Projeto de Filtro Analogico usando Aproximacao de Chebyshev

e Arquitetura Deliyannis

Franklin Lima, Isadora Queiroz

Departamento de Engenharia Eletrica

Escola Politecnica

Universidade Federal da Bahia

Salvador, Bahia, Brasil

27 de Junho de 2015

1 Especificacoes

As especificacoes do filtro sao mostradas na Tabela 1.

Tabela 1: Especificacoes do filtro a ser projetado

Banda de Passagem (Hz) Banda de Rejeicao (Hz) Amax (dB) Amn (dB)

25 - 30 k 1 - 70 k 0,1 60

O filtro analogico deve ser aproximado por Chebyshev e possuir arquitetura Deliyannis.

2 Parte I: Aproximacao

Com base nas especificacoes, utilizando-se o software MATLAB (codigo em anexo), obtem-se a seguinte funcao detransferencia:

H(s) =5.079e13s3

s6 + 6.091e04s5 + 9.142e10s4 + 3.658e15s3 + 2.707e21s2 + 5.34e25s + 2.596e31(1)

O diagrama de Bode pode ser visto na Figura 1.

Mag

nitu

de (d

B)

-150

-100

-50

0

100 101 102 103

Phas

e (de

g)

-360

-180

0

180

360

Bode Diagram

Frequency (kHz)

Figura 1: Diagrama de Bode para H(s)

1

A Figura 2 mostra o grafico da funcao gerada com destaque para as especificacoes do gabarito do filtro.

Frequency (Hz)103 104 105

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Figura 2: Funcao de transferencia gerada e gabarito do filtro

As regioes (a) inferior e (b) superior da banda de rejeicao podem ser vistas na Figura 3, enquanto a Figura 4mostra a regiao da banda de passagem.

Frequency (Hz)103 104

-68

-66

-64

-62

-60

-58

-56

-54

-52

Frequency (Hz) 1050.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2

-70

-65

-60

-55

-50

Figura 3: Funcao de transferencia gerada e gabarito do filtro na regiao da banda de rejeicao (a) inferior (b) superior

Frequency (Hz) 1042.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

Figura 4: Funcao de transferencia gerada e gabarito do filtro na regiao da banda de passagem

2

3 Parte II: Realizacao

A arquitetura sugerida para o projeto do filtro e a Deliyannis, cujo circuito pode ser visto na Figura 5.

-

++-

R1

R2

C2

C1

vi vo

RB = RA (k 1)RA

Figura 5: Arquitetura Deliyannis

A unidade biquad deste filtro possui a seguinte funcao de transferencia:

T (s) = kk 1

s

R1C1

s2 +

(1

R2C2+

1

R2C1 1

(k 1)R1C1

)s +

1

R1R2C1C2

(2)

Se for possvel fatorar H(s) de modo que

H(s) = H1(s)H2(s)H3(s) (3)

onde:

H1(s) =k1s

(s2 + b1s + c1)H2(s) =

k2s

(s2 + b2s + c2)H3(s) =

k3s

(s2 + b3s + c3)(4)

Entao o filtro de 6 ordem podera ser implementado atraves de tres filtros biquad Deliyannis em cascata, comomostra a Figura 6.

H (s)1 H (s)2 H (s)3

Figura 6: Blocos em cascata para a realizacao do filtro de 6 ordem

De modo a obter os biquads, fatora-se o denominador de H(s), determinando-se assim os seus polos e, atraves dafuncao poly e possvel se determinar o polinomio de segunda ordem referente a cada biquad. Os biquads apresentamos seguintes fatores de qualidade Q = 1.62, Q = 0.9 e Q = 2.0. Utilizando a regra de bolso onde a cascata serafeita do maior para o menor Q, temos:

H(s) =k1s

(s2 + 1.36e04s + 2.38e10) H1(s)

k2s(s2 + 1.69e04s + 3.69e10)

H2(s)

k3s(s2 + 3.05e04s + 2.96e10)

H3(s)

(5)

Segundo [1] a distribuicao dos ganhos pode ser realizada por:

k1 =max |H(j)|max |H1(j)| = 1.69 10

4 (6)

k2 =max |H1(j)|

max |H1(j)H2(j)| = 4.73 104 (7)

k3 =K

k1k2=

5.079 10131.69 104 4.73 104 = 6.35 10

4 (8)

3

Onde K e o ganho estatico global e vale para este projeto K = k1k2k3 = 5.0791013. Os maximos acima indicadosforam obtidos com a funcao findpeaks aplicada ao modulo da funcao de transferencia.

Para determinar os valores dos componentes da rede passiva, compara-se os coeficientes da funcao desejada com aEq. (2).

