(s) a forçacontra eletromotriz. A dinâmica do circuito mecânico é dada pela expressão 2, onde J eB são, respectivamente, o momento de inércia do rotor e o atrito viscoso nos mancais damáquina.

T (s) = (sJ +B)Ω(s) (2)

Como a excitação é constante, a força contra eletromotriz é proporcional a velocidade derotação da máquina, assim como o torque é proporcional a corrente de armadura. Nasequações 3 e 4, Km é uma constante de proporção característica da máquina.

Ec(s) = KmΩ(s) (3)

T (s) = KmIa(s) (4)

Substituindo a equação 2 na expressão 4 é possível obter a seguinte expressão:

Ia(s) =

(sJ +B

Km

)Ω(s) (5)

Substituindo as equações 3 e 5 na equação 1, obtém-se:

Va(s) = (Ra + sLa)

(sJ +B

Km

)Ω(s) +KmΩ(s) (6)

2

A partir da equação 6 e sabendo que Ω(s) = sΘ(s) é possível relacionar a tensão dearmadura Va(s) e a posição do rotor Θ(s), obtendo assim a função de transferência dosistema.

Θ(s)

Va(s)=

KmJ.La

s3 +(RaLa

+ BJ

)s2 +

(B.Ra+K2

m

J.La

)s

(7)

Encontrada a função de transferência, dada pela equação 7, é possível modelar o sistemano espaço de estados utilizando a representação de variáveis de fase. Esta representaçãono espaço de estados do motor DC é dada pela seguinte expressão: x0

x1x2

=

0 1 00 0 1

0 −(RaLa

+ BJ

)−(B.Ra+K2

m

J.La

) x0x1x2

+

001

va(t)θ(t) =

[KmJ.La

0 0] x0

x1x2

Figura 2: Diagrama de blocos do motor DC.

A representação do motor DC, apresentada na gura 1, pode ser convertida em um dia-grama de blocos, apresentado na gura 2. Por meio desse diagrama de blocos é possívelobter outra representação no espaço de estado que é formada por variáveis conhecidas dosistema. A expressão matricial desta representação no espaço de estados é dado por: θ

ω

ia

=

0 1 00 −

(BJ

)KmJ

0 −(KmLa

)−(RaLa

) θωia

+

001La

va(t)θ(t) =

[1 0 0

] θωia

A máquina a ser controlada neste trabalho possui: uma resistência de armadura

Ra = 3, 67Ω; a indutância La = 1, 983mH; um rotor com momento de inércia J =13, 9µNms2/rad; e o atrito viscoso dos mancais B = 34, 7µNms/rad. A constante carac-terística Km é igual à 29.9mVs/rad. Deste modo a representação em variáveis de fase éigual à: x0

x1x2

=

0 1 00 0 10 −37054, 4956 −1853, 2276

x0x1x2

+

001

va(t)3

θ(t) =[

1084760.0286 0 0] x0

x1x2

A representação em cascata do motor é dada pela expressão: θ

ω

ia

=

0 1 00 −2.4964 2151.07910 −15.0782 −1850.7312

θωia

+

00

504.2864

va(t)θ(t) =

[1 0 0

] θωia

2 PROJETO NO ESPAÇO DE ESTADOS DO MO-

TOR DC

Para realização do projeto foi especicado o tempo de assentamento TS = 0, 15s ea ultrapassagem percentual %SP = 2, 5%. Para compensar as aproximações numéricasrealizadas em algumas etapas do cálculo projeto, adotou-se um tempo de assentamentoigual à 0,12s e uma ultrapassagem percentual de 2,2%. O projeto do controlador foidesenvolvido de modo a obter um erro em regime permanente igual à zero.

2.1 Matrizes de Controlabilidade e Matriz de Similaridade

Por denição, a matriz de controlabilidade de um sistema de ordem n é dada pelaexpressão:

CM =[B AB A2B ... An−1B

](8)

A partir da matriz de controlabilidade é possível determinar se um sistema pode sercontrolado. Para isso basta que a matriz CM seja de posto n, sendo o posto a ordem damaior submatriz quadrada não singular.

