PROJETO DE GRADUAÇÃO II...UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE TCE - Escola de Engenharia TEM -...
63
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE TCE - Escola de Engenharia TEM - Departamento de Engenharia Mecânica PROJETO DE GRADUAÇÃO II Título do Projeto : FORMULAÇÃO DE MODELO TERMODINÂMICO PARA PREVISÃO DE LIBERAÇÃO E ABSORÇÃO DE GÁS EM MEIOS LÍQUIDOS Autor : VÍTOR JOSÉ JERÔNIMO DE MORAES Orientador : FELIPE BASTOS DE FREITAS RACHID Data: 26 de JULHO de 2016
Transcript of PROJETO DE GRADUAÇÃO II...UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE TCE - Escola de Engenharia TEM -...
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
TCE - Escola de Engenharia
TEM - Departamento de Engenharia Mecânica
PROJETO DE GRADUAÇÃO II
Título do Projeto :
FORMULAÇÃO DE MODELO TERMODINÂMICO PARA
PREVISÃO DE LIBERAÇÃO E ABSORÇÃO DE GÁS EM
MEIOS LÍQUIDOS
Autor :
VÍTOR JOSÉ JERÔNIMO DE MORAES
Orientador :
FELIPE BASTOS DE FREITAS RACHID
Data: 26 de JULHO de 2016
VÍTOR JOSÉ JERÔNIMO DE MORAES
FORMULAÇÃO DE MODELO TERMODINÂMICO PARA
PREVISÃO DE LIBERAÇÃO E ABSORÇÃO DE GÁS EM
MEIOS LÍQUIDOS
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado
ao Curso de Engenharia Mecânica da Universidade
Federal Fluminense, como requisito parcial para obtenção
do grau de Engenheiro Mecânico.
Orientador:
Prof. FELIPE BASTOS DE FREITAS RACHID
Niterói
2016
Ficha Catalográfica elaborada pela Biblioteca da Escola de Engenharia e Instituto de Computação da UFF
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
TCE - Escola de Engenharia
TEM - Departamento de Engenharia Mecânica
PROJETO DE GRADUAÇÃO II
AVALIAÇÃO FINAL DO TRABALHO
Título do Trabalho:
FORMULAÇÃO DE MODELO TERMODINÂMICO PARA PREVISÃO DE
LIBERAÇÃO E ABSORÇÃO DE GÁS EM MEIOS LÍQUIDOS.
Parecer do Professor Orientador da Disciplina:
- Grau Final recebido pelos Relatórios de Acompanhamento:
- Grau atribuído ao aluno nos Seminários de Progresso:
Parecer do Professor Orientador:
Nome e assinatura do Prof. Orientador:
Prof.: FELIPE BASTOS DE FREITAS RACHID Assinatura:
Parecer Conclusivo da Banca Examinadora do Trabalho:
Projeto Aprovado sem restrições
Projeto Aprovado com restrições
Prazo concedido para cumprimento das exigências: / /
Discriminação das exigências e/ou observações adicionais:
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
TCE - Escola de Engenharia
TEM - Departamento de Engenharia Mecânica
PROJETO DE GRADUAÇÃO II
AVALIAÇÃO FINAL DO TRABALHO
(continuação)
Aluno : Vítor José Jerônimo de Moraes Grau :
Composição da Banca Examinadora :
Prof.: Felipe Bastos de Freitas Rachid Assinatura :
Prof.: Maria Laura Martins Costa Assinatura :
Prof.: Daniel Rodriguez Alvarez Assinatura :
Data de Defesa do Trabalho : / / 2016
Departamento de Engenharia Mecânica, / / 2016
DEDICATÓRIA
Dedico este trabalho em especial ao meu pai Naldeir José e à minha mãe Rosana, que
sempre me apoiaram para conseguir meus sonhos, e aos meus finados avós que certamente
estariam muito felizes com esta conquista.
Dedico também a toda a minha família e amigos, que sempre esteve presente na minha
vida e incentivaram meus estudos.
AGRADECIMENTOS
Agradeço à minha família e amigos pelo suporte e compreensão nos períodos difíceis
desta caminhada.
Agradeço aos professores que tive durante a idade escolar, que contribuíram para que
eu pudesse ingressar numa universidade com a Universidade Federal Fluminense e ajudaram
na minha formação como pessoa e estudante, e aos professores da UFF que me deram
conhecimento técnico para me tornar um Engenheiro. Agradeço também à Equipe Tuffão Baja
SAE que me proporcionou uma experiência sem igual nos meus dois anos de participação.
Agradecimentos especialmente ao professor Felipe Bastos de Freitas Rachid por me
orientar nos projetos de Iniciação Cientifica e no Projeto Final de Graduação.
RESUMO
Este trabalho desenvolve um modelo mecânico, com forte respaldo termodinâmico para
descrever a liberação e absorção de gás em meio líquido quando submetidos a variações de
pressão e deformações volumétricas. As hipóteses simplificadoras do modelo são:
transformação isotérmica, mistura homogênea formada por líquido e gás inerte que coexistem
em um mesmo ponto material e instante de tempo, condição de escoamento homogêneo sem
deslizamento, e ausência de tensões superficiais na troca de fase. Os parâmetros do modelo são
definidos para uma mistura de ar e óleo polimérico. Por fim o modelo é validado através da
comparação com resultados experimentais.
Palavras-Chave: Cavitação gasosa; termodinâmica; processos irreversíveis.
ABSTRACT
The presented work presents a mechanic model, with strong thermodynamic basis for
describing gas release and absorption in liquids media when the gas liquid mixture is submitted
to changes of pressure and volume. The mixture is supposed to be comprised by a liquid with
an inert gas dissolved in it, along with free gas dispersed throughout. The simplification
assumptions are isothermal transformation, homogeneous mixture with no slip condition, and
no surface stress between phases. The model parameters are determined with experimental data
and then the model is validated through comparison with experimental results.
Key-Words: gaseous cavitation; thermodynamics; irreversible process.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 3.1 – Vista simplificada do mecanismo de teste. ..................................................................................... 36 Figura 3.2 – Resultados para o teste de compressão e descompressão: a) pressão na câmara; b) pressão na
câmara vs. deslocamento do pistão. ..................................................................................................................... 36 Figura 3.3 – Evolução dinâmica da fração mássica e da fração volumétrica de gás livre durante a simulação.
............................................................................................................................................................................... 38 Figura 3.4 – Densidade de massa do experimento, do modelo dinâmico e do estático. ..................................... 39 Figura 3.5 – Comparação do módulo de bulk do fluido do experimento, do modelo dinâmico. ....................... 40 Figura 4.1 – Ajuste das funções de transferência de massa para Γ e Rs............................................................ 48 Figura 4.2 – Resultados de simulação para fgl obtidos pelos diferentes modelos. .............................................. 51 Figura 4.3 – Resultado de simulação para α obtidos pelos diferentes modelos. ................................................ 51 Figura 4.4 – Resultados de simulação para ρ obtidos pelos diferentes modelos e o resultado experimental. ... 52 Figura 4.5 – Diferentes curvas das equações de estado para densidade de massa de gás usadas nos dois
modelos. ................................................................................................................................................................ 53 Figura 4.6 – Diferentes curvas das equações de estado para densidade de massa do óleo usadas nos dois
modelos. ................................................................................................................................................................ 53 Figura 4.7 – Resultado de simulação para α obtidos pelos diferentes modelos utilizando as equações (2.40)
como equações de estado. ..................................................................................................................................... 54 Figura 4.8 – Resultados de simulação para ρ obtidos pelos diferentes modelos utilizando as equações (2.40)
como equações de estado e o resultado experimental. ......................................................................................... 54 Figura 4.9 – Resultados de simulação de compressão para α obtidos para o estado de equilíbrio (eq. 4.17),
para Γ da eq.4.13 e para o Γ modificado da eq. 4.34 e para a pressão adimensionalizada e com escala
modificada. ........................................................................................................................................................... 57 Figura 4.10 – Resultados de simulação de descompressão para α obtidos para o estado de equilíbrio (eq.