Primeiro Biquad, H1(s)

(1

R2C2+

1

R2C1 1

(k 1)R1C1

)= 1.36 104 (9)

1

R1R2C1C2= 2.38 1010 (10)

k

(k 1)R1C1 = 1.69 104 (11)

k =RA + RB

RA(12)

Seja C1 = C2 = 1nF e R1 = 10k, tem-se e k = 1, 22 e R2 = 4, 20k e ainda RA = 10k, tem-se RB = 2, 16k

Segundo Biquad, H2(s)

(1

R4C4+

1

R4C3 1

(k 1)R3C3

)= 1.69 104 (13)

1

R3R4C3C4= 3.69 1010 (14)

k

(k 1)R3C3 = 4.73 104 (15)

k =RA + R

B

RA(16)

Seja C3 = C4 = 1nF e R3 = 10k, tem-se k = 1, 14 e R4 = 2, 71k e ainda RA = 10k, tem-se R

B = 1, 39k

Terceiro Biquad, H3(s)

(1

R6C6+

1

R6C5 1

(k 1)R5C5

)= 3.05 104 (17)

1

R5R6C5C6= 2.96 1010 (18)

k

(k 1)R5C5 = 6.35 104 (19)

k =RA + R

B

RA(20)

Seja C5 = C6 = 1nF e R5 = 10k, tem-se k = 1, 78 e R6 = 3, 38k e ainda RA = 10k, tem-se R

B = 1, 78k

4

4 Simulacao e Resultados

De maneira a validar o circuito projetado e realizar pequenos ajustes, o circuito proposto foi simulado com auxlio doMultisim. O amplificador na sada do filtro e usado para reduzir o ganho e aproximar o valor da simulacao ao valorteorico na banda de passagem.

Figura 7: Circuito implementado em Multisim

Figura 8: Ganho aproximado na banda de passagem

5

Figura 9: Ganhos aproximados nas bandas de rejeicao inferior e superior

Figura 10: Atenuacao na frequencia s = 25kHz

Referencias

[1] Y. S. T . Deliyannis and J. . k . Fidler. Continuous-Time Active Filter Design.

6

5 Apendice

5.1 Rotina para o Calculo da Aproximacao

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Universidade Federal da Bahia %

% Escola Politecnica %

% Departamento de Engenharia Eletrica %

% ENGC46 - Sintese de Circuitos %

% Franklin & Isadora %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%% Especificacoes - Filtro Analogico Delyiannis %%%%

% f1 = 25 kHz; f2 = 30 kHz; f3 = 1 kHz; f4 = 70 kHz %

% Amax = 0,1 dB; Amin = 60 dB %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Ajuste das frequencias:

f1 = 25e3;

f2 = 30e3;

f3 = 1e3;

f4 = 70e3;

fo=sqrt(f1*f2);

w1=2*pi*f1;

w2=2*pi*f2;

w3=2*pi*f3;

w4=2*pi*f4;

wp=[w1 w2];

ws=[w3 w4];

Amax=0.1;

Amin=60;

f=logspace(2,6,500);

s=j*2*pi*f;

format long e

% Calculo da Funcao Aproximada por de Chebyshev

[Nc, Wnc] = cheb1ord(wp, ws, Amax, Amin, s) %retorna minima ordem e Wnc = Wp

[Bc,Ac] = cheby1(Nc,Amax, Wnc,s) %retorna os coeficientes b/a da FT

H = tf(Bc,Ac) %FT em tempo continuo

Hmod = freqs(Bc,Ac,f); %vetor com o modulo de H

%Polos

roots(Ac);

%Resultados

% -8.447772726843461e+03 + 1.918927683587050e+05i

% -8.447772726843461e+03 - 1.918927683587050e+05i

% -1.522738926918413e+04 + 1.713970239511578e+05i

% -1.522738926918413e+04 - 1.713970239511578e+05i

% -6.779616542340713e+03 + 1.540002825343689e+05i

% -6.779616542340713e+03 - 1.540002825343689e+05i

%Determina os polinomios dos biquads atraves dos polos

poly([-8.447772726843461e+03 + 1.918927683587050e+05i; -8.447772726843461e+03 - 1.918927683587050e+05i]);

poly([-1.522738926918413e+04 + 1.713970239511578e+05i;-1.522738926918413e+04 - 1.713970239511578e+05i]);

poly([-6.779616542340713e+03 + 1.540002825343689e+05i;-6.779616542340713e+03 - 1.540002825343689e+05i]);