A matriz de similaridade entre dois sistemas pode ser obtida por meio das matrizes decontrolabilidade de dois sistemas. Para isto, basta considerar a relação de transformaçãoz = Px, deste modo, tem-se:

P = CMZC−1MX (9)

2.1.1 Matriz de Controlabilidade da Representação em Variáveis de Fase

Pelas equações da representação em variáveis de fase, apresentadas no capítulo ante-rior, é possível calcular a matriz de controlabilidade do sistema. Considerando a equação8, tem-se:

B =

001

AB =

0 1 00 0 10 −37054, 4956 −1853, 2276

001

=

01

−1853, 2276

4

A2B =

0 1 00 0 10 −37054, 4956 −1853, 2276

0 1 00 0 10 −37054, 4956 −1853, 2276

001

= 1−1853, 2276

3397398, 0418

CMX=

0 0 10 1 −1853, 22761 −1853, 2276 3397398, 0418

(10)

Por inspeção da matriz de controlabilidade CMXverica-se que esta é de posto 3,

portanto o sistema é controlável.

2.1.2 Matriz de Controlabilidade da Representação em Cascata

De acordo com a denição de matriz de controlabilidade, expressa pela equação 8, ecom as equações apresentadas no capítulo 1, tem-se:

B =

00

504, 2864

AB =

0 1 00 −2, 4964 2151, 07910 −15, 0782 −1850, 7312

00

504, 2864

=

01084759, 9355−933298, 5742

A2B = 0 1 0

0 −2, 4964 2151, 07910 −15, 0782 −1850, 7312

0 1 00 −2, 4964 2151, 07910 −15, 0782 −1850, 7312

00

504, 2864

= 10084759, 9355−2010307051, 761710928562, 96

CMθωia=

0 0 10084759, 93550 1084759, 9355 −2010307051, 76

504, 2864 −933298, 5742 1710928562, 96

(11)

Por inspeção da matriz de controlabilidade CMθωiaverica-se que esta é de posto 3,

portanto o sistema é controlável.

2.1.3 Matriz de Similaridade

A partir das matrizes apresentadas em 10 e 11 e da denição 9, então a matriz detransformação de similaridade P é dada por:

P = CMθωiaC−1MX =

1084759, 9355 0 0−0, 00985 1084759, 9355 0−35, 6269 1258, 9006 504, 2864

(12)

5

2.2 Cálculo da Equação Característica Desejada

Uma das etapas no projeto de controle no espaço de estados é determinar a equaçãocaracterística desejada, que é calculada a partir das especicações de projeto. Com aespecicação o tempo de assentamento e da ultrapassagem percentual é possível determi-nar o fator de amortecimento e a frequência natural do sistema, que são determinados,respectivamente, pelas seguintes expressões:

ζ =

√(lnSP )2

(lnSP )2 + π2(13)

ωN =4

Ts

√(lnSP )2 + π2

(lnSP )2(14)

Deste modo, obtém-se ζ = 0, 7721 e ωN = 43, 17rad/s. Conhecido os valores de ζ e ωNobtém-se a seguinte equação característica de segunda ordem:

D2(s) = s2 + 66, 6667s+ 1863, 9088 (15)

Pela equação 7, o motor DC é um sistema de terceira ordem. Deste modo, há neces-sidade de alocar um terceiro polo na equação característica desejada. Sendo os zeros daequação 15 iguais a s0 = −33, 33 ± j27, 44, então é possível alocar um terceiro polo dezvezes mais distante dos polos dominantes do sistema e obter uma boa aproximação daresposta gerada pela equação característica de segunda ordem. Deste modo, alocando opolo s+ 333, 3333, obtém-se a seguinte equação característica de terceira ordem:

D(s) = s3 + 399, 99997s2 + 24086, 1288s+ 621302, 8656 (16)

2.3 Cálculo do Vetor de Ganhos

O controle no espaço de estados é feito por meio de um vetor de ganhos que realimentaas variáveis de estado do sistema, esse processo é apresentado na gura 3.

Figura 3: Planta com realimentação de variáveis de estado.