4.17), para Γ da eq.4.13 e para o Γ modificado da eq. 4.34 e para a pressão adimensionalizada e com escala
modificada. ........................................................................................................................................................... 58
LISTA DE TABELAS
Tabela 3.1: Parâmetros de teste _____________________________________________________________ 37 Tabela 3.2: Parâmetros da simulação ________________________________________________________ 38 Tabela 4.1: Resultados do problema de minimização ____________________________________________ 48 Tabela 4.2: Constantes materiais ____________________________________________________________ 49
LISTA DE ABREVIATURAS. SIGLAS E SÍMBOLOS
ag – Velocidade de propagação de onda do gás
al – Velocidade de propagação de onda do líquido
Ap – Área do pistão do experimento
Bc – Lei de estado que relaciona a variação da energia livre de Helmholtz da mistura com a
concentração de gás dissolvido
𝐵𝑐̇ – Lei de estado que relaciona a variação do pseudopotencial de dissipação com taxa de
variação da concentração de gás dissolvido
Bα – Lei de estado que relaciona a variação da energia livre de Helmholtz da mistura com a
fração volumétrica de gás livre
𝐵�̇� – Lei de estado que relaciona a variação do pseudopotencial de dissipação com a taxa de
variação da fração volumétrica de gás livre
BΓ – Lei de estado que relaciona a variação do pseudopotencial de dissipação com a taxa de
transferência de gás
Bρg – Lei de estado que relaciona a variação da energia livre de Helmholtz da mistura com a
densidade de massa do gás
Bρl – Lei de estado que relaciona a variação da energia livre de Helmholtz da mistura com a
densidade de massa do líquido
c – Concentração de gás dissolvido
c0 – Concentração inicial de gás livre para
ce – Concentração de gás dissolvido no equilíbrio
ce0 – Concentração de gás dissolvido para situações de equilíbrio e pressão atmosférica
Cg – Calor especifico a volume constante do gás
Cl – Calor especifico a volume constante do líquido
D – Parcela simétrica do gradiente de velocidade
d – Taxa de dissipação por unidade de volume de fluido
E – Módulo da mistura
E0 – Módulo de bulk do líquido
fa – Função para a liberação de gás para o modelo dinâmico
fgl – Fração mássica de gás livre
fglH – Fração mássica de gás livre prevista para o equilíbrio
fgt – Fração mássica total de gás na mistura
fr – Função para a liberação de gás para o modelo dinâmico
ga – Função para a absorção de gás para o modelo termodinâmico
gg – Energia livre de Gibbs do gás
gl – Energia livre de Gibbs do líquido
gr – Função para a liberação de gás para o modelo termodinâmico
I – Matriz identidade 3x3
K21 – Constante material associada ao aumento da fração mássica de gás livre
K22 – Constante material associada à diminuição da fração mássica de gás livre
KH – Constante de proporcionalidade da Lei de Henry para concentração de gás dissolvido
la – Erro entre as funções de absorção dos dois modelos
lr – Erro entre as funções de liberação dos dois modelos
m0 – Massa da mistura no experimento
na – Constante material associada a absorção de gás
nr – Constante material associada a liberação de gás
p – Pressão instantânea
p0 – Pressão atmosférica
pe – Pressão de equilíbrio
pg – Pressão parcial do gás
pl – Pressão parcial do líquido
pv – Pressão de vapor do líquido
q – Fluxo de calor
r – Geração de calor
Rs – Taxa de variação da fração mássica de gás livre
S – Constante de proporcionalidade da Lei de Henry para volumes
s – Entropia por unidade de volume da mistura
S – Tensor das tensões devido ao escoamento
u – Vetor dos coeficientes para liberação de gás do modelo termodinâmico
u1 – Primeiro coeficiente para liberação de gás do modelo termodinâmico
u2 – Segundo coeficiente para liberação de gás do modelo termodinâmico
v – Vetor velocidade
V – Volume ocupado pela mistura
V0 – Volume inicial da câmara do experimento
Ve – Volume de gás dissolvido no equilíbrio
Vg – Volume ocupado pelo gás
VH – Volume da mistura previsto para o equilíbrio
Vl – Volume de líquido
w – Vetor dos coeficientes para absorção de gás do modelo termodinâmico
w1 – Primeiro coeficiente para absorção de gás do modelo termodinâmico
w2 – Segundo coeficiente para absorção de gás do modelo termodinâmico
x – Posição instantânea do pistão
x0 – Posição inicial do pistão
α – Fração volumétrica de gás livre
α0 – Fração volumétrica inicial de gás livre
αH – Fração volumétrica de gás livre previsto para o equilíbrio
βa – Função material da fração volumétrica de gás livre associada a absorção de gás
βa’ – Constante material associada à fração volumétrica de gás livre para a absorção de gás
βr – Função material da fração volumétrica de gás livre associada a liberação de gás
βr’ – Constante material associada à fração volumétrica de gás livre para a liberação de gás
Γ – Taxa de transferência de massa de gás
θ – Temperatura absoluta da mistura
λ – Expoente politrópico para o ar (capitulo 3)
λ – Viscosidade de bulk da mistura (capitulo 2)
μ – Viscosidade dinâmica da mistura
ρ – Densidade de massa da mistura
ρg – Densidade de massa do gasosa
ρg0 – Densidade de massa inicial do gás
ρH – Densidade de massa da mistura prevista para o equilíbrio
ρl – Densidade de massa do líquida
ρl0 – Densidade de massa inicial do líquido
𝜌𝑙0 – Densidade de massa do líquido a pressão nula
τ – Tempo característico do processo de variação da fração mássica de gás livre
Φ – Pseudopotencial de dissipação
Ψ – Energia livre de Helmholtz
Ψc – Energia livre de Helmholtz do gás dissolvido
Ψg – Energia livre de Helmholtz do gás livre
Ψl – Energia livre de Helmholtz do líquido
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO 16 1.1 SITUAÇÃO DO PROBLEMA 16
1.2 OBJETO 17
1.3 OBJETIVO 18
1.4 METODOLOGIA E ESTRUTURA 18
2 BASE TEORICA 20 2.1 LEI DE HENRY PARA ESTADOS DE EQUILÍBRIO 20
2.2 EQUAÇÕES DE BALANÇO 21
2.3 TEORIA CONSTITUTIVA 23
2.3.1 ENERGIA LIVRE DE HELMHOLTZ E LEIS DE ESTADO 23 2.3.2 PSEUDOPOTENCIAL DE DISSIPAÇÃO E LEIS DE ESTADO COMPLEMENTARES 25 2.3.3 EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS 27
3 DETERMINAÇÃO DOS COEFICIENTES COM BASE EM RESULTADO
EXPERIMENTAL 32 3.1 MODELO PROPOSTO PARA CAVITAÇÃO GASOSA 32
3.2 EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS DO MODELO 34
3.2.1 DENSIDADE 34 3.2.2 MÓDULO DE BULK 34 3.3 EXPERIMENTO E VALIDAÇÃO 35
4 COMPARAÇÃO DOS MODELOS 42 4.1 COMPARAÇÃO DOS MODELOS 42
4.2 DETERMINAÇÃO DOS COEFICIENTES 43
4.2.1 FORMULAÇÃO DOS PARÂMETROS Β 43 4.2.1.1 Formulação geral de αH 45 4.2.2 DETERMINAÇÃO DAS CONSTANTES MATERIAIS 46 4.3 COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS DE SIMULAÇÃO 49
4.3.1 MODIFICAÇÃO NO SISTEMA DE EQUAÇÕES DO MODELO TERMODINÂMICO 49 4.3.2 RESULTADOS DE SIMULAÇÃO 50 4.3.3 MÉTODOS NUMÉRICOS UTILIZADOS 55 4.3.4 APRIMORAMENTO DO MODELO TERMODINÂMICO 55
5 CONCLUSÕES 59
6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 61
16
1 INTRODUÇÃO
1.1 SITUAÇÃO DO PROBLEMA
Líquidos podem absorver gás em contato com suas superfícies livres através de um
processo difusivo. A quantidade de gás que um líquido pode absorver depende das
características do gás, do líquido, da temperatura e da pressão sobre o líquido. Por exemplo, um
recipiente cheio de líquido, aberto, em contato com o ar e em repouso tem uma certa quantidade
de gás dissolvido. Caso a pressão sobre o líquido aumente ou a temperatura do líquido diminua,
mais gás será absorvido pelo líquido, caso a pressão diminua ou a temperatura aumente, gás
será liberado pelo líquido. Este processo é conhecido como cavitação gasosa, onde o gás é
liberado da solução em forma de bolhas que migram para a superfície livre do líquido ou são
transportadas pelo fluxo de fluido como gás livre. Gás também pode ser absorvido das bolhas
para o líquido ou das superfícies livres para o líquido.
Cavitação gasosa acontece em escoamentos internos e externos, em regime permanente
e transiente. Segundo Rachid (2013), “a curvatura do contorno de superfícies sólidas em contato
com os líquidos, vórtices, turbulência e ondas de expansão transitórias são alguns exemplos
típicos de fontes responsáveis pelo desencadeamento do fenômeno de liberação de gás”.
Devido a maior compressibilidade do gás em relação a do líquido, a presença de gás
livre no líquido, mesmo que em pequenas quantidades, é responsável pela redução das
velocidades de frente de onda e pela atenuação dos picos de pressão quando fenômenos de
propagação de onda estão envolvidos. Kim (2012), Zhou et al. (2013) e Gholizadeh (2014)
mostram que a presença de gás livre na mistura influencia drasticamente o módulo de bulk da
mistura para situações de baixa pressão. Rachid (2013) mostra como que a presença de gás livre
influencia a velocidade de propagação de onda da mistura. De acordo com Rachid (2013)
“dependendo da quantidade de gás livre e dos níveis de pressão, a velocidade de onda pode
atingir valores comparáveis com a velocidade de escoamento do fluido, dando origem à
ocorrência de ondas de choque”.
Zhou et al. (2013) explica que “as propriedades de fluidos, em particular densidade,
viscosidade e módulo de bulk do fluido, são parâmetros cruciais no estudo do comportamento
de sistemas hidráulicos e na operação detalhada de seus componentes”. Um exemplo desta
influência é mostrado por Lema, 2015, que estuda os efeitos da presença de gás em líquidos no
golpe de aríete gerado pela abertura abrupta de válvula de controle de sistemas de injeção de
combustível em satélites.
17
Os modelos que são geralmente empregados para fenômenos transientes em fluidos ou
não consideram os fenômenos de absorção de gás ou usam a extensão da lei de Henry, para
estados de equilíbrio termodinâmico, em situação de não equilíbrio termodinâmico. Estas
abordagens não descrevem corretamente a dissipação de energia no processo, gerando
resultados ruins na previsão do comportamento do fluido, como mostrado por Kim (2012),
Zhou et al. (2013) e Gholizadeh (2014). Sendo assim, este trabalho tem como objetivo a
elaboração de um modelo com forte respaldo termodinâmico para a previsão dos fenômenos de
liberação e absorção de gases em meio líquidos, que seja capaz de retratar corretamente as
mudanças causadas pela presença de gás livre no líquido.
1.2 OBJETO
O objeto de estudo deste trabalho é a cavitação gasosa, onde fenômenos de absorção e
liberação de gás em líquidos acontecem, sendo que existem dois tipos de cavitação, a cavitação
gasosa e a cavitação vaporosa. De acordo com Rachid (2014):
Cavitação é a formação de fase gasosa em líquidos devido a variação de pressão. Existem dois tipos
de cavitação, a cavitação vaporosa e a cavitação gasosa. As duas ocorrem aproximadamente a
temperatura constante. A cavitação vaporosa consiste na formação de vapor e a cavitação gasosa a
liberação de gás dissolvido na fase líquida. Enquanto a cavitação vaporosa ocorre quando a pressão
cai abaixo da pressão de vapor do líquido, a cavitação gasosa ocorre quando a pressão cai abaixo da
pressão de saturação de gás no líquido.
Como este trabalho visa a elaboração de um modelo para os fenômenos envolvidos na
cavitação gasosa a cavitação vaporosa não será considerada. Existem diversos modelos
propostos para o estudo de fenômenos de cavitação, sendo que eles podem basicamente ser
classificados entre dois tipos de abordagem, a abordagem para escoamento bifásico e a
abordagem para escoamento homogêneo. Zhou et al. (2013) explica a diferença entre essas duas
abordagens como:
A abordagem de escoamento bifásico é comumente usada em CFD e permite análises detalhadas do
campo do escoamento dentro de alguns componentes hidráulicos. Nos métodos de escoamento
bifásico, a fase gasosa e a fase líquida são governadas por equações de conservação de massa e
momento de forma separadas, com uma notável troca de massa e energia na interface entre fases.
Na abordagem monofásica, o pressuposto de mistura homogênea de fluido simplifica o modelo. De
fato, modelos contínuos são geralmente aceitáveis para abordagens de parâmetros concentrados, que
são comumente usados para estudos de características gerais de maquinas e componentes
hidráulicos.
18
Por motivos de simplificação, a hipótese de escoamento homogêneo será assumida neste
trabalho. Sendo que a hipótese de escoamento homogêneo são é hipótese consistente quando a
fração mássica de gás dissolvido é pequena. Esta hipótese não é válida para escoamentos onde
a fase gasosa é predominante. Com isso, o modelo proposto fica definido como a cavitação
gasosa em escoamentos considerados como homogêneos, onde o fluido é considerado como
uma mistura contínua formada por um líquido e por um gás inerte que coexistem em um mesmo
ponto material e instante de tempo, sendo que o gás pode ser encontrado em duas formas: gás
livre presente na fase gasosa, e gás dissolvido presente na fase líquida. Além disso, é assumido
hipótese de escoamento isotérmico e sem resistência superficial para a troca de gás entre as
fases (tensão superficial). Deste modo, o problema considera três equações de balaço de massa,
uma para cada constituinte, apenas uma equação de balanço de momento e uma segunda lei da
termodinâmica para a mistura como um todo. As três equações para o balaço de massa são
dadas pela conservação de massa de líquido, e pelas equações de balanço de massa de gás nas
duas fases.