%Resultados

% ans =

%

% 1.000000000000000e+00 1.689554545368692e+04 3.689419941241203e+10

% ans =

%

% 1.000000000000000e+00 3.045477853836826e+04 2.960881320326903e+10

% ans =

%

% 1.000000000000000e+00 1.355923308468143e+04 2.376205022112663e+10

%H = H1*H2*H3 -> Determina as FTs parciais (Ganho estatico unitario)

7

H1 = tf([0 1 0], [1.000000000000000e+00 1.355923308468143e+04 2.376205022112663e+10]);

H2 = tf([0 1 0], [1.000000000000000e+00 1.689554545368692e+04 3.689419941241203e+10 ]);

H3 = tf([0 1 0], [1.000000000000000e+00 3.045477853836826e+04 2.960881320326903e+10 ]);

%Calcula os fatores de qualidade para determinar a ordem da cascata (regra

%de bolso)

%biquad 1

Q1 = fo/(1.689554545368692e+04); %h1 h2

%biquad 2

Q2 = fo/(3.045477853836826e+04); %h2 h3

%biquad 3

Q3 = fo/(1.355923308468143e+04); %h3 h1

%Resultados

% Q1 = H2

%

% 1.620908182593309e+00

% Q2 = H3

%

% 8.992391076085503e-01

% Q3 = H1

%

% 2.019740180305466e+00

%Plota o diagrama de Bode

opts = bodeoptions;

opts.Title.FontSize = 14;

opts.FreqUnits = kHz;

h = bodeplot(H,opts);

grid

5.2 Rotina para Determinacao dos Ganhos dos Biquads

f=logspace(2,7,10000)

w=2*pi*f

Tcheb=abs(freqs(Bc,Ac,w));

tmax = findpeaks(Tcheb); % tmax = 9.999856960669230e-001

DEN01 = poly([-8.447772726843461e+03 + 1.918927683587050e+05i; -8.447772726843461e+03 -

1.918927683587050e+05i]);

DEN02 = poly([-1.522738926918413e+04 + 1.713970239511578e+05i;-1.522738926918413e+04 -

1.713970239511578e+05i]);

DEN03 = poly([-6.779616542340713e+03 + 1.540002825343689e+05i;-6.779616542340713e+03 -

1.540002825343689e+05i]);

t01=abs(freqs([0 1 0], DEN01, w));

t02=abs(freqs([0 1 0], DEN02, w));

t01max = findpeaks(t01); % t01max = 5.911508639519595e-005

t02max = findpeaks(t02); % t02max = 3.273465648669020e-005

k1 = tmax/t01max; % k1 = 1.691591363635710e+004

DEN0102=conv(DEN01,DEN02);

t0102=abs(freqs([1 0 0],DEN0102,w)); % t0102max = 1.249700284672425e-009

t0102max=findpeaks(t0102)

k2 = t01max/t0102max; % k2 = 4.730341116205425e+004

K=5.079e+013;

k3 = K/(k1(1)*k2); % k3 = 6.347318537470824e+004

5.3 Rotina para Plotagem do Gabarito

TchebdB=20*log10(Tcheb);

semilogx(f,TchebdB)

hold on

a1=[1 1 1000 1000];

a2=[0 -60 -60 0];

fill(a1,a2,[205/255 205/255 205/255]);

a3=[25000 25000 30000 30000];

a4=[-0.1 -150 -150 -0.1];

fill(a3,a4,[205/255 205/255 205/255]);

8

a5=[70e+03 70e+03 1e+08 1e+08];

a6=[0 -60 -60 0];

fill(a5,a6,[205/255 205/255 205/255]);

5.4 Rotina para o Calculo da Rede Passiva

%biquad 1

R1=10e3;

C1=1e-9;

C2=1e-9;

A=1.36e4;

B=2.38e10;

R2=1/(R1*C1*C2*B)

klinha1=1/((1/(R2*C2)+1/(R2*C1)-A)*R1*C1)+1

%R2 = 4.2017e+003

%klinha1 = 1.2163

%biquad 2

R3=10e3;

C3=1e-9;

C4=1e-9;

A2=1.69e4;

B2=3.69e10;

R4=1/(R3*C3*C4*B2)

klinha2=1/((1/(R4*C4)+1/(R4*C3)-A2)*R3*C3)+1

%R4 = 2.7100e+003

%klinha2 = 1.1387

%biquad 3

R5=10e3;

C5=1e-9;

C6=1e-9;

A3=3.05e4;

B3=2.96e10;

R6=1/(R5*C5*C6*B3)

klinha3=1/((1/(R6*C6)+1/(R6*C5)-A3)*R5*C5)+1

%R6 = 3.3784e+003

%klinha3 = 1.1781

9