Para sistemas do tipo 1, como o caso do sistema a ser controlado neste projeto, há anecessidade de adotar uma abordagem de controle um pouco diferente para zerar o erro

6

em regime permanente. Essa abordagem é ilustrada na gura 4.O vetor de ganho de realimentação pode ser determinado a partir da equação carac-

terística desejada (equação 16). Para isso, calcula-se a equação característica do sistemaem malha fechada e determina os ganhos por meio de substituição.

Figura 4: Realimentação de variáveis de estado com erro em regime permanente igual azero para sistemas do tipo 1.

Figura 5: Diagrama de uxo de sinal do sistema representado em variáveis de fase comrealimentação das variáveis de estado.

A gura 5 apresenta um diagrama de uxo de sinal do motor DC representado comvariáveis de fase com realimentação das variáveis de estado. A partir do diagrama dagura 5 obtém-se as seguintes equações no espaço de estados:

x =

0 1 00 0 1

−K0 − (37054.4956 +K1) − (1853.2276 +K2)

x +

00K0

r(t)c(t) =

[1084760, 0286 0 0

]x

Deste modo, a equação característica do sistema pode ser determinada:

det(sI−AGanhos) =

∣∣∣∣∣∣s −1 00 s −1K0 (37054.4956 +K1) s+ (1853, 2276 +K2)

∣∣∣∣∣∣7

= s3 + (1853, 2276 +K2) s2 + (37054, 4956 +K1) s+K0 (17)

Comparando a equação 17 com a equação 16, é possível determinar o vetor de ganhosKX . Deste modo, tem-se:

KX =[

621302, 8656 −12968, 3668 −1453, 2276]

(18)

Conhecendo a matriz de similaridade P, apresentada na equação 12, e calculado ovetor de ganhos KX é possível determinar o vetor de ganhos em cascata Kθωia por meioda transformação Kθωia = KXP

−1. Portanto, tem-se:

Kθωia =[

572, 6615.10−3 −8, 6107.10−3 −2, 8818]

(19)

2.4 Representação no Espaço de Estados e Função de Transfe-

rência do Sistema Controlado

Calculado os valores dos ganhos de realimentação para a representação do sistemaem cascata e considerando a gura 4 e as equações do espaço de estados do sistema emcascata, apresentadas no capítulo 1, é possível construir o diagrama de uxo de sinal coma realimentação das variáveis de estado. O diagrama de uxo de sinal da representaçãoem cascata do sistema é apresentado na gura 6.

Figura 6: Diagrama de uxo de sinal do sistema representado em cascata com realimen-tação das variáveis de estado.

A partir do diagrama da gura 6 é possível construir as equações de espaço de estadosdo sistema já controlado. Deste modo, tem-se: θ

ω

ia

=

0 1 00 −2, 4964 2151, 0791

−288, 7854 −10, 7359 −397, 5036

θωia

+

00

288, 7854

r(t)c(t) =

[1 0 0

] θωia

Por denição, a função de transferência de um sistema é T (s) = C(sI − A)−1B. Destemodo, a função de transferência do sistema é:

C(s)

R(s)= C(sI−A)−1B =

621200.2383

s3 + 400s2 + 24086.0981s+ 621200.2383(20)

8

2.5 Resposta ao Degrau

Concluído o projeto do controlador é possível analisar o seu desempenho. Na gura 7é apresentado o comportamento do sistema controlado para a entrada em degrau. Com oauxílio do software MATLAB foi possível determinar a ultrapassagem percentual, o tempode assentamento e o valor de regime permanente. A ultrapassagem percentual do sistemacontrolado foi de 2, 18%. O tempo de assentamento foi de 0, 128s. O valor em regimepermanente calculado pelo software foi igual 1, ou seja, o erro em regime permanente éigual à zero.

Figura 7: Resposta ao degrau obtida com a função de transferência do sistema.

3 REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS

[1] NISE, N. S.. Engenharia de Sistemas de Controle. 6a ed.. LTC: Rio de Janeiro,2013.

[2] OGATA, K. Modern Control Engineering. 5th ed.. Prentice Hall: Upper SaddleRiver, 2010.

9