O objetivo de estudo deste trabalho é a elaboração e a validação de uma equação para a
taxa de troca de massa de gás entre a fase líquida e a fase gasosa, que retrate a irreversibilidade
e a dissipação de energia do processo, baseada na termodinâmica dos processos irreversíveis.
1.3 OBJETIVO
Para elaborar as equações para taxa de transferência de massa de gás dentro do contexto
da termodinâmica dos processos irreversíveis, dois potenciais termodinâmicos serão usados: a
energia livre de Helmholtz e um pseudopotencial de dissipação. Essa abordagem permite além
de propor equações constitutivas para o problema, estimar a quantidade de energia dissipada
nos processos.
A validação do modelo proposto será feita através da comparação com resultados
experimentais presentes na literatura. Os resultados experimentais foram obtidos através de
ensaios de compressão e descompressão de óleos hidráulicos com presença de gás.
1.4 METODOLOGIA E ESTRUTURA
Primeiramente foram elaboradas as equações constitutivas do problema, baseado no
trabalho de Rachid (2013), obtendo-se um sistema de equações diferenciais com cinco
equações, que incluem as equações para o balaço de massa de líquido, de gás livre e de gás
19
dissolvido, além do balanço de quantidade de movimento e a segunda lei da termodinâmica
para a mistura. A partir das equações de balanço de massa se definiu um parâmetro Γ, que é a
taxa de transferência de massa.
O sistema de equações proposto permite solucionar para parâmetros concentrados além
de problemas uni, bi e tridimensionais envolvendo escoamentos internos e externos. Contudo,
como o foco deste trabalho é a elaboração de um modelo para a taxa de transferência de massa
de gás entre as fases, uma abordagem para parâmetros concentrados será utilizada. Sendo assim,
o sistema de equações é simplificado deforma que a equação de balanço de quantidade de
movimento não será utilizada. Sendo assim, o sistema resultante permite a princípio resolver
problemas adimensionais, onde são conhecidas as condições iniciais do problema e a taxa de
variação de volume pelo volume da mistura. Sendo que as condições iniciais são a fração
volumétrica de gás livre, a concentração de gás dissolvido e a pressão do sistema no início da
simulação. Com um pouco de manipulações matemáticas foi mostrado que o mesmo sistema
pode ser resolvido para um pulso de pressão conhecido.
Conhecendo-se o sistema de equações a ser resolvido, partiu-se para a determinação da
taxa de transferência de massa de gás utilizando os dois potenciais termodinâmicos: a energia
livre de Helmholtz e um pseudopotencial de dissipação. Os resultados obtidos por essa dedução
formam uma equação para a etapa de liberação de gás e outra para etapa de absorção de gás em
que a taxa de transferência de massa é proporcional a diferença entre a energia livre de gás
dissolvido no líquido e a energia livre de Gibbs de gás livre. Essas equações têm dois
coeficientes cada uma. Estes coeficientes foram determinados utilizando resultados obtidos
com base em dados experimentas, apresentados por Zhou et al. (2013).
Os coeficientes foram ajustados através da resolução de um problema de minimização
descrito por Rachid (2013). Após a determinação dos coeficientes, uma análise funcional do
resultado foi feita e melhorias foram propostas ao modelo.
20
2 BASE TEORICA
2.1 LEI DE HENRY PARA ESTADOS DE EQUILÍBRIO
Segundo SCHWEITZER (1950):
O caso de equilíbrio obedece a conhecida lei de Henry (Lei de Henry e Dalton) que diz que se
nenhuma mudança ocorrer na estrutura molecular durante os processos de solubilização ou
evolução, então o volume de gás dissolvido no líquido é diretamente proporcional a pressão absoluta.
le
e Vp
pSV
0
(2.1)
onde Ve é o volume de gás dissolvido, pe é a pressão de equilíbrio, p0 é uma pressão de referência
tida como a pressão atmosférica, Vl é o volume de líquido e S é uma constate de
proporcionalidade que varia com a temperatura. Esta formula pode ser reescrita da seguinte
forma:
eHe cKp (2.2)
onde ce é a concentração de gás dissolvido no líquido para o equilíbrio, KH é uma nova constate
de proporcionalidade que também é função da temperatura e pe é a pressão para o estado de
equilíbrio. A concentração de gás dissolvido é definida como a massa de gás dissolvido dividida
pelo volume da fase líquida. Esta formulação mostra que para casos isotérmicos e em equilíbrio,
a quantidade de gás dissolvido é função apenas da pressão. Contudo, quando mudanças são
aplicadas ao fluido, o sistema não entra em equilíbrio instantaneamente, e a lei de Henry não
pode ser usada.
21
2.2 EQUAÇÕES DE BALANÇO
Assumindo a hipótese de mistura homogênea formada por dois componentes e duas
fases, onde o gás livre está disperso em forma de pequenas bolhas em suspensão no líquido ou
dissolvido neste e sua fração volumétrica é consideravelmente menor do que a fração
volumétrica da fase líquida. O sistema de equações mostrado abaixo em suas formas locais é
válido. O sistema consiste nas equações de balanço de massa, balanço da quantidade de
movimento, balanço de energia e a segunda lei da termodinâmica aplicadas à mistura como um
todo, respectivamente.
,0 v (2.3)
,gSv p (2.4)
,rpee qDSvv (2.5)
,rss
v
(2.6)
onde ρ é a massa especifica, v o vetor velocidade, g a gravidade local, p a pressão do fluido, S
é o tensor das tensões devido ao escoamento, D é a parcela simétrica do gradiente de velocidade,
e é a energia interna por unidade de volume, q o fluxo de calor, r a geração de calor, s a entropia
por unidade de volume, e θ a temperatura absoluta da mistura.
Definindo a energia livre de Helmholtz Ψ como:
,: se (2.7)
Substituindo a equação (2.5) na equação (2.6), a Segunda Lei da Termodinâmica pode
ser escrita como a desigualdade de Clausis-Duhen:
,0:
qDSv spd
(2.8)
A desigualdade de Clausis-Duhen é a taxa de dissipação de energia por unidade de
volume de fluido, d, e distingue processos possíveis onde d é igual ou maior que zero e
processos impossíveis, onde d é menor que zero. Além disso, quando d for igual à zero, o
22
processo é tido como reversível e quando d for maior que zero, o processo é tido como
irreversível.
Levando em conta a liberação e absorção de gás, a concentração de gás dissolvido na
mistura c e a fração volumétrica de gás livre α são considerados como varáveis internas. A
fração volumétrica de gás livre α, é definida como o volume de gás livre dividido pelo volume
da mistura.
Desconsiderando a presença de vapor na fase gasosa, e considerando a mistura como
um pseudofluido que compartilha as médias das propriedades termodinâmicas das duas fases,
com α como fator de peso, onde os constituintes coexistem em todos os pontos materiais e
instantes de tempo, a densidade de massa total da mistura é definida como:
,1: gl c (2.9)
onde ρl e ρg são respectivamente as densidades de massa de líquido e de gás livre, sendo ambos
assumidos como fluidos compressíveis.
Na definição acima, admite-se implicitamente que o gás dissolvido e o líquido ocupam
o mesmo volume na fase líquida. Por outro lado, como o gás livre é o único constituinte da fase
gasosa, o volume ocupado por ele na mistura é complementar ao da fase líquida.
Como o pseudofluido é uma mistura de gás livre, líquido e gás dissolvido e como o gás
é transferido entra as fases, as equações (2.3) a (2.8) não são suficientes para descrever o
comportamento da mistura sendo necessário introduzir uma equação de balaço de massa para
cada constituinte de forma que a equação (2.9) seja verdadeira. Sendo assim, o seguinte sistema
de equações descreve o problema de forma satisfatória.
,011 vlll (2.10)
,11 vccc (2.11)
, vggg (2.12)
,11 gSv glgl cpc (2.13)
,0: DSv pd (2.14)
23
onde a equação (2.10) é a conservação de massa do líquido, a equação (2.11) é a equação de
balanço de massa do gás dissolvido, a equação (2.12) é a equação de balanço de massa de gás
livre e Γ é a taxa de transferência de massa de gás por unidade de volume de fluido.
Na formulação mostrada acima, sempre que Γ > 0, gás dissolvido no líquido evolui (é
liberado), Γ < 0 o gás livre é absorvido e se Γ = 0 não haverá troca de massa. Para completar a
descrição do problema, relações constitutivas têm que ser propostas para descrever a taxa de
transferência de massa. Elas englobam expressões para p, S e Γ e devem sempre respeitar a
Segunda Lei da Termodinâmica.
2.3 TEORIA CONSTITUTIVA
A partir da abordagem utilizada por Rachid (2005), (2013) e (2014), as relações
constitutivas usadas para descrever o comportamento do pseudofluido são derivadas no
contexto da termodinâmica dos processos irreversíveis. As variáveis de estado usadas nesta
abordagem serão a densidade de massa do líquido ρl e do gás ρg, a concentração de gás
dissolvido c, a fração volumétrica de gás livre α e a temperatura absoluta do fluido θ. Devido à
física do problema, uma restrição é imposta à fração volumétrica de gás livre onde 0 ≤ α ≤ 1.
Além das variáveis de estado, dois potenciais termodinâmicos são usados, a energia livre de
Helmholtz e um pseudopotencial de dissipação para o pseudofluido, como mostrado nas seções
abaixo.
2.3.1 Energia Livre de Helmholtz e leis de estado
A energia livre por unidade de volume do fluido Ψ é tida como uma função das variáveis
de estado ρl, ρg, c, α e θ. Como o fluido é tido como uma mistura de dois constituintes, seu
comportamento é assumido como uma combinação das propriedades termomecânicas do
líquido e do gás tendo α como um fator de peso. Sendo assim, a definição para a energia livre
da mistura é:
,,,1,,,,: gggclllgl cc (2.15)
onde os termos Ψl e Ψg representam a energia livre por unidade de massa do líquido e do gás
respectivamente. Elas supostamente representam o comportamento termomecânico do líquido
24
e do gás como se eles fossem componentes únicos. O termo Ψc é a energia livre por unidade de
massa de gás dissolvido que é incorporada na energia livre da mistura para levar em conta a
liberação e absorção de gás. Por simplificação, Ψc é assumido como sendo apenas função da
temperatura θ.
As leis de estado para o pseudofluido que relacionam as componentes irreversíveis das
forças termodinâmicas com as variáveis de estado são obtidas a partir do potencial de energias
livres e definidas como:
,11: l
l
ll
l
gp
B l
(2.16)
,: g
g
g
g
g
g gp
B
(2.17)
,1: c
c
cB
(2.18)
,: cllgg cB
(2.19)
em que:
,:e:22
g
g
gg
l
lll pp
(2.20)
e gl e gg são as energias livres de Gibbs para o liquido e o gás respectivamente.
A derivada material da energia livre por unidade de volume do fluido Ψ, pode ser
computada partir da definição de Ψ apresentada na equação (2.15) como:
,
c
cg
g
l
l
(2.21)
Então, aplicando as equações (2.16) a (2.19) na equação (2.21) e a equação (2.21) na
equação (2.14) e, tem-se que a desigualdade de Clausis-Duhen pode ser escrita como:
25
0: BcBBBpd c
gl
glDSv (2.22)
Para se obter um conjunto completo de equações para o problema proposto, leis
complementares, onde a versão local da Segunda Lei da Termodinâmica apresentada pela
equação (2.14) ou equação (2.22) será sempre válida, serão derivadas a partir do
pseudopotencial de dissipação para o pseudofluido da mistura na seção abaixo.
2.3.2 Pseudopotencial de dissipação e leis de estado complementares
Para introduzir o comportamento irreversível do pseudofluido e assegurar que a segunda
lei da termodinâmica será sempre obedecida, é assumido que existe um pseudopotencial de
dissipação Φ, que é uma função objetiva, convexa e diferenciável de D, �̇�, �̇� e 𝐵Γ. Além disso,
é assumido que o pseudopotencial tem as seguintes propriedades para qualquer D, �̇�, �̇� e 𝐵Γ, 𝛼,
c e 𝜃:
0,,;0,0,0,e0,,;,,, ccBc 0D (2.23)
Então define-se as seguintes leis de estado que fornecem as informações adicionais
associadas ao comportamento do pseudopotencial de dissipação:
,:D
S
(2.24)
,:c
Bc
(2.25)
,:
B (2.26)
,:
B (2.27)
Analisando a equação (2.14), tem-se que os dois primeiros termos são devido a
mudanças internas na mistura e o ultimo termo é devido à efeitos viscosos do pseudofluido.
Enquanto isso, as leis de estado fornecidas pelas equações (2.25) a (2.27) representam a
26
variação do pseudopotencial de dissipação em função das variáveis internas do pseudofluido e
a equação (2.24) representa a variação do pseudopotencial devido à efeitos viscosos.
Aplicando as equações (2.24) a (2.27) à equação (2.14) obrem-se uma outra forma para
a desigualdade de Clausis-Duhen:
BBcBd c DS: (2.28)
Usando a convexidade de Φ, Rachid (2013) mostra que para qualquer situação a
desigualdade de Clausis-Duhen pode ser escrita da forma abaixo:
,,;,,,: cBcBBcBd c DDS (2.29)
Como resultado, as equações (2.22) e (2.29) podem ser igualadas:
BBcBBcBBBp cc
gl
gl DSDSv
(2.30)
Como as equações de balanço dadas pelas equações (2.10) a (2.12) definem um
subespaço linear formado por v, �̇�𝑙, �̇�𝑔, �̇� e �̇�, as seguintes relações podem ser encontradas
levando em conta que os termos multiplicados por v, �̇�𝑙, �̇�𝑔, �̇� e �̇� de um lada da equação são
iguais aos de outro lado:
,0 Bp g
,0 lB
,0 BBg
,0 BBB g
,0 cc BB
(2.31)
Aplicando-se as equações (2.16) a (2.19) ao conjunto das equações (2.31), as seguintes
relações podem ser encontradas.
27
,1 c
gl cBppp
(2.32)
,
1
c
lg
cBppB
(2.33)
,
1
c
g
BgcB
(2.34)
As relações não triviais estabelecidas pelas equações (2.32), (2.33) e (2.34) só foram
possíveis graça a abordagem que utiliza as leis de estado e os dois potenciais termodinâmicos
utilizados nas subseções 2.3.1 e 2.3.2.
Se o termo 𝐵𝑐̇, que é a força termodinâmica associada à taxa de variação da
concentração de gás dissolvido sem contar com a massa transferida, for igualado à zero, as
equações acima mostram que a pressão da mistura é a média da pressão de seus constituintes,
que a força termodinâmica associada à taxa de aumento da fração volumétrica de gás livre, B
, é dada pela diferença de pressão do gás e do líquido e que as forças termodinâmicas associadas
a taxa de transferência de massa de gás entre as fases, B , é dada pela diferença da energia
livre de Helmholts do gás dissolvido e da energia livre de Gibbs do gás livre.
2.3.3 Equações constitutivas
As restrições impostas à energia livre e ao pseudopotencial de dissipação feitas nas
subseções 2.3.1 e 2.3.2 garantem que a segunda lei da termodinâmica seja respeitada, sendo
esta a condição é necessária para que a o modelo desenvolvido tenha coerência termodinâmica.
Contudo ela não é suficiente para garantir fidelidade aos fenômenos de cavitação gasosa. Para
finalizar esse procedimento, é necessário conhecimento sobre a física do problema adquirido
com observações experimentais.
Definido os potenciais termodinâmicos Ψ𝑙, Ψ𝑔, Ψ𝑐 e Φ, e usando as equações (2.16) a
(2.19), (2.24) a (2.27) e (2.32) a (2.34), um conjunto completo de equações constitutivas pode
ser formado.
Levando em conta o comportamento reversível do líquido e do gás livre como
constituintes independentes e assumindo que o líquido e o gás livre são substâncias simples e
compressíveis, Rachid (2013) define Ψ𝑙 e Ψ𝑔 como:
28
,loglog:,0
2
l
l
llllll aC
(2.35)
,loglog:,2
gggggg aC (2.36)
onde Cl e Cg são os calores específicos a volume constante do líquido e do gás livre,
respectivamente, e são assumidos constantes. Os parâmetros materiais 𝜌𝑙0, 𝑎𝑙
2 e 𝑎𝑔2 são
dependentes somente da temperatura, sendo os dois últimos, o quadrado da velocidade de
propagação de onda no líquido e no gás respectivamente.
Assumindo que ambos os fluidos têm comportamento de fluido Newtoniano, uma
escolha simples e apropriada para Φ é:
,22
tr2
:,,;,,,222 ar n
a
an
r
r Bn
Bn
cBc
DDDD
(2.37)
onde 𝛽𝑘 = 𝛽𝑘(𝛼, 𝜃) e 𝑛𝑘 = 𝑛𝑘(𝜃), com 𝑘 ∈ {𝑎, 𝑟}, são constantes materiais positivas, com
𝑛𝑘 > 1/2. (𝑘 = 𝑟) está associada à liberação de gás e (𝑘 = 𝑎) à absorção de gás. 𝜆 = 𝜆(𝛼) e
𝜇 = 𝜇(𝛼) são respectivamente as viscosidades de bulk e dinâmica da mistura e são dadas pela
média das propriedades do líquido e do gás livre, com 𝛼 como o fator de peso, sendo que 𝜇 ≥ 0
e 𝜆 + (2/3)𝜇 ≥ 0. Os termos B e B representam o maior valor entre zero e B ou
B respectivamente. Sendo assim, a equação proposta para Φ sempre satisfaz a equação
(2.23) e a segunda lei da termodinâmica proposta pela equação (2.14).
Os dois primeiros termos da equação (2.37) são expressões clássicas para o
comportamento de fluidos newtonianos e são assumidas como a média das propriedades do
líquido e do gás livre, sendo que o gás dissolvido não muda as propriedades do líquido. Os dois
últimos termos da equação (2.37) estão associados à irreversibilidade dos fenômenos de
liberação e absorção de gás que acontecem internamente na mistura. Assumindo que Φ não
depende de �̇�, �̇� e utilizando as equações (2.25) e (2.26), 𝐵𝑐̇ e 𝐵�̇� são igualados a zero.
Aplicando 𝐵𝑐̇ e 𝐵�̇� iguais à zero à equação (2.33) tem-se que a pressão parcial do gás
livre é igual a pressão do líquido, pl = pg. Sendo que aplicando pl = pg à equação (2.32) tem-se
que a pressão do líquido e a pressão parcial do gás são a pressão do sistema:
29
,gl ppp (2.38)
Sendo assim, aplicando a equação (2.37) na equação (2.24), S é definido como:
,2tr DIDS (2.39)
Além disso, aplicando-se a equação (2.34) na equação (2.37) e aplicando a equação
(2.36) à equação (2.27), tem-se que a taxa de transferência de massa por unidade de volume da
mistura Γ é dada por:
,1212
ar n
cga
n
gcr gg (2.40)
Aplicando-se as equações (2.35) e (2.36) para Ψ𝑙 e Ψ𝑔 nas definições de pl e pg
apresentada nas equações (2.20) tem-se que as equações de estado para as densidades de massa
do líquido e do gás livre são dadas por:
,e2
0
2
g
gl
l
la
p
a
p (2.41)
o resultado obtido para Γ na equação (2.40) pode ter valor positivo, nulo e negativo. O resultado
obtido permite englobar em uma mesma abordagem tempos característicos diferentes para as
etapas de liberação e absorção de gás, sendo que “é conhecido que os tempos característicos de
absorção são consideravelmente maiores do que os tempos de liberação” (Zhou et al. (2013)).
A equação (2.40) diz que sempre que a energia livre do gás dissolvido for maior que a
energia livre de Gibbs do gás livre, gás será liberado e sempre que a energia livre de Gibbs de
gás livre for maior que a energia livre de gás dissolvido, gás será absorvido. Quando as duas
energias livres são iguais, não haverá troca de gás entre as duas fases, o que significa que a
mistura está em equilíbrio termodinâmico e que a pressão do fluido é igual a pressão de
equilíbrio pe. Quando esse resultado, a pressão do fluido ser igual a pressão de equilíbrio, é
aplicado a equação (2.40), tem-se que Ψ𝑐 = g𝑔. Sendo assim, levando em conta a formulação
30
para a energia livre de Gibbs do gás livre apresentada na equação (2.17), Ψ𝑐 é definido como
sendo igual a energia livre de Gibbs do gás livre na pressão de equilíbrio:
,loglog2
2
2
g
g
eggc a
a
paC (2.42)
Aplicando a equação (2.42) na equação (2.40), tem-se que a taxa de transferência de
massa por volume de mistura entre as fases é dada por:
12
122
12
122 loglog
aa
rr
n
e
n
ga
n
en
grp
pa
p
pa (2.43)
A pressão de equilíbrio pe é dada pela lei de Henry para estados de equilíbrio. Como
explicado na seção 2.1, a lei de Henry diz que quando o sistema está em equilíbrio, a pressão
de equilíbrio é proporcional quantidade de gás dissolvido no líquido, onde a constante de
proporcionalidade é função da temperatura absoluta da mistura.
A determinação de pe não é trivial porque este valor varia com o valor da concentração
de gás dissolvido ce, sendo que quando o sistema não está em equilíbrio a pressão instantânea
e a concentração de gás dissolvido instantânea não são os valores o equilíbrio pe e ce. Por
exemplo, considerando uma mistura homogênea em um sistema fechado, com um volume
específico V1 e com uma determinada quantidade de gás total presente no sistema. Esse sistema
estará em equilíbrio de uma forma que ce1 e pe1 respeitem a lei de Henry. Caso esse sistema seja
expandido para um volume V2 > V1, a pressão sobre o líquido será reduzida e somente após o
período necessário para o sistema entrar em equilíbrio novamente, a concentração de gás
dissolvido e a pressão do sistema chegarão à ce2 e à pe2. Entretanto, antes do tempo necessário
para se chegar ao equilíbrio, a concentração de gás dissolvido será maior do que a prevista para
o estado de equilíbrio e a pressão será menor. Isto acontece porque a liberação de gás não é
instantânea. Por essa razão é difícil se determinar pe na equação (2.43).
A determinação de como a pressão de equilíbrio será aplicada e dos parâmetros βr(c,θ),
βa(c,θ), na(θ) e nr(θ) serão feitas nas seções seguintes utilizando o resultado apresentada no
trabalho de Zhou et al. (2013).
Após a determinação dos parâmetros especificados no parágrafo anterior, as equações
de balanço, equações (2.10) a (2.14), e as equações constitutivas, equações (2.39), (2.41) e
(2.43), serão suficientes para descrever consistentemente os fenômenos de liberação e absorção
31
de gás em escoamentos considerados isotérmicos e homogêneos formados por uma mistura de
líquido e gás inerte considerados como fluidos newtonianos. A partir deste ponto, considerando
que o sistema de equações especificado neste parágrafo constituí completamente o modelo
proposto neste trabalho, o modelo que utiliza estas equações será tratado como modelo
termodinâmico, enquanto o modelo demostrado no próximo capitulo, que será utilizado para a
determinação dos coeficientes, será tratado como modelo dinâmico. Essa nomenclatura foi
escolhida porque o modelo desenvolvido neste trabalho retrata a dinâmica de escoamentos
transientes e foi deduzido com respaldo termodinâmico, enquanto o modelo descrito no
próximo capitulo retrata a dinâmica de processos transientes, mas não foi deduzido com
respaldo termodinâmico.
32
3 DETERMINAÇÃO DOS COEFICIENTES COM BASE EM RESULTADO
EXPERIMENTAL
Zhou et al. (2013), propõe um modelo para descrever os fenômenos de cavitação
vaporosa e gasosa que introduz uma formulação simplificada para parâmetros concentrados
aplicados à mistura homogênea. Esta formulação é baseada na equação de Rayleigh-Plesset
para dinâmica de bolhas. Ele também apresenta uma formulação para a previsão de densidade
de massa e módulo do bulk da mistura, levando em conta a fração mássica de gás livre na
mistura. Por último ele descreve o aparato experimental utilizado para verificar o modelo e
compara os resultados experimentais com os resultados obtidos por simulação utilizando óleo
mineral.
3.1 MODELO PROPOSTO PARA CAVITAÇÃO GASOSA
Zhou et al. (2013) propõe uma equação para a taxa de liberação de gás baseada na
equação de Rayleugh-Plesset para dinâmica de bolhas. Além disso, ele considera que a pressão
de equilíbrio pe é a pressão atmosférica p0 e que o potencial associado aos fenômenos de
liberação de gás é proporcional à diferença entre a fração mássica instantânea de gás livre, fgl,
e a fração mássica de gás livre para estados de equilíbrio prevista pela lei de Henry, fglH.
Enquanto isso, potencial associada ao fenômeno de absorção de gás é somente associada à
fração mássica de gás livre fgl. A fração mássica de gás livre é definida como a massa de gás
livre dividida pela massa da mistura. Abaixo segue a formulação proposta por Zhou et al. (2013)
para a taxa de transferência de massa de gás, este é o modelo que será tratado como modelo
dinâmico.
33
022
021
ppfk
ppffk
Rdt
df
gl
glglH
s
gl
glHgl
glHgl
ff
ff
(3.1)
nesta formulação, a diferença entre fgl e fglH determina se gás será liberado ou absorvido. Se fgl
> fglH gás será absorvido, se fgl < fglH, gás será liberado e se fgl = fglH nada acontecerá. O valor
dos dois coeficientes k21 e k22, que expressam a taxa de liberação e absorção de gás, não podem
ser facilmente determinados analiticamente e têm que ser determinados empiricamente
baseando-se em observações experimentais. τ é uma constante temporal assumida como sendo
igual a um segundo. Esta formulação apresentada é solucionada quando o pulso de pressão que
atuará sobre o fluido é conhecido.
Para a determinação de fglH, ele considera que a pressão sobre a fase líquida p é a pressão
do gás livre mais a pressão de vapor do óleo mineral pv, que é tida como constante. A pressão
de vapor de um líquido é a pressão que o vapor de líquido exerce sobre o líquido em estados de
equilíbrio. Sendo assim, a pressão de gás sobre o líquido é igual a p-pv. Como consequência,
ele considera que para estados de equilíbrio, quando a pressão sobre o líquido p for igual pv,
todo o gás presente na mistura estará em forma de gás livre e fglH é igual a fração mássica total
de gás na mistura fgt. Além disso ele considera que para casos de equilíbrio, quando a pressão
sobre o líquido p for igual ou maior que a pressão atmosférica p0, não existirá gás livre e
consequentemente fglH será zero. Isso é equivalente a dizer que o óleo considerado no sistema
analisado estava em contato com o ar ambiente sob pressão atmosférica e em equilíbrio antes
de entra na câmara de teste. Este óleo foi introduzido em um sistema fechado sem a presença
de gás livre, ou seja, ele estaria em equilíbrio, completamente saturado de gás, sob pressão
atmosférica e sem presença de gás livre. A formulação proposta por Zhou et al. (2013) para fglH
segue abaixo:
0
10 v
vgt
gt
glHpp
ppf
f
f
0
0
pp
ppp
pp
v
v
(3.2)
34
3.2 EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS DO MODELO
3.2.1 Densidade
Enquanto a equação (2.9) apresenta uma definição para a densidade de massa da mistura
onde a fração volumétrica de gás livre, α, é tida como fator de peso, Zhou et al. (2013) apresenta
uma relação que leva em conta as frações mássicas de gás livre e de vapor como fatores de
peso. Como neste trabalho e nos resultados de simulação apresentados por ele a presença de
vapor não é considerada, a formulação apresentada abaixo não considera a presença de vapor.
l
gl
g
gl ff
11 (3.3)
1
0
0
p
pgg (3.4)
000
Epp
ll e
(3.5)
g
glf
(3.6)
Ao contrário do que foi feito na seção 2.3.3, onde por simplificação optou-se por
linearizar as equações de estado tanto para o gás como para o líquido, Zhou et al. optou por
trabalhar com equações de estado não lineares. Na seção abaixo é apresentado a formulação de
Zhou et al. (2013) para o módulo de bulk da mistura.
3.2.2 Módulo de bulk
A partir da formula geral para o módulo de bulk, E, de um fluido:
dp
dV
V
dV
dpVE
(3.7)
35
considerando que o volume do fluido é a soma dos volumes das fases líquida e gasosa:
dp
dV
dp
dV
VVE
gl
gl
(3.8)
e levando em conta que:
VVVVp
V
dp
dV
E
V
dp
dVgl
ggll
e1,,0
(3.9)
Zhou et al. propõe a seguinte formulação para o módulo de bulk da mistura:
0
1
1
Ep
E
(3.10)
3.3 EXPERIMENTO E VALIDAÇÃO
Para validar o modelo dinâmico proposto, Zhou et al. (2013) utiliza um mecanismo de
teste em que a ideia básica é mostrada na figura 3.1. O mecanismo consiste em uma câmara
selada, com um sensor de pressão, um sensor de temperatura e o fluido a ser testado. O fluido
utilizado foi o óleo Shell Tellus S ISO 32. A câmara tem seu volume variado devido a atuação
de um atuador servo hidráulico com um medidor de posição que move um pistão de 12 mm de
diâmetro.
O teste começa com o reservatório 1 cheio de óleo que ficou em repouso um logo
período de tempo para que chegasse a condição de equilíbrio com o ar atmosférico. O óleo é
bombeado para a câmara de teste e depois para o reservatório 2. Quando a câmara estiver
completamente cheia e sem a presença de volumes vazios, ela é selada.
36
Figura 3.1 – Vista simplificada do mecanismo de teste.
Fonte: (Zhou et al. (2013), 4)
O experimento aconteceu de modo que a trajetória de pressão mostrada na figura 3.2 a)
fosse seguida. A figura 3.2 a) mostra um sinal de pressão triangular, simétrico, onde a pressão
mínima é de 0,3 bar e a pressão máxima é de 32 bar e tem duração de um segundo. A figura 3.2
b) mostra a curva de pressão pelo deslocamento do pistão medido no experimento. É importante
notar em uma primeira análise o fenômeno de histerese, mostrando os efeitos de histerese
discutidos nas seções anteriores deste trabalho.
Figura 3.2 – Resultados para o teste de compressão e descompressão: a) pressão na
câmara; b) pressão na câmara vs. deslocamento do pistão.
Fonte: (Zhou et al. (2013), 5)
37
A partir do deslocamento do pistão, x, apresentado na figura 3.2 b) é possível determinar
o volume ocupado pela mistura V através da equação (3.11), e a partir da massa de fluido na
câmara de teste m0 é possível determinar a densidade de massa da mistura, ρ, com a equação
(3.12).
00 xxAVV p (3.11)
V
m0 (3.12)
Na equação (3.11), x0 é uma posição de referencia, V0 é o volume da câmara quando x =
x0 e Ap é a área do pistão. Os valores de V0, Ap, x0, m0, assim como os valores para densidade de
massa ρl0 e módulo de bulk E0 do óleo usado e a densidade de massa ρg0 do ar para a pressão
ambiente são encontrados na tabela 3.1.
Tabela 3.1: Parâmetros de teste
x0(mm) Ap(mm2) V0 (cm3) ρl0(kg/m3) E0(bar) ρg0(kg/m3) m0(g)
104 113,1 13,52 840 13200 1,2 11,3
Fonte: (Zhou et al. (2013), 5)
Para a validação do modelo uma simulação foi realizada utilizando o pulso de pressão
da figura 3.2 a). Para a simulação, o processo foi assumido como adiabático, sendo assim λ=1,4.
Os valores dos coeficientes k21, k22 e τ da equação (3.1) assim como a condição inicial para a
fração mássica de gás livre, fgl0, e os valores de pv, p0, fgt da equação (3.2) são encontrados na
tabela 3.2. Sendo que a fração mássica de gás total fgt é encontrada aplicando a lei de Henry
para o gás e assumindo que o líquido dentro da câmara de teste, quando sob pressão atmosférica,
estará em equilíbrio e sem presença de gás livre. Então, assumindo que o líquido está em
equilíbrio no começo da simulação, quando p=pv, e utilizando a equação (3.2), tem-se que a
condição inicial para a simulação é fgl0=fgt.
38
Tabela 3.2: Parâmetros da simulação
fgl0 fgt k21(bar-0,5) k22(bar-0,5) τ (s) λ p0 (bar) pv (bar)
7*10-6 7*10-6 2000 0,1 1 1,4 1,013 0,3
Fonte: (Zhou et al. (2013), 6)
Os resultados da simulação para a evolução da fração mássica de gás livre fgl e para a
fração volumétrica de gás livre α obtidos por Zhou et al. (2013) são mostrados na figura 3.3. O
resultado mostra que o ar é absorvido praticamente durante todo o período da simulação e que
na última parte do teste, há uma liberação rápida e todo o ar dissolvido volta à condição inicial.
Isso acontece porque fgl se torna menor que fglH, como consequência da redução de pressão na
câmara de teste. Este comportamento é consequência do maior tempo necessária para a
absorção de gás em relação ao tempo necessário para a sua liberação. Devido à lentidão do
processo de absorção, mesmo os picos de pressão chegando a valores de 32 bar, que é
consideravelmente maior que a pressão atmosférica, sempre há presença de gás livre na mistura.
Além disso, o resultado mostra que a massa de ar livre na mistura não segue um padrão
simétrico como o padrão do pulso de pressão, sendo observado mais gás livre durante o período
de compressão do que o observado durante o período de descompressão.
Figura 3.3 – Evolução dinâmica da fração mássica e da fração volumétrica de gás livre
durante a simulação.
Fonte: (Zhou et al. (2013), 6)
39
A figura 3.4 mostra os resultados obtidos por Zhou et al. (2013) para a densidade
experimental da massa da mistura, obtido através da conversão do resultado de x da figura 3.2
b) utilizando as equações (3.11) e (3.12.), comparado com o resultado de simulação e pela
aplicação da lei de Henry. Os resultados de simulação são obtidos resolvendo-se a equação (3.1)
para o pulso de pressão da figura 3.2 (a) e aplicando-se o resultado de fgl à equação 3.3. Já os
resultados obtidos aplicando-se a lei de Henry, modelo estático, são obtidos aplicando-se o fglH
encontrado pela equação (3.2).
Figura 3.4 – Densidade de massa do experimento, do modelo dinâmico e do estático.
Fonte: (Zhou et al. (2013), 6)
É possível concluir que mesmo o resultado da simulação divergindo drasticamente do
resultado experimental nas regiões de baixa pressão, ele está muito mais próximo do resultado
experimental do que o resultado obtido através da aplicação direta de lei de Henry,
principalmente por apresentar o mesmo comportamento da histerese apresentada no
experimento. Zhou et al. (2013), apresenta como explicação para a diferença entre o resultado
experimental e o resultado da simulação a baixa precisão do sensor de pressão para situações
de baixa pressão.
Zhou et al. também compara o módulo de bulk da mistura medido experimentalmente e
o encontrado para a simulação através da equação (3.10). O resultado é apresentado na figura
3.5 onde o fenômeno de histerese é notado mais uma vez e as diferenças entre os valores
encontrados no experimento e na simulação são bem menores.
40
Figura 3.5 – Comparação do módulo de bulk do fluido do experimento, do modelo
dinâmico.
Fonte: (Zhou et al. (2013), 7)
Zhou et al. (2013) propôs um modelo para a previsão da liberação e absorção de gases
em meios líquidos para parâmetros concentrados aplicando a equação de Rayleugh-Plesset para
dinâmica de bolhas à taxa variação da fração mássica de gás livre fgl. O resultado obtido é uma
equação diferencial que é resolvida para um pulso de pressão conhecido. Esta formulação
possui dois coeficientes que foram ajustados de forma que os resultados de simulação se
aproximassem dos resultados experimentais. A comparação dos resultados experimentais
mostrados por ele mostra que há uma discrepância entre os valores experimentais e simulados
para a região de baixa pressão quando se avalia a densidade de massa da mistura, e que essa
discrepância não é tão grande assim quando se avalia o módulo de bulk da mistura. Sendo
assim, o modelo apresentado por ele é validado de forma satisfatória.
O modelo termodinâmico proposto no capitulo 2 consiste em um sistema de equações
diferenciais do tipo stiff, equações rígidas. Quando a abordagem para parâmetros concentrados
é considerada, esse sistema é resolvido quando o ∇ ∙ v(𝑡) é conhecido. Sistemas de equações
do tipo stiff precisam de rotinas específicas para serem resolvidas. Além disso os parâmetros
βr(c,θ), βa(c,θ), na(θ) e nr(θ) assim como a forma de utilização da pressão de equilíbrio, pe, da
equação (2.43) têm que ser determinados.
Para a determinação desses parâmetros, o modelo termodinâmico será comparado com
o modelo dinâmico proposto por Zhou et al. (2013). Essa comparação será feita utilizando
modelo termodinâmico para parâmetros concentrados, de forma que a equação (2.13) não será
41
necessária. É importante notar que as equações para a densidade de massa da mistura, ρ, para a
densidade de massa do líquido, ρl, e para a densidade de massa do gás livre, ρg, são diferentes
na abordagem feita por Zhou et al. (2013) e na abordagem do capitulo 2. Sendo assim, a
abordagem utilizada na comparação entre os dois modelos partirá da taxa de variação da fração
mássica de gás livre apresentada na equação (3.1) e da formulação de α mostrada na equação
(3.6), utilizando a definição de ρ apresentada pela equação (2.9). Uma manipulação matemática
será feita no sistema de equações do modelo termodinâmico de forma que este passará a ser
resolvido para um pulso de pressão conhecido, assim como foi feito com o modelo dinâmico.
O próximo capitulo mostra a comparação dos dois modelos e os resultados obtidos.
42
4 COMPARAÇÃO DOS MODELOS
4.1 COMPARAÇÃO DOS MODELOS
Partindo da formulação para a taxa de variação de fgl apresentada na equação (3.1), e
da definição de α da equação (3.6), a seguinte igualdade pode ser encontrada:
s
gggglR
dt
d
dt
d
dt
d
dt
df
2
1 (4.1)
e aplicando a equação (2.3) à equação (4.1):
s
ggR
dt
d
v1 (4.2)
Sendo assim, aplicando a equação (4.2) à equação (2.12), pode-se assumir que a taxa de
transferência da massa de gás entre a fase líquida e gasosa Γ, definida pela equação (2.43),
dividida por ρ, é equivalente à taxa de variação da fração mássica de gás livre fgl do modelo
dinâmico.
sR
(4.3)
43
4.2 DETERMINAÇÃO DOS COEFICIENTES
Na seção 4.1 foi mostrado que as funções de transferência de massa dos modelos
termodinâmico e dinâmico são equivalentes. Sendo assim, para o os seguintes passos, será
admitido que a pressão de equilíbrio pe do modelo termodinâmico seja igual a pressão de
referência utilizada no modelo dinâmico, que é igual a pressão atmosférica, p0. Além disso, o
critério atribuído para determinar se a equação para a fase de liberação ou para a fase de
absorção de gás será usada, também terá base na comparação com estados de equilíbrio.
Sendo assim, pode-se assumir que:
glHglglglH
n
n
gr
ffppffkp
pa
rr
021
12
0122 log
(4.4)
glHglgl
n
n
ga
ffppfkp
pa
aa
022
12
0
122 log
(4.5)
4.2.1 Formulação dos parâmetros β
Como βa e βr são funções de α, é possível determiná-los de tal forma que as equações
(4.4) e (4.5) possam ser reduzidas às equações abaixo:
glHgl
n
n
gr ffppk
p
pa
rr
021
12
0122 log'
(4.6)
glHgl
n
n
ga ffppk
p
pa
aa
022
12
0
122 log'
(4.7)
onde βa’ e βr’ são coeficientes constantes.
Para as equações (4.6) e (4.7) serem verdadeiras, as seguintes relações têm que ser
verdadeiras:
44
glaa
glglHrr fff ';'
(4.8)
A partir da definição de α mostrada na equação (3.6) e definido αH como a fração
volumétrica de gás livre prevista para estados de equilíbrio:
,g
HglHH f
(4.9)
Sendo assim, βr e βa podem ser determinados em termos de α e αH como:
,';' gaag
H
Hrr
(4.10)
Definindo-se a fração mássica de gás total na mistura a partir da definição de densidade
de massa apresentada da equação (2.9), tem-se que as seguintes relações são verdadeiras:
,
111
0
0000
H
gHHHgg
gt
cccf
(4.11)
onde os termos com índice “0”, são as condições iniciais do problema a ser resolvido, e os
termos com índice “H” são os termos previstos para casos de equilíbrio. Então, aplicando a
equação (4.11) na equação (2.9), ρ e a densidade de massa prevista para estados de equilíbrio,
ρH, podem ser escritas como:
,1
1
1
1l
gt
HHl
gt fe
f
(4.12)
Aplicando-se as relações encontradas na equação (4.12) à equação (4.10) e os resultados
obtidos às equações (4.4) e (4.5) obtém-se a formulação final para Γ que é apresentada abaixo:
45
H
H
n
n
gga
H
H
n
n
gg
H
Hr
aa
rr
p
pa
p
pa
1
1log'
1
1log
1
1'
12
0
122
12
0122
(4.13)
Como a formulação de αH mostrada na equação (4.11) não está explicita para p e para
que αH seja aplicada à equação (4.13), é necessário que p esteja explícito, a modificação abaixo
é necessária.
4.2.1.1 Formulação geral de αH
A partir da definição de ce da equação (2.2) e definindo a pressão de gás sobre o líquido
como p-pv.
,0
00
0
v
vee
H
ve
H
ve
pp
ppcc
K
ppc
K
ppc
(4.14)
onde a concentração de gás prevista para estados de equilíbrio não pode ser menor que zero ou
maior que a massa total de gás na mistura dividida pelo volume de líquido. Ou seja:
,
1110
00
l
gt
gt
H
Hgt
HH
gt
l
gt
ef
ff
V
mf
V
mfc
(4.15)
Partindo-se da definição de fgt da equação (4.11) e da definição de ρH da equação (4.12),
a seguinte relação pode ser escrita:
,
1
1
1
l
gt
H
gHeH
gt
f
cf
(4.16)
46
Explicitando αH:
,1
11
eggtlgt
ggt
Hcff
f
(4.17)
A partir das equações (4.6) e (4.7) e conhecendo os valores de k21, k22 e τ obtidos por
Zhou et al. (2013) apresentados no capítulo 3, é possível determinar os coeficientes βa’, βr’, na
e nr, através da resolução de um problema de minimização do erro entre as funções dos dois
modelos, como mostrado na seção abaixo.
4.2.2 Determinação das constantes materiais
Observando as equações (4.6) e (4.7), é possível usar um processo de otimização
descrito por Rachid (2013) para determinar os pares de coeficientes (βa’, na) e (βr’, nr) do
modelo termodinâmico baseado nos coeficientes k21, k22 e τ do modelo dinâmico. Para isso,
primeiramente as seguintes funções para o modelo termodinâmico serão definidas:
00
1
2
log:; ppp
pupg
u
r
u (4.18)
0
0
1
2
log:; ppp
pwpg
w
a
w (4.19)
onde u = (u1,u2) ∈ R² e w = (w1,w2) ∈ R², em que:
,012:e0': 2
122
1
r
n
gr nuaur
(4.20)
,012:e0': 2
122
1
a
n
ga nwawa
(4.21)
47
e as funções para o modelo dinâmico são definidas como:
0021: pppp
kpf r
(4.22)
00
22: ppppk
pfa
(4.23)
onde os coeficientes k21, k22 e τ estão na tabela 3.2 e gr(p;u), fr(p), ga(p;w), fa(p), u1 e w1, têm
unidade de s-1. Como para um intervalo [pmin,p0] e para um intervalo [p0,pmax] em que pmax é tida
como a pressão máxima do experimento igual a 3,2 MPa e pmin a pressão mínima do
experimento tida com 0,03Mpa, as relações abaixo são verdadeiras:
21
21
0 0
min
2
min
2 ²;;²
p
p
rLr
p
p
rLr dppggdppff u (4.24)
21
21
max
0
2
max
0
2 ²;;²
p
p
aLa
p
p
aLa dppggdppff w (4.25)
sendo assim, as seguintes funções vetoriais podem ser definidas:
,²;:
21
0
min
2
p
p
rrLrrr dppgpfgfl uu (4.26)
,²;:
21
max
0
2
p
p
aaLaaa dppgpfgfl ww (4.27)
Essas funções satisfazem a condição lr(u)<∞, la(w)< ∞, desde que u<∞ e w<∞
respectivamente. Sendo assim, para determinar os valores de u1, u2, w1 e w2, que melhor
aproximam gr à fr e ga à fa os seguintes problemas de minimização têm que ser resolvidos.
48
,min2
uRu
rl
(4.28)
,min2
wRw
al
(4.29)
Este problema de minimização foi resolvido com o MATLAB definindo as funções erro
como as equações (4.26) e (4.27) e utilizando a função “fminsearch”, que procura os valores
que minimizam a função equação utilizada. O resultado para os valores de u1, u2, w1 e w2, assim
como os valores para o erro das aproximações la e lr podem ser encontrados na tabela 4.1. A
comparação gráfica dos resultados obtidos para a aproximação de gr à fr e ga à fa, podem ser
observados na figura 4.1.
Tabela 4.1: Resultados do problema de minimização
u1 [s-1] 1,6260*103
u2 [-] 0,3391
w1 [s-1] 0,1013
w2 [-] 1,3477
lr[(p/s)0,5] 7,7455*103
la[(p/s)0,5] 23,3220
Figura 4.1 – Ajuste das funções de transferência de massa para Γ e Rs.
49
Sabendo-se o valor da velocidade de propagação de onda no gás ag, e os valores de u1,
u2, w1 e w2, utilizando as equações (4.20) e (4.21) pode-se determinar os valores das constantes
materiais βa’, βr’, na e nr que precisavam ser determinados. Os valores para as constantes
materiais, incluindo os valores de ag, al e ρl0 para o ar e o óleo utilizado, são apresentados na
tabela 4.2. Sabendo-se as constantes materiais, uma simulação, utilizando os mesmos pulsos de
pressão da figura 3.2 (a), será feita com o modelo termodinâmico.
Tabela 4.2: Constantes materiais
ρl0 839,94
al[m/s] 1254
ag[m/s] 350
nr [-] 0,6695
na[-] 1,1738
βr’ [(m/s)(2-4na
)/s] 15,1548
βa’[(m/s)(2-4nr)/s] 1,4081*10-8
4.3 COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS DE SIMULAÇÃO
Para validar o valor encontrado para as constantes materiais da tabela 4.2, assim como
o desenvolvimento do modelo termodinâmico, uma simulação foi realizada utilizando o sistema
de equações compostas pelas equação (2.10), (2.11) e (2.12), utilizando a definição de Γ da
equação (2.43) através das definições de ρl e ρg da equação (2.41). A simulação foi feita para o
pulso de pressão da figura 3.2. Então, os resultados para a fração mássica e para a fração
volumétrica de gás livre foram comparados. Para que este sistema de equações fosse resolvido
para a pressão, as modificações da seção abaixo foram feitas.
4.3.1 Modificação no sistema de equações do modelo termodinâmico
Para realizar a simulação resolvendo o modelo termodinâmico para um pulso de pressão
conhecido p=p(t) e não para uma curva do divergente da velocidade previsto ∇∙v = ∇∙v(t), uma
50
manipulação matemática tem que ser feita no sistema de equações compostas pelas equação
(2.10), (2.11) e (2.12), como mostrado abaixo:
A partir da equação (2.10) o ∇∙v pode ser escrito como:
,1
1
1
dt
d l
l
v (4.30)
aplicando este resultado às equações (2.11) e (2.12), o sistema que antes tinha três equações
passa a ter apenas as duas seguintes:
,1
1
dt
d l
l
g
gg
(4.31)
,1
1
dt
dccc l
l
(4.32)
Como a formulação final para Γ apresentada pela equação (4.14) está em função apenas
de α e não de α e c, a equação (4.32) pode ser desconsiderada de modo que a simulação pode
ser feita apenas solucionando a equação (4.31). Como esta equação será solucionada para α,
vale apena explicitar o termo �̇�. Utilizando a formulação apresentada pela equação (2.41) para
a ρl e ρg, a equação (4.31) pode ser escrita da forma:
,120
20
ll
ll
g ap
a
p
p
(4.33)
4.3.2 Resultados de simulação
Sendo assim, as equações (4.33) e (4.13) através das equações de estado (2.41) e das
definições de αH e ce mostradas nas equações (4.17) e (4.14), são suficientes para realizar a
simulação com o pulso de pressão da figura 3.2 (a). Os resultados desta simulação são
mostrados abaixo e comparado com o resultado obtido por Zhou et al. (2013). A figura 4.2
mostra a comparação entre os valores da fração mássica de gás livre, a figura 4.3 mostra os
valores para a fração volumétrica de gás livre e a figura 4.4 mostra os resultados para a
51
densidade de massa da mistura pela pressão. Os índices atribuídos são: PF para os resultados
obtidos pelo modelo termodinâmico, proposto neste trabalho de Projeto Final de Graduação, e
JFE para os resultados obtidos pelo modelo dinâmico, publicado no Journal of Fluid
Engineering. Os resultados com o índice “H” são resultados previstos para estados de equilíbrio
utilizando a lei de Henry. O resultado para densidade de massa com o índice “EXP” é o
resultado experimental mostrado pela figura 3.4.
Figura 4.2 – Resultados de simulação para fgl obtidos pelos diferentes modelos.
Figura 4.3 – Resultado de simulação para α obtidos pelos diferentes modelos.
52
Figura 4.4 – Resultados de simulação para ρ obtidos pelos diferentes modelos e o
resultado experimental.
Como pode ser observado na figura 4.2, o resultado previsto para os dois modelos é bem
semelhante, uma vez que os modelos são equivalentes e as funções de transferência de massa
foram ajustadas de forma a serem as mais próximas possível. Entretanto, os resultados para α e
ρ divergiram bastante para todas as faixas de pressão. Isso acontece porque as equações para a
densidade de massa de gás em função da pressão, ρg(p), utilizado nos resultados obtidos pelos
dois modelos são diferentes. A equação (2.41) foi utilizada para o resultado do modelo
termodinâmico, enquanto a equação (3.4) foi utilizada no resultado obtido pelo modelo
dinâmico. Na figura 4.5 é mostrado a diferença entre as duas equações de estado. Embora as
equações de estado para a densidade de massa de líquido usadas nos dois modelos também
sejam diferentes, o resultado obtido por elas é bem semelhante, como mostrado na figura 4.6,
de forma que a diferença entre as equações não causa uma divergência notável nos resultados.
53
Figura 4.5 – Diferentes curvas das equações de estado para densidade de massa de gás
usadas nos dois modelos.
Figura 4.6 – Diferentes curvas das equações de estado para densidade de massa do óleo
usadas nos dois modelos.
54
Sendo assim é esperado que caso as mesmas equações de estado sejam usadas nos dois
modelos, resultados mais próximos sejam obtidos tanto para α como para ρ. Nas figuras 4.7 e
4.8 são apresentados os resultados para a simulação realizadas utilizando os modelos e as
equações de estado mostradas na equação (2.41).
Figura 4.7 – Resultado de simulação para α obtidos pelos diferentes modelos utilizando
as equações (2.40) como equações de estado.
Figura 4.8 – Resultados de simulação para ρ obtidos pelos diferentes modelos utilizando
as equações (2.40) como equações de estado e o resultado experimental.
55
É possível concluir que utilizando as mesmas equações de estado, o resultado das
simulações realizadas pelos dois modelos é semelhante, e que o modelo termodinâmico é
equivalente ao modelo dinâmico. Por sua vez Zhou et al. (2013) mostra que o modelo dinâmico
reproduz de forma satisfatória os resultados experimentais. Como o modelo dinâmico reproduz
de forma satisfatória o resultado experimental e o modelo termodinâmico é equivalente a ele,
então o modelo termodinâmico reproduz de forma satisfatória situações reais.
Contudo, a diferença apresentada pelos resultados de simulação obtidos pelos dois
modelos, quando duas equações de estado diferente são usadas, mostra que este é um parâmetro
fundamental para uma aplicação consistente de qualquer modelo a ser utilizado. Para melhorar
a aplicação do modelo, um estudo de como o gás livre se comporta ajudaria na escolha da
melhor equação de estado.
4.3.3 Métodos numéricos utilizados
Para obter os resultados apresentados na seção 4.3.2 as equações dos dois modelos
foram resolvidas utilizando-se o software MATLAB. O MATLAB possui alguns solvers para
a solução de sistemas de equações diferenciais onde as equações têm que ser escritas de forma
explicita. Por isso a formulação apresentada pela equação (4.33) foi necessária. Existe uma
página no site MathWorks chamada Choose an ODE Solver (Escolha um método de resolução
de EDO) onde a escolha dos solvers é orientada. Esta página recomenda que para sistemas não
rígidos a primeira tentativa de solver a ser utilizado teria que ser o “ode45” porque esse solver
tem uma maior precisão. Então esta foi a primeira tentativa, e com uma restrição de passo
máximo de 10-3*∇t, onde ∇t é definido como o tempo total de simulação, que nos casos
simulados na seção acima foi de 1s, os resultados mostrados na seção 4.3.2 foram obtidos.
No entanto, para resolver o sistema de equações que é formado pelas equações (2.10) e
(2.12) com a definição de Γ da equação (4.13), é necessária a utilização do solver ode15s que é
usado para equações rígidas (stiff).
4.3.4 Aprimoramento do modelo termodinâmico
A taxa de transferência de massa do modelo termodinâmico, Γ, foi definido na equação
4.13 baseado no modelo dinâmico apresentado no capitulo 3. Essa definição usou de forma
rigorosa os critérios apresentados por Zhou et al. (2013). Contudo duas modificações podem
ser aplicadas a essa definição te forma a torna-la mais consistente.
56
A primeira modificação é uma correção, ou uma melhoria à consideração em que o
potencial de absorção, mostrado no primeiro parágrafo da seção 3.1, passa a ser proporcional a
diferença entre a fração mássica de gás livre, fgl, e a fração mássica de gás livre para estados de
equilíbrio, fglH, assim como foi feito para a fase de liberação. Dessa forma, durante a fase de
absorção, a fração mássica de gás livre sempre tende ao valor de equilíbrio, enquanto na
definição anterior ela tendia a zero, de forma que a curva da fração mássica prevista tende a
cortar a curva da fração mássica prevista para o equilíbrio. Esse resultado é mostrado na figura
4.9 através da análise da fração volumétrica de gás livre.
A segunda modificação é em relação ao termo 1−𝛼
1−𝛼𝐻 presenta na equação (4.13), derivado
na equação (4.12), e o critério de parada baseado na comparação de 𝛼 com 𝛼𝐻1−𝛼
1−𝛼𝐻 . O termo
1−𝛼
1−𝛼𝐻 surgiu para que a formulação de Γ feita na subseção 4.2.1 ficasse rigorosamente
equivalentes ao modelo dinâmico apresentado por Zhou et al. (2013). Contudo, se este termo
for igualado à um, tanto o critério de parada como o potencial de liberação ou absorção dentro
da equação passarão a ser função da diferença entre a fração volumétrica de gás livre e da fração
volumétrica prevista para estados de equilíbrio, ao invés da diferença entre as frações mássicas.
Essas duas abordagens funcionam de forma equivalente e o resultado obtido por elas é mostrado
na figura 4.10.
Sendo assim, a formulação melhorada para Γ é:
H
n
n
ggHa
H
n
n
ggHr
aa
rr
p
pa
p
pa
12
0
122
12
0122
log'
log'
(4.34)
57
Figura 4.9 – Resultados de simulação de compressão para α obtidos para o estado de
equilíbrio (eq. 4.17), para Γ da eq.4.13 e para o Γ modificado da eq. 4.34 e para a
pressão adimensionalizada e com escala modificada.
A figura 4.9 mostra o resultado de simulação em que o sistema tem como condição
inicial a pressão igual à pressão atmosférica de 1,013 bar, uma fração volumétrica de gás livre
maior que zero e está em equilíbrio. A pressão é então aumentada até 5 bar, e as curvas obtidas
para a fração volumétrica de gás livre para o estado de equilíbrio dada pela equação (4.17),
assim como os resultados de simulação para o modelo termodinâmico utilizando as equações
(4.13) e (4.34) são mostrados. Pode-se observar que a utilização da equação (4.13) leva a um
resultado em que a fração volumétrica de gás livre tende a cruzar a curva da fração volumétrica
para o equilíbrio, resultado esse que deveria ser impossível. Já o resultado obtido pela equação
(4.34) leva a uma curva que tende assintoticamente ao valor de equilíbrio. O efeito dente de
serra observado na curva que utiliza a equação (4.13) para o Γ acontece porque quando α é
menor que αH, a formulação determina que gás tem que ser liberado, e como o tempo de
liberação é muito baixo, o método numérico calcula um valor alto de gás liberado nesse passo
e depois calcula a sua absorção. Quando se modifica as tolerâncias utilizadas ou o passo
máximo, o mesmo efeito de dente de serra é observado, mas com uma amplitude menor e uma
58
frequência maior. A troca de α por α-αH implementada na equação (4.34) acaba com esse
comportamento.
Figura 4.10 – Resultados de simulação de descompressão para α obtidos para o estado
de equilíbrio (eq. 4.17), para Γ da eq.4.13 e para o Γ modificado da eq. 4.34 e para a
pressão adimensionalizada e com escala modificada.
A figura 4.10 mostra o resultado de simulação em que o sistema tem como condição
inicial a pressão igual à pressão atmosférica de 1,013 bar, uma fração volumétrica de gás livre
maior do que zero e está em equilíbrio. A pressão é então reduzida até 0,3 bar, e as curvas
obtidas para a fração volumétrica de gás livre para o estado de equilíbrio dada pela equação
(4.17), assim como os resultados de simulação para o modelo termodinâmico utilizando as
equações (4.13) e (4.34) são mostrados. Pode-se observar que a utilização da equação (4.13)
leva a um resultado que a fração volumétrica de gás livre é igual a prevista para estados de
equilíbrio, resultado esse que é possível e acontece porque o tempo de liberação obtido por
Zhou et al. (2013) é muito baixo, de forma que a liberação acontece praticamente de forma
instantânea. Já o resultado usando a equação (4.34) leva a um resultado semelhante e ambos
nuca ultrapassam a valor previsto para o equilíbrio. Uma tolerância mais baixa aos erros
relativos e absolutos tiveram que ser usadas na simulação deste problema, visto que resultados
impossíveis estavam sendo obtidos com as tolerâncias padrões do método de solução ode45.
59
5 CONCLUSÕES
Esse trabalho mostra que através de uma abordagem para mistura homogênea e da
utilização de dois potenciais termodinâmicos: a energia livre de Helmholtz e um
pseudopotencial de dissipação, é possível elaborar um modelo para a previsão de liberação e
absorção de gases em meios líquidos sob transformações isotérmicas para processos
irreversíveis. Para o desenvolvimento deste modelo, uma abordagem de variáveis internas foi
utilizada, considerando a fração volumétrica de gás livre e a concentração de massa de gás
dissolvido como variáveis de estado. Baseado no modelo apresentado por Zhou et al. (2013), a
diferença entre a fração volumétrica instantânea de gás livre e a fração volumétrica de gás livre
prevista pela lei de Henry para estados de equilíbrio foi utilizada como um potencial de
liberação ou absorção de gás. Esta abordagem leva a um resultado em que, caso o sistema sofra
uma variação de pressão, independentemente de como o processo ocorra, quando a pressão se
estabilizar o sistema se estabilizará com a concentração de gás dissolvido prevista para o
equilíbrio depois de um período de tempo suficientemente longo. Da mesma forma, caso uma
variação volumétrica seja imposta, independentemente de como o processo ocorra, quando o
volume se estabilizar o sistema se estabilizará com a concentração de gás dissolvido e a pressão
prevista para o equilíbrio depois de um período de tempo suficiente mente longo.
O modelo termodinâmico proposto teve suas constantes determinadas através da
comparação com um modelo dinâmico apresentado em Zhou et al. (2013), esse modelo foi
derivado a partir da uma equação para dinâmica de bolhas e não apresenta fundamentação
termodinâmica. No entanto, o autor comparou os resultados obtidos por este modelo com
resultados experimentais obtendo um resultado final suficientemente próximo e
consideravelmente melhor do que os resultados previstos para estados de equilíbrio. Sendo
assim, a utilização do modelo dinâmico para a validação e determinação das constantes do
modelo com fundamento termodinâmico proposto neste trabalho foi considerada satisfatória,
mostrando que a utilização do pseudopotencial de dissipação proposto na subseção 2.3.2 leva a
60
um resultado capaz de reproduzir resultados experimentais. As simulações mostraram que a
presença de gás no líquido pode gerar fenômenos como atenuação de picos de pressão, mudança
na compressibilidade da mistura e histerese. A correta previsão desses fatores permite o projeto
de equipamentos mais confiáveis. Além disso, a derivação do modelo satisfazendo
incondicionalmente a segunda lei da termodinâmica e utilizando a desigualdade de Clausis-
Duhen permite a contabilização da energia dissipada devido a liberação e a absorção de gás, o
que é uma vantagem em relação ao modelo empírico proposto por Zhou et al. (2013), podendo
ser mais amplamente aplicada.
61
6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
GHOLIZADEH, Hossein; BITNER, Doug; BURTON, Richard; SCHOENAU, Greg.
Modeling and Experimental Validation of the Effective Bulk Modulus of a Mixture
of Hydraulic Oil and Air. Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control, v. 136, n.
05103, p.1-14, set. 2014.
KIM, Sunghun; MURRENHOFF, Hubertus. Measurement of Effective Bulk Modulus for
Hydraulic Oil at Low Pressure. Journal of Fluids Engineering, v. 134, n. 021201, p. 1-10, fev.
2012.
LEMA, Marcos; PEÑA, Fernando L.; RAMBAUD, Patrick; BUCHLIN, Jean-Marie;
STEELANT, Johan. Fluid hammer with gas desorption in a liquid-filling tube: experiments
with three different liquids. Experiments in Fluids, v. 56, n. 180, p. 1-12, set. 2015.
RACHID, Felipe B. de Freitas. Continuum thermo-mechanical model for homogeneous liquid–
gas flows with internal surface tension effects. Mechanics Research Communications, v. 33, p.
337-351, ago. 2005.
RACHID, Felipe B. de Freitas; SILVA, Agnaldo Borges. Modeling of release and absorption
of gas in liquid–gas flows within a consistent thermodynamic framework. International Journal
of Engineering Science, v. 66-67, p. 21-43, mai./jun. 2013.
RACHID, Felipe B. de Freitas. Modeling gaseous and vaporous cavitation in liquid flows
within the context of the thermodynamics of irreversible processes. International Journal of
Non-Linear Mechanics, v. 65, p. 245-252, jun. 2014.
SCHWEITZER, P. H.; SZEBEHELY, V. G.. Gas Evolution in Liquids and Cavitation. Journal
of Applied Physics. v. 21, p. 1218-1224, dez. 1950.
62
www.mathworks.com. URL http://www.mathworks.com/help/matlab.
ZHOU ET AL., Junjie; VACCA, Andrea; MANHARTSGRUBER, Bernhard. A Novel
Approach for the Prediction of Dynamic Features of Air Release and Absorption in Hydraulic
Oils. Journal of Fluids Engineering, v. 135, p. 091305-1-091305-8, set. 2013
